la transformada z.pdf

6LA TRANSFORMADA Z

6.1 Definición de la Transformada z

En el capítulo anterior se estudiaron métodos para describir y analizar el comportamiento de sistemas discretos lineales

e invariantes con el tiempo o desplazamiento. Estas técnicas se llevan a cabo en el dominio del tiempo ya que las señales

se representan como funciones del tiempo. Sin embargo, aunque dichos procedimientos son simples pueden resultar en

ocasiones muy laboriosos. En este capítulo, se introduce una herramienta matemática que simplifica el análisis y

síntesis de los sistemas discretos lineales e invariantes con el tiempo, la transformada z.

De manera análoga a la transformada de Laplace que se aplica a los sistemas continuos lineales e invariantes con el

tiempo, la transformada z se utiliza en el análisis de los sistemas discretos lineales e invariantes con el tiempo. La

transformada z permite realizar operaciones y “ver” propiedades y características de los sistemas y señales discretos en

una forma más simple que en el dominio del tiempo. La técnica que se presenta en este capítulo recibe el nombre de

análisis en el dominio de la frecuencia.

Considere las tres señales mostradas en la Fig.6.1; la primera, f(t), es una función del tiempo continua. La segunda

señal, fs(t), se obtiene multiplicando una secuencia periódica de impulsos unitarios de periodo T por f(t), es decir

f t f t t f t t nT f nT t nTs T

nn

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )� � � � ��

�

�

�

�� 00

(6.1)

143

Real{ }Real{ }

Imaginaria{ }Imaginaria{ }

Círculo unitario

1-1

j

-j

y la señal f[n] es la secuencia discreta de f(t).

La transformada de Laplace unilateral de fs(t) es Fs(s), es decir

F s f t f nT es s

nTs

n

( ) { ( )} [ ]� � �

�

�

�L

0

(6.2)

si en la ecuación anterior se hace la siguiente sustitución

z e e e esT j T T j T� � ��( )� � (6.3)

se define la transformada z unilateral de f(nT) como

F z f t f[nT] f[nT]z ns z e

n

sT( ) { ( )} { }� � � ��

�

�

�L Z

(6.4)

para toda z que haga que F(z) converja; por lo que el conjunto de valores de z para los cuales F(z) existe se denomina

región de convergencia.

La Ec. (6.3) se puede considerar como un mapeo del plano complejo s a el plano complejo z, como se muestra en la Fig

6.2. El origen y el eje imaginario del plano s corresponden al punto 1 + j0 y al círculo unitario del plano z

respectivamente.

144

6 LA TRANSFORMADA Z

f(t)

0t

t

f (t)s

0 T 2T 3T 4T 5T

f[n]

0n=t/T

1 2 3 4 5

(a)

(b)

(c)

Figura 6.1. (a) Señal continua. (b) Señalunción muestreada. (c) Señal discreta.

Cuando � � 0, z e T� �� 1 el semi plano izquierdo del plano s se mapea en el interior del círculo unitario del plano z,

o dicho de otra manera, hay una correspondencia entre la región de estabilidad de los sistemas continuos y la región de

estabilidad de los sistemas discretos.

La secuencia f[nT] se dice que es la transformada z inversa de F(z) y puede ser unívocamente determinada por

f nTj

F z z dzn[ ] ( )� �

�1

2

1

�Transformada z inversa (6.5)

donde � es un contorno en sentido antihorario que encierra todas las singularidades de F z z n( ) �1 (el lugar geométrico de

los puntos donde F z z n( ) � � �1 , es decir los polos).

De esta manera, la secuencia f[nT] y la función compleja F(z) se dice que constituyen un par de transformación z , que

se simboliza por

f nT F z[ ] ( )� (6.6)

o

� �Z

Z

f nT F z

F z f nT

[ ] ( )

{ ( )} [ ]

�

��1

(6.7)

La transformada z unilateral, Ec. (6.4), considera secuencias para n � 0 únicamente, que para la mayoría de los

problemas de naturaleza práctica resulta suficiente.

En lo que sigue y con la finalidad de simplificar, el periodo de muestreo, T, se considera igual a uno.

6.2 Propiedades de la Transformada z

Unicidad

La transformada z es única

f n g n F z G z[ ] [ ] ( ) ( )� � � (6.8)

145


Real{ }Real{ }

Imaginaria{ }Imaginaria{ }

Círculo unitario

1-1

j

-j

Figura 6.2. Mapeo del plano s al plano z, con s esT�

Linealidad

La transformada z es lineal

af n bg n aF z bG z[ ] [ ] ( ) ( )� � � (6.9)

Desplazamiento en el tiempo

Atraso

f n m f n m z n

n

[ ] [ ]� � � �

�

�

�0

haciendo el cambio de variable l n m� � ; cuando n � 0, l m� � y cuando n � �, l � �

f n m f l z z f l z z f l z z f l zl m m l m l m l

l

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]� � � � ��

��

�

�

�

��

�

��

�

��mll ml m

1

0

así

f n m z F z z f l zm m l

l m

[ ] ( ) [ ]� � ��

��

�

�1

(6.10)

Adelanto

f n m f n m z n

n

[ ] [ ]� � � �

�

�

�0

haciendo el cambio de variable l n m� �

f n m f l z z f l z z f l z z f l zl m m l m l m l

l

m

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]� � � � ��

� 0

�

�

�

�

�

�

�

��1

0ll ml m

finalmente

f n m z F z z f l zm m l

l

m

[ ] ( ) [ ]� � � �

�

�

�0

1

(6.11)

Convolución

La respuesta de estado cero de un sistema lineal, causal, invariante con el tiempo y que empieza en n � 0, está dada por

la sumatoria de convolución.

y n x n h n x m h n m Y z x m h n mzs zs

m

n

[ ] [ ]* [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ]� � � � � ��

0

��

��

�

�

�

�� z n

nm

n

00

en la transformada z, el índice n de la sumatoria exterior varía de cero hasta infinito, y el índice m de la sumatoria

interior de cero a n, por consiguiente, el índice superior de m se puede sustituir por infinito. Entonces

y n x m h n m Y z x m h n m zzs zs

m

n

n

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ]� � � � ��

��

��

0�

�

��

00m

n

146

6 LA TRANSFORMADA Z

cambiando el orden de las sumatorias

y n x m h n m Y z x m h n m zzs zs

n

n[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ]� � � � ��

��

��

��

0

x m h n m z n

nmmm

n

[ ] [ ]� �

�

�

�

�

�

�

��

0000

con el cambio de variable l n m� � , en la segunda sumatoria

y n x m h n m Y z x m h l z x m z h lzs zs

l m m[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]� � � � �� z l

l mml mmm

n�

��

�

�

�

��

�

�

�

��

000

pero h l[ ] � 0, para l � 0 ya que trata de un sistema causal, por tanto

y n x m h n m Y z x m z h l z X z H zzs zs

m l

l

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ( )� � � � ��

� 000

�

�

�

��

mm

n

(6.12)

De esta ecuación, se deduce que la transformada z de la respuesta al impulso, h[n], es la función de transferencia H(z).

