la naturaleza es bella caotica y fractal - volumen 1 fractales irreversibilidad azar y determinismo

8/12/2019 La Naturaleza Es Bella Caotica y Fractal - Volumen 1 Fractales Irreversibilidad Azar y Determinismo

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La Naturaleza es bella,

caticay fractal

VOLUMEN 1: Los fractales, Irreversibilidad, Azary Determinismo.

Dino Otero - [email protected]
mailto:[email protected]:[email protected]


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La Naturaleza es bella, catica y fractal Volumen 1: Fractales, Irreversibilidad,Azar y determinismo.Autor: Dino Otero

Editor: Bubok Publishing S.L.Depsito Legal: M-26619-2010ISBN: 978-84-9916-812-8


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INDICE

INTRODUCCIN 6

LA NATURALEZA FRACTAL 8CONCEPTO DE PROBABILIDAD. ENTROPA. SISTEMASLINEALES. EL HAMILTONIANO. VARIABLES CANNICAS.EVOLUCIN EN EL ESPACIO DE FASES.PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN. PROBABILIDAD 20IRREVERSIBILIDAD 23DEFINICION DE EQUILIBRIO TERMODINMICO 25EVOLUCION REVERSIBLE E IRREVERSIBLE 26MEZCLA DE GASES 27SISTEMAS DINMICOS LINEALES 33EXPONENTE DE LYAPUNOV 37

DIMENSION DE HAUSDORFF 38CONJUNTO O POLVO DE CANTOR 39FRACTALES 41CRECIMIENTO ELECTROLTICO FRACTAL 45DETERMINACIN DE LA DIMENSIN FRACTAL.MTODO NUMRICO 48DIFICULTADES DE LA REPRESENTACIN DIGITAL 49RESULTADOS 62


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INTRODUCCIN

Este texto est principalmente dirigido a profesores universitarios, estudiantes yprofesionales que necesiten una introduccin a los temas de caos y fractales. En amboscasos no existe hasta el presente asignaturas que traten explcitamente estos temas. Noestn muy claras las razones por la cuales se da esta omisin. Me permitir exponeralgunas hiptesis. Las races del caos se remontan a fines del siglo XIX con los trabajosde Henry Poincar, mientras que el concepto de dimensin no entera fue introducido porel matemtico Flix Hausdorff a principios del siglo XX. Sin embargo esos estudiosquedaran prcticamente ignorados hasta fines del siglo XX por diversas razones. Lasdos principales causas han sido, por un lado los espectaculares desarrollos de las teorascuntica y relativista, particularmente aplicadas con gran xito en las reas de fsicaatmica, molecular, nuclear y astrofsica y por el otro la necesidad de tener los

poderosos equipos de clculo y graficacin que son las computadoras. Hacia 1960 serealiz un importante desarrollo con la demostracin del teorema KAM (Kolmogorov,Arnold, Morse) pero el apogeo de la fsica lineal era an muy fuerte y el tema quedrelegado a los especialistas. Ms fortuna tuvo Benoit Mandelbrot cuando en 1967comenz sus trabajos sobre la fractalidad publicando el artculo Cunto mide la costade Gran Bretaa?1, aunque el trmino lo acu mucho ms tarde alrededor de 1975. Yapara entonces era posible volcar en un grfico de aceptable presentacin los elaboradosdibujos que se generan mediante algoritmos relacionados con caos o fractales. Creo queel desarrollo grfico de la computacin contribuy en gran medida a la popularizacinde estos conceptos y, por que no, al entendimiento y profundizacin de los mismos. Lacolaboracin entre el ojo analgico del cientfico y el poder de clculo digital de las

computadoras han permitido avanzar rpidamente en el estudio de estos temas. Sinembargo todo esto no aclara porque el retraso en incluirlos en las asignaturas de grado.En los trabajos de divulgacin se afirma una y otra vez que los ejemplos de dinmica delos cursos de grado son un conjunto muy pequeo respecto de los problemas reales quese plantean en las ciencias exactas. Espero que este trabajo sea un grano de arena quecolabore en incorporarlos. Vaya el ejemplo de un pndulo real, que con una granriqueza en su dinmica, puede ser fcilmente comprendido y resuelto por alumnos delos primeros aos de la universidad, con la ayuda de la computacin. Otro ejemplosimple lo constituye la simple ecuacin logstica a diferencias finitas, para la cual nisiquiera es necesaria ninguna herramienta sofisticada de clculo. Respecto de lafractalidad podramos afirmar que la naturaleza es bella porque es fractal.Efectivamente, si bien los estudiantes conocen (o al menos es de esperar que conozcan)muy bien los teoremas eucldeos y reconocen las diferencias entre tringulos, elipses,cubos, esferas, poliedros y cudricas, ni bien se asoman al mundo real y observan unrbol, las nubes, la mezcla de dos pinturas, los remolinos en el agua, la descarga de unrayo, descubren que lejos estn esos objetos y fenmenos de un tringulo, una esfera oun poliedro. En 1900 surge en la pintura, de la mano de Pablo Ruiz Picaso, elmovimiento artstico denominado cubismo. Se rompa entonces con toda una tradicinpictrica que representaba a la naturaleza tal como era, eventualmente impregnada delespritu con el cual la contemplaba el pintor. En el afn de combinar tiempo y espaciosobre una tela plana se perda, con el cubismo, una de las caractersticas, a mi juicio,

ms bellas de la naturaleza: la geometra fractal. Como dice Benoit Manderlbrot en su1 Science, New Series, Vol 156, Nro 3775 (May 5, 1967), p 636-638.


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libro: Las nubes no son esferas, las montaas no son conos, los litorales no soncirculares, y los ladridos no son suaves, lo mismo que los relmpagos no viajan en lnearecta. Pero la estructura fractal que suele presentar la naturaleza tiene su origen enprocesos dinmicos a los cuales las ciencias fsicas slo recientemente han dedicado unprofundo inters: la teora del caos. La base de la teora del caos es la fsica no lineal.

Slo los relojes asociados a los rutinarios ciclos temporales estn realmente fuera de lafsica no lineal. Con ciclos ms largos o ms imbricados todos los problemas que puederesolver la fsica lineal se reduce a seguir esos ciclos.

En un primer volumen presentamos conceptos elementales y todo el tema defractales. El segundo volumen est dedicado al caos y la relacin de ambos conceptoscon el tema de sistemas complejos.

El autor ha publicado en teora del caos, fractales, fsica nuclear y teora de lainformacin. Fue profesor de fsica y matemticas en las universidades de Lujn, Centrode la Provincia de Buenos Aires, UBA, UTN y Favaloro. Fue asesor cientfico en laComisin de Investigaciones Cientfica de la Pcia de Bs. As y desarroll tareas deinvestigacin y gerenciamiento en la Comisin Nacional de Energa Atmica. Parte de

este material se dict en la carrera de doctorado de la Facultad Regional de BuenosAires, Universidad Tecnolgica Nacional.


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LA NATURALEZA FRACTAL

Comenzaremos por presentar algunos ejemplos de la incidencia del caos y lafractalidad en la naturaleza. Veamos que pasa en el cielo, particularmente en la

atmsfera. La atmsfera de la Tierra se encuentra muy fuera del equilibriotermodinmico (afortunadamente!), tenemos aqu la vista de tres cielos:

Cmo se desarrollan las formas fractales de las nubes es un tema de fluidos quean no ha sido completamente determinado. Confluyen varios efectos, particularmenteel movimiento del aire. Pero el ms importante est relacionado con la agregacin de lasgotas de agua. Para un gas como el aire predomina la repulsin de choque entre lasmolculas originadas en las fuerzas de Coulomb. Pero para gases densos como son lasnubes, compuestas por gotas de agua, las fuerzas electrostticas tienen tanto elcomportamiento repulsivo como el atractivo. Sigamos mirando el cielo, un espectculoentre sobrecogedor y hermoso son los relmpagos:

Ahora se trata de una descarga elctrica entre una nube o regin de la atmsferay la Tierra. La descarga recorre los caminos que mejor la conducen. Buscar esoscaminos mediante un clculo sera virtualmente imposible pero la naturaleza losencuentra sin esfuerzo. La estructura es claramente fractal.

Bajemos ahora a la tierra y miremos que sucede con el agua. Mares, lagos yhasta muchos ros tienen una superficie que puede aproximarse razonablemente biencomo plana o de dimensin dos (se puede medir en metros cuadrados). Pero, al igualque en el caso de las nubes y los relmpagos cmo medir la dimensin de un salto deagua?:


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Aunque los tres saltos de agua son muy distintos los tres se caracterizan por no tenerbien definida su dimensin. Podemos estimar la altura, aproximadamente el ancho,groseramente la profundidad pero su dimensin real es otra cosa y es eso justamente lo

que los hace bellos. A esto contribuyen una distribucin de rocas desorganizada, lafuerza de gravedad y un comportamiento altamente no lineal del fluido. Pero veamoscomo el hombre saca ventaja de este comportamiento catico y/o su aspecto fractal.Primero vemos alguien que goza lanzndose entre un torbellino de agua,

Luego vemos como se aprovecha el espectculo de chorros caticos que surgen

de las fuentes para embellecer las ciudades, en este caso se trata de la estatua deNeptuno en Madrid:


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Finalmente en Noruega, en pleno paseo del tren turstico que une Bergen conMyrdal y Flam, aprovechan todo el esplendor de la cada de agua y las rocas que larodean para enmarcar una bailarina,

La msica surge entre la distribucin fractal de las rocas y la cada caticadel agua.


