laporan gelombang dalam ruang 2 dan 3 dimensi.doc
TRANSCRIPT
Gelombang Optik
BAB II
PEMBAHASAN
Semua gejala gelombang yang telah dibahas, sejauh ini merupakan
peristiwa fisis yang memenuhi persamaan gelombang bebas dalam ruang satu
dimensi (R1), kita bisa memisalkan dengan gelombang pada tali. Dengan
mengikat salah satu ujung tali pada sebuah tiang dan memegang ujung tali yang
lainnya. Selanjutnya sentakkan ujung tali tersebut. Setelah ujung tali disentakkan,
akan timbul pulsa gelombang yang merambat sepanjang tali tersebut. Dalam hal
ini, persamaan diferensial umum gelombang memenuhi persamaan,
- = 0 …………………………………………...(1)
yang menyatakan gelombang merambat pada arah x dengan laju v.
Namun, kecuali dalam medium berdimensi satu seperti pada tali,
gelombang terjadi dalam ruang bebas pada umumnya memenuhi persamaan yang
berbentuk lebih umum, tergantung dari dimensi mediumnya.
Pada gelombang dua atau tiga dimensi sering berhubungan dengan muka
gelombang. Seperti pada riak air saat menjatuhkan sebuah batu ke dalam
genangan air. Ketika batu mengenai genangan air maka akan muncul riak atau
gelombang air yang berbentuk lingkaran yang menyebar keluar dari pusat
lingkaran. Lingkaran riak tersebut dikenal dengan nama muka gelombang. Muka
gelombang yang bentuknya hampir lurus dikenal dengan julukan gelombang
bidang. Contohnya gelombang laut. Ketika mendekati garis pantai, bentuk muka
gelombang laut biasanya hampir lurus. Jika gelombang dua atau tiga dimensi
menemui suatu penghalang maka gelombang tersebut akan dipantulkan.
Misal untuk berdimensi dua (R2), seperti gelombang selaput tipis,
gelombang permukaan air, persamaan (1) dapat dikembangkan menjadi
…………………………………..(2)
yang menyatakan gelombang merambat pada arah x dan y dengan laju v.
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 1
Gelombang Optik
Begitu juga untuk gelombang pada medium berdimensi tiga (R3), seperti
gelombang silinder, dan gelombang bola, persamaan umum gelombangnya
memenuhi persamaan
…………………...(3)
Secara umum bentuk umum persamaan gelombang yang memenuhi ketiga
persamaan di atas dapat dituliskan sebagai
…………………………………………………...(4)
dengan 2 adalah operator Laplace
…………………………………………...(5)
…………………………………………………...(6)
Sedangkan dengan menggunakan transformasi sistem koordinat persamaan
gelombang pada persamaan (2) dan (3) dapat dipandang sebagai gelombang yang
merambat dalam medium satu dime nsi, misal sepanjang r, dengan r memenuhi
hubungan (6). Bentuk dan solusi gelombang baik pada ruang dua maupun tiga
akan dibahas juga lebih mendalam pada bab ini.
2.1 GELOMBANG DATAR HARMONIK DAN VEKTOR PROPOGASI
Dalam bentuk sinusoidal, fungsi gelombang datar harmonik satu dimensi
yang merambat sepanjang sumbu-X dengan laju v
(x,t)=osin(kx-t) …………………………………………………...(7)
Bentuk fungsi ini sebagai solusi persamaan gelombang datar harmonik
satu dimensi ini dapat dikembangkan untuk solusi gelombang datar harmonik dua
dan tiga dimensi dalam batasan umum sistem koordinat kartesian XYZ, menurut
hubungan (6) dan
…………………………………………………...(8)
Bentuk kx pada persamaan (7) sebenarnya adalah ungkapan dari
…………………………………………...(9)
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 2
Gelombang Optik
dengan adalah vektor propogasi, menyatakan jumlah fasa radian per satuan
perpindahan sepanjang arah propagasinya, artinya kx, ky, dan kz berturut-turut
adalah jumlah fasa radian per satuan perpindahan sepanjang sumbu-X, sumbu-Y
dan sumbu-Z.
Dengan menggunakan hubungan (9), maka persamaan (7) dapat
dinyatakan sebagai fungsi gelombang untuk medium dua dan tiga dimensi
…………….(10)
Dengan (x,y) dan (kx, ky) untuk medium dua dimensi, dan (x,y,z) dan (kx, ky,
kz) untuk medium tiga dimensi. Dalam hal ini, fasa gelombangnya, ( ,t)
memenuhi
( ,t)=
Berdasarkan konsep muka
gelombang (wavefront) dari Huygens, menyatakan pada t tertentu tempat-
tempat tertentu dengan fasa ( , t) yang sama akan mendefinisikan sebuah
bidang seperti ditunjukan pada Gambar 1, sehingga
d ( ,t)=0 ………………………………………………………….(11)
yang terjadi hanya jika , yang artinya
(a) (b)
Gambar 1. (a) Muka Gelombang dan Arah Rambat Gelombang Datar,
(b) Tempat Kedudukan Ujung Vektor r yang Memenuhi Syarat
= Konstan pada t Tertentu (Suardana, 2002)
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 3
trktr o sin),(
k
r
r’
Gelombang Optik
Adapun kecepatan fasa gelombang, u, adalah
……………………….…………(12)
Dengan
…………………………………….……….(13)
Contoh Soal 1:
Tinjau kembali persamaan gelombang dua dimensi (persamaan 2).
a. Dengan melakukan trasformasi koordinat dari sistem koordinat Kartesian
ke dalam sistem koordinat polar, bentuk persamaan gelombang tersebut
dapat dinyatakan sebagai
b. Tunjukan bahwa adalah solusi umum dari
persamaan gelombang di atas.
c. Interpretasikan fungsi gelombang pada b).
Penyelesaian:
a. Gunakan hubungan
untuk merubah 2 (x,y) 2(r). Lakukan perhitungan seperti persamaan
(53), dan akan diperoleh bentuk persamaan gelombang seperti pada soal.
b. Substitusi ke dalam persamaan gelombang yang
dimaksud, dan hasilnya akan ditemukan kembali persamaan gelombang
tersebut
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 4
kdtrdu
222zyx uuuu
Gelombang Optik
c. Menurut pengertian kecepatan fasa yang telah diuraikan di atas,
gelombang pada b), mempunyai cepat rambat dan amplitudo yang sama
dalam semua arah (tak bergantung pada ) pada permukaan medium.
Gelombang ini mempunyai muka gelombang (kr=konstan) yamg berupa
lingkaran (disebut gelombang sirkular). Gelombang ini sering disebut
gelombang riak pada permukaan air yang timbul akibat lemparan batu
kecil ke dalam air tersebut.
2.2 GELOMBANG PERMUKAAN PADA ZAT CAIR
Perambatan gangguan pada medium cairan dalam bentuk gelombang
permukaan terjadi karena pengaruh gaya gravitasi (g) terhadap kolom-kolom
vertikal larutan dan efek tegangan permukaan. Untuk gerakan yang tak berolak
dan tak termampatkan, dapat ditelaah persamaan diferensial dengan penyelesaian
yang menampilkan suatu gelombang yang ciri-cirinya bergantung pada ke
dalaman cairan (h) dan besar kecilnya tegangan permukaan (T). Dalam
gelombang pada permukaan air berlaku sifat-sifat sebagai berikut (Ramalis,
2003):
a. Non viskositas, karena pengaruh gaya internal dalam zat cair diabaikan;
b. Amplitudo gelombang relatif lebih kecil dibandingkan dengan panjang
gelombangnya;
c. Gaya-gaya yang bekerja hanyalah gaya gravitasi dan tegangan permukaan;
d. Inkompresibel, volume tidak berubah karena perubahan tekanan jadi rapat
massanya konstan.
Tinjau suatu cairan yang tak termampatkan ( tetap) dalam suatu
akuarium, seperti Gambar 2. Dalam penelahannya, akan melibatkan koordinat x
(arah perambatan) dan y (tinggi permukaan dari dasar kolam) untuk koordinat
ruangnya (kasus dua dimensi). Unsur cairan yang terletak di (x,y) mempunyai
kecepatan lokal v berkomponen (vx,vy) yang memenuhi persamaan tak berolak dan
persamaan kekontinuan sebagai manifestasi hukum kekekalan massa
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 5
y=0
h
Gelombang Optik
…………………………..
(14)
Persamaan kontinuitas memberikan
………………………………………….(15)
untuk tetap , diperoleh
………………………………………….(16)
Dengan menggunakan hubungan (14) diperoleh
konstan ………………………………………….(17)
Sedangkan hubungan : memberikan
………………………………………….(18)
dengan (x,y;t) adalah fungsi potensial. Akibatnya persamaan (16) dapat ditulis
kembali sebagai
=0 …………………………………………………….(19)
Gambar 2. Bentuk Sinusoidal Gelombang Permukaan Air (Suardana, 2002)
Apabila tekanan pada kedalaman y dan posisi perambatan x dalam cairan
adalah p(x,y;t), maka menurut hukum II Newton, persamaan gerak untuk
subvolume cairan V adalah
………………………………….(20)
Yang merupakan resultan dari gaya volume (gravitasi) dan gaya permukaan di
perbatasan S volume V
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 6
dasar kolam
x=-L/2 x=0 x=L/2
Gelombang Optik
………………………………………….(21)
Dengan menggunakan teorema Gauss, suku terakhir persamaan (21) dapat ditulis
sebagai
……………………………………….…(22)
dan mengingat dan persamaan (18), maka persamaan (21) dapat ditulis
sebagai
…………………….……………(23)
Untuk subvolume yang dipilih sembarang, diperoleh
, (c dapat diambil=0) ………………………….(24)
Gelombang pada kedalaman y bergerak ke arah x dengan fungsi
gelombang yang memeiliki simetri translasi ke arah sumbu Z. Bila unsur cairan
yang terletak di (x,y) pada saat t mengalami ayunan ke arah sumbu Y dengan
simpangan (x,y,t), maka pada unsur di permukaan cairan dengan kedalaman y=0
dan tekanan po berlaku
………………………………….(25)
sedang pada kedalaman y,
……………………………….…(26)
Dengan mengatur bentuk dapat diusahakan agar suku po tak muncul, sehingga
………………………………………….(27)
Untuk simpangan vertikal yang kecil di permukaan cairan, turunan parsial ke
waktu yaitu /t = kecepatan vertikal ayunan di permukaan = (/y)y=0 ,
sehingga dengan memanfaatkan kaitan ini dan mendeferensial persamaan (27) ke
t, diperoleh
………………………………………….(28)
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 7
Gelombang Optik
Peninjauan di atas, tanpa memperhitungkan efek tegangan permukaan
cairan (T). Selanjutnya pada pembahasan berikut ini efek tegangan permukaan
akan diperhitungkan. Tinjau suatu segmen luas permukaan cairan berbentuk
segiempat lengkung ABCD berousat di titik O dan tepi s1=R11, s2=R22
(Gambar 3), dengan R1 dan R2 adalah jejari kelengkungan lengkung l1 dan l2 yang
saling tegak lurus di permukaan dan masing-masing tegak lurus pada sumbu Z dan
sumbu X. Sumbangan gaya pada unsur cairan di O akibat tegangan permukaan T
cairan mempunyai arah vertikal sebesar
FT= -2T s2 sin (1/2)-2Ts1sin (2/2)
Untuk , maka sin () tan(), maka
FT -Ts1 s2(R1-1+R2
-1) ………………………………….(29)
Gambar 3. Gaya Tegangan Permukaan pada Unsur ABCD di Permukaan Cairan
Efek tekanan yang mengakibatkan tegangan permukaan ini besarnya
pT=Ftm/s1s2 = -T (R1-1+R2
-1) ……………………………….…(30)
Apabila =(x,z) adalah persamaan untuk luasan permukaan cairan yang
melengkung, maka persamaan (30) dapat ditulis
……………………………………….…(31)
Karena lengkungan hanya terjadi ke arah sumbu X ( akibat simetri
translasi ke arah sumbu Z), maka turunan parsial kedua ke z lenyap, sehingga
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 8
Gelombang Optik
suku yang harus ditambahkan ke ruas kiri persamaan (25) adalah , dan
pada syarat batas di permukaan (y=0), persamaan ini akan menjadi
……………….…(32)
Untuk sembarang y, peubah potensial (x,y,t) memenuhi persamaan
Laplace (19). Selain syarat batas (24) di dasar kolam (y=-h), berlaku syarat batas
. Selanjutnya akan ditinjau suatu penyelesaian yang berbentuk suatu
gelombang potensial selaras yang merambat ke arah sumbu X dengan frekuensi
sudut , bilangan gelombang k, dan kecepatan fase u = /k. dalam bentuk fungsi
cosinus, fungsinya memenuhi persamaan
(x,y,t)=Ay cos (kx-t) ……………………………….…(33)
Dengan memperhatikan persamaan (19) terhadap persamaan (33) diperoleh
Atau
………………………………………………….(34)
Solusi persamaan (34) dapat dicari dengan mengalikan persamaan (34) dengan
faktor 2.dAy, kemudian mengintegrasinya, diperoleh
………………………………………….(35)
Dengan A0 adalah A(y=0), diperoleh dari hasil integrasi pertama. Dengan
menggunakan hubungan Ay+=Aocosh, maka
……………………….....(36)
Sehingga diperoleh
Sehingga
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 9
Gelombang Optik
Ay=Aocosh(ky+o)
Dengan demikian bentuk eksplisit fungsi potensial (33) adalah
(x,y,t)= Aocosh(ky+o) cos (kx-t) ……………………….…(37)
Untuk dipermukaan cairan (y=0) penerapan persamaan (32) memberikan
………….(38)
Yang akan menghasilkan kaitan dispersi gelombang permukaan
……………………………….…(39)
Untuk kh1 (gelombang permukaan dalam kolam yang dalam), maka
tanh (kh)1, yang memebrikan kaitan dispersi
…………………………………………………(40)
Sedangkan untuk kh1 (gelombang permukaan dalam kolam yang dangkal),
maka tanh (kh) kh, yang memberikan kaitan dispersi
………………………………………….(41)
Untuk gelombang permukaan sangat pendek, suku pertama pada
persamaan (40) dapat diabaikan, sehingga dapat diperoleh gelombang beriak atau
gelombang kapiler dengan kecepatan fasa v= , yamg dijumpai apabila suatu
angin sepoi bertiup di atas permukaan cairan atau pada suatu cairan dalam bejana
yang mengalami suatu getaran berfrekuensi tinggi dan amplitudo kecil. Dalam hal
ini makin panjang , makin lambat perambatannya.
