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LabVIEW による浮動小数点表現参考プログラム

（最終改訂 2018/12/12）

書庫ファイル内容

LV_IEEE754.zip には本稿（拡張子.pdf）、本稿掲載図（フォルダ Figures：拡張子.png）、LabVIEW

による浮動小数点表現参考プログラム3本および有限なデータ長での演算と関連の深い数値積分参考プ

ログラム 2 本の LabVIEW2017 版（情報科学研究教育センター（以下「センター」と表記）での実行

にはランタイムエンジン不要）および LabVIEW2013 版（ランタイムエンジンのダウンロードに

National Instruments 社（以下「NI」と表記）のアカウント登録が不要）の実行プログラム（拡張子.exe）、

設定ファイル（拡張子.ini）、実行時ライブラリ（サブフォルダ data：拡張子.dll）がフォルダ LV2017

およびフォルダ LV2013 に格納されている。実行プログラムの場所に同名の設定ファイルおよび data

フォルダを置いて開く（p.12 備考参照）。

1. LV_IEEE754DP

LabVIEW のフロントパネル上に数値制御器、数値表示器を作成するときの既定のデータ型 DBL

（DouBLe-precision）の内容は IEEE754 規格で表現された 64b 浮動小数点数である。歴史的に「倍精

度浮動小数点数」と称するが現在はこれが標準であり、むしろ科学技術計算では範囲も精度も不十分な

32b の「単精度」（LabVIEW の SGL：SinGLe-precision）が「『短』精度」と呼ばれるべきものである。

LV_IEEE754DP は LabVIEW の数式評価 VI により数式文字列で入力した 1 変数関数（註参照）を

評価して関数値の 64 ビット内部表現を表示し、また色分けされた 64 個のブールボタン（符号：赤、指

数：黄、仮数：緑）または 16 個の 16 進数字メニューリング（一方の操作は他方に連動）で内部表現を

指定して相互転送（関数値⇒内部表現設定制御器、内部表現⇒変数値設定制御器）することで IEEE754

表現を対話的・視覚的に確認し、浮動小数点表現についての理解を深めることを目的とするものである。

註：ここでは変数として xを用いているが、1 変数である限り変数名は任意の英小文字 1 字（これに数

字 1 字が続いてもよい：備考参照）が使える。使用できる関数は、例えば次の URL にリストがある。

http://www.mathmachines.net/Construction/SSSP/LabVIEWFormulaStrings.pdf

図 1 に起動時のフロントパネル、図 2（p.2）～図 5（p.5）に制御器と表示器の内容を示す。

図 1 LV_IEEE754DP 起動時の既定の画面（6!=720 を表示している）

2

数式文字列の設定

関数を指定する数式文字列は文字列制御器（キャプション ”arithmetic expression (single variable

at most)”：起動時既定は”gamma(x+1)”）に直接入力するかまたは、① ”MEMORY” ボタン ON（起

動時既定）の状態でメニューリングの項目を指定して”↓RCL”をクリックしてプリセットメモリから転

送、もしくは②”READ”（註参照）で読込んだテキストファイルの各行で項目を構成したメニューリン

グ（起動時既定は LV_IEEE754.zip 同梱の sample.txt を読込んで構成した内容）の数式が登録され

た項目を指定して” ⇨ ENTER”をクリックして転送する方法がある（図 2 左）。

註：フロントパネル左上の ”READ”ボタンをクリックして関数、16 進データを記述したテキストファ

イルを読込むことができる。VI のプロパティで「自動エラー処理を有効」のチェックを外して実行ファ

イルをビルドしており、ファイルダイアログをキャンセルしてもエラーとはならない（ログのファイル

出力についても同様である）。テキストファイルには、1 行に数式文字列フォーマットによる 1 個の数式

または$で始まる 1 個の 16 進数値（左詰：データが 16 桁を超える場合は先頭から 16 桁が使われ 16 桁

に満たない場合は右に 0 が補われる）を記述し、何れの形式も%に続けて注釈を付加することができる。

数式として評価できない文字列が入力された場合、文字列制御器の上に赤 LED（ラベル”error”）を

点灯表示し、フロントパネル左下の数式評価結果のまとめと”PRINT”ボタン（「ブールパネルの設定・

転送とログ出力」の項を参照）はグレーアウトされる。

