lag rang ian mechanics (thai)

Classical Mechanics ระดบอดมศกษา 2 Lagrange Mechanics 2-1

Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Dec 2010

2 Lagrange Mechanics เนอหา 2.1 Lagrange Equation of Motion 2.2 Motion with Constraints 2.3 Calculus of Variations (Optional) 2.4 Hamilton's Principle (Optional) 2.5 บทสรป 2.6 ปญหาทายบท

Section 2.1 Lagrange Equation of Motion

ทผานมาเราไดศกษาการเคลอนทโดยอาศยกฎของ Newton ซงมจดเรมตนอยทการคานวณแรงลพธ

netF

ทกระทากบวตถ จากนนอาศยกฎขอท 2 ซงกคอ

net

m

Fa

________________________ สมการ (2.1)

เปนเครองมอในการวเคราะหหาความเรว ( )tv

และ ตาแหนง ( )tr ของวตถ ณ เวลาใดๆ ใน

เนอหาของวชาฟสกสทแตกแขนงออกไปจานวนมาก อาทเชน statistical mechanics, fluid dynamics, หรอ molecular dynamics และในแตละแขนงนน นกศกษากคงจะไดทราบดวา ประกอบดวยสมการจานวนมหาศาล ขนอยกบรายละเอยดของระบบทเรากาลงศกษา อยางไรกด สมการทงหลายเหลาน เปรยบเสมอนเสนเลอดฝอยซงมรากฐานมาจากหวใจสาคญของวชาฟสกสอยเพยงไมกสมการ หนงในนนกคอ Newton Equation of Motion ดงทไดเหนในสมการ (2.1) ในบทนเราจะไดศกษาถงหวใจสาคญอกอนหนงของวชาฟสกส และเปนสมการทถอไดวามความ



ยงใหญไมแพกลศาสตร Newton เราเรยกกลไกอนนวา "Lagrange Equation of Motion" ซงอยในรปของสมการคอ

0L d L

q dt q

________________________ สมการ (2.2)

และในขนตอนตอไป เพอทจะใหสามารถนาสมการดงกลาว มาประยกตใชงาน ในการวเคราะหการเคลอนทของวตถ เราจะเรมดวยการทาความเขาใจกบสญลกษณทปรากฏในสมการ (2.2) ขางตน ตลอดจน ตวอยางโจทยการนามาใชงานในสถานการณตางๆ

Generalized Coordinate

กอนทจะไดเรยนรกบ Lagrange Mechanics เราจาเปนตองรนฟนทาความเขาใจกบกลไกในการอธบายตาแหนงของวตถในขณะทมนกาลงเคลอนท กนเสยกอน ดงทไดกลาวมาแลวในบททผานมาวา กลไกงายทสดในการบงบอกถงตาแหนงของวตถ กคออาศยสงทเรยกวา Cartesian Frame of Reference

i

j

k

( )x t

( )y t

( )z tr

i

j

k

( )x t

( )y t

( )z tr

ซงกหมายถงการกาหนดจดกาเนดขนมาเพอใชในการอางอง และวดระยะทางจากวตถมายงจดกาเนดดงกลาว ตามแนวแกน x, y, และ z ตามลาดบ ในกรณเชนน เราสามารถเขยนสญลกษณของตาแหนงดงกลาวในรปของ vector ไดวา

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )t x t y t z t r i j k ___________________ สมการ (2.3)

อยางไรกด การกากบตาแหนงของวตถยงสามารถทาไดอกหลายวธ และมไดจากดอยแตในรปของระยะทางจากจดกาหนด เหมอนดงตวอยางขางตน แตเพยงเทานน อาทเชน



xy

( , )x yตาแหนง

เราจะบอกตาแหนงของลกตมไดอยางไร ?

xy


เราจะบอกตาแหนงของลกตมไดอยางไร ?

การแกวงของลกตมซงผกตดกบเพดานดวยเชอก ในขณะทมนกาลงเคลอนท เราสามารถบอกตาแหนงของมนไดอยางนอย 2 วธดวยกน คอ 1) โดยใชระบบของกรอบอางอง ซงเรมดวยการกาหนดใหจดทเชอกยดตดกบเผดานพอด เปนจดกาเนด จากนนวดระยะทางจากลกตมกจะทาใหเราไดพกด ( , )x y ดงแสดงในภาพ 2) กคอการวดมม ทเชอกกระทากบแนวดง และกาหนดใหมม เปนบวก เมอลกตมแกวงมาทางขวามอ ในขณะทมมดงกลาวจะมคาเปนลบ ถาลกตมแกวงมาทางซายมอ เมอวตถเคลอนท มม กยอมตองเปนฟงกชนของเวลา หรออกนยหนง ( )t

1m

2m

3m

yแกน

1y

2y

3y

รอก 1

รอก 2

1

2

ระบบ Double Pulleysระบบ Double Pulleys

1m

2m

3m

yแกน

1y

2y

3y

รอก 1

รอก 2

1

2

ระบบ Double Pulleysระบบ Double Pulleys

ภาพ (2.1) แสดงระบบทประกอบดวยลกรอก 2 ชดซงผกตดอยกบกลองทง 3 ใบ ในขณะทระบบมการเคลอนท เราจะบอกตาแหนงของมวลทง 3 ไดอยางไร ?

ดงแสดงใน ภาพ (2.1) ระบบประกอบดวยลกรอก 2 ชด ซงผกตดอยกบกลองทง 3 ใบ ในขณะทมการเคลอนท เราสามารถบอกตาแหนงของมวลทงสามไดอยางนอย 2 วธดวยกนคอ 1) บอกตาแหนงดวยพกดตามแนวแกน y ของมวลทงสาม จากภาพแสดงดวยสญลกษณ 1y , 2y , และ 3y ตามลาดบ



2) เนองจากเชอกแตละเสนมความยาวคงท โดยสมมตใหมคาเทากบ 1b และ 2b ตามลาดบ เมอระบบของลกรอกมการเคลอนทขนลง ความยาว 1 และ 2 ดงแสดงในภาพกจะตองเปลยนแปลงตามไปดวย เพราะฉะนนแลว เราสามารถเลอกทจะใชตวแปร 1 และ 2 เพอบงบอกถงตาแหนงของกลองทงสามได ไมวาเราจะใชวธท (1) หรอ วธท (2) ในการบอกตาแหนง กยอมถกตองทงสนเพราะขอมลของ 1 2 3, ,y y y หรอ 1 2, มความสมพนธกนอยดงแสดงในภาพ โดยประมาณแลว จะไดวา 1 1y 2 1 1 2y b 3 1 1 2 2y b b จากตวอยางทงสอง จะเหนวานอกเหนอจากระบบพกด Cartesian แลว ยงมอกหลายวธทเราจะสามารถบงบอกถงตาแหนงของวตถได ไมวาจะเปนมม ในกรณของลกตม หรอจะเปนความยาว 1 2, ในกรณของลกรอก ดวยเหตน ในเนอหาของ Lagrange Mechanics เราจะใชสญลกษณ q แทนพกดทใชบอกตาแหนงของวตถ โดยไมเปนการเฉพาะเจาะจงวาเปนระบบพกดแบบใด และเปนอสระของผทาการวเคราะหทจะเลอกใชกลไกเชนใดกได

กาหนดใหเซตของ generalized coordinate iq เปนตวแปรแทนตาแหนงของวตถ

คาวา "generalized" สอความหมายใหเหนอยางชนเจนวา พกด iq นน เปนระบบพกดเชนใดกได มไดจากดอยแตเพยง Cartesian frame of reference และแมวาเรายงไมไดกลาวถง Lagrange Equation of Motion ดงในสมการ (2.2) ในรายละเอยด แตจากการสงเกตทวา สมการดงกลาวเปนสมการอนพนธทขนอยกบตวแปร q ซงกคอ generalized coordinate ดงนนเราจะไดขอสรปทแสดงใหเหนถงสมบตทนาทงอนหนงของ Lagrange Mechanics กลาวคอ ไมวาเราจะใชระบบพกดเชนใดในการบงบอกตาแหนงของวตถ สมการ Lagrange Equation of



Motion มรปแบบทเหมอนกนเสมอ ไมวาเราจะใชพกด ,x y ในระบบพกด Cartesian จะใชมม ของเชอกทกระทากบแนวดง จะใชความยาวเชอกจากลกรอก 1 2, รปแบบของสมการ (2.2) ยงคงเหมอนเดม นบวาเปนความงดงามทลงตวอยางหนงในทางฟสกส หรออกนยหนง จากตวอยางทงสอง เราสามารถเขยน Lagrange Equation of Motion ในทานองเดยวกนกบสมการ (2.2) ไดวา

ในกรณของลกตม 0L d L

dt

___________________ สมการ (2.4)

ในกรณของลกรอก 1 1

0L d L

dt

___________________ สมการ (2.5)

2 2

0L d L

dt

___________________ สมการ (2.6)

เชนนเปนตน อยางไรกตาม สมการทเขยนขน จะยงไมมประโยชนอะไรและไมสามารถนาไปวเคราะหหาผลเฉลยอะไรได ถาเรายงไมทราบความหมายและทราบรปแบบทางคณตศาสตรของฟงชนก L ทปรากฏอยในสมการดงกลาว ซงจะไดอธบายในลาดบตอไป

Lagrange Function L K U Lagrange mechanics เปนกลไกในวชากลศาสตรทมองระบบทางฟสกสโดยอาศยพลงงานเปนหลก ซงแตกตางจาก Newton mechanics ทอาศยแรงเปนหลก ในทางฟสกสนน พลงงานแบงออกเปน 2 ประเภทใหญๆคอ พลงงานจลน หรอ kinetic energy ซงแทนดวยสญลกษณ K และพลงงานศกย หรอ potential energy ซงแทนดวยสญลกษณ U เนอหาในหวขอตอไปน เราจะมาฝกการเขยนพลงงานทง 2 ประเภทใหอยในรปของ generalized coordinate iq และจะนาไปสการสราง Lagrange function ทมคานยามวา

L K U ___________________ สมการ (2.7)

พจารณากรณตวอยางของลกตมทผกตดอยบนเพดานดวยเชอกความยาว ดงแสดงในภาพ ถาเราเลอกทจะใชมม เปนตวแปรในการบงชตาแหนงของมวล m จะสามารถสราง Lagrange function ดงแสดงในสมการ (2.7) ไดอยางไร?



xy


พลงงานจลน และพลงงานศกย ในรปของ

xy



นกศกษาทราบดวา โดยทวไปแลวเราเขยนพลงงานจลนใหอยในรปของพกด Cartesian ,x y ไดอยางงายดายวา

2 2 21 1v v v

2 2 x yK m m ___________________ สมการ (2.8)

เมอ v ( )xd

x tdt

และ v ( )yd

y tdt

เปนความนยมของผศกษาเกยวกบ Lagrange mechanics ท

เมอเรากลาวถงอนพนธเทยบกบเวลา ยกตวอยางเชน ( )d

x tdt

, ( )d

y tdt

, หรอ ( )d

q tdt

เราจะเขยน

ดวยสญลกษณอยางยอวา

( )d

q q tdt

___________________ สมการ (2.9)

นนกคอ ใชจดหนงจด เพอแสดงถงอนพนธเทยบกบเวลานนเอง สมการ (2.9) มไดมนยยะสาคญทางฟสกสแตอยางใด หากเปนแตเพยงการใชสญลกษณเพอยอยนระยะเวลาในการเขยนเทานนเอง ดวยอาศยรปแบบของสญลกษณดงกลาว เราเขยนสมการของพลงงานจลนดงในสมการ (2.8) เสยใหมไดวา

2 21

2K m x y ___________________ สมการ (2.10)

นอกจากพลงงานจลนแลว ลกตมกยงมพลงงานศกยทสบเนองมาจากสนามโนมถวงของโลก ซงเขยนในรปสมการไดวา



U mgy ___________________ สมการ (2.11) อยางไรกด ทงพลงงานจลนและพลงงานศกยทเราเขยนขน ลวนแตอยในรปของพกด ,x y ทงสน ซงผดกบวตถประสงคทตงใจไวแตตน ทเราตองการเขยน K และ U ใหอยในรปของ ทงนเมอพจารณาจากภาพจะพบวา

( ) sin ( )x t t และ ( ) cos ( )y t t _________ สมการ (2.12) สาเหตทพกดตามแกน y มคาเปนลบกเพราะวา ลกตมอยดานลางของจดกาเนด ซงเรากาหนดไวใหอย ณ จดทเชอกผกอยกบเพดานพอดนนเอง นอกจากน ใหสงเกตการเขยนฟงกชน ( )x t , ( )y t , และ ( )t วาเปนฟงกชนของเวลา ทงนกเพอสอสารใชชดเจนวา ในขณะทมการเคลอนท ไมวาจะเปนพกด ,x y หรอมม กยอมตองมการเปลยนแปลง เปนฟงกชนของเวลานนเอง เพยงเทาน เมอแทนสมการ (2.12) เขาไปในสมการ (2.11) เรากสามารถเขยน พลงงานศกย U ใหอยในรปของ ไดสาเรจ กลาวคอ

cosU mg ___________________ สมการ (2.13) สวนในกรณของพลงงานจลน K เราเรมดวยการคานวณอนพนธเทยบกบเวลา ทงสองขางของ สมการ (2.12) ซงจะไดวา

( ) sin ( ) cos ( )d d d

x t t tdt dt dt

และ

( ) cos ( ) sin ( )d d d

y t t tdt dt dt

หรอเขยนผลลพธของสมการทงสองขางตน ใหอยในรปของสญลกษณอยางยอไดวา

cosx และ siny _________ สมการ (2.14)



และเมอแทนสมการ (2.14) เขาไปในเทอมของพลงงานจลนในสมการ (2.10) จะทาให

2 2 2 21 1cos sin

2 2K m m

_________ สมการ (2.15)

เมอกลาวโดยสรป ในการวเคราะหการเคลอนทของลกตม โดยใชตวแปร ในการบงชถงตาแหนงของมวล m นน เราสามารถเขยน Lagrange function ดงนยามในสมการ (2.7) ไดวา

2 21cos

2L m mg ______________ สมการ (2.16)

จากสมการขางตนจะพบวา L เปนฟงกชนของ และ หรอเขยนในรปของสญลกษณไดวา

,L L ความพยามยามในการสราง Lagrange function ดงตวอยางในสมการ (2.16) นน ถอไดวาเปนขนตอนทสาคญของ Lagrange mechanics ซงพอจะสรปโดยใชภาษาทคอนขางเปนทางการไดวา ถากาหนดใหเซตของ generalized coordinate iq เราจะตองเขยน Lagrange function L ใหอยในรป

, ,i iL K U L q q t _________________ สมการ (2.17) กลาวคอ เขยน L ใชอยในรปฟงกชนของ generalized coordinate iq , iq และ (ถาจาเปน) เวลา t นนเอง และในลาดบตอไป เรากมความพรอมทจะนา Lagrange equation ดงแสดงในสมการ (2.2) มาใชเปนเครองมอในการวเคราะหการเคลอนทของระบบทางฟสกส

ตวอยางโจทยตวอยางโจทยตวอยางโจทยตวอยางโจทย พจารณามวลทผกตดอยกบสปรงในแนวราบดงภาพ ถากาหนดใหพกด Cartesian x ของมวลดงกลาว เปนตวแปรในการกาหนดตาแหนงของวตถ จงเขยน Lagrange function ใหอยในรปของ x และ x



x0x

กลองมวล m ผกตดกบสปรง

x0x


วธทา กาหนดใหจด 0x เปนจดสมดลของสปรงพอด ในกรณเชนนจะไดวา เมอกลองตงอย ณ ตาแหนง x ใดๆ สปรงจะยดออก (หรอหดเขา) เปนระยะทาง x ดวยเชนกน เพราะฉะนน พลงงานศกยทเกดจากการยดตวของสปรงกคอ

