l'aide faisceaux besseldu prof. piché, qui était là pour orienter mes recherches au tout...
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BRIGITTE BÉLANGER
AUTO-IMAGERIE EN COORDONNÉES CYLINDRIQUES
À L'AIDE DE FAISCEAUX BESSEL
Mémoire
présent6
à la Faculté des études supérieures
de l'université Laval
pour l'obtention
du grade de maître ès sciences (M.Sc.)
Département de physique
FACULTÉ DE SCIENCES ET DE GÉNIE
UNIVERSITÉ LAVAL
SEPTEMBRE 1997
Q Brigitte Bélanger, 1997
Acquisitions and Acquisitions et Bibliograp hic SeMces services bibliographiques 395 Wellington Street 395, rue Wellington Ottawa ON K1A ON4 OttawaON K1AON4 Canada Canada
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Canada
Résumé
Ce travail porte sur la superposition coherente de faisceaux Bessel qui amène une auto-
imagerie p6riodique le long de I'axe de propagation. li se base sur Ie fait que la transformée
de Fourier d'un anneau très mince est une fonction de Bessel. Des faisceaux Bessel qui se
superposent ont été générés B l'aide d'un masque d'anneaux concentriques très minces sur
lequel un faisceau laser était incident. Nous avons établi les conditions pour lesquelles
l'interférence de plusieurs faisceaux Bessel mène à un comportement périodique le long de
l'axe de propagation. La position d'un maximum d'intensit6 sur l'axe permet la mesure
directe du rayon de courbure du front d'onde du faisceau laser incident sur le masque; ceci
offre donc la possibilité de caractériser des composants optiques et d'évaluer des
deformations de surface. Cette méthode permet la mesure de différences de phase d'origine
linéaire ainsi que non linéaire; des mesures de déphasage non linéaires ont été prises avec
un cristal liquide et un colorant en solution.
Avant-propos
Dans un premier temps, je tiens à remercier très sincèrement Prof. Michel Piché pour
m'avoir offert l'opportunité de faire des études graduées en me proposant un projet aussi
intéressant. il a su me guider, me conseiller et par dessus tout, garder vivante ma passion
pour la physique. Prof. Piché m'a constamment encouragé tout au long de ma maîtrise; il a
su stimu1er mon gofit d'apprendre. Malgré ses occupations diverses, il toujours réussi à me
consacrer du tzmps, à moi et à mon projet, afin de m'aider à trouver des solutions aux
differents problèmes qui ont été rencontrés. J'ai pu énormément profiter de son expérience
et de son savoir car il possède une connaissance de la physique qui est remarquable. Je
tiens à souligner qu'il a grandement contribué à l'élaboration de la théorie de ce projet de
recherche. Je lui suis très reconnaissante pour tout ce qu'il a fait pour moi pendant ma
maîanse.
D'autre part, j'aimerais remercier M. Tigran Galstyan qui m'a initié aux matériaux non
linéaires. Grâce à ses talents de communicateur, il a pu m'expliquer le comportement de
matériaux aussi complexes que les cristaux liquides. Il s'est toujours montré intéressé B
mon projet lorsque je lui expliquais des situations ou des problèmes auxquels j'étais
confrontée au laboratoire; il tâchait de répondre le plus adéquatement possible à mes
questions.
Je souhaite aussi remercier profondément M. Xiaonong Zhu. chercheur post-doctoral
du Prof. Piché, qui était là pour orienter mes recherches au tout début de ce projet. C'est à
lui que je dois l'idée de faire graver les masques sur une couche mince d'aluminium
déposée sur un substrat Ce fut un plaisir de travailler avec lui car il était attentif à mes
intemogations et savait me conseiller de façon appropriée*
Je remercie particulièrement M. Jacques Grégoire, M. Laurent Turgeon et M. Man:
D'Auteuil pour leur support technique. Iis ont veillé ii me donner les meilleures
informations possibles concernant l'utilisation d'appareils ou de matériel optique. Bien
souvent, ils m'ont aidé à trouver le matériel qui m'était nécessaire. II faut aussi mentionner
M. Jean-Paul Giasson, M. Gaston Giroux pour lem travaux mécaniqueset, bien sûr, M.
Florent Pouiiot qui m'a permis de prendre d'aussi belles mesures grâce aux masques graves
qu'il a fabriqués.
Je veux aussi remercier spécialement Mme. Nathalie McCarthy qui, par sa confiance en
moi, a été à la source d'aventures scientifiques (emplois, congrès). Au corn de ma
maîtrise, elle a fait office de messagère et de confidente plusieurs occasions. Mais avant
tout, elle a été, et le sera toujours, un modèle pour moi.
Je remercie Mme Nathalie McCarthy' Mme. Marie-Marguerite Déniarez-Roberge, M.
Roger Lessard et M. Réal Valiée pour le prêt d'équipements qui ont servi au bon
déroulement de ce projet de recherche.
Je termine en soulignant la contribution de tous mes amis(es) et collègues. Par leur
présence, leur soutien et leur réconfort, ils ont agrémenté chaque jour de ma maîtrise. ï Is
ont su m'écouter et tenter de trouver des soiutions aux problémes qui survenaient pendant
mes travaux de recherche. Pour tout, je les remercie.
Table des matières
Résumé ....................... .. ............................................................................................ Ü
Avant-propos .......................... .. ............................................................................. ...
. % .......................................................................................................... Table des matieres
Liste des figures .......................................... ...................................................................
........................................................................................................... Liste des tableaux
Chapitre1 Introduction .................... .. ... ....... .............................................................
........................................ ..................................... 1.1 Les faisceaux non diffractants .,
................................................................. Types de faisceaux non diffractants
................................................................... Caractérisation du faisceau Bessel
................................................... Méthodes de production de faisceaux Bessel
iii
v
ix
xii
1
3
3
5
14
..................................... 1 .1. 3.1 La méthode conventionnelle: La fente circulaire 14
...................... ............................... 1.1.3.2 Lame à zones de Fresnel ............ 16
............... .........-.*........................... 1.1.3.3 Le résonateur Fabry-Perot ............. 17
........................ ............................ 1.1.3.4 Les systèmes réfractifs ...................... 18
1.1.3.5 Les axicons .............................................................................................. 18
1 .1. 3.6 Les méthodes holographiques ....................... .. ........................................ 19
1.1.3.7 Sommaire sur les méthodes qui génèrent un faisceau Bessel ................... 21
Table des matières vi
1.1.4 Applications pour les faisceaux non diffractants ............................................. 21
1.2 Le phénomène d'auto-imagerie ................... .......... ........................................ 22
............................................................................... 1.2.1 Études sur l'auto-imagene 23
............................................................. 1.2.2 De I'auto-imagerie au faisceau Bessel 25
........................................................ 1.3 Superposition cohérente de faisceaux Bessel 26
............ ................... 1.3.1 Travaux sur la superposition de faisceaux Bessel .... 26
1.3.2 L'objet de ce mémoire ................... ........... ........................................ 27
Chapitre 2 Superposition cohérente de faisceau Bessel: La théorie générale ........... 29
.......................... 2.1 Superposition de faisceaux Bessel et condition d' auto-imagerie 29
.............. ............................. 2.2 Transformée de Fourier en géométrie cylindrique .. 31
............. .................*................ 2.3 Relations entre les paramètres expérimentaux .. 32
................. ..........*.............................. 2.4 Transformée de Fourier discrète ...... .......... 36
2.5Bilanîhéorique ..................................................................................................... 37
.............................................................. Chapitre 3 La méthodologie expérimentale 38
............................ 3.1 Procédés de fabrication des masque d'anneaux concentriques 38
.................................. ....................... 3.1.1 Masques sur transparents (acétates) ... 38
............................................................ 3.1.2 Masques sur positifs photographiques 40
3.1.3 Masques gravés sur un substrat ayant une couche mince d'atuminium ........... 41
3.1.4 Procédé lithographique ................... .... . .... .......................................... 43
Table des marières vii
............................................................ .................... 3.2 Montage expérimental ...... 45
3 -3 Méthodologie expérimentale ................................................................................. 46
0 . Chapitre 4 Les résultats expenmentum ........................................................................ 48
........................................ 4.1 Distribution spatiale de I'intensité du faisceau obtenu 48
......... ....... 4.1.1 Simulation de la propagation de faisceaux Bessel superposés .. 49
.......................... 4.1.2 Distribution spatiale du faisceau obtenu expérimentdement 53
........................................................................ 4.1.3 Rétrécissement du lobe central 57
......................................................... ............ 4.2 Distribution axiaie de l'intensité ....... 59
4.2.1 Intensité sur I'axe pour les masques gravés ........................ .. .................... 59
4.2.2 Intensité sur l'axe pour un masque fait par procédé lithographique ................ 62
4.2.3 Intensité sur l'axe pour un masque avec une haute définition d'impression ... 63
4.2.4 Évaluation des méthodes de génération de faisceaux Bessel superposés ........ 65
4.3 Sensibilité à la courbure d'un fiont d'onde ............. ., .... .. ............................... 66
4.3.1 Calcul de la position des maxima en fonction de la courbure du front d'onde 66
4.3.2 Mesure de positions des maxima en fonction d'une ciifference de phase ........ 69
........................................... .................... 4.4 Mesure de dephsages non linéaires .. 71
............................................ ............... 4.4.1 Caractérisation d'un cristal liquide ... 72
............................. 4.4.1.1 Quelques éléments de théorie sur les cristaux liquides 72
4.4.1.2 Effets non linéaires dans un cristal liquide ............................................ 76
4.4.2 Caractérisation de Ia nonlinéarité d'un colorant dilué dans un solvant ............ 82
4.4.2.1 Mesure de nonlinéarité dans un colorant ............................................... 82
................... ........................ 4.4.2.2 Contributions à la nonlinéarité du colorant ,, 84
I able des matières vi
.................................................................................................. Chapitre 5 Conclusion 87
.................... ................... 5.1 Sommaire sur la superposition de faisceaux Bessel .. 87
........................................................................................................... 5.2 Perspectives 90
....................................................................................................................... 5.3 Bilan 92
.... Annexe A Propagation de la superposition de faisceaux Bessel sur une distance L 93
............. ................... Annexe B Masques sur transparents: Bessel I et Bessel 2 ... 96
.................. ............*.................................,., B . 1 Masques Bessel 1 et Bessel 2 .... 96
.................................... B.2 Diamètres des anneaux des masques Bessel 1 et Bessel 2 97
........ Annexe C Maques gravés dans une couche rnéttz1IÜpe déposée sur un substrat 99
.... ........ .................... Annexe D Masques fabriqués par procédé lithographique .. ..... 101
D . 1 Diamètres des masques utilisables ....................................~........................... 101
................... D.2 Diamètres des masques sur film avec haute définition d'impression 102
.............. Annexe E Focale thermique ussociée à 1 'absorption d'un faisceau gaussien 103
Références ...................................................................................................................... 106
Liste des figures
Chapitre 1
Figure 1.1 : Montage expérimental utilisé par Durnui et al.. ...........................*....... . .. .. 7
Figure 1.2: Illustration géométrique de la propriété d'ombrage. ................................... 13
Figure 1.3: Schéma du montage utilisant une lentille annulaire et fabrication de la
Ientille annulaire ... .... . .. . .*. . ... ... ... . .. ... .. .. ...... ...... . .. . ......* ............. .. .. .. . . . . . .. .. . . .. . 1 5
Figure 1.4: Schéma de l'expérience utilisant une lame zones de Fresnel pour générer
un faisceau Bessel. .......-.......... .... ....................... . 16
Figure 1.5: Schéma du montage utilisant un interféromètre de Fabry-Perot pour générer
un faisceau Bessel. ...... . ....... ................. ....... ..... .......................................... 17
Chapitre 2
Figure 2.1: Schéma d'un système optique qui permettrait la superposition de plusieurs
faisceaux Bessel ................... ........... .... .... ...... . . . ............................. 32
Figure 2.2: Schéma d'un système optique qui superpose plusieurs faisceaux Bessel ... 36
Chapitre 3
Figure 3.1: Diamètres (a) pour le masques à 2 anneau, (b) pour le masque à 3 anneaux,
(c) pour le masque à 4 anneaux, (d) pour le masque à 5 anneaux,
(e) pour le masque à 20 anneaux ...................... ... ........................ 42
Figure 3.2: Schéma simplifié du montage ................... .... ....................................... 45
-ru.- --", --- --
Chapitre 4
Figure 4.1 : Profil radiai d'intensité en fonction de la distance de propagation pour le
masque à 1 anneau .............. .-......,.......................................... ...................... Figure 4.2: Profil radial d'intensité en fonction de la distance de propagation pour le
masque à 2 anneaux ............ .-...................................... ................................. Figure 4.3: ProN radiai d'intensité en fonction de la distance de propagation pour le
masque à 4 anneaux ............ ....-..................*......................... ........................ Figure 4.4: Profd radiai d'intensité en fonction de la distance de propagation pour le
masque à 5 anneaux ......................-.... ..............- .... . ..... ............................... Figure 4.5: Profil radial d'intensité en fonction de la distance de propagation pour le
masque à 20 anneaux ............. . .......... ......................................... .................. Figure 4.6: Profil d'intensité d'une coupe transversale du faisceau obtenu
expérimentalement avec le masque à 1 anneau ........................................... Figure 4.7: Images du faisceau obtenu avec le masque à 2 anneaux pour les positions
(a) z = O, (b) z = U4, (c) z = U2, (d) z = 3U4, (e) z = L, ( f ) z = 2L ............ Figure 4.8: Images du faisceau obtenu avec ie masque à 4 anneaux pour les positions
(a) z = 0, @) z = U2, (c) z = L, (d)- z = 2L .................. ........ ................ Figure 4.8: (suite) Images du faisceau obtenu avec le masque à 2 anneaux pour les
positions (e) z = U4, (f) z = U3, (g) z = 2U3, (h) z = 3U4 ..............,......... Figure 4.9: Rayon du lobe central pour différents nombres de faisceaux Bessel
superposés . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .o.. . 0.. . 0- . . . . . 0.. . . 0.0 . 0.. . .. 0. . . .. 0.. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . .. Figure 4.10: Intensité sur l'axe pour le masque à 2 anneaux gravés .............................. Figure 4.1 1: Intensité sur l'axe pour le masque B 4 anneaux gravés ........................... ... Figure 4.12: Intensité sur I'axe pour le masque à 4 anneaux fabriqué par
procédé iithograp hique . . . . . . ... . . . . . .. . . . .... . .. . ... . . . . . . . . . . .. - . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. .. Figure 4.13: Intensité sur I'axe pour le masque à 4 anneaux avec haute definition
d'impression ..........................*............................................ ......................... Figure 4.14: Intensité sur l'axe pour le masque à 5 anneaux avec haute définition
d'impression (f = 40 cm) ................................. .. ...................................
Figure 4.15: Sensibilité la courbure d'un front d'onde pour trois maxima ................. 70
Figure 4.16: Sensibilité 2 la courbure d'un front d'on& pour le deuxième maximum. 70
Figure 4.17: Méthode du 2-Scan .................. .. ..*....... ..... . .............. . ............. ....... 72 Figure 4.18: Classes de cristaux thermotropes ................... ............. ...... -....... ......... 73 Figure 4.19: Déformation du froot de phase d'un faisceau Ion de son passage ti
travers une cellule de cristaux liquides ................... .. ...... ......... ................ 75
Figure 4.20: Anneaux d'auto-modulation de phase .......,........... ........... .............. 75 Figure 4.2 1 : Différence d' intensité sur l'axe pour diEférentes inclinaisons en fonction
de l'angle de I'axe de polarisation du prisme de Glan rotatif ..................... 78
Figure 4.22: Différence d'intensité sur I'axe pour différentes inclinaisons en fonction
de l'intensité sur I'axe pour la cellule verticale f) ................................... 79 Figure 4.23: Résultats du 2-scan modif16 a h de déterminer le signe de la nonlinéarité 80
Figure 4.24: Spectre de la trammittance du colorant .... ............... .. .... .. .................. 84
Figure 4.25: Variation du rayon de courbure en fonction de la puissance nomalis ée... 85
Figure 4.26: Focale thermique en fonction de la puissance laser incidente sur la
ceilule de colorant .. ............ .... ..... .,.......... . . . .................... ................ 86
Annexe B
Figure B.l: Masque Bessel 1 .......................... .. ..... . . . . . . . . . ................. 96
FigureB.2:MasqueBessel2 .................................... . . . . . .... . . . .. ................... 97
Liste des tableaux
Chapitre 1
Tableau 1.1: Évaluation des méthodes de génération de faisceaux Bessel .................... 2 1
Chapitre 4
Tableau 4.1: Paramètres pour les simulations ......... .. ............................................ 49
Tableau 4.2: Distances d'auto-imagerie prévues et mesurées pour les masques
2 2 et à 4 anneaux ...... ...-. ..... ..... .......e.*g.g. ........... . ..................................... 6 1
Annexe B
Tableau B. 1 : Diamètres des anneaux des masques Bessel 1 et Bessel 2 ....... . .. . . .... . . ..... 97
Annexe C
Tableau C. 1 : Diamètres des anneaux gravés ..................................................g..e........ 99
Annexe D
Tableau D. 1 : Diamètres des anneaux des masques faits par procédé lithographique. ... 102
Tableau D.2: Diamètres des anneaux des masques ayant une haute d6finition
d'impression ......... .-.---....... =-...-.*........... ...... .............. . . .......... . 102
Chapitre 1
Introduction
Depuis que I'humain existe, il n'a cessé de se poser des questions afin de comprendre
la nature qui l'entoure. Il y a plusieurs siècles, les développements de l'optique ont pennis
de faire des découvertes qui ailaient révolutionner notre manière de penser, notre
conception de l'univers; n'est-ce pas grâce à la lunette astronomique que GaLilée, au début
du XVIf siècle, conFrna les hypothèses émises par Copernic concernant le système solaire.
Puis, Huygens développa la théorie ondulatoire de la lumi&re en 1678. Ce n'est qu'en 1801
que la première démonstration claire de l'interférence d'ondes lumineuses fut réalisée par
Thomas Young à l'aide d'une instrumentation bien rudimentaire. Dans son expérience,
Young utilisa le soleil comme source lumineuse; grâce à de petits trous rapprochés percés à
l'aide d'une aiguille, il mit en évidence le comportement ondulatoire de la lumière.
Quelques années plus tard, la diffraction de la lumière fut découverte grâce aux travaux de
Fraunhofer et de Fresnel. Ces deux scientifiques ont su distinguer deux types de
diffraction, soit la difiction en champ proche (communément appelée diffraction de
Fresnel) et la diffraction en champ lointain (dite de Fraunhofer). Ainsi, les recherches se
poursuivent encore de nos jours dans ce domaine de l'optique afin d'employer ces
propriétés de la lumière à des fins qui nous seraient utiles.
Plus récemment, I'invention du laser en 1960 hit, à. sa manière, tout à fait
révolutionnaire. Cette source de lumière cohénnte et monochromatique a su trouver une
quantité innombrable d'applications dans des domaines tous aussi variés les uns que les
autres. Par exemple, on utilise le laser en industrie pour tailler ou bien souder des
matériaux; dans le secteur de la santé, le laser est devenu un instrument chirurgical,
particulièrement en ophtalmologie; dans le domaine des t~lécomrnunications, le laser est
utilisé comme source pour le transport de l'information par fibres optiques; en télémétrie, le
laser s'est imposé comme la source optique incontournable. Il reste encore beaucoup de
travail à faire pour trouver des matériaux laser ayant une performance accrue et pour obtenir
des faisceaux satisfaisant les critères spécifiques à chaque type d'applications.
Que ce soit pour des applications technologiques particulières ou du point de vue
fondamental, des chercheurs se sont intéressés depuis l'invention du laser à la mise au point
de faisceaux optiques ayant une divergence très faible. Ces derniers permettraient le
transport de puissance laser sur de grandes distances tout en maintenant des intensités
élevées. À la limite, si l'extension spatiale d'un faisceau optique devient infinie, la
divergence de ce faisceau peut devenir rigoureusement nulle; un tel faisceau est alors appel6
non diffiactant-
Par ailleurs, plusieurs scientifiques se sont intéressés au phénomène d'auto-imagerie
qui consiste en un champ périodique cohérent ou non qui se reproduit par lui-même le long
de son axe de propagation. Ce phénomène mis en évidence par H.F. Talbot en 1836 est
appelé effet Talbot dans le cas d'un champ cohérent et effet Lau dans le cas d'un champ
incohérent.
Ce travail consiste en un mariage de ces concepts d'optique physique. L'interférence
de faisceaux passant au travers un masque d'anneaux concentriques très minces permet
d' obtenir une superposition de faisceaux quasi non diffiactants, appelés faisceaux Bessel.
La périodicité du masque d'anneaux concentriques engendre le phénomène d'auto-imagerie
le long de l'axe de propagation du faisceau laser. Ceci a pu être observé et mesuré avec un
montage expérimental.
Dans ce présent chapitre, une introduction aux divers concepts principaux de ce
travail, comme les faisceaux Bessel et le phénomène d'auto-imagerie, sera effectuée tout en
présentant les travaux connexes et antérieurs. Ensuite. la théone gt5néraIe 2 la base du
projet sera détaillde dans le deuxième chapitre. Puis, dans le chapitre suivant, on discutera
de La réalisation expérimentale; toute la méthodologie employée y sera décrite. Par la suite,
le chapitre 4 traitera des mesures et résultats expérimentaux; on y présentera une analyse
complète de toutes les données recueillies au laboratoire portant sur le pwfîi spatial du
faisceau obtenu, sur sa distribution axiale d'intensité et sur des mesures de déphasages
Linéaires ainsi que non linéaires. Finalement, la conclusion résumera l'ensemble des
résultats et tracera un bilan en vue de perspectives futures.
