La Trigonometra, Para qu sirve? El problema bsico de la trigonometra es algo parecido a esto:Est cerca de un ancho ro y necesita conocer la distancia hasta la otra orilla, digamos hasta el rbol marcado en el dibujo por la letra C (para simplificar, ignoremos la 3 dimensin). Cmo hacerlo sin cruzar el ro?La forma habitual es como sigue. Clave dos postes en el suelo en los puntos A y B y mida con una cinta la distancia c entre ellos (la "base"). Un antiguo telescopio de topgrafo (teodolito). Luego extraiga el poste del punto A y sustityalo por un telescopio de topgrafo como el que se muestra aqu ("teodolito"), contando con una placa dividida en 360 grados, marque la direccin ("azimut") a la que apunta el telescopio. Dirigiendo el telescopio primero hacia el rbol y luego hacia el poste B, mide el ngulo A del tringulo ABC, igual a la diferencia entre los nmeros que ha ledo de la placa de azimut. Sustituya el poste, lleve el teodolito al punto B y mida de la misma forma el ngulo B .La longitud c de la base y los dos ngulos A y B son todo lo que necesita para conocer el tringulo ABC, suficiente, por ejemplo, para construir un tringulo de la misma forma y mismo tamao, en un sitio ms conveniente. La trigonometra (de trigon = tringulo) en un principio fue el arte de calcular la informacin perdida mediante simple clculo. Dada la suficiente informacin para definir un tringulo, la trigonometra le permite calcular el resto de las dimensiones y de ngulos. Por qu tringulos? Porque son los bloques bsicos de construccin para cualquier figura rectilnea que se pueda construir. El cuadrado, el pentgono u otro polgono puede dividirse en tringulos por medio de lneas rectas radiando desde un ngulo hacia los otros.Para topografiar una tierra los topgrafos la dividen en tringulos y marcan cada ngulo con un "punto de referencia", que hoy en da es, a menudo, una placa de latn redonda fijada en el suelo con un agujero en el centro, sobre el que ponen sus varillas y teodolitos (George Washington hizo este trabajo cuando era un adolescente). Despus de medir la base, como la AB en el ejemplo del ro, el topgrafo medir (de la forma descrita aqu) los ngulos que se forman con el punto C y usar la trigonometra para calcular las distancias AC y BC. Estas pueden servir como base de 2 nuevos tringulos, que a su vez suministrarn bases para dos ms..., y de esta forma construir ms y ms tringulos hasta que se cubra la tierra al completo con una red que tiene distancias conocidas. Posteriormente se puede aadir una red secundaria, subdividiendo los tringulos grandes y marcando sus puntos con estacas de hierro, que proporcionarn distancias conocidas adicionales en las que se pueden basar los mapas o los planos. Un gran proyecto de reconocimiento de los 1800s fue la "Gran Planimetra Trigonomtrica" de la India britnica. Se construyeron para el proyecto los mayores teodolitos, monstruos con escalas circulares de 36" de ancho, cuyas lecturas se hacan con extraordinaria precisin con 5 microscopios. Cada uno con su caja pesaba media tonelada y se necesitaban 12 hombres para trasladarlo. Usndolos el proyecto cubri el pas con mltiples cadenas de tringulos en las direcciones norte-sur y este-oeste (las reas entre las cadenas de dejaron para ms tarde) y se necesitaron dcadas para completarla.En 1843 Andrew Scott Waugh se encarg del proyecto como Inspector Generaly puso especial atencin a las montaas del Himalaya del norte de la India. Debido a las nubes y a la niebla, esas montaas se ven raramente desde las tierras bajas, y hasta 1847 no se consiguieron varias mediciones. Despus de haberse hecho, los resultados necesitaron ser analizados laboriosamente por "computadores" en las oficinas de inspeccin; no eran mquinas sino personas que efectuaban los clculos trigonomtricos.La historia dice que en 1852 el jefe de los "computadores" fue hacia el director y le dijo: "Seor, hemos descubierto la mayor montaa del mundo". Desde una distancia de ms de 100 millas (160 km), se observ la montaa desde seis estaciones diferentes, y "no dio lugar a que el observador sospechara que estaba viendo a travs de su telescopio el punto ms alto de la Tierra". Al principio se la design como "Pico XV" por la inspeccin, pero en 1856 Waugh la denomin en memoria de Sir George Everest, su predecesor en la oficina de jefe de inspectores. El Everest fue el primero en registrarse y en usar los teodolitos gigantes; ahora estn expuestos en el "Museum of the Survey of India" en Dehra Dum.Hoy en da la posicin sobre la Tierra se puede localizar de forma muy precisa usando el sistema de posicionamiento global (GPS) de 24 satlites en rbita exacta, que estn difundiendo constantemente su posicin. Un pequeo instrumento electrnico de mano recibe sus seales y nos devuelve nuestra posicin con un error de 10-20 metros ( an es ms preciso para usos militares, los patrocinadores del sistema). Se usa una gran cantidad de trigonometra, pero lo hace todo la computadora que est dentro de su aparato, lo nico que usted necesita es pulsar los botones apropiados.Ahora que conoce un poco de los usos de la trigonometra, bienvenido a avanzar por lo esencial de ella.Nota: Los detalles sobre el descubrimiento del Monte Everest y la cartografa de laIndia estn tomados de "Who Discovered Mount Everest?" de Parke A. Dickey, Eos (Transactions of the American Geophysical Union), vol 66, p. 697-700, 8 Octubre 1985. El artculo se volvi a imprimir en la p. 54-59 de la History of Geophysics, Vol. 4, editada por C. Stewart Gillmor, publicada por la American Geophysical Union, 1990. (M-8) Como Enunciar los Senos y los Cosenos Los tringulos tienen muchas formas. Puede ser difcil clasificar los tringulos de formas arbitrarias, pero se debe observar que cualquier tringulo ABC se puede dividir siempre en dos tringulos con un ngulo recto, los tringulos con un ngulo igual a 90. Estos son ms fciles de tratar. Los tres ngulos de un tringulo suman 180 (no lo vamos a probar aqu) y por consiguiente, en un tringulo con un ngulo recto y con ngulos agudos A y B A + B + 90 = 180Restando 90 de ambos lados A + B = 90Dado el valor de un ngulo A, el otro ngulo B se determina totalmente (es igual a 90-A), y esta es la forma del tringulo, aunque no su tamao. Denomine los lados de un tringulo (a,b,c), cada uno corresponde con el nombre de un ngulo enfrentado a l. El ngulo A no determina la longitud de ningn lado, sino que nicamente fija la proporcin entre los lados. Esa proporcin tiene nombre y existe una notacin especfica para escribirla: a/c = sen A -- "el seno de A"b/c = cos A -- "el coseno de A"Para diferenciarlos recuerde: El sen A tiene el lado opuesto al ngulo A como numerador de su fraccinEl cos A tiene el lado adyacente al ngulo A como numerador de su