O sea

h n H z[ ] ( )� (6.13)

De la Ec. 6.12

H zY z

X z

zs( )( )

( )� (6.14)

este resultado establece, de manera semejante al caso continuo, que la función de transferencia de un sistema discreto

lineal, invariante con el tiempo, causal y que inicia en n = 0 es igual a la razón de la transformada z de la respuesta de

estado cero a la transformada z de la entrada.

La función de transferencia de un sistema lineal e invariante con el tiempo siempre es una función racional de la

variable compleja z, es decir, que se puede escribir como la razón de dos polinomios de z. Así, H(z) se puede expresar

como

H zN z

D z

k z z z z z z

z p z p z P( )

( )

( )

( )( )( )

( )( )(� �

� � �

� � �1 2 3

1 2

�

3)�

(6.15)

La constante k constituye la ganancia, las constantes z z z1 2 3, , ,�se denominan los ceros de H(z), ya que son valores de

z para los cuales H(z) es cero. Por el contrario p p p1 2 3, , ,� se conocen como los polos de H(z), y proporcionan los

valores de z para los cuales H(z) tiende a infinito.

En general, la transformada z de la sumatoria de convolución de dos señales discretas arbitrarias f1[n] y f2[n] es igual al

producto de sus transformadas z

f n f n F z F z1 2 1 2[ ]* [ ] ( ) ( )� (6.16)

Escalamiento

Multiplicar una secuencia f[n] por a n , mapea la transformada z con un argumento escalado.

147


a f n a f n z f n z a F z an n n n

nn

[ ] [ ] [ ]( / ) ( / )� � ��

�

�

�

�

��00

(6.17)

Derivación

nf n nf n z z f n nz z f ndz

dz

n nn

n

[ ] [ ] [ ] [ ]� � � ��

��

�

��

� � ��

�

�

�1

0nn

n

n

zd

dzf n z

�

�

�

��

�

�

�� 00 0

[ ]

así

nf n zdF z

dz[ ]

( )� � (6.18)

Teorema del valor inicial

Este teorema permite conocer el valor inicial f[0] de una secuencia a partir de la transformada F(z) sin obtener la

transformada z inversa de F(z). De la definición de la transformada z

F z f n z f f z f zn

n

( ) [ ] [ ] [ ] [ ]� � � � ��

�

�

� 0 1 21 2

0

�

entonces

lim [ ] [ ] lim ( )n z

f n f F z� ��

� �0

0 (6.19)

Teorema del valor final

El teorema establece lo siguiente

lim [ ] [ ] lim( ) ( )n z

f n f z F z��

� � � �1

1 (6.20)

Para probar este teorema, considere

!f n u n f n u n f n u n f n u n zn

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]� � � � � � ��

��1 1 1 1

0

n

aplicando la propiedad de desplazamiento en el tiempo

!f n u n f n u n z F z z F zz

zn

n[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( )� � � � � ��"

#$

�

�� 1 1

1

0

1 %&'F z( )

ecuación que se puede escribir como

!lim [ ] [ ] [ ] [ ] ( )N

n

Nnf n u n f n u n z

z

zF z

��

�� "

#$

%&'� 1 1

1

0

Obteniendo el límite cuando z �1

148

6 LA TRANSFORMADA Z

!lim lim [ ] [ ] [ ] [ ] liz N

n

n

N

f n u n f n u n z� ��

�

�

� � ��

��

��1

0

1 1 m ( )z

z

zF z

�

�"#$

%&'

1

1

de donde

!lim [ ] [ ] [ ] [ ] lim( ) ( )N

n

N

zf n u n f n u n z F z

��

�� 1 1 1

01

desarrollando la sumatoria

lim [ ] lim( ) ( )N z

f N z F z��

� �1

1

pero N puede ser cualquier variable, por lo tanto

lim [ ] lim( ) ( )n z

f n z F z��

� �1

1

Debe tenerse cuidado al aplicar este teorema; ya que para que sea válido (z - 1)F(z) debe ser analítica para z �1, lo que

equivale a decir que (z - 1)F(z) no puede tener polos sobre o fuera del círculo unitario.

Tabla 6.1 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z UNILATERAL

No. f n n[ ]; � 0 F z( )

f nj

F z z dzn[ ] ( )� ��1

2

1

�F z f n z n

n

( ) [ ]� �

�

�

�0

1 Unicidad x n y n[ ] [ ]� X z Y z( ) ( )�

2 Linealidad a f nn n

n

N

[ ]��

1

a F zn

n

N

n

��

1

( )

3 Desplazamiento (Atraso) f n m[ ]� z F z z f l z mm m l

l m

� � �

��

�

� ��( ) [ ]1

0

4 Desplazamiento (Adelanto) f n m[ ]� z F z z f l z mm m l

l

m

( ) [ ]� ��

�

�

�0

1

0

5 Sumatoria de convolución f m f n mm

n

1 2

0

[ ] [ ]�� F z F z

1 2( ) ( )

6 Multiplicación en el tiempo f n f n1 2[ ] [ ]

1

2

1 2

( ( (

(j

F F z d( ) ( / )

��

149


7 Escalamiento a f nn [ ] F z a( / )

8 Derivación nf n[ ] �zdF z

dz

( )

9 Teorema del valor inicial lim [ ] [ ]n

f n f�

�0

0 lim ( )z

F z��

10 Teorema del valor final lim [ ]n

f n��

lim( ) ( )z

z F z�

�1

1

Tabla 6.2 PARES DE TRANSFORMADAS Z

x n( ) X z( )

1 �[ ]n 1

2 �[ ]n m� z m�

3 u n[ ]z

z �1

4 u n m[ ]�z

zz m

��

1

5 nu n[ ]z

z( )�1 2

6 n u n2 [ ]z z

z

2

31

�

�( )

7 a u nn [ ]z

z a�

8 na u nn�1 [ ]z

z a( )� 2

9n n n m

ma u nn m[ ] [ ]

![ ]

