las derivadas en cinemática -...

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Las derivadas en cinemática 1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN: MOVIMIENTO RECTÍLINEO 1.1.- Introducción al concepto de derivada 1.2.- Definición de derivada de una función en un punto 1.3.- Definición de la función derivada de una función derivable 1.4.- Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto. 1.4.1.-Aplicación 1.5.- Derivada segunda de una función: aceleración 1.6.- Aplicación de la derivada al movimiento vibratorio armónico 1.7.- Ejercicios de aplicación 1.8.- Solucionario de los ejercicios de aplicación

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1.1.- Introducción al concepto de derivada. Supongamos que un móvil se desplaza a lo largo del eje X, de modo que la ecuación de la posición frente al tiempo es de la forma

86t2tx 2 +−=

Queremos determinar las características del movimiento representado por la ecuación anterior. Vamos en primer lugar a dar valores numéricos a la variable independiente t y obtener, por simple cálculo, los correspondientes valores de la variable dependiente, que en este ejemplo es la posición del móvil. Desde un punto de vista matemático no hay inconveniente en que t tome valores negativos, sin embargo, el sentido físico del movimiento nos indica que cuando éste se controla, se hace generalmente a partir del instante t igual a cero y los valores de t son positivos. En aquellos movimientos en los que la experiencia permite sospechar que sus magnitudes características no se modifican en el transcurso del tiempo, la ley del movimiento permite responder a las siguientes preguntas.

a) ¿Dónde se encontraba el móvil en un tiempo antes del actual?.La respuesta se obtiene para los valores negativos del tiempo.

b) ¿Dónde se encontrará en un tiempo futuro?. La solución se obtendrá para valores positivos de t.

Si damos valores a la ecuación x=f(t) obtenemos los correspondientes de x. Los resultados se encuentran en la tabla 1.

Tabla 1-1

t/s 0 1 2 3 4 5 6 7 x/m 8 4 4 8 16 28 44 64

Una simple inspección visual de la tabla 1-1 nos indica que es interesante conocer las posiciones del móvil entre los tiempos t=1 s y t=2 s , puesto que a ambos valores del tiempo le corresponde la misma posición . Por esta razón completamos la tabla 1-1 con una serie de valores que aparecen recogidos en la tabla 1-2

Tabla 1-2

t/s 1 1,25 1,50 1,75 2 3 4 5 x/m 4 3,63 3,50 3,63 4 8 16 28

Para t=1,5 s aparece un valor mínimo para la posición del móvil .Cabe, ahora, preguntarnos si realmente elñ valor mínimo de x ocurre para el tiempo t=1,5 s , o existe otro valor de t que proporciona un valor más pequeño a x . La solución a esta cuestión la resolvemos hallando la primera derivada de la función x=x(t) e igualando a cero

3

s1,50t064tx´dtdx

=⇒=−==

Ya estamos seguros que el valor mínimo de la posición del móvil ocurre cuando t = 1,5 s. Hablamos de mínimo y no de máximo dada la tendencia que muestran los valores recogidos en la tabla 1-2. Desde el punto de vista matemático podemos asegurar que el valor de t=1,5 s es mínimo, si hallamos la segunda derivada de la función x=x(t)

04´´dtdx´

dtxd2

>=== x

Al ser x´´(t) >0 , esto es positivo, nos aseguramos que para t=1,5 s corresponde un valor mínimo de x. Representamos los valores numéricos de las tablas 1-1 y 1-2, colocando las posiciones en el eje de ordenadas y los tiempos en el de abscisas (fig.1-1)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4 5 6 7 8

tiempo; t/s

Posi

ción

, x/

m

Fig.1-1 La figura 1-1 nos da las posiciones del móvil frente al tiempo. Destaquemos que no es la representación de la trayectoria del móvil ya que éste se mueve a lo largo de una línea recta. De la mencionada figura es posible deducir un esquema que nos identifique las posiciones del móvil sobre la recta por donde se desplaza . La imagen obtenida nos proporciona una visión global de la manera como se desplaza el móvil a lo largo de su trayectoria.(fig. 1-2)

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Fig 1-2

El móvil se desplaza sobre un línea recta. En el tiempo t= 0 se encuentra en la posición + 8 m, se desplaza hacia la izquierda de modo que a t=1,5 s se encuentra en la posición x=+3,5 m. Da la vuelta y se desplaza hacia la derecha, vuelve a pasar por la posición x=+ 8 m cuando t es 3 segundos. Sigue desplazándose hacia la derecha y a t= 6s se encuentra a 44 m de la posición x=0. Se puede cometer el error de decir que la longitud recorrido por el móvil entre t=0 y t =3 segundos es nula y esto no es cierto a pesar de que en esos instantes el móvil ocupa la misma posición. De la figuras 1-2 podemos deducir que los desplazamientos realizados entre esos instantes son:

4,508,003,50x(0)x(1,5)d1 −=−=−= ; El signo menos indica que el móvil camino hacia la izquierda

4,50 4,50-8,00x(1,5)x(3)d 2 +==−= . El signo mas indica que el móvil camino hacia la derecha La longitud recorrida es la suma de los valores absolutos de los desplazamientos

m9,004,504,50ddl 21 =+=+= Si nos limitásemos a calcular la longitud por la diferencia entre las posiciones el resultado es cero, lo cual es erróneo. El lector debe estar preparado para no cometer tal incorrección. Hasta el momento en el análisis del movimiento han aparecido dos magnitudes la posición y el tiempo (instante temporal).Una magnitud importante en el movimiento es la que relaciona la diferencia entre dos posiciones (desplazamiento) y la diferencia entre los instantes correspondientes a esas dos posiciones (intervalo temporal). El cociente entre el desplazamiento y el intervalo temporal recibe el nombre de velocidad media del móvil.