fraccin Existe una relacin simple entre el seno y el coseno de cualquier ngulo. Por el Teorema de Pitgoras a2 + b2 = c2 Por consiguiente, para cualquier ngulo A (sen A)2 + (cos A)2 = (b2/c2) + (a2/c2) = (a2 + b2)/c2 = 1Esta declaracin se escribe normalmente como sen2A (no senA2, que se podra entender como el seno de un ngulo igual a A2): sin2A + cos2A = 1Tanto senA como cosA debern ser nmeros menores que 1, los lados adyacente y opuesto de un tringulo son siempre menores que el lado opuesto al ngulo de 90 (llamado la hipotenusa, una palabra apreciada por los amantes de las bromas y los retrucanos). Cuando un ngulo A se acerca ms y ms a los 90 (y B se hace menor y menor), el tringulo se hace cada vez ms estrecho y delgado. La longitud del lado a se acerca a c, mientras que la longitud de b se hace muy pequea: sin embargo cuando A se acerca a los 90, senA se aproxima a 1 y cosA a cero. Para el clculo de otros valores, vea la seccin siguiente.Por cierto: la primera tabla de senos y cosenos fue recopilada por Al-Khorezmi, que vivi en Bagdad alrededor de los aos 780-850 y que tambin nos aport el trmino lgebra. Hoy en da las calculadoras porttiles muestran sus valores al pulsar un botn. El origen del nombre "seno" (en Latn sinus, baha) es interesante. Al igual que el sistema decimal, proviene originalmente de la India y fue adaptado por los matemticos rabes en el tiempo de Al-Khorezmi. Transcribieron el nombre indio sin sus vocales (que loa rabes no escriben) como jb. En 1085 el rey Alfonso VI de Castilla (un reino de la Espaa medieval) captur Toledo a los rabes y con ello tambin captur una gran biblioteca con muchos manuscritos rabes, que incluan traducciones de libros griegos desconocidos en el resto de Europa. Alfonso contrat eruditos que tradujeron poco a poco esos libros al latn. En 1145 uno de esos traductores, Roberto de Chester, tradujo el "lgebra" de Al-Khorezmi. En un punto del libro encontr la palabra "jb" y sin darse cuenta de que era una palabra extranjera transcrita al rabe, busc cual podra ser su significado en rabe. Aadindole las vocales apropiadas significaba "baha", que en latn era "sinus." As fue como la escribi y as es como se usa hoy en da. Tiene su correcto significado en medicina (como en la "cefalea de senos") donde significa las cavidades ("senos nasales") que se extienden desde la nariz hasta los ojos.(La historia anterior proviene de la pgina 96 de un pequeo pero delicioso libro "La Historia de (Pi)" de Peter Beckman, St. Martin's Press, 1971.)Existen otras funciones trigonomtricas como: "tangente de A," escrita: tan A = a/b = senA/cosA"cotangente de A," escrita:cotan A = b/a = cosA/senALa tangente tiene el lado opuesto arriba, la cotangente el adyacente. Sin embargo, no trataremos esto aqu. (M-9) Deducir los Senos y los Cosenos Deducir el seno o el coseno de un ngulo arbitrario, necesita algo ms de matemticas que las tratadas aqu. Sin embargo, deducirlos de algunos ngulos especiales es relativamente directo. ngulos ComplementariosPrimero observe que un tringulo rectngulo tiene dos ngulos. Como los tres ngulos (de cualquier tringulo) suman 180, los dos ngulos agudos suman 90. Por lo que resulta que si uno de los ngulos es de A grados, el otro (su "ngulo complementario") es de (90-A). El seno y el coseno se definen con las siguientes relaciones: sen A = (lado opuesto a A)/(lado largo) cos A = (lado adyacente a A)/(lado largo) Como el lado opuesto a A es el adyacente a (90- A), resulta que el seno de un ngulo es el coseno del otro y viceversa: sen A = a/c = cos (90 - A) cos A = b/c = sen (90 - A) Esto es de gran ayuda: deducir, por ejemplo, el seno y el coseno de 30 nos proporciona el seno y el coseno de 60. (1) A = 45 Si A = 45, entonces tambin (90 - A) = 45, y por consiguiente sen 45 = cos 45 Elevando al cuadrado sen2 45 = cos2 45 Sin embargo, anteriormente se hall que para cualquier ngulo A sen2A + cos2A = 1 Por lo tanto 2 sen2 45 = 1 sen2 45 = 1/2 y si significa "raz cuadrada de" sen 45 = (1/2) Pulsando el botn de su calculadora obtiene sen 45 = 0.707107... = cos 45 Otra forma, algo ms transparente, es escribir sen2 45 = 1/2 = 2/4 sen 45 = (2)/(4) = (2)/2 La raz cuadrada de 2 es 1.4142135..., dividindola por dos se obtiene, como antes, 0.707107. (2) A = 30, (90- A) = 60 Considere el tringulo PQR (dibujo) con los tres ngulos iguales a 60. Por simetra, los tres lados son tambin iguales (existe una comprobacin ms rigurosa, pero la obviamos). Dibuje una lnea QS perpendicular a PR: divide al tringulo original en dos tringulos rectngulos con los ngulos agudos de (30, 60), que son del tipo que nos interesa. Por simetra, los tringulos son de igual tamao y forma ("congruentes") y por consiguiente, (obviando cualquier otra comprobacin) SR = (1/2) PR En la notacin del dibujo a = (1/2) c a/c = 1/2 = sen 30 = cos 60 Continuando sen2 30 = 1/4 Pero sen2 30 + cos2 30 = 1 As que 1/ 4 + cos2 30 = 1 Restando 1/4 de ambos lados cos2 30 = 3/4 cos 30 = (3)/ (4) = (3)/2=1.7320508/2 cos 30 = 0.8660254 = sen 60 (3) A = 90, (90 - A) = 0 Ser bastante ms difcil dibujar un tringulo rectngulo con un segundo ngulo tambin de 90, debido a que el tercer ngulo deber ser de 0. Pero podemos visualizar este extrao tringulo como un caso lmite de tringulos finos con un ngulo A que es muy pronunciado y su complementario (90 - A) muy pequeo (dibujo). En el caso lmite cos A = b/c = 0 y como 1 = sen2A + cos2A = sen2A + 0 resulta que sen2A = 1 sen A = 1 Por consiguiente cos 90 = sen 0 = 0 sen 90 = cos 0 = 1 En la tabla completa se lee A030 456090 sen A00.50.7071070.8660251 cos A10.8660250.7071070.50 Podr dibujar una buena grfica de los senA y cosA usando los puntos anteriores (4) Postgraduado: A = 15, (90 - A) = 75Las deducciones y tabla anteriores un procedimiento estndar en cualquier curso o texto de trigonometra. Sin embargo observar los huecos entre0 y 30, y entre 60 y 90. Si queremos que el ngulo A se incremente en pasos iguales de 15o, necesitaremos los senos y cosenos de 15 y 75. Est interesado? Aqu est lo que deberemos hacer; tome su calculadora! Dibuje un tringulo ABC, con un ngulo A igual a 30 y los dos ngulos de la base igual a 75 ambos. Luego dibuje la lneaBD perpendicular a AC (vea el dibujo de la derecha). Por simetra, los lados AB y AC tienen la misma longitud; denomine la longitud por la letra a. El tringulo ABD tiene ngulos de 90, 60 y 30 grados, y es del tipo examinado anteriormente. Obtenemos BD = a sen 30 = 0.5 aAD = a cos 30 = 0.866025 a Luego DC = AC - AD = a - 0.866025 a = 0.133975 a Ahora mire el tringulo BDC: sus ngulos mayores son iguales a90 y 75, obligando al ngulo restante a ser igual a 15. Usando elteorema de Pitgoras, si denominamos c al lado ms largo, obtenemos BD2 + CD2 = c2 = (0.5 a)2 + (0.133975 a)2

