las relaciones entre el Álgebra y la geometrÍa en el

£111L, vol. 24, 2001, 705-725

LAS RELACIONES ENTRE EL ÁLGEBRA YLA GEOMETRÍA EN EL SIGLO XVII

MARÍA ROSA MASSA ESTEVECentre d'Estudis d'História de les Ciêncies

Universitat Autbnoma de Barcelona

RESUMEN

En este artículo se analiza el pro-ceso de algebrización de las matemáti-cas en el siglo XVII a través de lasaportaciones del matemático boloilésPietro Mengoli (1625-1686), que fueposiblemente el discípulo más originalde Bonaventura Cavalieri (1598-1647).La parte más innovadora es el uso dellenguaje especioso para construir ycalcular las sumas de potencias, lastablas triangulares, las cuasiproporcio-nes y las cuadraturas de infinitas jigu-ras. Mengoli es un buen ejemplo de losmatemáticos del siglo XVII que están enla línea de considerar el Álgebra uncomplemento de la Geometría y no dosdisciplinas enfrentadas.

ABSTRACT

This paper analyses the algebriza-tion process of mathematics in the sev-enteenth centuly jrom the viewpoint ofthe contributions of the mathematicianPietro Mengoli (1625-1686), probablythe most original student ofBonaventura Cavalieri (1598-1647).The most innovating pare of Mengoli'swork is the use of algebraic languagefor building and calculating the summa-tions, the triangular tables, the quasiproportions and the quadratures of theinfinitejigures. Mengoli is a good exam-ple of seventeenth centuty mathematics,which consider algebra as a comple-ment to geometry and not as twoopposite disciplines.

Palabras Clave: Siglo XVII, Matemáticas, Álgebra, Geometria, Pietro Mengoli.

«Tant que l'Algébre et la Géométrie on été séparées, leur progrés ont été lents et leurs

usages bornés mais lorsque ces deux sciences se sont réunies, elles se sont prété des forces

Recibido el 6 de noviembre de 2001

1.S.S.N. 0210-8615

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nnituelles et on marché ensemble d'un pas rapide vers la perfection. C'est á Descartes qu 'ondoit I 'application de l Algèbre a la Géométrie, application qui est devenue la clef des plusgrandes découvertes dans toutes les branches des Alathématiques». [LAGRANGE (1795,Oeuvres, vol. 7, p. 271)]

I. Introducción

En el siglo XVII una de las principales características de la matemática es laarticulación del álgebra y la geometría. Los dos grandes avances de este siglo, lageometría analítica y el cálculo infinitesimal, adquieren su excepcional potencial alestablecer conexiones entre fórmulas y figuras, entre cálculos algebraicossimbólicos y operaciones geométricas y construcciones.

En el simposio A1gebra and Geometry around 1600, celebrado en el marcodel XIXth Intemational Congress of History of Science (Zaragoza, 1993), Henk Bospuntualizaba sobre este tema: «El periodo, los protagonistas y el proceso han recibi-do poca atención por parte de los historiadores de la matemática, pero en los ŭltimosaños existe una línea de investigación que intenta entender el proceso en su propiocontexto, en términos de conocimiento matemático y de las intenciones con que setrabajaba, más que en términos de lo que sucedería posteriormente.» Dentro de estalínea de investigación se enmarcan estas refiexiones sobre el proceso de algebriza-ción de las matemáticas en el siglo XVII, incorporando algunos elementos nuevos ala luz de nuestro trabajo sobre la figura y obra del matemático boloñés, PietroMengoli (1625-1686), discípulo de Bonaventura Cavalieri (1598-1647). Esta inves-tigación forma parte de mi tesis doctoral y se ha realizado con copias microfilmadasde las obras de Mengoli de la Bodleian Library de Oxford y fuentes primarias ysecundarias de otros autores de la Biblioteca del Centre d'Estudis d'História de lesCiêncies de la Universitat Autónoma de Barcelona y otras bibliotecas.

2. Breve recorrido histórico

Un sucinto bosquejo del contexto histórico nos servirá para analizar losaspectos más relevantes de esta conjunción álgebro-geométrica. Las relacionesentre álgebra y geometría fueron muy diferentes en las etapas anteriores al siglo die-cisiete. Así pues, podríamos separarlas en dos grandes bloques; el álgebra retóricay sincopada de los inicios que resolvía esencialmente problemas de aritmética mer-cantil, donde apenas había conexión entre el álgebra y la geometría y, si la había, se

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limitaba a justificar de vez en cuando los resultados y, un segundo bloque, en elRenacimiento, cuando ya se intentaron las primeras clasificaciones de ecuaciones,segŭn el grado y el signo, y se presentaron las soluciones elaborando constante-mente diagramas y construcciones geométricas que las verificasen. Así podemoscitar, entre otras, las obras Ars Magna de Rebus algebraicis (Nuremberg, 1545), deGirolamo Cardano (1501-1576) y Algebra (Bolonia, 1572), de Rafael Bombelli(1526-1573). Estos algebristas del «cinquecento», de manera más o menos acen-tuada y no siempre con puntos de vista coincidentes, tuvieron constantemente pre-sente en sus tratados los lazos y las conexiones existentes entre álgebra y geometríadesde el momento en que, con insistencia, quisieron probar de manera geométricalos resultados obtenidos por vía puramente ábaco-algébrica. Las razones de estaaproximación epistemológica podrían derivar del estatus de la geometría que eraconsiderada como una parte teóricamente más elevada dentro de la matemática.

Uno de los puntos cruciales en la historia del álgebra es la aparición en 1591de la obra In artem analiticem isagoge, de François Viéte(1540-1603), en la que éstepuso de manifiesto las ventajas de utilizar símbolos dentro de la matemática, no sólopara representar la incógnita, sino también para las cantidades conocidas. De estamanera se podía trabajar con ecuaciones de forma general. Viéte intentaba explicarel camino que utilizaba para resolver las ecuaciones enmarcándolo dentro del aná-lisis griego. El objetivo de su arte analítico era proporcionar un método para resol-ver todos los problemas mediante tres procesos. El primero consistía en transformarel problema en una ecuación compuesta de cantidades conocidas y desconocidas(zetética). En el segundo a partir de la ecuación planteada se probaban los teoremasconocidos (porística). En el ŭ ltimo proceso, que era el más importante para Viéte,se trataba de estudiar la estructura de las ecuaciones planteadas para poder encon-trar la solución (exegética). Así resumía Viéte estas ideas al final de su obra:«Finalmente, el arte analítico, dotado de sus tres formas zetética, porística y exegé-tica, reclama para él mismo la solución del problema más grande de todos que esSOLUCIONAR TODOS LOS PROBLEMAS.» 2 Viête resolvía las ecuaciones creando un lazocon la geometría a través de la teoría de proporciones de Euclides; identificabaecuación con proporción y conectaba el álgebra con la geometría mediante cons-trucciones de las soluciones de las ecuaciones. El álgebra de Viéte fue la guía pararesolver ecuaciones en aritmética, en geometría, en trigonometría,...

La obra de Viéte tuvo una gran difusión a través de muchos textos de álge-bra. Un ejemplo es el libro de texto de Pierre Hérigone (1580-1643), Cursus mathe-maticus (París, 1634), que consta de seis vol ŭmenes entre ellos uno de álgebra 3 . En1631, Jean Beaugrand (1595-1640) 4 publicó su In artem analiticem Isagoge, que erade hecho la obra de Viéte ampliada con unos escolios y un compendio matemático.


