laporan praktikum matematika
TRANSCRIPT
1
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Di alam semesta ini, sangat banyak sekali sesuatu yang ada. Mulai dari
yang bernyawa dan mati, cair dan padat, besar dan kecil dan masih banyak lain
sebagainya. Sehingga, dengan banyaknya jenis-jenis tersebut diperlukan suatu
pengelompokan untuk membedakan banyaknya jenis yang melimpah itu. Seperti
pengelompokan hewan menurut apa yang dimakan. Ada kelompok hewan
herbivora, karnivora, dan omnivora.
Begitu juga dengan pengelompokan yang lainnya. Sehingga, didalam ilmu
matematika dipelajari himpunan. Himpunan adalah suatu kumpulan/koleksi dari
objek–objek sembarang. (cara pengumpulan objek–objek itu biasanya berdasarkan
sifat /keadaan mereka yang sama, ataupun berdasarkan suatu aturan tertentu/yang
ditentukan). Dengan himpunan kita akan bisa mengelompokkan objek-objek
dengan suatu keadaan atau sifat yang sama. Didalam aplikasi maple juga
digunakan untuk mengoperasikan himpunan.
Dengan maple akan mudah mengoperasi himpunan secara cepat dan benar.
Sehingga dirasa perlu untuk diadakan praktikum “Pengoperasian Himpunan
Dalam Maple”.
1.2 Rumusan Masalah
Adapun rumusan permasalahan yang akan dibahas diantaranya adalah :
a. Apa yang dimaksud himpunan ?
b. Bagaimana mengoperasikan himpunan dalam maple ?
c. Apa saja jenis-jenis himpunan ?
d. Apa saja sifat-sifat himpunan ?
2
1.3 Tujuan dan Manfaat
1.3.1 Tujuan
Adapun tujuan yang diharapkan diantaranya :
a. Agar mahasiswa paham apa itu himpunan.
b. Agar mahasiswa bisa mengoperasikan himpunan dalam maple dengan benar.
c. Agar mahasiswa apa saja jenis-jenis himpunan.
d. Agar mahasiswa tahu sifat-sifat himpunan.
1.3.2 Manfaat
Adapun manfaat yang akan didapatkan adalah :
Bagi penyusun :
a. Akan lebih tahu mendalam konsep himpunan.
b. Lebih tahu lebih dalam pengaplikasian maple.
Bagi pembaca :
a. Tahu konsep himpunan dan jenis-jenisnya.
b. Mampu mengaplikasikan himpunan dalam maple
c. Tahu perintah apa yang digunakan untuk himpunan dalam maple.
3
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pengertian Himpunan
Untuk bisa memahami apa itu himpunan coba kita perhatikan lingkungan
sekitar kita. Pasti dengan mudah akan menemukan kumpulan/kelompok sebagai
berikut :
a. Kumpulan hewan berkaki dua
b. Kumpulan warna lalu lintas
c. Kelompok tanaman hias
Kumpulan hewan berkaki dua antara lain ayam, itik, dan burung.
Kumpulan hewan berkaki dua adalah suatu himpunan, karena setiap disebut
hewan berkaki dua, maka hewan tersebut pasti termasuk dalam kumpulan
tersebut.
Kumpulan warna lampu lalu lintas adalah merah, kuning, danhijau.
Kumpulan warna lampu lalu lintas adalah suatu himpunan,karena dengan jelas
dapat ditentukan anggotanya. (Dewi Nuharini, 2008)
Sehingga, dengan fakta diatas dapat kita pahami pengertian himpunan.
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan
jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan
yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.
2.2 Notasi Himpunan
Biasanya himpunan dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B,
C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis
dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.
Setiap benda atau objek yang berada dalam suatu himpunan disebut
anggota atau elemen dari himpunan itu dan dinotasikan dengan . Adapun benda
atau objek yang tidak termasuk dalam suatu himpunan dikatakan bukan anggota
himpunan dan dinotasikan dengan .
