La numération au CP

Le programme de l’école élémentaire� CYCLE DES APPRENTISSAGES FONDAMENTAUX

PROGRAMME DU CP ET DU CE1

L’apprentissage des mathématiques développe l’ imagination, la rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement.La connaissance des nombres et le calcul constituent les objectifs prioritaires du CP et du CE1. La résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations.Conjointement une pratique régulière du calcul mental est indispensable. De premiers automatismes s’installent. L’ acquisi-tion des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification.

� 1 - Nombres et calcul

Les élèves apprennent la numération décimale inférieure à 1 000. Ils dénombrent des collections, connaissent la suite des nombres, comparent et rangent.Ils mémorisent et utilisent les tables d’ addition et de multiplication (par 2, 3, 4 et 5), ils apprennent les techniques opéra-toires de l’addition et de la soustraction, celle de la multiplication et apprennent à résoudre des problèmes faisant intervenirces opérations.Les problèmes de groupements et de partage permettent une première approche de la division pour desnombres inférieurs à 100. L’ entraînement quotidien au calcul mental permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisationavec leurs propriétés.

� PREMIER PALIER POUR LA MAÎTRISE DU SOCLE COMMUN : COMPÉTENCES ATTENDUES À LA FIN DU CE1-Compétences 3 et 4 :

L’ élève est capable de : -écrire, nommer, comparer, ranger les nombres entiers naturels inférieurs à 1000;-calculer : addition, soustraction, multiplication;-diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 100 (dans le cas où le quotient exact est entier);-restituer et utiliser les tables d’ addition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5;-calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des multiplications simples;-situer un objet par rapport à soi ou à un autre objet, donner sa position et décrire son déplacement;-reconnaître, nommer et décrire les figures planes et les solides usuels;-utiliser la règle et l’ équerre pour tracer avec soin et précision un carré, un rectangle, un triangle rectangle;-utiliser les unités usuelles de mesure; estimer une mesure;-être précis et soigneux dans les tracés, les mesures et les calculs;-résoudre des problèmes très simples;-observer et décrire pour mener des investigations;-appliquer des règles élémentaires de sécurité pour prévenir les risques d’ accidents domestiques.

La maîtrise des techniques usuelles de l’ information et de la communication.L’ élève est capable de :-commencer à s’ approprier un environnement numérique.

La maîtrise des techniques usuelles de l’ information et de la communication.L’ élève est capable de :-commencer à s’ approprier un environnement numérique.

� CYCLE DES APPROFONDISSEMENTSPROGRAMME DU CE2, DU CM1 ET DU CM2

� DEUXIÈME PALIER POUR LA MAÎTRISE DU SOCLE COMMUN : COMPÉTENCES ATTENDUES À LA FIN DU CM2

� Compétence 3 :

Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique

A) Les principaux éléments de mathématiques

L’ élève est capable de : -écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers, les nombres décimaux (jusqu’ au centième) et quelques fractionssimples;-restituer les tables d’ addition et de multiplication de 2 à 9;-utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux (pour la division, le diviseurest un nombre entier);-calculer mentalement en utilisant les quatre opérations;-estimer l’ ordre de grandeur d’ un résultat;-utiliser une calculatrice;-reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels;-utiliser la règle, l’ équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin etprécision;-utiliser les unités de mesure usuelles; utiliser des instruments de mesure; effectuer des conversions;-résoudre des problèmes relevant des quatre opérations, de la proportionnalité, et faisant intervenir différents objets mathé-matiques : nombres, mesures, “règle de trois”, figures géométriques, schémas;-savoir organiser des informations numériques ou géométriques, justifier et apprécier la vraisemblance d’ un résultat; -lire, interpréter et construire quelques représentations simples : tableaux, graphiques

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L’ élève est capable de : -écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers, les nombres décimaux (jusqu’ au centième) et quelques fractionssimples;-restituer les tables d’ addition et de multiplication de 2 à 9;-utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux (pour la division, le diviseurest un nombre entier);-calculer mentalement en utilisant les quatre opérations;-estimer l’ ordre de grandeur d’ un résultat;-utiliser une calculatrice;-reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels;-utiliser la règle, l’ équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin etprécision;-utiliser les unités de mesure usuelles; utiliser des instruments de mesure; effectuer des conversions;-résoudre des problèmes relevant des quatre opérations, de la proportionnalité, et faisant intervenir différents objets mathé-matiques : nombres, mesures, “règle de trois”, figures géométriques, schémas;-savoir organiser des informations numériques ou géométriques, justifier et apprécier la vraisemblance d’ un résultat; -lire, interpréter et construire quelques représentations simples : tableaux, graphiques