1.1 Les faisceaux non diffractants
Tel que mentionné précédemment, un faisceau optique de divergence nulle (ou non
diffractant) aurait une tailIe infinie. Les faisceaux bien connus d'Hermite-Gauss et de
Laguerre-Gauss ne font pas partie de la famille des faisceaux non difiactants car ils
divergent au cours de leur propagation. Par ailleurs, on sait que des solutions exactes de
l'équation d'onde scalaire de Helmholtz, associées à chacun des systèmes de coordonnées,
seront non divergentes. Ainsi, dans le système de coordonnées cartésiennes, l'onde plane
est solution exacte de I'équation d'onde. En gdométrie cylindrique, les fonctions de Bessel
sont solutions de I'équation de Helmholtz. Dans cette section, les divers types de faisceaux
non diffiactants étudiés jusqu'à ce jour seront présentés. Puis, plus spécifiquement, le
faisceau Bessel sera caractérisé, les diverses méthodes permettant de le générer seront
étudiées et quelques propositions d'applications seront mentionnées.
1.1.1 Types de faisceaux non diffractants
On distingue plusieurs types de faisceaux dits non diffractants. Principalement,
c'est le faisceau Bessel 11-71 qui fut le premier sur la sellette. Dumin et al. furent les
premiers, en 1987, à présenter les fonctions de Bessel comme &tant des solutions non
divergentes de l'équation d'onde scalaire et à faire la réalisation expérimentale d'un
faisceau Bessel. Ce dernier est non diffractant car il possède la même distribution
d'intensité en chaque plan perpendiculaire à l'axe de propagation. De plus, si on
considère, comme l'a fait Dumin, la solution la plus simple soit Jo(x). on peut
employer le terme faisceau pour l'identifier car sa distribution transversale d'intensité
possède un maximum bien défini et elle tend à diminuer en fonction de l'augmentation
de la coordonnée radiale. Une plus ample description du faisceau Bessel sera faite dans
la prochaine sous-section.
Par la suite, on a proposé une généralisation du faisceau Bessel en tant que
faisceau non diffractant [21]. Toute fonction qui est solution de I'équation de Bessel
peut être solution de I'équation d'onde. Ainsi, n'importe quelle combinaison héaire
de Jo(x.) et de Yo(x) (fonction de Weber) constituerait un faisceau non diffractant. Des
simulations numériques ont 6té effectuées en considérant une fonction de Weber Yo(x)
qui a été tronquée à la fois physiquement (ouverture finie), de même qu'en amplitude
(l'amplitude est Yo(x) si Yo(x) > -1, ou -1 si Yo(x) I -1). Ceci résulte en un faisceau
ayant une plus grande densité d'énergie que celle du faisceau Bessel et ce, sur une plus
grande distance.
Plus récemment, le faisceau Bessel vectoriel, i-e. solution de I'équation d'onde
vectorielle de Helmholtz, a été étudié 1221. Boucha1 et Olivik ont analysé
théoriquement les composantes transversales et longitudinales de l'intensité du faisceau
vectoriel de diffbrents ordres pour tous les types de polarisation: radiale, azimutale,
circulaire et linéaire. Les faisceaux obtenus possèdent tous une région centrale bien
définie qui prend la forme d'un anneau ou d'un lobe autour duquel on retrouve des
anneaux. La distribution d'intensité dans chacun des anneaux est spécifique pour les
différents ordres de faisceaux Bessel et les différentes polarisations. Ii serait possible
d'obtenir ces faisceaux en utilisant des axicons polariseurs.
D'autre part, on a introduit les faisceaux Bessel-Gauss [23] qui ont la
particularité de posséder des caractéristiques intéressantes à la fois du faisceau Bessel
et du faisceau gaussien. Ii est important de noter que ce faisceau ne peut être appelé
non diffractant cause de sa composante gaussienne qui, comme on le sait, tend à
diverger. Toutefois, il mérite d'être mentionné car il est intimement relié au faisceau
Bessel et il est, par ailleurs, solution de l'équation d'onde paraxiale. Ce faisceau a
naturellement pour cas Limites le faisceau Bessel d'une part et d'autre part le faisceau
gaussien. Le faisceau Bessel-Gauss transporte une quantité finie d'énergie et peut être
réalisé expérimentdement avec une bonne approximation, à cause de la décroissance
rapide du profil gaussien. La propagation de ce faisceau a &é téttudiée théoriquement
selon I'approximation paraxiale. Initialement, le faisceau possède un profil transverse
de type Bessel puis, au fur et à mesure de sa propagation, sa composante gaussienne
tend à le faire diverger. Ce type de faisceau a pu être généré expérimentalement dans
un résonateur laser [24-251. De plus, la solution azimutale du faisceau Bessel-Gauss
[26] a été étudiée; cette dernière serait, en fait, un faisceau Bessel-Gauss dont la Limite,
lorsque la taille du faisceau gaussien tend vers l'infini, donne un faisceau Bessel Jt(x) .
Puis, le faisceau Bessel-Gauss vectoriel [27] a été examiné essentiellement d'un point
de vue théorique. Récemment, on a réussi à généraliser les faisceaux Bessel-Gauss
[28]. On a démontré qu'ils font partie d'une famille encore plus grande de faisceaux,
soient les faisceaux Bessel-Gauss généralisés, de pair avec une autre classe de
faisceaux appelés faisceaux Bessel-Gauss modifiés. Tous ces types de faisceaux ont
été analysés théoriquement et numériquement afin de connaître leur comportement lors
de leur propagation. Ainsi, le faisceau Bessel-Gauss modifié d'ordre zéro est de type
a top hat » au début de sa propagation puis, il se rétrécit en fonction de la distance et
devient de plus en plus intense en son centre (distribution presque gaussienne).
1.1.2 Caractérisation du faisceau Bessel
Lonqu'on résout l'équation d'onde scalaire qui s'écrit comme suit, en géométrie
cylindrique:
où V2 est le Laplacien en coordonnées cylindriques. on trouve facilement que la
solution exacte de cette équation est 121:
Ë(r,z) = exp[ipz] JO (w) ,
où p + a2 = (o/c) * , x2 + = r et Jo(u) est la fonction de Bessel de première
espèce d'ordre zéro. Ce faisceau est non diffractant car l'intensité du faisceau satisfait
la relation suivante:
et ce, en chaque plan perpendiculaire à l'axe de propagation. La distribution
transversale de l'intensité est donc indépendante de la distance de propagation z.
Étant donné que L'enveloppe de la distribution d'intensité d'un faisceau Bessel
diminue en l/r loin du centre, celui-ci n'est donc pas intégrable. En fait, même s'il y a
un maximum d'intensité bien défini à r = O, la quantité d'énergie contenue dans chaque
anneau (Le. entre deux zéros consécutifs de la fonction de Bessel) est à peu près égale à
celle qu'on retrouve dans le lobe central. Tout comme l'onde plane, c'est un faisceau
qui est infini transversalement. LE faisceau Bessel n'est donc pas un faisceau facile 2
générer en pratique; à strictement parler, il faudrait une quantité infinie d'énergie pour
produire un faisceau Bessel exact, non diffractant en laboratoire.
Chapitre 1, introduction 7
Dumin a tout de même réussi à générer expérimentalement un faisceau dont la
fonne s'apparente très étroitement à celle d'un faisceau Bessel [l, 3-41; en fait, on
devrait l'appeler quasi-non diffjractant par souci d'exactitude. Un faisceau laser
collimé monochromatique est incident sur une fente circulaire (un anneau) très mince
qui est placée à la focale d'une lentiile. Après cette lentille, on observe un faisceau
Bessel (voir fig. 1.1) qui est quasi non divergent. Il est à souligner qu'après le masque,
le faisceau est de type Bessel mais avec un front de phase parabolique et un profrl
divergent. La lentille permet de collimer le faisceau.
FIG. 2. Experimental arrangement for the creation of a JO b a r n . Collimated light of wvelength i illuminates a circular slit Iocated in the focaI plane of a lens. The mean diameter of the dit is d. the width of the slit is Ad. the focal length of the lem is f. and the radius of the output aperture is R. The dis- tance Z,, indicates the beginning of the geometrical shadow zone along the : axis.
Figure 1.1 Montage expérimental utilisé par Dumin et al.
(figure tirée de la référence 141).
IdBalement, chaque point de la fente circulaire agit comme une source ponctuelle
que la lentille transforme en onde plane. Cet ensembie d'ondes planes possède des
vecteurs d'ondes placés à la surface d'un cône, ce qui est une caractéristique qui définit
un faisceau Bessel. De fait, de l'équation (1.1-2.2). on constate que le faisceau Bessel
est une superposition d'ondes planes, ayant toutes la même amplitude et se propageant
au même angle par rapport à I'axe des z mais. ayant diff6rents angles azimutaux allant
de O à 27r rad. D'autre part, selon l'optique de Fourier, on sait que la transfomée de
Fourier (via une lentille) d'une fonction delta de Dirac en coordonnées cylindriques
(donc un anneau) est une fonction de Bessel. Ceci est une autre manière de justifier le
montage expérimental utilisé par Dumin. Fait à souligner, en 1952, Toraldo di Francia
aborda le sujet du « faisceau » Bessel, en utilisant une ouverture en forme d'anneau,
dans le but d'ameliorer le pouvoir de résolution d'un système optique [8].
Il est à noter que le faisceau diffracté par l'anneau se retrouve tronqué
physiquement à cause de la présence d'une lentille de dimension finie. De plus,
idéalement, la largeur de l'anneau devrait être infinitésimale. Ainsi, on ne peut
produire expérimentalement un faisceau non diffractant tel que pr&u par la théorie.
Malgré tout, le faisceau obtenu possède une grande profondeur de champ qui est
dépendante de la dimension de la lentille. À cette fm. Dumin a défini, B partir de
l'optique géométrique, une distance & jusqu'à laquelie on peut observer un
comportement non difiactant du faisceau, plus particulièrement, du lobe central. 2-
est aussi la position à partir de laquelle apparaît une zone d'ombrage car, à partir de
cette position, il n'existe plus de superposition des ondes planes qui se propageaient il
des angles azimutaux différents. Cette position est donnée par:
où R est le rayon de la lentille, f est la focale de la lentille et d est le diamètre de
l'anneau. Après &, l'interférence cesse et L'intensité sur l'axe décroît rapidement
jusqu'h zéro. La lumière continue de se propager sous la forme d'un anneau divergent
dont l'intensité diminue rapidement.
Par ailleurs, le lobe centrai est de dimension très petite; sa largeur (2p) peut être
près de l'ordre de grandeur d'une longueur d'onde si la distance focale de la lentille
n'est pas beaucoup plus grande que le diamètre de l'anneau. Elle peut être calculée
comme suit:
où 2,4048 est la position (en u) du premier zéro de la fonction de Bessel Ja(u). La
petitesse de la tache centrale combinée avec sa faible divergence en font un faisceau
qui peut être très utile pour l'alignement de systèmes optiques.
Considérons, à titre d'exemple, l'expérience réalisée par Durnin et al. 141. Ils ont
utilisé un laser He-Ne à 632'8 nm incident sur un masque ayant un anneau de diamètre
moyen d = 2'5 mm et avec une largeur Ad = 10 p. La lentille avait une focale f = 305
mm et un rayon R = 3'5 mm (voir fig. 1.1). Ceci donne donc une valeur de profondeur
de champ & = 85,4 cm et une largeur du lobe central 2p = 118 p. La valeur de
& est tout A fait en accord avec leurs mesures expérimentales de l'intensité sur I'axe
de propagation car ils ont bel et bien observé une niminution de I'intensité 2 cette
position sur I'axe. De plus, ils ont observé que I'intensite sur I'axe de propagation était
soumise à des oscillations autour d'une valeur centrale. Ceci résulte de la diffraction
de Fresnel sur une arête, soit la lentille, tel que démontrk par leurs simulations
numériques. Ii est important de p&iser que la méthode de la fente circulaire n'est pas
la seule méthode existante pour produire un faisceau Bessel. Plusieurs méthodes ont
été développées jusqu'à ce jour; elles seront étudiées plus en détail à la sous-section
1.1.3.
La publication des articles de Durnin sur les faisceaux non diffractants a causé
beaucoup de soulèvements. DeBeer, Hartmann et Friedberg ont fait l'analogie du
faisceau Bessel avec l'imagerie sur une ligne [9] ou plus précisément avec la tache de
Poisson (ou d'Arago) causée par la difiaction de la lumière sur un obstacle circulaire.
Ce commentaire amena la réplique suivante de Durnin comme quoi tout champ de type
faisceau (i.e. un champ possédant un maximum d'intensité le long de I'axe
Uuzpzrre r , 1 nrroaucnon III
propagation) peut être interprété comme une image sur une ligne; ceci provient du fait
que tout champ se propageant dans le vide peut être vu comme une superposition
d'ondes planes. Peu importe le type de faisceau, l'interférence résultant de la
superposition d'ondes planes est telle qu'il existe un maximum, une imagerie sur une
ligne. Dans aucun cas, I'énergie dans le maximum ne se propage directement le long
de l'axe de propagation. De plus, le fait qu'il est possible d'obtenir de l'imagerie sur
une ligne n'implique pas nécessairement que le champ possède les caractéristiques
d'un faisceau Bessel.
Par ailleurs, Sprangle et Hafiizi ont tenté de mettre en doute la capacité du
faisceau Bessel à avoir une grande profondeur de champ comparé au faisceau gaussien
[IO]. En fait, dans des conditions idéales (quantité infinie d'énergie, largeur de
L'anneau infinitésimale et lentille de dimension infinie), le faisceau Bessel se
propagerait à l'infini et ce, sans diffracter. Cependant, lors de toute réalisation en
laboratoire, on peut observer le comportement non diffractant du central
d'intensité seulement jusqu'à la distance &. Cette distance est valable uniquement
pour le lobe central situé sur l'axe de propagation. C'est donc pour le centre du
faisceau qu'on a observé peu de difhction et ce, sur de p d e s distances. Par
comparaison, pour des faisceaux de tailles semblables initialement, les distances sur
lesquelles la faible divergence du faisceau Bessel est observable sont beaucoup plus
grandes que pour le faisceau gaussien qui s'élargit et perd de I'intensité en son centre
de manière rapide [2-5, 10- 13,301.
Le groupe de Lin et al. s'est aussi intéresse aux faisceaux Bessel et a poursuivi la
caractérisation expérimentale de ce type de faisceau [Il] . Ils se sont concentrés sur le
profil transversal et longitudinal du faisceau Bessel, sur son front de phase et sur les
effets causés par des distorsions, de même que sur l'énergie contenue dans chaque
anneau. ils ont constaté que. lorsque le diamètre de la lentille est égal ou très
rapproché de la valeur du diamètre de l'anneau (12'1 mm) qui génère le faisceau
Bessel, l'intensité sur l'axe oscille autour d'une certaine valeur; par contre, lorsque la
1entil.k est beaucoup plus grande que la figure de diffraction engendrée par l'anneau,
ces oscillations disparaissent En faisant varier la largeur de l'anneau, ils ont pu faire
certaines observations. Dans le cas où l'anneau est large, disons 100 pm, l'intensité sur
I'axe diminue de façon continue. Cependant, lorsque l'anneau est mince, par exemple
25 pm, t'intensité sur I'axe de propagation a une valeur moyenne constante et ce,
jusqu'à & où chute abruptement l'intensité. Par aiueurs. leurs mesures ont permis de
confirmer que l'énergie contenue dans chacun des anneaux du faisceau Bessel est
approximativement la même, tel que prédit par la théorie. Par ailleurs, ils ont évalué
l'influence sur le profil d'intensité du faisceau Bessel de distorsions du fiont de phase,
d'imperfections de la fente circulaire et de la qualité du faisceau laser utilisé. Iis ont
conclu que les distorsions de basse fréquence du front de phase doivent être inférieures
à h/4 (du pic à la vallée) et celles de haute fréquence à Al10 (rms). Les erreurs
géométriques du masque doivent être inférieures à 1% de la largeur de l'anneau pour
les erreurs de basse fréquence dors que pour celles de haute fréquence (définition des
contours de l'anneau), les erreurs peuvent être aussi élevées que 5% à 10% de la
largeur de l'anneau sans causer d'effets nuisibles. Quant la qualité du laser utilis6, ils
n'ont trouvé aucune influence mesurable sur la distribution d'intensité du faisceau
Bessel. Ces chercheurs ont aussi étd en mesure de determiner que le faisceau Bessel
possède un front d'onde plan, en accord avec la théorie. De plus, par une méthode
interférométrique, iis ont mesuré un déphasage de n entre chaque anneau du faisceau
Bessel.
Bien entendu, il est important que l'introduction d'un nouveau type de faisceau
amène des améliorations. Ce qui est le cas du faisceau Bessel qui a été abondamment
comparé au faisceau gaussien si familier [2-5, 10-13, 301. Ainsi, on a fait plusieurs
comparaisons, avec le faisceau gaussien, sur l'efficacité du faisceau Bessel à
transporter l'énergie, sa divergence et sa profondeur de champ [12-13,301. Le faisceau
Bessel a pour désavantage de contenir autant d'energie dans chacun de ses anneaux.
Ainsi, un faisceau Bessel avec 25 anneaux ne contiendra seulement que 4% de son
énergie totale dans son lobe centrai; alors que 50% de l'énergie totale d'un faisceau
gaussien est contenue à sa largeur à mi-hauteur. Cependant, le faisceau Bessel a une
plus grande profondeur de champ, Le. il se propage sur une plus grande distance que le
faisceau gaussien avant qu'une diminution d'intensité sur l'axe n'apparaisse. Pour des
faisceaux gaussien et Bessel ayant des tailles semblables (on considère la tache centrale
du faisceau Bessel), la distance de propagation peut être jusqu'à deux ordres de
grandeur plus grande pour le faisceau Bessel. Ceci provient justement de la nature
même du faisceau Bessel; c'est l'énergie des anneaux extérieurs qui fournit l'intensité
sur l'axe. La tache centrale du faisceau Bessel peut être très petite et cela n'influencera
pas sa divergence dors que pour le faisceau gaussien, plus il est petit, plus il divergera
rapidement; il y aura donc diminution de l'intensité sur l'axe. En bref, ce n'est qu'une
fiaction de l'énergie totale qui est contenue dans le lobe central du faisceau Bessel
comparativement au faisceau gaussien. Cependant, ce lobe a une plus grande distance
de propagation et sa taille peut être de l'ordre de la longueur d'onde. Ainsi, on ne peut
dire que la tache centrale du faisceau Bessel est très énergétique mais, malgré tout, elle
transporte efficacement la puissance.
On a aussi mis en évidence une particularité du faisceau Bessel soit une propriété
d'ombrage (14-151. En bloquant le lobe centrai, on a pu constater que le faisceau se
régénérait par lui-même et ce, après une courte distance de propagation après l'obstacle
(voir fig. 1.2). C'est grâce au système d'anneaux que ce phénomène peut exister. De
plus, en présence d'un obstacle, l'intensité du lobe central revient approximativement à
la valeur présente en avant de L'obstacle.
D'autre part, des travaux ont été réalisés sur la diffraction de faisceaux Bessel par
une ouverture circulaire [16-181. Celui-ci a et6 comparé à l'onde plane, au faisceau
gaussien et au faisceau Bessel-Gauss [18]. Ceci donna pour résultat que, lorsqu'on
considère seulement l'intensité sur l'axe, les performances du faisceau Bessel sont
meilleures que celle du faisceau gaussien ou du faisceau Bessel-Gauss; I'intensitc! sur
l'axe du faisceau Bessel est plus élevée et il se propage plus loin. Par ailleurs, il
suffirait de choisir convenablement les paramètres de la distribution du champ passant
à travers une ouverture pour obtenir un faisceau qui aura une grande profondeur de
champ et un lobe central qui ne s'étalera pas sur cette distance 1161. De plus, les
variations du spectre angulaire de la figure de diffraction seront causées par les défauts
de symétrie du masque, par un désaiignement ou une inclinaison du masque par rapport
à l'axe [17].
zone
Fig. S. Geomecrïc~l optics illustration of Bcswl kani shndowing.
Figure 1.2 Illustration géométrique de la propriété d'ombrage
(figure tirée de la référence [15]).
Comme on peut le constater, les faisceaux Bessel ont suscité beaucoup d'intérêt
de la part de divers chercheurs à travers le monde. Iis ont même intéressé un
mathématicien-physicien qui a réussi à déterminer que les faisceaux Bessel sont une
classe de fonctions ayant la propriété de se reproduire sous des transformations
optiques paraxiales: petits angles, lentilles minces, milieu ayant un profil d' indice
parabolique et miroirs similaires [19]. Ceci provient du fait que les faisceaux Bessel
font partie d'un sous-groupe de tenseurs Sp(2, R) = SL(2, R), le groupe de
transformations paraxiales de systèmes optiques ayant une symétrie axiale. On a aussi
étudié analytiquement la propagation d'un faisceau Bessel à travers un système optique
ayant une symetrie axiale et pouvant être représenté par une matrice ABCD 1201;
naturellement, cette solution est seulement vdable dans la limite paraxiale.
En résumé, le faisceau Bessel possède (1) un lobe central intense (comparé au
reste du faisceau) qui peut être très petit, (2) un système d'anneaux qui accompagne la
tache centrale, (3) une absence de divergence du lobe central et des anneaux voisins sur
une grande distance, (4) un caractère directionnel très important, et (5) une propriété
d'ombrage très particulière. Ceci met un terne à cette partie sur la caractérisation du
faisceau Bessel. Il s'avérait important d'en faire un rapport détaill6 car plusieurs des
ces caractéristiques seront mises à profit plus loin dans ce travail.
