la teoria delle lastre travi alte -...
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F. Minelli
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Prof. Ing. Fausto Minelli
Università degli Studi di Brescia
La Teoria delle Lastre – Travi alte
Un ringraziamento all’Ing. Reggia per l’aiuto nella preparazione delle presenti slides
F. Minelli
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Le lastre sono elementi bidimensionali caratterizzati dalla prevalenza di due dimensioni rispetto alla terza (generalmente indicata come
spessore) e soggetti a carichi agenti nel loro piano. Esempi: travi alte, mensole tozze, travi rastremate, testate degli elementi
precompressi, diaframmi di piano.
Caratteristica fondamentale di questi elementi è un rapporto luce-altezza molto basso, con luci pari a 3÷4 volte l’altezza, a differenza
delle travi snelle per le quali tale rapporto è compreso in un intervallo fra 15 e 20.
Per questi elementi bidimensionali non è possibile ipotizzare che le sezioni si deformino mantenendosi piane. L’effetto delle
sollecitazioni nel piano y non è trascurabile, come lo era nella teoria delle travi.
Nella teoria classica della trave alla D. S. Venant (principio di D. S. Venant), questo disturbo locale è limitato agli appoggi e in
corrispondenza dei carichi concentrati mentre nelle restanti porzioni di trave intervengono in modo prevalente il regime flessionale con
sforzi normali nella direzione x. Viceversa, nelle travi alte, la zona di disturbo è così estesa cha le y non possono essere trascurate nel
calcolo. Nelle travi alte le sezioni non restano pertanto piane, anche in presenza di materiali perfettamente elastici.
Le tensioni x non assumono andamento lineare e le y non possono essere trascurate.
Le teorie elementari alla base della scienza e della tecnica delle costruzioni non si prestano a determinare le tensioni interne nei corpi non
assimilabili a una trave o a travi la cui forma si discosti troppo da quella prismatica. In questi casi i mezzi di indagine più generali della
teoria dell’elasticità sono in grado di affrontare ed, in molti casi, risolvere il problema.
Il problema elastico consiste sostanzialmente nella determinazione dello stato tensionale, delle deformazioni e degli spostamenti di un
solido costituito da un materiale elastico, vincolato su porzioni di superficie, soggetto sia a carichi esterni di volume che di superficie.
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Un significativo contributo alla risoluzione del problema viene dato dalle caratteristiche dello specifico problema in esame che consente
la formulazione di particolari ipotesi, le quali, adeguatamente sfruttate, portano ad una soluzione analitica di facile raggiungimento.
La linearità delle equazioni che governano il problema, inoltre, consente l’utilizzo del Principio di Sovrapposizione degli Effetti, ovvero
è possibile considerare la risposta data da un mezzo elastico lineare come la somma delle singole risposte offerte dal materiale sottoposto
ad azioni individualmente applicate.
Ipotesi per l’applicazione della teoria elastica al problema delle lastre
1. Materiale elastico lineare, omogeneo ed isotropo;
2. Spessore (s) costante e molto piccolo rispetto alle altre dimensioni
La geometria dell’elemento bidimensionale analizzato consente di considerare i rapporti 𝑠 𝑎⁄ ÷ 𝑠 𝑏⁄ tendenti a 1 ∞⁄ dove con 𝑎 e 𝑏 si
indicano rispettivamente l’altezza e la lunghezza della lastra e con s il suo spessore.
3. Superficie media piana;
4. Carichi di tipo distribuito e/o concentrato agenti nel piano medio;
5. Stato piano di sforzo
Costituisce l’ipotesi fondamentale per lo studio della teoria degli elementi strutturali bidimensionali ed è diretta conseguenza delle
ipotesi fatte in precedenza, le quali permettono di considerare le lastre come degli elementi strutturali soggetti a stati piani di sforzo.
Sostanzialmente si assumono gli assi x,y nel piano medio e l’asse z normale ad esso in modo da poter considerare un regime di tensioni
particolare che vede 𝜎𝑧 = 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑦𝑧 = 0
sulle due facce della lastra.
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Di conseguenza si può ritenere che il medesimo regime tensionale valga anche nei piani interni paralleli, con un errore tanto minore
quanto più piccolo è lo spessore della trave. E’ quindi possibile affermare che la distribuzione delle tensioni 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 − 𝜏𝑥𝑦 è
indipendente dall’asse z.
6. Forze di massa nulle
E’ possibile considerare il peso proprio della lastra trascurabile, in quanto molto inferiore ai carichi esterni agenti su di essa; si pongono
quindi nulle le forze di massa nel sistema di riferimento Oxyz Fx = Fy = Fz = 0
Equazioni indefinite di equilibrio (2 equazioni)
Le equazioni indefinite di equilibrio forniscono un legame differenziale tra le componenti del tensore degli sforzi e le forze di massa agenti
nell’elemento strutturale; tale legame deve valere per ogni punto del mezzo e coinvolge anche le variazioni delle componenti di sforzo
tra due punti a distanza infinitesima.
