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L’integrale definito

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L’area di una regione di piano dal contorno curvilineo

Consideriamo l’area della regione di piano delimitata dal grafico di una funzione , continua e

positiva in un intervallo , dall’asse e dalle rette e f (x)

a,b[ ] x x = a x = b

Una tale regione di piano si chiama trapezoide. Indichiamo con S la misura della sua area.


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Per calcolare l’area S del trapezoide, suddividiamo l’intervallo in n parti uguali di ampiezza ∆x.

Approssimiamo l’area cercata mediante la somma delle aree dei rettangoli «inscritti» e «circoscritti»:

a,b[ ]

Le altezze dei rettangoli azzurri sono i valori minimi che la funzione assume in ciascun

intervallo ∆x; le altezze dei rettangoli più grandi sono invece i valori massimi assunti

dalla funzione nei corrispondenti Δx.

E’ intuitivo pensare che l’area S possa essere approssimata (per difetto e per

eccesso) dalla Somma delle aree dei rettangoli così individuati e che tale

approssimazione sia sempre migliore con il crescere del numero n.

Un valore approssimato dell’area cercata può essere dato da:

dove #$ è un generico valore in %; ' .

Al crescere di n il valore della sommatoria approssima sempre meglio

l’area del trapezoide.

Possiamo quindi assumere che sia:

å=

×Dn

iicfx

1

)(

Area del trapezoide =

Questo limite viene indicato con il simbolo che prende il nome di integrale definito tra a e b di f(x)


f x( )a

b

∫ dx

limn→+∞

Δxi=1

n

∑ ⋅ f (Ci )


3

Le proprietà dell’integrale definito

•

Cioè, se gli estremi di integrazione sono uguali, l’integrale definito è nullo.

•

Cioè, scambiando gli estremi di integrazione, l’integrale definito cambia segno.

• Proprietà di linearità

con k ∈ R


f x( )a

b

∫ dx = − f x( )b

a

∫ dx se a > b

f x( )dx = 0a

a

∫

k ⋅ f x( )a

b

∫ dx = k ⋅ f x( )b

a

∫ dx

f x( )+ g x( )⎡⎣ ⎤⎦a

b

∫ dx = f x( )a

b

∫ dx + g x( )dxa

b

∫


4

• Proprietà di additività rispetto all’intervallo di integrazione:


f x( )a

b

∫ dx = f x( )a

c

∫ dx + f x( )dxc

b

∫• Integrale della funzione costante f(x)=k, k numero reale

k dx = k b− a( )a

b

∫


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Teorema della media integrale

• Teorema della media integrale: • Ipotesi: f(x) continua in [a;b]

• Tesi: esiste almeno un punto z in [a;b] tale che: --->

f x( )a

b

∫ dx = b− a( ) ⋅ f z( )

f z( ) =f x( )

a

b

∫ dx

b− aOssia:

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L’integrale definito Il calcolo delle aree

La funzione integrale

Se !(#) è una funzione continua in un intervallo [&, (], possiamo valutare l’integrale definito della funzione ! tra & e un punto # variabile in [&, (].In questo modo:

* # = ,-

.! / 0/

diventa una funzione che rappresenta l’area del

trapezoide tra & e #.

A questa funzione si dà il nome di funzione integrale.

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Il teorema fondamentale del calcolo integrale

La funzione integrale gode di un’importante proprietà: la sua derivata coincide

con la funzione !

Di conseguenza, la funzione integrale " # diventa un primitiva della funzione

! # .

" # = &'

(! ) *) → ", # = ! # ∀# ∈ [0, 2]

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Il teorema fondamentale del calcolo integrale ci dà un modo per calcolare un integrale

definito.

Indicata con !(#) una generica primitiva della funzione %(#), si ha che:

&'

(% # )# = [! , − !(.)]

Questa relazione prende il nome di formula di Newton-Leibniz.

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ESEMPI

1. Calcoliamo ∫"# $# − 1 '$

Troviamo una primitiva ( della funzione ) $ = $# − 1: ∫ $# − 1 '$ = ,-. − $ + 0

( 2 = 2. − 2 + 0 ( 1 = "

. − 1 + 0 quindi ( 3 − ( 1 = 4.

In definitiva:

Poiché la costante c è ininfluente per il calcolo dell’integrale, possiamo ometterla nella scrittura della primitiva.

