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Laboratorio di fisica IIAhttp://hep.fi.infn.it/chimica/

Prof. Raffaello D'Alessandro

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Prof. Leonardo Salvi

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Spring / 2020 R. D'Alessandro 1

http://hep.fi.infn.it/chimica/

mailto:[email protected]

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Outline del programmaAnalisi dell'errore nelle misure:

● Errori sistematici e errori statistici

● Capire le cause dell'errore e come quantificarlo

● Trattazione degli errori

● John Taylor: Introduzione all'analisi degli errori


Outline del programma

Elettrologia:

● Correnti continue

● Correnti variabili - Condensatore

● Charles Alexander, Matthew Sadiku: Circuiti

elettrici


Esperienze di LaboratorioÈ prevista UNA esercitazione + UNA esperienza

(Stanza 144 , Dip. Di Fisica)

● Gruppi di 3 persone

● Otto gruppi MAX per pomeriggio

● Quindi ci si alterna di settimana in settimana.

● Una relazione per l’esperienza (fatta

collegialmente dal gruppo durante il laboratorio)

● Le relazioni sono obbligatorie e danno accesso

all'esame finale


Esperienze di laboratorio

Pre-requisiti:

● Conoscenza della trattazione dell'errore

● Rudimenti circuiti elettrici (LEGGE DI OHM!)

● Quindi non sarà possibile iniziare subito la parte

di laboratorio.

● Quest’anno NOVITÀ :

● Programma maggiormente incentrato sull’elettrologia (a supporto di FisicaIIA

● 8-10 ore in aula, il resto pomeriggi in laboratorio


Esperienze di laboratorioEsercitazione: Richiede 1 pomeriggo a gruppo,

L’esercitazione consiste nel verificare la legge di

OHM con una resistenza. Ottenere la retta

caratteristica I-V.

Esperienza: Richiede 1 pomeriggo a gruppo,

L’esperienza consiste nella misura di una F.E.M.

incognita con il metodo potenziometrico e con il

metodo dei due multimetri.


Considerazioni

Siete incoraggiati a prendere appunti a lezione.

Quantomeno tenete traccia degli argomenti svolti

a lezione.

L'esame finale, orale, verterà sia sulla parte in aula

che sulle esperienze di laboratorio.

DOVETE CONSEGNARE LA RELAZIONE

FINITA PER POTER FARE L’ORALE DI

FISICA IIA !



Misura di una grandezza (fisica)

●Metodo scientifico sperimentale richiede due

caratteristiche alla misura:

–Affidabilità

–Riproducibilità

●La presentazione di un risultato attenente a una

misura deve fornire informazioni sufficienti tali

da:

–Consentire la ripetizione della misura stessa

–Valutare l'accordo tra i risultati

Spring / 2020R. D'Alessandro 9

Le vostre relazioni●Spiegare cosa state misurando

●Procedure eseguite

●Metodi di misura e la strumentazione usata

●Elaborazione Dati:

–Errori “teorici”

–Errori di misura

●Confronto critico tra misure ed eventuali previsioni

“teoriche”. Confronto, se possibile, tra gruppi diversi.

●UNITÀ DI MISURA SEMPRE !

●Tabelle e grafici con spiegazioni chiare !


Cosa vuol dire “misura”

●Definite l'osservabile che interessa

–A volte può essere meno ovvio di quello che sembra (altezza di uno stipite, ampiezza di una sinusoide, ....)

●Descrivete (in termini di prestazioni) gli

strumenti impiegati, in modo da poter in seguito

valutare la precisione della misura stessa.

–Quasi sempre, una stima della precisione ottenibile viene fatta prima ancora di compiere la misura ......

●Definite le condizioni operative

–(temperatura, umidità, ecc.)


Il risultato della misura

●Ad esempio: Misurare la lunghezza di un oggetto,

–Tavolo (1m), spessore di un foglio (1mm), batterio (1mm), macromolecola (1nm)

●È un numero:

–Con dimensionalità (in questo caso metri)

–Con delle incertezze, cioè margini di errore

–Dovuti, ad esempio, alla risoluzione finita del metro, o di un calibro, a un cambiamento di temperatura, ecc. ecc.


Errori●Gli errori sono principalmente di due tipi:

–Sistematici, che sono intrinseci al metodo di misura adottato e alla strumentazione impiegata

–Statistici, prodotti da eventi casuali che influiscono sulla misura stessa

●Qualche volta i primi si riflettono in uno spostamento

costante della misura dal valore “vero”:

–Ad esempio: Una sotto/sovra stima dovuta a un metro con un errore di scala, ma spesso si hanno sotto o sovra stime a seconda del valore della misura (vedi grafico successivo slide 15)

●Gli errori statistici si riflettono in una dispersione

delle misure attorno al valore “vero”.


Errori sistematici

●Gli errori sistematici sono anche chiamati errori a

priori (perché se ne può dare una stima «prima» di

fare la misura.

–I tipi fondamentali di errori a priori sono gli errori di

taratura, lettura e sensibilità.

– Derivano dai limiti di precisione e di sensibilità degli strumenti di misura e del metodo di misura adottato.

– Avendo a disposizione l’informazione completa sugli strumenti usati, si possono valutare prima di eseguire la misura stessa.


Errori di taratura*

●In questa categoria rientrano gli errori derivanti

dal fatto che lo strumento di misura, per limiti

intrinseci di precisione, fornisce una risposta che

non corrisponde esattamente alla grandezza

misurata.

●Se ad esempio g è, in unità opportune, il valore

che verrebbe ipoteticamente misurato da uno

strumento perfetto, uno strumento reale darà come

risultato: m = f (g). ●*Dalle dispense del Prof. Perego (Dip. di Fisica di Firenze): Richiami sulla teoria degli errori.


Errori di taratura*●Se lineare: m = (1 + α)g + β, dove la costante α, positiva o negativa, dà

l’errore di scala e β quello che si chiama normalmente errore di offset.

●In realtà l’errore di taratura raramente si comporta così

bene, e spesso viene dato lo scarto massimo M nel range

di valori misurati (fig. b).


Errori di lettura

●Legati alla strumentazione analogica

–Esempio del metro con le divisioni in millimetri “poco” visibili ......

–Lancette (parallasse)

●Lo si considera pari a metà della divisione più

piccola della scala nel punto di misura.

●Appartengono a questa categoria anche gli errori

di troncatura della strumentazione digitale (1-2

digit !).


Errori di sensibilità

●L’errore di sensibilità corrisponde alla minima

variazione della grandezza misurata che lo

strumento è in grado di percepire.

●Può corrispondere all'errore di lettura/troncatura.

●A volte, soprattutto quando facciamo delle misure

di «zero» variando il valore di campioni di

riferimento (e.g. Metodo potenziometrico),

vediamo che a un certo punto il rivelatore di zero

non è più sensibile (non si scosta dallo zero) pur

continuando a variare il valore del campione.


Presentazione del risultato (1)

●Numerico:

–x±Dx (stesse unità di misura)

–i.e. 1,234 V ± 0,006 V

–i.e. 1,234 ± 0,006 V

–i.e. 1,234 V ± 0,5 % (errore relativo)

●Grafico: X

1 2 3

X1

X2

X3

X

1 2 3

X1

X2

X3


Presentazione del risultato (2)

• Possiamo quindi confrontare due o più risultati:

• Stabilire se sono compatibili

• Controllo che non ci siano misure “anomale”

• Dal grafico, controllando che ci sia una effettivasovrapposizione tra i vari punti (comprensivi delleloro barre di errore)

• Analiticamente confrontando la “distanza” tra 2 misure rispetto al loro errore:

• | X1 – X2 | < DX1 + DX2


Cifre significative●Contrariamente a quanto potete aver sentito, le cifre

servono!