EQUAZIONI GENERICHE EQUAZIONI APPLICATE AL
PROBLEMA
𝜕𝜎𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑧+ 𝐹𝑥 = 0
𝜕𝜎𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑦= 0 (1)
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜎𝑦
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑧+ 𝐹𝑦 = 0
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜎𝑦
𝜕𝑦= 0 (2)
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𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑦+
𝜕𝜎𝑧
𝜕𝑧+ 𝐹𝑧 = 0 0 = 0 (3)
Equazioni di legame costitutivo (3 equazioni linearmente indipendenti)
EQUAZIONI GENERICHE EQUAZIONI APPLICATE AL
PROBLEMA
𝜀𝑥 = 𝜎𝑥
𝐸−
𝜐
𝐸(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧) 𝜀𝑥 =
𝜎𝑥
𝐸−
𝜐
𝐸𝜎𝑦 (4)
𝜀𝑦 = 𝜎𝑦
𝐸−
𝜐
𝐸(𝜎𝑥 + 𝜎𝑧) 𝜀𝑦 =
𝜎𝑦
𝐸−
𝜐
𝐸𝜎𝑥 (5)
𝜀𝑧 = 𝜎𝑧
𝐸−
𝜐
𝐸(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦) 𝜀𝑧 = −
𝜐
𝐸(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦) (6)
𝛾𝑥𝑦 =𝜏𝑥𝑦
𝐺 𝛾𝑥𝑦 =
𝜏𝑥𝑦
𝐺 (7)
𝛾𝑥𝑧 =𝜏𝑥𝑧
𝐺 𝛾𝑥𝑧 = 0 (8)
𝛾𝑦𝑧 =𝜏𝑦𝑧
𝐺 𝛾𝑦𝑧 = 0 (9)
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Dalla relazione (4) si ottiene:
𝜎𝑥 = 𝐸𝜀𝑥 + υ𝜎𝑦 (10)
Dalla relazione (5):
𝜎𝑦 = 𝐸𝜀𝑦 + υ𝜎𝑥 (11)
𝜀𝑧 = −υ
𝐸[𝐸𝜀𝑥 + υ𝜎𝑥 + 𝐸𝜀𝑦 + υ𝜎𝑦] (12)
𝜀𝑧 = −υ(𝜀𝑥 + 𝜀𝑦) −υ2
𝐸(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦) (13)
𝜀𝑧 = −υ(𝜀𝑥 + 𝜀𝑦) + 𝜐𝜀𝑧 (14)
𝜀𝑧 = −υ
(1 − υ)(𝜀𝑥 + 𝜀𝑦) (15)
Da cui si evince che l’equazione 6 è linearmente dipendente dalla 4 e 5.
Inoltre, ad uno stato di sforzo piano non corrisponde uno stato di deformazione piano
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Equazioni di congruenza interna (4 equazioni linearmente indipendenti)
Tale gruppo di equazioni indica le condizioni alle quali devono sottostare le deformazioni lineari 𝜀 ed angolari 𝛾 in modo che possa essere
ricavato, attraverso opportune integrazioni, un campo di spostamenti regolare. Sono sei equazioni di tipo omogeneo in cui compaiono le
derivate seconde del tensore delle piccole deformazioni.
EQUAZIONI GENERICHE EQUAZIONI APPLICATE AL PROBLEMA
𝜕2𝜀𝑥
𝜕𝑦2+
𝜕2𝜀𝑦
𝜕𝑥2=
𝜕2𝛾𝑥𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕2𝜀𝑥
𝜕𝑦2+
𝜕2𝜀𝑦
𝜕𝑥2=
𝜕2𝛾𝑥𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦 (16)
𝜕2𝜀𝑦
𝜕𝑧2+
𝜕2𝜀𝑧
𝜕𝑦2=
𝜕2𝛾𝑦𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑧
𝜕2𝜀𝑧
𝜕𝑦2= 0 (17)
𝜕2𝜀𝑥
𝜕𝑧2+
𝜕2𝜀𝑧
𝜕𝑥2=
𝜕2𝛾𝑥𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑧
𝜕2𝜀𝑧
𝜕𝑥2= 0 (18)
2𝜕2𝜀𝑥
𝜕𝑦𝜕𝑧=
𝜕2𝛾𝑥𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑧+
𝜕2𝛾𝑥𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦+
𝜕2𝛾𝑦𝑧
𝜕𝑥2 0 = 0 (19)
2𝜕2𝜀𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑧=
𝜕2𝛾𝑥𝑦
𝜕𝑦𝜕𝑧+
𝜕2𝛾𝑦𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦+
𝜕2𝛾𝑥𝑧
𝜕𝑦2 0 = 0 (20)
2𝜕2𝜀𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦=
𝜕2𝛾𝑥𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑧+
𝜕2𝛾𝑦𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑧+
𝜕2𝛾𝑥𝑧
𝜕𝑧2
𝜕2𝜀𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦= 0 (21)
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Equazione biarmonica delle lastre
Grazie all’ipotesi di stato piano di sforzo, si sono semplificate un’equazione di equilibrio e due di congruenza.
Si ottengono pertanto 9 equazioni (2 di equilibrio, 3 di legame e 4 di congruenza interna)
Il problema presenta 6 incognite individuate:
- dalle tre componenti di sforzo 𝜎𝑥 ; 𝜎𝑦 ; 𝜏𝑥𝑦 e
- dalle tre componenti di deformazione 𝜀𝑥 ; 𝜀𝑦 ; 𝛾𝑥𝑦. Il problema risulta pertanto indeterminato e ciò comporta una risoluzione non univoca del sistema. È quindi necessario inserire
un’ulteriore ipotesi che consiste nell’identificare il coefficiente di contrazione trasversale o coefficiente di Poisson nullo (υ=0).