= 0.25 a2 + 0.0179493 a2 = 0.2679493 a2 Extrayendo la raiz cuadrada c = 0.517638 a Por esto, a 5 decimales (e implicando igualmente al ngulo complementario de 75 ) sen 15 = 0.133975/0.517638 = 0.25882 = cos 75 cos 15 = 0.500000/0.517638 = 0.96593 = sen 75 Ahora vaya y dibuje su grfica. (M-10) La Trigonometra para ngulos mayores de 90 "Astrnomos" introdujo dos formas de describir la posicin de un punto P en un plano (p.e. una hoja de papel): las coordenadas cartesianas (x,y) y las polares(r,|). Ambas usan como referencia un punto O ("origen") y un lnea recta a travs de l ("el eje x"). En las coordenadas cartesianas se dibuja un segundo "eje y" por O, perpendicular al primero, y se dibujan desde P unas lneas paralelas a los ejes, que cortan los ejes en los puntos A y B del dibujo. Las distancias OA y OB nos dan los nmeros que definen P, las coordenadas x , y del punto.En coordenadas polares, el punto P se define por su distancia r desde el origen O (vea el dibujo) y su ngulo polar("azimuth" en un mapa) entre el eje de lasx y el "radio" r = OA, medido antidextrogiro (hacia la izquierda). Como la figura OAPB es un rectngulo, la distancia AP es igual a y. Por consiguientesen| = y/rcos| = x/r Multiplicando todo por r nos da la relacin entre los dos sistemas de coordenadas (los smbolos que estn juntos se estn multiplicando):x = r cos|y = r sen| Estas relaciones permiten que puedan ser calculadas (x,y) cuando se proporciona (r,|). Opuestamente, dados (x,y), lograr (r,|), obsrvese que en el tringulo OAP, por Pitgorasx2 + y2 = r2 Por lo tanto, dados (x,y), se puede calcular r y luego (sen|, cos|) se pueden calcular como antes sen| = y/rcos| = x/r (excepto en el punto de origen O, donde (x, y, r) son cero y las fracciones anteriores se hacen 0/0; se puede escoger cualquier valor para el ngulo |).Sin embargo, contina existiendo un problema. El ngulo | tal y como se ha definido anteriormente puede ir desde 0 a 360, pero (sen|, cos|) estn definidos para 0 a 90, cubriendo solo la parte del plano donde x e y son positivas. Cuando uno o ambos son negativos, el ngulo | es mayor de 90 grados, y esos ngulos nunca aparecen en ningn tringulo rectngulo. Qu solucin (sen|, cos|) podemos tener para | mayor de 90 grados?Es simple: use las ecuaciones anteriores para redefinir el sen| y el cos| para esos ngulos. Las ecuaciones son sen| = y/rcos| = x/r Se ven ahora como nuevas definiciones del seno y del coseno, para el ngulo polar | formado por x e y. Si (x,y) son positivos, el resultado es exactamente el mismo que para los ngulos dentro de un tringulo rectngulo. Pero tambin es vlido para ngulos mayores. Ahora el seno y el coseno pueden ser negativos (como x e y) pero su magnitud no puede exceder de 1, debido a que la magnitud de x e y nunca es mayor que r. He aqu los signos: Rangosen| = y/rcos| = x/r 0-90++ 90- 180+- 180 - 270-- 270-360-+ Permitiendo ir a la lnea OP alrededor del origen ms de una vez hace crecer al ngulo | ms de 360; el seno y el coseno se siguen definiendo como y/r e x/r, y repite sus valores anteriores. Igualmente, girando OA en la direccin opuesta, a derechas, se definen valores negativos de |. Conjuntamente, esas extensiones definen los (sen|, cos|) para cualquier ngulo |, positivo o negativo, de cualquier medida.La relacin derivada del teorema de Pitgorassin2| + cos2| = 1 sirve para cualquiera de esos ngulos. Si el seno o el coseno es cero, la otra funcin debe ser +1 -1, dependiendo del signo de la coordenada (x o y) que los definen. A 90 y 270, x = 0 y por lo tanto cos| = 0, mientras que a 0 y 180 y = 0 y por lo tanto sen| = 0. Luego obtenemos ngulosen| = y/rcos| = x/r 00+1 90+10 1800-1 270-10 3600+1 Por supuesto, | = 0 y | = 360 representan la misma posicin de r, a saber, a lo largo de la rama positiva del eje x . debajo est la grfica del cos|: (M-11)Deducir el sen(+) y el cos(+) Dadas las funciones (sen, cos, sen, cos), buscamos frmulas que enuncien el sen(+) y el cos(+). La primera de esas frmulas se usa para calcular los puntos lagrangianos L4 y L5, aqu. Verifique, por favor, cada clculo antes de proseguir! Como se muestra en el dibujo, para deducir la frmula combinamos dos tringulos rectngulosABC que tiene un ngulo ACD""" "El lado mayor ("hipotenusa') de ACD es AD=R. Por consiguiente DC = R sen AC = R cos De modo semejante BC = AC sen = R cos sen AB = AC cos = R cos cos El tringulo ADF es rectngulo y tiene el ngulo (+) . Por lo tantoR sen (+) = DFR cos (+) = AF Comenzamos deduciendo el seno: R sen (+) = DF=EF + DE=BC + DE Observe en el dibujo los dos ngulos enfrentados sealados con lneas dobles: al igual que todos esos ngulos, deben ser iguales. Cada uno es uno de los ngulos agudos de su tringulo rectngulo. Como los ngulos agudos de ese tringulos suman 90 grados, los otros dos (vuoo ouooo oc|cv oc iuoco. Eoto uoti|i_o c ivoi_o c (vuo _c_o oc A _oo o, como se dibuja en la figura. En el tringulo rectngulo CED DE = DC cos = R sen cos EC = DC sen = R sen sen Anteriormente se present queBC = R cos sen AB = R cos cos Por consiguienteR sen (+)=BC+DE=R cos sen + R sen cos Eliminando R y reacomodando para que preceda sen (+) = cos sen + sen cos Del mismo modo, para el coseno R cos (+) = AF = AB FB = AB EC ==R cos cos R sen sen Eliminando R y reacomodandocos (+) = cos cos sen sen (M-11a) Ejercicios de Trigonometra Las secciones (M 6-11) le proporcionaron algunos principios de trigonometra. Esta seccin puede depararle la prctica aplicando dichos principios. En algunos casos se dan las soluciones, pero no las mire hasta que haga los esfuerzos necesarios para resolverlas usted mismo Hemos intentado evitar ejercicios repetitivos: cada conjunto es diferente. Hgalos todos, no deje ninguno! Asumimos que dispone de una calculadora que puede deducir senos y cosenos y que tambin dispone de las funciones sen-1 y cos-1 que sirven para encontrar el ngulo A a partir del senA o elcosA, en la gama de 0 a 180 grados. Un tringulo ABC tiene un ngulo recto C y dos ngulos agudos A y B. Los lados del tringulo AC y BC de ambos lados del ngulo recto C estn dados como:(a) AC = 3 BC = 4(b) AC = 5 BC = 12(c) AC = 8 BC = 15 En cada caso, use el teorema de Pitgoras para encontrar el tercer lado y luego encuentre el seno y el coseno de los ngulos A y B. 1.Est ascendiendo por un camino y ve un signo que le indica que tiene 5 grados, o sea que asciende 5 m por cada 100 m de camino. Cul es el ngulo entre el camino y la direccin horizontal? 2.Un aeroplano vuela a 170 km/s hacia el nordeste, en una direccin que forma un ngulo de 52 con la direccin este. El viento est soplando a 30 km/h en la direccin noroeste, formando un ngulo de 20 con la direccin norte. Cul es la "velocidad con respecto a tierra" real del aeroplano y cul es el ngulo A entre la ruta real del aeroplano y la direccin este? (La solucin est abajo: lala solo despus de haber trabajado el problema usted mismo. Los profesores en clase pueden sustituir los nmeros y las direcciones) Indiquemos la velocidad del aeroplano relativa al aire como V, la velocidad del viento relativa a tierra como W, y la velocidad del aeroplano relativa a tierra U=V+W, donde la suma es uno de los vectores. Dibuje un diagrama con las velocidades dadas y con los ngulos adecuadamente designados. Para ejecutar la suma real cada vector debe descomponerse en sus componentes. ObtenemosVx = 170 cos(52) = 104.6Vy = 170 sen(52) = 133.96Wx = -30 sen(20) = -10.26 Wy = 30 cos(20) = 28.19 Sumando:Ux = 94.4 Uy = 162.15 De Pitgoras, dado queU2 = Ux2 + Uy2, U= 187.63 km/hPor consiguientecos A = Ux /U = 0.503125 Usando la funcin cos-1 de la calculadoraA = 59.84.En un tringulo ABC, denominamos los ngulos (A,B,C) de acuerdo a sus esquinas ("vrtices") y denominamos los lados (a,b,c), de tal forma que el lado a est enfrentado al ngulo A, el b con en ngulo B y el c con el C. Pruebe la "ley de los senos" senA/a = senB/b Pista: Desde C dibuje una lnea CD perpendicular al lado c. La lnea CD es una "altura" del tringulo ypor consiguiente se podr denominar por la letra h. Use h en su prueba. 5.Antes de intentar el prximo problema, advierta dos puntos:-Si en la prueba anterior hubisemos usado una "altura" perpendicular desde A o B, en vez de desde C, obtendramos una relacin como senA/a = senC/c Por consiguiente, la "ley de los senos" es completamente simtrica: senA/a = senB/b = senC/c -La suma de los ngulos de un tringulo es siempre 180. Una prueba rigurosa conlleva bastante trabajo, pero la afirmacin se puede hacer verosmil mediante el argumento siguiente. En un tringulo ABC, dibuje una lnea por el punto C que sea paralela a AB. Esto crea dos ngulos adicionales, A' y B'. Los tres ngulos (A',C,B') suman 180, debido a que son adyacentes entre si y formados por una lnea recta. Sin embargo, por las propiedades de las lneas paralelas, los ngulos (A,A') son iguales, como los (B,B'). Sin embargo (A,C,B) tambin suman 180. El problema: En el tringulo ABC, la lnea AB est a lo largo de una ribera estrecha. Medimos la distancia c = AB como 118 m, y los ngulos A y B tiene 63 y 55 . Cul es la distancia b = AC? No lea ms hasta que intente resolverlo. Los profesores, en clase, pueden sustituir las cifras y las direcciones.

