las matem ticas mundo no lineal
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Las matemticas en un mundo no lineal
ngela Jimnez Casas
LAS MATEMATICAS EN UNMUNDO NO LINEAL
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Las matemticas en un mundo no lineal
ngela Jimnez Casas
Introduccin Terminologa matemtica (dinmica no lineal)
Mtodos de linealizacin
Mtodos de energa
Sistemas Conservativos (estudio cualitativo)
Ejemplos de modelos no lineales (en dimensininfinita)
Modelos de campos de fase: Movimiento de la masaglaciar
Modelos de termosifn: Aceleradores de partculas
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Las matemticas en un mundo no lineal
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Cmo podemos explicar que las matemticas,
un producto de la mente humana independiente
de la experiencia, encajen tan bien en losobjetos y elementos de la realidad?
Albert Einstein (1938)
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Las matemticas en un mundo no lineal
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Modelo matemtico NO LINEAL( continuo,dimensin infinita)
Modelo matemtico aproximado (Tcnicas dediscretizacin, linealizacin, simplificacin)
Estudio del modelo matemtico aproximado
Conclusiones sobre el modelo aproximado Aplicacin al modelo real (comparacin )
Resolucin de Problemas de nuestro entorno
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Las matemticas en un mundo no lineal
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Simplifica y traduce
Simplifica---Linealiza- discretiza
Resuelve mediante mtodos de aproximacin
Problemas de nuestro entorno
Modelo NO LINEAL continuo
Modelo lineal discreto
CONCLUSIONES
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Mismo modelo matemtico para situacionesdistintas
Mismas tcnicas matemticas para modelosdiferentes
Ejemplos: Oscilador mecnico = circuito RCL
Resolucin de Problemas de nuestro entorno
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El desplazamiento (oscilacin) x(t) en el sistemamasa resorte de la figura viene dado por
Oscilador mecnico = circuito LCR
)(2
2
tfkxdtdxa
dtxdm
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La carga Q(t) del circuito elctrico RLC
Oscilador mecnico = circuito RLC
)()(
2
2
tEC
tQ
dt
dQRdt
QdL
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Desplazamiento x(t) ------ Carga Q(t)
Masa m -------------------- Inductancia L
Amortiguamiento a -------- Resistencia R Elasticidad k -------- 1/C, C capacitancia
Oscilador mecnico = circuito LCR
)(2
2
tfkxdt
dxa
dt
xdm )(
)(2
2
tEC
tQ
dt
dQR
dt
QdL
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E.D.O.
ModeladoE.D.P.
Evolucin con el tiempo de alguna magnitud
Sistema dinmico: Describe el recorrido a lo largo del
tiempo de todos los puntos de un espacio dado (espaciode estados de un sistema fsico).
1. Sistema dinmico de dimensin finita
El espacio de estados (fase) es de dimensin finita
Flujo asociado
Valor de la solucin que parte de un punto en el instante t.
),( utfdt
du
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1. Sistema dinmico de dimensin finitaEl espacio de estados (fase) es de dimensin finita
Flujo asociado
Valor de la solucin que parte de un punto en el instante t.