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Veamos que sucede con la Tierra misma, los accidentes geolgicos. Los ejemplostpicos lo constituyen las cadenas montaosas, en este caso se trata de los Pirineos a laaltura de Andorra:

Una pequea porcin de la cadena es autosimilar a una visin ms panormica.Incluso los depsitos de nieve, por la propia estructura fractal de las montaas poseenautosimilaridad. Tambin puede apreciarse el efecto de autosimilaridad en este perfilmontaoso del norte de Catalua:

Pero la propia estructura geolgica sigue tambin un patrn fractal de

autosimilaridad como puede apreciarse en estas vistas del Gran Can del Colorado:


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Ms acentuada an son las estructuras que pueden observarse en el Bryce Canyon Nat.

Park, o en la estructura de estalagmitas y estalactitas en la cueva de las Flautas de Caaen Guilin, China:


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Aunque en estas ltimas fotos la iluminacin artificial acenta el efecto de por spresente dentro de la caverna.

Uno de los primeros casos de estructura fractal corresponde a la dimensin de lascostas. Este fue el trabajo de Benoit Mandelbrot de 1967, Cunto miden la costa deGran Bretaa?2, aqu podemos apreciar esa estructura en la costa de la Baha de LasVegas, USA:

2 How Long is the COSAT of Britain?, Statisticas Self-Similarity and Fractional Dimension, Science,New Series, Vol 156 Nro 3775 (May 5, 1967) p636-638.


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Pero hay fenmenos en la naturaleza que combinan la fractalidad geolgica,lquida y gaseosa, como por ejemplo los giseres de los cuales mostramos tres ejemplosde Yellowstone:


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Y no poda faltar la fractalidad en los rboles:

Son estas combinaciones de objetos naturales con diferentes tipos de fractalidaden forma, color o en ambos los que nos generan estos agradables paisajes:


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A escala planetaria tambin se pueden observar el caos y la fractalidad como en estastormentas en torbellinos sobre Jpiter:


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O incluso a escalas galcticas:

Podemos apostar ms alto, la distribucin de galaxias en el universo hasta donde se hapodido estudiar tambin muestra una dimensin fractal. Si la distribucin fuera

homognea la dimensin debera valer 3, en cambio se obtiene el valor de 2,1:


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Relativity eliminated the Newtonian illusion of absolute space and time; quantum

theory eliminated the Newtonian dream of a controllable measurement process; and

chaos eliminates the Laplacian fantasy of deterministic predictability, of the tree, the

revolution in chaos applies to the universe we see and touch, to objects at human

scale.

Observacin de un fsico annimo

CONCEPTO DE PROBABILIDAD. ENTROPA.SISTEMAS LINEALES. EL HAMILTONIANO.VARIABLES CANNICAS. EVOLUCIN EN ELESPACIO DE FASES. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN.

si alguien tuviese una percepcin suficiente de las partes de las cosas y bastante

memoria y entendimiento, sera un profeta y vera el futuro en lo presente,

Pero es imposible que un entendimiento limitado prevea las cosas futuras pues el

mundo consta de infinitas cosas que cooperan, de modo que nada hay tan remoto ni

tan pequeo que no contribuya algo en su medida. Acostumbro a decir que una

mosca puede cambiar todo el estado si zumba ante la nariz del rey mientras ste est

sumido en importantes deliberaciones.

Gottfried Wlhelm Leibniz3

PROBABILIDAD

Un concepto que recurrentemente reaparece en la solucin de los problemascientficos es el de la probabilidad. Este concepto est presente en las ciencias fsicasen: la teora cintica, la termodinmica, la mecnica estadstica, los fluidos, los plasmas,los slidos, la mecnica del continuo, la mecnica cuntica, la fsica nuclear, etc. Qupapel juega realmente este concepto en las ciencias fsicas? Tenemos por un lado elenunciado de leyes muy generales propuestas por: Newton, Schrdinger, Einstein. Enestas leyes se utilizan variables dinmicas de caractersticas geomtricas, rgidamente

relacionadas por las ecuaciones propuestas. Nada es aproximado o xel ilstica.Sin embargo estas leyes tan precisas requieren del auxilio de la probabilidad paradescribir completamente los fenmenos fsicos. Cuando en el mundo de los tomos unainteraccin exige que un sistema adquiera propiedades que en realidad no posee, lamecnica cuntica provee una receta probabilstica. Por ejemplo un electrn en eltomo de hidrgeno tiene la propiedad de acompaar al protn ubicado en autoestados de energa con certeza absoluta. Sin embargo una interaccin (interna oexterna) puede forzar la localizacin espacial del electrn. La teora permite evaluarprobabilsticamente la localizacin, propiedad que hasta ese momento el electrn noposea. Tambin las leyes de Newton requieren del auxilio de la probabilidad: Un dadoes un cuerpo rgido con un centro de gravedad bien definido para el cual no existe

3 Escritos en torno a la libertad, el azar y el destino, Ed. Tecnos, Madrid 1990.


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ningn inconveniente (en principio) en aplicarle las leyes de Newton para predecir suevolucin futura luego de arrojarlo sobre un tapete pero nadie juega a los dadosutilizando ecuaciones diferenciales!

Los estudios matemticos del azar comienzan con De Alea Geometriae de BlaisePascal (1650) con la fundamentacin de la teora de probabilidades. Tambin Fermat

contribuy a la fundamentacin y posteriormente en 1854, la teora se consolida con eltrabajo de George Boole: Laws of Thought, on Which Are Founded the MathematicalTheories of Logic and Probabilities (1854). La motivacin tuvo razones muy prcticas:el anlisis de los juegos de azar y la administracin del estado justamente mediante eluso de las estadsticas.

La relacin entre azar y determinismo se plantea tardamente en las ciencias fsicas.Recin en 1870, Ludwig Eduard Boltzmann publica una serie de trabajos en los cualesestablece que la segunda ley de la termodinmica tiene un origen puramente estadsticoy la relaciona con la equiparticin de la energa entre los distintos grados de libertad delsistema. Pone as las bases de la mecnica estadstica. Sus trabajos fueron muycombatidos por los fsicos contemporneos y posteriormente, a su muerte, en 1900 con

el estudio del movimiento de Brownian de las partculas, tuvo el merecidoreconocimiento.

El problema del azar en las ciencias fsicas se replante entre 1925 y 1940 en lasfamosas discusiones entre Einstein y Bohr sintetizadas en la frase famosa: Dios nojuega a los dados!. La posicin pragmtica de la escuela de Copenhagen y losresultados espectaculares del uso de la mecnica cuntica se impusieron a losargumentos de Einstein y el problema qued relegado durante aos.

Las objeciones de Einstein no slo cuestionaban los resultados xel ilsticas deuna medida cuntica para un estado puro. Algunas de ellas, como la relacionada con laparadoja de Einstein Podolski Rosen4 y replanteada por John Stewart Bell 5], fueronresueltas a favor de la mecnica cuntica mediante un ingenioso experimento realizadopor Alain Aspect en 19826:. Sin embargo la idea de Einstein que la teora no escompleta tiene an sus partidarios. Justamente un trabajo relativamente olvidado deEinstein de 19177 sobre el anlisis de la teora cuntica del in H 2

+, seala la dificultadque tiene el formalismo cuntico en explicar el comportamiento dinmico de ms de doscuerpos. Hoy da, con la moderna teora de la fsica no lineal, esta dificultad harecobrado inters cientfico y dio origen a los estudios de caos cuntico. El Estudiodel caos cuntico apunta a unificar el uso de la probabilidad en la fsica clsica y lamecnica cuntica.

Pero existe una diferencia conceptual profunda entre la probabilidad clsica, definida apartir del conjunto continuo de nmeros reales { ip }, tal que 0 = ip = 1 y que cumplen

la condicin =i

ip 1, y la probabilidad estrictamente cuntica. Un estado cuntico

4 Einstein, A., Podolski, B., and Rosen, N., 1935, "Can quantum-mechanical description of physicalreality be considered complete?".Physical Review. 47:777-780.5 John Bell, "On the Einstein-Podolsky-Rosen Paradox" Physics Vol 1, 195 (1964).6 A. Aspect, J. Dalibard and G. Roger, Experimental Test of Bell's Inequalities Using Time-Varying

Analyzers, Physical Review Letters, Vol. 49, Iss. 25, pp. 1804-1807 (1982)7 A. ngel The Collected Papers of Albert Einstein, Vol 6, , trans., Pricenton U. Press, Pricenton, NJ(1997), p. 434


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general se puede describir por un conjunto de funciones (que pueden ser complejas)ortogonales, denominadas funciones de onda cunticas,

{ }),,,( tzyxi (1)

Veamos por ejemplo un estado descripto por dos funciones de este tipo,

),,,(),,,(),,,( 21 tzyxbtzyxatzyx += (2)

Ese estado podra corresponder a un electrn compartido por los tomos (1) y (2). Cmola funciones estn normalizadas y son ortogonales la probabilidades de que el electrn

sea localizado en el tomo (1) es2

a y la probabilidad que sea localizado en el tomo

(2) es2

b .Tambin puede suceder que el electrn est en alguno de los dos tomos pero

slo sepamos que existe una probabilidad p1 de estar en el tomo (1) y una probabilidad

p2 que est en el tomo (2). Los dos casos son bien distintos como podemos observar enla figura:


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Un ingrediente adicional surge de la irreversibilidad. Como ya sealamos lasecuaciones bsicas de la fsica, tanto clsicas, cunticas o relativisticas, sonabsolutamente reversibles. El tiempo puede transcurrir indiferentemente hacia el futuroo hacia el pasado. La clara percepcin entre un pasado, un presente y un futuro sedenomina la flecha del tiempo. Pero la flecha del tiempo no tiene una ecuacindinmica que slo pueda avanzar desde el pasado hacia el futuro. Observemos un relojde pndulo. La oscilacin del pndulo no indica ninguna direccin temporal. Sinembargo si olvidamos de darle cuerda (o suspendemos la alimentacin elctrica), elpndulo comienza a detenerse y claramente nos indica la direccin del tiempo.