21

2U kx

เมอ k คอคาคงทของสปรงทบงบอกถงความแขงของสปรงทกาลงพจารณา นอกจากน เนองจากเราโชคดทใชพกด Cartesian ในการแสดงถงตาแหนงของวตถ จะไดวาพลงงานจลนของกลองอยในรปของ

21

2K mx

เมอเปนเชนน Lagrange function ของระบบกคอ

2 21 1,

2 2L L x x mx kx ตอบ

แบบฝกหด 2.1 พจารณาระบบของกลองและพนเอยงดงภาพ ถากาหนดใหระยะทาง s ซงวดจากปลายสามเหลยมของพน เปนตวแปรทใชในการอธบายการเคลอนท จงเขยน Lagrange function ,L L s s

เฉลย: 21sin

2L ms mgs

ตวอยางโจทยตวอยางโจทยตวอยางโจทยตวอยางโจทย

พจารณากลองทวางอยบนบรเวณดานหนาของรถไถ ซงกาลงเคลอนทดวยความเรง a ดงแสดงใน

m

s

m

s



ภาพ ถากาหนดใหตวแปร s เปน generalized coordinate ทบงบอกถงตาแหนงของกลอง จงเขยน Lagrange function ( , , )L L s s t ของกลองดงกลาว

m

sความเรง a

m


วธทา เรมดวยการเขยนพกด Cartesian ,x y ของกลอง ถากาหนดใหรถไถเรมออกตว ณ เวลา 0t และดวยความเรวตน 0v 0 ณ เวลาดงกลาว กาหนดใหปลายสามเหลยมของรถไถ (ซง

แสดงดวยจดสแดงในภาพ) อย ณ จดกาเนดพอด

m

s

เวลา t = 0เวลา t = 0

y

x

m

s

ความเรง a

เวลา t ใดๆเวลา t ใดๆ

coss

sins

, ?x y

21

2a t

m

s

เวลา t = 0เวลา t = 0

y

x

m

s


เวลา t ใดๆเวลา t ใดๆ

coss

sins

, ?x y

21

2a t

เมอเวลาผานไป ในขณะทรถเคลอนตวดวยความเรง a จดสแดงดงกลาวกจะเลอนไปทางขวาดวยเชนกน โดยทเราสามารถคานวณตาแหนงของจดสแดงไดจากความเรงทโจทยกาหนดให วามคา

เทากบ 21

2at เพราะฉะนน พกดตามแกน x ของกลอง ณ เวลาใดๆ กคอ

21

( ) ( )cos2

x t at s t

และพกดตามแกน y กคอ

( ) ( )siny t s t เมอเปนดงน เราสามารถเขยนพลงงานศกยไดอยางงายดายวา



sinU mgs

ในขณะทพลงงานจลน 2 21

2K m x y นนจาเปนจะตองจดรปกนเลกนอย กลาวคอ

( ) cosd

x t x at sdt

และ ( ) sind

y t y sdt

เพราะฉะนนแลว

22 2 2 2 2 2 21 1 1cos sin 2 cos

2 2 2K m x y m at s s m a t at s s

และเมอนาพลงงานทง 2 ประเภทเขามาเขยนเปน Lagrange function จะไดวา

2 2 21, , 2 cos sin

2L L s s t m a t at s s mgs

ตอบ

หมายเหต: ตวอยางโจทยขอดงกลาวน เปนกรณท Lagrange function มสวนทขนกบเวลา t ดวยเชนกน

แบบฝกหด 2.2 พจารณาระบบของลกรอกดงแสดงในภาพ (2.1) ถากาหนดใหตวแปร 1 และ

2 คอ generalized coordinate ของระบบ จงเขยน Lagrange function 1 1 2 2, , ,L L เฉลย:

2 22

1 1 2 2 1 3 1 2 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 21 1 1

2 2 2m m m m g m g b m g b b

Equation of Motion - สมการของการเคลอนท โจทยในทางฟสกส มวตถประสงคทสาคญกคอการคานวณตาแหนงของวตถ ณ เวลาใดๆ ยกตวอยางเชนระบบของมวลและสปรงดงภาพ เราตองการทราบฟงกชน ( )x t



( )x t0x


( )x t0x


จากทเราไดศกษามาแลวในกลศาสตรของ Newton การทจะไดมาซงผลเฉลย ( )x t ดงกลาวนน เราจะตองเรมจากสมการอนพนธ หรอ differential equation ของการเคลอนทเสยกอน และเนอหาในหวขอน นกศกษาจะไดเหนความสมพนธระหวางกลศาสตร Newton และ กลศาสตรของ Lagrange วามสวนทคลายคลง และ สวนทแตกตางกนอยางไร ลาดบแรกคอกลศาสตร Newton สมมตวาเราตองการทจะทราบผลเฉลย ( )x t ในระบบของมวลและสปรง เรมดวยการพจารณาแรงลพธ netF ทกระทากบมวล m ในเมอแรงดงกลาวอยในแนวราบ และมทมาจากสปรง อาศยกฎของ Hook เราบอกไดวา

netF kx และเมอแทนแรงลพธดงกลาวเขาไปในกฎขอท 2 ของ Newton จะทาให

2

2d x kx

amdt

หรอจดรปไดวา

equation of motion ของมวลและสปรง 0mx kx _________ สมการ (2.18)

ซงในทน เราใชสญลกษณ 2

2d x

xdt

เพอความกระชบในการเขยนสมการ สมการ (2.18) นเองทเรา

เรยกวา "equation of motion" หรอ "สมการของการเคลอนท" ของระบบทเรากาลงพจารณา เพราะเปนสมการซงผลเฉลยของมน (และถาเรามความสามารถเชงคณตศาสตรเพยงพอในการแกสมการ) กคอ ( )x t นนเอง



Equation of Motion หมายถง สมการซงเปนโดยทวไปอยในรปของ differential equation ทเปนตวควบคมพฤตกรรมการเคลอนทของวตถ ผลเฉลยของสมการดงกลาว จะทาใหเราทราบตาแหนง หรอ ความเรวของระบบ ณ เวลาใดๆ อยางไรกด การไดมาซงสมการ (2.18) ตามตวอยางขางตน เราอาศยกฎขอท 2 ของ Newton เปนหลก และในขนตอไป เราจะลองอาศย Lagrange equation ดงแสดงในสมการ (2.2) กนบาง ลาดบทสองคอ Lagrange Mechanics ในตวอยางโจทยทผานมา เราไดศกษามาแลววา Lagrange function ของระบบทประกอบดวยมวลและสปรงนน สามารถเขยนอยในรปของ

2 21 1,

2 2L L x x mx kx

ซงในกรณน เรากาหนดใหตวแปร x คอตวแปรบงชตาแหนงของมวล ณ เวลาใดๆ จากสมการขางตน จะพบวา partial derivative ของ ,L L x x เทยบกบ x และ x กคอ

Lkx

x

และ L

mxx

เพราะฉะนน เมอนาขอมลทงสองชนขางตน เขาไปแทนใน Lagrange equation ดงแสดงในสมการ (2.2) จะไดวา

0d

kx mxdt

และเนองจาก d d dmx m x mx

dt dt dt

เราสามารถจดรปสมการขางตนเสยใหมไดวา

equation of motion ของมวลและสปรง 0mx kx _________ สมการ (2.19)

นกศกษาจะเหนวา สมการการเคลอนทดงกลาว มรปแบบทางคณตศาสตรเหมอนกนกบสมการ (2.18) ทงๆทมทมาแตกตางกน ในกรณของสมการ (2.18) เราเรมจากการพจารณาแรงลพธทกระทากบวตถ จากนนอาศยกฎของ



Newton netFa

m ในการสราง equation of motion ซงโดยทวไป เราเรยกกลไกในลกษณะนวา

Newtonian mechanics ในกรณของสมการ (2.19) เราเรมจากการพจารณา Lagrange function ของซงเกยวของพลงงานจลน

และพลงงานศกยของระบบ จากนนอาศยสมการของ Lagrange 0L d L

q dt q

ในการสราง

equation of motion ซงโดยทวไป เราเรยกกลไกในลกษณะนวา Lagrange mechanics ทงน ไมวาจะใชวธการใด กลศาสตรตามแบบของ Newton หรอ กลศาสตรตามแบบของ Lagrange กจะตองนาไปสสมการการเคลอนท หรอ equation of motion อนเดยวกน และในทายทสด สมการของการเคลอนทดงกลาว กจะนาไปสผลเฉลยของสมการอนเดยวกน แบบฝกหด 2.3 พจารณาระบบของลกรอกดงแสดงในภาพ (2.1) ถากาหนดใหตวแปร 1 และ

2 คอ generalized coordinate ของระบบ จงเขยน equation of motion ของระบบ

เฉลย:

1 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3

2 1 2 3 1 2 2 3

m m m m m m g

m m m m g

ตวอยางโจทยอยางงาย ของ Lagrange Mechanics

มาถงขนนเรากมความพรอมทจะนา Lagrange mechanics มาใชประยกตในการศกษาระบบทางฟสกส ดงจะไดยกตวอยางในลาดบตอไปน

ตวอยางโจทยตวอยางโจทยตวอยางโจทยตวอยางโจทย จงสราง equation of motion พรอมทงแกสมการเพอคานวณหาความถของการสนของลกตมมวล m ซงผกตดกบเชอกยาว ถาสมมตใหลกตมสนดวย amplitude ขนาดนอยมาก

xy



xy





วธทา กลไกของ Lagrange mechanics เรมดวยการนยาม generalized coordinate ทเหมาะสมในการอธบายตาแหนงของวตถ ในกรณนเราจะใช มม ดงตวอยางในขางตน ซงจากสมการ (2.16) เราสรปไดวา

2 21cos

2L m mg

และเนองจาก

sinL

mg

, 2Lm

, และ 2d Lm

dt

ทาใหเราสามารถสราง equation of motion โดยอาศย Lagrange mechanics ซงกคอ 0L d L

dt

หรออกนยหนง 2sin 0mg m จะเมอจดรปใหงายขน จะไดในทายทสด

equation of motion sin 0g

ตอบ

ขนตอนตอไปคอการแกสมการ เพอนาไปใชประโยชนในการวเคราะหสมบตการเคลอนทของระบบ นนกคอ ความถ ในกรณท amplitude ของการสนมคานอยมาก เมอ amplitude มคานอย ลกตมจะไมแกวง ไกลออกไปจากจดสมดลมากนก เพราะฉะนน ในขณะทมการเคลอนท มม t จะจากดอยแตในวงแคบๆ หรอ มคานอยมาก และดวยเอกลกษณทางคณตศาสตรของ sin ทวา

sin เมอ มคานอยมาก ทาใหเราสามารถประมาณ สมการการเคลอนท ใหอยในรปทงายขนกคอ

0g

เมอ มคานอยมาก



สมการขางตน เปนสมการอนพนธอนดบสอง ซงผทเชยวชาญในวชา calculus จะบอกไดทนทวา ผลเฉลยของสมการอยในรป

( ) sint A t เมอ g

และ ,A คอคาคงท ซงขนอยกบเงอนไขเรมตนของระบบ

วา ลกตมเรมแกวงดวยความเรวตน หรอ มมเรมตนเทาใด เพราะฉะนนเราสรปไดวา

ความถของการสน g

ตอบ

แบบฝกหด 2.4 มวล m ผกตดกบสปรงและยดตดกบผนงทงสองขางซงม spring constant 1k และ

2k ดงแสดงในภาพ จงสราง equation of motion โดยอาศย 1) Lagrange mechanics และ 2) Newton mechanics พรอมทงวเคราะหสมการทได เพอหาความถของการสน

กลองมวล m ผกตดกบสปรง 2 ขาง กลองมวล m ผกตดกบสปรง 2 ขาง

ตวอยางโจทยตวอยางโจทยตวอยางโจทยตวอยางโจทย พจารณากลองทวางอยบนบรเวณดานหนาของรถไถ ทผวลนไมมแรงเสยดทาน ซงกาลงเคลอนทดวยความเรง a ดงแสดงในภาพ จากหาความเรง a ทจะไมใหกลองไถล แสดงวธทาโดยใช 2 วธดวยกนคอ Newton mechanics และ Lagrange mechanics

m


m


วธทา 1) อาศยกลศาสตร Newton ซงใชกลไกของแรงเปนหลก เราพจารณาแรงทงหมดทกระทากบกลองมวล m ดงแสดงในภาพ




mg

Ny

x


mg

Ny

x

เราสามารถแตกแรง N

ใหอยในรป x-component และ y-component ไดวา

sinxN N และ cosyN N

และในเมอกลองไมมการไถลขนหรอลง เราตความไดวา แรงลพธในแนวดงทกระทากบกลองตองมคาเปนศนย เพราะฉะนน

cos 0N mg อยางในกตาม ในแนวราบ กลองยงคงเคลอนทไปกบรถไถดวยความเรง a เมอกลองมความเรงกแสดงวาตองมแรงทกาลงดนกลองใหเคลอนทไปขางหนา ซงแรงดงกลาวมาจาก xN นนเอง เพราะฉะนน อาศยกฎขอ 2 ของ Newton ทวา

sinxN Na

m m

เราสามารถจดรปสมการทงสองไดวา

cosN mg และ sinN ma ทาใหในทายทสด

tana g ตอบ 2) อาศย Lagrange mechanics เรมดวยการกาหนด generalized coordinate โดยในทนเราเลอกใชตวแปร s ดงแสดงในภาพ



m


m


ในตวอยางโจทยทผานมา เราไดทาการวเคราะหหา Lagrange function ของระบบดงกลาว ไดวา

2 2 21, , 2 cos sin

2L L s s t m a t at s s mgs

ทาให

sinL

mgs

, cos

Lmat ms

s

, และ cosd L

ma msdt s

และนาไปสการสราง equation of motion โดย Lagrange mechanics กคอ

sin cos 0g a s เพอจะวเคราะห equation of motion เพอตอบโจทยดงกลาว สงเกตวาการทกลองไมไถลนน หมายถง ตวแปร s จะตองคงท และไมมการเปลยนแปลงกบเวลา หรออกนยหนง

0s และ 0s เมอแทนขอสงเกตดงกลาวเขาไปในสมการการเคลอนท จะไดวา sin cos 0g a หรอ

tana g ตอบ

แบบฝกหด 2.5 พจารณากลองทวางอยบนบรเวณดานหนาของรถไถ ทผวลนไมมแรงเสยดทาน และมทรงแบบ parabola ซงกาลงเคลอนทดวยความเรง a ดงแสดงในภาพ จากหาความเรง a ทจะ



ไมใหกลองไถล


ผวทรง parabola 2y bx


ผวทรง parabola 2y bx

แบบฝกหด 2.6 ลกตมผกอยกบเพดานของรถไฟทกาลงเคลอนทดวยความเรง a สงผลให ณ ตาแหนงสมดล มนเอยงไปดานหลงดวยมม e ดงแสดงในภาพ จงหา e

e ความเรง ae ความเรง a

ตวอยางโจทยตวอยางโจทยตวอยางโจทยตวอยางโจทย พจารณาระบบทมพกดแบบทรงกระบอก ถาเรางอลวดเปนทรงพาราโบลา ทมสมการ 2z cr จากนนนาลกปดมวล m ไปเสยบไวทขางใดขางหนง เสนลวดจะตองหมนดวยความเรวเชงมม เทาได ลกปดจงจะไมหลนลงพน แตอยนงกบท?

