EPFL - GM 1

Cours de physique généralePhysique I pour étudiants de première année

en section de mathématiques

Prof. Georges MeylanLaboratoire d’astrophysique

19 décembre 2008cours de la semaine # 14

Bienvenue au

Site web du laboratoire et du cours :

http://lastro.epfl.ch

EPFL - GM 2

Connaissant le tenseur d’inertie d’un solide par rapport à son centre de masse G(pour les solides de formes simples, on les trouve dans des tables),

le théorème de Huygens-Steiner permet alors d’obtenir le tenseur d’inertierelativement à n’importe quel point A du solide

Théorème de Huygens-Steiner

EPFL - GM 3

!

(˜ I A)ij = m" AP"

2

#ij $ AP"( )i

AP"( )j

% & '

( ) *

"

+

= m" AG+GP"( )2

#ij $ (AG)i +(GP")i( ) (AG)j +(GP")j( )% & '

( ) *

"

+

= m" AG2

+ GP"2

+ 2 AG , GP"- . / 0

1 2 #ij

% & '

"

+ $ AG( )

iAG( )

j $ GP"( )

iGP"( )

j $ AG( )

iGP"( )

j $ GP"( )

iAG( )

j]

= m" GP"

2

#ij $ GP"( )i

GP"( )j

% & '

( ) *

"

+ + m" AG2

#ij $ AG( )i

AG( )j[ ]

"

+

(˜ I A)ij = (˜ I G)ij + M AG2

#ij $ AG( )i

AG( )j[ ]

Théorème de Huygens-Steiner• Par rapport à un point A quelconque :

permet de calculerle tenseur d’inertieau point A quelconqueconnaissant celuiau centre de masse G

= tenseur d’inertie au point A d’une masse M au point G

EPFL - GM 4

!

I"C

= (˜ I C)ij uiuj

i, j

# = (˜ I G)ij uiuj

i, j

# + M CG2

uiuj$ij % CG( )iui CG( )

juj[ ]

i, j

#

= I"G

+ M CG2

% CG & ˆ u ( )2

[ ]I"C

= I"G

+ M d2

Théorème de Huygens-Steiner (applications)• Formule de Steiner pour les moments d’inertie :

– ΔC = axe de direction u passant par un point C quelconque– ΔG = axe de direction u passant par le centre de masse G– d = distance entre les deux axes ΔC et ΔG

• Axes principaux :

= moment d’inertie d’une masse M à une distance d de ΔC

^^

Si les axes ΔG et CG sont des axes principaux d’inertie au point Galors les axes ΔC et CG sont des axes principaux d’inertie au point C

C

G ΔG

ΔCd

solide

u

12

3

EPFL - GM 5

Problème de la meule• Description et hypothèses :

– Meule : disque mince de masse M, rayon R, centre de masse G– Axe de la meule CG : horizontal, sans masse, longueur d– Roulement sans glissement sur le sol avec point C fixe sur un axe vertical– ω = rotation propre de la meule, Ω = rotation autour de l’axe vertical

• Vecteur instantané de rotation total =

• Equations du mouvement :

!

0 = r v A =

r v G + (

r " +

r # ) $ GA

0 = r v C =

r v G + (

r " +

r # ) $ GC

% & '

!

" (r # +

r $ ) % GA = (

r # +

r $ ) % GC

" r # % GA =

r $ % GC

" #R = $d

!

dr p

dt

= Mr ˙ v G =

r T +

r N +M

r g

dr L Cdt

=r M C

ext = CG"r N +M

r g ( )

!

r " +

r #

G

C

A

ω

d

R

Ω

Mg

N1

2

3

T

Démo : Moulin à gyroscope # 224

pas de glissement

EPFL - GM 6

Problème de la meule (suite)• Tenseur d’inertie :

(dans repère d’inertied’axes 1, 2, et 3,en rotation avec l’axede la meule autour de 3)

• Moment cinétique :

• Equations du mouvement :

!

(˜ I C)ij = (˜ I G)ij + M CG2

"ij # CG( )i

CG( )j[ ]

˜ I C =

12MR2 0 0

0 14MR2 0

0 0 14MR2

$

%

& &

'

(

) ) + M

0 0 00d2 00 0d2

$

%

& &

'

(

) )

!

r L C = ˜ I C "

r # +

r $ ( ) = (˜ I C)11

r # + (˜ I C)33

r $

!

" d

r L Cdt

= (˜ I C)11 d

r #

dt = 1

2MR2 r $ %

r #

!

Mr ˙ v G =

r F " #

M$2d = T1

0 = T2

0 = T3 +N %Mg

&

' (

) (

dr L Cdt

=r

M Cext # 1

2MR

2$* = d(N %Mg)

Démo : Moulin à gyroscope # 224

G

C

A

ω

d

R

Ω

N1

2

3

T

Mg

!

