Las cuatro operaciones. básicas con números naturales

ISu~ar no es s~em*pre agregar ni restar

es siempre qUitar

Claudia Broítman

Durante mucho tiempo se ha considerado que los niños debían 'aprender primero a rea­

lizar las cuentas de sumar y restar para luego aplicarlas en situaciones problemáticas. Al

hacer un recorrido por los' diferentes textos escolares o por nuestra propia práctica con

alumnos, reconoceremos dicho "orden" así como seguramente la importancia asignada al

manejo de las cuentas como principal objeto de aprendizaje en los primeros años.

Aprender a sumar y a restar ha sido identificado con el aprendizaje de los algoritmos.

Pero la investigación' didáctica y las prácticas educativas contemporáneas van en otra

dirección: los niños deben aprender en la escuela conocimientos provistos de sentido

(Brousseau, 1986). Es decir, cOnocimientos funcionales que puedan ser realizados para

resolver situaciones problemáticas. Ahora bien. podemos preguntarnos: ¿qué significa,

entonces, saber sumar? ¿Qué significa saber restar? ¿Cuáles son las relaciones entre las

cuentas y los problemas?

Para los alumnos no es suficiente poder resolver las cuentas para estar en condiciones

dé decidir acerca de su empleo. La construcción del sentido de los conocimientos mate­

, máticos involucra. por lo tanto, diferentes aspectos: la suma y la resta incluyen tanto el

dominio de diversas estrategias de cálculo (entre las cuales están los algoritmos) como

el reconocimiento del campo de problemas qUe se resuelven con dichas operaciones.

*En Las operaciones en el primer ciclo. Aportes para el trabajo en el aula, Buenos Aires, Edicio­nes Novedades Educativas, 1999, pp. 9-21.

33

Hoy se sabe, gracias a numerosas investigaciones, que la construcción de estos co­

nocimientos lleva varios años a los niños. Desde esta p~rspectiva es posible cuestionarse

la clásica distribución de la suma y la resta como "temas de enseñanza" de primer año,

la multiplicación como "tema" de segundo y la división de tercero, etcétera. Se,rá nece­

sario asumir la complejidad y el largo plazo de estos aprendizajes (Vergnaud, 1976). En

los diferentes años se precisará generar condiciones para que los alumnos continúen

ampliando tanto el dominio de estrategias de cálculo variadas como de los problemas

que dichas operaciones permiten resolver.

Si se considera entonces que la suma y la resta son un contenido por ser abordado

durante todo el primer ciclo, ¿cómo se pueden ir ampliando progresivamente los cono­

cimientos de los niños sobre estas operaciones? ¿Qué problemas de suma y resta po­

drán resolver los niños en cada año? ¿Cuáles les presentan dificultades, aun cuando ya

dominen los cálculos?

Diferentes problemas de suma y resta

Los ma,nuales escolares han definido clásicamente la suma y la resta como las acciones

de "agregar" y"quitar". Los problemas en los que se trata de agregar o quitar elementos

de una colección son problemas de suma y resta, respectivamente, pero esto no signifi­

ca que todos los problemas puedan ser englobados dentro de dichas acciones.

Hay un amplio espectro de problemas de suma y resta. Adoptamos para este punto

las ideas de Vergnaud (1976, 1981) acerca del campo de los problemas aditivos. Los

problemas de estructura aditiva son todos aquéllos para cuya resolución intervienen

sumas o restas y no pueden estudiarse en forma separada, pues pertenecen a una mis­

ma familia, a un mismo "campo conceptual". Vergnaud propone una clasificación de pro­

blemas según estén involucrados medidas, estados relativos o transformaciones. Veamos el

significado de e$tos últimos conceptos a partir de estas tres situaciones:

"Laura tiene 5 figuritas rojas y 3 figuritas verdes. EI;l total tiene 8 figuritas".