� � � �1 1� z

z a m( )� � 1

10 e u nnb [ ]z

z eb�

150

6 LA TRANSFORMADA Z

11 cos[ ] [ ]n u nz z

z z

[ cos( )]

cos( )

�

� �

2 2 1

12 sen n u n[ ] [ ]zsen

z z

( )

cos( )

2 2 1� �

13 cosh[nb]u[n]z z b

z z b

[ cosh( )]

cosh( )

�

� �2 2 1

14 senh nb u n[ ] [ ]zsenh b

z z b

( )]

cosh( )2 2 1� �

15 f n e u nnb[ ] [ ]� F zeb( )

Ejemplo 1

Función unitaria o impulso

� �[ ] [ ]n n z n

n

� ��

�

�

� 10

� �[ ] [ ]n m n m z zn m

n

� � � ��

�

�

�0

(Región de convergencia, z ) 0) (6.21)

Secuencia unitaria o escalón unitario discreto

u n u n z zz

z

z

n n

nn

[ ] [ ]� � ��

��

� �

��

�

�

�

�� 1

1 1100

(Razón de convergencia, z )1) (6.22)

La ecuación anterior se puede verificar, recordando

xx

x

nN

n

N

��

�

�

�� 1

1

1

0

(Serie geométrica)

y empleando la propiedad de desplazamiento, Ec. (6.10)

u n mz

z

z

zz

mm[ ]� �

��

�

�

�

�

1 11* +z )1 (6.23)

Secuencia rampa

Considerando la propiedad de derivación, Ec. (6.18)

r n nu n zd

dz

z

z

z

z[ ] [ ]

( )� � �

��

��

��1 1 2

* +z )1 (6.24)

Secuencia parábola

151


Nuevamente con la Ec. (6.18)

p n n u n zd

dz

z

z

z z

z[ ] [ ]

( ) ( )� � �

�

�

��

�

��

�

�2

2

2

31 1* +z )1 (6.25)

Ejemplo 2

Secuencia exponencial

Con la propiedad de escalamiento, Ec. (6.17)

( ) [ ] ( ) [ ]e u n e u n

z

ez

e

z

z e

wn w nw

w

w� �

��

�1* +z ew) (6.26)

Con la Ec. (6.26), es posible determinar los siguientes pares de transformadas

cos( ) [ ] [ ][ cos( )]

cos( )n u n

e eu n

z z

z z

j j

��

��

� �

�

2 2 12* +z )1 (6.27)

sen n u ne e

ju n

z sen

z z

j j

( ) [ ] [ ]( )

cos( )

��

��

�

2 2 12* +z )1 (6.28)

Ejemplo 3

Obtenga la transformada z de la siguiente función

f n n sen n u nn[ ] ( )( . ) [ ( )] [ ]� � � ��1 026

1 11 (6.29)

Solución

De la Ec.(6.28), se tiene

sen n u nz

z z

6

05

23

212

"#$

%&' �

� �

[ ].

Considerando la propiedad de escalamiento, Ec. (6.17)

152

6 LA TRANSFORMADA Z

( . ) [ ]

..

.

026

0502

023

2

n sen n u n

z

z z

"#$

%&' �

"#$

%&'

"#$

%&' �

021

01

02 3 022 2

.

.

. ( . )"#$

%&' �

��

z

z z

con la propiedad de derivación, Ec. (6.18)

n sen n u n zd

dz

z

z z

n( . ) [ ].

. ( . )02

6

01

02 3 022 2

"#$

%&' � �

� �

"

#$$

%

&''

n sen n u n zz

z z

n( . ) [ ]. . ( . )

.02

6

01 01 02

0 4 3

2 2

4

"#$

%&' � �

� �

� 3 2 2 3 45 02 2 3 02 02� � �( . ) ( . ) ( . )z z

finalmente, aplicando la propiedad de desplazamiento, Ec. (6.10)

� �Z Zf n n senn

u nn[ ] ( )( . )( )

[ ]� ��"

#$

%&' ��

��

��

�1 021

611

� �Z Zf n z n senn

u nzn[ ] ( . ) [ ]

. . (� "

#$

%&'

��

��

��1

2

026

01 01 02

0 4 3 5 02 2 3 02 02

2

4 3 2 2 3 4

. )

. ( . ) ( . ) ( . )z z z z� � � �

� �Z f n F zz

z z z z[ ] ( )

. .

. . . .� �

�

� � � �

01 0004

06928 02 00277 0

2

4 3 2 0016* +z ) 02. (6.30)

Una forma de verificar la validez de esta transformada, consiste en comparar los primeros términos de la secuencia

de f[n] con los que se obtienen con la función filter cuando la secuencia de entrada es x n n[ ] [ ]� � . Como se puede

apreciar con el siguiente programa.

los valores que se obtienen son

153


b = [0, 0, 0.1, 0, -0.004]; a = [1, -0.6928, 0.2, -0.0277, 0.0016];

[x,n] = secimpls(0,0,6)

f_z = filter(b,a,x) % Transformada z

f = [(n-1).*(1/5).^(n-1).*sin(pi*(n-1)/6)].*secuno(1,0,6) % Secuencia original

x =

1 0 0 0 0 0 0

n =

0 1 2 3 4 5 6

Por lo que se puede concluir, que la Ec. (6.30) sí es la transformada z de f[n], Ec.(6.29)

Ejemplo 4

Demostrar que

na u nz

z a

n� ��

1

2[ ]

( )* +z a) (6.31)

Solución

na na zn

a

z

a

z

a

n

a

z

a

n n n

n

nn

� � �

�

�

�

� �

� � "#$

%&' � "

#$

%&'��1 1

00

n

n

n

n n

z

a

d

dz

z

a

z

a

d

dz

z

a

�

�

� �

�

�

�

�

� � "#$

%&' � � "

#$

%&'� � �

1

0 0 0

� n

con la Ec. (5.54)

naz

a

d

dz

z

z a

z

z a

n� � ��

��

1

2( )* +z a)

6.3 Transformada z inversa

La secuencia f[n] se dice que es la transformada z inversa de F(z) y está dada por

� �f nj

F z z dz F zn[ ] ( ) ( )� ��

�1

2

1 1

�Z (6.32)

Esta integral se puede calcular por medio del teorema del residuo, el cual establece que

f z dz j res f z res f z res f zz a z a z a k

( ) ( ) ( ) ( )� � � ��

21 2

��

Si

F z z F zN z

D z

N z

z p

n

o

i

k

i

mi

( ) ( )( )

( )

( )

( )

�

�

� � �, �

1

1

154

6 LA TRANSFORMADA Z

f_z =

0 0 0.1000 0.0693 0.0240 0.0055 0.0008

f =

0 0 0.1000 0.0693 0.0240 0.0055 0.0008

donde k y mi son enteros positivos. Empleando el teorema del residuo se tiene

f n F zz p

o

i

k

i

[ ] [ ( )]��

�� res

1

(6.33)

donde para un polo simple

resz p

oz p

i oi i

F z z p F z� �

� �[ ( )] lim[( ) ( )] (6.34)

y para un polo de orden r

resz p

oz p

r

r i

r

oi i

F zr

d

dzz p F z

� �

�

��

��[ ( )]

( )!lim [( ) (

1

1

1

1)] (6.35)

Se debe notar, que F zo ( )puede tener un polo en el origen cuando n � 0y posiblemente polos de mayor orden para n � 0.