" N =Mg + 12MR

2#$d=Mg + 1

2MR#

2> Mg

Action-réaction : si le sol exerce une force N sur la roue, la roue exerce une force -N sur le sol (force dite d’écrasement)

EPFL - GM 7

• Donc, en prenant le cas I1 = (1/2) m R 2 , nous obtenons finalement :

• A titre d’illustration, considérons le cas R = 50 cm et Ω = 1 t/s :la réaction du sol sera alors le double du poids.

• Grâce à cet effet gyroscopique, la force exercée par la meule sur le solest supérieure au poids de la meule.

• Remarque : L’ effet gyroscopique apparaît lorsqu’une roue est soumise àdeux rotations d'axes perpendiculaires ( ici e3 et e1 ).

• Mentionnons que dans le cas d’un virage effectué sur une moto, cet effetgyroscopique s’additionne à l’effet centrifuge et contribue à la stabilitédu mvt.

• A : 1er axe de rotation (vitesse constante)• B : 2e axe de rotation (axe de rotation de la roue, vitesse constante)• C : Axe d'application de l'effet gyroscopique

Exemple de la moto!

" N =Mg + 12MR#

2> Mg

ω = (2π)/T = 2πf

e3

e1

L'effet gyroscopique des roues

lors d'un virage aura tendance

à diminuer l’inclinaison de la moto

EPFL - GM 8

Roulement sans glissement sur plan incliné• Cylindre de révolution roulant sans glisser : ⇒ vA = 0 ⇒ vG = ωR• Moment d’inertie : IG,y = k MR2

– k = nombre caractérisant la « forme »,indépendamment de la masse et de la dimension

• k = 1/2 si cylindre homogène plein• k = 1 si cylindre homogène vide

α

AG

F

N

Mg

R

x

z

⊗ ω = ωy

^

^

!

r L G = IG,y

r " , LG = IG,y " = kMR2

vG

R = kRMvG

• Moment cinétique :

!

Mr a G = M

r g +

r N +

r F "

MaG = Mg sin# $F

0 = 00 = N $Mg cos#

%

& '

( '

dr L Gdt

=r

M G " 0 = 0

kRMaG = FR

0 = 0

%

& '

( '

)

*

' ' '

+

' ' '

"

N = Mg cos#

F = Mg sin# kk +1

aG =g sin#k +1

%

&

' '

(

' '

Démo : Cylindres roulants sur plan incliné # 60

• Equations du mouvement :

– Accélération aG ne dépend que de k, pas de M ni de R !aG (cylindre creux)

inférieure aG (cylindre plein)

EPFL - GM 9

Energie cinétique d’un solide• Pour un point A quelconque du solide :

!

Ecin = 1

2m"

r v "2

"

# = 1

2m"

r v A +

r $ % AP"( )

2

"

#

= 1

2M

r v A

2 + Mr v A &

r $ % AG( ) + 1

2m"

r $ % AP"( )

2

"

#

!

12

m"

r # $AP"( )

2

"

% = 12

m"

r # 2 AP"

2

&r # 'AP"( )

2( ) *

+ , -

"

%

= 12

m" # i# j.ijAP"2

i, j

% & # i# j AP"( )i

AP"( )j

i, j

%(

) *

+

, -

"

%

= 12

# i# j m" AP"2

.ij & AP"( )i

AP"( )j

( ) *

+ , -

"

%i, j

%

= 12

# i# j (˜ I A)ij

i, j

% = 12 r # '

r L A = 1

2 r # ' ˜ I A '

r # ( )

!

Ecin = 1

2M

r v A

2 + Mr v A "

r # $ AG( ) + 1

2 r # " ˜ I A "

r # ( )

=0 si A=G (centre de masse)ou si vA=0 (point fixe)

Au tableau

Si rotation selon axeprincipal d’inertie Δpar un point fixe :

!

Ecin

=1

2I"#

2

EPFL - GM 10

Roulement sans glissement sur pente• Energie cinétique (en utilisant le point A) :

• Energie cinétique (en utilisant le point G) :

• Energie mécanique totale :

• Exemple : la force de frottementen A ne travaille pas !(vA=0)

!

Ecin =12IA,y"

2= 12(IG,y +MR

2)"

2

!

Ecin =12MvG

2+ 12IG,y"

2= 12MR

2"2+ 12IG,y"

2

!

Etot = Ecin +Epot = 12IA,y"

2(t) +MgzG(t) = constante

AG

R ⊗ ω = ωy

xz

xz

AG

h

vG=0

AG

⊗ ω = ωy

vG = ωRx

!