),( utfdt
du
),( 0utu
)(
:
tut
Iu n
);(),(
:
00 utuut
nn
Valor de la solucin que parte de u0 en el instante t
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1.1. Sistema dinmico continuo autnomo
S.D.C.A. LINEAL
1.2. Sistema dinmico discreto autnomo
S.D.D.A. LINEAL
Movimiento del pndulo no amortiguado
)(ufdt
du
)(uAdtdu 0)(0
0),( ueutU ttA
))(()1( tuftu
)()1( tAutu x
)('
)('
sen
l
gty
ytx
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2. Sistema dinmico de dimensin infinita
Describen la evolucin de una funcin incgnita que dependede ms de una variable
Espacio de fases de dimensin infinita
Flujo asociado
Ejemplo: Problema
de difusin de calor
),(),(
utft
xtu
)(),( 00 xuxtu El dato inicial es una funcin perteneciente a unespacio funcional adecuado al problema
);(),(
:
00 utuut
ststt
id
.,0
)(),0(
so0
en
1
00 Hxuxu
breu
uuu nt
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Existencia y unicidad de soluciones
Comportamiento cualitativo (asinttico) Puntos de equilibrio
Estabilidad de los puntos de equilibrio
Teora EspectralMtodos de Energa (Lyapunov)
Sistema Lineal
Atractor Maximal
Variedad InercialDINMICA NO LINEAL)(A
Auut
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DINMICA NO LINEAL
Equilibrios mltiples
Circuitos digitales tienen al menos 2 equilibrios estables
Reacciones qumicas con varios puntos de equilibrio
Modelos de dinmicas de poblaciones Variaciones peridicas o ciclos lmites
Ecuaciones que miden impulsos nerviosos
Circuitos digitales
E. De Vander PolTeora de vlvulas
En vaco0)1(
2
2
2
xdt
dxx
td
xd
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DINMICA NO LINEAL
BifurcacionesLigeros cambios provocan grandes diferencias
cualitativas en el comportamiento a largo plazo
Caos. Fractales (Atractores Extraos)Comportamiento no peridico para tiempos grandes de un sistemadeterminista que presenta una dependencia sensible de lascondiciones iniciales.
El sistema no tiene ruidos de entradas, la no linealidad provoca que las
trayectorias se separen exponencialmente.Ejemplo:E. Lorenz
0,,'
,'
Pr),('
rbbzxyz
numberRayleighrxzyrxy
numberandtlxyx
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SISTEMA DINMICO BIDIMENSIONAL
Trayectorias
Diagrama de fases de un sistema autnomoPunto crtico (partcula no se mueve)
Soluciones peridicas (trayectoria cerrada)
Partcula se aproxima a un punto crticoPartcula se aproxima a una trayectoria cerrada
Partcula se escapa
),()('
),()('
yxGty
yxFtx21 ),(),( DDCGF
000000 )(,)(,)),(),((!,),( ytyxtxtytxDyx 0/))(),(( tttytx
),(0
),(0
yxG
yxF
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ESTABILIDAD DE UN SISTEMA LINEAL
La estabilidad tiene carcter global
Teorema:El origen es
A.Estable sii los autovalores de la matriz del sistema sonreales y negativos, o bien complejos con parte real negativa
Estable y No A.E. Si los autovalores de la matriz del sistemason imaginarios puros
Inestable Si los autovalores de la matriz del sistema soncomplejos con parte real positiva o bien reales y algunopositivo.
)(uAdtdu 0
)(0
0),( ueutU ttA
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ESTABILIDAD DE SISTEMAS CASILINEALES
Teorema: La estabilidad de un punto crtico es la mismaque la del origen del sistema lineal asociado salvo en el
caso en que los autovalores de la matriz jacobiana en elpunto(matriz del lineal) tengan parte real nula(centrolineal).
Las trayectorias del sistema casilineal, son distintas pero
conservan las tangentes. Ejemplo: Trayectorias del pndulo amortiguado y no
amortiguado
),()('
),()('
yxGty
yxFtx||)),((||
),)(,)(,(),)(,(
00
0000
yyxxo
yyxxyxGFDyxGF
Linealizacin
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ESTABILIDAD POR LIAPUNOV
Estabilidad de un centro Funcin de Lyapunov=funcin definida positiva que
decrece a lo largo de las trayectorias.
