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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Francisco Javier Pérez González

Departamento de Análisis Matemático

Universidad de Granada

I

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Universidad de GranadaDpto. de Análisis Matemático

Prof. Javier PérezCálculo diferencial e integral

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Indice general

Prólogo XVI

Guías de lectura XX

1. Axiomas deR. Principio de inducción 1

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1

1.1.1. Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. . . . . . . . . . . . 1

1.2. Axiomas de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 4

1.2.1. Axiomas algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.2.2. Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.2.2.1. Relación de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.2.3. Desigualdades y valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 6

1.2.3.1. La forma correcta de leer las matemáticas . . . . . . . .. . 7

1.2.3.2. Una función aparentemente caprichosa . . . . . . . . . .. . 8

1.2.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 10

1.2.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 12

1.3. Principio de inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 17



1.4. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

1.4.1. Números y medida de magnitudes. Segmentos inconmensurables. . . . 26

II

Índice general III

1.4.1.1. La razón áurea y el pentagrama . . . . . . . . . . . . . . . .27

1.4.1.2. Medimos con números racionales . . . . . . . . . . . . . . .28

1.4.2. Hacer matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

1.4.3. Algunas razones para estudiar matemáticas . . . . . . . .. . . . . . . 30

1.4.4. Lo que debes haber aprendido en este Capítulo. Lecturas adicionales . . 32

2. Funciones elementales 33

2.1. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 33

2.1.1. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 35

2.1.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales . . . .. . . . . . . . . . . . . 39

2.2.1. Funciones polinómicas y funciones racionales . . . . .. . . . . . . . . 39

2.2.2. Raíces de un número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

2.2.3. Potencias racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40

2.2.4. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

2.2.5. Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

2.2.5.1. Interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

2.2.5.2. Crecimiento demográfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

2.2.6. Función potencia de exponente reala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.7. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 43

2.2.7.1. Medida de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

2.2.7.2. Funciones seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

2.2.7.3. Propiedades de las funciones seno y coseno . . . . . . .. . 45

2.2.7.4. Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante . . . 46

2.2.7.5. Las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente . . . . . 46

2.2.8. Las funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 48

2.2.8.1. Las funciones hiperbólicas inversas . . . . . . . . . . .. . . 49


2.2.10. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 54

2.3. Sobre el concepto de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 59

2.3.1. El desarrollo del Álgebra y la invención de los logaritmos . . . . . . . 61

2.4. Lo que debes haber aprendido en este capítulo . . . . . . . . .. . . . . . . . . 63

3. Números complejos. Exponencial compleja 64



Índice general IV

3.1. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64

3.2. Operaciones básicas con números complejos . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 65

3.2.1. Comentarios a la definición de número complejo . . . . . .. . . . . . 66

3.2.2. Forma cartesiana de un número complejo . . . . . . . . . . . .. . . . 66

3.2.3. Comentarios a la definición usuali Dp�1 . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2.4. No hay un orden enC compatible con la estructura algebraica . . . . .68

3.3. Representación gráfica. Complejo conjugado y módulo . .. . . . . . . . . . . 68

3.3.1. Forma polar y argumentos de un número complejo . . . . . .. . . . . 70

3.3.2. Observaciones a la definición de argumento principal. . . . . . . . . . 72

3.3.2.1. Fórmula de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

3.3.3. Raíces de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74

3.3.3.1. Notación de las raíces complejas . . . . . . . . . . . . . . .75

3.3.3.2. La igualdadnp

z npw D n

pzw . . . . . . . . . . . . . . . . . 76



3.4. Funciones elementales complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 91

3.4.1. La función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91

3.4.2. Logaritmos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

3.4.3. Potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94



3.5. Aplicaciones de los números complejos . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 97

3.5.1. Movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 97

3.5.2. Circuitos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 99

3.5.3. Procesamiento digital de señales . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 101

4. Funciones Continuas y límite funcional 102

4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 102

4.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103

4.2.1. Propiedades básicas de las funciones continuas . . . .. . . . . . . . . 104

4.2.2. Propiedades locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 106

4.3. Teorema de Bolzano. Supremo e ínfimo . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 108

4.3.1. La propiedad del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

4.3.2. Propiedad de extremo inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 110



Índice general V

4.3.3. Consecuencias del teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . .. . . . 112

4.3.3.1. Continuidad y monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114



4.4. Continuidad en intervalos cerrados y acotados . . . . . . .. . . . . . . . . . . 128



4.5. Límite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 133

4.5.1. Límites laterales de una función en un punto . . . . . . . .. . . . . . 134

4.5.2. Límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

4.5.2.1. Funciones divergentes en un punto . . . . . . . . . . . . . .135

4.5.2.2. Límites en infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136

4.5.2.3. Funciones divergentes en infinito . . . . . . . . . . . . . .. 136

4.6. Álgebra de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 137

4.6.1. Límites y discontinuidades de funciones monótonas .. . . . . . . . . . 139

4.6.2. Comportamientos asintóticos de las funciones elementales . . . . . . .140

4.6.2.1. Límites de exponenciales y logaritmos . . . . . . . . . .. . 140

4.7. Indeterminaciones en el cálculo de límites . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 141



5. Números y límites. El infinito matemático 150

5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 150

5.2. Evolución del concepto de número . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 151

5.2.1. Números y cantidades en la antigua Grecia . . . . . . . . . .. . . . . 151

5.2.2. De la antigua Grecia a la invención del Cálculo . . . . . .. . . . . . . 153

5.2.3. Infinitésimos y el continuo numérico . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 157

5.2.4. El triunfo de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 160

5.2.4.1. Cortaduras de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162

5.2.4.2. Métodos axiomáticos y métodos constructivos . . . .. . . . 164

5.2.4.3. El regreso de los pequeñitos . . . . . . . . . . . . . . . . . .165


5.3. Evolución del concepto de límite funcional . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 165

5.3.1. La teoría de las “razones últimas” de Newton . . . . . . . .. . . . . . 166



Índice general VI

5.3.2. Lametafísica del Cálculoen D’Alembert y Lagrange . . . . . . . . . .167

5.3.3. El premio de la Academia de Berlín de 1784 . . . . . . . . . . .. . . 169

5.3.4. Cauchy y suCours D’Analysede 1821 . . . . . . . . . . . . . . . . .171

5.3.5. El innovador trabajo de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 175

5.3.6. Weierstrass nos dio los" � ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176


5.4. Breve historia del infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 178

5.4.1. La idea de infinito en la filosofía y la matemática Griegas . . . . . . . .178

5.4.1.1. Las aporías de Zenón de Elea . . . . . . . . . . . . . . . . .178

5.4.1.2. Atomismo y divisibilidad infinita . . . . . . . . . . . . . .. 180

5.4.1.3. La rueda de Aristóteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183

5.4.2. El infinito desde la Edad Media hasta el siglo XIX . . . . .. . . . . . 184

5.4.2.1. El infinito en la Escolástica . . . . . . . . . . . . . . . . . .184

5.4.2.2. Galileo y el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184

5.4.2.3. El Cálculo y el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187

5.4.3. El infinito matemático y el nacimiento de la teoría de conjuntos . . . .188

5.4.3.1. La no numerabilidad del continuo . . . . . . . . . . . . . . .193


6. Derivadas 201

6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 201

6.2. Concepto de derivada. Interpretación física y geométrica . . . . . . . . . . . .202

6.2.1. Tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202

6.2.2. Razón de cambio puntual y velocidad instantánea . . . .. . . . . . . . 202

6.2.2.1. Elementos de una curva relacionados con la derivada . . . . 205

6.2.3. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 206

6.2.4. Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivación . . . . .206



6.2.7. Derivabilidad de las funciones elementales . . . . . . .. . . . . . . . 219

6.2.7.1. Derivabilidad de la exponencial y del logaritmo. Criterio deequivalencia logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219

6.2.7.2. Derivabilidad de las funciones trigonométricas .. . . . . . . 221

6.2.7.3. Derivabilidad de las funciones hiperbólicas . . . .. . . . . . 221



Índice general VII

6.3. Teoremas de Rolle y del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 222

6.3.1. Consecuencias del teorema del valor medio . . . . . . . . .. . . . . . 225

6.3.2. Reglas de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229

6.4. Derivadas sucesivas. Polinomios de Taylor . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 232

6.4.1. Notación de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234

6.4.2. Polinomios de Taylor de las funciones elementales . .. . . . . . . . . 235

6.5. Técnicas para calcular límites de funciones . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 237

6.5.1. Límites que debes saberte de memoria . . . . . . . . . . . . . .. . . . 238

6.5.2. Sobre el mal uso de las reglas de L’Hôpital . . . . . . . . . .. . . . . 241

6.5.3. Sobre el uso de la notación lKımx!a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242

6.6. Extremos relativos. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 243

6.7. Funciones convexas y funciones cóncavas . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 246



6.8. Orígenes y desarrollo del concepto de derivada . . . . . . .. . . . . . . . . . 305

6.8.1. Las matemáticas en Europa en el siglo XVII . . . . . . . . . .. . . . . 306

6.8.2. Cálculo de tangentes y de valores extremos . . . . . . . . .. . . . . . 307

6.8.2.1. El método de máximos y mínimos de Fermat . . . . . . . . .307

6.8.2.2. El método de las tangentes de Fermat . . . . . . . . . . . . .308

6.8.2.3. El método de Roberval y de Torricelli para las tangentes . . .311

6.8.2.4. El triángulo diferencial de Barrow . . . . . . . . . . . . .. 312

6.8.3. Los inventores del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 314

6.8.4. Newton y el cálculo de fluxiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 314

6.8.5. Leibniz y el cálculo de diferencias . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 319

6.8.6. Desarrollo del cálculo diferencial . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 322

7. Sucesiones 325

7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 325

7.2. Sucesiones de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 327

7.2.1. Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 327

7.2.2. Sucesiones convergentes y estructura de orden deR . . . . . . . . . . 330

7.2.3. Sucesiones monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331

7.2.3.1. El número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333

7.2.4. Sucesiones convergentes y estructura algebraica deR . . . . . . . . . . 334



Índice general VIII

7.2.5. Sucesiones parciales. Teorema de Bolzano–Weierstrass . . . . . . . . .335

7.2.6. Condición de Cauchy. Teorema de completitud deR . . . . . . . . . . 338

7.2.7. Límites superior e inferior de una sucesión . . . . . . . .. . . . . . . 339



7.3. Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el cálculo de límites . . . . . . .360

7.3.1. Sucesiones y límite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 363

7.3.2. Sucesiones asintóticamente equivalentes . . . . . . . .. . . . . . . . . 365

7.3.3. Sucesiones de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 366



7.4. Sucesiones de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 379

7.4.1. Definición de la exponencial compleja . . . . . . . . . . . . .. . . . . 380



7.5. Demostraciones alternativas de los teoremas de Bolzano y de Weierstrass . . .382

7.6. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 384

8. Integral de Riemann 386

8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 386

8.2. Aproximaciones al área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 388

8.2.1. Definición y propiedades básicas de la integral . . . . .. . . . . . . . 391

8.2.2. El Teorema Fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . .. . . 397

8.2.3. Primitivas. Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 398

8.2.4. Las funciones logaritmo y exponencial . . . . . . . . . . . .. . . . . 400

8.3. Integrales impropias de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 402

8.3.1. Criterios de convergencia para integrales . . . . . . . .. . . . . . . . 404

8.4. Teoremas del valor medio para integrales . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 406

8.5. Derivadas e integrales de funciones complejas de variable real . . . . . . . . .409



8.6. Técnicas de cálculo de Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 427

8.6.1. Calcular una primitiva...¿Para qué? . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 427

8.6.2. Observaciones sobre la notación y terminología usuales . . . . . . . . .428



Índice general IX

8.6.3. Primitivas inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 428

8.6.4. Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 430

8.6.4.1. Integración por recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . .431


8.6.6. Integración por sustitución o cambio de variable . . .. . . . . . . . . 436


8.6.8. Integración de funciones racionales . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 438

8.6.8.1. Método de los coeficientes indeterminados . . . . . . .. . . 438

8.6.8.2. Método de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .439


8.6.10. Integración por racionalización . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 442

8.6.10.1. Integración de funciones del tipoR.senx; cosx/ . . . . . . . 443

8.6.10.2. Integrales del tipow

R�x; ŒL.x/�r ; ŒL.x/�s; : : :

�dx . . . . . 445

8.6.10.3. Integrales binomias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .446


R.ex/dx . . . . . . . . . . . . . . . .446

8.6.10.5. Integración de funciones del tipoR.x;p

ax2 C bx C c/ . . 447

8.6.11. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 450


8.7. Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 463

8.7.1. Cálculo de áreas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 463

8.7.1.1. Regiones de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .464

8.7.1.2. Regiones de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .465



8.7.4. Curvas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .474

8.7.4.1. Área encerrada por una curva . . . . . . . . . . . . . . . . .476

8.7.4.2. Áreas planas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . .. 476


8.7.6. Longitud de un arco de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 478


8.7.8. Volúmenes de sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .480

8.7.8.1. Volumen de un cuerpo de revolución . . . . . . . . . . . . .481




Índice general X


8.7.11. Área de una superficie de revolución . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 485



8.8. Evolución de la idea de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 499

8.8.1. Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas. . . . . . . . . . 499

8.8.1.1. Cuadratura de un segmento de parábola por Arquímedes . . . 500

8.8.1.2. El Métodode Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .503

8.8.1.3. Área de una espiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .504

8.8.2. La integración antes del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 506

8.8.2.1. Los indivisibles de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . .506

8.8.2.2. Cuadratura de la cicloide por Roberval . . . . . . . . . .. . 507

8.8.2.3. Parábolas e hipérbolas de Fermat . . . . . . . . . . . . . . .508

8.8.2.4. La integración aritmética de Wallis . . . . . . . . . . . .. . 509

8.8.2.5. El resultado fundamental de Barrow . . . . . . . . . . . . .512

8.8.3. La relación fundamental entre cuadraturas y tangentes . . . . . . . . .513

8.8.3.1. El Teorema Fundamental del Cálculo según Newton . .. . . 513

8.8.3.2. La invención delcalculus summatoriuspor Leibniz . . . . .514

9. Series numéricas 518

9.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 518

9.1.1. La particularidad del estudio de las series . . . . . . . .. . . . . . . . 522

9.1.2. Propiedades básicas de las series convergentes . . . .. . . . . . . . . 525

9.1.3. Propiedades asociativas y conmutativas . . . . . . . . . .. . . . . . . 526



9.2. Criterios de convergencia para series de términos positivos . . . . . . . . . . .533



9.3. Criterios de convergencia no absoluta . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 556



9.4. Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta . . . . . . . . . . .563




Índice general XI


9.5. Expresión de un número real en baseb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .570

9.6. Series de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 575



9.7. Cálculo elemental der C1

0senx

xdx y de

P1nD1

1n2 . . . . . . . . . . . . . . .578

10. Sucesiones y series de funciones 581

10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 581

10.2. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 583

10.2.1. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 584

10.2.2. Convergencia Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 586

10.2.3. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 590

10.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 598

10.3.1. Radio de convergencia de una serie de potencias . . . .. . . . . . . . 599

10.3.1.1. Cálculo del radio de convergencia . . . . . . . . . . . . .. . 600

10.4. Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales . . . . . . . . .604

10.4.1. Las funciones trascendentes elementales definidaspor series . . . . . .611

10.4.1.1. La función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .611

10.4.1.2. Las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . .. . 612

10.5. Teorema de aproximación de Weierstrass . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 614



10.6. Los primeros desarrollos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 659

10.6.1. Newton y las series infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 660



Indice de figuras

1.1. El pentagrama pitagórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 27

2.1. La funciónf .x/D x3 � 4x2 C x C 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2. Función logaritmo de basea > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3. Función exponencial de basea > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4. La circunferencia unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 44

2.5. La función seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

2.6. La función seno enŒ��2; �

2� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7. La función arcoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 46

2.8. La función coseno enŒ0; �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.9. La función arcocoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 47

2.10. La función tangente en� � �2; �

2Œ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.11. La función arcotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 48

2.12. La función seno hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 49

2.13. La función coseno hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 49

2.14. La función tangente hiperbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 49

2.15. La función argumento seno hiperbólico . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 50

2.16. La función argumento coseno hiperbólico . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 50

2.17. La función argumento tangente hiperbólica . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 50

2.18. Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59

2.19. Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

XII

Índice de figuras XIII

2.20. John Napier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

3.1. Representación de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 68

3.2. Suma de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 69

3.3. Forma polar de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 71

3.4. Argumento principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 72

3.5. Raíces novenas de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 75

3.6. Igualdad del paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 85

3.7. Área de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91

3.8. Movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 97

3.9. Composición de movimientos armónicos . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 98

3.10. Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

4.1. Función parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 107

4.2. La funciónxE.1=x/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121

4.3. Visualización de la demostración del teorema de Weierstrass . . . . . . . . . .130

4.4. La funciónf .x/D sen.1=x/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

5.1. Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

5.2. al-Jwarizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

5.3. Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

5.4. Tartaglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154

5.5. Viéte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

5.6. Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

5.7. Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

5.8. Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162

5.9. D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167

5.10. Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171

5.11. Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175

5.12. Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 176

5.13. Rueda de Aristóteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 183

5.14. Exágonos de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 185

5.15. Paradoja circunferencia-punto . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 186

5.16. Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190

5.17. ContandoN �N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196



Índice de figuras XIV

5.18. Unión numerable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 197

6.1. Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202

6.2. Elementos de una curva relacionados con la derivada. . . . . . . . . . . . . . . . .205

6.3. Depósito cónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 214

6.4. Cruce de barcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215

6.5. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 222

6.6. Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223

6.7. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 225

6.8. Regla de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 230

6.9. Función cóncava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246

6.10. Función convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 246

6.11. Cálculo de la subtangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 309

6.12. Cálculo de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 311

6.13. Tangente a la cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 312

6.14. Triángulo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 313

6.15. Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .314

6.16. Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .319

6.17. Triángulo característico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 321

6.18. Aproximación de una cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 322

7.1. Puntos de sol y de sombra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 336

8.1. Conjunto ordenadoG.f; a; b/ de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . .388

8.2. Partes positiva y negativa de una función . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 389

8.3. Aproximación por sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 390

8.4. Aproximación del área por sumas inferiores y superiores . . . . . . . . . . . .391

8.5. Función monótona con infinitas discontinuidades . . . . .. . . . . . . . . . . 396

8.6. Logaritmo de 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .400

8.7. Aproximación al área de una región de tipo I . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 464

8.8. Ejemplo de región de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 465

8.9. Aproximación al área de una región de tipo II . . . . . . . . . .. . . . . . . . 466

8.10. Ejemplo de región de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 467

8.11. Simétrica de la figura8.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .467

8.12. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .475



Índice de figuras XV

8.13. Cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .475

8.14. Astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .475

8.15. Espiral de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 475

8.16. Una curva de Lissajoux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 476

8.17. Una curva cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 476

8.18. Aproximación por sectores circulares . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 477

8.19. Rosa de 8 pétalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 478

8.20. Aproximación por poligonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 479

8.21. Cálculo del volumen por secciones . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 480

8.22. Método de los discos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 482

8.23. Método de las láminas o tubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 484

8.24. Superficie de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 485

8.25. Área de una región limitada por dos elipses . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 489

8.26. Cuadratura de un rectángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 499

8.27. Cuadratura de un segmento de parábola . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 501

8.28. ElMétodode Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .503

8.29. Cuadratura de una espiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 505

8.30. Cuadratura de la cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 507

8.31. Cuadratura de la hipérbola de Fermaty D x�2 . . . . . . . . . . . . . . . . .508

8.32. Comparando indivisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 510

8.33. Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 512

8.34.z D z.x/D áreaOPB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .513

8.35. Áreas complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 515

10.1. ¿Esp

2D 1? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .583

10.2. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 584

10.3. Interpretación gráfica de la convergencia uniforme . .. . . . . . . . . . . . .587

10.4. Cuadraturar 1=40

px � x2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .663



Prologo

Este libro está escrito pensando en un estudiante real que también es, en algunos aspectos,un estudiante ideal. Es un estudiante llegado hace poco a la Universidad, quizá recién llegado,que cursa estudios en alguna ingeniería o licenciatura científico – técnica y debe enfrentarse auna difícil asignatura de cálculo diferencial e integral. Debe ser difícil, porque son muy pocosquienes logran aprobarla en un sólo año y es muy alto el porcentaje de abandono. Con estelibro quiero ayudarle en sus estudios de Cálculo o Análisis Matemático, no solamente para quelogre una buena calificación sino para que saque de ellos el mayor provecho e incluso aprendaa disfrutarlos.

Se trata, digo, de un estudiante real porque llega a la Universidad con importantes carenciasde las que él puede no ser consciente y de las que no es del todo responsable. Es muy posibleque nunca haya visto una demostración matemática, que no sepa distinguir entre hipótesis ytesis, que no entienda el significado de que las matemáticas son una ciencia deductiva. Tienepoca agilidad en los cálculos con las operaciones básicas y comete frecuentes errores al in-tentar simplificarlos, puede calcular derivadas pero lo hace con dificultad porque tiene que irpensando cada paso y no ha automatizado el proceso, por eso solamente sabe calcular algunasprimitivas muy sencillas. Está acostumbrado a realizar ejercicios muy elementales en los que sedebe aplicar de forma mecánica una regla recién aprendida. No está acostumbrado a relacionarconceptos y clasifica sus conocimientos en áreas disjuntas:cálculo, álgebra, probabilidad: : :

Pero estas carencias, con ser graves, no son las peores porque son específicas de una ma-teria y podrían solucionarse con facilidad si no vinieran acompañadas por otras mucho másperjudiciales porque afectan a todo el proceso de aprendizaje. Me refiero a la falta de hábitosde estudio, a la pobreza y muy deficiente uso del lenguaje hablado y escrito con la consiguientedificultad para pensar y expresarse correctamente, a la pocapráctica de la lectura comprensi-va, a la escasa capacidad de concentración, al poco valor quese da a la memorización de loestudiado.

Si a este cuadro añadimos que vivimos en una sociedad que valora más el éxito, identifica-do casi exclusivamente con el éxito económico, que el esfuerzo; el apresuramiento compulsivo,hay que ir a toda velocidad aunque so sepamos a dónde, que la constancia y la dedicación; el

XVI

Prólogo XVII

gregarismo unánime que el pensamiento crítico e independiente, la autocomplacencia que laexigencia: : : La conclusión es que no son buenos tiempos para el estudio. Además, los jóvenesestán permanente solicitados por todo tipo de reclamos publicitarios, adulados hasta la desver-güenza por políticos y pedagogos que les venden un mensaje falso que en su esencia viene adecir que no son responsables de sus actos: si suspenden, lesdicen que es porque el profesorno ha sabido motivarlos para que estudien; si después de un botellón de fin de semana, o de unafiesta de la primavera o de un día de la cruz, las calles amanecen convertidas en un albañal porla suciedad acumulada durante la noche, el argumente apropiado para disculpar tan incívicocomportamiento es el de un supuesto derecho a la diversión. Estos políticos y pedagogos pare-cen haberse puesto de acuerdo para propiciar que los jóvenesvivan en una permanente niñez,acreedora de todos los derechos pero sin obligaciones ni responsabilidades. Y, para acabar, labazofia, mezquindad, zafiedad y mal gusto de algunos programas de televisión contribuyen deforma notable a difundir el mensaje de que todo vale: puedes vender tus entrañas en uno deesos programas o demostrar tu absoluta ignorancia sin temora hacer el ridículo porque así lohacen la mayoría de quienes participan en ellos. ¡Qué añoranza de aquellos programas en losque el saber ocupaba lugar!

El estudiante al que me dirijo es real porque es víctima de este sistema y también, puedeque sin tener clara conciencia de ello, porque contribuye a su mantenimiento. Cada vez esmás difícil conjugar juventud y lucidez. Pero también es un estudiante ideal porque valora elestudio, quiere prepararse para ejercer eficazmente una profesión y ser útil a los demás y tieneganas de aprender. Lector, si este no es tu caso, si lo que quieres es solamente aprobar y notienes curiosidad ni estás interesado en aprender, mejor que no sigas leyendo, este libro noes lo que buscas. Pero si no es así, confío en que las páginas que siguen sean útiles para queprogreses adecuadamente en tus estudios de cálculo, porquelo único que se necesita para elloes, además del interés y las ganas de aprender, una capacidadbásica lógico – deductiva que sinduda tienes.

El contenido de este libro no ofrece sorpresa alguna y responde a un acuerdo general tácitode lo que debe constituir un curso básico de Cálculo de funciones de una variable. La novedad,si la hay, habrá que buscarla en el estilo, en la exposición, en la gran cantidad de ejemplos yde ejercicios, en la minuciosa presentación de los conceptos y de sus relaciones. Comentaréseguidamente algunos de estos aspectos.

Este libro está escrito en un estilo deliberadamente sencillo, he querido huir del estilo pe-dante que se impuso hace algunos años y que todavía perdura encasos aislados. Escribir mate-máticas es un arte que se va aprendiendo poco a poco y, aunque no es ajeno a las modas, tieneunas reglas básicas que deben ser respetadas en cualquier circunstancia. Realmente se trata deuna sola regla debida a Nicolás Boileau (1636 - 1711) que diceasí “lo que bien se concibebien se expresa con palabras que acuden con presteza”. Que las palabras acudan con mayor omenor presteza es algo anecdótico, pero lo que es indudable es que si algo no se concibe bienes imposible expresarlo con claridad. La primera condiciónnecesaria para escribir matemáticases entender con todo detalle, a ser posible desde varios puntos de vista diferentes y con distintogrado de generalidad, la génesis y evolución de los conceptos que se exponen, las sutilezas ydificultades de comprensión que encierran, los errores más frecuentes en su interpretación. Esacondición necesaria no es suficiente. Hay que exponer esos conceptos con palabras comprensi-bles para el lector a quien se dirigen, evitando tecnicismosinnecesarios, y ello sin dejar de serclaro y preciso.



Prólogo XVIII

Este libro está escrito un poco igual que se explica en clase delante de la pizarra, me hepuesto en el lugar de un hipotético estudiante medio algo despistado y me hago eco de suspresumibles dudas, preguntas y confusiones, e intento explicar esas dudas, responder a las pre-guntas y aclarar las confusiones. Confío en que los muchos años que he dedicado a la docenciaen el primer curso de distintas licenciaturas e ingenieríasme hayan permitido saber ponermeen tu lugar y cumplir este empeño con decoro. Por todo eso creoque este libro te permitiráestudiar por ti mismo y te ayudará a comprender de forma correcta los conceptos principalesdel Cálculo.

Este libro incluye una colección de ejercicios muchísimo más amplia que lo que suele serusual en un libro de texto. De hecho este libro es también un libro de problemas de Cálculoy, se me disculpará la inmodestia, creo que hay muy pocos libros de ejercicios de Cálculo queincluyan una colección tan variada de ejercicios y, sobre todo, que propongan tantos ejerciciosno triviales y desarrollen las soluciones con detalle. Los libros de ejercicios de Cálculo danmuchas veces la impresión de que la teoría solamente sirve para proporcionar un conjunto derecetas que después hay que aplicar, sin acabar nunca de entender bien por qué se elige unareceta y no otra y sin entender el fundamento que hace que la receta funcione.

Mi intención ha sido escribir un libro de Cálculo que sea útiltanto para el futuro matemáticocomo para el futuro ingeniero, pero cada uno debe leer el libro de la forma adecuada a susintereses y necesidades. Para ambos será de gran utilidad laextensa colección de ejerciciosy de ejemplos, pero uno habrá de prestar mayor atención a los fundamentos teóricos y a lasdemostraciones y otro a las técnicas de cálculo y de resolución de diversos tipos de ejercicios.Al final de este prólogo propongo dos posibles guías de lectura.

Digamos algo sobre las demostraciones. Claro está que razonar y demostrar son aspectosfundamentales de las matemáticas, pero sé que el valor que las demostraciones tienen paralos estudiantes es muy relativo. El empeño en demostrarlo todo puede ser contraproducente yconstituir un freno en el progreso de muchos estudiantes. Las demostraciones interesantes sonlas que contienen ideas que se repiten en otras situaciones semejantes, no deben ser extensas,deben ser elegantes y demostrar resultados importantes quese van a usar con frecuencia. Cuan-do empecé este libro mi intención era incluir muy pocas demostraciones, al final, para lograrla autonomía del texto he incluido muchas más de lo que inicialmente pensaba. Mi deseo eraequilibrar un desarrollo intuitivo con uno lógico deductivo, confío en no haberme desviado mu-cho de este objetivo. Toda ayuda a la intuición me parece loable, en este sentido, siempre que lohe creído conveniente, no he dudado en incluir una figura parafacilitar la comprensión de unadefinición o de una demostración. Pero también quiero decir respecto de algunas demostracio-nes que pueden parecer muy complicadas (como los teoremas4.13y 4.29de los que tambiéndoy versiones más sencillas7.54y 7.55), que las cosas complicadas son complicadas, que nose debe renunciar al razonamiento correcto por el hecho de que sea complicado, los detallesson importantes, en matemáticas no todo vale.

He concedido toda la importancia que merece al desarrollo y evolución histórica de los prin-cipales conceptos del Cálculo. He incluido apuntes históricos, mucho más amplios de lo usualen textos de estas características, sobre la evolución de los conceptos de número y magnitud,límite y función, derivadas e integrales, así como al concepto de infinito y a la algebraizacióndel Análisis llevada a cabo en el último tercio del siglo XIX.Incluso hay un capítulo, el quinto,cuyo título ‘‘Números y límites. El infinito matemático”deja bien claro cuál es su contenido.Naturalmente, nada de original hay en dichas notas históricas pues no he consultado fuentes



Prólogo XIX

originales, y su posible valor está en la particular ordenación y exposición que he llevado acabo. Mi propósito al escribirlas ha sido presentar la génesis de los conceptos matemáticos ensu contexto, su titubeante y confusa evolución, las discrepancias sobre el significado de losmismos... En una palabra, proporcionar al estudiante una visión de la matemática viva.

Con frecuencia los estudiantes tienen la idea de que las matemáticas son algo cerrado yacabado, un conjunto de verdades eternas e inmutables de unafría perfección que se transmi-ten dogmáticamente de generación en generación y donde no hay lugar para la sorpresa ni lapasión. Nada más lejos de la realidad. La historia de las matemáticas demuestra que el queha-cer matemático, la creación matemática, está muy lejos de esa fría perfección formal lógico– deductiva, que la intuición, la inducción, los procedimientos heurísticos son quizá más im-portantes para el avance de las matemáticas que el razonamiento deductivo. La historia de lasmatemáticas muestra cómo los conceptos nacen para responder a problemas concretos de cadaépoca, cómo esos mismos conceptos llevan a reformular posteriormente los problemas des-de perspectivas más generales, en un avance que no siempre esuna línea recta, con intentosfallidos, con controversias y desacuerdos.

La historia pone también muy claramente de manifiesto que lasmatemáticas son un saberacumulativo. Esto tiene una particular importancia para elaprendizaje, quiere decir que paraestudiar y avanzar en matemáticas la memoria es mucho más importante de lo que usualmentese cree. La efímera memoria de los estudiantes que llegan a laUniversidad, que con frecuenciahan olvidado lo que alguna vez aprendieron de matemáticas, es una de las grandes dificultadesque debemos afrontar los profesores.

Un aspecto notable del libro es la atención que dedico a los persistentes errores en matemá-ticas que suelen tener casi todos los estudiantes al llegar ala Universidad. Confío en que misobservaciones al respecto sean útiles no sólo para los estudiantes sino también para los pro-fesores de matemáticas de las Enseñanzas Medias. También expongo algunas opiniones muycríticas con la forma en que tradicionalmente se explican algunos temas en la Universidad, estoafecta muy especialmente al estudio de los números complejos y de las funciones elementalescomplejas y de las series, para los que hago propuestas que creo que deben ser tenidas muy encuenta.

Granada, septiembre de 2008



Guías de lectura XX

Guías de lectura

El Capítulo 5 y los diversos complementos de contenido histórico solamente debes leerlossi te gustan. La única forma de saber si te gustan es que empieces a leerlos, y si cuando llevesdos páginas sigues interesado en la lectura seguramente llegarás hasta el final.

Los capítulos 1 y 2 deben ser leídos con detenimiento. No hay en ellos demostracionesque merezcan ese nombre. En el Capítulo 1 se dan definiciones básicas cuyo conocimiento esimprescindible para leer todo lo demás. En el Capítulo 2 se define el importantísimo conceptode función y se estudian, desde un punto de vista descriptivo, las funciones elementales. Elconocimiento de dichas funciones es absolutamente necesario para leer el resto del libro yrealizar ejercicios.

Para estudiantes orientados hacia ingenierías cuyo interés por las matemáticas esde tipo instrumental

El Capítulo 3 está dedicado a los números complejos y a las funciones complejas elemen-tales. Solamente tú puedes saber si necesitas estudiarlo. Si decides omitirlo puedes hacerlo contranquilidad.

El Capítulo 4 está dedicado a dos importantes conceptos: el de continuidad y el de lími-te funcional. Son conceptos de importancia teórica y necesarios para hacer ejercicios. Debesestudiar y entender las definiciones y resultados pero no es necesario que leas las demostra-ciones. El concepto de extremo superior tiene interés desdeun punto de vista formativo, paraque comprendas que se precisa alguna herramienta que permita probar ciertas afirmaciones deapariencia evidente (o no tan evidente). Muchos libros de Cálculo orientados hacia la ingenie-ría omiten este concepto. No es un concepto imprescindible para un futuro ingeniero, pero esbueno que sepas de su existencia y tengas una idea de su utilidad y lo que significa.

El Capítulo 6 estudia las derivadas y sus aplicaciones. Creoque debes leerlo todo incluidaslas demostraciones de los resultados principales porque son cortas y fáciles de entender, con laexcepción, quizás, de las demostraciones de las Reglas de L’Hôpital, no porque sean difícilessino porque son algo largas. Pero debes leer la explicación de por qué dichas reglas funcionan.Son muy útiles y mi impresión es que se usan como un recurso casi mágico, sin entender bienlo que se está haciendo. La sección en la que se explican técnicas para calcular límites defunciones debes leerla hasta que memorices los límites básicos que allí se indican y entiendasbien los procedimientos que se exponen.

El Capítulo 7 está dedicado al estudio de las sucesiones. Debes aprender y comprenderbien las definiciones y lo que dicen los principales teoremaspero, salvo la demostración deque toda sucesión monótona acotada es convergente, no es necesario que leas ninguna otrademostración. Los resultados relativos a la condición de Cauchy son una herramienta teóricafundamental, pero quizás un ingeniero puede prescindir de ellos. La sección en la que se ex-plican técnicas para calcular límites de sucesiones y para resolver las indeterminaciones másusuales, debes leerla hasta que memorices los límites básicos que allí se indican y entiendasbien los procedimientos que se exponen. Las sucesiones que definen al número e y las de-sigualdades asociadas con dichas sucesiones son muy útiles, debes memorizarlas y aprender areconocerlas allí donde aparezcan. La continuidad uniforme es algo de lo que puedes prescindir



Guías de lectura XXI

con tranquilidad.

El Capítulo 8 es muy extenso, en él se estudia la integral de Riemann que es la integral usualdel Cálculo, las integrales impropias, el cálculo de primitivas y las aplicaciones del cálculointegral. Con la excepción de las demostraciones del Teorema Fundamental del Cálculo y dela Regla de Barrow, no es necesario que leas otras demostraciones. Procura entender bien ladefinición de integral y sus propiedades así como el significado del Teorema Fundamental delCálculo. Todo el tiempo que dediques, y tendrás que dedicar muchas horas, a practicar lastécnicas de cálculo de primitivas será ampliamente recompensado. Calcular primitivas es algoque hay que hacer con muchísima frecuencia: en todas las aplicaciones de la integral tienes quecalcular una primitiva.

El Capítulo 9 está dedicado al estudio de las series numéricas. Es importante que aprendasy comprendas bien las definiciones principales. Hay muchísima confusión en este tema y loslibros que conozco sirven de poca ayuda. Las demostracionesde este capítulo puedes omitirlassalvo las de los criterios de convergencia para series de términos positivos que son cortas yfáciles de entender. Las técnicas para sumar algunos tipos de serie debes estudiarlas, así comoel criterio de Leibniz para las series alternadas. El apartado dedicado a la expresión de unnúmero real en una baseb 2Z merece que lo leas, aunque solamente sea un poco por encima,para saber lo que dice y para aclararte de una vez con eso de losdecimales infinitos con infinitascifras que no se repiten.

El Capítulo 10 estudia la convergencia puntual y uniforme desucesiones y series de fun-ciones. El concepto de convergencia puntual es muy sencillo, no lo es tanto el de convergenciauniforme y puede que un ingeniero no necesite estudiarlo condetenimiento. Es bueno que se-pas para qué sirve y que muchas operaciones que consisten en permutar el límite funcional conla integración o con la derivación requieren para su plena justificación un tipo de convergenciamejor que la puntual. Las series de potencias debes estudiarlas con detalle, omitiendo quizásalgunas demostraciones. Su estudio es importante y muy útila efectos de cálculo. Los desarro-llos en serie de potencias de las funciones elementales, y ladefinición por series de potenciasde las funciones exponencial y trigonométricas debes estudiarlos bien. Lo que dice el teoremade aproximación de Weierstrass es muy fácil de entender, pero puedes omitir su demostración.

La parte más importante para el aprendizaje es el tiempo que dediques a la realizaciónde ejercicios. He incluido una extensa colección de ejercicios resueltos que te servirá de ayu-da para aprender a resolver ejercicios tú solo. Siempre debes intentar resolver algunos de losejercicios propuestos empezando por los que te parezcan másfáciles, antes de consultar las so-luciones. Se aprende más de un ejercicio que al principio se resiste hasta que damos con la ideapara resolverlo, que del ejercicio que resolvemos al primergolpe de vista. Los ejercicios quepropongo tiene un grado medio de dificultad: no son trivialespara no ofender a tu inteligen-cia ni demasiado difíciles para evitar que puedas desalentarte. Con frecuencia los más difícilesestán resueltos. En cualquier caso, siempre debes leer la teoría y comprender los conceptos eideas básicas, así como el significado preciso de los teoremas, antes de hacer los ejercicios.

Para estudiantes de matemáticas y física

Todo lo dicho arriba se mantiene con algunos añadidos:

El Capítulo 3 debes estudiarlo y entenderlo bien. Los conceptos básicos de los números



Guías de lectura XXII

complejos están muy confusamente expuestos en gran número de textos y las funciones com-plejas elementales son definidas con frecuencia de una formapoco correcta.

En el Capítulo 4 debes estudiar y comprender bien las definiciones de extremo superiore inferior. Debes hacer ejercicios hasta que te convenzas deque sabes usarlas con soltura. Ladiferencia entre un curso de Cálculo y uno de Análisis Matemático está en los conceptos desupremo e ínfimo. Los libros de Análisis Matemático siempre los incluyen, los de Cálculo casinunca. No es preciso, al menos en una primera lectura, que estudies la demostración del teo-rema de valores máximos y mínimos de Weierstrass, en el Capítulo 7 hay otra demostraciónalternativa de dicho teorema que es mucho más fácil. Debes estudiar y comprender la demos-tración del teorema de Bolzano y sus consecuencias, así comolas relaciones entre monotoníae inyectividad.

Para el Capítulo 6 te doy los mismos consejos que arriba. En una segunda lectura debesestudiar la demostración de las reglas de L’Hôpital.

El Capítulo 7 estudia las sucesiones numéricas. Mantengo los mismos consejos de arri-ba pero, además, en una segunda lectura debes estudiar las demostraciones de los resultadosprincipales, especialmente el teorema de completitud deR. Por supuesto, debes estudiar lacontinuidad uniforme.

Para el Capítulo 8 mantengo los mismos consejos de arriba conel añadido de que estudieslas demostraciones de integrabilidad de funciones continuas y de funciones monótonas.

En el Capítulo 9 puedes omitir la demostración de la segunda parte del teorema9.14perodebes entender lo que se afirma en el mismo. Lo demás debes estudiarlo todo. El tema de lasseries es muy importante para matemáticos y físicos.

El Capítulo 10 es de estudio obligado para matemáticos y físicos. La convergencia uniformees tu primer encuentro con algunos conceptos que serán ampliamente generalizados en otroscursos, el tiempo que dediques a su estudio y a la comprensiónde sus sutilezas estará bienempleado. Todos los teoremas de este Capítulo tiene demostraciones sencillas y cortas quedebes estudiar. El teorema de aproximación de Weierstrass es también uno de esos resultadoscuya generalización se estudia en cursos más avanzados, debes entender bien lo que dice y noestá de más que leas la demostración. Por lo demás, mantengo los consejos dados arriba.

La parte más importante para el aprendizaje es el tiempo que dediques a la realizaciónde ejercicios. He incluido una extensa colección de ejercicios resueltos que te servirá de ayu-da para aprender a resolver ejercicios tú solo. Siempre debes intentar resolver algunos de losejercicios propuestos empezando por los que te parezcan másfáciles, antes de consultar las so-luciones. Se aprende más de un ejercicio que al principio se resiste hasta que damos con la ideapara resolverlo, que del ejercicio que resolvemos al primergolpe de vista. Los ejercicios quepropongo tiene un grado medio de dificultad: no son trivialespara no ofender a tu inteligen-cia ni demasiado difíciles para evitar que puedas desalentarte. Con frecuencia los más difícilesestán resueltos. En cualquier caso, siempre debes leer la teoría y comprender los conceptos eideas básicas, así como el significado preciso de los teoremas, antes de hacer los ejercicios.



Capıtulo1

Axiomas de R. Principio de induccion

Dios creó los números naturales, lo demás es obra de los hombres.L. Kronecker

1.1. Introducción

Los temas tradicionales del Cálculo son el estudio de las funciones continuas, las derivadase integrales, las sucesiones y las series. Tú ya debes saber algo de todo eso. En principio, pare-cen cosas bastante diferentes pero todas ellas tienen una base común, que es, precisamente, delo que nos vamos a ocupar en este Capítulo. Me estoy refiriendoa los números reales que repre-sentamos porR. Sin duda, ya conoces muchas propiedades de los números reales. Sabes quese pueden sumar y multiplicar y que hay números reales positivos y negativos. También puedesextraer raíces de números reales positivos y elevar un número real positivo a otro número real.Lo que quizás no sepas es que todo lo que puedes hacer con los números reales es consecuenciade unas pocas propiedades que dichos números tienen que, además, son muy elementales. Eneste Capítulo estableceremos dichas propiedades. Serán nuestro punto de partida para todo loque sigue; constituyen los“axiomas” del Cálculo. Te advierto que no voy a decírtelo todo,voy a guardarme una carta en la manga que te mostraré más adelante cuando su necesidad seamanifiesta (si echas algo en falta, ve alCapítulo 4).

1.1.1. Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios.

Al terminar este apartado, entenderás el significado de la frase deBertrand Russellque fueuno de los más grandes matemáticos y filósofos del siglo XX.

La matemática pura es aquella ciencia en la que uno no sabe de qué está hablandoni si lo que está diciendo es verdad.

1

http://es.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell

Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. 2

Siempre que te enfrentas a un problema es muy importante que lo sitúes en su contexto apro-piado. Esto ya lo haces de forma automática en muchas ocasiones. Por ejemplo, sabes que unproblema de álgebra y otro de probabilidades requieren distintas herramientas, y al primero lositúas en “Álgebra” y al segundo en “Cálculo de Probabilidades”. Pero no siempre las cosasson tan claras, no siempre tienes un “marco de referencia” tan explícito. Para quesientaslo quequiero decirte, voy a proponerte unos ejercicios muy sencillos. En todo lo que sigue se suponeque x;y son números reales.

1. Prueba que0 x D 0.

2. Prueba que.�x/y D�xy.

3. Prueba que six ¤ 0 entoncesx2 > 0.

Supongo que hace ya tanto tiempo que conoces estas propiedades de los números quehas olvidado cuándo las aprendiste. ¡Y ahora te pido que lasdemuestres! Puedo imaginar tureacción¿que demuestre que0 x D 0?, ¡pero si eso es evidente! ¡siempre me han dicho que esasí! ¿cómo se puede demostrar tal cosa?.

Pienso que muchas veces la dificultad de un ejercicio está en que no sabes qué es exacta-mente lo que se te pide que hagas; no te dan un marco claro de referencia. En estas situacioneslo más frecuente es“quedarse colgado”con la“mente en blanco”sin saber qué hacer.

Para evitar ese peligro, en este curso vamos a dar un marco de referencia muy claro que vaa consistir en unas propiedades de los números –axiomas, si quieres llamarlas así – que vamosa aceptar como punto de partida para nuestro estudio. Esas propiedades, junto con lasreglasde inferencia lógicausuales y condefinicionesapropiadas nos permitirándemostrarresultados(teoremas) que podremos usar para seguir avanzando.

Simplificando un poco, puede decirse que en matemáticas no hay nada más que axiomasy teoremas (bueno, también hay conjeturas, proposiciones indecidibles. . . ). Todo lo que sedemuestra es un teorema; por ejemplo0 x D 0 es un teorema. Ocurre que el nombreteoremase reserva para resultados que se consideran realmente importantes y que ha costado esfuerzollegar a probarlos. Se usan también los términos:corolario, lema, proposicióny otros. Perola estructura de unateoría matemática elaboradase resume en un conjunto de axiomas y deteoremas que se deducen de ellos mediante reglas de inferencia lógica.

Los axiomas de una teoría matemática proporcionan el marco de referencia más general dedicha teoría. Son, por tanto, muy importantes. Al principio, cuando la teoría empieza a caminary se demuestran los primeros resultados más básicos, es frecuente recurrir de forma explícitaa los axiomas. Más adelante, cuando la teoría va avanzando, los axiomas no suelen citarse contanta frecuencia porque nos apoyamos en resultados más elaborados previamente demostrados.Pero los axiomas siempre están presentes aunque sea de formadiscreta y no ostensible.

Entre las particularidades que distinguen a las Matemáticas de las demás ciencias hay unamuy especial: las Matemáticas avanzan dando definiciones. Las definiciones no son nuevosaxiomas. Una definición lo que hace es introducir un término nuevo y establece cómo dichotérmino se expresa en función de los axiomas de la teoría. Porejemplo, la definición de con-tinuidad se expresa mediante desigualdades y las desigualdades se reducen a los axiomas deorden deR.



Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. 3

Quiero también decirte algo sobre lo que se entiende porreglas de inferencia lógicas usua-les. Me limitaré a la más importante: laimplicación lógica. Los teoremas matemáticos tienencasi siempre la siguiente estructura: se parte de unahipótesisy de ellase deduceuna tesis.Entremos en detalles. Lahipótesises siempre alguna propiedad matemática; por ejemplo,“ fes una función continua en un intervalo”. La tesistambién es una propiedad matemática; porejemplo,“la imagen def es un intervalo”. Representemos porH la hipótesis y porT la tesis.Es importante que te des cuenta de que no tiene sentido preguntarse por laveracidadde la hi-pótesisH . No es ni verdadera ni falsa. Para queH sea verdadera o falsa debemos particularizarla funciónf .

Un error muy frecuente consiste en pensar que en Matemáticaslas hipótesis son verdade-~ras.

Ahora te preguntarás, siH no es verdadera ni falsa, ¿qué quiere decir queH implica T

o, equivalentemente, queT se deduce o es consecuencia deH? La respuesta es: “H implicaT ” quiere decir quesiempre queH sea verdadera tambiénT es verdadera. Observa que noestamos afirmando (no tiene sentido) queH o T sean verdaderas sino quecuandoH es verda-dera también lo esT . Con más precisión, demostrar queH implicaT consiste en probar que laproposiciónH÷T es cierta. Teniendo en cuenta que la proposiciónH÷T es la disyunciónlógica (noH )_T , resulta que siH es falsa entoncesH÷T es verdadera (por eso se dice quede una hipótesis falsa puede deducirse cualquier cosa) y siH es verdadera entonces para queH÷T sea verdadera tiene que ocurrir queT sea verdadera. En consecuencia, si sabemos queH es verdadera y queH÷T es verdadera, deducimos queT es verdadera.

Ahora puedes entender el significado de la frase de C. P. Steinmetz.

La matemática es la ciencia más exacta, y sus conclusiones son susceptibles dedemostración absoluta. Pero eso se debe exclusivamente a que la matemática nointenta obtener conclusiones absolutas.Todas las verdades matemáticas son rela-tivas, condicionales.

También comprendes ya el significado de una parte de la enigmática frase de Bertrand Russelldel principio:en matemáticas no sabemos si lo que decimos es verdad. Pero una parte de dichafrase queda por aclarar.

¿Recuerdas los axiomas de la geometría elemental? En dichosaxiomas se establecen pro-piedades que se supone satisfacen ciertos objetos llamados“punto”,“recta” y “plano”. Pero nose dice nuncalo que esun punto ni una recta ni un plano. De la misma forma, en la secciónsiguiente estableceremos los axiomas de los números reales, pero no diremoslo que esun nú-mero real. ¡En matemáticas nunca decimos cuál es la naturaleza concreta de los objetos conlos que trabajamos! Sucede que la intuición nos lleva muchasveces a una interpretaciónna-tural de dichos objetos, pero otras veces dicha interpretación natural no está disponible. Y, lomás interesante, puede haber interpretaciones muy diferentes de una misma teoría matemática.Precisamente, las matemáticas son unaciencia abstractaporque trabaja con cosas abstractascuya naturaleza no se precisa ni es necesario saber, solamente interesan lasrelacionesque hayentre ellas tal y como se establecen en los axiomas. Ahora ya entiendes por qué afirma BertrandRussell que“en matemáticas no sabemos de lo que hablamos”.



Axiomas de los números reales 4

1.2. Axiomas de los números reales

1.2.1. Axiomas algebraicos

Como ya sabes, se distinguen distintas clases de números:

Losnúmeros naturales1; 2; 3; : : : . El conjunto de todos ellos se representa porN.

Losnúmeros enteros: : : ;�2;�1; 0; 1; 2; : : : . cuyo conjunto se representa porZ.

Los números racionalesque son cocientes de la formap=q dondep 2 Z; q 2 N, cuyoconjunto representamos porQ.

También conoces otros números comop

2,� , o el número e que no son números racionalesy que se llaman, con una expresión no demasiado afortunada, “números irracionales”. Puesbien, el conjunto formado por todos los números racionales eirracionales se llamaconjunto delos números realesy se representa porR.

Es claro queN � Z � Q � R.

Aunque los números que no son racionales pueden parecer un poco raros, no merece lapena, al menos por ahora, preocuparse por cómo son estos números; sino que lo realmenteinteresante es aprender a trabajar con ellos. Lo interesante del número

p2 es que su cuadrado

es igual a21.

Pues bien, una de las cosas más llamativas de los números es que a partir de un pequeñogrupo de propiedades pueden deducirse casi todas las demás.Vamos a destacar estas propie-dades básicas que, naturalmente, hacen referencia a las dosoperaciones fundamentales que sepueden hacer con los números: la suma y el producto. La suma dedos números realesx;y seescribexCy, representándose el producto porxy. Las propiedades básicas a que nos referimosson las siguientes.

P1 Propiedades asociativas.Para todosx;y; z enR:

.x C y/C z D x C .y C z/ I .xy/z D x.yz/

P2 Propiedades conmutativas.Para todosx;y enR:

x C y D y C x I x y D yx

P3 Elementos neutros.Hay dos números realesdistintosque representamos por0 y 1

tales que para todox2R se verifica que:

0C x D x 1x D x

P4 Elementos opuesto e inverso.Para cada número realx hay un número real llamadoopuesto dex, que representamos por�x, tal que x C .�x/D 0:

Para cada número realx distinto de0, x¤ 0, hay un número real llamadoinverso dex,que representamos porx�1, tal que xx�1D 1:

1La secciónNúmeros y medida de magnitudestrata de la aparición de los números irracionales y su relacióncon la medida de magnitudes



Axiomas de orden 5

P5 Propiedad distributiva. .x C y/z D xz C y z para todosx;y; z enR.

Las propiedades anteriores son de tipo algebraico y, aunqueson muy sencillas, a partir de ellaspuedenprobarsecosas tan familiares como que0xD0, o que.�x/yD�.xy/. Vamos a hacerlo.

1.1 Proposición. Se verifican las siguientes igualdades

0x D 0; .�x/y D�x y; .�x/.�y/D xy :

Demostración. Probaremos primero que0x D 0. PorP5 .0 C 0/x D 0 x C 0 x. Como con-secuencia deP3 es0 C 0 D 0. Obtenemos así que0 x D 0 x C 0 x. UsandoP4, sumamos elopuesto de0 x a ambos lados de la igualdad0 xD0 xC0 x y, usando tambiénP1 (la propiedadasociativa), obtenemos que0 x D 0.

Probaremos ahora que.�x/yD�.xy/. Tenemos quexyC.�x/yD.xC.�x//yD0 yD0.Donde hemos usadoP4, P5y el apartado anterior. La igualdadxy C .�x/y D 0 nos dice, porP4, que.�x/y es el opuesto dexy. Eso es justamente lo que queríamos probar.

Finalmente, la igualdad.�x/.�y/D xy es consecuencia inmediata de la anterior. 2

El símbolo�x debe leerse siempre “el opuesto dex” y no “menosx”. La razón es que~la palabra “menos” remite a una idea de orden (si hay “menos” es porque hay “más”) y elsignificado de�x es puramente algebraico y nada tiene que ver con la idea de orden de la queni siquiera hemos hablado aún. ¡No cometas el error de pensarque�x es negativo!

Notación. Suele escribirsex � y en vez dex C .�y/. También, supuestoy ¤ 0, se escribex=y o x

yen vez dex y�1.

1.2.2. Axiomas de orden

Los números tienen, además de las propiedades algebraicas,otras propiedades que suelenllamarsepropiedades de orden. Como sabes, los números suelen representarse como puntos deuna recta en la que se fija un origen, el0, de forma arbitraria. Los números que hay a la derechade0, se llamanpositivosy el conjunto de todos ellos se representa porRC. Las propiedadesbásicas del orden son las siguientes.

P6 Ley de tricotomía. Para cada número realx se verifica una sola de las siguientes tresafirmaciones:x D 0, x es positivo,�x es positivo.

P7 Estabilidad deRC. La suma y el producto de números positivos es también un númeropositivo.

1.2.2.1. Relación de orden

Observa que enP6 se dice, en particular, que el0 noes positivo, ¡el0 es el0! Por otra parte,si x es un número positivo, entonces comox C .�x/D 0 y el 0 no es positivo, concluimos,por P7, que�x no es positivo. Los elementos del conjuntoR�D f�x W x 2 RCg, es decir,los opuestos de los números positivos, se llamannúmeros negativos. Observa que siz 2 R�

entonces�z2RC.



Desigualdades y valor absoluto 6

1.2 Definición. Parax;y 2 R escribimosx < y (léasex es menor quey) o y > x (léasey

es mayor quex) para indicar quey � x 2 RC, y escribimosx 6 y o y > x para indicar quey � x 2 RC [ f0g.

Notación.En adelante usaremos las notaciones:RCo DRC[f0g, R�

oDR�[f0g y R�DRnf0g.

1.3 Proposición. Para todox ¤ 0 se verifica quex2 > 0. En particular,1 > 0.

Demostración. Probaremos que six ¤ 0 entoncesx2 > 0. En efecto, six ¤ 0 entonces, porP6, o bienx es positivo o bien�x es positivo. Teniendo en cuenta que, como consecuencia de(1.1), es x2 D x x D .�x/.�x/, concluimos quex2 es positivo. En particular, tenemos que12 D 1 > 0. ¡Acabamos de probar que1 > 0!. 2

Tenemos ahora dos tipos de propiedades enR, las algebraicasP1-P5 y las de ordenP6 yP7. En la siguiente sección estudiamos cómo se relacionan entre sí.

1.2.3. Desigualdades y valor absoluto

Las propiedades del orden de los números reales son las que nos permiten trabajar condesigualdades. Es muy fácil equivocarse al trabajar con desigualdades. Yo creo que en el ba-chillerato no se le da a este tema la importancia que merece. Fíjate que algunos de los conceptosmás importantes del Cálculo se definen mediante desigualdades (por ejemplo, la definición desucesión convergente o de límite de una función en un punto).Por ello, tan importante co-mo saber realizar cálculos más o menos complicados, es aprender a manejar correctamentedesigualdades, y la única manera de hacerlo es con la práctica mediante numerosos ejemplosconcretos. Por supuesto, siempredeben respetarse cuidadosamente las reglas generales quegobiernan las desigualdades entre númerosy asegurarse de que se usan correctamente. Apartede tales reglas no hay otros métodos generales que nos digan cómo tenemos que proceder encada caso particular.

En el siguiente resultado ¡el primer teorema de este curso! se enuncian las propiedadesprincipales del orden deR. Son las que deberás usar para trabajar con desigualdades.

1.4 Teorema(Reglas para trabajar con desigualdades). Seanx;y; z números reales.

1. x 6 y e y 6 z implican quex 6 z.

2. x 6 y e y 6 x implican quex D y.

3. Se verifica exactamente una de las tres relaciones:x < y, x D y, o y < x:

4. x < y implica que x C z < y C z.

5. x < y , z > 0 implican que xz < y z.

6. x < y , z < 0 implican que xz > y z.

7. xy > 0 si, y sólo si,x e y son los dos positivos o los dos negativos. En consecuenciasi x ¤ 0 es x2 > 0 y, en particular, 1 > 0.

8. z > 0 implica que1

z> 0:

9. Supuesto quex e y son los dos positivos o los dos negativos, se verifica quex < y

implica que1

y<

1

x:

Todas estas propiedades son fáciles de probar. Por ejemplo,para probar el punto5), six < y se tiene quey � x > 0. Si ahora esz > 0, también seráz.y � x/ > 0, es decir,zy � zx > 0 o, sea,zx < zy. Lo único que hemos usado aquí ha sido la definición de lossímbolos “<” y “>” y algunas de las propiedadesP1-P8. Un estupendo ejercicio para quecompruebes tus habilidades es que demuestres todas las afirmaciones del teorema anterior.

1.2.3.1. La forma correcta de leer las matemáticas

La forma en que están escritos los apartados del teorema anterior no me gusta mucho. Voya decirte por qué y para eso voy a tratar aquí un defecto en el que solemos caer al leer o estudiarmatemáticas. Se trata de algo que realizamos de una manera mecánica, y por ello no es fácil deevitar, y que limita y condiciona mucho el alcance de lo que entendemos y aprendemos. Paraponerlo de manifiesto vamos a considerar un ejemplo. En uno delos ejercicios al final de estasección te propongo que pruebes que la igualdad

1

xC 1

yD 1

x C y(1.1)

nuncaes cierta. Bien, supongamos que ya lo has probado. Seguidamente te pido que me digascuándo es cierta la igualdad

1

x C y2C 1

zD 1

x C y2 C z(1.2)

Tienes 15 segundos para contestar (y sobran 13). ¿Si? ¿No? ¡Son la mismaigualdad! Y, aquíes a dónde yo quería llegar, si no te parecen la misma igualdades porqueestás leyendo lossímbolos y no los conceptos, es porque ¡estás leyendo las letras! Claro, me dirás, las letrasestán para leerse. De acuerdo, pero hay que ir siempre al significado de lo que se lee y noquedarse en la superficie de los símbolos. Los símbolos proporcionan mucha comodidad paraexpresar las ideas matemáticas, pero con frecuencia, si no sabemos leer bien su significado,los símbolos pueden ocultar los conceptos. En el ejemplo anterior, el hecho de que la igualdad(1.1) sea falsa, se expresa de forma correcta diciendo que“la suma de dos inversos nunca esigual al inverso de la suma”. Por tanto, la igualdad (1.2) jamás puede darse pues es la mismaigualdad (1.1) en la que se ha sustituidox por x C y2 e y por z. Pero tantox comox C y2

son números reales cualesquiera e igual ocurre conz e y. ¿Te das cuenta del problema? No esigual retener la idea de que “1 dividido porx más 1 dividido pory nunca es igual a 1 divididopor x C y” que asimilar que “la suma de dos inversos nunca es igual al inverso de la suma”.En el primer caso los símbolosx e y tienen un protagonismo que no les corresponde, ocultanel concepto: si te fijas demasiado en ellos no sabrás reconocer que (1.2) y (1.1) son la mismacosa.

Esto que acabamos de ver ocurre en muchas situaciones. Por ejemplo, la mayoría de loslibros de texto enuncian el teorema de Bolzano como sigue.

Seaf W Œa; b�! R continua y verificando quef .a/f .b/ < 0. Entonces hay algúnc 2 �a; bŒ tal quef .c/D 0.

Demasiadas letrasf , a, b, c, demasiadas precisiones que lo que hacen es confundir y ocultarel resultado. La forma correcta de leer el enunciado anterior es: “toda función continua en unintervalo que toma valores positivos y negativos se anula enalgún punto de dicho intervalo”.Los teoremas deben enunciarse así, a ser posible sin símbolos. Yo procuro hacerlo siempreque el resultado lo permite. No lo he hecho en el teorema (1.4) porque quiero que lo hagastú. Por ejemplo, la propiedad5) de dicho teorema debe leerse (y escribirse) en la forma: “unadesigualdad se conserva al multiplicarla por un número positivo”.

1.5 Estrategia. Traduce los símbolos en conceptos. Cuando leas matemáticaspresta atención~a los conceptos y no retengas símbolos concretos.

1.6 Definición. Se dice que un conjunto no vacío de números reales,A � R, tienemáximosi hay un númeroM 2A que es el mayor de todos los elementos deA, es decir,x 6 M paratodo x 2 A. Cuando esto ocurre, escribimosM D mKaxA. Se dice que un conjunto no vacíode números reales,A � R, tienemínimosi hay un númerom2A que es el menor de todos loselementos deA, es decir,m 6 x para todox 2 A. Cuando esto ocurre, escribimosmDmKınA.

Valor absoluto

El valor absolutode un númerox2R se define como el número:

jx j D�

x si x > 0

�x si x 6 0

Para trabajar con valores absolutos es útil recordar la siguiente definición.

1.7 Definición. 2. Para cada númeroz2RCo , representamos por

pz al único númeromayor o

igual que cerocuyo cuadrado es igual az.

1.2.3.2. Una función aparentemente caprichosa

Acabamos de definir la función“raíz cuadrada”. Ahora te propongo un juego: voy a ha-certe una pregunta que tú vas a responder de forma inmediata diciendo lo primero que se teocurre. La pregunta es la siguiente: dime el valor de

px2. Por experiencia sé que la mayoría

de las veces la respuesta esx. Pues si esa ha sido tu respuesta te equivocas. Vuelve a leer ladefinición anterior y responde ahora de forma meditada. Confío en que ya tengas la respuestacorrecta que esjxj. En efecto, se tiene quejxj2D x2 y, además, jxj> 0, por tantojx j D

px2.

Sé por experiencia que muchos estudiantes tienen la idea de que la raíz cuadrada de unnúmero real positivo es unas veces positiva y otras veces negativa y muchos creen que pue-de tomar los dos valores y, en este caso, deben pensar que

px2 D fx;�xg. Cosas más ra-

ras se han visto. Toda esta “magia” lleva a situaciones bastante extrañas. Por ejemplo, essabido que la distancia euclídea entre dos puntos.a; b/ y .c;d/ del plano viene dada porp.a � c/2 C .b � d/2. En particular, la distancia entre los puntos.a; b/ D .1; 2/ y .c;d/ D2Con las herramientas que ahora tenemos no podemos probar la existencia de raíces cuadradas

.1; 3/ esp.1� 1/2 C .2 � 3/2 D

p.�1/2 D�1. ¿Una distancia negativa? No, la raíz cuadra-

da no es una función caprichosa y su definición no deja lugar a dudas: la raíz cuadrada de unnúmero positivo es también un número positivo.

¿Sabes de dónde procede esta confusión tan extendida? Pues viene de muy atrás, de cuandoen la escuela se aprende (¿realmente se aprende?) a resolver la ecuación de segundo gradoax2 C bx C c D 0 cuyas soluciones son los números

�b ˙p

b2 � 4ac

2a(1.3)

Ahí está el problema: en el confuso símbolo˙ delante de la raíz. Es eso lo que lleva a muchosa pensar que las raíces cuadradas pueden tomar dos valores: uno positivo, que corresponde a laelección del sigoC, y otro negativo que corresponde a la elección del signo� en la expresión(1.3). Lo más lamentable es que toda esta confusión no es más que producto de la pereza. Verás,cuando se aprende a resolver la ecuación de segundo gradoax2C bxC cD 0 (¿realmente seaprende?) se obtienen las soluciones

�b Cp

b2 � 4ac

2a;

�b �p

b2 � 4ac

2a

Como esto es largo de escribir en la pizarra, los profesores,por pereza, resumen las solucionesobtenidas en la expresión única (1.3). Eso explica cosas bastante incomprensibles como, porejemplo, escribirC

p3 ¿acaso escribes +7? No, sabes que 7 es un número positivo y parece

totalmente improcedente escribirC7. Entonces, ¿por qué escribirCp

3? Respuesta, porquep3 es caprichoso: unas veces puede ser positivo y otras negativo. A esta forma de pensar se le

llama magia matemática, está bastante más extendida de lo que puedes creer y no solamenteentre estudiantes. Confío en que te haya quedado claro sin lugar a dudas que

px2 D jxj y que

la raíz cuadrada no es una función caprichosa.

La utilidad de la raíz cuadrada para trabajar con valores absolutos procede de la siguienteestrategia de procedimiento.

1.8 Estrategia. a) Para probar que dos números positivos son iguales es suficiente probarque sus cuadrados son iguales.

b) Para probar una desigualdad entre dos número positivos essuficiente probar dicha de-sigualdad para sus cuadrados.

El enunciado anterior está hecho como a mi me gusta: con palabras y sin símbolos. Ponien-do símbolos, lo que se dice en el enunciado es que:

Dadosa; b 2 RCo para probar queaDb es suficiente probar quea2Db2 y para~

probar quea 0.

Geométricamente,jxj representa la distancia dex al origen,0, en la recta real. De manera másgeneral:

jx � yj D distancia entrex ey

representa la longitud del segmento de extremosx ey.

Ejercicios propuestos 10

1.9 Teorema(Propiedades del valor absoluto). Para x;y 2 R se verifica que:

i) jxj6 y es equivalente a�y 6 x 6 y.

ii) jx yj D jxjjyj.

iii) jx C yj 6 jxj C jyj y la igualdad se da si, y sólo si,xy > 0 desigualdad triangular.

iv) jjxj � jyjj6 jx � yj y la igualdad se da si, y sólo si,xy > 0.

Demostración. La primera afirmación es consecuencia inmediata de la definición de valorabsoluto. Para probarii) , iii) y iv) usaremos la estrategia (1.8).

ii) Tenemos quejxyj2 D .xy/2 D x2y2 D jxj2jyj2 D .jxjjyj/2.

iii) Tenemos que

jx C yj2D.xCy/2Dx2C2xyCy2Djxj2C2xyCjyj26jxj2C2jxyjCjyj2D.jxjCjyj/2

La igualdad se da si, y sólo si,xy D jxyj, es decir,xy > 0.

iv) Tenemos que

jjxj � jyjj2 D x2 � 2jxyj C y2 6 x2 � 2xy C y2 D .x � y/2 D jx � yj2

La igualdad se da si, y sólo si,xy D jxyj, es decir,xy > 0. 2

Te recuerdo que debes leer de forma correcta las propiedadesanteriores: no te fijes en las letrassino en los conceptos. La propiedadii) debes leerla“el valor absoluto de un producto es igualal producto de los valores absolutos”. Por su parte, la desigualdad triangular dice dos cosas:

i) El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de losvalores absolutos.

ii) El valor absoluto de una suma es igual a la suma de los valores absolutos si, y sólo si,todos los sumandos son positivos o todos todos los sumandos son negativos.

1.2.4. Ejercicios propuestos

1. ¿Sabes por qué no se puede dividir por0?

2. ¿Qué quiere decir que un número no es racional? Demuestra quep

2 no es racional.

3. Sabiendo queaC b > c C d; a > b; c > d I ¿se verifica necesariamente alguna de lasdesigualdades:a > c; a > d; b > c o b > d ? Dar una prueba o un contraejemplo encada caso.



4. Seax un número real. Estudia si cada una de las desigualdades

x2 < x y x3 < x2

es consecuencia de la otra.

5. Calcula para qué valores dex se verifican las desigualdades siguientes.

i)2x � 3

x C 2<

1

3ii)

1

xC 1

1� x> 0

iii) x2 � 5x C 9 > x iv) x3.x � 2/.x C 3/2 < 0

v) x2 � .aC b/x C ab < 0 vi) 3.x � a/a2 < x 3 � a3 < 3.x � a/x2

6. Prueba las siguientes desigualdades:

a) 0 < x C y � x y < 1 siempre que0 < x < 1; 0 < y < 1:

b)1

xC 1

aC b � x<

1

aC 1

bsiempre que0 < a < x < b:

7. Prueba que cualesquiera sean los números reales positivosa > 0 y b > 0 se verifica que

a

2.aC b/p

b<

1pb� 1p

aC b

8. Calcula para qué valores dex se verifican las siguientes desigualdades.

i) jx � 5j < jx C 1j ii) jx � 1jjx C 2j D 3

iii) jx2 � xj > 1 iv) jx � y C zj D jxj � jz � yjv) jx � 1j C jx C 1j < 1 vi) jx C y C zj D jx C yj C jzj

vii) jxj � jyj D jx � yj viii) jx C 1j < jx C 3j

9. Supuesto ques

t<

u

v<

x

ydondet; v;y 2 RC, prueba que

s

t<

s C uC x

t C v C y<

x

y.

Generaliza este resultado.

10. Prueba cada una de las siguientes desigualdades y estudia, en cada caso, cuándo se da laigualdad.

a) 2x y 6 x2 C y2:

b) 4x y 6 .x C y/2:

c) x2 C x y C y2 > 0:

d) .a2 C aC 1/.b2 C b C 1/.c2 C c C 1/> 27abc dondea > 0; b > 0; c > 0.

Sugerencia. Para probar a) considérese.x � y/2. Las demás desigualdades pueden de-ducirse de a).

11. Demuestra todos los apartados del teorema (1.4) y enúncialos con palabras.

Ejercicios resueltos 12

12. Seanx ey números distintos de cero. Prueba que las igualdades

1

x C yD 1

xC 1

y;

qx2 C y2 D x C y

son falsas.

13. Comprueba que�.x C 1/ � 1

2.2x C 1/

�2 D�x � 1

2.2x C 1/

�2. Por tanto, extrayendo

raíces cuadradas, se deduce que.xC1/� 12.2xC1/Dx� 1

2.2xC1/, esto esxDxC1

y, por tanto,0D 1. ¿Dónde está el error?

14. Calcula los números realesx que verifican cada una de las igualdades

px C 1 �

px � 1D 2;

1px � 2

� 1pxD 2

3

Comprueba las soluciones obtenidas.

15. Prueba quejxj C jyj C jzj6 jx C y � zj C jx � y C zj C j�x C y C zj.

16. Seana, b y c números positivos. Prueba que

aC b C c

abc6

1

a2C 1

b2C 1

c2

17. Prueba que sim es un números natural que no es el cuadrado de ningún número natural,es decir,m ¤ n2 para todon 2N, entonces se verifica que

pm es un número real no

racional.

Sugerencia. Usa la descomposición dem en factores primos.

18. Justifica las siguientes afirmaciones.

a) La suma de un número racional y un número irracional es un número irracional.

b) El producto de un número racional no cero por un número irracional es un númeroirracional.

c) La suma y el producto de dos números irracionales puede serracional o irracional.

d) Los númerosp

2Cp

3,p

6 �p

2 �p

3 y

p5C 2

3p

5C 4son irracionales.

1.2.5. Ejercicios resueltos

¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!

Ejercicio resuelto 1 ¿Sabes por qué no se puede dividir por0?

Solución.Si se pudiera dividir por0, es decir, si hubiera un número que fuera el inversodel0, su producto por0 habría de ser igual a 1, pero ya sabemos que al multiplicar por0

el resultado es siempre0. Conclusión: si se pudiera dividir por cero habría de ser1D 0,lo cual es falso. ©



Ejercicio resuelto 2 ¿Qué quiere decir que un número no es racional? Demuestra quep

2 noes racional.

Solución. Que un número no es racional quiere decir que no puede escribirse comocociente de números enteros. Para probar que un número es irracional suele razonarse porcontradicción: se supone que el número en cuestión es racional y se llega a una situacióncontradictoria. Una prueba clásica de que

p2 es irracional es como sigue. Supongamos

quep

2 fuera racional. Entonces existirán números naturalesm y n sin factores comunes,

en particularm y n no podrán ser ambos pares, tales quep

2Dm

n, esto es,2n2Dm2. La

igualdad2n2 Dm2 nos dice quem2 es par lo cual implica que también tiene que serlom. Así podemos escribirmD 2p . Sustituyendo en la igualdad anterior y simplificandotenemos quen2 D 2p2, y de aquí se sigue, al igual que antes, quen tiene que ser par yésta es la contradicción anunciada. ©

Ejercicio resuelto 3 Calcula para qué valores dex se verifica que2x � 3

x C 2<

1

3.

Solución.Claro está,x ¤�2 (recuerda, no se puede dividir por0). Como al multiplicaruna desigualdad por un número positivo la desigualdad se conserva, deducimos que six > �2, la desigualdad dada equivale a6x � 9 < x C 2, es decir,x < 11=5. Luegopara�2 < x < 11=5 la desigualdad es cierta. Veamos ahora qué pasa six < �2. En talcaso, al multiplicar porx C 2 < 0 la desigualdad equivale a6x � 9 > x C 2, es decir,x > 11=5 condición que no puede darse six C 2 < 0. En resumen, la desigualdad escierta para�2 < x < 11=5.

Otra forma de proceder consiste en utilizar el hecho de que una desigualdad es equivalen-te a la obtenida al multiplicarla por una cantidad positiva.Multiplicando la desigualdaddada por.x C 2/2 obtenemos que dicha desigualdad equivale a la siguiente

.2x � 3/.x C 2/ <1

3.x C 2/2

Haciendo las operaciones indicadas obtenemos que esta desigualdad es lo mismo que5x2 � x � 22 < 0. Las soluciones de la ecuación5x2 � x � 22 D 0 son a D �2 ybD 11=5. Por tanto,5x2�x� 22D 5.xC 2/.x� 11=5/. Resulta así que la desigualdaddada equivale a.x C 2/.x � 11=5/ < 0. Teniendo en cuenta que para que un productode dos números sea negativo dichos números deben ser uno positivo y otro negativo,concluimos que debe serx C 2 > 0 y x � 11=5 < 0, es decir�2 < x < 11=5 (la otraposibilidadx C 2 < 0 y x � 11=5 > 0 no puede darse). ©

Ejercicio resuelto 4 Calcula para qué valores dex se verifica que

3.x � a/a2 < x 3 � a3 < 3.x � a/x2

Solución.La desigualdad del enunciado equivale a las siguientes dos desigualdades:

x 3 � a3 � 3.x � a/a2 > 0I x 3 � a3 � 3.x � a/x2 < 0

Teniendo en cuenta quex 3 � a3 D .x � a/.x2 C ax C a2/, resulta

x 3 � a3 � 3.x � a/a2 D .x � a/.x2 C ax � 2a2/D .x � a/2.x C 2a/

x 3 � a3 � 3.x � a/x2 D .x � a/.�2x2 C ax C a2/D�2.x � a/2.x C a=2/

Deducimos que la desigualdad del enunciado se verifica si, y sólo si,x¤ a, xC 2a > 0,y x C a=2 > 0.

Si a>0 entoncesxC2a>xCa=2 y la desigualdad se cumple si, y sólo si,x > �a=2

y x ¤ a.

Si a < 0 entoncesxCa=2 > xC2a y la desigualdad se cumple si, y sólo si,x > �2a.©

Ejercicio resuelto 5 Sabiendo queaCb > cCd; a > b; c > d ; ¿se verifica necesariamentealguna de las desigualdades:a > c; a > d; b > c o b > d ? Dar una prueba o uncontraejemplo en cada caso.

Solución.Que las letras no te despisten: lo que te están diciendo es quesi la suma dedos números distintos entre sí es mayor que la suma de otros dos números distintos entresí, ¿es cierto, por ejemplo, que el mayor del primer par es másgrande que el mayordel segundo par? Está claro que no tiene por qué ser así: los otros sumandos puedencompensar la diferencia. Por ejemplo252 C 250 > 500 C 1. Concluimos que no tienepor qué ser cierto quea > c ni tampocob > c. El ejemplo500 C 2 > 251 C 250

prueba que tampoco tiene por qué serb > d . Intenta ahora buscar un ejemplo en el queno se cumpla quea > d (pero no le dediques más de cinco minutos). ¿Ya? No lo habrásencontrado porque, si lo piensas un poco, verás que tiene queser necesariamentea > d .Intentademostrarlo(aunque tengas que dedicarle más de cinco minutos).

Lo primero que se le ocurre a uno es escribira > .c � b/ C d . Si c � b fuera siemprepositivohabríamos acabado (y también habríamos demostrado más de lo que queremos),pero no tiene por qué ser así, por ejemplo9 C 8 > 2 C 1. La demostración directanoparece viable. En estos casos tenemos que intentar uncamino indirecto. Probemos queno puede ocurrir quea6d . Eso es fácil. Fíjate: si fueraa6d , como nos dicen queb < a

y d < c, también seríab < d y a < c; pero entoncesaC b < c C d lo que es contrarioa la hipótesis hecha. Luego concluimos quea > d . ©

Ejercicio resuelto 6 Supuesto que0 < a < x < b, prueba que se verifica la siguientedesigualdad.

1

xC 1

aC b � x<

1

aC 1

b

Solución. En este ejercicio no parece, en principio, cosa fácil deducir la desigualdadpedida de las hipótesis que nos dan. En estos casos puede intentarsetrabajar para atrás,es decir, ir convirtiendo la desigualdad que nos piden probar en otrasequivalentes a ellay más sencillas, hasta llegar a una que seamos capaces de deducir de la hipótesis que nosdan. Haciendo las operaciones indicadas, podemos escribirla desigualdad en la forma

aC b

x.aC b � x/<

aC b

a b

y, como los denominadores son positivos, esto es lo mismo que

.aC b/a b < .aC b/x.aC b � x/

ComoaC b > 0 esta desigualdad equivale aab < x.aC b � x/, es decir:

0 < ax C bx � x2 � ab D .x � a/.b � x/

Pero esta última desigualdad es consecuencia de que la hipótesis hecha,0 < a < x < b,la cual implica que0 < x � a y 0 0.

Con esto podemos considerar que hemos acabado, pero es una buena costumbre dar ahorala vuelta al razonamiento que hemos seguido, es decir, deshacer el camino recorrido paraobtener una prueba directa. ©

Ejercicio resuelto 7 Discutir la validez de las igualdades:

a) jx C y C zj D jx C yj C jzjb) jx � 5j < jx C 1j

Solución. a) En virtud de la desigualdad triangular, la igualdad del enunciadojx C y C zj D j.x C y/C zj D jx C yj C jzj, se da si, y sólo si,.x C y/z > 0.

b) En virtud de la estrategia (1.8), la desigualdadjx � 5j < jx C 1j equivale a ladesigualdadjx � 5j2 < jx C 1j2 , es decir,

x2 � 10x C 25 < x2 C 2x C 1

o sea,24 < 12x, esto es,x > 2. Esto también puedes comprobarlo representando losnúmeros en una recta en la que fijas un origen y una unidad: se trata de ver cuándox estámás cerca de5 que de�1. ©

Ejercicio resuelto 8 Lo que sigue es una generalización del ejercicio propuesto (9).

Seana1; a2; : : : ; an números reales cualesquiera yb1; b2 : : : ; bn números reales positi-vos. Seanm y M el menor y el mayor respectivamente de los números

a1

b1

;a2

b2

; � � � ; an

bn:

Entonces, paraj D 1; 2; : : : ;n, se verifica que:

m 6aj

bj6 M; es decir; mbj 6 aj 6 M bj

y sumando estas desigualdades:

m

nX

jD1

bj 6nX

jD1

aj 6 M

nX

jD1

bj ;

de donde se sigue que:

m 6a1 C a2 C � � � C an

b1 C b2 C � � � C bn6 M:

©

Ejercicio resuelto 9 Prueba cada una de las siguientes desigualdades y estudia, en cada caso,cuándo se da la igualdad.

i) 2xy 6 x2 C y2:

ii) 4xy 6 .x C y/2:


iii) x2 C xy C y2 > 0:

iv) .a2 C aC 1/.b2 C b C 1/.c2 C c C 1/> 27abc dondea > 0; b > 0; c > 0.

v) abc 6 1 dondea > 0; b > 0; c > 0 verifican .1C a2/.1C b2/.1C c2/D 8.