IRREVERSIBILIDADSe han propuesto varias explicaciones para conciliar la microreversibilidad con

la macroirreversibilidad. La ms aceptada consiste en aceptar que, dada la gran cantidadde partculas involucradas en un proceso macroscpico, el tiempo necesario para que serevirtiera un movimiento superara la edad del universo (14000 millones de aos).Veamos que significa microreversibilidad en la siguiente figura donde chocancoulombianamente dos partculas cargadas. En la colisin ir del estado 1-3 hasta elestado 2-4 es equivalente a ir del estado 2-4 al estado 1-3, invirtiendo las velocidadescuando las partculas llegan al estado 2-4. En cambio para una bola macroscpica no esequivalente ir del estado A al B y luego volver al A, invirtiendo la velocidad cuando sellega a B.


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Frente al problema de tratar con un nmero muy grande de partculas la solucinha sido realizar un promedio o utilizar variables macroscpicas que implicanimplcitamente un promedio. Por ejemplo para los gases resulta muy til utilizar lasimple ecuacin,

PV = nRT (1)

donde P, la presin, representa el promedio de los impulsos de las partculas sobre unelemento de superficie; T, la temperatura, es un parmetro asociado a la energapromedio de las partculas y n/V representa la densidad promedio del gas. Veamos elcaso ms simple de la densidad. Se basa en la idea intuitiva que fijado un elemento devolumen, en cualquier lugar dentro del recipiente, el nmero de partculas es el mismoal menos en promedio. Sobre este concepto se basa la definicin de estado de equilibrio


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termodinmico. Si hubiera lugares donde el elemento de volumen tuviera un valorpromedio de partculas mayor o menor, el gas no estara en equilibrio trmico. Ennuestro ejemplo el valor promedio significa contar el nmero de partculas quetransitan por elemento de volumen en un cierto tiempo t . Cul es la exactitud deese promedio? Supongamos que tenemos un mol de gas a 20o y 1 atm. Esto ocupa

aproximadamente 22,4 litros. Un elemento de volumen podra ocupar, por ejemplo,0,0224 litros, es decir mil veces menos. De acuerdo con el nmero de Avogadrotendramos en promedio unas 6x1020 partculas de gas. El nmero de partculas quepuede haber en un dado instante en el elemento de volumen es de caractersticasfrecuenciales. Las observaciones frecuenciales, por ejemplo el nmero de glbulos rojosen un cm3 de sangre, siguen una distribucin de Poisson que, para tan grandes nmerosse puede aproximar por una distribucin de Gauss con un solo parmetro:

>< n es la dispersin. Entonces en nuestro caso lafluctuacin esperada para el nmero promedio en 0,0224 litros (un cubo de 2,8 cm delado) es de 2,45x1010 partculas. La fluctuacin porcentual es de tan slo 4,8x10 -11. Ladensidad es constante con una tremenda precisin. Algo as como una precisin de 4,8micrones en la distancia Bs.As.-Mar del Plata (450 km)!

Volvamos al concepto de equilibrio termodinmico. No es posible utilizarvariables macroscpicas que representan promedios de las variables microscpicas si elsistema termodinmico no se encuentra en equilibrio. Veamos las condiciones queaseguran el estado de equilibrio termodinmico:

DEFINICIN DE EQUILIBRIO TERMODINMICO

Las ecuaciones termodinmicas son ecuaciones de estado de equilibrio.Conviene tener muy claro que se entiende por este concepto. Para poderasegurar que el sistema est en equilibrio, se requieren las siguientescondiciones:

El sistema debe estar constituido por un gran nmero de partculas (o en un

concepto ms fuerte, grados de libertad). Sin embargo cuando se fundamentanestadsticamente las ecuaciones basta que ese nmero sea >>10, por ejemplo100.

Las variables dinmicas de dichas partculas deben evolucionar errticamente.Asegurar esta ltima condicin tambin se encuentra en la frontera de la ciencia,pero afortunadamente existen condiciones externas que ayudan a caracterizarla.

Por ejemplo, una condicin importante es que el sistema no tenga forma dedecirnos como ha llegado a la situacin de equilibrio. Es decir el sistema haperdido la memoria de su evolucin y/o condiciones iniciales. Esto asegura quelas partculas estn evolucionando errticamente.

El sistema debe ser cerrado(no deben ingresar o salir partculas) y aislado(nodebe entrar o salir radiacin).

Las condiciones anteriores se aplican a un espacio finito y a un tiempo


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limitado. Estas dos ltimas condiciones colaboran a extender el concepto deequilibrio termodinmico a sistemas que globalmente no lo estn.

Las variables intensivas, por ejemplo la temperatura, la presin, la densidad,deben tomar el mismo valor en cualquier punto del sistema. El sistema eshomogneo respecto de dichas variables.

La definicin de un estado de equilibrio es subjetiva pues depende de lasvariables que se observen. Por ejemplo sea un vaso de agua en el cual viertotinta. Luego de un rato toda el agua se colore uniformemente y recin entoncesestaramos en condiciones de afirmar que el sistema est en equilibrio. Pero si enlugar de tinta vertemos sal, slo si medimos la salinidad podremos asegurar enqu momento el sistema alcanz el equilibrio.

EVOLUCIN REVERSIBLE Las evoluciones reversibles se caracterizan por pasar por estados de equilibrio,

donde la variacin de las variables macroscpicas evolucionan ms lentamente

que las microscpicas. Las evoluciones cuasiestacionarias suelen confundirse con evolucionesreversibles pero si se presta atencin se descubre que el paso lento de unasituacin a otra no es va estados de equilibrio. Por ejemplo una barra con losextremos a diferente temperatura pasa al estado de equilibrio en un procesoirreversible aunque cuasiestacionario. La barra no es homognea respecto de latemperatura. Sin embargo si se toman fetas transversales muy delgadas, latemperatura est bien definida para cada feta pero evidentemente no estnaisladas unas de otras.

EVOLUCIN IRREVERSIBLEPor supuesto se la identifica como aquella evolucin que no es reversible. Por

ejemplo en la expansin violenta de un pistn. Si la velocidad de movimiento del pistnes muy superior a la velocidad promedio de las partculas del gas contenido en el pistn,entonces al moverse se producir un cuasi vaco detrs del pistn y una consiguientecorriente de gas hacia el pistn. Observado en ese instante el sistema tiene memoriade cmo se est moviendo el pistn. En cambio si el pistn se mueve mucho msdespacio que el movimiento promedio de las partculas, al observar al sistema, en undado instante, no es posible saber en qu direccin se mueve el pistn observando elmovimiento de las partculas.

Cul es la relacin entre la irreversibilidad termodinmica y la irreversibilidadmecnica? La primera se refiere a la evolucin del valor promedio de una variablemacroscpica en tanto que la segunda se refiere a la evolucin de magnitudes fsicasrazonablemente bien establecidas: la posicin del centro de masa y su velocidad. Sinembargo poseen en comn la imposibilidad de invertir la evolucin sin poner trabajo enel sistema.

Veamos ahora un ejemplo de evolucin irreversible que permite relacionar elconcepto de calor termodinmico con la probabilidad y la teora de la informacin.

MEZCLA DE GASES

La purificacin de gases es una tcnica usual en la industria. Se gasta energa en

separarlos y si por cualquier razn vuelven a mezclarse habr que invertir nuevamentetrabajo en separarlos. Veremos desde el concepto termodinmico de entropa que sucede


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cuando se mezclan gases distintos. Los gases se encuentran en recipientes como indicala figura, a una temperatura y densidad que pueden considerarse gases ideales.

Es decir se rigen por la ecuacin de estado: PV = nRT.Supongamos que la relacin de volmenes que ocupa cada gas, es x para el gas 1

y (1-x) para el gas 2. Si el volumen total es V, el gas 1 ocupar un volumen xV y el gas

2 un volumen (1-x)V. El nmero de moles para el gas 1 ser x y el del gas 2, (1-x).Consideremos ahora la evolucin irreversible (cuasiestacionaria) del sistema para lacual la pared que separa los gases permite una lenta mezclade ambos gases hasta quese alcanza un nuevo equilibrio a la misma (P,T) pero con los gases completamentemezclados.

Durante todo el proceso el sistema est aislado tal que entonces 0=U .Obsrvese que por ser gases ideales la energa interna slo depende de la temperatura ycomo esta es la misma para ambos recipientes al mezclar los gases la temperatura nocambia y por lo tanto tampoco la energa interna, por Para determinar la variacin deentropa utilizaremos la frmula usual de entropa:

U = TdS PdV = 0despejando dS e integrando:

dVT

PdSS ==

Si el proceso de mezcla de los gases es suficientemente lento la presin y latemperatura estarn bien definidas en todo instante. Por otra parte por ser gases idealeslas variables intensivas (P,T) no varan al mezclarlos. Incluso la expansin de un gasideal en el vaco no cambia su temperatura. Concretando la integracin indicada, para elgas 1 tenemos,

pues el gas 1 pasa de ocupar un volumen xV a ocupar un volumen V. Para el gas 2 setiene,

La variacin total de la entropa ser,

[ ])1ln()1(ln21 xxxxnRSSS +=+=

xnR

xV

VxnR

v

dvxnRdv

T

PS

V

xV

lnln1 ====

===

V

Vxv

dvnRxdv

T

PS

)1(

2 )1(

)1ln()1(

ln)1( xnRxV

VnRx =

=


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como x y (1-x) son menores que uno, ambas contribuciones son mayores que cero ytambin 0>S . La grfica de esta funcin es fundamental en el concepto deentropa y teora de la informacin:

Las fracciones x y (1-x) podemos interpretarlas como la probabilidad que, luego demezclar los gases, al tomar una molcula corresponda al gas 1, p1= x o al gas 2, p 2 = (1-x). La expresin para la variacin de entropa puede ponerse como,

S = -nR(p1lnp1+p2lnp2)

Antes de que los gases se mezclaran conocamos con exactitud dnde estabacada gas, informacin que se pierde al mezclarlos. El aumento de entropa estmidiendo esa prdida de informacin. La constante nR es arbitrariapero permite eneste caso relacionar la entropa informacional con la termodinmica. La prdida deinformacin es nula si cualquiera de los recipientes tiene inicialmente volumen igual acero.

