Clculo por Elementos Finitos UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERAMC516 - C Facultad de Ingeniera Mecnica UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniera Mecnica

PRIMER LABORATORIO

Curso :Clculo por Elementos Finitos MC516

Seccin :D

Profesor :Ing. Ronald Cueva Pacheco

Tema :Traccin Simple

Alumno(s): Apellidos y NombresCdigo

ARTEZANO ROJAS, Jerson Jose20124036A

2015 - 1

INDICEContenido1ENUNCIADO DEL PROBLEMA32OBJETIVOS43SOLUCIN:43.1MODELADO DEL CUERPO REAL43.2GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento)53.3VECTOR CARGA63.4MATRIZ DE RIGIDEZ73.5ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO73.6ESFUERZOS84RESULTADOS85DIAGRAMA DE FLUJO96SOLUCION USANDO MATLAB106.1LA SALIDA DE MATLAB127CONCLUSIONES12

PRIMERA PRCTICA CALIFICADA(TRACCION SIMPLE)ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Dado la siguiente poste de luz de concreto de forma trapezoidal, cuyo espesor es constante, t=150mm, calcular los esfuerzos en cada elemento finito y la reaccin en el apoyo. Utilizar tres elementos finitos.

Considerar:PA = 30 KNt (espesor) = 150 mm E = 3.0x105 N/mm2 Y = 8.0 gr-f/cm3 = 78,45x10-6 N/mm3

OBJETIVOS

Comprobar experimentalmente si el objeto a analizar es un cuerpo rgido. Identificar qu tipo de esfuerzo se manifiesta en cada elemento finito. Familiarizarse con la herramienta MATLAB.SOLUCIN:

MODELADO DEL CUERPO REAL

Se consideraran tres elementos finitos. Para facilitar los clculos los elementos finitos tendrn longitud de 500, 300 y 200 mm.

Y los espesores lo calculamos tomando el punto medio de cada elemento finito:

Entonces, el modelado del cuerpo sera el siguiente:

Y las reas se calculan de la siguiente relacin:

Cuadro de conectividad:

ENODOSGDLle(mm)Ae(mm2)

(1)(2)12

1121250090000

2232330042000

3343420012000

GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento)

A travs del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:

Luego el vector de desplazamiento ser:

Donde Q1= 0 pues la placa esta empotrada y los dems desplazamientos son incgnitas que tendrn que ser calculadas.VECTOR CARGA

Analizando las fuerzas en cada elemento finito:

Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:

Entonces, el vector carga se expresara de la siguiente manera

MATRIZ DE RIGIDEZ

A continuacin pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que est determinada por la siguiente ecuacin:

Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad obtenemos:

Finalmente:

ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO

La ecuacin de rigidez est determinada por la siguiente ecuacin:

Lo que con nuestros valores calculados tenemos:

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

Resolviendo obtenemos:

ESFUERZOS

Para el clculo de los esfuerzos se usar la siguiente expresin:

Y obtenemos lo siguiente:

RESULTADOS

Finalmente, los resultados son los siguientes:

DIAGRAMA DE FLUJO

Inicio

Modelado del Problema Se elige el vector X, los nodos y las partes de la figura

Crear Tabla de Conectividad

Calculo de las Matrices de rigidez Local

Calculo de Matriz de rigidez Global

Creacin de la Matriz de carga

Obtencin de las Matrices reducidas de carga, desplazamiento y de rigidez

Calculo de los Desplazamientos Nodales

Calculo de las cargas nodales y de las reacciones en los apoyos

Calculo de esfuerzos en cada elemento finito

Mostrar resultados:Desplazamientos, Cargas, esfuerzos y reaccin de apoyos

FIN

SOLUCION USANDO MATLAB

clc, clear all,close all;%---------------------------------------------------------------------% RESOLUCION DEL PROBLEMA 1ra practica (CEF)% Tema: Traccin Simple%---------------------------------------------------------------------% Nombre : ARTEZANO ROJAS Jerson Jose % Curso : CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS - MC516% Seccin: D%---------------------------------------------------------------------% 1. DATOS%---------------------------------------------------------------------% 1.1. DIMENSIONES h1 = 800; % mm (base)L = 1000; % mm (alura)t = 150; % mm (espesor)%---------------------------------------------------------------------% 1.2. DEL MATERIALE = 3e5; % N/mm2%---------------------------------------------------------------------% 1.3. CARGASPa = 30000; % (N)gamma = 8; % (gr-f/cm^3) gamma = gamma*(9.81e-6);%---------------------------------------------------------------------% 1.4. ELEMENTOS FINITOS% Elemento 1L1 = 500; % mmA1 = 600*t; % mm^2 % Elemento 2L2 = 300; % mmA2 = 280*t; % mm^2% Elemento 3L3 = 200; % mmA3 = 80*t; % mm^2%---------------------------------------------------------% 2. CODIGO PRINCIPAL%---------------------------------------------------------% 2.1. Vector desplazamiento Qj = zeros(4,1); % Qj = [Q1 Q2 Q3 Q4]' Q1=0;% 2.2. Vector carga Fi = zeros(4,1); % Fi = [F1 F2 F3 F4]'%--------------------------------------------------------------------- % -> Valores de la mitad del peso de cada elemento finito g1 = gamma*A1*L1/2;g2 = gamma*A2*L2/2;g3 = gamma*A3*L3/2;% -> Por el momento slo calcularemos F2,F3 y F4Fi(2) = g1 + g2 + Pa; Fi(3) = g2 + g3;Fi(4) = g3;%--------------------------------------------------------------------- % 2.3. Matriz de Rigidez Global k1 = E*A1/L1*[1 -1 0 0;-1 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 0]; k2 = E*A2/L2*[0 0 0 0;0 1 -1 0;0 -1 1 0;0 0 0 0];k3 = E*A3/L3*[0 0 0 0;0 0 0 0;0 0 1 -1;0 0 -1 1];Kij = k1 + k2 + k3;disp('Matriz de Rigidez')disp(Kij)%--------------------------------------------------------------------- % 2.4. Usando la ecuacin de rigidez % OJO: Normalmente el nmero de ecuaciones lineales seran 4, pero% se observa que la primera de ellas (la que contiene a "R1")% es independiente de las otras.%--------------------------------------------------------------------- % -> se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones reducido% Fi_r = Kij_r*Qj_rFi_r = Fi(2:4);Kij_r = Kij(2:4,2:4);Qj_r = pinv(Kij_r)*Fi_r; % Aqui Qj_r es la variable%---------------------------------------------------------------------% -> Obtenemos los valores de Q2, Q3 Y Q4Qj(2:4) = Qj_r; %---------------------------------------------------------------------% -> Calculamos la carga F1 y la reaccion en el apoyo R1Fi(1) = Kij(1,:)*Qj; % Valor de F1R1 = Fi(1)-g1; % Valor de R1%--------------------------------------------------------------------- % 2.5. Calculo de los esfuerzossigma1 = (E/L1)*[-1 1]*[Qj(1) Qj(2)]'; sigma2 = (E/L2)*[-1 1]*[Qj(2) Qj(3)]'; sigma3 = (E/L3)*[-1 1]*[Qj(3) Qj(4)]'; sigma = [sigma1 sigma2 sigma3]';%---------------------------------------------------------% 3. PLOTEANDO RESULTADOS%---------------------------------------------------------disp('----------------------RESULTADOS----------------------------')disp('1. Valor de la reaccin en el apoyo "R1" (en N)')disp(R1)disp('2. Vector de desplazamiento "Qj" (en mm)')disp(Qj)disp('3. Vector de carga "Fi" (en N)')disp(Fi)disp('4. Vector de Esfuerzos para cada E.F "sigma_e" (en N/mm^2)')disp(sigma)

LA SALIDA DE MATLAB

CONCLUSIONES

Se observa que las deformaciones son completamente pequeas, por ende se trata de un cuerpo rgido. Los esfuerzos calculados son positivos, esto se debe a que el punto 2 de cada elemento se mueve ms que el punto 1, esto significa que el elemento est a traccin en la lnea de accin de nuestra referencia "x". Se observa que los resultados de MATLAB arrojan un error prcticamente cero, lo cual nos indica que la aproximacin del cuerpo a tres elementos finitos es prcticamente exacta. Se aprecia tambin que el eje de referencia "x" considerado debe ser asumido en primera instancia con experiencia visualizando como se deformara el modelo y as tener menos problemas en la utilizacin del mtodo. 5