Pada perambatan gelombang panjang dalam kolam yang dangkal, maka
suku tegangan permukaan pada persamaan (41) dapat diabaikan, sehingga untuk
jenis gelombang ini tidak ada dispersi gelombang, kecepatan fasa v= . Di
pinggir lautan yang landai di mana kedalaman laut h naik dengan makin
menjauhnya air laut dari tepi laut (x makin besar) sesuai dengan kaitan h=
x.tan(), dengan adalah sudut lereng dasar laut, maka gelombang dari laut yang
bergerak menuju pantai akan bergerak makin lambat. Ini akan mengakibatkan
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 10
)tanh(3
2 khTkgk
Gelombang Optik
akan mengakibatkan lebar paket gelombang menjadi makin sempit dan semakin
tinggi sewaktu mendekati pantai (agar supaya tenaga yang dibawa gelombang
tetap terangkut) sampai pada suatu ketika gelombang menjadi tak stabil dan
puncaknya terdorong ke depan untuk akhirnya pecah berderai.
Contoh Soal 2:
Tentukan kecepatan group vg(=d/dk) dari gelombang permukaan dalam
kolam yang dalam (kh1) dan untuk gelombang permukaan dalam kolam yang
dangkal (kh1), untuk kasus T kecil.
Penyelesaian:
Untuk gelombang permukaan dalam kolam yang dalam, hubungan dispersi
memenuhi persamaan (40). Untuk kasus T kecil suku kedua pada persaaan ini
dapat diabaikan, sehingga
Sedangkan gelombang permukaan dalam kolam yang dangkal, hubungan
disperse memenuhi persamaan (41). Untuk kasus T kecil suku kedua pada
persaaan ini dapat diabaikan, sehingga
2.3 GELOMBANG SILINDER
Tinjau kembali persamaan gelombang tiga dimensi (3). Bila fungsi
gelombang mempunyai simetris terhadap sumbu Z maka fungsi gelombang pada
persamaan (3) ini merupakan fungsi gelombang silinder. Gelombang silinder
tiga dimensi dapat dipandang sebagai gelombang berdimensi satu dalam koordinat
ruang , yang diperoleh melalui transformasi koordinat kartesian (XYZ) ke sistem
koordinat silinder (, z, ), menurut hubungan
…………………(42)
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 11
r
Z
X
Gelombang Optik
(a) (b)
Gambar 4. (a) Muka Gelombang Arah Rambat Gelombang Silinder, (b) Sistem
Koordinat Silinder (Suardana, 2002)
Persamaan (42) memberikan,
Hubungan ini akan memberikan
………...(43a)
………...(43b)
………………………………………...(43c)
Dengan menjumlahkan persamaan (43), diperoleh
………………………….(44)
Sehingga persamaan (3) menjadi
………………………….(45)
Yang merupakan bentuk umum persamaan gelombang silinder. Untuk mencari
solusi persamaan (45), bentuk persamaan (45) dapat diubah menjadi
………………………….(46)
Suku pertama persamaan (46) ini dapat diganti dengan
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 12
0),(11
2
2
22
2
ttv
S
Gelombang Optik
………………………………….(47)
Dengan suku kedua yang dapat diabaikan sumbangannya untuk nilai yang besar
(di daerah asimtot ). Oleh karena itu untuk tempat yang sangat jauh dari
sumbu silinder, persamaan (46) asimtotis ke bentuk
……………….…(48)
Sehingga solusi asimtotis untuk gelombang silinder berbentuk
Atau
………………………(49)
2.4 GELOMBANG BOLA
Berikut akan dibahas gelombang dalan ruang tiga dimensi yang fungsi
gelombangnya mempunyai simetri bola (sferis),
= f(r,t) ………………………………………………….(50)
dengan r adalah jarak dari titik sumber getaran (O) ke titik pengukuran, seperti
ditunjukan pada Gambar 5.
Terhadap arah pemancaran, gelombang ini bersifat isotrop. Persamaan
diferensialnya tetap diberikan oleh persamaan (3) juga, hanya operator 2 harus
dapat dinyatakan dalam koordinat r saja.
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 13
tkft ),(
tkft
1),(
Gelombang Optik
Gambar 5. Gelombang Bola (Suardana, 2002)
Transformasi operator derivatif Kartesian (x,y,z) ke operator derivati r
dapat dicari dengan menggunakan kaitan
r2= x2+y2+z2 ………………………………………………….(51)
Yang memberikan
………………………………………….(52)
Jadi
………...(53a)
………...(53b)
………...(53c)
Dengan demikian maka persamaan gelombang yang bersimetri bola
tersebut berbentuk
………………………….(54)
Solusi persamaan (54) dapat dicari, terlebih dahulu dengan mengubah bentuk ini
menjadi
Atau
……………………………….....(55)
Yang mempunyai solusi
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 14
0),(122
2
22
2
tr
tvrrr
Gelombang Optik
Atau
…………………(56)
Penyelesaian yang pertama melukiskan suatu gelombang bola
yang memancar ke luar dari pusat O secara isotrop, sedangkan penyelesaian kedua
melukiskan gelombang yang menyusut masuk dan terserap di O.
Jadi pada gelombang bola, amplitudo gelombang yaitu Ao/r atau Bo/r,
berkurang dengan bertambahnya jarak r. Sedangkan intensitas gelombang yang
ditentukan oleh kuadrat modolus amplitudo, akan berbanding terbalik dengan
kuadrat r. Di tempat yang jauh dari sumber gelombang (r), kepingan
permukaan sefase yang berbentuk sebagian dari luasan bola dapat dianggap
sebagai suatu kepingan bidang datar meliputi nilai r tetap, yang berarti bahwa di
sekitar titik yang jauh gelombang bola dapat didekati dengan gelombang datar.
Contoh Soal 3:
Sebuah stasiun radio memancarkan gelombang sferis (bola) berdaya 50
kWatt.
a. Tentukan intensitas gelombang 2 km dari stasiun dengan mengandaikan
radiasi pancaran yang isotrop.
b. Berapa jarak terjauh dari stasiun yang masih memungkinkan pemanfaatan
pesawat penerima radio yang mempunyai intensitas terkecil yang dapat
dideteksi sebesar 3W/m2
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 15
)(),( tkrftrr
)(1)(1),( tkrgr
tkrfr
tr
Gelombang Optik
Penyelesaian:
a. Intesitas gelombang bola (I) didefinisikan sebagai jumlah daya (P)
persatuan luas bola (A) yang sampai pada suatu titik yang berjarak r dari
pusat bola. Dengan menganggap pancaran bersifat isotrop, diperoleh
I= =
b. Daya yang sampai pada suatu titik adalah tetap, berarti
(I1=I=1mWatt/m2, r1=2 km)
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 MODULASI GELOMBANG
Modulasi merupakan proses mengubah-ubah parameter suatu sinyal (sinyal
pembawa atau carrier) dengan menggunakan sinyal yang lain (yaitu sinyal
pemodulasi yang berupa sinyal informasi (Susilawati, 2009). Sinyal informasi
dapat berbentuk sinyal audio, sinyal video, atau sinyal yang lain. Melalui
modulasi, karakteristik gelombang kedua dapat ditimpangkan pada gelombang
pertama, dan kemudian dipisahkan kembali bila diperlukan. Dalam teknik
komunikasi, gelombang atau sinyal pita dasar, baseband pada umumnya
dikirimkan kepada sasaran yang berjarak jauh dengan memodulasi suatu
gelombang pembawa, carrier wave, berfrekuensi dan berdaya relatif tinggi.
Dalam komunikasi, teknik modulasi memiliki beberapa keuntungan sebagai
berikut lain (Suardana, 2002).
1) Memungkinkan pengiriman sinyal lemah dengan membonceng gelombang
pembawa yang berdaya tinggi
2) Reduksi ukuran antena karena pengiriman sinyal dilaksanakan melalui
gelombang pembawa yang memiliki frekuensi tinggi (panjang gelombang
pendek)
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 16
Gelombang Optik
3) Memungkinkan pengaturan dan alokasi daerah pada frekuensi terpisah
bagi penyaluran sejumlah sinyal secara serempak melalui medium sama
4) Memungkinkan pergeseran frekuensi sinyal kepada daerah yang frekuensi
yang lebih mudah diolah oleh peralatan tersedia.
2.1.1 Modulasi Double Side Band (DSB)
Pada modulasi DSB, gelombang pembawa pada umumnya berbentuk
gelombang sinusoidal yaitu:
tt ccc cos ............................................................................…….(1)
Andaikan gelombang modulasi (gelombang signal) juga berbentuk
sinusoidal yang dinyatakan dengan persamaan:
tt mmm cos ...................................................................................(2)
Maka hasil modulasi dapat diperoleh dari operasi perkalian (mixing)
dari persamaan (1) dan (2).
ttt mcDSB
tt mmcc coscos
tt mcmcmc coscos21
.....................................(3)
yang menghasilkan perluasan frekuensi sebesar mc pada dua sisi
samping (side band). Representasi kawasan frekuensi untuk masing-masing
gelombang pada persamaan (1), (2), (3) dapat diperoleh dengan Transformasi
Fourier, yaitu:
mmmm
cccc
gg
mcmc
mcmcmcDSBg
...........................(4)
Dari gambaran spektrum di atas terlihat bahwa akibat modulasi sebagai
translasi frekuensi gelombang modulasi sejauh c dari m menjadi mc .
Efek modulasi DSB dalam kawasan frekuensi sebagaimana diuraikan di atas
diperjelas dalam gambar 2.
