Almería Matemática

Las Matemáticas en FacebookVarios estudiantes de la Titulación de Matemáticas de la UAL han tenido la inicia-

tiva de crear un grupo en la red social Facebook denominado Almería Matemática.Internet, mediante estas herramientas de comunicación, ofrece una capacidad de

difusión sin límites. Almería Matemática pretende convertirse en un foro de partici-pación activa de aquellas personas interesadas en las Matemáticas donde se aportenideas, noticias, curiosidades, etc.

Esta comunidad ha sido creado recientemente y, en los pocos días que lleva funcio-nando, ya cuenta con numerosas suscripciones.

(Artículo completo en la página 22)

Concurso de resolución de problemasJorge Miras Archilla, alumno de

primer curso de Bachillerato del IES«Aguadulce», ha sido el ganador deesta edición del concurso de resolu-ción de problemas. Queremos haceruna mención especial a la solución en-viada por la alumna del mismo centroMaría del Carmen García Manzano.

El nuevo problema propuesto y lasolución ganadora aparecen, respec-tivamente, en la páginas 12 y 15 deeste número. Las bases del concursose pueden consultar en la página webdel Boletín. ¡Anímate y participa! Ganador del concurso

Editorial

En este número nos hacemos eco de un interesante artículo publicado elpasado mes en el prestigioso periódico francés Le Monde bajo el título Lasmatemáticas buscan matemáticos. En él se informa sobre una paradoja queafecta a Francia, y en realidad a otros muchos países europeos, incluido Es-paña: mientras que nuestra sociedad científica y tecnológica demanda cadavez más matemáticos, no son muchos los estudiantes que deciden cursar estosestudios. Su gran complejidad, la docencia como única salida profesional, sala-rios inferiores a los de otros profesionales con estudios similares en dificultad,etc. son todavía falsos tópicos con gran arraigo.

Las sociedades matemáticas dedican cada vez más esfuerzos a intentarcambiar esta situación de desinformación. La Real Sociedad Matemática Es-pañola realizó en 2007 un profuso estudio sobre las salidas profesionales ennuestro país de los estudios en matemáticas. De él hablamos en el númerode abril de 2008. También los distintos gobiernos deberían darse cuenta dela enorme importancia de las matemáticas y seguir el ejemplo de EEUU encuanto a inversión en esta ciencia. En ese país, según una noticia de otro fa-moso periódico, The Wall Street Journal, que también comentamos aquí, laprofesión de matemático es la mejor valorada.

Resumen

Actividad Matemática p. 2

Enseñanza Secundaria p. 5

Divulgación Matemática p. 11

Concurso de problemas p. 12

Territorio Estudiante p. 21

EDITORES

Juan Cuadra Díazjcdiaz@ual.es

Juan José Moreno Balcázarbalcazar@ual.es

Fernando Reche Loritefreche@ual.es

ISSN 1988-5318

BOLETÍN DE LA TITULACIÓN DE MATEMÁTICAS DE LA UAL

Bo√TitMatUal

Volumen III. Número 2 19 de enero de 2010 ‖

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Noticias matemáticas

Entrega del premio del con-curso de resolución de pro-blemas

Alumnado del centro

El 26 de noviembre de 2009, en unacto celebrado en el Centro Educati-vo «Agave» de Huércal de Almería, sehizo entrega del premio como ganadordel concurso de resolución de proble-mas convocado en el Boletín anteriora Carlos Guirado, alumno de cuartode ESO.

El ganador con sus profesores

El acto fue organizado por el De-partamento de Matemáticas de dichocentro y tres de los editores del Bo-letín entregaron los obsequios y eldiploma. El profesor D. Juan CuadraDíaz de la Universidad de Almeríaimpartió una amena charla titulada«Códigos detectores y correctoresde errores».

El mejor expediente de in-greso este curso en la Facul-tad de Ciencias correspondea una alumna de Matemáti-cas

El pasado 3 de diciembre tuvo lu-gar un acto de reconocimiento por

parte de la Universidad de Almería alos estudiantes que han ingresado conlos mejores expedientes académicos.

En este curso académico el mejorexpediente de acceso en la Facultad deCiencias Experimentales correspondea María del Gádor Cabrera Padilla,alumna matriculada en la titulaciónde Matemáticas.

Acto de recepción

A este acto de reconocimientoasistieron el Rector de la Universi-dad, el Vicerrector de Estudiantes yEmpleo, los Decanos y Directores delos Centros, así como profesorado delos centros de procedencia, a los quetambién se les reconoció la labor rea-lizada.

Las matemáticas y los mate-máticos en Le Monde

Es bien conocido que el periódi-co Le Monde está considerado comouno de los diarios de referencia mun-dial por su alta calidad de conteni-do. Además, se trata del diario fran-cés con mayor presencia en el extran-jero. Pues bien, en un artículo titulado«Las matemáticas buscan matemá-ticos», publicado el pasado 5 de di-ciembre, el periodista Stéphane Fou-cart se hizo eco de una noticia rela-cionada con el estado actual de estamateria.

Se trata de las conclusiones másimportantes obtenidas en el simposiotitulado «Matemáticas del futuro»,celebrado en París por los matemáti-cos franceses los días 1 y 2 de diciem-bre en torno a una sorprendente para-doja: mientras que ellas son más nece-sarias que nunca, las matemáticas soncada vez más ignoradas por los estu-diantes.

Las matemáticas se utilizan, porejemplo, en: microelectrónica, simu-laciones numéricas de sistemas com-plejos como las imágenes utilizadaspor los climatólogos, software de tra-tamiento de las enormes cantidadesde datos que viajan por la red, sis-temas de obtención de imágenes mé-dicas, funcionamiento de los mercadosfinancieros, etc.

Etienne Ghys

Además, como indica EtienneGhys, investigador en el Centre Na-tional de la Recherche Scientifique(CNRS) y profesor en l’Ecole Norma-le Supérieure (ENS) de Lyon, se tra-ta de «resultados matemáticos ob-tenidos en trabajos muy recientes»y, por otra parte, «tenemos una cre-ciente necesidad de las matemáti-cas y disponemos cada vez de me-nos matemáticos».

La necesidad de matemáticos no selimita al mundo académico, ésta se ex-tienden a una gran parte de las empre-sas.

Jean Pierre Bourguignon

Afirma Jean-Pierre Bourguignon,director del prestigioso Institut desHautes Études Scientifiques (IHES)en este artículo: «en Francia, existenalrededor de 6000 matemáticos y

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aproximadamente un tercio de ellostrabajan en la empresa» y, puntuali-za, «en la actualidad existe una am-plia variedad de ocupaciones reser-vadas a personas dotadas para lasmatemáticas».

Por último, cabe indicar que lasmatemáticas poseen la magia detransformar rápidamente lo que pue-de parecer una pura actuación de lamente en llave imprescindible para laresolución de nuevos problemas apli-cados. En este sentido, Philippe Ca-mus, matemático de formación y pre-sidente de Alcatel-Lucent y del comi-té de los patrocinadores del simposio,menciona un par de ejemplos:

P Los trabajos sobre números primosque «hasta hace poco nadie veía suutilidad y, sin embargo, hoy en díanos damos cuenta de que la teoríade números es imprescindible pa-ra elaborar los sistemas criptográ-ficos».P Los fundadores de Google, SergeyBrin y Larry Page, que, aun habiendocomenzado su tesis en matemáticas enStanford, se concentraron en fundarla más gigantesca empresa publicita-ria en línea y el secreto de su logro hasido la utilización de un algoritmo ma-temático (véase el artículo de Anto-nio Fernández Álvarez titulado «Ma-temáticas y Google», en el volumenII, número 1 de este Boletín).

Para más información, puede leerel artículo completo (en francés) enLe Monde.

Reseña de Pedro Martínez GonzálezUniversidad de Almería

Libros matemáticos

Se han publicado recientemente enla colección «Serie Ingenio» de laEditorial CCS los libros: «Problemasde ingenio para Primaria», «Pro-blemas de ingenio para Primer Ci-clo de Secundaria» y «Problemasde ingenio para Bachillerato». Es-tos libros, escritos por Miquel Capó,pueden ser utilizados en la educaciónpreuniversitaria y sus problemas per-mitirán a los estudiantes activar co-nocimientos, capacidad de análisis yrazonamiento, etc.

Portada de uno de los libros

Más información sobre ellos en lareseña publicada en la página webwww.divulgamat.net.

Concursos de fotografía, ví-deo y dibujo matemático dela SAEM Thales

Cartel anunciador

Se ha convocado la II edición delconcurso de vídeo matemático y la IIIde los concursos de fotografía y dibujomatemático por parte de la delegaciónen Almería de la SAEM Thales.

El plazo para enviar trabajos co-mienza el 18 de enero y finaliza el 18de marzo.

Las bases de estos concursos pue-den consultarse en la página web dela sociedad: thales.cica.es/almeria.

Premio para GeoGebra

Logo de GeoGebra

GeoGebra, el software educativo ma-temático de libre distribución, ha sidodistinguido con el prestigioso Premio

Tech, en San José, California. Los pre-mios Tech fueron instituidos hace sie-te años por empresas de Silicon Valleypara recompensar las innovaciones enbeneficio de la humanidad.

GeoGebra fue premiado por ofre-cer un paquete de software fácil deusar en el que se unen de forma diná-mica geometría, álgebra, cálculo y es-tadística, para ayudar a la innovaciónen la enseñanza de las matemáticas yel aprendizaje de todo el mundo.

En la actualidad, GeoGebra estádisponible en 50 idiomas, es utilizadopor millones de estudiantes y profeso-res en 190 países, y se descarga más de300 000 veces por mes. Además, Geo-Gebra se está integrando en los librosde texto en muchos países e instala-do en cientos de miles de portátiles,dentro de los proyectos escolares. Másinformación en:www.geogebra.org .www.techawards.org .www.geogebra.org/IGI .

Fase local de la OlimpiadaMatemática

Alumnado participante

El viernes 15 de enero tuvo lu-gar la fase local de la XLVI Olimpia-da Matemática que organiza la RealSociedad Matemática Española. Eneste concurso participa alumnado deBachillerato y, excepcionalmente, y sison avalados por sus profesores, alum-nado de 2.o ciclo de ESO.

En esta edición han participadoalrededor de 150 alumnos y alum-nas procedentes de centros educativosde la provincia de Almería. Los tresprimeros clasificados, además de loscorrespondientes premios, participa-rán en la fase nacional que se celebraráen Valladolid entre los días 25 y 28 demarzo.

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Concurso de Proyectos Edu-cativos

La Sociedad de Estadística e Inves-tigación Operativa (SEIO) convoca el«V Concurso de Proyectos Educa-tivos en Estadística e InvestigaciónOperativa para profesores de Ense-ñanza Secundaria y Bachillerato».

El objetivo principal es la difusiónde estas disciplinas en la sociedad fo-mentando la elaboración de materia-les didácticos en estos ámbitos educa-tivos.

La fecha límite para la recepciónde los trabajos es el 15 de julio de 2010y se otorgará un premio de 1000e almejor trabajo presentado.

Se pueden consultar las bases deeste concurso en la web de la sociedadwww.seio.es.

Concurso para la elabora-ción de unidades didácticas

La SAEM Thales y la DivisiónDidáctica CASIO han convocado un

concurso para la elaboración de unida-des didácticas correspondientes a loscontenidos del área de matemáticas delos niveles educativos de ESO y Bachi-llerato. Podrá participar el profesora-do en activo de centros docentes deEducación Secundaria o de Bachille-rato tanto a nivel individual como deforma colectiva.

