lattice geometry - cerncds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · lattice geometry peter...

284
Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL Institut des Hautes ´ Etudes Scientifiques 35, route de Chartres 91440 – Bures-sur-Yvette (France) Septembre 2004 IHES/P/04/45

Upload: others

Post on 07-Aug-2020

12 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

Lattice Geometry

Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL

Institut des Hautes Etudes Scientifiques

35, route de Chartres

91440 – Bures-sur-Yvette (France)

Septembre 2004

IHES/P/04/45

Page 2: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

������� ������

����� ������ �� ������� ������� ��������

Page 3: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

Page 4: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ���������

Page 5: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�������

� �������� ������� �� � ��� �������� �

��� ����� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� ��� ��� ���� � � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� ������� � �� ����� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� ���� �! ����� � � ������ �"������ � � � � � � � � � � � � ��

����# $�%���&��� �� �� �� ������� ���� � �� � ��� �� �� �%�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� ��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �'

����� ��� � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �'

����� ("� ��� �� ���)��* � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+

����� ("� �� ��� �� ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,

����# $�%������ � �-��%������ �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �,

����' ("� � ����� �� �� �"� ������ �� �� � � � � � � � � � � � � � � ��

����+ .Æ � ������ � �"��� �/�����/ � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� ������ ������ � �������� ������ ����� � � � � � � � � � � � � ��

����� ������ ������ � ��"��� � � �� � � � � � � � � � � � � � ��

Page 6: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

� ��������

����� 0���� �����/1 ������� �� ��� ������ � � � � � � � � � � � � �'

����� ������ ������ � �������� ������ ����� � � � � � � � � �+

����# ("� �������/ �� ��)��*! �"� � � �� �������� ������ ����� ��

��# 2�������� �� �"� �/�������� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � #�

��#�� $/�����/ �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � #�

��#�� 3��� � ����� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '�

��#�� ("� 3� �4� � %�� � � �"� �/��������"� ��������� � � '+

��#�# ("� ���� �/�����/ ����� �� ������ ����� � � � � � � � +�

��#�' 5������� ��� � �/��������"/ � � � � � � � � � � � � � � � +�

��' ("� �������� �� �4� ���� ��� � ������ � � � � � � � � � � � � � ,�

��'�� ������� �� �4� ���%�� ������ ����� � � � � � � � � � � � ,�

��'�� ����� �/��������"� �/�����1 �������� ����� � � � � � � ,�

��'�� ("� ����� � ���"���� ����� � � � � � � � � � � � � � � � ,�

��'�# ("� ���)��* ��%��� � ��)��* � � � � � � � � � � � � � � � � � ,+

��'�' ���� � �� ��� �� ���� �� �"� ������ ����� � � � � � � � ��

��'�+ ("� $���� �-6��� �78 ���"�� � �"� 9��� � �/�%��� � � ��-�� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��+ :���; ����� 2����� � 6��� �78 ���� � �� �� � ������� � � � � ��

��+�� < �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��+�� ("� �-�� � �� �"� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+

��+�� . �� ��� �� ���� �� �� � ��)��* � � � � � � � � � � � � � �,

��+�# ("� ����� ��� ���� � �� ���� ��� � � � � �� � � � � ��

Page 7: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�������� �

��+�' 9��� � �� 6��� �78 ��� �/��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��+�+ $����/ �� �"� �� ��� %����� � �"� ����� � � � � � � � � � �#

� �������� �� ������� ��

��� ���� �/����� � ��=���� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,

����� ���� �/����� �� ������ � ���� ������ � � � � � � � � � � � �,

����� >� ��� ������ �� ����� %/ ��=���� � � � � � � � � � � � � � � ���

����� 5���"������ �� ������ � ��� � %/ ��=���� ����� � � � � � ��'

����# ?�%�� ��� ������� �� ����� � �"��� �%���1 4���"�� �� ���� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� ?��"��� � ����� ���� � �� ��� ������� � � � � � � � � � � � � � � ���

����� 9���� ���� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

����� (� ��� ������� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��+

��� 0����� �� �"� ���� �/����� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

����� ("� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

����� ("� ������ ��! � # � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

����� ("� ������ ���! � # � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��'

����# ("� ������ ��� ! ��� � � + � � � � � � � � � � � � � � � ��+

��# 0����� �� �"� ���� �/����� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��#�� ("� ������ �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��#�� ("� ������ ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��#�� ("� � ��������� ������ ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��#�# ("� ������ ��� ��� ��� � ��� �

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��'

Page 8: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

# ��������

� ������� ����� �� ����� ��������� ���

��� 6��� �78 ���� � 9��� � ���/����� ��� ��� � ���� � � � � � � � � � � � ��,

����� 9��� � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��,

����� (��� �� %/ ���/�����; ���� %�� � ���� � � � � � � � � � � � ���

����� 6��� �78 ����! 9��� � ���/�����! � 0������ ���� �� � � � � � �#�

����# @�������� 9��� � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �#�

��� 6��� �78 ���� � 9��� � ���/����� �� ������ � � � � � � � � � � � � � �'�

����� 6��� �78 ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �'�

����� 9��� � ���/����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �'�

����� @�������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �''

��� :��� )03*; 9��� � ���� � �"��� � ���� � � � � � � � � � � � � � � � �',

��# 2�������� �� ��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+�

��#�� 2��� ������ ��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+�

��#�� ("� ���� �! � ! � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+�

��#�� . ������ "�����&��� �� �������%�� ���� ������ � � � � � �+,

��#�# 3� �4� �A� �"����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,�

��#�' ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,�

��' :�4 6��� �78 ���� ���� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,�

��'�� 6��� �78 ���� �� ��%������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,�

��'�� 6��� �� ���� �� � ����� ������ � �"��� ���� � � � � � � � � �,�

��'�� 6��� �78 ���� �� �� � � ��������� ������ � � � � � � � � � � �,+

��'�# 6���� ���� �� 6��� �78 ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,,

Page 9: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�������� '

��'�' <��"���� 6��� �78 ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��+ :��� )03*; ("� 6��� �78 � 9��� � ���� �� ��� ���

� � � � � � � � � � ���

��+�� ���� � �����/ �� ������� �� �"�� ��� � � � � � � � � � � � ���

��+�� ("� ����� ����� ���

�����B ���� � � � � � � � � � � � � � � ���

��+�� ("� ���� � �"� ��� ������ �)��� ���

�*1 �"��� ��%���&��� � ��#

��+�# ("� �%��� �� ��%�� ��� ������� �� � B ��� ���

� � � � � � ��,

��+�' ("� %���� �� �"� 6��� �78 ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��+�+ $����/ �� �"� ���������� �� �"� 6��� �78 ��� � � � � � � � � � ���

��+�, ("� �4� ������/��� �� 9��� � ���� � � � � � � � � � � � � � � � ���

��, $���� �! @��C���� �! � D��������� � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��,�� ?��"��� � ���C���� � �� ������������ � � � � � � � � � � � � ���

��,�� D��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��,�� $���� �! ���C���� �! � �����/ � � � � � � � � � � � � � � � � ��'

������ !���� ���

#�� 0���� ���� � >�� 6���� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

#���� . ������"� ��� � ������ � ����� %��� � � � � � � � � � � ���

#���� 2� ������ � %��� �� ��� ������� � � � � � � � � � � � � � � ���

#���� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

#�� :�4 �������� � ��� �� ��� ������ ������ � � � � � � � � � � � � ���

#�� :��� )03*; 0����� 4��" � %��� � �"� �� ���� � ��� � � � � � � � ��,

#���� < �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��,

Page 10: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

+ ��������

#���� . ������� � ���%��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

#���� .��� ���� $��� ������� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

" �������������� �� #������� ���

'�� @����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

'���� �� ��� @��������� �� @����������� � � � � � � � � � � � � � � ���

'���� ("� 2��%� ����� $������� �� @��/����� � � � � � � � � � � � ��'

'���� E� � 2� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��+

'���# E� � ���� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

'�� ("� 2� � �� @�������-9�� ��� D����� >���� � � � � � � � � � � � � ���

'���� 9�������� �� �"� 2� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

'���� @������ �� �"� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

'�� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��'

'���� ("� $�%������� �� 9��� �� 2��%� ����� (/�� � � � � � ��'

'���� 3���� :� -2� ����%�� @����������� � � � � � � � � � � � �#�

'�# E� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �'�

'�#�� ��� @��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �'�

'�#�� ������� � E� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �'�

Page 11: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�����������

0���� 3�"��! ��������� �������� � �"� < ������� ��� 5���� ������ $�� ������� � �����-���-F�����! >� �! ���� ����� �/ � � ��������/ � 9���%�� ��! �����

��� � �� �! >� � � ����! 0���� ������� �"/��� � �"� ���� @��/��" ����� @��� ���� ��#� �� ��#+ )� ���� � ������ � �"� >�� " ��/ � ��## � ��#'!��� � ���� �������� �� � �"� �"������� �����" � �"/����* 5� ������� "�������� ���� �"� ���� @��/��" ���� � ��#+ � �"� ! � "� ���� ���� �"� ����/!4� � ���� �� �"� $��%� �! �� �"� ���! � ��� �"� ������ ���1 � "�� 4����! G��4� ��"� ��H

< ��#�! "� %�� ��C��� �� ������ /��� %��� � 3 "����� I �������/! �"�:���� ��"� < ������� � 2��� "�� ! � �"� < ������� ��� .�� �� $���/ � @�� �-�� � �/ ��'�! 4"� "� ������� "�� ������� ���� �"� $��%� �! 0���� 4� �������� �"� H3�"�� $������H �����%� � ��� ��/� )5�� ������� ����/ ���� %�-�� �-����/ � �"� 4�� �� 0�� � F �! � "�� �-������� �� � ��� �� �"���/�* ����� � � �� >� � � ��''! "� ���"� � 0���� � ?��/ � ��� ��� �"�2� ��� �� @"/����� ("J������� �� �"� ���� @��/��" ����� < ��+� 0���� 4� �"����� �"������� �"/����� �� %� ���� ��� �� ���� � � ����������"�� � �"� �"� �4 < ������ ��� 5���� J������ $�� ������� )<5�$*� ("���! ��� �"� ��� �, /���!"� ���%����� 4��" ��� ����� ���� �� ���� �"� 4���� �! 4��" "�� 4��� ("J��K���!� �� ��� �"� ��"� ������� �

H< �"� �4� ���� � �"� �"������! �"�� L�"� ��"� < �������M 4� �"� �� � ��� ����"������� �"/���!H "� ����� ��� H$� � / �� �"� ���� �"/������ "� ��� �"���� �"��� /���" � 4��� ��� � �������/; ��"�A� � =�� � "� %�� ����� �����("� �� ��� �"/������ 4��� 4��� �4 � 4� 4��� � / ���� %��4�� ����� �� �4� �/ /�� � � ��1 ��� ����� � 4��� ���� ����� �" � 3 "����� � ������������ � � ����/ ������ � 4��� ��" ���� � �� ��� ��"� 4� "����� � "��� � ��� %���� %/ �"� ��� ��� �� �"� 2���%��� %��4��/ 4"� %�������� �� ���"� 9 ��" � ���� �� %� ���� %/ �"� ���� ����� 9 �� ("� ������� �� /�� �

,

Page 12: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

� ��������

�"/������ 4��� ������� %/ �"� ��"�� � 4� �4 "�� �� �A �������� >�� 2"������4� 4��� �� � ��"�A� "����! �� �� � ��� � �"� 2"������ ����1 ��"� "� "��� � ���/ ����� ������� �� ��/� ) ��/ 4� ���� ���� �� %�� � "��* � "� "������" �� �"� � / "����� �� ��/ 4��" �"��� 3�����"� ��"� 4� ������� ��/ � � � �"���"���� "������� $"� �� �� ��� ("J��K��� � �"� "������ � �"� %���" ����� ��� � �� 1 � ���� 4� ������� �"� ��"�� 4��" ���� 9 ��" ���� ��� F�� ����/ ����� �"� �"�� ����� �� ���� � =�� �� �� ������ ��/� N� �4/� ����� �������4 � ��� ��� �"�� ������! � ��� ������ � 4��" �/ ����� �� � ���������H�

("� 3�"��� � �"��� ��� "����� ��� �"��� ���� "��� � �����-���-F����� /��-��� � ���� � ��� ��� 0����A� � / ������ ��������� ("� ��� �� ������4� � ����� � 0����A� ��� ��� � �������� <� 4� �� � ����! � �� �� � �"�3�"���! �"� �"� ����� � /��� ���� ��� � �� /�� � � � � ����! �"� ����� � /��� ���"� � ��"��! � �"� ����� ���� �"� �%�� � �"���� )("J��K���! =�� �� ����� ! 2"� ��� � 5�%��4 � 4��� � � ����" � >�� "! ������ "�� %O���������* F�� � ����� 4��" ���! ����� 4��" ��-/��- �4 1 �������� %������� ��! ���� �� ��������� H>�� �"��� 4"� �� %�� �� �� ��!H 0���� ����� ��! H4����� �� ���/ �� ���� ��� ��� ��� ��� ������ �� �"� ��� �� ����� � � ���� �"��� � �������� �� �4 ���H

("� ���� ���� �� %�� � �� 0����! �"� ���� "� ���� � C�/��! 4� ������ �� ���������� �"� ��� � � ��"����� � �"/���! �� �4 ������! �� ���� ������5� �4/� � ������� "������ ����� �! �%��� ����� � 4"� ����� �"� �� �"���"��� "� ������� ��! � "� 4� ���� �"/ %��� � � � ������� � �� /� � "��"���"� ���"� %� %�� �� �4��� < �"� ��"����� �����"��� �� <5�$! "��� ������� �"����� �� �/�����/ � �"� ������� �� ����� �"���/ �� � / ���� ��� �"/���� ���� � � 4��" �� �"-�� � 4�� �"�� � ��"����� �/��������"/� <5�$ � P ��/! ���'! "� � ����� � / ��"����� � �� <5�$ ���� �"� /���!��� �/ �� 4�� �� �� �"! ��� 4"� ��� ��� �� ����� /�� ���� � � �"� �������/ �� ������������ � �"��� ������ �� ������ ������ N� 4�� ��4��" "�� ��� � / /��� � ������ �"� ��� ������ �� 6��� �78 ���� �� ������!�

� 4��� ���������� �� �������� � ���� �� �"��� ������ �� N� �� ������ �� �4����� �"��� � =�� � � �"�� %�� �

< ������%�� �������� � 4��� � �� ����� "����! 0���� � ("J��K��� ��� � /�����" ������ �� �"� I ���� $����! ������! $���" .���� � .��! �� ��� �"����������� ��� ��� 0����A� H�������� �H� 5�� � / "� ��� � ����� ������ �� �"�

����� ��� ��� ���������� �� ���� ���������� � ���� ��� ��������� ������� �� ����������� �� ��� �������� �� ����� �� ������� ��� ���� ����� ��������� �������� � � !""#�

��� $����%& ��� �� � ������ �� �� ����� �� �� �� �� '����� �� �� ���� �� �� ��(�� ���� ����� ��� '���� �� �� �������

Page 13: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�������� �

>�� " .���/ �� $�� �� � ��,�! �"� ������� / �� �"� >�� " @"/��� $����/���� ��,� �� ����! "� ���/ ������� ���� �"� I �������/ �� 0���� )��,+* � �"�.��� ����� I �������/ �� ����� )����*! � �"� N�� �� ���� )���#*�

?�� %���� ����� �� ���� �� �"� "��"���"�� �� 0���� 3�"��A� ���� ������ ��" �"���� 0���� �� ����� ���� � 4�� � � 4��" "�� ��" ���������� <� �������� "�� ����� ������� � � %�� ����� � ���/! %�� �� "�� 4��! "�� 4���"! � �"� � �� ���/ ��"�� � �"����� ��� ��� � �� (� 4�� 4��" "�� 4� �� ������� ��������/ � �"����%��� � " �! �� ��%C�� �� �� �������� ���� ��� � ��� �"� �4� �� ����� �"���/ � �������� � ��� �"� ������ %��� ���! � �"� ������ .�������� ���! 0���� ��� �� ���" "�� 4�� � �� ��� �1 �"� ��� �� �� ����� �"� "���� ��%���" 4��� � �/ ��� �� ��� <� �� ����� � ���� %�� �"� �� ��" ���� ���� � � ��"���

("�� �� ����" 4� � � �� �"��� � / � � ��"�� 4�� �� N� "� ����� �� ��-����� �� �%��� 0���� ������ � �� ��"/ � ������� ����/ �� �"� �/���������� ������ � ��� ���� ��� �"� ���� �� �"� %�� � 2"����� � � �! 4"�" "�������! � ��/ "�� � �������� �����"� � ��� � �"��� ���������/ ������ ��"�-���� �%C��� � %���� ����� � �"� �����/� �"��� ��" ��� � ��������/�.� �"/�����! 0���� 4� 4��� ��� ��� 4��" 0�� ���%�� � ���� �/������ < "����"����� 4�� ! "� 4� �������/ � ������� %/ �"� ���� � ���� ������� 3�-C���� ������ 2"���� �! � 6��� �78 ���� �� ������! � @���� ������ 4"� "��%���� 2"����� # � '! � ����� %��� � �"� �������� �� "��" ���� ��� �6��� �78 ���/����� � �"��� �������� � �� ������� %/ &� � � ����� � 0������� ������ ������ ���� �� %� � �������� � �� �"� ���� �� ���� � ��� �����N� "�� � ����� �"��! � :����! 4"��� �"�/ ���� %��� �� ���

.�� �� �"��� ����� 4��� �������� %/ �� �� ��! ��������� � / �����! � ���������� 4� ����� ���� � � "���� �� ��"��! %�� �" "���� � �� ��� ����=�� ��� ��"��A� � ������� � ��/��� N� "� �� �� �� ���� ��� ������ �� �"�Q � ���� Q �� %�� � �"�� � �� � ���� 4"���� N��"��� 0����! %�� �� � �� �������%��! �� �� 4� 4��" �� �� ��� (� "� �� "�� � ������� � ��/��! ���� ������ ��� �� ������ 4� ����� � "��� "�� ����� � "� ���� �"���

0���� �������/ ������%�/ �������� �"� %����� %��4�� ��"����� � �"/���!4��" � � ���� ����/ �� ��� � �"� ("� ��"����� �"���/ �� ������ � ������������ ������ � �"� ��� � ���� � ���� �� � 4"�" �"�/ �� < �"/���! �"�/�� �"� �"������� � ����� � � �� ����� �/��������"/ � ��/ ������ ����� � �/�����/ �"���/� 5��� 3� �4� � )��+#-����* � ������� 6��� �78)��+�-����* �� �"� �� �� �� �"� ���� � �� 4"��� �"������� �� ���� �����"��� "����%����� 0���� ������� �"��� 4�� 4��" ��� ��� � ���� ��� ("� ��� �

Page 14: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�� ��������

��� �� 6��� �78 A� ���� ������! G��"��"�� ��� ��� ����J���K����� ���������H! 4� � �� � � ������� �� 4"�" "� ����� �� �� � �� �

< �"�� �� ����"! 4� ����/ �4� �� ��%C�� ���; �������� )������ � �/���-�����"� ������* � ������ ��������� � �%����/ ���� ��� � N� ��� � �������"��� ������� �� ������� ���� �� � ��� � ����� N� �� �� ������ ������ ��-����! ��"��� � � ��! ��� � �"���/! ������ �����! �� ������� �����! � �"�����%C��� "�� %�� �"�����"�/ ������ ����4"����

N"��� �"� �� �� ������ ��������! �� �����/ ��������! ��� ����" � ���"����� ����" � 4� � ���� � / ����� � �������� 0����A� � ���%���� � � ���� �"��������� �� ������! �"� ����/ �� ����� 6��� �78 ���� � �"� ��� ������ �� �4 ����� � ��� ���

�� �� �� ������� �� ����� � 3�"����� �/��������"/ ���� ���� �/���-�����"/! � �/��������"/ ���� �� �����/� < �"� ���" � ���/! %����� R-�/��S���� ������� �/��� ���� � %����"� �/��� �������� �� �"� �������� �!� / �� �"� �"���� �������� ��� �"� �������� �� �/���� � ��� ��� �"� ��"-����� �� �� < �"� ���/ ����A�! �"� ������� "� �� ��������/ " ���� .��"� <5�$ 4�� �"�� � ��"����� �/��������"/! ���S��/ $"��"�� ���� ��!H< �"� �������� �� ����� � �"��� �� �"��� ���%���� �� � �����; �"� ��� ���� �� ����� ! �"� �/�� �� �������� � ��� � �������� ! � � ������� � 6��/������ 4�� "� %�� �� � � �"� ���� �4� �� �"���! %�� �"� ��������� %�� �� 4��"� ������� �H .� �/��������"� � ���� � � ����! � � �� �� 4�� ����� ���������� �"� �� �-�� �� � ������� �� 4"��"�� �"��� �� ���� �/��������"� �/������� ��� �"� ����� %��� ����� ��

("� ���� �/����� �� ��������� ���� �"� G>�� " �/����H! %�� �"�� �� �� 4"/0���� 3�"�� � "�� ���%����� P 3�&�/&/�� ��������� ���� � ("��� ��� ���� � � ������� �� �"� �/��� �/����� �"�4� �"� ��4�� �� ����� �"���/ � �/���-�����"/; ����� ��� 4� �"��� ��� ���� ���� � �"� ����/ �� �/��� �/�����/! ��"� �������� �� ��%��� %/ ���� 4� �"� ��� ��� ��� �� ����� ��� � $��� �������� �/��� �/�����! � 4��� � �"� � � ���������! 4��� �4 ! ���� �/ �"������"���� ����� � ������� ����� ������! ������ �����/ ���� �"�� � �����3�"�� � 3�&�/&/�� ��%���"�� �"��� �������� � ������� ������1 0����4���� �"� ���� ������� ������ � ����� "��� � 2"���� ��

�� �������� ������ � 6��� �78 ��� 0���� ��� �� ������ ���%�� ��������/ � � �������/ �������� ���� � �� 3��� �� 0����A� 4�� � 6��� �78 ���� 4� �� � C�� ��/4��" �� � ����� � �"�� �� ����"� 5�� � ���%���� � � ����� �"� �����4� �)�"� ����� �� ��� �� � �"� ����*;

Page 15: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�������� ��

* 6��� �78 � C������ �"� ����/ � ��� ����������� �� Æ � ���� �� ��-��� 6��� �78 ���! � ������ �"� �"� � C����� �� ���� ��� ��������� �������������9��� � ������ �"� �� #! � ��� ���%���"�� �� ��� B '! � ���"� �"�4�� �"�6��� �78A� � C����� �� ���� 4"� �� &� ������ .���� ���� �"��� ����� ���!�"� � C����� ���� � ��� � (����"�� 4��" $����� �/�" �� � 3�C���� $� �"�)��� �*! 0���� ������ �"�! ��� ��� �� ������������ � ���� � �"� ���������! �"�Æ ��/ �� � ����� ).� �"�� ������ ������ � ��" ����� �� ���� ����4"��� � �"���� ����"! 4� �� �� � ���� �� "����*

%* 0���� 4�� �� �����/ 4��" @���� � ��� � �"� �������� �� -���� ��� � �����6��� �78 ���� � �� ������� ������ �"����" &� � � ����� � ���� � � � ���� ��� #! ������ ���� 4"��� ���� "�� �"� ����� ��%�� �� ���� %�� ��� "�� ����������� � 4"�" ���� �" ���� ����� ("�/ �/&�� �"� 6��� �78 ��� ��� �"� B # �� � ������� ����� )2"���� ��+*�

* ("� 6��� �78 ��� �� ����� � �� � �� �"� � ������� %��� �"� �����1 � �������! �� ������� �"� ������ ���"��� � �� ��� ��� �� ����/ ���� ��� � N����� �"��� ������ �������! � ���%���"�� � / �� �"��� ����������� ("� ��� � ������� ������� ���"��� � �� ��� ) � �*-���� ��� � ���! �� ����! �� �� �������� ������! � �� �"� ��%��� � �� ������� �������! �"��� �� ������� �������� �� ��"�P�" 2� 4/ � :�� $�� � ��� � ������ �� ��-���� ��� � ����� ������� ����� %/ ��� ��� � %�� ��� 4"�" � ���� �� � �� ����� %���� 0���� �"�4���"� �"�� ����� �� �"� ���� � � � ��� ����/ ���� � � �� �� ������ 4��" �"���������/� ��� ��/! @���� � ��� "� ������ �"� �"����� �"� "� ������ �� ���� / /���; �"� ��� �� ��� ������ � �4/� � �� � ����� %���� N� � ���� ��������� ������ �� "�� ����� � 2"���� #���

�� ����� ��������� � N� ��� ������� �"� ������� ; ��� / ����� �! � � "���� %��� ��" �"� �"� ��%��� �� �"� %��� ������! � ��� �"� ��� � �/�����/ ����� ���"� �����! ��� � �� � �"� %�� ��� �� %/ �"� %��� ������T N� ������ �"� ��"%��� ����� ��� B �� �� #� ' � ��� ���� ����� �� ������ � ���� ��� � +!, ��! %�� P�" 2� 4/ �"�4�� �� �"� �� ���� ��� �"� ���� ����� ��� :�����"�����! ��� / ����� � / ���� ��� ! �"� ��%��� �� / %��� ��� � ���� �� � �"� %�� ��/ ������ ������ �� �"� %��� (� ������� � �"� �� ���� �����%�� ������ ����! 0������� �� � ������� ������ �4 ����� � ��� ��� ("�� 4�� 4� �� ��������!%�� 4� � ���� ������� �/ �� � � 2"���� #���

. �� �" �� �� %����� �"� ���' <5�$ 4�� �"��! 9 / $"�"�� ! P�" 2" ! 9�- �� ����� � <� ���" ��%���"�� �"��� � ��� ���� � �/���� 4��"��� �� �-���� �/�����/� ("� ���� �"��� ��"��� 4���! �� ��� ���/! � @��� �"� P ��/ � ��� ��� �"� 4�� �"��! 4"��� ���� ��� �/ �"����� �� �"�� ���� %�� �����-

Page 16: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�� ��������

��/� ("� ��"����� ����� ��� ����"��� � �"��� G���%���� H ���"���� ��S���� ���� � 4��� ���/ � 4��� �; P�" 2� 4/! @����� 2�����! . ��J� U�&! 3�"��9� ��! � ��"��� ��� ��������� �� � � @� ���� ���� �� � ���C���� � ����"��"�� ���� ��� � ���� N� � �������� �"� ��"����� �/��������"/A� �� ������� �� ������/ )� �"� U�" � �� ��* "� � ��� � �"� G�����/���H ����-����� %��� �

.��"���" 0���� "��� �� �� 4�� � ���%���� ����� %/ �"� �������/ �� ��������/����! "� � ������ ��"��� �� �� �� � "� �����4�� �"� ��������� �� 4��" ����� ������� (��/ �"� ��������� "� ������ %���� ����� ���! � 0���� ����� ��!��� ��� �������� �� �� H�"� ������� � �� �%������ �"������ %/ �4 � ��1 �"�� �� ��� ��� �"� �� � �"� ����� �� �� ��� �� � � � � ��� � �"����� � �"� ��������������� � �� �� ����� �� ?�� � ����� �� � �� �"� ��� �"���/ �� ����� ��! � ���/ ������ ���������� �� �"� �4 �"���/� ��� �"� ��� � � �� ����� �"� �������� �/ ���� � ��� ������/ ���� �H

("� ����� ��� ���� � �� �"� ����� �������/ "�� �� ���� �"��� �� ��� �������� �! �� "� ����� �� � �"��� ������ �� �4 �� ����� �� �"���� � ���! ���� �! � � ���� 4/�

����� �����

�������� ��������

������� !" ##!

Page 17: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�����

��������� ������� ��� ����

�����

��� ���� �����

����� ����� ������� �� � ������

����� ��� ��/� �� ��� �� ���� � �"�� "����� N� %��� %/ �����4� � ���%�� � ���� � � / �������� .� �"� ��� ���� 4� � ������ ��" �� �"� ����� �"� 4��� %� ���� �/��������/ � �"�� %�� )��� �"� � ��� � ����� � ���*� ("�� �"�� ����� %� ���� � ����� �/�

��$����% &���� �����' . ��� �� ����� � � ��"����� ��������� �� ����� ����"��� )"�������"���* �

�� .��� �

("� H��"����� ��������H � �/ %� ���%��! ��������! ���������! ��� ("�������� 4� ���� �� ����� �� ��� �"� ������� � 4� ��� � �"�� %�� �

I ���� ��"��4��� �����! 4� ����� �"� ��� B �� )< �"�� ��! �"� ��� �� ��������*� .� ���/ ������ ������! ��� � %� � ��� ��� �� � B �� � ����� �� �� B .��� B ��! �"� ����� �� ��������� � �� � �%C����

N"� � �� � ��������! 4� �� ����/ %%������ �"� ����� �)�*)�*! �"� �� ������� � �� %/ � � �! �� ���� �

�)�� � �� ������ ��� ��� (��' ��* �� ���� ���������� * ��� �� � +� ������ �� ��� ��

��

Page 18: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�# ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

��$����% &���� ��(��' ("� ��� �� �� ������ �� � %/ �! 4"�" 4� �� ��� %/���! �� �"� ��%�� �� � )� ��� �*�

<� ��%�� "� �� ��� ����� �! �"� ����� � �� ���� ���� ��� �� < �"� �� �����! ��%�� "� ���� �" � � ����� �� ���� �� � �� ��%�� �� ������� ������� � �"� ����� �� �� � � �"�� � �� ���C�� � � �� �� ��� ��%����

��$����% ��(�� �����' ("� ��� �� ��%��� ����� � � ����� ��� �� � � ��� �"� ��%�� ��� � ���

<� � � �� � � �/ � � ��%��! ���� �� / � � � %� �� ������� � �� / ��"������� � �� � %/ �"� ����� ��� ! �"�� ��� �� ��� �� %� ���� ���� � � �� ���� ��'����( )��

��$����% ���(���)��' ("� ��%���&�� �� � �� �� �"� ��%�����

� B �� � �� ��� B ��

�� ����� �� �� � 4"�" ���� � �����

��$����% �������� ��(��' . ��%�� 4��" �"� ������ ��%���&�� � �� ��� �� %���� ����

<� � B �! �"� � �� ���� ��� � �� � � < �"� �� ��� ��! �� �� ��/ �� ����� �"��� B �����! ���� 4"�" �� �����4� �"� �"� ��� �� ��%���&��� �� �"� ����� �� �� ��%�� �� � C��/ ��� L�M� �� ��%������ �� ��

. ���/ ������ %�� ������ � ���� �� �"�! %/ �������� � � �� ����� ��%����� �

� �! �"� ��� ��� � ��������/ ��� �� ��� �� � )� ����! �"� ������-

��� �� �� ���� %/ ���*� 2����/! � B � ��� < �� ��� �-��%�� ������ � �� ���C�� � � �� �� �-��%���� N"� 4� �4 �"� ��%��� �� .��� � � ! �"�� ��" ������ ��������� %� ������ �� �"� ����/ �� / ����� ��� �

�� .��� � �%/ � ������ � �"� ��%����� <� � � .��� ! �"� ���� �� � � .��� �

��$����% ��(�� ����' ?�%��� 4��" �"� ��� � C��/ ��� �� ��%���&��� ����� �� %� �� �"� ��� �/���

? � ��" �/��! 4��" � � ��%���&��! �� �"� ��� �� ���� ��� ���

���� �� �,�-,�-���� ���������� �������� �� � ����� �� � � � ���� �� � ����� ������ � � � � ) �� ��

�������� � � � ,� � � �� ����� ���(��'�-� *���� ����� �� ���� �� ���(��'� �� � (��'� '������� ��� �� ���������� ) ���� �������� ���(��'� �� � ��

Page 19: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� *!�" ���#�� �'

��$����% �������' < ����� ��� ! ������ �� �"� � �� �� ��%��� �� �"���� �/���

(4� ��� �� %��� � �� �"� ��� ������ ��! � � �/ ��! �"��� ��%���&��� �� � C�����N"� �"�/ �����! �"� ���� ��� �� ���� � � ������ � �"� ��� ��� ��%��� ���� ��"��� ���� �� � �� �"� ��� ������ �� ������� � ������ ��� �"� ����� ���� � �� ��� �"��� �� � ���

N� � ������ �"� ����� �� ��� �"� ��� �� ����� �� �� �"� ����� �� ("� .�� �� ���"� ��������� ����� �� �"� ����� �� �� �"� ��� ���������� � � �� � ��� ����� �� %/ � C����� � � B ��; �)�*)�* B ������("� U�� � B �)�*! �"� � ��� �� �! � <� � �� �"� ����� �� � �� �������"������ ��

("� ��%�� �� � � � �� ���� �"� ��+(��, �� �� � � �1 4� �� ��� �� %/ L�M�� ("����� ��� �� �� �"� ����� �� �� �"� � ��� �� �� <� � �� %��� ! �"��� �� � �/ � �������! �"� �� ���� ��� ���

��$����% ������� �����' < ����� ��� ! �"� ��� �� ���� �� ���� �"������� ���! �� ���� %/ ����

N� "�� ��������� ����� �� ���� ���C���� �;

� � � ��

�Æ � � �� ���

)���*

("� ��� ��� .��� ��� �� ��� �� � � �"� ��%���� �� � � ����

4/�

N"� � �� � ��� ��%������ %/ � C����� ! �"� ��%�� ��� �� � �� �"� � C��/��� L�M� �� �"� ��%������ �� � � C���� �� �� ("� ��%���&�� �� �� �"� �����&���� � � �! ��)�*� <� � �� ���� %/ �"�� ��� ! �� �� %/ ��� ���� � ��� ���%����� �� ��

N� �� ��� �"� ��� �� ��%������ �� � %/ � �� � �"� ��� �� � C��/ ����� ����%������ �� � %/ �L �M��� >�� ���� ����/ �� ������ Q � ���� � �� �"��� 4�

Page 20: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�+ ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

4��� ���� � �"�� �� ����" Q �"��� �� ���� ����� ������ � � �L �M�� %/��%����� � ����� �� �� � C����� � �/ ��� ���� ! � ����� ��� ! �"� ��� �������%�� �/��� �� �-��%��� %� ��� ����� 4��" ��%��� �� �L �M��� ("�� %��� ����� � �� ���� � C���� �� �"� ������ ��� �� �L �M��;

��� �� �L �M��� � � C������ )���*

("�� � C���� ��� �� ����� ������ � � �"� ������ ��� ���� .� 4� �"���"�4! �"� ���� �� �"�� ��� �� ���� ���� <�� ����� �� ������� � �� �"� ��S��� ��/�����/ �/��� �� �"� ����� �� �� � �

>�� � � ��� ������! ��L �M��� �� � � ��� � �� ��� �! %�� � ���� ���%���� 4��"�� ����/! ��� �� � ���� < �"� ��! �"��� ����� ����� � �� ��� ����!������� �� � �� ����� � �� ��� �/�����/�

������� � � �� � �� %/ ���� ����������� ; ��� B ���

>�� �"�� ��� ! �� �� �� ��� �-��%��1 ���� �������/! �� �� ��� ��� ��%��� 2� ������"� ��������� �� �"�� �-��� �� �"� ����� ��%����� �� ("� ��%�� �� � � �� �� �"���� )� ; �*� �� ���"� ����� ��1 �� �� �"� ��%�� ��� ����� :��� �"� �"� �������� �� � � �� %/ ���"� ����������� �� ��� �� %/ ���� B ����� �/ ��������� �� � � �! �"� �-��%��� �� �"� ���� ����� �� � �"� ��%�� ��� %� ��� �����4��" )� ; �*�! �"� ��� �� ���� �-������

("� ��� �� � � �� %/ ���� ����������� � ���� �"� ��� �� � � ��� ��%���� ������� ��� >�� � �� �! �"� �-��� � )� ; �*� �� ��� �� %/ ��)��* B )��*� B���� ("� ��� )� ; �*� ����� ��%�� �� � 4"��� ��%���&��� �� �"� ��%������ ���"� � C��/ ��� L�M��

>�� � ��� � ��%��������! ���� � ���"� ����� ��! �� �����! ��� ���! �� �"����� ���� ����� �4 � � ; �! �"� ��� �� �-�����! ��� �� %/ )��*)���* B �����("� ������� �� � ����� �� �"� ������ � ����� ����

������� � 0�� � %� -���� ��� � ��� ����� ��� ��� ("� .���� B���)�*! �"� ��� �� ��� �� �� �����! � � ��� �� ��� �� �� ������� ���� ��� � ���

("� ����� �� �� �� �� ���� ������! � 4� �� ��� �"�� %/ ��� ��� � � �� ("� ���

����� �� �� ���� �� .��'�� �� ��� �� �� ���������� ������ (��' ��� �� �����'�������(��' �� ���'�. ����� �� ������� !� ���� (��' �� ������ ��� ��� �� ������ ���� �����(��'� ���� �� ������ (��' �� ������ ����� ���� �� ��� �� ��/�� � ��������'���� �� (��' ���������( �� ��� �� ������ �� �� ���0�(��� ������ �� ���(��'�� ������ ���� �� ��� �� �� ��� ���,��- �� � !�

Page 21: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� *!�" ���#�� �,

�� ���)�* � �� "� � �/ �4� ��%���! �"� ����� ! 4"�" �� ����! � �"� ���� ���"� ����

N� ���� �� � ������� �� �"� ����� �� � � �"� ��%���&�� �� � &��� �������("� � ��� �� ������� � �� �4� �� �� ������� ���� �! �� �� 4��� �4 ;

� � �� � �! � ���)�*� �� � �� ��)�* B !�)�*!��� )���*

N� ��� ���� �"� ���)�* � " � ���)"* ��� �� "�������"��� ���)�*���� �

4"��� �� �� �� �"� )��� ����� ���() #��)�*�

���� / �4� %��� ��$�� � ��$��� �� ��! �"��� �� � ���� � � ���)�* �� ������ �

��$�� � �� ��$���; � �"� %��� ��$��! �"� ����� �� �� �"� %�� ���� �� �"� ����� ���-

���� �� � � �� �"� ���� � �� �� �"� ����� �$�� � ("� ��� �� %��� �� �� ��� �����%�� �� ���)�*� ("� ������� � ���)�&�* �� ��� ��&�� �� ������ �� �� �� �"����� ��� ������ �� �"� ������������ %���� 4��" �"��� �������

������� .��� � �/������ %��� �� ���� � ��! �"� ��� ������ )��� ��*! 4��� ����� �� � �� ���"��� � ��� �"� 4� �� ��� %/ ��� ("� .���� B '�!�"� -���� ��� � ���"��� � �����! � � ��� �� ���"��� � ������� ���� ���� <�� ��%���&���! ��%��� � ���� %� ������� %/ �������� � �"� ��� �� '� � ��� N� ��� �

��$����% ��� *�� � +�����,� ("� ��� �)��* �� ����� �� �� �"� ��������� )��� ��*�

N"� � �! �"��� �� � �/ �4� '� ����; �"� �� �"� ���� ��� � ��! � �"�� C��/ ��� L'���M�� �� ��%���&���� ("� ��%��� �� �"�� ������ �� �"� ��"����)� ����� � �"� ����� * �� ������ �� �"� ��� ����

N"� 4� �� � �/ � �������� � �"� %��� ����� �������� �� �"� ����� �� �� �� ����! 4� ��� �"� ����� ���

("� ��� �� ����� �� �� �� 4��" �"� ���� ��� �� �� �� Æ � ��� �"� 4��� ��� ��1 �� �� ��� ��� ��%�� �� ��� N� �� ��� ��� ����� ��! �"� ��� ��! %/�� �� � � � � ).������� ����� �� ������ "����*

������� " >�� / ��� �� ��� �� �� � �"��� �� � ���� �� ����� ����� 4"�"�� ������ � � �� �1 �� �� �� ���� ���"�� %/ �( B � � � �� %/ �( B � ��� �/ ���� ��� !����/ ���%�� ��� �� ��� �� �� �"� Æ � ���! �"� ��� �� 4"��� ��Æ�� �� �� �!�� 4��� ��� �� ��� � �� ���

��� ���* �� (��� �� ���� ��������� �� �� �� �� .��'� 1��

Page 22: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

$���� ��� � ����;

- �) � �� )� V )� � )*� �� �"� �����"� �� � ��� �� %/ �"� �4� ����� � ��� ���� � � ��1 4"� � ) � �� �� �"� �� � ����� � C�� � � �� ��

-�

� "���!�

� "� B � �� �"� �� �� � ����� ��� �� %/ �"� ��� �� ���

-�

� "���!�

� "� B �! � "� � �� �"� � ��� "��� �� �"� ��� �� ���

$������/! / ���%�� ��� �� ��� ��! �"� ��� �� 4"��� ���� �� � ��"��! ��� �� � ���� �� ����� �� ��1 ���� * V + � $ � , B

� $* V

� ,+ B

� ,* V

� $+� . �%����/

"��� �� ��� � �� ��! ���� �"� G����� H! ��� ������ �"� �������� �� �������� � �"� Æ � ����

��$����% �������� �����' ("� �V � ��� �� �� ��! � ! �� ��� �� %�� ���� �� � �� �"�/ �� �-���� ��� � �� �� � ������

��$����% �������' . ������� �� �"� � ��� "��� �� V � � ���� �� � ��� �� � ���

("� � ���� �� � ��� �� �� �"� ������� �� �"� �������� 0%���� � �"�� )� �%�-���/ �����* ��� ��� � � � � ��! �"� ������ �� �"� ������� �� )4��" � - *;

���)�������)��� ��� � � � � ��** B�

������)�� ����*�� )��#*

("� Æ � ��� �� %���� ���� ���"��� � ��� �� "� ��"�� ��������! �"� �� ������ ���� <� � "����� ����� ���� �"� ���"��� � ��� ������ �� ��;�"� ���� � ,)�� �* %��4�� �"� ��� �� ��� �� �� � � �� �� �"� �������� ����� ������ �)� � �*�

������� - .��� �� ����� � ��"�� ������

-�, ("� ���� ��� �� .��� � � %� ���� ��� �� �"� ��� �� �-��%������� ��� ("� ���� ��%������! ���� ������� �� )�� ��������* ��%������!� ���� �)�*! �"� � ��� �� �! � �"� ������� ��%����� ���

-(, <� � � � �"��� �� ���� ��� �� ��� .��� %/ � �� �������"���� ��

��

Page 23: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� *!�" ���#�� ��

-�, ���� �"� ��� .�� .��� �� ����� . � ����� �! � � ��� � �"�

����-����� ������ ���. 4"��� ����� �� �� �"� ���� ��� /�! � � �! / � .�("� ����� �4 ��

��� /�� ���� /�� � ���.� ��� /����� /�� B ��)/��*� //��� )��'*

������� �� ����-����� ������� �� ������ �� �"� Æ � � ������ ������

.S� B �������)�* B .����� � ��� B ����'� B .�� ��� )��+*

(� ������� � �"� ��� �� .S� � �� %/ ������! 4� "�� �� "���� %��� � �"� � ����/� � ����� ��� �� � ����� � ��� ("�� /����� �/���� ������� ��� � �� � 4"�" �"� ����� ��� �� � ��" � �"��� �� V� � )��!���� �����/! V ��* �� �"� ����� ��� �� �"� ����� ��� . ����� � �� .S� %� 4����� ! %/ )��'*! � �"� ���� ��*��� 4��" �* � ��! � � ���)�*� ("� �"� ����� �4 �� .S� ��

��*�����$��� B ��*V��$����� ��*����� B ������*����� )��,*

� �"� ��� � �� ��! ��������/!

��*����� B V �*V���� )���*

("�� ).S�*� B ���� ����� ���)�*������ ��! � C���� �� ���)�* � .S��:��� �"� .S� � �����)�*1 � ����! �"� �� 0 ���� %/

0)��*���* B�� ��* �

�)���*

����� )V�*-���� ��� � �� �� ������� ���� �� .S��

�/ ��� ���� ! �"� � �������� � ������� ���� �� 0 ��

W0)��*���* B�� �)����**�� )���*�

�1 ��� W0)��*���* B )����*��� )����*

$� � �"� ������� � �� � ��� � � ��� � C����� ! ���� )���* 4� � �����"� 0 � W0 �� � ������� � ������� ���� ��

:�4 4� ���� �"� �4�� ��� �"� ������� �������� � ������ �� <� W0 ������ ��� � �"� ������ 4"��� ���� ����� �� �� �"� � �/ � &��� � �! � �%��-����/ � ����� ��%����� ����� $� � �"��� �� �4� � C��/ ����� �� .S� � �����)�*! 4� 4��� �� ��� �"� ���� �� W0 %/ .S�� � $� �"� ��%���&��� �� .������� �"� � � ��"� � ������ �� �� ���� �"� � C��/ ��� L.S����M��������

Page 24: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

-�, ("� ����� ������� . �� �4� ������ �� �"� ������� �� �� �"� ����-�����

������ 4"� �"� ��� .�� .��� �� ������ )���� <�� B �*� $������/! � �

��� � �"� ����� ������ �� / � ��� ��%�� �� �������

<� �"� ������ � ����� ������ �� ����� �� �� ��� ����� �! �"� ������-��� ����� �� �� � �"� ����� ������ %/ �������"����� ("� ������� �� �����-����� ������ )� � � � � �*����! �� ���� %/ ��! �� ���� -����)��.(�� N"� � �� � ���! �"� ��%�� �� ����� �� �� �"� 4���" ������ ��

��� � B X����� )����*

���� �-���� ��� � �� �� ������� ���� �� �! �"� ������� ���� �� �� ���-���� ��� �! �� � �� �� �"� ����� ��� �� ����� � �-���� ��� � ���� �%�� � � �� �� ������� ��� � �"� )���"��� �* ��������� ������ �� �"���%�� �� >�� � �� �! 4� "�� �"� �������"����;

��� �! '�)��* B '� ����)��* � )����*

.���� � �� �"� ��� �� ������ �� >���� U��� ! �������/ �� �"� ����/ ���"� ��� �� � � ��%�� � ��� ��%����� ("� -���� ��� � ������ ����� 4� � ������� � �"� � � �� ������ ' � ��� �������"��� �����! �"������� ����� �1� 4� � ������� � )��+*�

������� � ������ �������/� �� �� �"� ��� ��� ��%�� �� �� ��! ������� ��/!�"� ��%�� �� B )�1� ; '�*� 0�� ���� %� �"� ��� �� ���� � "B � �� ����� � ��� �� ����� ("� ��� �� �1� � �"�� ��� � �� � � ���� ������ 4��" � � ��� ��� ����%���! �" �%���� %/ �������� ��� ��%��! �"� ���� � ,)�� �*�

$������/! �"� ��%�� �� ���� � �"� ��� �� �1� � ���� ! �"� ��� �� �������� �� �� 2�� ����� � ��� �� �� ��! �� � ���� �� � �� � ("� ���� �� 3� 4� 5 %��4�� �"� � ������ ��� �� �� ������ � ��� �! %�� �"�/ �� �� �%����/ �������� ��%���� N�4��� "���� �"��� � ��� �� )� 6� 7 ��� �� %/ �"� � ����� �

3 B ,)�� 2* B�

�)6V 7* � �� 4 B ,)2� �* B

�)7 V )* � ��

5 B ,)�� �* B�

�))V 6* � �� )����*

��� � � �� ���'���� �� �� �(��� ��� ��� ���� �� ������ ��''��� �� �� '�� �� ��2� �� .���� ���* ���� �� ���0�(��� ����� �� �� �������3� �� ���� ������ �� 4���� � ���5���

*� ���� �� �� �������3 �� � �� �� 6������� (��' �� ���� ��� ��� �� �� 7 ���� (��'(���� �� �� 8����� ,�� ��- ����(� �� ��''��� �����

Page 25: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� *!�" ���#�� ��

("�

) B �3 V 4 V 5 � �� 6 B 3 � 4 V 5 � �� 7 B 3 V 4 � 5 � �� )���#*

� Q �� �� ��/ �� ����� Q � ���� �" � � �� �"��� � � ��� �� )� 6� 7 � ��"���("� ����� 8)�� �� 2* �� �"� ��� ��� )�� �� 2* �������

#8)�� �� 2*� B ))V 6V 7*)67� )���'*

N� �"�� ������� � �"� ��%���&��� � �/ � �"� � ���� ��� � ��� N� "�� �� ���-�� ����" �4� ��� � ������ ��%���;

�, :� � �� )� 6� 7 �� ���� �� &���;

�, ("� � � ��� �� "�� ��S��� � ������ ("� ��%���&��� �� ������; �"� ��-%��� �� �� ��� ��� ���� )�"� � ��� �� �� �"��� ��������* �� ��� ����

(, ����/ �4� �� �"� �������� �� ����� ("�� ������� �� �� �"� �4�������� ����/ �� ��%��� �� �������� ��� ����� ("� ��%���&��� �� �"����-������ �� ����� %/ ��=���� �"����" �"� �/�����/ ��� �� �"� ���- ����

�, ("� ��� ���� �� ���������� < �"�� �� �"��� �� � �/ � � �������� ("���%���&��� �� �������"� �� �� )�"� ��������� ����� �� �"� � ��������� �"� � ����� �� �"� ��� ���*�

��, .�� � �"� �"��� � ��� �� )� 6� 7 ����/ � � �� &���� ("� �"� � ��� �� ����� ���

�, ("� � � ��� �� "�� ��S��� � ������ ("� ��%���&��� �� �������"� ����� � �� �� ����� %/ ��=���� �"����" �"� ��� ��/� � �� �� 2�

(, (4� � ��� �� �� ���� � ��������! 4"��� �"� �"��� �� &���� ("�� �� ��"� � � ��� � �� �"� ������ � �� �"� ����� � ������ %/ �"� ��"�� �4��("� ��%���&��� �� �������"� �� ����1 �� ��� �� �"� �������� �� � �"� �� �� �"� ��� �� ����� %/ � ������ �"����" �"� ������ � �� �"������ ��

(� ������&�! 4� "�� ��� � # ����;

Page 26: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

- �"� �� ��� � � )������ ��%���&��*! 4"�" ������� �� �� �� ��� ��� ����1

- �"� � ���� ���� %��� �� )��%���&�� ! ���*! 4"�" � �� � �"� ��%��� �� �"���� �/�� ��� �4� ��S��� � � �� �� �������� �%C���! ��� �-%* � ��-*1

- �4� ����� ����! �-* )��������� ��� ����* � ��-%* )�������� � ��� �� � �� �* 4��" ��%���&��� �������"� �� �� � ���� ����������/�

("�� ����� ��/ ������ �"�4� �"� �"� �������� %/ ���� �� ����! %�� �������� N� 4��� ��� � �'�� "�4 �� %� ��� �� ��� �-���� ��� � �������

����� ���������� �� ����� ������

(� �"� �"��� ���� �� ��� ���� � ���� � �"� %��� � � �� ��! 4� "�� �� �� �"���� ���� �� ������� � �� ��� � �� ������ 5�4����! %����� ��� � � �������"����%��4�� ��� � �� �� ������ �� ��� � �"��� ����"���� �����

���� �4� �-��� � � �� � ��! ��� �� ����������/ %/ ���� .����! - B �� �!

�"��� �� ���� � ��� � �"� ��� �� ��� 9 ���� �� �� ��� ("�� ��� �� ���� %/

��9 B ��)�* Æ 9 Æ ��)���*� )���+*

< ��"�� 4����! �"� �-��� � � �"� ��� �� ��� �� %/ ��������� ������;

������� ��

����

���� ���� ����

�������� ��

� )���,*

("� ���� � ������� � �� �� 4"� �� � �� "�� ���� ��"����� ����-����! � 4� � ����� �"� ��� �� ����"���� 3��)�����*� ("� ���� ��� �� ��3��)��� ��* �����/! �� � �! 9��)�* B ��)�*9 � �� ���� /(�������� '�) �1�"�/ ������� � �� ����"���� %��4�� �"� �4� �-��� ��

�9 ����*����( ��'��

Page 27: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� *!�" ���#�� ��

N� ����� ����" �4� � �� �� ������� �! ���� � )�* � 4� )4*�

��$����% �.�/��+���� 0.������' (4� �-��� � ���� .����! - B �� �! ��

�-������� � 4"� �"��� ������ ������� � �������"��� ���� ���

>�� � �� �! 4"� �� � �� �� ����� ����! .����! - B �� �! �� ����� ���� �"� �� ��� �� �� ������ ��)��* � �"� ����� ����"���� �� ��� � �4� �� ��������� ���� � �� �� ("� ���� ��� ���� �� ������� � �� �� �� ������� ���� ��� �"� ������� �� ��� ����� ���� �� �"� �� ��� ��� ���� �� ����� ��� �-������� ��

("� ������� �� �-������� � �-��� � � ��A� ����� � �/ 4"� �"� ��A� �� ������-

�"�� <� ���� �� �� ��" �������"���! �� ��� �� �������"��� .����

��� .����� ("� �"� �-������� � �� �"� ��� � �

��� .���� ��� %� ���������%/ �"� ��������� �����;

���� .����

�� � � ��.����

)����*

N"� �� � �� �� ��� ���! �"� �4� ��� � �� � �� �� � � � �"� ����������� � � <� �"��� �4� ��� � �� �-������� �! �"� � )���,*! 9 � .��� � � )����*! 9� �� �"� � �� �������"��� �� .��� ������� �� � �� 9 )���� �"� � C��-��� %/ 9 � .���*�

<� �/ %� �"� � )����* �"��� ���� �� ����� ��������� ����� 4��" 9�

������ � �"�� � C����� � ("�� 4� ��� �

��$����% 1.�/��+���� 0.������' (4� �-��� � ���� .��� ! - B �� �! ��

��� �� %� 4-������� � 4"� �"� ����� <� ��� - B �� � �� � C���� ��%������ ��.��� �

>�� ������! ���� �� �� ����� ������� ���� � �� � � �"� ����� ��� � � ����� �������"��� " �� �! � � ���� ��"�� ������� ���� � Æ " 4"�""� �"� ��� ���� � ��)� * %�� 4"�" �� � ������� � �� �"� ������� ���� ��0�� �� �� ��� %/ �� �"� �� �� <� �� ("� �������"��� " � .��� ��� � �������"��� "� �� <� � %/ �"� � ����� "� Æ �� B � Æ "� <� "� �� ����� �)<� �*!�"� �����&�� �� <� � � ��)� *! �"� �4� �� �� ������� ���� � � � � Æ " �� �

Page 28: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�# ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

� � �� � ������� � ��"���" �"�/ "�� �"� ��� ����; �"�/ ��� � 4-������� ���� � 4"�" �� �� �-������� � ��

>�� �"� �������� �� ������! �"� ���� ) � "�������* � ��� �� ������� ��� 4-������� �� N"� 4� 4���� ������� � 4� 4��� �4/� �� 4-������� � ��

���������� � $�� ������� �� � �� �%� ��&��� ��� �'�������� �� ��� ���� �� ��� �%�

��&��� ��� �� ��� ���� ����(

.� ������/�� ��� �"� �-��%��� �� �/�� L�M�! 4� "���� �"� ��%�� ��� �� %/ �"���� �� � %/ ���� ����������� � �"� ��� �� ���� �-����� � � )������ ��*�

����� �������� ������� �� ������ ��������

�, N� ���� �"� 0�� ������ ���� � � � �� %���� � � ������ ��#� � � � � <� � �� 0�� ��%����� �� �! �"��� �� ��� ���� � ����� �������� � / ��%���� �/�� )� ; �*� ("� ���� ��� � �� �"��� �"��� ��������� �����/ �"� ������/���� B ���� V ���)� ; �*� :��� �"� ����� ������� ��%������ �� 0������� � �� �"�������� 0�� ������ )�� ���� ��� &���*�

(, >�� ��� ��� .��� ! 4� 4���� � B �� � �� ��� B �� ��� �"� ���

�� ����� �� �� � ���� %/ � � �� >�� ��%����� � � �! 4� ��� � �� B������1 ��� �"� �"� ��%���&��� �� �"� ����� �� �� �� �����/ � � �%�� �� �/ "��� �"� � � �� � ������� < �"� ��� ���� ��� �� �"� ��%������ � ! 4� ��� � �"� ������0� �� � $ � � �"� � �������� �� �� ��%���&����� �"� ����� �� �� �! ���� ��)�* B �������

�, . ����� �� ���C����� �� � � � �� �� �

�� � ��" �"� :Æ; B � !

�"� ��� ���/ �� � � ) ��� �"� ; ���� %� � C�����*� < ��� ���

.��� ! �"� ���� �� ����� �� �"� ���C���� � � � �� �� � � �"� ��%��

��� �� ���� �(�.�'���� .�'���; �"�� �� ��%��� �� � 4"�" � �� �����/ � � ��� � �� �" �-��%��� ("� � ������� �� �� ��� �� ���� ���/� �C�� ���� � �"� ����/ �� �������

�, ���� �"� ��� ��� .��� ! 4� �� ��� �"� ���� �� �"� � C����� �� �

��� �� � )���* %/ <�� B �L��M��� >�� �" � C��/ ��� �� �-��%������� �"�� ���� 4� ��� � �� B ���������� � �� � ��� � ��%����� �� � �!

�) *��� ��� � ��� ��� �� ���'� .��'� �� �� ������ �� ������� �� ,!�:;-� *��� ��(��' ���,��- ,������ �� ��,� --�

���� ���� �� ��������� �� ���� ��' ��� ����� * ���'�� �� �� ����'� �� *<���������

Page 29: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� *!�" ���#�� �'

�%������/! ��� �" � C��/ ��� - )�� ������ �%����� %/ -*! U�� � ��! ��U�� � ����� <� �� ��/ �� ����� �"� ������/

U�� � B ����� )����*

< ���� �� � � ��! �"�� ����� � �� � ����� ���� ����/ ��� � �� �"� ������ �%��%/ -� <� �"�� �� ���� ��� ����/ -! �"� � �� �������/ � � ! �� � � U�� ��

�, �������� ���������� �� �"� �����" ��� �� ���� 0�� ������ � �����"� ������ 4��� ���%���"�� � �"� ��� ������ ��� ��� ��� ��� ���� ��� N� 4�����������/ ��� �"� �����4� � � �; 4"� �"� ������ ��� �� � ���! �"��� �� � ���� ������ 4��" �� ��� �/�����/! 4"�" �� ��� � �� ��� N� �� ���"� ���� ����('�

("��� �/ ����� ������ ����� �/�����/ ����� ("�/ �� ����� �! ������ ����/! �"� � �� �� �� ���� ������ �" �� ���� �� ���� � � �� ������("��� ������� �� ����� ���� ������� ��� �����" ��� � �� � � ��� ������� ������)���� ���)��*! �/��������"� ��� ������* �� �� � ���� 0�� ������)���� ���)�** -�� ��� ��1���0� �� �')�� �� Q � ������� �� Q� ���� N� 4��� � �� ��� �"�� ������� ������ ������

�, ���� ����� �! 4� ���� �"� -���� ��� � �� �� �-������� ���� � ����� ��� ���� ���� � �� �������%�� �� �"� � �/ ��%���� ��%���&�� %/�"� ������� ���� �� �� ������ � ����� < �"�� %�� �"� � �/ ����� 4� �"��� ����� �� �"� ������ ���� �! �"� ��� ���� � � �"� ���� � ���� .� <��� � �� )����! �� �� �� �������� �� ��* �"� �������%����/ ���� �� ��������������%����/ ���� ��! %�� �"� � ����� �� �� �����

I�� � �"� ����� �)��* ��� �"� �� � �� �� �� �������� � �"� ����� ��� �� �����"� ���� �! �"� ����� ���� �� $"�� %� ����� � �"� ����

���� � �� �� �� $�� ��������� )��������*��+ �� �)��* �� ��� ����� )�� ��)��*+�� �� ��������&�� �,�������������� �� ���������� �� �� ����-��� �� �(

����� 0�� � � � � �)�* %� �"� �������%�� � ������� ���� ! � ��� �� ���������� ������ � 4��" �� �)�*A�� 0�� ) � �� <� �� ��/ �� �����/ �"� )�! �V�! � �� ��� ������ 4��" �� �)�*A�� 5� � �"� ����� � �� �"� ������� ���� "� �������� �� �-���%��� 0�� � � U���� ("� ��)�*� B �)�*�� B �!�� �)�*� � U���� ("� �������%����/ �� �"� ������� ���� ������� ���"�� � B � ��

�2 �<��(�� �� � ��( *��� ����� ��� � ���� �'�� �� ��

Page 30: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�+ ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

U��� B � )���� � �� � �����%��*� 5� � �"� ���%� ������ %/ �"� ����� � �� �������� �� �� �

<� � B �! �"� ����� � �� �)��� � � �"� ����� �� ���� � �� �"� �4���������� �� �� . ����� ��� �� ���� ��� , ���� � ��� %� � ������� � ����� ��� �� ���� ��� �, ���� �! �� �� ���� ��� #, ���� �! � � ������/�

("� ����� ������� ���� � 4� 4��� � ����� �� ����&�� %/ ��� ������� 0�� %��"� ���� ��� �� ��" ������� ���� 1 4� ����� �"� �� �� �������%�� ���� �� <� �� ���! �"� ������� ���� �� ��� �������%�� ���� � � �� <� �"� ��� �������%��������� ���� �� �����%�� ���� �! 4"� � � ��� #! ��� ����� � �� �)�V 6<�4��" <� B ��1 4"� � � ��� #! �"� ����� � �� ���"�� �)�V

����� 6�<�� 4��"

<�� B �� � <�<� B �<� B �<�<�! 4��" -� %� � ����� ��������� �� �!�!� �� ��%���� �� �� �������"� �� ��

N� �"�� ��� ����/ ������� ���� � %/ � ����� ��������� <������%����/ ���� �"��� � �� � ���� �"� ���� . �� ������� �! %�� ������� � �� ��" ������� ���� ����� . ���� �� ����/ ������� � ���� ���

����� ��� ���!��� �� ����� ������������� �� ��� �� ����� ��

������

N� �4 ���� ���� %�� ������� �"� 4� 4��� ��� ����! ���� � �� � �'! ��� ����� ��� ���� ��� � �� �� ������� ���� � �� ���)��*� $��� �� �"�� �� �� ���� ��%� ������� ��� �� ���� �� ��� �������! �� 4� ���� �"� ����� � �������

0�� � %� �� �%�� )�� � ���* �����1 �� �� �� ���/ � �"� ��� � ��� ���� ��� ������ ��� � � N� �� ��� %/ � �"� ��%��� �� ������ ���� ���� %/ �� N� 4����

� � B ���� 1 ��� �"� � � � � � ������� � � � � � � )����*

N� �� ��� %/ #� �"� � ����� �� ������ �� � 4"�" "�� � � ��%���&��; #� ���"� � �������� �� � � 4��" �"� ������ ������� �� � �� �"� � C��/ ��� L�M��

���������� � .� � -���� ����������� ������ �������������� �� � ������&�� �� -���������" � �� � ���&���*�� �� ��� ���� �� #� �� ����� �� � � (

����� ������ *��� ����� � ���(��

Page 31: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� *!�" ���#�� �,

����� <� � �� �� ��%���&��! �"� #� �� ����/� N� ����� �"� � ����������� ?������ #� % � � � 0�� ���� %� �"� ��� �� ��%���&��� ������/ ������ �" �� �"����� ��� � �� "� �� %� ����� ����� ��%��� �� � � �� � �� � �� � � ��� ��� #� � $� #� �� �"� ������� � � � � �� &�� �� ! �� �%�� )�� � ���* ��� �� �������%����� ("�� #� �� �� �� � � � � :��� �"� �� �� ��� ��� 4"� �"� ��� ���� ��� ���! 4"�" �� �"� �� ��� � ��� ������� �

.� 4� "�� ����/ ��� ��� ���! ��"���" �"� ��%�� �� � C��/ ����� �� ����� � ��� ������ �� � � ���! 4� 4��� %� �����/ � �� �� 4��" ����� ��� � 4��" � ��� ��%�� �� ����� >�� �� �%�� ����� �! �" � C��/ ��� �� ��%�������� � ���� �� �%��! �� 4"� �"� ������ ��� �� � ���! �"� ��� �� ��%���&��� ���� �%�� )� � ��� � �� �� �� �%�� ���*�

>�� �"� ��� ���������� 4� ��� � �/ �"� "/���"���� �� �� �%�� ��� �� ��%���&����

���������� � .� � ������ �������������� �� � ����� ��� �� ���� � ������&�� ��� ��

���&�������" ���� ��� ������������ �� �%� ���&���*��� �� � ���&���*��(

����� 0�� � %� �"� ��%���&�� �� �=�! - B �� �� ���� 2� ����� �"� ����� �� �� �"� �����"��� � Y B ��=�� ��� �� %/ �=�� �=�!

�=� B )�=� V )�� )*�=�� )����*

("� ��%���&�� �� / ��� � �� �"� �� � �� ������ �" �� ���� �� �"� � �������� ���"� ��%���&��� �� �4� �%����/ ��� ��;

� � � � �� � � � � �� � � � � �� )����*

( � � �"� � �������� 4��" � � �� �"� ������ � �" � �������� !

� � � � � � �� � � � � � � �� ������ )����*

� �������/ ��� / ��"�� ��%���&�� �� ! 4� �%�� �"� ������/ �� �"� � �������� �� / ��� �� ��%���&��� �� ��� �� �� Y;

� � � B � � � B ' ' ' B � � �� � )���#*

$� �"� ��%���&��� ������/ ������ �" �"�� ���� � �������� �� / ��� �� �"������ ��� %� ��S��� �� ��� �"� ��� �� ��S��� � ��%���&��� �� � ���� �� �%�� 4"����"� ��� �� � "� �"� ��� ��� ���/ � �"� ��� �� ��� �� �� Y! ���� �"� ��4�� �� �"�� �� ���� 5� � �"� ���� � �������� � � �� �� �"� ��%���&��� �� / ��� ��

Page 32: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

��� �� �� Y �� �"� ��%���&�� �� �� ��� �� �� �� �� ��%��� �� Y )� �"� ������� ��� ��� �"� �� � ���� �� �%��*� �

<� �� ��/ �� ���� � �"�� ������ �� / ��� �� ������ �� � � ,-���� ��� � ��%����� � ;

��������� � .� � ������ �������������� �� � ������&�� �� -���� ����� � �� ��� �����

� )%��� �� ���� � ������&�� ��� �� ���&�������+ ��� ������������ B �� � �� ���

���&���*��� � �� � ��� �� ������� �=� ���������� ��� ��&����� �� �� � ���&���*��" ���

��� ������������ �� � #� � �� ��� ������������� ������� #� � %��� �� �� ����� �� ����

��&�����(

2��%� � � �"� 2������/ 4��" @��������� � 4� �%�� ;

��������� � .� � ������ �������������� �� � ������&�� �� -���� ����� � �� ��� �����

� " �� � ��� � ��� ���&���*���" ��� ��&������ � � ��� � � ���� ��� ��&����� � � �

�� -/�� ������ �� ��� ���&���*�� � � �(

���� �� � �"� ����� �� 2������/ � � �"� ������� �� �"� 4"��� ��� � ! 4� �%�� �"������� � �� � ���� �� ��� ������ 4"�" �� ��� � �� �� � 4"��� ��%���&�� �� � ����! �� � �� �� �"� � �������� �� �"� ��%���&��� �� �� ������ �� �"� ���� � �/ ��� ���� �"�� �� �"� �� �� �� �"� ������� ���� � 5� �! 4"� �"� ��� ����%������� �� � ���� �� �%��! 4� "��

2 ����� � .� � ������ �������������� �� � ������&�� �� -���� ����� � �� ��� �����

� " ����� �/���� � ���'�� ������� �������" ���� ��� ����� �� � (

("� � ���� �� ��� ������ "� � ���� ��%���&��! �"� �� �� �� �"� ������� ���� �

N� � ���� �"�� ����� 4��" �"����� �"� 4� �"�� ��� ��� �/������ ����/�� ����� <�� ����� �� �%������

2 ����� � ����� �� ������ �� � �� � " ��� ��� ��������� �� ��&������ � � � � �%���� � �� � ���&���*��" ���� �� $ ��� ����

(

("�� �� ����� � ����� � �� �"� �� �"� � � � ������� �� $ �� � :�����"� 4"� � �� � ��� � ��%����� �� �! ("����� � ������ �� �� $�� �

Page 33: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� !��� ����#��� ��

��� ���� �������

����� ����� �������

��$����% 3��� �������' . ��� ����� �� ��%����� �� ��� ����� ��� ��4"�" �� �������"� �� ��� � ����������/ ������

. / %��� ��$��! � - ! �� �� �� �����! %/ ����� ������ � ��%����� ! ����� � � ��� 2� ������/! / %��� ��� �"� ����� �� ��� %��� ��� ��� )("�������4� ���� �"� �� �"� ���� %��� ����� �� � "� �� ��� ���� �� �� ������� $�" ��� �� %��� �� ���1 ��� ���/� � ��� 4��" ����� �����������%����� �� ��! �� �� ����� ��

N��" ������ �� / %��� ��$�� ��� �! �"� ����� ������ "�� � ����� ����� ���;

��> � �� �> B��

��$� � � � ��� )���'*

0�� ��$��� %� ��"�� %��� ��� �� N� �� ��� %/ ��� �"� ����� ��� �� �"� ����� �$��� �"� %��� ��$��;

�$�� B��

����$� � ��� � ��� )���+*

("� � ������ ��� �� �"� ����� �� �� � ������� � ����� ����� � � $������/ �"�

���� � �� �� �"� ������ ��$�� � �"� %��� ��$��� ���� �"� ����� ��� 4"�" �� ���� ������ ("��� � ���)��*! �"� ����� �� � ����� ������1 �"��� ������� ��� (��

2� ������/! �" ����� � � � ���)��* ��� �� " �� �� %��� � �� ("� ��%��������)��* � ���)�* �� �������"���� �� �� �� �"� �����&�� �� � )���� �� �� ������� � �� ������* � ��� �"� ��� �� ���)�* B .���� � ��� ("��

���������� 0�� ��� ���� ������� �" 1�� � � ���)��*(

("� ������� � �� �"� ������ �� %��� �� �"� ���� ��� ������ �� �"� ������������%���� � ��� ������ )���+* ������� �����$��� B ���� �����$��! ���� �"� ������� ���� �� %��� �� � "�� ��� %������ ����� ("�� � ��� � �� ���� �� .��'������� �� �����1 4� �� ��� �� %/ G����H���

����� ������� �(� 4�9�"=5� ��� �� ����� �� � �� ���� �� �� ���������

Page 34: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

����� "�� ����� �� ������� � �

. ������� ��� �� ���)��* �������� �"� "��� �� ����� %���� .� ���� %���!���� �4� %��� �� �! �"��� �� � ���� ����� � � ���)��* �� ������ � � � � ���"� ��"��! � ����/ � � ���)��* �S��� " �� �� %���� ("�� �"� ��%������ ���"� %��� ��$�� �� ������;

���������� " $�� ��� �� &���� �� � ������� � �� � ��������� ��&�� �� ���)��*(

0�� �� ����/ �"� ��%��� �� ���)��* � �� >��� �"� �������� ������ � 4� 4����!��� �> � �!

�> B��

��$� B��

���$�� B���

������$� 1 )���,*

���� �"�� �� �����4� �"���

����� B � � �� B��

�)���*�� B

��

)���*����� )����*

("�� �� � �"� �"� ��� � �� ���)��* � %��� � � ����� ��� �� � �����-

��� �� N� 4��� ��������� ����� )���*� � )��*�� %/ �"� ������� ����� ��)��� �����*

2 ����� � .��� ���� �2�������� �� ��� ���*��� ������� �� �( ���� ��&�� ��� &�

��&���� &� � �������� ������� ,)�>*" ��� �������� ������ ������� �� ��� ����������� ��

���� ������ �� ��� ��&��( 1�� ��&��� ��� �� ��� ���� ����" ���)��* ; .S����)��*(

����� <� �� ��/ �� ��� �"� / ����� �> � � %� �� �������! %/ ����� ��)�>* � ���)��*! � �� �������� �� �?� B )�� �� �� � � � � �*! �"� ���������� %�� � �"�������� ���� ������� �� �"� ����� ��� �� �>�

("� ������ )�� �� �� � � � � �� �*! � � � ��! ���� �� ��� �� ���� � � ��� �"�

��� �� ���)��*1 ��� � "B � �"�/ "�� �"� ��� ��%���&��! .S����)��*! 4"�" %� ������� � � �� ������ �� �"� �� �� ���)�* �� � � �� )��� ����!������ +*� ("� � �������� �� �� ���)��* ��%������ �� / �� �"��� � C��/����� �� �1 �"� ��� �� ���)��* �� �S������ �

0���� ������ 4��" ,)�>* B � �� ��� �� %� �� �1�� <� �� ��/ �� ����� �"� �"������� �� / ����� %��� ���� %� ����%�� �������

Page 35: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� !��� ����#��� ��

����� "�� ��������� ����� �� �

("� %��� ������ � ����� ���� "� �"� �������/ �� #�� )�"� ��������� ������ �� �-���� ��� � ��"����*! ���� �� -���� ��� � ������ .� �����! �� �� �������"��� @�

� ! �"� ����� ������ �� ����� �� @���� ("�� %� 4����� �;

���� � ������ ! @�� �� ��� �� �� � @�

� � �� )����*

("� ����� �� �� �"�� ������ � ����� �� ��� ����� 4��" �"� ����� �� V �� �� � ���. ����� ; �� �"� ���C���� : � )����* �� ��� �� %/ "��� �� ������� ���������� � ��� �" ����� >�� ������ � � �����/ ��� � � ���� )%�� ������� ��/* ���"� "��� �� �� ��� �� ���� � >�� � �� �! ���� %��� ��$��! � � "����� �� ��� �� ���� ;

)! B ��� B��

3��$�� ���� 3� � ����� )����*

("� ��������� ������ )! �� )! �� �%�� �� %/ ����� � � %/ � )����*� )! �� �"��� ����! %/ �"� ����� �& B �)�� � � � � � ��*! �� ������������ �"� � �/��������"/�� ���� )��'���� (��� ����� N"� ��� �������� ��� �� ��� �����! )! %�������� ��� �� �"� ����� ����� :��� �"�

������ �� )! B ����� )����*

4"�" �� � ���� �� � �� �"� "��� �� %����

����� �� �������� �� �#�� �������� �� �

����/ ��%����� �� ���� %��� ����� ��� �� �������"� �� ���� %��� �������� 4��" � � N� �� �� �/ � �������� � �4� � �� �� ��%������ �� ����� ��N"� � B ! �"� ��%����� �� ���� (1�����1 �"��� ��%������ �� �� � ��� � ����� �"� ������� �� � ������ � �� � ��� )%��� * �����;

�� ��%����� �� �* ���� B �� � ��� %��� �����1 �� � B ������ ����� )����*

("� � �������� � � �� �� � 4��" �%����/ ��%��� �� % �� �� � �������%��� �� ���� ��� �� �� < �� ���! �� � �1 �"� �� ��� �� �� �� B �� <� �������� �� ���� �� �� �"� ��%���� �� ��" �"� �� B ��

��) ���� �� �� �� ������ (��' �� �������� �� � �� � �� (��' �� �������� ���

���� '������ ���� ��� ��� ������ '����� �� ��� ������ ��� �������� �� ��� ������ '������

Page 36: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

��$����% �.���� �� � �������� ("� ����� ��%��� �� � �� �� ���� �-�� ��� �"� ����� � �� � � �� �� �-���� ��� � ������

��$����% �.��(�������� . �-��%����� �������"� �� ���! � � ! �� ���� �-��%����� �� �� �� �"� � �������� �� � %/ ����� �-�� ��

N� ����/ �4 ���� ������� �� ��%������ �� ��

�, B�� .�� � ������ ��%������ �� � �� ��%������ �� �"� ���� ��! � � �!���� �"� ����� �� �� �� �� ���>� ��> � ��� ("� ������ � �� B ������ �� �"�/�� ����� �� ����� ��

(, $�%������ �� �� � ��� �! ���� ���� B ���� < � B ������ 6�

�$�� 6� � ����� ����� %/ �"� %��� ��$��! 4� %���� �� � � ��S��� � ��%������ �� � ��� ��0�� �� �� ��� �"� ��� ��� �� �� � � � � � �� � %/ + � >�� / � ����/ ��%���, $ + 4� ��� �;

� B �� B ������

6��$�����

6� � ����� )����*

(� ����� �"� ���� B ���! "���� �* � � 4"��� ����� ��� �����/�

�� 6� B ��

>�� / �> � � ���"�� �> � �� �� �*V �> � ��! ���� 4� "�� �"� ���� ����������� � B �� & )�*V ��*�2� ������/! ��� �� %� � ��� � ��%����� �� �� $� � �"� ����%�� �������� ���� �! �"�/ �� �� %� � ��1 �� �"��� ������ ����%�� ����� �* ��"�"�; �* � �! �* �� ��� ("� ��* �� ����%�� ����� �� ��� ("��� �� �-%��� ��$��4��" �$� B �*1 � �"��� %��� �� B �����! ���� , B ����

�, $�%������ ��! � � � � ��� >�� / �-%���! �"� ����� �� � �� � �������� ��>! �> � �� ���� "� �� ����� ��� <�� �������"��� ����� �� ��

���)������*� N"� � B A! ����� ��%��! ��A� "� �"� �������� �� -���� ��� � ����� ��� ���� �"� ���� �"� ("� �� A B � 4��� %� ���������� ����� � �"�� %�� �

�, ("� �� �#� �����

N� ���"��&� �"� �"�� �� �� � ���� �� � �� "��� �� �-%���� N"�

��2�����(� �� ��( ������ ��� ������� �� > *�� � �� ��� '��� �� ������ ������� ������� �� � � ���,��- �� ����( ��� ����� ������ �� �� ��� � (��' ���� ��� ����������� ��� ������? ���� �� �� � �! ��� ��

Page 37: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� !��� ����#��� ��

%��� �� "��� ! �"��� �� ���� � "��� �� ����� � N� ���� ��� �� �����"� --����� �������� 4"�" ������ � / ���.� ���� �4� ��%���� /! �! �"������ �4 �� ��� �� %/

/ - � B /& �0)/� �* B � - /� )���#*

4"��� 102 �� �"� ������� � �� 2 � 1 )�"�� "� �� � � � �/ 4"� 2 % 1 *�("�� ����� �4 �������;

�/ %.� 3 - / B /� / - / B 3� )���'*

("� --����� � + )��� �� � (,* �� �������"� �� ���� ! �� 4� ��� ���/ ��

4��" <� 0 �� ��� %��� ��$�� �� � 4� ��� � �"� �����4� � ����� �� 0 ;

, $ + � ;),* B $ B���

�$�� )���+*

N� ���� �� �"� ����� �"� ��/ �������� �"� ; �� � ���� ����� �� 0 �

���� ��%����� �� � � �� � ��� �! 4� �4 ���� (, �"� �"��� �� �-%��� � 4"�"�� B ����� � ���� �, ! �� � ��� $� � )����*�)�����* B ����! ����� � 0)��* �� ��%����� �� ���� �� � ��� �� ("� ��%�� �� � ��� � ��%������ �� �"� ����� ����� �� ("� ���-���� %/ 0 �� ��%����� �����

� � ���� �� � ��� � ��%����� �� ��

("��

���������� - $�� ���&�� �� ����/ ��&�������� �� ��� ,����������� ������� ��

�� � �(

("� ����� �� �� (, � �, %� ���� ��� �� / ��"�� ����� A )����� �"�4"� A � � �"��� �� � ���� � "��� �� ����� *� N� �%�� ;

��������� � $�� ���&�� �� ��&�������� �� ����� ����/ A �� ��� ,����������� �������

�� A� � �(

. ���� ������"� ��� ����/� � �"� ��%������ �� � �! ��� / ��� �� ��%������!�"��� � �������� � �"� ��%����� �"�/ �� ����! �� ���� � � �!����

Page 38: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�# ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

����$ "�� ������� �� �� ��� �������� �� ��

< ����! ������ �! 4� �4 �"� �"� ��� �� �� %��� �� �� �� ��� ��� ��%�� �����)�*� ("�� �� � �"� �� "� �"� ��� � ����� �������� � ���)�*� < �������!

���)��* B ���)���)�** B �� )���,*

. ������� ������� �� � %��4�� �"� ����� �� �� �� � �"��� �� ���)�* ���������"� "��� �� %��� ��� ��� .� ��%����� �� ���)�*! �"� ����� ���)��* �� � �� � 4� "�� ����/ �"�4 �"� �" ���)��* ��%�� �� �"� ��� �� %��� �� �����!�� �"� ��%�� ��� �� �"� ��� �� �� �� ������ �� ��� �/ )����*!

�� B ������)��* B ���)�* ; ���)��* � )����*

("� ���"� " � ���%�� �� �"�� ������ ��� %� ���%���"�� ������/ %/ ��� �!4"� ������� �� %��4�� �"� � ������ �� � ���)�* "� %�� ���%���"��!�"� �"� ��%��� �� ���)��* �� �"� ���� ����� �� ���)�*� $� � ���)��* �� ������������ ��%����� �� ���)�*! �� �� ��� �-���� ��� � � ������ $� � �"� � -����� �� �� -���� ��� � ������ �� ���)�* "����� ��� ���! �"� ��� �������� ��� ��� ���� �"� �������� ��� � �� ���4�� ("� ������������ ����� �� ����-���� ��� ��%��� ��� �� � ��! �� ������ � �"� ����� � 4��" %��� ��$�� � �� �"�

����� )�! ) � ��� 4��" %��� )��$��! �� �� �� ��� ��� �%�� %� ��� � �"� ��������1 4� �� ��� ��� %�� � ��� �"� )� � �*-���� ��� � � ����� �� )����� ��* ��������� �� �� ������ � ("� �%�� %� ��� �� �"� ��������� ������;

�� B ��� ���� )����*

?��� 4� �� � �������� � �/ � �"� � ����� ��� �� ������ �� �� ������ ! � �����"� ��� � �� ���4 4� ��� �� ����� ����" �� � �"� ��S��� � ��� ������! �� 4��� �� � ������ � �"�� ��"�� ��������� ("� 4� 4��� �� � �"� ��� ����� %/� ������ � ������ N� � � �"�� ����� %/ ��� � � �"� Æ � �������

����% &� �������� �� ����� �'�����'

< ���� ������ ' 4� � ������� Æ � ���� � ����� � ��� 4�� � � � �"��1� ����! ������ +! 4� ������� �"� ��� �� .S� B .���� � �"�� Æ � ����5��� 4� � �/ ����� �"� �"� -���� ��� � Æ � ��� �� �� ��� ��� ��%�� ��

�� � �� �� ���� * ��� ������(���� ��� �� ��� ��������@ ��*� ���� ������ �������� ����� �� �������(�

Page 39: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� !��� ����#��� �'

�"� ����� �� ������ %/ �"� ����� �� �� �"� ����� ��� ��! � �"� �� ���� %/�& � �� �� ��� � � � �� �� �V �&�

��$����% �Æ� �������� . Æ � ����� �" �� �"� ��%�� � V A �� �"� ��� �A � �� ��� �"� ��� �� �"� ����� )B��%�����* � � ���

("�� ��� / ��� �� ��� �� B�� B� � �"!� B�B� � �� < ��"�� 4���� � �� ����� ��

�������"���� �� �"� Æ � ������ ("� �������"��� ����� .��� B ���)��* ����� �"� ����� �� �������"���� �� �"1 �� �"� �������"��� ����� �� / Æ ������ �� �� �� �������"� �� .S�)��* B ��������)��*� < ���� �� �� �� Æ ������� �� �� �� �� �1 � ���� �"�/ ���� ��%��;

.S� ; .S�)��* ! #�� ���)�* ; ���)��* B #�� �� )��#�*

.�� � �"� �������"���� �� �"! 4� 4 � �� ����/ �"� ����/ �� � ������� � �� �"����� ��>���� 4��" �> � �� I�� � )��+* 4��" � � ��! B� B V �>� � �";

�� B ��>� V �>������� B �� �V �>� V �>� B ��V B� V B�� )��#�*

$� �"� ������ � �� ��� �� ��)�V��* B ��)B�V B�*! �"� ������ � �� B�B�� < ��"�� 4����!

��>� V �>����� B C�$��$��%� )��#�*

4"��� C� �� �"� �/�����/ �"����" �"� ��� � * � ��� ("�� �"�4� �"� �"� ������ ��� �"� ����� � C�� � � �4� ��� �� �� Æ � ����� �" �� �/�����/ � ��� �� �"�.� ����� ��! �"� ��� �� �� �� �� �"�������� �/�����/ � �����

< ����! 4� �� ���� %/ ) �� ��� �� ���� �� �� >�� / B � V �! 4� ��� ��"� ���� � ����� � �"�� ��� � %/

)$ B �>V )� B � B V )�� )��#�*

("� �� B &&���)$! � 4� �/ �"� �"� ����� �� �"� �� ��� �� ���� ��� �"�

Æ � ��� �� %/ �� ����� �� ("� �� ��� ���� ��� �"� ) $A�� ("� ��� � �� ��-��-��; 4"� �"� � �������� �� �4� ���� �� �� ����/! �� �� ,-��! � , � ��$������/! �� �� �� �-�� � �� �!

