l’analisi marginale ed il problema della produzione · l’analisi del caso lineare nel piano...
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L’Analisi Marginale ed il problema della produzione
Massimo Paolucci
DIST – Università di Genova
2
Il problema della produzione
Problemi micro-economici delle aziende:• quali prodotti produrre (tra quelli compatibili)
• in quali quantità produrre i prodotti
• se introdurre o meno nuovi prodotti
• come utilizzare le risorse disponibili (limitate)
• a quale prezzo vendere
• ...
Prodotto ⇒ bene o servizio
Il metodo dell’analisi marginale:• non considera la domanda di prodotti
• analizza il processo di offerta dei prodotti
• si basa sulla formalizzazione del processo di trasformazione tecnologica delle risorse in prodotti
• si basa su considerazioni locali e marginali
3Il problema della produzione – la funzione di produzione
La decisione economica circa l’offerta di prodotti richiede la valorizzazione delle risorse e dei prodotti stessi (processo complesso)
L’analisi dell’offerta utilizza un modello semplificato: la funzione di produzione (funzione tecnologica)
Risorse Prodotti
Tecnologia
Processo di
Trasformazione
Funzione di Produzione (FP)Date r risorse e x prodotti, la FP è il luogo dei punti di trasformazione efficiente, ossia dei punti corrispondenti alle massima produzione a parità di risorse
4Il problema della produzione – la funzione di produzione
Caratteristiche della FP x = x(r) (esempi grafici monodimensionali)
• Andamento generale della FP (rendimento del processo di trasformazione)
Non ammissibile
r
x
Ammissibile
x*
r*
x
rendimenti crescenti
r
rendimenti decrescenti
zona di inefficienza
FP convessa FP concava
il problema è significativo in questa zona
5
Il problema della produzione – l’analisi marginale
L’analisi marginale considera la FP x = x(r) monotona crescente e concava (nel seguito considereremo l’analisi di un prodotto)
Prodotto Marginale (MP)• Data la FP x = f(r) (indicata anche con x = x(r) )
• Indica come varia la produzione al variare della risorsa i-ma con le altre risorse fissate
• è una proprietà locale (dipende dal punto r* in cui è calcolato)
x
r
MPf(r)
*riii r
)r(xr
)r(fMP
∂∂=
∂∂=
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Il problema della produzione – l’analisi marginale
Nella zona a rendimenti descrescenti MP è descrescente
La FP considera una tecnologia fissata: per aumentare la produzione a parità di risorse è necessario cambiare la tecnologia
Si produce sempre sulla curva (non si sprecano risorse)
L’andamento della FP considerato:
Nella teoria della produzione l’analisi della FP è effettuata:• sul breve periodo per stabilire la produzione più economica a disponibilità
di risorse fissate
• sul lungo periodo, per determinare la scala ottima di produzione
x
rrmin
f(r)
rmax
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Il problema della produzione – l’analisi marginale
Analisi nel lungo periodo: il Rendimento di Scala
Rendimento di scalaLa variazione della produzione quando variano gli input (risorse) di una quantità proporzionale fissata (r →λr)
• Cambia la scala del processo ma non la tecnologia
• Se f(r) è omogenea di grado m: x0=f(r0) ⇒ λmx0=f(λr0) con λ>1
• Si parla di:Rendimenti crescenti per m>1
Rendimenti costanti per m=1
Rendimenti descrescenti per m<1
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Il problema della produzione – l’analisi marginale
Analisi nel breve periodo: gli Isoquanti di Produzione
Isoquanto di produzioneLe curve nello spazio delle risorse ( r ) corrispondenti ad una produzione costante
• Corrispondono alle proiezioni nello spazio delle r delle curve f ( r ) = K cost.
