la tangente et la géométrie analytique montage préparé par : andré ross professeur de...

24
La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

Upload: josee-dubus

Post on 04-Apr-2015

140 views

Category:

Documents


7 download

TRANSCRIPT

Page 1: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

La tangente et la géométrie analytique

Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

?

Calcul différentielCalcul différentiel

Page 2: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

Au XVIIe siècle, les travaux de René Descartes (1596-1650) et Pierre de Fermat (1601-1665) ont permis le dévelop-pement de méthodes algébriques dans la recherche de la tangente à une courbe.

Introduction

Ces méthodes algébriques se sont révélées très efficaces pour déterminer la tangente en un point quelconque d’une courbe.

Elles ont également permis le développement d’un langage mathématique pour décrire les phénomènes physiques comportant des variables.

Page 3: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

Dès qu’une équation contient deux quantités inconnues, il y a un lieu correspondant et le point extrême de l’une de ces quantités décrit une ligne droite ou une ligne courbe.

C’est dans l’ouvrage Ad locos planos et solidos isagoge (Introduction aux lieux plans et solides, que Fermat énonce le principe fondamental de la géométrie analytique.

Fondement de la géométrie analytique

Ainsi, on peut représenter la courbe :y = x3 – 14x2 + 49x + 3

Remarque :À l’origine, il y a seulement un axe et on ne distingue pas relation et fonction. Dans les situations qui suivent, nous allons utiliser les notations et représentations modernes.

Page 4: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

La géométrie analytique comporte deux types de problèmes :

On constate que la forme de l’équation permet d’identifier la forme du graphique et réciproquement.

• trouver la figure géométrique correspondant à une équation donnée.

• trouver l’équation décrivant une figure géométrique donnée.

Problèmes de géométrie analytique

Dès lors, la représentation graphique de données expérimentales permet de détecter le lien entre les variables à l’étude (voir Loi des gaz).

Page 5: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

En 1637, Descartes publie Discours de la méthode pour bien conduire la raison et chercher la vérité dans les sciences. Cet ouvrage comporte trois appendices qui illustrent l’application de sa méthode, ce sont : La Dioptrique, Les Météores et La Géométrie.

René Descartes

Dans la deuxième partie de La Géométrie, Descartes présente une méthode qui consiste à trouver d’abord la normale à la courbe au point M, soit la perpendiculaire à la tangente.

Page 6: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

Illustrons la démarche de Descartes à l’aide de la courbe y2 = 8x et d’un point quelconque M(x; y) sur la courbe.

Descartes et la normale

Supposons que N est le point de rencontre de la normale en M et de l’axe horizontal. Alors le cercle de centre N et de rayon NM est tangent à la courbe au point M.

Si on trace un cercle de centre Q et de rayon QM où Q ≠ N, alors le cercle coupe la courbe en deux points distincts M et P.

Lorsque Q se rapproche de N, P se rapproche de M.

Page 7: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

Il faut donc trouver pour quelle valeur de a le cercle est tangent à la parabole.

Descartes et la normale

L’équation du cercle est :(x – a)2 + y2 – r2 = 0

Le cercle est tangent à la parabole lorsque le discriminant est nul. On a alors une racine double, et :

et, puisque y2 = 8x, on a :(x – a)2 + 8x – r2 = 0

x2 – 2a + a2 + 8x – r2 = 0

Les solutions de cette équation quadratique sont données par :

, ce qui donne x = a – 4, d’où : a = x + 4.

x2 – 2[a – 4]x + (a2 – r2) = 0

x 2(a– 4) 4(a– 4)2 – 4(a2 –r2)

2

x 2(a– 4)

2

Page 8: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

On obtient l’abscisse du point de rencontre de la normale et de l’axe horizontal en fonction de l’abscisse du point de tangence.

Descartes et la normale

Déterminons la normale au point M(2; 4). On a alors x = 2 et y = ±4. Puisque a = x + 4, on obtient a = 6.

La normale en M coupe donc l’axe horizontal au point (6; 0).

Page 9: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

La normale passe par les points (2; 4) et (6; 0).

Descartes et la normale

On remarque qu’avec la géométrie analytique il n’est plus nécessaire de considérer la courbe comme la composition de deux mouvements.

Sa pente est donc :

Le produit des pentes de droites perpendiculaires étant égal à –1, on a mT = 1. L’équation de la tangente est : y = x + 2.