� B V �� �� Æ � �-�� � �� �"� ����� � ���

� �������� 4��" �"� Æ � ����� �� %/ ��� ���� Æ � �-��%������

N� � � �"�� ��%����� 4��"

���������� � $�� �������� �� � ������/ ��-�� �� ��� �������(

Page 40: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�+ ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

< ����! � ��! �%�� �"��� ������� B�! � - � ("� �� ���/ � ���� �� � ������� B�B�! � - �� ���� ��� ����� � � B� V � �� Æ � ������ <� �� ��/ �������/ �"� ��S��� � �%���� �� �� �"� ������� /���� �"� ��� ������

N� ���� �"� �"� ������ �� ������� #� �� ������� B�! � - ! ��;

� - � ���)#�* B )X*�� ���)� B�B�*� )��##*

���������� 4 $�� ������ �� ��� ��� ������� �" ��-��� &� ��� �������� B�" � - �� � ������/ ��3

���)�"* B X ���)#�*� )��#'*

��� ��������� ������� ��� � ����� ��������� ���

����� �������� �������� �� ������ �������

2� ����� ��� ���"��� � ��� �� �%�� �� %/ � ��4� � �� 4��" �������� ��� ������ ������ )��� ��* B )��� ��* )��� ����! ������ #*� ("��� 4� ��� �� �"� ��� ���� � �� %/ �)��*B)��� ��*� N"� �)��* � �)��* 4� �/ �"� �� �� �"����� �" ��� ���� �� �� ������� #! � � ��� �� ��� �C�� � ������� #� %/;

���� �� � ��� )#���� ��* B )��� #��*� )��#+*

�/ ��� ���� �"� ���"��� � ����� �� '� B .����1 �� �� �"� ��%����� �� ���)�*4"��� ����� �� # �����/;

���� �� � ��� )#��� #��* B )��� ��*� #�# B �� )��#,*

N� �� ��� %/ ��?�� ���"� ���� %��� �� ��! 4"�" ������� )�?�� �?�* B �� � . /

��"�� %��� ��$�� �� �� �� ��� �� %/ �"� ������ 4"��� ���� � �� �"� ���� � ���� �"� %��� ������;

Z$�� B )�$�� �?�*� )��#�*

�/ ���"��� � �� �������� # � '� �"� %��� � �� �� ������� � ��

�'� �#� B �#��� )��#�*

Page 41: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� �"��#$��� ����#��� ��$ ��#�#�� 2"�$!��#� 3�!&� �,

.� � ��� ����/ � ���� �� �"� ������ � ��! / %��� �� �� ��� �� ����� � � / ��"�� %��� �� �"�� ����� �� �� �"� ���� �

�B �� 4��" � � ���)��*� $� �"�

��� �� ������ � �� �� �� �"� � ����� �� B ���)�* ; ���)��*� �" ���������� %��� �� ���� 4"��� ���� �� )�>� �> �*! �>� �> � � ��

(4� ������ � �� �� �������"� �� � � %� �� ������� � �� �"� ��"�� %/ ���"��� � �� �������� 1 � ��"�� 4����! ����� � �������"� ������ ������� ��� ��S��� � G������� �H�� �� �"� ��� G� ��� ��H ������ ("� �� ��%C�� �� �"���� ����" �� �"� ����/ �� �"� �������"��� ����� �� ������! ����! �"� � ��� ��������� N� �"�� �����/ �� �"�� ����� 4"� � � ����� �� �����%���

N� 4��� ��� �� � ����� �"� ��� �� �"������ ) � &���* ������ �� ������ N� �� ����"�� ��� %/ � � �"� ��� �� ��� ������ %/ 8)�* �� ,�)�*;

8)�* ;B �� � �&(��

�)�&*� � ;B ��& � �� �)�&* B 8)�*�� )��'�*

N� ��� �"� ����/ ����� ����� 4��" ��� � #8)�* �� ����%���

. -%�� �� / ���� � �"� ������ ��� �� 4"��� %�� ��/ �� ) � �*-��"���� >�� -%��� �� ��� �������! 4� ��� � �"� ���� � ��%�� �� �� %� �"������� ��%�� �� -%��� 4"�" ���" ���� � � 4��"��� � ����� ������ �?%������/ �#� ��� ("� ������/ �� ��"�� � ���� ��� � �� �� �� �# %/ / �-���� ��� � �����! �"� "���� � �����! �"� ������ �� � [�� )��� ��#* 4��" �"� ��%��� �� +� �#�� ��+'+�! ����������/� >�� ������ �� �"��� ���! ��� ����������

N� ���� �"� ������ ��� �� �� ��� ��� ��%�� �� �"� �� ����� �������� �� %/ ���"��� � ��� ���

��$����% �������� �������� . ������ ����� �� �"� ��%�� �� B �V �� ��� � � �� ��� �"� ����� � � ��1 ���� �� �� �"� ��� �� ��� �� �� B � V �>� �> ��� $ ���

$� ������ ����� V� �� ��� �� %/ ��� � � �� � ����� � �� ��� ("�������"��� ����� �� ������ ������ � �� �� � %�C����� ������� �� � 4��"�"��� �� �"� ������ �� ��� < ����! � �"� ����� ��� �"�/ �� �"� ��S��� � ������� �!� ��� ���"��� � �� �������� �! �� �"� ��� � ��� �� �����1 � �� �"� ��S��� �������� � �� �%�� �� %/ ������ �� �������� � )�� ����� %/ ���"��� � �� �-������� � � �� ����� �*� ("� 4��� ����(�� �� ���� ���� ��� ��"������%C��� 4"�" �� �� ������� � �� �" ��"�� %/ ������ �� �������� � I�-

���� *�� '������� ��� � �� .���� �����( ���� �� ������� ��� 8������������� �.� *�� *���� ��� A��B� '��� �� �� C'� ���0��� *�� ���'��� D �6���

Page 42: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

� � )��'�* 4� ���� �"� �"� �� ��� ���� � %��4�� / ��� �� ��� �� �� �"������� ����� V � �� ,)�* B

�8)�*�

����/ ������ ����� ��� �� )�� )�4���! ������� �� %��� �� ����� = B��

�8)�* � ����� � �" ����� ��� �! ��" �"� / �4� %��� �� � ���� %/

"� �� � ���� �/ ��� ���� )�� =*! �"� %��� �� �� ������ )��" ���/; �"�� ������� �� / ��� �� %��� "�� ����/ � �������� *� $� � �"��� �� � � ��"������ �� ��� �� ���� �� �"� �����! �"� �� ���/ �)�* �� �"�� -���� ��� � �������"��� � � � �� �"� ���� �� G������ �� %��H\����1 ��������/

�)�* B ���)!�)�**�%�D� � �� )��'�*

4"���

!�)�* B 8)�*)����*��%�� D� B:�%�

])� V �� *

� D� �� �"� ������ �� �"� � �� %�� � ���� ��� � ("� �� ��� !�)�* 4� ��� ��%/ 5������ �"#$ ��� :��� �"� �"� �� ���/ �� ��"��� � � � �� ��� � ���� �� �!���� �� �� �"� ��� ��� �� ������ )�! � � ) � ��

���������� � .� � ������� � ��� ��� �� ������� ��>��)�>* �� �� ���� ��� ������

���� � �������� � � �" �� -����(

< ���� �"� ��%�� �� ��" ������ �� ������ �" )#��8)�**�%�! �"� ���� �� �"������� �� �"� %�� �� �����

4� � �"� �� ����� = B �

�8)�* )����� �� �"� %���

�� �"� ����� ��"��� � � �*�

. � ������� � ������� �� �� ������ �� �"�;

��$����% ���&��� �������� < ����� ������ �� ��� �� %/

��>� �> � � �� )�>� �> �* � ��� )��'�*

� �"� ��� �� � ������ )�>� �> �* �� ������! ���� �"�/ "�� � ���� ������� � ��

��$����% �+� ���&��� �������� . � ����� ����� �� ��� �� %� ��� �� �"� ��� �� ����/ ����� �� ��� �

. ���� � � ����� ��� � ����� ����� �� %� ��� �� �"� �"� ���� �� ��� %��������� �� ��� ! �� � 6� � ��! �)

�� 6�

�$�* B�

� 6���)�$�* V �

��)� 6�6�)

�$���$�*�

?� ����� 4� �/ ��� � ����� ��������� )�! )� � �� �� � ����� ����� �1 �"�/�����/ )��'�*! %�� �� �"� ��� ���� �� � ����� �������

Page 43: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� �"��#$��� ����#��� ��$ ��#�#�� 2"�$!��#� 3�!&� ��

����� (������ ������') � ������ �� ���� ��������

("� ��� ������ ���4� � ��� �� �����/ �� � �������

��$����% ���� �������� ("� ��� ����� �� �� �"� ����� � �� ��� �� %/

�� B ��� � ��� ��> � �� )��� �>* � ���� )��'�*

<� �����4� ���� �"� ��� ���� �"� ��� B �� <� ��$�� �� %��� �� �! �"� ��� %���

�� ��� �� %/ )�$�� ��$�* B �� 4"�" %� 4����� 4��" �"� ����� �� )��#�*; �� B)���*�� �� �� %��� �� �� �

�� B )���*� * ���)�* ���)��* B �� )��'#*

<� � �� ��%����� �� ��! 4� "�� �"� � ����� � �"� ����� �������"���;

� � �� � ��� � ��1 ���� ! ������� )��''*

>��� )��'�*! ����� �� ������� �� � � �/ �� � � ��� ("� �����4� � ������ ;

� � �� � ������ � � �� ��� � ��� )��'+*

4��� %� ���/ ������� @������ ������� �� � ����� ������ �� �"� ��5.(�� � ��;

��$����% ���� ���� �������' . ����� � �� ��� �� %� ����-��� �� � B ���

.� � ����� � �� )��'#*! �� � �� ����-��� �"� ���)�* B ��

�������� �� ��������; N� ���� "��� ���� ������� �� ������ 4��" �"��� ���������� � ����� �1 �"� ����� 4��� %� ����� �� ���"�� � �"� ��� ��%����� ���� �������

�, ("� -���� ��� � ����� �� ����� %/ ���"� ���� %��� �� ���� �� ����%/ �;

)�?�� �?�* B �� � � B��

)��?�� )� � ��1 ���)�* B �� )��',*

< �/��������"/ �� �� ���� �"� �%� @ ������ <� �� ����-����

(, . ��%����� �� � ��� � �� � ��

��� B �

��

)��?����

)� � ����1 ����� B ���1 ���)��

�* B �� )��'�*

:��� �"� ��� �� ��� � ����� ������

Page 44: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

#� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

�, ("� ��� ����� �� ��� �� �����/ �� ���� %/ �*

� � N��" �"� ��� �� )��'+* 4�� �;

��� � � � �*

� ;B )���*� B � & )�E� V �*� )��'�*

4��"�E� B

��

�?� ���)�*� * B

��

N��" �"� ���� �"� �E� � ��� 4"� �� ��� � �E� �� ��

� 4"� �� ���! � �����/ ������;

�*� ��

�� B

���� 4"� �� ��� !��� 4"� �� ����

)��+�*

$� 4"� �� ��� ! �"��� ���� %� �"��� � ��������� ������ )������� �� � �� �"��"��� ��%������ �� � ��� � �� ����* %��4�� ��

� � ��� ���� (� � ����� �"�� 4���� �;

��� � �E�� B�

�)(�?� V

�������

�?�*1 �)�E�* B�

�� )�E�� � �E

�� * B

����

� )��+�*

N� "�� ��� �"� � �� � � �� �"��� � ��������� ������� ("� �4� ��"��� ��;

��� ; ��� B ��

� & )�E�� V���*1 ���)��

� * B �� )��+�*

N��" �"� ���� �"� ��> � ���! )

�>� �E�* � �� � ������ � ))��+�* � )��+�** � ��%�� �

���������� �5 0�� � � ��� #" ��� ��� ����,���� ��������( 0�� � � ��� #"

���� ��� ���� �� ���� �����3 ��� B )��� *

�(

N� �"�� �"�4 � �# �"� �"� �4� ������ ��� �� ��� ��� � � 2"���� � �"�

��� B � � ��� �� �"� ���� %�� ����� ���

����� �������� �������� �� �������� ��������� �����

>��� %��� ��$�� �� ��! 4��" �"� ��� ������ � � ���� �"� ��� ����� .;

/�� B )$�� $�*1 �� . B ��� B .�� )��+�*

I�� � �"� ��� %���! ���� )��'#* 4� �%�� ;

.)��* B .)�*��� )��+#*

Page 45: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� �"��#$��� ����#��� ��$ ��#�#�� 2"�$!��#� 3�!&� #�

N� ���"��&� �"� �"� %��� � �"� ��� ��%�� �� �"� ���"��� � ����� "�� �"� ������ �����1 � ���� �# � '�! �#�)�#�*� B �#�#�� B ���! �� . �����%���"� � ��� �� ������

("�� �/������ ����� . ��� �� ��� �������� ������ ���� /)�> * � �� �! � ������� � �! �"� ����� �� ����� %/ �"� %��� ��$��;

�)�>* B /)�>* ;B���

)�/��)� � )��+'*

4"��� �> B��

��� )��$�� 2� ������/! ���� �"� ��� ����� .! � � ��� ����� �"�

� ��� �� ������

< ����� 4� 4��� ����/ � ���� ����� �"� ����� ��� �� ������� ��� 4� �"�� ����"�� %�����! �� 4� C��� ���� "��� ������� ��� ���� � �������/ �� �"��������� ������

0�� �� ����� �"� � �"� ��� ��! 4� "�� ����/ �� �-���� ��� � �������� ��" �"� �"� ������� �� � ��%���� ��� �� ������/ ���"��� �! � �"� B�

� � )�� �"� ����/ �� �"� ������ �� �� � �"� 4"��� ��� ��*� ("� � B &����� ����� �� �� 4"�" �� ���� �"� ����� ��� �� �"� ��A� � �"� 4� �� ��� %/� B 5���� >��� �"� ��� ���� � ���#! �"� ��A� �� �-��%������ �� ��N� "���� � %��� �� �"� ����� ��� �"� � �� �� �"� %��� �� �"� ���� �������� ("� 4� �%�� ��� �"� ������� ��� �������

.)5���* B 5�.)��*� )��++*

��� ������ ����� � ���%��� �! ������� ��/! ��� �/������ ������.! ���� ����� � ��� ������ � �"�/ %� � ������� � ����� �� �� �"������ ��� �� ! �+ ! 4"��� � B ) V �*��� ("�� ����� ��� �� ����� ���� ���"��� � ��� �������� ).�.�* B ��..� B ��.�.� $� � �"� ��� ���4� �������� ������ ����� �� �� �������� ������ ����! �"� ��� �� -���%���������� ������ ����� �� �"� � ������ ��)��* �� � ��� ����� � � ��)��**�:���� �"� ��)��* %� ��� ����� � �"� ��%�� ��� �� �"� � ����� �� �� %���� ��� �"� ��� �� �"� ���"��� � �����;

���'� B ���)�* ; '� B ��)��*1 )��+,*

5��� �� ��"�� �����! �%�� �� ���� �"� ���� ����������� �� � �����%�� �������("� ��� �/������ �������� ������! ���� ���! "�� � ���� ��� �/������

�� ��� ,���- E ��� E > � � � >�

Page 46: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

#� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

�������� ����� ������ �"� 4� �� ��� %/4��� � / � � ���)�* "� � ����

���� � ���"� ���� ����������� ;

� B4���� B �

4���� � � '�� )��+�*

("� ���� ����������� ����� ��������/ �"� ���� ��������� ���)�* ; '� ����� )��+,*�

�/ " �� �� ����� %���! �$�� B�

� ����$� ! � � ���)��*! �"� ��� ����� . ��

" ��� � �� �"� �����;

. � ��. B �.��� )��+�*

$� � ��� �� ����� ������� �� �� ��%�� �� ���)��* �� � %/ )��,�* � ��)��*��/ ��� ��� ���� � ����! � ��� �� ����� ������� �� ��� �� '� ��%�� � ��!�"� � ����� �� -���� ��� � ������� N� �"�� �� ��� %/ ��� �"� � �� ������ �5.�'� ����� ����� )�"� ��! �"� ��� �� ������ �� �� �"��� ������� � � ��*;

��� B ���'� B ��)��*����)��* � )��,�*

("� ������ � %��4�� �"��� �4� ��%�� ���� 4��� %� ������� � �"� ��� ����� �

("� ���� ��� �� �"�� ����/ �� �"� ������ �� �"� ������ ��� �� �� �����"����4��� .� 4� "�� ��� � ����! �"� �������"��� ����� �� ������ � �� � �� %� ��� �����! ���� ��� �� ��� �"� ��� �� � ��� �� ������ �������

������ )��+,* �"�4� �"� ������ � �� .�������, %��4�� �"� G���"���� ����/H�� �������� ������ ����� )��� ���%��* 4"�" "� � / ������� � � ��-%�� �"���/ � �"� � ��� �� ����/ �� ������ )������ ���%��*� ("� � ���� �������� ����� 4� ���� ��������� )0�� ��! ����! P�%�! 5������! 3� �4� �*� �"� R<R�� � ���/� <� �� � �"� � ���� �"� 5������ ��� �� �"� ���%��� ��� �� � �"� �� ���� ��"��� � � � �� ������� < �"� ��� ������! ����� �%$� �� 4������/� � �"� �/�����/ �� ������ � ���� ��� �� ?� �����! %��" � ����� "������ �� ���� ��� �"� ����/ �� ������ � �"�/ 4��� ���� �����"�� %/ 3� �4� �� �"� � � �� �"� R<R�� � ���/�

>� ��/! ���� )��'#* � )��+�* 4� �%�� � ������� � � ���������� ��� �"� ������ �"� ������� � �� / ������ ���� �� � ����� �����;

� � ����� ; ���).)�** B ������� )��,�*

���� ���).)�** �� �"� � ��� �� � � ��%����� �� ��� ����

�� � ��� *���� �� � � ,�- �� ��'� � �� � ��� � �� �� � ��/���'���� �� ,�-�

Page 47: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� �"��#$��� ����#��� ��$ ��#�#�� 2"�$!��#� 3�!&� #�

����� "�� �������' �� ������� ��� ��� �� �������� ��������� �����

N� "�� ��� �� � ���� �"� ���"��� � ��� �� �� ���%�� )���* ������ �����)4"�" �� 4����� ! ���� �"� "��� �� %���! � �/������ ��� ������*1 ������� ��� �� � B )V �*��� <�� ���"��� � ��� ������ �� ��� �� %/ ).�.�* B��..�� N� "�� �� ���� %/ ��)��* �"� ���� �� �������� ������ ����� ���)��* ��� ��������� ������� 6���� ��%���� �� ���� ��� �! 4��" � � ���)4� �"�� ��� ��� �"� �/ � /���� �-��%����* �� �"� ���"��� � ��� �� ��/ ���� � ������� �� ��� � ���� �� ��%���� � �� ��)��* �� )� ��� ��* ������4��" ���� ����������� $�" ���/ � ������� � ���� � "�� %�� ��� �� � �"� �4�%�� �� � ����� �� 6��� �78 �!�$��&�'� ��� �%����/ ���� ��� � 5��� 4� 4 � ������� ���� ���� %�� �������� ���������� �� ��)��* � ��� �������

.� 4� "�� ��� !�������� �, ��)��* �� ���6 ���������� (, ��)��* �� ��'����( ! ���� �� �� ����� ��%�� ��� �"� �� �� ��� �� � � ���)�* � �� ��� �� %/ . � �.���

< ����! �"�� ��� � � �� �"� ��%�� �� � �� � ����/ �������� �/������ ����� . �� ������ �� �"� ���� . B ����

("� /�� � �"� %�� ��/ F��)��* �� � ������! ���� / � � 4��" � � = � �<� �� ����� �"����� �"� %/ �� �� �� �������� . � �.��! � � ���)�*��" . %� �� ������� �� ���"��� �! � =! ���C���� A� B A�� B �� !�� � B = 4"��� ����� ����� �� �� � ����� �"� ���� = ���� � ����� �� 4"�"�� �� ("�� �"�4� �"� F��)��* �� ���C�� � � �� �� ��%��� �� ���)�*! �" � �� �� � � �� /A� �� ��� � =;

F��)��** B

���)�F���)��**� )��,�*

("� � � ������! / B �! )�� = B �*! �� �"� � �/ ���� ��� �� .� � � �� �"� ������� ���� ���� � �� �������� ������ ����� 4� "��;

�/� � F���)��*� ).�� .* � � * / � �� )��,�*

("�� ������� �"� ��)��* �� �"� � ��� "��� �� �"� ����� � F���)��*! �"� ��%�� ��� � � ����-�������� /A��

���� ������ ���� /! 4� �� ��� %/ /� �"� )� -�*-���� ��� � ��%��� �� ����� �� %/ �"� ������ /)��* B �� N� �"�� �����;

/ � F���)��* � ��)����** ! /� � ��)��* $ F�����)��*� )��,#*

Page 48: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

## ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

0�� �� ���� "���� ��� .!

� B

�� �� �

��

("�

�� � ��)��* B��� �� .�

�� .� � ��)����**�� )��,'*

.� 4� "�� ��� ! / / � F���)��* %� 4����� . B � ���! � � ���)�*1

�� �"� �/�%�� ! � )��,#* �� � �������"��� �� �� �� �� �� �������� %/� � ���)�*� < ��� 4����! �"� %�� ��/ �� ��)��* �� � �� �� =)= V �*��-���� ��� � ����! � = � 1 �" ��" ��� %� ��� ����� �� ��)��* )%/ �� �������� �� ���)�**�

���� ���� 6 $ ��! �"� � �������� �� �� "�� ���� )�&� ��* � �! �& � 6 �� ������ �� ���� )��������� ���� 0��� ���* �� �������� � ("� ������ �� �"���� / ����� .�.� � ��)��*! ).�.�* � � � ��� �� �"� ����� �� )��,�*! /����� �"������ ��

�������� �,; ��)��* �� ��5.(�� %/ ���� �� �������� ��

:���� �"� ����-�����/ ������� � �����/ � ���;

���������� �� ����� ��� ��&����� �� �� ��" ��� ������������ �� ��)��* � ����� ��� ���������� ���������� ^,�

��)��* �� ��)��* �� �� ��� ����� ���������� ��

���� ����� ��� �������3

��)��* ��� % ^,���)��*� )��,+*

��$����% �/�������� �.��(������ �� �� ���� �������� �-��%��� ����)��* 4"� ��)��* ��� B ^,�

��)��*�

("� -��� �� ���� � .A� �� ������ �� �������� ��%���� �� ��)��*�

? � ��� �"� ������� _,�B )�^,�

�+ *! �"� ��=���� )�� �"� �/�����/* �"����"�� � N"� ��)��* �� �� ������� � �� ������ %/ _,�

! � � �/� �"� �� �� �/�����/�-��%��� �� ��)��*� :���� �"� �/�����/ ��%���� �� �������� ��%�����< ����! ��� / � ��� ���� �! �� �� �/�����/ �-��%��� �� � �� ������� ��� �� � �! _,�

� � �1 � �"� � �����/ ������� ^,�� � �

�)� V _,��* � �! �"� ��

^,�� % �� � �� I�� � ^,�,�

B ������)^,�^,�

^,�*� � � ������

���� ���� �� ����� �� ��� ��? �,��- � >� ,����- � > �� ��� ��'�� ��,��- � >�

Page 49: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� �����#3#���#�� �3 ��� �%&&��!#�� �3 ����#��� #'

���������� �� $�� ������������ �� �'�������� ��&������ ��� �'�������� ��&������(

:���� �"� �"� � �������� �� �/�����/ ��%���� �� �� � �� ��� �/�����/��%����! %�� �"�/ �� �������� ��%�����

("� ������ � �� ������� ����� �/ %��4�� "����� ���� ����-��� � �� �P��� ���%�� �� ��� �� �� < �"� �� ������� "��� �"� P��� ���%� �� ��� ��%/ . -.� B �

� )..� V.�.*� �������� ��%���� ��� � P��� ��%���%���

("� ���� ��� �� �"��� ���������� �� � ��� %����� � ������ ���� �� �����"�-���4�� )���� ���� �����/ "�� �������� �� �� 4"�" �� �� �/�����/ �� ���*

("� ���� ���"��� � ��� ������ )/� /�* B �� //� �� ��! �"� ����� ��� ��-���%�� ������ �����! "� %�� ������ ���� ��� �"� ����/ �� �"� �������/ ����)��*� :��� �"� �� �� �� � ��� � � ��� �"� ��� . � �.�� �� ���)��* �����)�*! 4"�" �� ������ � ��� �"� ����/ �� ������� < ���� �"� � ������ �� �"� � ��� � � ��%�� �� ���)�*� <� �� � ������� � �� ���� �� �� �"� ���)�* ��%������� ������ �� ������� � (�1 4� �"�� �� ��� �� %/ #���)�*� ("� ��%��� �� �"������� � ��)��* �� �%����� %/ ���%�� � ��� �; ��� /�

�� !�� �"����� � ��� #������� � �������

����� �'�����' �� ��������

< ������ )��,�* 4� ��������� �"� ��� ��� �� �"� -���� ��� � ������ ������ �"������� ���� � �"� ���"��� � ����� ��� �� �� ������ �"��� ������� � �"� ��-���� ��� �� � �4� ����� � ��%�� ����� ("� ������� �� � ������ ���� ����S��� � ��"���" %/ ��� ���� �"��� ������ ���� �� �"� ��� �� �"� �����%�� �/�-������� ��������� %/ �"� ������� ("�� �"�4� �"� 4� "�� �� ������ 4"� 4� �����"� �/�����/ �� ������ <� ���� � ������ �"� �4� ��� �� �� ���4 ������� �� � ���"��� �4� ������ ����; �"� �� �"� ��%C�� �� �"�� ��%����� �

.� 4� ������ � �"� � � �� ����! � �"� R<R�� � ���/! ��"����� � ���� �� �/�"� ������ ���� � ���� � 4��� �� � �������� � �"� �/�����/ �� �������<� 4� ���/ ������ � ��%C�� ��� �/��������"���! "�4����� 5��� 4� �����/��������"� ��� ��� �"� ��� �� ����� ������� ��� %/ �"� ����� �� �� �"� �4������� ���� ��� �" ���� ��� ;

Page 50: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

#+ ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

��$����% !��+��� ���������&��� �� ������6 !��+��� �����

������ �/��������"� �/������� � ���#�� B ����'�� )��,,*

������ ������� � ����� B ��)��*�����)��* � )��,�*

N� �"�� ����� �"� ������ � �� ���� ���C����� �� ����� �� ���#��1 ����� �"� � C��/ ��� L �

�M����--� �� ��%������ �� ���)��* 4"�" �� �"� ��-%���&��� �� �"� ������ �� ����� ���! �� � C��/ ��� �� ��%������ �� '�

�������"� �� ��1 �� ������ ����� ����� �/ ������� � �� ����� �/�����-

���"� �/�����

N� ����/ �4 �"� ������ � %��4�� �"� �4� �/�����/ �������� � � ������� %/)��+,*� >���� 4� ���� �"� ���� �4� ��%������ ��� �� ����� � � ����� �� � �! �"� ��%��� ��� $ � �� ���� ���%�� ���� �� ��� � �� (� %� � �"� ������%�� ���� �� ������� � ������ ��! � �"� ��� �� ������� � �����! ���� �"���� �� ���%�� ����� �� ��� � � �� �� ���� %/ � ; � ; ��

("� "��� �� ���"� ���� %��� � �� ���%���"�� ������� ������� � �%��4�� �"� � ����� �� %��� � � �"� ����� �� �� ���)�*� N� "�� ��� ��� �"� ���"��� � �� �������� � � '� �� ������ �"�� %��� � � �� ��� B ����14� ��� �/� �"� '� ��%�� �� %��� ������� �� �� ���� ���� �'� �� '� � ���)�*� N� ��� �4! ���� ����! �"� �� %��� �� �"� ��%�� ���)��*� �� �����"� ��� ������ N� ����� �"� ������� � ��� ���� �� �"� ��%����� �� ������������ �"��� ���� ���� � �"� ��� �� ��;

��� B ���)��* ; ���)�* ; '�� )��,�*

("� ��� �� ���%�� ����� %� ���4�� � �"� ��%�� ���;

��� B ��)���)��* '�*� )����*

��� �"� ��� )� �* � )���)��* '�*! )� �*�� B ������ <�� �/�����/�� � � �� �"� �����4� �; � ����� �"� ����� � �� ����� %/ �"� %��� �� �/ �"����"��� � �� �������� � �"� ����� � %����� ��� 4"�" �� �� ����� %/ �"�%�������� <� �"�� �� ������� %��� �� ����� �"� �' ����� � �"� ! %/ ��� ���� !� � � ,''��, �� ��� ������ ("� �"��� ���� ������ � � ���)��* 4"�" �������"��� �4� %��� �� � %/ � B ������ ("� ��� %� ��������� %/ �"� � ��� ��� � � ��� �"� ��� �� )� �* � ���)��* '�! ���� � � �� � �"� ��%���&�� ��� � ���)��* '� � '�;

)� �* � )���)��* '�*� � � B ����� � � B ����� � � B �

�����)����*

�� ���� *��� �� �������� �� �� � �� �� �� � �� � � ��� ��� � E ��� � � E �������@ ������ � E ����� ��� � E ��������

Page 51: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� �����#3#���#�� �3 ��� �%&&��!#�� �3 ����#��� #,

N� ��� � �"� � ��! ���C����� "�������"���� �� ������;

)���)��* '�* � ���)��*� :�)� �* B � 1

)���)��* '�* � '�� :�)� �* B �� )����*

����� ���)�* �� �����/ %/ ���� �� ���"� ����������� � ������! �"� ��%���&�� �� / %���! )���)��* '�*� � �� � � ����� � �� �"� � � � � �� � � ��������"� ��� ���/ � �� ("� ������� �"� �"� ��%���&�� � ��� �4� � �� ���C���� ��� �������"�;

)'� ���)��**� ! :�))'� ���)��**�* ! :�))'� ���)��**�*� )����*

("��� �������"� ������ �� �������"� �� �"� �/�����/ ����� �� �"� ������

< ����� �� ������ �"� �/�����/ ����� ������ 4� "�� �� ������ �"� ����� � �� � ���� ��S��� � �����%�� ����&��� �;

� B :�))'� ���)��**�* � '�� �� B :�))'� ���)��**�*� )���#*

N� �� �4 �"� �"� �/�����/ �/��� �� ���� %/ � C��/ ��� �� ��%�������< ������ � 4��" �"� �������� � �� �� � )��,,*! )��,�*;�� ��+(��, �� L �

�M����--� .�� �� 8����� �� �� �9�� ��+(��, �� L �M�� .�� �� 8����� �, ��������)�� , �' �� ��

2������� �� ��/! 4� �� �� �"� 8����� ���() �� � � )�����4� � �"� �/�����-

���"� ��� �����* � �"� �����.�, �� �� N� ���� �"� �"� � ��� � ������ �� �� �/�����/ �� / �����;

�� � �� �� � ��� )���'*

���������� �� $�� �������� ����� �� � ������� �� � -���� �����(

����� < ����! �"� ��� ��� �� )����* �"�4� �"� �"� "���"���/ �� �"� � �������� �

���)�* �� �"� ���� ��%����� '� � �� �"� ������� ��%����� ���

���)��*���

0�� �� ���� �"� �������� ������ �� �4� � -� C���� ����� �� �� �� ���)��* 4"�"�� � C����� � '�� ("��� ����� �� �����)��* �� �4� ��=���� �! �� 4� �%�� �"��

����� �� � �� �� ��������� ���,��-��� �� ��� �*� ���(��'� �� ���,��-�

Page 52: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

#� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

%/ ; 4��" � ��� �� 1 4� ��� ���� �"� �%�� ���� � �/��������"� ��� �������� �"� ����� �"�/ �� ����;

A� ; ;� B

�� �� ��

�1 +� ; ;�

�� �� �

�� )���+*

("��� � -� C��/ � ���)��* �� ������ � ��%����� �'��� N��" �"� ����� ���" ����� � �� ����� ����� �������"� �� ����1 �"�/ ��� � �4� ����� �����4"�" �� �%����� %/ �"� �/��������"��� A�� � +��� $� � �"� �4� ����-�� �� )���+* "�� ��� ������� � � ��� ���! �"�/ "�� ��� "�����������/ ����! �� �"�/ �� � C���� � '� � ���)�*� )("��� ����� ����� �� ��� ������! �� �"�/ �� � C���� � ���).**� ("��� � C��/ ��� � '� �����%���"� �/��������"� �/���� ���� ��������'1��

<� �� �����/ 4"� � � "� �� ��� � �����/ 4��" ����� �/�����/ ) � ��������4��" �"� ��"�� �����/ �� �/��� �/��������* �� ���� �%��� �� ����� ����� � ���/��������"� �/����� ) � ���� �� ����/! �� � C��/ ����� � ���)��* �� ���� ��� ������*� ("� �� �� � ��� B �� � � �"� < ��� ��� � (%��� �� 2�/�������-�"/ �(���� �� � ��� B # � �%$����� N� 4��� "�� �� ������� ���� ��� �������� �%����/ 4"� �� �� � � � � ������� >�� � �� �! �"�/ �� ��� %/ ��

� )�"�� ����� � 4��� %� ����� �� � ���* �"� ����� �� ���� � ������ 4��" ��-�� � ����� �� (�� <�� � C��/ ��� � '� �����%�� �"� ��������'1� �, ��� , �'� ("� ��%�� �� ������� �� � ����� ����� ��� B �� �� # �� �� �� #� �� <����4� ���� � ����/ 4��" �

("� ����� �� ! ����! '�)��* �� �"� �/�����/ ����� �� �"� �%� )�� �"� ����-���/����* � ���� ��� � $� 4� �� (1� , �' �"� �/��������"� �/���� ��-����� �� � �� �"� � C��/ ��� L��M�� B L'�)��*M�� � <� � �� � � ����� �������� ����/ ����� B �� �� # ��� 4"�" �� � �� � � � � �/ ��� B �� � � �4� ��

�� � 0��� ��''�� ���� ���� �������� �������� �� ����� �� ����� �� '������� � !"7F� ����� *���� ��� '�' �� ������� �������� ���'����( �� �'���� �� �� ����(� ���� �� ������ ����� � �������� ��(���� � ����� ��� ��������( �� �'�� /����

������ �������� �� �� ���0�(��� ������ �� ���� ���(��'� �� ���,��-� E 7� =� � ��*��������� ��� �� ��������(�'��� ��� ����(�� ���(� ��� �� ����� ���� '���������� *�� ����� ������ ���������� ��� ������� ��� �� �� ��<���(��'� ,�' �� ���0�(�����-� �� �������� ���� ������������ �����8��� ��������� �� ���� �� ����� ��� �(�@ �����8��B ���������� ���� ��� �� �� �(����� � �� �� ��' �� ��� *�����( �� �� G���(� �������� * �����(��� ������� �� � ����<��� �� ����������? �� .��'� �� �� (��' �� � ����� ,� ,!�!>- ��-� ��E�H=�� ��AE���

�� E =? ��E���� ��AE ��� I� E 7� ��E7��� ��AE!�����2� * ��� ��� �� E 7 ��� J����� ������ � ������ �� "�� ��� #�� �� ��@ ��

E = �� ��� J����� (��'� � ����� �� $����!����%���� ����@ ,� 7�F-����� ��������� �� �������� # �� .�'������ ����� �� � ������� �������� �� �� *����

��� � ��( �������? %� � ���

Page 53: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� �����#3#���#�� �3 ��� �%&&��!#�� �3 ����#��� #�

��� B #� >����4� � �"� �/��������"��� ��� B � � � ���� ��� )� � ������*�"� �"��� ����� ����� �� 2�%� @ )�� ������*! 2�%� > )�� �� � �����*! 2�%� <)�� %��/ � ����� ��*� ("� ������ ������� �� � �� �"��� �"��� ����� ����� "��%�� ��� �� � ������ � )��'�* Q )��+�* � �%����� ����������/ �! �

��! �

*� �

0�� �� � ������ ���� �4� ���� ��� � ������ �� ��� ���� %��� ����������� ("� ����� �� '�)��* �� �� ����� %/ A�� +�� � ��� <� �� �������"� ���� )�"� �/�����/ ����� �� �"� �����* 4"�" ��� %� ��� �� %/ �"� ������ �*� B $� B B )*$*�� ("� �4� �� �� ������� ���� � ��! �� �� '�)��* ��� �� %/;

��)** B ;�� ��)$* B ;�� ��)** B ;�� ��)$* B ;�� )���,*

�� ������� � ���� � %�� � ������� � ���� ��� < ���� # B );�V;�*�4� ������� # B

#�! #� B � � ;�# B #;�1 �� �� ��" ��� ;� � ;�� . ��������� � ���������� �� �"�� ����� �� �"� �����4� �; �"� �����&�� � '� �� �"� ����� �� �� �/�����/ �� �"������ �� �"� �� �"� ������ ���� � # ������� �� �"� ��=���� �"����" �/�����/��� �� �"� ���� ! %�� �� �� �"� �����1 �� ��" ��� �"� ����� �/�����/ ����� � �"� ���� � 4��" �"��� ������� �� �"� ������ :���� �"� ���� ������ ���"�� �����&�� "�� � � ����� ��� B

4� B � ��):�#*! �� �� �� �� � ���)��*;

�"�� �"�4� �"� �����--�)'�)��** B '�)��* � ������ �"� �"� �4� ������� ���� ��� � �� �� � ������� � �� � ;� � ;� �� �� � C���� � '�)��*� 5�4����!�� � �"�/ "�� ��� ����! '�)��*! �� � �� ��� � �"� ��� �/�����/ )��������* � 4� ����� �� � <��! ��� ���� �� 4-������� ��

N� "�� ��� � ���� �"� �"��� �� ���� ����� ����� � / ������ ��� ��14� �4 ����� �"� �"��� ������ ����� �������� � ���C����� ��

����� �� ���#��� � ���C������ )����*

���� �"� ������/ ������� ��� �� ����� ����� � �� �"� ������/ ������� ��� ������� �/��������"� �/�����; �� �� �"� ��������� � ����� �� �"� ���� �� G)4"��� ������ � 4� �"�� �����* ���� �"� ��� �"� � C��/ ����� �� � ��� ��%�������� ���)��* �� �"� ������ ��� ��� '�� N� ��� ����

���������� � $���� �� � ������� &�������� ��� H &��%��� ��� ��������� ������� ��

-���� ��&������ �� ���)�* ��� �� '�(

���� ���'�����( ,���0�(��� ����� ��- J����� (��'� �� E = � ����� �� �(���� ��$�H=�� %�H=�� ��H=��

�� � K���? ���3������ ��E"#�� ��AE!�����J���� ��� ������ �'�� ��� � ������� �� � ����� �� �� �� �4� �5�� �� ���0�(��� ������

�� �<���(��'� ��� ���� �� ���� � '����� �� �� ���(��' ��������� �' �� � ���0�(������

Page 54: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

'� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

�����( <� �� 4��� �4 �"� / � ��� ��%����� �����)�* �� � C���� �� ��%������� '� � ���)�*1 �� 4� �� ���� �� ����� �"� �4� ��%������ 0�0� �� '� ��� C���� � '� 4"� �"�/ �� � C���� � ���)�*! ���� 4"� 0� B #0#��� �/���� ����������� �� # 4� �%�� # B �I ! � � '�! I

� B #�#�

0�� � %� �%����/ ����� � �� 0 � �� B #�#�� � 0�1 �"� B ����� B)#�*����I ��#��! ���� I � B ���I����I�� $� � �"� �������� ����� ���� �� I �

�� � ����! I B ���I� � �� B #�#�� %����� �� B ������ �

:��� �"� 4� "�� ��� ������ �"� I �� � �"� � ����&�� ��������)0* �� 0 � ���)�*�

$� � ���)��* � ���)�*! �4� ��%������ � C���� � ���)��* �� � C���� � ���)�*! �� �"��� �� ���� ���C����� ��;

�L ���)��*M����--��.�� �L ���)�*M���������

("� � �� )����* �� �"� ��������� �� G B H Æ G� �� ���� $ �L ���)��*M����--���

>�� ���� "���"������ �! �� �"� ��S��� � � C��/ ����� L �M����--� �� �"� G ���-���� G��)L �M��* �� �� �������/ ����� ����� )�� ����� � ���� � � �� �"����*� ("�� "��� � � ����/ ���� ��� � �� >�� B �! 4� ���� ������ � �"�� � �� �"�� ��%����� )��� ��� ��'*�

2 ����� )������+ $�� ���&�� �� ��������� ������� �� -���� ��&������ �� ���)��*�� -����(

>�� B �� �� �� # �"�� ��%�� �� �� ��� ,�� ,��! ����������/� $�� ���/! � / ��"�-��� %�� � ���� ,� � ���� �� ,��

�����'�� �� �� �"� �"��� " � ���� %/ �/��������"��� ��� G� C��/ ������� � ��� ��%������ �� ���)��*H� N� �"�� �� ��� �"��� ������/ ������� ��� %/������ $� � ����� �� ��%��� �� �"�� � ��� ��� � ���� �"� ���C������/ �� �! 4��%��

���������� �" 0�� ��� ��������� ��� ���&�� �� 4������ ������� ��� ��� ���&��

�� 4������ ���������������� ������� ��� -����(

N� ��� ���� ��"�� ��"����� ��; ������� ���� � �� � ��� ������ %/ � -����� ������ �� ��������/ �����%�� � �� . � �� � ���� )�� �� ������� �*

��9 ��� ��� �� 3� ����������� ���� �� �������� ��

Page 55: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� �����#3#���#�� �3 ��� �%&&��!#�� �3 ����#��� '�

����� ��� �� .-�������%�� ������� ���� � )�"��� �/ %� �����%�� � � �! ��� ����! �����%�� � �*1 %�� � �� ��" �����%�� ������� ���� ���"� "�� � -� ���� ����������� � 5��� 4� 4 � �� ���"��&� �"� � ����� �����%�� �-���� )����������/! ������� ���� * ���"� %� G �� �������/ �����%��H Q � � ����/� G� �������%��HQ %/ � C����� � ���)��*1 ���� ���������/! �"� ����� � ���)��* �� � ��� ����� )����������/! �"� � ����� �����%�� ������� ���� ��

� ��� ��%����� * ���"� %� %����"� � �"� %�� ����� ����

� � �� �

�%�� �� �

�"� �������/ ������ ����

� � �� �

�� ("� ���� ��� ���� .-�����%�� �����

����� � �� ���� ��� � � �� >�� ������ 4� �"�� �"�4 � �' �"� �"� ����� ���+� �� )���+* 4"�" �� �� � C���� �� A� � ���)��*! �� � C���� �� �"� ������;

� � ���

�� �� V �� ��

�� L+�M����--�� )����*

("��� �� �"� ������! %�� �� � �������%��! ����� �� +��

(� � � �"�� ��%����� ! 4� ���� ������ � ���� ��� � �� � ��������/�����%�� ����� ����� �����"�� 4��" �������� ������ �� ���"���� ����� � G ���-���� G��)L �M��* 4"�" �� �� ����� ������

("� ����� � �� ����� %/ �"� ������;

� B ���� ����� � B

�� � � �� � �� � �

� � � B

�� � � �� � �� � �

� )����*

�� ����� ����� �� �� ���� <(2B �Z��! $25B ���� < ���� � � � �� �"� ��������;

��)��*� B

�� * $ $$ * $$ $ *

� � * � �� � �

� $ � )����*

� ����� ��� $ B �� *����*��! � ����� ����� �� ���)��* ����� �"�� ���������� � ��� �� ("� � C����� �� �"� ������ ��� )��� �� � )����** %/ �"������ @ � ���)��* �����;

@ B

�� � � ��� � ��� � �

� � �� B @�@�� B

�� � � �� � ��� � ��

� �

��) ����� (�� ����� '��� �� �� �� 7�F� ���� (��' �� �����'��� �� �� !7 ���� ������(��'� �� ���* ���� �� � ��� '�� ���������� �� �� ���0��� * ��� ���� �� �����'��� (��'���� # ���0�(��� ������ �� �� ��� ; �� ���,��-�

Page 56: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

'� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

� � B @�@�� B

�� � � �� � ��� � ��

� � )����*

("� ��-������� � ������� ���� �� B ���� ���� �� �� )����* ����� � ��� � �"�� � ���� ��� � ����� ��� �� ����� %/ �"� ����� �� ���� � �� )�� �� �*1 �� ���� �����%���

0�� �� ���� �� ��� ���"�� �� �������� ���� . ��" � ����� ������� ���� ������ �4� -���� ��� � ������� ���� � � � ,�)�*! � � ,�)�* �� � ��� ����� �! � �%����/ ����� E! � � ����/ �������;

#)�* B���

,�)�*�,�)���* * ,�)�*#)�* B #)�*,�)�* )����*

. / � ����4� � � ����� # %� �%�� �� �"�� 4/ ��� �/ �"�� ���� 4� %���� ����� � 4"�" 4��� �������� �"� ������ ���� �! ����;

��� B � ��� �� B

�� � � �� � ��� � ��

� � � �� B �� �� �� B

�� � � �� � ��� � ��

� � )���#*

2"���� � ��� �"� �%����/ ����� � B �! 4� �%�� ;

� B

�� � ��

��

� � �� � �

� � )���'*

<� �� ��/ �� �����/ �"� ����/ � C����� ����� 4"�" ������ @�@�� � . ����"�� �"� ��� ���� �� � � ���� ���� � � � ("� ������ �"� � �� �����%�� ������ %�� �� �������/ �����%��� N� ��� ������/ �����/ �"� � ��"�� ����� �� )����* � � � )�* � ������

N� �4 ����/ �4� ���"���� �����; � B ���� ���� � �� B ���� ���� �� ���� B ���� ����� ��� ����� %/ G � �"� � C��/ ��� L���M�� � 0�� �� �"�4 �"������� � �� �"��� � � ���� B ���� ������ ���� 4��"

���� B ���� � ��� B

�� � � �� �� �� � �

� � )���+*

:���� �"� �"� �4� ������� ���� � ��� � ���� �� � "�� ��S��� � ������ $� ��� �� � ��� � %/ / " �� �� %���! 4� � ����� �"� ������� ���� � ���� B

�� ���� (��� �� ����*����( ����. &� '�� �� ,!�"=- � E &�����@ ��� �� ���� &,�- E &�

Page 57: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� �����#3#���#�� �3 ��� �%&&��!#�� �3 ����#��� '�

������ ��� � ����� B ������ ���� �� �"� ��%����� �� )�������"� �� ��*� ���" ���-���� ���� � �� ��������/ ������ � . )��� � �*; �������� � �"� ������ � �-���� ��� � ������� ���� 4"�" ���� � %��"! 4� "�� �� 4�� � �/ � �"� �4����� ��� � ������� ���� � �� �� �� ����� %/ ���� �� ��

� �� ���� ��� ��� ����������/� (�

����� �"� �"��� �4� ���� ��� � ������� ���� � �� ������� � � . %�� �� � ��4� ��� )����* �� � ����� �"� ���� �� ��� � ����4� � � ����� � �"�4 �"� ��

�� %� � ������ < ���� �"� ���� �� ��� � � ����� �� � B

�* $+ ,

�� ("�

�"� � ����4� � � ����� �� #)�* B ))�*

��� ��� �

�4��" ))�* B )*V �$ � �+ � ,*�

>�� #)�* �� %� � �����! ) "� �� %� � ������ $� � ���)#)�** B �)�! �"� � ���������� #)�* �� %� � ���)��*�

< �(���� �"� ������� �� � �4� ���"���� ����� �� ���)��* �� �%����� A��� �A���� ("�/ �� ��� �� � ����� �� �/����1 %�� 4� ���� ����� �� � ��-�� �� � � �� ��� � ("� �/��������"� ����� ����A��� �� �"� � �/ � � �� �"��4� 4"�" �� �� ����� %/ ��=���� �; �"� ��=���� � �"����" � ��� � �� � � �"������ �� ��������� ��� ��� � � $������/ �"� �"��� ���� ��� � ����� � ���"��������� � ! ��! ��� � ���� �� ���)��* �� �%����� � �(���� �Z��! Z��� � Z����("�/ �� ����� %/ G � �"� '� � C��/ ��� �%����� <(2B Z��! $25B ����N� "�� ������� � )����* �"� �������� ������ ����� � ��� � %/ �1 4� ���"� ��� �������� ��� ��! ���! ����;

��)��*�� B�� * �+ �+�+ �+ +�+ + �+

� � ��)��*��� B�� * � �� �+ +� + �+

� B ��)��*���� �

)���,*4"��� *� + � �� N� "�� ����� ! ���� )����*! �"� �"� ���"���� ��� �� ����

������� �� �� ����� ������ ("� ������� �� � ����� �/��������"� �/������ ���� ���'1��.���1 ��� "���"���/ �� �%����� <(2B Z��! $25B ����

����� �"�/ "�� �"� ��� ��� �� � ��� � ������ �����! �"� �4� ����� � ���"-���� ����� �� ���! ���� �� �� ������� � ����� ������ ("� ������ ���! ���� ���� � ��� � � ; � B ����� �����! �"� ����� �"�/ �� ����� � �� ����� � ���)��*; ���� �"� �/�����/ ����� �� ������ "���� � ������ ("�� ����� ����� �� �%����� +���� � �(����1 � 4� �"�� ��� � ��'! �"�� �� �"� ����� ��� �� �"� �6����������� �/��������"� �/�����

(� ������&�; � ���)��* �"��� �� �"��� ���"���� �����; �Z��! Z���! Z���� �"� ���-���� G��)Z�� B ���* �� �"� �"��%�"���� �2$� ? �/ �"� ���� � � �� ����� �����1 �"� ������ � ��� � %/ �"� ��� � �� �"��� ���"���� ����� "��

������ �� �� ������ (��' �� �� ���(� (��� �� �� ����(��� ���������'�

Page 58: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

'# ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

����� "���"���/; +���� B ���! �"� �� �"� "���� � �2$� <�� � ���� �������� +���� B G��)+���� B ���* �� �� ����%�� )�� �� ������* �� �Z���

����� *��� � ������� �������

<� �� ������ � �� "�� ������� ��� ���� �&� � 4"� �4� ������ � �� %��� ��� �"� ��� ����� ���� �/ �"� ��� ���������� 4� ����� �"� � � ���� � � /�/��������"� ���� %�� � � ��� ���� �� ����� ������

���������� �- �� �� �� � '� &� ��� ����������� �� ��� �%� �������� ���� � ��($���� �%� �������� &����� �� ��� ���� 4������ ����� �� ��� ���� �� ����� �/���� # ����)�* ������������ � �� �� ��� ���������� # �#

�� B ��(

�/ "/���"����! �"� �4� ������ %��� �� �� �"� ��� ����� �/��������"� �/����14� �"�� �"�4 �"� �"�/ "�� �"� ��� ����� ����� �

��

����� < ���"� ���� �/���� �� ����� ��� �� �� ��� �! ���"� ������ ��

���� � �� �� �4� ���� �� �� ���/ � ���� �� � ������ 4"�" �� ���� �"� ������! ��� �/ "/���"���� �

�B �#�� � �"� �4� ����� "���"������ �� �� � '� ��

� C���� %/ #! ���� �� B # �#��� 0�� � � � � �� B #�#��� >��� )����*! �"�

����� � � ���)��* ��� �� %/ �� B �� �� ����� � �� �"� ����� ����� ���

. �����"����4�� �������� /����� ���B ��#�� B ��#�� B �#��#�#�� B

����1 �"�� �"�4� �"� ��� � � �

�� ! �� �! �� "�� ��� ����� ������ �

N� ��� �� � )��+�* �"� �� �� ��� �����)��* � �"� )V�*��-���� ��� � �������� �� �� ���%�� ������ ������ ���� � ��� ��%����� 7 � ���)��* � � ��� � � �� �"� �� �� ������� ;�;

. � ;�).* B �7����/��

�.��� )����*

<� ��� �"� ��%��� �� 7 � �"��� %�/� ���1 � � ����/ ������� �"� ;�� B ;�! ������ �� ���C���� � <�;� �� ��%��� �� �� � �� � � �� 7-� ��� � ������������ $� � �"� ��� �� �������� ������ ����� �� �������� ������ ����! 4"� ��. � )����* �� ��������! ;�)��)��** $ ��)��*� 3��� �������/! �� 4� �� ��� %/��)��*

� �"� � � �� �������� ������ ����� � ��� � %/ 7;

;0 )��)��** B <�;0 � ��)��* B ��)��*0 � )����*

Page 59: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� �����#3#���#�� �3 ��� �%&&��!#�� �3 ����#��� ''

>��� �"� � ���#! 4� ����� ���"�� �� � �� � ����� ����� ���� �"� ������������ ��� �� �����'�� �� � ("� �/�����/ �"����" �"� ����� !�� �� �������/� ��� N� �� ��� %/ �� B ��)��* �"� ����� �� �� �����1 ;0 �� �"� ��� ���/� ��� 2� ����� �� �� � "� �� � ��� ��%������ �� ���)��* ����� � ������; �� � �� � �� � ���� )���� P��� A� �"�����! �"�� "� "� �� � �*� ("�������� �� � ���)��)��*

0�* ������ ���)��)��*0�* � ���)��)��*

0��*1 N"� ������/ "���� �� �� �� ����� �����1 4"��� �"��� �� ����� � ������/ �� �� ����� ������ <� �� �"������� ���� �� � ������ �"�

��$����% ������� �� !��+��� �����' ("� .�'� ��� �� �� 8����� �� L �$ M����--� �� �"� ���� ��� �� �"� � � ��)��*

0 ��� / � � L ��M����--� )�"�

� ��� � �� �"�� ���� ��� %/ ���)��* � C����� � �� �%�����*�

N� "�� ����/ � ������� � ���# �"� ����� #)� * ��� �"� ������ �� ��)��*������� �� � �� �"� � C��/ ��� L� M����--�� @��������� )�* ������ �� �"� ��� �� ���)��* � ��)��*1 �� 4� �������� �� ��� �"� �� 4"�" � ������� �� ������/;

���������� �� .� � � ���)��* �� � 4������ �����" �)� *���)��*0 �� ���� �����

�� ��)��*0 (

< ������� �)��)��** �� ��� �� �� � ��)��*�

N� �� G�� ���H �"� ������ �� �"�� ������! ���� �"� ������ 4��" �� ���� �/���-��/� N� ��� ��� � ��� �"� �"� G���� ��� �� ����� ���H �� �� ��� �"� ���� ��� �� #)� *�

.� 4� ����/ ��� ��� ���! ���� P��� A� �"����� 4� �4 �"� ����/ �� �� �"� �� � C��/ ����� �� � ��� ��%����� �� ���)��* "� ����� ����� �� <��� ����� � ��� ��%����� �� ���)��*1 �"� ������� �"� �� �� �"� ��%���&�� �� �"������� ����� � ��� � %/ ��� $� ����� � C��/ ��� �� � ��� ��%������ �����)��* �� ����� ����� ���� ("� � ����� �� �%�����; �� �"� � ��� ���)��*��%������ �� ����� ����� ��� 4��� �� ����� � ��� ��%������! �"� ������ � 4���� ��� � ����� ����� ���� $� 4� "�� ������;

���������� �4 $���� �� � ���,��,��� ������������� &��%��� ��� ��/���� �����,

���� ������� �� ���)��* -���� ��&������ ��� ��� ��/���� 4������ ������� �� �����(��������" �� �/ �� � ��/���� -���� ��&����� �� ���)��*" ��)��*0 �� ������ ��

��)��*(

���� ��(�� � �� '�' �� ���� �� G�������� �� �� J����� �������

Page 60: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

'+ ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

("� ��� � �� �� � �� �"� ���������� �� ������/ �� @��������� )�,*�("� ������"� 4� "�� ��� �� � )����* "� �� ���� 4"� 4� "�� ��" �"� ���� -��� � ��� �"� ����� ���� ("��

��������� 1 4������ ����� �� ��������� 5 �� ��/����(

<�� ����� ����� �� ����� ��%����� �� ���)��*�

������� � �/ ��� ���� ! �"� ��%����� �� ���)��* 4"��� ����� �� �����/

���� B �

�� �"� ����� '�)��* B ���)��*�'�� N� "�� ����/ ��� �� ���� %�����/ �"������� � )����*;

'�)��* ! 6���^� B ����1 �'�)��*� B X ��� )�����*

4"��� 6� �� �"� ����� �� �"� ���� � ������ 4��" ���� � ����� �� B (� � ^� �"� ����� �� ��������� ������; �� �"��� ����� �� �� &��� ������ � %/ �� � � ���� 4"�" �� �� ("� )������* ������ 4"�" ������ 4��"�� ������ �� 6� ���� %� ���� �� ���� ���� � ����� � � # � ^�! �"� #�#� B #�#�� �� �"� ���� � ����� 4"��� ����� �� �� �"��� �� � �������� %/�"� ��������� #� $� �� "�� �# � ^�� #�#�� B � �������� �� ����� �� �� � ��%� ����! ���� � B )�� ("� �� �"� ����� � �� '�)��* � �"� �� � ��)�* �� ������ ������1 ��������/; �� � '�)��*! �.�� B �.��� * . B )�� ("���"�4� %��" �"� '�)��* �� �������%�� � � � �"� �"� ����� ��� �� � )4"�������� ����� �� %/ ��� ���� '�)��** "� ���� ��� �1 �� ��� �"�4� �"� '�)��*�� ����� ��%����� �� ���)��*� :��� �"� ��� ���� ��� B �! �� ������ ����������� � �� � B �� )����� B �! ���)��* B '�)��* B ��)�**1 �"�/ ���� � ������ ���� ("�� �� �� �� ������ �"� 4� ���� �� ��� �� )����� "���X*�

N� �� ��� ����������/ %/ �1� ! �"� ����� ��� � . �� �"� �/������ ������

4��" ���� � ���� ��� $� � . �� �� �� � �! �"� ����� ��� �1� �� �� �� �

��� 3������� �"� ������ �� ����� ��%��� �� �1� �� ����� ��%��� �� ��������� )����* �"�4� �"� �� / � �1� ! ��� ;0 )/* � �1

� � 5� � ;0 �� ��� ���"��� � ���C���� ��� �"� ����� ��� �1

� �� ���� � ������ ������ 5� � �"����� ��� � . � � � �� ��)��*

0 �� �"� ���;

���������� �� $�� 4������ ������� �� �������� �������� ���� ���� ��������� ��

����� ���� ��� �����(

Page 61: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� �����#3#���#�� �3 ��� �%&&��!#�� �3 ����#��� ',

0�� / %� ���� � ������ ���� � C � �� %� �"� ������� ���� �������� ���"� �� ��� ���� �� ��� ����� �� )4����� � ������ ����� � � ��*1 �"� C/ �� � ����� ������ ����� ("�� ������

��������� " $���� ��� �������� �������� �� ����� 4������ �����(

("�� ����� � �"�! ���' �� )���� �� ��- �� ,''��,! �"� ����/ �� ������ ������ %� ������ �� �"� ����/ �� ������ � ����� ������ �\�� ��������� ����� ������ ������

���� �"� ����� ����� ��� ���"� "�� ���� ��� � �� .� 4� "�� ��� � �"� � � �� �#��! �"� �� �"� �� � ���� ��� � �� �"� "���� � ��� +�����("� ���� ��� �� �"�� ����� ��� �� �4�� 3��� �� ����/! �� ����� ����� �������%�� � ��! ����

�� � � �

���)�* �)�*� ��)�*

�! 4"��� �"� ��)�*A�! - B �� �! �� � � � ����� ������ � �)�* �� � ������! �� �� �����"����4�� �� �����/ �"� �"� ���C���� %/ ;

��� �"� �-���� ��� �

��%� � )��� 5 )��� 4��" � V � B �� ��)��*! �� �-���� ��� � ��%� ��

N� 4��� ����/ �"� � ����� ������� � 4��" �"� "��� �� 2��������� )#* � )'*!�����;

���������� �5 .� � � ���)��* �� � -���� �����" ���� ���)��)��*0 * B � � � ��

��������&�� �� ��� �����(

����; 7; ��� /�! - B �� � %� �4� �������� ������ ����� � ��� � %/ � ; �� � � !�.��

� B .� � .��� �.� B )���*�1 �� �� � � ! .��� �.� B .��� �.� � .�.��� � B

�.�.��� � <� � �� ��� �������%�� ���� �! $"��A� ���� ������� �"� �"� ������

�� �"� ����� � �� ������� ���� �� ��������� �� �! �� .� B ).�! ) � �� < �"� �� �� �����%����/ ���� � %�� �������%����/ ���� �! $"��A� ���� ������� � �/�"� .�.

��� B ) V 6< 4��" <� B �� >��� .� B ).� V 6<.�! ��%���� � �"�

�� ������ ��������� � � �%�� � � B 6)<.� � .�<�* � 6).� V <.�<

�* B ��$� � .� V <.�<

� �� �"� ��� �� �4� ��� ������! 4� ���� "�� 6 B �� $����)��)��*

0 * B � ���� �� � -� ��� � ������ �� ��������� ��

(� ����� �"� � ����� �� ������� � �� ����� � �"� �� � �� �����%��! �"� ���)��)��*

0 * � �� .����� �"� � ����� � ��� � ��%��� �� ���� ��� � � !�� � B � � � �� ��� �� �"� �����%�� � �� �� ��������/ �����%�� ���� �! ��

Page 62: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

'� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

�� ��/ �� �����/ �"� �"� �-���� ��� � ��%� � )��� 5 )��� ! )� � �! � ��)��* ���� ������� %/ � � �� �-���� ��� � ��%� �� �

��������� - $�� 4������ ����� �� ��� ��������� 5 � ��� 4������ ����� �� ��/����

��� ��� 4������ ����� �� �� ��������&�� ���� �( �������� ��� �������� �� ���� 4������

����� ��� �� ��� ���� )� %��� � �� �������� �������(

("� �������� @��������� �� ������ �"� 7 ���1 �"� 2������/ )'* ������ �"� ��-� � �� �� �� 2������/ )#* ������ �"� ���� "�� �� * � * ��� �� �"� ������������������ �������� �"� ������ �

3����8 � ��������N� � ������� � )��#'*! �"� ��� �� -���� ��� � ������ �� �� ������ ; ��� B������� N� �� '� ��� �"� ����� �� ����������� N� ��� � �"� ��%����� �� -���� ��� � ������ �� �� ���������� � �"� ��%�� ����;

��� B ����'� B ���)'� ���*� )�����*

("� �� ��� �"� ��� �� ������ ������ � �"� ������ ��� �� �� �� ������ � �"��� ������� � .� � )��+#* ��� ���! �"��� �� ��"�� �������"� ��%����� ���

���� B ��)��*�)���)��* ���*� )�����*

("� ������� �� � ������ ��� /����� ������� � ��� ���� �� �"� ��� �� ����������;

����� B ��)��*�����)��* B ��)��*��)���)��* ���*� )�����*

("� �� ����� �"� �� �"� ������ �� ������ �� �� " �� �"��� ����� ����

3����8 � �������

���� ����� �� ������0 B ��� �"� ����� �� ������ �)���*8� � � 0� �� �����"� � �������� � ����� � �� ���� %/ �0�

���������� �� $�� 4������ ������ �� ���� �������� ��� �������������� ������3 ��� B� �

�(

����� < ����! � )���,* 4� "�� �"�4 �"� �"� ������� ������ ����� �����/;.)��* B .��)�*� �/ ��� ���� �� �"� ����� ����� �� �!

�� B �� � ���)��*� �.)�*�� B .)�*�1

Page 63: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� �����#3#���#�� �3 ��� �%&&��!#�� �3 ����#��� '�

� � � �"� � ����� �� �"� ��� ������/ /����� �"� ����� �� �"� ���������� � �

:��� �"��� B � (� � � �"� � �������� � �� ���"���� �����

L M����--�2� L � M����--�

� ���� � ������� � �"� ��� ����� �� ����� ������

��$����% �����&������ !��+��� �������' (4� ����� ����� �� � �����-��� � �� �"�/ ������� � %/ �"� � ������� H1 �"� ����� ����� � ��� � %/ H ������ ��5�������.����

< ���� ��� � ����/ ����� ��� �� ���� � �������� �� ("�� �� ��� �� �"� ����-��� � �� �"� � ���� ��� � �"� ���/������ ������ ����� �� �� ������-

��� �1 < B

�� ��� �

��� � � �� �"��� ("�

�� � ���)�*� ���� B (�� �<�� B < 1

4"�" �� �� ������� � �� )���*� B <���< � < �"� ������� �� �� ���)��*! ����"�4� �"� �4� � �������� � ������ �� ���)��* ��� � �"� ��� ���"���� ����

9���� � � �������� � ����� ����� ������� � )%/ � �� )����* �� �"� ��� ��-��� �/��������"� �/���� )� ����! ��� / ���"��� � ����� � B )���*� B ��*�$������/! ������ ��� �� �" ��"�� ������� � �� �"� ��� ����� �/��������"��/�����

��$����% ������� �������� ("� ����� � �� � �.(�� �� �� %� �� ������ �� �%/ ���"��� � �� �������� �

<� � �� %��� �� �! �"� )���*� �� %��� �� ��� <�������/ �� ������� � �� )������� )����**;

�� � '�� �� � ���)��*�

)���*��� B �� � .)��* B .��)�* B �.)�*��� )����#*

<�������/ �� �%������/ �/������ ������ 1 �� %� 4����� � ! ��� �������� �

)����#* �� �"� ����� �� �� ����-���; � B ��! 4� �%�� �� � ���)��*! )���*� B

�� � ��� B ���B .)�*� ("� ������ ��;

���������� �� � ����,���� � .)�* � #��)��*� ��)��*(

������ ��������� ���� �� ���'����� (��'� �� �� �������� 7� &��,��- E &"�,��-���2���� ���'��� ���� '��� ��? � ���<���� � �,�- �� ���(�� ��� ��,�,�-- E !�

Page 64: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

+� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

:���� �"� ����� %� ������ �� ����-��� � �/ �� �� %��� �� �� ����-� �������� ������ ���� ���� ��� �"� �"� � ��� �� ��������/! ���� �����/ �� �� ��-�"��� � �� �������� ! ��� �� � ������� � ���1 ��� ���� ��� �� �� �"� ������������� ? � ���� ��� ��� �� � ������� � ���� �� -�4 � �.(����,! ���� �����-���/ �� �� ������ � N� 4��� ���� ������ ������� � �"�� �� ����"�

����� "�� *���+��� ��� �� ��� ��'������������� ����������

("� �� �� �"�� ����� �� �� ����! ��� �" ���� ��� ! �"� ��������� � � �"� ������� �� �� �"� ����� "���"������ � � �"� ������ �� �"��� ����� ��� N� ���� �"� �"������ �� � ��� ����� �� �������� �� �"� ����� �� ��%������ 3� �4� � ������������ �"� �� )������� ���� ��������* �� �"� ����� �� �"� � ��� ��%�������� ���)��* � �� ���� �� �� $� � �"� ����� � ��� ��%������ �� ���)��* ������� ����� ������! 4� �� ��� %/ � �"� �� �� �"� ������ �� �"� ���������� ������ ) � �� �� ����� ������*�

< "�� ����! 3� �4� � ���� ������ L3<:�'M;

2 ����� " $�� �������� �� U��G" ���)��*.�� ���)��* ��� �� ��-���� �����

�� � � �(

("� "�������"��� G �� �����/ �%�� �� %/ ���� � ������ � �"� ����� �� �� �"����)��* ������� ����� �� �� �"� �� �� �� �� �"� ���� V�� � ���)��* 4"���� �� ����� 4��" � ����� ����� ��� (� ����� �"� �"����� � � ���� � �/�� �"�4 �"� 4"� V�� �� �� � ��� �����! �"� ������� ��� � � �! � B �� N����� ����� � � ���/ �"��� ����� � 2"���� �! %��� � �"� �������/ �� �������$� � �"� � �������� �� / � ��� ��%����� � � ���)��* 4��" U��G! � � � �����! G ��� �������"���/ � � ���)��*� ("� ����� ������ �� 4��� �4 ���� ������ ("�� �� ��� �� �"� �� �"� �"��� ����� ����� �� %��� � �� ����; � 3������ �)����� ����/ �4 �"� ����� �� �"��� ������;

/ �� ��� ����� ; 6�)/*B ����)� 3*� B �/������%������

)/� � �*� )����'*

N��" �"� ���� �"���" �� *�$ ��� G* �� ������� �� $H! � �� ��� G������� ���� �������H! 4� ��� �"� �"� ����� �� � ��� ����� � � ���)��* �� ������� �� /63)* � �"������� �� �"��� ��;

�� � � ��)6�)/**� )����+*

Page 65: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� �����#3#���#�� �3 ��� �%&&��!#�� �3 ����#��� +�

("� 3� �4� � ����� ��������� �"�� %�� � � ��� �;

����� � ��3)6�)/** B � B

�3 *+ ,-*.�

/��

��� �

������ �� )����,*

4"��� 9�: �� �"� ������� � ����� ��

3� �4� � ����� �"� ��)� �*X � � � )�*X � ������;

�V �� B � ' ��� )�����*

I�� � �"� ����� �� ��� �"� �� ��� ������ ��%��! "� ��� �� $� � ������;

$� B �� ��� ��� ��)���*� �� B �$� ' �� �� � � B ����%������

$�� )�����*

>��� �� B � � � ������ ���� )�����* � )�����* / �1 ��� � �� � �� B �#�N��" �"� ������ ;

�� B #$���)� �*�� )�����*

4� ���%���" �"� ������ �%�� #-��

� ! 7 = # F'� 1 1> !71 !7> 117 � 7# F;1> 7�">=�>#> !�="=�#F"�7>> =1;�:;=�77:�:>>

7��= 7��=��F 7��=��F�; 7���=��F��; 7���=��F��;�!!

� 1 ;'� !1=:> 17 �

7���=��F��;��!!�!= 7���=��F��;��!!�!=

2�(�� .��� >�� ,! ����� �� $� � �� )4� ���� �"� �V �� B � ' ���

���������������� ����������� �� �"� ������� � �� ��� �"� ����! ��� �" ���� ��� ! �� �"� �����%�� ������ �� )� ���* /�� ��%������ �� ���)��* ��! ������� ��/!���).*� 5���! � ����� ������� �� �"� ���� %�� ���� �� �"� �/��������"��2� 5��� �"#$��� 4� �"�� ��� ���� � ������� � �"� ��S��� � ������� ���� � ���"��� /�� ������ � ���).*! ���� 4"� �"� �/��������"��� �� �"��� G�����������H�

Page 66: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

+� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

0�� J %� ����� � �� � ��� ����� �� ���)�* �� ���).*! ����������/� ("� ��� �-��� �� ��� "�������� ���/ ���� ��;

4)��* � ���)2�J* B 2�V

�����

$�2���1 $� B )��*� ���)J*� $� B ��J� )�����*

� �� $�A� �� ����������/ ��� ��%��� �� � ������� :���� �"� J � J�� "����� "�������� ���/ ���� )� ���� J �� ������� � �� ���"��� � �����*! ��$� B $�$����

J %� ������� ��� %/ ��� G��� �� �����H �4 ;

)�4*�� B

�5��� �� % � ��$� �� % B

�4 B

����������

� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � ����

������

���� � �

������

� � � � � � � � ��$� �$��� �$��� �$��� � � � �$� �$�

���������� )�����*

2� ����� /�� ����� ��� <�� ������ ������� ���� �� �� ����� %/ �"� ��-� �� ����� � 4"��� "�������� ���/ ���� �� / B 2� � �� 5�4 �� �� �"�������� � . �� �"� ������ ������� ���� �� ��T <� ������� �� �� �"� �����-���� � . �� �"� "�������� ���/ ���� 2���1 �"� ����� �� ���� /���������/ ������ ��������/

2 � � B���

a�)��*� a�)��* B�

/0���5����5�)�

)2 � ?�� �%�*� )�����*

������)a�)��** B �),*�

("� �� ��� �),* �� �"� ����� �� ��� � <� %� ������� ���� �"� �4� ������������ �"� ������� ��������� ;

��)�� * B �� �)�* B �)�*�)*� A �� ����� ; �)A* B )A� �*A��

* �)* B �

" ,-*.�5"��)�� �

"*�

����

�),* B � )����#*

5��� �� �"� ���� ����� �� �)�*;

Page 67: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� �����#3#���#�� �3 ��� �%&&��!#�� �3 ����#��� +�

� ? ! 7 = # F 1 ; : " !> !! !7(,�- ? ! ! 7 7 # 7 1 # 1 # !> #

� ? != !# !F !1 !; !: !" 7> 7! 77 7= 7#(,�- ? !7 1 : : !1 1 !: : !7 !> 77 :

("� /������ ���/ ����� a�)2* "�� � ����� ���� �� ��� 5��� �� ���� /��-���� ���/ �����;

a�)��* B 2 � �� a�)��* B 2 V �� a�)��* B 2� V 2 V ��

a�)��* B 2� V �� a )��* B 2� V 2� V 2� V 2 V ��

a�)��* B 2� � 2 V �� a�)��* B 2� V �� a�)��* B 2� V 2� V ��

a��)��* B 2� � 2� V 2� � 2 V �� a��)��* B 2� � 2� V �� )����'*

>����4� � 5��� �"#$���! 4� �� ��� �����/ %/ )�* �"� ��� �� ����� 4��""�������� ���/ ���� a�� >�� ������;

)�* B B �)�*� )�* B

�� ��� ��

�B �)+*� )#* B

�� ��� �

)'* B �)��* B

����� � � �� � � �� � � ��� �� �� ��

��� � )�* B

����� � � �� � � �� � � ��� � � �

���

)��* B

����� � � �� � � �� � � ��� � � �

��� � )����+*

("� .-�������%�� ������� ���� � �� �� �� �� ����� %/ �"� ������ ),*! ,��1�"� � �/ ���"��� � � �� �"� �� ����� %/ )�*� ��� � � �%�� ���"��� �����%��������� ���� �T < ���� / ���"��� -���� ��� � � ����� ������� ���� �� �� ���� ����� %/ �"� ����� � B 5�+�)��* )�"� +�A� �� �"� ������������� �� �"� ������)��** 4"��� �"� ��� �� ��S��� � � ������ �� ������� �"� �4� � ����� �;

�� +��)��* B !

���)��* B ��

��)�� � !>F� ��� ������ ����� � !� >��!� ��� �� � E !>F ,���� �� �� ������� ���('����� �� �� �������� ��� '���-� ��� �7 �''�� ��� �� ������� ���� �� �� ������� ���� ���������� '���������� � �������� *�� � � ��

Page 68: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

+# ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

("� ���%���"�� �"� G�/��������"� � ����� H1 4� "�� ����� ���� �� � 4� �4 "�4 �� %���� �� .-� ������� � � ����� ������� ���� � �� �"� /�� ��%�������� ���)��*� ("��� �� ������ �� �� �"� �����%�� ������ �1 �"�/ ���� ��� ��������� ������ �� �"� � C��/ ����� �� �"� ����� �� �� � ��� ����� �� �"� ��������).*1 �"�/ �� ���� �"� ��'��� �'�� �� .�'� ��� %/ �"� �/�������-�"���� N� �"�� ��� �"� 5��� ����� �� )

�� �

6�� * ��� �"� ����� � B 5�+�)��*�

N� ������&� �"��� ������� %/ �"� �"�����

2 ����� - $�� ��������� ������� �� ��� ������ ����� ������ �� ��������� ��� &�

��&����� &� ��� 6������ ���&���3 )�� �

6�� * %���

�� +��)��* B ( $�� ����� �� ���

������������� ������ ����� �� � B ���)��*" ��� �������� ������ �������� �� ���

��7�(

("� ��� ������/ 4� � ������� � 5��� A� ���� �"#$��� � �"� � ����" %����)�"� ���� �� � ���� *� >�� �"� ���� ��� ! "� ���� �"� /�� ������ �� 4��"�)�* B �� ������ � ���� � �� ������ �"� /�� ������ �� 4"�" �� �����%��� .�

N� �� ��� %/ !� �"� ��%�� �� �������� ����� �� �� ���� ��� � < "�� ����5��� ��� �"� ���� �� !� ��� + � B �� 5��� �� ���� �����;

! 7 = # F 1 ; : ")� 7 1 !> 7# =: ;: !!: 77# ==>

2�(�� .�( :��%�� !� �� �������� ����� �� � ���� ��� �

$� � �)�* �� ��� 4"� � � �! � � �%�� � �"��� ����� ��� �"� ��� ���� ��� �V� ���� �"��� �� �"� ��� ���� ��� � %/ ��� � � � �� �"� �4� � � ���� ��� ������� )�* �� )-�* �� ����� �! �! ����������/� (� ������ �"� ����� �� �"� �%��!�� ����! 4� ��� � �"� �����4� � ��������� �;

7� B �"� ��%�� �� � ������ � �����/� � �"� ������ �)�* B �� � 7���� B�7������

�)���� �"� 7

���� B 7�*� N� ��� � ���;

6� B �� 6� B 7�� 6� B 7� V 7���� � 6� B 7� V 7�7� V 7

���� �

6� B 7� V 7�7� V 7���� V 7�7

���� V 7

���� � ' ' ' )����,*

� � �"#$��� A���� ��� ��� ��'�� �� �� ������ ,��- �� � ��������� �� �� ��� ��� .����� ��#�B� �� �� ���������

Page 69: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� �����#3#���#�� �3 ��� �%&&��!#�� �3 ����#��� +'

�"�

!���� � !�� B 0�� B !�� � !����� 4"��� 0�� B

����

6�� )�����*

�E! ,!- ,7-

�E7 ,!�- ,!�7- ,7�- ,=- ,#- ,1- �� ! � 7 = # 1�� ! 7 7 = # 1* E '� ! <! ! ! ! !+ E �'� 7 > <7 <! > !

�E= ,!�- ,7��!- ,=�!- ,#�!- ,1�!- ,7�- ,7�!�- ,=�7- ,#�7- ,1�7- �� ! 7 = # 1 H! � H= H# H1��A ! !� !� !� !� !� !� !�� &� !��

�� ! 7 = # 1 7 7 1 # 1* E �'� ! ! ! ! ! <! <! <! <! <!+ E �'� = <! > ! 7 <= ! <7 <! >

�E# ,!�- ,!��7- ,!��7�- ,!�7�- ,7�- ,=�!�- ,=�- ,#�!�- ,#�7�!- ,#�7�-�� ! 7 7 7 7 = = # # #* E '� ! <! ! <! ! ! ! ! <! !+ E �'� # 7 > <7 <# ! <7 7 > <7'� 1 > <7 > 1 > = 7 > 7

�E# ,#�- ,=�7�!- ,=�7�- ,1�!�- ,1�7�!- ,1�7�- ,1�=- ,1�- ,F- ,:-�� # 1 1 1 1 1 1 1 F :* E '� ! <! ! ! <! ! ! ! ! !+ E �'� > <! <= ! > <! > 7 <! >'� 7 > > # > > ! = ! >

�E# ,!>- ,#�=- ,1�#- ,!7-�� !> !7 !7 !7* E '� ! ! ! !+ E �'� ! <! ! >'� ! 7 7 <!

2�(�� .��; �� � �� ��'��� �'�� �� .�'� ��� �:�:7�>�� �" ���� ��� ! 4� ���� ���� �"� 5��� ����� ! �"� �"� ����� � �(������� B�!�1 ��� B � 4� ���� ��� �"� $"�� =��� ����� � �(���� ��� �"� �� �����/�� �����1 �"� �"� ����� �� �"� ����� �� �"� ����� ��! � �"� ����� �� �"� � ��-�� �� � ���� �� �� �"� "�������� ���/ ���� )��� �� � )�����**1 ����� ;�B���! �B������� ��

0�� �� �� ��� %/ �)�*! �"� ������� ��" �"� ���).* � �� � /�� ����� ��������� .� ������/ �� ("����� +! 4"� � �� ��4�� �� ����� ��%��! �)�* B�)�*1 %�� 4"� � �� ������%�� %/ ��S��� � ������ � � "� �4/� �"� � ������/ ��

��2�����(� ���� '�'�� ����� ��� ���������� �� ���������� ,�� �� ��� G��������(�'���-

Page 70: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

++ ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

�)�* � �)�* � 4� ���� ���� � �"#$���� < ���� �"� ���� �� �)�* �� ��� �� ���;

� B ����

A��� �

�)�* B )� � �*�)��* V��

�)A��� * B )� � �*���� V��

)A� � �*A����� � )�����*

4"��� A� �� ��� ������ � )� � �* �� ������ �� ����� �� ��� 1 ��� ���� ��� �� � ���� �� � 4"��"�� �"� ������ %��4�� �"� %� ��� �� ���� �� ����� ������)�* �� �"� ��� �� �"� �A� �� �"� ���� ��� ����� �� � 4"��� �)�* �� �"��� ������!�"� ���� ����� "� � �"� ������ �� �)�* ����� �� �)�*1 ������� �)���* B ��!�)���* B #�! �)����* B ��! �)����* B #��� :���� ��� �"� )�����* �"�4� �"� �"� �' ��.� �� ,�� ���() �))�� �� ����).* ��. ������).*�

(%�� #-� ����� �"� ���� �� �"� �������� ����� �� ��� ���� ��� �!�!#1 �"�/ ��� ��"� /�� ��� � ������ � �"��� ���� ��� �� (%�� #-�� ����� ��� ��� ���� ��� � ���� ��! �"� �������� ����� �� 4"��� ����� ���� �� ���� � ������ ���� ��� ��

! !�7� ,!-@ ,7-@7 =�#�1� ,=-@,#-@,1-@# F�:�!>�!7 ,F-@,:-@,!>-@ ,!7-�,=�#-�,#�1-@1 ;�"�!#�!F�!:�7>� ,;-@,"-@,!#-@,=�F-@,!:-@,#�F-�,#�!>-@

7#�=>� ,=�:-�,1�:-@ ,=�!>-�,1�F-�,1�!>-@: !1�7!�7:�=1� ,!1-@,=�;-@,#�;-�,#�!#-@,#�"-�,#�!:-@

#>�#7� ,F�:-�,:�!>-@,1�;-�,1�!#-@1>� ,=�#�F-�,=�#�!>-�,#�1�F-�,#�1�!>-�,F�!7-�,!>�!7-@

!> !!�77�=F�#F�#:�F1� ,!!-@,77-@,F�;-@ ,F�"-@,,=�!1-�,1�!1-@,:�;-�,:�!#-@;>�;7� ,F�!#-�,!>�!#-@,:�"-�,:�!:-@:#� ,=�#�;-�,=�#�!#-�,#�1�;-�,#�1�!#-�,!7�;-�,!7�!#-@">�!7> ,!>�"-�,!>�!:-@,=�F�:-�,=�!>�:-�,1�F�:-�,1�!>�:-@

2�(�� .��� >�� �" ���� ��� �� ���� � �"� ���� ���! �"� ������ �� /�� �������� ���).*! � ' 4"�" �� �� ���� � ������ ���� ��� 1 � �"� ���"����! �"� 5��� ����� �� �� ����� ��� �" ������� ���� �� �"�� ���� ��� �� ���� ��� �"� /�� ����� 4��" �"� �4 ������

����� "�� ���� �'�����' ����� �� � �������� �������

�/ ��� ���� ! ������ ����� �" � �"� ������ ��� �� �� ��� �� )���� ����� � ��%�� �� �� ����� ����� � � ��� $� � �� ��%����� �� �"� ����

���� �� ������� ���� � *�� ����� '����� �� ���#� ���"�� ��

Page 71: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� �����#3#���#�� �3 ��� �%&&��!#�� �3 ����#��� +,

�/�����/ ����� �)�"* �� �"� ("�� �/�����/ ����� �� �"� �����&�� �� �" � )�1�*�! 4"��� �1� �� �"� ������ ������ $� � �"� ��� �� �� � ���� � � ��%�� ���� � �)�"*! �"� ��%���&��� � �)�"* �� �"� ��� �� ���� � C��/ ��� �� �)�"*-��%������ 4"�" �� �������"� �� �

�! �"� ����� ����� �� �� ("�� ���%���"��;

)�1�*�� B �)�"* ! ��� ��� )�����*

("�� ����� �� �� ����/ ���� �"� �, ��������)�� ���() �� �"� )� ���() �� �"!� ������� �� ��� )���� ���() B )'�*� �� �� ��� ����� ����� �

�� ("� �/�����/����� �� �"� �� ��� ����� 4��" �� ���� �/�����/ �� �� B ������)��*1 �� �� ��%����� �� �� ��"�� �A� �� � �� %��� �� �� �� ����� ������ �

��

$� � �"� �/�����/ �� ������ ����� �� ����� �" �"� �/�����/ �� ��� �� �-���� ����� �! �� �� ���/ 4���"4"��� �� ����/ ���� �� �"� � ����� �� �� �"�� ���("� ��%�� �1���

" �� �"� ��� �� ������� � �� �" � ��� .� � �"� �������� ����� 4� 4��� �� � ��� �� ������ ������ �"��� ������ ������ �� ����� � 9� ��� �

���������/ %/ ��! ����� �"� ���� �� -���� ��� � ������ ������ � � ��� �������� ������! �"� ����� �� �"� ��%�� ��� �� �"� ������ ��� �"� ��� �� �"������� �����!