1.13 Méthodes de production de faisceaux Bessel
Toutes les méthodes permettant de générer un faisceau Bessel, connues jusqu'à
ce jour, seront étudiées. De plus, on effectuera une évaluation de leur efficacite, de Ieur
facilité de fabrication et de Ieur coût.
1.13.1 La méthode conventionneile: La fente circulaire
Comme il a été mentionné précédemment, Durnin et al. [4] ont utilisé une fente
circulaire, tout comme Lin et al. [Il]. Le masque a été fait par g r a m , i.e. un
anneau a été gravé sur un substrat ayant un dépôt métallique. La technique
employée pour effectuer la gravure n'a pas été spécifiée (ce fut soit mécaniquement,
par lithographie, ou par faisceau laser). Naturellement, l'anneau & n t très mince et
ses contours très abrupts, l'intensité sur l'axe de propagation sera influencée par la
diffraction de Fresnel; des oscillations de l'intensité autour d'une valeur moyenne
seront observables. Comme ces oscillations sont aussi en partie causéw par la
lentille de dimension finie, il est possible de les réduire considérablement en
choisissant judicieusement le rapport diamètre de l'anneau-diamètre de la lentille
[Il]. D'autre part, cette methode a pour désavantage de laisser passer peu de
puissance du laser qui sert à gén6rer le faisceau Bessel. Ainsi, l'énergie contenue
dans tous les anneaux du faisceau Bessel proviendra seulement et uniquement de
l'énergie qui passe au travers de la fente circulaire. Comme il a été souligné
auparavant, l'énergie contenue dans chacun des anneaux du faisceau Bessel est
approximativement la même, ce qui laisse peu d'énergie pour le maximum central.
Chapitre 1, Introduction If
Il n'en demeure pas moins que cette méthode est peu coûteuse et le masque est assez
facile à fabriquer.
Une autre façon de réduire, voire même d'enlever les oscillations de l'intensité
axiale a été suggérée [29]. Ce sont les arêtes abruptes associées aux contours bien
définis de la lentille qui engendrent ces variations; pour que la transition se fasse
plus en douceur, il a ét6 proposé d'utiliser un filtre apodisant. Ainsi, selon des
calculs numériques qui testaient divers types de fihes, il semblerait possible, en
utilisant le fitre apodisant approprié, d'obtenir un faisceau Bessel qui possède une
intensité axiale constante, Le. sans aucune variation et ce, jusqu'à la zone
d'ombrage.
COtUMATlNG CENS ANNULAR MlZSK \ -4
Figure 1.3 Schéma du montage utilisant une lentille annulaire et
fabrication de la lentille annulaire (figures tirées de la référence [3O 1).
Dans le but d'augmenter l'énergie disponible pour produire un faisceau Bessel
avec une fente circulaire, on a proposé l'utilisation d'une lentille annulaire [30] (voir
fig. 1.3). Cette demière est fabriqutk à partir d'un anneau (aux contours abrupts) de
photorésine transparente déposée sur un substrat qui est chauffé. Une fois cham&,
la photorésine s'étend et prend un profd sphérique; on obtient donc une lentille
annulaire. Ainsi, les rayons lumineux convergent sous la fome d'un anneau sur le
masque et le faisceau Bessel obtenu contient une plus grande quantité d'énergie.
1.1.3.2 Lame à zones de Fresnel
Avec la méthode conventionnelle (fente circulaire mince), l'énergie disponible
pour produire un faisceau Bessel est peu élevée. Pour contrer ce problème, une
autre méthode a été développée soit celle des lames à zones de Fresnel [3 11. Elle
consiste à fabriquer un masque de plusieurs anneaux concentriques qui répondent à
une relation bien particulière; l'image au foyer de ce masque est un anneau. Ce
dernier se retrouve au foyer d'une lentille, ce qui permet d'obtenir un faisceau
Bessel (voir fig. 1.4).
Fig. 1. Experirncriral arrangement for r ht generation of ii di fiaction- free nec.dle!ik<: bcam. ZP is a Fresnel zone plate wirh the ring-type :usus i r i~agc ril 1d1cir;:cti.r d ) and m i s cm. The diririiettx of ZP !s D. L is 3 i m i v e ~ !SR< u ith (Ocal lengthf' . B show : he pcricroted J..-type non- itiiTracti~~g btam.
Figure 1.4 Schéma de l'expérience utilisant une lame à zones de Fresnel
pour générer un faisceau Bessel (figure tirée de la référence [3 11).
Cette méthode est simple et possède l'avantage de produire un faisceau Bessel plus
puissant que la méthode conventionnelle, étant donné la grande quantite d'anneaux à
travers lesquels le faisceau laser utilisé peut passer.
1.1.3.3 Le résonateur Fabry-Perot
Cette méthode a été mise sur pied pour vérifier expérimentalement une
proposition d'hdebetouw [32] concernant une façon de produire un faisceau Bessel.
ElIe consiste à utiliser une cavité passive, soit un résonateur Fabry-Perot, pour
générer un faisceau Bessel [33]. Un faisceau laser est dirigé s w un fùtre spatial,
puis le faisceau passe au travers du Fabry-Perot. Les rayons parallèles résonants
sont ensuite focalisés à l'aide d'une lentille et forment un ensemble infini d'anneaux
concentriques. Un anneau est ensuite sélectionné, grâce à un filtre spatial annulaire,
et se retrouve à la focale d'une autre lentille. Ainsi, un faisceau Bessel est créé (voir
fig. 1.5). Cette méthode est plus complexe car plusieurs paramètres doivent être
ajustés. De plus, elle semble être plus collteuse. Par ailleurs, malgré le fait que
l'intensité sur l'axe soit exempte d'oscillations, celle-ci n'est pas constante; elle
augmente graduellement puis elle chute brusquement. Cette méthode est donc
moins performante que la méthode de la fente circulaire, par exemple.
Fig. 2. Diagram of the apparatus used in the present experi- ment, consisting of a spatial filter (SF), étalon mirrors (MI and hiL). a lem (LI) with focal length f,, an annular spatial filter (MF) passing rewnant ring 1. and a lens (L2) with focal length f i . Sy mmetric rayç below the Z a x i ~ were omitted for clarity.
Figure 1.5 Schéma du montage utilisant un interféromètre de Fabry-Perot
pour générer un faisceau Bessel (figure tirée de la référence [33]).
1.1.3.4 Les systèmes réfmctifs
On a aussi envisagé d'utiliser un système r6fiactif pour obtenir un faisceau Bessel
[34]. C'est un système optique qui permettrait de transformer directement un
faisceau gaussien en un faisceau Bessel. Le faisceau gaussien passerait ii travers le
système, serait réfracté puis ressortirait avec la distribution en intensité du faisceau
Bessel. Les conditions qui ont été posées pour fabriquer ce système optique sont les
suivantes: (1) le faisceau gaussien initiai doit être distribué de manière à obtenir la
distribution d'un faisceau Bessel à la sortie du système, (2) ie chemin optique de
chaque rayon lumineux doit être le même et (3) chaque rayon lumineux qui entre
dans le système et son correspondant qui en sort doivent tous être parallèles. Ceci
engendre donc des surfaces très difficiles à modeler, à fabriquer le plus fidèlement
possible. Cette méthode est donc très complexe et difficib à réaliser
expérimentalement
Puisque la fabrication d'un seul système réfractif était extrêmement complexe, on
a pensé combiner deux systèmes réfractifs afin d'obtenir des surfaces plus faciles à
modeler [35]. Le résultat a été concluant, du moins théoriquement. Il n'en demeure
pas moins que cette méthode n'est pas la plus simple à utiliser pour obtenir un
faisceau Bessel et elle est très coûteuse. De plus, elle n'offre pas une très grande
souplesse face aux paramètres du faisceau Bessel désiré. Aucun test utilisant cette
méthode ne semble avoir été réalisé en Iaboratoire.
1.13.5 Les axicons
Lorsqu'un faisceau de lumière collimée est incident sur un axicon, un foyer sur
une ligne est formé contrairement à une lentille parabolique qui forme un point focal
1361. L'axicon le plus connu est la lentille conique. Le profil d'intensité généré par
une lentille conique est celui d'un faisceau Bessel 1371 et il est intense étant donné
que toute I'bnergie disponible peut passer à travers l'axicon [14,38-391. Cependant,
la lentüle conique produit une distribution axiale de l'intensité dont la valeur
moyenne augmente linéairement avec la distance z; ainsi, l'intensité sur l'axe de
propagation n'est pas constante. De nouveau, puisque le faisceau incident sur la
lentille conique frappe les bords de la lentille, ceci engendre des oscillations de
l'intensité sur l'axe. Ainsi, on a propos6 une apodisation en déposant une couche
mince ayant une transmission graduelle sur les bords de l'axicon 1401.
Théoriquement, cela semble donner de très bons résultats. D'autre part, en utilisant
une lentille de projection, le faisceau Bessel obtenu peut avoir une plus grande
profondeur de champ. Cette méthode, utilisant un axicon, est intéressante car elle
pemet de générer facilement un faisceau Bessel mais elle est coateuse à cause la
fabrication, tout de même compliquée, de I'axicon.
Mentionnons que la combinaison d'un axicon et d'une lentille possède comme
image un anneau [37, 41-42]. Cet anneau peut ensuite être placé au foyer d'une
autre lentille afin de générer un faisceau Bessel. Ii est possible de varier le diamètre
de l'anneau en modifiant l'angle de l'axicon, son indice diélectrique et la distance
focale de la lentille. Cette méthode de génération de faisceaux Bessel ne semble pas
avoir été présentée dans la Littérature.
1.1.3.6 Les méthodes holographiques
d'augmenter I'eficacité de conversion faisceau gaussien-faisceau Bessel, on
a développé diverses méthodes faisant appel à l'holographie. Ainsi, on a commencé
par des hologrammes générés par ordinateurs [43-441. Cette méthode donne de
bons résultats pour le profil transverse du faisceau; la distribution d'intensitb est
celle d'un faisceau Bessel. En ce qui concerne l'intensité sur l'axe, tout comme
pour I'axicon. elle n'est pas constante; elle augmente plutôt graduellement en
fonction de la distance propagation jusqu'il ce qu'il y ait une chute abrupte de
I'intensité. Cette méthode possède cependant une bonne efficacité de conversion et
Chapitre I , Introduction 20
les hologrammes sont faciles à produire. Fait à noter, toujours avec des
ho~o&rammes générés par ordinateurs, on a été en mesure d'obtenir des faisceaux
Bessel d'ordre supérieur de bonne qualité [4445].
On a aussi produit un faisceau Bessel au moyen d'un hologramme fait par
interférence directe de deux faisceaux 146-471. Ceci donne des résultats semblables
à la méthode des hologrammes générés par ordinateur. Cependant, elle a pour
désavantage de nécessiter I'utilisation du montage de la méthode traditionnelle avec
fente circulaire pour produire I'hologramme. De même, on a produit, avec une
méthode semblable, un faisceau quasi Ji(x) 1481.
Dans le but d'obtenir, par une méthode holographique (à cause de son efficacité
de conversion), un faisceau Bessel qui possède une intensité axiale constante, on a
développé une technique qui nécessite deux éléments holographiques [49] générés
par ordinateur. Cette méthode est intéressante étant donné que le faisceau Bessel
obtenu possède une intensité sur l'axe qui est plus uniforme, Le. qu'elle oscille
autour d'une valeur moyenne. Cependant, elle se complique car, il faut produire
deux hologrammes pour obtenir le faisceau Bessel désiré.
Pour toutes les méthodes holographiques précédentes, les hologrammes étaient
utilisés en transmission. On a aussi fait des expériences avec des hologrammes,
générés par ordinateur, utilisés en réflexion 115, 501 avec une diode laser servant de
source. Comme pour tous les autres hologrammes, encore une fois, I'intensite sur
l'axe n'est pas constante. Par contre, l'efficacité de conversion peut être élevée, soit
de 33% [SOI.
L
1.1 3.7 Sommaire sur les méthodes qui génèrent un faisceau Bessel
Dans le but de faire des comparaisons efficaces entre les diverses méthodes
permettant de générer un faisceau Bessel, un tableau récapitulatif a été préparé (voir
tableau 1.1).
Tableau 1.1 Évaluation des méthodes de génération de faisceaux Bessel
Méthodes de génération de
faisceaux Bessel
Fente circulaire Lame à zone de Fresnel Résonateur Fabry-Pérot
Systèmes réfractifs Axicons
Holographie
Facilite de production de
la méthode
Quaiiîé du faisceau Bessel obtenu
~ f f i ~ a c i t i de
conversion
simple simple
complexe très complexe
complexe simple
Coût de la
méthode
très faible élevée élevée élevée
très élevé élevé
-- -
excellente très bonne très bonne bonne bonne bonne
-- ' faible faible élevé
très élevé élevé faible
1.1.4 Applications pour les faisceaux non diffractants
Jusqu'à maintenant, plusieurs chercheurs ont énoncé une panoplie de
propositions pour trouver des applications potentielIes aux faisceaux Bessel [14-15,30,
51-53]. Le comportement directionnel du faisceau pourrait être très utile dans des
domaines où on exige une très haute précision de pointage. Sa grande profondeur de
champ et la très petite taille du lobe central peuvent être mises à profit dans des
applications qui doivent mesurer la position, la grosseur et le mouvement de petits
objets. Des applications plus spécifiques seraient, entre autres, en photolithographie,
en dignement de composantes optiques, pour des systèmes de guidage, en
micropositionnement dans le but d'emmagasiner des données optiques, voire même
pour faire la lecture de codes à barres [30]. De plus, sa propriété d'ombrage combinée
à sa grande profondeur de champ seraient utiles pour les interconnexions optiques à
plateaux multiples [15].
Chapitre 1, Introduction 22
On a par ailleurs proposé de générer un faisceau Bessel dans un résonateur
confocal avec un milieu actif en forme d'anneau [5 11. À I'aide du faisceau Bessel ainsi
obtenu, on a suggéré d'accélérer des particules chargées via le maximum central du
faisceau qui contient tout de même une grande quantité d'énergie étant donné qu'il a
été créé dans un résonateur.
D'autre part, les faisceaux Bessel ont des particularités intéressantes pour
I'optique non linéaire. On a étudié les propriétés de doublage de fréquence du faisceau
Bessel [52]. On a pu observer, à l'aide d'un faisceau Bessel, un accord de phase dans
la génération de second harmonique dans un cristal KDP à des angles inhabituels pour
l'accord de phase. On a donc démontré que, sous certaines conditions, les faisceaux
Bessel peuvent être considérés comme des faisceaux accordables en longueur d'onde.
Ainsi, lorsque des problèmes d'accord de phase sont rencontrés lors de l'interaction
non linéaire d'ondes de fréquences différentes, la fréquence spatiale du faisceau Bessel
devient un paramètre accordable additionnel.
Enfin, les faisceaux Bessel ont été examinés pour la réduction de l'étaiement
temporel des impulsions ultra-brèves 1531. Par des simulations numériques utilisant un
élément hoIographique appelé <uRnsacon» (qui permet de générer un faisceau Bessel),
il a été possible de réduire l'étalement temporel causé par des milieux dispersifs. La
réalisation expérimentale devra être faite afin de confirmer les résultats théoriques.
1.2 Le phénomène d'auto-imagerie
On doit distinguer divers types d'auto-imagerie soit le cas d'un champ cohérent (effet
Talbot) 154-601, le cas d'un champ partiellement cohérent (effet eLohmann-Ojeda-
Castaneda ») 159, 61-62] et, finalement, d'un champ incohérent (effet Lau) 163-651. Dans
un premier temps, une présentation de recherches portant sur les divers types d'auto-
imagerie sera effkctuée. Puis, il sera question de méthodes permettant d'obtenir de I'auto-
imagerie soit avec un interféromètre [65-681, ou bien à l'aide d'un résonateur 1691. Ensuite,
des travaux traitant à la fois d'auto-imagerie et de faisceaux Bessel seront présentés.
1.2.1 Études sur 19auto-imagerie
C'est H.F. Talbot qui a introduit pour la première fois le phénomène d'auto-
imagerie [54]. II démontra que des masques planaires (lignes et croix) ayant une
transmittivité spatiale périodique peuvent s'imager eux-mêmes le long de l'axe de
propagation, lorsqu'ils sont éclairés par une source cohérente. Ceci signifie qu'en des
plans séparés par une distance d, on peut observer la même distribution en intensité que
le masque hi-même. Par la suite, Lord Rayleigh [55] montra que la source doit être
monochromatique et cohérente afin d'obtenir une bonne reproduction du masque et il a
établi à quelles distances on pourra observer les reconstructions. Puis, Cowley et
Moodie [56] définirent les images de reconstruction (les images exactes) comme étant
des images de Fourier et, pour leur part, Winthrop et Worthington [57] s'intéressèrent
aux images de Fresnel qui résultent de la diffraction en champ proche et qui sont
observables entre les images de Fourier.
Le flambeau revint ensuite à Montgomery 1581 qui posa la question suivante
(traduction libre): Quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes que l'objet (à
imager) doit satisfaire afin d'en observer une image fidèle et réelle en un plan parallèle
situé à z = d > O ? ». Il considérait un objet plan infini, éclairé par une onde plane
monochromatique à incidence normale qui pourrait s'auto-imager sans l'aide de
lentilles, ni autres accessoires optiques. Montgomery mit en évidence que la
p6riodicité d'un objet est suffisante mais non nécessaire pour qu' il y ait auto-imagerie.
De plus, il trouva que, dans le cas d'objets ayant une périodicité, le spectre des
fréquences spatiales doit être constitué d'anneaux concentriques qui répondent 21 une
certaine relation entre eux,
Plusieurs travaux ont porté sur la cohérence versus l'auto-imagerie. Ainsi,
lorsque le champ est complètement cohérent, nous sommes en présence de l'effet
Talbot. Plus spécifiquement, on a réussi il démontrer que les propriétés périodiques de
champs cohérents sont des fonctions propres de L'opérateur qui représente la solution
de l'équation de Helmholtz [59]. D'autre part, on a montré que la périodicité latérale
de la densité spectrale croisée est la cause de la périodicité axiale [60]. On a de plus
montré théoriquement et expérimentalement que la périodicité axiale de champs ayant
un spectre de fréquences spatiales restreint engendre leur périodicité latérale [60]. Pour
un champ partiellement cohérent, si l'intensité mutuelie, qui est définie comme étant
l'amplitude complexe multipliée par son complexe conjugué (le tout étant moyenné
dans le temps), est périodique dans la direction transversale, elle est alors aussi
périodique dans la direction longitudinale [61]. Une vérification expérimentale de ceci
a été réalisée [62].
En ce qui concerne les champs incohérents, l'effet qu'on y observe est appelé
effet Lau [63] car ce scientifique observa pour la première fois l'auto-imagerie en
éclairement incohérent. Son expérience consistait en deux réseaux à fentes ayant une
période d. IR premier était éclairé avec de la lumière d i f i se (incohérente
spatialement). La lumière qui était transmise passait ensuite au travers le deuxième
réseau placé à une distance z. La lumière observée loin demère le deuxième réseau
avait une allure particulière (auto-imagerie) si la distance z entre les deux réseaux était
un multiple entier de d2/2h. Plus tard, on a dérivé théoriquement les conditions
nécessaires pour obtenir de l'auto-imagerie avec un champ incohérent polychromatique
[641
Plusieurs chercheurs ont utilisé un interferomètre pour étudier le phénomène
d'auto-imagerie [65-681. Certains ont montré que la propriété de filtrage spatial d'un
Fabry-Perot transforme le specve spatial d'une image arbitraire en une forme qui
satisfait, approximativement, aux conditions pour l'auto-imagerie [66]. De plus, on a
fabriqué des interféromètres de Talbot, Le. basés sur le phénomène d'auto-imagerie, en
CI.
coordonnées cartésiennes [68] et en coordonnées polaires 1671. L'effet Lau a aussi
trouvé son utilité en interférométrie 1651.
On a, par ailleurs, mis sur pied un résonateur laser Talbot avec des masques à
transmission périodique en deux dimensions ayant une symétrie cartésienne, pla&
dans la cavité [69 et les références qui y sont citées]. Ce type de résonateur permet
d'obtenir un faisceau de sortie à mode transversal unique qui contient près de 50% de
l'énergie disponible.
1.2.2 De t'auto-imagerie au faisceau Bessel
Peu de temps après que Dumin ait publié ses travaux sur les faisceaux Bessel,
certains chercheurs ont été en mesure de faire un rapprochement entre ie phénomène
d'auto-imagerie et les faisceaux non diffractants [32, 701. Ainsi, Indebetouw 1321 a
proposé une manière alternative d'interpréter les résultats de Durnin. Il s'est basé sur
le théorème de McCutchen [71] pour dériver les conditions nécessaires afin d'obtenir
un faisceau non diffractant. Ce théorème affinne que la figure de diffraction (en trois
dimensions) formée par une lentille, près de l'image d'une source ponctuelle, est la
transformée de Fourier d'un masque généralisé. Comme on le sait, le spectre spatial du
faisceau Bessel est confiné sur un seul anneau dans le domaine des fréquences
spatiales. Ce faisceau non difiactant ferait donc partie, selon Indebetouw, d'une plus
grande classe de champs qui s'auto-imagent et dont les spectres sont confinés sur des
anneaux [58, 641. Par ailleurs, il précise que depuis longtemps on s'intéresse à
l'utilisation d'une ouverne annulaire mince comme méthode pour augmenter la
profondeur de champ [72].
