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  Universidad del Valle  EXPERIMENTACIÓN FÍSICA I EXPERIMENTOS DE FÍSICA I LABORATORIO DE FÍSICA FUNDAMENTAL I  Guí as de pr ácticas DEPARTAMENTO DE FÍSICA UNIVERSIDAD DEL VALLE Febrero 2 007

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Universidaddel Valle

EXPERIMENTACIÓN FÍSICA I

EXPERIMENTOS DE FÍSICA I

LABORATORIO DE FÍSICA FUNDAMENTAL I

Guías de prácticas

DEPARTAMENTO DE FÍSICAUNIVERSIDAD DEL VALLE

Febrero 2 007

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Contenido

pág.A. La calidad del dato en física experimental y su interpretación

en la toma de decisiones……………………………………………………………….……….….1

A.1. Objetivo……………………………………………………………..………………………...1A.2. Introducción…………………………………………………………………….……………1A.3. Medición………………………………………………………………………………………1A.4. Cálculo de errores…………………………………………………………….……..……...1A.5. Cómo expresar un resultado…………………………………………………….………..2A.6. Propagación de incertidumbres……………………………………………….…………3A.7. Fundamentos del análisis de datos experimentales………………………….………7A.8. Cómo descartar datos dudosos……………………………………………………….…9A.9. Coeficiente de variación (CV) ………………………………………………….…………9A.10. Curva de error gaussiana……………………………………………...………...………10

A.11. Prueba t de Student……………………………………………...…...…………..………11A.12. Error de muestreo………………………………………………..…………..………....…13A.13. Error porcentual…………………………………………………………..…………….…13A.14. Intervalo de confianza………………………………………………………………....….13A.15. Cómo decidir si en una serie de datos tomados se encuentra un

valor esperado o "teórico"……………………………………………………………….14A.16. Tipos de errores de medición…………………………………….………...………..….14A.17. Normas para graficar……………………………………………………………………...15A.18. Técnicas de linealización……………………………………………….………………..16A.19. Planeación experimental……………………………………………...……………...….17A.20. Presentación de casos…………………………………..………..………………..…….17

I. Determinación de π…………………………………………………………………………….…..19

II. Péndulo simpleπ………………………………………………………………………..…………..21

III. Caída libre…………………………………………………………………………………..…….…24

1. Carril de aire y fotodetector. Medición de la gravedad. …………………………………….27

2. Tiro parabólico. Determinación experimental de una trayectoria…………………………33

3. Conservación de la cantidad de movimiento lineal: colisiones…………….…………..…37

4. Fuerzas concurrentes…………………….……………………………………………….………42

5. Coeficiente de fricción…………….………………………………………………...…………….46

6. Fuerza centrípeta………………………………………………………………………………......50

7. Sistema masa-resorte. Comportamiento de la energía mecánicas…………………..…..54

8. Medición de la velocidad de un proyectil: péndulo balístico………………………………61

9. Momentos de fuerz…………………………………………………………………………….......66

10. Movimiento de rotación y traslación……………….…………………………………………..69

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PROLOGO

Esta guias 2007 son una versión revisada a partir de las guías del 2003 adaptadaspara la reforma de 2003. Estas guías de prácticas fueron diseñadas para serutilizadas en la asignatura Experimentación Física I para estudiantes de losprogramas de estudio de la Facultad de Ciencias Naturales y Exactas (Matemáticasy Química) e Ingeniería. Las prácticas tiene en común el que están basados endiferentes conceptos y principios de mecánica y tienen por objetivo global mejorarla comprensión de estos conceptos y facilitar al estudiante el desarrollo dehabilidades experimentales, tanto manipulativas como de interpretación y análisisde datos.

Las guías son resultado de muchos años de experiencia que tiene el Departamento

de Física en la docencia para los estudiantes de los cursos básicos de física detoda la Universidad. El acelerado avance de la ciencia y la tecnología, y laconsiguiente necesidad de adecuar nuestros procesos docentes, han motivado alos profesores del Departamento a efectuar la modernización. Así pues, en laelaboración de estas guías no sólo está plasmado el esfuerzo de los pioneros delDepartamento de Física, sino también de todos aquellos colegas que han tenido asu cargo esta asignatura durante los últimos años. Los editores de este material lesagradecen por sus invaluables aportes. Así mismo agradecen a los asistentes dedocencia, técnicos de laboratorio y estudiantes por sus observaciones ysugerencias, que han tenido en cuenta hasta donde ha sido posible.

La metodología a seguir en el laboratorio es la siguiente:

1. Se conforman grupos de máximo tres estudiantes. La duración de la práctica esde tres horas (a menos que su profesor indique otra cosa), al final de la cual elgrupo de práctica entrega un informe en donde se registran los datosexperimentales, gráficas y los cálculos solicitados.

2. Cada sesión de laboratorio trabaja con un máximo de 7 grupos de práctica, estoes, se realizan en cada sesión 10 prácticas. No todas las prácticas son idénticas,esto significa que hay una programación para cada grupo.

3. Cada uno de los estudiantes debe traer preparados los temas sobre los cualestrata el experimento.

4. El profesor puede indicar modificaciones al procedimiento experimental o deanálisis de datos, agregar o suprimir preguntas para responder en el informe,etc.

5. Es obligatoria la asistencia a todas las sesiones.

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Universidad del ValleDepartamento de Física

A. La calidad del dato en física experimental y su interpretación en la toma de decisiones

A.1. Objetivo

Potenciar en el estudiante la actitud ante la toma y calidad de datos experimentales como uninstrumento esencial para el entendimiento de la Física Experimental.

Familiarizar al estudiante en la importancia de la calidad en la toma de datos experimentales. Presentar criterios orientadores sobre el análisis de los datos experimentales. Ofrecer elementos que ayuden a la toma de decisiones sobre fenómenos observados, equipos

utilizados y análisis de datos procesados.

A.2. Introducción

La Física Experimental requiere una visión complementaria de por lo

menos tres ejes temáticos como se ilustra en la fig. A.1:

Manejo conceptual de términos físicos. Manejo adecuado de equipos o instrumentos. Análisis de datos y toma de decisiones.

El fundamento esencial en la interpretación de un fenómenoobservado es la importancia en la toma y la calidad de los datosexperimentales.

A.3. Medición

La medición es el proceso por el cual cuantificamos una propiedad o atributo del mundo sensible,esto es, intentamos, aunque nunca con éxito total, representar dicha propiedad mediante unnúmero real, acompañado de la especificación de la unidad de medida. Las mediciones demagnitudes de longitud, área, volumen, tiempo y masa son realizadas por el hombre desde tiemposremotos.

Las mediciones pueden ser de dos clases: directas e indirectas. En las primeras comparamos lamagnitud con una referencia patrón la cual debe ser homogénea y reproducible. En cualquier librode física el lector encontrará las definiciones vigentes de los patrones para las magnitudesfundamentales, a saber: longitud, tiempo, masa, intensidad de corriente, temperatura, intensidadluminosa, cantidad de sustancia. El conjunto de estas definiciones metrológicas, así como otrasconvenciones relacionadas, constituyen el llamado Sistema Internacional de Unidades (SI).

Las mediciones indirectas se obtienen como resultado de algunos cálculos realizados conmagnitudes medidas directamente. Es importante dar un tratamiento adecuado a estos cálculos, elcual mostraremos a continuación.

A.4. Cálculo de errores

En física, cuando se escribe que la longitud de una barra es 1,26 m, se está diciendo que estamosseguros de los dos primeros dígitos, el 1 y el 2: pero que puede haber un error en el último, el 6;podría ser 5 o 7.

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Llamaremos cifras significativas de una medida al número de dígitos seguros más el dígitodudoso. En el ejemplo anterior, tenemos tres (3) cifras significativas. Si se reporta 1,260 m es quese tiene duda en el 0; esta medida es de cuatro (4) cifras significativas, y por lo tanto es másprecisa.

Escribir más cifras adicionales de las cuales no tenemos seguridad, ¡no tiene sentido!

¿Qué pasará en los cambios de las unidades? Si se encuentra que la distancia entre dos ciudadeses 245,7 km, tendremos cuatro (4) cifras significativas. Y si escribimos la distancia en metros,¿Será 245700 m? ¿Tendríamos ahora seis (6) cifras significativas y por tanto mayor precisión por un simple cambio de unidad?

La notación en potencias de 10 nos indica la manera correcta de escribir un dato experimental:

245,7 × 105 m o 2,457 × 105 m.

El número de cifras significativas lo dan los dígitos que multiplican la potencia de 10. La posiciónde la coma decimal no influye en el resultado.

En la suma o resta de datos experimentales, por ejemplo: 23,6 m + 2,53 m, el dígito 3 se suma a unnúmero desconocido y por lo tanto dará un dígito desconocido: concluimos que el resultado debe

reportarse en las décimas, es decir:

23,6 m + 2,53 m = 26,1 m

REGLA 1 La precisión de una suma o una resta es igual a la del número menos preciso de los quese suman o restan.

Para las multiplicaciones y divisiones es conveniente escribir los factores en potencia de 10. Por ejemplo

(354,6 m)(24,5 m) = (3,546 × 102)(2,45 × 10) m2

= (3,546)(2,45) × 103 m2

En el número de menor precisión, un error de una unidad en el último dígito, daría un error en elresultado de:

(3,564)(0,01) = 0,03…

lo que nos indica que el resultado tendrá un error en sus centésimas.

En resumen, el resultado tendrá el mismo número de decimales que el número de menor precisión:

(3.546)(2,45) × 103 m2=8,69 × 103 m2

REGLA 2. La cantidad de cifras significativas en un producto o cociente es igual a la cantidad máspequeña de cifras significativas en cualquiera de los números que se multiplican o se dividen.

A.5. Cómo expresar un resultado

Un resultado numérico se expresa por medio de:

a. Error absoluto. Es la diferencia entre el valor medido u obtenido por cálculo y el valor realde la magnitud. Como no se conoce este último se habla de los límites superior e inferior dela magnitud. Por ejemplo, si medimos un objeto y encontramos una longitud de l = 92 cmcon una regla dividida en milímetros y si podemos apreciar el con claridad cada milímetro,

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diremos que el error absoluto es Δl = 0,1 cm y, por tanto, la “verdadera” longitud L está en elrango 92,0 - 0,1 < L < 92,0 + 0,1 cm, es decir la longitud L se reporta como:

L = l ± Δl = 92,0 ± 0,1 cm.

Error relativo. Es la relación del error absoluto al valor real o medido de la magnitud.En el ejemplo anterior, el error relativo es:

0,00192

0.1

l

Δl

L

ΔL=

Quedando el porcentaje de error de 0,1%.

La precisión de una medida depende de su error relativo. Se dice que dos medidas sonhechas con la misma precisión cuando los errores relativos de cada una de ellas soniguales. Evidentemente, se puede deducir el error absoluto, si se conoce el error relativo. Enel ejemplo anterior, tenemos:

L100

0.1ΔL =

A.6. Propagación de incertidumbres

El convenio para simbolizar una magnitud física es utilizar letras mayúscula del alfabeto latino, p.ej., A, P, X, etc., y se estará haciendo referencia a la definición de la magnitud física o magnitud por medir. De igual forma, el valor estimado de la misma magnitud física o resultado de medición esutilizar letras minúsculas del alfabeto latino, p. ej., a, p, x, etc. Las incertidumbres del resultado demedición se simbolizará por la letra mayúscula del alfabeto griego delta (Δ), p. ej., Δa, Δp, Δx, etc.

A.6.1. Expresiones para determinar la propagación de incertidumbres

Se describe un método sencillo e intuitivo para determinar la incertidumbre Δw del resultado demedición o estimación w de una magnitud física W que puede depender de otras variables(magnitudes físicas) X1, X2,…. Xn, etc. La incertidumbre Δw (en este caso, la incertidumbrecombinada) se halla a través de una combinación lineal de las incertidumbres Δxi asociadas a lasestimaciones (o mediciones xi) de las magnitudes Xi.

Los cálculos que se presentan en esta sección no hacen ningún tipo de consideración sobre lafunción distribución de probabilidad asociada a los intervalos de incertidumbre ni a los niveles deconfianza de los resultados. Por tanto, las expresiones obtenidas pueden considerarse como unaprimera aproximación a la incertidumbre de medición.

a. Suma

Sea la magnitud físicaW = X + Y

con sus respectivos resultados de medición

w = x + y (A.1)

Si las incertidumbres de los resultados de medición de X y Y son, respectivamente

3

x ± Δx y ± Δy

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entonceswmáx = xmáx + ymáx .

w + Δw = (x + Δx) + (y + Δy)

= (x + y) + (Δx + Δy) (A.2)

Comparando las ecuaciones (A.1) y (A.2) obtenemos la incertidumbre del resultado de mediciónde una magnitud física cuando interviene una suma:

Δw = Δx + Δy

El mismo resultado se obtiene calculando wmín.

b. Resta

Sea la magnitud físicaW = X – Y

con sus respectivos resultados de medición

w = x – y (A.3)

Si las incertidumbres de los resultados de medición de X y Y son, respectivamente

x ± Δx y ± Δyentonces

wmáx = xmáx - ymín .

w + Δw = (x + Δx) – (y – Δy)

= (x – y) – (Δx + Δy) (A.4)

Comparando las ecuaciones (A.3) y (A.4) obtenemos la incertidumbre del resultado de medición deuna magnitud física cuando interviene una suma:

Δw = Δx + Δy

El mismo resultado se obtiene calculando wmín.

Se concluye que, cuando una magnitud W se define como la suma o la resta de otras dosmagnitudes X y Y, la incertidumbre del resultado de medición w de la magnitud W, puedecalcularse, en ambos casos como:

ΔyΔxΔw + (1.5)

c. Producto

Sea la magnitud físicaW = XY

con sus respectivos resultados de medición

4

w = xy (A.6)

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Si las incertidumbres de los resultados de medición de X y Y son, respectivamente

x ± Δx y ± Δyentonces

wmáx = xmáxymáx .

w + Δw = (x + Δx)(y + Δy)

= (xy) + (yΔx + xΔy + ΔxΔy) (A.7)

Comparando las ecuaciones (A.6) y (A.7) se tiene que

Δw = yΔx + xΔy + ΔxΔy

En la mayoría de los casos, las incertidumbres suelen ser pequeñas comparadas con losresultados, por tanto, para estos casos, el último término del lado derecho de la ecuación (A.7) sepuede despreciar

Δw = yΔx + xΔy

La incertidumbre relativa de una medida se define como

w

Δw

Entonces, se tiene que la incertidumbre relativa del resultado de medición de una magnitud físicacuando interviene un producto:

y

Δy

x

Δ x

w

Δw +

d. División

Sea la magnitud física

Y

XW =

con sus respectivos resultados de medición

y

x w = (1.8)

Si las incertidumbres de los resultados de medición de X y Y son, respectivamente

x ± Δx y ± Δy

entonces

Δyy

ΔxxΔww

y

xw

mín

máxmáx

−+

=

=

por tanto

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2

y

yxxy

y

x

Δyy

Δxx

wΔyy

ΔxxΔw

Δ≈

−−+

=

−−+

=

donde se ha hecho la aproximación y(y – Δy) ≈ y2, suponiendo que Δy y.

Finalmente, calculando la incertidumbre relativa del resultado de medición de una magnitud físicacuando interviene una división:

y

Δy

x

Δ x

w

Δw +

Se concluye que, cuando una magnitud W se define como el producto o la división de otras dosmagnitudes X y Y, la incertidumbre del resultado de medición w de la magnitud W, puedecalcularse, en ambos casos como:

y

Δy

x

Δ x

w

Δw + (A.9)

e. Producto de potencias

Inicialmente, consideremos la magnitud física

W = X2

de la regla del producto se infiere que

x

Δx2

w

Δw=

Generalizando este resultado tenemos que cuando una magnitud W se define como la potencia deotra magnitud X, la incertidumbre relativa del resultado de medición w de la magnitud W, puedecalcularse como:

x

Δxn

w

Δw=

Por último, consideremos la magnitud física

W = Xm Yn Zp

Se concluye que, de la regla para la potencia y de la regla del producto (o la división, en caso queel exponente sea negativo), cuando una magnitud W se define como el producto de potencias deotra magnitudes Xm Yn Zp, la incertidumbre del resultado de medición w de la magnitud W, puedecalcularse como:

z

Δzp

y

Δyn

x

Δxm

w

Δw+ (A.10)

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Una forma sencilla de obtener la ec. (A.10) es recordar las propiedades del logaritmo natural:

ln(xm yn zp) = m ln(x)+ n ln(y) + p ln(z)

y su derivada total

W

dWd(ln(W) =

por tanto,

z

dzp

y

dyn

x

dxm)zyd(ln(x pnm +

ahora se “transforma” el operador d → Δ, por tanto se obtiene la ec. (A.10).