–Gli arrotondamenti conviene farli solo alla fine!

●Al momento della presentazione del risultato finale è

inutile presentare sia:

–Tante cifre sull'errore, quando la misura è data, ad esempio, con 2 cifre

–Tante cifre sulla misura, quando l'errore già rende già inaffidabile, ad esempio, la prima cifra

●A volte vengono comunque riportate tutte le cifre inerenti al valore misurato;

solitamente quando la misura deve poi essere successivamente combinata con

altre.


Incertezze relative e assolute

●Errore assoluto: x±Dx (unità di misura)

●Spesso conviene utilizzare:

● x(unità di misura) ± Dx/x (Errore relativo)

● Questo viene poi riportato usualmente in %

–Si ha una immediata quantificazione della precisione (1%, 0.01 % e non 2.67±0.01m o 119.45±0.01m)

–Sorgono problemi per misure dove il valore trovato è zero:E' chiaro che in questo caso si deve dare l'errore come

“intervallo” di valori attorno allo zero, cioè un errore assoluto.


Misura diretta: Pratica(ccia) di

multimetri●Taratura: 0.5%

●Lettura: 2 digit (i 2 digit si riferiscono SEMPRE

all’ultima cifra significativa del valore fornito dallo

strumento).

●Misuro 1.362 V

●1.362 ±(0.5% * 1.362 + (2 digit = 0.002) ) V

●1.362 ±(0.007 + 0.002) V

●Occhio alla scala! I due digit possono rovinare la misura.

●Usate sempre la scala con maggior sensibilità!


Propagazione dell'errore sistematico

●Misura diretta:

– l = x±Dx (metri)

– V = g±Dg (Volt)

– ecc.

●Misura indiretta:

– v(velocità) = l(metri) / t(secondi)

– Dl (metri) e Dt (secondi) sono noti

–Come calcoliamo Dv ?


Propagazione dell'errore●Sviluppo di Taylor, derivate valutate nel punto di misura.

●Stima dell'errore per eccesso, prendendo i valori assoluti!

●Ad esempio, funzione f delle variabili x1, x2 , ecc.

●L’errore sistematico è «conservativo». Ci si mette sempre

nel peggior caso possibile. Quindi tutti le possibili cause

di errore si sommano con lo stesso segno!


Propagazione dell'errore

●Gli errori a priori si propagano con la propagazione

lineare e usando i valori assoluti dei coefficienti. È un

approccio molto «conservativo» e non sempre viene

seguito (vedi somma errori stat. e sist.).

●Esempio di propagazione:

–Pila di fogli di altezza H = Bh. Misuriamo l’altezza H per ricavare h (altezza del singolo foglio) e vogliamo sapere anche l’errore su h:

–h spessore di un singolo foglio = H/B

–B numero di fogli.

–B è esatto, mentre h e H hanno un certo errore Dh e DH.

–DH = BDh Dh = DH/B



●Ricaviamoci lo spessore di un singolo foglio.

●B = 200, H = 3,3 ± 0,1cm.

–h = H/B = 3,3/200 cm = 0,0165 cm

–Dh = DH/B = 0,1/200 cm = 0,0005 cm

–h = 1,65 10-4 m ; Dh = 5 10-6 m

●h = (165 ± 5) 10-6 m

●h = 165 ± 5 mm

●Errore relativo ….. ?



●Altro esempio:

●v = l/t ; velocità media assunta costante.


Propagazione dell'errore●Errore relativo --> Derivata logaritmica

●Basato sul fatto che la derivata di ln(x) è 1/x

●Quindi il differenziale di ln(x) è dx/x .

●Ad esempio:

●v = l/t ; ln (v) = ln (l/t)

●d ln (v) = dv/v

●d ln (l/t) = d ln (l) - d ln (t)

= dl/l - dt/t --> | Dl/l | + | Dt/t |


Propagazione dell'errore●Altro esempio: Pendolo piccole oscillazioni

●Conviene avere l (lunghezza del filo) piccola o grande ?

●Conviene migliorare la precisone su T o l ?

●La precisione su T pesa di più sulla misura della precisione su l ,

ma T dipende da l stesso per cui alla fine è meglio aumentare l ….

purché si mantenga la precisione nel misurare la lunghezza.

W l’errore relativo!


Esempio Millikan●Misura della carica elettrica

–Gocciolina d'olio sospesa in un campo elettrico

●Ê=-V/d; equilibrio F(gravità) = -F (elettrostatica)

– qV/d = mg

– q = mgd/V => m = 4/3 pr3 (roil

- rair

)

●m si ricava dalla densità dell'olio e dell’aria, perché

è presente la spinta di Archimede. Ma bisogna

anche conoscere r il raggio della goccia.

–Legge di Stokes:

–Il coefficiente di viscosità h viene misurato con altri metodi, e il suo errore influisce sulla misura.

d

V ++++

- - - -

Ê


Esempio Millikan

●Si spegne il campo elettrico e si lascia cadere la

gocciolina in caduta libera:

–A un certo punto vD = cost. (moto viscoso)

–FD = mg <=> 4/3 pr3(roil

-rair

)g = 6prhvD

–r2 = 9hvD / 2(roil

- rair

)g

–Quindi conoscendo h possiamo ricavarci r e quindi m .

●Possiamo ricavare quindi la carica della gocciolina in Coulomb e, con

più misure, vedere che è sempre un multiplo di una carica elementare

h (quella dell’elettrone).

●Conoscendo Dh, propaghiamo l'errore e arriviamo all'errore sulla

carica dell'elettrone.


Esempio Millikan●Facendo varie misure si vedeva che la carica delle

gocce Q era sempre un multiplo N (intero) di e

(carica elementare).

●Nel 1914: 1.590 < e < 1.594 10-19 C

●Oggi: 1.602 10-19 C

●Il valore della carica elementare è aumentato via

via nel tempo; una certa “riluttanza” a cambiare!

● Il problema era il coefficiente h. Se R è dell'ordine del

libero cammino medio L, FD

deve essere modificata:

–FD F

D* 1/(1 + a L/R) con a = 0.8 circa


Feynman e MillikanRichard Feynman disse in un seminario tenuto a Caltech nel 1974:

We have learned a lot from experience about how to handle some of the ways we fool ourselves. One

example: Millikan measured the charge on an electron by an experiment with falling oil drops, and got

an answer which we now know not to be quite right. It's a little bit off because he had the incorrect

value for the viscosity of air. It's interesting to look at the history of measurements of the charge of an

electron, after Millikan. If you plot them as a function of time, you find that one is a little bit bigger

than Millikan's, and the next one's a little bit bigger than that, and the next one's a little bit bigger than

that, until finally they settle down to a number which is higher.

Why didn't they discover the new number was higher right away? It's a thing that scientists are

ashamed of - this history - because it's apparent that people did things like this: When they got a

number that was too high above Millikan's, they thought something must be wrong - and they would

look for and find a reason why something might be wrong. When they got a number close to Millikan's

value they didn't look so hard. And so they eliminated the numbers that were too far off, and did other

things like that. We've learned those tricks nowadays, and now we don't have that kind of a disease.

Al 2008 il valore accettato per la carica elementare

è: 1.602176487(40)×10−19 C.


Come si agisce su questi errori

●Sistematici:

–Possibile calibrare/tarare lo strumento

–Variare metodo sperimentale (rapporto)

●e.g. tra due lunghezze: g(x')/g(x)

●Statistici (vedremo in seguito):

–Legati al numero di dati raccolti

–Trattamento “statistico” per valutare la migliore stima della misura finale.