Sugerencia: para probar i) considérese.x � y/2. Las demás desigualdades pueden de-ducirse de i).

Solución.

i) y ii) Siguiendo la sugerencia, que para eso nos la dan, tenemos que

.x � y/2 D x2 C y2 � 2xy > 0

de donde se deduce que2x y 6 x2 C y2, y la igualdad ocurre si, y sólo si,x D y.Si sumas2xy a ambos lados de la desigualdad2x y 6 x2 C y2, obtienes que4x y 6 .x C y/2, y la igualdad ocurre si, y sólo si,x D y.

iii) Cambiandox por�x en2x y 6 x2 C y2 resulta2x y > �.x2 C y2/. Por tanto

x2 C x y C y2 >1

2.x2 C y2/

De donde se deduce quex2 C x y C y2 > 0 y la igualdad se da si, y sólo si,x D y D 0.

iv) Probaremos ahora la desigualdad.a2C aC 1/.b2C bC 1/.c2C cC 1/> 27abc

donde se supone quea > 0; b > 0; c > 0. Lo primero que se observa es la completasimetríade la desigualdad propuesta. Puesto que lo único que sabemosdea, b y c

es que son positivos, parece razonable pensar que si la desigualdad que nos dan escierta es porquex2C xC 1 > 3x cualquiera seax > 0, es decir,x2C 1 > 2x, o loque es igual.x � 1/2 > 0; lo que es cierto (paratodonúmerox) y la igualdad se dasi, y solo six D 1. Sustituyendo ahora enx2 C x C 1 > 3x, x D a, x D b, x D c

y multiplicandomiembro a miembro las tres desigualdades resultantes, obtenemosque

.a2 C aC 1/.b2 C b C 1/.c2 C c C 1/ > 27abc

y la igualdad se da si, y sólo si,aDbDcD1. ¿Dónde hemos usado que los númerosa, b y c son positivos?

v) La última desigualdad propuesta también llama la atención por susimetría. Usandootra vez que0 6 .x � 1/2, se sigue que2x 6 1C x2. Ahora sustituyesx por a, b yc, multiplicas miembro a miembro las desigualdades obtenidas y has acabado.©

Fíjate cuánto partido hemos sacado de la desigualdad elemental .x � y/2 > 0.

Ejercicio resuelto 10 Prueba que el númerop

2Cp

3 es irracional.

Solución.Para hacer el ejercicio propuesto (18) hay que tener en cuenta que cuando seefectúanoperaciones racionales(suma, producto y cociente) sobre uno o varios númerosracionales volvemos a obtener un número racional. En consecuencia, si realizando conun número real y con otros númerosracionalesoperaciones racionales obtenemos unnúmero irracional, podemos afirmar que el número˛ es irracional.

Por ejemplo, Dp

2Cp

3 es irracional pues˛2 � 5

2Dp

6. ©



Principio de inducción matemática 17

1.3. Principio de inducción matemática

El Principio de inducción matemáticaes un método que se usa para probar que ciertaspropiedades matemáticas se verifican para todo número natural. Considera, por ejemplo, lasiguiente igualdad en la quen2N:

12 C 22 C 32 C � � � C n2 D 1

6n.nC 1/.2nC 1/ (1.4)

Si le damos an un valor, por ejemplonD8, podemos comprobar fácilmente que la igualdad co-rrespondiente es cierta. Si le damos an el valor 1000 ya no es tan fácil comprobar esa igualdady se le damos an el valor101000 la cosa ya se pone realmente difícil. Pero nosotros queremosaún más, no nos conformamos con probar que esa igualdad es cierta para unos cuantos mileso millones de valores den; no, queremos probar que es válida paratodo número naturaln. Enestos casos es elPrincipio de inducción matemáticael que viene en nuestra ayuda para salvar-nos del apuro. Para nosotros el principio de inducción matemática es algo que aceptamos, esdecir, puedes considerarlo como un axioma de la teoría que estamos desarrollando (aunque suformulación lo hace “casi evidente”).

Principio de inducción matemática.SeaA un conjunto de números naturales,A � N, ysupongamos que:

i) 12A

ii) Siempre que un númeron está enA se verifica quenC 1 también está enA.

EntoncesADN.

El Principio de Inducción Matemática es la herramienta básica para probar que una cier-ta propiedadP .n/ es verificada por todos los números naturales. Para ello se procede de lasiguiente forma:

A) Comprobamos que el número 1 satisface la propiedad, esto es, queP .1/ es cierta.

B) Comprobamos quesi un númeron satisface la propiedad,entoncestambién el númeronC 1 la satisface. Es decir comprobamos quesi P .n/ es cierta,entoncestambién lo esP .nC 1/.

Si ahora definimos el conjuntoM D fn 2N W P .n/ es ciertag, entonces el punto A) nos diceque12M , y el punto B) nos dice que siempre quen está enM se verifica quenC 1 tambiénestá enM . Concluimos, por el principio de inducción, queM DN, o sea, queP .n/ es ciertapara todo número naturaln.

Observa que en B) no se dice que se tenga que probar queP .n/ es cierta, sino que hay quedemostrar la implicación lógicaP .n/÷P .nC 1/. Para demostrar dicha implicación lo quehacemos essuponerqueP .n/ es cierta. Es por eso que suele llamarse aP .n/ la hipótesis deinducción.

Puedes imaginar el principio de inducción de la siguiente forma. Considera que cada nú-mero natural lo representamos por una ficha de dominó y las colocamos en una fila recta in-terminable. Seguidamente empujamos a la primera ficha sobrela siguiente (esto es el punto A)




anterior: cae la primera ficha). ¿Caerán todas? Para eso debemos de estar seguros de que siem-pre que cae una ficha tira a la que le sigue, es decir que la distancia entre dos fichas cualesquieraes menor que la longitud de una ficha (esto es el punto B) anterior: si cae la fichan también caela n C 1). Cuando esto es así podemos asegurar que caerán todas las fichas. Probemos, comoejemplo, la igualdad (1.4).

1.10 Ejemplo. Para todo número naturaln2N se verifica la igualdad

12 C 22 C 32 C � � � C n2 D 1

6n.nC 1/.2nC 1/

Demostración. ParanD1 la igualdad se reduce a1D1 que, evidentemente, es cierta. Acaba decaer la primera ficha del dominó. Supongamos que dicha igualdad se verifica para un númeron2N (acaba de caer la fichan del dominó) y probemos que en tal caso también se verifica paranC1 (hay que probar que al caer la fichan tira a la fichanC1). Que la fichan cae quiere decirque

12 C 22 C 32 C � � � C n2 D 1

6n.nC 1/.2nC 1/ (1.5)

Para que al caer la fichan también caiga la fichanC 1, deberemos probar que de la igualdadanterior se deduce la siguiente igualdad.

12 C 22 C 32 C � � � C n2 C .nC 1/2 D 1

6.nC 1/.nC 2/.2.nC 1/C 1/ (1.6)

Tenemos que

12 C 22 C 32 C � � � C n2 C .nC 1/2 Dpor (1.5)D 1

6n.nC 1/.2nC 1/C .nC 1/2D

D1

6.nC 1/

�n.2nC 1/C 6.nC 1/

�D

D1

6.nC 1/.2n2 C 7nC 6/D

D1

6.nC 1/.nC 2/.2nC 3/

Que es justamente la igualdad (1.6). Concluimos, en virtud del principio de inducción, que laigualdad del enunciado es cierta para todon2N. �

La demostración del siguiente lema es otro ejemplo del principio de inducción.

1.11 Lema. Si el producto den números positivos es igual a1, entonces su suma es mayor oigual que n. Y la suma es igual an si, y sólo si, todos ellos son iguales a 1.

Demostración. Para cada número naturaln, seaP .n/ la proposición“si el producto de n

números positivos es igual a1, entonces su suma es mayor o igual quen” . Demostraremospor inducción queP .n/ es verdadera para todon 2 N. Trivialmente P .1/ es verdadera.Supongamos queP .n/ es verdadera. ConsideremosnC 1 números positivos no todos igualesa 1 cuyo producto sea igual a1. En tal caso alguno de dichos números, llamémoslex1, tieneque ser menor que1 y otro, al que llamaremosx2, tiene que ser mayor que1. Notandox3; � � � ;xnC1 los restantes números se tiene que:

.x1x2/x3 � � � xnC1 D 1



Por tantox1x2; x3; � � � ;xnC1 son n números positivos con producto igual a1 por lo que:

x1x2 C x3 C � � � C xnC1 > n (1.7)

Como 0 < .1 � x1/.x2 � 1/, tenemos que:

x1 C x2 > 1C x1x2 (1.8)

De (1.71) y (1.8) se sigue que:

x1 C x2 C x3 C � � � C xnC1 > nC 1

Observa que la desigualdad obtenida es estricta. Hemos probado así queP .nC1/ es verdadera.Concluimos, por el principio de inducción, que la afirmacióndel enunciado es verdadera paratodo número naturaln. 2

Notación.Dadosn númerosa1; a2; � � � ; an representamos la suma de todos ellos pornX

jD1

aj y

el producto de todos ellos pornY

jD1

aj .

En el siguiente teorema se establece una de las desigualdades más útiles del Cálculo.

1.12 Teorema (Desigualdad de las medias). Cualesquiera sean los números positivosa1; a2; � � � ; an se verifica que:

np

a1a2 � � � an 6a1 C a2 C � � � C an

n(1.9)

Y la igualdad se da si, y sólo si,a1 D a2 D � � � D an.

Demostración. Basta ponerG D np

a1a2 � � � an y xi Dai

G; 1 6 i 6 n, Claramente se verifica

que x1x2 � � � xn D 1 por lo que, en virtud del lema anterior,nX

iD1

xi > n es decirnX

iD1

ai > nG

que es la desigualdad que queremos probar. Se da la igualdad solamente cuandoxi D 1; parai D 1; 2; : : : ;n, es decir, cuandoa1 D a2 D � � � D an. 2

Los números np

a1a2 � � � an ya1 C a2 C � � � C an

nse llaman, respectivamente,medias geo-

métrica y aritméticade a1; a2; � � � ; an. La desigualdad de las medias tiene interesantes aplica-ciones a problemas de extremos. Una útil consecuencia de ella se expone a continuación.

1.13 Corolario. Seanfi ; 1 6 i 6 n; funciones positivas definidas en un conjuntoA � R ysupongamos que en un puntoa 2 A se verifica quef1.a/D f2.a/D � � � D fn.a/.

i) Si el producto de las funciones es constante, se verifica que

nX

iD1

fi.a/6nX

iD1

fi.x/ para todox2A:


ii) Si la suma de las funciones es constante, se verifica que:

nY

iD1

fi.x/6nY

iD1

fi.a/ para todox2A:

Demostración. Lo afirmado en i) y ii) es consecuencia directa de que, para todo x 2 A severifica

n

pnY

iD1

fi.x/ 6

nX

iD1

fi.x/

n

y se da la igualdad si, y sólo si, los númerosf1.x/; f2.x/; � � � ; fn.x/ son todos iguales. 2

¿Has leído correctamente el corolario anterior? Te voy a ayudar. Lo que dice es lo siguiente.

i) La suma de funciones positivas cuyo producto es constantealcanza su valor mínimo encualquier punto en el que dichas funciones sean todas iguales.

ii) El producto de funciones positivas cuya suma es constante alcanza su valor máximo encualquier punto en el que dichas funciones sean todas iguales.

El principio de inducción matemática puede aplicarse en muchas situaciones en las que, aprimera vista, no aparecen para nada los números naturales.Por ejemplo, una proposición re-ferente a todos los polinomios podría probarse por inducción sobre el grado del polinomio. Unteorema sobre matrices cuadradas podría probarse por inducción sobre el orden de la matriz.

Probaremos a continuación una útil igualdad algebraica conocida comofórmula del bi-nomio de Newton. Para establecer esta igualdad necesitamos definir los llamadoscoeficientesbinómicos. Dados dos números enterosn > k > 0 se define:

�n

k

�D n!

k!.n� k/!donde n!D

nY

pD1

p

Es decir,n! es el producto de todos los números naturales menores o iguales quen. Se definetambién0!D 1. La igualdad

�n

k � 1

�C�

n

k

�D�

nC 1

k

�.1 6 k 6 n/ (1.10)

es de comprobación inmediata. A partir de ella se prueba fácilmente, por inducción sobren,que

�nk

�es un número entero positivo.

1.14 Teorema(Fórmula del binomio de Newton). Cualesquiera sean los números realesa; b y el número naturaln se verifica que:

.aC b/n DnX

kD0

�n

k

�an�kb k :




Demostración. ParanD 1 la igualdad del enunciado es trivialmente verdadera. Supongamosque dicha igualdad se verifica paran 2 N. Entonces:

.aC b/nC1 D .aC b/.aC b/n D .aC b/

"nX

kD0

�n

k

�an�kb k

#

DnX

kD0

�n

k

�anC1�kb k C

nX

kD0

�n

k

�an�kb kC1 D

DnX

kD0

�n

k

�anC1�kb k C

nC1X

kD1

�n

k � 1

�anC1�kb k

D anC1 C b nC1 CnX

kD1

��n

k

�C�

n

k � 1

��anC1�kb k D

DnC1X

kD0

�nC 1

k

�anC1�kb k

Lo que prueba la validez de la igualdad paran C 1. En virtud del principio de inducción,concluimos que la igualdad del enunciado es cierta para todon2N. 2

La inducción matemática es un proceso demostrativo

Considera la expresión991n2 C 1. Con un ordenador puedes comprobar que si evalúasesta expresión paranD 1; 2; 3; : : : ; 1000; : : : ; 100000 los valores obtenidos no son cuadradosperfectos. ¿Debemos concluir quepara todo número naturaln se verifica que991n2 C 1 noes un cuadrado perfecto? Pues no. Entre los números de la forma 991n2 C 1 hay cuadradosperfectos. . . ¡el valor mínimo den para el cual991n2 C 1 es un cuadrado es el númeron D12055735790331359447442538767 !

Con eso te indico que hay que ser precavido: no basta comprobar la veracidad de unaexpresión para unos cuantos valores den para concluir que dicha expresión es cierta para todon. La historia de las matemáticas está llena de este tipo de errores.


19. Prueba, usando el principio de inducción, que las siguientes afirmaciones son ciertas paratodo n2N.

a) 3n � 1 es divisible por 2.

b) n3 C 5n es múltiplo de 6.

c) 32n � 1 es múltiplo de 8.

d) n5 � n es divisible por 5.

e) n3 � nC 1 no es divisible por 3.




20. Dado un númerox¤ 1, prueba por inducción la fórmula para la suma de una progresióngeométrica:

1C x C x2 C x3 C � � � C xn D xnC1 � 1

x � 1

Deduce directamente este mismo resultado poniendoS D 1C xC x2C x3C � � � C xn,multiplicandoS por x y despejandoS entre las dos igualdades obtenidas.

21. Prueba, usando el principio de inducción, que para todon2N se verifica la igualdad

1C 1

1 � 3 C1

3 � 5 C1

5 � 7 C � � � C1

.2n � 1/.2nC 1/D n

2nC 1

22. Prueba, usando el principio de inducción, que para todon2N se verifican las desigual-dades siguientes.

a)p

n 6 1C 1p2C 1p

3C � � � C 1p

n6 2p

n

b) 1C 1

2C 1

3C 1

4C � � � C 1

2n> 1C n

2

c)1 � 3 � 5 � � � .2n � 1/

2 � 4 � 6 � � � .2n/6

1p1C 3n

23. Demuestra que cualquier conjunto de número reales, con un número finito de elementos,tiene máximo y mínimo.

24. Demuestra que si la igualdad

2C 4C 6C � � � C 2nD n2 C nC 2

es verdadera para un número naturaln > 2 también lo es paran � 1. Sin embargo, estaigualdad no es válida paranD 1. ¿Qué deduces de esto?

25. Prueba que, usando solamente dos colores, es posible colorear todas las regiones que seforman al trazarn circunferencias en el plano de forma que regiones adyacentes tengandistinto color. Se entiende que dos regiones son adyacentescuando tienen un arco decircunferencia como frontera común.

Sugerencia. Puede hacerse razonando por inducción sobren. También hay otra forma dehacerlo directamente muy sencilla e ingeniosa.

26. Vamos a probar que todas las niñas tienen los ojos del mismo color. Para ello vamos ausar el principio de inducción para probar que la afirmación siguiente:

P .n/= En todo grupo den niñas todas las niñas del grupo tienen igual colorde ojos

es cierta para todon2N.

A) En un conjunto formado poruna únicaniña, es evidente que todas las niñas de dichoconjunto tienen el mismo color de ojos. Por tantoP .n/ es cierta paranD 1



B) Supongamos queP .n/ es cierta, es decir que para todo conjunto formado porn niñasse verifica que todas las niñas del conjunto tienen el mismo color de ojos.

Consideremos ahora un conjunto formado pornC 1 niñas. Quitamos una niña del con-junto y nos queda un conjunto formado porn niñas, las cuales, por la hipótesis de induc-ción, tienen el mismo color de ojos. Ahora devolvemos al conjunto la niña que habíamossacado y sacamos otra. Volvemos a razonar como antes y deducimos que la niña que ha-bíamos sacado también tiene el mismo color de ojos que las demásn niñas del conjunto.Por tanto lasnC 1 niñas tienen todas ellas igual color de ojos. Como hay una niña conojos azules, deducimos que todas las niñas tienen ojos azules.

¿Dónde está el error en este razonamiento?

27. En un circuito circular hayn coches iguales. Entre todos ellos tienen justamente la gaso-lina que necesita un coche para recorrer una vez el circuito completo. Prueba que algunode losn coches puede recorrer el circuito completo.

Sugerencia. Razona por inducción. Observa que no sabemos enqué lugar del circuitoestán situados los coches.

28. Prueba que para todo número naturaln > 1 se verifican las desigualdades siguientes.

1 � 3 � 5 � � � .2n� 1/ < nnI n! <

�nC 1

2

�n

Sugerencia: Usa la desigualdad de las medias.

29. Dadosn números positivosa1; a2; : : : ; an prueba las siguientes desigualdades.

i)a1

a2

C a2

a3

C � � � C an�1

anC an

a1

> n;

ii)n

1=a1 C 1=a2 C � � � C 1=an6

np

a1a2 � � � an;

iii) .a1 C a2 C � � � C an/

�1

a1

C 1

a2

C � � � C 1

an

�> n2.

¿Cuándo las desigualdades anteriores son igualdades?

Sugerencia: Usa la desigualdad de las medias.

30. Seana, b números positivos distintos yn2N. Utiliza la desigualdad de las medias paraprobar que:

abn <

�aC nb

nC 1

�nC1

:

Deduce que para todo número naturaln se verifica que:

�1C 1

n

�n

<

�1C 1

nC 1

�nC1

; y

�1C 1

nC 1

�nC2

<

�1C 1

n

�nC1

Los siguientes ejercicios pueden hacerse usando la desigualdad de las medias o bien elcorolario (1.13).

31. Prueba que el cuadrado es el rectángulo de máxima área para unperímetro dado y demínimo perímetro para un área dada.

32. Prueba que el cubo es el ortoedro de máximo volumen para una superficie lateral dada yde mínima superficie lateral para un volumen dado.

33. Prueba que el triángulo equilátero es el triángulo que tienemáxima área para un períme-tro dado y de mínimo perímetro para un área dada.

Sugerencia. Sia; b; c son las longitudes de los lados ypD .aC bC c/=2 es el semipe-rímetro, entonces, según la fórmula de Heron de Alejandría,el área,A, viene dada porAD

pp.p � a/.p � b/.p � c/.

34. Calcula el rectángulo de mayor área inscrito en la elipse de ecuaciónx2

a2C y2

b2D1, donde

a > 0; b > 0.

35. Calcula el ortoedro de mayor volumen inscrito en el elipsoide de ecuación

x2

a2C y2

b2C z2

c2D 1

dondea > 0; b > 0; c > 0.

36. Calcula la distancia mínima del origen a la superficie enR3 de ecuaciónxyz D 27. Enotras palabras, siE D f.x;y; z/ 2 R3 W xyz D 27g, lo que se pide es calcular el mínimodel conjunto de números realesC D f

px2 C y2 C z2 W .x;y; z/ 2 Eg.



Ejercicio resuelto 11 Seana, b números positivos distintos yn2N. Utiliza la desigualdadde las medias para probar que:

abn <

�aC nb

nC 1

�nC1

(1.11)

Deduce que para todo número naturaln se verifica que:

�1C 1

n

�n

<

�1C 1

nC 1

�nC1

; y

�1C 1

nC 1

�nC2

<

�1C 1

n

�nC1

(1.12)

Solución.La desigualdad (1.11) se deduce de la desigualdad de las medias

nC1p

a1a2 � � � ananC1 6a1 C a2 C � � � C an C anC1

nC 1

haciendoa1 D a2 D � � � D an D b, anC1 D a y elevando a la potencianC 1.


Haciendo ahoraaD1 y bD1C 1

nen (1.11) se obtiene la primera desigualdad de (1.12).

Finalmente, susstituyendo en (1.11) n pornC1 aD1 y bD1� 1

n, se obtiene la segunda

desigualdad de (1.12). ©

Ejercicio resuelto 12 Prueba que el cubo es el ortoedro de máximo volumen para una super-ficie lateral dada y de mínima superficie lateral para un volumen dado.

Solución.El volumen de un ortoedro cuyas aristas tienen longitudesa; b; c viene dadopor V D abc y su superficie lateral porS D 2.ab C bc C ca/. Puesto que

3p.ab/.bc/.ca/6

ab C bc C ca

3.1/

o, lo que es igual,3p

V 2 6 S=6, deducimos que para un volumen dado,V , la superficielateral S es mínima cuando tengamos queS=6 D 3

pV 2, es decir que en.1/ se de la

igualdad lo que ocurre si, y sólo si,aD b D c (el ortoedro es un cubo).

Análogamente, para un valor dado de la superficie lateral,S , tendremos queV es máxi-mo cuando

3p

V 2D S=6, lo que, según acabamos de ver, sólo ocurre cuando el ortoedroes un cubo. ©

Ejercicio resuelto 13 Calcula el rectángulo de mayor área inscrito en la elipse de ecuaciónx2

a2C y2

b2D 1, dondea > 0; b > 0.

Solución.Sean.˛; ˇ/ las coordenadas del vértice del rectángulo situado en el cuadrantepositivo del plano ( > 0; ˇ > 0). El área del rectángulo es igual a4˛ˇ. El problema,pues, consiste en hallar el máximo del producto˛ˇ cuando y ˇ verifican que

˛2

a2C ˇ2

b2D 1 .1/

Supuesto que y ˇ satisfacen.1/, en virtud de la desigualdad de las medias, tenemosque

˛ ˇ Dq˛2ˇ2 D ab

s˛2

a2

ˇ2

b26

ab

2.2/

La igualdad en.2/ se da si, y sólo si,˛2

a2D ˇ2

b2, lo que junto con.1/ equivale a que

˛2

a2D ˇ2

b2D 1

2, es decir,˛ D ap

2; ˇ D bp

2. Por tanto el máximo valor del área de un

rectángulo inscrito en la elipse es2ab. ©

Ejercicio resuelto 14 Calcula la distancia mínima del origen a la superficie enR3 de ecua-ción xyzD 27. En otras palabras, siED f.x;y; z/ 2 R3 W xyzD 27g, lo que se pide escalcular el mínimo del conjunto de números realesCD

˚px2 C y2 C z2W.x;y; z/ 2 E

.

Solución.Para todo.x;y; z/2E se verifica que

x2 C y2 C z2 > 33

q.xyz/2 D 3

3

q.27/2 D 27

Puesto que.3; 3; 3/2E yp

32 C 32 C 32 Dp

27, deducimos que mKın.C /Dp

27. ©



Complementos 26

1.4. Complementos

1.4.1. Números y medida de magnitudes. Segmentos inconmensurables.

Estamos tan acostumbrados acontar que cuesta trabajo imaginar un mundo sin números.Pero así fue, no creo que nadie lo dude, durante muchísimo tiempo. Incluso en nuestros días setienen noticias de tribus aisladas que no saben contar más allá de cuatro o cinco objetos; cuandotienen que referirse a una cantidad mayor emplean una expresión que quiere decir “muchos”.Es frecuente también que en los lenguajes primitivos se utilicen palabras distintas para designarnúmeros iguales cuando éstos se refieren a diferentes clasesde objetos. Poco a poco, conformelos primitivos grupos tribales fueron organizándose en sociedades cada vez más complejas,los hombres fueron capaces de abstraer el proceso de contar colecciones concretas de objetoselaborando así el concepto de “número abstracto”. . . !Que a nosotros nos parece tannatural!

Una vez que los hombres aprendieron a contar objetos, el pasosiguiente fue usar los nú-meros paramedir magnitudestales como longitudes, superficies, volúmenes o tiempos. Esteproceso requiere bastante ingenio. Consideremos, para fijar ideas, que queremosexpresar nu-méricamentela longitud de un segmento de rectaAB . Lo primero que hay que hacer es elegirunaunidad de medidaque será otro segmentoOU y comparar ambos. Puede ocurrir queAB

contenga un número exacto,m, de veces aOU . En tal caso podemos escribir simbólicamenteABDm OU . El númerom representa entonces lamedidade AB respecto deOU . Lo másfrecuente, no obstante, es queOU no esté contenido un número exacto de veces enAB. Ental caso podemos dividirOU en un cierto número,n, de partes iguales con la esperanza deque, al tomar como nueva unidad de medida una de estas partes,OU 0, resulte queAB conten-ga un número exacto,m, de veces aOU 0. Cuando esto es así se dice que los segmentosAB

y OU sonconmensurables. Esto quiere decir que admiten una unidad de medida común: elsegmentoOU 0. Podemos escribirABDm OU 0. Por otra parteOU Dn OU 0. Podemos ahorausar los númerosm;n para hacernos una idea de cómo esAB comparado conOU ; esto eslo que se expresa diciendo quela razón deAB respecto deOU es m W n (léasem sobren).Con el paso del tiempo el símbolom W n que, en sus orígenes, como acabamos de explicar,representaba la razón de (las longitudes) de dos segmentos quedó desprovisto de su significadooriginal y pasó a ser considerado simplemente como unnúmeronaciendo de esta forma los nú-merosracionales(cuyo nombre alude, precisamente, a que tales números representanrazonesde segmentos conmensurables).

Volviendo a la situación antes descrita, parece intuitivo que, cualquiera sea el segmentoAB, dividiendo OU en un número,n, suficientemente grandede partes iguales, podemos con-seguir que la nueva unidad de medida,OU 0, esté efectivamente contenida un número exacto deveces enAB. En otras palabras, parece que dos segmentos cualesquiera deben ser conmensu-rables. Pues bien, la intuición aquí nos engaña, y ese fue el extraordinario descubrimiento querealizaron los pitagóricos, probando que la diagonal de un cuadrado no es conmensurable conel lado. En efecto, siOU es el lado yAB la diagonal, y suponemos que ambos admiten unaunidad de medida comúnOU 0, tendremos queOU D n OU 0, y AB D m OU 0 para conve-nientes números naturalesm;n. Pero, en virtud del teorema de Pitágoras,2.OU /2 D .AB/2,y deducimos que2n2.OU 0/2 Dm2.OU 0/2, por lo que debe ser2n2 Dm2. Veamos que estolleva a una contradicción. Podemos suponer quem y n no tienen factores comunes (si lostuvieran se los quitamos) y, en particular,m y n no son ambos pares. La igualdad2n2 Dm2



Números y medida de magnitudes. Segmentos inconmensurables. 27

nos dice quem2 es par lo cual implica que también tiene que serlom. Así podemos escribirm D 2p . Sustituyendo en la igualdad anterior y simplificando tenemos quen2 D 2p2, y deaquí se sigue, al igual que antes, quen tiene que ser par y ésta es la contradicción anunciada.

Podemos dar la siguiente interpretación a lo antes visto. Siconsideramos los números ra-cionales puestos sobre una recta, en la cual se han fijado el 0 yel 1, y con un compás centradoen el origen trazamos un círculo de radio igual a la longitud de la diagonal de un cuadrado delado unidad, dicho círculo corta a la recta en un punto de la misma que no es racional. En otraspalabras “en la recta racional hay huecos”.

A la vista de este sorprendente resultado y puesto que,claramente debe haber algún nú-meroque represente la medida de la diagonal con respecto al lado de un cuadrado, podemosdecir que dicho “número” no puede ser racional y, en consecuencia, los números racionalesno son suficientes para medir magnitudes. Aparece así la necesidad de ampliar el conceptode número. Pues bien, ¡se necesitaron casi 2.500 años para llevar a cabo esa tarea de formasatisfactoria! Los nuevos números se llamaronirracionalesporque no representanrazonesdesegmentos conmensurables, y una teoría satisfactoria de ellos fue desarrollada por los mate-máticosGeorg Cantor(1845-1918) yRichard Dedekind(1831-1916). Los números racionalesjunto con los irracionales se llaman, indistintamente,números reales.

1.4.1.1. La razón áurea y el pentagrama

ABCD

Figura 1.1. El pentagrama pitagórico

Aunque suele usarse el teorema de Pitágoraspara probar la existencia de magnitudes incon-mensurables, parece ser que fue un pitagórico,Hipaso de Metaponto, quien en el siglo V a.C.,al estudiar las propiedades geométricas del pen-tagrama (ver fig.1.1), descubrió la existencia delos números irracionales. Para los pitagóricosel pentagrama era un símbolo de la “perfecciónmatemática” del Universo y, paradójicamente,en el pentagrama se escondía la prueba de quelos números racionales no eran suficientes, co-mo los pitagóricos creían, para describirlo. Las

razones de los segmentosAD, BD, CD y BC son todas ellas iguales a larazón áurea.

AD

BDD BD

CDD CD

BCD 1C

p5

2

Como dicho número es irracional, los segmentos considerados son inconmensurables. El nú-

mero1Cp

5

2es uno de los más famosos de las Matemáticas. Si enGooglebuscas “razón

áurea” te saldrán más de cien mil páginas. Eso en español, porque si buscas en inglés “goldensection” obtendrás casi cuatro millones de páginas. El poeta Rafael Alberti dedicó un hermososoneto a la “razón áurea”.



http://es.wikipedia.org/wiki/Cantor

http://es.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind

http://es.wikipedia.org/wiki/Hipaso_de_Metaponto

Números y medida de magnitudes. Segmentos inconmensurables. 28

A la divina proporción

A ti, maravillosa disciplina,media, extrema razón de la hermosura,que claramente acata la clausuraviva en la malla de tu ley divina.A ti, cárcel feliz de la retina,áurea sección, celeste cuadratura,misteriosa fontana de mesuraque el Universo armónico origina.A ti, mar de los sueños angulares,flor de las cinco formas regulares,dodecaedro azul, arco sonoro.Luces por alas un compás ardiente.Tu canto es una esfera trasparente.A ti, divina proporción de oro.

R. Alberti

Volviendo a los pitagóricos, ellos pensaban que el número era el fundamento último de todarealidad. Hoy vivimos en un mundo digitalizado: la música que escuchas, las películas que ves,la televisión digital y tantas más cosas de uso cotidiano son, en su esencia, números. Pareceque los pitagóricos no estaban del todo equivocados.

Pitágoras, junto con su maestroTales de Mileto, y tambiénAnaximandroy Anáximenes,sin olvidar aDemócritoy algunos más de los que queda memoria y que tú mismo puedes con-sultar enWikipedia, todos ellos eran matemáticos y filósofos. ¿Casualidad? Ni mucho menos.Lo que hoy llamamosCultura Occidentalnace de una gran blasfemia, a saber, la afirmaciónde que la realidad puede ser comprendida y explicada racionalmente. Frente a los relatos mito-lógicos y a los caprichosos dioses imprevisibles, la afirmación insolente de que la inteligenciahumana puede desentrañar por sus propios medios el funcionamiento del Universo. Y ¿quéproduce la inteligencia humana cuando empieza a indagar sobre la Naturaleza? Matemáticasy Filosofía. Las Matemáticas, por su propia naturaleza, tienen un campo mucho más restringi-do que el de la Filosofía pero, en cambio, son extraordinariamente eficaces. La palabra griega�˛��˛, que se leemathema, significaconocimiento.

El Libro del Universo está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus caracte-res son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposibleentender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente enun oscuro laberin-to. Galileo Galilei

1.4.1.2. Medimos con números racionales

Acabamos de ver que hay segmentos inconmensurables; es decir, elegida una unidad paramedir, hay medidas que no pueden expresarse con números racionales. Pero la intuición nosdice que a cada medida debe corresponder un único número. En consecuencia, tenemos queadmitir la necesidad de otros números, además de los racionales, para lograr que a cada medidale corresponda un número. Estos son los números irracionales (sobre los que falta por decir



http://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras

http://es.wikipedia.org/wiki/Tales_de_Mileto

http://es.wikipedia.org/wiki/Anaximandro

http://es.wikipedia.org/wiki/Anax%C3%ADmenes_de_Mileto

http://es.wikipedia.org/wiki/Dem%C3%B3crito

Hacer matemáticas 29

algo importante como veremos más adelante). Debes darte cuenta de que se trata de una nece-sidad teórica: en el mundo real de cada día solamente hay números racionales. Los ordenadorestrabajan con números racionales (otra cosa diferente es quepuedan representar simbólicamentenúmeros irracionales). ¿Quiere esto decir que podríamos prescindir de los números irraciona-les? En absoluto. Por muchas razones. En primer lugar, los números racionales e irracionalesjuntos proporcionan la estructura básica del Análisis Matemático: el cuerpo de los númerosrealesR. Dicha estructura es el soporte de las herramientas del cálculo diferencial e integraly de la teoría de Ecuaciones Diferenciales. La demostraciónde la existencia de solucionesde muchos problemas y la construcción de técnicas eficaces para obtener dichas soluciones,ya sea de forma exacta o con aproximación tan buena como se desee, se fundamenta en laspropiedades matemáticas deR. Aunque un ingeniero exprese los resultados de sus cálculosmediante números racionales, escritos usualmente en formadecimal, para realizar los cálculoshabrá tenido que usar herramientas (derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales,...) que notendrían sentido sin los números reales. En fin, sinR ni siquiera podríamos demostrar que hayun número cuyo cuadrado es igual a 2.

Lo anterior tiene una enseñanza: las Matemáticas elaboran,a partir de la observación dela realidad, estructuras ideales que pueden parecer muy lejanas de la realidad que las motivóinicialmente, pero que son herramientas muy útiles para obtener información y resultados sobreésa realidad que de otra forma no podrían obtenerse ni siquiera plantearse.

1.4.2. Hacer matemáticas

En este Capítulo hemos hablado de axiomas, deducción lógica, demostraciones, teore-mas,. . . . Espero que ya tengas una idea de lo que significa la afirmación “las Matemáticasson una ciencia deductiva”, porque ese es uno de los objetivos que me propuse al escribir esteCapítulo. Pero no quiero que pienses que las Matemáticas se reducen a un formalismo axio-mático lógico – deductivo. Esa es solamente una parte, y quizás no la más atractiva, de lasMatemáticas. Las teorías matemáticas antes de llegar a esa “helada perfección axiomática” sedesarrollan de una forma no muy diferente a las demás ciencias: por aproximaciones sucesivas,experimentación, intuiciones, analogías,. . . . Por eso hayque distinguir entre la “Matemáticahecha” y la ”Matemática que se está haciendo”. La primera quizás puede vivir en el universoplatónico de las ideas puras, pero la segunda “está contaminada de realidad” y constituye unaactividad profundamente humana en la que se avanza tanteando, cometiendo errores,. . . comoen las demás ciencias. He tomado prestada una frase del historiador de las Matemáticas W. S.Anglin porque expresa muy bien lo que quiero decirte. Dice así:

Las matemáticas no son un prudente recorrido por una autopista despejada, sinoun viaje a lo salvaje y a lo desconocido, en el cual los exploradores se pierden amenudo. El rigor, la perfección lógico-deductiva, es una señal de que los mapasya han sido trazados, y de que los auténticos exploradores sehan ido a algunaotra parte.

El reconocido matemático Paul R Halmos, expresa la misma idea como sigue.

Las matemáticas no son una ciencia deductiva: eso es un tópico. Cuando se tratade probar un teorema, no se hace una lista con las hipótesis y luego se empieza arazonar. No, uno prueba, se equivoca, experimenta, conjetura . . .



Algunas razones para estudiar matemáticas 30

Y también dice:

La razón de ser de un matemático no es otra que la de resolver y proponer proble-mas pues dicha actividad constituye el corazón de las matemáticas.

La parte más atractiva de las Matemáticas es justamente el desafío intelectual que constituyenlos problemas. Algunos problemas famosos tienen un enunciado muy sencillo. Por ejemplo, laconjetura de Collatzpropone el siguiente juego. Elige a tu gusto un númeron2N:

� Si el númeron es par, se divide por 2 para obtener el númeromD n=2.

� Si el númeron es impar, se multiplica por 3 y se suma 1 para obtener el númeromD 3nC 1.

Este proceso se repite seguidamente partiendo del númerom obtenido y así sucesivamente. Porejemplo, partiendo denD 61 se obtienen los siguientes resultados:

f61; 184; 92; 46; 23; 70; 35; 106; 53; 160; 80; 40; 20; 10; 5; 16; 8; 4; 2; 1g

Una vez obtenido 1 como resultado se repite indefinidamente el grupo f4; 2; 1g. La conjeturaes que siempre se acaba obteniendo 1. Con ayuda de ordenadores se ha comprobado que laconjetura es cierta para números más pequeños que258 D 288 230 376 151 711 744 ¡Pero esono es una demostración matemática!

Otro problema del que no se sabe la respuesta es si hay infinitas parejas de primos gemelos.Se llaman primos gemelos a las parejas de números primos que se diferencian en dos unidades.Por ejemplo.17; 19/; .29; 31/; .1000000000061; 1000000000063/.

Resolver problemas es una actividad intelectual que puede tener mucho de juego. Quizásestés pensando “bueno, todo eso está muy bien, pero ¿cómo puedo participar yo en ese juego?”Bueno, se requiere alguna preparación y tiempo y seguramente tú ahora estás empezando, perotienes una forma de participar en el juego que es hacer ejercicios. Es verdad que un ejerciciono es lo mismo que un problema. Los ejercicios son más mecánicos, con ellos se trata de quecompruebes si has entendido correctamente los conceptos y los resultados teóricos y si eres ca-paz de usarlos en situaciones sencillas. Pero no dejan de serun pequeño desafío. Si el ejercicioestá ahí es porque tienes las herramientas para resolverlo.El tiempo que dediques a resolverejercicios nunca será tiempo perdido. Incluso si no te salen, porque se puede aprender más deun ejercicio que no se logra resolver pero que se trabaja con interés, que de uno que se resuelvea primera vista. Resolver ejercicios junto con tus compañeros o consultarlos con tus profe-sores es una forma estupenda de estudiar. Enmi página Webpuedes leer algunas sugerenciasrespecto a la actitud apropiada y estrategias útiles para resolver ejercicios.

1.4.3. Algunas razones para estudiar matemáticas

Vivimos rodeados de matemáticas. Suelen pasar desapercibidas pero están ahí haciendo sutrabajo. Tarjetas de crédito, códigos de barras, teléfonosmóviles, animación gráfica, las mo-dernas técnicas de radiodiagnóstico. . . , detrás de todo esohay herramientas matemáticas quehacen posible su funcionamiento. No hay duda de que las Matemáticas son extraordinariamen-te eficaces. Ese llamativo acuerdo de las Matemáticas con el mundo real no deja de resultarbastante sorprendente.



http://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Collatz

Algunas razones para estudiar matemáticas 31

El milagro de la adecuación del lenguaje de la Matemática para la formula-ción de las leyes físicas es un don maravilloso que ni entendemos ni merecemos.E.P. Wigner, Premio Nobel de Física 1972

Dos matemáticosJohn Von Neumanny Alan Mathison Turingfueron los creadores de los mo-dernos computadores y los fundadores de la Ciencia de la Computación. Algunas de las teoríasmatemáticas más abstractas, como la Teoría de Números o la deCategorías han encontradoaplicaciones para el desarrollo de software. Las Matemáticas son el lenguaje de las Ciencias Fí-sicas (Física, Astronomía, Química,. . . ) pero también, cada vez más, de las Ciencias Biológicasy Médicas y de las Ciencias Sociales (Economía, Geografía, Psicología,. . . ). Las Matemáticasaportan a todas estas Ciencias sus propios métodos, a saber:

� Definiciones precisas.

� Razonamientos rigurosos.

� Métodos de representación simbólica.

� Formulación correcta de problemas.

� Modelos matemáticos para manejar situaciones muy complejas.

� Una gran variedad de técnicas (estadísticas, de cálculo, algebraicas, simbólicas,. . . ) parala resolución de problemas y toma de decisiones.

Por todo ello, no es exagerado afirmar que un científico debe estar familiarizado con la formade pensar matemática. Pero incluso para quienes no se sienten especialmente atraídos por laactividad científica, el estudio de las Matemáticas está especialmente indicado para desarrollardeterminadas facultades entre las que cabe destacar:

� Capacidad de razonamiento lógico-deductivo.

� Capacidad de resolución de problemas.

� Reconocer razonamientos incorrectos.

� Capacidad de abstracción para manejar situaciones complejas.

� Capacidad para reconocer modelos similares en estructurasdiversas.

� Seleccionar, ordenar la información y elegir la herramienta adecuada en cada caso.

Hoy día, casi tan preciso como saber leer, es tener una formación matemática suficientementeamplia para no sentirse extraño en un mundo al que las innovaciones tecnológicas y el desarro-llo científico están cambiando rápidamente.

El estudio de las Matemáticas también puede respaldarse porrazones de tipo cultural yestético. Las Matemáticas son, junto con la música sinfónica y la novela, una de las señas deidentidad de la Cultura Occidental. Pero hay una última razón: las sociedades democráticasnecesitan ciudadanos capaces de pensar con libertad y las Matemáticas, una de las creacionesmás libres del espíritu humano, son una herramienta indicada para ello.

No hay modo de entender bien al hombre si no se repara en que la Matemáticabrota de la misma raíz que la poesía, del don imaginativo.José Ortega y Gasset



http://es.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann

http://es.wikipedia.org/wiki/Turing

Lo que debes haber aprendido en este Capítulo. Lecturas adicionales 32

1.4.4. Lo que debes haber aprendido en este Capítulo. Lecturas adicionales

En este Capítulo debes haber aprendido algunas cosas que resumo en la siguiente lista cuyalectura puede servirte de repaso para comprobar lo que sabes.

� Debes saber lo que significa demostrarH÷T .

� Debes saber lo que significa decir que las Matemáticas son unaciencia deductiva.

� Debes saber que en Matemáticas las cosas no son verdad porquelo diga tu profesor.

� Debes tener una idea de lo que es una teoría axiomática y la forma en que se desarrolla.

� Debes saber lo que son magnitudes inconmensurables y cómo aparecen los númerosirracionales.

� Debes saber cómo se deben leer las Matemáticas.

� Debes haber aprendido y recordar de memoria los axiomas algebraicos y de orden deR.

� Debes ser capaz de usar dichos axiomas para probar propiedades algebraicas y de ordendeR.

� Debes haber aprendido y recordar de memoria las reglas para trabajar con desigualdades.

� Debes saber usar en casos prácticos las reglas para trabajarcon desigualdades.

� Debes entender la definición de la función raíz cuadrada.

� Debes entender la definición y recordar las propiedades del valor absoluto.

� Debes recordar la estrategia (1.8) para trabajar con desigualdades entre números positi-vos.

� Debes entender y saber aplicar el Principio de Inducción Matemática.

� Debes recordar la desigualdad de las medias y saber usarla para resolver problemas deextremos.

Como lectura adicional te recomiendo los dos primeros capítulos del libro de Michael Spivak[16], el cual, a pesar del tiempo transcurrido desde su primera edición, sigue siendo, en miopinión, el mejor libro de introducción al Análisis Matemático. Su colección de ejercicios esexcelente y algunos de ellos están resueltos al final del libro; además, se ha editado un libro,[15], con las soluciones de todos. Los textos de Larson [11] y de Engel [5] son de lo mejorque hay para aprender estrategias de resolución de ejercicios. Los ejercicios que traen tienencierto grado de dificultad, con frecuencia están tomados de competiciones matemáticas, perolas soluciones están claramente expuestas. Algunos de los ejercicios propuestos los he tomadode esos libros.



Capıtulo2

Funciones elementales

Con la reducción del trabajo de varios meses de cálculoa unos pocos días, el invento de los logaritmos

parece haber duplicado la vida de los astrónomos.Pierre Simon Laplace

2.1. Funciones reales

Las funciones son las herramientas principales para la descripción matemática de una si-tuación real. Todas lasfórmulasde la Física no son más que funciones: expresan cómo ciertasmagnitudes (por ejemplo el volumen de un gas) dependen de otras (la temperatura y la presión).El concepto de función es tan importante que muchas ramas de la matemática moderna se ca-racterizan por el tipo de funciones que estudian. No es de extrañar, por ello, que el concepto defunción sea de una gran generalidad. Además, se trata de uno de esos conceptos cuyo contenidoesencial es fácil de comprender pero difícil de formalizar.

2.1 Definición. SeanA y B dos conjuntos. Una función deA en B es unaregla quea cadaelemento deA asocia un único elemento deB.

En esta definición la dificultad radica en precisar matemáticamente lo que se entiende porregla. Como solamente vamos a trabajar con funciones elementalesconsidero que no es nece-sario dar más precisiones.

Observa que una función sontrescosas: el conjuntoA donde está definida, el conjuntoB

donde toma valores y la regla que la define. En este curso estamos interesados principalmenteen funciones entre conjuntos de números reales, es decir,A y B son subconjuntos deR; confrecuenciaB D R. Estas funciones se llamanfunciones reales de una variable real.

33

Funciones reales 34

Convenio. En lo que sigue solamente consideraremos funciones reales y, si no se especificaotra cosa, se entiende queB D R.

Por tanto, para darnos una función nos deben decir, en principio, el subconjuntoA de R

donde suponemos que la función está definida y la regla que asigna a cada número deA unúnico número real. El conjuntoA recibe el nombre dedominiode la función.

Las funciones se representan por letras. En la práctica las letras más usadas sonf , g y h,pero cualquiera otra es también buena. Sif es una función yx es un número que está en sudominio, se representa porf .x/ (léase “f de x” o, mucho mejor, “f evaluada enx” o “elvalor def enx”) el número quef asigna ax, que se llamaimagen dex por f .

Es muy importante distinguir entref (una función) yf .x/ (un número real).

El símbolof WA! R se utiliza para indicar quef es una funcióncuyo dominio esA (sesupone, como hemos dicho antes, queA es un subconjunto deR). También es frecuente usarel simbolismox 7! f .x/, .x 2 A/.

Es importante advertir que las propiedades de una función dependen de la regla que la defi-~ney también de su dominio, por ellodos funciones que tienen distintos dominios se considerandistintas funciones aunque la regla que las defina sea la misma.

2.2 Definición(Igualdad de funciones). Dos funcionesf y g son iguales cuando tienen igualdominio yf .x/D g.x/ para todox en el dominio común.

Notemos también que aunque estamos acostumbrados a representar a las funciones me-diantefórmulas, no siempre es posible hacerlo.

2.3 Ejemplo. Consideremos las funciones siguientes.

a) f WR! R la función dada porf .x/D x2.

b) g W RC ! R la función dada porg.x/D x2.

c) hW R! R la función dada porh.x/D(

1; si x 2 Q

�1; si x 2 R nQ

d) Seaf .x/D x3 C 5x C 6

x2 � 1

Según lo antes dicho, las funciones en a) y b) son distintas. De hecho tienen propiedades dis-tintas. Observa que la función definida en b) es creciente y ladefinida en a) no lo es.

La función definida en c) es llamadafunción de Dirichlet. Nótese que no es fácil calcularlos valores de dicha función porque no siempre se sabe si un número real dado es racional oirracional. ¿Es eC� racional? Pese a ello la función está correctamente definida.

En d) no nos dan explícitamente el dominio def por lo que se entiende quef está definidasiempre quef .x/ tenga sentido, es decir, siempre que,x2 � 1¤ 0, esto es, parax ¤˙1. �

El convenio del dominio.Cuando una función se define por una fórmula “f .x/= fórmula” yel dominio no es explícito, se entiende que el dominio es el mayor conjunto de valores dex



Operaciones con funciones 35

para los cuales la expresiónf .x/ tiene sentido como número real. Éste es el llamadodominionatural de la función.

Dada una funciónf WA! R , y un conjunto no vacíaC � A, el conjunto de las imágenesporf de todos los elementos deC :

f .C /D ff .x/ W x 2 C g

se llamaimagen deC por f . CuandoC D A, el conjuntof .A/ se llamaconjunto imagendef y tambiénrangoo recorrido def .

2.1.1. Operaciones con funciones

La mayoría de las funciones que vamos a usar en este curso pertenecen a la clase de lasfunciones elementales. Se llaman así porque pueden obtenerse a partir de ciertos tipos de fun-ciones bien conocidas realizando las operaciones de suma, producto, cociente y composiciónde funciones.

Suma, producto y cociente de funciones.Dadas dos funcionesf;g W A ! R , se define sufunción suma(resp.producto) como la función que a cada númerox 2 A asigna el número realf .x/Cg.x/ (resp.f .x/g.x/). Dicha función se representa con el símbolof Cg (resp.fg). Sedefine la función cociente def porg como la función que a cada númerox 2 A cong.x/¤ 0

asigna el número realf .x/

g.x/. Dicha función se representa por

f

g. También podemos multiplicar

una funciónf por un número para obtener la funciónf que asigna a cadax 2 A el númerof .x/. De todas formas, el producto de un número por una función puede considerarse como

un caso particular del producto de funciones, pues se identifica el número con la funciónconstanteque toma como único valor.

Las propiedades de la suma y el producto de funciones son las que cabe esperar y su de-mostración es inmediata pues se reducen a las correspondientes propiedades de los números.

2.4 Proposición. Cualesquiera sean las funcionesf;g;hW A! R se verifican las siguientespropiedades:

Asociativas..f C g/C hD f C .g C h/; .fg/hD f .gh/

Conmutativas.f C g D g C f ; fgD gf

Distributiva. .f C g/hD f hC gh

2.5 Definición(Composición de funciones). Seanf W A! R y g W B ! R funciones conf .A/ � B. En tal caso, la funciónh W A ! R dada porh.x/ D g.f .x// para todox 2 A

se llamacomposición deg con f y se representa porh D g ı f . Observa que la funcióng ı f , solamente está definida cuando la imagen def está contenida en el dominio deg. Lacomposición de funciones es asociativa.

2.6 Definición(Funciones inyectivas). Se dice que una funciónf W A ! R es inyectiva enun conjuntoC � A, si en puntos distintos deC toma valores distintos; es decir,x;y 2 C yx ¤ y, entoncesf .x/¤ f .y/. Se dice quef es inyectiva cuando es inyectiva enA.

2.7 Definición(La función inversa de una función inyectiva). Si f WA! R es una funcióninyectiva, puede definirse una nueva función en el conjuntoB D f .A/, f �1 W B ! R , que



Intervalos 36

llamaremosfunción inversa def , que a cada númeroy 2 B asigna el único númerox 2 A talquef .x/Dy. Equivalentementef �1.f .x//Dx para todox 2 A, y tambiénf .f �1.y//Dy

para todoy 2 B.

2.8 Definición (Funciones monótonas). Se dice que una funciónf W A ! R es creciente(resp. decreciente) en un conjuntoC � A, si f conserva (resp. invierte) el orden entre puntosde C , es decir, six;y 2 C y x 6 y, entoncesf .x/ 6 f .y/ (resp.f .x/ > f .y/). Se dicequef es creciente (resp. decreciente) cuando lo es en todo su dominio de definición. Se diceque una función esmonótonapara indicar que es creciente o decreciente. Una función monó-tona e inyectiva se dice que esestrictamente monótona, pudiendo ser estrictamente creciente oestrictamente decreciente.

2.9 Definición(Gráfica de una función). La gráfica de una funciónf WA! R es el conjuntode pares de númerosf.x; f .x// W x 2 Ag.

La gráfica de una función pone de manifiesto, a simple vista, muchas de sus propiedades.Para dibujar gráficas de funciones se precisan herramientasde cálculo que estudiaremos másadelante.

Un error frecuente, que debes evitar, consiste en confundiruna función con su gráfica. Este~error procede de una manera inapropiada de representar las funciones que consiste en escribiry D f .x/. De esta forma se introduce una nueva letra “y” para representar el valor que lafunciónf toma enx. Ahora la cosa empieza a estar confusa ¿la función esy?, ¿la función esf ?, ¿la función esf .x/? Esto procede de la Física en donde se interpreta quex es la magnitud ovariable “independiente” ey es la magnitud o variable “dependiente”. Peor todavía, ¿esy unavariable o una función? Si has usado con frecuencia esta forma de representar las funcionesno me extraña que puedas tener dudas sobre su significado. Aclaremos esto. La única formarazonable de interpretar una igualdad comoyDf .x/, es entender que dicha igualdad representaal conjunto de puntos del plano que la satisfacen, es decir, representa a la gráfica def . Perotodavía hay otra posible confusión inducida por la notaciónyDf .x/. Consiste en que podemosconsiderar la funciónG.x;y/D y � f .x/. Se trata de una función de dos variablesx e y quetiene muy poco que ver con la igualdadyDf .x/. Pues bien, hay quien confunde la funciónG

con la gráfica def .

2.1.2. Intervalos

Ocurre que el dominio natural de muchas funciones es unintervalo o la unión de variosintervalos. Recordemos el concepto de intervalo y cuántos tipos diferentes hay.

2.10 Definición. Un conjuntoI � R se llama unintervalosi siempre que dos números estánenI todos los números comprendidos entre ellos dos también están enI . El conjunto vacío, Ø,se considera también como un intervalo.

Además deR y del Ø, hay los siguientes tipos de intervalos1.

1Este resultado, en aparienciaevidente, no podríamosdemostrarlocon las herramientas de que disponemoshasta ahora.



Intervalos 37

Intervalos que tienen dos puntos extremosa y b (dondea 6 b son números reales):

Œa; b� D fx 2 R W a 6 x 6 bg (intervalo cerrado y acotado)�a; bŒ D fx 2 R W a < x < bg (intervalo abierto)Œa; bŒ D fx 2 R W a 6 x < bg (intervalo abierto a derecha y cerrado a izquierda)�a; b� D fx 2 R W a < x 6 bg (intervalo abierto a izquierda y cerrado a derecha)

Intervalos que tienen un único punto extremoc 2 R llamadoorigendel intervalo:

� �∞; cŒ D fx 2 R W x < cg (semirrecta abierta a la izquierda)� �∞; c� D fx 2 R W x 6 cg (semirrecta cerrada a la izquierda)�c;C∞Œ D fx 2 R W x > cg (semirrecta abierta a la derecha)Œc;C∞Œ D fx 2 R W x > cg (semirrecta cerrada a la derecha)

Como es la primera vez que aparecen, hay que decir que los símbolosC∞ (léase: “más infini-to”) y �∞ (léase: “menos infinito"); son eso: símbolos. No son números. Cada vez que apareceuno de ellos en una situación determinada hay que recordar cómo se ha definido su significadopara dicha situación. A veces, se escribeRD� �∞;C∞Œ.

Observación sobre la notación empleada.Lo he pensado un rato antes de decirme a usar lanotación anterior para las semirrectas. Otra posible notación es la siguiente.

� ; cŒ D fx 2 R W x < cg (semirrecta abierta a la izquierda)� ; c� D fx 2 R W x 6 cg (semirrecta cerrada a la izquierda)�c;! Œ D fx 2 R W x > cg (semirrecta abierta a la derecha)Œc;! Œ D fx 2 R W x > cg (semirrecta cerrada a la derecha)

Esta notación me parece más clara porque no usa el símbolo∞. Si lees correctamente, es decir,no lees los símbolos sino las ideas que representan (¿te he dicho esto antes?) entonces no haylugar a interpretaciones extrañas. El símboloŒc;C∞Œ se lee “todos los números reales mayoreso iguales quec”. Si tú lees el intervalo dec aC∞ no estás leyendo bien.

Observaciones sobre el concepto general de función y el formalismo que usamospara definir funciones

Hemos definido una función como tres cosas: un conjuntoA, un conjuntoB y una reglaque a cada elementox de A hace corresponder un elemento deB. Lo único que interesa deesa regla es que esté correctamente definida. Por ejemplo, laregla que a cada númerox2 Œ0; 1�hace corresponder el dígito de su desarrollo decimal que ocupa el lugar cien mil millones, estácorrectamente definida aunque no sea muy útil, pues no es posible calcular el dígito que lecorresponde a ningún número irracional. Te pongo este ejemplo para que aprecies lo generalque es el concepto de función que hemos definido. En particular, debes notar que una fun-ción no tiene por qué estar dada por una “fórmula”. Pero, seguidamente, te digo que no debespreocuparte por esta generalidad porque en este curso solamente vamos a trabajar con fun-ciones definidas mediante “fórmulas”; además, “fórmulas” que, salvo excepciones, definirán“funciones elementales”, esto es, funciones obtenidas al realizar sumas, productos, cocientes ycomposiciones de logaritmos, exponenciales, potencias y funciones trigonométrica.

Ya hemos usado antes el formalismo que se emplea en matemáticas para definir una fun-ción, pero quiero detenerme en él porque debes entenderlo perfectamente. Para definir una

Intervalos 38

función solemos empezar diciendo “seaf WA! R la función dada por. . . ”. Con esto estamosdiciendo tres cosas: que la función está definida enA, que toma valores enR, y que represen-tamos con la letraf la regla. El error más frecuente que se produce aquí se debe alhecho deque, con frecuencia, el conjuntoA no es el dominio natural de definición de la función sino unsubconjunto del mismo, y esto puede tener muy importantes consecuencias que hay que tenermuy presentes en todo momento. Seguidamente, para acabar dedefinir la función, se especi-fica la regla que a cada elemento deA asocia un número real, lo que suele expresarse por “lafunción dada por “f .x/Dfórmula o función elemental” para todox 2 A”. Se suele volver ainsistir en que la variablex toma solamente valores enA para indicar que no nos interesa loque pueda pasar fuera deA.

Ten en cuenta que la letra con la que representamos una función, suele usarsef , podemoselegirla a gusto y no tiene mayor importancia siempre que no se preste a confusiones. Loimportante son los datos que definen la función: los conjuntos A, B (nosotros suponemos queB D R) y la regla. Veamos un ejemplo más de esta forma de proceder para que no te quedendudas.

a) Sea

f WR! R la función dada porf .x/D x3 � 4x2 C x C 6 para todox 2 R (2.1)

En la siguiente figura se representa parte de la gráfica de estafunción.

2

4

6

8

-2

-4

1 2 3 4-1-2-3 X

Y

y D f .x/

Figura 2.1. La funciónf .x/D x3 � 4x2 C x C 6

La imagen de esta función esf .R/ D R. Esta función no tiene máximo ni mínimo, no escreciente y tampoco es decreciente. No es inyectiva y su función inversa no está definida.

b) Sea

f W Œ0; 2�! R la función dada porf .x/D x3 � 4x2C x C 6 para todox 2 Œ0; 2� (2.2)

Observa que, aunque de forma deliberada uso la misma letra,f , para representar la regla,la función definida en (2.2) es muy diferente que la definida en (2.1). Aunque la regla es lamisma, en (2.2) solamente nos interesa lo que pasa en el intervaloŒ0; 2�. La imagen de esta



Estudio descriptivo de las funciones elementales 39

función esf .Œ0; 2�/D Œ0; 6�. Claramente, la función (2.2) es estrictamente decreciente, tienemáximo y mínimo y es inyectiva. Su función inversa está definida (aunque no sea fácil decalcular).

2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales2

En este curso se supone que ya tienes un conocimiento intuitivo de las funciones elemen-tales básicas (exponencial, logaritmo natural, trigonométricas). En esta lección vamos a hacerun estudio descriptivo de dichas funciones, es decir, no vamos a dar definiciones rigurosas delas mismas y nos limitaremos a recordar sus propiedades más importantes.

2.2.1. Funciones polinómicas y funciones racionales

Lasfunciones polinómicas o polinomiosson las funciones de la forma

P .x/D c0 C c1x C c2x2 C � � � C cnxn

dondec0; c1; : : : ; cn son números reales llamadoscoeficientesdel polinomio;n 2 N es unnúmero natural que, sicn¤ 0, se llama grado del polinomio. Las funciones polinómicas tienencomo dominio natural de definición la totalidad deR aunque con frecuencia nos interesaráestudiar una función polinómica en un intervalo.

Mientras que la suma, el producto y la composición de funciones polinómicas es tambiénuna función polinómica, el cociente de funciones polinómica da lugar a las llamadasfuncionesracionales. Una función racional es una función de la forma:

R.x/D P .x/

Q.x/

dondeP (el numerador) yQ (el denominador) son polinomios yQ no es el polinomio constan-te igual a 0. La función R tiene como dominio natural de definición el conjuntofx 2 R W Q.x/ ¤ 0g. Observa que las funciones polinómicas son también funciones racio-nales (con denominador constante1).

Es inmediato que sumas, productos y cocientes de funciones racionales son también funcio-nes racionales; y la composición de dos funciones racionales es también una función racional.

2.2.2. Raíces de un número real

Dados un número realx > 0 y un número naturalk > 2, hay un único número realmayoro igual que cero, z > 0, que verifica quezkDx. Dicho número realz se llama laraízk-ésimao de ordenk dex y se representa pork

px o por x1=k.

2.11 Proposición.Seanx;y 2 RCo , k 2 N. Se verifica que:

a) kp

x y D kp

x kp

y.

2El estudio de las funciones elementales que haremos aquí se complementa con el cuaderno deMathematicaque está enmi página Web.



http://www.ugr.es/local/fjperez/funciones_elementales.nb

Potencias racionales 40

b) La funciónx 7! kp

x es estrictamente creciente enRCo . Es decir, se verifica quex < y si,

y sólo si, kp

x < kp

y.

Si x < 0 y k esimpar se define3 kp

x D� kpjxj.

2.2.3. Potencias racionales

Dadosx>0, p2Z y q2N, definimosxp=qD qp

xp. Notemos que. qp

x /pD qp

xp pues�. qp

x /p�qD . q

px /p qD

�. qp

x /q�pD xp

Naturalmente, sip=q D m=n dondem 2 Z y n2N, entonces se comprueba fácilmente quexp=qD xm=n. En consecuencia, sir es un número racional podemos definir, sin ambigüedadalguna, la potenciaxr por xrD xp=q, dondep 2 Z y q 2 N son tales quer D p=q.

2.2.4. Logaritmos

Dados un númeroa > 0, a¤ 1, y un númerox > 0, se define ellogaritmo en basea dex

como el único númeroy 2 R que verifica la igualdaday D x. El logaritmo en basea dex serepresenta por el símbolo loga x. Observa que, por definición, para todox > 0 esaloga x D x.

El dominio de la función loga esRC, y su imagen esR. La función es estrictamente cre-ciente sia > 1 y estrictamente decreciente sia < 1. La propiedad básica de los logaritmos esque convierten productos en sumas:

loga.xy/D loga x C loga y .x > 0;y > 0/

X

Y

y D loga x

Figura 2.2.Función logaritmo de basea > 1

Los logaritmos decimalescorresponden atomar aD 10 y los logaritmos naturales,también llamadosneperianos(en honorde John Napier 1550-1617), correspondena tomar como base el número e. El nú-mero e es un número irracional que pue-de aproximarse arbitrariamente por núme-ros de la forma.1 C 1=n/n para valoresgrandes den. Un valor aproximado de ees2�7182818284.En este libro trabajare-mos siempre, salvo que explícitamente seindique lo contrario,con la función loga-ritmo natural , que notaremoslog (la no-tación, cada día más en desuso, “ln”, paradicha función no será usada en este libro).

Teniendo en cuenta que

loga x D logx

loga.x > 0/

3Ver (3.3.3.1) para el caso de raíces complejas.

Exponenciales 41

podemos deducir muy fácilmente las propiedades de la función logaritmo en basea a partir delas propiedades de la función logaritmo natural.

2.2.5. Exponenciales

X

Y

y D ax

Figura 2.3.Función exponencial de basea > 1

La función inversa de la función loga esla función exponencial de basea, que serepresenta por expa. Por tanto, para cadax 2 R, expa.x/ es, por definición, el úni-co número positivo cuyo logaritmo en ba-sea es igual ax: loga.expa.x// D x. Esfácil comprobar que sir 2 Q entoncesexpa.r/Dar , por lo que se usa la notaciónexpa.x/D ax.El dominio de la función expa es R, ysu imagen esRC. La función es estricta-mente creciente sia > 1 y estrictamentedecreciente sia < 1. La propiedad básicade expa es que convierten sumas enproductos:

expa.x C y/D expa.x/expa.y/ .x;y 2 R/

Dos funciones exponenciales cualesquiera, expa y expb, están relacionadas por la igualdad:

expb.x/D expa.x loga b/ .x 2 R/

La función exponencial de base e, inversa de la función logaritmo natural, se notará simple-mente por exp. Por tanto exp.x/D ex. Con ello tenemos que:

xy D ey logx .x > 0;y 2 R/ (2.3)

La letra e se eligió en honor del gran matemático Leonhard Euler (1707-1783). A primera vistapuede parecer que no hay razones particulares para llamarnatural al número e. Las razonesmatemáticas de esta elección se verán al estudiar la derivación. Sin embargo, hay muchosprocesos de crecimiento que hacen del número e una base exponencial extremadamente útil einteresante. Veamos unos ejemplos.

2.2.5.1. Interés compuesto

Supongamos que invertimos un capital inicial,P , a una tasa de interés anualr (expresadoen tanto por uno), ¿cuánto dinero tendremos cuando hayan pasadok años? Respuesta: dependede cómo se paguen los intereses. En elinterés simplese paga el total de los intereses al terminarla inversión, por lo que el interés total producido es igual aP rk, y el capital final será igual aP .1C rk/.

Sin embargo, lo usual es que se paguen intereses en períodos más cortos de tiempo. Estosintereses se acumulan al capital inicial y producen, a su vez, nuevos intereses. Esto se conoce

Función potencia de exponente reala 42

como interés compuesto. Por ejemplo, si el interés se pagan veces al año (trimestralmente(nD4), mensualmente (nD12), etcétera) al final del primer período tendremosP .1C r=n/, alfinal del segundoP .1C r=n/2; al final del primer añoP .1C r=n/n, al final delk-ésimo añotendremosP .1C r=n/nk .

Cuandon es muy grande, el número.1C r=n/n es aproximadamente igual a er . Precisa-mente, si los interese se acumulan instantáneamente al capital, lo que se conoce comointeréscompuesto continuo, entonces el capital al final delk-ésimo año viene dado porP erk .

2.2.5.2. Crecimiento demográfico

LlamemosP0 a la población mundial actual, y sea� la tasa anual de crecimiento expresadaen tanto por uno, la cual suponemos que se mantiene constante. Notemos porP .t/ la poblaciónmundial pasadost años.

Pasado un año, la población seráP .1/ Ñ P0 C �P0 D .1C �/P0. Utilizamos el signo deaproximaciónÑ y no elD porque hemos calculado el crecimiento de la población�P0 comosi esta fuese constantemente igual aP0 en todo el año, lo que no es correcto.

Obtendríamos un resultado más exacto si consideramos el crecimiento de la población men-sualmente. Como la tasa de crecimiento mensual es�=12, pasado un mes la población será

.1C �12/P0, y pasados doce mesesP .1/ Ñ

�1C �

12

�12

P0. El cálculo sigue siendo aproxima-

do, pues la población crececontinuamente. Para obtener una mejor aproximación podríamosconsiderar días en vez de meses. En general, si dividimos el año enn períodos, obtendríamoscomo aproximación:

P .1/ Ñ

�1C �

n

�n

P0

Cuanto mayor sean menor será el error que cometemos.Si hacemos quen crezca indefini-

damente, entonces el número

�1C �

n

�n

se convierte en e�, por lo queP .1/ D e� P0. Si el

período de tiempo es det años, entoncesP .t/D P0 e�t .

Observa que tanto el interés compuesto continuo como el crecimiento demográfico son,matemáticamente, lo mismo. En ambos casos lo que tenemos es una magnitud que se incre-menta de forma proporcional a su cantidad en cada momento. Otro proceso que entra en estadescripción es el decaimiento radiactivo, la única diferencia es que la masa de materia radiac-tiva va disminuyendo, o sea, que la constante de proporcionalidad es negativa.

2.2.6. Función potencia de exponente reala

Se llama así la función cuyo dominio esRC que a cadax > 0 asigna el númeroxa.Puesto quexa D exp.a logx/, las propiedades de esta función se deducen con facilidad delaspropiedades de las funciones exponencial y logaritmo natural.



Funciones trigonométricas 43

2.2.7. Funciones trigonométricas

El concepto más específico de la trigonometría es el demedida de un ángulo. Para medir unángulo llevamos su vértice al origen y medimos la longitud del arco de la circunferencia unidadque dicho ángulo intercepta, obtenemos así un número que llamamos la medida (absoluta, esdecir no orientada) del ángulo en cuestión. Naturalmente, lo primero que hay que hacer paramedir cualquier cosa es elegir una unidad de medida. Pues bien, para medir ángulos suelenusarse dos unidades de medida.

Hay una expresión que estamos acostumbrados a usar y cuyo significado conviene precisar.Me refiero a la expresión: “una circunferencia de radior ”. Cuando empleamos dicha expresiónse sobreentiende que el radior de la circunferencia es un número expresado en alguna unidadde medida de longitudes.Es decir, la expresión “una circunferencia de radior ” presupone quehemos fijado una unidad de medida con la cual hemos medidor .

2.2.7.1. Medida de ángulos

Medida de ángulos en grados.Supongamos que tenemos una circunferencia de radior . Paramedir ángulos en grados sobre dicha circunferencia lo que hacemos es tomar como unidad demedida un arco cuya longitud sea igual a la longitud total de esa circunferencia (2�r ) divididapor 360. Un ángulo de un grado es el que intercepta en una circunferencia de radior un arco

cuya longitud es igual a2�r

360.

Medida de ángulos en radianes.Supongamos que tenemos una circunferencia de radior . Paramedir ángulos en radianes sobre dicha circunferencia lo quehacemos es tomar como unidadde medida un arco cuya longitud sea igual a la del radio. Un ángulo de un radián es el queintercepta en una circunferencia de radior un arco cuya longitud es igual ar .

Las palabras “grado” y “radián” se usan tanto para referirsea los respectivos ángulos comoa las medidas de sus arcos. Es así como debes interpretar la expresión “la longitud total de lacircunferencia es 360 grados y también es igual a2� radianes”. Sería más exacto decir: “lalongitud total de la circunferencia es 360 vecesla longitud de un arco de un gradoy tambiénes igual a2� vecesla longitud de un arco de un radián”. Evidentemente, la longitud de un arcode un radián es igual al radio de la circunferencia.

La relación entre grados y radianes viene dada por:

360 gradosD 2� radianes

No hay que olvidar quegradosy radianesno son otra cosa queunidades de medidade lon-gitudes, al igual que lo son el metro y el centímetro. En la navegación y en la astronomíalos ángulos se miden en grados, pero en Cálculo es preferiblemedirlos en radianes porque sesimplifican las cuentas. Por ejemplo, la longitud de un arco de circunferencia se obtiene mul-tiplicando la longitud del radio de dicha circunferencia por la medidaen radianesdel ánguloque corresponde a dicho arco.

Observa que la ventaja de medir arcos en radianes es que, en tal caso, la misma unidad conla que medimos el radio nos sirve para medir arcos. Por ejemplo, si el radio es1 centímetroel radián también mide1 centímetro; mientras que la medida de un grado en centímetros sería2�=360 ' 0; 0174533.



Convenio de los ángulos: usar radianesDe ahora en adelante, a menos que se establezcaexplícitamente otra unidad, supondremos que todos los ángulos están medidos en radianes.

2.2.7.2. Funciones seno y coseno

Hay dos funciones que suelen confundirse: el seno de un ángulo y el seno de un número.En geometría se habla delseno de un ánguloy en Cálculo usamos la expresión sen.

p2/ para

referirnos alseno del númerop

2. ¿Qué relación hay entre uno y otro?

X

Y

O U

Px

b

a

longitudx

Figura 2.4. La circunferencia unidad

Antes que nada hay que decir que tanto el seno deun ángulo como el seno de un númeroson núme-ros, pero mientras que el seno de un ángulo tieneuna sencilla definición geométrica, no es evidente,a priori, cómo se puede definir el seno de un nú-mero. La idea consiste en asociar a cada número un(único) ángulo y definir el seno del número como elseno del ángulo que le corresponde. Es evidente quea cada númerox > 0 le podemos asignar de mane-ra única un ángulo “enrollando” el segmentoŒ0;x�sobre la circunferencia unidad,en sentido contrarioa las agujas del reloj, de forma que el origen de di-cho segmento coincida con el puntoU D .1; 0/ dela circunferencia. Obtenemos así un puntoPx de lacircunferencia unidad.

Pues bien, si las coordenadas dePx son.a; b/, se define:

senx D seno del ángulo.2PxOU /D b

cosx D coseno del ángulo.2PxOU /D a

Al ser igual a2� la longitud de la circunferencia unidad, es claro quePxC2� DPx, por lo quesen.x/Dsen.xC2�/ y cos.x/Dcos.xC2�/. Observa también que si06 x < 2� , entoncesla medida en radianesdel ángulo2PxOU es igual ax, es decir:

sen.x/D seno del ángulo dex radianes.0 6 x < 2�/

Si x < 0 podemos proceder con el segmentoŒx; 0� de forma análoga a la anterior, con ladiferencia de que ahora enrollamos dicho segmento sobre la circunferencia unidaden el sentidode las agujas del reloj, de forma que su extremo0 coincida con el puntoU D .1; 0/ de lacircunferencia. Obtenemos así un puntoPx D .c;d/ de la circunferencia unidad y se define,igual que antes sen.x/Dd , cos.x/Dc. Es fácil ver que siPxD.c;d/, entoncesP�xD.c;�d/.Resulta así que sen.x/D� sen.�x/ y cos.x/D cos.�x/.

2.12 Observaciones.Podemos definir la funciónseno en gradossin más que interpretar quex

es la medida en grados del ángulo que le corresponde. El hechode que se use la misma notaciónpara ambas funciones es la causa de muchos errores. Si notamos seno.x/ el valor del seno delángulo cuya media esx grados, y notamos senr .x/ el valor del seno del ángulo cuya media es


y D senx

��2

�2

�� 3�2

3�2

�2� 2�

Figura 2.5. La función seno

x radianes (es decir, la función que hemos definido antes); la relación entre ambas funcionesviene dada por:

seno.x/D senr2�x

360D senr

�x

180

Es frecuente que seno.x/ se escriba como senxo. Por ejemplo sen.45o/. A esta mala notaciónse deben las dudas que a veces surgen sobre el significado de senx y que llevan a preguntar:“¿estáx en grados o en radianes?”, cuando lo que realmente debería preguntarse es “¿se tratade seno.x/ o de senr .x/?”; porque, en ambos casos,x es tan sólo un número al que no hay porqué ponerle ninguna etiqueta.

Insistimos, una última vez: en este curso de Cálculo el número senx significará siempre~senr x. Por tanto sen.�=4/¤ sen.45/ (pero sen.�=4/D seno.45/).

2.2.7.3. Propiedades de las funciones seno y coseno

Las funciones seno y coseno son funciones reales cuyo dominio es todoR. Las identidadesbásicas que dichas funciones verifican son:

sen2 x C cos2 x D 1 .x 2 R/

Como se ha dicho antes, las funciones seno y coseno son periódicas de período2� :

sen.x C 2�/D senx ; cos.x C 2�/D cosx .x 2 R/

La función seno es impar y la función coseno es par:

sen.�x/D� senx ; cos.�x/D cosx .x 2 R/

Todas las propiedades anteriores se deducen fácilmente de las definiciones dadas. Las siguien-tes igualdades, conocidas comofórmulas de adición, se probarán más adelante:

sen.x C y/ D senx cosy C cosx seny (2.4)

cos.x C y/ D cosx cosy � senx seny (2.5)

La función seno se anula en los múltiplos enteros de� , es decir, en los puntos de la formak� dondek es un entero cualquiera. La función coseno se anula en los puntos de la formak� C �=2 dondek es un entero cualquiera.




2.2.7.4. Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante

Las funcionestangentey secante, que se representan por tg y sec son las funciones definidasen el conjuntoR n fk� C �=2 W k 2 Zg D fx 2 R W cosx ¤ 0g, por:

tgx D senx

cosx; secx D 1

cosx

Las funcionescotangentey cosecante, que se representan por cotg y csc son las funcionesdefinidas en el conjuntoR n fk� W k 2 Zg D fx 2 R W senx ¤ 0g, por:

cotgx D cosx

senx; cscx D 1

senx

Las propiedades de estas funciones se deducen fácilmente delas propiedades del seno y delcoseno. Por ejemplo, tg.x/D tg.xC�/; esto es, la función tangente es periódica de período� .

2.2.7.5. Las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente

Lo primero que hay que decir es que ninguna de las funciones “seno”, “coseno”, “tangen-te”, es inyectiva pues todas ellas son periódicas y, por tanto, toman cada uno de sus valoresen infinitos puntos; en consecuencia, ninguna de ellas tieneinversa en el sentido de la defini-ción (2.7). Por tanto, no debe decirse que las funcionesarcoseno, arcocoseno, arcotangentesean las funciones inversas del seno, del coseno o de la tangente: eso no es cierto. Hecha estaobservación imprescindible, pasemos a definir dichas funciones.

La función seno es estrictamente creciente en el intervaloŒ��=2; �=2� y en dicho intervalotoma todos los valores comprendidos entre�1 y 1, sen.Œ��=2; �=2�/D Œ�1; 1�. En consecuen-cia, dado un númerox 2 Œ�1; 1� hay un único númeroy 2 Œ��=2; �=2� tal que seny D x;dicho númeroy se representa por arc senx y se llama elarcoseno dex. Es decir, el arcoseno esla función arc senWŒ�1; 1�! R definida por sen.arc senx/Dx y ��

26 arc senx 6 �

2. Observa

que la igualdad arc sen.senx/D x, es cierta si, y sólo si,��=2 6 x 6 �=2.

y D senx

��=2

�=2

1

�1

Figura 2.6.La función seno enŒ��2; �

2�

y D arc senx

� �2

�2

1

�1

Figura 2.7.La función arcoseno




Es decir, la función arcoseno es la inversa de la función seno restringida al intervaloŒ��=2; �=2�, esto es, cuando consideramos que la función seno está solamente definida enel intervaloŒ��=2; �=2�.

arc senWŒ�1; 1�! R; ��=2 6 arc senx 6 �=2; sen.arc senx/D x (2.6)

arc sen.senx/D x ” ��=2 6 x 6 �=2 (2.7)

La función coseno es estrictamente decreciente en el intervalo Œ0; �� y en dicho intervalotoma todos los valores comprendidos entre�1 y 1. Por tanto, dado un númerox 2 Œ�1; 1�, hayun único númeroy 2 Œ0; �� tal que cosy D x; dicho númeroy se representa por arc cosx

y se llamaarcocoseno dex. Es decir, arcocoseno es la función arc cosWŒ�1; 1�! R dada porcos.arc cosx/Dx y 06arc cosx6�:Observa que la igualdad arc cos.cosx/Dx, es cierta si, ysólo si,06x 6� . Es decir,la función arcocoseno es la inversa de la función coseno restringidaal intervalo Œ0; ��, esto es, cuando consideramos que la función coseno está solamente definidaen el intervaloŒ0; ��.

arc cosWŒ�1; 1�! R; 0 6 arc cosx 6 �; cos.arc cosx/D x (2.8)

arc cos.cosx/D x ” 0 6 x 6 � (2.9)

y D cosx

�2

�

1

�1

Figura 2.8.La función coseno enŒ0; ��

y D arc cosx

�2

�

1�1

Figura 2.9.La función arcocoseno

La función tangente es estrictamente creciente en el intervalo � � �=2; �=2Œ y en dichointervalo toma todos los valores reales, tg.��=2; �=2Œ/DR. En consecuencia, dado un númerox 2 R, hay un único númeroy 2�� =2; �=2Œ tal que tgy D x; dicho númeroy se representapor arc tgx y se llama elarcotangente dex. Es decir,la función arcotangente es la inversa dela función tangente restringida al intervalo��=2; �=2Œ, esto es, cuando consideramos que lafunción tangente está solamente definida en el intervalo� � �=2; �=2Œ.