"Laura tiene 5 figuritas y gana 3 er;¡ un partido. Ahora tiene 8 figuritas". C! ,"Laura tiene 5 figuritas y Malena tiene 3 más que ella. Malena tiene 8 figuritas". :

Aunque las tres pueden ser expresadas mediante la operación 5 + 3 =8, las relacio­

nes entre esos números son diferentes en cada una de ellas. En la primera, 5 y 3 son

medidas de la colección de figuritas, en tanto 8 es la medida de la colección total. El 8 no

representa ningún cambio en la cantidad de figuritas. sólo expresa la unión de ambas

colecciones. En el segundo caso, el 5 es la medida de la colección de figuritas, pero el 3

representa una transformación: Laura ha ganado 3 y su colección ha aumentado. Una

transformación positiva se ha operado sobre una medida. El estado inicial de la colec­

ción era 5 y el estado final es 8. La transformación tuvo lugar en un tiempo: antes tenía

5 y ahora tiene 8.

34

~~-_-_-._-__-..._-.-o-~.-r::J.=_._- .... ·0· .. · __

En la tercera situación, el 5 es la medida de una colección, pero el 3 no representa

una medida como en la primera, ni una transformación como en la segunda. El 3 en este

caso representa una relación entre la cantidad de figuritas de ambas niñas.

Estos tres problemas, desde el punto de vista matemático, son equivalentes, pero no lo son

desde el punto de vista de los niños. Numerosas investigaciones muestran (Vergnaud, 1981,

1982; Fayol, 1986) que existen diferencias de varios años entre el reconocimiento de

algunos tipos de problemas de suma y de resta. Esto no significa que sea suficiente "el

paso del tiempo" para que los niños los reconozcan. Por el contrario, a causa de las

dificultades que les son propias, distintos problemas de suma y resta deben ser aborda­

dos como objeto de estudio en la escuela para que sean efectivamente reconocidos por

los niños. En consecuencia, el estudio de la suma y la resta precisa ser encarado' a lo

largo de varios años.

Muchos problemas para las mismas cuentas

Sobre la base de la distinción entre medidas. estados relativos y transformaciones, se

pueden clasificar las relaciones numéricas aditivas en seis categorías. A la vez, en el

interior de cada una de estas últimas encontraremos diferentes clases de problemas.

Esta clasificación es una herramienta interesante para pensar en la distribución por

años de la enseñanza de la suma y la resta: iqué tipos de problemas habitualmente se

plantean en cada uno? iCómo secuenciar su diversidad?

No es esperable que entre los tres años sean distribuidas todas las clases de proble­

mas, pero si que se aborden a lo largo de diferentes años sentidos diversos de la suma

y la resta.

Aclaramos que los nombres de las diferentes categorías o subclases de, problemas

no se presentan para ser comunicados a los niños, sino como instrumento de trabajo

entre los docentes para seleccionar. comparar, analizar y proponer diferentes proble­

mas a sus alumnos. ¿ /-; Para presentar los diferentes tipos de problemas se ha optado por plantear situacio­

nes con el mismo contexto, los mismos números, con textos breves para identificar

mejor las diferencias entre los problemas y el rol que juega cada uno de los números

ir'!Volucrados.

Composición de dos medidas

Ejemplo:"Laura tiene 5 figuritas y Malena tiene 6. En total tienen II figuritas".

Como ya se ha planteado, 5 y 6 son medidas de ambas colecciones y I I es el resul­

tado de una composición de medidas. A partir de esta situación, podemos encontrar

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dos tipos de problemas: si la incógnita es encontrar alguna de las medidas (véase a), o

bien si es encontrar el total (véase b).

a) El problema "Laura y Malena tienen juntas II figuritas. Si Laura tiene 5, lcuántas

tiene Malena?" se resuelve con la operación I I - 5 =6. Muchos niños -dado el

tamaño de estos números- podrán resolverlo sin hacer la resta, procediendo

por conteo a partir de: 5, 6, 7, 8,9, etcétera, o bien buscando un número que

sumado a 5 dé I I Y pensar, por ejemplo, 5 + 5 = 10 Ysi le agrego I para que sea

II es 6.

Justamente, abordar este tipo de problemas implicará trabajar a partir de los proce­

dimientos de conteo y de suma para que en otros problemas con números más grandes

los niños puedan reconocer que se resuelven con una resta.