z

x

y

r

2z cr

เสนลวด

z

x

y

r

2z cr

เสนลวด

วธทา เราสามารถใชพกดทรงกระบอก , ,r z ในการวเคราะหการเคลอนทของระบบ ใน Lagrange mechanics เรมดวยการหาพลงงานจลนและพลงงานศกยของระบบ จากสมการ



ความสมพนธระหวางพกด Cartesian , ,x y z และ พกดทรงกระบอก , ,r z ทวา

cosx r siny r z z และเนองจากลกปดโดนจากดใหอยในวงของเสนลวด ดงนนตวแปร r และ z จงไมไดเปนอสระตอกน แตมความสมพนธกนอย ซงกคอ 2z cr เราสามารถคานวณความเรวของมวล m ใหอยในรปของพกด , ,r z ไดวา

v cos cos sinxdx d

r r rdt dt

v sin sin cosydy d

r r rdt dt

2v 2zdz d

cr crrdt dt

และจะนาไปสการเขยนพลงงานจลน

2 2 22 2 2 21 1 1v v v v cos sin sin cos 2

2 2 2x y zK m m m r r r r crr

ซงลดรปเหลอเพยง

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 14 4

2 2K m r r c r r m r r c r r

จะเหนวาในสมการขางตน เราให d

dt

เนองจากโจทยกาหนดใหเสนลวด (และลกปดซง

เสยบอยกบเสนลวด) หมนในแนวราบดวยอตราเรวเชงมม นนเอง และในกรณของพลงงานศกย ซงเปนผลมาจากแรงโนมถวงของโลก

2U mgz mgcr ทาใหเราสราง Lagrange function ไดวา



2 2 2 2 2 2 21( , ) 4

2L r r K U m r r c r r mgcr

ในขางตน เราเลอกทจะใหตวแปร r เปน generalized coordinate ซงทาหนากากบตาแหนงของลกปด ดงนน

2 2 24 2L

m r mc rr mgcrr

2 24L

mr mc r rr

2 2 2 24 8d L

mr mc r r mc rrdt r

และจะได Lagrange equation of motion 0L d L

r dt r

คอ

2 2 2 2 21 4 4 2 0c r r c rr gc r

เพอทจะวเคราะหหาคา ทเหมาะสมททาให ลกปดไมรดลงมาดานลาง เราสงเกตวา ในกรณเชนน

r ตองมคาคงท หรออกนยหนง 0dr

rdt

และ 0r ดงนนเราแทนความสมพนธดงกลาว ใน

equation of motion จะไดวา

22 0gc r

หรอ 2gc ตอบ

Section 2.2 Motion with Constraints

กระบวนการของ Lagrange mechanics เรมตนดวยการกาหนด generalized coordinate iq ทใชในการอธบายตาแหนงของวตถ จากนนเขยนพลงงานจลน และ พลงงานศกย ใหอยในรปของ ,i iq q เพอสราง Lagrange function L K U และนาไปส equation of motion ซงอยในรป

0L d L

q dt q



อยางไรกตาม ยงมประเดนสาคญทเรายงไมไดกลาวถง ซงถามไดวเคราะหใหกระจาง จะทาใหเกดความสบสนอยางยงเมอนา Lagrange mechanics มาใชงาน นนกคอ ในระหวางการเลอก generalized coordinate ทเหมาะสม เราจาเปนตองใชตวแปร iq ทงหมดเทาใด จงจะเพยงพอในการสราง equation of motion ? เพอทจะใหเขาใจในประเดนปญหาไดงายขน จะยกตวอยางระบบของ pendulum ดงแสดงในภาพ

xy


เราจะเลอก generalized coordinates ไดอยางไร ?เราจะเลอก generalized coordinates ไดอยางไร ? ถาเลอกใชตวแปร 1 ตว

ถาเลอกใชตวแปร 2 ตว

0L d L

dt

0

0

L d L

x dt xL d L

y dt y

แนวเสนโคง

xy


เราจะเลอก generalized coordinates ไดอยางไร ?เราจะเลอก generalized coordinates ไดอยางไร ? ถาเลอกใชตวแปร 1 ตว

ถาเลอกใชตวแปร 2 ตว

0L d L

dt

0

0

L d L

x dt xL d L

y dt y

แนวเสนโคง

ใน Section ทผานมา เราสราง equation of motion โดยเลอกใชตวแปรเพยงหนงตว ซงกคอ ใน

การบงบอกตาแหนงของลกตม และนาไปสสมการทวา 0L d L

dt

ในแงของการบงบอกตาแหนง เราสามารถเลอกใชตวแปรสองตวคอ ,x y ในพกด Cartesian ซงกไมผดกตกาแตอยางใด คาถาม ในกรณเชนน การเขยน Lagrange equation of motion

0L d L

x dt x

และ 0

L d L

y dt y

ในกรณของลกตมนน ถกตองหรอไม ?

คาตอบ ไมถกตอง



คาอธบาย เพราะตวแปร x และ y ไมไดเปนอสระตอกน

Lagrange equation 0L d L

q dt q

ใชไดเฉพาะกรณท generalized coordinate iq

เปนอสระตอกนเทานน _________________ สมการ (2.20)

ในขณะทลกตมกาลงเคลอนท ถาเลอกใชตวแปรหนงตว คอ มม ดงกลาว จะเปลยนแปลงไดอยางอสระ ซายบางขวาบาง ขนอยกบจงหวะของการกวดแกวง จงสามารถเขยน Lagrange equation ดงในสมการ (2.2) ไดอยางถกตอง แตถาเราเลอกใชตวแปรสองตว คอ x และ y เนองจากเชอกมความยาวคงท ทาใหลกตมโดนจากดใหเคลอนทแตเฉพาะในวงโคง ดงแสดงในภาพ ดงนน พกด x และ y จงมไดเปนอสระตอกน หากแตมความสมพนธกนอยในลกษณะของสมการเสนโคง ทอยในรปของสมการวงกลม 2 2 2x y ซงสามารถจดรปเสยใหมไดวา 2 2 2 0x y

โดยทวไปแลว

เราเรยกสมการทแสดงความสมพนธระหวาง generalized coordinate iq วา "constraint equations" หรอ สมการขอจากด ซงมกเขยนใหอยในรป 1 2, , 0g q q

_________________ สมการ (2.21)


1m

2m

1

2

เชอกยาว b

1m

2m

1

2


ระบบลกรอกประกอบดวยเชอกยาว b และมวล 1 2,m m ดงแสดงในภาพ a) ถากาหนดใหเซตของ generalized coordinate ประกอบดวยตวแปร 1 ตวคอ 1 จงเขยน Lagrange function L K U ของระบบ



b) ถากาหนดใหเซตของ generalized coordinate ประกอบดวยตวแปร 2 ตวคอ 1 2, จงเขยน Lagrange function L K U ของระบบ พรอมทงเขยน constrain equation วธทา a) สมมตใหจดกาเนดอยทผวดานบนของลกรอกพอด ถา 1 คอความยาวของเชอกทางซายมอ เราบอกไดวา พกดในแนวแกน y ของมวล 1m คอ

1 1y เพราะฉะนน พลงงานจลนและพลงงานศกยของมวล 1m คอ

2 21 1 1 1 11 1

2 2K m y m และ 1 1 1 1 1U m gy m g

ในเมอเชอกมความยาวทงสน b จะไดวา 2 1b ทาใหพกดในแนวแกน y ของมวล 2m มคาเทากบ

2 2 1y b ดงนน พลงงานจลนและพลงงานศกยของมวล 2m อยในรปของ

2 22 2 2 2 11 1

2 2K m y m และ 2 2 2 2 1U m gy m g b

ซงเราสามารถเขยน Lagrange function L K U ไดวา

21 1 1 2 1 1 2 1 2

1( , )

2L m m m m g m gb ตอบ

สงเกตวาเราเขยน 1 1( , )L ใหเปนฟงชนกทไมขนอยกบ 2 2( , ) ดวยเหตทโจทยกาหนดให generalized coordinate ม 1 ตว ซงกคอ 1 เพยงเทานน b) ในคราวน ใช generalized coordinate ถง 2 ตวในการบงบอกตาแหนงของมวลทงสอง กลาวคอ



1 และ 2 ซงเราเขยน Lagrange function ไดอยางตรงไปตรงมาวา

2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1( , , , )

2 2L m m m g m g ตอบ

อยางไรกด 1 และ 2 ไมไดเปนอสระตอกน เพราะมวลทงคผกอยกบเชอกทยดหรอหดไมได ดงนน 1 2b หรอเขยนใหอยในรปของ constraint equation ดงสมการ (2.21) ไดวา

1 2 1 2( , ) 0g b ตอบ หมายเหต : จะตองจดรป constrain equation ใหมคาเทากบศนยเสมอ

แบบฝกหด 2.7 อนภาคมวล m เคลอนทอยบนผวดานในของกรวยซงมมมยอดเทากบ ดงภาพ

สมการผวกรวยคอ 2 2tan2

z x y

สมการผวกรวยคอ 2 2tan2

z x y

a) ใหตวแปรในพกด Cartesian , ,x y z เปนเซตของ generalized coordinate จงเขยน Lagrange function , , , , ,L L x x y y z z พรอมทง constraint equation ( , , )g x y z b)ใหตวแปรในพกดทรงกระบอก หรอ cylindrical coordinate , ,r z เปนเซตของ generalized coordinate จงเขยน ( , , , , , )L L r r z z และ ( , , )g r z c) ใน cylindrical coordinate กาหนดใหเพยง ,r เปนเซตของ generalized coordinate จงเขยน Lagrange function ( , , , )L L r r และสราง Lagrange equation of motion

เฉลย a) 2 2 21 1 1

2 2 2L mx my mz mgz และ 2 2( , , ) 0 tan

2g x y z z x y



b) 2 2 2 21

2L m r r z mgz และ ( , , ) 0 tan

2g r z z r

c) 2

2 2 2

2

1

2 tan tan2 2

r rL m r r mg

และเนองจาก r และ เปนอสระตอกน

equation of motion คอ 2 2sin sin cos 02 2 2

r r g และ 2 2 0mr mrr

จากตวอยางโจทย และ แบบฝกหดขางตน จะพบวาผวเคราะห สามารถทจะเลอกใช generalized coordinate ตามทเหนสมควร และสามารถทจะเขยน Lagrange function ,i iL L q q ขนมาโดยไมผดกตกาแตอยางใด เพยงแตวา ถาเซตของ generalized coordinate iq เหลานนมไดเปนอสระตอกน หากแตสมพนธกนอยดวย constrain equation 1 2, , 0g q q เสยแลว ผวเคราะหดงกลาว

ไมสามารถใช Lagrange equation 0L d L

q dt q

ในการสราง equation of motion ของระบบได

นนเอง เมอไมสามารถสราง equation of motion ซงเปนตวควบคมพฤตกรรมการเคลอนทของระบบได ยอมมผลเสยอยางยง เพราะทาใหเราไมสามารถแกสมการหาผลเฉลย วาตาแหนงของอนภาคเปลยนแปลงกบเวลาเชนใด ดผวเผนจงคลายกบวา Lagrange mechanics จะมประโยชนแตเฉพาะในกรณทเซตของ generalized coordinate iq นนเปนอสระตอกนเทานน ในความเปนจรงแลว เราสามารถสราง Lagrange equation of motion ได ถงแมเซตของ iq จะโดนจากดอยภายใตเงอนไขของ constrain equation 1 2, , 0g q q เพยงแตสมการดงกลาว จะมความซบซอนมากขน และสงผลใหภาระทางคณตศาสตรทจะตองแกสมการเพมขน เราเรยกสมการดงกลาววา "Lagrange equation with Constraints"

ถาเซตของ generalized coordinate iq ของระบบอยภายใตเงอนไขของ constraint equation 1 2, , 0g q q แลว

Lagrange Equation of Motion with Constrain 1 2( ) ( , , ) 0i i i

L d Lt g q q

q dt q q

เมอ คอตวแปรทมชอวา Lagrange Multiplier

_________________ สมการ (2.22)



ดงจะยกตวอยางการสราง equation of motion ของระบบลกรอกในตวอยางโจทยขางตน

1m

2m

1

2


1m

2m

1

2


ถาเราเลอก 1 และ 2 เปนเซตของ generalized coordinate จะไดวา Lagrange function และ constrain equation อยในรปของ

2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1( , , , )

2 2L m m m g m g

1 2 1 2( , ) 0g b ซงจากสมการ (2.22) เราสามารถสราง equation of motion ไดวา

ในกรณของ 1 1 21 1 1

( , ) 0L d L

gdt

ในกรณของ 2 1 22 2 2

( , ) 0L d L

gdt

ทาใหในทายทสด ประกอบกนขนเปนระบบของ 3 สมการอนพนธ ซงม 3 ตวแปร 1 2, , ทเราตองหาผลเฉลยคอ

equation of motion ของระบบ 1 1 1

2 2 2

1 2

0

0

0

m g m

m g m

b

และถาทกษะทางคณตศาสตรของนกศกษาดพอ กจะสามารถแกสมการอนพนธขางตนและไดมาซงขอมล 3 ชนดวยกนคอ 1) 1 1( )t ทบงบอกการเคลอนทของมวล 1m 2) 2 2( )t ซงบง



บอกการเคลอนทของมวล 2m และ 3) ( )t ทเรยกวา Lagrange multiplier ซงจะไดขยายความถงประโยชนของ ในลาดบตอไป ถงแมในเบองตนน นกศกษาทเชยวชาญในวชาฟสกส อาจจะสงเกตวา เนอหาของ Lagrange

equation 0L d L

q dt q

กด หรอ 1 2( ) ( , , ) 0

i i i

L d Lt g q q

q dt q q

กด เปน

กฎเกณฑทอางขนมาลอยๆและปราศจากทมา ปราศจากหลกการทางฟสกสทเปนฐานใหสมการทางคณตศาสตรเหลานยนอยได แตในความเปนจรงแลว ระบบของ Lagrange mechanics ตลอดจนสมการทเกยวของ มพนฐานมาจากหลกการทางฟสกสทเรยกวา Hamilton Principle ผนวกกบกลไกทางคณตศาสตรทเรยกวา Calculus of Variations ซงเราจะไดกลาวถงเนอหาในทงสองหวขอน ใน Section 2.3 และ 2.4

ตวอยางโจทยตวอยางโจทยตวอยางโจทยตวอยางโจทย พจารณาระบบของลกปดและลวด ดงในตวอยางโจทยทผานมา ถากาหนดใหตวแปร ,r z ในพกดทรงกระบอก เปนเซตของ generalized coordinate จงใช Lagrange equation with constraint ในการคานวณ ทเหมาะสม

z

x

y

r

2z cr

เสนลวด

z

x

y

r

2z cr

เสนลวด

วธทา ในทานองเดยวกนกบตวอยางโจทยทผานมา เราเขยนพลงงานจลนและพลงงานศกย ของระบบไดวา

2 2 2 2 2 2 2 21 1

2 2K m r r z m r r z และ U mgz

เพราะฉะนน Lagrange function และ constraint equation คอ



2 2 2 21( , , , )

2L r r z z m r r z mgz และ 2( , ) 0g r z z cr

กอนทจะสราง Lagrange equation with constraint เราทาการรวบรวมเทอมตางๆทเกยวของไดดงตอไปน