El plazo de presentación finalizael 31 de marzo de 2010. Se establecenlos siguientes premios: un primer pre-mio dotado de 600e, dos calculadorasClasspad 330 y emulador ClasspadManager ; un segundo premio con-sistente en 300e, calculadora gráficay calculadora retroproyectable, dosterceros premios de 150e y dos calcu-ladoras gráficas cada uno.

Una matemática y un mate-mático de nuestro país invi-tados al ICM

El próximo Congreso Internacio-nal de Matemáticas (ICM), que secelebrará en Hyderabad (India) del 19al 27 de agosto de 2010, tendrá entresus ponentes invitados a los matemá-ticos españoles Isabel Fernández y Pa-blo Mira.

Isabel Fernández y Pablo Mira

Isabel Fernández, miembro del De-partamento de Matemática AplicadaI de la Universidad de Sevilla, se con-vertirá en la primera mujer españolaque impartirá una conferencia invita-da en este prestigioso congreso en elque, como hecho más popular, se otor-ga la medalla Field.

Por su parte, Pablo Mira, profesorde la Universidad Politécnica de Car-tagena, ha sido condecorado reciente-mente con el premio José Luis Rubiode Francia que concede la Real Socie-dad Matemática Española.

El equipo que forman ambos inves-tigadores ha recibido esta invitación aparticipar en el ICM por sus trabajosen el campo de la Análisis Geométri-co 1.

Actividades matemáticas

La Ciencia y sus aplicacio-nes

Cartel anunciador

En el marco del III Ciclo de Con-ferencias Científicas organizado porlas Universidades de Almería y Gra-

nada en Huércal–Overa del 27 al 29de noviembre de 2009 y que llevó portítulo «La ciencia y sus aplicacio-nes», el profesor Rafael Pérez Gómezimpartió la interesante conferenciatitulada «Mirar y Ver. MatemáticaAplicada a la Arquitectura».

Semana de la Ciencia

Celebrada del 9 al 13 de noviembrede 2009, ha escogido el eslogan «En-tre el cielo y la tierra» debido a queen 2009 se celebra el segundo cente-nario del nacimiento de Darwin, los150 años de su famosa publicación «ElOrigen de las Especie», el año inter-nacional de la Astronomía y el 40.o

aniversario de la llegada del hombre ala Luna.

Objetos matemáticos

La Titulación de Matemáticas haparticipado en la «Semana de laCiencia 2009» con dos talleres dia-rios desarrollados en las aulas de infor-mática. En ellos, el alumnado asisten-te ha experimentado y se ha divertidocon las matemáticas. Además se hanrepartido diferentes obsequios. Os es-peramos en la próxima edición.

1weblogs.madrimasd.org/matematicas/archive/2009/10/08/126146.aspx.

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ConferenciaEl día 13 de noviembre de 2009,

dentro de los actos organizados por laFacultad de Ciencias Experimentalesen honor de su patrón San Alberto,se impartió la conferencia «Pasiones,piojos, dioses... y Matemáticas» acargo del Dr. D. Antonio J. Durán,escritor y catedrático de Análisis Ma-temático de la Universidad de Sevilla.

Antonio J. Durán

Naturaleza humana y matemáticasfueron protagonistas de esta conferen-

cia, que tuvo una numerosa y hetero-génea audiencia, y en la que se rela-taron algunas historias que contrapo-nen lo abstracto de las matemáticascon lo emocional de las circunstanciasque rodean a las personas que las ha-cen y que arrojan muchas preguntassobre la condición humana.

Estos temas son tratados de ma-nera más profusa el libro homónimodel autor publicado en la EditorialDestino en 2009 donde «confrontael universo abstracto y frío de losteoremas con el mundo vehementey emocional que habitan quienes lodescubren», tal y como aparece en lacontraportada del mismo.

EuroMath 2010

The European Student Confe-rence in Mathematics (EuroMath2010) es la próxima edición de la Con-ferencia para Estudiantes de Matemá-

ticas que se celebrará en Bad Goi-sern (Austria) del 25 al 28 de febrerode 2010. En este congreso se admitencomunicaciones presentadas por estu-diantes de entre doce y dieciocho añosde edad. También es posible la realiza-ción de simposios que han de ser pro-puestos por los profesores interesados.

Tanto en las comunicaciones comoen las sesiones se abordan diversos as-pectos de las Matemáticas y sus apli-caciones a otras disciplinas de los ám-bitos científico, social y económico.

Logo de EuroMath

Más información en la página webwww.euromath.org .

Nos visitaron...

En el transcurso de estos meses nos han visitado nu-merosos investigadores de diferentes universidades con lasque los grupos de investigación de la UAL colaboran acti-vamente en el desarrollo de sus actividades.

Tuvimos el honor de tener entre nosotros a: DimitriNikshych, de la Universidad de New Hampshire (EEUU);Constantin Năstăsescu, de la Universidad de Bucarest(Rumanía); Christian Kassel, de la Universidad de Estras-

burgo (Francia); Joaquín Sánchez Lara, de la Universidadde Granada; Mirela Vanina de Mello y Vanessa GonçalvesPereira Paschoa, de la UNEPS (Brasil); Alí Boubakri ySaid Chneguir, del ISSAT de Gabès (Túnez); Hichem Ou-naies, Mohamed Benrhouma; Sami Aouioui, de la Univer-sidad de Monastir (Túnez); L’Moufadal Benyakoub de laUniversidad de Tetúan (Marruecos) y Manuel Domínguezde la Iglesia, de la Universidad de Nueva York (EEUU).

EXPERIENCIA DOCENTE

Gymkhana andaluzaTrinidad Castillo CaraIES Santo Domingo (El Ejido)

La actividad propuesta está dedicada a los alumnos de2.o ciclo de ESO, aunque puede ampliarse a primer ciclo.Consiste en una Gymkhana Matemática, que hemos lleva-do a cabo en el IES «Santo Domingo» de El Ejido, en laque participa alumnado de ESO y cuyo objetivo principales que aprendan a pensar, reflexionar y tomar decisiones,además de divertirse.

Se estructura como sigue:

1. Hemos conseguido, a través de las oficinas de infor-mación y turismo de cada provincia andaluza, pós-teres y documentación sobre cada una de ellas.

Se han creado ocho zonas (una por provincia) por to-do el instituto. En cada una había tres alumnos para

controlar los tiempos y la resolución de las activida-des, alguna de las cuales aparece a modo de ejemploen este trabajo (algunas de ellas son las propuestasen los libros del alumnado de 1.o y 2.o de ESO de laEditorial Anaya).

2. Se han hecho grupos de tres personas, identifica-dos con un número, que deben pasar por todas lasprovincias resolviendo las actividades propuestas yaportando algún dato característico de cada una deellas: gastronomía, monumentos, museos, personajesfamosos, etc.

3. Cada provincia dispone de un cuadrante, como elmostrado más abajo, donde debe anotarse el númerodel grupo, si resuelven la actividad o no, el tiempoque tarda en resolverla (máximo 10 minutos) y el

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dato característico que aporta de cada provincia.Nombre de la provincia

No de grupo Resuelto Si/No Tiempo característica

4. Ganará el grupo que más actividades haya resuel-to y en caso de empate, el que menos tiempo hayatardado en hacerlo.

Actividades de algunas provincias

< Almería: Usando 10 palillos, se ha construido unacasa con la fachada mirando hacia la izquierda, comomuestra la figura.

Cambiando de posición dos palillos, ¿podrías conse-guir que la fachada quedara mirando a la derecha?

Solución:

< Granada: Moviendo sólo dos palillos, haz que lamoneda quede fuera de la cuchara (la cuchara finaltiene que tener la misma forma que la inicial).

Solución:

Realmente ha sido una actividad muy didáctica. Entrelos alumnos participantes había algunos que generalmenteconsideran las matemáticas como algo tedioso donde sóloaparecen números y operaciones aritméticas. Gracias a es-te «juego» han pensado y reflexionado y, sobre todo, handescubierto que las matemáticas también pueden ser unmedio de entretenimiento.

PROBLEMAS MATEMÁTICOS ALMERIENSES

Los terremotos en AlmeríaRamón Morales Amate 2

IES Las Norias (El Ejido)

La provincia de Almería está geográficamente situadaen una zona de actividad sísmica, y así lo han constata-do diversos terremotos a lo largo de la historia, que enalgunas ocasiones han dejado un triste recuerdo.

Para hacer un poco de historia de lo que han sido los te-rremotos en Almería, podemos consultar el informe Gér-gal en la web del Instituto Geográfico Nacional 3, cuyosdatos nos sirven para construir un gráfico que representela intensidad del terremoto en distintas fechas:

Afortunadamente, la mayor parte de ellos no han si-do de gran intensidad, aunque sí que encontramos variosde intensidad VI y los dos peores conocidos: en 1804 con

epicentro en Dalías y en 1522 con epicentro en Almeríacapital, ambos de intensidad IX.

Este último terremoto ocurrió el 22 de septiembre de1522 y fue conocido en toda Europa. Movió la Almeríade aquella época, destruyendo viviendas, edificios de cul-to y hasta la propia Alcazaba, que más tarde tendría queser reconstruida. La ciudad quedó literalmente despobla-da. Como ejemplo, el antiguo barrio de la Almedina tardómás de dos siglos en volver a habitarse. La población, nomás de 500 habitantes, huyó a la vega y aunque se resistíaa volver, parte de ella se estableció en la zona de la ac-tual catedral y ayuntamiento, siendo éste desde entoncesel nuevo centro de la ciudad.

La intensidad de un terremoto es una medida cualita-tiva de su severidad en un lugar y se basa en los dañosque ocasiona en las personas, construcciones, etc. Ésta hasido la referencia en la historia de Almería para medir lossismos hasta la llegada de los sismógrafos en el siglo XX,mediante los cuales se puede registrar la energía del terre-moto y relacionarla con una medida cuantitativa llamadamagnitud.

En 1902 el geólogo y sacerdote italiano Giussepe Mer-calli (1850−1914), estableció una escala que lleva su nom-bre, para medir la intensidad de un terremoto. En 1935 el

2Agradezco los comentarios y sugerencias del profesor de la UAL Francisco Luzón que han ayudado a mejorar este artículo.3www.fomento.es/MFOM/Lang_CASTELLANO/DIRECCIONES_GENERALES/INSTITUTO_GEOGRAFICO/Geofisica/Informes/terremoto_gergal.

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sismólogo americano Charles Richter (1900 − 1985) creóuna escala para medir los temblores que ocurrían en el surde California, pero que un año después se extendió portodo el mundo, y hoy en día es la que escuchamos habi-tualmente en los medios de comunicación como la escalade Richter.