Las funciones hiperbólicas 48

arc tgWR! R; ��=2 < arc tgx < �=2; tg.arc tgx/D x (2.10)

arc tg.tgx/D x ” ��=2 < x < �=2 (2.11)

y D tgx

�2

� �2

Figura 2.10.La función tangenteen ��

2; �

2Œ

y D arc tgx

�2

� �2

Figura 2.11.La función arcotangente

2.2.8. Las funciones hiperbólicas

Hay algunas combinaciones de las funciones exp.x/ y exp.�x/ que aparecen con tantafrecuencia que se les da nombre propio. Ellas son las funcionesseno hiperbólico, representadapor senh, ycoseno hiperbólico, representada por cosh, y están definidas para todox 2 R por:

senhx D ex � e�x

2; coshx D exCe�x

2

Las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico son funciones reales cuyo dominio es todoR. La identidad básica que dichas funciones verifican es:

cosh2 x � senh2 x D 1 .x 2 R/

La función seno hiperbólico es impar y la función coseno hiperbólico es par:

senh.�x/D� senhx ; cosh.�x/D coshx .x 2 R/

La función seno hiperbólico es estrictamente creciente enR. La función coseno hiperbólico esestrictamente creciente enRC

o .

Todas las propiedades anteriores se deducen fácilmente de las definiciones dadas.

La función tangente hiperbólicaque se representa por tgh es la función definida para todox 2 R por:

tghx D senhx

coshxD ex � e�x

ex Ce�x

De forma análoga se definen las funciones cotangente, secante y cosecante hiperbólicas.

1

2

3

-1

-2

-3

-4

1 2-1-2

y D senhx

Figura 2.12. La función seno hiperbólico

1

2

3

1 2-1-2

y D coshx

Figura 2.13.La función coseno hiperbólico

y D tghx

1

�1

Figura 2.14. La función tangente hiperbólica

2.2.8.1. Las funciones hiperbólicas inversas

La función seno hiperbólico es una biyección deR sobreR cuya inversa, representada por,argsenh, (léaseargumento seno hiperbólico) viene dada por:

argsenhx D log.x Cp

x2 C 1/ .x 2 R/ (2.12)

La función coseno hiperbólico es inyectiva enRCo y su imagen es la semirrectaŒ1;C∞Œ. La

función, definida enŒ1;C∞Œ, que a cada númerox > 1 asigna el único númeroy > 0 tal quecoshy D x, se llamaargumento coseno hiperbólico, se representa por, argcosh, y viene dadapor:

argcoshx D log.x Cp

x2 � 1/ .x > 1/ (2.13)

La función tangente hiperbólica es una biyección deR sobre el intervalo�� 1; 1Œ cuya inversa,representada por, argtgh, (léaseargumento tangente hiperbólica) es la función definida en elintervalo� � 1; 1Œ por:

argtghx D 1

2log

�1C x

1 � x

�.�1 < x < 1/ (2.14)


1

2

-1

-2

1 2 3-1-2-3-4

y D argsenhx

Figura 2.15. La función argumento senohiperbólico

1

2

1 2 3

y D argcoshx

Figura 2.16. La función argumento cosenohiperbólico

y D argtghx

1�1

Figura 2.17. La función argumento tangente hiperbólica

La razón de por qué estas funciones se llaman hiperbólicas esque, al igual que los puntos dela circunferencia unidad pueden representarse en la forma.cost; sent/, los puntos en la ramaderecha de la hipérbola unitariax2 � y2 D 1 pueden representarse como.cosht; senht/.

Naturalmente, la importancia de las funciones trigonométricas procede de que multitud defenómenos naturales son de naturaleza ondulatoria o periódica. Por ejemplo, la gráfica de unelectrocardiograma no es más que superposiciones de gráficas de senos y cosenos.

Las funciones hiperbólicas, por su parte, también sirven para describir el movimiento deondas en sólidos elásticos, o la forma que adoptan los cableseléctricos colgantes. Hay unahermosa curva llamadacatenariacuya ecuación es de la formay D a cosh.x=a/ (donde seentiende quea es una constante). La catenaria es la forma que adopta una cadena perfectamenteflexible suspendida de sus extremos y bajo la acción de la gravedad.





37. Estudia cuales de las siguientes igualdades son ciertas y, cuando no lo sean, proporcionaun contraejemplo. Se supone quef , g, h son funciones definidas enR.

a) f ı .gC h/D f ı gC f ı h.

b) .g C h/ ı f D g ı f C h ı f .

c)1

f ı gD 1

fı g.

d)1

f ı gD f ı 1

g.

38. Seanf;g W R! R . Indica el dominio natural de definición de la funciónh dada por laregla que en cada caso se indica.

h.x/D f .x/

g.x/; h.x/D arc sen.f .x//; h.x/D log.f .x//; h.x/D

pf .x/

h.x/D argcosh.f .x//; h.x/D arc cos.f .x//; h.x/D arc tg.f .x//; h.x/D g.x/f .x/

39. Una funciónf espar si f .�x/D f .x/ e impar si f .�x/D�f .x/.

a) Estudia si la suma, el producto y la composición de funciones pares o impares esuna función par o impar. Considera todos los casos posibles.

b) Prueba que toda función puede escribirse de forma única como suma de una funciónpar y una función impar.

40. Prueba que la función dada porf .x/D 1

1C x, es estrictamente creciente enRC. Deduce

quejx C yj

1C jx C yj 6jxj

1C jxj Cjyj

1C jyj .x;y2R/

41. Indica, justificando tu respuesta, los intervalos que:

� No tienen máximo ni mínimo.� Tienen máximo pero no tienen mínimo.� Tienen mínimo pero no tienen máximo.� Tienen máximo y mínimo.

42. Se quiere amortizar una deuda de 60000e el día 31 de diciembre de 2013. Esta deudaha sido contraída el día 1 de enero de 2008, y se incrementa cada trimestre al 6 por100 anual. Para amortizarla se quiere pagar una cantidad fijael último día de cada mes,empezando el 31 de enero de 2008 y terminando el 31 de diciembre de 20013. Estascantidades producen un interés anual del 3 por 100, que se acumula mensualmente. ¿Quécantidad hay que abonar cada mes?

Sugerencia. Usa una calculadora o un programa de cálculo quetengas en tu ordenador pa-ra obtener la solución “exacta” (redondeas por exceso). Haciendo uso de la aproximación

(paran “grande”):�

1C r

n

�nÑ er , puedes obtener también una solución aproximada.




43. ¿A qué interés simple anual corresponde un interés compuesto continuo del10 % anual?

44. Se invierten10000 euros en una cuenta que produce un4 % fijo de interés anual.

1. ¿Cuántos años se necesitan para doblar el capital inicial?

2. ¿Cuántos años son necesarios para que el capital final sea de de un millón de euros?

45. Una persona coloca cada día la misma cantidadP de euros a un interés compuesto con-tinuo delr % anual. Hallar el capital final al cabo den días.

Si P D 10ey r D 5, ¿al cabo de cuanto tiempo el capital final será de 6000e?

46. Se sabe que la población de un cultivo de bacterias se duplicacada3 horas. Si a las12h

del mediodía hay10000 bacterias, ¿cuántas habrá a las7 de la tarde del mismo día?.

47. Comparaalogb con bloga.

48. Calculax sabiendo que1

logx.a/D 1

logb.a/C 1

logc.a/C 1

logd .a/

49. ¿Es correcto escribir log.x � 1/.x � 2/D log.x � 1/C log.x � 2/?

50. Prueba que log.x Cp

1C x2/C log.p

1C x2 � x/D 0:

51. Resuelvexp

x D .p

x/x :

52. Simplifica las expresionesalog.loga/= loga; loga.loga.aax

//.

53. Resuelve el sistema:7.logy xC logx y/D50; x yD256. Se supondrá quex > y > 1.

54. Indica cuál de los dos números12345671234568 y 12345681234567 es el mayor.

55. Calcula los valores dex para los que se verifica la igualdad:

logx.10/C 2 log10x.10/C log100x.10/D 0:

56. Seaf WR! R una función que verifica las propiedades:

a) f .x C y/D f .x/C f .y/ para todosx;y2R.

b) f .xy/D f .x/f .y/ para todosx;y2R.

Demuestra que o bienf esf .x/ D 0 para todox 2 R o bien esf .x/ D x para todox2R.

Sugerencias. a) Supuesto quef no es idénticamente nula, prueba primero quef esestrictamente creciente y quef .r/D r para todor 2 Q.

b) Supón que hay algún númeroa tal quef .a/¤ a y deduce una contradicción (utilizaque entre dos números reales cualesquiera siempre hay algúnnúmero racional).

57. Seaf WRC ! R una función que verifica las propiedades:

a) f .xy/D f .x/C f .y/ para todosx;y enRC.

b) f .x/>0 para todox>1;




c) f .e/D 1.

Demuestra quef .x/D log.x/ para todox 2 RC.

Sugerencias. a) Prueba primero quef es creciente y quef .er /D r para todor 2 Q.

b) Sea'.x/Df .exp.x//. Justifica que' es estrictamente creciente. Supón que hay algúnnúmeroa tal que'.a/ ¤ a y deduce una contradicción (utiliza que entre dos númerosreales cualesquiera siempre hay algún número racional).

58. Prueba las igualdades siguientes.

cos.arc tgx/ D 1p1C x2

sen.arc tgx/ D xp1C x2

tan.arc senx/ D xp1 � x2

8x 2� � 1; 1Œ; arc cosx C arc senx D �

28x 2 Œ�1; 1�

59. Seana; b 2 R tales quea2 C b2 D 1; a¤�1. Definamos# D 2 arc tgb

aC 1. Prueba

que cos# D a, sen# D b:

60. Prueba por inducción la siguiente igualdad.

senx

2.senx C sen2x C � � � C sennx/D sen

nx

2sen

nC 1

2x

61. Prueba que para todosx;y2R se verifica que

senx C seny D 2 senx C y

2cos

x � y

2I cosx C cosy D 2 cos

x C y

2cos

x � y

2

Deduce que parak2N:

2 senx

2cos.kx/D sen.2k C 1/

x

2� sen.2k � 1/

x

4

Utiliza esta igualdad para probar que:

senx

2

�cosx C cos.2x/C � � � C cos.nx/

�D sen

nx

2cos

nC 1

2x

Prueba análogamente que:

senx

2

�senx C sen.2x/C � � � C sen.nx/

�D sen

nx

2sen

nC 1

2x

62. Prueba que tg.x C y/D tgx C tgy

1� tgx tgy. ¿Qué excepciones hay que hacer?.

63. Indica para qué valores dex ey se verifica la igualdad arc tgxCarc tgyDarc tgx C y

1 � xy.

64. Calculax por la condición arc tg.2x/C arc tgx D �

4.

65. Deduce las expresiones de las funciones hiperbólicas inversas dadas por las igualdades(2.12), (2.13) y (2.14).




66. Prueba que arc tg.ex/ � arc tg.tgh.x=2//D �

4.

67. Simplifica las expresiones

a) senh2x cos2y C cosh2x sen2y.

b)cosh.logx/C senh.logx/

x.

68. Prueba que2 argtgh.tgx/D argtgh.sen2x/.

69. Define las funciones secante y cotangente hiperbólicas y estudia sus inversas.

70. Obtener fórmulas de adición para el seno, coseno y tangente hiperbólicos.

71. Dibuja la gráfica de la funcióny D arc sen.senx/.

72. Prueba las igualdades:

cosaD 4 cos3.a=3/ � 3 cos.a=3/D 2 cos2.a=2/ � 1

y, usando que cos0D 1, cos�D�1, deduce el valor de cos.�=6/, cos.�=4/ y cos.�=8/.



Ejercicio resuelto 15 Calculax sabiendo que1

logx.a/D 1

logb.a/C 1

logc.a/C 1

logd .a/

Solución.PongamosyDlogx.a/. Por definición, tenemos quexyDa, de donde se sigue

que y logx D loga. Hemos obtenido así que logx.a/Dloga

logx. Con ello, la igualdad del

enunciado puede escribirse como

logx

logaD logb

logaC logc

logaC logd

loga

esto es logx D logb C logc C logd , o lo que es igual, logx D log.b c d/. Como lafunción logaritmo es inyectiva, deducimos quex D b c d . ©

Ejercicio resuelto 16 Prueba la igualdad arc cosx C arc senx D �

28x 2 Œ�1; 1�

Solución.Se trata de probar que arc senxD �2�arc cosx para todox 2 Œ�1; 1�. Para ello,

dadox 2 Œ�1; 1�, pongamoszD �2� arc cosx. Como, por definición,0 6 arc cosx 6� ,

deducimos que��2

6 z 6 �2

. Además

senzDsen.�=2�arc cosx/Dsen.�=2/ cos.� arc cosx/Ccos.�=2/ sen.� arc cosx/DD cos.� arc cosx/D cos.arc cosx/D x

Hemos probado así que senzDx, y��2

6 z 6 �2

lo que, por definición, quiere decir quez D arc senx.



Ejercicio resuelto 17 Prueba que tg.arc senx/ D xp1� x2

para todox 2� � 1; 1Œ.

Solución.Como tgzDsenz

cosz, deducimos que tg.arc senx/D x

cos.arc senx/,8 x 2��1; 1Œ

(hay que excluir los puntos 1 porque arc sen.˙1/D˙�=2) . Bastará probar, por tanto,

que cos.arc senx/Dp

1 � x2.

Como cos2 z D 1 � sen2 z, deducimos que, cos2.arc senx/D 1 � x2, esto es,

j cos.arc senx/j Dp

1� x2

Ahora, como��2

6 arc senx 6�

2, se sigue que cos.arc senx/> 0, por lo que

cos.arc senx/D j cos.arc senx/j

y, por tanto, cos.arc senx/Dp

1 � x2. ©

Ejercicio resuelto 18 Dado un númerox ¤ 0, calcula un númerot 2 R tal que1

senhtD x.

Solución.Aquí el dato es el númerox¤0. Puesto que senhtDet � e�t

2, tenemos que cal-

cular un númerot que verifique la igualdad2Dx.et � e�t /, esto es,x e2t �2 et �xD0.Haciendoy D et , tenemos quex y2 � 2y � x D 0, por lo que los dos posibles valorespara y son

1Cp

1C x2

xo

1 �p

1C x2

x

Como debe sery > 0 (porque el valor de una exponencial siempre es positivo), deduci-mos que

t D logy D

8ˆˆ<ˆˆ:

log

1C

p1C x2

x

!; si x > 0

log

1 �

p1C x2

x

!; si x < 0

©

Ejercicio resuelto 19 Se quiere amortizar una deuda de 60000e el día 31 de diciembre de20013. Esta deuda ha sido contraída el día 1 de enero de 2000, yse incrementa cadatrimestre al 6 por 100 anual. Para amortizarla se quiere pagar una cantidad fija el últimodía de cada mes, empezando el 31 de enero de 2008 y terminando el 31 de diciembrede 20013. Estas cantidades producen un interés anual del 3 por 100, que se acumulamensualmente. ¿Qué cantidad hay que abonar cada mes?

Solución.Como la deuda se incrementa a un interés compuesto (expresado en tanto poruno) del0 �06=4 cada trimestre, el 31 de diciembre de 2013 la deuda más los interesesserá igual a:

60000

�1C 0�06

4

�24

LlamemosP a la mensualidad que tendremos que pagar al final de cada mes. Dichasmensualidades se capitalizan a interés compuesto del0 �03=12 cada mes. La primera


mensualidad permanece un total de 71 meses y la última, al pagarse el último día delmes no genera ningún interés. La cantidad total que tendremos el 31 de diciembre de2013 será igual a:

P

"�1C 0�03

12

�71

C�

1C 0�03

12

�70

C � � � C�

1C 0�03

12

�C 1

#D

D P

"�1C 0�03

12

�72

� 1

#12

0�03D 400P

"�1C 0�03

12

�72

� 1

#

Donde hemos usado la expresión que da la suma de una progresión geométrica. En con-secuencia, deberá ser:

P

"�1C 0�03

12

�72

� 1

#400D 60000

�1C 0�06

4

�24

Usando una calculadora se obtiene:P D 1088�74 donde hemos redondeado por exceso.

Podemos también hacer el cálculo anterior teniendo en cuenta la aproximación paran

grande�1C r

n

�n

Ñ er de la siguiente forma:

�1C 0�03

12

�72

D�

1C 1

400

�72

D"�

1C 1

400

�400#72=400

Ñ e72=400

�1C 0�06

4

�24

D�

1C 3

200

�24

D"�

1C 3

200

�200#24=200

Ñ e72=200

En consecuencia:

P Ñ 150e72=200

e72=400�1D 1090�2

donde hemos redondeado por exceso. ©

Ejercicio resuelto 20 Prueba las igualdades

(a) arc cosx C arc senx D �

28x 2 Œ�1; 1�

(b) tan.arc senx/ D xp1 � x2

I sec.arc senx/ D 1p1 � x2

8x 2� � 1; 1Œ

Solución.(a) Puede comprobarse esta igualdad de muchas formas. Por ejemplo, si des-pejamos, podemos escribir la igualdad de la forma:

arc senx D �=2 � arc cosx:

Puesto que��=2 6�=2�arc cosx 6�=2 y en el intervaloŒ��=2; �=2� la función senoes inyectiva, la igualdad anterior es equivalente a la siguiente:x D sen.�=2 � arc cosx/la cual es efectivamente cierta porque, para todox 2 Œ�1; 1� es:

sen.�=2 � arc cosx/D sen.�=2/ cos.arc cosx/ � cos.�=2/ sen.arc cosx/D x




(b) Para todox 2� � 1; 1Œ es:

tan.arc senx/ D sen.arc senx/

cos.arc senx/D x

cos.arc senx/:

Ahora como:cos2.arc senx/D 1 � sen2.arc senx/D 1 � x2;

y ademáscos.arc senx/ > 0, se sigue que cos.arc senx/ Dp

1 � x2 lo que prueba laigualdad pedida.

Análogamente, se tiene que:

sec.arc senx/D 1

cos.arc senx/D por lo antes vistoD 1p

1� x2:

©

Ejercicio resuelto 21 Prueba por inducción la igualdad:

senx

2.senx C sen2x C � � � C sennx/D sen

nx

2sen

nC 1

2x

Solución.La igualdad es evidentemente cierta paranD1. Supongamos que es cierta paraun número naturaln y probemos que entonces lo es también paranC 1. Tenemos:

senx

2.senx C � � � C sennx C sen.nC 1/x/Dsen

nx

2sen

nC 1

2xCsen

x

2sen.nC1/x

En consecuencia, todo se reduce a probar que:

sennx

2sen

nC 1

2x C sen

x

2sen.nC 1/x D sen

.nC 1/x

2sen

nC 2

2x

Usando que sen.2a/ D 2 sena cosa y que senaC senb D 2 senaC b

2cos

a � b

2,

tenemos:

sennx

2sen

nC 1

2x C sen

x

2sen.nC 1/xD

D sennx

2sen

nC 1

2x C sen

x

2

�2 sen

nC 1

2x cos

nC 1

2x

�D

D sennC 1

2x

�sen

nx

2C 2 sen

x

2cos

nC 1

2x

�D

D sennC 1

2x

�sen

nx

2C sen

nC 2

2x C sen

�nx

2

�D sen

.nC 1/x

2sen

nC 2

2x

como queríamos probar. ©

Ejercicio resuelto 22 Seana; b 2 R tales quea2 C b2 D 1 y a¤�1. Definamos

# D 2 arc tgb

aC 1



Prueba que cos# D a, sen# D b.

Solución. Puesto que lo que conocemos es tg.#=2/, la idea es relacionarla con sen#y con cos# . Teniendo en cuenta que cosx D cos2.x=2/ � sen2.x=2/, que senx D2 sen.x=2/ cos.x=2/ y que1D sen2.x=2/C cos2.x=2/, obtenemos:

cosx D cos2.x=2/ � sen2.x=2/

sen2.x=2/C cos2.x=2/D 1 � tg2.x=2/

1C tg2.x=2/

senx D 2 sen.x=2/ cos.x=2/

sen2.x=2/C cos2.x=2/D tg.x=2/

1C tg2.x=2/

Teniendo en cuenta ahora quea2 C b2 D 1 y que tg.#=2/D b

1C a, se comprueba fácil-

mente que:

cos.#/D 1� tg2.#=2/

1C tg2.#=2/D a; sen.#/D tg.#=2/

1C tg2.#=2/D b

©

Ejercicio resuelto 23 Seaf WR! R una función que verifica las propiedades:

a) f .x C y/D f .x/C f .y/ para todosx;y2R.

b) f .xy/D f .x/f .y/ para todox;y2R.

Demuestra que o bienf esf .x/ D 0 para todox 2 R o bien esf .x/ D x para todox2R.

Solución.Si una tal funciónf se anula en algúna ¤ 0, resulta que para todox 2R setiene

f .x/D f�a

x

a

�D f .a/f

�x

a

�D 0

y f es la función idénticamente nula. Excluido este caso, deberá serf .x/¤ 0 para todox2R. Dadox > 0, tenemos que

f .x/D f�p

xp

x�D f

�px�f�p

x�D�f�p

x��2

> 0

Si ahora esx < y se tendrá que

f .y/D f .x C .y � x//D f .x/C f .y � x/ > f .x/

Hemos probado así quef es estrictamente creciente. Sean ahoram y n ¤ 0 númerosenteros yx2R. Por serf aditiva se tiene que:

nf�m

nx�D f

�n

m

nx�D f .mx/Dmf .x/÷f

�m

nx�D m

nf .x/

Deducimos quef .rx/ D rf .x/ para todo número racionalr 2 Q y todo x 2 R. Enparticular, haciendox D 1 y teniendo en cuenta quef .1/D 1 (consecuencia inmediatade b)), resulta quef .r/D rf .1/D r para todor 2Q. Si para algúnx2R se tuviera quex < f .x/, entonces tomamos algún racionalr tal quex < r < f .x/ para obtener lacontradicción

0 < f .r � x/D r � f .x/ < 0:

Análogamente, so puede serx > f .x/. Concluimos que ha de serf .x/D x para todox2R. ©

Sobre el concepto de función 59

2.3. Sobre el concepto de función

Estamos acostumbrados a usar la idea de “función” para expresar una relación de depen-dencia entre varias magnitudes; por ejemplo, decimos que “los precios están en función de loscostes de producción”. Toda persona con conocimientos básicos sabe que las derivadas y lasintegrales son herramientas que se usan para estudiar funciones. Las funciones no solamentese estudian en Cálculo; en todas las ramas de las Matemáticasse estudian funciones de distin-tos tipos, y puede afirmarse que el concepto de función constituye un vínculo unificador entretodas ellas.

Figura 2.18. Dirichlet

Se trata de un concepto muy básico y general que comprende lasdistintas interpretaciones tradicionales de una función como unatabla de valores, como una curva o como una fórmula. Por todoello, puede parecer sorprendente que dicho concepto, con susigni-ficado actual, sea muy reciente. Suele atribuirse al matemático ale-mánDirichlet la definición, en 1837, del concepto moderno de fun-ción. Antes de llegar aquí hubo de recorrerse un largo caminoqueempieza con la publicación en 1748 del libro deLeonhard EulerIntroductio in analysin infinitorumen cuyo primer capítulo, titula-do significativamente “De Functionibus in genere”, esto es,“Sobrelas funciones en general”, Euler da la siguiente definición:

Una función de una cantidad variable es cualquier ex-presión analítica formada a partir de dicha cantidadvariable y números o cantidades constantes.

También fue Euler quien usó por primera vez la notaciónf .x/ para indicar el valor deuna funciónf en un valorx de la variable. Euler no precisaba lo que entendía por “cualquierexpresión analítica” pero, sin duda, incluía las series, fracciones y productos infinitos y primi-tivas. Después de dar esta definición, Euler distingue entrevarios tipos de funciones según quepuedan o no representarse por medio de una sola expresión analítica.

Figura 2.19. Euler

El libro de EulerIntroductio in analysin infinitorum, del que haytraducción al español, es considerado como el tercero más influ-yente en toda la historia de las matemáticas (el primero seríanlos Elementosde Euclides (300 adC) y el segundo losPrincipia(1687) de Newton) y tuvo una amplia difusión. En el prefacio dedicho libro, Euler, afirmaba que el Análisis Matemático es lacien-cia general de las variables y sus funciones. Esto, que hoy día nosparece una evidencia, estaba muy lejos de serlo en el siglo XVIII.De hecho, matemáticos como Newton, Leibniz, los hermanos Ber-nouilli y otros muchos en los siglos XVII y XVIII, se expresabanen términos de curvas, superficies, áreas, líneas tangentes.

En el primer libro de CálculoAnalyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignescourbes(L’Hôpital, 1696), como ya se indica en su propio título, lo que se estudia son curvas,no funciones. Esto no tiene nada de extraño. Los métodos del Cálculo Infinitesimal eran todavía



http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Dirichlet.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler

Sobre el concepto de función 60

muy recientes y sus razonamientos con frecuencia oscuros y confusos, por eso los matemáticosde la época preferían fundamentar sus resultados geométricamente porque, desde Euclides,se había considerado la geometría como el paradigma de la claridad y la perfección lógico –deductiva.

La necesidad de precisar el concepto de función surgió poco después, de forma muy natural,en el estudio de las vibraciones planas de una cuerda elástica tensa, sujeta por sus extremos, cu-ya posición inicial en el plano viene dada por una función conocida .x/. D’Alembert (1749)y Euler (1750) obtuvieron esencialmente la misma solución,pero discreparon sobre el tipo defunción inicial .x/ permitida. Mientras que, según D’Alembert, la posición inicial debía venirdada por una función suave (derivable dos veces), Euler insistía en que la evidencia física impo-nía la consideración de funciones más generales (no derivables, con picos). Él mismo propusocomo posición inicial de la cuerda una línea poligonal. Otromatemático, Daniel Bernouilli,propuso en 1753 una solución del problema que tenía como consecuencia que la función .x/podía representarse como suma de una serie trigonométrica infinita. Una situación muy similara ésta se produjo unos años después, en 1822, como consecuencia de los trabajos de Jean B.Joseph Fourier sobre la propagación del calor.

Los detalles de toda esta historia son muy interesantes peroimposibles de resumir en unaspocas líneas y, además, para poderlos entender hay que teneralgunos conocimientos de Aná-lisis Matemático. En esencia, se trata de lo siguiente. En lasegunda mitad del siglo XVIII yprimera del XIX, al mismo tiempo que los matemáticos seguíanconsiderando que las funcionesdebían ser continuas y derivables, salvo a lo sumo en una cantidad finita de “puntos especiales”(el mismo Euler tenía esta idea), se estaban desarrollando métodos para resolver problemascada vez más complejos que permitían representar “funciones cualesquiera” por medio de ex-presiones analíticas, principalmente, series de Fourier.Se suponía que una representación deeste tipo debía “transmitir su regularidad” a la función representada pero, por otra parte, és-ta podía ser muy general. El corazón del problema estaba en laconfusión de dos conceptos,aparentemente iguales pero muy distintos de hecho, el de función y el de su representaciónanalítica. La separación de estos conceptos llevó a considerar una función con independenciade su representación analítica. De esta forma una función quedaba reducida a un conjunto devalores numéricos completamente independientes asociados a una o varias variables, que es laidea subyacente a la definición moderna debida a Dirichlet (1837):

“y es una función de una variablex, definida en un intervaloa < x < b, si para cadavalor de la variablex en este intervalo le corresponde un valor concreto de la variabley.Además, es irrelevante la forma en la que esta correspondencia se establezca.”

Esta nueva idea de función llevó a investigar nuevos tipos defunciones que, con frecuencia,tenían un comportamiento inusual. En 1854 Riemann dio un ejemplo de función integrable coninfinitas discontinuidades en todo intervalo de longitud positiva. En 1872 Weierstrass sorprendea la comunidad matemática con una función continua que no es derivable en ningún punto. Aestos ejemplos de funciones “patológicas” pronto les siguen otros. En el siglo XIX la necesidadde una fundamentación rigurosa del Análisis Matemático se hace evidente. El concepto defunción sigue en el centro de atención y, aunque dicho concepto siguió discutiéndose casi hastael final del siglo, hoy se reconoce a Dirichlet haber sido el primero en considerar seriamente laidea de función como una “correspondencia arbitraria”.

Para ampliar la información pueden visitarse los siguientes sitios en Internet.

El desarrollo del Álgebra y la invención de los logaritmos 61

t Sobre la evolución del concepto de función enhttp://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma001.pdf.

t Las series de Fourier y el desarrollo del Análisis en el sigloXIX por Fernando Bombalenhttp://www.ma2.us.es/seminarios/four.pdf.

2.3.1. El desarrollo del Álgebra y la invención de los logaritmos

Con una calculadora de bolsillo, puedes hacer en una hora cálculos que a un astrónomode los siglos XV o XVI le hubiesen llevado semanas o meses realizar. En aquella época ha-cer multiplicaciones, divisiones, calcular raíces cuadradas o potencias eran operaciones querequerían mucho tiempo y esfuerzo. La explicación de esto esque el desarrollo del Álgebrafue relativamente tardío. El descubrimiento de las cantidades inconmensurables, y la carenciade una teoría aritmética de las mismas, tuvo como consecuencia el abandono del Álgebra enfavor de la Geometría. Se desarrollo así una especie de “álgebra geométrica” en la que losnúmeros se representaban por segmentos de línea y las operaciones aritméticas fueron susti-tuidas por construcciones geométricas. Las ecuaciones lineales y cuadráticas fueron resueltascon técnicas geométricas, evitándose así el problema de lasmagnitudes inconmensurables. Deesta forma en las matemáticas griegas el razonamiento geométrico llegó a considerarse como elmodelo de razonamiento matemático riguroso. Y así siguió siendo durante más de 2000 años.

Esta “álgebra geométrica” fue la causa del retraso en el desarrollo del Álgebra como disci-plina independiente. Otra dificultad adicional estaba en elsistema de numeración romano, unsistema de numeración no posicional, que fue el utilizado enOccidente hasta el siglo XI. Elsistema de numeración decimal que actualmente usamos, el cero incluido, tuvo su origen enla India y llegó a Occidente a través de los árabes, por eso losnuevos números se llamaron“números arábigos”. La misma palabra “Álgebra” nace en el siglo IX y hace referencia al tí-tulo del libro Hisab al-jabr w’al-muqabalahdel nombre de cuyo autor, el matemático Persa,Muhammad ibn-Musa al-Jwarizmi(c.780-850), deriva la palabra “algoritmo”.

La paulatina adopción en toda Europa a lo largo de los siglos XI, XII y XIII de los “númerosarábigos” supuso un extraordinario avance que propició la expresión simbólica de las operacio-nes aritméticas, iniciándose así el desarrollo del Álgebracomo disciplina independiente de laGeometría4. En el siglo XV ya se usan en los cálculos los números negativos y las fracciones,pero los primeros progresos realmente notables no llegaronhasta el siglo XVI, gracias a lostrabajos de matemáticos comoGerolamo Cardano(1501-1576) que publicó las soluciones dealgunas ecuaciones de tercer y cuarto grado en su libroArs magna(1545), yFrançois Viète(1540-1603) que, entre otras cosas, propuso un sistema simbólico que le permitió representarde forma general distintos tipos de ecuaciones.

Hoy nos parece inconcebible una Matemática sin un lenguaje simbólico apropiado, peroéste se desarrolló lentamente a lo largo de los siglos XVI-XVII. Algunos de los siguientesdatos están sacados del sitio WebThe History of Mathematical Symbols.

t La primera aparición impresa de los símbolosC y � fue en la aritmética de John Wid-mann, publicada in 1489 in Leipzig. El autor del primer librode texto sobre álgebra en

4Nos referimos, claro está, al Álgebra clásica, esto es, el estudio de las ecuaciones polinómicas y de la naturalezay propiedades de sus raíces. El Álgebra moderna es el estudiode las estructuras axiomáticas.



http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma001.pdf

http://www.ma2.us.es/seminarios/four.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Muhammad_ibn_Musa_al-Jwarizmi

http://es.wikipedia.org/wiki/Cardano

http://es.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te

http://www.roma.unisa.edu.au/07305/symbols.htm

El desarrollo del Álgebra y la invención de los logaritmos 62

lengua alemana impreso en 1525, Christoff Rudolff, usa estos símbolos con su signi-ficado actual. Durante mucho tiempo se usaron solamente en Álgebra antes de que segeneralizara su uso en aritmética.

t Había una gran variedad de símbolos para la multiplicación.Fue el matemático inglésWilliam Oughtred quien en su obraClavis Mathematicae, publicada en 1631, dio alsímbolo� el significado que tiene hoy día.

t El signo para la igualdad que usamos actualmente fue introducido por el matemático ymédico inglés Robert Recorde en su libroThe Whetstone of Witte(1557). No fue inme-diatamente aceptado pues, como ocurría con gran parte de la notación matemática deeste período, cada uno tenía su propio sistema, pero hacia 1700 el signoD era ya de usogeneral.

t Aunque las fracciones decimales eran conocidas desde antiguo, no eran usadas con fre-cuencia debido a la confusa notación empleada para representarlas. Fue Neper quienintrodujo en 1616 el separador decimal (coma o punto), lo quefacilitó mucho el uso delas fracciones decimales.

t Los símbolos para las desigualdades,< y >, con su significado actual fueron introduci-dos por el matemático inglés Thomas Harriot (1560-1621) en su obraArtis AnalyticaePraxispublicada en Londres en 1631.

En el siglo XV la trigonometría esférica fue adquiriendo cada vez mayor importancia por susaplicaciones para la navegación astronómica, en la cual debe resolverse un triángulo esféricopara trazar la ruta del navío. Para facilitar los cálculos, se elaboraron numerosas tablas tri-gonométricas en las que trabajaron matemáticos como Copérnico (1473-1543), Tycho Brahe(1546-1601), Kepler (1571-1630) y otros. Los cálculos parala realización de estas tablas eranlargos y penosos. En este contexto tuvo lugar la invención delos logaritmos por John Neper.

Figura 2.20. John Napier

John Napier o Neper introdujo los logaritmos en su libroMi-rifici Logarithmorum Canonis Descriptio(1614). Este trabajotenía treinta y siete páginas explicando la naturaleza de los lo-garitmos y noventa páginas de tablas de logaritmos de funcio-nes trigonométricas en las que Neper trabajó durante 20 añosantes de publicar sus resultados. En el año 1615 el matemáticoinglés Henry Briggs (1561-1630) visitó a Neper en Edimbur-go, y le convenció para modificar la escala inicial usada poréste. Nacieron así los logaritmos de base 10 que fueron divul-gados por el físico alemán Kepler, extendiéndose su uso enrelativamente poco tiempo por toda Europa.

Al principio, Neper llamó a los exponentes de las potencias “numeros artificiales”, pero mástarde se decidió por la palabra logaritmo, compuesta por lostérminos griegoslogos(razón) yaritmos(número).

Los logaritmos son números, que se descubrieron para facilitar la solución de losproblemas aritméticos y geométricos, a través de esto se evitan todas las comple-jas multiplicaciones y divisiones transformándolo a algo completamente simple a

Lo que debes haber aprendido en este capítulo 63

través de la substitución de la multiplicación por la adición y la división por lasubstracción. Además el cálculo de las raíces se realiza también con gran facili-dad. Henry Briggs

Los logaritmos pasaron a ser una herramienta muy valorada, en especial entre los astrónomos.Laplace se refiere a esto en la siguiente frase.

Con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo a unospocos días, elinvento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos.

Pierre Simon Laplace

2.4. Lo que debes haber aprendido en este capítulo

� El concepto de función y el formalismo que usamos para definiruna función.

� Las operaciones con funciones. La composición de funciones.

� Los conceptos de función monótona y de inversa de una funcióninyectiva.

� Las definiciones y propiedades principales de las funcioneslogarítmicas y exponenciales.

� Las definiciones y propiedades principales de las funcionestrigonométricas.

� Las definiciones y propiedades principales de las funcionesarcoseno, arcocoseno y arco-tangente.

� Las definiciones y propiedades principales de las funcioneshiperbólicas y sus inversas.

Como lectura adicional te recomiendo los capítulos 3 y 4 del libro de Michael Spivak [16].



Capıtulo3

Numeros complejos. Exponencial compleja

El camino más corto entre dos verdades del análisisreal pasa con frecuencia por el análisis complejo.

Jaques Hadamard

3.1. Un poco de historia

Los números que hoy llamamos “complejos” fueron durante muchos años motivo de po-lémicas y controversias entre la comunidad científica. Pocoa poco, por la creciente evidenciade su utilidad, acabaron por ser comúnmente aceptados, aunque no fueron bien comprendidoshasta épocas recientes. Nada hay de extraño en ello si pensamos que los números negativos nofueron plenamente aceptados hasta finales del siglo XVII.

Los números complejos hacen sus primeras tímidas apariciones en los trabajos de Cardano(1501-1576) y Bombelli (1526-1672) relacionados con el cálculo de las raíces de la cúbica oecuación de tercer grado. Fue René Descartes (1596-1650) quien afirmó que“ciertas ecuacio-nes algebraicas sólo tienen solución en nuestra imaginación” y acuñó el calificativo“imagi-narias” para referirse a ellas. Desde el siglo XVI hasta finales del siglo XVIII los númeroscomplejos o imaginarios son usados con recelo, con desconfianza. Con frecuencia, cuando lasolución de un problema resulta ser un número complejo se interpreta esto como que el pro-blema no tiene solución. Para Leibniz“el número imaginario es un recurso sutil y maravillosodel espíritu divino, casi un anfibio entre el ser y el no ser.”

Las razones de todo esto son claras. Así como los números reales responden al problemabien cotidiano de la medida de magnitudes, no ocurre nada similar con los números complejos.Mientras los matemáticos necesitaron interpretar en términos físicos sus objetos de estudio, nose avanzó mucho en la comprensión de los números complejos.

El éxito de Euler y Gauss al trabajar con números complejos sedebió a que ellos no se

64

Operaciones básicas con números complejos 65

preocuparon de la“naturaleza” de los mismos; no se preguntaron “¿qué es un número com-plejo?”, sino que se dijeron“a ver, para qué sirven, qué puede hacerse con ellos”. Es Gaussquien definitivamente concede a los números complejos un lugar privilegiado dentro de las ma-temáticas al probar en 1799 el resultado conocido comoTeorema Fundamental del álgebraqueafirma que toda ecuación polinómica de gradon con coeficientes complejos tiene, si cada raízse cuenta tantas veces como su orden,n raíces quetambién son números complejos. Merece lapena que entiendas bien lo que afirma este resultado. Fíjate en cada una de las ecuaciones:

x C 3D 0; 2x C 3D 0; x2 � 2D 0; x2 C 2x C 2D 0

Cuyas soluciones

x D�3; x D�3=2; x D˙p

2; x D�1˙ i

tienen sentido cuandox es, respectivamente, un número entero, racional, real o complejo. Po-dría ocurrir que este proceso de ampliación del campo numérico continuara. ¿Qué ocurrirá siahora consideramos ecuaciones polinómicas con coeficientes complejos? Por ejemplo:

x5 C .1� i/x4 C .1=5 � ip

2/x2 � 8x C 3� i=p

3D 0

¿Cómo serán sus soluciones? ¿Aparecerán también nuevos tipos de números? El Teorema Fun-damental del álgebra nos dice que esa ecuación tiene soluciones quetambiénson númeroscomplejos y, por tanto, que no aparecerán ya por este procedimiento nuevos tipos de números.

El término, hoy usado de“números complejos”se debe a Gauss, quien también hizo popu-lar la letra “i” que Euler (1707-1783) había usado esporádicamente. En 1806 Argand interpretalos números complejos como vectores en el plano. La fecha de 1825 es considerada como elnacimiento de la teoría de funciones de variable compleja, pues se publica en dicho año laMemoria sobre la Integración Compleja que Cauchy había escrito ya en 1814.

Los números complejos son una herramienta básica de cálculo. Son especialmente útilespara trabajar con funciones sinusoidales, y por eso se hace uso constante de ellos siempreque representamos una señal por medio de dichas funciones, yno hay que olvidar que ésees el propósito básico de los“métodos de Fourier”. La Transformada de Fourier Discreta,una herramienta fundamental en el tratamiento digital de señales, toma valores complejos. Lastransformadas de Fourier y de Laplaceson funciones complejas. Latransformadaz, al igualque otras transformadas de uso frecuente, se define como una serie de números complejos.La función exponencial compleja desempeña un papel fundamental en el estudio de los siste-mas LTI (sistemas lineales invariantes en el tiempo) y también en la teoría de las ecuacionesdiferenciales lineales.

3.2. Operaciones básicas con números complejos

3.1 Definición. Consideremos en el conjuntoR2 las operaciones de adición y producto defini-das por

.x;y/C .u; v/ D .x C u;y C v/ (3.1)

.x;y/.u; v/ D .xy � uv;xv C yu/ (3.2)



Comentarios a la definición de número complejo 66

Es muy fácil comprobar las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva de las operacio-nes así definidas. El elemento neutro de la suma es.0; 0/ y .1; 0/ es la unidad del producto.Además,.�x;�y/ es el opuesto de.x;y/, y todo.x;y/¤ .0; 0/ tiene inverso

.x;y/

�x

x2 C y2;�y

x2 C y2

�D .1; 0/

Todas estas propiedades se resumen diciendo que.R2;C; �/ (léase “el conjuntoR2 con lasoperaciones de adición y producto”) es uncuerpo. Dicho cuerpo se representa simbólicamentepor C y sus elementos se llamannúmeros complejos.

3.2.1. Comentarios a la definición de número complejo

No debes olvidar que cada concepto matemático tiene sentidodentro de una determinadaestructura. Con frecuencia, cuando sobre un mismo conjuntohay definidas varias estructuras, laterminología que se usa indica la estructura a la que nos referimos. Eso pasa enR2 donde con-viven varias estructuras cada una con su terminología propia. Usualmente enR2 se consideranlas siguientes estructuras.

� Ninguna. Es decir, solamente consideramos queR2 es un conjunto. En tal caso llamamosa sus elementospares ordenados de números reales.

� La estructura de espacio vectorial. Esto es, vemosR2 como un espacio vectorial real. Ental caso a sus elementos los llamamosvectores.

� La estructura de espacio euclídeo que se obtiene añadiendo ala estructura de espaciovectorial la distancia euclídea definida por el producto escalar usual. Esto es, vemosR2 como el plano euclídeo de la geometría elemental. En este caso a sus elementoslos llamamospuntos. La misma terminología se emplea cuando se considera enR2 laestructura de espacio afín o de espacio topológico.

� La estructura de cuerpo definida por las operaciones (3.1) y (3.2). En tal caso, a loselementos deR2 se les llamanúmeros complejos.

Ocurre que estos términos se usan a veces en un mismo párrafo lo que puede resultar confuso.La regla que debes tener siempre presente es que todo concepto matemático tiene sentido propiodentro de una determinada estructura matemática. Por ello,a un elemento deR2 se le llamanúmero complejo cuando se va a usar el producto definido en (3.2) que es lo que en realidaddistingue a los números complejos de los vectores deR2.

3.2.2. Forma cartesiana de un número complejo

El símbolo usual.x;y/ para representar pares ordenados no es conveniente para represen-tar el número complejo.x;y/. Para convencerte calcula, usando la definición (3.2), .1;�1/4.Representaremos los números complejos con un simbolismo más apropiado en el que va aintervenir el producto complejo. Para ello, observa que:

.x; 0/C .y; 0/D .x C y; 0/

.x; 0/.y; 0/D .xy; 0/



Comentarios a la definición usuali Dp�1 67

Esto indica que los números complejos de la forma.x; 0/ se comportan respecto a la sumay la multiplicación de números complejos exactamente de la misma forma que lo hacen losnúmeros reales respecto a la suma y multiplicación propias.En términos más precisos,R� f0ges un subcuerpo deC isomorfo aR. Por esta razón, en las operaciones con números complejospodemos sustituir los complejos del tipo.x; 0/ por el número realx. Es decir, hacemos laidentificación.x; 0/D x.

Fíjate que con dicha identificación el productox.u; v/ tiene dos posibles interpretaciones:producto del escalar realx por el vector .u; v/ (estructura vectorial deR2) y producto delcomplejo .x; 0/ por el complejo.u; v/. Pero ambos coinciden y son iguales a.xu;xv/.

El número complejo.0; 1/ lo representaremos pori y lo llamaremosunidad imaginaria.Con ello tenemos que

i2 D .0; 1/.0; 1/ D .�1; 0/D�1

Ahora podemos escribir

.x;y/D .x; 0/C .0;y/D .x; 0/C .0; 1/.y; 0/D x C iy

Se dice quex C iy es laexpresión cartesiana(también se le llamaexpresión binómica) delnúmero complejo.x;y/. El producto ahora es muy fácil de recordar pues

.x C iy/.uC iv/D xuC i2yv C i.xv C yu/D xu � yv C i.xv C yu/

3.2 Definición. Se dice quex es laparte reale y es laparte imaginariadel número complejox C iy.

Naturalmente, dos números complejos son iguales cuando tienen igual parte real e igualparte imaginaria.

Notación.Es costumbre representar los números complejos con las letras z y w y reservar lasletras x, y, u, v para representar números reales. Una expresión de la formaz D x C iy seinterpreta como quez es el número complejo cuya parte real esx y cuya parte imaginaria esy.Se escribe Re.z/ e Im.z/ para representar las partes real e imaginaria dez.

3.2.3. Comentarios a la definición usuali Dp�1

Acabamos de ver quei2 D �1 pero eso no nos permite escribir así, sin más ni más, quei Dp�1. Fíjate lo que ocurre si ponemosi D

p�1 y manejamos ese símbolo con las reglas a

las que estamos acostumbrados:

�1D i2 D i i Dp�1p�1D

p.�1/.�1/D

p1D 1

Luego1D�1. Por tanto, las matemáticas son contradictorias y aquí hemos acabado.

Naturalmente, el error procede de que estamos haciendo disparates. Fíjate que en la ex-presión

p�1 no puedes interpretar que�1 es el número real�1 (porque, como sabes, los

números reales negativos no tienen raíz cuadrada real),sino que tienes que interpretar�1 co-mo el número complejo�1 (espero que ya tengas clara la diferencia). Resulta así que estamosusando raíces de números complejossin haberlas definido y dando por supuesto que dichasraíces verifican las mismas propiedades que las de los números reales positivos.



No hay un orden enC compatible con la estructura algebraica 68

Antesde escribirp�1 hay que definir qué significa

pz paraz 2 C. Cuando lo hagamos

veremos ¡sorpresa! quela igualdadp

zpwDpzw, válida cuandoz; w 2 RC, no es cierta en

general cuandoz; w 2 C.

Todavía más disparatado esdefinir iDp�1 sin ni siquiera haber definido antes los números

complejos. Sin embargo, y aunque parezca mentira, en muchostextos se define (porque sí, sinmás explicaciones)iD

p�1 y a continuación se dice que los números de la formaaCib son los

números complejos. No es de extrañar que luego resulte que1D �1. Todavía pueden hacersepeor las cosas. Recientemente he encontrado en un texto de una institución de educación adistancia escrito por varios profesores la siguiente asombrosa definición:i DC

p�1.

3.2.4. No hay un orden enC compatible con la estructura algebraica

Al ampliar R a C ganamos mucho pero también perdemos algo. Te recuerdo queR tienedos estructuras: la algebraica y la de orden. Ambas estructuras están armoniosamente relacio-nadas. Pues bien, enC no hay nada parecido. Podemos definir relaciones de orden enC, perono hay ninguna de ellas que sea compatible con la estructura algebraica. Es decir, es imposibledefinir un concepto de número complejo positivo de forma que la suma y el producto de com-plejos positivos sea positivo. Por ello no se define enC ningún orden. Así que ya sabes: ¡nuncaescribas desigualdades entre números complejos! Naturalmente, puedes escribir desigualdadesentre las partes reales o imaginarias de números complejos,porque tanto la parte real como laparte imaginaria de un número complejo son números reales.

3.3. Representación gráfica. Complejo conjugado y módulo

Es usual representar el número complejoz D x C iy como el vector del plano.x;y/ y, enese sentido, se habla delplano complejo. El eje horizontal recibe el nombre deeje real, y el ejevertical recibe el nombre deeje imaginario.

X

Y

x

y z D x C iy

z D x � iy

jzj

Figura 3.1. Representación de un número complejo

Si z D x C iy es un número complejo (conx e y reales), entonces elconjugadode z sedefine como:

z D x � iy



Representación gráfica. Complejo conjugado y módulo 69

y el módulo o valor absoluto dez, se define como:

jzj Dq

x2 C y2

Observa quep

x2 C y2 está definido sin ambigüedad; es la raíz cuadrada del número real nonegativox2 C y2.

Geométricamente,z es la reflexión dez respecto al eje real, mientras quejzj es la distanciaeuclídea del punto.x;y/ a .0; 0/ o, también, la longitud onorma euclídeadel vector.x;y/(ver figura3.1). La distancia entre dos números complejosz y w se define comojz � wj y esla distancia euclídea entre los respectivos puntos del plano.

La representación gráfica de la suma es la usual para la suma devectores. Dos númeroscomplejosz D x C iy y w D u C iv determinan un paralelogramo cuya diagonal (ver figura3.2) esz Cw (la otra diagonal esz � w).

X

Y

w

u

z Cw

x x C u

z

Figura 3.2. Suma de números complejos

Las siguientes propiedades de la conjugación compleja son de comprobación muy sencilla.

3.3 Proposición. Cualesquiera sean los números complejosz yw se verifica que:

z D z; z Cw D z Cw; zw D zw: (3.3)

El siguiente resultado establece las principales propiedades del módulo de un número com-plejo. Como verás son muy parecidas a las propiedades del valor absoluto y su demostraciónes prácticamente la misma.

3.4 Teorema.Cualesquiera sean los números complejosz; w 2 C se verifica que:

a)mKaxfjRezj; jIm zjg6 jzj6 jRezj C jIm zj (3.4)

En particular,Rez D jzj si, y sólo si,z2RCo .



Forma polar y argumentos de un número complejo 70

b) El módulo de un producto es igual al producto de los módulos.

jzwj D jzjjwj (3.5)

c) El módulo de una suma es menor o igual que la suma de los módulos.

jz Cwj6 jzj C jwj (desigualdad triangular) (3.6)

La desigualdad triangular es una igualdad si, y solamente si, alguno de los números escero o uno de ellos es un múltiplo positivo del otro; equivalentemente, están en una mismasemirrecta a partir del origen.

Demostración. La demostración de a) es inmediata. Para demostrar b) y c) usaremos la igual-dad jzj2D zz que se deduce directamente de la definición de módulo de un número complejo,y la estrategia (1.8) que ya usamos para probar las propiedades análogas del valor absoluto.

b) Basta observar quejzwj y jzjjwj son números positivos cuyos cuadrados coinciden, pues

jzwj2 D zwzw D zwzw D zzww D jzj2jwj2 D .jzjjwj/2

c) Es suficiente probar quejz Cwj2 6 .jzj C jwj/2. En efecto:

jz Cwj2 D .z Cw/.z C w/D .z Cw/.z Cw/D zz Cww C zw C zwDD jzj2 C jwj2 C 2 Re.zw/6 jzj2 C jwj2 C 2jRe.zw/j66 jzj2 C jwj2 C 2jzwj D jzj2 C jwj2 C 2jzjjwj D jzj2 C jwj2 C 2jzjjwjDD .jzj C jwj/2

Evidentemente, sizD0 o siwD0, se verifica la igualdad. Supongamos quez¤0 yw¤0. De loanterior deducimos que se verifica la igualdadjz Cwj D jzj C jwj si, y sólo si, RezwD jzwj,esto es, sizw 2 RC, o lo que es lo mismozw D � donde� 2 RC. Esta igualdad, puedeescribirse de forma equivalente, multiplicando porw, comozjwj2 D �w; y dividiendo ahorapor jwj2, obtenemosz D �w para algún� 2 RC, lo que quiere decir quez y w están en unamisma semirrecta a partir del origen. 2

Observación.Para expresar un cociente de complejos en forma cartesiana se multiplica nume-rador y denominador por el conjugado del denominador:

uC iv

x C iyD .uC iv/.x � iy/

x2 C y2D ux C vy

x2 C y2C i

vx � uy

x2 C y2:

3.3.1. Forma polar y argumentos de un número complejo

El uso de coordenadas polares en el plano facilita mucho los cálculos con productos denúmeros complejos. Para cualquier número complejoz D x C iy ¤ 0 podemos escribir

z D jzj�

x

jzj C iy

jzj

�



Forma polar y argumentos de un número complejo 71

Como

�x

jzj ;y

jzj

�es un punto de la circunferencia unidad, puede escribirse enla forma

�x

jzj ;y

jzj

�D .cos#; sen#/

para algún número# 2R. Resulta así que

z D jzj.cos# C i sen#/

Esta forma de expresar un número complejo recibe el nombre deforma polar , cuya interpre-tación gráfica vemos en la figura (3.3).

X

Y

#

jzj

Figura 3.3. Forma polar de un número complejo

Dadoz2C, z¤0, hay infinitos númerost 2R que verifican la igualdadzDjzj.cost; sent/

cualquiera de ellos recibe el nombre deargumento dez. El conjunto de todos los argumentosde un número complejo no nulo se representa por Arg.z/.

Arg.z/D ft 2R W z D jzj.cost C i sent/g

Observa que

s; t 2Arg.z/”(

cos.t/D cos.s/

sin.t/D sin.s/

)” s D t C 2k� para algúnk2Z

Por tanto, conocido un argumentot02Arg.z/ cualquier otro es de la format0C2k� para algúnk 2Z, es decir, Arg.z/D t0 C 2�Z.

De entre todos los argumentos de un número complejoz¤0 hay uno único que se encuentraen el intervalo��;��, se representa por arg.z/ y se le llamaargumento principal dez. No esdifícil comprobar (véase el ejercicio resuelto (28)) que el argumento principal dezDxC iy¤0



Observaciones a la definición de argumento principal 72

w D x C iv

z D x C iy

�2

��2

�

��arg.z/ D arc tg.y=x/

arg.z/ D arc tg.y=x/ C �

arg.z/ D arc tg.y=x/ � �

Figura 3.4. Argumento principal

viene dado por:

arg.z/D

8ˆˆ<ˆˆ:

arc tg.y=x/ � � si y < 0, x < 0

��=2 si y < 0, x D 0

arc tg.y=x/ si x > 0

�=2 si y > 0, x D 0

arc tg.y=x/C � si y > 0, x < 0

Igualdad de dos números complejos en forma polar

Para que dos números complejos escritos en forma polarz D jzj.cos# C i sen#/ yw D jwj.cos' C i sen'/, sean iguales es condición necesaria y suficiente que los módulossean igualesjzj D jwj, y los argumentos sean iguales, Arg.z/ D Arg.w/, y ésta condiciónequivale a que# � ' sea un múltiplo entero de2� .

jzj.cos# C i sen#/D jwj.cos' C i sen'/”�

jzj D jwj# � ' D 2m� .m2Z/

3.3.2. Observaciones a la definición de argumento principal

Puede parecer un poco extraña la forma de elegir el argumentoprincipal de un númerocomplejo. La elección que hemos hecho supone que medimos ángulos en el semiplano superiorde0 a� y en el semiplano inferior de0 a�� .

Fíjate que si tomas un número complejo que esté situado en el tercer cuadrantezD x C iy

con x < 0;y < 0 y supones quey es próximo a0, su argumento principal está próximo a�� , y si tomas un número complejo que esté situado en el segundo cuadrante,w D x C iv

conx < 0; v > 0, y supones quev es próximo a0, su argumento principal está próximo a� .Además, la distanciajw � zjDjv � yjDv�y es tan pequeña como quieras. Esto nos dice queel argumento principal tiene una discontinuidad en el eje real negativo: salta de�� a� cuandoatravesamos dicho eje desde el tercer al segundo cuadrante.

Observaciones a la definición de argumento principal 73

Peor todavía dirás. Hasta cierto punto. Primero, la discontinuidad es inevitable. Si quere-mos elegir argumentos en un intervalo de longitud2� , digamosŒ˛; ˛ C 2�Œ, entonces dichosargumentos saltan dea ˛ C 2� cuando atravesamos la semirrecta.x;y/ D �.cos˛; sen /,.� > 0/. En particular, si tomamos argumentos en el intervaloŒ0; 2�Œ (cosa que, a primeravista, parece lo razonable) nos encontramos con que entonces se produce una discontinuidadde dichos argumentos enel eje real positivo. Bien, sucede quela extensión aC de algunasfunciones definidas enRC (el logaritmo, las raíces) hace intervenir el argumento principal.Naturalmente, queremos que dichas extensiones sigan siendo continuas enRC y ello justificaque tengamos que tomar argumentos principales de la forma enque lo hemos hecho: porquepreferimos introducir una discontinuidad enR� a perder la continuidad enRC.

3.3.2.1. Fórmula de De Moivre

Veamos cómo la forma polar permite hacer fácilmente productos de números complejos.

3.5 Proposición.Seanz,w conplejos no nulos,# 2 Arg.z/ y' 2 Arg.w/. Entonces se verificaque# C ' 2 Arg.zw/.

Demostración. Tenemos que

z D jzj.cos# C i sen#/

w D jwj.cos' C i sen'/

Usando ahora las igualdades (2.4) y (2.5), obtenemos:

zw D jzjjwj.cos# C i sen#/.cos' C i sen'/DD jzwjŒ.cos# cos' � sen# sen'/C i.sen# cos' C cos# sen'/�DD jzwj.cos.# C '/C i sen.# C '//

Lo que nos dice que# C ' 2 Arg.zw/. 2

Hemos probado quepara multiplicar dos números complejos se multiplican sus módulos yse suman sus argumentos.

Así pues, el producto de dos números complejos es geométricamente un giro (pues sesuman los argumentos de los números que estamos multiplicando) seguido de una homotecia(el producto de los módulos de ambos números).

Observa que, como consecuencia de la proposición (3.5), tenemos que argz C argw 2Arg.zw/; es decir, argz C argw esun argumento dezw, pero lo que no podemos afirmar esque argz C argw sea igual al argumento principal dezw. Naturalmente, esto ocurrirá cuando�� < argz C argw 6 � .

argz C argw D arg.zw/”�� < argz C argw 6 � (3.7)

La siguiente igualdad, muy útil, conocida comofórmula de De Moivre, se demuestra fácilmentepor inducción a partir de la proposición (3.5).

Raíces de un número complejo 74

3.6 Proposición(Fórmula de De Moivre). Si z es un complejo no nulo,# es un argumentodez y n es un número entero, se verifica quen# 2Arg.z n/, es decir:

z n D�jzj.cos# C i sen#/

�n D jzjn.cosn# C i senn#/; # 2Arg.z/; n2Z (3.8)

3.3.3. Raíces de un número complejo

Se trata ahora de resolver la ecuaciónwnD z donden es un número natural,n > 2, y z¤ 0

es un número complejo conocido. Escribamosw en forma polar:

w D jwj.cos' C i sen'/

Ahora, usando la fórmula de De Moivre, podemos escribir la ecuaciónwn D z en la formaequivalente:

wn D jwjn.cosn' C i senn'/D jzj.cos# C i sen#/

Donde# D argz. Esta igualdad se da cuandojwjn D jzj y n' D # C 2k� dondek 2 Z.Deducimos quejwj D n

pjzj (ojo: se trata de la raízn–ésima de un número positivo, cosa ya

conocida). Ahora bien, para cualquier número'k de la forma'k D .# C 2k�/=n tenemos unnúmero complejo

wk D npjzj.cos'k C i sen'k/

tal que.wk/n D z. Como una ecuación polinómica de gradon no puede tener más den solu-

ciones, se sigue que distintos valores dek deben dar lugar al mismo númerowk . Veamos:

wk Dwq , 'k � 'q D 2m� , k � q D nm

Es decir, sik y q dan el mismo resto al dividirlos porn entonceswk D wq . Deducimos queparak D 0; 1; 2; : : : ;n � 1 obtenemoswk distintos y cualquier otrowq es igual a uno de ellos.Por tanto hayn raíces n–ésimas distintas dez.

Hemos obtenido que lasn raíces n–ésimas dez vienen dadas por

zk D jzj1=n

�cos

argz C 2k�

nC i sen

argz C 2k�

n

�k D 0; 1; 2; : : : ;n � 1 (3.9)

Observa que definiendouD cos.2�=n/C i sen.2�=n/, los númerosu0 D 1; u; u2; : : : ;un�1

son las raíces n–ésimas de la unidad. Podemos escribir las raíces n–ésimas dez en la formazk D z0 uk . Como multiplicar poru es un giro de amplitud2�=n, deducimos que lasn raí-ces dez se obtienen girando la raíz n–ésima principal,z0, con giros sucesivos de amplitud2�=n. Es decir, si representamos todas las raíces n–ésimas dez obtenemosn puntos sobre unacircunferencia de centro.0; 0/ y radio n

pjzj que forman un polígono regular den lados.

De entre todas las raíces n–ésimas dez vamos a designar con el símbolonp

z a la raízn-ésima principal, que está definida por

np

z D jzj1=n�cos

argz

nC i sen

argz

n

�(3.10)



Figura 3.5. Raíces novenas de la unidad

Observa que arg�

np

z�D argz

ny, en consecuencia:

� �n< arg

�np

z�

6�

n(3.11)

Además, la raíz n-ésima principal dez es la única de las raíces n-ésimas dez cuyo argumentoprincipal está en el intervalo� � �=n; �=n�. Dicho de otra forma, la raíz n-ésima principal deun número complejo está situada en una región angular, simétrica con respecto al eje real y deamplitud2�=n, que incluye a su borde superior pero no incluye a su borde inferior.

3.3.3.1. Notación de las raíces complejas

Observa que en el caso particular de quez sea un número real positivo, entonces la raízprincipal dez (considerado como número complejo) coincide con la raíz dez (consideradocomo número real positivo). Es decir, acabamos deextenderla función raíz n-ésima deRC atodoC conservando el significado que esa función tenía enRC. Observa, sin embargo, que six 2 R� y n es impar, la raíz real de ordenn dex no coincide con el valor principal de la raízde ordenn dex considerado como número complejo. Este pequeño inconveniente no es tal sitenemos claro dónde estamos trabajando si enR o enC; esto es, si cuandon es impar estamosconsiderando funciones raíces n-ésimas definidas enR, o si estamos considerando dichas fun-ciones definidas enC. Observa que paran par no hay confusión alguna, solamente cuandon esimpar yx es un número real negativo hay que tener cuidado. Por ejemplo, 3

p�1D�1 cuando

consideramos a la raíz cúbica como una función real, y3p�1D cos.�=3/C i sen.�=3/ cuando

consideramos a la raíz cúbica como función compleja. Programas de cálculo simbólico, comoMathematica, siguen precisamente este convenio y usan la notaciónn

pz para el valor principal

de la raíz n-ésima del número complejoz.

Mucho peor es lo que ocurre cuando se usan notaciones disparatadas como suele hacerseen muchos libros de texto. Como es posible que te las encuentres, conviene que sepas a qué ate-nerte. El hecho es que en muchos textos se representa con el símbolo n

pz el conjunto formado

por todas las raíces n-ésimas del número complejoz. Pues bueno. . .¡acabamos de perder lafunción raíz n-ésima real y compleja!Porque, digo yo, si hemos de ser coherentes, habrá que

entender que27p

1 ya no vale1 sino que es un conjunto formado por27 números complejos. Ylas reglas que conocemos para las raíces reales ya ni siquiera pueden formularse. ¿Qué sentidotiene ahora escribir que5

p2

5p

1D 5p

2? ¿Es una igualdad entre conjuntos? ¿Debemos multipli-car cada elemento del conjunto5

p2 por cada elemento del conjunto5

p1 y comprobar que de

esa forma obtenemos todos los elementos de5p

2? ¿Cómo hay que sumar ahora3p

2 C 7p

3?Porque 3

p2 debe entenderse como un conjunto de 3 elementos y7

p3 como un conjunto de 7

elementos.

Estos ejemplos te habrán convencido de lo disparatado de esta forma de proceder. Pero haymás disparates. Alguien puede argumentar que todo esto se arregla interpretando que cuandoz

es real,np

z, representa siempre la raíz n-ésima real del númeroz. Bueno, pero esto no arregla eldisparate de quen

pz no es una función, porque todavía persiste el hecho de que paraz complejo

no real, np

z no es un número sino un conjunto den números complejos. Lo peor de todo estoes que los autores que cometen estos disparates ni siquiera son conscientes de ellos, y usan elsímbolo n

pz en sucesiones, límites o integrales como si de una función usual se tratara. Habría

que decirles ¡oiga! si para ustednp

z sonn números, ¿qué significado tiene una expresión comolKımn!1 n

�np

z � 1/? Pues eso, ni se dan cuenta.

Finalmente, observa que en la definición (3.10) de np

z interviene el argumento principal,arg.z/. Por la definición dada de argumento principal, tenemos que�� < argz 6 � y, comoya hemos visto anteriormente, se produce una discontinuidad del argumento principal en el ejereal negativo y, en consecuencia, la funciónz 7! n

pz es discontinua en el eje real negativo. Te

informo que no hay que preocuparse mucho por esta discontinuidad, de hecho es muy útil y,entre otras cosas, sirve para contar ceros de funciones. Lo que quiero es llamarte la atenciónsobre lo que ocurre cuando se elige el argumento principal enen el intervaloŒ0; 2�Œ. Cuandose hace así, la funciónz 7! n

pz resulta ser discontinua en el eje real positivo. Mala cosa; con

esa elección para el argumento principal, una función que era continua enRC, al extenderla aC ya no es continua enRC.

3.3.3.2. La igualdad np

z npw D n

pzw

En general, no es cierto que, dados dos números complejosz y w, el producto de lasraíces n-ésimasprincipales de z y de w sea igual a la raíz n-ésimaprincipal de zw. Loque, evidentemente, sí es cierto es que el producto de dos raíces n-ésimas cualesquiera dez y de w es una raíz n-ésima dezw. Por tanto, n

pz npw, es una raíz n-ésima dezw pero

no tiene por qué ser la principal. Vamos a ver qué condiciones deben cumplirse para quenp

z npw sea la raíz n-ésima principal dezw. Para ello, bastará con exigir que el argumento

principal de np

z npw esté en el intervalo� � �=n; �=n�. Como suponemos quen es un nú-

mero naturaln > 2, tenemos que�� <argz

nC argw

n6 � y, por (3.7), deducimos que

arg�

np

z npw�D argz

nC argw

nD argz C argw

n. Tenemos que:

arg�

np

z npw�D argz C argw

n2i��

n;�

n

i”�� < argz C argw 6 �

Hemos probado que

np

z npw D n

pzw”�� < arg.z/C arg.w/6 �

Por ejemplo, si los númerosz y w están en el semiplano de la derecha, es decir, Rez > 0,Rew > 0, entonces��=2 < arg.z/ < �=2 y ��=2 < arg.w/ < �=2; por tanto en este casoarg.z/ C arg.w/ D arg.zw/ por lo que n

pz npw D n

pzw. En particular, esto es cierto cuando

z; w 2 RC. Por tanto,no perdemos ninguna de las propiedades de las raíces reales positivasal extender las raíces aC.

En el caso en quen D 2, z D w D �1, tenemos que arg.�1/ C arg.�1/ D 2� , y no secumple la condición anterior. En este caso

p�1p�1D�1¤ 1D

p1D

p.�1/.�1/

es decirp�1p�1 D �1 es una raíz cuadrada de1 D .�1/.�1/ pero no es la raíz cuadrada

principal de1. Ahora ya sabes dónde está el error en lo que sigue:

�1D i2 D i i Dp�1p�1D

p.�1/.�1/D

p1D 1


73. Realiza las operaciones indicadas y expresa el resultado enla formaaC i b.

i) .7 � 2i/.5C 3i/ ii) .i � 1/3 iii) .1C i/.2C i/.3C i/ iv)3C i

2C i

v).4� i/.1� 3i/

�1C 2ivi) .1C i/�2 vii)

1C 2i

2� iviii) i2.1C i/3

74. Calcula la parte real e imaginaria de las funciones:

a)f1.z/D z2 b) f2.z/D z3 c) f3.z/D1

zd) f .z/D 1

1C z2e)f4.z/D

z C i

z � i

75. Calcula las siguientes cantidades.

a) j.1C i/.2� i/j b)

ˇˇ 4 � 3i

2 � ip

5

ˇˇ c) j.1C i/20j d) j

p2C i.

p2C 1/j

76. Calcula los números complejosz tales que1C z

1 � zes:

a) Un número real; b) Un número imaginario puro.

77. Expresa en forma polar los siguientes números complejos.

a) �p

3 � i b) �p

3C i c)3p

3C id)

1C ip

3

.1C i/2

78. Expresa los siguientes números en la formaaC i b:

a) .�1C ip

3/11 b)

�1C i

1 � i

�5

c)

1C i

p3

1� i

!6

d) .�p

3C i/13

79. Prueba que paraz2C nR�o el argumento principal viene dado por

argz D 2 arc tgIm z

Rez C jzjSugerencia. Ver el ejercicio resuelto (22).

80. Calcula arg.zw/ y arg� z

w

�supuestos conocidos argz y argw.

81. Supuesto quejzj D 1, prueba que

arg

�z � 1

z C 1

�D(�=2 si Imz > 0

��=2 si Imz < 0

82. Seaz D x C i y. Supuesto quejzj D 1, z ¤ 1, z ¤�i , prueba que

arg

�z � 1

z C i

�D(

�=4 si 1 � x C y > 0

�3�=4 si 1� x C y < 0

83. Resuelve la ecuación cuadráticaaz2CbzCcD0 dondea; b; c, son números complejosconocidos ya¤ 0.

84. Calcula todas las soluciones de las siguientes ecuaciones:

a) z3 D 1C i b) z4 D i c) z3 D�1C ip

3 d) z8 D 1 e) z2 C 2iz �p

3i D 0

85. Prueba que si una ecuación polinómica con coeficientes reales admite una raíz compleja,z, entonces también admite como raíz az. Da un ejemplo de una ecuación polinómicade grado mayor que 1 que tenga como raíz compleja1C i pero no admita como raíz a1� i .

86. Calcula las soluciones de las ecuaciones:

a) z4 C 2z3 C 7z2 � 18z C 26D 0I b) z4 C .5C 4i/z2 C 10i D 0

Sugerencia. El número1C i es raíz de la ecuación del apartado a).

87. Demuestra la llamada “igualdad del paralelogramo”:

jz C wj2 C jz � wj2 D 2.jzj2 C jwj2/ .z; w 2 C/

y explica su significado geométrico.

88. Dados dos números complejos˛ y ˇ, calcula el mínimo valor paraz 2 C de la cantidadjz � ˛j2 C jz � ˇj2:Sugerencia: La igualdad del paralelogramo puede ser útil.

89. Prueba queˇˇ z � a

1 � a z

ˇˇ < 1 si jzj < 1 y jaj < 1 y también sijzj > 1 y jaj > 1.

Sugerencia: Una estrategia básica para probar desigualdades entremódulosde númeroscomplejos consiste en elevar al cuadrado ambos miembros de la desigualdad.

90. Seaw un número complejo de módulo 1. Expresa los númerosw � 1 y w C 1 en formapolar.

91. Seax un número real que no es múltiplo entero de2� . Prueba las igualdades

a) 1C cosx C cos2x C � � � C cosnx D cos�n

2x� sen

�nC 1

2x

�

sen�x

2

�

b) senx C sen2x C � � � C sennx D sen�n

2x� sen

�nC 1

2x

�

sen�x

2

�

Sugerencia: Si llamamosA a la primera suma yB a la segunda, calculaA C iB ha-ciendo uso de la fórmula de De Moivre.

92. Calcula una fórmula para la suma

NX

kD�N

�cos.2k� t/C i sen.2k� t/

�

(tu respuesta debería de ser un cociente de senos).

93. Sean2N, n > 2 y w D cos2�

nC i sen

2�

n. Dado un número enterom 2 Z, calcula el

valor de las expresiones:

1. 1C wm Cw2m C � � � Cw.n�1/m;

2. 1� wm Cw2m � � � � C .�1/n�1w.n�1/m.

96. Haciendo uso de la fórmula de De Moivre prueba que:

1. sen3' D 3 sen' � 4 sen3'.

2. cos4' D 8 cos4' � 8 cos2' C 1.

3. sen5' D 5 sen' � 20 sen3' C 16 sen5'.

97. Representa gráficamente los conjuntos de números complejosz que verifican:

jz � 3j 6 3I 2 < jz � i j6 3I jargzj < �=6I jz � i j C jz C i j D 4

jz � 1j D jz � 2i jIˇˇ z � i

z C 2i

ˇˇD 2I Im.z2/ > 6I jz � i j D Im z C 1

98. Encuentra los vértices de un polígono regular den lados si su centro se encuentra en elpuntoz D 0 y uno de sus vérticesz1 es conocido.

99. Resuelve la ecuación.z � 1/n D .z C 1/n, dondez 2 C y n2N, n > 2.

100. Seajz1j D jz2j D jz3j D 1. Prueba quez1, z2, z3 son vértices de un triángulo equiláterosi, y sólo si,z1 C z2 C z3 D 0.

101. Si 06 argw�argz < � , prueba que el área del triángulo de vértices0, z y w viene dadapor 1

2Im.zw/.




Ejercicio resuelto 24 Calcula la parte real e imaginaria dez

1C z2dondez2C n fi;�ig.

Solución. Todo lo que hay que hacer es realizar las operaciones indicadas. Pongamospara elloz D x C iy conx;y2R. Tenemos que

z

1C z2D x � iy

1C .x C iy/2D x � iy

1C x2 � y2 C 2xyiD .x � iy/.1C x2 � y2 � 2xyi/

.1C x2 � y2/2 C 4x2y2D

D x C x3 � 3xy2 C i.�y � 3x2y C y3/

.1C x2 � y2/2 C 4x2y2D

D x C x3 � 3xy2

.1C x2 � y2/2 C 4x2y2C i

�y � 3x2y C y3

.1C x2 � y2/2 C 4x2y2

Luego

Re

�z

1C z2

�D x C x3 � 3xy2

.1C x2 � y2/2 C 4x2y2; Im

�z

1C z2

�D �y � 3x2y C y3

.1C x2 � y2/2 C 4x2y2

©

Ejercicio resuelto 25 Calcula

ˇˇˇ.2C i

p5/.1C i

p3/3p

5C ip

3

ˇˇˇ.

Solución.Como lo que nos piden es el módulo no es preciso realizar las operaciones indi-cadas. Basta tener en cuenta que el módulo de un producto es elproducto de los módulosy, por tanto, el módulo de un cociente es el cociente de los módulos. En consecuencia:

ˇˇˇ.2C i

p5/.1C i

p3/3p

5C ip

3

ˇˇˇD

ˇ2C i

p5ˇˇ

1C ip

3ˇ3

ˇp5C i

p3ˇ D 6

p2

©

Ejercicio resuelto 26 Calcula los números complejosz tales quew D 2z � i

2C izes

a) Un número real;

b) Un número imaginario puro.

Solución.Pongamosz D x C iy conx;y2R. Tenemos que

wD2x C i.2y � 1/

2 � y C ixD.2x C i.2y � 1//.2 � y � ix/

.2 � y/2 C x2D3x C i.�2x2 � 2y2 C 5y � 2/

.2� y/2 C x2

Por tanto,w es real si, y sólo si

�2x2 � 2y2 C 5y � 2D 0 ” x2 C .y � 5=4/2 D 9=16

Es decir,z está en la circunferencia de centro.0; 5=4/ y radio3=4.

Análogamente,w es imaginario puro si, y sólo si,x D 0, es decir,z está en el eje imagi-nario. ©



Ejercicio resuelto 27 Calcula los números complejosz tales quew D z � 1 � i

z C 1C i

a) Es un número real;

b) Tiene módulo 1.

Solución.Pongamosz D x C iy conx;y2R. Tenemos que

w D z � 1� i

z C 1C iD x � 1C i.y � 1/

x C 1C i.y C 1/D�x � 1C i.y � 1/

��x C 1� i.y C 1/

�

.x C 1/2 C .y C 1/2D

D x2 C y2 � 2C i.2y � 2x/

.x C 1/2 C .y C 1/2

Por tanto,w es real si, y sólo si,y D x ¤ �1, es decir,z está en la bisectriz de loscuadrantes primero y tercero yz ¤�.1C i/.

Es claro quejwj D 1 si, y sólo si

jz � 1� i jDjz C 1C i j” .x�1/2C.y�1/2D.xC1/2C.yC1/2 ” xCyD0

Es decir,z está en la bisectriz de los cuadrantes segundo y cuarto. ©

Ejercicio resuelto 28 Comprueba que el argumento principal dezD xC iy ¤ 0 viene dadopor

# D

8ˆˆ<ˆˆ:

arc tg.y=x/ � � si y < 0, x < 0

��=2 si y < 0, x D 0

arc tg.y=x/ si x > 0

�=2 si y > 0, x D 0

arc tg.y=x/C � si y > 0, x < 0

Solución. Teniendo en cuenta que parat < 0 es��=2 < arc tgt < 0 y para0 6 t

es0 6 arc tgt < �=2, se sigue que el número# definido por las igualdades anterioresverifica que�� < #6� . Por tanto, para probar que#Darg.z/ bastará que comprobemosla igualdadzDjzj.cos# C i sen#/, es decir, las igualdadesxD jzj cos# , yD jzj sen# .

Para# D � , # D �=2 y # D��=2 dichas igualdades son evidentes.

Seax > 0 en cuyo caso#Darc tg.y=x/. En este caso, como��=2 < # < �=2, tenemosque tg# D y=x y deducimos

1

cos2 #D 1C tg2 # D 1C y2

x2D x2 C y2

x2÷x2 D .x2C y2/ cos2 #÷x D jzj cos#

donde, en la última implicación, hemos tenido en cuenta quex > 0 y cos# > 0. Dedu-cimos también que

y D x tg# D x

cos#sen# D jzj sen#

Consideremosx < 0 e y > 0. Tenemos que�=2 < # D arc tg.y=x/ C � < � , porlo que��=2 < # � � < 0, y deducimos tg# D tg.# � �/ D y=x. Razonando comoantes obtenemos quex2 D .x2 C y2/ cos2 # . Comox < 0 y cos# < 0, se sigue quex D jzj cos# . De esta igualdad deducimos, al igual que antes, quey D jzj sen# .

Consideremosx < 0 e y < 0. Tenemos que�� < # D arc tg.y=x/ � � < ��=2, porlo que0 < # C � < �=2, y deducimos tg# D tg.# C �/D y=x. Razonando como enel caso anterior volvemos a obtener las igualdadesx D jzj cos# , y D jzj sen# . ©

Ejercicio resuelto 29 Expresa en forma polar los siguientes números complejos.

a) � 1C i b)�p

3C i

1C ic)

1

�1C ip

3

Solución.a) Tenemos que arg.�1C i/D arc tg.�1/C � D 3�=4, por lo que

�1C i Dp

2�

cos.3�=4/C i sen.3�=4/�

b) Tenemos que

arg.�p

3C i/D arc tg.�1=p

3/C � D� arc tg.1=p

3/C � D��=6C � D 5�=6

arg.1C i/D arc tg.1/D �=4÷ arg

�1

1C i

�D��=4

deducimos que5�

6� �

4D 7�

122Arg

�p

3C i

1C i

!. Por tanto

�p

3C i

1C iDp

2�

cos.7�=12/C i sen.7�=12/�

c) arg.�1C ip

3/D arc tg.�p

3/C � D� arc tg.p

3/C � D��=3C � D 2�=3, por

lo que arg

�1

�1C ip

3

�D�2�=3. Por tanto

1

�1C ip

3D 1

2

�cos.�2�=3/C i sen.�2�=3/

�

©

Ejercicio resuelto 30 Calcula arg.zw/ y arg� z

w

�supuestos conocidos argz y argw.

Solución.Sabemos que argz C argw 2Arg.zw/; además�2� < argz C argw 6 2� .Tenemos las siguientes posibilidades:

�2� < argz C argw 6��÷0 < argz C argw C 2� 6 �÷÷ arg.zw/D argz C argw C 2�

�� < argz C argw 6 �÷ arg.zw/D argz C argw

� < argz C argw 6 2�÷ � � < argz C argw � 2� 60÷÷ arg.zw/D argz C argw � 2�

Para calcular arg� z

w

�se procede de forma análoga teniendo en cuenta ahora que

argz � argw2Arg� z

w

�y que�2� < argz � argw < 2� . ©

Ejercicio resuelto 31 Calcula los números complejosz tales quew D 2z � 1

z � 2

a) Tiene argumento principal igual a�=2;

b) Tiene argumento principal igual a��=2.