文字列制御器右の押しボタン SW ”identity function”は恒等関数の指定で、ON（文字列制御器の背景

色が緑に変る）の状態では文字列制御器の書込みは禁止され、”↓RCL”ボタンとメニューリング項目が

数式の場合に” ⇨ ENTER”ボタンが無効化され、他の関数に変更することはできない（図 2 右）。

図 2 関数指定に関係する制御器

起動時のプリセットメモリには、「表現可能な最大の数は？」、「正規化された絶対値最小の数は？」、

「階乗はいくつまで『整数』として表せる？」、「2 から√を何回繰返したら 1 になる？」「π、ｅなどの

身近な定数の内部表現は？」等の浮動小数点表現に関する素朴な疑問に答える次の 22 個がプリセット

されている。

プリセットメモリの内容は変更可能で、”↑STO”の押下で数式文字列がメニューリングの表示項目に

上書き（押しボタン SW ”append” OFF）または項目の最後尾に追加（押しボタン SW “append”ON：

起動時既定）される。

0/0 : 非数（NaN）となる例

1/0 : 正の無限大（Inf）となる例

2^53-1 : 整数として正確に表現される最大の数

(2^53-1)*2^971 : 表現できる最大の数

2^-1022 : 53ビット精度で表現できる最小の正数

2^-1074 : 表現できる最小の正数

exp(x) : 指数関数

pi(x) : πの倍数

ln(x) : 自然対数

3

log(x) : 常用対数

sqrt(x) : 正の平方根

100^0.2 : 星の 1等級の光度比（4dB）

gamma(x+1) : 非負の整数のとき階乗

exp(-x^2/2)/sqrt(pi(2)) : 正規分布の確率密度

exp(-exp(x)) : 二重指数関数

exp(exp(x)) : 二重指数関数

exp(ln(2)*(2^(-x))) : 繰返し平方根

(x+(2/x))/2 : Newton-Raphson法による 2の平方根

2^x : 2の冪乗

10^x : 10の冪乗

16^x : 16の冪乗

1/x : 逆数

変数値の設定

関数に設定した数式文字列が変数を含むときフロントパネルの関数指定制御器の左下に変数値の表

示器と帰還設定の制御器（図 3 下）が表示され、押しボタン SW ”feedback mode”（起動時既定 OFF）

が OFF のときフロントパネルの関数指定制御器の上に変数値設定用の制御器（図 3 上）が表示され

る。”feedback mode” OFF のとき変数値は数値制御器または文字列制御器で設定し、制御器を垂直スラ

イド SW ”formula”（起動時既定 OFF）で選択する。

図 3 関数指定の数式が変数を含むときの変数値指定

数値スライド（ラベル”numeric”）のスケール両端の値は数値スライド上の数値ボックス（ラベ

ル”left”、”right”）で指定し、左端より右端の値が小さければスケールは左右反転、両端共に正の場合は

押しボタン SW ”logarithmic”が表示され、ON で対数スケールとなる。数値スライド右の数値ボックス

には数値スライドでは設定できないスケール範囲外の値（例：-inf）も入力可能である。

文字列制御器（ラベル”formula”）には数値文字列（数式文字列では指数記号で小文字は使えない：

備考参照）、変数を含まない数式文字列（例：sqrt(2)）または 64b 内部表現を”$”に続く 16 個以内の

16 進数字（テキストファイルからの読込みと同様の左詰で下位の 0 は省略可能で、例えば$C の値は

$C000000000000000の-2を表す）で直接入力する。

数値スライド右上の押しボタン SW ”force to integer”を ON（起動時既定）にすると垂直スライド SW

により選択された制御器の設定値を直近の整数に丸めた値が使用される。

フロントパネル右上の押しボタン SW “⇦ argument”（起動時既定 OFF）を ON にすると（関数評価

値をブールパネルに転送する押しボタン SW ”⇧ Boole / hex”とは排他的で一方がON のとき他方は無効

化される：p.5 図 5 参照）ON にした直後とブールパネル設定値に変化があったとき SW ”formula”で選

択された制御器に（”formula”ON のときは$xxx…xx の形で）転送される（ブールパネル設定値に変更

が無い場合数値制御器または文字列制御器の操作は有効）。

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"feedback mode” ON の帰還モードでは変数値の設定に関係するフロントパネル上段の制御器は非表