On a d'autre part démontré que les faisceaux non difiactants sont membres de la
grande famille des champs qui sont partiellement cohérents et qui sont aussi invariants
lors de leur propagation 1701. Cette famille est, quant à elle, un sous-groupe d'une
classe généralisée de champs partiellement cohérents qui s'auto-imagent. On a montré
que les champs qui ont une invariance de propagation ont la propriété suivante: la
fonction de corrélation angulaire (écrite en coordonnées polaires) entre n'importe
quelle paire de composantes d'ondes planes du champ s'annule dans la direction
radiale alors qu'elle peut être arbitraire dans la direction azimutde. Par exemple, dans
le cas cohérent, ceci implique que les fréquences spatiales soient B la surface d'un cône;
on obtient donc un faisceau Bessel. En ce qui concerne la classe de champs
partiellement cohérents qui s'auto-imagent, la fonction de corrélation angulaire entre
n'importe quelle paire de composantes d'ondes planes doit s'annuler à moins que les
projections axiaIes de leur vecteur d'onde soient différentes d'une distance égale à un
multiple entier de 2x/d (d étant la distance d'auto-imagerie). Ceci nous ramène donc
aux anneaux de Montgomery 1581 qui pourraient engendrer une superposition
cohérente de faisceaux Bessel.
1.3 Superposition cohérente de faisceaux Bessel
Voici maintenant le coeur du sujet soit la superposition cohérente de faisceaux Bessel
qui mène à de l'auto-imagerie le long de I'axe de propagation. Tout d'abord, les travaux
portant sur la superposition ou I'interfknce de faisceaux Bessel ou qui en ont fait mention
vont être détaillés. Puis, une description du projet faisant l'objet du présent mémoire sera
présentée.
1.3.1 Travaux sur la superposition de faisceaux Bessel
C'est à Dumin qu'on doit la première mention de la superposition de fonctions
de Bessel afin d'obtenir ce qu'il appelait un champ continuellement auto-imagé 1731 et
ce, en 1985, donc avant d'introduire officielIement les faisceaux non diffractants. f ar
la suite, on proposa la superposition de fonctions de Bessel afin d'obtenir le
phénomène d'auto-imagerie en coordonnées cylindriques dans un résonateur [69].
Cette superposition de fonctions de Bessel fut associée à la superposition de faisceaux
Bessel mais le traitement n'était que théorique. Dans un développement plus
laborieux, on montra que les champs cohérents qui s'auto-imagent, en géométrie
cylindrique, sont simplement une superposition de champs non diffractants 1701.
À la même époque, on étudiait théoriquement la superposition de deux faisceaux
Bessel [74] mais avec pour résultat un battement de l'intensité sur l'axe. Cette
superposition consiste à faire interférer deux faisceaux Bessel qui ont des nombres
d'onde différents. Cela ne mène pas à de l'auto-imagerie mais i'intensité sur l'axe de
propagation possède un caractère périodique sous forme de battements.
Plus récemment, on a étudié l'effet de la superposition de plusieurs faisceaux
Bessel sur la dimension du lobe central. Plus spécifiquement, on a constaté,
théoriquement, que le fait de superposer plusieurs faisceaux Bessel permet d'obtenir un
lobe central plus étroit [75].
1.3.2 L'objet de ce mémoire
Voici en quoi consiste le projet de ce mtmoire. Il s'agissait de déterminer
théoriquement les conditions nécessaires afin d'obtenir une superposition cohérente de
faisceaux Bessel qui engendre une auto-imagerie le long de I'axe de propagation. En
fait, on trouve que pour superposer plusieurs faisceaux Bessel, il suffit de créer un
masque d'anneaux concentriques et de le placer dans le même montage expérimental
que celui servant à produire un seul faisceau Bessel. C'est la relation particulière entre
chacun des anneaux qui permet d'obtenir le phénomène d'auto-imagerie. Cette
interférence de faisceaux Bessel a été produite expérimentalement. La caractérisation
du faisceau ainsi obtenu a été faite dans le but de v é s ~ e r le déveIoppement théorique
[76]. Cette caractérisation fut possible par le biais de diverses mesures prises en
laboratoire, de la distribution transversale et axiale de I'intensité du faisceau, et qui
seront présentées et analysées au chapitre 4.
Fait à souligner, la superposition de faisceaux Bessel constinie à sa manière, une
méthode interférométrique. Plus précisément, la superposition de faisceaux Bessel
permet d'évaluer la courbure d'un front de phase ou de tout autre déphasage introduit
dans le trajet optique. Étant d o ~ é que nous sommes en présence d'auto-imagerie, on
observe plusieurs maxima et minima d'intensité sur l'axe de propagation. Deux
maxima consécutifs (ou deux minima) sont séparés par la distance d'auto-imagerie.
Cependant, la position axiale de ces maxima, sur l'axe de propagation, est dépendante
de la courbure du front de phase du faisceau laser générant cette superposition. Ceci
pennet donc une lecture directe de tout déphasage, qu'il soit d'origine linéaire ou non
linéaire [77-8 11. Ainsi, cette sensibilité au déphasage a tout d'abord été caractérisée.
Puis, nous avons tiré profit de cette propriété pour mesurer des déphasages non
linéaires introduits par un cristal liquide et un colorant.
La particularité de ce travail réside dans le fait qu'il mène à une manière
différente de réaliser l'interférence de faisceau optiques. Le faisceau n'a pas à être
séparé en deux bras d'interférence. LES faisceaux à interférer sont sélectionnés via les
anneaux concentriques du masque. En utilisant un faisceau laser ayant initialement un
rayon de courbure, la phase associée à chacun des faisceaux qui se superposent sera
différente. C'est cette différence de phase entre ces faisceaux qui engendrera un
déplacement des franges d'interférence sur l'axe de propagation. Ainsi, l'effet d'un
très faible déphasage (10'~ rad) peut être amplifié sur l'échelle des centimètres, voire
même du mètre. Pour toute appIication qui nécessite une mesure globale de phase (ou
de d6phasage)' de rayon de courbure d'un faisceau laser, voire même de distance focale
d'une lentille, ce système optique peut être très efficace. Puisqu'il est sensible à tous
les types de déphasage, il peut ainsi être utile dans la caractérisation de milieux qui
introduisent une différence de phase entre les différentes parties du faisceau, comme les
milieux non linéaires.
Chapitre 2
Superposition cohérente de faisceaux Bessel:
La théorie générale
Dans ce chapitre, on élabore la théorie de la superposition cohérente de faisceaux
Bessel qui mène au phénomène d'auto-imagerie. On détermine quelle est la condition à
remplir pour mettre en évidence le phénomène d'auto-imagerie le long de l'axe de
propagation du faisceau. Puis, on tente de déterminer quel arrangement expérimental
permettra de produire le faisceau désiré. Ensuite, toutes les relations entre les paramètres
expérimentaux sont dérivées. Finalement, on démontre que l'intensité sur l'axe de la
superposition de faisceaux Bessel qui s'auto-imagent constitue, en fait, une transformée de
Fourier axiale.
2.1 Superposition de faisceaux Bessel et condition d'auto-imagerie
On considère, tout d'abord, la superposition de faisceaux non diffractants, i.e. plus
précisément de faisceaux Bessel. Cette superposition peut s'écrire de la manière suivante,
en effectuant l'expansion du champ initial à z = 0:
où p est l'indice radial, rn est l'indice azimutal, J,(x) est la fonction de Bessel d'ordre m et
d'argument x, Apm est le coefficient d'amplitude complexe, et qn est la fréquence spatiale
du faidceau Bessel. Nous avons ignoré le cas p = O associé à une fréquence spatiale nulle; il
constitue en fait une onde plane. Par ailleurs, puisqu'il y a une symétrie de révolution, on
peut garder seulement la partie positive de la sommation sur p; ainsi, cette sommation peut
de%uter à p = 1. Plus particulièrement, on considère uniquement les faisceaux possédant
une symétrie circulaire (donc rn = O). Par conséquent, la sommation se réduit à:
Fait ii souligner, le coefficient A, est porteur d'informations sur la phase du faisceau p.
Chaque faisceau Bessel possède une vitesse de phase qui lui est propre et qui est
différente de c, la vitesse de la lumière dans le vide. Ceci est une caractéristique de tous les
faisceaux non uniformes. Ce comportement est dZi au fait que tous les faisceaux non
uniformes peuvent être produits par l'interférence d'ondes planes qui se propagent à des
angles non nuls par rapport à l'axe de propagation. Conséquemment, la propagation de
faisceaux Bessel ayant différentes fréquences spatiales mènera à une difftknce de phase
entre ces faisceaux. Ainsi, pour évaluer cette diff6rence de phase, le champ incident est
propagé jusqu'à une position axiale L. Par ailleurs, ce calcul permet aussi de vérifier qye
les faisceaux Bessel sont invariants de forme lors de leur propagation. Le calcul peut être
effectué ii l'aide de l'équation intégrale de Kirchhoff-Fresnel. On obtient pour résultat (voir
annexe A):
Nous désirons observer un phénomène d'auto-imagerie. II faut donc qu'en des plans
perpendiculaires à l'axe de propagation, séparés par une distance L, le champ soit le même.
Par conséquent, ia condition E(ry L) = E(r, O) doit être satisfaite. Ainsi, on constate que le
facteur de phase, pius précisément l'argument de l'exponentielle de l'équation (2.1.31, doit
répondre à la relation suivante:
où p = 1, 2, 3, ... et L est appelé la distance d'auto-imagerie lorsque I'équation (2.1.4) est
satisfaite. Cette demière équation sera référée comme étant la condition d'auto-imagerie.
Elle est équivalente à celle que Montgomery avait déjà dérivée [58].
2.2 Transformée de Fourier en géométrie cylindrique
Puisque nous voulons obtenir expérimentalement une superposition de faisceaux
Bessel, nous devons donc trouver une méthode simple et effkace pour la réaliser. Nous
savons qu'une transformée de Fourier nous donne le profil spatial du faisceau dans le
champ lointain, ou plus simplement, Ie faisceau au foyer d'une lentille. Il serait donc
intéressant de savoir quel est le résultat d'une transformée de Fourier d'une série de
fonctions de Bessel. En coordonnées cylindriques, nous utilisons la transformée de Hankel
[84], p. 594, qui est donnée par:
On substitue l'équation (2.1.2) dans (2.2.1) pour obtenir:
-
E(a,O) = A, JO (ar) JO (a,r)rdr.
1 = C-A,G(CX a - a,),
P=l P
où 6(x) est la fonction delta de Dirac.
Cette équation nous révèle que dans le domaine des fréquences spatiales (Le. au foyer
d'une lentiile), le faisceau qui s'auto-image est constitué d'anneaux concentriques très
minces (série de fonctions delta de Dirac en coordonnées cylindriques). Ceci est donc une
méthode intéressante à envisager pour produire expérimentalement une superposition de
faisceaux Bessel. Ii suffirait de fabriquer un masque d'anneaux concentriques très minces
dont les rayons répondront ii une certaine condition et d'éclairer ce masque avec un faisceau
laser.
2.3 Relations entre les paramètres expérimentaux
Nous devons maintenant établir Ie lien entre la taille des anneaux, la distance fmaie de
la lentille qui effectue la transformée de Fourier et la distance d'auto-imagerie.
L'arrangement considéré est montré à la figure 2.1:
plan d'incidence plan de sortie
incident lentille Ë(r, -29
Figure 2.1 Schéma d'un système optique qui permettrait
la superposition de plusieurs faisceaux Bessel.
Le faisceau incident qui est une superposition de faisceaux Bessel se propage
jusqu'à une lentille. C'est au foyer de cette dernière qu'on retrouve la transformée de
Fourier du faisceau incident qui consiste en une série d'anneaux concentriques. En
détenninant les caract6ristiques de ces anneaux, il sera éventuellement possible de générer
une superposition de faisceaux Bessel.
On écrit l'intégrale de diffraction pour cet arrangement, selon le formalisme des
matrices AB CD:
Les termes A, B. D de l'équation intégrale sont ceux de la matrice ABCD résultante, entre
le plan initial et le plan final. Pour calculer ces termes, on écrit:
où (O :) représente la matrice de propagation dans I'eipace libre sur unedistance/,
et (-iif y ) représente Ia matrice de propagation ii travers une lentille mince de focale f
De ce calcul, on trouve A = D = O (condition d e Fourier), B = f et C = -16. On substitue
donc ces résultats dans l'équation (2.3.1) qui devient:
Le calcul se poursuit en substituant i'équation (2.1.2) du champ initial dans l'équation
précédente:
Par comparaison de l'équation précédente avec La relation (2.2.2)' on peut écrire la solution
comme suit, en se basant sur l'équation (2.2.3):
2zr où on définit a = 7.
Selon cette solution (2.3.5)' on constate que le champ E(r, -2B est toujours nul excepté aux
rayons r, donnés par:
Afin que la condition d'auto-imagerie (2.1.4) soit valide, nous trouvons à l'aide (2.3.6) que
les rayons des anneaux doivent répondre à la relation suivante:
De l'équation (2.3.7)' on constate que l'aire encerclée par chaque anneau est le multiple
d'un entier; l'aire augmente linéairement avec l'indice p. Le rayon du premier anneau nous
est donné par (en posant p = 1):
On peut aussi exprimer la période d'auto-imagerie L en termes du rayon ri du premier
anneau:
Il est très important de noter que les rayons des anneaux subséquents, une fois le rayon du
premier anneau ri fixé, obéissent à la loi suivante:
(2.3. IO)
En conséquence, il sufit d'inverser les plans initial et final, Le. considérer les anneaux
concentriques comme plan initial et la superposition de faisceaux Bessel comme plan final,
pour obtenir le faisceau recherché (fig. 2.2). C'est donc par commodité que les champs
étaient identifiés E(ro, O) et E(r, -25). Le coefficient A, dans l'équation (2.3.5) sera donné
par l'amplitude complexe du champ du faisceau incident à la position radiale r,.
Ainsi, en fabriquant un masque d'anneaux concentriques, dont les rayons des anneaux
suivent la relation (2.3.10), et en faisant passer un faisceau laser à travers ce masque, on
pourra obtenir une superposition de faisceaux Bessel qui mène à une auto-imagerie
périodique le long de l'axe de propagation. Il faudra s'assurer de la symétrie de révolution
de ce faisceau et d'un dignement approprié où son centre coïncide avec le centre des
anneaux; si ces conditions ne sont pas remplies, on ne pourra supposer que le faisceau
incident sur le masque possède un profil régulier en amplitude et en phase sur tout l'anneau.
Toute non unifonnité entrahera la formation de faisceaux Bessel d'ordre azimutal rn non
nul.
plan d'incidence plan de sortie = @ - Faisceau f
incident E(rp, -29 lentille E(L O)
Figure 2.2 Schéma d'un système optique qui superpose plusieurs faisceaux Bessel.
2.4 Transformée de Fourier discrète
Avec le même système optique, il est aussi possible d'effectuer une transformée de
Fourier discrète sur l'axe de propagation. En se servant des équations (2.1.3) et (2.3.8), le
champ E(r, z) peut s'écrire comme suit, à une position arbitraire z:
où N, est le nombre d'anneaux. On rappelle que l'algorithme d'une transformée de Fourier
rapide est le suivant [85]:
Chapitre 2, Superposition cohérente de faisceaux Bessel: La: théorie générale 37
On suppose que N = N, et que le champ est échantillonné aux positions axiales z, = q &, où
N & = L et q est un nombre entier. On peut donc écrire l'équation (2.4.1) de manière
similaire à la sommation effectuée par la transformée de Fourier rapide:
Sur I'axe de propagation, nous avons r = O et J o ( c y ) = 1. Ainsi:
On rappelle que le coefficient A, de l'équation (2.4.4) sera donné par l'amplitude complexe
du champ du faisceau incident sur l'anneau p. Cette démonstration établit que le champ sur
I'axe de propagation est la transformée de Fourier discrète du faisceau incident sur le
masque d'anneaux concentriques.
2.5 Bilan théorique
On a démontré que pour réaliser expérimentalement une superposition cohérente de
faisceaux Bessel qui engendre une auto-imagerie selon I'axe de propagation, on peut
fabriquer un masque d'anneaux concentriques dont les rayons doivent répondre la relation
(2.3.10). Ce dernier doit être éclairé par un faisceau monochromatique et être placé à la
focale d'une lentille; ainsi, une transformée de Fourier peut être effectuée. C'est après cette
lentille que le phénomène d'auto-imagerie sera observable. D'autre part, la distribution de
l'intensité sur I'axe du faisceau ainsi obtenu est, en fait, la transformée de Fourier discrète
du champ ii la position du masque.
Chapitre 3
La méthodologie expérimentale
Ce chapitre consiste en une présentation des méthodes expérimentales qui ont été
utilisées pour générer une superposition cohérente de faisceaux Bessel menant B l'auto-
imagerie de long de l'axe de propagation. Plus spécifiquement, on s'attardera sur les
procédés de fabrication des masques d'anneaux concentriques qui, comme cela a été vu
dans le chapitre précédent, constituent une méthode simple pour observer l'auto-imagerie.
L'efficacité des diverses méthodes de fabrication sera commentée. Ensuite, le montage qui
a tté utilisé sera présenté et on expliquera la méthodologie employée au laboratoire.
3.1 Procédés de fabrication des masques d'anneaux concentriques
Différentes méthodes de fabrication des masques ont été employées. On a testé les
méthodes les plus simples soit avec des transparents ou avec des diapositives, de même que
des méthodes plus complexes, comme le procédé lithographique et la gravure mécanique.
3.1.1 Masques sur transparents (acétates)
La production de deux séries de masques, Bessel 1 et Bessel 2, a tout d'abord été
effectuée à l'aide du logiciel Cmvas version 3.5.2 (sur ordinateur Macintosh)(voir
annexe B). La procédure qui a été employée pour effectuer ces masques est la suivante.
Les masques ont été créés avec des cercles noirs, pour lesquels on peut fixer
Chapitre 3, La méthodoCoaie wérr'mentale 39
précisément le diamètre; le contour (trait de crayon) de chacun des cercles est blanc.
De cette manière, la largeur des anneaux blancs (transparents, une fois imprimés sur
acétates) est fixée, à partir du logiciel, par la largeur du trait du crayon. Pour tous les
masques fabriqués avec cette methode qui ont été utilisés en laboratoire, la largeur du
trait du crayon a étt5 posée à 0.1 point (dans le logiciel). Ces masques ont été imprimés
grâce à une imprimante Hewlett Packard b e r Jet 4m ayant une définition de 600 dpi
(dot per inches), à partir d'un fichier postscript encapsulé sur des transparents conçus
spécialement pour une imprimante laser.
Avec ces masques, il a été possible d'observer le comportement périodique du
faisceau qui semblait être en fait une superposition cohérente de faisceaux Bessel.
Cependant, l'utilisation d'un transparent pour créer les masques ne semble pas
être la meilleure voie à suivre. Comme mentionné auparavant, les transparents utilisés
sont conçus spécialement pour une imprimante laser, ils sont donc faits différemment
des autres catégories de transparents. Par ailleurs, lors de l'impression, le plastique est
chauffé. Des stress permanents sont ainsi induits dans le transparent. Pour vérifier
l'influence du transparent sur le faisceau, nous avons fait une rotation du transparent.
Lors de ces manipulations, nous avons constaté que l'orientation de l'image était
modif~ée, i.e. qu'elle suivait la rotation du transparent.
D'autre part, l'impression n'est pas adéquate. Ceci semble être dû en partie au
transparent lui-même et aussi à l'imprimante. Les anneaux qui doivent être
complètement transparents ne sont pas très bien définis et le noir n'est pas parfaitement
réussi; le faisceau passe partiellement à travers les régions qui devraient être opaques.
De plus, la largeur des anneaux n'est pas satisfaisante; elle est trop élevée.
Rappelons que nous désirons simuler une fonction delta de Dirac; ainsi, la largeur des
anneaux doit être très petite. À l'aide d'un microscope conventionnel, nous avons
mesuré la largeur des anneaux. Nous avons obtenu une valeur d'environ 86 pm. Cette
valeu est presque 10 fois trop élevée car nous visons une valeur de 10 p. Pour éviter
tous ces problèmes, cette méthode de fabrication a été abandonnée et des solutions
alternatives ont donc ét6 &laborées.
3.1.2 Masques sur positif photographique
C'est à partir des masques créés auparavant avec le logiciel Canvaî et imprimés
sur des feuilles de papier blanc que ces masques ont été fabriqués. Étant donné que la
prise d'une photographie réduit la taille de l'image, un agrandissement des masques a
tout d'abord été effectué et ce, en fonction de la réduction photographique qui était
demandée. Ainsi, les masques se présentent sous forme de diapositives dont la
pellicule est le positif photographique.
Pour pouvoir prendre des photos, il a Cté très important de veiller à ce que les
anneaux des masques soient très bien définis, qu'ils soient clairs et nets. Pour obtenir
de tels masques, nous avons donc entrepris des tests avec les imprimantes disponibles
sur les lieux et ce, en fonction du type de format de fichier (postscript ou postscript
encapsulé). Il s'avère que I'imprimante qui nous a donné la meilleure définition est une
Hewlen Packard LuserJet 4m+ à partir d'un fichier postscript. La largeur des anneaux
sur papier obtenue avec cette imprimante est d'environ 154 microns. Les masques ont
tout d'abord été agrandis d'un facteur IO et réduits de ce même facteur lors de la prise
d'une photographie.
Les diapositives obtenues de cette manière n'ont pas comblé nos exigences.