Ejemplo A.1. Reportar el volumen de una esfera si su diámetro es de D = 4,23 ± 0,01 cm.

Sabemos que e volumen V de una esfera es

25603629,39

2

D

3

4r

3

4V

3

3 =⎠

⎞⎜⎝

⎛π

El error sería:

58198092,723,4

01,03

D

D3

V

V==

por tanto,ΔV = 0,281 061 016 cm3

correspondiente a los resultado obtenidos en una calculadora científica convencional. Recordandola regla 2 de la pág. 3, el volumen que debe reportarse es:

V = 39,6 ± 0,3 cm3

A.7. Fundamentos del análisis de datos experimentales

Cuando se obtiene una serie de datos experimentales, debemos tener presente:

La Información incluye Datos. Los Datos no necesariamente incluyen Información.

Definamos algunos conceptos básicos del análisis estadístico.

A.7.1. La media

Es el resultado obtenido de la suma de todos los datos individuales y dividiendo entre el númerototal de datos. Si x 1, x 2 , x3,…, x N son los datos individuales y N el número total de datos, la media,

denotada por el simbolo μ, se define como:

∑=

=N

1ii

xN

1μ (A.11)

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Ejemplo A.2. Las medidas (ordenadas ascendentemente) del periodo (en segundos) de un péndulosimple son:1,98; 2,02; 2,07; 2,09 y 2,16 ⇒ µ = 2,06.

A.7.2. Principales características de la media

1. El cálculo de la media se basa en todos los valores de un conjunto de datos. Por tanto, esfuertemente afectada por los valores extremos. Por ejemplo, si tenemos los valores:

1,95; 1,95; 1,95, 1,95 y 5,95 ⇒ µ = 2,75.

El valor 5,95 ha elevado la media en 0,8.

2. Tiene dos propiedades matemáticas:

a. .0)x(μ i =∑

b. ∑ − )ax(μ i es mínima cuando a = µ.

A.7.3. Medidas de dispersión

Muchas veces podemos tener dos métodos para calcular una magnitud física, p. ej.:

Un método (llamaremos A), es medir el periodo de un péndulo, Otro método (llamaremos B), es medir la altura como función del tiempo en una caída libre,

y la magnitud por medir es la gravedad (g ) en un determinado lugar. Supongamos que los datos deg (m/s2), con el Método A, son:

11,0; 11,0; 11,2 y 11,3;

y los datos con el Método B fueron:

9,5; 10,0; 11,0 y 11,2.

Necesitamos una medida que cuantifique la variabilidad de los dos métodos.

A.7.4. Varianza (σ2 o s2) y desviación estándar (σ o s)

El grado al cual los datos tienden a esparcirse alrededor de un valor medio se denominadispersión. Las definiciones más comunes de cuantificar la dispersión es la varianza, que sedenota con el símboloσ2, y la desviación estándar , que se denota con el símbolo σ:

2n

1ii )xx(

n

12 σ∑=

(A.12)

donde N es el número de datos (muy grande). De igual forma, se define la varianza muestral , quese denota con el símbolo s2, y la desviación estándar muestral , que se denota con el símbolo s:

2n

1ii ss)xx(

1)(n

12s =−− =

(A.13)

donde n es el número de datos (pequeño) y x es la media para la muestra [la misma ec. (A.11),pero cambiando N → n].

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De acuerdo al ejemplo A.2, tenemos:

s2 = 4,73 10 -3

; s = 0,068 , con n = 5.

En este caso particular, una población requeriría de por lo menos unos 20 000 datos.

A.7.5. Principales características de la desviación estándar

Para una distribución normal (ver §A.10, fig. A.3) se tiene que:

1. Una desviación estándar alrededor de la media corresponde al 68,27% del total de los datos, esdecir, hay una confiabilidad que de 100 datos tomados 68 están incluidos en el intervalo de

confianza (µ – σ, µ + σ).2. Dos desviaciones estándares alrededor de la media corresponden al 95,45% del total de los

datos y están incluidos en el intervalo de confianza (µ – 2σ, µ + 2σ).3. Tres desviaciones estándares alrededor de la media corresponden al 99,73% del total de los

datos y están incluidos en el intervalo de confianza (µ – 3σ, µ + 3σ).

A.8. Cómo descartar datos dudosos

Muchas veces medimos valores que aparentemente no están dentro de un intervalo que se maneja;de acuerdo con el ejemplo A.2, el periodo del péndulo oscila entre 1,98 y 2,16 s. ¿Qué pasa siobtenemos valores de 0,45 y 3,80 s? ¿Los ignoramos? ¿Los descartamos? En otras palabras:¿Qué decisión tomamos y bajo qué criterio? La respuesta es utilizar los intervalos de confianzadefinidos por la desviación estándar (sección §A.7.5).

Sabemos que el 95,45% del total de los datos están incluidos en el intervalo de confianza µ – 2σ, µ+ 2σ). Por tanto, calculamos µ y σ y aplicamos la condición µ ± 2σ. Así, para la serie de datos(ordenada): 0,45; 1,98; 2,02; 2,07; 2,09, 2,16 y 3,80 se tiene:

µ = 2,16 ; σ = 0,70 ⇒

µ ± 2 σ

= (0,65; 3,49)

es decir, los datos deben oscilar entre 0,65 y 3,49. Se puede decidir descartar los valores 0,45 y 3,8con una confiabilidad del 95,45%.

Los datos que no caben dentro del intervalo x ± 2 σ, se pueden descartar con unaconfianza del 95,45%.

A.9. Coeficiente de variación (CV)

Es otra medida de la dispersión y es independiente de la unidad de medida. Resulta útil en lacomparación entre conjuntos de datos. Se da por medio de la desviación estándar expresada como

un porcentaje de la media y está dado por:

010μ

σCV × (A.14)

Ejemplo 2. Los datos de la gravedad g (m/s2) por el método A y el método B son:

Método A: 8,94; 9,70; 10,30; 10,52 y 11,17

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=Ag 10,12 ; σA = 0,76; CV = 7,47%.

Método B: 9,26; 9,36; 9,44; 9,55 y 9,68

=Bg 9,46 ; σB = 0,14; CV = 1,54%.

La interpretación del CV es como sigue: El método A es más variable que el método B. Por tanto,es más confiable la media del valor de g por el método B que por el método A.

A.10. Curva de error gaussiana

El análisis estadístico es una herramienta indispensable en el estudio de casi todos los sistemasde interés científico, tecnológico y social. En tales sistemas, la relación entre la entrada y la salidapuede describirse únicamente en términos de probabilidades. Pero también la estadística esindispensable al experimentar con los sistemas simples estudiados en la física, incluso ensistemas que es posible en principio predecir con seguridad una relación.

En efecto, cuando se repite varias veces una medición, disponiéndose de instrumentos de granprecisión, es comúnmente obtener datos distribuido aleatóriamente sobre intervalos mayores quela incertidumbre absoluta que afecta cada una de las mediciones efectuadas. Se explica esta

observación como presencia de fluctuaciones o errores aleatorios en el proceso de medición. Por ejemplo, al medir el periodo de un péndulo, cada vez que repetimos el experimento obtenemos unresultado distinto a pesar de mantener invariables las condiciones bajo las cuales realizamos elexperimento. Pero a la larga, dato por dato, se va obteniendo una pauta regular en la distribuciónde los resultados. Utilizando conceptos estadísticos, podemos obtener conclusiones quesatisfacen los requisitos prácticos más exigentes.

En la tabla A.1 se reporta las medidas de una longitud con su respectivo número de veces que serepite cada medida o frecuencia y en la fig. A.2 se muestra la gráfica de la tabla A.1. La fig. A.2 estáconstruida por una serie de barras verticales, de anchura igual a la incertidumbre de cada medidaindividual y de altura igual a la frecuencia relativa de magnitud ni /n, siendo ni la frecuencia onúmero de veces en que se obtuvo en cada intervalo, de acuerdo a la tabla A.1, y n el número totalde medidas. La fig. A.2 se denomina histograma o distribución frecuencial de los datos y a medida

que el número de observaciones se incrementa, se va aproximando a la famosa curva conocidacomo campana de gauss o curva de error gaussiana.

Posición (cm) Frecuencia

9,25 09,26 39,27 49,28 99,29 119,30 149,31 22

9,32 259,33 279,34 229,35 169,36 109,37 89,38 29,39 2

Tabla A.1. Frecuencia para cadalongitud medida

Figura A.2. Histograma correspondiente a la tabla A.1.

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La variable x tiene una distribución normal o gaussiana si y sólo sí la función llamada densidad de probabilidad (definida como el límite del contorno o envolvente del histograma, cuando el númerode observaciones tiende a infinito y la anchura de cada barra tiende a cero), corresponde a lafunción:

⎥⎦

⎤⎢⎣

σ

μ−

π 2

2

2

)x(exp

2

1y (A.15)

Siendo μ, σ los parámetros media y desviación estándar , que permiten ajustar la función a nuestrohistograma o distribución frecuencial empírica. La ec. (A.15) se denomina función de error . La fig.A.3 representa una gráfica de la función de error, que ilustra el significado de los μ y σ. Note quepara poder comparar directamente la gaussiana con el histograma, ésta debe normalizarse al áreatotal del histograma original, esto es dividir todas las frecuencias por (175)(0,01) cm = 1,75 cm.

Los valores que toma una variable distribuidanormalmente están agrupados alrededor de unvalor central, igual a la media μ para el cual ladensidad de probabilidad alcanza su máximo.Aunque la densidad de probabilidad se

extiende desde –∞ hasta +∞, se aproximaasintóticamente al valor cero, por lo cual tieneun valor apreciable sólo dentro de un intervalode anchura igual a unas pocas veces ladesviación estándar σ. La probabilidad demedir x en cierto intervalo es proporcional alárea correspondiente a ese intervalo.

A.11. Prueba t de Student

La prueba $t$ de Student es muy utilizada en la práctica para comparar dos medias de una variable

x en dos grupos de individuos independientes, bajo la suposición de normalidad y homogeneidaden las varianzas en ambos grupos, de los contrario los resultados obtenidos son inválidos, sinembargo, no es obligatorio que los tamaños de los grupos sean iguales, ni tampoco es necesarioconocer la dispersión de los dos grupos. Técnicamente se puede describir la prueba t de Studentcomo aquella que se utiliza en un modelo en el que una variable independiente intenta explicar unavariable respuesta (dependiente). La prueba t de Student se basa en el cálculo de estadísticosdescriptivos previos: el número de observaciones, la media y la desviación típica en cada grupo. Através de estos estadísticos previos se calcula el estadístico de contraste experimental. Con la

ayuda de unas tablas se obtiene a partir de dicho estadístico el υ-valor.

Se usa principalmente cuando se tiene pocos datos y sirve para expresar el error de muestreo,error porcentual, el intervalo de confianza y comparar los resultados de diferentes métodosexperimentales.

En general, se asume que los datos son obtenidos aleatoriamente y, por tanto, se puede aproximar la distribución con que realmente se está trabajando por una curva gaussiana cometiendo un error:aproximar σ con s. Este error se trata, estadísticamente por medio del concepto de la distribución t de Student , la cual se define como

1ns

μxt −=

11

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donde la constante υ = n - 1 se llama número de grados de libertad , es la media de la muestra. En latabla A.2 se dan algunos valores de para diversos grados de confianza.

t0,60 t0,70 t0,80 t0,90 t0,95

2 0,289 0,617 1,061 1,886

12

2,920

3 0,277 0,584 0,978 1,638 2,353

4 0,271 0,569 0,941 1,533 2,1325 0,267 0,559 0,920 1,476 2,0156 0,265 0,553 0,906 1,440 1,9437 0,263 0,549 0,896 1,415 1,8958 0,262 0,546 0,889 1,397 1,8609 0,261 0,543 0,883 1,383 1,833

Tabla A.2. Valores de la t de Student.

A.11.1. Comparación de dos métodos para decidir cuál seleccionar

Algunas veces se requiere comparar dos métodos para decidir cuál es más confiable. Para ello esnecesario primero hacer una prueba de que la serie de resultados tomados por ambos métodosson diferentes; para ello se aplica la prueba t . Esta prueba consiste en calcular un valor de t mediante la fórmula

2n

1

1n

112

s

2x

1x

t

+

−=

(A.16)

donde

2nn

)xxj()xx(s

21

1.conj 2.conj2

22

1i

12 −

∑ ∑ −=

el valor de s12 es una desviación estándar combinada que se obtiene con las dos series de datos.El valor de t obtenido a partir de la ec. (A.16) debe compararse con el valor de t de la tabla A.2 para

(n1 + n2 – 2) grados de libertad.

Si el valor de t calculado es mayor que el valor tabulado, las dos series deresultados son significativamente diferentes para el nivel de confianzaconsiderado.

Ejemplo A.4. Para el método A: 1x = 10,12 y para el método B: 2x = 9,46. El valor de 12s es:

6094,08

971,2s12 =

De la ec. (A.16), se obtiene entonces

712,155

)5)(5(

6094,0

46,912,10t =

+−

=

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Para una confiabilidad del 90%, el valor de t calculado (1,712) es mayor que el valor de la tabla A.2(1,397) para ocho grados de libertad. Por tanto, podemos tener el 90% de confianza que los dosmétodos (péndulo simple y caída libre) son diferentes o hay una diferencia significativa entre losdos métodos y, por tanto, usted puede decidir cuál de los dos métodos escoge para el propósitoque se ha planteado de acuerdo con el intervalo de confianza que ha calculado.

A.12. Error de muestreo

Se define, estadísticamente, el error de muestreo ε como:

n

tsε = (A.17)

Para los métodos A y B (ver ejemplo 2) se tiene: σA = 0,84; σB = 0,16 y, en ambos casos, n = 5 ; por tanto, para una confianza del 90%, el error de muestreo será, respectivamente:

0,11

5

16)(1,533)(0,ε0,58

5

84)(1,533)(0,ε BA =

Esto quiere decir que el método A presenta mayores errores que el método B.

A.13. Error porcentual

Muchas veces es más práctico trabajar con un error porcentual , definido como:

%100%με

=

Para los métodos A y B se reportarían los errores porcentuales como:

%16,1%10046,9

11,0%%73,5%100

12,10

58,0% BA =

A.14. Intervalo de confianza

El intervalo de confianza está dado por:

μ ± ε (A.18)

Ejemplo A.5. Para el caso de los métodos A y B (ver ejemplo 2) los intervalos de confianza del valor

de la gravedad en la Universidad del Valle, son:

Método A: 10,12 ± 0,58 = (9,54; 10,70)

Método B: 9,46 ± 0,11 = (9,35; 9,57)

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El método A tiene un mayor intervalo de confianza que elmétodo B, es decir, el método A tiene un rango devariabilidad mayor que el método B; por tanto, hay mayor probabilidad de cometer errores sistemáticos en elmétodo A que en el método B y esto se refleja en el error de muestreo. Esto implica que el valor de g teórico este

dentro del intervalo (9,54 a 10,70) y no dentro delintervalo (9,35 a 9,57). La fig. A.4 ilustra estos intervalos.

A.15. Cómo decidir si en una serie de datos tomados se encuentra un valor esperado o "teórico"

Para tal fin se construye un intervalo de confianza con una confianza predeterminada. En el casodel ejemplo A.5, hemos construido los intervalos de confianza ( al 90%) :

A: (9,54; 10,70) B: (9,35; 9,57)

El valor aceptado de g en la Universidad del Valle es de 9,78 m/s2. Este valor se encuentra incluidoen el primer intervalo de confianza pero no se encuentra incluido en el segundo intervalo deconfianza (ver fig. A.4). Por tanto, el valor de g , determinado por el método A, se encuentra dentrode la serie de datos tomados con una confianza del 90%, pero no queda incluido por el método B;esto no quiere decir que el método B es “malo” sino que en la utilización del método B puedehaber mayor propagación de las incertidumbres de medición.

En el método A se encuentra el valor esperado o "teórico" de la gravedad,pero hay mayor probabilidad de cometer errores sistemáticos que en elmétodo B.