Etot = Mgh = 12IA,y"

2

# " =2Mgh

IA,y

EPFL - GM 11

Dynamique du solide avec axe fixe• Quand un axe de rotation Δ est

fixe (et que l’on ne s’intéresse niaux forces ni aux moments quimaintiennent cet axe fixe), il estutile de projeter le théorème dumoment cinétique sur cet axe :

– Pour tout point Osur l’axe Δ de direction u

• Exemple : pendule physique =solide soumis à la pesanteur etlibre de se mouvoir autour d’unaxe fixe horizontal

!

ddt

r L O =

r M O

ext

" ddt

r L O # ˆ u ( ) =

r M O

ext # ˆ u

" ddt

I$%( ) = r r & '

r F &

ext( ) # ˆ u &

(

" I$ ˙ % = r r &,) '

r F &,)

ext( ) # ˆ u &

(

où r r &,) et

r F &,)

ext sont les composantes

de r r & et

r F &

ext perpendiculaires à ˆ u

^

!

I" ˙ # = r r $,% & m$

r g ( ) ' ˆ u

$

(

I" ˙ ) = (r r G,% & M

r g ) ' ˆ u = *L Mg sin)

˙ ) = *L Mg

I" sin)

O

!

r r G

!

r r G"

axe Δ

!

ˆ u ω L

Mg

G

φ

!

˙ " = #g

L sin"

• Si toute la masse Mest en G (IΔ = ML2) :

Démo : Pendule physique # 65

Démo : Pendule simple # 483

EPFL - GM 12

Dynamique du solide avec axe fixe (suite)• Solide libre de tourner autour

d’un axe fixe passant par O• Centre de percussion :

– point O’ sur la droite OG telqu’un choc (percussion) appliquéen ce point (perpendiculairementà OG) n’engendre aucuneréaction (répercussion) de l’axede rotation sur le solide

• Exemples et applications :– Marteau :

• où le tenir ?– Batte de baseball :

• où frapper la balle ?– Butée de porte :

• où l’installer ?

O O’Gmarteau

clou

force exercée par leclou sur le marteau

aucune forcenécessaire en O pourgarder le point O fixe

O’Gporte

mur

O butéegonds

butée placée au centrede percussion :

attention aux gonds

EPFL - GM 13

Calcul du centre de percussion• Batte de baseball frappée par une balle avec

une force F(t) au centre de percussion O’par rapport à l’emplacement des mains en O :– Juste avant le choc (t=0): vG=0, ω=0 (batte au repos)– Juste après le choc (t=Δt): vG = ωd ≠ 0

O O’G

F(t)

d d’

!

dr p

dt =

r F " #

r p =

r F (t) dt

t =0

#t

$ " MvG = F(t) dtt =0

#t

$d

r L Gdt

= r M G

ext " #r L G =

r M G

ext (t) dtt =0

#t

$ " IG% = d' F(t) dtt =0

#t

$

&

'

( (

)

( (

*

+

( (

,

( (

" MvGd'= IG%

!

"

IG

= M

dd'

!

1

12M

L2

= IG

= Mdd'= ML

2d' " d'=

L

6 O’

G

O

Ld=L/2

d’=L/6

• Pendule physique interrompu dans sa course :– Point O à l’extrémité d’une barre mince

homogène de masse M et de longueur L :

Démo : Centre de percussion à répercussion nulle (pendule) # 88

Pour frapper un solide sans se faire mal au poignet (marteau, etc…),il faut tenir le solide à une distance a = d + d’ du point de choc.

EPFL - GM 14

Axes en rotation : équations d’Euler• C = point fixe du solide (ou centre de masse) ⇒• = repère d’inertie au point C (lié au solide)

• Théorème du moment cinétique par rapport à C,en composantes dans le repère d’inertie :

!

dr L

C

dt =

r M

C

ext

!

Cˆ e 1ˆ e

2ˆ e

3

!

I1 ˙ "

1# (I

2# I

3)"

2"

3= M

C, 1

ext

I2 ˙ "

2# (I

3# I

1)"

3"

1= M

C, 2

ext

I3 ˙ "

3# (I

1# I

2)"

1"

2= M

C, 3

ext

équations d’Euleréquations différentielles coupléespour ω1(t), ω2(t) et ω3(t)

!

Note : d

r L

C

dt=

r " #

r L

C $ "

i constants

%

& '

(

) *

!

dr L

C

dt= ˙ L

iˆ e

i+L

iˆ ˙ e

i( )i

" = Ii˙ #

iˆ e

i+L

i

r # $ ˆ e

i( )

i

" = Ii˙ #

iˆ e

i

i

" +r # $

r L

C

!

r L

C= L

iˆ e

i

i

" avec Li= I

i#

i

!

Ii = moments d'inertie principaux

!

=

I1˙ "

1

I2˙ "

2

I3˙ "

3

#

$

% %

&

'

( (

+

"1

"2

"3

#

$

% %

&

'

( ( )

I1"

1

I2"

2

I3"

3

#

$

% %

&

'

( (