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L’anello dei polinomi

Divisibilita in K[x]

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Polinomi

Docente: Francesca Benanti

24 Marzo 2007

Modulo Didattico: Complementi di Algebra

http://math.unipa.it/~fbenanti/



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1. L’Anello dei Polinomi

Lo studio dei polinomi in una indeterminata a coefficienti inun campo e posto immediatamente dopo lo studio degli in-teri poiche la struttura algebrica dell’insieme dei polinomi acoefficienti in un campo e simile alla struttura algebrica del-l’insieme degli interi, nel senso che gran parte delle definizionie proprieta che abbiamo visto nel caso degli interi si possonodare in modo pressoche invariato nel caso dei polinomi.

L’educazione scolastica impone lo studio dei polinomi gia alivello della scuola media inferiore. La moltiplicazione trapolinomi, la divisione tra due polinomi, la fattorizzazionedi un polinomio, la semplificazione di polinomi costituisconoparte integrante dell’educazione matematica di uno studente.

Introduciamo, dunque, formalmente la nozione di polinomioin una indeterminata a coefficienti in un campo.





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Definizione: Sia K un campo, si definisce polinomiof(x) nell’indeterminata x a coefficienti nel campo K unaespressione formale del tipo

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx

n

dove ai ∈ K, ∀ i = 1, . . . n.

Gli elementi ai, ∀ i = 1, . . . n sono detti coefficienti del poli-nomio f(x).





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Definizione: Sia K un campo, si definisce polinomiof(x) nell’indeterminata x a coefficienti nel campo K unaespressione formale del tipo

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx

n

dove ai ∈ K, ∀ i = 1, . . . n.

Gli elementi ai, ∀ i = 1, . . . n sono detti coefficienti del poli-nomio f(x).

Esempi:

• f(x) = −5 + x− 7x2 + 3x3 − 4x8 polinomio a coeffici-enti razionali;

• f(x) = −5 +√

3x3 polinomio a coefficienti reali.

• f(x) = i + x2 polinomio a coefficienti complessi.





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Definizione: Sia f(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx

n unpolinomio nell’indeterminata x a coefficienti nel campo K.Si definisce grado di f(x) l’intero n, se an 6= 0, e si scrive

gr(f(x)) = n.

Il coefficiente an 6= 0 e detto coefficiente principale o direttivodi f(x).





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gr(f(x)) = n.


Esempi:

• Sia f(x) = −5 + x− 7x2 + 3x3 − 4x8, allora gr(f(x)) = 8;

• Sia f(x) = −5 +√

3x3, allora gr(f(x)) = 3;

• Sia f(x) = i + x2, allora gr(f(x)) = 2;

• Sia f(x) = −45, allora gr(f(x)) = 0.





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gr(f(x)) = n.


Esempi:

• Sia f(x) = −5 + x− 7x2 + 3x3 − 4x8, allora gr(f(x)) = 8;

• Sia f(x) = −5 +√

3x3, allora gr(f(x)) = 3;

• Sia f(x) = i + x2, allora gr(f(x)) = 2;

• Sia f(x) = −45, allora gr(f(x)) = 0.

Osservazione: Si noti che il grado di un polinomio costantef(x) = a0 e zero. Al polinomio nullo f(x) = 0K non si at-tribuisce in genere un grado.





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Definizione: Un polinomio con un solo termine e dettomonomio, con due termini binomio, con tre termini trinomio,e cosı via.





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Definizione: Un polinomio con un solo termine e dettomonomio, con due termini binomio, con tre termini trinomio,e cosı via.

Esempi:

• f(x) = +2x,

f(x) = −2x8,

f(x) = −9

sono monomi;

• f(x) = +2x− x4,

f(x) = −2x8 + 1,

f(x) = −9− x

sono binomi;

• f(x) = +2− 3x2 − x4,

f(x) = −2x8 + 1− 4x,

f(x) = −9− x + x5

sono trinomi.





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Definizione: Si indica con

K[x] = {f(x) = a0+a1x+a2x2+· · ·+anx

n | ai ∈ K, n ∈ N}

l’insieme di tutti i polinomi nell’indeterminata x acoefficienti nel campo K.





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K[x] = {f(x) = a0+a1x+a2x2+· · ·+anx

n | ai ∈ K, n ∈ N}


Osservazione: Due polinomi di K[x]

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx

n

eg(x) = b0 + b1x + b2x

2 + · · ·+ bmxm

sono uguali se e solo se ai = bi, ∀i (in particolare se m > n,allora bn+1 = bn+2 = · · · = bm = 0).