Solución.Pongamosz D x C iy con x;y2R. Como

2z � 1

z � 2D 2x � 1C 2yi

x � 2C iyD .2x � 1C 2yi/.x � 2� iy/

.x � 2/2 C y2D 2x2 C 2y2 � 5x C 2 � 3yi

.x � 2/2 C y2

deducimos que argw D �=2 si, y sólo si,2x2 C 2y2 � 5x C 2D 0 e y < 0. Como

2x2 C 2y2 � 5x C 2D 0 ” .x � 5=4/2 C y2 D 9=16

deducimos que argwD �=2 cuandoz está en la semicircunferencia de centro.5=4; 0/ yradio3=4 que está contenida en el semiplano inferior. También También deducimos queargwD��=2 cuandoz está en la semicircunferencia de centro.5=4; 0/ y radio3=4 queestá contenida en el semiplano superior. ©

Ejercicio resuelto 32 Resuelve la ecuación cuadráticaaz2 C bz C c D 0 dondea; b; c, sonnúmeros complejos conocidos ya¤ 0.

Solución.Tenemos que

az2 C bz C c D 0 ” z2 C b

az C c

aD 0 ”

�z C b

2a

�2

C c

a� b2

4a2D 0

”�

z C b

2a

�2

� b2 � 4ac

4a2D 0

”"�

z C b

2a

��p

b2 � 4ac

2a

#"�z C b

2a

�Cp

b2 � 4ac

2a

#D 0

”

8ˆ<ˆ:

z D �b Cp

b2 � 4ac

2a

z D �b �p

b2 � 4ac

2a

Las dos soluciones obtenidas suelen expresarse en la forma

az2 C bz C c D 0 ” z D �b ˙p

b2 � 4ac

2a

Observa que hemos seguido el mismo procedimiento que en el caso real1. Debes entenderbien la igualdad

z D �b ˙p

b2 � 4ac

2a(3.12)

Aquí b2 � 4ac es un número complejo (en particular, puede ser real),p

b2 � 4ac es suraíz cuadrada principal y�

pb2 � 4ac esla otra raíz cuadrada(todo número complejo


tienedosraíces cuadradas: la principal y su opuesta). Aquí no hay positivos ni negativos,~ni nada parecido ¡estamos trabajando con números complejos! Comento esto para volvera insistir en que los símbolosC y � tienen un carácter puramente algebraico: no indicanpositivo y negativo.

En general, para resolver ecuaciones con números complejosno es buena estrategia se-parar la ecuación en su parte real y su parte imaginaria y resolver éstas por separado, sinoque debes trabajar con la variable complejaz. No olvides que con los números comple-jos puedes hacer las mismas operaciones que con los números reales y algunas más queno siempre puedes hacer con los números reales, como extraerraíces y otras que prontoestudiaremos. ©

Ejercicio resuelto 33 Calcula las soluciones de la ecuaciónz4 C .1C i/z2 C 5i D 0.

Solución.PoniendowDz2, la ecuación quedaw2C.1C i/wC5iD0, cuyas solucionesson

�.1C i/˙p.1C i/2 � 20i

2D �.1C i/˙

p�18i

2D

D �.1C i/˙p

18.cos.��=4/C i sen.��=4//2

D

D �.1C i/˙p

18.1=p

2 � i=p

2/

2D �.1C i/˙ 3.1 � i/

2D�

1 � 2i

�2C i

Las soluciones de la ecuación dada son las raíces˙p

1� 2i y˙p�2C i . Tenemos que

arg.1�2i/D� arc tg2 y arg.�2Ci/D��arc tg.1=2/. Usando que cos.xC�=2/D� senx

y sen.x C �=2/D cosx, obtenemos:

˙p

1 � 2i D˙ 4p

5�

cos

�arc tg2

2

�� i sen

�arc tg2

2

� �

˙p�2C i D˙ 4

p5

�sen

�arc tg.1=2/

2

�C i cos

�arc tg.1=2/

2

��

Observa que las soluciones son números complejos pero no soncomplejos conjugados.La ecuación dada tiene coeficientes complejos. ©

Ejercicio resuelto 34 Calcula las soluciones de las ecuaciones:

a) z4 C 2z3 C 7z2 � 18z C 26D 0I b) z4 C .5C 4i/z2 C 10i D 0

Sugerencia. El número1C i es raíz de la ecuación del apartado a).

Solución.Haremos el apartado a). Para ello usaremos un resultado, quese supone quedebes conocer, según el cual si un polinomioP .x/ se anula para un valor, P .˛/D 0,entonces es divisible porx�˛, es decirP .x/D.x�˛/Q.x/dondeQ.x/ es un polinomiode un grado menor queP .x/.

1Antes, en la enseñanza media se resolvía la ecuaciónax2C bxC cD 0 dondea; b; c son números reales, igualque lo hemos hecho aquí. He comprobado que ahora los estudiantes llegan a la Universidad sin saberla resolver.




Como la ecuación dada es polinómica con coeficientes reales ynos dicen que1 C i

es raíz, también es raíz1 � i . Por tanto, el polinomio dado debe de ser divisible por.z � .1C i//.z � .1 � i//D z2 � 2z C 2. Haciendo la división, obtenemos que

z4 C 2z3 C 7z2 � 18z C 26D .z2 C 4z C 13/.z2 � 2z C 2/

Lo que queda ya es inmediato. ©

Ejercicio resuelto 35 Demuestra la llamada “igualdad del paralelogramo”:

jz C wj2 C jz � wj2 D 2.jzj2 C jwj2/ .z; w 2 C/ (3.13)

y explica su significado geométrico.

Demostración. Basta realizar las operaciones indicadas. Tenemos que:

jz C wj2 D .z C w/.z Cw/D zz Cww C zw C zw D jzj2 C jwj2 C 2 Re.zw/(3.14)

jz � wj2 D .z � w/.z � w/D zz C ww � zw � zw D jzj2 C jwj2 � 2 Re.zw/(3.15)

Sumando estas igualdades se obtiene la igualdad del enunciado. Su significado geomé-trico es que la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales de un paralelo-gramo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus lados. ©

z

w

zC

w

z �w

Figura 3.6. Igualdad del paralelogramo

Ejercicio resuelto 36 Dados dos números complejos˛ y ˇ, calcula el mínimo valor paraz 2 C de la cantidadjz � ˛j2 C jz � ˇj2:Sugerencia: La igualdad del paralelogramo puede ser útil.

Solución. La sugerencia y un poco de intuición deben ser suficientes para hacer esteejercicio. La intuición lo que dice es que el punto que buscamos debe ser la el punto

medio del segmento de extremos˛ y ˇ, es decir el puntou D ˛ C ˇ2

. Ahora debemos

relacionar la cantidad que nos dan conjz � uj. Usando la igualdad del paralelogramo(3.13) con z sustituido porz � ˛ y w por z � ˇ y escribiéndola de derecha izquierda,tenemos que

2�jz � ˛j2 C jz � ˇj2

�D j2z � ˛ � ˇj2 C jˇ � ˛j2




de donde

jz � ˛j2 C jz � ˇj2 D 2

ˇˇz � ˛ C ˇ

2

ˇˇ2

C 1

2jˇ � ˛j2

Deducimos quejz � ˛j2C jz � ˇj2 >1

2jˇ � ˛j2 para todoz 2 C y la igualdad se da si,

y sólo si,z D ˛ C ˇ2

.

Ejercicio resuelto 37 Prueba las desigualdades:

a) jjzj � jwjj6 jz � wj

b) jz Cwj> 1

2.jzj C jwj/

ˇˇ z

jzj Cw

jwj

ˇˇ

dondez; w son números complejos no nulos. Estudia también cuándo se dala igualdaden cada una de dichas desigualdades.

Sugerencia. Una estrategia básica para probar desigualdades entremódulosde númeroscomplejos consiste en elevar al cuadrado ambos miembros de la desigualdad.

Solución.Siguiendo la sugerencia, es muy fácil hacer el apartado a). Haremos el apartadob). Siguiendo la sugerencia, elevamos al cuadrado y comprobamos que la diferencia espositiva.

jz Cwj2 � 1

4.jzj C jwj/2

ˇˇ z

jzj Cw

jwj

ˇˇ2

D

D jzj2 C jwj2 C 2 Re.zw/ � 1

4.jzj2 C jwj2 C 2jzjjwj/

�2C 2

Re.zw/

jzjjwj

�D

Djzj2Cjwj2C2 Re.zw/� 1

2jzj2� 1

2jwj2�jzjjwj� 1

2

�jzj2Cjwj2C2jzjjwj

�Re.zw/

jzjjwj D

D 1

2.jzj2 C jwj2 � 2jzjjwj/C 2

Re.zw/

jzjjwj jzjjwj �1

2

�jzj2 C jwj2 C 2jzjjwj

�Re.zw/

jzjjwj D

D 1

2.jzj � jwj/2 � 1

2

�jzj2 C jwj2 � 2jzjjwj

�Re.zw/

jzjjwj D

D 1

2.jzj � jwj/2

�1� Re.zw/

jzjjwj

�> 0

Porque Re.zw/6jzwjDjzjjwj. La igualdad se da si, y sólo si,jzjDjwj o Re.zw/Djzwj loque equivale a quezwD� 2 RC que equivale a quez yw estén en una misma semirrectaa partir del origen, o sea, que tengan los mismos argumentos.

Ejercicio resuelto 38 Expresa en forma binómica los números

.1C i/25; .p

3C i/37;

1C i

p3

�1C i

!24

Solución.Naturalmente, se trata de aplicar la fórmula de De Moivre y para ello todo loque hay que hacer es expresar los números en su forma polar. Consideremos el número




zD 1C ip

3

�1C i. Tenemos quejzj D

p2 (cociente de los módulos) y un argumento dez es

arg.1C ip

3/ � arg.�1C i/D arc tg.p

3/ � .arc tg.�1/C �/D �

3� 3�

4D�5�

12

Por tanto

1C i

p3

�1C i

!24

D .p

2/24

�cos

��24

5�

12

�C i sen

��24

5�

12

��D 212 D 4096

Ejercicio resuelto 39 Haciendo uso de la fórmula de De Moivre prueba que:

a) sen3' D 3 sen' � 4 sen3'.

b) cos4' D 8 cos4' � 8 cos2' C 1.

c) sen5' D 5 sen' � 20 sen3' C 16 sen5'.

Solución.La fórmula de De Moivre es una herramienta excelente para obtener identida-des trigonométricas. Lo único que hay que hacer es usar la igualdad

.cosx C i senx/n D cos.nx/C i sen.nx/ .n 2 N;x 2 R/

Desarrollando la potencia del lado izquierdo por medio del binomio de Newton y agruparla parte real, que será igual a cos.nx/ y la parte imaginaria, que será igual a sen.nx/.Por ejemplo, paran D 2 se obtiene inmediatamente que cos.2x/ D cos2 x � sen2 x ysen.2x/D 2 senx cosx. HaciendonD 3 obtenemos

cos3 x C 3i cos2 x senx � 3 cosx sen2 x � i sen3 x D cos.3x/C i sen.3x/

Igualando partes imaginarias, resulta:

sen.3x/D 3 cos2 x senx � sen3 x D 3.1 � sen2 x/ senx � sen3 x D 3 senx � 4 sen3 x

Esta es la igualdad a). Las otras dos igualdades b) y c) se obtiene de forma parecida.

Ejercicio resuelto 40 Seann2N, n>2, y wDcos2�

nC i sen

2�

n. Dado un número entero,

m2Z, calcula el valor de las expresiones:

a) 1C wm Cw2m C � � � Cw.n�1/m.

b) 1� wm Cw2m � � � � C .�1/n�1w.n�1/m.

Solución.Necesitamos la expresión de la suma de una progresión geométrica. Seanz unnúmero complejo distinto de 1 yn 2N. PongamosS D 1 C z C z2 C z3 C � � � C zn.Tenemos que

S D 1C z C z2 C z3 C � � � C zn

Sz D z C z2 C z3 C � � � C zn C znC1

�÷S.z � 1/D znC1 � 1



Y deducimos que

1C z C z2 C z3 C � � � C zn D znC1 � 1

z � 1(3.16)

La suma en a) es una progresión geométrica de razónwm. Debemos distinguir el caso enquewm D 1, lo que ocurre cuandom es un múltiplo den, en cuyo caso la suma en a) esigual an. En los demás casos, tenemos que

1Cwm Cw2m C � � � Cw.n�1/m D wnm � 1

wm � 1D 0

En particular, haciendomD1, deducimos que la suma de las raíces n-ésimas de la unidades igual a 0. El apartado b) se hace de forma parecida. ©

Ejercicio resuelto 41 Seaw un número complejo de módulo 1. Expresa los númerosw � 1

y w C 1 en forma polar.

Solución.SeawD cost C i sent cont D arg.w/. PongamosuD cos.t=2/C i sen.t=2/.Con lo queu2 Dw y uuD 1. Tenemos que

w � 1D u2 � uuD u.u � u/D 2i sen.t=2/u (3.17)

Deducimos quejw � 1jD2jsen.t=2/j. Supondremos en lo que sigue quew¤1. Observaquew � 1 es producto de 3 números: el númeroi , cuyo argumento principal es�=2,el númerou, cuyo argumento principal est=2 y el número2 sen.t=2/ cuyo argumentoprincipal es0 cuando sen.t=2/ > 0, y � cuando sen.t=2/ < 0. Un argumento dew � 1

será�=2C t=2C arg.sen.t=2//. Observa que�� < t 6 � y t ¤ 0. Distinguiremos doscasos:

0 < t 6 �÷ sen.t=2/ > 0÷ arg.w � 1/D �

2C t

2D t C �

2÷

÷w � 1D 2 sen.t=2/�� sen.t=2/C i cos.t=2/

�

� � < t < 0÷ sen.t=2/ < 0÷ arg.w � 1/D �

2C t

2� � D t � �

2÷

÷w � 1D�2 sen.t=2/�

sen.t=2/ � i cos.t=2/�

Fíjate en que si en (3.17) hacemos el productoiu y distinguimos los casos sen.t=2/ > 0

y sen.t=2/ < 0, obtenemos las mismas expresiones paraw � 1. ©

Ejercicio resuelto 42 Seax un número real que no es múltiplo entero de2� . Prueba lasigualdades

a) 1C cosx C cos2x C � � � C cosnx D cos�n

2x� sen

�nC 1

2x

�

sen�x

2

�

b) senx C sen2x C � � � C sennx D sen�n

2x� sen

�nC 1

2x

�

sen�x

2

�

Solución.Si llamamosA a la primera suma yB a la segunda, podemos calcularACiB

haciendo uso de la fórmula de De Moivre.

Solución. Pongamosw D cosx C i senx; u D cos.x=2/ C i sen.x=2/. Tenemos quew ¤ 1 porquex∉2�Z.

AC iB D 1Cw Cw2 Cw3 C � � � Cwn D wnC1 � 1

w � 1D (por (3.17))D wnC1 � 1

2i sen.x=2/u

Teniendo en cuenta quewnC1Dcos�.nC1/x

�Ci sen

�.nC1/x

�es un número complejo

de módulo 1 y queunC1 D cos�.n C 1/x=2

�C i sen

�.n C 1/x=2

�, podemos usar la

igualdad (3.17) para obtener que:

wnC1 � 1D 2i sen�.nC 1/x=2

�unC1

Deducimos que

ACiBDunC1

sen

�nC 1

2x

�

sen�x

2

� D�

cos

�nC 1

2x

�C i sen

�nC 1

2x

�� sen

�nC 1

2x

�

sen�x

2

�

Igualando partes real e imaginaria, se obtienen las dos igualdades del enunciado. ©

Ejercicio resuelto 43 Dados dos números complejos distintosa; b 2 C, justifica que para

z¤ b el númeroz � a

z � bes real si, y sólo si,z está en la recta que pasa pora y porb; y es

real negativo si, y sólo si,z está en el segmento que unea conb.

Solución.Seat 2 R, t ¤ 1. Tenemos que

z � a

z � bD t” z D a � bt

1 � tD aC t

1� t.a � b/

La recta que pasa pora y b tiene la ecuación paramétricaz D aC �.a � b/, con� 2 R,

por lo que la igualdad anterior nos dice quez � a

z � bes real si, y sólo si,z está en dicha

recta.

Si t < 0, la igualdad anterior puede escribirse, cambiandot por�s, en la forma

z � a

z � bD�s” z D aC bs

1C sD s

1C sb C 1

1C sa

Lo que nos dice quez es de la forma�b C .1 � �/a con0 < �D s

1C s< 1 pero esos

son justamente los puntos del segmento que unea conb (excluidos los extremos).

Ejercicio resuelto 44 a) Seajz1j D jz2j D jz3j D 1. Prueba quez1, z2, z3 son vértices deun triángulo equilátero si, y sólo si,z1 C z2 C z3 D 0.

b) Deduce de lo anterior que si el baricentro y el circuncentro de un triángulo coinci-den, dicho triángulo debe ser equilátero.

Solución. a) Si z1, z2, z3 son vértices de un triángulo equilátero, entonces cada unodebe estar girado un ángulo de�=3 radianes respecto de otro. Sabemos que multiplicar

por un complejo,u, de módulo 1 es un giro de amplitud igual a arg.u/. DefinamosuDcos.�=3/C i sen.�=3/. Los tres vértices los podemos escribir comoz1, z1u, z2u2 y, portanto:

z1 C z2 C z3 D z.1C uC u2/D zu3 � 1

u � 1D 0

Supongamos ahora quejz1jDjz2jDjz3jD1, y quez1Cz2Cz3D0. Para probar que dichosnúmeros son vértices de un triángulo equilátero, lo que vamos a hacer es comprobar queson las raíces cúbicas de un número complejo. Es decir, se trata de probar que hay unnúmero˛ tal quez1, z2 y z3 son las raíces de la ecuación polinómicaz3 � ˛ D 0. Paraesto es necesario y suficiente que el producto.z � z1/.z � z2/.z � z3/ puede escribirseen la formaz3 � ˛. Tenemos:

.z � z1/.z � z2/.z � z3/D z3 � .z1 C z2 C z3/z2 C .z1z2 C z1z3 C z2z3/z � z1z2z3D

D z3 C .z1z2 C z1z3 C z2z3/z � z1z2z3

Poniendo D z1z2z3, lo que hay que probar es quez1z2 C z1z3 C z2z3 D 0. Todavíano hemos usado la hipótesis de quejz1j D jz2j D jz3j D 1. Vamos a usarla ahora paraintentar sacar factor común en la sumaz1z2Cz1z3Cz2z3D0 la expresiónz1Cz2Cz3.Tenemos que:

z1z2 C z1z3 C z2z3 D z3z3z1z2 C z2z2z1z3 C z1z1z2z3 D .z1 C z2 C z3/z1z2z3 D 0

Puesz1 C z2 C z3 D z1 C z2 C z3 D 0:

El apartado b) se deduce fácilmente de a) siempre que sepas loque es el baricentro y elcircuncentro de un triángulo. ©

Ejercicio resuelto 45 Si 0 6 argw � argz < � , prueba que el área del triángulo de vértices0, z y w viene dada por1

2Im.zw/.

Solución. El área de todo triángulo es la mitad de la base por la altura. En la figura(3.7) se ha tomado como base el vectorz con longitudjzj y la altura esh. Observa que

sen.' � #/D h

jwj . Por tanto

áreaD 1

2jzjhD 1

2jzjjwj sen.' � #/

Esto ya deberías saberlo: el área de cualquier triángulo es igual a la mitad del productode las longitudes de dos lados por el seno del ángulo que forman. PongamoszD xC iy,w D uC iv. Como# D arg.z/ y ' D arg.w/, tenemos que

áreaD 1

2jzjjwj sen.' � #/D 1

2jzjjwj

�sen.'/ cos.#/� cos.'/ sen.#/

�D

D1

2jzjjwj

�v

jwjx

jzj �u

jwjy

jzj

�D 1

2.vx � uy/D 1

2Im.zw/

©

Funciones elementales complejas 91

z

w

#

'

h

Figura 3.7. Área de un triángulo

3.4. Funciones elementales complejas

Las funciones complejas no son más que las funciones definidas en subconjuntos deR2

con valores enR2, cuando enR2 consideramos su estructura compleja. Dado un conjuntoA � C, a toda función complejaf W A ! C se le asocian dos funciones reales: la funciónuD Ref “parte real def ” y la función vD Im f “parte imaginaria def ” definidas para todo.x;y/D x C iy2A por:

u.x;y/D Ref .x C iy/; v.x;y/D Im f .x C iy/

Naturalmente,f .x C iy/D u.x;y/C i v.x;y/.

3.4.1. La función exponencial

Definimos2 la exponencial compleja de un númeroz D x C i y como

exCi y Dexp.x C i y/D ex�cosy C i seny

�(3.18)

Observa que

jez j D eRez; Im z2Arg.ez/ (3.19)

En particular, obtenemos la llamadafórmula de Euler:

ei t D cost C i sent .para todot 2 R/ (3.20)

que establece una relación entre la exponencial compleja y las funciones trigonométricas. Dela fórmula de Euler se deducen fácilmente las llamadasecuaciones de Euler:

cost D ei t Ce�i t

2; sent D ei t � e�i t

2i.t 2R/ (3.21)

2Más adelante veremos la justificación de esta definición.



Logaritmos complejos 92

La exponencial compleja tiene la propiedad fundamental de transformar sumas en produc-tos. Se prueba fácilmente, haciendo uso de la definición (3.18y de las igualdades (2.4) y (2.5)que

ezCwDez ew para todosz; w2C (3.22)

Esta propiedad, junto con las ecuaciones de Euler (3.21), hacen que la exponencial complejasea la herramienta más usada para trabajar con las funcionesseno y coseno. Por ejemplo, dela fórmula de Euler (3.20) y de la igualdad anterior, se deduce enseguida la fórmula deDeMoivre.

cos.nt/C i sen.nt/D eitnD�

eit�n D

�cost C i sent/n .n2Z; t 2R/ (3.23)

Igualmente, de las igualdades

cos.aC b/C i sen.aC b/D e.aCb/i Deia eibD.cosaC i sena/.cosb C i senb/

se deducen en seguida, haciendo el producto indicado e igualando partes real e imaginaria, lasigualdades (2.4) y (2.5).

Otras identidades trigonométricas se obtienen también muyfácilmente. Por ejemplo, paraexpresar un producto de senos o cosenos como una suma de senoso de cosenos se puede hacerlo que sigue.

eiaCeib Dei.aCb/=2�

ei.a�b/=2Cei.b�a/=2�D 2 ei.aCb/=2 cos..a � b/=2/ (3.24)

Igualando partes real e imaginaria, deducimos que:

cosaC cosb D 2 cos..a � b/=2/ cos..aC b/=2/ (3.25)

senaC senb D 2 cos..a � b/=2/ sen..aC b/=2/ (3.26)

De la igualdad (3.22), se deduce que para todoz2C y todok2Z es

ez DezC2k� i

Lo que, en particular, nos dice que exp.z/D exp.z C 2� i/, o sea, la exponencial compleja esuna funciónperiódicacon período2� i . Naturalmente, esto supone una gran diferencia con laexponencial real que es una función inyectiva.

La función exponencial es particularmente útil para representar los números complejosde módulo 1, es decir los números complejos de la forma cost C i sent (t 2 R). Recuerdaque multiplicar por un número complejo de módulo 1 representa un giro cuya amplitud es elargumento de dicho número. Fíjate que el complejo conjugadode eit es e�it .

Una exponencial real es siempre positiva. Para la exponencial compleja no tiene sentidohablar de positiva, todo lo que podemos decir es que laexponencial compleja no se anulanunca puesjez j D eRez > 0.

3.4.2. Logaritmos complejos

El comportamiento periódico de la exponencial compleja se va a traducir, como vamos aver enseguida, en que la ecuación ewDz, dondez es un número complejo no cero, va a tenerinfinitas solucionesw2C. Como

ewDeRew�cos.Imw/C i sen.Imw/

�



Logaritmos complejos 93

Para que ewDz es necesario y suficiente que:

1. jewj D jz j, esto es, eRewDjzj, es decir, Rew D log jz j (logaritmo natural del númeroreal positivojz j).

2. Arg.ew/ D Arg .z/. Como Imw 2 Arg.ew/, esta igualdad equivale a Imw 2 Arg z; yesto se cumple si, y sólo si Imw D arg.z/C 2k� , conk2Z.

Hemos probado que

fw2C W ewDzg D flogjzj C i.arg.z/C 2k�/;k 2Zg

Por tanto, existen infinitos números complejosw que satisfacen la ecuación ewDz. Cualquierade ellos se llamaun logaritmodez. El conjunto de todos ellos lo representaremos por Logz.

Logz D flogjzj C i.arg.z/C 2k�/;k 2Zg

Todos los logaritmos dez están situados en una misma recta vertical de abscisa logjzj, y apartir de uno cualquiera de ellos podemos situar todos los demás, desplazándolo hacia arriba ohacia abajo una distancia igual a un múltiplo entero de2� . De entre todos los logaritmos dez

elegimos uno, llamadologaritmo principal , definido por

logz D log jzj C i arg.z/ para todoz 2 C�

Cuandoz es un número real positivo,z 2 RC, el logaritmo principal que acabamos de definircoincide con el logaritmo real dez. Es decir, acabamos deextenderla función logaritmo realdeRC aC�. Observa que cualquier otro logaritmo dez es de la forma logzC i2k� para algúnenterok. Además, de todos los logaritmos dez, el logaritmo principal es el único cuya parteimaginaria está en el intervalo� � �;��.

Es importante que observes que la igualdad

logzw D logz C logw

que es válida para los logaritmos de los números reales positivos, no es siempre cierta paranúmeros complejos. Por ejemplo:

log�

ei 2�=3�D i

2�

3; log

�ei 3�=4

�D i

3�

4

Y

log�

ei 2�=3 ei 3�=4�D log

�ei 17�=12

�D log

�e�i7�=12

�D�i

7�

12¤ i

2�

3C i

3�

4

Lo que está claro es que el número logz C logw 2 Log.zw/, es decir, logz C logw esunlogaritmo dezw pero no tiene por qué ser el logaritmoprincipal dezw.

Observación.Muchos libros usan la notación Logz para representar el logaritmo principal dez y logz para representar el conjunto de todos los logaritmos dez. De esta forma consiguen quela función log, que era conocida para reales positivos, ya nopueda usarse más, porque ahoralog1 ya no será 0 sino el conjuntof2k� i W k 2 Zg; y lo que antes escribíamos log2 ahoratendremos que escribirlo Log2. Es decir, no se gana nada y se pierde todo. Es lo que yo digo,¿para qué hacer las cosas bien pudiendo hacerlas mal?



Potencias complejas 94

3.4.3. Potencias complejas

Recuerda que dados dos números realesa > 0 y b 2R, la potencia de basea y exponenteb se define comoab D eb loga. Ahora, dadosa; b 2 C, cona ¤ 0, sabemos que hay infinitoslogaritmos dea, todos ellos de la forma logaC i2k� , conk 2Z. Por ello, cualquier númerocomplejo de la forma eb.logaCi 2k�/ dondek 2Z, esuna potencia de basea y exponenteb.Representamos porŒab� el conjunto de todas ellas.

Œab �Dneb.logaCi 2k�/ Wk2Z

o

Se destaca una:ab D eb loga

que se llamavalor principal de la potencia de basea y exponenteb. Observa que sib D 1=n

donden2N, el número

a1=n D exp

�1

nloga

�D exp

�loga

nC i

arga

n

�D jaj1=n

�cos

arga

nC i sen

arga

n

�

es el valor principal de la raíz n-ésima dea que antes hemos notado pornp

a.


102. Expresa los 8 números 1˙ i , ˙p

3˙ i en la formar ei'.

103. Calcula el módulo y los argumentos principales de los números

1C ei' ; 1 � ei'; �a ei'

dondej'j6 � y a > 0.

104. Calcula logz y Logz cuandoz es uno de los números siguientes

i; �i; e�3; e5i ; 4; �5 e; 1C i

105. Calcula log.3i/C log.�1C ip

3/ y log�3i.�1C i

p3/�.

106. Calcula log.�1 � i/ � log i y log

��1� i

i

�.

107. CalculaŒ.�4/i �; i�3i ; Œi2=� �; Œi i �; 12i ; 31�i ; ..�i/i/i ; .1C i/1Ci

108. Estudia, paraz2C� y n2N, las igualdades:

a) log.ez/D z I b/ exp.log.z//D z I c/ log. np

z/D log.z/

nI d/ log.zn/D n log.z/:



109. Prueba que la función logaritmo principal establece una biyección entre los conjuntosCnR�

o y �D fz2C� W �� < Im.z/ < �g.

110. Estudia condiciones para que�ab�c D abc .

111. Con una interpretación adecuada de la suma justifica que:

a) Arg.zw/D Arg.z/C Arg.w/; b) Log.zw/D Log.z/C Log.w/

112. Estudia, interpretándolas convenientemente cuando sea necesario, las siguientes igual-dades:

a) LogŒab �D b Log.a/ b) logŒab �D b Log.a/ c) log.ab/D b loga

113. Indica el error en los razonamientos siguientes:.�z/2 D z2; por tanto2 Log.�z/ D2 Log.z/ y, por consiguiente, Log.�z/D Log.z/.

114. Explica con detalle dónde está el error en las igualdades siguientes:

i D .�1/1=2 D Œ.�1/3�1=2 D .�1/3=2 D i3 D�i



Ejercicio resuelto 46 Estudia, paraz2C� y n2N, las igualdades:

a) log�

ez�D z I b/ exp.log.z//D z I c/ log

�np

z�D log.z/

nI d/ log.zn/D n log.z/:

Solución.a) Es evidente quez esun logaritmo de ez y será el logaritmo principal si, ysólo si,�� < Im z 6 � . En consecuencia:

log�

ez�D z”�� < Im z 6 �

b) Los logaritmos dez se definen como los números cuya exponencial esz, luego, enparticular, exp.log.z//D z cualquiera seaz 2 C.

c)

log�

np

z�D log

ˇnp

zˇC i arg

�np

z�D logjzj

nC i

argz

nlog.z/

nD logjzj

nC i

argz

n

La igualdad en c) se verifica siempre.

d)log.zn/ D log.jznj/C i arg.zn/D n log.jzj/C i arg.zn/

n log.z/ Dn log.jzj/C i n arg.z/

La igualdad en d) equivale a que arg.zn/D n arg.z/. Comon arg.z/ esun argumento dezn, para que sea el argumento principal deberá ser�� < n arg.z/6 � . ©

Ejercicio resuelto 47 Estudia condiciones para que�ab�c D abc.

Solución.Tenemos que�ab�c D exp.c log.ab//I abc D exp.bc loga/

Por otra parte

exp.c log.ab//Dexp�c log.eb loga/

�Dexp

�c.b logaC i2k�/

�Dexp.bc logaC ic2k�/

Dondek es un entero que hay que elegir por la condición de que

�� < Im.b logaC i2k�/ 6 �

Concluimos que sik D 0, lo que ocurre solamente cuando�� < Im.b loga/ 6 � ,entonces la igualdad del enunciado se cumple para todoc. En otro caso, la igualdad delenunciado se cumple solamente cuandoc es un número entero. ©

Ejercicio resuelto 48 Con una interpretación adecuada de la suma justifica que:

a) Arg.zw/D Arg.z/C Arg.w/; b) Log.zw/D Log.z/C Log.w/

Solución.La forma razonable de interpretar la igualdad Arg.zw/D Arg.z/ C Arg.w/,es que sumando cada uno de los elementos de Arg.z/ con cada uno de los elementosde Arg.w/ obtenemos todos los elementos de Arg.zw/. Que efectivamente esto es asíes fácil de probar. Seans 2 Arg.z/ y t 2 Arg.w/. Entonces, sabemos ques C t esun argumento dezw, esto ess C t 2 Arg.zw/. Luego hemos probado la inclusiónArg.z/ C Arg.w/ � Arg.zw/. Recíprocamente, sea' 2 Arg.zw/. Elijamos cualquier

elementos2Arg.z/ y pongamostD'� s. Entoncest es un argumento dezw

zDw, esto

es,t 2 Arg.w/; luego' D s C t 2 Arg.z/ C Arg.w/. Lo que prueba la otra inclusiónArg.zw/ � Arg.z/C Arg.w/.

Análogamente, La forma razonable de interpretar la igualdad Log.zw/ D Log.z/ CLog.w/, es que sumando cada uno de los elementos de Log.z/ con cada uno de loselementos de Log.w/ obtenemos todos los elementos de Log.zw/. Teniendo en cuentaque Log.z/D logjzj C i Arg.z/, la igualdad b) se deduce de a).

Observación. Quien haya estudiado el concepto degrupo cociente, puede interpretar lasuma Arg.z/ C Arg.w/ en el grupo cociente del grupo aditivo de los números realesrespecto del subgrupo de los múltiplos enteros de2� , esto es, el grupoG D R=2�Z. Siz es un complejo no nulo, se tiene que Arg.z/ 2 G y, por definición de suma en un grupocociente, tenemos que Arg.z/ C Arg.w/ es la clase que contiene a arg.z/ C arg.w/ y,como arg.z/C arg.w/ 2 Arg.zw/, obtenemos que Arg.zw/D Arg.z/C Arg.w/. ©

Ejercicio resuelto 49 Indica el error en los razonamientos siguientes:.�z/2 D z2; por tanto2 Log.�z/D 2 Log.z/ y, por consiguiente, Log.�z/D Log.z/.

Solución.De la igualdad Log.zw/DLog.z/CLog.w/, probada en el ejercicio anterior,se deduce que Log.z2/D Log.z/C Log.z/. Es decir, que sumando de todas las formasposibles dos logaritmos dez obtenemos todos los logaritmos dez2. Pero eso es muydistinto a sumar cada logaritmo dez consigo mismo. Es decir, el conjunto2 Log.z/ essolamente una parte del conjunto Log.z/C Log.z/. ©

Aplicaciones de los números complejos 97

3.5. Aplicaciones de los números complejos

Como ya hemos dicho anteriormente, la exponencial complejaes la herramienta más útilpara trabajar con funciones sinusoidales, esto es, las funciones seno y coseno. Muchísimosprocesos naturales, entre los que destacan por su importancia y universalidad los movimientososcilatorios y ondulatorios, se describen adecuadamente por medio de funciones sinusoidales.Eso explica la presencia de la exponencial compleja y de los números complejos en teorías que,a primera vista, nada tienen que ver con ellos. Veamos algunos ejemplos.

3.5.1. Movimiento armónico simple

r.t/

r.0/

'

!

t

A�A

O x.t/

Figura 3.8. Movimiento circular

Un número complejo es un vector del planoque, escrito en forma polar, tiene asociado unángulo y por eso, los números complejos sonmuy apropiados para representar giros y movi-mientos circulares. Consideremos un móvil querecorre una circunferencia centrada en el origeny de radioR con una velocidad angular cons-tante!. Supongamos que su posición inicialpara t D 0 viene dada por.A cos';A sen'/.La posición de dicho móvil en el tiempot es

r.t/D�A cos.!t C '/;A sen.!t C '/

�

Usando números complejos, podemos escribir

r.t/D A cos.!t C '/C iA sen.!t C '/

Que se expresa mejor con la exponencial compleja:

r.t/DA cos.!t C '/C iA sen.!t C '/DA ei.!tC'/DA ei' ei!t

Recuerda que multiplicar por ei!t es un giro de amplitud!t . La igualdadr.t/ D A ei' ei!t

nos dice que la posición del móvil en el tiempot se obtiene girando el vector que representa suposición inicialr.0/DA ei' un giro de amplitud!t .

La proyección sobre el eje de abscisas del vectorr.t/ es la primera componente de dichovector:

x.t/D Rer.t/DA cos.!t C '/ (3.27)

Interpretamosjx.t/j como la distancia al origen en el instantet de un móvil que se desplazasobre el eje de abscisas y cuya posición en el tiempot viene dada por la igualdad (3.27).Observa que dicho móvil recorre el segmentoŒ�A;A� con un movimiento que se caracterizaporque se repite a intervalos regulares de tiempo, pues definiendoT D 2�=!, se tiene que:

x.t C T /D A cos.!.t C T /C '/DA cos.!t C 2� C '/DA cos.!t C '/D x.t/

Dicho movimiento se llamamovimiento armónico simple. Naturalmente, la proyección sobre eleje de ordenadas del vectorr.t/ también describe un movimiento armónico simple de ecuación

y.t/D Im r.t/DA sen.!t C '/ (3.28)



Movimiento armónico simple 98

Las ecuaciones (3.27) y (3.28) representan un mismo tipo de movimiento pues un seno no esmás que un coseno retrasado en�=2, como se sigue de la igualdad cos.x � �=2/D senx.

En el movimiento armónico simplex.t/DA cos.!t C '/ el númeroA se llamaamplitud,el número!t C ' se llamafase, siendo' la fase inicial; ! es lafrecuencia angularque semide en radianes por segundo. El númeroT D 2�=! es elperiodo, que es el tiempo, medidoen segundos, que el móvil tarda en completar un ciclo. El número f D 1=T es lafrecuencia,que es el número de ciclos recorridos en un segundo. La unidadde la frecuencia es el ciclo porsegundo que se llamaherzio.

La representación compleja proporciona una visualizacióngráfica del movimiento que esmuy útil para el estudio de la composición de movimientos armónicos simples. Consideremosdos movimientos armónicos simples de igual frecuencia dados por

x1.t/DA1 cos.!t C '1/; x2.t/DA2 cos.!t C '2/

Queremos estudiar el movimiento dado porx.t/D x1.t/C x2.t/. La representación complejade los movimientos permite dar una respuesta sin necesidad de hacer cálculos. Pongamos

x1.t/D Rer1.t/D ReA1 ei.!tC'1/I x2.t/D Rer2.t/D ReA2 ei.!tC'2/

Claramente,x.t/D x1.t/C x2.t/D Re.r1.t/C r2.t//. Como los vectoresr1.t/ y r2.t/ girancon igual velocidad angular,!, el vector sumar.t/D r1.t/C r2.t/ también gira con la mismavelocidad angular (el paralelogramo de ladosr1.t/ y r2.t/ gira todo él con velocidad angular!). Deducimos quex.t/ D Re.r.t// es la ecuación de un movimiento armónico simple defrecuencia angular!, amplitud igual al módulo der.t/ (que debe ser constante) y fase igual alargumento del número complejor.t/. El módulo de una suma lo hemos calculado en (3.14).En nuestro caso es

jr.t/j2 D jr1.t/j2 C jr2.t/j2 C 2 Re.r1.t/r2.t//DA21 CA2

2 C 2A1A2 cos.'1 � '2/

r1.t/

r2.t/

r.t/

x1.t/ x2.t/ x.t/O

Figura 3.9. Composición de movimientos armónicos



Circuitos eléctricos 99

Como la frecuencia angular debe ser!, la fase será!t C ' donde' es la fase inicial, quees el argumento del número complejo

r.0/Dr1.0/Cr2.0/DA1 ei'1 CA2 ei'2 D.A1 cos'1CA2 cos'2/Ci.A1 sen'1CA2 sen'2/

que ya debes saber calcular.

3.5.2. Circuitos eléctricos

R

C

L

I.t/

V .t/

Figura 3.10. Circuito RLC

En el análisis de circuitos eléctricos los nú-meros complejos, con el nombre defasores,fueron introducidos en 1863 por el matemá-tico e ingeniero Charles Proteus Steinmetz(1865-1923). Un fasor es un número complejoque representa la amplitud y fase inicialde una sinusoide. Los fasores proporcionanuna herramienta útil para estudiar circuitoseléctricos cuyo voltaje es de tipo sinusoidalV .t/ D Vm cos.!t C '/. Aquí Vm > 0 esla amplitud o máximo valor del voltaje, y'la fase inicial. Podemos asociar aV .t/ unfasor que representamosV y es el número

complejoVDVm ei' . De esta forma podemos escribirV .t/DRe.V ei!t / con lo que separamosla información de frecuencia y de fase. Observa que, conocida la frecuencia, la sinusoide quedadeterminada de forma única por su fasor asociado.

La derivada de una sinusoide es otra sinusoide. El fasor que representa a la derivada seexpresa muy fácilmente mediante el fasor que representa a lasinusoide.

V 0.t/D dV .t/

dtD�Vm! sen.!t C '/D Vm! cos.!t C ' C �=2/D Re.i!V ei!t /

Deducimos que el fasor que representa aV 0.t/ esi!V . Observa quei!V D !Vm ei.'C�=2/,por lo que el fasor que corresponde a la derivada de una sinusoide va adelantado90 gradosrespecto a la sinusoide.

De la misma forma, el fasor que representa a la primitiva de lasinusoideV .t/ es1

i!V y va

retrasado90 grados respecto a la sinusoide.

Supongamos que en el circuito de la figura (3.10) se tiene que la intensidad de la corrienteviene dada por una sinusoide (lo cual se sabe que es así cuandola fuerza electromotriz aplicadaes sinusoidal). PongamosI.t/ D Im cos.!t C '/ y seaI su fasor asociado. Expresemos lacaída de potencial en cada uno de los elementos que forman el circuito mediante los fasores dela corriente y el voltaje. Se trata de un circuito RLC que consta de una resistencia deR ohmios,un condensador de capacitanciaC y un inductor, con inductanciaL.

La diferencia de potencial en los extremos de la resistenciaviene dada por

VR.t/DRI.t/DRIm cos.!t C '/



http://en.wikipedia.org/wiki/Charles_Proteus_Steinmetz

Circuitos eléctricos 100

La relación entre los fasores respectivos es

VR DRI:

ComoR > 0 se tiene que el voltaje a través de una resistencia está en fase con la corriente.

Es sabido que una corriente variable en un inductor produce un campo magnético que dalugar a una fuerza electromotriz inducida que se opone a la fuerza electromotriz aplicada, loque origina una caída de potencial dada por

VL.t/DLdI.t/

dt

Deducimos que la relación entre los correspondientes fasores es

VL D i!LI

y por tanto el voltaje a través de un inductor va adelantado90 grados respecto a la corriente.

LlamandoQ.t/ a la carga que almacena el condensador en el tiempot , se sabe que ladiferencia de potencial entre los extremos del condensadorviene dada por la igualdad

VC .t/DQ.t/

CD 1

C

tw

�1I.s/ds

Y deducimos que la relación entre los correspondientes fasores es

VC D1

i!CI D� i

!CI

y por tanto el voltaje a través de un inductor va retrasado90 grados respecto a la corriente.

La suma de las diferencias de potencial a través de los distintos elementos del circuito debeser igual al voltaje aplicado. En términos de los fasores asociados, esto quiere decir que:

RI C i!LI � i

!CI D

�RC i!L � i

!C

�I D V (3.29)

El número complejo

ZDRC i!L � i

!C

se llamaimpedancia. La impedancia depende de la frecuencia de la fuerza electromotriz aplica-da y de las características del circuito. Cuando se conocen la impedancia y el voltaje, podemoscalcular el fasor de la corriente por la igualdad

I D V

ZD V

RC i!L � i

!C

y la corriente en el circuito viene dada porI.t/D I ei!t .

Tenemos que

jIj D jV jsR2 C

�!L � 1

!C

�2



Procesamiento digital de señales 101

El número!L � 1

!Cse llamareactancia. El valor de la frecuencia para el que la reactancia

se anula viene dado por!r D1pLC

y se llamafrecuencia de resonancia. Es el valor de la

frecuencia para el cual el valor dejIj es máximo.

3.5.3. Procesamiento digital de señales

Como sin duda sabes, los formatos digitales más frecuentes de audio e imagen son, res-pectivamente, MP3 y JPG. Cuesta trabajo imaginar cómo seríaInternet sin estos formatos. Loque quizás no sepas es que la codificación MP3 y la JPG se llevana cabo con algoritmos queusan números complejos. El hecho, por extraño que pueda parecer, es que las principales herra-mientas para trabajar con todo tipo de señales (audio, vídeo, voz, imagen,. . . ) son complejas.La transformada Z, la Transformada de Fourier en Tiempo Discreto, la Transformada Discretade Fourier, la Función de Transferencia, los modelos de polos y ceros, la Transformada deLaplacey otras muchas herramientas básicas para el tratamiento de señales, son todas ellastransformaciones que usan números complejos. Todavía más,las propias señales se caracte-rizan por suespectroque ¡es un conjunto de números complejos! Si te sientes atraído por elapasionante mundo del tratamiento digital de señales, todolo que sepas de números complejoste será útil en tu trabajo.

Como lectura adicional te recomiendo el capítulo 24 del libro de Michael Spivak [16].



Capıtulo4

Funciones Continuas y lımite funcional

En matemáticas, la evidencia es enemiga de la corrección.Bertrand Russell

4.1. Introducción

En esta lección vamos a estudiar con algún detalle un concepto teórico importante que es elde continuidad. Para motivar la definición que vamos a dar de continuidad, consideremos unaley física de la formaP D f .V /, que relaciona los valores de una “variable independienteV ”(podemos pensar que es el volumen de un gas) con otra “variable dependienteP ” (podemospensar que es la presión). Si queremos usar dicha ley, hemos de medir un valorV0 de la variableV , y es inevitable que al hacerlo cometamos algún error el cual, naturalmente, influye en elcorrespondiente valor deP , que ya no será exactamente igual aP0 D f .V0/. Surge así lapregunta natural: ¿de qué forma el error en la medida deV afecta al valor resultante deP? Esclaro que si para valores deV “muy próximos” aV0 obtengo valores deP muy diferentes entresí, la ley “f ” que relacionaV conP no tendrá ninguna utilidad práctica.

Puesto que los errores de medida son inevitables, no es razonable tratar de obtener “elverdadero valorP0”. Lo que sí puede hacerse es fijar una cota de error admisible paraP (lacual dependerá de cada situación concreta), llamemos “"” a dicha cota (" > 0), y tratar deobtener otra cota de error “ı” (ı > 0), de tal forma que siempre que midamosV0 con unerror menor queı tengamos la seguridad de que el valor resultante paraP se diferencia deP0 en menos que". Esto es,jf .V / � f .V0/j < " siempre quejV � V0j < ı. Cuando estoefectivamente pueda hacerse para cualquier cota de error" > 0 decimos que la ley “f ” escontinua enV0.

Observa que cabe esperar que la cota de errorı dependa del" fijado en cada caso. Intuitiva-mente, cuanto más pequeño sea el error permitido en los datosfinales, tanto mejor tendremos

102

Continuidad 103

que medir la variable independiente. En general, la precisión ı con la que debemos medirV0

para obtener un error final menor que", depende no solamente del valor fijado de" sino tambiéndel valor deV0. Esto es fácil de entender, no es lo mismo medir un volumen de varios metroscúbicos que otro de unos pocos milímetros cúbicos, la precisión de nuestra medida debe sermejor en este último caso.

Las ideas anteriores conducen, de forma natural, a la definición matemática de continuidad.En todo lo que sigue, la letraA representará un conjunto no vacío de números reales. Enla prácticaA será siempre un intervalo o una unión de intervalos. Recuerda que la notaciónf W A ! R quiere decir quef es una función real cuyo dominio esA. Es muy importanteadvertir queA no tiene por qué coincidir con el dominio natural de la función. Esto es asíporque con frecuencia estamos interesados en estudiar propiedades de una función en una partede su dominio natural. Además, la continuidad def depende tanto de la “regla que la define”como del conjunto en donde estamos trabajando. Enseguida pondremos ejemplos para aclararesto.

4.2. Continuidad

4.1 Definición(Continuidad en un punto). Una funciónf WA! R se dice que es continuaen un puntoa 2 A si, para cada número" > 0, se puede encontrar un númeroı > 0 (que,en general, dependerá de" y de a) tal que para todox 2A con jx � aj < ı se verifica quejf .x/ � f .a/j < ".

La definición anterior suele escribirse, con abuso del formalismo lógico, de la siguienteforma:

8"2RC 9 ı2RC W jx � aj < ıx2A

�÷jf .x/� f .a/j < " (4.1)

Comentarios a la definición.Observa que en esta definición el conjuntoA tiene mucho pro-tagonismo: sólo se consideran los valores def enA, lo que le pueda pasar af fuera deA nonos interesa. El siguiente ejemplo es ilustrativo.

a) Seaf WR! R la función de Dirichletdada porf .x/D1 si x2Q, f .x/D�1 si x2RnQ.Es la función que vale1 en los puntos racionales y�1 en los irracionales. Esta función no escontinua en ningún punto. La razón es que en todo intervalo abierto, por pequeño que sea,siempre hay números racionales e irracionales. Por eso, la funciónf oscila constantementeentre1 y �1.

b) Las funcionesg W Q ! R dada porg.x/ D 1 y h W R n Q ! R dada porh.x/ D �1

son continuas (¡son funciones constantes!) en todo punto desus respectivos dominios dedefinición.

Debes tener claro que para poder hablar de la continuidad o dela no continuidad de una función~en un punto, la función debe estar definida en dicho punto. La condición (4.1) exige que elnúmerof .a/ esté definido. Si no se conoce el valor def ena no puede comprobarse si dichacondición se verifica o no y, por ello, no tiene sentido considerar la continuidad de esa funciónen dicho punto. Insisto en esta evidencia porque en muchos textos te vas a encontrar ejerciciosdel siguiente estilo:

Propiedades básicas de las funciones continuas 104

a) Estudiar la continuidad de la funciónf .x/D 1

xenx D 0.

b) Estudiar la continuidad de la funcióng.x/D jxjx

enx D 0.

c) Estudiar la continuidad de la funciónh.x/D x sen.1=x/ enx D 0.

Respuesta: Las funcionesf , g y h no están definidas en0, por tanto no tiene sentido estudiar sucontinuidad en0. Para poder estudiar la continuidad en0 de estas funciones, primero hay quedefinirlas en0. Por ejemplo, podemos definirf .0/D 0, g.0/D 1, h.0/D 0. Ahora la respuestaes:f no es continua en0, g no es continua en0 pero es continua por la derecha en0, y h escontinua en0.

4.2 Definición (Continuidad en un conjunto). Se dice quef es continua en un conjuntoC � A, si f es continua en todo punto deC .

No suele ser tarea fácil demostrar que una función dada es continua. Generalmente, loque se hace es descomponer la función que queremos estudiar en otras más sencillas cuyacontinuidad ya es conocida previamente. Es por ello interesante saber qué tipo de operacionesrealizadas con funciones continuas conducen a nuevas funciones continuas.

4.2.1. Propiedades básicas de las funciones continuas

4.3 Teorema.Seanf , g funciones reales definidas enA. Se verifica que:

a) Las funcionesf C g y fg son continuas en todo punto deA en el que las dos funcionesf y g sean continuas. En particular, las funciones suma y producto de funciones continuasson funciones continuas.

b) Sig.x/¤ 0 para todox 2A, la función1

ges continua en todo punto deA en el queg sea

continua. En consecuencia, la función cociente de dos funciones continuas cuyo denomina-dor no se anula nunca es una función continua.

Demostración. a) Seaa 2A un punto deA en el quef y g son continuas. Debemos probarquef C g y fg son continuas ena. Escribamos nuestras hipótesis:

8"12RC 9 ı12RC W x2A ^ jx � aj < ı1 ÷ jf .x/� f .a/j < "1 (4.2)

8"22RC 9 ı22RC W x2A ^ jx � aj < ı2 ÷ jg.x/ � g.a/j < "2 (4.3)

Naturalmente,ı1 D ı1."1/ y ı2 D ı2."2/ dependen del valor de"1 y "2. Debemos rela-cionar los númerosj.f C g/.x/ � .f C g/.a/j y j.fg/.x/� .fg/.a/j con jf .x/� f .a/j yjg.x/ � g.a/j.

Para la suma la cosa es muy sencilla.

j.f C g/.x/ � .f C g/.a/j Dˇ�f .x/� f .a/

�C�g.x/� g.a/

�ˇ6

6 jf .x/� f .a/j C jg.x/ � g.a/j(4.4)

Propiedades básicas de las funciones continuas 105

Dado" > 0, hagamos en (4.2) "1 D "2

y en (4.3) "2 D "2

y seanı1 D ı1. "2/ y ı2 D ı2. "

2/.

Pongamosı D mKınfı1; ı2g. Entonces, como consecuencia de las desigualdades (4.4), (4.2) y(4.3), se deduce quej.f C g/.x/ � .f C g/.a/j < "

2C "

2D", siempre quex2A y jx � aj < ı.

Para el producto hay que pensar un poquito más.

j.fg/.x/� .fg/.a/j Dˇf .x/

�g.x/� g.a/

�C g.a/

�f .x/� f .a/

�ˇ6

6 jf .x/j jg.x/� g.a/j C jg.a/j jf .x/� f .a/j(4.5)

La cantidadjg.a/j jf .x/� f .a/j puede controlarse fácilmente usando (4.2). Dado " > 0,hagamos en (4.2) "1 D "

2.jg.a/jC1/(la precaución de dividir porjg.a/j C 1 es porque pudiera

ocurrir queg.a/D 0), y seaı1 D ı1."1/. Tenemos que

x2A ^ jx � aj < ı1 ÷ jg.a/j jf .x/� f .a/j < jg.a/j "

2.jg.a/j C 1/<"

2

x2A ^ jx � aj < ı1 ÷ jf .x/j D jf .a/C .f .x/� f .a//j < jf .a/j C "1

(4.6)

PongamosM D jf .a/j C "1, hagamos en (4.3) "2 D "2M

y seaı2 D ı2."

2M/. Definamos

ı DmKınfı1; ı2g. Teniendo ahora en cuenta las desigualdades (4.5) y (4.6), deducimos que

x2A^jx � aj < ı÷

8<

:

jf .x/j jg.x/ � g.a/j < M"

2MD "

2

jg.a/j jf .x/� f .a/j < "

2

9>=>;÷ j.fg/.x/ � .fg/.a/j < "

La demostración del apartado b) se hace de forma parecida. 2

El teorema anterior es muy útil pero con frecuencia no se entiende bien lo que dice ose interpreta mal. Lo que dice es que la suma, producto y cociente de funciones continuas(siempre que no dividamos por 0) también es continua. De aquípuedes deducir fácilmentealgunas consecuencias.

4.4 Corolario. a) Si la suma de dos funciones es continua y una de ellas es continua, la otrafunción también es continua.

b) La suma de una función continua y otra discontinua es una función discontinua.

c) Si el producto de dos funciones es continuo y una de ellas escontinua y no se anula, la otrafunción es continua.

d) El producto de una función continua y que no se anula por otra discontinua es una funcióndiscontinua.

Hasta aquí todo bien. El problema es cuando tenemos que estudiar la continuidad de lasuma o el producto de dos funciones discontinuas. En esta situación el teorema anterior no nosdice nada. Peor aún; no puede haber ningún teorema que diga loque pasa en este caso. Larazón es que puede pasar cualquier cosa. La suma o el productode dos funciones discontinuas~puede ser unas veces continua y otras veces discontinua. Se trata de un problema que hay queestudiar en cada caso concreto y que depende de cómo sean las funciones que sumamos omultiplicamos.

Propiedades locales 106

Por ejemplo, seaf la función de Dirichlet que, como sabemos, es discontinua entodopunto. Seag una función continua cualquiera; por ejemplo, la identidadg.x/ D x para todox2R. Las funcionesgCf y g�f son discontinuas en todo punto pero su suma es la función2g que es continua. Por otra parte, el cuadrado def , esto es la funciónh.x/D f .x/f .x/D.f .x//2 D 1, es la función constante igual a 1 y, por tanto, es continua.

Teniendo en cuenta que las funciones polinómicas son sumas de productos de funcionesconstantes por potencias de la función identidad, deducimos el siguiente corolario.

4.5 Corolario. Toda función racional es continua en su dominio natural de definición.

De hecho, todas las funciones elementales que conoces son continuas en sus dominiosnaturales de definición. Esto no lo podemos probar todavía pero lo aceptaremos y lo usaremoscuando sea preciso; por ejemplo, para hacer ejercicios.

Además de sumar y multiplicar funciones, también sabemos componerlas. Veamos cómose comporta la continuidad respecto de la composición de funciones.

4.6 Teorema(Continuidad de una función compuesta). Seanf W A ! R y g W B ! R

funciones tales quef .A/ � B. Supongamos quef es continua en un puntoa2A y queg escontinua en el puntof .a/. Entonces la función compuestag ı f W A ! R es continua en elpuntoa. En particular, sig es continua enf .A/, entoncesg ı f es continua en todo punto deA en el quef sea continua. Más en particular, la composición de funciones continuas es unafunción continua.

Demostración.Dado" > 0, por la continuidad deg enf .a/, existe� > 0 tal que para todoy2B con jy � f .a/j < � se tiene quejg.y/ � g.f .a//j < ". Ahora, por la continuidad defena, existeı > 0 tal que para todox 2A con jx � aj < ı se tiene quejf .x/ � f .a/j < �.Deducimos así quejg.f .x// � g.f .a//j < " para todox 2A con jx � aj < ı. Es decir, lafunción compuestag ı f es continua ena. 2

4.2.2. Propiedades locales

Intuitivamente, la continuidad de una función en un punto depende únicamente del com-portamiento de la función en la “proximidad” de dicho punto.Esto se expresa diciendo quelacontinuidad es una propiedad local. Vamos a precisar este concepto.

4.7 Definición. Dados una funciónf WA! R y un conjunto no vacíoC � A, podemosdefinir una nueva función, llamadarestricción def a C que se representa porfjC , que es lafuncióndefinida en el conjuntoC que viene dada porfjC .x/D f .x/ para todox2C .

Dada una funciónf WA! R , se dice que una funcióng W B ! R es unaextensióndef , si B � A y f es la restricción deg al conjuntoA, es decirf .x/D g.x/ para todox2A.

Los conceptos de extensión y de restricción de una función son esencialmente el mismo:todo depende de que se mire “para arriba” o “para abajo”.

Es importante distinguir entre una función y su restriccióna un conjunto. Veamos un ejem-plo que nos permitirá introducir una función muy útil.

Propiedades locales 107

4.8 Ejemplo (Función parte entera). La función que a cada númerox 2R asignael mayorentero que es menor o igual quex se llama funciónparte entera. Dicha función se representacon la letraE y está definida para todox2R por las condiciones siguientes:

E.x/2Z y E.x/6 x < E.x/C 1:

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5

Figura 4.1. Función parte entera

No es difícil probar que esta función es discon-tinua en todos los enteros. Ahora, si considera-mos a dicha función trabajando solamente en elintervaloŒ1; 2Œ, es decir, la funciónf restriccióndeE a Œ1; 2Œ cuyo dominio es el intervaloŒ1; 2Œy que a cada punto de dicho intervalo asigna su“parte entera”,f .x/D E.x/, para1 6 x < 2;entonces la funciónf es constante pues, clara-mentef .x/D 1 para todox2 Œ1; 2Œ, luegof escontinua en todos los puntos de su dominio, enparticularf es continua en1 a pesar de que lafunción “parte entera” es discontinua en dichopunto.

�

El ejemplo anterior, y también el ejemplo de la función de Dirichlet antes visto, prueban queuna restricción de una función discontinua puede ser continua o, lo que es igual, una extensiónde una función continua puede ser discontinua. Son importantes y útiles a este respecto lossiguientes resultados fáciles de probar.

4.9 Proposición. a) Cualquier restricción de una función continua es tambiéncontinua.

b) Cualquier extensión de una función continua en unintervalo abiertoes tambiéncontinua endicho intervalo abierto.

Observa la importancia que en la afirmación b) anterior tieneel hecho de que el intervaloseaabierto. El ejemplo de la función “parte entera”, antes visto, pone de manifiesto que unaextensión de una función continua en un intervalono abiertopuede no ser continua.

De las afirmaciones anteriores se deduce el siguiente resultado.

4.10 Teorema(Teorema de localización). Una funciónf es continua en un intervalo abiertoI si, y sólo si, la restricciónfjI es continua enI .

Este resultado es bastante útil para evitarnos hacer trabajo innecesario. Por ejemplo, siqueremos estudiar la continuidad de la función parte entera, como dicha función es constanteen los intervalos de la forma�n;nC 1Œ (n2Z), el resultado anterior nos dice que dicha funciónes continua en estos intervalos. Sólo queda así estudiar lo que pasa en los enteros.

La continuidad de una función en un punto permite obtener información sobre el compor-tamiento de la función en los puntos próximos al mismo. Estosresultados se llamanlocales.

Teorema de Bolzano. Supremo e ínfimo 108

4.11 Teorema(Conservación local del signo). Seaf W A! R continua en un puntoa2A

con f .a/ ¤ 0. Entonces hay un númeror > 0 tal que para todox 2 A con jx � aj < r severifica quef .x/f .a/ > 0. Es decir,f .x/ > 0 si f .a/ > 0, o f .x/ < 0 si f .a/ < 0, en todopuntox 2�a � r; aC r Œ\A.

Demostración.Supondremos quef .a/ > 0. Podemos entonces tomar" D f .a/=2 en (4.1)para obtener, en virtud de la continuidad def en a, un r > 0 tal que para todox 2 A conjx � aj < r se verifica quejf .x/� f .a/j < f .a/=2, lo que implica quef .x/ > f .a/=2 > 0.El caso en quef .a/ < 0 se reduce al anterior sin más que sustituirf por�f . 2

4.12 Proposición(Acotación local). Seaf WA! R continua en un puntoa2A. Entonceshay números,Ma > 0, ra > 0 tales que para todox 2 A con jx � aj < ra se verifica quejf .x/j6 Ma.

Demostración. Hagamos"D 1 en (4.1) para obtener, en virtud de la continuidad def ena, unra > 0 tal que para todox2A con jx � aj < ra se verifica quejf .x/� f .a/j < 1. PongamosMa D 1C jf .a/j. Entonces, para todox 2�a � ra; aC raŒ\A tenemos que:

jf .x/j D jf .a/C .f .x/ � f .a//j6 jf .a/j C jf .x/� f .a/j < 1C jf .a/j DMa

2

4.3. Teorema de Bolzano. Supremo e ínfimo

Si ahora mides 175cm y hace 10 años medías 135cm, es seguro queen algún momentointermedio medías con exactitud 161cm. Si una entrada de cine cuesta 5e y hace 3 años costaba4e, es seguro que en algún momento ir al cine costaba exactamente 4�99e. ¿Seguro? No, aningún empresario de cine le parecería bien cobrar 4�99e por la entrada.

La diferencia está en que la talla de una persona es una función continua del tiempo y parapasar de 135cm a 175cm tiene que pasar por todos los valores intermedios, pero el precio delas entradas de cine no varía de forma continua con el tiempo ypuede pasar “de golpe” de 4�5ea 5e.

La gráfica de una función continua en un intervalo,f W Œa; b� ! R , la imaginamos comouna curva continua, por ello, sif .a/ < 0 < f .b/, la gráfica def tiene que atravesar el eje deabscisas para pasar de un punto situado por debajo de él a otroque se encuentra por encima y,por tanto,f tiene queanularse en algún punto entrea y b. Esto es precisamente lo que afirmael conocidoteoremaque sigue.

4.13 Teorema(Teorema de los ceros de Bolzano). Toda función continua en un intervalo quetoma valores positivos y negativos se anula en algún punto dedicho intervalo.

Lo primero que llama la atención en este teorema es suevidencia. No está de más a este res-pecto recordar que, como decía Bertrand Russell, “en matemáticas, la evidencia es enemiga de

La propiedad del supremo 109

la corrección”. Precisamente, el mérito deBernard Bolzano(1781-1848) está en haber llamadola atención sobre la necesidad dedemostrarmuchas proposiciones, aparentemente evidentes,que se refieren a las funciones continuas. Podemos añadir, además, que suele ser particular-mente difícil demostrar matemáticamente lo que nuestra intuición presenta como evidente; dehecho,con las herramientas que tenemos hasta ahora no podemos demostrar el teorema.

La función f .x/Dx2�2 es continua yf .0/ < 0 < f .2/, el teorema de Bolzano aseguraque existe un número positivo en el quef se anula. En otras palabras, el teorema pruebalaexistenciadel número

p2 y, como dicho número no es racional, deducimos que para probar

el teorema se precisa usar alguna propiedad que NO tienen losnúmeros racionales. Pero todaslas propiedades de los números reales que enunciamos en el Capítulo 1 las tienen tambiénlos números racionales. Concluimos que los números reales deberán tener otra propiedad quetodavía no hemos considerado.

4.3.1. La propiedad del supremo

Comentamos en el Capítulo 1 que no debemos preocuparnos mucho por lo que seaelnúmero

p2, pero al menos deberíamos de tener alguna forma deprobar su existencia; es decir,

de las propiedades de los números reales se debería poder deducir que hay un número cuyocuadrado es igual a 2. ¿Qué sabemos de

p2? No es racional, pero podemos aproximarlo por

racionales. Con una calculadora obtenemos sucesivas aproximaciones racionales dep

2 pordefecto:

1�41, 1�414, 1�4142, 1�41421, 1�414213,. . .

Es claro quep

2 debe ser elmenor número mayor que todas ellas. Pues bien, justamentenecesitamos una propiedad que garantice la existencia de ese “menor número mayor que”. Nosvendrá bien introducir alguna terminología nueva.

4.14 Definición. SeaE un conjunto no vacío de números reales. Un númeroz2R se dice quees unmayorante o cota superior(resp.minorante o cota inferior) deE si x6z (resp.z6x)para todox2E.

Si hay algún elemento deE que también sea mayorante (resp. minorante) deE, dicho ele-mento es necesariamente único y se llamamáximo (resp.mínimo) deE y lo representaremospor mKax.E/ (resp. mKın.E/ ).

Un conjunto que tiene algún mayorante (resp. minorante) se dice que estámayorado oacotado superiormente(resp.minorado o acotado inferiormente). Un conjunto que estámayorado y minorado se dice que estáacotado.

Está claro que un conjunto puede no tener mínimo ni máximo. Los problemas de “optimi-zación” consisten, justamente, en estudiar condiciones que garanticen la existencia de valoresmáximos y mínimos para funciones de diversas clases. La siguiente propiedad garantiza queciertos conjuntosde números reales tienen mínimo.

P8 Propiedad del supremo.Para todo conjunto de números reales no vacío y mayorado severifica que el conjunto de sus mayorantes tiene mínimo.

4.15 Definición.Dado un conjuntoE�R, no vacío y mayorado, se llamasupremo o extremosuperior deE, al mínimo mayorante deE y lo notaremos por sup.E/.



http://es.wikipedia.org/wiki/Bernard_Bolzano

Propiedad de extremo inferior 110

Con esta terminología lo que dice la propiedadP8es que todo conjunto de números realesno vacío y mayorado tiene supremo (pero nótese que el supremono tiene por qué pertenecer alconjunto).

4.3.2. Propiedad de extremo inferior

A partir de la propiedad del supremo, se prueba con facilidadel siguiente resultado.

4.16 Proposición(Propiedad del ínfimo). Para todo conjunto de números reales no vacío yminorado se verifica que el conjunto de sus minorantes tiene máximo.

Demostración. SeaE�R, un conjunto no vacío y minorado. DefinamosA D f�x W x2Eg.El conjuntoA es no vacío y mayorado (pues siz es un minorante deE entonces�z es mayo-rante deA). La propiedad del supremo nos dice que hay un número realc que es el mínimomayorante deA. Comprobemos que�c es el máximo minorante deE. Para todox 2 E setiene que�x 2A y comoc es un mayorante deA, tenemos que�x 6 c, esto es,�c 6 x. Portanto�c es un minorante deE. Veamos que es el máximo minorante, y para ello probaremosque ningún número mayor que�c es minorante deE. Sea, pues,u > �c. Entonces�u < c y,comoc es el mínimo mayorante deA, se sigue que�u no puede ser mayorante deA, esto es,tiene que haber algún elementox 2A tal que�u < x. Pero entonces tenemos que�x < u y,como�x2E, concluimos queu no es minorante deE. 2

4.17 Definición. Dado un conjuntoE �R, no vacío y minorado, se llamaínfimo o extremoinferior deE, al máximo minorante deE y lo notaremos porKınf.E/.

Con esta terminología lo que dice la propiedad del ínfimo es que todo conjunto de númerosreales no vacío y minorado tiene ínfimo (pero nótese que el ínfimo no tiene por qué perteneceral conjunto).

4.18 Estrategia. Para probar desigualdades en las que intervienen supremos oínfimos lassiguientes observaciones, aunque evidentes, pueden ser útiles. SeaC � R un conjunto novacío.

a) Si queremos probar que un número realx verifica que sup.C / 6 x, lo que tenemos quehacer es probar quex es un mayorante deC .

b) Si queremos probar que un número realx verifica quex 6 Kınf.C /, lo que tenemos quehacer es probar quex es un minorante deC .

SeaC un conjunto no vacío y acotado de números reales. Pongamos˛DKınf.C /,ˇDsup.C /.Los siguientes razonamientos son de uso constante:

a) Si un número realx verifica quex < ˇ entoncesx no puede ser mayorante deC (porqueˇ es el mínimo mayorante deC ), por tanto tiene que haber algúnz2C tal quex < z.

b) Si un número realx verifica quex > ˛ entoncesx no puede ser minorante deC (porque˛ es el máximo minorante deC ), por tanto tiene que haber algúnu2C tal queu < x.

Propiedad de extremo inferior 111

La propiedad del supremo es lo que distingue a los números reales de los racionales. Dichapropiedad se usa para probar la existencia de números realesque cumplen alguna determinadacondición. La demostración del teorema de Bolzano es un ejemplo importante de ello.

Demostración del teorema de los ceros de Bolzano

Es suficiente probar que sif W Œa; b� ! R es continua yf .a/ < 0 < f .b/, entoncesf seanula en algún punto del intervalo�a; bŒ . Una buena estrategia para demostrar un teorema es“darlo por demostrado” ytrabajar hacia atrás. Tenemos que buscar un puntoc 2�a; bŒ tal quef .c/ D 0. Por supuesto, puede haber muchos puntos dondef se anule (el teorema dice queal menos hay uno), pero de todos ellos el más fácil de caracterizar es el “primero”, porque ala izquierda de él la función es siempre negativa. Esto llevaa considerar el conjuntoE de lospuntosx2 Œa; b� tales quef toma valores negativos enŒa;x�:

E D fx2 Œa; b� W f .t/ < 0 para todot 2 Œa;x�g

Por su definición, tenemos queE � Œa; b� y a 2 E. La propiedad del supremo nos dice quehay un número real,c, que es el supremo deE. Es evidente quea 6 c 6 b. La propiedad deconservación local del signo implica que existe algúnı > 0 tal quea C ı < b � ı y f esnegativa en todos los puntos del intervaloŒa; aC ı� y positiva en todos los puntos del intervaloŒb � ı; b�. Esto implica quea < c < b.

Veamos queŒa; cŒ� E. Seaa < x0 < c. Comox0 < c y c es el mínimo mayorante deE, tiene que existir algún puntoz0 2E tal quex0 < z0 6 c. Por tanto, sit 2 Œa;x0� tambiént 2 Œa; z0� y, como,z0 2E, seráf .t/ < 0, luegox0 2E. Nótese que hemos probado tambiénquef .x/ < 0 para todox2 Œa; cŒ.

Finalmente, probaremos quef .c/D 0. Como a la izquierda dec la funciónf toma valoresnegativos yf es continua, deducimos queno puede serf .c/ > 0 y, por tanto,f .c/6 0. Perotampoco puede serf .c/ < 0, pues entonces, por la conservación local del signo, habríaunintervalo de la formaŒc � �; c C �� Œa; b� tal quef .t/ < 0 para todot 2 Œc � �; c C �� loque implica que enE hay puntos mayores quec lo que es contradictorio. Concluimos así quef .c/D 0. 2

Observa que la demostración que hemos dado no nos dice cómo calcular un punto en elque la función se anule. Es una demostración de “existencia”. Veremos más adelante otra de-mostración, algo más constructiva, en la que se basa un algoritmo bastante eficaz para calcularde forma aproximada raíces de ecuaciones.

Un enunciadoequivalentedel teorema de Bolzano es el siguiente.

4.19 Teorema(Teorema del valor intermedio). La imagen de un intervalo por una funcióncontinua es un intervalo.

Demostración. Supongamos queI es un intervalo yf W I ! R es una función continua enI .Queremos probar que la imagen def , esto es, el conjuntoJ D f .I / es un intervalo. Teniendoen cuenta la definición de intervalo (2.10), deberemos probar que si dos números están enJ ,todos los números comprendidos entre ellos también se quedan dentro deJ . Sean pues,u; v

Consecuencias del teorema de Bolzano 112

elementos deJ con u < v. Debe haber elementos; ˇ en I tales quef .˛/ D u, f .ˇ/ D v.Comof es una función, debe ser˛ ¤ ˇ; podemos suponer que< ˇ. Seaz 2�u; vŒ, esto es,u < z < v. Definamos la funciónh W I ! R dada porh.x/ D z � f .x/ para todox 2 I .Comof es continua,h es continua enI . Tenemos queh.˛/ D z � f .˛/ D z � u > 0 yh.ˇ/ D z � f .ˇ/ D z � v < 0. ComoI es un intervalo, tenemos queŒ˛; ˇ� � I . Podemos,pues, aplicar el teorema antes demostrado a la funciónh en el intervaloŒ˛; ˇ� y obtenemos quetiene que haber algún punto� 2�˛; ˇŒ tal queh.�/ D z � f .�/ D 0. Hemos probado así quef .�/D z. Como�2 Œ˛; ˇ� � I , concluimos quez2J D f .I /. Como esto es cierto cualquierasea el puntoz 2�u; vŒ, concluimos queŒu; v� � J y, en consecuencia,J es un intervalo.

Recíprocamente, si suponemos que la imagen de un intervalo por una función continua esun intervalo, yf WI ! R es una función continua en un intervaloI que toma valores positivosy negativos, entoncesJ D f .I / es un intervalo en el que hay números negativos y positivos,luego debe contener al0, es decirf tiene que anularse en algún punto deI . 2

Observa que el teorema del valor intermedio dice que una función continua en un intervalotomatodos los valores comprendidos entre dos cualesquiera de sus valores. Bueno, eso es loque nos dice la intuición ¿verdad?

4.20 Estrategia. El teorema de Bolzano proporciona una herramienta útil paraprobar queciertas ecuaciones tienen solución. Consideremos el siguiente problema. Se trata de probar quehay un número realc tal quef .c/Dg.c/ o, dicho de otra forma, que la ecuaciónf .x/Dg.x/

tiene soluciones. La forma de proceder para aplicar el teorema de Bolzano es la siguiente.

� Se pasan todos los términos de la ecuación a un lado y se defineh.x/D f .x/ � g.x/.

� Se comprueba que la funciónh es continua y está definida en un intervaloI . Unas vecesel intervalo dondeh está definida debemos elegirlo nosotros de forma adecuada, yotrasveces viene impuesto por el enunciado del ejercicio.

� Se comprueba que hay puntos enI donde la funciónh es negativa y otros en los queh

es positiva. Se concluye, por el teorema de Bolzano, queh debe anularse en algún puntodeI , que es lo que queríamos probar.

4.3.3. Consecuencias del teorema de Bolzano

Hay consecuencias de este teorema que están lejos de ser evidentes. Algunas de ellas estánexpuestas en el excelente libro de R. Courant y H. Robbins¿Qué es la Matemática?([17]). Porejemplo, en dicho libro se demuestra, usando como herramienta básica el teorema de Bolzano,que, dadas dos regiones acotadas del plano, siempre existe una recta que divide simultánea-mente a cada una de ellas en dos partes con igual área. Este resultado se puede generalizar.Puede probarse, con la ayuda del teorema de Bolzano, que si tenemos tres sólidos en el espacio(imagina que son tres bocadillos de muy distintos tamaños),es siempre posible encontrar unplano que los divida simultáneamente en dos partes de igual volumen (puedes cortar a los tresbocadillos exactamente “por la mitad” de un sólo tajo). Nosotros aquí nos conformaremos conobtener algunas consecuencias menos vistosas pero muy útiles.

4.21 Corolario (Existencia de raíces). Dadosa > 0 y k 2N hay un único númeroc > 0 talqueck D a.

Demostración. La funciónf WRCo ! R dada porf .x/Dxk�a, es continua yf .0/D�a < 0,

f .1Ca/D .1Ca/k �a > 0. Deducimos que hay algún númeroc > 0 tal quef .c/D0. Dichonúmero es único porque la funciónf es estrictamente creciente. 2

4.22 Corolario (Ceros de polinomios de grado impar). Toda función polinómica de gradoimpar se anula en algún punto.

Demostración. Sea

P .x/D c0 C c1x C c2x2 C � � � C cn�1xn�1 C cnxn

una función polinómica de grado imparn>3. Nuestro objetivo es probar queP .x/ toma valorespositivos y negativos. Podemos suponer quecn > 0. Supongamos en lo que sigue quejxj> 1.Dividiendo porxn tenemos que

P .x/

xnD c0

xnC c1

xn�1C c2

xn�2C � � � C cn�1

xC cn (4.7)

Para0 6 k 6 n� 1, tenemos, por serjxj> 1 y n� k > 1, que:

jck jjxjn�k

6jck jjxj

Por otra partejck jjxj 6

cn

2n”jxj> jck j

cn2n

Definamos

M DmKax

� jck jcn

2n W k D 0; 1; 2 : : : ;n � 1

�; K DmKaxfM; 1g

Parajxj> K y parak D 0; 1; 2; : : : ;n � 1, tenemos que:

ck

xn�k> � jck jjxjn�k

> �jckjjxj >� cn

2n

Deducimos que parajxj> K es:

P .x/

xn>�.n � 1/

cn

2nC cn > �

cn

2C cn D

cn

2> 0 (4.8)

Ahora six < �K, se tiene por sern impar quexn < 0, y la desigualdad anterior implica queP .x/ < 0. Análogamente, six > k debe serP .x/ > 0.

Hemos probado queP .x/ toma valores positivos y negativos, como es una función continuay está definida en un intervalo,R, concluimos que debe anularse en algún punto. 2

4.3.3.1. Continuidad y monotonía

Hemos visto que la imagen de un intervalo por una función continua es un intervalo. Pode-mos preguntarnos si esta propiedad caracteriza la continuidad. En general, la respuesta es queno. Es fácil dar ejemplos de funciones discontinuas en un intervalo cuya imagen es un intervalopero estas funciones no pueden ser monótonas. Es fácil entender que si una función monóto-na es discontinua es porque su gráfica “da saltos”, es decir, su imagenno es un intervalo. Elsiguiente resultado deja claro este punto.

4.23 Teorema.Una función monótona en un intervalo1 cuya imagen es un intervalo es conti-nua.

Demostración. Seaf W I ! R una función creciente en un intervaloI cuya imagenJDf .I /es un intervalo. Queremos probar quef es continua. Seaa2 I y supongamos quea no es unpunto extremo deI , esto es, que los conjuntos

I�a D fx2I W x < ag ; IC

a D fx2I W x > ag

no son vacíos. Para demostrar quef es continua ena, probaremos que

supf .I�a /D supff .x/ W x2I;x < ag D f .a/D Kınf ff .x/ W x2I;x > ag D Kınf f .IC

a /

Probemos quef .a/ D supf .I�a /. Pongamos D supf .I�

a /. Para todox 2 I�a tenemos que

x < a y, comof es creciente,f .x/6 f .a/. Luegof .a/ es un mayorante del conjuntof .I�a /

y, en consecuencia, debe ser˛ 6 f .a/. Veamos que no puede ocurrir que˛ < f .a/. Paraello supondremos que < f .a/ y llegaremos a una contradicción. Tomemos un elementocualquieraz 2�˛; f .a/Œ. Seau 2 I�

a . Entoncesf .u/ 6 ˛ < z < f .a/. Comof .u/ y f .a/están enJ D f .I / y J es, por hipótesis, un intervalo, deducimos quez2J , esto es,z D f .s/para algúns 2I . No puede sers D a y, comof es creciente yz < f .a/, debe verificarse ques < a, esto es,s 2 I�

a en cuyo caso debe serf .s/ 6 ˛, es decir,z 6 ˛ lo cual es claramentecontradictorio pues < z.

Análogamente se prueba quef .a/D ˇ D Kınf f .ICa /.

Sea ahora" > 0. Tiene que haber elementosu 2 I�a y v 2 IC

a tales que � " < f .u/ yf .v/ < ˇ C ", es decir

f .a/ � " < f .u/6 f .v/ < f .a/C ":

Definamosı DmKınfa � u; v � ag > 0. Entonces para todox2I verificando quejx � aj < ı

se tiene quex 2�a � ı; a C ıŒ��u; vŒ y, por tanto,f .u/ 6 f .x/ 6 f .v/ lo que implica quef .a/ � " < f .x/ < f .a/C ", esto es,jf .x/ � f .a/j < ".