Esto debe tenerse en cuenta al determinar f o f f[ ], [ ], [ ], .� �1 2 �

Ejemplo 5

Determine la transformada z inversa de

a F zz z

z zb F z

z

z z) ( )

( )

( )( )) ( )

( )

( )( )�

��

��

� �1

2 1 2

1

2 1 2

Solución

a)

F zz z

z zo

n

( )( )

( )( )�

��

1

2 1 2

Para n � 0

f n res F z res F zz z

zzo

zo

n

z

[ ] [ ( )] [ ( )]( )

( )� � �

��

�1 2

1

1

2 2�

��

� ��

��

( )

( )

( ) ( )

( )

z z

z

n

z

n n1

2 1

1

3

2

2 32

puede mostrarse que para n f n� �0 0, [ ] y por consiguiente

f n u nn

[ ]( )

[ ]� ��

��

�

��

1

31

2

2(6.36)

b)

F zz z

z zo

n

( )( )

( )( )�

��

�1

2 1 2

1

155

6.3 Transformada z inversa

En este caso cuando n F zo� 0, ( ) tiene un polo en el origen, por lo que f[0] se debe calcular por separado

fz

z z

z

z z

z

z zz z z

[ ]( )( ) ( ) ( )

01

2 1 2

1

2 2

1

2 10 1

��

� ��

��

�� 2

1

2 1 2

2

2 1 3

1

2 2 30�

��

��

�( )( ) ( )( ) ( )( )

Para n ) 0

f n res F z res F zz z

zzo

zo

n

z

[ ] [ ( )] [ ( )]( )

( )� � �

��

�

1 2

11

2 2�

�

��

� �

��

��

�

1

1

2

1 11

2 1

1

3

2

2 3

( )

( )

( ) ( )

( )

z z

z

n

z

n n

cuando n f n� �0 0, [ ] y por consiguiente

f n u nn

[ ]( )

[ ]� ��

��

�

��

�1

31

2

21

1

(6.37)

Existen diversos métodos para determinar la transformada z inversa, por ejemplo: división larga, convolución,

expansión binomial y desarrollo en fracciones parciales, siendo este último el más común para obtener f[n] a partir de

F(z).

Método de la división larga

Por medio de la división larga, se pueden calcular los términos de la secuencia f[n], dada una función racional F(z).

Dichos términos se determinan aplicando el par de transformación 2 de la tabla 6.2 al cociente que resulta.

Ejemplo 6

Obtenga mediante división larga, la transformada z inversa de la función F(z) del ejemplo 5.a

F zz z

z z

z z

z z( )

( )

( )( )�

��

��

� �

1

2 1 2 2 2 4

2

2

Solución

Al llevar a cabo la división del numerador entre el denominador, se tiene

156

6 LA TRANSFORMADA Z

por consiguiente

F zz z z z

( ) � � � � � �1

2

1 1 3 52 3 4 5

�

considerando el par de transformación 2 de la tabla 6.2

f n n n n n n n[ ] . [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]� � � � � � � � � � �05 0 1 2 3 3 4 5 5� � � � � � ��

secuencia que coincide con la que se obtiene al evaluar la f[n] correspondiente, Ec. (6.36).

Método de la sumatoria de convolución

Para obtener la transformada z inversa de una función F(z) por medio de la sumatoria de convolución es necesario,

primero, expresar a F(z) como el producto de dos transformadas conocidas y posteriormente efectuar la sumatoria de

convolución correspondiente para determinar f[n]; es decir

� � � �f n F z H z X z h m x n mm

[ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( )� � � ��

��

�

�Z Z1 1

Ejemplo 7

Calcule la transformada z inversa de

F zz

z( )

( )�

�1 3

Solución

En este caso, F(z) se puede expresar como

F zz

z zH z X z( )

( ) ( )( ) ( )�

� ��

1

1

12

de esta manera

Método de la sumatoria de convolución

157

2z + 2z - 42z + z

2

z + z - 22

2

0.5 + z - z + 3z - 5z + …-2 -3 -4 -5

2 + 2z - 4z-1 -2

- 2z + 4z-1 -2

- 2z - 2z + 4z-1 -2 -3

6z - 4z-2 -3 -46z + 6z - 12z

-2 -3

… …

H zz

zh n nu n( )

( )[ ] [ ]�

��

1 2y X z

zx n u n( ) [ ] [ ]�

��

1

11

así

f n mu m u n m m mn n

m

n

m

n

m

[ ] [ ] [ ]( )

� � � � � ��

�

�

�

�

��

�

�� 11

21

1

0

1

finalmente

f nn n

u n[ ]( )

[ ]��1

2

Método de la expansión binomial

La expansión binomial se puede utilizar en transformadas z con un solo polo.

Ejemplo 8

Encuentre la transformada z inversa de

F zkz

z a( ) �

�

Solución

F(z) se puede expresar como

� �F z k az a z a z ka u n z ka u nn n n

n

( ) ( ) [ ] [ ]� � � � � � ��

�

1 1 2 2 3 3

0

�

�

� � f n[ ] (6.38)

asimismo, si

F zk

z a( ) �

�

entonces

� �F z k z az a z a z

ka u n z kan n n

( ) ( )

[ ]

� � � � �

� � �

� � � �

� � �

1 2 2 3 3 4

1 1

�

1

0

1u n f nn

[ ] [ ]� ��

�

�(6.39)

158

6 LA TRANSFORMADA Z

Método de fracciones parciales

La función racional F(z), se puede expresar en términos de fracciones parciales como

F z F zn

n

N

( ) ( )��

1

donde las F zn ( ) son transformadas z de polos simples, de manera que

� � � �Z Z� �

�

��1 1

0

F z F zn

n

N

( ) ( )