4
Berdasarkan contoh di atas, A adalah himpunan bilangan cacah kurang
dari 6, sehingga A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Bilangan 0, 1,2, 3, 4, dan 5 adalah anggota atau
elemen dari himpunan A, ditulis 0 A, 1 A, 2 A, 3 A, 4 A, dan 5 A.
2.3 Diagram Venn
Diagram Venn merupakan alat bantu yang dapat digunakan untuk
menggambarkan suatu himpunan, atau menggambarkan hubungan beberapa
himpunan.
Contoh :
S = {x ׀ x < 7, x bilangan cacah }
2.3 Jenis-jenis Himpunan
Jenis-jenis himpunan diantaranya adalah :
2.3.1 Himpunan Semesta
Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang
memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibica-rakan. Himpunan
semesta (semesta pembicaraan) biasanya dilambangkan dengan S. (Dewi
Nuharini, 2008)
Contohnya :
Jika P = {pisang, jeruk, apel, anggur} maka semesta pembicaraan dari himpunan
P adalah himpunan S = {buah-buahan}.Dengan kata lain, S adalah himpunan
semesta dari P. Himpunan S memuat semua anggota himpunan P.
2.3.2 Himpunan Kosong (ᴓ)
. 0 . 5 . 1 . 2 . 6 .4 .3
S
5
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dan
dinotasikan dengan { }atau ᴓ.
Contoh :
Jika P adalah himpunan persegi yang mempunyai tiga buah sisi maka anggota P
tidak ada atau kosong. Himpunan P disebut himpunan kosong (tidak mempunyai
anggota), karena jumlah sisi persegi adalah empat.
2.3.3 Himpunan Berhingga
Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan
berhingga.
Contoh :
Jika suatu himpunan dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya maka
kalian dapat menentukan banyaknya anggotahimpunan tersebut. Jika A adalah
himpunan bilangan prima kurangdari 13 maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dengan n(A) =
5. Himpunan A disebut himpunan berhingga, artinya banyaknya anggota A
berhingga.
2.3.4 Himpunan Tak Berhingga
Himpunan yang memiliki banyak anggota yang tak berhingga disebut
himpunan tak berhingga.
Contoh :
Jika B = {bilangan asli yang habis dibagi 2} maka B = {2, 4,6, ...}, dengan n (B)
= tidak berhingga. Himpunan B disebut himpunan tak berhingga, karena
banyaknya anggota B tak berhingga.
2.4 Sifat-sifat Himpunan
Operasi himpunan memiliki sifat-sifat berikut:
2.4.1 Idempoten
(a) A∩A=A
(b) A∪A=A
2.4.2 Komutatif
(a) A∩B=B∩A
(b) A∪B=B∪A
6
2.4.3 Asosiatif
(a) (A∩B)∩C =A∩(B∩C )
(b) (A∪B)∪C =A∪(B∪C )
2.4.5 Sifat Komplemen
(a)A∪Ac=U
(b)A∩Ac=∅
(c)(Ac)c=A
(d)Uc = dan∅ ∅c=U
2.4.7 Hukum de Morgan
(a)(A∪B)c=Ac∩Bc
(b)(A∩B)c=Ac∪Bc
2.4.4 Distributif
(a)A∪(B∩C ) = (A∪B)∩(A∪C )
(b)A∩(B∪C ) = (A∩B)∪(A∩C )
2.4.6 Sifat Identitas
(a)A∪∅=A
(b)A∩U =A
(c)A∪U =U
(d)A∩ =∅ ∅
7
BAB 3. METODOLOGI
3.1 Alat dan Bahan
3.1.1 Alat
a. PC atau laptop
b. Buku catatan untuk panduan
3.1.2 Bahan
a. Program / software maple
3.2 Cara Kerja
a. Pertama hidupkan PC atau laptop yang digunakan untuk untuk
mengoperasikan maple.
b. Buka program aplikasi maple yang sudah diinstal di PC atau laptop.
c. Kemudian, maple sudah dapat digunakan untuk mengoperasikan himpunan.