Los casos en quea es un posible extremo deI se hacen de forma análoga. 2

4.24 Corolario. Una función monótona definida en un intervalo es continua si,y sólo si, suimagen es un intervalo.

1No es necesario suponer que la función está definida en un intervalo, de hecho en la demostración no se usaesta hipótesis. El enunciado que damos es para facilitar su visualización.

4.25 Corolario. La función inversa de una función estrictamente monótona definida en unintervalo es continua.

Demostración. Seaf W I ! R una función estrictamente monótona definida en un intervaloI . Comof es inyectiva enI su inversa,f �1, está definida en el conjunto imagenJ D f .I /y, claramente,f �1.J / D I . Como la inversa de una función estrictamente monótonaf estambién estrictamente monótona (y del mismo tipo quef ) e I es, por hipótesis, un intervalo,el teorema anterior, aplicado af �1, nos dice quef �1 es continua enJ 2. 2

Considera una función inyectiva y continua en un intervalo eintenta dibujar su gráfica;comprobarás que la función no puede “subir y bajar” porque ental caso se pierde la inyecti-vidad, por tanto, o bien “siempre sube” y es estrictamente creciente, o bien “siempre baja” yes estrictamente decreciente. Eso es lo que afirma el siguiente resultado, que será usado másadelante para obtener una importante propiedad de las funciones con derivada distinta de cero.

4.26 Teorema.Toda función inyectiva y continua en un intervalo es estrictamente monótona.

Demostración. 3 Seaf W I ! R continua e inyectiva en el intervaloI . Seana0 < b0 dospuntos deI . Comof es inyectiva debe serf .a0/¤f .b0/. Por tanto, o bienf .b0/�f .a0/ > 0,o bienf .b0/ � f .a0/ < 0. Supongamos que esf .b0/ � f .a0/ > 0 y demostremos quef esestrictamente creciente enI . Para ello seana1 < b1 puntos deI . Pongamos

x.t/D .1� t/a0 C ta1

y.t/D .1� t/b0 C tb1

�para 0 6 t 6 1

Tenemos quex.0/Da0, x.1/Da1, y.0/Db0, y.1/Db1. Además, poniendoDmKınfa0; a1gy ˇ DmKaxfa0; a1g, se tiene que:

˛ D .1� t/˛ C t˛ 6 x.t/6 .1 � t/ˇ C tˇ D ˇ

ComoI es un intervalo y ; ˇ 2 I , se verifica queŒ˛; ˇ� � I , por lo quex.t/ 2 I . Análoga-mente, se tiene quey.t/2 I . Además, comoa0 < b0 y a1 < b1, se verifica quex.t/ < y.t/

para0 6 t 6 1. Consideremos la función:

g.t/D f .y.t// � f .x.t// 0 6 t 6 1

La función g es continua enŒ0; 1� por ser composición y diferencia de funciones continuas.Comof es inyectiva yx.t/ < y.t/, se tiene queg.t/ ¤ 0 para todot 2 Œ0; 1�. El teorema deBolzano implica queg debe tener signo constante enŒ0; 1� y, comog.0/ > 0, concluimos queg.t/ > 0 para todot 2 Œ0; 1�. Por tantog.1/D f .b1/ � f .a1/ > 0. Hemos probado así quefes estrictamente creciente.

Análogamente, si se supone que esf .b0/�f .a0/ < 0 se demuestra quef es estrictamentedecreciente enI . 2

2Este resultado es cierto tal como está enunciado, sin necesidad de suponer que la función es continua.3Esta elegante demostración está tomada del libro de M. Spivak [16].

115. a) Da un ejemplo de una función continua cuya imagen no sea un intervalo.

b) Da un ejemplo de una función definida en un intervalo cuya imagen sea un intervaloy que no sea continua.

c) Da un ejemplo de una función continua en todoR, no constante y cuya imagen seaun conjunto (obligatoriamente un intervalo) acotado.

d) Da un ejemplo de una función continua enŒ0; 1Œ tal quef .Œ0; 1Œ/ no sea acotado.

e) Da un ejemplo de una función continua definida en un intervalo abierto acotado ycuya imagen sea un intervalo cerrado y acotado.

116. Prueba que sif WA! R es continua ena entonces también lo esjf j. Da un ejemplode función discontinua cuyo valor absoluto es continua.

117. Representamos porE.x/ la parte entera dex (4.8). Haz un esquema de las gráficas delas siguientes funciones y estudia su continuidad.

a) f .x/D x �E.x/

b) f .x/DE.1=x/

118. Estudia la continuidad de la funciónf WR! R dada porf .x/DE.x2/.

119. Estudia la continuidad de la funciónf WR! R, definida porf .x/DxE.1=x/ si x¤0,f .0/D 1.

120. Estudia la continuidad de la funciónf WR! R dada porf .x/D x sen.1=x/ si x¤ 0

y f .0/D 0.

121. Estudia la continuidad de la funciónf W Œ0; 4�! R dada porf .1/D 1=4 y:

f .x/D

8<

:

jx � 1j.x2 � 1/E.1C x/

si x2 Œ0; 1Œ[�1; 2�

E.x/ � 7=4 si x 2�2; 4�

122. Estudia la continuidad de la funciónf W Œ0; 1�! R dada por:

f .x/D�

0 si x D 0 o x es irracional1=q si x D p=q (fracción irreducible)

123. Seaf W Œa; b�! R continua. Supongamos quea6f .x/6b para todox enŒa; b�. Pruebaque hay algún puntoc2 Œa; b� tal quef .c/D c.

124. Seaa > 1. Prueba que la ecuaciónx C e�xDa tiene al menos una solución positiva yotra negativa.

125. Prueba que la ecuaciónx C exCarc tgx D 0 tiene una sola raíz real. Da un intervalode longitud uno en el que se encuentre dicha raíz.

126. Prueba que hay un número realx > 0 tal que logx Cpx D 0.


127. Suponiendo que la temperatura varía de forma continua, prueba que siempre hay dospuntos antípodas en el ecuador terrestre que están a la mismatemperatura.

128. Seaf W Œa; b�! R continua conf .a/Df .b/. Dadon2N, n>2, prueba que hay algúnpuntoc2 Œa; b � .b � a/=n� tal quef .c/D f .c C .b � a/=n/.

129. Un corredor recorre6 kilómetros en30 minutos. Demuestra que en algún momento desu carrera recorre1 kilómetro en exactamente5 minutos.

130. Un reloj averiado marca inicialmente un tiempot 0. El reloj puede adelantar o atrasar, pe-ro cuenta con exactitud períodos de12 horas, es decir, pasadas12 horas el reloj marca untiempot 0 C 12 horas. Demuestra que en algún momento dicho reloj mide con exactituduna hora.

131. Un automovilista sale de Granada hacia Madrid un sábado a las8h de la mañana y eldomingo inicia el regreso a la misma hora. Sabiendo que invirtió igual tiempo en ambosviajes, pruébese que en algún momento del domingo el automovilista se encuentra a igualdistancia de Granada que a la que se encontraba el sábado en ese mismo momento.

132. Seanf;g funciones continuas que no se anulan en un intervaloI , verificando que.f .x//2 D .g.x//2 para todox 2 I . Prueba que o bienf .x/ D g.x/ para todox 2 I ,o bienf .x/D�g.x/ para todox 2I . ¿Cuántas funciones hay' WR! R continuas yverificando que.'.x//2 D x2 para todox2R?.

133. Demuestra el apartado b) del teorema (4.3).

134. Justifica las afirmaciones del corolario (4.4).

135. Seaf WR! R continua y decreciente. Prueba que hay un únicoa2R verificando quef .a/D a.

136. Seaf WR! R continua y tal quef .x/�.f ı f /.x/

�D 1 para todox 2R. Sabiendo

quef .1000/D 999, calculaf .500/.

137. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación sinx D 2x

101�?

138. SeaE un conjunto no vacío de números reales acotado.

a) Describe el conjunto de todos los mayorantes deE.

b) Describe el conjunto de todos los minorantes deE.

139. a) Prueba que sup.E/2E si, y sólo si,E tiene máximo, en tal caso mKax.E/Dsup.E/.

b) Prueba queKınf.E/2E si, y sólo si,E tiene mínimo, en tal caso mKın.E/D Kınf.E/.

140. SeanA;B conjuntos no vacíos de números reales. Supongamos quea 6 b para todoa2A y para todob2B. Prueba que supA 6 Kınf B.

141. SeanA, B, conjuntos no vacíos y acotados de números reales. Justificalas siguientesafirmaciones:

a) SiA � B entonces sup.A/6 sup.B/ e Kınf.A/> Kınf.B/.



b) sup.A [ B/DmKaxfsup.A/; sup.B/g.

142. SeanA, B, conjuntos no vacíos y acotados de números reales. Definamos

A � B D fa � b W a2A; b2BgI AB D fab W a2A; b2Bg

Prueba que sup.A � B/D supA � Kınf B y, supuesto queA � RC y B � RC, pruebaque sup.AB/D supA supB.

143. Usando solamente la definición de intervalo (2.10), y las propiedades del supremo eínfimo, describe todos los posibles tipos de intervalo.

144. SeaA un conjunto no vacío de números reales. Para cadax2R definamos la “distanciade x a A” por dist.x;A/ D Kınffjx � aj W a 2 Ag. Prueba que para todosx;y 2R severifica que:

jdist.x;A/ � dist.y;A/j6 jx � yjDeduce que la aplicaciónx 7! dist.x;A/ es continua.

145. Seaf WR! R continua, mayorada y tal que para todosa; b2R cona < b, se verificaque supf .�a; bŒ/D supf .R/. Prueba quef es constante.

146. Sea f W Œa; b�! R una función continua tal quef .a/ < 0, f .b/ < 0 y f .c/ > 0

para algúnc 2�a; bŒ. Prueba que hay dos númerosu, v verificando quea 0 para todox 2�u; vŒ.

147. Seaf W Œa; b�! R creciente. Supongamos quea6f .x/6b para todox enŒa; b�. Pruebaque hay algún puntoc 2 Œa; b� tal quef .c/D c.

Sugerencia. Considera el supremo del conjuntofx 2 Œa; b� W x 6 f .x/g. Fíjate que nosuponemos quef sea continua.

148. Justifica que, dadox 2 R, la ecuación logt C t5 D x tiene una única solución, querepresentamos por'.x/. Justifica que la funciónx 7! '.x/, .x 2 R/, así definida escontinua.

149. Prueba que la funciónf W� � 1; 1Œ! R definida porf .x/D ln

r1C x

1 � x

!es biyectiva.

Calculaf �1 y comprueba que es una función continua.

150. Seaf W Œ0; 1�! R continua verificando quejf .s/�f .t/j>js�t j para todoss; t 2 Œ0; 1�,y f .f0; 1g/ D f0; 1g. Prueba que o bien esf .x/ D x para todox 2 Œ0; 1�, o bien esf .x/D 1 � x para todox2 Œ0; 1�.

151. SeanAD fx2Q W x 6 0 o x2 < 2g; B D fx2Q W x > 0 y x2 > 2g:

Prueba queA¤Ø, B ¤Ø, QD A [ B y a < b para todosa2A; b2B. Además:

a) Para cadar 2A hay algúns2A tal quer < s.

b) Para cadau2B hay algúnt 2B tal quet < u.

c) No hay ningúnz 2Q con la propiedad de que todo número racional menor quez

esté enA y todo número racional mayor quez esté enB.

152. SeanAD fx2R W x 6 0 o x2 < 2g; B D fx2R W x > 0 y x2 > 2g:

Prueba queA¤Ø, B ¤ Ø, RD A [ B y a < b para todosa2A y b 2B. Seaz 2R elextremo superior deA. Prueba quez2 D 2, AD� �1; zŒ, B D Œz;C1Œ.



Ejercicio resuelto 50 a) Da un ejemplo de una función continua cuya imagen no sea unintervalo.

b) Da un ejemplo de una función definida en un intervalo cuya imagen sea un intervaloy que no sea continua.

c) Da un ejemplo de una función continua en todoR, no constante y cuya imagen seaun conjunto (obligatoriamente un intervalo) acotado.

d) Da un ejemplo de una función continua enŒ0; 1Œ tal quef .Œ0; 1Œ/ no sea acotado.

e) Da un ejemplo de una función continua definida en un intervalo abierto acotado ycuya imagen sea un intervalo cerrado y acotado.

Solución.a) Una función continua cuya imagen no sea un intervalono puede estar de-finida en un intervalo. Una vez que caes en este detalle, se te deben de ocurrir muchosejemplos. Como la funciónf W�0; 1Œ[�2; 3Œ! R dada porf .x/ D 1 parax 2�0; 1Œ yf .x/D 2 parax 2�2; 3Œ. Es claro quef es continua (usa, si quieres el teorema de loca-lización para justificarlo en media línea) y su imagen es el conjunto f1; 2g que no es unintervalo.

b) Aquí debes tener en cuenta que, por el teorema (4.23), la función que buscas no puedeser monótona. Una vez que caes en este detalle, se te deben de ocurrir muchos ejemplos.Como la funciónf W Œ0; 2�! R dada porf .x/D 2x parax 2 Œ0; 1�, f .x/D x=2 parax2�1; 2�. Claramentef es discontinua enx D 1, pero su imagen es el intervaloŒ0; 2�.

c) Esto es muy fácil. Por ejemplo, la funciónf .x/D 1

1C x2. Claramente,f .R/D�0; 1�.

d) Esto es muy fácil. Por ejemplo,f .x/ D 1

1 � x, x 2 Œ0; 1Œ. Claramente,f .Œ0; 1Œ/ D

Œ1;C1Œ.e) Por ejemplo, la restricción de la función seno al intervalo � � �;�Œ. Si quieres otroejemplo más elemental, puedes modificar de forma apropiada el ejemplo del punto b).

Ejercicio resuelto 51 Prueba que sif WA! R es continua ena entonces también lo esjf j. Da un ejemplo de función discontinua cuyo valor absoluto escontinua.

Demostración. Todo lo que se necesita es la desigualdadˇjuj�jvj

ˇ6 ju�vj. En nuestro

caso tenemos: ˇjf .x/j � jf .a/j

ˇ6 jf .x/ � f .a/j

Supuesto quef es continua ena, dado" > 0, existeı > 0 tal que sijx � aj < ı

y x 2 A entoncesjf .x/ � f .a/j < " lo que, por la desigualdad anterior, implica queˇjf .x/j � jf .a/j

ˇ< " y, por tanto,jf j es continua ena.

La función dada porf .x/D 1 si x > 0 y f .x/D �1 si x < 0 , es discontinua en0perojf j es continua en0. ©

Ejercicio resuelto 52 Estudia la continuidad de la funciónf WR! R dada por f .x/ DE.x2/.

Demostración. Claramentef D E ı ' donde'.x/D x2. Puesto que' es continua entodo punto y la función parte entera es continua enR n Z, deducimos por el teoremade composición de funciones continuas, quef es continua en todo puntoa2R tal que'.a/D a2 62 Z. Es decir,f es continua enR nB dondeBD fpn W n2Ng [ f�pn W n2Ng [ f0g. Los puntos deB requieren un estudio particular pues,a priori, no podemosasegurar quef sea discontinua en ellos.

Empecemos estudiando la posible continuidad def en0. Es claro que para�1 < x < 1

tenemos que0 6 x2 < 1 por lo quef .x/D 0 para todox2� � 1; 1Œ. Es decir, la funciónfj��1;1Œ ( restricción def al intervalo � � 1; 1Œ) es la función constante igual a0 y portantofj��1;1Œ es continua. Como el intervalo��1; 1Œ es abiertodeducimos,por el teoremade localizaciónquef es continua en� � 1; 1Œ y, en particular,f es continua en0.

Consideremos ahora un punto de la formap

q dondeq 2N (fijo en lo que sigue). Paratodox 2�

pq � 1;

pq Œ se tiene queq�1 < x2 < q por lo quef .x/Dq�1. Cualquiera

seaı > 0, hay puntos

x2�pq � ı;pq C ıŒ\�p

q � 1;p

q Œ

para los quejf .pq/�f .x/jD jq� .q� 1/jD 1, por lo que tomando"0 < 1 deducimosquef no es continua en

pq.

De forma análoga se prueba quef es discontinua en los puntos de la forma�pq dondeq2N. ©

Ejercicio resuelto 53 Estudia la continuidad de la funciónf WR! R, definida porf .x/DxE.1=x/ si x ¤ 0, f .0/D 1.

Solución.El teorema de localización puede usarse en este tipo de ejercicios. En nuestrocaso, es evidente que parax > 1 esf .x/D0, y parax < �1 esf .x/D�x. Por tanto larestriccióndef a los intervalos�1;C1Œ y ��1;�1Œ es continua y, como estos intervalosson abiertos, deducimos por el teorema de localización quef es continua en dichosintervalos. De forma parecida podemos razonar con un intervalo del tipo�1=.nC1/; 1=nŒ

donden2N pues, parax 2�1=.nC 1/; 1=nŒ se tiene quef .x/D nx, luego la restriccióndef a dicho intervalo es continua y, por tratarse de un intervaloabierto, deducimos quef es continua en�1=.n C 1/; 1=nŒ. Análogamente se razona con un intervalo del tipo� � 1=n;�1=.n C 1/Œ. El teorema de localización no nos dice qué pasa en los puntosextremos de los intervalos considerados, es decir, en los puntos de la forma1=n donden2Z�, y tampoco en0.

Estudiemos qué ocurre en un punto de la forma1=p dondep > 2 es un entero (fijo enlo que sigue). Tenemos quef .1=p/ D 1. Para todox 2�1=.p � 1/; 1=pŒ se tiene quep � 1 < 1=x < p, por lo queE.1=x/D p � 1 y f .x/D .p � 1/x, y por tanto

f .1=p/ � f .x/D 1 � .p � 1/x > 1 � .p � 1/=p D 1=p:

En consecuencia, dado"0D1=2p, cualquiera seaı > 0 hay puntosx 2�1=.p�1/; 1=pŒ

cuya distancia al punto1=p es menor queı, para los cualesno se verificala desigualdadjf .1=p/� f .x/j < "0. Concluimos quef es discontinua en1=p. De forma parecida seprueba quef es discontinua en los puntos de la forma1=q dondeq 6 �2 es un entero.Igualmente se prueba quef es discontinua en los puntos1 y �1.

Queda por ver qué pasa en0. Si dibujamos con paciencia (con lápiz y regla) la gráfica def obtenemos la figura4.2(los segmentos verticales indican discontinuidades de salto):

1

O-1-2 1

Figura 4.2. La funciónxE.1=x/

Parecequef es continua en0. Paraprobarlo hay que probar quejf .x/ � f .0/j es tanpequeño como queramos (< ") siempre quejx � 0j D jxj sea suficientemente pequeño(< ı). Lo usual en estos casos estrabajar para atrás. Empezamosacotandof .x/ � 1.Recordemos que

E.1=x/6 1=x 6 E.1=x/C 1 (4.9)

Si x > 0 podemos multiplicar porx dicha desigualdad para obtener que

xE.1=x/6 1 6 xE.1=x/C x:

Resulta así que parax > 0 es:

0 6 1� xE.1=x/D f .0/ � f .x/6 x (4.10)

Si x < 0 podemos multiplicar porx la desigualdad (4.9) para obtener que

xE.1=x/> 1 > xE.1=x/C x:

Resulta así que parax < 0 es:

0 > 1 � xE.1=x/D f .0/ � f .x/> x es decir 0 6 f .x/� f .0/6 �x (4.11)

De (4.10) y (4.11) deducimos quejf .x/ � f .0/j 6 jxj. En consecuencia, dado" > 0,tomamosıD" con lo que, evidentemente, sijxj < ı entoncesjf .x/�f .0/j < ". Luegof es continua en0. ©

Ejercicio resuelto 54 Estudia la continuidad de la funciónf WR! R dada por f .x/ Dx sen.1=x/ si x ¤ 0 y f .0/D 0.

Solución.El propósito de este ejercicio es que no olvides quejsenzj61 para todoz2R.Da igual como escribasz, esta desigualdad es válida para todo número realz (recuerdacómo deben leerse las matemáticas). Por tantojsen.1=x/j61. En consecuencia,jf .x/j6jxj de donde se sigue inmediatamente quef es continua en0. ©

Ejercicio resuelto 55 Estudia la continuidad de la funciónf W Œ0; 1�! R dada por:

f .x/D�

0 si x D 0 o x es irracional1=q si x D p=q (fracción irreducible)

Solución.Es fácil probar que la función es discontinua en todos los puntos racionalesde �0; 1�. La idea es que en todo intervalo abierto hay números irracionales en los que lafunción vale0. Sear D p

q2�0; 1� un número racional escrito como fracción irreducible.

Tenemos quef .r/ D 1q. Tomemos ahora un" > 0 menor que1

q; por ejemplo" D 1

2q.

Cualquiera seaı > 0, en el intervalo�r � ı; r C ıŒ\Œ0; 1� hay números irracionales, six

es uno de ellos, se tiene quex2 Œ0; 1�, jx � r j < ı perojf .x/� f .r/j D 1q

no es menor

que"D 12q

. Concluimos quef es discontinua enr .

Para probar quef es continua en todos los puntos irracionales deŒ0; 1� y también en0hay que pensar un poquito. La idea es la siguiente: dado" > 0, quitar los puntos deŒ0; 1�donde la función toma un valor mayor que". Dichos puntos son los puntos racionales dela formar D p

q(fracción irreduciblep; q2N) con 1

q> ", esto es,q 6 1

". Fijado un valor

de " > 0, el conjunto de valores deq 2N para los que se verifica que1q

> " es finito.Llamemos a este conjuntoQ". Para cada númeroq2Q" las fracciones irreducibles de laforma p

qque están en�0; 1� son como muchoq � 1. Concluimos que el conjunto de los

números racionales de�0; 1� en los que la funciónf toma un valor mayor o igual que", esfinito. Llamemos a este conjuntoR". Sea ahoraa un número irracional deŒ0; 1� o aD 0.Tenemos quea 62 R" por lo que para todor 2R" el númeroja � r j es positivo. Sabemosque todos conjunto finito tiene máximo y mínimo. DefinamosıDmKınfja � r j W r 2R"g.Entoncesı > 0 y para todox 2 Œ0; 1� con jx � aj < ı se tiene quex 62 R", luegojf .x/� f .a/j D f .x/ < ", lo que prueba quef es continua ena. ©

Ejercicio resuelto 56 Seaf W Œa; b�! R continua. Supongamos quea6f .x/6b para todox en Œa; b�. Prueba que hay algún puntoc2 Œa; b� tal quef .c/D c.

Solución.Este ejercicio es muy sencillo. Basta hacer una representación gráfica. Imaginala gráfica de una función continuaf en Œa; b� que toma valores enŒa; b�. Lo que te dicenen el ejercicio es que pruebes que la gráfica def corta a la diagonal del rectánguloŒa; b�� Œa; b�. Gráficamente eso es evidente. Para hacerlo, seguiremos la estrategia (4.20).La ecuación que debemos considerar esf .x/ D x. Definamosh.x/ D x � f .x/ parax 2 Œa; b�. La funciónh es continua, porque nos dicen quef es continua, y está definidaen el intervaloŒa; b�. Tenemos queh.a/Da�f .a/6 0 y h.b/Db�f .b/> 0. Si algunode estos números es igual a0 entoncesc D a o c D b; en otro caso debe serh.a/ < 0

y h.b/ > 0, en cuyo caso el teorema de Bolzano asegura que hay algúnc 2�a; bŒ tal queh.c/D 0, es decir,f .c/D c. ©

Ejercicio resuelto 57 Prueba que la ecuaciónxC exCarc tgxD 0 tiene una sola raíz real.Da un intervalo de longitud uno en el que se encuentre dicha raíz.

Solución.Seaf .x/ D x C exCarc tgx para todox 2 R. Es evidente quef .x/ > 0

para todox > 0. Observa que six < 0 y está muy alejado del origen, entonces ex espositivo pero muy pequeño y arc tgx será negativo (cercano a��=2). Vemos así quepara estos valores dex la funciónf será negativa. De alguna forma debemos justificaresto que “vemos”. Podríamos hacerlo estudiando el límite en�1 pero aún no tenemosesa herramienta. Para lo que nos pide el ejercicio, es suficiente que encontremos unpuntoa < 0 en el quef .a/ < 0. En estos ejercicios no hay que buscar valores “raros”.TomemosaD�1. Tenemos quef .�1/D�1C1=eCarc tg.�1/D�1C1=e��=4, comoe > 2, claramente esf .�1/ < 0. Comof es continua, está definida en un intervalo(todoR) y toma valores positivos y negativos, el teorema de Bolzanonos dice que debeanularse en algún punto. Como la funciónf es estrictamente creciente, por ser suma defunciones estrictamente crecientes, es inyectiva, por lo que se anula en un único punto.Además, comof .0/D 1, el teorema de Bolzano nos dice que el punto dondef se anulaestá enŒ�1; 0�. ©

Ejercicio resuelto 58 Suponiendo que la temperatura varía de forma continua, prueba quesiempre hay dos puntos antípodas en el ecuador terrestre queestán a la misma tempera-tura.

Solución.LlamemosL a la longitud del ecuador terrestre (unos cuarenta mil Kilóme-tros). Seaf W Œ0;L�! R la función que a cada puntox 2 Œ0;L� hace corresponder latemperatura,f .x/, medida en grados centígrados, que hay en dicho punto del ecuador.Suponemos quef es una función continua (cosa muy razonable). Se trata de probar quehay algún puntoc2 Œ0;L=2� tal quef .c/D f .cCL=2/. Para ello, aplicando la estrate-gia (4.20), consideramos la funciónh.x/D f .xCL=2/� f .x/ definida en el intervaloŒ0;L=2�. Tenemos queh.0/Df .L=2/�f .0/ y h.L=2/Df .L/�f .L=2/. Lo único quehay que darse cuenta ahora es que el punto a distanciaL vuelve a ser el punto de partida(el ecuador es una curva cerrada), por tantof .L/D f .0/ y, h.L=2/D f .0/ � f .L=2/.Observamos queh.0/ y h.L=2/ son números opuestos. O los dos son cero, en cuyo casopodemos tomarcD 0, o uno es negativo y otro positivo, en cuyo caso el teorema de Bol-zano asegura queh tiene que anularse en algúnc2�0;L=2Œ, esto es,f .cCL=2/Df .c/,como se quería probar. ©

Ejercicio resuelto 59 Seaf W Œa; b�! R continua conf .a/ D f .b/. Dadon 2N, n > 2,prueba que hay algún puntoc2 Œa; b � .b � a/=n� tal quef .c/D f .c C .b � a/=n/.

Solución.Seaf W Œa; b�! R una función continua. Llamemos al númerof .b/ � f .a/el incrementodef enŒa; b�. Dado un número naturaln>2, nos preguntamos si hay algúnintervalo de longitud.b�a/=n en el cual el incremento def sea igual a.f .b/�f .a//=n.Para ello dividimos el intervaloŒa; b� enn intervalos de longitud igual a.b�a/=n. Estosintervalos son de la formaŒxk ;xkC1�, dondexk D aC k.b � a/=n, k D 0; 1; : : : ;n� 1.Es claro que la suma de los incrementos def en cada uno de losn intervalosŒxk;xkC1�

es igual al incremento def en el intervaloŒa; b�. Es decir:

n�1X

kD0

.f .xkC1/ � f .xk//D f .b/ � f .a/:

Como en esta suma hayn sumando en total, deducimos queo bien todos ellos son iguala .f .b/ � f .a//=n o bien alguno de ellos es mayor que.f .b/ � f .a//=n en cuyo casotiene que haber necesariamente otro que sea menor que.f .b/ � f .a//=n.

Definamos la funcióng W Œa; b � .b � a/=n�! R por g.x/Df .xC.b�a/=n/�f .x/.Nótese queg.xk/D f .xkC1/ � f .xk/. Según acabamos de ver:

� O bien para todok D 0; 1; : : : ;n � 1 esg.xk/ Df .b/ � f .a/

n, en cuyo caso se

verifica quef .xkC1/ � f .xk/Df .b/ � f .a/

n.

� O bien hay puntosxp;xq tales queg.xp/ < .f .b/ � f .a//=n < g.xq/, en cuyocaso, como la funcióng es continua, el teorema de Bolzano implica que tiene quehaber algún puntot0 comprendido entrexp y xq tal queg.t0/D .f .b/� f .a//=n,es decir se verifica quef .t0 C .b � a/=n/ � f .t0/D .f .b/ � f .a//=n.

Hemos probado así que hay un intervalo de longitud.b � a/=n en el cual el incrementodef es igual a.f .b/ � f .a//=n. ©

Ejercicio resuelto 60 Un reloj averiado marca inicialmente un tiempot0. El reloj puede ade-lantar o atrasar, pero cuenta con exactitud períodos de12 horas, es decir, pasadas12

horas el reloj marca un tiempot0 C 12 horas. Demuestra que en algún momento dichoreloj mide con exactitud una hora.

Solución.Seaf W Œ0; 12�! R la función definida por:f .t/D tiempo (medido en horas)que marca el reloj en el tiempot . Podemos admitir quef es continua. El incremento def en el intervaloŒ0; 12� es igual af .12/ � f .0/ D 12. Deducimos, por lo antes vistoque, para cadan > 2, hay algún intervalo de longitud.12� 0/=n en el cual el incrementodef es igual a.f .12/ � f .0//=n. Es decir, que en algún instantec0 el reloj mide conexactitud un período de tiempo igual a12

nhoras:f .c0C12=n/�f .c0/D12=n. Tomando

nD 12 obtenemos la solución del ejercicio. ©

Ejercicio resuelto 61 Un automovilista sale de Granada hacia Madrid un sábado a las8h dela mañana y el domingo inicia el regreso a la misma hora. Sabiendo que invirtió igualtiempo en ambos viajes, pruébese que en algún momento del domingo el automovilistase encuentra a igual distancia de Granada que a la que se encontraba el sábado en esemismo momento.

Solución.Supongamos que el automovilista tarda4 horas en llegar a Madrid. Llamandof W Œ8; 12�! R la función que en el tiempot (medido horas) nos da la distanciaf .t/(medida en kilómetros) que el automovilista ha recorrido elsábado, yg W Œ8; 12�! R

a la función que en el tiempot (medido horas) nos da la distanciag.t/ (medida enkilómetros) que el automovilista ha recorrido el domingo; tenemos quef .8/Dg.8/D0,f .12/D g.12/D ˛ donde˛ es la distancia entre Granada y Madrid.

Como las funcionesf y g son continuas, la funciónh.t/ D f .t/ � .˛ � g.t// tambiénes continua. Comoh.8/D�˛ < 0, h.12/D ˛ > 0, deducimos queh.t0/D 0 para algún

t0 2 Œ8; 12�, es decirf .t0/D ˛ � g.t0/. Por tanto, el sábado y el domingo, en el instantet0 el automovilista se encuentra a la misma distancia de Granada.

Si dibujas las gráficas def y de˛ � g verás que este resultado esevidente. ©

Ejercicio resuelto 62 Seanf;g funciones continuas que no se anulan en un intervaloI ,verificando que.f .x//2D .g.x//2 para todox2I . Prueba que o bienf .x/Dg.x/ paratodox 2 I , o bienf .x/D�g.x/ para todox 2 I . ¿Cuántas funciones hay' WR! R

continuas y verificando que.'.x//2 D x2 para todox2R?.

Solución.La funciónh.x/D f .x/

g.x/es continua enI y verifica queh.x/2 D 1 para todo

x2I , luegoh.x/D1 oh.x/D�1 para cadax2I . ComoI es un intervalo yh es continua,el conjuntoh.I / tiene que ser un intervalo, luego deberá serh.I /D f1g o h.I /D f�1g.En el primer caso esf .x/D g.x/ para todox 2 I , en el segundof .x/D �g.x/ paratodox2I .

La igualdad'.x/2 D x2 para todox 2 R equivale aj'.x/j D jxj. Lo que da cuatroposibilidades; a saber:'1.x/D x, '2.x/D �x, '3.x/D jxj, '4.x/D �jxj, donde, encada caso, se entiende que las igualdades son para todox2R. ©

Ejercicio resuelto 63 Sea f WR! R continua y decreciente. Prueba que hay un únicoa2R verificando quef .a/D a.

Solución.Naturalmente, se trata de probar que la funcióng W R! R dada porg.x/Dx � f .x/ para todox2R se anula en algún punto. Como es continua (porque nos dicenquef lo es) y está definida en un intervalo, intentaremos aplicar el teorema de Bolzano.Tomemos un puntoc 2 R. Si f .c/ D c hemos acabado. En otro caso seráf .c/ ¤ c.Supongamos quef .c/ < c. Entonces, comof es decreciente, seráf .f .c//> f .c/. Sif .f .c//D f .c/, hemos acabado. En otro caso seráf .f .c// > f .c/. Pero en este casoobtenemos queg.c/ > 0 y g.f .c// < 0 por lo que el teorema de Bolzano garantizaqueg tiene que anularse en algún punto. Se razona de forma análogasi suponemos quec < f .c/. Finalmente, comog es estrictamente creciente, solamente puede anularse enun único punto. ©

Ejercicio resuelto 64 SeanA, B, conjuntos no vacíos y acotados de números reales. Defina-mos

A � B D fa � b W a2A; b2BgI AB D fab W a2A; b2BgPrueba que sup.A � B/D supA � Kınf B y, supuesto queA � RC y B � RC, pruebaque sup.AB/D supA supB.

Solución.Sea˛Dsup.A/; ˇDKınf.B/; Dsup.A�B/. Cualesquiera seana2A; b2B

se tiene quea 6 ˛; ˇ 6 b. En consecuenciaa � b 6 ˛ � ˇ, lo que prueba que � ˇes un mayorante deA � B, y por tanto 6 ˛ � ˇ. Probaremos ahora que� ˇ 6 .Cualesquiera seana2A; b2B se tiene quea� b 6 , es decir,a 6 bC . Esta últimadesigualdad nos dice que, fijado un elementob2B, el númerob C es un mayorantede A, por lo que˛ 6 b C . Hemos obtenido así que para todob 2B se verifica que˛ � 6 b, es decir, � es un minorante deB, y por tanto˛ � 6 ˇ, es decir,˛ � ˇ 6 .

Sea˛ D sup.A/; ˇ D sup.B/; � D sup.AB/. Cualesquiera seana 2A, b 2B se tieneque a 6 ˛ y b 6 ˇ. En consecuencia, por sera > 0; b > 0, ab 6 ˛ ˇ, lo que prueba que

˛ ˇ es un mayorante deAB y por tanto�6 ˛ ˇ.Probaremos ahora queˇ 6 �. Cualesquiera seana 2A, b 2B se tiene queab 6 �,esto es,a 6 �=b. Esta última desigualdad nos dice que, fijado un elementob 2 B, elnúmero�=b es un mayorante deA, por lo que˛ 6 �=b. Hemos obtenido así que paratodo b 2B se verifica queb 6 �=˛, es decir,�=˛ es un mayorante deB, y por tantoˇ 6 �=˛, es decir,˛ ˇ 6 �. ©

Ejercicio resuelto 65 Sea A un conjunto no vacío de números reales. Para cadax 2 R

definamos la “distancia dex a A” por dist.x;A/DKınffjx�aj Wa2Ag. Prueba que paratodos x;y2R se verifica que:

jdist.x;A/ � dist.y;A/j6 jx � yj:

Deduce que la aplicaciónx 7! dist.x;A/ es continua.

Solución.Teniendo en cuenta quejaj6 b equivale a quea 6 b y �a 6 b, la desigualdadque nos piden probar equivale a estas dos desigualdades:

dist.x;A/� dist.y;A/6 jx � yj y dist.y;A/ � dist.x;A/6 jx � yj (4.12)

Pero es claro que basta con probar una sola de ellas pues entonces cambiandox pory obtenemos la otra (porquejx � yj D jy � xj). Probaremos la primera de las dosdesigualdades (4.12). Escribamos la desigualdad en la forma:

dist.x;A/6 jx � yj C dist.y;A/

En todo lo que siguex ey están fijos. Tenemos que para todoa2A:

dist.x;A/6 jx � aj6 jx � yj C jy � aj:

Es decirdist.x;A/� jx � yj 6 jy � aj para todo a2A:

Deducimos que dist.x;A/ � jx � yj es un minorante del conjuntofjy � aj W a 2 Ag,y por tanto será menor o igual que el máximo minorante de dichoconjunto, que es pordefinición dist.y;A/. Hemos probado así que

dist.x;A/� jx � yj6 dist.y;A/:

Que es la desigualdad que queríamos probar.

Es evidente, teniendo en cuenta la desigualdad que acabamosde probar, que la función'.x/Ddist.x;A/ es continua, pues dado" > 0, tomamosıD" con lo que, evidentemente,j'.x/� '.y/j6 jx � yj < " siempre quejx � yj < ı. Observa que aquí un mismo “ı”vale para todo punto. ©

Ejercicio resuelto 66 Seaf WR! R continua, mayorada y tal que para todosa; b2R cona < b, se verifica que supf .�a; bŒ/D supf .R/. Prueba quef es constante.

Solución.Llamemosˇ D supf .R/. Es claro quef .x/ 6 ˇ para todox 2 R. Y, si fes constante deberá darse la igualdadf .x/D ˇ en todo puntox deR. Luego tenemosque probar que, dadoa2R, es imposible que ocurraf .a/ < ˇ. Pero eso es claro, puessi fueraf .a/ < ˇ, entonces tomando� 2�f .a/; ˇŒ, por el teorema de conservación del

signo aplicado a la funcióng.x/ D � � f .x/ en el puntoa, deducimos que existe unintervalo abierto�u; vŒ que contiene al puntoa y tal que para todox 2�u; vŒ esg.x/ > 0,es decir,f .x/ < �. Pero entonces supf .�u; vŒ/6� < ˇ en contradicción con la hipótesishecha. ©

Ejercicio resuelto 67 Sea f W Œa; b�! R creciente. Supongamos quea 6 f .x/ 6 b paratodox en Œa; b�. Prueba que hay algún puntoc 2 Œa; b� tal quef .c/D c.

Sugerencia. Considera el supremo del conjuntofx 2 Œa; b� W x 6 f .x/g. Fíjate que nosuponemos quef sea continua.

Solución.Sea M D fx 2 Œa; b� W x 6 f .x/g. El conjunto M no es vacío (a 2 M ) yestá mayorado (b es un mayorante deM ). Seac D sup.M /. Evidentementec 2 Œa; b�.Probaremos quef .c/D c. Probaremos para ello quenopuede serf .c/¤ c.

a) Si fuerac < f .c/, entonces, comoc es un mayorante deM , tendríamos quef .c/ 62M , es decir,f .c/ > f .f .c//. Y también, por serf creciente, tendríamosque f .c/6 f .f .c//, resultando así una contradicción.

b) Si fueraf .c/ < c, entonces hay algúnz 2M tal quef .c/ < z. Y como z 6 f .z/

deducimos quef .c/ < f .z/ lo cual, por serf creciente, implica quec < z lo que escontradictorio. ©

Ejercicio resuelto 68 Justifica que, dadox 2R, la ecuación logt C t5 D x tiene una únicasolución, que representamos por'.x/. Justifica que la funciónx 7! '.x/, .x 2R/, asídefinida es continua.

Solución.La función f WRC ! R dada porf .t/D log tC t5 es continua. ComoRC esun intervalo, el conjunto imagenf .RC/ también es un intervalo. Claramentef .RC/ esun intervalo no minorado ni mayorado, luegof .RC/DR. La funciónf es estrictamentecreciente, por tanto es inyectiva. Deducimos que dadox 2 R hay un únicot 2 RC talquef .t/ D x. Sea' WR! R la función inversa def . La función' es estrictamentecreciente y su imagen es un intervalo (RC), luego es continua en virtud del teorema(4.23). ©

Ejercicio resuelto 69 Seaf W Œ0; 1�! R continua verificando quejf .s/ � f .t/j > js � t jpara todoss; t 2 Œ0; 1�, y f .f0; 1g/ D f0; 1g. Prueba que o bien esf .x/ D x para todox2 Œ0; 1�, o bien esf .x/D 1� x para todox2 Œ0; 1�.Solución. La clave de este ejercicio consiste en darse cuenta de que la condición delenunciadojf .s/�f .t/j> js� t j implica quef es inyectiva enŒ0; 1�. Comof se suponecontinua, el teorema (4.26) nos dice quef es estrictamente monótona.

La condiciónf .f0; 1g/ D f0; 1g nos dice que o bien esf .0/ D 0 y f .1/ D 1 o bien esf .0/D 1 y f .1/D 0. En el primer casof será estrictamente creciente y en el segundoestrictamente decreciente.

Supongamos quef .0/ D 0 y f .1/ D 1. Probaremos quef .x/D x para todox 2 Œ0; 1�.Comof es estrictamente creciente, será06f .x/61 para todox2 Œ0; 1�. HaciendotD0

y s D x en la desigualdadjf .s/ � f .t/j > js � t j, obtenemos quef .x/> x. Haciendot D 1 y s D x obtenemos que1 � f .x/ > 1 � x, es decir,f .x/ 6 x. Concluimos quef .x/D x.

El caso en quef .0/D 1 y f .1/D 0 se hace de forma parecida. ©

Continuidad en intervalos cerrados y acotados 128

Ejercicio resuelto 70 Sean

AD fx2Q W x 6 0 o x2 < 2g; B D fx2Q W x > 0 y x2 > 2g:

Prueba queA¤Ø, B ¤Ø, QD A [ B y a < b para todosa2A; b2B. Además:

a) Para cadar 2A hay algúns2A tal quer < s.

b) Para cadau2B hay algúnt 2B tal quet < u.

c) No hay ningúnz 2Q con la propiedad de que todo número racional menor quez

esté enA y todo número racional mayor quez esté enB.

Solución.a) Sear 2A. Si r < 1 basta tomars D 1. Supongamos, pues, que1 6 r . Unnúmero racional que sea mayor quer será de la formar C " donde " es un númeroracional positivo. Para que dicho número esté enA deberá verificarse que.rC "/2 < 2.Si, además" < 1, entonces"2 < ", por lo que.r C "/2 < r2 C 2r"C ". Es por tanto

suficienteque r2C2r"C"62 para lo cual basta tomar"D 2� r2

2r C 1. Es claro que dicho

número " es racional. Además, como1 6 r y r2 < 2, es 0 < " < 1 y por tanto el

números D r C 2� r2

2r C 1verifica quer < s y s2A.

b) Este apartado se hace de manera análoga al anterior. Dadou 2 B hay que tratar dedeterminar un número racional positivo," tal que0 < u� " y .u� "/2 > 2. Esta últimacondición es lo mismo que:

u2 � 2 > 2u" � "2 .1/

Como queremos que0 < " < u, debemos tener2u" � "2 > "2 > 0. Sabemos queno hay ningún número racional cuyo cuadrado sea igual a2, en consecuencia siu 2B

entoncesu2 > 2. Puesto que2u" > 2u" � "2, para que se verifique.1/ essuficiente

que u2 � 2 > 2u", para lo cual basta tomar"D u2 � 2

2use tiene con ello que el número

t D u � u2 � 2

2uestá enB y t < u.

c) Seaz 2Q. Como A [ B D Q, deberá serz 2A o z 2B. Si z 2A, sabemos, pora), que hay elementoss 2A con z < s. Si z 2B, sabemos, por b), que hay elementost 2B con t < z. Concluimos así que no hay ningúnz2Q verificando que todo númeroracional menor quez está enA y todo número racional mayor quez está enB. ©

4.4. Continuidad en intervalos cerrados y acotados

Sabemos que la imagen,f .I /, de un intervaloI por una función continuaf es un intervalo.También sabemos, porque hemos visto ejemplos (50), que, en general, el intervalof .I / no esdel mismo tipoqueI . Aquí tiene algunos ejemplos más.

1. f .x/D x2; f .Œ�1; 1Œ/D f .� � 1; 1�/D Œ0; 1�;


2. f .x/D 1=x; f .�0; 1�/D Œ1;C1Œ; f .Œ1;C1Œ/D�0; 1�.

3. f .x/D senx; f .� � �;�ŒDŒ�1; 1�.

Vemos así que la imagen por una función continua de un intervalo abierto, o semiabierto, ode una semirrecta, puede ser un intervalo de distinto tipo. Queda por considerar qué ocurrecon los intervalos cerrados y acotados, es decir, los de la forma Œa; b�. Vamos a probar queeste tipo de intervalos se conservan por funciones continuas. Nótese que sif W Œa; b�! R

es continua, como ya sabemos quef .Œa; b�/ es un intervalo, para probar quef .Œa; b�/ es unintervalo cerrado y acotado basta probar que el intervalof .Œa; b�/ tiene máximo y mínimo, esdecir, que hay númerosu; v 2 Œa; b� tales que para todox 2 Œa; b� esf .u/6f .x/6f .v/, puesentonces seráf .Œa; b�/D Œf .u/; f .v/�.

En la siguiente definición introducimos la terminología quese usa.

4.27 Definición. Seaf WB ! R . Se dice quef está mayorada (resp. minorada) enB, si elconjuntof .B/ está mayorado (resp. minorado). Se dice quef está acotada enB si el conjuntof .B/ está acotado. Se dice quef alcanza enB un máximo (resp. unmínimo) absolutosi elconjuntof .B/ tiene máximo (resp. mínimo), es decir, existe algún puntov 2B (resp.u2B)tal quef .x/6 f .v/ (resp.f .u/6 f .x/) para todox2B.

El siguiente resultado que vamos a ver es uno de los más importantes del Análisis Matemá-tico. Su demostración no es del todo inmediata y su lectura requiere atención. El ejemplo quesigue te ayudará mucho a entenderla.

4.28 Ejemplo. Puedes considerar la gráfica de una función como el perfil de una cadena demontañas con sus cumbres y valles alternándose. Supongamosque iluminamos la gráfica desdela izquierda con un haz de luz de rayos paralelos al eje de abscisas tal como se indica en la figura(4.3). Algunos puntos de las montañas quedarán expuestos a la luzy otros quedarán en sombra.Se entiende que los valles quedan en la sombra. En la figura he representado en trazo másgrueso los puntos de luz. La condición que debe cumplir un punto .x; f .x// para ser un puntode luz es que a la izquierda dex la función tome valores más pequeños quef .x/, es decir,.x; f .x// es un punto de luz si para todot 2 Œa;x� esf .t/ 6 f .x/. Cuando esta condición severifica diremos también quex es un punto de luz paraf . Observa que el máximo de la funciónse alcanza en un puntoc que, por supuesto, es un punto de luz paraf pero que es elúltimopunto de luz paraf , porque a la derecha dec la función no puede tomar valores mayores quef .c/. Esta idea es la que vamos a seguir en la demostración del siguiente teorema.

�

4.29 Teorema(Teorema de Weierstrass). Toda función continua en un intervalo cerrado yacotado alcanza en dicho intervalo un máximo y un mínimo absolutos.

Demostración. Seaf W Œa; b�! R una función continua enŒa; b�. Queremos probar que hayalgún puntoc2 Œa; b� en el quef alcanza un máximo absoluto. Según hemos visto en el ejemploanterior, el puntoc debe ser el último punto de luz paraf . Esto lleva a considerar el conjuntode todos los puntosx 2 Œa; b� que son puntos de luz paraf .

E D˚x 2 Œa; b� W f .t/6 f .x/ para todot 2 Œa;x�

(4.13)



a

b

c

.x; f .x//

v�v

Figura 4.3. Visualización de la demostración del teorema deWeierstrass

En la figura (4.3) he representado el conjuntoE con trazo grueso sobre el eje de abscisas.Observa que, en la figura,E es una unión de intervalos.

La idea siguiente es considerar el máximo deE. Pero no sabemosa priori queE tengamáximo, por eso lo que hacemos es considerar el supremo deE. Lo que está claro es queel conjuntoE no es vacío porquea 2 E. Además, por su misma definición, esE � Œa; b�.Por tanto,E está acotado. La propiedad del supremo garantiza la existencia de un mínimomayorante deE, es decir, del supremo deE. Sea, pues,c D sup.E/. La intuición nos dice queel puntoc así definido cumple lo que queremos, pero hay que probarlo. Enprimer lugar, comoa2E y b es un mayorante deE, tenemos quea 6 c 6 b, esto es,c 2 Œa; b�.

Empezaremos probando quec2E. Si c D a nada hay que probar porquea2E. Supondre-mos quea < c 6 b. Seau2 Œa; b� tal queu < c. Probaremosque no puede serf .c/ < f .u/.Si así fuera, llamandog.x/D f .u/ � f .x/; pon la continuidad def y el teorema de conser-vación del signo, tiene que haber un númeroı > 0 tal queu < c � ı y para todoz 2�c � ı; c�se cumpla queg.z/ > 0, es decirf .z/ < f .u/. Por serc el mínimo mayorante deE, tieneque haber algúnz0 2�c � ı; c� \ E. Tenemos entonces quef .z0/ < f .u/ y, comoz0 2E ya6u < z0, deberá serf .u/6f .z0/, lo que nos lleva a quef .z0/ < f .u/6f .z0/ y, por tanto,f .z0/ < f .z0/, lo cual es claramente contradictorio. Concluimos quef .u/6f .c/. Como estoes cierto para todou2 Œa; b� tal queu 6 c, resulta quec2E.

Probaremos ahora quef .x/ 6 f .c/ para todox2 Œa; b�. Comoc 2E, para todox 2 Œa; c�esf .x/6 f .c/. Por tanto, en el caso de que fuerac D b nada nuevo habría que probar. Consi-deremos quea 6 c < b, en cuyo caso debemos probar que sic < v 6 b entoncesf .v/6 f .c/.

Observa que cada puntov 2�c; b� es un punto de sombra def y, por eso, tiene que haberpuntos anteriores a él en los quef tome un valor mayor quef .v/, entre estos puntos tieneque haber puntos de luz. La idea ahora va a ser asociar a cada punto v 2�c; b� un punto de luz�v 2 E, tal quef .v/ 6 f .�v/. Esta es la parte más técnica de la demostración. En la figura(4.3) he representado un puntov y su correspondiente�v.

En lo que sigue consideramos un puntov 2�c; b� fijo. Notemos que comoc < v 6 b,entoncesv 62 E por lo que tiene que haber algúnz 2 Œa; vŒ tal quef .v/ < f .z/. Se trata de

“cazar” al menor de talesz. Consideramos para ello el conjunto

Av D˚z2 Œa; b� W f .v/6 f .z/

Definamos�v D Kınf.Av/. Por la observación antes hecha, tenemos quea 6 �v < v. Queremosprobar que�v 2Av, es decir quef .v/ 6 f .�v/. Para ello razonamos como antes para probarque la desigualdadf .�v/ < f .v/ lleva a contradicción. En efecto, si fueraf .�v/ < f .v/,llamandoh.x/Df .v/�f .x/; por la continuidad def y el teorema de conservación del signo,tiene que haber un númeroı > 0 tal que�v C ı 6 b, y para todoz 2 Œ�v; �v C ıŒ se cumplaqueh.z/ > 0, es decirf .z/ < f .v/. Por ser�v el máximo minorante deAv, tiene que haberalgúnz0 2 Œ�v; �v C ıŒ\Av. Tenemos entonces quef .z0/ < f .v/ y, comoz02Av deberá serf .v/ 6 f .z0/, lo que nos lleva a quef .z0/ < f .v/ 6 f .z0/ y, por tanto,f .z0/ < f .z0/, locual es claramente contradictorio. Concluimos quef .v/6 f .�v/.

Deducimos ahora fácilmente que�v2E. En efecto, sit 2 Œa; �v Œ entoncest 62 Av, es decir,f .t/ < f .v/ y comof .v/ 6 f .�v/, resulta quef .t/ < f .�v/. En consecuencia,�v 2E y,por tanto�v 6 c. Finalmente, comoc2E, concluimos quef .v/6 f .�v/6 f .c/.

La consideración de la función�f prueba que tambiénf alcanza un mínimo absoluto enŒa; b�. Queda así demostrado el teorema. 2

Siempre que leas la demostración de un teorema debes fijarte dónde y cómo se usan todasy cada una de las hipótesis. ¿Dónde se ha usado en la demostración anterior que el intervaloŒa; b� es cerrado y acotado? Si no lo sabes vuelve a leerla y fíjate bien. Alternativamente, intentarepetir la demostración sustituyendoŒa; b� por �a; b� o Œa; bŒ y fíjate hasta dónde puedes llegar.Te ayudaré un poco. Observa que el conjunto de los puntos de luz de una función creciente enun intervaloI es el propioI . ¿Y si la función es decreciente?

Al igual que el teorema de Bolzano, el teorema de Weierstrasses un teorema deexistencia.Su demostración no proporciona un método de cálculo del máximo o mínimo absolutos de unafunción. En el Capítulo dedicado a derivadas veremos técnicas eficaces para dicho cálculo.

Con frecuencia, lo que interesa del teorema de Weierstrass es una consecuencia inmediatadel mismo que se recoge en el siguiente corolario.

4.30 Corolario. Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado estáacotada endicho intervalo.

Veamos una aplicación del teorema de Weierstrass. Se llamacoeficiente líderde una fun-ción polinómica al coeficiente de la mayor potencia de la variable. Seguramente sabes que unaparábola cuyo coeficiente líder es positivo (lo que suele llamarse “una parábola con los cuernospara arriba”) tiene un mínimo absoluto enR, y si el coeficiente líder es negativo (lo que suelellamarse “una parábola con los cuernos para abajo”) tiene unmáximo absoluto enR. Este com-portamiento no es exclusivo de las parábolas y se puede generalizar a toda función polinómicade grado par. La idea de la demostración es sencilla. Un polinomio de grado par es muy grandecuando el valor absoluto dex es grande, por tanto para encontrar el mínimo podemos buscarloen un intervalo cerrado y acotado.

4.31 Proposición. Una función polinómica de grado par cuyo coeficiente líder espositivoalcanza un mínimo absoluto enR y si el coeficiente líder es negativo alcanza un máximoabsoluto enR.

Demostración. Sea


una función polinómica de grado parn > 2. Podemos suponer quecn > 0 y probaremos queP alcanza un mínimo absoluto enR. Razonando exactamente igual que en el corolario (4.22),probamos (4.8) que hay un númeroK > 1 tal que parajxj> K es:

P .x/

xn>

cn

2> 0 (4.14)

Pongamos en lo que sigue˛D cn

2. Comon es par, se tiene quexn > 0 para todox¤0. Además,

comoK > 1, parajxj> K esjxjn > jxj por tanto:

P .x/> ˛xn D ˛jxjn > ˛jxj .jxj> K/

Haciendo ahoraM DmKaxfK; jP .0/j=˛g, tenemos que parajxj> M es

P .x/> ˛jxj> ˛M

La razón de elegirM en la forma que lo hemos hecho, es porque ahora podemos asegurar que˛M > jP .0/j. En el intervaloŒ�M;M � la función P .x/ alcanza, en virtud del teorema deWeierstrass, un mínimo absoluto en algún puntoc 2 Œ�M;M �. Si ahorax es un número realpodemos considerar dos posibilidades:

� x2 Œ�M;M � en cuyo caso seráP .x/> P .c/.

� x 62 Œ�M;M �, esto esjxj > M , en cuyo casoP .x/> ˛M > jP .0/j> P .0/> P .c/:

En cualquier caso resulta queP .x/ > P .c/, lo que prueba queP alcanza enc un mínimoabsoluto enR. 2


153. Seaf W Œa; b�! R continua. Supongamos que para cadax 2 Œa; b� hay algúny 2 Œa; b�tal que jf .y/j 6 2

10jf .x/j. Prueba quef se anula en algún punto deŒa; b�.

154. Seaf W Œa; b�! R continua. Prueba que la funcióng W Œa; b�! R dada para todox 2Œa; b� por g.x/DmKaxf .Œa;x�/, es continua.

155. Seaf W Œa; b�! R continua, pongamosM D mKaxf .Œa; b�/, m D mKınf .Œa; b�/ y su-pongamos quef .a/D f .b/ y quem < f .a/ < M . Prueba quef toma todo valor deŒf .a/;M Œ[�m; f .a/� en al menos dos puntos deŒa; b�.

Ejercicio resuelto 71 Sea f W Œa; b�! R continua. Prueba que la funcióng W Œa; b�! R

dada para todox 2 Œa; b� por g.x/DmKaxf .Œa;x�/, es continua.

Solución. La función g es claramente creciente enŒa; b�. Para probar que es conti-nua es suficiente, por el teorema (4.23), probar que su imagen es un intervalo. SeaM DmKaxf .Œa; b�/. Probaremos quegŒa; b�D Œf .a/;M �. Para ello seau 2�f .a/;M Œ yseatu D supfx 2 Œa; b� W f .s/ 6 u para todos 2 Œa;x�g. Entoncesf .tu/ D u y tambiéng.tu/D u. Los detalles que faltan debes completarlos tú. ©

4.5. Límite funcional

SeanI un intervalo,a un punto deI , y f una función definida enI nfag. Naturalmente,comof no está definida ena no tiene sentido hablar de la continuidad def ena. Sin embargo,podemos preguntarnos ¿es posible encontrar un númeroL 2R tal quedefiniendof .a/ D L,la nueva funciónasí obtenida sea continua ena? Para ello el númeroL tendría que cumplir lasiguiente propiedad:

8"2RC 9 ı2RC W 0 < jx � aj < ıx2I

�÷jf .x/�Lj < " (4.15)

La condición “0 < jx�aj” se pone para excluir la posibilidad de hacerxDa en la desigualdadjx � aj < ı, lo cual es obligado porque la funciónf no está definida ena.

Podemos modificar un poco la situación anterior, suponiendoahora quef está definidaen todo el intervaloI pero no es continua ena . En este caso queremos cambiar el valor def en a , es decir, encontrar, si es posible, un númeroL2R tal quedefiniendoel valor defen a igual a L, la nueva funciónasí obtenida sea continua ena . La condición que tiene quecumplir dicho númeroL es exactamente la misma de antes (4.15).

Nótese que ahora la condición “0 < jx � aj” es obligada porque aunque nuestra funciónf está definida ena, el valor que toma ena no es “el apropiado”. Observa que el valor queftiene ena no interviene para nada en la condición (4.15).

En los dos casos considerados, la condición obtenida (4.15) es la misma con independenciadel hecho de quef esté o no definida ena, y, en caso de estarlo, del posible valor quefpueda tener ena. Por ello, en lo que sigue consideraremos la siguiente situación.

Notación. En adelante, representaremos porI un intervalo; a será un punto deI , y f seráuna función que supondremos definida enI nfag sin excluir la posibilidad de que dicha funciónpueda estar definida en todo el intervaloI lo cual, para nuestros propósitos actuales, carece deimportancia.

Límites laterales de una función en un punto 134

4.32 Definición. Se dice quef tiene límite en el puntoa si existe un númeroL2R tal quese verifica lo siguiente:

8"2RC 9 ı2RC W 0 < jx � aj < ıx2I

�÷jf .x/�Lj < " (4.16)

Dicho número se llamalímite de f ena y escribimos lKımx!a

f .x/DL :

Observa que la existencia del límite es independiente de quef esté o no definida enay, en caso de estarlo, del valor quef pueda tener ena. También debe advertirse que en ladefinición de laigualdad lKım

x!af .x/DL , sólo intervienendesigualdades.

Es fácil probar que la condición (4.16) no puede ser satisfecha por dos números distintos,es decir,el límite de una función en un punto, si existe, es único. Una consecuencia inmediatade la definición dada de límite y de la definición de continuidad (4.1), es el siguiente resultado.

4.33 Proposición. Seaf W I ! R una función definida en un intervalo y seaa2I . Equivalenlas afirmaciones siguientes:

i) f es continua ena.

ii) lKımx!a

f .x/D f .a/.

4.5.1. Límites laterales de una función en un punto

En la recta real es posible distinguir si nos acercamos “por la derecha” o “por la izquierda” aun punto. Ello conduce de forma natural a la consideración delos límites lateralesque pasamosa definir.

4.34 Definición. � Supongamos que el conjuntofx2I W a < xg no es vacío. En tal caso,se dice quef tiene límite por la derechaen a, si existe un número 2R tal que severifica lo siguiente:

8"2RC 9 ı2RC W a < x < aC ıx2I

�÷jf .x/� ˛j < " (4.17)

Dicho número se llamalímite por la derecha def en a y, simbólicamente, escribimoslKım

x!ax>a

f .x/D ˛ :

� Supongamos que el conjuntofx 2 I W x < ag no es vacío. En tal caso, se dice quef tiene límite por la izquierdaen a, si existe un número 2R tal que se verifica losiguiente:

8" 2 RC 9 ı2RC W a � ı < x < a

x2I

�÷jf .x/� ˇj < " (4.18)

Dicho número se llamalímite por la izquierda de f ena y, simbólicamente, escribimoslKım

x!ax<a

f .x/D ˇ :

Límites infinitos 135

Observación.Es importante advertir que los límites laterales son casos particulares del concep-~to general de límite de una función en un punto dado en la definición (4.32). Para convencertede ello, basta que consideres la restricción de la funciónf a la derecha del puntoa, esto es,la restricción def al intervalofx2I W x > ag, en cuyo caso el límite por la derecha def ena no es otra cosa que el límite en el puntoa (en el sentido de la definición (4.32)) de dicharestricción. Igual pasa con el límite por la izquierda.

En particular, es claro que:

� Si aD supI , entonces lKımx!a

f .x/D lKımx!ax<a

f .x/.

� Si aD Kınf I , entonces lKımx!a

f .x/D lKımx!ax>a

f .x/.

Por ello, cualquier resultado referente a límites de funciones en un punto puede ser convenien-temente enunciado para límites laterales sin más que considerar la restricción de la función ala derecha o a la izquierda del punto en cuestión.

La siguiente proposición también es consecuencia inmediata de las definiciones dadas.

4.35 Proposición.Si a no es un extremo deI , entoncesf tiene límite ena si, y sólo si, losdos límites laterales def ena existen y son iguales, en cuyo su valor común coincide con elvalor del límite def ena.

lKımx!a

f .x/DL” lKımx!ax<a

f .x/D lKımx!ax>a

f .x/DL (4.19)

Notación. En la mayoría de los textos de Cálculo los límites laterales por la derecha y por laizquierda suelen representarse con las siguientes notaciones

lKımx!aC

f .x/; lKımx!a� f .x/

El problema es que hay estudiantes que leen los símbolos y no leen lo que significan, y terminaninterpretando queaC y a� son números. Claro está que no son números, son símbolos quesignifican que en los límites lKım

x!aCf .x/ y lKım

x!a� f .x/ se consideran solamente los valores

de la variablex que son respectivamente mayores o menores quea. Esa es la forma correctade leer esos símbolos. Ya he advertido varias veces de la necesidad de traducir en palabrasel significado de los símbolos. Lo repito una vez más: no se deben leer los símbolos sino susignificado.

4.5.2. Límites infinitos

4.5.2.1. Funciones divergentes en un punto

4.36 Definición. Se dice quef es positivamente divergenteen a si se verifica lo siguiente:

8M 2RC 9 ı2RC W 0 < jx � aj < ıx2I

�÷f .x/ > M (4.20)

Límites infinitos 136

Simbólicamente, escribimos lKımx!a

f .x/DC∞.

Se dice quef es positivamente divergente por la izquierdaen a si se verifica lo si-guiente:

8M 2 RC 9 ı2RC W a � ı < x < a

x2I

�÷f .x/ > M (4.21)

Simbólicamente, escribimos lKımx!ax<a

f .x/DC∞.

Se dice quef es positivamente divergente por la derechaen a si se verifica lo siguiente:

8M 2 RC 9 ı2RC W a < x < aC ıx2I

�÷f .x/ > M (4.22)

Simbólicamente, escribimos lKımx!ax>a

f .x/DC∞.

De forma análoga se definen los conceptos:

� “f es negativamente divergenteen a”. Simbólicamente lKımx!a

f .x/D�∞.

� “f es negativamente divergente por la izquierda o por la derecha en a”. Simbólica-mente lKım

x!ax<a

f .x/D�∞ lKımx!ax>a

f .x/D�∞

Gráficamente, el hecho de que una función sea divergente en unpuntoa, se traduce en quela recta de ecuaciónx D a es unaasíntota verticalde su gráfica.

4.5.2.2. Límites en infinito

4.37 Definición.Seaf W I ! R una función definida en un intervalono mayoradoI . Se diceque f tiene límite enC∞ si existe un númeroL2R tal que se verifica lo siguiente:

8" 2 RC 9K2RC W x > K

x2I

�÷jf .x/�Lj < " (4.23)

Dicho número se llama límite def enC∞ y escribimos lKımx!C1

f .x/D L.

Análogamente se define el límite en�∞.

Gráficamente, el hecho de que una función tenga límite igual aL enC1 o en�1, setraduce en que la recta de ecuacióny DL es unaasíntota horizontalde su gráfica.

4.5.2.3. Funciones divergentes en infinito

4.38 Definición.Seaf W I ! R una función definida en un intervalono mayoradoI . Se diceque f es positivamente divergente enC∞ si se verifica lo siguiente:

8M 2 RC 9K2RC W x > K

x2I

�÷f .x/ > M (4.24)

Álgebra de límites 137

En cuyo caso escribimos lKımx!C1

f .x/DC∞.

Llegados aquí, no debes tener dificultad en precisar el significado de:

lKımx!C1

f .x/D�∞; lKımx!�1

f .x/DC∞; lKımx!�1

f .x/D�∞:

4.6. Álgebra de límites

Es evidente que la existencia del límite de una función en un punto a depende solamentedel comportamiento de la función en los puntos próximos al punto a, es decir, el concepto delímite, al igual que el de continuidad en un punto, es un concepto local. Para calcular un límitelKım

x!af .x/, podemos restringir la funciónf a un intervaloabiertoque contenga al puntoa. Eso

es lo que se afirma en el siguiente resultado que es de comprobación inmediata.

4.39 Proposición.SeaJ un intervalo abierto que contiene al puntoa. Entonces se verificaque lKım

x!af .x/DL si, y sólo si, lKım

x!afjJ .x/DL.

El siguiente resultado pone de manifiesto la compatibilidadde la “operación de paso allímite” con la estructura algebraica y de orden deR.

4.40 Teorema.Supongamos quef y g tienen límite ena donde aceptamos quea puede serun número real, oC1, o�1. Se verifica entonces que:

i) Las funcionesf C g y fg tienen límite ena y

lKımx!a

.f C g/.x/D lKımx!a

f .x/C lKımx!a

g.x/; lKımx!a

.fg/.x/D lKımx!a

f .x/ lKımx!a

g.x/

ii) Si lKımx!a

f .x/¤ 0, entonces lKımx!a

1

f .x/D 1

lKımx!a

f .x/.

iii) Si f .x/6 g.x/ para todox2I , x ¤ a, entonceslKımx!a

f .x/6 lKımx!a

g.x/.

iv) Supongamos quef .x/6h.x/6g.x/para todox2I , x¤a y lKımx!a

f .x/D lKımx!a

g.x/DL.

Entonces se verifica queh tiene límite ena y lKımx!a

h.x/DL.

En el siguiente resultado se establecen condiciones que garantizan la divergencia de unasuma o de un producto.

4.41 Teorema. Supongamos quef es positivamente divergente ena, lKımx!a

f .x/ D C∞,

donde aceptamos quea puede ser un número real, oC∞, o�∞.

i) Supongamos que hay un númeroM 2 R tal que g.x/ > M para todox 2 I , x ¤ a .Entonces lKım

x!a.f C g/.x/DC∞.

ii) Supongamos que hay un númeroM > 0 tal que g.x/ > M para todox 2 I , x ¤ a .Entonces lKım

x!a.fg/.x/DC∞.



Álgebra de límites 138

Observa que la condición eni) se cumple sif tiene límite ena o diverge positivamente ena; y la condiciónii) se cumple sif tiene límitepositivoena o diverge positivamente ena.

En el siguiente resultado se establece queel producto de una función con límite0 por unafunción acotada tiene límite cero.

4.42 Teorema. Supongamos quelKımx!a

f .x/ D 0, y que hay un númeroM > 0 tal que

jg.x/j6 M para todox2I , x ¤ a . Entonces lKımx!a

.fg/.x/D 0.

Con frecuencia este resultado se aplica cuando la funcióng es alguna de las funcionesseno, coseno, arcoseno, arcocoseno o arcotangente. Todas ellas son, como ya sabes, funcionesacotadas.

El siguiente resultado establece que la continuidad permuta con el paso al límite. Es unresultado que se usará bastante cuando estudiemos técnicasde cálculo de límites.

4.43 Teorema.Supongamos quef tiene límite en el puntoa y seaLD lKımx!a

f .x/. Seag una

función continua enL. Entonces se verifica que la función compuestag ıf tiene límite enaigual ag.L/, esto es,lKım

x!a.g ıf /.x/D g.L/. Simbólicamente:

lKımx!a

.g ıf /.x/D g. lKımx!a

f .x// (4.25)

Demostración. Apoyándonos en la proposición (4.33), podemos demostrar este resultado re-duciéndolo a un resultado ya conocido de funciones continuas. Para ello basta con definirf .a/ D L con lo que, usando (4.33), resulta quef (seguimos llamandof a la función asímodificada) es continua ena. Ahora aplicamos el teorema (4.6) de continuidad de una compo-sición de funciones para obtener queg ıf es continua ena y de nuevo volvemos a usar (4.33),para obtener que

lKımx!a

.g ıf /.x/D .g ıf /.a/D g.f .a//D g.L/D g�

lKımx!a

f .x/�

2

4.44 Definición. Se dice que dos funcionesf y g sonasintóticamente equivalentesen un

puntoa2R [ fC1;�1g, y escribimosf .x/ � g.x/.x ! a/, cuando lKımx!a

f .x/

g.x/D 1.

El siguiente resultado, consecuencia inmediata de la definición dada y de las propiedadesde los límites funcionales ya vistas, es muy útil para calcular límites funcionales. Nos dice quepara calcular el límite de un producto o de un cociente de funciones podemos sustituir una deellas por otra asintóticamente equivalente.

4.45 Proposición.Seanf y g funciones asintóticamente equivalentes en un puntoa 2 R obienaDC1 o aD�1, y h W I n fag ! R una función cualquiera. Se verifica que:

a) lKımx!a

f .x/h.x/D L” lKımx!a

g.x/h.x/D L.

b) lKımx!a

f .x/h.x/DC1” lKımx!a

g.x/h.x/DC1.



Límites y discontinuidades de funciones monótonas 139

4.6.1. Límites y discontinuidades de funciones monótonas

El hecho de que una función sea discontinua en un punto puede deberse a causas diferentesque se consideran en la siguiente definición.

4.46 Definición(Clasificación de las discontinuidades). Seaf W I ! R una función defini-da en un intervalo y seaa2I .

� Si f tiene límite ena y lKımx!a

f .x/ ¤ f .a/, se dice quef tiene en el puntoa una

discontinuidad evitable.

� Si los dos límites laterales def en a existen y son distintos:

lKımx!ax<a

f .x/¤ lKımx!ax>a

f .x/

se dice quef tiene en el puntoa unadiscontinuidad de salto.

� Si alguno de los límites laterales no existe se dice quef tiene en el puntoa unadis-continuidad esencial.

4.47 Definición(Continuidad por un lado). Se dice que una funciónf W I ! R es continuapor la izquierda en un puntoa2I si lKım

x!ax < a

f .x/Df .a/; y se dice que es continua por la derecha

en un puntoa2I si lKımx!ax > a

f .x/D f .a/.

Puedes comprobar fácilmente lo que afirma el siguiente resultado sin más que hacer lagráfica de una función creciente que tenga algunas discontinuidades. No obstante, se trata deun resultado importante que se usará más adelante para estudiar la convergencia de integrales.

4.48 Teorema(Límites de una función monótona). Seaf una función creciente definida enun intervalo I .

i) Para todo puntoa2I que no sea un extremo deI se verifica que:

lKımx!ax<a

f .x/D supff .x/ W x2I; x < ag; lKımx!ax>a

f .x/D Kınfff .x/ W x2I; x > ag

ii) Si a2R [ f�∞g es el extremo izquierdo deI , entonces:

a) Si f está minorada enI es lKımx!a

f .x/D Kınfff .x/ W x2I n fagg.

b) Si f no está minorada enI es lKımx!a

f .x/D�∞.

iii) Si a2R [ fC∞g es el extremo derecho deI , entonces:

a) Si f está mayorada enI es lKımx!a

f .x/D supff .x/ W x2I n fagg.

b) Si f no está mayorada enI es lKımx!a

f .x/DC∞.

Comportamientos asintóticos de las funciones elementales 140

Demostración. Supongamos quea2I no es el extremo izquierdo deI , es decir que el conjuntofx2I Wx < ag no es vacío. Entonces, el conjuntoBDff .x/Wx2I; x<ag tampoco es vacío y,por serf creciente, el númerof .a/ es un mayorante deB. Sea D supff .x/ W x2I; x < ag.Dado" > 0, el número � " no puede ser mayorante deB, es decir, tiene que haber algúnpuntox02I , x0 < a tal que˛�" < f .x0/. SeaıDa�x0 > 0. Entonces paraa� ı < x < a,esto es, parax0 < x < a, se verifica que � " < f .x0/ 6 f .x/ 6 ˛, lo que claramenteimplica que˛ � " < f .x/ < ˛ C ", es decir,jf .x/ � ˛j < ". Hemos probado así quelKım

x!ax<a

f .x/D supff .x/ W x2I; x < ag.

Los demás casos se prueban de forma muy parecida y quedan comoejercicios. Igualmente,queda como ejercicio considerar el caso en que la función es decreciente. 2

Como consecuencia inmediata de este resultado obtenemos elsiguiente teorema.

4.49 Teorema(Discontinuidades de las funciones monótonas). Seaf una función monótonaen un intervalo. Entonces:

i) En los puntos del intervalo que no son extremos del mismo,f solamente puede tenerdiscontinuidades de salto.

ii) Si el intervalo tiene máximo o mínimo,f puede tener en dichos puntos discontinuidadesevitables.

4.6.2. Comportamientos asintóticos de las funciones elementales

4.6.2.1. Límites de exponenciales y logaritmos

Los resultados que siguen son de gran utilidad para calcularlímites. Todos ellos son con-secuencia de la continuidad y crecimiento de las funciones exponencial y logaritmo naturales.

4.50 Proposición.Seaa un número real oaDC∞ o aD �∞. En los apartados b1), b2) yb3) se supone quef .x/ > 0.

a1) lKımx!a

f .x/D L” lKımx!a

ef .x/DeL.

a2) lKımx!a

f .x/DC∞” lKımx!a

ef .x/DC∞.

a3) lKımx!a

f .x/D�∞” lKımx!a

ef .x/D0.

b1) lKımx!a

f .x/D L > 0” lKımx!a

logf .x/D logL.

b2) lKımx!a

f .x/DC∞” lKımx!a

logf .x/DC∞.

b3) lKımx!a

f .x/D 0” lKımx!a

logf .x/D�∞.

El siguiente resultado, cuya justificación se verá más adelante, es de gran importancia. Enél se comparan los “órdenes de crecimiento” de las funciones logaritmo, potencias y exponen-ciales, resultando lo siguiente.

Indeterminaciones en el cálculo de límites 141

� Para valores dex > 0 muy grandes, cualquier potencia del logaritmo.logx/� (por muygrande que sea� > 0) es muy pequeña comparada conx˛ para˛ > 0 (por muy pequeñaque sea > 0).

� Para valores dex > 0 muy grandes, cualquier potenciax˛ (por muy grande que sea˛ > 0) es muy pequeña comparada con e�x para� > 0 (por muy pequeño que sea� > 0).

4.51 Proposición.a) lKımx!C1

jlogxj�

x ˛D 0 para todos > 0 y�2R.

b) lKımx!0jxj˛

ˇlogjxj

ˇ� D 0 para todos > 0 y�2R.

c) lKımx!C1

x ˛

e�xD 0 para todos > 0 y� > 0.

Observa que los apartados a) y b) se deducen uno de otro cambiandox por 1=x.

4.7. Indeterminaciones en el cálculo de límites

Frecuentemente hay que estudiar el límite de una suma o producto de dos funciones pre-cisamente cuando las reglas que hemos visto anteriormente no pueden aplicarse. Se trata deaquellos casos en que el comportamiento de las funcionesf C g, fg, no está determinado porel def y g. Por ejemplo, si sabemos que lKım

x!af .x/ D C∞ y que lKım

x!ag.x/ D �∞, ¿qué

podemos decir en general del comportamiento en el puntoa de la funciónf C g? Respuesta:absolutamente nada. En consecuencia, para calcular un límite del tipo lKım

x!a.f C g/.x/ donde

lKımx!a

f .x/D C∞ y lKımx!a

g.x/ D �∞ se requiere un estudio particular en cada caso. Suele

decirse que estos límites sonuna indeterminación del tipo “∞�∞”.

Análogamente, si sabemos que lKımx!a

f .x/ D 0 y que la funcióng es divergente (positi-

vamente o negativamente) en el puntoa, ello no proporciona ninguna información sobre elcomportamiento de la funciónfg en dicho punto. Cuando esto ocurre se dice que el límitelKım

x!a.fg/.x/ es una indeterminación del tipo “0 ∞” . Las indeterminaciones que aparecen

al estudiar el cociente de dos funciones divergentes o de dosfunciones con límite cero, esdecir, las llamadasindeterminaciones de los tipos“∞=∞”, “ 0=0”, pueden reducirse a unaindeterminación del tipo “0 ∞”.

Todavía hemos de considerar nuevas indeterminaciones que van a surgir al considerar fun-ciones de la formaf .x/g.x/ dondef es una función que toma valores positivos yg es unafunción cualquiera. Puesto que:

f .x/g.x/ D exp.g.x/ logf .x//

teniendo en cuenta los resultados anteriores, el límite lKımx!a

f .x/g.x/ vendrá determinado por

el límite lKımx!a

g.x/ logf .x/, el cual, a su vez, está determinado en todos los casos por el

comportamiento en el puntoa de las funcionesf y g, excepto cuando dicho límite es unaindeterminación del tipo “0 ∞”, lo que ocurre en los siguientes casos:



� lKımx!a

f .x/D 1, lKımx!ajg.x/j D C∞ (indeterminación “11”)

� lKımx!a

f .x/DC∞, lKımx!a

g.x/D 0 (indeterminación “∞0”)

� lKımx!a

f .x/D 0, lKımx!a

g.x/D 0 (indeterminación “00")

Ni que decir tiene que no hay técnicas generales que permitan“resolver las indeterminacio-nes”, ¡no serían tales si las hubiera! Es por ello que, los límites indeterminados, requieren unestudio particular en cada caso. Es un hecho que la mayoría delos límites que tienen algúninterés matemático son límites indeterminados. Cuando estudiemos las derivadas obtendremostécnicas que en muchos casos permitirán calcular con comodidad dichos límites.


156. Seaa2R [ fC1;�1g. Prueba que

lKımx!ajf .x/j D C1” lKım

x!a

1

jf .x/j D 0 (4.26)

Particulariza este resultado para los casos en quef solamente toma valores positivos onegativos.

157. SeaL2R [ fC1;�1g. Prueba que

lKımx!0x > 0

f .x/DL ” lKımx!C1

f .1=x/DL (4.27)

lKımx!0x < 0

f .x/DL ” lKımx!�1

f .1=x/D L (4.28)

158. Seaf W�0; 1Œ! R la función dada parax 2�0; 1Œ por:

f .x/D 2

xC 1

x.x � 1/:

Prueba que lKımx!0

f .x/D C1 y que lKımx!1

f .x/D �1: Deduce que la imagen def es

todoR:

159. Calcula la imagen de la funciónf W� � 1; 1Œ! R, definida por

f .x/D x .1 � x2/�1=2;8x 2� � 1; 1Œ:

160. Seaf WR! R la función definida porf .x/De� 1

x2 ; 8x 2 R�; f .0/D 0: Justifica quef es continua enR, estrictamente decreciente enR� y estrictamente creciente enRC:Calcula la imagen def .

161. Seanf;g WR! R las funciones definidas por

f .x/D(

1

1C e1=x; si x ¤ 0

0 ; si x D 0g.x/D

8<:

ex

x; si x < 0

x ; si 0 6 x < 15p

x ; si x > 1

Estudia la continuidad def y g en todo punto deR y la existencia de límites def y g

enC1 y en�1.