Ejemplo 9

Determine la transformada z inversa de

a F zz z

z zb F z

z

z) ( )

( )

( )( )) ( )

( . )�

��

��

1

2 1 2 0252 2

Solución

Como el grado del numerador es igual al del denominador, la función F(z) se debe reescribir como

F zz z

z z z z z z( )

( )( )�

� �

� ��

�

� ��

� ��

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

1

1 2

1

2

12

2 2 3

1

1

1

2z z��

��

��

por consiguiente, considerando los pares 1 y 4 de la tabla 6.2 y la Ec. 6.39, se tiene

!f n n u nn[ ] [ ] ( ) [ ]� � � � ��1

2

1

31 2 11� (6.40)

Una alternativa, consiste en expresar por medio de fracciones parciales a F(z)/z, en lugar de F(z), como a

continuación se muestra

F z

z

z

z z z z

( )

( )( )�

��

��

��

��

��

1

2 1 2

1

3

1

1

1

2

1

2

ahora, multiplicando por z ambos miembros

F zz

z

z

z( ) �

��

��

��

1

3 1

1

2 2

del par 7 de la tabla 6.2

f n u nn[ ] ( ) [ ]� � ��

��

1

31

1

22 (6.41)

Las Ecs. (6.40) y (6.41), son las antitransformadas de una misma F(z). ¿Proporcionan las mismas secuencias?

b)

159

Método de fracciones parciales

En este caso, se tiene

F z

z z z j z j

a

z j

( )

( . ) ( . ) ( . ) ( . )�

��

� ��

��

1

025

1

05 05 052 2 2 2

1

2

a

z j

b

z j

b

z j

2 1

2

2

05 05 05��

��

�. ( . ) .

en donde los residuos se pueden determinar por medio de la Ec. (6.35), es decir

!ak

d

dzz p F z

k

k

k i z pi

��

��

� �

1

1

1

1( )!( ) ( ) (6.42)

así

F z

z z z j

j

z j z j

( )

( . ) ( . ) . ( . )�

��

��

��

��

1

025

1

05

2

05

1

052 2 2 2

2

05

j

z j� .

por lo que

F zz

z j

jz

z j

z

z j

jz

z j( )

( . ) . ( . ) .� �

��

��

��

�05

2

05 05

2

052 2

de los pares de transformación 7 y 8 de la tabla 6.2

f n n j u n j j u n n j u nn n n[ ] ( . ) [ ] ( . ) [ ] ( . ) [� � � � � �� 05 2 05 051 1 ] ( . ) [ ]�2 05j j u nn

agrupando términos

f n nj

j

j

jj j

n nn[ ]

( . )

.

( . )

.( . ) (� � �

��

�

��

�

��

05

05

05

052 05 !�

��

��

05. ) [ ]j u nn

! !� �f n j n j j j j u nn n n n[ ] ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) [ ]� � � � � �2 05 05 05 05

!f n j e e nj

nj

n

[ ]�"

#$$

%

&'' �

"

#$$

%

&''

�

�

��

�

�

��

��

21

2

1

212 2

u nj n

e e u nn

jn

jn

[ ]( )

[ ]��

��

��

�

��

�2 1

2

2 2

considerando la identidad de Euler, finalmente

f nj n

jsenn

u nn

senn n

[ ]( )

[ ]( )

�� "

#$

%&'

�

��

�

��

�2 1

22

2

4 1

2

nu n

2

"#$

%&' [ ]

160

6 LA TRANSFORMADA Z

6.4 Ecuaciones en diferencias

La forma general de la ecuación en diferencias que modela un sistema discreto lineal e invariante con el tiempo de

orden N con una entrada x[n] y una salida y[n] es

a y n m b x n m x nm m

m

M

m

N

f[ ] [ ] [ ]� � � �

��

00

(5.22)

La transformada z de la ecuación anterior se obtiene aplicando los pares de transformación 2 y 4 de la tabla 6.1

a z Y z y l z b z X z x l zm

m l

l

m

m

m l

l

m

( ) [ ] ( ) [ ]��

��

��

�

��

��

0

1

0

�

��

��

��1

00 m

M

m

N

(6.43)

despejando Y(z)

Y z

a z y l z

a z

m

m l

l

m

m

N

m

m

m

N( )

[ ]

�

�

�

��

�

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�0

1

0

0

b z

a z

X z

b z x l z

a z

m

m

m

M

m

m

m

N

m

m

m

M

l

ml

m

m

�

�

� �

��

�

� ��0

0

0 0

1

( )

[ ]

m

N

��

�

�

��

�

�

��0

(6.44)

Recordando que la respuesta completa es igual a la suma de la respuesta de entrada cero más la respuesta de estado cero

y n y n y nzi zs[ ] [ ] [ ]� � (5.23)

al comparar las Ecs. (6.44) y (5.23), se tiene

Y z Y z Y zzi zs( ) ( ) ( )� � (6.45)

pudiendose apreciar que la respuesta de entrada cero, yzi[n], se debe a las N condiciones iniciales y y y N[ ], [ ], , [ ]0 1 1� �

mientras que la respuesta de estado cero, yzs[n], se debe a la función de excitación x n x n x n M[ ], [ ], , [ ]� �1 � como se

sabe.

La función de transferencia, H(z), se puede obtener de la Ec. (6.44), al considerar todas las condiciones iniciales nulas

Y z

b z

a z

X zzs

m

m

Mm

m

m

m

N( ) ( )� �

�

�

�0

0

(6.45)

por lo que

H z

b z

a z

m

m

m

M

m

m

m

N( ) � �

�

�

�0

0

(6.46)

161


Ejemplo 10

Demuestre que la ecuación en diferencias del sistema lineal e invariante con el tiempo que se muestra en la Fig.

6.3 es

y n y n y n x n x n[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]� � � � � � � �2 4 1 4 2 1

Solución

De la figura, y[n] es igual a la suma de las variables que llegan al punto de suma, es decir

y n y n y n x n x n[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]� � � � � � � �4 1 4 2 1 (6.47)

como este sistema es invariante con el tiempo, se puede sustituir a n por n+2, por lo que

y n y n y n x n x n[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]� � � � � � � �2 4 1 4 2 1 (6.48)

Ejemplo 11

Determine la respuesta al impulso del sistema mostrado en la Fig. 6.3.