A.16. Tipos de errores de medición

Al efectuar un experimento, suelen aparecer dos tipos de errores que contribuyen a laincertidumbre de medición: errores sistemáticos y errores aleatorios.

Los errores sistemáticos se deben a causas identificables y, en principio, pueden eliminarse. Loserrores de este tipo dan resultados de medición que son consistentemente mayores oconsistentemente menores que el resultado de medición de un valor convencionalmenteverdadero. Los errores sistemáticos pueden ser:

• Instrumental . Un instrumento mal calibrado; como un termómetro que marca 102°C cuando esinmerso en agua en ebullición y 2°C cuando se sumerge en una mezcla de agua-hielo a presiónatmosférica. Tal termómetro dará medidas que son consistente-mente mayores.

• Observable. El paralaje en la lectura de una escala métrica.• Ambiental . Una fuente eléctrica con baja carga, debida a la humedad del aire, dará medidas de

corriente consistentemente menores.• Teórico. Debido a las simplificaciones del modelo o a las aproximaciones en las ecuaciones

que describen un sistema físico, p. ej., si una fuerza disipativa está presente en el experimentopero ésta no se incluye en la teoría, entonces los resultados teóricos y experimentales noconcordaran.

En principio un experimentador desea identificar y eliminar los errores sistemáticos.

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Los errores aleatorios son fluctuaciones negativas y positivas que causan que alrededor de lamitad de las medidas sean mayores y la otra mitad sean menores a un valor convencionalmenteverdadero. Las fuentes de los errores aleatorios no siempre pueden ser identificadas. Algunasposibles fuentes de errores aleatorios son:

• Observable. Errores de juzgamiento cuando se lee la resolución de un instrumento demedición cuyas marcas sucesivas son relativamente muy pequeñas.

Los errores aleatorios, al contrario de los errores sistemáticos, pueden ser cuantificados por mediode un análisis estadístico, por tanto, los efectos de los errores aleatorios sobre las cantidades oleyes físicas bajo investigación pueden ser determinados.

La distinción entre errores aleatorios y sistemáticos se puede ilustrar con el siguiente ejemplo.Supóngase que la magnitud por medir (puede ser una cantidad física) se repite nueve veces bajolas mismas condiciones. Si hay sólo errores aleatorios, los nueve resultados de medición estarándistribuidos alrededor del valor convencionalmente verdadero; algunos muy alejados y otros muycercanos, como se muestra en la fig. A.5(a). Siademás de los errores aleatorios hay erroressistemáticos, entonces los nueve resultados de

medición se distribuirán, no alrededor del valor convencionalmente verdadero, sino alrededor de unvalor alejado de éste, como se ilustra en la fig. A.5(b).

A.17. Normas para graficar

Es costumbre tomar el eje de las abscisas para representar la variable de entrada y el eje de lasordenadas para la variable de salida. Se acostumbra usar pequeñas cruces, cuyas longitudes delas barras horizontal y vertical, son proporcional a la incertidumbre de las respectivas variables, deacuerdo a las escalas elegidas para cada eje. Las incertidumbres en una variable pueden ser muypequeñas comparadas con su factor de escala y sus líneas de incertidumbre tendrían una anchuracomparable al grosor de la línea que representa el intervalo de la otra variable.

El arte de hacer gráficas para dilucidar los resultados se ha facilitado con el desarrollo deprogramas especializados como Excel, Origin, entre otros. Estas programas incorporan losprincipios de diseño gráfico para obtener gráficas de alta calidad. Es altamente conveniente que elestudiante utilice estas aplicaciones. Sin embargo, en principio se debe realizar los gráficos amano, por tal motivo tenga en cuenta:

Utilizar papel milimetrado suficientemente grande, de modo que la precisión de trazado sea delmismo orden que la precisión de los datos a graficar.

Indicar explícitamente, en cada eje, la magnitud que va a representarse con su símbolo y suunidad de medida.

Escoger las escalas de modo que la gráfica ocupe la mayor parte del espacio disponible. Elrango de variación de cada variable que es la diferencia entre el valor máximo y el mínimo

debe abarcar el respectivo eje, determinando (en parte) su escala. Facilitar la localización de las divisiones en los ejes, es decir evitar factores de escala que no

permitan una lectura directa de la misma, p. ej., no tomar 7 unidades de una magnitud yrepresentarlas por centímetro.

Colocar sobre los ejes un número moderado de “marcas de escala”, p. ej., rayitas hacia afueradel área de datos, es decir, la región de la gráfica comprendida en el rectángulo delimitado por los ejes.

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Colocar rótulos de división de escala debajo o al lado de algunas marcas de escala, sinsobrecargar la gráfica.

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No es necesario que el origen sea el punto (0, 0). No obstante, puede ser necesario incluir elorigen en la gráfica si se quiere determinar gráficamente el intercepto con alguno de los ejes.

Señalar los puntos experimentales de modo que sean claramente visibles, por ejemploencerrándolos en un pequeño círculo.

Graficar varias series de datos sobre la misma hoja, use diversos símbolos además del círculopara destacar y distinguir los puntos correspondientes a cada curva. Debe evitarse elempaquetar demasiada información en el mismo gráfico, haciéndolo ilegible.

Si gráfica una variable continua es imprescindible indicar su incertidumbre absoluta mediantebarras de longitud proporcional al mismo, a menos que ésta no sea significativa, con relaciónal tamaño de la escala correspondiente.

No aprovechar los espacios vacíos en el área de datos con cálculos aritméticos de pendientes,etc.

Use “líneas de referencia” cuando haya un valor importante que interese señalar a todo lolargo (o bien a todo lo ancho) de la gráfica, sin interferir con los datos.

Poner título adecuado a la gráfica para dar significado a los datos y una leyenda explicativaque detalle, entre otras cosas, el tipo de incertidumbre señalado en el gráfico, por ejemplo:

i. Incertidumbre de lectura más incertidumbre instrumental.ii. Desviación estándar estimada.

iii. Error estándar de la media.

iv. Intervalo de confianza para la media.

La curva teórica se suele superponer al conjunto de puntos experimentales. Los “puntos teóricos”,de los cuales nos servimos para trazar esa curva, son simples auxiliares que no deben destacarse.La leyenda debe indicar el modelo del que procede dicha curva, o que se utilizó como orientaciónpara la linealización de los datos. Si la curva es semiempírica o empírica, indique el método deregresión o de correlación que utilizó para estimar los parámetros o ajustar su curva.

Las gráficas en escalas logarítmicas se hacen con normas análogas. Con un computador essencillo generar una escala logarítmica en cualquier base (las más aconsejables son la base 2, labase 10 y la base e).

A.18. Técnicas de linealización

No importa si se realiza manualmente o mediante el computador, a menudo se emplea la técnica delinealización. La técnica consiste en tratar de una curva no lineal “convertirla” a una linealmediante un cambio apropiado de variables. Recordemos un poco las funciones lineales, es decir,una función del primer grado:

y = a + bx

Basta conocer la pendiente b y el intercepto a, como se aprendió de un curso de matemáticas. Lagraficación de esta función no tiene problemas. Cualquier otra función requiere un procesodispendioso de construir una tabla de valores.

¿Qué sucede cuando la curva que se obtiene a partir de unos datos no es lineal? Este es elcomportamiento del modelo de la función posición estudiada en cinemática, donde se encuentraque a partir de la hipótesis de aceleración de la gravedad constante igual a 9,79 ms2 se encontró elsiguiente comportamiento:

x452,0t = (A.19)

donde x se mide metros y t en segundos.

Es necesario comparar el comportamiento predicho por (A.19) con el experimento.Tratemos de convertir la ec. (A.19) en una función lineal haciendo el cambio de variable

16

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xu = (A.20)

por tanto, se tiene la siguiente relación entre la salida t y esta nueva variable u

t =0,452 u

La gráfica de esta “nueva” función en el plano u–t es una línea recta que pasa por el origen, dependiente 0,452 m-0.5 /s, es decir, la transformación (A.20) “linealiza” nuestro modelo.

La facilidad de graficar la ecuación teórica tiene un precio: en vez de describir el comportamientodel sistema graficando las magnitudes directamente medidas, tenemos que calcular y tabular lamagnitud x1/2 a partir de los datos experimentales. Tomamos esta nueva variable como abscisa enel plano cartesiano x1/2 en función de t, se obtiene una recta. Ahora podemos apreciar por simpleinspección, pero con mayor seguridad, el acuerdo entre el comportamiento del sistema y laspredicciones del modelo.

A.19. Planeación experimental

Usando las herramientas básicas de estadística vistas, se debe estar en capacidad de tomar

decisiones propias sobre la manera de conducir un experimento y analizar sus datos.Los pasos del experimento son los siguientes: Identificar el sistema.

Tener claridad de cual es el tema que se tratará en el experimento. Elegir las variables apropiadas.

Cuales son las magnitudes a medir. Identificar la teoría correspondiente.

Tener los conceptos teóricos que se aplicarán. Elegir el alcance de las variables.

Escoger los intervalos en que se harán las mediciones. Determinar la precisión de las magnitudes a medir.

Identificar la precisión de los instrumentos que se usan para medir las magnitudes y reportar de forma rigurosa los resultados finales.

Reportar los datos.Elaborar tablas de datos cuyas columnas están rotuladas con las magnitudes de entrada quedeben controlarse y las magnitudes de salida que deben medirse. Es conveniente incluir también columnas para todas las cantidades por calcular, en el análisis de los datos.

A.20. Presentación de casos

A continuación se analizan dos métodos para calcular la gravedad en la Universidad del Valle quehemos denominado método A (hecho con un péndulo simple) y método B (hecho con una cintatermosensible para caída libre). Los resultados dados en las tablas A.4 y A.6, son resultadosobtenidos por el programa EXCEL de la Microsoft Co. Como aclaración, Excel llama a la ec. (A.17)error típico, sin utilizar la variable t .

A.20.1. Método A: Péndulo simple

En la tabla A.3 se reportan, los datos promedios de la gravedad calculada por la ecuación:

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Caso que no tenga activado la opción de estadística siga los siguientes pasos: en el menú de HERRAMIENTAS seleccione

Complementos... y busque la opción Herramientas para análisis y Herramientas para análisis - VBA.

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2T

L24πgg

L2πT = (A.19)

donde T es el periodo promedio de una muestra de 20 oscilaciones. La tabla A.4 resume laestadística del primer método.

g (m/s

2

) Media [ec. (A.11)] 10,138,94 Desviación estándar [ec. (A.13)] 0,849,70 Coeficiente de variación [ec. (A.14)] 8,33

10,30 Error de muestreo (90%) [ec. (A.17)] 0,5810,52

11,17Intervalo de confianza (90%) [ec. (A.18)] (9.54 – 10.70)

Tabla A.3. Datos promedios de la gravedadusando el péndulo simple.

Tabla A.4. Resumen estadístico del método A.

A.20.2. Método B: Caída libre

En la tabla A.5 se reportan, los datos promedios de la gravedad, calculada de la ecuación:

2tg2

1h = (A.20)

Para este caso se usó el criterio de linealización; la pendiente del grafico h/t en función de t corresponde a la mitad de la gravedad. La tabla 3.4 resume la estadística del método B

g (m/s2)

9,26

9,36

9,34

9,559,68

Media [ec. (A.11)] 9,46

Desviación estándar [ec. (A.13)] 0,16

Coeficiente de variación [ec. (A.14)] 1,73

Error de muestreo (90%) [ec. (A.17)] 0,11

Intervalo de confianza (90%) [ec. (A.18) (9.35 – 9.57)

Tabla A.5. Datos promedios de la gravedadusando la caída libre.

Tabla A.6. Resumen estadístico del método B.

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Universidad del ValleDepartamento de FísicaFebrero 2007Laboratorio I

I. Determinación de π

I.1. Objetivo

Reportar información a través de la presentación en tablas y gráficas. Adquirir destreza de medir y tener en cuenta el error en la medida.

Determinar experimentalmente el valor de π con su incertidumbre.

I.2. Equipamiento

Cinco (5) círculos de diámetro diferente Un metro de modistería Un calibrador pie de rey

I.3. Montaje experimental

El sistema consta de cinco círculos de diámetros diferentes a los cuales se le medirá elperímetro y el diámetro.

I.4. Consideración teórica

Una de las primeras relaciones que determino el hombre fue la del área del circulo con su

diámetro, o la del perímetro de la circunferencia (P) con su diámetro (d). Estas dos últimascantidades tienen una relación directamente proporcional, dada por la relación

P = π d (I.1)

donde π = 3.14159... es un número con muchas cifras decimales.

I.5. Procedimiento

Mida el perímetro de cada uno de los círculos con el metro y regístrelo en la tabla de datos.

Mida el diámetro de cada círculo con el calibrador pie de rey y anótelo en la tabla de datos.

I.6. Análisis

Cada estudiante medirá el perímetro P y el diámetro D de cada uno de los 5 círculos. Anotela información en la tabla I.1.

Con los datos obtenidos realice una gráfica en papel milimetrado de perímetro en funcióndel diámetro.

Trace la mejor recta que me describa los datos experimentales y determine su pendiente.¿Que información puede obtener de ella?

Calcule la incertidumbre en la pendiente. Reporte sus resultados con la respectiva dispersión. Conclusiones.

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HOJA DE DATOS

D ( ) ΔD ( ) P ( ) ΔP ( )D

P( )

D

P

Δ

Δ( )

Tabla I.1. Datos para D, P y P/D con sus respectivas incertidumbres.

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Universidad del ValleDepartamento de FísicaFebrero 2007Laboratorio II

II. Péndulo simple

II.1. Objetivo

Determinar experimentalmente el valor de la gravedad con su incertidumbre. Hacer un histograma Linealizar un comportamiento entre las variables de entrada y de salida.

II.2. Equipamiento

Un hilo. Un cronómetro.

Un proyectil esférico. Un transportador. Una regla de madera de 150 cm.

II.3. Montaje experimental

El sistema consta de un hilo sujeto or uno de sus extremos a un punto fijo (punto de oscilación)y en su extremo opuesto está unido a un cuerpo semiesférico.

II.4. Consideración teórica

Un cuerpo cuyo movimiento se repite parcial o totalmente alrededor de una posición “fija”(sobre la cual pasa un eje perpendicular) se denomina movimiento de vibración u oscilación.Este movimiento se caracteriza por que en un determinado tiempo, el cuerpo repite la mismatrayectoria. El intervalo de tiempo T necesario para a realización de una oscilación completa sedenomina periodo y se relaciona con la longitud L del péndulo a través de

2

2

T

L4g

g

L2T π (II.1)

II.5. Procedimiento

Construya con el hilo y el cuerpo semiesférico un péndulo simple. Con la regla de madera, mida una longitud adecuada de su péndulo (mayor de un metro) y

manténgala constante. Mida un ángulo menor de 15° con el transportador y ponga a oscilar su péndulo (siempre

tomando el mismo ángulo). Con el cronómetro mida el tiempo que dura una oscilación (o periodo). Cada alumno registrará diez (10) periodos en la hoja de datos. Disminuya su longitud inicial cada 10 cm, hasta obtener una longitud final de 10 cm a 15 cm

y, por cada longitud nueva registre 10 periodos.

II.6. Análisis

Un estudiante medirá el periodo, otro lanzara la masa m desde el mismo puto, otro puederegistra los datos en las tablas II 1 a II 5

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registra los datos en las tablas II 1 a II 5

Organice los datos en forma ascendente sin omitir los datos que se repitan. Calcule la media [ec. (A.11)], la desviación estándar [ec. (A.13)], el coeficiente de variación

[ec. (A.14)] y el error de muestreo [ec. (A.17)] o error porcentual, con una probabilidad del90% (t 0,90) usando la tabla 2.1. Discutan sus resultados.

De acuerdo con la sección §A.8 hagan una prueba de posibles datos dudosos y descárteloscon una confiabilidad del 95,45%.

Reporten el valor de la gravedad [ec. (II.1)] con su intervalo de confianza [ec. (A.18)].

¿Qué se puede concluir? ¿Se encuentra su valor esperado en su intervalo de confianza?Caso que no se encuentre con el 90% de probabilidad, ¿con qué probabilidad se encuentrasu valor esperado en su intervalo de confianza?

