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BasesExpressions rationnelles et MSO

Automates finisAutomate deterministe

Automate minimal

Langages formels - Cours 1, 2, 3

Francois Schwarzentruber

ENS Rennes, France

2015

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Automate minimal

Recherche de fichiers

Je veux les

fichiers dont

le nom est

dans le

langage desmots quicontiennentun a

Recherche de fichiers

arosoir.txtboite.txtmiaou.txtidees.txt

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Automate minimal

Idee clef du coursProbleme : un langage peut etre infini{miaou, arosoir , avec , piano, contrebasse, . . . }Solution : utiliser des representations finis

Example (expression rationnelle)donne la morphologie des mots du langage

(a + b + . . . z)∗a(a + b + . . . z)∗

Example (formule de la logique monadique du second ordre)proche de la langue naturelle

mot qui contient un a↓

il existe une position dans le mot ou il y a un a↓

∃x , a(x)

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Automate minimal

D’autres representations

Automates (cours 1 ou 2)

q0

startstart q1

q2 a

ba

a

Grammaires (cours 5?)

S → (S + S)S → (S × S)S → un nombre

(surprise, cours 6?)

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Automate minimal

Enjeu 1 : des algorithmes pour differents problemes

Descriptionfini

un mot

appartient? oui/non

Descriptionfini

langage vide? oui/non

Descriptionfini

langage fini? oui/non

...

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Automate minimal

Enjeu 2 : expressivite

Existe-t-il un langage que l’on peut decrire

avec

une expression rationnelleun automateune formule de MSOune grammaire. . .

mais pas avec


?

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Automate minimal

Enjeu 3 : concision

Existe-t-il un langage que l’on peut decrire

plus succinctement avec


qu’avec


?

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Automate minimal

MotsLangages

Outline

1 BasesMotsLangages

2 Expressions rationnelles et MSO

3 Automates finis

4 Automate deterministe

5 Automate minimal

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Automate minimal

MotsLangages

Outline

1 BasesMotsLangages


3 Automates finis


5 Automate minimal

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Automate minimal

MotsLangages

L’ensemble des mots est un monoıde

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Automate minimal

MotsLangages

Exemple de morphisme de monoıdes

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Automate minimal

MotsLangages

Outline

1 BasesMotsLangages


3 Automates finis


5 Automate minimal

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Automate minimal

MotsLangages

Langage

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Automate minimal

Expressions rationnellesLogique monadique du second ordre

Outline

1 Bases

2 Expressions rationnelles et MSOExpressions rationnellesLogique monadique du second ordre

3 Automates finis


5 Automate minimal

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Automate minimal


Outline

1 Bases


3 Automates finis


5 Automate minimal

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Automate minimal


Syntaxe/semantique

Syntaxe

(ce que l’on ecrit dans un logiciel pour

representer un langage)

Semantique

(ce que l’on veut representer)

a∗b

(a ∪ b)

(a ∪ b)∗

(b ∪ a)∗

{anb | n ∈ N}

{a, b}

{a, b}∗

{anbn | n ∈ N}

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Automate minimal


Outline

1 Bases


3 Automates finis


5 Automate minimal

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Automate minimal


Syntaxe/semantique

Syntaxe

(ce que l’on ecrit dans un logiciel pour

representer un langage)

Semantique

(ce que l’on veut representer)

∃x, a(x)

∀x, a(x)

{w1 . . .wn | n ∈ N et il existe i , wi = a}

{an | n ∈ N}

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Automate minimal

MotivationDefinitionsTheoreme de KleeneLemme de pompage

Outline

1 Bases


3 Automates finisMotivationDefinitionsTheoreme de KleeneLemme de pompage


5 Automate minimal19 / 57



Automate minimal


Outline

1 Bases







Automate minimal


Motivation 1 : Outil central pour l’expressivite

Meme expressivite

Automates finis

MSO Expressions rationnelles

Montrer que {anbn | n ∈ N} n’est pas rationnel

Stabilite par ∩, par complementaire

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Automate minimal


Motivation 2 : Outil central pour l’algorithmique

automatefini

un mot

appartient oui/non

automatefini

langage vide? oui/non

automatefini

langage fini oui/non

...→ utiliser des algorithmes sur les graphes.

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Automate minimal


Motivation 3 : abstraction d’un programme

Example (Editeur de texte)

j’ecris

startstart

selectionen cours

selectiondrag &drop

appui lettre

bouger souris

bouger souris

appuilettre,clic

boutonsourisenfonce

boutonsourisenfoncesur rien

boutonsourisrelache

boutonsouris en-fonce surselection

bouton relache

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Automate minimal


Motivation 4 : automate = systeme d’equations lineaires

Example

q0

startstart q1

q2 a

ba

a

q0 = aq1 + aq2

q1 = ε+ bq1

q2 = ε+ aq2

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Automate minimal


Discussion : des expressions rationnelles aux automates

On sait construire des automates pour L(∅), L(ε), L(a) :

q0

startstart

q0

startstart

q0

startstart

q1a

. . .