2Lm r

r

Lmr

r

d L

mrdt r

2

gcr

r

Lmg

z

L

mzz

d L

mzdt z

1

g

z

และอาศยสมการ (2.22) เราบอกไดวา สาหรบตวแปร r 2 2 0m r mr c r _____________ (E.1) สาหรบตวแปร z 0mg mz _________________ (E.2) constraint equation 2 0z cr _______________________ (E.3) เมอทราบสมการการเคลอนท ลาดบตอไปเปนเพยงกระบวนการทางคณตศาสตรเพอหาคา ททาใหลกปดไมไถลลงมาดานลาง สมการทง 3 ขางตน ปรากฏตวแปร , ,r z ทเราตองแกหาผลเฉลย ทาการลดรปใหงายขนโดยการกาจดตวแปร ใหหมดไป จากสมการ (E.2) จะได

mg mz ซงเมอแทนในสมการ (E.1) ทาให

2 2 0m r mr c mg mz r หรอจดรปไดวา 22 2 0r cgr r czr _________________ (E.4) สงเกตวา เราไดสมการ (E.3) และ สมการ (E.4) ซงเกยวของกบตวแปร ,r z เพยงเทานน สวน นนโดนกาจดใหหมดไป ลาดบตอไปคอการกาจด z ใหเหลอเพยง r จากสมการ (E.3) จะได

2z crr และ 22 2z crr cr แทนความสมพนธดงกลาวในสมการ (E.4) ทาให



2 22 2 2 2 0r cgr r c crr cr r

หรอ

2 2 2 2 21 4 4 2 0r c r c rr r gc

และเมอกาหนดให 0r และ 0r เนองจากโจทยกาหนดใหลกปดไมมการไถล จะไดวา

2gc ตอบ

จากตวอยางโจทยขางตน ไมวาเราจะ 1) เลอกใชตวแปรเพยง 1 ตวคอ r เปน generalized coordinate และ ใชสมการ (2.2) ในการวเคราะหระบบ หรอ 2) เลอกใชตวแปร 2 ตวคอ ,r z ผนวกกบ constraint equation ( , ) 0g r z และใชสมการ (2.22) ในการวเคราะหระบบ ผลลพธทไดจะตองเทากนเสมอ สวนนกศกษาจะเลอกใชวธใดนน ขนอยกบดลพนจและประสบการณ วาวธใดจะมความสะดวกในเชงคณตศาสตรมากกวากน แตในทางฟสกสแลว มไดแตกตางกนแตอยางใด

ความหมายของ Lagrange Multiplier ( )t

ทผานมาเราไมไดใหความสาคญกบ เปนเพยงตวแปรทเพมขนมา เนองจากการใช Lagrange equation with constraint ซงในทายทสดแลว จะโดนกาจดใหหมดไปจากระบบของสมการ อยางไรกตาม มความหมายทเปนเสมอนสะพานทเชอมระหวาง Lagrange mechanics และ Newton mechanics เขาดวยกน กลาวคอ ใน Lagrange mechanics เราวเคราะหระบบโดยอาศยพลงงานเปนหลก โดยไมจาเปนตองพจารณาแรงทกระทากบวตถ ในทางตรงกนขามกบ Newton mechanics ซงอาศยแรงเปนหวใจสาคญของการวเคราะห แตเมอระบบของ Lagrange mechanics ม constraint equation เขามาเกยวของ อาทเชน ลกปดทโดนบงคบใหเคลอนทบนเสนลวด หรอมวล m ทโดนบงคบใหเคลอนทบนผวของกรวย เราสามารถทจะตงคาถามวา ปจจยอะไร ทเปนตว "บงคบ" ใหมวลเหลาน อยภายใตเงอนไขของ constraint equation ? เพอจะเขาใจประเดนนไดชดเจนและเปนรปธรรมมากขน พจารณากลองมวล m เคลอนทในแนวราบบนผวทปราศจากแรงเสยดทาน ดงแสดงในภาพ (2.2)



mx

y

Constraint Equation ( , ) 0g x y y

mx

y

Constraint Equation ( , ) 0g x y y

ภาพ (2.2) แสดงการเคลอนทของกลองบนผวทลน

จรงอย โดยทวไปเราจะเลอกทจะใชเพยงแกน x ในการวเคราะหการเคลอนทของวตถ เพราะเปนทเขาใจกนวา มวล m ดงกลาวจะเคลอนทใน 1 มตเพยงเทานน อยางไรกตามไมมกฎทางฟสกสใด หามไมใหเรา "ดนทรง" ทจะใชตวแปร ,x y เปนเซตของ generalized coordinate ในการกากบตาแหนงของวตถ อาศยกลไกของ Lagrange mechanics เราทราบวา

2 21 1( , , , )

2 2L x x y y mx my mgy และ ( , ) 0g x y y

constraint equation ( , ) 0g x y y สะทอนใหเหนขอเทจจรงทวา เมอกลองเคลอนท พกดตามแนวแกน 0y เสมอ อนเนองมาจากพนผวทเรยบสมาเสมอนนเอง จากสมการ (2.22) จะไดวา

สาหรบตวแปร x gmx

x

0

สาหรบตวแปร y 0g

mg myy

constraint equation 0y ระบบของ 3 สมการขางตน เปนมมมองของ Lagrange mechanics ซงมองการเคลอนทในแนวราบ วาเกดจากการทตวแปร y โดนบงคบดวย constrain equation 0y ในมมมองของ Newton mechanics ซงมองการเคลอนทของวตถ วาเปนผลมาจากแรงตางๆทกระทา



กบวตถ และการทกลองเคลอนทในแนวราบได กเนองมาจากแรง normal force N ทพนดนกลองขนในแนวตง ซงจะตองมคาสมดลพอดกบนาหนกของกลอง ดงนน N mg ในภาษาของ Lagrange mechanics เราเรยกแรงททาให เซตของ generalized coordinate iq อยภายใตขอบงคบของ constraint equation วา "generalized force of constraint" iQ ซงมคาเทากบ

ii

gQ

q

_________________ สมการ (2.23) และนเอง คอความหมายของ Lagrange multiplier วาเกยวของกบแรงททาให ลกปดตองเคลอนทตามแนวของเสนลวด หรอมวล m ตองเคลอนทไปตามลกษณะของพนผวทมนตงอย และเพอแสดงใหเหนวาสมการ (2.23) ใชไดกบกรณตวอยางใน ภาพ (2.2) จากสมการสาหรบตวแปร y จะได

gmg my

y

และเนองจาก constraint equation 0y ทาให 0y และ 0y สงผลใหสมการขางตนอยในรปของ

gmg

y

force of constraint ในแนวแกน y

ซงกเปนจรงตามทสมการ (2.23) ไดกลาวไว

ตวอยางโจทยตวอยางโจทยตวอยางโจทยตวอยางโจทย เดกหญงชใจเลนกระดานลนรปทรงกลมในสนามเดกเลน ดงภาพ เธอเรมจากจดหยดนง ณ จดสงสด และเคลอนทลงมา โดยกนสมผสกบผวโคงมาโดยตลอด ปรากฏวาเมอมาถง ณ จดของมมวกฤต c ตามหลกการทางฟสกสแลว เธอจะตองหลดของจากผว ลอยละลวออกไป และตกพนในทสด (จก) จงหามม c



จดวกฤต

รศมr ax

y

จดวกฤต

รศมr ax

y

วธทา ในการอธบายตาแหนงของเดกหญงชใจ (มวล m ) เราเลอกใชตวแปร ,r เปน generalized coordinate เพอคานวณพลงงานจลนและพลงงานศกย เรมดวยการเขยนพกด ,x y ใหอยในรปของ ,r

sinx r cosy r ดงนน sin cosx r r cos siny r r ทาให

2 2 2 2 21 1 1

2 2 2K mx my m r r

cosU mgr เพราะฉะนน Lagrange function คอ

2 2 21, , , cos

2L r r m r r mgr

ซงในเบองตนน ในขณะทกนของชใจยงตดอยกบกระดานลน constraint equation คอ

( , ) 0g r r a และกอนทจะสราง Lagrange equation of motion with constraint ทาการรวบรวมเทอมตางๆทเกยวของ

2 cosL

mr mgr

L

mrr

d L

mrdt r

1

g

r

sinL

mgr

2Lmr

2 2

d Lmr mrr

dt

0g



ดงนน สาหรบตวแปร r 2 cos 0mr mg mr _______ (E.1) สาหรบตวแปร 2sin 2 0mgr mr mrr _______ (E.2) constraint equation 0r a __________________________ (E.3) ขนตอนตอไป จะนาการตความของ ดงในสมการ (2.23) มาใชประโยชนในการตอบโจทย

กลาวคอเมอ g

r

คอแรงทบงคบใหกนของชใจตดอยกบกระดานลน ดงนนจดทเธอหลดออก

พอด แรงดงกลาวตองเปนศนย จะไดวา

0g

r

ณ มมวกฤต c

เรมดวยการปรบรปของสมการ (E.1) และ สมการ (E.2) ใหงายขนโดยแทน r a และ 0r r 2 cos 0ma mg ________________________ (E.4) 2sin 0mga ma ___________________________ (E.5) จากสมการ (E.5) จะได

sing

a

ซงเราจะทาการ integrate เพอหาคาของเทอม 2 ทปรากฏในสมการ (E.4) จากกฎลกโซในวชา derivative calculus

d d d d d d

dt dt dt d dt d

ดงนน

sind g

d a

หรอ

sing

d da

และเมอ integrate ทงสองขางจะไดวา



2

sin

cos2

gd d

a

gC

a

เมอ C คอคาคงทของการ integrate และในเมอเรมเคลอนทจากจดหยดนง ณ ตาแหนง 0 จะ

ไดวา 0 เพราะฉะนน gC

a จงจะทาใหเงอนไขเรมตนนเปนจรงได ทาใหในทายทสด

2 2 cos 2g g

a a

แทนความสมพนธขางตนในสมการ (E.4) ทาให

2 cos 2 cos 0g g

ma mga a

หรอ 3cos 2mg

และจากตรรกะทไดเกรนไดแตตน คอ ณ มมวกฤต c แลว 0g

r

และเนองจาก 1g

r

จะไดวา 0 3cos 2cmg

หรอ 1 2cos3c

หรอ ประมาณ 48 องศา ตอบ

แบบฝกหด 2.8 ระบบของลกรอกประกอบดวยรอกนาหนกเบาและมวล 1 2m m หอยอยท งสองขางของเชอกยาว b ถา ณ เวลาเรมตน มวลทงสองหยดนงและหอยอยในแนวระดบเดยวกน จงหาแรงตงเชอก โดยอาศย a) Newton mechanics และ b) Lagrange mechanics

เฉลย a) 1 2

1 2

2m m

T gm m

b) 1 2

1 2

2m mg

gr m m

(เครองหมายลบหมายถงแรงมทศชขน)


ระบบของ pendulum ประกอบดวยเชอกยาว R และลกตมมวล m ดงภาพ ถาเรมปลอยลกตมจากจดหยดนง ณ มม 0 90 องศา จงหาแรงตงเชอกในขณะทลกตมเคลอนทมาอยในแนวดงพอด แสดงวธทาโดยใช a) Newton mechanics และ b) Lagrange mechanics



xy

xy

วธทา a) โดยวธ Newton mechanics อาศยกระบวนการของวเคราะหแรงตางๆทกระทากบลกตม ในขณะทมนเคลอนทลงมาในแนวดงพอด จะพบวาม 2 แรงดวยกนคอ 1) นาหนก W mg และ 2) แรงตงเชอก T ดงแสดงในภาพ

T

mg

T

mg ดงนนแรงลพธทกระทากบวตถคอ

netF T mg ถาเราทราบแรงลพธ netF กยอมสามารถแกสมการหา T ได เนองจากลกษณะการเคลอนทของวตถ เปนผลสบเนองมาจากแรงลพธทกระทากบตวมนเอง ในกรณน มวล m เคลอนทเปนวงโคง เราสรปไดวา แรงลพธทกระทา จะเปนเปนแรงสศนยกลาง หรอ centripetal force ซงมคาเทากบ

2

net centripetalv

F F mR

เพราะฉะนนแลว 2v

T mg mR

หรออกนยหนง

2v

T m mgR

__________________________ (E.1)

ซงเราสามารถคานวณอตราเรว v ในขณะทลกตมอย ณ จดตาสดไดโดยอาศยกฎการอนรกษพลงงาน เนองจากลกตมเรมเคลอนทจากจดหยดนง ณ ความสง R ดงนนพลงงานศกย ณ เวลาเรมตนคอ U mgR เมอเคลอนทมายงจดตาสด พลงงานศกยดงกลาวถกเปลยนใหอยในรปพลงงานจลนของการ

เคลอนท จะไดวา 21v

2m mgR หรอ

2v 2gR



แทนความสมพนธดงกลาวในสมการ (E.1) จะไดวา แรงตงเชอกมคาเทากบ 3T mg ตอบ

b) โดยวธ Lagrange mechanics เรมดวยการกาหนด generalized coordinate ของลกตมดวยเซตของตวแปร ,r เมอ r รศมจากจดทเชอกผกตดอยกบเพดาน ดงนน Lagrange function และ constraint equation คอ

2 2 21cos

2L m r r mgr และ ( , ) 0g r r R

และนาไปส Lagrange equation of motion with constraint ซงอยในรปของ สาหรบตวแปร r 2 cos 0mr mg mr _________ (E.1) สาหรบตวแปร 2sin 2 0mgr mr mrr ________ (E.2) constraint equation 0r R ___________________________ (E.3) จากสมการ (2.23) เราตความไดวา

g

r

แรงในแนวรศม ทบงคบใหลกตมเคลอนทเปนวงกลม ซงเมอเทยบเคยงกบ Newton

mechanics กคอ "แรงตงเชอกนนเอง" จากสมการ (E.3) จะได r R และ 0r r ทาใหเขยนสมการ (E.2) เสยใหมไดวา

sing

R

ซงถาแทน d

d

และทาการ integrate ทงสองขาง ในทานองเดยวกนกบตวอยางโจทยทผานมา

จะไดวา

2

cos2

g

R



เมอแทน 2 2 cosg

R , r R , และ 0r ในสมการ (E.1) จะทาให

3 cos 0mg

เพราะฉะนนแลว แรงตงเชอก (หรอแรงทบงคบใหลกตม เคลอนทเปนแนวโคง) ณ ตาแหนง 0 มคาเทากบ

3g

mgr

ตอบ

หมายเหต: เครองหมายลบแสดงถงทศทางของแรงวามทศชขนดานบน

Section 2.3 Calculus of Variations (Optional)

เนอหาทผานมา เราไดประสบความสาเรจในการทาความเขาใจกบกลศาสตรแบบ Lagrange ตลอดจนสามารถนามาประยกตใชงานเพอวเคราะหสมบตการเคลอนทของระบบ หากแตในการศกษาวชาฟสกส เราจาเปนตองทราบแนวคดและทมา ของทฤษฏดงกลาว รวมไปถงตนตอทางคณตศาสตรทอยเบองหลง Lagrange equation of motion ดงปรากฏในสมการ (2.22) ซงจะเปนหวใจสาคญของเนอหาในลาดบตอไปน ในเบองตน เราจะตองทาความรจกกบทฤษฏทางคณตศาสตรทสาคญ ซงมชอเรยกโดยทวไปวา calculus of variations และเพอใหนกศกษาสามารถเขาใจเนอหาดงกลาวไดงายยงขน เราจะเรมดวยตวอยางโจทยทเปนรปธรรม และวเคราะหการแกโจทยโดยอาศยหลกการของ calculus of variations เมอมความคนเคยเพยงพอกบรปแบบการใชสญลกษณ จงจะทาการนยามทฤษฏบทดงกลาว ใหอยในรปแบบทางคณตศาสตรทเปนสากล เพอใหสามารถนาไปประยกตใชกบสถานการณอนๆไดอกตอไป

ตวอยางโจทยของ Calculus of Variations

พจารณาการออกแบบถวย ซงมขอกาหนดใหขอบลางและบนมรศม a และ d ตามลาดบ และ



จะตองสง h ดงแสดงใน ภาพ (2.3)

