lab1 2016 sebastián araya

8/18/2019 Lab1 2016 Sebastián Araya

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1 Índice

1. RESUMEN ....................................................................................................................

2 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA ...............................................................................

3 PRESENTACIÓN DE RESULTADOS ........................................................................... 3.1 La velocidadv0 es nula y no existe amortiguador ............................... .......................... .. 7

3.1.1 La constante de rigidez es de250 Nm] .................................................................. 7 3.1.2 Se agregan 2 resortes en paralelo de iguales características ...................................... 9

3.1.3 La contante de rigidez es la quinta del valor dado .................................................. 10

3.2 La velocidadv0 es nula y existe amortiguador ....................... .......................... ............. 12 3.2.1 c =50 ......................................................................................................... 12 3.2.2 c =100 ....................................................................................................... 13 3.2.3 c =200 ....................................................................................................... 15 3.2.4 Amortiguamiento crítico ....................................... ......................... ....................... 16

3.3 La velocidadv0 es dada y no existe amortiguador ........................... .......................... .... 18

3.3.1

La velocidad del disco es de 5.5 .................................................................... 18

3.3.2 La velocidad del disco es de 3.5 .................................................................... 19

3.4 La velocidadv0 es dada y existe amortiguador ........................... ......................... ......... 21 3.4.1 La velocidad del disco es de 5.5 y c =100 ........................... ............. 21 3.4.2 La velocidad del disco es de 3.5 y c =150 ........................... ............. 22

4 COMENTARIOS Y CONCLUSIONES ..........................................................................

5 ANEXOS ....................................................................................................................... 5.1 Ecuaciones analíticas ........................... .......................... ......................... ...................... 25

5.2 Método por análisis numérico ........................... .......................... ......................... ......... 26

5.2.1 Runge-Kutta orden 2 ........................ .......................... ......................... .................. 27

5.2.2 Euler ..................................................................................................................... 27


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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILEDepartamento de Ingeniería Mecánica Tópicos III

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5.2.3 Programación .......................... .......................... ......................... ........................... 27

6 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................

Gráfica 1 Posición vs Tiempo por método analítico y método de Euler. Ítem 1.1 ............................ 7

Gráfica 2 Posición vs Tiempo por método analítico y método de Runge-Kutta 2. Ítem 1.1 .............. 8

Gráfica 3 Posición vs Tiempo por método analítico, Euler y Runge-Kutta 2. Ítem 1.1 ..... ................ 8

Gráfica 4 Posición vs Tiempo por método analítico y método de Euler. Ítem 1.2 ............................ 9

Gráfica 5 Posición vs Tiempo por método analítico y método de Runge-Kutta 2. Ítem 1.2 .............. 9

Gráfica 6 Posición vs Tiempo por método analítico, Euler y Runge-Kutta 2. Ítem 1.2 ..... .............. 10

Gráfica 7 Posición vs Tiempo por método analítico y método de Euler. Ítem 1.3 .......................... 10

Gráfica 8 Posición vs Tiempo por método analítico y método de Runge-Kutta 2. Ítem 1.3 ............ 11

Gráfica 9 Posición vs Tiempo por método analítico, Euler y Runge-Kutta 2. Ítem 1.3 ..... .............. 11

Gráfica 10 Posición vs Tiempo por método analítico y método de Euler. Ítem 2.1 ........................ 12

Gráfica 11 Posición vs Tiempo por método analítico y método de Runge-Kutta 2. Ítem 2.1 ..... ..... 12

Gráfica 12 Posición vs Tiempo por método analítico, Euler y Runge-Kutta 2. Ítem 2.1 ................. 13



















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Gráfica 30 27 Posición vs Tiempo por método analítico, Euler y Runge-Kutta 2. Ítem 4.1 ............ 22



Gráfica 33 27 Posición vs Tiempo por método analítico, Euler y Runge-Kutta 2. Ítem 4.2 ............ 23

Tabla 1 Parámetros no variables de sistema a analizar ................................ ......................... ........... 6

Tabla 2 Ecuaciones vibración libre sin amortiguación ....................... ......................... .................. 25

Tabla 3 Ecuaciones vibración libre críticamente amortiguada ....................................................... 25

Tabla 4 Ecuaciones vibración libre sobre amortiguada............................ ......................... ............. 26

Tabla 5 Ecuaciones vibración libre sub amortiguada............................... ......................... ............. 26

Tabla 6 Ecuaciones vibración forzada sin amortiguación ....................... .......................... ............. 26

Tabla 7 Valores iniciales para iteraciones ........................ ........................... ......................... ......... 26


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1. ResumenEn el presente informe se estudia el comportamiento oscilatorio de un sistema compuesto deuna masa anexada por medio de un amortiguador y un resorte a un disco el cual se traslada con

una velocidad horizontalv constante por medio de una superficie sinusoidal. Para el análisis seirán variando los parámetros de amortiguamiento, constantes de rigidez del resorte y lavelocidad horizontal del disco.