����� B ����1� B �����1�� )�����*

N� "�� ���� �"� ��� ������/ 4��" �"� ������ ��� %���� �"� ��%���&��� ���4� ����� � � ��� �� ������ �� %� � C������ � �1�1 � ����! �"�/ ���� %���%��� �� �������/ ����� � ������ 4"�" �� %� � C���� � �1�� ?� �����

����� �� � %�C���� 4��" ��) * �� � ��� �� �� ����� ������! 4"�" �� ���� � )��,�*� �4� ����� � ��%�� �����

2� ����� �"� ����/ �� "����"��� ������ ������ �%�� �� � ��%��� �� �"� )�A�!) � �1 �"��� ��� ������ ))�*�� �

� �� �� � C����� � �"� ������ ������1� %�� �"�/ �� � �"� ���() �� �'����(. )�� ����� %/ �1� � �"� ������ �)�*� 3��� �� ����/ � � � ����� �"� ����� �� ��%������ �� �1� � C����� ��

%/ ����� �� �� .S�� ("� ����� ������ �� �� �"� �/��������"� ������ � ��

��" � C��/ ���! ������� � ����/ �� �"� ����� ����� �� �� �"� �� ����� ������ ��� �� %/ @��������� �+�

2"���� � ��� � �� �"� ����� � ����� ! � ����� %��� � %��� �� �"� � ����/� ������ ���! �"� ����� 4� ��� ��� �"� ����� ����� �� � �"� ����� �4 �� �"�

������ �� �� '���� �� ��* �� ��������(�'��� .�'� ���� ��� ������ ���� �� ���0�(������� ����� �� �� ������� �� (��'� *���� '���� �� /�� �� ����( �� ��'����'������� �� �� 6������� ������� �� ������� �� �� ����� �� � '��� ����������

��J*� �� � �� '����? ��� �� �� ������� �������� �� ���� �� �� ���0�(����� �� 2/� ������ � ��(� ������@ ���� �� ������� �� * ������ � (��� ������ ,*��� ������ ������- ������ ���� ��� ��� ���0�(����� �� 2/� � '������� ������� ����( �� �� �� �������� ���������� �'� ��� �� �� ��� ��� ��� ����( �� ������� I� �� ������ � �(� ��������

Page 72: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

+� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

�/��������"� ����� � ��

�>� � �� � � ��� ��>�� �� � �� ��>�� ����>�� �� B ��>� V ��>�� � ��� )�����*

�/ � �� ��� ��� �"� ����� � 4����� ��>� � �"� �� �� ������� �� ������������� � �� �����4�� %/ �"� �� ����� �>� 5� � �"� ��� �� �"�� ����� � � �"���� � � � �� ��

��>� ��� B ��V �>� )�����*

("� ��� �� / ����� ��� ����� � � �� �� � ������� � �� ����/� ("� ��%���&����� �� �"� ��� �� � � �� �� �� � �� �� ����� � �� �"�/ �� �������"� ����%������ 9)��* �� �"� ��� � ����� ! 4"��� 9 �� �"� ���C����� "�������"���

��� ��� ! �� )����#*

����/ ��%�� ��� �� � �� �� �� ����� ��%��� ���1 �� �� �� � ������� � �� ������"� � ��� � �� � �"� ��� �� �� �"� ������ � ����� ! ��� � �"� �-��%����� ����� ("� ���� "� ���� � ����� ��������; �"� �� -���� ��� ������ �� � �� � ��%��� �� ��� ���� �/ "���� �! � ����! ��� � �� �"� ����� �"

� ����� �� ����� ��� � ��! �"� �-��%�� ��� %� ��� ����� 4��" �"� ������ ������ ���� ! @�

� 4"�" �� ���� 0�� ����� �"� 4� ����/ � ������� � ������ )����*� ? � ������� �"� �"� ��� �� �

� � @�� �� �����%�� 4��" �"�

����� �������� )�� � �� �� ���� � ��%����� �� ���)��*! �"� �������"��� �����

�� @�� * � �"� �"� �4� ��%������ ���� � @�

� � �� �� "��������"�� 3�������

�"��� �� ���� ����� �� %��4�� �"� �4� � ��� ���� ����� (� ������&�;

���� B @�� 1 ���� ! )����*�)���* ! @�

� � ��� ��� .� @�

� � ��� )����'*

("� �� G �� ���C�����1 �� ��������� �"� ����� ������ � � �"� ���� ���� )B� ���

����*! %�� �� �� �� ����/ �� � C������ <� ��� �� ��� �� ��1.� @�

� 4"�" ������� � �� ����! �������� � �"��� ���� ��� )�� � �"� ��%��� "�� &��� ���� ��� * � �"��� � ��� � ������ �1 ��� � �� � �"� ��� �� �� �� ��� ������ � �"���� �� � � �� �� �� � �� �"� ��� �� �� �� ��� ������ � �"� ��� �� �

� � @�� �

N� 4��� ����/ �4� ������� �� �)�"* 4"� �� B ���)��* � '�)��*� .����

)�����* 4� "�� � ������� �� B ������)��* � ���� �� �"� �� �� ��%������� �� ��"�� ��� ������ �� ������� <�� ����� �� �� �"� �� ����� � � �"��� �� �"����� �����)��* B ���>����� �> � ��� ("� ����� �� / �� �"�� �� �"� � �� ����� ����� ��� ("� ����� �� �� � "�� � ���� ��� ��! �" ����� � �� �����)��* "� � ���� ��%�� ��� � )��� )�����** �� B V �

��> � �"� ����� ������� ��>���� ��

�"� �/�����/ �"����" �"� ������ � �&� �� �"� ����� ������>� ("��� ����� �� �� ��

Page 73: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� �����#3#���#�� �3 ��� �%&&��!#�� �3 ����#��� +�

4"�" �� �� �� ����� � ���� �� � C��/ ����� � ��1 � ���� ��� �%����/�( � �!

��(�(����>� H���(�(���� B ���(V �>� ��� )����+*

$� � � ��� ���/ �"� ��� �� � C��/ ����� �� ����� �� �� �� 4"�" �� ���� ����� � 4��" �"� ����� � ; �� � �"� �� ����� �����1 �"��� �� �� ��" ����� � �"��� ��� � ; �� "� �"� ���� ����� �������� ���� ! ���

� � ("��� �����������/ ��� �"� ���� ��������; �� ����� �� �� �� �� �� �� ���� �)� .� ����(' ; ��1���0� <�= ��. �� 0�� .�'� ����� ������ < �"� ������� �� � ��� �� �

� B ���)��* � @�� �"� ���� ��� �� �� �"� � ������� � �� @�

� 1 �"�/ ���� ��

��%����� �������"� �� ���� � < ���� � ������� ����� ��� �"� %��� �����

@�� ! �"� ����� �� ���� %/ �� ����/ 1 B �1! ��

���� � @�

� B �1 � @�� 1 �1 B ��� )����,*

("� �4� ����� � ����� �� "�� � �/ �4� ����; �"� &��� ���� ��� � � � ���

� ��� ������� �! �"� ��� �� �� �� ��� � ��

N"� � � "����� %��� ��$�� �� ����� � �"� ����� �� �� � "�� � ����� ���-�� ��� � �"��� �� �� ��� ����� ���1 �"� �"� ����� �� �� �"� ������ � ��������� ! @�

� %� �%����� 4��" ��� ����� ��� ������ �� ("� ����� �� �� ����

"�� ����� ��� �� ��)��� �*� ("� � ������� � �� �� %� ������� ��� %/ 6�!

�"� ����� �� ���� � ������ 4��" ���� � ����� �� (�� ("� ����� ��� �� �"������� ����� �� ���� -���"��"��%� %/ �"� �/��������"���� ("� ������� �� ������ %��� �� � ���� �� �� ��������� � � " ��� �� ��� �� �"� %��� ������!4"�" �� ������/ ���"��� �� N� ���� �� �"� ����� �� �����/ �"� �����4� � �������;

9�� �� ��(��. !��+��� ������ ("� ����� ����� � B 6� �� �� ����� %/ ��-=���� � �"����" ������/ ���"��� � "/����� �� � �� � � �"� ����� � ("� ��-����� �� � ��� ����� �� �� ����� %/ � ��=���� � �"����" �"� "/����� �� �-�/� � �"� ��� �� �"� ��� ���� ������������ �� ) 4"��� ������� "�� ����� ����� �� � ("� ��S��� � ���� �� �"� ��%��� %/ � �� �"� � ������ �� �" ,-���� ��� ���! � , � �� $� �"� ��%��� �� ,-���� ��� � ���� �� ����

���

�1 �"� ����

��%�� �� ��� ("� ������� �� � ��%��� �� ���� � �"� ��� �� �� B 6� � @�

�����

� � ��! ����������/� �" ������ �� ���� ��� &��� � �� �� ������� ��� %/

� � �� �"� ���� ��� �� � @�� ��� �� � )����,*�

2 � ��(�� !��+��� ������ <�� ����� ����� �� '�)��* B ����B 6���^�� N�����/ � �/ �"� ����� )�/�����/* ����; �"�/ �� �"� &��� ���� ��� � ���� � ��� ("��� ���� �� ������� ��� %/ �"� &��� ���� ��� � ��%��� �� '�)��* � �"���� ���

� )��� �� � )����,** �� 6�� ("� ��� �� '�)��* �� ��� ��� �� �"� �S�����

�� � �� �� ���� �(��� ���������'�

Page 74: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

,� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

��� �� ^� B '�)��*�6�� ("� ��� �� 1 � ���� "�� ����� ��� �� ��)��� �*� ("�

��%��� �� ^� %� �%����� %/ �"� ��%�� � � �� ����� ��� �� $� �"��� ��V � ��%���1 �"��� ��%�� �� ����� �� ��

���

��

N� �"�� �"�4 ���� � ������� � �������/ �� �"� &���-���� ��� � ���� �� � � ��� >�� �"� ����� ����� '�)��*! �"�/ �� ������ ��� %/ �"� ��S��� � ��%��� ���"� ����� ����� � �"� ���� ��� �� �� 6� ��� �� � )����,*� >�� �"� ��"�� ���������� �"��� %� ���� &���-���� ��� � ����1 �"��� ��%���&�� �� ����� � �����%������ � � � 4"��� ���� 9)� * )��� )����#** �� ����� ��%����� �� ��� B �

��< ����! ��� � %� ����� � ��� ��%����� �� �1 � ����� �"� %�/� ��� �� / ���%��1 �� �� � � ��� � �! �� � � �� ����� �� � �"� � ��� ��%������ �� � ��� ��%���&��� �� � �� � ���! � �� �"� ��%���&�� �� �"� %�/� ��� �� / �� ��� ��%����("� ������ �"� �"� ������ �� ��%���&��� L� M� "� ����� �/�����/� N� 4������ � �"� ��� ����� �"� �"� "���� � ����� � �4� ���� ��� � /����� ��" �������

< ��� �� � ��� ����� � � ����� � ��%�� ������� � ��� �������� ���� ������1 4� ��� �/ �"� ��� ��� �� �� ������ <� �� 4��� �4 �"� �"������ � �� ��S��� ��%�� -� ��� � �� ��� ��! � �" ��� �! � �� � �� �"�������� $� �"� ����� ��%��� �� ��%��� �� ������ ��� ��� -� ��� � ��S��� ��%���� ��� � � � ) ������� ����� �� ���� �� ��� ������� �� ���� � �����*� ("�� %� ������ �� �"� �-� ��� � �� ��� � � �� ��! ������� ��/! �� �"� �

�-� ��� ��� ��� � � @�

� 1 � ���� ����/ � ��� � �� ��� � � � ��� ��� �� �� ��� � �"� ��"�� ��� � �"�� %�C����� ������� �� � ��������� �"� ��S��� ��%����/����������� ("� ����/ �� �"� �� ��� � �� )�������� ��/ �"� ���)��* ��� � @�� * � �"� �� �"� / ����� ��� ����� � �� � �� /����� �"�

���� � ����� ��,��������� ��2�������&�� �������� �� @�

� ��� �� �/������ ��

���� �� ��� �� �������� �� ���� � @�

� (

������� ��/! ��� ����� ��� ����� �! ����/ �-� ��� � ��S��� ��%�� �� ��� � �� "� �������� � �" �/�����/ � ��� �� �"� �"� ������ ����� �"�

>��� �4 � 4� �"�� � �� ��� ���� �"� ������� � ��������/� N� "�� �"�4 �"� 4"� �

� '�)��*! �"��� �� ��� �� �� �"� � �/ ����� ��� �� ���� �� ��� ��� � �� ��� � � �"� �"��� �� ����� ��� �� �� ������� � � ���� V ���%���! �"� �� ��� ��%�� %�� � ��"�� ��� '�)��*� N� ��� ���� �"� ��� �"� � -���"��� � ����� ������ �

�! �"��� �� �� ����/ ��"�� ����� ��� ���

N� "�� ���� � ������� � �"� ���� �� �"��� ������ ����3���� �"���/� N�4��� ���� �"� �� �������� �� �"�� �"���/ � )�����* ���� ����� � �"� �����/

Page 75: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� �����#3#���#�� �3 ��� �%&&��!#�� �3 ����#��� ,�

� ����� . ��� ��S��� ��%�� �� ��� K � -���� ��� � ���� � ������ �� ���� 3���� �� ��� 4"� ��� ������ �� �� ���� ����1 K ���� "�� � ��� ��%�� �� ������ )��"��4��� ������ �� �"� ������� ��� � 4���� %����� ����*� ("� 3���� � ��� � �� �������� �� K �� �"� ��%�� �� ���������� ����� �� ��� 5���� � �"�� ��������; � B � ��� �� ���� � � B ��� ������! �"� � ��������� ����� �� � ������� � �� �"� ��S��� � � � �� �������� ��� 0�� +� %� �"� ��%�� �� ������ �� K �� � ��� �1 �"� 3���� ���/ ���� ��K �� �8 )(* B

�� +�(

�� $������/ �"� @�� �J� ���/ ���� �� �"� ���� � ������ �� / )(* B

�� $�(

� 4"��� $� �� �"� ����� ��%��� �� � � 3���� �"���/ ��������"� �����4� � � ����� � � �"� ������ �� K ;

�8 )(*� / )(* B )� V (*.)(*� 4��" .)(* B

�������

/�(�� /� � �� )�����*

$� � -���� ��� � ����� �� �"� ��������� ������ �� ����� #�!

� B #�� � / )(* B )� V (*� B

�����

��

�(�� )�����*

>��� �"� ���� �"� ��� 3���� �� ��� ! � ��� � � ��� �"� ��� � � �� �����! �"� ������ �� ���� 3���� � ��� ���� ��%��� �� �"� �����! ���� 0��� � � ���� ��� ����/ �� �"� ���� �� '�)��* � ���� 4� �����;

2 ����� � $�� ���&�� �� �/����� �� � ����� �������� K �� @�� ��������� �����

� 4������ ����� �� �� � ��8 �� �������� �� ����� �� �/����� �� ���

� � @�� ������ ��

��� ���������(

("��� ������ � ���� �� �"� � �/ � �� 4"� �"� ��%�� �� ������ �� K �� �� ���

� �� '�)��*1 � �"� �� �

� B '�)��* �"� ���� �� �" �������� �� �4 �� �� ���%� ��� ! ���� ���"�� ��� K �� ��� �K �"� ������ �� 3���� � ��� � �� �"����

���� �� �� �"� ��%�� �� ��� �� �� ���

� 4��" � ���� � �� �)��� �*�

("��� ����� ����� ���� � ����� � � �"� ���� �� �"� �� ������ 4"� �� ��

��%����� �� '�)��* ������/ ����� �" 6�� 3���� �"���/ "� ��S��� � ���� ��� �;��� � �� � � � ������� � �/ � �� ���/ � ���� �� ��S��� ��%����/� N� �� ����� "��� 4��" �"� �����%�� ��" �� ���� ��� � %�� ���� �� ����� )���� ��� �� � -� ������* ��� ������� ����/ ��� �"� � -���"��� � ����� ������� >�� B �� �! ���� �� ��� ����/ "� %�� ��� � ������ ("� ������� ��� ����������� 4��� %� ���� � �' � ��'! ����������/� <� 4���� %� � ������� � �� � � ������ ����/ ��� � #! � ���� ��� �"� ����� ����� ������ ��S��� � ����'�)��*�

Page 76: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

,� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

����$ ,��������� ��� � ��'�����������'

?� �����! �� �� �"� ��,�A� �/��������"��� � ������� � �/ �"� ���� ��� B �! � ��������� B �� < �"� R6<<<�" � ���/ �� 4� 4��� �4 �"� �/���� �������� ����/ �� � �� �� ������ �� �"��� ����� >��� �"� �"���"� �������� � ��� �� �� �"� ����� �� ���� �� �/��� � �� � � �����%��! 57�/ � ������� �"������ �� ������� �/���� � ������ � � � �� G�������� � ���� ���H �"�23���1�"�� ����� ������ �/�����/ � �"�� �� �/���� I�� � ��! N���� �4#��� 4� �"����� �� � ������ � ��� �� G�/��������"� �/�����H1 "�� �"��� 4� %��� � �"� ���� � �"� ��%�� �� ������ ���! ������� �� ���� �"� �"�� �� �/�����<�� ���� �/����� �� ���� ����� �! �� ��� �! ���"��"��%�! ����� �! ������ �!"���� �! � �%�� �����A ������ �%$� �� 4� �"� ���� ������ � ��"���������/ �� � � � ���� ��� � ������� 5� ������� �"��� %���! � ������� �"� � ����� G���� �����H )������� � �� �"� �� ��� ����� ������� "���*1 "� ��� ��! � �� ���� � "���! 4"� �� �4 ���� )"��� � � �"� < ��� ��� � (%��� �� 2�/��������"/�(���� � * �"� ����� �/��������"� �/����� )�2$* � �"�4�� �"� �"��� ������������/ # � , �� �"�� � ���� ��� � � � �� < �"� ����� ���� ��� ' �2$�� ��� ��� 4��" �"��� �� N����1 �"� �"��%�"���� �2$ � �� � � �/ ��%����� �"� ����� � ������1 �"� ��"�� "�� �"� "���� � ����� +���� � ����������! �� �"�/ %��� � �� �"� "���� � �2$� < "�� ������ ����� �%$� �� ��� ��� 4���� �"� �"���� �������� � �� ����� ����� �� � �"� �� �� 4� ���� � �"������ �� %�� "� ��� �� ���/ �� ��� �����%� � �"� �# ����� �����1 "� ���� �"�G���"�� �� � ���� ��H )������ �� 4"� �� �� � � �"� ������� � ����* ������ ��"� �������� �� >� � "��� �5$����� 4"� "� ��� � �' ������

.���� � �/���� �� ��%��� � )�"� ��%���� � ���/ � ���� � 4��" �"� ������-����*� < �/��������"/ � � � ������ �"� ����� ������� �� �" ���� < �"��"/��� ���������� 4"��� ����� �S��� � �/�����/ ������ %� �������!�"� %���� ������ �/��� "� �� ����� � �/�����/ ����� ����� � ����� ��0�� �� ���� � ����� �/��� �� "���� ����� � .1 � ��! �"� )�����* ������� ��� �"� )"�����/* ��� ��� ���� ���� � �� �� ��� � ������ / B &��"� � ("��/��������"� ����� )��� �����* �� �� �"�� �/��� �� �"� �������� �� / � �1�� <� / � �� � � �/ � � ������ �����! �� B ��� �

�! 4"��� �� �� �"� ��-

��� ����� �� �� <� �"��� �� ������ ������! �� ������ ���� 4��"� �"� �� ��� ������ �� �! �"� ��� � ����� �� �"� �/��������"� ����� �� ��%����� �� �"� ��-��� �����; ���� �

�� ?��� 4� "�� ������/ %�� �� �� ���� ����/ �"� �������� ����� ��� �

�1 � ���� �� �� � ������ ���� ��� �� �� %/ �� ("�� �� �"� ��

�� ���� � 4"�" "� �4� �%� ���� ��� �� ��� �� )�� ����� * ���� ; ���

���%$���� ����� ��� GI��� ��������(�'��� ���������� � �� ��� ��� �� ���'� ��� 2� �������( ����'� ��� �� ��� ����� �� ��(���@ �� �����

���� !! ������ �� = ����������

Page 77: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� �����#3#���#�� �3 ��� �%&&��!#�� �3 ����#��� ,�

�/��������"� ����� �� � ������ ���� ��� �� �"� ����� ����� �� 2�%� >�

N"� �"��� �� ��S��� � � �� �� ���� .!�!2!� � �! �"� �/��������"� ����� �� �"�� �������� � B �� ��� ��� � � � �1 �� �� �� ���� ����-����� ������� $������� � �/����! ���� :2�! �� ��" ������� ; ��� �"�� ��� �"� �� ����� ������� 2�%� @! �� �"� ����� ����� �� '�)��*! �" � � �� ��� ������ ������ ����� � �"� ������� �� �"��� �4� ������ ������� � �� �"� �4� ���� ��� �� ��'�)��* �� � � @�� ! � � �� �"� ����� )�� ����� ��� �� �*! �"� ����� ��� �� �"���"�� �� �� ���� �� �

� ��� ��

N� ���� ��"����� ��� ���� �� �"� �/��������"� ������ ���� � /���� ��� �

��$����% ���������&��� �� &����� . �/��������"� ����� �� ������� ��%-����� � �� �"� ������ ����� �1� 4"�" � �� � ����� �� �� ����� ��

N��" ���� 4�� ! �4� ������� � ��� ���� � %� ����

�* ������� ��%����� � �� �1� 4"��� ������� �� � ��%����� �1� ; � �� ��-�� ��1

��* ���� ��� �� � ��� ��%����� �� ���)��* %/ ����

N� ���� �"� ��� �� �/��������"� ������ �� ��� �� �/��������"� ��%�������� �1� � C���� %/ �"� Æ � ����� .S�1 4� ��� ����� �� 4"/ �"� �/�������-�"��� ������ �"� � C��/ %/ �� .S�� � ���%��%" ������ �%#��� �"� Æ � ����� � �������"��� ����� �� �/��������"� ������ �� ��� ���� (4� /��� %����� "�"� ����� �"� �"� ��%�� �� �������"� ����� �� � ��� � / ���� ��� )����� �� � �� �"� ������� � �� 5��%���A� ���" ���%��� ��*�

("� ���"���� ��� �� �/��� %� ��" ������ �" �"� �� �"� ���������� �� ��� �� ����� �����1 ���� �"� � ���� )�� �� �������"���* �/��������"������ ������� �� � �� �"� ������ ���"���� ���! "�� �%����/ �� ����� ������ 5�4���� �� �� �����%�� �� ��� � ���� �� L %��4�� �"� ��� ����� ��

��)�� � ���� ��� �� ��� �,� ? � �� � �������� *��� � ������ ������ �� 8�� ,*��� 3�������- ���'��� L�������� �'��� ��� ���� �� �*� ��� �� ��������� � �'������!� !>�

����� ���� G��������'���� �� '��� �� ��� ��������(�'��� ������ *���� � ���0�(��� ���� ���� �� (��'�

�� ���� �� ��� � �� ���� �� �������� ������ �� ���� ,M����B� ����-� �� ��� �������(��' % ���,��-� �� ��������(� (��' �

�,%����- �� ���� ��� �� ��������(�'��� ������� �� ����� �� �� ������3 -������ ,% - �� ���� ��������(� (��'�

Page 78: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

,# ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

�/��������"� ����� � �"� ��� ����� �� ����� ����� ������ < ����! �"� ����� �� ����� ������ �� �� �/��������"� ������ �� ���� �/��������"� ���

] ��� �� ���� 6 � ����� )��� )�����*� ? � �"�4� �"� �"� ���� �� �"� ��

6 9� ����� "� �� ��� ����� ��� )���� �� �� �� ��� �� 6* 4"�" ��� ��L)]*1 �������� � � �"�4� �"� L �����&�� �"����" �"� ���"���� ����� )%�� ���"����" �"� ��������� ����� ��� � �*�

("� %�� �%$���� ����� � ���� ��� � # �"� �! �,! ���! � #,��! �����-�����/! �/��������"� ����� � � ��� �� �"� ������� �� � ������ %/ �� ������ � ������ �� ("� < ��� ��� � (%��� �� 2�/��������/ L<(2��M �� � �/ ������"� ��� � ������� ��� B �� �! %�� ��� �" �/��������"� ����� �"�/ ������� ���� � �"� ������ ��� )���� N/ �S ������� �*� >��� ���� ��� ��� �� ��� � �"� �%��� � ���� � �"��� �%��� ��� �"� �/��������"� ������ ���4�� �� ��� ����� �"��� ����� �4� ("� ��� �%�� �� ���� ��� ���"���� ��� � � �"� ������� �� � �/��������"� ����� ������1 �"� � ������ ���� ��� � ���%�� �� %/ ����� �������� � �� �"� �%���

< ����! �/���� �� �4 4"�" �� �����/ ���������� %/ ���� �/���� 4��"�"� �/�����/ �� ����� �� �� ����� �� $��� ��������� ���� �"� ��,�A� %� �����%�� %/ G�������� H �� � �- )�� ��� �4�-* ���� ��� � ��%����� ���� ����� ! �� �"� �� ��� � �����%� � �"��� �"/��� ���������� �� ����-������� �

�� ��� � �� �"��� ���%��� 4��" # )�� ��� '* �������� ("� �/�����/ �� �"��� �/�-��� ���� %� ������� ��� %/ # )�� ��� '* ���� ��� � �/��������"� ������� $� ����#! �"�� ���"�� "� %�� ���� ��� �� ���� + ���� ��� � �/��������"� ��������� �"� ����/ �� ���� �������/ ��� �/����! � ������� ��� �"��� 4"�" "�� ���"���� �/�����/� $� � �"� �/��������"� ��������� ���%��� �"�� �/�����/� �"��� ���� ��� �! �"��� �/���� �� "�� �� ����� ������ ("��� �������%�� �� �� � �/���� �� ���� %��/ ��� �����/����1 ������ ����"�� "��%�� ��� �� ����/ �"��! ���� ��� �����/! ��� ��#�� ��

��$ %�� ��� �"����� � �& ����� ���� �������

("� �������� � -������ ��! ���� ���� ��� �! �������� 4���" �� � ������� ��������! � �� ������ "�� � � �� ������ � �� �� �-��%������ �; �"��� 4"�" ��������� "���X

��� ����� �� ��������'��� '��� � �'������ >� >� !!� !!7���*���� ������� ��*� 7 ��� ; ����������2 '������� .��'� �� ������ '����� ��������� *��� � ���� ���� �� '�������) �� �� ��������� �� �7�#�

Page 79: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��>� ��� �����#3#���#�� �3 �?� $#&���#���� ����#��� ,'

��$�� �������� �� �+� ����� �� ��������� �����

(� %���� %��� ��� ����� �! 4� ���� 4��" / ����%�� ������ N� 4��� "���� �"������ ����� �8� � # $ �1 �8� ��� �� �-��%����� �6�8�1 6 � ���� ("� �"��-���� ��� � ��� � ����� � %����� � �� � � B &��--_� �� � �-���� ��� ���� ��� ��� � ������ )G� �J���H* 4��" _� ;B �6�8�� � _�� ��� ����� G� �J���H�("� ��� � %��� ����� �8� �"���� %��� � �� _��� ("��� �4� � �J��� � �� � ����� � ����� 4"��� ���"��� � ���C���� � �"� ��� ��� �� %/ �8� "� �"� ����� ��� 4"�" ������� � �

� � �� N"� � ������� �"� � ���������! 4� "���� �"�������� �� � ����� � �8�� ("� ������ ���� ��� �� %/ �"�� %��� �� ������� ���%/ �"� ����� 4��" ����� �� /�� B )�8�� �8�*1 �"��� ����� ����� �� �����/ ����/ �"�� ����� �1

� ��/�� /�� /��� � � /��� )�����*

("� ��� �� ������ ����� ��� �� %/ )�����* �� �� ��� �� ���� �� ��)��*;���� �"�� ���� � �� � � �! � � �/ � �! ������ ���� �� �" ��%�� �� �"����)��* ��� � ��)��* )��� �� � )��,�**�

9������ � � �� ��� �� ���� � ��)��* �� �4 � �"� ���%��� �� ���"����������� �� ������ ����� �� >�� B � �� 4� ���� ������ %/ 0�� �� ���)����

��$�� ������� ��'������������� �'�����) ��������� �������

N� "�� ���� �� ���� �"� ���� �� �"� � ��� ��%������ �� '� � ���� ���� ����� ��� �"��� ("� ������ �� '� �� ������� � � )����������/ ��* �� �"� ������ ��)9* %/ ��� 9 ��� � �"� ����� )����������/! �"� ��=���� � #)G* �"����" �"���� �� &����" G*;

�)9* B

��� 9 � �� 9

�� 9 �� 9

�� #)G* B

���)�G* �� )�G*

�� )�G* � ��)�G*

�� )�����*

4"��� 9)��� �:*! G)��� :*� ("�/ �����/ �"� �����4� � ������ �;

�)9*�)9�* B �)9 V 9�*� #)G*#)G�* B �)�)G� G�**�

�)9*#)G* B #)9 V G* B #)G*�)�9*� )�����*

���� �(����� ��� � � ���� �� �%$� ��� J����� *�� �� I��� ��� ��� �� *���?G��(N� N���� �������(� �� !<� 7<� ��� =<���������� �������� �'������� ���� ���� ���'�' �� �������O

���� ����� �� �� ��(� �� � �� ������� ) ����� � �� �(���� ��(� ����� ���� ��� ������� (���������� �� ������ �

���� ����� �� �� ��( ������ �� ���� ���0�� �� ������ �� ���' �� ���� ����(�'��

Page 80: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

,+ ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

("� ���� ������/ �"�4� �"� �"� ������ � ���� ��%�����1 �� �� ������� ��/ ����#'�� ("� ��"��� �"�4 �"� '� �� �� ����� %/ ��� ��=���� �� N� 4��� ��� �"�������� ������ �;

�)9*�)�9* B �� #�)G* B ��

#)G*�)9*#)G* B �)�9*� �)9*#)G*���)9* B #)GV �9*� )�����*

N� �� ��� %/ �� �"� -����� � ����� ������ %/ �"� ������ � �)�:��*� � � ��1 �� �� �������"� �� ��� � �� �'�� N� �� ��� %/ �'�.� �"� � C��/ ��� ����%�������'�.� ! ��� �� ����� %/ �"� ��=���� #)G*� ("� �4� ��=���� � #)G* �#)GV:�* �� ���� � ����� � ����� �"� 4� �� ���� � %/ ��(�.�! 4��" �"� ������ ����� ��( ��� �"� � C��/ ��� L��(�.�M�� � ("��� ������ �� ������"� �� �"�G��"����H ������! ��� �� %/ �"� �� ������ � ������ � #�� B #�� B � B )#�#�*

�14� �� ��� �"�� %/ ,�1 �"�/ �� � -%��� ��� � �� ("� ����� ��( �� �"��/�����/ ����� �� ������ ���/�� �� ������� � ������

.� 4� "�� ��� ! �� %� �"� "���"���/ � �� ����� � ���� ��� ! ��%����� ��'� "� �� %� � ��� � � C���� )� ���)�** �� ��%����� �� ���)��*� $� ��"� ��� �� ����� �� � ��� � %/ � C����� ! �����/ � ����� �� �� � �� �� � � ��� < ���� ��� � �"�� � ����� �� ���� �� <� ��� �� ��� � C��/����� �� ����� �� )���� ��'��� �'�� � �/��������"/* � �� � C��/����� �� '� ��%������! ���� ��'��� �� %/ �"� �/��������"���1 4� �� ���"��� �"� ��� �� �������� ����� %/;

����� B ���� ��� ��� ��� ��� �:� ��( � ��(� ��(� ��(� �

��� �� �� #� +� �� ���� ���� #��� +��� )����#*

4"��� �"� ��� � ����� �� �"� �� �(����� .� 4� "�� ��� ��� ! ��"�� � ����� � �"� "���"���/ �� �"� �� � �� � ��� < ���� ��� �! �"� �/�����/ �"����"�"� ����� �� �� �"� ������ %/ : � �"�� ������� �"� �����%�� "���"������ ����� ��(� ��� ��(� ��� ��(�

("� ����� �� �� %� "���"���/ �� < ����! � ����� ����� � ��� � %/ ��1��� ��� � �� �"������ ������ ���� � �� � � ��-��%�� ���� (�8��(�8� 4��" )�8�� �8�* B8�� ! 4"��� 8 �� �"� ��� �� �"� ������ �� �� ("�� ��%�� ����8� "� �"� �/����/ ��(1�� �� ����� ����� �� 4��" �"� "���"���/ ��(� <� �� B � �"� ����� �� � ��"���$� ��� �� ����� �"� �"��� ������ �E� � � ��" �"� �E� �� ��� ? � "���� ��� ��� �� ���� �� �� �"� ����� � ��� �� %/ �8�� �8�1 ��� ���� ������� &; �� � V �8�� V �8�� V �8� V �8�� �/ �"� �� ����� � �� �� � � �� ����� �E� � ���E 4"��� ��� E B V �E �� � �� 0�� &; %� ������ �� � ����� �� E� ("�

���� �������� !�� !�� !�� �� ���� �� �����8���

Page 81: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��>� ��� �����#3#���#�� �3 �?� $#&���#���� ����#��� ,,

E � &; B �� &;E � � � �)�� &;E * � �)�8�* B 8 4"�" �� � ������� � �/ �����������! �� �� %� "���"���/�

$� 4� �� ���� 4��" ���� �����%�� "���"������; ��( ��� �"� ����� ������! ��( ����"� "���� � � ��! ��( ��� � �� � ��� �"� ��� ���� � �� � �� ��� �"� �� ���������� ("��� ������ �%�� �"� �4� ���� ��� � ����� �/��������"� �/������5� � �"� ����;

���#�� B ���� ��( � ��(� ��(� � ��� ���� #��� +���� )����'*

4"��� �"� ��� ����� � �� �"��� �� �(���� ���� %/ �� �/��������"���; �"� �������� ���� %/ �� ������! � �� � � ��=���� ! � �"� ��%�� � ������ %/�:��� ("� ��� �� �"��� �/��� �/����� ��

�1��/(: �����(���: /(��: �6������

("� �4� ����� �/��� �/����� ������� � �� �"� "���"������ ��( � ��( 4"��������� �� � � ��! ����������/1 4� "� �"� ��)�!��*B�# � �� ���� �� �"�3� �4� � ��%�� ���

��$�� "�� ������� �� ���������� �������

< ����/ ���� ��� �"� �� ��� ������ ���� � �/ � � ����� ���; %/ �"��� ���-� ���� ! �"��� "���"���/ �� ���)��* B ������! �"� � ��� �� ���)��*� < ����/���� ��� � �! 4"��� �"� ��=���� � �"����" "/����� � �� �� � C���� � ���).* ) �������� � ���)�**! �"�� �� �� ���� � ���)��*� >��� �"� ������ ;� � ;� � ������� � )���+*! 4� %���� �4� ��=���� ������ �� B ;� 5 ���� ("�/ �� %� � C���� � ���)��*1 �� �"�/ 4���! �"�� 4���� ��� %� ���� �� �"� �4������� �V�� � �V��� ("� �� �� �����%��; � ����! �"� ��

� �� �� ����� ���� �"��� ������ �� � ��� �"� ������ � � ��� �"� ����� %�� �"� � C����� %/ ����� � �� ���)��* �� " �� �"� �� �� �� ����� �� �� ������

$� �"��� �� � ���� �4� � C��/ ����� �� ��=���� � � ���)��* � � � ����� �"� �"��� �� � �/ �4�� N� 4��� ���� ����� �� �"�� �� ��� / � 2"�����1 4� ���� "��� ����� ����� ��� B �� . ��=���� � ���)��* "� ��� � �������� � ��1 �� ��� �� ��� ���� ��

# B

�* $+ �*

�� *� $� + � ��� *� V $+ B �� )����+*

�����? ������� ������ �����'����(��? (���� ������ �������

Page 82: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

,� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

< �������! ;� � ;� �� �4� ��=���� � � 4� �4 �"� �"�/ �� �� � C����� ���)��*� <� # "B (;�! �� �� �� ���� �� N� �/ �� %� %�� �� ���� ��&� �� %/� C����� � ���)��*! %�� 4� � � �� ����� ��� ����� < ����! ������� �� ��� �"� ���� ���� �! �� "�! �� �� ��� ! � ���� � �����! ����%�� ���� ����� �& B

�;<

�4��" " B $��! L B )� � **�� 4"��� � B ��)$� � � **� ("� 4� "���� ���"�� L� �� ��������/ ����� � ������ ��" �"� "L��L"� B �! �� ������� � C���� ������; �

L� �"��L "

��* $+ �*

��" "�

L L�

�B

�� �� ��

�B (� )����,*

4"��� � B �*"�L� V $L�� � +"��� 9��� �� � 4"��"�� � �� ��� )� B ��*! �� ���

)� B �� V �*! �"� ����� ( %� � C���� �� ;� �� ;� %/ �"� ������

�� �� �

� �

�� �� � V �

�����������/� ("�� � �� �"� ����� �� �"� ������ � �� ����/ �4�

� C��/ ����� �� ��=���� � � ���)��*� ("��� �4� ����� %� �%����� %/ �"���� )��� �* �� � � )����,*1 �� � "� � L� �� ��������/ �����! �"�� ��� %���������� � �� ��� �� �"� ����� ����� �� *� $� + �� �"� ��=���� ����� #;

� � $V +V $+ )��� �* � *V $V +V � )��� �* )�����*

.� 4� "�� ��� ! �"� �4� ���"���� ����� �� ��=���� � ������� �� � �� �"� ������� � �� �)��� �* �� �%����� � �(����! A�! +� ����������/� . ��=���� �������"�� ��� � �� �� ���� "���"���/ �� �"� ��� ���� �/��� �/����� ("�������� �� � �4� ����� ����� �� �� ���� ����������/ %/ A���� +��� %/ �"��/��������"����

N� 4 � �� ����/ �"� ��%�� �� � C��/ ����� � ���)��* �� ��%������ � C������ ��( �� ��( ! �"� �4� "���"������ 4� "�� ����� �� ����/� ("�/ ���� %� �� �����%/ �4� ��=���� � #� #� 4"�" �� �� ������ � ��" �"� �"� ������ ##� "���� � )�� ��(* �� � )�� ��(*� �/ � C����� � ���)��*! �"� ��=���� #� %� �� ������� ���"�� � ;� �� ;�1 4"� �� �"� �����%�� ������ # �� �� ��� ����)����+* ��" �"� ��##� � ��� ��T N� "�� ���� ��� �� � �����;

�* #� B ;�! ��##� B � * �* B � �! � ��/ # B ;�1

��* #� B ;�! ��##� B �* $V+ B �1 4��" *�V$+ B � �"�� ������� )*V$*)*�$* B �1

�"� � �/ � ����� ������� � �� $ B � B +! * B (�! �� # B (;�� ("��� �4� �������� �"� �� ��( ��%������ �� ���)��* �� � C���� �� �"� � � �� �����%/ (;��(;��

���* #� B ;�! ��##� B � * �* B �! �������%��; * �� ��1 �� �� ��=���� � �� ��(

��%������ �� ���)��* %� �� ������� %/ � C����� � �� (#� � (#��" �"�

Page 83: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��>� ��� �����#3#���#�� �3 �?� $#&���#���� ����#��� ,�

1

p2

pm cm

p3

p4

p2mm c2mm

p4mm

p6p3m1 p31m

p6mm

1

C2Cs

C3

C4

C2v

C6

C3v

C4v

C6v

a b

>����� ���; ("� �4� ������/ ������� ��� ����� � � ����� � % )�"� �-���� ��� � ���"���� � �������� �����* 4��" �"� ����� �������� � ���C�����

�� ����� �� ����� ��� �� � �#��� ("� � ����� �� ���"���� ����� �� ��-��� ������ ("� � ����� �� �������� ����� �� ����� �/��� �/����� )� $"�� -=��� ����� �*

��* #� B ;�! ��##� B �* $V + B �1 4��" *�V $+ B � �"�� ������� )$� +*� B #*���

� )�*V $� +*)�*� $V +* B � * ���� ������� � * B (� � ���"�� $ B �� + B ��� $ B �� + B �� 2� C����� %/ #� B ;� �� ������ �4� ������� � �� �"� �4���"��1 �� � � � ����� �4� ����� � ��( ��%������ 4"�" �� � C���� � ���)��* %/ ;�� ("� �"�4� �"� �"��� �� � �/ � � ��( ���"���� ����

("�� � ����� �"� ������� ��� �� �"� ��� ����� ����� � ���� ��� �� ("�/�� �� ���� %/ �"� �/��������"��� �;

����� B �A�� A���� +���� A#��� A+���� )�����*

N� "�� ����/ �"�4 �"� �"��� �� �"� �� �������� ����� ������ � )����#*����� � �� ��� �� ���"���� �����; A�� +� � A���� +��� ������ � �"������� ! � A���� A��� ������ � �#��� N� ��� ������ �"� �"� �������� �����;�� �� #��� +�� �� �� �����1 �"� �� ��� ���� �� �"� ����� �� #� +� 5� � �"� ������ ���"���� ����� � �"� �(���� ����� ;

����� B �A�� A�� A�� A#� A+� A�� +��

A���� +���� A���� A���� A#��� A+���� )���#�*

("� ���� ���� ������ �� /�� ������1 �"� ��� ����� �� ���� ��� �"��� ���� �� ������1 4� �� �"�� �����'�� �'��

Page 84: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

��$�� "�� ������� �� ��� � ������

("� ���� �� �"� ��� �� ���)��* � ��)��* �� �"� ����� ������ N� ����/� � �"��� ����� ���� �"� �4���� �� �"� ������/ ������� ��� �� ���"���� ��������� � >����� ��� %/ �����4� � �"� G������/ ��� � �� � ����� �����H � �#���

�* ("� � ���� ��� � �� ��� ������ ������� �� �"� ����� ��� A� B ���)��*�("�� ����� �� �������/�

��* ("� ����� A� �� ����� ��%����� �� �"� ���� ������; A���� +���� A#� A+�$� � �"��� ������ � � �������/ � ��)��*! �"� ���� ��� �� �"��� � ��� ���%� �� ���� %� ���� �" ��

���* ("� ���"��� �-���� ��� � ��� ������� ���� � �� �"� �4� ������ A#� A+ ��� ���� � �������%�� � �1 �� @��������� �� �"�4� �"� �� �"��� � ��� ������� �� ��������� �� ��� A#� A+ �� �� �����! �� �"�/ �� �� �����������1 �"� ����� )�������%��* ����� ����� �� A#��� A+�� � �"�������� ����� "�� ���� ��� �� ("� ������ A���� +��� �� �����%�� ���"��� � ��� � ��%� �� "�� ���� ��� �� 3������� �"�/ �� ����� �������� � �"�/ �� ����������/ ����� ��%������ �� A#��� A+�� 4"��� ���������� "�� ���� ��� ��

��* >��� �"� ����� ������ � �� �"� ���"���� ����� 4� �/ ����; $� �A#�� �� �� ����� %/ A��� � +���! �"� �� �� �� A#��-� ��� � �������� � �"� � �������� � �� � � A���-� ��� � �-�� � � � � +���-� ��� ��-�� �� $������/ �"� �� �� �� A+��-� ��� � ������ �� � �"� � �������� ��� �"��� +���-� ��� � �-�� �� �� � ��� �� ����� ��%����� �� � ��� �� A+��� ("� �� ��� �������� �� @��������� ��

(� ����/ � ���� ����� �"� ��� �� ���)��* � ��)��* � ���� %/ �"� �� ��������� ���� �� ���)��* � �"� �"��� ���� ��� � ��� �� �� ��� �/�������������! 4� � � � %��� �"� �"��� ������ �� ;�� ;�;

�� � . B (� V �;� V �;� B

�(V � �� (� �

�� ���. B (� � �� � �� )���#�*

N� �4 ���� ���� �"� �� /� B �)(� V �� V ��* ������� �� �� �"� ������ ������ ��1 %�� � 4� �4 � ���#! �"� ��� . � �.�� �� #���)�* �� � �� �����%����� ���)��* � �� �� �� ���"��� �� < ����! �"�/ �������� ���. �! �

��� �� �� ���(�� ������ *��� �������� !�

Page 85: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��>� ��� �����#3#���#�� �3 �?� $#&���#���� ����#��� ��

)�����* �"�4�! �"� �� �"� ������-������ ����� �� 0��� �& ��� $� 4� "�� �"�� ������� � �������� ������� ;

�* �"� Æ � ��� �� �� �� �"��� ���� ��� � ��� ���� �! #���)�* �� ������"�"�� ��� 0��� �& ����� )���� �"� ��%����� �������� � �"� ���� ���� ������1 �� �� �� � ��� �4� � �"� ���� ������-������ �����*�

��* � �� �"� � � ��)��* �� �"� � ������ �� �"� ������ ���"� � � 4"�" �� �������"� ���)�* ��%�� F���)��* 4"�" �� ���! 4��" �"� ����� ! �"� ��� �� ���������� �� �� �"� ������ ��)��*1

���* �"� �4� ���� ��� � ����� ��� ��! ����� �� �"� �� �� ������� ���� �����)�*! �� �"� ��� �� ��� �� �"� ���-���� �� � �� B �� ; ��1

��* � �� 2�� ���$��� ���"� ��! �"��� �� � �� %�C����� �� �� � (& � & ; & � F���)��* %��4�� �"� ��� ��� �� �� �� �� ��� ! � �"� ���"� �������� ��� ("�� ������� �� � �� ���� ������ � ���� 4"� %��� � %�� "��� ;

�� � (& B (�"

L

�� & ; & B

�"� "L"L L�

�� )���#�*

(� ��4 �4� ���� ��� � ������ )��� >����� ���* 4� � � ���������"� ���-C���� �� �"� ���"� � � � �� �"� �� � � �� ������ ��. B � �� �"� ��� ������;

��)��* � / � �/� �� / � � � 3 B�

(� 4 B

(1 )���#�*

���� �������/! �"� � � ��)��* �� ����� � �"� � �� ��� 3� V 4� � �� ��$�%���� �� �"� ����� ��� �� �� ����� � �"��� � �������� 4��" �� $����)��* �� ������ �����"� �� � � �� �����"� �� � � �"� ��� ) ��� �"� �"� �������� �� � ����� � �� �� �� ������� � �� �"� ������ �� �"� �� ������� ����� �X*�(� ������&�! �" ��� � � ���� �"� ��� ������� �� ��, )/! ) � � �� �������������� ������

("� ��=���� ;� �� � � � �"� �/�����/ �"����" ��� � �"� ��=���� ;� ��

� � � �"� �/�����/ �"����" ���� ("� ����� � �"� �/�����/ �� �"� >����� ���!

4"�" �"�4� �"� ���� �� �"� ��� � �� ���)��* � �"� ���� ("� �������� ���"�� ����� /����� ��"�� ������� ��� �� �"� ��� ����� ������

("� ������ �� � ���������� �� �"� /A� � ��� � %/ (;� � �"� ���� �� � ��

��"���

� ��� � %/ �"� (;�� ("� ���� � ������ �� �� ���� �"� ���)��* ��%�� �� ��� �

���� ��� �� �� ����������� ������� �� � ����� ��� E ��,,��-� � ���-� J� '����3�����

�� ������� �� ���,��- �������� ������ ��� ',��� ��- E��,��� ��� � �����-�

Page 86: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

1:0

1:1

0:1

-1:1

5:2

7:2

9:2

11:2

5:3

7:5

2:1

3:1

4:1

5:1

3:24:3

s

ss

ss

ss

ss

ss

ss

h

h

hh

hh

LL’

K

K’

>����� ���; $��������"� ���C���� �� ��)��*��" ��� � �� �"� � ������ �� �"� ��� ������� �� �/ �� �������� ������ ����� )/�("� /A� %��� �� � �� �"� ����� ����� A���! +���! A#��! A+�� �� ������� �������������/ %/ �"� ������ �� ��! �"� ���� �� ��! �"� ��� �� 8 )� �������� � �� �������� � � ���� �� � ������� � �� ����� ������*! M )� �������� � �� �"��� ���� �� ��������� � �� "���� � ������*� ("� �� �� ��� ��� �� �"� ��"�� ��� �� �� �"�� ������ �� �"� ��� ������� � �"� �� ��� /A�1 �"�/ %��� � �� �"� �� ��� �������� A�� $�� �"� ���� ��� �"� �� � � �� �"� ���� " ; L �� ��������/ ����� � �������%��� � �"� ��� �� � �"� %�� ��/ ����� �" ��� ��� ������� �� �� ��� ������ � �"� ��� �� ���)��* � ��)��*�

Page 87: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��>� ��� �����#3#���#�� �3 �?� $#&���#���� ����#��� ��

�������������/� ("�/ ������� � /A� %��� �� � �� �"� ����� ���� A��� �

+���� ("� � �������� �� �"��� �� �� ���� ������� � �� ����� ����� ������< ���� ��

� � ��

�� ������ � ��� � 8 4"�" ������� �� /A� � ��� � %/ ��(! �"�

���)��* ��%����� �� ����� %/ (;��(;�� .�� �"� � �������� � �� ������ �� � � ���� �� � ���� �"� ��%�� ���)��* �8 � ������� � �"� ������ �� �"� ����� ���

A#��! � ��� 4����; �"� ����� ������� ("� �4� ��� �� M �� ���! ������� � �4�

�/� �� /A� � ��� � � ��� � � �� �"� � �������� � ��( ������ �� ����� %/ �"��"��� ���� �� ��=���� � #� B (;�! � �"� �4� ������� � ��� (# ������� � �'���("� ��%�� ���)��* �M � �� � �� �"� � �������� � �� �"��� ���� �� ��1 �� ������� ���"� ������ �� �"� ����� ��� A+��! �"� �� �"� "���� � ������� ("� ��� �� ���"� � ������ �� �"� ��� � ������� �"� �� ��! ������� � �"� �� ��� ������! �"��� ���"� �� ��� ����� ��� A��

:���� �"� �� �� ������� �� �� .� ! ����/ ������ �� � � �� � � �/ � � ��� � 8 ��" ���� �� � � � 8 � �4� MA�� �" ��� ��� )4"��� ����� �� ����� %/ �4� ������ �� � � � ������ �� �! 4"��� ������� �� 8� M � � � ��� � �� �"� %�� ��/ ����*������� � �� ��� �� ���� �� �"� ���)��* ��� � ("� 0�� �� �� ��� ������ ���� � )�����* ������� �� �� �"� ��� ��� �� ������� �� B )��� �*! 8 B)�� �*! M B )��� �

� *� 5��� �� �"� ������� ������� � � %��4�� �"� ����� � ��������� �"�� ��� ��� � �"� %�� ����� �� �"� 0�� �� ���� ��� �� � )�����*;

M��8L �� � B ��/�� � /�� � /�� A���

M��ML � � ��/�� B /�� � /�� +���! ��� B �

M8ML � � ��/�� � /�� B /�� +���! ��� B #M � � ��/�� B /�� B /�� A+��8 � B ��/�� � /�� B /�� A#��

("� �4� ���� �� � ����� �� �"� ��� ��� ������� � �� �"� ��� ����� ��� +���! %���"� ������ ��S�� %/ �"� ��%�� ��� �� �"��� �"������ ������ )� � # ����������/*�.� �"� � �������� M )�"� "���� � �����* �� �"� �4� ��� ��� �����! ��� %�����+�

(� %���� >����� ��� 4� ��� �"� ��� �� ���)��* � �"� )���* ��� �� ��� ��� .��"�4 � )���#�*! �� �"� ��� (& �� ��� ��� ������� �� � �� ���"� ����� &;&1 �� �/ �� ���"� ������ ������� �� ��� � �� �"� %�� ��/ �� �"� ���� N� "�� �"�4 � ���+ �"� �"� ��%���&�� ���)�*(! & � ��! �� .S�� 1 4� �%�� �"� � ���)��*%/ � � � �"� � �������� 4��" �"� ������ <� �� ��/ �� ������ �"�� ��%���&�� ��& B�;�

�������/;

���)��*( B �(�� $� �

�� (�� $�

� ���� $� $� � ��� B ���)��* � )���##*

Page 88: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�# ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

<� �� �������"� �� �� ��� 4"��� �� �� �"� � � ��� ��"���� ����� �� �� ������ � ������ � 8�� B 8�� B ��

("� ��� ��� 4��" � ����� ���� � �� ����! � ��! ��� ����� 4"��� �������"�������� �� ���)��*� ( � � & B

���

�� � �%�� � �"� ��%�� ���)��* �& �� ����%�� ��� ����

<� �� � ����%�� ���! �� ��� ���"��� ���� � �"� ���� ���� "�� ������� ��� ��� ("��� �� ���� �� �"��! �������� �� N� "�� ������� �"� ���� �� ����%����� ��� � �"� ����! ���� � �"��� ���� � �� � �"� ���� " ; L� �/ �"� ��=���� ��;� � ;� �"�/ �� ����������/ �� ������ � �� �" ; L � L ; "�

<� �� ��/ �� �%�� �"� ��%�� �� �"� ������ �� ��; �"� �����

�* $+ ,

��� �����

� B � ; � � �� B � ; � � �� �"� ������� ����� ��� �� �� �"� ����%�� ��� ��� * ; + �$ ; , 4��" *,�$+ B (�� $������/ 4� �%�� �"� �"� ���� �� �� C�� �"� ������� �������� �� �� �"� ���� �� ��� ��� *V $ ; +V , � *� $ ; +� ,�

��$�$ ���� �� ��������� ����� �� ��� ������� �����

N� ���� "��� ���/ ����� ���"�� �� �%�� �"� �� ��� �� ���� ��� �� �4����� ��� � ������ � �� ��� �� ���� ��� �"� ������ ��� �� ���)��* � �"� ������ �� � �� ("�� ��� ������ �� ���� � �/ � ���� ��� �� ("� ��������� �� ���)��* � 5 � � �� ��� �� %/

5 � �� � B

�* $+ ,

�� ���)��*1 ��5 B

*5 V $

+5 V ,� �� )���#'*

N� �����/ ����/ �"�

���5 B 5� <���5 B��� �

�+5 V ,��<�5� )���#+*

("�� ��� ������ �"�4� �"� �� �� ������� � �� ����/ �"� ��� �� #��)��*�� �

�"� ����� "�� ��� �� �"� ������ �� � ���

. ����� "��� ��� �"� �� ��� �� ���� �� �"�� ��� �� ��4 � >����� ���1��� � ������� %� ��� � � ��%�� �"���/ �� G���"����H %�� �1 ���� ��#$���!2"���� 6<<� 0�� �� � ������� �� � ���� � N� "���� � ���� %��� ����� �� �"������ � �"������ ����� �8�1 4� ������� ��� ��� �� � � ������� � �� %/ �"���� � � �"� ������ �� � 5� B �� ("� ��� � %��� ����� �8� "� �� %� ������� ���

���� �� �� ���(�� ������ *��� ������ !���2� �� *�� ���*� ���� ������ ���� ���'���� �� �� 7<���������� ���������� (����� ��

�� �.�� �� �� �� �� '����� �� �������� �� ����(�� ���� � '���� �� �� ���� ����� ������ �� �� �.���

Page 89: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��>� ��� �����#3#���#�� �3 �?� $#&���#���� ����#��� �'

-1 -.5 0 .5 1o

s

y y’y"

hh’

x

>����� ���; ("� ��/ ��� �� �"� ������ �� � ������� �� �"� ��%�� ������� B ��)��*����)��* ���� ("� ���� ������� � �� �"� ��� ����� ������ ("���� �� 8 � M ������� � ����������/ �"� ����� � �"� "���� � ������ )�"������ "� � ���� ��%��* ����! �"� �4� ����� ����� ����� A#�� � A+���("� ��� ����� � M8�L ������� �� �"� ����� ��� A��� )��� ���� �����* 4"���

�"� ���C�� � � �� �� �"� ��� �� �� ����� �� MM�8L&M8ML&MM��L&MM���L ������� ���"� ����� ��� +��� )�"��%� ������*� ("� � ���� �� �"� ���� ! ���� �� �"��� ��� ������! ������� �� �"� �� ��� ����� ��� A��

%/ ������ ��%�� 5� �� ��� �)�8�* � �� �/ ��� � �������� 6�8�! 6 � ��! 4� ������� �8�V6�8� �� �����/ � �

� � =? 5� �� � ("� �� � �"� �� �� ����/ � �"�

���� �� >����� ���� ("� ���� �� �"� �� ��� �� ���� ������� �� � �� �"���� ����� ����� �� �����%�� � �"� ���� �� �"� ������

��$�% "�� ������#-����./ ������ �� ��� 0���� �'� ��� � � ��#

������

(� � ���� �"�� ����� ! 4� ����� "��� �"��� ���"�� ��� �����/� � �"� �-���� ��� � ������� <� �� ��� �� 6��� �78 4"� 4���� �� ��� �4� ���� ��� � )�!�$����,6� �* � ���� ��� �� �� �%����/ ���� ��� � ��� �"� ����/ �� 4"� "� ���� �/�� <�������

N� "�� �"�4 � �'�� �"� 4� �4/� "���� %��� �� ����� ��" �"� �"����� �� �� �"� ������� ������ ���� /���

� V �/���� V /���� �����/ )�����*

� ��/�� /�� /��! � � /��� N��" �"� ���%��� ) B /�� V /��! 6 B /�� V /��!

Page 90: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�+ ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

7 B �/��! �"� ������ ���� %����� ��� �� ������;

)��V6��V7)���*�� ) � �� 6 � �� 7 � �� ���)/��* B )6V67V7) � �� )���#,*

.� �"� ���� �� �"� ������� � �"�4�! �"� ������ ���� �� �������� �� � �����" � � �� �"� �"��� ������� � ��"��� N� "�� �"� ����;

��

�B )V 71 �

��

�B 6V 71 �

��

�B )V 61 )���#�*

�"��� �� ������� �/ ��� �/�����/ �� � �"� �������� )� 6� 7� ("� ���� � ��)��* ��� �� � )�����* �� � ��� � %/ �"� ����� �� ��������� � #� �� �"� �"����������� )� 6� 7� < ����! �� ������� �� �� �"� ��� ��� ��� �� �� >����� ��� �#� �������� �"� ��� �� ��� �� ���� � � �� �� � �"� ���� �� )���#,*�

<� �� �����"����4�� �� �����%� �"� ��� ����� ���� %/ ����/� � �"�� � �"�������� ��� ��)��*� ("�/ %� �%����� %/ ���� � �/�%�� � �� ��� %/9��� �; �"� �"��� �������� �� ������� ��� %/ �"� �"��� ����� �� ��� ����

7���� ����; )67 "B �;

�, �� ��� ����� ��� A�; ������� ��� %/ �"� 9��� � �/�%�� >��, N"� �4� �������� �� ����! ����� � �/�����/ �����; �"� � ��� �

%/ ;� � )���+* )��� � �� � ) B 6*1 �� ��" ��� �"� �4� ���� ����� �� �"���� ���1 �� ������� �� �� �"� ����� ��� +���; >��

���, N"� �"� �"��� �������� �� ����; 4� "�� �"� ���� �/�����/ #� �� �"���� ���1 4��" �"� � ������ �"����" �"� ����� )B������ %/ :*! � � �����%���"� "���� � ����� ��� A+��; >��

����� ����; � � �� �"� �"��� �������� � ��"�� � �

�, ("� �4� ��"�� �������� �� ��S��� �; ����� ��� A��� >��, ("� �4� ��"�� �������� �� ����; ����� ��� A#�� �� �"� ����� >��

.�� � �"� �, �/��������"� ������ � ���� ��� �! � �/ # �� �� ����� %/ ��-=���� �1 �"�/ ������� �� �� �"� ���"���� ����� A���� A���� A#��� A+���("�/ �� �"� N�/� ������ �� �"� U 3���/ 0�� ���%�� �� ��� ��� ���� ����

�� � * ����� . E > �� �������� ��� �� ���(���� ,�������� �� /� �� ,!�:1-� �� ���� 0 E >��� 1 E > � ������� ��� �� '����( �� �� ���������( �� �������� ��� �� �� &��,��-

������

�! >

�! !

����

�! �!> !

��'�������

Page 91: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��@� ����A 8!���#� ���������$ ��!����# $�&�#�� �3 ����! ����#�����,

��' (��) *����� !�� � ��� +��,- ����� � ���.��� ������� �

��%�� 1���������

("� ��� �� �-���� ��� � ������ ����� �/� )������� �� � �� �/������ ��� � ������� .* ���� +-���� ��� � ��� ����� ��� ��! 4��" �"� ��� ������).�.�* B ��..�� ("� +-���� ��� � ��%� ����� �� �������� �����! ��)��*! �� �"�� ������ �� � ���! "����� ����! ����-��� �� � �� $� � �" �������� ���������� ������� �� �-���� ��� � ������ �����! ������ ������� ! �� �� � ������� ��� ������� ��)��* %��"! � �� �"� �# ���� � �� ����� �����! � �"� ' ���� ��� ��%� ����� �/��� �� 6��� �78 �����

("�� 4���� %� ���/ ���� � �! "�4����! %���� �"� ������� ���� �� ������ ����� %/ ������ ���� ����� ���� �� � �"� "��� �� %��� ������� $� � -����! ����� �� ������� ��� %/ ���)��* ��%�� � +/K� 4��" �"� ��� �� ����)��*� . � �.��� N� ���"��&� �"� � �� ��� )�.����.��* B ��)�.��*� "B��.� B ).�.*� 5�4���� �"� ������/ "���� ��� �� .A� ��� �"� ���)��* ��%�����'�)��* 4"�" %��� �� �� �"� ����� ��� 2�% @ B �Z���

(� ����/ �"� ��� �� �-���� ��� � ������ � � "� �� � ����� � �/ �� ��� ������ �� ��)��* ��� �"� ���)��* ��� � (� "���� ��" ���� 4� ��������%���; �"� ���� ������� 4� ���� %/ $��%�� � ���� ��##���; �"� � ������ �� ��" ���� %� "��� ! ��� � �"� �� � ����� � ��� �%���� �����! �� %�;

� � /�� /�� /��� - "B % ; /�� ����/�� � /��1 ��/�� V /�� V /��� /�� V /���)���#�*

? �"� %�� ��/ �� �"� ���� �"��� ��� � �/ � -�� ��� ����� ����� 4��"����� ���� ���� � /! 4"�" �� ������ %/ �"� �������/ � ����� � ��� ("� ���� �� � %�� ���� $� � 4� �� � �������� � ������ �� �� ������ ! 4� � ������ �/ ��� ���� ��� � )%�� ���* ���� �� �"� ����� ���)��* ���� ("� ���� ���� 4/ �� �� �� �� �� "���� �"� � �������� �� �"� ���� )���#�* %/ �"�"/����� � ��. B +! 4��" + �������� � �� �� N� �"�� "���� ��. B � � ��I��)��* �"�� ' ���� ��� � %�� ��� ���� � 5�4���� �� �� ����� ����� �� ��4��� ������X >�� ����/� � �-���� ��� � ������! 4� "�� �� ������� ��������� �� ����� �� I��)��* %/ 4��� "��� #-���� ��� � ��%��� �� I��)��*�

��J��� � ��� ���

� �� �� ����������� � ����� �� ��� E ���@ ����� � ����� �� ��� E ���@ ��� E > �� 7����� E ���@ ��� E > ��

7����� E ���@ ��� E > �� 7����� E ���@ ��� � ���� + 7���� �� 7���� + ��� + ���� E ��� + ����

Page 92: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

5�4 �� �� �"� ����� ��%�� �� ��S��� � ����� ��� ���� �T ("��� �� ��������� ����� ����� ��;

2�% @ B �Z��! 2�% > B ��Z��! 2�% < B �Z��! 5�� @ B +�����

)N� ��� �"� �%��� 2�%! 5��! (���! (��! ?��! 3� �! (��! ��� �"� ���� �/���-�����"� �/�����! � �"���" � �� 2�%�! 5���� �! (���� �! (����� �! ?�-�"��"��%�! 3� ��� �! (���� �*�

>�� �"� ����� ������ � �� �"� ��� �� ����� ����� �"��� �� � ���� ������ ����� �)���� 4��" ������ �/�����/*! ������ �" �"��� ���� ����� �����1 �"� �� �"������ ��� 3� � 2 B ����! 4"��� ���� "� ���� ��� #� N� "���� ������ %��� �� � �� �"� � C��/ ��� �� �"� ���� ��%������ �� ���)��*� N� �� ���%/ � B ��

� �"� #-���� ��� � ��%��� �� �"� �-� ��� � ������ ������ <��� �������� 4��" �"� "/����� � �� �"� ��� � ������ ����� 4��� ��� � �"� ��-���� �-�� � �� ��� ����� )>����� ��+��*� ("� ����� �"�4� �� ��� �� ���� �� �"� 3� � 2 B ���� ����� ���� <�� %�� ��/ �"�4�! 4��" ���� ���� � /�"� �� ��� �� ���� � �� �"� �� ����� ����� 4"�" "�� ����� �/�����/�3�������! �"� ����� �"�4� ���� �� �"� ' ���� � �� 6��� �78 ��� �/����

��9� ��� ��� �� '����� ����( �� J����� ������ �� �� ''��� G6.��� �� �<����������������� �� �� J������� 3��� I�( ;�! '� !:@ �� � '�' �� P��� �''��� �� '���� �� ������� J����� ,�� L������-� ��� ��� �� �� ���������� ����� �� ��������(�'�� �� �� ��� ��������� '������ ���� ���� ���*O ���� '����� �� �� ������� ��� �� ������ '����� �� �� �����0�(��� ������ �� �� ���� ���(��'� �� ���,��-�

Page 93: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��@� ����A 8!���#� ���������$ ��!����# $�&�#�� �3 ����! ����#������

��� ����� �� ��� ������ �� �����

������ �� ��� ����� �� ������� ������

��� ������� ������ ����� �������

����� ��� ��������� �� ����� �����!

Page 94: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

��%�� "�� �#���� �� ��� ����

���� ��%����� � �� ���)��* �� �� ��/ �� �����/ �"� �"� �� �� �� � �"����"��� � ��� �� )��� �#�)���� ��&,��- �6�*;

��)��* � . � ��������

��.� )���'�*

�� ���"��� � ���C���� ���� �"� ��%��� �� �-� ��� � ������ ������

("� # ����� � ����� � B ���)=* ���)�*! �� ����� %/ �"� �4� ������;

= B

�� � � �� � �� � �

� � � B

���� � �� �� �� � ��

� )���'�*

�� �������� � ���)��* �� �"� "���"���/ �� �"� �� ��� � 2 ������� <�� � ��� ������� ����� ���� �"� #-���� ��� � ���;

� ;� ��� B

�. B

��1 � �� 1 �� � &

� � 1� &� �� � � �

�� )���'�*

< �! �"� "/����� � �� ��� � ������ ����� ��;

�� ;B�.)�� �� 2* B

�� �� 2 � �� �� 2 �� � � V �2

��� )���'�*

���� �1V & B �� & � 1 B �2� ���� �4� ������ ����� /� /� � ��! �"��� ������ ���� � �� �"� ����� ���� �� ��;

��).�.�*� B �))�� ��*� V �)� � ��*� V �)2 � 2�*�*� )���'#*

("� �������� ������ ����� �� �� ���� %�� ��� ���� 4"��� %�� ��/ �� ���� %/ �"� � ����� ��� �"� ������ ����� �� )���'�* �� %� ��������;

� �

�� 2 � �� �)�� 2* � � � �� 2� �� � )� V �� 2*)� V �2*��� )���''*

< �� �"�� �� � ��� ���� , %�� ��� %/ �"��� �� �� � � � �"��� �� )�4��"���* "/���%��� ������

�� ������� �� �� �� �� �.� �� ����(����� ��� ��� ���������� ��������� �� �� � �� ���� ��� ���'� .'�����@ ��*� ��((�� ����(�� �� ��* �� '���� *��� �� ���� ��������� �� ������ ����� '����� �� �@ � �1�!�

Page 95: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��@� ����A 8!���#� ���������$ ��!����# $�&�#�� �3 ����! ����#������

��%�� & ��������� ����� �� �� � ������

�/ � ������� �� �! �� �-� ��� � ������ �� ������� ��� � ��; �"��� �� �������� �� �"� ����� ����� � 3� � 2 B ����� N� �� ��� %/ � �"� ��%��&���� � � �"� �� �� ��� �� ���)��* � �"� ��� ��� <� �� ��/ �� ����� �"� ��� �"� �����&�� �����--�)�*! ���� �"� ������ ��%����� �� ���)��* � �� � � � �� ��� � ��%������ ("� ������ �� �"� ����� ����� � 3� � 2 �� ������� ���%/ �"� ��%��� �� � � ���� � � ��)��*� ("� ������� ��� ����� ����� ������� ��� �"� ���� �� �"�� ��� 1 �"� ������ ������� �� � �"� ������� ���! 3� � 2! ����� �� �� � 4� 4 � �� "���� �� ��� �� ���� � ��� >�� �"�� 4� "������ �� ������� � � �

N� ���� �"� � �� � �"� � ��� �� � � $� � � � � ! ����/ � � "� �� � C�����"� # ������ �� � � �� �" ��"��1 �� � �"� ������ �� � "�� ��S��� � ����! ������� 4��" �"��� $� � �� �"� � ����&�� �� � � ���)��*;

� B �����--�)�*� )���'+*

(� ������ �"�� � ����&��! �� �� ���� � �� � � �"� � ����� ������ 4"�"�����/ = B =! = � �! � ������� �"��� ������� � �� %� (�;

B

�� " L ÆL " ÆÆ� Æ� !

� � ��� B )"� L*)!)"V L*� �ÆÆ�*� )���',*

�" ���� �� �"� ������� � �"���� %� (�;N� B �� 4� B �� "� L B N� !)"V L*� �ÆÆ� B 4� )���'�*

? � ����� �"� � �� �� ����� %/ �"� ������

�� �� # B

�� � � �� � �� � ��

� � � B

�� � � �� � �� � �

� � �� B

�� � � �� � �� � �

� � )���'�*

("� ������ ���� #� �� ���� ����� �� �"� ����� ��� ?�� 2 B ����� �"�� �"� ������ ���� �� ����� � � ��� /�� ����� )! ��*� $� � �"� ��%���&���� / ����� �� � ���! �"� ��%��� �� � � � � ��)��* �� � � ���� < �� ��� �"���� �� � � � � � ���� �� �������� �"� ��� �� ������ �����1 �� 4� ������"� ��� �� � � �� ���� �"� ��� � � %/ ��� � �"� ���������"� ���C���� �����&� � �"� ����

�/ � ������� ! �"� ������ ��� � �������/ � �1 �"� ����� # " ��� � � ���� )%��" � � � ��*1 �� ���� �4 � 4� � � �"� � �� ��� ;

� �� ��� ; � �� )���+�*

Page 96: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

< ��! �"� � �������� �� �"� ���������/ ���� )���''* 4��" �"� �-�� � � B � � ���� "��� �� %� ��� �� �"� %�� ��/ �� ��� �� ��� �� ���� 1 ��� ��� �� ������� ������� �� �"� ����� ��� ���� �� ������ � ���

>� ��� ��%������ �� � �� �/��������"� ��� � ������1 �"������� �" � � � �� ��� � ����� ��%����� 4��� "�� �� �� � ����� �� ���� ��� �� � �� �� ���� �� ����� ����� ���� (� � � �"� � ��� ��%������ �� � ! 4� ���� ���� ������� ���� ����� �� �� � ��� ������ .� ��� ���)��* �"��� ����� %� � �/ �� �� �� #! ��+� ����� �� �� ����� � ���� "�� � ���� ����� �"� �"��� �%� ����� �� �! �� �"������! 0 ;B �� B �"V!! ���� %� �� ("� �� �������%�� �� � 4� �4 �"� ! �� ����5� � � �� �� �'�� �� ��.� � �� @ )�"� ����� �� ����� � �� ����� + 4����%� �� ����� �*� ("� ������ � B � /����� �"� �����4� � � ����� � � ������ ���"��� �� )���'�*! � ��%� �� 4��" �"��;

!� V �ÆÆ� B �� �")" � N* V ÆÆ� B �� Æ)0 � N* B � B Æ�)0 � N*� )���+�*

$� � �"� ���� ����� �� �"��� ������ �� (�! �"��� ��� %� ���"�� �� �� (��< �"� ������ �� 4� � � ����/ �"� B �� N"� �"� ��� 0 B (� 4� ���� "��0 V ��� B � ��

0 B �"V ! B �N4� )���+�*

("�! 4��" �"� ���� �4� � ����� � �� )���+�*! /����� 4 B ��� :���� �"� ��� ����� ���� � 4"�" �� ���� ����! N B 4 B �! �� �"��� �� � ����� �� �� ����� # � � � ("������� �"� � � ! �� � -������ ����� �� �� � ��� ����� �� �� ����� �� 5� � ��� ��� ��%������ �� � "�� �"� �������� ���

� ! � 4� �4 ���� �"� ����/ �� �"�� ��� ��%������ �� ���)��* ��%������ �"� � ��

<� �� ��/ �� �����/ �"� �"� ������ � ��� ��%������ �� � ������� � � �� �"� ����� C��/ ����� �� ���� ��%������ � ���)��*1 ��������/! �"�/ %� �� ����� %/�"� ������ ��;

���� ; ���#���� ���� ; ���O����� ��� ; ���O���� )���+�*

4��"

O B

�� � � �� � ��� �� ��

� � )���+#*

("� ���� � �� �"��� � ����� ����� �� �4� ���� ��� �� N� ������� � �"���� ��� � %/ �"� � ����� ������ "��� � )���+�*1 �"�/ %��� � �� �"� %�� ��/ �� �"�

�2���( �� ��/�� ����� �� ������(������( �� �*� '���� (��'� %��� ��� ����� �������� �� �� �� ���'������� �� ��� �.� '����� ,��� ��� ��������(� (��' �,$��-- �� ��������� �� �� ������ �? %��� ��� # ��� ���� 7 �.� '����� ' ���� ����

Page 97: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��@� ����A 8!���#� ���������$ ��!����# $�&�#�� �3 ����! ����#������

�� ��� �� ���� �"� 4� "�� "��� �� ������� � �"� ����� ��� ����� >���)���'�* 4� �%�� �"� ������ � �� �"��� �������� � �-�� �� � ��� ("� %�� ��/�� �"� ���������/ ���� )���''* "� ��� ��� ��������� %/ �-�� �� N� ��� ��"� �-�� �� %/

K� ; � B �1 K� ; �� 2 V �V �� B �1 K� ; � V �2 V �� B �1 K� ; �� 2 � � B ��

$� �"� �� ��� �� ���� 4� "�� "��� � �� �� ����"���� ���� 4"������� ��

���� B ��� $ K�1 ���� B ��� $ K�1 ��� B ��� $ K�1)���+'*

���������/ %�� ��/ B ��� $ K�� )���++*

("� ����� ��� �� �� 2 �� ��� ������� ��;

� B )�

��� �

���

�*� � B )�� �� �*� � B )

�� ��� �

�*� � B )� �

�� ��� �

�*� )���+,*

:���� �"� � �"� ��� ��� � � ��� ����� �� �"� ����"���� ! ���. B �� ("���� �� ���� ��� �"� ���� �� B ��� ����! �� �� ������� �� �"� ����� ��� (�� <B #�����

��%�� "�� ������� ����� ������ �� ������� � �� 2 � ��

������ �"� ���� ���"��"��%� ����� ����� �� �"� ����� ��� (��� � B �Z�� �� ��� �� ��� ���������� �� �� ����� <�� ���� "� ���� ��� �1 � ���� � ���)��*�"� �4� ������ �� �"� � C��/ ��� �Z�� 4"�" � �� � � ! ���� ��� �� � )���'�*1 �"��� ������ �� �� ����� %/ �"� ������;

�Z�� B ����� I �� �Z��� B ����� #��I#�� 4��" I B

�� � � �� � �� � �

� � )���+�*

� �"� ������� �� � � ��� � ��%���� � �� �� ��� �� %/ 2 B � � � B � ��� B ��! ����������/� 5� � � ��� ����� )4� 4 � � � �* �"� ����� � ����� ����Z�� �� ������� ��� %/ �4� ��� ����� �� � ���� �"� ����"���� ; � �"� ��%���2 B �!

� �

�� � � � 4"� � B �1 � � � �

�4"� � B ��� )���+�*

��9� � E $��� �� ��� '���� �� �� �(�@ ���� �� ���� �� ��� �� �� �*� ��� J�����������? ���� � E $7�� ��� ��� E H!�

����� �� �� �� J����� ����� Q *���� ������� !7�� � �H=��

Page 98: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�# ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

("��� %�� ��/ �� ��� �� � ��� �� ������� �� � �"� � �� ��� ����������� �� �Z��!���� �"� �"��� �%� ����� �����; 4� �� �"��� ��� ��;

B )�� �� �*� B )� �

��� �

�� �*� � B )

��� �

�� �*� )���,�*

���� �"� �"� ��� � �� � ��� � %/ �"� ����� �Z��! �"� ��� � � %/ �Z��� ��"� ��� � %/ %��" �������

("��� �� �4� ����� ����� ������/ ������ �" �"� ����� ��� ?�� 2 B ����1�"��� �� (�� @ B #���� � 5�� @ B +����� ("� ������� ����� ���� �� �" �� �-���� ��� � � "� �� %��� � �� �"� ��� ��� �� �"� ����"���� �

("� ��%���&�� � ���)��* �� �"� �-�� � � B � �� �"� �����&�� �����--�)����* B #���� 4"�" %��� �� �� �"� ����� ��� (�� @� $� � ���� �� �������/! ��� �����&�� )4"�" �� ��%����� �� '�)��** �� � �/ �"����" �"� ������ �

) #����*����� ! ����

("�� ��� ���� %� �"� ���"��� � �/�����/ �"����" ��� � �"�� � ��� ���� ������� �� �"� ����� ��� (�� @� (� ����&� �"� ��� �� �"�� ������ � 4�

"���� ��� � �� � �"� ���� � �����

���� � �� � �� � �

�! )� #���� %�� �� �

����*1 �� " ��� � � �� �� � ����� 2 � ��� �� $� (�� @ �� ������� ��� %/;

(�� @ B #���� � )���,�*

� B � B �� � �

�� 2 � � � 2 � � � M��L 0 � )���,�*

("� 4� �%�����1 �"� �� ��� �"� �� ��;

5��@ B +���� � )���,�*

� B �� � B ()�� 2*��� � �

�� 2 � � � M��L & M�� �L � )���,#*

� B )� �

�� ��� �

�*� � � B )

�� ��� �

�*� � B )�� ��� �

�*� )���,'*

N� ���"��&� �� �"� ���� � / � �"� ��� ���; 4"� � "B �! �"� ��� ��)(�� �� 2* ������� � �"� ��� ������ < �"� %�� ��/ �� �"� ��� ����� �� ��� �� � )���,�*! � �/ � � ��� � ������� �� ����� ���1 �"� �� � B � B 2 B � ������� �� ��"� 2�% @ ���� ("�� ��� � )���� � )���+�** �� ���� �� �"� %�� ����� �� �"����� � ������� �� � (�� @ � (��� �! �"� �4� ����� ����� ������/ �������" 2�% @� ("� ����� I ��� �� � )���+�* ���� �"� ����� � ������ ����� / � 4��"� �"�� �"� ��� � . �� �"� ���� 2�% @ )�"�/ �� ���� �*! �� � ��

Page 99: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��@� ����A 8!���#� ���������$ ��!����# $�&�#�� �3 ����! ����#�����'

����� ��������� �� �"��� ���� � ����� ��1 �"� �"��� ������� ����� ����� ��� �� �� � ������� �"� #-�� � � � ��! ������� �"� ������

.� �"� � � �� �+�� 4� ����� �"� � �������! � � �/ � � �� �"� ��� �����! �� �"�����"���� ������� �� ����� ���; �� �� M��L B M��� � ���L ! ������� �� ��� ���� � ���! 4"�" ������� �� (�� @ B #�����

("�� ���� ���� ��� ��/ �4� ��� �� � � � � ������� �� � �"� �4� ����� �����2�% > � 2�% < ������/ ������ �" (�� <� (� � � �"��� ��� �� 4� ��� �� �"� ��� ���"�� � ��� �"� ��� ��� ������� �� � ?�� 2 B �����("� ��� ��� ������� �� ?�� > B ����1 ��� ��%���&�� ��

�����--�)����* B ��Z��

%��� �� � �� �"� 2�% > ����� ���� <� �� � �"� �� � � �� �� ������� ���� �� �"� ������ � ��Z������� ! ��� N� � � � ������� ����� �� �"�� ������ �� ��Z�� ��%����� � C���� �� �Z�� ��� �� � )���+�*1 �� �� �� ����� %/ �"�������;

�Z���� B ��� �� B ������ I � B ���I�� � � )���,+*

4��" � B

�� � � ���� � �� � �

�� ("� ! ��� � )���'�* ��� �"�� ����� 4� ��� �"� ��� �

������� �� � 2�% >;

� � B )��� �

�� �* � ��� )���,,*

I�� � )���+�*! 4� �����/.0 � B ��#�.0#�� )���,�*

("� ��� ����� �� ������ �"� ����� � �� � �� �4� ��"�� � �� ����� ������ ��� ��%/;

���� ; �� B )��� �

�� �

*� �� B )�� �� �* B �1 )���,�*

������ ; ��� B )��� �� �*� ��� B )����� �*� )�����*

("� ����� � ���� ��� � � � ���� �� � �� %�� ������� �"� ����"���� � ("������ � ���� � � �� � �"� ��� � < ��� �� � )���+�*� ("� ��%�� �� �"�� ��� � ��� �"������ �Z���� � �� � �"� �4� ��"�� ��� ��;

� B )�

���� �

��

��* � ��1 �� B )��� �

���� �

��*� )�����*

("� ��� �� � � � � �� � �"� ���� ��! )4"�" ������� �� (�� <*� ("� ��� � ��

���� �� %��� � �� �"� ����"���� �

Page 100: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�+ ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

$������/! �"� ��%���&�� �� �"� ��� ���! 4"�" ������� �� �"� ����� ��� ?�� <B ���! "� �����&�� �����--�)���* B �Z�� 4"�" %��� �� �� �"� �������� 2�% <� ("�� ��� �� ������� ��� %/ �"� �Z�� � ��� � ��� � � )��� �� � )�����*� 3������� �"� �����&�� �� ������ �� � �� �4� ��"�� ����� �� 4"���� �������� � 4��" �"� ��� ��� �� � � � � ��

>� ��/! ������ �� �"� �� �� �"� ��� ��� ������� �� � �"� ��� ?�� 2! 4� �-��� �"� ��� �/�� �� ���� � / ��� �"� �"� ���� ��� � ��� ������� �� �����������/ �"� ����� ����� ?�� > � ?�� <� < ���� �"� � ��������� ������

���� � #���� � �����--�)����* B ��Z��� )�����*

��� � #���� � �����--�)���* B �Z��� )�����*

%��� � �� �"� ����� ��� (�� < B #����1 �"�/ ����������/ ���� � ��� � �"������ �� �� � $ ��� � � � $ ��� 4"�" %��" ������� � (�� <� N� ���� �"��"� � ������ �� �"� ��� ���� ��� � $ ���! ��� $ ��� �� �� ���� � ��

.�� �"� �%�� �� � ������� ��� %����� � �"� ����� �� ������&�� � �+�'�

��%�$ 0����� �� -����./ ���� �'���

N� ���� �"� �"� ��� ������ �� �"� � ���� �� �"� 6��� �78 ���� ���"� � �"�� � � ����� � �"� ����� 1 �"��� ������ �� �"� �"������ � �"��� ����� ����� $� ��"� �4� ����� ������ �>���> "�� ��� ��� � �� � �"� ��� ���� ����! �"� ��%�� �� ��� ������ � ���� ���� �� ��� 1 4"� �� �� �! �"��� �4� ������ ����� �������

< ���� ��� B � �"��� �� ' ��%� ����� �/��� �� 6��� �78 ���� 4"�" 4��� ��-����� �� %/ ����� �/��������"�� >������ � ���' ��L>�9�'M)�"�/ �� �������/������� �� %/ �"� ��%�� �� ��� � ��� ������*� N� ��� �"� �"��� ����� �����! 4��� ��! �� �� �"� ��%��� �� ���� � ������! ����������/! �� "�-����&� �"� �/��� < �"� ��� �%�� 4� ���� �"� ����� � �� � ��� �"� ���� ��� �� �"��� ���� � � �"� ���-���� ��� � ���� �� �������� ������ ����� 4��" ���� ���;

����� �������� �� ���� ��� ��� ������� �� ����� ������� � �� �� � ������ �� ��������� ������ ������� � �� ����������� �� ��� ������ �� ������� � � � ���������� �� ��� ������ �� ����� � � � � �

Page 101: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��@� ����A 8!���#� ���������$ ��!����# $�&�#�� �3 ����! ����#�����,

(� ������ �"� �/�� �� 6��� �78 ��� ��� ����� ��� �� %/ �"� ������ ���� / ��)���'�*! 4� "�� ��� �� ��� �"� �"������ ����� ������ � �" �� �"� ���� � ���������� ������ ("��� ����� �� � ���� �� � �� �"� %��� "��� ��� �������� � �"������� ����! %�� �"� ����� ����� ��� ���� � � �"� "��� %���� ("� ���"���� �����"����4�� %�� �������; "����/ �� "� � / � ��� � �"��� � "� �� >���"�� ���%��� �� ������� ��� �� �"� 6��� �78 ��� �/���! 4� � ��" �"� �������� �� �"� �4� ���� � ������� � ������

N� ���� ���� �"� ��� �"� ����� 4��" ��� ����� .)�� �� 2* ���� � )���'�*! �"� ��� �� ��� ����� �> B )�� �� �* ��

�� V �� V �� V )��� � �� V ���*2 V ����V �)� V �*��� )����#*

���� ���� �� �> B )�� �� �*;

����� �>B)�!�!�* �>�B)-�!�!�* �>�B)�!-�!�* �>�B)�!�!-�* ��� �V��V#/ �-�� �-�� �V��-#/

����� �>�B)�!�!�* �> B)�!-�!�* �>�B)�!�!-�* �>�B)�!-�!-�* ' ' ' ��� ��-�&V+�V�/ ��-�&-+�V#/ ��-�&V+�-�/ ��-�&-+�-#/ ' ' '

N"� � B � B � �"��� �� � �"������ ������ )�"��� ��� �� �*1 �� �"� ��� ���-�� � �� �"�� �� � 4"�" ���� � �"� � ������ �� �"� ��� ���! ������� �� 6��� �78���� �� �/�� +��� N"� �� "B �! � V � B �! 4� �%����� �"� �"��� �� + �"������������ (�>�(�>��(�>�1 �� � �"� � �������� �� �"��� �-�� �� 4��" �"� ����"���� !�"� 6��� �78 �/�� �� ����#�

N� �����/ �"� ��� � V � � � � ��� � V � � � �"� �"������ ������ �� �"� ������� ����������/ (�>! (�>�! � (�>�� ("� � ����� ��� �� %/ �"� ������ )(�� �� �*!)��(�� �*! )�� ��(�* �� ��/ �� ����/; �" ���� "� � �/ �"� ��� �� ������ ��"������ �������

���� ���� �� �> B )�� �� �*;

����� �>B)�!�!�* �>�B)-�!�!�* �>�B)�!�!�* �>�B)-�!-�!�* ��� �)�-&V�* �)�-&-�* +)�V&*V��V�/ +)�V&*V��-�/

����� �>�B)�!-�!�* �> B)-�!�!�* ' ' ' ��� +)�V&*-�� +)�V&*-�� ' ' '

Page 102: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

.� �"� � ������ �� �"� ����"���� ! ��� � B � �"� ���� "� # �"������ ������;(�>�(�>�! � � �/ � ��"��4���� ? �"� ��� ��� B ���! �2 B �����! �)(�>* B�)(�>�* B � V �� V ��! �)(�>�* B � � �� V ��1 ��! � �"�� ���! ��� � � �! � � �!� B �! �"� ���� "� ����������/ �! #! �� + �"������ �������

.� ����! %�� ��� � ������! �� �� � ������� � �� � � ����/ �� �"� 6��� �78 ����/��� ��� �" ����� ���;>�� �"� ��� �� 2�% @! 2�% >! 2�% <! �"� ������� �� � �/��� �� 4��� �4 ; +��!����#! �#��#�("� ���� �� (��� � "� �4� ��� ����� �� M L �#��#! M � L ����#�("� ���� �� (�� < "� �"��� ��� ����� � MJ L �#��#! M� L �#��#! M�P L �����!4"��� R !F ������� � ������ ����� �� � �! � �! ����������/�

��%�% ������' �� ��� ���� ��� ������ ��� �����

< �"�� ����� 4� ������&� �� ������� �����/ ��� %����� � �"� ������ < �"��-���� �� � ��� �� �"� �����! 4� "�� "��� ���"� ���� %��� 4"��� ���-�� ��� �� �� �� 2� (� %���� �"� ����� 4� ��� �"� �����4� � ��� ��; ����! �"� ����������� �� �� �� � �� �"� ����"���� ;

� B )�

��� �

���

�*� � B )�� �� �*� � B )

�� ��� �

�*� � B )� �

�� ��� �

�*� )����'*

� ���

� B )� �

�� ��� �

�*� � � B )

�� ��� �

�*� � B )�� ��� �

�*� � B )��� �� �*� )����+*

��� ��� � ��� � � ��� )����,*

("��� ���"� ��� �� �� �� ������� � �������� ������ �����1 �"��� �%�� �"���� ������ � �"� ������

B )�� �� �*� � B )�

��� �

�� �*� � � B )��� �

�� �*�

B )� �

��� �

�� �*� � B )

���� �

��

��*� )�����*

� �� $ ���� � � �� $ ���� � �� � $ ���� � �� � � ��� )�����*

������ �"��� ���� ��� ��! 4� "�� ���� � �� ���� ��� � � � ������� �� � ����-���� ������ �����; �"�/ �� � ������� �� ����"���� �! ��� ����! � �� � ����� ���("�/ �� �%����� %/ �"��� ��������

Page 103: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��@� ����A 8!���#� ���������$ ��!����# $�&�#�� �3 ����! ����#������

������� �����;� ������ �� ����"���� ; �#��#; ��� ��! ��� ��1 �����; ����! ���! ����#;������� ���; ����; ���! ���! ��� �! �� ��1 +��; ������ ���; �#��#; ��� �! �� ��1 �����; �� ����� ���; �#��#; � ���1 �����; ��� �! ���1 ����#; �� �! ������� ��; �#��#; �� �! �����; � ��! ����#; � ��

!��+��� �������;3� � 2; < ������ �� ����"���� ����� ! � 1

?�� 2; ��� ��� ����� ��! �� �! ��1

?�� >; ��� ��� ����� �� �! �� �1?�� <; ��� ��� ����� � �! ��1

(�� @; � ! �1

(�� <; �� �! � �! �! �� �! � � �! ��! � �! �� ! ��1

(��� �; � ! 1

5�� @; ��! �� �12�% @; 12�% >; � ! � �12�% <; ! ��

(� ����/ � ����� �"� ����� )>����� ��+��*! � � ���� �"� ���� �� %��4�� �"���� �� ) � ��� ����/ ���� ����*� (� ������ �"��� ���� �� 4��" ��� �� �"������ � ���� %/ �"� ��� ������ �� ).�.�* B �

� ��..�� .� ��������� � �+��!� ���� �� ��� � �� �"� ���"��� � ����� ��� �� �� 2 )��� )���'�*! )���'#*! 4� ����"� ���"� ���� ����� ���;

3 B �

��

�� 4 B �

��

�� 5 B 2� )�����*

<� 4� �� ��� %/ ,).�.�* �"� ���� � � �� %��4�� �"� �4� ������ .�.�! 4��%�� ;

,�).�.�* ;B�

����).�.�* B �))3 � 3�*� V )4 � 4�*� V )5 � 5 �*�*� )�����*

("� �� ��"� �� �"� ��� ����� �� �"� ����"���� ��;

�� B �� B �� B �1 �� B �� B �

��

�1 �� B �

��

�� )�����*

("� ��� ��� �� ���������! �"� ��� ��� �� �������! � �"��� �4� ���� ������� ����� )�� � �"��� ���� ���� ��*� (� ������� �"� ������ 4� ��� �"�

���� ����� ���� �������� �� ���������

Page 104: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! �� �"��#$��� ����#��� ��$ ���#! �%&&��!%

���� ��;

�� � B �� � B��

�� � � B

��

�� �� B

��� )�����*

�� B �� � B

��

�� �� B ��� �� � B

4'� )����#*

N� ����� ����/; �� B �� B ��

4��

Page 105: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

����� "

������� �� �������

��� �� # ��� ��� ��/����� ����

����� ���� �'����� �� �������� �� ���� ��������

. "/����� ��� �� -���� ��� � ����� ��� �� �� )-�*-���� ��� � ��%����<� �� �������/ "�����&�� %/ ���� ����� �=�

��$����% ��:����� � ���& � ��������� ("� ��=���� ;� �"����" �"�"/����� � �� �� �� �� � ������� �� �� 4"�" ����� ���� �"� ��� �� �� �� ��� ������ �= � �� ��=�

��=���� �"����" "/����� � �� �������"��� �� �� ��������/ "�����&��%/ ;�� B �! ��;� B � �� ��������/ �!