Solución

Aplicando a la Ec. (6.48) el par de transformación 4 de la tabla 6.1, la transformada z correspondiente es

! ! !z Y z z y y z zY z z y Y z

z X z z

2 2 1

2

0 1 4 0 4( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( )

( )

� � � � � �

� �

�

! ! !2 10 1 0x x z zX z z x[ ] [ ] ( ) [ ]� � ��

162

6 LA TRANSFORMADA Z

-4

-4

-1

z-1

z-1

z-1

y[n-1]

y[n-2]

y[n]x[n]

x[n-1]

Figura 6.3. Diagrama de bloques de un sistema lineal e invariante con el tiempo de segundo orden.

despejando a Y(z)

Y zy z y z y z

z z

z z

z zX z

x( )

[ ] [ ] [ ]( )

[�

� �

� ��

�

� ��

0 1 4 0

4 4 4 4

2

2

2

2

0 1 0

4 4

2

2

] [ ] [ ]z x z x z

z z

� �

� �(6.49)

cuando todas las condiciones iniciales se igualan a cero, la función de transferencia resulta

H zY z

X z

z z

z z

zs( )( )

( )� �

�

� �

2

2 4 4(6.50)

La respuesta al impulso se obtiene calculando la transformada z inversa de la Ec. (6.50)

H z

z

z

z z

z

z z z

( )

( ) ( )�

�

� ��

�

��

�

��

�1

4 4

1

2

3

2

1

22 2 2

entonces

H zz

z

z

z( )

( )�

�

��

�3

2 22

empleando los pares de transformación 7 y 8 de la tabla 6.2

h n n u n u n n u nn nn

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ]( )

( ) [ ]� � � � � ��

��3 2 22

23 21

(6.51)

Se debe notar que la Ec. (6.50) se pudo determinar, en una forma más simple, utilizando la Ec. (6.46). Puesto que

en la Ec. (6.48)

N a a a M b b b� � � � � � � � �2 4 4 1 2 0 1 10 1 2 0 1 2

, , , , , , ,

sustituyendo estos valores en la Ec. (6.46)

H zz z

z z( ) �

� �

� �

0

4 4

2

2

ecuación idéntica a la obtenida antes.

Ejemplo 12

Encuentre la respuesta de estado cero del sistema descrito por la Ec. (6.48), cuando la secuencia de entrada es

x n nu n[ ] [ ]�

163


Solución

La respuesta de entrada cero, yzs[n], es la respuesta del sistema que se debe únicamente a la entrada, x[n], cuando

todas las condiciones iniciales son nulas; en este caso cuando y y[ ] [ ]� � � �1 2 0. Si para obtener dicha respuesta se

emplea la Ec. (6.49), es necesario primero determinar los valores de y[0] y y[1]. Valores que se pueden deducir

utilizando la Ec. (6.47), como se muestra a continuación, considerando que x n nu n[ ] [ ]�

y n y n y n nu n n u n[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ]� � � � � � � � �4 1 4 2 1 1

sustituyendo valores

y y y u u

y y

[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ]

[ ] [ ]

0 4 1 4 2 0 0 1 1 0

1 4 0 4

� � � � � � � � � �

� � � y u u[ ] [ ] [ ]� � � �1 1 1 0 0 1

Entonces en la Ec. (6.49)

Y zz z z

z z

z z

z zX z

z z z

zzs ( ) ( )�

� �

� ��

�

� ��

� �

�

0 0

4 4 4 4

0 02

2

2

2

2

2 4 4

1

2 2z

z z

zX z

��

�

�

( )

( )( )

Dado que la transformada z de x[n] es X zz

z( )

( )�

�1 2

Y zz z

z

z

zz

z

z zzs ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )�

�

� ��

� �

�

��

�

��

1

2 1 2 12 2 2

desarrollando en facciones parciales

Y z zz z z

z

z

zzs ( )

( ) ( )�

��

��

�

�

��

�

��

��

2

3

1

2

1

9

1

2

1

9

1

1

1

9

6

22 2 z

z

z��

�

�

��

�

��

2 1

teniendo en cuenta los pares de transformación 3,7 y 8 de la tabla 6.2, la trasformada z inversa de la ecuación

anterior es

!y n n u n u n nzs

n n n[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( )� � � � � � � � �� 1

96 2 2

1

96 2 21 1 !n u n�1 [ ]

Aunque no es necesario, se evalúa esta ecuación para los primeros valores de n

y

y

zs

zs

[ ] [ ( )( ) ( ) ]

[ ] [ ( )( )

01

96 0 2 2 1 0

11

96 1 2

1 0

0

� � � � � �

� �

�

� � � � � � �

� � � � � �

( ) ] [ ]

[ ] [ ( )( ) ( ) ]

2 11

96 2 1 1

21

96 2 2 2 1

1

1 2y zs

1

924 4 1 3

31

96 3 2 2 1

1

972 82 3

[ ]

[ ] [ ( )( ) ( ) ] [

� � � � �

� � � � � � �y zs � �1 9]

164

6 LA TRANSFORMADA Z

Ejemplo 13

Determine la respuesta completa del sistema mostrado en la Fig. 6.3, cuando y[-2] = -1, y[-1] = 1 y x[n] = nu[n].

Solución

La respuesta completa, y[n], se obtiene antitransformando la Ec. (6.49). Debe notarse, sin embargo, que para

determinar la transformada z inversa de esta ecuación es necesario conocer los valores de y[0] y y[1] que la

entrada y las condiciones iniciales producen. Estos valores se pueden determinar utilizando la Ec. (6.47) de

manera semejante a la mostrada en el ejemplo anterior, o sea

y y y u u[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) ( )0 4 1 4 2 0 0 1 1 4 1 4 1 0� � � � � � � � � � � � � � �0 0

1 4 0 4 1 1 1 0 0 4 0 4 1 1 0

�

� � � � � � � � � � � � �y y y u u[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) 3

Sustituyendo en la Ec. (6.49) estos valores y la transformada z de x[n]

Y zz z z

z z

z z

z z

z

z

z z( )

( )

( )�

� �

� ��

�

� � ��

�0 3 4 0

4 4 4 4 1

0 12

2

2

2 2

2 �

� �

��

��

��

�

0

4 4

2 1

4

2

3 4

2

2

2

2 2

2

z

z z

Y zz

z z

z

z

z z

z( )

( ) ( ) ( ) ( )2 1( )z �

Y z zz

z z( )

( ) ( )�

� �

� �

�

��

�

��

3 4

2 12(6.52)

desarrollando en fracciones parciales

Y zz

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z( )

( ) ( )�

�

��

��

��

�

��

��

10

3 2

1

9 2

1

9 1

1

9

30

2 22 2 z �

�

��

�

��

1

por lo que

y n n u nn n[ ] [ ( ) ( ) ] [ ]� � � � � ��1

930 2 2 11

Con el fin de comparar este resultado con el ejemplo 13 del capítulo 5, se evalúa y[n] para los primeros valores de

n

y

y

[ ] [ ( )( ) ( ) ]

[ ] [ ( )( )

01

930 0 2 2 1 0

11

930 1 2

1 0

0

� � � � � � �

� � �

�

� � � � �

� � � � � � �

�

( ) ]

[ ] [ ( )( ) ( ) ]

[ ]

2 1 3

21

930 2 2 2 1 13

31

9

1

1 2y

y [ ( )( ) ( ) ]� � � � � � �30 3 2 2 1 392 3165


Es una práctica común escribir las ecuaciones en diferencias que modelan a los sistemas lineales e invariantes con el

tiempo de la forma que se muestra en la Ec. (6.47).