La mxima prdida se da para cuando ambos recipientes son iguales.Supongamos que ahora tenemos un conjunto similar de recipientes con diferentes gases1,2,3, m, como indica la figura:

cada recipiente representa una fraccin x1, x2, x3, , xm-1, xm-2 que al mezclar los gasespueden interpretarse como las probabilidades p1, p2, p3, , pm-1, pm de sacar unamolcula de alguno de los m gases. Trivialmente la expresin (131) se generaliza:

Ahora el mximo valor que puede tomar la entropa es, S = ln(m), que corresponde am cajas iguales. Veamos como se demuestra esto. Para ello partimos de la desigualdad,

Que se cumple para todo valor de x y en particular vale la igualdad para x=1:

i

m

i

i

m

i

i ppnRSS ln11

==

==

xx ln1


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Definiendo,

Y reemplazando en la desigualdad,

Multiplicando por piy sumando sobre el ndice i,

pero el miembro de la izquierda es nulo pues la sumatoria sobre pi vale 1 y sumar Nveces 1 es igual a N, como lnN es una constante se tiene que:

por lo que, reordenando se tiene,

En trminos de mezcla de gases, antes de mezclarlos podramos definir quecomo la falta de informacin es nula, la entropa tambin lo ser. Pero eso no es

correcto pues cada gas tiene un valor de entropa por la agitacin trmica de susmolculas. Es decir se carece de informacin respecto del estado dinmico de cadamolcula. Dentro de cada recipiente no podemos saber donde est cada molcula ni conqu velocidad se est moviendo ms all de un valor promedio. En lo que respecta a laentropa de cada gas, existe una falta de informacin de la posicin y velocidad de cadapartcula. Clsicamente no es posible definir un valor absoluto de la entropa puescomo el espacio de fases puede subdividirse en recipientes arbitrariamente pequeosel resultado es que el valor de la entropa absoluta diverge para cualquier temperaturay presin. Sin embargo las divergencias para diferentes temperaturas y volmenestienen igual orden y cancelan cuando se evala una variacin de entropa. Por eso slose calculan, clsicamente, las variaciones de entropa.

Pero este ejemplo da para ms an.Qu sucede con el tratamiento realizadosi el gas 1 es el mismo que el gas 2? La expresin empleada no tiene forma de

iNp

x1

=

)ln(1

ln11

NpNpNp

i

ii

=

NppppN

N

i

i

N

i

iii

N

i

lnln)1

(111

===

NppN

i

ii lnln01

=

SN>ln


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diferenciar un caso del otro y por supuesto obtendremos el mismo resultado. Sinembargo resulta evidente que al mezclar gases iguales la entropa no crece. Esto seconoce como la paradoja de Gibbs que no tena solucin en el formalismo clsico. Latrampa est en que las partculas son indistinguibles y la frmula convencionalutilizada asume que las partculas son distinguibles. En la deduccin se requiere

evaluar los posibles microestados accesibles del gas. Veamos la diferencia si laspartculas son distinguibles o indistinguibles:

Vemos aqu en un caso tan simple de dos partculas y dos niveles de energa que existeuna configuracin ms en el primer caso. En el caso real el nmero de nivelesdisponibles es mucho mayor que el nmero de partculas por lo que hay prcticamenteuna partcula por estado de energa. La discrepancia es an muy superior,

Un tratamiento ms riguroso, basado en la maximizacin de S utilizandomultiplicadores de Lagrange, demuestra que la frmula de estado Pv = nRT nocambia ya sea que se consideren la partculas distinguibles o indistinguibles. Pero laexpresin de la entropa cambia. Para eso debe recalcularse la entropa considerandoque las partculas son indistinguibles y slo pueden distinguirse cuando los gasesson distintos. Se obtiene as la expresin de Sackur Tetrode8.

Como conclusin, la identificacin macroscpica a la cual estamos tanhabituados comienza a manifestarse en la medida que las molculas de vuelven ms y

ms complejas o los ordenamientos policristalinos difieren unos de otros. Laidentificacin de los sistemas se vuelve as un problema de diferente ordenamiento de


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tomos y molculas que, individualmente son esencialmente indistinguibles.Justamente en un gas debido a la total falta de orden el problema de la indistinguibilidaddesemboca en la paradoja de Gibbs.

Desde un punto de vista cuntico la indistinguibilidad es esencial. Como dijoErwin Schredinger en 1950:

Cuando observas una partcula de un tipo determinado, pongamos por caso un

electrn, aqu y ahora, debes considerarlo, en principio, como un acontecimiento

aislado. Incluso si observas, muy poco tiempo despus una partcula similar en un

punto muy prximo al primero, y hasta si tienes toda la razn para encontrar relacincausal entre la primera y la segunda observacin, no tiene autntico e inequvoco

sentido afirmar que es la mismapartcula la que has observado en los dos casos. Puedeque las circunstancias sean tales que aconsejen y hagan deseable que te expreses de esa

manera, pero no es sino una limitacin;

Veamos que sucede cuando se utiliza la frmula de Sackur Tetrode8:

DISTINGUIBLES

INDISTINGUIBLES: SACKUR-TETRODE (Versin simplificada)

La sutil diferencia radica en que aparece el nmero de moles dentro dellogaritmo. Por de pronto ahora se cumple una importante propiedad de la entropa comovariable extensiva: si se multiplica por ? el nmero de moles (a T=cte) debe aparecermultiplicada por ? la expresin de la entropa,

Vamos ahora a la paradoja de Gibbs. Conviene hacer los clculos con cierto detalle paraentender bien la diferencia entre dos gases iguales o dos gases distintos. Para ello

veamos primero la entropa de los gases antes de mezclarlos. Debemos recordar que porser la entropa una funcin potencial termodinmica, slo queda determinada a menosde una constante:

8 Philip M. Morse, Thermal Physics, W.A. Benjamin, New York, 1965.

+

=

00

lnlnV

VnR

T

TCS v

+

=

nV

VnnR

T

TCS V

0

0

0

lnln

),(lnln),(0

0

0

0 VnSnV

VnnR

nV

VnnRVnS ===

),(lnln),(00

VnSV

VnR

V

VnRVnS =

=

011

111 ln S

n

VRnSi +=

022

222 ln S

n

VRnSi +=


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Si los gases son distintos [distinguible una molcula del gas (1) de otra del gas (2)],entonces se puede evaluar la entropa final de cada gas luego de mezclarlos:

Entonces la diferencia de entropa entre el estado final (gases distintos mezclados) y elinicial (gases distintos separados):

Y si reemplazamos por las fracciones molares y de volmenes, tenemos:

Que coincide con la obtenida originalmente. Pero si los gases son idnticos entonces laentropa final ser,

Porque no puedo identificar de qu lado est cada molcula con ningn tipo demedicin! (tampoco la propia naturaleza puede identificarlas con ningn tipo deinteraccin!). Calculando nuevamente la diferencia entre la entropa final (gasesidnticos mezclados) y la inicial (gases idnticos separados),

==+= +2

22

1

1121)21( lnlnln)(

n

VRn

n

VRn

n

VnSSSS iiftotal

reemplazando por la relaciones molares y volumtricas,

Este tema de la indistinguibilidad no ha sido an suficientemente analizado enlos sistemas caticos. Normalmente se asume que existen comportamientos caticos enel lmite clsico. Por otra parte la mecnica cuntica no puede ser formulada en unsistema autnticamente no lineal. Sin embargo la indistinguibilidad de las partculas esuna propiedad intrnseca que, como vimos se pone de manifiesto a nivel macroscpicopara una gas cuyas partculas deberan estar movindose completamente al azar, es deciren un estado completamente catico. Si la propia naturaleza no puede distinguir unapartcula de otra Cmo puede asegurarse que una y cada una de las molculas estsiguiendo una trayectoria catica? Se est frente a una real paradoja? O ms bien setrata de uno de los tpicos problemas indecibles? Este es un tema no cerrado.

SISTEMAS DINMICOS LINEALES.

011

11 ln Sn

VRnSf +=

022

22 ln SnVRnSf +=

22

112121 lnln)()(

V

VRn

V

VRnSSSSS iifftotal +=++=

[ ])1ln()1(ln )1(

ln)1(ln

xxxxnRxV

VRxn

Vx

VxnRStotal

+

=

+=

020121

21)21( ln)( SSnn

VnnSf +++

+=+

0ln)1(lnln ==n

VRxn

n

VnxR

n

Vn


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Para comprender la profunda conmocin que ha producido la moderna teora decaos en la ciencia conviene repasar algunos conceptos de sistemas dinmicos lineales.Durante los siglos XVII, XVIII, XIX y gran parte del siglo XX se careca decomputacin como para realizar los complejos e iterativos clculos que demanda el

estudio de los sistemas no lineales. Aunque la evaluacin de los sistemas dinmicos dioun gran paso con la introduccin del clculo integro-diferencial slo era posible resolverlos problemas lineales y un conjunto muy acotado de sistemas no lineales. Toda lainvestigacin se centr entonces en el anlisis de las ecuaciones lineales. A principiosdel siglo XX se aclar el concepto de fuerzas fundamentales estableciendo que existancuatro:

ELECTROMAGNTICA (Unificacin de elctrica y magntica lograda por Maxwell amediados del siglo XIX).GRAVITATORIANUCLEAR

DBIL (responsable del decaimiento radiactivo beta, se unific con la electromagnticaa mediados del siglo XX por Salam, Glashow y Weinberg).