Por ejemplo: "Laura y Malena tienen entre las dos $ 159. Si Laura tiene 46,

lcuántos tiene Malena?".

Tiene una estructura equivalente al anterior, pero el tamaño de los números dificulta

u obstaculiza el procedimiento de ir contando de uno en uno o de probar con un

número hasta que se encuentre el valor de la incógnita.

Considerar como objeto de trabajo este tipo de problemas significa plantearles a los

alumnos otros similares, primero con números pequeños y luego con números más

grandes, en donde se discuta la diversidad de procedimientos posibles y se analice como

procedimiento económico la utilización de la resta.

A partir de estos análisis y de las conclusiones a las que se arriba en la clase -por

ejemplo: "esto~ problemas se pueden resolver restando", "se puede hacer de muchas

formas, pero restar es la más corta", etcétera-, los niños estarán abordando el aprendi­

zaje de un nuevo sentido de la resta. Este sentido podrá ser abordado a fines de primer

año y especialmente en segundo.

b) Si el problema es, en cambio."Laura tiene 5 figuritas y Malena tiene 6. 1Cuántas

tienen entre las dos?", encontramos una situación que posiblemente no tenga

ninguna dificultad, incluso en el inicio de la escolaridad primaria. Es uno de los

sentidos de la suma que primero reconocen los niños.

Una transformación opera sobre una medida

Ejemplo: "Laura tenía 5 figuritas y ganó 6. Ahora tiene I 1".

En esta situación se opera una transformación en el tiempo sobre las medidas de la

colección. Al principio (estado inicial). Laura tenía 5 figuritas. La transformación (positiva

porque su colección aumentó) hace que luego tenga II (el estado final).

A partir del esquema:

Estado inicial (Ei) - Transformación (T) - Estado final (Ef)

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se encuentran seis tipos de problemas diferentes, segú~ si la transformación sea positiva

o negativa y según el lugar de la incógnita:

a) Transformación positiva. Incógnita en el estado final

"Laura tenia S figuritas, ganó 6. ¿Cuántas tiene ahora?".

En este caso, el sentido de la suma que está en juego tampoco es muy complejo para

los niños. El clásico sentido de la suma como "agregar" fácilmente es reconocible por

los alumnos de primer año como un problema que se resuelve con una suma.

b) Transformación positiva. Incógnita en el estado inicial

"Laura ganó 6 figuritas. Ahora tiene I l. ¿Cuántas tenía antes de jugar?".

La búsqueda del estado inicial es para los niños mucho mas compleja. Diversas

investigaciones (Vergnaud, 1981; Fayol, I 986) muestran que entre los niños que resuel­

ven sin dificultad problemas de búsqueda del estado final, sólo la mitad logra resolver

problemas de búsqueda de estado inicial. En este caso, averiguar cuánto tenía "antes

de jugar" implica un cambio temporal. Suelen ser más fáciles los problemas en los

cuales aquello que hay que averiguar permite aplicar una transformación siguiendo

una cronqlogía con el tiempo real: "se averigua después aquello que efectivamente

sucedió después". En este problema, en cambio, se precisará reconstruir la situación

para comprenderla e interpretar que había una colección desconocida inicial menor a

la colección final dada.

Por otra parte, para resolver este problema hay que restar 6 a I l. Sin embargo, es

un problema en el que "se ganó". ¿Puede un problema en el que se "ganan" figuritas

resolverse con una resta? Esto no será evidente para algunos niños. Nuevamente, nos

encontramos con un sentido de la resta más complejo, que también precisa ser aborda­

do sistemática e intencionalmente en la escuela para ser reconocido por todos los niños.

e} Transformación positiva. Incógnita en la transformación

"Laura tenia 6 figuritas. Después de jugar se quedó con 11. ¿Cuántas ganó?".