Teorema
Si existe una funcin de Lyapunov que decrece el origen esestable
Si es estrictamente decreciente el origen es asintticamenteestable
Si existe una funcin definida positiva y creciente a lo largo dela trayectoria, el origen es inestable
Mtodos de Energa
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CASO PARTICULAR DE SISTEMAS CONSERVATIVOS
La fuerza slo depende de la posicin
E.D.O. De segundo orden-Sistema bidimensional
Trayectorias de un sistema conservativo
Puntos crticos (ceros de la funcin-fuerza)
Trayectorias que no se reducen a un punto-Energa total(Cintica + Potencial) constante
)(),,(2
2
xfdt
dxxtf
dt
xdm fuerzaxfposicintx )(,)(
)(2
2
xfdt
xd
2,)('
'
Ix
xfy
yx
0)()0,( 00 xfconx
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TRAYECTORIAS DE S. CONSERVATIVOS
)('
'
xfy
yx
y
xf
dx
dt
dt
dy
dx
dy 1)( dxxfydy )(
ExUy )(2
1 2PotencialEnergaIxduufxU
x
x
,)()( 00
TotalEnergacteE CinticaEnergay 2
1 2
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TRAYECTORIAS DE UN SISTEMA CONSERVATIVO
Representacin grfica de las trayectorias a partirde la grfica de la energa potencial
Los puntos de equilibrio vienen dados por losextremos relativos de la funcin energa potencial
Los mnimos de potencial son ESTABLES
Los mximos de potencial son INESTABLES
ExUy )(2
1 2))((2 xUEy 0E
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Diagrama de fases de un sistema conservativo
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BIBLIOGRAFA
BOYCE,W.E. y DIPRIMA,R.C. Ecuaciones diferenciales yproblemas con valores en la frontera. Limusa, Wiley.
BRZIS, H. Anlisis funcional teora y aplicacines. AlianzaUniversidad Textos.
GARCIA,A.-GARCIA,F.-LOPEZ A.-RODRIGUEz,G.-VILLA,A.
Ecuaciones diferenciales ordinarias. Teora y problemas.Mtodos exactos, mtodos numricos, estudiocualitativo.CLAGSA,2006.
KENT NAGLE,R, SAFF,E.F. y SNIDER,A.D. Ecuacionesdiferenciales y problemas con valores en la frontera.Pearson, Addison Wesley, 2005.
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BIBLIOGRAFA
TRENCH,W.H.. Ecuaciones diferenciales conproblemas de valores en la frontera. ThomsonEditores, 2002
ZILL,D.G. y CULLEN,M.R.Ecuaciones diferenciales
con problemas de valores en la frontera. ThomsonEditores, 2006
MOLERO APARICIO,M.,SALVADOR ALCAIDE,A.MENARGUEZ PALANCA,M.T. y GARMENDIASALVADOR,L. Anlisis Matemtico para ingeniera.Pearson. Prentice Hall, 2007.
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I-MODELOS DE CAMPOS DE FASE:
Ejemplo.- Movimiento de la masa glaciar
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I-MODELOS DE CAMPOS DE FASE:
PHASE FIELD MODEL EQUATIONS Stefan's Problem (solid-liquid)
The evolution of the temperature, u(x; t), of the pointx at time t
of a substance which may appear in two different phases.
The evolution of the interphase : The set where u(t; x) = 0;
The liquid phase is given by: u(t; x) > 0
The solid phase is given by: u(t; x) < 0
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I-PHASE FIELD MODEL EQUATIONS
Enthalpy method oH-method:balance heat is given by the diffusion equation
with k > 0, diffusivity constant and the enthalpy function H
where l > 0; latent heat and is the known function, associated tothe change phase
This step function implies that we consider the linear interphase set
2/)( luuH
ukt
xtH
),(
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I-PHASE FIELD MODEL EQUATIONS
But, Stefan's model can not explain some phenomenous whichappear in the equilibrium (supercooling),
so we have to consider the interface set is not linear.
If we consider a plane region of interfase of width :
We have a new unknown function instead of the step function
of Stefan's model.
is the unknown function, associated to the change phase, phasefield function or order parameter, is local average of phase (solid-liquid)
),( xt
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I-MODELOS DE CAMPOS DE FASE:
Denstity function of two phases or m phases
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I-PHASE FIELD MODEL EQUATIONS
Landau-Ginzburg s theory u(t; x) temperature of point x at time t
order parameter or phase field.