示となり、"feedback mode”ボタンの右に表示される” ↷ feedback”ボタンをクリックして放したときク

リック前の関数値が変数値に渡される（p.3 図 3 下左）。ただし関数評価で使用する変数値として渡すの

みで非表示となっている変数値設定の制御器の内容は変化しない。

メニューリングで選択した項目が 16進データの場合にはモードに無関係に"ENTER"のクリックでブ

ールパネルに送られるが、帰還モードでは押しボタン SW "set argument"SW が表示され、ON（起動

時既定）のとき"ENTER"のクリックで当該データが変数値にも渡される（p.3 図 3 下右）。

関数値の表示

評価された関数値はフロントパネル中央部に64b内部表現を8×8の2Dブール配列（row-major order、

左上が符号を示す MSB）、フロントパネル下部に 64b 全体、11b 指数部、52b 仮数部（註参照）をそれ

ぞれのビット位置を縦に揃えた 1D ブール配列（左が上位）で表示し、10 進数値、16 進数値、仮数値

等をその周囲に表示する（図 4 左下）。メモリが潤沢で 64b 浮動小数点演算回路が標準である現在、敢

えて 32b 表現を使用する必然性は失われているが、32b では不十分であることを示すため、2D ブール

配列の下に 32b に短縮した場合の値とあふれ情報を表示している（例を図 4 右上に示す）。各 LED は

精度短縮による指数あふれ、非正規化の情報であり、64b 表現で既に無限大、非数、零であった場合に

は点灯させていない。

註：52b 仮数左の赤 LED（ラベル”implicit MSB”）はデータ中には無く指数部（1023 げたばき）が 1~2046

の正規化数（仮数 53b）で 1 が仮定される暗黙の仮数 MSB（隠しビット）である。無限大と非数では

意味を持たないが本 VI では Intel FPU での表現に揃えて±Inf と NaN の場合にも 1 を表示している。

図 4 関数値の表示内容（左下）と 32 ビットに短縮時の指数あふれと非正規化の例（右上）

関数指定の数式文字列で ”gamma(x+1)”（xが非負整数のとき xの階乗）、変数値入力で数値制御器

を選択し、”force to integer” を ON とした LV_IEEE754DP 起動時既定（p.1 図 1 参照）は、整数とし

て表現できる階乗の最大値を求める設定である。

数値スライドを操作して 18! = 6402373705728000 までは”non-zero integer” LED が点灯し、整数と

して正確に表現できることを確認できる。既定の変数値 6 のとき 8×8 ビット 2D 配列上の数値表示器

（ラベル”numeric”）には 719.999…99 と表示されているが、これは書式編集の 2 進 10 進変換誤差に

よるものでビット内容から実際の内部データは正しく 6!=720 の整数値を表していることが分る。

指数値が 0～52 の範囲にある（「浮動」する真の 1 の位が暗黙の MSB を含めた仮数内にある）とき、

仮数部 LED 配列の右に”non-zero integer” LED と”blink true binary place”ボタンが表示され、1 の位

が暗黙の MSB を含めた仮数部内にあり、かつ仮数部内の 1 未満のビットが全て 0 のとき”non-zero

integer” が点灯する。”blink true binary place”をONにすると暗黙MSBを含む仮数部の 1の位のLED

が点滅する。図 4 は 1 の位（偶数であり値は 0）が点灯しているループのキャプチャ画面である。

5

ブールパネルの設定・転送とログ出力

フロントパネル右上のブールパネルはブールボタン（ビットが持つ意味により色分けされた 64 個：

ボタン上の数字は LSB を 0 とするビット位置）または 16 進数字メニューリング（8×2 の 2D 配列：上

が上位、横 2 個で 1 バイト）で内部表現を 1 ビットまたは 4 ビット単位で指定するもので、転送指定の

押しボタン SW の設定により、設定した内部表現が表す値を関数値（内容は p.4 図 4 左下）として表示

【恒等関数指定 ”identity function” および転送指定 “⇦ argument”を ON とする】すること、逆に関

数値をブールパネルに表示【転送指定 ”⇧ Boole / hex”を ON とする】することができる（図 5 左）。転

送指定の 2 個の押しボタン SW の機能は排他的であるため、一方が ON のとき他方を無効化しており、

同時に ON にすることはできない。

図 5 ブールパネル（左）とログ出力（右）

フロントパネル左下の文字列表示器（ラベル”current value”）には関数値のまとめが#で始まる次の

形式で表示される。(i) 変数を含まない数式では、数式、コロン、16 進表現、10 進表現、(ii) 変数を含

む数式では、これに ”/ x”で区切って変数値（16 進表現、10 進表現）が続き、(iii) 恒等関数を設定し

た場合、16 進表現、コロン、基数 2 の仮数（10 進数値）・指数表示、10 進表現となる。

文字列表示器下の押しボタン SW ”PRINT”のクリック（帰還モードでは” ↷ feedback”ボタンのクリ

ックにより”PRINT”のクリック無しで強制的に）でログに蓄積され文字列表示器（キャプション”log text

(to be written)”）に表示される。押しボタン SW ”include comment”が ON のときは、文字列制御器（ラ

ベル”comment”）に入力した文字列が関数値のまとめに%に続けて追加される。(i) (ii) (iii)それぞれの例

は次の通りである。