Este tipo de problemas también propone un mayor desafío a los alumnos. Muchos

niños identifican el estado final con la transformación y dice que, en realidad, "ganó 11 "

en total. Tienen dificultad en reconocer qué se está preguntando. Se trata de otro pro­

blema por resolver con una resta, aunque se refiera a una transformación positiva. Tam­

poco en este caso a los niños les resulta evidente cuál es la operación.

Es posible que con números muy pequeños lo~ njños utilicen procedimientos de

conteo o de complemento, tanteando cuál es el número que sumado a 6 da I I y

logren resolver el problema. ¿Pero qué sucede con los números mayores? Para poder

reconocer la resta como solución al problema planteado será necesario abordar en el

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aula una secuencia de problemas similares y tomarlos como objeto de discusión y

análisis colectivo.

d) Transformación negativa. Incógnita en el estado final

"Laura tenía 6 figuritas. Perdió 3. ¿Cuántas tiene ahora?".

Este problema no presenta dificultades a los niños, el sentido de la resta involucrado

es de los primeros en ser construido: "perdió y su colección disminuyó". Es bastante

sencillo para los alumnos, incluso en el inicio de primer año, reconocer que se trata de

un problema de resta.

e) Transformación negativa. Incógnita en el estado inicial

"Laura perdió 3 figuritas. Ahora tiene 6. ¿Cuántas tenía antes de jugar?".

Aquí vuelven a aparecer las dificultades que encuentran los niños para hallar el esta­

do inicial. Pero ahora, inversamente a lo planteado en el caso b, se trata de utilizar una

suma en un problema "de perder". La suma tiene un nuevo sentido: permite averiguar

estados iniciales en problemas de transformaciones negativa~. Este sentido de la suma

podrá también ser "descubierto" por los alumnos a través de la resolución de proble­

mas variados y de la discusión colectiva acerca de si es "de sumar" o "de restar".

f) Transformación negativa. Incógnita en la transformación

"Laura tenía 6 figuritas. Después de jugar se quedó .con 3. ¿Cuántas perdió

jugando?".

Para los niños, averiguar una transformación es más trabajoso que encontrar el esta­

do final: en los primeros años no les es sencillo reconstruir la situación y averiguar qué

pasó "en el medio":

Una relación entre dos medidas

Ejemplo: "Laura tiene 7 figuritas. Malena tiene 6 figuritas más que Laura. Malena

tiene 13".

En este caso, el 6 es. un "estado relativo" que vincula al 7 y al 13. Se trata de una

relación estática dado que no hay transformaciones, no "cambian" las colecciones.

Las situaciones que vinculan .dos medidas varían, en primer lugar, según el tipo de

incógnita: la medida de una de las colecciones o la relación entre ambas. En segundo

lugar, varían según como se explica la relación entre ambas: "más que" o "menos que".

38

, ~~'V'",.",

}~I .

1..,

mas.

a)

estado final.

Por ejemplo:

• Variación en el lugar de la incógnita:

a) "Laura tiene 7 figuritas. Malena tiene 6 figuritas más. ¡Cuántas tiene Malena?"

(incógnita en una de las medidas).

b) "Laura tiene 7 figuritas. Malena tiene 13. ¡Cuántas más tiene que Laura?"

(incógnita en la relación).

Variación en el modo de explicitar la relación (más que, menos que):

a) "Laura tiene 7 figuritas. Malena tiene 6 figuritas más. Malena tiene 13",

b) "Malena tiene 13 figuritas. Laura tiene 6 figuritas menos. Laura tiene 7".

A partir de la combinación de ambas variaciones pueden surgir diferent~s proble­

Éstos -también llamados de tipo comparación (Fayol, 1990)- presentan en mu­

chos casos una exige'hcia de mayor elaboración conceptual para los niños que algunas

de las primeras dos grandes categorías. Aparentemente, un obstáculo para su resolu­

ción reside en la co'mprensión de la situación enunciada.

Dos transformaciones se componen para dar lugar a otra transformación

Ejemplo: "Laura perdió en el primer partido 6 figuritas, en el segundo partido

perdió 3 figuritas. En total perdió 9 figuritas".