En Inglaterra, William Oughtred (1575-1660) publicó Clavis Mathematicae (1648)obra capital para difundir el álgebra de Viête fuera del continente.

0 sea, que a principios del siglo diecisiete, gracias a la difusión de la obra deViéte, algunos matemáticos empezaban a comprobar que los métodos algebraicoseran una herramienta muy ŭtil para resolver problemas geométricos. Así lo hizotambién Pierre de Fermat (1601-1665) en su obra Varia Opera mathematica(1679), aunque el punto culminante de la relación entre el álgebra y la geometría fuela publicación de la obra La Géométrie de René Descartes (1596 - 1650), que figu-raba como un apéndice en su Discours de la methode (Leiden, 1637). La Geométrieestá dividida en tres libros: «Problemas de construcción que requieren sólo líneasrectas y círculos»; «Sobre la naturaleza de las líneas curvas» y «Sobre la construc-ción de los problemas que son sólidos o cuasisólidos». El programa de Descartesincluye por una parte la clasificación de las curvas en algebraicas y mecánicas y porotra las construcciones geométricas de las curvas.' En Descartes el álgebra y la geo-metría se relacionan a través de las construcciones geométricas de la intersección decurvas (casi siempre parábolas y circunferencias) que expresan las soluciones deecuaciones algebraicas (adecuadamente preparadas) de dimensión mayor que dos.Este trabajo de Descartes supuso un punto de partida en la contemplación de lageometría desde otra perspectiva.

La obra de Descartes fue traducida del francés al latin en 1649 por F. vanSchooten. La segunda edición (1659) contiene también contribuciones hechas porDe Witt, Hude, Van Heurat y el mismo Van Schooten. Estos científicos pueden serconsiderados como el primer grupo activo de matemáticos cartesianos.

3. Algebrización de las matemátleas

Lo cierto es que a partir de la obra de Descartes y durante un siglo, aproxi-madamente, se Ilevó a cabo el proceso de algebrización de las matemáticas: un peri-odo en el que de una manera de pensar en matemáticas casi exclusivamente geo-métrica se pasó a un pensamiento matemático más algebraico. Esta evolución fuelenta y desigual. Algunos autores adoptaron las técnicas algebraicas en su obra y ala vez intentaron justificarlas o transformarlas de acuerdo con la matemática clási-ca. Otros, a pesar de conocer la existencia de estos procedimientos, los considera-ban ajenos al pensamiento matemático e incluso los rechazaban y, por ŭ ltimo, unospocos, aceptaban esta nueva manera de pensar como un complemento más para eldesarrollo de sus técnicas matemáticas. En una época en la que se estaba

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recuperando el pensamiento clásico a través de las traducciones de los textos grie-gos, simultáneamente, se estaban introduciendo en el pensamiento matemático unastécnicas algebraicas muy férdles cuyo significado, a veces, se oponía a la compren-sión de las técnicas clásicas'. De hecho las características del nuevo pensamientoalgebraico diferían substancialmente del pensamiento geométrico. Siguiendo aMahoney [1980, p. 142] quedarían determinadas por: el uso de un simbolismonuevo y operativo, es decir, un simbolismo que no sólo abrevia palabras sino quetambién representa los trabajos de operaciones combinadas o sea un simbolismocon el que se opera; el énfasis en las relaciones matemáticas más que en los obje-tos, como, por ejemplo, la clasificación de ecuaciones de un mismo grado, de cur-vas, de figuras; y, el hecho de que el «modus» algebraico de pensamiento quedelibre de compromiso ontológico, ya que es abstracto y no siempre comporta unainterpretación fisica de las relaciones. Así pues, hay objetos como los n ŭmerosimaginarios que se introducen sin justificación geométrica explícita.

Si analizamos las características del pensamiento geométrico griego es evi-dente la falta de simbolismo y en especial de simbolismo operativo. Respecto alsegundo aspecto, hay que remarcar que con la geometría podemos buscar caracte-rísticas comunes a figuras semejantes pero al no poder escribirlas todas bajo unamisma expresión se hace dificil estudiar una estructura que las contenga. Sobre latercera característica señalemos ŭnicamente que la geometría es más intuitiva ydepende en gran parte de su representación física, en cambio el álgebra nospermite trabajar con dimensiones superiores al espacio9.

Para examinar este proceso de algebrización de las matemáticas, de 1650 a1700, nos centraremos en tres aspectos relacionados con la obra de P. Mengoli: elcambio de relaciones que se introdujo entre las diferentes ramas de la matemática; elproceso de constitución y utilización de un lenguaje nuevo (lenguaje «especioso») y,por ŭ ltimo, la obtención de métodos de cuadratura utilizando el álgebra.

4. El estatus del álgebra

La introducción del álgebra dentro de las matemáticas desdibujó las líneasdivisorias, en cuanto a terminología y metodología, de la aritmética, el álgebra, y lageometría. En los Elementos de Euclides la geometría se considera superior a laaritmética y los teoremas aritméticos se prueban por consideraciones geométricas.El álgebra obligó a replantear los límites entre las distintas disciplinas matemáticas.Podríamos preguntamos: (:,Era una ciencia o un arte? consideraba el álgebra

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como una parte de las matemáticas? ,Era la aritmética superior al álgebra? quéámbitos la geometría era más eficaz o necesaria? cuáles lo era el álgebra? Notodos los matemáticos aceptaron y aplicaron el álgebra como una parte nueva de lasmatemáticas. Unos la ignoraron, unos pocos la aceptaron y la usaron, otros laintrodujeron intentando fundamentarla en la geometría de los antiguos y tambiénhubo quienes la rechazaron totalmente1".

En Inglaterra, Thomas Hobbes (1588-1679) en su Examinatio (1660), con-denaba rotundamente la nueva álgebra". La geometría y su subordinada la aritmé-tica eran en su opinión ciencias, mientras que el álgebra a la que veía esencialmen-te como un razonamiento simbólico, era un arte para registrar con brevedad yceleridad las invenciones de la geometría pero no una ciencia. Isaac Barrow (1630-1677), que también tomó postura en contra del álgebra, consideraba a la aritméticacomo una parte de la geometría, a la geometría la ŭnica ciencia por excelencia y alálgebra como un instrumento de lógica. John Wallis (1616-1703), al contrario, nosólo la utilizó en Arithmetica Infinitorum (1655) sino que escribió un tratado ATreatise of Algebra Both historical and practical showing the original progress andadvancement thereof from time to time, and by what steps it haht attained to theHeighth at which now it is (Oxford, 1685) donde intentó esbozar una historia delálgebra analizando su evolución desde la época de Euclides", la obra consta de unprefacio y 374 páginas divididas en 100 capítulos. En cuanto al contenido se pue-den distinguir dos partes. La primera está dedicada al álgebra pura basada en la arit-mética, con el estudio de la estructura de las ecuaciones, mientras que la segundatrata de la adecuación del álgebra a la geometría, o sea, de demostraciones geomé-tricas en lenguaje algebraico. Como libro de historia resulta un tanto tendencioso,ya que Wallis ensalza las virtudes de las álgebras de Harriot y Oughtred e infrava-lora los resultados obtenidos por Descartes". La obra fue un texto de referencia ensu época y la notación utilizada desplazó la de muchos otros textos. Wallis con suobra pretendía dar legitimidad al álgebra dentro de las matemáticas. Aunque Maieru[1994, p. 105] respecto a este tema dice: «La posición de Wallis se puede conside-rar minoritaria (especialmente durante la década que va de 1650 a 1660). No sola-mente en Italia domina una visión geométrica del mundo (que es cuasiabsoluta, condecidida exclusión del cálculo algebraico, sobre todo en los grandes matemáticosdel momento, es decir, Cavalieri, Torricelli, Viviani) sino también en otras regioneseuropeas (baste sólo citar a Barrow o a Gregoire de Saint-Vincent)».