Errori statistici*

Il concetto di errore a posteriori nasce dalla constatazione

sperimentale che in determinati casi, ripetendo una stessa

misura in quelle che si ritengono essere sempre le medesime

condizioni, si ottiene ogni volta un risultato diverso. Nel

campo della fisica classica, e quindi nelle misure del

laboratorio, il fenomeno viene interpretato come causato da

un certo numero di fluttuazioni nelle condizioni, che alterano

in modo imprevedibile il risultato delle misure; nella fisica

microscopica esistono poi fenomeni, come il decadimento

nucleare, il cui decorso è intrinsecamente probabilistico.

(Rumore elettrico).

*Dalle dispense del Prof. Perego: Richiami sulla teoria degli errori.


Errori statistici●Le variazioni osservate nelle nostre misure

devono essere maggiori (ben maggiori) dell’errore

sistematico.

●Siamo sicuri che le nostre misure siano affette da

errori statistici e non da sistematici che non

abbiamo controllato ? (Temperatura che cambia,

ecc. )

●Trattazione apposita.

●Si pone poi il problema di come sommarli ai

sistematici.


Errori statistici

●Evidenti se errori sistematici (a priori) sono

“piccoli”

●Dovuti a fluttuazioni casuali del valore misurato

●La misura viene ripetuta nelle medesime

condizioni (entro le nostre conoscenze e capacità

di controllo).

●Non si parla più di un solo valore, ma di una

distribuzione di valori


Istogramma, normale e cumulativo

●I valori trovati ad esempio possono essere

riportati in un istogramma.


Distribuzione Gaussiana

●Fra le infinite funzioni che soddisfano i criteri per

rappresentare la densità (distribuzione) di probabilità,

la gaussiana ha un ruolo particolarmente importante:

–Curva a campana con il massimo per x=m,

–s indica la larghezza della campana e si chiama deviazione standard, la varianza è s2

–la prob. che sia: m-s < x < m+s, è il 68%, (2s: 95%, 3s: 99.7%)

●Il valor medio indicato m.

● La varianza indicata s2


Valor medio e varianza della

distribuzione Gaussiana

●Il valor medio è dato quindi dalla media degli x pesati secondo

p(x). (Valor medio del lancio di un dado. Con istogramma che parte da 0.5 e pesato1/6)

●La mediana è quel valore di x che divide a metà il campione.

Ovvero, data una densità di probabilità, è quel valore tale da:

●La moda è il valore(i) di x per il quale si ha il massimo(i) della

distribuzione, (unimodale, bimodale ecc.).


Distribuzioni

●Nella Gaussiana m rappresenta sia la moda, sia la

media, sia la mediana. In generale questi tre valori

sono distinti.

●La somma di due Gaussiane è a sua volta una Gaussiana.

●Il prodotto di due Gaussiane è a sua volta una Gaussiana.

●La convoluzione di due Gaussiane è a sua volta una Gaussiana.


Distribuzione Gaussiana


Distribuzione Gaussiana●Spesso descrive in maniera ottimale i risultati

osservati, per 2 motivi:

Quinconce di Galton:su una misura agisce una perturbazione ±∆a con il 50% di probabilità di sommarsi e il 50% di sottrarsi.Le palline si distribuiscono sul fondo seguendo una distribuzione Gaussiana.

Teorema del Limite Centrale:la media di un numero sufficientemente grande di variabili casuali indipendenti tra loro, ognuna con valor medio e varianza finita, segue una distribuzione Gaussiana.

Pioli fissi

Palline verdi


Stimatori●Lo sperimentatore non conosce, ne può conoscere,

esattamente la distribuzione delle misure che ottiene

(numero infinito di campionamenti).

●Possiamo però, dal nostro campione di n misure, dare una

stima dei parametri della distribuzione. In particolare:

–Stima del valor medio

–Stima della varianza

●Noi non conosciamo m .

●Però sappiamo che la media m, ovvero il valore

medio di x, si ottiene pesando x secondo p(x).

●Usiamo quindi la media aritmetica delle nostre

misure (Continuo: Integrale Discreto: Somma):


Stima della media di una

distribuzione

●Si stima la varianza come somma dei quadrati delle

differenze dei valori misurati xi e m .

● In questo caso però non conosciamo m !

●Usiamo la media aritmetica al suo posto:

●Basta una piccola correzione e ridefinire quindi:


Stima della varianza di una

distribuzione


Errore a posteriori●La varianza, o meglio la deviazione standard, può essere e infatti

viene citata come errore della misura.

●L’errore sul valor medio m , invece è s/N1/2

●Tenete presente che solamente se i dati sono distribuiti

Gaussianamente si ha:

–m-s < x < m+s, ha il 68% di probabilità .

●Succede raramente di dover usare altri stimatori per l'errore.

–Ad esempio lo scarto massimo (già visto per l'errore a priori o sistematico), nel caso di distribuzione sconosciuta o un sospetto di anomalie nei dati.

–Sostanzialmente inadeguato per l'errore statistico, in quanto diverge al crescere di n.


Propagazione quadratica

●Si applica agli errori statistici:

●La stima in questo caso non è più per eccesso ma

tiene conto del fatto che ogni variabile

indipendente può fluttuare sopra o sotto il suo

valore “vero”.

●Non è un “optional”; DEVE essere propagato a

questo modo. La somma di due gaussiane è una gaussiana con valor medio ….. e s2 = s12 + s2

2 .


Covarianza●Se le varie xi NON sono indipendenti, cosa succede ?

●Ovvero le nostre misure spesso possono essere

correlate, come si altera di conseguenza la

propagazione dell’errore ?

●Due variabili x e y correlate:

●Il termine misto viene chiamato Covarianza ed

esprime il grado di correlazione tra le variabili aleatory

della nostra misura.


Coefficiente di correlazione

●2 variabili:

●Scatterplots!


Combinazione di errori sistematici e

statistici

●Se uno dei due trascurabile, il problema non si pone.

●Altrimenti è un discorso complesso:

–Dipende anche dalla natura dei sistematici che spesso hanno molteplici origini di non facile comprensione.

●A rigore:

–x ±Dx ± sx


Combinazione di errori sistematici e

statistici●La somma lineare dei due non tiene conto, nei fatti,

delle molteplici cause che possono determinare un

errore sistematico.

●In pratica un errore sistematico, non è detto che si

“sommi” a un errore statistico, ma può anche

sottrarsi.

●Si preferisce quindi fare una somma in quadratura

dei due: (A rigore è necessario dividere Dx2 per 3)

sx


Incertezza sulla misura

●xA ± sA ± DxA=> xA ± √ (sA2 + DxA

2)=>xA± √ (sA2 + DxA

2/3)

●

●ERRORE SISTEMATICO:Errore di scala (taratura)Errore di troncatura (lettura)Errore di sensibilità

●ERRORE STATISTICO:

●VALOR MEDIO (risultato di più

misure fatte nelle stesse condizioni operative)


●Supponiamo che siano stati eseguiti più

esperimenti su una certa osservabile (variabile) x, e

che ognuno abbia ottenuto un valore x medio , con

larghezza della distribuzione sx e che i risultati

siano !compatibili! tra loro,

●Quale è la procedura corretta per combinare

insieme i risultati ?

●Guardiamo alle probabilità associate ai risultati,

sotto l'ipotesi ragionevole che siano distribuiti

Gaussianamente e che siano indipendenti.

La combinazione di più esperimenti



●Due esperimenti indipendenti, la probabilità

combinata dei due:



●L'esponente prende il nome di c2 .

●Quale sarà il valore di x che meglio rende conto

dei due valori trovati ? Quello che massimizza la

probabilità di ottenerli. Quindi quello che

MINIMIZZA il c2 .


Minimo del c2 .

●Deriviamo rispetto a x, e imponiamo che la

derivata sia uguale a zero.


