la trasformata radon -...

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Riassunti di Elaborazione e Trasmissione delle Immagini v.o. Fundamental of Digital Image Processing ANIL K. JAIN - 1 - LA TRASFORMATA RADON La trasformata Radon ( q , s g di una funzione ( y x f , è definita come l’integrale di linea lungo la direzione che forma un angolo q con l’asse y ed ad una distanza s dall’origine degli assi; come mostrato in figura: Matematicamente: ( ( ( ∫∫ - - = dxdy s y x y x f s g q q d q sin cos , , con p q < < < - 0 , x s x . : operatore trasformata Radon o “ operatore di proiezione ”. La ( q , s g è la proiezione unidimensionale di ( y x f , su un angolo q . In un sistema di coordinate circolari ( u s, si ha : q q q q sin cos sin cos y x u y x s - = = o q q q q cos sin sin cos u s y u s x = - = e ( q , s g si può esprimere in coordinate circolari come segue: ( ( du u s u s f s g - - = q q q q q cos sin , sin cos , con p q < < - 0 , s ( q , s g è chiamata ray-sum e rappresenta la sommatoria di ( y x f , lungo un raggio che forma un angolo q con l’origine ed ad una distanza s. La trasformata Radon mappa il dominio spaziale ( y x, nel dominio ( q , s ; in pratica ad ogni punto ( q , s corrisponde una linea nel dominio spaziale ( y x, . NOTA: ( J , s non sono coordinate polari di ( y x, ; infatti se ( f , r sono le coordinate polari di ( y x, si ha

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Fundamental of Digital Image Processing ANIL K. JAIN - 1 -

LA TRASFORMATA RADON

La trasformata Radon ( )θ,sg di una funzione ( )yxf , è definita come l’integrale di linea lungo la

direzione che forma un angolo θ con l’asse y ed ad una distanza s dall’origine degli assi; come

mostrato in figura:

Matematicamente: ( ) ( ) ( )∫ ∫+∞

∞−

−+= dxdysyxyxfsg θθδθ sincos,, con πθ <≤<<− 0,xsx .

ℜ : operatore trasformata Radon o “operatore di proiezione”.

La ( )θ,sg è la proiezione unidimensionale di ( )yxf , su un angolo θ .

In un sistema di coordinate circolari ( )us, si ha :

θθθθ

sincossincosyxu

yxs+−=

+= o

θθθθ

cossinsincos

usyusx

+=−=

e ( )θ,sg si può esprimere in coordinate circolari come segue:

( ) ( )duususfsg ∫ −−= θθθθθ cossin,sincos, con πθ ≤≤+∞<<∞− 0,s

( )θ,sg è chiamata ray-sum e rappresenta la sommatoria di ( )yxf , lungo un raggio che forma un

angolo θ con l’origine ed ad una distanza s. La trasformata Radon mappa il dominio spaziale ( )yx,

nel dominio ( )θ,s ; in pratica ad ogni punto ( )θ,s corrisponde una linea nel dominio spaziale ( )yx, .

NOTA: ( )ϑ,s non sono coordinate polari di ( )yx, ; infatti se ( )φ,r sono le coordinate polari di

( )yx, si ha

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==

φφ

sincos

ryrx

e quindi ( )φθ −= cosrs

come è mostrato in figura sotto, la quale mostra che l’equazione ( )φθ −= cosrs diventa il luogo

dei punti che descrivono una sinusoide nel piano ( )θ,s .

Notazioni

Per non far confusione tra le funzioni rappresentate in sistemi di coordinate differenti si adottano le

seguenti notazioni:

U spazio delle funzioni definite in 2R , ora :

( ) ( ) ( )21,,,2

ξξFyxfUyxfℑ

→⇒∈ con 2ℑ : trasformata di Fourier bidimensionale

in coordinate polari si ha : ( ) ( )θξθξθξ sin,cos, FFp = . Il prodotto interno in U e definito come:

( ) ( )∫ ∫+∞

∞−

= dxdyyxfyxfff ,,ˆ, 2121 , 212

,ˆ fff =

V è lo spazio delle funzioni definite su [ ]π,0×R ; quindi:

( ) ( )θξθ ,,1

Gsgx

→ con 1ℑ : trasformata di Fourier unidimensionale. Il prodotto interno di V è

definito come : ( ) ( )∫ ∫+∞

∞−

θθθ0

2121 ,,ˆ, dsdsgsggg , 212

,ˆ ggg = .