โจทย กาหนดใหฟงชนก ( )y y x เปนสมการทแสดงถงเสนโคงของดานขาง จงหาฟงชนก ( )y x ททาใหพนทผวดานขางของถวยมคานอยทสด

d

hds

2 2, ,x y d h

1 1, ,0x y a

( )y y x

พนทผวดานขาง ของถวย

x

y

2 2ds dx dy

dx

dy

a

d

hds

2 2, ,x y d h

1 1, ,0x y a

( )y y x

พนทผวดานขาง ของถวย

x

y

2 2ds dx dy

dx

dy

a

เสนตรง Parabola Logarithm

( )x a

y x hd a

2 2

2 2( )

x ay x h

d a

ln( )( )

ln( )

x ay x h

d a

ตวอยางถวยใน 3 รปแบบเสนตรง Parabola Logarithm

( )x a

y x hd a

2 2

2 2( )

x ay x h

d a

ln( )( )

ln( )

x ay x h

d a

ตวอยางถวยใน 3 รปแบบ

ภาพ (2.3) แสดงการออกแบบถวย โดยใชสมการความโคง ( )y x ใน 3 รปแบบดวยกน ซงกจะมพนทผวดานขางแตกตางกนออกไป

ในการหาพนทผวดานขางของถวย พจารณาชนสวนเลกๆของความโคง ณ ตาแหนง ( , )x y ทม

ความยาว 2 2ds dx dy เมอมการกลงรอบแกน y กจะทาใหเกดรปทรงกระบอกขนาดจว ดงปรากฏเปนแถบสฟาใน ภาพ (2.3) ซงทรงกระบอกดงกลาว มพนทเทากบ

22 22 2 2 1

dydA xds x dx dy x dx

dx



และถาเรานยาม (เพอความกระชบในการเขยน) dyy

dx จะไดวา 22 1dA x y dx ทาให

พนททงหมด สามารถเขยนใหอยในรปของ integration ดงน

2

1

22 1x

x

A dx x y _________________ สมการ (2.24)

โดยทโจทยกาหนดให 1x a และ 2x d ทงนเนองจากพนท A ดงในสมการขางตน ขนอยกบ

ลกษณะของฟงชนก dyy

dx วามรปแบบทางคณตศาสตรอยางไร จงไดยกตวอยางในภาพ (2.3) ท

แสดงฟงชนก ( )y y x ใน 3 ลกษณะดวยกน ซงนกศกษากสามารถคาดเดาไดวา รปถวยทง 3 แบบดงกลาว เมอนาไปแทนในสมการ (2.24) กจะไดพนทผว A แตกตางกนออกไป แบบฝกหด 2.9 จากภาพ (2.3) จงแสดงใหเหนวา สมการ ( )y y x ของรปถวยทงสามแบบ เปนไปตามเงอนไขทวา กนถวยรศม a , ปากถวยรศม d , และสง h แบบฝกหด 2.10 จากภาพ (2.3) จงหาพนทผว A ของตวอยางถวยทง 3 รปแบบ พรอมทงเปรยบเทยบพนททง 3 แบบ โดยสมมตให 5cma , 10cmd , 3cmh

เฉลย ถา ( ) x ay x h

d a

2 2A d a d a h

ถา 2 2

2 2( )

x ay x h

d a

3 2 3 22 2 2 22

3A d a

เมอ 2 2

2

d a

h

ถา ln( )( )

ln( )

x ay x h

d a 2 2

2ln 1 1

d

a

A u u u u

เมอ ln( )d a

h

และเมอแทนขนาด 5cma , 10cmd , 3cmh จะไดขนาดพนทดงน เสนตรง 2274.777cmA Parabola 2278.445cmA Logarithm 2273.015cmA

ขอควรระวง เฉพาะในการวเคราะหครงน เรานยาม dyy

dx และมไดเกยวของกบอนพนธเทยบกบ

เวลา เหมอนในกรณของ Lagrange mechanics แตอยางใด และเมอเขยนพนทผว A ใหอยในรปของ integration ดงในสมการ (2.24) เรากสามารถเขยนโจทยเสยใหม ใหอยในรปแบบทางคณตศาสตร ทรดกมชดเจนยงขนไดวา



โจทย จงหาฟงชนก ( )y y x ทผานจด 1 1,x y และ 2 2,x y ซงทาใหผลของ

integration 2

1

22 1x

x

A dx x y มคานอยทสด

_________________ สมการ (2.25) อยางไรกตาม การทเราสมเลอกฟงชนก ( )y y x ขนมาหลายๆรปแบบ ดง 3 ตวอยางในภาพ (2.3) แลวทาการเปรยบเทยบผลของพนทผว A ทคานวณได วาถวยแบบใดจะใหพนท A นอยกวากนนน เปนการตอบโจทยทไมสมบรณ เนองเพราะอาจยงมแนวเสนโคง ( )y x อนๆทเรามไดนามาพจารณา เมอเปนเชนน จะมวธการพสจน หรอ หาฟงชนก ( )y y x ททาใหพนทผว A มคานอยทสดไดอยางไร ? เทคนคทางคณตศาสตรทเราจะใชในการแกโจทยครงน จะเปนเทคนคเดยวกนกบท Leonhard Euler ซงเปนนกปราชญชาวสวส ไดคดคนขนเมอป ค.ศ. 1744 (ซงเปนชวงเวลาในตอนปลายของกรงศรอยธยา) สมมตใหฟงชนก min ( )y x เปนความโคงททาใหผลของ integration ในสมการ (2.24) มคาตาทสด หรออกนยหนง มพนทผว A นอยทสด เพราะฉะนน ฟงชนก ( )y x ใดๆทผดแผกออกไปจาก

min ( )y x โดยคานยามแลว ยอมจะใหผล integration มคาเพมขนเสมอ ยกตวอยางเชน

min( ) ( ) ( )y x y x x _________________ สมการ (2.26)

1x

min ( )y x

x

y

min( ) ( ) ( )y x y x x

(เสนโคง ดทสด)

(แตกตางจาก เลกนอย)min ( )y x

2x1x

min ( )y x

x

y

min( ) ( ) ( )y x y x x

(เสนโคง ดทสด)

(แตกตางจาก เลกนอย)min ( )y x

2x ภาพ (2.4) สมมตให min ( )y x เปนเสนโคงทดทสด และเสนโคง ( )y x นนแตกตางจาก min ( )y x เลกนอย หรอเขยนในรปของสมการไดวา

min( ) ( ) ( )y x y x x เมอ คอ parameter และ ( )x คอฟงชนกใดๆ



เมอ คอ parameter ซงปรบเปลยนคาได และ ( )x คอฟงชนกใดๆ ทมสมบต 1( ) 0x และ

2( ) 0x ดงแสดงในภาพ (2.4) เหตทตองกากบเงอนไขทง 2 ขอของฟงชนก ( )x กเพอการนตวาเสนโคง ( )y x เรมตน ณ ตาแหนง 1 1,x y และสนสด ณ ตาแหนง 2 2,x y นนเอง จากคานยามของ ( )y x ในสมการ (2.26) จะพบวา ถา 0 จะทาให ( )y x ลดรปเหลอเพยง

min ( )y x ซงจะใหผล integration มคาตาทสด แตถา มคานอกเหนอจากน ยอมจะทาให

min( ) ( )y x y x และสงผลให integration มคาเพมขน อยางหลกเลยงมได ในเมอ ผลลพธของ integration หรอ ในทนหมายถงพนทผว A นน มคาเปลยนแปลงตาม parameter เราสามารถเขยนใหอยในรปของฟงชนกไดวา

2 2

1 1

22min( ) 2 1 2 1 ( ) ( )

x x

x x

A A dx x y dx x y x x

โดยทเราใชสญลกษณ min min( ) ( )d

y x y xdx

และ ( ) ( )d

x xdx

ดงทไดกลาวมาแลวขางตน

ในเมอ ( )A A กลาวคอ A เปนฟงชนกของ ผนวกกบขอกาหนดทวา ( )A จะถงจดตาสด เมอ 0 เราสามารถสรางสมการเงอนไขของจดตาสดไดกคอ

0

( ) 0A

ทงน ถาแทน 2

1

2min( ) 2 1 ( ) ( )

x

x

A dx x y x x เขาไปในเงอนไขขางตน จะไดวา



2

1

2

1

2

1

2min

0

2min

0

min

2min 0

2 1 ( ) ( ) 0

2 1 ( ) ( ) 0

( ) ( )( ) 0

1 ( ) ( )

x

x

x

x

x

x

dx x y x x

dx x y x x

y x xdx x x

y x x

ซงเมอแทน 0 ดงปรากฏในเครองหมาย

0 จะทาให

2 2

1 1

min min

2 2min min

( ) ( )( ) 0

1 ( ) 1 ( )

x x

x x

y x y xdx x x x d

y x y x

โดยทในสมการขางตน เราเปลยน ddx dx d

dx

จากนนใชทฤษฏบท integration by parts

ทวา v v vud u du มาประยกตใชกบสมการดงกลาว จะทาให

2

2

1

1

min min

2 2min min

( ) ( )0 ( ) ( )

1 ( ) 1 ( )

xx

xx

y x y xx x x d x

y x y x

จะสงเกตวาเทอมแรกนนมคาเทากบศนย เพราะเงอนไขทง 2 ขอของฟงชนก ( )x ทวา

1 2( ) 0 ( )x x ดงนนจะไดวา

2

1

min

2min

( )0 ( )

1 ( )

x

x

y xx d x

y x

และเนองจากเรานยามไวตงแตตนวา ( )x คอฟงชนกใดๆ การทสมการขางตนจะเปนจรงในทกๆกรณ โดยมไดขนอยกบวา ( )x มรปแบบทางคณตศาสตรเปนเชนใดนน เราจาเปนตองกาหนดใหเทอมภายใน integral ซงกาลงคณอยกบ ( )x นนมคาเปนศนย นนกคอ



min

2min

( )0

1 ( )

y xd x

y x

หรออกนยหนง

min

2min

( )constant

1 ( )

y xx

y x

_________________ สมการ (2.27)

ซงถาแทนคาคงทดงกลาวดวยสญลกษณ 1C และทาการจดรปสมการขางตนเสยใหม จะไดวา

1min min 2 2

1

Cdy y

dx x C

ขางตนนเอง คอสมการอนพนธซงสามารถใชเปนจดเรมตนในการหาผลเฉลยของ min ( )y x วามรปแบบทางคณตศาสตรเปนเชนใด และกระบวนการในการแกสมการดงกลาว เรมดวยการจดรป

1min 2 2

1

Cdy dx

x C

จากนนทาการ integrate ทงสองขางของสมการ

1min 2 2

1

1min 1 2

1

cosh ( )

Cdy dx

x C

xy C C

C

เมอฟงชนก 1cosh มชอวา inverse ของ hyperbolic cosine ซงนกศกษาสามารถทบทวนสมบตของฟงชนกดงกลาว ไดจากเอกสารทเกยวของกบ mathematical method ทมอยท วไป นอกจากน 1C และ 2C ทปรากฏในสมการขางตน กคอคาคงทของการ integrate ซงจากโจทยของการออกแบบถวยดงแสดงในภาพ (2.3) เราคานวณ 1C และ 2C ไดจากเงอนไข 1 1, ,0x y a และ 2 2, ,x y d h เพราะฉะนน จากการวเคราะหทผานมา เสนโคงทดทสด หรอ ใหพนทดานขางของถวยนอยทสด จะตองอยในรปแบบของสมการ



พนท A นอยทสด 1min 1 2

1

cosh ( )x

y C CC

_________________ สมการ (2.28)

1min 1 2

1

cosh ( )x

y C CC

เสนโคงของถวย ทมพนทนอยทสด

1min 1 2

1

cosh ( )x

y C CC

เสนโคงของถวย ทมพนทนอยทสด

แบบฝกหด 2.11 คานวณพนทของถวยทเกดจากความโคงในสมการ พรอมทงเปรยบเทยบกบพนททง 3 แบบ โดยสมมตให 5cma , 10cmd , 3cmh เฉลย 2272.857cmA

Euler's Equation

จากตวอยางของการวเคราะหหาฟงชนก min ( )y x ซงแสดงความโคงของถวย ททาใหเกดพนทผวดานขางนอยทสด ในคราวนเราตองการทจะสรางระบบสมการทางคณตศาสตรทอยในรปทวไปมากขน ทงนกเพอทาใหขอบเขตของการนามาประยกตใชงานนน กวางขวางยงขนนนเอง

โจทย จงหาฟงชนก ( )q q ทผานจด 1 1,q และ 2 2,q ซงทาใหผลของ

integration 2

1

( , ; )J d f q q

มคานอยทสด

_________________ สมการ (2.29) โจทยในสมการขางตน มความคลายคลงกบในกรณของการออกแบบถวยในสมการ (2.25) เพยงแตมการเขยนในรปแบบทางคณตศาสตรทใชกบกรณทวไปไดดกวา กลาวคอ กาหนดให เปนตวแปรตน และ q คอตวแปรตาม ซงสมพนธกนในลกษณะของฟงชนก ( )q q

จากนนพจารณาผลของ integration 2

1

( , ; )J d f q q

เมอ ( )f เปนฟงชนกใดๆกได ซงถา

จะเปรยบเทยบกบในกรณของการออกแบบถวยทผานมา 2( , ; ) 2 1f q q q เปนตน



ในทน เราตองการทราบฟงชนก ( )q q ททาให J มคานอยทสด ซงไมวาในทายทสดแลว บทสรปทไดจากการวเคราะหจะเปนเชนใดกตาม เนองจากเราไมไดกาหนด ( , ; )f q q ใหตายตว ทฤษฏบททกาลงจะกลาวถงน จงมขอบเขตการประยกตใชงาน กวางขวางเปนอยางยง ในขนตนน สมมตให

ฟงชนก min ( )q ทาให integral J มคานอยทสด ___________ สมการ (2.30) นอกจากน กาหนดให min ( )q จะตองตดผานจด 1 1,q และ 2 2,q ทงนเมอพจารณาฟงชนก ( )q ทผดแผกออกไปจาก min ( )q เลกนอย กลาวคอ

min( ) ( ) ( )q q _________________ สมการ (2.31) ใหสงเกตวา ฟงชนก ( ) จะตองเปนไปตามเงอนไข 1 2( ) 0 ( ) เพอทาให ( )q ตดผาน 1 1,q และ 2 2,q โดยปรยาย จากคานยามของ min ( )q ในสมการ (2.30) ( )q นนผดแผกจาก min ( )q จงยอมทาใหคา J ทคานวณได มคาเพมขน และจะมคาตาทสดในกรณท parameter 0 หรออกนยหนง

2 2

1 10

0

0 ( , ; ) ( , ; )J

d f q q d f q q

_________________ สมการ (2.32) เมออาศยกฎลกโซจะไดวา

( , ; )f q f q f

f q qq q

f q f q

q q

ทงนเนองจาก เปนตวแปรอสระ และมไดเกยวกบ จงทาให 0

นอกจากน จากสมการ

(2.31) จะพบวา



( )q

และ q d

d

ซงเมอแทนขอมลดงกลาว ลงในสมการ (2.32) จะทาให

2

1

0 ( )f f d

dq q d

_________________ สมการ (2.33)

จดรปเทอมทสอง โดยใชทฤษฏบท integration by parts ทวา v v vud u du

2

2 2 2

1 1 1

1

( ) ( )

u dv u v v du

f d f f d fd d d

q d q q d q

แตจากเงอนไข 1 2( ) 0 ( ) ทาใหเทอมแรกในสมการขางตนหายไป ดงนนสมการ (2.33) อยในรปของ

2 2

1 1

0 ( ) ( ) ( ) 0f d f f d f

d dq d q q d q

สมการขางตน จะเปนจรงเสมอ โดยไมขนกบลกษณะของฟงชนก ( ) กตอเมอ

Euler's Equation 0f d f

q d q

_________________ สมการ (2.34)

สมการขางตนนเอง มชอเรยกโดยทวไปวา Euler's equation ซงคนพบเมอป ค.ศ. 1744 เนองจากในขนตอนการพสจนสมการขางตน เรากาหนดให 0 นนหมายถง min( ) ( )q q ซงเปนการตอบโจทยในสมการ (2.29) และจะไดกลาวถงตวอยางการนามาประยกตใชงานในลาดบตอไป