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K[x] = {f(x) = a0+a1x+a2x2+· · ·+anx

n | ai ∈ K, n ∈ N}


Osservazione: Due polinomi di K[x]

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx

n

eg(x) = b0 + b1x + b2x

2 + · · ·+ bmxm

sono uguali se e solo se ai = bi, ∀i (in particolare se m > n,allora bn+1 = bn+2 = · · · = bm = 0).

Introduciamo adesso in K[x] due operazioni: l’Addizione ela Moltiplicazione.





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Definizione: Dati due polinomi in K[x]

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx

n

eg(x) = b0 + b1x + b2x

2 + · · ·+ bmxm

Si definisce, (se n ≥ m),

f(x)+g(x) = (a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x2+· · ·+(an+bn)xn





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f(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx

n

eg(x) = b0 + b1x + b2x

2 + · · ·+ bmxm

Si definisce, (se n ≥ m),

f(x)+g(x) = (a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x2+· · ·+(an+bn)xn

Esempio:

f(x) = 2− 3x2 − x4,

g(x) = 1− x + x2,

Allora

f(x)+g(x) = (2−3x2−x4)+(1−x+x2) = 3−x−2x2−x4





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Osservazione: L’addizione tra polinomi gode delle seguen-ti proprieta:

• Associativa;

• 0K[x] = 0K e l’elemento neutro;

• Commutativa;

• Ogni polinomio f(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx

n hail suo simmetrico che e dato dal polinomio−f(x) = −a0 − a1x− a2x

2 + · · · − anxn.





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Osservazione: L’addizione tra polinomi gode delle seguen-ti proprieta:

• Associativa;

• 0K[x] = 0K e l’elemento neutro;

• Commutativa;

• Ogni polinomio f(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx

n hail suo simmetrico che e dato dal polinomio−f(x) = −a0 − a1x− a2x

2 + · · · − anxn.

(K[x], +) e un gruppo abeliano





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f(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx

n

eg(x) = b0 + b1x + b2x

2 + · · ·+ bmxm

Si definisce,

f(x) · g(x) =

= (a0b0)+(a1b0+a0b1)x+(a2b0+a1b1+a0b2)x2+· · ·+(anbm)xn+m





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f(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx

n

eg(x) = b0 + b1x + b2x

2 + · · ·+ bmxm

Si definisce,

f(x) · g(x) =

= (a0b0)+(a1b0+a0b1)x+(a2b0+a1b1+a0b2)x2+· · ·+(anbm)xn+m

Esempio:

f(x) = 2− 3x2 − x4, g(x) = 1− x + x2,

Allora

f(x) · g(x) = (2− 3x2 − x4)(1− x + x2) =

= 2−2x+(2−3)x2+3x3+(3−1)x4 = 2−2x−1x2+3x3+2x4





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Osservazione: La moltiplicazione tra polinomi gode delleseguenti proprieta:

• Associativa;

• 1K[x] = 1K = 1K + 0Kx + 0Kx2 + · · ·

e l’elemento neutro;

• Commutativa.





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Osservazione: La moltiplicazione tra polinomi gode delleseguenti proprieta:

• Associativa;

• 1K[x] = 1K = 1K + 0Kx + 0Kx2 + · · ·

e l’elemento neutro;

• Commutativa.

(K[x], ·) e un monoide commutativo





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Osservazione: Se f(x), g(x) e h(x) sono polinomi di K[x],allora vale la proprieta distributiva:

[f(x) + g(x)]h(x) = f(x)h(x) + g(x)h(x)





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Osservazione: Se f(x), g(x) e h(x) sono polinomi di K[x],allora vale la proprieta distributiva:

[f(x) + g(x)]h(x) = f(x)h(x) + g(x)h(x)

(K[x]; +, ·) e un anello commutativo con unita





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2. Divisibilita in K[x]

Teorema (Algoritmo della divisione per i polinomi)Sia K un campo. Siano f(x), g(x) ∈ K[x] due polinomi, cong(x) 6= 0. Allora esistono, e sono univocamente determinati, duepolinomi q(x) e r(x) in K[x] tali che

f(x) = g(x)q(x) + r(x)

con r(x) = 0 oppure gr(r(x)) < gr(g(x)).

q(x) e detto quoziente

r(x) e detto resto





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Esempio: Consideriamo i due polinomi in Q[x]

f(x) = x6 + 4x5 − 12x + 1 e g(x) = x3 + 4x2 + 1.