Guissepe Mercalli Charles Richter

La escala de Richter es de tipo logarítmica, asigna aun terremoto un númeroM, llamado magnitud, basándo-se en el incremento de tiempo ∆t (medido en segundos),que transcurre desde la aparición de las ondas P (que ha-cen vibrar el medio en la dirección de desplazamiento dela onda del sismo) hasta las ondas S (que hacen vibrar elmedio en dirección perpendicular al desplazamiento de laonda del sismo) y la amplitud A (medida en milímetros)de las ondas S, según la siguiente fórmula:

M = logA+ 3 log(8∆t) − 2,92

También es formulada la escala de Richter relacionan-do la magnitud del sismo M con la energía liberada E,medida en ergios, según la regla:

logE = 11,8+ 1,5 ·M

Hemos de ser cautelosos en la interpretación de estaescala, ya que en nuestra vida cotidiana solemos usar es-calas lineales de medida, en las que pasar de 2 a 4 es justoel doble que pasar de 2 a 3 y, sin embargo, en otras situa-ciones naturales tales como: los tamaños de los diferentesanimales, la luminosidad de las estrellas del Universo, lasensación sonora, el carácter ácido, básico o neutro de lasdisoluciones (pH) o la intensidad de los terremotos apare-cen medidas de órdenes muy diferentes, que hacen difícilsu manejo numérico o las representaciones gráficas. Porello se recurre a asignar a cada cantidad, su logaritmo de-cimal, construyendo así las escalas logarítmicas. Así, unterremoto de magnitud 4 en la escala de Richter no libe-ra el doble de energía que otro de magnitud 2, ya que sidenominamos a estas energías E4 y E2 respectivamente,tenemos que:

logE4 = 11,8+ 1,5 · 4,logE2 = 11,8+ 1,5 · 2,

de donde logE4 − logE2 = 3 y, utilizando las propiedadesde los logaritmos, obtenemos que

log(E4

E2

)= 3⇒ E4

E2= 103 ⇒ E4 = 1000 · E2

Así pues, el terremoto de magnitud 4 no es dos, sino1000 veces mayor que el de magnitud 2, en cuanto a ener-gía liberada se refiere.

Veamos un ejemplo concreto de esto. Según el infor-me Gérgal, el 14 de mayo de 1980 se mide en Almería unterremoto de intensidad II, pero pocas personas se dieroncuenta, la prensa apenas hace mención del hecho. Comose ha comentado antes, el día 22 de septiembre de 1522 seproduce un terremoto de intensidad IX que causó muchosmuertos y grandes destrozos en toda la ciudad y del que sehizo eco toda Europa. ¿Cuán más severo fue el terremotode 1522 que el de 1980 en términos energéticos?

Conocidas sus intensidades epicentrales I0, podemosaveriguar sus magnitudesM (véase [1]) usando la relaciónM = 2,948+0,034 ·I20. Así, denotando porM1522 yM1980

a las magnitudes de los terremotos de 1522 y 1980, respec-tivamente, tenemos que,M1522 = 5,702 yM1980 = 3,084.Por tanto,

logE1522 = 11,8+ 1,5 · 5,702,logE1980 = 11,8+ 1,5 · 3,084,

de donde, logE1522 − logE1980 = 3,927 y, de aquí,

log(E1522

E1980

)= 3,927⇒ E1522

E1980= 103,927 ⇒

E1522 = 8452,78 · E1980.

Como vemos, el terremoto de 1522 fue, en términosenergéticos más, unas 8400 veces mayor que el de 1980,y esa es la razón de su trascendencia a nivel informativo.Debido a que la escala de Richter es una escala logarítmi-ca, las diferencias pequeñas en sus valores de magnitud setraducen en diferencias enormes en la energía liberada delos terremotos.

Calculemos ahora la energía que se desprendió en elsismo de 1522. Se trata de resolver una ecuación logarít-mica:

logE1522 = 11,8+ 1,5 · 5,702⇒ logE1522 = 20,353⇒E1522 = 1020353 ' 2 · 1020 ergios.

Podemos encontrar otras reformulaciones de la expre-sión que estamos usando para la escala de Richter, pero setrata de la misma fórmula, solo que se hacen los cambiosoportunos para que la energía quede expresada en otrasunidades, principalmente en julios (J) o en kilovatios porhora (kW · h). Veámoslas:

Para la primera, sabemos que el ergio, que es la unidadde energía en el sistema cegesimal de unidades (CGS), tie-ne una equivalencia con el julio, que es la unidad de ener-gía del sistema internacional de unidades (SI) de 1 ergio= 10−7J. Denotamos por EJ y Ee a la energía medida en

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julios y ergios, respectivamente. Entonces, EJ = 10−7Ee,luego la ecuación de Richter queda de la forma,

log(EJ · 107) = 11,8+ 1,5 ·M⇒logEJ + log 107 = 11,8+ 1,5 ·M⇒

logEJ = 11,8− 7 log 10+ 1,5M⇒logEJ = 4,8+ 1,5 ·M

Para la segunda, sabiendo que 1J = 1W · s, y deno-tando por EkWh a la energía expresada en kilovatio por

hora (kW · h) dejamos propuesto como ejercicio al lectorcomprobar que la siguiente fórmula

M = 0,67 · log(0,37 · EkWh) + 1,46

es equivalente a la que se ha dado antes para la escala deRichter.Referencias[1] López Casado, C.; Molina, S.; Giner, J.J. y Delgado,J. (2000). Magnitude-Intensity relationships in the Ibero-Magrebhian Region. Natural Hazards, 22, 271− 297.

ENSEÑANZA BILINGÜE EN MATEMÁTICAS

Interdisciplinary Teaching andBilingualism–A Feasible ProjectAn example using the subjects of Mathematics and Social Science

Rafael Godoy AlonsoIES Santo Domingo (El Ejido)Johanna WalshAuxiliar lingüística, IES Alyanub (Vera)

One of the primary objectives intoday’s educational centres is interdis-ciplinary teaching and bilingualism inthe classroom. However, this is onlypossible with a broad use of interdis-ciplinary coordination.

However, the task becomes evenmore challenging when trying toachieve the aforementioned interdisci-plinary teaching in which we have hadto coordinate the content, objectivesand principal responsibilities of diver-se educational fields such as Mathe-matics, Social Science and Music. Theeffort and application demanded fromthose involved in the project has beenprolonged and intense.

After working with this project forthree years we feel that we have achie-ved positive results.

An example could be some of thework we have done with the first yearESO pupils in the didactic unit ’Who-le Numbers’. Numerous areas have

been found in which this mathema-tical unit can be used to apply to as-pects of both History and Geography.

Fuente: www.forounivision.com

As we all know, thermometers usenegative numbers in very cold geo-graphical zones. Hence, when explai-ning the unit on climatology, the So-cial Science teacher lays special emp-hasis on the various climates in whichwinters are outstandingly cold. Usinga series of climatic changes and itsgraphic representation, the climategraph, the student can quickly graspthe concept of positive and negative

numbers in visual form.

The same applies when we ex-plain the depth of marine caverns andthe altitude of the highest mountains.Again, here we use positive and nega-tive numbers.

As regards History we find a simi-lar situation when the Social Scien-ce teacher explains the transition ofyears from before to after Christ. Wecan consider the years before Christ tobe (-X), thereby relating the two sub-jects and reinforcing the interdiscipli-nary aspect. Hence the pupil learns ofthe existence of the year zero and thepreceding and subsequent years.

Thus said it only remains for us atIES Santo Domingo to encourage allthose involved in the bilingual projectand to recommend that they supportthe idea of interdisciplinary teaching.This method not only proves as enter-taining and rewarding for the teacheras for the pupil but also demonstratesthat the different areas of the curri-culum are not quite as different as wemight sometimes think.

DEPARTAMENTOS DE MATEMÁTICAS

IES Fuente NuevaEl Ejido (Almería)

El IES «Fuente Nueva» está situado en El Ejido, lo-calidad del poniente de Almería con una actividad socio-económica basada en la agricultura, reforzada con la in-

dustrialización y el comercio.

En nuestro centro se cursan estudios en régimen diurnoy nocturno. En el régimen diurno se encuentran matricu-

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Enseñanza Secundaria Volumen III. Número 2 9 / 24

lados 891 alumnos y alumnas, repartidos en los siguientescursos: en Secundaria hay 19 grupos de ESO, (un 1.o yun 2.o son bilingües de inglés), un grupo de EducaciónEspecial, cinco grupos de 1.o de Bachillerato y cuatro de2.o y un CFGS de Comercio Internacional. En el nocturnose encuentran matriculados 340 alumnos y alumnas dis-tribuidos en seis grupos: uno de 1.o y otro de 2.o de Edu-cación Secundaria Semipresencial de Adultos; dos gruposde Educación Secundaria de Adultos y, finalmente, uno de1.o y otro de 2.o de Bachillerato. El claustro está integradopor 82 profesores y profesoras.

En la actualidad tenemos implementados en el centro5 proyectos educativos:

P El Deporte en la Escuela.

P El fomento del Plurilingüismo.

P Incorporación a las Nuevas Tecnologías de la Infor-mación y la Comunicación.

P Escuela Espacio de Paz (proyecto intercentros).

P Plan de Igualdad Hombre–Mujer y Coeducación.

Nuestro departamento es bastante numeroso, en la ac-tualidad lo formamos 13 profesores: María José CamposMartín, Juan Fernández Mesas, Julio Gutiérrez Fernán-dez, Miguel Ángel Labella Lopera, Fermín López Sánchez,Eva Ma Martín Rodríguez, María José Navarro Muros, Mi-guel Francisco Pino Mejías, Ángel Rodríguez Fernández,María Dolores Rodríguez Martínez, Manuel Salvador Mi-ras, Manuel Jesús Torres Navarro y José Francisco Ville-gas Alcántara. Todos y cada uno de nosotros, en mayoro menor medida, estamos implicados en los proyectos yactividades del centro, tratando de que las Matemáticasestén presentes en todos ellos.

Miembros del departamento

Tenemos en marcha el uso de la plataforma Moodledel instituto y gracias a que somos centro TIC poseemos17 aulas con ordenadores fijos y 3 aulas portátiles parapoder trabajar con el alumnado aplicando las nuevas tec-nologías. Hemos incorporado material para la realización,consulta, desarrollo y comunicación de actividades, de ma-terial didáctico, calificaciones, foros de consultas, comuni-cación directa con los distintos profesores, etc. Utilizamoslos distintos recursos informáticos a nuestro alcance, que

ciertamente son numerosos, para el desarrollo de la asig-natura de Matemáticas.

Plataforma Moodle del centro

Usamos los programas de aplicación de los instaladosen los ordenadores de las aulas, como GeoGebra, WxMa-xima, también páginas web interactivas como «emate-maticas.net» (en cuya realización ha participado nuestrocompañero Miguel), Descartes, otras páginas de consulta,actividades matemáticas de Jclick, etc.

Sitio web del centro

Tratamos de fomentar el interés ante la resolución deproblemas, pues el día a día nos ha mostrado que nuestroalumnado presenta cierta desconfianza a la hora de abor-dar dichos problemas. Para el desarrollo de nuestra laborrealizaremos durante este curso las siguientes actividades:

Q Recorrido por El Ejido, con alumnos de ESO, reco-nociendo la presencia de elementos matemáticos enplazas, calles o construcciones, mediante una pro-puesta teórica. El objetivo de esta actividad es queel alumnado pueda observar en la vida real y en lanaturaleza contenidos y resultados matemáticos.

Q Participación en el concurso de «Problemas de in-genio» organizado por la sociedad Thales y dirigidoal alumnado de 4.o de ESO.

Q Participación en la Olimpiada Matemáticas de Tha-les para los alumnos de 2.o de ESO. Durante el curso

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Enseñanza Secundaria Volumen III. Número 2 10 / 24

se les proporciona distintos problemas de ingenio pa-ra que se animen a participar.

Q Participación en la Olimpiada Matemática, que or-ganiza la Real Sociedad Matemática Española paralos alumnos de 2.o de Bachillerato en la Universidadde Almería. El curso pasado José Miguel Martín,alumno de nuestro centro, quedó el segundo de laprovincia.

Q Exposición mensual de paneles de matemáticas en elhall del centro, con juegos, curiosidades, notas his-tóricas,...

Q Colaboración con la ONG Cooperación Internacio-nal, llevando a cabo el programa de «Mates Soli-

darias», como en años anteriores.

Q Preparación de guión de trabajo y proyección depelículas en las que aparecen las matemáticas paraalumnado de 4.o de ESO.