จงหาฟงชนก ( )y x ททาใหผล integration 2

1

22 1x

x

A dx x y มคานอยทสด



วธทา เมอเปรยบเทยบรปแบบการใชสญลกษณกบสมการ (2.29) จะเหนวาฟงชนก

( , ; )f f y y x กคอ

22 1f x y ดงนน ในการนา Euler's equation ในสมการ (2.34) มาใชงาน ทาการรวบรวมเทอมตางๆทเกยวของ

0f

y

22

1

f yx

y y

จากนนแทนขอมลดงกลาว ใน Euler's equation

20 0 2

1

f d f d yx

y dx y dx y

หรอ 2

2 01

d yx

dx y

ซงเราสรปไดวา

2constant

1

yx

y

จะสงเกตวา สมการอนพนธในขางตน เหมอนกนในกรณของการออกแบบถวยในสมการ (2.27) ทกประการ แตการใชมาซงสมการดงกลาว มระเบยบแบบแผนทชดเจน ตามทฤษฏบทของ Euler นนเอง และขนตอนสดทายในการหาฟงชนก ( )y x ทใหผล integration A ตาทสด เปนเพยงกระบวนการแกสมการอนพนธขางตน ซงไดกลาวไวอยางละเอยดแลวในหวขอทผานมา ดงนน

11 2

1

( ) cosh ( )x

y x C CC

ตอบ



แบบฝกหด 2.12 จงหาฟงชนก ( )y t ททาใหผลของ integration 2

1

21

2

t

t

S dt my มคาตาทสด

โดยกาหนดให 1 1, 0,0t y และ 2 2, ,t y T h

เฉลย ( ) hy t t

T


จงหาฟงชนก ( )y t ททาใหผลของ integration 2

1

21

2

t

t

S dt my mgy มคาตาทสด โดยกาหนดให

1 1, 0,0t y และ 2 2, ,t y T h วธทา เราจะมองโจทยขอนเปนคณตศาสตรลวนๆ โดยมไดใสใจในความหมายทางฟสกสของตว

แปรตางๆ เมอเปรยบเทยบ integral 2

1

21

2

t

t

S dt my mgy กบการใชสญลกษณในสมการ (2.29)

จะพบวา

21( , ; )

2f y y t my mgy

ดงนน ในการนา Euler's equation ในสมการ (2.34) มาใชงาน ทาการรวบรวมเทอมตางๆทเกยวของ

fmg

y

f

myy

d f d d

my m y mydt y dt dt

จากนนแทนขอมลดงกลาว ใน Euler's Equation

0 0f d f

mg myy dt y

และนาไปสสมการอนพนธ

2

2

d yy g

dt



ซงมผลเฉลยอยในรปของ

21 2

1( )

2y t gt C t C

เมอ 1 2,C C ลวนเปนคาคงทของการ integrate ซงเราสามารถหาคาไดจากขอกาหนด 1 1, 0,0t y และ 2 2, ,t y T h กลาวคอ

ณ 1 1, 0,0t y 21 2

10 0 0

2g C C ดงนน 2 0C

ณ 2 2, ,t y T h 21

10

2h g T C T ดงนน 1 2

h gTC

T

เพราะฉะนน ฟงชนก ( )y t ทตดผาน 1 1, 0,0t y และ 2 2, ,t y T h และให integral S มคานอยทสด คอ

21( )

2 2

h gTy t gt t

T

ตอบ

ประโยชนของทฤษฏบททางคณตศาสตรทเรยกวา calculus of variations โดยเฉพาะอยางยง Euler's equation นน ไดถกนามาประยกตในทางฟสกสจานวนมาก อาทเชน การคานวณหาเสนทางทสนทสด ระหวางจด 2 จดบนพนผว ดงจะไดยกตวอยางในลาดบตอไปน

ตวอยางโจทยตวอยางโจทยตวอยางโจทยตวอยางโจทย จงแสดงใหเหนวา เสนทสนทสด ทเชอมระหวางจด 1 1,x y และ 2 2,x y บนผวเรยบ คอเสนตรง

x

y

1 1,x y

2 2,x y

dx

dyds

x

y

1 1,x y

2 2,x y

dx

dyds

วธทา กาหนดใหฟงชนก ( )y x คอสมการของเสนทาง ทเชอมระหวาง 1 1,x y และ 2 2,x y ดงแสดงในภาพ เพอทาการหาระยะทางทงหมด พจารณาชวงสนๆ dx ณ ตาแหนง ( , )x y จะพบวา ระยะทางสนๆในชวงนกคอ



2

2 2 21 1dy

ds dx dy dx y dxdx

เพราะฉะนนระยะทางทงหมดกคอ

2

1

21x

x

s dx y

โจทยขอนเมอมองในภาษาของ calculus of variations จะไดวา จงหาฟงชนก ( )y x ทตดผาน

1 1,x y และ 2 2,x y และทาใหผล integration 2

1

21x

x

s dx y มคานอยทสด

โดยเราจะใชกลไกของ Euler's equation ในการแกปญหาน เรมดวยการเปรยบเทยบกบรปแบบของสญลกษณในสมการ (2.29) จะไดวา

2( , ; ) 1f y y x y

เพราะฉะนน 0f

y

และ

21

f y

y y

ทาใหเราสราง Euler's equation ดงสมการ (2.34)

ไดดงน

20

1

f d f d y

y dx y dx y

นนหมายถง

21

y

y

คาคงท ซงอาจจะแทนดวยสญลกษณ

จดรปของสมการขางตนไดวา

22

21y

หรอ 2

21

dy

dx



ซงกระบวนการ integrate เพอหารปแบบของฟงชนก ( )y x กคอ

2

21dy dx

หรอ 2

21y dx

ทาใหในทายทสดแลว y mx C

เมอ m และ C ตางกเปนคาคงท ซงจะมคาเทาใดนน ขนอยกบจด 1 1,x y และ 2 2,x y ทเสนทางตดผาน แตประเดนอยทวา ระยะทางจะนอยทสดกตอเมอ

สมการ y mx C ซงเปนสมการเสนตรง ตอบ

เสนทางสนทสด ทเชอมระหวางจด 2 จด มชอเรยกโดยทวไปวา "geodesic" ซงขนอยกบลกษณะของพนผว ในกรณของผวเรยบบนระนาบ geodesic มลกษณะเปนเสนตรง ในกรณของผวโคง geodesic กมลกษณะเปนเสนโคงสอดคลองกบพนผวนนๆ นอกจากน การวเคราะหหา geodesic ยงเปนพนฐาน ซงจะมบทบาทสาคญในการศกษาทฤษฏสมพนธภาพทวไปของ Einstein อกดวย

ตวอยางโจทยตวอยางโจทยตวอยางโจทยตวอยางโจทย จงหาระยะทางของ geodesic ระหวางจด 2 จดทอยตรงกนขามของทรงกระบอก และเยองขนไป h ดงแสดงในภาพ

a

2 2 2, ,x y z

1 1 1, ,x y z

h dsdz

dxdy

2 2 2

2 2

ds dx dy dz

a z d

a

2 2 2, ,x y z

1 1 1, ,x y z

h dsdz

dxdy

2 2 2

2 2

ds dx dy dz

a z d

วธทา เพอความสะดวก เราจะใชพกดทรงกระบอก , ,r z ในการอางถงจดบนพนผว และเนองจากเปนผวทรงกระบอกจงม r constant = a พจารณาชนสวนขนาดเลกของเสนโคง ความยาวของมนคอ



2 2 2ds dx dy dz จากความสมพนธของพกดทรงกระบอก cosx a , siny a , z z ดงนน

sindx a d , cosdy a d , dz dz ซงเมอแทนในความยาว ds ขางตนจะไดวา

22 2 2 2 2 2dz

ds a d dz a d a z dd

เมอนยาม dzz

d เพราะฉะนนในโจทยขอน เราตองการหาฟงชนกของเสนโคง ( )z ททาให

integration 2

1

2 2s d a z

มคานอยทสด และจากโจทยกาหนดใหเสนโคงดงกลาว ตอง

ผานจด 1 1, 0,0z และ 2 2, ,z h ซงเมอเปรยบเทยบกบสญลกษณในสมการ (2.29) จะไดวา

2 2( , ; )f z z a z

และเมอทาการรวบรวมเทอมทจาเปนในการสราง Euler's equation กลาวคอ 0f

z

และ

2 2

f z

z a z

ทาให

2 20

f d f d z

z d z d a z

นนหมายถง

2 2

z

a z

คาคงท แทนดวยสญลกษณ

ซงเมอจดรปแลวจะไดวา

2 22

21

az

หรอ 2 2

21

adz d

และถาทาการ integrate ทงสองขางของสมการ จะนาไปสสมการ ( )z z ทวา



( )z m C

เมอ ,m C คอคาคงทของการ integrate ซงเราสามารถคานวณไดจากขอกาหนดของโจทยทวา ณ จด 1 1, 0,0z 0 0m C ดงนน 0C

ณ จด 2 2, ,z h 0h m ดงนน hm

เพราะฉะนนแลว

( )h

z

หรอ dz hz

d

ซงเมอนาไปแทนในผล integration เพอหาความยาวของ geodesic จะไดวา

2

1

2 22 2 2 2

0

h hs d a z d a a

ทาใหในทายทสด

2 2 2s a h ตอบ นอกจากน สมการของระยะทาง geodesic หรอ เสนทางทสนทสด ระหวางจดทงสองดงกลาว ยงสามารถหาไดจาก

การวาดสามเหลยมบน สตกเกอร จากนนตดลงบนทรงกระบอกใหมมยอดทบกบจดทงสองพอด โดยขนาดของสามเหลยมตองมฐานยาวเทากบครงหนงของเสนรอบวงของทรงกระบอก นนคอ 2

2

aa

และสง h ดงแสดงในภาพ

ทผานมาเราไดทาการศกษาเทคนคทางคณตศาสตรทเรยกวา calculus of variations ซงเปน

h

2 2a a

2 2s a h

วาดสามเหลยมบน สตกเกอร

ตดลงบนทรงกระบอก

geodesic

h

2 2a a

2 2s a h

วาดสามเหลยมบน สตกเกอร

ตดลงบนทรงกระบอก

geodesic



กระบวนการทางคณตศาสตรในการหาฟงชนก ( )q ททาใหผลของ integral ( , ; )d f q q มคานอยทสด และนามาส Euler's equation มาถงจดน นกศกษากมความพรอมทจะนา Euler's equation ดงกลาว มาใชในการทาความเขาใจถงทมาของ Lagrange equation of motion ในสมการ (2.2) และ (2.22)

Section 2.4 Hamilton's Principle (Optional)

การคนหากฎเกณฑทางฟสกสเพอทจะสามารถอธบายปรากฏการณตางๆในธรรมชาตนน มประวตศาสตรอนยาวนาน เรมตงแตในอดต นกวทยาศาสตรมแนวความคดเกยวกบ "minimum principle" กลาวคอ การเคลอนไหวของสรรพสงนน เกดจากการทธรรมชาตพยายามทจะทาใหปรมาณในทางฟสกส มคาตาทสด (หรอ สงทสด)

Minimum Principle

ยกตวอยางเชน Alexander มหาราช ในสมย 200 กอนครสตกาล ไดพยายามอธบายการสะทอนของแสง โดยอาศยหลกการของ minimum principle โดย Alexander ตงสมมตฐานวา แสงจะเลอกเดนทางในเสนทางทสนทสดเสมอ และโดยอาศยหลกการดงกลาว เขาสามารถพสจนไดวา ในการสะทอนของแสงนน มมสะทอน จะตองเทากบมมตกกระทบเสมอ

d

A

B

1C

2C

3C

y

x

จดตกกระทบทอาจจะเปนไปไดจดตกกระทบทอาจจะเปนไปได

A

B

2 22 2A C C BAC CB d y y d y y

C

Ay

Cy

By

d

A

B

1C

2C

3C

y

x

จดตกกระทบทอาจจะเปนไปไดจดตกกระทบทอาจจะเปนไปได

A

B

2 22 2A C C BAC CB d y y d y y

C

Ay

Cy

By

ภาพ (2.5) (ซาย) แสดงจดทแสงอาจจะตกกระทบกระจก ในการเดนทางจากจด A และสะทอนไปยงจด B (ขวา) สมมตใหตวแปร Cy เปนพกดของจดตกกระทบ

ดงแสดงในภาพ (2.5) สมมตวาแสงตองเดนทางจากจด A มายงจด B โดยสะทอนผานกระจก ณ



จด C ถาเราพจารณาจด C ตางๆกนทแสงอาจจะตกกระทบ อาทเชนในกรณ 1C , 2C , และ 3C จะพบวา ในแตละกรณนน แสงจะมระยะเดนทาง AC CB แตกตางกนออกไป เพอทจะหาจด C ทเปนไปตามสมมตฐานของ Alexander ทวา แสงจะเลอกเสนทางทมระยะทาง นอยทสด เรากาหนดพกดดงภาพ (2.5) ให , ,A B Cy y y เปนพกดในแนวแกน y ของจดทง 3 และใหกระจกอยหางจากจด A และ B เปนระยะทาง d จะไดวา

ระยะทาง 2 22 2A C C BAC CB s d y y d y y

เพอทจะหาพกด Cy ททาใหระยะทาง s นอยทสด เราสามารถสรางสมการเพอหาจดตาสดของ s

2 22 2

2 22 2

0

0

C

A C C BC

A C C B

A C C B

ds

dy

dd y y d y y

dy

y y y y

d y y d y y

ซงเมอยกกาลงสองทงสองขาง และจดรป จะนาไปสขอสรปทวา

2A B

Cy y

y

หรออกนยหนง พกดแกน y ของ จดทแสงตกกระทบ จะตองอยกงกลางระหวาง A และ B พอด ดงแสดงในภาพ ซงจะมผลให มมสะทอน r มคาเทากบมมตกกระทบ i โดยปรยาย โดยเราอาจจะสรปบทวเคราะหของ Alexander ไดวา

Alexander: ถาแสงเคลอนทในเสนทางทสนทสดเสมอ แลว i r มมตกกระทบเทากบมมสะทอน

แตหลกการของ minimum principle ไมแนนกวาจะใชไดเสมอไปในทกสถานการณ อาทเชน

y

x A

B

C

Ay

Cy

By

i

r

มมตกกระทบ (incident angle)

มมสะทอน (reflected angle)

y

x A

B

C

Ay

Cy

By

i

r

มมตกกระทบ (incident angle)

มมสะทอน (reflected angle)



หลกการของ Alexander ไมสามารถอธบายการหกเหของแสงได ดงแสดงในภาพ (2.6) ทแสงเคลอนทจาก A B โดยผานตวกลางทมความหนาแนนแตกตางกน ยกตวอยางเชน นาและอากาศ ถาเรากาหนดใหแสงเลอกเสนทางทสนทสด กยอมตองเปนเสนตรง (สแดง) ซงแตกตางจากผลการทดลองโดยสนเชง