Ejemplo 14

Empleando la Ec. (6.47), determine la respuesta completa del sistema de la Fig. 6.3, cuando x[n] = nu[n], y[-2] =

-1 y y[-1] = 1

Solución.

Aplicando la propiedad de atraso de la transformada z, Ec. (6.10), a la ecuación en diferencias siguiente

y n y n y n x n x n[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]� � � � � � �4 1 4 2 1

!� �Y z z Y z z y z z Y z z y z y( ) ( ) [ ] ( ) [ ] [ ]� � � � � � � �� 4 1 4 2 11 1 1 2 2 2 !� � !� �

z

X z z X z z x z

1

1 1 11

�

� � �� ( ) ( ) [ ]desarrollando

Y z z Y z y z Y z y y z X z( ) ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] (� � � � � � � � �� 4 4 1 4 4 2 4 11 2 1 ) ( ) [ ]� � ��z X z x1 1

despejando a Y(z)

Y zy y y z

z z

z

z( )

[ ] [ ] [ ]� �

� � � � �

� ��

�

�

�

� �

�4 1 4 2 4 1

1 4 4

1

1 4

1

1 2

1

� � � ��

�

� �1 2 1 24

1

1 4 4zX z

x

z z( )

[ ]

sustituyendo los valores correspondientes

Y zz

z z

z

z z

z( )

( ) ( ) ( )� �

� � �

��

�

� �

�

� �

�

� �

4 1 4 1 4 1

1 4 4

1

1

1

1 2

1

1 2 ( )

( )( )

z z z

Y zz

z z

z z

z z

z

z

��

� �

� ��

��

� � �

� �1

0

1

4

4 4 4 4 1

2 1 2

2

2

2 2 2

2

2

4

2 2 1�

�

��

� �

z

z

z

z z( ) ( ) ( )

finalmente

Y z zz

z z( )

( ) ( )�

� �

� �

�

��

�

��

3 4

2 12

ecuación idéntica a la que se obtuvo en el ejemplo anterior, por consiguiente

y n n u nn n[ ] [ ( ) ( ) ] [ ]� � � � � ��1

930 2 2 11

166

6 LA TRANSFORMADA Z

El método más comúnmente empleado para encontrar la secuencia de f[n] a partir de F(z) es el de fracciones parciales.

MATLAB tiene implementada la función residuez que convierte la representación de un sistema de tiempo discreto

mediante la razón de dos polinomios en una expansión de fracciones parciales. Esta función, también permite efectuar

la operación inversa, es decir, dada la expansión en fracciones parciales obtener los polinomios originales.

[R,p,C] = residuez(b,a) encuentra los residuos, polos y posiblemente un polinomio (si M N� ) de una expansión en

fracciones parciales de la razón de dos polinomios B(z) y A(z). Los vectores b y a especifican los coeficientes de los

polinomios en potencias ascendentes de z-1.

Sea F(z) una función racional impropia, es decir M N�

F zB z

A z

b b z b z

a a z a z

M

M

N

N( )

( )

( )� �

� � �

� � �

� �

� �0 1

1

0 1

1

�

�

(6.53)

si no existen polos múltiples, F(z) se puede reescribir como

F zR

p zC zm

m

m

m

m

M N

m

N

( ) ��

��

�

�

�

��

1 101

(6.54)

Si no es el caso, es decir que el polo pi tiene una multiplicidad r, entonces la expansión en fracciones parciales incluye

un término de la forma

R

p z

R

p z

R

p z

R

p z

k

i

k

i i

r

i

r( ) ( ) ( )1 1 1 11

1

1

2

1 2 1��

��

��

��

k

r

��

1

(6.55)

Cuando la función residuez tiene tres argumentos de entrada y dos argumentos de salida, [b,a] = residuez(R, p,C), se

ejecuta la operación inversa, es decir, convierte la expansión en fracciones parciales nuevamente a polinomios cuyos

coeficientes se encuentran en los vectores b y a.

Ejemplo 15

Hállese la transformada z inversa de la función de transferencia H(z) del ejemplo 11

H zY z

X z

z z

z z

zs( )( )

( )� �

�

� �

2

2 4 4(6.50)

Solución

Primero es necesario reescribir la función de la forma de la Ec. (6.53)

H(z)1 z

1 4z 4z

1 z

(1 2z )

1

1 2

1

1 2�

�

� ��

�

�

�

� �

�

�

el programa de MATLAB para obtener la expansión en fracciones parciales es

167


En este archivo.m se utiliza la función poly como una forma alternativa de determinar el denominador a partir de

sus raíces. Los resultados que se obtienen son

por lo tanto

H zz z

z

z

z

z( )

. .

( )

. .

( )�

�

��

��

��

��

05

1 2

15

1 2

05

2

15

21 1 2

2

2

considerando los pares de transformación 7 y 8 de la tabla 6.2 y la propiedad de adelanto

h n u n n u n un n n[ ] . ( ) [ ] . ( )( ) [ ] . ( ) [� � � � � � � � � �05 2 15 1 2 1 05 2 n n u n

n u n

n

n

] . ( )( ) [ ]

( ) ( . . . ) [ ]( )

� � �

� � � � � ��

15 1 2

2 05 15 152 n

n u n2

3 2( ) [ ]�

resultado que coincide con el obtenido en el ejemplo.

Veamos ahora el resultado de

Como se aprecia, se obtienen los coeficientes de los polinomios del numerador y denominador originales.

