laiko eiluciu fraktali kumas: hursto laipsnio rodiklis ir jo...

Laiko eilučių fraktališkumas: Hursto laipsnio rodiklisir jo įvertinimo metodai

Aleksejus Kononovičius

2012-10-11

A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 1 / 28

Įprasta dimensija ir “dėžučių” skaičiavimo metodas

Ką gi turime?

N =1

sD,

lnN = D ln s−1,

D =lnN

ln s−1.

Bendriau:

D = lims→0

lnN

ln s−1.


Sudėtingesnis atvejis: Kocho snaigė

Ką gi turime?Mastelyje 1/3 - 18 langelių, kuriuoskerta kreivė, 1/6 - 41, 1/12 - 105.Nusipiešę matome, kad D ≈ 1.27.


Brauno proceso laiko eilutės dimensija

Šiek tiek pasistengus rezultatą galima gauti artimą teoriniam:D = 1.517± 0.061.


Brauno proceso laiko eilutės Hursto laipsnio rodiklis

Šiek tiek pasistengus rezultatą gauname: H = 0.514± 0.006. Čia Hturi geometrinę

D = 2−H = 1.486,

ir statistinę prasmes,X(at)

d= aHX(t).


Geometrinis Hursto laipsnio rodiklio interpretavimas


R/S, masteliuoto aukščio (rescaled range), metodasPagrindinė metodo idėja

Palyginęs įvairių upių ir ežerų vandens lygio duomenis Hurstas gavo,kad 〈R(t)/S(t)〉 ∼ tH , kur H = 0.726± 0.082.A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 7 / 28

R/S, masteliuoto aukščio (rescaled range), metodas1 etapas. Dalinimas į segmentus

Padalinkime X(t) signalą į n dydžio segmentus. Tokiu atveju segmentųyra N ′ = floor(N/n).


R/S, masteliuoto aukščio (rescaled range), metodas2 etapas. Vidurkių skaičiavimas

Kiekvienam signalo X(t) segmentui apskaičiuojame vidurkius, 〈x〉i.Atimame 〈x〉i iš visų to segmento duomenų (tą darome su visaissegmentais):

X ′i(τ) = X[(i− 1)n+ τ ]− 〈x〉i, ∀i ∈ [1;N ′],

čia X ′i(τ) yra i-tojo segmento laiko eilutė, o τ yra “vidinis” segmentolaikas.


R/S, masteliuoto aukščio (rescaled range), metodas3 etapas. Profilio skaičiavimas ir pločio įvertinimas

Kiekvienam segmentui X ′i(τ)apskaičiuojame profilį:

xi(τ) =

τ∑s=0

X ′i(s), ∀i.

Nustatome kiekvienosegmento profilio aukštį:

Ri = max(wi)−min(wi), ∀i.

Nustatome kiekvieno segmentostandartinį nuokrypį:

Si =

√√√√ 1

n

n−1∑s=0

[X ′i(s)]2, ∀i.


R/S, masteliuoto aukščio (rescaled range), metodas4 etapas. Vidurkinimas per segmentus; 5 etapas. Keičiame n.

Santykį R/S vidurkiname per visus segmentus:⟨R(n)

S(n)

⟩=

1

N ′

N ′∑i=1

RiSi∼ nH .

Čia R ir S yra pažymėtos kaip funkcijos nuo n, nes toliau kartojametuos pačius žingsnius su skirtingais n. Pavaizdavę

⟨R(n)S(n)

⟩kaip

priklausomybę nuo n log-log skalėje gausime H.


Šiuolaikiniai metodai

Metodai kuriuos nagrinėsiu:Sukauptos variacijos (aggregated variance),Sukauptos eilutės modulio (modulus of aggregated series),Dispersinės analizės,Higuchi,Betendencių fliuktuacijų analizės (detrended fluctuation analysis).

Kurių neliesiu:Periodogramų metodai,Whittle metodas,Bangelių analize (wavelet analysis) paremti metodai.


Sukauptų laiko eilučių metodai1 etapas. Mažinome laiko eilutės skyrą

Mažiname laiko eilutės ilgį iki N ′ = floor (N/n) taškų vidurkindami:

X(n)(k) =1

n

kn−1∑i=(k−1)n

X(i), ∀k ∈ [1;N ′].