Haga un grafico de su Intervalo de confianza tal como en se ilustra en la fig. A.4. Con las cinco tablas de datos construya un histograma Analice la forma de su gráfico con el

mostrado en la fig. A.3. ¿Qué conclusión obtienen? Con los datos obtenidos de variar la longitud, haga un gráfico del periodo en función de la

longitud. ¿Cuál es la forma de la gráfica? Linealize su gráfica obtenida. Encuentre el valor de la pendiente. ¿Qué información puede obtener de ella? Reporte sus resultados con la respectiva dispersión.

Conclusiones.

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HOJA DE DATOS

Serie T( ) Serie T( ) Serie T( )

Tabla II.1. Primera serie. Tabla II.2. Segunda serie. Tabla II.3. Tercera serie

Serie T( ) Serie T( )

Tabla II.4. Cuarta serie. Tabla II.5. Quinta serie.

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Universidad del ValleDepartamento de FísicaFebrero 2007Laboratorio II

III. Caída libre

III.1. Objetivo

Determinar experimentalmente el valor de la gravedad con su incertidumbre. Linealizar un comportamiento entre las variables de entrada y de salida.

III.2. Equipamiento

Un equipo para caída libre. Un chispómetro Cinco cintas termosensible. Un transportador.

III.3. Montaje experimental

El sistema consta de un soporte vertical en cuyo extremo superior, por medio de conexiones,se sujeta una masa la cual tiene una pequeña varilla de hierro.

III.4. Consideración teórica

Un cuerpo m bajo la acción de una fuerza (gravitacional) es acelerado hacia abajo y, en general,depende de muchos factores, los cuales, en primera aproximación, se pueden despreciar. Eldesplazamiento y se relaciona con el tiempo que cae el objeto de la siguiente forma:

2tg2

1y = (III.1)

III.5. Procedimiento

Para este laboratorio se le entregará las cintas, sin embargo se hará una demostración generaldel funcionamiento del equipo para caída libre.

III.6. Análisis

Registra los datos en las tablas III.1 a III.5. Hagan una gráfica de las distancias (yi) como una función del tiempo (t) en tic. ¿Qué tipo de grafica obtienen? Utilicen el criterio de linealización, es decir, hagan una grafica de y/t como una función de t. ¿Qué forma de grafica obtienen ahora? Calculen el valor de la pendiente. ¿Qué información obtienen de ella? Comparen sus resultados con la ec. (III.1). Con las cinco cintas obtendrán cinco valores para la gravedad. Con estos cinco valores

calcule: media [ec. (A.1)], desviación estándar [ec. (A.13)], coeficiente de variación [ec.(A.14)] y error de muestreo [ec. (A.17)], con una probabilidad del 90% (t0,90) ( tabla A.2).

Discutan sus resultados.

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Reporten el valor de la gravedad con su respectivo intervalo de confianza [ec. (A.18)]. ¿Qué se puede concluir? ¿Se encuentra su valor esperado en su intervalo de confianza? Caso que no se encuentre

con el 90% de probabilidad, ¿con qué probabilidad se encuentra su valor esperado en suintervalo de confianza? Haga un gráfico de su Intervalo de confianza tal como en se ilustraen la figura A.4.

Con los datos de la gravedad obtenidos del laboratorio II y este, compárelos de acuerdo conla sección §A.11.1 aplicando la fórmula (A.16) y decida que método escoge para calcular lagravedad en un determinado lugar. Discuta por qué escogió ese método.

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HOJA DE DATOS

Serie T( ) Serie T( ) Serie T( )

Tabla III.1. Primera serie. Tabla III.2. Segunda serie. Tabla III.3. Tercera serie

Serie T( ) Serie T( )

Tabla III.4. Cuarta serie. Tabla III.5. Quinta serie.

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Universidad del ValleDepartamento de FísicaFebrero 2007Laboratorio 1

1. Carril de aire y fotodetector. Medición de la gravedad

1.1. Objetivo

Hacer gráficas para visualizar el comportamiento de la aceleración resultante de un sistema decuerpos.

Utilizar el ajuste de mínimos cuadrados para juzgar la linealidad de la relación de los datos ydeterminar el valor del intercepto y de la pendiente, con sus respectivas desviaciones.

Estudiar el comportamiento de la aceleración del sistema a medida que la fuerza gravitatoriaincrementa su valor y comparar con expectativas teóricas.

Medir indirectamente la aceleración de la gravedad, interpretando teóricamente la pendiente deuna relación lineal.

Hacer consideraciones acerca del modelo teórico desarrollado y decidir acerca del efecto de

los elementos despreciados.

1.2. Equipamiento

Un carril recto de aluminio, con una polea liviana y de baja fricción, en uno de sus extremos. Un compresor de aire y manguera flexible. Un carrito de aluminio con once orificios y once postes metálicos cilíndricos. Un fotodetector (Pasco Scientific) Un cronómetro programable (Aslab 1 o Science First). Una cuerda liviana y resistente (3 m). Una balanza. Un portapesas liviano. Cuatro pesas de 10 g y una pesa de 5 g. Un calibrador.

Además, para el análisis del experimento el estudiante debe aportar 2 hojas de papelmilimetrado, escuadra flexible y calculadora.Es posible realizar el manejo gráfico requerido en el análisis del laboratorio mediante programasespecializados ya que no se realizan mediciones a partir de ninguna gráfica. En este caso, no esnecesario el papel milimetrado. Convenga con el profesor del curso este aspecto.

1.3. Montaje experimental

El sistema consta de un carril de aire ca, un fotodetector fd, un cronómetro programable c,montado sobre una mesa como se ilustra en la fig. 1.1. El carrito M, se acaballa al carril y uno desus extremos se une una cuerda liviana, cl, a una masa m por medio de una polea p.

1.3.1. Chequeo inicial y minimización de errores sistemáticos

El compresor de aire (no indicado en la fig. 1.1) debe estar enchufado a una toma de 110 V. Susalida de aire debe estar conectada a un extremo del carril mediante una manguera flexible.

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Cerciórese que la superficie superior del carril no presente irregularidades de ninguna índole yesté totalmente limpia. Si requiere limpieza, solicite un trapo limpio y alcohol.

Figura 1.1. Esquema ilustrativo del montaje experimental y sus principales elementos.

Encienda el compresor y verifique que no haya los pequeños orificios de la superficie superior del carril no se encuentren obstruido.

El herraje, que sostiene la polea en el extremo del carril, debe estar bien ajustado y la poleadebe rotar con facilidad (muy poca fricción).

El carrito debe estar limpio, en especial por su parte inferior, por donde se acaballa al carril.Los bordes y esquinas del carrito no deben presentar deformaciones o asperezas. En caso dehaber alguna, informe al instructor para solucionar la irregularidad.Precaución: Procure no deslizar el carrito sobre el carril sin estar encendido el compresor para no tupir los orificios y no deteriorar las superficies.

Con el compresor funcionando, ubique el carrito en varios lugares a lo largo del carril ycompruebe que éste esté nivelado. De no estarlo, nivélelo mediante el tornillo de ajuste que seencuentra en la parte inferior del carril.

Un extremo de la cuerda debe estar atado al borde “delantero” del carrito y el otro extremo algancho del portapesas. La longitud de la cuerda debe permitir que el portapesas caiga desdeuna altura cercana a la polea cuando el carrito está próximo al extremo opuesto.

Inmovilice el carrito al carril por medio de la cuerda que está unida en el borde “trasero” del

carrito, mientras se establece el “colchón de aire”. En la parte superior del carrito hay 11 perforaciones, prácticamente equidistantes, en las que

porta 11 pequeños “postes”. Verifique que los postes estén insertados en los orificios, firmes yparalelos entre sí.

El cronómetro digital programable debe estar alimentado por una pequeña fuente de voltaje dcque debe conectarse al tomacorriente.

El fotodetector funciona conjuntamente con el cronómetro, al cual debe estar conectado. En elapéndice A se explicará su funcionamiento.

1.3.2. Funcionamiento del cronómetro y del fotodetector

La fig. 1.2 ilustra esquemáticamente las partes frontal y lateralde un fotodetector, el cual consta de un soporte rígido y en su

parte superior está montado un fotoemisor fe, y frente a él, aunos cuantos centímetros de separación, hay un fotorreceptor fr.

El fotoemisor emite un estrecho haz continuo de luz infrarrojaenfocado al fotoemisor. Si un objeto opaco cualquiera seinterpone en la trayectoria e interrumpe el haz de luz, aúncuando sea por unos pocos microsegundos, el fotorreceptor sufre un cambio de estado que genera una señal de control yésta es percibida por el cronómetro digital.

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El fotodetector debe estar dispuesto como se sugiere en la fig. 1.1, de tal forma que los posteslo atraviesen y corten el haz de luz, mientras pasa el carrito en su trayecto de un extremo al otrodel carril.

El borde delantero del primer poste inicia el conteo de tiempo en el cronómetro. El bordedelantero del segundo poste hace que el cronómetro registre el tiempo transcurrido hasta esemomento, con una precisión del orden de las diezmilésimas de segundo. Así mismo ocurrirácon los demás postes; es decir, para cada poste se registra el intervalo de tiempo transcurrido

desde que se inició el cronómetro hasta que pasa el poste respectivo. El cronómetro tiene 10memorias en las que registra los 10 intervalos de tiempo correspondientes al paso de los 11postes.

1.4. Consideración teórica

El sistema que vamos a considerar consta de 4 cuerpos, a saber: el carrito de masa M , la cuerdaliviana, la polea liviana y de baja fricción y la masa colgante m.

Una posible aproximación teórica al problema del movimiento de dicho sistema comienza con lassiguientes consideraciones:

o La cuerda se asume inextensible, liviana y se despreciar su masa. Con esto, su único papel es elde unir las masa M y m, haciendo que se muevan solidariamente.

o La polea, al ser liviana, no presenta dificultad para rotar y se puede despreciar su momento deinercia. Además, la fricción en su eje es baja y puede no ser considerada.

o Como el carrito se desplaza sobre un “colchón de aire”, la fricción se reduce a nivelesdespreciables y el carril solo sostiene el carrito, ejerciendo una fuerza normal N .

Con estas simplificaciones se puede modelar el sistema considerando solo la del carrito M y la delobjeto colgante m, por tanto, actúan sólo tres fuerzas externas al sistema: el peso Mg , el peso mg yla normal N . Estas fuerzas no se equilibran y, por lo tanto, aceleran el sistema.

La dinámica del sistema se analiza mediante las leyes de Newton,fácilmente aplicables utilizando los diagramas de fuerza, uno paracada cuerpo, como se ilustra en la fig. 1,3. La tensión T indica lapresencia de la cuerda. Nótese que dicha tensión sobre M , se hatomado igual a la tensión sobre m; esto se debe a que se handespreciado, tanto las inercias de la cuerda y de la polea, como elrozamiento en el eje de la polea.

Las aceleraciones de M y m se consideran iguales porque la cuerdaque los une se ha considerado inextensible.

El carrito M se mueve horizontalmente, por lo tanto:

N – Mg = 0 (1.1)

T = Ma (1.2)

El carrito m se mueve verticalmente, por lo tanto:

mg – T = ma (1.3)

Al sustituir (3.2) en (3.3) se obtiene que:

M m

mg a

+(1.4)

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Siendo que la gravedad es constante en el espacio donde opera el sistema, mientras las masas m yM no varíen, la aceleración del sistema permanece constante. La ec. (3.4) sugiere una variación dela aceleración al variar la masa colgante m, lo que se puede estudiar experimentalmente.

1.4.1. Acerca de la medición de la aceleración

Teóricamente hemos concluido que el movimiento del carrito M es uniformemente acelerado a lolargo de su trayectoria recta, sobre el carril de aire; por lo tanto, sus ecuaciones cinemáticas,

estando en el origen (x0 = 0) y en reposo (v0 = 0), son:

a = a0 (1.5)

v = a0t (1.6)

2 t 0

a2

1 x = (1.7)

A partir de estas ecuaciones se intenta obtener una expresión que ayude a la interpretación y alanálisis teórico del siguiente experimento:

Con el sistema indicado en la fig. 1.1, suponga que elcarrito se suelta, partiendo del reposo. Al haber recorridouna distancia D, el borde delantero del primer poste corta elhaz de luz del fotodetector. La fig. 1.4 muestra dichadistancia. Sea d la distancia entre los frentes delanteros de

dos postes, t 1 el tiempo transcurrido desde que se inició el

movimiento hasta cuando el primer poste corte el haz deluz, durante el cual el carrito recorrió una distancia D y sea

t 2 el tiempo transcurrido hasta cuando el otro poste corte el

haz, durante el cual recorrió una distancia D + d .

De la ec. (1.7) podemos escribir que:2 1

t 0

a2

1D = (1.8)

2 2

t 0

a2

1d D = (1.9)

Ahora bien, lo que el cronómetro mide es el intervalo de tiempo transcurrido entre el paso del

primer poste y el paso del otro poste. Esto es, el cronómetro registra la diferencia Δt12 ≡ t2 – t1.

Despejando t1 y t2 de (1.8) y (1.9) se calcula Δt12, obteniendo:

( )Dd D

0 a

2

1t

2 t

12 t − (1.10)

Esta expresión puede ser de utilidad para la interpretación de los datos del experimento y, a su vez,sugiere una manera para medir la aceleración del sistema.

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1.5. Procedimiento

Pese las masas del carrito (M ), el portapesas (m) y las m1, m2 ,…, m5 que utilizará. Mida las

distancias entre el frente delantero del primer poste y el frente delantero de los postes que

utilizará (d 1, d 2 , d 3,…, d 10 ). Registre sus valores en las respectivas tablas de la hoja de datos

y estime las incertidumbres de cada una de las medidas. Defina la posición del fotodetector para seleccionar la distancia D entre el frente del primer

poste y el fotodetector. Tenga en cuenta que el carro debe estar acelerado mientras los postesatraviesan el fotodetector. Registre el valor de la distancia D escogida en las tablas y estime laincertidumbre.

Siguiendo el procedimiento indicado en el apéndice A, prepare el cronómetro para tomar

medidas. Use como primera masa colgante a m1 y ubique el carrito en la posición inicial,

manteniéndolo quieto, Espere hasta que se establezca el colchón de aire que separar el carrode la superficie del carril. Suelte el carrito y una vez atraviese completamente el fotodetector deténgalo. Apague el compresor y proceda a revisar los tiempos registrados en las memoriasdel cronómetro y transfiéralos, ordenadamente, a las tablas. Tome sólo los seis primerosdatos.

Modifique la masa del portapesas y repita el procedimiento para las cinco masas diferentes.

1.6. Análisis

Calcule Di

d DΩ − y complete la tabla 1.2.

Grafique Δt en función de Ω, para cada conjunto de valores obtenidos con una determinada

masa colgante. Utilice símbolos diferentes para cada conjunto de datos ( ,*,,, Δ ,•,°) Usando mínimos cuadrados, obtenga la pendiente y llévelo a la tabla 1.3. Compare su resultado con la ec. (1.10) y utilice las pendiente obtenidas en el punto anterior

para hallar los valores de las aceleraciones (ai) correspondiente a cada masa colgante. Lleve

sus resultados a una tabla 1.3.

Reporte en la tabla 2 los valores correspondientes al cálculoM i m

i m

i Θ

+.

Grafique ai en función de y compare su resultado con la ec. (1.4).

Concluya el valor de g y su dispersión. Reporte sus datos con la respectiva dispersión. Conclusiones.

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HOJA DE DATOS

D ( ) m1 ( ) m2 ( ) m3 ( ) m4 ( ) m5 ( )

Tabla 1.1. Datos para M, m y m1, m2 , …, m5 .

di ( ) Δt ( )(m1)

Δt ( )(m2)

Δt ( )(m3)

Δt ( )(m4)

Δt ( )(m5)

Ω ( )

Tabla 1.2. Datos para el cálculo deΩ.

mi ( ) ai ( )i

Θ ( )

Tabla 1.3. Datos para las pendientes y cálculo dei

Θ .

Universidad del Valle

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Departamento de FísicaFebrero 2007Laboratorio 2

2. Tiro parabólico. Determinación experimental de una trayectoria

2.1. Objetivo

Determinar a partir de datos la trayectoria de un cuerpo lanzado, muchas veces, desde unamisma cierta altura por una pista curvada.

Utilizar el método de linealización para determinar el valor experimental de los coeficientes dela ecuación de la trayectoria.

Medir indirectamente la velocidad de salida del proyectil y el ángulo de salida de la pista. Determinar los parámetros que cuantifican la dispersión en los datos correspondientes al eje Y.