��� � ��� ;�)��* B ��� �)����=*

�)�=*�=� )���*

.����� �4 �"� ;� �� �/�����/ �� �"� -���� ��� � ����� �! ���� �!

��> � �� ;�)�> * � �� )���*

("�

�>� ;�)�> * � � � �)�>� �=*

�)�=*�= � �� )���*

�2� * ������ .'�� ��� �� �������� �� � 8������ �� .'����� �� /� �� ���'���� ���� ������������ �� �2@ �� '������� /� � /���

����� �''���� *�� ��� �� �4(����

���

Page 106: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! �� �B�& ��� �3 ����#���

4"�" �"�4� �"� �"� �-���� ��� � ����� ��%��� �)�=� � �� � �-��%����� � ���� >��� �4 � 4� "���� �= �� %� �� ����� �� �"�� �-��%�����! �� �� �� ����%������� �� ("�� ������� �"� �"� ���� � �� �"� ����� �= � )���* �� � ������ N��� �"��� ������ �"� ����� �� �"� �����1 �"��� ��� �� ���� �"� ����� ���� ������!

?)�* B ��= � �� �= ����%�� ; ��> � �� �)�>� �=*

�)�=*� ���� )��#*

N� 4���� ? � ���� �� ?)�* 4"� � �� � ��������� :���� �"� �= � ? � ��= � ? � �"� �"� ������ � � )� �� �"� ����� " ��� �����/ ? � �� )?� 3��������S��� � ���� (�= �� ����� ������� � �� ����� � ��=���� ��

N� �� ��� %/ �� �"� ����� �� ����� %/ �"� �?��� ��=���� � ;�! �= � ?1 �� �� ��%����� �� �"� ����� ����� �

� �� �� N� �4 ���� @��������� �� �"� � ��� ��

� ���! �� �?� �� ��� � ����

N� 4���� ? B &�?� 4"��� �"� ?� �� �"� ��S��� � ��%��� �� ��� ("� ��=���� �

;�� �= � ?� ���� � C��/ ��� �� �"�� �����1 4� �� ��� %/ ����"� ��%�����

�"�/ �� ����� $� � � � ��� ����� �! / ��%����� �� ����� %/ � � )�� ������*� C��/ ����� �� � ��� � ��%����� �� �! 4� "��;

���� �

�� �� � ��� )��'*

N"� �� �� �-�������%��! / �� ��� ��%�� �� � �"� ��� �� )�� �� 4��� �� ����!�� 4���� ���� � ��� � �"� ��%��� �� �� %/ �"� ��%��! � �"� � ������ ����������%����/*� $� �" ?� �� � ��1 �"� �� ��� ���� �� �"� �"��� ������ � B �)�*�3�������! %/ @��������� ��! �� ������ � ��� � %/ �� �� ��������� �� � �����������

���������� �� 9��� ��)�* �� �,��������&��" ��� ���� �� ��� ���� �����-�� �)�=* �#8)�*(

����; ("� ���������� �� ���� ��� ����� � �� 0�� �= %� ���� �� %��� �� � �� ��$� � � �� � �"� ��� 4� "���� �8 � � ��" �"� )�=� �8* � �� ("� �� ������������ �8� B ;�)�8* B �8� 6�=! 4��" � � 6 B �)�8� �=*��)�=*! �� ��� � � �� � �� "� ��� ��� � �8� $� � �= �� ����%�� � �)�=* � �)�8*! $"4�&A� � ������/

�)�8� �=*� ��

�)�8*�)�=* )��+*

�����'� ���� �� !�7�#? �� � �� ���� ������ ����� �� �� ������������'� ���� �� �� �� �� !�7�7�

Page 107: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� !��� �%���&� ��$ !�3����#�� *!�" � ���

������� �)�8� �=*� � �)�=*� ("�� 6 B �! ���� �= B �8� �8�� ("�� �)�=* � #�)�8*� �

��$����% ���� �������� . ���� ����� �� ����� �� ����� %/ ��� ������

.� ������ ������! / � � ���� ��� � ����� � B ��=� � ��� �� ���� �����1� ���� ;�)�=* B ��=� N� ���� �"� / � � ���� ��� � ����� %� ���� ����

("��� ������ �������� �� ���� ������ �"� 4� 4��� � ��" � �4� �����! � ���� � ����� .� 4� 4��� ���! �"� %�� �%C��� �� �"� �������� �� �"� ���� ������4��" �������%�� ��=���� ������ )�"��� ������ �� ������ � ����*� ("��� ���� ������ %� ��� � ������

���������� � $�� ������� �� ���� 5 ��� �� �� �������� ������� ��� ����� �� ����������(

����; < � ����� ����� �>� �& � � * )�>� �&* � ��� .����� �)�&* B � �� �1 �� �& ������%��� ("� �)�>� �&*��)�&* �� � �����! �� �& �� ����� �

.� 4� 4��� ���! �"�� ���������� ����� ������ � � ������� � �"� �/�����/ ���"� ������ >��� �"� ��� ���� �� �"� ���� ����� 4� �%�� ;

���������� �" 1� �������� ������� � ��������� &� ��� ������� �� ���� 5 ��� �� �

���� ������� %���� �� ��� ���������� ��� � B ���5 �� %���� �� B � �� ��������� &�

��� ���� 5 ������� ��� �� �� ��������� &� ��� �������� ������� �� ���� (

����� >��� @��������� �#! � �� ���� ������ <� �8�! �8� �� �4� �� ���/ � ���� �� � ��� � ������ �� �! $"4�&A� � ������/ )��+* ������� )�8�� �8�* B �� 0�� � %� �"� ��%�� �� ������/ ���"��� � ���� (�8�1 �"��� �"��� ) ��� �* ������ �� ���� ����� �� 0�� �= %� ���� �� ��� �1 �"� ���� �� N B )�=� �8�* �� ���"�� (� �� �� < �"� ������ �� �)�= � N�8�* B � �� �= B N�8� V �8�! � �= ����%�� �������� �"� �� �� �"���� �� �4� ���"��� � �"��� �����! ���� �= � � B ��� ?%������/! �"� ��� � ����� �=���"��� � �� �� ����� ������ �� ��� �! �� ���� ��� �

:��� �"� � ����� ����� 4"�" "� � ������ �� ��� � � �! �/ � �� ���� �����1 ������ ������ �� ���� %/ � ������ � ����� ����� )��� �����*!���� �"� �����

4��! � � �� 4��" � � � )�� � � �* 4"��� � �� � ����� �����

4��" �� �� ��� 8)�* B � )�� �*� ("� ��� � ������ ������ 4� �"�� ���� ���"� �� �"� ����� �� ��� � �����

Page 108: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��# ��� ��! �� �B�& ��� �3 ����#���

0�� �= � �= � %� �4� �� ���/ � ���� �� � ����� �� � � G �"� ��� %��4�� �"���>��� )��#* 4� �%�� ;

# ���)G* B#)�=� �= �*�

�)�=*�)�= �*� ��� )��,*

("��

# ���)G* B �� �� �� � * G B

�1

���

�1

���

�1

��

�� )���*

$� � ;�;�� � ��� � ����� ;��;� �� ������ � %/ �"� ��� �G � �"� �-���� ��� ���� �� �� %/ �=� �= �! 4� "��

);�;��* B � 4"��� � B �� �� #� +� )���*

("� ������ 4"��� ������ � %��4�� �� ������ �� ���� %/ �"��� ������ � ������ ?,� ���() � ("�/ �� ������� � �"� ��� ��%����� � (� 4���� ��������/�"� � ����� #)�=� �= �*��)�)�=*�)�= �** � �� ��� �� � 4� ��� �"� ����� �� ��� � � )� B +* 4"��� ����� �� � 4"� � B + � � 4"� � "B +� ("�

#)�=� �= �*�

�)�=*�)�= �*B �� �� )� B +*� )����*

;��������� �� ������� �

N� "�� ��� � ��' �"� �"��� �� �4� ����� ����� �����; A#�� )����������� �:* � A+�� )"���� � ������ ��*� ("��� ������ �� �������%�� )�����*� $� 4� � ����� �"� �4� � ����� ������ )��� �� � )��'�**� $� � �"����"������ ������ �����/ 8)�:* B �! 8)��* B �! � �� ���� �"� �����! @��������� �# �"�4� �"� �: � �� �� ���� ������� >�� �" � �! �"� ���� �/���� "� �4���%��� �� �����1 � � �� �"�� �� �"� ��� �� �"��� ������ �� �"� ������ N� ��� �"� ����- �� �"� ���� ��� � � ��� ��� �"� ���� ��%�� ?�� < �"� ��� ������ � 4� ���� �"������ %/ ���� � �"��� ����� ��� � �"� %��� ��� �� %/ �"� ��� ����� .)�*�

>�� �"� ����� ��� A#�� )����� �����*!

.)�:* B � ?�)�:* B �)�:* B �(��

��(��

��� �?�)�:*� B #1

?�)�:* B �(��

��(�

����� �?�)�:*� B #� )����*

>�� �"� ����� ��� A+�� )"���� � �����*!

.)��* B

�� ���� �

�� � B ?�)��* B �(

��

��(��

��(��

��� �?�)��*� B +�

Page 109: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� !��� �%���&� ��$ !�3����#�� *!�" � ��'

?�)��* B �(��

��(��

��(�

����� �?�)��*� B +� )����*

>� ��/! �"� ������ �� �"� ��"�� �4� � -�� ��� ����� �����! A��� � +���!"�� �"� ��� "���"���/! ��� ! ����! 4"�" �� �����%��� ("� ������ �� �"� �������� A��� �� ���� ������1 �"��� �� +��� �� ��� >�� �"� ����� ����� ���!���� �� � � �"� �����! �"��� ���"� %� # �� � �"������ ������1 � �"� ����� ��!�"��� �4� �"������ ������ �� ������ ?� ����� �"� �� ��� ������ )����� ��� A�*"�� � ������

����� 3���� ������ �������� ' ��4������

N� 4��� ���� � �"�� ��%����� �"� ���� �� �������%�� � ��� ������ �� ����� %/��=���� �! ��� �"��� ���� �C���� ���() � ("��� 4"�" �����/ ������ )���* 4���� ������� %/ 5� N�/� � ���' � "�� ����/ �� �"� � ���-���� ��� � ������� ���� ��� �"� ����-������ 0�� ������ � �"�/ 4��� ������ %/ �� 2�� ���$��� )�� ���-��#*� 5��� 4� �"�� ���� �"� ������� �� 2������! 4"� ���%���"�� �"� ������� ���� ��� ��� ��=���� ������ ���7��� ���� . � ��� ��=���� ����� � �� � �� ���/ � �"����"��� � ����� ��� �� �� ��� �� %/ � �� ������ � �"� ������ �;

� - �� );&��;&�� *�� B �� ��� B �� - "B %� � ��� � �� )����*

� �"�� %���� ����� �� ����&%�� � � ��� ��%����� �� '� 4��" �"� �� ������;&�� ������� ��� %/ ��=���� � �"����" "/����� �� 4"��� ���� ����� �� �� ����%/ �=�� <� �"� �=� �� � �/ ��%��� �� ���� ��� � � ! �"� ����� �� �������/� ��� ���"��� � ������� �� ("�� �� �� ������� � �� ��=���� ����� � ��� �� ���� ��� �1 ���� �4 � ! 4� � ����� � �/ �"� ��� � �� �� �"� G-���� ��� �H ��=���� ������1 �"� ��%�� � �� �� ������ �� ��" ����� ������� � �

N� 4��� �4 ����� �"� � B � ("� ��=���� "/����� �� �� � ������� �� � ����� � ��� � ��1 �" � � �� �"� ������ �� �� ��� �� ���� ��� �"� ��� ��� � ��� 2"���� � � �� �"��� � �� � ���� � ��� ���� ������ �� �"� �������� ("������� �� �"� ��=���� � �"����" �4� � ������� "/����� �� ��� ! ��� ! �� ������ � �"� �-�� � �� �� %/ �=�! �=� �� ����� � ���� � )���*� ("� �"� ��� �������� / ��� �� �"��� ���� ������ �� �1 �������� �"� ��� ������ �� �" ���"�� 4��" ���� ����� �+ � �"� � ������ �� �"� � � �� ��� � �� <� �� ��/ �� ������"� �"��� ���� ������ �� �� ���/ � ���� �� �� < ����! ����� �"� � ���/; ���� �� / ����� � ���� �"� � �! �� %� 4����� 4��" �4� ��S��� � ����������� ��� B�

� "��=� B�

� L��=� 4��" "� � �! L� � �! �"� ���� � �� - � % �� �4� ���C�� �

�� ���� ��� ��������� ���� ���7����

Page 110: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��+ ��� ��! �� �B�& ��� �3 ����#���

��%���� �� �� �� � � � � �� $� � � )��� ��* B�

�� "�L�)�=�� �=�* �� ��� �� ����� �! ��

� ��"�� ��� �� B ��� $� �"� =� �� �� ���/ � ���� �� � � � B �

("� ��� ����� �� �"��� ���� ������ %� ������� ���� �"� G2�����������H �� �"� ��=���� ����� �� < ��! �" ������ ������� �� �� �� ����� =������� �� ��4 %��4�� �"� ������� =�! =� 4"� �"� ����� ��� �� ;��;�� �� � � )���)����* � �" ���� ����� � �%�� �"� ���� �� ��� )�"� ������� �� �� ���� �"��%�� � �� � )��� %���4* � ���� � � ���� "� �%�� � � � �" � ���� ��� ���"� ���"*�

���������� �- $�� ��������&����� �� � ��:������ ����� �� �'�������� �� ���������,

���� �� ��� ��/���� �����(

����; ("� �����%�� ������� ���� �� � ��� ����� � � �"� ��� �� �� �������� �� A �������%�� ������� ���� � � �"� ������/ ���"��� � ��%���� ��� 4��"� " A!

�; ; B � <� � �� �� ����� %/ ��=���� �! ��=���� ;&�� ���

��%��� � �� ������ � �/ �� �=� %��� �� �� ��� $� �"� ��� �� ���� ������ �� ������� ��� �� ������/ ���"��� � ��%���� �%����� %/ "1 �" � � �� ����� ��=���� ������; �� � � ��� � >��� �"� ��� �� ����� ��� %����� � 2������ ���"�! �"� ���"�� � �� ���� ���� � �� A ������ 2� ������/! ��� ���" ���� ���� � �� A����� �%����� %/ "! L! ' ' '! )�=;� � �=<� * B � 4"� " "B L! �� �"� ��%���� ��� ��������/ ���"��� �� 3�������! ���� )����*! �"� ��%������ �; � � �� ����� %/�" � ���� ��� ������ %��4�� �" ��"��! � �" �; �� �������/ � ����� 4��" L "B "1 �"�� �"�4� �"� � B ;�; �� ������ �" ��� � �� ������� �

("� ���������/ �� �"� ��� ����� ������� �"� �"� 2������ ���" �� �������%����=���� ����� �� ���� 4��" � ���� � � %� "� � ���! � ����� ���� ��������� � �"� ���� �� �"�� ���� $� 4� "�� �4� ��� �� � �����

�, �� 1������� ��.; �� "� � �/ �"��� %� "�� 4��" ��%�� �� ������� A� /� = �� )� � �� �� �"� ������ � �"� ���* �����/� � �"� ������ ;

AV

/V

=� �� )���#*

� �� ���� �%��� �� �1

��, �� 1������� ��. ; �"� �� �%��� �� � ����� �����%�/ � � �� �"���

Page 111: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� !��� �%���&� ��$ !�3����#�� *!�" � ��,

. ���� ��� �� ����/ ����� �"� ���� �� � ��� �������%�� ��=���� ������� .� 4� "����� ! ����/ ��=���� ����� �� ����� ��� �� �������%�� ��=���� ������ )� ���� ���� ����/ �"� ������ ��=���� ����� ���*�

(%�� ��� ����� �"� ���� �� � ��� �������%�� ��=���� ������ 4��" �"� �/�%��� ����%/ ���� ��"����� �1 �"�/ 4��� ���� ���� � �"� �"���/ �� 0�� �������

�� )V �*X @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @�� ��X @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ � @�� ����X @ @ @ @ @ @ @ @ @

@@

�� ��'� @ @ � @ @�� �� @ � @�� ,��+X @ @ @

@@ @

�� ,���X @ @ @ @@

@ @

�� ������X @ @ @ @ @@

@ @

("� �����4� � � �� �� �� N�/� ������ �� �/�����/ ������ �� ������ ;

�� �� @ @ �� ��� @ @ @ �� �##�� @ @ @ @�"�� �A @ " @! A � ,�

2�(�� �'�� 0��� �� � ��� �������%�� ��=���� �������I� ��� 8����� (��' * (�� ��� ���������� ������ *��� �� �������� �� � ������'�� ��� ���

��� ��� ��.� ���(��� 2� �� ��������� * ���� �� ���� =� � �� ��� ��� �� ���(��� ����

3� �� ���� �� ��� � !� �� �� � 7� � �� � #�

(� ���� �"� %���� �������� �� ���� �� �"��� ������! 4� ���� � ������ �"� ���-��4� � ����� ; �� �� ���� �"� ��������� ����� �� �%C��� � /� �� ���� ���� ��� � ��%����� �� ��� ��������� � �1 �� �� ���� �"� -4���" ������ �� �!���� �"� ����-����� ������ ������ 4"��� �� �� �"� ����� ������ �� ����� ��� � �� �� � �� %/ ��������� � �� �"��� ������ N� "�� �"� �������"����;

�� ! ����� �� ! '�)��* ! ��� �! �� �� �� ! )�������

�*&/� *����1 )���'*

< ���� �� ! ���1 ��� 2������ ����� �� ��� �� ���� �"� �"� ����� ��� ���� ��� %� �� ���� � 1 �������/ � � ���� "�� ��� �� �� � �� ���� �"�

��� � �� �� �� �� ���� �� ���� ����� ��� �� ���� (��'? �� G��������( (��'�� 9����� �� ���� ��� ������ 3� *��� ��

Page 112: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! �� �B�& ��� �3 ����#���

����� �"�� )4"�" C�����/ �"� ����� �������"���; �������� ! ��*� N� �����4"��� �"� ���� � �� ��� ! %�� 4� �"�� ��� �"��� ���� � ����� N� "�� ����/��� �"� �� �� �������"� �� '�)��*! �"� ����� �� ���"��� � ������ 4��" � ���������� ��1 �� �� �� ����� %/ �"� ���� � ������ 4��" ���� � ����� �� (� )�"�/���� �"� ����� ���

� * � �"� ����� ^� �� ��������� ������ )�� �"�������� �� �� &��� ����� � � %/ �� � � %/ ���� 4"�" �� �*� (� ������� �� ����� � ��� � ��%����� ��! �� � �"� ���� � ������ ��� �� %���! � � ���� � �/�"��� �� ������� � �� N� �� ��� %/ �� �"� ��"���� �����1 ��� ����� �� ���� B ��<�� ��� ���� %/ �� ������ � ������ � ��; �� ; �� B �� B )��*� B �� 3����������"���� �� ��=���� ������ ��;

�� ! ��� �� ! ��� �� ! � � �� ! ��� �"�� ! �"� �� ! / ���� )���+*

N� 4��� ��� ��� �"� �����4� � � ������� � �"������ %��� ��=���� ������

2 ����� 4 $�� ���&���*��� �� ��� ��:������ ����� �� �� ��� ������ �� �� ��� ��,

:������ ������ �� )� � ��" �� B �*" %���� ��/���� ������� �� �&������ ����

���� �� �� &� �������� � � ��������( $�� ������� �� ��� ������������� ������ ���

�� ��������� � �8 ��� � B �" ���� ��� ��&��� �� ��:������ �����������" ��� � � ����� ��� ��� ��&��� �� )� �* ����������� ������������� �� ��:������ �����������(

< �"� �����4� � �"����� 4� �� %/ �S����� �/�������� �� 2������ ����� �"���4"�" ������� �S������/ ���� ������� �� �"� ����� � ��! ��� � �� �! ��� ����� 4��"��� %� " ���! �"� ��=���� �"����" �"� ������� �� ��

2 ����� � $�� �2������ �������� ����� �� ��� ��/���� ������� �� � ,�����,

������ ��:������ ����� � �� ���������� �� ��� '������� ���)�*�� %���� ���)�* ����� �������*�� �� � �� '�(

<� 4� �� ��� %/ )�* ! ���)�*�� �"� �/�����/ ����� �� � ���� 2����������� �� �! 4� �%�� ���� (%�� ���;

)�* ! ��� ; � � ���� � �1 ��� � #1 ��1 ��1 ��1 ��1 ��1 �"�� �� )���,*

("����� � ������ �� �� ��=���� ������ � B ���� :��� �"� )�* � � )��* � �� �� ������/ ����� 4"� ���� ����� �� �� ��� ���; ��� � �� � �� � �� �������%�� ��=���� ����� � � B ��! �"� )�* B )�*��

Page 113: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� !��� �%���&� ��$ !�3����#�� *!�" � ���

����� ,���������� �� �������� ������� ' � ��4����� �����

.� 4� "�� ��� � )���*! �� � �"� -���� ��� � ��=���� ������! � �/ �"� N�/�������! ���� �"��� 4��"��� B �� �� #� + �� �/�����/ ������ �� -���� ��� � �������N"��� �"� ��"��� �� �� �������"���� �� ������ � ��! � �1 ���� ����� �"�/ ��%���&� "��"�� ���� ��� � ������ �1 � ���� �� � ��! �� � ��! �� � ��!

�"�� � �"�

>��� �"� �4����� �� �"� 2������ ����� �� �������%�� N�/� �����! 4� 4���� ������ ���� �� �"� ���� ����� � ��� � %/ �"�� ������ < ����! ����� ����� )����* 4"�" ��� �� ��=���� ����� 4� "�� ��� "�4 �� %���� ��� �� �������=� ���� �� �"� ��=���� "/����� �� �� �� ��� �� � � � ���� ��� ��������"� � �� ("��� �� ���/ � ���� �� � ������ ��� � %��� �� ����� � ��� � %/�"� N�/� �����1 4� �� ��� %/ . ;B �/��� �"� ������� �� � ��� ������ ������ )����* /����� �"� �����4� � ������ � )���� �� � � �"� � ������ ��� 4"�" ��� � �"������* %��4�� � ���� � � ������� �� � ���� � ����� �� �� .;

- "B %�/��4/��/��

B � �

���� � �� )��� B +*� )����*

("�� ������ �� � ���� �� � �� �"� �� ��" �� �"� ������ �=�1 4� �����/ �� %/ ���"� 4� ������� �"� ����� �� �� �"� ��� �����. �� %� ��������/ ����� � ������ � �"�� ���� �"� �� ��"� �� �"� ���� ������ �=�� >�� � �� � � �"� ������ �� �/�������� )4��" �� � � ��"� � � -���� � �A� %�� � �*! �"� ��=���� � ���� � ���� ��%��1 �"� ���� %� ��� �"� �� �� �"� ����� �=�! �� �"� � � ��"� � � -���� � ����� �� �� �"� ��� ����� �� �� � �"� ���� � � �� �� � B �)�=�*�N� ���� ��������/ �"� ��� ������ ��� B �;

.)��* B

������������

� �� � � � � � ��� � �� � � � � �� �� � �� � � � �� � �� � �� � � �� � � �� � �� � �� � � � �� � �� �� � � � � �� � ��� � � � � � �� �

�����������)����*

� ��� �� �� �� ������ (��' �� �� '���(��� �� � �� � ��� ���� �� �� ������������ �� ��������� ,���� �� ��� ���-� �� ���� �� �*� ���� (��� '������ �� # ���������

*��� �'������ !7> ��� 1>> ����� ��� �� ��� � � �� ������ (��'� �� �� (��� "<(��� ��

�� '����

Page 114: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! �� �B�& ��� �3 ����#���

.)��* B

������������

� �� � � � � � ��� � �� � � � � �� �� � �� � � � �� � �� � �� � � �� � � �� � �� � �� � � � �� � �� ��� � � � � �� � �� � � � � �� � �

�����������)����*

("� ������� ���� �� .)��* ���� �� � �"� 4/ 4� �%�� �"� ���� �� �"� �� ������:�����/ �"� %� "� � ��� "� �%�� � �� 5��� 4� �%�� � � �"� � ���� ����� �"� �"��� ��� )%���4 �"� �� � � �"� ������ �� (%�� ���* � � �� �"��� ���"� "�������� �� ����

.)��* B

������������

� �� � � � � � ��� � �� � � � � �� �� � �� � � � �� � �� � �� � � �� � � �� � �� �� �� � � � �� � � �� � � � �� � � ��� � � � � � �� �

�����������)����*

("� �"��� ������� �� � ������ ����� ��� �%����/ � � �� �%�� �� %/ �"���� �������� 4"�" �� �%����� ��� .)��*� ? � �%�� � �"� ������� �� � �-����� ��� ����� �� � � %/ ��������� � �"� ���� � � �� �� � ���� �� ("������ ������� �� ��;

���).)��** B V �� ���).)��** B #� ���).)��** B �� � )����*

("��� ������ � ���� �� ��� � �"� ������ ����� ��� ��� %���4 �"� � �� ��� ���4�� %�� � ��� ���� � �"� ���� �� (%�� ���� >�� � �� � .)��* � .)��*�� ������� � )%/ ������� � �"� � ���� �!�* � � .)��* B �� B .)

4���* 5

.)4���*� $������/ .)� * ! .)� * )� ����� �"� ������ � �� �"� ����� ����� ��*!

.)��* ! .)��* )��" �� �"� � ���� �! �* �� .)��* ! .)�� 5

4���*�

�3�� � � �� )�� (��'� �� �� �� ��(��� &��� ��� &���� �� ��(��� &�� ��� &��

� �����'���� �� �� ��(�� �� &�� �� �����'��� �� &�� � &����I� �� 3� �� ������� �� ������ * ��� ���� ������� *��� �� ����� ������ *����

'��� � (�� �� �� �� ���� �� �� ��(���� J�� ���� �� � ���������? �� ����� ������ ����<��������� ������ �� �� ��� ������� A�*� ��� �������� ���� �''� �� �� ������ �� ��(��� ,�� C�����( ���� �� �� �� ���'��� ���'� �� ��(���-� � �� *��� �� ���� ������ �������� ���� �� ��� ��� �� ��� �� ��� �������� �� �� ����� �� '��� ������� ,E�������.��� �� �� A��� �������� )�,�-� � ,!�F!-- �� C���� ��� R������ �8�$��� ,*� ���� ����� �� ��4�5� ��� ������� �� ������������ �� �� ����� �� �������� ���� �,3�-��, �-� ���� *�� �� ���� ���� ��� ��� �� ������������� �� �� ���'�����( ���'� ����(��� �� C�����( ��� ������

Page 115: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� !��� �%���&� ��$ !�3����#�� *!�" � ���

("� 2������ ������ �� �"� N�/� ������ ��� ��� �� � �� ���� � �� ��� 4��"�4� ��S��� � �����; �! # �� �! + ��� ��� ("� ������� �� �� �4� � C��/ ������� ��=���� �� >��� )����* � � ���� �"� �"� �4� ��%��� �� ����� �� ���� � ����� ����� � �/ �� �"� �4� ��%��� �� ����� "�� ��S��� � ����� ("� �"� ���������� �� �� �"� ������ ���� �� �"��� ���� ����� %� ��������/ ����� ������ �"���� �� ����� �� �"� ���� ���� �� %� �!� ��� ��! �! # ��� ��! �! + ��� ��� $� �"������� ����� ��� �� %/ �"� 2������ ������ ��

.)��* B

������������

� �� � � � � � ��� � �� � � � � �� �� � �� � � � �� � �� � �� � � �� � � �� � �� � �� � � � �� � �� �� � � � � �� � ��� � � � � � �� �

������������ )����*

.)��* B

����� �� � ��� � �� �� �� # ��� � �� #

��� � .)��* B

�� ���� +

�)���#*

("� ������� �� �� �"��� ������ ��;

���).)��** B �� ���).)��** B #� ���).)��** B �� )���'*

$� �� �� ���� ��� ������ 0�� � %� ��� ���� ����� 4��" �A� � �"����� � � %��� �� � �A� %���4 ��� ("� �.)��*�

� B �� $������/ 4� "���"� ������� � �� ������ �����;

�0.)��*��0 B .)��*1 ��.)��*�

�� B .)��* )���+*

4"��� �0 � �� ��;

�0 B

����� � � �� � � ��� �� �� ��� �� �� ��

��� 1 �� B

�� �� �

�� )���,*

(� �����&�; �"� ������ 4"��� "���"������ �� ��� ��� �� �� �� ����� %/ �"��� ��-%�� �� �"������ ����� � �"�/ �� ��� ��� �� �"� ���� ������ �� ��� �� ����������/�("��� ������ "�� ��� � ��%�� �� ����� �� ��� �� #� + ����������/�

< ����� � �� � �# 4� �"�� ���%���" �"� ���� �� �"� ������ �"� �� � ��� � %/ �������%��N�/� ����� � ����/ �"��� :���� �"� �"� ��S��� � ������ � ��� � %/

Page 116: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! �� �B�& ��� �3 ����#���

���� N�/� ����� 4��� ������� � �� ��S��� � ����� ����� )���� �� ��-� ������� �� ����� ������� ���� � �� �"� N�/� �����*� N� ��� � �"� �"� "���"���/ �� ��������� � ��� � %/ N�/� ����� �/ %� ������/ ����� ������ ("�� %� ��� �"��� ��� ���� �� �"� ��"�� � ��� � ������� ("�� ���� �� 4"��"�� �"� �������%��N�/� ����� �� �� �� �� ����� ��%����� �� '� � �"�� �� "� ����/ %�� ������� � ("����� �� 5��� 4� �����/ ���� ���� ������� ������� �� � �� �"� �"�����S��� � ����� �� ������ )�* ������ � )���,*�

�, )�* B �1 �"� ������� �� � N�/� ������ �� ��� ��� ��� ��! � �1 �"�/�� �"��� �4 �����&��� � '� �! ����� ��� �� �"�/ �� ����� ��%�������� '�� $� �"�/ �� "���"������ �� ������ )@��������� �� *� < �"� ������� ��� �� � ��! %��" ������ %� "���"������ )��� %���4 � ��*�

��, )�* B ���1 4� "�� �� ����� ����" �4� ��%���;

�, ���)�* B ���)�* )�"� � ����&�� �� �"� �����&��*� ("� ���� �� �"��������%�� N�/� ������ 4��" �"�� �������/ ��;

��1 ��� � �1 ��� ��� � #� )����*

("� �� ��� �"� ���� �� �"� �������%�� N�/� ������ 4"�" �� �� � -�� �� )� ������ �"����" �"� ����� *� $� ��� �"��� ������ ���)�* B���)�* B � ���)��* � �� �� �"� "���"���/ �� ����� �"� �� � ���- � %/ �� N� � ������ ��� �"��� "���"������ �"� ����� ;

��B�� ���)��*1 ��B�� ���)��*1��� ��� � #� ��B�� ���)��*� )����*

:���� �"� �������"���� ��;

��� � #� �� B ��1 �� B ��1 �� B ��� )����*

(, ���)�* B �)�*! �"� � ��� �� �! ���� ���)��*1 �� �"� �����&�� ���)�*� ���� ����� �������"��� �� �� ("� ���� ���;

��� ��� ��1 ��� ��� � � #� ���)��* B ��� )����*

("� �����&��� ���)��*! ���)��*! ���)��*! �� �� �������"� �� ��%-������ �� ���)��* �� ���)��*� 5� � �"� ����� �������"���� �� �-���� �"� )� �����* ��� � � ������� ���� � �� �"��� �"��� ������ � �� � ��

��� ����� ������� .'����� �� �������� ���*� �� ,7�71-� �� �*� ��� �������� *��� ���� �� ��=�#�

Page 117: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� !��� �%���&� ��$ !�3����#�� *!�" � ���

� ������� � � �� )%�� ������� � � �*� 5�4���� �"��� �4� � ����� ���-���� ���� � "�� �"� ��� ����! �� �"�/ �� 4� �/ ��-������� � )��������* � %��� � �"� �"� ��� ����� ���� .� 4� �"�� �"�4 ���� ��!��� ��� � #! ������ � ��� � %/ �� �/ "�� � "���"���/ ���"�� ��

�� �� ��! ��� B �! ���"�� �� �� ���

���, )�* B ��� ("� ��� �� �� �/�����/ �� 2������ ����� �� N�/� �����/�����;

)��* � ����� � ���)��* B ��� )����*

N� �"�� �"�4 � �� �"� �"� ������ 4"�" "�� �� � �/�����/ ����� "��� ����� ����� ���"�� '�)��* ! �� �� �"� � ���� ���"���� ��� �� ���

< ����� 4� � ������� ��� / �� � �! �"� ����� �� � ��%����� �� � ��� � ���; �"� �� ������ �� �"��� �� � 4"��� ��� �� ����� ��� �� ��� � ("�� ��� ���� �"�4� �"� ��! �"� "���"���/ �� �! �� ��� �/�����/ ����� �� �"� �� ���� �����14� �"�� ��� �"� �� �� ��� "���"���/ ��� "B #� ?� ����� �"� ����� ������ �� ���-���� � )���� �� � C���� � ���)��**� ("� �"������ ������ �� �� "�� ����� ���)L(�M�� ����*! �� �#)��*� B �)� �*� N� ���� �"� ?)��* B �)��* ��� "B # �?)��* B ?)��*�

< ����� 4� ��� � ������� �"� ��� ����� ��� B � & )�E� V �* 4"��� �E� "�

����� ��� )L�� M�* )���� �� ��� ����� ��� �� ��*� >�� � # �"� "���"���/ �� ��� ��!

%�� �"� ����� �����! � �������� � )��� @��������� ��* �� �"� �� ��! �� ��S��� ��>�� B#! �� �� �"� ����� ������ �� %��" �� � ��

��

����� 5� �� ������ �������� �� � ������� �� ����� �� ����) +������

�� � ���� �������

>�� ����� � 4� � ������ �"� ����� ��! �"� ��� �� ������ 4��" ��� *� .� 4��4 � �����! �"�� �� � ��� ���� >�� � ����� ����� � B &���+��� N� � �������"� ���� ����� �� � ��! ��� B ���>� �> � ���1 "� � ��� % ����

N"� �"� ����� "� ���� �/�����/ ����� � )���� ����� ����� �����* �"��! ��� ��4 ����� �� *! �� � �! �� �"� � �� �� ��4 �-��%���� <� �� ������ �� ��� ��"� �����4� � � ��� ��� � � ��"� � ������;

�& "B �� "B �>� �&� �> � �� ��&� �> ��B ��&����&(5&=���&�

)��� ��*� )����*

��� ��� ������� ,7�77- �� �������� �� �� ������� � �� #�

Page 118: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��# ��� ��! �� �B�& ��� �3 ����#���

< 4����; ��&� �> �� �� �"� ������ �� �"� ��� ������ %��4�� �"��� �4� ������4"� �"�/ �� �"����" �"��� ��������� �-��%���� N� �� �"�� �������� ��%�� �"� ���� )��.(� �� �� �-� ��1�� 1 4� "�� ��� �� �� ��� / �/�����/ ����� �� ��������� � ��� ���� � ��;

�&� �> � �� ��&� �> �� B ��&=���&�

)�&� ��* B ��&����&(

)��� �> *� )���#*

N"� �"� �4� ������ �� � �"� ��� ��%��! �"��� ��%�� ��� ������ �� ���� ���"��� ���� N"� � �� �"� ����� �/�����/ ����� �� �"� �����! ���� ��� ���������� �

�! 4� 4��� �����/ 4���� ��&� �> �1 �� � �� � �� � �! 4� "�� ��&� �> � � � ��!

4"� �� �� �-�������%��! ��&� �> � � ��

("� ��� �� ����� �� ��&� �> � ����� � ������� � � ������� %��� �"� ������ <� "� �������/ ���� %�� ��; ���� �)�& � �> * � 8)�* �������;

��&� �> � �

�))�)�&* V�)�> *� 8)�**1 ��8 � �)�*� ��8� �> � �

��)�> *� )���'*

. ������ � ������/ 4��� %� ��� ������;

�8� � �)�*� �8� "B (�8�� �)�8�� �8�*� �

�8)�*� )���+*

N� 4��� %���� ��� ������ 4��" "��" �/�����/ �"��� ��1��( �� ��1�� ���� )��.(� 4��" � � �"� "���"���/� #� ��.� �� ����. �.(�.��,: - -��� �� �� ��1��( ���,�� ��1�� �� �� �1� ���� � ("�� �%��� �� �/������� ����� 4"��� ��4� ����� � �� �%����� %/ �� �� ���� ����� ' ' ' 4"� ������ ��%��� "�� ��� ���� ��

4��" �"� ��� "��� � � ���� � �� ������ 5��� �� �"� %��� � � �� �"� �%����� �"� ����� ���� �: � )����* � �"� 4� �"�� �� ���� �4 � �1 ��� ���������� �� '�)��* )�� �� �������"� �� ��*;

��) *��� � �� �=� �# ���� *�� �� ������ �� ����� *��� ��� ��� �� ��(� ���� ��((���� ��( ������ (��'�

���� '�����? G���<������(��

Page 119: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� !��� �%���&� ��$ !�3����#�� *!�" � ��'

� ; )�)�> * � �,*

?� ?� � ��� ��� ��� �� ��� ��� ���# ?� � � � � � # # ' ' '# ?� � � � # ' ' , + , �� � � � ' , � � �� �� �� ��� ��� � # , �� �� �� �' �+ �� ��� ��� � ' � �� �� �# �� �, �� ��� ��� # ' � �� �# �, �� �� �� ��� �� # , �� �' �� �� �' �� �+ ��� ��� ' + �� �+ �, �� �� �+ �, ��� ��� ' , �� �� �� �� �+ �, �� ��� ��� ' � �� �� �� �� �� �� �� �#

)���,*

N� "�� 4����� ?��?� � ���� �� ��� �� �� ���"��&� �"� �"��� �� ��%��� �� ������("� ���� ���� ����� �"� ��%�� �� ����� ������ � �"� ��%��� < ���� )� ������������� �� ("����� �*! �"� ��%��� �� � &��� ����� ������ "�� ���"�� � �� #������� ("� ������ �� ���� 4"� �"� ����� ��� �� �"� ��%�� ������ ��! 4��"������ �� �"� %��� �! )N�6�� N�6�* �� )4�6�� 4�6�* 4��" N�� B � B 4�� 4"� �"� �4��������� � ������ 6� �� ��S��� �� < �"� ����� �� �"� ��%�� �� �� ����� %/ �����)6� �* �� )6� 6* )� �/ �"� ���� 6 B � ������ �� �� ����%�� ������*� $� � �)�> * B6��V6��! �"� � �/ �����%�� ����� �� �"� ��� �� �"� ���� �� �4� ������� ("��� %� �4� ��%��� 4��" �"� ��� ��� � �/ ��� �4� ��S��� � ��" ����������� �� ("�������� ���� ��� 4"�" �"� ���� �� � B �' B '� V � B �� V #�1 �"� � �/ �"���� � ��%�� �� ����%�� ������ �� � ������ ("� ������� ��� ���� 4��" �4� ��%����� ����%�� ������ �� �,� B ,� V ��� B �� V ���� <� �� ������ � �� ��� �"� �� � ��4 �� ���� �� ��" �%��� �"� ���� �� ����� �� �/ ������ ����/1 � )���,* ��" ������� �� ���� %/ ���� �� � ����

������ )����* � �� � �"� %��� � � �� �"� �%��� �� �"� ����� ���� �� � )����* � �"� 4� �"�� �� ���� �4 � ��;

�� ; �)�> * � #�

?� ?� ��� ��� ���+ ?� � � ' , �+ ?� � + � �� �'�� ��� ' � �# �� ���� ��� , �� �� �+ ���� ��� � �' �� �� ��

)����*

$� � �"� ���� � ����� �� �� �"� � ����� ������ ���� �� �� �� ��� )��� )���#**!.)��* �� ��� � ����� ������

Page 120: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��+ ��� ��! �� �B�& ��� �3 ����#���

.� ����� � ����� � �� @��������� ��! �� �4� ������ "�� �"� ��� "���"���/�������%�� ���� �! �����/ � ����� ��� %��� �� � �� �"� ��� ����� ��� ���"� �"��� �%���� �� ��� ��� �� �� ������ )4� � C����� �"� �"� � ����� ������*� $� �"� � ������� �� �%���� ��� ��" ������ �� ���� �"� 4� �/ ��� �������� ����"� � �"��� ����� ������

("� ������ �� � ��� �� ������ �� �� �"� ������ %/4� � ���� < ���� �� �4

���� �� �� ������� � �� �" ��"�� %/ ������ �� :�+� < �"� ���� � ����� �� $ ��� �"� �4� ������ "�� ����/ �"� ��� �/�����/! � �������! �"� ����/�����/ ���� :���� �"� �"� ������ �� �"� ��%�� ?� $ �� � ��� �� �� ����� ����� %���� �"�/ �� �� ����%�� � ��; � ���� ?� B ��)���*�

N� �4 )���� �����* �"� � ����� ����� �� ��%����� �� ��� ��� ������ ("���� �� ���� ����� � �� ��� ���� �"� �� -���� ����� �� �� ��

��$����% 1��& �� �� � ���&��� ���� �������� ("� 4���"�� �� � ��������� ����� � �� �"� ������ �E � �� 4"��� ��%�� ��� ������ 4��" ���� �= � �������� ��E��=� B ��

>�� �"� ������ ��1 ��� � #1 ��� B +� ,� �! �"� 4� �"�� �� ��� �"���! �"� �')� ���� ����� ! �"� 2�� ������ ����� ��� �� %��� ��� %��� �� � �"��"��� ������! ���� �"� ��%��� �� ��� � ������ $� �"� ������ �� �"� ��� %��� ��4���"��� ("� ���� � ����� �� �� �"� ������� �� � ������ ���� �"�4 �"� ��� ���/ �� ������ ���� ������ �"��� �� 4���"�� �� ��S��� � ����� N� �"�� ����/�"� ��S��� � 4���"� ��%��� � ���! # � �"�4 ���� �� �"��� ��������� ���������� � 2"���� ��

��� 0������� ������ �� ��� ��� � ������

< �"�� ����� 4� ����/ �4� ���"��� ��� � � � �4 ������ ���� �4 � ���

����� 0����� ���� �� ��������

N� ����/ � ���� ����� �"� � ��� � ������� � ������ N� ���� ���� ������� �/��� ���� ;

������ �(� *��� �� ���� �� �� ��(��� ��� ���� �� ��� �� ��� �� �� �������� �� ��*�(���@ ���� ���� � � ���� �� �� G���������� *�(�����

Page 121: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� �!���*���� $#!��� �"&� ��$ �����! !�$"��� ��,

��$����% ��������(�� ��� �� +������� . ��� �� ������ � �� �� �������%�� �� ���� � �"� ����� ��� �� � �� %� ������� � �� �4� )�� ����* ���� ��" �"�����/ ����� �� � � ��� �� ���"��� � �� �� ������ �� �"� ��"�� ����

<� �"� ��� �� ������ �� �� �������%��! �� �� ��� �� %� �����%��� . ��� ���������� �� �������%�� ��%���� �� ��� �� %� �')���, �.(.�

N� �/ �"� �"� ��� �� �� ����� ���"��� � ��� �� � ��%����;

�� B�5�

��� ��� � B���

�� )����*

�� �� � �� � � ������/ ���"��� � ��%���� 4"��� ���� ��� � �� �"� �A�� 0���& � �� � ��� �&� %� ��� ���"��� � ���C���� � � �� �"� ��%���� ��� 1 �"�

�& B

�����

�&�� �)�&* B

�����

�)�&�*� )��#�*

.����� �"� �" �� �"� � ������/ ���"��� � ��%���� ��� � �� � �-���� ��� � ������ ("� ����� � � �� �� � �"� ����� ���"��� � ��� �� �"���� �� �����/ ���� .��� (' �����;

B

�����

�1 �� � ��� � � B 5��� � �� B�5� ��� � )��#�*

N� "���� � %��� �� �"� ����� ��� �"� � �� �� �"� %��� �� �"� ���� �������� ("� 4� �%�� ��� �"� ������� ������ ���� )��� )��++**;

.)5���* B 5�.)��*� )��#�*

2� ������/! �� �"� ����� .)�* �� �"� ����� ��� �� ������ )��� � -� ��"� � ���-�� �� �� � ���C�� � � �� �� ���� � %�� � .)��**! �"� � �� �"� ����� ��� ���"� ������ ��� �� %/ �"� .)��*� N� ���� �"� �"� ���� �� �� ����� ���� ���-! � �-���� ��� � ������ �� �� ����� ��� �� � ��)������*�

<� �� ������ �� �� ����� � )���� � � �� �"�� �� �������� ���� �� ��"��*! �"������ ����� �

� � �"� "���"���/ � �� � ��! ����������/! �"� ����� ������ ���"� ������� �� � "���"������ �� �"� ��;

�- "B %� �� "B ��� �� B 5� �

�� ! � ��� 1 � B � �� � )��#�*

("� ������� �������� �� �� 4"� �� ��A� �� ��� ��� �� ��� < �"� �� 4�� ������ �"� ����� � B )��*� ;B 5������� ("� ��������� � �� �"� ��� ��� ��A��� �/�������� �� �1 ��

������ � �

�� � � )��##*

Page 122: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! �� �B�& ��� �3 ����#���

("� ������/ ���� �� "��� 4"� �� B � < ���� �"� ����� �� ����� ���"��� ���� �� ��� ��� � � ���� ��� � ������ �! �� 4� 4���� B )�*

� .� 4� "����� � �"� "���"���/ �� ����� �� ���� ��� � �� �"� �������� ��=���� �����;�� ! ���! � �

��B ���! � ! ')��*� N� "�� �"�4 � ��#�� �"� �"��

����� ����� �� ����� )�� �� �������%�� ���� �*� :��� �"� )*� B �� <��

����� ����� �� ����

B '�)��*1 �"�� ����� � �� � �"� ���"��� � ����� '��� � � �"� ��� ��� � �� �� ������/ �����1 � ���� �"� ��%�� �� ����� �� ���"��� ������ �� ����������/ ��)��*X � )��X*��X�

N� ��4���� �"� ��� ���� �� �������%�� ����� ��� ��� �"� �� �� �����;

��$����% ��������(�� �������� . ����� �� �������%�� �� �� �� �� �"� ���"��� ������ ��� �� �4� )�� ������* ������ �� ������ ���� ��� � )��� )��#�**�

("� ������/ "���� � )��##* �� 4� �� �"� "/���"���� �"� �� ��A� �� �������%��;

�� �������%�� * ������

B ���� � )��#'*

N"� �� �� �� ����� �! ���� �"� ��� ���� �� �"� ����� ��� ���� ��� �)�*)��� ��#��*! �"� ������ � )��#�* � )��#�* �"�4;

�� �� ����� � * ����)�* B�����

����)��*� )��#+*

N"� �� �� �� ��� ��� �� �"� �"� �������%�� ����� ��! �"� ��������� � �� �"�4���" ������ �

��� ������� �"� .)��*A� � )��#�*� ("� ������ ��� �"� ��������� �;

����))��*�* B ����)�*� )��#,*

N"� ����)�* B �! 4��" )��#+* 4� �%�� ;

���������� �� .� � �� � ��/���� 4������ ����� �� �� ��������&�� ������� �� �����,

���� �" �� �� � ��/���� 4������ ����� �� ��������� ��(

>�� � B �! �"� � �/ ����� �����/� � �"� "/���"���� �� @��������� �, �� ��� $� ����� ����� ����� ����� � ���� ��� ��! �������� �� �� �������%�� ���� �� ("��� �"� �� �� �"� ��� � B ��� ����� � ����� ��� � ���� ��� #�

>��� )��#�* 4� ��� �"� �"������ � -&��� ����� �� ����� ��� �� ������ ����"�� � �/ � � ���� � � "B �� �� � �"� ���� � ������ �� �! ��������! �"��

��� �� �.� ��*� ,!�:1- ��� ,!�:;-�

Page 123: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� �!���*���� $#!��� �"&� ��$ �����! !�$"��� ���

���� � � �8� ���� %� �"������ ����� �� ��� ("�� � ����� �� ���� � � �/ �� �"��"������ ������ �� �"� ��! % "B -! �� �� �"����� �" �8�� $�! � �"� �� �� ��� �����%������;

8))��** B 8)�*� �#))��**� B ��#)�*�� )��#�*

<� �=� � ?)��*! ���� �=� �� ���� �� ��! � �� �"� ��=���� ;&�� ���� �"� ������ �� !% "B -! �� �=� � ?)�*� 2� ������/! �� �� ��A� �� ��S��� �! �"� ��=���� ������� �� ��� ���� �= � ?)�* "� �� �� ����� �" �� � �� ������1 �� "� � �/ � � ���� ���� �� � �"� � � ��"�� � �� �� �1 �� �� "� �� ������� � �� ���� �� � � �� �"� ��A�� <��"� ����� ��� � �� � ��%��� �� � ��� ��� ������ �� ���� ��� �! �� �� �����%���� � � � �"� 4���" ������ ����� �

��� ��"�� ��=���� � �" �"��� � �� �� �

�"� "���"���/ �� �� �"� � ��� ��� ��A�T $� � �"� ������� �� � ������ �� ���

�� � � %�� �! � � ������� �"� �� �� �����%�� � �/ � �"� �� � B �� ("� ������;

���������� �4 0�� � ������ ��� � B 5��� �� ��������&�� �������� %���� ���� ���

������� ��&���� �� ��������� ��� ����������� ��������" ?)�* B &�?)��*( .� ���,

�������" �� ��� ������� �������� ��� ���� ��������" ����� ������ ��� �� � ���� �������(

.� ������ 4� ����/ �"� ����� )��*� )4"��� ����� ����� �� �� �*� ("�

"���� � ����� �� )��� �%��� )����** "� �� �����! + � ?� � + � ?�! �� )��*�

"� �# �����! �� � ?� � �� � ?�� 5��� �� �"� �%��� �� �"�� �����;

?� �� ?� ��� ��� ��� ���� ����� ������ ?� � � � � # � ' # ' �=� bV��+ �� � # � ' + + ' , , �=� bV�=

�� ?� � � + + + + � + � �=� bV�,� ��� � ' + � � � � �� �� �=� bV�=�,� ��� # + + � �� � �� �� �� �=� bV��=

�+ ��� � + + � � �� � �� �� �=� bV�=�

�# ���� ' ' � � �� � �# �� �# �>�� bV��+ ����� # , + �� �� �� �� �# �� �=� bV��=��## ���� ' , � �� �� �� �# �� �+ �=� bV�>��

)��#�*

N� "�� ���� ��� ���� �� � ���� �"� ���� �� �"� ����� �� � �"� ��������! 4��" �"� ����� �=+ � ?+ )��*! �>+ � �+ )��*� N� ���� �"� )��*

� "� �����%��� �� ��� ����� ��; ���� �"� �� �>�� bV�>�� � ����� N� ���� � �"� ����� �"�

�� B #�� & ���� ��� B ���� & ������ ��� ' ' '

Page 124: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! �� �B�& ��� �3 ����#���

.� ����� ��� �� ��� ���� ������! )��*� �� ��� ���� ������ N"��� �"� �%���

�� ����� �� %��� � ���� �� � � ������� ����� ������ ���� �� ��! �� �� ������� �� 4���� � � ������ ������ ���� �� �� � �"� �� )��*

� � �"� ������� �� �%���;

.)��* B

�� ���� �

�� .))��*

�* B

����� �� � ��� � � �� � � ��� � �� �

��� � )��'�*

@��������� �� ������� ��%����� �! � �� ("�/ �� �� ����� %/ �"��� � ������(�?� �� ��� � )�����/� � )�?�� �?�* B ��* 4"�" �� ����� �� �"� � � ���� ��� ���%������� >��� @��������� ��! �"� #

���

�B �) � �* ������ �� ��� � �� ���

������

����� "���� �������� �� ��������

N� ��� �� � ����� �� ��� ������ �� ������� N� 4��� � �/ �� �� ��������/ ��� �4������� )%�� �"� �� ��� ������ �� ����� ���� �� ��������*� N� ����� �"� �"������ �4� )�� 4��� ��� ��* �"� ��� ���� �� �� ��� ������ �� ����� ���� ��14� ���� "��� "�4 �� %���� � ��� �� ����� ! �"� �� ��� ������ �� �"� ���"��� ����� ��! � ���� � 0�� ��?��! � - � ��?��! � % � %� ���"� ���� %����� �"��� ����1 �"� ������ �?� � �?� ���� ���"� ���� %��� �� �� � ���� 4"������� ��� �� �� $� ����� ��� ( � �� � ���� �� ���� � �� )�� � �"� %��� ��4����� �� ( B

��� )���?� � �?�� <�� ��� �� �)(* B

��� )

��� � ("� �� ��� ( �� ��� �� %�

�������%�� �� )�� B 3�4� 1 �"� ( B ��� �� 4��" �� B�

� 3��?� � �� B�

� 4��?� 1 ��

�)��� ��* B �)��*�)��*� )��'�*

0�� ���� � � � � ��� ��� � � � %� �� �� �������� � �� � ���� ����������/� ("����%� �� �� �� �������� � �� � ���� %� �%�� �� %/ �� ���&��� � ���-���%������/�� ���� �"� ���� ��� �������%�� �� ��� ��������;

)����*)� ���* B )�� �����*� )��'�*

��9� ���� ,�� *���- �������� �� �� � ��? �� �� �� ���� �� �� ���� �'�� �� ������ ������ �� ��� ���

������ ���� �� �� ����� �� ���� ����� � ���� �� �� ��� ��

�� �������� ����

��� 0��,�6� � �6�- E ���,0���6�- � �6� E ��� �6� � ,0���6�-� ���� �� �������� �� G��

���� '����� �� � *�� ������� ��*�������� ��? ,

��3� � 3��-,

�� �� � ���- E

���,3��� � 3�����- ,�����'�������� �� � ����� ��� �

������ �� �� �������� �� �� �'����-�

Page 125: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� �!���*���� $#!��� �"&� ��$ �����! !�$"��� ���

:��� ���;

)����*� B �� ����1

$��� B �"��� $���� B �"��� * $��)����* B �"�"���� )��'�*

$�

��)����* B )���*)����*� ���)����* B )����*�)�����*��

� )��'#*

< �������! ���� � ��� �� �4� ������ �� � �� ���/ � ��� � ���� ����������/!�"� �"� �����

� B ��� � ����� �� � ��� ��� � ��� )��''*

�� �� ���/ � �������� � �/ � ������� ! �"� ����� � B ������ �� "�������"����� �� �"� )%����* ����� ������ �� ���� >��� �"� ��� ������/ �� )��'�* �������4� �"� �"� �� �� �� �"�� "�������"� ���� � �� � � �/ �"� ����� �� 4"����� � ��� �� �������� �� �"� ��� ���/ !��� � !����� 4��" !�!�� B �� 5��� 4� 4���%� � �������� � �/ %/ ��� �� �� ������� ���� �! �� �"� � �/ � -������ ����� � ���"� �� �� �� !� B !�� B ��� ��������/! ��� ��� ������ )���� ��%������ �� ���)�**;

��� � ��� ���� � ���� ������ � �� ���� ! )�� ���*����� )��'+*

���� �4� ������ �� � ��� ! ��� � ���� 4"�" "�� �$��� � �$��� � � %���! �"���

�� ��� ������ �� �"� ���-���� ��� � ����� � B �� � ��� 4��" %��� �$�� � $�����:���� �"� �"� �� ��� ������ �� ����� � 4��" �"� � � ���� ��� � ����� )��������� �� �����/ �� �"� ������ )�� $� 4� ����� �"� �"� ���� ������ "������ ��� � � �� ("� �"� ��� ����� �� �"� �� ��� ������ ����� �� �"� �� ��������� �� �"� ��� ������ �� �"� ���� ������;

� B �� � ��� * .)�* B .)��*�.)���*� )��',*

("� ������ ����� 4"�" ������� � �� ��� ������� �� �4� �%����/ ������ ����������� ���� ��� � �! � ���� ��%� � �)��� � ����

* B �).)���* � .)���**�� �"� � � ��)�����*� ("� ����� ��� �� �"�� ��%� � � ��)�����* ��

����� ��� �� �)��� � ���* � ��)�����* B�

��)� � �*�)� � �*� )��'�*

N� ��� � �"�� ���� %/ ������ �� < ����! ��� ��� � ��� %� � � ����������������/ �/������ � ���/������1 �"� �������� B �� ("� ���� ������/ ��)��'#* �"�4� �"� ��� � ��� �� ������ ���� � ����� � $� �)��� � ���* �� �"�� �������� 4��" ��)�����* �� �� "/����� �� � ����� ���"��� � �� �"� ������

Page 126: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! �� �B�& ��� �3 ����#���

*�� � *�� � >�� ������ ��� � B � B � 4� �%�� �"� ������� ����������� ���)�� � ���* �

�* $$ ,

���*� $�

$� ,�

�B

����**� *$� $*� $$�

*$� *,� $$� $,�

$*� $$� ,*� ,$�

$$� $,� ,$� ,,�

��� � )��'�*

$� ���)�)�� ����** B �� B �1 �"� ������� �"� ����� ��� � ���� %/ )��'�*� 3����������/;

�)�� � ���* B ��)��* � )*� **�� * B

�� ��� �

�� )��+�*

4"��� )*� **� �� �"� "/����� � � �� ���"��� � �� �"� ����� )*� **�

. ������� �� �� �� ��� ������ �� ������ ��

� � ! �� )��+�*

�"� ����� ��� �� � ������ ��� ��� �� �� 3��� ��������/ � � B �� .�4� �4 ���� )��##*! �"� �� ��� )*

� B )�* ��! ��� � )��'+*! 4� "�� �� ;

������ � �

��� �

���

>�� ����� � �������%�� ������! 4��" �"� "��� �� )��'+*! 4� �����/ �"� ��

��� ��� ����� �� �������%��� ������� B �

�� � ���� 1

� ������� � B

�� ��� � ' � �

��� �� )��+�*

N"� ��� B ��! �� � �� �� � ��� � %/ ��������� �� ��� �����1 �"� �� ��� ������� �� �� ��� $������/ �� �"� ����� �� �"� 4���" ������ 4� � ������ �"� ����� ��� ��� �"� ����-����� ������ %/ �� �� �"� �� �� ��� ��4�� �� ������������ ���� � � :��� �� ��� ����� ������;

� �������%��� ���� B �

���1 � ���� � B � �

���� )��+�*

���� ��%����� � � ���)�* �������%�� ���� �� >��� $"��A� ���� � )���������* � � ������� �"� ��� �� ��� �������%�� ���� � � �"�� �� ��� ���� �� �"������ ����� ���1 �"� ��� ����� ���� �� �� / �� ����� ��4��� 2��%� � � �"�4��" )��+�* 4� �%�� ;

���������� �� .� ��" ��� 4������ ����� �� �� ��������&�� ������� �� ��������� � ��

��/���� ��� ��������&�� ���� �" ���� ���� �� � ��/���� 4������ ����� )��������&��

���� �+ �� ��������� ��(

Page 127: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� �!���*���� $#!��� �"&� ��$ �����! !�$"��� ���

���� �"� �"� "���"���/ �� ��" ����� ����� ���"� %� �� �����! � 4� 4������ %���4 � �"� �� �� �����

<� �� �����"����4�� �� �����/ �"� ��� �"� ������ ����� ������� �� �"� �������� 4� "��;

.)����* B ��.)��*� )��+#*

$�! ��� � �� � ��� �� � ��! 4��" �>� � ��;

�>� � �>� � �� � ��� �)�>� � �>�* B �)�>�*�)�>�*� )��+'*

5�4����! ������ �� �"� �"������ ������! 4� � �/ 4����;

8)�� � ��* 8)��*8)��*� )��++*

("� ������ � �� ����� � ������/ )��� �� B ��! ����-��� ����� ������ ��� ������ ��� � � ���* �� ������ �� �� $��� %��� %��� � �"����� �� 2� 4/ �("����� 1 �"��� ������� ������ � �����! 2"���� <<! ����������/ � �"��������+! ��'�

2 ����� �5 )���%��"$�������+( 0�� ��� ��������� � ����� �/���� � ����,����

������� ������� %��� ���� �� �������� ������� 8)�* � �)*" ��� ������� ������� ��) � D

��� *�%�(

("� ��� D� ���� � )��'�* �� �"� ������ �� �"� � �� %��� ("�� �"����� �� %���� $�����A� ������� ("� $��� %��� ������ �� ������/� 0�� ��$�� %� %��� �� �"�-���� ��� � ����� � � ��$�� � ��� ��� %��� )��� )��'#**1 �"� ��;

> B

�����

)�$� ��$�� * � �� ��� �)>* B * 8)�� ��* � )��+,*

$��� %��� �� "���� ��� � �"� ����-��� ����� 4"��� ������ � �� ����� %/ �"�2� 4/-("����� �"����� ��� ����/ 1 �� � ��� � ���! �)* �

4! � � �%-

�� � ���� )��+,*!

8)�� ��* � )8)�**�

>�� � B �! � B �! @��������� �� ������ � �/ �� �"� ����� ��� $� ��� � �� ����� ����� ����� �� ����� �## � ���� ��� #� >��� .)��* )��� )��'�**! 4�

���� ���� 7 �� � ��������� ���� �� ���� ���� �� ���'���� �� ! �A��,����- ����������������'��� �� �� ��

���� ��� ��� (��� ����� ��'������� ���� �� ���? �� ,7�11- �� ������� ����� *���� �� �� �*� ������� �� ���

Page 128: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��# ��� ��! �� �B�& ��� �3 ����#���

�%��

.)�� ���* B

����# �� �� ��� # � ���� � # ��� �� �� #

��� � ���.)�� ���* B ��� )��+�*

N� ���� �"� �"� ����� �� "� + �"������ ������ )��� )����** 4"�" �� ����� ��� � �"�� 4� � � ����� %��� )���� ��� .)��* "���*� < �"�� ������ �� ������� �������� /�����

��)�� ���*� B ��1 8)�� ���* B #� )��+�*

("� ��! �"� #-���� ��� � ����� �� � �� "� �� �"������ ������ � �"� %���������� �� � �� )��+�* %� � � �� � �"��� 5�4���� � � �� �"� �"������������ �� �"� ����� �� � �� �� ������ < ���� �"� "���� �� #-���� ��� ���=���� �� �1 %�� ���� �"� ���� ������/ �� )��'�*! �"� "����� �� �"� � ������� ��� �"� ����� �� ��� �� (#� � �� � �"�/ �� ������� �� (�� �! �"� "����� ���"� �� � ������� ��

5�4���� 4� �"�4 �"� �"� ����� ���� � �� � ��=���� �� < ����! ���� �4��%����/ � � ������ *� $! � � ������/ �����/ � )��+#*�� �"�

^)*� $* B )$� **^� 4��" ^ B

����� � � �� � � �� � � �� � � �

��� � ^� B � � �� )��,�*

("� ����� �� �� �"� ����� �� � �� 4"�" ������ 4��" ^ ���� %� �� �"� ����()� � �*! � � ��� ("��� �� �� �� �"��� N��" ^ �"�/ �� ���� �"� �# ����� �� ����&�� �� ^ � ����� $� �"� � C��/ ��� �� ^ � �� � �##��# B + ����� ���? � �����/ �"� ��� � "� � ��"�� � C��/ ����� �� ��=���� � ��! �� �"������ ����� "� ��%�� �� �� ������ ("� ���� (�= ������� �� � �� �"� ��=���� ^ )���� ��� ����%�� ���� ����� 4��" ���� ���� ��* "� ��� ����� ��� ()�� ����� �*�I�� � )��+�* 4� � � �)�=* B +� ("� ����� �� � �� "� � / � ������� � ������� � �� �� ����� ������� � �� � �"� #-���� ��� � ������1 4� ����/ �� ��+�

N� "�� �"�4 �"� �"� ����� ������ ��� )�� ����� ���* ����� )�� ����� �##*��� � �4� ����� ����� ����� � ���� ��� #� N� ��� ��������/ �"�4�� �"��"��� �4� ����� ����� �� � ���� � �"��� �/��������"� �/����� ��� ��� �"�

��� ��� ��� ��� ����� �� S������ �������� *���� ����� �� ����� �� �*� �'��� ��

��9� ��� ���� ���� �� �� � ���� �� ������� �� ��� ��� �� ������� ���� (��� �� �%$�����'�( ="=� �� �� ���*� ���� ��� ���� ����� �� �!##�#� ��� ��� ������ '�������� �Q!F��

Page 129: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� ����#��� �3 ��� !��� �%���&� ����� ��'

��� �"� ������� �� � ����� �/��������"� �/����� )�%�� �� %/ �"� ���C������� � ��� �� � )����**!

L����M�� � L���M�� � )��,�*

<� �� ���%���"�� � �%$���� �"� �"� �������� ��� L����M�� "� �"��� ������ �� ����"���� ������ ("�� ������� �� ������ �� �"� � ���� ��� � �"� 4� �������� ��#��! ���� ��

��� ������ � ��� �� # ��� ���� �

����� "�� �������� ��

< ����� �� ���� ���� ������� �� ������ � �"��� ����! 4� "�� ����/ ��� ��� ����� ������ 4� �"�� ����/ � �"�� ����� � $� ��� �" ����� 4� 4��� ���� ������� ��� ���� � �"� ���������� 4� ����/ ����� �� %����� � � � ���� �����������/�

< ��! 4� "���� ���"� ���� %��� ��?��� ("� ��� ����� �� �"��� ������ �� �)�"� � �� �����* �"� 4� ��� � �/�%�� ��� �"� ����� �"�/ �� ����� ("�� ������� � ����� � ����-���� N� "�� �"�4 )� ��#��* �"� ��� ����� ����� �� '�)��* � �"� �� �� ����� ����� ����� � �� ���� ��� � ��� ("� � ����� � ����(�?�� �� �)�*! �"� ��� �� �"������ ������ �� �"� ����� �� <� �� ��%�� �� '�)��*�.���� � �� @��������� �#! �)�* B ?� �� ��%�� �� �����1 �� �?�� B �� ("�������� �� � ��=���� � ;&>� �� ������� ��� %/ ���� � ������ 4��" �� ���� ��%�� � � ����� ��� � � � ��/ 4"�" �� ��� $� � �"� ����� �� ?� �� ���� �! �� �� ���� ������

>�� � � �"� ����� � "� ������ �� ��� �� @��������� �# ����� ��� �"� �"��������� �� ������ ("�/ ��! �� �� ��� ! �?� ( �?� 4��" � % � � � $� �"��� ��#���

�B �)��* �� �"��1 �� �� ��/ �� �����/ �"� �"�/ ���� ��%�� �� '�)��* �"� 4�

�"�� �� ��� %/ ?�� ("� ������� �� � ��=���� � ;&>��&>� "�� � �/ � -� ��"� ������ ����� ��� $� � ��=���� ����� "� ��� ��! �� ���� "�� � ���� ������� �� �� �"� ���� � ���� �� �1 �� �"��� �� � '�)��* � �/ �"� �4� � C��/����� �� ��=���� � �"� 4� "�� ��� � � ?)�* B ?� &?�! �?)�*� B ���

��) ������ ���� ���� ���� ��,��- �� ��.���� ���� ���(��' �� ���,��-� ��� ��,��- � ��

��(�� ��� � � ��.���� ���� ���(��' �� ��� ) ���*� �� ,7�!1- ���� �� � �� -��,��- � ��

��� �� ��� (��' ������ � � ������� �� ������� ���� �� ��� �� '�������� �� ���(�������� �� �������� 7� ) *��� � �� �� �.� ��������� ���� �� %� ��� �� ���� (��' ��� ������ �������� ���� ��'��� ���� ��,��- � �� �� ��� � ��.���� �������� ) ��� �����'����� ��� �� ,7�;!- � ������ ��������� ���� �� E #�

Page 130: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��+ ��� ��! �� �B�& ��� �3 ����#���

("� ��� �� �� �"� ��%���� �� $ � �� ������ �� ��� � �� ���� %/ �"� 9 �� ��� � ������� %/ P�%�� N� �"�� �� ������ �"�� � �"�� �������/ �� ����"1 4�C��� �� ��� �"� �"�� ���� "� %�� ��" ������� � ��%�� �"���/ )����������� �� � ������ � �� ���� �� ������* � "� ������� � �/��������"/�

(� %���� �%��� �� ��%�� ��� ������� �� � 4� ��� ���� ����� � �������� �� >����4� � ������ � ��"���! 4� �� ��� %/ )L(�M�� ����* / ����� 4"�""� � � � ��"� � ���� � ��! �"� ��"��� %�� � (�� ("��� ������ %��� � �� � � ���� ��%�� �� '�)��*� ? � �� �"��� ������ �� )��� ����*1 ��� ��%������ ������ ����! � �"� ��� � �� �"� ��%�� �� � B �������������������� B ��

���

��

3��� �� ����/ ("����� � ����� �"� ��%���&��� �� �� ��� ���

N� 4��� ���� �"� �%��� �� ��%�� ��� ������� �� � � ��1 �� �� ���� � �/ ��� � +� ("� ���� ���� ����� �"� ��%�� �� ������ �� �"� ��%�� � �"� ��� ������ �"� �/�� �� �"��� �������

�� � +

?� ?� �� �� �� ��� ��� ����� �)L(�M� ����*� ?� � � � � � � � �

�����

� �)L(�M�� ����*� ?� � � � � � � � ������

� �)L(�M�� ����*� �� � � � � � � � #�����

� �)L(�M�� ����*� �� � � � # # � # #� ��

� �)L(�M � ��� *� �� � � � # ' � ' #�����

� �(��(�� ����*� ��� � � � � � ' � '�����

� �L(�M�� ����*� ��� � � � # ' � + #������

� �(�� L(�M�� ����*� ���� � � # # # ' # +

)��,�*

>�� B '! �� ��������� ("� ����/ � ����� �� �"� ��� �� � ���� ���� �������� ����� �"����� � ��%�� �"���/� $� ��� � # �"��� �� � � ������ �� /� ����� ���� ��� ��� ���� ��� ����� �"��� ���"� %� � ����%�� ������; �"��� �"� �� �� ������ 4"�" �� �� �"�������� ��� �� �! � �� # ������� >�� � � � ��/ �� ���� 4��� %� ����� � � �+ �� �"� ������� ��� ���� 4��" �4� ����� ���%��� �� ����%�� ������; �)('�(�� �*�! �)(#�(��(�*�1 � ���� '� B #� V �� �� �"�������� ����� ��� �� ���� �" ���� ������� ("� �%��� �� � "� %�� ���� � )���,*�

>�� � � � � ������� ����/ �"� �"� ������ �$�;

� - � � �$� B �?� � �?���� �$� B �?�1 )��,�*

���� %��� �� �"� ����� �1 �"� ������� �� � ������ ���� �� �"� �� �� )���� � )����**� ("� �"�4� �"� ������� � �� ������ �����; .)��* ! ��

Page 131: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� ����#��� �3 ��� !��� �%���&� ����� ��,

����� "�� �������� ��� � � � �� ��

< ����� 4� ��� �� ��� � ��%����� �� � ��� � �� �;

��� B �

��

)��?����

)� � ����1 ����� B ���1 ���)��

�* B �� )��,#*

� ����� �"� ��� �� ��� � ����� ������ <�� �"������ ������ �� �� ���

� � %/ @��������� �# �"�/ �� ������ ?%������/ �"�/ �� ���� ���1 �"�� �� ��

���� ����� )��� ����� �� C�������X*1 %�� �� �����4 �"� ���� �/ ���� ����� !���� �4 � 4� �����/ �� ��� �� %/ ��� >��� �"� ��� ���� �� ������ )��'�*! �"�"���"���/ �� �� � � � �� ������ �"� � ��� � ��%����� �� � �� ������� $� �� �� ����� �� �������"���� �� ��! � 4� "�� ����/ �"�4 �"� ?� �� ��%��� N������ ��"�� ��%�� �� ����� 4"��� ��=���� � � �"��� ������� �� � �� ?� 4����� ���� ��� ��4�� �"� �"� �%��� �� �� �� �� ��%��� �� �"� �� �� < ���� �"����%�� �� �"� ����� � ?� $ � �� �� ����%�� ������ � � %�� �� ����%�� � ��

�1 ��"�/ �� ����� �� ��� ("� ��� �� �"��� �����! �)(�� ����*�! ���� �� ��%�� �� ������"� "� � ����� ��� N� �� ��� �� %/ ?�1 4��" ?� �� ��� �� �"� �� ��=���� � �����

N� ����� �"� �����4� � %��� ���� ?�;

� - � � �$� B �?� � �?���� �$� B �?��� V �?�� )��,'*

("� ������� �� � ��� ����� �� ����/ �"� ������ ���� .)��* ��� �� %/)����*�

? � ����� �"�! %/ " �� �� %��� �� �����/! � � �4/� �� ���� �"������� ���� �� � ����� ����� � �� � � ������� ��� %/ ������� � ����� � �>�� �� ��" " �� �� %��� �� �%�� �� %/ ����� � �"� ���� �$� � )��,'* %/ �"����� �$�� B ��?�� ("� ��� ����� ��� B � ��

.�)��* B

������������

� �� � � � � � ��� � �� � � � � �� �� � �� � � � �� � �� � �� � � �� � � �� � �� � �� � � � �� � �� �� � � � � �� � ��� � � � � � �� #

������������ )��,+*

������ �� � ����. *��� ���<��������( ����� ��� ������� �� ��������� �8� 9� � !�

Page 132: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! �� �B�& ��� �3 ����#���

>�� � #! �"� �%��� �� ��%�� ��� ������� �� �� �� �"������� �"� � �� �� �"���� ��� ����� ��%��� �� � � �"� ��%�� ?� �� ����� �)(�� ����*�� <� �� ������ ��"� �"� �"� ��%�� ��� B �)L(�M�� ����*� � �"� � � )4"� B '* �� �4� )4"� � +* ��%��� �� �� �� �� ���� ��%���1 �� ���� � �� @��������� ��! �"� ����� "� � ����� ������� ?� � ?�� .� 4� "�� ��� �"� ��=���� � ������� �� � �� �"����4� ��%��� �� ���� �"� "���"���/ ��! %�� � ����� ��� ��S��� � �" '�)��*!�� � �"� �%���� �� �� � �� ��S�� %/ ���� �" ������ �

>�� B #! � � ������� ����/ �"� %��" ��-��%��� �� ��� # )���� � ��* �)(�� ��*� � �)L(�M�*� �� ���� ��%���� ("� �� ������� � � �"�4� �"� �"� "���"���/ ������� �" ��� (� �����/ �"� ���� ��� �� # ����� ������ �� �� ����� %������ �"�� �����! 4� ��� � �/ �� �����/ �"� �"� ������� � �� ��� ��� ����� �� #�("� �� �"� �� �� �"� ���� ������;

�� %��� ; �$� B �?� � �?�� �$� B �?� � �?�� �$� B ��?�� �$� B ��?� � �?� � �?� � �?�� )��,,*

("��� ��� ����� �� .)��*! ���� � )���#*� $� � �� �� ����� � ��� ��%������� ���)��* �� �� �"� ����� ����� �� ��� N� 4��� ��������� ��� �� � �%�� �� �"������ ��� N� ���� �4 �"� %��� � � �� ��� �%��� �� ��%�� ��� �������� ("����� ���� ����� �"� ��� � �� �"� ��-��%��! �"� ��� � � � ����� �"� ��%���&��!�"� �"��� � � ����� �"� ���� �� �"� ����� ������ )���� �"��� ���� � �� � �"����"� ���� %��� �� �"� ���*� N� ���� �"� �� �� ��%����� �� � ��� � �� �� � ���� B ��'��

�� � ��� �)�>* � ��

?� ?� �� ����# �� �)L(�M�� ��*� ?� � � � #�# �� �)L(�M�* & )(�� ��*� ?� � # # +�+ �� �� �)(�� L(�M�� �*� �� � # + ,�## �� �)L(�M�� L(�M�*� & �)(��(�� ��*� ��� # + , ��

)��,�*

.��"���" �"� ����� �� �� ��� ��! %/ � �� ��� ! � �/ ��� � #! �"� ��� ���� ���� � � ��� � ��%����� �� � �� ���� ��� �� ����� �� � >�� � � �� ������� ���!4� �����4 �"� ����� �� ��

�, >�� B �! �"� ����� �� ��� � ��� ������ ���� �� #�� N� �/ �%�� ��� ��� �

��, >�� B �! �"� %��� )��,'* "� �"� �4� ������ �$� B �?�(�?�� ("� ������� �� �

Page 133: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� ����#��� �3 ��� !��� �%���&� ����� ���

��� ����� �� �� )� ����/ ���� ���� )����**�

���, >�� B �! 4� "�� ����/ ����� �� )���� )���'** �"� ��� ���/ %��4�� �"��4� ������ �� B ��1 %/ � �� ��� ! �� �� �%���� ��� N� 4��� ����/ �� � ������ �"� ��� ����� � N� 4��� ����� �"� � ��S��� � ����� ����� ������� ��� �"� "���"���/ �� 4"��� 4� C��� ������� �� �"� �"��� �� � �/ � � �������� ��� �� ! ��� � ���

����� "�� �������� ���� � � �

N� ����/ ��� �� � ����� �"� ��� ����� �� ��1 �"��� 4� 4���� �� �*� ! 4"��� E

�� �"� � ���� ������ �� �"� 4��� -����� < ���� ��� �� �"� ����� �� ����� %/ �"�

4���"�� �� �"� ���� ����� ��! 4"��� ��� ���� 4� ���� � �"� � � �� ���#�

.� � <����! ���� �"� ���"� ���� ������ �?� 4� ��� � �"� ������;

�E� � �E�� B�

�����

�?�� �E�� B �E�� � �?�� �)�E�* B�

�� )��,�*

("� 4� ��� ���"�� ����� ��� �"� ����������� �� ��� � �� �4� ����� �� �"�

����� �;

��� B � & )�E� V �*� ���)��

�* B�

�� )����*

9�� ������ "�� �"� ��� "���"���/ � �"��� ����� ������ �� � �������� �)@��������� ��*� ("� � �/ ���%��� �� �� �4 4"��"�� �"��� ����� ������ ����� ��� )���� � C���� � ���)��**� N� "�� �4� ��� �� � �����; B #!"���"���/ ��! � � #! "���"���/ ���

�, B #� ("� �)�E�� * B �! �� �"��� �� ��%�� ���)L(�M�*� � �"� �� �"� �������(�?�� � �)(�� ��*� ���� �"� �# ����� � ��� #)��

�* �� �"������ ������� ("�/���� �� ��%�� �� ����� )��� ��� ��

�� ?� 4"��� ?� �� � � �� �"� ���� ��%��� ��

�� )��� )��,�** � �"�/ �� ���� �"� ������ ("� ��"�� ��%�� ?� �� �# ����� ������/ �"� �� �"� �"������ ������ �� ��� <� �� �����"����4�� �� ����� �"��"� �%��� �� ��

� �� �%�� �� ���� �"� �� ��� %/ ����������� %/ �

� � <� �� �����/ �� �����/ �"� �"� ���� ������ �E����?�� �?���?����?���?� ���� %��� �� ��

� �"� ������� �� � ��� ����� �� �� /)��*� ("� ������ �"� �"� �����

����� �� ������ � �"� �� "� � �/ � � ����� ����

Page 134: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! �� �B�& ��� �3 ����#���

��, � #� ("� �)�E�� * B �� ! �� �"� ��� �� �"������ ������ �)��

�* � ����� ���"� � ������ (�?�� �)��* ���� �� �� ���� �"� ����� ��� $� � ��)��*� B) � �*��)��

�*� �"� �4� �%���� �� %� ��������� �! �� ��� � # �"�"���"���/ �� "� �"��� ��S��� � ����� �����! ������� �� � �� �"� ����������� �� �"� �"��� ������ �� � � � ��

�� < �"� ��� ����� �# 4� �"���"�4 �� ��� ��� B ��

N� ���� "��� �"� �"� 4���"�� �� �"� ���� ����� �� �� �"� � ������ (�?� �� ���� � �"� �� ������ �)L( �

� M�*� �� ��� �

� � ("�/ ���� �4� ��%��� �� ���

����� "�� �������� ��� � � ��� �� � � �

I�� � �"� �� �"� �"� ��� �� �"� ����� ��� �� �"� ������ �� �� �� ��� ! � ����4� ����/ ������� �"�;

� �� ��E��

�� �� 4"� �� ���� �� 4"� �� ��� �

)����*

$� �"� ���� ����� �� �� � ���!