Premièrement, les régions qui auraient dû être noires etaient plutôt grises et donc
laissaient passer la lumière. Par conséquent, le faisceau ne passait pas uniquement par
les anneaux transparents tel que désiré. Deuxièmement, un coup d'oeil au microscope
nous permit de constater que le contour des anneaux n'était pas bien défini. De plus,
les anneaux avaient une largeur d'environ 17 microns soit près de deux fois la valeur
souhaitée. Nous aurions pu procéder à un agrandissement et à une réduction photo
d'un facteur 15 mais nos exigences sur l'opacité des régions extérieures aux anneaux
n'étaient pas remplies. De nouveau, ce moyen de fabrication des masques a été mis de
côté et une autre méthode visant à résoudre les problèmes rencontrés a été essayée.
3.13 Masques gravés sur un substrat ayant une couche mince d'aluminium
Cette méthode s'apparente à celle utilisée par Durnin et al. [4], de même que par
Lin et al.[11], pour fabriquer des masques qui permettent de générer un seul faisceau
Bessel.
Dans un premier temps, le dépôt d'une couche mince d'aluminium sur un substrat
de verre a été effectué. Ensuite, à l'aide d'une pointe fine (pointe de diamant), la
couche mince a été égratignée pendant que la lame de verre solidement retenue tournait
afin qu'un cercle puisse être tracé. A y t fixé au préalable la valeur du diamètre du
premier anneau et en se basant sur L'équation (2.3.10) pour déterminer les valeurs des
rayons subséquents, il a été possible de fabriquer une série de masques. Plusieurs
masques ayant le même diamètre pour le premier anneau central ont été fabriqués de
cette manière: des masques ayant de un à cinq anneaux et un autre à vingt anneaux.
Cette méthode de fabrication s'est avérée très satisfaisante et les masques ainsi
produits ont été utilisés pour la plupart des mesures. Elle offre tout d'abord l'avantage
de laisser passer le faisceau seulement par les anneaux concentriques car le reste du
faisceau est totalement réfléchi ou absorbé par la couche mince d'aluminium. D'autre
part, des observations au microscope conventionnel ont permis de constater que la
largeur des anneaux est constante et qu'elle s'élève à 10 f 1 p. Ceci répond donc à
nos exigences.
Le diamètre des anneaux est aussi très important. Il fallait donc s'assurer que les
diamètres des anneaux soient constants (cercles parfaits). Selon des mesures prises au
microscope, les diamètres ont semblé constants. Du moins, s'il y avait variation, c'est
de l'ordre du centième de millimètre. Cette petite variation n'a pas été jugée importante
au point d'affecter sipniIicativement les résultats de nos observations.
0.5 1 1.5 2 2.5 3 0-5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Nombre d'anneaux Nombre d'anneaux
Nombre d'anneaux O 1 2 3 4 5 6
Nombre d'annaux
O 5 I O 1s 20 Nombre d'anneaux
Figure 3.1 Diamètres: (a) pour le masque Zi 2 anneaux,
(b) pour le masque à 3 anneaux, (c) pour le masque à 4 anneaux,
(d) pour le masque à 5 anneaux, (e) pour le masque à 20 anneaux.
Il fallait aussi vérifiier que les diamètres des anneaux tracés sur le substrat
correspondent bien B I'6quation (2.3.10) menant à la condition d'auto-imagerie (voir
annexe C). Sur les figures 3.1 à 3.5, on voit facilement que les diamètres des anneau
mesurés ne sont pas exactement identiques à ceux calculés 2 l'aide la relation théorique
(2.3.10). Cette variation est de l'ordre du dixSrne de millimètre. On peut supposer que
l'influence de cette variation ne se fera pas sentir avant une dizaine de périodes axiales.
3.1.4 Procédé lithographique
Les masques précédents ont pour désavantage de toujours posséder une petite
excentricité même si beaucoup de soin est apporté ii l'ajustement de l'appareil qui sert
à graver les anneaux. De plus, les diamètres des anneaux ne suivent pas fidèlement la
relation (2.3.10). Ainsi, la méthode du procédé lithographique, quoique longue et
délicate 5 réaliser, peut contrer ses problèmes. Elle consiste à exposer une photorésine,
à la faire développer, ii déposer une couche mince d'aluminium sur le substrat et
fmalement, à enlever la photorésine non exposée qui est en fait le masque d'anneaux
concentriques désiré. Cette méthode offie I'avantage de produire plusieurs masques en
même temps.
Dans un premier temps, on doit dessiner les négatifs des masques à I'aide du
logiciel Canvas. Ces masques sont imprimés sur un film avec une qualité d'impression
de 5400 dpi (contrat extérieur). Ensuite, des substrats (des lames de microscopes) sont
nettoyés suivant une procédure très rigoureuse. Puis, on doit faire le dépôt de la
photorésine sur ces substrats en utilisant un « spinner >>. Avec une source de lumière
blanche, on expose la photorésine en éclairant le substrat, sur lequel un négatif du
masque est déposé. On développe le tout comme une pellicule photographique. Ce
sont les régions non exposées, Le. les zones qui n'ont pas reçu de lumière, qui seront
toujours présentes sur le substrat. Une couche mince d'aluminium est ensuite déposée
sur le substrat. Enfin, avec de l'acétone et un Coton-Tige, la photorhine des régions
qui n'ont pas été exposées est enlevée.
Cette méthode est intéressante car elle permet de fabriquer une grande quantité de
masques. Cependant, les masques ne sont pas réussis à chaque essai; la photorésine est
très sensible au taux d'humidité. Ainsi, le temps d'exposition varie tout dépendant de
I'humidité ambiante. De plus, le temps d'exposition lui-même est également très
critique; s'il est trop court, les anneaux ne seront pas bien définis, s'il est trop long, un
effet d'ombrage va engendrer un élargissement des anneaux. Une variation d'une seule
seconde peut faire toute la diffé~nce pour un temps d'exposition d'environ 50
secondes. D'autre part, une étape très délicate et qui doit être faite avec soin est celle
qui consiste à enlever la photorésine avec de l'acétone. Cette étape s'effectue après
avoir déposé une couche mince d'aluminium sur le substrat; la photorésine est donc
recouverte d'aluminium. Par conséquent, il devient très difficile d'enlever la
photorésine et d'obtenir un masque dont les anneaux auront des contours très bien
définis. De plus, il y a une limite inférieure à l'épaisseur du trait du crayon, soit 0,03
pt, afin que les anneaux imprimés n'aient pas des contours en escalier. Cette valeur
d'épaisseur du trait de crayon devrait donner idéalement des anneaux ayant une largeur
de 10,6 p; ceux obtenus après toute Ia procédure lithographique avaient plutôt une
largeur de 30 t 5 p. Cette valeur est trop grande mais, il n'en demeure pas moins que
la lumière passe uniquement par les anneaux car la couche mince d'aluminium réfléchit
ou absorbe toute la lumière, ce qui n'était pas le cas des diapositives. Par ailleurs, les
anneaux au centre du masque sont plus larges; les anneaux extérieurs sont plus étroits
que les anneaux près du centre du masque. En annexe D. 1, on retrouve les diamètres
des masques faits par le procédé lithographique et qui ont été utilisés.
Ii est Zi noter que les masques imprimés sur film avec une très haute définition ont
aussi été testés en laboratoire, dans le but de faire des comparaisons avec les autres
méthodes et de déterminer s'il était nécessaire de fabriquer les masques par
lithographie. Car si ces masques sur film, avec des anneaux de 14 + 4 p en largeur
permettent d'obtenir des bons résultats expérimentalement, il ne s'avérera plus
essentiel de produire des masques par lithographie. On constatera cependant, par les
mesures présentées au chapitre 4, que ces masques ne sont pas adéquats; les résultats
obtenus ne sont pas satisfaisants. Il est ciiffilcile de coller bien à plat le film sur une
lame de microscope (bien nettoyée préalablement); il y a donc présence de distorsions.
De plus, même si le film est de meilleure qualité que les transparents pour imprimante
laser, il n'en demeure pas moins qu'il est fait d'une matière plastique et qu'il mène à
des aberrations dues aux stress. Les diamètres des anneaux des masques imprimés sur
fdm avec une haute définition qui ont été utilisés sont en annexe D.2.
3.2 Montage expérimentai
Voici le schéma du montage simplifié, utilisé pour la plupart des mesures (fig. 3.1). Le
faisceau d'un laser He-Ne est agrandi à l'aide d'un télescope puis, i1 est incident sur le
masque d'anneaux concentriques. Ce dernier est situé ?î la focale d'une lentille et le
faisceau est observé avec un système de détection après la lentille.
Figure 3.2 Schéma simplifié du montage.
I f * z
Toutes les explications concernant des modifications qui ont été apportées au montage
I 1
de base lors de la prise de certaines mesures, seront données dans le chapitre 4, dans la
section appropriée.
He-Ne a
Télescope Lentille T. F. Détection Masque
1 r \ 1 t i
3.3 Méthodologie expérimentale
En laboratoire, pour les premières séries de mesures, une attention particulière a été
portée à l'obtention d'un faisceau collimé. ïI est important de préciser qu'au debut de ce
projet, le montage se trouvait sur une table optique. Le faisceau laser He-Ne se propageait
tout d'abord vers un miroir de diamètre de 1" (il permettait d'utiliser plus efficacement la
table où se trouvait Ie montage). Il passait ensuite h travers un objectif (10X) afin d'obtenir
un faisceau de plus grande taille; la taille du faisceau sortant du laser He-Ne (h = 632.8 nm.
puissance de 10 mW) étant de l'ordre du millimètre. il était donc important d'effectuer un
grossissement pour pouvoir être en mesure de faire des observations visuelles. En plaçant
les foyers d'une lentille de focale de 20 cm et de l'objectif à la même position, il était
possible d'obtenir un faisceau collimé de grande dimension. Le masque était placé à
environ 20 cm de la lentille et le faisceau avait une taille d'environ 5 cm.
Afin d'observer la superposition de faisceaux Bessel. une lentille de 1" de diamètre,
ayant une focale de 1 m. était placée après le masque. Ce dernier était situé à la position
focale de la lentille dans le but d'effectuer une transformée de Fourier. La focale de la
lentille a été choisie en fonction de la période Wde; avec une focale de 1 m, la période
axiale est grande et elle permet ainsi d'obtenir une meilleure résolution lors de la prise de
mesures d'intensité sur l'axe. Le faisceau était ensuite réfléchi sur quelques miroirs afin
d'obtenir une plus grande distance de propagation, soit environ 12 m.
Puisqu'iI était peu commode d'avoir à replier le faisceau pour pouvoir prendre des
mesures, le montage a été déménagé, plus tard, sur un banc d'optique. De plus,
l'alignement se retrouvait à être facilité. Le montage est resté le même; il a été modifié
seulement pour des mesures particulières qui seront mentionnées au chapitre 4.
A chaque séance de laboratoire, après avoir mis en marche le laser, l'alignement était
vérifié. Ceci était effectué en se guidant sur les reflexions engendrées par les diverses
surfaces rencontrées par le faisceau laser, de même que par la symétrie de révolution du
faisceau obtenu-
Les diverses mesures, d'intensité ou de puissance, ont ét6 prises à l'aide d'une caméra
CCD (Charged Coupled Device), de détecteurs et de radiomètres. La caméra CCD servait
aussi à visionner le faisceau obtenu par la superposition de faisceaux Bessel: regarder sa
distribution en intensité, évaluer la quantité d'énergie dans le centre du faisceau et prendre
des mesures du diamètre du lobe centrai.
Chacune des mesures a été effectuée avec le plus de précision possible. Un soin
particulier était apporté à la reproductibilité des résultats. Si nécessaire, Les mesures qui
étaient douteuses étaient vérifiées à pIusieun reprises.
Chapitre 4
Les résultats expérimentaux
On retrouve dans ce chapitre, tous les résultats expérimentaux sur la superposition
cohérente de faisceaux Bessel qui mène à une auto-imagerie. Une étude de la distribution
transversale de l'intensité du faisceau sera effectuée dans un premier temps. Puis, on
présentera les mesures d'intensité le long de l'axe de propagation qui ont ét6 recueillies
pour les divers types de masques. Ensuite, on détaillera la sensibilite de la position des
maxima d'intensité sur l'axe, obtenus par la superposition de faisceaux Bessel, à la
courbure du front d'onde incident sur le masque. Viendra, par la suite, une utilisation
concrète de cette sensibilité à la courbure du front de phase soit la mesure de déphasages
non linéaires.
4.1 Distribution spatiale de l'intensité du faisceau obtenu
Dans ie but de faire des comparaisons adéquates, on présentera, dans un premier temps,
des simulations théoriques de I'évolution du faisceau, en fonction de la distance de
propagation, effectuées avec un programme en Fortran. Les images du faisceau, qui ont été
prises à l'aide d'une caméra CCD, seront ensuite comparées avec les simulations
théoriques. Puis. on vérifie expérimentalement les prédictions de Jaroszewicz et al. [75]
sur le rétrécissement du lobe central causé par la superposition de plusieurs faisceaux
Bessel; on fera état des résultats de nos mesures du rayon du lobe central de la figure
d'interférence, pour différents nombres de faisceaux Bessel superposés.
4.1.1 Simuiation de la propagation de faisceaux Bessel superposés
Grâce à une routine programmée en Fortran, il a été possible de simuler
théoriquement le comportement de la distribution radiale d'intensité, résultant de la
superposition de plusieurs faisceaux Bessel, en fonction de la distance de propagation
2. On a supposé qu'un front d'onde plan et uniforme est incident sur le masque
d'anneaux concentriques. Le programme calcule le champ à la position radiale zéro,
soit le centre du faisceau, jusqu'à une position radiale quelconque, ii partir des valeun
fixées au préalable du rayon du premier anneau, de Ia quantité d'anneaux concentriques
ainsi que de la focale de la lentille et de la longueur d'onde utilisée. Fait ii noter, le
programme ne tient pas compte de la dimension finie de la lentille qui effectue la
transformée de Fourier; ainsi, le faisceau se propage l'infini car aucune zone
d'ombrage ne peut être créée.
Pour comparer la théorie et l'expérience faite au laboratoire, les simulations ont
été exécutées à partir des paramètres expérimentaux énumérés dans le tableau 4.1.
Tableau 4.1 Paramètres pour les simulations
Dans un premier temps, une simulation a été faite avec le masque à 1 seul anneau
(voir fig. 4.1) afin de confirmer les résultats de Dumin 11-41 et, en même temps, de
vérifier le programme.
Paramètres
Rayon du premier anneau
Focale de la lentille T.F.
Longueur d'onde
Valeurs posées
1,s mm
1 m
632,8 nm
Figure 4.1 Profil radial d'intensité en fonction de la
distance de propagation pour le masque à 1 anneau.
Comme on peut le constater sur la figure 4.1 qui montre l'intensité en fonction de la
position radiale et de la distance de propagation, le faisceau ne subit aucune
modification au cours de sa propagation; il ne tend pas à diverger. Sa distribution
d'intensité est celle d'une seule fonction de Bessel qui s'étale à l'infini
transversalement et se propage à l'infini selon z car, comme mentionné plus haut, la
dimension finie de la lentille qui effectue une transformée de Fourier n'a pas été
considérée lors des simulations (donc pas de Z-J. Au-delà d'une position radiale de 2
mm, l'intensité contenue dans les anneaux extérieurs devient très faible (plus grande
aire donc plus basse intensité pour une même puissance dans chacun des anneaux); il
n'était donc pas pertinent de présenter une plus grande distance radide.
Ensuite, on a superposé différents nombres de faisceaux Bessel soit 2, 4, 5, 20
(voir figures 4.2 à 4.5). Sur ces graphiques, des courbes de niveau ont été tracées afh
de bien mettre en relief les variations d'intensité. Les amplitudes A, des faisceaux
Bessel étaient identiques. Le caractère periodique du faisceau est clairement m i s en
évidence sur ces figures. Le faisceau s'auto-image, Le. il se reproduit par lui-même au
cours de sa propagation. C'est l'énergie se retrouvant à une certaine distance radiale
sur la lentille qui se focalise afin de former les maxima. Ceci est plus apparent sur la
figure 4.5 où on voit bien que pour un rayon particulier du faisceau engendré par la
superposition de faisceaux Bessel, il y a focalisation. On constate aussi que, plus il y
de faisceaux Bessel qui interferent, plus il y des maxima secondaires sur l'axe. En fait,
il y a @-2) maxima secondaires où p est le nombre de faisceaux Bessel superposés.
Figure 4.2 Profil radial d'intensité en fonction de la
distance de propagation pour le masque à 2 anneaux.
Figure 4.3 Profit radial d'intensité en fonction de la
distance de propagation pour le masque à 4 anneaux.
Figure 4.4 Profil radial d'intensité en fonction de la
distance de propagation pour le masque à 5 anneaux.
Figure 4.5 Profil radiai d'intensité en fonction de la
distance de propagation pour le masque à 20 anneaux.
On peut aussi remarquer sur ces figures que les régions focales (zones où il y a un
maximum sur l'axe de propagation) deviennent de plus en plus étroites, en fonction de
l'augmentation du nombre d'anneaux. Ceci est très intéressant car, il est ainsi possible
d'obtenir une meiileure précision sur la position d'un maximum d'intensité. Puisque
les paramètres sont les mêmes (seul le nombre de fentes varie) pour toutes les figures
(4.2 à 4.5). on a donc la même période d'auto-imagerie L qui est de 56'25 cm (calculée
à l'aide de la relation (2.3.9)).
4.13 Distribution spatiale du faisceau obtenu expérimentalement
Comme mentionné dans le précédent chapitre, le faisceau obtenu a été observé à
l'aide d'une caméra CCD. Cette dernière, étant reliée à un micro-ordinateur, offrait
l'option d'enregistrer en mémoire des images choisies. Aùisi. plusieurs images du
profd transversal du faisceau ont été recueillies, tout au cours de sa propagation. Ce
sont Les masques gravés qui ont donné les meilleurs résultats; ils ont donc été utilisés
pour la plupart des mesures. Natureliement, le masque à 1 seul anneau a tout d'abord
été testé. Étant donné que le laser He-Ne utilisé a une puissance de seulement 10 mW,
que le faisceau a été grossi par un télescope et que l'anneau est mince, La puissance
disponible pour former le faisceau Bessel sur La caméra était très faible. Par
conséquent, il a éti5 jugé préférable de présenter les images qui ont été enregistrées sous
forme de profd de surface d'une coupe transversale du faisceau (voir fig. 4.6). Ce sont
des images prises pour différentes positions le long de l'axe de propagation. On
constate aisément que le faisceau suit le comportement prédit par la théorie, soit qu'il
ne diverge pas; il conserve sa distribution d'intensité sur plusieurs mètres de
propagation.
Pour les mêmes raisons invoquées plus haut, seulement les premiers anneaux
extérieurs de la superposition de faisceaux Bessel ont été conservés pour la figure 4.6,
les autres étant d'intensité trop faible. Ainsi, chacune des images de cette figure a pour
dimensions 1,176 mm en largeur et 1,0785 mm de profondeur.
Des images ont aussi ét6 prises avec les masques gravés à 2 et à 4 anneaux qui
engendrent une superposition de faisceaux Bessel causant l'auto-imagerie le long de
l'axe de propagation (figures 4.7 et 4.8). Ces images sont des coupes transversales du
faisceau obtenu et ont été enregistrées à des positions particulières au cours de sa
propagation. Elles ont pour dimensions 1'6 17 mm en largeur et 1,483 mm en hauteur.
Figure 4.6 Profil d'intensité d'une coupe transversale du
faisceau obtenu expérimentalement avec le masque à 1 anneau.
En observant ces figures, il est apparent que la superposition de faisceaux Bessel,
produite selon des conditions spécifiques, mène à un comportement périodique selon
l'axe de propagation. Ce comportement périodique est le phénomène d'auto-imagerie.
À chaque nombre entier de distance d'auto-imagerie L, on retrouve la même image du
faisceau. Des précisions concernant la période d'auto-imagerie réelle, i.e. celle qui a
été mesurée au laboratoire, seront données à la sous-section 4.2.1.
La figure 4.7(c) correspond au minimum d'intensité sur l'axe; c'est pourquoi il y
a une absence d'énergie au centre du faisceau (ceci s'applique aussi à la figure 4.8(b)).
La similitude des profils aux positions U4 et 3U4 de la figure 4.7 est une preuve de
l'uniformité de l'illumination du masque d'anneaux concentriques. La même
constatation peut être faite pour les figures 4.8(e) et 4.8(h), ainsi que pour les figures
4.8(f) et 4.8(g).
Figure 4.7 Images du faisceau obtenu avec le masque à 2 anneaux pour les positions
(a) z = O, (b) z = U4, (c) z = U2, (d) z = 3U4, (e) z = L, (f) z = 2L.
Figure 4.8 Images du faisceau obtenu avec le masque à 4 anneaux pour les positions
(a) z= O, (b) z = U2, (c) z = L, (d) z = 2L.
En comparant ces figures avec les graphiques de la sous-section précédente, on peut
remarquer qu'on semble en présence du phénomène qui avait été souligné auparavant,
soit que l'énergie située à une certaine position radiale (sur la lentille) permet la
formation d'un maximum. Bien entendu, il faudrait vérifier la trajectoire des rayons
expérimentalement pour confmer ceci. Par ailleurs, les positions radiales des anneaux
pour ces différentes positions axiales correspondent assez bien à celles qu'on retrouve
sur les simulations présentées précédemment.
Figure 4.8 (suite) Images du faisceau obtenu avec le masque à 4 anneaux pour les
positions (e) z= U4, (f) z = U3. (g) z = 2U3, (h) z = 3U4.