2. Calcoliamo ∫56 sin $ − cos $ '$

sin x − cos x( )dx0

π

∫ = −cos x − sin x[ ]0π= −cosπ − sinπ( )− −cos0− sin0( ) =1+1= 2

x2 −1( )dx = x3

3+ x + c

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥1

2

=83− 2+ c− 1

3−1+ c

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

2∫ =

43

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Il calcolo di un’area

• Se !(#) è positiva o nulla: %&'( ) = ∫,- ! # .#

Nel caso della figura: ) = ∫,/ ! # .# − ∫/

1 ! # .# + ∫1- ! # .#

• Se !(#) è negativa o nulla: %&'( ) = −∫,- ! # .#

• Se !(#) non è sempre positiva o nulla:

%&'( ) =(somma degli integrali definitidi ! negli intervalli in cui !è positiva o nulla) – (somma degliintegrali definiti di ! negli intervalliin cui ! è negativa o nulla)

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ESEMPIO

Troviamo l’area della regione di piano delimitata dalla parabola di equazione ! = #$ − 4# + 3

nell’intervallo [0, 4].La parabola interseca l’asse delle ascisse nei punti # = 1 e # = 3 ed è negativa

se 1 < # < 3.

L’area richiesta è quindi data da:

∫01 #$ − 4# + 3 2# − ∫1

3 #$ − 4# + 3 2# + ∫34 #$ − 4# + 3 2#

= 13#

3 − 2#$ + 3#0

1− 1

3#3 − 2#$ + 3#

1

3+ 13#

3 − 2#$ + 3#3

4= 43 − −43 + 43 = 4

1 3 4

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L’area della regione definita da due o più curve

Siano !(#) e % # funzioni continue e tali che sia !(#) ≥ % # in tutti i puntidell’intervallo ', ) .

+,-' ./ 0 = 23

4! # .# − 2

3

4% # .# = 2

3

4! # − % # .#

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Se la regione di piano di cui si vuole calcolare l’area è delimitata da più funzioni:

!"#$ %& ' = )*

+, - %- + )

+

/0 - %- − )

*

/ℎ(-) %-

cioè:

!"#$ %& ' = )*

+, - %- + )

+

/0 - %- + )

/

*ℎ - %-

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Questa formula viene anche detta formula circolare in quanto, fissato un punto di partenza, per esempio quello di ascissa !, si calcolano gli integrali definitiche si incontrano percorrendo il contorno della curva che delimita l’area "fino a tornare nel punto di inizio.

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ESEMPIO

Calcoliamo l’area della regione finita di piano delimitata dalle curve

! " = 2 − "& e ' " = "Calcoliamo le ascisse dei punti di intersezione delle due curve risolvendo l’equazione:

2 − "& = " → " = −2 ∨ " = 1

Poiché !(") ≥ '(") nell’intervallo [−2, 1], l’area richiesta è uguale a:

12&

32 − "& 4" −1

2&

3" 4" = 1

2&

32 − "& − " 4" = −13"

6 − 12 "& + 2"

2&

3= 92

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L’area della regione delimitata da una curva e dall’asse !

Nel caso in cui la funzione " abbia come variabile indipendente # si procedecome nel caso precedente.

ESEMPIO

Calcoliamo l’area della regione finita di piano delimitata dalla parabola di equazione

$ = #& + 2# − 3

La parabola interseca l’asse # nei punti di ordinata −3 e 1.

,-./ 01 2 = −345

6#& + 2# − 3 0# = − 1

3#5 + #& − 3#

45

6= 323

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ESEMPIO

Calcoliamo l’area della regione di piano delimitata dall’iperbole di equazione ! = #$%&$'( ,

dall’asse ! e dalla retta ! = 2.

Esplicitiamo l’equazione dell’iperbole rispetto a *:

* = +'&#%+

,-./ = 0%&

& ! + 23 − ! 4! = 0

%&

&−1 + 5

3 − ! 4! = −! − 5 ln(3 − !) %&& = 5 ln 5 − 4

Se la funzione < ha come variabile indipendente * ed è invertibile, prima si scrive l’equazione della funzione in funzione di ! e poi si procede come nel caso precedente.

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L’integrale definito Volume di un solido di rotazione

Il volume di un solido di rotazione

La rotazione attorno all’asse !

Se "($) è una funzione continua in &, ( il volume ) del solido generato da "($)in una rotazione completa attorno all’asse $ è dato dalla formula:

) = + ∫-.[" $ ]12$.