Determiniamo q(x) e r(x)

Alloraq(x) = x3 − 1

r(x) = 4x2 − 12x + 2





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Definizione: Si dice che un polinomio g(x) ∈ K[x] divideun polinomio di f(x) ∈ K[x], e si scrive g(x)|f(x), se esisteq(x) ∈ K[x] tale che

f(x) = g(x)q(x)





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Definizione: Si dice che un polinomio g(x) ∈ K[x] divideun polinomio di f(x) ∈ K[x], e si scrive g(x)|f(x), se esisteq(x) ∈ K[x] tale che

f(x) = g(x)q(x)

Esempio: Consideriamo i seguenti polinomi in Q[x]

f(x) = x4 − 2x2 + 1

g(x) = x− 1

Osserviamo che

x4 − 2x2 + 1 = (x− 1)(x3 + x2 − x− 1)

Dunque

g(x)|f(x)





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Teorema di Ruffini Se f(x) ∈ K[x] e α ∈ K e taleche f(α) = 0, allora (x− α)|f(x).

dimostrazione: Dividiamo f(x) per (x− α). Si ha

f(x) = (x− α)q(x) + r(x)

con gr(r(x)) < gr(x− α) = 1. Dunque

f(x) = (x− α)q(x) + r

con r ∈ K costante. Valutando in α, si ottiene

0 = f(α) = (α− α)q(α) + r

Dunque r = 0.





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Regola di Ruffini:

Consideriamo f(x) = x3 + 3x2 − 6x− 8 ∈ Q[x]. Osserviamoche f(−1) = −1 + 3 + 6− 8 = 0. Allora per il teorema diRuffini f(x) e divisibile per x + 1, ossia esiste q(x) ∈ Q[x]tale che

f(x) = x3 + 3x2 − 6x− 8 = (x + 1)q(x).

Determiniamo q(x) mediante la nota regola di Ruffini

Allora

q(x) = x2 + 2x− 8

e

x3 + 3x2 − 6x− 8 = (x + 1)(x2 + 2x− 8).





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Definizione: Un polinomio 0 6= f(x) ∈ K[x], congr(f(x)) > 0, si dice irriducibile su K se

f(x) = g(x)h(x) ⇒ gr(g(x)) = 0 o gr(h(x)) = 0

dove g(x), h(x) ∈ K[x].

Se non e irriducibile , il polinomio si dice riducibile.





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Esempi:

• f(x) = x2 − 2 e irriducibile su Q;

• f(x) = x2 − 2 e riducibile su R, infatti

x2 − 2 = (x−√

2)(x +√

2)

e x−√

2 ∈ R[x], x +√

2 ∈ R[x]

• f(x) = 3x2 + 3 = 3(x2 + 1) e irriducibile su R;

• f(x) = x4 + 3x2 + 2 e riducibile su Q, infatti

x4 + 3x2 + 2 = (x2 + 1)(x2 + 2)





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Teorema di Fattorizzazione unica Ogni polinomiof(x) ∈ K[x] di grado positivo si fattorizza in un prodot-to di un numero finito di polinomi irriducibili. Talefattorizzazione e unica nel senso che, se

f(x) = p1(x)p2(x) · · · ps(x) = q1(x)q2(x) · · · qt(x),

con pi(x), qj(x) ∈ K[x], allora s = t e riordinandoopportunamente i fattori pi(x) = aqi(x), con a ∈ K∗.





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3. Prodotti Notevoli

Nella fattorizzazione di polinomi a coefficienti razionali inpolinomi irriducibili su Q e spesso utili ricorrere a dei parti-colari prodotti noti come Prodotti Notevoli. Un Esempio





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3. Prodotti Notevoli

Nella fattorizzazione di polinomi a coefficienti razionali inpolinomi irriducibili su Q e spesso utili ricorrere a dei parti-colari prodotti noti come Prodotti Notevoli. Un Esempio

Quadrato di un Binomio

Indichiamo i generici termini con le lettere S e T .

(S + T )2 = S2 + T 2 + 2ST

Verifica geometrica





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1. Determinare quoziente e resto delle seguenti divisionitra i polinomi f(x) e g(x) a coefficienti razionali:

• f(x) = 2x3 + 5x2 − 8x− 1, g(x) = x + 3;

• f(x) = 4x3 − 3x + 8, g(x) = x + 2;

• f(x) = 2x4 − 2x2 + 3x− 1, g(x) = x2 − x + 3.

2. Dati i due polinomi a coefficienti razionali

f(x) = −9x3 + x + 2

g(x) = 3x− 2

verificare se g(x) divide f(x).

3. Dati i due polinomi a coefficienti razionali

f(x) = −2x3 + 5x2 + 1

g(x) = x2 + 2

verificare se g(x) divide f(x).

4. Utilizzando il teorema di Ruffini verificare che g(x) = x + 2divide f(x) = x3 − 2x2 + 4x− 5 e determinare il quozientedella divisione di f(x) per g(x).





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