# (2^53-1)*2^971 : 7FEFFFFFFFFFFFFF (1.7976931348623157E+308) % no variable

# gamma(x+1) : 4086800000000000 (7.2000000000000000E+2) / x : 4018000000000000

(6.0000000000000000E+0) % single variable

# 400921FB54442D18 : 1.5707963267948966*2^1 (3.1415926535897931E+0) %

identity function

ログは文字列表示器（キャプション”log text (to be written)”）上の押しボタン SW ”WRITE”のクリ

ックでテキストファイル（既定のファイル名は保存日時の yyyymmddHHMMSS.txt）に保存される。

ファイルダイアログをキャンセルしてもエラーとはならないのは”READ”と同様である。

LV_IEEE754.zip に同梱の 20181127093506.txtは、帰還モードの実行例としてNewton-Raphson

法により 6 を初期値として 2 の正の平方根（負の初期値を設定すれば負の平方根が得られる）を求めた

例で次の操作で保存したものである。①起動時既定の状態（ログは空、変数値 6）でメニューリングの

項目(x+(2/x))/2 を指定し”↓RCL”をクリック、② "feedback mode” を ON にし”PRINT”をクリッ

ク（帰還前の関数値まとめをログに送る）、③ ”feedback converged”が点灯するまで ” ↷ feedback”を 7

回クリック、④”WRITE”をクリックしプロンプトに対し既定のファイル名で保存。

2 次の収束をする Newton-Raphson 法では適切な初期値に対しては毎回精度がビット数で倍になる

が、初期値が解と大きく異なる場合は相対誤差が 1/2 になるだけである。最も極端な場合として、上記

の②の操作で ”PRINT”をクリックする前に”READ”ボタン下のメニューリング項目で表現可能な最大

値”$7FEFFFFFFFFFFFFF % maximum positive normalized”を選択し”ENTER”をクリックして

初期値に選ぶと ” ↷ feedback”のクリックで関数値の指数値が 1 変化するだけ（収束するまでには 1000

回以上の反復操作が必要）であることが分る。

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2. LV_IEEE754DP_compact

LabVIEW概要掲載のDP_property は計算モードとデータ設定モードを分けていた LV_IEEE754DP

の旧版（2018/02/14 解説掲載）をほぼ同等の機能（テキストファイルの読込みとログの保存はクリップ

ボードのコピー・ペーストで代替）でフロントパネルサイズを小さく構成したもので、これにプリセッ

ト数式の項目（2、10、16 の冪乗と逆数を追加）、選択方式（文字列制御器をメニューリングに変更）、

16 進文字列の扱い（左詰）を変更して LV_IEEE754DP 新版と揃えたものが LV_IEEE754DP_compact

である。それ以外は DP_property と同じで、プログラムの構成詳細については LabVIEW 概要を参照

されたい。http://www.ns.kogakuin.ac.jp/~ct13050/johogaku/LV_sample.zip

起動時既定の関数も LV_IEEE754DP と同じ gamma(x+1)であるが、既定の変数値を真の 1 の位が仮

数 LSB となる 18、点滅表示の既定を ON としている。図 6 は 18!の真の 1 の位（値は 0）が点灯して

いるループのキャプチャ画面である。

図 6 LV_IEEE754DP_compact 起動時の既定の画面（18!のビット位置 0 が点滅）

“result ⇒ clipboard”のクリックで、”panel” ON ではブールパネルの設定値、”panel OFF”では数式、

変数値（変数がある場合）、関数値がこの順でコピー対象文字列（”CLEAR”のクリックで空になる）に

連結されクリップボードにコピーされる。”clipboard ⇒ formula etc.”でペーストできる文字列は、0

個または 1 個の数式文字列（何れのモードでも”formula”に読込まれる）とこれに続く（空白 0x20を挟

んでよい）0 個または 1 個の数値（$に続く左詰 16 進数字または#に続く LabVIEW の数値入力で許さ

れる文字列：LabVIEW では”1.2 e 34”の様に数値文字列中に空白を入れることはできない）である。

数値の読込先は、”panel”ON でブールパネル、”panel”OFF で変数値（数式が変数を含まないときは表

示されないが格納はされている）である。

例として起動時の既定の設定で ”CLEAR”をクリック後、クリップボードから”sqrt(x)$4” をペー

ストして結果をコピーしたクリップボードの内容は次の様になる。

Formula mode : sqrt(x)

-- argument 4000000000000000 / 2.0000000000000000E+0

-- value 3FF6A09E667F3BCD / 1.4142135623730951E+0

3. LV_FP_comparison

それまで機種により異なっていた浮動小数点表現を統一した IEEE754 規格は過去の各表現の特長

（数値以外に infinite と indefinite を導入：CDC6600、基数 2 では正規化数の仮数 MSB に 1 を仮定し

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データ中に含めない：DEC PDP-11、複数の型がある場合に長いデータでは仮数部だけではなく指数部