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 17
(c)
(b)
(a)
Gelombang Optik
Gambar 1. Ilustrasi hasil modulasi DSB dalam kawasan t dan ω. (a) Gelombang
modulasi; (b) Gelombang Pembawa; (c) Gelombang DSB
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 18
)0(21
mc gg (ω- ωc)g (ω+ ωc)
USBLSB
(a)
(b)
Gelombang Optik
Di samping itu, akibat modulasi lebar pita gelombang DSB menjadi 2
kali gelombang signal, namun amplitudonya menjadi ½ kalinya, seperti
ditunjukan gambar 3. Pelebaran pita tersebut berhubungan dengan munculnya
komponen pada kedua sisi c yang disebut pita sisi atas (USB) dan pita sisi
bawah (LSB). Terlihat pada gambar 3, lebar pita transisi B untuk gelombang
DSB sama dengan 2 kali lebar pita gelombang signal.
mB 2 ......................................................................................................(5)
Gambar 2. Ilustrasi akibat modulasi DSB dalam kawasan frekuensi, (a)
Spektrum signal; (b) Spektrum gelombang DSB
Daya rata-rata N yang diteruskan yaitu:
...............................................................................................(6)
Dengan mensubsitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (6) diperoleh daya
rata-rata signal DSB,
................................................................................................(7.a)
dengan
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 19
Gelombang Optik
...........................................(7.b)
........................................(7.c)
2.1.2 Modulasi Amplitudo
Pada modulasi amplitudo besarnya amplitudo sinyal pembawa akan
diubah-ubah oleh sinyal pemodulasi sehingga besarnya sebanding dengan
amplitudo sinyal pemodulasi tersebut. Frekuensi sinyal pembawa biasanya jauh
lebih tinggi daripada frekuensi sinyal pemodulasi. Frekuensi sinyal pemodulasi
biasanya merupakan sinyal pada rentang frekuensi audio (AF, Audio Frequency)
yaitu antara 20 Hz sampai dengan 20 kHz. Sedangkan frekuensi sinyal pembawa
biasanya berupa sinyal radio (RF, Radio Frequency) pada rentang frekuensi
tengah (MF, Mid-Frequency) yaitu antara 300 kHz sampai dengan 3 Mhz.
Pada hakikatnya, signal AM adalah signal DSB ditambah dengan
komponen pembawanya. Dalam kawasan t, ungkapan signal AM berbentuk:
......………………...……………(8)
Atau,
)(cos)()( ttAt cAM ....................…………………………………(9)
dengan,
)(1)( ttA mc ……………………………………………
(10)
Yang merupakan faktor modulasi yang mengungkapkan perubahan selubung
amplitudo gelombang AM yang terjadi.
Dalam kawasan , persamaan (11) memiliki transformasi Fourier sebagai
berikut,
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 20
tAM
t
tA
(b)
tm
t
(a)
0 ωωm-ωm
gm(ω)
(a)
0ωc -ωm
-ωc
pembawa
(b)
ωcωc +ωm
USBLSB
2ωm2ωm
Gelombang Optik
...................................................................................................................……….(11)
Gambar 4. (a) Signal sinusoidal tm ; (b) Hasil modulasi AM dalam kawasan
t
Hasil modulasi amplitudo untuk kasus signal sinusoidal dan kasus lebih
umum dapat diperjelas lebih lanjut dalam gambar (4) dan (5). Dari gambar 4.b
terlihat bahwa fungsi amplitudo A(t) untuk gelombang AM tidak pernah
memotong sumbu t. Ini terjadi karena pada umumnya gelombang signal dibuat
memenuhi ketentuan 1)( tm (agar proses demodulasi lebih mudah
dilakukan).
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 21
Gelombang Optik
Gambar 5. (a) Spektrum signal tm ; (b) Spektrum gelombang AM
2.1.2.1 Indeks Modulasi AM
Derajat modulasi merupakan parameter penting dan juga sering disebut
indeks modulasi AM, dinotasikan dengan m. Indeks modulasi merupakan ukuran
dari kecenderungan perubahan amplitude terhadap sinyal pembawa tanpa
modulasi. Indeks modulasi juga diketahui sebagai kedalaman modulasi atau
derajat modulasi.Besarnya indeks modulasi mempunyai rentang antara 0 dan 1.
Indeks modulasi sebesar nol, berarti tidak ada pemodulasian, sedangkan indeks
modulasi sebesar satu merupakan pemodulasian maksimal yang dimungkinkan.
Untuk signal berbentuk sinusoidal yang memenuhi
)(cos)( tmt mm .............................................................................(12)
Pada persamaan tersebut maka indeks modulasinya m memenuhi persamaan:
1
)()()()(
minmax
minmax
tAtAtAtA
m ....................................................................(13)
Beberapa nilai m dalam bentuk sinyal AM dapat digambarkan sebagai
berikut.
Gambar 5. (a)Sinyal AM untuk m 1 ; (b) Sinyal AM untuk m=1
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 22
(b)(a)
Gelombang Optik
Jika m>1, maka fungsi selubung A(t) akan mengalami distorsi dan menyimpang
dari bentuk )(tm , seperti ditunjukkan dalam gambar 6.
Gambar 6. Distorsi bentuk t dalam kasus m>1 akibat pembalikan fase
(tanda) tA ; (c) Bentuk fungsi t ; (d) bentuk selubung tA
2.1.2.2 Daya rata-rata signal AM
Daya rata-rata signal AM, diperoleh dengan cara berikut. Kita sudah
mengetahui bahwa signal AM dalam kawasan t memiliki bentuk :
Kemudian untuk mencari daya rata kita dapat menggunakan persamaan :
…………………………………………………….
(14)
Masukkan persamaan (8) ke persamaan (14) diperoleh
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 23
c
)(tA
c
t
(c)
)(tADistorsi selubung
t
c
(d)
Gelombang Optik
……………………………………………………………………………………
(15)
Untuk suku kedua pada ruas kanan persamaan tersebut sama
dengan nol dan
Hal tersebut menyebabkan daya rata-rata dapat ditulis menjadi
…………………………………………………………………(16)
Karena dalam signal AM, komponen pembawa tidak mengandung
informasi dan oleh karena merupakan bagian yang “tidak berguna”, maka dapat
didefinisikan efisiensi daya transmisi.
........................................................................(17)
Mengingat bahwa , jelas untuk gelombang AM
secara umum, khusus untuk gelombang AM jika memenuhi persamaan
maka efisiensi daya transmisi adalah
2.1.3 Modulasi Frekuensi
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 24
Gelombang Optik
Modulasi frekuensi (FM) adalah modulasi sudut yang merupakan proses
pengubahan sudut fase dari gelombang pembwa menurut pola perubahan
gelombang signal (modulasi) yang bersifat non linear (tidak dapat diuraikan
dengan prinsip superposisi). Ditinjau dari segi teknis, modulasi sudut lebih sulit
daripada modulasi linear dan memerlukan lebar pita transmisi yang lebar pula.
Keuntungannya terutama terletak pada peningkatan mutu signal dengan
memperbesar perbandingan S/N.
Sinyal pembawa dapat berupa gelombang sinus, sedangkan sinyal
pemodulasi (informasi) dapat berupa gelombang apa saja (sinusoidal, kotak,
segitiga, atau sinyal lain misalnya sinyal audio). Gambar 1 mengilustrasikan
modulasi frekuensi sinyal pembawa sinusoidal dengan menggunakan sinyal
pemodulasi yang juga berbentuk sinyal sinusoidal.
Gambar 3 (a) Sinyal pembawa; (b) Sinyal pemodulasi; (c) Sinyal termodulasi FM
Tinjaulah gelombang pembawa dinyatakan oleh fungsi:
tt ccc cos .........................................................................(18)
Maka modulasi sudut berarti mengubah karakteristik konstanta menjadi fungsi
t sesuai dengan karakteristik gelombang modulasi yang bersangkutan. Untuk
merumuskan hubungan antara t dan signal modulasi kita tuliskan hasil
modulasi dalam bentuk:
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 25
Gelombang Optik
t
ttt
c
ccFM
coscos
..................................................................(19)
Maka, tdt
tdt c ' .........................................................................(20)
Jika gelombang signal yang ditinjau adalah tm , maka deviasi frekuensi sudut
t' dan deviasi fase t jelas memenuhi hubungan:
tkdt
tdt mF ' .......................................................................(21)
Atau, n
mF dttkt0
...............................................................................(22)
Dimana kF adalah konstanta deviasi frekuensi. Sehingga hasil modulasi FM
selengkapnya dapat dituliskan sebagai berikut.
n
mFccFM dttktt0
cos ....................................................(23)
Jika gelombang signal merupapkan suatu fungsi sinusoidal yaitu:
tt mmm cos , maka persamaan (22) akan menjadi:
tkdttkt m
m
mFn
mmF
sincos0
..........................................(24)
Menurut persamaan (21), maka diperoleh:
tdt
tdt m cos'' ...................................................................(25)
Dengan, mFk ' .............................................................................................(26)
Berdasarkan hal tersebut didefinisikan suatu parameter yang disebut dengan
indeks modulasi FM yaitu:
mm
mFk
' .................................................................................................(27)
Jadi ungkapan hasil modulasi FM untuk signal tunggal dalam indeks modulasi
FM yaitu:
ttt mccFM sincos ........................................................(28)
Karakteristik spectral fungsi pada persamaan (28) dapat dipelajari dengan
uraian deret fourier. Sehingga persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk.
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 26
Gelombang Optik
t)(ωsin βtω i expRe ψtψ mccFM .....................................................(29)
Mengingat fungsi eksponensial kompleks bersifat periodic
mm ω
2πtsin(ω β i exp...................................................................................(30)
Dengan periode Tm = 2π/ωm, maka fungsi tersebut dapat diuraikan dalam deret
fourier sebagai berikut:
...............................................................(31)
Dengan
...............................................................................(32)
Dengan
...............................................................................................(33)
Bentuk integral persamaan (32) merupakan fungsi Bessel jenis pertama orde ke-n,
yang bersifat real, sehingga
Dalam fungsi Bessel, persamaan (31) menjadi:
Dalam bentuk deret, Jn(β) dinyatakan sebagai
Yang memenuhi hubungan (untuk n bulat)
J-n(β) = (-1)n Jn (β)................................................................................................(33)
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 27
Gelombang Optik
Jn(β) = (-1)n Jn (-β)...............................................................................................(34)
1)(Jn
2n
......................................................................................................(35)
Secara keseluruhan ungkapan persamaan (29) menjadi
tnJt mcn
ncFM )ωω()()(
...................................................................(36)
Sedangkan spectral kawasan frekuensi gelombang FM dengan TF menghasilkan
g (ω) = π (ψc)
nJn (β) [δ(ω-ωc-nωm)+δ(ω+ωc+nωm)]....................................(37)
Gambar 4. Ilustrasi pola pokok variasi (osilasi dengan amplitude mengecil)
beberapa fungsi Bessel jenis pertama
Berdasarkan ungkapan (37) dapat disimpulkan:
1. Signal FM dengan signal nada tunggal mengandung komponen pembawa dan
komponen frekuensi pita sisi yang tak berhingga jumlahnya:
ω = ωc ± n ωm , n = 1,2,3,…................................................................(38)
2. Amplitude masing-masing komponen frekuensi bergantung pada β, yang
bergantung pula dengan karakeristik ψm.
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 28
Gelombang Optik
3. Untuk kasus pita sempit
J0 (β) ≈ 1.....................................................................................................(39a)
J1 (β) ≈ β/2..................................................................................................(39b)
J0 (β) ≈ 0 , n>1............................................................................................(39c)
Jadi dalam kasus β<< 1 (narrow band), spectrum fekuensi hanya
mengandung komponen ωc dan ωc ± ωm seperti halnya gelombang AM. Sedangkan
dalam kasus pita lebar (wide band) β >> 1, gelombang FM jelas mengandung
komponen side band yang cukup besar, dan oleh karenanya memiliki lebar pita
yang besar namun tetap terbatas.
Berikut akan ditinjau daya dan lebar pita transisi, ratio S/N pada gelombang
FM. Seperti pada gelombang AM, untuk menentukan pita transmisi pada
gelombang FM akan ditinjau perbandingan harga rerata daya transmisi total NT
dan daya Nn untuk pita transmisi yang mengandung komponen frekuensi paling
rendah.
An = Nn/NT...............................................................................................(40)
dengan Nn memenuhi persamaan (7) dan tnJt mcn
ncn )ωω()()(
atau
l
lc JNn )(21 22 .......................................................................................(41)
Karena suku-suku silang dalam penjumlahan ψn2 (t) menghasilkan harga rerata
nol. Dan sejalan dengan itu dapat pula dirumuskan untuk NT.