Debido a que la suma de todos los ngulos es de 180, el ngulo C debe ser igual a 62. Luego por la ley de los senos118/sen(62) = b/sen(55)Multiplique ambos lados por el sen(55) para obtener la longitud b = AC. Pregunta adicional: cual es la distancia perpendicular desde C a la lnea c = AB? (pista: es igual a la altura h en la deduccin del problema (4).)

6.(despus de la seccin M-10) Halle el seno y el coseno de (1) 145 (2) 210 (3) 300 7.(a) Cuando un rayo de luz choca contra la superficie de una superficie plana de cristal, generalmente se desva formando un ngulo. Dibuje una lnea perpendicular al punto de la superficie donde incide el rayo. Si el rayo alcanza la superficie con una trayectoria que forma un ngulo A con la superficie, contina dentro del cristal formando un ngulo B, dondesen B = (sen A)/n El nmero n ("ndice de refraccin") es una propiedad del cristal y es mayor que 1. El problema: dando valores a A=0, 20, 40, 60, y 80 grados y n = 1.45, cul es el valor de B en cada caso? (b) se cumple la misma ley cuando la luz sale del cristal, excepto que ahora se proporciona el valor del ngulo B (dentro del cristal) y se deber hallar el ngulo A (en el aire). Usaremos sen A = n senB Si esta frmula no funciona por cualquier motivo, el rayo no puede salir del cristal, sino que se refleja sobre la superficie lmite de nuevo hacia el cristal como en un espejo ("reflexin interna total") El problemo: Dado B = 0, 20, 90, 60, 80 --cules son los ngulos A? Con alguno de estos no sale el rayo del cristal ? (Por cierto: la razn de que un prisma divida la luz es porque el valor de n depende ligeramente del color de la luz -o, ms exactamente, de su longitud de onda). 8.En un conjunto de coordenadas cartesianas, el punto P tiene las coordenadas (x,y) y, como su muestra en el dibujo, x = OA, y = PA. Un segundo sistema con el mismo origen O tiene (x',y') formados girando los ejes (x,y) a derechas un ngulo o. En el mismo dibujo, la nuevas coordenadas de P son x' = OB y' = PB. Usando los puntos auxiliares (C,D,E) y la lneas auxiliares AE ay AD, exprese x' e y' en trminos de x, y, seno y coso. Pista (siga estos pasos en el dibujo). Los dos tringulos CBO y CPA son rectngulos, y como la suma de los ngulos de un tringulo es 180, los dos ngulos agudos de cada uno suman 90. De estos ngulos agudos, los dos que se encuentran en C son iguales y, por consiguiente, los otros dos tambin sern iguales.De los otros ngulos AOB est determinado sern igual a a. Por lo tanto el ngulo APC tambin es igual a a, como se indica. Intente resolver el problema antes de continuar. Solucin Recuerde: en un tringulo rectngulo con una ngulo o, si multiplica el lado largo-por el coso, obtiene el lado cercano a o -por el seno, obtiene el lado opuesto a oEsto sugiere que se debe prestar atencin especial a los tringulos rectngulos cuyos lados largos son x e y, a saber los tringulos OAD y PAE. Si es posible, intentaremos expresar x' e y' en funcin de los lados de esos tringulos.x' = OB = OD-BD = OD-AE = OA coso - AP seno = x coso - y senoy' =BP = BE+EP = AD+EP = OA seno + AP coso = x seno + y coso Escribamos el resultado final:x' = x coso - y senoy' = x seno + y coso Prctica de lgebra: usando las dos relaciones anteriores, puede expresar (x,y) en funcin de (x',y')? Deber usar sen2o + cos2o= 1. Indique tambin que el resultado es consecuente con la primera frmula, si intercambiamos los papeles de (x,y) y (x'y') y sustituya el ngulo de rotacin por (-o). Eso tambin estar de acuerdo con la figura, en donde (x,y) se obtiene girando (x',y') a izquierdas un ngulo o, que puede ser visto como una rotacin a derechas un ngulo (-o).Pulse aqu para ver una discusin adicional de este resultado, especialmente para aquellos que han estudiado la seccin #12A "Como se calculan las rbitas".9.Cunto mide la lnea de latitud L si la Tierra es una esfera y la distancia desde el polo al ecuador es de 10,000 km? Cunto mide un grado de longitud a la latitud L?Tambin es vlida la frmula para latitudes sur? 10. (a) Si el cos X = 2 senX, cal es el sen X?Cul es el ngulo X? (b) Es esta la nica solucin?Pistas:(a) Use cos2X = 4 sen2X (b) Dado que trabajamos con una ecuacin que solo implica cuadrados, cualquier solucin de ella solo impone sen2X y cos2X. Sin embargo, la condicin original tambin requiere que cos X y sen X tengan el mismo signo algebraico. (M-12) La Tangente -La tangente es una herramienta de trigonometra relacionada con el seno y el coseno. En este sitio web es usada en relacin a la alidada.Usted ya sabr que los tringulos rectngulos son bsicos en Trigonometra. Sea ABC un tringulo (dibujado) con C = 90 el ngulo recto y A, B los ngulos agudos. Sean tambin a, b y c las longitudes de sus tres lados: a del lado opuesto a A, b del lado opuesto a B, y c, el ms largo, opuesto a C. Dos razones tiles asociadas con el ngulo A ("funciones trigonomtricas de A") son: El seno de A,sen A= a/c (implicando al lado a opuesto a A)El coseno de A, cosA = b/c(implicando al lado b contiguo a A)Estas dos razones implican al lado largo c ("hipotenusa", en lenguaje matemtico), y por cuanto a y b deben ser ms pequeos que ese lado, estas razones son siempre nmeros menores que 1. Ahora aadiremos dos razones ms a nuestra coleccin: la tangente y la cotangente: La tangente de A, tan A = a/b (a veces escrita "tg A") . Y la cotangente de A, cotan A = b/a = 1/tan AExiste una simple relacin entre ese par de razones primeras. Tenemos: senA / cosA= (a/c) / (b/c)Multiplicando arriba y abajo por c (es lo mismo que multiplicar la fraccin por (c/c)=1) se obtiene: senA / cosA = (a/b) = tan AInvirtiendo la fraccin: cosA/ senA = 1/tanA = cotanALas calculadoras que ofrecen senos y cosenos, y los libros que tabulan sus valores, son capaces tambin de ofrecer tangentes y cotangentes. Una simple aplicacin A medioda, un mstil vertical de 15 m (50 pies) de altura tiene una sombra de 5,4 m (18 pies) de longitud.. Cul es el ngulo A del sol sobre el horizonte? (Como se explica en la seccin "Navegacin", ese ngulo le permite a uno calcular la latitud de su posicin). Del esquema dibujado: tanA = 15/5,4 = 2,7778 Si usted dispone de una tabla de tangentes, puede ahora buscar dos ngulos cuyas tangentes sean valores que estn uno inmediatamente por encima de ese valor y el otro por debajo de ese valor, y estimar as dnde se encuentra A entre ellos ("interpolacin"). Las calculadoras normalmente tienen un botn "tan" que, si se introduce previamente el ngulo, nos da el valor de la tangente. Pero muchas tambin tienen un botn "tan -1 " que hace la inversa: dada la tangente, devuelve el ngulo. (Podra ser el mismo botn, calculndose tan-1 si primero se puls un botn de "modo especial" (a veces de color); tan-1 se llama tambin "la tangente inversa" o "el arco tangente"). En este ejemplo:tan-1 2,7778 = 70,2P.S.: Una tangente a un crculo es una lnea que lo roza en slo un punto. Si alguna vez se ha preguntado cmo entr la palabra "tangente" a la Trigonometra YYYYYYYYYY ngulos: Arcos y sus medidas Grados y radianes Las unidades de medida de ngulos mas conocidas son los grados, minutos y segundos. Este tipo de medidas est basada en la divisin en partes iguales de una circunferencia. Las equivalencias son las siguientes: 360 = un giro completo alrededor de una circunferencia 180 = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia 90 = 1/4 de vuelta 1 = 1/360 de vuelta, etc. Tambin se puede definir otra unidad angular, el radian, que en las aplicaciones fsicas es mucho mas practico y directo que trabajar con grados. La magnitud de un ngulo medido en radianes est dada por la longitud del arco de circunferencia que subtiende, dividido por el valor del radio. El valor de este ngulo es independiente del valor del radio; por ejemplo, al dividir una pizza en 10 partes iguales, el ngulo de cada pedazo permanece igual, independiente si la pizza es chica, normal o familiar. De esta forma, se puede calcular fcilmente la longitud de un arco de circunferencia; solo basta multiplicar el radio por el ngulo en radianes. Long. arco de circunferencia = [ngulo en radianes] x [Radio de la circunferencia] Ya que conocemos el permetro de una circunferencia de radio unitario (2* r = 2 ), entonces el ngulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2 . Como adems sabemos que este mismo ngulo, medido en grados mide 360, entonces podemos definir una equivalencia: 1 radian = 57,29 a partir de esta igualdad, determinamos que: 90 =/2 radianes 60 =/3 radianes 45 =/4 radianes 30 =/6 radianes Funciones seno y coseno El tringulo OAB es un tringulo rectngulo y lo usaremos para definir las funciones seno y coseno. En un tringulo rectangulo, senes la razn entre el cateto opuesto y la hipotenusa, cosel la razn entre el cateto adyacente y la hipotenusa.Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa del tringulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan: sen= |AB| / |OA| = |AB| / 1 = |AB| cos= |OB| / |OA| = |OB| / 1 = |OB| A continuacin algunos valores de las funciones que es conveniente recordar: ngulosencos 001 301/2( 3)/2 45( 2)/2( 2)/2 60( 3)/21/2 9010 Como en el tringulo rectngulo se cumple que a + b = c, de la figura anterior se tiene que sen=a, cos=b, c=1; entonces (sen) + (cos) = 1 para todo angulo. Algunas identidades trigonometricas importantes son: sen (90 -) = cos cos (90 -) = sen sen (180 -) = sen cos (180 -) = -cos sen 2= 2 sencossen (+) = sencos+ cossen cos (+) = coscos- sensen Funcin tangente En un tringulo rectngulo, la tangente es la razn entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. tan= AC / OA = BD / OB = sen/ cos tan ( /2) = tan (90) = + tan (- /2) = tan (-90) = - tan (0) = 0 tan ( /4) = tan (45) = 1 tan ( /3) = tan (60)= ( 3) tan ( /6) = tan (30) = ( 3)/3 Una identidad importante con la tangente es: tan (+) = ( tan+ tan) / (1 - tan. tan) Bibliografa. Aprendo a superar las matemticas de 3 de BUP Matemticas Tecnologa 1 Bachiller J.R. Vizmanos y M. Anzola. Diccionario enciclopdico Larousse. Diccionario enciclopdico Vox. Microsoft Encarta 2000. Enciclopedia Planeta Multimedia.