も拡大：Burroughs B6700）を統合したもので、LV_FP_comparison は、DBL、SGL に拡張精度 EXT

（EXTended-precision）を加えた LabVIEW の 3 種類の実数型データを 2 種類の参考表現を含めて比

較するデモ VI である。

フロントパネル構成は LV_IEEE754DP_compact からブールパネルを除き（単一モード）、各表現（げ

たばき指数値の表示は割愛）を横に並べたもので起動時既定の画面を図 7 に示す。10 の素因数に 2 以

外の 5 が含まれることから 0.1 の様な 10 進の有限小数が 2 進では無限循環小数となることはプログラ

ミング指導の最初に指摘されるが、起動時の設定（関数：1/x、変数値：5）では 0.2=1/5 が 4 桁（24

≡1 mod 5）で循環する様子、xを変化させて 0.04=1/25 の循環節 20 桁（220≡1 mod 25）の 3 周期分、

1/17 の 10 進循環節（２進 8 桁 10 進 16 桁）を EXT では確認することができる。

図 7 LV_FP_comparison 起動時の既定の画面（1/5 は 2 進表現では 4 桁で循環する）

LV_FP_comparison の仕様は次の通りである。

● プリセット数式に EXT 用の(2^64-1)*2^16320、2^-16382、2^-16445を追加。

● 1 の位の点滅指定ボタン（全表現に対し 1 個）は EXT の指数値が 0～63 のとき表示し、整数表示 LED

の表示と点灯は各表現で個別に行う。LabVIEW の数式評価 VI は DBL 型専用であるため 2018/02/14

解説掲載の旧版では三角・逆三角関数、指数・対数関数、平方根、逆数のごく限られた関数のみを評価

したが、本稿掲載版では EXT 型、SGL 型にそれぞれ対応させた数式評価を用いている。

● LabVIEW の数値入力では 18 桁を超えた部分は無視されるため変数値入力の制御器に文字列制御器

を加え、”1.2 e 34”の様な LabVIEW では許されない空白を含む数値文字列も入力できる。$に続く

16 進文字列は左詰で 20 桁に満たない場合は右に 0 を補い 20 桁を超える部分は無視する。文字列制御

器が選択されているとき、関数値を変数値に帰還する ” ↷ feedback”のクリックで 16 進文字列を格納

する。

● LabVIEW の数値出力でも 10 進 18 桁を超える指定は無視されるため（変換過程の対数・指数関数の

誤差を見込んだ制限と思われ、例えば EXT 型の acos(-1)の値は有効数字桁数指定で 3.1415…7932、

小数点以下桁数指定で 3.1415…79324までしか表示しない）、本 VI の EXT 型の 10 進表示では絶対値

が 10-27以上 1028未満の場合（527までの 5 の正整数冪は 1 の位が EXT の 64b 仮数内にあり、仮数表

現が同じ 10 の冪は 1 の位が仮数内に無い場合も浮動小数点区間代表値と一致する）に限り対数・指数

関数を用いない 10進変換により3.1415926535897932385 E0の様に精度一杯の 20桁を出力する（範

囲外では LabVIEW の出力と同様に 18 桁に制限している）。

● ペーストできる文字列の形式は LV_IEEE754DP_compact と同様であるが、#に続く 10 進数値の指

数記号の前後に空白が許される。コピーされる文字列には各表現の値に加え、”negate”SW の設定、EXT

型の LSB の扱い、CDC6600 の設定（後述）の情報が含まれる。

8

● 変則的なフォーマット（註 1 および図 8 参照）の EXT 型ではデータ長 16B 全体ではなく数値情報を

格納する上位 10B のみを表示する。EXT 型では LabVIEW 内部表現に含まれない仮数 MSB の LED を

赤ではなく黄、キャプションを”implicit MSB”ではなく”fraction MSB”と表示している。

註 1：EXT 型データの内容はプラットフォームにより異なるが、Intel CPU で実行する場合 8087 以来

の 80b FP レジスタ（指数 15b、仮数 64b）の上位 16b（符号と指数）が全て 0（+0または正の非正規

化数）の場合はレジスタの80bがそのまま 16Bデータの上位 10Bとなる（2Dブール配列の下に”fraction

MSB included”と表示：図 8 左）。レジスタ上位 16b に 0 でないビットがある場合、DBL/SGL と同様

に仮数 MSB（ビット位置 63 重み 1）を外に出し上位 16b と残る 63b の仮数データを格納する（80b 内

部表現の LSB は無効な 0 であり 2D ブール配列右下の LSB 要素に"LSB disabled"を重ねている：図 8

右 LabVIEW では同じ場所に表示されたオブジェクトは時間的に後に作成されたものを優先する）。

● 参考としてメインフレーム代表機 IBM System/360と元祖スーパーコンピュータCDC6600の浮動小

数点表現（EXT 型の関数値をフォーマット変換したもの）を右に並べている（註 2 参照）。参考表現は

当該機種による実際の演算結果ではないため、関数値と変数値が等しい場合に点灯する ”converged”