��� �� V �E�� � �� V �?�� �� V �E�� )����*

���� ����� ��� 4"� �� ���! ��� ��� 4"� �� ��� )�"�� 4� ����/ ������� )��+�**� $� 4"� �� ��� � � �! 4� "�� ������� �"� �"��� ������ � ��� �� ��� ��� N"� �� ��� ! �" �� �"� �"��� � -������ ����� �� �� �� ����� 4��"�"� ����� ��%����� �� ������ �! "�� � � ��� � � ��

�� ? � �� �"�� �� �� ("���"�� ��

��� ; ��� B �� & )�E�� V��*1 ���)��

� * B �� )����*

$� � �"� ������ �E� �� ��" ��� %/ �"� ��=���� ;&>� � �� 4"�" �� ������ ��

� �� ������! ;&>� ��" ��� �"� �4� ������ ��� � ("� ������ �"� �"�/ "�� �"� ���

�/�����/! ���� �"� ��� ����� ����

N��" �"� ����������

�)�E�� * B�

�� )�E�� � �E

�� * B

����

� �E�� � )��� *

� )���#*

4� �%�� ;

��A����������� �� *�� �� ��� ���*� ������ ��� (���� �� � �� �� ���������� ���������'���� ������ ����� ,P������B� ���-�

Page 135: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� ����#��� �3 ��� !��� �%���&� ����� ���

���������� �5 1����� � #( 9��� � � ��� #" ��� ��� ������� ����,����

��������8 %��� � � ��� #" ���� ��� �'�������� ��� ����3 ��� B )��� *

�" �� ���� ���

��� ���� ������� �������(

N� �� �4 �"� �"� �� ��%�� �� ������ �)L(�M�� ����*� �� ��� � �� ��%���� ����� ��� �� �"��� ������1 �"� ��=���� � �� �"��� ����� �� ���� �"� ����� ���������"���� �� ��� ("�� ����� ���� �� � �� �"� ��=���� ;&>� � �� 4"�"��" ��� �"� ������ ��

� 1 �� � �� ��� �� �� �"� "���"���/ �� �"��� ������! ��"�� ������� �� �� �4 ����� ����� ��� )�� � ����� "���"���/* 4"�"�� �����" ���"���� ��� �� ��! � #! � ��� �

("� ����/ �� ����-��� ������ ��� �� ���/ � ������� �� N��" �"� ���� �"� �"���� �� �"� ����� ��� �� E�� �� �� � �"� ����������� )����* �� ��� � ���4� ����� �� ��! 4� �������� ��� ��� ���� � �"� ��� �� �������� �� ���"� ���� %���

��� � �> B��

)��?�� ���"�� �� )� � ��� �� �� )� � �� V�

����

)� � ���� )���'*

N� "���� � %��� �� ��� ! � #! � ��� ;

� - � �� �$� B �?� � �?���� �$��� B �?� V �?���� ��� / -� �$� B ��E�� � )���+*

���� �"� �"� � � ���� ������ �� ����� ����� ("� ��� ����� �� �"�%��� �� )���+* ��;

# ���

.)��� * B

������������������

���

.)����*��� ������� �� � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� ��� � �� �� �

� ���� �� � � �

���� �� � � ��

���� � � �� �

������������������ )���,*

4"��� .)��* �� ���� � )����*� N� "�� ����/ ��� �"�� ��� ����� ��� �4������%�� ����� �� ;

Page 136: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! �� �B�& ��� �3 ����#���

�, B�1 �"� .)��� * B .)��* ���� � )����*� N� ���� �"� �� �� � �/ ��� �"������ �� ! �"� �"� ����� %��� � )���'* "�� �"� ��� ��� )4"�" �� �*� ("�� �� �� �"� �4� ���� �� #

���

�B ��� ������ �� �/�� �)L(�M�� ��*� � �� B ���

������ �� �/�� �)L( �� M�*� 4��" ��� ��%�� �� �� �� ��� �! �� ��� �� �#�

����� 4"�" �� ��%�� �� �"� ����� ���

��, B#1 �"� ! %/ ��������� �� �"� � ���� �! �! � � � �� .)��� * ! .)��*�< ���� �"� � ��%������ �! �

�� ! ��

� �� � ��� � � ��� B

�� �� "�� � %���

���"� ���� ��� �� ���� ������; �"�/ �� ����������/;

)�� �� �� �*� )�� �� �� �*� )�� �� �� �*� )�� �� �� �*1

)�

���

���

���

�*� )

��� �

��� �

���

�*� )

��� �

���

��� �

�*� )

��� �

���

��� �

�*1 )����*

)� �

���

���

���

�*� )

��� �

���

���

�*� )

���

��� �

���

�*� )

���

���

��� �

�*�

("��� � ������ ���� � � ��%�� �� ��! �"� ����� ����� �� ��! �"� � ��%���&�������� � �"� � C��/ ��� L'�)��*M0� �

N� ������&� �� �"��� ������� � �"�����

2 ����� �� �� � � � � � ( 0�� B #�" ��� �������� ��� ��� ������� ����,����8

����� 4������ ����� �� � ��/���� ��&����� �� ����)��* ��� ��� �� ��� ; ����������

������� �� �� �/���� ��� � B �" ��� ! � ��� � B �" ��� B ��( 0�� B #� V �" ����������� ��� ��� ������� %��� ��� 4������ ����� �� ���

4���� ��� �������� ��������(

�� ������ � ��� �� # ��� �����

����� "�� �������� �

>�� ���� ���� ��� �! #! �� �� ��/ �� ����/ ������/ �"� ������ � ��� � � ������ ��� �"� ������ ���"�� 4"�" %� �� ����&�� �� �%����/ �� �� ����/ �"��������� � ��%������ �� ���� < �"� ��� ���� 4� "���� ���"� ���� %���"� L � +�� )�?;� �?<* B Æ;< ! 4"��� +� �� ���� �"� ��� ��� �� � � � � � �� �"� ���� V � � ������ � ������! � 4� ��� �

�? B�

���

�;���

�?;� �)�?* B�

���� )����*

Page 137: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� ����#��� �3 ��� !��� �%���&� ����� ���

N� �� ��� %/ �� �"� ��%��� ���"��� � �� �?� ("� ���� �� �"� ����� ��� �� �"���� �� � �� �� ���� �� &���� <� 4��� %� ������ �� � ����� �"� ������ � ��;

�1; B �?; � �? )����*

� ��� �"� ��� �� ��� � ������ � ��!

?� B ��=;< B �?; � �?< B �1; � �1<�� �?�� B )V �*� )����*

("� 4� �����/ �"� �" ��=���� ;&��� ��" ��� �"� %��� ������ �?;� �?< � ������"� ��"��� ����� ("� ������ �"� �"� ��=���� � ������� 4��" �"� ������ �� ?��� ���� �"� ����� ���� �� ��������� � �� �"� %��� ������ �� ����� ("�� ���������� ���� �"� ����� �?1 �� �� �� ���/ � �������%�/ � �"� ��%��� ��� < �"������� ! �"� -���� ��� � ������ �"� 4� ����/ �� � ���

N� ���� ����� �"� �"� ����� �� )� ������� � ���� %/ ������ ����! ��� )����**�� �"� � �������� �� �"� ����� ��� 4��" ��1 ��������/;

�� B ��� ���� )����*

<� �� ��/ �� �����/ ���� �"�� ��� ���� �"� �"�� ����� �� ��� � ����� �����1 ����"������ ������ �� �� ��� �� ("�/ ���� �"� ��� ?� � �� ���� �"� ������ N� � � � %��� �"� ��� �� ������;

��=� B �=���5� B �?��� � �?� B �1��� � �1�� $ ?�� - � +�� � )����*

4"��� +�� B ��� �� � � � � � �� ���� �"� ��� �� �"� ���� �������� � ������� ("� ���

����� �� �"� �=�A�! /�� B ��� � )�- � %� B �* )����� �� ��� ! ��� )����* �� �����/���� �"� 2�� ����� �� )�"� 0�� ���%�* ��� 3������� 4� "�� �"�4 �� ��������/ �"� �)��* B ?�! �� ��� �� �����! �� �� �� ���� ����� � ��� � %/ �"��/������ ����� � V� ������� )��� )���'**� $� � �"� �/�����/ �"����" �"� ����� !����! �� �/�����/ �� / �����! 4� "�� � ������� � )����* �"� ����� ��

��� �"� �)V �*X ����� � ����� �� ����� %/ �� � ����� ("� ����� ����� ��

�� ��� �� %/ ��� �� �� ������� ���� � ��1 �� �� ����� �������%�� ��%����� �����)��*� ("� ��� �� ����� ?� ����� ��%�� �� ��� $� � �"� ��������� �� "� L� )����* "� �"� ��� �S�� � " �� �� ��� ! ?� �� ��� �"� ��%�� �� ; ���� �����

("� ����� ������ �� ��� # ���� ��� � � ��%�� 4"� � #; �)��� L��M�� ����*�4"��� ��� � + �"��� �� �4� ��%���; ��� B �)�� ��� ����*� � ���� B �)��� L��M�� ��� *��<� �� ��/ �� "� �"� � � �� �"��� ������ %� ����1 �� � �"� ����� �� ��

Page 138: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��# ��� ��! �� �B�& ��� �3 ����#���

�������%�� � ��! 4� �4 ���� @��������� �� �"� ������� ?�! �"��� �� � ��"������� � �"� ������ ��! � ��

N� ���� "��� �"� %��� � � �� �"� �%��� ��� � �;

��� � ��

�� �� ��� ���� ��� ���� , + !- 3� ? 3��� ,!��!� >���- �� 7 7 7 = 7 =���

� ����

�3� ? ,3

�� �3���- �,!�� 4�!5�� >���-� �� 7 # # # # F�

���

� ����

�3� ? ,3

�� �3���- �,!�� 4�!5�� >���-� ��� 7 # 1 # 1 1

, + !- , � !- 3� ? ,3� �3���- �,!���7� >���-� ���� = # # 1 # 1���

� ����

�3� ? ,3

�� �3���- �,!�� 4�!5�� >���-� ��� 7 # 1 # : 1

#���

� ����

�3� ? ,3� �3���- �,!���7��!� >���-� ���� = F 1 1 1 :

,7�"#-

>��� ?� 4� ����� ��"�� � ������� � %���;

- � +�� � �$� B �?� � �?�� )���'*

<� 4� �� ��� %/ <� �"� ����� �� �� 4"��� ����� �� �� �! �"� ��� ������������ �� � �� �"� %��� )���'* ��;

.)��* B � V <�� 4��" )<�*�� B �� )���+*

N� 4��� ��� ���� �"� ������ � ) ��� �"� <� �� � � ����� 4��" ��� *;

<�� B <�� ���))� V 6<�* B )���))V 6*� )���,*

))� V 6<�*�� B )��)� � 6))V 6*��<�*� )����*

< ����������)� V <�* B V � B ���).)��**� )����*

N� "�� ����/ �"�4 �"� �"� ����� �� "� ��"�� ��%�� �� ����� � �� ����� ��� �� �"� ����� ��1 ��� �%��� �� ���� � )����*� N� "�� ��� �"�4 �"�4� � ������ ����� �� ��� ��� �� �� 4"��� "���"���/ �� �"� N�/� ������� ! ��� < �/��������"/ �"�� ����� �� ���� 2�%� � )> �� ��� �� � �����*�N� ���� �"� %��� � � �� ��� �%���;

�� B ��� �)�>* � ���

?� �� �� ��� ��� ����� �� ; Z�� �)L(�M�� �*� ?� � # � # # '+ �� ; �� �)(�� ��*� �� # # # + � +�# �� ; �� �)(�� L(�M�*� �� � # + , � ��# �� ; �� �)(��(�� �*� ��� # + , �� � ��� �� ; � ; � �)L(�M�*� ��� # # � � �� ��#� �� ; � �)(��(��(�*� ��� ' + � �� �� �#

)�����*

Page 139: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� ����#��� �3 ��� !��� �%���&� ����� ��'

����� "�� �������� ��

<� �� ��/ �� ������ �"� ��� %��� �� )���'* � �"� ������� �� � ������ ����;

�$�� B �?� � �?� .)���* B � � �

���<� ���).)���** B

���� )�����*

(� � � �"� ���A �� 4���"�� �� �"� �"� ���� ����� �� � � "� �� ��� ��� �"� ����� ���� ��� 4"��� ��� ������ 4��" �"� ����� �=;< �� (�� �� . ��/ �������� ������ )4� ���� � �"� $ �� ����� � ����� *;

3 "B / $ +�� A B ��E� B�;��

�1;�� �E� V �E� B �1 �A� B �)�� � �*� )�����*

4"��� / �� �"� ������� � � +� �� �"� ��%��� /�

("� ��� A ������ � �� ��%��� �� �"� N�/� ����� ��! �" ��%�� � �� � � �� �E�4"��� ��� � � ��%���� / "�� ��� ��� � �/� B �1 4� �� ��� �"��� ��%��� %/ A�

� ��� �"� �A�� B�����

�� N� "���� � ������� ����� �� �"��� ��%���;

�E� B

�����

�1���� � � � )�����*

("��� ������ ���� �"� ��� %��� �� �"� �� �� ��� �� � )����* )� ����! )�E�� �=�* B��*1 �� �"� �E�A� ��� � ��� %���� N� ��� ��� ��� ���� ������ �;

)�E�� �E�* B �� )�� >*� ��

���� )����#*

("� ��� %�� � � ������/ � )�����* �"�4� �"� �"� A� &A����� ���� ��%��� �� ��14� �� ��� �"�� %/;

A�� 4"��� � � 9����:��� )����'*

N��" �"� �����

� ��� �� 9V �

�:� � B �� )��� ��*� �/ B ��)��� ��*� )����+*

4� �%�� ��� �"� ��%�� ��� �������;

��E�� � �E�� � B�������� �

��� �)�E��* �)�E� *

����� �� ���!

������������ �� ���

� )����,*

����� �� �� ������� �������� �� �� ��(�� ���( ��� � ���� �� �

Page 140: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��+ ��� ��! �� �B�& ��� �3 ����#���

("� ��������� � �"� ���� �4� ��� � ���� � �/ 4"� �� B ��1 �������� 4"� �"����� � "�� �"� ����� �����%�� ����! �"� ��� %����� B� < �������!�"� 4���"� ���� ��

�)�E�* B��������

���B �)� � �

���*� )�����*

$� �"� �"������ ������ �8 ���� �"� ��%��;

�)���* BA�� ��)���*� B �)V �*� �)�8* B�

���� )�����*

����� "�� ����������� �������� ��

>��� �"� ��� ���� )�����*! 4� �%�� ;

� �E� � �E� B ��1� ������

�1� � ��� )�����*

$� � )V �*�E� � ��! 4� 4���� ��� � � �� �� V � ����� �� ��;

��� B �� &���� )� �E� V��* * ������ B ������ )�����*

("�/ ��� � ����� "�������"���; ����� �����1 �� �" ��%����� ��� � �����!

��) V �* ������� �� ��%����� 9��)���* �� ��� 4"�" "� �"� N�/� ����� ��/�����/ ������ ��������/;

� � �� > � ��� �> B V ��

��� B �� &������ )�E� V��*1 ��

� B �� &������� )�E�� V��*� )�����*

("��� ������ ��� 4��� � ������� %/ 2������� ?� ����� 4� 4���� ��� ��� � ����

�����/ �� � ���� $� � �� � ���! � � � � V�! 4� "�� )��

�*� � ���1 �� �"� ���

�� ��� ���� %� � � �� �"� ��

�A�� $� � 4� ���� "�� )�E�� �E�* � ��! ������ )����#*�������� �"� ����� ��;

� � �� > � ��� �> B V �� )���*� B ��

�� )�����*

0�� �� ��� ��� �"� � ����� ������ �� � �"��� � ��������� ������� >��� )�����* � )����,*;

��� � ����� � �)�E�* B

�����������

� ��� )����#*

>��� �> B V � �"� ������/ �� ������� � �� �)> � �*�> � ��1 �"� �� �����%�� � �/�� >��! ���� � B �>! � � � � ��! �� �>� B V �� ("�� ������ �"� ���� ��� ��;

Page 141: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� ����#��� �3 ��� !��� �%���&� ����� ��,

���������� �� $�� �������� ��� %��� B �>���" �� > �������� ��������" ��� ��������

��������( $��� )���*����

� B ��" �� ���.)���* B �( .� ���������� ��

���� �� ����,����(

���� �� ��. )���� $� � %/ �������� ! ��� �� � ����� �����! �� �� ��%�����

�� ��� ��� )���*�1 �"� ����� �� �� ����� %/ �"� ���� �E� V ��� $� � � B �>!

��E� V�� � �E� V�� 4"�" �� ����� ���� ("� ������ %��" �"� ������ � ��! �

�"� �"�� � ����� ����� �� �� � ��� � � ��� ���� $� �� �� ����-��� ��� � B �� ("����� �� �"� ������� � �� ��� ������ ����� �� ���� %/ )��,�*� (� ������&�! / ��� �� �������� � ������ >�� ��� �� � ����� � ��������� ����� ��

����� �

��������� � 1 '�������� ���� . B �/��� �� ��� �������� ������� ���" B �> � � �"

��3

� -� % � �� /�� B /��)����*� /�� B /�� B ��5�� /�� B �)>� �*�

����; ("� ������ )�"� �=� �� ��� �� � )����*! �"� �E� � )�����*;

�=�� � - � �� �E�� � B �> )����'*

%��� � �� ��� � �"��� ��� ����� �� .)��

�*� N� "��

���.)���* B �)>� �* ���.)����* V )��*��� ���.)����* ���.)������*� )����+*

N� ���� � �"� ���.)��* B V �1 ��

���.)���* B �)>� �*)�>� � �*��>)�>� � ���>* B � )����,*

4"�" �� �"� ���� ���� � @��������� ��� $� �"� ������ 4� "�� "��� ���� %��� �� ��

��

("�� � ����� ����� "� �"� N�/� ����� �� � �/�����/ ����� � �� �� �� �����%/ �"� �4� ����� � ��%��� ?��A� 4"��� ����� ���� �� ����������/ ���)> � �*�>��� @��������� �#! �"� ����� �� ���� ����� �� �)>� �* B �� �� ("��� ������� ��� �����%�� �"� 4� ��� ���/ 4��" �4 ������ %���� �"� ������� �� ������� ����� �� ��� ��� �� �"� ������ ����� �� )����*! )����*;

��� B �� ��� B ��� ��� B ��� )�����*

< ����! 4� �4 � )����* �"� �� B ��! �� ���! � ����-��� ����� �� ��� � �"���������! "� �� %� �� ����� � �"� ��� � � �"��� ��! �"� �"��� ������ ������������/ ?� &A� � ?� &A� � �� �� �� ��� �� $�! ���� @��������� ��!

Page 142: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! �� �B�& ��� �3 ����#���

�"��� �4� ������ "�� ����� ��%�� �� ����� � �"������� ����� "���"���/� ("���� � �� ������� ��� B ��� �

>��� )�����* 4� ���� "�� ������ � )�����* �E� %/ � �E� B )) V �*�>*�E�� :����"� 4"� > B � 4� "�� %��� �� ��� ("� �����4� ���� �� ����&��� �� �"�2������ ������; � "�� %�� ��$��� 3��� �� � ������ �"� ������ 4��" ���� ������� ����! ��� �� %/ �"� %���;

�=�� � - � �����

��E�� � � > � .� )�����*

("� ��� ����� ��

� -� % � �� /�� B )/��)����*� /�� B /�� B ��)V �*�>� /�� B )V �*�> ��

<�� ������� � ��

���.)���* B )V �*>��)���.)��**� )V �*�>��)���.)����** B )V �*�> ��

0�� � B ) V �*�>! �"� ��� /.���* ���.)��

�* B �� ? � ������ �"� �"� ������ ���

� )���*� �� ������� �1 %�� �"�/ �� ����� � 4"� �� > �� �� %��" � �������

��$����% !���� ��������� ("� �� �� ������ �� �"� ������ ��� ���

� � > � � �

:��� �"� %/ ��� ���� ������ B ���1 4"� > �� �� ������� �� V �! �"��� ������

�� �� ��%������ �� ��� � �"� N�/� ����� �� �� �� ����� �� �/�����/ ����"��� 5�4���� � / �� �� ������ "�� � ������� � ���������� )������ � ��� �������* �"� 4� 4��� �� ������ "����

>��� )����,* 4� ��� �"� ��� � �"� � �/ 2������ � ��������� ������ 4��"�"������ ������ �� ��� �! �� ��� ��� N� ��� ���� �"� �! �)�E�* � �! � ��� � �! � � � � � �! �)�E�* � �� ("�� ���%���"��

���������� �� 0�� � �" >�)V �*" > � )V �*��" ��� ���� �� ��� ����� �������

8)���* B �(

N� "�� ��� � )��'�* �"�! ��� ���� ���� ��� ! �� � �"� ����� �� �"������������ �� ��� �! �"� �� ���� ��"��� � � � �� �%�� �� %/ �"� ����� �� ����������� �� N� "�� ������� �"� ������� �� �� �� �"� ������ 4��" 8)�* B �4��" �������%�� N�/� ������� $� 4� ���� �"� �� ���� ��"��� � � � �� � �"��!��� �" ���� ��� ;

��� ������ � � ��� ��� ��� ���� �

���� �

���� �

����

����� � ��� �

�� ��

���� �

�����

���� �

���� �

���� � � � )�����*

Page 143: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� ����#��� �3 ��� !��� �%���&� ����� ���

����� "�� �������� �� �� �� � ��

��

��;N� "�� �4� ����� � ��������� � ��� �� B ��� B ��� �"� 4� ���� "���! ���� ��"� ���� � �� �� �"� ������ �������� �� ���"� ���� %��� ��?�� �� ���� ������ ��� �!� ����������/;

� - �� ��� B �� � �> B��

)��?�� )�����*

���"�� �� )� � ��� �� �� )� � )�� V�

�*���

)� � ����

4"�" �� ������� �� �� )���'*1 �

� " �� ��� B �� � �> B�;

);�?;� )�����*

���"�� �� ); � ��� �� �� ); � )�� ( �

����;

); B ��

2������ ���7 �� � ������� ����� ���� ���� �"� �� ���� ��� � ������-������ ���5� ��� 4��" �"� �����

���5� � �� B ���1��� � � � � ��� ; �)��* B ���� V�����

���� )�����*

N� �� ��� %/ �5� �"� ����� 4"��� ��� �� "�� � ����� ����� ���� ("� 4� ��� �

�"� ���"� ����� �> B )�1 ��*! �)�>* B �! � � ����� �"� "/����� � � � ���"��� ��� ��� :��� �"� �> � � �� @��C��� � � � � �5� �� � �"� ������� �> � � �%�� � �-���� ��� � ������ ������ < ����! �"� ������ �� � � � �5�! %/ ��%���� �

����� 6�>! �6 � ��! %� �� ������� � �� ������ 4��" � ��"� � �?� ���� � �!�"� � ��"�� ���� � �� �����/ ����/ ������ )�����*�

5��� �� �"� %��� � � �� �"� �� �%��� �� ��%�� ��� �������;

��� �)�>* � ��

?� �� �� ��� ����#� �� ; �� ?� � � � � #��+� �� ; �� �� � # # ' ++,�� �� ; )�� ��* �� � # + + ,�,'�� �� ; �� ��� � ' + � ����#� �� ; �� ��� # + , � ��

)����#*

Page 144: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�#� ��� ��! �� �B�& ��� �3 ����#���

��;("� ������/ ��� B �� ����� �"� ���� �� �"� �� ��%�� �� ����� �� �"�� �����;

?�)��* B �)����� ��* & )L�� M�� L��� M�*�� )����'*

("�� ������� ��! � �"� ����� ���� )�����* �� ��! �� �"� ��%��� �� ?�)��* � -�� � � �"� ����� �� �� ���"��� � �� �E� B )L�� M

�*� $� � �"� ��-����� ���� � � ��%���� ��! 4� "��;

���������� �� $�� ������� �� B �� ��� %���� �� �� � ���������� ���������� ��

� ���� �� ��(

>��� )����'* 4� �%�� ����/ �?�)��*� B ��+� ("�/ ���� �"� ��%�� �� ; ���

��� ;.� 4� "�� ��� ��� B ���1 �� ��� ; �� B ���� ��������/

��� B �� &�� V �E�)��*� �E� B�� )�

�� L��M�*� �)�E�* B�� � )����+*

("�� ��%�� A� �� �� �� ��� �"� ��%�� �� ; ��1 �� �� �"� � �/ ��%�� �� 4���"�� �� ���$� A)��* B �)���* 4��" ��)���*� B '+�

��;

��� ;

L("�� ����� 4� ���� � �������� 3$ � @��M

Page 145: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

����� #

������� ���� ��� ������

�������

��� +��,- ���� ��� 1���� ��#��� �� ���� ��

����� 0���� ����

N� %��� �"�� "���� 4��" ����/ �� 9��� � ����! ���� ����/ �� ��� � �������� �� ��� �" ������� 9��� � ���� %� ���� �� ����� �"/��� ���������!� ������� � ���� � �/����! ��� 4"�" � � ��������� H"�����H � ����� )� ����� ������� ���* � H"����� ���/H � ����� )������� �� ���/*� ("��� ����!� ������� %/ $�" � �! ����! 5��%���! 4��� ������� � ����� %/ ��:� 9��� �)9��� /* � "�� �������� � 3���4! %��� � � � �"� �����1 �"� 9��� � �"������� �"�� )=��* �/������

��$����% �������� �������� . ��� � ��� [ $ �� �� � ������/ ������� �� �"����� =� � � ��" �"� ����/ ��� %�� �� ����� =� � �� � � ���� � � ��� � �� [�

��$����% ������+��� ���� . ��� � ��� [ $ �� �� ��� �� %� ��������/ �� �� )� ��* �� �"��� �� �� � � ��" �"� ����/ ����� %�� �� ����� �� � �� � � ����� � ��� � �� [�

��$����% ����� ��� . ��� � ��� [ $ �� �� -���� ��� � 9��� � ��� �� �� ��� ������/ ������� � ��������/ �� �� � ���

�#�

Page 146: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�#� ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

$� � �"� ��,��! � / �/���� 4��"��� �� ����� �/�����/ "�� %�� ���������)��� �+*1 9��� � ���� ������� ���� ����� ��� �"� ����� ������� � �� �"��� ��%��� ������ $��� �� �"��� �/���� Q �"� ��-���� �����/���� Q "�� �/�����/ �"� ��H���%���� H %/ �"� �/��������"� ��������� � �� )("����� +�* 9��� � ���� ����� ������ � �"� ����/ �� ��"��� � � ��! �� � � �������� � %��� �� ����� =� %� ��4 %��� �"� ��� �� �� [� .���� �����/! �� %� ������ %/ ��"���� ������� ��! � ����� �� %���4�

< ��-� 4� 4��� �"�4 �"� ��� � ������ �� 9��� � ����� 3��� �� ����/! ��%��� ���/��������"� ������ )��#�'* �� 9��� � ����� ("��� H9��� � ��%���H! 4"�" ����� �4 � ������� ������� �� ������! "�� %�� ���� �� ����� �/���� �� � �"������� �� �"� ��?� � ���/� ���� %�/! / ��%����� �� �1� �"� "� 9��� ���%�� �� �/��������"� ����� )��� @��������� �'*�

>�� � �� �� �! 4� �� � [ � �"� ����� �� �� � �� ��� ������ � � %/ ���

��$����% ��� *�� � ����� ���, . ����/ "��� ��! ���� �����/! "��� )�� ��

4��" ������ �� 9��� � ��� [* �� %�� 4��" � ��� �� �� [ � ��� � ������ � ����� V � �� ���/ � ���� �� � ��� �� �� [ � ��� %�� ��/�

("� ����� ����� �� �"� ����/ "���� �� �� )4��" ������ �� [* �� �"� ��������� �� [�

��$����% ������� $��� . ��� � ��� � �� �� ��� �� %� ����/ � ��� �� ����/ %���� � ��� ����� � �� � � ��� ��%�� �� ��� ��� ���

:��� �"� ����/ � ��� ��� � ��� "� � ������� ��� ���

���������� � 1 <����� ��� [ �� ������&�� ��-����(

����� <� �� ��� �"� [ �� � � ���! ��� ��"��4��� �� �� ��� ��� �� 4���� ��� � ����"��-���! � ������ � �"� %�� ��� ��� �� �"� ���� �� ����/ "����� 2�� �%����/�����4� ���� � ����� ������� ���; �� %� ������� �� � �� �� �%�� ��%���� � �� �%�� )����! �"� � ��� ���� �� �"� �� ��� � ����� �����*! � �"��� �� � �/ � ��� ��%�� �� ��� �� �� [ � �" �� �"��! �� � � �� �%� � �� � �/ � ��� ��%�� �� %��� �� ����� =�� �

("� ��� ����� � �"�4� �"�

��������� 4 [ �� ������� -����(

Page 147: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� �� 3�! �#�� ���� �#�

���������� �" ����� ��&�� �� � ���������������� ����� �� � <����� ���8 �� � <�����

��� [ �� �� ��&�� �� � ����� �" ���� � �� ����������������(

����� <� � �� �/��������"� �"� ! %/ ���%��%"A� �"����� �%#���! ����/ ��%�� ��� �� � �� �� � ��� ��%�� �� � ���� � ������ � �� "� � 9��� � ��� )���@��������� '�*� >�� �"� � �����! ��� � ������ �

��$����% ���� *�� � ���� �� � ����� ���, ("� ��� #I")[* �� ��� � A �� 9��� � ��� [ �� �"� � ������� �� �� � ����� �� �%�� �� %/ C�� � � A �� �� �� �"���"�� ��� �� �� [� $� � [ �� �� �%��! �"� ��� "� �� �%�� ��%�� �� H���H�

N� �� ��� �"� ��%�� �� � ���� � ����� �� ���� �� [ %/ �#I )[*�� . �������/���� �� ��� �� �� � � ��� 4"�" �#I )[*� B ��

��$����% ����� ���� . ��� ��� �� � ��� ��� �� ������ ����� � ���� ���� ��� �� ("� =-��� #I�)[� =* �� ��� � � � �� �� �"� ��� �� ������ ���� � �� �"���� �� �� [ ���)=*1 ������� ��/! #I�)[� =* B #I�)[* ���)=*�

("� ��%�� �� � ���� � ����� �� =-���� �� [ �� �� ���� %/ �#I )[� =*��

("� ��� ���� ������� � �"� ���%� �������� �� 9��� � ���� �� �"�4 %/ �"�G��� �"�����!H ��� �� 9��� �! $"����� ! 9��%��� ! � ������ )� #����! � �����*�

2 ����� �� �� [ &� � <����� ��� �� �� %��� ���������� =� ��� ��( $���� �/����

� � B �)���=�� * � � ���� ���� �� = � ��� ��� �#I )[� =*� B �" ���� [ �� � ������������� �� ������(

3��� �� ����/! �� %� �"�4 � ����� �"� � ��� �"� ��� "/���"���� � ���� � ��!

2 ����� �� .� �#I )[� =*� B �" %���� � �� � �������� �������" ��� �� = � ����%���� � B �)� V �* ����)

���

V �*" ���� [ �� � ����� �� �� ���� � ��&��� �� ���

�������� ����� �� [" %���� �� � ���������������� �����(

����� "����� ' ���'�����6 ���� ���� �������

< �"�� ����� 4� � ������ �"� %�� � ���� �� ���� � �"���/ �"� 4� 4��� ��� � �"�� "�����

Page 148: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�## ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

��$����% ����& . ���� � B �� �� �� ������� �� �� � �� �� �%�� ��%���� ����� ���� 4��" � �������� � � �������;

B B �I�� I�� � � ���

I� B ��� � � I� � � � I� B 3 �� - "B %� )���*

N� 4��� ��� �"� 4���� ������ � ������������ � ���" ��%�/1 �������/! �"� ���� 4������� %� ���� ������

< �"� ���� �� 4� 4��� ����/! �"� ����� 4��� %� � ��� ���/����� � ���

��$����% �������� . ���/���� �� ���� %��/ 4��" � ����/ � ������4"��� %�� ��/ F �� �"� � �� �� � ��� ��%�� �� ����! 4"��� �" ��� �� �"�)� �*-���� ��� � � �������� �� 4��" "/����� ��

��$����% �.���� *�� � ��������, >�� � B �� � � � � � �! �-���� ��� � �� )���-��! ��� �"���* �� ���/���� �� � �������� �� � ���� )��* ���� �"� �� ��� �� �� � %-�� ��� / % � ��

>�� ������! ������ �� ���/���� �� ��� � �"� ���� � �"� � �������� �� � ���� ���� %�� �� � �"� � ������ �� ����! �-��! ��� ).� ����! 4� ��� �"� ����������� � ����! ����������/! ��� �"� �-���� ��� � � �-���� ��� � ��� �� ������*

< �"�� ����� ! 4� 4��� �� ��� / ��"�� ��������� � �"� �"��� �� ��&�� �� �"������! ��"���" � ���� �� �"� ���� �� 4� 4��� � ����� �"� ����� 4��� %� � ���� :���� �"��� / ��������� � �"� / �4� ����� � ���� ���� � %� � ���� �! ��"���"� ���� ���� �� �� � ������! ����/ ���� �� � ���� � ��/ �� � � �� � ��� ��� ��G����������H�

��$����% ��������� ��� . ��������� ��� ) ��� ���� � B �� ��� �� ���/����� ��"�"� ����/ ���� �� B �� �������� ��/ �� ����� � �� )�

N"� �"� ��������� ��� � �� � �� ��� ���� I ! �"� ���� � �� ��� �� %� �����������

. ��������� ��� ���� ��! � �� ���! "�����&� ���� � ��������/� < ����! ���� ��� �� ���������� �/ ���� � / ��S��� � ���� ��! ��������� � �� �%�/ � / )���������! �"��� �� � �� �%�/ � / @� ���� ���� �� �� �"� �� � �"� "�� �"� ������������ ��� �� �4� �"��%�*�

��$�����% ��+��6 �����.��.�����6 ������� $��� *����&�, . � ��� ���� � ��� � 4"��� ����� �� � ���� . ���� � �� ��� �� %� ���-��-��� �� �"� � �������� ���"� � ������� �� / �4� ���� �� ���"�� ����/ �� �� ���� 4��" %��" ��� � ��������. ���� � �� ����/ � ��� �� ����/ %�� � �� �� � ��� ����� ����� � �/ � ����/ � /

Page 149: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� �� 3�! �#�� ���� �#'

������

N� ���� 4��"��� ����� )�)$3���*;

���������� �- )���&�� ��� ����=��+( 1 ������� -���� �����/ ������ �� �� �� �����,

��,����� �� ��� ���� �� �� �� �,����,��,�,���� )� B �� �� � � � � � �+(

��$����% ������������� . � ��� ��������� �� �� �"���� ���� � � 4"�"�"� ����� �� �� ����� �� �� ���� ������������

����/ � ��� ����������� ����� ���-��-��� ���� �1 �"�� �� ������/ �� 6� ��A����%���� �"����� �!#� �� "�����&� � � ��� ������������ )#��*�

��$����% ���(�������� �� ��� �&��� ������� (4� ���� �� �� ��%� -������/ ��� �� �"��� �� � ����� -������� � %�C���� %��4�� �"� �-��� �� � � � �"� )� �*-��� �� �"� ��"��� N"� �"� ������� �� � � � )� �*-��� ��������/ ���"��� �! �"� �����/ �� ��� �� %� �����������

��$����% *$���, ����� �� � �.���� 0�� �� %� �-�� �� ���� � B ! 4"���� � � ("� )����* ��� �� �� �� �"� � �� �� �� � �"� ����� �"� ���� ��! ����!�"� ����� 4"��� � �������� 4��" �� �� � ����/� N"� � B �! �"� ��� �� ���� ������ ��� � N"� � B ) �� �� ���� I * �"� ��� �� ���� �"� ��� �� I �

N� ��� � �"� ��� �! �"���! ��� ��� � �� �� ���������/� >�� ������! �"� ��� ���� �� I � B �� �"� � �� �� ��� ���� ��� � �� �"� ����� �"� ���� �"� ������� ! ���

N"� �"� ��� �"����� )("����� ��* �� ��������� � ����� �� ���� ��! ��� � ��/�"� ���� �� �"� � ��� ���� �#�)��� ������

����� -����./ ������ 0���� ���'������ �� (������� ������

< �"�� ����� 4� ������ ����/ �� ���� �� �� 9��� � ��� [� >����! 4� � �����!��� �" ��� � A � [! ��� 6��� �78 ��� )��� �� %���4*1 �"� 6��� �78 ��� �� �� A �� ����4"��� � �������� 4��" [ �� �������/ A� ("� ������� �� 6��� �78 ���� �� �"� ������������ �� �� � ���� %/ [� :���! 4� � ����� �"� <����� ������ �� �� � ���� %/[! ���� � 4"��� � �������� 4��" [ �� �������/ ��� ��� �� �������� >�� �" [!�"��� �4� ���� �� �� ���"��� ��/ ���� 0���! 4� �"�4 �"� %��" �"� 6��� �78 ���� � � �"� 9��� � ���� � �� ����� ��� �� ���� �� ��� � ������� ! �"� ����/ �� ������� ������� �� �� � ���� %/ [�

Page 150: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�#+ ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

;' ������� ����� �� ������� ������������� ("� 6��� �78 � ������� Q 4"�"������ � � / � ����� � "� � / ������ � Q �� ����� ��/ ���/ ���� < �+##!9������ ���� ��� � �� �����%� �"� �������� �� �"� "��� � � #����1 4� �/����� �"� �� 4� 4��� �4 � �"� ����! �� � "� ��� �� %��"�� �� ����� ���<� ���� ������ � ��"����� � ��'� � �"� � ���� �� �"� ���"���� �"���/ �������� �����1 9���"��� ������ �"� �"� ���� �� �4� ���� ��� � ������ �� ���"����� ���� �� � ����/������ "���� � � $ ��� ("�� �� 4"/ 6��� �78 ���� �� ��� �4 � 9���"��� ���� � )� 4��� � %/ ��"�� ���! �� � �"� � ������� "�%�� ����������� � / �����*� N� �� �"�� 6��� �78 ���� %���� 6��� �78 ����"� ���� ���� ����/ �� �"��� ���������� ��� ��� � ������ � �%����/ ���� ��� )�!�$���*! %�� 4� �� ��� �"�� %/ �"� ������ � � "� �� �� 9���"���A� � ���%���� �

��$����% ������ ���� ("� 6��� �78 ��� �)A* �� A � [ �� �"� ��� �� ��� �� � � ��

4"�" �� � ���� � ���� �� A � �� / ��"�� ��� � �� [ �

I�� � ���� ��� � �� �� �! 4� ������ �"� ��� ���� �� �)A* � �"� ����

�)A* B �� � ����)�� A* �)�� /*��/ � [�� )���*

:��� �"� �"� ��� �� ��� �� �������� � ���� A � / �� �"� "/����� � ��� �� %/�)�� A* B �)�� /*! � �)A* �� �"� � �������� ! ���� �� / � [! �� �"� "��-����������� �� %/ �"��� "/����� �� � � �� � � A� N� "�� ���������/

2 ����� � $�� �����%��� ��� �'��������3

�+ [ �� �� )=�� ��* ���8��+ �A � [" �")

��=�* $ �)A* $ �")��*(

����� ��+ * �+ �� �����"����4��� (� ���%���" �"� � �����! 4� ��� �"� %/ �"���� ���� �� [! � ��")=�* � [ B �A�! �� � ��")

��=�* $ � ��)A* � �")

��=�* $ �)A*�

>� ��/! ����� �)A* "$ �")��*! ����! �"� �� � �)A* ��" �"� �� �A� � ��� ("� ��)�� �A�*�[ B 3! �� � � �� ���� �� A �" �� / ��"�� ��� � �� [� ("�� � �������+� �

��������� � �)A* �� � �����/ ��������(

����� <� �����4� �"� �)A* �� �"� � �������� �� � ��� ��%�� �� "��-����� �� � � A! %�� ��� %/ %������ "/����� �� �� ����� �� A/! 4"��� / � �")���*�[� �

Page 151: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� �� 3�! �#�� ���� �#,

��������� �5 �)A* �� ���������� ���������� &� ��� ���,���� �� A" #I")[� ���*(

����� �/ ("����� �#! �� �"� ��� �� �� [ � ���%��� � ��� �� �)A* ���� ��� � �")���*� �

>�� � �� �� �! 4� 4��� �����/ ����� A B � ����/ �"� ���������� �� �"� 6��� �78��� �� �"� ����� ! �) *�

("�� ������ ������"� ��� � ������ � �) * �����4� ���� �"��� 2���������;

;�&���� � � (� � ����� �"� 6��� �78 ��� �) *!�* � ����� �"� ���-��� #I�)[� ���*!��* � ����� �"� ���"��� � %������� �� �"� ��� �� �"� ����("� �) * �� �"� � �������� �� �"� "������ � �� � � ������� �� %/ �"���%��������

���������� �� $�� ������ ����� �� ��� ������ �� [ ���� ��( $��� ������ )���

������ ������������ ������� &� [+" %���� %� %��� ������ &� B9" �� ������� -���� ���

�����,��,����� (

����� �/ ��� ���� ! �"� � ������� �� �4� ���� �) * � �)/* �� ������� <� ��������4� ���������/ ���� �"� ��� ���� �"� ����/ ��� � � � �� %��� �� �� � ����� � ���� ("�� �"� 6��� �78 ���� �� [ �� �"� ����� �� ���� � �� ��� 0�� � ��� ��������4� ���� �"� ������� ��� �� [� (� ��� �"� 6��� �78 ���������� �� ���-��-���) � �"��! %/ @��������� �+! �-��-��-�-�� ��� � B �� � � � � � �*! 4� ��� �"� ���"� � ������ �� ��� � �� �) * ����� �"� � ������� �� ���� �� �)A* � �)/*! �"� %/ � ������� %��" �A � �/ �� ���"��� � �� � � �� A B /� �

��$����% ����� +����� . ����� �K � [ �� ��� �� %� ����� ������ �� �"� 6��� �78��� �) * �� ��� � �� �) * �� � �� �� � ��� ���"��� � %������� N� �� ��� �"���� �� ��� ������ �� �) * %/ � �

("� ������ �� �"�� %����� � "/����� � �� )�K� ��* B ���)�K *� ("�� �"� 6��� �78 ���

�� �"� ��� � � �� �"� ���

�) * B �� � ��� )��� �K * �

��)�K *� ��K � ��� )���*

N"� � � F�) *! ������/ ���� "��� � )���* ��� � ���� � � �K � � �

Page 152: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�#� ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

("� ��� ���� �� ��� ����� ���� �� ����/ �"� �"� ������ � ���K � � 1 �� �/ ���

������� �� �) *� ��� ���K � � 4"� [ �� ����� )@��������� '#*�

���������� �4 �� �� &� � �,���� �� �) *" � � � �" ��� ��� � A�� � � � � A &�

��� ������� �� ��� ������ ����� �� ��� ������( $�� � ������� �A�� �A�� � � � �A ���� ��

) � �*,����������� ��&����� ���� ���������� �� ��" �� �� � ���� �� � ������ �����

��" ��� � A�� � � � � A ��� �� � ������ �� ���� �������� �� ��(

����� $� � �� �� �"� � �������� �� � ���� � � ���� �� �) *! � �� � �) * ��� ��� � ����! �"� ������� �� � ��� ������ �� ) � �*-���� ��� ���%��� �� ��� ("�� � � � �� �/ � ������� ! �"��� ������ � �"�� �"�� ��%-��� �� ���"��� � �� ��� ("� � �������� ����� �� �� �� ��� ��� � �� )��"��4����"� ��� �� �� �� ���� �� �� %� �������� � ���� � A�� � � � � A*� ("�� � A�� � � � � A��� � ��"��� %��� ��� �

���������� �� 1 ����� � � �� �� � �����/ �� ��� ������ ������ B9 �� ��� ���� ��

�� �� ��� ������ �� �� ����� ���� �� [(

����� ? � ������� �� �������� ������/ �� @��������� ��! ��� � B �� (� �"�4�"� � �����! ��� � %� �"� � ��� �� ����/ "��� �� ��� ("� �� �� �������� � ����� ���� V � ��� �� �� [ �! �� � �"� "��� �� ����/! � �� ����� �� �"��� ��� ���" �� / ��"�� ��� �)�* �� [� ("�� � %��� �� �� � �������� �� �"� 6��� �78 ������ �"��� ��� ��� �

!' ����� ��������� �� ����� ������������� :��� 4� �����%� �"� 9��� ����� � Y9! �%�� �� %/ � ��� � ��� �� �� [� ("�� ���� � 4� ���� � ������� %/6��� �78 1 ���� �� 4� �"�����"�/ ������� %/ 9��� �� (��/ �� �� �4 � �"� 9��� ����������� � ���� %/ [! ����� � �"� ����� ���������! 4"��� 9��� � ���������� ��� ���� �-���������� �! �"� �� �"� 6��� �78 "� ���� �"���

>���� 4� %���=/ �����%� 9��� � ���������� � � ���� �� ��/ �� 6��� �78 ���������� ��("� 4� �"�4 �"� �"� �4� ���������� � �� � �� ���"��� ��/ ����

���������� 5 �� [ &� � <����� ���( 9� ��� ����� �� &� ������ &���� ����������

V� ����������� ������ �� [ �� ����� &��������� ��� �� ������ �� [ �� ����� ���������(

����� N� ��� �� �"�4 �"� ����/ ��� � � � �� ���� � � ���� � � ��" %��� 0��A %� ��� � �� [ � �� ��� ���� � ���� �1 %/ �"� ��� ���� �� 9��� � ���! 4�

Page 153: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� �� 3�! �#�� ���� �#�

�4 �"� = ;B �� A�� ��� $������ �"� ��)=* � �� � ��4�� �" V� � ���� �� ���� �� )��� ���! ������ '* �� [� ("� ��)=*�[ ���� � "/����� �� �� ���� ��� , � �� $� � [ �� ��������/ �� �� � ��! 4� ���� �"� � ��� �� �"� %���� � �"� )� ,*-���� ��� � ��%��� ���"��� � �� � � ��� �� � �� ���� ��� ��� [ � ���� �� � �� �"��� � �� ("� ����� � ��� � � ���� � �"�� ��� ��� %��� N�� �� �� �"�� ������ � ��� �"� %�� � �� � V � � ���� �� � ��� ��� �

>����4� � 9��� �! 4� �� ��" %��� ����� ��"�����

��������� �� $�� ������ �� ��� ������� ����� &��� �� [ �� ��(

2� ����� �4 �"� ��� �� �� ����/ %��� ���)=�*! � ������� � %��� )�"�� ��� ���� �%�� �� � [ �� �� �%��� 0�� Y)��� =�* %� �"� � ��� "��� �� �"� ��� �� ��[ �"� ��� � �"� %�� ��/ �� �"� ������� �� � %��� ("� Y)��� =�* �� <�����

��������! � ��� ���/���� 4"��� ���� �� �"� ) � �*-���� ��� � � �������� ��� %��� �"�� � ��� �� �/� � � �"� ��� "/����� �� ):��� �"� �� ��� �� ��� � Y)��� =�*1 ��� ���*

���������� � $�� ��� Y B �Y)��� =�*� - � ��� �� <����� ��������� �� [ �� �

�����,��,����� ������ �� ��(

����� ("�� �� ����/ ������/ �� �"� ������ � ���������� � <� �� ��� �"� Y����� ��� <� �� ��� �%����� �"� � �Y)��� =�* � � �Y)��� =�* B 3 �� - "B %� ("� �"����� � �� ���-��-��� �����4� ���� �"� � ������� �� �"� ����� �

(� � � �"� � ���� 4��" �"� 6��� �78 ���� � � ���� %/ [! 4� ��� �"� �"�� ��� �� / ����/ "��� ���� %� ������ �� �"� 6��� �78 ���� �� >��! �"� ���������� % B �� � � � � � �� Y)��� =�*! �� ��� �� �� [! ��� � �"� ��"��� %��� �� � �� �"������� ��� �� �� [ �� ��� ("�� �� %��� �� �� �"� �� 6��� �78 ���� �)��� $� � �"����� V � � ���� �� � ��� �� �� � �"� ��! ������)��* B �����

N� 4��� �� ��� �"� ��� �� ������� �� �) * %/ � ) *! � �"� ��� �� ������� �� �"�6��� �78 ���� � B9 %/ �9�

��$����% ����� ���� �� � +����� �� �) *� >�� & � � ) *! �"� 9��� � ���� �� &!Y)&*! �� �"� � ��� "��� �� �"� ��� �� �� [ � �� �� � �"� � ��� ��� �� #I()�&�*�

���������� � 0�� ���� & � � ) *" ��� �������� Y)&* �� ����������&�&��" ��� ��

��� ��� �,�����" � B �� � � � � � �(

Page 154: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�'� ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

����� ("� ���� ������ � �����4� ���������/ ���� �"� �� �"� �"� ������� �� �) *��� � �"� %�� ��/ �� ����/ "���1 �"� ��� � �� �������� �� � �"� � �������� �� %�� 4��" �� � �� ��4�� ���� ��� �� �� %��� �

���������� � $�� ������� Y9 ��� B9 ��� ������������ ����(

����� ("�� �� �������� � ����� � �� @��������� ��� N� ����� ����� � ���-���

�) * C � C ���� C ' ' ' C �� B &� )��#*

(� � ����� � ����� -������� � %�C���� Q %��4�� B9 � Y9! 4� ���� ���Q)�) ** B � 0�� �)A�* %� �"� 6��� �78 ��� �"� �"��� � 4��" �) *� ("�

A� B�(��

Y)&* )��'*

� "� � �� ���� �� Y9! �� 4� ��� Q)�* B A�� :��� 4� ���

Q)����* B � ��� "���� � A�� � � � � A�� )��+*

4"��� �)A�*� � � � ��)A* �� �"� ����! � ������ �� �) * � �)A�*! �� 4"�" ����%��� ��1 �"�� ���/�� �� �-�� �� Y9� N� � �� �� � �"�� 4/! � � � ��� Q)��*�"� )� �*-�� �� Y9 �"� �� �"� � ��� "��� �� �"� ��� �� �� [ 4"��� 6��� �78 �����"�� ��� >� ��/! �"� ������ & �� ������� �� Y)&*� �

<� �� ��� �"� 4� ���� �����/ 4��� "�� ��� �� �"� ���� � Y9 %/ �����/ � �������"� ��� ��� �� �"� � ��� "���� �� ����%�� ��� �� �� [�

. �"��� � ������� ��� Y)&* ������ ��� ��"�� ���� ������ %��4�� 6��� �78���� �� � 9��� � ���������� �� <� �4� ����/ "���� �� [! �()=* � �(�)=�*! "�� � ����/ � �������� ! �"� �"��� � �������� ���� � "/����� � ���"��� � ���"� �� � �"����" �"��� � ���� & � &�� ("�� "/����� � ��� �"� �� � � ��� �E� ������� �� %/ �"� ���� = � =� �� �"� "����� <� = V =� B �� &&��! �"� E� B =� <�=V=� � �� &&��! �"� �� ������� � �"� ��� � E�! 4� ��� � �/ ������� � �"� � �������� �� �"� ������� �� ��� ��� 4��" %�� &&� � ����� �� �� ��"� = � =�! �� � �"�� ���"� � �������� �� �"� "/����� � ���"��� � �� � &&� 4��" �"� ��� ����

���������� �� & ��� &� &� ��� �%� �������� �� ��� &��� �� � ��������" ��� ��� =��� =� &� ��� ������� �� ��� )�����+ ����� ������� �� ����� ��������" ������������( �� E�&� ��� ������������ �� ��� �������� �� ��� �������� %��� ��� &���( $��� E� B &V"�)&��&*"%����

"� B�

�=� � =���� &�&�� V �

�� )��,*

Page 155: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� �� 3�! �#�� ���� �'�

����� N� "�� ;)�+ � &E� V�� E�&� B � &&�!)��+ � &E� B "�� &&� � �� E�&� B )�� "*� &&�! �)���+ =�� � =� B ��� &�E��� � �� &E����("��

�� &E��� B "�� �� &&���� ��� &�E��� B )�� "�*��� &&���� )���*

� ��

=�� � =� B )�� "�*��� &&��� � "�� �� &&��� B )� � �"�*�� &&��� )���*

���� 4"�" )��,* �����4� ���������/� �

<� �� ��/ �� "� �"� "� � �! "� B �! � "� � � �������/ 4"� �"� ��� 9 %��4�� � &&� � �"� ���� �� �� ��" = ������� �� 9 � �! �� 9 B �! � �� 9 � �! ����������/�< �������! "� � � �� � � �/ �� E� ���� � �"� ��� ���� �� & )� �"� �� � �"����"& � &�* � &� �

("� "/����� � �"����" E� )���"��� � �� � &&�* ������� �� � �� �4� "��-����!��� � ��� ! ��� �� %/ �"� � �����

& ���� �� "� � ���� ��"��4����

)����*

("��

���������� " 1 ����� � � �� ���� �� ��� �������� ���� ����� ��� �� ��� ���� ��

)� &��� &&�* "��� &&���� )����*

��������� �� .� & �� ��� ������ �� � ���� �� ��/���� ������ ��" ���� & � Y)&*(

N� �4 � ����� �"� ��� �� &� � �9 �"� �� �"� � ���� �� "���� �"� � ������ �"�"��� 4��" � ��� &; ���

Æ)&* B �&� � �9 � = V =� � �� &&���� )����*

���������� - $�� �������� �� Y)&* ��� �� ��� �������� ����,������ ��� " ��� ���

&� � Æ)&*(

Page 156: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�'� ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

����� :��� �"� �()=* ���� $ �(�)=�*; �"�� �� � �"� �"� ��� �� �()=* �"� ����� ��� �� � ������ �� �"� ����/ "��� �(�)=�*! � �� �� �� � �� ��� �� �� [�

��������� �� Y)&* B �(���(���� (

����� ("� ���� �� Y)&* �� ���"��� � �� �"� ����� �� �"� 6��� �78 ���� �� 5� � ���"� ������� �� �9 �"� �� � ���� �� �� ����� ����� � � & %��� � �� Æ)&* � �"��Y)&* �� �"� � �������� �� �"� ������� �� � �������� "��-����� �/ �"� ���������� !Y)&* ���� � �"� �������� "��-���� ��� �� %/ / ��"�� ������� �"� �/ %��� ��� Æ)&*�

������� � ������"�! 4� ���������/ ��� �"� �����%� � %��4�� �"�� �"���� ������� ��� Y)&* � .������"� ��

;�&���� � �' (� � ����� �"� 9��� � ���/���� �� ������ & � �9!)�* >�� �" &� � Æ)&*! ������� � �"� ��� � E�1)��* � ����� �"� "/����� � �"����" E� ���"��� � �� � &&� � �"� �������� "��-�����("� Y)&* �� �"� � �������� �� �"� �������� "��-�����

("�� 4� ��� �"�

���������� � $�� <����� ������

Y9 B(���

Y)&* )����*

�� � �����,��,����� ������� -���� ������ �� ��(

$� � �)�*��$* B �)�** V�)�$*� �)�*��$*! 4� 4����! ��� � � ��� !

�)� &��� &&�* B �)� &�* V�)� &&�*��)� &��* )���#*

� �"�� %/ @��������� #'!

��)� &��* V�)� &�* V�)� &&�* �"��)� &&�*� )���'*

���)� &�* �)� &��* V )�"� � �*�)� &&�*� )���+*

�/ )���+*!)�"� � �*�)� &&�* B �)=�� � =�*� )���,*

<� �����4� �"�

Page 157: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� �� 3�! �#�� ���� �'�

���������� 4 Y)&* B �� � ����)� &�* V =� �)� &��* V =�� � �&� � Æ)&*��

N"� =� B =! �"�� ������ �� )���*� ("�� �"� 9��� � ���� � �� %������� 6��� �78���� � �� �9� $�" ���� �� �� ��� �4 � ������� ���� ����

��$����% �&����� ���� 0�� � %� ����/ � ��� ��� � ��� � ��! � ���� 4���"� E�" � � �� �" ��� � �� �� ("� 0������ ��� �� A ��

�)A* B �� � �� ��)� A�* V E�" �)� /�* V E�3 � �/ � �� )����*

��� �� / � ��

�/ �"��� � ������� ! 0������ ����! �� � ����/! �� � ��� ���/�����! � �"�0������ ���� �� �"� ��� �� �� [ ���� ��-��-�� ���� � �� ��� ("�/ �� ���"���"� �������� �� ����&��� �� �"� 6��� �78 � ������� � 0������ ���� �� �������� �����/ � � / ����� ������� �! ��� ������! � ������� � �"� �������� ������� N� 4��� ����� �� 0������ ���� �� � �,�

����� 7�������� 0���� ����

��$����% �������+� *����� ��� �� ������� �����������, . 9��� � ��� � �"� 6��� �78 ���������� �� � ���� �� ��� �� %� ��������� �� �� �� ��� 9��� ����/����� �� ���������

�/ �"� ��� ���� �� �"� 9��� � ���/����! 4� "��

���������� � 1 <����� ��� �� ��������� �� ��� ���� �� ����� �����/ �� ��� ������

������������ &������ �� �/����� V � ������ �����(

<� 9��� � ��� �� ���������! �� �� �-���������;

���������� "5 .� ��� ������ ������������ �� � ��������� <����� ���" ����� �,����"� B �� � � � � � � &������ �� �/����� V �� � �������� ������ �����(

����� 6��� �78 ������ �"�� ���������� ��� �"� �� 4"� [ �� ����� %�� �� �� �������� �� ����/� <� �-�� �� �� �"��� %/ ����/ V � � � ����! �"� �� ���� �

�)�� �� ������� ����� �� �� *�(��� � ������� �� *��� ��*��� � �� ��� �� �� ��(������(� ���� * ������� �� �� �� ���� �� (������ �� �������( ���� �� *�(��� � ��� '�������

Page 158: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�'# ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

�"� � �������� �� ����/ V � � � "/����� ��� :�4 ��� ������ %� )� V �*-��� �� � � ��� <� ���� � �"� � �������� � � � "/����� ��! � �� � �� ��)� V �*-���� ��� �! 4� ���� "�� � B � �� �

���������� "� ����������� �� �������(

����� $� � V � � ���� �� � ��� �� ������� � ��"��� � ��! / ������ ���� �� �� ���� � �� �

< ����! � �"� ������� �������/ ��������� 9��� � ���������� � �� �4 � 9��� ���� ������ ��

< ������ �� G����H ������! � / ��"�� ������ � 9��� � ���� �� ����������

�������' ("� ���������� �� �"� @� ���� ���� �� �� �"� �� � �� �4� �"��%� 4��" �"���� ������ ��"1 �"� ���� ��� �� �"� G�"� H �"��% �� �:��� � �"� �� �"� G�"� H�"��% �� �:�'� ("� ����� �� ��%C�� �� ���� G��"� � �����H ������� %/ @� ������ � ���� �"� / ���� � ������� %/ �"��� ���������� �� � �������� @� ����A� ����������� �������/ ���� � ���� � ����� �� ������ ������ ("� ������� �� @� �������� � ���� 9��� � ���! � �� 4� � ����� ��� 6��� �78 ���������� )��#�� �*� <���� � ���! �� �������� ��/! �"� �"��� �� ���� � ���� � ����� �� 6��� �78 ����1�� �� �������� �! ���"��! �"� �"�� 9��� � ��� �� ����������

��� +��,- ���� ��� 1���� ��#��� � �������

����� -����./ �����

N"� ������� ��� � ��� �� ��%�� �� ����� �� ����������! �"� 6��� �78 ���� ����� ��� �� �� � ���� � � 4� ��� �� H�"�H 6��� �78 ��� �� �"� ���� ("��!4��"��� ���� �� �� �����/! 4"� 4� ��� �� �"� 6��� �78 ��� �� ��� � ����� 4�4��� �� �"� 6��� �78 ��� �� �"� ����� ! �) *� < �"�� ����� 4� 4��� ������ ������ �"� �� ��� �� ���������� �� 6��� �78 ���� �� ��� � �������

���������� "� ����� �������� ��� <����� ����(

��� � �(�� �� �� ���� ��������� ���� ��������

Page 159: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� �� �3 ����#��� �''

����� . ��� � ����� �� � ������/ ������� �� � � �4� ��� �� %� ����� �" �"��� ��" �� �"� �"������ �� ����� ������ �� �"� ������� �� � ����� �� (� ���%���"������� �� ���/! 4� ��� )@��������� #�* �"� �"� ����� ����� �� "��� � ��� ������ ��

�� ;B �����&� � & � � ) *�� )����*

("�� =� �� �"� ����� �� �"� ������ ��"��� �"� %� � ���%�� � �) * � �� ���"� ����� �� �"� ������� ��"��� �"� %� �������%�� %��� ���

$� � ��� � ������ �� ��%��� �� �� ����� ������! �"��� 6��� �78 ���� ���� ��� %/�� ����� ;

�� � �"� �)�* B �) * V �� )����*

$� � �"� 6��� �78 ��� �� �"� ������ �� �� ��� �� ����� ��� �"� �� ����� ��%����� �� �"� �/�����/ ����� �� �"� �����! �"� ������ �� �"� 6��� �78 ��� ������ �� �"� ������ �� ����� � �� ����

("� 6��� �78 ��� �� ����� �� � ��� � � ��� �"� �����A� ��� � �/�����/ ������

���������� "� $�� ����� �������� ����� �� � ������� � %��� -/�� ����� �� ����

��� �������� ����� �� ��� ������ ���� �) *8 ��� ���� �������� ����� �� � �� ���

�������� ����� �� ��� ������ ������(

����� ("�� �����4� ���������/ ���� �"� ��� ���� �� �) *�

���������� " �) * ��� ��� ������ ��� ���������������(

����� ����/ ����� ��� � �� � ��� �� �/�����/ ��� �"� �����1 �"�� �) * ��� ����/������ %/ � ������� � ("� ������ � %��4�� / ��� �� ����� ��� ���� ��� � ��� �� �/�����/ ��� �1 � ������� �� �K �� ��� �����! �"� �

��K ��

� ��� �� �/�����/ ��� �� ("�� �� �� �"� � ��� �� �/�����/ �� �) * & �)K* � ���) * ��)K*! � "� � �

��K �� �"� � ��� �� �/�����/ ��� �"� ��� � � �

):���; ("� �-��� �� �) *! � � ��! ��� �� %� � ����/������1 ��� ������!�"��� �� ������ � �� 4"��� 6��� �78 ���� "�� ��� ���� �� �� ��� � �-����*

�������� N"� � �� �-���� ��� � �����! �"� �) * �� ���/�� � ("��� �� � �/�4� ��%� ����� �/��� �� ���/�� � 6��� �78 ����; �� � "� %��� �� ���"��� �

Page 160: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�'+ ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

������! �"� ��� 6��� �78 ��� �� ��� ���1 ��"��4��� �"� 6��� �78 ��� �� "���� ��

("��� �4� ��%� ����� �/��� �� 6��� �78 ���� ��� �� � ������ �� ������� ���"� ��� �/�����/ �/��� �� ������ )<�'*� ("� �� ��� �� � ����� "� "���� �6��� �78 �����

("��� �� ��� ��%� ����� �/��� �� 6��� �78 ���� ��� �"��� ���� ��� � ������; �"��%�! �"� ��� ��� ��"���� ! �"� "���� � �����! �"� �"��%� ����"���� ! � �"� ��� ���� ����"���� � ? �/ �"� ��� ��� ��"���� ������� �� �� ��������� ���� �� ��� ��%��� �� �4 � �/ ��� B �� �� �� #� '; �"�/ ���� �� '� '�! � ���!,+�! ����������/� ("�� 4� �"�4 ��� B � %/ 9���"��� � ��'�� $ ��! � ��� B � %/ >������ � ���' �5# � �� < ���� 9��� � ��� � '� �/��� ��� B #1 �"�� 4� ������� �� '� %/ $"����� � ��,� )� #�������"(���*� ("� ��%�� ����%� ����� �/��� � ��� ���� ��� � 4� ������� �� %/ � ��� )�#�)���*�

$� � ����/ ��� � �� �) * �� ������� ����� �� ���� �� � � ��! 4� �����������"� ��� ���� �� �) * � �"� �����4� � 4/�

���������� "" $�� ������ ���� �� � ������� �� �� �� ��� ��� �� ������� �� � �� ��

������� ���� �� ����� �,����� ��V �3

�� B ��� � �� ��)��* �)��� �>*���> � ��� )����*

("� � ������ ��� �� �� � ���� � �"��� ���� %�� �4� �� ���� %�� ��/ ��� �� �/%��� � �� �"� ��� ����; ��� ������! �� � �� ��� � � �"� %�� ��/ F�) * �� �"�6��� �78 ���! �"� �� �� �� � �"��� ��� �� �� � ���� � ������ �� ("�� ��� � �%��� �� �� � ���� � � � �������� �) * � �)�K*! � �� ����� %/ ��K ����� �"�� �������� ! � 4��" �� �! �� �)��K* � �) *�

("� ���� �� ���� ������� ������ ��/ ������ � ���� � �"� �"���/ �� �����6��� �78 ���������� �� < ���� ���! 4� 4��� ��� �� � �����! � %���1 � ��"����� 4� 4��� � ����� ������� ������ )� �* �� �"� ����� L� ; ��M! 4"��� �� �� ��%����� �� � ��� � ���� I����/ �� 4��� %� �������� �� �! ��! 4"��� � �� � ����� � �� <� �� ������ � �� ����� ����" %��4�� �"� �������� ������ �> 4"�")����� ��� ��> 4"� � B �* �� �"����� �" / ��"�� ������ � �"��� �� ����!� � ��;

��> � ���)�>* � �)��*� ��� � �>V��� �� "B (�> �� )����*

����� *�� ��� '��� �� P������ �� ��������� *��� �� ������� �� ����� �������� ����@���� ��� '���� ��� �� (��� ���� ���� ����

Page 161: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� �� �3 ����#��� �',

� ������ �� ������� �� ��"! 4"�" �� �"��� ������ �> ��" �"� �"��� �� � ������ �"� ���� �"� �� �"����� �" �>;

��> � ���)�>* �)��*� ��� � �>V���� )����*

����� 0���� ���'�����

.� � �"� �� �� �� ��� 9��� � ����! �"� ����� �� �"� 9��� � ���������� � ����%/ ����� �� � ��� ���/����� 4"��� ������� �� �"� ����� ��� �� �/� � � �"�%�� ����� �� ����/ ��"���� � �"� 9��� � � 6��� �78 ���������� � �� ����

$� � �" � ��� �� "��� � �"� ����� �� ������ �� 6��� �78 ��� � �"� ��� "�� �/ � ��� ��%�� �� �������! �"��� �� � �/ � ��� ��%�� �� ���������� ��� /��� 9��� � ���� � )4� 4��� ����� ���� �"� �"�� ��%�� �� � ���� X��*�

��$����% ����� ����� ("� ��� �� 9��� � ���� �"� �"�� �"� ������ )�"������ * �� ���� �"� 9��� � ��� �� �"� ����� ��

���������� "- $�� <����� ������ ���������� �� � ������� � �� �� �� ���������(

����� $� � �"� ������ �� �� �"� ����� �� �"� 6��� �78 ��� �� � � �� �� � ������ �/�����/ ��� �"! / ��� �� �C� � ������� %� � ���" ��� %/ � ������ � �"� � ��� �� �"� ���� C�� �� � �"��� ("�� �� �"� ������� �� �"� 6��� �78 ��� ��������� � � ��� �"� �/�����/ ����� �� �"� �����! ���� 4"�" �� �����4� �"� �"�9��� � ���� ������� �� � �� �"� ������� �� �) * �� ������� � ���� �

<� �"� 6��� �78 ��� �� �"� ����� �� ��� ���! �� �� �"� 9��� � ���1 �� �"� 6��� �78��� �� "���� ! �"� 9��� � ��� �� ��� ���� ("�� )� �"� ����� ����/ �� ���#*����� �� ������ �� ��������� 9��� � �����

< �� ���! 4"� � �! �"� ����� �� �"� 9��� � ���������� �� �� � ���� �� ��� 4"� �"� ���������� �� � ���� �! �"�/ �/ ��� � ��S��� � ���� ���� �! � 4�4��� ��� 4"� 4� ����/ �"� �"���-���� ��� � �� � ����� )�#*�

("� �����4� � �� �%����� %�� �"���� %� ����� ��������/;

���������� "� 1 ������� � �� ��������� �� ��� ���� �� ��� ��� <����� ����� ��� ���,

������(

Page 162: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�'� ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

N� �� ��� %/ �� �"� ��� �� ������� �� �"� 6��� �78 ���� � �� ��

���������� "4 �� �� � <����� ���(

����� >�� =� 4� "���� �"� �� ���� ���� � %��4�� ������� �� �) *1 �� %�"��� �� %� �"� �� ��" �� �"� �� ���� ������ ����� �� �) *� �

$� � �� �� 9��� � ��� � ��� �4 ���"�! 4� ������ �� �� �� � �/ �"� 9��� ����� � ��� �! %�� ��� �"� 6��� �78 ���� � ��� ��� .�� �"��� ������ ��� 4"�" �"����4� ���� �� �� ���T ("� ��! �� �"��� ������ ��� 4"�" �"� 9��� � ���� � �� ������ 6��� �78 ���� �T N� 4��� �"�4 �"� �"��� ���� �� �� ��� ��� ��� �� �4�-���� ��� �������! %�� �� �������/ � "��"�� ���� ��� ��

2 ����� �" �� � &� � ������� �� ��( $�� �����%��� ���������� ��� �'��������3

�+ ��� <����� ������������ �� � �� ��� ������ ������������ �� ��8��+ ��� ������ ������������ �� � �� ��� <����� ������������ �� ��8���+ �) * �� ����������&�&��8

��+ ����� ����� �� �) * �� ����������&�&��(

����� -* � --* �����4� ���� �����/� :���! 4� ��� �"� ---* � -* "���� ��� �� ���9��� � ����! �� � )---* ����� �"� �� ������ ������ �� �) * "�� �"� ��� �� ��"!�� ������� ��/! �"� �"� ��� �� ���/ "� � ������ )���+* �� ���� �� �

� ! � �"��� ��� �� ������� � �� -*� >� ��/! 4� �"�4 �"� ---* � -&*� .����� �"� �) * ���������%�� %/ �"� ��"��� #�)��&�* 4"��� ��&� �� �"� ���� �� ��" �� �"� ������������� 0�� � %� ��� �� �) * � �&8 �"� "/����� � � 4"�" �� ����� ("�

�&8� #�)��&�* �� ) � �*-��"���! � �"� ������� �� �) * %��� �� � �� � ��� �

��� %�� ��/� ("�� � �� �������%%��� 2� ������/! ����� �"� )��* "����� ("�� ���� �� �"� ��"���� � 4"�" �"� ���� �� � ���%�� ���� �� ��� 4��" �"� � ������ �"� ����� 0�� � %� ���! K�� ��� � ���! � &� &� �4� �� ��� �������� ("� �"����"� ��� ���� 4��" ������� � K��� & � � K��� &� �� � ���� �! �� �&� B �&��� ("������� & ���� � � ���� ����! 4"� � �� �"� ������� �� �"��� ���� "�� �� ��"�&�! � �"� ��� �� ���� ��� �� ���� �C� � �� �"��! � �� ����"� �

$� � �"� ���� �� �4�-���� ��� � 6��� �78 ��� �� �� � ����� ��! 4� "�� ����-�����/

��������� � $�� <����� ������������ �� ����� �%�,����������� ������� � �� � ������

������������ ��� ��(

Page 163: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� �� �3 ����#��� �'�

2������/ �# "���� ��� ��� �"���-���� ��� � ���� �� %/ �"� ���"��� � ������������ � ���"� "���� � �����! %�� � �� ��� � "��"�� ���� ��� � �"��� ���� �� ������ %� ���� ���� "�����&��� �� �"� ����/ �� ������ 4"��� 6��� �78 ���� ���������%%��� < ������ �� �"� ������� C��� �� ��� ��! �"� ��� �� ������ 4��"�������%%�� 6��� �78 ���� � ����� �"� ������ �*

� ! �*� ! �

*� � �*

� ��� �� �"����� ������ ��

�! ���! �

�� � ��

� )%�� �� �"� ����-��� ����� ��*! � �"�� ��� ������� � ��� ���"��� � ����� ���� )��� �'�#*� < � ����! 4� �� �4 �"� ����/ �������� 4"��� 6��� �78 ���� �� ������&�&��! ����! �� ���� �� � �� � �� � ���%����"���; �"��� ������ �� �������/ �"� ���� ������ � ����� ���� �� ��� ��� ���������� )��� �'*�

("� ����� �� 4"� �� �� ����� �� ��������/ � ������� ��

���������� "� .� �� �� � ����� ������� ��"" ���� � % ��( ����� ("� �� ����� � �� � �� �/�������� �� B� � "� � �"�/ �� �� � ��������� �

("� �������� ������ �� �"� �� ��� �%� �����! � 4"�" �� � B ��� ("�������� �"�4� �"� � $ �� ���� �� ����/ �" $ ��"������ 7�������� ��������

@�������� 6��� �78 ���� "�� ������� �"� ���� ��� ��� ! � �"� � ���� �� %��"������ � ������ ������ ("�� �� �� �/ ��� �� �"� �� �"� ����������/ ���� ����

���� )@��������� '�* �"� 4"� �) * �� ���������! ����/ � � V � 6��� �78 ������ �"� 6��� �78 ���������� �"�� ���� �-��! � B �� � � � � � ��

>�� �" �! � � � ! �"� ��� �� �-��� �� ����� 6��� �78 ��������� %��� � �� � ��� ��%�� �� ��%��� �� �"� �� ����� ����� �� �"� �����1 � �� ���! �" 6��� �78��� � �� � ������ ����� �� �� �" ��%��� 0�� �� %� �-�� �� �) * � ��� ��+�!� � � �! %� �"� ��� �� ������ ������� �� � �� �"� � ���� �� �"� ��"�� � �6��� �78 ���� 4"�" �"�� �"�� �-�� 4��" �) *� �" �� ����� ��+ �� �������)+* � �� �) * � �"������� �� � �� �� � �+! ��"�� �-�� �� �"� 6��� �78 ����) *� 2� ������/! �� � �� �� �-�� �� �) *! 4"��� � �� V �( B �� ��� ���� �( � �! �"� ���� �-�� �� �)(*� ("�� 4� "��

Page 164: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�+� ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

���������� -5 ���� �,���� �� � ��������� ������ ���� �) * �� �'��������" �����

������������ �� �" �� �/����� � � ����� �,����� �� �) *(

("� ��� �� %� ��������� � �� �-��%���� $����� � � � 9��� � ��� ���� �"��%��! 4� "�� �"� ������ �� �� ��� �� ����� �� �! � �� �"� ������ �� �"�� �� �� �"��� 9��� � ���� ���� %� ���� �� �"� ������ �� �"� ������

3������� �"� ��� �) * B &(�� ���Y)&* �� �"� � �� �� V � �� ��� �� ���� �1"� � �"� ���� �� �"� � ��� � ���)�* ��� �� � 2"���� � ��! ��� �� ���������������! ���� �� V �;

���������� -� 9��� � �� ���������"

���)�* B ����) *����)�* B V ��

. / ������ �� �"� 6��� �78 ��� �� ��������� ����� � %��� �� �� ����/ ������ �"� ���1 �� � �"� ������� �� � ��� ������ �� �� ���/ � ���� �� �! �"��������� ���� %��� �� ��� .� 4� ���� � ��! �"�/ �/ �� ���� � �/ ��%�������! %�� �"��� �� � / ��������� ������ ��� 4"�" �"�� ��� �� ������ �� %���� >��������! �"�� �� �"� �� ��� �"� ��������� ������ � ��! ��! � ���

��$����% �������� �������+� . ��������� �����! � ��� 6��� �78 ���! �� ����� %� ��� ��� ��������� �� ��� �" ������ �� �"� ���! �"� ��� ������ �� �"� ��������� � � �"�� ������ ���� %��� �� �"� ������

("� 9��� � ���� �� ��� ��� ��������� ������ �� �������� 4"��� ����� ����� ����� � �� �"� ����� �� � �� ��� ��� �� ("�� �� �"��� �������� "�� ��� ������!���)�*\X�

���������� -� 1 ��������� ��������� ������ ���� ��� )V �*X ��������(

����� N"� �� 9��� � ���� "�� �"� ��� ������ ���Y)&*! �� ��� � �"� ��%���� ������� �� �"� 6��� �78 ��� � %/ ��)� *! 4� "��

��)� *

V �B

���)�*

���Y)&*B X� )���#*

Page 165: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� ���� ;�&=A $����� ����� ��$ ���#! �����!� �+�

��������� �" 1 ��������� ��������� ������ ���� ��� )V �*X�� �����(

����� ����/ ����� �� �"� ��� ���� � �" ������! � �" ���� "� �4��������� �

�/ �"� ����� "��������!��������)��*���)* B �� )��*�! 4"��� ��)* �� �"�

��%�� �� �-��� �� -���/����� ("��

���������� -� 9��� � �� ��������� ���������" ��� ������ �� ��)* ��� B �� �� #���3

��)* ��)* ��)* ��)*� + +� �# �+ �## ��� �#� �'� ��

)���'*

��� (�� 2�3) 1���� ���� ��� ����� ������

9��� 9��� � ��� � �� ��� � ���T 9��� �"� ��� �� �"� 9��� � ���� ����� � � � �� �"� 6��� �78 ��� � ����� � T

< �/�%��� 4� ���� ���� ������ ���� �� �"��� �4� ������� �;

-* �& � � ) *� & � Y( T --* �) * $ 8(*=�)Y* T )���+*

4"��� �) * �� �"� 6��� �78 ��� � ����� � ! �)�) ** ��� ��� �� �������� �8(*=�)Y* B &(��������Y( �� �"� ��� �� 9��� � ���� � � N� ���� �"� -* ����* --* �����

N� 4��� �"�4 �"� �"� �4��� �� /�� ��� �� �-���� ��� � ������� < ���� ��� � � � 4� �"�� �"�4 �"� �"��� �� ��� ���� � � �"� � � ��)��* �� �������������� ����� � 4"�" --* �� ���� ) � �"�� -* �� ����*! � ��"�� ��� ���� �� 4"�" -* �� ���� %�� --* �� �����

N� � � �"� ����� �� �"� ����� ��� � �"� ��� � �� �"� ������ �� <� �� �"� � �/����� ��� � � �"� � ������ �� ��) *! �"� 6��� �78 ��� ������ %/ ���� �� ? ��������;

F��) * � � B �� )���,*

Page 166: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�+� ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

�"� ��� �� ��� ������ )��� �#��*�� N� �� ��� %/ ��) * �"� � ��� "��� �� �"������ �� >��� �"� ��� ���� �� 9��� � ����!

8(*=�)Y* B ��)�* $ ��) *� )����*

< ����! ����� �� �� �� ����1 �"��� ���� %� ��� � + � � 4"�" �� � �"� � ������ ����)�* � �"������� �� ��) *� ��� �"� � ������ )���,*�

N� � ����� -���� ��� � ��������� ����� �� 0�� �� � ����� ������ & �� ��������� 6��� �78 ��� � �"� ��� ������ �K� 4"�" ��� � �� %/ �"� �/���� ���� �� ������ �;

)�K�� &* B�

��)�K�*� )����*

N� ���� �"� �"� ��� ����� .( �� �"� ����� ��� %��� ��K�� ������� ; .)&* �� ����� �� /�� B )�K�� �K�*� % ; � � /�� B /�� � �� �/��� /���� )����*

("� ��� ����� � ������/ � )����* �� ������� %/ �"� �������� �"� �K� �� ��������� �� ��������� �����1 �"� �"�/ ��� � ������ ������� �"� ���� � �� 0�� 7�%� �"� ���� � �� �� �& � �"�� %���; �& B

�� 7�

�K�� ("� )����* %�����;��

/��7� B�

�/��� )����*

("� � ����� � ��� �"�� ������ �� %� � ��� 9��� � ��� ��;

& � Y( � 7� � ����

7� �� )����*

N"� ������/ "���� � � � �� �"� V� ���������! & �� �� � �"� � ������ �� Y( %��� ��� �� �"�� ��������

>�� B �! & � Y(� < ����! ��� � ��������� ����� � ��� .;

. B

�,� ?? ,�

�� � � ? � ,�� - B �� �1 � B ���).* B ,�,� � ?� � �� )����*

� � �%�� �;

7� B�

�,�),� � ?*��� � �� 7� B

�,�),� � ?*��� � �� )���#*�

7� � �� �� � �,�,� V ?),� V ,�* B ?),� V ,� � �?* � �� )���'*

�) �( �� �� �� ���'� �� ����� G���� � ���(�(�@ ����� ���� �� �� �� ����� ������# ��� �� �� �� �� ���� # E :+ �# �� �� $����%& ���� � E �,:- + �# ���� ���� � � �,:- �E ��

Page 167: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

���� ���� ;�&=A $����� ����� ��$ ���#! �����!� �+�

("� ������ �"� ��� ���� ��� �! -*! � �"������� --*! �� �����

<� �� ��/ �� �����

���������� - 0�� ��� ��������� � �" --* �� ����� ��� ��� ��������� �������� ��

� �����&������� �� ��� ��������� ������&�� ��������(

N� ���� �"� ��������/ �����%�� ������ �� �"��� 4"�" �� ���"��� � ��������� �� � � ���� ��� � ������1 �� �"�/ "�� ���"��� � %��� �! ������� �-� ��/! ���� � ������ ������ N"� �"� � � ���� ��� � ������ �� ��������!�"� ����� ��� %��� �� �� ����� ����� ��� )2�%� @ * 4"��� ����� ������� '�)��* ! ��� �! �� �'�)��*� B ��X� 0�� . %� ���� � ������ ���� ���"� �������/ �����%�� ����� � � Z/ ������ ���� ������� �� � �� ������& �� �"� ��������� ����� �� � �"� ���"%���"��� �� �! �� �"� ?�� B Z/�� � /�� ������ ����� � � ��������� ("� ! ���� )����*! �"� ����� ��� �� & �� 7� B

�� V')?��*�

("��� ��� ���

7� B �� � � 4"� � �� �

0�� �� � ����� � ������ ����� �"� �������� �� ����� ���� � �� ��� ("� 6��� �78��� �) * �� � �� ���"��� � ������������ 4��" � ���� � �� ������� &; ������� ��� N���! N

�� B �� �" 9��� � ��� �� �������� �� �) *1 � ���� �� �� �%�� ��

%/ �"� �� ����� ; Y( B �) * V �&� 5� �;

� ��������/ �����%��� ��� 8(*=�)Y* B �� ����) *� )���+*

3������� 8(*=�)Y* B ��)�*! 4��" ��� B �� � �! %� ��������� � � �� �� ��X �������� ����� � � ! �" � � �� ������ )X*�� ����) *� N"� ��! �"���������� ����� � � ��������/ �������� ���� �! �� �� ������� � �� ����/ � ���! � ) *)��* � ) *)�* )4��" ������� ����� � �� � �"��� ��%�� ������� ����)V �*X �� ��*! %�� �"� ����� �� 8(*=�)Y* ��� �� �� � �/ ��%���� �� �"� ��� ����! �� � �"� ���� �� �"��� ������ ��! ���� )���+*! ) V �*���� ("� �� �����%�� � �/%���� ������� �� � ) *)��* 4��� ������� �"��� 9��� � ����� >�� � � � ��� B �!8(*=�)Y* ��� � �� �"� � ��� "��� �� �"� � ��� �� 4��" ����� ��� )N�� N�� N�* 4"��� �"������ �� �"� ��� �� �� �� �"� � ��� "��� �� �"� �# ��� �� �� ����� ��� )(��(��(�*!)(��(�� �*! )(�� ��(�*! )��(��(�*! )(�� �� �*! )��(�� �*! )�� ��(�*�

��� J����� ����� ����� G���������� �� �� ��������(�'�� ������ �� �'� ��� ����� ���� �������� �� ��� ������� �� ,�-�

Page 168: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�+# ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

�� !�� �"����� � ���� �����

< �"� �������/ ) � �"� ���%�* �� ������! � � �� � �������� � �"� ��� �� ����������� �"� �� )��������/* �"���� 5��������/! �"� ������ �� �� ���� �� ��" "��������� �"� ���� ��� ��� � 5��� 4� � ����� �"��� ���� �� H�"���H ������! ����� �� � ����� �� �"� 6��� �78 ��� �� �"� ������ N� %��� 4��" �"� ������ �� �"�������! �"� ��� ������ �� �"� ������

����� 8���� ������� ��� ��������

("� ���� ��� �� ���� I � ���� � 4� ��� �� � ����� N"� I �� �"� 6��� �78��� �) * �� ����� �"� ����/ ���� � �"� ��� �� ������� �� ����� ������

��$����% ����� +����� ("� ��� ������ �� ����� � �� �"� ������ �+ ���� �� �"� � ���� + �� �"� ���� ������� � �"� ��� �� �"� 6��� �78 ��� �) *�

���������� -" 1 ������� ������ �+ � � �� � ������ ������ �� ��� ���� �� ���+ � F�) *(

����� 0�� �+ %� ��� ������ 0�� ) � +* B �) *��)+*� ("� ) � +* "B 3! � �� ��� ��� %���� �) * � �)+* �� � ���� ("� ������ � ���+ �� � ��� �� �/�����/�� �"� ����� �"� � ���" ��� �) * � �)+* � "� � ��%��&�� ) � +*! � �� %/ � �����/! ���+ � ) � +*� ("� � ����� �� ��������! %/ �"� ��� ���� �� ��� ������ �

��������� �- �+ � � �� � ������ ������ �� ��� ���� �� ���+ �� ��� ������ �� ��������

�� ��� �������� ������������ �) * � �)+*(

��������� �� .� � �,���� �� �) * ���� ��� ������� � ������ �� ��������" ���� ���

���� ���� ������ ���� �,���� ���� ������ ��� �� ������ ���������(

N� �� ��� �"� ��� �� ��� ������ �� � %/ ��

���������� -- $�� ���&�� �� ������ ������� �� ����(

����� $� � �) * �� � ����/������! ���+ � F�) *D ����+ � F�) *� �

Page 169: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� �����#3#���#�� �3 ��!��� �����!� �+'

2 ����� �- �+ �� � ������ ������ �� � �� ��� ���� �� �� �� � ������ �� ������� ����

�� ��� ���� �����(

����� �/ ��� ���� ! �� �+ %��� �� �� �"� 6��� �78 ��� �� � ��! %/ @��������� +,!