1 Sabiendo que sen A = 4/5, calcula las dems razones trigonomtricas de A sabiendo que es un ngulo del segundo cuadrante.2 Sabiendo que cos A = -raiz(3)/2, sin utilizar la calculadora, obtener las dems razones trigonomtricas de A, y el ngulo A, sabiendo que est en el segundo cuadrante.3 Sabiendo que cos A = -1/2, sin utilizar la calculadora, obtener las dems razones trigonomtricas de A, y A, sabiendo que es un ngulo del segundo cuadrante. 4 Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonomtricas de 315.5 Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonomtricas de 240.6 Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonomtricas de 300.7 Resolver el siguiente tringulo, sabiendo que a=12 y A=30. 8 Resolver el siguiente tringulo, sabiendo que =30 y c=20, sin utilizar la calculadora. 9 Desde un punto A en la orilla de un ro se ve un rbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros ro abajo, por la orilla recta del ro, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ngulo de 30 con nuestra orilla. calcular la anchura del ro. 10 Desde un punto se observa un edificio cuya parte ms alta forma con el suelo un ngulo de 30, si avanzamos 30 metros, el ngulo pasa a ser de 45. Calcular la altura del edificio. 11 Un edificio proyecta una sombra de 150m. cuando el sol forma un ngulo de 20 30' sobre el horizonte, calcular la altura del edificio. 12 Desde un punto A en la orilla de un ro se ve un rbol justo enfrente. Si caminamos 150 metros ro abajo, por la orilla recta del ro, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ngulo de 15 con nuestra orilla. Calcular la anchura del ro. 13 Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonomtricas de 135.14 Desde un punto A en la orilla de un ro, cuya anchura es de 50m., se ve un rbol justo enfrente. Cunto tendremos que caminar ro abajo, por la orilla recta del ro, hasta llegar a un punto B desde el que se vea el pino formando un ngulo de 60 con nuestra orilla? Resolver las siguientes cuestiones:A. Sin utilizar la calculadora, expresa en radianes 150, 315, 120, 210, 75 y 330B. Sin utilizar la calculadora, expresa en grados: 3pi/2, pi/6, pi/3, pi/5, 2pi/5, 5pi/2C. Si un ngulo es el doble que otro, su seno tambin lo es?. En cualquier caso poner un ejemplo para ilustrar la respuesta. Funciones Trigonometricas en el Tringulo Rectngulo

Ahora, estimados amigos definiremos las funciones trigonomtricas en el tringulo rectngulo. Ms adelante, nos seal el profe, las utilizaremos, a travs de diversos teoremas y relaciones, en todo tipo de tringulos. Consideremos el tringulo ABC, rectngulo en C, de la figura y trabajemos con los ngulos o y | de l. Antes de seguir adelante con el trabajo trigonomtrico, el profe nos hizo recordar y ejercitar el Teorema de Pitgoras, para luego definirnos lo siguiente: seno de o = coseno de o = tangente de o = cotangente de o = secante de o = cosecante de o = Del mismo modo, para el ngulo | se obtiene las razones trigonomtricas siguientes: seno de | = coseno de | = tangente de | = cotangente de | = secante de | = cosecante de | = OJO: Te hacemos la misma sugerencia que nos hizo el profe a nosotros, "aprendan las definiciones trigonomtricas en palabras ya que las letras que designan los catetos y la hipotenusa pueden variar". Funcines Trigonomtricas de un Angulo Agudo