162. Seaf W R ! R la función definida porf .0/D 0 y f .x/D sen.x/ sen.1=x/, para todox ¤ 0. Estudia la continuidad def y la existencia de límites enC1 y en�1:

163. Seaf W Œ0; 1Œ! R una función continua. Definamosg.x/ D f .x � E.x// para todox2R. Prueba que la funcióng, así definida, es continua si, y sólo si, lKım

x!1f .x/D f .0/.

Supuesto que esta condición se cumple, y quef no es constante, definamosh WR! R

por h.x/Dg.1=x/ si x¤0, y h.0/Df .0/. Justifica queh es continua y acotada enR�.Calcula la imagen porh de un intervalo de la forma�0; r Œ donde0 < r < 1. Deduce queh no tiene límite por la izquierda ni por la derecha en0 y que la imagen porh de todointervalo es también un intervalo.

164. Sea 2R y f WRCo ! R la función definida porf .0/D 0 y:

f .x/D x˛ sen1

x; .x > 0/:

Estudia la continuidad def según los valores de.

165. Supongamos quea < 0 < b. Estudia el comportamiento en cero de las funcionesf;g WR� ! R dadas para todox ¤ 0 por :

f .x/D arc tgb

x� arc tg

a

x; g.x/D xf .x/:

166. Determina la imagen de la funciónf W R� ! R dada para todox ¤ 0 por f .x/ Darc tg.log jxj/:

167. Seaf WR n f1g ! R la función dada para todox ¤ 1 por

f .x/D arc tg1C x

1 � x:

Estudia la continuidad def y su comportamiento en el punto1, enC1 y en �1.Calcula la imagen def .

168. La ecuaciónax2 C 2x � 1D 0 dondea > �1, a ¤ 0 tiene dos soluciones que repre-sentaremos por�.a/ y por �.a/. Calcula los límites de dichas funciones enaD 0 y enaD�1.

169. Estudia los límites enC∞ y en�∞ de:

a) Una función polinómica.

b) Una función racional.

170. Seaf WR! R una función continua no nula tal que lKımx!�1

f .x/D0 y lKımx!C1

f .x/D0.

Prueba que sif toma algún valor positivo entoncesf alcanza un máximo absoluto enR.



Ejercicio resuelto 72 Seaa2R [ fC1;�1g. Prueba que

lKımx!ajf .x/j D 0” lKım

x!a

1

jf .x/j D C1

Particulariza este resultado para los casos en quef solamente toma valores positivos onegativos.

Solución.Basta advertir que

jf .x/j < "” 1

jf .x/j >1

"

y notar que" es positivo y muy pequeño equivale a que1=" sea positivo y muy grande.En particular, tenemos que

f .x/ > 0 ^ lKımx!a

f .x/D 0 ” lKımx!a

1

f .x/DC1 (4.29)

f .x/ < 0 ^ lKımx!a

f .x/D 0 ” lKımx!a

1

f .x/D�1 (4.30)

©

Ejercicio resuelto 73 SeaL2R [ fC1;�1g. Prueba que

lKımx!0x > 0

f .x/DL ” lKımx!C1

f .1=x/DL

lKımx!0x < 0

f .x/DL ” lKımx!�1

f .1=x/D L

Solución.Basta advertir que

0 < x < ı” 1

x>

1

ı; �ı < x < 0” 1

x< �1

ı

y notar queı es positivo y muy pequeño equivale a que1=ı sea positivo y muy grande.©

Ejercicio resuelto 74 Seaf W�0; 1Œ! R la función dada parax 2�0; 1Œ por:

f .x/D 2

xC 1

x.x � 1/:

Prueba que lKımx!0

f .x/D C1 y que lKımx!1

f .x/D �1: Deduce que la imagen def es

todoR:

Solución.Solamente debemos considerar valores dex en el intervalo�0; 1Œ que es dondeestá definidaf . Teniendo en cuenta que por (4.29), y (4.30) es:

lKımx!0x > 0

2

xDC1; lKım

x!0x > 0

1

x.x � 1/D�1; lKım

x!1x < 1

1

x.x � 1/D�1

Deducimos que lKımx!1

f .x/D�1 y que enxD0 el límite pedido es una indeterminación

del tipo1�1. Pero eso se debe solamente a la forma en que está escritaf . Basta hacerla suma indicada:

f .x/D 2

xC 1

x.x � 1/D 2x � 1

x.x � 1/

para darse cuenta, por (4.29) puesf .x/ > 0 para0 < x < 1=2, que lKımx!0

f .x/DC1.

Finalmente, comof es continua en�0; 1Œ, el teorema de Bolzano nos dice que la ima-gen def , el conjuntof .�0; 1Œ/, es un intervalo. Comof diverge positivamente en0 ydiverge negativamente en1, deducimos quef no está mayorada ni minorada en�0; 1Œ,concluimos quef .�0; 1Œ/ es un intervalo no mayorado ni minorado, esto es,f .�0; 1Œ/DR.

Comentario. Observa que los límites que hemos calculado def son realmente límiteslaterales pues nos dicen quef está definida en�0; 1Œ. La cosa cambia mucho si consi-deramos quef está definida en su dominio natural que es el conjuntoA D R n f0; 1g,que es una unión de tres intervalos. En ese casof no tiene, por supuesto, límite en0; nitampoco diverge positivamente ni negativamente en 0 pues ellímite def por la izquierdaen0 es�1. Análogamente, el límite def por la derecha en1 esC1.

Ejercicio resuelto 75 Seaf W Œ0; 1Œ! R continua. Definamosg.x/Df .x�E.x// para to-dox2R. Prueba que la funcióng, así definida, es continua si, y sólo si, lKım

x!1f .x/Df .0/.

Supuesto que esta condición se cumple, y quef no es constante, definamosh WR! R

por h.x/Dg.1=x/ si x¤0, y h.0/Df .0/. Justifica queh es continua y acotada enR�.Calcula la imagen porh de un intervalo de la forma�0; r Œ donde0 < r < 1. Deduce queh no tiene límite por la izquierda ni por la derecha en0 y que la imagen porh de todointervalo es también un intervalo.

Solución.La funcióng es periódica con período igual a1 porque:

g.x C 1/D f .x C 1 �E.x C 1//D f .x �E.x//D g.x/:

También es claro queg.x/ D f .x/ para todox 2 Œ0; 1Œ. Por la propiedad local de lacontinuidad, comof es continua en�0; 1Œ, deducimos queg es continua en�0; 1Œ. Por laperiodicidad deg, se sigue queg es continua enR n Z. Para estudiar la continuidad deg en los enteros, es suficiente estudiarla en0. Por la continuidad def en0, tenemos quelKım

x!0x > 0

g.x/D lKımx!0x > 0

f .x/D f .0/. Ahora, por la periodicidad deg:

lKımx!0x < 0

g.x/D lKımx!0x < 0

g.1C x/D lKımx!1x < 1

g.x/D lKımx!1x < 1

f .x/D lKımx!1

f .x/:

Deducimos queg es continua en0 si, y sólo si, lKımx!0x < 0

g.x/D lKımx!1

f .x/D g.0/D f .0/.

La continuidad deh enR� es consecuencia de la propiedad local de la continuidad y deque la composición de funciones continuas es continua. Dador 2�0; 1Œ, seax 2 Œ0; 1Œ.Podemos tomar un númeron2N tal quez D 1

nC x2�0; r Œ. Tenemos que:

h.z/D f .nC x �E.nC x//D f .x �E.x//D g.x/:

Por tantoh.�0; r Œ/ � g.Œ0; 1Œ/ D g.Œ0; 1�/. Comog es continua, el conjuntog.Œ0; 1�/ esun intervalo cerrado y acotado, en particular está acotado.Por la periodicidad deg esg.R/ D g.Œ0; 1�/. Deducimos queh.R/ D g.R/ D g.Œ0; 1�/ es un conjunto acotado, esdecir,h es una función acotada. De lo anterior deducimos queh.�0; r Œ/ D g.Œ0; 1�/ paratodor 2�0; 1Œ (y, comog no es constante,gŒ0; 1� es un intervalo no reducido a un punto),es evidente queh no tiene límite por la derecha en0. De forma parecida se justifica queh no tiene límite por la izquierda en0.

Si I es un intervalo no reducido a un punto. SiI no contiene a0, entonces debe serI � RC o bienI � R� y, comoh es continua enR�, se sigue queh es continua enIy, por tantoh.I / es un intervalo. Si el intervaloI contiene a0, entoncesI debe contenerun intervalo de la forma�0; r Œ o un intervalo de la forma� � r; 0Œ para algúnr 2�0; 1Œ. Encualquier caso, se sigue por lo antes visto queh.I / D g.Œ0; 1�/ y, por tanto,h.I / es unintervalo. ©

Ejercicio resuelto 76 Sea 2R y f WRCo ! R la función definida porf .0/D 0 y:

f .x/D x˛ sen1

x; .x > 0/:

Estudia la continuidad def según los valores de.

Solución.Observa que la función solamente está definida parax > 0. La razón de estoes que parax < 0 la potenciax˛ no siempre está definida.

Para hacer este ejercicio debes recordar que la función senoestá acotada:jsenzj61 paratodoz2R. Por tanto, cualquiera seax ¤ 0 se tiene quejsen.1=x/j 6 1.

Debes tener también en cuenta que la función seno toma todos los valores del intervaloŒ�1; 1� en cualquier intervalo de longitud mayor que2� .

Si˛ > 0, la funciónh.x/Dx˛, definida parax>0, tiene límite en0 igual a0. Concluimosque lKım

x!0f .x/D0 porquef .x/Dh.x/ sen.1=x/ es producto de una función acotada por

otra con límite0.Por tanto,f es continua en0.

Consideremos que D 0, en cuyo caso,f .x/ D sen.1=x/. Esta función toma todoslos valores del intervaloŒ�1; 1� en cualquier intervalo de la forma�0; ıŒ cualquieraseaı > 0. Pues tomandoa > 1=ı tenemos que1

a2�0; ıŒ y, en consecuenciaf .�0; ıŒ/ �

sen.�a;C1Œ/ � Œ�1; 1�. Se deduce enseguida quef .x/D sen.1=x/ no tiene límite en0,es decir, tiene una discontinuidad esencial en0.

Es imposible representar gráficamente esta función porque su gráfica contiene infinitasondas de amplitud cada vez más pequeña que se van aplastando sobre el eje de ordenadas.Observa que la imagen por la función sen.1=x/ del intervalo

�1

2n��=2; 1

2n�C�=2

�es el

1-1

Figura 4.4. La funciónf .x/D sen.1=x/

intervaloŒ�1; 1�. La gráfica siguiente puede ser útil para que imagines cómo esla gráficadef .x/D sen.1=x/ parax cerca de0.

Para valores de < 0 la cosa es todavía peor. Te lo dejo para que lo acabes tú. ©

Ejercicio resuelto 77 Supongamos quea < 0 < b. Estudia el comportamiento en cero delas funcionesf;g WR� ! R dadas para todox ¤ 0 por :

f .x/D arc tgb

x� arc tg

a

x; g.x/D xf .x/:

Solución.En este ejercicio (y en los siguientes) debes tener en cuentaque:

lKımx!�1

arc tgx D��2; lKım

x!C1arc tgx D �

2; ��

2< arc tgx <

�

2

Tenemos que:

lKımx!0x < 0

a

xDC1; lKım

x!0x < 0

b

xD�1; lKım

x!0x > 0

a

xD�1; lKım

x!0x > 0

b

xDC1

Deducimos que:

lKımx!0x < 0

f .x/D��2� �

2D��; lKım

x!0x > 0

f .x/D �

2C �

2D �

Observa que la funciónf está acotada:

jf .x/j6ˇˇarc tg

b

x

ˇˇC

ˇˇarc tg

b

x

ˇˇ6

�

2C �

2D �

Por tantog.x/ es el producto de un función con límite0 por una función acotada. Sesigue que lKım

x!0g.x/D 0. Eso es todo lo que podemos decir del comportamiento def y

g en0. No tiene sentido considerar su continuidad en0 porque no están definidas en0.Si se definef .0/D� y g.0/D 0, entoncesf tiene una discontinuidad de salto en0 y escontinua por la derecha en0, y g es continua en0.

Ejercicio resuelto 78 Estudia los límites enC∞ y en�∞ de:

a) Una función polinómica.

b) Una función racional.

Solución.a) Sea


una función polinómica de grado parn > 1. Podemos suponer quecn > 0. Usando ladesigualdad (4.8) del corolario (4.22), sabemos que hay un númeroK > 1 tal que parajxj> K es:

P .x/

xn>

cn

2> 0 .1/

Pongamos en lo que sigueD cn

2.

Supongamos quen es par. EntoncesxnD > 0 y, por tantoxn D jxjn para todox ¤ 0.Deducimos de (1) que para todox ¤ 0 es

P .x/> ˛jxjn:

Como lKımx!�1

jxjn D lKımx!C1

jxjn D C1, deducimos, por la desigualdad anterior, que

lKımx!�1

P .x/D lKımx!C1

P .x/DC1.

Supongamos quen es impar. Entonces parax < 0 se tiene quexn < 0. De la desigualdad(1) deducimos que

P .x/> ˛xn .x > 0/; P .x/6 ˛xn .x < 0/:

Como lKımx!�1

xnD�1 y lKımx!C1

xnDC1, deducimos, por las desigualdades anteriores,

que lKımx!�1

P .x/D�1, lKımx!C1

P .x/DC1.

El caso en quecn < 0 se deduce de lo anterior sin más que considerar el polinomio�P .x/.

Otra forma, quizás mejor, de obtener estos resultados es como sigue. De la igualdad

P .x/

xnD cn C

cn�1

xC cn�2

x2C � � � C c1

xn�1C c0

xn

obtenida dividiendo el polinomioP .x/ por xn, se sigue enseguida que

lKımx!�1

P .x/

xnD lKım

x!C1P .x/

xnD cn

De aquí se sigue que las funcionesP .x/ y cnxn son asintóticamente equivalentes parax ! �1 y parax ! C1, de donde se deducen de forma inmediata los mismosresultados antes obtenidos.

b) Supongamos ahora queQ.x/DbmxmCbm�1xm�1C� � �Cb1xCb0 es otra funciónpolinómica de gradom conbm > 0. Para estudiar los límites en1 de la función racio-

nalf .x/D P .x/

Q.x/podemos sustituirP y Q por funciones asintóticamente equivalentes

a ellas en˙1. Por lo antes visto, tenemos queP .x/ Ï cnxn y Q.x/ Ï bmxm parax !˙1, por tanto:

f .x/D P .x/

Q.x/Ï

cnxn

bmxmD cn

bmxn�m .x !˙1/

Deducimos que:

lKımx!�1

P .x/

Q.x/D

8ˆ<ˆ:

C1; n > m n �m par�1; n > m n �m imparcn

bm; nDm

0; m > n

lKımx!C1

P .x/

Q.x/D

8<

:

C1; n > mcn

bm; nDm

0; m > n

Capıtulo5

Numeros y lımites. El infinito matematico

Even as the finite encloses an infinite seriesAnd in the unlimited limits appear,So the soul of immensity dwells in minutaAnd in the narrowest limits, no limits inhereWhat joy to discern the minute in infinity!The vast to perceive in the small, what Divinity!Jakob Bernoulli

5.1. Introducción

Las confusas formulaciones iniciales, a finales del siglo XVII, de los conceptos principalesdel Cálculo, tienen un acentuado contenido geométrico o mecánico. Muy lentamente, a lo largode los siglos XVIII y XIX, van evolucionando hasta que lleganfinalmente a expresarse pormedio del álgebra de desigualdades, ya totalmente desprovistas de referencias geométricaso mecánicas. Este largo proceso se conoce con el nombre deAritmetización del Análisis, yalcanza su máximo empuje y desarrollo en el siglo XIX graciasa los trabajos de Bolzano,Cauchy, Dedekind, Weierstrass y Cantor. Bajo su influencia,el Cálculo, que durante el sigloXVIII no era más que una colección de técnicas para resolver los más variados problemas, sefue transformando a lo largo del siglo XIX en una teoría científica sólidamente fundamentaday rigurosa en sus métodos: el Análisis Matemático.

En el Capítulo anterior hemos estudiado dos conceptos fundamentales del Análisis Mate-mático: el de número real y el de límite funcional. Creo que esmuy instructivo que conozcasalgunas etapas del camino que condujo a su formulación actual, pues así podrás apreciarlos yentenderlos mejor.

Las ideas que siguen están ampliamente desarrolladas y expuestas con claridad en los libros

150

Evolución del concepto de número 151

de Burton [3], Giovanni Ferraro [6] y Gert Schubring [14]. Así mismo las páginas de Wikipediadedicadas al concepto denúmeroy de número negativoy, muy especialmente, la página delprofesorJohn L. Bell, contienen información muy interesante.

5.2. Evolución del concepto de número

Si te pregunto “¿qué es para ti el número 5?” Me dirás: está claro, es justamente aquelloque tienen en común todos los grupos de objetos que pueden contarse con los dedos de unamano. Sabes que es una abstracción, un concepto. Si sales ahíafuera, puedes encontrar cincobicicletas o cinco bancos en el parque, pero seguro que en ninguno de ellos está sentado elnúmero 5. También sabes que7

10es un número y te lo representas sin ninguna dificultad: son

siete décimas partes. De qué sean las partes eso no importa, pueden ser de cualquier cosa. Elnúmero 7

10también es una abstracción. Los números negativos no te causan problemas, sabes

que son útiles para hacer cálculos y muy convenientes para representar valores en una escala.Y ¿qué me dices de los números como

p2? Pues que tienen una expresión decimal que no

acaba ni se repite, que pueden aproximarse por fracciones decimales, que pueden expresar elresultado exacto de una medida o, simplemente, que es un número cuyo cuadrado es igual a2. Del cero ya, ni te hablo, a estas alturas debe ser un viejo amigo tuyo. Pero debes tener bienclaro que las cosas no siempre fueron así.

5.2.1. Números y cantidades en la antigua Grecia

Los griegos de la antigüedad distinguían entre“número” y “cantidad” o “magnitud” .Para ellos un número era un agregado de unidades. Podemos precisar más. Un número es unamultiplicidad que se obtiene por repetición de un individuo– la unidad –, cuyas partes estánseparadas – son discontinuas – y tienen fronteras bien definidas. Por todo ello, una característicaesencial de los números era su carácterdiscreto. Por otra parte, los números no tienen sentidosi se separan de los objetos materiales o ideales a los que enumeran. Así, “tres árboles” tienesentido, pero “tres” por sí mismo carece de significado. Es decir, un número es un atributo deun grupo de objetos y carece de autonomía propia.

Una “cantidad” puede ser, entre otras cosas, tiempo, longitud, volumen, velocidad o masa.La característica esencial de la cantidad es sucontinuidad. Una cantidad puede dividirse inde-finidamente, pero no está formada por partes separadas que son réplicas de una unidad, sinoque sus componentes están unidos entre sí por fronteras comunes: donde acaba uno empiezaotro. Por ejemplo, un área plana puede dividirse en trozos que, al estar unidos unos con otros,pierden su singularidad quedando como partes indiferenciadas de un todo. Por otra parte, losmatemáticos griegos no estudiaron la cantidad como algo abstracto, para elloslas cantidadestienen siempre un carácter concreto: son una cantidad de algo.

El concepto de cantidad estaba estrechamente ligado a la Geometría. Una proporción entredos segmentos es una cantidad que a veces puede expresarse con ayuda de números. Cuandodichos segmentos admiten una unidad de medida común podemosdecir que la razón de uno aotro es, por ejemplo, de7 W 10 pero, para los griegos,7 W 10 no es un número sino una formade expresar una cantidad concreta, que podría leerse algo así como “siete partes de diez”. Ellossolamente consideraban como números los enteros positivosy ni siquiera consideraban comonúmero a la unidad. La unidad era, eso, “la unidad” de la que estaban formados los números,pero ella misma no era un número.



http://en.wikipedia.org/wiki/Number

http://en.wikipedia.org/wiki/Negative_and_non-negative_numbers

http://publish.uwo.ca/~jbell/

Números y cantidades en la antigua Grecia 152

Figura 5.1. Euclides

En el Capítulo 1 nos ocupamos del descubrimiento de lascantidades inconmensurables, esto es, razones de segmen-tos que no admiten una unidad de medida común. El ha-llazgo de lo que nosotros llamamos “números irraciona-les”, como

p2, no tiene ningún significado aritmético para

los griegos; su significado era geométrico: no puedes me-dir la diagonal de un cuadrado con su lado.Euclides, elmatemático más famoso de la Escuela de Alejandría, en elLibro X de losElementos(300 a.C.), clasifica las magni-tudes inconmensurables en los tipos siguientes (uso, claroestá, la notación actual):

a˙p

b;p

a˙p

b;

qa˙p

b;

qpa˙p

b

Donde se entiende quea y b son racionales.

La existencia de segmentos inconmensurables era un serio problema para el desarrollo dela geometría pues, como dichos segmentos no pueden compararse, no se sabía cómo interpretarsu proporción. Por ejemplo, un resultado, sin duda conocidopor los pitagóricos, afirma quelasáreas de dos triángulos con igual altura están en la misma proporción que sus bases. ¿Quésentido tiene esta afirmación si las bases no son segmentos conmensurables? El problema estáen que no había una forma de comparar proporciones entre magnitudes inconmensurables.Un matemático,Eudoxo de Cnido(c.400 - 347 a.C.), propuso una teoría axiomática de lasmagnitudes inconmensurables, que está recogida en el LibroV de losElementos, en la quedestacan los siguientes puntos.

E1 (Propiedad arquimediana) Dadas dos magnitudes siempre hay un múltiplo de una de ellasque excede a la otra. Es decir, si es0 < a b.

E2 (Criterio de igualdad) Las proporcionesa W b y c W d son iguales si cualesquiera sean losenteros positivosm, n se tiene que

ma < nb÷mc < nd; maD nb÷mc D nd; ma > nb÷mc > nd (5.1)

Volveremos a considerar más adelante este elaborado criterio de igualdad que, desde luego,no aclaraba nada sobre la naturaleza de las cantidades irracionales y ponía de manifiesto ladificultad de reducir a la aritmética el estudio de las mismas.

La carencia de una teoría aritmética satisfactoria de las cantidades inconmensurables, hizoque los matemáticos griegos consideraran la Geometría comouna ciencia más general que laAritmética, y dedicaran sus esfuerzos al estudio de la primera en detrimento de la última. Laconsecuencia fue que durante casi 2000 años, en Europa, casitodo razonamiento matemáticoriguroso se expresó en lenguaje geométrico.

Quizás el único matemático griego, después de los pitagóricos, que no hizo Geometríasino Aritmética fue Diofanto de Alejandría (c. 214 - 298). Ensu obra llamadaAritmética, dela que se han conservado seis libros de un total de trece, resuelve diversos tipos de ecuacio-nes algebraicas admitiendo como soluciones números enteros o números fraccionarios positi-vos, los cuales son considerados por Diofanto como auténticos números y no solamente comoproporciones. Otra innovación de Diofanto fue la invenciónde una notación “sincopada” queconstituye el primer ejemplo de simbolismo matemático.



http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/mateospetsuak/Euclides.asp

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/MateOspetsuak/Inprimaketak/Eudoxo.asp

De la antigua Grecia a la invención del Cálculo 153

5.2.2. De la antigua Grecia a la invención del Cálculo

Es sabido que la civilización Romana, tan excelente en tantos aspectos, no destacó en elestudio de las ciencias puras y, en particular, de las matemáticas. La prueba de ello es que nohay ningún matemático Romano digno de mención. No obstante,el sistema de numeraciónRomano se impuso extendiéndose por todo el Imperio.

Con el triunfo del Cristianismo a finales del siglo IV y la caída del Imperio Romano deOccidente en el año 476, se inicia una larga era de oscurantismo en Europa. La fe y los dogmasno son demostrables lógicamente; absurdas disputas teológicas ocupan el lugar de los estudiosde la Naturaleza y la Biblia es la fuente de todo conocimiento. Según San Agustín “las pala-bras de las Escrituras tienen más autoridad que toda la inteligencia humana”. El racionalismocientífico es sospechoso de paganismo. Entonces. . . ¿Para qué pensar?

A diferencia que en Grecia, en la India se había desarrolladoprincipalmente la Aritméticay se conocía el sistema de numeración posicional decimal desde el siglo VI. La primera vezque el cero es tratado como un número de pleno derecho es en la obraBrahmasphutasiddhantadel matemático y astrónomo indioBrahmagupta(598 - 670). Esta obra también contenía elprincipio de la numeración decimal posicional y los métodosde cálculo del álgebra india. Enella se tratan los números negativos en términos muy parecidos a los actuales.

Figura 5.2. al-Jwarizmi

La herencia matemática griega pasa a los árabes. La cul-tura árabe tiene una época de esplendor en los siglos VIII- XII. Al-Mamun (c. 786 - 833), sexto califa de la dinastíaAbasida, fundó en Bagdad la Casa de la Sabiduría, una es-pecie de academia con una biblioteca y un observatorio. Allíse tradujeron las obras de los matemáticos y filósofos grie-gos y tuvieron conocimiento de las matemáticas indias.

El más conocido matemático de la Escuela de Bagdadfue Muhammad ibn-Musa al-Jwarizmi de quien ya hemoshablado en el Capítulo 2. En su obraLibro de la Adición yla Sustracción según el cálculo de los hindúesse describe elsistema decimal posicional y se dan métodos para realizarcálculos aritméticos con dicho sistema.

Figura 5.3. Fibonacci

Leonardo de Pisa(c. 1170 - 1250), más conocido comoFibonacci, aprendió en sus viajes por los países árabes delMediterráneo a usar los métodos de al-Jwarizmi. Al regresara Italia, publicó en 1202 elLiber abaci, obra que contribu-yó a extender el sistema de numeración indo-árabe en Oc-cidente. Estudiando las soluciones de una ecuación de ter-cer grado, Fibonacci probó que había números irracionalesdiferentes de los considerados por Euclides. En consecuen-cia, las técnicas del álgebra geométrica griega no permitíanconstruir todas las cantidades inconmensurables.

Fibonacci dio también una interpretación de los números negativos como pérdidas o deudas,que tuvo bastante buena acogida. Pero todavía deberá pasar mucho tiempo para que los númerosnegativos y el cero sean totalmente aceptados como números.



http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/MateOspetsuak/LeonardoPisa.asp


En este apresurado repaso que estamos dando a la historia de los números, debemos avan-zar ahora casi trescientos años para llegar a la siguiente etapa protagonizada por los matemá-ticos italianos del RenacimientoNiccoló Tartaglia(c.1500 - 1557),Gerolamo Cardano(1501- 1576),Rafael Bombelli(1526 - 1572) yLudovico Ferrari(1522 - 1565). Los dos primerosresolvieron la ecuación general de tercer grado de la cual solamente se conocían las solucio-nes en algunos casos particulares. En la resolución de la cúbica, Cardano tuvo en cuenta las

Figura 5.4. Tartaglia

soluciones negativas aunque las llamó “ficticias”, y com-probó que la cúbica podía tener tres soluciones. Así mismo,Cardano reconoció por primera vez la existencia de lo queahora llamamos números complejos (a los que Napier llamó“los fantasmas de los números reales”) aunque no los acep-tó como posibles soluciones. Por su parte, Bombelli fue elprimero en especificar las reglas para sumar y multiplicarnúmeros complejos. Usando dichas reglas, probó que po-dían obtenerse soluciones reales correctas para la cúbica,incluso cuando la fórmula de Tartaglia – Cardano requeríael cálculo de raíces de números negativos.

De esta época es también un opúsculoDe Thiende(1585) (“El Décimo”) – 36 páginas – deSimon Stevin(1548 - 1620), ingeniero y matemático nacido en Brujas, en elque se introducenlas fracciones decimales y se explica su uso en las operaciones aritméticas. Así mismo, en suobraL’Arithmetique(1585) escribió que “no hay números inexplicables, irregulares, irraciona-les, surds1 o absurdos”, indicando con esto que todos los números debíanser tratados por igualy no hacer distinciones entre ellos como si fueran de distinta naturaleza. Después de Stevin, laidea de que 1 era un número ganó una amplia aceptación.

A pesar de estos avances, los conceptos de “número” y “cantidad” de la antigüedad perma-necen sin cambios notables hasta el siglo XVII cuando se desarrolla el simbolismo algebraico.

Lo importante del simbolismo algebraico, no es tanto el uso de los símbolos por sí mis-mos, sino la elaboración de reglas formales para realizar operaciones de forma simbólica. Porejemplo,a2 puede entenderse como una forma simplificada de escribir “elárea del cuadradode ladoa”. Eso es muy distinto de escribir.aC b/2 D a2 C 2ab C b2. Esto último ya es unamanipulación simbólica abstracta en la que las letrasa, b no son más que símbolos sin unanaturaleza concreta.

François Viéteen suIn artem analyticem isagoge(1591) expone una “logistica speciosa”(specis: símbolo), o arte de calcular con símbolos, que fue un paso decisivo para el desarrollodel concepto de cantidad abstracta. No obstante, Viéte consideraba que solamente las canti-dades homogéneas podían compararse entre sí. Para entenderesto debes tener en cuenta que,desde la antigüedad, el producto de dos cantidades, por ejemplo ab, representaba el área de unrectángulo de ladosa y b. De la misma forma,abc representaba el volumen de un ortoedro.Una expresión comoab C c no tenía significado porque no se podía sumar una longitud y unárea: no eran cantidades homogéneas.

El siguiente paso definitivo fue el invento de lageometría analíticaen los años 1630 por

1La palabra griega “alogos”,�o o& , usada por los griegos para designar a los números irracionales, tambiénsignifica “sin discurso” y los árabes la tradujeron porasamm, “sordo” o “mudo”, que fue traducida al latín porsurdus.



http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Tartaglia.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Cardano

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Bombelli.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Ferrari.html

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/MateOspetsuak/Stevin.asp

http://es.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te


Figura 5.5. Viéte Figura 5.6. Fermat Figura 5.7. Descartes

Pierre Fermaty René Descartes. La introducción de coordenadas y la representación de curvaspor medio de ecuaciones supuso un cambio de perspectiva revolucionario. Piensa que, en laAntigüedad, solamente podían estudiarse aquellas curvas para las que se conocía un métodode construcción con regla y compás. Ahora, por primera vez, los objetos geométricos podíanestudiarse por medio del simbolismo algebraico, cuando hasta entonces lo usual había sido queel simbolismo algebraico fuera un pálido reflejo de relaciones geométricas.

Una importante creación de Descartes fue el desarrollo de un“álgebra de segmentos”. Paraello, tomando como unidad un segmentou, construyó un segmento (cantidad)c que verificabala proporciónuWaDb Wc. Dicho segmentoc representaba el producto de los dos segmentos (can-tidades)a y b. También construyó segmentos que se correspondían con la suma, la diferencia yel cociente de segmentos. De esta manera, cualquier operación con cantidades se correspondecon un segmento, lo que hace que todas las cantidades sean homogéneas. Una expresión comoab C c ya es correcta porque representa un segmento de línea. Esta homogeneización de todaslas cantidades conduce al concepto decantidad abstractadesconocido en la antigüedad.

Por esta época ya también los números eran objetos abstractos del pensamiento. Es decir,ya no eran simplemente un atributo del grupo al que contaban sino que se habían convertido enentidades autónomas.

Descartes introdujo el término “imaginario” para referirse a aquellas soluciones de unaecuación polinómica que solamente están en “nuestra imaginación”. Como era costumbre, lla-maba “soluciones falsas” a las soluciones negativas. Las “raíces verdaderas” eran las positivas.

A estos progresos en matemáticas hay que agregar los realizados en astronomía y en me-cánica porCopérnico(1473-1543),Kepler (1571-1630) yGalileo(1564-1642). Todos ellos seapoyan en métodos experimentales y empíricos cuantitativos para formular sus resultados comoLeyes de la Naturaleza de contenido matemático.

Al mismo tiempo, a lo largo de los dos primeros tercios del siglo XVII, se van desarro-llando una gran variedad de “métodos infinitesimales”, cuyos precedentes clásicos estaban enEudoxo y Arquímedes, para resolver multitud de problemas detipo geométrico y analítico,como cálculo de tangentes a curvas, cálculo de áreas y de valores máximos. Los trabajos deCavalieri(1598 - 1647) ,Wallis (1616 - 1703) yBarrow(1630 - 1677) entre otros muchos, es-tablecieron las bases sobre las que dos grandes genios,Newton(1643 - 1727) yLeibniz (1646 -1716) desarrollaron el Cálculo Infinitesimal. Más adelanteveremos con algún detalle todo este



http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat

http://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes

http://es.wikipedia.org/wiki/Cop%C3%A9rnico

http://es.wikipedia.org/wiki/Kepler

http://es.wikipedia.org/wiki/Galileo

http://www.unex.es/~fan/cuantica/mc%2010/Web/Tales/cava.html

http://es.wikipedia.org/wiki/John_Wallis

http://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Barrow

http://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

http://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz


proceso, pues ahora quiero considerar solamente aquellos aspectos del mismo relacionados conlas ideas de número y de cantidad.

El Cálculo Infinitesimal son las matemáticas del cambio y delmovimiento. Las ideas demagnitud variable y de dependencia entre magnitudes son fundamentales en estas nuevas ma-temáticas. Surge así el concepto de “variable” que se forma apartir de la idea de cantidadabstracta. En el libro de L’HôpitalAnalyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignescourbes(1696) se lee:

Se llaman cantidades variables aquellas que aumentan o disminuyen continua-mente, y por contraste cantidades constantes aquellas que permanecen igual mien-tras las otras cambian.

Los matemáticos de los siglos XVII y XVIII usan el término “cantidad” para referirse a can-tidades generales abstractas, así como a cantidades geométricas concretas, pero siempre seconsideran dichas cantidades como continuas. La noción de cantidad continua no se discute, setrataba de un concepto basado en la realidad física. Según Leibniz “Natura non facit saltus”.

La idea de cantidad es más general que la idea de número. Un segmento de línea, porejemplo, representa una cantidad, pero él mismo no se reducea números. La idea de númerocomo elemento de un conjunto no existe en el siglo XVIII. Por la misma razón, un segmentono puede “separarse” de sus extremos y siempre los incluye. Los números eran interpretadoscomo medidas. EnArithmetica universalis(1707) Newton escribe:

Por númeroentendemos no tanto una multitud de cantidades, como la razón abs-tracta de cualquier cantidad a otra cantidad de la misma clase que tomamos porunidad. Un entero es lo que es medido por la unidad, una fracción, aquello a loque una parte submúltiplo de la unidad mide, y un surd, aquello que es inconmen-surable con la unidad.

Esta interpretación de los números se corresponde con la consideración de las Matemáticasen los siglos XVII y XVIII como una Ciencia de la Naturaleza y,en consecuencia, los obje-tos matemáticos deben estar vinculados, directa o indirectamente, con la realidad física. Porello, solamente se consideran como “verdaderos números” los que representan el resultado deuna medida: los enteros y los racionales positivos. Los demás números (negativos, el 0 y losimaginarios) son necesarios y útiles para los cálculos, pero no son considerados “verdaderosnúmeros” son “ficticios”.

Los números irracionales positivos, aunque no son números en sentido estricto, tampocoson propiamente “ficticios”, porque pueden representarse por un segmento y sirven para medircantidades geométricamente especificadas. Los racionalese irracionales positivos son llamados“números reales” en oposición a los números imaginarios.

Los números empiezan a considerarse como entidades simbólicas sobre las que se operacon unas reglas establecidas (pero que no pueden ser libremente definidas). Por ejemplo, segúnEuler,

p12 es un número que multiplicado por sí mismo es igual a12, y esto es una definición

simbólica dep

12.

El desarrollo inicial del Cálculo, en el último tercio del siglo XVII, se basa en ideas vagase imprecisas como “cantidad evanescente”, “razón última” o“infinitamente pequeño”. El uso



Infinitésimos y el continuo numérico 157

de los “infinitésimos”, considerados como cantidades que, sin ser nulas, son más pequeñas quecualquier cantidad positiva imaginable, es característico de las técnicas del Cálculo.

Después de la invención del Cálculo el objetivo era usarlo para descubrir nuevos resulta-dos. Al principio, nadie se preocupó mucho por la correcciónmatemática de los procedimientosempleados. La confianza en dichas técnicas descansaba en su extraordinaria eficacia para re-solver multitud de problemas. Sin embargo, a finales del siglo XVIII, el uso continuado de losinfinitésimos, que nadie sabía explicar, unido a la incomprensión que se tenía de los númerosirracionales y de los procesos de convergencia, propiciaron estudios críticos de los conceptosbásicos del Cálculo, que acabaron llevando a una nueva formulación de los mismos mucho másformal y rigurosa, según los criterios actuales, pero también mucho menos intuitiva.

5.2.3. Infinitésimos y el continuo numérico

Estás leyendoahora mismoestas palabras. Tienes un sentido preciso del “ahora”, al igualque del “pasado” y del “futuro”. Tenemos una percepción muy clara del “flujo del tiempo”. Per-cibimos el tiempo como un continuo: lo que separa dos instantes de tiempo es . . . tiempo. Dadoun pequeño intervalo de tiempo, digamos un segundo, siemprepodemos concebir otro intervalomás pequeño todavía, medio segundo o una cienbillonésima parte de un segundo. ¿Has pensadoalguna vez hasta dónde es posibledividir el tiempo? Si aceptamos que el “instante” es lo queno tiene duración, parece difícil aceptar que el tiempo estéformado por instantes. ¿Debemosconsiderar entonces que hay unaunidad mínimade tiempo, todo lo pequeña que queramos,pero que no se reduce a un instante? Estarás de acuerdo en que esa unidad mínima de tiemposería algo así como una unidad de tiempo “infinitesimal”. ¿Cuántas unidades infinitesimales detiempo caben en un minuto? ¿Un número finito? ¿Una cantidad infinita?

En el párrafo anterior podemos cambiar la palabra “tiempo” por “espacio” e “instante”por “punto” y llegaremos a los problemas derivados de la “infinita divisibilidad” del espacio.Tiempo y espacio son ejemplos de “continuo”. Una entidad continua, uncontinuo, es lo queno está roto ni separado ni tiene huecos, lo que puede ser indefinidamente dividido sin quepierda su naturaleza. Por ejemplo, un volumen de líquido, unsegmento, un movimiento o, losejemplos más inmediatos, el espacio y el tiempo.

Lo que relaciona espacio y tiempo es el movimiento. El Cálculo es la matemática del mo-vimiento, del cambio continuo. El Cálculo se apoya en la geometría analítica de Descartes yFermat y en la Aritmética. La Geometría se ocupa de cantidades continuas; la Aritmética delo discreto. El Cálculo es la síntesis de lo “discreto” y lo “continuo”. Los “infinitésimos”, lascantidades infinitesimales, son el puente entre lo discretoy lo continuo.

Los procedimientos del Cálculo, límites, convergencia, continuidad, pueden describirse co-mo matemáticas delcontinuo numérico. La expresión “continuo numérico” puede parecer unoxímoron, esto es, una combinación de dos palabras con significados opuestos y, en cierto sen-tido, es así. Los números sirven para contar grupos de cosas de igual naturaleza; por ejemploárboles, o lo que quiera que sea, pero cada una de ellas con su propia individualidad, separadasentre sí, cosas que no tiene sentido dividir porque al hacerlo pierden su naturaleza. Todo estose resume diciendo que los números tienen un carácterdiscreto. Los números siempre fueronconsiderados como lo opuesto del continuo.

La oposición continuo – discreto ha ocupado a los filósofos desde hace 2500 años y tie-




ne como primeros representantes respectivos aParménides(c.510 - 450 a.C.) y aDemócrito(c.460 - 370 a.C.).

Parménides, el filósofo más famoso de la Escuela Eleática, afirma en su hermoso poemaSobre la Naturaleza, que lo que Es, el Ser, es uno, ingénito, homogéneo, continuo, indivisiblee inmutable. Este concepto del Ser excluye toda posibilidadde nueva generación de seres osustancias y, por tanto, el cambio y el movimiento son mera ilusión, porque ambos presuponenque lo que no es pueda llegar a ser.

Demócrito es el representante más conocido de la Escuela Atomista cuyo materialismo seopone al idealismo de la Escuela Eleática. Demócrito mantiene que el universo está compuestode pequeños corpúsculos invisibles, los “átomos”, que pueden poseer diferentes formas y ex-tensiones y que por movimientos y combinaciones diversas enel vacío engendran la totalidadde lo existente.

Zenón de Elea, discípulo de Parménides, es famoso por susaporías, en las que trata deprobar que tanto si el espacio o el tiempo son infinitamente divisibles, como si no lo son, elmovimiento no existe o es imposible. Las aporías de Zenón sonun extraordinario desafío, alque filósofos y matemáticos han dado diversas respuestas, sin que aún hoy se tenga concienciaclara de haberlas podido explicar de forma totalmente convincente.

Según Aristóteles, los atomistas preguntaban, en el supuesto de que una magnitud sea infi-nitamente divisible, qué es lo que quedaba de ella después dehaberla sometido a un proceso dedivisión exhaustivo. Y decían, si queda algo como polvo, es porque todavía no se ha completa-do el proceso de división, y si lo que queda son puntos o algo sin extensión, ¿cómo es posiblerecomponer una magnitud extensa con algo que no tiene extensión? Según ellos, la respuestaeran los átomos. La palabra griega “átomos” significa “lo queno puede dividirse”, por tan-to, la Escuela Atomista negaba la infinita divisibilidad de la materia y afirmaba que cualquiermagnitud contiene elementos indivisibles.

De la oposición continuo – discreto siguieron ocupándose los filósofos de la Antigüedad,Platón(c.427 - 347 a.C.),Aristóteles(384 - 322a.C.),Epicuro(341 - 270 a.C.); y de la EdadMedia Duns Scoto(c.1266 - 1308),Guillermo de Ockham(c.1280 - 1349),Nicolás de Cusa(1401 - 1464), entre otros. Éste último, en una supuesta demostración de la cuadratura delcírculo, consideró una circunferencia como un polígono regular de infinitos lados. La idea deconsiderar que una curva está formado por infinitos segmentos infinitesimales de línea rectafue usada, entre otros, por Kepler, Galileo y Leibniz y está recogida en el libro de Guillaume deL’Hôpital Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes(1696) al cualya nos hemos referido anteriormente.

A finales del siglo XVII, con el invento del Cálculo, resurgióla oposición entre lo continuoy lo discreto, esta vez centrada en el concepto de cantidad infinitesimal. Algunos considerabanlos infinitésimos como algo real, infinitamente pequeño, parecido a los átomos de Demócrito,salvo que ahora su número era infinito. La integración se consideraba como una suma infinita deestos infinitésimos. Una diferencial de una cantidad variable era un incremento infinitesimal dedicha variable, y un cociente o una razón de diferenciales “en el momento en que se anulan”,lo que Newton llamabacantidades evanescentes, era lo que ahora llamamos una derivada, yNewton llamaba unafluxión.

El uso de los infinitésimos en el Cálculo demostraba ser muy eficaz y, aunque a algunos,como al mismo Newton, les hubiera gustado evitarlo, lo cierto es que no se sabía bien cómo



http://es.wikipedia.org/wiki/Parm%C3%A9nides_de_Elea

http://es.wikipedia.org/wiki/Dem%C3%B3crito

http://es.wikipedia.org/wiki/Zen%C3%B3n_de_Elea

http://es.wikipedia.org/wiki/Platon

http://es.wikipedia.org/wiki/Aristoteles

http://es.wikipedia.org/wiki/Epicuro

http://es.wikipedia.org/wiki/Duns_Scoto

http://es.wikipedia.org/wiki/Guillermo_de_Ockham

http://es.wikipedia.org/wiki/Nicolas_de_Cusa


hacerlo. Lo peor de todo, no es que el mero concepto de infinitésimo sea de por sí difícilmen-te sostenible, sino la forma en que los infinitésimos se manejaban en los cálculos. Podemosdestacar dos características.

� Con los infinitésimos podía operarse como con cantidades finitas no nulas y, en particular,podía dividirse por ellos.

� Los infinitésimos podían ser tratados como cantidades nulas. Así, si x es una cantidadpositiva yo un infinitésimo, entoncesx C oD x.

Dependiendo del tipo de cálculo eran tratados de una forma u otra. Además, había infinitésimosde primer orden despreciables frente a cantidades finitas; de segundo orden que eran desprecia-bles frente a los de primer orden, y así sucesivamente. Para acabar de empeorar las cosas, losinfinitésimos no respetaban lapropiedad arquimediana, pues el producto de cualquier cantidadfinita por un infinitésimo seguía siendo un infinitésimo.

5.1 Ejemplo. Un ejemplo típico es el cálculo de la diferencial de un producto de dos cantidadesx e y. Se razonaba como sigue. Cuandox cambia ax C dx , y cambia ay C dy , por lo quexy se transforma en

.x C dx /.y C dy /D xy C x dy C y dx C dx dy

por lo que la diferencial dexy esx dy C y dx C dx dy , pero como dx dy es una cantidadinfinitamente pequeña con respecto a los otros términos, se sigue que la diferencial dexy esx dy C y dx . �

5.2 Ejemplo. Veamos otro ejemplo típico. Consideremos dos cantidadesx, y relacionadas pory � x3 D 0. Cuandox cambia ax C dx , y cambia ay C dy , por lo que

0D y C dy � .x C dx/3 D y C dy � x3 � 3x2 dx � 3x.dx/2 � .dx/3

Teniendo en cuenta quey � x3 D 0, deducimos:

dy D 3x2 dx C 3x.dx/2 C .dx/3

Dividiendo por dx la igualdad obtenida resulta:

dy

dxD 3x2 C 3x dx C .dx/2

Y como3x dx C.dx/2 es infinitamente pequeño respecto de3x2, concluimos quedy

dxD3x2.

En lenguaje actual, lo que hemos hecho es calcular la derivada de la funciónf .x/ D x3.Y. . . ¡el resultado es correcto! A pesar de que hemos divididopor una cantidad que despuéshemos hecho igual a cero. �

En 1734 el filósofoGeorge Berkeley(1685 - 1753) publicó una obra cuyo título esElanalista, o discurso dirigido a un matemático infiel, donde se examina si el objeto, principiose inferencias del análisis moderno están formulados de manera más clara, o deducidos demanera más evidente, que los misterios de la religión y las cuestiones de la fe. En dicha obra



http://es.wikipedia.org/wiki/Bishop_Berkeley

El triunfo de Pitágoras 160

Berkeley, que fue obispo anglicano de Cloyne, hace una crítica de los fundamentos del Cálculoque tuvo una gran influencia. Afirmaba Berkeley que si se acepta que el Cálculo puede alcanzarsoluciones exactas por medio de razonamientos erróneos, entonces debe admitirse que la fepuede alcanzar la verdad por vías místicas. Es famoso su comentario:

¿Qué son las fluxiones? Las velocidades de incrementos evanescentes. Y ¿qué sonestos mismos incrementos evanescentes? Ellos no son ni cantidades finitas, ni can-tidades infinitamente pequeñas, ni siquiera son nada. ¿No las podríamos llamarlos fantasmas de las cantidades desaparecidas?

Los embrollos en que andaban metidos los matemáticos se reflejan en la novela de JonathanSwift Los viajes de Gulliver(1726) donde aparecen los diminutos enanos de Lilliput y losenormes gigantes de Brobdingnag, y en la narración cortaMicromegas(1752) de Voltaire.

La realidad es que los matemáticos del siglo XVIII, y hasta bien entrado el siglo XIX, es-taban mucho más interesados en desarrollar y aplicar las técnicas del Cálculo, que en ocuparsede problemas de fundamentos. Entre los principales matemáticos de esta época hay que citaraLeonard Euler(1707 - 1783),Jean d’Alembert(1717 - 1783),Joseph-Louis Lagrange(1736 -1813),Pierre-Simon Laplace(1749 - 1827),Joseph Fourier(1768 - 1830),Carl Friedrich Gauss(1777 - 1855). El espíritu de los tiempos, el Siglo de las Luces, queda bien reflejado en la si-guiente frase.

Todos los efectos de la naturaleza son tan sólo las consecuencias matemáticas deun pequeño número de leyes inmutables. Laplace

En el primer tercio del siglo XIX, el ideal de Newton de “someter los fenómenos de la Natura-leza a las leyes matemáticas”, podía considerarse esencialmente realizado.

5.2.4. El triunfo de Pitágoras

Llegamos así al siglo XIX que, en cuanto a matemáticas se refiere, ha sido llamado el Siglodel Rigor. Veamos cómo se entendían en los primeros años de dicho siglo los conceptos básicosdel Cálculo.

� Concepto de función. No existía tal como lo entendemos en la actualidad. En vez defunciones, se consideraban relaciones entre variables, esdecir, ecuaciones. Las corres-pondencias entre variables se interpretaban en términos geométricos. No existía la ideadel dominio de una variable.

� Concepto de continuidad. El concepto de continuidad puntual no había sido siquieraformulado matemáticamente. La idea de Euler de función continua, como aquella queestá definida por una única expresión analítica, era todo lo que había.

� Concepto de límite. Solamente se tenían algunas ideas confusas agravadas por el uso delos infinitésimos. Los infinitésimos empezaban a considerarse como variables con límitecero.



http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/MateOspetsuak/Euler.asp

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/D'Alembert.html

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Lagrange.html

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Laplace.html

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Fourier.html

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/MateOspetsuak/Gauss.asp


� Concepto de número. La idea de cantidad abstracta variable,a la que podían asignarsevalores concretos, no había experimentado cambios notables en casi un siglo. Los nú-meros complejos ya eran aceptados, gracias a los trabajos deEuler y, sobre todo, deGauss, pero seguía sin tenerse una idea clara de los números irracionales, y prevalecíauna interpretación geométrica de los mismos.

Esta situación iba a cambiar gracias principalmente a los trabajos deBernad Bolzano(1781- 1848),Augustin Louis Cauchy(1789 - 1857) yKarl Weierstrass(1815 - 1897) de los quenos ocuparemos al estudiar la formalización del concepto delímite. Ahora quiero detenermesolamente en la evolución de la idea de número real. A los tresmatemáticos citados hay queagregar los nombres deRichard Dedekind(1831 - 1916) yGeorge Cantor(1845 - 1918), fueronellos quienes desarrollaron la teoría de los números realesque hemos estudiado en los Capítulos1 y 4. Es lógico preguntarse por qué esto no se hizo antes. Pueden darse varias razones paraello.

� En el siglo XVIII las matemáticas son consideradas una Ciencia de la Naturaleza. Lasteorías matemáticas deben reflejar la realidad física. Las matemáticas son una herramien-ta para formular y descubrir las Leyes de la Naturaleza. Las teorías matemáticas no seinventan, se descubren.

� Los números reales estaban asociados con magnitudes y se interpretaban geométrica-mente. Eran algo dado en la realidad física. A los matemáticos del siglo XVIII no lespareció necesario dar una definición matemática de los mismos.

� Observa que para precisar un número comop

2 debes dar todas sus cifras decimales en suorden, es decir, un vector de infinitas componentes. Fíjate también que la condición dadapor Eudoxo (5.1) para comparar razones inconmensurables hace intervenir atodos losnúmeros naturales. Esto no es casual. La idea de número irracional lleva consigo asociadala de infinito. Hasta que no se elaboraron los fundamentos de una teoría matemática delinfinito, no pudo desarrollarse una teoría satisfactoria delos números reales.

En el siglo XVIII las definiciones matemáticas eran descriptivas; no creaban objetos matemá-ticos sino que describían algo que se suponía debía imitar una realidad externa. Por la mismarazón, no podían inventarse reglas para operar con los objetos matemáticos. Las reglas habíaque descubrirlas, pero no podían elegirse libremente. Se consideraba que la Naturaleza im-ponía unas normas que las Matemáticas de alguna manera debían imitar, no se era libre parainventar una teoría matemática. La idea de una Matemática como juego lógico formal era algoimpensable en el siglo XVIII.

La idea que los matemáticos tenían de su Ciencia cambió de forma radical como conse-cuencia de la invención en el siglo XIX de las geometrías no euclídeas porJanos Bolyai(1802- 1860) yNikolai I. Lobachevsky(1792 - 1856). Quedó claro a partir de entonces que las ma-temáticas no son una Ciencia de la Naturaleza, que la definición usual de las matemáticascomo la ciencia que estudia la cantidad y la forma es inadecuada, y pasó a considerarse quela matemática es la ciencia que obtiene conclusiones lógicas de sistemas axiomáticos. Las ma-temáticas son, pues, una ciencia puramente deductiva. Una teoría matemática es un conjuntode axiomas que contienen ciertos términos indefinidos, y un sistema de reglas de inferencialógica. El papel que juegan las definiciones en una teoría matemática consiste en crear nuevos




http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cauchy.html

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Weierstrass.html

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/MateOspetsuak/Dedekind.asp

http://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bolyai.html

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lobachevsky.html


objetos matemáticos y precisar su significado en dicha teoría. Todos los objetos que se estudianen una teoría matemática, o bien son términos indefinidos de dicha teoría o son objetos creadospor medio de definiciones que remiten a los axiomas. En el XVIII los números reales son algodado y externo que las matemáticas deben explicar, al final del XIX los números serán algocompletamente diferente.

La idea de número real es el soporte de otras ideas básicas delCálculo como las de con-tinuidad y límite. Los procesos de convergencia dependen dela propiedad de completitud delos números reales. Por todo ello, los matemáticos eran cadavez más conscientes de que losprogresos del Cálculo dependían de un mejor conocimiento delos mismos.

5.2.4.1. Cortaduras de Dedekind

A mediados del siglo XIX no era posible demostrar algunos resultados básicos del cálculo;por ejemplo, que toda función creciente y acotada tiene límite, o el teorema del valor intermediopara funciones continuas. Ello se debía a que faltaba codificar matemáticamente una propiedadfundamental de los números reales, la que ahora llamamoscompletitudy entonces se llamabapropiedad de continuidad. En 1872 se publicaron dos trabajos, uno de Cantor y otro de Dede-kind, en los que, tomando como punto de partida el sistema de los números racionales, cadaautor desarrollaba una construcción matemática de los números reales. Nos vamos a ocuparaquí del trabajo de Dedekind, tituladoContinuidad y números irracionales. En dicho trabajo,Dedekind manifiesta su propósito de reducir los números reales a la aritmética, eliminando asítodo contenido geométrico en la idea de número real. Para explicar lo que él hizo vamos a partirde la intuición de una recta.

Figura 5.8. Dedekind

Una recta es un ejemplo claro de continuidad. Elegido un puntocomo origen y un segmento como unidad, podemos hacer corres-ponder a cada número racional un punto de esa recta. Ya hemosvisto, al hablar de las magnitudes inconmensurables, que los nú-meros racionales no agotan todos los puntos de la recta; cualquierpunto que corresponda con un segmento de longitud inconmen-surable con la unidad elegida no puede ser representado por unnúmero racional, es decir, en la recta racional hay “huecos”. Portanto, los números racionales no son suficientes para describir nu-méricamente “el continuo”. Se pregunta Dedekind:

¿En qué consiste esta continuidad? Todo depende de la respuesta a esta pregunta,y solamente a través de ella obtendremos una base científica para la investiga-ción de todos los dominios continuos. Con vagas observaciones sobre la uniónsin rotura de las partes más pequeñas, obviamente nada se gana; el problema esindicar una característica precisa de la continuidad que pueda servir como basepara deducciones válidas. Durante largo tiempo he meditadosobre esto en vano,pero finalmente he encontrado lo que pretendía.

Dedekind se dispone a revelar el secreto, pero como su idea además de ser genial es muysencilla, previene al lector con esta observación.

Muchos de mis lectores quedarán grandemente disgustados alsaber que por estavulgar observación se revela el secreto de la continuidad.



¿Cuál es esavulgar observación? Vamos a explicarla. Todo punto en una rectaR la divide endos partes disjuntas, la parteA, formada por los puntos de la recta que están a su izquierda, yla parteB, formada por los puntos de la recta que están a su derecha. El propio punto podemosincluirlo bien enA o enB. Dice Dedekind:

He encontrado la esencia de la continuidad en el recíproco, es decir, en el siguienteprincipio:“Si todos los puntos de la recta se dividen en dos clases talesque todopunto de la primera clase queda a la izquierda de todo punto dela segunda clase,entonces existe un, y sólo un punto, que produce esta división de todos los puntosen dos clases, esta escisión de la línea recta en dos partes.”

Las ideas geniales, que además son sencillas, son doblemente geniales. Igual que el tiempoes continuo porque entre dos instantes de tiempo solamente hay tiempo, la recta es continuaporque entre dos puntos de ella solamente hay puntos de la misma recta. Es esta la idea queDedekind ha sabido expresar matemáticamente de una forma insuperable. Para entenderla unpoco mejor, vamos a considerar el conjuntoQ de los números racionales como puntos de unarecta en la que hemos elegido un origen y una unidad, la recta racional.

5.3 Definición. UnacortaduradeQ es un par.A;B/, dondeA y B son conjuntos no vacíosde números racionales tales queQD A [ B, y todo número deA es menor que todo númerodeB y A no tiene máximo.

Todo número racionalr 2Q produce una cortadura dada por

AD fx2Q W x < rg ; B D fx2Q W r > xg

Pero en la recta racional hay muchas cortaduras que no están producidas por números raciona-les. En el ejercicio (70) hemos visto que los conjuntos

AD fx2Q W x 6 0 o x2 < 2g; B D fx2Q W x > 0 y x2 > 2g

definen una cortadura deQ que no está producida por ningún número racional. De hecho, si teimaginas la recta racional dentro de la recta real, y tomas unnúmero˛ que sea irracional, losconjuntos

AD fx2Q W x < ˛g ; B D fx2Q W r > ˛gDefinen una cortadura deQ que no está producida por ningún número racional. Es decir, con-siderandoQ dentro deR, vemos que cada cortadura deQ está determinada por un punto quepuede ser racional o irracional.

Pero claro,está prohibido usar la recta real cuando lo que queremos es justamente cons-truirla a partir de Q. ¿De dónde sacamos los números reales si todo lo que tenemos son losracionales? Esta es la idea genial de Dedekind.

5.4 Definición. Un número real es una cortadura deQ.

El conjunto de todos los números reales se representa porR. Observa el papel que desem-peñan las definiciones en una teoría matemática: crean nuevos objetos de la teoría. La defini-ción anterior dice lo que es un número real en términos exclusivamente de números racionales.


Vuelve ahora a leer la definición de Eudoxo (5.1) para la igualdad de razones inconmensu-rables. ¡Lo que dice (5.1) es que dos razones inconmensurables son iguales si producen unamisma cortadura enQ! Salvo esto, ningún otro parecido hay entre Dedekind y Eudoxo.

Los números racionales se construyen a partir del conjuntoZ de los enteros, y éstos seobtienen fácilmente a partir de los naturales. Dedekind yGiuseppe Peanoestablecieron unabase axiomática para el conjuntoN de los números naturales. Ya ves, al final, Pitágoras haregresado: todo es número.

5.2.4.2. Métodos axiomáticos y métodos constructivos

Supongo lo que estás pensando: “¡Vaya definición extraña de número real! Ahora resultaque un número es una cortadura. . . ¡nada menos que dos conjuntos infinitos de números!”.Vayamos poco a poco.

� Es una definición operativa, es decir, permite definir la sumay el producto de númerosreales, así como la relación de orden y demostrar las propiedadesP1 - P7 del Capítulo1, y también la propiedad del supremoP8. Además, todo esto se hace de forma sencillaaunque laboriosa. Si tienes curiosidad, puedes consultar el Capítulo 28 de [16].

� Lo importante de la definición es que define los números realessolamente usando losnúmeros racionales. Es decir, resuelve un problema deexistenciaen sentido matemático.

Las propiedades o axiomasP1 - P7del Capítulo 1, junto con la propiedad del supremoP8,definen una estructura que se llamacuerpo ordenado completo. Aunque en el Capítulo 1 diji-mos que no era nuestro propósito decir qué son los números reales, podemos ahora respondera dicha pregunta:los números reales son el único cuerpo ordenado completo. La demostraciónde queexisteun cuerpo ordenado completo y esúnico es larga, laboriosa y depende de lashipótesis de partida.

Lo más usual es dar por conocidos los números racionales y a partir de ellosconstruir R.Esto puede parecer extraño a primera vista, porque si sólo conocemos los números racionales,¿de dónde van a salir los demás? De eso precisamente se ocupanlos métodos constructivos(Cantor, Dedekind). Por ejemplo, si partimos de la intuición de que con los números reales sepueden representartodoslos puntos de una recta, es claro que un número real queda determina-do de forma única por los números racionales menores que él. Esta idea conduce a ladefiniciónde número real dada por Dedekind. La definición de Cantor es mucho menos intuitiva pues,para Cantor, un número real es una clase de infinitas sucesiones de números racionales quecumplen una cierta propiedad.

Es posible probar, partiendo de estas definiciones, que el conjunto de los números realesasí definidos puede dotarse de una estructura algebraica y deorden de manera que satisfacelos axiomasP1 - P8. Este proceso es bastante laborioso; además se corre el peligro de centrarla atención en el proceso en sí mismo olvidándose de lo que se persigue. Por otra parte, lasdefiniciones de Dedekind o de Cantor no son las únicas, hay otras definiciones de número real.Pensarás que esto no es serio. ¿Qué está ocurriendo aquí? Ocurre, sencillamente, que cualquierdefinición de los números reales a partir de los racionales, esto es, cualquier método construc-tivo deR, tiene su razón última de ser en elproblema de la existencia: ¿puede ser construido



http://es.wikipedia.org/wiki/Giuseppe_Peano

un cuerpo ordenado completo a partir de los axiomas usuales de la Teoría de Conjuntos? Puesbien, la respuesta es que sí; además, y esto es fundamental, matemáticamente, en un sentidopreciso, dicho cuerpoes único.

Da igual, por tanto, cómo se interprete lo que es un número real, lo importante es que decualquier forma que lo hagamos, los axiomasP1 - P8 determinan totalmente sus propiedadesmatemáticas. Es decir, una vez que sabemos que hay un único cuerpo ordenado completo, lomejor es olvidar cualquier posible interpretación de cómo sean sus elementos (ningún mate-mático cuando considera el número real

p2 piensa que

p2D fx 2Q W x < 0 o x2 < 2g) y

quedarnos exclusivamente con las propiedades de los mismos. Esto es precisamente lo que sehace con el método axiomático que nosotros hemos elegido para presentarR.

5.2.4.3. El regreso de los pequeñitos

Con la reducción del continuo a lo discreto, parece que finalmente ha triunfado la Aritméti-ca. Pero la historia continua. Por una parte, los números naturales tuvieron un reinado efímero,pues fueron esencialmente reducidos a pura lógica como consecuencia del trabajo pionero deGottlob Frege. Por otra parte en 1960, el lógicoAbraham Robinson(1918 - 1974) construyóun sistema numérico, loshiperreales, un cuerpo totalmente ordenado no arquimediano, quecontiene una copia de los números reales y en el que hay números infinitamente pequeñosy números infinitamente grandes. Las técnicas desarrolladas por Robinson se conocen con elnombre deAnálisis No Estándar. Con dichas técnicas pueden probarse los resultados funda-mentales del Cálculo de forma intuitiva y directa al estilo de Newton y Leibniz. ¡Están aquí!¡Los infinitésimos han regresado!


171. Prueba que la propiedad del supremo es equivalente a la siguiente propiedad.

Propiedad del continuo. Dados subconjuntos no vacíosA y B de números reales cuyaunión es igual aR, y tales que todo elemento deA es menor que todo elemento deB,se verifica que existe un número realz 2R, tal que todo número real menor quez estáenA y todo número real mayor quez está enB.

5.3. Evolución del concepto de límite funcional

Lo más específico del Análisis Matemático son los procesos deconvergencia, o procesos“de paso al límite”, que en él se consideran. Aquí nos vamos a ocupar solamente del concep-to de límite funcional. Dicho concepto está estrechamente relacionado con los de función yde número real; y los tres juntos constituyen el núcleo del Análisis. Por ello, la historia desu evolución es también la del desarrollo del Cálculo, de lossucesivos intentos para funda-mentarlo sobre bases lógicas rigurosas. Aislar en este proceso aquellos aspectos directamente



http://es.wikipedia.org/wiki/Frege

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Robinson.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number

La teoría de las “razones últimas” de Newton 166

relacionados con el concepto de límite funcional, conllevauna pérdida de perspectiva que, es-pero, quedará compensada en capítulos siguientes al estudiar la evolución de los conceptos dederivada, integral y convergencia de series.

5.3.1. La teoría de las “razones últimas” de Newton

En las matemáticas de la Antigüedad no existía una idea de “límite” que pueda ser consi-derada como un precedente lejano de la actual. Lo más parecido era el método de exhausción(500), empleado con maestría por Arquímedes para realizar diversas cuadraturas (8.8.1). Perodicho método no consistía en un límite, sino que, precisamente, lo que hacía era evitarlo y susti-tuirlo por un esquema de razonamiento de doble reducción al absurdo, típico de las matemáticasgriegas. La matemática Griega abomina del infinito y la idea de límite connota la de infinito.Es notable, sin embargo, que cuando los matemáticos Griegostienen que enfrentarse al infinitocomo, por ejemplo, Eudoxo al definir la igualdad de razones demagnitudes inconmensurables(5.1), lo que hace es basar su definición deigualdaden un álgebra dedesigualdades.

Tenemos que llegar al siglo XVII, con la invención de las técnicas infinitesimales que pre-ludian el descubrimiento del Cálculo, para encontrar las primeras referencias confusas de pro-cesos de convergencia. El primer indicio del concepto de límite funcional aparece en estrecharelación con el cálculo de fluxiones (velocidades instantáneas) (6.8.4) de Newton. En su teoríade las “razones últimas” expuesta enPhilosophiae Naturalis Principia Mathematica(1687) selee:

It can also be contended, that if the ultimate ratios of vanishing quantities are given, their ultimatemagnitudes will also be given; and thus every quantity will consist of indivisibles, contrary to whatEuclid has proved.... But this objection is based on a false hypothesis. Those ultimate ratios withwhich quantities vanish are not actually ratios of ultimatequantities, but limits which ... they canapproach so closely that their difference is less than any given quantity... This matter will be unders-tood more clearly in the case of quantities indefinitely great. If two quantities whose difference isgiven are increased indefinitely, their ultimate ratio willbe given, namely the ratio of equality, andyet the ultimate or maximal quantities of which this is the ratio will not on this account be given.

Traduzco lo mejor que puedo:

También puede alegarse que si las razones últimas de cantidades evanescentes son dadas, sus últimasmagnitudes también serán dadas; y por tanto toda cantidad consistirá de indivisibles, en contra de loque Euclides ha probado. . . Pero esta objeción está basada sobre una hipótesis falsa. Aquellas razonesúltimas con las que tales cantidades desaparecen no son en realidad razones de cantidades últimas,sino límites. . . a los que ellas pueden aproximarse tanto quesu diferencia es menor que cualquiercantidad dada. . . Este asunto será entendido más claramenteen el caso de cantidades indefinidamentegrandes. Si dos cantidades cuya diferencia es dada son indefinidamente aumentadas, su última razónserá dada, a saber, la razón de igualdad y, no obstante, las cantidades últimas o máximas de las cualesesta es la razón no serán por eso dadas.

Lo que yo entiendo que quiere decir Newton es lo que sigue. La expresión “razones últimas decantidades evanescentes” puede interpretarse como el límite de un cociente cuyo numerador ydenominador tienen límite cero: lKım

x!a

f .x/g.x/DL, donde lKım

x!af .x/D lKım

x!ag.x/D0. En el primer

párrafo, Newton dice que el hecho de que la razón última sea dada igual aL, no quiere decirque el cociente de las últimas magnitudes,f .a/

g.a/, sea igual aL. De manera muy interesante,

Newton relaciona esto con la estructura del continuo, pues la idea que expresa es que si el valor



La metafísica del Cálculoen D’Alembert y Lagrange 167

de todo límite se alcanza, entonces el continuo estaría formado por últimas partes indivisibles.En el segundo párrafo, además de insistir en la idea anterior, queda claro que por “razones últi-mas” Newton entendía algo muy parecido a nuestra idea actualde límite. Finalmente, Newtonpropone un ejemplo excelente; consideremos, dice, dos cantidadesf .x/ y g.x/ cuya diferen-cia está dada,f .x/ � g.x/ D ˛ ¤ 0, y tales que lKım

x!af .x/ D lKım

x!ag.x/ D C1, en tal caso

tendremos que su razón última será de igualdad, esto es, lKımx!a

f .x/g.x/D 1 y está claro que para

ningún valor dex es f .x/g.x/D 1 y que tampoco las magnitudesf .x/ y g.x/ tienen un último

valor.

Siempre es arriesgado hacer interpretaciones de esta naturaleza, pero creo que lo dicho esesencialmente correcto y, por tanto, manifiesto mi desacuerdo con quienes afirman que Newtontenía ideas muy confusas con respecto al límite. Lo que no tenía (no podía tener) era el con-cepto de función (por eso habla de cantidades o magnitudes),ni el simbolismo apropiado, ni elconcepto de variable real continua. . . pero la idea de límitela tenía bien clara.

Además, Newton considera que los infinitésimos no son cantidades fijas y, en losPrincipia,advierte a sus lectores que cuando hable de cantidades mínimas, o evanescentes, o de cantidadesúltimas, éstas no debieran entenderse como cantidades fijasque tienen un determinado valor,sino como cantidades que fueran indefinidamente disminuidas:

Therefore in what follows, for the sake of being more easily understood, I should happen to mentionquantities at least, or evanescent, or ultimate, you are notto suppose that quantities of any determi-nate magnitude, but such as are conceived to be always diminished without end.

Estas ideas de Newton fueron desarrolladas por el matemático escocés Colin MacLaurin (1698- 1746) que, en su gran obraA Treatise of Fluxions(1742), establece el cálculo sobre la base deuna teoría geométrico – cinemática de límites. MacLaurin rechazaba los infinitésimos, afirmabaque los antiguos nunca reemplazaron curvas por polígonos y que la base de la geometría deArquímedes era el concepto de límite. Lo sorprendente es queMacLaurin usa el concepto delímite como algo evidente que no precisa ser explícitamentepresentado ni analizado. Esto sedebe a que el cálculo de MacLaurin se sustenta sobre las ideasde espacio, tiempo y movimientolo que le lleva a aceptar como evidentes la continuidad y la diferenciabilidad.

5.3.2. Lametafísica del Cálculoen D’Alembert y Lagrange

Figura 5.9. D’Alembert

Durante el siglo XVIII, por una parte, el uso permanente delos infinitesimales dificultaba la comprensión de los procesos depaso al límite y, por otra parte, el recién inventado Cálculoerauna herramienta maravillosa para estudiar y formular matemáti-camente multitud de fenómenos naturales. Además, los resultadosobtenidos eran correctos, por tanto no había por qué preocupar-se mucho de la coherencia lógica de los fundamentos, ya habríatiempo para ello más adelante.

Debemos destacar, no obstante, la propuesta de Jean le Rondd’Alembert (1717 - 1783) de fundamentar el Cálculo sobre el con-cepto de límite:“La théorie des limites est la base de la vraieMétaphysique du calcul différentiel”.



La metafísica del Cálculoen D’Alembert y Lagrange 168

D’Alembert redactó la mayoría de los artículos de matemáticas y ciencias para la obra inmortaldel Siglo de las Luces laEncyclopédie, ou Dictionnaire Raisonné des Sciences, des Arts et desMétiers(1751 - 65). En el artículo Différentiele (1754), después decriticar la “metafísica delinfinito” de Leibniz, escribe:

Newton partía de otro principio; y se puede decir que la metafísica de este gran geómetra sobre elcálculo de fluxiones es muy exacta y luminosa, aunque solamente la ha dejado entrever. Él no haconsiderado nunca el cálculo diferencial como el cálculo decantidades infinitamente pequeñas, sinocomo el método de las primeras y últimas razones, es decir, elmétodo para hallar los límites de lasrazones.

[. . . ] La suposición que se hace de las cantidades infinitamente pequeñas sólo sirve para acortar ysimplificar los razonamientos; pero en el fondo el cálculo diferencial no precisa suponer la existenciade tales cantidades; y más aún, este cálculo consiste meramente en la determinación algebraica dellímite de una razón.

D’Alembert fue el primer matemático que afirmó haber probadoque los infinitamente peque-ños“n’existent réellement ni dans la nature, ni dans les suppositions des Géomètres”. Segúnd’Alembert:

Una cantidad es algo o nada; si es algo, aún no se ha desvanecido; si no es nada, ya se ha desvanecidoliteralmente. La suposición de que hay un estado intermedioentre estos dos es una quimera.

En el artículoLimite (1765), también escrito para laEncyclopédiejunto con Jean-Baptiste deLa Chapelle (1710 - 1792), se da la siguiente definición de límite:

Se dice que una magnitud es el límite de otra magnitud, cuandola segunda puede aproximarse a laprimera, sin llegar nunca a excederla, en menos que cualquier cantidad dada tan pequeña como sequiera suponer.

Este artículo también contiene los resultados sobre la unicidad del límite y sobre el límitedel producto de dos magnitudes, por supuesto, enunciados retóricamente sin ningún tipo desímbolo para representar los límites. Dichos resultados habían aparecido en el libro de LaChapelleInstitutions de Géométrie(1757). Tanto d’Alembert como La Chapelle tenían unaidea esencialmente geométrica del concepto de límite, así el ejemplo que ponen en el citadoartículo es el de la aproximación de un círculo por polígonos.

El punto de vista de d’Alembert, esencialmente correcto, noera compartido por otros ma-temáticos, de forma destacada, por Joseph-Louis de Lagrange (1736 - 1813) quien en su obraThéorie des fonctions analytiques(1797), cuyo subtítulo era nada menos queLes Principesdu Calcul Différentiel, dégagés de toute considération d’infiniment petits, d’évanouissants, delimites et de fluxions, et réduits à l’analyse algébrique desquantités finies, pretendió estableceruna fundamentación algebraica del Cálculo, eliminando toda referencia a los infinitesimales ya los límites. Lagrange criticaba la teoría de las “últimas razones” de Newton y afirmaba:

Ese método tiene el gran inconveniente de considerar cantidades en el momento en que ellas cesan,por así decir, de ser cantidades; pues aunque siempre podemos concebir adecuadamente las razonesde dos cantidades en tanto en cuanto ellas permanecen finitas, esa razón no ofrece a la mente ningunaidea clara y precisa tan pronto como sus términos ambos llegan a ser nada a la vez.

Esta severa crítica va realmente dirigida contra Euler, quien concebía las cantidades infinite-simales como ceros exactos y, por tanto, un cociente de diferenciales lo interpretaba como0

0,



El premio de la Academia de Berlín de 1784 169

expresión de la cual había que hallar en cada caso “su verdadero valor”. Lo llamativo es que lapropuesta de Lagrange se basaba en los desarrollos en seriesde Taylor, considerados como unageneralización del álgebra de polinomios, con lo que, de hecho, estaba usando la idea de límiteque quería evitar. Por otra parte, es conocida la jactancia de Lagrange de que en su monumentalMécanique analytique(1772 - 88) no había usado ni necesitado ninguna figura. Lagrange se-guía así la tendencia, cada vez mayor, de separar el cálculo yla geometría. De hecho, Lagrangepuede considerarse un “matemático puro”; su rechazo a la teoría de fluxiones se debe a que estábasada en la idea de movimiento, que no es matemática, y su rechazo de los límites es debidoa la confusa formulación de dicho concepto en su tiempo.

5.3.3. El premio de la Academia de Berlín y otras propuestas en el último terciodel siglo XVIII

Jacques-Antoine-Joseph Cousin (1739 - 1800) escribió un libro de textoLeçons de CalculDifférentiel et de Calcul Intégral(1777), en el que, siguiendo la idea de d’Alembert, afirmabafundamentar el cálculo sobre el concepto de límite, el cual,para Cousin, es el mismo que el ex-presado por La Chapelle en el artículoLimitede laEncyclopédieantes reseñado. En particular,no hace distinción entre cantidades variables y constantes. Desde un punto de vista operativo,Cousin introduce, sin justificación, un principio de conservación de las razones entre dos va-riables por paso al límite. Una novedad importante es que Cousin reconoce la necesidad de unsímbolo para expresar el límite, pero no hace nada al respecto.

Roger Martin (1741 - 1811) publicó un libro de textoÉléments de Mathématiques(1781)con igual propósito que Cousin. La definición de límite de Martin es más precisa:

Por el límite de una cantidad variable se entiende el valor o estado hacia el cual ella siempre tiendeconforme varía, sin alcanzarlo nunca; pero al cual, no obstante, puede aproximarse de manera quedifiera de él por una cantidad menor que cualquier cantidad dada.

La condición de pequeñez de la diferencia está formulada en la forma que después sería lausual, además, distingue entre variable y valor constante.

En 1784 la Academia de Berlin, cuyo director era Lagrange, anunció la convocatoria deun premio para “una teoría clara y precisa de lo que se llama elinfinito en matemáticas”. Elpropósito de la Academia era eliminar el uso de los infinitesimales:

Es bien sabido que la geometría superior emplea regularmente lo infinitamente grandey lo infini-tamente pequeño. . . La Academia, en consecuencia, desea una explicación de cómo es posible quese hayan conseguido deducir tantos teoremas correctos a partir de unos presupuestos contradicto-rios, así como. . . un principio verdaderamente matemático que pueda sustituir correctamente al delinfinito.

El premio fue concedido en 1786 a Simon-Antoine-Jean L’Huilier (1750 - 1840) por su ensayoExposition élémentaire des principes des calculs supérieurs en el cual L’Huilier desarrollabauna teoría de límites. Su definición de límite es:

Sea una cantidad variable, siempre menor o siempre mayor queuna propuesta cantidad constante;pero de la cual puede diferir menos que cualquier propuesta cantidad menor que ella misma: estacantidad constante se dice que es el límite por exceso o por defecto de la cantidad variable.



El premio de la Academia de Berlín de 1784 170

La novedad aquí está en los conceptos de “límite por exceso” y“límite por defecto”. Al intro-ducir esta distinción, L’Huilier observaba que hasta entonces no se había tenido en cuenta elhecho de que la aproximación al límite puede realizarse tanto desde una variable con valorescrecientes como desde una variable con valores decrecientes. Por ello, L’Huilier introduce losconceptos delímite por la derechay de límite por la izquierda.

En esta obra es donde, por primera, se usa el símbolo “lKım.” (con el punto, como si fuerauna abreviación de “límite”) para representar el límite, aunque L’Huilier no lo hace de unaforma regular.

El principal logro de L’Huilier fue extender la aplicabilidad del concepto de límite. Mientrasque sus predecesores habían dado solamente un par de reglas básicas, él realizó un desarrollomás sistemático, probando las reglas del producto y del cociente para límites, y obteniendo laregla de la derivada de un producto por medio de límites.

En esta exposición estoy siguiendo muy de cerca el excelentelibro de Schubring [14]. Esteautor hace un notable descubrimiento. Se trata de un ensayo de 100 páginas, tituladoCom-pendio da Theorica dos Limites, ou Introducçaõ ao Methodo das Fluxões, que fue publicadopor la Academia de Ciencias de Lisboa en 1794, aunque su autorFrancisco de Borja GarçãoStockler (1759 - 1829) lo había presentado ya en 1791. Stockler nació en Lisboa, su padre eraalemán y su madre portuguesa. Estudió la carrera militar y también matemáticas en la Univer-sidad de Coimbra. Desarrolló una gran actividad tanto política como científica. La importanciadel citado libro de Stockler es que contiene el primer intento de una presentación algebraicadel concepto de límite. Stockler tenía un excelente conocimiento de la literatura matemática desu época, y en su libro se apoya precisamente en los autores que hemos citado anteriormente.Pero Stockler aventaja ampliamente a sus fuentes al separarel concepto de límite del conceptogeométrico, algebraizándolo tanto para variables como para funciones. Además, es un pioneroen el uso de desigualdades. Su definición de límite es la siguiente:

Una cantidad constante es llamada “Límite” de una variable si la última puede ir aumentando odisminuyendo – aunque sus valores nunca lleguen a ser igual al de la constante – da tal forma quepuede aproximar la constante tanto que la diferencia llega aser menor que cualquier cantidad dada,por pequeña que esta pueda haber sido escogida.

La definición es parecida a la de Martin, aunque hay un mayor énfasis en que el límite es unvalor constante. Stockler también usa los conceptos de límites por la derecha y por la izquierdade L’Huilier.