2.2. Equipamiento

Una plomada. Una cinta de enmascarar. Dos cintas de papel carbón (1) y de papel (1). Un balín. Una pista de aluminio curvada fija a la mesa. Un flexómetro. Soporte vertical (en forma de L) con ajuste. Un calibrador

Además, para el análisis del experimento el estudiante debe aportar 2 hojas de papelmilimetrado, escuadra flexible y calculadora.

2.3. Montaje experimental

El sistema consta de una pista de aluminio curvada pa, monta sobre una mesa sólida, un soportevertical sv, sobre el cual rueda un proyectil (balín b), en el piso como se ilustra en la fig. 2.1:

Figura 2.1. Esquema ilustrativo del montaje experimental y sus principales elementos.

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2.3.1. Chequeo inicial y minimización de errores sistemáticos

La pista de aluminio debe estar fija a la mesa; verifique que las prensas y la nuez esténajustadas y que la pista no presente deformaciones o tropiezos.

Utilice la plomada para comprobar que el soporte en forma de L presenta una superficie verticalal piso; de no estarlo, mueva los tornillos de la base del soporte hasta conseguir la verticalidadrequerida.

2.4. Consideración teórica

El movimiento del balín después de abandonar la pista tiene una dinámica sencilla. Despreciandoel rozamiento con el aire, el movimiento está gobernado por el peso del balín, dando comoresultado una aceleración constante, igual a la gravedad local.

Un cuerpo lanzado con una velocidad v 0 formando un ángulo θ0 con respecto a la horizontal, en

presencia de un campo gravitatorio uniforme g , describe una trayectoria en el plano formado por

los vectores v 0 y g .

Escogiendo los ejes de tal forma que la aceleración esté en la dirección del eje Y, las ecuacionesdel movimiento de la coordenada x serán las de un movimiento uniforme (no acelerado):

0 a x = (2.1)

0 θ cos

0 v

x v = (2.2)

t 0 θ cos

0 v

0 x x + (2.3)

Las ecuaciones de movimiento de la coordenada y serán las de un movimiento uniformementeacelerado (caída libre):

cteg ay ≡ (2.4)

gt 0 θ sen

0 v

y v + (2.5)

2 gt 2

1t

0 θ sen

0 v

0 y y + (2.6)

Para analizar la trayectoria del balín, es posible ubicar un origen de las coordenadas en el punto

donde su centro de masa abandona la pista; es decir, x0 = 0 e y0 = 0. Las ecs. (2.3) y (2.6) permiten

calcular las coordenadas de la partícula en un tiempo cualquiera, a partir de una posición inicialdada, es decir:

2

0 2 2

0 0 x θ cos2v

g

x tanθ

y +(2.7)

La ec. (2.7), sugiere una trayectoria parabólica para el balín, de la forma:

y = Ax + Bx 2 (2.8)

La ec. (2.7) se puede lineal izar para obtener los valores de los coeficientes A y B e interpretarlosde acuerdo con la ec. (2.7).2.5. Procedimiento

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Marque en el piso las posiciones del soporte x0 = 0 y xmáx que utilizará.

Fije entre x0 y xmáx, unas diez (10) posiciones equidistantes en las que irá ubicando el soporte

de manera secuencial a medida que avanza el experimento. Coloque la tira de papel blanco sobre la superficie vertical del soporte y cúbrala con la tira de

papel carbón; fije ambas tiras al soporte.

Ubique el soporte en la posición x 0 y obtenga el registro de la posición y 0 .

Mueva el soporte hasta la posición siguiente ( x 1) y registre la coordenada y 1, para treslanzamientos.

Repita el procedimiento anterior para cada una de las siguientes posiciones xi marcadas pero,

como podrá observar, a medida que aumenta xi hay una mayor dispersión en los registros de

yi correspondientes y, por lo tanto, cada vez deberá incrementar el número de lanzamientos

con el objeto de medir la dispersión.

2.6. Análisis

Defina como origen (y 0 = 0 ) el primer punto (el registro más alto) y mida para cada valor de xi el

conjunto de valores de yi correspondiente.

Determine para cada coordenada x i , los correspondientes valores yi. Calcule la media ( i y ), la

desviación estándar (σN-1) y el coeficiente de variación (CV) y complete las columnas 2 – 6 de la

tabla 2.1.

Calcule, para cada conjunto, la distancia entre el mínimo valor de yi (y i,mín) y el máximo valor de

yi (y i,máx); es decir Δy i = y i ,máx – y i ,mín. Así, para cada coordenada x i se tiene una coordenada y i dada por:

2

Δy y y i

i i ± (2.9)

Compare el CV con la ec. (2.9). Discuta sus resultados.

Haga un gráfico dei

y en función de xi con sus respectiva barras de error. ¿Qué tipo de

gráfica obtuvo?

Calcule los cocientes i i /x y , agréguelos a la última columna de la tabla 2.1 y haga un gráfico de

i i /x y en función de xi. ¿Qué gráfica obtuvo?

De la gráfica anterior obtenga los valores del intercepto, la pendiente con sus correspondientesincertidumbres.

Calcule la velocidad de salida del balín v 0 y el ángulo de salida θ0 .

Compare sus resultados con la ec. (2.7). Reporte sus datos con la respectiva dispersión. Conclusiones.

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HOJA DE DATOS

Dato xi ( ) yi ( )i

y ( ) σN-1 ( ) CV Δyi yi /xi( )

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tabla 2.1. Datos de x i , yi, i y , σN-1, CV yi i /x y .

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Universidad del ValleDepartamento de FísicaFebrero 2007Laboratorio 3

3. Conservación de la cantidad de movimiento lineal: Colisiones

3.1. Objetivo

Comprobar el principio de conservación de la cantidad de movimiento en el caso de doscuerpos que colisionan elástica e inelásticamente en una dimensión.

3.2. Equipamiento

Un carril de aire.

Un carrito grande, al cual le asociaremos la masa m1. Un carrito pequeño, al cual le asociaremos la masa m2.

Una plastilina. Una balanza. Un chispómetro.

3.3. Montaje experimental

Esta práctica consta de dos partes. La primera, se refiere al estudio de una colisión elástica y lasegunda, a una colisión inelástica. Ambas situaciones se analizan en un sistema que consta de un

carril de aire ca, dos carritos, m1 y m2, acaballados al carril y éste sobre una mesa firme; es decir,

el estudio se hace sobre una dimensión y bajo la considerando que no hay fricción entre loscuerpos que se mueven (carritos) y la superficie por la cual se deslizan (carril de aire). El montajeexperimental se muestra en las figs. 3.1 y 3.2. Los registros de tiempo requeridos en esteexperimento son tomados haciendo uso del chispómetro ch.

Figura 3.1. Esquema experimental de un choque elástico.

3.3.1. Chequeo inicial y minimización de errores sistemáticos

Para aproximarnos a las condiciones de sistema aislado, es importante que el carril de aire seencuentre muy bien nivelado. Cerciórese de cumplir esta condición colocando el carrito endiferentes partes del carril y, con el aire actuando, suéltelo para observar su comportamiento.Es posible que detecte desniveles locales (valles o crestas), pero si el carro, por sí solo, nologra velocidades apreciables podrá determinar si el carril, en promedio, está nivelado. De noestarlo, proceda a nivelarlo mediante el ajuste de los tornillos del soporte.

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El chispómetro es un cronómetro de chispas. El tiempo transcurrido entre chispa y chispa esde 1/60 de segundo; no obstante, usted puede tomar como unidad de tiempo el espacio entreuna, dos, cinco, etc. marcas dejadas por él.

3.4. Consideración teórica

La cantidad de movimiento lineal (momentum) se define como el producto de la masa del cuerpo(m) en movimiento por su velocidad (v

), así:

v m p

= (3.1)

Consideremos un sistema de dos partículas donde el momentum total antes del choque es:

2 v m

1v m

2 p

1 p

t p

+ (3.2)

Para un sistema aislado, el momentum total del sistema después del choque es (ver fig. 3.2):

'

2

v m'

1

v m'

2

p'

1

p'

t

p

+ (3.3)

3.4.1. Colisión elástica

Experimentalmente se puede encontrar que ' t

pt

p

= , lo cual significa que

El momentum total de un sistema compuesto de dos partículas entre las que sólohay la interacción mutua permanece constante.

Para el caso del sistema aislado de dos partículas tendremos que:

'

2

p'

1

p

2

p

1

p

+ (3.4)

3.4.2. Colisión inelástica

En este caso la energía cinética de las partículas o cuerpos interactuantes no permanece constantey por lo tanto puede transformarse en otras formas de energía. En el caso de una colisión 1-Dperfectamente inelástica, el principio de conservación del momentum implica que

' v )2

m1

(m2

v 2

m1

v 1

m

+ (3.5)

donde,1

v

y2

v

son las velocidades de los carritos antes de la colisión. Después del choque, los

dos carritos se mueven como uno solo de masa (m1+m2) con velocidad ' v

.

En el diseño experimental mostrado en la fig. 3.2, adoptaremos la situación en la cual 0

=2

v , de

modo que la ec. (3.5) permite obtener la relación

' v

1m

2 m

1m

1v

+= (3.6)

la cual predice la forma como se relacionan las velocidades antes y después del choque.

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Figura 3.2. Esquema experimental de un choque inelástico.

3.5. Procedimiento

3.5.1. Choque elástico

Una vez que el carril esté nivelado impulse el carrito de masa m1 con una velocidad

suficientemente alta de tal manera que las marcas dejadas en el papel termosensible por elchispómetro, correspondientes a los dos carritos, puedan ser perfectamente diferenciables.Usted debe tener cuidado que al impulsar el carrito no vaya a recibir una descarga eléctrica.Doble los alambres de los carritos de tal manera que las chispas de uno de ellos deje sushuellas en la parte superior de la cinta termosensible y las huellas de las chispas del otro seregistren en la parte inferior de la cinta.

La posición del carrito m2 antes del choque debe ser escogida de tal manera, que haya un

buen espacio para ser recorrido por el carrito m1 antes del choque y que quede espacio

adecuado para el registro del movimiento de ambos carritos después del choque. Cuando esté seguro de que todo funciona adecuadamente, coloque la cinta termosensible y

empiece a registrar las huellas de camino de los carros.

El chispómetro debe estar conectado desde que se impulsa el carrito m1, antes del choque,

hasta el momento en que justo el carro m2 llegue al otro extremo del carril de aire.

3.5.2. Choque inelástico

Coloque plastilina en el punto de contacto de los dos carros de tal forma que ellos quedenunidos después de la colisión. Recuerde que debe pesar los carros antes de la colisión.

3.6. Análisis

Después de realizar un choque, ya sea elástico o inelástico, usted tiene en la cinta el registro de

este evento. Tiene las marcas dejadas por el carro de masa m1 antes de la colisión y de

aquellas dejadas por éste y por el carrito de masa m2 después del choque.

Escoja 8 intervalos. Llene las tablas 3.1 y 3.2 para los choques elástico e inelástico,respectivamente.

En papel milimetrado represente gráficamente la distancia recorrida para ambos carros enfunción de la unidad del tiempo antes y después del choque. ¿Qué representa la pendiente decada una de estas curvas?

Calcule la cantidad de movimiento del sistema de los dos carritos antes y después del choque.Calcule su respectivo error. ¿Hay conservación de la cantidad de movimiento en los doscasos? Explique.

Conclusiones.

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HOJA DE DATOS

A. Choque elástico

Antes del choque Después del choque

m1 = m1= m2=

x ( ) t ( ) x ( ) t ( ) x ( ) t ( )

Tabla 3.1. Datos para el choque elástico, antes y después.

v1 = v1' = v2' =

Error relativo Error relativo Error relativo

Tabla 3.2. Datos de las velocidades v1, v1' y v2', con sus respectivos errores.

=t

p

='

t p

Error relativo porcentual Error relativo porcentual

Tabla 3.3. Datos det

p

y ' t

p

.

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41

B. Choque inelástico

Antes del choque Después del choque

m1 = m1 + m2 =

x ( ) t ( ) x ( ) t ( )

Tabla 3.4. Datos para el choque inelástico, antes y después.

v1 = V' =

Error relativo Error relativo

Tabla 3.5. . Datos de las velocidadesv1, y V', con sus respectivos errores.

=t

p

=' t

p

Error relativo = Error relativo =

Tabla 3.6. Datos det

p

y ' t

p

.

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Universidad del Valle

Departamento de FísicaFebrero 2007Laboratorio 4

4. Fuerzas concurrentes

4.1. Objetivo

Estudiar el comportamiento de cada una de las fuerzas que intervienen: tanto perpendiculares,no perpendiculares, aproximadamente colineales y antiparalelas.

Encontrar las direcciones y magnitudes de cada una de las fuerzas tanto perpendiculares, noperpendiculares, aproximadamente colineales y antiparalelas.

4.2. Equipamiento

Una mesa de fuerzas.

Tres prensas con sus poleas. Tres juegos de pesas.

Tres portapesas.

Un anillo con tres hilos ligados. Un nivel.

4.3. Montaje experimental

La fig. 4.1 es una fotografía de una mesa de fuerzas, diseñadapara el estudio de dos o más fuerzas concurrentes que puedenser perpendiculares, no perpendiculares, aproximadamentecolineales y antiparalelas, aplicadas sobre un punto (un anillo)mediante cuerdas de masa despreciable.

Cada cuerda pasa sobre una polea que se fija en cualquier punto

de la periferia circular de la mesa por medio de una prensa. Enlos extremos de las cuerdas se ata un portapesas al que se leadicionan pesos. La mesa circular de fuerzas posee un puntocentral O y en el borde una escala angular en grados que permitemedir la dirección de las fuerzas con respecto al sistema dereferencia previamente escogido. Para realizar el análisis defuerzas asumiremos que los ejes cartesianos están centrados enel punto O.

4.3.1. Chequeo inicial y minimización de errores sistemáticos

Cerciórese que mesa de fuerza esté equilibrada, para ello use un nivel. Es conveniente que la magnitud FA (portapesas + masas) sea aproximadamente de 150g y la de

FB de 250 g. Para minimizar la fricción golpear suavemente la mesa de madera, recuerde hay muchos

puntos de rozamiento que pueden darle errores.

Cuando logre un equilibrio para hallar una fuerza dada (FE, θE) es conveniente determinar losvalores extremos, tanto en los ángulos como en las magnitudes de las fuerzas, para los cualesla argolla muestra algún desplazamiento con respecto al centro apreciable. Midiendo estosvalores extremos se calcula la incertidumbre tanto para la fuerza como para el ángulo así:

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43

2

mínF

máx F

ΔF −

=

2

mínθ

máx θ

Δθ −

=

4.4. Consideración teórica

Sean Fm fuerzas orientadas en un plano horizontal y descritas según sus componentes como:

…B, A,m j senθ F i cosθ F F mmm = ˆ ˆ (4.1)

Sea E F la fuerza equilibrante del sistema y R F la fuerza resultante de la superposición de las

fuerzas AF y BF . Para calcular la fuerza resultante obtenemos primero sus componentes tanto en

dirección X como en Y, como se ilustra en la fig 4.2 a y b, o sea FRx y FRy:

FRx = FAcos θA + FBcos θB (4.2)

FRy = FAsen θA + FBsen θB (4.3)

Figura 4.2. Diagrama de fuerzas: (a) AF y BF perpendiculares. (b) AF y BF no perpendiculares.

Por el teorema de Pitágoras obtenemos la magnitud de la fuerza resultante, es decir:

2

Ry

2

Rx R F R F + (4.4)

y el ángulo de la fuerza resultante con la relación:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= −

Rx

Ry 1R

F

F tanθ (4.5)

Un sistema estará en equilibrio cuando la sumatoria de las fuerzas sea igual a cero. En nuestrocaso el anillo debe ser concéntrico con el eje de la mesa y no debe permitirse su desplazamiento.

0 E F R F o0 E F BF AF

= (4.6)

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44

4.5. Procedimiento

4.5.1. Procedimiento para fuerzas perpendiculares

Con el anillo centrado en el eje de la mesa, coloque en ángulo recto dos hilos que pasen por las poleas con los portapesas en sus extremos, como se muestra en la fig. 4.2a. Las fuerzas

que vamos a utilizar las llamaremos AF y BF (portapesa + masa).