El profesorado de matemáticas debe ayudar a nuestroalumnado a que sean ciudadanos y ciudadanas capacesde participar de forma activa en los procesos colectivos,que adquieran la autonomía necesaria para afrontar todoslos problemas relacionados con las matemáticas que se lespuedan presentar. En definitiva, que mediante el lenguajematemático, el modo de hacer conjeturas y razonamien-tos, puedan analizar la realidad, producir nuevas ideas yconocimientos, y que entiendan distintas situaciones e in-formaciones.

Problemas de las Pruebas de Acceso a la Universidad

De entre todas las rectas del plano que pasan porel punto (1, 2), encuentra aquella que forma con laspartes positivas de los ejes coordenados un triángulode área mínima. Halla el área de dicho triángulo.

Problema propuesto en el número anterior

Presentamos la solución al problema propuesto en elnúmero anterior. Os planteamos otro para que nos enviéisvuestras soluciones a bmatema@ual.es.

Solución:La recta a calcular tendrá la forma y = mx + n con

m 6= 0 ya que si m = 0, la recta y = n no forma un trián-gulo con los semiejes positivos. Sus puntos de corte conlos ejes de coordenadas serán, por tanto, (0, n) y

(− n

m, 0).

x

y

y = mx+ n

(− n

m, 0)

(0, n)

(0, 0)

Hemos de tener en cuenta que al tratarse del triángu-lo formado con los semiejes positivos, la pendiente m dela recta sería negativa y, por tanto, − n

mserá un número

positivo.De este modo, el área de nuestro triángulo será la mi-

tad del producto de la base por la altura, es decir,

S = −1

2· nm· n⇒ S = −

n2

2m.

Como la recta ha de pasar por el punto (1, 2), tenemosentonces quem+n = 2. Despejando, n = 2−m y, sustitu-

yendo en la fórmula para el área, obtenemos una funciónque depende de una variable, m, es decir,

S(m) = −(2−m)2

2m.

Nuestro objetivo es optimizar esta función, para lo quecalculamos la función derivada, que es

S′(m) = −m2 − 4

2m2.

Si hacemos S′(m) = 0, tenemos que m2 − 4 = 0, dedonde m = −2 y m = 2 son los valores críticos.

Sabemos de nuestro planteamiento que la pendientemdebe ser negativa así que descartamosm = 2 como posiblesolución del problema. Para poder afirmar que m = −2 essolución, tenemos que comprobar que en dicho valor lafunción alcanza su valor mínimo, tal y como se nos pi-de. Por tanto, calculamos la función segunda derivada deS(m), que es

S′′(m) = −4

m3.

Sustituyendo el único valor crítico coherente con la se-mántica del problema m = −2 en S′′(m), tenemos queS′′(−2) > 0, con lo que, efectivamente, en m = −2, lafunción S(m) alcanza un mínimo relativo.

Sustituyendo ahora en la igualdad m+ n = 2 se tieneque n = 4 y, de este modo, la recta buscada es y = −2x+4,mientras que el área que esta recta forma con los semiejespositivos es

S = −42

2 · (−2)= 4 unidad2.

Determina la recta que no corta al plano x−y+z = 7y cuyo punto más cercano al origen es (1, 2, 3).

Nuevo problema propuesto

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Divulgación Matemática Volumen III. Número 2 11 / 24

LA HISTORIA Y SUS PERSONAJES

Emmy NoetherUna mujer con vocación matemática

Sergio Estrada DomínguezUniversidad de Murcia

Emmy Noether

La Teoría de Anillos Conmutativoscreció alrededor de dos clases particu-lares de anillos: los anillos de polino-mios en n variables sobre los númerosreales o complejos y los anillos de en-teros asociados a un cuerpo de núme-ros algebraico.

David Hilbert (1862− 1943) fue elprimero en introducir el término «ani-llo» a partir de éste último ejemplo,pero la definición abstracta de anillono apareció hasta la década de 1920.Concretamente fue en 1921, año en elque Emmy Noether publicó el artícu-lo «Teoría de Ideales en Anillos»en el que se estableció la fundamenta-ción axiomática de la Teoría de Ani-llos Conmutativos. Entre los concep-tos fundamentales introducidos en es-te artículo, cabe destacar el de condi-ción de cadena ascendente para idea-

les, que da lugar a la noción de anillonoetheriano (en honor de Noether).

En este trabajo, Noether probóque si un anillo es tal que toda cade-na ascendente de ideales tiene un ele-mento maximal, entonces cada ideales finitamente generado. Su contribu-ción a la física de partículas tambiénfue muy destacada.

Emmy Noether se doctoró en 1907por la Universidad de Erlangen, Ale-mania. Realizó su tesis doctoral bajola supervisión de Paul Gordan (1837−1912) y trató sobre teoría de invarian-tes. Sin embargo, su interés fue cam-biando de la corriente constructiva alpensamiento axiomático conceptual.

En 1915 Hilbert y Klein la invi-taron a trabajar en Gotinga, que enaquel momento era el principal centromatemático de Alemania, pero sus es-fuerzos para conseguirle una plaza re-sultaron inútiles por tratarse de unamujer (el reglamento vigente de laUniversidad de Gotinga indicaba demanera explícita que los candidatosdebían ser hombres).

Hilbert se mostró molesto y en unconsejo de facultad declaró: «No en-tiendo por qué el sexo de un candi-dato debe ser un argumento en con-tra de su admisión. A fin de cuen-tas, somos una Universidad no unbaño público».

Sin embargo, Hilbert encontró unamanera para que ella pudiera impartirclases: las clases se anunciaban con elnombre de Hilbert y ella aparecía co-

mo ayudante. Posteriormente, a causade los cambios políticos que se produ-jeron en Gotinga al finalizar la Prime-ra Guerra Mundial, Noether pudo ob-tener una plaza en la universidad en1923.

Durante la siguiente década, ejer-ció una gran influencia en el desarro-llo de los conceptos básicos del álgebramoderna. Al igual que otros miembrosjudíos de la universidad, fue forzada aabandonar Gotinga en 1933.

Placa conmemorativa en su ciudadnatal (Erlangen, Alemania)

Pasó los últimos dos años de su vi-da en la Universidad de Bryn Mawrcerca de Philadelphia y, al mismotiempo, trabajó en el Instituto de Es-tudios Avanzados de Princeton, dondecoincidió con Albert Einstein. Con éltrabajó sobre la teoría de la relativi-dad, donde contribuyó a dar el marcomatemático para establecer los princi-pios de conservación de la energía den-tro de la relatividad general. Murió aconsecuencia de una operación el 14de abril de 1935.

GRANDES PROBLEMAS DE LA MATEMÁTICA

El buscaminas y su relación con elproblema P = NPElisa Berenguel LópezEstudiante de la UALManuel Fernández MartínezBecario de investigación de la UAL

¿Sabíais que el famoso juego del buscaminas, que po-déis encontrar en cualquier ordenador, esconde en realidad

uno de los problemas abiertos más apasionantes de las ma-temáticas y la informática? Pues así es, y de hecho estacuestión es uno de los Siete Problemas del Milenio, se-leccionados por el Clay Mathematics Institute de Cam-bridge (EEUU), que ofrece un millón de dólares a quienconsiga resolver alguno de estos problemas.

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Como muchos de vosotros ya sabéis, el juego del bus-caminas parte de un tablero formado por casillas, algunasde las cuales contienen minas, mientras que otras puedeninformar del número de minas que se encuentran ocul-tas en sus celdas adyacentes. El objetivo es, partiendo deuna casilla al azar, ser capaz de destapar todas las cel-das que no contienen una mina. Por tanto, en cada paso,pueden ocurrir dos cosas: o bien la casilla elegida contieneuna mina, o bien se descubre el número de minas que seencuentran escondidas en las casillas adyacentes a la se-leccionada. Desde el punto de vista matemático, el interésde este juego radica en la posibilidad de averiguar si unaconfiguración concreta para una partida de buscaminas sepuede resolver.

Por ejemplo, en la siguiente figura se muestra una con-figuración posible para esta partida de buscaminas. Vamosa verlo. Denotemos por ci,j a la casilla ubicada en la filai y en la columna j de este tablero. Entonces, observamoslo siguiente:

� c1,1 = 1, y la única casilla adyacente a ésta con unamina es la c1,2.

� c2,3 = 2, siendo c1,2 y c3,4 sus dos únicas adyacentesque contienen una mina.

� c2,5 = 2, teniéndose que c1,5 y c3,4 son las únicascasillas que la rodean que tienen mina.

� c3,2 = 2, y c3,1 y c4,3 contienen mina únicamente.

� c4,2 = 3, con c3,1, c4,3 y c5,2, las únicas adyacentesa ésta que poseen mina.

� c4,4 = 3, teniéndose que c3,4, c4,3 y c4,5 son lasúnicas que tienen mina.

� c5,1 = 1, verificándose que c5,2 es la única de susadyacentes con mina.

� c5,3 = 2, obteniéndose que sus únicas casillas adya-centes con mina son c5,2 y c4,3.

Ejemplo de configuración posible para una partida debuscaminas

Ahora bien, si por ejemplo la casilla c1,1 de la partidaanterior contuviese en su interior un 2, tendríamos unaconfiguración imposible para esta partida de buscaminas,dado que la única casilla con mina que la rodea es la c1,2.

Concurso de problemas

Seguro que después de ver el ejemplo que aparece en elartículo, os animáis a decirnos si la siguiente partida debuscaminas que os proponemos es posible.

¿Es posible esta configuración de buscaminas?

Problema propuesto

♣

Envía tu solución a bmatema@ual.es

Si nos envías tu solución a este problema puedes ob-tener un regalo relacionado con las matemáticas valoradoen unos 50e.

Para participar, sólo tienes que mandar tu solución ala dirección de correo electrónico bmatema@ual.es. Pue-des escanear el papel en el que hayas elaborado la solucióny enviárnosla a dicha dirección de correo electrónico.

Las bases de este concurso pueden consultarse en lapágina web del boletín: boletinmatematico.ual.es.

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Divulgación Matemática Volumen III. Número 2 13 / 24

A continuación, vamos a proporcionar algunos datosmás sobre este interesante problema matemático, aunqueesta información no es necesaria para abordar el problemapropuesto.

En matemáticas, decimos que una configuración parauna partida de buscaminas es consistente, si existe unadistribución de minas en el tablero para las casillas ocul-tas, de manera que la numeración correspondiente a lasceldas adyacentes a éstas sea coherente.

A principios de la década de los setenta, los matemá-ticos S. Cook y R. Karp introdujeron las clases de com-plejidad P y NP. Un problema es de la clase P, si puederesolverse mediante un algoritmo que utilice un número depasos polinómico respecto de los datos de entrada, comopor ejemplo, el cálculo del máximo común divisor de dosenteros, ordenar una lista de valores, o determinar si unnúmero entero es primo. Desde el punto de vista compu-tacional, este tipo de algoritmos resulta de gran utilidad,puesto que emplean menos tiempo de cálculo. Por su par-te, la clase NP está compuesta por problemas tales co-mo descomponer un número entero como producto de susfactores primos, o encontrar una clave de longitud n pa-ra abrir una caja fuerte, usando dígitos entre 0 y 9. Losalgoritmos de la clase NP proponen una posible solucióny comprueban posteriormente la validez de ésta. En la ta-bla adjunta podemos encontrar una comparativa referenteal tiempo de cálculo utilizado por diversos algoritmos, enfunción del número de datos de entrada, y de la velocidadde éstos.

