laporan geometri analitik
DESCRIPTION
lingkaran dan garisTRANSCRIPT
LAPORAN TUGAS
GEOMETRI ANALITIK
Laporan ini disusun untuk melengkapi tugas Geometri Analitik
DOSEN : Bapak Muhammad Syifa’ul Mufid
Disusun oleh:
1. Riko Wijayanto (1215100010)
2. Ayu Ni’matul Fitriyah (1215100013)
3. Hikmatul Ayu Maulydia (1215100031)
4. Indah Rahmadhania (1215100034)
5. Nirwana Fatria Kridayati (1215100070)
6. Anita Puspitasari (1215100094)
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
TAHUN AKADEMIK 2015/2016
SURABAYA
PERMASALAHAN PERTAMA
Diberikan sebarang segitiga ABC dengan titik D, E, F adalah berturut-turut titik
tengah sisi AB, BC, dan CA.
Dimisalkan juga :
L1 merupakan lingkaran luar segitiga ABC
L2 merupakan lingkaran luar segitiga DEF
L3 merupakan lingkaran luar segitiga ADF
L4 merupakan lingkaran luar segitiga BDE
L5 merupakan lingkaran luar segitiga CEF
a. Tentukan perbandingan jari-jari L1 dengan L2
b. Buktikan bahwa L2, L3, L4, L5 merupakan lingkaran dengan jari-jari yang sama
c. Tentukan suatu kondisi agar titik pusat L1 dan L2 berada pada titik koordinat yang
sama. Jelaskan analisa anda.
d. Buktikan bahwa L3, L4, L5 berpotongan pada titik koordinat yang sama.
PENYELESAIAN
a. Perbandingan jari-jari L1 dengan L2
Perbandingan jari-jari L1 dan L2 dapat ditentukan melalui ilustrasi berikut ini.
Terdapat segitiga sebarang ABC dengan DEF sebagai titik tengah masing-masing
sisinya. Masing-masing titik DEF dihubungkan menjadi sebuah segitiga DEF
sebagaimana tampak pada gambar di bawah ini.
Ketika pada ketiga titik ABC digambar sebuah lingkaran luar yang melalui tiga titik
ABC tersebut, maka dapat ditentukan jari-jari lingkaran luarnya.
𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶 =1
2 𝑏𝑐 sin 𝐴 =
1
2 𝑏𝑐
𝑎
2𝑟1
𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶 =𝑎𝑏𝑐
4𝑟1
𝑟1 =𝑎𝑏𝑐
4 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶… … … … . . (1)
Pada segitiga DEF, ketika digambar
sebuah lingkaran luar yang
diasumsikan L2, maka jari-jari
lingkaran tersebut dijelaskan sebagai
berikut.
𝐿∆ 𝐷𝐸𝐹 = 1
2 𝑑𝑒 sin 𝐹 =
1
2 𝑑𝑒
𝑓
2𝑟2
Berdasarkan kesebangunan segitiga, diketahui bahwa luas segitiga kedua yang
dibuat dari perhubungan titik tengah masing-masing sisi segitiga pertama, maka
luas segitiga kedua tersebut adalah seperempat dari luas segitiga pertama, sehingga,
𝐿∆ 𝐷𝐸𝐹 =1
4 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶
1
4𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶 =
𝑑𝑒𝑓
4𝑟2
Diketahui pada awal penjelasan bahwa panjang sisi d, e, f masing-masing
merupakan setengah dari panjang sisi segitiga ABC, berdasarkan ilustrasi dapat
dijelaskan bahwa :
1
4 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶 =
12 𝑐.
12 𝑎.
12 𝑏
4𝑟2=
𝑎𝑏𝑐8
4𝑟2
𝑟2 =𝑎𝑏𝑐
8 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶… … … … … … . (2)
Dari Persamaan (1) dan persamaan (2) dapat ditarik kesimpulan perbandingan
kedua jari-jari lingkaran
𝑟1 ∶ 𝑟2
𝑎𝑏𝑐
4 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶 ∶
𝑎𝑏𝑐
8 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶
Dengan menyederhanakan kedua ruas, maka didapat perbadingan jari-jari
tersebut adalah 2 : 1.
b. Pembuktian bahwa L2, L3, L4, dan L5 memiliki jari-jari yang sama.