LED を置いていない。回路の基本が 3b（当時は 16 進数字ではなく 8 進数字を使用した）で語長 60b

の CDC では、他の表現で”hexadecimal value”キャプションの文字列を押しボタン SW（キャプショ

ン ”oct hex”：既定は OFF）により”octal”と”hexadecimal”を選択可能（既定は 8 進）としている。ま

た CDC には通常の rounded 命令の他に unrounded 命令があり、2D ブール配列右下に切替 SW（既定

は ON の rounded）を置いている。

註 2：IBM System/360 は回路構成をそれまでの 3b 基本から 4b 基本としアドレス単位を語長から 8b

にした。仮数基数が 2 ではなく 24 =16 であるため、正規化数の精度は 2 進で見れば 53b～56b と変動

する（1 の位は 4b 単位で移動し仮数最上位に最大 3b の 0 を生じる）。CDC6600 は科学技術計算に特化

し整数演算に浮動小数点演算ユニットを流用するため仮数の 1の位がMSBの左ではなくLSBの右にあ

り絶対値の範囲が 1 より大きい側に偏っている。正規化数の逆数は 0 になることはあっても溢れること

が無いため後継の CDC7600 で逆数乗算による除算回路を採用できた。IEEE754 も n ビット指数のバ

イアスを 2n-1ではなく 2n-1-1 として絶対値の範囲を 1 より大きい側にシフトしているがシフトが軽微

なため正規化数の逆数が非正規化数になることはあっても 0 になることはない。符号絶対値表現ではな

く 1 の補数表現を用いる CDC6600 では押しボタン SW ”negate”の押下で全ビットが反転する。

仮数符号すなわち全体の値の符号が符号絶対値表現である IEEE754 表現では符号反転により MSB

のみが反転するが、非正規化数の表現が変則的な EXT 型では符号反転で仮数部分が 1b ずれる。図 8 に

この様子を示す。

図 8 拡張精度（EXT）の変則的なフォーマット（sqrt(.5)*2^-16382の符号反転例）

9

関数で 10^xを指定し、”force to integer”を ON にして数値スライドで xを 1 から増して行くとき、

DBL では 15 まで、SGL では 7 までそれぞれ仮数精度で整数を表現できる範囲では全て 10^xの正しい

結果が得られる。DBL、SGL では必要ならば FP レジスタの下位桁を利用可能であるのに対し精度未

満のデータが無い EXT では 2 以上の整数で全て真の値とは異なっている（x=19 で”non-zero

integer”LED が点灯するが、これは仮数 LSB が 1 の奇数 1019+1 であり単に整数の表現であるというだ

けで正しい値ではない）が 10^xを exp(x*ln(10))で求めた場合に通常発生する誤差であって演算精

度自体が悪いのではない。

4. LV_num_int

数値積分の台形則と Simpson 則の比較では、区間[0,1]における 1/(1+x2)の積分を取上げることが多い

が、この被積分関数と区間の組合せは Simpson 則の精度が良くなる特殊な例であって公式の違いによ

る精度の比較としては適切でない。これは区間[-1,1]の積分（偶関数では [0,1]での積分も同様）におけ

るSimpson則の誤差特性関数の零点が区間分割数を増したときに±i に収束し被積分関数1/(1+x2)の極

を相殺するためである。一方、有限な端の無い積分では関数値の重みに分点の偶数奇数による差を付け

ない台形則の精度が圧倒的に良くなる（「Simpson 則が悪くなる」のではない）。LV_num_int は被積分

関数と積分区間を数式文字列で設定し、条件による両積分公式の得失を確認するデモ VI である。

LV_num_int のメニューリング（キャプション ”integrand”）には、ユーザ定義の ”custom”の他、図

9 に示す 3 種の被積分関数が固定（一部のパラメータは自由）されている。図 9 左は上述の Simpson

則がよい結果を与える例で、区間を[0.5,1.5]に変更して区間[0,1]が特殊であることを確かめることがで

きる。

図 9 台形則（上段）と Simpson 則（下段）による数値積分結果の相対誤差の比較

図 9 中は有限な端の無い積分の代表例である exp(-x2)の区間 [0,∞) における積分である（偶関数で

あり区間 (-∞,∞)の積分と同様）。exp(-x2) は急速に減少し DBL 型の演算精度では積分区間の上限∞

を 6 とすれば十分である（erfc(6)≒2.15×10-17）。周期関数の 1 周期積分も有限な端の無い例で、図 9

右は整数次数の Bessel 関数を求める例である。

メニューリングで “custom”を選択すると被積分関数を数式文字列で設定する文字列制御器（ラベ

ル ”f(x)”：起動時既定は x^3）と押しボタン SW ”reference”（起動時設定ON）が表示され、”reference”ON

では相対誤差表示の基準値を文字列制御器（キャプション ”primitive function F(x) or const. r”：起動

時既定は x^4/4）に原始関数または定積分の値を数式文字列で設定する。

p.10 図 10 左は Simpson 則で誤差の無い 3 次式（起動時既定）、図 10 中は誤差が標準的な収束をす

る被積分関数、図 10 右は区間の端で微分できないため Simpson 則の優位性が失われる（誤差の収束は

両公式共に区間分割数の-3/2 乗に比例）被積分関数の例である。単に数値積分の結果を知る目的であれ

ば押しボタン SW ”reference”を OFF にする（相対誤差の数値表示器は非表示となる）。

10

図 10 “custom”を選択して相対誤差が特徴的な被積分関数を設定した例

5. LV_DE

±∞で急速に減少する関数の無限区間での積分が台形則で精度よく求められることを利用して被積

分関数に変数変換を行い台形則を適用する二重指数関数型数値積分公式（森・高橋による DE 公式）は

科学技術計算ソフトウェア Mathematica の NIntegrate にも実装されている。DE 公式による積分では

区間両端付近の関数値の寄与が変数変換により圧縮されるため図 10 右の様な端点で微分ができない場

合であっても十分な精度が得られ、更に被積分関数が有限区間の端点で±∞に発散するが端点との差を

εとして発散が 1/εよりも遅く広義積分が存在する場合もDE 公式では求めることができる。ただし、「公

式では」であって、データ長が有限な演算では端点付近の寄与を正しく反映させる配慮が必要であり、

DE 公式による数値積分デモ VI の LV_DE（2018/02/14 解説掲載の旧 LV_DErev）で確認できる。DE

公式の具体的な変換の式は被積分関数の性質、原積分の積分区間により異なり下記の文献に詳しい。

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~okamoto/paper/Publ_RIMS_DE/41-4-38.pdf