Per semplicità si considerano U e V spazi di funzioni reali. La notazione utilizzata per la

trasformata Radon di ( )yxf , è: fg ℜ= con Uf ∈ e Vg ∈ .

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PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA RADON

Funzione Trasformata Radon

( ) ( )φ,, rfyxf p= ( )θ,sg

Linearità ( ) ( )yxfayxfa ,, 2211 + ( ) ( )θθ ,, 2211 sgasga +

Spazio Limitato

( ) ,2,2,0, DyDxyxf >>=

( )2

2,0,

Dssg >=θ

Simmetria ( )yxf , ( )πθ ±− ,sg

Periodicità ( )yxf , ( )πθ ksg 2, + con k intero

Traslazione ( )00 , yyxxf −− ( )θθθ ,sincos 00 yxsg −−

Rotazione di 0θ : ( )0, θφ +rf p ( )0, θθ +sg

Scalatura ( )ayaxf , ( ) 0,,1

≠aasga

θ

Conservazione della Massa

( )∫ ∫+∞

∞−

= dxdyyxfM ,

( )∫+∞

∞−

∀= θθ ,, dssgM

OPERATORE BACK-PROJECTION

Questo operatore è associato alla trasformata Radon, ed è così definito :

( ) ( )∫ +=Β=π

θθθθ0

,sincosˆˆ, dyxggyxb , ( )yxb , : back-projection di ( )θ,sg

In coordinate polari si ha: ( ) ( ) ( )( )∫ −==π

θθφθφ0

,cosˆ,ˆ, drgrbyxb p . La back-projection rappresenta

l’insieme di tutti i ray-sum dei raggi che passano attraverso i punti ( ) ( )φ, o , ryx .

Ad esempio se ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2211, θθδθθδθ −+−= sgsgsg con due sole proiezioni diviene ( figura

sotto ) :

( ) ( ) ( ) ( )( )φθ

φθφ

−=−=

+=22

112211 sins

coscon ,

rrs

sgsgrbp

In generale per un punto fissato ( ) ( )φ, o , ryx il valore della back-projection è valutabile integrando

( )θ,sg su θ per tutte le linee che passano attraverso quel punto.

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L’operatore back-projection mappa una funzione in coordinate ( )θ,s in una funzione in coordinate

spaziali ( ) ( )φ, o , ryx . La back-projection ad uh qualsiasi punto ( )yx, richiede la conoscenza delle

proiezioni in tutte le direzioni, come evidenziato dalla formula:

( ) ( )∫ +=Β=π

θθθθ0

,sincosˆˆ, dyxggyxb

Si dimostra che la trasformata Radon della back-projection ( ) BRfBgyxf == ˆˆ,~

è un’immagine

blurrata mediante la PSF ( )2

122

1

yx + e quindi ( ) ( ) ( ) 2

122,ˆ,

~ −+⊗= yxyxfyxf dove con ⊗ si indica

la convoluzione bidimensionale in coordinate cartesiane.

In coordinate polari si ha: ( ) ( )r

rfrf p1

,ˆ,~

⊗= φφ dove con ⊗ si indica la convoluzione

bidimensionale in coordinate polari. Da notare che l’operatore B non è l’inverso dell’operatore R.

L’oggetto ( )yxf , può essere restaurato dalla ( )yxf ,~

mediante un filtraggio (inverso)

bidimensionale con risposta in frequenza: ( )22

21 ξξξ +=

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(ricordiamo che: ( ) ( ) 21

21

22

21

222

−−+=

+ℑ ξξyx ), cioè: ( ) [ ]Bgyxf 2

12, ℑℑ= − ξ

IL TEOREMA DELLA PROIEZIONE

La trasformata di Fourier unidimensionale rispetto a s è uguale alla fetta centrale ad un angolo θ

della trasformata bidimensionale dell’oggetto ( )yxf , , cioè:

( ) ( )θξθ ,,1

Gsgℑ

→ ed allora ( ) ( ) ( )θξθξθξθξ sin,cosˆ,, FFG p ==

Il significato di questo risultato è mostrato nella figura in basso, il teorema è chiamato Teorema

della proiezione Fetta.