• Definiscono delle relazioni di sostituibilità tra le risorse (più combinazioni efficienti di risorse per produrre)
r1
r2
x
9
Il problema della produzione – l’analisi marginale
Il Tasso Marginale di Sostituzione (MRS)
• Considerando due risorse
• I punti A e B corrispondono alla stessa produzione x0 ottenuta con una diversa combinazione di risorse
r1
r2
x0
x1
x2
A
B
10
Il problema della produzione – l’analisi marginale
Il Tasso Marginale di Sostituzione (MRS)• Definito sugli isoquanti
• Permette di valutare gli effetti di certi cambiamenti di tecnologia
• Indica di quanto si deve variare l’uso di alcune risorse per mantenere la produzione costante a fronte di una diminuizione dell’uso di altre risorse
• Esprime una proprietà marginale e locale (dipende dal punto r*)
• E’ definito per coppie di risorse
• E’ sempre negativo
r1
r2
x=f(r1,r2)=K
∆r1
A
B
∆r2
∑ ∂∂∂=∂
ii
ir
rf
x
221122
11
rMPrMP0rrf
rrf
0x ∂+∂⇒=∂∂∂+∂
∂∂
⇒=∂
2
1
1
212 MP
MPrr
MRS −=∂∂=
11Il problema della produzione – l’analisi marginale
Il caso lineare (la PL)• Il consumo delle risorse è costante
• La funzione di produzione (singolo prodotto) è una retta così come la sua proiezione nello spazio r
• L’isoquanto per un singolo prodotto è un punto (non c’è sostituibilità)
r1
r2
x
a1r1
a2r2
12
Il problema della produzione – l’analisi marginale
Problema: determinare il livello di produzione ottimale tenendo conto della tecnologia e del costo delle risorse
• Approccio con risorse monetizzabili:stessa unità di misura del prodotto
difficile da applicare (e.g. nel settore pubblico)
massimizzare differenza tra il valore dei prodotti ed i costi delle risorse
La funzione di produzione x = f(r) (f vettoriale)
Valore delle risorse h(r)
Valore dei prodotti (ricavo vendita) v(x)
{ }
)r(fx
)r(h)x(vmaxr,x
=
−
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Il problema della produzione – l’analisi marginale
Problema: determinare il livello di produzione ottimale tenendo conto della tecnologia e del costo delle risorse
• Approccio con risorse non monetizzabili:si risolvono due sottoproblemi (soluzione sub-ottima rispetto al caso precedente)
le funzioni h(r) e v(x) hanno diverse unità di misura
(a) Minimizzazione del valore delle risorse per una produzione x* fissata
(b) Massimizzazione del valore dei prodotti fissato il valore delle risorse
*x)r(f
)r(hminr
=Uso efficiente delle risorse
H*))x(r(h
)x(vmaxx
=
Uso efficace delle risorse
dove r(x)=f-1(x)
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Il problema della produzione – l’analisi marginale
Problema: determinare il livello di produzione ottimale tenendo conto della tecnologia e del costo delle risorse
• Si risolve (a) provando (in teoria) tutti i livelli di produzione possibili, ottenendo i valori minimi delle risorse necessari
• Si risolve (b) per i valori di risorse ottenuti cercando la combinazione di prodotti più vantaggiosa
• Osservazioni:in (b) si può imporre h(r(x*))≤H
la soluzione dei problemi può non essere semplice o attuabile
spesso si risolve uno solo problema: fissato il throughput si ricavano le risorse necessarie
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Il problema della produzione – l’analisi marginale
Soluzione analitica del problema della produzione
• Caso monodimensionale (singolo prodotto)
*x)r(f
)r(hminr
=
))r(f*x()r(hmin,r
−λ+λ
))r(f*x()r(h),r(l −λ+=λ lagrangiana
=⇒=λ∂
∂
=∀=∂∂λ−
∂∂=
∂∂
*x)r(f0l
n,...,1i0rf
rh
rl
iii(risorse)
n+1 equazioni in n+1 incognite
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Il problema della produzione – l’analisi marginale
Soluzione analitica del problema della produzione
• Costo Marginale (MC)Variazione del costo rispetto alle variazione della risorsa i-ma
• La condizione all’ottimo
i
rfrh
i
i ∀
∂∂∂∂
=λ j,i
rf
rh
rfrh
j
j
i
i ∀
∂∂∂∂
=
∂∂∂∂
ii r
)r(hMC
∂∂=
ii r
)r(fMP
∂∂=
*x)r(f
j,iMP
MC
MPMC
j
j
i
i
=
∀=
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Il problema della produzione – l’analisi marginale
Soluzione analitica del problema della produzione• Graficamente
Due risorse con costo lineare: h(r1,r2) = c1r1+c2r2 (c1,c2>0)
Nel punto di tg per piccole variazioni delle risorse non varia nè il prodotto nè il costo delle risorseDomande:
– Qual è l’andamento di h(r) lineare nello spazio?– Cosa succede se h(r) non è lineare?