12

12m tt

)x(t)x(tv−−

=

La velocidad media es un término que ya pertenece al vocabulario corriente. Físicamente representa la velocidad que de forma constante habría de llevar un móvil ficticio, para que pasase por las posiciones inicial y final en los mismos instantes que lo hace el móvil real y además recorriese la misma trayectoria rectilínea. Debemos resaltar que la velocidad media de casi todos los movimientos depende de las posiciones que se elijan para calcularla. Por ejemplo.

10 20 30 40 50 60 70

t=0 ; x=+ 8 m

t=1,5 s ; x=+3,5 m t=4 s ; x=+16 m t=6s; x=+44 m

x=0

5

vm (entre t=1,00 s y t = 1,50 s)sm1,00

1,001,504,003,50

−=−−

=

vm (entre t=1,00 s y t = 2,00 s)sm0

1,0000,24,004,00

=−−

=

vm (entre t=2,00 s y t = 3,00 s)sm00,4

2,003,004,008,00

+=−−

=

La velocidad media puede ser positiva, negativa o nula. A pesar de la utilidad de la velocidad media no deja de llamar la atención sus valores, que difieren notablemente de la velocidad que en cada instante lleva el móvil. Por ello parece necesario establecer una velocidad instantánea o velocidad que lleva el móvil en cada instante temporal. Parece razonable que si queremos obtener la velocidad en el instante t=3 s, debemos calcular cómo varía la velocidad media a medida que se toman posiciones más y más cercanas a los t = 3 s. Vamos a calcular las velocidades medias para posiciones cuya x sea menor que la correspondiente a t= 3 s y para valores cuya x sea mayor. En ambos caos tomaremos intervalos de tiempos cada vez más pequeños acercándonos al instante t = 3 s.. Estos cálculos los hacemos pensando que a partir de los valores numéricos seamos capaces de deducir alguna relación que nos permita calcular la velocidad instantánea en t= 3 s. Los cálculos los resumimos en la tabla 1-3

Tabla 1-3

Velocidad media, vm (entre 2 y 3 segundos) =sm00,4

23x(2)x(3)

=−−

Velocidad media, vm (entre 2,5 y 3 segundos) =sm50,5

2,53x(2,5)x(3)

=−−


2,93x(2,9)x(3)

=−−


2,993x(2,99)x(3)

=−−


2,9993x(2,999)x(3)

=−−

Velocidad media, vm (entre 3 y 4 segundos) =sm00,8

34x(3)x(4)

=−−

Velocidad media, vm (entre 3 y 3,5 segundos) =sm00,7

33,5x(3)x(3,5)

=−−


33,1x(3)x(3,1)

=−−


33,01x(3)x(3,01)

=−−


33,001x(3)x(3,001)

=−−

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De estos valores convenientemente ordenados parece deducirse que la velocidad instantánea en el tiempo t = 3 s esté comprendida entre:

6,002(3s)v5,998 i << La intuición parece indicarnos que la velocidad instantánea puede ser vi= 6 m/s. Esta intuición que en general se muestra muy útil en los trabajos de las ciencias experimentales y que nos ha permitido deducir un probable valor de la velocidad instantánea, no parece que tenga el suficiente rigor matemático para afirmar con toda seguridad que estamos acertados al asignar la velocidad anterior, por tanto, aparece de inmediato una pregunta ¿Podemos llegar a saber el valor de la velocidad instantánea en el tiempo t = 3 segundos? Para responder a este interrogante hemos de recurrir a las matemáticas y razonar con el rigor que impone esta ciencia. 1.2.- Definición de derivada de una función en un punto Sea x= x(t) una función real de variable real definida en un intervalo de la recta real. Si to es un punto del intervalo (a,b) , decimos que x=x(t) es derivable en to si existe el límite del cociente

( )h

)x(thtx oo −+

cuando h tiende a cero. Este límite, cuando existe, es un número real que se representa por x´(to) y se lee x´ de t subcero, notación de Lagrange, o por

)(tdtdx

o

Y se lee, derivada de la función x, respecto a la variable t en el punto to. Notación de Leibniz. La notación abreviada de todo lo anterior puede hacerse de la siguiente manera:

( )h

)x(thtxlim)(t

dtdx)x´(t oo

oo 0h−+

== →

En el ejemplo que nos ocupa to = 3 s, podemos escribir recordando que 86t2tx 2 +−=

( ) ( ) ( ) ( )

( )sm662hlim

h6h2hlim

h83632-8h36h32lim

hx(3)h3xlim(3)

dtdxx´(3)

0h0h

0h0h2

22

=+=+

=

=+⋅−⋅++−+

=−+

==

→→

→→

la velocidad instantánea para to= 3 s es la derivada de la función

64tx´(t);86t2tx(t) 2 −=+−=

En el instante to= 3 s, sm6634x´(3) =−⋅=

Si deseamos calcular la velocidad instantánea para otro tiempo, por ejemplo, to= 4 s, el procedimiento es el mismo

7

( ) ( ) ( )

( )sm100h0h

0hlh

x(4)h4x0h

102hlimh

6h16h2hlim

h

846428h46h42imlim(4)v

2

22

i

=→=→=

=→=−+

→

+−+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅−⋅−++−+

=

Calculemos las velocidades medias para posiciones próximas a to= 4 s, de la misma manera que lo hicimos para to = 3s. Los resultados están recogidos en la tabla 1-4.

Tabla 1-4

∆t/s 3,9-4, s 3,99-4 s 3,999-4 s 4-4,1 s 4-4,01,s 4-4001,s vm/ms-1 9,80 9,98 9,998 10,2 10,02 10,002

sm10,002 v

sm 9,998 i <<

Análogamente nos podemos plantear el estudio de la velocidad instantánea en cada punto en el intervalo (0,7 s) y observamos que si el punto es interior a dicho intervalo, el estudio de dicha velocidad instantánea es idéntico al realizado en los dos casos anteriores, esto es, tomando un valor de h suficientemente pequeño, podemos conseguir valores de x(t) tanto a la derecha como a la izquierda del punto, pero si tomamos el instante t=0 ¿podremos conseguir valores de x(t) a la izquierda del punto t=0?.En muchos movimientos, la respuesta es negativa ya que no parece tener sentido el dar valores negativos a la variable tiempo. Operaremos calculando las velocidades medias para tiempos mayores de t=0 y de los valores obtenidos se intuirá si esas velocidades medias se acercan o tienen por límite algún valor numérico. Los resultados se recogen en la tabla 1-5.