Determine la fuerza equilibrante E F , es decir, calcule experimentalmente el ángulo θE,

tensionando la cuerda con la mano, produciendo pequeños desplazamientos del anillo.Simultáneamente a este desplazamiento vaya cambiando lentamente la dirección de la cuerda.Tomaremos como ángulo, aquel con el que le movimiento del anillo es tal que su centro pasarepetidas veces por el eje de la mesa. Efectúe este procedimiento varias veces girando enambas direcciones y promedie.

Ponga la polea en la posición angular promediada encontrada θE. En el extremo de la cuerdacoloque el portapesas y agregue masas hasta lograr el equilibrio.

Pese simultáneamente el portapesas con las masas que logro el equilibrio.

4.5.2. Procedimiento para fuerzas no perpendiculares

Las fuerzas AF y BF deben formar un ángulo cualquiera menor a 180° y diferente de 90°.

Emplee procedimiento anterior para calcular el ángulo θE y la magnitud FE.

4.5.3. Procedimiento para fuerzas aproximadamente colineales

Las fuerzas AF y BF deben estar en la misma dirección, pero con una diferencia entre ellas de

10° (esto garantiza que sean lo más paralelas posible). Calcule la fuerza equilibrante usando elprocedimiento anterior.

4.5.4. Procedimiento para fuerzas aproximadamente antiparalelas

Las fuerzas AF y BF deben estar en dirección opuesta, pero con una diferencia entre ellas de

10° como se ilustra en la fig. 4.2b. Calcule la fuerza equilibrante usando el procedimientoanterior.

4.6. Análisis

Calcule experimentalmente la magnitud FR y la dirección θR, para las fuerzas perpendiculares,

no perpendiculares, aproximadamente colineales, aproximadamente antiparalelas completandolas tablas 4.1, 4.2, 4.3 y 4.4, respectivamente.

Calcule analíticamente la magnitud FR y la dirección θR, para las fuerzas perpendiculares, noperpendiculares, aproximadamente colineales, aproximadamente antiparalelas completando lastablas 4.1, 4.2, 4.3 y 4.4, respectivamente.

Compare las magnitudes de FR y FE al igual que los ángulos θR y θE. Reporte sus datos con la respectiva dispersión. Conclusiones

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HOJA DE DATOS

θE ( ) FE ( ) θR ( ) FR ( ) Δθ ( ) ΔF ( )

Tabla 4.1. Datos para fuerzas perpendiculares.

θE ( ) FE ( ) θR ( ) FR ( ) Δθ ( ) ΔF ( )

Tabla 4.2. Datos para fuerzas no perpendiculares.

θE ( ) FE ( ) θR ( ) FR ( ) Δθ ( ) ΔF ( )

Tabla 4.3. Datos para fuerzas aproximadamente colineales.

θE ( ) FE ( ) θR ( ) FR ( ) Δθ ( ) ΔF ( )

Tabla 4.4. Datos para fuerzas aproximadamente antiparalelas.

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Universidad del Valle

Departamento de FísicaFebrero 2007Laboratorio 5

5. Coeficiente de fricción

5.1. Objetivo

Medir el coeficiente de fricción estático entre dos bloques de madera. Medir el coeficiente de fricción dinámico entre dos bloques de madera.

5.2. Equipamiento

Un plano inclinado de madera con polea. Un taco de madera. Un Transportador. Un juego de pesas

Un portapesas. Un nivel. Un dulceabrigo.

5.3. Montaje experimental

La fig. 5.1 ilustra el montaje experimental correspondiente al coeficiente de fricción estático y en lafig. 5.2 al dinámico. En ambos sistemas se un plano inclinado, pero la fig. 5.1 sólo tiene una masa

m1, y en la fig. 4.2 hay dos masas: m1 y m2. La dirección de la fuerza de fricción f depende de si el

movimiento es de ascenso o descenso por la rampa, dibujela en cada caso.

Figura 5.1. Montaje para μe. Figura. 5.2. Montaje para μd.

5.3.1. Chequeo inicial y minimización de errores sistemáticos

Limpie bien las superficies del plano inclinado como el taco de madera m1 con el dulceabrigo. Cerciorese que el plano inclinado est nivelado, para ello use el nivel.

5.4. Consideración teórica

5.4.1. Coeficiente de fricción estático

Del diagrama de fuerzas de la fig. 5.1 se tiene que:

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m1gsen θ – f e = 0

(5.1)

N - m1gcos θ = 0

y por lo tanto el coeficiente de fricción estático queda:

μe = tan θ (5.2)

siendo θ el ángulo mínimo para que el bloque se ponga en movimiento con respecto al plano.

5.4.2. Coeficiente de fricción dinámico

Del diagrama de fuerzas de la fig. 5.2, cuando m1 se mueve hacia arriba del plano inclinado con

velocidad constante, se tiene que

m2g - m1gsen θ - f d = 0 (5.3)

siendo m2 la masa mínima necesaria para que el cuerpo se mueva hacia arriba con velocidad

constante. Cuando el m2 se mueve hacia abajo del plano con velocidad constante, se tiene que

-m2'g + m1gsen θ- f d = 0 (5.4)

siendo m2' la masa necesaria para que el cuerpo se mueva hacia abajo con velocidad constante. De

las ecs. (5.3) y (5.4) se obtiene que el coeficiente de fricción dinámico μd queda:

θcos1

2m

' 2

m2

m

d μ

−= (5.5)

Igualando Ff en las ecs. (5.3) y (5.4), se obtiene la siguiente relación:

2

' 2

m2

msenθ

1m

−= (5.6)

Combinando las ecs. (5.5) y (5.6) y si θ = 45°, queda que

1m

2 m

' 2

m2

m

d μ

+

−= (5.7)

5.5. Procedimiento

5.5.1. Coeficiente de fricción estático

Haga el montaje de la fig. 5.1, seleccionando el plano bajo un ángulo θ pequeño y colocando,en cualquier punto del plano, el taco de madera. Haga variar el ángulo hasta conseguir que elcuerpo inicie el movimiento. En estas condiciones halle el valor del ángulo.

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Repita el experimento (para el mismo cuerpo) 5 veces. Encuentre el promedio del ángulo.

Pese y anote la masa m1.

Coloque pesas sobre m1 y repita los dos primeros pasos anteriores.

5.5.2. Coeficiente de fricción dinámico

Realice el montaje de la fig. 5.2, la inclinación debe ser de 45°. Coloque masa m2 (para cada masa proporcione una pequeña sacudida) hasta que el bloque se

mueva con velocidad constante hacia arriba, anote este valor.

Pese y anote la masa m2.

Modifique la masa m2 hasta que el bloque se mueva hacia abajo con velocidad constante.

Pese y anote la nueva masa m2.

5.6. Análisis

5.6.1. Coeficiente de fricción estático

Complete las tablas 5.1 para el coeficiente de fricción estático. Con los datos de la tabla 5.1 encuentre el ángulo θ y μe con su respectiva dispersión.

¿Por qué el coeficiente de fricción estático no permanece constante cuando se realizan variasmediciones con el mismo cuerpo?

¿Qué efecto tiene el área de la superficie y el peso del cuerpo en el coeficiente de fricciónestático?

Compruebe la relación (5.2). Explique sus resultados. Reporte sus datos con la respectiva dispersión. Conclusiones

5.6.2. Coeficiente de fricción dinámico

Repita los tres primeros pasos anteriores (pero complete la tabla 5.2). ¿Qué efecto tendrá la polea en la precisión del coeficiente de fricción dinámico? Compruebe la relación (5.7). Explique sus resultados. Reporte sus datos con la respectiva dispersión. Conclusiones

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HOJA DE DATOS

A. Coeficiente de fricción estático

m1

θ ( )

m2

θ ( )

m3

θ ( )

m4

θ ( )

m5

θ ( )θ

Tabla 5.1. Datos para μe.

B. Coeficiente de fricción dinámico

m1 m2 m2'

Tabla 5.2. Datos para μd.

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Universidad del ValleDepartamento de FísicaFebrero 2007Laboratorio 6

6. Fuerza centrípeta

6.1. Objetivo

Estudiar el movimiento de un cuerpo viajando a velocidad constante en una trayectoria circular,y verificar la expresión para la fuerza centrípeta.

6.2. Equipamiento

Aparato de fuerza centrípeta (Cenco). Rotor eléctrico de velocidad variable (Cenco). Cronómetro. Varillas de soporte de 20 y 50 cm.

Portapesas. Pesas: 1 kg, 500 g , 3 pesas de 100 g. Calibrador.

6.3. Montaje experimental

El sistema consta de dos unidades: un aparato de fuerzacentrípeta y un rotor eléctrico de velocidad variable y estárepresenta en la fotografía de la fig. 6.1.

El aparato de fuerza centrípeta consiste de un marco metálico v,dentro del cual está monta una masa cilíndrica M, sujeta a unresorte helicoidal h. El sistema rota alrededor de un eje verticalque pasa por el centro del marco. La tensión del resorte se varíamediante un tambor roscado t, ver fig. 6.2, al que está fijo el otroextremo del resorte. Dos varillas de guía y un fiel f hacen que elmovimiento del cuerpo cilíndrico sea a lo largo del eje del resorte,perpendicular al eje del rotor. En reposo, M se encuentra apoyadaen un tope. Cuando el aparato rota alrededor del eje vertical, lamasa se aleja del eje de rotación estirando el resorte.

6.3.1. Chequeo inicial y minimización de errores sistemáticos

Al medir el radio de giro, trate que el fiel apunté al indicador fijo if (ver fig. 6.4) en el mismopunto que cuando la masa M está girando.

La frecuencia de rotación se determina contando el número de revoluciones dadas por el

aparato en un intervalo de tiempo dado. Este conteo se hace con un contador de revolucionesamarrado al marco del rotor por medio de un resorte acerado, que mantiene desengranado elpiñón del contador; presionando con el dedo el extremo del resorte, el piñón se engrana conuno idéntico que se mueve con el eje de rotación.

La velocidad se controla variando el punto de contacto entre el disco de fricción y el disco demanejo. Moviendo la cabeza grafilada de un tornillo se arrastra el disco de fricción hacia elcentro o hacia la periferia, a lo largo del radio del disco de manejo.

Asegúrese que a montar el marco metálico, quede firmemente atornillado, caso contrario puedeocurrir un accidente: el marco puede salir disparado por las altas velocidades angulares que semanejan.

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Al usar el contador de vueltas, tome cuidado de no rozar su brazo con la polea del rotor eléctrico ni de tocar el rotor por la alta temperatura que presenta al estar funcionando.

6.4. Consideración teórica

Una expresión para la fuerza centrípeta, expresada en términos de la rapidez lineal v, es:

r v mF

2

c = (6.1)

donde r es el radio de giro, v la velocidad lineal, la cual puede ser expresada en términos de la

velocidad angular ω, v = r ω. Sustituyendo en (6.1)

Fc = m r ω2(6.2)

donde ω se mide en rad/s y si se expresa en términos de la frecuencia de rotación f se tiene:

Fc = 4π2 m r f 2 (6.3)

De acuerdo a la ley de Hooke, la fuerza externa necesaria para producir una deformación x en uncuerpo elástico está dada por la ecuación:

F = κ x= Fg (6.4)

donde la constante de resorte κ está definida numéricamente como la fuerza necesaria para causar

una deformación unitaria. La constante de fuerza de un resorte helicoidal depende de lascondiciones geométricas del material del que se construya.

Para este arreglo experimental la Fc = Fg, que son las fuerzas necesarias para que P se ubique en

el centro de I. Igualando las expresiones (6.2) y (6.4):

Fg = m

r

ω

2

(6.5)

6.5. Procedimiento

Mediante el tambor t, ajuste el resorte a la mínima tensión que corresponde al cero de la escalas en la fig. 6.2a, esta posición del tambor determina la tensión del resorte.

Desenrosque la parte superior del aparato, es decir donde se encuentra el fiel f y cuélguelo enla varilla de soporte, como se ilustra en la fig. 6.3.

Sujete por la cuerda que está unida a la masa, M, el portapesas, p y con algunas masas, m (lasque sean necesarias) observe que el fiel señale la cabeza del indicador fijo if (véase la fig. 6.4).Si es necesario puede cambiar la tensión un poco.

Registre el peso total sostenido por el resorte, incluyendo el portapesas p, las masas m y la

rotante M (su valor está estampado en cilindro), en la hoja de datos. Monte el aparato de fuerza centrípeta en el eje del rotor y asegúrelo, teniendo presente que el

eje del rotor esté vertical. Ponga el disco de fricción cerca del centro del disco de manejo y encienda el motor.

Observando el índice de velocidad, aumente la velocidad (desplazando el disco de fricciónhacia la periferia del disco de manejo) hasta que el fiel señale la cabeza del indicador fijo if como se ilustra en la fig. 6.4.

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Figura 6.2. Configuración para variar latensión del resorte.

Figura 6.3. Arreglo

para medir κ.

Figura 6.4. Diagrama del índice develocidad.

Regule la velocidad hasta adquirir suficiente destreza para conseguir que la velocidad derotación sea la mínima para mantener horizontal el fiel; así, la fuerza centrífuga sobre la masarotante será debida solamente a la tensión del resorte. Cuando se da esta condición, la tensiónen el resorte, para la posición en que se encuentra el tambor, iguala al peso colgante.

A continuación registre la lectura inicial del contador y posteriormente engrane el contador.Luego de 1 min desengrane el contador y utilice el freno para detener el contador. Obtengaesta última lectura restándole dos vueltas que son las que se alcanzan a dar antes del freno, yregístrelos en la tabla de datos.Repita esta medida de frecuencia dos veces y saque el promedio.Conviene que la lectura del cronómetro la haga una segunda persona

Con el calibrador mida el radio de giro, dado por la distancia r, como se muestra en la fig. 6.4.Cada estudiante realice una medida y encuentren un promedio.

Aumente la tensión del resorte enroscando el tambor hasta que marque las posiciones 5, 10,15 y 20 mm, repitiendo desde el segundo paso del presente procedimiento..

En la fig. 6.4 se ilustra la situación cuando la masa M está rotando, la velocidad de rotación seajusta hasta que el fiel f, suavemente pivotado en O, señala la cabeza del indicador fijo if. La masaM gira alrededor del eje de rotación er y se estira a lo alrgo del eje del resorte er. Como el índice

está en el eje de rotación, la posición del puntero se puede ver claramente cuando en aparato rota.

6.6. Análisis

Anote el radio de giro, r, con su incertidumbre. Anote la masa del portapesas, las masas que sirven para obtener la tensión del resorte y la

rotante en la tabla 7.1.

Para cada tensión del resorte obtenga la velocidad angular (ω) en rad/s y elévela al cuadrado

(ω2). Registre estos datos en la siguiente tabla 7.1.

Grafique ω2en función del peso colgante (Fg = Mg).

Calcule la pendiente y el intercepto.

¿Qué representa la pendiente de la línea de ajuste? Discuta si este ajuste está conforme a sus predicciones teóricas. Compare con la ec. (6.5) Obtenga el radio de giro de la ec. (6.5) y compárelo con el medido. ¿Coinciden estos

resultados? Reporte sus datos con la respectiva dispersión. Conclusiones

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HOJA DE DATOS

r ( ) m ( ) M ( )

Tabla 7.1. Datos para r, m y M.

ω ( )

ω2

( )2

M’ = m + M( )

Fg ( )

Tabla 7.2. Datos para ω, ω2, M’ y Fg.

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Universidad del ValleDepartamento de FísicaFebrero 2007Laboratorio 7

7. Sistema masa-resorte. Comportamiento de la energía mecánica

7.1. Objetivo

Determinar el valor de la constante elástica de un resorte helicoidal bajo la acción de una fuerzagravitacional.

Determinar la velocidad media que se mueve bajo la acción de una fuerza elástica, en presenciadel campo gravitaciona.

Analizar los cambios de la energía mecánica total del sistema, compuesta de tres tipos deenergía: la potencial elástica, la potencial gravitatoria y la energía cinética.

7.2. Equipamiento

Soporte con resorte helicoidal. Portapesas especial, con gancho inferior y borde chaflanado. Tiras de papel termosensible: 3 de 1 m de largo. Un flexómetro.

Un juego de pesas. Un chispómetro. Una balanza. Una cinta de enmascarar.

Además, para el análisis del experimento el estudiante debe aportar 3 hojas de papelmilimetrado y calculadora.