Pada pembahasan sebelumnya, diketahui bahwa panjang jari jari L2 adalah
𝑟2 = 𝑎𝑏𝑐
8 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶… … … … … (1)
Panjang jari-jari L3 (dibuat melalui segitiga ADF) dapat ditentukan melalui
ilustrasi sebagai berikut,
a
𝐿∆ 𝐴𝐷𝐹 = 1
2 𝑑𝑓 sin 𝐴 =
1
2 𝑑𝑓
𝑎1
2𝑟3
1
4 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶 =
12 𝑏.
12 𝑐.
12 𝑎
4𝑟3=
𝑎𝑏𝑐8
4𝑟3
𝑟3 =
𝑎𝑏𝑐
8 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶… … … … … (2)
Panjang jari-jari L4 (dibuat melalui segitiga BDE) dapat ditentukan melalui
ilustrasi berikut,
𝐿∆ 𝐵𝐷𝐸 = 1
2 𝑑𝑒 sin 𝐵 =
1
2 𝑑𝑒
𝑏1
2𝑟4
1
4 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶 =
12
𝑎.12
𝑐.12
𝑏
4𝑟4=
𝑎𝑏𝑐8
4𝑟4
𝑟4 = 𝑎𝑏𝑐
8 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶… … … … … (3)
Panjang jari-jari L5 (dibuat melalui segitiga CEF) ditentukan melalui ilustrasi
berikut,
𝐿∆ 𝐶𝐸𝐹 = 1
2 𝑒𝑓 sin 𝐶 =
1
2 𝑒𝑓
𝑐1
2𝑟5
1
4 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶 =
12
𝑏.12
𝑎.12
𝑐
4𝑟5=
𝑎𝑏𝑐8
4𝑟5
𝑟5 = 𝑎𝑏𝑐
8 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶… … … … … (4)
Berdasarkan persamaan (1) hingga persamaan (4), didapatkan hasil bahwa jari-jari
masing-masing lingkaran memiliki pola rumus yang sama. Ini membuktikan bahwa
jari-jari L2, L3, L4, dan L5 adalah sama panjang.
c. Kondisi agar L1 dan L2 memiliki pusat dengan titik koordinat yang sama.
Akan ada suatu keadaan dimana lingkaran L1 dan L2 memiliki titik pusat dengan
koordinat yang sama, yakni pada saat segitiga ABC yang dibuat adalah segitiga
sama sisi. Dengan membentuk segitiga ABC sama sisi maka secara otomatis
segitiga DEF juga merupakan segitiga sama sisi.
Ketika dari masing-masing sudut ABC ditarik garis bagi yang juga merupakan
gari berat segitiga, maka ketiga garis tersebut akan berpotongan pada satu titik yang
sama.
Hal serupa juga dilakukan pada segitiga DEF dan akan berpotongan pada satu titik
yang sama. Titik berat segitiga ABC yang mana sama dengan titik berat segitiga
DEF, merupakan titik pusat lingkaran L1 dan L2 yang mana dalam pembuktiannya
dapat dilihat melalui ilustrasi gambar berikut
d. Pembuktian bahwa L3, L4, dan L5 berpotongan pada titik koordinat yang
sama.
Berdasarkan analisa, ketika dibuat lingkaran luar seperti pada gambar, maka ketiga
lingkaran tersebut pasti akan berpotongan di suatu titik . Dan ketika ditarik garis
tinggi segitiga DEF (segitiga yang dalam), maka ketiga garis tinggi tersebut akan
berpotongan pada satu titik yang sama.
Dan berdasarkan gambar,
tampak pula bahwa titik
perpotongan ketiga garis
tinggi segitiga DEF, juga
merupakan titik
perpotongan dari tiga
lingkaran yang dibuat
melewati titik-titik sudut
segitiga.
Berdasarkan pembahasan
sebelumnya diketahui pula
bahwa ketiga lingkaran
tersebut memiliki jari-jari
yang sama, sehingga
otomatis diameter yang
dimiliki ketiga lingkaran
tersebut juga sama
panjang.