Tabla 1-5

∆t/s (intervalo) 0 (0-0,0001) (0-0,001) (0-0,01) (0-0,1) vm/ms-1 vi -5,9998 -5,998 -5,98 -5,80

Los valores numéricos parecen indicar que a medida que el tiempo tiende hacia el valor t=0, la velocidad media tiende al valor – 6 m.s-1. Aquí tomamos los tiempos para t=0 para valores de t>0 que son para los cuales existe x(t). Desde el punto de vista matemático esto equivale a la derivada por la derecha de un punto que expresamos

hx(0)h)x(0lim)0x´(t

0h

0h−+

==

>

→+

De igual forma, si consideramos que el estudio del movimiento lo hacemos en el intervalo t=0 a t =+7 s ¿cuál es la velocidad instantánea para to= 7 s Podemos calcular velocidades medias entre posiciones a las que corresponden tiempos menores que to = 7s, tal como se resume en la tabla 1-6.

8

Tabla 1-6

∆t/s (intervalo) 7 (7-6,9) (7-6,99) (7-6,999) (7-6,9999) vm/ms-1 vi 21,8 21,98 21,998 21,9998

Matemáticamente esto equivale a la derivada por la izquierda de un punto que expresamos

hx(7)h)x(7lim)7x´(t

0h

0h−−

==

>

→−

Resumiendo todo lo anterior, obtenemos los siguientes resultados, tabla 1-7.

Tabla 1-7

t/s 0 1 2 3 4 5 6 7 vi/m.s-1 -6 -2 2 6 12 14 18 22

A la vista de los resultados anteriores cabe hacerse la siguiente pregunta ¿Existe una función real de variable real con la propiedad de que su valor en cada instante t=to nos dé la velocidad instantánea en to?, es decir, ¿existe una función real que nos haga corresponder de forma única al valor 0 el -6, al 1 el -2, al 2 el 2 …….? La pregunta equivale desde el punto de vista matemático a esta otra: ¿Existe una función que nos dé en cada punto el valor de la derivada de otra función? 1.3.- Definición de la función derivada de una función derivable Sea x una función real de variable real, derivable en todos los puntos de un cierto intervalo I de R (si es cerrado se toman las derivas laterales en los extremos) Se llama función derivada de la función derivable x, a otra función definida en el mismo intervalo I que hace corresponder a cada to I∈ , el número real x´(to).

A la función derivada de la función derivable x se denota por x´ o por dtdx y se lee ´´derivada

primera de x´´. Así en el ejemplo propuesto, la función 4t-6 nos da la derivada en cada punto de la función x(t)=2t2-6t+8, es decir , x´(t) = 4t-6 es la función derivada de x(t) o derivada primera de x(t). 1.4.- Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto La derivada aparece en las matemáticas al dar solución al problema de hallar la tangente en un punto a la gráfica de una función x=x(t). En la figura 1.3, hemos representado la gráfica de la función x=x(t). Si tomamos el punto genérico t y otro punto t+∆t de su dominio de definición, obtenemos los puntos de la gráfica

[ ] [ ]∆tx(t,∆ttyx(t),t ++

9

La recta secante r, que une estos puntos tiene por pendiente m = tag α

Fig 1-3 De la figura 1.3 deducimos:

( )∆t

x(t)∆ttxαtag −+=

Al tender ∆t a cero, la recta secante r tiende a la recta tangente T de la gráfica x=x(t) en el punto [ ]x(t),t ;por lo tanto, la pendiente de esta recta tangente es:

( )∆t

x(t)∆ttxlim 0−+

→∆t

Es decir, la pendiente de la tangente a x=x(t) en el punto de abscisa t viene dada por x´(t). La ecuación de esta tangente* es:

( )txx´(t)x(t)y −=− * Recordemos que la ecuación de una recta en su forma punto-pendiente es: ( )oxxmoyy −=− Que representa la recta que pasa por el punto (xo,yo) y tiene de pendiente m. 1.4.1- Aplicación Vamos a estudiar la anterior interpretación geométrica aplicándola a nuestro ejemplo. En la figura 1.4 se ha representado de nuevo la función x(t).

10

Fig 1-4 De esta figura deducimos que : t = 3 ; t +∆t=5 x(t) = x(3)=8 ; x(t+∆t) = x(5) =28

( ) 102

x(3)x(5)∆t

x(t)∆ttxαtag =−

=−+

=

El lector debe observar que x(5) , x(3) e ∆t son números adimensionales ya que son valores leídos de una gráfica, y en la misma los números que se colocan son adimensionales, así cuando leemos el valor 3 en el eje de abscisas debemos interpretar

3 en el eje t/s, equivale a s3tst3 =⇒=

Y cuando escogemos en el eje de ordenadas x(3) con el valor numérico 8, debemos interpretar

8 en el eje mx , equivale a m8x(t)

mx(t)8 =⇒=

Sin embargo cuando empleamos estos valores en la tangente sólo elegimos el correspondiente valor numérico de la escala. La posible dificultad es que normalmente se emplea la misma nomenclatura cuando escogemos el número adimensional que cuando ese número tiene dimensiones, así decimos que la velocidad media entre t=3 s y t=5 s es:

1m ms10

sm

35x(3)x(5)v −=

−−

=

11

Si comparamos la expresión de la velocidad media con la de la tangente llegamos a la siguiente conclusión: Tangente de alfa es el valor numérico de la velocidad media entre t=3 s y t= 5 s. Por otra parte

( ) x´(t)∆t

x(t)∆ttxlim 0∆t =−+

→

Representa la pendiente de la tangente a x=xs(t) en el punto de abscisa t y es equivalente al valor numérico de la velocidad instantánea en t= 3 s. En resumen: Al representar la función x(t), podemos determinar la velocidad media entre dos puntos de la curva a partir de la pendiente de la recta que une ambos puntos , y la instantánea a partir de la pendiente de la tangente a la curva en el punto considerado. Conocida x(t) hemos visto que v(t) se calcula derivando la función x(t) con respecto a la variable tiempo.