2
1
2
1MPMP
MCMC =
r1
r2
f(r1,r2)=x*
isoquanto
ottimo
isocostoNel punto di ottimo
18
Il problema della produzione – l’analisi marginale
Soluzione analitica del problema della produzione• Le curve di isocosto
Luogo dei punti dello spazio delle risorse a parità di costo delle risorse
Che significato hanno le isocosto concave o convesse? Cammino di espansione: luogo dei punti nello spazio delle risorse che rappresentano la combinazione ottima (efficiente) delle risorse per produrre il prodottoRappresenta l’evoluzione della produzione quando aumenta (punti soluzione di (b))
r1
r2
isoquanto
Cammino di Espansione
isocosto
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Il problema della produzione – l’analisi marginale
Approfondimenti
• Verificare nel caso di FP monodimensionale il significato dell’ipotesi di concavità della FP
Costi e ricavi lineariCosti lineari e ricavi con saturazione
• Andamento di una FP in più dimensioni (e.g. x=f(r1, r2))concavità efficiente ed andamento degli isoquanti
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L’analisi del caso lineare nel piano delle risorse
Il problema
Ipotesi• Le variabili xj: quantità di uno stesso prodotto prodotte con
tecnologie diverse (processi produttivi)• Coeff. aij: differente uso delle risorse dei diversi processi produttivi• Coeff. cj: guadagni associati ai processi produttivi (ricavi-costi)• Analisi rispetto 2 risorse (possibile l’analisi grafica)
Due problemi• Massimizzare la produzione • Massimizzare il guadagno
0x
bxA
xcmax T
≥≤
21
L’analisi del caso lineare nel piano delle risorse
La funzione di produzione dei processi• Retta nello spazio (e.g., per il processo 1)
• Identifica la combinazione di risorse che permette la realizzazione del processo
• Un esempio con Excel ...
r1
r2
x1
a11
a21
1
===
tx
tar
tar
1
212
111
22
L’analisi del caso lineare nel piano delle risorse
La funzione di produzione dei processi• La proiezione nel piano delle risorse di più processi
• Processi efficienti e processi dominati
r1
r2 x1
a11
a21
1
x2
x3
x41
1
1
a22
a12
r1
r2
a11
a21
x1
x2
1
1a22
a12
regione dominata da x1
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L’analisi del caso lineare nel piano delle risorse
Gli isoquanti• La pendenza delle rette è a2i/a1i
• I punti sulle rette rappresentano i diversi livelli di produzione• Unendo punti sulle rette a parità di produzione si ottengono dei
segmenti che identificano la produzione combinata
• Isoquanti = luogo dei punti a produzione costante⇒ la spezzata che unisce i punti a pari produzione
r1
r2x1
1 x2
x3
1
1
p
a
b
===
tx
tar
tar
1
212
111
===
vx
var
var
2
222
121
+=+=
+=
vtx
vatar
vatar
22212
12111
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L’analisi del caso lineare nel piano delle risorse
Gli isoquanti• Eliminando t e v si ottiene il segmento dell’isoquanto relativo alla
combinazione di x1 e x2
• La curva definisce l’uso delle risorse a produzione fissata• Gli isoquanti sono formati solo dai segmenti che identificano una
combinazione efficienti di coppie di processi