222
21)(
21
cl
lcT JN
..........................................................................(42)
Setelah digunakan identitas (39b). Hasil ini menunjukkan bahwa amplitude signal
FM adalah konstan. Dengan hasil-hasil di atas, maka persamaan (40) menjadi
l
ln Ja )(2 .................................................................................................(43)
Secara numeric dapat ditunjukkan bahwa signal FM dengan modulasi nada
tunggal,
an ≥ 98%, untuk n ≥ β+1...................................................................................(44)
Jadi lebar pita transmisi yang bersangkutan dapat dinyatakan oleh.
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 29
Gelombang Optik
B ≈ 2 (β+1) ωm = 2 (ω’+ ωm).............................................................................(45)
Jelas bahwa untuk pita sempit B ≈ 2 ωm. Untuk signal FM yang lebih umum
(nonsinusoidal), indeks modulasi β tidak dapat didefinisikan, dan untuk B berlaku
kaidah Carson :
B = 2 (D+1) ωm = 2 (ω’+ ωm)............................................................................(46)
Dengan D menyatakan perbandingan
D = ω’max / ωm....................................................................................................(47)
Sebagai catatan kecil tentang keunggulan modulasi sudut dapat disebutkan bahwa
ratio S/N dari hasil modulasi ideal itu berbanding lurus dengan (kF)2 untuk signal
FM. Ini berarti peningkatan harga S/N dapat dicapai dengan memperbesar
sensitivitas modulator yang bersangkutan (kF). Namun akibat lain yang akan
terjadi adalah pelebaran B karena D berbanding lurus dengan kF tanpa
memperbesar daya transmisi, karena amplitude gelombang pembawa tetap sama.
Selanjutnya parameter-parameter ini, B, S/N akan menentukan kapasitas
saluran signal FM menurut rumus Shannon-Hartley untuk sistem ideal:
C = B log2 (1 + S/N) bits/s....................................................................(48)
2.2 Penerapan Konsep Modulasi Pada Radio
Salah satu penerapan dari modulasi gelombang adalah pada siaran radio.
Siaran radio dalam pengoperasiannya menggunakan teknik modulasi, di mana
sinyal yang menumpang adalah sinyal suara, sedangkan yang ditumpangi adalah
sinyal radio yang disebut sinyal pembawa (carrier) (Nandi, 2007). Dari banyak
teknik modulasi, AM dan FM adalah modulasi yang banyak diterapkan pada
siaran radio. Kedua teknik tersebut dipakai karena relatif lebih mudah
dibandingkan dengan teknik-teknik lain. Dengan begitu, rangkaian pemancar dan
penerima radionya lebihsederhana dan mudah dibuat.
Pada stasiun permancar radio, gelombang radio dihasilkan oleh muatan-
miatan listrik yang dipercepat melalui kawat penghantar. Muatan listrik
dibangkitkan oleh isolator. Sebelum dipancarkan melalui antena pemancar,
gelombang radio terlebih dulu dimodulasikan (dipaketkan) dengan sinyal audio.
Gelombang radio yang membawa sinyal audio ini yang akan ditransmisikan
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 30
Gelombang Optik
melalui antena pemancar. Dalam hal ini gelombang radio berfungsi sebagai
gelombang pembawa (carrier wave) yang membawa sinyal audio.
Pada pemancar radio dengan teknik modulasi amplitude (AM), amplitudo
gelombang carrier akan diubahseiring dengan perubahan sinyal informasi (suara)
yang dimasukkan. Frekuensi gelombang carrier relatif tetap kemudian dilewatkan
ke RF (Radio Frequency) Amplifier untuk dikuatkan agar bisa dikirim ke jarak
yang jauh. Setelah itu, dipancarkan melalui antena.
Dalam perjalanannya mencapai penerima, gelombang akan mengalami
redaman (fading) oleh udara, mendapat interferensi dari frekuensi-frekuensi lain,
noise, atau bentuk-bentuk gangguan lainnya. Gangguan-gangguan itu umumnya
berupa variasi amplitudo sehingga mau tidak mau akan memengaruhi amplitudo
gelombang yang terkirim. Hal ini mengakibatkan informasi yang terkirim akan
berubah dan mutu informasi akan berkurang.
Cara mengurangi kerugian yang diakibatkan oleh redaman, noise, dan
interferensi cukup sulit. Pengurangan amplitudo gangguan (yang mempunyai
amplitudo lebih kecil), akan berdampak pada pengurangan sinyal asli. Sementara,
peningkatan amplitudo sinyal asli juga menyebabkan peningkatan amplitudo
gangguan. Dilema itu bisa saja diatasi dengan menggunakan teknik lain yang
lebih rumit. Tetapi hal ini menyebabkan rangkaian penerima akan menjadi mahal,
sementara hasil yang diperoleh belum kualitas Hi Fi dan belum tentu setara
dengan harga yang harus dibayar. Konsekuensinya, mereka juga harus pindah
frekuensi carrier karena aturan lokasi frekuensi carrier untuk siaran AM berbeda
dengan siaran FM. Frekuensicarrier untuk siaran AM terletak di Medium
Frequency (300 kHz - 3 MHz/MF), sedangkanfrekuensi carrier siaran FM terletak
di Very High Frequency (30 MHz - 300 MHz/VHF).
Pada pemancar radio dengan teknik modulasi FM, frekuensi gelombang
carrier akan berubah seiring perubahan sinyal suara atau informasi lainnya.
Amplitudo gelombang carrier relatif tetap. Setelah dilakukan penguatan daya
sinyal (agar bisa dikirim jauh), gelombang yang telah tercampur tadi dipancarkan
melalui antena. Seperti halnya gelombang AM, gelombang ini juga akan
mengalami redaman oleh udara dan mendapat interferensi dari frekuensi
frekuensi lain, noise, atau bentuk-bentuk gangguan lainnya. Tetapi, karena
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 31
Gelombang Optik
gangguan itu umumnya berbentuk variasi amplitude, kecil kemungkinannya dapat
mempengaruhi informasi yang menumpang dalam frekuensi gelombang carrier.
Hal ini mengakibatkan, mutu informasi yang diterima tetap baik. Kualitas
audio yang dimodulasi juga lebih tinggi daripada kualitas audio AM. Jadi,
musik yang kita dengar akan serupa dengan kualitas musik yang dikirim oleh
stasiun radio. Teknik pengiriman suara stereo juga tidak terlalu rumit sehingga
rangkaiannya mudah dibuat.
BAB II
PEMBAHASAN
Pengembangan teori elektromagnetik di awal abad ke-19 oleh
Oersted, Ampere, dan yang lainnya sebetulnya tidak benar-benar dibuat dalam
konteks medan listrik dan magnet. Gagasan mengenai medan dikemukakan
kemudian oleh Faraday, dan tidak digunakan secara umum hingga akhirnya
Maxwell menunjukkan bahwa fenomena listrik dan magnet dapat digambarkan
dengan menggunakan empat persamaan yang melibatkan medan listrik dan
magnet.
Persamaan yang dinamakan persamaan Maxwell ini merupakan persamaan-
persamaan dasar untuk elektromagnet. Pada dasarnya persamaan ini memiliki
kedudukan sama dengan tiga hukum Newton mengenai gerak dan hukum
mengenai gravitasi universal dalam mekanika. Di sisi lain, persamaan Maxwell
bahkan lebih fundamental, karena mereka konsisten dengan teori relativitas.
Karena seluruh karakteristik elektromagnetik tertampung dalam empat persamaan
tersebut, maka persamaan Maxwell dianggap sebagai suatu kemenangan besar
bagi pemikiran manusia (Giancoli, 2001).
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 32
Gelombang Optik
2.1 Persamaan Maxwell
Persamaan Maxwell dirumuskan dalam besaran medan listrik E dan medan
magnet B. Seluruh persamaan Maxwell terdiri dari empat persamaan medan, yang
masing-masing dapat dipandang sebagai hubungan antara medan dan distribusi
sumber, baik sumber muatan maupun sumber arus. Untuk ruang vakum tanpa
sumber muatan, persamaan Maxwell dalam satuan SI dirumuskan sebagai berikut
(Ramalis, 2003) :
1. 0. E
2. 0. B
3.tBE …………………………………..(2.1)
4.tEB
00
Persamaan Maxwell yang dinyatakan oleh persamaan inilah yang merupakan
dasar dari pengembangan persamaan gelombang elektromagnet yang disesuaikan
dengan keadaan medium dari gelombang.
Sistem persamaan Maxwell merupakan landasan teori elektromagnet yang dapat
mengungkap berbagai gejala elektromagnetik, misalnya saja perambatan
gelombang elektromagnet dalam ruang hampa dengan kelajuan c yang sama untuk
semua pengamat dan sifat E
dan B
yang transversal secara mutlak (tegak lurus
pada arah perambatan gelombang ditinjau dari semua kerangka acuan yang
inersial) dan kesalingtegaklurusan antara arah keduanya, kemungkinan proses
terpancarnya gelombang ini dari suatu sistem muatan listrik yang mengalami
percepatan, modifikasi persamaan medan dan perambatannya oleh hadirnya
medium, proses serapan dan hamburan gelombang oleh medium dan lain-lainnya
(Muslim, 1996).
Karl Friendrich Gauss (1777-1855) seorang Fisikawan dan
Matematikawan Jerman yang banyak sumbangannya kepada ilmu fisika teori dan
fisika eksperimental. Rumusnya yang dikenal sebagai hukum Gauss merupakan
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 33
Gelombang Optik
ungkapan tentang suatu sifat penting medan elektrostatik (Sears, 1986).
Persamaan pertama Maxwell merupakan ungkapan dari hukum Gauss, yang
menyatakan bahwa “ Jumlah garis gaya medan listrik yang menembus suatu
permukaan tertutup, sebanding dengan jumlah muatan yang dilingkupi
permukaan tersebut.” Secara matematis, hukum Gauss ini dituliskan dengan :
).2.2....(............................................................1ˆ.
).2.2.......(............................................................1ˆ.
).2.2(......................................................................ˆ.
0
0
0
cdVdAnE
bdqdAnE
aqdAnE
Melalui teorema divergensi, ruas kiri persamaan (2.2.c) dapat kita tuliskan
menjadi :
).3.2.......(............................................................1.0
adVEdV
atau
).3.2.....(.................................................................................0
bE
Untuk ruang vakum, karena tidak ada sumber maka =0, sehingga :
)4.2...(................................................................................0. E
Persamaan Maxwell kedua merupakan hukum Gauss magnetik, yang menyatakan
“Fluks medan magnet yang menembus suatu permukaan tertutup sama dengan
nol, tidak adanya sumber medan berupa muatan magnetik.” Atau dengan kata lain
garis gaya medan magnet selalu tertutup, tidak ada muatan monopol. Melalui
teorema Gauss, persamaan Maxwell kedua ini dapat kita tuliskan dalam bentuk
integral sebagai berikut :
).5.2...(................................................................................0ˆ.
).5.2...(......................................................................0ˆ.
bdAnB
adAnBB
Dengan menggunakan teorema divergensi, maka persamaan (2.5.b) dapat kita
tuliskan menjadi :
)6.2.......(................................................................................0. B
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 34
Gelombang Optik
Persamaan Maxwell ketiga, mengungkapkan pengaruh medan magnet yang
berubah dengan waktu, yang tidak lain merupakan hukum Faraday-Lenz sebagai
berikut :
).7.2.......(......................................................................ˆ.
).7.2........(................................................................................
bdAnBt
at
Kita ketahui bahwa dE. , sehingga persamaan (2.7.b) tersebut dapat kita
tuliskan menjadi :
)8.2.....(......................................................................ˆ..
dAnBt
dE
Kemudian melalui teorema Stokes, ruas kiri dapat kita tuliskan menjadi :
).9.2..(................................................................................
).9.2..(............................................................ˆ.ˆ.
btBE
adAnBt
dAnE
Persamaan Maxwell keempat merupakan hukum Ampere. Seperti yang sudah kita
pelajari pada Fisika Dasar, hukum Ampere ini dirumuskan dengan :
)10.2..(................................................................................. 0idB
Melalui penerapan teorema Stokes pada ruas kiri, dan dengan mengingat
hubungan dAnJi ˆ. , maka persamaan di atas dapat kita tuliskan menjadi bentuk
:
).11.2.........(................................................................................
).11.2.(......................................................................ˆ.ˆ.