La progression au CP� 1. Où en sont les élèves de la classe

On commence par repérer les compétences des élèves individuellement car à l’entrée en CP les compétences numériquesdes enfants sont diverses.: - la comptine numérique récitée ou lue dans l’ordre: jusqu’où la suite est elle stable? quelles sont les erreurs ou oublis? - la comptine numérique lue dans le désordre : la lecture chiffrée des nombres - le successeur d’un nombre comme quantité augmentée d’un élément - le surcomptage comme quantité augmentée d’un ou plusieurs éléments - le dernier mot nombre est il reconnu pour l’expression de la quantité - le recours spontané au dénombrement: la synchronisation entre geste et comptine, organisation du dénombrement, - la constitution d’une collection de cardinal donné

� 2. Faire progresser les procédures de dénombrement

Les élèves dénombrent en déplaçant puis en pointant un à un les objets en disant simultanément un mot-nombre. C'est le dernier mot nombre qui retient la quantité, il faut le comprendre et aussi bien sûr savoir l'écrire. La bandenumérique est une aide: elle doit commencer par 1.C'est le sens de ce type d'exercices:

Entoure sur la piste, le nombre d'insectes

1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Le problème du dénombrement exact se pose lorsque la collection est désorganisée: des procédures nouvelles prennent forme pour compter une et une seule fois chaque objet de la collection. Chaînage puis groupement mais le groupement exige la compréhension de la conservation de la quantité et est facilité par lapossibilité du surcomptage.

Combien y a-t-il d’étoiles noires? rouges? mauves? bleues?

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On propose aux élèves de dénombrer des collections variées correspondant à leur domaine de compétence .On fait aussi construire une collection qui a le même nombre d’éléments qu’une autre: lorsqu’elle est nombreuse onessaiera de faire utiliser le nombre en particulier en éloignant la collection de référence de celle à construire. La mémoire dela quantité contenue dans le nombre est ainsi peu à peu intégrée.Avec des objets manipulables : le robot proposé par Ermel constitue une bonne activité de recherche de ce type.puis avec des éléments déssinés : en ligne, en constellations (dés, mains).

� 3. La comparaison des collections

En parallèle on propose aux élèves de comparer des collections avec objets manipulables puis déssinés. La quantité d' objets est d' autant plus grande que le mot nombre arrive tardivement dans la suite numérique.Avec des objets manipulables : Des boîtes contenant entre 1 et 6 objets chacune l' élève lance un dé et peut choisir une boîte qui contient au plus le nombred'objets indiqué sur le dé. Le gagnant est celui qui a le plus d'objets à la fin de la partie.puis avec des éléments déssinés par exemple:

� 4. La nécessité de compter plus loin

Petit à petit se fait sentir le besoin de connaître la file numérique un peu plus loin pour pouvoir dénombrer des collectionsplus nombreuses. On travaille la connaissance de cette file jusqu’à 60 dans les premiers mois jusqu’en décembre.Un travail sur la bande numérique peut être faite: par exemple découper des bandes numériques les placer sur une table etdemander d’en reconstruire une en découpant et collant si nécessaire. On apprend ainsi la prononciation des nombres leurécriture....

� La reconstruction de la bande numérique

Voici quelques morceaux de bandes numériques. Vous pouvez découper et coller des parties de ces bandes et vous devezréaliser la plus longue bande numérique possible en partant de 1.

Même si tous les nombres ne sont pas connus des élèves l'activité peut se dérouler: il s'agit de reconnaître les régularitésde la construction des nombres. Il n'est pas encore question de parler des groupements des unités et de la valeur deschiffres.On peut poursuivre en faisant colorier sur la bande des nombres qui ont des particularités communes: "ceux qui commen-cent par 4" , "ceux qui se terminent par 5", "ceux qui contiennent un 2","ceux qui s'écrivent avec un chiffre"....