Richard Kaye, de la Universidad de Birmingham, de-mostró que el problema de determinar si una configuraciónde buscaminas es consistente, es equivalente al problemade la consistencia de un circuito lógico, y dado que se sabeque éste último pertenece a la clase NP, se pudo demos-trar que el problema subyacente al juego del buscaminastambién estaba en la clase NP. Por consiguiente, si fueseposible encontrar un algoritmo polinomial que permitie-se determinar si una configuración dada para una partidade buscaminas es consistente, sería posible probar la con-jetura P = NP, resolviéndose de esta forma uno de losfamosos problemas del milenio. Actualmente, la mayoríade investigadores que trabajan en teoría de algoritmos sos-pechan que la respuesta al problema P = NP es negativa.No obstante, dado que el funcionamiento de diversos sis-temas de cifrado y descifrado de mensajes está basado en

problemas pertenecientes a la claseNP, una hipotética re-solución del problema P = NP en sentido positivo, podríacomprometer seriamente la seguridad de dichos sistemas.

no datos n n2 2n 10n

10 10−8 s 10−7 s 1,024 · 10−6 s 10 s102 10−7 s 10−5 s 4,08 · 1011 siglos 3,22 · 1081 siglos103 10−6 s 10−3 s 3,44 · 10282 siglos 3,22 · 10981 siglos

Para tener algunos ejemplos en mente, recordemos quesi n es el número de datos de entrada, el algoritmo paracalcular el máximo común divisor de dos enteros necesitan pasos, el problema de multiplicar dos números puedehacer uso de n2 pasos, el algoritmo de fuerza bruta parauna partida de buscaminas emplea 2n pasos, y el problemade averiguar una clave de longitud n de una caja fuerte,usando dígitos entre 0 y 9, utiliza 10n pasos. Aquí, esta-mos suponiendo que el tiempo necesario para ejecutar elnúmero de instrucciones indicado en cada columna de latabla, se mide en nanosegundos (1 segundo =109 nanose-gunos).

Aunque el problema del buscaminas pertenezca a laclase NP, es posible proponer un método para intentarresolverlo. En efecto, un posible algoritmo basado en lafuerza bruta para determinar la consistencia de una con-figuración propuesta para una partida de buscaminas, con-sistiría en obtener las 2n posibles combinaciones a compro-bar, siendo n el número de casillas ocultas. Sin embargo,este algoritmo tarda demasiado tiempo dado que su ordenes exponencial, y en consecuencia, no pertenece a la claseP.

De este modo, observamos que las matemáticas se en-cuentran con frecuencia en nuestra vida cotidiana; en estecaso, la solución de uno de los Siete Problemas del Mile-nio se encuentra implícita en un conocido juego de orde-nador como es el buscaminas, que en definitiva, constituyeun profundo problema de lógica matemática.

Podéis encontrar más información sobre este problemamatemático en las siguientes direcciones web:

� www.claymath.org/millennium/ .

� www.claymath.org/millennium/P_vs_NP.

� web.mat.bham.ac.uk/R.W.Kaye/minesw/minesw.htm.

� www.claymath.org/Popular_Lectures/Minesweeper.

MATEMÁTICAS Y CULTURA

Toboganes y el transbordador espacialAlberto José Marín Fernández de CapelMatemático licenciado en la UAL

De niños (y no tan de niños) hemos disfrutado desli-zándonos por los toboganes de los parques infantiles. Estostoboganes consisten en una superficie deslizante que une

dos puntos a diferentes alturas en línea recta y con unadeterminada inclinación. Pero, ¿por qué son siempre su-perficies planas? ¿Simplemente porque es más sencillo deconstruirlos o hay alguna otra razón?

Supongamos que queremos construir un tobogán que

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Divulgación Matemática Volumen III. Número 2 14 / 24

nos permita llegar al suelo en el menor tiempo posible,recorriendo la misma distancia horizontal y sin necesidadde impulsarnos. Es decir, simplemente dejándonos caer,¿cómo sería la forma de ese tobogán?

Un problema semejante de optimización, conocidocomo el problema de la braquistócrona (del griego,βραχ��στος = braquistos = más breve, χρ�ονος = cro-nos = tiempo) o curva de mínimo tiempo (Figura 1), fueresuelto por los hermanos Bernoulli, que lo propusieroncomo un reto para los matemáticos de la época.

1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

Figura 1: Braquistócrona

Isaac Newton resolvió el problema y lo envió anónima-mente. Cuando John Bernoulli revisó la solución, exclamó:«Reconozco al león por su garra», refiriéndose a Newton.La solución que Newton halló brillantemente, resultó serun arco de una curva ya conocida, la cicloide (Figura 2).La cicloide es la trayectoria (rojo) que describe un puntode una circunferencia (azul) cuando ésta está rodando.

0 2 4 6 8 10

Figura 2: Ciclode

Cuando se lanza un vehículo espacial hacia una órbitaterrestre (Figuras 4 y 5), siempre se optimiza la trayecto-ria para alcanzar dicha órbita en el menor tiempo posible,minimizando así el gasto de combustible y contribuyendode ese modo a maximizar la carga útil que puede transpor-tar. Como este problema es el caso inverso al del tobogán,la solución resulta ser una curva que, en esencia, tiene laforma de una braquistócrona invertida (Figura 3).

0 1 2 3 40

1

2

3

4

Figura 3: Braquistócrona invertida

Figura 4: Lanzamiento del Transbordador EspacialAtlantis. NASA

Figura 5: Lanzamiento del Transbordador EspacialDiscovery. La sensación de trayectoria descendente esun efecto óptico debido a la curvatura de la Tierra.

NASA/Ben Cooper

Referencias:[1] Tom Logsdon,Orbital Mechanics, John Wiley & Sons,Inc. 1998, pp 158-164.[2] William E. Wiesel, Spaceflight Dynamics, McGrawHill International Editions 1997.[3] curvebank.calstatela.edu/brach/brach.htm.

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Divulgación Matemática Volumen III. Número 2 15 / 24

Resultado del concurso del número anterior

Prueba la siguiente igualdad:

3

√1+

2

3

√7

3+

3

√1−

2

3

√7

3= 1.

Nota : la raíz cúbica denota la raíz cúbica real.

Problema propuesto en el número anterior

En primer lugar, queremos agradecer a todas las per-sonas que nos han enviado sus soluciones su interés enparticipar en el concurso y les animamos a que continúenhaciéndolo. Tienen una buena oportunidad con el proble-ma que acabamos de plantear.

De entre todas las soluciones co-rrectas recibidas, la ganadora hasido enviada por Jorge Miras Ar-chilla, alumno de 1.o de Bachille-rato del IES «Aguadulce».

Queremos hacer una mención es-pecial a la solución enviada porla alumna del mismo centro Ma-ría del Carmen García Manzano.

¡Enhorabuena!Jorge Miras

Solución enviada por el ganador:Denominemos x al primer miembro de la igualdad, es

decir,

x =3

√1+

2

3

√7

3+

3

√1−

2

3

√7

3. (1)

Como se trata de demostrar una igualdad, trabajare-mos sobre ese primer término. Al tratarse de raíces cúbicasintentaremos desarrollarlo mediante el binomio de New-ton :

x3 =

3

√1 +

2

3

√7

3

3

+ 3

3

√1 +

2

3

√7

3

2

3

√1 −

2

3

√7

3+

+ 33

√1 +

2

3

√7

3

3

√1 −

2

3

√7

3

2

+

3

√1 −

2

3

√7

3

3

.

Al elevar al cubo dos de las raíces, éstas se eliminan,así como +2

3

√73y −2

3

√73por lo que

x3 = 2 + 3

3

√1 +

2

3

√7

3

2

3

√1 −

2

3

√7

3+

+ 33

√1 +

2

3

√7

3

3

√1 −

2

3

√7

3

2

.

Si ordenamos convenientemente extrayendo factor co-mún obtenemos que:

x3 = 2+ 33

√1+

2

3

√7

3

3

√1−

2

3

√7

3︸ ︷︷ ︸suma por diferencia

3

√1+

2

3

√7

3+

3

√1−

2

3

√7

3

,por lo tanto,

x3 = 2+ 33

√1−

4

9· 73

3

√1+

2

3

√7

3+

3

√1−

2

3

√7

3

= 2+ 3

3

√1−

28

27

3

√1+

2

3

√7

3+

3

√1−

2

3

√7

3

= 2+ 3

3

√−1

27

3

√1+

2

3

√7

3+

3

√1−

2

3

√7

3

.Convertimos 27 a potencias de 3 y obtenemos 33 y, jun-

to al −1 lo sacamos de la raíz como −13, que se simplifica

con el 3, con lo que nos queda que:

x3 = 2−3

√1+

2

3

√7

3−

3

√1−

2

3

√7

3.

Aplicando la ecuación (1) obtenemos que

x3 = 2− x.

Si ordenamos los términos tenemos la ecuación de ter-cer grado

x3 + x− 2 = 0,

en la que utilizaremos el método de Ruffini para encon-trar sus raíces:

1 0 1 −2

1 1 1 2

1 1 2 0

por lo que x = 1 es una raíz de dicho polinomio y quedaríacomprobada la igualdad si vemos que no quedan más so-luciones. Busquemos, entonces, las raíces de x2+x+2 = 0que vienen dadas por

x =1±√1− 8

2=1±√−7

26∈ R.

Como ya no hay más soluciones reales, la igualdad que-daría probada.

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Divulgación Matemática Volumen III. Número 2 16 / 24

MATEMÁTICAS Y OTRAS CIENCIAS

Aplicación de los modelos de regresiónlineal y no lineal a la geologíaAdela Carretero LópezIES Celia Viñas (Almería)

Que ciencias tales como la Física o la Química estánmuy relacionadas con las Matemáticas es algo que nadiediscutiría a la luz de teorías como la Relatividad o la Quí-mica Cuántica por ejemplo. Sin embargo son muchas lasciencias experimentales que emplean las matemáticas pararesolver sus problemas. Por ejemplo, la determinación delas constantes en las dependencias funcionales de los mo-delos teóricos es uno de los problemas más importantes dedichas ciencias experimentales. Así, para la obtención deestas constantes se suele proceder al ajuste de dicho mo-delo a los datos experimentales existentes del fenómenoque se intenta parametrizar.

En la explicación de este procedimiento es muy usualemplear modelos lineales, en los que a los datos experi-mentales se les ajusta una línea recta, de modo que me-diante el estudio de la pendiente o la ordenada en el origense pueden obtener características importantes del sistemaestudiado, como por ejemplo la constante de Hooke si seestudia la elongación de un muelle, o la resistencia de undeterminado circuito si se estudia la ley de Ohm.

En general, para los ajustes lineales puede emplearseuna calculadora convencional que tenga las funciones es-tadísticas básicas, aunque desde hace ya bastante tiempopuede encontrarse un gran número de programas comer-ciales como Mathematica, Derive, Matlab o software li-bre como Gnuplot (tanto en su versión Windows comoLinux ) u Octave.

En la mayoría de los casos, dichos programas ademásde incluir los algoritmos para realizar ajustes lineales, per-miten también realizar ajustes de funciones con un com-portamiento no lineal, aunque, este tipo de tratamientotiene la dificultad añadida, de que en general hay que pro-poner el tipo de funciones que pueden modelizar el fenó-meno estudiado.

Los alumnos de los últimos cursos de bachillerato tie-nen un nivel suficiente de matemáticas para abordar pro-blemas con un comportamiento lineal y realizar ajustespor mínimos cuadrados lineales, sin embargo tienden demanera natural a considerar que todos los ajustes son deeste estilo linealizando cualquier tipo de comportamientoexperimental.