0
0
bJE
adAnJdAnB
Sedangkan rapat arus tEJ 0 , sehingga persamaan (2.11.b), menjadi :
)12.2(................................................................................00 tEB
Dari persamaan III Maxwell, kita dapat menarik kesimpulan bahwa medan
listrik timbul karena perubahan medan magnet, dan dari persamaan IV
Maxwell mengungkapkan medan magnet timbul karena perubahan medan
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 35
Gelombang Optik
listrik. Interaksi antara kedua medan ini, akan menghasilkan gelombang
elektromagnetik, baik di ruang vakum maupun dalam suatu bahan.
2.1.1 Persamaan Gelombang Elektromagnetik
Persamaan gelombang elektromagnetik dapat diturunkan dari persamaan
Maxwell. Dari persamaan III Maxwell :
tBE
Kemudian ruas kiri dan ruas kanan kita diferensialkan dengan operasi rotasi, akan
diperoleh :
)13.2.....(..................................................).........()( BtBE
Dengan mengingat vektor identitas EEE 2).()( , maka persamaan
)()( BtBE
dapat kita tuliskan menjadi :
)14.2.......(........................................).........().( 2 BtBEE
Kemudian persamaan I dan persamaan IV Maxwell, kita substitusikan ke dalam
persamaan )().( 2 BtBEE
, akan diperoleh :
).15.2.(................................................................................2
2
002 a
tEE
atau
).15.2..(................................................................................012
2
22 b
tE
cE
dengan 00
1
c , kecepetan gelombang elektromagnetik di ruang vakum.
Melalui cara yang sama, untuk medan magnet B, dapat kita turunkan dari
persamaan IV Maxwell, dan akan diperoleh :
)16.2.(................................................................................012
2
22
tE
cB
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 36
Gelombang Optik
Persamaan 012
2
22
tE
cE dan 01
2
2
22
tE
cB ini adalah persamaan
gelombang elektromagnetik dalam bentuk diferensial. Masing-masing
mengandung tiga persamaan diferensial yang terpisah sebagai berikut :
).17.2.......(........................................01
).17.2......(........................................01
).17.2......(........................................01
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
cEtE
czyx
bEtE
czyx
aEtE
czyx
z
y
x
Untuk medan magnet
).18.2.........(........................................01
).18.2........(........................................01
).18.2.......(........................................01
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
cBtE
czyx
bBtE
czyx
aBtE
czyx
z
y
x
Solusi paling sederhana dari persamaan 012
2
22
tE
cE dan 01
2
2
22
tE
cB
adalah :
E(z,t)=E0 cos (kz-t)……………………….………………(2.19)
B(z,t)=B0 cos (kz-t)…………………………………..(2.20)
Bentuk solusi ini merupakan contoh eksplisit dari bentuk umum f(kz-t), yang
dikenal sebagai gelombang datar (plain wave). Gelombang datar (plain wave)
adalah gelombang yang apabila sebuah bidang tegak lurus dengan arah
perambatannya, maka titik potong gelombang tersebut pada bidang yang tegak
lurus itu memiliki sudut fase yang sama (Effendi,2007:126). Gelombang datar
merambat dengan kecepatan k
v , dengan sifat-sifat sebagai berikut (Ramalis,
2003):
Mempunyai arah jalur tertentu (dalam persamaan tadi, arah z).
Tidak mempunyai komponen pada arah rambat.
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 37
Gelombang Optik
Tidak ada komponen E dan B yang bergantung pada koordinat transversal
(pada contoh ini koordinat transversalnya adalah x dan y).
Sehingga dengan mengacu pada sifat tersebut, solusi persamaan gelombang
menjadi :
)22.2..(........................................).........,(ˆ),(ˆ),(ˆ
)21.2..(........................................).........,(ˆ),(ˆ),(ˆ
tzBktzBjtzBiB
tzEktzEjtzEiE
zyx
zyx
Sebutan datar berkaitan dengan bentuk muka gelombangnya yang berbentuk
bidang datar tegak lurus pada k , jadi bidang ini dinyatakan dengan :
konstan.ˆ zk
Dan ditunjukkan seperti pada gambar (2.1) berikut ini :
Gambar 2.1
Ilustrasi muka gelombang dari gelombang datar
Gelombang datar atau gelombang bidang memiliki sifat perambatan yang berbeda
untuk medium penghantar gelombang yang berbeda. Medium penghantar
gelombang bidang dapat dikelompokkan menjadi dua kelompok, yaitu :
1. Medium dielektrik sempurna
2. Medium konduktor atau medium dielektrik merugi
Kedua medium ini memiliki nilai faktor atenuasi yang berbeda, untuk medium
dielektrik faktor atenuasi gelombang hampir mendekati 1, sedangkan untuk
gelombang yang merambat di medium dielektrik merugi faktor atenuasi (e-x)
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 38
Gelombang Optik
cukup besar. Sehingga gelombang bidang yang merambat di medium dielektrik
merugi atau konduktor akan mengalami redaman yang hebat, sehingga muncul
istilah kedalaman penetrasi (Effendi, 2007).
2.1.2Transversalitas Gelombang Elektromagnetik
Sifat lain dari gelombang datar adalah transversalitasnya. Untuk
memperlihatkan hal ini, kita substitusikan persamaan
),(ˆ),(ˆ),(ˆ tzEktzEjtzEiE zyx ke dalam persamaan I Maxwell, diperoleh :
)23.2........(..............................0),(),(),(
ztzE
ytzE
xtzE zyx
Suku pertama dan kedua ruas kiri dari persamaan (2.23) sama dengan nol,
sehingga :
)24.2.(......................................................................0),(
ztzEz
Dari persamaan 0),(
ztzEz ini, berarti Ez tidak bergantung pada z.
Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (2.22) dan (2.23) ke dalam
persamaan IV Maxwell, kita akan memperoleh :
)25.2(..................................................00 tE
yB
xB zxy
Ruas kiri sama dengan nol, sehingga :
)26.2(............................................................0),(
ztzEz
Hal ini berarti bahwa Ez tidak bergantung pada t.
Dari persamaan (2.24) dan (2.26), dapat ditarik kesimpulan bahwa
Ez(z,t)=konstan=0. Dengan kata lain arah getar dari gelombang medan listrik
adalah tegak lurus pada arah gerak rambatnya, karena medan listrik E
hanya mempunyai komponen-komponen pada arah yang tegak lurus pada
arah rambat.
Cara yang sama dapat kita turunkan untuk gelombang medan magnetnya, dan
akan diperoleh kesimpulan bahwa arah getar gelombang medan magnet pun tegak
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 39
Gelombang Optik
lurus terhadap arah rambatnya. Sehingga dapat kita simpulkan bahwa gelombang
elektromagnetik merupakan gelombang transversal.
Selanjutnya akan dicari hubungan matematis antara medan listrik dan medan
magnet dari gelombang elektromagnetik. Untuk itu dimisalkan gelombang
menjalar dalam arah z, dan ditunjukkan seperti pada gambar (2.2) berikut :
Gambar 2.2
Gelombang elektromagnetik menjalar dalam arah z
Pada gelombang ini dapat kita tuliskan :
Untuk medan listrik :
Ex=E;Ey=Ez=0;
dengan
E=E0 cos (kz-t)……………………………………………..(2.27)
dan untuk medan magnet :
Bx=B;By=Bz=0;
dengan
B=B0 cos (kz-t)…………………………………………(2.28)
Persamaaan E=E0 cos (kz-t) kita substitusikan ke dalam persamaan III Maxwell,
akan diperoleh :
)cos(ˆ)cos(ˆˆˆˆ00 tkzBj
ttkzEi
zk
yj
xi
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 40
Gelombang Optik
k E0 = B0
00 Bk
E
Mengingat =kc, maka :
k E0 = c B0……………………………………………(2.29.a)
E0 = c B0………………………………………...……...(2.29.b)
Persamaan (2.29.a) dan (2.29.b) dapat pula kita peroleh dengan cara
mensubstitusikan persamaan (2.28) ke dalam persamaan IV Maxwell.
Dari pembahasan di atas, maka hubungan antara vektor propogasi k, medan listrik
E, dan medan magnet B, dapat ditunjukkan seperti pada gambar (2.3).
Gambar 2.3
Hubungan antara E dan B
(a) arah rambat ke kanan. (b) arah rambat ke kiri.
2.1.3 Vektor Poynting dan Kekekalan Energi
Salah satu ciri penting dari sebuah gelombang elektromagnetik ialah bahwa
gelombang tersebut dapat mengangkut tenaga dari titik ke titik (Halliday,1992).
Energi medan elektromagnetik merupakan jumlah dari energi medan listrik dan
energi medan magnet. Rapat energi medan magnet sudah kita peroleh, yaitu :
2
021 BuB
Dan rapat energi medan listrik sudah kita pelajari dari Fisika Dasar, yaitu :
202
1 EuE
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 41
Gelombang Optik
Sehingga rapat energi medan elektromegnetik dapat kita tuliskan dengan
u = uB + uE
u = 2
021 BuB
+ 202
1 EuE ……………………..…(2.30)
Perubahan rapat energi terhadap waktu, atau laju perubahan rapat energi, adalah :
).31.2(..............................).........(1)(1
).31.2...(..................................................1
00
00
bBEEBdtdu
atEE
tBB
dtdu
Dengan mengingat vektor identitas ).().().( BEEBBE , maka
persamaan (2.31.b) dapat kita tuliskan menjadi :
).32.2......(............................................................0.
).32.2.....(........................................)..........(1
0
bSdtdu
aBEdtdu
dan
)33.2...(..................................................).........(1
0
BES
Dalam pembahasan mengenai sirkuit listrik, energi kita anggap diangkut
oleh muatan bergerak, yang memperoleh energi potensial dari sebuah sumber lalu
melepaskan energi ini ke bagian-bagian lain sirkuit. Ada pula pandangan lain,
yaitu bahwa energi itu dibawa bukan oleh muatan bergerak, melainkan oleh
medan elektromagnetik yang ada hubungannya dengan muatan itu. Aliran energi
dari matahari, dari pemanas radian, maupun dari antena radio, di mana energi
harus diangkut oleh gelombang elektromagnetik (Sears, 1986).
Perhatikanlah kabel transmisi yang digambarkan terdiri atas dua pelat paralel
seperti tertulis dalam gambar (2.4).
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 42
Gelombang Optik
Gambar 2.4
Medan listrik dan medan magnet di dalam ruang dekat salah satu ujung
garis
Input daya ke kabel itu adalah P=VI. Tetapi, seperti telah kita tunjukan,
V = El, I = Hw
sehingga,
P = VI = (EH)(lw)
Perkalian lw sama dengan luas penampang lintang A medan
elektromagnetik antara kedua pelat, sehingga
EHAP
Persamaan ini mengandung arti bahwa energi diangkut sepanjang kabel
itu oleh medan elektromagnetik, per satuan luas dan per satuan waktu, sama
dengan perkalian EH. Pendapat ini mula-mula dikemukakan oleh J.H. Poynting,
dan vektor Poynting S didefinisikan sebagai perkalian vektor E dan H :
S = E H
Dalam gambar (2.4) dapat dilihat bahwa vektor poynting S arahnya menurut arah
rambat gelombangnya, sehingga besar S sama dengan aliran energi, per satuan
luas dan per satuan waktu, dan arah S menurut arah rambatan (Sears, 1986).
Pengertian fisik dari vektor poynting yaitu menggambarkan laju energi per
satuan waktu per satuan luas penampang medium yang dilalui oleh
gelombang, baik harga sesaat maupun harga rata-rata (Effendi, 2007). Di
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 43
Gelombang Optik
dalam satuan-satuan SI maka S dinyatakan dalam watt/m2; arah S memberikan
arah pergerakan tenaga. Vektor-vektor E dan B menunjukkan nilai-nilai sesaatnya
di titik yang ditinjau (Halliday, 1992).
Apabila untuk vektor E dan vektor H kita gunakan harga-harga sesaatnya
maka vektor poynting juga merupakan harga sesaat dan apabila vektor E dan
vektor H merupakan harga rata-ratanya maka akan diperoleh harga rata-rata dari
vektor poynting. Nilai vektor poynting yang besar, berarti menggambarkan
intensitas gelombang elektromagnetik yang besar juga. Perbedaan antara
intensitas gelombang dan vektor poynting adalah intensitas gelombang merupakan
suatu besaran skalar, sedangkan vektor poynting adalah besaran vektor yang
menggambarkan arah perambatan gelombang dan besarnya kerapatan energi
gelombang per satuan waktu, atau laju energi gelombang dalam satuan Joule per
sekon per meter persegi (MKS) atau Erg per sekon per centimeter persegi (CGS)
(Effendi, 2007).
