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LABORATORIO No 5 CONVOLUCION Y RESPUESTA AL IMPULSO

RESUMEN

El siguiente laboratorio se caracterizara un sistema en el dominio del tiempo, con el propósito de de representar un impulso h(t), cuando la excitación es una señal x(t)=δ (t ) ,la respuesta será y(t)= h(t), en esta práctica determinaremos los impulsos de la señal x(t) asumiendo que la función es una señal arbitraria, se representara x(t), en pequeños rectángulos de ancho ∆ τ , la mejor representación será cuando ∆ τ→∞, esto sucede cuando cada impulso se aproximara a un delta de Dirac utilizando el concepto “respuesta de la red al impulso”, para calcular toda la señal x(t) se sumara la respuesta de cada pulsito por esta razón se conoce con el nombre da la integral de convolución.

Key words: convolution integral in MATLAB, response impulse h(t), system LTI..

Abstract : The following lab is system LTI, with impulse response signal x (t), the ratio of the contribution of each pulsito goes by the name of "convolution integral" and it is said that the output of a system is determined by the convolution of the input with the impulse response.

1 INTRODUCCIÓN

El siguiente laboratorio se caracterizara un sistema en el dominio del tiempo: esta representación se conoce como respuesta a un impulso h(t), cuando la excitación es una señal x(t)=δ (t ) ,la respuesta será y(t)= h(t), para determinar los impulsos de la señal x(t) asumiendo que la función es una señal arbitraria, se deberá representar x(t), en pequeños rectángulos de ancho ∆ τ→∞, cuando esto sucede cada impulso se aproximara a un delta de Dirac utilizando el concepto “respuesta de la red al impulso”, para calcular toda la señal x(t) se deberá sumar la respuesta de cada pulsito, esta relación de la contribución de cada pulsito se conoce con el nombre de la “integral de convolución” y por esto se dice que la salida de un sistema se determina a través de la convolución de la entrada con su respuesta impulsiva.

2 MARCO TEÓRICO

CONVOLUCION Y RESPUESTA AL IMPULSO existen otra forma de caracterizar un sistema y es el dominio del tiempo: esta representación se conoce como la respuesta al impulso h(t). Es decir:

Figura 1. Caracterización del sistema.

Cuando la excitación es x(t)=δ (t ) , su respuesta será: y(t)=h(t). sin embargo ¿Cómo se determinara la salida cuando x(t) es una señal arbitraria?.

Asumiendo que x(t) tiene la forma general como la representación en la figura 2.

Figura 2. Señal de entrada del sistema.

Si se quiere representar x(t) con pequeños rectángulos de ancho ∆τ, la mejor representación será cuando ∆τ→∞ y cuando esto sucede, cada “pulsito” se aproxima a una Delta de Dirac con lo cual se puede utilizar el concepto de “respuesta a la red al impulso”. Para calcular a toda la señal x(t), se suman las respuestas de cada “pulsito”. Por ejemplo, en t=τ cuando ∆τ→0 es equivalente a tener una delta aplicada en ese punto con un área de x(τ)*∆τ, por lo cual la respuesta del sistema vendría dada por:

x (τ )h (t−τ )∆τ

1

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Al sumar todas las contribuciones se obtiene como salida total la ecuación: y ( t )=∫

−∞

∞

x (τ ) h ( t−τ ) dτ=x ( t )∗h ( t ) Esta relación recibe el nombre de “integral de convolución” y por esto se dice que la salida de un sistema se determina a través de la convolución de la entrada con su respuesta impulsiva. [1]

3 MONTAJE EXPERIMENTAL

En este ejercicio utilizaremos como herramienta principal el aplicativo MATLAB, para representar la convolución de una señal x(t). Representando la magnitud espectral de la señal, como se observa en la figura 1. de acuerdo a las instrucciones representadas en el aplicativo MATLAB, como se representan a continuación.

% freq. resolutiondf=0.001;fs=5; % sampling frequencyts=1/fs; % sampling intervalt=(-5:ts:5); % time vectorTT=(-10:ts:10);x=zeros(1,length(t)); % input signal initiationx(16:26)=t(16:26)+2;x(27:31)=2*ones(1,5);x(32:41)=2+2*cos(0.5*pi*t(32:41));x(42:46)=2*ones(1,5);% part I[X,x1,df1]=fftseq(x,ts,df);% spectrum of the inputf=(0:df1:df1*(length(x1)-1))-fs/2; % frequency vectorX1=X/fs; % scaling

% part 2% filter transfer function H=[ones(1,ceil(1.5/df1)),zeros(1,length(X)-2*ceil(1.5/df1)),ones(1,ceil(1.5/df1))];Y=X.*H; % output spectrumy1=ifft(Y); % output of the filter

% part 3% LTI system impulse responseh=[zeros(1,ceil(5/ts)),t(ceil(5/ts)+1:ceil(6/ts)),ones(1,ceil(7/ts)-ceil(6/ts)),zeros(1,51-ceil(7/ts))]; y2=conv(h,x); % output of the LTI system

plot(f,fftshift(abs(X1)))

Figura 1. Representación de la magnitud espectral de la señal.

Posteriormente se grafica la salida del filtro de paso bajo como se observa en la grafica 2. Mediante la instrucción plot(t,abs(y1(1:length(t)))), del aplicativo MATLAB.

Figura 2. Salida del filtro de paso bajo.

E igualmente se realiza la ilustración del problema 1.7 como se observa en la figura 3. Mediante la instrucción plot(TT,y2).

2

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Figura 3. Señal de salida de la tercera parte del ejercicio 1.7 y(t).

4 CONCLUSIONES

Se realizó la simulación de un sistema LTI de una señal de entrada x(t), determinando la consolación de la señal de salida que está dada por la ecuación y (t )=x ( t )∗h (T ) .

En esta práctica se pudo determinar la caracterización de un sistema, que se puede caracterizar en el dominio del tiempo, esta representación se conoce como la respuesta al impulso h ( t ) .

Se pudo determinar que cuando la entrada de un sistema es excitada por una señal x (t )=δ (t ) , su

respuesta será y ( t )=h (t ).

También se determinó cuando una señal x (t ) ,es

una señal arbitraria, donde se debe convertir x (t ) en x (τ ), cuando esto sucede cada pulsito se aproxima a un delta de diraf, por lo cual se utiliza el concepto de “respuesta de la red al impulso”, por lo cual se realiza la suma de cada pulsito, por lo tanto la respuesta del sistema está dada por x (τ )h(t−τ )∆ τ , al sumar todas la contribuciones nos da como salida y (t )=x (t)∗h(t).

5 REFERENCIAS

[1] Ing. Electrónico Hector Fernando Cancino de Greiff “procedimiento de señales y sistemas analógicos” 2008, sección 5.1.

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