Comment construire un automate pour L(e1 ∪ e2) ?a partir d’automates de L(e1) et L(e2) ?

Solution : on utilise des ε-transitions.

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Automate minimal


Automate non-deterministe avec ε-transitions

q0

startstart

q1 q2

q3 q4

ε

ε

a

b

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Automate minimal


Outline

1 Bases







Automate minimal


Definition d’un automate non-deterministe avecε-transitions

1start

2 3

b εa

aa, b

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Automate minimal


Outline

1 Bases







Automate minimal


Des expressions rationnelles aux automates ?

Comment a partir d’automates pour L(e1), L(e2)

Ae1

start

Ae2

start

on construit des automates pour L(e1 + e2), L(e1; e2) et L(e∗1 ) ?

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Automate minimal


Des automates aux expressions rationnelles ?

automatenon-deterministea 3 etats

automategeneralise a5 etats




expressionrationnelle

a. b.

b.

b.c.

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Automate minimal


Automate ‘hybride’ : automate generalise

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Automate minimal


Suppression d’un etat

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Automate minimal


Outline

1 Bases







Automate minimal


Lemme de pompage

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Automate minimal

MotivationsAutomate deterministeDeterminisation

Outline

1 Bases


3 Automates finis

4 Automate deterministeMotivationsAutomate deterministeDeterminisation

5 Automate minimal

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Automate minimal


Outline

1 Bases


3 Automates finis


5 Automate minimal

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Automate minimal


Motivations

Calculer un automate qui reconnaıt le complementaire

q0

startstart q1

q2

a

a=⇒

q0

startstart q1

q2

a

a

Une execution unique pour un mot donne.

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Automate minimal


Outline

1 Bases


3 Automates finis


5 Automate minimal

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Automate minimal


Definition

q0

startstart q1

q2

a

b

q3

a, b

a, b a, b

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Automate minimal


Definition

q0

startstart q1

q2

a

b

q3

a, b

a, b a, b

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Automate minimal


Passage au complementaireA

q0

startstart q1

q2

a

b

q3

a, b

a, b a, b

A

q0

startstart q1

q2

a

b

q3

a, b

a, b a, b

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Automate minimal


Outline

1 Bases


3 Automates finis


5 Automate minimal

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Automate minimal


Determinisation

1start

2 3

b εa

aa, b

Je suis dans 1 ou dans 3 ;

Puis si je lis b, je suis dans 2 ;

Puis si je lis a, je suis dans 2 ou dans 3 ;

...

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Automate minimal


Bilan

Expressionrationnelle

stabilite par., ∪, ∗

MSOproche de lalangue naturelle

Automate non-deterministe avecε-transitions

stabilite par ∩ (produit)

lemme de pompage

Automate non-deterministe sansε-transitions

Automatedeterministe

stabilite parcomplementaire

( )

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Automate minimal

Idee generaleQuotientAutomate des residuelsAlgorithme de Moore

Outline

1 Bases


3 Automates finis


5 Automate minimalIdee generaleQuotientAutomate des residuelsAlgorithme de Moore

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Automate minimal


Motivation

Application en analyse lexicale

Expressionrationnelle

Thomson etdeterminisation

automatedeterministecomplet (outous les etatssont accessibles)

Minimisation

automatedeterministeminimal

En fait... il est unique (a isomorphisme pres).

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Automate minimal


Idee generale de la preuve de l’unicite

A ∼iso

automatequotientA/∼

∼iso

automatedes residuelsAL

A minimal

tous les etats de A sont ac-

cessibles depuis l’etat initial

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Automate minimal


Outline

1 Bases


3 Automates finis



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Automate minimal


Quotient

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Automate minimal


Congruence

q δ(q, a)

q′ δ(q′, a)

a

a

∼ ∼

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Automate minimal


Outline

1 Bases


3 Automates finis



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Automate minimal


Quotient d’un automate minimal...

A ∼iso


∼iso


A minimal



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Automate minimal


Outline

1 Bases


3 Automates finis



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Automate minimal


Residuel

Example (Palindromes, (aaba)−1L)

0010

0100101001110100110110100...

Si on est dans un automate pour L et qu’on a lu 0010, c’estl’ensemble des mots qui nous menent dans un etat final.

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Automate minimal


Automate des residuels

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Automate minimal


Outline

1 Bases


3 Automates finis



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Automate minimal


Quotient = automate des residuels

A ∼iso


∼iso


A minimal



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Automate minimal


Outline

1 Bases


3 Automates finis



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Automate minimal


Algorithme de Moore

Q \ F F

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Automate minimal


Algorithme de Moore

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Automate minimal


Algorithme de Moore

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Automate minimal


Algorithme de Moore

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Automate minimal


Algorithme de Moore

expressionreguliere

automatenon-deterministeavec ε-transitions

automatedeterministecomplet A(ou tous lesetats sontaccessibles)

∼0 ∼1 ∼2∼3

(stabilisation)

automateminimal A∼3

expToAutdeterminisation

a.b. b. b.

c.

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