Il problema in esame è comunque ben posto, sfruttando l’ipotesi υ=0, per il fatto che, essendo lo spessore molto piccolo rispetto alle altre
dimensioni, è lecito considerare la contrazione tendente a zero nella direzione dell’asse principale z.
In questo caso, oltre a stato piano di sforzo, è possibile affermare che il problema è governato da uno stato piano di deformazione.
Il risultato ottenuto consente quindi di ridurre il numero di equazioni (εz =0) da nove a sei, in modo da averle pari al numero delle
incognite al fine di rendere il sistema univocamente determinato.
Sostituendo nelle equazioni di congruenza le deformazioni 𝜀𝑥 ; 𝜀𝑦 si ha:
𝜕2
𝜕𝑦2[1
𝐸(𝜎𝑥 − υ𝜎𝑦)] +
𝜕2
𝜕𝑥2[1
𝐸(𝜎𝑦 − υ𝜎𝑥)] =
𝜕2
𝜕𝑥𝜕𝑦(
𝜏𝑥𝑦
𝐺) =
2(1 + υ)
E
𝜕2𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦 (22)
𝜕2
𝜕𝑦2[(𝜎𝑥 − υ𝜎𝑦)] +
𝜕2
𝜕𝑥2[(𝜎𝑦 − υ𝜎𝑥)] = 2(1 + υ)
𝜕2𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦 (23)
Derivando e sommando le due equazioni indefinite di equilibrio (1) e (2) si ottiene:
𝜕2𝜎𝑥
𝜕𝑥2+
𝜕2𝜎𝑦
𝜕𝑦2= −2
𝜕2𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦 (24)
Inoltre, sfruttando la linearità dell’operatore derivata, è possibile esplicitare la (22) come:
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𝜕2𝜎𝑥
𝜕𝑦2− υ
𝜕2𝜎𝑦
𝜕𝑦2+
𝜕2𝜎𝑦
𝜕𝑥2− υ
𝜕2𝜎𝑥
𝜕𝑥2= 2
𝜕2𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦+ 2υ
𝜕2𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦 (25)
Sfruttando l’ipotesi di spessore piccolo e di non contrazione del materiale è possibile combinare le equazioni (24) e (25):
∂2σx
∂y2+
𝜕2𝜎𝑦
𝜕𝑥2− 2
𝜕2𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦= υ
𝜕2𝜎𝑦
𝜕𝑦2+ υ
𝜕2𝜎𝑥
𝜕𝑥2+ 2υ
𝜕2𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦 (26)
𝜕2𝜎𝑥
𝜕𝑦2+
𝜕2𝜎𝑦
𝜕𝑥2− 2
𝜕2𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦= υ [
𝜕2𝜎𝑦
𝜕𝑦2+
𝜕2𝜎𝑥
𝜕𝑥2+ 2
𝜕2𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦] (27)
𝜕2𝜎𝑥
𝜕𝑦2+
𝜕2𝜎𝑦
𝜕𝑥2− 2
𝜕2𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦= 0 dalla (24) (28)
𝜕2𝜎𝑥
𝜕𝑦2+
𝜕2𝜎𝑦
𝜕𝑥2+
𝜕2𝜎𝑥
𝜕𝑥2+
𝜕2𝜎𝑦
𝜕𝑦2= 0 (29)
In conclusione si ottiene:
(𝜕2
𝜕𝑥2+
𝜕2
𝜕𝑦2) (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦) = 0 Equazione di congruenza di Mitchell-Beltrami (30)
E’ possibile scrivere la relazione nella forma compatta:
𝛻2(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦) = 0 Equazione risolvente delle lastre (31)
Equazione differenziale a due variabili di tipo armonico in cui compaiono le derivate seconde degli sforzi lungo x ed y.
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Metodo di Airy per la risoluzione dell’equazione delle lastre
Si consideri una funzione potenziale continua F(x;y), o funzione di Airy, tale che:
𝜎𝑥 =𝜕2F (x,y)
𝜕𝑦2 (32)
𝜎𝑦 =𝜕2F (x,y)
𝜕𝑥2 (33)
𝜏𝑥𝑦 = −𝜕2F (x,y)
𝜕𝑥𝜕𝑦 (34)
La funzione definita soddisfa le equazioni di equilibrio e di congruenza:
(𝜕2
𝜕𝑥2+
𝜕2
𝜕𝑦2) (
𝜕2F (x,y)
𝜕𝑦2+
𝜕2F (x,y)
𝜕𝑥2) = 0 (35)
𝜕4F (x,y)
𝜕𝑥4+ 2
𝜕4F (x,y)
𝜕𝑥2𝜕𝑦2+
𝜕4F (x,y)
𝜕𝑦4= 0 (36)
(𝜕2
𝜕𝑥2+
𝜕2
𝜕𝑦2) (
𝜕2
𝜕𝑥2+
𝜕2
𝜕𝑦2) F (x,y)=0 ∇2∇2𝐹(𝑥, 𝑦) = ∇4𝐹(𝑥, 𝑦) = 0
𝛁𝟒𝑭(𝒙, 𝒚) = 𝟎
Equazione di Airy (37)
La relazione ottenuta attraverso l’utilizzo dell’operatore doppio di Laplace (∇2∇2= ∇4) viene definita anche come equazione bi-armonica
delle lastre o equazione di Airy. Quest’ultima è un’equazione differenziale del quarto ordine alle derivate parziali esprimibile come una
certa combinazione lineare di funzioni armoniche.