Media pesata●La media pesata somma i vari contributi pesandoli con

l'inverso dell'errore associato. (Weighted Average).

–Più sono piccoli gli errori, più “pesa” il contributo.

–Se wA = wB allora si riottiene la media aritmetica.

● Formula generale:


Errore sulla media pesata

●Propaghiamo gli errori (quadratica):


Errore sulla media pesata

●Infine si ha:


Il c2 è un metodo generale.

●La media pesata è utilissima per combinare più risultati affetti da

errori statistici e, in alcuni casi, anche da errori sistematici (esempio

Taylor della resistenza è sbagliato, non ha senso mediare letture affette dallo stesso errore sistematico).

●In generale dalle nostre misure potremmo voler ricavare i

parametri di una funzione che “dovrebbe” descrivere la nostra

osservabile.

●Esempio più semplice, il caso di una retta:

●Misuriamo y per vari valori (M) di una variabile x che è sotto

nostro controllo e conosciuta con infinita precisione.

–Avremo un set di yi = (y1, y2, .... , yM) misure, corrispondenti a un set di valori per la variabile x --> xi = (x1, x2, .... , xM)


Parametri di una retta●Supponiamo di poter trascurare l'errore sul parametro che

controlliamo xi = (x1, x2, ...., xM).

–Quindi six = 0 , in pratica equivale a dire che: s

ix << s

iy

●Le yi = (y1, y2, .... , yM), avranno un certo errore siy, valutato

secondo i modi che abbiamo visto in precedenza:

–Ogni singolo valore yi viene (ad esempio) dalla media aritmetica di Nmisure di yi fatte per un determinato valore della variabile xi .

–Lo stesso per le siy che (ad esempio) potranno essere calcolate con la

formula della stima della deviazione standard sempre sulle N misure di yi .


Parametri di una retta●Quindi per ognuno degli M “punti sperimentali” corrispondenti

agli M valori che faremo assumere alla variabile x, dovremo

compiere N misure di y dalle quali ricavare il valor medio e la

varianza.

●Una volta ottenuti gli M valor medi con le loro deviazioni

standard si pone il problema di come ottenere la migliore stima

dei parametri a e b della retta ?

–Metodo del minimo del c2.

–Ovvero MAX della probabilità di aver misurato i valori (y1, y2, .... , yM).

●NB!! Di qui in seguito indicheremo con

(y1, y2, ...., yM) i valori medi ottenuti da N

misure di ognuna delle varie (y1, y2, .... , yM).

●La probabilità associata a un singolo valore yi è:

●La probabilità totale (misure indip.) è data da:

●Quindi all'esponente ho una somma (c2) che se

minimizzata mi renderà massima la probabilità

associata a tutte le misure.

●La minimizzazione è ovviamente rispetto ai

parametri a e b della retta cercata.


Parametri di una retta

●L'espressione all'esponente (il c2) è:

●cerchiamo il minimo, quindi:

●Definiamo:





●Abbiamo un sistema di equazioni:

●Risolviamo per a:

●per b, analogamente:



●Gli errori sui parametri sono dati da:


Parametri di una retta (2)●Riassumendo, per una retta y=ax + b, si ha:


(1) Parametri di una retta, caso b = 0

●Se la retta da trovare passa per l'origine, allora il

termine b viene “forzato” ad essere nullo.

●Questo porta a delle notevoli semplificazioni

dell'equazioni precedenti.

●Per trovare le equazioni semplificate basta partire

dal nuovo c2 senza il termine b:

●Derivare rispetto al parametro a , ecc. ecc.


Il significato del valore del c2.

●Trovando il minimo, non si ottiene solamente la

migliore stima dei parametri della funzione dai

dati.

●Si ha anche un'indicazione della qualità del fit.

–Gli errori possono essere sovra o (più spesso) sotto stimati.

–La funzione stessa non riproduce in maniera adeguata i dati.

●I gradi di libertà sono il numero di dati effettivamente disponibili (i.e. le misure meno

i parametri da determinare) per il calcolo finale di una statistica.

●Il c2 segue una distribuzione asimmetrica piccata su MAX (0, NDOF - 2) , con

varianza pari a 2*NDOF e valor medio pari a NDOF.

●Quindi dal suo valore, possiamo capire la probabilità del nostro risultato. Ovvero la

probabilità che un’altra misura ottenga un minimo del c2 più elevato del nostro.

Convenzionalmente sono ritenuti accettabili valori del tali da rientrare nel limite del 5% o più

conservativamente, del 1%.


Il valore del c2

dof prob.= .05 .01

1 3.84 6.63

2 5.99 9.21

3 7.81 11.34

4 9.49 13.28

5 11.07 15.09

c2

p(c2)NDOF

c2

Distribuzioni del c2, che dipendono solo da NDOF .


Il c2 ridotto

●Spesso risulta più comodo definire il c2 ridotto:

●c2Reduced = c2/ (NDOF – 2).

●Ovviamente il c2R picca a uno, e quindi si ha un

immediato riscontro della qualità del nostro

risultato.

–Se c2R>> 1 avremo sottostimato gli errori

–Se c2R<< 1 avremo sovrastimato gli errori


Quali sono gli errori sulle yi che compaiono

nella procedura di fit (1) ?

●Nella formula del c2 compaiono le yi che in realtà sono le

medie aritmetiche dei valori ottenuti da più misure di yi per

un determinato valore di xi. Quindi yi → yi .

●Le siy che compaiono al denominatore dovrebbero essere a

rigore quelle legate alla dispersione dei valori medi calcolati

precedentemente.

–Quindi siy → s

iy = s

iy/N1/2.

●Questo riflette anche la condizione che aumentando il

numero di misure aumento la precisione della mia stima del

valore “vero” di y !


Quali sono gli errori sulle yi che compaiono

nella procedura di fit (2) ?●Aumentando il numero di misure yi alla fine cozzeremo contro il

limite sulla precisione imposto dall'errore sistematico Dy che

vanificherà qualsiasi miglioramento di siy = s

iy/N1/2.

●Infatti l'errore che dovrebbe comparire nella formula del c2 dovrebbe

essere dato dalla somma in quadratura dei due.

●In molti casi si ha una scarsa conoscenza dei sistematici coinvolti

nella misura. Questa scarsa conoscenza viene evidenziata

dall'ottenimento di valori del c2 estremamente elevati (segnalazione di

una sottostima dell'errore).

●In questi casi si possono sostituire alle siy le s

iy, considerandole come

un’allargamento della dispersione dei valori medi dovuto a dei

sistematici non considerati. PERDENDO IL SIGNIFICATO

PROBABILISTICO DEL c2 .

●Sfregate una bacchetta di bachelite (PVC o altro):

●Elettroscopio carico le foglioline si divaricano.

● Induzione o Contatto.

Con i 2 metodi si caricano i

due elettroscopi con cariche

di segno opposto.

Spring / 2020 R. D'Alessandro

Carica elettrica ed elettroscopi

75

Carica per induzione

Carica per contatto

Collegamentoa terra

--


Carica per induzione

76

- - -

Avvicino una sfera caricataper sfregamento ad esempio

++

--

Due sfere metallichein contatto scariche

1 2

- - -

Separo le due sfere cheprima erano scariche

+++ - - -

3

Allontano la sfera caricataper sfregamento

+++ - - -

4

- - -

Avvicino una sfera caricata,ad esempio, per sfregamento

++

--

Una sfera metallicascarica

1 2

Metto a terra la sferache prima era scarica

3

Allontano la sferacaricata per sfregamento

+++

5

- - -++

-- -

-Tolgo il collegamentoa terra: la sfera cheprima era scarica rimanecon solo le cariche positive

4

- - -++

●Elettroscopi - esistenza di un “qualcosa” con due

segni possibili [ + , -] .