is typically
),(,2)(2
baxugxxt
),(,2
baxkul
u xxtt
,0)()()()( buauba xxxx
),,()(),0(),,()(),0( 201
0 baLxuxubaHxx
),( xt)(g )(
2
1 3
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I-PHASE FIELD MODEL EQUATIONS
Landau-Ginzburg s theory l and k are positive constants associated to latent heat
width of interface
G. Caginalp 1986, 1990 y 1991, P.C. Fife 1988 y 1990,
O.Penrose 1990
),(,2)(2
baxugxxt
),(,2
baxkul
u xxtt
,0)()()()( buauba xxxx
),,()(),0(),,()(),0( 201
0 baLxuxubaHxx
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I-MODELOS DE CAMPOS DE FASE:
PHASE-FIELD OF MIXTURES OF THREE OR MORE COMPONENTS The phase-field can be seen as the density of bacterial collony
or the mass of growing tumor.
Analogously, the diffusion field can stand for the density of
nutrient [8].
u(t; x) is also the concentration, of the point x at time t; of one
the components of the mixture.
The dynamics of phase separation and coarsening of mixtures
of three or more components,
General density function instead )(g )(21 3
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I-MODELOS DE CAMPOS DE FASE:
ASYMPTOTIC BEHAVIOUR OF THE SOLUTIONS WHEN Metastable Solutions.
Nor equilibrium points
Nor energy minima
Have a Slow Evolution.
Energy methods
Rescaled energy functional
In the model for two different phases [11],[12]
A. Jimnez-Casas, Ph. D. Thesis,U.C.M., (1996).
A. Jimnez-Casas, A. Rodriguez-Bernal, Linear stabilility analysis andmetastable solutions for a phase-field model, Proceeding of the RoyalSociety of Edimburgh, 129A, 571-600, (1999).
0
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I-MODELOS DE CAMPOS DE FASE:
RESCALED LYAPUNOV FUNCTIONAL
and has a shallow valley of energy, as
(Cahn-Hilliard, Cahn-Morral system [2, 10])
For initial data in such a region little energy is left to be dissipated and
thus this translates into a slow evolution in time. Metastable solutions associated initial values where has
large gradients on small transitions intervals
2
,2
2)(
2),(
2
22 luvdxv
l
ldxgvFb
a
b
a
x
0),( vFdt
d
0),( vF 1
)(x
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REFERENCES: PHASE FIELD MODEL[1] S.Angenent, The zero set of a solution of a parabolic equation",
J.Reine Angew.Math. 390, 79-96, (1988).[2] L.Bronsard, R.V. Kohn, On the slowness of Phase boundary motion in
one space dimension", Com. on Pur. and Appl. Math.vol 43, 987-997,(1990).
[3] G.Caginalp, The dynamics of a conserved Phase Field system:Stefanlike, Hele-Shaw, and Cahn-Hilliard models as asymptotic limits", IMA J.of Appl. Math. 44, 77-94, (1990).
[4] G.Caginalp, \Phase Field models and sharp interface limits: somedifferences in subtle situations", Rocky Mountain J. Math., 21, 2, 603-616, (1991).
[5] G.Caginalp, P.C.Fife, \Dynamics of layered interfaces arising from Phaseboundaries", SIAM.J. Appl. Math. 48, 3, 506-518, (1988).
[6] J.Carr, R.L.Pego, \Metastable patterns in solutions of ut =2uxx f(u)",Comm.Pure Appl. Math. 42, 523-579, (1989
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REFERENCES: PHASE FIELD MODEL[7] J.Carr, R.Pego, Invariant manifolds for metastable patterns in ut = 2uxx
f(u)", Proc..of the Roy. Soc. ofEdimburgh, 116A, 133-160, (1990).[8] M. Castro, Phase-field approach to heterogeneous nucleation",
Phys. Rev. B 67, 035412 (2003).
[9] G. Fusco, J.K. Hale, Slow-motion manifolds, dormant instability, andsingular perturbations". J. Dynamics Diferential Equations., 1, 1, 75-94(1989).
[10] C.P. Grant, Slow motion in one-dimensional Cahn-Morral systems",SIAM J. Math. Anal, vol 26, 1, 21-34, (1995).