Una vez dadas las definiciones, el profe nos pidi que las observramos muy bien y sacaramos alguna conclusin. Nonos cost mucho darnos cuenta que:sen o = cos |cos o = sen |tg o = cot |cot o = tg |sec o = cosec |cosec o = sec |y como o + | = 90 (tringulo ABC), entonces | = 90 - o que la reeemplazarlo en las igualdades anteriores se obtiene: sen o = cos (90 - o)cos o = sen (90 - o)tg o = cot (90 - o)cot o = tg (90 - o)sec o = cosec (90 - o)cosec o = sec (90 - o)En palabras: "La funcin trigonomtrica de un ngulo agudo es igual a la cofuncin de su complemento". Frente a nuestras caras de S.O.S. que se nos empezaba a formar, el profe decidi mostrarnos ejemplos del uso de estas funciones y comenzamos con el siguiente tringulo rectngulo en C. de l debamos determinar todas las funciones trigonomtricas del ngulo o.Lo primero fue determinar el valor del cateto BC que, a travs del teorema de Pitgoras, resulta de 4 cm. (No te hacemos el procedimiento ya que si no sabes este teorema, te sugerimos cambiarte de electivo)(Ya nos hemos convertido el los chacalitos).Ahora que ya sabemos la medida de cada lado del tringulo, resolvamos.sen o == 0,8cos o == 0,6tg o == 1,33...cot o == 0,75sec o == 1,66...cosec o =1,25Te preguntars (as lo hicimos nosotros) qu significado y utilidad tiene la expresin sen o == 0,8. Fcil respuesta! (ahora). En una calculadora cientfica desarrolla lo siguiente:anota el nmero 0,8 y presiona la tecla INV o SHIFT, luego la tecla sen-1, donde obtendrs como resultado (he aqu lo maravilloso) que el ngulo o mide 53,13.Si quieres (sera conveniente), efecta identica operacin con las otras funciones trigonomtricas para verificar dicho ngulo.Ahora te damos un segundo ejercicio para que te entretengas calculando las funciones trigonomtricas de | (ngulo ACB) en el rectngulo ABCD de la figura. Relaciones Trigonomtricas Fundamentales

Sigue el avance trigonomtrico y hasta ahora nos hemos defendido bastante bien. Claro que hemos ido estudiando meticulosamente la materia ya que el profe Danny nos advirti que si no captbamos el principio de la trigonometria, despus daramos la hora en las clases y, por supuesto, en las pruebas (cierto Cynthia?). Hoy aprenderemos que existen relaciones trigonomtricas que sern fundamentales en el desarrollo de las diversas unidades de nuestro curso. Para eso vamos a trabajar con la figura siguiente, para que basados en ella demostremos las relaciones que ms abajo se indican. 1.2.3.4. 5. sen2o + cos2o = 1 6. sen2o = 1 - cos2o7. cos2o = 1 - sen2o8. 9. 10. sec2 o = 1 + tg2o 11. cosec2 o = 1 + cotg2o Aprndelas!, las tendrs que utilizar siempre, especialmente en las identidades y ecuaciones trigonomtricas que estudiaremos ms adelante. Y ahora a demostrar cada una de ellas, basndote en el tringulo anteriormente dado. A trabajar! (Aqu te damos algunas demostraciones como pauta para que t hagas todas las dems) 1. Por demostrar queda entonces demostrado. 2. Por demostrar 3. Ahora te mostraremos el desarrollo que nos llevo ms tiempo y slo por no estar atentos a los "pequeos" detalles.Por demostrar sen2o + cos2o = 1sen2o + cos2o = 1 Aqu fue donde topamos. Algunos se dieron cuenta, otros tuvimos que recurrir a nuestro "sabelotodo", el cual nos record "amablemente" al seor Pitgoras y su famoso a2 + b2 = c2, entonces 1 = 1 1 Gua de Ejercicios Y lleg el momento de trabajar a tope y empezar la preparacin para nuestra primera prueba de trigonometra, ah! y sin perdonazo. A gozar! (parece cumbia) 1. Demuestra, utilizando para ello las definiciones de las funciones trigonomtricas dadas, las siguientes relaciones: a) b) 2. En la siguiente figura, calcula las funciones trigonemtricas del ngulo o siendo: a) AC = 6 cm. y BC = 8 cm. b) BC =cm. y AB 3 cm. 3. Si o es un ngulo agudo de un tringulo rectngulo y sen o = 1/3, determina tg o y sen(90 - o). 4. Sabiendo que sen 28 = 0,469; calcula: a) cos 28 b) tg 28 c) cosec 28 d) tg 62 e) sec 62 5. Si sen | = p, determina cos |. 6. Si cos o = a, determina cot o. 7. Calcula las siguientes expresiones: a) 5 cos o - 2 sen o + cot o, si sen o = 0,6. b) 2 sen o + cos o - 2 cosec o, si sec o = 2. 8. En el tringulo ABC de la figura, AC = 10 cm. y AB = 4 cm. Si el rea de dicho tringulo es 12 cm2, determina el valor de sen o y de o. 9. En un tringulo ABC, rectngulo en C, AB = 4 cm. y tg o = 5/12, entonces, cunto mide BC? 10. Si x = cos o y sen o = y:5, determina el valor numrico de 25x2 + y2. TRIGONOMETRA. ngulo. Porcin de plano comprendida entre dos rectas que se cruzan .Medida de ngulos. -Grados sexagesimales (DEG) 1=60'=3600''La circunferencia est dividida en 360-Radianes (RAD) 360=2 pi radianes.Razones trigonomtricas. Dada una circunferencia de radio r, si tomamos un arco AP,donde A es un punto del semieje positivo de las x y P(x,y), el punto del extremo, se definen las razones trigonomtricas del ngulo en la forma: -Senosen o = ordenada / radio = y / r-Cosenocos o = abscisa / radio = x / r-Tangentetg o = seno / coseno = ordenada / abscisa = y / x-Cotangentecotg o = coseno / seno = abscisa / ordenada = x / y-Secantesec o = 1 / coseno = 1 / (x / r) = r / x-Cosecantecosec o = 1 / seno = 1 / (y / r) = r / ySigno de las razones. En cada cuadrante, dependiendo del signo de las abscisas y ordenadas, las razones presentan los siguientes signos: ngulos notables. -30 Para determinar sus razones tenemos en cuenta que se forma un tringulo equiltero: sen 30 = y/r= (r/2) / r = 1/2 cos 30 = x/r= 3 / 2 r2=x2+(r/2)2=x2+r2/4x=(3r2/4)=r3/2 tg 30 =(1/2)/(3/2)= 3 / 3 -60 Formamos el tringulo equiltero de la figura:sen 60= y/r= (r 3 / 2)/r= 3 / 2 r2 = y2 + ( r/2)2 y = ( r2-r2/4) = ( 3 r2 / 4 ) = r 3 / 2 cos 60= (r/2)/r = 1 / 2 tg 60 = (3 / 2)/(1/2) = 3 -45 La x y la y son iguales, por lo que se forma un tringulo issceles:sen 45 = y/r = 2 / 2 r2 = x2 + y2 = 2 y2 y=(r2/2)=r(2)/2 cos 45= x/r = y = 2 / 2 tg 45 = sen 45 / cos 45 = 1 Relaciones entre las razones trigonomtricas. 1.- Teorema fundamental. sen o = y / r de dondey = r sen o cos o = x / r de donde x = r cos o como segn Pitgoras: x2+y2=r2tenemos que r2cos2o + r2sen2o=r2 es decir:cos2o + sen2o = 1 2.- Dividiendo el teorema fundamental entre sen2: 1 + cos2o / sen2o = 1/ sen2o 1 + cotg2o = cosec2o 3. Dividiendo el teorema fundamental entre cos2: tg2o+1= 1 / cos2o 1 + tg2o = sec2o Relaciones entre las razones trrigonomtricas de algunos ngulos. 1. ngulos suplementarios. Teniendo en cuenta la definicin de cada razn trigonomtrica, se deduce: sen o = sen |cos o = cos | tg o = tg |

2. ngulos complementarios. Observamos que y'=xy que x'=y sen | = sen (90-o) = y'/r =x/r = cos o cos | = cos (90-o) = x'/r = y / r = seno tg | = cotg o 3. ngulos que difieren en 180 sen | = sen (180+o) = seno cos | = cos (180+o) = cos o tg | = sen | / cos | = seno / cos o = tg o

4.- ngulos opuestos. sen | = y/r = - y/r = -sen o cos | = x/r = x/r = - y/r = cos o tg | = sen | / cos | = seno / cos o = tg o