168

6 LA TRANSFORMADA Z

[b,a] = residuez(R,p,C)

b =

1 -1

a =

1 4 4

den =

1 4 4

R =

-0.5000

1.5000

p =

-2

-2

C =

[]

num = [1, -1];

den = poly([-2, -2])

[R,p,C] = residuez(num, den)

Ejemplo 16

Determine la respuesta de estado cero del sistema cuya función de transferencia es la del ejemplo anterior cuando

la entrada es

x n nu n[ ] [ ]�

Solución

Del ejemplo 12, la transformada z de la respuesta de estado cero es

Y zz z

z

z

z

z

z z

z

z zzs ( )

( )

( ) ( )�

�

� ��

� ��

� �

�

�

1

2 1 3 4 1 3 42 2

2

3 2

1

1 �3

la expansión en fracciones parciales empleando la función residuez, se puede obtener con el siguiente código

los resultados que se obtienen son los siguientes

Resultados que se pueden escribir como

Y (z)z z z

zs ��

��

��

02222

1 2

03333

1 2

01111

11 1 2 1

. . .

( )

z

z

z z

z�

��

��

�02222

203333

201111

1

2

2. .

z( ).

la secuencia de yzs[n] correspondiente, se determina antitransformando la ecuación anterior

169


den =

1 3 0 -4

R =

0.2222 - 0.0000i

-0.3333 + 0.0000i

0.1111

p =

-2.0000 + 0.0000i

-2.0000 - 0.0000i

1.0000

C =

[]

b =

0.0000 + 0.0000i 1.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i

a =

1.0000 3.0000 0.0000 -4.0000

num = [0, 1];

den = poly([-2, -2, 1])

[R,p,C] = residuez(num, den)

[b,a] = residuez(R,p,C)

y n . u n . n u n .zs

n n[ ] ( ) [ ] ( )( ) [ ]� � � � � �02222 2 03333 1 2 01111u n

. . n .n n

[ ]

[ ( ) ( )� � � � � �01111 2 03333 2 01111] [ ]u n

En el ejemplo 12, la respuesta de estado cero que se calculó fue

!y n n u nzs

n n[ ] ( ) ( ) [ ]� � � � ��1

96 2 2 11

esta ecuación se puede reescribir como

y nn

u n nn

n n[ ]( )

( ) [ ] ( ) ( )��

� � ��

��

�

��

1

9

6 2

22 1

1

93 2 2 !n

n n

u n

n u n

�

� � � � � �

1

03333 2 01111 2 01111

[ ]

[ . ( ) . ( ) . ] [ ]

que obviamente coincide con el resultado que se obtuvo por medio de la función residuez.

De lo anterior, se concluye que es posible conocer la respuesta completa de un sistema si se conoce la ecuación en

diferencias que lo representa, la entrada y las condiciones iniciales mediante la transformada z inversa de la expansión

en fracciones parciales que la función residuez genera.

Finalmente, en el capítulo anterior la función filter se utilizó para calcular la respuesta de estado cero de un sistema

lineal e invariante con el tiempo dados los coeficientes de la ecuación en diferencias que lo representa y la secuencia de

la entrada. Cambiando los parámetros de entrada de la función, se le puede utilizar para obtener la respuesta completa

(la respuesta de entrada cero debida a las condiciones iniciales más la respuesta de estado cero debida a la entrada). La

forma de la función filter con este propósito es

y = filter(b,a,x,xic) (6.56)

donde xic es un vector con condiciones iniciales equivalentes. Considere el siguiente ejemplo.

Ejemplo 17

Repita el ejemplo 14, utilizando la Ec. (6.56).

Solución

En el ejemplo 14 la respuesta completa tiene la forma

Y zy y y z

z z

z

z( )

[ ] [ ] [ ]� �

� � � � �

� ��

�

�

�

� �

�4 1 4 2 4 1

1 4 4

1

1 4

1

1 2

1

� � � ��

�

� �1 2 1 24

1

1 4 4zX z

x

z z( )

[ ]

170

6 LA TRANSFORMADA Z

ecuación que se puede escribir como

!Y z

y y x y z

z z

z( )

[ ] [ ] [ ] [ ]� �

� � � � � � �

� ��

��

� �

4 1 4 2 1 4 1

1 4 4

11

1 2

�

� ��

1

1 21 4 4z zX z( )

sustituyendo los valores de las condiciones iniciales

Y zz

z z

z

z zX z( )

[ ]( )� �

� � �

� ��

�

� �

�

� �

�

� �

4 4 0 4

1 4 4

1

1 4 4

1

1 2

1

1 2

� ��

� ��

�

� �

�

� �

�

� �

0 4

1 4 4

1

1 4 4

1

1 2

1

1 2

z

z z

z

z zX z( )

esta respuesta se puede considerar como la suma de una respuesta debida a unas condiciones iniciales equivalentes

más nuestra vieja conocida, la respuesta de estado cero. En este caso el vector de condiciones xic es

xic = [xic[0], xic[-1]] = [-0, -4]

el código.m que produce la respuesta completa es

los valores de la secuencia de la respuesta completa que se producen son

Compare estos valores con los obtenidos en el ejemplo 13. ¿Qué se pude concluir?

Conclusiones

En este capítulo se ha presentado el concepto de la transformada z, herramienta matemática que desempeña un papel

análogo al de la transformada de Laplace en el análisis de los sistemas continuos, para el estudio de los sistemas de

tiempo discreto y digitales lineales e invariantes con el tiempo.

El plano complejo z se obtuvo del plano complejo s. Mediante la transformación z esT� , la región de estabilidad para

los sistemas analógico se mapeó en el círculo unitario, región de estabilidad de los sistemas discretos. La función de

transferencia se ha definido como la transformada z de la respuesta al impulso y viceversa.

Se ha visto como utilizar la transformada z y sus propiedades para la obtención de las diversas partes que constituyen la

respuesta completa de un sistema de tiempo discreto lineal e invariante con el tiempo.

171

n =

0 1 2 3 4 5

xic =

0 -4

y =

0 -3 13 -39 105 -263

n = [0:5]

x = n;

xic = [-0,-4]

a = [1,4,4]; b = [1,-1];

y = filter(b,a,x,xic)

Se han presentado, finalmente, varias funciones.m implementada en MATLAB como parte integral en el estudio de los

sistemas discretos y que nos permiten evitar el trabajo arduo y tedioso.

Como un último comentario, en la literatura relacionada con estos temas se pueden encontrar otras funciones.m afines

a estos tópicos que se implementan periodicamente, se recomienda a lector estudiarlas con la finalidad de facilitar la

comprensión de los conceptos y su aplicación y en un momento dado crear sus propias funciones.m

172

6 LA TRANSFORMADA Z

la transformada z.pdf

Documents