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ESEMPIO

Calcoliamo il volume del solido di rotazione ottenuto dalla rotazione completa attornoall’asse ! della funzione " ! = $

%&

nell’intervallo −2, 2 .

* = +,-%

% 12

%&/! = + − 1

2 ln 2 2 2%& -%

%= 255+32 ln 2 ≈ 36,12

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La rotazione attorno all’asse !

Il volume " del solido generato da #(%), funzione continua in ', ) , in una rotazione completa attorno all’asse * si calcola con la formula:

" = 2- ∫/0 % 1 #(%)2% se #(%) è positiva

" = −2- ∫/0 % 1 #(%)2% se #(%) è negativa

oppure

" = -45

6[8 * ]:2*

con g * = #;<(%) e = = # ' , > = #())

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L’integrale definito Integrali impropri

Gli integrali impropri

Nel calcolo di aree e volumi abbiamo supposto che la funzione !(#) da integrare fosse una funzione continua in un intervallo [&, (] con estremi finiti.

Ora vogliamo generalizzare il concetto di integrale definito nel caso in cui cada unadelle due ipotesi precedenti. In particolare esamineremo cosa accade se:

1. la funzione tende a infinito in uno degli estremi di integrazione o in un punto interno ad &, (

2. uno degli estremi di integrazione o entrambi non sono finiti.

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Il primo caso

Se !(#) non è continua in % e lim)→+, ! # = ∞, se esiste ed è finito

lim/→+ ∫1

/ !(#) 2#

con 3 ∈ 5, % , allora diciamo che !(#) è integrabile in 5, % e poniamo:

71

+! # 2# = lim

/→+,71

/! # 2#

Se invece tale limite non esiste o non è finito diciamo che ! # non è integrabile in 5, % .

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Analogamente, se la funzione !(#) non è continua in % e lim)→+,

! # = ∞, se esiste ed è finito

lim/→+, ∫/

1 !(#) 2#

con ℎ ∈ (%, 6], diciamo che !(#) è integrabile in %, 6 e poniamo:

8+

1! # 2# = lim

/→+,8/

1! # 2#

Se invece tale limite non esiste oppure è infinito diciamo che ! # non è integrabile in %, 6 .

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ESEMPIO

Vogliamo stabilire se è finita l’area della regione di piano delimitata dalla funzione! = ln % nell’intervallo [0, 1].

La funzione tende a −∞ per % → 0..

Calcoliamo allora

lim2→34

52

6ln % 7% = lim

2→34%(ln % − 1) 2

6 = lim2→34

−1 − ℎ ln ℎ − 1 = −1

Poiché il limite ha valore finito e tenendo conto che la funzione è negativa in 0, 1 , possiamo concludere che l’area ha misura finita e vale 1.

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ESEMPIO

Vogliamo stabilire se è finita l’area della regione di piano delimitata dalla funzione! = #

(%&#)( e l’asse ) nell’intervallo [0, 1].

La funzione tende a +∞ per ) → 1&.

Calcoliamo allora

lim6→#7

89

6 1() − 1); <) = lim

6→#71

1 − ) 9

6= lim

6→#71

1 − = − 1 = +∞

Poiché il limite ha valore infinito la funzione non è integrabile in 0, 1 e l’area richiesta non ha valore finito.

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Il secondo caso

Sia !(#) una funzione definita e continua in un intervallo %, +∞ .

Allora, se esiste finito lim-→/0∫2- !(#) 3#, la funzione è integrabile nell’intervallo %, +∞

e poniamo:

42

/0! # 3# = lim

-→/042

-!(#) 3#

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In modo analogo si pongono le definizioni nel caso in cui la funzione:

q è definita nell’intervallo −∞, $ :

&'(

)* + ,+ = lim1→'(

&1

)*(+) ,+

q è definita nell’intervallo −∞,+∞ :

&'(

6(* + ,+ = lim1→'(

)→6(&1

)*(+) ,+

sempre che tali limiti esistano finiti.

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ESEMPIO

Stabiliamo se esiste

!"

#$ 1&' (&

Dobbiamo calcolare:

lim,→#$!"

, 1&' (& = lim,→#$ − 1

2&" "

,= lim,→#$ − 1

21" +18 = 1

8

Quindi

!"

#$ 1&' (& =

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