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Funzioni di Airy di tipo polinomiale
Essendo l’equazione di Airy di IV grado, essa risulta soddisfatta da un qualsiasi polinomio di grado inferiore al IV: tutti questi polinomi
sono biarmonici e soluzione di un particolare problema piano negli sforzi (e nelle deformazioni avendo posto per ipotesi 𝜐 = 0).
Caso con polinomio di secondo grado
La più semplice espressione associabile ad F che comporta degli sforzi non nulli, è la funzione polinomiale di secondo grado, che risulta
biarmonica per qualunque valore delle costanti 𝑎𝑖:
F ( x , y ) = 𝑎0𝑥2 + 𝑎1𝑥𝑦 + 𝑎2𝑦2 Funzione di Airy (38)
Applicando le relazioni (32), (33) e (34) allo specifico caso del polinomio di secondo grado si ottengono delle soluzioni dipendenti da
costanti:
𝜎𝑥 =𝜕2F (x,y)
𝜕𝑦2= 2𝑎2 (39)
𝜎𝑦 =𝜕2F (x,y)
𝜕𝑥2= 2𝑎0 (40)
𝜏𝑥𝑦 = −𝜕2F (x,y)
𝜕𝑥𝜕𝑦= −𝑎1 (41)
Si osservi che la funzione di Airy descritta in questo modo, rappresenta uno stato di sforzo costante nella lastra, coincidente con gli sforzi
lungo il contorno.
Applicando le condizioni al contorno sui bordi della lastra si ottengono i seguenti valori:
- Condizione al contorno corrispondente a 𝑦 = 𝑎2⁄
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Permette di ricavare la relazione che indica il valore del carico normale al bordo parallelo all’asse x:
𝜎𝑦 ∙ 𝑠 = 2𝑎0 ∙ 𝑠 = 𝑝𝑦 (42)
- Condizione al contorno corrispondente a 𝑥 = 𝑏2⁄
Permette di ricavare la relazione che indica il valore del carico normale al bordo parallelo all’asse y:
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𝜎𝑥 ∙ 𝑠 = 2𝑎2 ∙ 𝑠 = 𝑝𝑥 (43)
Analogamente è possibile ricavare le componenti tangenziali ai bordi:
- Condizione al contorno corrispondente a 𝑦 = 𝑎2⁄
𝜏𝑥𝑦 ∙ 𝑠 = −𝑎1 ∙ 𝑠 = 𝑝𝑥𝑇 (44)
- Condizione al contorno corrispondente a 𝑥 = 𝑏2⁄
𝜏𝑥𝑦 ∙ 𝑠 = −𝑎1 ∙ 𝑠 = 𝑝𝑦𝑇 (45)
Essendo le forze di massa nulle e le tensioni costanti indipendenti dal punto considerato, per soddisfare le condizioni al contorno, sui lati
della lastra dovranno agire le forze normali 𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 e le forze tangenziali 𝑝𝑥𝑇 , 𝑝𝑦
𝑇.
In questo modo la condizione di congruenza è rispettata la soluzione risulta essere esatta.
Caso con polinomio di terzo grado
Si consideri ora, per la funzione di sforzo, l’espressione cubica che soddisfa l’equazione biarmonica per ogni valore delle costanti.
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F ( x , y ) = 𝑏0𝑥3 + 𝑏1𝑥2𝑦 + 𝑏2𝑥𝑦2+𝑏3𝑦3 Funzione di Airy (46)
Applicando le relazioni (39) (40) (41) al nuovo problema si ottiene:
𝜎𝑥 =𝜕2F (x,y)
𝜕𝑦2= 2𝑏2𝑥 + 6𝑏3𝑦 (47)
𝜎𝑦 =𝜕2F (x,y)
𝜕𝑥2= 6𝑏0𝑥 + 2𝑏1𝑦 (48)
𝜏𝑥𝑦 = −𝜕2F (x,y)
𝜕𝑥𝜕𝑦= −2(𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑦) (49)
Si riconoscono nelle (47) (48) e (49) quattro casi indipendenti ognuno associato ad una costante.
- Imponendo 𝑏0 = 𝑏1 = 𝑏2 = 0 si ottiene:
𝜎𝑥 = 6𝑏3𝑦 𝜎𝑦 = 𝜏𝑥𝑦 = 0 (50)
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- Per 𝑏0 = 𝑏2 = 𝑏3 = 0 si ha invece:
𝜎𝑥 = 0 𝜎𝑦 = 2𝑏1𝑦 𝜏𝑥𝑦 = −2𝑏1𝑥 (51)
I restanti due casi comportano solamente uno scambio tra gli assi x ed y.
Per ottenere le medesime soluzione delle travi di Navier (primo e secondo caso) in una lastra/trave alta, occorre avere particolari
configurazioni di carico esterno.
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Polinomi di grado superiore al terzo
Come premesso, in questi casi la funzione F(x;y) non è automaticamente soddisfatta perciò è necessario imporre la congruenza che genera
relazioni fra i coefficienti del polinomio.