7.3. Montaje experimental

Un esquema del sistema experimental se ilustraen la fig. 7.1. El sistema consiste de un trípode

sólido, un resorte helicoidal, κ; unido en su

extremo superior al trípode y en su inferior secuelga un portapesas, p, al cual se le puedecolocar masas adicionales, constituyendo lamasa total del sistema, M. La base delportapesas es un disco con su bordechaflanado para precisar el lugar por dondesalta la chispa y mejorar los registros. Alsoporte de aluminio, S, en forma de L, en susuperficie vertical frontal se adhiere se une unacinta termosensible.

7.3.1. Chequeo inicial y minimización de errores sistemáticos

El chispómetro provee un alto voltaje, periódico, suficiente para hacer pasar carga eléctrica(“saltar chispa”), a través del aire, en distancias cortas. Se utiliza para registrar el movimientodel sistema sobre un papel termosensible, el cual cambia de color al ser calentado localmentepor el paso de carga. En el extremo inferior del soporte vertical hay un tornillo largo A, quesirve para anclar el portapesas.

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Conecte el chispómetro al tomacorriente de 110 V ac. El terminal positivo debe conectarse a laparte superior del resorte y el terminal al soporte vertical como se ilustra en la fig. 7.1.Cerciórese que la frecuencia de la chispa sea 60 Hz.

Un pequeño botón con forma de palanca, en la cara frontal del cronómetro, activa la chispamientras se mantenga movida hacia abajo. Pruebe que haya chispa entre la superficie frontaldel soporte y el disco del portapesas.

7.4. Consideración teórica

7.4.1. Acerca del resorte lineal

Un resorte lineal es aquel que ejerce una fuerza, FR, proporcional a ladistancia que se deforma, ya sea que se estire o se comprima. El sentidode dicha fuerza es, siempre, contrario al sentido de la deformación sufrida.

Designando por x la distancia que se estira o comprime el resorte, a partir de su longitud natural, la fuerza puede expresarse como:

FR = –κx (7.1)

siendo κ la constante de proporcionalidad cuya magnitud dependerá de

las características del resorte. Para que un resorte, anclado por suextremo superior, pueda soportar un objeto atado en el extremo inferior,necesita estar estirado una cierta distancia. En el equilibrio (fig. 7.2),

FR = FG ≡ mg

La cantidad de trabajo efectuado sobre el resorte por la fuerza FE cuando desplaza el extremo delresorte desde 0 hasta una distancia x cualquiera es;

∫−⋅

f

0

f

0

x

x

x

x

R R xdx κ dx F dr F w

o sea que:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛− 2

0

2

f κ x 2

1κ x

2

1w (7.2)

donde el signo menos significa que el trabajo es hecho por el resorte. La cantidad kx2 /2 se

interpreta como la cantidad de energía potencial que posee el resorte por haber sido deformado

una distancia x. Dicha cantidad se denomina energía potencial elástica y se escribe EPE.

7.4.2. Acerca de la dinámica del sistema masa-resorte

El sistema masa-resorte consta de un resorte elástico, fijo por uno de sus extremos. De su extremolibre pende un objeto de masa m, en presencia del campo gravitatorio terrestre. El sistema puedeestar en equilibrio, como en la fig. 7.2, y podrá permanecer en equilibrio indefinidamente. Sinembargo, un agente externo puede bajar la masa m estirando el resorte más allá del punto deequilibrio, donde la fuerza elástica se hace mayor que la fuerza gravitatoria. El agente externorealizará un trabajo hecho sobre la masa m y está dado por:

w = -(mgyf – mgy0) (7.3)

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donde el signo menos significa que el trabajo es hecho por la masa m, g es la gravedad e y es ladistancia vertical a un punto de referencia arbitrario y = 0. La cantidad mgy se interpreta como lacantidad de energía potencial gravitacional que posee la masa m por haber sido levantada una

distancia y. Dicha cantidad se denomina energía potencial gravitatoria y se escribe EPG.

Cuando la fuerza externa libera la masa aparecerá un movimiento gobernado por el desequilibriode fuerzas y el sistema comenzará a oscilar de manera periódica alrededor del punto de equilibrio.

El sistema oscilará muchas veces antes de volver al equilibrio. Se detendrá una vez que la energíaentregada al sistema, por el agente externo, se disipe en los alrededores. En esta dinámica se debeconsiderar, como mínimo tres fuerzas: la del resorte FR, la gravitacional mg y la de fricción con elaire. Esta última, sin embargo, puede ser pequeña y despreciarse. También puede ser posibledespreciar la masa del resorte, por tanto, las leyes de Newton permiten encontrar la relación entreaceleración resultante, con las fuerzas que intervienen, así:

FR - mg = ma (7.4)

La ec. (7.3) muestra que la aceleración no puede ser constante por cuanto la fuerza FR va variandocon la altura. Esto hace que la ecuación sea diferencial y su solución requiera conceptos que noestán a la mano. Sin embargo, el análisis energético del sistema es sencillo.

Recordemos que el sistema masa-resorte realiza dos trabajos: uno, hecho por el resorte, debido aFR y, dos, hecho por la masa, debido a FG. El trabajo total será la suma de estos dos trabajos, e. d.,

mgy)κ x 2

1w 2 +( (7.5)

Por ser ambas fuerzas conservativas, el trabajo realizado sobre m se puede calcular mediante elcambio de sus energías potenciales elástica y gravitatoria, respectivamente:

w = -ΔEPG - ΔEPE (7.6)

De otro lado, el sistema tiene una velocidad y, por tanto, adquiere una energía cinética EC, la cualse relaciona con w a través del l teorema del trabajo y la energía dice:

El Trabajo realizado por las fuerzas que actúan sobre un objeto es igual al cambiode la energía cinética total de dicho objeto.

o sea:

w = ΔEC. (7.7)

De las ecs. (7.5 – 7.7) se tiene que

ΔEC = -ΔEPG - ΔEPE (7.8)

Si se consideran dos instantes del movimiento, t1 y t2, para los que la energía cinética sea EC1 y

EC2, la energía potencial gravitatoria sea EPG1 y EPG2 y la energía potencial elástica sea EPE1 yEPE2, respectivamente, la ec. (7.9) se puede escribir de la siguiente manera:

EC2 – EC1 = -(EPG2 – EPG1) – (EPE2 – EPE1)

reordenando, se obtiene que:

Ec1 + EPG1 + EPE1 = Ec2 + EPG2 + EPE2 (7.9)

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Esta ecuación muestra que la suma de la energía cinética y de las energías potenciales permaneceigual en el tiempo. Esto, como consecuencia de que las fuerzas que intervienen seanconservativas.

Llamando energía total mecánica a la suma de energía cinética y de energías potenciales, es decir,

ET = EC + EPG + EPE (7.10)

el resultado (7.9) se puede escribir abreviada-mente así:

ET1 = ET2 (7.11)

Esta ecuación constituye el denominado principio de conservación de la energía mecánica.

De la ec. (7.9) podemos calcular la energía total del sistema en cualquier instante si conocemos lavelocidad de la masa, su posición respecto del origen y la elongación del resorte.

7.5. Procedimiento

7.5.1. Determinación de la constante elástica del resorte

Cuando un resorte se coloca libremente sobre una superficie horizontal su longitud natural x0 es, en principio, menor que su longitud cuando se coloca verticalmente, debido al efecto de supropio peso.

Coloque una tira de papel termosensible, sin arrugas, sobre la superficie vertical del soporte,con su cara sensible hacia el exterior y coloque el soporte.

Añada suficientes masas al portapesas hasta lograr que el disco esté unos 2 cm por debajo delborde superior del soporte vertical. Ubique el soporte a una distancia adecuada para que saltela chispa.

Encienda el chispómetro y, con el disco en reposo, haga saltar la chispa. Esta marca será elregistro de la elongación del resorte correspondiente al peso inicialmente utilizado.

A continuación, sin accionar el chispómetro, agregue una masa de 50 g. Cuando el disco logreel reposo, accione el chispómetro y marque la nueva posición.

Repita el procedimiento anterior agregando masas de 50 g hasta lograr la mayor elongaciónposible.

Retire la cinta termosensible y mida la elongación del resorte

7.5.2. Registro del movimiento ascendente del sistema masa-resorte:

La fig. 7.3 ilustra de manera esquemática la geometría del montaje experimental: Añada masa al portapesas hasta lograr la posición que se muestra en la fig. 7.3b (cercano a la

mitad de la altura del soporte vertical). Amarre las masas y el portapesas para evitar que secaigan cuando se estén moviendo.

Hale la masa colgante hasta el tornillo A como indica la fig. 7.3c. Manténgalo en dicha posición,sin tocar el portapesas ni el soporte de aluminio. Encienda el chispómetro y permita que saltela chispa continuamente.

Suelte el portapesas y obsérvelo mientras sube; si el soporte vertical está bien ubicado,deberá notar que la chispa salta a todo lo largo del soporte mientras va subiendo, y que no seproducen roces entre el borde del disco y la superficie del soporte. Desactive la chispa justoantes de que el portapesas llega a su máxima altura.

Sin mover el soporte, adhiera una tira de papel termosensible a su superficie frontal y repita elprocedimiento anterior.

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Desconecte el chispómetro. Remueva la tira de papel del soporte. Retire el portapesas y, sindespegar las masas adicionales, determine la masa total colgante y regístrela.

Figura 7.3: (a) xo’es la longitud inicial del resorte y H la distancia entre su extremo

inferior y el piso. (b) Ilustración de una posición cualquiera en equilibrio.(c) Configuración inicial para el registro del movimiento ascendente.

7.6. Análisis

7.6.1. Determinación de la constante elástica del resorte

Tabule sus datos de fuerza aplicada al resorte y de elongación en la tabla 7.1.

¿Es posible tomar el primer punto como cero elongación y cero fuerza? ¿Por qué? Grafique la fuerza gravitacional (Fg = mg) en función de la elongación. Encuentre la constante del resorte y su incertidumbre. Conclusiones.

7.6.2. Registro delmovimiento ascendente del sistema masa-resorte

Determine la masa total colgante y regístrela. Tabule sus datos de posición y tiempo distribuidos en toda la cinta y complete la tabla 7.2. Haga una gráfica de posición como función del tiempo y calcule las velocidades medias,

siguiendo el algoritmo representado en la fig. 7.4..Tome como h = 0 el punto mas bajo y tenga en cuenta que entre punto y punto hay 1/60 de

segundo.

7.6.3. Determinación de la velocidad media

Mediante el siguiente algoritmo, se puede calcular la velocidad media en un tiempo dado,considerando los tiempos inmediatamente posterior e inmediatamente anterior a dicho tiempo

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En la fig. 7.4, se ha ejemplificado el caso para determinar la

velocidad media que corresponde al tiempo t2: Se calcula

como la pendiente de los puntos (y3, t3) y (y1, t1), así:

13

132

x x

y y v

−=

Utilice el algoritmo anterior para calcular las velocidadesinstantáneas correspondientes a los instantes registrados.

Calcule los tipos de energía, completando la tabla 7.3. En una hoja de papel milimetrado, escogiendo una escala de

energía adecuada, represente el comportamiento de lascuatro energías en función del tiempo.

Reporte sus datos con la respectiva dispersión.

Conclusiones.

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HOJA DE DATOS

m ( ) x ( )

Tabla 7.1. Datos la de fuerza aplicada Tabla 7.2. Datos de posición y tiempo, tomados

al resorte y de la elongación x. de la cinta, junto con el cálculo de v .

EC ( ) EPG ( ) EPE( ) ET ( )

Tabla 7.3. Datos para los tipos de energía.

y ( ) t ( ) v ( )

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Universidad del ValleDepartamento de FísicaFebrero 2007Laboratorio 8

8. Medición de la velocidad de un proyectil. Péndulo balístico

8.1. Objetivo

Usar las leyes de la conservación del momentum lineal y de la energía mecánica para medir lavelocidad inicial de un proyectil al incrustarse en un blanco.

Usar las leyes del movimiento realizado por el proyectil para calcular la velocidad inicial con laque fue disparado.

8.2. Equipamiento

Un péndulo balístico (Cenco).

Un flexómetro. Un balín. Cuatro hojas de papel carbón (2) y de papel (2).

Un calibrador.

Una plomada. Una balanza.

8.3. Montaje experimental

Un diagrama esquemático del aparato disponible en el laboratorio se muestra en la fig. 8.1. Elsistema consiste básicamente de un péndulo y de una pistola de resorte para impulsar el proyectil.

Figura 8.1. Detalles del péndulo balístico. Figura 8.2. Cavidad y balín. a) antes del choque,(b) después del choque.

El péndulo lo forma una cavidad cilíndrica, c, para recibir el proyectil (balín, b), una varilla liviana yfuerte, V, unida a la cavidad en la parte inferior y mediante un pivote en su extremo superior dondehay un tornillo, T, el cual debe ajustarse para asegurara la estabilidad del péndulo y la menor fricción posible durante la ejecución del movimiento.

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La pistola de resorte consta de un eje móvil, E, que entra en la perforación que tiene el balín, y escompreso a través de un resorte, R. El eje se suelta por medio de un gatillo, G. Al dispararse elbalín, éste es retenido en la cavidad y se mantiene dentro de ella por medio de una lámina, como seilustra en la fig. 8.2, de tal forma que el centro de gravedad de todo el cuerpo en su punto más bajose ubique en el eje de V. En algunos aparatos hay una punta de indicadora, unida a c, y determinala ubicación del centro de gravedad del cuerpo resultante; en otros hay una cinta unida a la varilla.

La altura máxima h a la cual llega el péndulo cuando se incrusta el balín en la cavidad se registra alquedar el péndulo sostenido por una cuña Q que se engancha en los dientes de una pequeñarampa dentada D. Esta rampa tiene una escala, en su cara externa para indicar la altura alcanzadapor el péndulo

8.3.1. Chequeo inicial y minimización de errores sistemáticos

Para preparar la pistola, inserte el balín en el extremo del eje E y sosteniendo la base con unamano empuje el balín hacia atrás hasta que engancharlo en el gatillo G. Esto comprime elresorte R una cantidad definida que dará al balín una velocidad inicial igual cada vez que sedispara.

Para preparar el péndulo, llévelo a la posición vertical, ajústelo a través del tornillo T y verifique

oscile libremente, es decir, déle un pequeño empujón con su mano y observe el movimiento. Sino oscila libremente, afloje un poco el tornillo.

Realice varios disparos y observe que el péndulo no se salga de la rampa dentada, caso quesuceda, apreté un poco el tornillo.

8.4. Consideración teórica

Si sobre dos cuerpos que chocan no actúa ninguna fuerza externa durante el tiempo en que tienelugar el choque, la cantidad de movimiento lineal total del sistema formado por los dos cuerpos seconserva durante el choque. En el presente experimento un balín de masa m y velocidad v, en una

dirección horizontal escogida como el eje x (ver fig. 8.2) realiza un choque frontal y se incrusta en

una masa M en reposo. El conjunto de las dos masas M +m adquiere una velocidad V en la mismadirección del proyectil incidente; entonces, se cumple:

V m

M mv M)V (mmv

+= (8.1)

Para medir V, el blanco de masa M se suspende de un péndulo y se mide la altura máxima quelogra subir el centro de masa del cuerpo con masa total M+m debido al intercambio de energía quehubo en el sistema entre la energía cinética que adquirió este cuerpo después del choque y laenergía potencial lograda en el punto más alto de su trayectoria. Esto es,

2ghV M)gh(m2 M)v (m2

1= (8.2)

Reemplazando la ec. (8.2) en (8.1), obtenemos

2ghm

M mv

+= (8.3)

La ecuación anterior da la velocidad v del proyectil, cuando se conoce las masas M, m y la altura h.

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La velocidad v del proyectil también puede medirseusando la trayectoria que describe bajo la acción dela gravedad la cual actúa en la dirección vertical. Enestas condiciones, el movimiento se realiza en elplano vertical como se ilustra en la fig. 8.3, por tanto:

Eje X: alcance máximo: S = vt

Eje Y: caída libre: 2 gt 2

1y =

de acuerdo con la composición cartesiana en el puntode impacto en el piso. Eliminando el tiempo de estasdos ecuaciones, obtenemos

2y

2 gS v = (8.4)

8.5. Procedimiento

8.5.1. Determinación de la velocidad inicial por el péndulo balístico

Con el péndulo en reposo dispare el proyectil, el cual se incrusta en el péndulo llevándolo de laposición (a) a la (b) de la fig. 8.2 donde queda finalmente enganchado en un diente particular en la rampa D.