Es interesante destacar que slo las fuerzas gravitatorias y electromagnticasgeneran una dinmica. En realidad como las otras dos fuerzas se manifiestan endistancias tan pequeas como los ncleos no tiene muchos sentido hablar de fuerzassino ms bien de potenciales. En la mecnica cuntica (nico formalismo medianamenteidneo para resolver problemas con estos potenciales) no existe el concepto de fuerza.Es que simultneamente haca su irrupcin la mecnica cuntica (Shrdinger-Heisemberg), una teora nacida al amparo de ecuaciones lineales y la teora relativista(Einstein). Todas las fuerzas, la mecnica cuntica y la teora relativista, son reversiblestemporalmente. Las fuerzas disipativas, responsables de la irreversibilidad, se asignarona la interaccin de un conjunto muy grande de partculas intratable con las herramientasdisponibles. Pareca lgico reducir la dinmica fundamentalista a aquellos problemas enlos que la disipacin estuviera ausente, plantendose en consecuencia ecuacionesreversibles. Es posible en este caso plantear cualquier problema (no disipativo)escribiendo la contribucin de la energa cintica ms la energa potencial a la energatotal del sistema,

ET= E c+ E p

A la expresin simblica (realizacin) de la energa total se la denomin Hamiltoniano(en honor del gran matemtico Hamilton). Por ejemplo el Hamiltoniano de una partculalibre es,

m

pH

2

2

=

En tanto que el hamiltoniano para un oscilador armnico es,

222

2

1

2xm

m

pH +=

Una herramienta til para visualizar la evolucin de los sistemas, creada con lossistemas lineales pero de gran aplicacin en los sistemas no lineales es el espacio de


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fases. Se denomina espacio de fases al sistema de coordenadas ortogonales compuestopor las variables xi, pi (el ndice i indica que existe un conjunto de partculasnomencladas por ese ndice). Si tuviramos por ejemplo tres partculas el espacio defases tendra 18 dimensiones: x1, y1, z1, x2, y2, z2,x 3, y3, z3,p 1x, p2x, p3x,p 1y, p2y, p3y,p 1z,p2z y p 3z. Este espacio se suele utilizar en mecnica estadstica y por ejemplo para un

gramo mol de gas monoatmico ideal tendr 6x6,022x1023

dimensiones. Para visualizarsu utilidad en sistemas simples veamos la representacin de una partcula libre que semueve segn la direccin x (dos dimensiones),

Veamos ahora el caso unidimensional del oscilador armnico, nuevamente elespacio de fases tiene dos dimensiones y consistir de elipses con semiejesdeterminados por los valores de las constantes que intervienen en la energa (como nohay disipacin la energa se mantiene constante):

Las variables p y x se denominan variables cannicas y a partir de ellas sedesarrollan todo el conjunto de variables dinmicas de inters. Los sistemas linealesestn gobernados por ecuaciones diferenciales lineales. Las soluciones de este tipo deecuaciones cumplen las siguientes relaciones,

Y = ay1 +by 2

Donde y1, y2 e Y son soluciones de la ecuacin. En smbolos, si L representa laecuacin diferencial entonces,


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L(ay1 +by 2) = aLy1 +bLy 2

Incluso si el sistema puede est gobernado por ms de una ecuacin diferencial lineal secumple que,

(aL1+bL2)y = aL1y+bL2y

Estas propiedades se pierden cuando el sistema es no lineal. La posibilidad deobtener soluciones mediante superposicin lineal permite, a partir de un conjuntocompleto y linealmente independiente de autofunciones de L, obtener cualquiersolucin de la ecuacin. Es decir conocidas las autofunciones se tiene resuelto elproblema. En cambio para sistemas no lineales, conociendo dos soluciones la suma deambas no es necesariamente solucin de la ecuacin. Incluso para una misma solucinno se sabr, en general, la evolucin del sistema al cambiar levemente las condicionesiniciales.No est muy en claro si los fsicos y los astrnomos han sido conscientes de las

tenues bases matemticas (frecuentemente no dichas) de sus creencias, pero es muyclaro que no se han preocupado demasiado por eso

Max Dresden9

El primero que descubri el comportamiento complejo en el estudio de sistemasdinmicos no lineales fue Poincar. Realiz (1890) una substancial contribucin a lateora de rbitas de planetas y estrellas, en particular el problema Sol-Luna-Tierra.Este era el problema de n cuerpos para el cual el Rey Oscar II de Suecia cre unpremio de 10000 coronas. Poincar gan el premio en 1889 aunque no lleg a resolvertotalmente el problema para el caso del sistema solar. Para el estudio de trayectoriascomplicadas invent el mapa de Poincar que consiste en un plano sobre el cual latrayectoria del sistema marca un punto cuando lo atraviesa. El uso de dicho plano esimportante an en la actualidad, en particular para el estudio de los denominadosatractores extraos. Si la trayectoria es cclica el conjunto de puntos sobre el plano esfinito. Por ejemplo para un pndulo no amortiguado da dos puntos. Para sistemas nolineales, el conjunto de puntos puede cubrir homogneamente una regin del plano odistribuirse segn extraas figuras denominadas fractales, generadas por un conjuntoinfinito de puntos.

La trayectoria no vuelve a pasar por los mismos lugares aunque se encuentrerestringida a una regin del espacio, estos son los atractores extraos. Para calificareste tipo de trayectorias existen dos importantes conceptos matemticos: Losexponentes de Liapounoffy la dimensin de Hausdorff.

Pero antes fijemos ideas respecto del determinismo y al azar. Para un sistemadeterminsticodada una situacin ( condicin inicial) Ase tiene otra situacin ( estadofinal) B:

Dado A? se tiene B En cambio en los procesos azarosos: Dado A? se tiene { Bi}, con i > 1 y a cada i se asociar un nmero real pi tal que, 0 = pi = 1 y 1=

i

ip

(condicin de normalizacin) .

9 The Physics Teacher, Vol 30, Jan 1992.


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las condiciones azarosas expuestas aseguran an un cierto grado de determinismo enel sentido que algn Bidebe suceder. El proceso azaroso definido en (9) corresponde aun sistema cerrado, tpico de los sistemas termodinmicos de equilibrio. Los procesosazarosos abiertos tienen un grado menor de determinismo y son de un tratamiento an

ms difcil. Corresponden a la termodinmica de no equilibrio.En ciencia el determinismo se manifiesta como ecuaciones constitutivas,ecuaciones diferenciales o a diferencias finitas, reglas y/o principios. Ejemplostpicos son el sistema planetario, el juego de billar, el pndulo con pequeasoscilaciones, las reacciones qumicas (en general), sistemas termodinmicos y suevolucin mediante procesos de cuasiequilibrio.

Obsrvese que como sealamos al principio la segunda ley tiene una baseesencialmente probabilstica. La irreversibilidad y la probabilidadson conceptos queconfluyen en el segundo principio. Estamos muy acostumbrados a tratar con sistemasxelilsticas: la ruleta, la lotera, la distribucin de velocidades de las partculas deun gas a temperatura ambiente, las tasas de fallas de equipos electromecnicos, la

distribucin de errores de una medicin, etc. Para los sistemas semiestadsticos elproblema es muy complicado y cada caso requiere un estudio particular. Para asegurarque la informacin relacionada con un sistema es puramente estadstica suelen usarseestimadores, por ejemplo: el valor promedio de los observables y la desviacinestndar, la evaluacin de la variable 2 , etc. Inmediatamente surge la pregunta: Esposible definir una medida del grado de aleatoriedad de un proceso? Algo comoun reloj de este tipo10:

EXPONENTE DE LYAPUNOV

En la introduccin establecimos que, para un sistema determinstico rige lacondicin (7): dado A existe un B asociado y slo un B. Una pequea perturbacin en elvalor de A: AA tendr un valor asociado B, que podr diferir poco o mucho delanterior o tener poco que ver con l. La condicin determinista no dice nada sobre esteaspecto.

En las ecuaciones diferenciales lineales el valor asociado B difiere poco delanterior B: BBB = y permiten utilizar aproximaciones con pequeasperturbaciones. En las ecuaciones no lineales el valor de B puede tener poco que ver

10 Dino Otero, Jugando a los dados, Investigacin y Ciencia, Investigacin y Ciencia,Tomo 57 No1 (2005), p40.


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con el previo B y por ello pueden ser caticas. Cuando la solucin se aparta de valorprevio con un comportamiento

entonces se dice que el sistema es particularmente sensible a las condiciones iniciales ysu comportamiento es catico. Los valores de A y B corresponden a los valores quepueden tomar las variables dinmicas del espacio de fases del sistema. En muchos casoses posible evaluar el exponente ?, denominado exponente de Lyapunov.

Si es positivo el comportamiento es catico (el sistema puede ir a cualquierlugar en una regin grande del espacio de fases), si es nulo existe la posibilidad de unabifurcacin(el sistema puede ir a dos lugares muy distintos del espacio de fases), si esnegativo el sistema es estable y pequeas perturbaciones en el valor de A generapequeas perturbaciones en el valor de B.

Se pueden evaluar tantos exponentes de Liapunov como grados de libertad posea el sistema. Algunos pueden ser negativos, otros nulos y otros positivos. Sin

embargo estos exponentes son slo una cota del comportamiento de la solucin. Ladistribucin de posibles valores de B puede no ser congruente con una variablealeatoria aunque el exponente sea positivo. Se requiere una investigacin msprofunda del comportamiento de la solucin.

DIMENSIN DE HAUSDORFF

El matemtico Hausdorff introdujo un criterio de dimensin para un conjuntode puntos. Aunque no es la nica forma de medir la dimensin de un conjunto depuntos, suele ser una de la ms usada. Ms prctica an es la definicin de capacidad

de un conjunto de puntos que para los casos de inters tiene un resultado equivalente alde la dimensin de Hausdorff.Estas definiciones coinciden con el concepto usual que tenemos por ejemplo

para: Un punto o conjunto de puntos aislados, dimensin cero. Una lnea, dimensinuno. Una superficie, dimensin dos. Un volumen, dimensin tres. La capacidad sedefine como:

0

1ln

)(ln

=

NlmDC

Donde e se define por un hipercubo de lado y N( ) es el mnimo nmero de cubosrequeridos para cubrir la trayectoria cuando 0 . Por ejemplo,

Un conjunto finito de m puntos: Requiere m cubos con 0 , entonces,

00

1ln

)ln(1

ln

)(ln

=

=

mlm

NlmDC

tAeB )(


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y como ln(1/ ) es divergente para 0 , se tiene que DC 0, que coincide con ladefinicin matemtica usual para un conjunto de puntos aislados.