Per esempio nel caso di polinomio di IV grado:
F ( x , y ) = 𝑏0𝑥4 + 𝑏1𝑥3𝑦 + 𝑏2𝑥2𝑦2+𝑏3𝑥𝑦3 + 𝑏4𝑥𝑦4 (52)
(𝜕2
𝜕𝑥2+
𝜕2
𝜕𝑦2) (
𝜕2
𝜕𝑥2+
𝜕2
𝜕𝑦2) F (x,y)=
𝜕4𝐹
𝜕𝑥4+ 2
𝜕4𝐹
𝜕𝑥2𝜕𝑦2+
𝜕4𝐹
𝜕𝑦4= 0 (53)
24𝑏0+24𝑏2+24𝑏4=0 (54)
3𝑏0+3𝑏2+3𝑏4=0 (55)
L’equazione (37) rappresenta la condizione necessaria affinché il polinomio di IV grado sia armonico.
Il limite delle soluzioni polinomiali è che la distribuzione degli sforzi deve necessariamente coincidere con la funzione scelta per la
soluzione. Sono soluzioni molto limitate per ambiti ristretti e casi di carico particolari.
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Funzioni di Airy con sviluppi in serie
Le soluzioni con sviluppi in serie si prestano a risolvere casi in cui si hanno carichi posti a distanze regolari e che possono essere definiti
periodici. Gli sviluppi in serie possono risolvere casistiche di carico molto più generali rispetto al caso delle funzioni polinomiali.
Considerando un elemento bidimensionale sottoposto a carichi periodici applicati sul bordo, è possibile individuarne una
rappresentazione matematica significativa.
Si ipotizza di associare il carico sollecitante ad una funzione periodica, ovvero ad una funzione che assuma dei valori che si ripetano
esattamente ad intervalli regolari; introducendo poi una serie di Fourier, che consiste nella rappresentazione di una funzione periodica
mediante una somma di funzioni armoniche, si giunge ad una schematizzazione matematica del problema in esame.
La serie di Fourier in forma trigonometrica che descrive il carico in figura è della forma:
p ( x ) =𝑝0
2+ ∑ 𝑝𝑛 cos(𝛼𝑛𝑥)
∞
𝑛=1
(56)
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con 𝛼𝑛 =nπ
a e a =
L
2 semiperiodo fondamentale
Come nel caso delle piastre sottili, il carico p(x) è rappresentato come somma di funzioni armoniche le quali aumentando in numero
migliorano l’approssimazione del carico in questione. Dalla figura seguente si osserva come la prima funzione armonica sovrastimi o
sottostimi il carico in molti punti, ma è ben visibile come già la seconda armonica compensi gli eccessi o i difetti della precedente.
Si può quindi osservare che seppur utilizzando due sole armoniche è possibile ottenere una buona approssimazione di funzioni senza
discontinuità; le funzioni con discontinuità richiedono un maggior numero di armoniche in particolare nelle zone di discontinuità.
Il calcolo dei coefficienti-pesi pi è sviluppato sfruttando le proprietà di ortogonalità delle funzioni armoniche:
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- PROPRIETA’ 1.
∫ 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑛𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑚𝑥)a
−a
𝑑𝑥 = 0 Se 𝑛 ≠ 𝑚 (57)
- PROPRIETA’ 2.
∫ 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑛𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑚𝑥)a
−a
𝑑𝑥 = a Se 𝑛 = 𝑚 (58)
Sfruttando la relazione (58), moltiplicandola per cos (𝛼𝑚𝑥) ed integrandola si ottiene:
∫ 𝑐𝑜𝑠 (𝛼𝑚𝑥)a
−a
𝑝(𝑥)𝑑𝑥 =𝑝0
2∫ 𝑐𝑜𝑠 (𝛼𝑚𝑥)
a
−a
𝑑𝑥 + ∑ 𝑝𝑛 ∫ 𝑐𝑜𝑠 (𝛼𝑚𝑥)a
−a
𝑐𝑜𝑠 (𝛼𝑛𝑥)
∞
𝑛=1
𝑑𝑥 (59)
Si osserva il verificarsi di tre casi distinti in funzione dei valori assunti da m e n.
- CASO 1 se 𝑚 ≥ 1 𝑒 𝑚 ≠ 𝑛
∫ 𝑐𝑜𝑠 (𝛼𝑚𝑥)a
−a
𝑑𝑥 = 0 ∫ 𝑐𝑜𝑠 (𝛼𝑛𝑥) 𝑐𝑜𝑠 (𝛼𝑚𝑥)𝑑𝑥 = 0a
−a
(60)
- CASO 2 se 𝑚 ≥ 1 𝑒 𝑚 = 𝑛
∫ 𝑐𝑜𝑠 (𝛼𝑚𝑥)a
−a
𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑛𝑥) 𝑑𝑥 = a da cui 𝑝𝑛 =1
a∫ 𝑝(𝑥) 𝑐𝑜𝑠 (𝛼𝑛𝑥)
a
−a
𝑑𝑥 (61)
- CASO 3 se 𝑚 = 0
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𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑚𝑥) = 0 ed essendo 𝛼𝑚 =𝑚𝜋
a= 0 (62)
∫ 𝑐𝑜𝑠 (𝛼𝑛𝑥)𝑑𝑥a
−a
= 0 quindi 𝑝0
2=
1
2a ∫ 𝑝(𝑥)
a
−a
𝑑𝑥 (63)
con po valore medio della funzione p(x).