En este tipo de situaciones, dos transformaciones se componen para dar lugar a una

tercera. También aquí existen diversos tipos de problemas según se trate de transfor­

maciones positivas o negativas y según el lugar de la incógnita.

Incógnita en la composición. Transformaciones negativas

"Laura perdió primero 6 figuritas, luego 3 figuritas. ¡Cuántas perdió en total?".

En este caso, los niños no suelen tener dificultad para encontrar la composición de

dos transformaciones del mismo tipo. Sin embargo, en los primeros problemas que

resuelven de esta clase, los chicos suelen decir que "no se puede saber qué pasó si no se

sabe cuánto tenía" o bien "que no puede haber perdido 6 si no tenía nada antes".

En general, los problemas planteados exclusivamente en términos de transformacio­

nes generan a los alumnos dificultades: no conocen el estado inicial, ni preguntan por el

Otro aspecto por señalar es que, a veces¡ cuando los niños están habituados a resol­

ver problemas similares, se instala en la clase -e incluso algunos textos la proponen

como "pista" para resolver problemas- la idea de que todos los problemas de "perder"

se resuelven con una resta, porque perder implica "tener menos" que antes. Es "intere­

39

sante discutir con los niños para cuestionar esta idea o afirmación. Este problema es un

buen ejemplo de que "algunos problemas de perder se resuelven sumando".

b) Incógnita en una de las transformaciones. Transformaciones negativas

"Laura perdió en el primer partido 6 figuritas. Entre el primero y el segundo

partido perdió 9 figuritas. ¿Cuántas perdió en el segundo partido?".

A los niños suele resultarles más. complejo encontrar una de las transformaciones

que la composición de ambas. En este caso, tienen que hacer una resta para calcular la

pérdida del segundo partido y no siempre les resulta evidente. Del mismo modo que

para alguAas clases de la segunda categoría. este tipo de problemas exige un abordaje

específico en el aula a partir de la resolución de varios problemas similares y la reflexión

sobre los mismos, de tal manera que les permita a los niños reconstruir la situación. Es

decir, este sentido de la resta se propone para ser "estudiado" en la clase.

e) Incógnita en la composición.Transformaciones positivas

"Laura ganó en el primer partido 6 figuritas, en el segundo ganó 3 figuritas.

¿Cuántas ganó en total?".

En este caso, los niños no suelen tener dificultades, pues hay que sumar dos núme~

ros positivos.

d) Incógnita en una de las transformaciones. Transformaciones positivas

"Laura ganó en el primer partido 6 figuritas. Entre el primero y el segundo

partido ganó 9 figuritas. ¡Qué pasó en el segundo partido?".

La pregunta que aquí se formula provoca en los alumnos alguna perplejidad acerca

de lo que tienen que averiguar. Otro aspecto ya mencionado es la aparente contradic·

ción: "un problema de ganar se puede resolver restando". Esel caso inverso del analiza­

do en a.

Con respecto a los procedimientos utilizados; es frecuente que realicen un conteo

para tener mayor control de su actividad comparado con el que exige un cálculo. Es

posible .que también puedan realizar un tanteo con diferentes números, o que precisen

realizar una representaCión gráfica de la situación.

El trabajo en el aula estará dirigido a que los alumnos reconozcan que este problema

puede ser resuelto por medio de una resta. Esta operación aparece en la clase como un

producto colectivo. aunque haber llegado a esta conclusión no implica que en un nuevo

problema directamente todos los niños "confíen" en que la cuenta de restar lo resuelve.

Será necesario abordar varios problemas de este tipo. Posiblemente, durante un tiempo

los niños sólo puedan reconocer la resta a posteriori de su resolución.

40

..

e) Incógnita en la composición. Una transformación positiva y una negativa

"Laura perdió en el primer partido 6 figuritas, en el segundo partido ganó 3

figuritas. (Qué pasó en total?".