Sukauptų laiko eilučių metodai2 etapas. Taikome statistinio įvertinimo priemonę

Kuri jau priklauso nuo metodo:

VarX(n) =1

N ′

N ′∑k=1

[X(n)(k)− 〈X(n)(k)〉

]2∼ nSvar ,

∣∣∣X(n)∣∣∣ =

1

N ′

N ′∑k=1

∣∣∣X(n)(k)∣∣∣ ∼ nSmod ,

StdDevX(n) =

√VarX(n)

√VarX(n0)

∼ nSdisp .


Sukauptų laiko eilučių metodai3 etapas. Keičiame mastelį, n

Gauti polinkiai: Svar = −1.002, Smod = −0.507, Sdisp = −0.501. Gautos H vertės:Hvar = 1 + Svar

2= 0.499, Hmod = 1 + Smod = 0.493, Hdisp = 1 + Sdisp = 0.499. R/S

metodu: HR/S = 0.514.A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 15 / 28

Higuchi metodas1 etapas. Sukarpome laiko eilutes

Metodo esmė taip pat yra skyros mažinimas, bet ne per vidurkinimą:

Xmn (i) : X(m), X(m+ n), X(m+ 2n), . . .

Šių eilučių ilgis yra 1 +N ′, kur N ′ = floor[N−mn

].


Higuchi metodas2 etapas. Skaičiuojame eilučių “ilgius” skirtingiems masteliams, n.

Eilutės, kurios mastelis n ir pradžia m, ilgis:

Lm(n) =N − 1

n2· 1

N ′

N ′∑i=1

|Xmn (i)−Xm

n (i− 1)| .

Tikimės, kad 〈L(n)〉 ∼ nShig , kur Shig = −D.

Shig = −1.501 ⇒ Hhig = 2 + Shig = 0.499.A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 17 / 28

Kuom šie metodai mums netinka?

Nes mums rūpi S(f) ∼ 1/fβ su β ≈ 1! O esant arti šio taško arbatektų naudoti du skirtingus metodus arba integruoti ar diferencijuoti.


Betendencių fliuktuacijų analizės metodas1 etapas. Laiko eilutės profilio skaičiavimas

Skaičiuojame laiko eilutės, xi,profilį (time series profile):

yi =

i∑k=1

[xk − 〈x〉] .

Dėl tokio apibrėžimo profilis dažnaituri naudingą savybę - bent viena(paskutinė) profilio taško reikšmėyra lygi nuliui.Pradinė profilio vertė dažnai yraartima nuliui.


Betendencių fliuktuacijų analizės metodas2 etapas. Profilio tendencijų pasirinktame mastelyje, n, nustatymas

Padalijame profilį į n dydžio segmentus (N ′ = floor(N/n)), kuriuosenustatome profilio tendencijas, yν(i).


Betendencių fliuktuacijų analizės metodas3 etapas. Fluktuacijų pasirinktame mastelyje įvertinimas

ν-tojo, ν ∈ [1;N ′], segmento kvadratinė fluktuacinė funkcija:

F 2ν (n) =

1

n

n∑i=1

[y(ν−1)n+i − yν(i)

]2.

O jei turime ir segmentų einančių iš profilio pabaigos, ν ∈ [N ′ + 1; 2N ′]:

F 2ν (n) =

1

n

n∑i=1

[yN−(ν−N ′)n+i − yν(i)

]2.

Fluktuacijų vidurkis:

F (n) =√〈F 2

ν (n)〉 ∼ nh.


Betendencių fliuktuacijų analizės metodas4 etapas. Keičiame mastelį

Gauname polinkį: h = 1.52± 0.04. Jis yra susijęs su neigiamu spektropolinkiu: β = 2h− 1. Atitinkamai: H = h− 1 (nestacionaru, h > 1)arba H = h (stacionaru, h < 1).


Tačiau vis dar kažko trūksta...


Apibendrintas aukščio-aukščio koreliacijos metodas

Fq(τ) = 〈|y(t+ τ)− y(t)|q〉1/q ∼ τH(q), q > 0.


Multifraktalinis DFA metodas

Metodas identiškas Betendencių fliuktuacijų analizės (DFA) metodui,bet fliuktuacijų vidurkio išraiška yra sudėtingesnė:

Fq(n) ={⟨

[F 2ν (n)]

q2

⟩} 1q ∼ nh(q), q 6= 0,

F0(n) = exp{

0.5⟨ln[F 2ν (n)

]⟩}∼ nh(0).


Multifraktalinis DFA metodas


Multifraktališkumo kilmė


Ačiū už dėmesį


laiko eiluciu fraktali kumas: hursto laipsnio rodiklis ir jo...

Documents