Estos datos nos permiten apreciar todavía más la posición singular del mate-mático bolofiés, Pietro Mengoli. El nombre de Mengoli aparece en el registro de laUniversidad de Bolonia en el periodo 1648-1686 donde sustituyó a Cavalieri en sucátedra de mecánica. Se graduó en filosofia en 1650 y tres años más tarde en leyes

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civiles y canónicas. El 1660 fue ordenado sacerdote y hasta su muerte fue prior dela iglesia de Santa María Magdalena de Bolonia".

En 1655 Mengoli escribió, por encargo, una obra en verso dedicada a laReina Cristina de Suecia titulada Via Regia ad Mathematicas per Arithmeticam,Algebram Speciosam, & Planimetriam, ornata Maiestatae Serenissimae D.Christinae Reginae Suecorum. En ella Mengoli le exponía una «vía real» paraentender las matemáticas, que dividía en tres partes: aritmética, donde explicaba lasoperaciones con los n ŭmeros, incluso las tablas triangulares; álgebra especiosa,donde exponía como utilizar las letras para resolver ecuaciones y daba una clasifi-cación de éstas hasta el tercer grado; y planimetría en la que trataba de las figurasplanas y de sus propiedades. Para Mengoli el álgebra era una parte más de las mate-máticas al mismo nivel que la aritmética y la geometría. En el inicio de la segundaparte, o sea, del álgebra especiosa, Mengoli [1655, p.19] describe así este arte en unapartado titulado «Sobre la utilidad del álgebra especiosa»: «Una sola entre lasMatemáticas se Ilamará Algebra Especiosa, un arte en el que nada se esconde alinvestigador. Si preguntas, si es o no es, consiste en decir la verdad; si preguntascuanto es, este arte lo hace suficientemente. Ya que a los n ŭmeros genéricos [estearte] les proporciona maneras aptas para hacer y probar las cosas hechas y dichas.Así es a saber que intervendrán dos tipos de nŭmeros genéricos, los que buscas[incógnitas] y los que puedes dar arbitrariamente [datos]»".

Así pues, Mengoli era de los pocos que consideraba el álgebra una parte delas matemáticas en una Italia en la que, seg ŭn Pepe [1982, pp. 249-288], apenas seconocía La Géométrie de Descartes y los que usaban el álgebra se encontraban enminoría' 6 . i;Conoció Mengoli La Géométrie de Descartes? Mengoli reconoció haberleído a Viéte, Hérigone y Beaugrand, pero no citó a Descartes. Así mismo, sus inter-pretaciones algebraicas tampoco nos inducen a pensar que lo hubiera leído. Sinembargo, aunque Mengoli no participó en los debates de la época como defensordel álgebra, queda patente que, para él, el álgebra era una parte de las matemáticasy además como mostraremos a continuación la utilizó profusamente en sus obrasmatemáticas posteriores.

5. La evolución del lenguaje «especioso»

Un segundo aspecto a considerar en el proceso de algebrización de las mate-máticas es el establecimiento de la logística especiosa como un lenguaje nuevo desímbolos y técnicas. Podríamos preguntarnos: ,Este nuevo lenguaje era un arte que


servía para clarificar, para dar a conocer más fácilmente los resultados obtenidos oal utilizar símbolos nuevos era más dificultoso? utilizaban para encontrarnuevos resultados? evolucionó? ,Había unificación de criterios en lo querespecta a la nomenclatura y utilización de símbolos?

Consideremos de nuevo la valoración que se hizo de este nuevo lenguaje porparte de algunos matemáticos. Segŭn Pycior [1997, p. 146], Hobbes trivializaba elestilo simbólico que Oughtred y Wallis habían considerado como el corazón delálgebra''. Mientras Wallis enfatizaba la economía, la claridad, la fertilidad e inclu-so el hecho de que el simbolismo algebraico permitiera a primera vista ver comple-jas relaciones matemáticas. Hobbes insistía en que era una pérdida de tiempo, yaque para comprender los símbolos primero éstos habían de ser trasladados a pala-bras y a nombres y después a ideas particulares. Barrow, sin rechazar totalmente elsimbolismo algebraico, parecía considerarlo como un sistema de abreviación másque como un sistema de resolución.

Aunque con Viéte, y más tarde con Descartes, la notación de las expresionesalgebraicas fue mejorando, no había unanimidad respecto a la simbología. Durantemuchos años todavía se utilizaron diferentes notaciones en las obras de álgebra.Analicemos, pues, la contribución de Mengoli al desarrollo del lenguaje algebraico".

Mengoli adoptó el simbolismo algebraico de Viéte ya en su primera obra Via

Regia. En ésta explicaba que representaría los n ŭmeros con letras, pero presentó elálgebra como un lenguaje y comparó metafóricamente las figuras lingtiísticas conlas figuras algebraicas. Así las consonantes representaban datos; las vocales, incóg-nitas; las silabas, expresiones algebraicas de una sola letra; los signos de puntua-,ción, las reglas de adición, substracción...; las palabras, expresiones algebraicas devarias letras; los textos, igualdades; los versos, ecuaciones. Mengoli no puso ning ŭnejemplo con letras ni con n ŭmeros de estas comparaciones metafóricas, solo dabaexplicaciones. Finalmente hizo una clasificación de las ecuaciones hasta el tercergrado segŭn el grado y seg ŭn los signos. Aunque la clasificación de Viéte era máscompleta hay coincidencias en las palabras usadas: antithesi, que quiere decir trans-posición de ténninos de la ecuación; subgraduales, para indicar que tienen un gradomás pequeño que el de la ecuación, etc. La originalidad de Mengoli en esta prime-ra obra reside en que presentaba explícitamente el álgebra como un lenguaje parapoder operar matemáticamente, estableciendo comparaciones metafóricas con ellenguaje que utilizaba para escribir, aunque no realizó ninguna contribución a laformación del lenguaje simbólico".

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Cuatro años más tarde Mengoli escribió una nueva obra donde el álgebrapasó a ser un elemento esencial. En el título de la obra Geometriae SpeciosaeElementa que podemos traducir por Elementos de geometría especiosa, Mengoli yaseñalaba que estaba utilizando el álgebra especiosa en la geometría y la IlamabaGeometría Especiosa.

Aquí, Mengoli volvía a exponer los signos que utilizaría y es coherente consu primera obra. Si comparamos estos signos con los definidos por Viéte yDescartes apreciamos algunas diferencias. Por ejemplo, para expresar una igualdad,Mengoli representaba el signo igual con «dos puntos», mientras que Viéte lo repre-sentaba con una abreviación de la palabra aequalis y Descartes lo escribía con elsímbolo Para multiplicar, Viéte usaba la palabra in, mientras que Mengoli yDescartes escribían una letra al lado de otra. La razón entre dos cantidades enMengoli venía representada por «punto y coma» y en cambio Viéte usaba laexpresión ad y Descartes á.