�+ � � D �)�

��+* �)�+��� �>*� ��> � �� )���,*

("���+ � � D �)�+* �)�+� ��>* ��> � �� )����*

����! �+ �� ����� �� �� ��� ��� � ��� ���� ����� �

��$����% �.+����� . ����� �+ � � �� �-����� �� �� �+ ���� � �"� � ������ �� �-���� �) *! �"� ��! �� �� ���� � �"� � �������� �� ����/ � � � ���� �� � �����

:��� �"� �+ � �+ � �� �4� ������ �� �"� ��� �� ��" � �+ � �+ � � �� �� � � �/�� ��)�+ � �+ �* � �� < �"�� ��! �+ � �� �"� ���� �� �+ �"����" �"� � ��� �� �/�����/��)�+��+ �*� N��" �"�� �%������� �� �� ��/ �� ����� )("������ �,* �"� �� (�+ �� �"�� �/ ������ �� �� ���� �� ��" � �"��� ���� ����! �"� �"�/ �� ��� �������

("� ��� ������ �� ����� �� �� ����� � ������ %���� �"�/ � ��� � / ����� �����������

���������� -� 1 ������ ������ �� ��� �������� ������� ������ �� ��� �� ����� ���

��� �������� � � �(

����� <� �+ � � � �� � �! �� "B �! �"� �)�+ V ���*��)�+* � �! �� )�+� ��* V�)��* � ��("�

�)�+V���*��)�+* B ��)�+� ��* V���)��*

B �)�)�+� ��* V��)��** B �)�))�+� ��* V�)��** V )�� �*�)��** )����*

4"�" �� �������� ��� � � �� ("�� �)�+* � �)�+V���*� �

:��� �"� 4"� � � �! �+ � ��+ �� ��� %��� � �� �"� ��� �� �����

���������� -4 $�� ��� � �� ��� ��� �� �������� )�/���� + �� ��� <����� ������ ��

(

����� ("� 9��� � ��� �� �� &(�� ���Y)&*� >�� �" ��" &! �"� ������� �� ��Y)&* �� �"� � ���� �� �"� 6��� �78 ���� �"� ���� � &! � �"�� %/ ��� �� �"�������� �� Y)&* �� ��� ������� 2� ������/! ����/ ��� ����� �� ������ ������ Y)&*! & � �) *� �

Page 170: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�++ ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

����� "�� ���� �� � � �� ��

N� ����� ����" �4� ������ � ��%���� �� �"� ��� � �� ��� ������ �� ����� �;

$�� ��� � �� ������� �� ������� ���� 8 �� �1$�� ��� � �� ����� ������� �� ��� ������ ���� �) *�

N� "�� ����/ ���� �"� ������ ������� ��� ������� � � 4"��"�� ����� ������� ����� � �� � �

2 ����� �� )������ +( $�� �����%��� ���������� �� �+ � � ��� �'��������3

�+ (�+ ��� ��� ����� �������8

��+ (�+ ��� ��� �������� ������� �� ����� ���� �����8

���+ )�+� �&* � �)�&* ��& � ���& "B �� "B �+� ��+ ��� ������ &��� �6%�)� �� �+�* �������� ��

������ �� � ����� ���� ��� +(

�������* * �*� .����� (�+ �� �"� �"������ ������ � �"��� ���� ����� 0�� � %� ��� � �� � � �

��+� ("� �"� ���� �� ���+ �"����" �"� � ��� �� �/�����/ ���K ��

���+� B �K � �

��+! � "� � �)�+�* B �)�+* � �+� B ��K ��+� ("�� ��� "/���"���� �������

�+� B �+ �� �+� B ��+� <� �+� B �+! ���+ 4� ���� %/ �"�� �/�����/ � "� � �+ B �K � ("��� �+� B ��+ �� �������%��! �� � � �"� �� ���+ � ����+ 4���� ��� � �"� ��� ����� �) *� ("�� �+ �� ��� �����! � �"� ��� ����� � 4�� � ��� ��+��* * ��*�2� ������/! ����� �"� �+ �� ��� ������ ("� �

��+ �� �"� � ��� �� ��� � �� �� ����� �� �+ � �� � �" �� / ��"�� ��� �� �� �� ("� ��!

��> � �� �> "B �� �)�

��+* � �)

��+� �>*� )��#�*

.�� ! �"� ��� ����� � 4�� � ��� ��+! �� (�+ �� �"� �"������ ������ � �"��� ���������* � ���*� ("�� �� ������� � �� �"� � ����� �)�+* � �)�+� ��&*���& � ���& "B �� "B �+��* � ��*� <� �+�� �� �"� � ��� �� ���! �"� �� �� �������� � ���� � + � ����"�� ��� �� �� � �� ���"�� 4/� ��� / ����� ��� � E � �6%�)� �� �+�* 4���� %�� ���� � ����! � ������� � ("� � ����� �� �%������ �

��������� �4 � % � % ��

����� �/ �"� ��� ���� �� ��� �����! � % �� <� �� ��� �%����� �"� � % �!�� � � ������ "�� �� ��� ��� � � � "� � ��� � �"� ���� ����� �� 4"�"

Page 171: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� �����#3#���#�� �3 ��!��� �����!� �+,

�"�/ %��� �� (� �"�4 �"� � % � ! 4� ����� �"� � �4� � ������ �8�� �8�! �8� "B (�8�! %��� � �� �"� ��� ���� ����� 0�� 9 %� �"� ��� %��4�� �8� � �8�1 4� �/����� � � 9 � :� <� �8� B �8�V��� ��� ���� �� � �! 4� "�� )�8� � �8�*�� B �� � �! �

���8� � �8�

�B

8

�)�� ��)9* � 8� )��#�*

4"��� 8 �� �"� ��� �� �"� ������ � �� ("�� �� � ������� � ("�� � % � � �

<� �� ��/ �� ��� �"� �"��� �� ����/ � � �� � ����� ��� 4"�" � B � B �; �"�"���� � �����! 4"��� 6��� �78 ��� �� ������ "���� � $������� ��/! ����� ���

�� �/������ �� ��� ������ ���������> 0��� � �"�� ����� 4� 4��� "�����&� �"������� ��� 4"�" � B � � ��� 4"�" � B ��

N� ��� ����/ ���� �/ ���������� �� � � ("� ��� �4� ���������� � �� ��� ��3� �4� � )�����*�

���������� -� )���=�%�=�+ � ��� �)�� � �*(

����� ("� ��4�� %�� � �� ������� %/ �"� � ����/�����/ �� �) *� ("� �� ������� �� � � "�� � ���� ������� ������ �"� ������ �)R�� � � � � R�*� 4"��� R� � ��� ���$� � �� �K � � �"� � �/ ��"�� ��� ����� � ��� ���� ���� �� ��K ! �"� ������ ��%�� �� �� ������ �� �4�� �"� ��%�� �� �����! ������ � �� ����� �"� �-������

���������� �5 )���=�%�=�+( �)�� � �* ��� �� � �(

����� ("� ��4�� %�� � �����4� ���� �"� �� �"� ����/ ���� ���� � �� � � �����4� ��� ������� ("� ����� %�� � �� ������/ �� @��������� +, �� � �"��� ���� ����� �� �� � �! � � �� 4"�" �� ������� ��� %/ �� �

("� ����� %�� � �� ��� �� � ����/ ���� ��� %/ �"� �%� ������! 4"��� 6��� �78��� �� �"� � �� -�%�� >�� �"��� ������! �"� ����� �+ �� �-����� �� � � �/ ��R� B (� ��� ����/ � � ����� �� - � �� ���� �� � ��� �"� ��"�� �� ("��! �� �4� �� �� � ���� �"� �-����! �"� ��%�� �� ��� ������ ��

��� B�����

���

� �

�� � B �� � �� )��#�*

Page 172: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�+� ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

:��� �"� �"� � ����� �� @��������� +, �� ����; ����� %� �"� �"������ � ��� �� ���� )� � �* %�� �� ��� ������ >�� ������! �� � �� ��������� �"� � B � � � "� ����/ �)�� � �* � �� � � ��� �������

?%������/!

���������� �� .� �K� �K � � � " ��� �K � "B (�K " ���� )�K� �K �* � ����)�K *� �)�K �*�(

���������� �� ��� �� ��/���� �� ��� ���� � B �(

����� ��� �� ����� �� � � �/ �� � � �� � ������� ����� �� ����/ ���� ����)����� �*� �

0����� 4��" ����� ��� �� �� �������/ ���������; �� �) * "� H��4H ��������"� ���� �� �"�� 4��� %� �"� � �������� �� ���� �" ���� )�"�� ���� ����4"� B #1 ��� �+ ��� �"�����" �������� �� �"�� ������*� 5�4����! �� ����� ����� � �"� ��%�� �� ���� � �" ������ �� �) * �� �� ���! �"� � ������������ 3��� �������/!

���������� �� � �� ��������� �� ��� ���� �� ��� �� ��/���� ��� �/����� ������ ��

�) * ���� �� ���� �����/(

����� $������ �"� � �� ���������� ("� ����/ 9��� � ��� �� �������� $� � ����� ���� �� �) * ���� ���� � ����/ ������! �� �� �"� ������� �� �"� 9��� ����! ����� ! ������� � �� ��� ������! �� ��� �� ������ 2� ������/! �� ��� ������� � ����/ ���� ���� � �" ������! �"� ����/ ��� ����� �� �������� � "� � �"� 9��� � ���� �� ��������� �

:���� �"� �"� ������ �K � ��K �� �� %��� � �� �"� ��� �� ���� 4"� � � ��3��� �� ����/! �� �K � )��K * B ��K � ��! �"� � �� ��� � �K � �

���! �� �K �� �� ����%�� ����� 4"� � �� ��� � ������ �" �4��

9� ��� � �"� ��%�� �� �-��� �� �"� 6��� �78 ��� �� -���� ��� � �������������� %/ ��)*! 4� "��;

���������� � 0�� � ��������� �������" ��)* �� � �������� �� � ) V � � �* ���

� � � � �(

Page 173: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� �����#3#���#�� �3 ��!��� �����!� �+�

����� @��������� +� �"�4� �"� �"�� ��%�� �� �������� �� V � � �� 2� ����� �-�� �� � ��� ���� �� �� �"����" �"� ����� � <� �� � � �� %��� ��� �� �"� ����� ����� ��%��! �"��� 4���� %� �� ����� ��+ ��/� � �� � �� � ��� ("� �

� �+ � ���$� �+ � �! %�� �+ "� � �� � � � � �� ("�� �� �������%��! �� � � B � � $� �� �� �� %��� � �� �4� ����� � �� ����� ��%���� ("�� 4"� 6��� �78 ��� �� ���������!�"� �-��� %��� � �� ��� ��%�� �� �� ����� ��%���! �" � �� � � V����-��� �� �"� ���� �

��������� �� $�� ��� �� �������� �� � ��������� ������ ����������� ����� � �������

%��� ������� � ��� �� ) *��) V �* ������ �� � �� ��� ����������� ������(

���������� �" .� ��� �������" ��� ������� �� ���� ���� ���� �8 ��� ����� �������"

%���� 8 �� ��� ������� ���� �� ��� �������(

����� 0�� �)�&�* � �81 4� 4��� �"�4 �"� �"��� �� � �&� � �"� ��� ���� ���� 4��" ��� �)�&�* �8� .����� �)�&�* �8 � �&� � �&� B ���� �� � �� ("�

�)�&� � �&�* B �)���* B #�)��* � #8� )��#�*

��

#8 �)�&� � �&�* B �)�&�* V�)�&�*� �)�&�� �&�* #8� �)�&�� �&�*� )��##*

2"���� � �&� �� �"� )�&�� �&�* � � Q �"� ��! ����� � �&� %/ ��&� �� �����/ Q 4� "�� � ������� � ("�� �&� �� ��� ������ �

��������� �5 1 ������ �� ���� �8 �� � ������ ������(

����� <� �����4� ���� �"� ����� �� �"� ������� � ���������� �"� � ������ �� ��� �8 %� � �"� ��� ���� ���� � �"����� ������ �

��������� �� $�� ������� �� ���� �8 �� ��� ���� ���� ����� ��� ����%��� ������,

����(

����� 0�� �)�&�* B �81 4� 4��� �"�4 �"� �� �"��� �� �&� � �"� ��� �� ���� 4��" ��� �)�&�* B �8 � �&� "B �&�! �"� )�&�� �&�* B �� 0�� �&� � �&� B ���� �� � �� ("�

�)�&� � �&�* B �)���* B #�)��* � #8� )��#'*

Page 174: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�,� ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

��#8 �)�&� � �&�* B �)�&�* V�)�&�*� �)�&�� �&�* #8� �)�&�� �&�*� )��#+*

$� �! �� )�&�� �&�* "B � 4� ����� �&� %/ ��&� �� �����/ �� �"� )�&�� �&�* � �! 4����� "�� )�&�� �&�* B �� �

N� � � � / ������� �� ��" ��� ������ �� � ������� >�� ������! �"������� �� ��� # � �� � �� ��� � � �"� 0��" ����� [�� �� ������� � �������� �+ � #� ������! ����������/�

("� �����4� � ������� ! ��� �� 6� ��! ���4� �� �� ����� ����" �"� ��� �������� � �"� ������ �� ��� ���

���������� �- 1 ������ �� ���� �8 �� � ����� ������ �� ��� ���� �� �� �� ��� � ���

�� �%� ���������� ������� �� �(

����� 0�� �8�� �8� � � 4"��� )�8�� �8�* B �� ("� �"� ���� ������ ()�8� ( �8�* ��"�� ��� �� � %��� � �� �"� ��� ���� ����! �� �"�/ �� %� ��� �������2� ������/! �� �)(�+�* B �8 %�� (�+� "� � ! �"� �"��� �� ������ (�+� ���"��� � ��(�+� � � �"� ��� �� ����� ("� �"� ���� ����� ������ (��)�+�(�+�* �� ����� ���� # � ���� �4� ���"��� � �������� ����! � �+� B

�� )�+� V �+�* V

��)�+� � �+�*� �

("� �����4� � �%����� ���� �� ��� ���/ ������;

���������� �� � ��������� �(

����� $� � �"� 6��� �78 ���������� �� ���-��-���! 4� ��� ���� / ���! �/�) * �� / ��"��! �/ �)�*! %/ ��" �"� ���� �� � ������ �"� %�� ��/ �� /��� ("�� ��" ��� �� ����� � �� ��� ������ ���� �� �� �

5�4����! ��%���� �� � 4��" �� ���/ � ���� �� � ��� ������ �/ �� ���� ������ ��%����� �� �� >�� ������! �� � �� ��� ! � ����� ����� � �& �� ��" ������! �"� ��� ����/ �K ��" �"� & � � ! 4� "�� )�&� �K * B �

��)�K * � ��� ("�� �� �"��K A� ������� �� � �� �"� ���� �"� ���� � & �� ����� �! 4� 4���� "�� �& � ���("�� �� �������%�� 4"� ! ��� ������! � �� ����-���! �� � �& "� ��

("� ��� � �� �� ��� ������ ��� �� �� ���� �! ��� �� �� �� � ��� 2� 4/ �$�� � "�� ��� � ����� � ��� �"� �� �� ����� %/ ��� ��� � %�� � �� � ��-%���� ). � � ��� ����/ �� ��" ������ �� �����%�� � ����� #���* ("�� � ���� �� �4/� � �� %��� %��! � 4� 4��� �"�4 � #��! � ) � �"������� �* �4/������

Page 175: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� �����#3#���#�� �3 ��!��� �����!� �,�

(� � ���� �"�� ����� ! 4� ��� �"� �" �� �"� ���� ��� � � �� ����� ���1 �"� �-��� �� ����� �� ��%��� �� ��� �-���! 4"�" �� ��%��� �� ��� �-���� �/ 2������/��! � $ ��)���*! 4"��� �� �� �"� ����� � ����� �� �"� ������ ("� H���� ���H �� �����! �"� ��! �"� ��� ? �� ��� ���� ������ �� ��� %�� ���! �� � ? $ ��)#=�*�

��$����% ��������(�� +����� ���� . ����� ��� �� �����%�� �� �� �� ���C�� �� �� �� ��%���� �� � � ������/ ���"��� � ��%����� <� �"��� ��%���� �� ������ ��� �! �"� ��� �� ��������/ �����%��� <� �"� ��� �� �� �����%��! �"� �� ���������%���

N� 4��� ����� � �#�� �"� ����� �� �����%�� �� � � �/ �� ��� � -��� �� �����%���

����� & ������ ����������!���� �� �������� �� ���� ��������

2 ����� �4 1����� ���� � �� ��������&��( $�� �����%��� ��� �'��������3

�+ � B � 8��+ � ��������� � ���" ��� ��� �8�� �8� � �" )�8�� �8�* � ���(��8�(8�1���+ � �� ��� ��&�� �� ��� ����� ��������� &� ��:������� �� ��� ����������� ������������ ��� ������� �������� %��� �(

N� "��! ���������/!

��������� �� � B � �� ��� ���� �� �) * �� �������� )���� ��" ��� �������� ����� ��

�) * ���� ������������ �� ��� ������+(

��������� �� � B � �� ��� ���� �� � �� � ���� �������(

���� �� �� ����'� ��* * �*� N� ��� �"��� ��/ ������

���� � .� �1��& � �" ���� �1V �& ��� �1� �& ��� �� ��� ���� ���� �����(

����� )�1V �&*� )�1� �&* B ��& � ��� �

���� .� )�1��&* B �" ���� �1( �& "� � (

����� �)�1V �&* B �)�1� �&*! �� ���"�� �� �"� �"������ ����� � ��� ���� ����� �

Page 176: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�,� ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

���� " .� )�8�� �8�* B��8" ���� �8� � �8� � �8 �� )�8�� �8�* B ���8" ���� �8� V �8� � �(

����� �)�8� ( �8�* B �)�8�* V�)�8�*( �)�8�� �8�* B �8( �)E��8* B 8� �

N� �4 ��"�%�� ������"� )��� �������%�� ���� ������* �"� �"�4� �"� �� ���������� �> �� � � ! �� �� ��� � �� $������/! �"� ������"� H������H / ����%�� ������"� �� �� ��� �� �4� ���"��� � ������ �� ��"�� ����� � �"� ��� �� ����! � ����� ��� 4��" ����� � �� )���� �"� ����%�� ����� �� � �� � � �"� �� �� � ����� �������� �� ��"�� ����� �����1 G� ����%��H ����� �� %� ��� ������*

N� ���� ���� ������ �� �"�4 "�4 �"� ������"� 4�� �� 0�� � %� �"� �� � ������� ����� %/ �"��� ������ �8�� �8�� �8� �� �� ��� ��� 4��" ��)9��* B ��)9��* B

�� !

� ��� �>� B �8� V ��8� V ��8��

���� 5( N� 4���� �>� B )�8�V�8�*V�8�V��8�� �/ 0��� �! 4� ���� 4��"� �"� ����� ���� �� 4� ����� )�8� V �8�* %/ )�8� � �8�*� < ��! )�8� � �8�* B ��8�! �� �"�� ���������� �>� %/ �>� B �8� V ��8��

���� ( N� 4���� �>� B )�8� V �8�* V �8� * )�8� � �8�* V �8� B �8� V �8� B �>��

���� !� >� ��/! 4� ��� �"� �>� B �8� � ��

3��� �� ����/! �� � � �� ����� � �! %/ ��*! � �� ����� �! 4� 4���� /����� ����� �> � �� �� ��%� ���

���� ���8� �� ������ � � � ������ �

�����4��

@ 2"� ��� ����%����/; �� ��)��� � � � � �* "B �! �"� �> "� � 1 ����� ?�"��4���! � �� ���

@ 2"� ��� ���"��� ���/; �� ��� / -! )�8�� �8�* B � ��� �� % "B -! �"� �> "� � 1 �����?�"��4���! � �� ���

@ ����� �8� %/ ��8� �� �����/! �� �"� �� �� � �� ?���� �"� �8� �� �"� �� B�� ���� � � � � �� � )�8�� �8�* "B �� N����

���8� V � � �V ��8 B ��)�8� V �8�* V )�� � ��*�8� V ���8� V ' ' ' V ��8� )��#,*

@ ����� )�8� V �8�* %/ �8�! 4"��� �8� B )�8� V �8�* �� �8� B )�8� � �8�*�

@ ������� �>� <� �> � �! �"� �> � � � 4� �� �� �� ?�"��4���! ����� �� $��� ��

("� ������"� �4/� ����� ��� %�����

�� �� ������ � �" ������� �

Page 177: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� �����#3#���#�� �3 ��!��� �����!� �,�

�* * ��*� �/ @��������� ,'! �� � B � �"� ��> � � � 8 � �)�>* � �8� B 3� 0���8�� �8� � �! 4"��� )�8�� �8�* �� ("�

�)�8� V �8�* B ��)�8�* V �)�8�� �8�* ��)�8�* )��#�*

��8 �)�8� V �8�* �8� )��#�*

("� � � �� �"��� ��������� ���� "���! �� ���"�� �8� V �8� � � �� )�8�� �8�* B �� <��8� V �8� � � �"�

��)�8�* V �)�8�� �8�* B 8� )��'�*

4"�" ������� )�8�� �8�* B ���8�

��* * ���*� ���� �"� �"� ���� �� ����� �� � ��� ;&=! ��=���� � �"� "/����� ����"��� � �� ��! ��

;&=)��* B ��� �)��� ��*

�)��*��� )��'�*

$� � ��=���� �� �������/!

�);&=)��** B �)��*� )��'�*

N� ���� �"�4 �"� �� ��� �� � �! �"� ;&=)��* � � ) � "� � � �*� N� "��

;&=)��* B ��� �)��� ��*

�)��*�� B

����� �� )��� ��* B ����� �� �� )��� ��* B �

�8���V �� �� )��� ��* B ���8�

)��'�*

("�� ;&=)��* ��� # �� ������� <� �� ��/ �� �"�4 �"�;&��&=)��* B �� �� )��� ��* B �

�8�;&��&=)��* B �� �� )��� ��* B ���8�

)��'#*

("��! �� � # �� �������%��! �"� ����� �� �� �������/ � ��

���* * ��*� 0�� ��� �� � �! )��� ��* "B �! � �� "B (��� ����� � �� %/ ��� �� �����/! 4��/ ����� �"� )��� ��* � �� ("� 8 �)��� ��* B �8� �)��� ��*! �� � � )��� ��* �

�8���� ���! ;&=)��* � � ��

8 �)��� ;=)��** B �)�)��� ��*

8��* B #

)��� ��*�

8� 8� )��''*

("�� #)��� ��*� B 8� � �)��� ��*� B ��8�

("�� �������� �"� ����� �� �"� �"����� ) � ��� ���������*� �

Page 178: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�,# ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

���������� �4 .� � B � " ���� ��� ����� �1��& � �" )�1��&* � :���( $��� � �� � ������

���� �� �� �������� �������(

����� $� � � B � � �"������� �� ����� �! ����/ ����� � � �� �� �� ��%�- ��� �� �-������ � ��

)�1��&* B )

�����

���8��

�����

��8�* B

�����

�����

���)�8�� �8�*� )��'+*

4"��� ��� � � �� � �8�� �8� � �� � �� � ����� 4"� 8 �� ��� � �����! ���� 4"�"�"� ��� � ������ � �����4�� �

���������� �� 9��� 8 B � �� 8 B �" ���� ����� ������ �� � �� � ���� ������(

����� >�� / �1 � � � �� � �! �)�1� ��*�8 � �� �� ;&=)�1* � �� �

("�� ������ �� ����� %/ �"��� ������ �� ��� � �� ��� � �� ���� �������

<� 8 B �! �"� �"� ������ �� � ���� ���"� ���� ����; �� �8�� �8� � �! �"�

)�8�� �8�* B

�� �� �8� B �8� !�� �� �8� B ��8�!� ��"��4����

)��',*

("��� ������ ������� �"� ����/ �! �"� ����/ �� �� ��� 2����� ������! ���4"�" ��� B ��� B ��

("� 6��� �78 ���� �� ���� ������ �� �����%�� � ����� � ������� � ���� ��

����� *���+���9� �������

N� ���� ����� �"� ������ ��� �� ����� 6��� �78 ���� %/ ���� � ���/ ������ ���-����� ����� �� 3� �4� �A� ���%���� �"����� )������ ��#����

2 ����� �� )���=�%�=�+ ����� ������������

6 ; � ���)��3*� )��'�*

%���� 6 �� � -���� ��&����� �� ���)��* ��� / �� �� ��� �����" �� �� ���������(

Page 179: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��7� �����#3#���#�� �3 ��!��� �����!� �,'

����� (� �"�4 �"� 6 �� � C���� ! 4� ���� �"�4 �"� �?=)6* B �� 0�� � %� ����� � �� ���)��* �� � ��� �����! � ����� �"� � �� � ���� � �� �"� ��� ���/����� ������ �! 4"��� � �� ��� � ����� ������ �" �� 0�� � %� ������ ��� � � ��� �� N���� � � B � V�� 4� "��! ��� ����/ ����& � �!

�)��V��&* B ��V�)���V �& V���&*� )��'�*

� �"�� � ��������� �"� ���� ������ �/ @��������� +,! �"� ��� ������ �� �) *%��� � �� ��S��� � ����� �� ����� ("�� �� � � �� �������/! �� ���� �"� �"���������%��� �� �"��� ������ $� � �) * "� � ���� �� � ��� ������! � B �� ("��"����� �����4� ���� �"� �%������� �"� � �?=)6* �� � � �/ �� B �V��&� �

��������� � ���=�%�=�7� ������� ������� ����� �� / �� �� ��&������ ��� �������

������� ���� �%�(

����$ �����

���� � � 4��" / ��� � �� ����� 6��� �78 ��� �) * � / ) � �*-�� ����%��� �� � �� ��! 4� ��� �"� �� � � �� � ����/������! �� ��� � �� � �"� ������ ���� �"����" ��� � ��� �� �/�����/� ("�� )� �*-��! 4"�" �� ������ �� ���� !�� �"��� %/ ��"�� ��� �� �) *! � �"�� "� ������ ���� �"����" �"� � ����� �/�����/ �� �"� ���� 2� �� �� � � �"�� 4/! 4� �%�� ���� �� ������)� �*-���� ("� ���� ����� %���� �"� ��%�� �� ���� �� �) * �� � ����

��$����% (��� . %��� �� �) * �� ����� ���� �� ���� 4��" ������ )��*-����

("� �� ��" �� %��� �� �"� ��%�� �� ) � �*-��� ��! ������� ��/! �"� ��%�� ������ �� � �� ��

���������� 45 ����� &��� �� �) * ��� ������ ������ ���� �� ��/(

����� ("� ��� ������ �K�� � � � � �K� �� %��� �� ��� �� 0�� : %� �"� �� � � 4"�" �"�/ ���� ("��� ��� ������ �� ���� �4�-���� ��� � ��%����� �� B :��4"��� 6��� �78 ��� ��) * �� ��� ��� �� � ����/������ "���� � N� �����"�4 � � : B � �� ("�� �����4� ���������/ ���� �"� �%������� �"� �� � �� $ �!4� "�� ��� $ ��� ("�� �� �K � � � :! (�K ���� %� �"� �"������ ������ � �"��� ���

���� � 4��� � � �"��� �� ����! 4"�" �� � �"� �� ��� ��� ������ ��� ���5� � �"��� %� � ���� ��� �� �"��� �

Page 180: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�,+ ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

<� �����4� ���� ��� �������� � ���� �� �"� 6��� �78 ���� �� �-���� ��� � �������"�

��������� �" 1 &��� �������� � ���� �� ���������� ������� �� ��� ���� �� �� ��� ������

����(

���������� 4� .� ��� �� ��/���� ���� ��� &���� �� �) * ���� ������ ��/(

����� $������ �"� %��� �� �) * "� ���� ���� 4��" ��� ������ (�K��(�K�� ("� �K� ( �K� "�� �"� ��� ��� � �� � �"� ��� �� ����! �� ���"�� �� � � � N�4��� �"�4 �"� � �� �"�� ���� ���� �� "�� ������� ����� � � ! ���� 4"�" �������4� �"� ��� �� �� ������ <� �� � ���" �� �"�4 �"� )�K� V �K�*�� ���� � �"�%�� ��/ �� �) *! ���! �"� �K� ( �K� �� ��� ������� (� ��� �"��! ��� "�� "� %� �"��4� ������ )� �*-��� � �"� %��� �"� ��� � �"� ��� 4��" ��� ����� �K�! 4"���"� B "� V �K�� ?%������/! �� � � "�! �"� �V �K� � "�! %�� ���! �� � �K��� �� � ����� �/�����/ ��� �"� ��! 4� ��� "�� �K��� � "�� ? � ����/ ���� �"� �"� ������ ��� �"� �� � ����� � C�� � � �"�� �� ��)

�K� V �K�*! ����)

�K� V �K�* � "� � �) *� �

���������� 4� .� ����� &��� �� �) * ��� ��/ ������" ���� ��� ������ ���� � �� ����,

����&��(

����� $������ �"� � �� �����%��� ("� � B ��5�� )����� ���� �� �������� � �'�#* � ��� 6��� �78 ��� �� �"� ������ �� �"� 6��� �78 ���� �� �"��� �4� ��%�������.� 4� 4��� �"�4 � �'! � �� ���"��� � ����� ��� �� �"� ������� �� � ���� ����� ������ �� � ��� 0�� �K� � �� � �K� � ��� ("� �

�)�K�V �K�* � F�) *! %����

��)

�K� V �K�� �K�* B���)�K�* �

��)

�K� V �K�� �K�* B���)�K�*� ("���K� � �K� ��� � %����

$� � �"�/ �� ���"��� �! �"� �� ��" �� �"� %��� �� ����! � ������� � �

?���3 �"� � ������ �� @��������� � �� � �� �� �����

��������� �- $�� ��� �� ����� ������� �� � ��������� ������������� �� ��������&��(

��������� �� $�� ��������� � B � �� �������(

Page 181: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��>� ��? ��!����# ����� 3!�& ��$ �,,

��$ (�& +��,- ���� ��� ��

< �"�� ����� 4� ������ ���� �� �"� ������ � %��4�� �"� 6��� �78 ���� �� ������ � �"��� ��%������! � ��� "�4 �� � ����� �"� 6��� �78 ��� �� ���"��� ������ ��� �� ������� 5��� 4� ��� � ���� ��� �� � 2"���� �! �����

��$�� -����./ ����� �� �� ��������

0�� �� %� ��%����� �� � ��� � ��� �� �"� ����� � � ��� � �� � �� �� %� �"� ���� ���"���! ���! � ��� ������ �� ��� 0�� ��) * %� �"� 6��� �78 ��� �� ���

?�� ���� �4� ���������� � �����4 ���������/ ���� �"� ��� ���� �� 6��� �78 ����

���������� 4� �) * $ ��) *(

?%������/! !:;@����

!:;@��� B L� ; ��M�

���������� 4 � � �� B � � � �� � � �� B � � � �� � � �� B � � ��(

("��� �� �� ��" ���� 4� �/ %��� �"� ������ %��4�� �"� 6��� �78 ������ ����� � ��%����� � �"� �� ��� ��� ��� � �"� ����� �� 4"� � ��� ����� )�� � $ ��* 4� �/ ������ �����

��$�� -����� ����� �� ������� �������� �� ����� �����

("����"��� �"�� ����� 4� ����� �"� � �� � ������ N� � �������� �"� ����� �� �"� ������ �� �� � �"� 6��� �78 ���� � B�1 � �"� ����� �� 4"� � �� ���������! �"�� ����� ������ � ������� %��� �"� 6��� �78 ���� �� �"� � ��������� ���� �������

0�� ��) * %� �"� 6��� �78 ��� �� �"� ��� ����� ��� N� ���� ��� �"� %/ @��������� ��! ��) * $ �) *�

.� %�����! 4� �� ��� �"� ��� �� �"� �"������ ������ �� � %/ 8� N� 4���� ��� ��� � �� ��� �"� �"���! ���! � ��� ������ �� ���

Page 182: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�,� ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

���������� 4" 1����� ���� � ����� ��( .� 8 B �" ���� ����) * B � )��� �����

� �� ��� ����,���� ������� �+8 �� 8 B �" ���� �� � � ��) * B �

����� >�� �� � �) * 4� "�� �)����8 *� ���)�8 * B �

�8 ��� �" �� � ���� �� �

������ �8 � �� <� 8 B �! �"� �� � �� ������� )����8 * B � ��� �" �8! �� �� B ��� <� 8 B � � �� "B �! �"� ������/ "���� ��� � ���� � � �8! �� �� � F�) *� �

����/ 6��� �� ��� �� �"� ����� �� �� ���� �� �) * � �"��

��������� �4 9��� 8 B �" ��� ������ �� ��0� ��� �� ��� &��������� �� ��� ����� ��

��� ������ ������������ �� �(

:�4 ����� �"� � �� �������%�� ���� ������ $� � � �� � ����� � "� �� ��� ��� �! 2������/ �� ������� < ��!

���������� 4- .� �� "� �" ��� �� � �� ��) *" ���� � �� � �����/ �� � �����������

������/ �� ��� 9��� �����(

����� ����/ ���� ����� "� %��� �� ��� ������ )�"� �� ��� �� �����*� ����/������ �� �"� �� ��� �� ������� ���� � ���� )�-��* ���"��� � �� � � �����! � �"�� �"� ������ ������ �&�� � � � � �&� �� ������ �� �"� ������ �$��� � � � ��$

�� �� ���

%���1 4� �/ ����� �"� �&� �� ������ �� �$�� � ����� �

�$�� %/ ��$�� �� �����/! ����" - � ��� � � � � � �"��� �� "� � � ��" �"� "��&� B �$�� � �/ 2������/ ��! 4����� "�� "� � ��� �-1 � �� "� B � �� � �"� ������%���� �� ��� �� �� �� � �"�%�� ��/ �� �) * ���� %� �"� ��� ��� �� 6��� �78 ���� �� �� �

("� � ����� �� �"�� ���������� �� ����; ������ �� �"� �� ��� �� ������� ��� �� %� ����� � �� ���

2 ����� �5 .� � B ��" ��" �� ��" ���� ��0� �� ��� �����/ ��� �� ��� ������

������������ �� �(

����� $� � �) * �� � �� �� �� ��� �� ��������! �� & �� ������ �� �) * �"� �� �� ������ �� �� ��� �� �������� $� 4� ��� �� �"�4 �"� �� �& � ��� �& "B �!�"� & �� ������ �� �) *� ("� ������� �� �"� �� ��� �� �������� ��� �"� ���������� ��� ��� ��� �� � �� �� ���� � ��������

Page 183: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��>� ��? ��!����# ����� 3!�& ��$ �,�

�(+ $�� �� ��������( ���� �"� L��� ; ��M B V � � �"� �"� ����� ��� �� �� ��

%� ��������� � �� B )��� � � � � ����* � �� � �������

��� �� B ��� ("� ������� ���"� �� ��� �� ������� �� �"� V � ������ �� �"� ����

&� B�

V �)�L� -V �M�� L-M�����*� - B �� � � � � V �1 )��+�*

��� �"� �"�/ "�� ��/� � �� ��"�;

�)�&�* B-)� -V �*

)V �*� )��+�*

("� ��� ������ )����&�* ��

)����&�* B��

V �))� -V �*�� V ' ' ' V )� -V �*�� � -���� � ' ' ' � -����**

B��

V �))V �*)�� V ' ' 'V ��*� -)�� V ' ' ' ����** )��+�*

� �"�� ��� �� �� � ��!

)��5�&�* B �)�� V ' ' ' V ��* � ��� )��+�*

("�� ��� �� �"� ������� ) "B ��* �� �"� �� ��� �� ������� �� ����� ��� �� �� ����

(� �"�4 �"� �"��� ����� ��� �� Q ����� ��� � Q �� ��� ������� �� �) *! 4� ��� ���"�4! ��� �" ������ &�! �"� �"��� �� �� ���/ � ���� �� � ��� ������ �K�� � � � � �K���" �"� )�K�� �&�* B �� ����/ ��� ����� �� �"� ���� )��� L�M���� �� L�M���* ��������"�� � ����� 1 �"��� �� �������/ V � �� �"���

��(+ $�� �� ��������� ���� �"� L��� ; ��M B #! �"� ������ �� �� �� ���� %/

�� B )��� � � � � ��* � �� D�����

�� � ���� )��+#*

� ��� �"��� ������ "�� �"� ���� )L�M�� L�M���*� ("� ������� )"B * �� �"� �� �-�� �� ������� %��� � �� �"� �����4� � ���� �������;

)L�

�M�*1 )� �

�� L�

�M���*1 )L�M���� �*1 )L�M�� L

�M���*� - B �� � � � � � �1 )��+'*

�"��� ��������� ���� �� �� �

�� � �� �

���� � ("� ������� �� �"� ���� �"��� �������

"�� ��� ������ � �� � 4��" �� �� �"� �"��� ������ � �"�� �� ����� �� �����1 �� ��� �����4� �"� �"�/ �� ������� �� �) *� ("� ������� �� �"� �����" ����/

�� ���"�� ����� �� �� ��� )�� �! ��� ������! )L�M�� L�� M

���* ' )�� ����� �* B ��*! ��

Page 184: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

�� �"�/ ������� �� �) * )�� � �"� ��� �� �"��� ������ 4��" 4"�" �"�/ "�� ��������� � ��� � )� -*-���� ��� � ��%����*

���(+ $�� ������� ��( ("� ��� ������� �� �"� �� ��� �� ������� �� ��! � ������ ��

! �� )� �� ��

�� ��*! )�

�� ��� ��

�� ��*! )�

�� ����� �

�� ��*! )�

�� � ����� �

�� ��*! )� �

� ���

���

��

�� �� *!

� )�� � ���� ��*�

<� �� ��/ �� "� �"� �"� ���� �4� ������� �� ����� �� �� ��� � �� �"� � �/������� �� �"� �� ��� �� ������� �"� �� ������� �� ��� 6��� �78 ����

("�� � ����� �"� ����� �� �"� �"������ �

.� ��� �� � ��! � �/ � � ������ �� �"� �� ��� �� ������� �� ��! )� ���� �� �� �

�*!

%��� �� �� ��� ! %�� �"� ������ )���� ��

�� �� �� �

� *! 4"�" �� �� � ��! �� ��� �������� �"� 6��� �78 ���� $� � ��� B �� 4� �� �� � ����� �"�� ���

��$�� -����./ ����� �� �� �� ����������� ��������

N� � �� �� �� ����� �"� � �� �������%�� ���� ������ ���� �"� �� �� �����"� ��� �� ������� �� �"� 6��� �78 ���������� �

���������� 4� $�� �������� �� � ����������� ������/ O %���� ��� �������� ��

�� ��� � �������� ��� �� ����� ��������������� ��� � �� ��(

����� >����! 4� ��� �"� ����/ ���� �� � � �� "� ������� ����� �"� �� �������� O ! �� � / ������� ����� �� ������ �� ���"�� �-�� ���� �� O �� �� ���� �� O � ��� �"� ��� �� ��� N�/� ����� )��� ���! )���**� N� ��� � �/ �"�4�"� ������� ������ �� ����� � ����� �� �� ������� � � ��� ��� N�/� ������ 0���& � �� � �� � ��� �8 %� ���� ����� ��" �"� )�&� �8 * B �� ("� �"� ���� �� �&�"����" �"� �/�����/ � ��� ���8 �� �&

� B �8��& � �&V�� $� � �& �� ���� %/ ��=���� �� �� �"� ��"�� �� �� %�� �� � �"� �� ��� �� �������! �� ��� ����� � ��� ���N�/� ����� %��� � �� �& V �� �

��������� �� $�� ������ �� � �� �� ��� -/�� &� ��� 9��� �����(

��������� �5 L�� ; �M B � V 6" %���� 6 �� ��� ���&�� �� �������� �� � �����������

������/ &�������� �� ��(

Page 185: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��>� ��? ��!����# ����� 3!�& ��$ ���

. ����� �� �/� � %��4�� � � ��! � $ �� $ ��! �� ���� ������������ �����1�"�/ ����� � �/ 4"� ������ �� �� ������

�� � �"� � ��������� ������ �� %���� ���� � %/ ��� � ����� �� �� �� �� �� �"� ��������� ����� �� � �� �� ����� �� �1 4� "���� �"� ���� ������� �������� %� ������� �� �� ��� �� ������� �� ��

N� "�� ���������/;

��������� �� ���� ������������ ������� �� �� ��������� ����� ��� 9��� ����� �� �(

.� %�����! ��� � ) * %� �"� ��� �� ������� �� �) *! �"� 6��� �78 ��� �� ���� ������

���������� 44 �� ����� ���� � � ) * � ��" ���� "B (����( $��� ���� ��� ���� &����� ��

��2����� ��� ������(

����� ���� B ���� V ����! 4"��� ��� � ��! �� � � �/ �� �� )���� � ����* � ��! 4"�" ��

�������%�� �� � �) * �� � ���� �

2 ����� �� �� $ � ) * � ��(

����� N� 4��� �"�4 �"� �K� � �� * �K� � F�) *� �"� ��! )�K�� �8 * � ���(�� ��� ���8 � �1 �� �����4� ���� @��������� �+ �"� �K� � � ) *� $������! � �"� � ���/! �"��"��� ������ �8 � � ��� 4"�" )�K�� �8 * B � � �� 4"��� � � � )4� �/ ����� �"�� � �! �� � ��"��4��� 4� ���� ����� �8 %/ ��8*� ("�

�)�K� � ��8 * B �)�K�* V #�)�8 *� #)�K�� �8 * B �)�K�* V �� #� �)�K�*� )��++*

� ������� �� � �8 � � $ ��� �

��������� �� $�� ������� ���� �� �� �� �&������ ���� ���� �� � &� ���������� ���,

����� �� �) *(

��$�� -����� ���� �� -����./ �����

< �"�� ��%����� 4� �� �� ����� �"� � �� � ������

Page 186: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

("� ����� ���! �� 3� �4� � ���! �� �4� � ��� ���/����� � � �� �"� ���/����

V � B ��V ���� � � �� � ��� )��+,*

������� ��/! 4� �����%� V � � �"� � ��� "��� �� �"� ���� �� �� ��%� ��� ��� �"��� �������� 0�� � ) * � � ) �* %� �"� ���� �� ������� �� � �1 �"�

V � B � ��& V &��& � � ) *� &� � � ) �*�� )��+�*

("�� %� �� ����&�� �� / � ��� ��%�� �� ���� �� � �%����� 4/�

N� 4��� � ����� � �/ �"� �� 4"� � � ��� � ���"��� � ��%���� �� ��! �4� 4��� ��� �"� �/�%�� 5 ��� �"� ��� ������� � �"�� ����� ��� N� 4���� ��) �*��� �"� ��%�� �� �-��� �� �"� ,-���� ��� � ���/���� �! 4��" �"� � �� ��� ��"� ��) �* B � �� � ���� � � �� � B , �� � � ,� N� ���� 4��"��� ����� �"������4� � 4��� �4 ������;

2 ����� �� �� �� � �� ��� ����� � ����( $���

��) �� 5 �����* B

���������

���) ��*����)

�����*� � � � )��+�*

("�� �"����� %� ���� �� ������ �"� ��%��� �� �-��� �� 6��� �78 ���� �����"��� � ����� ���� �� ������! �� � Q � 4� 4��� �"�4 Q �"� 6��� �78 ��� �� ���"��� � ����� ��� �� �"� ����� ��� 5 �� ��� 6��� �78 �����

0�� � %� ���"��� � ����� ��� �� ������� N� 4����

� B �� 5 �� 5 ' ' ' 5 � )��,�*

4"��� ��� �� B � � ���� B B�

��

��%���� � �� � �! ����� ��� � �� %�����

��� B )L�M�� � � � � � L�M���� � ��� � � � � � ���� � L�M��� � � � � � L�M��*� )��,�*

���������� 4� $�� ������ ���� �� � �� ��� ������ ��� �� ��� ������ ����� ��

��� ��� ' ' ' � �(

Page 187: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��>� ��? ��!����# ����� 3!�& ��$ ���

����� N� 4���� �) * B ��) *5 ' ' ' 5�) *� N� 4��� �"�4 �"�

�)��* �)��� �>*� ��> � �D �� B ��� V ' ' 'V ��� )��,�*

4"��� ��� � ��) *� :�4

�� � �) *D �)��* �)��� �>*� ��> � � )��,�*

��

� ����

)�)��� � �>�*��)���**� ��>� � ��� - B �� � � � ��� )��,#*

<� �" ���� � �"�� ��� �� �������� )����! �� ��� � ��) **! �"� �� � �) *� (� ����� �"�

� �����! ��� �> B �>�� ("�

�)��� �>*��)��* � � �)��� �>�*��)��* B �)�>�*� �)���� �>�* � �� )��,'*

�/ �"� ��� ����� �! 4� "��

��������� �� �� � � �� ��� ���� �� �� B ���" %���� ��� � ��(

��������� � 1 ������� � �� ������&�� �� ��� ���� �� ��� �,���� �� ������&��(

����� $������ �"� � �� �����%��1 4� 4���� �� � ����� ��� � B ��5��� �/2������/ �! ��� ��� ������ �� �"� ��%���� �� �� �"� ��� ������ �� ��� � ������� �������� ("�� � �� �����%��� 2� ������/! ������� � �� �����%��! � ��� � B�� & ��! 4"��� �� � �� �� ������� ��/ ���"��� � ��%����� 0�� �� � ��%� �"� ������ �� ����� %/ �� � ��� $� � � �� ����� �! ����/ �� � � �� ����� B ��� V ���! 4"��� ��� � ��� �

��������� �" �� ���� �� � �,���� �� �) * �� ��� ���� �� ����� �� � ��/���� ��������

����������� ��� ��K�� � � � � �K���� $ � ���� ����

)��� �K �* B�

��)�K �*� % B �� � � � � � �� )��,+*

Page 188: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��# ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

��������� �- & �� � �����/ �� �) * �� ��� ���� �� �& B��

��� �&�" %���� &� �� � �����/

�� ��) *(

����� ("�� �� �"� ����� �� � B � �� 2������/ �'� �

��������� �� .� ��� ������ ����� �� ��� � � � � � ��� ����������&�&�� �� �� ��� ������

���� �� ����� ������ ��� �(

���������� �5 $�� ���� �� � ������ ��� �� �������� �� ��� ������ ��� �� ��� �����3

��B ��� 5 ��� 5 ' ' ' 5 ��� )��,,*

��$�$ 1�������� -����./ �����

("� ��� ������ ���/"��� ) � �"��� ��� ����-���� ��� � �� �������* ��/ ��" ���� ���� � ��"�����! � � ���� � N����� ������! �"� �� ���� � ���������� ��� �"� � ���� ��� � ������ �" ���� �"��� �� � �/ �"��� ������ ���/�����X��� ��������/ Q 4"�" � �"�� � ���� �� � �"� ��� �" � B �� � � � � �� �"� �-����� �"� ���/���� ���� �� ��� ��%��! �� ���/ ���� �� � ��������� �� N� ��� ���� ��4� � ����� . ������ � ��%��� �� ���/����� �� �"��� 4"��� ���� � ������� �� ��� ��%�� � ��� �"� ��� �� ���� ����� �� ����������� 2����/ �"� ��� �� ��"���/����� �� � �� �%��� 5�4����! �� 4� ������� ��� ��� ��� �� �"� 6��� �78 ������ ������ 4� � ������ �"�� ��� ����/ �

?%������/! � ����� ��� �"� 6��� �78 ����) * �� ����� �� %� ���"���� �� �� �����/�"� � B � � ("� ��� �� ������ 4��" �"�� �������/ � ���� �"� ���� ������ � �������� ���� �� ���� ������! �� �������/ �� �"� ��� �/��� ��� � B � ���� ������/ �"� �) * �� ���"����1 ��� ��� ��� �� %� ������� � � ��� �"� ��� �� /������ 5�4����! �"� 4���" ������ �� ����� ��� �� ��������� ������ ���������"� ������ � "� � �"��� 6��� �78 ����� ("�� �"� �"��� ������ �� ����� ��� ����� ��� ���� ������ �� ������� � � ��� �"� ��� �� �"� �/�����/ ����� �� �"������ ���� N� "��;

2 ����� �� 1 ������� ������ ���� �� ��������� �� ��� ���� �� ��� ������� �� � ����

������� �� �� ���������� ��� �� ��������� ���� ��������(

Page 189: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��@� ���� ;�&=A ��� ��!����# ��$ $����� ����� �3 ��� ���

� ��'

��������� �4 $�� ���&�� �� ��������� ������ ����� �� �� ��

)* B � V ,)* V ?)* V K)*� )��,�*

%���� ,)* �� ��� ���&�� �� �������� �� " ?)* �� ��� ���&�� �� �������� �� ����

��� ������� ���� !" ��� K)* B �� �� � �� ! ��������� �� ����" ���" �%�" �� ����� ��

��� ���&��� @"A"B ������� (�

>�� ������! )�* B � V � V � V �1 )+* B � V � V � V ��

����� ("� ��������� "/����%� ����� � / ���� ��� �� ���"�� � ����� ����� � �-���� ��� � ������1 ��� 6��� �78 ��� �� �"� -���� ��� � "/����%�! 4"�"�� ���"����� <� �"� � ����� �! � � � ! ������� ! �"� 4� ��� ���� �"� �������� �� �� ����� �� ��� ("�� �"� ��%�� �� ���"���� ������������ 4"�" �� ��������� �� ������ �� �"� � �/�� �� ,)*� ("� ��� �� ���� ��� ����� �� � ������!%�� � �"�� �� � ���� %� ������ �" �� >� ��/! K)* �� �� �"� ��%�� �� ��������� �"� 4� %���� 4��" ������ �� �"� � �/��� �

("��! ��"���" 4� 4��� ���� "�� ������� ���� �� ���"�� �"� ���"���� ���/����� ���"� ������������ � ��! 4� �� "�� ������� ���� �� �"� ���"���� ������������X

��' (�� 2�3) %�� +��,- ��� 1���� ���� � �����

��

��%�� :���� �� ������' �� ������� �� ���� ���

6��� �78A� ���� L6?���M 4� �"� ���� �� ��� �� ���� 4����� � 6��� �78 �����< �� "� ��� ������� ����/ �� ���� ��� #; "� �"�4�� �"� ������ � �� �"� ���%� ����� �/��� �� ��������� ���� � ������� �"�� � �"� %�� ����� �� �"������� �� 5� ��� �� ������� �"� ������ � �� � -��������� ��� 4��" �"� ������ ��%�� )��* �� ����� ("� ��%� ����� �/�� �� �"�� ��� ���� ����/ ��� �"������� ����� 4"�" %� 4����� ! ���� �� �������� %/ ���)��*! � �� ��������� �� �4� ��������� �-���� ��� � ������ ����� )���� ����� ������� �� � ��"���� � ����*� $�" ������ ����� ���� �� �� ��%��� �� �"� � �������� ����)��* %/ "/����� � �� ���

("� ��%� ����� �/�� �� �"�� 6��� �78 ��� %� ������� ��� / ����� �� �"���/��� <� �� ���� �� �� �� � �"� ���� �/������� � ��; �"��� �� �"� �����

��� ���� �� ������� �� �� ������� ���� �� ������ �� ������ ! ��� ��� �����@ � *.���� ! ��� ������ � �� ����� ���� � ����� �� �� '���� ��� �� ���� �� ���� �� *, - ��������(��

Page 190: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��+ ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

����� ��� ����� ("� � ����� ����� �� �� ���� %/ ��� ���

�� . ������� �� �� ����� ��� ����� ��

.)���* B

�� ���� �

�� )��,�*

("�

.)��� ���

�* B

����# �� �� ��� # � ���� � # ��� �� �� #

��� � )����*

$����.)��

� ����* B �� B ��� )����*

����)��

� ����* B �� B �� )����*

("� ����� ����� �� �"�� ����� �� ����� <� �� �������%�� ���� �! �� �� �� ���������� ����� � �� ������ �� �"�� ����� ��� ��S�� %/ ������ �

5��� 4� ����/ �"�� �����! ��� 6��� �78 ��� � ��� 9��� � ����! � ���� ������ < ����!�� %� ������ �� �� ��� ���"�� �� ���/ �� ��"�� ����

��%�� "�� ������� ����� � ���

������ ���

< ����� �� � � �"�� ��� ���� � �� �� 4� ���� �"� �����4� � ���������� �� �"� �-���� ��� � ���� ����� ��

� � ��� ����� ����� A+�� B �� � ��=���� ������

("� ������ ���� .)���* � )��,�* ������� �� �� %��� �$���$� �� ������ �� ���

� 4"��� ��� ������ �� )�$���$�* B ��� (� ������� �"� �/�����/ � ��� �"� ������� �� �� � ������� � �� � ������ �"��� ����� �$� ��" �"�;

- B �� �� �1��

�$� B �1 )�$���$�* B ��� � �� )����*

("� 6��� �78 ��� �� ��� �� ������ "���� � (� �����%� %��� )� / ���� ��� *!

4� ���� ��� )�������* ����� � �� ��� ������ ������� � �"� ����� �� � �"� %����>�� ��

�! 4��" �"� "��� %���! 4� "��;

��$���$����$���$����$���$�� )���#*

("� �� ����� � �/�����/ ����� �� �� �� ����� %/ ��=���� # �"����" ��� � ������ � %/ :�� ��� � �"� ����� ;

���! �� B ���#�1 �� B #� B )#�*� B 1 �� B � * ���)�

�* B �)��*�)���'*

Page 191: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��@� ���� ;�&=A ��� ��!����# ��$ $����� ����� �3 ��� ���

� ��,

$� � ��$� B ��$� B �$� V �$�! ��$� B ��$�! �"� ����� ����� �� �"� ����� ��� ��

�� ����� %/ �"� ������;

� B

�� ��� �

�� #� B ;� B

�� �� �

�1 )���+*

� ���� #��$� B �$�! #��$� B �$�! �� #��$� B �$�� $������/ 4� ��� � �"� ��=���� � �"����"�"� ��� ��� �� %/ �$�! �$�� ("��� �"��� #�A� �����/;

#��$� B �$�� #��$� B �$�� )���,*

4"��� -� %� � �� ��������� �� �� �� �� �

#�#� B #�#� B #�#� B ��� #�� B ��#�� )����*

("� ����� ���� �� �� ����� %/

����B ��� � ���#� � � � #� �^�� 4"��� ^ B

����� � � �� � � �� � � �� � � �

��� � ^� B � �

)����*? � �����/ ������/ �"� ��� / ��� ��� �� � � ������;

^)���* B )���*^� )����*

N� ��� �4 �"� ����� � B ��� B �##� ("�� � � ���%���" �"� ����������� �� ���� � � C��/ ����� � ������ �"��� 5��� ����������� 5��� )�����#��*! �"� ��! �"��� "����� � �"� ��� � � ������� ���� � ��� ("� �� �� �� (%�� ��

T ����� ! ! 1 1 1 1 " " !: !: # # # # !7 !7 !7 !7

�� ! 7 7 7 7 7 7 7 # # = = 1 1 1 1 1 1

��� # <# 7 <7 > > > > > > ! <7 7 <! ! <! > >

�� ! ! <! <! ! ! ! ! <! <! ! ! ! ! <! <! ! !

A� �� !� 7� 7�!� 7��! 7��!� #�7�! =�!� =� 1� 1�7� 1�7�! =�7�! 1�=,=�"!-

(%�� �� ("� �� � C��/ ����� � �"� "����� �� ���� �� � � ���("� �4� ���� �� �� ���� �"� ��%�� �� ����� �� � �"��� ����� � �" � C��/���� ("� �"��� � �����" � �� ���� �"� ��� � ������� � �� �"� ������ �-� � ������� ("� ��� � � ����� �"� 5��� ����������� � <� � �� � �� �"�� ������� �� �"� �"��� �������� �� ���

Page 192: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

("� ���� �%�� �� "����� �� �"� �� �������%�� ������� ���� � �� ���� � L��?,�M!�� ���1 �"� ����� ���� �� �%����� �##�# %�� �� �� ��� ���� %/ �"� �������"������ �! )�� �* ���)�*� $�� ���/! �� �� �� � ����� �"� �"� ��� � � ���-���� ���� �� �"� � � �%���� J�'� ("� ����� �� ��� ��� �� %/ �� ������ ������� � ������ < ����� ������ ������� �� � �"��� �� ������ �� ���� � ��� �"��%�� ��-��� )�* ��\��\���

("� 5��� ����������� ����� �"� ��������� �� � � �� �" ����� � � 4�4��� ��� �� �� ����� �� ����� �� � �"�� 4�� � >�� � �� � �"� ��=���� � �"����""/����� �� �� �� ���� %/ ����� ("��� �� + �� �"��1 �"�/ ���� � C��/ ����

��%�� "�� ���� �� ��� ����� ������� ����� ���

��) ����� ��� ���!���

("� %��� �$�! - B �� � �� �"� ����� ��� "� %�� � � �� � �"� �"������ ������ ��

���� ("� ������� �� � %��� ��8��! - B �� �� �� # �� �"� �� ��� ������ ����� ��

�����

�� �"� �� ��� ������ �� �"� %���;

�8� B �$� ��$�� �8� B �$� ��$�� �8� B �$� ��$�� �8� B �$� ��$�� )����*

("� �"������ ������ �� ��� � ��

� �� �"� �� ��� ������� �� �"� �"������ ������ ������ N� ������� �"� �%���� � �� )����* %/

�8 B �$� ��$�� �8� B �$� ��$�� �8� B �$� ��$�� �8� B �$� ��$�� �8� B �$� ��$�� )����*

$� �

� - �� �)��� ���

�* B �(�8��� �)(�8�* B #� ��)��� ���

�*� B ��� )���#*

("� ��%���&�� �� �8� B �$� ��$� �� �"� ����� �� ����� %/;

)����*&:� B �#� � � � #��^�� )���'*

("�� ����� �� �������"� �� ��� < ���� �"� ����� �� �" �� �"� � �� ������ �� �"���� ���/ � ��������

)^)#� � **� B #� � #�1 )���+*

�"� ����� � �� ����� �"� � ��� )! ���* �� �"�� �����1 ��� 5��� �� ������ 5��� �"�

5��� ��� �"� ��%���&��;

��,�)����*&:� B ��� ������ ������ ����� #����� )���,*

�J���� ��'� ��'� E �'� � ��'� E �,�'� ��'�-�

Page 193: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��@� ���� ;�&=A ��� ��!����# ��$ $����� ����� �3 ��� ���

� ���

N� "�� �"�4 �"� �"� ��%�� ��� � ��8� "� �##\�B�� ����� ��� ("� ������ ���"�� ��%�� "�� ��� ���1 "� � �"� ������;

�� �D ���� �� �)��� � ��

�* ;���: �� � �� ���� �� ���' 7= ���' �� ��1�� ��

�� 8����� ���()�

N� ����� �"� ����� 4"� 4 �� �� �����4 �� ������ �� � � �%�� �� �"� ���������� )�8�� �8�*� <� "� ���� "����� ���/; ��� ���� - � % "B - � �/ �4� ���������; �� ��� # ��� ������� � � ��� �"� # ��"���� >��� �"� �����%�� �����(��(� �� �"� ��� ������� ()�$���$�*! - "B %! 4� ����� �"� �"� ����� ��

� � ���

"� ������ �� ��� #� +� ��� ��� � � ��

? � ����/ � �� �"� �� ������ �� ��� +� N� ���� �"�� )�%����/* �%��� (�=;!� " +! � ��� � �"�� %/ �"��� ���� � �� � �"� %��� �8�! - B �� �� �� #;

�=� B

��������

��� � �=� B

��������

��� � �=� B

��������

��� � �=� B

��������

��� � �= B

���������

��� � �=� B

���������

��� �

)����*("��� + ������ �� �"� ��� ��! �� �"�/ ���� �����/ �4� ������ �;

��=� V �=� V �=� B ��1 ��=� V �=� V �= B ��� )����*

("� ������ �� ������

� �� ��� # � + �� ��� ������� ("�� /����� �"� ������ ��%��! �� B �� V �� B �)�� � �*� :��� �"� �"� �� ������ �� ��� + � ��

� ����

%� 4����� � � ����� � ��S��� �� �� ���� �� �8�1 ��� � �� �;

�=� B �8� � �8� B �8� � �8� B �8� � �8 � )�����*

<� �� ������ �� %���� �%�� �� ���������� �� �"� �=;� ("� �� �� �� �"� ���"�� ("� �%�� �"�4� �"��"� ��� �� �=; ������ � �4� ��%����4"�" �� �4� ������/ ���"���- � �-�� ��� < �" �-�� �! �"�� �=; �� ���� ��%�����

4���

� � �"� 4"��� ��� �"� + �=;�� ����

4�)��

�*�1 �� �� ������

���� ������

��=� �=� �=� ��=� �=� �=

��=� + �� �� � � �

�=� �� + �� � � �

�=� �� �� + � � �

��=� � � � + �� ���=� � � � �� + ���= � � � �� �� +

(%�� �� (%�� �� ��� ������� �� �=;�

Page 194: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

N� ���� �� �"� ����� �� ������� �"� �%�� �� ��� ������� 4��" �"� )�8�� �=;*A�1�"�/ "�� �"� ����� ��(�� ("� ! ���� �"�� �%��! 4� �����/ �"� �"� + ��=���� �;)(�=;* �� ����� �"� ��%�� �� �"��� ������ � �� ������� $� � � B ��

����� �� �� �����

%/ ��� �"��� ������! ��� �� ������ � ?� �� ����� �� �"� 4"��� ������4�)��

�*� "�

��"�� ��%�� �� �����! �� ��� ���

N� ���� �"��� � ���� �� � ����� �� 4"�" ����� �"� �"��� ����� �� �� ������� �"� 4"��� ����� ���* 2"� �"� �=� V �=� �� ���� ��

4�)��

�*�! %�� ;&���&���8� �� #)�*!

��* $� � �"� ����� ����� ���� �� � �� ��� �������%��! �"� ����� �� � ���� "�� ��� � #8 B �+! 4"��� 8 B 8)�* �� �"� ��� �� �"� �"������ ������ �� �1 �� � "� � ����� �� ��� ������* ("� + ��=���� � ;)(�=;* ���� �"� � C��/ ��� �� ���� 4"�" �� �����%��� (%�� �1 �"� �%�� �"�4� �"� �"� ����� ����� ���� "� � ��"�� ��=���� �!�� � B ��

� ���� "� � ��"�� ������

N� ��� � ���� �"� �"� ��� ?� �� �"� �� ����� ���� � � ��%�� �� �"� ����������� N� ���� ��������/ �"� ������� �� � ��=���� � � ������ �;

;)(�=�* B ^)#� � #�*� ;)(�=�* B ^)#� � #�*� ;)(�=�* B ^)#� � #�*� )�����*

;)(�=�* B ^)��� ��*� ;)(�=�* B ^)�����*� ;)(�= * B ^� )�����*

):��� �"� 4��" N� B � B 4�! �A��B B ��A� ���B�*� ("� ����� �� ����� %/ �"��

��%�� �� ��=���� � �� � ��� � ��%����� �� ����! �������"� �� )��*�� <�� �+

����� �� �� � �� �� �"� � C��/ ������

("� ��� ������ ����� �"� ���� �� ����� �� � �" ���! �������� %/ �"��� ��%���� ����� �� � �"��� 5��� ����������� )��� (%�� �*;

)�1 ��* B � 1 )+1 ����* B �;)(�=;*�1 )�1 �����* B �#� � #��1 )�����*

)#1 ����* B ���� �����1 )#1 ��* B � ����� ��� � �1 )����#*

)��1 �����* B �^)�A ��A*�^) ����*�^)��� � *�^)#� � #�*� - "B %� )����'*

(� ������&�! �� �� ���� �� ?� $ ��� � ��

� ���' �� ��1�� �� �� �����.�,

���() ��. �� ���� �� �� �����1 �"� ��%����� �"�/ �� ����!4�)��

�*� "� ���

������ )4�*�)

4�*� B �, )�� � ���)��

�* B4�*� $� ��� � ��� � ��

� � ��� �� �� N�

� � � ���� ������� ������ ��� �8�� �8��

N� �4 ����/ �"� ���� �� �"� ��%���&��� �� ?�! �"� ��%�� �� ������ ("� ��%���&����� � ��=� �� �=� ���� "�� �� ����� ��� 3������� 4� �4 �"� �� � �� � �"�

Page 195: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��@� ���� ;�&=A ��� ��!����# ��$ $����� ����� �3 ��� ���

� ���

��)^� � � ���* ! �� ! �� ����� �� ����� %/ �"� � ��=���� � ������� �� � ���"� ����� (�=��(�=��(�= ���"��� � �� �=�� >��� )�����* 4� ��� �4 �"� ^)#��#�*������� 4��" �"�� �� ����� � "� �=� � ���� ����� 4��" �"� ���� ���� -�� $��^)#� � #�* �� ����� �"� � ��� �� �"� ��%���&�� �� �=�;

��� � ��=� B ��)^� � ����* ���)�^)#� � #�** ! �� ! +�� )����+*

("� 5��� ����������� �� �"�� ����� ��;

��� ����� ����� ����� ������ +����� )����,*

��%�� "�� �� ���� �� �� �� ������ �������� �� � � ��� ���

>��� �"� �%���� �� ����� ��� ������� 4� ���%���" �"� � "� �+ �������� ��� ��� ("�/ �� �� �"� ���� ()�8� V �8�* 4��" )�8�� �8�* B �� ? � �� �"�� ���8� V �8�� >��� )����*! )����*! )���,* 4� � � �"� ��� ��%���&�� �� �"� # ����� � ��������)^* ���)#�� #�*1 �"� ������ �"� �"� ����� �� �� ��� �� �� � ���� � ������%�� ����

("� �%��� �� � � �� � �"� �� �"� ��%����� �� ����� %/ �"� ��%�� ?� �� ������>�� � �� � �"� �%��� �� � � �� � �+ ����� � ��%�� �� ��� ��; �"� ����� ���=; ( �=< 4��" )�=;� �=<* B �� ��� �"�/ �� �"� ��� � �8� � �8� 4��" )�8�� �8�* B ��1 �����8� � �8� B �=� � �=�� N� "�� ���� �"� ��� �4� ��%��� �� �%�� (%��� �� N� ���� ,� ������ �� ��� �+ � ()�8� V N�=;* ��" �"� ��� N B (�! )�8�� N�=;* B �1 �"������ �8� V �=� �� ������� <�� ��%���&�� �� ��)^*� $� �"��� ,� ������ ���� �"���%�� ���� � ��� B ��� & ����� ("� ��%�� ��� �� � �"� ��� �� ����� %/ �"� ������

�� ?� ��� ��� ���� ����� �� # � ' + , +�� ?� � + + + � ��+ ��� ' + �� � �� ���+ ��� + + � �� �� �,� ���� , � �� �� �+ �'�� ��� + � �� � �' ��

)�����*

(%�� �� (%��� �� ��%�� ��� ������� �� � B ��� ���

�� ("� ��� �� ��� ��������; � B �� &?�1 ��� B ���

<� �� ��/ �� ������ �"� ��%�� ��� �������� 3��� �� �"� ��%���&��� �� �"� ��%���"�� %�� ���� � �"� �����

Page 196: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

N� �� ��� � �������� %/ �"� ��%���&��� �� �"� ������ �� �� �"� ��� ������! 4"�"�� ��� �"� �/�����/ ������ �� �"� ����� ("�� �-���� ��� � ����� %� �%�� ������ �"� 5��� ����������� �� �"� ����� �� �� �"� ��%���&�� �&8

�� �"� ���

����� �K %/ ������ � � )�"� ���� ���� �� �K* �! ��� ����/! ��� � ��! �"��/�����/ �"����" �"� � ���� >�� �"� ���� (�� 4� �%�� ���� )���,* �"� 5���)��� �� ����� � �/��������"� ����� *�

�� B ��� B �� ���� B �� ���� B �� #�� B Z#� B Z#�� ! ���1 )�����*

4��"�� B Z�� A#���� ! ���� )�����*

� ���� )����,*;

�� B ��� B �� ���� B �� ��� B �� ���� B �� +�� B Z��� B Z�� ! ���� )�����*

��%�$ "�� ���� �� ��� -����./ ����

U �4� � �"� ��� ������! �"� ��� ���� �� �� � � �"� %���� �� �"� 6��� �78 �����$� � �"� ��� "� �"� ����� ��%�� �� ����! �" %��� "� ��� ����� 5� � �"%��� �� ������� �� %/ ������� �� ��� ������ 4"��� ��� � ��"�� � �"� ��������� �������� ������! � � )���#*� ("� ���� �� %���� �� �%�� �� %/ ������� ���"��� � ������ � )���#*!)����* � )����*� ? � � �� �"� �����4� � ����; + 888! �� 88=!� ===� N� �"�� �"�4 �"� �"� ��� �4� === �� �� ������� � �� %����� < ����! �"������ ��%�� �� %���� �� 6��� �78 ��� � ���� ��� # �� �' )��� '����*� ("�������� �� �"� ���C���� �� %��� � �"� �-�� � ���"��� � �� �� �� �"� ���C���� �� �"� �-��� � �"�� � ��� �-�� � �� �������� )���� �"� ���C���� �� ���� 4��"�"� ����� *�

:��� �"� �"� �4� ���"��� � �-�� �� �� �� %/ �=�� �=�� �=� � �=�� �=�� �= ����������/�� ��� �������� )�" � � �� �"� � �������� �� �"��� �/�����/ "/����� �� ��-�"��� � �� �"� � ����� � �"� ��"�� �-�� �*1 �"�/ �� �"� 6��� �78 ��� �� � �4������� "���� � )� ���� �" � � "� ��� �/�����/ ����� �"� �� �� ����� %/ �"���=���� � ��� �� %/ �"� + ����� =� � �" �� �"� �-�� ��*� N� �"�� �"�4 %���4�"� �"� ������� �� �"��� "���� � �� ������� �� �"� ��� � �� ���C���� � �� ���"�� ��� ��� ("� ����� �"� ������;

�� �������� �� �� �7 @51�� � ��� �� @ 1�� 888888 ��������� ���, ���� �8���. �D 1�� 8=88=8 ��������� � )��� (�=� ��. �-� )��� (�8��(�8��

Page 197: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��@� ���� ;�&=A ��� ��!����# ��$ $����� ����� �3 ��� ���

� ���

(� ��� ��� 4� �����/ ��� � %��� %/ � � ��� ����� %��4�� �"� ��� �������� �"� �4� ���"%���� � ����; ��� � �� � �"� %��� � )���#* �� �������/ ��� ��%/ ��$���$����$�� (%�� # ����� �"� ���� �� �"� %�����

��� ���' ��� ���, �#� ���� �#� ���+ �+� '��� ��� ,����� ���, �� ���� �� ���+ �� #��+ �� '��� �� +��#�� ���' #� ���' #� ���, �� #��� +� '��� +� +��,�� ���# �� ���� �� ���� �� #��� ,� '��' �� +��'

(%�� #� ("� ���� �� �"� %���� �� �"� ��� ���

� 6��� �78 ����

(%�� # �"�4� �"� �" ��� �� %��� �� �� � %����� ("� ������ �"� �� "� ����-���� $� �� "� �"� ��%� ����� �/�� �� �%�� $� � ���� )�����* �� "� �"��/�����/ Z�� B ���! �� "� �� %� �"��%�"���� )�"� Æ � �� ����� �� �%�%/ ������ � �� � ���� �*� <�� + �-��� �� �"��%� � ���� � � ��%�� ���"� ��%���&�� �� �"� ���� $� �"� ���� �� �"� �� %���� 8=88=8 � ������ �� � ��"�"��%�; �"��� �� + �� B ��� �� �"��� ("��� �"��%� ���� �4� ��%���;� � �� �+! (�� � ��! )�8�� �8�* B �1� � �� ,�! (�� � �;! )�8�� �=;* B ��< ����! �"� ��� �8�� �8� �� ��%������ %/ �"� ����� ���)^* ���)#� � #�*! 4"��� �"���� �8�� �=� �� ��%���&�� )��� ����+* %/ �"� ����� ���)^*�

$������/! (%�� # �"�4� �"� �" ��� ������� �� � �� ����� �8� %��� �� ��+ %����! � 888888 � # 8=88=8� ("� ������ �"� ��� �� "� �� �-���; � ���"�� )%��� �� � �� %���� 8=88=8* �� �"��%�1 �"� ��"��� �� "���� � %��� �� � ���"� + %���� 888888� ? � ������� ���� (%�� # �"� �"��� + + B �+ "���� � ��� �������� � �� � ��! )�8�� �8�* B �� ("�/ ���� � � ��%��; � ���� �"� ��� �8����8� ����%������ %/ �"� ����� ���)#� � * ���)� � #�*�

��%�% ������' �� ��� ���������� �� ��� -����./ ����

N� "�� ��"���� � ���" ������ �� ���%���" � ����� �"� �������� �� �"� 6��� �78��� �) *� ("� ������� ���� �� ������� ��; �� �&! ,� !&! �� 6&� $� �"� ���� ��%�� ��������� ���� B ��� � �"� ��%�� �� ����� �� ���� %/ �� ))�� #*V),� #*V)�� +**!�� �� B ��+�

.� 4� "�� ��� ! �"� ��� "� �# +-%���� �� �# + �-���! ���� �� B �## �

��� ����� �� ���� �������� ��� � � ! � !�

Page 198: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��# ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

�� B �� B �� V �� ����� ("��� ��%��� �����/ �"� ����� "��������;

�� ��� V�� ��� B ��� � ��+ V �## � �� B �� )�����*

�/ �����"����4�� �������� 4� ����� �"� �" ������ �& �� C�� �� �� #������� �� !&! � �" ������ !& �� C�� �� �� # ������� )� !&! � �& � � 6&*1 � 4�"�� ��� ! �" ������ 6& �� C�� �� �� + ������� �� !&� $� �"��� �� � ��%��� �� �����;,� �&!&! ,� !&!&! ,� !&6&� .�� �"� ��+ ����� "�� ��� �� ��"; �� �

("��� �� � ��%��� �� �-���; �+ M B �� � ���! )�8�� �8�* B ��! � �+ / B �� � ��!)�8�� �8�* B �! ,� /� B �� � �;! )�8�� �=;* B ��

2"���� � ������� ������ �� �"��� �%C��� � � � �� �"� M �� ������ "���� M B�

&�! &�! &�� &�! &�! &! � / � /� �� �"��%� 4"��� ��� ��� �� B ( �� 1 �"��� �������

�� / B� &�! &�6 &�! &! /� B! &�! &�! &�6 &�

("� �� ���� �; �� �"��%�"��� ) + �-��� /�1 �� �����; + 6&!&! + !&!&1 � �������;� 6&! � !&! � !&! � 6&�

N� �4 �"� �" � � �� �"� �� ���� �� � �� � �4���� �-��� � 4� � � �"��"�/ "�� �� ������� )# �&! �� !&! � 6&* � �� ������ <� �� >������-"���� )��� ���� �"��%� ����"���� *; %��� �� # MA� 4��"! � �" ����! � / � � /�

����� � � ������ 6&�

:��� �"� �� �-��� �� �"� 6��� �78 ��� "�� �/�����/ � ���� $� �� �� ���� �� ���-���1 "� � �"� 6��� �78 ��� �� &� �"���� �

��%�; "�� �+� ������'��� �� 0���� �����

("� �� 9��� � ���� Y)�&* � �"� ,� Y)!&* �� ��������� $� �"�/ "�� ' ������� �' ���� )����"���*! �� ����� � �� �-��� )��� ����*� >�� � �� � �"� Y)�&�*� ����� � )��� �����* �&� B

��)�8���8�V�8���8�* "� ��� ������� � ��� ����� )����

� ������� � � ���� %/ ��� �� �� ������*;

Y)�&�* ; + ������� � 8���8�� 8���8�1 �� ����� �8�� �8�� �8�� �8�� �8 � �8�� �8�� �8�� �= � �=�1)�����*

�� � ����� �� �� ��� # � � �� ��� +� �/ �� ���� � �"� ������ �&� �� � �"������� ��8�� �8����8�� �8� 4� �%�� ����������/ �"� �������;

� �

�)��=� � ��8 V �8� � ��8�*�

�)��= � ��8 V �8� � ��8�*�

Page 199: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��@� ���� ;�&=A ��� ��!����# ��$ $����� ����� �3 ��� ���

� ��'

�)��=� V ��8� � �8� V ��8�*� � �

�)��= V ��8� � �8� V ��8�*� )����#*

("��� # ������� �� ����� ���� �& %��� � �� �"� ��%�� !&� ��� � ������� �� �"�6��� �78 ���� �� ����� ���� 6) * �"�/ �� ������� �� �"� �/�� �&� < ��"�� 4����!� �" � � �� �"� �� ������� �� 6) * �"� 4� � �����! ��� 6��� �78 ���� ����1 �"����� ������ %��� � �� �"� ��%�� �& ��� � � �� �"�� � �� �"� ��%�� !& ��� �"� #��"���� ("� ��������� �� �"� ����� �� Y)�&�* � )�����* �� ���� ��� �"� ���� ��"��9��� � ���� �%�� �� %/ �� ����� �� N� "�� ����/ "� �� � )�����*! )����#*��� �"��� �� ������� �"� �"� ��� ������ �� �"� ���� ����� � � ������! ���� ����� %���� I�� � �"� ��������� ��� �"� ������ �� ������� ���� � ��## � �"� ����� ���)�* ��� �"� ������ �� �����! 4� �%�� ;

���)Y)�&** B ���)Y)!&** B ���)��� ���

�*�#X� )����'*

("� �� ������� �� �"� ��%�� 6& �� �"� ����� �����! ���� �4� ��%��� � ��� �"� �� ��-��� �� �" 9��� � ��� "� + �������; ����! �"� ������� �� Y)6&�* �� � 8�� 8�� 8�� =�� =��? � "� �"� �"�� 9��� � ��� �� %� ��������� � �"� � �� �� �4� ���-�����; ���� )4��" 25 ��� G� ��� "���H*

Y)6&�* "B 25) � 8�� 8�� 8�� =�* & 25) � 8�� 8�� 8�� =�*

%���� �"� ����� � =�=� ���� �� �� �"� ����"���� � 8�� 8�� 8�� . ���� ����-������� ��;

Y)6&�* B 25) � 8�� 8�� 8�� =�* &25) � 8�� 8�� 8�� =�* & 25)8�� 8�� 8�� =�� =�*� )����+*

N� ����/ "� �� �"� �"� ���� �4� �������� "�� �"� ������ �� �"� ����� �������%/ #X1 �� �� ��/ �� "� �"� �� ���� ��� �� �"� ��� �������� � �" �� �"� �"����������� "� ���� ��� ) ����"���� * 4��" �"� �4� ��"���� $� �"� ��%�� ������ �� Y)6&�* �� �)' � �* B � B ��� <�� �-��� �� ��� ����1 �" � � �� ���� �� � ����1 �� �� B ��#�� B �� � �"� ��%�� �� ����� �� �� B

���

�B �'� (�

������&�

Y)6&* ; �� B +� �� B �'� �� B ��� �� B �1 ����� ; ��8�� �=;�� )����,*

4"��� �"� ����� �� ���� � ������� � ��� %/ �"� ��� ������ )�"� ��� ��� ��� � %/ �"� ����� ����� � ������ �� �"� �� � ���� � 9��� � �����

��� * �� ���� ���� ,�� ���� �� �� ������ �����-� �����( �� '������� P��� ��� ������������ ���� ,">�F- + =,!7�1- E #O�

Page 200: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��+ ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

��4 ������ � �������� � ��� 5�� ��������

< �"�� � ���� � ����� 4� %���=/ ������ ����� � � ���C���� � �� ���/����� ����� ��! � �"�4 "�4 �"�/ %� ���� �� � ����� ���������� � ��������������� ��� 4��� �4/� �� ��� � ��� ���/�����

��;�� 5�������� ���<������ �� ��������������

0�� � %� �-�� � � �� � �� ��� ���"��� � ������� � )����! �� �� �"� )��*-�� � ��" �"� � ��� B ��� � �� B � 5��*� 0�� �� � ���

��$����% ������ *�� � ��������, ("� ������� �� ���/���� %/ � V �� �� �"�� �������� � )� V ��*�

N� 4��� �� ��� �"� ���"��� � ���C���� � �� � V �� %/ ^� �

?%������/!