A continuación presentamos un problema típico degeología que demuestra a los alumnos que no es siempreposible linealizar los problemas, de modo que es necesa-rio proponer otro tipo de comportamientos para describircorrectamente la experiencia.Enunciado del problema:

A partir de la realización de una campaña de pros-

pección en un perfil de dirección N-S, con sentido haciael sur con el objeto de obtener la gravedad relativa (Γ) oAnomalía de Bouguer se han obtenido los datos que semuestran en la tabla que aparece más abajo donde N esel número de estación (0 es la base), D es la distancia a labase, A la altitud, Γ es la variación de la gravedad respectoa la base y C es la corrección observada en cada estación.

Analícese si la Anomalía de Bouguer obtenida de-pende linealmente de las distancias relativas respecto a lasituación de la base. La base, situada en el hemisferio sur,tiene una latitud de φ = 30 grados S y la densidad mediadel terreno ρ es de 2 g/cm3.

N D(m) A(m) Γ C

0 0 40 0 0,1

1 20 50 −2,48 0,35

2 40 55 −3,584 0,35

3 80 40 0,252 0,02

4 100 35 1,299 0,2

5 120 25 3,728 0,05

6 140 32 2,125 0,1

En primer lugar deben hacerse una serie de correccio-nes debidas a la variación de la altitud, latitud y topogra-fía, de modo que la anomalía final para la estación i-ésimaΓf(i) viene dada por la ecuación:

Γf(i) = Γ(i) − 0, 0081Sen(2φ)D(i)

10+

(0,3086− 0,04191ρ)(A(i) −A(0)) + (C(i) − C(0))

obteniéndose finalmente que los datos a analizar son:

N D(m) Γf0 0 0

1 20 0,0124994

2 40 0,0270989

3 80 0,150798

4 100 0,248597

5 120 0,274497

6 140 0,289656

En la figura siguiente se representa la anomalía finalcorregida en función de la distancia de cada estación a labase. Como puede observarse los puntos experimentales(mostrados en color rojo) presentan una clara tendenciano lineal, por lo que el ajuste lineal de los datos (recta decolor azul), presenta un coeficiente de regresión inferior a0,96.

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0 20 40 60 80 100 120 140�0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

D �m�

�

Modelizando adecuadamente el problema presentado,es posible proponer un comportamiento de la curva expe-rimental dado por la función de saturación:

Γf =a1

1+ exp(a2 + a3D) + exp(a4 + a5D)

donde los coeficientes ai serían parámetros por determi-nar. Utilizando el programa Mathematica, con el paqueteNonlinearegression, es fácil programar dicho ajuste me-diante el código que se muestra a continuación:

Needs["NonlinearRegression‘"];datos = {{0, 0.}, {20, 0,0124994}, {40, 0,0270989}, {80, 0,150798},

{100, 0,248597}, {120, 0,274497}, {140, 0,289656}};

modelo1 = a1/(1 + E(a2+a3∗Log[D]) + E(a4+a5∗Log[D]));modelo2 = a1 + a2*D;ajuste1 = NonlinearRegress[datos, modelo1, a1, a2,a3, a4, a5, x];ajuste2 = NonlinearRegress[datos, modelo2, a1, a2, x]

Cuando se ejecutan las órdenes ajuste1 y ajuste2, elprograma procede a realizar los ajustes no lineal y linealrespectivamente empleando los modelos 1 y 2. La salidapermite obtener los parámetros que mejor ajustan los da-tos experimentales, y otras informaciones, entre las que seincluyen una tabla ANOVA, que puede utilizarse para cal-cular los coeficientes de regresión que en el caso del ajusteno lineal es próximo a 0,99.

Puede concluirse, que existen muchas disciplinas cien-tíficas como la Geología, que también emplean las mate-máticas para modelizar los datos experimentales que seobtienen en sus observaciones. Es importante señalar queel uso de nuevas herramientas informáticas, permite ana-lizar casos que por su complejidad son difícilmente abor-dables con los medios de cálculo tradicionales.

MUJERES Y MATEMÁTICAS

Jocelyn Bell BurnellHistoria de una excepcional astrónoma que participó en uno de los momentos más fascinantesde la astronomía actual: el descubrimiento de los púlsares, estrellas de neutrones

Maribel Ramírez ÁlvarezUniversidad de Almería

Jocelyn Bell

Para despedir el Año Internacionalde la Astronomía (2009), qué mejormanera de hacerlo que con un mere-cido homenaje a una de las astróno-mas más relevantes del siglo XX, des-conocida para muchas personas: Jo-celyn Bell Burnell, una astrofísica na-cida en Belfast, el 15 de julio 1943,

cuya aportación ha sido fundamentalpara el avance de la astrofísica, y a laque a nuestro parecer, la historia le hatratado de manera injusta.

Jocelyn Bell Burnell es un buenejemplo de mujer dedicada a la astro-nomía y que además ha sido nexo deunión entre dos épocas: una, domina-da por los hombres y donde ser mu-jer y astrónoma era algo peculiar, y laépoca actual.

Como asegura Josefa Masegosa [1],Jocelyn es la prueba viva de una cien-tífica de este siglo que ha superado to-dos los obstáculos. Jocelyn Bell pro-viene de una familia cuáquera de Ir-landa. Desde muy pequeña leía cual-quier libro de astronomía que hubieseen la librería de su padre. Su favoritoera Fronteras de la Astronomía, deFred Holey.

Masegosa cuenta que su carreraprofesional comenzó a la edad de onceaños, cuando no superó el examen quedeterminaba las aptitudes para reali-

zar una carrera superior universitaria,y sus padres la enviaron a la MountSchool, en la ciudad inglesa de York,un colegio religioso para chicas. PeroJocelyn tenía muy claro qué quería seren el futuro. Así, en 1961 escribe al as-trónomo inglés Bernard Lovell, paraque le aconseje qué debe hacer paraser radioastrónoma. Lovell le sugiereque estudie Físicas o Electrónica.

En 1961 se matricula en CienciasFísicas por la Universidad de Glas-gow, en contra de todas las recomen-daciones de su entorno, que le aconse-jaban que abandonase, ya que era laúnica mujer en la licenciatura de Fí-sicas. No sólo no abandonó, sino quedespués ingresa en Cambridge pararealizar el doctorado. Apenas mesesdespués, con escasos veintidós años,entra a formar parte del equipo deAnthony Hewish como estudiante dedoctorado.

Como parte de su tesis doctoralutiliza un nuevo radiotelescopio, que

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ella ayudó a construir. Dicho radiote-lescopio le permitió entrar en la his-toria de la ciencia, ya que gracias aél pudo estudiar por qué las ondas deradio procedentes de estrellas lejanaspresentaban grandes variaciones.

Pero mientras que la investigaciónmarchaba bien, una inexplicable in-terferencia aparecía en sus gráficos...«una mañana de agosto de 1967, ensu análisis rutinario, Jocelyn obser-va un extraño pico en la señal quese repite periódicamente cada pocossegundos como un pulso. Una señalasí, parece típicamente de proceden-cia humana, pero había algo de ex-traño en ella...» [2].

Al principio, Bell y su director detesis, Anthony Hewish, pensaron quela señal debía ser una especie de inter-ferencia terrestre. Parece ser que éstasson normales en radioastronomía. Pe-ro a pesar de intentarlo de todas lasmaneras posibles, Bell y Hewish nopodían eliminar la señal. Provenía dealgún lugar de la galaxia. Tras un de-tallado análisis se encontraron con quela señal tenía pulsos a intervalos regu-lares (se apagaba y se encendía tanrápidamente como el tictac de un re-loj gigante) y en 1967 nadie sabía quéfuente de radio natural en la galaxiapodría enviar una señal con una preci-sión tan alta, y los investigadores co-menzaron a sospechar la posibilidad

de que el origen no fuera natural. Enun principio parecía que la única ex-plicación posible podría ser las «cria-turas verdes con antenas» del espacioy medio en broma, empezaron a re-ferirse a la fuente como LGM (littlegreen men).

Un poco después se formuló unateoría más seria. La señal LGM al fi-nal no tenía relación con civilizacio-nes alienígenas. En menos de un añose detectaron varios objetos pulsantessimilares. Su origen, se aceptó amplia-mente, eran estrellas de neutrones ro-tando velozmente, y fueron acertada-mente denominadas «púlsares».

Púlsar de la Nebulosa delCangrejo. NASA y ESA

¡Qué emocionante debió de ser pa-ra Jocelyn cuando se dio cuenta deque había descubierto algo nuevo enel Universo! El trabajo que anuncia-ba este descubrimiento contenía cinconombres, el de Hewish el primero, elde Bell el segundo, y el de tres cola-boradores que eran bien conocidos portoda la comunidad científica. Esto levalió a Hewish y a Ryle para la con-cesión del Premio Nobel de Física en1974, sin la inclusión de Bell, a pesarde que era bien conocida su participa-ción activa en este acontecimiento, loque fue muy controvertido.

Algunos argumentan, sin embargo,que el premio fue concedido a Ryle yHewish por su trabajo en el campo dela radioastronomía general. Lo que ca-

be destacar es el hecho de que Jocelynsiguió trabajando de manera constan-te y con el mismo empeño de seguiradelante, e incluso se sintió muy or-gullosa del honor recibido por Hewish.Educadamente, Jocelyn dijo de sí mis-ma: «Creo que la “notoriedad” quehe alcanzado descubriendo púlsaresme ha ayudado enormemente a en-contrar trabajo».

Cuando terminó su tesis en Cam-bridge en 1968, continuó con una ca-rrera muy activa en Astronomía endistintos centros: en la UniversidadSouthampton (donde ingresó como in-vestigadora en 1969); en el MullardSpace Science Laboratory; en el Uni-versity College de Londres y en el Ob-servatorio Real de Edimburgo, ade-más de ser profesora de la Open Uni-versity entre los años 1973 y 1987, ycatedrática desde 1991.

Por último hay que resaltar que enlos últimos años de carrera profesio-nal, entre 2001 y 2004, fue presiden-ta de la Royal Astronomical Society yDecana de Ciencias en la Universidadde Bath.

Actualmente, es profesora visitan-te en la Universidad de Princeton. Apesar de no haber obtenido el PremioNobel junto a Hewish por su descu-brimiento, sí ha sido galardonada ennumerosas ocasiones y ha recibido nu-merosos títulos honoríficos 4.

A lo largo de toda su vida, Jocelynha sido una gran promotora del traba-jo de las mujeres. Aún lo sigue sien-do. Terminamos con una frase suya[Science 304, p. 489, 2004]: «Las mu-jeres y las minorías no deberían ha-cer todo el esfuerzo de adaptación.Es momento de que la sociedad semovilice hacia las mujeres, y no lasmujeres hacia la sociedad».Referencias[1] Josefa Masegosa: Mujeres en laAstronomía. Astronomía, ISSN 1699-7751, No. 107, 2008 , págs. 34-41.[2] www.iaa.es/revista/pdf/n23.pdf .

4es.wikipedia.org/wiki/Jocelyn_Bell_Burnell.

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Citas Matemáticas

«La generación de números aleatorios es un asuntodemasiado importante como para dejarlo al azar.»

Donald E. Knuth (EEUU, 1938−)padre del análisis de algoritmos ycreador, entre otros, del sistemade escritura científica TEX.

«Siempre he creído que el mejor camino para hacerlas Matemáticas interesantes a los alumnos y profanoses acercarse a ellos en son de juego.»