Así mismo, en este libro, a diferencia de Viête, para simbolizar los n ŭ meros,Mengoli no distinguía entre vocales y consonantes que pueden representar indistin-tamente datos, incógnitas y variables. Utilizaba min ŭsculas y may ŭsculas; general-mente las min ŭsculas representaban datos y las may ŭsculas variables. Se inventabanombres para las letras y expresiones utilizadas, seg ŭn él, por Viéte, Hérigone yBeaugrand. Algunos nombres coinciden como la palabra radix, que, tanto para Viêtecomo para Mengoli, representaba la primera potencia [base], otros eran totalmenteoriginales de Mengoli, triprimam, unisextam, etc. Para representar las potenciasViéte, por ejemplo, retuvo las palabras A quadratus, A cubus,...2". Descartes en cam-bio escribía los exponentes tal como hacemos ahora, con una excepción, cuando, aveces, para representar el cuadrado escribía xx• Mengoli no escribía palabras comoViéte pero tampoco colocaba los exponentes como Descartes, los escribía al lado ala derecha, como Hérigone. Como se puede apreciar a mitad del siglo diecisiete a ŭnno había unificación de criterios ni para los símbolos, ni para los nombres.

A Mengoli el álgebra le era ŭtil también para obtener nuevos resultados yaque la gran novedad aportada por él al lenguaje algebraico consistía en la manipu-lación de este lenguaje especioso, simbólico. Además de usar las operacionesconocidas, inventó una manera de escribir y de calcular las sumas finitas de poten-cias. Mengoli no escribió las sumas de potencias, dando valores o bien escribien-do los nŭmeros con el signo + y puntos suspensivos, sino que representó los n ŭme-ros con letras y creó una construcción original y ventajosa que le permitieracalcular estas sumas.


Mengoli consideró un n ŭmero cualquiera o tota, representado por la letra t, ylo dividía en dos partes «a» y «r = t-a». Con sus palabras, «Las partes de tota se Ila-marán parte separada [abscissa] y parte restante [residua], y la parte separada serepresentará con la letra a y la restante con r»2 '. A continuación consideró tota iguala I, 2,... y puso ejemplos hasta 10. Es decir, si t es 2, a es I y r es 1. Si t es 3, a puedeser I o 2 y entonces r es 2 o 1, respectivamente. Si t es 4, a puede ser 1, 2 o 3, yentonces r es 3, 2 o 1, respectivamente, y así indefinidamente. También calculó loscuadrados y los cubos de a, los productos de a y r, de los cuadrados de a y r, etc.

Además, Mengoli explicó que todos los n ŭmeros que separaba, a, de unmismo n ŭmero, t, (así como los restantes r que le quedaban) los Ilamaría «sinóni-mos» [synonymae]. Así, si t es 3, los synonimae son 1 y 2; si t es 4, los synonimaeson 1, 2 y 3, etc. Después sumó los synonimae para obtener sumas del tipo

/-10.a = todos los sinónimos de t =/fa

a=1

Mengoli los Ilamó massa de todas las abscisas. Así, si t es 3, la suma[massa] valdrá 3, ya que es la suma de I y 2. Si t es 4, la suma valdrá 6, ya que esla suma de I, 2 y 3, etc.

Mengoli ordenó todos estas sumas que resultan de la adición de los synonimaeen una tabla triangular que Ilamó tabla «de los símbolos» [Tabula Speciosa].

Base primeraBase segundaBase terceraBase cuarta

0.00.a 0.r

0.a2 0.ar 0.r20.a3 0.a2r 0.ar2 0.13

0.a4 0.a3r 0.a2r2 0.ar3 0.r4

Tabzda speciosa

Los elementos de esta tabla son sumatorios del tipo

0.0 = (t-1)0.a = 1 + 2 + 3 +... + (t-1)0.r = (t-I) + (t-2) + (t-3) +... + 10.a2 = 1 2 + 22 + 32 +... 0_020.ar = 1. (t-1) + 2. (t-2) + 3. (t-3) +... + (t- ). 1

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Mengoli las Ilamó species". Consideró que el vértice de la tabla era «deorden cero», y la primera fila de la tabla triangular «de orden uno», la segunda «deorden dos», etc. y asignó n ŭmeros ordinales a las filas o bases. Así calculó y demos-tró el valor de estas sumas utilizando el nŭmero t como punto de partida para suconstrucción. Estos cálculos dan el valor de la suma de las zn potencias de 1-1 ente-ros". Mengoli aplicó el álgebra a las tablas triangulares para generalizar y aprove-chó las propiedades de los n ŭmeros combinatorios para calcular el valor de estassumas de potencias".

Otra aportación original de Mengoli fue la justificación y el uso de la nociónde variable. Su idea era que las letras, además de representar un n ŭmero dado o unaincógnita, también pudieran representar variables, es decir, n ŭmeros indeterminadospero determinables. Así, afirma: «Cuando escribo 0.a, después del capítulo prece-dente, tengo inmediatamente la suma [nassa] de todas las abscisas. Pero qué valores esta suma [massa], aŭn no sabes, si no escribes de qué n ŭmero [estás calculan-do] el sumatorio. Pero lo sabes si asignas que 0.a es la suma [obtenida a partir] delnŭmero t. Y de esta manera no sabes cuanto es, si al mismo tiempo no asignas cuales el valor de la letra t. Pero cuando te permita que fijes un valor cualquiera para laletra t, y tu, utilizando este permiso, digas que vale 5, al instante ciertamente asig-narás que 0.a vale 10, que 12 vale 25, que t' vale 125, y que 0.r vale 10, y si lasletras t están determinadas las cantidades 0.a, 0.r, 12 , t' estarán determinadas. Por loque, antes que tŭ hayas utilizado el permiso dado, tenías ciertamente 0.a, 0.1; i2 , ',cantidades [que son] determinables pero [cantidades] indeterminadas.»"

Por lo tanto, está claro que las sumas eran n ŭmeros indeterminados, pero quequedaban determinados cuando se conocía el valor de t. Asignando diferentes valo-res a t, Mengoli introdujo la definición de variable, probablemente por primera vez,y sefialando además la dependencia entre el valor de t y el valor de la suma". En elpensamiento de Mengoli parece que subyace una idea de sucesión, aunque quedelejos del concepto general de función.

Mengoli aplicó su idea de variable al cálculo de las cuasi-razones de estassumas. 0 sea que el valor de una razón es también indeterminado pero es determi-nable dando sucesivos valores a t. La razón, efectivamente, no asume este valor, elcual podemos interpretar como su valor actual; más bien, tiende a él a medida queaumenta t. Es en este sentido que Mengoli entiende la expresión «razón indetermi-nada determinable». Mengoli continuó dando ejemplos y clarificó su noción de«razón cuasi un nŭmero». Consideró valores hasta 10 en la razón 0.a a 12 y argu-mentó que estaba más cerca de 1/2 que cualquier otra razón dada. A esta razón la


Ilamó cuasi 1/2. De esta manera podía calcular el valor de cuasi-razones entre expre-siones algebraicas cuando el valor de las letras iba aumentando. La diferencia entre1/2 y la razón, que está determinada cuando el valor de t aumenta, es así más peque-fia que la diferencia entre 1/2 y cualquier otra razón dada. El límite de esta sucesiónde razones o de esta razón, en la medida en que es así determinable, es 1/2, y lo deno-minó razón cuasi 1/2. La idea de «razón cuasi un n ŭmero» sugiere, aunque de mane-ra imprecisa, el concepto moderno de límite. Basándose en esta idea, la «cuasira-zón», que utilizó después para demostrar las cuadraturas, no dependía de los valoresdados a las letras, pudiéndose utilizar para cualquier potencia natural, ya que lasrazones las establecía comparando los grados de las expresiones algebraicas.