起動時の LV_DE のフロントパネル画面を図 11 に示す。

図 11 LV_DE の起動時既定画面 広義積分の例

LV_DE の仕様は次の通りである。

● 数式文字列で被積分関数と積分区間の端点（±Infはそれぞれ 1/0、-1/0）を入力する。

● 入力した積分区間に応じて変数変換の式（上記文献の式 4.8、4.16～4.18）が選択される。

● 区間端点を除く数式文字列が数式として評価できない場合 ”error” LED を当該文字列制御器の上に

点灯表示する。

● 積分区間の種類と端点の順序を表示器クラスタ（ラベル ”interval”）に表示する。

● 変数変換後の積分区間は（-∞,∞）であるが実際には前項の台形則による exp(-x2)の積分に見る様に

大きな値を必要としない。起動時既定は分点の絶対値上限を 4、区間の刻み幅を 0.15 としている。

11

● 相対誤差を表示する場合は押しボタン SW ”reference”（起動時既定 ON）を ON にし原始関数（端点

で不定形の極限となる場合は極限値が 0 となる積分定数を選び端点に対応する 0 強制の押しボタン

SW ”F(a)=0”、”F(b)=0”を ON にする）または定積分を数式文字列で入力する。

● 積分区間が有限の場合は式 4.8 により変換する。被積分関数が端点で発散する広義積分では変換過程

であふれを生じ変換後の積分区間を十分に確保できない（既定の絶対値上限では結果が±Inf となる）。

有限区間の場合に表示される押しボタン SW ”alternative”を ON（端点毎に独立）にして端点の近傍（起

動時の既定は 10-5）では端点との差を引数とする関数形を指定（関数を入力する文字列制御器のキャプ

ションは端点の大小関係により変化）して変数変換過程を別処理（変換の式自体は同じ）で行いあふれ

を防止する（p.10 図 11、図 12 左）。

● 積分区間が半無限の場合は式 4.16 により変換する。被積分関数の絶対値が指数関数的に減少する場

合は、この変換では|x|→∞で|f(x)|を過剰に減少させ十分な精度が得られないため、半無限である

場合に表示される押しボタン SW ”exponentially decreasing”（起動時既定は OFF）を ON にして式

4.17 の変換を選択する（図 12 中）。

● 積分区間が無限である場合は式 4.18 により変換する（図 12 右）。

起動時既定の被積分関数 1/√(1-x2) は端点±1 の近傍で 1-x2の桁落ちのため Inf となる。変数変換

後の積分区間を桁落ちが生じない範囲に限定したのでは端点付近の寄与を反映できないため、そのまま

公式に従って積分すると高々10 進 10 桁程度の精度しか得られない。起動時の既定は 1/√(1-x2) を±1

の近傍で εの関数として与え（註参照）区間 (-1,1) の広義積分を演算精度相応で得ている（p.10図 11）。

註：-1 の近傍では x+1 を ε、+1 の近傍では 1-x を ε とおいて 1/√(1-x2) を ε で級数展開した 2 次の項

まで取った数式((3*e/8+1)*e/4+1)/sqrt(2*e)（eは ε の代り：両端点で同じ関数形になる）を指

定している。近傍を 10-5とした場合に 1/√(1-x2) の個別の数値としては DBL 型の精度に不足するが、

総和全体への寄与を考えた精度では十分なため 3 次以上の項を含める必要は無い。

図 12 に各種の積分区間での積分の例を示す。何れも既定より少し広い区間刻み 0.2（分点数 41）で

それぞれ演算精度相応の結果を得られることが分る。図 12 左は ln(x)の区間 (0, 1]での広義積分の例

で ”alternative” ON の e の関数形は被積分関数と同じ（端点が 0）になる。端点での発散が遅いため

同じ区間刻みで OFF（既定の上限では積分値が-Infとなる）にして絶対値上限をあふれない 3 に下げ

ても相対誤差は-5.88418203051333E-15 と ON の 2.22044604925031E-16 から極端に増えるこ

とはない。

図 12 中は exp(-x)の[0,∞)での積分で ”exponentially decreasing”を ON にしている。OFF にする

と相対誤差は 1.67237917276797E-5 と ON の 2.22044604925031E-16 から極端に悪化する。図

12右は1/(1+x2)の積分区間を無限区間に広げ端点の大小関係を逆にして interval orderを”reverse”と表

示させた例（積分の値は-π）である。積分区間の端点の一方を 0 にすると（偶関数の被積分関数に対