En este ejemplo deben "agregarse" dos números de signó contrario. Según el tamaño

de los números esto se torna más complejo. Los niños suelen decir que "no puede

haber perdido más de lo que ha ganado", y exigen conocer el estado inicial de figuritas

para evaluar si es posible o no. No reconocen que puede haber perdido más de lo que

ha ganado, pues existe un estado inicial de figuritas desconocido. Suponen que, como

no se plantea en el enunciado cuánto tenía Laura antes de jugar, empezó a hacerlo sin

ninguna figurita, y por lo tanto no pudo haber perdido más de lo que ha ganado.

Seguramente será necesario analizar qué sucedería con diferentes estados iniciales

hipotéticos discutiendo acerca de si es posible o no en cada caso. Será necesario plan­

tearlo con números pequeños, inclusive a los niños de tercer año, para que. puedan

"controlar" los cálculos que hacen y centrarse en el enunciado del problema. A muchos

niños del segundo ciclo esta situación aún les resulta compleja.

o Incógnita en una de las transformaciones. Una transformación positiva y una

negativa

"Laura perdió en el primer partido 6 figuritas, dice que entre ambos partidos

perdió 3 figuritas. ¿Qué pasó en el segundo partido?".

En este último caso se incrementa la dificultad, ya que la operación y el valor de la

transformación total dependen de la magnitud de los valores de las transformaciones.

Hasta en niños del segundo ciclo de la escolaridad aparecen dificultades para resolver

este problema, aun cuando se les plantee con números pequeños. La operación que re­

suelve el problema es muy simple, sin embargo, el problema no lo es, porque en él está

involucrada una compensación entre las ganancias y las pérdidas que dista de ser sencilla.

Este problema de suma y resta puede ser propuesto a finales de tercer año con

números muy pequeños. Posiblemente utilicen procedimientos diversos para resolver­

lo. Se propondrá como trabajo colectivo posterior a la resolución, la búsqueda del

cálculo que hubiera permitido encontrar la solución.

Una transformación opera sobre un estado relativo

Ejemplo: "Laura le debía 6 figuritas a Malena. Le devuelve 4. Ahora sólo le debe 2".

En esta situación, el 6 y el 2 son estados relativos, es decir, que vinculan a Laura y a

Malena. El 4 es una transformación. En· el interior de esta clase de situaciones pueden

plantearse diferentes problemas, según si la transformación es positiva o negativa y

41

. +

...~... -_._- ... -_....._-----~--------

según si se trata de conocer el estado relativo inicial, el estado relativo final o la trans­

formación que se ha operado. No plantearemos aquí todas la posibilidades porque son

similares a las ya analizadas para otras categorías.

Dos estados relativos se componen para dar lugar a otro estado relativo

Ejemplo: "Laura le debe 6 figuritas a Malena, pero Malena le debe 3 a Laura.

Laura entonces le debe sólo 3 figuritas a Malena".

En esta situación, los estados relativos 6 y 3 se componen y el 3 es el resultado de la

compensación entre ambos. Es bastante similar a la cuarta categoría, en donde dos

transformaciones se componen para dar lugar a una tercera, pero la diferencia radica

en que en este caso no hay un orden temporal. Hay simultaneidad entre los estados

relativos. En este caso, el cálculo del estado relativo final surge de restar 3 a 6, lo cual

puede no ser evidente para los niños.

El tamaño de cada uno de los números determina por otra parte el estado relativo

que se ha compuesto. En este problema se debe evaluar "quién le debe a quién"

además de cuánto le debe. Esto se determina a partir de la magnitud de cada una de

las "deudas".

Veamos un ejemplo diferente: "Laura debe 3 figuritas a Malena y 6 figuritas a Carina.

En total debe 9 figuritas".

Aquí, los estados relativos de Laura se suman porque están vinculados a diferentes

personas. Estas situaciones pueden variar si la búsqueda está en uno de los estados

relativos o en la composición de ambos y, como hemos visto en los ejemplos, si los

estados relativos se complementan o compensan entre sí o no.

Los problemas en el aula: un trabajo colectivo

Hasta este momento se han presentado una gama de situaciones y se han destacado las

que ofrecen un mayor desafío para los alumnos; justamente por ello proponemos con­

siderarlas como objeto de trabajo en la clase. La ampliación del tipo de problemas que

los niños pueden resolver en la escuela exige un trabajo específico. Los problemas adi­

tivos no constituyen una clase homogénea, presentan una estructuración que se desa­

rrolla durante un largo periodo.