Registre la posición alcanzada, según la escala de la rampa (número de ranuras) y proceda asacar la esfera de la cavidad empujándola con el dedo o con un elemento delgado, luego cierrael resorte R.

Repita el procedimiento diez veces y registre sus datos en la hoja de datos.Note que la posición de enganche en la rampa varía. El promedio de las posiciones obtenidasda la posición media más alta. Lleve el péndulo a dicha posición, engánchelo en el diente máscercano al valor medio

Mida la altura h del centro de gravedad de la varilla V. Suelte el péndulo desatornillando T y remuévalo cuidadosamente de su soporte. Pese y registre las masas del péndulo y del balín en la hoja de datos0. Regrese el péndulo a su posición ajustando cuidadosamente el tornillo.

8.5.2. Determinación de la velocidad inicial por la medición del alcance máximo y la altura

Para obtener los datos en esta parte del experimento, el péndulo debe llevarse a la posición (b)de la fig. 8.2, para que no interfiera en el movimiento de la esfera.

Con la plomada obtenga el punto de salida sobre el eje X y mida la altura inicial en el eje Y. Realice un disparo y observe el lugar del impacto de la esfera en el piso. Adhiera una hoja de papel al piso en dicho lugar y cúbralo con papel carbón para determinar el

punto de impacto. Dispare diez (10) veces y mida el alcance para cada disparo y lleve sus datos a la hoja de

datos.

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8.6. Análisis

8.6.1. Determinación de la velocidad inicial por el péndulo balístico

Tabule sus datos en la tabla 8.1 para diez (10) disparos. Pese el péndulo y el balín por separado y juntos. Complete la tabla 8.2. Encuentre la velocidad del proyectil usando la expresión (8.3).

Calcule la dispersión en sus datos y complete la tabla 8.2.

8.6.2. Determinación de la velocidad inicial por la medición del alcance máximo y la altura

Tabule sus datos en la tabla 8.3 para varios disparos.

Obtenga el alcance S promedio S . Mida la altura inicial y0 y calcule la velocidad v usando la ec. (8.4).

Calcule la dispersión en sus datos y complete la tabla 8.4. Determine la diferencia entre los valores de velocidad obtenida por los dos métodos. Analice los errores probables en cada método y estime cual debe ser el resultado más preciso. ¿Qué condición dinámica (fuerzas externas) deben cumplirse durante el choque de las dos

masas, para que las cantidades de movimiento antes y después del choque sean iguales? ¿Secumple con exactitud esta condición? ¿Cómo podrían reducirse estos efectos externos?. Comparando los dos experimentos y con base en los modelos teóricos respectivos, ¿cuál cree

que arrojen los resultados más confiables de las medidas realizadas? Conclusiones

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HOJA DE DATOS

A. Determinación de la velocidad inicial v por el péndulo balístico

DisparoPosición

alcanzada

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

promedio

Tabla 8.1. Datos para los varios disparos. Tabla 8.2. Cálculo de h y v .

B. Determinación de la velocidad inicial v por la medición del alcance máximo y la altura

Disparo Posiciónalcanzada1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

promedio

Tabla 8.3. Datos para los varios disparos. Tabla 8.4. Cálculo de S y v .

h ( )

M ( )

m ( )

v ( )

CV

σN-1 ( )

S ( )y ( )

v ( )

CV

σN-1 ( )

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Universidad del ValleDepartamento de FísicaFebrero 2007Laboratorio 9

9. Momentos de fuerzas

9.1. Objetivo

Comprobar la condición de equilibrio debido a los momentos de fuerzas. Comprobar la condición de equilibrio debido a las fuerzas paralelas.

9.2. Equipamiento

Una polea de torsión de adhesión magnética calibrada en newtons. Una regla con orificios para suspensión de pesos y acople magnético. Un tablero magnético de fuerzas.

Un juego de pesas. Una balanza.

9.3. Montaje experimental

El sistema consiste de una regla suspendida en uno de susextremos y sostenida por un hilo acoplado a la polea de torsióndesde el otro extremo, como se muestra en el diagramaesquemático de la fig. 9.1.

9.3.1. Chequeo inicial y minimización de errores sistemáticos

Tenga cuidado en no exceder los pesos que soporta la poleade torsión.

9.4. Consideración teórica

El sistema mostrado en la fig. 9.1, obedece a una situación de equilibrio dado por las siguientesecuaciones:

F g mT 0 T + (9.1)

Fx 2

mgLTL + (9.2)

donde T0 es la reacción debido al soporte en el extremo izquierdo de la regla, T es la magnitud de

la tensión que mide la polea de torsión para equilibrar el sistema, mg es el peso de la reglaaplicado a su centro de masa y F es el peso adicional suspendido a una distancia x del eje deoscilación. L es la longitud de la regla y corresponde al brazo de la tensión T, L/2 corresponde albrazo del peso de la misma y x es el brazo de la fuerza aplicada.

La ec. (9.2) puede expresarse como:

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L

x F

2

mg T + (9.3)

9.5. Procedimiento

9.5.1. Montaje x fijo

Con el montaje esquematizado en la fig. 9.1, seleccione un valor para x fijo que esté dentro delos intervalos: x < L/2 y x > L/2 y para el valor de x = L/2, variando F.

Los pesos disponibles permiten variar F y obtener por lo tanto la tensión T en la poleacalibrada, después de haber equilibrado el sistema.

El equilibrio del sistema puede obtenerse de dos maneras:i) Girando suavemente con la mano el soporte de la polea hasta que la regla alcance su

posición horizontal y forme un ángulo de 90° con la cuerda de la polea.ii) Logrando el mismo objetivo pero desplazando verticalmente el centro de oscilación (se

recomienda la segunda sugerencia).

9.5.2. Montaje F fijo

Repita el procedimiento anterior para x variable.

9.6. Análisis

9.6.1. Montaje x fijo

Seleccione cinco (5) datos en cada uo de los intervalos: x < L/2 y x > L/2 y x = L/2, completandolas tablas 9.1.

Calcule para cada dato de los intervalos tres (3) valores diferentes de las tensiones T yregístrelos en la tabla 9.2.

Realice una gráfica de T en función de F y analice su comportamiento.

De acuerdo a la ec. (9.3), ¿Qué significa la pendiente y el intercepto? Reporte sus datos con la respectiva dispersión. Conclusiones.

9.6.2. Montaje F fijo

Complete las tablas 9.3 y 9.4. Realice una gráfica de T en función de x y analice su comportamiento. Reporte sus datos con la respectiva dispersión. Conclusiones.

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HOJA DE DATOS

x1 ( < L/2) = m (regla) =

x2 ( = L/2) = L =

x3 ( > L/2) =

Tabla 9.1. Datos para los intervalos: x < L/2 y x > L/2 y x = L/2 , variando F.

F (N)T1 ( )

(x1 < L/2)T2 ( )

(x1 = L/2)T3 ( )

(X1 >L/2)

Tabla 9.2. Datos para las tensiones en cada uno de los intervalos.

F1 =

F2 =

F3 =

Tabla 9.3. Datos para tres diferentes fuerzas conocidas.

x ( ) T ( )

Tabla 9.4. Datos para los brazos de fuerza y las respectivas fuerzas.

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Universidad del ValleDepartamento de FísicaFebrero 2007Laboratorio 10

10. Movimiento de rotación y traslación

10.1. Objetivo

Estudiar el movimiento combinado de traslación y de rotación sin deslizamiento de un cuerporígido.

Deducir el momento de inercia de un objeto cilíndrico.

10.2. Equipamiento

Dos rieles paralelos. Cronómetro.

Un cuerpo cilíndrico en madera

Un flexómetro. Una balanza.

Un calibrador.

10.3. Montaje experimental

El sistema consiste de un cuerpo cilíndrico, cc,montado sobre dos rieles paralelos, u, los cualesestán elevados en uno de sus extremos unaaltura h, formando un plano inclinado, como seilustra de forma esquemática en la fig. 10.1.

10.3.1. Chequeo inicial y minimización deerrores sistemáticos

Verifique que los rieles estén ubicados comoen la fig. 10.1, sin que resbalen mientras seefectúa el experimento.

Trabaje con alturas h menores de 50 cm, así obtendrá mejores resultados; el cuerpo que ruedalo hará más despacio dándole a usted la posibilidad de tomar el tiempo con mayor precisión yevitando que el cuerpo deslice.

Ponga cuidado en la ubicación inicial del cuerpo M al momento de soltarlo, para que cuandobaje rodando no toque los lados de los rieles y se produzca un frenado del mismo.

Tenga en cuenta que la altura h que usted debe medir corresponde a la distancia vertical desdeel punto de partida hasta donde usted ubicó su sistema de referencia (posición final) y no

necesariamente corresponde a la parte mas baja de los rieles (el piso). No confundir el radio del eje de rotación r con el radio del cuerpo R.

10.4. Consideración teórica

Sea un cuerpo rígido de masa M y de momento de inercia I con respecto a su eje de revolución, quedescansa sobre dos rieles paralelos inclinados como se indica en la fig. 10.1. Si el cuerpo,partiendo del reposo, rueda bajando sin resbalar, una distancia vertical h, se tiene:

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2 I ω2

12 Mv 2

1Mgh + (10.1)

donde v es la velocidad lineal del centro de masa en la parte final de su recorrido, ω es la velocidad

angular alrededor del centro de masa en la parte final de su recorrido. Como v = ωr, siendo r radio

del eje de rotación, se tiene:

2 r v I

2 12 Mv

2 1Mgh ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+ (10.2)

De otro lado, como el movimiento de traslación del centro de masa es un movimientouniformemente acelerado, se tiene que:

2 at 2

1s

at v

=

=(10.3)

siendo s distancia recorrida por el centro de masa en el tiempo t. Despejando a de (10.3), tenemos:

t

2sv = (10.4)

10.5. Procedimiento

Medir la masa M , el radio R del cuerpo y el radio de giro r. Para una misma inclinación de los rieles, soltar el objeto desde el mismo punto cinco (5) veces

y medir el tiempo de bajada del cuerpo, la distancia s recorrida y la altura h. Repita el experimento con otras seis inclinaciones y consigne sus datos en la hoja de datos

10.6. Análisis

Mida tres (3) veces los radios r, R y la masa M. Complete la tabla 10.1. Complete la tabla 10.2 para cada altura h.

Realice un gráfico de h en función de v2y compare con la ec. (10.2). Determine la pendiente

A partir de la pendiente determine I con su incertidumbre. Determine I por consideraciones geométricas con su incertidumbre. (Recuerde I = MR

2 /2)

Compare los resultados obtenidos y diga cual de las formas de calcular I cree usted que seamás confiable. ¿Por qué?

Reporte sus datos con la respectiva dispersión. Conclusiones.

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HOJA DE DATOS

M ( ) r ( ) R ( )

Tabla 10.2. Datos de M, r y R.

h ( ) s ( ) t ( ) V ( ) v2

( )

Tabla 10.2. Datos de h, s, t para el cuerpo M que rueda y se traslada.

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Apéndice A1

Cronómetro programable Aslab 1. Modo Picket Fence 2 (o barrera de postes 2)

La fig. A1 ilustra, de manera esquemática, la parte frontal delcronómetro Aslab 1, que se utiliza en esta práctica. El cronómetrose alimenta con un voltaje continuo (V dc) proveniente de unadaptador de pared, que se conecta en su lado izquierdo. En suextremo superior hay 4 entradas, utilice la que está a la derechapara conectar el fotodetector. El cronómetro programable se

enciende con la tecla1. Enciéndalo y en la pantalla aparecerá un despliegue como el que se

muestra en la fig. A1, indicando que: La tecla 1, ahora, es para

apagar el cronómetro y las teclas 2 y 3 (flechas) son para

retroceder o avanzar respectivamente.

Pulse la tecla 3 para ingresar al Menú Principal, el cual tiene 5 opciones, que podrá revisar

pulsando consecutivamente las teclas2 y3 (flechas).

Opc. 1: Experiments: Para escoger el experimento que se va a controlar (Picket fence 2).Opc. 2: # decimals: Para escoger el número de decimales a utilizar (4).Opc. 3: # memories: Para escoger el número de memorias a usar en los registros de tiempo (10).Opc. 4: Tranfer data: Para transferir los datos registrados a una computadora (no se requiere).Opc. 5: Memory clear: Para limpiar el contenido de las memorias y dejarla en cero.

Use la tecla A para escoger cualquier opción. Comience escogiendo la opción 3 (# memories). Use

la tecla 3 para incrementar el número a 10 y use la tecla A para aceptar la entrada y regresar almenú principal.

Ahora escoja la opción 2: # decimals. Podrá observar que está en 4 por defecto. No requierecambio, pulse la tecla 1 para regresar al Menú Principal.

Ahora escoja la Opción 5: Memory clear; acepte la opción con la tecla A.

Ahora escoja la Opción 1: Experiments. Use la tecla 3 para avanzar en los diferentes experimentoshasta llegar a Picket Fence 2; acepte la opción con la tecla A. Ahora, en la pantalla aparece:

Indicando que el cronómetro está preparado para tomar los datos. El asterisco (*) indica que elfotodetector está siendo alimentado

Indicando que el cronómetro está preparado para tomar los datos.

El asterisco * indica que el fotodetector está siendo alimentado

Ahora pulse la tecla A y, a continuación, en la pantalla aparece:

El asterisco * se ha reemplazado por M, indicando que el

cronómetro está ahora en la fase de medición.Con esto, el cronómetro está listo para registrar los intervalos detiempo.

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Verifique su funcionamiento cortando el haz, con el dedo índice, once veces. Aunque no parezca, elcronómetro está midiendo. Sólo después de haber cortado el haz las once veces el cronómetrotermina su función y en la pantalla aparece:

Mostrando el contenido de la memoria 10, o sea el décimointervalo de tiempo registrado. Para revisar los demás intervalospulse, consecutivamente, las teclas 2 y 3 para retroceder o

avanzar.

Pulse la tecla 1 para regresar al Menú Principal. Elija la Opción 5: Memory clear para limpiar todoslos registros. Ahora elija, de nuevo, el experimento Picket Fence 2 y repita el proceso hasta dejarlolisto para registrar los intervalos de tiempo del experimento. Cronómetro programable Science

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Apéndice A2

Cronómetro programable Science First. Modo Picket Fence 2 (o barrera de postes 2)

La fig. A2 ilustra, de manera esquemática, la parte frontal delcronómetro electrónico. El cronómetro se alimenta con un voltajecontinuo, proveniente de un adaptador de pared que se conectaen su extremo superior derecho. El fotodetector se conecta enuna entrada contigua a la conexión anterior, como sugiere lafigura. El cronómetro programable se enciende con la teclapower.

Si el despliegue en la pantalla es muy tenue o muy fuerte,aumente o disminuya su contraste pulsando los bordes derechoo izquierdo de la tecla Contrast .

Para escoger el modo del cronómetro pulse la tecla Menu y con latecla Select pase por las diferentes opciones hasta encontrar elmodo Picket Fence 2. Escoja esta opción pulsando la tecla Enter.

A continuación en la pantalla aparece Display .9999, indicando que el número de decimales escuatro, o sea, diezmilésimas de segundo, lo cual es adecuado para nuestro caso, así es que pulseEnter . De no serlo, cambie el número de decimales pulsando la tecla Select.

A continuación aparece en la pantalla Memories 10, indicando que el número de memorias autilizar es 10. De no serlo, cambie el número a 10 pulsando la tecla Select y luego pulse la teclaEnter.

A continuación aparece en la pantalla 1 0.0000 S, indicando que el valor registrado en lamemoria 1 es cero segundos. Con esto, el cronómetro está listo para medir los 10 intervalos detiempo.

Verifique su funcionamiento cortando pausadamente el haz con el dedo índice.

Note que, luego del primer corte, el cronómetro comienza a contar y luego del segundo sedespliega el valor del primer intervalo de tiempo. Al tercer corte se despliega el valor del segundointervalo de tiempo y así, sucesivamente, hasta el un décimo corte, cuando se despliega el décimointervalo de tiempo.

Note, también, que el número desplegado no vuelve a cambiar aún cuando siga pasando el dedopor el haz de luz.

Los 10 valores registrados en las memorias pueden revisarse en orden ascendente o descendentepulsando la tecla Select.

Para terminar la iniciación del cronómetro programable, limpie todos los registros pulsando la teclaClear, con lo cual el cronómetro queda listo para registrar los intervalos de tiempo del experimento.