Elle coupe l’axe horizontal à x = –2. On obtient également la tangente au point (2; –4)

mN 4–02–6

–1

Page 10: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

Pierre de FermatEn 1636, Pierre de Fermat (1601-1665) fait parvenir à Mersenne et Roberval un essai décrivant son approche algébrique de la géométrie, Ad locos planos et solidos isagoge (Introduction aux lieux plans et solides) ainsi qu’un traité intitulé Methodus ad Disquirendam Maximam et Minimam (Méthode pour déterminer les maxima et les minima).Le premier ouvrage décrit les fondements et méthodes de sa géométrie analytique. Le deuxième décrit une méthode pour trouver les valeurs optimales d’une fonction, méthode qu’il utilisera par la suite pour déterminer la tangente à une courbe.

Page 11: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

Fermat et les valeurs optimales

La fonction a donc une valeur optimale à x = 5/2.

Utilisons la notation moderne pour illustrer la procédure de Fermat pour trouver les valeurs optimales.

Page 12: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

Fermat et la tangentePour illustrer comment Fermat utilise la procédure pour trouver les valeurs optimales dans la recherche de la tangente, consi-dérons la courbe y2 = 8x et un point B quelconque sur la courbe.

En traçant la tangente et en la prolongeant, celle-ci coupe l’axe horizontal en un point E.

En abaissant du point B une perpendiculaire à l’axe horizontal, on détermine un point C.

Le segment EC est appelé la sous-tangente au point B et en déterminant sa longueur, on pourra déterminer le point E, soit un deuxième point de la tangente.

Page 13: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

Fermat et la tangenteFermat considère alors en un point I une autre verticale à l’axe horizontale qui coupe la parabole en A et la tangente en O.Il obtient alors les rapports :

De plus, Le point O peut être à droite ou à gauche de B, cette inéquation demeure valide.

puisque

Considérons que le point O s’approche du point B.

Le rapport s’approche alors de

Il atteint sa valeur optimale lorsque O se superpose à B.

BC2

DC

AI2

DI8

BC2

DC

OI2

DIAI OI.

OI2

DI

BC2

DC.

Page 14: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

Fermat et la tangenteNotons s, la longueur de la sous-tangente, (x; y), les coordonnées du point B et (u; v), celles du point O. De plus u = x + h.Les rapports s’écrivent alors :

De plus, puisque les triangles EBC et EOI sont semblables, on a :

Cela donne y = ks et v = ku = k(x + h). On a donc, par substitution :

BC2

DC

y2

x et

OI2

DI

v2

u

v2

x+h.

BC

EC

OI

EIk, d’où

y

s

v

s hk.

BC2

DC

k2s2

x et

OI2

DI

k2 (sh)2

x +h.

Page 15: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

Fermat et la tangentePour trouver la valeur optimale en utilisant la méthode de Fermat, il faut égaler ces deux rapports, ce qui donne :

En simplifiant, on obtient :

D’où, s2(x + h) = x(s + h)2 et s2x + s2h = x(s2 + 2sh + h2.

En distribuant : s2x + s2h = s2x + 2shx + h2x.

En simplifiant : s2h = 2shx + h2x.

En divisant par h : s2 = 2sx + hx. En posant h = 0 : s2 =

2sx.En divisant par s : s = 2x.

Ainsi, au point B(2; 4) la longueur de la sous-tangente est 4, ce qui permet de déterminer que la tangente coupe l’axe horizontal au point (–2; 0).

k2s2

x

k2 (s h)2

x +hs2

x

(s h)2

x +h

Page 16: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

Isaac BarrowIsaac Barrow (1630-1677) publie ses Lectionæ opticæ en 1669 et ses Lectionæ geometricæ en 1670 qui comprennent treize leçons. Dans ces ouvrages, il inclut tous les procédés infinitésimaux qu’il connaît ainsi q’une méthode algébrique pour la détermination des tangentes.

Dans la première leçon, il discute de la nature des concepts de temps et de mouvement et de leur représentation géométrique à la manière d’Oresme et de Galilée. Il considère qu’une ligne peut être conçue comme la trace d’un point mobile ou comme la trace d’un moment continuellement fluant. Le temps peut dont être représenté par une ligne droite uniforme, ce qui l’amène au problème de la vitesse instantanée.

Page 17: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

Barrow et la tangenteBarrow présente dans la dixième leçon sa méthode des tangentes qui est assez semblable à celle de Fermat.Pour illustrer cette méthode, considérons la courbe ci-contre et un point M quelconque sur la courbe.Barrow veut déterminer la longueur t de la sous-tangente. Il considère alors un point N sur la courbe et le triangle de côtés e et a formé en traçant NR parallèlement à l’axe horizontal.

Lorsque M et N sont infiniment rapprochés, les rapports m/t et a/e sont égaux et le rapport a/e donne la valeur de la pente de la tangente à la courbe.