Martin Gardner (EEUU, 1914−),divulgador científico, responsableentre 1956 y 1981 de la columna«Mathematical Games» de la fa-mosa revista de divulgación cientí-fica «Scientific American» (edi-tada en español bajo el nombre«Investigación y Ciencia»).

Páginas web de interés

Proyecto Cifras

ares.cnice.mec.es/matematicasep

Se trata de un recurso de matemáticas para la educa-ción primaria con unas actividades interactivas y un en-torno gráfico especialmente diseñadas para el público alque se dirige.

La página de inicio se divide en tres partes, profesores,alumnos y público en general. El alumno comienza visua-lizando una animación donde se presentan los personajesy su entorno, dividido en cuatro zonas. En el parque Tales(primer ciclo), el polideportivo Pitágoras (segundo ciclo)y el hiper Descartes (tercer ciclo) se desarrollan determi-nados contenidos enlazados a través de elementos gráficos.En cada uno de ellos se presentan distintas actividades denumeración, medida, geometría y representación de la in-formación. En el colegio Eratóstenes se desarrollan otros

aspectos históricos, lúdicos o artísticos de las matemáticas.El público en general y el profesorado en particular

dispone de guiones de las actividades con sus objetivos,contenidos y criterios de evaluación, clasificados por blo-ques de contenidos y ciclos. Aún más relevante es la guíade cada actividad, con su justificación, aprovechamientoy funcionamiento. Los recursos en la web vienen clasifica-dos por numeración y operaciones, la medida, geometría,tratamiento de la información, profesores, familias, juegos,historia, comunidades autónomas y otros.

Cabe destacar finalmente la bibliografía, donde ademásde los bloques fundamentales, encontramos referencias dehistoria, literatura, revistas, materiales curriculares, ma-temáticas recreativas y vídeos.

Reseña de José Carmona TapiaUniversidad de Almería

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Lecturas recomendadas sobre divulgación matemática

¿Es Dios un matemático?Mario Livio.

Ficha TécnicaEditorial Ariel301 páginasISBN: 978-84-344-8798-7Año 2009

Mario Livio es un astrónomo que ya ha escrito algunoslibros dedicados a la divulgación matemática (La propor-ción áurea, La ecuación jamás resuelta,...). El llamativotítulo del libro está motivado por «la aparente omnipre-sencia y omnipotencia de la Matemáticas» en las diver-sas ramas del conocimiento humano. Una de las primerascuestiones planteadas por el autor es si las Matemáticasson una invención del hombre o de si, por el contrario,existen de forma independiente de la mente humana. Eneste segundo caso, el papel de los investigadores sería elde meros descubridores de las verdades matemáticas, aligual que los astrónomos descubren galaxias desconocidashasta el momento. La opinión de la comunidad científicaal respecto no es unánime. Por eso se incluyen en este li-bro argumentos y opiniones a favor y en contra de ambasopciones.

Otro aspecto interesante de las Matemáticas es su sor-prendente eficacia a la hora de describir y explicar el mun-do que nos rodea. Esta eficacia es mucho más sorprendenteen los casos en los que es consecuencia del interés de losmatemáticos por explorar conceptos y relaciones de mane-ra abstracta, sin que medie ninguna motivación práctica.Como ejemplo se cita la teoría de nudos. Esta teoría fueiniciada por Vandermonde en el siglo XVIII, pero fue en elsiglo XIX cuando recibió un gran impulso al ser utilizadapor Lord Kelvin para proporcionar su modelo de átomo.Aunque este modelo fue descartado, los matemáticos si-guieron avanzando en la teoría de nudos. Este desarrollopermitió posteriormente su uso a la hora de entender elfuncionamiento del ADN o de intentar compatibilizar lateoría de la relatividad general con la mecánica cuántica,por citar algunas de sus aplicaciones más importantes.

Para arrojar luz sobre las anteriores cuestiones y otrasplanteadas en el libro, el autor hace un recorrido por lahistoria desde la antigua Grecia hasta la actualidad, co-mentando algunas de las aportaciones más interesantesrealizadas a la ciencia por matemáticos de talla de Ar-químedes, Galileo, Descartes y Newton, entre otros.

Reseña de Antonio Morales CampoyUniversidad de Almería

El dilema del prisionero.John von Neumann, la teoría de juegos y la bomba.William Poundstone.

Ficha TécnicaAlianza Editorial422 páginasISBN: 978-84-206-5840-9Año 2004

Este magnífico libro narra el comienzo y desarrollo, du-rante las décadas posteriores al fin de la Segunda GuerraMundial, de una importante teoría matemática, la Teoríade Juegos, que analiza situaciones de conflicto de interesesen busca de una estrategia óptima para cada participante.Su curioso nombre deriva de los primeros análisis que sehicieron de juegos como el póquer y que posteriormentese extenderían a situaciones mucho más complicadas de lavida real, como las que aparecen en la Economía. Dichateoría tuvo una enorme trascendencia en las mencionadasdécadas debido al gran conflicto en que se hallaba inmersoel mundo: la Guerra Fría, con intereses encontrados de lasgrandes superpotencias EEUU y URSS, tras los que ace-chaba continuamente el estallido de una guerra nuclear.También incluye esta obra una biografía del padre de laTeoría de Juegos, el extraordinario matemático húngaroJohn von Neumann.

El autor explica de manera excelente los aspectos bási-cos de esta teoría matemática ilustrándolos con numerososejemplos y experimentos reales e incluyendo varios dilemasa los que se ha prestado mucha atención por los interesan-tes problemas que plantean. La exposición matemática vaintercalándose a lo largo del libro con una exposición his-tórica de los episodios más destacados en la carrera arma-mentística nuclear EEUU-URSS durante aquellas décadasy con la interesante biografía de von Neumann, que encajaperfectamente en ambas, pues además de creador de estateoría, participó en la fabricación de la primera bomba nu-clear y fue miembro de la Comisión de Energía Atómica.En esta biografía encontramos numerosas anécdotas quecorroboran su calificación de mejor cerebro del s. XX.

Terminamos esta breve reseña con el dilema que datítulo al libro para hacer pensar al lector. «Dos hombres,acusados de cometer juntos un grave delito, están en-cerrados en dos celdas separados y no pueden comuni-carse de ningún modo. La policía está convencida deque son culpables pero no tiene las pruebas suficientespara condenarlos por este delito. Pretenden condenar-los a los dos a un año de cárcel bajo un cargo menor

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pero no renuncian a que uno pague por este delito.Así que se les dice a cada uno que: si uno se confiesaculpable, pero el otro no, el primero saldrá en libertady el otro será condenado a tres años de cárcel; si losdos testifican el uno contra el otro ambos serán con-

denados a dos años de prisión». ¿Qué decisión debentomar?

Reseña de Juan Cuadra DíazUniversidad de Almería

Acertijos

El enigma de la pirámideCompleta la pirámide colocando un número natural en

cada bloque. Cada uno de los números de las tres últimasfilas debe coincidir con la suma de los números situadosen los dos bloques que tiene debajo.

a p q b

35

Pistas:

V Los números a y b son primos consecutivos.

V a < b.

V a es un número par.

V p y q son primos.

V p < q.

APLICACIONES DE LAS MATEMÁTICAS

Las Matemáticas que mueven nuestrodineroJuan Carlos Luengo LópezMatemático licenciado en la UAL

Una de las aplicaciones más comunes de las matemá-ticas hoy en día se da en el mundo de las finanzas. Seguroque todos hemos oído hablar de ellas, pero ¿qué son enrealidad las finanzas? En resumen, no son más que acti-vidades relacionadas con el intercambio de dinero y otrosbienes, entre empresas o particulares, a través de un mer-cado que establece las condiciones de esos intercambios.

En dicho mercado, nos encontramos multitud de pro-ductos conocidos por todos tales como acciones de empre-sas que cotizan en bolsa, materias primas (oro, petróleo...)o divisas, que se llaman activos básicos. Pero, aparte deéstos, hay otros productos que se denominan activos deri-vados y que están basados en los anteriores.

Uno de los activos derivados más comunes son las op-ciones. Por ejemplo, una opción de compra sobre una ac-ción de una empresa, nos da derecho (no obligación) acomprar dicha acción dentro de un tiempo acordado a unprecio fijado hoy. Así, en el mundo del fútbol son muycomunes las opciones de compra sobre jugadores para lapróxima temporada. Hay muchos más activos, pero las op-ciones son las más sencillas.

Estos productos tienen numerosas utilidades, aunquela más utilizada por bancos, empresas multinacionaleso inversores es la de cubrir el riesgo. Veámoslo con unejemplo. Supongamos que hemos comprado un artículoen EEUU por valor de 150$ (que a día de hoy son unos

100e) y hemos acordado pagarlo dentro de 1 año. Pasadoeste tiempo, puede ocurrir que 150$ no sean 100e, porquela divisa haya cambiado, y que sean 120e lo cual nos obli-garía a pagar 20emás de lo que hemos acordado. Tambiénes posible que sean 90e y entonces paguemos menos. En-tonces, ¿qué hacemos para evitar este riesgo? Una buenasolución será comprar una opción sobre la divisa que nosdé 150$ a cambio de 100e dentro de un año. Con estacompra eliminamos el riesgo de tener que pagar más den-tro de un año con el inconveniente de que tenemos quepagar la opción, que podría costarnos unos 5 ó 10e.

La pregunta que nos hacemos ahora es, ¿cuánto debenvaler estos productos? En este momento es cuando entranen juego las matemáticas. La premisa de la que se par-te es lo que se conoce como «ausencia de arbitraje», esdecir, no se puede ganar dinero sin que haya riesgo. Trasesta sencilla hipótesis se ha desarrollado una rama de lasmatemáticas conocida como Matemática Financiera.

La forma más utilizada hoy en día para calcular el va-lor justo para opciones, futuros y demás productos deriva-dos es el modelo de Black–Scholes–Merton publicado en1973 y que les valió el Premio Nobel de Economía de 1997a Myron Scholes, Robert Merton y Fisher Black (a ésteúltimo se lo concedieron a título póstumo, ya que muriódos años antes).

A pesar de lo sencillo del problema, las matemáticasempleadas para resolverlo son muy complejas y la fórmulaque se suele utilizar para valorar las opciones es bastante

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complicada. No obstante, diremos que en este modelo sesupone que el precio de una acción sigue un movimientogeométrico browniano.

9:00 11:00 13:00 15:00 17:00

10

20

30

Movimiento Browniano

Eur

os

Gráfica de la cotización de las acciones de tresempresas a lo largo de un día, simulada según el

movimiento browniano

Una de las principales características de este movi-miento es que no depende de lo sucedido anteriormente;

es decir, que el precio de una acción lleve un tiempo ba-jando, no quiere decir que, en el futuro, la probabilidadde bajar sea mayor que la de subir.

Éste fue el primer modelo que consiguió tratar el riesgousando matemáticas, operar con él y decidir qué estrate-gia es la más conveniente para eliminarlo, así como estimarel riesgo de impago. A partir del modelo mencionado, sehan desarrollado otros modelos para valorar activos máscomplejos.

Las finanzas suelen ser un mundo desconocido paramuchos, pero de vital importancia en nuestra sociedad, ya través de las matemáticas, podemos conocerlo un pocomejor. El crecimiento que ha sufrido en los últimos añosha sido espectacular y podemos decir que, en parte, ha si-do gracias a la inclusión de las matemáticas. Desde que secreó el modelo de Black–Scholes–Merton, han tenido unpapel muy importante en la mayoría de decisiones sobreinversiones, compra de acciones... en cualquier empresa.

Puedes obtener más información acerca del modeloBlack-Scholes pinchando aquí 5.