4.1.3 Rétrécissement du lobe central
Tel qu'étudié dans la référence [75], plus le nombre de faisceaux Bessel qui
interferent est grand, plus il y aurait un rétrécissement du lobe central de la figure
d'interférence produite par la superposition de ces faisceaux. Afin de vérifier ces
prédictions théoriques, des mesures du rayon du lobe central dans le premier plan où il
y a un maximum sur l'axe ont été prises, avec les masques gravés ayant 1, 2,3,4, 5, 20
anneaux (voir fig. 4.9). L'incertitude sur les points expérimentaux est celle de la limite
de précision de l'instrument de mesure; elle ne tient pas compte de l'incertitude
engendrée par la méthode de mesure elle-même qui nécessitait l'utilisation de la
caméra CCD. La méthode consistait à englober, au moniteur de l'ordinateur, la même
proportion de l'énergie du lobe central, A l'aide d'une ouverture circulaire dont le rayon
peut être fmé grâce au logiciel qui permet l'analyse du faisceau; ceci est la
méthodologie qui a été employée pour chacune des mesures, donc chacun des masques.
O 5 10 I5 20 25 Nombre d'anneaux
Figure 4.9 Rayon du lobe central pour
différents nombres de faisceaux Bessel superposés.
On constate, sur la figure 4.9, qu'il y a bel et bien une diminution du rayon du Iobe
central si le nombre de faisceaux Bessel qui se superposent augmente. De plus, les
mesures ont été Lissées avec une fonction du type:
où p est le nombre d'anneaux concentriques et di est le diamètre du premier anneau du
masque. Cette fonction (4.1.3.1) est semblable à celle qui donne le diamètre du lobe
central pour un seul faisceau Bessel soit I'équation (1.1.2.5) et tient compte de la
relation (2.3.10) qui existe entre chacun des anneaux. Les mesures présentées à la
figure 4.9 nous donne la tendance pour Ia variation du rayon du lobe centrai en fonction
du nombres d'anneaux sur les masques. Lorsqu'il y a peu d'anneaux, la relation
(4.1.3.1) correspond bien aux mesures; le profd d'intensit6 du faisceau laser incident
sur les masques étant plus uniforme à cause de la dimension beaucoup plus petite des
rayons des anneaux par rapport à la taille du faisceau. Ce qui n'est pas le cas pour le
masque à 20 anneaux où le faisceau laser incident a un profil plus fortement gaussien;
les coefficients Ap ne sont donc pas constants, d'où la divergence entre la théorie et la
mesure pour ce masque.
4.2 Distribution axiale de l'intensité
Des mesures de I'intensité sur l'axe de propagation pour différents masques ont été
prises avec un radiomètre, devant lequel était placé un iris de 400 pn de diamètre, afin de
détecter seulement l'intensité sur l'axe. Ces mesures furent, entre autres. un moyen
permettant de déteminer l'eficacité des méthodes employées pour la fabrication des
masques.
4.2.1 Intensité sur I'axe pour les masques gravés
Ce sont les masques gravés ayant 2 et 4 anneaux qui ont été utilisés pour prendre
ces mesures (voir figures 4.10 et 4.1 1). Encore une fois, le caractère périodique du
faisceau apparaît clairement sur ces graphiques. Pour ces mesures, le faisceau incident
sur le masque était collimé. Une mesure était prise à chaque centimètre pour le masque
à 4 anneaux. De même, les mesures étaient aussi prises à chaque centimètre pour les
zones importantes (autour des minima et maxima) avec le masque à 2 anneaux. Entre
ces régions, les mesures étaient prises à chaque 5 centimètres.
Sur les figures 4.10 et 4.1 1, on constate que pour le deuxième maximum
d'intensité, la puissance est plus élevée que pour les autres maxima avoisinants. Il est 5
noter que la position de ce maximum coïncide avec la distance focale de la lentille qui
effectue la transformée de Fourier, soit LOO cm. La combinaison faisceau collim6 et
distance focale aurait une influence car pour d'autres mesures où le faisceau avait un
rayon de courbure quelconque, ceci n'a pas été observé.
Pour le masque à 2 anneaux, &, calculé à partir de la relation (1.1.2.4), se situe
à environ 6,O m. Quant au masque à 4 anneaux, la zone d'ombrage apparaît en théorie
à 4.3 m. Ces prédictions sont en accord satisfaisant avec les courbes expérimentales
(figures 4.10 et 4.1 1).
O 100 200 300 400 500 600 700 Position axiale [cm]
Figure 4.10 Intensité sur I'axe pour le masque à 2 anneaux gravés.
- - - - - - - - - Exp6rience 0.4 Théorie
Position axiale [cm]
Figure 4.1 1 Intensité sur I'axe pour Ie masque à 4 anneaux gravés.
Les courbes théoriques tracées sur ces figures supposent un profil d'intensité
gaussien incident sur le masque. Le calcul de l'intensité s'effectue en se basant sur le
développement réalisé à la section 2.4 qui montre que l'intensité sur I'axe de
propagation est en fait la transformée de Fourier discrète axiale du champ à la position
du masque. On peut remarquer un très bel accord entre cette théorie et les mesures
expérimentales. Fait à souligner, les courbes thCoriques ne tiennent pas compte de la
dimension finie de la lentille; c'est pourquoi i1 n'y a pas de diminution de I'intensité
sur I'axe ii la position & pour les courbes théoriques. En ce qui concerne la figure
4.1 1, il est intéressant de remarquer que les mesures laissent entrevoir des maxima
secondaires tel que mis en &idence auparavant par les simulations avec le programme
en Fortran.
Certaines précisions doivent être apportées concernant la période axiale, i.e. la
distance d'auto-imagerie L. Selon la théorie. la distance d'auto-imagerie est dom&
par l'équation (2.3.9):
où rl est le rayon du premier anneau du masque. Cependant, dans le cas qui nous
occupe, le rayon de chacun des anneaux ne répond pas parfaitement à la relation
(2.3. IO):
Par conséquent, les valeurs théoriques de période axiale qui peuvent être calculées, à
l'aide de l'équation (2.3.9), ne correspondent pas aux mesures expérimentales (voir
tableau 4.2). Il faut plutôt s'attarder aux fréquences spatiales, Le. à la condition d'auto-
imagerie (2.1.4). Ainsi, on doit calculer, avec les valeurs mesurées des rayons des
anneaux, la distance d'auto-imagerie qui satisfait la condition (2.1.4). Ceci nous donne
donc comme résultats les valeurs calculées de période axiale, données dans le tableau
4.2. On retrouve aussi dans ce tableau les valeurs mesurées de la distance d'auto-
imagerie moyennée sur 7 périodes.
Tableau 4.2 Distances d'auto-imagerie prévues et mesurées
pour les masques à 2 et à 4 anneaux
Valeurs théoriques
Masque à 2 anneaux
Valeurs calculées
Masque à 4 anneaux
Valeurs mesurées
(selon (2.3.9))
54'8 cm
55,9 cm
( B partir de (2.1.4))
59,6 cm 60k 1 cm
58,7 cm 603: 1 cm
Chapztre 4, Les résultuts emérimentaux 6:
4.2.2. Intensité sur l'axe pour on masque fait par procédé lithographique
Afin d'être en mesure de comparer les diverses méthodes de fabrication des
masques, des mesures de l'intensité sur l'axe ont aussi été prises pour un masque fait
seIon le procédé lithographique. C'est un masque à 4 anneaux qui a été utilisé. De
nouveau, les mesures étaient prises à chaque centimètre. Cependant, contrairement aux
mesures précédentes, le faisceau gaussien incident sur le masque avait un certain rayon
de courbure. Sur la figure 4.12, on constate que l'énergie dans les pics augmente
graduellement en fonction de la distance. Ceci est inhabituel et étrange. Plusieurs
raisons peuvent être mises en cause: largeur trop grande des anneaux, mauvaise
définition des contours des anneaux, rayons des anneaux qui ne sont pas suffisamment
constants, largeur irrébulière des anneaux. Il n'en demeure pas moins que le
comportement périodique est observable. La distance d'auto-imagerie mesurée
expérimentalement s'élève à 88 f 1 cm dors que la valeur prévue est de 941 cm.
O 50 100 150 200 250 Position axiale [cm]
Figure 4.12 Intensité sur l'axe pour le masque à 4 anneaux
fabriqué par procédé lithographique.
Comme il a été souligné à la section 3.1.4, la méthode du procédé lithographique
est délicate à effectuer. Des effets d'ombrage, lors de I'exposition de la photorésine,
peuvent survenir lorsqu'un éclairage diffis est utilisé. De plus, la manière selon
laquelle l'encre des anneaux se depose sur le film qui permet de faire l'exposition de la
photorésine peut engendrer d'autres effets d'ombrage. Pour que cette technique soit
efficace. elle doit être &III& surtout pour 176tape de l'exposition de la photorésine et
lorsque que cette dernière est enlevée après le dépôt de la couche mince d'aluminium.
4.2.3. Intensité sur Ifaxe pour un masque avec une haute définition d'impression
Le même type de mesure a été pris pour un masque imprimé sur un film avec une
haute qualité d'impression. Ce masque est, en fait, le négatif du masque qui a senri à
produire le masque à 4 anneaux par procédé lithographique. Ainsi, il est plus facile de
faire des comparaisons entre les methodes. Les mesures étaient, encore une fois, prises
à chaque centimètre sur I'axe de propagation.
Il s'avère que ce moyen de générer une superposition de faisceaux Bessel n'est
pas le plus adéquat. Comme on peut le constater sur la figure 4.13, on observe la
même tendance que pour le masque fabriqué selon le procédé Lithographique;
l'intensité dans les maxima augmente graduellement en fonction de la distance de
propagation. La période axiale mesurée est de 89 + 1 cm et celle qui a été calculée est
de 89,O cm; ce qui est un excellent accord.
O 50 100 150 200 250 Position axiale [cm]
Figure 4.13 Intensité sur I'axe pour le masque à 4 anneaux
avec haute définition d'impression.
Chapitre 4, Les résultais expérimentaux 64
Afin de prendre des mesures pour un nombre plus élevé de périodes axiales, la
lentille qui effectue la transformée de Fourier, dont la focale est de 1 m, a été changée
pour une lentille ayant une distance focale de 40 cm. D'autre part, pour ces mesures, le
masque B 5 anneaux a été utilisé. Les résultais des mesures prises sur l'axe de
propagation avec cette configuration sont présentés ii la figure 4.14.
O 50 IO0 150 200 250 Position axiale [cm]
Figure 4.14 Intensité sur l'axe pour le masque à 5 anneaux
avec haute d é f ~ t i o n d'impression (f = 40 cm).
On remarque que l'intensité le long de I'axe semble suivre une « onde porteuse »
(une enveloppe). D'après la figure 4.14, ce serait probablement ce comportement qui
était observable sur les figures 4.12 et 4.13. Ceci pourrait être causé par la définition
des contours des anneaux qui, lorsque observés au microscope, sont en escalier; une
modulation est peut-être créée. De plus, la largeur des anneau n'est pas constante; les
anneaux sont plus minces à certains endroits. Par ailleurs, le masque n'était pas en tout
point perpendiculaire au faisceau laser tout simplement parce qu'il n'était pas
parfaitement placé bien à plat sur une lame de verre (qui servait de support); ceci
engendrait une distorsion du faisceau. D'autre part, la période axiale ayant été
raccourcie par l'usage d'une lentille de plus courte focale, il est possible qu'une mesure
à chaque centimètre n'était pas suffisante. Selon les simulations présentées à la section
4.1.1, plus il y a des faisceaux Bessel qui interférent (cinq dans ce casci), plus les
régions de focalisation sur I'axe s'étalent sur une courte distance. Ainsi, si le pas des
mesures est trop grand une partie de l'information se retrouve perdue. En outre, la
combinaison focale plus courte et plusieurs faisceaux Bessel superposés engendre des
maxima ayant un rayon plus petit Ainsi, le fait que la puissance ne passe pas par zéro
entre les maxima indique que le diamètre de l'iris place devant le détecteur utilisé pour
prendre les mesures était possiblement trop grand par rapport au diamètre du lobe
central. La distance d'auto-imagerie mesurée expérimentalement est de 13 k 1 cm
(moyenne sur 13 périodes) et la valeur calculée est de 14.3 cm. La zone d'ombrage
apparaît théoriquement à & = 1'9 m.
4.2.4. Évaluation des méthodes de génération de faisceaux Bessel superposés
La technique de production d'une superposition de faisceaux Bessel qui donne
les meilleurs résultats est celle des masques gravés sur une couche mince d'aluminium
déposée sur un substrat de verre. L'intensité sur l'axe de propagation suit un
comportement périodique régulier. La fabrication du masque est délicate mais ce
dernier présente peu de défauts Iorsqu'observé avec un microscope. La qualité des
faisceaux BesseI dépend seulement de I'état de la couche mince d'aluminium
(uniforme) et de l'ajustement de l'appareil qui permet de tracer les anneaux.
Quant à la méthode lithographique, des ajustements doivent être faits afin qu'elle
puisse concurrencer la technique précédente. Les lames doivent être parfaitement
propres, les dépôts effectués uniformément et la photorésine enlevée par un procédé
plus délicat. De plus, il faudrait trouver une autre méthode (ou un autre logiciel) pour
génerer le négatif du masque qui sert lors de I'exposition. Étant donné qu'on se
retrouve A la limite de résolution du logiciel Cmvm, les contours des anneaux sont
donc en escalier. Ce commentaire s'applique à tous les masques imprimés avec une
haute définition.
4 3 Sensibilité à la courbure d'un front d'onde
Des mesures de la position des maxima sur I'axe de propagation en fonction du rayon
de courbure du faisceau laser incident sur le masque ont été prises. Dans un premier temps,
des calculs théoriques ont été effectués afin de déterminer quelle serait I'infiuence, sur la
position des maxima sur l'axe, d'une différence de phase associée aux faisceaux transmis
par chacun des anneaux du masque à 2 anneaux; la diff6rence de phase est engendrée par la
courbure du front d'onde incident sur le masque.
4.3.1 Calcul de la position des maxima en fonction de la courbure du front d'onde
En remplaçant le télescope du montage initial (voir fig. 3.1) par une lentille
divergente dont la distance focale est de 5 cm, le faisceau laser n'est plus collimé; il a
un rayon de courbure car il est divergent. Ii faut donc calculer le rayon de courbure du
faisceau incident sur le masque afin de déterminer la ciifference de phase entre anneaux
voisins.
On suppose que le faisceau laser incident sur la lentille divergente est collimé. II
passe à travers celle-ci puis il diverge jusqu'au masque. On utilise la loi des lentilles
pour connaître le rayon de courbure du faisceau après son passage à travers la lentille:
où R, est le rayon de courbure du faisceau transmis à travers la lentille, Ri est le rayon
de courbure du faisceau incident sur la lentille et& est la focale de ta lentille (fi < 0, car
la lentille est divergente). Puisque le faisceau laser incident sur la lentille divergente
est collimé, on a donc Ri = - donc l/Ri = O. Ceci implique que le rayon de courbure du
faisceau transmis est égal ii la focale de la lentille (R, =fi = 5 cm). Il faut ensuite
calculer le rayon de courbure du faisceau incident sur le masque d'anneaux
concentriques qui nous est donna par la relation suivante:
où z, , est la distance de propagation jusqu'au masque et wï est la taille du faisceau 2
à la position de la lentille. Puisque les termes ( h m; et L--($) sont
négligeables par rapport aux autres termes, l'équation se réduit à:
Par conséquent, le rayon de courbure du faisceau qui s'est propagé jusqu'au masque est
donné par la valeur du rayon de courbure transmis additionné 3 la distance de
propagation jusqu'à la lentille. Si, par exemple, la distance entre la lentille et le
masque est de 30 cm, le rayon de courbure du faisceau incident sur le masque sera de
35 cm et ce, étant donné que la distance de propagation jusqu'au masque est beaucoup
plus grande que la distance de Rayleigh.
La phase radiale @(r) du faisceau laser à la position du masque peut être calculée
lorsque le rayon de courbure est connu car:
où k est le nombre d'onde, r est la position radiale et est le rayon de courbure
incident sur le masque. Puisque le masque à 2 anneaux sera utilisé pour les mesures, il
est possible de calculer la différence de phase entre les deux anneaux comme suit:
Maintenant que la différence de phase entre les deux anneaux est connue. il est possible
de calculer la position des maxima sur l'axe de propagation du faisceau. On a une
superposition de deux faisceaux Bessel (voir éq. 2.1.3):
où <p,, ini dépend du rayon de courbure du faisceau gaussien incident sur le masque et du
2xr numéro de l'anneau, z est la position sur l'axe et a p = 2. Lorsque le faisceau est Af
collimé, cpl,, = fi; le déphasage entre les deux faisceaux Bessel est nul. La position
des maxima est donc donnée directement par la condition d'auto-imagerie soit
l'équation (2.1.4). Cependant, lorsque le faisceau n'est pas collimé, il y a un déphasage
qui apparaît entre les deux faisceaux Bessel. Afin de calculer les positions des maxima
d'intensité, on s'intéresse à la différence de phase tout en gardant la condition d'auto-
imagerie valide soit:
où A$ est la différence de phase causée par le rayon de courbure du faisceau. Ceci nous
donne donc, en substituant l'expression pour les a, (voir éq. (2.3.6)):
où d est le diamètre des anneaux. Cette relation nous donne la position du premier
maximum d'intensité sur l'axe de propagation. Étant donné qu'une période axiale, en
terme de phase, est de 2% il suffit de soustraire A$ B des multiples entiers de 27c pour
connaître les positions des autres maxima Il peut s'avérer nécessaire d'enlever (ou
d'ajouter) une fraction de IC supplémentaire afin que les positions des maxima calcultk
soient en accord avec les mesures; en fait, même dans le cas où Ie faisceau est coUirn6
initialement, la position du premier maximum n'est pas n ~ s a i r e m e n t donnée
exactement par l'équation (4.3.1.9). Les positions sur l'axe sont relatives car, entre
autres, le masque est imparfait; il faut donc auparavant effectuer un certain étalonnage.
43.2 Mesme de positions des maxima en fonction d'une différence de phase
Comme il a été mentionné précédemment, une lentille divergente a été utilisée
pour obtenir un faisceau gaussien ayant un certain rayon de courbure incident sur le
masque à 2 anneaux concentriques. Afin de varier le rayon de courbure, la lentille était
déplacée à tous les 2 cm suivant l'axe de propagation, en partant de la position la plus
éloignée du masque tout en se rapprochant de celui-ci. Les mesures de positions du
deuxième maximum ont été prises jusqu'ii ce qu'il devienne le troisième maximum
puis, les positions du nouveau deuxième maximum ont été prises en même temps que
celle pour le troisième maximum et ainsi de suite pour trois périodes (voir fig. 4.15).
Sur ce graphique, on retrouve les positions axiales des maxima en fonction de la
différence de phase associée à chaque anneau qui peut être calculée & l'aide de la
relation (4.3.1.5) où R a été calcul6 préalablement avec (4.3.1.3) . La courbe théorique
a été tracée grâce à l'équation (4.3.1.9). On constate qu'il y a un excellent accord avec
les points expérimentaux. La figure 4.16 présente les mêmes paramètres mais
seulement pour le deuxième maximum d'intensité. Les barres d'emurs ont été
rajoutées sur ce graphique. En fait, avec les instruments de mesure qui ont 6té utilisés,
il était possible de mesurer une différence de phase de 10'~ rad. On peut donc penser
qu'en utilisant des appareils plus précis ou permettant d'avoir un meilleur rapport
signal sur bruit comme un amplificateur « lock-in », un déphasage encore plus petit
pourrait être évalué.
O 1 2 3 4 5 6 Différence de phase [IC rad]
Figure 4.15 Sensibilité à la courbure d'un front d'onde pour trois maxima
Ii est donc clair que tout déphasage introduit par un système optique placé avant le
masque pourra être mesuré efficacement, qu'il soit d'origine linéaire ou non, L a
moindre différence de phase engendrée par un rayon de courbure du front d'onde du
faisceau laser cause un déplacement des maxima sur l'axe. Cette différence de phase
devient évaiuable car le changement du rayon de courbure est amplifié par le
déplacement des franges sur l'axe de propagation où la distance d'auto-imagerie
correspond à une période, soit une différence de phase de 2x.
Différence de phase [n rad]
Figure 4.16 Sensibilité à la courbure d'un front d'onde pour le deuxième maximum.
Chmitre 4. Les résultats mé'rinrentaux 71
4.4 Mesure de déphasages non héaires
Ce sont les résultats obtenus à la section précédente qui nous ont foumi les motivations
pour entreprendre la caractkrisation de matériaux non Linéaires. Ces milieux. lorsque placés
dans un système optique. introduisent un déphasage entre les différentes parties d'un
faisceau laser intense. Comme il a été montré précédemment, la superposition cohérente de
faisceaux Bessel, en vue d'obtenir une auto-imagerie périodique le long de l'axe de
propagation, est une méthode de mesure de déphasages, qu'ils soient de nature lin- ou
non. Par conséquent, des milieux non linéaires comme un cristal liquide et un colorant ont
été utilisés afin d'être caractérisés avec cette nouvelle méthode de mesure.