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57

78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91

69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104

� Le château

La découverte de la régularité de l'écriture chiffrée par rapport à l'irrégularité des mots nombres dans certaines phases de lacomptine se fait en CP.La présentation en tableau des nombres écrits en chiffres est alors utile mais à ce moment le 0 peut apparaître poursouligner sur les lignes et les 10 colonnes les régulatités de construction.Un tableau à compléter se justifie: même si l'élève ne sait pas prononcer le nombre qu'il écrit. On pourra faire varier lesnombres manquants pour éviter ou au contraire insister sur les prononciations régulières ou non des nombres. (Activitéappelée du château)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 28 29

30 34 35 36 38 39

40 41 42 43 44 45 46 48 49

50 51 52 56 57 58 59

60 61 62 66 67 68 69

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85 86 87

90 91 92 93 94 95 96 97

� 5. Les échanges puis les groupements par 10

Les groupements par 10 deviennent essentiels à partir de collections supérieures à 30... Ce qui se prépare en travaillant lesgroupes de 10.

� Echanges par 10 contre 1

"A tour de rôle chaque joueur lance un dé.Pour chaque point marqué sur la face supérieure du dé, il prend un carreau jaune et dès qu'il peut, il échange 10 carreauxjaunes contre un rectangle rouge.Si le joueur précédent n'a pas réalisé un échange possible , il peux le signaler et gagne alors les jetons que ce joueur vientde récupérer. Le premier joueur à avoir 3 rectangles rouges gagne."Quel est le score de chaque enfant?Qui a gagné?Les échanges ont-ils été tous faits?

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"A tour de rôle chaque joueur lance un dé.Pour chaque point marqué sur la face supérieure du dé, il prend un carreau jaune et dès qu'il peut, il échange 10 carreauxjaunes contre un rectangle rouge.Si le joueur précédent n'a pas réalisé un échange possible , il peux le signaler et gagne alors les jetons que ce joueur vientde récupérer. Le premier joueur à avoir 3 rectangles rouges gagne."Quel est le score de chaque enfant?Qui a gagné?Les échanges ont-ils été tous faits?

C’est ainsi que petit à petit peut émerger l’idée de la signification des différents chiffres dans 45 par exemple...Les groupements par dix feront ressortir dans une collection de 45 éléments 4 paquets de 10 et 5 éléments isolés : ce peutêtre ainsi que l’on comprend que 45 c’est 4 dizaines et 5 unités.On peut le transcrire : 45=10+10+10+10+5 - le signe d’addition arrivant décembre- janvier La transcription 45=4×10+5 prendra forme en CE1 avec la notation des opérations puis sera complétée avec la centaine...Un travail sur la monnaie peut aider au groupements: on insistera sur les groupements par 10. -le retour à 5 se fait dans unautre cadre...-La résolution de problème permet d’approfondir ces connaisances:

� Le jeu du banquier: échange 5 contre 1 puis 10 contre 1

L’objectif: développer l’usage de règles d’échanges fixesDes jetons de 4 couleurs: J, R, B, VRègle d'échange: n J®1R ; n R®1B ; n B®1VChaque joueur au départ lance un dé et reçoit autant de jetons Jaunes que le nombre qu'il obtient sur le dé. Chaque joueur doit dès que possible réaliser les échanges.Le maître arête la partie après 15 min et demande : "Qui a gagné?"

� Le fourmillion ( la nécessité du groupement par 10 pour dénombrer une très grande quantité)- mars

L’objectif: les groupements de dixOn présente aux élèves une collection très nombreuse (> 1200 objets) à dénombrer:des haricots par exemple, des sachetsopaques contenant 10 haricots, des sacs opaques contenant 10 sachets, des boîtes contenant 10 sacs.....Cette situation est fondamentale, elle doit permettre aux élèves de « définitivement » entrer en rupture avec le comptage.L'enjeu de cette situation est de grouper les objets par 10 en s'aidant des matériels abaque et calculette (la comparaison desdeux modes de représentation permet de contrôler les différents passages des dizaines et de permettre la mémorisation d'unequantité "immense"). Cette situation sert également à l'introduction des (unités, dizaines, centaines.)

� 6. L’addition et la soustraction

Il resterait à parler de l’addition et de la soustractionjeu de piste:avec des dés: “ j’étais en 15 et j’ai fais 6 où suis-je? ” ; “ j’étais en 15 et je suis en 21 . Combien ai-je fais? ”etc.....La décomposition additive des entiers: 17=10+7=8+9=..... en lien avec les doubles: 18=9+9 etc en lien avec les successeurs:8+9=17 ; 11+12=23....Le travail sur l’argent: somme, monnaie rendue.....Le problème de l’autobus ou à chaque arrêt un certain nombre de personnes montent et un certain nombre descend.....ajouter: une unité, une dizaine.....