●Forza di Coulomb:

●Millikan, dimostra che la carica

elettrica è quantizzata e il quanto

minimo è la carica dell'elettrone.

●Qe = -1,602 * 10-19 C

● , e0 è la permettività del vuoto o costante

dielettrica del vuoto, uguale a:

●e0 = 8,854 187 817 * 10−12 F m−1 .


Carica elettrica

77

●Forza di Coulomb:

●T cos(q) = mg

●T sin(q) = F = k q2 / L2

●tg(q) = F/mg = kq2/mgL2

●tg(q1) = kq2 / mgL12

●tg(q2) = kq2 / 4mgL22

●tg(q1)/tg(q2) = 4L22 / L1

2

●Se q è piccolo: tg(q) ≈ sin(q) ≈ L / 2l

●Quindi si ha: L1 / L2 = 4L22 / L1

2 L1 = 41/3 L2


Verifica Forza di Coulomb

78

mgmg

TT

F F

Caso 2:Q/2

Caso 1:Q

●Associata alla distribuzione di carica Q2, si può

definire un campo elettrico Ê:

tale che la forza che agisce su Q1

è: FCoul.

= Q1Ê

●Per muovere la carica Q1

all'interno di un campo Ê

dal punto A al punto B si deve compiere un lavoro:

●Dove fA(B)

è il potenziale nel punto A (B).


Campo elettrico e potenziale

79

ûr

^


Carica elettrica●La carica elettrica si conserva: ad oggi NON abbiamo

alcuna indicazione sperimentale che questo non sia vero. (L'attrazione gravitazionale tra un elettrone e tutti quelli presenti nella terra è 10-38

volte più piccola della loro repulsione elettrostatica ..... ma la carica dei protoni

bilancia esattamente ...)

●Esistono materiali in cui la carica (elettroni) è libera di

muoversi. CONDUTTORI. Tipicamente i metalli. I

superconduttori ad alta temperatura sono ceramici (ossido di

bismuto-stronzio-calcio-rame).

●Nei conduttori le cariche si dispongono in maniera tale da

annullare il campo elettrico all'interno e rendere il potenziale

costante (elettrostatica).

80


Corrente●Quando due corpi carichi vengono posti in contatto tra

loro, ad esempio tramite un conduttore, le cariche passano

da un corpo all'altro fino a raggiungere il bilanciamento.

●Questo passaggio di carica per unità di tempo costituisce

quello che chiamiamo corrente elettrica.

●1 Ampere è il transito di 1 Coulomb di carica al secondo.

●In generale, delle cariche in movimento, equivalgono a

una corrente. Basti pensare non solo ai fili elettrici, ma

anche ai plasmi, ai cannoni elettronici, agli acceleratori,

agli ioni in un elettrolita.

81


Corrente●Quindi definiamo la corrente come:

●Se i è costante nel tempo avremo una corrente

stazionaria o continua, se i invece è una funzione

del tempo f(t) avremo una corrente variabile.

●La corrente alternata è un caso particolare di

corrente variabile:

–deve essere periodica e a media nulla! Ad esempio f(t) = I0 sin(wt+f).

82


L'elettrone è stato scoperto da JJ Thomson nel 1897, ma più di un secolo prima, la gente aveva già studiato fenomeni elettrici (e magnetici), anche quantitativamente, e aveva già fissato una convenzione sulle cariche degli oggetti o quali lati di una batteria sono positivi e quali di essi sono negativi.Poiché questa convenzione era già stata stabilita, non c'era assolutamente alcuna libertà nella decisione sul segno della carica dell'elettrone. È stato semplicemente misurato nei raggi catodici ecc. e si è rivelato negativo.Storicamente, il primo uomo a decidere su una convenzione di segno per la carica elettrica è stato probabilmente Benjamin Franklin nel XVIII secolo. Il suo modello di elettricità assumeva che gli oggetti carichi contenessero del fluido ovvero una carica elettrica di tipo continuo (come il phlogiston, il fluido che si credeva fosse il calore). Se c’era troppo fluido, naturalmente identificato con il segno più, allora la carica elettrica era positiva, negativa altrimenti.Anche quando furono scoperte le particelle elementari, non c'era modo di dimostrare che una delle due convenzioni di segno era migliore dell’altra. Gli elettroni potrebbero portare una carica positiva nella convenzione opposta, ma i protoni ei nuclei che sono altrettanto importanti sarebbero caricati negativamente.È importante che, una volta fissata una convenzione per la carica elettrica, emerga una convenzione naturale per il segno della corrente e della tensione. Con la convenzione adottata universalmente si ha che nei circuiti le frecce per la corrente (che va dai terminali positivi a quelli negativi) hanno la direzione opposta rispetto alle velocità degli elettroni. Questa discrepanza è diventata evidente solo dopo aver scoperto che le correnti erano costituite dagli elettroni a carica negativa, molto molto tempo dopo l'impostazione della Convenzione di Benjamin Franklin. Questa discrepanza apparente non provoca problemi finché seguiamo con coerenza la convenzione adottata ricordandoci che le frecce rappresentano la corrente secondo le convenzioni stabilite e non la velocità degli elettroni.Si deve anche sottolineare che esistono conduttori in cui i portatori di carica (e quindi la corrente) sono positivi (o entrambi), ad esempio le soluzioni saline (ioni cariche positivamente) o i semiconduttori (lacune). In quei conduttori, i segni della corrente sono in accordo con il segno della velocità dei portatori di carica (positiva).

Perché gli elettroni sono "negativi" e i protoni "positivi"?


Potenziale e generatori●Quindi in un conduttore, le cariche si muovono

sotto l'azione del campo elettrico Ê.

●Chi genera (e mantiene) Ê ?

●In generale una distribuzione di cariche r .

● Ad esempio su un condensatore, le cariche sulle

armature a e b, generano una differenza di

potenziale tale che:

84

^


Generatori●Quindi, potremmo pensare di spostare delle

cariche, ad esempio sulle armature di un

condensatore, in maniera da raggiungere la

differenza di potenziale voluta.

●Ma una volta attaccato il condensatore carico a un

circuito, ad esempio un conduttore, le cariche (in

movimento sotto l'azione di Ê) alla fine si

neutralizzerebbero tra loro.

●Quindi dobbiamo rifornire costantemente le

cariche alle armature del condensatore.

85


Generatori●Un dispositivo che tramite processi fisici e/o chimici riesce a

mantenere una differenza di potenziale ai suoi capi fornendo

corrente a un “carico”, si chiama generatore:

–Elettrochimici = batterie, accumulatori

–Elettromeccanici = alternatori, dinamo

●Due classi fondamentali:

–Generatore di tensione

–Mantiene la differenza di potenziale ai suoi capi indipendente dal carico !

–Impedenza nulla (resistenza d'uscita nulla).

–Generatore di corrente

–Eroga una corrente dai suoi capi indipendente dal carico !

–Impedenza infinita (resistenza d'uscita infinita).

86

●Generatori di tensione:

●Generatori di corrente:

●Distinguere tra “Terra” e “ Comune”!

– Il terminale “Comune” è il terminale di riferimento del circuito, rispetto al quale

vengono misurate ad esempio le tensioni.


Simboli

Ground

87


Unità di misura in elettrologia.

●Sistema di misura MKSA:

–Lunghezza: Metro - [m]

–Massa: Chilogrammo - [Kg]

–Tempo: Secondo - [s]

–Corrente elettrica: Ampere - [A]

●Di conseguenza:

–La forza si misura in Newton [N] - [Kg m s-2]

–La carica in Coulomb [C] - [A s]

88


Ampere

●Due fili di sezione infinitesima e di lunghezza

infinita, paralleli e posti a 1 metro di distanza (r) uno

dall'altro:

●In ambedue circola una corrente uguale:

–Campo magnetico (Legge di Ampère: B=m0*I/2pr )

–La corrente è 1 A, quando i due fili si respingono con una forza = 2*10-7 N .