Il existe déjà plusieurs techniques de mesure de l'indice de réfraction d'un milieu non
linéaire. On peut citer, entre autres, l'interférométrie non linéaire, le mélange Zt quatre
ondes (ou à trois), la mesure de distorsions de faisceau. Il y a aussi une méthode plus
récente et qui donne de très bons résultats, soit la méthode du Zscan 186-871. Elle consiste
à déplacer selon l'axe de propagation z, un milieu non Linéaire, autour du foyer d'un
faisceau laser; simultanément. on détecte l'intensité transmise à travers une très petite
ouverture et, d'autre part, la puissance totale (voir fig. 4.17). Par cette méthode, l'indice de
réfraction non linéaire peut être déterminé assez facilement de même que le signe de la
nonlinéarité. Des propositions pour améliorer cette technique ont été soumises. On peut
mentionner, par exemple, la méthode du Z-scan éclipse [88] qui consiste à utiliser une
ouverture annulaire au lieu d'une ouverture circulaire et qui semble avoir une plus grande
sensibilité.
Il serait donc intéressant d'évaluer le potentiel de la méthode de la superposition de
faisceaux Bessel pour mesurer des déphasages non linéaires et, éventuellement, déterminer
l'indice de réfraction de matériaux non linéaires.
Fig. 1. The
-2 - +Z 2-scan expcrimental apparatus in which the ratio DZ/D 1 is recordcd as a function of the sample position :.
Figure 4.17 Méthode du 2-Scan
(figure tirée de la référence [86]).
4.4.1 Caractérisation d'un cristal liquide
Les cristaux liquides (ou matière molle) sont des matériaux très particuliers. Ils
possèdent la propriété d'être liquides tout en maintenant une orientation molécdaire, ce
qui ut habituellement le propre des solides. Plusieurs ouvrages de référence,
effectuant une étude détaillée des cristaux liquides et de leurs propriétés, ont et6 publiés
lors des dernières années [89-921. Les caractéristiques principales des cristaux liquides
seront présentées dans la prochaine sous-section. Ensuite, on donnera les détails et
résultats de l'expérience qui a été réalisée avec le cristal liquide E7.
4.4.1.1 QueIques éléments de théorie sur Ies cristaux liquides
Un cristal qui perd son ordre translationnel mais qui conserve son orientation
moléculaire est appelé cristal liquide. Les molécules de ce matériau gardent leur
orientation et eues peuvent se déplacer librement. Le matériau est fluide; il y a un
écoulement, d'où le nom de cristal liquide. Ceci est le cas, en général, de matériaux
qui sont fortement anisotropes. Si cet état (cristal liquide) se produit pour un
intervalle de température particulier, ces cristaux liquides sont appelés thennotropes.
Les cristaux liquides thennotropes se subdivisent en trois classes: les nématiques,
les cholestériques et les smectiques. Cette classification provient de l'arrangement
moléculaire spécifique à chacun de ces groupes (voir fig. 4.18). Puisque le cristal
Chapitre 4. Les résuittas expérimentaux 71
liquide qui a été utilisé au laboratoire, le E7, est un nématique pour une température
plus élevée que 20°C soit approximativement la température de la pièce, on
s'attardera sur cette catégorie de cristaux liquides.
L'anisotropie des nématiques est de type uniaxiale; il y a donc un axe ordinaire et
un axe extraordinaire. Pour le cristal liquide E7, l'indice de réfraction selon l'axe
extraordinaire est plus élevé que celui selon l'axe ordinaire; il a donc une
anisotropie positive. Les nématiques sont aussi biréfringents. Ii est à noter que
l'anisotropie est une propriété linéaire, Le. que la différence d'indice de réfraction
entre les axes ordinaire et extraordinaire ne depend pas de I'intensité incidente.
III 1 III IIIIII III 11 1 11 1 1 11 111 1 II I lllltll IIIII IIIII 1111111 i I I I III ir I11f111 II II Ill n
i
l of (a) ncmalic stnicturc, (13) cholcsicric structurc, (c) srncc- tic S,, stniçlurc, (cl) snicçiic $,, slrticttirc, nnd (c)
sincclic Sc- s[ruçt ux
Figure 4.18 Classes de cristaux liquides thennotropes
(figure tirée de la référence 1901).
Par une influence externe, il est possible de créer une orientation uniforme des
axes des molécules à travers un échantillon entier de cristaux liquides. Ceci peut,
entre autres, être produit en traitant adéquatement les parois de la cellule qui
contiendra l'échantillon. La direction de l'orientation préférée des molécules est
caractérisée par un vecteur unitaire appel6 directeur. Au sein d'une cellule, une
orientation planaire ou homéotrope des molécules peut être obtenue. Dans le cas
d'une orientation planaire le directeur non pemirbé est orienté selon l'axe des x.
Pour une orientation homéotrope, le directeur pointe vers l'axe z, soit dans la même
direction que la normale de la cellule et la direction de propagation du faisceau laser.
La cellule de cristaux liquides qui a été utilistk au laboratoire a été fabriquée de
manière à obtenir une orientation homéotrope.
La nonlinéarité apparaît lorsque la cellule contenant le cristal Liquide a une
certaine inclinaison (sa normale fait un angle avec l'axe optique) par rapport à la
direction de propagation du faisceau laser polarisé qui lui est incident. ElIe est
causée par la réorientation des molécules. Ceci provoque un changement du rayon
de courbure du front d'onde qui passe au travers la cellule. La nonlinéaxité peut être
positive ou négative (eue est négative lorsqu'il y a absorption non linéaire). Dans le
cas d'une nonlinéarité positive. soit celle du E7, lorsque le faisceau laser, ayant une
plus grande intensité en son centre (proffi gaussien), passe à travers le cristal liquide.
le front de phase du faisceau laser subit un retard de phase du centre par rapport à
ses bords (voir fig. 4.19). Pour le cristal Liquide, c'est équivalent à offrir une plus
grande résistance optique pour une intensit6 plus élevée. En fait, I'indice de
réfraction s'exprime comme suit:
où nz est l'indice de réfraction non linéaire qui tient compte de toutes les causes de
nonlinéarités, no est l'indice de réfraction linéaire et I est l'intensité du faisceau laser
incident sur le cristal liquide.
Figure 4.19 Déformation du front de phase d'un faisceau tors de son passage à travers une ceilde de &taux liquides (figure tirée de la référence [92]).
Ainsi, l'indice de réfraction est plus grand pour les régions où il y a une plus grande
intensité; le chemin optique il parcourir par le front d'onde du faisceau laser se
retrouve donc plus long. La déformation du front de phase peut engendrer une auto-
modulation de phase spatiale [93]. Ceci donne lieu à des anneaux de diffraction;
entre chaque anneau, il y a un déphasage d'un multiple entier de IT (voir fig. 4.20).
Le nombre d'anneaux dépend de I'intensité du faisceau laser.
Fig. 1. Typid difftaction ring pattern. The photo is de- veloped to reduce the relative intensity of the central re- pion.
Figure 4.20 Anneaux d'auto-modulation de phase
(figure tirée de la référence [93]).
Chapitre 4, Les résultais expérimentaux 76
4.4.13 Effets non Iinéaires dans un cristal liquide
Les premières mesures avec un milieu non linéaire ont W prises avec le cristal
liquide E7. Les mesures consistaient 2 observer l'influence de ce matériau sur le
déplacement, le long de l'axe de propagation, des franges d'interf6rence engendrées
par la superposition de deux faisceaux Bessel.
Le E7 est un cristal liquide très courant qui consiste en un mélange fait à base de
cyano-amyl-biphenyl. Ce mélange devient liquide B une température de -lO°C.
Entre -lO°C et 20°C, il est dans sa phase srnectique. Puis, entre 20°C et 6 1°C, c'est
un nématique. Pour une température au-delà de 61°C, il devient un liquide
totalement isotrope. La cellule qui contient le cristal liquide et qui a été utilisée
pour prendre des mesures a une épaisseur d'environ 100 microns. Elle est faite de
lames de microscope entre lesquelles se loge le cristal liquide.
Le télescope du montage original (voir fig. 3.1) a été remplacé par une lentille
convergente ayant une distance focale de 5 cm. La cellule contenant le cristal
liquide a été placée à la position de focalisation du faisceau laser. Puisque le
faisceau laser doit être polarisé pour qu'il y ait une réorientation des molécules,
donc une nonlinéarité, un prisme de Glan, donnant une polarisation verticale au
faisceau, a éd placé juste avant la lentüle. Un autre prisme de Glan, cette foisci
rotatif afin de pouvoir faire varier l'intensité du faisceau laser incident sur la cellule,
a été placé avant l'autre prisme dans le trajet optique du faisceau. Le système de
détection consistait en une photodiode reliée à un circuit de polarisation contenant
une résistance variable. Un iris ayant environ 400 pn de diamètre était place devant
la photodiode. Le circuit de polarisation était, pour sa part, relié à un multimètre à
l'aide duquel la tension pouvait être lue.
La méthode de mesure qui a été employée est la suivante. Dans un premier
temps, la position de variation maximale (entre un minimum et un maximum
d'intensité) de l'intensité sur I'axe (une fois les faisceaux Bessel superposés) devait
être déterminée pour une intensité au seuil de detection et pour une certaine
inclinaison de la cellule. Ensuite, le détecteur était fixé à cette position afin de
prendre des mesures. Puis, l'intensité du faisceau laser incident sur la cellule était
variée à l'aide du prisme de Glan rotatif et une mesure était prise au détecteur. Tout
ceci était repris pour différentes inclinaisons de l'échantillon de cristaux liquides.
Ainsi, une variation de tension était mesurée sur l'axe en fonction de l'inclinaison
(plus forte nonlinéarité pour une plus grande inclinaison) et de l'intensité incidente
sur la cellule. Puisque ce cristal liquide est fortement anisotrope, ceci affecte
I'intensité mesurée sur I'axe. Par conséquent, toutes les mesures ont été prises avec
la cellule de cristaux liquides. Des séries de mesures ont été prises pour la cellule
verticale (aucune nonlinéarité), des inclinaisons de lSO, 30° et 4S0 par rapport à la
verticale,
Ce qui nous intéresse, c'est la différence d'intensité entre le cas linéaire
(anisotropie) et le cas non linéaire. Ainsi, l'intensité mesurée sur l'axe pour chacune
des inclinaisons a été soustraite à l'intensité mesurée lorsque la cellule était verticale
(aucune inclinaison). Ces mesures ont été portées en graphique donnant la
différence d'intensité (linéaire-non linéaire) en fonction de l'angle 0 entre les axes
des polariseurs (voir fig. 4.21). L'axe des x sur cette figure est donné en degrés en
se basant sur les valeurs inscrites sur le prisme rotatif (180' correspond aux
polariseurs croisés et 270" correspond aux polariseurs décroisés). Ces courbes
répondent à la loi de Malus:
où 0 est l'angle que fait le prisme de Glan rotatif avec l'axe de polarisation de
l'autre prisme de Glan et Io est I'intensité maximale.
Cdegré]
Figure 4.2 1 Différence d'intensité sur l'axe pour différentes inclinaisons en
fonction de l'angle de l'axe de polarisation du prisme de Glan rotatif.
Par ailleurs, on peut tracer ces mesures en fonction de l'intensité mesurée sur
l'axe pour une inclinaison nulle de la cellule car, lorsque cette demière est verticale,
nous sommes uniquement en présence d'anisotropie (voir fig. 4.22). Ainsi, on
remarque maintenant l'allure parabolique des courbes. En fait, ce comportement
parabolique est une signature de la nonlinéarite. En soustrayant la partie linéaire de
ses courbes, il serait possible de relier la variation d'intensité de la partie
parabolique au déphasage non linéaire qui s'est formé dans le cristal liquide et
finalement, de calculer l'indice de réfraction non linéaire du E7. On constate donc
que la méthode de mesure utilisée est assez sensible aux déphasages introduits par
un d i e u non linéaire.
Il faut souligner que les déphasages engendrés par l'échantillon de cristaux
liquides sont petits car aucun anneau d'auto-modulation de phase n'&ait form6. Le
laser He-Ne utilisé ayant une puissance eficace de 5 m W à sa sortie (puissance
totale de 10 mW repartie sur deux polarisations) était focalist par une lentille de 5
cm en une tache d'environ 10 pm de diamètre; ceci n'était pas nécessairement
suffisant pour au moins obtenir un déphasage de ie et ainsi pouvoir observer un
anneau d'auto-focalisation de phase à la position du masque.
Figure 4.22 Différence d'intensité sur l'axe pour différentes inclinaisons en
fonction de l'intensité sur l'axe pour la cellule verticale f).
Il est à noter que la méthode qui a été employée pour faire ces mesures, est
différente de celie qui a été utilisée à la section 4.3 pour faire des mesures d e
sensibilité au déphasage. A la section 4.3, ce sont des mesures du déplacement d'un
maximum d'intensité qui étaient prises. Tandis que, dans ce cas-ci, le détecteur est
placé à la position de variation maximale de l'intensité sur I'axe (après un
minimum, avant un maximum). La décision de prendre une méthode différente
provient du fait que l'utilisation d'un cristal Liquide amène des fluctuations dans le
temps de l'intensité sur l'axe donc, une faible précision sur la position d'un
maximum d'intensité. En gardant le dbtecteur fixe, c'est une variation d'intensité
(moyennée) qui peut être mesurée. Ainsi, les mesures sont plus fiables.
Avec cette méthode de mesure, il est dificile de déterminer le signe de la
nonlinéarité car, on ne peut savoir avec certitude dans quelle direction les franges s e
sont réellement déplacées. Par conséquent, afin de compléter ces résultats, un Z-
scan modifié a été fait. Pour une valeur donnée de la puissance incidente sur
l'échantillon (afin d'être sujet à de moins grandes fluctuations), ce dernier est
déplacé en z travers la région focale de la lentille ayant une focale de 5 cm. À
l'aide de la c a m h C O , la position d'un maximum d'intensité est mesurée. La
cellule, inclinée à 15' par rapport B la verticale, a été déplacée de 14 mm de chaque
côté du foyer et ce, à tous les 2 mm sauf aux alentours du foyer lui-même où les
mesures furent effectuées ii chaque millimètre (voir fig. 4.23).
- \ - O
d * 4 \ - rd
-eC
27 - \ - - 3 - " -*. I - 9 - * * < -
26 - - - b - - - - z ~ t t r 1 1 1 t t ' f 1 1 ' t 1 ' t ' r I ' ~ ' t 1 1 t 1 4 ' 1 1 1 " ' 1 1 ' . -
-20 -15 -10 -5 O 5 10 15 20 Déplacement du cristal liquide
dans la région focale [mm]
Figure 4.23 Résultats du 2-scan modific5 afin de déterminer
le signe de la nonlinéarité.
Pour toutes les mesures prises avec le cristal liquide, un temps de repos d'au
moins une minute était laissé entre chaque mesure afin que les molécules se
relaxent. On constate sur ce graphique, en suivant la légende, que lorsque la cellule
est avant le foyer, les h g e s avancent (se rapprochent). Dans la région focale, les
franges reculent assez rapidement pour ensuite, se rapprocher de nouveau lorsque
l'échantillon est de l'autre côté du foyer. Ceci est en accord avec les modifications
que fait subir le cristal liquide au rayon de courbure du fiont d'onde du faisceau
laser. En fait, lorsque l'échantillon se rapproche du foyer, le cristal liquide tend à
faire focaliser le faisceau un peu plus près, par rapport au foyer de la lentille. Ainsi,
le rayon de courbure du faisceau incident sur le masque est plus grand, donc les
franges avancent. Plus la cellule se rapproche du foyer réel, plus le faisceau est
divergent lorsqu'il est incident sur le masque. De même, lorsque le cristal iiquide
s'éloigne du foyer réel, le rayon de courbure augmente, donc les franges se
rapprochent de nouveau. Cette courbe (fig. 4.23) nous indique donc que la
nonlinéarité de ce cristal liquide est positive- De plus, on remarque que la courbe
obtenue est typique de l'application de la méthode de mesure du 2-scan (pic et
vallée). On pourrait donc être à même de déterminer l'indice non linéaire en
parvenant à transformer le déplacement des maxima d'intensité en grandeur de
déphasage engendré dans le cristal liquide.
Divers problèmes ont été rencontrés lors de la prise des mesures avec le cristal
liquide. Citons tout d'abord la différence de chemin optique entre les différentes
parties du faisceau qui passent au travers les lames de microscope lorsque la cellule
est inclinée. Ceci amène donc un déphasage qui est linéaire et qui est différent pour
chaque inclinaison. D'autre part, en fonction de l'angle d'incidence du faisceau
laser sur I'échantiilon, la transmittance à travers les lames de microscope qui
contiennent le cristal liquide est d i f f h t e . En fait, la transmittance est plus grande
pour une plus grande inclinaison. Par ailleurs, comme on le sait, il y a une plus forte
nonlinéarit6 pour une plus grande inclinaison. Par contre, ceci engendre plus de
pertes par diffusion, donc la valeur de l'intensité mesurée sur l'axe de propagation
s'en trouve affectée. De plus. il y a une variation de I'anisotropie; I'indice de
réfraction extraordinaire est plus éIevé pour une plus grande inclinaison.
Tous ces facteurs complexifient la méthode de mesure, du moins lorsque des
cristaux liquides sont utilisés. Idéalement, il faudrait savoir dans quelle direction et
sur quelle distance la figure de diffraction sur l'axe de propagation s'est déplacée.
Ainsi, il serait possible de calculer le déphasage à la position du masque, pour
ensuite déterminer celui qui a été engendré dans la cellule et, de cette manière,
évaluer l'indice de réfraction non linéaire du cristal liquide étudié. Il n'en demeure
pas moins que la méthode utilisée offre une sensibilité appréciable aux déphasages
non Iinéaires.
Chapitre 4, Les résultats erpéNnentuux 82
4.42 Caractérisation de la nonlinéarité d'un colorant dilué dans un solvant
Les mesures non linéaires prises avec le cristal liquide étant rendues diff~ciles ii
cause de son anisotropie, elles se sont donc poursuivies en utilisant un colorant. Dans
ce casci, la nonlinéarité peut avoir différentes causes; entre autres, eile peut être
thennique (absorption), &onante avec saturation. On étudiera dans un premier temps
les résultats obtenus expérimentalement avec le colorant. Puis, une présentation des
phénomènes qui ont pu être en jeu sera faite.
4.4.2.1 Mesure de nonlinéarité dans un colorant
Le colorant a tout d'abord été choisi en fonction du laser à notre disposition.
Puisque le laser qui était employé est un He-Ne ayant une longueur d'onde de 632,8
nm, c'est donc un colorant ayant une forte absorption pour cette longueur d'onde qui
a été dlectionné: le « Royal Blue ». Il consiste en de l'encre bleue pour stylo. Ce
colorant était dilué dans de l'eau. À la figure 4.24, on présente la transminance de
la solution en fonction de la longueur d'onde, mesurée avec un ellipsomètre,
lorsqu'elle est dans un contenant ayant 4.8 mm d'épaisseur.
Longueur d'onde bml
Figure 4.24 Spectre de la transmittance du colorant.
Le montage expérimentai est le suivant. Étant donné que le phénomène non
linéaire en cause n'est pas du tout relié à une quelconque réorientation moléculaire,
il n'était plus nécessaire de polariser le faisceau laser, donc de couper de moitié
l'intensité disponible en utilisant un prisme de Glan. Ainsi, le couple de prismes,
utilisds précédemment pour les mesures avec le cristal liquide, a été remplacé par un
atténuateur variable afm de faire varier 17intensit6. La cellule contenant le colorant
dilué et d'épaisseur L, = 0'5 mm a été placée la focale de la lentille convergente
de 5 cm qui a été laissée en place.
Puisque la solution de colorant causait peu de fluctuations temporelles de
l'intensité, nous sommes retournés à la méthode de mesure originale. Ainsi, en
faisant varier l'intensité avec I'atténuateur variable, la position d'un maximum
d'intensité était mesurée. Une première mesure a tout d'abord été prise sans la
cellule. Puis, les mesures suivantes ont été prises en commençant avec une intensité
élevée qui a &té t é n u é e peu à peu.
Sachant sur quelle distance les franges se sont déplacées sur l'axe, il est possible,
à l'aide de la relation (4.3.1.9) de determiner la variation du rayon de courbure (AR)
du faisceau incident sur le masque (voir fig. 4.25) en fonction de la puissance.
Puissance normalisée
Figure 4.25 Variation du rayon de courbure en fonction de la puissance normalisée.
On constate sur cette d e m i h figure que plus la puissance laser augmente, plus le
déplacement des h g e s se stabilise. Notons que le rayon de courbure du faisceau
incident sur le masque a en fait diminué car AR est plus petit que zero. Ceci
implique donc qu'après avoir passé 2 travers la cellule de colorant, le faisceau est
devenu convergent.
Pour pouvoir déduire le déphasage correspondant au déplacement des franges, il
faut être en mesure de connaître les modifications qu'a subies le front d'onde du
faisceau laser en passant à travers la cellule de colorant. Nous allons donc explorer
les divers phénomènes qui ont pu altérer le front d'onde.