REDES SOCIALES

Almería MatemáticaUn nuevo grupo en Facebook

Manuel Fernández MartínezBecario de investigación de la UAL

Almería Matemática en Facebook

Hoy día, Internet se ha convertidoen una de las herramientas de comu-nicación más utilizadas en el mundo,permitiendo la aparición de las deno-minadas redes sociales, que favorecenel contacto entre usuarios localizadosen diferentes zonas geográficas. Unade las ventajas que la vertiginosa evo-lución de la red experimenta, consisteen la disponibilidad casi inmediata detodo tipo de información, y en par-ticular, de aquélla de carácter científi-co, no permaneciendo las matemáticasajenas a ello. De este modo, podemosacceder a una gran variedad y diversi-dad de contenidos matemáticos, tantodivulgativos como orientados a la in-vestigación. Así pues, ha surgido demanera natural la creación de una red

social para divulgar las matemáticasy poner en contacto a los diferentescolectivos de nuestro entorno relacio-nados con ésta.

En este sentido, un grupo de estu-diantes de la titulación de matemáti-cas de la Universidad de Almería, he-mos reparado en la idea anteriormen-te expuesta, observando las múltiplesoportunidades que la red nos ofrecepara divulgar temas relacionados conesta ciencia, así como la posibilidad deaumentar el contacto existente entrelos centros de educación secundaria yel ambiente universitario, pues consi-deramos que de esta forma podemosllegar a un espectro más amplio dealumnos que se pueden interesar porlas matemáticas. En definitiva, pensa-mos que se pueden explotar las posi-bilidades de Internet para hacer llegara los estudiantes una información demayor calidad relacionada con nuestratitulación, permitiendo de esta mane-ra una comunicación más fluida con elmundo matemático.

Con este objetivo, hemos crea-do un grupo en Facebook, que he-

mos acordado en denominar AlmeríaMatemática. En dicho espacio, pre-tendemos ofrecer todo tipo de infor-mación relacionada con el mundo delas matemáticas en nuestra provin-cia: vídeos matemáticos, construccio-nes geométricas curiosas (como losfractales), publicaciones interesantes,noticias, ofertas de empleo para estu-diantes de nuestra titulación, informa-ción de la carrera, dudas que nos plan-téen los estudiantes, etc. También pre-tendemos que nuestros visitantes seanprotagonistas en dicho grupo, plan-teando cuestiones, mostrándonos susinquietudes, enviándonos sus traba-jos, o incluso, proponiendo problemaso juegos matemáticos.

Para poder participar en el mis-mo, sólo es necesario disponer de unacuenta de usuario de Facebook, yunirse como nuevo miembro de Alme-ría Matemática. Esperamos que estaidea sea de vuestro agrado y tengaéxito, tanto en los centros de educa-ción secundaria, como en el ambienteuniversitario. Venga, ¡apúntate ya! ¿Aqué esperas?

5www.monografias.com/trabajos21/modelo-black-scholes-merton/modelo-black-scholes-merton.shtml.

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PROFESIONALES FORMADOS EN LA UAL

Rafael Rumí RodríguezEntrevista a un antiguo alumno de la UAL

Elisa Berenguel LópezManuel Fernández MartínezCarmen Gádor Garzón EscamillaDarío Ramos LópezEstudiantes de la UAL

Rafael Rumí

Rafael Rumí terminó sus estudiosen Matemáticas en la Universidad deAlmería en el año 1998. Tras finalizar-los trabajó en Sevilla, en el Institutode Estadística de Andalucía (IEA),y en Madrid, en la empresa CORI-TEL como programador informático.En el año 2000 se incorporó al Depar-tamento de Estadística y Matemáti-ca Aplicada de la UAL como profesorasociado, y en el 2003 obtuvo el títu-lo de doctor. En la actualidad sigueligado al mismo departamento comoprofesor Contratado Doctor.

Cuéntanos tu experiencia en lacarrera de Matemáticas en laUniversidad de Almería, así co-mo tus perspectivas al acabar és-ta. ¿Qué opciones te planteasteal finalizar tus estudios?

La carrera de Matemáticas al prin-cipio me sorprendió un poco, pero meacabó conquistando, no sólo por loscontenidos, sino por la forma de im-partirlos y por los compañeros que tu-ve. Sinceramente, superó mis expecta-tivas. Al terminar la carrera comencécon los cursos de doctorado y busquéuna beca, siempre con la idea de vol-ver a la UAL, para hacer la tesis doc-toral e incorporarme al departamentocomo docente e investigador.Explícanos un poco en qué con-sistía tu labor como programadoren Madrid. ¿Qué conocimientosmatemáticos de los adquiridos enla carrera te fueron de mayor uti-

lidad? ¿Cómo describirías la im-portancia de las matemáticas pa-ra el desarrollo de la informática?

Estuve programando en HTML yen JAVA para dos portales inmobi-liarios en Internet. Los conocimien-tos matemáticos me fueron útiles, pe-ro sin duda la forma de razonar y laresolución de problemas fueron las ha-bilidades que más apliqué en esos tra-bajos. De hecho, los matemáticos sonprofesionales muy bien consideradosen la empresa privada, no sólo en elsector de la informática, sino tambiénen otros como el de la banca, auditoríao seguros. Matemáticas e informáticason dos disciplinas que van cogidas dela mano y así es como obtienen ambaslos mejores resultados. Se complemen-tan a la perfección.Antes de ser profesor contratadodoctor en la Universidad de Al-mería, ¿obtuviste alguna beca deinvestigación?

Obtuve una beca de formación enel Instituto de Estadística de Andalu-cía, en la que aprendí cómo se realizanlas estadísticas que publica el IEA.No era una beca de investigación, pe-ro me permitía financiar mis estudiosde doctorado que compaginaba en laUAL.¿Cómo escogiste el tema para latesis doctoral?

Una de las asignaturas que más megustaron de la carrera fue EstadísticaComputacional, así que me puse encontacto con Antonio Salmerón, queera el profesor, y me propuso un temadel mismo estilo, que mezcla estadís-tica y probabilidad con programación:las Redes Bayesianas.De tus trabajos de investigación,¿cuál consideras más interesan-te? ¿Podrías comentar en quéconsiste el proyecto Elvira?

Quizás el trabajo más interesantesea uno de los últimos, que se publica-rá próximamente en colaboración condos profesores de Dinamarca y Norue-ga, en el que comparamos los estima-dores máximo verosímiles, con los es-

timadores mínimo cuadráticos de losparámetros del modelo desarrolladopor nosotros en mi tesis doctoral, paratrabajar con variables discretas y con-tinuas simultáneamente en una RedBayesiana. El proyecto Elvira es unsoftware de libre distribución creadopor investigadores de diferentes uni-versidades españolas, en el que se hanimplementado la mayoría de los mé-todos existentes en modelos gráficosprobabilísticos, y los más innovadores,puesto que ha sido el banco de prue-bas de numerosas investigaciones y te-sis doctorales, como la mía.¿Cuál ha sido el momento de ma-yor satisfacción durante tu carre-ra profesional?

En el plano profesional el día de ladefensa de mi tesis doctoral, al ser elmomento en el que se ve recompen-sado el esfuerzo que supone la realiza-ción de una tesis, sobre todo al compa-ginarlo con la docencia a tiempo com-pleto.¿Cuáles son las posibilidadesreales de trabajar en la univer-sidad hoy día? ¿Es un reto facti-ble, o por el contrario se puedeconsiderar como utópico?

Trabajar en la universidad comodocente hoy día es bastante complica-do, puesto que apenas hay contrata-ciones. Sin embargo, es bastante másfácil obtener una beca de investiga-ción, de colaboración, o incluso uncontrato en un proyecto de investiga-ción ahora, que cuando terminé misestudios. En ese aspecto, si es más fá-cil incorporarse a la universidad paraal menos, completar la tesis doctoral.Entre docencia, investigación yempresa privada, ¿cuál recomen-darías?

Eso depende de los gustos de ca-da uno. Yo evidentemente recomiendola investigación y la docencia, puestoque dejé mi trabajo en la empresa pa-ra incorporarme a la UAL, incluso nointeresando económicamente, aunquesabía que era una apuesta de futuro.

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Territorio Estudiante Volumen III. Número 2 24 / 24

Blog de juegos topológicosElisa Berenguel López (Alumna de la UAL)

En el blog «Juegos Topológicos», al que puedes ac-ceder en la dirección (topologia.wordpress.com) y que es-tá dedicado a la divulgación de diversas curiosidades dela Topología y la Geometría Diferencial, se explican con-ceptos topológicos que pueden entenderse fácilmente, conayuda de imágenes, vídeos y otros materiales didácticos,especialmente manipulables. Este blog está administradopor el profesor de Geometría y Topología de la Universidadde Almería José Luis Rodríguez Blancas, y cuenta con lacolaboración del profesor Miguel Ángel Sánchez Graneroy de alumnos y alumnas de la Titulación de Matemáticas.

Como muestra de su lugar destacado dentro del mun-do de los blogs matemáticos, señalamos que fue web de lasemana en el boletín electrónico de la RSME número 183(mayo de 2009).

topologia.wordpress.com

Responsables de las secciones

2 Actividad Matemática en la UAL

� Actividades organizadas : Pedro Martínez(pmartine@ual.es).

� Entrevistas e investigación : Juan Cuadra(jcdiaz@ual.es) y Juan José Moreno(balcazar@ual.es).

� Foro abierto y preguntas frecuentes : JuanCuadra (jcdiaz@ual.es) y Fernando Reche(freche@ual.es).

2 De la Enseñanza Media a la EnseñanzaUniversitaria:

� Experiencias docentes : Manuel Gámez(mgamez@ual.es), Juan Guirado(jfguirado@gmail.com) y Miguel Pino(mpinomej@gmail.com).

� Enseñanza bilingüe en Matemáticas : Eva Acosta(evagavilan1@yahoo.es) y Cándida Hernández(candihernandez@hotmail.com).

2 Divulgación Matemática

� La Historia y sus personajes : Florencio Castaño(fci@ual.es) y Blas Torrecillas (btorreci@ual.es).

� Problemas de interés : Juan Guirado(jfguirado@gmail.com), Alicia Juan (ajuan@ual.es)y Miguel Ángel Sánchez (misanche@ual.es).

� Las Matemáticas aplicadas en otros campos :Juan Antonio López (jlopez@ual.es), Francisco

Luzón (fluzon@ual.es) y Antonio Salmerón(asalmero@ual.es).

� Mujeres y matemáticas : Maribel Ramírez(mramirez@ual.es).

� Cultura y Matemáticas : José Cáceres(jcaceres@ual.es) y José Luis Rodríguez(jlrodri@ual.es).

� Lecturas recomendadas sobre divulgaciónmatemática : Juan Cuadra (jcdiaz@ual.es) yAntonio Morales (amorales@ual.es).

� Páginas web de interés : José Carmona(jcarmona@ual.es) y José Escoriza(jescoriz@ual.es).

� Citas matemáticas : Juan Cuadra (jcdiaz@ual.es)y Alicia Juan (ajuan@ual.es).

� Pasatiempos y curiosidades : Antonio Andújar(andujar@ual.es) y José Antonio Rodríguez(jarodrig@ual.es).

� Acertijos : Juan Carlos Navarro (jcnav@ual.es).

2 Territorio Estudiante: Elisa Berenguel(elisaberenguel@hotmail.com), Manuel Fernández(fmm124@ual.es), Carmen Gádor Garzón(cgge19@hotmail.com), Diego José Montoya(chachidiego@hotmail.com), María José Pérez(mariajose1987_@hotmail.com) y Darío Ramos(dariorl@gmail.com).

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