Debemos notar que todas estas definiciones de límite que estamos dando se refieren a varia-bles y que dichas variables suelen interpretarse como cantidades geométricas (áreas, longitudesde arco, medidas de ángulos, etc.). Además, una “cantidad constante” es interpretada general-mente como una cantidad positiva. Con frecuencia se considera que el cero tiene un carácterespecial y se dan definiciones específicas para tenerlo en cuenta. Precisamente, eso es lo quehace Stockler introduciendo el concepto de“variable sin límite de disminución”con el signifi-cado de una variable con límite cero. De esta forma, también evita usar infinitésimos. Stocklerestablece como un resultado fundamental que

Toda cantidad capaz de un límite, tiene necesariamente que ser igual a su límite, más o menos unacantidad variable sin límite de disminución.

Stockler desarrolla todo un álgebra de límites y no se limitaa las operaciones de suma, producto



Cauchy y suCours D’Analysede 1821 171

y cociente. He aquí una muestra:

Una potenciaax , dondea < 1 es una constante yx una variable con valores positivos y sin límitede aumento, forma una sucesión nula.

Stockler explica el uso del símbolo “Lim.” para representarlímites y lo emplea de forma ope-rativa para permutar límites. Por ejemplo, sib D Lim. x y a es constante, Lim..ax/D ab.

Stockler no considera solamente límites de variables sino también de funciones. De formaexplícita establece la permutabilidad del límite con una función:

El límite de cualquier funciónFx de una variablex que es capaz de (tiene) límite, es igual al valorhomólogo por la función de su límite.

Simbólicamente, Stockler expresa el teorema como sigue: Para a D Lim. x, se sigue queLim. Fx D Fa.

5.3.4. Cauchy y suCours D’Analysede 1821

A principios del siglo XIX, parecía cada vez más necesario consolidar la enorme cantidadde resultados que ya se habían obtenido usando las técnicas precariamente fundamentadas delcálculo. Había llegado el momento en que se disponía de las herramientas necesarias para des-velar las sutilezas del concepto de límite, cuya lenta y trabajosa evolución a lo largo del sigloXVIII acabamos de ver. Lo que se necesitaba era dar definiciones precisas, simbólicas y opera-tivas, que no estuvieran basadas en intuiciones geométricas ni cinemáticas. Para ello, había queprecisar las expresiones vagas que solían usarse, al estilode “aproximarse más que una cantidaddada, por pequeña que ésta sea”, y dotarlas de un significado matemático preciso que pudieraser usado para dar demostraciones. Lo que se necesitaba era traducir las definiciones verbalesde límite mediante el álgebra de desigualdades que en esa época ya se había desarrollado. Estopuede parecer fácil visto desde nuestra perspectiva actual, pero no lo era en absoluto.

Figura 5.10. Cauchy

Si vuelves a leer la definición de límite (4.32), puedescomprobar lo abstracta que es: no queda nada en ella de laintuición inicial con la que Newton imaginaba sus “razonesúltimas”. Es una definición “estática” y todo en ella es arit-mética: valor absoluto, desigualdades. . . ¡no contiene ningunaigualdad! Ganamos rigor a costa de la intuición. Quien realizóla hazaña de fundamentar con rigor el cálculo sobre el con-cepto de límite fueAugustin - Louis Cauchy(1789 - 1857).Nos vamos a centrar aquí exclusivamente en este aspectode su obra, de la que nos ocuparemos con más detalle enun capítulo posterior. Conviene, no obstante decir, que hayinterpretaciones muy distintas de la obra de Cauchy. En parti-cular, se ha escrito mucho sobre el uso que Cauchy hace de los

infinitésimos. Creo que la documentada exposición que hace Schubring en [14] es muy con-vincente. Su tesis es que Cauchy, por su propia voluntad, nunca hubiera dejado entrar a losinfinitésimos en sus libros, pero que se vio en la necesidad dehacerlo por la presión del entornode l’École Polytechnique donde desempeñaba su labor docente. De todas formas, su concepto



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de infinitésimo, como veremos enseguida, no es el de una cantidad no nula pero infinitamentepequeña. En suCours d’Analyse de l’École Polytechnique(1821), Cauchy empieza exponiendosu concepto de número, de cantidad y seguidamente, en la página 19, aparecen las siguientesdefiniciones:

Se llama cantidadvariable aquella que se considera debe recibir sucesivamente variosvalores di-ferentes unos de otros.[. . . ] Cuando los valores sucesivamente atribuidos a una misma variable seaproximan indefinidamente a un valor fijo, de manera que acaban por diferir de él tan poco como sequiera, éste último es llamado ellímitede todos los otros.

[. . . ] Cuando los valores numéricos (valores absolutos) sucesivos de una misma variable decrecenindefinidamente, de manera que quedan por debajo de todo número dado, esta variable recibe elnombre deinfinitésimoo de cantidadinfinitamente pequeña. Una variable de esta naturaleza tienepor límite a cero.

Cuando los valores numéricos (valores absolutos) sucesivos de una misma variable crecen más ymás, de manera que permanecen por encima de todo número dado,se dice que esta variable tienepor límite elinfinito positivo, indicado por el signo1, cuando se trata de una variable positiva, y elinfinito negativo, indicado por la notación�1, cuando se trata de una variable negativa.

Llama la atención en esta definición la idea repetida de “sucesivos valores” que algunos autoresinterpretan como si Cauchy considerara a las cantidades variables como sucesiones. Aunquesigue siendo una definición verbal, es mucho más precisa que las anteriores y lo importante es laforma en que Cauchy la interpreta por medio del álgebra de desigualdades. Podemos hacernosuna idea de la forma de trabajar de Cauchy considerando el siguiente resultado que aparece enla página 54 delCours d’Analyse. Traduzco y hago algunos comentarios que van en cursiva yentre paréntesis.

Teorema I (Cauchy - Cours d’Analyse, p.54). Si para valores crecientes dex, la diferencia

f .x C 1/ � f .x/

converge hacia un cierto límitek, la fracción

f .x/

x

convergerá al mismo tiempo hacia el mismo límite.

Demostración. Supongamos para empezar que la cantidadk tenga un valor finito, y designemos por" un número tan pequeño como se quiera. Puesto que los valores crecientes dex hacen converger ladiferencia

f .x C 1/ � f .x/hacia el límitek, se podrá dar al númeroh un valor suficientemente grande para que, siendox igual omayor queh, la diferencia correspondiente esté constantemente comprendida entre los límites

k � "; k C ":

(Este comienzo es impecable y nosotros lo haríamos exactamente igual. Con nuestras notaciones actua-les, la hipótesis es que

lKımx!C1

�f .x C 1/ � f .x/

�D k:

Por tanto, dado" > 0, existeh > 0 tal que para todox > h se verifica quejf .x C 1/� f .x/ � kj < ".Eso es exactamente lo que escribe Cauchy.)


Supuesto esto, si se designa porn un número entero cualquiera, cada una de las cantidades

f .hC 1/ � f .h/f .hC 2/ � f .hC 1/

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

f .hC n/ � f .hC n � 1/

y, en consecuencia, su media aritmética, a saber

f .hC n/ � f .h/n

se encontrará comprendida entre los límitesk � ", k C ". Se tendrá pues

f .hC n/ � f .h/n

D k C ˛

siendo una cantidad comprendida entre los límites�",C". Sea ahora

hC nD x

La ecuación precedente se convertirá en

f .x/ � f .h/x � h

D k C ˛; (5.2)

y se concluirá

f .x/ D f .h/C .x � h/.k C ˛/

f .x/

xD f .h/

xC�

1 � h

x

�.k C ˛/ (5.3)

(Hasta aquí, nada que objetar. Todo es correcto.)

Además, para hacer crecer indefinidamente el valor dex, será suficiente hacer crecer indefinida-mente el número enteron sin cambiar el valor deh. Supongamos, en consecuencia, que en la ecuación�(5.3) se considerah como una cantidad constante, yx como una cantidad variable que converge haciael límite1. Las cantidades

f .h/

x;

h

x;

encerradas en el segundo miembro, convergerán hacia el límite cero, y el propio segundo miembro haciaun límite de la forma

k C ˛;˛ estando siempre comprendida entre�" yC". Por consiguiente, la razón

f .x/

x

tendrá por límite una cantidad comprendida entrek � " y k C ". Debiendo subsistir esta conclusión,cualquiera que sea la pequeñez del número", resulta que el límite en cuestión será precisamente igual ala cantidadk. En otras palabras, se tendrá

lKım f .x/

xD k D lKımŒf .x C 1/ � f .x/�: (5.4)

(Seguidamente, Cauchy pasa a considerar los casos en quek D1 y k D�1.) 2




Esta demostración es notable, por su rigor y también porqueno es correcta. Te daré uncontraejemplo en un ejercicio. ¿Serías capaz de explicar a Cauchy dónde está el error en surazonamiento? Por supuesto, lo que interesa aquí es la formaen que Cauchy traduce los con-ceptos de límite por medio de desigualdades. El error es anecdótico, además, cuando Cauchyemplea este resultado lo hace siempre en casos en que la tesises correcta; por ejemplo, para la

función logx ,se tiene que lKımx!C1

�log.xC 1/� log.x/

�D 0 y, por tanto, lKım

x!C1logx

xD 0 lo

cual es correcto. Si hasta el mismo Cauchy se equivocaba en cosas aparentemente fáciles, no teextrañes si a ti te cuesta trabajo entender bien la definiciónde límite, esa experiencia la hemostenido todos los que hemos estudiado Análisis.

Durante el siglo XVIII, el concepto de continuidad no había merecido nada más que unaesporádica atención, y siempre había sido considerado desde un punto de vista filosófico, máscomo una ley de la naturaleza que como un concepto propiamente matemático. Generalmente lacontinuidad de una función se entendía en el sentido de Euler, y significaba que dicha funciónestaba definida por una única expresión analítica. En suCours d’Analyse, Cauchy define elconcepto de función continua y, lo que es notable, de funcióndiscontinua; y su definición esrealmente muy minuciosa. Dice así:

Seaf .x/ una función de la variablex, y supongamos que, para cada valor dex comprendido entreciertos límites dados, esta función admite constantementeun valor único y finito. Si, partiendo de unvalor dex comprendido entre estos límites, se atribuye a la variablex un incremento infinitamentepequeño , la función misma recibirá por incremento la diferencia

f .x C ˛/� f .x/

que dependerá a la vez de la nueva variable˛ y del valor dex. Dicho esto, la funciónf .x/ será,entre los dos límites asignados a la variablex, funcióncontinuade esta variable, si, para cada valordex intermedio entre estos límites, el valor numérico (valor absoluto) de la diferencia

f .x C ˛/� f .x/

decrece indefinidamente con el de˛. En otras palabras,la funciónf .x/ permanecerá continua conrespecto ax entre los límites dados, si, entre estos límites un incremento infinitamente pequeño dela variable produce siempre un incremento infinitamente pequeño de la función.

Se dice también que la funciónf .x/ es, en un entorno de un valor particular atribuido a la variable x,función continua de esta variable, siempre que ella sea continua entre dos límites dex, por cercanosque estén, que encierren al valor considerado. Finalmente,cuando una función deja de ser continuaen el entorno de un valor particular de la variablex, se dice entonces que ella se hacediscontinuayque para este valor particular dex hay unasolución de continuidad.

Cauchy da realmente dos definiciones; primero define lo que nosotros llamaríamos “continui-dad en un intervalo” y, después, la continuidad puntual. La primera definición ha sido interpre-tada en el sentido de que lo que Cauchy entiende por continuidad es lo que ahora llamamos“continuidad uniforme”.

Seguidamente a esta definición, Cauchy pasa a estudiar la continuidad de las funcioneselementales, considerando en cada caso, los límites entre los que cada función es continua.Después demuestra el teorema de los valores intermedios (teorema de Bolzano) del cual da dosdemostraciones. Una que se apoya de forma decisiva en la intuición geométrica y, en una notaal final del texto, otra, que él califica de “puramente analítica”, que consiste en el método debisección, en la que Cauchy usa, sin demostración ni comentario, que una sucesión monótonaacotada es convergente, propiedad que equivale a la completitud del sistema de los númerosreales.



El innovador trabajo de Bolzano 175

El citado texto de Cauchy, así como los librosRésumé des leçons sur le Calcul Infinitésimal(1823) yLeçons sur le Calcul Différentiel(1829), en los que se recogen los cursos impartidospor Cauchy en la École Polytechnique durante los años precedentes, tuvieron una gran in-fluencia y establecieron nuevas exigencias de rigor. En el cálculo de Cauchy los conceptos defunción y de límite son los conceptos fundamentales.

5.3.5. El innovador trabajo de Bolzano

Figura 5.11. Bolzano

Es obligado citar aBernhard Bolzano(1781 - 1848), mate-mático, lógico y filósofo, profesor en la Universidad de su ciudadnatal, Praga, desde 1805 a 1820. Bolzano, cuyas obras completascomprenderán, cuando terminen de editarse, alrededor de 140 vo-lúmenes, fue un innovador en todos los campos que trabajó. Ensus trabajos matemáticos anticipó muchos de los conceptos queposteriormente redescubrieron y desarrollaron matemáticos comoCauchy, Weierstrass o Cantor. Debido a su relativo aislamiento enla ciudad de Praga, en una época en la que el centro de toda la pro-ducción matemática estaba en París, la obra matemática de Bol-zano fue poco conocida y no tuvo la influencia que merecía por surigor y profundidad.

Por lo que a la continuidad de una función se refiere, Bolzano publicó en 1817 un pequeñolibro de 60 páginasPurely analytic proof of the theorem that between any two values which giveresults of opposite sign there lies at least one real root of the equation[13], en el que, entreotras cosas, demuestra el teorema que ahora lleva su nombre.Bolzano empieza razonando quelas demostraciones conocidas de ese teorema eran inapropiadas. La claridad de ideas con quese expresa es muy llamativa (traduzco de [13]):

No obstante, un examen más cuidadoso muestra muy pronto que ninguna de estas pruebas puedeconsiderarse adecuada.

I. El tipo de demostración más usual depende de una verdad pedida en préstamo a la geometría, asaber, que toda línea continua de curvatura simple cuyas ordenadas son primero positivas y despuésnegativas (o recíprocamente) necesariamente debe intersecar en algún lugar al eje de abscisas enun punto comprendido entre aquellas ordenadas. Ciertamente, nada hay que objetar respecto a lacorrección, ni tampoco a la obviedad, de esta proposición geométrica. Pero está claro que es unaintolerable ofensa contra el método correcto, deducir verdades de las matemáticas puras (o generales,i.e. aritmética, álgebra, análisis) a partir de consideraciones que pertenecen simplemente a una parteaplicada (o especial), a saber, la geometría.

[. . . ] Consideremos ahora la razón objetiva por la que una línea en las circunstancias antes mencio-nadas interseca el eje de abscisas. Sin duda, todo el mundo verá enseguida que esta razón descansaen nada más que en el asentimiento general, como consecuencia del cual toda función continua dex

que sea positiva para algún valor dex, y negativa para otro, debe ser cero para algún valor intermediodex. Y ésta es, precisamente, la verdad que debe ser probada.

II. No menos reprobable es la demostración que algunos han construido a partir del concepto dela continuidad de una función con la inclusión de los conceptos de tiempo y movimiento. [. . . ] Estoes adicionalmente ilustrado por el ejemplo del movimiento de dos cuerpos, uno de los cuales estáinicialmente detrás del otro y posteriormente delante del otro. Necesariamente se deduce que en untiempo debe haber estado al lado del otro. Nadie negará que los conceptos de tiempo y movimientoson tan extraños a la matemática general como el concepto de espacio. No obstante, si estos con-ceptos fueran introducidos solamente por motivos de claridad, no tendríamos nada en contra de ello.




Weierstrass nos dio los" � ı 176

[. . . ] Por tanto, debe observarse que no consideramos que losejemplos y aplicaciones disminuyan enlo más mínimo la perfección de una exposición científica. De otra manera, estrictamente exigimossólo esto: que los ejemplos nunca sean empleados como argumentos en lugar de las demostraciones,y que la esencia de una deducción nunca esté basada sobre el uso meramente metafórico de fraseso sobre sus ideas relacionadas, de forma que la deducción misma quedaría vacía tan pronto comoéstas fueran cambiadas.

Es difícil expresarse con más claridad que como lo hace Bolzano. Su definición de continuidad,en el citado trabajo, es como sigue:

Una funciónf .x/ varía según la ley de continuidad para todos los valores dex dentro o fuera deciertos límites, significa exactamente que: six es algún tal valor, la diferenciaf .x C !/ � f .x/puede ser hecha más pequeña que cualquier cantidad dada, supuesto que! puede ser tomado tanpequeño como queramos.

Seguidamente, Bolzano establece un teorema previo cuyo asombroso enunciado es como sigue:

Si una propiedadM no pertenece a todos los valores de una variablex, pero sí pertenecen todos losvalores que son menores que un ciertou, entonces existe siempre una cantidadU que es la mayorde aquellas de las cuales puede afirmarse que toda más pequeñax tiene la propiedadM .

Comprendes por qué califico de “asombroso” ese enunciado, ¿verdad? ¡Es la propiedad deextremo inferior!¡En el año 1817, 55 años antes de que Dedekind y Cantor publicaran susteorías de los números reales!

El conocido historiador de las matemáticas Ivor Grattan - Guinness, en un polémico trabajotituladoBolzano, Cauchy and the “New Analysis” of Early Nineteenth Century[9], expresa suopinión de que Cauchy conocía el trabajo de Bolzano pero nunca lo reconoció. Desde luego,ni en las numerosas obras de Cauchy, ni en su correspondenciaparticular, se ha encontradoninguna referencia a Bolzano, por lo que la afirmación de Grattan - Guinness, como él mismoreconoce, no está sustentada en pruebas documentales.

5.3.6. Weierstrass nos dio los" � ı

Figura 5.12. Weierstrass

Una característica de los textos citados de Cauchy es que enellos no hay ni una sola figura. Cauchy liberó al cálculo de susataduras geométricas, aunque todavía sus definiciones conteníantérminos imprecisos como “tan pequeño como queramos” y “dis-minuir indefinidamente hasta converger al límite cero”, o ideas demovimiento como “variable que se acerca a un límite” por no ha-blar de sus “infinitamente pequeños”. Para seguir avanzandoeranecesario acabar de una vez con las distinciones entre número ycantidad. Los números reales todavía eran considerados geomé-tricamente y no se habían establecido sus propiedades de formaexplícita. El cero y los números negativos eran vistos aún por mu-chos matemáticos como algo de naturaleza diferente a los númerospositivos.

En definitiva, debía concretarse el significado de expresiones como “cantidad variable”y “variable continua”. También era preciso separar la idea de función de su representación



Weierstrass nos dio los" � ı 177

analítica concreta, lo cual, como ya vimos en el Capítulo 2, fue hecho por Dirichlet en 1837 consu definición general de función como correspondencia arbitraria. Finalmente, pero no menosimportante, estaban las cuestiones referentes a la convergencia de sucesiones y series numéricasy funcionales, aún mal comprendidas en la época de Cauchy, delas que nos ocuparemos en otrolugar.

En los cincuenta años que van de 1830 a 1880 se lograron desentrañar todas estas cuestio-nes fundamentales gracias, principalmente, a los trabajosde Dirichlet, Riemann, Weierstrass,Dedekind y Cantor. Ya conocemos una parte de este complejo proceso, la que culmina en 1872con la fundamentación del sistema de los números reales por Dedekind y Cantor.

FueKarl Weierstrass(1815 - 1897) quien llevó a sus últimas consecuencias el proceso de“aritmetización del Análisis”. Weierstrass era un desconocido profesor de instituto, cuando en1854 publicó un trabajo sobre las funciones abelianas que causó sensación en la comunidad ma-temática. Poco después, en 1856, Weierstrass ya era profesor de la Universidad de Berlín. Loscursos que Weierstrass impartió en Berlín durante más de treinta años atrajeron a numerososmatemáticos de toda europa. Discípulos suyos fueron, entremuchos otros menos conocidos,George Cantor (1845 - 1918), Sonya Kovalevsky (1850 - 1891),Max Planck (1858 - 1947) yDavid Hilbert (1862 - 1943).

Weierstrass estaba convencido de que el Análisis debía ser liberado de los razonamientosgeométricos y de los conceptos intuitivos de espacio, tiempo y movimiento y debía ser funda-mentado sobre los enteros positivos. Acometió la tarea de revisar radicalmente los conceptosfundamentales del Análisis y a este fin dedicó algunos de sus cursos. Entre otras cosas, desa-rrolló en ellos una teoría aritmética de los números reales parecida a la de Cantor. AunqueWeierstrass no publicó mucho, su influencia fue enorme y sus conferencias magistrales fuerondifundidas por toda Europa por sus numerosos alumnos. Weierstrass es considerado como elmás grande analista del último tercio del siglo XIX y se le ha llamado “el padre del análisismoderno”. Más adelante tendremos ocasión de exponer algunas de sus contribuciones.

Por lo que al concepto de límite funcional se refiere, Weierstrass tradujo por medio dedesigualdades y de valores absolutos las definiciones verbales de límite y de continuidad dadaspor Cauchy y Bolzano. Para Weierstrass, una variable solamente es un símbolo que sirve paradesignar cualquier elemento del conjunto de valores que se le pueden atribuir. Una variablecontinua es aquella cuyo conjunto de valores no tiene puntosaislados. La definición de límitedada por Weierstrass, tal como la recogió en sus notas el matemático H.E. Heine (1821 - 1881)es la siguiente:

Se dice queL es el límite de una funciónf .x/ paraxDx0 si, dado cualquier", existe unı0 tal quepara0 < ı < ı0, la diferenciaf .x0 ˙ ı/ �L es menor en valor absoluto que".

Cuando una teoría ha sido desarrollada, llega el momento delrigor. Así el concepto de límite,fundamental en cálculo porque en él se basan los de continuidad, derivada, integral y los distin-tos tipos de convergencia, y es el concepto que confiere al cálculo su característica distintiva,solamente pudo ser expresado de forma rigurosa (según nuestros criterios actuales) en el últimotercio del siglo XIX, después de haberse estado usando, de forma más o menos disfrazada porlos infinitésimos y otros conceptos afines como el movimiento, durante doscientos años. Cu-riosamente, la letra griega", que usaba Cauchy con un significado de “error”, se ha convertidoen el paradigma de la precisión en nuestras actuales definiciones heredadas de Weierstrass.



http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Weierstrass.html


La flechita en la notación para límites, lKımx!x0

f .x/, fue introducida por G.H. Hardy (1877 -

1947) en su notable libroA Course of Pure Mathematics(1908).


172. Considera la funciónf WRC ! R dada por

f .x/D 1

1 � x CE.x/

Donde, como de costumbre,E.x/ es la parte entera dex. Estudia los límites enC1 de

las funcionesf .x C 1/ � f .x/ yf .x/

x.

5.4. Breve historia del infinito

Es conocida la exclamación de David Hilbert¡El infinito! Ninguna cuestión ha conmovidotan profundamente el espíritu del hombre. Es verdad, el infinito atrae poderosamente nuestraimaginación. ¿Quién no ha gritado en su infancia para devolver un agravio “. . . y tú diez vecesmás. . . ¡infinitas veces más que yo!”? Es difícil imaginar que el tiempo tuviera un comienzo ytambién que el espacio sea finito, porque no podemos pensar enuna frontera para el espacio trasde la cual no exista más espacio, ni un origen para el tiempo antes del cual no hubiera tiempo.Cualquier respuesta a estas preguntas conduce siempre a nuevas preguntas. Un error típicoconsiste en creer que si algo fuera infinito debería contenertodas las cosas, algo así como elAleph borgiano. Matemáticamente, es claro que no tiene por qué ser así: los números pares soninfinitos y no son todos los números. Algo infinito tampoco tiene por qué ser necesariamentemuy grande. El Aleph de la narración de Borges es una pequeña esfera, un conjunto fractalcontiene infinitas copias de sí mismo, el veloz Aquiles permanece corriendo sin alcanzar jamása la tortuga que le lleva unos pocos metros de ventaja. . . .

5.4.1. La idea de infinito en la filosofía y la matemática Griegas

5.4.1.1. Las aporías de Zenón de Elea

¡Zenón, cruel Zenón, Zenón de Elea!Me has traspasado con la flecha alada.Que, cuando vibra volando, no vuela.Me crea el son y la flecha me mata.¡Oh sol, oh sol! ¡Qué sombra de tortugaPara el alma: si en marcha Aquiles, quieto!Paul Valery

Un griego llamado Zenón, del que se sabe muy poco y de forma indirecta a través delParménidesde Platón, cuyo nacimiento se fecha hacia el año 490 a.C en la ciudad de Elea en



La idea de infinito en la filosofía y la matemática Griegas 179

el sur de Italia, y que fue discípulo de Parménides, sigue manteniendo desde hace 2300 años supermanente desafío a la razón.

Te recuerdo que, según Parménides, el ser es necesariamenteuno, eterno, continuo, indi-visible e inmutable. Los cambios, transformaciones y multiplicación de los seres, son merasapariencias a las cuales no responde realidad alguna. La filosofía de Parménides fue muy criti-cada porque choca con nuestras creencias más básicas sobre la realidad.

Zenón ideó sus paradojas o aporías (proposiciones sin salida lógica) para desacreditar aquienes negaban las ideas de Parménides, y afirmaban la realidad del cambio y la pluralidadde los seres. Aristóteles califica a Zenón de “inventor de la dialéctica”, una elaborada formade razonamiento que consiste en probar al oponente que de susideas se deducen consecuen-cias inaceptables. Los argumentos de Zenón son realmente del tipo “reducción al absurdo”: seacepta provisionalmente una hipótesis y, razonando correctamente a partir de ella, se llega auna conclusión inaceptable, lo que obliga a rechazar la hipótesis inicial.

Vamos a exponer, en lenguaje actual, tres de las paradojas deZenón que van dirigidascontra las dos teorías del movimiento sostenidas en la antigüedad, las cuales dependen, claroestá, de la supuesta naturaleza del tiempo y del espacio. Debes tener en cuenta que Zenón noniega el movimiento sino su inteligibilidad; la afirmación de que “el movimiento se demuestraandando” no refuta a Zenón, su desafío no es a la experiencia sensible sino a la razón.

Las dos primeras paradojas parten del supuesto de que el espacio y el tiempo soninfinita-mente divisiblesy el movimiento continuo y uniforme.

La dicotomía.Para que un móvil pueda llegar a un punto dado, debe recorrer primero la mitad de ladistancia; pero antes de alcanzar esa mitad debe recorrer lamitad de la mitad. Y así suce-sivamente, “ad infinitum”. De este modo para alcanzar completamente cualquier distanciatendría que recorrer un número infinito de divisiones, lo cual es imposible en un tiempofinito.

Aquiles y la tortuga.Aquiles, el de los pies ligeros, nunca alcanzará a la tortugaque avanza lentamente unoscuantos metros por delante de él. Pues cuando Aquiles alcance el punto donde estaba latortuga, ésta ya estará un poco más adelante; y cuando de nuevo Aquiles alcance ese lugar,la tortuga habrá avanzado un poco más. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar denuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco más. .. . De este modo, la tortugaestará siempre por delante de Aquiles.

Ambos argumentos están relacionados. Según la Dicotomía, para que haya movimiento debehaber un comienzo, pero no hay una distancia mínima con la queempezar; por tanto el movi-miento no puede empezar, luego no hay movimiento. Según Aquiles, un móvil para alcanzar sudestino debe cubrir primero la mitad de la distancia que lo separa, pero antes deberá recorrerla mitad de esa mitad, y así sucesivamente; luego debe recorrer infinitas divisiones lo cual esimposible en tiempo finito, por tanto nunca alcanzará su destino. Es decir, una vez empezado,el movimiento no puede parar.

La tercera paradoja, que se refiere a una flecha lanzada al aire, supone que el espacio y eltiempo están formados porunidades mínimas indivisiblesy el movimiento es una sucesión dediminutos saltos consecutivos.

La flecha.




En un instante indivisible de tiempo la flecha debe permanecer quieta, pues si se moviera elinstante contendría unidades de tiempo más pequeñas en las que dicho movimiento tendríalugar en contra de lo supuesto. Por tanto, en cada instante laflecha está quieta y, como eltiempo se compone de instantes, la flecha está siempre quietay el movimiento no tienelugar.

La influencia de las aporías de Zenón en filosofía, lógica y matemáticas ha sido notable yse ha escrito y se sigue escribiendo mucho sobre ellas ([12] es una de las referencias másinteresantes). Más adelante veremos algunos intentos, bastante ingenuos, de resolver las dosprimeras por medio de la teoría de series. Despidamos a Zenóncon una cita de Borges.

Zenón es incontestable, salvo que confesemos la idealidad del espacio y del tiempo. Acep-temos el idealismo, aceptemos el crecimiento concreto de lopercibido, y eludiremos lapululación de abismos de la paradoja. ¿Tocar a nuestro concepto del universo, por esepedacito de tiniebla griega?, interrogará mi lector.

J.L. Borges, “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”.

5.4.1.2. Atomismo y divisibilidad infinita

El filósofo Anaximandro (ca.610 - 546 a.C.) introdujo el infinito en la filosofía Griega.Afirmó que el principio de todas las cosas existentes es elápeiron. Etimológicamenteápeironsignificalo sin límites. Según Anaximandro, elápeirones infinito, porque provee la energía pa-ra que en el mundo no cese la generación y corrupción, e indeterminado, porque no es concretoy no se identifica con ninguno de los elementos agua, aire, tierra, fuego. Podemos interpretarlocomo la fuente de energía primordial que garantiza la transformación y la unidad del cosmos.

En el período que separa a Zenón de Elea de Aristóteles surgióla filosofía del atomismo,iniciada por Leucipo (ca.450 - 420 a.C.) y desarrollada por Demócrito (ca.460 - 370 a.C.). Elatomismo es una filosofía materialista que se ha interpretado como una respuesta al idealismode la Escuela Eleática (Parménides, Zenón). Los atomistas mantienen que hay dos principiosfundamentales: los átomos y el vacío. Los átomos son indivisibles e invisibles, infinitos en nú-mero y de diversas formas y tamaños, perfectamente sólidos,indestructibles y permanentes.Las substancias materiales son producidas por la unión y separación de esos átomos movién-dose en el vacío. El movimiento se produce por la reordenación de los átomos entre sí; segúnAristóteles, los atomistas reducen todo cambio a un mero cambio de lugar. Los atomistas ad-miten la pluralidad y el movimiento y niegan la infinita divisibilidad del espacio y la materia.

El atomismo fue cuestionado porAristóteles(384 - 322 a.C.), que realizó un análisis siste-mático del continuo. Aristóteles divide las cantidades en discretas y continuas. Los números yel lenguaje hablado son discretas y las líneas, superficies,sólidos, tiempo y espacio son conti-nuas. La respuesta a la pregunta de si una magnitud continua (uncontinuo) es permanentementedivisible en partes cada vez más pequeñas, o hay un límite másallá del cual no puede prose-guirse el proceso de división, depende de la naturaleza del infinito. Aristóteles dedica el LibroIII de suFísicaa un estudio sistemático del infinito. Considera que el estudio del infinito formaparte del estudio de la naturaleza, pues lo característico de ésta es el movimiento y el cambio, yel movimiento es pensado como algo continuo, y lo que es continuo es definido con frecuenciacomo algo infinitamente divisible.

Primero, dice Aristóteles,“hay que examinar en general si es o no es posible que haya



http://es.wikipedia.org/wiki/Arist%C3%B3teles


un cuerpo sensible infinito”. Después del correspondiente estudio, llega a la conclusión de que“no existe un cuerpo que sea actualmente infinito”. Pero“la negación absoluta del infinito esuna hipótesis que conduce a consecuencias imposibles”.

Aristóteles expone algunas razones que apoyan la creencia en la realidad del infinito yconsidera los distintos sentidos de dicho término. Entre las primeras: la infinitud del tiempo,la divisibilidad de las magnitudes y la infinitud de los números; entre los segundos: lo que nopuede ser recorrido o se puede recorrer pero sin llegar a un término.

Es también evidente que no es posible que lo infinito exista como un ser en acto o como una subs-tancia y un principio. Luego lo infinito existe como un atributo.

Lo infinito es un atributo que puede predicarse de la cantidado de determinados procesos; es-pecialmente, los procesos de adición y de división. Aristóteles, habla en ese sentido del infinitopor adición y el infinito por división o la divisibilidad infinita de un continuo.

Ahora bien, el ser se dice o de lo que es en potencia o de lo que esen acto, mientras que el infinito eso por adición o por división. Y ya se ha dicho que la magnitud noes actualmente infinita [. . . ] Nosqueda, entonces, por mostrar que el infinito existe potencialmente.

Pero la expresión “existencia potencial” no se debe tomar enel sentido en que se dice, por ejemplo,“esto es potencialmente una estatua, y después será una estatua”, pues no hay un infinito tal quedespués sea en acto. Y puesto que el ser se dice en muchos sentidos, decimos que el infinito “es” enel sentido en que decimos “el día es”.

Aristóteles distingue, pues, dos clases de infinito: el infinito como una totalidad completa, quellama el infinito actual y cuya existencia niega; y el infinitopotencial, que concibe como unproceso secuencial de adición o de subdivisión sin final. Lo metáfora del día es muy apropiada,pues elserde un día es unestar siendode forma sucesiva, de manera que en ningún momentoel día queda realizado plenamente como un todo. Análogamente, el infinito potencial nuncaserá plenamente realizadopues no hay un infinito tal que después sea en acto. La infinitudpotencial es la forma usual en que concebimos el tiempo como una línea recta indefinidamenteprolongable o la sucesión de los números que podemos ir formando por adición consecutiva dela unidad.

Esta concepción aristotélica del infinito se aceptó sin mayores cambios hasta el siglo XIX.Es una teoría que plantea bastantes dificultades, algunas deellas consecuencia de las ideas sobreel espacio y el tiempo del propio Aristóteles, y otras internas a la propia teoría. La forma en quela existencia potencial del infinito se relaciona con su existencia como un proceso no es fácil deinterpretar, pues si el infinito actual nunca es posible, es preciso que haya un sentido en el cualun proceso que está ocurriendo en el presente mantenga su existencia potencial. Por otra parte,Aristóteles mantiene que el tiempo es infinito lo que, aparentemente, contradice la no existenciade infinitos actuales. Respecto al espacio, afirma que es finito y “resulta entonces razonablepensar que no hay un infinito por adición que sea tal que pueda superar toda magnitud”. Estopuede interpretarse como que Aristóteles niega la posibilidad, incluso potencial, de un infinitopor adición de magnitudes. De todas formas, Aristóteles cree que la negación del infinito actualno afecta a los matemáticos:

Esta argumentación no priva a los matemáticos de sus especulaciones por el hecho de excluir queel infinito por adición pueda recorrerse en acto. Porque no tienen necesidad de este infinito ya queno hacen uso de él, sino sólo, por ejemplo, de una línea finita que se prolongue tanto como ellosquieran.




Sobre todo esto se ha escrito y se sigue escribiendo mucho. Más interesante para nosotros es larelación del infinito con la divisibilidad infinita del continuo.

Los atomistas negaban la divisibilidad infinita. Su argumento era que si una magnitud con-tinua fuera dividida en todo punto, entonces no quedaría nada o solamente quedarían puntossin extensión, porque en caso contrario el proceso de división podría proseguir. Pero, decían, siquedan puntos sin extensión, entonces no es posible recomponer la magnitud original a partirde ellos, pues por la agregación de puntos sin extensión no puede lograrse nunca una magnitudfinita. Concluían que en cualquier caso la magnitud inicial se ha convertido en algo incorpóreoy, por tanto, algo que tenía existencia ha dejado de ser, lo cual, evidentemente, es un imposible.

Aristóteles defendía la divisibilidad infinita pero debía refutar el argumento atomista. Susolución es muy original, pues afirma que aunque una magnitudcontinua puede ser divididaen cualquier punto, no puede ser dividida en todo punto. ParaAristóteles, dividir un continuoen todos sus puntos es reducirlo a lo discreto. Mientras que un continuo tiene la propiedad dedensidad, es decir, entre dos cualesquiera de sus puntos siempre hay otro punto del continuo, lospuntos obtenidos, después de una división infinita actual deun continuo, serían adyacentes unoscon otros, y esto implica que la propiedad de densidad se habría perdido. Pero si dividimos uncontinuo, lo que obtenemos son dos continuos cada uno de ellos con la propiedad de densidad.Por tanto, es imposible llegar, por divisiones sucesivas, areducir un continuo a puntos. Así,Aristóteles afirma la divisibilidad infinita pero niega la divisibilidad en todo punto, con lo queel argumento atomista deja de tener valor.

Esta es una posible interpretación de los argumentos de Aristóteles sobre la divisibilidadinfinita, que a veces son bastante oscuros y confusos. Además, como veremos más adelante,puede darse una interpretación matemática rigurosa de la misma.

Las matemáticas griegas evitan el infinito actual. Así, Euclides, considera rectas que puedenser prolongadas cuanto se quiera, pero no “rectas infinitas”. Igualmente, al enunciar que losnúmeros primos son infinitos, lo expresa diciendo que“Hay más números primos que cualquiercantidad de números primos propuesta”. De esta forma evita considerar el infinito actual delos números primos.

En Los ElementosEuclides expone elmétodo de exhausción(8.8.1) de Eudoxo de Cnido,que se utilizaba para calcular áreas (cuadraturas) de regiones planas. Es frecuente afirmar queeste método consiste en una aproximación al área seguida de un proceso límite. No es así.Aunque su nombre sugiere “agotamiento” de una figura plana por polígonos inscritos, el méto-do estaba basado en un razonamiento muy cuidadoso de doble reducción al absurdo (llamadorazonamientoapagógico), precisamente para evitar la consideración de un infinito actual.

Mención aparte merece Arquímedes. Por una parte, probó en suobraEl arenario que siel Universo estuviera completamente lleno de granos de arena, su número sería finito. Paralo cual desarrolla un sistema de numeración apropiado para manejar grandes números (paralos griegos el número mayor era la miríada de miríadas, equivalente a108) que le permitedescribir un número que, en base diez, tendría unos 80000 millones de millones de cifras. Perotambién Arquímedes ideó métodos heurísticos2 que están expuestos en su obraEl Método(ver8.8.1.2), descubierta en 1906, en la que explica cómo anticipó algunos de sus descubrimientos

2Por método heurísticose entiende cualquier proceso que facilite anticipar un resultado. Son métodos que seapoyan en alguna forma de intuición que conduce a la formulación de conjeturas razonables, que después deben serprobadas con métodos científicos rigurosos



C1 C2 O

P

Q

Figura 5.13. Rueda de Aristóteles

por medio de técnicas de equilibrio usando la ley de la palanca. En estas técnicas, Arquímedeshace un uso muy libre del infinito; por ejemplo, descompone áreas planas como sumas infinitasde segmentos, es decir, reduce un continuo a elementos indivisibles, con lo cual podrían estarde acuerdo los atomistas, pero no Aristóteles.

5.4.1.3. La rueda de Aristóteles

Así se conoce un interesante problema propuesto por Aristóteles en suMechanica. Si uncírculo de radior gira sin deslizar sobre su tangente horizontal, al completar un ciclo habráavanzado una distancia igual a2�r . Consideremos dos círculosC1 y C2, de radiosr1 y r2,concéntricos, rígidamente unidos entre sí. Cada uno de dichos círculos puede avanzar girandosin deslizar sobre su tangente horizontal. Al estar rígidamente unidos, el movimiento de giro deun círculo obliga al otro círculo a girar de igual manera y, además, ambos círculos avanzaránla misma distancia, que será igual a la distancia recorrida por su centro común. Supongamosque el círculoC1 gira sin deslizar un ciclo completo, en cuyo caso tambiénC2 gira un ciclocompleto. El camino recorrido porC1 es igual a2�r1 que es la longitud de su circunferencia;y el camino recorrido porC2 también es2�r1, aunque la longitud de su circunferencia es2�r2 < 2�r1. Aristóteles vio en esto algo paradójico.

Desde un punto de vista cinemático no hay dificultad en explicar lo que sucede. Al girarC1,con velocidad angular!, hace girar igualmente aC2 con igual velocidad angular. Pero tambiénC1, al avanzar, comunica aC2 un movimiento de traslación de magnitud!r1. El movimientode cada punto de la circunferencia deC2 es por tanto la resultante de un movimiento circularsimple de velocidad angular! y de un movimiento de traslación horizontal de magnitud!r1.Es la magnitud mayor,!r1 > !r2, de esta componente de traslación la que hace posible que elcírculo pequeño, aunque realiza el mismo número de ciclos que el grande, recorra igual caminoque el grande.

Pero es ahora donde se plantea el problema. Es claro que amboscírculos giran continua-mente, por lo que el punto de tangencia de la circunferencia de cada uno de ellos con la tangen-te horizontal, cambia también de manera continua. Por tanto, el hecho de que ambos círculosmantengan igual ritmo de avance no puede explicarse porque el círculo menor se deslice sobresu tangente pues tal cosa no sucede. Aquí tenemos la paradoja: ¿cómo es posible que los doscaminos sean iguales sin que se produzcan deslizamientos del círculo menor que compensen ladiferencia?

El infinito desde la Edad Media hasta el siglo XIX 184

Naturalmente, podemos suponer que el círculo que gira es el pequeño y obtenemos unasituación similar a la antes descrita, en la que ahora los doscírculos recorren un camino que esigual a la longitud de la circunferencia del círculo pequeño, a pesar de que ambos realizan unciclo completo.

Se trata de un problema entre cuyos diversos aspectos, todosellos relacionados con la ideade infinito, podemos destacar:

� El problema del movimiento y la idea de continuidad.� La estructura del continuo y la divisibilidad infinita.� La correspondencia uno a uno entre los puntos de dos caminos de diferente longitud.

Aristóteles solamente consideró el problema como un ejemplo de un cuerpo que mueve aotro. Observó que era indiferente que los círculos fueran concéntricos y que podían suponersetangentes exteriores, de forma que uno se mueve apoyándose contra el otro, en cuyo caso, dijo,es claro que el camino recorrido debe ser el del círculo que semueve.

5.4.2. El infinito desde la Edad Media hasta el siglo XIX

5.4.2.1. El infinito en la Escolástica

Es sabido que las religiones lo contaminan todo de irrealidad. Después del triunfo de laIglesia Católica, las discusiones sobre el infinito adquieren una orientación marcadamente teo-lógica.

San Agustín (354 - 430), filósofo cristiano, admite el infinito actual como atributo de Dios,pero niega que Dios creara nada infinito. En su obraLa Ciudad de Diosescribe refiriéndose alos números:

Así que son desiguales entre sí y diferentes; cada uno es finito y todos son infinitos. ¿Y que seaposible que Dios todopoderoso no sepa los números por su infinidad, y que la ciencia de Dios lleguehasta cierta suma de números, y que ignore los demás, quién habrá que pueda decirlo, por másignorante y necio que sea? [. . . ] Y así que la infinidad de los números para la ciencia de Dios, quela comprende, no puede ser infinita.

En esa insólita cuadratura del círculo que fue la Escolástica, en su intento de conciliar la filo-sofía de Platón y Aristóteles con la revelación cristiana, destaca Santo Tomás de Aquino (ca.1225 - 1274). La infinitud actual de Dios en todos los sentidoses un dogma Católico y Tomásde Aquino es una autoridad en tan delicada cuestión teológica. En su obraSumma Contra Gen-tiles, Capítulo 43, proporciona catorce argumentos breves para demostrar la infinitud de Dios,cada uno de ellos termina con la letanía“Por tanto Dios es infinito”.

5.4.2.2. Galileo y el infinito

Para encontrar ideas más interesantes sobre el infinito debemos referirnos a Galileo Galilei(1564 - 1642). En su obra pionera sobre la dinámica y estáticade sólidosDiscorsi e dimostra-zioni matematiche intorno a due nuove science attenenti alla meccanica e i movimenti locali(1638), Galileo expone sus ideas sobre el infinito.




Desde los tiempos de Aristóteles, la paradoja de los dos círculos había sido consideradapor diversos estudiosos aunque sin avances destacables. Galileo, en la citada obra, realiza undetallado estudio de la misma y propone soluciones originales. Galileo observa que la circun-ferencia del círculo pequeño debe tocar con cada uno de sus puntos una sola vez la tangentehorizontal y avanzar sobre ella una distancia mayor que su longitud. Galileo se pregunta cómoes posible que el círculo más pequeño recorra una distancia mayor que su circunferencia sindar saltos. Antes de exponer el estudio de Galileo, debemos comentar las opiniones de su casiexacto contemporáneo Giovanni di Guevara (1561 - 1641). Sinduda, Guevara conoce las ideasmatemáticas de cantidades infinitesimales y de indivisibles que se estaban desarrollando en estaépoca. Guevara escribe en su obraIn Aristotelis Mechanicas commentarii(1627)3:

Ambos, el círculo conductor y el que es movido tocan sucesivamente todas las partes individualesindivisibles de la línea del plano con un número igual de sus propias partes indivisibles, pero conla diferencia de que cuando el círculo conductor las toca, las partes en contacto son iguales entresí, mientras que cuando el círculo movido las toca, las partes correspondientes son diferentes. Puesel contacto igual de dos cantidades depende del ajuste exacto conjuntamente de iguales partes deambas, de forma que puedan coexistir en el mismo lugar. Pero no puede darse este ajuste exactoconjunto cuando los caminos son desiguales, pues esta desigualdad de los caminos también estápresente en los lugares de contacto. . .

Guevara indica que cuando el círculo menor es movido por el mayor, una parte más pequeñadel círculo menor siempre está en contacto con una parte mayor de la horizontal, esto hace quedicho círculo avance más rápidamente y de esta forma se compensa la menor longitud del arcode circunferencia girado.

Galileo se pregunta, en la citada obra, por la constitución básica de la materia y si la cohe-sión de los sólidos puede explicarse por la existencia de diminutos vacíos entre partículas ma-teriales y, más concretamente, si puede haber un número infinito de vacíos en una extensiónfinita. La Rueda de Aristóteles le parece un modelo matemático adecuado para estudiar esteasunto.

Galileo empieza su estudio considerando, en vez de círculos, polígonos regulares concén-tricos rígidamente unidos. Primero considera exágonos.

O

A B

C

DE

F

c d e f a

F

F

c 0 D 0b 0 C 0A0 B 0

C 0

D 0E 0

F 0

f 0 a0

Figura 5.14. Exágonos de Galileo

Sometemos el exágono mayor a un giro de 60 grados con centro enel vérticeB. Estegiro lleva el vérticeC al punto del mismo nombre,c, sobre la línea de base, y el centroO lo

3Traduzco libremente una cita de Guevara recogida en el trabajo más completo que conozco sobre la rueda deAristóteles [4], el cual estoy siguiendo muy de cerca en esta exposición




lleva a donde estaba el vérticeC . Este giro lleva el ladoB 0C 0 del exágono menor al segmentodel mismo nombreb 0C 0 de la línea de base de dicho exágono, y al hacerlo deja en mediounsegmentoB 0b 0. Este proceso se repite con sucesivos giros de 60 grados con centros respectivosen los puntosc;d; e; f hasta completar un ciclo. El exágono mayor ha recorrido sobre su líneade base una distancia igual a su perímetro. El exágono menor avanza a saltos, pues en cada girodeja en medio un segmento de su línea de base con el que no entraen contacto (B 0b 0, C 0c 0. . . ).El camino que dicho exágono recorre es su perímetro más los saltos correspondientes que, enel caso considerado en la figura, sería igual a 5 veces y media el lado del exágono mayor. Porsu parte, el centro recorre una distancia igual a 5 veces el lado del exágono mayor.

Es claro que conforme aumenta el número de lados, la longituddel lado del polígono mayores cada vez más pequeña y las longitudes recorridas son cada vez más parecidas. En este punto,Galileo considera los círculos como polígonos con un númeroinfinito de lados (un infinitoactual, no potencial) y escribe:

La distancia recorrida por el infinito número de lados continuamente distribuidos del círculo mayores igualado por la distancia recorrida por el infinito númerode lados del menor, pero, en el últimocaso, por la interposición de igual número de vacíos entre los lados. Y al igual que los lados noson finitos en número sino infinitos, igualmente los vacíos interpuestos no son finitos sino infinitos.Es decir, el número infinito de puntos sobre la línea recorrida por el círculo mayor son todos ellosocupados (esto es, en el transcurso de la revolución de ese círculo han sido ocupados por un “lado”del círculo), pero sobre la recorrida por el círculo menor son parcialmente ocupados y parcialmentevacíos.

Otra paradoja estudiada por Galileo es la de la “equivalencia entre una circunferencia yun punto”. Para explicarla, consideremos un rectángulo formado por dos cuadrados igualesunidos por un lado común. Recortemos en este rectángulo una semicircunferencia de centroen la mitad del lado superior del rectángulo e igual radio. Lafigura que resulta de quitar dichasemicircunferencia al rectángulo se gira alrededor de su eje de simetría y se obtiene un sólido derevolución parecido a un cuenco. Supongamos ahora inscritoen dicho sólido un como circularrecto cuya base coincide con la del cuenco y de altura igual a la del cuenco.

O

A

BC

D

U V

P

Q

Figura 5.15. Paradoja circunferencia-punto

Cada plano paralelo a la base del cuenco determina en su intersección con el cono un círcu-lo, y en su intersección con el cuenco una corona circular. Esmuy fácil comprobar que dichoscírculo y corona circular tienen igual área. Si ahora consideramos planos paralelos a la base delcuenco que se van acercando al borde superior del mismo, las áreas de las intersecciones de




dichos planos con el cono y el cuenco son siempre iguales. El último de dichos planos da comointersección con el cuenco una circunferencia (el borde delcuenco) y con el cono un punto (elvértice del cono). Como los límites de cantidades iguales entre sí deben también ser igualesentre sí, Galileo se pregunta por qué no podemos considerar la circunferencia como igual a sucentro. Si lo hacemos, llegaremos a la conclusión de que todas las circunferencias son igualesentre sí e iguales a un punto.

La misma figura anterior pone de manifiesto que la semicircunferencia está formada portantos puntos como los que forman la poligonalCDAB. Pues cada semirrecta con origen enO corta a la semicircunferencia en un único puntoQ y a la poligonal en otro único puntoP .Así podemos emparejar los puntos de la semicircunferencia con los de la poligonal y de estaforma los agotamos todos. Por tanto ambas líneas tienen igual número infinito de puntos. Sillamamos a la longitud deAB, la semicircunferencia tiene longitud�`, menor que la longitudde la poligonalCDAB que es igual a4`. Galileo escribe al respecto:

Estas dificultades son reales; y no son las únicas. Pero recordemos que estamos tratando con infinitose indivisibles, los cuales trascienden nuestra comprensión finita, los primeros a causa de su magnitud,los últimos debido a su pequeñez.

[. . . ] intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir sobre el infinito, asignándole propiedades quedamos a lo finito y limitado; pero pienso que esto es incorrecto, dado que no podemos hablar decantidades infinitas como si fuesen mayores, menores o iguales a otras.

Otra paradoja considerada por Galileo, es la que se deduce dela observación de que para cadanúmero naturaln podemos construir un cuadrado de ladon, cuya área es igual an2, de dondese deduce que hay tantos números naturales como cuadrados perfectos. Sin embargo la mayoríade los números no son cuadrados perfectos. A la vista de ello,Galileo escribe:

[. . . ] el total de los números es infinito, y el número de cuadrados es infinito; ni es menor el númerode cuadrados que el de la totalidad de números, ni el otro mayor que el anterior; y, finalmente, losatributos “igual”, “mayor” y “menor” no son aplicables al infinito, sino solo a cantidades finitas.

5.4.2.3. El Cálculo y el infinito

Una característica de las matemáticas del siglo XVII es el libre uso del infinito. En losdos primeros tercios del siglo XVII se desarrollan una variedad de métodos infinitesimales quepreludian el cálculo diferencial, así como técnicas de cuadraturas basadas en la descomposiciónde recintos planos o de sólidos en infinitoselementos indivisibles. El matemático inglés JohnWallis introdujo en 1655 en su obraDe Sectionibus Conicis, el símbolo del “lazo del amor”,1, con el significado de “infinito”.

La invención del Cálculo, en el último tercio del siglo XVII,ordena y sistematiza estosprocedimientos, y proporciona algoritmos generales para resolver multitud de problemas queantes se abordaban con técnicas específicas para cada caso. Las cantidades infinitesimales,los casi imprescindibles infinitésimos, que ya son viejos amigos nuestros, son otra forma delinfinito, en este caso, de lo infinitamente pequeño. Durante el siglo XVIII y parte del XIX, losinfinitésimos se usaron de forma casi generalizada porque, apesar de los problemas de todo tipoque planteaban, eran útiles y eficaces para resolver problemas y una herramienta heurística muyapreciada. Es preferible diferir, hasta que estudiemos el nacimiento del Cálculo, el estudio dealgunos aspectos de este proceso cuya consideración ahora nos apartaría del tema que estamosviendo.



El infinito matemático y el nacimiento de la teoría de conjuntos 188

5.4.3. El infinito matemático y el nacimiento de la teoría de conjuntos

A principios del siglo XIX, la actitud de los matemáticos ante el infinito no era diferente ala mantenida por Galileo doscientos años antes. La consideración del infinito actual conducíaa paradojas; en particular, la llamadaparadoja de la reflexividad, es decir, la posibilidad deestablecer una biyección entre un conjunto infinito y una parte del mismo, indicaba que laconsideración del infinito actual contradecía el principiológico de que “el todo es mayor quelas partes”. Para los principales matemáticos de la época, como Gauss y Cauchy, el infinitoseguía siendo un infinito potencial, un concepto sin contenido matemático, una palabra queservía para designar un proceso sin punto final. Gauss lo expresó claramente en una carta a suamigo Schumacher en 1831:

Debo protestar vehementemente contra el uso del infinito como algo completado, pues esto nuncaestá permitido en matemáticas. El infinito es simplemente una forma de hablar; una forma resumidapara la afirmación de que existen los límites a los cuales ciertas razones pueden aproximarse tantocomo se desee, mientras otras son permitidas crecer ilimitadamente.

La consideración del infinito actual como objeto matemáticoexige disponer de objetos mate-máticos que puedan ser llamados “infinitos”. Que los númerosnaturales son potencialmenteinfinitos quiere decir que son una sucesión a la que podemos agregar términos indefinidamen-te, muy diferente es la consideración del infinito actual de todos los números naturales (a loque estamos ya acostumbrados y no nos causa mayor problema),que equivale a considerarloscomo un todo acabado, como un conjunto formado por todos ellos. Esto indica que una teoríamatemática del infinito supone la consideración de conjuntos infinitos. Es imposible separar lateoría de conjuntos y la teoría del infinito.

En esto, como en otras cosas, Bernahrd Bolzano fue un adelantado a su tiempo. En su libroLas Paradojas del Infinito, publicado en 1851, tres años después de su muerte, Bolzano sepropone estudiar las paradojas conocidas y mostrar que, debido a la falta de precisión en el usodel términoinfinito, daban lugar aaparentescontradicciones. Es necesario, afirma, definir eltérminoinfinito y las matemáticas son el contexto apropiado para ello. Naturalmente, Bolzano,está refiriéndose al infinito actual. Con la idea de fundamentar matemáticamente la noción deinfinito actual, Bolzano introduce los términos deagregado, conjuntoy multitud, siendo enesta obra la primera vez que la palabra “conjunto” es usada con un significado matemáticopreciso. Un agregado es una totalidad compuesta de objetos bien definidos; un conjunto es unagregado donde el orden de sus partes es irrelevante y donde nada esencial se cambia si solose cambia el orden (es decir, un agregado sin estructura alguna); una multitud es un conjuntocuyos miembros son individuos de una misma especie.

Bolzano considera un conjunto como un todo, sin necesidad deconsiderar separadamentecada uno de sus elementos. El ejemplo que propone es muy significativo a este respecto:

. . . puedo pensar en el conjunto, o agregado, o si se prefiere, en la totalidad de los habitantes de Pragao de Pekín sin formar una representación separada de cada habitante individual.

Bolzano abandona así el punto de vista constructivo, la ideade que un conjunto se va formandoa partir de sus elementos mediante alguna clase de algoritmo.

Bolzano define una multitud infinita como aquella de la cual cualquier multitud finita sola-mente puede ser parte de la misma. Debemos observar que esta definición no es la tradicional




en la que infinito es definido como la negación de lo finito. Con respecto a la existencia deconjuntos infinitos, Bolzano afirmó que “el conjunto de todaslas verdades absolutas es un con-junto infinito”. Su idea es partir de una proposición que se sabe verdadera a la que podemosllamarA; a partir de ella podemos formar otra “A es verdadera” que, claramente, es diferentede la proposiciónA y este proceso puede proseguirse indefinidamente. Esta ideaparece muyingenua pero, más de treinta años después, Dedekind se inspiró en ella para probar el mismoresultado.

Bolzano mantiene que el criterio de validez para la existencia de conjuntos infinitos debebasarse en su naturaleza no contradictoria.

Tan pronto como disponemos de un concepto,A, el cual representa los objetosa; b; c;d; : : : y nootros, es extremadamente fácil llegar a un concepto que represente el agregado de todos estos objetostomados juntos. Solamente se necesita combinar la idea expresada por la palabra “agregado” y elconceptoA, en la manera expresada por las palabras “el agregado de todoA”. Esta simple observa-ción, cuya corrección confío que será evidente para todos, elimina todas las dificultades planteadascontra la idea de un conjunto que comprende infinitos miembros.

En términos actuales, lo que Bolzano afirma es que dada una proposiciónP .x/, relativa a loselementos de un conjuntoX , podemos formar el conjuntoY D fx2X W P .x/ es verdaderag.

Bolzano se propone establecer un criterio de comparación para conjuntos infinitos. La pa-radoja de la reflexividad no le preocupa tanto como a Galileo;al contrario, el hecho de quepueda establecerse una biyección entre un conjunto y una parte de él le parece “una de las másnotables característica de los conjuntos infinitos”. Pero en este punto crucial Bolzano no eligióel criterio adecuado.

. . . el conjunto de todas las cantidades entre0 y 5 (o menores que5) es claramente infinito, al igualque lo es el conjunto de todas las cantidades menores que12. Con no menos seguridad es el últimoconjunto mayor que el primero, pues el primero constituye solamente una parte del último [. . . ] Perono menos cierto que todo esto es lo siguiente: six representa una cantidad arbitraria entre0 y 5, ysi fijamos la razón entrex ey por la ecuación5y D 12x, entoncesy es una cantidad entre0 y 12; yrecíprocamente, siempre quey esté entre0 y 12, x está entre0 y 5.

Es decir, Bolzano afirma que la aplicación dada pory D 12

5x parax 2 Œ0; 5� establece una

biyección entre dicho intervalo y el intervaloŒ0; 12�. Pero, cuando se trata de conjuntos infinitos,a Bolzano no le parece que la existencia de una biyección sea criterio suficiente para afirmarque ambos conjuntos son “equinumerosos” y elige como criterio de comparación la relaciónde inclusión entre conjuntos. De esta forma puede comparar conjuntos infinitos pero no puedecuantificar el infinito y, por tanto, no logra desarrollar, pese a su intento, una aritmética delinfinito.No es ésta la única ocasión en que coinciden los intereses de Cantor y Dedekind. De hecho,la contribución de Dedekind a la creación de la teoría de conjuntos es mucho más importantede lo que suele reconocerse. En su famoso trabajoWas sind und was sollen die Zahlen(¿Quéson y para qué sirven los números?) publicado en 1888, Dedekind precisa el significado delas operaciones elementales de la teoría de conjuntosingenua, y da la definición general defunción entre conjuntos abstractos, generalizando así la anteriormente dada por Dirichlet parafunciones reales. Así mismo Dedekind da la siguiente definición:

Un sistemaS se llamainfinito cuando es semejante a una parte propia de sí mismo; en caso contrario,se dice queS es un sistema finito.

En términos actuales: un conjuntoS es infinito, si hay un subconjunto propio, Ø¤ A ¤ S , yuna biyección deA sobreS . En una nota a pie de página, Dedekind, afirma haber comunicado




Figura 5.16. Cantor

Le estaba reservada aGeorg Cantor(1845 - 1918) la gloriade ser el primer matemático que domesticara el infinito. Cantor sevio obligado a defender constantemente sus innovadoras ideas encontra de las opiniones de influyentes matemáticos de su tiempo,alguno de los cuales, como Leopold Kronecker, pasó incluso delataque científico al ataque personal, si bien otros destacados ma-temáticos como Weierstrass, Dedekind o Hilbert estuvieronde suparte.El interés de Cantor por los conjuntos infinitos de puntos y lana-turaleza del continuo procede de sus tempranos trabajos en seriestrigonométricas. En un notable trabajo de 1872, Cantor desarrollóuna teoría de los números reales basada en sucesiones de númerosracionales. Ese mismo año, un poco antes, Dedekind había publi-cado su teoría de las cortaduras.

esa definición a Cantor ya en 1882 y varios años antes a otros colegas. También fue Dedekindun precursor de las técnicas conjuntistas en Álgebra, introduciendo, entre otros, los conceptosdecuerpo, ideal y módulo.

En una carta a Dedekind, de fecha 29 de noviembre de 1873, Cantor afirmaba, sin incluirprueba alguna, que los racionales positivos y, más generalmente, el conjunto de las sucesionesfinitas de enteros positivos, podía ponerse en correspondencia biyectiva con los enteros positi-vos, y preguntaba si eso mismo se podía hacer con los números reales. Dedekind le respondió, avuelta de correo, que en su opinión nada se oponía a ello, y añadió, con demostración incluida,que el conjunto de los números algebraicos sí es biyectivo con el de los enteros positivos.

5.5 Definición. Los números algebraicosson números, reales o complejos, que son raíces dealguna ecuación polinómica con coeficientes enteros. Por tanto, un número real o complejoxes algebraico si hay números enterosck 2Z, (k D 01; 2; : : : n) tal quex satisface la ecuaciónpolinómica

c0 C c1x C c2x2 C � � � C cnxn D 0

Los números que no son algebraicos se llamantrascendentes.

Todo número racional es evidentemente algebraico, pero también lo son las raíces de cual-quier orden de números racionales positivos y muchos más. Intuitivamente, los números alge-braicos son los que pueden obtenerse a partir de los enteros por procedimientos algebraicos:suma, producto, cociente, división, raíces, iterados un número finito cualquiera de veces. Enese sentido podemos decir que los números algebraicos no están “muy alejados” de los ente-ros. Los números trascendentes son justamente lo contrario: son números irracionales “muyalejados” de los enteros.

Para facilitar la exposición que sigue voy a dar algunas definiciones de conceptos introdu-cidos por Cantor años más tarde.

5.6 Definición. Se dice que dos conjuntosA y B sonequipotentessi existe una aplicación bi-yectiva de uno de ellos sobre el otro. Los conjuntos equipotentes al conjuntoN de los númerosnaturales se llaman conjuntosnumerables.



http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Cantor.html

Los conjuntos numerables son aquellos conjuntos cuyos elementos se pueden contar ¡aun-que sean infinitos! El resultado, citado por Cantor, de queQ es numerable, no deja de ser muysorprendente y contrario a la intuición, pues sir < s son números racionales cualesquiera, entreellos dos hay siempre infinitos números racionales. Pese a ello, no hay más números racionalesque números naturales.

Poco después de las cartas citadas, Cantor logró demostrar que el conjunto de los númerosreales no es numerable. De aquí se deduce enseguida que en todo intervalo deR, hay infinitosnúmeros trascendentes. Cantor publicó estos resultados, el suyo y el de Dedekind, en un tra-bajo de tres páginas tituladoUber eine Eigenshaft des Inbegriffes aller reellen algebraischenZahlen(Sobre una propiedad del sistema de todos los números algebraicos reales) (1874). Esmuy llamativo que el título de este trabajo, considerado como el nacimiento oficial de la teoríade conjuntos, no haga referencia alguna al resultado que hoyconsideramos como el princi-pal: la no numerabilidad deR. Además la propia presentación del trabajo elude destacar estosresultados. Posiblemente, Cantor temía la reacción que pudiera provocar un trabajo tan radical-mente innovador. Porque lo que él hacía era probar que en cualquier intervaloŒa; b� � R cona < b hay, en un sentido matemático preciso, más números que todoslos números algebraicosjuntos, de donde se deducía que enŒa; b� tenía que haber números trascendentes. Esta es unademostración deexistencia pura, algo nuevo en las matemáticas.

Demostrar que un número concreto es trascendente es muy difícil. Era conocida la trascen-dencia del número e, demostrada por Charles Hermite en 1873,y Ferdinand Lindemann logróprobar la trascendencia de� en 1882 (demostrando así que el problema de la cuadratura delcírculo no tenía solución).

Naturalmente, Cantor sabía muy bien que había descubierto una propiedad específica delcontinuo: su no numerabilidad. Disponía ya de dos tipos de conjuntos infinitos:N y R, cla-ramenteN tenía un tamaño más pequeño queR. Precisar esa idea de tamaño y elaborar unateoría de comparación de conjuntos infinitos es lo que hizo Cantor en los siguientes veinte añosy, casi contra su voluntad, se vio llevado a desarrollar la teoría de números transfinitos y lateoría de conjuntos como una disciplina matemática independiente.

En 1877, Cantor probó, para su propia sorpresa, que los puntos del plano podían ponerse encorrespondencia biyectiva conR, y, más general, que los espaciosRn son todos ellos biyectivosa la recta real. Este resultado fue de los que más desconcierto provocó entre los matemáticoscontemporáneos.

Cantor siguió desarrollando sus ideas en una serie de seis trabajos publicados en los años1878 a 1884. En 1883, en su trabajoFundamentos de una teoría general de conjuntos, escribe:

La presentación de mis investigaciones hasta la fecha en teoría de conjuntos, ha alcanzado un puntodonde su progreso depende de una extensión del concepto de número entero más allá de sus límitesactuales. Esta extensión señala en una dirección que, por loque yo sé, no ha sido investigada pornadie todavía.

[. . . ] Por atrevido que esto pueda parecer, tengo que expresar, no sólo la esperanza, sino también lafirme convicción de que esta extensión tendrá que ser considerada con el tiempo como absolutamentesimple, adecuada y natural. Pero no se me oculta de ninguna manera el hecho de que en esta empresame encuentro situado en una cierta oposición a concepcionesmuy extendidas acerca del infinitomatemático, y a opiniones formuladas frecuentemente sobrela naturaleza del número.

En este trabajo Cantor introduce losnúmeros transfinitoso cardinales transfinitos. Por el mis-mo proceso que podemos abstraer la idea de número5 como la clase de todos los conjuntos


equipotentes a un conjunto cualquiera con cinco elementos,a; b; c;d; e, de la misma forma esteproceso permite, dado un conjuntoM , por doble abstracción de la naturaleza de sus elementosy del posible orden en que estén dados, asociar aM un objeto matemático, representado por]M , que se llamasu número cardinalo potencia, que es el mismo para todos los conjuntosequipotentes aM . CuandoM es finito,]M es el número de elementos deM ; la potenciade los conjuntos numerables (infinitos) la representó Cantor por @0 (@ es la primera letra delalfabeto hebreo, se pronuncia “alef”); la potencia de la recta real y de cualquier intervalo dela misma, no vacío y no reducido a un punto, se representa porc y se llama lapotencia delcontinuo.

Cantor define una relación de orden entre números cardinales: si M , N son dos conjuntos,diremos que]M 4 ]N si existe una biyección deM sobreuna partede N . Si, además, noexiste ninguna biyección entre ninguna parte deM y la totalidad deN , se escribe]M � ]N .Con esta definición se tiene que@0 � c. Para números cardinales finitos esta relación deorden es la usual. La demostración de que4 es una relación de orden entre números cardinalesestá muy lejos de ser fácil. La dificultad estaba en probar la propiedad reflexiva, es decir, si]M 4 ]N y también]N 4 ]M , entonces es]M D ]N . Este resultado fue probado en 1898,y se conoce como teorema de Cantor - Bernstein. Se verifica, además, que4 es una relación deorden total, es decir, dados conjuntosM y N se verifica alguna de las relaciones]M 4 ]N o]N 4 ]M . La demostración de este resultado exige usar el llamado axioma de Zermelo.

Todos esto está muy bien, pero ¿cuántos números cardinales infinitos hay? Hasta ahorasolamente conocemos dos. Cantor ideó un procedimiento por el cual, dado un conjuntoM , sepuede construir un conjunto cuyo cardinal es estrictamentemayor. Para ello, definió el conjuntoP .M / como el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntosdeM

P .M /D fA WA �M gEs fácil probar que]M � ]P .M /. Suele escribirse]P .M /D2]M , igualdad que, para el casode conjuntos finitos, es cierta.

Por tanto, los conjuntos

P .M /;P�P .M /

�;P

�P�P .M /

��: : :

tienen todos ellos distinto número cardinal.

Las operaciones con números transfinitos se definen con facilidad por medio de las co-rrespondientes operaciones conjuntistas. Por ejemplo, elproducto]M � ]N es, por definición,igual a].M �N / dondeM �N es el conjunto producto cartesiano deM y N . Análogamentese define la suma]M C ]N como el número cardinal de la unión disjunta deM y N . Estasoperaciones son asociativas, conmutativas y distributivas pero, para cardinales transfinitos secumple que

]M C ]N D ]M � ]N DmKaxf]M; ]N gEsto es, la aritmética transfinita no responde a las reglas usuales de la aritmética finita. Peroesto no quiere decir que sea contradictoria, simplemente, es diferente.

El desarrollo de la teoría de conjuntos condujo a algunas contradicciones, las llamadaspa-radojas de la teoría de conjuntos. Ello era debido al punto de vista ingenuo adoptado respectoa los conjuntos. Se pensaba que cualquier propiedad matemática, P .x/, definía su correspon-diente conjunto, a saber, el formado por los elementos para los cuales dicha propiedad es ver-dadera. El propio Bolzano tenía esta idea. Consideremos la siguiente propiedadP .x/D x∉x



y definamos el conjuntoAD fx W P .x/ es verdaderag. Entonces resulta que siA2A es porqueA∉A y si A∉A debe serA2A. Una contradicción insalvable, conocida como laparadoja deRussell. La solución fue axiomatizar la teoría de conjuntos para evitar que pudieran formularseparadojas como la anterior y, además, restringir de alguna forma la existencia de conjuntos“demasiado grandes”.

Considero que lo dicho hasta aquí es suficiente para que tengas una idea del trabajo deCantor. Este trabajo cambió la forma de ver las matemáticas yacabó por ser ampliamenteaceptado. La visión que Cantor tenía de las matemáticas puras es muy hermosa; para él, lasmatemáticas puras son el reino de la libertad y las llamaba “matemáticas libres”, porque sonuna creación de la libertad del espíritu humano cuyas únicaslimitaciones son la coherencia yla no contradicción.

5.4.3.1. La no numerabilidad del continuo

En esta sección final, vamos a probar la numerabilidad deQ y la no numerabilidad deR.Así mismo, estudiaremos algunos tipos de conjuntos densos yte propondré algunos ejerciciosinteresantes.

Empezaremos demostrando un resultado que, por su aparente evidencia, parece que noprecisa demostración. Se trata de un resultado muy importante y muy útil y cuya demostraciónme parece instructiva.

5.7 Teorema.a) Todo conjunto de números enteros no vacío y mayorado tienemáximo.

b) Todo conjunto de números enteros no vacío y minorado tienemínimo.

Demostración. La estrategia de la demostración es obligada; para probar que un conjunto denúmeros reales no vacío y mayorado tiene máximo, debemos probar que su supremo está enel conjunto. SeaE � R no vacío y mayorado. En virtud del principio del supremo, hayunnúmeroˇ 2 R que es el mínimo mayorante deE. Puesto que � 1 < ˇ, debe haber algúnz2E tal queˇ� 1 < z y, claro está,z 6ˇ. Supongamos que los elementos deE son númerosenteros,E � Z, y probemos que, en tal caso, debe serzD ˇ. Si fueraz < ˇ tendría que haberalgúnw 2E tal quez < w 6 ˇ pero entonces el númerow � z es un entero positivo tal quew � z < 1 lo cual es contradictorio. En consecuenciaz D ˇ2E y ˇ es el máximo deE.

Análogamente se prueba que un conjunto no vacío y minorado deenteros tiene mínimo.2

Del teorema anterior se deducen dos importantes consecuencias.

5.8 Teorema(Principio de buena ordenación deN). Todo conjunto no vacío de números natu-rales tiene mínimo.

La siguiente propiedad, también consecuencia del teorema,nos dice queN no está ma-yorado enR. Observa que es evidente queN está mayorado enQ. PeroR tiene muchos máselementos (muchísimos más, como enseguida veremos) queQ; ¿quién te asegura que, en la am-pliación deQ a R, no se han colado números irracionales más grandes que cualquier natural?De eso se trata.

5.9 Teorema(Propiedad arquimediana). Dado cualquier número real se verifica que hay nú-meros naturales mayores que él.

Demostración. ComoN no tiene máximo, el teorema (5.7) implica queN no puede estarmayorado enR, por tanto, dadox2R, tiene que haber algúnn2N tal quen > x . 2

La propiedad arquimediana del orden deR prohíbe la existencia de cantidades infinitesi-males, es decir, de números positivos pero “tan pequeños” que al multiplicarlos por cualquiernúmero natural el producto seguía siendo “muy pequeño”. Convenzámonos de que tales “infi-nitésimos”, si es que los hay, no pueden ser números reales. En efecto, six;y son númerosreales positivos, la propiedad arquimediana del orden deR nos dice que tiene haber algúnn2N

tal quen > y=x y, por tanto,nx > y. En consecuencia, por “pequeño” que sea el número realx> 0 y por “muy grande” que sea el número realy> 0, siempre hay múltiplos naturales dex

mayores quey.

5.10 Definición. Se dice que un conjuntoE � R es denso enR, si en todo intervalo abiertono vacío hay puntos deE. Equivalentemente, si dadosx;y2R conx < y hay algúnz2E talquex < z < y.

5.11 Proposición.a) El conjunto de los números racionales es denso enR.

b) El conjunto de los números irracionales es denso enR.

Demostración. a) Supongamos quex;y2R conx < y. La idea es tomar una unidad racionalde medida,u, en la recta que sea menor quey � x, pues entonces es claro que un múltiploapropiado,mu, deu estará comprendido entrex e y. Hay muchas posibilidades, se trata deelegir u y m con algún criterio que nos permita probar quex < mu < y. Los números mássencillos que podemos tomar parau son los de la forma1=n, donden 2N, con la condición1=n < y � x, esto es,n > 1=.y � x/. Parece razonable tomar el menorn que cumpla dichadesigualdad. Sea, pues:

q DmKınfn2N W n > 1=.y � x/gAhora se trata de tomar un múltiplo deuD 1=q que exceda ax, pero no demasiado. Se imponela elección:

p DmKınfm2Z Wm > qxgTenemos que:

x <p

qD p � 1

qC 1

q< x C .y � x/D y

Lo que concluye la demostración. Observa que en las definiciones deq y de p se usan losresultados que acabamos de ver.

b) Supongamos quex;y2R conx < y. Por lo ya probado, exister 2Q tal que

x �p

2 < r < y �p

2;

lo que implica quex < r Cp

2 < y. Puesto que,p

2 es irracional yr 2Q, se sigue quer Cp

2 es irracional y concluimos queRnQ es denso enR. 2


Este resultado nos dice que los números racionales y los irracionales están repartidos demanera que entre dos racionales o entre dos irracionales siempre hay infinitos racionales einfinitos irracionales. Son dos conjuntos muy grandes, perouno de ellos es muchísimo másgrande que el otro.

Hemos definido antes un conjunto numerable como aquél que es equipotente aN; es conve-niente incluir también entre los conjuntos numerables a losconjuntos finitos pues los elementosde un conjunto finito se pueden contar. Estas dos posibilidades pueden resumirse en el hecho deque exista una aplicacióninyectivadel conjunto enN. Por convenio, se admite que el conjuntovacío es numerable.

5.12 Definición.Un conjunto se llama numerable si es vacío o si existe una aplicación inyectivade él en el conjunto de los enteros positivos.

Realmente esta definición lo que nos da es cierta libertad para probar que un conjunto esnumerable; de hecho, se verifica el siguiente resultado.

5.13 Proposición.Un conjunto no vacío es numerable si, y sólo si, es finito o es equipotente aN.

El siguiente resultado es muy útil y fácil de entender.

5.14 Proposición. Un conjunto no vacíoA es numerable si, y sólo si, hay una aplicaciónsobreyectiva deN sobre A.

Demostración. Seaf W N ! A una aplicación sobreyectiva. Para cada elementoa 2 A elconjunto fn2N Wf .n/Dag no es vacío por lo que podemos definir, haciendo uso del principiode buena ordenación, una aplicacióng WA! N por:

g.a/DmKınfn2N W f .n/D ag para todoa2A

Con ello se tiene quef .g.a// D a para todoa 2A lo que implica queg es inyectiva y portanto queA es numerable.

La afirmación recíproca es consecuencia de la proposición anterior. 2

Aunque el conjuntoN �N parece mucho más grande queN; de hecho no es así. Podemoscontar con facilidad los elementos deN � N siguiendo el camino que se sugiere (habría queprolongarlo hacia arriba y hacia la derecha) en la figura (5.17).

5.15 Proposición.N �N es equipotente aN.

Demostración. 4 La aplicación' WN�N!N dada por'.p; q/D 2p3q para todo.p; q/ 2N �N, es inyectiva. En consecuenciaN �N es numerable y como es infinito concluimos quees equipotente aN. 2

El siguiente resultado nos dice que si hacemos la unión de una“cantidad numerable” deconjuntos numerables obtenemos un conjunto que sigue siendo numerable. El enunciado delteorema precisa estas ideas.

4En el ejercicio (173) se define una biyección deN �N sobreN




5.16 Teorema.SeaB un conjunto numerable no vacío. Supongamos que para cadax2B te-nemos un conjunto numerable no vacíoAx. Se verifica entonces que el conjuntoAD

[

x2B

Ax

es numerable.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

.1; 1/

.2; 1/

.3; 1/

.4; 1/

.5; 1/

.6; 1/

.7; 1/

.8; 1/

.9; 1/

.1; 2/

.2; 2/

.3; 2/

.4; 2/

.5; 2/

.6; 2/

.7; 2/

.8; 2/

.9; 2/

.1; 3/

.2; 3/

.3; 3/

.4; 3/

.5; 3/

.6; 3/

.7; 3/

.8; 3/

.9; 3/

.1; 4/

.2; 4/

.3; 4/

.4; 4/

.5; 4/

.6; 4/

.7; 4/

.8; 4/

.9; 4/

.1; 5/

.2; 5/

.3; 5/

.4; 5/

.5; 5/

.6; 5/

.7; 5/

.8; 5/

.9; 5/

.1; 6/

.2; 6/

.3; 6/

.4; 6/

.5; 6/

.6; 6/

.7; 6/

.8; 6/

.9; 6/

.1; 7/

.2; 7/

.3; 7/

.4; 7/

.5; 7/

.6; 7/

.7; 7/

.8; 7/

.9; 7/

.1; 8/

.2; 8/

.3; 8/

.4; 8/

.5; 8/

.6; 8/

.7; 8/

.8; 8/

.9; 8/

.1; 9/

.2; 9/

.3; 9/

.4; 9/

.5; 9/

.6; 9/

.7; 9/

.8; 9/

.9; 9/

Figura 5.17. ContandoN �N

Demostración. Es suficiente probar que hay una aplicación sobreyectiva deN � N sobreA.Por serB numerable hay una aplicación sobreyectiva� W N ! B. Para cadax 2B, por serAx numerable, hay una aplicación sobreyectivaFx WN ! Ax. Es muy fácil comprobar ahoraque la aplicaciónG WN�N ! A definida porG.m;n/DF�.m/.n/ para todo.m;n/2N �N,es sobreyectiva. 2

Puede que el siguiente diagrama sea más claro y directo que lademostración anterior.Podemos suponer queB D N, con lo queAD

[

n2N

An. ComoAn es numerable, podemos

escribir sus elementos como una sucesión:

An D famn Wm2Ng D fa1n; a2n; a3n; : : : ; amn; : : :g

El conjuntoA podemos representarlo como una matriz (ver figura (5.18)), y contar sus elemen-tos de forma parecida a como lo hemos hecho antes conN �N.