A

B

(ระยะทางสนทสด)

(ผลการทดลองจรง)

นา

อากาศ

A

Bกฏการหกเหของแสงกฏการหกเหของแสง

1n2n 2

11 1 2 2sin sinn n

A

B

(ระยะทางสนทสด)

(ผลการทดลองจรง)

นา

อากาศ

A

Bกฏการหกเหของแสงกฏการหกเหของแสง

1n2n 2

11 1 2 2sin sinn n

ภาพ (2.6) (ซาย) แสดงขอผดพลาดของหลกการท Alexander ใชในการทานายเสนทางของแสง (ขวา) ผลการทดลองจรงทเกดขน แสงจะมการหกเหเมอเคลอนผานตวกลางทมดชนหกเหแสงแตกตางกน โดยม Snell's Law เปนสมการควบคมพฤตกรรมของมน

เราทราบโดยทวไปวา เมอแสงเดนทางผานตวกลาง ซงมดชนหกเหแสง 1n และ 2n จะทาใหเกดการหกเหของแสง หรอ ทเรยกวา "refraction" ซงขดกบผลการทานายของ Alexander เกอบสองพนปตอมา ในป ค.ศ. 1657 นกวทยาศาสตรชอ Fermat ไดนาหลกการ minimum principle ของ Alexander มาปรบเปลยน โดยแทนทจะใชระยะทางเปนหลก Fermat มองวา แสงจะเคลอนทในเสนทางทใชเวลานอยทสดเสมอ ดวยหลกการอนนเอง ทาให Fermat สามารถอธบายไดทง 1) ปรากฏการณสะทอนของแสง ซงมม

i r และ 2) ปรากฏการณหกเหของแสง ซง 1 1 2 2sin sinn n

Fermat: ถาแสงเคลอนทในเสนทางทใชเวลานอยทสดเสมอ แลว 1) i r (วาดวยการสะทอนของแสง) และ 2) 1 1 2 2sin sinn n (วาดวยการหกเหของแสง)


จงพสจนกฎการหกเหแสงของ Snell 1 1 2 2sin sinn n โดยอาศยหลกการของ Fermat



วธทา

A

B

1n2n

y

x

A

2

( )C Bx x

C

1 2 2 2

sin C B

C B B

x x

x x y

A

B

1n2n

y

x

A

2

( )C Bx x

C

1 2 2 2

sin C B

C B B

x x

x x y

กาหนดใหแสงผานจด ACB ซงจดทง 3 ตงอย ณ พกด ,A Ax y , ,B Bx y , และ ,0Cx โดยสมมตใหยงไมทราบแนชดวา จด C คอตาแหนงใดกนแน จงให Cx เปนตวแปรทปรบเปลยนคาได ในเนอหาของ General Physics เบองตน อตราเรวแสงในตวกลางเทากบ

11

vc

n และ 2

2

vc

n

เมอ 1n และ 2n คอดชนหกเหแสงของตวกลางทงสอง จากภาพจะพบวาระยะทาง

2 2A C AAC x x y

ดงนนเวลาทแสงใหเดนทางในระยะ AC มคาเทากบ

2 22 21

1vA C A

AC A C A

x x y nT x x y

c

และในทานองเดยวกน เวลาทแสงใชเดนทางในระยะ CB

2 2

2 22

2vC B B

CB C B B

x x y nT x x y

c

ซงรวมเปนเวลาทงหมด

2 22 21 2AC CB A C A C B B

n nT T T x x y x x y

c c



จากทกลาวแลววา เรายงไมทราบตาแหนงของ Cx ทชดเจน เมอใชหลกการของ Fermat ตาแหนงดงกลาวตองทาใหระยะเวลา T มคานอยทสด ดงนน

2 22 21 2

1 2

2 22 2

0

0

C

A C A C B BC

A C C B

A C A C B B

T

x

n nx x y x x y

x c c

n x x n x x

c x x y c x x y

หรอจดรปเสยใหมไดวา

1 22 22 2

A C C B

A C A C B B

x x x xn n

x x y x x y

ซงจากการวเคราะหเชงเรขาคณตดงในภาพ จะพบวา

1 2 2sin A C

A C A

x x

x x y

และ ใน

ทานองเดยวกน

2 2 2sin C B

C B B

x x

x x y

เพราะฉะนนแลว เราสรปไดวา

(กฎการหกเหแสงของ Snell) 1 1 2 2sin sinn n ตอบ

แบบฝกหด 2.13 จงพสจนกฎการสะทอนของแสงทวา มมตกกระทบเทากบมมสะทอน โดยอาศยหลกการของ Fermat จาก 2 ตวอยางของการนา minimum principle มาใชในการอธบายเสนทางการเคลอนทของแสง โดยอาศย 1) ระยะทาง ตามสมมตฐานของ Alexander และ 2) เวลาในการเดนทาง ตามสมมตฐานของ Fermat ในขางตน เปนอทาหรณใหเราทราบวา ถงแมธรรมชาตมแนวโนมทจะเลอกเสนทางททาใหปรมาณทางฟสกสมคานอยทสด ตามหลกการของ minimum principle ถาหากเรานยามปรมาณดงกลาวผดพลาด ยอมนาไปสการทานายผลการทดลองทไมถกตอง เหมอนในกรณท



Alexander เลอกทจะให "ระยะทาง" มคานอยทสด สงผลใหไมสามารถอธบายปรากฏการณหกเหของแสงไดนนเอง

Hamilton's Principle

นอกจากหลกการของ minimum principle จะถกนามาใชในการอธบายเสนทางการเคลอนทของแสง ดงในหวขอทผานมา ยงถกนามาประยกตใชอธบายการเคลอนทของอนภาคมวล m ซงจะนาไปสหวใจสาคญของ Lagrange equation of motion ในทสด Maupertuis คอบคคลแรกทนาหลกการของ minimum principle มาใชในทางกลศาสตร ในป ค.ศ. 1747 เขาไดเสนอวา การเคลอนทของวตถ เปนไปตามเสนทางทม "action" นอยทสด หรอทเรยกวา "principle of least action" (คาวา least แปลวา นอยทสด) ถาจะเปรยบเทยบใหเขาใจไดงายขน action กเหมอนกบคาตวโดยสาร ในการเดนทางของอนภาค จากจดเรมตนไปยงทหมายนนเอง อยางไรกตาม ขอเสนอของ Maupertuis ตงอยบนพนฐานของความเชอทางศาสนาทวา เสนทางการเคลอนทของวตถซงม action นอยทสดนน เกดจากการตดสนใจของพระผเปนเจา และคาวา "action" ท Maupertuis อางถง กกากวม และมอาจเขยนอยในรปคานยามทางคณตศาสตรทชดเจนได ในราว ค.ศ. 1760 Joseph-Louis Lagrange ไดใหคานยามของ "action" ใหมรปแบบทางคณตศาสตรทชดเจน กลาวคอ

Action S L t K U t โดยท L มชอเรยกวา Lagrange function หรอ Lagrangian ซงนยามเปนผลตางของพลงงานจลน K และพลงงานศกย U ของระบบ จนกระทง ค.ศ. 1834 และ 1835 William Hamilton ไดผนวกเอาคานยามของ action ทใหไวโดย Lagrange กบ calculus of variations โดย Euler เขารวมเปนทฤษฏการเคลอนทของวตถ ซงตอมาจะเปนฐานใหทฤษฏทางฟสกสอนๆไดตอยอดขนไปอกนบไมถวน หลกการของ Hamilton กลาววา



Hamilton's Principle ในการเคลอนทของวตถ ระหวางจด 2 จดภายในเวลาทกาหนด ถงแมจะมเสนทางทเปนไปไดนบไมถวน เสนทางทเกดขนจรงในการ

ทดลอง จะตองม action 2 2

1 1

t t

t t

S dt L dt K U นอยทสด

_________________ สมการ (2.35)

Aพน

B

เสนทางทเสนทางทอาจอาจเปนไดเปนได

เสนทางเสนทางจรงจรง

แรงโนมถวง

U mgy

x

y

21v

2K m

พลงงานศกยพลงงานจลน

เสนทางจรง ตองม action นอยทสดเสมอ S dt K U

Aพน

B

เสนทางทเสนทางทอาจอาจเปนไดเปนได

เสนทางเสนทางจรงจรง

แรงโนมถวง

U mgy

x

y

21v

2K m

พลงงานศกยพลงงานจลน

เสนทางจรง ตองม action นอยทสดเสมอ S dt K U

ภาพ (2.7) แสดงหลายเสนทางทอาจเปนได (เสนประ) ในการเดนทางจากจด A มายง B Hamilton's principle กลาววาเสนทางจรง จะตองม action นอยทสดเสมอ

พจารณาการเคลอนทของวตถมวล m ภายใตอทธพลของแรงโนมถวง ซงมพลงงานศกย U mgy จากจด A มายงจด B เสนทางในการเคลอนท อาจจะเปนไดหลายเสนทาง ดงแสดงโดยเสนประ (สเขยว) ในภาพ (2.7) ในแตละเสนทางเหลาน เมอมการเคลอนท พลงงานศกย U และพลงงานจลน K กจะมคาแตกตางกนออกไป สงผลให action สทธตลอดระยะทางทงหมด หรอ S dt K U ไมเทากน Hamilton's principle กลาววาเสนทางจรง จะตองม action นอยทสดเสมอ ซงในกรณของการเคลอนทของวตถในสนามโนมถวง ควรจะเปนรป parabola หรอ projectile นนเอง



0 2 4 6 8 10

100

0

T

dt K U

2tg2

150ty(t)

tx(t)

0y(t)

tx(t)

2Ttt)30(T

2Tt30ty(t)

tx(t)

t)T

2π(sin40y(t)

tx(t)

B

พลงงานจลนพลงงานจลน

พลงงานศกยพลงงานศกย -4162 Js

5 Js

1584 Js

-2995 Js

A

21v

2K m

U mgy

ในเสนทางทเปนไปไดในเสนทางทเปนไปได 4 4 ลกษณะดวยกนลกษณะดวยกน 0

T

S dt K U

11

44

2233

44

33

22

11

0 2 4 6 8 10

100

0

T

dt K U

2tg2

150ty(t)

tx(t)

0y(t)

tx(t)

2Ttt)30(T

2Tt30ty(t)

tx(t)

t)T

2π(sin40y(t)

tx(t)

B

พลงงานจลนพลงงานจลน

พลงงานศกยพลงงานศกย -4162 Js

5 Js

1584 Js

-2995 Js

A

21v

2K m

U mgy

ในเสนทางทเปนไปไดในเสนทางทเปนไปได 4 4 ลกษณะดวยกนลกษณะดวยกน 0

T

S dt K U

11

44

2233

44

33

22

11

ภาพ (2.8) แสดงการเดนทางทเปนไปไดจากจด A B เปนระยะทาง 10d เมตร ภายในเวลา

10T วนาท ในแตละเสนทาง ม action 0 0

, , , ;T T

S dt K U dt L x x y y t แตกตางกน

ภาพ (2.8) แสดงตวอยางของวตถทเคลอนทภายใตสนามโนมถวงซงมพลงงานศกย U mgy จากจด A B เปนระยะทาง 10d เมตร ภายในเวลา 10T วนาท เราอาจจะจนตนาการเสนทางทเปนไดใน 4 ลกษณะดวยกน คอ 1) สามเหลยมหนาจว สงขนไป 150 เมตร 2) คลาย sine ฟงชนก ลอยขนทองฟาสง 40 เมตร จากนนดาดนอก 40 เมตร 3) พงตรงในแนวระดบพนดน จาก A B 4) โคงเปนรป parabola หรอทเรยกโดยทวไปวา projectile แบบฝกหด 2.14 จงพสจนวา สมการของการเคลอนท ( )x t และ ( )y t ของเสนทางทง 4 แบบในภาพ (2.8) เปนการเดนทางจาก A B เปนระยะทางในแนวราบ 10 เมตร ภายในเวลา 10 วนาท

แบบฝกหด 2.15 จงตรวจสอบใหเหนจรงวา action 0

T

S dt K U ของเสนทางทง 4 แบบดง

ปรากฏในภาพ (2.8) มคาเทากบ -2995 Js, 1584 Js, 5 Js, และ -4162 Js ตามลาดบ



จากตวอยางขางตน คงพอจะใหเราเหนไดวา เสนทางแบบ projectile นนม action นอยทสด และกเปนการเคลอนท ซงเกดขนจรงเมอเราขวางกอนหนไปในอากาศ อยางไรกด การสมตวอยางเสนทางทเปนไปได แลวทาการเปรยบเทยบผลของ integration เปนการหาคาตอบทไมสมบรณ อปมาอปมยเหมอนกบการออกแบบถวย ทสมเลอกลกษณะของเสนโคงแบบตางๆ แลวเปรยบเทยบพนทผวทได ดงทไดกลาวไปแลวในหวขอของ calculus of variations ยอมเปนการตอบคาถามทไมสมบรณ เพราะยงมถวยอกรอยพนรปแบบทเราอาจคาดไมถง และมไดนามารวมพจารณา จงจาเปนตนใชกลไกของ Euler's equation ในการหาเสนทางการเคลอนท ซงใหผล integration

0 0

T T

S dt K U dt L นอยทสด

จากสมการขางตน Lagrange function L เกยวพนกบพลงงานศกยและพลงงานจลนของระบบ ดงนนยอมตองขนอยกบ ตาแหนงและความเรวของอนภาคทกาลงเคลอนท หรออกนยหนง

( , ; )L L q q t _________________ สมการ (2.36) โดยท q คอ generalized coordinate ทใชบอกตาแหนงของอนภาคตางๆในระบบ ในขณะท

dqq

dt ซงสมพนธอยกบความเรวของมนนนเอง

วตถประสงคหลกในการศกษาวชากลศาสตร กเพอทานายตาแหนงของวตถ ( )q t ณ เวลาใดๆ และเมออาศย หลกการของ Hamilton ในสมการ (2.35) เราสามารถเขยนโจทยใหอยในภาษาของ calculus of variations ในหวขอทผานมาไดวา

โจทย จงหาฟงชนก ( )q t ททาใหผล integration 2

1

( , ; )t

t

S dt L q q t มคานอยทสด

ซงเมอเปรยบเทยบกบ Euler's equation ดงในสมการ (2.34) จะนาไปสสมการทไดเกรนไวตอนตนแลววา มความยงใหญไมแพกฎทง 3 ขอของ Newton กลาวคอ

Lagrange Equation of Motion 0L d L

q dt q

_________________ สมการ (2.37)



Lagrange Equation with Constraint

เมออนภาคเคลอนท เราอาจจาเปนตองใชเซตของ generalized coordinate iq ในการกากบตาแหนงของระบบ อาทเชนในกรณของอนภาคเคลอนทใน 3 มต ซงตองใชตวแปร , ,x y z ในพกด Cartesian หรอ , ,r z ในพกดทรงกระบอก ซงในทายทสดแลว เราตองการทราบตาแหนงของวตถ ( )r t , ( )t และ ( )z t วาเปนฟงชนกเชนใดกบเวลา หากแตสมการอนพนธทเปนผลลพธของความพยายามหาเสนทางทม action นอยทสด ดงในสมการ (2.37) กด หรอ Euler's equation ในเนอหาของ calculus of variations ดงสมการ (2.34) กด ลวนจากดดวยจานวนของตวแปรตาม ( )q q เพยงหนงตว ซงเราจาเปนตองขยายขอบเขตใหครอบคลมไปถงเซตของตวแปรตาม 1 2 3, , ,q q q พจารณาเซตของ 1 2 3, , , , iq q q q ซงลวนเปนฟงชนกของ อาทเชน 1( )q , 2( )q , หรอ ( )iq โดยใชภาษาของ calculus of variations สมมตเราตองการทจะหาเงอนไขททาใหผล

integration

2

1

1 1 2 2( , , , , ; )J d f q q q q t

มคานอยทสด จะสงเกตวาฟงชนก ( )f ในสมการขางตน มความซบซอนมากกวาในสมการ (2.29) เพราะเปนฟงชนกของหลายตวแปร อยางไรกตามโจทยทเราตองการถาม มไดแตกตางมากนกกบในกรณของ 1 ตวแปร กลาวคอ โจทย จงหาฟงชนก 1 2 3( ), ( ), ( ),q q q ซงทาใหผลของ integration