8
BAB 4. PEMBAHASAN
4.1 Penulisan Himpunan Dalam Maple
Untuk menuliskan himpunan didalam program maple dengan cara
mendefinisikan himpunan tersebut. Himpunan yang didefinisikan dikurung
dengan menggunakan tanda kurung kurawal ({...}). Untuk lebih paham gunakan
rumus seperti ini :
Huruf sebagai definisi:={himpunannya};
Contoh :
Misalkan A adalah bilangan genap kurang dari 10. Maka didalam maple
dituliskan sepeti ini : A:={2,4,6,8};
Contoh dalam maple :
> A:={1,2,3,4,5,6,7,8,9};
> B:={2,4,6,8};
> b:={hewan,berkaki,empat};
4.2 Perintah-perintah Himpunan Dalam Maple
Pengoperasian himpunan didalam maple tentunya mempunyai perintah-
perintah yang harus digunakan. Berikut beberapa perintah yang digunakan dalam
mengoperasikan himpunan dalam maple :
a. member
Penggunaan perintah member dalam maple digunakan jika ingin mengetahui
kebenaran keberadaan suatu anggota himpunan. Misalkan, himpunan A
mempunyai anggota bilangan genap kurang dari 10, penulisannya : A:={2,4,6,8}.
Misalkan kita ingin mengetahui apakah 6 masuk dalam himpunan A, maka
penulisannya menggunakan rumus seperti ini : member(anggota yang ingin
9
diketahui[koma][spasi]himpunan), jadi penulisannya adalah : member(6, A); jika
memang 6 merupakan anggota A, maka setelah di enter jawabannya true, namun
jika 6 bukan anggota A maka akan terjawab false.
Contoh:
> member(8, A);
> member(3, B);
b. evalb
Penggunaan perintah evalb mempunyai fungsi yang sama dengan perintah
member, yaitu mencari apakah anggota himpunan yang diketahui atau bukan.
Namun, perbedaannya terletak pada penulisannya di maple. Rumus dalam maple
yang harus digunakan jika menggunakan perintah evalb untuk menemukan
kebenarannnya adalah : evalb(anggota[spasi]in[spasi]himpunan). Jawaban yang
diberikan sama dengan penggunaan perintah member yaitu true dan false.
Contoh:
> evalb(3 in B);
> evalb(8 in A);
c. intersect
Penggunaan perintah intersect digunakan untuk perintah irisan (∩). Misalkan,
ingin dicari irisan dari himpunan A dan B. Rumus yang digunakan adalah :
himpunan pertama[spasi]intersect[spasi]himpunan kedua, Maka didalam maple
ditulis seperti sebagai berikut: A intersect B;
Contoh:
> a intersect b;
> b intersect a;
10
> a intersect b;
d. union
Sementara untuk penggunaan gabungan (U) digunakan perintah union.
Misalkan saja kita ingin mencari gabungan dari himpunan A dan B, maka untuk
penulisan rumusnya sama dengan intersect hanya diganti perintahnya. Maka
penulisannya seperti ini: A union B;
Contoh:
> a union b;
> b union a;
> a union b;
e. minus
Perintah lainnya yang juga digunakan pengoperasian himpunan didalam
maple adalah minus. Perintah minus digunakan jika kita ingin melakukan
perintah bukan anggota dari. Misalkan kita ingin mengetahui anggota mana saja
dari himpunan A yang bukan anggota dari himpunan B. Maka dapat
menggunakan perintah minus, yaitu A minus B; .
Contoh:
> A:={2,3,4,5,6};
> B:={4,3,2,1,5};
> A minus B;
11
f. subset
Perintah subset digunakan jika kita ingin mengetahui apakah semua anggota
sebuah himpunan merupakan bagian dari himpunan lainnya. Misalkan, kita ingin
mengetahui apakah anggota himpunan A semuanya juga merupakan anggota
himpunan B. Maka, ditulis menggunakan perintah subset, yaitu A subset B; maka
nantinya jawaban yang akan keluar adalah true dan false.