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� 7. La construction algorithmique de l’écriture chiffrée des nombres

� Le compteur ( la compréhension de la construction algorithmique de l’écriture chiffrée des nombres)

u

d

c

01234

5 6 789

0123

4 5 678

9

0 123

45678

9

Le compteur est un nouveau lieu d'écriture et de mémorisation des nombres (attention à la différence entre les écritures « 3» et « 003 », mais désignant le même nombre).Dénombrer de 1 en 1, en mémorisant sur le compteur (les passages 9 à 10, 19 à 20, 29 à 30, etc .. sont à la charge desélèves).Afficher un nombre annoncé oralement (liaison oral - écrit), et afficher le suivant ou le précédent (cette activité peut seritualiser, en passant en revue tous les points particuliers)Utilisation de la "boîte noire" : l’ enseignant (e) place une quantité dans la boîte, les élèves la représentent sur le compteur,l’ enseignant (e) annonce « j' ajoute 1 (resp.2, 3, 5 puis 10), représentez sur le compteur » (de même avec l' opérateur"retrancher")L' objectif étant de modifier le plus vite possible l' inscription sur le compteur ...

La séance présentée� Les pré requis

Un travail sur les groupements et échanges en particulier 10 contre 1Calculer de 10 en 10 et de 100 en 100

� Les objectifs

faire ressortir l’insuffisance du dénombrement un à un des éléments d’une collection pour en arriver aux groupements .faire ressortir que notre numération facilite le comptage avec des groupements de 10 itérés compter de 10 et 10 , de 100 en 100 et obtenir des décompositions additives particulièresdonner du sens à la dizaine ,à la centaine, au millier donner du sens aux différents chiffres présents dans un nombre

� Le calcul mental - 5 min

Calculer de 10 en 10 et de 100 en 100

30 + 10 ; 80 + 10 ; 90 + 10 ; 250 + 10; 460 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10; 980 + 10 + 10 + 10; ... ... ... ..

300 + 100 ; 800 + 10 ´ 0 ; 900 + 100 ; 250 + 100;

460 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100; 980 + 100 + 100 + 100; ... ... ... ..

1000 + 100 + 100 ... ..

� L’activité initiale - 30 min

Un gros tas de bâtonnets (>1200) sur une table, des enfants autour et une question: Combien y a-t-il de bâtonnets?Les 5 premières minutes servent à faire émerger une procédure après avoir exclus celle du dénombrement un à un : lesgroupements par 10 itérés doivent émergés sinon le maître prend la décision et l’impose.Les 5 suivantes servent à répartir les tâches: les rassembleurs, les contôleurs des groupements par dix ( liés par un élastiquepar exemple) et l ‘écrivain qui note un trait par paquet construit au tableau par exemple des rangeés de 10 traits superposéesprogressivement. L’écrivain peut changer lorsqu’il a fini sa rangée.Le travail commence sous la surveillance du maître qui à chaque nouveau paquet annonce en le rangeant et encore 10 ce quifait 20,30,....100,110,....210 et puis à un certain moment on en perd le compte mais le travail se poursuit.Il est nécessaire de grouper par 10 les paquets de 10 : dans des sacs plastiques par exemple, puis 10 sacs dans un gros bocal.La discussion autour de la transparence des contenants et des étiquettes portant la quantité affichée sur chaque paquet est undébat : la non transparence et l’absence d’affiche force la réflexion et favorise l’assimilation des notions de dizaines,centaines, milliers. Nous ferons ce choix iciA un moment tous les groupements sont faits les traits dénombrant les paquets de 10 figurent au tableau sur la partie gauchepar exemple ce qui permettra de transcrire en nombre les quantités: les décompositions additives apparaîtrons naturellementaprès discussion sur leurs notations...Vient alors le moment de répondre à la question : par exemple 1264 bâtonnets en lin avec 1 boîte de 1000, 2 sachets de 100,6 paquets de 10, 4 bâtonnets isolés. On parlera aussi du millier de bâtonnets dans la boîte de la centaine de bâtonnets danschaque sachet, de la dizaine de bâtonnets liés ensemble dans chaque paquet.