4.4.2.2 Contributions à la nonlinéarité du coIorant
Dans les cas où un laser est utilisé en continu (contrairement pulsé), la plus
grande contribution à l'indice de réfraction non Linéaire d'un milieu absorbant
provient, habituellement, des effets thermiques; le milieu est chauffé car il y a
absorption. Ainsi, L'indice de réfraction répond à la relation suivante:
n = no + (ah / dT)AT
où no est l'indice de réfraction linéaire, (dn/dT) est la variation de l'indice de
réfraction par rapport à la température et AT est la différence de température
(AT a al~1 où a est le coefficient d'absorption). Les quelques éléments de théorie
présentés ici sur ia nonlin6arité thermique sont tirés en partie d'un important
ouvrage portant sur des phénomènes engendrés par des milieux non linéaires comme
l'auto-focalisation, l'auto-défocalisation et l'auto-modulation de faisceaux laser
cg41 -
Le facteur (MdT) de l'équation (4.4.2.1) peut être positif ou négatif. Pour la
solution qui était utilisée, il était plus petit que zéro. Ceci aurait donc dEt engendrer
une auto-défocalisation du faisceau laser, Le. le faisceau aurait dQ avoir une plus
grande divergence à la sortie du milieu non linéaire; les mesures expérimentales
indiquent plutôt que le faisceau laser est devenu convergent. La lentille thermique
engendrée par le matériau est dependante du facteur de variation de l'indice de
réfraction par rapport à la tempérahue (dn/dT) (voir annexe E). On y associe une
distance focale Flh qui est donnée théoriquement par la relation suivante:
où h est un facteur qui représente la fraction de la puissance absorbée qui est
dissipée en chaleur, Po est la puissance incidente, dddT est la variation de l'indice
de réfraction en fonction de la température, K est la conductivité thermique en
~crn- '~e lv in- ' , wp est la taille du faisceau pompe, L, est la longueur du milieu et a
est le coefficient d'absorption milieu en cm-'.
Dans le cas qui nous intéresse, h = 1 car toute l'hergie absorbée serait dissipée
en chaleur, la conductivité thermique K de I'eau est de 6,O mW/cm.Kelvin à la
température de la pièce, M T pour l'eau est de -1,3x104 K" et a est de 2.28 cm-'
pour la solution de colorant (mesure prise Zi l'ellipsomètre). En principe, la taille du
faisceau au foyer de la lentille convergente de 5 cm est de 10 p.
La nonlinéarité thermique ne peut pas expliquer à elle seule les mesures qui ont
été prises. De même, lorsqu'on 6tudie la possibilité de l'existence d'une lentille non
linéaire prZs d'une résonance avec saturation, on obtient aussi pour résultat que la
lentille non linéaire devrait être divergente. II est probable que des termes non 4 6 paraxiaux (r , r , ...) de lentilles thennique et nonlinéaire soient en cause. D'autre
part, l'épaisseur de la solution de colorant étant de l'ordre de la zone de Rayleigh, il
serait possiblement plus approprié de considérer ce milieu nonlinéaire comme un
milieu absorbant épais (une lentille épaisse). Par ailleurs, puisque le colorant
absorbe la longueur d'onde du laser, il s'échauffe. Cet échauffement peut e n m e r
une diffusion longitudinale de la chaleur; ce qui amène la formation d'une lentille
thermique dans le verre. Le facteur dnldT étant une valeur positive pour le verne,
ceci provoque une auto-focalisation (effet contrak au colorant). On peut aussi
supposer que le verre a pris de l'expansion à cause de la chaleur; ceci engendre des
déformations, un bombage. Il est possible qu'en combinant tous ces effets et en
sachant dans quelle proportion ils sont intervenus, ceci nous amènerait à expliquer et
à déduire le déphasage survenu dans le colorant.
Ces quelques mesures prises avec des milieux non linéaires sont malgré tout
suffisamment significatives pour que cette avenue, en tant que méthode de
caractérisation de ces milieux, soit étudiée plus en profondeur.
Conclusion
Dans ce dernier chapitre, nous dresserons un bilan des résultats obtenus par la
superposition cohérente de faisceaux Bessel. Nous rappellerons tout d'abord les conditions
pour lesquelles cette superposition mène à une auto-imagerie périodique le long de l'axe de
propagation. Puis, on effectuera une revue des résultats expérimentaux recueillis. Nous
soulignerons de nouveau le potentiel de cette méthode pour mesurer de très petites
différences de phase d'origine héaire ainsi que non linéaire. Par la suite, on mentionnera
quelques avenues futures, basées sur la superposition de faisceaux Bessel, qui pourraient
être empruntées.
5.1 Sommaire sur la superposition de faisceaux Bessel
En se basant sur des considérations théoriques relativement simples, nous avons été en
mesure d'effectuer expérimentalement la superposition de faisceaux Bessel. Sachant que la
transformée de Fourier d'anneaux concentriques très minces nous donne une somme de
faisceaux Bessel, il était donc simple de créer un masque d'anneaux concentriques et de
placer ce dernier au foyer d'une lentille afin d'en observer la transformée de Fourier.
D'autre part, en posant une condition sur le rayon des anneaux (voir éq. (2.3.10)). il a été
possible d'obtenir un phénomène d'auto-imagerie périodique le long de l'axe de
propagation. En chaque plan séparé par fa distance d'auto-imagerie, le même profil
transverse d'intensité était observable. La variation de l'intensité sur l'axe de propagation
montrait une alternance réguiière de maxima et de minima. Ceci a pu être corroboré
théoriquement par des simulations num6riques. Par des mesures d'intensité sur l'axe de
propagation avec différents nombres de faisceaux Bessel superposés, le caractère
périodique du faisceau a pu être clairement mis en évidence expérimentalement. Un
bel accord existe entre les distances d'auto-imagene calculées et mesurées (voir tableau
4.2). Par ailleurs, nous avons obtenu une superposition de faisceaux Bessel qui s'auto-
imagent comme le montre très bien les images du faisceau pises en difft5rentes positions
sur l'axe, présentées dans le chapitre précédent
il faut cependant mentionner que la qualité de la fabrication du masque utilisé est
importante. Le faisceau laser doit passer seulement et uniquement par les anneaux
concentriques. De plus, les anneaux doivent avoir des contours de même qu'une largeur
uniformes. Cette dernière doit être plus grande que la limite de difiction et suffisamment
petite pour supposer que nous avons une fonction delta de D h . Le rayon des anneaux
doit être constant et iI doit répondre le plus précisément possible à la relation (2.3.10). Il est
bon de souligner que les diamètres des anneaux peuvent être adaptés aux besoins; selon la
distance d'auto-imagerie désirée, il est possible d'ajuster le rayon des anneaux, la distance
focale de la lentille qui effectue la transformée de Fourier et, si possible, la longueur d'onde
du laser utilisé.
La technique de fabrication des masques qui nous a donné les meilleurs résultats est
celle de la gravure mécanique sur un substrat ayant une couche mince d'aluminium. Cette
mtthode permet d'obtenir des anneaux avec des contours réguliers et une largeur acceptable
de 10 microns. Les rayons des anneaux sont à peu près constants et la couche mince
d'aluminium permet de réfléchir ou d'absorber la partie du faisceau laser non désirée.
En ce qui concerne les autres méthodes de fabrication, le procedé lithographique serait
une méthode intéressante mais, il faudrait qu'il soit effectué avec plus de précision. Tout
d'abord, les masques sur film imprimés avec une haute définition devraient avoir des
contours uniformes (pas en escalier). Lors de l'exposition et du développement de la
photorésine, tous les param&tres (temps, humidité) devraient être contrôlés de manière plus
rigoureuse. Aussi, une autre technique devrait être employée pour enlever la photorésine,
qui est demeurée sur le substrat après le développement, une fois le dépôt métallique
effectué. Il est à noter que la gravure par faisceaux d'électrons pourrait donner de très bons
résultats,
D'autre part, il est intéressant de constater que plus le nombre de faisceaux Bessel
superposés est élevé, plus la taille du lobe central est restreinte. Cette dernière est donc
fonction du nombre d'anneaux du masque. Cette particularité peut être mise à profit dans
des domaines où la précision de pointage est importante.
De plus, grâce à la sensibilité de la position des maxima à la courbure d'un front
d'onde, nous avons développé une méthode de mesure simple et efficace de différences de
phase. La moindre différence de phase entre les deux anneaux du masque (dans le cas du
masque à deux anneaux) peut être calculée, à partir de la mesure du déplacement des
franges d'interférence sur l'axe, à l'aide de la relation (4.3.1.9). La nouvelle position d'un
maximum d'intensité permet de déterminer le déphasage entre les faisceaux Bessel et ainsi,
de calculer le rayon de courbure du faisceau laser incident sur le masque. La direction du
déplacement des maxima permet de savoir si le rayon de courbure du faisceau incident sur
le masque a augmenté ou diminué. Des différences de phase aussi petites que 10 mrad
pouvaient être mesurées avec un appareillage rudimentaire. Ii est clair qu'avec des
instruments de mesure plus précis, il serait possible d'évaluer des différences de phase
encore plus petites.
Cette méthode de mesure offre donc de multiples possibilités comme, entre autre, la
caractérisation de milieux non linéaires. Puisque ces derniers introduisent un déphasage
entre les diverses parties du faisceau laser, il y a donc une différence de phase entre les
faisceaux Bessel qui sont générés par le masque, qui se traduit par un déplacement des
franges d'interférence situées sur l'axe de propagation. En mesurant le déplacement des
maxima et en sachant dans quelle direction ils se sont déplacés, il peut être possible de
déterminer l'indice non Linéaire de milieux comme un cristal liquide et un colorant ainsi
que le signe de leur nonlinéarité. Des améliorations doivent cependant être apportées B la
méthode de mesure qui a été employée avec le cristal liquide afin d'obtenir des résultats de
manière plus directe. Il faudrait trouver un moyen de s'affranchir des fluctuations
temporelles de l'intensite du faisceau qu'engendre la réorientation des molécules du cristal
liquide. Quant au colorant, des mesures plus approfondies permettraient sûrement d'ouvrir
la voie dans l'exploration de ce type de milieux non linéaires. La methode de la
superposition de faisceaux Bessel utilisée dans le but d'évaluer des indices non linéaires
doit être suffisamment efficace pour mesurer de très petites différences de phase afin de
concurrencer la méthode, devenue traditionnelle, du Z-scan.
Dans un premier temps, il serait important de déterminer la limite de sensibilité du
système de mesure de différence de phase. Avec des appareils permettant d'avoir une
meilleure précision sur la position d'un maximum d'intensité sur l'axe de propagation, on
pourrait estimer le déphasage minimum qu'il est possible de mesurer. Par exemple, ceci
pourrait être effectué en installant un miroir sur une membrane vibrante (haut-parleur) ou
sur un piézoélectrique. D'infimes différences de phase pourraient être créées et le
déplacement de la figure d'interférence pourrait être mesuré avec un détecteur qui serait
gardé fixe à la position de variation maximale de l'intensité, soit entre un minimum et un
maximum. Le détecteur pourrait être relié à un appareil de type amplificateur « lock-in »,
ce qui permettrait d'obtenir un meilleur rapport signai sur bruit lors des mesures. En
connaissant la pente, Le. comment varie l'intensité entre un minimum et un maximum, il
serait possible de calculer le déplacement des franges à l'aide de la mesure, avec le
détecteur, de la variation de l'intensité sur l'axe, en fonction du déphasage engendré par le
miroir vibrant. Ce déplacement permettrait ensuite le calcul de la différence de phase qui a
été produite mécaniquement
Chapitre 5, Conclusion 91
Il serait intéressant par la suite de mesurer des déformations de surface en transmission
ou en réfiexion. Dans le cas de surfaces réfléchissantes (qui introduisent un déphasage
linéaire) par rapport à la longueur d'onde utilisée, il suffirait de plier le faisceau laser, avant
qu'il soit incident sur le masque, pour le diriger sur la surface à évaluer. Avec un système
de balayage sur toute la surface. les domées pourraient être enregistrées en temps réel en
plaçant, encore une fois, un détecteur à la position de variation maximale de l'intensité. Ce
dernier mesurerait des variations de l'intensité et, sachant la pente, les déformations
pourraient être calculées directement à l'aide d'un programme.
D'autre part, le système permet aussi la mesure de distances focales que ce soit de
lentilles ou de miroirs. En fait, ces éléments optiques procurent un rayon de courbure au
faisceau laser. Puisqu'il est possible de déduire le rayon de courbure en mesurant le
déplacement des maxima d'intensité sur l'axe et en connaissant la distance entre l'élément
optique et le masque, il est aisé de déterminer la focale de l'élément. Naturellement, la
précision sur la distance focale dépendra de la précision des mesures de positions et de
I'aügnement de tout le système optique. Ce serait une technique alternative aux méthodes
de la déflectométrie moiré, de l'interférométrie Talbot et, plus récemment, de l'effet moiré
digital [98].
Les applications qui viennent d'être mentionnées sont plus appropriées pour les
déphasages linéaires. Il n'en demeure pas moins qu'une caractérisation plus approfondie
des matériaux non linéaires serait possible avec la méthode de la superposition de faisceaux
Bessel. Des milieux ayant une nonlinéarité électronique du troisième ordre, diverses
nonlinéarités du second ordre ou de l'absorption à plusieurs photons pourraient bénéficier
de cette technique. Le déphasage engendré par ces matériaux, voire même leur indice de
réfraction non linéaire. pourrait être calculé à partir de la mesure du déplacement des
franges d'interférence sur l'axe.
Par ailleurs, il peut s'avérer nécessaire d'utiliser d'autres sources laser. La longueur
d'onde du faisceau laser devra être choisie en fonction d'une application spécifique. Il
serait aussi intéressant d'effectuer des expériences avec une source émettant sur plusieurs
longueurs d'onde car chaque composante spectrale aurait son propre phénomène d'auto-
imagerie. L'étude du faisceau ainsi obtenu poumit possiblement mener à d'autres types
d' applications innovatrices.
5.3 Bilan
Dans ce mémoire, nous avons présenté un nouveau phénomène soit la superposition
cohérente de faisceaux Bessel qui engendre une auto-imagerie sur l'axe de propagation du
faisceau. Ce phénomène a la particularité de donner accès à des mesures fines; il est donc
une source d'applications diverses. Il ne fait nul doute que cette méthode est prometteuse et
qu'elle pourra être utile à différents niveaux. Plusieurs pourront bénéficier des maintes
possibilités qu'elle peut offrir.
C'est donc là une contribution significative à ta recherche dans le domaine de
l'optique. Ainsi, il est important qu'eue soit mise à profit dans un avenir rapproché.
Annexe A
Propagation de la superposition de faisceaux Bessel
sur une distance L
Nous considérons uniquement ta superposition de faisceaux non-diffractants. On a
donc (voir éq. (2.1.2)):
ï i faut maintenant effectuer Ia propagation de ce champ jusqu'à une position axiale L. Pour
ce faire. nous utilisons I'intégraie de difiction dans l'approximation de Kirchhoff-Fresnel
[82] qui s'écrit comme suit:
En substituant l'équation (A. 1) évaluée à ro dans l'équation (A.2)' on obtient:
Cette intégraie peut être résolue analytiquement. Dans les tables de formules et d7intégraIes
de Gradsteyn et Ryzhik [83], p. 758 no* 6-729, on trouve ces relations qui permettent de
résoudre l'équation précédente:
Ainsi, il suffit d'exprimer en sinus et cosinus l'exponentielle complexe de l'équation (A.3).
Dans les calculs, toutes les restrictions sur la validité des équations (A.4a) et (A.4b) sont
respectées. On effectue donc le calcul:
On poursuit la résolution du problème:
On exprime les sinus et cosinus en exponentieile:
On substitue les variables originales:
ru intégrale = -- 21c
Le résultat final de I'intégrale est le suivant:
r X Z , intégrale = -- Zn; ~o(a,r)ex{i~ , E ] e x p [ i g ] .
En substituant (AS) dans (A.3), on obtient la solution qui était recherchée:
Ceci est donc le champ obtenu par la superposition de faisceaux Bessel, après une
propagation jusqu'g une position L sur l'axe de propagation.
Annexe B
Masques sur transparents:
Bessel 1 et Bessel 2
Dans cette annexe, on retrouve les masques appelés Bessel 1 et Bessel 2 qui étaient, à
l'origine, imprimés sur des transparents. De plus, les valeurs des diamètres de chacun des
anneaux de chacun des masques sont données.
B.1 Masques Bessel 1 et Bessel 2
Figure B. 1 Masque Bessel 1.
Figure B .2 Masque Bessel 2.
B.2 Diamètres des anneaux des masques Bessel 1 et Bessel 2
Comme mentionné au chapitre 3, les valeurs des diamètres sont fmées dans le logiciel
de dessin Canvm, pour ordinateurs Macintosh. Bessel 2 a naturellement été créé après
Bessel 1 et a la particularité d'avoir des anneaux de diamètres trois fois plus petit que
Bessel 1. Ceci a été fait dans le but d'avoir une plus grande période axiale, i.e. une plus
grande distance d'auto-imagerie.
Tableau B. 1 Diamètres des anneaux des masques Bessel 1 et 2
Numéro des
anneaux
Bessel 1: Bessel 2:
Diamètres [cm] Diamètres [cm]
Annexe C
Masques gravés dans une couche métallique
déposée sur un substrat
Dans cette annexe, on retrouve les diamètres mesurés des anneaux qui ont été tracés, 2t
l'aide d'une pointe de diamant, sur un substrat où une couche mince d'aluminium avait étt
déposée. De plus, on retrouve aussi les valeurs de diam&tres des anneaux qui auraient dû
être tracés.
Tableau C. 1 Diamètres des anneaux gravés
No des
anneaux
Diamètres mesués pour chacun des masques [mm]
(Masques à 1,2,3,4, 5 et 20 anneaux)
Diamètres
prévus [mm]
No des Diamètres mesurés pour chacun des masques [md
anneaux (Masques à 1,2,3,4 5 et 20 anneaux)
Diamètres
prévus [mm]
9,000
9,487
9,950
10,392
lO,8 16
1 1,225
11,619
12,000
12,369
12,728
13,077
13,416
Annexe D
Masques fabriqués par
procédé lithographique
Dans cet appendice, les diamètres des anneaux des masques fonctionnels fabriqués par
procéd6 lithographique sont donnés. Puis, on donne les diamètres des anneaux des masques
imprimés sur film, avec une très haute définition, et qui ont permis de faire les masques par
lithographie.
D.1 Diamètres des masques utilisables
Ii y a seulement deux masques qui ont été réussis soit des masques ayant 3 et 4
anneaux. Ce sont les seuls qui pouvaient être utilisés en laboratoire car les anneaux avaient
une largeur à peu près constante et la couche mince d'aluminium était en assez bon état.
On retrouve dans le tableau D.1 les valeurs des diamètres de ces masques.
Tableau D. 1 Diamètres des anneaux des masques
faits par procédé lithographique
Num6rodes 1 Diamètres mesurés pour chacun des masques [mm] 1 Diamètres
(Masques à 3 et 4 anneaux)
D.2 Diamètres des masques sur film avec haute définition d'impression
Des négatifs des masques, qui permettaient de faire les masques par procédé
lithographique, ont aussi été imprimés sur un film avec une grande qualité d'impression. IIs
ont été utilisés au laboratoire afin d'effectuer des comparaisons entre les méthodes de
génération d'une superposition de faisceaux Bessel. Dans le tableau D.2, les diamètres des
anneaux de ces masques sont présentés.
Tableau D.2 Diamètres des anneaux des masques
ayant une haute définition d'impression
Diamètres prévus Cmml
Numéro des
meaux
Diamètres mesurés pour chacun des masques [mm]
(Masques de 1 à 5 anneaux)
Annexe E
Focale thermique associée à l'absorption
d'un faisceau gaussien
Dans cet appendice, on élabore l'équation théorique de la focale thermique engendrée
par l'absorption d'un faisceau gaussien. En considérant un profil de température associé à
l'absorption d'un faisceau gaussien, on déterminera le déphasage theotique et, par le fait
même, la focale thermique [95-973.
On suppose tout d'abord une pompe de type gaussien et qui le demeure dans le milieu
absorbant. De plus, le faisceau ne diverge pas dans le milieu absorbant. On peut donc
écrire l'équation de la chaleur, en coordonnées cylindriques:
où T(z, r) est la température en Kelvin, Q(z, r) est la source de chaleur en w/cm3 ii la
position axiale z et radiale r, K est la conductivité thermique en ~crn'kelvin-', Q(0,O) est
la puissance convertie en chaleur l'entrée du milieu (en son centre) par unité de surface
AnneXe C, Focale thennzque assoczée ü f - a b ~ ~ r p t t ~ ? ~ d'un Jarsceau gausszen LW
par unité de distance, W, est la taille du faisceau pompe et a est le coefficient d'absorption
en cm-' dans le milieu. L'équation (El) suppose une diaision de la chaleur purement
radiale, i.e. uniquement selon r, il n'y a donc pas de diffusion de la chaleur selon 2. La
solution de cette équation différentielle est la suivante:
Au voisinage immédiat du centre, on considère seulement le premier terme de I'équation
(F.3):
On constate que le profil de température au centre est parabolique; ceci mène donc à une
lentille équivalente soit, une lentille thermique. Il nous faut maintenant déterminer Q(z, 0).
On sait que la puissance laser se propageant selon z est donnée par:
La puissance absorbée, convertie en chaleur, par unité de volume au centre (à r = 0) est:
où h est un facteur qui ceprésente la fraction de la puissance qui est dissipée en chaleur et &
est un dément d'épaisseur infiitésimale. En intégrant, on trouve:
où Po est la puissance incidente. En substituant cette dernière équation dans l'équation
(F.4), on obtient:
Le déphasage thermique total, en supposant une propagation rectiligne à (dans le vide),
sera donné par 1' intégrale suivante:
où dddT est la variation de l'indice de réfraction en fonction de la température et L, est la
longueur du milieu non linéaire. La résolution de cette intégrale nous donne pour résultat:
Pour une lentille thermique de focale Flh, on a:
Ainsi, on obtient finalement l'expression de la focale de la lentille thermique en 6galisant
les équations (F. 10) et (F. Il):
La focale de la lentille thermique est donc inversement proportionnelle à la puissance laser;
pour une puissance laser élevée, la focale thermique sera très courte donc crès
« focdisante B.
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