Un conjunto de m lneas de longitud l:

00

1ln

ln

1ln

)(ln

=

=

mL

lmN

lmDC

pues se necesitan L/ cubos para cubrir cada lnea de longitud L, entonces,

CONJUNTO O POLVO DE CANTOR:

Este es un conjunto menos trivial, se trata de la construccin matemtica por lacual se va eliminando secciones de un segmento segn la siguiente regla por la cualdesaparece un tercio de cada segmento.

Tamao del Cubo paso Nmero de cubos

Para cubrir el primer segmento necesito un cubo de lado arbitrario 1 (porsimplicidad en la figura se ha achatado al cubo lo cual no influye en el razonamiento).A medida que elimino las zonas segn la regla establecida, la longitud del lado delcubo disminuye como 1/3n en tanto que el nmero requerido para cubrir lo quequeda del segmento inicial crece como N(e) = 2 n . En el lmite de n ? 8 el cubotiende a cero y

1)1ln(

)1ln(

)1ln(

)ln(

0

+=

mLlmDC

......6309297,03ln

2ln

3ln

2ln==

n

n

C lmiteD


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Este lmite est entre cero y uno y es lo que se denomina dimensin fractal. El

polvo de Cantor no llega a ser una lnea pero tiene una dimensin superior a unconjunto finito de puntos. La determinacin de la dimensin de Hausdorff permiteestablecer cuando una rbita cubre densamente una cierta regin del espacio.

Si adems para dicha regin los exponentes de Liapunov son positivos entonceslos puntos del plano de Poincar quedarn distribuidos al azar. Si la dimensin deHausdorff es menor que la dimensin de la regin del espacio en el cual se desarrollanlas rbitas y los exponentes de Lyapunov son positivos, los puntos tendrn unadistribucin caticapero podr haber regiones ms densas que otras y la distribucinno ser completamente al azar. La combinacin de ambos criterios permite tenerinformacin de cun catico es el sistema y cunto se asemeja la trayectoria con la ideaconceptual de evolucin al azar.


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FRACTALES

Antes de continuar con el estudio de los sistemas dinmicos analizaremos unpoco ms el tema de la fractalidad que ya hemos presentado matemticamente. Elestudio de los espacios fsicos tiene dos conceptos importantes: la dimensin y la

mtrica. La mtrica se dominaba haca ya tiempo por los matemticos pero fueintroducida en el estudio de los sistemas fsicos por Einstein y su teora de larelatividad.

El uso de mtricas diferentes de la eucldea slo requiere de un buenconocimiento del clculo tensorial. Las dimensiones se mantenan hasta hace pocosaos tranquilas en nmeros enteros: cero (punto), uno (lnea), dos (superficie), tres(volumen), cuatro (espacio-temporal). En teora avanzadas de campos ysupercuerdas y sper membranas se teoriza con la posibilidad de 10 u 11dimensiones la mayora enroscadas en tamaos indetectables.

Respecto de las dimensiones Mandebrotpuso el tema de moda entre los 70 y 80del siglo pasado. El concepto de fractalidades especialmente til para entender ycatalogar estructuras complejas. Personalmente me gusta llamar dimensionescompactas a las dimensiones enteras y fractales al resto. Cuando analicemos endetalle el concepto de fractal, veremos que se trata de una aproximacin matemticadel objeto fsico en estudio pero, no lo son tambin aproximaciones los conceptosde punto, lnea, superficie y volumen?

Una lnea en un cuaderno se convierte en un conglomerado de partculasacomodadas segn una cierta tendencia. Una estrella tiene dimensin 3 cuando seestudia su estructura cercanamente como es el caso del Sol observado mediante untelescopio. Sin embargo observado en el cielo no pasa de un disco, es decir unasuperficie. Finalmente al observar una estrella muy lejana a la cual no se le puede

detectar el dimetro, tendremos un punto.En el caso de los fractales tambin la escala en la cual se observen serfundamental para que sus propiedades estn bien definidas. Al comienzo realizamosuna serie de presentaciones de fotos naturales donde asegurbamos que lafractalidad estaba presente, retomaremos ahora esta idea con un aspecto prctico.Supongamos que estamos frente a un rbol de hojas caducas en pleno invierno:


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y deseamos caracterizarlo de algn modo. Podramos elegir: el volumen que ocupa, supeso, la longitud total, su altura el dimetro medio, etc. Todas estas propiedades estnrelacionadas con dimensiones compactas que no son las ms apropiadas paracaracterizar a un rbol de este tipo. Es as que medir el volumen sera una mproba tareaque demandara arrancar el rbol y sumergirlo en un tanque de agua. La longitud es una

tarea prcticamente imposible y con muchas fuentes de error.La altura y el ancho son poco representativos. Aqu lo ideal es caracterizarlo conla dimensin fractal. La dimensin fractal tiene la propiedad de ser invariante alcambiar la amplificacin de la ventana. En principio se tendr la mismadimensin ya sea que se tome todo el rbol, varias ramas o slo una rama.

Por supuesto que, como vimos en el caso de las dimensiones compactas, existirun lmite superior (generalmente impuesto o por la ventana de observacin o por eltamao de la estructura) y un lmite inferior (los ladrillos con que estn edificadaslas estructuras fractales son, invariablemente de dimensin compacta. Por lo tanto estosladrillos marcarn indefectiblemente el lmite inferior, por ejemplo en el caso del rboluna ramita aislada ser el lmite inferior.

Pero tambin para las dimensiones compactas tenemos ese problema. No existenlneas, superficies o volmenes infinitos. Miradas las figuras compactas con unmicroscopio tambin observamos los ladrillos elementales. En cada estructura resultamuy interesante descubrir cul es la causa por la cual el sistema pasa de una estructuracompacta (los ladrillos) a una estructura fractal.Veamos otros ejemplos.

En la siguiente foto se observan varias estructuras naturales con dimensinfractal:


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En el cielo las nubes, al fondo las montaas en el prado diversos tipos de rbolesy arbustos. Todos ellos tienen en comn la autosimilaridad. Otro ejemplo que se dafrecuentemente son las costas, Costa de Gran Bretaa11 vista desde el satlitemagnificada de izquierda a derecha

Costa de Chile desde el satlite magnificada de izquierda a derecha.

Establecer la longitud de una costa es virtualmente imposible, cambio si sepuede determinar la dimensin fractal.

Ya hemos visto la definicin matemtica de Hausdorff. En general esadefinicin tiene buena aplicacin en fractales generados por reglas discretas no caticas.En sistemas reales, el problema del caos est siempre presente y se hace necesarioaproximar su influencia mediante tratamientos estadsticos. En el caso de los fractalessuele agregarse a reglas discretas y determinsticas el ingrediente aleatorio.

Veamos ejemplos construidos geomtricamente:

11Benot Mandelbrot, La Geometra Fractal de la Naturaleza, Tusquets, 2000.


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Esta curva de Koch que es similar a un cristal de nieve tiene dimensin DH =log4/log3. tambin tiene un lejano parecido con la estructura de una costa.

Tenemos aqu un ejemplo de estructura geomtrica tridimensional:


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CRECIMIENTO ELECTROLTICO FRACTAL12

Veamos ahora un ejemplo experimentalmuy simple de crecimiento fractal. Setrata de un crecimiento electroltico generado sobre un portaobjeto de microscopiocomo se muestra en la figura:

Se aplica una diferencia de potencial de unos pocos voltios entre los alambres decobre (tpicamente entre 5 y 10 Volts). Entre los vidrios portaobjetos se introduce unasolucin 0,5 molar de sulfato de cobre. En pocos segundos comienza a crecer, pordepsito electroltico, una estructura dendrticaque, observada al microscopio ptico sepresenta con dimensin fractal:

Comienzo del crecimiento Al llegar al otro electrodo

12

D. Otero, G. Marshall, S. Tagtachian, From a Compact to a Rugged Border in Ramified CopperElectrodeposits, Fractals, vol 4 nro 1 (1996) p7-16.


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Ahora las imgenes superiores son tomadas con lupa, en cambio la inferior

izquierda es de microcopio en pleno crecimiento con 400x, En cambio la derecha estomada con microscopio y 1000x pero detenido el crecimiento,

Estas otras son tomadas con un microscopio electrnico. A la izquierda con12500x y la de la derecha 25000x. Pueden observarse unos largos bastones de 1 2 nmde dimetro mezclados con un conglomerado de partculas.

Ahora a la izquierda tenemos una foto de microscopio electrnico de 3500xdonde los bastones se ven como largas agujas clavadas en conglomerados informes. A

la derecha el aumento de 25000x se ha focalizado en el conglomerado logrndoseobservar cristales de xido de cobre donde la forma ha sido remarcada en un caso.


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Salvo el caso dinmico el resto de las fotos han sido tomadas luego que sedetuvo el crecimiento electroltico y en particular para las de microscopio electrnico sedebi levantar uno de los portaobjetos, generndose un fuerte barrido del lquidosobre la estructura. Lo que se observe es en consecuencia el montn de ladrillosfundamentales con que estaba construida la estructura.