���������� �� ) � )� V ��** $ ^�) *�

>����4� � 6� �� �!#� ��! 4� ��� �;

��$����% �������� �� ������+� � ��8��� "� �������� �"� ��� � �"�������� �� �"� %-�� � � � ��! ��� ����/ �� � ��! � )� � V ��* �� ���"�� ����/ �� "����� ��� %�

��������' . ����������� "� �������� �"� ��� ������ �� ��� ���� � )��*-����

("� �����4� � ���� � �"����� �� ��� ��� �� 6� ���

���� - �� ���� �������� ����=���� �� ��� ��������� �� � %,����� � �" %����

� � % � ( ���� �,����������� ���� �� ^�) *" � B �� �� � � � � %" �� ��� ���������� �� �

���'�� )� % V �*,���� �� �������� �� � �(

2 ����� � �� &� � �������������" ��� ��� � &� �� �,�����" %���� � � � � "��� �� ��� ���������� ����������( .� ��� �������� ����=���� �� ��� ��������� ��"

Page 201: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��E� ����#���: !�F���#���: ��$ 2"��#����#��� ��,

����

�+ ^�) * �� � �,����������� �������������8

��+ ��� ����� ������� �� ^�) * ��� ��� ����� ������� �� ��� ������ �� �������� �� ��(

��;�� =������������

("� �������/ �� ������� �/���� "� ��������� � �� ���� �����" � �"� �"���/�� ������� ��� � ���� � ���� ��� . 4���" �� ������� �� ������� )/�� "��"�/�������* 9��� � ���� %� �%�� �� ���� ����� 6��� �78 ���� �� %/ ����� ����C���� �

.� %���! ��� � %� �-���� ��� � ��%��� �� �� � ��� �� %� ��� ���"��� �������� �� 0�� ^ %� �"� ���"��� � ���C���� � �� �! � ^� �"� ���"��� ����C���� � �� ��� $� � ^ � ^� �� �� �� ���! ^)�"* � ^�)�"* �� ��%����� ��-������� � � � ��! ����������/! �� ����� %/ �"� ���C���� � �� / )����/*%��� �� ��

N� �� ���� ��%��� � $ �� 4��" � ����/ ������� � ������1 � 4��� %� �����"� %����%! �� ��� � ���� ! ��� �"� ���C���� � )("�� � ������� %��� ����&�� %�� 4� 4��� �� �� �� "����* N� ��� ���C��! � �� �! �"��� ��� �� � � �"

��" �"� ^�)�* � �� ("��� �� �"� ��� �� �"� ��� � �"� /�� ��� � B � 5�� 0����" B � � �"� N� ����� �"� ��" "B 3�

���������� �� ^)��"* �� � <����� ���(

����� N� ���� �"�4 �"� ^)��"* �� ������� � ��������/ �� �� � �� (� ������������ ���! �� �� ���� � �� �"�4 �"� �"��� �� ���"%��"��� �� �"� ����� � ��"� � �� � � ��"�� ��� �� �� ^)��"*� 0�� � � �" � ����� �"� ^)�* ���� � ��)+*! �"� %�� �� ����� + � � %��� �"� ����� � $� �

���� B �^)�*�� V �^�)�*�� )�����*

� �"� ��� ^�)��"* �� %�� ��� %/ �������� ! � ���� ��� � ��"��� %��� � ������ � ��� ����� � � �� $� � �" �� �������! �" ���)�* �� � ��� ��%��� @ $ �"�("� ^)@* �� ��� � ��� � ��� ���� ��/ ���� = � � 4� "�� ^)@*���)=* B � ��������� �� ���/ �� �������� %���� �" �� ��������/ �� �� � �� � ��� �� �� �"

�� � ������/ ������%���� � �"� /�� ��� � ��#�� �� �

("�� 4� "�� ������ %�� ��4����� 4/ �� � ������ � 9��� � ���� [ %/ ���C��� �

Page 202: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

��%���� �� "��"��-���� ��� � ������; 4� ���C�� � � �" ���"��� ��/ � �� � �� �� �/ �� ^�)�* ���� � �"� 4� ��4 ��

("� c � ��A "��� ��� �"� 4� ��4 �� ^�)�) **! 4"��� �) * �� �"� 6��� �78 ����� �"� ����� �� �� 2 � �� ���C���� %� �����%�� � ������ ������� � 4/��

���������� �� 0�� ��������� ���������� ���� ��� ��&����� �" ��� �����%��� �����,

����� ��� �'��������3 ��� � � �"" ��" B � � �""�+ � � ��"8��+ ^�)�* � ^�)�) **8���+ � ��)�* "B 3(

����� ("� ������� � -* � --* �� ������! �� � --* �� �"� ��� ��� �� �"� 4� ��4�� (� ����� --*� ---*! 4� ��� �"� ^�)�* � ^�)�) ** 7* � ^�)�) * V ��* B^��)�*! � �"� � �� �

("� �� �� ������� � ������ �� 4"� � �� ������� ���������� Q �"� ��! 4"� �� � �� �� ���� � � ��� � �� �1 � �"�� ��! �"� 9��� � ��� 4� �%�� %/ ���C���� ��������� ��#�� �� �� ����/ ��� � �! 4� ��� ������� ��� �� �� �� ��� ������� �� �������� �"� ���� <� � �� �� �����/ ������ �! �"� ��� [ 4��� %� � ��� � � ����� ����� � � � �� ���� ������� ��

�������' 0�� � %� �"� �� ��� � ����� ����� � � �� 4��" ���"� ���� %����?�� � � � � �?�� <�� 6��� �78 ���� Q � ��� 9��� � ���� Q �� -�%��� ("�� � � �)�*!4"��� �� B )��� � � � � ��*! �� � � �/ ��

��

� ��� V )����?�* �

�� �- B �� � � � � � )�����*

N� � ������ �"� 6��� �78 ���������� %/ �4�-=� �� B �V�2! 4"���� �� �4�-�� � � �2 � ��� ("� ����� � �� ���� %/ �/���� �� � � ������ �1 �� ��)�* "B 3�� � � �/ �� �"��� �� � � �)�* ������ �����/ �����/� � �"� ������ � ��� � ��"� ������ � )�����*�

>�� B '! %��" �4�-�� �� ���"��� � �� �E B )�� �� � � � � �* � � �� �����/ ������ �%���� �"�/ �� � ��� � � ��� '-���� ������ H%���H �"� �� � � �� � � �E1 �"������� � �� ���� �" � � ����� ��� � � �� 4���� ������ �"� �/��������"���������� )��#��*�

("��� �� � ������ �����/ � ���� � � ����� ��� ������� � � 4"��"�� ���� 9��� � ��� �� ��- �-���C�� ���� ("� �����4� � �����/ � ����� � �� ������� ��

Page 203: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��E� ����#���: !�F���#���: ��$ 2"��#����#��� ���

���������� � �� [ &� � ��������� <����� ��� �� ��� � � � � %��� ����������

������� � � ��" ��� ������ ���� ��� ���������� ��������� ^� �� ���,��,���( �� [�[&� ��� ��2������ ��� ��� ���� � � [�( $���

�+ [� [ �� � ��&��� �� �� ��&�� �� � ��,������ �� ���= V �8��+ [� [ �� � <����� ���8

���+ [� [ $ [� � " %���� � �� � -���� ��� �� ������ �� ��8��+ [ ��� � -���� ���&�� �� ���,����� �� �� �����������(

�=���� �� �����( �* ("� ��� ^)�* �� ��%�� �� ��-������ �� � � 2� ����� ���*!���* � ��* ) � �"� �� �"� ��* � ���* �� ������� �* �� �������� � ���)����

��$����% /�����������6 ������.������� . ��������� �� 9��� � ��� [ �����/-� � �* �� @��������� �#� . ��������� �����/� � �"� ���� ��� � ����� � ��* � ���*�� ��� �� %� �����-������

:��� �"� �����-������ ����/ �� ����� ������; �"� � ����� [ � [ $ [ � ��� H���� ��H ������ � ��� ��%����� � < ���� ���! � ���� � �"� � �� ��4��" � B �! 4� �� "�� [� [ B [� � �

��;�� �������� ���<������� �� ������'

0������ ���� �� 4��� � ������� � ����� N� �"�4 "��� �"� ����/ ����� �� 0������ ���� � �� �� 0������ ���� ��

N� � �� �� �� ����� �"� � �� �-�� � � �� ��� ���"��� � ������� ��

2 ����� �" �� B &� ��� ������� ������ ���������� &� � <����� ��� [ ��� ���

%����� ��� O9( $��� ��� ������� �� B &� � �� � ������� ������ �� �(

����� 0�� / � [ � ��� E�3 %� ��� 4���"�� 9� ��� �"� ������� �� � 0������ ���%/ �)/*;

�)/* B �� � ����)�� /* V E�3 �)�� A* V E�" �)A�E�"* � B �� )�����*

N���� � / B /�V /�! 4"��� /� � � � /� � ��! 4� 4���� �"� � ����� )�����*� �"� ����

�)�� /� � /�* V E�3 �)�� A� � A�* V E�" )�����*

Page 204: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

4"�"! 4"� � � � ) � �� �"�� ���"��� � �� /�*! %� 4����� �

�)�� /�* V E�3 V�)/�* �)�� A�* V E�" V�)A�*� )�����*

("�� �"� ����� �� �"� ��� �� /� � �"� 0������ ���� � ������� �� %/ �"� 9��� � ����A��A � [� 4��" 4���"�� E�" V�)A�*� �

< �"� ����� �� 4"� B �� 6��� �78 ��������� ! �"� 4���"� ��� O B ��� %�� �� ��"� ����� �)/�* �� ��! � �� ���! ���� �� &���! �"� ����� �� ��! � �� ���! 6��� �78 ����

�/������ .�� ��� � B � � ��� � %� �4�-�� � ���"��� � �� �E B )�� �� � � � � �*�("� �"� � �������� �� � 4��" �"� 6��� �78 ����������� �� � �� 0������ ���� � �("� ����� �� �"� ���� �� �"�� ���� � ��� � ������� �� �������� ������ �� �� �/� �� �� < �� ���! / "� �)/*�

("� 0������ ���� � �"�� ������ %� �%���� 4��" �"� � ����� ����� ����� �"� � ��� �� �"� ������� �� � 6��� �78 ��� � ��1 �� � ���� 6��� �78 ���� �� �� �� %/ �! ���� -������ �� � ������ 4��� �� ����� ("��� �"� �� ���� ���������/ �"��� �����/� � �� ����C A� H���" � ����� H � #%���! ����! ������ � )�����* � �"� ������ � ��� � � ��

��$����% ���� �� �&����� ���� 0�� � B �9 %� 0������ ���� �! � ��� & %� ������ �� �� ("� � ��� "��� �� �"� ��� �� �� �"� 9��� � ��� [ 4"��� 0������ �������� � & �� �"� )4���"���* 9��� � ��� �� &1 �� 4��� %� �� ���� Y�)&*�

3��� �� ����/! ��� �� %� � -����/ �-�� �� �� N� ��� � ��� �� %� �"� � ���"��� �� �"� ��� �� �� [ 4"��� 0������ ����� � ���� ���

���������� �" $�� ��� �� ����� Y�)&* �� � ������� ������ ���� ��" ��� � ��� ����� ���������� �����(

����� <� �����4� ���� �"� ��� ���� �"� �� �� ���� � � �"� � � �� �����"��� � ����� N� �"�4 �"� �� �� 0������ ���� � %/ �"� ����� � �� �"������ �� @��������� #+� �

("��� �� ���� ������ �� � � � ��! � �"� "��"�� ���� ��� � 6��� �78 ���� ��B � ������� %��� � �"��� 9��� � �����

2 ����� �- �� � &� � ������� ������ �� ��" ��� B &� �� ) V %*,�����������

������ ������ �� %���� � �� � �������" �� �&���" ��� ��� Y &� ��� <����� ���� ��

Page 205: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��E� ����#���: !�F���#���: ��$ 2"��#����#��� ���

B ( �� Y� &� ��� ��� �� �������� �� Y ������������� �� ��� �������� �� B ���� ����

���,����� ������������ %��� ��( 0������" ��� ^ &� ���������� ���������� ���� ����

���� ��( $��� �� B ^Y�(

����� �/ � ������� ! ��� �" A � [! ^A� B A! � ���"��� � ���C���� ��-����� 4��" �"� ������� �� ����� � � ��� "����� �

N� "��;

��������� �� )���=��+ 1 ������ �������� �) * ��� �������� ����=���� �� ���������

�� �� ��� ���� �� ��� �,����� � �� ����� &� %,����� �� ��� ���� <����� ������������"

��� ��� % B �� � � � � �(

����� <� �����4� ���� �"� �"����� �"� 4"� �) * "� �������� �"� ��� � �"�������� ��! )B � �*� B B � � �� :�4 ����� �"� � �� ����� %/ %-��� ���"� 9��� � ���� �� ("��� %-��� �� %��" ����� � ��� ���C���� �! �� ����� � �����C���� � ) � ��� ����* � �"� 6��� �78 ���� � � 4���� ("� �����/ �� B � B �� ����� �"� ����/ %-�� �� B �� �� �"� ���C���� �� ���� ) � � V %*-�� �� B �("�� �� �� ������� �� �������� �"� ���� �

("����� �+ �� �"� %��� ��� �"� H��- �-���C��H �"��� )��� �4 � �"� H���-C���� ���"��H* ��� � ������ � ����������� ���� ��1 �� �� �����/ ������ �� ���� ������� �� ����������� 9��� � ����! %���� < ������� %/ �� ����C � #%���

� 4/ �� � ������ � �"� @� ���� ���� �� �� �"� �� �! �"� ���"�� "� %�� �� ����&�� � � / 4/� � �� ��4����� ���� � ���� � �"���/�

("� ���� ��� ��� �� �"�! � �"� � �� ��! ��� ����%�/ "��� ����� � �"�/�� ��� � ������ ����� �� �-��� �� �"� 6��� �78 ���������� �� �"� ����� ��"� ���C���� �� �"� ������� �� � 9��� � ����� 4��� %� ���� � �� �� 2�� ���� %�� � � �"� "��� �� ����� � ����� �� � ���� �"� � �/ ��� �� Y �� ���� ��/��4 ���� ��� 4��� %� ������� � �"�� ���C����� 3��� �������/! 4� ������� �"�� � ������ � �� �� �"� 6��� �78 ���������� �� ���� ��� ���� �" � �1 �"�� 4���� ���� �"� �"� ������� �� � 9��� � ���� "�� ���� ��� � ���� ��

("�� ��! � ��� ������ �� �"� �� ��� � ����� �����! 4� � ���� �"� �"� �-=� ��

�� ��� �"����" / ��� � � 4"�" ���� �" �4� �� �� � ������! �"� �"� ��� ��9��� � ���� �"� 4� ����� 4��� � ���� �� �4�-��� ) � ����� � �������* �� �"�9��� � ���� �� ("� ����������� ���� � �%�� �� %/ ���C���� �� �"� ���� � �� �%/ �"��%��

:��� �"� �"�� � ������� ������� ������� ���� �� %�� �� ������� �����; �"�

Page 206: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! �� ��!����# ����� ��$ $����� ��%�� ��

��! �� �������� � � ������� %��� 4"��"�� �"� ����� �� �"� ���� � %� ��������4��" ��"� � ����� ��� ��� ������ � �"� ���� � ���� ��� �����������

Page 207: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

����� $

������� �� �

�� ������ *� � ��� 6���� +���� *� �

����� & ��������� ��� ���������� ������� ����

0��

�&�� ' ' ' � �&� )#��*

%� �� ���/ � ���� �� � ������ � ����� �� < �� ���! �"�/ � ������� %���� �� ��%����� �� �� < �"�� ����� 4� ���� ������"� ��� ������ � %��� ��� ���� ��

N� �� ��� �"� ��� %��� �� � %/ �� ;B ��&�� � ' ' ' � �&���� 0�� �C� %� �"� ��-8A* ��&�� ' ' ' � �&��!4"��� D� �� �"� � ��� �� ���C� � ("� ���� ����������� �� ���C� %�����

� B �C� V �=��C� V ' ' 'V �=C��C� � )#��*

9� ��� �"� ���� � �� �� �"� ���� ������� ������ �=�� - B �� ' ' ' � D� %/ =��� % B�� ' ' ' � � N� �� ���� �� "���� �"� ���� ������� ������ �=� � , �C� �� �"�

� �=��� �� � - B �� ' ' ' � D�� % B �� ' ' ' � �

<� �� ���� � �� =�� 4��� &���! 4� 4���� "�� �=� � �C� � $�! �"��� ����� �4� � ������!�� �! 4��" � � D� � � � ��� 4"�" �"� ������� � -&��� ���� � �=� �� %�� ��� %/

� � �=�� �� � )#��*

���

Page 208: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��# ��� ��! 7� ����#�� 8����

N� �������� � � �� �/��� ��"�� ����� ����� �� �"� ��� %��� ����� �& �� !

��"�� ;B ��( � � � �(�& �� B A �=��� A � ���� )#�#*

N� "���� ����� ����� ��& � ����� � ����� � �&� %/ ��& � )#��*! �"� � ��� D� � )#��*

������ �� D� ;B D��=�� ) ��� �"� D�=� �� � �����*�

("� ������"� �4 %� ������&�� � �����4�;

�� $���� �� ���/ � ���� �� � ������ �&�� ' ' ' � �&� � �1 �"�/ ������� � %��� ��� ���� ��%����� �� � ��� D��

�� 2����� �"� ��� %��� ����� $���� �! � � ! � ��& � � ��" �"� � � � B ���& �& �� � �� �� ����

#� <� � � � �� �"� ����� �&� %/ ��&! � ����� �� ��

?�"��4��� � B D: B �! 8 � �! � 4� "�� ��� � %��� �� ��

>��� )#��* �� �����4� �"� � ���� C�� ����� �� �������� � ����� �� ����� %����

�������� N� ��� �"� ������"� �� �%�� %��� �� ��� ������ ��� �"� ���� �������� B �� �����%�� � ����#� ("��� �"� ��� ������ 4��� ���� 4��" ������ �� 2����� ����� �� �/����

� ;B ��?�� ' ' ' � �?��� )#�'*

("� ��� �� ��� ������ � � �� � ��� �� ��� ������ �� �/�� �)L(�M�� ��*�! ���� �� ��� ������ �� �/�� �)(L�� M�*� 4��" ��� ��%�� �� �� �� ��� �� ("�������"� �� � � �����4�;

�� N� "���� ���"� �� ���/ � ���� �� � ��� ������ �K�� ' ' ' � �K� � � � ("�/ ��-����� � �"� %��� �� B ��� ��� �"� ��%������ ("� ���"� %��� ������ �����"��� � � ����! � ������� � ����� .��"���" �"�� �� ���%%�/ �"�4���� ���� � %���! �� �� � �������� � ������� ("� ����� �� %��� ������

�� E

������������

! ! > > > > > >! �! > > > > > >> > ! ! > > > >> > ! �! > > > >> > > > ! ! > >> > > > ! �! > >> > > > > > ! !> > > > > > ! �!

Page 209: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

7��� ����#�� 8���� ��$ 3���� �����! 8���� ��'

������� �� �"� ��� ����� .� B ����� 4��" ,?().�* B �'+! � �"�� �"�

� ��� �� �"� ��%����� �� D� B �+ B4�'+�

�� ("� ��� %��� �� ���� %/ ��� B )���� *�� � N� �%�� �K�� B )�� ��� � �� �� �� �� �� �*�

�� $��"� � �"����" � � �� %��� ������! 4� � ���K B )�� �� �� �� �� �� �� �* 4��"

� � � B��K �K�� B �

� ! 4"�" �� �� ���� ).� ����! �"��� �� "���� �����K ! � 4�

�/ ����� / � � �� �"���*

#� ����� � �K� %/��K ! �"� � ��� �� ������ �� D� B

��D� B �� N� ����� �� ��

< �"� ��� � ���� 4� ����� ���! � 4� �%�� �K�� B )��� ���� � �� � �� � �� �� �� �*� N�

�������K B )�� �� �� �� �� �� �� �* 4��" � � � B ���K �K�� � B �

� � N� ����� �K� %/��K � ("� �4

� ��� %����� D� B #�

< �"� �"��� ���� 4� ����� ���! � 4� �%�� �K� B )�� ��� ���� ���� � �� � �� � �� �*� N�

�������K B )�� �� �� �� �� �� �� �* 4��" � � � B ���K �K� � B �

� � N� ����� �K %/��K � ("� �4

� ��� %����� D� B ��

< �"� ����" ���� 4� ����� ���! � 4� �%�� �K�� B )��� ���� � �� � �� ���� ���� � �� ����*�N� �����

��K B )��� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� * 4��" � � � B ���K �K�� � B �� � N�

����� �K� %/��K �

< �"� ���" ���� �"� � � ��� %��� %�����

��

� E

������������

> > ! ! �! �! ! �!��

� ��

� ��

� ��

��

��

� ��

��

�! �! ! ! > > > >��

��

� ��

�! ��

��

��

� ��

��

> > > > > > ! �!��

��

� ��

� ��

��

� ��

� ��

��

� ��

� ��

��

��

� ��

� ��

��

��

�! �! ! ! �! �! ! �!

��

>�� ����K � � � �� ��� %��� ������ �K�� ! � - ! �"� �� ���� %�����

Page 210: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��+ ��� ��! 7� ����#�� 8����

� � � B ���K �K�� � B �� ("�� � �� �"� ������"��

("�� 4� �%�� ����� %��� �� ��!

�� E

������������

! > ! > > > > >! �! > > > > > >> > ! > ! > > >> > ! �! > > > >> > > > ! > ! >> > > > ! �! > >> > > > > > ! !

� ��

� ��

� ��

� ��

� ��

� ��

� ��

� ��

�� ,#�1-

N��" ������ �� �"� %��� � ! �"� ����� ������ �(! �������� �� �"� %��� )#�'*! �� �-���� ���� � ��

�( � B )��� *? �(�

>� ��/! 4� ����� �"� ��� �����!

�� E

������������

7 ! ! ! > > > �!7 > > > > > >

7 ! ! ! > �!7 > > > >

7 ! ! �!7 > >

7 �!7

�� ,#�;-

����� 8��������� � ���� �� ����� ��������

. ��� # �� ��� �� %� ���������� ��� �� �! �� � �� �"� ��-�� �� #� . �� ���� � ��� ��� �� � �� %��� ��� �� >�� ������! �"� ��� ��� �� �� ����� �� %�� ���"����� �� ��� ����� .� 4� "�� ��� )2"���� �! @��������� ,,*! �"� ��� � �� ��������� �� ����� �� ����� �"� ������ ("� ������� 4"��"�� � � �� � %������ �� � / �� �"� ������� �������� � �"�� �� ����"� ("� ����� � ������"� � �"�� "���� ���� ������ � �#�)���1 4� ����� � ��������� ������ "����

("�� ������ �� �� ���� �%������ 3/�� �"�4�� �"� ��� ��4 ���� ��� �! � ,! �"��������� �4/� ����� %��� �� � �"� ��� ������ �� �"� 6��� �78 �������"����

Page 211: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

7��� ����#�� 8���� ��$ 3���� �����! 8���� ��,

� ��<� �� ? �"� ��"�� " �! 2� 4/ � $�� � ����� � �����%�� ����� ���D' � ��� 4"�"! �"���" �� ����� %/ �"� ��� � $ � �� ��� �� ��� ����� ������! ���� �� � �� %��� � � )��� #�#*�

. ����� ����� �� ��� �� %� ���������� �������� �� �� �� �"������ 4��" ������ �� ���� ��� �� ����� ������� ("� �����4� � ���������� 4� ����� � �#�)��� (��:-�.�6��� 5��� 4� ���� ���� ���� ������

���������� �- �� �K�� ' ' ' � �K�� � M ��" &� �������� ����������� ����� �������

�� �( $��� ��� �������� �������� ������� ������� %���� ��� �������� ����������� ���K�� ' ' ' � �K� ��� ����� ������� �� �(

����� >�� / M! � M ��! �"� ��� ������ �K�� ' ' ' � �K� �� ���� ��%��� @��9�� � �� ;B @� � �� 0�� �1�� - B �� ' ' ' � S! %� �"� ������� �"������ ����� ������!4��" ��� 1 B �)�1* � 8 )4"��� 8 �� �"� ��� �� �"� �� ��� ������ �� �*! �4"�" �� �� ���/ � ���� �� � �� @�� N� 4��� �"�4 �"�! ��� / -� � - S! �1� �� �"������ ����� ����� � ��� ���� �� �����

>���� 4� �"�4 �"� �1� ���� �� %��� � �� �"� ��� ���� � / ����� �� ��� �����" �� ���� �� 1 � ��� >��! �� �� � ��! �)��* �)�1�*! � �1� � �� �� � �"���� ����! �"� �"��� ������ ����� ����� �( ��" �"� �1� B ��V��(� ��� ��V�( �� ��! � �)��V �(* � 1 4"�" �� � ������� �

:���! ������� �"� �1� � �1� �� � �"� ��� ����� ("� �"��� ������ ����� �(��" �"� �1� B �1� V ��(� ��� �� ! �)�1� V �(* � 1! � ������� � 5� �! �"��1�� - B �� � � � � S! �� ��� ������� �

2 ����� �� ����� ������� � ��� � &���� �� ����� �������(

����� N� ��� �"� ������"� �� #��! 4��" �"� ��������� � �"� �& � � � (� ����� �"��"����� 4� ���� �"�4 �"� $��� � �� ����! ����! �"� �"��� �� � )#�#* � ���� � �

��� ����� � �"� �/�� ����� � � � �

$������ � B �� 0�� �K�� � � � � �K� %� �� ���/ � ���� �� � ��� ������ �� �! ���� @� %� �"� �-�� �� ��K�� � � � � �K��� ("� ��� ����� �K �� �� ���"��� � �� @� �

��������� � � �� �/��� ��"�� � A � ��! ������ �� @��

N� � ����� �"� ����� ����� �� ���"��� � �� @�!

�� ;B ��� � �� � ���( ��� ���)�( ���*� ��( ��� � ����� �� )#��*

Page 212: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! 7� ����#�� 8����

�/ � ������� ! � $ ��� .�� ���� �� �� � �� ���� �� �! %�� �"� �-��� �� ��!� � � � ��� �� � �� ����� �� �� ��

>���"��!

�� B

�&?��� �

�� V �(� )#��*

("�� �"� � ������ �� ��! � ��� �� ��� %�� ��/ $,��! ��� � �� ��� �� ����

�� ����� � ��! � �"� ������� �"������ ����� ������ �(

�"�� � ��"�� ��� � �"� � ��������

�� � ��"�� � <� �� � ���� �� �(�"�� � -(���

0�� �1�+�� %� ������� �"������ ����� ����� 4"�" �� �� ���/ � ���� �� � �� @�� ("��

����� � ����� �"� �1�+�� � �� � �/�� �

�+�� ��� ���� � � �� �/ @��������� �+!

�1�+�� �� ��� ������ :�������/! �1

�+�� � �� � � �+�� �

0�� �&���� � �� � ����� %� ������� �"������ ����� ����� 4"�" �"���� � � �/�� � ��

�"� ��� ����� �/��!

��"���� B �

�"�� V �&

���� � �A � ��� )#���*

< �� ���! �&���� "B �1

�+�� � N� 4����

�1�+�� B ��&

���� � �2

���� � )#���*

4"��� �2���� � �

���� �

N� ��� ��� � �"� ����� �������"���� ��;

�� ;B ��� � �� � ���( �)�( *� ��( � ��� )#���*

�" ��� ����� � � ����� ��� � ��� �� ��! � �" ��� ����� � �� � ���� �-�� �� ��! � � � �! � �� ���"��� � �� �"� �-��� ("� � ������ ���� � �� � �"� ����� � � ��"�� ����� ��� ��

. ������ �� ��! 4� ��� � �"� ����� ����� ��� ���"��� � �� @�!

��� ;B ��� � �� � ���( ��� �)�( ���*� ��( ��� � ����� �� )#���*

�/ � ������� ! �� $ ���� >�� �" �/�� ��%�� A! 4� ��� � �"� ���

.�"�� ;B ��� � ��"�� � )#��#*

Page 213: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

7��� ����#�� 8���� ��$ 3���� �����! 8���� ���

N� ���� �"�4 �"� �"��� ����� ����� ������ �(���� �.���

� 4"�" �� �"������ � �"������� �� ����� �/ @��������� �, �� ��#��! ����� ����� �( �� ��� ����� �� �� �/ ��! ��� �" �( � � � 0 �����( � !

�( �( � � �)�( �*� )#��'*

����������/! )#��'* �� � �"� �( �� ��� ����� �� � � �/ �� � ����� ��������� � ���� �� � �"� %�� ��/ �� �"� ����� %�� ��

�&?)�� ��( �*� .� 4� 4��� ��� �"�� ��

������ ����� � �"�� �����! 4� �������/ ��� ����� ;

�)�( * ;B ���&?)�

���( �*�

� ����� �� �� � H�"� %�� �� �( H�

���� � $�� ������ �(���� �� �������� �� ��� ����� ��� ����� �� � ����� ������ ��

);(5C+ ����� ��� ����

�( � �.���� & ' ' ' &.��+�

� � )#��+*

����� N� ��� �� �"�4 �"� �"� �/�� ��%�� A �� %�� ��� %/ � � �:� ����

/ A � �! �"� ��� �" ����� ����� �(���� � �

���� ! � ��� �" �(

�"�� � .�"�

� 4�

"�� �(�"�� ��(

���� � ��"�� � �� �����4� ���� )#���* �"� �(

�"��

�(���� � �)�(

���� * )��� A � �!

����� ������ � $, ��� �� %� ��� ������*� 5� �

�(�"�� )�(

�"�� � �(

���� * B �)�(

�"�� *� ��(

�"��

�(���� V �(

�"��

�(���� � �)�(

�"�� � �(

���� *� )#��,*

("�� �" ����� ����� � .�"�� � �� � � ��"�� ����� � �

�"�� � ��� %��� <

�������! �"�� "���� ��� A B � � �"�� 4� ��� �� ���" � �/ � "��"�� �/��� �������/ )#��'*� ("�� A B � �� �"� ��4�� %�� � � )#��+*� (� �%�� �"� ����� %�� �!

������� �"��� ������ �� ��� A � � ��� 4"�" �(���� ���� � �� ����� �����

� ��� %��! ����! ��� 4"�" �"��� �� �(�"�� � .�"�

� ��" �"� �(����

�(�"�� � �)�(

�"�� *� �/

)#��'*! 4� ��� � �/ � ����� �"� �� �"�

�(���� �1

�+�� � �)�1

�+�� *� )#���*

%���� ��"��4��� �(���� �� %� ��� ������

N� "��

�(���� )�(

�"�� � �1

�+�� * � �)�(

�"�� *��)�1

�+�� * B �)�(

�"�� *� ��)�1

�+�� * V�)�1

�+�� *� )#���*

Page 214: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! 7� ����#�� 8����

N� �� "��

�(�"�� �1

�+�� � �)�1

�+�� * )#���*

%���� �"� )#���* �������

�(���� )�(

�"�� � �1

�+�� * � �)�(

�"�� � �1

�+�� * )#���*

4"�"! �� � �(�"�� � �1

�+�� � ��"�+�� ! � ������ �"� �������� �"� A �� �� ����

("�������

�(�"�� �1

�+�� � �)�1

�+�� *� )#���*

< �"� ������ � �� �"� � )#���*

��( ���� �1�+�� B �)�1

�+�� *�

� � )#���*

�(�"�� �1

�+�� B �)�1

�+�� *�

4� �%��

)�(���� V ��1

�+�� * �1

�+�� B �)�1

�+�� *�

4"�" �"�4� �"� A �� V �� ��� �� �

�(���� )�(

���� V ��1

�+�� * � �)�(

���� *�

�� �����4� %/ )#��'* �"� A � �� V �� ("�� �� �� ����� %�� � ��� �"� �/�� ��%�� � )#��+*� �

:�4 4� ����� �� �"� ����� �� �"� �"����� � �"�4 �"� �"��� ������ � ���� � �

��� ����� � �"� ��� .���� �

<* <� �&���� �� ��� �����! �"��� �� ��"� � �� ������

<<* <� �&���� �� �� ��� �����! �"� 4� ���� � ����� �4� ���;

* �1�+�� � -(��1

%* �1�+�� � $, ���

Page 215: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

7��� ����#�� 8���� ��$ 3���� �����! 8���� ���

2�� <<*

0�� �(����5� � - B �� � � � � / %� �"� ����� ������ � .���

� � $������ �4 �"� � � �� �"��

�� ��� ������� ("� �" %�� �)�(����5� * � �� � ����� ������

$� � �1�+�� ���� � �"� � ������ �� ��! �"��� �� ����/ � � ����� ����� � �" ���

.�"�� � ��! A � ��� ' ' ' � ���� ("�������! �"��� �� � ���� �� � � ����� ������ �

�"� � ��� /�� ��� %�� ��� %/ �� � �"� "/����� �� ����� ! � �

��+�� ������� ��

%/ �"� �/��� ����� � �

��+�� ! ����������/�

("� ����� ������ �(����5� �.���

� �� ��� ������ )4"�" � ���� �"� ��� ������*�

<� �&����

�(����5� � �! �"� �(

����5� V�&

���� �.���

� � ("�� �� �&���� �� �� ���"��� � �� / �����

� ����� ! �"� ��%�� 7 �� ����� ������ � .���

� ������� �"� � ������/ ���� 7 ���)�

���� �*� )<� �&���� �� ���"��� � �� )��*-���� ��� � ��%����� �� ������ �

����� ! � � � �! 4� "�� ��

��� 7 � �� )�

���� � �*�*

:��� 4� ����/ �"� ������ %��4�� )�� �* � � �

N� �� �"�� %/ � ������ � ������� ��� N��" ������ �� ���"� ���� %���� B ��?�� ' ' ' � �?��! ����� �� �� ����� %/ �"� �� ���/ � ���� �� � ������

�K� B �&���� ;B L�?� V

�)�?� V ' ' 'V �?�*� L � ��

��K���� B �?�� ' ' ' � �K ���

� B �?��

4"�" �� �"� ��%��� @��

(� � � �"� �������� ������ %��4�� � � 4� ��� �"� %/ )#��'* � )#��+*!

��)�1�+�� * � �)�&

���� * �! %/ )#��'*! �K� �&

���� � �)�&

���� *�

0�� �2���� B �?� V ' ' ' V �?�� ("� �2

���� � ��� �

�1�+�� ;B ��&

���� � �2

���� B �L�?��

$� � �1�+�� �� ���"��� � �� @�! �� �� �"� ������� �"������ ����� ����� �� ���/

� ���� �� � �� @� � "� � �� ��� ������

$� �

�)�1�+�� * B ��L� � �)�&

���� * B

� �

��V L��

Page 216: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! 7� ����#�� 8����

�� �����4� �"�

���L� �� �

��V L�� � L� �

� �

��)��� � �*�

.���!

�K��&���� B

��

� �

��V L��

���

��

� �

��V

� �

��)��� � �*�

4"�" ������� � � V ��

$� � 7 � ��! 4� � ���� �"� � ���� � � %�� �)�(����5� * � �� � � ����� ����� �

��� � ������ � �"������� �"� ������� �� � ����� �(����5� �� ��� ������

2�� <<%*

< �"�� ��! �1�+�� � $, ��� N� ��� � �/ � ����� �"� �� �"� �"��� ������

������� �"������ ����� ����� �E�"�� "B �&

���� � �"� %�� �� �&

���� "� �!

�&���� �E

�"�� � �)�E

�"�� *� )#���*

� �"�������! %/ )#��'*! �&���� �� �� ��� ������ ("� ����� ����� �E

�"�� %�

4����� ��E�"�� B A�&

���� � �2

���� � )#��#*

:�������/! A � �� �� A � � %���� �)�E���� � �&

���� * � �)�&

���� * 4"�" � ������

�"� �������� �"� �&���� �� ������� �"������ � �

���� � ("� ��� ����� �1

�+�� �/ %�

��S��� � ���� �E�"�� � �/ �������� ! �� "���� �"�

�)�1�+�� * �)�E

�"�� *� )#��'*

("� ����� ����� �E�"�� �� ��� �����! �� � ��"��4��� �� 4���� �� %� �������

�"������ � �)�&���� *� <� "���� �"�

��)�E�"�� * �)�&

���� *� )#��+*

("� ��� Q ;B �)�&���� � �2

���� * � )#��#* �� ��������� ��

8- Q ��

:���"���"���� )#��,*

� �"��! ��� A B �� �� A B �! Q � ���+�

Page 217: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

7��� ����#�� 8���� ��$ 3���� �����! 8���� ���

�* $������ �4 �"� �1�+�� � �� � B-�� � $ ��! � B � �� N� ���

�1�+��5� ;B �1

�+�� � 0�� �K

����5$�

� ' ' ' � �K ����5$�%� �"� T � � B ��� ������ � �

���� ! �"�

������� �� � ���� �� 4"�" � ������ � �� ("�/ �� ��%��� @��$ ������ ��� � B� >�� �" �K

����5$�

! - B �� ' ' ' � T!

�1�+��5�

�K����5$�

B ���)�K

����5$�

*� )#���*

� �"��� ������ ����� �����

�1�+��5� ;B �1

�+��5� � �K

����5$�

� )#���*

4��" �1�+��5� � $, �� � �)�1

�+��5� * B �)�1

�+��5� *� 5� �! %/ @��������� �+! �1

�+��5�

�� ��� ������ �/ )#���*!

��)�1�+��5� * � �*�)�)�K

����5$�

*� ' ' ' � �)�K����5$�

**� )#���*

N� ��� � ����� � �/ �"� �� 4"��� � ����� )#���* "����� ("� ��� ������

�1�+��5� � ' ' ' � �1 �+��5E ! ��� ����/ �����"�� 4��" �E

�"�� ! ��� � ��%��� @ Æ �� ���� -

��� Æ � B V �� $������ �"� B � �� N� ������� � �"� ����� ����� �����"��� � �� @ Æ� ("� ! � � <<*! 4� ���%���" �"� ������ � �� ���

�������K� � .�

N� � ���� %/ ���� ����� � �"� B � �� �������%��� <� � � �� �� �-

�� �"� � �� �������! � �� � � � �! �� "���� �"� �&���� �1

�+��5� � �)�1

�+��5� *!

- B �� ' ' ' � T� ("�� � ����� )#���* �� %� ����&���

��* :�4 ������� �"� � �� �-��� ("� ��� ������ �K����5$�

! - B �� ' ' ' � T! ��

��%��� @���� ("��� ������ ������� �"������ ����� ����� �K����5: � ����� 4"�"

�� �� ���/ � ���� �� � �� @���� �/ @��������� �+! �K����5: �� ��� ����� �"�

�� � �� �� � �"� ����� �����

��� ;B ��� � �� � ���( ��� ���)�( ���*� ��( ��� � ����� � @����� )#���*

�/ )#��*! �� $ ���� 0�� �)�K����5* ;B �-)�)�K

����5$�

*� ' ' ' � �)�K����5$�

**� ("� ��� ��-

���� �K����5 � �K

����5: �� ��%��� @�� N� � ����� �"� ����� �� ;B ��� � @��

("� %�� ��/ �� �� �� ������� �� %/ �"� ��� �� ������ �����"� �� �� � �

�� � ���� � ��K ����5�! � 4"�" �� ����� ����� �� �K����5� 0�� �1! �& %� �"�

���"��� � ���C���� � �� �1�+�� � �&

���� ! ����������/! � �� ��� �/ �������� !

Page 218: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��# ��� ��! 7� ����#�� 8����

�1 ���� � �� $� � %/ )#���*! ��)�1�+�� * � �)�K

����5*! � "� �! %/ )#��'* �

)#��+*! �)�&���� * � �)�K

����5*� ("�������! %/ )#��,* 4� �%�� ��&� � + 8Q ��K ����5�!

4��" + 8Q � ���,� ("� �� ��" �� �"� ���"��� � ������� � �� �& � �� �� ����

%/ ��&�� � 8-Q ��K ����5�� ("� ��� 9 ;B �)�&��* �� %�� ��� %/ 8- 9 � ��6�:F ! �

�"��! 8- 9 � ��'� � 9 � ���,� N� �� ��� %/ �& � ;B �& � �K����5� ���"�� �� �"�

���� * ;B �)�&� �K����5: *! �� *

� ;B �)�& �� �K ����5: * �� 9� N� ������� * 9� ("� ��"���� %� ������ � ������ 4/� �/ �"� �������� �� )#���* � %/ )#��*!

�&����

�K����5: �

� �)�K����5: *� ("��

�� ��K

����5: � � + 8 * ��&�! 4��" + 8 * � + 8 9 � ���'� 0��

$ ;B �)�&� �&���� * � + ;B �)�K

����5: � �&

���� *� < �"� ��"���� ��� ��� )*� $� +� ! B ��Æ*

4� �����

+ 8 + B + 8 * + 8 $�

$� � * 9 � $ Q! �� �����4� �"�

+ ���,�

� �"�������! �� � �&����

�K����5: �

� �)�K����5: *! �� "���� �"� �&

���� � �)�K

����5: * 4"�"

� ������ �"� �������� �"� �K����5: �"���� %� ��� ������ ("�� �� � �"�

� ��� � ����� )#���* �&���� �� ���� �)�K

����5: * �

��� ("�� B � �! � "� �!

�"� ��� . "B 3�

("�� 4� "�� ���%���"�� �"� �"��� ������ � ���� � � ��� �������K� � .���

� � N�� �� �� �"� ������"� ��� ���� ��"�� �� � � � ��� �� ����� ���� �

����� � �����

< ����� �� ��������� �"� �� 4"��� �1+� "B �&�� ! 4� �� ���� �"� ��-���� ��� � ��������, � �������� �� 2����� ����� �� �/���� � ;B ��?�� ' ' ' � �?���! ����� %���� B �� �� ���, �� ��� �� %/

�*� ;B �?�� � - �,�*�� ;B �����?� V ' ' 'V �����?�� V ����?���

("� %��� ������ �*�� � - �,! �� �� ��� ����� ������! � "� �! �� ���������� N� ������ ��*���� B ��'##�� ("� ��� %��� �� �%�� �� %/ �� B )���*�� � �"��

�* ��� B ��?� V ' ' ' V ��?�� V�

����?���

Page 219: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

7��� ��? *��&��!#� #���!#���� 3�! �"��#$��� ����#��� ��'

N� �������� ���, � �� �/��� ����� ����� �� �* ���!

��"��� ;B ��( � ���, � �(�* ��� B A� A � ����

�/ � ������� ! �"� ����� ����� �&����� ;B �*�� �� ������� �"������ � �

����� � N� �����-

�� � �"� ����� ����� �1����� ;B ��&

����� � , �

����� � <� %�����

�1����� B ���#�?� V ' ' 'V ���#�?�� V ����?���

4"��� �)�1����� * B ���#��! � �&

����� �1

����� B ���,##�

$� � �1����� �� �"� ������� �"������ ����� ����� 4"�" �� �� ���/ � ���� �� � ��

�*�� ' ' ' ��*��! �� �� ��� ������ $� �

�&����� �1

����� � �)�1

����� *�

�� �����4� �"� �&����� �� �� ��� ����� ��"���" �� �� ��������/ �"������ � �

����� �

0�� � - �,� < ������ �"��� ����� �"� �# �� ��� ��� ������ (�*�� N� ��� �"�

���!++� ��� ������ � ������ %/ ��%���� � ���� �&

����� � ���� � �� � ���� �� �� �"�

�*�� ("� ����� ����� �1����� ��&

����� �� ������� �"������ � �

����� � �� ��� ������ ("�

+'!'�+ ��� ������ � ������ �� ������ %/ ��� � �� �1

����� � �&

����� � ���� � �� �"�

�*�� ("� �!#�� ��� ������ � ������ �� ������� �� %/ ��%���� � ���� �1

����� � ���� '

�� �"� �*�� ("� '+!��# ��� ������ � ������ �� �%�� �� %/ ��� � �� �)�1

����� ��&

����� * �

���� + �� � ���� � �� �"� �*�� ("� ����� ����� ��1����� ��&

����� �� �"� � ���� ��� �����

� �� ��� � .������"��! �"� 6��� �78 �������"���� �� ���, "� '�'!'�� ��� �������

("� ����� %��� � ������� �� ��� ����� . B ��� 4"�" ������� �� �� 3� �4� � ������ ���� ��� �! ����! �"� ���� �� �� �"� ��� ����� /��!� - ! �� �������� �� ��� <� �� ���� %�� �� ��� �"� %��� ����-��� �� � �� ������ ���� ���� �� �������/ ����� �� � �"� ��� �������

�� (�& �������� ��������� �� ��������� �������

$��� /��� �� ���� ������ � 3���4 � �� 4"��"�� %��� ������ ��� ����/ �����4��" ������ �� 4"�" �"� ��� � �/�����/ ����� �� �"� ����� %� ������� ���!

Page 220: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��+ ��� ��! 7� ����#�� 8����

� ���)��*! %/ ������ �� �� 4"��� � ����� �� ��� � �� �� <� ��� � ��� �"� �"���� � �� ���� ��� ������ �� ��4 ���� ��� �! %�� �� ���� � �� ��� )��� ������! ������ ��� �� � �"� 0��" ����� [��*� ?�� � ��������� �� �"� �������/ �� �"���"� ��� � ��� �� �� ��� � �"� ����� � ��� �� �����%�� %���4� .�� �� � �����-����� �� ��� � �� ����� %��� � �� � ��� � � ��� �"� ��� �� ���)��* ��"� ����� �� "����"������

>�� %��� � B ��$�� � � � ��$�� �� ����� � � ��! 4� ������� � �"� �������������� 4"��� ������� �� �"� ��� �� �)(�� � � � � �(��*�� ("�� �� �� �"� ������ �� �� -��� �� ���� �� �� .� �� 4��� �4 ! �"� 6��� �78 ���� �� ����� �� ��� �"������� �� �� ��� �� ���� �� ��

("� 6��� �78 ���� � �� � � �"� ������������ �� �� ��� � �/ 4"� �"� %��������� �� ���4��� ���"��� �� ("� � ��� �� �"� 4� �4 �����%� ���� ������ �%��4�� �"��� �4� ���� � � �"� �� ��� ���

(� ����/ �"� ������ � %��4�� � � ��! 4� �� ��� %/ ;�� G�� U� �"� ��������������� � ������ ��" �"�

� $ ;���� � $ G���� � $ U���� )#���*

$� � � % � % �!;� G� U�� )#���*

("��� �"��� ��%��� �� �"� %������ ����� �� �"� ������ ���� � �� 3� �� �"������ ������ �� �� ��� � �! ����������/� N��" ������ �� �"� ��� %���! �"� 3�!� - ! �� �%�� �� %/

3� B �$�� ��� )#��#*

("�� �"� �"��� � ������ ��� %� ��� �� �;

;� B �������5&:��

��$�� �8�� G� B �������5 &8��

��$�� �K �� U� B �������5&6��

��$�� �+�� )#��'*

( � � ��� �" �"� �� ���� � �"� ��� �� �� �� %��� �� �! 4� �%�� �"� ���� �"���� �����-����� ����� � ��� ���

;)�* B �� �� �� ;�� G)�* B ��

�� �� G�� U)�* B �� �� �� U�� )#��+*

("� � ��������� ����/

Page 221: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

7��� ��? *��&��!#� #���!#���� 3�! �"��#$��� ����#��� ��,

;)�* G)�* U)�*� )#��,*

.� ������ ������! 4"� � � �� �� ���! �"� ;)�* B G)�* B U)�* B �� .���!4"� � �� ���� �����! � "� � � B � ! �� �����4� �"� ;)�* B G)�*� < �� ���!�"� ����� �� �"��� � ��� �� �� ����� � � %� �%������/ �����

N� ��� � �"��� ����"�� � ��� ��!

Z; B �� &$����

��&:��

��B��8 �� ZG B �� &$����

��&8��

��B� �K �� ZU B �� &$����

��&6��

��B��+ �� )#���*

("� �� �� �� ��� �� ��� ���� �B�;! " � �Z;� ZG� ZU�� :��� �"� �B�; �� �� � ���� ��� �� �������/ �"� ��� ��� �" ���

N� "��!� Z;)�* ZG)�* ZU)�*� )#���*

("� � ��� � Z; �� &��� �� �"� ������ �� � �� �� �� ���� ��� >���"������!

Z;)�* ;)�*� ZG)�* G)�*� ZU)�* U)�*� )#�#�*

("� �������� � ���������� �� Z;� ZG! � ZU �� �����"����4��� ("� ����� �������( � � �� ������%���� � ������ �/��� �

�"�&$�

����� ����� �� �"� ��� ����� �����

�B�

��"�&$�

;B ��( � � � �B� �( B A� A � ���� )#�#�*

. / �� ����� �& � ����&$� ��� � � �/�� � �� �"� ��� �/�� %���� ("� �� ���� ��%�� �� �/��� 4"�" � �� �� �"� ����� ������ �� �"� ���� ��� � � ��! �����-�����/! �Z; V �� �ZGV �� �ZUV ��

("� 6��� �78 ���� �� � �� � ��� ���/����! � ���� � ����� �� 4"�" ���� �� %/�� ����� � � ���-��-��� 4/ �!�$���� ("��� � ��� �� �����%� ���� �������� �������� �� �"� 6��� �78 ���� �� N� ��� � ����� ������/ ���"� � �"� � �� ��6��� �78 ���� �

���"� ;B

&? �� ���� ���

�V �( �"�� )#�#�*

("� �/�� �������� �� ��S��� � �/��� �� �%�� �� ���� � � ��"�� %/ �� ����� ��$� � �"� ���� � %/ 6��� �78 ���� � �� ���-��-���! � � 4���� ����� �"� �/�������� ������� �� � �� �4� ����� "��-���� 4��" ����/ � �������� ! %�� �"��

�� �� �� ����/ ����� >�� ������! ������� �"� ZG B �! � ��� �K ��� � ����&$�

("�

Page 222: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! 7� ����#�� 8����

6��� �78 ���� � � � �V �K ��� "�� ���� ��� � ����� � ���K ���� ("�� �"�

�����"� �� � ����� � K ��� ���� �� � ������ / �� �"� 6��� �78 ���� � �� ������

N� � ������ ���� �" � ��� � 4"�" � �� �"� ��� ���� ��� � � ��� ��� ���0�� )� %� �"� ��� � �/�����/ ����� �� � )�� �� �"� ��� ��� ��*� >�� / ��� �������� �� � �� �� � � �� 4� ��� � �"� ��&�� �������

A)��� �� �* ;B ���5�� �

������ �������� )#�#�*

>�� �" %��� � ;B ��$�� ' ' ' ��$�� �� � 4� ��� � �"� �������� � ����� =� %/

=� ;B �����5���

A)�$���$�� *� )#�##*

( � � �"� �� ���� �� =� � �"� ��� �� �� %��� ��! 4� �%�� �"� � ��� �

�)�* B �)��* B �� �� �� =�� )#�#'*

N� "�� �� /�� ��� � ������"�� ��� ������ � �" �� �"��� � ��� ��! %�� ��� ������ ���"��� 4� "�� ������� �"� ����� �� Z;� ;� ZG� G! � � ��� �� �"� ���� � 4���"� ������ � ��� �"� 0��" ����� [��! � �"� ����� �� ZU � U ��� ������ �"��� .�� ���� � ��� �� �� ���� �� � ��� �"� ������ ;�! � �"��� ����! ���� �� )4"�" �� "����"��� �� ��

�*� N� ��� "�� Z; B ; B ZG B G B � B � ��� ��

� ���! � #! � ��� �� � ��� 0���� ����� �� �"� � ��� �� ���� ���� 4"�

� #; ��� ��! ZU B � ��U B 9�� :� >�� ��� � ���! Z; B ; B � B � � ZG B G B �1��� ��� 4� ��� "�� ZU B U B �� >�� �"� ����-��� ����� ��! �"� ���� �� �" �� �"����� � ��� �� �� �1 4"��� ��� [��! ��� ����-���! 4� ��� � Z; B �! ; B � B � �� #! � ZG B G B ZU B U B #�

>�� �" ���� ��� 4� �� ��� %/ �� �"� ����� ���� �� �)�* � �"� ���������� �� ���� ��� � <� 4���� %� �� � ������ �� ����/ �"� %�"���� �� �"�� �� ��� �I� �� ���! 4� "�� � �/ %�� %�� �� �"�4 �"�

'� �� B �1 � +� �� � 9��:� )#�#+*

>�� ������ � �"� ���� �"��� � ��� �� )#��+*! ;)�*! G)�*! � ;)�*! 4� "�� ��-������� ������"�� . %��� ��� 4"�" / �� �"��� �� �� �� ��� �� �� ��� ��%� �������

��;� �� �� ������� �������� �� �� ��(�� ���( ��� � ���� ; �

Page 223: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

7��� ��? *��&��!#� #���!#���� 3�! �"��#$��� ����#��� ���

��$����% ������� (���� . ����� %��� �� ��� �� %� ������ �� �� �� ���&�� �"������� �� ������ �� �"� ���� � �� �� �� ����� ������ 4��"� ���� %�� ��� ��� ������

("� � ��� �� ������ %��� 4� � ������� � �#�)���� <� ������ �����/ �������"� ��� ������ . � .�� ��" �"� Y�"? ;B (=).�"?���.���"?*� �� �� ���! 4"���

� B ��

,?().*� N� �%��

Y�"? B �� ������--�

(=).� � ��)��*?.����*� )#�#,*

)? �� �"� �� ����� �� *� ("�� �� � �"� �� .�"? � �.���"? "�� �� ��� ������

���� � � �"� ����� ,?(.� B � � �"� � � �� �� ��������-��� ��� ������ �����)��� #��*�

�������� ("� ��� �����. )#�,* ����� %� ��������� N��" ������ �� �"� %���� ! �"� ����� ������ �������� �� �"� 2����� ����� �� �/���� �� ���� �� ��������� � ��

�( � B )��� *? �(�

< �������! ��� �"� �� ������� ��� ������! 4� �%�� ��� )#��'*

;� B G� B ;� B ��

("�� �"� %��� � �� �� /�� ������! � 4� ����� ���� �"� �� �"� �"� � �����.�� �� �� ���� %�� � ������;

��� E

������������

1 �= 7 �# 7 �7 7 17 �! 7 �! ! �! �=

# �= > �7 7 ## �! 7 �7 �F

7 �! > 77 �! �=

7 =:

�� ,#�#:-

("� ������� ��� �� ������ %��� 4���� �������! � )#�#,*! ���" �� � ���� �������� � � ���)��*� 5�4����! �� �� �4 �"� / �� ��������

%� 4����� � ������ �� ������ �� �������� � �! 4"��� �" �� �������� ����� �� �"����" ��" �� �� %��� ������

�$�� B �$� (�$� � � - "B % � )#�#�*

N� ���������/ ���/ �� �������� � � �����/ �"� Y�"? � )#�#,* ���� ������ �����" �� �������� � N� ��� �"� ������ %��� �� �� � ����� ("� ��� �� ����

Page 224: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! 7� ����#�� 8����

%� ��� �� %/ ������ %���� $� � �"��� ����� ��� �� �� � )#�#,*! �"� %����������� ����� ���� ������� � �/ ��� ���� ���� ��� �� .���/� � �"�� ������&��� �� �"� ��� ����� )#�,* 4� �%�� !

��� E

������������

7 ! ! ! ! �! �! �!7 ! ! ! �! �! �!

7 ! ! �! > �!7 > �! > >

7 > �! �!7 > !

7 !7

�� ,#�F>-

<� �� �� � ������ �� ��� �"� ������� �� �"� � ����� ��� ����� )#�#�*!

����� E

������������

7 ! > �! �! ! ! >7 > �! �! ! ! >

7 �! �! > �! !7 ! > > �!

7 �! > >7 ! �!

7 �!7

��

("� � � �� �������� ����� ���� 8 �� �������� �

B ::�� ' ' '��

��

� E

������������

�! > > ! > > > �!�! ! > ! > > > �!> > ! > > > > >> > > ! > > > >> > > > ! > > >> > �! > > ! > >> > > > > > �! >> > > > > > > !

��

N��" ������ �� �"� ������ %��� )#�'�*! �"� ��� ������ �(! �������� �� �"� %���)#�+*! �� ����� ���� � ��

�( � B )��*? �(�

Page 225: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

7��� ���� ;�&=A ����#���?#�� �� 8��#� #� ���*���!��#�* ��� � ���

>�� �"� �� ������� ��� ������! 4� �%�� ��� )#��'*

;� B G� B ;� B ��

.�� � �"�� ����� ����/ ���"� ��� ������ (�K$� ! � - �! �" � �� � � � ����� � � �� �� ����� � � ������� -�

�� (�� 2�3) ������ &��� � 7� � �� ��� ���������� �� �

����� 1���������

2� 4/ � $�� � "�� ��� � ����� � %������� ������ �� ��-���� ��� ������ �! �� ����� %/ �"� ��� � �� ��� �"������ ������! %�� 4��" � ����� %���4��" �� ��� ������ � �� N� ����/ "��� �"� �� ��� ���"�� ��� %����� � ������������ � ����� �"� �"��� �� � �����%�� ������� � ���� �" �� ���� ��� ��

? � � ������ �"� ��� O 4"��� ����� �� �� �"� �)� V * ������ (�1�� � *� $� +� ���� � � � � (�&�� � -� %� �� ��� � � �����/� � �"� ������ �;

�* "B $� - "B %� �)�1�* B �)�&�* B �� )�1�� �1!* B L� )�&�� �&�* B L�� )�1�� �&�* B !� )#�'�*

� � � �������� �"��� � ����� �;�* O �� ����� ����� � �� ���� ��� �V � �1�* O �� �"� ��� �� �"������ ������ �� �1�* :� ��%��� �� O ���� %��� �� ��:��� �"� �� � � � �� � �! �"� ����/ �� �4� ���� ��� � ������ �� �������! %���� �� �4 ���� 0�� �� ������� )��� 2"���� ��'��* �"� ��� �4� ���� ��� �������! �� � �� �� ���� � ���! � � ����� %��� ���� ���

N� � ������ �"� �����4� � ����� ; � �� �"� ��� ����� ��� �� �� %/ O � N���� �

�1 B�

�����1�� �& B

������

�&�� )#�'�*

� ������;

�)�1* B �)�V )�� �*L*� �)�&* B )�V )� �*L�*� )�1��&* B �!� )#�'�*

������� �,

Page 226: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! 7� ����#�� 8����

. �����/ � ����� �� �����/ �* �� �"� �"� ������� � �� �"� ���� .)�1�� �&�*�� �"� �V ������ �1�� �&� � ��"�� %�� �"� � . B �V � �� N� ������ �"��������� � ���� )#�'�*;

� B ���.)�1�� �&�* B )�� L*��)�� L�*��� ���Y)��*� )#�'#*

4��"

Y)��* B

��V )�� �*L !

�! �V )�� �*L�

�� )#�''*

������ )#�'�* �"�4� �"�

Y)��* B )�*��.)�1��&*� )#�'+*

$� � "� ���� ��� �V � � 4"�

� � �L�� � � �L��� )�1V 6�& B �� )#�',*

4"��� ) � 6 �� �4� ��� ��%��� 4"�" �� �� %��" &���� <� � � �� �"�� 4���� %�&���! ��� � �� � 6! �"� �1 B � ��! ���� )#�'�*! L B �)�� �*���1 �"� � ������ �1��� ���� �"� 4���"� ����� �*

�� �� �"� ������ 0�� ���%� ���� ("� � ����� ��* � �* �� ������� %�� �* �� ��; � ���� / ��� �� �� � ������ �1� ���� %����� �*

�� � 4��" �"� ��� �� �"� �&�A� 4� �%�� %��� �� ��

$� 4� �� � �������� � �/ � �"� �� )6 "B �� <� " B )�6 �� �� ���� � ��%��!� � ����� �"� �"��� ������ ���� � ��%�� "

3 ��" �"� /)"� "3 * �� �%����/

���� )�� �"� ����� ')/��* 4"� / �� ����* �� A�1 V /�& B /)"3 �"*�1 �� �%����/���� �����; �� O ���� �� �� ���� ������ $� � ����� �* �� ������� 4"� )#�',* "���� 4��" ) � 6 �� �4� � &��� � ������ �"� 4� ����� ��������/�����! ����

)� 6 � ��� )6 "B �� )� 6 ��������/������ )#�'�*

<� �� ��/ �� �����/ �"� � �����! ���� )#�',* � )#�'�* ����/ � ����� �*� (�������&�! 4� "�� �����

���������� �� ��������� 5+ �� �'�������� �� );(CA+ ��� );(CB+(

������ � )#�',*! )#�'�* �������! 4��" �"� ��� �� )#�'�* )6)�1��&* B �)6! � �� < ��� � � �"� ��� O 4� � � �"� � �� ��� ! � � � ! � )#�',*! ) � �! 6 � ��

3������� )#�',* � )#�'�* ������ �4� ������ � %��4�� �"� � ������ )! 6! � �!! �� L� L�� !! �"� + �������� ��� � � �"� ��� O �� ������� < ����! �"� ������

Page 227: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

7��� ���� ;�&=A ����#���?#�� �� 8��#� #� ���*���!��#�* ��� � ���

)�1V6�& B � ������� �"� ������ � �� �E B 6���1 B �)���&� I�� � �)�E* B 6���)�1* B)���)�&* � )��6���))�1V 6�&* B � 4� �%�� ;

�)�E* B ��!

)6� �)�1* B ��)��6!� �)�&* B ��)6��!� !)6 � �� )#�'�*

2����� � 4��" )#�'�*;

L B � ���9���G

��� L� B � ��9�G��

���� )#�+�*

3������� �E � �1 � ����! %/ �"� ������ ������"�! � � � � �4� ��������/

����� � ������ ;� 0 ��" �"� � B ;6� 0) B ���� ! 4��" � B

�; )0 6

�1 ��

;�1V 0�& B �E� )#�+�*

�������� �, �� �,

N� �� ��� ����������/ %/ � � �� �"� ��������� ������ �� �"� *� $� +� �� �-� %� �� �� � ���� � %/ ���)�*! �"� �4� ����� � ����� �� ����� %/ ��=���� �"����" �"� ����� ! ���� " �� � �"� ��� �� �� ������ �1�� �&�� ("� �����

� B � �� ���)�* )#�+�*

�� �"� ������ ����� �� �� �� �� �������� � � ��� 4"�" �� ������ � �� �������"� ��� O ! �� ���� � ��� ��� �� $� � �� �"� �/�����/ ����� �� �"�� ������

���� 4 1�� ��� �� �V � � ������� ���������� �� � ������� �1�" � � �������

�&� ��� ��� ������ �E" ����� � &���� �� �(

����� >��� �"� �/�����/ �! �� �� ���� � �� ����� �"� �"� ������ �1�� � � � � �1��!�E! �&�� � � � � �&��� ���� %��� �� ��

$� � O �� ����� �"� �����! ����/ �> � � %� 4����� ) �� � �����/* � �"� ����

�> B�

����3��1� V

������

4��&�� )#�+�*

���� ��" ���������� �� �> 4� ��� ��G�Q�

�B ���

�34�

����� G� B 63 � )4�� Q� B �03 V ;4�� )#�+#*

Page 228: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��# ��� ��! 7� ����#�� 8����

("�

G� �E B G� �E V Q�))�1V 6�&* B )G�; V Q�)*�1V )G�0 V Q�6*�& B 3�1V 4��&� )#�+'*

5� � �"� �����������

�> B������

)3� � 3*�1� V G� �E V�������

)4� � 4�*�&� )#�++*

4"�" ���� ����� �"� �1�� � � � � �1��� �E��&�� � � � � �&��� �� %��� �� ��

���������� �4 9��� ��������� 5+ �� �����-��" �)� "B � "B �6� �� �'������� �� �����,

���� !+ )�� ��&��� �� ������� �� O ���� � &���� �� �+(

N� � ������ �"��� " � ��� �� ��� � ����/ �� %��� �� � )��� )#�'�**;�)�>* ;B ��1�� � � � � �1��� �>� �&�� � � � � �&����1 �> � � �� �� ���/ � ���� �� � �� �"� ��"�������� �� �)�>*�

I� �� �/�����/ � �! �"� � �/ %��� �� � 4� ����� ���� �"� ��� �� ������O �� �)�1* � �)�&�*� I�� � �"� 4��� �4 ���������� �� ������� ��! 4� "��;

; ����)�1* V 0 ����)�&�* B ; ����)�1* V 0 ����)�&* B ����)�E*� )#�+,*

)����)�1* V 6����)�&�* B )����)�1* V 6����)�&* B ����))�1V 6�&* B �� )#�+�*

("� ������� �� �"�� �� �� �/���� �� �4� ������ � ��;

����)�1* B 6����)�E*� ����)�&* B �)����)�E*� )#�+�*

("�� �"�4� �"� %��� �� �"� �/�� �)�1* )����������/ �)�&�** �� ���� � ��! � � �/��! �)� B � )����������/ �6� B �*� ?�"��4��� �"�/ �� ���� ��%������ �� � �� � ����6� )����������/ �)�*� �

N� ������&� �"� � ����� � �%�� �� � ) � 6 �

)� 6 � ��� ) � �� 6 � �� L)� 6M B �� )#�,�*

4"��� �"� ��� ������/ �� �"� �� ��� ����� ��� )! 6 ��������/ ������

Page 229: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

7��� ���� ;�&=A ����#���?#�� �� 8��#� #� ���*���!��#�* ��� � ��'

����� & ��������� ��� ���

N��" �"� ������ 4� "�� �%�� �� �� �� �4 4� "�� �� ������� �"� � ���� ���%���� �� ������� �

���(���' ���� �"� ����� �" � � ������ ��� )� 6 4��" L)� 6M B �! / ��� �������� O ��� �� %/ )#�'�* � )#�',*! 4��" ! � � � L! L� ���� %/ )#�+�*!�� ����� �V � �-���� ��� � ����� � %�� ���� �� � �� %��� �� ��� >� ��"� ����� �� ��� )� 6 � �!��� � � ��" �"� O %� �"� ��� �� �"������ ������ ����

:���� �"� �"� "��� �� � � � �� �%����/� $� �� 4� �� � �������� � �/ �� ��� � �"������ �� �� ������ �! 4� � ������ �"� �������

! B �!��� � �� )#�,�*

<� �� ���/ � ������� � �� "�� ������ �"� ������� � �� �"� ���%��� �� # � ������ � � � � � �������� ������� ! � ��

2� 4/ � $�� � ������� ��;

� B ,� B '� ) B �� 6 B �� � B +�� ! B ���� L B '� L� B ��� )#�,�*

<� �� ���/ ��/ �� 4���� �����/ � ����� � ��� �����/� � � ����� �*; �����/ 4�����"� ��� �> � �! �> �� O ! �)�>* � �� >�� � �� � ���� �"� ���� �� �)�E* � )#�'�*!4� �%�� ;

! ��G

�� )#�,�*

$� � �1 B 6�E! �& B �)�E! �"� ����� �� �)�1* � �)�&* ������� � )#�'�* 4��� ������ �4 � ����� �! %�� �"�/ ���4 �� �� ������;

����)�1* B )�1�� �1* B �)��6!� )�1�� �&* B !� )�&�� �1* B �!� )�&�� �&* B ��)6��!�)#�,#*

>��� �"� ������ � )#�+�* 4� �%�� ;

)�1�� �E* B )��!� )�1�� �E* B �6��!� )#�,'*

N� �4 "�� �� ��������� � ����� �� ������ �"� �4� �����/ � ����� �;

�)�E ( �1�*� � B �!

)6)�E �6* � �* � � ��6�1 )#�,+*

�)�E ( �&�*� � B ��!

)6)E �)* � �* � ��)�� )#�,,*

Page 230: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��+ ��� ��! 7� ����#�� 8����

$� � )� 6 � � � L)� 6M B �! �"� ������� ��� �� ����� ��� )� 6 �� �! �! ����������/�$� �"� ������ � )#�,+*! )#�,,* ����/ �"� �"� ������� ����� ��� �� �� '! ,!���������/� ("� ������ �"� �"� ���%��� "� � ������� � ���� ��� � �V�� B���

3��� �� ��/! 2� 4/ � $�� � �4 �"�� 4"� �"�/ ������� �"��� ��� �� �������

����� &����� � ���� ����������

N� �� ��� %/ �"� � � � �� ����� � %/ <� �"� � ����� 4"��� ������� �� �� �A�� N"� � B 4� �����/ 4���� <� $� � <� B �<! �"� ��������� < �� )�� ���*! ��

���)" V L<* B "��)"V�L*� )#�,�*

("� �� ����&��� �� �����"����4��1 ��� ������;

���

��"�� V L�<� !��<�� !��<��

!��<�� "�� V L�<� !��<��

!��<�� !��<�� "�� V L�<�

� B

"���� "���

� "���� ���

��"� V��L� ��!�� ��!����!�� "� V��L� ��!����!�� ��!�� "� V��L�

� )#�,�*

$� 4� "�� ������� ��������� ��� �"� ���� �� �"� %��� �)�E* )��� )#�+�**4"� �"� �������� "�� %�� "��� � :��� �"� "� B �� L�� >�� ������ )#�'#*!��� "� B �� L� B � B !�� B !���

Page 231: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

����� %

������������ ��� ��������

$�� �����������

$���� :����� 7��������� �� 7�������������

.� � ������ "�����! 4� �� ��� �"� ��%�� �� �-��� �� -���� ��� � ���/����� %/ ���

("� ����� ����� �� �"� ��! � � � �! � ���� %/ 6��� �78A� %�� ���!�$���! �+'! �� ��� �� %/ �� ��������� ������������ � ���� ��� � #� ��� ������� ��� � � '! �"��� ����� ��������� ������������ 4��" ��4�� �-��� �" ���� %/ �"��� %�� ���

.� 4� ����� �� � ���! �" ������ & �� ��������� ����������� � �� �� ������� ��%/ �"� � �������� �� ����� 0�� ��K$� � � � � � �K$�� %� �"� ��� �� �"� ������� �� � ���������� ("�/ �� ����/ �"� ����� ������ �"� ��� � �"� %�� ��/ �� �"� %���()��&�*� ("��� ������ �� �� ���/ � ���� �� � � ������� � ��%����� �� �"������ � �� � ��� D)&*� <� 4� �"�4 %/ 6��� �78 �!�$���! �++! �"� �"� ����� %�� ���� �"� ��%�� �� ������� �� ��"�� ����/ ��! ��� �" ������ & �� ��������������������! D)&* B �� �/d� �� � �� ��� �e8 �$<���� ��� ����� %�� �� ��� �"�� ��� D)&*�

2 ����� �4 0�� ���������� �D " !" ;" C" @ ��� ��/���� ������ �� ��� ����/ D)&*��� 5" 5" 5" " !" ������������(

��,

Page 232: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

("� � ��� D)&* "� ����� ������ �� �"� ��%�� �� ������� �� �� �������������������� �� ("� ��� ������ ��� � � ������ & �� � �� ������������!�"� ������ �� 4"�" �� ���� %/ �"� ������� � ,?()�K$� � � � � �

�K$�* B D)&*� <� D)&* B �!�"�� ������ �� ���� �� & B)�*� ("� ������ �� �"� �������� 9��� � ������� ( ��C�(��� � >�� ��������� ������������! ����/ 9��� � ������� %��� �� �� V� � �������������������! � �"�������!

& B)(��

(* B )V �*& B)�*�

< ����� ��������� �����������! 4"��� ��� �" �� ��� ������� D)&* B �! 4� ������� ��� ���������! � �� 4� �"�4 �"� �� B ) V �*X ��� ��� ��� ��������������������� )@��������� +�*� >�� ���� ��� � B '� +! �"��� ����� ��������� ��-���������� 4"�" "�� ,�� � +X! � '��� � ,X! ����������/! ��������

("� %���� �� ����������� �! ��� �� � ��#�'! �� �� ������� � ������� . �����%�� � ��� �"� ��%�� �� %���� �! 4� ���� � �#�)���;

2 ����� �� $�� ���&�� �! �� &���� �� � ������������� �� �� ��

�! �����

!�

�V

��$��

N

��� �

B

�"��

��

%���� N B � �� B �" �� N B �� �� B B �" ���

����$

�B � �� � � � B(

("� ����� %�� � �� ��"�� ��� �"� ��� ��� ��������� ������������� ("� ����� ���!! ��� � �! �� ���� %���4�

� � # ' + , � �

�! � + �' �� ��� �++ ���' ����

? � �� �"� �� "������ �� � �"� �"���/ �� ���� �� 4� �"� ������� "�����&-��� �� ������������ %/ 6� �� �!#� ��! � � ���� �� ��/ %/ 33���� ������

2 ����� �5 1 �����/ �������� � �� �� �� � ������������� �� ��� ���� ��

�+ �� �� ���������������8

��+ ����� ����� �� �� �� ���������������8

���+ ����� &��� �������� �� ���� �� ��/ ������(

Page 233: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>��� �!�������� �� ���

>�� ������ � ��������� �� ������������ 4� ��� �"� � ��� �� �"� &� � �� ������������

��$����% )�� 1 *��� � �� � ������������� � �� ��� ��� �� ��� ����� � $ � ����

��� �������� �� � ������ �2 � � ��" ������ *��� ������"

� ;B �� $ � � � � �2 ���

("� ���� ���� �� &� � � ��� �� ���� %/ ��� &� � ����� �2 � 4"�" "� �����-�� ���� %/ � ����� ���� � �� �� �������� �� �"� ��� %���� . &� � � �� ��� ��%� ������ �� ����/ �-�� �� � � �� � ���"�� �4� ����� �� �! �� ���� � �� ?�"��4���� �� ����� ("� ��%�� � 6

� �� ����� &� �� �� ����������� � �� ��

� 6� �V �

�� )'��*

("� ����� %�� � �� )'��* �� ��"�� ��� �"� ��� ��� ��������� ����������� �� �"�4���"� ����� ;�

� )�"� ��� �� �"� ���� ����� ;�*� <� ������� �� �� �"� H�/����� ���H �� 6��� �78 �!�$���! ���� S� 5�4����! �"� ��%�� �� ��� &� �� �/%���� ����� < ��! �"� ���� ����� �� "� � �/ ��� &� ��! � �"��� ��%�� ���,+� )��� (%�� ��*�

("� ��������� ������������ �� �4 �� �� ���� ��� '� $�����&� � �"� ��������%�� �� %/ >������ �5# � �! 6��� �78 �!�$���! �� ��� �e8 � �/d� �� �%�$����! � ����#�)���! � � ��� � ����"� "� �#�)��&� 4� "��

2 ����� �� .� ���������� �" ����� �/���� 5 ���&��������� ���� �� ���������

���������������( 0�� B #� '" ����� �/��� !" ��� " ������������" ���&���������

����� �� ��������� ��������������( 0�� B '" #5 ����� ��� ��������� ���������(

$���� "�� 8�� �������� ��������� �� 7��'�����

("� �-��� �� ���/���� �! �� ������/ ������� 4��" ������ �� � ����� � ("� �-��� �� �! �����"�� 4��" �"� ����/ ��� �3�! ������� � �"� ���� ������� �)�*� >�� /�4� ��� � � �� �� �)�*! �"� ���� ����� %�� � �� ���� %/ �"� �-�� �! C �& ��"�� � ���� �� ("� �-�� �! �� � ���� %���� ��"��4��� �"��� 4���� ����� ���� ;B �! � ��! C �& �� � �"��! � 4���� �� %� �� ���� ("� ������� ��4�� %�� ��� ���� %/ �"� B-�� �" B � � ���

Page 234: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

��$����% ���(�������� ���� $%� ��������� � ��� �� ��� ���&�����������

�'��������" �� 6�!# �" ��� &����� �� ��� ���� ���&��������� ����" �� ����� �/����

� ���&��������� ����������� 0 ; �)�* �)��*�

("� ��%� ����� �/�� �� � �� �� ���� %/ �"� ����� ���&�� ���������� >�� ��S��� ���%� ����� �/��� "�� � �"� ��� �"��� �/�%��! 4� �� ������� .! ! �! % ' ' ' ������� ����" �"��� N� �� ��� %/ �� �"� ��%�� �� �-��� �� � 4"�" �� "���� ��< � / ��� �"� �"��� �/�%��! 4��" �"� ������ �� ���! � �����/ "�����&������� ���� �� �������������

>�� / �! � � � � ! ��� ,���� %� �"� ��%�� �� �-��� �� � 4"�" "�� ��%���� ���

K���� )� � �*-���! - B �� ' ' ' � =� ("� �-��&���������� ���&�� �� ��� �� %/

K������� �

K������� �

' ' ' K ������� �

4��" K���� � K

���� � ' ' ' � K

���� � N� ���� ��4 ��/ �������; ("� �-��%���� ���

�/�%�� �� �"� �-���� ��� � �%���"���� �� #�+�� ("� #-���� ��� � �%� "��"� �-��%���� ��� �/�%�� +�! � �"� �-��%���� ��� �/�%�� #���

< ����� �� �����/ ��%� ����� ������� �! �"� �-��%���� ��� �/�%��� �� �����-�� �� ��� � B )� �*� ' ' ' � �� ("� � �� ��� �� �"��� ����%���� ��� �/�%���4� �� ��&���������� ������� ("� ��%���� ��� �"��� ���� �� "�����&� ���/���� � �����/ � ���� ��� � � �! %�� �� �� ���� � ��� ������������ � ��

��� � ���� ,! . � ���� "�����&��� �� ���/���� �� �%�� �� %/ �"� � �������/���� �"��� �����%�� � �#�)���� <� ����� ��� �" ��� ��� ��%���� ��� ���-���� � � �����/ ��� �� ������ >�� / ���/����! �"� ��%�� �� ��� ��� � �������/���� �"���� �� ���� �� �"� ����� �� ��� ��%� ����� �������"��� ������

$���� >�� 8��������

. ������ � ������� � �"� �������� �� � -��������� ������������ �� *���

������������ �/ &� � � ����� �$! 4� � ����� � �"� ������ �� � ���� �����/ ���� �� ����� &� � �6 %/ �"� ��� � �� ��� �"������ ����� .� ������! �"�&� � %����� ��� ! �� � ��"�� ��������/! %�� �� ���������� �� �����������! ����� � ("����� ��! �� �� �� �� � �"��! �"� ������ �� �"� &� � � ����� �� ����������� �� �� ��S��� � ��%� ����� �/�� �" �� < �� ���! &� �-� ����� ����������� �� 4��� �� %� 6��� �78 ����������� ��� �� � 4�� <� �������� � ��� &� � � ����� � �� ��4�� ���� ��� ! �"� �� �� ) � �*-���� ��� � ������������

Page 235: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>��� �!�������� �� ���

. ����������� �6 �� ��� �� %� ������� ���������� �� �� ��� &� �� �� ��� � <� �� ����,������ ����������! �� �" ����"�� � ����� ���� �� ������ � �� ������������� ��4�� ���� ��� � . ����������� � �� ��/���� �� �� �� %� �%�� �� %/ &� �� ����� �� / ��"�� ����������� � �"� ��� ���� ��� � .����/ � ���� ��� B +! � �"� ���"%���"��� �� �"� ��� ������ �� �"� ���� ����� �� � ��� �������� ��� ! �"��� ����� ������������! ��� ��� ��� ��������� � ��! 4"�" �� %��"����� � � -� ����%�� )��� ��� '����*�

�" ����� ����������� ��� �� ������� *���,����������� ������� F)�* %/� ���� � �� ��%� ��� � �� ����� &� ��� ("� ����� �� ������/ ������� %/ �"� ��%�� �� ����� &� ��� >�� / �4� ������������! �! �� � F)�*! �"� ���� ����� � ������� ��4�� %�� �� �� ������������ ��� �� %/ �"� � �� � � �������� !����������/! �� �"� ����� &� �� �� � � ���

�" ��������/! �� �����/! &� �-� ����� ����������� �6 ��� �� *���,����������������� �F)�6*� < �� ���! &� �-� ����� ����/ �� �"� � �� �� ������ &� �-� ����� ������ 4"�" "�� �"� ��� ��%� ����� �/�� �� ��������/! �� �����/&� �-� ����� �����������!

�F)�6* B %�������� ���

� ��

F)��*�

("� ����� � &� �-� ����� ������ ���4 ��� ��� � �� �"� �������� � ����%� ����� �/����

��$����% ��������� ���� $%� �������������� � ��� �� ��� ����������� �'���,

�����" �� 6��?�# �" ��� &����� �� ��� ���� ����������� ����" ��

�+ ����� �/���� � ���� ������� ����������� C ; F)�* F)��*8��+ ����� �/���� � ���&��������� ����������� ��� ���� �� � F)�*" C ; �� � ��� 6�!# ��(>�� ���� ��� � � ' �"� �������� �� ������������ � �� � ����� �/���!� ������� � �#�)���! �� ��� ��� � �� �"� �������� � �� ��%� ����� �/�������" �������� � �� ��� ��� #� ("� � ����� �/��� �� � ����� �%�� ��� �/������ �������� �� �� ��%� ����� �/��� �� �������������

("� � ���� �����/ &� �-� ����� ����������� � �� 4� ������� �� � �#�)���! � �"��� � � 4��� �����%�� � �#�)��� #�)���� < �"� � � ��! �"� ���� � ����%� ����� �/��� �� �����/ &� �-� ����� ������������ �� � �� �� � � ���� ���� ��� � ����� �� < ��! �"� ���� �� �"� � ���� �����/ &� �-� ����� �/��

Page 236: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

�� ������������ "� ���� ��� � �� <� %� �%�� �� %/ &� � � ����� � �������"�� �� �"� ��������� ���������� %��� �� � �� ��� &� �-� ����� ����/� < � !�"� ���� � �� �"� ��%� ����� �/��� �� �����/ &� �-� ����� ������������ ��� �� �� ���� ��� � �� � � ���� � '� ("��� ��� �� ��4�� ���� ��� � � � �� � '�� ���� � �� ������ � �/��� �� �����/ &� �-� ����� ������������ ("��� ��������� ������&�� � �"� �����4� � �"������

2 ����� �� .� ��" ����� �/���� ���" ��� �� � B " ���&��������� ����� �� �������

*���,���������� ��������������( .� ���������� � '" ����� �/��� 5" ��� �� ���������

B '" ����� �/��� ����� �� ���������� *���,���������� ��������������(

< ��! �"� ��%�� �� ��%� ����� �/��� �� �����/ &� �-� ����� ������������%����� ���/ ���� ������ � � � ������ � .�� � �"�� �"��� ����� �����/ &� �-� ����� ������������ 4"�" �� ���������� ("�/ �� �� ��� 4��" ���� � ������ ��� �� B

�����

�)��� '����*�

$���� >�� � �����

E� � ���� ��� �& �� �"� � ����� ������� �� &� � � ����� �$� . ���� � $ �

�� ������� �� %/ � � ���� �� � � �"�������! � �� ������ �� ��� ���������� �2 � B M��*

�� V ' ' 'V M��*

��! M� � ��! 4"�" �� ������� �� %/ �"� ����� ������

�� �"� � � ��� ������� >�� �� � ��! �� B ���*� V ' ' ' V ���*�! �� "���� �"��2 ��� B M��� V ' ' ' V M���! � )�2 ���*� ������/ %� 4����� � �� �)�2 ��2 ��*��� N�4���� �2 ��2 �� � �� ��� ������ �2 ���2 �� $� � ,?()�2 ���2 �* B �! �� �����4� �"� �2 ���2 �

���� � �"� %�� ��/ �� �� �"� � � )��� '����*�

0�� �6)��* %� �"� ��������-��� ��� ������ ���� 4"�" ������� �� �"� �����/ &� �-� ����� ����������� �6� >�� ����������� �: � �F)�6*! 4��" 8 ����� &� �� �� � &� � ������ �2 �� ! - B �� ' ' ' � 8! 4� "��

�)��* B �6)��* V

:����

)�)�2�� ��*

��

4"��� �"� )� � �� 9� ��� %/ . � .6 �"� ��� ������ �� �)��*! � �6)��*!����������/� ("�

�)��* B �� �.�� B �� �.6��V �� �

# :����

)��2�� � �2 ��

$���

Page 237: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>��� �!�������� �� ���

� �"� ��� ����� ��� �"� ����� � ������� �� � �� �: �� ���� %/

. B .6 V

:����

)��2�� � �2 �� �

4"��� )� � �! - B �� ' ' ' � 8! � 8 ����� ��0�� �: %� ����������� 4��" 8 ����� &� �� � ��� ����� .� >�� ���� &� ������ �2 �� ! �"� ��� ����� .� B .V �2 �� � �2 �� �� ���� ��� �&: �� �: %/ �2 �� ��

�&: B ��:����

��$�:��� B �:�

>�� ���� &� �-� ����� ����/ �F)�6*! �� ��� ��� <)�6* �� �/�����&�� *���

������� �2 � �� �%�� �� %/ � ������ � �� ����%�� &� � ���� ��� � �� �6� ("� ���-�������� �6 %� ���� ��� %/ &� � ����� �2 � �<)�6* �� �

&6 B �� � �

$� B �6�

����� �"� )� �/ %� "��� �%������/! �� �� ���� � �� � ����� ��� �2 � ����%�������� 4��" � ����� ���� � �� � �/� 0�� =)�6* %� �"� ����� %�� � ��� �"� ��- ����� �� �"� ���� � �� �� �� �2 � �<)�6*� $� � �" �2 � �<)�6* �� ������� ��%/ �"� ����� ������ �� �� ��� ������ �� �6! �"��� ���� � �� M�� ���� � � �"�

���� � �� ��� �� �"� ��� ������

�K � N��" ������ �� ������ %��� )��� #����*!�"� �� ����� �� �"� ���� � �� �� �"� &� � ������ �2 � �� ��� �� ���! � ������ � ������ ��� ��4 ���� ��� �� (/����/ ��� B #� ' 4� � � =)�6* B �� �!����������/�

("� �������� ������� � �� %��" ������� �! &� � � ����� � &� � ���� ��� !���4! � ���� �� ��� 4/! �� � � �� ������������ ����� � ���� �"� ��������/ ������/ &� �-� ����� � ��� .� � � ������ 4� �%�� ��� ���� ��� � � ';

2 ����� �� .� ��" ����� �/��� ���&��������� ����� �� �������������" ��� �� ��"����� �/��� C ���&��������� ����� �� ��������������( .� ��" ����� �/��� C ���&�����,���� ����� �� ��������������� %���� &����� �� *���,����������� ��������( .� � " ������/��� 5AE7!A ����������� ����� �� �������������� %���� &����� �� 5#!7A@E ���&�����,

���� �����( $��� &����� �� B; *���,����������� ��������(

Page 238: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��# ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

$�� %�� !�� � � �����.1�"���� 5�������� 6��

$���� 0��������� �� ��� 8�� ��

N� �����%� � ���� ����� �"� � � �� �� ��������-��� ��� ������ ����� 4"�"4� ��� �� � ����#� 5��� 4� ��� ����"��/ ��S��� � ����� � . ������ ���� ����� �� %/ �)��* ;B �� �.��� N� �� ��� %/

�� ;B �. � �)��

� * � �)��* � ����� � �� 0 �5��

�"� ���� �� ��������,��-���� '�������� ������ <�� ������ �� �� ���� %/ � ;B +B 8)��*! � ��� %�� ��/ %/ �� ;B � 0 ���

���� ���"� ���� %��� �?�� ' ' ' � �?� �� ��! %��� �� ���� �� �%�� �� %/ �"��� ��� ������� �?�� ;B �?� � �?�! -� % B �� ' ' ' � ! 4��" �?���?�$ B ���$� $� � . ���/������! . B .�! �� �����4� �"� �"� � � �� %� ��������� �� ��%���

�)��

� * �� ���� ��� �����

�! ��� �� %/ �?�� B �?��� - % B �� ' ' ' � �

< ����! �"� ��� ����� . �� ������� ��� %/ ����� �/ 4��" ���� � �� /��!� -� % � �" &� � ����� �2 � "� ������� ���� � ���� %/ �2 � � �2 ��

? � ����/ �"� �/�����/ �� ����� � %/ � �������� � �"� �/�����/ �� ������ ����� � �"� � � ��� >�� / � ���)��*! .

� B .� �� ���"������/������� � �� .� ("��! �/ � B ����/ �� ���"������/ ������� � �� �/� <� � � ���)��*���� .! . B �.��! �"� �� � �� ���� �/�

����� ������ 4��� ��� �� � <�#� 0�� � %� �"� ����� ����� �� ����� � 4��"��� ����� .! � ��� �� %� �/�����/ ������� � ��! �������� �� ����� %����� �� N� �%�� ������� ���� �� � � ���� %/ �"� �� ��� ������� ��� � ���� N�������� � �"� ������ �� � � ��� $� � � ���� �"� ����� 5! � �"���4��" ����"� ����� �� ����! �"� ������ �� � �� ��%��� �� ����� �/ �"� ����������� �� �"� ������� ���� � �� �������%�� ����! 4� �%�� �"� ���� ��� � �� �"� ������%/ �"� ��%�� �� ���� � �� �"� ��� ��� �������%�� ������� ���� !

� B�

�����

(= ��� � ����

4"��� M �� �"� ����� �� �� ("� ��� �������

(= ��� � ��� B (=� ���

Page 239: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>��� ��� ���� �3 ��#�#��5$�3#�#�� 2"�$!��#� 3�!&� ��'

:��� �"� �"� ��� �� � ��� � � ��� " �� �� %���� N� �%�� �� ������ ���"� ������ %/ ���C��� � �"� ���� �� /�� � �� �"� ��%��� �� �"� ������� .���������� �������� ) �� �%�� �� %/

) B�

�����

��

� � ����

N� ������� �"� ��%��� �� �"� ������ �� ���� ��� �� � %/ � ������ � �"�/�� B /���

>�� / ����� �& � B &��*��� ' ' ' � &��* �� � ��� ���! 4� �� ��� �"� �� ��� ������

�B B �& ���& � � ��� ������� $� � ,?()�& ���& �* B �! �� �����4� �"� �"� �/ ����� �B ����� �"� %�� ��/ ��� 0�� �+ %� �"� ������� ���� �� �"� ��� ���/ ����� � � �����("� )�+ �� �"� ��� �� �"� � � �! %���� ��� / �/ ����� �B! �"� � � ��� Q�������

��Q B&6'&$�&6��&$�

B(���(

���'''�(�

��4(����(

��(

���'''�(�

B����

("�� � �� � � �� ������ 4��" ������ ��� )�+� >�� ���� ���� ��� � ! �"� � � ��� Q �� ���� �� ��� ("� � � � �� � �������� %/ ��%���� �� ���� ��� �

�����

�!