し本質的に同じ積分）半無限区間の変換が選ばれ相対誤差は 2.87211708194235E-7と無限区間での

-3.33066907387547E-16からこれも極端に悪化し、被積分関数の性質に合った積分区間を選ぶ必要

があることが分る。

図 12 各種の積分区間での積分例：有限区間（左）、半無限区間（中）、無限区間（右）

12

備考

ランタイムエンジンについて

LabVIEW の実行ファイル（スタンドアロンアプリケーション）を開くには当該バージョンの

LabVIEW 本体またはランタイムエンジンが必要である。センターの PC には LabVIEW2017 がインス

トールされており、LV2017 フォルダ中の実行ファイルをそのまま開くことができるが LV2013 フォル

ダ中の実行ファイルは開けない。

個人所有 PC で LabVIEW2017 版実行ファイルを開くにはバーチャルカフェテリア（本学の学生は特

別な利用申請無しに利用可能）にログインするかまたは以下のページで NI ユーザアカウントを登録し

てダウンロードした LabVIEW2017 ランタイムエンジンをインストールする。

ダウンロードページ：http://www.ni.com/download/labview-run-time-engine-2017-sp1/7191/en/

ファイル名：LVRTE2017SP1_f3Patchstd.exe、ファイルサイズ：363.29 MiB

NI ユーザアカウントの登録に抵抗のある人は次の場所から LabVIEW2013 ランタイムエンジンをダ

ウンロード（登録不要）、インストールして LV2013 フォルダ中の実行ファイルを開く。

http://ftp.ni.com/support/softlib/labview/labview_runtime/2013/Windows/LVRTE2013std.exe

ファイル名：LVRTE2013std.exe、ファイルサイズ：257 MiB

実行時ライブラリとフォント指定について

数式評価VIを使用する実行ファイルを開くには版に対応した実行時ライブラリ lvanlys.dll（LV2017、

LV2013 それぞれの data サブフォルダ中にあり両者に互換性は無い）が必要で、それぞれのサブフォル

ダ data を実行ファイルと同じ場所に置いて開く。

LabVIEW では、フォントを VI の作成時に明示的に指定することもできるが、通常実行ファイルを

作成する場合には（指定フォントがインストールされていない環境では表示できなくなるため）OS 既

定のフォントを使用しており、作成時のフォントと実行時のフォントが異なる場合、文字列が枠に収ま

らない、配列が斜めにずれるなどのレイアウトの乱れを生じる。以下の 4 行が書かれた同梱の設定ファ

イル（VI と同じファイル名で拡張子が.ini）を実行ファイルと同じ場所に置いて開くこと。

LV2017 版設定ファイル

[VI ファイル名（拡張子無し）]

appFont="メイリオ" 17

dialogFont="メイリオ" 17

systemFont="メイリオ" 17

LV2013 版設定ファイル

[VI ファイル名（拡張子無し）]

appFont="MS UI Gothic" 12

dialogFont="MS UI Gothic" 12

systemFont="MS UI Gothic" 12

数式文字列について

数式評価 VI による解釈では以下の点に注意が必要である。

● 数値制御器のボックスに入力する数値文字列では指数記号として大文字の E 以外に小文字の e を使

えるが空白は許されない（”1.2 e 34”はエラーとなる）。一方、文字列制御器に入力する数式文字列

では数値文字列の空白は許されるがeが変数とみなされるため指数記号として使えるのは英大文字Eの

みである。また数値制御器で入力できる Inf、-Inf、NaN（小文字で入力した場合は大文字に変換され

る）を数式文字列では評価できないためそれぞれ 1/0、-1/0、0/0（NaNと 0/0は共に quiet NaN で

あるが両者の内部表現は異なる）で代替する。

● 型が浮動小数点数の数値制御器のボックスに入力した文字列 ”-0”は負号付 0（MSB のみ 1 で他の

ビットが 0）と解釈されるが、数式文字列では通常の 0（全ビットが 0）と解釈される。浮動小数点数

に対して数値関数の反転（negate： ）もフォーミュラノードの負号も常に MSB を反転するが、引数

0 を入力した数式 ”-x”の結果の MSB は 0 のままで 0 の符号反転ができないことに注意する。