Representacin de las razones trigonomtricas sobre la circunferencia goniomtrica. Se denomina circunferencia goniomtrica a la que tiene de radio la unidad. En esta circunferencia:sen o = y / r =y cos o = x / r = x tg o = y / x = y' / x' = y' ya que x'=1 cotg o = x / y = x' / y' = x' ya que y'=1 sec o = 1/cos o = 1/(x/r)= r / x = r' / x' = r'ya que x'=1 cosec o = 1/sen o = 1/(y/r)= r / y = r' / y' = r'ya que y'=1

TEOREMAS DE ADICIN 1.- ADICIN DE NGULOS. Suponemos circunferencia goniomtrica (R=1) a) Coseno de la suma. cos(o+|)=OC/OB=OC=OD-CD=OD-BE=OAcosoABseno= =OBcos|cosoOBsen|seno=cosocos|senosen|

b) Coseno de la diferencia. En la expresin del coseno de la suma sustitumos | por -| cos(o|)=cos[o+(|)|=cosocos(-|)senosen(-|)=cosocos|seno(sen|)=cosocos|+senosen| c) Seno de la suma. sen(o+|)=cos[o+(|+90)|=|cosocos(|+90)senosen(|+90)|=|coso(-sen|)senocos||= =senocos|+cososen| d) Seno de la diferencia. sen(o|)=senocos(-|)+cososen(-|)=senocos|cososen| e) Tangente de la suma. tg(o+|)=sen(o+|)/cos(o+|)=(senocos|+cososen|)/(cosocos|senosen|)=(tgo+tg|)/(1tgotg|) f) Tangente de la diferencia. tg(o|)=sen(o|)/cos(o|)=(senocos|cososen|)/(cosocos|+senosen|)=(tgotg|)/(1+tgotg|) g) Coseno del ngulo doble. Hacemos |=o en la expresin del coseno de la suma cos(o+|)=cosocos|senosen|=cos2osen2o Es decir: cos(2o)=cos2osen2o h) Seno del ngulo doble. Hacemos |=o en la expresin del coseno de la suma sen(o+|)=senocos|+cososen|=senocoso+cososeno=2senocoso Luego: sen(2o)=2senocoso i) Tangente del ngulo doble. tg(o+|)=(tgo+tgo)/(1tgotgo)=2tgo/(1tg2o) j) y k) Coseno y seno del ngulo mitad. cos(2o)=cos2osen2o Si hacemos o=o/2 tenemos: coso=cos2(o/2)sen2(o/2) y como segn Pitgoras:1=cos2(o/2)+sen2(o/2) sumando ambas expresiones: 1+coso=2cos2(o/2) de donde: cos(o/2)=|(1+coso)/2] restndolas: 1-coso=2sen2(o/2)de donde: sen(o/2)=|(1-coso)/2] l) Tangente del ngulo mitad. tg(o/2)=sen(o/2)/cos(o/2)=|(1-coso)/2] / |(1+coso)/2]=|(1-coso)/(1+coso)]

2.- ADICIN DE RAZONES TRIGONOMTRICAS. m) Suma de cosenos. cos(p+q)=cos p cos q-sen p sen q cos(p-q)=cos p cos q+sen p sen qSumando: cos(p+q)+cos(p-q)=2 cos p cos q Si llamamos: p+q=Ayp-q=Btenemos que: p=A-qA-2q=B q=(A-B)/2 p=A-(A-B)/2=(A+B)/2 sustituyendo:cos A + cos B = 2 cos[(A + B) / 2] [cos (A-B) / 2] n) Diferencia de cosenos: cos(p+q)-cos(p-q) = -2 sen psen q cos A - cos B = - 2 sen[ (A+B) /2 ] sen[ (A-B) / 2] ) Suma de senos. sen(p+q)=sen p cos q+cos p sen q sen(p-q)=sen p cos q-cos p sen q sen(p+q)+sen(p-q)=2 sen p cos q sen A + sen B = 2 sen[ (A+B) / 2] cos [(A-B) / 2] o) Diferencia de senos. sen(p+q)-sen(p-q)=2 cos p sen q sen A - sen B = 2 cos[(A+B) / 2] sen[ (A- B) / 2]

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Un webquest para estudiantes de Dcimo Grado Diseado Por: Lic. Diego Feria Gmez E-mail: dferiagomez@hotmail.com

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Introduccin Loshistoriadoresconcuerdanenquefueronlosgriegosanterioresa Scrateslosiniciadoresdelatrigonometra.ATalesdeMileto,uno delossietesabiosdeGrecia,seleatribuyeeldescubrimientode cinco teoremas geomtricos y su participacin en la determinacin de las alturas de las pirmides de Egipto utilizando la relacin entre los ngulosyladosdeuntringulo.Hiparco,notablegemetray astrnomogriego,sistematizestosconceptosenunatablade cuerdastrigonomtricasquehoysonlabasedelatrigonometra moderna.Porsutrabajoseleconsideraelpadreofundadordela trigonometra. Estawebquestseapoyaenalgunasexperienciasdeilustressabios griegosdisponiblesenlainternetyenlosprincipiosdetrabajo colaborativoparadesarrollarelementosdeaprendizajesnovedososy significativos, describir y modelar fenmenos del mundo real usando relaciones y funciones trigonomtricas.

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2 La Tarea Tarea 1: Construir un gonimetro y usarlo para determinar la altura de un edificio Tarea 2: Explicar y valorar el trabajo realizado por Thales de Mileto para determinar la altura de las pirmides de Egipto.Tarea 3 Explicar cmo un pequeo error en la medicin de un ngulo, puede conducir a resultados muy lejanos de la realidad. Tarea 4 Exponer el trabajo realizado por Eratstenes para medir el radio de la Tierra y explicar los mtodos trigonomtricos que pueden utilizarse en la actualidad para realizar esa tarea. Tarea 5:Utilizar el mismo edificio de la tarea 1, para medir su altura por mtodos fotogrficos. Volver

1 Proceso Tarea1:Construirungonimetroyusarloparadeterminarlaalturadeun edificio. El gonimetro es un instrumento muy antiguo utilizado para medir ngulos.Sus aplicacionesllevanimplcitolosconceptosmatemticosdesarrolladosporlos antiguosgriegos.Paraconstruirlodebesconsultarlossitiosrecomendadosy seleccionarelmaterialnecesarioydistribuirlastareas.Unavezloconstruyas debers utilizarlo para medir la altura de un edificio importante de la ciudad. Te sugerimosquemidaslaalturadeunedificio omonumentoimportantedetu ciudad. Enlaexposicindebesdescribirelprocesodeconstruccin,presentarlas medicionesrealizadas,explicarsusignificadoycomentarlosprocedimientos actualesdemedicin.

Tarea2:ValoraryexplicareltrabajorealizadoporThalesdeMiletopara determinar la altura de las pirmides de Egipto.Paraestatareadebesconsultarlossitiosrecomendadosyseleccionardeallel material necesario. En la exposicin, adems de presentar la experiencia realizada porelsabiogriegoydestacarelfundamentomatemticoempleadoenesa medicin,debespresentarunabrevebiografa.Seraimportantequeenesta exposicin hagas una breve exposicin del momento histrico que se viva en ese entonces.

Tarea3:Explicarcmounpequeoerrorenlamedicindeunngulo,puede conducir a resultados muy lejanos a la realidad: EnestatareadebesaprovechareltrabajorealizadoporAristarcodeSamos (precursordelateoraHeliocntrica)enelsigloIIIa.c.cuandoestimlas dimensiones del Soly la Luna, as como sus respectivas distancias a la tierra. EnlaexposicinusteddebedesarrollarelmtodoutilizadoporAristarcopara medirlasdistanciasrelativasdelatierraylalunaalsolyexplicarcomouna pequeafallaenlamedicinpuedegenerarerroresgarrafales.