Hay que señalar que el hecho de que Mengoli utilizara el lenguaje algebrai-co en su obra, lejos de ser una ventaja para su difusión se convirtió en un handicap.Su manera de escribir enrevesada y poco clara, su afán por definir todos los con-ceptos que utilizaba y la elaboración de un lenguaje propio, donde la notación amedida que avanzaba en su discurso se iba complicando, hicieron que no fuera leídocomo se merecía. Así, Barrow, en una carta a Collins [GREGORY, 1939, p. 49],refiriéndose a la obra de Mengoli, decía que era más dura que el árabe y que si habíadescubierto algo él no tenía tiempo para averiguarlo.

6. Álgebra versus indivisibles

El tercer aspecto sobre el que queremos reflexionar es la utilización del álge-bra para resolver problemas de cuadratura. La obtención de la cuadratura de las infi-nitas parábolas e hipérbolas y, como no, la cuadratura del círculo, constituyó una delas grandes preocupaciones de los matemáticos del siglo XVII.

Cavalieri, fue de los primeros en desarrollar un nuevo método de cuadraturaIlamado método de los indivisibles. Cuando Cavalieri expuso su método ya habíados antecedentes claros: la técnica de los antiguos, que hoy se Ilama método deexhausción, creado por Eudoxo y que Euclides y Arquímedes explotaron en unagran variedad de caminos para determinar áreas de figuras curvilíneas, vol ŭmenes,superficies y arcos, y el trabajo de Kepler. El método de los indivisibles de Cavalierise encuentra explicado básicamente en dos de sus libros: Geometría

continuorum nova quadam ratione promota (Bolonia, 1635) y Exercitationes geo-

metricae sex (Bolonia, 1647) 27 . La demostración de las cuadraturas de infinitas pará-bolas y = ,Y171 , para m entero positivo, fue publicada por Cavalieri en esta ŭ ltimaobra, aunque afirmaba conocerla desde el 1639. En 1636, Gilles Persone de

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Roberval (1602-1675) en una carta dirigida a Fermat también citó la regla paraencontrar la suma finita de potencias y explicó que la aplicaba para calcular cua-draturas. Así mismo, Fermat especificaba en una carta a Cavalieri, antes del 1644,que había cuadrado las parábolas, exponiéndole la regla y un ejemplo. El propioFermat, en 1657, demostró las cuadraturas para m racional positivo. Wallis por suparte, también demostró estas mismas cuadraturas en su Arithmetica Infinitorum(1655) utilizando la suma de potencias". Aunque Fermat y Wallis también utiliza-ban elementos algebraicos en su método de cuadratura, el camino que siguieron fuemuy diferente al de Mengoli.

Mengoli, en un primer cálculo, utilizó el método de los indivisibles de sumaestro Cavalieri pero lo hizo a través de un lema y tres proposiciones cuasialge-braicas de Jean Beaugrand que se encuentran en la Exercitatione quarta, deCavalieri. En la introducción de esta parte Cavalieri [1647, pp. 243-245] explicabaque cuando estaba investigando sobre las cuadraturas pasó, camino de París, elpadre Nicerone, a quien comunicó sus descubrimientos, y éste los refirió aBeaugrand". Más tarde Cavalieri tuvo noticias a través de Mersenne de la muertede Beaugrand y de las soluciones que éste había encontrado a las cuadraturas pro-puestas. Cavalieri precisaba que incorporó estas soluciones de Beaugrand, que sonmás algebraicas, para que no se perdiesen. A pesar de que encontraba la vía alge-braica más fácil y más corta, no la utilizó`". En cambio, Mengoli en GeometriaeSpeciosae Elementa, cuando quiso usar el método de los indivisibles de Cavalieri,especificaba que lo haría por vía algebraica porque era más corta, «Así también paraobtenerlo por vía más breve, procederemos por Algebra Especiosa»''.

Habiendo calculado cuadraturas por el método cuasialgebraico deBeaugrand, Mengoli las volvió a calcular con un segundo método aritméticoalgebraico y lo justificó con estas palabras:

«Mientras tanto dejé de lado este añadido hecho a la Geometría de los indivisibles,teniendo miedo de la autoridad de los que juzgan falsa la hipótesis que la infinitud de todaslas rectas de una figura plana sea una figura plana; lo dejé no porque fuese de esta opiniónsino que la esquivé porque la encontraba dudosa e intenté, si me era posible, establecer fun-damentos nuevos y seguros para el mismo método de los indivisibles o para otros métodosnuevos que fuesen equivalentes.»"

No está clara la razón por la que Mengoli no siguió el camino de su maes-tro. Quizás fuera debido a que el método de Cavalieri había recibido muchas críti-cas y Mengoli no podía dejar de ser sensible a ellas. Quiso buscar nuevos métodos,


con fundamentos más sólidos, introduciendo en sus cálculos el álgebra de Viéte através de las tablas triangulares y la teoría de las «cuasi-proporciones».

Mengoli intentó ya desde el principio que quedara clara su aplicación delálgebra a la geometría y dedicó mucho espacio a identificar las figuras (las llamaformas) que quiere cuadrar con las expresiones algebraicas que utilizaba para repre-sentarlas, sin hacer ning ŭn dibujo. Daba su propio sistema de coordenadas, defi-niendo la abscisa y la ordenada y describía individualmente las ordenadas de lasfiguras a través de las abscisas en el intervalo (0,1). Por ejemplo, las ordenadascorrespondientes a una figura descrita por una parábola las llamaba «abscisassegundas» y eran descritas por terceras proporcionales de la unidad y de la abscisa,1 : x = x : y. Las ordenadas de estas figuras quedaban definidas por medianas pro-porcionales o terceras proporcionales. Es decir, la conexión entre la figura (que norepresentaba) y la expresión algebraica (curva) que describía la figura era la teoríade proporciones de Euclides".

Mengoli además colocó estas expresiones algebraicas en tablas triangularesde manera similar a como había hecho con los sumatorios a fin de calcular a la veztodas las cuadraturas de las figuras de la tabla. Así para representar la parábolaescribía FO.a2 , para la expresión y=x3 escribía FO.a3 ,para la expresión y=x(1-x)escribía FO.ar, representando x por a y 1-x por r Seguidamente multiplicó estasexpresiones algebraicas por dos factores que calculaba fácilmente ya que sólodependían del grado (no de la dimensión) de la expresión algebraica y, por ŭ ltimo,demostraba que todas las cuadraturas eran iguales a la del cuadrado de lado uno. Lademostración de Mengoli es independiente del grado y sirve para cualquier figura'.El álgebra le proporcionaba un método para calcular a un mismo tiempo todas estascuadraturas (que ya conocía) y no le hacía falta hacer cada vez la cuadratura de unacurva para encontrar una regla que le permitiera generalizarlas.