Considerar como objeto de enseñanza a los problemas significa asumir su amplitud

y su diversidad interna. Seguramente los niños tendrán dificultades para resolver indivi­

dualmente muchos problemas. Proponemos, en primera instancia, una fase de trabajo

individual en la que es esperable que aparezcan variados procedimientos de resolución

y diferentes respuestas al problema (si todos los niños resolvieran bien el problema, y

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del mismo modo, estaríamos ante un problema de reinversión o de aplicación, no en

una situación de aprender algo nuevo).

Una vez que los niños han resuelto individualmente o en parejas el problema, se

plantea unainstanciq de trabajo colectiva. En esta fase se comunican las diferentes res­

puestas al problema y los procedimientos utilizados. El docente provoca luego un deba­

te para analizar las diferentes. respuestas. Es recién en el momento de discusión y de

análisis del problema por el conjunto de la clase que puede quedar instalada la solución

correcta y posibles modos de resolverlo.

El trabajo colectivo es una nueva oportunidad para que los niños reorganicen aque­

llo que saben sobre los problemas. Con posterioridad a esta fase de debate se subrayan

las conclusiones a las que se ha arribado y se registra la solución. En otras clases, el

maestro enfatiza algún procedimiento como el más económico. El objetivo de este

momento de la clase es que dicho conocimiento sea reinvertido en otros nuevos y para

ello será necesario que los niños puedan tomar conciencia de qué han aprendido con

este problema.

Fragmentos de una clase ¿de sumar o de restar?

Presentamos un extracto de una clase' para ilustrar la fase colectiva de trabajo luego de

la resolución individual. En esta clase, la maestra plantea a los niños, a finales del primer

año, el siguiente problema perteneciente a la segunda categoría del tipo "búsqueda de

estado inicial con una transformación negativa".

"Lucas tiene ahora 25 figuritas. Ayer perdió 15. ¡Cuántas tenía antes de

perderlas?" .

La docente les propone a sus alumnos que lo discutan y resuelvan en grupos, les

entrega una copia del problema, les pide que escriban la respuesta. Anuncia que luego

conversarán entre todos sobre el problema. Luego de un tiempo de trabajo en peque­

ños grupos, les pregunta a sus alumnos:

Maestra: ¡Qué hicieron en cada grupo?

Un alumno de cada grupo expone:

Alumno del grupo A: Había que pensar cuántas tenía que tener para quitarle 15.

Ya tiene un 5, entonces le saco 10. Nos dio 35.

Alumno del grupo B (explicando el procedimiento utilizado para sumar ambos

números): Hacemos 20 + 10 = 30; 5 + 5 = 10 Y30 + 10 = 40.

Alumno del grupo C: Hacemos 25 + 15 Ynos dio 40. 25 + 10 = 35 Y35 + 5 = 40.

1 Clase conducida por la docente Mariana López, maestra de primer año en la Escuela para el Hombre Nuevo, a quien agradezco el registro de la discusión y el material de sus alumnos.

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Alumno de grupo D: Habíamos hecho 25 - 15, pero a mí se me ocurrió que podía dar

15. Yo había hecho un problema así, el otro día hicimos uno, entonces daba 15.

Alumno del grupo E: Hicimos la cuenta 25 - 15 Ynos dio 10.

Alumno del grupo F: Nos dio 40. Hicimos 20 + 10 = 30; 30 + 5 =35 Y35 + 5 =40.

Transcribimos a continuación un fragmento de la discúsión posterior:

Alan: lDe dónde sale el otro S? (Preguntando acerca deiS que algunos chicos

"separan" para hacer los cálculos).

Tomás: Es cuanto tenía antes.

Gastón: Yo pongo el 15 Y el 5 ya está en el 25.

Guido: El 25 también tiene un 15. ¿Viste? Te pregunta antes, antes de perderlas.

