UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE SISTEMAS E INDUSTRIAL

MÉTODOS NUMÉRICOS

MÓDULO 5

DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN NÚMERICA

1. INTRODUCCIÓN

El cálculo es una herramienta importante de la ingeniería, y es habitual implementarlo en

situaciones que afectan nuestra profesión como por ejemplo al tratar de manera continua

con sistemas y procesos que cambian.

En el concepto de las matemáticas, la derivación sirve como un principal vehículo para la

diferenciación, representa la razón de cambio de una variable dependiente con respecto a

una variable independiente. Las fórmulas de derivación numérica son importantes en el

desarrollo de algoritmos para resolver problemas de contorno de ecuaciones diferenciales

ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales. El uso de funciones conocidas como

ejemplo de aplicación en las técnicas de derivación numérica permite comparar la

aproximación numérica con la respuesta exacta.

La integración numérica es una herramienta esencial implementada en la ciencia y la

ingeniería para obtener valores aproximados de integrales definidas que no pueden

calcularse analíticamente. A diferencia de la derivación, la integración es su operación

inversa y busca juntar partes de un todo.

2. OBJETIVOS

Conocer los métodos estándares de diferenciación e integración numérica,

aplicarlos usando su implementación en Scilab.

Lograr que el estudiante desarrolle cierta capacidad para analizar y escoger, de

entre los métodos disponibles para resolver problemas, cual es el más eficiente.

Ofrecer al estudiante ejemplos de aplicación que ilustren de una manera simple la

forma como funcionan los algoritmos que se estudian en el curso.

Comprender como se desarrolla el programa Scilab a través de los códigos creados

para obtener una respuesta óptima.

Vincular la actividad teórica con la práctica para generar un conocimiento integral

que pueda ser implementado como una herramienta en la solución de problemas

que estén vinculados a la ingeniería.

3. MARCO TEÓRICO

DERICACION NUMERICA:

La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una

aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades

de la misma. En este tema el objetivo principal es aproximar las derivadas de orden

arbitrario 𝑣 en un punto cualquier 𝛼 de una función 𝑓 de la cual solo conocemos sus valores

en los (𝑛 + 1) nodos distintos 𝑥0 , 𝑥1, … , 𝑥𝑛.

Para ello se pueden implementar diferentes métodos:

-El límite del cociente incremental, donde se busca aproximar numéricamente la derivada

de 𝒇(𝒙)

𝑓´(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

-Formula de diferencias centradas, las cuales son fórmulas de aproximación a 𝑓´(𝑥) que

requieren que la función e pueda evaluar en abscisas situadas simétricamente a ambos

lados del punto 𝑥0 (donde se desea hallar la derivada).

Para ellos se implementan las siguientes fórmulas

Si se quiere obtener un error menor se implementan las formulas:

-

-Formula de diferencias progresivas y regresivas, S solo se puede evaluar la función

en abscisas a un lado de 𝑥0, entonces las fórmulas de diferencias centradas no pueden

usarse. Las fórmulas que utilizan abscisas equiespaciadas que están todas a la derecha

(o izquierda) de 𝑥0 se llaman fórmulas de diferencias progresivas (o regresivas), las

cuales pueden deducirse derivando el polinomio integrador de Lagrange.

-Derivada del polinomio interpolador de Newton, la relación que existe entre las fórmulas

de orden 𝑂(ℎ2) para aproxima𝑓´(𝑥) y un algoritmo general que permite calcular las

derivadas numéricamente.

Y al sustituir estos valores la derivada del polinomio de Newton se tiene:

INTEGRACIÓN NÚMERICA:

La integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor

numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir

algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura

numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración

numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el

caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utilizan. El objetivo es

aproximar la integral definida de una función 𝑓(𝑥) en un intervalo [𝑎, 𝑏] evaluando 𝑓(𝑥)en

un número finito de puntos.

Para ello se implementan las fórmulas de cuadratura cerradas de Newton-Cotes:

Para las cuales se implementa un h de la siguiente manera:

Regla del trapecio 𝒉 = 𝒃 − 𝒂

Regla de Simpson 𝒉 = (𝒃 − 𝒂) /2

Regla de Simpson 3/8 trapecio 𝒉 = (𝒃 − 𝒂)/𝟑

Regla de Boole trapecio 𝒉 = (𝒃 − 𝒂)/𝟒

4. RESULTADOS

Punto 1:

Resolver a través de Scilab el problema propuesto identificando las siguientes

funciones, a saber:

a) Función SCILAB que tiene el método numérico a utilizar

b) Función SCILAB que tiene la función a investigas

c) Modulo principal SCILAB que tiene los datos de entrada y que ejecuta el método

numérico con la función a investigar

Codigo:

- Función SCILAB que tiene el método numérico a utilizar:

clc

disp(" ** Laboratorio Cinco - Grupo 04 ** ") // Según sea el caso

disp("Codigos: 2879824 215559 215548") // En concordancia con los participantes

ww=getdate();

mprintf( "AA:%d ,MM:%d ,DD:%d a las HH:%d ,MM:%d ,SS:%d

",ww(1),ww(2),ww(6),ww(7),ww(8),ww(9));

X=[5 6 7 8 9 10];

a=metodo()

- Función SCILAB que tiene la función a investigas

function B=metodo()

B=0.5*(f(X(1))+2*f(X(2))+2*f(X(3))+2*f(X(4))+2*f(X(5))+f(X(6))) endfunction

- Modulo principal SCILAB que tiene los datos de entrada y que ejecuta el método

numérico con la función a investigar

function [A]=f(X) A=10.0./(X.*sqrt(X))

endfunction

Punto 2:

Realizar en SCILAB un solo programa principal que efectúe los cálculos de la primera

derivada de tan(x) en x = 1 utilizando las cinco aproximaciones que aparecen a

continuación (las ecuaciones (1), (2) y (3) y las ecuaciones (A) y (B)), utilizando h=0.1, 0.05

y 0.02. El programa también debe evaluar el error relativo verdadero de cada aproximación.