Verifica grafica della composizione tra armoniche differenti
Si consideri il CASO 1 con m ≥ 1 e m ≠ n:
∫ 𝑠𝑖𝑛 (𝑛𝜋
a𝑥) 𝑠𝑖𝑛 (
𝑚𝜋
a𝑥) 𝑑𝑥
a
−a
= 0 (64)
In figura è rappresentata la prima armonica caratterizzata da 𝑠𝑖𝑛 (𝑛𝜋
a𝑥) con n = 1
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Di seguito è rappresentata la seconda armonica caratterizzata da 𝑠𝑖𝑛 (𝑚𝜋
a𝑥) con m = 2
In figura è rappresentata l’armonica risultante dalla composizione delle precedenti caratterizzata da 𝑠𝑖𝑛 (𝑛𝜋
a𝑥) 𝑠𝑖𝑛 (
𝑚𝜋
a𝑥) con n = 1 ed m =
2.
La soluzione si ottiene risolvendo il problema della trave alta per ogni armonica (determinando i relativi sforzi e le relative deformazioni).
Quindi si procede alla sovrapposizione degli effetti, valida in campo elastico.
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Lastra infinitamente alta e lunga
Si ipotizzi una lastra infinitamente alta e lunga a cui si applica il metodo degli sviluppi in serie di Fourier.
E’ possibile scrivere il carico nella forma:
p ( x ) =𝑝0
2+ ∑ 𝑝𝑛𝑐𝑜𝑠 (𝛼𝑛𝑥)
∞
𝑛=1
dove 𝑝0
2= 𝑝
2𝑐
𝐿 (65)
La soluzione sarà espressa in funzione di x ed y e la funzione di Airy facendo riferimento ad una delle n armoniche sarà scritta come:
F ( x , y ) = 𝑓𝑛(𝑦) 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑛𝑥) (66)
Il carico periodico è identificato da cos(αnx) e da una componente smorzante 𝑓𝑛(𝑦) dovuta al fatto che allontanandosi dalla zona di
applicazione dello stesso il suo effetto si smorza.
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Si ricerca la soluzione per la generica armonica in modo che F (x ,y) soddisfi tutte le condizioni (tra cui l’equazione biarmonica delle lastre):
𝜕4F (x,y)
𝜕𝑥4+ 2
𝜕4F (x,y)
𝜕𝑥2𝜕𝑦2+
𝜕4F (x,y)
𝜕𝑦4= 0 (67)
Nel caso specifico si ottiene:
[𝜕4𝑓𝑛(𝑦)
𝜕𝑦4− 2𝛼𝑛
2𝜕2𝑓𝑛(𝑦)
𝜕𝑦2+ 𝛼𝑛
4𝑓𝑛(𝑦)] 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑛𝑥) = 0 (68)
L’equazione differenziale risolvente utile per la ricerca della soluzione adatta per tutti i punti della lastra, può essere espressa nella forma:
𝑓𝑛(𝑦)𝐼𝑉 − 2𝛼𝑛2𝑓𝑛(𝑦)𝐼𝐼 + 𝛼𝑛
4𝑓𝑛(𝑦) = 0 (69)
L’integrale generale dell’equazione sarà:
𝑓n=[𝐴𝑛𝑒−𝛼𝑛𝑦 + 𝐵𝑛𝑒𝛼𝑛𝑦 + 𝐶𝑛𝑦𝑒−𝛼𝑛𝑦 + 𝐷𝑛𝑦𝑒𝛼𝑛𝑦] (70)
I coefficienti A, B, C, D si ricavano imponendo le condizioni al contorno.
6.1.1.1 Condizione al bordo superiore della lastra
Nella lastra infinitamente alta al crescere della coordinata y gli effetti del carico applicato tenderanno a scomparire e di conseguenza anche
le tensioni ad essi associate (derivate della funzione potenziale F assumeranno lo stesso comportamento.
E’ quindi possibile scrivere che per 𝑦 → ∞ si avrà𝑓𝑛 = 0 :
𝑙𝑖𝑚𝑦→∞
𝑓n = 𝑙𝑖𝑚𝑦→∞
[𝐴𝑛𝑒−𝛼𝑛𝑦 + 𝐵𝑛𝑒𝛼𝑛𝑦 + 𝐶𝑛𝑦𝑒−𝛼𝑛𝑦 + 𝐷𝑛𝑦𝑒𝛼𝑛𝑦] = 0 (71)
Si osserva che il termine 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑛𝑥) non è considerato in quanto oscillante, quindi non utile all’identificazione univoca della condizione al
contorno. Nel polinomio, individuato dalla relazione (71), si osserva che il primo ed il terzo termine con esponenziale negativo tendono
a zero all’aumentare della y, mentre il secondo ed il quarto tendono a zero solo al verificarsi della condizione 𝐵𝑛 = 𝐷𝑛 = 0.
Gli sforzi sono quindi definiti come:
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F(x;y) è soluzione del problema se, imponendo le condizioni al contorno, gli sforzi ottenuti risultano compatibili con i carichi.
In generale per condizioni di carico periodico simmetrico vanno adottate serie di coseni, per carichi antisimmetrici le serie di seni.