Selain itu, bila titik-titik
sudut segitiga ABC dan titik perpotongan tiga lingkaran dihubungkan oleh suatu
garis, maka garis tersebut akan memiliki panjang yang sama. Serta, berdasarkan
pembuktikan pada komputer, didapatkan hasil bahwa garis yang menghubungkan
titik sudut segitiga ABC dengan titik perpotongan ketiga lingkaran merupakan
diameter lingkaran luar ADF, BDE, dan CEF.
PERMASALAHAN KEDUA
Terdapat segiempat ABCD dengan titik E, F, G, H adalah berturut-turut titik tengah
sisi AB, BC, CD, DA.
a. Jika ABCD segiempat tali busur, apakah EFGH selalu merupakan segiempat tali
busur.
b. Tentukan suatu kondisi agar ABCD dan EFGH merupakan segiempat tali busur.
Jelaskan analisa anda.
PENYELESAIAN
Segiempat tali busur merupakan segiempat yang titik-titik sudutnya berada pada
keliling lingkaran. Ketika diberikan segiempat ABCD yang merupakan segiempat
tali busur lingkaran, dan dibuat segiempat EFGH (segiempat yang dibentuk dari
titik-tengah masing-masing sisi pada segiempat ABCD), TANPA membuat
lingkaran baru yang menyentuh titik EFGH, maka segiempat EFGH mustahil
merupakan segiempat tali busur. Karena, ketika sisi AB, BC, CD, dan DA yang
merupakan tali busur lingkaran diambil titik tengahnya, dan masing-masing titik
dihubungkan, maka jarak antar titik EFGH berada di dalam segiempat ABCD, dan
sisi EFGH berada di perbatasan sisi ABCD. Ini mengakibatkan jarak titik pada
EFGH dibatasi oleh ABCD sehingga EFGH tidak menyentuh lingkaran. Dan
segiempat EFGH BUKAN SEGIEMPAT TALI BUSUR.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan ilustrasi berikut
Dalam gambar tampak bahwa, bila ABCD merupakan segiempat sebarang maka
segiempat EFGH juga merupakan segiempat sebarang. Dalam hal ini menyebabkan
panjang masing-masing sisi EF,FG, GH, dan HE belum tentu sama. Ketika dari titik
EFGH diusahakan dibuat lingkaran baru, maka lingkaran tersebut belum tentu
mencapai titik-titik segiempat EFGH. Ini mengakibatkan EFGH TIDAK SELALU
SEGIEMPAT TALI BUSUR.
Selain itu, syarat sudut yang berhadapan pada segiempat yang merupakan
segiempat tali busur harus berjumlah 180°. Sedangkan bila dianalisis lebih jauh,
sudut yang berhadapan pada segitiga EFGH (contoh: ilustrasi di atas) tidak selalu
berjumlah 180°. Perhatikan gambar berikut,
Agar segiempat ABCD dan segiempat EFGH keduanya merupakan segiempat tali
busur, maka DIBUAT LINGKARAN BARU yang menyentuh titik EFGH. Dan
agar keduanya merupakan segiempat tali busur secara bersamaan, maka harus
dipastikan bahwa panjang ABCD memenuhi syarat agar panjang EFGH juga sama.
Hal ini akan terpenuhi jika ABCD merupakan segiempat sama sisi atau persegi.
Dengan membuat ABCD berupa persegi dan keempat titik sudutnya menyentuh
kelilling lingkaran, maka secara otomatis dengan dalil Phytagoras didapatkan
bahwa segiempat EFGH juga merupakan persegi dan masing-masing titik sudutnya
akan menyentuh keliling lingkaran baru yang dibuat. Hal ini mengakibatkan
segiempat EFGH juga merupakan segiempat tali busur serta sudut yang berhadapan
berjumlah 180°. Untuk lebih jelasnya, perhatikan ilustrasi gambar berikut :
LAMPIRAN FOTO
Gambar 1
Gambar 2
Gambar 3
Gambar 4