-Código:

clc disp( disp(" ** Laboratorio Cinco - Grupo 04 ** ") // Según sea el caso disp("Codigos: 2879824 215559 215548") // En concordancia con los participantes ww=getdate(); mprintf( "AA:%d ,MM:%d ,DD:%d a las HH:%d ,MM:%d ,SS:%d ",ww(1),ww(2),ww(6),ww(7),ww(8),ww(9));

function y=f(x) y=tan(x); endfunction x=1; valor_real=derivative(f,x) valor_real1=2*tan(1)*(sec(1))^2; A=zeros(15,4);

A(1:3:15,2)=0.1; A(2:3:15,2)=0.05;

A(3:3:15,2)=0.02; for i=1:3 A(i,1)=1;

A(i,3)=(f(x)-f(x-A(i,2)))/A(i,2); A(i,4)=abs(A(i,3)-valor_real)*100/valor_real; end for i=4:6 A(i,1)=2; A(i,3)=(f(x+A(i,2))-f(x))/A(i,2); A(i,4)=abs(A(i,3)-valor_real)*100/valor_real; end

for i=7:9 A(i,1)=3; A(i,3)=(f(x+A(i,2))-f(x-A(i,2)))/(2*A(i,2)); A(i,4)=abs(A(i,3)-valor_real)*100/valor_real; end for i=10:12 A(i,1)=4; A(i,3)=(3*f(x)-4*f(x-A(i,2))+f(x-(2*A(i,2))))/(2*A(i,2));

A(i,4)=abs(A(i,3)-valor_real)*100/valor_real; end for i=13:15 A(i,1)=5; A(i,3)=(f(x)-2*f(x-A(i,2))+f(x-(2*A(i,2))))/(A(i,2))^2; A(i,4)=abs(A(i,3)-valor_real)*100/valor_real; end disp('EcuaN°/Valor de h/Valor aprox/Error Relativo %') disp (A)

4. ANALISIS DE RESULTADOS

1 Punto:

Dada la explicación analítica del problema propuesto:

Comparando con la respuesta proporcionada por el programa t= 2.6380027 seg, el valor

se aproxima mucho al obtenido en la demostración realizada.

2 Punto:

Derivando la función 𝑓(𝑥) = tan 𝑥 obtenemos que su derivada es 𝑓´(𝑥) = sec2 𝑥

Y para cada h postulada: 0.1, 0.05 y 0.02 se reemplaza en las ecuaciones sugeridas

(1) h

fff 10

0'

(2)h

fff 01

0'

(3)h

fff

2' 110

(A) h

ffff

2

43'' 2100

(B) 2

2100

2''

h

ffff

Las cuales nos brindara una aproximación cercana a la derivada de la función, para este

caso remplazada en x=1, en la cual tenemos que el valor de 𝑓´(𝑥) = sec2 𝑥 evaluada en x=1

tenemos

𝑓´(1) = sec2 1 = 3.425518821

Analizando los valores encontrados para cada ecuación reemplazado para el h especificado

se puede afirmar que implementando la ecuación N° 3 se tienen valores más cercanos al

valor verdadero, específicamente con un h = 0.02 dado que el valor aproximado obtenido

es de 3.4293037 con un Error relativo verdadero 0.1104893 %.

La ecuación que más se aleja del valor real de la derivada de la función es la N°5 en el

programa y en las ecuaciones numerada como (B) dado que el valor más lejano calculado

en el programa es de 9.6217086 que genera un error relativo verdadero de 180.88325 %

5. CONCLUSIONES

El método de derivación numérica implementado en el primer punto nos permite

obtener un aproximación optima de acuerdo a los valores de las abscisas y

ordenadas para el experimento realizado, siendo fácil de calcular de manera

analítica a que no conlleva mucho tiempo en remplazar y organizar valores y

además se hace incluso más práctico en el programa de Scilab el cual genera un

valor muy confiable y cercano al calculado analíticamente

En el punto 2 nos permite hallar la derivada de funciones sin necesidad de calcular

la derivada, lo cual facilita en muchos casos cuando la derivada es difícil de

encontrar, permitiendo que a través de diferentes ecuaciones se pueda acercar de

manera muy confiable al valor verdadero en este caso de la función 𝑓(𝑥) = tan 𝑥

De las ecuaciones implementadas en el punto 2 la que mejor se acerca al valor

verdadero de la derivada de la función 𝑓(𝑥) = tan 𝑥 es la identificada con el N° 3

debido a que el valor del error relativo verdadero es de 0.1104893 %.

La ecuación que se aleja mucho del valor verdadero de la función se encuentra

registrada como (B) dado que su valor aproximado genere un error relativo

verdadero de 180.88325 %, lo cual no sería factible a la hora de implementarla en

otros cálculos