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Riassunti di Elaborazione e Trasmissione delle Immagini v.o.
Fundamental of Digital Image Processing ANIL K. JAIN - 1 -
LA TRASFORMATA RADON
La trasformata Radon ( )θ,sg di una funzione ( )yxf , è definita come l’integrale di linea lungo la
direzione che forma un angolo θ con l’asse y ed ad una distanza s dall’origine degli assi; come
mostrato in figura:
Matematicamente: ( ) ( ) ( )∫ ∫+∞
∞−
−+= dxdysyxyxfsg θθδθ sincos,, con πθ <≤<<− 0,xsx .
ℜ : operatore trasformata Radon o “operatore di proiezione”.
La ( )θ,sg è la proiezione unidimensionale di ( )yxf , su un angolo θ .
In un sistema di coordinate circolari ( )us, si ha :
θθθθ
sincossincosyxu
yxs+−=
+= o
θθθθ
cossinsincos
usyusx
+=−=
e ( )θ,sg si può esprimere in coordinate circolari come segue:
( ) ( )duususfsg ∫ −−= θθθθθ cossin,sincos, con πθ ≤≤+∞<<∞− 0,s
( )θ,sg è chiamata ray-sum e rappresenta la sommatoria di ( )yxf , lungo un raggio che forma un
angolo θ con l’origine ed ad una distanza s. La trasformata Radon mappa il dominio spaziale ( )yx,
nel dominio ( )θ,s ; in pratica ad ogni punto ( )θ,s corrisponde una linea nel dominio spaziale ( )yx, .
NOTA: ( )ϑ,s non sono coordinate polari di ( )yx, ; infatti se ( )φ,r sono le coordinate polari di
( )yx, si ha
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==
φφ
sincos
ryrx
e quindi ( )φθ −= cosrs
come è mostrato in figura sotto, la quale mostra che l’equazione ( )φθ −= cosrs diventa il luogo
dei punti che descrivono una sinusoide nel piano ( )θ,s .
Notazioni
Per non far confusione tra le funzioni rappresentate in sistemi di coordinate differenti si adottano le
seguenti notazioni:
U spazio delle funzioni definite in 2R , ora :
( ) ( ) ( )21,,,2
ξξFyxfUyxfℑ
→⇒∈ con 2ℑ : trasformata di Fourier bidimensionale
in coordinate polari si ha : ( ) ( )θξθξθξ sin,cos, FFp = . Il prodotto interno in U e definito come:
( ) ( )∫ ∫+∞
∞−
= dxdyyxfyxfff ,,ˆ, 2121 , 212
,ˆ fff =
V è lo spazio delle funzioni definite su [ ]π,0×R ; quindi:
( ) ( )θξθ ,,1
Gsgx
ℑ
→ con 1ℑ : trasformata di Fourier unidimensionale. Il prodotto interno di V è
definito come : ( ) ( )∫ ∫+∞
∞−
=π
θθθ0
2121 ,,ˆ, dsdsgsggg , 212
,ˆ ggg = .
Per semplicità si considerano U e V spazi di funzioni reali. La notazione utilizzata per la
trasformata Radon di ( )yxf , è: fg ℜ= con Uf ∈ e Vg ∈ .
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PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA RADON
Funzione Trasformata Radon
( ) ( )φ,, rfyxf p= ( )θ,sg
Linearità ( ) ( )yxfayxfa ,, 2211 + ( ) ( )θθ ,, 2211 sgasga +
Spazio Limitato
( ) ,2,2,0, DyDxyxf >>=
( )2
2,0,
Dssg >=θ
Simmetria ( )yxf , ( )πθ ±− ,sg
Periodicità ( )yxf , ( )πθ ksg 2, + con k intero
Traslazione ( )00 , yyxxf −− ( )θθθ ,sincos 00 yxsg −−
Rotazione di 0θ : ( )0, θφ +rf p ( )0, θθ +sg
Scalatura ( )ayaxf , ( ) 0,,1
≠aasga
θ
Conservazione della Massa
( )∫ ∫+∞
∞−
= dxdyyxfM ,
( )∫+∞
∞−
∀= θθ ,, dssgM
OPERATORE BACK-PROJECTION
Questo operatore è associato alla trasformata Radon, ed è così definito :
( ) ( )∫ +=Β=π
θθθθ0
,sincosˆˆ, dyxggyxb , ( )yxb , : back-projection di ( )θ,sg
In coordinate polari si ha: ( ) ( ) ( )( )∫ −==π
θθφθφ0
,cosˆ,ˆ, drgrbyxb p . La back-projection rappresenta
l’insieme di tutti i ray-sum dei raggi che passano attraverso i punti ( ) ( )φ, o , ryx .
Ad esempio se ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2211, θθδθθδθ −+−= sgsgsg con due sole proiezioni diviene ( figura
sotto ) :
( ) ( ) ( ) ( )( )φθ
φθφ
−=−=
+=22
112211 sins
coscon ,
rrs
sgsgrbp
In generale per un punto fissato ( ) ( )φ, o , ryx il valore della back-projection è valutabile integrando
( )θ,sg su θ per tutte le linee che passano attraverso quel punto.
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L’operatore back-projection mappa una funzione in coordinate ( )θ,s in una funzione in coordinate
spaziali ( ) ( )φ, o , ryx . La back-projection ad uh qualsiasi punto ( )yx, richiede la conoscenza delle
proiezioni in tutte le direzioni, come evidenziato dalla formula:
( ) ( )∫ +=Β=π
θθθθ0
,sincosˆˆ, dyxggyxb
Si dimostra che la trasformata Radon della back-projection ( ) BRfBgyxf == ˆˆ,~
è un’immagine
blurrata mediante la PSF ( )2
122
1
yx + e quindi ( ) ( ) ( ) 2
122,ˆ,
~ −+⊗= yxyxfyxf dove con ⊗ si indica
la convoluzione bidimensionale in coordinate cartesiane.
In coordinate polari si ha: ( ) ( )r
rfrf p1
,ˆ,~
⊗= φφ dove con ⊗ si indica la convoluzione
bidimensionale in coordinate polari. Da notare che l’operatore B non è l’inverso dell’operatore R.
L’oggetto ( )yxf , può essere restaurato dalla ( )yxf ,~
mediante un filtraggio (inverso)
bidimensionale con risposta in frequenza: ( )22
21 ξξξ +=
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(ricordiamo che: ( ) ( ) 21
21
22
21
222
−−+=
+ℑ ξξyx ), cioè: ( ) [ ]Bgyxf 2
12, ℑℑ= − ξ
IL TEOREMA DELLA PROIEZIONE
La trasformata di Fourier unidimensionale rispetto a s è uguale alla fetta centrale ad un angolo θ
della trasformata bidimensionale dell’oggetto ( )yxf , , cioè:
( ) ( )θξθ ,,1
Gsgℑ
→ ed allora ( ) ( ) ( )θξθξθξθξ sin,cosˆ,, FFG p ==
Il significato di questo risultato è mostrato nella figura in basso, il teorema è chiamato Teorema
della proiezione Fetta.