6.1.1.2 Condizione al bordo inferiore della lastra
La determinazione della condizione al contorno sul bordo inferiore della lastra risulta essere apparentemente più complessa dei casi
precedenti in quanto per y = 0 l’effetto del carico ed i relativi sforzi associati non sono nulli ma hanno un valore definito. Su tale bordo è
quindi possibile imporre due condizioni sugli sforzi, una sullo sforzo lungo y ed una sugli sforzi tangenziali.
- CONDIZIONE 1 per y = 0
𝜎𝑦 = 𝑝𝑛 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑛𝑥) Condizione sullo sforzo lungo y (75)
Applicando la relazione (73):
𝜎𝑦 =𝜕2F (x,y)
𝜕𝑥2= −𝛼𝑛
2[𝐴𝑛] 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑛𝑥) (76)
Eguagliando le relazioni (75) e (76) si ottiene:
𝜎𝑥 =𝜕2F (x,y)
𝜕𝑦2= 𝛼𝑛𝑒−𝛼𝑛𝑦[𝛼𝑛𝐴𝑛 + 𝐶𝑛(𝛼𝑛𝑦 − 2)] 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑛𝑥) (72)
𝜎𝑦 =𝜕2F (x,y)
𝜕𝑥2= −𝛼𝑛
2𝑒−𝛼𝑛𝑦[𝐴𝑛 + 𝐶𝑛𝑦] 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑛𝑥) (73)
𝜏𝑥𝑦 = −𝜕2F (x,y)
𝜕𝑥𝜕𝑦= 𝛼𝑛𝑒−𝛼𝑛𝑦[−𝛼𝑛𝐴𝑛 + 𝐶𝑛(−𝛼𝑛𝑦 + 1)] 𝑠𝑖𝑛(𝛼𝑛𝑥) (74)
F. Minelli
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𝑝𝑛 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑛𝑥) = −𝛼𝑛2[𝐴𝑛] 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑛𝑥) (77)
da cui:
𝑝𝑛 = −𝛼𝑛2[𝐴𝑛] (78)
Dalla relazione precedente è possibile ricavare il valore del coefficiente 𝐴𝑛:
𝐴𝑛 = −𝑝𝑛
𝛼𝑛2 (79)
- CONDIZIONE 2 per y = 0
𝜏𝑥𝑦 = 0 Condizione sullo sforzo tangenziale (80)
Applicando la relazione (74):
𝜏𝑥𝑦 = −𝜕2F (x,y)
𝜕𝑥𝜕𝑦= 𝛼𝑛[−𝛼𝑛𝐴𝑛 + 𝐶𝑛] 𝑠𝑖𝑛(𝛼𝑛𝑥) = 0 (81)
Tale condizione si verifica trascurando il termine 𝑠𝑖𝑛(𝛼𝑛𝑥) in quanto funzione oscillante e non univocamente annullabile per tutti i
punti.
Sostituendo il valore di 𝐴𝑛 ricavato nella relazione (79) si ottiene:
𝛼𝑛 [−𝛼𝑛
𝑝𝑛
𝛼𝑛2
+ 𝐶𝑛] = 0 (82)
Sviluppando i calcoli è possibile ottenere il valore del secondo coefficiente 𝐶𝑛:
F. Minelli
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𝐶𝑛 = − 𝑝𝑛
𝛼𝑛 (83)
Avendo ricavato i due coefficienti incogniti, si osserva che lo sforzo lungo x sul bordo inferiore sarà dato dalla relazione :
𝜎𝑥 =𝜕2F (x,y)
𝜕𝑦2= 𝛼𝑛 [−
𝑝𝑛
𝛼𝑛+ 2
𝑝𝑛
𝛼𝑛] 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑛𝑥) (84)
quindi dalla (84) si avrà:
𝜎𝑥 =𝜕2F (x,y)
𝜕𝑦2= 𝑝𝑛 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑛𝑥) (85)
Si osserva che la tensione lungo l’asse x coincide esattamente con lo sforzo lungo l’asse y, e di conseguenza è possibile affermare che σx ≡
σy.
Sostituendo i coefficienti precedentemente ricavati, è possibile scrivere la funzione potenziale di Airy per la lastra considerata:
F ( x , y ) = [−𝑝𝑛
𝛼𝑛2
𝑒−𝛼𝑛𝑦 −𝑝𝑛
𝛼𝑛𝑦𝑒−𝛼𝑛𝑦] 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑛𝑥) (86)
Si osserva che all’aumentare della coordinata y gli sforzi 𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 e 𝜏𝑥𝑦 tendono ad annullarsi, a smorzarsi con la quota e risulta interessante
capire quanto velocemente si smorza il loro contributo. Il termine smorzante presente nella relazione di Airy è della forma 𝑒−𝛼𝑛𝑦 ed
assume un valore differente considerando diverse armoniche.
CASO 1 – Prima armonica (quella con ampiezza maggiore)
Individuata da 𝑛 = 1 da cui deriva la scrittura:
𝛼𝑛 =𝜋
a dove a =
𝐿
2 rappresenta il semiperiodo fondamentale (87)
Il termine smorzante considerando 𝑦 = 𝑎 =𝐿
2 è quindi esprimibile come:
F. Minelli
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𝑒−𝛼𝑛𝑦 = 𝑒−𝜋𝑎
a = 𝑒−𝜋 = 0,043 = 4,3% (88)
Ad una quota pari a metà della luce il carico è già smorzato.