2

1

1 1 2 2( , , , , ; )J d f q q q q t

มคานอยทสด

ถานกศกษายงจากระบวนการวเคราะหของ Euler ได เราเรมดวยการนยาม



(min)1 11

(min)2 22

(min)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )i ii

q q

q q

q q

จากนนกาหนดให ณ จดตาสด

2

1

1 1 2 20 ( , , , , ; )J

d f q q q q t

ซงเมอดาเนนการในทานองของกรณ 1 ตวแปร ไมวาจะเปนอาศยกฎลกโซ หรอ integration by parts ทาใหไดสมการทวา

2 2

1 1

2

1

1 21 1 2 2

0 ( ) ( )

( )ii i

f d f f d fd d

q d q q d q

f d fd

q d q

ถาเราสมมตใหเซตของ iq เหลาน ลวนเปนอสระตอกน การทสมการขางตนจะเปนจรงได โดยไมขนอยกบรปแบบของฟงชนก 1 2( ), ( ), กตอเมอ

Euler's Equation 0i i

f d f

q d q

เมอ เซต iq ลวนเปนอสระตอกน

_________________ สมการ (2.38) ดวยเหตนเอง เมอครงทเราสราง Lagrange equation จงตองระมดระวงวา เซตของ generalized coordinate iq จะตองเปนอสระตอกน ดงทไดกลาวมาแลวในสมการ (2.20) ในคราวนสมมตใหเซตของตวแปร 1 2 3, , ,q q q ไมเปนอสระตอกน หากแตสมพนธกนดวย

Constraint Equation 1 2 3( , , , ) 0g q q q _________________ สมการ (2.39)



เมอเปนเชนน ตรรกะทเราเคยใชในการสรางสมการ (2.38) ยอมเปนโมฆะ และเพอจะหาทางออกในการสราง Euler's equation ในกรณทตวแปร 1 2 3, , ,q q q มความสมพนธดงสมการ (2.39) เราจะเรมวเคราะหดวยเซตของตวแปรตามเพยง 2 ตว กลาวคอ 1 2,q q พจารณาผลของ integration

2

1

1 1 2 2( , , , ; )J d f q q q q t

เมอนยามให (min)

1 11( ) ( ) ( )q q และ (min)2 22( ) ( ) ( )q q จากนนสราง

เงอนไข ณ จดตาสดของ J ไดวา

2

1

1 1 2 20 ( , , , ; )J

d f q q q q t

และเชนเคย นาไปสสมการ

2 2

1 1

1 21 1 2 2

0 ( ) ( )f d f f d f

d dq d q q d q

_________________ สมการ (2.40) ในเมอ 1( )q และ 2( )q โดนบงคบดวย constraint equation ในสมการ (2.39) 1( ) และ

2( ) กยอมไมเปนอสระตอกน ความสมพนธระหวาง 1( ) และ 2( ) สามารถเหนไดดวยการพจารณา

1 2( , ) 0g q q ซงเมอเขยนใหอยในลกษณะของกฎลกโซ

1 2

1 20

q qdg g g g

d q q

0 ______________ สมการ (2.41)

โดยท



(min)1 11( ) ( ) ( )q q

(min)2 22( ) ( ) ( )q q

ดงนน 11( )

q

และ 22( )

q

เมอแทนในสมการ (2.41) จะไดวา

1 21 2

( ) ( ) 0g g

q q

หรอ 12 1

2

( ) ( )g q

g q

สมการขางตนนเอง เขยน 2( ) ใหอยในรปของ 1( ) เพราะฉะนน (2.40) เขยนเสยใหมไดคอ

2 2

1 1

2

1

11 1

1 1 2 2 2

11

1 1 2 2 2

0 ( ) ( )

( )

g qf d f f d fd d

q d q q d q g q

g qf d f f d fd

q d q g q q d q

และเมอหารดวย 1g q ทงสองขางของสมการ ทาให

2

1

11 1 1 2 2 2

1 10 ( )

f d f f d fd

g q q d q g q q d q

และเมอสมการขางตน คณอยกบ 1( ) แตเพยงอยางเดยว ซงเปนอสระและเปนฟงชนกใดๆกได ดงนนสมการจะเปนจรงในทกๆกรณของ 1( ) ไดกตอเมอ

1 1 1 2 2 2

1 10

f d f f d f

g q q d q g q q d q

หรอ

1 1 1 2 2 2

1 1f d f f d f

g q q d q g q q d q

จะเหนวาทางซายมอของสมการ เปนฟงชนกของ 1q แตเพยงอยางเดยว ซงกเปนฟงชนกของ อกทอดหนง เพราะฉะนนในทายทสดแลว ทางซายมอของสมการทงหมดยอมเปนฟงชนกของ



ดวย ซงอาจจะแทนดวยสญลกษณ ( ) หรอเขยนในรปของสมการไดวา

Left Hand Side 1 1 1

1( )

f d f

g q q d q

และในทานองเดยวกน

Right Hand Side 2 2 2

1( )

f d f

g q q d q

ซงเมอจดรปสมการทงสอง

1 1 1

( ) 0f d f g

q d q q

และ

2 2 2

( ) 0f d f g

q d q q

ขางตนนเอง คอ Euler's equation ทใชสาหรบกรณท 1( )q และ 2( )q โดนบงคบดวย constraint equation 1 2( , ) 0g q q โดยทฟงชนก ( ) มชอเรยกวา Lagrange multiplier ในกรณทวไปทระบบสมการประกอบดวยเซตของ iq เราสรปใหอยในรปทกระชบไดวา

Euler's Equation with Constraint ( ) 0i i i

f d f g

q d q q

เมอ 1 2 3( , , , ) 0g q q q

______________ สมการ (2.42) และไมเปนทนาแปลกใจเลย ทเมอนาเอา Euler's equation with constraint ขางตน มาประยกตใชในการหาเสนทางการเคลอนทของอนภาค 1( )q t , 2( )q t , หรอ ( )iq t ซงทาให action นอยทสด จะนาไปส

Lagrange Equation with Constraint ( ) 0i i i

L d L gt

q dt q q

_______ สมการ (2.43)

ทงหมดน กเพอใหไดเขาใจทมาของสมการ (2.22) ซงเมอครงทผานมา เราเพยงมโอกาสนามาประยกตแกโจทยเกยวกบมมวกฤต c ของกระดานลนทรงกลม หรอ ลกปดเสยบบนเสนลวดทโคงรป parabola แตมาถงขนน นกศกษากไดเขาใจทมาของ Lagrange equation with constraint วา



เปนผลสบเนองจากความพยายามทจะทาให action ของเสนทางการเคลอนท มคานอยทสด ผนวกกบเทคนคทางคณตศาสตรทเรยกวา calculus of variations เทานนเอง

2.5 บทสรป

เนอหาของ Lagrange mechanics ทผานมา ในเบองตน เราไดใหความสาคญกบการทาความเขาใจกบสญลกษณและรปแบบของสมการ ตลอดจนการนามาประยกตใชงาน ซงกคอ


q dt q

โดยท iq คอเซตของ generalized coordinate ซงเปนตวแปรแทนตาแหนงของวตถ นยาม

dqq

dt เพอความกระชบในการใชสญลกษณ และ L มเชอเรยกวา Lagrange function ซงกคอ

ผลตางระหวางพลงงานจลนและพลงงานศกย หรออกนยหนง

, ;i iL K U L q q t ขนตอนในการเขยน Lagrange function ใหเปนฟงชนกของตาแหนง iq และของความเรว iq หรอในบางครงของเวลา t นเอง เปนกระบวนการแรกของ กลศาสตรแบบ Lagrange ซงจะนาไปส equation of motion ทเปนตวกาหนดพฤตกรรมการเคลอนทของระบบ โดยมนจะอยในรปของสมการอนพนธ ซงมผลเฉลยเปน ( )q t ทบอกใหเราทราบโดยสมบรณวา วตถตงอย ณ ตาแหนงใด ณ เวลาตางๆกนนนเอง ในบางครง เซตของ generalized coordinate iq มไดเปนอสระตอกน หากแตสมพนธกนอยดวยสมการทเรยกวา

Constraint Equation 1 2( , , ) 0g q q ในกรณเชนน เราจาเปนตองปรบสมการของการเคลอนท ใหอยในรปของ



Lagrange Equation with Constraint 1 2( ) ( , , ) 0i i i

L d Lt g q q

q dt q q

เมอ มชอวา Lagrange multiplier และสมพนธอยกบแรงทเปนตวบงคบให constraint equation เปนจรง กลาวคอ

Generalized Force of Constraint ii

gQ

q

ซงเรากไดนา Lagrange mechanics ดงกลาวมาประยกตใชกบตวอยางโจทยหลายกรณ เรมตงแตในประเภททสามารถตอบโจทยไดดวยวธ Newton mechanics และ Lagrange mechanics ไปพรอมๆกน อาท การเคลอนทของลกตม ระบบลกรอก หรอ กลองบนหนารถไถรปสามเหลยมทกาลงมความเรง ทงนกเพอเนนย าใหนกศกษาเขาใจวา Lagrange mechanics เปนกลไกในการวเคราะหระบบทางกลศาสตร ทในทายทสดแลว ตองใหคาตอบเดยวกนกบ Newton mechanics นอกจากนยงมตวอยางโจทยในประเภทท Lagrange mechanics ทาใหมความสะดวกยงขน อาทเชน กลองวางนงบนรถไถรป parabola ลกปดเสยบอยกบเสนลวดทโคงงอ และกาลงหมน หรอแมกระทงอนภาคซงเคลอนทจากดแตบนผวกรวยเปนตน เมอเขาใจและคนเคยกบการประยกตใช Lagrange mechanics มาพอสมควรแลว เปนธรรมชาตของนกศกษาวชาฟสกสทใสใจในทมาของสมการ ไมยงหยอนไปกวาการนาสมการมาใชประโยชน เราเรมถามถงทมาและตนตอของ Lagrange equation of motion ซงทาใหตองมาทาความรจกกบทฤษฏบททางคณตศาสตรทเรยกวา calculus of variations คนพบเมอป ค.ศ. 1744 Euler ไดศกษาเทคนคในการหาฟงชนก ( )q ททาใหผลของ integration

2

1

( , ; )J d f q q

มคานอยทสด และไดขอสรปวา ( )q ดงกลาว เปนผลเฉลยของสมการ

อนพนธ

Euler's Equation 0f d f

q d q

และเราไดนาสมการขางตน มาประยกตใชออกแบบถวย ทมพนทผวดานขางนอยทสด พสจนวา



เสนทางสนทสด ทเชอมระหวางจด 2 จดบนระนาบ คอเสนตรง หรอ หา geodesic บนผวกรวย เปนตน วกกลบมาทหลกการพนฐานซงเปนทมาของ Lagrange equation of motion เราไดเรมทาความรจกกบแนวความคดทเรยกวา minimum principle ซง Alexander และ Fermat ไดนามาใชในการทานายการเดนทางของแสง โดย Alexander ตงสมมตฐานวาแสงเคลอนทในเสนทางทสนทสดเสมอ ในขณะท Fermat กลบมองวาเสนทางทใชเวลานอยทสด นาจะเปนเกณฑทเหมาะสมกวา นอกจากแสงแลว minimum principle ยงถกนามาประยกตใชเกยวกบการเคลอนทของอนภาค ซงกมประวตศาสตรอนยาวนาน เรมจาก Maupertuis ในป ค.ศ. 1747 ไดพยายามเสนอแนวความคดเรอง action ซงเสมอนเปนราคาตวโดยสารทตองจาย ในการเดนทางของอนภาค จากจดเรมตนไปยงทหมาย Lagrange เปนบคคลแรกทสามารถนยามคาวา action S K U t L t ไดอยางถกตองวาเปนผลตางของพลงงานจลนและพลงงานศกย คณ กบเวลา โดยทผลตางดงกลาว เรยกโดยทวไปวา Lagrange function หรอ Lagrangian L K U ในป ค.ศ. 1834 และ ค.ศ. 1835 William Hamilton ไดโยงเอาคานยามของ action ทใหไวโดย Lagrange และเทคนคการหาจดตาสดของ integration โดย Euler เขาผนวกเปน Hamilton's principle ซงมใจความวา

ในการเคลอนทของวตถ ระหวางจด 2 จดภายในเวลาทกาหนด ถงแมจะมเสนทางทเปนไปไดนบไมถวน เสนทางทเกดขนจรงในการ

ทดลอง จะตองม action 2 2

1 1

t t

t t

S dt L dt K U นอยทสด

ทาใหในทายทสดแลว เกดเปน


q dt q



สวนในกรณทเซตของ generalized coordinate iq โดนบงคบดวย constraint equation

1 2( , , ) 0g q q เราไดแสดงใหเหนวา

Euler's Equation with Constraint ( ) 0i i i

f d f g

q d q q

เปนผลลพธทางคณตศาสตรทตามมา และนาไปส Lagrange Equation with Constraint ในทสด

2.6 ปญหาทายบท

แบบฝกหด 2.16 พจารณาระบบ double pendulum ดงแสดงในภาพ ถากาหนดให 1 2, เปน generalized coordinate ดงแสดงในภาพ จงสรางสมการของการเคลอนท

1

2

1

2

1

2

1

2

เฉลย

2 21 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2

2 22 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2

sin cos sin 0

sin cos sin 0

m m g m m m m

m g m m m

แบบฝกหด 2.17 ลกตมผกอยกบเพดานของรถไฟทกาลงเคลอนทดวยความเรง a สงผลให ณ ตาแหนงสมดล มนเอยงไปดานหลงดวยมม e ดงแสดงในภาพ

e ความเรง ae ความเรง a

จงแสดงใหเหนวา ถาเกดมสนเลกนอยจากจดสมดล 2 2

2 a g



แบบฝกหด 2.18 กลองมวล m กาลงไถลลงพนเอยงทปราศจากแรงเสยดทาน ในขณะทพนกกาลงตวดขนดวยมม t ดงแสดงในภาพ ถากาหนดให s เปน generalized coordinate จงเขยนสมการของการเคลอนท

t

s

t

s

เฉลย 2 sins s g t แบบฝกหด 2.19 กลองมวล m ไถลลงฐานสามเหลยมทไมมแรงเสยดทาน ขณะทกลองไถลลง ดวยแรง action-reaction ทาใหฐานสามเหลยมเคลอนทไปทางขวาบนพนทปราศจากแรงเสยดทาน ไปพรอมๆกน

s

x

y

M

m

d

s

x

y

M

m

d ถากาหนดให ระยะ ,s d เปน generalized coordinate จงเขยนสมการของการเคลอนท

เฉลย 2

cos sin

sin

mgd

m M

และ 2

sinsin

m Ms g

m M

แบบฝกหด 2.20 พจารณาสมการผวกรวย 2 21z x y จงหา geodesics ระหวางจด 0, 1,0 และ 0,1,0

เฉลย ระยะทาง geodesic ยาว 2 2 sin2 2



This page is intentionally left blank

lag rang ian mechanics (thai)

Documents