Para aclarar ms la composicin de estos ladrillos se realiz un estudio mediantedifraccin de rayos X de Brag:


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Se observa la presencia de Cu2O y cobre puro. De estos anlisis se concluy quemuy probablemente la aparicin de xido bloquee el crecimiento compacto de loscristales de cobre induciendo una estructura fractal. Agregando agua oxigenada(perxido de hidrgeno) se observ un bloqueo progresivodel crecimiento a medidaque creca la concentracin de agua oxigenada. Algo as como lo que muestra lasiguiente figura, donde se muestra el crecimiento cristalino en direccin del campoelctrico y las ramificaciones generadas por el bloqueo:


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DETERMINACIN DE LA DIMENSIN FRACTAL.MTODO NUMRICO13.

La caracterizacin de un objeto se dificulta segn se vaya complicando su estructura.Uno de los casos de inters ms simples lo constituyen los recintos simplementeconexos. El borde de dichos recintos puede ser un factor muy importante para elmetabolismo de sistemas biolgicos, procesos fsicos complejos de absorcin,caracterizacin geogrfica de fronteras y costas, bordes de corrosin, etc. Porsimplicidad comenzaremos estudiando recintos en espacios bidimensionales. Ladimensin geomtrica estar comprendida entre el valor uno y el valor dos.En el primer caso se trata de una lnea que puede o no cerrarse sobre s misma y en elsegundo caso se trata de un borde liso de un recinto ocupado por materia, como semuestra en la figura,

Dimensin UNO Dimensin DOS

aunque el mtodo es posible extenderlo a objetos tridimensionales, la complejidadamerita realizar un estudio restringido a los sistemas bidimensionales. El mtodo tienealguna similitud con el desarrollado por Forrest y Witten14, aunque un ingrediente lo

diferencia fundamentalmente: la evaluacin de la dimensin se realiza localmente y ladimensin correspondiente a la figura surge de un promedio de todas las dimensionesevaluadas en cada pxel. Ya vimos que la dimensin de Hausdorff tiene una expresinheurstica denominada capacidad que se expresa por:

=1

ln

)(lnNlmDC

L es una longitud tpica donde est el objeto y define un hipercubo de lado y N( ) es el mnimo nmero de esos cubos requeridos para cubrir la el conjuntode puntos cuando 0 .

Entonces e representar una fraccin de L que debe tender a cero para evaluarDC. Cuando operamos con imgenes digitales el tamao un xel. La nica forma deque tienda a cero es aumentando el nmero n de pxeles que contiene L ,

13Dino Otero, Claudio Bollini, Modelizaciones geomtricas digitales: Aspectos no eucldeos,

Modelizacin aplicada a la Ingeniera, Vol II, p320, 2007.14Forrest, S. R. y Witten Jr., T.A. Long-range correlations in smoke particle aggregates. Journal ofPhysics A: Math. And General, 12, L109-117, 1979.


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considerando que la figura fractal mantiene autosimilaridad aunque se mnimo de est determinado por aumente el nmero de pxeles que la definen.Tendremos entonces que,

= L/n = 1 pixelSin embargo en los casos prcticos no es tan simple obtener el resultado

aplicando la definicin. En ese sentido se han propuesto definiciones constructivas dela dimensin fractal. Aqu presentamos un mtodo robusto para determinar ladimensin. Como veremos en algunos ejemplos este criterio resulta fundamental paracaracterizar adecuadamente la recinto.

DIFICULTADES DE LA REPRESENTACIN BINARIA

Entenderemos por simulacin binaria la que slo utiliza pxeles blancos o negros,

sin tonos intermedios. En realidad para objetos geomtricos ideales (puntos, rectas,cuadrados, crculos, etc.) e incluso para figuras de estructuras ms complejas seesperara que esta representacin fuera la mejor indicada.

Un punto ser un pxel negro y una recta una sucesin de pxeles negros unocontiguo al otro. Pero confluyen aqu dos problemas. Aunque podra aceptarse que unpxel aislado puede asociarse a un punto de dimensin cero resulta inaceptable que lospuntos de la recta sean numerables. Cualquier simulacin que evale un lmite sobre larecta presentar una dificultad insalvable que no se resuelve aumentando el nmero depxeles que componen la recta simulada.

Se viola aqu un concepto importante de la geometra eucldea: la continuidad de larecta. El segundo problema insalvable se origina en el teselado de la matriz.Normalmente los sistemas de adquisicin o procesamiento de imgenes distribuyen lospxeles con un teselado estrictamente rectangular. Automticamente queda fijada unasimetra que se superpone a la forma de la figura procesada. Si la simetra y laorientacin de la figura son rectangulares segn los ejes del teselado no hay distorsin.

Si la inclinacin de una lnea es de 45 grados la distorsin es mxima. La geometradeja de ser eucldea, y ya no se cumple el teorema de Pitgoras. Un tringulo rectngulocon los catetos iguales tiene, los tres lados iguales en nmero de pxeles, el error es de29%,


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Una circunferencia tiene el mismo permetro que un cuadrado inscripto en ella. Elerror en el permetro de la circunferencia (constante, independiente del nmero depxeles) es del orden del 10%. No se obtiene mejora aumentando el nmero de pxeles.Para corregir este error se desarroll un cdigo que evala la correccin localmentemientras se recorre la figura. El rea evaluada contando el nmero de pxelesencerrados dentro de un contorno tiene, sin embargo, muy poco error. Efectivamente, elerror al evaluar un rea se limita justamente al contorno que es de una dimensin menorque la superficie.

Supondremos que, a los efectos prcticos, tenemos una imagen determinada por unconjunto de pxeles dispuestos segn una simetra cartesiana, es decir la tpica imagenconstruida por una computadora. Los sistemas actuales de adquisicin de imgenesconvierten automticamente una imagen analgica en una imagen digital, por ejemplo elscanner.

Para estudiar las estructuras asumiremos que slo nos interesa el comportamiento

del contorno para lo cual se convertir la imagen en una estructura binaria de ceros(blanco = no imagen) y unos (negro = imagen). El cdigo recorrer el recinto


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comenzando desde el primer xel ocupado por un uno desde arriba a la izquierda,bajando.

Sobre cada pxel se establecen un conjunto de pares de cuadrados queidentificaremos por el tamao de sus lados segn la figura:

Donde d > es el lado del cuadrado mayor y d < es el lado del cuadrado menor. Elcdigo cuenta los pxeles ocupados dentro del cuadrado menor y los ocupados dentrodel cuadrado mayor (por supuesto que estos ltimos comprenden a los primeros). Loscasos extremos que pueden darse son el de la figura anterior, donde el nmero depxeles es proporcional al lado del cuadrado y el de la siguiente figura en la cual esproporcional al rea del cuadrado:

Sin realizar una demostracin matemtica rigurosa asumiremos que paradimensiones fractales ese nmero estar comprendido entre esos dos lmites yconverger a la verdadera dimensin fractal cuando el borde del recinto se acerca a esadimensin. En este caso existen dos lmites bien establecidos para caracterizar ladimensin fractal: por abajo el pxel y por arriba el nmero mximo de pxeles quecaben en la figura. En ese sentido un pxel tiene dimensin ceroy la autosimilaridaddimensional se cortar en el tamao mximo de la figura. En la naturaleza tambin sedan estos dos lmites. Por ejemplo en un tpico crecimiento electroltico, el lmite

inferior de la estructura est dado por el cristal de xido, que tiene dimensin compactao entera.


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El lmite superior en este caso est dado por el tamao de la celda de crecimientoelectroltico. En realidad para las dimensiones enteras convencionales tambin existenestos lmites: una circunferencia trazada en el pizarrn es un conjunto demicrocristales en los sistemas monoclnicos y ortorrmbicos de metasilicato cidode magnesio, H2Mg3(SiO3)4, fuertemente localizados y con una simetra polar.

En realidad, como veremos al aplicar este mtodo aqu expuesto, tendremos querevisar el concepto de dimensin entera para los objetos finitos.Consideremos entonces un par de cajas centradas en un determinado xel, cada

una de ellas definen las dimensiones n1 y n 2. Aplicando la definicin tenemos que debecumplirse y la relacin respecto de un xel,

2

2

1

1

ln

ln

ln

ln

ln

)(ln

n

N

n

N

L

NlmDC ==

=

donde n1,2 son los lados de los cuadrados medidos en pxeles y N 1,2 son el nmero depxeles de la figura que caen dentro de cada cuadrado. Reordenando,

restando la unidad,

que puede ponerse como,

entonces,

2,1

2,1

Ln =

2

1

2

1

ln

ln

ln

ln

n

n

N

N

=

2

21

2

21

ln

lnln

ln

lnln

n

nn

N

NN =

2

1

2

2

2

1 lnln

lnln

n

n

n

N

N

N=

CDn

N

2

2

ln

ln

2

1

2

1 lnlnn

nD

N

N

C

=


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La expresin (214) permite evaluar la dimensin fractal alrededor de undeterminado xel, haciendo el cociente entre ln(N1/N2) y ln(n1/n2).

Tomemos ahora un conjunto de cajas centradas en cada uno de los pxeles quedefinen la figura cuya dimensin se quiere determinar. Sea ese xel el i-simo y elconjunto centrado de cajas definidas por cada valor de n: {n j}. Ordenemos ahora las

cajas de menor a mayor y tomemos todas las combinaciones posibles de a pares. Si cadapar diera exactamente el mismo valor para Dc, entonces la expresin (214) define unarecta en funcin de la diferentes relaciones ln(n j) /ln(nj) con ordenada al origen nula.

Las desviaciones respecto de la autosimilaridad, y las deformaciones de la figuragenerada por la particin en pxeles dar valores fluctuantes de Dc, por lo que convendrevaluar la pendiente mediante el mtodo de mnimos cuadrados. La primera expresinpermite por s misma obtener la dimensin fractal. La diferencia fundamental con lasegunda radica en que mientras la primera evala la dimensin en forma absoluta, lasegunda obtiene la dimensin comparando el nmero de pxeles de dos recintos.