Tarea4:ExponereltrabajorealizadoporEratstenesparamedirelradiodela Tierrayexplicarcomopodrautilizarseenlaactualidadnuevosmtodospara hallar ese radio. La primera referencia de las mediciones de la circunferencia terrestre aparecen en losobrasdeAristtelesyalparecerfueronllevadosacaboamediadosdelsiglo IIIa.c.Seacomofueredeestosprimerasmedicionessloseconocensus resultados,nolosmtodoempleadosparallevarlasacabo.Sobreeltrabajode Eratstenes es la primera medicin de la cual se posee informacin casi completa.Investigaeltrabajorealizadoporlycmopuedeenfocarsehoypormtodos trigonomtricos.Tambindebesdeterminarlosprocedimientosquehoypueden utilizarseparadeterminarelradioyelpermetrodelaTierra.

Tarea 5: Utilizar el mismo edificio de la tarea 1, para medir su altura a travs de una fotografa. Para esta tarea debes tomarte una fotografa en el mismo edificio usado en la tarea 1. La persona que sirve de modelo debe estar en posicin erguida y el fotgrafo debe asegurarse por enfocar todo el edificio. Si bien esta tcnica de medicin est basada en las propiedades de las escalas, es importante que los estudiantes la conozcan.

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4 Recursos Para la tarea 1: Construir un gonimetro y usarlo para determinar la altura de un edificio. Consultar:http://www.sectormatematica.cl/media/aplitrig.htm http://www.apm.pt/nucleos/almada/instrumentos.htm http://yperelman.ifrance.com/yperelman/geometriarecreativa/geomrecreat03.html http://www.nssl.noaa.gov/projects/pacs/salljex/archive/manuals/manual-teodolitos-v1.2.html http://www.cielosur.com/topografia.htm

Tarea2:ValorarysimulareltrabajorealizadoporThalesdeMiletopara determinar la altura de las pirmides de Egipto.Consultar http://www.arrakis.es/~mcj/medidas.htm

Tarea 3: Explicar cmo un pequeo error en la medicin de un ngulo, puede conducir a resultados muy lejanos a la realidad: http://www.arrakis.es/~mcj/medidas.htm

Tarea4:ExponereltrabajorealizadoporEratstenesparamedirelradiode laTierrayexplicarcomopodrautilizarseenlaactualidadnuevosmtodos para hallar ese radio. Consultar la siguiente direccin electrnica: http://personales.ya.com/casanchi/rec/eratos.htm http://www.arrakis.es/~mcj/medidas.htm Volver

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Evaluacin El trabajo en Word: Insuficiente:Si Est incompleto, sin datos de anlisis, sin resolver las preguntas. Aceptable: Si los puntos estn incompletos, con pocos datos de anlisis, anlisis superficial y con preguntas mal resueltas o incompletas. Sobresaliente: Si los puntos estn completos, anlisis completo, preguntas completas Excelente: Si los puntos estn completos, con informacin extra, anlisis exhaustivo y preguntas resueltas de forma exhaustiva. La presentacin: Insuficiente: Si es deficiente, no se dan conclusiones, pocas herramientas informticas o mal utilizadas y Preguntas sin contestar. Aceptable: Puntos incompletos, pocos datos de anlisis, anlisis superficial, preguntas mal resueltas o incompletas. Sobresaliente: Si se dan buenas conclusiones, bastantes herramientas, seguridad en la exposicin. Excelente: Si es brillante, la clase se interesa, se responden dudas, se apoya la presentacin con herramientas apropiadas. La exposicin: Insuficiente: Sin ninguna participacin o callado Aceptable: Participacin escueta Sobresaliente: Si hay participacin con muestra de inters Excelente: Si hay participacin con dominio del tema. Cohesin del grupo: Insuficiente: Si no hay ningn tipo de cohesin, trabajo individual Aceptable: Si hay dbil grado de cohesin y partes inconexas Sobresaliente: Si hay buena cohesin Excelente: Si el grupo acta como un solo equipo, todos participan y dominan el tema.

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6 Conclusin Al finalizar el proyecto de webquest tendrs una visin ms clara sobre los orgenes de la trigonometra, valorars el trabajo de los antiguos sabios griegos y su aporteal campo de las matemticas. Reconocers adems,la importancia de los recursos tecnolgicos en los procesos de enseanza aprendizaje de las matemticas y los cambios significativos que pueden producir en las prcticas pedaggicas, en las metodologas de enseanza y en la forma en que los estudiantes acceden e interactan con el conocimiento matemtico.

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7 Crditos y Referencias: Agradecimientos muy especiales a los coordinadores y participantes del curso "Tecnologas de la informacin en la educacin" ya que gracias a ellos pude conocer el potencial y caractersticas de esta herramienta educativa, a Bernie Dogde el creador de la estructura bsica de las webquest y todos los docentes del mundo que promueven el uso de esta herramienta didctica de investigacin en la red.

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8 ORIENTACIONES PARA EL PROFESOR UnaWebquestesunaactividaddeinvestigacinenlaquela informacinconlaqueinteractanlosalumnosprovienetotalo parcialmente de recursos de la Internet. Los WebQuest se disean para hacermsrentableeltiempodelestudiante, centrandolaactividaden elusodelainformacin,msqueensubsqueda,yparaapoyarla reflexin del alumno en los niveles de anlisis, sntesis y evaluacin.Enunawebquestsedividealosestudiantesengrupos,seles asigna a cada uno un rol distinto y se les propone realizar en conjunto una tarea atractiva, que debe terminar en un trabajo con caractersticas biendefinidas.Paraestohayqueseguirunprocesoplanificado previamenteporelprofesor.Eneseprocesolosalumnosrealizanuna ampliagamadeactividadesyelprofesorlesproponeelusode diversosrecursos,accesibleseninternet,yunaseriedeayudasde recepcin,transformacinyproduccindelainformacinqueles ayudarnaasimilaryacomodarlanuevainformacinyaelaborarel productofinal.Enunawebquest,losestudiantesconocernde antemanolamaneracomoserevaluadotantoelproductofinalcomo el proceso de elaboracin. LaideadeWebQuestfuedesarrolladaen1995,enla UniversidadEstataldeSanDiegoporBernieDodge,profesorde tecnologa educativa, y desde entonces se ha constituido en una de las tcnicas principales de uso e integracin de Internet en la escuela.Hay una reglas bsicas en el trabajo con una webquest: Interdependenciapositiva,losestudiantesdebenpercibirquenose puede tener xito sin los dems, En ella se promueve un aprendizaje colaborativo,cadagrupoesresponsabledeltrabajoycada participante es responsable de su parte en el proceso. Habilidadesinterpersonales,lamayoradelosestudiantesnecesitan formacin sobre tcnicas de trabajo cooperativo. Estwebquest,fueconstruidaoriginalmenteparalosestudiantesde trigonometradelgrado10-01,delajornadamatinaldelaInstitucin Educativa Marco Fidel Surez de Barranquilla-Colombia, pretende que losestudiantesreconozcanlasrazonestrigonomtricascomococientes invariantes,entrelasmedidasdelosladosdetringulosrectngulos semejantes;queconjeturensobrelaspropiedadesgeomtricasen tringulossemejantes;conozcanlahistoriasobrelosorgenesdela trigonometra;valoreneltrabajodelosantiguossabiosgriegos; apliquenlatrigonometraalamedicindemedidasindirectasyusen lasnuevastecnologas,paradescubrirlasposibilidadesqueofrecela redparaelestudiodetemticasquenormalmenteseimpartenenel aula de forma tradicional. Paraelusodeestawebquestlosestudiantesdebenteneralgunos conocimientosmnimosdeinformticarelativosalusodel computador,aldominiodeunprocesadordetextosyalusodeun navegador.Lasconsultaspuedenhacerseporfueradelcolegio,enlos denominados"Cafinternet".Esconvenientequeelestudiante mantenga copias de seguridad en disquette de las pginas consultadas. Tampoco est dems mantener copias impresas como prevencin a los cortes de energa elctrica. Esperamos que esta webquest te ayude a mejorar los procesos de aula, revisa regularmente los enlaces aqu recomendados para ver si an no han caducado. Agrega tus propios enlaces o adecua los ya existentes de acuerdocontusnecesidades.Sitienesalgncomentariooquisieras haceralgnaporteparaelmejoramientodelamisma,escrbenosala siguiente direccin electrnica dferiagomez@hotmail.com.