r1
r2x1
1 x2
x31
1
1112
1112122212 aa
xar)aa(xar
−−−+=
+=+=
+=
vtx
vatar
vatar
22212
12111
x1-x3 è dominato da x1-x2 e x2-x3
25
L’analisi del caso lineare nel piano delle risorse
Gli isoquanti• Se si varia il livello di produzione si ottiene una spezzata parallela
r1
r2
x1
1 x2
x31
1
26
L’analisi del caso lineare nel piano delle risorse
Gli isoquanti• Nelle zone A e B la produzione avviene con spreco di risorse
• Le risorse in R:non permettono la produzione x1 di Ppermettono la produzione x1 di Qcon sprecopermettono la produzione x2 di Ncon spreco
r1
r2
x1
1 x2
x31
1B
A
r1
r2
x1
Q
x2P
R
N
27
L’analisi del caso lineare nel piano delle risorse
Gli isoquanti• Nelle zone oltre gli ultimi processi divengono paralleli agli assi
r1
r2
x1
1x2
x31
1
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L’analisi del caso lineare nel piano delle risorse
Il problema della massimizzazione della produzione• Si considera la disponibilità delle risorse• Si identifica l’isoquanto ammissibile associato alla maggior
produzione
Quali sono i processi prodotti?
r1
r2
x1
ottimox2
x3
b2
b1
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L’analisi del caso lineare nel piano delle risorse
Il problema della massimizzazione del guadagno• Si devono costruire le curve di isoguadagno:
ai punti sulle le rette dei processi vengono associati i valori di guadagno (scalando con i coeff. cj)si uniscono i punti a pari guadagno identificando una diversa spezzata
r1
r2
x1
x2
x3
1
C1
1
1 isoquanto
isoguadagno
C2
C3
===
=tcG
tar
tar
)x(guad
11
212
111
1
30
L’analisi del caso lineare nel piano delle risorse
Il problema della massimizzazione del guadagno• Le curve di isoguadagno devono risultare convesse
esempio: x2 non verrà mai prodotto perchè a parità di guadagno
consuma più di x1 e x3
r1
r2
x1
x2
x3
G=1
G=1
G=1
dominata
dominata
31
L’analisi del caso lineare nel piano delle risorse
Il problema della massimizzazione del guadagno• La produzione a guadagno massimo
• Cosa accade se si considera un problema di blending (e.g., la dieta)? ... un esempio con Excel
r1
r2
x1
x2
x3
ottimo
b2
b1
32
L’analisi del caso lineare nel piano delle risorse
Il Simplesso nel piano delle risorse• Consideriamo il problema di Product-Mix con 2 risorse
• Le xj rappresentano diversi processi con cui produrre un prodotto
• I guadagni unitari: cj = p – kj dove
p = prezzo unitario del prodotto
kj costo delle risorse necessarie a produrre un’unità di prodotto con il processo j-mo
pi costo unitario della risorsa i-ma
• La soluzione di base iniziale ⇒ produzione nulla, slack in base
0x
bxA
xcmax T
≥≤
∑=
⋅=m
1iiijj pak
33
L’analisi del caso lineare nel piano delle risorse
Il Simplesso nel piano delle risorse• I passi del Simplesso
Chi entra e chi esce di base ad ogni passo? Perchè?
r1
r2
x1
x3
x2Ottimo
b2
b1A
(soluzione iniziale)
B
ipotesi c1>c2>c3
C
isoguadagno
34
L’analisi del caso lineare nel piano delle risorse
Il Simplesso nel piano delle risorse• I passi del Simplesso
Il ragionamento deve considerare le variabili di slack delle 2 risorse.