1m.s64tx´(t)v −−==

La representación de las dos funciones sobre la misma gráfica ( figura 1.5) permitirá al lector comparar ambas magnitudes ; es interesante: a) observar en qué punto la velocidad se anula y cuál es el correspondiente en la gráfica x(t) b) fijarse con atención que la tangente en ese punto es horizontal , y c) pensar en los valores negativos y positivos de la velocidad y cómo son las tangentes trazadas en los puntos a la izquierda y derecha del punto donde la tangente es horizontal.

-10

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4 5 6

t/s

x/m

x(t)

v(t)

Fig 1-5

12

1.5.- Derivada segunda de una función: aceleración Un móvil se desplaza a lo largo del eje X, siendo su ecuación:

896 23 ++−= tttx Determinar las características del movimiento. Vamos a resolver este problema siguiendo la pauta marcada en el anterior y haciendo uso del concepto de derivada de una función que establecimos anteriormente. Para hacer la representación gráfica de la función x=x(t) –teniendo en cuenta que es una ecuación de tercer grado- hemos de utilizar alguno de los conocimientos que tenemos sobre la representación de funciones y tener presente que el campo de existencia de la función la consideramos comprendida entre t=0 y t= infinito. La derivada primera de la función es:

912t3tx´ 2 +−= Si igualamos a cero 0912t3t 2 =+− , las soluciones de esta ecuación son t=1 y t=3, luego para esos valores los correspondiente en la función x(t) son: Para t=1 ; x=1-6+9+8=12 Para t=3 ; 8839363 23 =+⋅+⋅−=x Que pueden ser un máximo o un mínimo de la función y que luego confirmaremos con los valores que tome la segunda derivada.

2t0126t126tx´´ =⇒=−⇒−= El valor correspondiente en la función x(t) es: 10829262x 23 =+⋅+⋅−= . El punto (2,10) puede ser un punto de inflexión de la curva, como x´´´= 6 0≠ , el punto (2,10) es de inflexión. Vamos a sustituir los valores (1,1y Y (3,8) en la derivada segunda x´´(t=1) = -6<0 , corresponde a un máximo x´´(t=3) = +6>0 , corresponde a un mínimo En resumen: t=0…………..x=8 t=1…………..x=12 ; máximo t=3…………..x=8 ; mínimo t=2…………..x=10 ; inflexión

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Con los valores anteriores y algunos más que damos a la ecuación x=x(t), podemos representarla (figura 1.6)

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6

t/s

x/m

Fig 1-6 Para calcular la ecuación de la velocidad instantánea del móvil hallamos la derivada primera de la función x(t).

( ) 912t3t89t6ttdtd

dtdxx´v 223 +−=++−===

En la figura 1.7 hemos representado la función v(t); de ella se deduce que hay dos instantes en que la velocidad del móvil es nula.

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6t/s

v/m

.s-1

Fig 1-7

14

Es muy interesante dibujar juntas las gráficas de las funciones x(t) y v(t). El lector debe comparar en qué puntos de x(t) corresponde v=0 y a qué punto de la misma gráfica le corresponde un valor mínimo de la velocidad,(fig. 1.8).

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6t/s

x(t)

; v(t)

x(t)

v(t)

Fig 1-8

Otro de los conceptos importantes en el estudio de los movimientos es laq aceleración; tal magnitud relaciona las variaciones de la velocidad del móvil con el intervalo que tarda en producirse esa variación de velocidad. La aceleración media se define como

12

12m tt

)v(t)v(ta

−−

=

Los valores de la aceleración media dependen, en general, de los intervalos de tiempo que elijamos para calcularla. Así

( )

( )

( ) 2m

2m

2m

m.s323v(2)v(3)3t;2ta

m.s312v(1)v(2)2t;1ta

m.s901v(0)v(1)1t;0ta

−

−

−

+=−−

===

−=−−

===

−=−−

===

Como ocurría con la velocidad media, el significado físico de la aceleración media-aunque pueda ser útil en algún caso- se puede alejar del término más intuitivo, que es el de asignar una aceleración a cada instante temporal. Vamos a proceder, igual que hicimos con la velocidad instantánea , a calcular las aceleraciones medias en intervalos de tiempos cada más próximos al instante en que deseamos calcular la aceleración instantánea.

15

Por ejemplo vamos a elegir el punto t=1 y calculamos las aceleraciones medias acercándonos a t=1 con valores inferiores a uno de la variable t. Luego calculamos las aceleraciones medias acercándonos a t=1 pero con valores superiores a uno de la variable tiempo. Los resultados del proceso los representamos en la tabla 1.8.

Tabla 1.8

Intervalo ∆t/s

0-1 0,5-1 0,9-1 0,99-1 0,999-1

am /m.s-2 -9 -7,50 -6,30 -6,03 -6,003

Intervalo ∆t/s

1-2 1-1,5 1-1,1 1-1,01 1-1,001

am /m.s-2 -3 -4,50 -5,70 -5,97 -5,997 La serie de valores numéricos los podemos ordenar: -9 < -7,50 < -6,30 < -6,03 < -6,003 -3 > -4,50 > -5,70 > -5,97 > -5,997 Y deducir que parece probable que la aceleración instantánea este comprendida entre -5,997<ai<-6,003 Sin embargo debemos hacernos el mismo planteamiento riguroso que con la velocidad. ¿Podemos llegar a saber el valor de la aceleración instantánea para t=1 s? Definición Sea v= v(t) una función real de variable real, definida en un intervalo (a,b) de la recta real. Si to es un punto del intervalo decimos que v=v(t) es derivable en to si existe el límite del cociente

h

)v(th)v(t oo −+

cuando h tiende a cero. En el ejemplo anterior, to=1 y v =3 t2 -12 t + 9

( ) ( ) [ ] ( )

0h0h

663hlimh

91 121 39h112h13lim22

→→

−=−=+⋅−⋅−++−+

La aceleración instantánea en t=1 s es la derivada de la función v(t) =3 t2-12 t+ 9en el instante t=1s. Si repetimos los cálculos para otro punto, por ejemplo t=2 s.