89


Altre unità di misura●Potenziale elettrico : Volt - [V] - [ N m C-1 ]

●Resistenza elettrica : Ohm - [W] - [ V A-1 ]

●Potenza elettrica : Watt - [W] - [ V A ]

●Energia elettrica : Joule* - [J] - [ V A s ] - [ N m ]

●Capacità elettrica : Farad - [F] - [ C V-1 ]

●Campo magnetico : Tesla -[T] - [ N A-1 m-1 ]

●Induttanza elettrica : Henry - [ H ] - [ T m2 A-1 ]

●Non è necessario sempre rapportarsi a Kg,m,s,A. Si può (e sicuramente è più

immediato) ricorrere alle unità sopra citate.

90


Conduzione elettrica (metallo)

●Elettroni in un metallo sono liberi

●Urtano continuamente sugli atomi del

reticolo

●Resistenza “viscosa” al loro movimento

●La distanza media percorsa tra due

collisioni si chiama libero cammino

medio

●Sotto l’azione di un campo elettrico, la

velocità (di deriva) non cresce

indefinitivamente (come nel vuoto) ma

assume un valore stazionario

a =me

v μΕ Legge di Ohm

; v = at !!

91


Conduzione elettrica (Drude)● Elettroni NON hanno memoria. Dopo un urto possono

tranquillamente tornare indietro o andare avanti.

● <p> = <mv> = qEt (Forza X tempo “t“ tra due collisioni)

● J = nq<v> = <p>nq/m = Enq2t/m ; v = Eqt/m

● Questi urti sono come una forza di attrito, l’equaz. del moto

diventa: m dv/dt = qE – Kv ;

● Soluz. dell’omogenea: v = A e-Kt/m ; Soluz. particolare: v = Eq/K ;

● Soluzione: v = Ae-Kt/m + Eq/K ;

● A regime (t inf.) ; Eq/K = Eqt/m K = m/t

● Per t = 0, v = v0 ; A + Eqt/m = v0 A = -Eqt/m + v0

● v = Eqt/m (1 - e-t/t) + v0 e-t/t ; m = qt/m v = mE nqm = s

92

●vdrift = meE !

–Dovuto al moto “viscoso” delle cariche all'interno del conduttore.

–E = 0, in un conduttore ma in elettrostatica!

– me mobilità degli elettroni nel conduttore (rame)

●j (densità di corrente) = I/S * n (normale alla superficie)

●j = nqv j = nqmE = sE (s conducibilità, n densità di portatori)

● Idx/S= sEdx I(1/s) dx/S = Edx ( r = 1/s )

● Irdx/S (r resistività [Wcm])= Edx --> IR=V


Legge di Ohm

93


Conduzione elettrica (metallo)●Con quale velocità si muovono queste cariche ?

●Applicando un campo elettrico, abbiamo una velocità di

deriva (drift) vd = meEd .

●La densità di corrente è comunque data da:

–j = qnvd q=carica dell’elettrone, n densità numerica dei portatori di carica

–I = j*S S=superficie del conduttore (d'ora in poi useremo i moduli)

●vd = I/Sqn , se I = 1 A, avremo:

–S = 1mm2 = 10-6 m2 ; q=1.6 10-19 C ; n(rame)= 9 1028 atomi/m3

–vd = 1/(10-6 *1.6*10-19 *9 1028 )=1/(1.6*9 103 )= 7 10-5 m/s

●Da confrontarsi con vtermica di circa 105 m/s

1

2mv2 =

3

2kT

T temperatura, k costante di Boltzmann, m massa dell’elettroneMassa elettrone = 9.10938188 × 10-31 kgCostante di Boltzmann = 1.3806503 × 10-23 m2 kg s-2 K-1

94

●Resistività r [Wm]

●Resistenza rL/S [W], diminuisce con la sezione !

● [W] = [VA-1]

●Simbolo:

●Resistività dei materiali:

● Conduttori: Ag: 1.59 10-8 [Wm], Cu: 1.72 10-8 [Wm], Au: 2.44 10-8 [Wm]

● Semiconduttori: Si: 6.4 102 [Wm]

● Isolanti: Vetro: 1012 [Wm]


Resistenze

S

L

r

95


Resistenze

96


Circuiti a costanti concentrate●Circuiti in cui gli effetti dovuti allo spostamento

delle cariche sono confinati ai singoli elementi del

circuito e non ai collegamenti tra elementi.

●Le linee di collegamento sono “ideali”.

●Convenzioni (disegna come vuoi, ma poi rispetta

i segni) :

–La corrente positiva scorre da + a - .

–Se V>0 , I > 0

–Se V<0 , I < 0

97


Volt, Ampere e Watt●Se abbiamo una forza d'attrito che ostacola il

movimento delle cariche, avremo anche del calore

dissipato. EFFETTO JOULE.

●L'energia è data da qV, la potenza da d/dt (qV) cioè da IV e si

misura in Watt [W] = 1 V x 1 A = 1 J/s --> [W] = [VA] = [Js-1]

●Convenzionalmente la potenza assorbita è > 0, la potenza

erogata < 0 .

●Nel circuito R utilizza (assorbe) la

potenza erogata del generatore V:

●PR=VI > 0 ; PG = -VI ( I scorre da - a + ) < 0.

● Si Pi = 0 (Conservazione dell'energia, )

98


Legge di Ohm (2)

●V = IR, ma in generale ogni volta che troviamo

una relazione lineare tra corrente e tensione,

passante per l'origine, parliamo di comportamento

Ohmico, e R assume il significato di coefficiente

di proporzionalità.

●La potenza dissipata dalla resistenza:

–W = VI = IRI = I2R = V2/R

–NON è lineare

–La potenza viene dissipata in calore, luce, radiazioneelettromagnetica in generale.

99


Calcolo potenza dissipata da una

resistenza e dipendenza temporale●V=5V, R=1KW, PMAX = 250mW

●I = ? , P = ? -->

–VI = ?, I2R = ?, V2/R = ?

●Se V == V(t) cosa cambia ?

●R è un numero reale positivo, che non dipende

dalla frequenza!

●R NON introduce sfasamenti, quindi:

–I=V/R avrà la stessa fase di V

100


Circuiti●Rami, Nodi, Maglie

–Ramo è un tratto di circuito

–Nodo è un punto dove convergono 2 o più rami

–Maglia è un tratto chiuso di circuito

–2 elementi che condividono un nodo si dicono in SERIE.

–2 elementi che condividono due nodi si dicono in PARALLELO.

●Gli elementi del circuito (generatori, resistenze, ecc.) hanno due

terminali. Ci possono essere elementi con 3 o piu' terminali

(esempio potenziometro). In generale sono riconducibili ad

aggregati di elementi con 2 soli terminali.

101


Circuiti (2)

●Utile scomporli in tante maglie.

●Tanti elementi in serie e in parallelo.

102


Leggi di Kirchhoff

●Currents Law: Si Ii = 0, la carica si conserva.

–La somma delle correnti entranti in un nodo è nulla.

–Deriva dalla conservazione della carica e dal fatto che nei circuiti si presume nulla la corrente di spostamento (DIV J = 0)

●Voltages Law: Si Vi = 0

–La somma delle differenze di potenziale (tensioni) lungo una maglia è nulla.

–Deriva dalla conservazione dell'energia.

–Si evince anche dal fatto che il campo elettrico è conservativo.

●Attenti ai segni!