Contoh:
> A:={2,3,4,5,6};
> B:={4,5};
> A subset B;
> B subset A;
g. remove
Apabila kita ingin menuliskan suatu himpunan yang anggotanya sama dengan
anggota himpunan yang lainnya yang sudah ada didalam worksheet kerja maple
anda tidak usah menulis kembali, cukup menggunakan perintah remove jika ingin
menghapus beberapa anggota dari himpunan yang sama anggotanya. Misalkan,
himpunan A mempunyai anggota bilangan genap kurang dari 10, kemudian kita
ingin membuat himpunan baru yang anggotanya bilangan genap kurang dari 5.
Maka, kita cukup menghapus anggota 6. Misal himpunan baru tersebut
didefinisikan G, maka yang ditulis adalah G:=remove(has,A,6); maka secara
otomatis akan terbentuk himpunan baru yang anggotanya 2 dan 4.
Contoh:
> A:={2,3,4,5,6};
> B:={4,5};
12
> G:=remove(has,A,6);
13
BAB 5. PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Untuk menuliskan suatu himpunan didalam aplikasi maple kita harus
menggunakan tanda kurung kurawal ({..}) dan mendefinisikan anggota yang ada
didalam tanda kurung kurawal tersebut dengan suatu huruf. Untuk lebih jelasnya
kita menggunakan rumus sebagai berikut :
Huruf sebagai definisi:={himpunannya};
Selain itu, didalam mengoperasikan himpunan didalam maple juga diperlukan
beberapa perintah yang perlu diketahui. Diantaranya perintah yang dibutuhkan
adalah:
a. member
Berfungsi untuk mengetahui kebenaran keberadaan suatu anggota dari suatu
himpunan.
b. Evalb
Mempunyai fungsi yang sama dengan member hanya beda penulisan.
c. Intersect
Berfungsi untuk menuliskan operasi irisan.
d. Union
Berfungsi untuk menuliskan operasi gabungan.
e. Minus
Berfungsi untuk mencari anggota mana dari suatu himpunan yang bukan
anggota himpunan lainnya.
f. Subset
Berfungsi untuk mengetahui apakah seluruh anggota dari suatu himpunan
juga termasuk anggota dari himpunan yang lainnya.
g. Remove
Berfungsi untuk menuliskan himpunan baru yang anggotanya sama dengan
himpunan yang lainnya hanya lebih beberapa anggota yang berbeda.
14
5.2 Saran
Dalam menuliskan operasi himpunan didalam maple, ada beberapa hal
yang perlu diperhatikan. Diantaranya adalah sebagai berikut :
a. Diperhatikan penulisan tanda kurung kurawal dengan tanda kurung biasa.
b. Penulisan perintah dengan benar, sebab akan mempengaruhi hasil yang
diperoleh.
c. Jangan menggunakan huruf D dengan kapital pada pendefinisian himpunan,
sebab mempunyai fungsi tersendiri. Jika menggunakan hasilnya akan error.
15
DAFTAR PUSTAKA
Hartono, Yusuf. 2006. Program Ilmu Komputer. Palembang: Universitas
Sriwijaya.
Nuharini, Dewi. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya. Jakarta: Depdiknas.
16
> A:={2,3,4,5,6};
> B:={4,3,2,1,5};
> C:={1,2,3,4,5};
> s:={1,2,3,4,5,6,7,8,9};
1. Idempoten
> A union A;
> A intersect A;
2. Komutatif
> (A union B)union C;
> A union(B union C);
> (A intersect B)intersect C;
> A intersect(B intersect C);
3. Asosiatif
> A union B;
> B union A;
> A intersect B;
> B intersect A;
4. Distributif
> A union(B intersect C);
> (A union B)intersect(A union C);
17
> A intersect(B union C);
> (A intersect B)union(A intersect C);
5. Komplemen
> A intersect(s minus A);
> A union(s minus A);
> s minus(s minus A);
6. Identitas
> A intersect s;
> A union {};
> A intersect s;
> A union s;
> A intersect {};
7. De Morgan
> s minus (A intersect B);
> (s minus A)union(s minus B);
> s minus (A union B);
> (s minus A)intersect(s minus B);