Prendendo in considerazione una 𝑦 = 𝐿 = 2𝑎 si ottiene invece:
𝑒−𝛼𝑛𝑦 = 𝑒−𝜋𝑎
2a = 𝑒−2𝜋 = 0,00187 = 1,87‰ (89)
Ad una distanza pari alla distanza fra i pilastri si possono trascurare gli effetti del carico, infatti gli sforzi sono sostanzialmente nulli.
CASO 2 – Seconda armonica
Individuata da 𝑛 = 2 da cui deriva la scrittura:
𝛼𝑛 =2𝜋
a dove a =
𝐿
2 rappresenta il semiperiodo fondamentale (90)
Il termine smorzante considerando 𝑦 = a =L
2 è quindi esprimibile come:
𝑒−𝛼𝑛𝑦 = 𝑒−2𝜋𝑎
a = 𝑒−2𝜋 = 0,00187 = 1,87‰ (91)
Prendendo in considerazione una 𝑦 = L si ottiene invece:
𝑒−𝛼𝑛𝑦 = 𝑒−2𝜋𝑎
2a = 𝑒−4𝜋 = 0,0000035 = 0,0035‰ (92)
E’ possibile concludere che, ipotizzando uno spessore unitario, la trattazione teorica della trave infinitamente alta e lunga è applicabile
correttamente anche a travi con altezza pari alla luce tra i pilastri. Considerando armoniche successive il termine smorzante è ancora più
evidente e già ad un’altezza pari al semiperiodo si ha un effetto praticamente ininfluente.
F. Minelli
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Andamento degli sforzi nell’esempio di lastra con carico appeso
Per il caso di carico appeso si ottiene lo stato di sforzo mostrato:
Lo sforzo 𝜎𝑥 ha un andamento non lineare e, passando dalla zona di appoggio a quella di mezzeria, subisce un’inversione di segno.
F. Minelli
29
Le 𝜏𝑥𝑦 sono nulle a metà campata e lungo la mezzeria del pilastro. Più schematicamente è possibile suddividere le zone sollecitate da stati
di sforzo differenti secondo la figura:
F. Minelli
30
Andamento delle isostatiche con carico appeso
F. Minelli
31
Andamento delle isostatiche con carico dall’alto
F. Minelli
32
Andamento tensionale della sezione in campata
Andamento tensionale nella sezione d’appoggio
F. Minelli
33
Andamento delle tensioni in una lastra con altezza limitata
F. Minelli
34
Quadro fessurativo dopo una prova su lastra in c.a. con carico dall’alto e appeso
F. Minelli
35
Determinazione dell’armatura nelle travi alte
Il tirante teso
Si pone infine il problema della determinazione dell’armatura, cioè del trasferimento della teoria elastica sinora considerata al caso di
strutture in calcestruzzo armato, che elastiche non sono, soprattutto nei riguardi della trazione. Quest’ultima viene affidata a barre di
armatura.
F. Minelli
36
Tuttavia, affinché la teoria elastica resti valida, è d’obbligo che il comportamento dell’elemento in calcestruzzo sia conseguentemente
anch’esso elastico, o per lo meno prossimo ad essere elastico. Ciò implica necessariamente che i livelli di deformazione, o più propriamente
di fessurazione, siano significativamente bassi.
Si consideri a tal proposito un elemento teso in calcestruzzo armato, che rappresenta una porzione piccola di trave alta (se sufficientemente
piccola, sarebbe soggetta ad un basso gradiente di sforzo a trazione, che pertanto può essere ricondotto ad una distribuzione costante),
durante il processo di carico quando viene raggiunta la prima fessurazione NCR, l’armatura si attiva assorbendo gradualmente sforzi di
trazione. Più questo passaggio avviene senza deformazioni significative, più lo scostamento dal primo ramo elastico è basso. Se la zona
fessurata è piccola (distanza ε1-ε2) è possibile ancora ritenere valida la soluzione elastica fino ad ora utilizzata.
Per ottenere questo si limita il rapporto ε2/ε1:
2
1
1
4
( )
CR CR
id c c s
N N
A E A nA
(in questa formulazione viene del tutto ignorato l’effetto irrigidente tra armatura e calcestruzzo, costituito dal tension stiffening). Il valore
limite di 4 è particolarmente severo, visto che nelle applicazioni classiche è dell’ordine di 10.
ss
CR
AE
N
2
2
1
( ) 1 1 1( ) ( ) 4C c s c
s s s s
E A nA An n
E A n A n
dove con s si indica la percentuale di armatura.
Semplificando :
F. Minelli
37
1
3S
n
15%
20S (con n=7)
Tale percentuale d’armatura è molto diversa da quella adottata nella pratica delle travi in calcestruzzo armato, per le quali si adotta una
percentuale di armatura su valori intorno allo 0.7-1.3%. Ad una percentuale di armatura così alta corrisponde una tasso di lavoro basso,
che può essere stimato nel seguente modo:
ct c s s
c
s sct s s
A A
A s z
A
s z
per cui ad un valore limite di resistenza a trazione pari a circa 40-50 kg/cm2 corrisponde un tasso di lavoro di 800-1000 kg/cm2, valore
molto basso.
F. Minelli
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Armatura di una lastra a due campate e carico dall’alto e supporto rinforzato da pilastri o lesene
F. Minelli
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Armatura di una lastra ad una campata con carico appeso