Mengoli no hizo, como Descartes, un álgebra de segmentos, o sea, no inter-pretó geométricamente cada una de las operaciones algebraicas que definía. Inclusocuando demostraba la igualdad (a + b)2 = a2 + 2ab + 192 lo hacía a través de las pro-piedades de las proporciones. Su obra presenta más similitudes con la de Viête, quetambién utilizaba la teoría de proporciones como vínculo entre álgebra y geometría.Pero Viête, además de confeccionar diagramas sin establecer un sistema de coorde-nadas, comprobaba las construcciones de las soluciones de las ecuaciones de segun-do grado sin establecer relaciones entre las ordenadas y las abscisas, y nodemostraba la cuadratura de estas figuras.

LLULL, 24 REL4C1ONES EIVTRE EL ALGEBRA Y LA GEOMETRA EN EL S. XVII 719

Mengoli además clasificó las figuras en tipos, seg ŭn estuviesen situadas enlos lados primero y ŭ ltimo de la tabla triangular o bien en medio, demostrando suspropiedades con la teoría de proporciones. Al final de la obra establecia otra clasi-ficación de las figuras. Seg ŭ n el lugar que les correspondía en la tabla les daba unou otro nombre, especificando, sin demostrarlo, como seria su dibujo, qué ánguloformaban, cual era su baricentro. Si bien queda patente que sabía cual era el dibujode cada una de las figuras, Mengoli no hizo casi ning ŭn dibujo de las mismas. Areseñar que en el caso de la cuadratura del círculo, que se encuentra en una obraposterior, no aparece ni un solo dibujo a lo largo de toda la obra.

En dicha obra, titulada Circolo (1672), cuando construía una tabla de cua-draturas de figuras interpoladas, Mengoli clasificaba también las cuadraturas calcu-ladas segŭn el lugar y el grado en cuadraturas de primera, segunda y tercera clase.Así cuando se examina esta obra no parece que en la misma se trate de cuadraturasde figuras geométricas, ya que sólo se aprecian tablas triangulares y cálculos deproductos infinitos para hallar pi.

El hecho de representar los nŭmeros, las variables y las figuras con letras ybuscar artilugios para operar con ellas y poder «generalizar», lo interpretamos comouna respuesta a la necesidad mengoliana de resolver infinitas cuadraturas a la vezcon independencia de su representación geométrica. Mengoli halló el instrumentogeneralizador en las tablas triangulares y en el álgebra ya que las tablas se puedenextender indefinidamente, son fáciles de construir y las letras le permiten identifi-car las figuras dentro de la tabla. La utilización del álgebra de Viéte en el métodode cuadraturas de Mengoli es un rasgo característico y fundamental de su obra, talcomo él mismo señalaba al principio de Geometriae Speciosae Elementa

«Ambas geometrías, la antigua de Arquímedes y la nueva de los indivisibles deBuenaventura Cavalieri (preceptor mío), asi como también el álgebra de Viête, han estadotratadas con bastante acierto por personas cultas; de ellas, ni confusamente ni como si fueseuna mezcla, sino por una perfecta conjunción, se obtiene una nueva, la especie propia denuestro trabajo, que no podrá desagradar a nadie.»"

Mengoli siguiendo una investigación muy original «conjunta perfectamen-te» en su obra la matemática clásica, representada en este caso por Euclides (teoriade proporciones) y Arquimedes (método de exhausción), el método de los indivisi-bles de su maestro y la matemática innovadora representada por el álgebra de Viéte.Aunque las aportaciones de Mengoli constituyen un eslabón más en el proceso dela algebrización de las matemáticas, su objetivo prioritario no fue ni la construcciónalgebraica de las curvas ni clasificar las mismas, sino resolver unas cuadraturas que


ya conocía, por un método distinto, con fundamentos más seguros, y en el cual des-arrollaba el álgebra de Viéte. En Mengoli las características del pensamiento alge-braico y geométrico no se enfrentan sino que se superponen como dos capas debarniz a fin de dar mejor color al cuadro.

7. EPíLOGO

El proceso de algebrización de las matemáticas no fue lineal ni en el tiemponi en el espacio ya que no fue el mismo ni dentro de cada país ni dentro de cadagrupo de matemáticos. Los grandes difusores e investigadores de este «arte analíti-co» con un lenguaje y métodos nuevos tomaban postura y lo defendían frente a losque lo ignoraban o atacaban. No se aprecia una ruptura clara pero en un siglo apro-ximadamente se acabó imponiendo el álgebra como una parte ŭtil de las matemáti-cas para resolver problemas que de otra manera era imposible solucionar. Uno de lospuntos clave fue la constitución del lenguaje algebraico. La utilización de un len-guaje propio por parte de los distintos matemáticos originó que estos nuevos méto-dos analíticos no fuesen considerados una nueva ciencia bien fundamentada, aunquefueran herramientas de cálculo muy potentes, frente a la síntesis geométrica.

Para poder entender todo este proceso con rigor histórico sería necesarioanalizar otros aspectos: el desarrollo del concepto modemo de n ŭmero (los nŭme-

ros imaginarios, los n ŭmeros negativos,...), la introducción y el aumento de méto-dos algebraicos en otros campos (teoría de n ŭmeros, trigonometría,...), el aumentode construcciones geométricas dadas las ecuaciones algebraicas (relación entre laecuación y la representación, clasificación de curvas,...), la limitación que las expre-siones algebraicas presenta frente a las figuras geométricas, los cambios de método(análisis-síntesis, métodos directos,...) y también la recepción y utilización de estosmétodos algebraicos dentro de otros ámbitos científicos.

Agradecindentos

Mi agradecimiento a Paolo Mancosu, Toni Malet, Carles Puig, JoséLlombart y Pilar Crivillés que han leido versiones previas de este articulo

mejorando su contenido y su estilo.

LLULL, 24 RELACIONES ENTRE EL ÁLGEBRA Y 1,4 GEOMETRIÁ EN EL S. XVII 721

NOTAS

1 Véase CARDANO [1968, pp. 7-22, 96-101, 217-221] y BOMBELLI [1929, pp. 1-46].2 En latin: «Denique fastuosum problema problematum ars Analyticae, triplicem Zetetices,

Poristices & Exegetices formam tandem induta, jure sibi adrogat, quod est, NULLUMNON PROBLEMA SOLVERE»VIETE [1970, p. 12].

3 Sobre Herigone véase CIFOLETTI [1990, p. 129].4 Jean Beaugrand( 1595-1640) era matemático; el año 1635 lo pasó en Italia donde visitó a

Cavalieri en Bolonia. Más referencias en CIFOLETTI [1990. pp. 114-128].5 William Oughtred (1571-1660) matemático inglés muy influyente, se decía que su obra era

la mejor álgebra del momento. Más información en SCOTT [1981, p. 207].6 Fermat no publicó mientras vivió, sus trabajos circulaban a través de canas o manuscritos.7 La interpretación de este programa actualmente a ŭn da lugar a posiciones muy

contrastadas. Por una parte Bos, Boyer, Lenoir, explican que para Descartes el álgebraes simplemente una herramienta para economizar esfuerzos. La ecuación de una curvano es un medio de definición o representación sino una herramienta para poderclasificar las curvas en clases. Seg ŭn estos historiadores la intención de Descartes alescribir La Géométrie era buscar un método de resolución de problemas geométricos,como era usual en la época, y la ecuación nunca es el ŭ ltimo paso de la solución.