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Un gros tas de bâtonnets (>1200) sur une table, des enfants autour et une question: Combien y a-t-il de bâtonnets?Les 5 premières minutes servent à faire émerger une procédure après avoir exclus celle du dénombrement un à un : lesgroupements par 10 itérés doivent émergés sinon le maître prend la décision et l’impose.Les 5 suivantes servent à répartir les tâches: les rassembleurs, les contôleurs des groupements par dix ( liés par un élastiquepar exemple) et l ‘écrivain qui note un trait par paquet construit au tableau par exemple des rangeés de 10 traits superposéesprogressivement. L’écrivain peut changer lorsqu’il a fini sa rangée.Le travail commence sous la surveillance du maître qui à chaque nouveau paquet annonce en le rangeant et encore 10 ce quifait 20,30,....100,110,....210 et puis à un certain moment on en perd le compte mais le travail se poursuit.Il est nécessaire de grouper par 10 les paquets de 10 : dans des sacs plastiques par exemple, puis 10 sacs dans un gros bocal.La discussion autour de la transparence des contenants et des étiquettes portant la quantité affichée sur chaque paquet est undébat : la non transparence et l’absence d’affiche force la réflexion et favorise l’assimilation des notions de dizaines,centaines, milliers. Nous ferons ce choix iciA un moment tous les groupements sont faits les traits dénombrant les paquets de 10 figurent au tableau sur la partie gauchepar exemple ce qui permettra de transcrire en nombre les quantités: les décompositions additives apparaîtrons naturellementaprès discussion sur leurs notations...Vient alors le moment de répondre à la question : par exemple 1264 bâtonnets en lin avec 1 boîte de 1000, 2 sachets de 100,6 paquets de 10, 4 bâtonnets isolés. On parlera aussi du millier de bâtonnets dans la boîte de la centaine de bâtonnets danschaque sachet, de la dizaine de bâtonnets liés ensemble dans chaque paquet.

� La trace écrite - 10 min

Pour dénombrer une collectionn nombreuse les groupements par 10 sont nécessaires:on a fait des paquets de 10 certains batônnets restaient isolés.on a rempli des sacs avec dix paquets, certains paquets restaient isolés.Chaque sacs contient 100 bâtonnets car 10+10+10+10+10+10+10+10+10+10=100. On dit aussi que chaque sac contientune centaine de bâtonnets.on a rempli un bocal avec dix sacs, certains sacs restaient isolés. Le bocal contient 1000 bâtonnets car 100+100+100+100+100+100+100+100+100+100=1000. On dit aussi que le bocalcontient un millier de bâtonnets.

A la fin quand tous les groupements ont été faits on a obtenu 1 bocal , 2 sacs, 6 paquets, 4 bâtonnets . Il y avait en tout 1264 bâtonnets car 1000+200+60+4 =1264On a remarqué que : 1 bocal et 2 sacs et 6 paquets et 4 bâtonnets c’est aussi : 1 millier et 2 centaines et 6 dizaines et 4 .

� Les séances suivantes:

On continue l’activité pendant plusieurs séances pour stabiliser l’algorithme et le vocabulaire mais sur une durée courte : 5min par exemple. Le but étant de rapidement passer à des idées du type: 3 bocaux et 4 sacs et 2 paquets et 7 bâtonnets c’est 3427 batonnêts c’est aussi 342 paquets et 7 batonnêts et encore 34 sacset 2 paquets et 7 bâtonnets etc..... 2 bocaux et 3 sacs et 1 paquets et 0 bâtonnets c’est 3420 batonnêts etc....

On peut procéder de plusieurs manières: - en ajoutant des bâtonnets à chaque fois et reconstruire le nombre total de bâtonnets, de déterminer le nombre de sacs entout , le nombre de paquets en tout. - en amenant des autres collections mais où les groupements sont déjà faits et demander d’en écrire le nombre puis dedéterminer le nombre de sacs en tout , le nombre de paquets en tout.Quand la situation semble stabilisée il est temps de faire apparaître un manque à un certain niveau qui sera dans le nombrenotée par un 0.

Nous choisissons ici la deuxième situation en travail individuel après avoir pris soin de placé au vu de tous la collection enévidence sur une table. Les élèves pouvant à tour de rôle s’en approcher pour un contrôle.Les différents résultats sont affichés et commentés.

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