[11] A. Jimnez-Casas, Dinmica en dimensin infnita: Modelos de
campos de fase y un termosifon cerrado," Ph. D. Thesis,U.C.M., (1996).[12] A. Jimnez-Casas, A. Rodriguez-Bernal, Linear stabilility analysis andmetastable solutions for a phase-fielld model," Proceeding of the RoyalSociety of Edimburgh, 129A, 571-600,(1999).
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REFERENCES: PHASE FIELD MODEL
[13] A. Jimnez-Casas, A. Rodriguez-Bernal, "Asymptotic Behaviour for aPHASE FIELD model in higher order Sobolev spaces.Rev.Mat.Com.,15, 213-248,(2002).
[14] A. Jimnez-Casas, Metastable Solutions for the Thin-Interfase Limitof a Phase Field Model," Non.Lin.Anal.63.963-970, (2005).
[15] A. Jimnez-Casas, Invariant regions and global existence for a phasefield model ," Disc.and Cont. Dyn. Syst. Vol 1. 273-281, (2008).
[16] H. Matano, Nonincrease of the lap-number of a solution for
a one-dimensional semilinear parabolic equation", J. Fac. Sci.
Univ. Tokyo Sect. 1A Math. 29, 401-441, (1982).[17] L. Modica, The gradient theory of phase transitions and the
minimal interface criterion", Arch. Rat. Mech. Anal., 98, 123-142, (1987).
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II-MODELOS TERMOSIFN: CLOSED THERMOSYPHON
Ejemplo.- Acelerador de partculas
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v, T and S velocity, distributions of the temperature and the salinity ofthe fluid into the loop, T; S are 1-periodic and zero average.
Soret Efect molecular flux of soluted is generated by an internaltemperature gradient, [S.R. de Groot, P. Mazur (1984), J.E. Hart (1985)]
a,b,c >0 difussion coeficcients
M.A. Herrero, J.J.L. Velazquez, A. Lian 1994, A.Rodriguez 1995, E.
S. Van Vleck 1996,A. Jimnez-Casas 1996,2001, ] f the geometry of the loop,
G friction law at the inner wall of the loop
h prescribed the heat flux
b >0 Soret coeficcient
0)0(,)()( vfSTvvGdtdv
)(),0(,)( 02
2
xTxTx
Taxh
x
Tv
t
T
)(),0(, 02
2
2
2
xSxSx
Tb
x
Sc
x
Sv
t
S
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II CLOSED THERMOSYPHON MODEL
Heat flux
Geometry of loop
Then:
0,)( 22
hLebxhKk
per
kix
k
0,)( 22
fLecxfJk
per
kix
k
JKk
kkk ctbtafST )]()([)(
Kk
per
kix
k LetaxtT ,)(),( 22
0,)(),( 22
TSLetbxtSKk
per
kix
k
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II CLOSED THERMOSYPHON
If the set is finite i.e
Then the asymptotic behavior of the system (infinite dimensional), is
described by a system of coupled equations in
which determine
and a family of linear nonautonomous equations
JK 02|| nJK
14 0 nN NR
JKkbav kk );,,(
|)(\| JKK
i d li l
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II CLOSED THERMOSYPHON: Final Conclusion:
Thus, we reduce the asymptotic behavior of the initial system (infinitedimensional) to the dynamics of the reduced explicit system (finitedimensional)
Observe that from the analysis above, it is possible
to design the geometry of circuit ,f, and/or the heat flux, h, choosing the
functions f and/or h, so that the resulting system has an arbitrary numberof equations of the form N = 4n + 1
Note that it may be the case that K and J are infinite sets, but theirintersection is finite.
Also, for a circular circuit we have f(x) asin(x)+bcos(x), i.e.
and then or is the empty set.
1J
1JK JK
L t ti d li l
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II CLOSED THERMOSYPHON: References
[1] J.E. Hart, A Model of Flow in a Closed-Loop Thermosyphonincluding the Soret Eect", J. of Heat Transfer, vol 107, 840-849, (1985).
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Las matemticas en un mundo no lineal
ngela Jimnez Casas
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