Giusti, al contrario, dice que para Descartes la curva es la ecuación. Giusti destaca elcomponente algebraico de La Géométrie como fundamental en su programa ya que lepermite dar soluciones generales y uniformes a una gran variedad de problemas. Seg ŭneste autor, los elementos de construcción de las curvas juegan un rol más retórico quecientífico en la obra de Descartes. Véase BOS [1981. pp. 295-338], BOS [1998, pp. 291-317], GIUSTI [1987, pp. 409-432], MANCOSU [1996, pp. 84-91], PEPE [1982, pp.249-288].

8 Esta idea de oposición de los dos pensamientos perduró en algunos casos, así Cauchy en1821 en la introducción al Cours d'Analyse de IËcole Royale Polytechnique (p. Ij)explica que para los métodos ha buscado todo el rigor de la geometría ya que losrazonamientos algebraicos sirven para hacer presentir la verdad pero que no se ajustan ala exactitud de las matemáticas.

9 Un análisis más exhaustivo sobre estas diferencias se puede encontrar enMAHONEY[1980, p. 141-155].

10 Véase HOYRUP [1996, pp. 3-4].11 Véase PYCIOR [1997, p. 143] y JESSEPH [1999, p. 189].12 Sobre la controversia Barrow, Hobbes y Wallis véase PYC1OR [1997, pp. 135-166],

MAIERU [1994, 99-105], MANCOSU [1997, pp. 86-88] y JESSEPH [1999, pp. 189-246]. Sobre el debate entre Leibniz, Arnauld, Prestet y Gottignies, véase MANCOSU[1997, pp. 88-91].

13 Thomas Harriot (1560-1621) Algebrista inglés graduado en Oxford. Escribió ArtisAnalyticae Praxis (1631) basándose en la obra de Viéte

14 Más referencias sobre vida y obra de Mengoli en BARONCINI [1986], NATUCCI [1971]y MASSA [1998].


15 En latín, «De utilitate Algebra Speciosa. Una, Mathematicas inter, Speciosa vocaturAlgebra: quaerenti qua nihil arte latet. Sive rogas, utrum sic, vel non, dicere verum est;sive rogas, quantum est: ars facit ista satis. Utpote quae numeris generalibus instruitaptos. Ad facere, ad facta, 8z. dicta probare, modos. Scilicet intererit generalis uterquefuisse; Quem—quaeris numerus, quem— dare cunque potes.» MENGOLI [1655, p. 19].

16 Pepe, en su estudio, destaca que así como Viéte estaba presente en las obras de lositalianos, La Géométrie (1637) de Descartes, tuvo poca difusión en Italia. PEPE [1982,p. 2631 dice haber encontrado dos referencias, una de ellas en Giannantonio Rocca (1607-1659), alumno del Colegio .jesuita de Parma, al cual en 1640 un amigo le envió latraducción de La Géométrie de Descartes. Mengoli tiene interés en hacer cuadraturas apartir de un problema propuesto por Rocca además de mantener correspondencia con él.

17 Wallis escribió Alathesis Universalis seu Opus Arithmeticzun (1657) donde intentó reflejarla evolución y el estado de la notación algebraica. Véase SCOTT [1981, pp. 65-82].

18 Para más datos sobre los orígenes del lenguaje algebraico véase MALET [1984,pp. 169-1791.

19 Newton en su obra Arithmetica Universalis (1684 ) dice algo similar al explicar comoencontrar una ecuación; identifica las palabras con las cantidades conocidas ydesconocidas y las frases con las ecuaciones. Véase WHITESIDE [1972, p. 565].

20 Algunos autores quieren ver en este rasgo una cierta dependencia de la geometría.20 « Et partes Totae, dicentur, Abscissa, & Residua: & significabitur abscissa, charactere a;

& residua, r.» MENGOLI [1659, p. 21].22 El nombre procede claramente de Viéte y su Logistica speciosa.23 Una fórmula que efectivamente no era nueva. El primer reconocimiento como regla

general aparentemente fue hecho en 1636 por Fermat, quien anunció que habíasolucionado «el que es quizás el problema más bonito de toda la aritmética», es decir,dada cualquier progresión aritmética, hallar la suma de cualquier potencia. Fermatestableció las reglas pero no escribió la fórmula ni la demostración. Véase Fermat [1891,pp. 69-70, 83-84] y MAHONEY [1973, p. 291].

24 Véase demostraciones detalladas en MASSA [1997, pp. 266-268] y [1998, pp. 51-56].25 «Cum scriptero 0.a, statim ex praecedenti capite habes massam ex omnibus adscissis: sed

quota sit haec massa, nondum habes, nisi scriptero, cuius numeri sit massa. Quod siassignavero 0.a, numeri t massam esse; neque sic habes, quota sit, nisi simulassignavero, quotus est numerus, valor litterae t... Cum veró licentiam dedero, ut quotumquemque litterae t valorem taxes; tuque huiusmodi usus licentia dixeris, t valere quinario:statim profecto assignabis & 0.a, valere 10: & t valere 25; & t valere 125; & 0.r, valere10: & determinatae litterae t, determinatas esse quantitates 0.a, 0.r, t , t , quantitatesindeterminatas determinabiles» [MENGOLI, 1659, p. 611.

26 Segŭ n YOUSCHKEVITCH [1976, p. 59] el término variable fue introducido por Leibnizel 1692 y difundido a través de la obra de FHópital: Analyse des infiniments petits (1696).

27 Sobre el método de los indivisibles de Cavalieri véase MALET [1996, pp. 11-22],MASSA [1994. pp. 68-100], GIUSTI [1980] y ANDERSEN [1984/85, pp. 291-367].

28 Fermat [1891, Tomo I, pp. 195-1981 escribió Ad Bon. Cavalieri: Questiones responsa, quese cree anterior a 1644. El misrno Fermat [1891, Tomo I, pp. 255-288], en 1657 escribióDe aequationum localizuzz transmutatione et emmendatione ad multimodam

LLULL, 24 RELACIONES ENTRE ELÁLGEBRA Y LA GEOMETRIA EN EL S. XVII 723

cztrvilineorum inter se vel cum rectilineis comparationem, cui annectitur proportionisgeometricae in quadrandis infinitis parabolis et hyperbolis usus. Fermat y Wallistambién demostraron las cuadratures para m negativo, excepto el caso rn = -1.

29 Jean Francois Niceron (1613-1646) pertenecía a la orden de los Mínimos, igual queMersenne. Se dedicó a la óptica geométrica y a la perspectiva y viajó mucho por Italia.

30 En Exercitatione, en el escolio después del lema. Cavalieri escribia: «A partir de estasdemostraciones el lector no ignorante de estas multiplicaciones algebraicas, comprenderáque esta vía es mucho más fácil que la Euclidiana, cuya estructura es más larga en lasProposiciones 17 y 1 8.»

31 «Ut autem breviori via id obtineamus, procedemus per Algebram Speciosam»[MENGOLI, 1659, p. 3491

32 En latín, «Ipsam interim accessionem, quám Geometriae Indivisibilium feceram,praeterivi: veritus eorum authoritatem, qui falsum putant suppositum, omnes rectasfigurae planae infinitas, ipsam esse figuram planam: non quasi hanc sequens partem; sedillam quasi non prorsus indubiam devitans: tentandi animo, si possem demum eamdemindivisibilium methodum, aut aliam equivalentem novis, & indubijs prorsus constituerefundamentis» [MENGOLI, 1659, p. 364]. La cursiva es nuestra.

33 Cuando demostraba las propiedades de las curvas que describían la figura (creciente,punto máximo,...), Mengoli utilizaba directamente la expresión algebraica y laspropiedades de las proporciones sin preocuparse de la representación gráfica de la figura.