( ) ( ) [ ]

0h0h

63h limh

92 122 39h212h23lim22

→→

−==+⋅−⋅−++−+

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Siguiendo el mismo procedimiento podemos construir una tabla, como la 1-9 de la aceleración instantánea frente al tiempo.

Tabla 1-9

t/s 0 1 2 3 4 5 a/m.s-2 -12 -6 0 +6 +12 +18

A la vista de la tabla anterior nos podemos hacer la siguiente pregunta ¿Existe una funciónque nos dé en cada instante el valor de la derivada de otra función? A esta pregunta ya hemos contestado anteriormente, por tanto, v´=6t -12 es la función derivada en cada punto de la función v(t) =6t2 -12t + 9, es decir , la derivada primera de

v(t) o la derivada segunda de x(t). La cual se repres3enta por x´´(t) o por 2

2

dtxd .

En resumen: Dada la función x=x(t),podemos hallar la función velocidad, v=v(t) derivando x(t) respecto del tiempo, y la aceleración derivando v(t) respecto del tiempo. En nuestro ejemplo:

126tx´´v´a;912t3tx´;89t6ttx 223 −===+−=++−= Desde el punto de vista físico es interesante colocar juntas las gráficas de las tres funciones. Fig1-9

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6t/s

x(t)

; v(t)

,a(t)

x(t) (t)

v(t)

a(t)

Fig 1-9 El lector debe observar que cuando la velocidad es cero no es nula la aceleración; y que cuando la aceleración es nula no lo es la velocidad.

17

Mentalmente podemos trazar tangentes en cada punto de la curva de la velocidad en el intervalo (0,2) ; las pendientes de las tangentes son negativas en todos los puntos menos en t=2 que es nulo, por eso la gráfica de la aceleración toma valores negativos en el intervalo (0,2) y se anula en ese último punto. En este tipo de problemas de Cinemática en los que el móvil se desplaza a lo largo de una recta es posible utilizar las magnitudes velocidad y aceleración sin carácter vectorial, atribuyendo a las dos magnitudes signos positivos y negativos y se pueden establecer de forma inequívoca las características del movimiento. Más adelante veremos que para movimientos en el plano y en el espacio es necesario introducir el aspecto vectorial de estas magnitudes. Para el caso de movimiento sobre una recta, una velocidad con signo positivo indica que el móvil se desplaza hacia valores crecientes de la posición y de signo negativo hacia valores decrecientes de esa magnitud. La aceleración es positiva si su sentido es hacia los valores crecientes de las posiciones y negativa hacia los valores decrecientes. A partir de las gráficas que aparecen en la figura 1-9, es posible dibujar a distintos tiemposo las velocidades y aceleraciones del móvil , sólo teniendo en cuenta que un valor positivo dirige la magnitud hacia la derecha y negativo hacia la izquierda..En la figura 1-10 hemos construido los vectores velocidad y aceleración a partir de la figura 1-9.

Fig 1-10 En la figura 1-10 las flechas dobles representan las aceleraciones y las sencillas las velocidades. Los tamaños de las flechas comparan de modo aproximado los valores numéricos de las magnitudes.

0 2 4 6 8 10 12 14

t = 0 s

t = 0,5 s

t =1,0 s

t =1,5 s

t =2,0 s

t = 2,5 s

t = 3,0 s

X

18

1.6.- Aplicación de la derivada al movimiento vibratorio armónico Un móvil realiza un movimiento vibratorio armónico con un periodo T = 2 s y una amplitud de A = 2m. En el instante t=0 s el móvil se encuentra a la máxima distancia de la posición de equilibrio. Estudiar el movimiento. Las ecuaciones de este movimiento pueden expresarse en función del seno o del coseno, siendo su forma general:

( ) ( )θϕ +=+= tωcAx;tωsenAx os Consideramos la primera ecuación y sustituimos en ella los datos:

sradπ

2π2

Tπ2ω;m2A ====

Para que en t=0 sea x=A es preciso que

( )2π10ωsen =⇒=+⋅ ϕϕ

De modo que la función es: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2πtπsen2x , dando valores a la variable t construimos la

tabla 1.10

Tabla 1.10

t/s 0 1/8 1/4 1/2 3/4 1 1+1/8 1+1/4 1+1/2 1+3/4 1+1 x/m 2 1,85 1,41 0 -1,41 -2 -1,85 -1,41 0 1,41 2

La representación gráfica de la función corresponde a la figura 1-11.

-2,5-2

-1,5-1

-0,50

0,51

1,52

2,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

tiempo, t/s

x/m

Fig.1-11

Vamos a calcular la velocidad instantánea, por ejemplo, en el instante t=1,5 s, hallando velocidades medias en intervalos temporales cada vez más pequeños. Por brevedad, en este caso la calcularemos acercándonos al instante t=1,5 s por la izquierda

19

Intervalo temporal comprendido entre 1,40 s y 1,50 s

( )sm6,180

1,401,500,61800v

02ππ1,50sen2xs1,50t

0,61802ππ1,40sen2xs1,40t

m =−

−−=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅==

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅==


( )sm6,257

1,451,500,31280v


0,31282ππ51,4sen2xs1,45t

m =−

−−=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅==

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅==


( )sm6,282

1,491,500,62820v


0,062822ππ1,49sen2xs1,49t

m =−

−−=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅==

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅==


( )sm6,283

1,4951,5000,031410v

02ππ1,500sen2xs1,500t

0,031412ππ51,49sen2xs1,495t

m =−

−−=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅==

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅==

Si escribimos ordenadamente las velocidades medias, vemos que forman una sucesión creciente

6,2836,2826,2576,180 <<< Aplicando el método de la derivación a la función x(t)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==

2πtπcosπ2

stdxv y particularizando para el instante t=1,5 s:

sm6,28318

2π1,5πcosπ2v(1,5) =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅= ..

20

Para representar la función v(t) elaboramos la tabla de valores 1.11

Tabla 1.11

t/s 0 1/8 1/4 1/2 3/4 1 1+1/8 1+1/4 1+1/2 1+3/4 1+1

v/ms-1 0 -2,40 -4,44 -6,28 -4,44 0 2,40 4,44 6,28 4,44 0

La grafica de la función v(t) corresponde a la figura 1-12

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

tiempo, t/s

v/m

s-1

Fig.1-12

La aceleración se obtiene derivando la función velocidad respecto del tiempo.

xπ2πtπsenπ2

dtdva 22 −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−==

La grafica de la función está en la figura 1-13

-25-20-15-10-505

10152025

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

tiempo, t/s

a/m

s-2

Fig.1-13

La aceleración está en oposición de fase con la posición; en el mismo instante en que una función toma el valor máximo la otra es mínimo.

21

El problema podría haberse resuelto utilizando la ecuación

( )θ+= tωcAx os Pero como para t= 0,x=2m,para satisfacer esta nueva ecuación θ=0, con lo que la ecuación que representa el movimiento es : x=2 cos(π t) , la cual corresponde al exactamente con la de la posición de la figura 1.11. Por otra parte según enseña la trigonometría sen (π t + π/2) = cos π t por lo que para representar este movimiento valen las dos ecuaciones. 1.7.- Ejercicios de aplicación

1.7.1. Un automóvil recorre 300 m en 20 segundos , sometido a una aceleración constante de 0,8 m.s-2.Calcular a) su velocidad inicial b) su velocidad a los 20 segundos c) la longitud recorrida en los 10 primeros segundos

1.7.2. El movimiento de una partícula está definido por la ecuación1028tt6t2x 23 −+−=

Donde x se expresa en metros y t en segundos Calcular la posición, velocidad y aceleración cuando t=10 s.

1.7.3. El movimiento de una partícula está definido por la ecuación16 t20t01tx 23 −−−=

x en metros y t en segundos. Calcular la longitud recorrida por la partícula entre t=0s y t= 12 s. Representar las gráficas v-t y a-t

22

1.7.4. La posición de una partícula está dada por la ecuación 05 t20t6tx 23 −−−=

Calcular: 1) El intervalo de tiempo que transcurre para que su velocidad se anule y la longitud recorrida en ese tiempo. 2) La aceleración media en ese intervalo de tiempo y la instantánea cuando la velocidad sea nula. 3) Representar las gráficas x-t, v-t ; y a-t-

1.7.5. Desde una altura de 50 m se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. 1) Determinar las ecuaciones de la posición y velocidad del cuerpo 2) Calcular las posiciones y los tiempos para los que el cuerpo tiene una velocidad absoluta que es la mitad de la inicial. 3) Calcular el tiempo que emplea la piedra en llegar al suelo

1.7.6. La posición de una partícula que oscila a lo largo del eje X viene dada por la ecuación( )φtωsenAx +=

Si xo y vo designan la posición y velocidad de la partícula en el instante t=0 s. 1) Encontrar una relación entre ϕ y las constantes características del movimiento xo , vo y ω . 2) Encontrar la expresión que relaciona A con xo, vo y ω.

1.7.7. Una partícula efectúa un movimiento vibratorio armónico definido por la ecuación

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

4πt0,20cos2x

x en metros y t en segundos. 1) Determinar la elongación , velocidad y aceleración cuando t=18s. 2) La velocidad y aceleración cuando el móvil ocupe las posiciones x=+1,5 m y x= -1,5 m

23

.

1.7.8. Un móvil efectúa un movimiento vibratorio armónico de amplitud A=0,5 m, ocupa la posición x=+0,25m cuando t=0 y se dirige hacia la posición x=-0,50 m. Determinar utilizando la función coseno, las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración. Repetir el apartado anterior usando la función seno

1.7.9. Desde una altura de 25 metros se lanza una piedra, designada con 1, con velocidad inicial vertical y hacia debajo de 10 m/s. Desde el suelo y en dirección vertical y hacia arriba se lanza otra piedra, designada con 2, con velocidad inicial de 50 m/s. 1) Calcular la posición cuando ambos móviles se cruzan y las velocidades de cada móvil en ese instante 2) Calcular los tiempos que tardan los móviles en llegar al suelo y sus velocidades 3) Calcular la distancia recorrida `por la segunda piedra

1.7.10. Un automóvil se desplaza con movimiento rectilíneo y uniforma a una velocidad de 100 km/hora. El conductor observa un obstáculo en la carretera a 125 m y aplica los frenos con un tiempo de reacción de t segundos. Si los frenos imprimen al coche una aceleración negativa de –4 m/s2.Calcular el valor máximo de t para que el automóvil no choque con el obstáculo.