� � �

$���� 7������� �� ��� ��� �

("� � � � %� ������� �� � �� ���� � �� ��%� ����� �/����

��$����% ����� �� ���(�������� ���� .� ��� ���� �" ��� ������ �� ���&�,

�������� ���� �� � ������������� � �� ��� ��������� ���� ��&���� �� ���� ��������

a�)�* B �. � �� � �).* 6�!# ���

�/ a B +B 8)a�* 4� �� ��� ��� ������! � ��� %�� ��/ �� ���� %/ a� B a 0 a��

2 ����� � $�� ������ a �� ��� ���&��������� ���� �� � ������������� � �� �

���������� ��&���� �� �(

����� N� "�� �� �"�4 �"� �"� %����� %��4�� �4� ���"���� � ���� � �� ���-����"��� �� ��S��� � ��%� ����� �/�� �� =� 4���� <� �� ���� � �� �� �"�� ����� ��� ���� � � �/! �"� 4��� �� �"� "/����� �� � ��

Page 240: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��+ ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

N� ���� �"� � ����� ��� �"� ������ � �� 4�� $ a� 0�� a %� �� ��� ���� �("� �� ��" �� � ���� � � ���� �� � ���� ��"�� ��� ���� . � a� ����"� � �"�%�� ��/ a�! � 4"� . "��� a�! %��" ������� ��%���� ��� �� �"� ���� �� �����/ �"�� �� ��� � � ���� V � ���� ���� � �"� ���� ������ &� <� ��� ��� �� � �"� ������ & �"� �"� ������� �� � ��� ����� �K� ������ �"� ������ !

�& ?.�K� B���K ?�.

�K�� - B �� � � � � V �� )'��*

.� ���� � � ����� �"� V � ���� ���� � �"� ������ & 4� "�� �"� �"�������� �

%%%%%%%%%

�/��K�� � � �

�/��K�� �K ?

�.�K�

������

����/��K�� � � �

�/��K�� �K ?

�.�K��

/��K���5� � � ��

/��K���5� �K ?���.

�K���

%%%%%%%%% B �� )'��*

$� � �K�� � � � � �K� ���� %��� �� ��%����� �� � �� � ��� D! �� �����4� �"�

�K��� B "� �K� V � � �V "� �K�� "� � ���D���

5� �! �"� ������� � %� �� ������� ��%%%%%%%%%

�/��K�� � � �

�/��K�� �K ?

�.�K�

������

����/��K�� � � �

�/��K�� �K ?

�.�K�

� � � � � �

%%%%%%%%% B ��

4"���

� ;B

�����

"�)"� � �*�K ?�.

�K� V �

�������

�������

"�"� �K?�.

�K��

N� ���

Y� B

%%%%%%%�

/��K�� � � ��

/��K�����

����/��K�� � � �

�/��K��

%%%%%%% �("� ������� � �"�� %�����

� Y� B � ,?().* ,?()�K�� � � � � �K�* B �� )'�#*

("�� ������ �����! � ����� �� �"� ��� ����� .! �"� � ����� �"� �"� V ����� ���� � �"� ������ &� ���"�� ���� %� &����

Page 241: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>��� ��� ���� �3 ��#�#��5$�3#�#�� 2"�$!��#� 3�!&� ��,

�* ("� �� � B �� ("� ���� � �� �� �� � �"� /�� � "� �! �� ������� �� =�4�� $ a�

��* ("� �� ,?().* B �� <� ,?().* � ��"��! �"� �������/ ,?()�K�� � � � � �K�* B �! � �"� . � ���

("� ����������� � "� � �/ � ��� ��%�� �� �����! � �"������� a �� %�� ���%/ � ��� ��%�� �� "/����� ��� ("�� a �� ���� � ���/"���� ��%� � �� �� �

$� � D �� � ���! �"� ���� � � )'�#* %� ������� ��� %/ � ����� ��%��� M�� ! ��"�� �"� ����������� ��������� %�����

M��/�� V M��/�� V ' ' 'V M��/�� B �� )'�'*

("� %��� ������

� B M���?�� V M���?�� V ' ' 'V M���?�� )'�+*

�� ����� ����� �� �"� 4�� �

< �� ���! �"� 4�� ������� �4� ���� � �� ��S��� � ��%� ����� �/��� ("�4�� ������ �� ��� ���� a

���� ���� �������� �����

("� ����� �� a �� �"� ������� ����� �� a! � �� �������� �� � ���� ������ ��������� �� ���� ������� �� �"�/ �� �/ ������ �B 4��" ,?()�B* B �� ("� &��� ���������� ���� a �� �%�� �� %/ ���� � �"� ���� %/ "/����� � ��" �"� �� �������� �� � ��������� ("� %�� ���/���� %� ���� �� �����/ �"� ���� ��

N� �4 �����%� ������"� �� ������� � �"� 4��� �� �� ��� ���� a�

�� . 4�� �� a �� ������� �� %/ ���� � �"� ������ ���� .! ����� � � ����.� � ���� �� a

�! �� � �����"� �� �! � ���"�� ������� ! � ��� �� ���� 4��"� R-���� �! � � R � �! �� �"� ����� 4�� 4"�" � ������� �"�� �� �� �/���� � . �� � �"� �����"� �� �! �� ��� � � ���� ���� 4"� . "����"� 4��� �/ �"��! %��" ������� ��%���� ��� �� � �� ��� � &� ("� ��������� � � & �� ������ ���� �"� �� ��� � �� %��" ������� �� �"� ���� �! � �"� ������ �� �"� 4�� �� ������� )�� "� �� %� � � �"� � � 4��� �/ �� 4��"� �"� R- ���%���"��� �� .*�

�� ������ � � ����� �� ��������

�4��� 4"�" ���� �������� � � � C a�

�� 2����� �"� ����� �� � $� � �"� 4�� ����� �� )'�+* "�� � ����� �����-�� ���� �! ��� �"� ���� ������ �E �

� "�� � ����� ������� ���� ��

Page 242: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

#� >�� �" ���� )�E �� ! � ) � �! 4"�" ���� ������� �� a! �/ �� ��4 ����

.� �� �E �� ! � �"� 4�� � ������� � �"� �/ ������ �� .� �� ������� ���

<� �4 4��� �� a �� �%�� �� ����� �� ��<� �� ����� �� � ��� � �"� %�� ��/ a�! �"� a �� ��������

N� ��� �����%� �"� ��%������� �� ���� �� ��%� ����� �/�� �� ������������� �� ��%���� �� � ����� �/����

>�� � '! ���� ���� � �� ��%� ����� �/��� %� ��%������� � �� ���� � �� � -������� � � ����� �/��� �#�)��� #�)���� .�� �"� ����� %��� �� � �� &� � � %� ������� � �� ��%���� ��� ! % B �� � � � � 8)�* �� ����� "�� � ���� �� ��" B� ! B� �

B� � ' ' ' � B:���� N��"� ����� &� � ��! ���� %��� �� � �� ��%��� ���� � �/

%� � �����! �� �� � ��"�� � �� ��� ���� . � a�� :�������/! �"� ������� �� ��� ��� � � ����� )'�'* "� �� ������� � 4�� �� a� 2���� ����� &� �� �/������� � ���� �" � � 4��! %���� ��� �" ��%��� ���� 4"�" �/ ��/ �"� ���� ��� ��"� � ����� ��� ���� . � a�! �"��� ������� �� ����� � 4�� �� a� >�� ���� &� � ��! �"� � ����� �"� �4� ��%���� ���� � ���� ! � %� � 8)��*! ������ �����/� �� �"������ �����! �� �%�� �� %/ ����� � �"� �� ��� � � ����� � )'�'* ��� C � � ("� ������� � ������������ ��������� ������� �� 4�� ! 4"�" ��%�������a � �� ����� � ���� � �� � ����� �/���� $������ �"� �"��� ����� = ��" 4��� � ("� 4��� $� � B =! � �"��� ����� � �������� � 4��"� a�! ������� ������� � ���� � a

��� ��4�� ���� ��� �� ("� ���� ��� � �� ���� a �� ��� ��

%/ � B ,-�)8A* a*�

Page 243: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>��� �B�& ��� ���

$�� �8�����

$���� "�� �� ������� �� � 0���� �� 8�� �������� "'��

< �"�� ������ 4� ����/ �"� ������� �� ���� �� ��%� ����� �/�� � �� ��-�� � �� � ����� �/���� ("�� �"� ��� � �/ ���� � ���� ��� � � '� (��%�� �"� ������� ����� ��� "���! ���� ������ � 4��� �� � ��� � ������ � �-������� %��" �� �"� I �������/ �� ��� � � �� �"� <5�$ � �����-���-F������ N�� ����� �"� '-���� ��� � ��������� ����������� �� ��� �� %/ �"� ��� �����

1� �

�������� ��� ��� �� ��

��� ��� �� ����� ��� ���

��� ������

�����

("� ��%� ����� �/�� �� �� �� � �����/ "�����&�� %/ ��� #-��%���� ��� �/�-%��! ��&�

������#��+�������������#��+�

("� �� ���� �� ���� (�� �� �� �� ���� %���4! �����"�� 4��" �"��� ��� ������(�K�� ("� ��� ������ �� �"� ��� ��� �� . � a�)��*�

�� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � ���� � � � � � ��� � � � � � ��� � � � � � ��� � � � � � ��� � � � � ���� � � � � � ��� � � � � � ��� � � � � � ��� � � � =� � ��� � =� � =� ���� � � � � � ��� � � � � � ��� � � � � � ��� � � � � � ��� � � � � ���� � � � � � ��� � � � � =� ��� � � � � =� ��� � � � � =� ��� � � � � =���� � � � � =� ��� � � � � =� ��� � � � � =� ��� � � � =� =� ��� � � � =� =���� � � =� =� =�

�� "� �� &� ��! �� �� 4"�" �� ������ ("� ����� &� �� �� �� ���� %/ ��� - B�� ' ' ' � ��! � �� ���� %���4 �����"�� 4��" �"��� &� � ������ �2 �� !

�� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � ��� � � =� � � �� � � =� � � �� � � =� � � �� � � � =� � �� � � � =� �

��" �� �"��� ����� &� �� � �� � ��� ������ ("� ����� �� �"� &� �� ��� - B�� #� '� +� �! %� ������� ���� � �� �"��� �� ��" � �� ' ��%���� ���� � % B �� ' ' ' � '!� �� � � #�! #�! ��! ��! � �� ����� �� ���� �� ��"! ����������/� $������/! �"������ �� �"� &� �� ��� - B �� �� ,� �� ��! %� ������� � �� + ��%���� ���� � � B�� ' ' ' � +! � �� � � #�! ��! ��! ��! ��! � �� ����� �"! ����������/�

("� ���� a)��* �� %�� ��� %/ �� 4���! �"� ������� �� � ������ � �� 4"�" ������ � (%�� � �����"�� 4��" �"� ���� �� ��� � � ������ )��� )'�'**� I ���

Page 244: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�#� ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

2�(�� �' ("� 4��� �� �"� ���� a)��*

��� ���� �������� � �!� "�## $�%��& '�����( �� � )�*��+ �*�!�(���# ,-.�

� � ���� � ��� � ��� ��� � �� ��� ������� ������� � � � �� ����/

� � ���� � ��� � ��� � ��� � �� ����� ��� ������� � � � �� ����0

� � ���� ��� � ��� � ��� ��� ��� � ������������ ������� �� � � �� �����

� � ���� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � �� �� ��� ��� ������� � � � �� ����1

� � ���� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � �� ��� ������� ��� �� � �� � � �� �����

� � ��� ��� ��� � ��� � ��� � ��� � ������������ ������� �� � � �� ����$

� � ��� ��� ��� � ��� � ��� � ��� � ���������� ������� �� � �� � � �� ����0

� � ���� ��� ��� ��� � ��� � ��� � �� ����� ��� ��� �� � �� � � �� �����

� � ��� ��� � ������������ ������� � � � �� ����2

� � ���� � ��� � �� �� ��� ��� ������� � � � �� �����

�� � ��� � ��� � �� ��� ������� ��� �� � � � � �� �����

�� � ��� ��� � ��� �� ������� ������� � � � �� ����3

�� � ���� ��� � �� ����� ��� ��� �� � � � � �� ����4

�� � ���� � ��� � ��� ��� ��� ��� ��� �� � �� � � �� ����5

�� � ��� ��� � �� ��������� ��� �� � � � � �� �����

�� 6 ��� ��� � �� �� ������� ��� �� � � � � �� ������� 6 ��� � ��� ��� � �� ����� ��� ��� �� 6 ������/�� 6 ���� � ��� � ��� � ��� ��� � �� �� ��� ��� ��� �� 6 ������/�� 6 ���� � ��� ��� ��� ��� � ���������� ��� ������ 6 ������0� 6 ��� ��� ��� � ��� � ��� � ���� � ��� ������� ��� ������ 6 ������/

�"� "��� � H���"��� �H �� ���� �"� �4� ��� ������ 4"�" %���� ���"��� �4"� �"� ������ � ��� � "��� �"� 4��� ("� ������ � �� �"� 4��� �� �����&���� �"� �"�/ %���� ������ ��� / . � a�)��*� I ��� �"� "��� � H(/��H ������ �"� ������ � �/��� ������� �� � �� �"� 4���� ("� ���� �� 4��� :��� � �,! � 4��� � :��� � � �! � :��� �, � �� "�� ������� � ������ � �/��� � ����� ("� ������������ �� ��%� ����� �/��� +��+,+.! +��+,+�! � +��+�+. �������! %�� � -���������� ("� �' 4��� �� - B �� ' ' ' � �'! �� ������� �� %/&� � � ����� � �� ��� ("��� ������� �� � ������������ �� %��� � �� �"� &� �-� ����� ����/ �� �"� �����/ � ����� �/�� '#�#'�� ("� 4��� �� - B �+� ' ' ' � ���� ���� � �� ������������ �� ��S��� � &� �-� ����� ������� ("� 4�� ��

�� �� ������� �� %/ &� � � ����� ��� / . � a�)��*� <�� ������� �� ������������ %��� �� �� ��S��� � &� �-� ����� ����/� ("� 4��� �� - B�,� ' ' ' � ��! ����� �"� �� ��� � � ����� � )'�'* 4��"��� / ��� �� ��� ������%��� � ���"��� �� ("��! �"�/ �� ���� � �� � -��������� ������������ 4��" �"������ ��%�� �� �����

("� �� 4��� � ������ � �� ������ ("��� ���� ����� �� ���� � (%�� �� ("� ��������� :��� � �� �� �� ������! 4"���� �"� ���� ����� :��� �� �� �� �� � -�������("��� ������� �� � ������������ �� �����/ &� � � ����� �#�)���� �#�)����

�" �� �"� &� �� ��! - B �� #� '� +� �! ������� �� �4� 4���! �� � �� � �� � � ��%����!���� � ���� ! � �� � � #� ����� �"! 4"����� ���"�� �� �"� ��"�� ��%��� ��/

Page 245: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>��� �B�& ��� �#�

2�(�� �' ("� ���� ����� �� �"� ���� a)��*

�:6 )-&. .&�-*> (?,�

� � � � � � @ � � � � @ � � � @ � � @ � &� �� � &� ��� � � � � � @ � � � � @ � � � @ � � @ � &� �� � &� ��� � � � � � @ � � � � @ � � � @ � � @ � &� �� � &� ��� � � � � � @ � � � � @ � � � @ � � @ � &� �� � &� �� � � � � � @ � � � � @ � � � @ � � @ � &� �� � &� ��� � � =� � � @ � � � � @ � =� � @ � � @ � &� �� � &� ��� � � � � � @ � =� � � @ � � � @ � � @ � &� �� � &� ��� � � � � � @ � =� � � @ � � =� @ � � @ � &� �� � &� ��� � � � � � @ � � =� � @ � � � @ � =� @ � &� �� � &� ���� � � � � � @ � � � � @ � =� � @ � � @ � &� �� � &� ��

�� � � =� � � @ � =� � � @� =� =� @ � � @ � ��6���� � � =� � � @ � =� =� � @ � � =� @ � =� @ � ��6���� � =� =� � � @ � � =� � @ � =� � @ � =� @ � ��6���� � =� =� � � @ � =� =� � @ � =� =� @ � � @ � ��6��� � =� =� � � @ � =� =� � @ � =� =� @ � =� @ � ��6����� � =� =� � � @ � =� =� � @ � =� =� @ � =� @ � ��6����� � � =� � � @ � =� =� � @ � =� =� @ � =� @ � ��6����� � =� =� � � @ � =� =� � @ � =� =� @ � =� @ � ��6����� =� =� � � @ =� =� � @ =� =� @ =� @ � �6����� =� =� � � @ =� =� � @ =� =� @ =� @ �6����� =� =� � � @ =� =� � @ =� =� @ � =� @ �6����� � =� =� � � @ � =� =� � @ � =� =� @ =� @ �6���

Page 246: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�#� ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

�"� ���� �� � ��"� � ����� ��� ���� .� � a�)��*� ("� ������ ���/ � ����� � ���%�� �� %/ ����� � �"� �� ��� � � ����� � )'�'* ��� ���� � ���� � ("� ������� ������� ���/ � ����� �

�� /�� V /�� V /�� � /�� � /� � /� B ��� �/� � /�� � /� � /� B ��� /�� V /�� V /� V /�� V /� V /� B ��# /�� V /�� V /�� V /� B ��' �/�� V /�� V /� V /� B �

������� � �"� 4��� �� - B ��� ' ' ' � �'! 4"�" ��%������ a)��* � �� �� ������������ � �� � ����� �/��� 4"��� %�� ���/����� �� ��������� ("���%/! ������� � ����� ������� < (%�� �! �"� ���� � �� ���� ��� �" � ����� �/���("� � ����� �/�� �� "�����&�� %/ � �� �� � �"� �"��� �/�%��� �� �"������������ � �� ��� ������� �����/ &� �-� ����� ������������ ���� %�/!�� �"��� ���� � �� ��������� ("� 4��� � � �"��� ����� � �������� � 4��"�

a�)��* ������� � �"� ��� ���� � a��� ������ � �/���� �" �� �"� �� ���� �

� �� � �"� ������ ���� ����� :��� �� ' ' ' � ��! � ' � -������ ���� ����� 4"�"�� ���� � (%�� �� $� � �"��� ���� �� 4��� "�� ������� � ������ � �/���! �"�� � ������ ��;

2 ����� �" $���� �/��� 5B ���,�'�������� ����������� ����� &�������� �� ��� ���,

&��������� ���� �� ��( $��� ��� ���&��� �� A *���,����������� ��������(

("� ' � -������ ���� ����� ��� � �"� ��� �������� ���� a�)'#�#'�* �� �"������/ &� �-� ����� ����������� �� ��%� ����� �/�� '#�#'�� ("� �� ������� a�)'#�#'�* ������� ���� �"� � ����� �/�� +��,��\'#�#'�> �� �"�4 � >�����'��� < �"� >�����! �"� ��%��� %� ��" �" �/�� �/�%�� ����� �� �"� � -���������� ����� �� �"� ��������� � ���� � ("� %�� ���/���� �� #-�������� ("����� � �� �"� �����/ &� �-� ����� ������������ %��� �� � �� �"� � ����� �/��� +��,��\'#�#'�.!' ' '! +��,��\'#�#'�>! �� "�� �������"� �� �������

Page 247: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>��� �B�& ��� �#�

2�(�� �' ("� � ����� �/��� %��� �� � �� �"� ��%� ����� �/�� �� ��

�:A�-&0�*:A �?,� �*. 4&;;+ �:A=�-*B*&; ��/� C:-.+

��6���@ �6���� �� �� �� �� ����������6���@ �6���� �� �� �� ����������6���@ �6���� �� �� � ����������6���@ �6���� �� �� �� � ��������

��6���@ �6���� �� �� �������������6���@ �6���� �� �� �������������6���@ �6���% �� �� �������������6���@ �6���% �� �� �������������6���@ �6���� �� �� ������� �����6���@ �6���� �� �� �������������6���@ �6���� �� � �������������6���@ �6���% �� �� �������������6���@ �6���% �� �� �������������6���@ �6���� �� �� �������������6���@ �6���� �� �� �������������6���@ �6���� �� � �������������6���@ �6���% �� �� �������������6���@ �6���% �� � �������������6���@ �6���� �� �� �����������

��6���@ �6� �� � ���������������������� ����������=���� ����������������6���@ �6� �� � ������ ���������������� �������������=� ����������������6���@ �6� �% � ���������������������� ����������=���=�� ����������������6���@ �6� �% � ������ ���������������� ����������=���=� ����������������6���@ �6� �� � ������ ��������������� �������������=�� ����������������6���@ �6� �� � ������ ���������������� �������������� ����������������6���@ �6� � � ������ ��������������� �������=�������� ����������������6���@ �6� � � ������ ���������������� ����������=���� ����������������6���@ �6� �# � ������ ���������������� ����������=����� ������� ��������6���@ �6� �# � ������ ��������������� ����������=���=�� ������� ��������6���@ �6� �5 � ���������������������� ����������=���=� ����������������6���@ �6� �5 � ����������������������� ����������=����� ��������������

Page 248: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�## ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

2�(�� ' 2��%� ����� �/��� �� ����� � -� ����%�� ��������� �������"���� ���:6 �:;?/:A �:.'*A&�:-*&; �?,� (?,� :C '&+� ,:;?�:,�� �=�=� ���6 ���=����� ��6D� �=�=�� ���6 ���=����% ��6������� �=��=�� ���6 ���=���� � 6������ �=��=�� ���6 ���=� �� � 6����� �=�=�� ���6 ���=����� ��6D� �=�=�� ���6 ���=����% � 6D� �=�= ���6 ���=���� ��6D� �= =� ���6 ���=����� ��6������ �=�=�� ���6 ���=���� ��6�������� �=��=� ���6 ���=� ��� ��6D�� �=� =�� ���6 ���=����� ��6D�� �=��=�� ���6 ���=����� ��6D�� �=��=�� ���6 ���=���� ��6D�� �=��=�� ���6 ���=���� ��6D� �=��=�� ���6 ���=���� ��6D�� �=��=�� ���6 ���=����� � 6D�� �=��=� ���6 ���=����� ��6D�� �=� =��=�� ���6 ���=���� ��6D�� �=�=�� ���6 ���= ��� ��6� ����� �=�=�� ���6 ���=����� ��6D�� �=��=��=��=�� ���6 ���=� �� ��6D�� �=��=�� ���6 ���=���� � 6D�� �=��=�� ���6 ���=���� � 6D�� �=��=�� ���6 ���=����� � 6D� �=��=�� ���6 ���=���� ��6D�� �=��=��=�� ���6 ���=����% ��6D�� �=��=�� ���6 ���=����� ��6�������� �=�=�� ���6 ���=����% ��6D�� �=�=� =�� ���6 ���=�� �� ��6D�� �=�=�� ���6 ���=���� ��6D�� �=� =��=�� ���6 ���=�� � ��6D�� �=��=��=�� ���6 ���=���� ��6D�� ��=��=��=�� ���6 ���=����� ��6D�� ��=��=��=�� ���6 ���=���� � 6������ ��=��=��=�� ���6 ���=���� ��6�������� ��=��=��=�� ���6 ���=���� �6� ����� ��=��=��=�� ���6 ���=����% ��6� ����� ��=� =��=�� ���6 ���=���� �6�� � �� � =��=��=�� ���6 ���=����� ��6D�� ��=��=��=�� ���6 ���=����� ��6D�� ��=��=��=�� ���6 ���=����� ��6D�� ��=��=��=�� ���6 ���=����% ��6D�� ��=��=� =�� ���6 ���=����% ��6D�� ��=��=��=�� ���6 ���=����% ���6D� ��=��=��=� ���6 ���=����% ��6D�� ��=��=� ���6 ���=� ��� ��6 ������ ��=� =��=�� ���6 ���=�� �� ��6�������� ��=��=��=� ���6 ���=�� � ��6D�� � =��=�� ���6 ���=����� � 6 ���� � ��=��=��=�� ���6 ���=���� � 6����� � ��=��= �=�� ���6 ���=���� ��6������ � ��=��= �= � ���6 ���=���� �6� ��� � ��=��= �= � ���6 ���=���� ��6� ��� � ��=��= �= � ���6 ���=���� �6�� � ��=��= �= � ���6 ���=���� �6D � ��=��= = � ���6 ���=����� ��6D � ��=� = �= ���6 ���=� �� ��6D � � =��= �= � ���6 ���=����% ��6D � ��=��= �= � ���6 ���=�� � ��6������

�� ��� �:.&*A+ &-� A:� 0:.,;���;? ����-.*A��

Page 249: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>��� �B�& ��� �#'

>����� '��; >� ����� �� �"� ���� �� �"� �����/ &� �-� ����� �����������'#�#'� �%�� �� ���� ��

Page 250: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�#+ ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

0

1

3

54 6 8 9 11

19

27

29

31

30

3234

36

35

17

33

2

1012

13

20

25

2626

28

43

44

45

46

47

48

53

54

55

56

57

58

>����� '��; $���� �"����" �"� �� � 7� ��� ������ �� ����� � -� ����%��������������

$���� *� ���� ?�#8������� �� 7�������������

< �� � �/ ��4 ������� �� �4 � ("� ������������ ��� �"� ������ ������� �� ��� ����� �������%�� ��%������ �� ���)��*! � ���� %/ @��� � � @��� ���#���!�� ����� � (%�� +� ("� ������������ ��� �"� ������ ������� �� � �� �"� �����������! � ������� �� %/ U�� � � � E������S �8�$���! �� �� �%�$� ��! � P������E�F���! �� ����� < (%�� ,� ��� ��/! �"� �C� � ������ ���� � �� �� � ���"�� ������ ���� � ������� < �"� �� � ��/ �� �"� ������� �� � ��� ������4� � � � ������ � ��� ������ �� ��� ������ ������� �� � �� ����� � -� ����%�� ������������ 4"�" �� �������� �� � �"� �� � 7� ��� ������� >�����'�� �"�4� ������ ��� � ����� �"����" �"� ���7� ��� ������� < �"�� ����� !������ :�� � ������� �� �� �"� ��� ����� �� ��! ������ :�� � �� �"� �� ���! � ������ :�� � �� �"� �� 7�� ("� ����������� �� 7� �� �"� � ���� �����/ &� �-� ����� ����������� � ��! %��� �� � �� �"� ��%� ����� �/�� �#��#-� )�����(%�� +*� ("� ��� ����� �� 7� ���� � ������� ��� � ��%��� 4"�" � ��������"� � � ��

Page 251: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>��� �B�& ��� �#,

("� �����4� � ��� ������ 4��� ����;

� G�

�������

� � �� �� � �� � �� �� �

� � �� ��� � ��

� ��

�������

�� G�

�������

� � �� �� � �� � �� �� �

� � �� ��� � ��

� ��

�������

�� G�

�������

� � �� � � �� � � �� �

� � �� �� � �

� ��

��������

("� ��� ������ �� ��%������� � �� ���� � �� ��%� ����� �/���� .�� �"� � ����� �� �� �"� ��� ������ ������� � �� ����� � -� ����%�� ������������4"�" �� "�� �"� ��� ��� � �� ��� ������ "�� � �"� ����� ��%�� �� ����� ���� %/ 3� �4� �A� %�� �� ("� +� ���� �� ���� (�� �� ���� %���4! �����"��4��" �"��� ��� ������ (�K��

� � � � � � 6� � � � � � �� � 6� � �� � 6� �� � �� � � �� � � �� � � � �� � � � �� � 6� � �� � 6� �� � 6� � 6� �� � �� � � �� � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � 6� � �� � 6� �� � 6� 6� �� � 6� � 6� �� � 6� �� � � 6� �� � 6� � 6� �� � 6� � 6� �� � 6� � 6� �� � �� � � �� � � � �� � 6� � � �� � 6� � ��� � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � ��� � 6� � � � �� � � � �� � 6� 6� � �� � 6� � 6� � �� � 6� � 6� ��� � 6� � �� � � 6� � �� � 6� � 6� � �� � � � 6� � �� � 6� � � 6� ��� � 6� � � 6� � �� � � 6� � �� � 6� � 6� � �� � 6� �� � 6���� � 6� 6� ��� � 6� � 6� ��� � 6� ��� � � 6� ��� � 6� � 6���� � 6� � 6� ��� � 6� � 6� ��� � 6� � � 6� �

�/ ���� � ������ � ��� ����� 4��"� �"� � ������ �� �"� ���7� ��� ������!� �/ �"� �� ������ � �"� ������� ������� � �� �"� ��� ������ " ��� ("���� � �"� ��� �� �� ��� ��%���� � �� ��4�� ���� ��� ! �"� ������� �� � ���-��������� ����� "�� �"� ����� ��%�� �� ����� ("� ���� � � �"� %�� ��/������ ������� � �� �����/ � ����� ������������ 4"��� ��� ������ �� ��%-���� �� � � �/� ("� 4��� �� �"� %�� ��/ ������ ������� � �� ������������"�� � ��# ����� ("� ������� � �"� ��%�� �� ���� �� ��� �� �4� ��� ������4"�" %���� ����� ����� �� �" ��"�� 4"� �"� ������ � ��� � "��� 4��� ("��� �7� ��� ������ �� %�� ��� %/ � ���� �,, 4���� ("� ������ � �� �"��� 4����� ���� � (%�� '� >�� �" 4�� �"� �4� ��� ������ 4"�" %���� ����� �����

Page 252: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�#� ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

�� ����� � ��� �"� "��� � H���"��� �H� ("� ��� �� �"� %�� ��/ ������ ����4�� ���� ��� � ������� � �� ������������ 4��" ��4�� ����� ("� ����� ���� ��C� � �� �"� 4��� �� �"� ��� ������ ������� � �� ������������ 4��" � � �����&� � � �/� .�� �"� �� ��� ���� � %��� � �� ��������� ������������� < (%�� #!�"� ���� � :��� �Q#� %��� � �� ��� ��� ��������� � �"� :��� '�Q'� �� �����-���� ����������� ("��� ���� � "�� ���/ �������� ��� ��������� 4��" �� ��� ���� ��� 4���! � ���� "�� ���� �" +��A��� ������ N� ������� �"� �"����7� ��� ������ � �� � ������ "� ����� �� �� ��� ���� � �� � -������� ���%� ����� �/���� $��� ���� � �� �����%�� � (%�� #� ("� ���7� ��� ��-���� � �� � ���� � � ������ �� � -������� � ��%� ����� �/��� �� ���� �����4"�" �� �� �����/ &� � � ������ .�� � �"�� �� �"� ���� ����� ������� �� ��� �"� ��� ������ �� ��! � ���� ("� ��� ����� �� �� ���� � �"� %�� ��/������ � ��� ������� �� � ����������� "� ,� ���� )����� (%�� +*� ("����� ��%�� �� ������������ � �� ���� %� ���/ �����

Page 253: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>��� �B�& ��� �#�

2�(�� "' ��� ��/ 4��� �� �"� �� � 7� ��� ������

�:6 #HI&�*:A :C ��� J&;; :-��:/:A&;� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

� �3�� � �3�� � �3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3��

��3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

� �3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

� �3�� � �3�� � 3�� � 3�� � �3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3��

�3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � � ��� � ���

�3�� � �3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

� �3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3��

�3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

� �3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3��

��3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

� �3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � �3�� � �3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3��

��3�� � 3�� � �3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

�� �3�� � �3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

� �3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � �3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

�� �3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ����

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ����

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ����

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � �� � ����

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ����

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ����

�� 3�� � 3�� � � �� � ���

� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

Page 254: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�'� ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

2�(�� "' )� �� ���*

�:6 #HI&�*:A :C ��� J&;; :-��:/:A&;�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

� �3�� � 3�� � 3�� � � �� � ����

� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � � ��� � ����

� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ����

� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ����

� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ����

�3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ����

� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � � ��� � ����

� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

�� 3�� � 3�� � � �� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � � �!� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� 3�� � 3�� � � �� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

� 3�� � 3�� � � �� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

Page 255: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>��� �B�& ��� �'�

2�(�� "' )� �� ���*

�:6 #HI&�*:A :C ��� J&;; :-��:/:A&;�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � � ��� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � �3�� � 3�� � �3�� � 3�� � � ��� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

��� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� 3�� � 3�� � � �� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � �3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� 3�� � 3�� � � �� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� �3�� � � �� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� 3�� � 3�� � � �� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� �3�� � � �� � ���

�� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ��

��� 3�� � 3�� � � �� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ����

��� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � 3�� � 3�� � � �� � ����

��� �3�� � � �� � ����� �3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ����

��� 3�� � 3�� � � �� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ����

�� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

Page 256: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�'� ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

2�(�� "' )� �� ���*

�:6 #HI&�*:A :C ��� J&;; :-��:/:A&;��� �3�� � 3�� � 3�� � � �� � ����

��� �3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ����

� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

� � 3�� � 3�� � � �� � ���

� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ����

� � �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

� 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ����

� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

� � �3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ����

� � �3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ����

��� �3�� � � �� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� �3�� � � �� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � � �� � ���

��� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� 3�� � 3�� � � �� � ���

��� 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

�� 3�� � 3�� � � ��� � ���

��� �3�� � � ��� � ���

��� �3�� � 3�� � 3�� � � ��� � ���

Page 257: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>��� �B�& ��� �'�

2�(�� -' ("� �������"��� �� �"� ����� � ��� �������%�� ��%������ �����)��*� ���� ������( �� ���� ��� 4��6;;5� �� ���� �� ����� 3��� �� (��� *����� '�������U�� �C����� R ���� 3�����'� � ���� ������� 3�� ��������� ��� K ���� (����

���

��� K��' 9� C��� ��' R��� J���

! �� #: R 1�:<> =,=- #�7 3� #: R !7�!#<> #,#- 1�= 3�� #: R !#�7#<: 1,1- 1�

���

��� K��' 9� C��� ��' R��� J���

�� �� =:# R :�!1<> #,#- #��� %� !!F7 � 7#�7#<> !7,>- 1��

�� �� � 7 7:: R !7�=1<!7 1,1- #�1��� �� ��� !## R =>�!>7<=1 ","- 1��

�� 3� 7#> R 7>�=><> F,F- 1�

�� 3�� 7#> R =>�!7><1> !>,!>- 1��

���

��� K��' 9� C��� ��' R��� J���

%� �� 7�FO R !>�=7<> F,F- #�

%� � 7�FO � #>�#7<> 7!,>- 1�

%� �� 7�FO � #7�7#> 7>,>- #�1�

%� 3�� 7 1O R 17�;7><#:> !F,!F- 1�

%� 3� 7 1O R =>�17<> 1,1- 1�

%� 3�� 7 1O R 1>�==7<> !>,!>- 1��

%� 3�� 7 1O � F>�!"7 =1,>- 1��

���

��� K��' 9� C��� ��' R��� J���

%� �� 7�1O R !7�1#<> 1,1- #��

%� � 7�1O � 1>�;1<> =:,>- 1�

%� �� 7�1O � ;1�!1><> =>,>- #��1��

%� 3� � 7 7,7�=O-� R 7#�!"1<> :,:- #��1�%� 3�� � 7 7,7�=O-� R 7:�F;1<=:# !7,!7- #��1��

%� � F�1O � "7�F::<> !F:,>- 1�

%� �� � = ,7 =O-�=O R !:�7!1<!>: ","- #��1�%� �� 7�=�F � ;7�F#<> 1=,>- 1��

%� ��� 7�=�F � !71�;7><> =1,>- 1���

%� �� �3� 7 =O #O R :#�">1<#>: !7,!7- #��1���

%�� �� �3�� 7 =O #O � !!#�7:=7<!!F7 ;:,>- 1���

%�� 3�� 7 ;O R !71�F>#><#7>> 7!,7!- 1��

%�� 3� 7 ;O R #7�!71<> ;,;- 1��

%�� 1;7 � ":�;":<7:> #",>- 1���

%�� 7 FO R ;#�F##<> !>,!>- #��1�

%�� 7 FO � ">�!>7:<> F#,>- #��1���

%�� 7 FO R !!#�!"7><!>7> !F,!F- #�1��

Page 258: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�'# ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

2�(�� -' )� �� ���*

���

��� K��' 9� C��� ��' R��� J���

%� �� 7�;O R !#�!7:<> ;,;- #��

%� � 7�;O � :#�!#7<> ;!,>- 1��

%� �� 7�;O � !#7�77#><1;7> #7,>- #��1���

%� 3�� 7 :O R 7F#�#>=7><#>=7> 7:,7:- 1���

%� 3� 7 :O R F1�7F#<> :,:- 1��

%� �� 7�=�F ; � !71�1=7<> =F!,>- 1���

%� ��� 7�=�F ; � !:7�F;1<> 1=,>- 1���

���

��� K��' 9� C��� ��' R��� J���

%� �� 7�:O R !1�7F1<> :,:- #��

%� � 7�:O � !!7�7;7<> !=1,>- 1���

%� 7 !!F7� � #:�F;1<> 7#,>- #���1��

%� �� 7�:O � 7;7�!!7><> F1,>- #��1���

%� �� 7��=�F�; � 7#>�!"##"<> :;1>,>- 1���

%� =O !!F7 � 71#�F=>#<7>!1 =1,>- #��1���

%� !7�#O R 7#�!7"1<:1# !7,!7- #��1�%� 7 1�#O � =#:�=F::<:1# "=,>- 1����

%� 7 !##� R 1>�!>#>#<;=## !:,!:- #�7F1��

%� 3� 7 "O R ;7�F!><> ","- 1��

%�� 7 1�#O � !:1�F"#><!#7F1 !;#,>- #��1���

%�� 7 1�=O � #>7�"#7F#<F;::: !#";,>- 1����

%�� 3�� 7 "O R F!>�=17::><#7==1> =1,=1- 1���

%�� 7 7#>� R #>�">><> !>,!>- #�1�

%�� # 1>� � =1>�=:#><> !:>,>- 1��

%�� 7 7#>� R 1>�!##>><!##>> 7>,7>- #���1�

%�� ,7 FO-� � 7">�#==!><!>>:>> !!"F,>- 1���

%�� 7 =O FO � =">�!>17>><#"7>> #F>,>- 1���

%�� 7 =O FO R !:>�1F!><#F=> !F,!F- #�1�

%� !!F7 � 7"1�!=1"1<> F:>,>- #��1����

%�� !!F7 � 7>>�7""7<> =>#,>- #��1���

%�� = !!F7 � #F1�7:1=7 71#,>- 1���

%�� 1;7 � =":�">=:# 7";,>- 1����

%�� 1;= R #71�=;1=:<71::> 7!,7!- #��1����

%�� 1;7 � =>:�:>7:<> !>!!,>- #��1����

%�� 1;7 � =":�!7;:#: !>=1,>- 1����

Page 259: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>��� �B�& ��� �''

2�(�� �' ("� ��%� ����� �/��� �� �������"��� ��� �"� ������ ������ � ��! ,��� ������( �� ���� ��� ��$���� �� ���� �� ����� 3��� �� (��� *����� '�������U�� �C����� R ���� 3�����'� � ���� ������� 3�� ��������� ��� K ���� (����

���

��� P������� K��' L��� C��� ��' R��� J���

$ �� # 3� 7 R !7�!#<> #,#- 1�

���

��� P������� K��' L��� C��� ��' R��� J���

$ �� # %� �� � 7#�7#<> !7,>- 1��

$ �� F 3� �� R 7>�=><> F,F- 1�

���

��� P������� K��' L��� C��� ��' R��� J���

$ �� # � %� � #>�#7<> 7!,>- 1�

$ �� !17 3�

� %� R 1>�==7<> !>,!>- 1��

$ �� 1 3� %� R =>�17<> 1,1- 1�

���

��� P������� K��' L��� C��� ��' R��� J���

$ �� = �� %� � ;7�F#<> 1=,>- 1��

$ �� 7#= ��� %� � !71�;7><> =1,>- 1���

$ �� # � %� � 1>�;1<> =:,>- 1�

$ �� =7# � !>#�;:7<> =1,>- 1��

$ �� =#= %�� � ":�;":<7:> #",>- 1���

$ �� =F! K "1�;:1<!7> !:,;- #�1���

$ �� ; 3� %�� R #7�!71<> ;,;- 1��

Page 260: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�'+ ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

2�(�� �' )� �� ���*

���

��� P������� K��' L��� C��� ��' R��� J���

$ �� 7 �� %� � !71�1=7<> =F!,>- 1���

$ �� 1# ��� %� � !:7�F;1<> 1=,>- 1���

$ �� #:1 K !":�!1F:<7!1 1#,!- 1���

$ �� # � %� � :#�!#7<> ;!,>- 1��

$ �� F!7 K !1:�!1!><!!1 !!",!- #�1���

$ �� "7!1 K 7=>�1:#1<7>1# :!,!- 1���

$ �� F#> � !;1�!"7><"1 !>=,>- #�1��

$ �� F;1 � !:>�7>#:<!## !#7,>- #�1���

$ �� =F1;7> � 777�">;1<=#>: !F=,>- #�1���

$ �� F:: � !1:�7>=1<!"7 !F:,>- #�1���

$ ��� !>>:> � 7>1�17"#<!11: !#>,>- #�1��

$ ��� !>7#> � 777�1;>#<=;:> 777,>- 1���

$ ��� ;1::> � 7=7�!!#1><7;1> !F",>- #�1���

$ ��� !>==1 K 7>1�1F=7<!"!7 !#",!- #�1���

$ ��� ;;1!: � 771�!77>:<=:1# !;F,>- 1��

$ ��� !>=1: K 7!:�;!:#<!:"1 :=,#- #�1���

$ ��� !>F7: � 7>#�1F::<!1:: !1!,>- #��1��

$ ��� ;:::> K 777�!!;>:<=:7# !#!,7- #�1���

$ ��� !>F:# � !1:�=:F7<!=F1 :;,>- #��1���

$ �� !>1F: � !:7�F1;><7=F: !##,>- #��1���

$ ��� !>;F7 K !;:�F#:#<!"=1 ">,#- #��1��

$ ��� 1=> � !;#�7>##<!1: !#7,>- #��1���

$ ��� !>;:> K 7>7�17;><!;F7 ">,!- #��1���

$ ��� !>:>: K 7>>�17F#<!F!1 !>=,!- #��1���

$ ��� !!>>: K 7>7�11!7<!;;> "1,F- #��1���

$ ��� 1#: � !1#�!:#:<"1 :;,>- 1���

$ ��� 1#: K !1#�77#><1>: 7>,:- #��1���

$ ��� 1#: K !17�!"::<711 ;=,=- #��1���

$ ��� 1:# K !1:�!:;:<!1> ;=,!- #��1���

$ �� 1:1 K !1:�7#=:<7F7 7!!,!- #��1��

$ ��� ;7> K !17�!""7<7"7 ;#,#- #��1���

$ ��� ;F1 K !#>�!;:#<=!7 7;,:- #��1���

$ ��� : 3� %� R F1�7F#<> :,:- 1��

Page 261: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>�7� G����� �� �',

$� 9����

$���� ����� 7���������

("� ����� ��� �� ���/����� 4� ��� �� � ��'�#� >����4� � 2������ ���7��� &� ����� �� ��� �� �;

��$����% )������ 1 *������� �� ��� ������ ��� �� �������� ���� ��������(

���������� �� 1 �������� � �� � *������� �� ��� ���� �� ��� ��� �,����� ��� ������,���������(

����� >�� �-! � �-��� �"� � ���-�/�����/ �� �%������ 0�� �B� B B�! � - T %��"� �����"� �� � ����� �� 4"�" ��� � �-�� �� �! � �� ��� %/ ��� B )��B�! )� � �!� )� �! ��� � �� � B�� ("� ����� ��� �������� �"� ��� / �� B

�� )���� � �

��� �� � B�

�)�� )�*��� � �� ("�� �"� ��� � � ��)��V �� �* �� � ��� �� �/�����/ ����"� �-��� ("�� "���� ��� �" �! � � � � � �

���������� �55 1 *������� �� � ������������� �� ��� ���� �� ��� ��� &���� ���� ; ��

@ ������(

����� �/ @��������� ��! ����/ &� ����� ������� �"� ���� �4� � ����� � �� ("�������! �"� �"��� � ����� �� ������ �

< �" ���� ��� �"��� ����� *��������� �������������� 4"�" 4� ����� �� � &� �-������ E� ������ "�� ������� ������ ��%� ����� �������� � �"��� ��%�- ����� � � ����� ������� � �� ��� � �" ���� ��� )��� �'�� � �'��*�

���������� �5� 0�� � *������� � ��� �����%��� �%� ���������� ��� �'��������(

�+ ���� *��� �� � ��� ����� �� ��� ���� ������8

��+ ���� *��� �� � �� ������(

����� �+* ��+ �� � %/ �+! � �" �-�� ����� ��� � ������ ���� �� ���� �� �"!"� � �" &� � �� ������

��+ * �+ %���� �� �� &� �� �� �����! �"� ����� � �" �-�� �� ������ �!%/ @��������� ��! "�� �"� ��� �� ��" � ����� ("� �-��� �� &� � ���� %��C� �! � �"�� �� ����� �� &� � ���� "�� �"� ��� �� ��"� �

Page 262: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�'� ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

("��� �� �����/ %��4�� &� ������ � ��� �� � ��� �� %/ ���"� � �/�" ���#$ ����

��$����% ����& 1 ������ ���� ' ' ' ��:� �� 8 ���� �� �'��,������ �������� �����,

������ �� � ������ ��

�+ �� �� ���,����������8

��+ �� �� �����/ ����������(

����/ ��� � ������� �� �� &� ������ N� �� ��� �"� ������ ���"��� � �� �"�"/����� �� �� ��� � � ������ �������� ("�/ �� ������ �� �"� &� � ������ ���"� ������� �� � &� ������ 0�� �2 �� � ' ' ' � �2 �: %� �"� ���� ������ ��� �"� 8 ���� ������-���� "/����� �� �� ��� �� >�� &� ����� � 4��" 8 &� ��! �"� ���������� �)��* �� ���� %/

�)�� * B:����

)�)�2�� �� *

�� )� � ��

("�� �"� ��� ����� �� ���� %/

. B:����

)��2�� � �2 �� � )� � �� )'�,*

<� )� B �! - B �� ' ' ' � 8! 4� �� . � ����� ���� ���� �����/� �/ )'�,* 4� ���� ����� � �� �" �/���� �� &� � �������

< �" ���� ��� � �! �"��� ������ � ���� &� �-� ����� ����/ 4"�" � �� ��� &� ������! � 4"�" 4��� %� �������� �� � *��������� ������� �" &� �"��������/ "� � � ���� *���,����������� �������! ������� ���� �"� ����� &� ������);

��* �� �"� 4���"� ����� ;�

�! �����%�� � "���� ��#��� ("� � �� �������� �� ;�

� �� ���� %/

/�� B

�� - B %�� �� - "B %

� )'��*

("� &� ����� �);��* �� ��� ��� ��������� )��� "���� ���* 4"�" �� � �"� ��

������ �"� ����� %�� �� ��� �"� ��%��� �� �-���! � � � ! &� ��! � %�����<�� �/���� �� &� � ������ �2 �� ! - B �� ' ' ' � ����� �! �� ���� %/ �� ��%� ��� � �� �"�� �"� �4� ����

�)�� ������*� & �)����� ������*� )'��*

("�/ ������� � %/ )'�,* �"� � �� ��� ����� )'��*� N� � ������ �"� �� -��� �

V)�2 �� * ; �2 �� � "� � �� )'���*

Page 263: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>�7� G����� �� �'�

� ����� �� �� �� �"� &� � ������ � ��� �� ������ 0�� 5�� % B �� ' ' ' � ! �5�� 5�� � % � � ! ����������/! %� �"� � -&��� ���� � �� �� &� � ����� �2 ���� )'��*� ("� V)�2 �� * �� ��� �� %/

V)�2 �� * B% ��� �� �% V � ��� �� �

� )'���*

("� ����� �� �"� &� � ������ �� �"� ���� %/ �"� ����� �� �"� "�� ("� �� ���������� �2 �� ��2 �� ��� � �"� %�� ��/ �� )��� ����*� ("� ����� � 4��� �� �"� ������������ a�)�);

��** �� ���� %/ �"� �����4� � ������ �

/�� B �� � - � % �/�� � ' ' ' � /�� B �� � - �

)'���*

("� ������ � )'���* �� �����&�� ��" �"� ��� ����/ .� � a�)�);��**! �"� H�H

��� "����� ("� ���� a�)�);��** ������ ���� ��� �� �"� � � �� < �"�

&� �"���� ����/ � ��! �"� �� &� �-� ����� ����� F)�);��** � �� � �"�

������ ��%�� �� &� ������� �" &� ����� �� F)�);��** 4��" ���� �"

�����

�&� �

������ %��� �� �� ��������/ ��� ���� �� �"� %�� ��/ ������ a�)�);��**!

� ��� ��� �� &� � ������ �� ��%��� �� )'��*� ("� 4��� �� a�)�);��** �� ������� �

�"� ��! �"�/ �� ������� � �� �"� ��� ��%� ����� �/�� �� &� ����� 4��"�����

���&� ��� ���� %�/! � �/ � ���� ��� B # ���� �"��� ����� ��� � �/�� ��&� ����� "�� �

�����

�� � B � &� ��! �"� ���� �� 4"�" "�4���� ���� �� %��� ��� �"� %�� ��/ ������ a�)�);

��**� <� �� ����� � %��� �� �� ��S��� �

&� �-� ����� ������ < ���� ��� � � #! �"� ��%�� �� ��%� ����� �/��� ������� &� ������ �� ����� �" � ��

>�� � ���)��*! �"� ��� �����

.� B .� )'���*

�� ���"������/ ������� � �� D� ("� �/���� �� &� � ������ �"� �� ������ -���� � ��

�2 ��� B �2 �� � - B �� ' ' ' � 8� )'��#*

N� ��� �"� ��%� ����� �/��� �� &� ������ �� �����/ �"� �/����� �� &� � �������

��$����% �/��+����� ����� �� ������� �� )�� +������ $%� ������� ��

*��� ������� &����� �� ��� ���� �'��������� ����� �� ���� ��������� ���&�����������

�'�������� *��������(

("� �"��� �/�%�� �� �� ��� �"� ��%� ����� �/�� �� ����������� � �� ��������%/ ��� � ���! 4"��� �� �� �"� ��%�� �� "���� � �-��� �� �� <� "���� �"�

�� �+�

������

Page 264: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�+� ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

("� ����� %�� � ��� �� �� ��� �� %/ �"� &� ����� �);��*� ("� ���� ��� �/�%��

����� � ���� ��� ������ �� �� &� ������ � ���� ��� � '! � � ��%� ��� 4��" �"� )��*-��%���� ��� �/�%��! ����� � ���� ��� ������ �� �"� &� ������� ���� � ���� ��� � ��

. ��� �� ������ �� ���� �������� �/���� �� �� � �� � �"� ������!

)�� �� ' ' ' � �*� ' ' ' )�� ' ' ' � �� �*�

0�� � %� ����� �� � = � N� �� ��� %/ �>�� �"� ����� �%�� �� ����

� %/ ��" �� � �"� � ��4� 4��" ����A� ������"��

2 ����� �- ���� �������� ������ �� 8 ����� � ������� �� � �������� ������ ��

*��� ������� �� ��� ���� ��&�����/ � �� ��� ������ �� ����� ����

�+ ��� ���= =)�* � � �8��+ � ��� �>�

� ���� ��������� �� ��� ��� ���� �� ��(

����� �/ ("����� �,! �"��� ������ ��� �" ����� � %��� �� ��� ������

)�� �� ' ' ' � �*� ' ' ' )�� ' ' ' � �� �*�

$� � �" &� � ����� �� � �� �"� ����� ������ �� � � ��� ������ �� �����4� �"������� � �� �� ��� �/���� �� &� � ������� ("� ������� �� � ��� � � �� �����/ �"� ������� �� "/����%�� �" ��%����� � �����"�� 4��" �>�

� 4"�" �� �� "�� ���� �� � �"� ��� ���� �� �� �� ����� ������ � �������! � "� �! ��4��� �� %� ��� �� < �" ���� ��� � �! �"� ����� ���� ��� 8 B

�����

���

��� �� %/ �);��*� �

N� ��� �"� � ����� ��+ �� ("����� �+ ������� �"� ��� � = B ! �,?()�*� B �! � �"�� �"� ������� �� � ��%�/���� �� &� � ������ ����� %��� 4��" ������ ��4"�" �" ��"�� &� � ����� �� �"� �/���� "� � ����� ������� ���� � $� �"�� ��� �/���� �� &� � ������ �� &� ����� ������� �� �� ������ ������ ��� ������� �/���� �� ������ )��� 9 ����! � ����"� "� � �����*� N� ��� �"��������� �� &� ������ �� �����/ �"��� ��������

>�� �� ��� �/���� �� &� � ������ �� �����4� ���� ("����� �+ �"� �"� ���������� �2 �� �� �"� ������� �� � ��� � "�� ���� � �� � �"� ��� ���� �� �� � �/�

. �� ��� �/���� �� &� � ������ �� ����� �� � ��"�� ����� %� ���� 4��"��������� � / �� �"� � ����� � �� ("����� �+� ("� ���%��� �� � �� � �"� �����&� ������ 4� ����� � �#�)����

Page 265: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>�7� G����� �� �+�

. �� ��� �/���� �� &� � ������ ��������/ ������� �� �"� ��� ������ �� �"�������� �� � &� ����� �;

2 ����� �� .� � *������� � ��� � �������� ������ �� *��� ������� ���� ���� �������K %��� ���������� �� ��� ��� ���� �� �� �� � ����� ������ �� � ��

�+ �K �� ���������� �� A � � � *��� �������8

��+ ��� ���= �� ��� A *��� ������� �� � �(

����� �" &� � ����� ���� � �"� � �������� �� � ���� � � ���� �� �� �/��������/! �" ��� ����� �� ���"��� � �� � ���� � � &� � ������� �" ����� � � &� � ������ 4��" � � � ������� �� %/ ��� ����� ������ ��� �������/ ("����� �+! � � �>�

� "�� ���� �� � �"� ��� ���� �� ��� <� �����4� �"� �"����"��� � ��%��� �� �� ����� %/ 6)4�� ' ' ' � 4�*� 6 � �! 4"��� �"� ���� � �� 4��� � �"� ��� ���� �� ��� 5� � �"� ��� ����� "� ���� � �� � �"� ��� ���� �� ��!���� �

< �" ���� ��� � �! �"� "/����%� �6 �� �"� &� ����� "�� � �"� �� ��� ��%�� �� &� ��� <� �� ��������/ � ����� )��� ����*� N� �%�� �"� �������&� �"���� ����/ �F)�6* �"����" �������� &� � ���� ��� � �& )��� ���#* %/ ��� �&� � ������ ��" �"� �"� � ����� � �� ("����� �+ �� ��������� ("���%/ �� �� ��Æ-�� � �� � ����� &� � ������ 4��" ���� � �� � �"� ��� ���� �� ��� >�� ���� ��� � � �! �"��� ����� � � ��%� ����� �/��� �� &� ������ 4��" V � &� ��� N��%�� �"�� %/ � ���� � � ��� � � �� �"� �"� �����4� � &� � ������!

)�� �� �� ' ' ' � �*� )�� �� �� �� ' ' ' � �*� ' ' ' � )�� ' ' ' � �*�("� ������� � �� �4� �/����� �� &� � ������ �� ������� %/ �"� ������� � �� �"���%� ����� �/��� �� �"��� ��������� &� ������� <� &� ����� %��� �� �� �"� �� &� �-� ����� ����� F)�);�

�**! �"� ��� �� ��� �/���� �� &� � ������! � �� ���! �� �� ��%��� �� �"� � �� ��� )'��*�

���� �4� ���� �� &� � ������ �2 �� � �2 ��� ! �"� ������� ��� �� �"� ����� ����)��* � )'��#* �� "�� � �� ���� 5�4����! �� �� ��������/ ��/ �� ����� �� ���� &� ����� �! "�� � �� ��� �/���� �� &� � ������ %��� �� �� �"� �� &� �-� ����� ����� F)�);�

�**�

���������� �5� 1 �������� ������ �� *��� ������� �2 �� " - B �� ' ' ' � 8" �� � *�������

� �� �'�������� �� � ��&��� �� ��� ��������� ��� )C(E+ �� ��� ���� �� ��� ��������������

�����/ ���-�� ��� �����%��� ����������3

�+ ��� ��%� �� ��� ����� ������� �� �8

Page 266: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�+� ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

��+ ���� ������ �� �������� ������ ��� �� �%� ���,*��� ���������8

���+ ���� *��� ������ �2 ��� B �2 �� � - B �� ' ' ' � 8 �������� ������ ��� �� �%� ���,*���

��������� (�8��+ ��� B (�(

����� �+� �/ ("����� �,! �� � � �/ �� �"� ������ �K� �� ��� ������ �� � �� "����

��� �� &� � ������ �2 �� �"� �2 �� �K� B �5� � ���� �� �����+! ���+ ��� � �"� ���� �� �"� &� � ������ �� )'��*���+� <� ,?( B � �"� ��� �"� &� � ������ �2 �� � �� ��%��� � �/� �� �,?(� � ��"� �������/ B 6�! 6 � �! � � ���)��*� ��� �"�� � ������ �+� �

<� �� � ����� � %� ����&�� �"� �� � �"� �����%�� ������� � 4� "���� � � ���4"�"

�� V)�2

�� * �� �� ���� <� � ������� ������ �"� � �� F)�);�

�**�

< ���� ��� � � #! �"� &� �"���� ����/ � ����� ���� �" � � &� �-� ����� ����� 4"�" �� "�� � ���� �"� "/����%�� ("�������! 4� � ������ ��� ����� &� ����� � ��� �������" ��� ��/���� �������� W)�*! � 9)�*! ��-��������/! ��� �� � �"� �� ��� � ����� ��%�� �� &� �-� ����� � �� � �����! � ����� �� ��" �"� �� &� �-� ����� ������ N� �� ��� �"� ������ �"��� �� ��� � � �"� &� �"���� &� �-� ����� ����/ %/ W��)* � 9��)*!����������/�

$���� ������� � >�������

.�� ������ � 4��� ��������� ��� � ������ � ��������! %��" �� �"� I �������/ ����� � � �� �"� <5�$ � �����-���-F������

< �� � ��! �" �������"���� �� &� ������ ("� ��������� &� �"���� �������� �� � �/ � � &� �-� ����� ����� �"�

("� � ���� &� �-� ����� ����/ � �� � �� � � &� ������! ��&� �"� ���������� � �"� "���� ! �"� ����� %�� � ������ ("� � ���� &� �-� ����� ����/ � �� �� �"�4 � >����� '��� < �"� >������ � �� �! �" &� ����� � �� 4"�" �� ����� ���� &� ����� � ���� �� �� �� 4��" ������ � < (%�� � �� ���� �"��� ��� �/���� �� &� � ������ ��� �"� � ���� ����� �/�� � ���

(4� &� �-� ����� ������� ��� � ��� ("� &� �"���� ����/ 4"�" �� �"�4 � >����� '�# � �� � �, &� ������1 � &� ������ �� �����! 4��" W��)#* B �! � 9��)#* B �� ? �/ � � &� ����� ���� �� %��� � �� �"� �� &� �-� �����

Page 267: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>�7� G����� �� �+�

2�(�� 4' $� ��� �/���� �� &� � ������ ��� �"� ����� �/�� �� &� ����� � ��

� ��

B �� K:A�+��6��=� ���� � � � � � � � � � =� � � � =� � � =�

B #� K:A�+��6���=�� �� ���

� � � � � � � � � � � � � � � � � � =� � � � � =� � � =� � � � � =� � � =� =�

�� K:A�+��6���=�� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � =� � � � � =� � � � � =� � � =� � � � � =�� � � =�

14.24−8

12.18−4

8.12−2* 12.14−0

6.8−0*

>����� '��; ("� &� �"���� ����/ � ��

Page 268: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�+# ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��30.120−60

28.96−40 30.102−36

24.72−26 26.78−24

16.48−16* 20.54−16 22.54−12 24.60−12

12.36−12 14.36−8* 20.42−6 22.46−0

10.24−4* 14.28−0* 20.30−0

8.16−0*

>����� '�#; ("� &� �"���� ����/ � ��

������ < (%�� � �� ���� �"� �� ��� �/����� �� &� � ������ ��� �"� ������/����

< � ! �"� &� �"���� ����/ � �� � �� &� ������1 # &� ������ �� �����! 4��"W��)'* B �! � 9�� B �� � &� ������ �� �� %��� � �� �"� �� &� �-� ����� ������ ("� &� �"���� ����/ �� �"�4 � >����� '�'� < (%�� �! �� ��� �/������ &� � ������ ��� �" ����� �/�� �� ���� �

< ��! �"� &� �"���� ����/ � �� � +�# &� ������! �� �� 4"�" �� �����!4��" W��)+* B �� ("� ������ �� W)�* �� ��� �� %/ �"� ��%� ����� �/����#�����-����� <� ������� �� �� �"� ����� � ��� �������%�� ��%����� ��� �����)��*! � ���� %/ @��� � � @��� ���#��� )����� (%�� +*� ��� &� ������4��" �� �� �+ &� �� �� �� %��� � �� �"� �� &� �-� ����� ������ < (%���� �� ���� �� ��� �/����� �� &� � ������ ��� �"� ����� �/���� ("� ������ ������� �/����� �� ������ 4��� ������� �� %/ �� � ���� �� ��/ �� 9 ����! �����"� "� � ������ < (%�� �� 4� ���� �"��� ��%��� ��� ' ' ' � �� ��� �"� �/�����4��" �' ������ ) ��� �"� �"��� �/���� 4��" �� ������ �� ���� ����*�

< ��! �"� &� �"���� ����/ � �� � ��,� &� ������1 #� &� ������ %�� � ���������, &� ������ 4��" �� �� �� &� �� �� �� %��� � �� �"� �� &� �-� ����� ������ < (%�� �� 4� ���� �"� �� ��� �/����� �� &� � ������ ��� �"� ������/����

< ��! �"� &� �"���� ����/ � �� � � ������� &� ������� ("��� ����� &� ������

Page 269: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>�7� G����� �� �+'

2�(�� �' $� ��� �/���� �� &� � ������ ��� �"� ����� �/��� �� &� ������ � �

�� K:A�+��6���=� ��

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �

�� K:A�+ �6���=���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �6���=���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� K:A�+��6���=��� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � =� � � � � � =� � � � � � =� �� � � � =� � � =� � � � � � =� � � � � � =� � � � =� � � � � � =� � � � � =�

4��" �� �� �, &� �� 4"�" �� �� %��� � �� �"� �� &� �-� ����� ������ $����� ������� ������� �� ������&�� � (%�� ���

< (%�� �� 4� ���� �"� ��%��� �� ��%� ����� �/��� �� &� ������ � ��! � ,! 4��" ������ �� �"��� ��%��� �� &� ��� ("� ��%��� �� ����� �/��� �� ���� � ��� �"����� >�� # � �" ����� &� ����� "� 8 � � ����� &� ��� ("��� ��� ���� 8 B � �� ��� � ��� � '� >�� � ' �"� ����� &� ������ 4��"� &� �� �� �%�� �� %/ ���������/ � " � � �"� �/�� +�����-� � � � �� "��"������ ��� �� < ��! �"��� ����� � �/��� �� &� ������ 4��" � &� ��� (%�� �� ����/�"�4� ������ � " � � ������ 4"�" ����� �� 4��" � ���� � ���� ��� � ("� ������ " � � ������ �� ���� %/ �"� ����� &� ������ �� �"� 4���"� ������ �);

��*�

Page 270: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�++ ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

2�(�� �5' $� ��� �/���� �� &� � ������ ��� �"� ����� �/��� �� &� ������ � ��

�� K:A�+��6���=���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� K:A�+���6����=��� ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � ����6����=��� ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � ����6����=��� ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � ����6����=��� ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � =� � � �� � � � � =����6����=��� ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � ����6����=��� ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � ����6����=��� ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � =����6����=���� ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �

�� K:A�+���6����=����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � =� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

�� K:A�+���6 ���=���� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � =� � � � �� � =� � � � � � � =� � � � � � � =� � � � � � � =� � � =� � � � � � � =� � � � � � � =� �� � � � � =� � � � =� � � � � � � =� � � � � � � =� � � � � =� � � � � � � =� � � � � � =�

Page 271: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>�7� G����� �� �+,

2�(�� ��' ("� �/���� �� &� � ������ ��� �"� ����� �/��� �� &� ������ � ��

�� 7���&��������6���� � � � � � � � � � � � 6� 6� � 6� � � 6� � � 6� � � � 6�

�� 7���&��������6���� � � � � � � � � � � � 6� 6� � 6� � � 6� � � 6� � � � 6� � � �

�� 7���&��������6����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������6����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���������6���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������6����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 6� 6� � � � � 6� 6� � � 6� 6� 6� 6� �������6���� � � � � � � � 6� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 6� � 6� 6� � ��������6���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 6� � � � 6� � � � � 6� � 6� � 6� 6� � � � � � � ������6����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������6��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 6� 6� � � � � � � � � � 6� 6� 6� 6� ������6����� � � � � � � � � � � � 6� � � � � � � � � 6� � 6� � 6� � 6� 6� � � 6� � � ��������6��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������6����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Page 272: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�+� ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

2�(�� ��' )� �� ���*

�� 7���&������6����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������6����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 6� � � � � � � � � 6��������6��� � � � � � � � 6� � � � � � � � � � � � � � 6� 6� � � 6� � � � � � � � � � ������6���� � � � � � � � � � � � � � � 6� � � � � � � 6� 6� � 6� 6� 6� � � � � � � 6� 6������6����� � � � � � � � � � � � � � 6� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������6����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 6� ��������6����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 6� � � � � � � � � � � � � ��������6����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������6����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 6� � � � � � � � � � � � � ��������6����� � � � � � � � � � 6� � � � � � � 6� � 6� � 6� � 6� 6� � � 6� � � � � � � � � ��������6���� � � � � � � � � � � � � � � � � � 6� � � � 6� � � � � 6� � 6� � 6� 6� � � � � � � � � 6� � ���������6����� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������6����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������6����� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������6���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 6� � � � � � � 6� � � 6� � ���������6����� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���������6���

Page 273: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>�7� G����� �� �+�

2�(�� ��' )� �� ���*

�� 7���&��������6���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������6���� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � 6� � � � � � � � � � � 6� ��������6����� � � � � � � � 6� � � � � � � � 6� � 6� � � � � 6� � � 6� � � 6� � � � 6���������6����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���������6����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���������6����� � � � � � � � � � � � � � 6� � � � 6� � � � � � � � � � � � � ���������6����� � � � � � � � 6� � 6� � 6� � 6� � 6� � 6� � � � � � � � � � 6� 6� � ��������6����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 7���&�������6����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 6� � � � � � � � � � � � � � � � 6��������6���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 6� � � � � � � � � � � � �� � ��������6���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 6� � � � � � � � � � � � � � � �

�� 7���&��������6����� � � � � � � � 6� � 6� � 6� � 6� � 6� � 6� � � � � � � � � � � � � � 6� � 6� 6� �

�� 7���&�������6���� � � � � � � � 6� � 6� � 6� � 6� � 6� � 6� � 6� � 6� � 6� � 6� � 6� � 6� � 6� � 6� � 6� � 6� � 6� � 6� � 6� � 6� � 6�

Page 274: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�,� ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

2�(�� ��' ("� ��%��� �� ��%� ����� �/��� �� &� ������ � ��! � )�����"�� �"� ��%��� �� ����� � �� �� ���� � ��� �"����*

3�� �E! 7 = # F 1 ; :

! !,!- < < < < < < <7 ! < < < < < <= !,!- ! < < < < <# 7 ! < < < <F ! = ! < < <1 !,!- # # ! < <; # : F ! <: 7 != !# 1 !" 7,!- !1 =# 77 ;!> !,!- !;,!- 1# ;7 =7!! !! !>7 !": !=1!7 ;,7- !7F,!- #:# F7;!= 7 !!: "=# !B:=!!# ! :> !B##!,!- FB7""!F !,!- F>,:- !B1"1,!- !7B#1F!1 77,!- !BFF" 77B::",7-!; !> !B!!F =7B"#>,!-!: F ;!=,=F- �=;B#77,!-!" 7 #>#,=- �=FB7>:,!-7> ! 77> �7FB7!=7! !,!- !!#,!- �!:B7=7,7-77 F1 �!=B:::,#-7= 7# �"B;!",7-7# !! �FB:;1,!=-7F F �=B77#71 7 �!B1777; ! �;1",!-7: !,!- �==F7" !#:=> 1==! 7F=7 !!== F=# 7=F !=1 !,!-

����� !,!- 7,!- F,!- !;,7- :!,#- 1=#,!!- "B>;",#7- �77:B>>>,�7:-

Page 275: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>�7� G����� �� �,�

62.720−480

60.600−360

56.480−264 58.504−264

48.360−186 52.384−192 54.384−170 54.408−186 56.408−186 56.426−192 58.432−192

32.240−120* 44.288−132 44.288−144 46.288−122 48.306−120 48.312−122 48.312−132 50.330−132 52.330−108 52.336−120 52.336−132

30.192−80* 32.204−72* 36.216−96 38.216−84 38.216−86 40.234−90 42.216−76 42.234−78 42.240−90 44.240−80 44.252−96 46.252−72 46.258−84 48.258−72 48.264−86 50.276−54 60.332−0

20.144−72 26.144−52* 28.156−48* 30.162−60 30.162−62 34.162−50 36.168−52 38.180−48 36.180−60 38.180−38 40.162−32 40.186−50 42.192−36 42.198−36 44.204−48 48.230−0

18.96−32* 18.108−42 22.108−32* 24.108−24* 26.120−24* 30.126−26 30.126−36 34.126−24 34.138−18 36.132−28 38.144−18 38.152−0 40.146−0

14.72−24* 16.72−16* 18.84−14 22.84−12* 24.92−0* 30.90−14 30.98−0 34.102−0

12.48−8* 16.56−0* 22.60−0* 30.62−0

10.32−0*

>����� '�'; ("� &� �"���� ����/ � �

Page 276: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�,� ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

Page 277: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�������

9�� ���� � � ������ ��

�������

< ��� �� 9�� ���� �

�� ������� ���!��+��� ����� ��#!��+��� �����6 �����&������ ��#!��+��� �����6 ������� ��#!��+��� ���������&��� �� ������ ��#��������� ���� '������� �� � �.���� �� � ����& ��������6 ����� �������� +����� ��#���������&��� �� &���� ��#����� ��� �������� ���� �� � +����� �� �) * �������& '�#����� �� ���(�������� ���� '���������6 ���(�������� �� ��� �&��� ����/�������� �.��(����� �������� +����� ���&���� ����� ���&���� ��(�� ��� ��� *�� � ����� ���, ����������� ����� ���

�,�

Page 278: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�,# ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

��������(�� ��� �� +������ �����������(�� +����� ���� ��#�.���� *�� � ��������, ����.���� �� � ������� ����.��(������� ����.+����� ��#�&����� ���� ����&����� ����6 ���� �� ��,�������6!���� ����������6 �������� ����������6 ���&��� ����������6 ������� ��#�������6 �+� ���&��� ����������6 ��������(�� ����������6 �������� �������+� ����������6 ���� ����������6 ���� ����������6 ���� ���� ���������� $��� *���� ���, �������� ���� ���������� (���� *��� � �������, #����(�� ����� �����(�� ���� ���������������� ����������� �����������6 (��� ��

��������6 ���(�������� ���� '����������6 �������� �� ������+� � ��8��� ��,��������6 ������ �� ��,�������+� *����� ��� �� ������� �����������, ����������� ��(�� ���/�����������6 ������.������� ��,��:����� � ���& � �������� ���������+��� ���� *���� ���, ����.�/��+���� 0.������ ���������� ������(���)�� ������� *�� � ���� �� � ����� ���, ���������� ���������� ����� �������& ���

Page 279: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>�7� G����� �� �,'

����&% ��+��6 �����.��.�����6 ������� $��� �������&6 ��������� ��� ����������� �������� *���� ���, ��������� ���� ���1��& �� �� � ���&��� ���� ������� ���1.�/��+���� 0.������ ���)��6 )�� +����� '��)�� +������6 �/��+���� ������� �� '�#)������ '�#

f-

Page 280: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�,+ ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

�������

������ ��

%�$�� ����������� !"# $%����� &&# "�������� '�������������� (�������������# ������ �������# �� ��)*�� ��)�+��)�

%�$ � ������ !&# ,�� ���(���� ����������� �� �-����� �����% �����# ��� ����� ������ ������# � ��� ��)�*� �+��

%#$�� ���./� 0�1# 1������� 2# &�� �� (����3��� �� ������/� ��/� ��- �(�3��� �� ./�������� ���������� � ������ ������# �� ��)�)� ���

%#�� ����������# 4# 5���� ��� ��6�.��.�.��((�� ��� ��������������� ������������ $7������� ����� ��������� 8�����������������# ���������� �����������# ��)��� *� � �9 ������� 5���� ��� ��6�.��.�.��((�� ��� ������������ $7���� :6���� 0��������. ;��<��((�� ��� ��������� 8�����������������# ���� ���# �� ��)��� �����

%$� � ������� 0# 1/������ ��� ��� �%������ ����/�� (�� ��� (����� ��������/�� �/�.���3���������� �� (��� �� ���� �=��(���# � ���� �������# �� ������ �+���

%$��� ���6� ># �7���6 $# ?���7���� 2# @����������� ># :��������� ># !�����������"�������"� �# #��� ����������� �"���# 2��� @���% A ��� ����# ?�6�B���# �)*�

��$�� C����� !# 4� ./���/����� ��� .���(�� ���(���# ������ ���# � ��)�*� ��)+��

����� C��6�% 2># &����� ?20# ,�� ���� ���������� �� ������� ��������# �� ����������

�����������# " >�����# 8 >��D������# $ $������# ���# &(���.�� E����.# ?�6 B���#�))�# *�+��*

����� C��6�% 2># &����� ?20# &(���� "�����.�# 4������� ��� <���(�# �� �����������

���� $���# ���# &(���.���E����.# ?�6 B���# ��� ��# �))�

���� C��6�% 2># &����� ?20# 0 ������� 6������ � ����� �� ������� �������# ������������� ��))�� �*�+�**

��7�� C�-���� >&1# <���(� 6���� ����������� ��.���� ��� ���(�����# � ���� ����

��� � ��)��� ���+��

��7�� C�-���� >&1# ;������� .���(� .�������� �% ��F�������# ��� ����# ��)�����+ ��

��7�� C�-���� >&1# ������� "�����"��# ;����# ��� ��# �)*� ���� �� 1��������# �)*�

��7 � C�-���� >&1# !-����� �����# !������� � ����# � ��)��� �)�+�

��7�� C�-���� >&1# ,�� ������'������ �� D�������� �% ����� �� (��G������ ���.����#����� �� ���� "���� �""�# �� ��) �� ��*+��

Page 281: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>�7� G����� �� �,,

��7�� C�-���� >&1# 1���� @H2# ���������� ��� ��������� #�� �������� ����"�# �� ��#&(���.���E����.# ?�6 B���# �)�� ���� �� �)�*�

���� ;������ E# <��������� E# 1�-���� ���������� �%����� �� �������# ���" � !��%����������# �� ��)))� �*+�

�!�� ;����� �4# ;��� $# <�������� �# C�����'������ �� ���.���(� �� ���� 0������ .���(�#�� �������� ��� ���������� ��"������ �# !��������� ������# , 4����# @ 8�����#� 4����# ���# "��������.� �� ��� �� I������������ &&"C1# "�D���# "�����# �)) 9@���� &������'�# &��.�(��� ��)))� �������

#%�� �� ����G�# ? <# 0�.������ �����% �� "������=� ����(������� �����.� �� ��� (����# ��%�������� �# ��� &�������'�� ����������� �������� ��� $��������""��# � � �(���%�������� ������������# ��# �* � �*

#��� ;�������# $# ,����/� ��� �� 4���3���# "����# �

#��� ;������% �;������ �?# &�� �� (�������� �/�.���3��� �� �=��(��� 3� ����������# ��������� ��� �� ��� ���� ��������� ������� ���# ��)�)� *)+���9 ���� ��+�

#��� ;����� �;������%� �?# ,�� .������% �� (������� J�������� ����� ��� $�������# ������� ���� ��� � ��)�*� � + �9 ���� � ��)��� ���+�

#��� ;�����# �?# ;�������# ? "# &���.���# 1 I# ��� <�������# $ E# 0 ����� ��������� �����.������% �� � �%���� �� (�����# ��"���� �# ��� ������� �# �������� �# ��� )������ $�������# ��� �!�.���� �����������K ������ ���� ��� ���� ��)* � ��)����

$ � ;�������� "<4# 75��� ��� $�������� ��� (�������� J������������ 8����� ��� ���������������� .��D�� :�����# � ����� ����* ����# �� ������ ��)+��*9 LH�����E�� II# ( �+�)M

���� ;�������# ? "# 4�.�����# 2 C# &�������# 1# 1������.���� "���� &%�����# ���������� !��"��������� ��������# �� ��))��# (( **�)�

#�)�� !�.�� "# ��������� !�����������"�� �� �+������� (����������� �� !�����������"��#; $����� "��� C��(# ;��������# >������# �)�

#�)�� !�.�� "# 1����������� (������� �� ������ ��%������.��(�%# !��"�� ���� �""�#�� ��)��� ��+�

#�)�� !�.�� "# ,�� ����������� �� ���������������� (��%��(��# ������� ����# �� ��))��)+��

#�)�� !�.�� "# I������.������ �� (������������� �� ���# �� ,������-.� ��"��� �� ������ ���%����# " !�.��# > &%��# ���# "��� I��� 1��� 0��� &�� 5������# E�� �� ��))����+ �

#�)�� !�.�� "# ,�� ����������� �%(�� �� (������������� �� ���# ���� !����# 0 � ������)�+)

Page 282: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

�,� ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

#�)��& !�.�� "# <��������� E# ,���� ��� �-����% ��� 4��%(�� �� (�������� '����������������������# ���" � !������������# �� ������ �*�+�*)

#�)��' !�.��# "# H� ��� ������������� �� � ����� �� ����� �������# ���������� ��� !���������������� �� ������/ ����� ((# &�((� �� ������ � )+�*�

#�)�� !�.�� "# H� ��� ����������� �� ��� ������� �� ������������� �%(�� �� (��������������� ���# � � �# ���� ������� �� ����������� �%(��# ����� )�������� ���� !�������/������� �������� ��� ��"�����/ &���/ (��� ���� ���� ��� )������# ������ ��+*

#$ �� !����� $1# $%����� &&# H� ������� �����.�# ���" � !������������# � ��))��)+��

5# � 8������ !&# ������ ������ � �������# ,������������ ��� ��������%��������������������������� ����������#� 0� �� ���������# �� ������ �+�*)9 L$�(����K ��� ����� ����# �)��9 $/����/� �� <�����# 8������ !&# !������� ��� <��������.������#1 &����������# �� ���)�� *)+ )M

5$��� 8���������� 14# &%����� ��� N��������# ���� ���� ���� !������� ���"������%

!�������� ������� !���������# �� ����� *�� �

)���� <����� !# ������� �� ��������� � ��� � ��

)$3�� <�����# " 1# $%�����# & &# 8������������� ��(���� ������������# ���" � !����� ��)�)� (( ����

"�23�� L���� ,����/� �� C��������.��(���# � ����# "����M

"#$�� >������ C# N��������.��(��� �� $7����� �������.�� ;���������D��� I ;�� &%���������(���������# ���� !����# � ��))� ��)+��

"#$ � >������ C# !-������ �� ������� �� 1 C� >������ 3� 1 2����� ��� ��O������ ��G��� ���� ��/����� ��� ������� "����3��� ������# � ����� ����* ����# �� ������ � �+���9LH����� E�� I# ���+� �M

"#$ >������ C# &�� �� ��/����� ��� ������ J�������J���# � ����� ����* ����# �� ��������+� �

"�� >����� ># ,�� ��%������.��(��� ����������� �� ��.��� ����������# ���� !����# ���)�����+�

(��� (������������ ������ �# !�����������"��# , >���# ��# $�����# >������# �)��

E�F�� 2�J����C��O���� ;H# /!���/������� ���(�3��� ��� ������ (�������� �� ��������� *#��� (��� 2������# �� ��))�� ��+��

E�$�� 2����� C# 1/������ ��� �=/�J��������� ��� ������# � ���� �������# � ������ ���+���

8�$�� N������ 0# :�������O <# &�� ��� ������ J�������J��� (�������� J�����������# �������# ���*�� ���+���

Page 283: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

>�7� G����� �� �,�

8�$�� N����� 0# :�������O <# &�� ��� ������ J�������J���# ���� ���# � ���*�� � ���)

8�$�� N������ 0# :�������O <# &�� ��� ������ J�������J��� (��������# ���� ���# �����**� ��+�)�

��)�� 4�.���.� 24# $��������� �=������/���J��# 3����� E�� # <��������E������# "����#�**�# )�+*)�

��)�� 4�.�����# 2# 1�%��=� �����(� �� J������%����� ��� J������.���� ����# !��� ����

��� ��� ��)) �# (( � � � �*

�$�� 1������� 2# 4�� �/�����- (������� ��� ��(���� ����������# 4 ������ ������# "����# �))

�<� 1�%�� 02# 4�6 ����������� �������� ���� � ������ E������ �����# �����������# ����))�� ��)+���

��� 1�1����� "# C����- ������ 6���� ���� �(��� �% �����������# ����������� �� ��)���#���+���

��� 1����� 4# "����� �����J��� ��� ��������� ���������� ��� ��� <�����/��/�# !� ���� ��� ����# ��� ��)*�� ��+�

��� 1����� 4# 1�D�D%��� 2# 4�� �����(�� �����������- �� �� ���������.��(���# !����� ��� ����# ��� ��)�)� �������

�� 1�����# 4# $%�����# &&# &�������# 1# 0� �-������� �� E�����7 =� ������� �� (��������� (�������������# ���" � !���# �� ��))��# (( �)� �

��� 1����� 4# !-����� ��� ��������� ��� �� D��� �� ���������# ����������� (�� �� .���(� ���%�/����� �� ������� �� �� ������������ �� ���(�# !� ���� ��� ����# ��� ��)) ����+���

��� 1�����# 2 ��� >���������# ;# ��������� 5������� 2����# ��)*��

�� 1����6��� ># 5����������.�� 7���� J����������� 8�����# ���� ����# � ������ �������9 L<��������� 0��������.��# E�� I# PP+PPM

��� 1����6��� ># :�� ,������ ��� (�������� J������������ 8�����# � ����� ����*����# ��� ���)�� �+� L<��������� 0��������.��# E�� I# PP+PPM

�� 1����6��� ># ;�����������7���������� �7�� ������������� 70J�������D# � ����� ����*����# ��� ��)��� ���+�*9 L<��������� 0��������.��# E�� II# ��+���M

��� 1����6��� ># ��"��������� �""��+���������# ,������# 4��(D�.# �)�*9 L$�(������ �%C������# ?�6 B���# �)�*M

�� � 1���.����% ;# B��. C,# ,�� �-������� �� � �����# ��� ����# � ��)�*� ������

��� 1���% $E# "����� 2# E������ ������� ��� ���� ����� �� ��� .�������D�� ����������(�0((��������� �� ���� ��� 6��.�� ��������# !������� � ����# �� ��))�� �*�� ��

Page 284: Lattice Geometry - CERNcds.cern.ch/record/859509/files/cer-002542451.pdf · Lattice Geometry Peter ENGEL, Louis MICHEL and Marjorie SENECHAL InstitutdesHautesEtudesScientifiques´

��� ��� ��! >� �!�������� �� ��$ G����� ��

�� �& 1����6 <;# !J��������� ��������.� �� !�������� �(���# ��� ����# � ��)�*���+

�� �' 1����6 <;# H� � ���G������ �� 1���.����%# ��� ����# � ��)�*� ���+��

��(�� H�����/� 2# !�(�������� �� �(�3����# �4�������� 5�������# �� L��� ��))�� �*�+�)*

��� � "����� $&# I�������. �� ���(���# ��O���������� �������������� .���(� �� �����.������(������������# � ���� ����# � ��)�*� *�+ *�

����� "����� $&# H� ��� �-������� �� � ����� ��� ������� �� ��� ���(��� 4�� .���(� �������# �� ��) �� �)�����

��#�� "������ @# "��� 1# H� ��-���� '���� ����������� ���.���(� �� ������ II ,����- ����������� ����# ����������� �# !��"�������# �� ��)**� �����*�

$<��� $%����� &&# ����������� !"# $�(����������. ���(��-�� �� ������������� ���������6��� ���� ������(���� ��� � � �# �� ,������-.� ��"��� �� ������ �������# " !�.��# >&%��# ���# "��� I��� 1��� 0��� &�� 5������# E�� �� ��))�� ���+��

�##�� &����� 40# )������������� ����� ��� ��������#��� ��� "�������� ��������� 6�������%����� 2�����# 8������.# ����

�#��� &�������# 1# I����������� �� ������� .������%# 2��� ������ ������ �� ������# @�����������# 1# 1�����# "# 4���# 2�1# I�D%����# C# ���# ��))��# ��))��

�#�� &������� 1# 7������������ ��� ��������# C������.� 5��������% "����# �))�

�#$�� &���� 2�"# !���� �.���������6��# "���� 5������������ �� 8�����# "����# �)*�

�"(�� &���.��� 1I# $�.���� ;���������E�����7 (��������� ��� ��� ������ ��������� .���(# ���������� (��� ����# ��� ��)*��

!#� � E����� �0# H� � ����� �� ��������� (��%��(�� ��� $�������# ����� !������������ ���� ��������� "� �# � ��)�� ��+��

!�$�� E�����7 <1# ?�������� �((��������� ��� (����3����� �������� 3� �� ��/����� ��� ������J�������J��� "����3��� 1/������ &�� J���J��� (��(��/��/�� ��� ������ J�������J���(�������� (��������# � ����� ����* ����# ��� ��)�*� )*+�*�

!�$�� E�����7 <1# ?�������� �((��������� ��� (����3����� �������� 3� �� ��/����� ��� ������J�������J��� ;��-�3��� 1/������ $��������� ��� ��� (�����/���3����� (��������# � ���������* ����# ��� ��)��� �)�+��*9 ���� �� ��)�)� *+���

4#�� @���� C&# 75��� ���� ����������� 1������ �7�� ��� ��D�������. ��� �������������8�7����� ����� N�%������%�����# ��� ��� ���� $��� 5�����# ���� ��*� �� +��

4(�� @��� !# &(��.����.�.��((�� ��� 0��D7�����. ������������� 4������� $��.�# ��� ����������� )��� 8������# �� ��)�� ��)+���

L(�� Q:���������� HN# E�����7�����. ����� &��D�� ��� E�����7 # #� !������� ���� �$�# �

��)�)� ���+���