34 Véase demostraciones detalladas en MASSA [1998. pp. 129-171]35 En latín, « Ipsae satis amabiles litterarum cultoribus visae sunt, utraque Geometria,

Archimedis antiqua, & Indivisibilium nova Bonaventura Cavalierij Praeceptoris mei,necnor & Viettae Algebra: quarum, non ex confusione, aut mixtione, sed coniunctisperfectionibus, nova quaedam, & propria laboris nostri species, nemini poteritdisplicere» [MENGOLI, 1659, pp. 2-3]. La cursiva es nuestra.

BIBLIOGRAFíA

ANDERSEN, K. (1984/85) «Cavalieri's Method of Indivisibles». Archive for the History ofExact Sciences, 31, 291-367.

BARONCINI, G. & CAVAllA, M. (1986) La corrispondenza di Pietro Mengoli,Florencia: Olschki.

BORTOLOTTI, E. (ed.) (1929) L'Algebra opera di Rafael Bombelli da Bologna: Libri IV eV comprendenti la parte geometrica inedita tratta dal manoscrito B.1569 dellaBiblioteca dell'Archiginnasio di Bologna. Bolonia, Zanichelli.

BOS, H. J. M. (1981) «On the representation of curves in Descartes Géonzétrie». Archive forthe Histoty of Exact Sciences, 24, 295-338.

BOS, H. J. M. (1998) «La structure de la Géonzétrie de Descartes», Revue d'histoire dessciences, 51, 291-317.

CARDANO, G. (1968) The Great Art or the Rules of Algebra. Witmer, T. Richard (ed.,trans.), Cambridge, Mass., & London: M. 1. I. Press.

CAUCHY, A. L. (1821) Cours d'Analyse de lÉcole Royale Polytechnique. París,Imprimerie Royale.


CAVALIERI, B. (1966) Geometria degli indivisibili di Bonaventura Cavalieri. Trad. L.Lombardo Radice, Torino.

CAVALIERI, B. (1647) Exercitationes geometricae sex. Bolonia.CIFOLETTI, G.C. (1990) La méthode de Fermat: son statut et sa difitssion. «Cahiers

d'histoire et de philosophie des sciences», nouvelle série, 33. Paris, Société francaised'histoire des sciences et des techniques.

DESCARTES, R. (1954) The geometry of René Descartes. D. E. Smith & M. L. Latham(ed.), Nueva York, Dover.

FERMAT, P. (1891-1922) Oeuvres. Tannery, P. & Charles, H. (ed.), 4 vols. & spp. Paris,Gauthier-Villars.

GIUSTI, E. (1980) Bonaventura Cavalieri and the Theory of Indivisibles. Bolonia,Edizioni Cremonese.

GIUSTI, E. (1987) «La 'Géométrie - di Descartes tra numeri e grandezze». Giornale criticodella filosofia italiana, 66 (68), 409-432.

GIUST1, E. (1992) «Algebra and Geometry in Bombelli and Viete». Bollettino di storia dellescienze matenzatiche, 12, 303-328.

GREGORY, J. (1939) Tercentenazy Menwrial Volume. H. W. Turnbull (ed.), Londres, Bell.HOYRUP, J. (1996) «A New Art in Ancient Clothes. Itineraries chosen between

Scholasticism and Baroque in orderto makealgebra appear legitimate, and their impacton the substance of the discipline». Filosofi og Videnskabsteori pa RoskildeUniversitetscenter. 3. Raekke: Preprints of Reprints 1996 Nr 1.

JESSEPH, D. M. (1999) Squaring the circle. The war between Hobbes and Wallis. Chicago& London, The University of Chicago Press.

LAGRANGE (1795) Oeuvres, vol. 7, p. 271MAHONEY, M. S. (1973) The mathematical career of Pierre de Fermat. Princeton,

Princeton University Press.MAHONEY, M.S. (1980) «The beginnings of algebraic thought in the seventeenth century»,

Descartes ' philosoplzy, nzathenzatics and phisics, Gaukroger, S. (ed.), Totowa/ Brighton,Barnes and Noble/ Harvester, 141-156.

MAIERU, L. (1994) Fra Descartes e Newton, Isaac Barrow e John Wallis. Messina,Rubbettino.

MANCOSU, P. (1996) Philosophy of Mathematics and Mathenzatical Practice in theSeventeenth Centwy. Oxford, Oxford University Press.

MALET, A. & PARADIS. J. (1984) Els origens i 1 'ensenyament de l'álgebra simbálica.Barcelona, Universitat de Barcelona.

MALET, A. (1996) From indivisibles to infinitesimals, Studies on Seventeenth CenturyAlathematizations of Thfinitely Small Quantities. Barcelona, Universitat Autónomade Barcelona.

MASSA, M.a R. (1994) «El mêtode dels indivisibles de Bonaventura Cavalieri». Butlleti dela Societat Catalana de Alatemátiques, 9, 68-100.

MASSA, M. R. (1997) «Mengoli on Quasi Proportions'». Historia Mathematica, 24, 2,257-280.

LLULL, 24 RELACIONES ENTRE EL ÁLGEBRA Y LA GEOMETRIA EN EL S. XVII 725

MASSA, M. a R. (1998) Estudis matemátics de Pietro Alengoli (1625-1686): Taulestriangulars i quasi proporcions C0171 a desenvolupament de rálgebra de i iète. TesiDoctoral, Barcelona, Universitat Autbnoma de Barcelona.

MENGOLI, P. (1655) Vìa Regia ad mathenzaticas per arithmeticam, algebram speciosam andplanimetriam, ornata Alaiestati Serenissimae D. Christinae Reginae Suecontm. Bolonia.

MENGOLI, P. (1659) Geometriae Speciosae Elementa. Bolonia.MENGOLI, P. (1672) Circolo. Bolonia.NATUCCI, A. (1970-1991) «Mengoli». En: Gillispie, C.C. (ed.) Dictionaty of Scientific

Biography, Nueva York, Scribner's, 9, 303-304.PYCIOR, H. M. (1997) Symbols, Impossible Numbers, and Geometric Entanglements:

British algebra through the commentaries on Newton's Universal arithmetik.Cambridge, Cambridge University Press.

PEPE, L. (1982) «Note sulla diffusione della Géométrie di Descartes in Italia nel secoloXVII». Bollettino di Storia delle Scienze Alatematiche, Vol. II. fasc. 2, 249-288.

SCOTT, J. F. (1981) The Alathematical Work of John Wallis, D. D., F R. S. (1616-1703).Nueva York, Chelsea.

VIÉTE, F. (1983) The Analytic Art. T.R. Witmer (tr.), Kent, Ohio, Kent State University Press.VIÉTE, F (1970) Opera Alathematica. F. A. Schooten (ed.), Nueva York, Georg Olms Verlag

Hildesheim.WALLIS, J. (1685) A Treatise of Algebra both Historical and Practical showing the

original, progress and advancenzent thereof from tinze to time; and by what steps ithaht attained to the heighth at which now it is. Londres.

WHITESIDE, D. T. (1972) The Alathematical Papers of Isaac Newton. Vol. l' (1683-1684).Cambridge, Cambridge University Press.

YOUSCHKEVITCH, A. P. (1976) «The concept of Function up to the Middle of the 19thCentury». Archive for Histoty of Exact Sciences, 16, 37-84.

las relaciones entre el Álgebra y la geometrÍa en el

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