Antes tenía ese 15 menos.

Jerónimo: ¡Más!

Gaby: ¡Era de menos!

Guido: ¡De más!

Gastón: Si yo le saco 25 - 15...

Guido: Lo tenía que sumar.

Gastón: Mirá, si a 25 -¡ya te lo dije, por si no me entendiste!- le sacan 15...

Guido: Es de sumar.

Tomás:Te vaya leer el problema a ver si lo entendés. (Lee el problema.) Antes

de perderlas tenía 40.

Jerónimo: Cuánto tenía antes.

Gaby: La cuenta es de menos.

Malena: ¡Es de menos!

Guido: ¡Es de más! ¡Cuántas tenía antes! Ahora tiene 25. Antes tenía más. '! ~

;j

Diana: Cada uno lo hizo como pudo ...

Tomás: Esto es Forum (aludiendo a un programa televisivo de debate).

Alan: Si el resultado "daría" 40, ¿cómo haría para sacarle 15 a 25 y que me dé 40?

Podemos analizar un aspecto de la tarea del docente: en la fase de la discusión que se

ha transcrito no da "pistas" acerca de cuál es la respuesta correcta, sino que favorece el

intercambio entre los alumnosacerca de dicho resultado. Luego del fragmento presen­

tado continúa la clase, y en esta fase la docente interviene del siguiente modo: retoma

lo planteado por los alumnos, se vuelve a analizar lo planteado por el problema, se

destaca el resultado correcto, favorece la justificación por parte de los alumnos del

mismo, propone modos de "comprobarlo" (por ejemplo, con cuentas, con dibujos, que

muestren que si Lucas antes tenía 40 y perdió 15, ahora le quedan 25).

Los niños plantean sus dudas y, finalmente, la docente aclara que podía resolverse

de diferentes modos (se muestran cuáles), pero que el resultado es 40. Se analizan las

respuestas erróneas de los alumnos. Posiblemente la niña que dijo "cada uno lo hizo

como pudo" había pensado que tal vez todos estaban bien, como había sucedido en

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otras clases con problemas abiertos de varias soluciones. Si así fuera sería necesario

poner en discusión si este problema tiene una sola solución o varias.

La maestra pregunta a los niños:

Maestra: ¿Por qué a algunos chicos les parece un problema que se resuelve con

una cuenta de menos?

Gaby: Porque perdió y no ganó.

Santiago: Si yo tengo 25 y le pongo I O Y 5, es 40.

Gastón: La cuenta no dice cuánto tiene ahora, sino cuánto tenía antes (resaltan­

do esta palabra).

El nivel de dificultad experimentado por los alumnos para comprender que había

que averiguar lo que tenia "antes" se refleja en la manera en que es resaltado este

aspecto por varios niños a sus compañeros. Para estos alumnos, entender qué se pre­

guntaba por información sobre el"antes" parecía ser la clave para comprender el pro­

blema y por eso lo subrayaban ante sus compañeros que restaban.

La dificultad de Gaby en reconocer que se trataba de sumar cuando era un problema

"de perder", muestra otro aspecto mencionado.

Evidentemente, esta discusión no agota el proceso necesario para este aprendizaje.

Simplemente es el inicio de un largo recorrido que apunta a instalar la reflexión infantil

acerca de si el problema es "de menos o de más". Estas discusiones sientan preceden­

tes para nuevos problemas. Como dijo Malena, la representante del grupo D que hable.:

al principio: "yo había hecho un problema así el otro día".

y aunque esta vez su conclusión no fue correcta, podrá aprender que los problemas

resueltos otro día le permiten pensar sobre los nuevos y la ayudarán a seguir aprendiendo.

Bibliografía * Brousseau, G., Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques, tesis, Burdeos, 1986.

Fayol, M., L'enfant et le nombre", París, Delachaux et Niestlé, 1990.

Vergnaud, G., El niño, las matemáticas y la realidad, problema de las matemáticas en la escuela, Méxi­

co,Trillas, 1981.

* Se reproducen únicamente las fichas que aparecieron en el original [N. del ed.].

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