103

●RSERIE = R1 + R2

●RPARALL = R1R2/(R1 + R2)

●1/RPARALL = 1/R1 + 1/R2

●Perchè ? Siamo in regime stazionario e vale la

legge di Ohm. Calcoliamo V e I nei due casi.

–SERIE: (I è la stessa in R1 e R2) IR1=V1, IR2=V2

–V1 + V2 = V I(R1 + R2) = V RSERIE

= R1 + R2

–PARALLELO: (I diversa in R1 e R2 ma stessa V ai capi)I1R1=V, I2R2= V

–I1 + I2 = I I2(1+R2/R1) = I V/I = RPARALL=V/ I2(1+R2/R1)

–RPARALL=V/ I2(1+R2/R1) = R2/(1+R2/R1) = R1R2/(R1 + R2)


R1

R2

Serie e parallelo di resistenze

R1R1R1 R2

104


Partitore di tensione

I

+

0V-

●Prima applicazione di una serie di resistenze:

●I = Vin/RSERIE , RSERIE = R1 + R2

●I = Vin/(R1 + R2)

●Vin- Vout = IR1 , Vout- 0V = IR2

●Vout = VinR2/(R1 + R2)

●-Vin + (Vin- Vout ) + (Vout- 0V) = 0; ( KVL )

●Vin - (IR1) - (IR2) = 0; Vin = I(R1 + R2) ecc.ecc.

●Potenziometro .........

105


I

+

0V

Rload

Partitore di tensione●Vout è un generatore di tensione ideale ?....

●Ecco cosa succede quando collego una resistenza

di carico Rload all'uscita.

●Rload si trova in parallelo a R2, quindi cambia il valore di I●Vout = VinR2//load /(R1 + R2//load)●Utili per fare Voltage References di valore arbitrario●(purché approssimativamente si abbia Iout = 0).

106


Partitore di corrente●Prima applicazione di un parallelo di resistenze:

●I = Vin/R// , R// = R1R2/(R1 + R2)

●I = Vin(R1 + R2)/(R1R2)

●I1R1= Vin, I2R2= Vin

●I = I1 + I2 ; KCL --> La somma delle correnti

entranti in un nodo è zero.

●I = I2(1+R2/R1) = I1(1+R1/R2)

●I2 = I R1/(R1+R2) ; I1 = I R2/(R1+R2)

+

-R1 R2

I

I2I1Vin

107


Calcolo di una maglia

●Determinare V12

●R// = R1R2/(R1 + R2)

●I = Vin/(R3 + R//)

●Spesso più rapido così che fare un sistema di N

eqz. per le maglie da risolvere poi. Nel caso in

questione avremmo avuto 3 equazioni per le 3

maglie (con I, I1 e I2).

●I1 (o I2) si determinano poi usando la formula del

partitore ….

+

-R1 R2

I

I2I1

R3

VinV12

+

-

108


Voltmetri e Amperometri

●Voltmetro ideale:

–Legge la tensione tra due nodi senza perturbare il circuito.

–Rinput = infinito

●Amperometro ideale:

–Legge la corrente che scorre in un ramo senza perturbare il circuito.

–Rinput = 0

●Il voltmetro è in parallelo all'elemento,

l'amperometro in serie!

109


Multimetro●Voltmetro, Amperometro, Ohmmetro.

–Ohmmetro ?

●Precisione: 0.5% + (1-2 digit).

●Continua e alternata.

●Portata (schema partitore di ingresso)

● Autoranging!

ADCIN

1

2

3

4

9M

900K

90K

10K

110


Misura di una tensione in uscita da

un circuito.

●Nella maggior parte dei casi, il multimetro (o

l'oscilloscopio) sono più che adeguati.

●Con quale parametro ci si confronta ?

–Impedenza di ingresso dello strumento e impedenza d'uscita del circuito

●Nel caso in cui questo confronto fosse o

sfavorevole o “sconosciuto” si possono utilizzare

tecniche ad “annullamento di corrente”.

111

2014/Fall R.D'Alessandro, Chiara Fort, Renato Torre

Laboratorio di Fisica (CdL Chimica)

Doppio multimetro

●Impedenza d'ingresso di un multimetro 10MW.

●Prima si attacca un multimetro all'uscita e si

misura V1, poi se ne aggiunge ancora un'altro e si

rimisura la tensione in uscita V2 = V1.

●Si assume che i 2 voltmetri abbiano la stessa

impedenza.

●Ricavare Vx e Rx e propagare gli errori.



Derivazione di Vx e Rx.●L'unica differenza nei due casi è il parallelo tra le due rV



Propagazione degli errori●Derivata logaritmica:


Metodo potenziometrico●Appartiene a quella classe di metodi di misura ad

azzeramento.

–Si cambia un parametro (e.g. la tensione di un generatore) fino ad ottenere l'azzeramento della variabilemisurata (e.g. la corrente in un ramo).

●All'inizio R0 NON E' PRESENTE !

+-

Vx

I0R

x

Volt

+ rV -

V

Rx

R0

+-

V0

rV Volt

116


Metodo potenziometrico●Quando la tensione V misurata ai capi di rV è uguale a zero,

vuol dire che I0 è nulla.

–V = I0rV

–Vx -I0Rx-I0rV-V0= 0 --> Vx = V0 (quando I0 = 0)

●L'errore può essere di sensibilità, cioè si varia V0 ma V non

varia

●Oppure di precisione su V che in questo caso essendo V = 0

si limita agli 1-2 digit di troncatura. A questi si somma

l'errore sulla lettura di V0.

–DVx = DV0 + DV

117


Metodo potenziometrico●Per misurare Rx, inseriamo R0 nel circuito.

●Riazzeriamo I0. Troveremo un nuovo valore di V0

che indicheremo con V'0.

●Per la legge del partitore, avremo:

–V'0 = VxR0/(R0 + Rx) = V0R0/(R0 + Rx)

–(R0 + Rx)V'0 = V0R0

–Rx = R0(V0 - V'0)/V'0

●L'errore su Rx:

118


●Errore su Rx = R0 (V0 - V'0)/V'0 :

●Derivata logaritmica:

Metodo potenziometrico

119


●Spesso con questo metodo, l'errore più rilevante

risulta essere quello di sensibilità.

●Variando la tensione, l'amperometro (voltmetro)

non si scosta dallo zero.

●Dipende dalla corrente minima che può essere

rilevata dal nostro “NULL DETECTOR” .

●Il multimetro di laboratorio ha una sensibilità

massima di 0,1 mA . Ma anche di 0,1mV.

● Conviene usarlo come Voltmetro o Amperometro ?

Metodo potenziometrico

120


Trasformazione delle maglie●Circuiti lineari:

–Esiste una relazione lineare tra “ingresso” e “uscita”

–Iout = KVin + I0 ; Vout = aIin + V0 ; ecc. ecc.

● Vale quindi il principio di sovrapposizione:

–Il contributo di ogni generatore presente nel circuito puòessere considerato indipendentemente dagli altri. Il risultato finale si ottiene poi sommando tutti i contributi.

• Sostituire “correttamente” i generatori .......

121


Esempio:●Circuito con generatore di tensione e generatore di

corrente:

–Valutare la Iout che scorre nella resistenza di carico

–Iout sarà data dalla somma di I1 e I2 dovuterispettivamente al generatore di tensione Vin e al generatore di corrente I0 .

+-

VinI0 Rload

Iout

122


Thevenin e Norton●Un circuito lineare può essere sostituito dal suo

equivalente, costituito da un generatore di tensione

con una resistenza in serie.

–La tensione del generatore è quella misurata in uscita al circuito in assenza di carico

–La resistenza serie si calcola sostituendo ogni generatoredel circuito con la sua impedenza (ovvero spegnendo igeneratori).