1.7.11. Desde una torre de 50 m se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil con una velocidad inicial vo= 100 m/s. En el origen de referencia situado en el suelo hay un observador que pone en marcha su cronómetro al ver el fogonazo producido por el disparo y él a su vez lanza un nuevo disparo con una velocidad m/s100v´

o = , cuando su cronómetro marca el duodécimo. 1) Ecuaciones de las posiciones y velocidades de cada proyectil en función del tiempo 2) Altura máxima alcanzada por cada proyectil 3) Instante en el que se cruzan 4) Posición y velocidad en el instante anterior

1.7.12. Dos motoristas A y B se encuentran en los extremos de una recta de longitud 2 km. El origen de referencia se toma donde se encuentra inicialmente el motorista A. y ahí está un observador con un cronómetro. La moto A sale con una aceleración de 3 m/s2 que la mantiene durante 10 s para continuar después con movimiento uniforme. La moto B sale 20 segundos más tarde que A y se dirige al encuentro de A con una aceleración de 1 m/s2 que mantiene siempre. 1) Ecuaciones de las posiciones de ambas motos 2 ) Instante en que se cruzan 3) Posición y velocidad en el instante anterior

24

1.8.- Solucionario de los ejercicios de aplicación 1.7.1.

tavv;ta21tvxx o

2oo +=++=

Si t = 20 s , a= 0,8 m/s2

m110100,82110v0x)3

sm 23 200,87tavv)2

;sm7v200,8

2120v0300 1)

2o

o

02

o

=⋅⋅+⋅+=

=⋅+=+=

=⇒⋅⋅+⋅+=

Longitud recorrida: x-x0 = 110 m 1.7.2.

m16701010281062.1010t28t6t2x 2323 =−⋅+⋅−=−+−=

2

22

sm10812101212t12

dtdva

sm5082810126.1028t12t6

dtdxv

=−⋅=−==

=+⋅−=+−==

1.7.3. Las posiciones del móvil cuando t=0 y t= 12 s son respectivamente: x(0) = -16 m ; x(12) = 32 m Entre esas dos posiciones el móvil ocupa otras intermedias; es necesario saber qué posiciones ha ocupado el móvil entre esos tiempos. Una forma de solucionarlo es dar valores a la función x(t) y hacer una representación gráfica. Pero antes vamos a obtener las funciones velocidad y aceleración que nos darán la solución de si existe un máximo, un mínimo. s0,88ty7,55st0;2020t3t;2020t3tvx´ 22 −===−−−−== s3,33t;0;206t;206tav´x´´ ==−−=== 06x´´´ ≠=

25

En t=3,33 s, existe un punto de inflexión. Sustituimos en x´´ , el valor de t=7,55 s 02055,76 >−⋅ Resulta que t=7,55 s es un mínimo. Representamos la función dando valores a t

t/s 0 2 4 6 7,55 8 10 12 x/m. -16 -88 -192 -280 -306,66 -304 -216 +32

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

0 2 4 6 8 10 12

tiempo; t/s

posi

ción

; x/

m

La longitud recorrida es a) desde x=-16 m al mínimo 306,66 , de 306,66+32 L= (306,66-16)+(306,66+32)= 629,3 m La grafica v-t y a-t es la siguiente:

-60-50-40-30-20-10

010203040

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9tiempo/s

v/m

.s-1

; a

/m.s-2

26

1.7.4.

s1,27tys5,27t02012t-3t2012t-3tdtdxv 22 −==⇒=−⇒−==

m175,7x(5,27);m50x(0) −=−=

Longitud recorrida =175,7-50=125,7 m 2)

2m sm3,8

27,5)20(0

05,27v(0)v(5,27)a =

−−=

−−

=

2sm19,62125,276a;126t

dtdva =−⋅=−==

3) t=0 ; x=-50 m ; t=5,27 s x=-175,7 m ( máximo o mínimo) t=2 s x=106 m (inflexión)

-200-150-100-50

050

100150200

0 2 4 6 8 10 12

tiempo/s

x(t)/

m ;

v(t)

/m.s-1

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12

tiempo/s

a(t)

/m/s

-2

27

1.7.5.

2ooo2

o0 sm9,8ga,

sm20v,m50x;tavv;ta

21tvxx −=−=+=+=+=++=

1) t9,820v;t4,9t2050x 2 −=−+= 2) Cuando v=10 m/s , la piedra esta subiendo

m65,31,024,91.022050x(1,02);s1,02tt9,82010 2 =⋅−⋅+==⇒−= Cuando v=-10 m/s , la piedra está bajando - m65,306,34,906,32050x(3,06);s06,3tt9,82010 2 =⋅−⋅+==⇒−= 3) Cuando la piedra llega al suelo x=0

⇒−+= 2t4,9t20500 t=5,8 s ; t=-1,75 s Tiene validez física la solución positiva. 1.7.6.

( )

( )[ ]

o

o

0o

oo

vωx

tag(2)y(1)De

(2)ωA

vcoscosAωv0tcuandoω,tωcosA

dtdxx´v

(1)Ax

sensenAx0tcuando,tωsenAx

=

=⇒=⇒=⋅+⋅===

=⇒=⇒=+=

ϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕ

De (1)

2

2o2o2

Ax

1cosAx

cos1 −=⇒=− ϕϕ

De (2) ( ) 2o2

2o

2

2o

22o2

o222

o2

2o

2

o xωv

ωxωv

AxAωvA

xAωAcosωAv +=

+=⇒−=⇒

−== ϕ

1.7.7. 1)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=====

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−===

4πt0,2cos0,08

dtxd

dtdvx´´v´a

4πt0,2sen0,40,2

4πt0,2sen2

dtdxx´v

2

2

28

( )

m0,64251,3ºcos2x(18)sm0,026cos251,3º0,08

4π180,2cos0,08a

sm0,38947),0(0,445º206,3ºsen0,4

4π3,6sen0,4v(18)

2

−=⋅=

=⋅−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅−=

=−⋅−=+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

2) Sustituyendo en la ecuación de la posición

2

2

sm0,060,750,08

4πt0,2cos0,08a

sm0,264

4πt0,2sen0,4v

0,660,7514πt0,2sen0,75

4πt0,2cos

4πt0,2cos21,5

−=⋅−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

±=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

±=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

( )

( ) 2

2

sm0,060,75-0,08

4πt0,2cos0,08a

sm0,264

4πt0,2sen0,4v

0,660,75-14πt0,2sen0,75

4πt0,2cos

4πt0,2cos21,5-

=⋅−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

±=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

±=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⇒−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

1.7.8.