Di dalam bilangan kompleks, vektor poynting kompleks adalah setengah
dari produk E kompleks dan H kompleks.
HES 21
Vektor poynting kompleks hanya bisa terjadi di medium konduktor karena
medium konduktor ini memiliki impedansi intrinsik kompleks sebagai akibat dari
konduktivitas listriknya yang cukup besar. Hal yang perlu diperhatikan juga sudut
fase antara medan E dan H berbeda (Effendi, 2007:132).
Persamaan (2.32.b) merupakan ungkapan kekekalan energi. Coba kita bandingkan
dengan persamaan kontinuitas :
0. Jdt
Tampak adanya kesetaraan antara kedua persamaan tersebut. Rapat muatan
digantikan dengan rapat energi u, rapat arus J digantikan dengan vektor poynting
S. Jelas bahwa vektor poynting mengungkapkan aliran energi, analog dengan
rapat arus mengungkapkan aliran muatan.
Berikut ini suatu contoh adanya energi yang muncul pada kawat yang
dialiri arus. Bila ini terjadi, maka ada usaha elektromagnet yang hailnya berbentuk
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 44
Gelombang Optik
kalor Joule pada sebatang kawat. Anggap medan listrik pada kawat LVE ,
dengan V beda potensial dan L panjang kawat. Sedangkan medan magnet karena
adanya arus I adalah rIB
2
0 , yang arahnya menyinggung permukaan kawat
gambar (2.5) (Loeksmanto, 1993:162).
Gambar 2.5
Harga vektor poynting
RLVIEBEHS 20
, dengan arah S menuju ke sumbu kawat.
Energi yang melewati permukaan kawat per satuan waktu diperoleh dengan
mencari integral.
RIVIRLSadS 2)2(.
Hasil ini tak lain adalah kalor yang muncul pada sebatang kawat, dikenal sebagai
pengeluaran energi joule.
2.2 Gelombang Elektromagnetik dalam Medium
Dalam pembahasan persamaan Maxwell yang telah dibahas sebelumnya,
diasumsikan bahwa rapat muatan , dan rapat arus J = 0, hal ini berlaku
untuk vakum dan medium dielektrik (Ramalis,2003). Di dalam medium konduktif
rapat arus J tidak sama dengan nol, besarnya sebanding dengan medan medan
listrik E, yang secara matematis diungkap dengan hukum Ohm: .
Dalam hal pembahasan hukum Maxwell lebih lanjut diberlakukan asumsi dan
bersifat tetap tidak beragantung pada posisi dan waktu. Dengan mengasumsikan
bahwa pada medium tidak ada muatan listrik dan arus listrik bebas dari luar, arus
yang muncul dipandang sebagai arus listrik internal yang diakibatkan oleh adanya
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 45
Gelombang Optik
medan listrik pada medium sesuai dengan hukum Ohm, dengan menyatakan
harga konduktivitas medium maka persamaan Maxwell akan menjadi (Yasa,
2003);
I. . E = 0
II. .B = 0
III. x E = -t
B
IV. x B = . E + t
E…………………………………
(2.34)
2.2.1 Gelombang Elektromagnet pada Medium Dielektrik
Tinjaulah kasus untuk medium yang tidak bersifat penghantar (non konduktif )
yaitu medium dielektrik = 0 dan dalam medium tidak ada muatan dari luar,
dengan kata lain bahwa medium tidak dimuati listrik (Yasa, 2003). Jika
persamaan Maxwell di atas pada iii dan iv masing-masing di curl dengan dan
menggunakan identitas operasi vektor x (x A) = ( . A) - 2A, maka
diperoleh persamaan differensial gelombang elektromagnet :
2E - 2
2
t E = 0………………………………(2.35)
dan
2B - 2
2
t B = 0……………………………….(2.36)
dalam bentuk komponen vektor medan dalam arah tiga dimensi dapat dinyatakan :
zyx2
2
zyx2
2
2
2
2
2
EˆEˆEˆt
EˆEˆEˆzyx
zyxzyx
.…(2.37)
dan
zyx2
2
zyx2
2
2
2
2
2
ˆˆˆt
ˆˆˆzyx
BzByBxBzByBx
…..(2.38)
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 46
Gelombang Optik
Jika (r,t) menyatakan fungsi vektor medan, k untuk medan E dan medan B maka
bentuk persamaan differensial gelombang elektromagnet di atas dapat dinyatakan
dalam bentuk yang sederhana yaitu:
2 - 2
2
t = 0………………..…………..(2.39)
Persamaan (2.39) merupakan persamaan differensial gelombang elektromagnet,
yang dikenal dengan persamaan gelombang elektromagnet tiga dimensi.
Berdasarkan persamaan umum gelombang :
2 - 2v1
2
2
t = 0…………………………………(2.40)
maka kecepatan gelombang elektromagnet yang dimaksud adalah:
v = 1
………………………………………..…(2.41)
Berdasarkan teori listrik magnet telah diketahui bahwa oo me K dan K di
mana oo dan masing-masing menyatakan permiabilitas listrik dan permitivitas
magnet di ruang hampa atau udara. Sedangkan Ke dan Km masing-masing
menyatakan tetapan listrik dan tetapan magnetik medium. Dengan memasukkan
nilai-nilai tersebut ke persamaan (2.41) maka diperoleh(Yasa, 3003):
v = oooo
1KK1
KK1
meme
……………………….(2.42)
Persamaan (2.42) dapat disederhanakan menjadi v = c/n dengan c = oo
1
kecepatan gelombang elektromagnet di ruang hampa atau di udara yang nilainya
mendekati 3 x 108 m/s. Sedangkan n = me K.K yang menyatakan indeks bias
medium terhadap gelombang elektromagnet. Hasil eksperimen menunjukkan
bawa Ke 1 dan Km 1 dengan demikian harga indeks bias suatu medium akan
selalu 1. Persamaan (2.42) menunjukkan bahwa medium penjalaran gelombang
yang bukan ruang hampa atau udara selalu lebih besar dari 1(Yasa, 2003).
Untuk memperoleh penyelesaian dari persamaan (2.39) secara lebih
sederhana tinjaulah kasus penjalaran gelombang dalam arah satu dimensi
misalnya dalam arah sumbu z. Kemudian pandanglah kasus gelombang pada
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 47
Gelombang Optik
mana variabel posisi dan waktu saling tidak bergantung yang dikenal dengan
fungsi sevarabel. Dengan demikian fungsi gelombang dapat dinyatakan dalam
bentuk:
(z,t) = Z(z) T(t)……………………….…………(2.43)
Dengan mensubstitusi persamaan (2.42) ke dalam persamaan (2.39) dan membagi
dengan Z.T maka diperoleh persamaan dalam bentuk:
22
2
22
2
ktT
Tv1
zZ1
Z
…………………………(2.44)
dalam bentuk terpisah persamaan (2.44) dinyatakan dengan:
0kz
Z1 22
2
ZZ
…………………………………(2.45)
dan
0TtT 22
2
…………………….……………..(2.46)
Dengan = k/v yang menyatakan frekuensi gelombang elektromagnet. Dengan
menerapkan teknik penyelesaian persamaan differensial orde dua maka dapat
diperoleh penyelesaian umum dari persamaan (2.45) dan persamaan (2.46) yaitu:-ikz
kikz
kk ee )(Z z.t-i
ee t)(T k. i
kk
t …………………….…………….(2.47)
Dengan , , , dan masing-masing merupakan tetapan. Karena ada banyak
kemungkinan harga k maka penyelesaian umum gelombang yang diperoleh dapat
ditentukan dalam bentuk;
(z.t) =
kkkk
kkkk
.t k.z-i.t k.zik
.t-k.z-i.t-k.zik eeee ..(2.48)
Persamaan (2.48) merupakan superposisi dari sejumlah gelombang datar yang
memenuhi syarat untuk harga k. Jika dan k keduanya merupakan bilangan
positif maka persamaan (2.48) merupakan persamaan gelombang sinusoidal
dalam arah rambatan ke sumbu z positif. Jika k berharga negatif maka dapat
dituliskan dalam k = - k sehingga fungsi gelombang menjadi e-i(k.z +.t) yang
menyatakan gelombang merambat pada arah sumbu z negatif.
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 48
Gelombang Optik
Persamaan (2.48) di atas merupakan pasangan komplek konjugate, dengan
demikian persamaan gelombang yang sesuai dapat dinyatakan dalam bentuk
persamaan kompleks yaitu:
(z,t) = o ei(k.z - .t)……………………….……………….(2.49)
yang merupakan sebuah persamaan gelombang datar (Yasa, 2003). Karena
merupakan komponen dari fungsi gelombang medan E dan B maka secara fisis
haruslah merupakan besaran riil. Seperti telah dikemukakan bahwa merupakan
komponen dari medan E dan B maka bentuk persamaan gelombang elektromagnet
yang dimaksud dapat diperoleh yaitu:
E = Eo ei(k.z - .t) …………………………..…………..(2.50)
B = Bo ei(k.z - .t) ………………………………………(2.51)
Jika persamaan gelombang elektromagnet yang diperoleh sesuai persamaan (2.50)
dan (2.51) disubstitusikan kembali ke persamaan Maxwell maka akan diperoleh:
i . E = zx ik.EE
z= 0 ……………………….(2.52a)
ii .B = zx ik.BB
z= 0………………………….(2.52b)
iii x E = i.k(-EyyEx x
) = -i B ………..…...(2.52c)
iv x B = ik ( - By)yB x x
= -i 2v
E……………(2.52d)
Dengan menyatakan : Ez = .z E , Bz = B.z dan (-EyyEx x
) = x z E , ( - By
)yB x x= B x z maka persamaan (2.52) di atas menjadi;
i . E = k .z E = 0 ……………………….(2.53a)
ii .B = k B.z = 0…………………………..(2.53b)
iii x E = k x z E = B…………………..(2.53c)
iv x B = k B x z = - 2
2
v E ……………..(2.53d)
Persamaan (2.53a) dan (2.53b) menyatakan E dan B masing-masing tegak lurus
arah z , sedangkan persamaan (2.53c) dan (2.54d) menyatakan bahwa E saling
tegak lurus dengan B. Untuk menentukan arah E terhadap arah B bisa dilakukan
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 49
Gelombang Optik
aturan putaran skrup: putarlah arah skrup dari arah z ke E maka arah majunya
skrup merupakan arah dari B. Sedangkan hubungan antara besaran B dengan E
dapat ditentukan yaitu:
EEBcnk
…………………….………(2.54)
untuk gelombang elektromagnet di udara atau di ruang hampa (n = 1) diperoleh
hubungan E = cB. Berdasarkan hubungan vektor arah penjalaran gelombang
dengan arah interaksi medan listrik dan medan magnet maka untuk satu harga k
dalam arah penjalaran gelombang ke sumbu z dapat digambarkan seperti berikut:
Gambar 2.6
Hubungan E dan B dalam Gelombang Elektromagnet
2.2.2Gelombang Elektromagnetik Pada Medium Konduktif
Dalam medium konduktif yang bebas dari sumber muatan listrik luar ( = 0 ),
arus listrik masih akan terjadi (J 0). Hal ini merupakan kasus sebuah medium
konduktif yang dikenakan medan listrik dari luar (Yasa, 2003).