●Esempio: partitore di tensione .....

●Norton è il duale di Thevenin: Generatore di corrente

e resistenza in //. VTh = IN*RN ; RN= RTh

123


●Generatore di tensione rimpiazzato da un corto

circuito (R = 0)

●Generatore di corrente rimpiazzato da un circuito

aperto (R = ∞)

Thevenin e Norton (2)

+-

Vth

Rth

Rth

=

124


Esempio Thevenin●Partitore di tensione:

–Vth = Vout (misurata/calcolata in assenza di carico)

●Rimane da calcolare Rth

I

+

0V

+

-

+-

Vth

Rth

125


RThevenin ●Si sostituisce a Vin la sua impedenza

interna con V=0 (cortocircuito)

●L'impedenza “vista” da Vout è data

quindi dal parallello di R1 e R2 .

–Immaginate che Vout sia un generatoreesterno collegato al circuito. Vout /I è appunto l'impedenza cercata !

●Rth quindi diventa: Rth = R1R2/(R1+R2)

I

+

0V

+

-

126

●Infatti attacchiamo un carico Rload ad entrambi i

circuiti e calcoliamo il nuovo valore di Vout .

●Caso A: partitore iniziale

●Caso B: equivalente di TheveninSpring / 2020 R. D'Alessandro

Rload

Dall'esterno si comportano alla

stessa maniera

I

+

0V

+

-

+-

Vth

Rth

Rload

Vout

+

-

Caso A

Caso B

127


Calcolo di Vout●Caso A: Vout = Vin R2//Rload / (R1 + R2//Rload) ;

●Poiché : R2//Rload = R2Rload / (R2 + Rload)

●Si ha: Vout = Vin R2Rload / (R1(R2 + Rload) + R2Rload)

●Caso B: Vout = Vth Rload / (Rth + Rload) ;

●Poiché : Rth = R1R2/(R1+R2) e Vth = Vin R2 / (R1 + R2)

●Si ha: Vout = Vin R2 Rload /(R1 + R2)(Rth + Rload)

●Cioè sostituendo anche Rth si ha :

●Vout = Vin R2Rload / (R1R2 + R1Rload + R2Rload)

●In entrambi i casi abbiamo la stessa tensione in uscita, come ci si aspettava.

●Caveat potenza dissipata! L'equivalenza vale solo per grandezze LINEARI!

128


Diagramma I-V per una resistenza●Usiamo un partitore costituito da un potenziometro, che alimenta

una serie di resistenze.

–Una calibrata di valore noto e l'altra incognita.

–Due Voltmetri connessi, uno a R0 e uno a RX.

●Non superate

● PMAX (R0)= V0I !

● PMAX (RX)= VXI !

●Tracciate Vx=f(I)

●Vx = RxI ; I = V0/R0

129


Correnti Variabili●Limitiamoci ai casi in cui le variazioni sono “lente”

rispetto ai tempi di propagazione dei segnali nel

circuito.

●Quanto è il tempo di propagazione (lampadina a 1

metro dall'interruttore) ?

●Accensione lampadina, velocità termica 106 m/s,

velocità di drift 10-5 m/s, propagazione campo E.M.

2/3 velocità della luce (3x108 m/s).

●Corrente e tensione si propagano con il campo E.M.

●I nostri casi sono detti: “Quasi-stazionari”.

130


Quasi-stazionarietà●Non vuol dire che non ci interessano i transitori. A

volte cercheremo soluzioni per il transitorio a volte

soluzioni a “regime”.

●Implicazioni per i “tempi” di variazione (o

lunghezze d'onda dei segnali).

●T(periodo) = 2p/w ; w = 2p/T (w = pulsazione) ;

●n(frequenza) = w/2p = 1/T.

●l(lunghezza d'onda) = vE.M.

(velocità di fase)/n.

●vE.M.

tipiche nei cavi, 2/3 c

● c (velocità della luce) -->1 metro in 3,33 ns .

131


Nuovi elementi circuitali (reattanza)●Condensatori e induttanze diventano importanti

quando consideriamo correnti variabili nel tempo.

●Al contrario delle resistenze (che dissipano calore

per effetto Joule), questi elementi sono

“conservativi”, cioè non dissipano energia ma

l'accumulano per poi cederla al circuito.

●Questo non vuol dire che non si “oppongano” al

passaggio della corrente (che varia nel tempo)!

●Questa “resistenza” al passaggio della corrente si

chiama reattanza e si misura in Ohm.

132


Condensatore●Il condensatore è costruito da due armature

metalliche separate da un dielettrico.

133


Condensatore

●Se collego un generatore di tensione V0

(DC) ai capi

di un condensatore, sulle armature si accumulerà una

carica elettrica tale da rendere la tensione ai capi del

condensatore uguale a quella del generatore. A

questo punto non fluisce più corrente nel circuito.

●Il fatto che la carica immagazzinata dal

condensatore sia proporzionale alla tensione

applicata è l'essenza dell'effetto capacitivo. In questo

caso la relazione è lineare, e la costante di

proporzionalità è detta: capacità del condensatore.

134


Capacità●C = Q/V-->[C](Coulomb)/[V](Volt) = [F] (Farad)

●Questa costante di proporzionalità e determinata

dalle caratteristiche geometriche e materiali del

condensatore.

–Un condensatore a facce piane e parallele:

–C = e0e

rA/d

●A volte, pur essendoci una proporzionalità tra

tensione e carica, questa non è lineare. In questo

caso si preferisce definire C come dQ/dV.

●Ad esempio la CT

di un diodo contropolarizzato.

135


Calcolo della capacità di un

condensatore●Facce piane e parallele (superficie A, distanza d)

●La carica superficiale s è uguale a Q/A .

●V= Ed = sd/e = Qd/eA

●C = Q/V = eA/d

●Dipende solo dalla geometria!

136


Relazione V-A per un condensatore●Partiamo da C = Q/V:

–Q = CV

–Ma: I = dQ/dt

–Quindi se deriviamo a destra e a sinistra la prima equazione, rispetto al tempo otteniamo:

● I = C dV/dt (Relaz. tra I e V)

–Quando V è costante I = 0!

●E' una equazione differenziale che possiamo

integrare (Relaz. tra V e I):

137


Grafici corrente tensione●L'uso di v e i minuscolo per esprimere “piccole”

variazioni nel tempo. Qui non necessario ma in

altri contesti sì.

●Variazione istantanee di i, ma mai variazioni

istantanee di v.

t

i(t) v(t)

t

138


Energia immagazzinata●È l'energia (il lavoro) necessaria a caricare il

condensatore.

●Questa non viene persa in calore (a meno di effetti

secondari legati alla “realtà” del componente).

●Rimane immagazzinata sotto forma di campo

elettrico all'interno del condensatore stesso.

●La potenza:

●L'energia quindi:

139


Energia (2)●In termini di carica si calcola il lavoro

compiuto dal generatore per spostare una

carica infinitesima dq da un'armatura all'altra

del condensatore C posto alla tensione V .

● dL = Vdq ; ma V = q/C quindi:

● dL = qdq/C

●dL = dU(Variazione dell'energia elettrostatica)

●Integrando in dq otteniamo:

● U = 1/2 q2/C = 1/2 CV2

140


Serie di condensatori●Quasi-stazionario: DivJ=0, la corrente è uguale

(istante per istante) in tutto il circuito.

●Condensatori in serie:

●Si applica la KVL: v-v1-v

2-.....v

n= 0

●Quindi:

141


Parallelo di condensatori●Sempre caso quasi-stazionario. Si applica la KCL.

●i = i1

+ i2

+ .... + in

●Quindi:

●L'opposto che per le resistenze .......

142

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