La expresin hallada ser fuertemente sensible a las dimensiones relativas de losrecintos y a la distribucin de pxeles en dichos recintos. Si la estructura del objeto tieneuna correlacin fuerte con la relacin (y forma) de los recintos, esa correlacin influiren el valor de la dimensin determinada por este mtodo. Volviendo a (212) podemos

rescribirla en forma incremental variando un n el cuadrado,

1

111

11

11111

ln

ln)ln(

)(ln

)(ln)(ln

n

nnn

nN

nNnnN +=

+


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nuevamente podemos usar que

y dividiendo ambos miembros por n1, con n1/N1 0 (como n mnimo es unxel para tener un incremento tendiendo a cero debemos tender N a ) se obtiene,

El valor evaluado ser el mismo mientras DC se mantenga constante pues,

)(lnln

NL

DC =

Integrando con Dc=cte, se obtiene nuevamente,

Para un objeto no pixelado tendremos,

en la frontera entre dos dimensiones esta expresin dar un valor diferente de ladimensin pues DC no se mantiene constante. En fsica es bien conocido el tema de la

CDn

N

1

1

ln

ln

[ ]

1

1

1

11 ln)(ln

dn

nd

Ddn

nNd

C=

CDn

N

1

1

lnln

(

d

Ld

d

Nd

Dc

ln)(ln

=


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frontera en la ligadura de objetos compactos: la gota de agua (tensin superficial) y elncleo (trmino de superficie en la frmula de masas). Resulta razonable plantearse elproblema:cunto vale la dimensin cuando estoy localmente el borde entre dosdimensiones? Por simplicidad comenzaremos con el ejemplo simple de una semirrecta.Primero consideraremos una regin interna que no contiene el extremo.

Aplicando la definicin formal de H-B tenemos:

Tambin se podra resolver por Lhospital con un resultado idntico (y trivial). Vamosahora al extremo de la semirrecta. Cuando me acerco al punto que corresponde alextremo, su valor puede ser bien definido asignndoles cualquier nmero real.

Sobre la base de dicha identificacin se propone que la evaluacin de la

dimensin quede definida por (Lhospital) ,

=

d

Ld

d

Nd

lmDCln

)(ln

L y 0

En todo punto intermedio tenemos,

1

ln

)(ln

=

=

d

Ld

d

Nd

lmDC

Para cualquier punto intermedio siempre tenemos otro punto tan cercano comose quiera y ningn punto puede ser individualizado. En cambio evaluando el resultadoen un extremo, el punto del extremo es el nico que puede ser individualizado ynumerado:

1ln

ln

ln

)(ln

00

===

L

L

L

ND

21

1

1

1

ln

1ln

0,

2

2

0,0,

=+

=

=

+

=

+

=

Llm

L

L

L

lm

d

Ld

d

Ld

lmD

L

LLC


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Donde L/ est asociada a la dimensin uno de la semirrecta y 1 a la dimensin cerodel punto del extremo. El resultado es el valor promedio entre ambas dimensiones.Veamos ahora el clculo utilizando las cajas del mtodo propuesto originalmente,

El lmite lo obtendremos tomando cajas que difieran en un pxel y tendiendo elnmero de pxeles a infinito. Las cajas se localizarn como indica la figura, de tal forma

que la menor contiene una recta y la mayor detecta la falta de un pxel.

2

1

2

1 lnlnn

nD

N

NC=


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Las cajas difieren en 2 pxeles y el nmero N de pxeles de la recta dentro de las cajasdifiere slo en un xel. Usando entonces la expresin propuesta tenemos:

=

+

=

+=

n

nlm

n

nn

n

lmDC 21ln

11

1ln

2ln

1ln

+

=

n

n

nlm2

1

)21ln(

111ln

Veamos el comportamiento a medida que el punto medio se acerca al borde. Al correrseun xel hacia el borde tenemos:

+

+

+

=

n

n

nlm

n

nn

n

lmDC 2

1

)21ln(

)11ln(

2ln

2

1ln


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58

+

+

+

=

n

n

nlm

n

nn

n

lmDC 2

1

)21ln(

)11ln(

2ln

3

2ln

etc, va desapareciendo un xel de cada caja a medida que se desplazan. Si se evala ellmite desde el extremo opuesto, es decir cuando ya no podemos corrernos ms pxeles(ver figura).

Entonces para justo ese lmite tenemos,

Que tambin se obtiene cuando comenzamos a agregar pxeles:

En el caso real, en el cual n , la dimensin pasa de uno a 0,5 y luegogradualmente vuelve a uno. Es decir en el borde de la semirrecta se produce unadiscontinuidad que luego restituye suavemente el valor original. Si la diferencia entrelas dos cajas en mayor que un xel, la discontinuidad disminuye. Este resultado ponede manifiesto que la dimensin semientera slo se manifiesta exactamente sobre el

borde de la recta.

12

ln

2

12ln

+

+=

n

n

n

n

lmDC

12

ln

12

22ln

++

+

=

n

n

n

n

lmDC


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Vamos ahora al caso un poco ms complejo consistente en un ngulo rectoformado por dos semirrectas y acerqumonos con nuestras cajas centrados desde una delas semirrectas, como indica la figura:

Nuevamente comenzaremos con una diferencia de un xel entre ambas cajas.Aplicado nuevamente la expresin original, tenemos que el lmite da ahora 2/3. Paraobtener este resultado mediante la definicin donde se pone de manifiesto la derivacin,

Se deber asumir que se tienen dos objetos con dimensin uno (las dos semirrectas) yuno con dimensin cero (el punto),

Un paso ms ser evaluar la dimensin en el lmite que tres semirrectas formaortogonalmente una T.

Localizando las cajas como se muestra en la figura 5 se obtiene, DC= . Esto seobtiene tambin con (12) si se asumen tres objetos de dimensin uno (las tressemirrectas) ms un objeto de dimensin cero (el punto de unin): (1+1+1+0)/4 = .

0

)ln(

)(ln

=

d

Ld

d

Nd

lmDC

3

2

)ln(

)12ln(

)ln(

)(ln

0,0,

=

+

=

=

LL

C

d

Ld

d

Ld

lm

d

Ld

d

Nd

lmD


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Sin embargo, la extrapolacin a figuras ms complejas no es inmediata porvarias razones. No cualquier figura permite acercarse a lmite adecuadamente y lo quees ms grave, si la simetra de la figura no es acorde con la simetra del teselado ladiscrepancia es muy importante. Este problema se pone muy de manifiesto para ngulosno rectngulos.


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RESULTADOS15

RECTA HORIZONTAL

TRINGULO

15Est disponible un versin comercial del soft.


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KOCHEn este y los casos que siguen se utiliza la siguiente nomenclatura: D, dimensin; S,entropa.

KOCH

PASO 1 PASO 2 D = 1,06 0,11 D = 1,08 0,11 S = 2,82x10-3 S = 1,39x10-3 Nro Pixels = 511 Nro Pixels = 781


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PASO 3

D = 1,173 0,148S = 1,88x10-3Nro Pixels = 930


66/80

65

PASO 4 PASO 5D = 1,27 0,12 D = 1,27 0,10S = 1,89x10-3 S = 0,83x10-3Nro Pixels = 1457 Nro Pixels = 1771


67/80

66

PASO 6D = 1,28 0.09S = 0,71x10-3Nro Pixels = 1880


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Dimensin terica de Koch

En el segundo caso se pasa de un tringulo lleno con dimensin casi dos a unaestructura fractal denominada Sierpinski. Vemos en todos los casos comola semilla dela dimensin fractal se encuentra en la figura con dimensin entera original. Enparticular la contribucin que cambia la dimensin aparece en los borde donde unquiebre limita una lnea o una superficie.

2618,13ln

4ln==HD


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SIERPINSKI

PASO 1 PASO 2

DH = 1,97 0,08 DH = 1.93 0,10 S = 7,5x10-6 S = 1,42x10-5 Nro ps = 125653 Nro ps = 94727

PASO 3

....585,12ln

3ln==HD


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69

DH = 1,87 0,12 S = 2,1x10-5 Nro ps = 71783

....585,12ln

3ln==HD


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70

PASO 4 PASO 5 DH = 1,76 0,11 DH = 1,60 0,13 S = 2,81x10-5 S = 3,58x10-5 Nro ps = 125653 Nro ps = 43415


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71


73/80


74/80

73


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74

DH = 1,574 0,111 DH = 1,585 0,098

S = 4,684x10-5 S = 4,858x10-5 Nro pixels = 31404 Nro pixels = 29871

....585,12ln

3ln==HD


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Est cdigo permite discriminar si existen varios objetos con diferentes

dimensin fractal. Al recorrer la imgenes basta orientar los objetos adecuadamentepara poner de manifiesto que cada un de ellos contribuye con una distribucin dedimensiones centradas en valores diferentes. En los ejemplos que siguen se hanprocesado, primero un diagrama Koch junto con una lnea recta y luego un diagramaKoch con un rectngulo lleno.


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REPASANDO IMGENES

Si volvemos ahora a las imgenes de la presentacin del tema tenemos porejemplo para las nubes:

En la foto se han seleccionado dos regiones con dimensiones proporcionales si giramosuna de ellas 90 grados. Determinando los contornos se obtienen las siguientes figuras:

Procesndolas con el algoritmo propuesto se obtienen los siguientes resultados,

DHA = 1,24 0,18 y DHB= 1,28 20

Dejamos para el lector jugar con el resto de las imgenes para encontrar, comoen el juego de los 10 errores, las zonas autosimilares. Como vimos pueden estar giradas,incluso un ngulo no necesariamente recto. La fractalidad puede darse tanto en contornocomo en superficie. La dimensin estar comprendida entre cero (un conjunto aisladode puntos) hasta dos una superficie compacta. Los rayos por ejemplo estn cerca de ladimensin uno en

la naturaleza es bella caotica y fractal - volumen 1 fractales irreversibilidad azar y determinismo

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