• Esercizi...
ipotesi c3>c2>c1
ipotesi c2>c1>c3
r1
r2 x1x3
x2
b2
b1A
r1
r2x1
x3
x2
b2
b1A
35
L’analisi del caso lineare nel piano delle risorse
Il Simplesso nel piano delle risorse• Il Simplesso cerca le nuove soluzioni in modo da aumentare il
guadagno assoluto
• Si sposta verso guadagni marginali decrescenti (ovvero costi marginali delle risorse crescenti)
Ipotizzando il costo lineare h(x) = k1x1+k2x2 si può verificare l’andamento
del costo di una risorsa (e.g., r2) in funzione di x=x1+x2
r1
r2 x1
x2b2
b1O
1
A B
+=+=
21
2221212
xxx
xaxab
il consumo di r2 in A
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L’analisi del caso lineare nel piano delle risorse
Il Simplesso nel piano delle risorseRicaviamo x1 e x2 in funzione di x e verifichiamo la forma di h(x)
r1
r2 x1
x2b2
b1O
1
A B
−−=
−−=
2122
2122
2122
2221
aaxab
x
aabxa
x
in A
=
=
0x
ab
x
2
21
21
h(x)
x
k1
21
2ab
37
L’analisi del caso lineare nel piano delle risorse
Il Simplesso nel piano delle risorseDa A a B x1 e x2 sono entrambe positive e poichè a22-a21<0
r1
r2 x1
x2
b2
b1O
1
A B
2221
2122
2221
2221 aa
xabk
aaxab
k)x(h−
−⋅−−
−⋅=
h(x)
x
k1
21
2ab
a21
a22
“B”
2221
221
2221
122aaka
aaka
−+
−−
coeff. angolare
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L’analisi del caso lineare nel piano delle risorse
Il Simplesso nel piano delle risorse
• h(x) è più ripida andando da A a B, infatti
k2 > k1
c1 > c2 perchè x1 è entrata per prima in base
• il costo marginale cresce andando verso l’ottimo
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La pianificazione della produzione: modelli lineari
Production Planning• definire i livelli di produzione su un orizzonte temporale di N periodi
• nei diversi periodi può variare:la capacità produttiva
i costi di produzione, i costi di magazzino, i costi di set-up
la domanda (con e senza backlogging)
t1 t2 tNz0magazzino
iniziale
zNmagazzino finale
produzione periodo 1 x1
d1
domanda periodo 1
z1
40
La pianificazione della produzione: modelli lineari
Production Planning• Il modello a singolo prodotto:
xi produzione nel periodo i
zi magazzino nel periodo i (fine periodo)
pi costo di produzione nel periodo i
hi costo di inventory nel periodo i
ci capacità produttiva nel periodo i
di domanda nel periodo i
M0 magazzino iniziale( )
N,...,1izx
N,...,1i0z0x
Mz
N,...,1icx
N,...,1idzzx
zhxpmin
ii
ii
00
ii
ii1ii
N
1iiiii
=∈∈
=≥≥
=
=≤
==−+
+
−
=∑
RR
equazioni di continuità (senza backlogging)
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La pianificazione della produzione: modelli lineari
Production Planning• Il modello multi-prodotto:
con t si indica il periodo (t=1,...,N) e con i il prodotto (i=1,...,K)
i costi, la domanda sono riferiti a prodotto e periodo
la capacità è complessiva del periodo (ipotesi)
sit set-up del prodotto i nel periodo t (costo fisso che si produce i in t)
yit var. binaria: se produrre i nel periodo t
Dit produzione massima del periodo t (≈ big-M)
( )
t,iBy,z,x
t,i0z,0x
iMz
iMz
i,tyDx
tcx
i,tdzzx
yszhxpmin
ititit
itit
iTiT
0i0i
ititit
tK
1iit
itit1t,iit
K
1i
N
1titititititit
∀∀∈∈∈
∀∀≥≥
∀=
∀=
∀∀≤
∀≤
∀∀=−+
++
∑
∑ ∑
=
−
= =
RR