)55.2......(........................................tEJB
Untuk mencari bentuk persamaan gelombangnya, dapat kita turunkan seperti pada
bagian persamaan gelombang elektromagnetik, dan kita akan peroleh:
)56.2.........(..............................02
2
tJ
tEE
Kemudian dengan mengingat hukum Ohm
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 50
B
E
k
Gelombang Optik
……………………………………………(2.57)
Maka persamaan (2.36) dapat kita tuliskan menjadi:
)58.2.........(..............................02
22
tE
tEE
Solusi dari persamaan ini adalah gelombang bidang dengan persamaan:
)59.2(..................................................cos, 0 tkzEtzE
atau dalam bentuk komplek:
)60.2.........(.................................................., 0tkzeEtzE
Substitusi persamaan (2.60) ke dalam persamaan (2.59), akan menghasilkan
persamaan:
022 i
atau
)61.2..(..................................................22 i
Dari persamaan (2.61) jelas bahwa bilangan gelombang berupa bilangan
komplek (Ramalis, 2003). Bilangan gelombang ini dapat kita tentukan dengan
memisalkan = a + i b. Kemudian kita kalikan dengan konjugetnya, maka akan
diperoleh:
)62.2(..................................................112
222
a
)63.2......(........................................112
222
b
Dan besarnya bilangan gelombang adalah:
)64.2...(..................................................12
22
Persamaan ini menyatakan bahwa merupakan fungsi dari . Karena
berkaitan dengan cepat rambat, maka pada medium konduktif, cepat rambat
gelombang bergantung pada frekuensi. Medium yang demikian sudah kita kenal
dan disebut dengan medium dispersif (Ramalis, 2003). Untuk medium yang
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 51
Gelombang Optik
berkonduktifitas tinggi, maka besar. Jika jauh lebih besar dari , maka dari
persamaan (2.62) dan (2.63) diperoleh:
)65.2........(............................................................12
ba
ba
dengan
)66.2....(............................................................2
Besarnaya ini disebut tebal kulit (skin depth).
Untuk medium yang konduktifitasnya rendah (konduktor buruk), jauh lebih
kecil dari . Pada medium ini skin depth menjadi:
)67.2....(............................................................2
yang lagi bergantung pada frekuensi.
Bilangan gelombang untuk medium dengan konduktifitas tinggi pada frekuensi
tinggi, pada frekuensi rendah adalah:
)48.2.....(............................................................1
i
Dari persamaan ini, maka solusi persamaan gelombang pada medium konduktif
dapat dituliskan menjadi:
).69.2........(...................., )(0 aeEtzE tibai
).69.2........(...................., )(0 beeEtzE tazibz
atau:
).69.2.(.............................., 0 ceeEtzEtziz
Dari persamaan (2.49.c) ini, dapat ditafsirkan bahwa setelah menempuh jarak
sebesar , maka amplitudo gelombang akan berkurang menjadi e1
dari amplitudo
semula.
Kembali ke persamaan (2.52):
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 52
Gelombang Optik
222 11
2 a
Dengan mengingat kv = , maka persamaan ini dapat kita tuliskan dalam bentuk
222 11
2 ka
)70.2(..................................................112
2/12
ka
Dari persamaan (2.70) jelas terlihat bahwa a > k, hal ini berarti bahwa kecepatan
fase gelombang pada medium konduktif lebih kecil dari pada kecepatan fase
gelombang pada medium non konduktif. Kemudian dengan mengingat hubungan:
)71.2.....(............................................................EB
Maka dengan mensubstitusikan persamaan (2.70) ke persamaan (2.69), maka akan
diperoleh perumusan gelombang medan magnetnya sebagai berikut:
)72.2.....(....................).........cos(, 0 tazeEibatzB bz
Dengan memperhatikan persamaan (2.72) tampak bahwa medan listrik E dan
medan magnet B tidak lagi mempunyai fase yang sama seperti pada medium non
konduktif.
Kita pun dapat menentukan besarnya vektor poynting untuk medium konduktif ini
sebagai berikut:
)73.2........(........................................cos22
20
2
tazeEibaS
ES
z
Persamaan (2.73) ini mengungkapkan bahwa faktor redaman dalam perambatan
energi adalah z
e2
.
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 53
Gelombang Optik
Gambar 2.7.
Peredaman Gelombang Elektromagnet pada Medium Konduktif
2.2.3 Elektron Bebas dalam Konduktor dan Plasma
Elektron bebas dalam konduktor bebas di dalam konduktor tidak terlihat pada
atom ataupun molekul, sehingga dapat digunakan persamaan III Maxwell :
tE
tEE
tJ
tEE
tBE
2
02
2
002
02
2
002
………………….(2.74)
Gerakan elektron dapat diungkapkan dengan persamaan:
Eqdtdv
m e…………………….……………………(2.75)
dengan v menyatakan kecepatan elektron.
Kemudian ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan (2.75) ini dikalikan dengan
Nqe, dengan N adalah rapat jumlah elektron, diperoleh:
EqNt
Nvqm e
e 2
…………………………………..(2.76)
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 54
Gelombang Optik
Sedangkan J = vqeN, maka persamaan (2.76) menjadi:
EqNtJm e
2
………………………………………(2.77)
Persamaan (2.77) kita substitusikan ke persamaan (2.74), sehingga diperoleh:
02
02
2
002
E
mqeN
tE
E ……………………(2.78)
Misalkan solusi persamaan gelombang tkzE costz,E 0 , dan bila
disubstitusikan ke persamaan (2.78) akan diperoleh:
).79.2........(..............................02
02
002 a
mqeNk
).79.2........(..............................2
02
002 b
mqeNk
).79.2........(........................................1 20
2
200
2
cqeNk
Karena 00
2 1
c dan 22
2 1v
k
Maka persamaan (2.79.c) akan menjadi:
2
0
2
2
2
1m
qeNvc
……………………………………………..(2.80)
Berdasarkan definisi indeks bias n= c/v, maka dari persamaan (2.80) tersebut
dapat ditentukan indeks bias plasma:
2
2
1
pn ……………………………………….(2.81)
dengan,
0
22
mqN e
p ……………………………………(2.82)
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 55
Gelombang Optik
Besaran p ini disebut dengan frekuensi plasma.
Jika diperhatikan persamaan (2.81) dan persamaan (2.82) di atas, jika p ,
maka nilai indeks bias n berupa bilangan imajiner, ini berarti bahwa
gelombang di dalam plasma tersebut akan diredam, dan bila p ,maka
nilai indeks bias n berupa bilangan nyata (real), sehingga gelombang akan
diteruskan.
2.3 Pemantulan dan Pembiasan Gelombang Elektromagnetik
Sebelum dibahas lebih jauh mengenai pemantuan dan pembiasan gelombang
elektromagnetik, terdapat hukum yang mendasarinya yaitu hukum Snellius.
Dengan cara yang berbeda di sini akan diturunkan persamaan hukum Snellius
terrsebut untuk gelombang elektromagnmetik.
2.3.1 Hukum Snellius
Tinjau kasus gelombang datang dari medium satu menuju medium dua seperti
ditunjukan pada gambar (2.8) dan gambar (2.9) ini disebut dengan tranverse
electric (TE).
Gambar 2.8.
Gelombang datang dari medium 1 menuju ke medium 2
Dari gambar (2.8) dapat dituliskan persamaan untuk gelombang medan magnet
sebagai berikut:
trkieBtrkBtrB
.
011011
1
.cos),(
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 56
Gelombang Optik
trkieBtrkBtrB
.
022022
2
.cos),(
)83.2....(...........cos),(.
033033
3
trkieBtrkBtrB
dengan:
))
3
)
3
)
33
2
)
2
)
22
1
)
1
)
11
cossin
cossin
cossin
Jxir
Jikk
Jikk
Jikk
……………………..(2.84)
Harga-harga dari k1, k2,k3 dan r pada persamaan (2.84) disubstitusikan ke dalam
persamaan gelombang medan magnet (2.83) yaitu:
tyxkieBtrB 111 cossin011 ),(
tyxkieBtrB 222 cossin022 ),( ………(2.85)
tyxkieBtrB 333 cossin033 ),(
Dengan menarapkan syarat batas y=0 akan diperoleh hubungan:
332211
321
coscoscos BBBBBB XXX
Sehingga persamaan (2.85) menjadi :
33
2211
sin33
sin202
sin101
.cos
.cos.cos
ki
kiki
eB
eBeB ……………………..
(2.86)
Untuk menyelesaikan persamaan (2.85), gunakan hubungan matematis sebagai
berikut:
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 57
Gelombang Optik
cxbxax CeBeAe
Kemudian dengan menggunakan deret Taylor persamaan ini dapat dituliskan
menjadi:
....
!21....
!21....
!21
222222 xccxCxbbxBxaaxA
Dengan mengabaikan suku ketiga dan suku-suku selanjutnya di dalam kurung
maka diperoleh persamaan:
A + B = C
dan
cxBABbxAaxCcxBbxAax
Persamaan ini akan lebih mudah kita dijabarkan dalam bentuk matriks seperti
berikut
Dari persamaan ini diperoleh bahwa
a = b = c
Dengan memperhatikan contoh hubungan matematis tersebut maka dari
persamaan (2.86), jelas bahwa;
2211 sinsin kk
Karena gelombang datang dan gelomban pantul berada pada satu medium yang
sama, yaitu medium 1 dan k1=k2. Sehingga dari persamaan terakhir akan diperoleh
hubungan;
21 …………………………………………………………….(2.87.a)
Kemudian dari persamaan (2.86) tadi, dapat juga kita dapatkan hubungan :
3311 sinsin kk
Karena ncv
k , jadi k sebanding dengan n, maka k1 dan k3 pada persamaan
terakhir dapat diganti dengan n1 dan n3, sehingga persamaan terakhir tersebut
dapat kita tuliskan menjadi:
3311 sinsin nn ………………………………………(2.87.b)
Persamaan (2.87a) dan (2.87b) disebut dengan hukum Snellius.
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 58
Gelombang Optik
2.3.2 Persamaan Fresnell
Setelah dijelaskan tentang hukum Snellius, kali ini akan dibahas perbandingan
amplitudo gelombang pantul dan gelombang bias terhadap amplitudo gelombang
datang, hubungan ini dikenal dengan persamaan Fresnell. Untuk itu perhatikan
kasus tranverse magnetic (TM) seperti yang ditunnjukan oleh gambar (2.9)
gelombang pada gambar ini disebut TM. Karena medan magnetnya tegak lurus
bidang datang.
Gambar 2.9
Kasus TM, gelombang datang dari medium 1 menuju medium 2
Dengan syarat batas di y=0 maka dapat diperoleh hubungan:
Untuk medan listrik:
coscos 321
321
EEEEEE xxx
………………………………..(2.88)
Untuk medan magnet:
32211
321
11 Ev
EEv
BBB
Ingat bahwa B =E/c di vakum atau B =E/v di dalam medium.
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 59
Gelombang Optik
karena
maka:
32211 EnEEn …………………………………………………(2.89.a)
2
2113 n
EEnE ……………………………………………………(2.89.b)
Persamaan (2.89.b) disubstitusikan ke persamaan (2.88) akan dipeleh:
coscoscoscos
coscos
1
21
2
12
212
121
nn
Enn
E
EEnn
EE
Selanjutnya koefisien refleksi koefisien R, sebagai perbandingan medan pantul
terhadap medan datang, jadi:
coscoscoscos
coscos
coscos
21
21
2
1
2
1
2
2
nnnn
R
nnnn
EE
R
TM
TM
……………………………………………
(2.90)
Dari persamaan (2.89.a) , juga diperoleh hubungan:
1
32112
32211
nEnEn
E
EnEEn
………………………..………………………………..
(2.91)
Persamaan (2.90) disubstitusikan ke persamaan (2.88), maka diperoleh:
coscoscos 31
32111 E
nEnEn
E
…………………………..
(2.92)
Selanjutnya didefinisikan koefisien transmisi T, sebagai perbandingan medan bias
terhadap medan datang, jadi:
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 60
Gelombang Optik
cos.cos.
cos..2
21
1
nnn
TTM ……………………………………….(2.93)
coscos.cos.cos.
21
21
nnnnRTE
……………………………………….(2.94)
Persamaan (2.90), (2.92), (2.93), dan (2.94) dikenal dengan persamaan Fresnell.
Apabila n1 > n2 dan sudut bias 090 , maka dari hukum Snellius diperoleh
hubungan:
1
2sinnn
…………………………………………………………(2.95)
Sudut datang yang menghasilkan sudut bias 900 ini, disebut dengan sudut kritis
(Ramalis, 2003). Bila sudut datang lebih besar dari sudut kritis maka terjadi
pemantulan total.
Apabila 090 , maka dari hukum Snellius persamaan (2.87) diperoleh
hubungan:
1
2tannn
……………………………………………………….(2.96)
Sudut datang yang menghasilkan 090 ini, disebut dengan sudut Brewster.
Pada keadaan ini koefisien pantul RTM = 0, artinya gelombang pantul akan
terpolarisasi (Ramalis, 2003).