Inicialmente se supondrá velocidadv nula y se omitirá el amortiguador, respecto a los resortesse variará tanto su constante de rigidez como su número para los análisis.

El segundo punto contempla la existencia de amortiguador, al cual se le variará su constante,

aun considerando la velocidadv nula.Luego se considerará unav inicial la cual se variará omitiendo el amortiguador.

Finalmente se considerará la mismav que en el punto anterior, pero considerando elamortiguador.

Cada uno de los casos mencionados se modelará por medio de su solución analítica y por

análisis numérico para los cuales se utilizará el método de Runge-Kutta grado 2 y el método deEuler, con el fin de comparar lo obtenido con la solución analítica.


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2 Descripción del problemaEl sistema a analizar consta de una masa, un resorte y un amortiguador acoplados a un disco convelocidad horizontal constantev, tal como se observa en la Figura 1 .

Figura 1 Sistema a analizar

Los valores de los parámetros expuestos en la Figura 1, que no varían durante el análisis semuestran en latabla 1.

Masa “m” 20 [kg]

Semiperiodo superficie “l “ 3.1415 [m]

Amplitud “d” 1 [m]

Posición Inicial “ x 0” 1.5 [m]Velocidad Inicial “ ẋ 0” 4.0

Tabla 1 Parámetros no variables de sistema a analizar


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3 Presentación de resultadosA continuación se presentarán los gráficos de cada uno de los puntos expuestos en el resumenconsiderando las restricciones y variaciones solicitadas en detalle graficados por medio de Runge-

Kutta 2, el método de Euler y la solución analítica correspondiente.

3.1 La velocidad es nula y no existe amortiguador

3.1.1 La constante de rigidez es de ]

Gráfica 1 Posición vs Tiempo por método analítico y método de Euler. Ítem 1.1


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Gráfica 2 Posición vs Tiempo por método analítico y método de Runge-Kutta 2. Ítem 1.1

Gráfica 3 Posición vs Tiempo por método analítico, Euler y Runge-Kutta 2. Ítem 1.1


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3.1.2 Se agregan 2 resortes en paralelo de iguales características




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3.1.3 La contante de rigidez es la quinta del valor dado



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3.2 La velocidad es nula y existe amortiguador

3.2.1 c =50




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3.2.2 c =100



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3.2.3 c =200




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3.2.4 Amortiguamiento crítico



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3.3 La velocidad es dada y no existe amortiguador

3.3.1 La velocidad del disco es de 5.5




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3.3.2 La velocidad del disco es de 3.5



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3.4 La velocidad es dada y existe amortiguador

3.4.1 La velocidad del disco es de 5.5 y c =100




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Gráfica 30 27 Posición vs Tiempo por método analítico, Euler y Runge-Kutta 2. Ítem 4.1

3.4.2 La velocidad del disco es de 3.5 y c =150



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Gráfica 33 27 Posición vs Tiempo por método analítico, Euler y Runge-Kutta 2. Ítem 4.2


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4 Comentarios y conclusionesEn el primer caso que fueron analizadas vibraciones libres no amortiguadas variando solo lacontante de rigidez del resorte. Se observa de las gráficas de la sección 3.1 claramente que la

amplitud varía ligeramente siendo muy similar tanto para el resorte de 250 [N/m], como para los 3resortes en paralelo, sin embargo al disminuir la constante del resorte original a un 20% del valorinicial se logra apreciar más claramente que la amplitud de la onda es un parámetro que aumenta amedida que la constante del resorte disminuye, es decir, son inversamente proporcionales. Otraobservación importante derivada de los gráficos es que a mayor valor de la constante elástica haymayor cantidad de ciclos por el mismo periodo de tiempo, es decir, disminuye su longitud de onda.

Para el segundo caso se analizan vibraciones libres amortiguadas variando solo la constante delamortiguador, manteniendo constantes los demás factores. Las curvas obtenidas representan

claramente lo esperado de la teoría, es decir, a mayor valor de la constante de amortiguación másrápida es la disminución de la amplitud, reduciendo la onda. Se observa además de los gráficos queel valor obtenido para la constante de amortiguación de 100 [Ns/m] es muy similar al deamortiguamiento crítico por lo cual este valor debe ser cercano a 100. Teniendo para los 200 [Ns/m]claramente una onda sobre-amortiguada.

Para el tercer ítem se analizan vibraciones forzadas sin amortiguación. La fuerza proviene de lavelocidad inicial del disco la varía tomando los valores 5.5 y 3.5. Se aprecia que a mayor velocidad

luego de un comportamiento sinusoidal inicial similar la amplitud aumenta, por lo que sondirectamente proporcionales. Claramente si la velocidad disminuye tendiendo a cero se tendría elcaso de vibración libre no amortiguada por lo que la gráfica analizada tenderá a la primera gráficaestudiada en el ítem 1.