( )

240ºy120º0,5coscos0,50,25cosAx0tParatωcosAx

==−=⇒=−⇒=⇒=⇒+=

ϕϕϕϕϕϕ

Pa

ra decidir sobre el valor de ϕ, hallamos la velocidad

( )

( ) 00,87ωA240ºsenωAv;00,87ωA120ºsenωAv

senωAv0tPara;tωsenωAdtdxx´v

>−⋅−=−=<⋅−=−=

⇒−=⇒=+−=== ϕϕ

Puesto que para t=0 el móvil se dirige hacia la posición -0,5, se deduce que la velocidad es negativa y por consiguiente ϕ=120º. Si utilizamos la función seno

( )

( ) 00,86Aω)v(150º;00,86Aω)v(30º;ΦtωcosωAv150ºΦy30ºΦ0,5senΦΦsen0,50,25;ΦtωsenAx

<⋅−=>⋅=+===⇒=⇒=+=

Las ecuaciones son:

( ) ( ) ( )150ºtωsenAωxωa;150ºtωcosωAv;150ºtωsenAx 22 +−=−=+=+= 1.7.9.

29

Tomamos como punto de referencia el suelo, las velocidades dirigidas hacia arriba son positivas y hacia abajo negativas. Empleamos el mismo criterio para las aceleraciones. Las ecuaciones de los móviles son:

t9,850v(2);t9,821t50x(2)

t9,810v(1);t9,821t1025x(1)

2

2

−=−=

−−=−−=

Cuando ambos móviles se cruzan ocupan la misma posición

m200,4174,9-0,41710-25x(1)s0,417tt6025t4,9t50t4,9t1025x(2)x(1)

2

22

≈⋅⋅=

=⇒=⇒−=−−⇒=

Las gráficas de las posiciones son:

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

tiempo/s

posi

cion

es e

n m

etro

s

móvil que asciende

móvil que desciende

sm14417,0*8,910)1( −≈−−=v

El signo menos nos indica que la velocidad es hacia abajo

m/s46417,0*8,950)2( +≈−=v El signo más indica que la velocidad es hacia arriba. Cuando la piedra (1) llega al suelo su posición es x(1)=0

s1,46t0t4,9t1025 2 =⇒=−−

30

sm24,31,469,810v(1) −=⋅−−=

Cuando la piedra (2) llega al suelo su posición es x(2)=0

sm5010,2*9,8-50v(2)

s2,019,405t t4,9-50t0x(2) 2

−==

==⇒==

La velocidad al llegar al suelo es igual a la de salida en valor absoluto, el signo indica que esa velocidad es vertical y dirigida hacia abajo 3) La distancia recorrida por la segunda piedra se calcula determinando hasta dónde sube la piedra, lo que corresponde a que su velocidad se anule

m127,65,14,95,150x(5,1s)s5,1tt9,850)v(2

2 =⋅−⋅=

=⇒−=

La distancia recorrida es la suma de la distancia hacia arriba y la misma distancia hacia abajo Longitud recorrida = 127,6+127,6=255,2 m 1.7.10.

El tramo de longitud x lo recorre con movimiento uniforme, empleando el tiempo de reacción t. El resto de la longitud 125-x la recorre con movimiento uniformemente retardado, de manera que el automóvil al llegar al obstáculo debe tener velocidad cero.

sm27,78

s3600m1000100

hkm100 ==

Desde que ve el obstáculo hasta que aplica los frenos el coche recorre x metros x=27,78 t

v=0

x 125-x Tramo x, a velocidad constante de 100 km/h

Tramo de longitud 125-x metros con movimiento uniformemente retardado y aceleración constante de -4 m/s2.Al llegar al obstáculo la velocidad debe ser cero.

31

Designamos con t´ el tiempo que emplea el automóvil en recorrer los 125- x metros con aceleración: a = -4 m/s2. En ese tiempo el automóvil pasa de la velocidad 27,78 m/s a cero

s6,95t´4t´27,78v =⇒−=

s1,0327,7828,53

27,78xt

m28,536,954216,9527,78125xt´4

21t´27,78x125 22

===⇒

⇒=⋅⋅+⋅−=⇒⋅⋅−⋅=−

1.7.11.

1) ( ) ( )22

21 10t10

2110t1000x;t10

21t10050x −−−+=−+=

( )10t10100dt

dxv;10t100dt

dxv 22

11 −−==−==

2) En el punto de altura máxima la velocidad es nula

( ) s20t10-t10-1000s10tt101000

=⇒==⇒−=

( ) ( ) m500102051020100x(2)

m5501051010050x(1)2

2

=−−−=

=⋅−⋅+=

3) Cuando se cruzan ambos tienen la misma posición respecto del sistema de referencia. s15,5tt100500t51000t100t5t10050xx 22

21 =⇒+−−−=−+⇒= 5) Posición y velocidad de cada proyectil en el instante t=15,5 s.

sm45v

sm55v;m398,75xx 2121 =−===

1.7.12. Ecuación del movimiento de A. Hasta t=10 s

t3dt

dxv:t3

21x A

A2

A ==⋅=

Para t =10 s

sm30v;m150x AA ==

Para valores de s10t ≥

32

( )10t30150xsm30v;m150x;tvxx

A

oo

−+=

==+=

Ecuación del movimiento de B.

( )2B 20t1)(

212000x −−+=

Puesto que empezó su movimiento 20 segundos después que el móvil A.

2 )xA=xB

( ) ( ) s53,25t;10t21200010t30150 2 =−−=−+

3)

( )

( ) ( )sm33,252053,25120t1

dtdxv

sm30v

m1447,52053,25212000x

m1447,510)53,25(30150x

BB

A

2B

A

−=−−=−−==

=

=−−=

=−⋅+=

las derivadas en cinemática -...

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