2.4 Pandu Gelombang
Kita mungkin mengirimkan gelombang elektromagnetik melalui sebuah pipa
logam yang kosong yang tidak mempunyai penghantar pusat. Kita menganggap
bahwa dinding-dinding sebelah dalam dari sebuah pipa seperti itu, atau pandu
gelombang (wave guide) sebagaimana pipa tersebut dinamakan, tidak mempunyai
hambatan dan bahwa penampangnya adalah berbentuk segi empat siku-siku
(Halliday, 1992). Sekarang kita akan mempelajari penjalaran gelombang
elektromagnetik di dalam selubung konduktor kosong. Selubung yang ujung-
ujungnya dibatasi oleh permukaan disebut dengan rongga (cavity). Sedangkan bila
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 61
Gelombang Optik
ujung-ujungnya tidak dibatasi oleh permukaan, disebut dengan pandu gelombang
(wave guide) seperti pada gambar (2.10).
Gambar 2.10
Pandu Gelombang
Diasumsikan bahwa pandu gelombang benar-benar konduktor sempurna, sehingga
di dalam bahan material tersebut berlaku E = 0 dan B = 0. Selanjutnya dimisalkan
gelombang elektromagnetik merambat dengan bentuk fungsi sebagai berikut :
E(x,y,z,t)=E0(y,z)ei(kx-t)
B(x,y,z,t)=B0(y,z)ei(kx-t).......................(2.97)
Persamaan gelombang ini kita substitusikan ke dalam persamaan III Maxwell dan
persamaan IV Maxwell, akan diperoleh :
).98.2......(..............................
).98.2......(..............................
).98.2.......(..............................
).98.2(........................................
).98.2(........................................
).98.2(........................................
2
2
2
fEciikB
yB
eEciikB
zB
dEci
zB
yB
cBiikEy
E
bBiikEz
E
aBiz
Ey
E
zyx
yzx
xyz
zyx
yzx
xyz
Dari persamaan (2.98.b),(2.98.c),(2.98.e), dan (2.98.f), akan menghasilkan solusi
untuk Ey, Ez, By, dan Bz sebagai berikut :
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 62
Gelombang Optik
).99.2........(..............................
).99.2.......(..............................
).99.2.........(..............................
).99.2........(..............................
22
2
22
2
22
22
dy
Ecz
Bkk
c
iB
cz
Ecy
Bkk
c
iB
byB
zEk
kc
iE
az
By
Ekk
c
iE
xxz
xxy
xxz
xxy
Dari persamaan (2.99) tersebut tampak bahwa bila komponen longitudinal Ex dan
Bx diketahui, maka komponen lainnya dapat ditentukan. Dengan kata lain, untuk
memecahkan persamaan Maxwell, kita cukup menentukan komponen
longitudinalnya.
Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (2.99) ke dalam persamaan
Maxwell, kita juga akan memperoleh persamaan differensial dari komponen
longitudinal sebagai berikut :
).100.2.......(..............................0
).100.2......(..............................0
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
bBkczy
aEkczy
x
x
Dengan menggunakan syarat batas pada permukaan konduktor sempurna, yaitu :
)101.2.....(..................................................0ˆdan 0.ˆ BnBn
Dengan n adalah vektor satuan normal pada konduktor, maka kita akan
memperoleh :
Ex = 0 (di permukaan)…………………………....(2.102.a)
0
nBx (di permukaan)…………………………(2.102.b)
Bila Ex=0, disebut gelombang TE (Transverse Electric), bila Bx=0, disebut
gelombang TM (Transverse Magnetic), dan bila Ex=0 dan Bx=0, disebut
gelombang TEM (Transverse Electric Magnetic).
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 63
Gelombang Optik
Pada pandu gelombang berbentuk selubung, kasus TEM tidak pernah terjadi, hal
ini dapat ditunjukkan sebagai berikut :
Bila Ex=0, maka menurut hukum Gauss haruslah berlaku hubungan :
)103.2........(........................................0
zE
yE
zy
Dan bila Bx=0, maka menurut hukum Faraday berlaku hubungan :
)104.2....(........................................0
zE
yE
zy
Karena E=0 di permukaan logam, maka potensial listrik V=konstan pada
permukaan logam. Menurut hukum Gauss atau persamaan Laplace untuk V,
berlaku pula V=konstan di dalam rongga. Ini berarti E=0 di dalam rongga. Dari
persamaan EtB
, berarti B tidak bergantung pada waktu. Dengan
demikian, tidak ada gelombang di dalam rongga.
Seperti halnya untuk semua gelombang berjalan, maka frekuensi dari
gelombang-gelombang elektromagnet yang berjalan ke bawah sebuah pandu
gelombang dapat diubah secara kontinu. Akan tetapi, di dalam sebuah pandu
gelombang yang dimensinya diberikan, maka untuk tiap-tiap ragam transmisi,
yakni untuk tiap-tiap pola dari E dan B, terdapat apa yang dinamakan frekuensi
pancung (cut off frequency) 0. Sebuah pandu gelombang yang diberikan tidak
akan mentransmisikan gelombang di dalam sebuah ragam yang diberikan jika
frekuensi gelombang-gelombang tersebut berada di bawah nilai pancung untuk
ragam yang ada di dalam pandu gelombang (Halliday, 1992).
2.4.1 Pandu Gelombang dengan Penampang Segi Empat
Sekarang kita perhatikan pandu gelombang dengan bentuk penampang
segi empat seperti pada gambar (2.11)
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 64
Gelombang Optik
Gambar 2.11
Pandu Gelombang Segi Empat
Masalah ini merupakan penyelesaian persamaan (2.100) dengan syarat batas
seperti pada persamaan (2.101). Kita dapat menyelesaikannya dengan separasi
variabel sebagai berikut :
Misalkan : Bx(y,z)=Y(y)Z(z)…………………………………………..(2.105)
Substitusi ke dalam persamaan (2.100), menghasilkan :
)106.2.(........................................022
2
2
2
2
YZk
cdzZdY
dyYdZ
Ruas kiri dan ruas kanan persamaan (2.106), kita bagi dengan YZ :
).107.2...(........................................011 22
2
2
2
2
akcdz
ZdZdy
YdY
Persamaan (2.107.a) dapat kita tuliskan dalam bentuk :
).109.2.......(......................................................................1
).108.2......(......................................................................1
).107.2.....(..................................................0
22
2
22
2
22
22
bkdz
ZdZ
akdy
YdY
bkc
kk
z
y
zy
Solusi dari persamaan (2.108.a) adalah :
Y=A sin (kyy) + B cos (kyy)………………………………….(2.109)
Kemudian kita terapkan syarat batas 0dydY
, di y = 0 dan di y = a, diperoleh
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 65
Gelombang Optik
)110.2(................................................................................a
m
atau
...0,1,2,3,..mdengan ma maka),asin(0
0A maka ,0
)sin()cos(
y
yyy
y
yyyy
k
kkBk
Ak
ykBkykAkdydY
Dengan cara yang sama, kita terapkan pada persamaan (2.108.b), akan
menghasilkan :
)111.2.(................................................................................b
nzk
Sehingga persamaan (2.105) menjadi :
)112.2....(........................................b
cos.a
cos.),(
znymBzyBx
Untuk mencari bilangan gelombang k, kita substitusikan persamaan (2.110) dan
persamaan (2.111) ke dalam persamaan (2.107), akan diperoleh :
pancung. frekuensidisebut
)114.2(..................................................bn
am
dengan
)113.2.(............................................................1atau
)113.2......(..............................bn
am
22
mn
22
222
2
c
bc
k
ac
k
mn
Frekuensi pancung terendah terjadi pada m=1 dan n=0, jadi :
ac
10
Frekuensi ini merupakan frekuensi ambang, gelombang dengan frekuensi di
bawah frekuensi pancung 10, tidak akan dirambatkan di dalam pandu gelombang.
Kemudian kita dapat mencari kecepatan group, yang merupakan laju di mana
66ystem dirambatkan, yaitu :
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 66
Gelombang Optik
ddk
dkdvg
1v
atau
g
Kecepatan group ini dapat disederhanakan, yakni dengan mendiferensialkan
persamaan (2.113) terhadap , kemudian hasilnya disubstitusikan ke dalam
persamaan terakhir, akan diperoleh :
)115.2........(............................................................12
mm
g cv
2.4.2 Pandu Gelombang Jalur Transmisi Koaksial
Gambar (2.12) memperlihatkan pandu gelombang berupa jalur transmisi koaksial
(coaxial transmition line), terdiri dari kawat panjang yang diselimuti konduktor
silinder. Kawat panjang ini terletak tepat pada sumbu silinder.
Dengan mengacu pada persamaan (2.98), dapat kita tuliskan :
).118.2..(............................................................0
).118.2.(............................................................0
).118.2.(............................................................0
).118.2.(............................................................0
)117.2......(........................................dan
dz
ByB
cz
By
B
bz
Ey
E
az
Ey
E
EcBEcB
yz
zy
yz
zy
zyyz
Gambar 2.12
Pandu gelombang jalur transmisi koaksial
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 67
Gelombang Optik
Persamaan (2.118) di atas dapat kita cari solusinya dengan menggunakan sistem
koordinat silinder. Dalam sistem koordinat ini :
1
ˆ1
00
00
rcEB
rr
EE
Dengan mensubstitusikan persamaan ini ke dalam persamaan (2.97), serta dengan
mengambil bagian realnya, akan kita peroleh :
)120.2........(..................................................ˆ)cos(
)119.2........(..................................................ˆ)cos(
00
00
rtkx
cE
B
rr
tkxEE
BAB III
PENUTUP
3.1 Simpulan
Berdasarkan pemaparan pada bab sebelumnya, maka dapat ditarik
kesimpulan sebagai berikut :
1. Persamaan gelombang elektromagnetik berdasarkan penurunan persamaan
Maxwell adalah :
012
2
22
tE
cE
012
2
22
tE
cB
2. Arah getar dari gelombang medan listrik adalah tegak lurus pada arah
gerak rambatnya, karena medan listrik E hanya mempunyai komponen-
komponen pada arah yang tegak lurus pada arah rambat. Arah getar
gelombang medan magnet pun tegak lurus terhadap arah rambatnya.
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 68
Gelombang Optik
Sehingga dapat kita simpulkan bahwa gelombang elektromagnetik
merupakan gelombang transversal. Hal ini dapat kita lihat berdasarkan
persamaan berikut :
0),(
z
tzEz
0),(
z
tzBz
3. Pengertian fisik dari vektor poynting yaitu menggambarkan laju energi per
satuan waktu per satuan luas penampang medium yang dilalui oleh
gelombang, baik harga sesaat maupun harga rata-rata, dengan
persamaannya adalah sebagai berikut :
)(1
0
BES
4. Persamaan Maxwell gelombang elektromagnetik dalam medium non
konduktif dan konduktif adalah :
Medium non-konduktif
2 - 2
2
t = 0
Medium konduktif
02
22
tE
tEE
Kecepatan fase gelombang pada medium konduktif lebih kecil dari pada
kecepatan fase gelombang pada medium non konduktif, dengan faktor redaman
dalam perambatan energi adalah z
e2
.
5. Besarnya frekuensi plasma gelombang elektromagnetik adalah :
0
22
mqN e
p
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 69
Gelombang Optik
0
2
mqN e
p
Jika p , maka nilai indeks bias n berupa bilangan imajiner, ini berarti bahwa
gelombang di dalam plasma tersebut akan diredam, dan bila p ,maka nilai
indeks bias n berupa bilangan nyata (real), sehingga gelombang akan diteruskan.
6. Nilai R (koefisien refleksi) dan T (koefisien transmisi) gelombang
elektromagnetik pada kasus pemantulan dan pembiasan adalah :
cos.cos.
cos..2
21
1
nnn
TTM
coscos.cos.cos.
21
21
nnnnRTE
7. Besarnya kecepatan grup gelombang elektromagnetik dengan konsep
pandu gelombang adalah :
ddk
dkdvg
1v
atau
g
3.2 Saran
Adapun saran yang dapat penulis sampaikan kepada pembaca adalah
hedaknya kita memperdalam pengetahuan mengenai persamaan Maxwell dan
gelombang elektromagnetik. Karena persamaan Maxwell merupakan dasar dari
persamaan gelombang elektromagnetik, serta gelombang elektromagnetik tidak
terlepas dari kehidupan manusia sehari-hari.
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 70
Gelombang Optik
Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 71