Para el último ítem se analizan vibraciones forzadas amortiguadas. Se varía tanto la velocidad (5.5 y3.5 [m/s]) como la constante de amortiguación (100 y 150 [Ns/m]). Se aprecia al comparar ambassituaciones que el factor que más incide en la función sinusoidal es la variación de amortiguación yaque claramente los gráficos correspondientes a la constante de amortiguación de 150 [Ns/m]

presentan menos oscilaciones obteniéndose 3 montes y dos valles para el primer caso (100 [Ns/m])y dos montes y un valle para el segundo (150 [Ns/m]) en el mismo periodo de tiempo (3 segundos).Claramente también incide la velocidad del disco la cual en el segundo caso también es menor, yaque como se indicó anteriormente tiene una influencia directamente proporcional a la amplitud de laonda sinusoidal.


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Respecto a las respuestas por modelo analítico y por métodos numéricos se aprecia en cada uno delos gráficos expuestos que prácticamente estas se superponen obteniéndose la misma gráfica por un

modo u otro. Esto se debe a que se utilizó un paso “h” muy pequeño de 0.0 05 segundos de modo deasegurar la convergencia de los métodos. Se observó con pasos mayores que el método que mejorconverge a la solución analítica es el de Runge-Kutta, sin embargo para pasos menores a 0.01 losdos métodos resultaban prácticamente en la misma gráfica. Como final acotación cabe destacar que

el último ítem fue resuelto mediante la función “Odesolve” de Mathcad ya que la función que

representa el movimiento forzado no tiene la forma estándar de este tipo de problemas (Q sin Ωt),sino que era una combinación de seno y coseno sumándose.

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Anexos5.1 Ecuaciones analíticasLas ecuaciones expuestas a continuación son válidas bajos las siguientes hipótesis:

- Vibraciones pequeñas- Disco rueda sin deslizar (no hay movimiento relativo)- Amortiguador y resortes con masas despreciables

Para todos los casos solicitados, se aplicaron las ecuaciones:

Para el ítem 1:

Posición Velocidad

= ̇ sin cos ̇ = Tabla 2 Ecuaciones vibración libre sin amortiguación

Para el ítem 2:

Críticamente amortiguado

= 1

Posición Velocidad

= − ̇ ̇ = Tabla 3 Ecuaciones vibración libre críticamente amortiguada


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Sobre amortiguada > 1 Posición Velocidad

= −

[ cos ̇

sin ]

̇ =

Tabla 4 Ecuaciones vibración libre sobre amortiguada

Sub amortiguada < 1 Posición Velocidad

= − [ cos ̇ sin ] ̇ = Tabla 5 Ecuaciones vibración libre sub amortiguada

Para el ítem 3:

Forzada sin amortiguaciónPosición Velocidad

= cos ̇ sin [sin( ) sin ] ̇ =

Tabla 6 Ecuaciones vibración forzada sin amortiguación

Para el ítem 4:

Dado que la función que representa la vibración forzada se compone de seno y coseno sumados noes posible utilizar la analítica en este caso, por lo cual se utilizará la función“Odesolve” deMathcad, la cual por medio de un Runge-Kutta de paso fijo obtiene la solución adecuada alcomportamiento sinusoidal analizado.

5.2 Método por análisis numéricoPara desarrollar las ecuaciones diferenciales de los diferentes tipos de vibración, se empleó elmétodo de Runge-Kutta de orden 2 y el método de Euler. Cabe destacar que las condicionesiniciales para empezar la iteración con cada uno de los métodos fue

Posición Inicial “ x 0” 1.5 [m]Velocidad Inicial “ ẋ 0” 4.0

Tabla 7 Valores iniciales para iteraciones


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5.2.1 Runge-Kutta orden 2El método de Runge-Kutta orden 2 emplea el siguiente procedimiento iterativo:

+ = ℎ2 1 2

+ = ℎ 1 = ,

2 = ℎ, 1ℎ 5.2.2 EulerEl método de Euler emplea el siguiente procedimiento iterativo:

+ = ℎ , + = ℎ → ℎ = +

5.2.3 ProgramaciónLa programación realizada para ambos métodos se desarrolló mediante el software Mathcad. Acontinuación se expondrán los programas utilizados:

Las primeras líneas de programación son comunes a ambos programas:


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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILEDepartamento de Ingeniería Mecánica Tópicos III Para el método de Euler:

6 BibliografíaCRUCHAGA, Marcela .Apuntes de cátedra Tópicos III, Departamento de Ingeniería

Mecánica, Universidad de Santiago de Chile.

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