Page 18: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

Barrow et la tangenteConsidérons la courbe y2 = 8x. Pour déterminer le rapport a/e, Barrow substitue x + e à x et y + a à y dans l’équation définissant la rela-tion. Cela donne :

(y + a)2 = 8(x + e)D’où : y2 + 2ya + a2 = 8x + 8e

2ya + a2 = 8e, puisque y2 = 8x

et : 2ya = 8e, en négligeant les puissances de a et e.Par conséquent :

, d’où , et

Au point M(2; 4), y = 4 et m = 4, d’où t = 4.

La longueur de la sous-tangente étant égale à 4, il est facile de tracer la tangente.

t my

4

mt

4y

ae

82y

4y

Page 19: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

Isaac NewtonEn 1671, Newton rédige sa Méthode des fluxions qui ne sera publiée qu’en 1736. Dans cet ouvrage, il considère qu’une courbe est engendrée par le mouvement continu d’un point.

L’ordonnée d’un point est une fluente notée : y

Dans cette conception, l’abscisse et l’ordonnée du point sont des quantités variables appelées fluentes et son taux de variation est appelé fluxion.

sa fluxion est notée :son moment est noté :la fluxion de la fluxion est notée :

De plus, le moment d’une fluente est l’accroissement infiniment petit de la fluente durant un intervalle de temps infiniment petit o.

(en notation moderne, dx/dt).

Page 20: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

Newton et les fluxionsNewton explique que l’on peut toujours négliger les termes contenant des puissances de o supérieures à 1 et obtenir une équation décrivant la relation entre les coordonnées x et y du point qui engendre la courbe et les fluxions de celles-ci. Voyons comment procéder avec la courbe y2 = 8x.

, par substitution;

, puisque y2 = 8x;

, en divisant par o;

, en posant o = 0.

, en développant;

Remarque :La procédure de Newton s’apparente à la dérivation implicite actuelle. L’expression obtenue s’écrit en notation moderne :

Page 21: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

Gottfried Wilhelm LeibnizLeibniz a communiqué le fruit de ses réflexions sur le calcul différentiel et intégral dans deux articles publiés dans Acta eruditorum, l’un en 1684 et l’autre en 1686.

Dans celui de 1684, il présente les règles générales de la différentiation en se servant des différentielles et plutôt que des dérivées. Les différentielles dy et dx sont définies comme des accroissement finis, mais en une occasion il définit dy par le rapport suivant :

où dx est considéré comme une constante arbitraire, établissant un lien entre les différentielles et la tangente.

dy

dx

y

sous tangente

Page 22: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

Règles de différentiationDans son article, Leibniz présente les règles de différentiation qu’il avait obtenues en 1677, soit :

La différentiation d’une somme : d(u + v) = du + dv;

Il n’utilise pas le terme fonction mais, il introduit l’appellation calcul différentiel et présente des applications géométriques comme la recherche des tangentes, des minima et maxima et des points d’inflexion. Il donne la condition dv = 0 pour un maximum et un minimum et la condition ddv = 0 pour un point d’inflexion.

La différentiation d’un produit : d(uv) = udv + vdu;La différentiation d’un quotient :

du

v

vdu–udv

v2

La différentiation d’une puissance : d(xn) = nxn–

1dx

Page 23: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

Ces méthodes ont été sévèrement critiquées par l’évêque anglican Berkeley en partie pour cette raison. Il faudra cependant attendre les travaux d’Augustin Cauchy (1789-1857) et le développement des notions de limite et de continuité pour donner des fondements solides au calcul différentiel.

Les méthodes algébriques développées au XVIIe siècle pour déterminer la tangente à une courbe avaient en commun une même faiblesse. Elles comportaient toutes une division des deux membres de l’équation par une quantité à laquelle on donne par la suite la valeur 0, or la division par 0 n’est pas définie.

Conclusion

Page 24: La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

Fin

BibliographieBall, W. W. R. A Short Account of History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc., 1960, 522 p.Bernal, J.D. A History of Classical Physics, From Antiquity to the Quantum, New York, Barnes & Nobles Books, 1997, 317 p.Boyer, Carl B. A History of Mathematics, New York, John Wiley & Sons, 1968, 717 p.Collette, Jean-Paul. Histoire des mathématiques, Montréal, Éditions du Renouveau Pédagogique Inc., 1979 2 vol., 587 p.Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics, New-York, Holt Rinehart and Winston, 1976, 588 p.Gribbin, John, A Brief History of Science, New York, Barnes & Nobles Books, 1998, 224 p.Silver, Brian L. The Ascent of Science, New York, Oxford University Press, 1998, 534 p.Smith, David Eugene. History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc. 1958, 2 vol. 1 299 p.Struik, David. A Concise History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc. 1967, 195 p.