5.17 Teorema.El conjunto de los números racionales es numerable.




a11

a21

a31

a41

a51

a61

a71

a81

a91

a12

a22

a32

a42

a52

a62

a72

a82

a92

a13

a23

a33

a43

a53

a63

a73

a83

a93

a14

a24

a34

a44

a54

a64

a74

a84

a94

a15

a25

a35

a45

a55

a65

a75

a85

a95

a16

a26

a36

a46

a56

a66

a76

a86

a96

a17

a27

a37

a47

a57

a67

a77

a87

a97

a18

a28

a38

a48

a58

a68

a78

a88

a98

a19

a29

a39

a49

a59

a69

a79

a89

a99

Figura 5.18. Unión numerable

Demostración. Puesto que la aplicación' W Z! N definida por:

'.n/D�

2n si n > 0

1 � 2n si n 6 0

es una biyección, y para cadam 2 Z el conjunto:

Am D�

m

pW p 2 N

�

es numerable, se sigue del resultado anterior queQD[

m2Z

Am es numerable. 2

Por serQ numerable infinito se verifica queQ es equipotente aN, es decir, existen biyec-ciones deN sobreQ. Hemos respondido en parte a nuestra pregunta inicial: hay tantos númerosracionales como números naturales. Nos falta todavía dar alguna información del tamaño deRnQ.

5.18 Teorema(Principio de los intervalos encajados). Para cada número naturaln sea In DŒan; bn� un intervalo cerrado no vacío y supongamos que para todon 2 N es InC1 � In. Severifica entonces que:

i) ˛ D supfan W n 2 Ng6 ˇ D Kınffbn W n 2 Ng.

ii)\

n2N

In D Œ˛; ˇ�.

En particular, el conjunto\

n2N

In no es vacío.



Demostración. i) Las hipótesis Ø¤InC1 � In, implican quean 6 anC1 6 bnC1 6 bn paratodo n 2 N. Deducimos que las aplicacionesn 7! an y n 7! �bn, son crecientes, esto es,an 6 am; bm 6 bn siempre quen < m. Ahora, dadosp; q 2 N y poniendok DmKaxfp; qg,tenemos queap6ak6bk6bq . Hemos obtenido así que cualesquiera sean los números naturalesp; q es ap 6bq . Luego todo elemento deBDfbn Wn 2 Ng es mayorante deADfan Wn 2 Ngy por tanto˛DsupA6bn para todon 2 N. Lo cual, a su vez, nos dice quees un minorantede B y por tanto concluimos que 6 ˇ D Kınf B.

ii) Es consecuencia de quex 2\

n2N

In equivale a quean 6 x 6 bn para todon 2 N, lo que

equivale a que 6 x 6 ˇ, es decirx 2 Œ˛; ˇ�. 2

5.19 Teorema. Dados dos números realesa < b se verifica que el intervaloŒa; b� no esnumerable.

Demostración. Si Œa; b� fuera numerable tendría que ser equipotente aN. Veamos que esto nopuede ocurrir. Supongamos que' WN ! Œa; b� es una biyección deN sobreŒa; b�. En particular' es sobreyectiva por lo que deberá serŒa; b�Df'.n/Wn 2 Ng. Obtendremos una contradicciónprobando que tiene que existir algún elementoz 2 Œa; b� tal que z 62 f'.n/ W n 2 Ng.

Para ello se procede de la siguiente forma. Dividimos el intervalo Œa; b� en tres intervaloscerrados de igual longitud:

�a; aC b � a

3

�;

�aC b � a

3; b � b � a

3

�;

�b � b � a

3; b

�

y llamamosI1 al primero de ellos (es decir el que está más a la izquierda) que no contiene a'.1/. Dividamos ahora el intervaloI1 en tres intervalos cerrados de igual longitud y llamemosI2 al primero de ellos que no contiene a'.2/.

Este proceso puede “continuarse indefinidamente” pues, supuesto quen 2 N; n > 2, yque tenemos intervalos cerrados de longitudpositiva Ik ; 1 6 k 6 n; tales queIkC1 � Ik

para 1 6 k 6 n � 1, y '.k/ 62 Ik para 1 6 k 6 n, dividimos el intervaloIn en tres intervaloscerrados de igual longitud y llamamosInC1 al primero de ellos que no contiene a'.nC 1/.De esta forma para cadan 2 N tenemos un intervalo cerradoIn no vacío verificándose queInC1 � In y '.n/ 62 In para todon 2 N. El principio de los intervalos encajados nos dice quehay algún número realz que está entodoslos In. Por tanto, cualquiera sean 2 N, por serz 2 In y '.n/ 62 In, se tiene necesariamente quez ¤ '.n/, esto es,z 62 f'.n/ W n 2 Ng pero,evidentemente,z 2 Œa; b�. 2

¿Te recuerda algo la demostración anterior? ¿Quizás a la divisibilidad infinita del continuo?Pues claro, lo que estamos haciendo es dividir infinitas veces un segmento (el prototipo decontinuo). Lo que nos dice este resultado es que, aunque lo dividamos en un infinito actualde partes, siempre nos quedarán puntos que no habremos tocado. Aristóteles afirmaba que uncontinuo puede dividirse en cualquier parte pero no en todaspartes: hay que darle la razón eneste punto.

5.20 Teorema.R y RnQ son conjuntos no numerables.

Demostración. Evidentemente todo subconjunto de un conjunto numerable también es nume-rable. Como acabamos de ver que hay subconjuntos deR que no son numerables deducimosqueR no es numerable. Puesto queRDQ [ .RnQ/ y sabemos queQ es numerable yR nolo es, deducimos queRnQ no es numerable. 2

El teorema anterior demuestra no solamente queRnQ no es vacío sino que “hay muchosmás números irracionales que racionales” pues mientras quepodemos enumerar los racionalesno podemos hacer lo mismo con los irracionales ya que no hay biyecciones deN sobreRnQ.

Deducimos también la siguiente estrategiapara probar que un conjuntoA�R no es vacíoes suficiente probar que su complementoRnA es numerable(!con lo cual, de hecho, estamosprobando queA es infinito no numerable!).


173. Prueba que la aplicaciónF WN �N ! N dada por:

f .m;n/D nC .mC n� 2/.mC n� 1/

2para todo.m;n/ 2 N �N

es una biyección.

Sugerencias: para cadap 2 N definamos:

'.p/DmKax

(q 2 N W q <

r2p C 1

4C 1

2

)

Observa que'.p/ es un número natural mayor o igual que2. Prueba que para todop 2 N se verifica:

.'.p/� 2/.'.p/ � 1/

2 1:

Comprueba finalmente que,p D F.'.p/ � h.p/;h.p//, para cadap 2 N:

174. Seaf W Œa; b�! R creciente. Para cada2�a; bŒ definamos:

!.f; ˛/D Kınfff .t/ W ˛ < t 6 bg � supff .s/ W a 6 s < ˛g

Prueba que:

i) !.f; ˛/> 0 y !.f; ˛/D 0 si, y sólo si,f es continua en .

ii) Si a < ˛1 < ˛2 < � � � < ˛p < b, entonces:

!.f; ˛1/C !.f; ˛2/C � � � C !.f; ˛p/6 f .b/ � f .a/


iii) Para cadan 2 N el conjuntoSn D f˛ 2�a; bŒ W!.f; ˛/> 1=ng es finito.

iv) El conjunto SDf˛ 2�a; bŒ W!.f; ˛/ > 0g de las discontinuidades def es numerable.

Muestra con un ejemplo que el conjuntoS puede ser infinito.

175. Prueba que el conjunto de los números algebraicos es numerable.

Para terminar, recordemos que los poetas también se interesan por el infinito y lo llamanamory tambiéndeseo.

This is the monstruosity in love, lady,that the will is infiniteand the execution confined,that the desire is boundlessand the act a slave to limit.Shakespeare - Troilus and Cressida



Capıtulo6

Derivadas

El arte de nombrar y de medir con exactitud aquellode lo que ni siquiera puede concebirse su existencia.

Voltaire

6.1. Introducción

Los orígenes del Cálculo estuvieron motivados por el deseo de resolver diversos problemasvinculados al movimiento de los cuerpos, así como problemasde tipo geométrico de impor-tancia en Óptica y problemas de cálculo de valores máximos y mínimos de una función dada.Simplificando, podemos destacar dos problemas principales:

� Determinar la tangente a una curva en un punto (el problema delas tangentes).

� Determinar el área encerrada por una curva (el problema de las cuadraturas).

Son los conceptos de derivada e integral, respectivamente,los que permiten resolver satis-factoriamente dichos problemas. Mientras que el concepto de integral tiene sus raíces en laantigüedad clásica, la otra idea fundamental del Cálculo, la derivada, no se formuló hasta elsiglo XVII. Fue el descubrimiento efectuado por Sir Isaac Newton (1642 - 1727) y GottfriedWilhelm Leibniz (1646 - 1716) de la relación entre estas dos ideas, tan dispares en apariencia,lo que inició el magnífico desarrollo del Cálculo. Si bien lostrabajos de Newton y Leibniz sondecisivos por sus aportaciones e influencia, no hay que olvidar que ellos son el punto culmi-nante de un largo proceso en el que han participado científicos de la talla de Johannes Kepler(1571 - 1630), René Descartes (1596 - 1650), Pierre de Fermat(1601 - 1665), John Wallis(1616 -1703) e Isaac Barrow (1630 - 1677) entre otros.

201

Concepto de derivada. Interpretación física y geométrica 202

6.2. Concepto de derivada. Interpretación física y geométrica

Para entender los resultados del Cálculo diferencial es necesario, antes que nada, com-prender la idea básica del mismo: el concepto de derivada. Laderivada de una función puedeinterpretarse geométricamente como la pendiente de una curva, y físicamente como una razón“instantánea” de cambio.

6.2.1. Tangente a una curva

En la primera mitad del siglo XVII no se conocían métodos generales para calcular latangente a una curva en un punto de la misma. Este problema se presentaba con frecuenciaen mecánica, en óptica y en geometría, y generalmente se resolvía, de forma geométrica, contécnicas adaptadas a cada caso particular. La dificultad está en que, siendo la tangente unarecta, se precisa conocer dos puntos de la misma, o bien un punto y su pendiente, para poderladeterminar.

Supongamos que queremos hallar la tangente a una curva de ecuación cartesianayDf .x/en el punto.a; f .a//. La estrategia, usada primero por Pierre de Fermat y más tarde por New-ton, consiste en aproximar la tangente por rectas secantes cuyas pendientes sí pueden calcularsedirectamente. En particular, consideremos la recta que uneel punto.a; f .a// con un punto cer-cano,.x; f .x//, de la gráfica def . Esta recta se llama una secante (recta que corta a la curva,pero no es tangente a la curva). La pendiente de esta secante es:

f .x/� f .a/x � a

dicho número suele llamarsecociente incremental def ena.

Observa que una secante es una buena

.a; f .a//

.x; f .x//

f .x/ � f .a/

x � a

Figura 6.1. Secante

aproximación de la tangente, siempre queel punto.x; f .x// esté próximo a.a; f .a//.Estas consideraciones llevan adefinir la tan-gente a la gráfica def en el punto.a; f .a//como la recta que pasa por dicho punto ycuya pendiente es igual al límite:

lKımx!a

f .x/� f .a/x � a

supuesto, claro está, que dicho límite exis-ta.

6.2.2. Razón de cambio puntual y velocidad instantánea

Muchas leyes de la Física, la Química, la Biología o la Economía, son funciones que rela-cionan una variable “dependiente”y con otra variable “independiente”x, lo que suele escri-birse en la formay D f .x/. Si la variable independiente cambia de un valor iniciala a otrox,



Razón de cambio puntual y velocidad instantánea 203

la variabley lo hace def .a/ af .x/. La razón de cambio promedio dey D f .x/ con respectoa x en el intervaloŒa;x� es:

Razón de cambio promedioD f .x/� f .a/x � a

Con frecuencia interesa considerar la razón de cambio en intervalos cada vez más pequeños.Esto lleva a definir lo que podemos llamar “razón de cambio puntual deyDf .x/ con respectoa x en el puntoa” como:

lKımx!a

f .x/� f .a/x � a

:

El ejemplo más conocido de esto que decimos es el de un móvil que se mueve a lo largo de unarecta sobre la cual hemos elegido un origen. Seas.t/ la posición del móvil en el tiempot , esdecir, la distancia con signo del móvil al origen en el tiempot . La razón de cambio promediotiene en este caso una interpretación física natural:

s.aC h/ � s.a/

h

Es lavelocidad mediadel móvil en el intervalo de tiempo comprendido entrea y aCh. Pareceintuitivo que, en cada instante, el móvil se mueve con una determinadavelocidad instantánea.Pero no hay manera de medir directamente una velocidad instantánea; un instante quiere deciruna posición en la recta: la velocidad instantánea del móvilparat D a es la velocidad que tienecuando está en la posicións.a/. La velocidad instantánea es una abstracción de un característicafísica del movimiento, pero no es una magnitud que podamos observar directamente. La únicadefinición razonable de velocidad instantánea es como la razón de cambio puntual:

lKımh!0

s.aC h/ � s.a/

h

Notación. En lo que sigue usaremos las letrasI , J para representar intervalos no vacíos denúmeros reales.

6.1 Definición. Se dice que una funciónf W I ! R esderivable en un puntoa2I , si existeel límite:

lKımx!a

f .x/� f .a/x � a

:

Explícitamente,f es derivable ena si hay un númeroL2R verificando que para cada número" > 0 existe algún númeroı > 0 tal que para todox 2 I conx¤a y j x � a j< ı se tiene que:

ˇˇf .x/� f .a/

x � a� L

ˇˇ6 ":

Dicho númeroL se llamaderivada def ena y lo representaremos porf 0.a/ (notación debidaa Lagrange).

La notación de Lagrange tiene la gran ventaja de poner de manifiesto que al aplicar laoperación de derivación a una función obtenemos una nueva función, que está definida entodos los puntos donde la función dada sea derivable. Es usual considerar funciones derivadasdefinidas en intervalos.


6.2 Definición. Dada una funciónf WI ! R derivable en todo punto deI , la función derivadadef es la funciónf 0 W I ! R que a cada puntox 2 I hace corresponder la derivada def endicho punto.

6.3 Observaciones. i)El límite lKımx!a

f .x/� f .a/x � a

se puede escribir también de la forma

lKımh!0

f .aC h/ � f .a/h

:

ii) La derivabilidad def en un puntoa 2 I es unapropiedad local, depende solamente delcomportamiento def en los puntos deI próximos al puntoa. Concretamente, siJ es cualquierintervalo abiertoque contiene el puntoa, se verifica quef es derivable ena si, y sólo si, lafunción restricciónfjI \J es derivable ena y, por supuesto, en tal caso ambas funciones tienenla misma derivada ena.

La notación diferencial de Leibniz.La notacióndf .x/

dxpara representar la derivada def en

x es debida a Leibniz.

Leibniz interpretaba ese símbolo como un “cociente diferencial” pues él lo entendía así:como un cociente de cantidades infinitesimales, y lo manejaba como un cociente; por ejemplo,se puede multiplicar o dividir, según convenga, por dx o df .x/ . En el capítulo 5 hemos vistolos problemas que planteaba el uso de cantidades infinitesimales, y cómo, finalmente, a partirdel último tercio del siglo XIX, fueron totalmente abandonadas. Por eso, la interpretación deLeibniz de la derivada, aunque intuitiva, no es la que se sigue en la gran mayoría de los cursosde cálculo1.

A pesar de lo dicho, es frecuente, sobre todo en libros de ingeniería, usar la notación deLeibniz y manejarla como él lo hacía. Creo que esto es útil porque la notación de Leibniztiene una gran fuerza heurística, y no debe presentar ningúnproblema, siempre que no acabescreyendo que una derivada, tal como la hemos definido, es un cociente de infinitésimos. Ysiempre que dicha notación se use como un mero simbolismo y nose hagan demostracionesapoyadas en su supuesta significación.

Una dificultad de la notación de Leibniz es que no es cómoda para representar la derivada

en un punto concreto. Podemos entender quedf .x/

dxes la función derivadaf 0.x/, pero ¿cómo

indicamos la derivada en punto concretoa? Las notacionesdf .a/

dxy

df .x/

dx.a/ son confusas.

Lo que suele hacerse es escribir:df .x/

dx

ˇˇxDa

que, realmente, es una notación incómoda. Una posible mejora sería escribirdf

dx.x/ para

representarf 0.x/, en cuyo casodf

dx.a/ indicaríaf 0.a/.

La verdad es que la mayoría de los libros de ingeniería que usan estas notaciones lo hacensin preocuparse mucho por su significado, y esa es una causa importante de que muchas vecesno se entienda bien lo que escriben. Las notaciones son importantes y hay que manejarlas

1Aunque sí en los cursos de Análisis No Estándar basados en loshiperreales de A. Robinson.




cuidadosamente. Y todavía más, cuando una notación se supone que tiene un significado casimágico, y que por su fuerza simbólica ella sola, por sí misma,proporciona demostraciones.Volveremos a considerar este asunto más adelante.

6.4 Definición. Supuesto quef es derivable ena, la recta de ecuación cartesiana:

y D f .a/C f 0.a/.x � a/

se llamarecta tangentea la gráfica def en el punto.a; f .a//, y también recta tangente afenx D a.

Cuandof 0.a/¤ 0, la recta de ecuación:

y D f .a/ � 1

f 0.a/.x � a/

es larecta normal a la gráfica def en el punto.a; f .a//, y también recta normal af enxDa

6.2.2.1. Elementos de una curva relacionados con la derivada

En la figura6.2 se han representado algunos elementos de una curva que se expresan pormedio de la derivada.

Px

�

�

�

M N

y

U

H

˛

V

O

Q

T

�

Figura 6.2. Elementos de una curva relacionados con la derivada

La pendiente de la tangente es tg.�/D y 0.

La pendiente de la normal es tg.˛/D tg.�=2C �/D�1=y 0.

El segmentoTM es lasubtangente. Su longitud viene dada porTMDy cotg.�/Dy=y 0.

El segmentoMN es lasubnormal. Su longitud viene dada porMN D y tg.�/D yy 0.



Derivadas laterales 206

Los segmentos interceptados en los ejesOX y OY por la tangente son(

OT DOM � TM D x � y=y 0

OV D PM � PQD y � x tg.�/D y � xy 0

Los segmentos interceptados en los ejesOX y OY por la normal son(

ON DOM CMN D x C y tg.�/D x C yy 0

OU DOH CH U D y C x tg.�/D y C x tg.�=2 � �/D y C x=y 0

6.2.3. Derivadas laterales

6.5 Definición. Se dice quef esderivable por la izquierda en a si existe el límite:

lKımx!ax<a

f .x/� f .a/x � a

:

El valor de dicho límite se llama laderivada por la izquierda def ena.

Análogamente se dice quef esderivable por la derecha ena; si existe el límite:

lKımx!ax>a

f .x/� f .a/x � a

:

El valor de dicho límite se llama laderivada por la derechadef ena.

Teniendo en cuenta la relación que hay entre el límite de una función en un punto y loslímites laterales, es claro que:

i) Si aDmKaxI , entonces la derivabilidad def ena es lo mismo que la derivabilidad porla izquierda def ena.

ii) Si a DmKınI , entonces la derivabilidad def ena es lo mismo que la derivabilidad porla derecha def ena.

iii) Si a no es un extremo deI , entonces equivalen las afirmaciones:

a) f es derivable ena.

b) Las derivadas por la izquierda y por la derecha def ena existen y coinciden.

6.2.4. Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivación

El siguiente resultado nos dice que la derivabilidad es una propiedad más fuerte que lacontinuidad.

6.6 Proposición. Toda función derivable en un punto es continua en dicho punto.

Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivación 207

Demostración. En efecto, sif W I ! R es derivable ena, de la igualdad:

f .x/D f .a/C .x � a/f .x/� f .a/

x � a.x2I; x ¤ a/

se sigue que lKımx!a

f .x/D f .a/, es decir,f es continua ena. 2

6.7 Teorema(Reglas de derivación). Sean f;g W I ! R dos funciones. Se verifican lassiguientes afirmaciones:

i) La funciones suma,f C g, y producto,fg, son derivables en todo puntoa2I en el quef y g sean derivables, y las derivadas respectivas vienen dadas por:

.f C g/0.a/D f 0.a/C g 0.a/I .fg/0.a/D f 0.a/g.a/C f .a/g 0.a/

ii) Si g.x/¤ 0 para todox 2 I , la función cocientef=g es derivable en todo puntoa2I

en el quef y g sean derivables, en cuyo caso se verifica que:

�f

g

�0.a/D f 0.a/g.a/ � f .a/g 0.a/

.g.a//2

Demostración. Las reglas de derivación se prueban muy fácilmente haciendo uso de las propie-dades algebraicas de los límites y la definición de derivada.Es suficiente que tengas en cuentalas siguientes igualdades:

.f C g/.x/� .f C g/.a/

x � aD f .x/� f .a/

x � aC g.x/� g.a/

x � a.fg/.x/� .fg/.a/

x � aD f .x/� f .a/

x � ag.x/C f .a/g.x/ � g.a/

x � a1g.x/� 1

g.a/

x � aD �g.x/ � g.a/

x � a

1

g.x/g.a/

De la primera y segunda igualdades se deduce, tomando límites parax ! a , las reglas parala derivada de una suma y de un producto. Igualmente, de la tercera igualdad, se deduce laderivada de1

g, de donde, se obtiene la derivada def

gD f 1

ghaciendo uso de la regla para

derivar un producto. 2

Como las funciones constantes tienen derivada nula en todo punto y la función identidad,f .x/D x, tiene derivada igual a 1 en todo punto, aplicando las reglasde derivación anterioresse obtiene el siguiente corolario.

6.8 Corolario. Las funciones polinómicas son derivables en todo punto y lasfunciones racio-nales son derivables en todo punto de su conjunto natural de definición. Además la derivada dela función polinómicaf .x/D a0 C a1x C a2x2 C � � � C anxn en cada puntox 2 R vienedada por:

f 0.x/D a1 C 2a2x C 3a3x2 C � � � C nanxn�1




6.9 Teorema(Derivación de una función compuesta o regla de la cadena). Seanf W I ! R

y g W J ! R con f .I / � J , y sea hD gıf W I ! R la función compuesta. Supongamosquef es derivable ena 2 I y queg es derivable enf .a/. Entoncesh es derivable ena yh 0.a/D g 0.f .a//f 0.a/.

En particular, sig es derivable enJ , la función compuestahDgıf es derivable en todo puntodeI dondef sea derivable.

Demostración. PongamosbDf .a/. Tenemos que probar que lKımx!a

h.x/� h.a/

x � aD g 0.b/f 0.a/.

Por hipótesis se cumple que :

lKımy!b

g.y/ � g.b/

y � blKım

x!a

f .x/� f .a/x � a

D g 0.b/f 0.a/

La idea de la demostración es hacer en esta igualdad la sustitución y D f .x/. Como no estágarantizado por las hipótesis hechas que parax ¤ a se tengaf .x/¤ b, no está justificadohacer directamente la sustitución indicada (dividir por cero está prohibido). Podemos evitaresta dificultad como sigue. Definamos la función' W J ! R por:

'.y/D g.y/ � g.b/

y � b.y ¤ b/; '.b/D g 0.b/

Con ello la función' es continua enb. Es inmediato ahora comprobar que para todox2I conx ¤ a se verifica que:

h.x/ � h.a/

x � aD '.f .x//f .x/� f .a/

x � a: (6.1)

Ahora, comof es continua ena (porque es derivable ena) y ' es continua enb D f .a/, sesigue que' ı f es continua ena, por lo que:

lKımx!a

'.f .x//D '.f .a//D '.b/D g 0.b/:

La igualdad (6.1) nos dice ahora que:

lKımx!a

h.x/ � h.a/

x � aD g 0.b/f 0.a/

como queríamos probar. 2

Regla de la cadena al estilo Leibniz.Una demostración de la regla de la cadena al “estiloLeibniz” podría ser como sigue. Por una parte, tenemos quey es función dex a través deg, esdecir,y D g.x/. También tenemos quex es función det a través def , x D f .t/. Entonces lavariación dey respecto at se hace por intermedio dex:

dy

dtD dy

dx

dx

dt(6.2)

Hemos acabado. Todo lo que hemos hecho ha sido multiplicar y dividir por dx .

No sé lo que pensará tú de esto, pero a mí me parecería una bromaque alguien pretendieraque lo que hemos hecho es una demostración. Primero: ¿qué es dx ? Porque si es un símbolo,




no tiene sentido multiplicar y dividir por él (salvo que a esta operación se le hubiera asignadopreviamente un significado preciso) y si es un número ¿cómo está definido? ¿qué relacióntiene ese número con la derivada? Preguntas sin respuesta. Aesto me refería al decir que unanotación, por sí sola, no sirve para demostrar nada.

Además, el simbolismo empleado en la igualdad (6.2) no indica dónde se evalúa cada unade las derivadas, y eso es fundamental para entender la reglade la cadena. Fíjate que la reglade la cadena nos dice que la derivada de una función compuestade dos funciones derivables,h.x/D .g ı f /.x/, viene dada por

h 0.x/D g 0.f .x//f 0.x/D .g 0 ı f /.x/f 0.x/ (6.3)

que es un producto de dos funciones,g 0.f .x// y f 0.x/, pero la primera de ellasg 0.f .x//D.g 0ıf /.x/ es unafunción compuesta. Por eso si queremos volver a derivar en la igualdad (6.3),debemos aplicar la regla para derivar un producto y, para derivar el primer factor, debemosaplicar la regla de la cadena. Es por eso que, en la regla de la cadena, es fundamental indicarlos puntos donde se evalúan las derivadas.

La notación en la igualdad (6.2) es mala porque no indica dónde se evalúa cada una de lasderivadas. Pero también es mala por las razones siguientes.

� Una misma letra representa dos funciones distintas. En (6.2) la letra y aparece a laizquierda y a la derecha. A la izquierda representa la función compuestay D g.f .t//, a laderecha representa la funcióny D g.x/.

� Una misma letra representa una función y una variable. La letra x en la parte derecharepresenta la variable eny D g.x/, y también representa la funciónx D f .t/.

Demasiado confuso ¿verdad? A pesar de lo dicho, la igualdad (6.2) aparece en muchostextos de matemáticas para ingenieros y en textos de física,sin ningún comentario, sin explicarlo que significa y pretendiendo que constituye por sí misma una demostración. Lo peor de todo,es que si te la enseñan así puedes creer que la entiendes, y entonces una de dos: o la entiendesde verdad, como acabo de explicarlo, o te engañas y realmenteno sabes lo que crees saber.Lamentablemente, de estas dos posibilidades la más frecuente es la segunda.

Y. . . sin embargo, la igualdad (6.2) es muy simple y fácil de recordar, y permite conjeturarla regla de la cadena sin necesidad de demostrarla (por eso decimos que la notación de Leibniztiene un gran valor heurístico). Mi consejo es el siguiente:puedes usar la notación de Leibnizsiempre que te ayude en lo cálculos, pero no debes dejarte llevar por la notación sino que debesentender lo que estás haciendo en cada momento.

6.10 Ejemplo. Sabiendo quey D senx y x D cost , se pide calcular la derivada dey conrespecto at .

Lo que nos piden es calcular la derivada de la función compuesta h.t/D sen.cost/. Aquíg.x/D senx, f .t/D cost . Tenemos que

h 0.t/D g 0.f .t//f 0.t/D� cos.cost/ sent

Al estilo Leibniz:dy

dtD dy

dx

dx

dtD cosx.� sent/D� cosx sent

Pero esta igualdad debe ser función det por lo que hay que sustituirx D cost y se vuelve aobtener el resultado anterior. �





Empezaremos con algunas de las aplicaciones más sencillas yatractivas del cálculodiferencial. En esquema, se trata de lo siguiente: calcularla tasa de variaciónde unamagnitud cuando se conoce la tasa de variación de otra magnitud relacionada con ella.En este tipo de ejercicios la “tasa de variación” se interpreta como una derivada y, enla mayoría de los casos, basta usar la regla de la cadena para obtener lo que se pide.Hay que elegir las unidades de acuerdo con los datos del problema; por ejemplo, si unvolumen se mide en litros tendremos que medir longitudes condecímetros.

176. ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua contenida en un depósito cilíndrico si estamosvaciándolo a razón de 3000 litros por minuto?

177. Se está llenando un globo de forma esférica con gas a razón de 50cm3/s. Calcula lavelocidad a la que está aumentando el radio,r , del globo cuando su valor esr D 5.

178. Un puntoP se mueve sobre la parte de la parábolaxDy2 situada en el primer cuadrantede forma que su coordenadax está aumentando a razón de 5cm/sg. Calcula la velocidada la que el puntoP se aleja del origen cuandox D 9.

179. Se está llenando un depósito cónico apoyado en su vértice a razón de 9 litros por segundo.Sabiendo que la altura del depósito es de 10 metros y el radio de la tapadera de 5 metros,¿con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando ha alcanzado una profundidad de 6metros?

180. El volumen de un cubo está aumentando a razón de 70cm3 por minuto. ¿Con qué rapidezestá aumentando el área cuando la longitud del lado es de 12cm?

181. Un barcoA se desplaza hacia el oeste con una velocidad de 20 millas por hora y otrobarcoB avanza hacia el norte a 15 millas por hora. Ambos se dirigen hacia un puntoO del océano en el cual sus rutas se cruzan. Sabiendo que las distancias iniciales de losbarcosA y B al puntoO son, respectivamente, de 15 y de 60 millas, se pregunta: ¿A quévelocidad se acercan (o se alejan) los barcos entre sí cuandoha transcurrido una hora?¿Y cuando han transcurrido 2 horas? ¿En qué momento están máspróximos uno de otro?

182. Una bola esférica de hielo se está derritiendo de forma uniforme en toda la superficie, arazón de 50cm3 por minuto. ¿Con qué velocidad está disminuyendo el radio dela bolacuando este mide 15cm?

183. Un hombre se aleja de una farola a razón de 1,5m/sg. Sabiendo que la altura del hom-bre es de 1,8 metros y la de la farola de 15 metros, calcula la velocidad a la que estáaumentando la sombra del hombre proyectada por la luz.

184. Un faro, cuya linterna gira a 8 revoluciones por minuto, se encuentra situado a 3 kilóme-tros de una costa rectilínea. Calcula la velocidad con que elrayo de luz recorre la orillacuando el ángulo de incidencia del rayo de luz con la línea de la costa es de 45 grados.



Los siguientes ejercicios son de cálculo de derivadas y de tangentes y normales a distin-tas curvas. Cuando en un ejercicio intervienen parámetros,debes expresar las solucionesde la forma más sencilla posible.

185. Calcula.f ı g/0.x/ en el valor indicado dex en los siguientes casos:

1. f .x/D 2x

x2 C 1; g.x/D 10x2 C x C 1; x D 0

2. f .x/D�

x � 1

x C 1

�2

; g.x/D 1

x2� 1; x D�1

186. Calcula en cada caso el valor dea y b en función dec, para que exista la derivada en elpuntoc de cada una de las siguientes funciones:

f .x/D�

x2; x 6 c

ax C b; x > cf .x/D

8<:

1

jxj ; jxj > c

aC bx2; jxj6 c

f .x/D�

cosx; x 6 c

ax C b; x > c

187. Supongamos quef es derivable ena, g es continua ena y f .a/D 0. Prueba quefg esderivable ena.

188. ¿Es cierta la igualdadf 0.a/D lKımt!a

f .aC t/ � f .a � t/

2t? Justifica tu respuesta.

189. Supongamos que las funcionesf y g y sus derivadas tienen los siguientes valores enx D 2 y x D 3.

x f .x/ g.x/ f 0.x/ g0.x/2 8 2 1/3 -33 3 -4 2� 5

Calcular las derivadas de las siguientes funciones en los valores dados dex:

a)f .x/g.x/; x D 3 b) f .x/=g.x/; x D 3

c) f .g.x//; x D 2 d)q.f .x//2 C .g.x//2; x D 2

190. Supongamos que las funcionesf y g y sus derivadas tienen los valores que se indicanen la tabla.

x f .x/ g.x/ f 0.x/ g0.x/0 1 5 2 -51 3 -2 0 12 0 2 3 13 2 4 1 -6

Calcula una tabla análoga para las funcionesf ı g y g ı f .

191. Calcula directamente, aplicando la definición, la derivadade f .x/ D x3 en un puntogenéricoa.

192. Calcula directamente, aplicando la definición, la derivadadef .x/Dp

x C 7 en el puntoaD�1.

193. Supongamos quef es una función que verifica una desigualdad del tipojf .x/j 6 jxjren algún intervalo abierto que contiene a cero, donder > 1. Prueba quef es derivableen0.

194. Seaf una función tal quef .x C h/ D f .x/ C 3xh C h2 � 2h para todosx;h 2 R.Calculaf 0.0/ y f 0.2/.

195. Calcula la derivada en todo punto de la función definida por

f .x/D

8<:

x2 sen1

x; x ¤ 0

0; x D 0

196. Desarrolla.1Cx/n por el binomio de Newton y deriva la igualdad resultante paraprobarlas igualdades siguientes:

nX

kD1

k

�n

k

�D n2n�1;

nX

kD2

k.k � 1/

�n

k

�D n.n � 1/2n�2

197. Calcula los puntos en que la cúbica de ecuacióny D ax3 C bx2 C cx C d , dondea; b; c;d son constantes reales, tiene tangente horizontal. Debes estudiar los distintoscasos posibles.

198. Calcula un puntoc por la condición de que la tangente a la parábolaf .x/Dx2C˛xCˇen el punto.c; f .c//, sea paralela a la cuerda que une dos puntos dadosAD .a; f .a// yB D .b; f .b//.

199. Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una parábolaf .x/Dax2CbxCc

en un punto genérico.u; v/ de la misma.

200. Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una hipérbola de ecuación car-tesianax2 � y2 D 1, en un punto genérico.u; v/ de la misma.

201. Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una elipse de ecuación

x2

a2C y2

b2D 1

en un punto.u; v/ de la misma.




Ejercicio resuelto 79 ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua contenida en un depósito ci-líndrico si estamos vaciándolo a razón de 3000 litros por minuto?

Solución.Sear el radio del cilindro yh la altura medidos en decímetros. SeaV .t/ elvolumen de agua, medido en litros (dcm3), que hay en el cilindro en el tiempot medidoen minutos. La información que nos dan es una tasa de variación

V .t C 1/ � V .t/D�3000 litros por minuto

En este tipo de ejercicios la tasa de variación se interpretacomo una derivada:V 0.t/D�3000. Fíjate queV .tC t0/�V .t0/ Ñ V 0.t0/t , por lo que la interpretación es razonable.El signo negativo de la derivada es obligado ya que el volumendisminuye con el tiempo.Como el radio es constante pero la altura del agua depende deltiempo, tenemos

V .t/D �r2h.t/

y deducimosV 0.t/D�3000D �r2h 0.t/

Por tanto

h 0.t/D�3000

� r2decímetros por minuto

Si expresamos las medidas en metros, entoncesh 0.t/D� 3

�r2metros por minuto.

Observa que lo que realmente hemos calculado es:

V .tC1/�V .t/D�r2.h.tC1/�h.t// ÷ h.tC1/�h.t/DV .t C 1/ � V .t/

�r2D�3000

� r2

que es la tasa de variación de la altura en un intervalo de 1 minuto. Pero, como ya te hedicho, en estos ejercicios se identifica la tasa de variacióncon una derivada, lo cual es,claro está, una aproximación. ©

Ejercicio resuelto 80 Un puntoP se mueve sobre la parte de la parábolax D y2 situada enel primer cuadrante de forma que su coordenadax está aumentando a razón de 5cm/sg.Calcular la velocidad a la que el puntoP se aleja del origen cuandox D 9.

Solución.Sean.x.t/;y.t// las coordenadas, medidas en centímetros, del puntoP en elinstantet medido en segundos. Nos dicen quey.t/> 0 y quex.t/D y.t/2. La distanciadel puntoP al origen viene dada porf .t/D

px.t/2 C y.t/2, por lo que

f 0.t/D x.t/x 0.t/C y.t/y 0.t/px.t/2 C y.t/2

Lo que nos piden esf 0.t0/ sabiendo quex.t0/ D 9. En tal caso ha de sery.t0/ D 3.También conocemosx 0.t/ D 5 (cm/sg). Con ello es fácil deducir el valor dey 0.t0/ D




x 0.t0/

2y.t0/D 5

6. Finalmente,

f 0.t0/Dx.t0/x

0.t0/C y.t0/y0.t0/p

x.t0/2 C y.t0/2D 45C 3.5=6/

81C 9D 95

6p

10cm/sg

©

Ejercicio resuelto 81 Se está llenando un depósito cónico apoyado en su vértice a razón de9 litros por segundo. Sabiendo que la altura del depósito es de 10 metros y el radio de latapadera de 5 metros, ¿con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando ha alcanzadouna profundidad de 6 metros?

Solución.Expresaremos todas las medidas en metros. SiV .t/ es el volumen de agua que

hay en el depósito en el tiempot medido en segundos, nos dicen queV 0.t/D 9

103m3/sg.

R

r

H

h

Figura 6.3. Depósito cónico

Sabemos queV .t/ D 1

3� r.t/2h.t/ dondeh.t/ es

la altura, medida desde el vértice, alcanzada por elagua en el tiempot y r.t/ es el radio de la sec-ción transversal del cono a la distanciah.t/ desdeel vértice. Por semejanza de triángulos deducimos

quer

RD h

H, de donde,rD r.t/D R

Hh.t/D 1

2h.t/.

LuegoV .t/D 1

12� h.t/3, y

V 0.t/D 9

103D �

4h.t/2h 0.t/:

Luego, cuandoh.t0/D6, deducimos que9

103D�

436h 0.t0/, esto es,h 0.t0/D

1

103�m/sg Ñ

1; 146 m/h. ©

Ejercicio resuelto 82 El volumen de un cubo está aumentando a razón de 70 cm3 por minuto.¿Con qué rapidez está aumentando el área cuando la longitud del lado es de 12 cm?

Solución.SeaV .t/ el volumen del cubo, medido en centímetros cúbicos, en el tiempo t ,medido en minutos. SiL.t/ es la longitud en centímetros del lado en el tiempot , tenemos

queV .t/DL.t/3, de donde,L 0.t/D V 0.t/

3L.t/2. Como nos dicen queV 0.t/D 70 cm/min,

deducimos que cuandoL.t0/ D 12, L 0.t0/ D70

3.12/2. El área del cubo viene dada por

S.t/D 6L.t/2, deducimos queS 0.t0/D 12L.t0/L0.t0/D

70

3cm2/min. ©

Ejercicio resuelto 83 Un barcoA se desplaza hacia el oeste con una velocidad de 20 millaspor hora y otro barcoB avanza hacia el norte a 15 millas por hora. Ambos se dirigenhacia un puntoO del océano en el cual sus rutas se cruzan. Sabiendo que las distanciasiniciales de los barcosA y B al puntoO son, respectivamente, de 15 y de 60 millas,se pregunta: ¿A qué velocidad se acercan (o se alejan) los barcos entre sí cuando hatranscurrido una hora? ¿Y cuando han transcurrido 2 horas? ¿En qué momento estánmás próximos uno de otro?




Solución.Tomamos el puntoO como origen de coordenadas, tal como se indica en lafigura. Llamemosx.t/ a la distancia, medida en millas, que separa el barcoA deO. Nosdicen quex.0/D 15 y x 0.t/D�20 millas por hora. Observa que como la funciónx.t/

es decreciente su derivada debe ser negativa. Análogamente, seay.t/ la distancia quesepara al barcoB deO.

OA

B

Figura 6.4. Cruce de barcos

Nos dicen quey.0/ D 60 y y 0.t/D �15 millas porhora. La distancia entre los dos barcos viene dadapor f .t/D

px.t/2 C y.t/2. Tenemos

f 0.t/D x.t/x 0.t/C y.t/y 0.t/px.t/2 C y.t/2

Cuando ha pasado una horax.1/ D 15 � 20 D �5,y.1/D 60 � 15D 45. Deducimos que

f 0.1/D .�5/.�20/C 45.�15/p.�5/2 C .45/2

D� 115p82

millas/h

Donde el sigo negativo indica que se están acercan-do (la distancia entre ellos está disminuyendo).

Cuando han pasado dos horasx.2/D 15� 40D�25, y.2/D 60� 30D 30. Deducimosque

f 0.2/D .�25/.�20/C 30.�15/p.�25/2 C .30/2

D 10p61

millas/h

Donde el sigo positivo indica que se están alejando (la distancia entre ellos está aumen-tando).

La distancia entre los dos barcos es mínima cuando la derivada es nula (fíjate que laderivada pasa de negativa a positiva). La condiciónf 0.t0/ D 0 equivale a la igualdad�20 x.t0/ � 15y.t0/D 0. Sustituyendo en ellax.t0/D 15 � 20 t0, y.t0/D 60 � 15 t0,obtenemost0 D 48

25. x.48

25/D �117

5, y.48

25/D 156

5. La distancia mínima a que se cruzan

los barcos esf .4825/D 39 millas. ©

Ejercicio resuelto 84 Una bola esférica de hielo se está derritiendo de forma uniforme entoda la superficie, a razón de 50 cm3 por minuto. ¿Con qué velocidad está disminuyendoel radio de la bola cuando este mide 15 cm?

Solución.El volumen de la bola en el instantet minutos viene dado porV .t/D 4

3� r.t/3

centímetros cúbicos. Nos dicen queV 0.t/D�50. Deducimos que�50D4� r.t/2r 0.t/.Si r.t0/D 15, se sigue que

r 0.t0/D�50

4�.15/2D� 1

18�cm/min

La derivada es negativa, como debe ser, ya que el radio está disminuyendo. ©

Ejercicio resuelto 85 Calcula.f ı g/0.x/ en el valor indicado dex en los siguientes casos:

a) f .x/D 2x

x2 C 1; g.x/D 10x2 C x C 1; x D 0



b) f .x/D�

x � 1

x C 1

�2

; g.x/D 1

x2� 1; x D�1

Solución.Este ejercicio lo puedes hacer de dos formas: calculando en caso la funcióncompuesta.f ı g/.x/ y derivándola, o aplicando la regla de la cadena sin necesidad decalcular previamente la función compuesta. Esta segunda forma es mucho más rápida.Las derivadas que nos piden son las siguientes.

a)f 0.x/D 2 � x2

.x2 C 1/2; g 0.x/D20xC1÷.f ıg/0.0/Df 0.g.0//g 0.0/Df 0.1/g 0.0/D

1

4: El otro apartado se hace igual. ©

Ejercicio resuelto 86 Calcula en cada caso el valor dea y b en función dec, para que existala derivada en el puntoc de cada una de las siguientes funciones:

f .x/D�

x2; x 6 c

ax C b; x > cf .x/D

8<:

1

jxj ; jxj > c

aC bx2; jxj6 c

f .x/D�

cosx; x 6 c

ax C b; x > c

Solución.Consideremos la segunda de las funciones anteriores. Tenemos quef .x/D 1jxj

parax < �c o x > c, y f .x/ D a C bx2 para�c 6 x 6 c. Imponemos primero lacondición de quef sea continua enc. Tenemos quef .c/ D a C bc2 D lKım

x!cx < c

f .x/, y

lKımx!cx > c

f .x/D 1jcjD

1c. Debemos imponer la condiciónaCbc2D 1

c. Impondremos también

la condición de que los límites laterales enc de la derivada def coincidan. Parax > c

esf .x/D 1x

, por lo que

lKımx!cx > c

f 0.x/D lKımx!cx > c

� 1

x2D� 1

c2:

AnálogamentelKım

x!cx < c

f 0.x/D lKımx!cx < c

2bx D 2bc:

Debemos imponer la condición2bcD� 1c2 . Deducimos quebD� 1

2c3 y aD�bc2C1cD 3

2c.

Observa que las condiciones que hemos obtenido son necesarias para quef sea deri-vable enc. Pero dichas condiciones también son suficientes como consecuencia de laproposición6.19. No es necesario, por ello, que comprobemos que, con los valores dea

y deb obtenidos antes, efectivamentef es derivable enc.

Las otras dos funciones se estudian de la misma forma. ©

Ejercicio resuelto 87 ¿Es cierta la igualdadf 0.a/D lKımt!a

f .aC t/ � f .a � t/

2t? Justifica tu

respuesta.

Solución.Tenemos que

f .aC t/ � f .a � t/

2tD f .aC t/ � f .a/

2tC f .a/ � f .a � t/

2tD

D 1

2

f .aC t/ � f .a/t

C 1

2

f .a � t/ � f .a/�t

Y basta tener en cuenta que:

lKımt!a

f .aC t/ � f .a/t

D lKımt!a

f .a � t/ � f .a/�t

D f 0.a/

©

Ejercicio resuelto 88 Supongamos que las funcionesf y g y sus derivadas tienen los si-guientes valores enx D 2 y x D 3.

x f .x/ g.x/ f 0.x/ g0.x/2 8 2 1/3 -33 3 -4 2� 5

Calcular las derivadas de las siguientes funciones en los valores dados dex:

a)f .x/g.x/; x D 3 b) f .x/=g.x/; x D 3

c) f .g.x//; x D 2 d)p.f .x//2 C .g.x//2; x D 2

Solución.a) .fg/ 0.3/D f 0.3/g.3/C f .3/g 0.3/D�8� C 15.

b)

�f

g

�0.3/D f 0.3/g.3/ � f .3/g 0.3/

g.3/2D �8� � 15

16.

c) .f ı g/ 0.2/D f 0.g.2//g 0.2/D f 0.2/g 0.2/D�1.

d) h.x/Dq.f .x//2 C .g.x//2, h 0.2/D f 0.2/f .2/C g 0.2/g.2/p

.f .x//2 C .g.x//2D� 5

3p

17. ©

Ejercicio resuelto 89 Supongamos quef es una función que verifica una desigualdad deltipo jf .x/j 6 jxjr en algún intervalo abierto que contiene a cero, donder > 1. Pruebaquef es derivable en0.

Solución.La desigualdadjf .x/j6 jxjr , conr > 0, implica quef .0/D 0. Tenemos queˇˇf .x/� f .0/

x � 0

ˇˇD

ˇˇf .x/

x

ˇˇ6 jxjr�1

Comor �1 > 0, se tiene que lKımx!0jxjr�1D0, lo que, por la desigualdad anterior, implica

que

lKımx!0

ˇˇf .x/ � f .0/

x � 0

ˇˇD 0 ” lKım

x!0

f .x/� f .0/x � 0

D 0:

Luegof es derivable en0 y f 0.0/D 0.

Ejercicio resuelto 90 Calcula la derivada en todo punto de la función definida por

f .x/D

8<:

x2 sen1

x; x ¤ 0

0; x D 0

Solución.Parax ¤ 0 se verifica quejf .x/j Dˇˇx2 sen

1

x

ˇˇ6 x2. Comof .0/D 0, resulta

que jf .x/j 6 x2 para todox 2 R. El ejercicio anterior implica quef es derivable en

0 con f 0.0/ D 0. En los intervalos� � 1; 0Œ y �0;C1Œ la función dada es derivablepor ser producto y composición de funciones derivables en dichos intervalos, y podemoscalcular su derivada con las reglas de derivación usuales:

f 0.x/D 2x sen1

x� cos

1

x

Observa que esta derivada tiene una discontinuidad esencial en 0. ©

Ejercicio resuelto 91 Calcula los puntos en que la cúbicay D ax3C bx2 C cxC d , dondea; b; c;d son constantes reales, tiene tangente horizontal. Debes estudiar los distintoscasos posibles.

Solución.La tangente es horizontal en los puntos donde se anula la derivada, esto es, enlas soluciones reales de la ecuación3ax2 C 2bx C c D 0, las cuales viene dadas por

�2b ˙p

4b2 � 12ac

6a

Si el discriminante4b2 � 12ac < 0 no hay ninguna solución real. Si4b2 � 12ac D 0

hay una solución real doble (en la que también se anula la derivada segunda pero no seanula la derivada tercera, es un punto de inflexión). Si4b2 � 12ac > 0 hay dos puntosde tangencia horizontal. ©

Ejercicio resuelto 92 Calcula un puntoc por la condición de que la tangente a la parábolaf .x/D x2 C ˛x C ˇ en el punto.c; f .c//, sea paralela a la cuerda que une dos puntosdadosAD .a; f .a// y B D .b; f .b//.Solución.Dos rectas en el plano son paralelas cuando tienen igual pendiente. Debemoscalcularc por la condición

f .b/� f .a/b � a

Df 0.c/” b2 � a2 C ˛.b � a/

b � aD2cC˛” bCaC˛D2cC˛” cD aC b

2

©

Ejercicio resuelto 93 Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una hipérbolade ecuación cartesianay2 � x2 D 1, en un punto genérico.u; v/ de la misma.

Solución.Podemos expresary como función dex. Tenemos quey2D 1Cx2, lo que dalugar a dos curvasf .x/ D

p1C x2 (la parte de la hipérbola en el semiplano superior

y > 0) y g.x/D �p

1C x2 (la parte de la hipérbola en el semiplano inferiory < 0).La tangente en un punto.u; v/ conv D f .u/ > 0 es la recta de ecuación:

y D f .u/C f 0.u/.x � u/D vC up1C u2

.x � u/D vC ux � u2

v” vy � uxD 1

La tangente en un punto.u; v/ conv D g.u/ < 0 es la recta de ecuación:

y D g.u/C g 0.u/.x � u/D v � up1C u2

.x � u/D vC ux � u2

v” vy � ux D 1

En cualquier caso se obtiene la recta de ecuaciónvy � ux D 1.

Derivabilidad de las funciones elementales 219

Podemos proceder también sin necesidad de calculary en función dex. Para ello, bastaobservar que si expresamosy en función dex y obtenemosy D '.x/ entonces se tieneque'.x/2 � x2 D 1. Podemos derivar ahora la funciónx 7! '.x/2 � x2 con respectoa x. La derivada es2'.x/' 0.x/ � 2x y, como dicha función es constante igual a 1, suderivada debe ser nula. Luego

2'.x/' 0.x/� 2x D 0 ” ' 0.x/D x

'.x/

Por tanto la derivada en un puntou viene dada por' 0.u/ D uv

dondev D '.u/. Enconsecuencia, la tangente en el punto.u; v/ es la recta de ecuación:

y D v C ' 0.u/.x � u/D v C u

v.x � u/D v C ux � u2

v” vy � ux D 1

Es decir, de esta forma, sin necesidad de calcular de forma explícita '.x/ (que da lu-gar a las dos funciones anterioresf .x/ y g.x/), podemos calcular la recta tangente sinnecesidad de considerar cada caso por separado.

Para que te convenzas de que esta forma de proceder es útil, considera la hipérbolax2 � y2 D 1. Si ahora expresasy como función dex obtendrás cuatro curvas:y1 D

px2 � 1 e y2 D �

px2 � 1 para (x > 1), y y3 D

px2 � 1 e y4 D�

px2 � 1

para (x < �1). Para calcular la tangente en un punto.u; v/ de dicha hipérbola no merecela pena considerar cada una de ellas por separado. Razonandocomo antes, se tiene quede cualquier forma que expresemosy D '.x/ por la condición de quex2 � '.x/2 D 1,la derivada viene dada por' 0.x/Dx='.x/. Por tanto la ecuación de la recta tangente en.u; v/ viene dada por:

y D v C ' 0.u/.x � u/D v C u

v.x � u/D v C ux � u2

v” ux � vy D 1

©

Ejercicio resuelto 94 Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una elipse de

ecuaciónx2

a2C y2

b2D 1 en un punto.u; v/ de la misma.

Solución.Procediendo como en el ejercicio anterior debes obtener la recta de ecuación

ux

a2C vy

b2D 1

©

6.2.7. Derivabilidad de las funciones elementales

6.2.7.1. Derivabilidad de la exponencial y del logaritmo. Criterio de equivalencia loga-rítmica

Aceptaremos que las funciones logaritmo, exponencial, trigonométricas y sus inversas, sonderivables, pues ahora no sería fácil probarlo. Más adelante dispondremos de herramientas parahacerlo con comodidad.


La función exponencialx 7! exp.x/ D ex, .x 2 R/, y la función logaritmo naturalx 7! logx, .x 2 RC/, son derivables en todo punto de sus respectivos intervalosde defini-ción, siendo:

.exp/0.x/D expx .8x 2 R/; .log/0.x/D 1

x.8x 2 RC/

En particular, se verifica que:

lKımx!1

logx

x � 1D 1I lKım

x!0

ex �1

xD 1I lKım

x!0

log.1C x/

xD 1I lKım

x!0.1C x/1=x D e

Pues los primeros tres límites son derivadas y el cuarto se reduce fácilmente al tercero. Dedu-cimos también un importante resultado que permite resolveren muchos casos las indetermina-ciones “11” y “ 01”.

6.11 Teorema(Criterio de equivalencia logarítmica). Seaa2 I , f y g funciones definidasenI n fag. Supongamos quef .x/ > 0 parax2I nfag, y que lKım

x!af .x/D1. Entonces se tiene

que:

i) lKımx!a

f .x/g.x/ D eL si, y sólo si, lKımx!a

g.x/.f .x/� 1/D L.

ii) lKımx!a

f .x/g.x/ DC∞ si, y sólo si, lKımx!a

g.x/.f .x/� 1/DC∞.

iii) lKımx!a

f .x/g.x/ D 0 si, y sólo si, lKımx!a

g.x/.f .x/ � 1/D�∞.

Demostración. Sea' WRC ! R la función dada por:

'.x/D logx

x � 1; .x ¤ 1/; '.1/D 1:

Nótese que' es una función continua. Pongamos:

f .x/g.x/ D exp�g.x/ log.f .x//

�D exp

�g.x/.f .x/� 1/'.f .x//

�

Puesto que lKımx!a

'.f .x//D 1 se sigue que:

lKımx!a

g.x/.f .x/� 1/'.f .x//DL2R [ fC∞g [ f�∞g

si, y sólo silKım

x!ag.x/.f .x/� 1//D L2R [ fC∞g [ f�∞g

lo que prueba las afirmaciones hechas. 2

Las afirmaciones que se hacen en la siguiente proposición sonconsecuencia fácil de la reglade la cadena.



6.12 Proposición.Seanf;g W I ! R, a2I y g.x/ > 0 para todox 2 I . Se verifica entoncesque:i) f es derivable ena si, y sólo si, la funciónh.x/Dexp.f .x// es derivable ena en cuyo casoh0.a/D f 0.a/exp.f .a//.ii) g es derivable ena si, y sólo si, la función'.x/D log.g.x// es derivable ena en cuyo caso

' 0.a/D g 0.a/

g.a/:

iii) Si f y g son derivables ena la función .x/D g.x/f .x/ también es derivable ena y

0.a/D .a/�

log.g.a//f 0.a/C f .a/g0.a/

g.a/

�

Te recuerdo que una forma cómoda para trabajar con funcionesde la forma .x/Dg.x/f .x/

es escribirlas como exponenciales .x/D exp�f .x/ log.g.x//

�.

6.2.7.2. Derivabilidad de las funciones trigonométricas

Las funciones seno y coseno son derivables en todo punto verificándose que:

sen0.x/D cosx cos0.x/D� senx:

En particular, se verifica que:

lKımx!0

senx

xD 1; lKım

x!0

cosx � 1

xD 0:

Las derivadas de las demás funciones trigonométricas se deducen con facilidad a partir de lasderivadas del seno y del coseno.

6.2.7.3. Derivabilidad de las funciones hiperbólicas

Las derivadas de las funciones hiperbólicas y de sus inversas se deducen con facilidad delas derivadas del logaritmo y de la exponencial. Se comprueba sin dificultad que

senh0.x/D coshx; cosh0.x/D senhx

Las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas son muy útiles para calcular primitivas defunciones en las que intervienen raíces cuadradas de trinomios de segundo grado.

argsenh.x/D log�x C

px2 C 1

�argsenh0.x/D 1p

x2 C 1

argcosh.x/D log�x C

px2 � 1

�x > 1 argcosh0.x/D 1p

x2 � 1

argcosech.x/D argsenh

�1

x

�x ¤ 0 argcosech0.x/D �1

jxjp

x2 C 1

argsech.x/D argcosh

�1

x

�0 < x < 1 argsech0.x/D �1

xp

1 � x2

Teoremas de Rolle y del valor medio 222

6.3. Teoremas de Rolle y del valor medio

Los resultados más útiles del cálculo diferencial se refieren a funciones derivables en todoslos puntos de un intervalo. El teorema del valor medio es frecuentemente atribuido a JosephLouis Lagrange; no obstante, fue publicado por vez primera en 1806 por el físico André MarieAmpére que justificaba el resultado usando ideas de Lagrangey suponiendo que la funciónderivada era continua; lo cual, como se verá enseguida, es innecesario. Quince años más tardeAugustin Cauchy volvió a probar el teorema con las mismas hipótesis. El teorema del valormedio es uno de los resultados más útiles del Cálculo. Su utilidad se debe principalmente a quedicho teorema permite acotar el incremento de una función cuando se conoce una cota de suderivada.

Michel Rolle (1652 - 1719) fue miembro de la Académie des Sciences y en 1691, estudian-do un método para resolver ecuaciones, estableció, sin demostrar, el teorema que ahora llevasu nombre que, como veremos, es esencialmente equivalente al teorema del valor medio.

6.13 Definición.Dada una función cualquieraf WI ! R, se dice quef tiene en un puntoa2I

unmáximo relativo(resp.mínimo relativo) si hay algún númeror > 0 tal que�a� r; aC r Œ� I

y 8x 2�a � r; a C r Œ se verifica quef .x/ 6 f .a/ (resp.f .x/> f .a/). La expresiónextremorelativo se utiliza para referirse indistintamente a un máximo o a un mínimo relativo.

.a; f .a//

.b; f .b//

.c; f .c//

.d; f .d//

Figura 6.5. Extremos relativos

La función f tiene máximos relativos en lospuntosa y c y mínimos relativos en los puntosb y d . Nótese quef .d/ > f .a/, es decir, el va-lor de una función en un mínimo relativo puedeser mayor que el valor en un máximo relativo.

6.14 Proposición(Condición necesaria de extremo relativo). Seaf W I ! R, a 2 I ysupongamos quef tiene un extremo relativo ena y quef es derivable ena. Entonces severifica quef 0.a/D 0.

Demostración. Supongamos quea es un máximo relativo def . Entonces hay un númeror > 0

tal que�a � r; aC r Œ� I y 8x 2�a � r; a C r Œ se verifica quef .x/ 6 f .a/. Puesto quef esderivable ena y el puntoa no es un extremo del intervaloI , se verifica que:

lKımx!ax<a

f .x/� f .a/x � a

D f 0.a/D lKımx!ax>a

f .x/� f .a/x � a

Puesto que paraa�r<x<a esf .x/ � f .a/

x � a>0, se sigue que lKım

x!ax<a

f .x/� f .a/x � a

>0.

Puesto que paraa<x<aCr esf .x/� f .a/

x � a60, se sigue que lKım

x!ax>a

f .x/� f .a/x � a

60.

Por tantof 0.a/D 0. 2


El resultado anterior es uno de los que peor se interpretan debido a que suelen olvidarse sushipótesis, que son dos:

� Que el puntoa sea un extremo relativo def .~� Quef sea derivable ena.

La expresión “comof tiene un extremo ena, su derivada debe anularse ena” no es, engeneral, correcta. Los siguientes ejemplos lo dejan bien claro:

� La función f WR! R dada porf .x/ D jxj, tiene claramente un mínimo relativo (ytambién absoluto) en0, pero no es derivable en0, por lo que no tiene ningún sentidodecir que su derivada se anula en0.

� La función f W Œ�1; 1�! R dada porf .x/Dx3, es estrictamente creciente, es derivableen todo punto y su derivada solamente se anula enxD0. Tiene un mínimo absoluto en�1

y un máximo absoluto en1; dichos puntos no son extremos relativos de la función. Esteejemplo también muestra que la condición necesaria de extremo relativo no es suficiente.

Los puntos en los que se anula la derivada de una función se llamanpuntos críticoso puntossingularesde dicha función.

6.15 Teorema(Teorema de Rolle). Seaf WŒa; b�! R una función continua enŒa; b�, derivableen�a; bŒ y verificando quef .a/Df .b/. Entonces existe algún puntoc 2�a; bŒ tal quef 0.c/D0.

Demostración. La continuidad def enŒa; b� garantiza quef alcanza en un puntou2 Œa; b� unmínimo absoluto y en un puntov2 Œa; b� un máximo absoluto. Sifu; vg D fa; bg, entonces será

f 0.c/ D 0

a c b

y D f .x/

Figura 6.6. Teorema de Rolle

f .u/ D f .v/ y, por tantof es constanteen Œa; b� y, en consecuencia, su derivada esnula. Sifu; vg¤fa; bg, entonces alguno delos puntosu, v está en�a; bŒ y es un extre-mo relativo def por lo que, en virtud dela proposición anterior, concluimos que laderivada def se anula en algún punto de�a; bŒ. 2

Observaciones.Observa que la demostración del teorema de Rolle que hemos dado, que es lausual, depende de forma esencial del teorema de Weierstrass4.29que garantiza la existenciade valores extremos absolutos.

El enunciado anterior del teorema de Rolle es el usual; pero,en cierto sentido, es “de-masiado preciso”. Esto se debe a que las hipótesis que se consideran en el teorema son lasmínimas indispensables. Por ejemplo, si consideramos la función f W Œ�1; 1�! R dada porf .x/ D

p1 � x2, cuya gráfica es la mitad superior de la circunferencia unidad, se tiene que

f es continua enŒ�1; 1�, derivable en� � 1; 1Œ y, claro está, su derivada se anula enx D 0.Esta función no es derivable en los extremos del intervalo. Pero la situación más corriente esque la función sea derivable en todo el intervalo, incluidossus extremos. Además, es frecuente




trabajar con funciones definidas en intervalos abiertos queno tienen puntos extremos, en cuyocaso debemos elegir un intervalo apropiado para aplicar el teorema.

El teorema de Rolle se usa para estudiar raíces de ecuaciones, pues permite relacionar losceros de una función derivable con los de su derivada. Un cerode una función es, naturalmente,un punto en el que la función se anula.

6.16 Corolario. a) Entre cada dos ceros de una función derivable en un intervalo hay por lomenos un cero de su derivada.

b) Entre cada dos cerosconsecutivosde la derivada de una función en un intervalo, so-lamente puede haber, como mucho, un cero de la función; o puede que la función no tenganingún cero entre los dos ceros de su derivada.

Demostración. a) Seaf W I ! R una función derivable en un intervaloI . Seana; b 2 I talesquef .a/D f .b/D 0. El teorema de Rolle nos dice que hay algún punto entrea y b en el quese anula la derivada def .

b) Supongamos ques; t son cerosconsecutivosde la derivada def , esto es,f 0.s/Df 0.t/D 0

y f 0 no se anula en ningún punto comprendido entres y t . En tal caso puede ocurrir quef notenga ningún cero comprendido entres y t o que tenga solamente uno. No puede ocurrir quef tenga más de un cero entres y t , pues en tal caso su derivada tendría que anularse en algúnpunto comprendido entres y t , cosa que no sucede. 2

El apartadob) suele expresarse diciendo quelos ceros de la derivada separan los cerosde la función. Debes entender bien lo que se afirma enb). Por ejemplo, puede ocurrir que laderivada se anule en varios puntos y la función no se anule nunca: la funciónf .x/D 2C senx

no se anula nunca, pero su derivadaf 0.x/D cosx tiene infinitos ceros.

6.17 Teorema(Teorema del valor medio). Seaf W Œa; b�! R una función continua enŒa; b�y derivable en�a; bŒ. Entonces existe algún puntoc 2�a; bŒ tal que

f 0.c/D f .b/ � f .a/b � a

(6.4)

Demostración. Definamos una funcióng W Œa; b�! R por g.x/ D f .x/ C �x donde� loelegiremos por la condición de queg.a/D g.b/, es decir:

f .a/C �aD f .b/C �b ÷ �D�f .b/ � f .a/b � a

Podemos aplicar ahora el teorema de Rolle en el intervaloŒa; b� a la función

g.x/D f .x/ � f .b/ � f .a/b � a

x

para deducir que hay un puntoc 2�a; bŒ tal que

g 0.c/D f 0.c/� f .b/ � f .a/b � a

D 0

lo que concluye la demostración. 2



Consecuencias del teorema del valor medio 225

.a; f .a//

.b; f .b//

a c

.c; f .c//

b

tg.˛/ D f .b/ � f .a/

b � aD f 0.c/

y D f .c/ C f 0.c/.x � c/

˛

Figura 6.7. Teorema del valor medio

Lo que afirma el teorema del valor medio es que el incremento medio de una función en unintervalo es igual a su derivada o “incremento puntual” en algún punto del mismo. Geométri-camente: la tangente a la gráfica def en algún puntoc comprendido entrea y b es paralela ala cuerda que une los puntos.a; f .a/ y .b; f .b//.

Observa que el teorema del valor medio lo hemos deducido del teorema de Rolle, peroes evidente que el teorema de Rolle puede deducirse del teorema del valor medio. Son dosresultados equivalentes. En lo que sigue nos referiremos alteorema del valor medio por lassiglas TVM.

6.3.1. Consecuencias del teorema del valor medio

6.18 Proposición.Seaf una función derivable en un intervaloI , y supongamos que existeM > 0 tal quejf 0.x/j6 M para todox2I . Entonces se verifica que

jf .x/� f .y/j 6 M jx � yj para todosx;y2I (6.5)

En particular, sif 0.x/D 0 para todox2I entoncesf es constante enI .

Demostración. Dadosx;y2I , el TVM aplicado a la funciónf en el intervalo de extremosxe y nos dice que hay algún puntoz en dicho intervalo tal quef .x/ � f .y/ D f 0.z/.x � y/.Tomando valores absolutos tenemos

jf .x/� f .y/j D jf 0.z/jjx � yj6 M jx � yj

Si la derivada def es idénticamente nula enI podemos tomarM D 0 en la desigualdad (6.5)para obtener quef .x/D f .y/ para todosx;y2I , lo que nos dice quef es constante enI . 2

El resultado anterior, además de su interés teórico, es muy útil para probar desigualdades.

En la proposición anterior la hipótesis de queI es un intervalo es esencial. La funciónf W�0; 1Œ[�1; 2Œ! R dada porf .x/D 1 si 0 < x < 1 y f .x/D 2 si 1 < x < 2, es derivable entodo punto con derivada nula y no es constante.

6.19 Proposición.SeaI un intervalo,a 2 I y f una función continua enI y derivable enInfag. Si la función derivadaf 0 tiene límite por la derecha (resp. por la izquierda) ena

entoncesf es derivable por la derecha (resp. por la izquierda) ena con derivada por laderecha (resp. por la izquierda) ena igual al valor de dicho límite. En particular, si existelKım

x!af 0.x/DL entoncesf es derivable ena y f 0.a/DL.

Demostración. Supongamos lKımx!ax<a

f 0.x/D L. Dado" > 0, existeı > 0 tal que�a � ı; a� � I

y paraa � ı < x < a se verifica quejf 0.x/�Lj < ". Dadox 2�a � ı; a�, podemos aplicar elteorema del valor medio a la funciónf en el intervaloŒx; a� y deducimos que hay algún puntoc 2�x; aŒ��a � ı; aŒ tal quef .x/� f .a/D f 0.c/.x � a/ y por tanto:

ˇˇf .x/� f .a/

x � a�L

ˇˇD jf 0.c/ �Lj < ":

Lo que prueba que

lKımx!ax < a

f .x/ � f .a/x � a

D L;

es decir,f es derivable por la izquierda ena y la derivada por la izquierda def ena es igual aL.

El resto de las afirmaciones del enunciado se deducen fácilmente de lo anterior. 2

La proposición anterior tiene una interesante consecuencia que, entre otras cosas, nos in-forma de que no toda función puede ser la derivada de otra.

6.20 Corolario. Las funciones derivadas definidas en intervalos no tienen discontinuidadesevitables ni de salto.

6.21 Proposición(Derivabilidad y monotonía). Seaf W I ! R derivable en todo punto delintervalo I con la posible excepción de los puntos extremos deI . Se verifica entonces quefes creciente (resp. decreciente) enI si, y sólo si,f 0.x/> 0 (resp.f 0.x/6 0) para todox2I .

Demostración. Supongamos quef 0.x/ > 0 para todox 2 I . Dados dos puntosu; v 2 I conu < v, podemos aplicar el teorema del valor medio af en el intervaloŒu; v� para deducir queexistec 2�u; vŒ tal quef .v/ � f .u/D f 0.c/.v � u/ > 0, por lo quef .u/6 f .v/, es decirfes creciente.

Recíprocamente, sif es creciente enI entonces para todosa;x 2 I , conx ¤ a, se tiene

quef .x/ � f .a/

x � a> 0, lo que implica que:

lKımx!a

f .x/� f .a/x � a

D f 0.a/> 0:

2Este resultado es muy útil para probar desigualdades entre funciones. Muchos problemas de

desigualdades responden al siguiente esquema.

6.22 Estrategia. Supuesto quef y g son funciones derivables, para probar quef .x/ 6 g.x/

para todox > a, se hace lo siguiente:

� Se defineh.x/D g.x/ � f .x/ y se comprueba queh.a/D 0.� Se comprueba queh 0.x/> 0 para todox > a.

Esta última desigualdad implica queh es creciente enŒa;C1Œ y, comoh.a/D0, concluimosqueh.x/> 0, es decir,g.x/� f .x/> 0, para todox > a.

Naturalmente, los detalles pueden cambiar. Puede que el punto a debas elegirlo tú. Esuna estrategia que tiene éxito cuando la desigualdadh 0.x/ > 0 es más fácil que la inicial.Puede ocurrir que esta desigualdad siga siendo complicada;entonces podemos aplicarle a ellael mismo procedimiento, comprobamos queh 0.a/ D 0 y queh 00.x/ > 0 para todox > a, loque implica queh 0 es creciente enŒa;C1Œ y, comoh 0.a/D 0, concluimos queh 0.x/> 0 paratodox > a.

De la proposición (6.21) se deduce el siguiente resultado de extremo absoluto.

6.23 Proposición(Criterio de extremo absoluto). Seaf una función continua enŒa; b� yderivable en todo punto de�a; bŒ con la posible excepción de un puntoc 2�a; bŒ.

a) Sif 0.x/> 0 para todox 2�a; cŒ y f 0.x/6 0 para todox 2�c; bŒ, entoncesf alcanza encun máximo absoluto enŒa; b�.

b) Sif 0.x/6 0 para todox 2�a; cŒ y f 0.x/> 0 para todox 2�c; bŒ, entoncesf alcanza encun mínimo absoluto enŒa; b�.

Demostración. a) Las hipótesis hechas implican, en virtud de la proposición (6.21), quefes creciente enŒa; c� y decreciente enŒc; b�. Por tanto, se verifica quef .x/ 6 f .c/ para todox 2 Œa; b�.

La demostración del apartadob) se hace de la misma forma. 2

El anterior criterio de extremo absoluto suele aplicarse enpuntos donde la derivada seanula. Aunque el resultado anterior está enunciado en términos de extremos absolutos, estáclaro que si se aplica a un pequeño intervalo contenido en un intervalo más grande, donde lafunción está definida, dicho resultado proporciona en tal caso un criterio de extremo relativo.

6.24 Teorema.Seaf W I ! R derivable en el intervaloI conf 0.x/¤ 0 para todox2I . Severifica entonces una de las dos afirmaciones siguientes:

f es estrictamente creciente yf 0.x/ > 0 para todox2I .

f es estrictamente decreciente yf 0.x/ < 0 para todox2I .

Demostración. Dados dos puntosu; v2I conu¤v, podemos razonar como antes para obtenerque existec 2�u; vŒ tal quef .v/ � f .u/ D f 0.c/.v � u/ ¤ 0. Hemos probado así quef esinyectiva en el intervaloI . Como, ademásf es continua enI (por ser derivable), podemosusar el resultado4.26del capítulo 4, para deducir quef es estrictamente monótona enI . Essuficiente tener en cuenta ahora la proposición anterior para concluir la demostración. 2

Es importante advertir que el resultado anterior nos dice que si una funciónf es derivableen un intervalo y la derivadaf 0 toma valores positivos y negativos, entoncesf 0 se anula enalgún punto. Este resultado recuerda mucho al teorema de losceros de Bolzano para funcionescontinuas en un intervalo, con una notable diferencia: aquíno exigimos que la función deri-vadaf 0 sea continua. De hecho, se verifica el siguiente resultado que es un teorema del valorintermedio para funciones derivadas, en el que no se supone que la derivada sea continua.

6.25 Teorema(Propiedad del valor intermedio para derivadas). Sea' una función definidaen un intervaloI que es la derivada de alguna función en dicho intervalo. Entonces se verificaque la imagen por' deI , '.I /, es un intervalo.

Demostración. Por hipótesis hay una función derivablef W I ! R tal que'.x/ D f 0.x/para todox 2 I . Seanu D '.a/, v D '.b/ dos valores que toma la función', y suponga-mos u < v. Dado� 2�u; vŒ, definimos la funcióng.x/ D f .x/ � �x. Tenemos entoncesg 0.a/D '.a/ � �D u � � < 0 y g 0.b/D '.b/ � �D v � � > 0. Por tanto, la derivada degtoma valores positivos y negativos en el intervaloI y, por el teorema6.24, tiene que anularse,es decir, existe algún puntoc 2 I tal queg 0.c/ D '.c/ � � D 0, esto es,'.c/ D �. Hemosprobado así que si' toma dos valores también toma todos los comprendidos entre ellos dos, esdecir, que'.I / es un intervalo. 2

6.26 Proposición(Derivación de la función inversa). Seaf WI ! R derivable en el intervaloI con derivadaf 0.x/¤0 para todox2I . Entoncesf es una biyección deI sobre el intervaloJ D f .I /, y la función inversaf �1 W J ! R es derivable enJ siendo

.f �1/ 0.y/D 1

f 0.f �1.y//.y 2 J /: (6.6)

Demostración. Las hipótesis hechas implican quef es estrictamente monótona y continua;por tanto es una biyección deI sobreJ Df .I /, y la función inversaf �1 WJ ! R es continuaenJ (4.25). Seab D f .a/2J . Puesto que

lKımx!a

x � a

f .x/� f .a/ D1

f 0.a/;

la función h W I ! R dada por:

h.x/D x � a

f .x/� f .a/ para x ¤ a; h.a/D 1

f 0.a/

es continua enI . Comof �1 es continua enJ , deducimos queh ı f �1 es continua enJ , porlo que, en particular, lKım

y!bh.f �1.y//Dh.f �1.b//Dh.a/. Pero, para todoy2J , cony¤b es

h.f �1.y//D f �1.y/ � f �1.b/

y � b:

Concluimos así que

lKımy!b

f �1.y/ � f �1.b/

y � bD 1

f 0.a/2

La mejor forma de recordar la igualdad (6.6) es derivar por la regla de la cadena la identidad

.f ıf �1/.y/Dy, con lo que se obtienef 0.f �1.y//.f �1/ 0.y/D1, de donde puede despejarse

.f �1/ 0.y/.

Reglas de L’Hôpital 229

6.27 Ejemplo (Derivabilidad de las funciones trigonométricas inversas). La función tan-gente es una biyección derivable del intervalo� � �=2; �=2Œ sobreR, cuya derivada no seanula. El teorema anterior nos dice que la función inversa, es decir, la función arcotangente esderivable enR y su derivada podemos calcularla derivando la identidad.tgıarc tg/.x/ D x,con lo que obtenemos

.1C tg2.arc tgx//arc tg0.x/D 1 ” .1C x2/arc tg0.x/D 1 ” arc tg0.x/D 1

1C x2

Análogamente, la función seno es una biyección derivable del intervalo � � �=2; �=2Œ sobre��1; 1Œ cuya derivada no se anula. El teorema anterior nos dice que lafunción inversa, es decir,la función arcoseno es derivable en� � 1; 1Œ y su derivada podemos calcularla derivando laidentidad.senıarc sen/.x/D x, con lo que obtenemos:

cos.arc senx/arc sen0.x/D 1 ”p

1 � x2 arc sen0.x/D 1 ” arc sen0.x/D 1p1 � x2

�

6.28 Teorema(Teorema del valor medio generalizado). Seanf;g W Œa; b� ! R funcionescontinuas enŒa; b� y derivables en�a; bŒ. Entonces existe algún puntoc 2�a; bŒ tal que

.f .b/ � f .a//g 0.c/D .g.b/ � g.a//f 0.c/

Demostración. Definimos una funciónh.x/D �f .x/C �g.x/ donde�, � son números quese eligen de forma queh.a/ D h.b/, esto es,�.f .a/ � f .b// D �.g.b/ � g.a//. Basta paraello tomar� D g.b/ � g.a/, � D f .a/ � f .b/. El teorema del Rolle, aplicado a la funciónh.x/D .g.b/ � g.a//f .x/ � .f .b/ � f .a//g.x/, nos dice que hay un puntoc 2�a; bŒ tal queh 0.c/D 0, lo que concluye la demostración. 2

6.3.2. Reglas de L’Hôpital

Guillaume François Antoine de L’Hôpital (1661-1704), publicó anónimamente en 1696 elprimer libro de texto sobre cálculo diferencial, el cual tuvo gran éxito e influencia durante elsiglo XVIII. En él aparecen los resultados que hoy llevan su nombre, que permiten resolveren muchos casos indeterminaciones de la forma0

0o 1

1 , que se presentan frecuentemente alestudiar el límite de un cociente de dos funciones. Si bien L’Hôpital era un escritor excepcio-nalmente claro y eficaz, las llamadas “reglas de L’Hôpital” no se deben a él sino a su maestroJean Bernouilli (1667-1748). Las distintas formas de las reglas de L’Hôpital pueden resumirseen el siguiente enunciado.

6.29 Teorema(Jean Bernouilli). Sean�∞ 6 a < b 6 C∞, f y g funciones derivables en�a; bŒ cong 0.x/¤ 0, para todox 2�a; bŒ. Sea˛ 2fa; bg y supongamos que se verifica algunade las dos condiciones siguientes:

a) lKımx!˛

f .x/D lKımx!˛

g.x/D 0

b) lKımx!˛jg.x/j D C∞


Y además

lKımx!˛

f 0.x/

g 0.x/DL2R [ fC∞;�∞g

Entonces se verifica que

lKımx!˛

f .x/

g.x/DL

Demostración. Antes de dar una demostración al uso vamos a explicar por quéla hipóte-sis de que el cociente de las derivadas tiene límite implica que también lo tiene el cocientede las funciones. Para fijar ideas, consideremos el caso en que ˛ D a es un número real ylKım

x!˛f .x/D lKım

x!˛g.x/D 0. Definamosf .a/D g.a/D 0.

Observa que, aunque el punto.g.x/; f .x// recorre una trayectoria en el plano que termina

en .0; 0/ cuandox D a, el límite lKımx!af .x/g.x/

no tiene por qué existir. Ello se debe a que laproximidad a.0; 0/ del punto.g.x/; f .x// no proporciona ninguna información sobre el valor

del cocientef .x/g.x/

. Baste considerar que en un círculo centrado en.0; 0/ de radio tan pequeñocomo queramos, hay puntos.u; v/ para los que el cocienteu

vpuede tomar cualquier valor.

Geométricamente, podemos interpretarf .x/g.x/

como la pendiente de la recta que une.0; 0/con el punto.g.x/; f .x//. Si imaginamos que el punto”.x/D .g.x/; f .x// recorre una curva� en el plano que termina en.0; 0/, parece evidente que, cuando dicho punto está muy próximo

a .0; 0/, el númerof .x/g.x/

está muy próximo a la pendiente de la tangente a� en .g.x/; f .x//.La figura6.8puede servir de ayuda.

g.x0/ g.x/

f .x0/

f .x/

y D Lx

y D f .x0/

g.x0/x

�

y D f .x0/ C f 0.x0/

g 0.x0/.x � g.x0//

Figura 6.8. Regla de L’Hôpital

Fíjate que comof y g no se suponen derivables enx D a, no está garantizado que� tengatangente en el origen, es decir, parax D a. Podemos, sin embargo, calcular la tangente a� en



puntos distintos del origen. Para ello podemos usar que el vector tangente a� en un puntox0 es” 0.x0/D.g 0.x0/; f

0.x0//, y la recta tangente en dicho punto tiene las ecuaciones paramétricas:

.x;y/D .g.x0/; f .x0//C �.g 0.x0/; f0.x0//

Eliminando el parámetro� en esta ecuación obtenemos la ecuación cartesiana de la tangenteque resulta ser

y D f .x0/Cf 0.x0/

g 0.x0/.x � g.x0//

Lo que nos dice que la pendiente de dicha tangente esf0.x0/

g0.x0/

. En consecuencia, la pendiente

de la tangente a� en un punto genéricox ¤ a es f0.x/

g0.x/

.

A la vista de lo anterior, se comprende ahora que si exigimos que f0.x/

g0.x/

tenga límiteL en

el puntoa, estamos obligando a que el cocientef .x/g.x/

también tenga límite igual aL ena. Enla figura se ha supuesto queL es un número real, pero está claro que puede suponerse tambiénLD˙∞ lo que corresponde a los casos en que� tiene tangente vertical en el origen.

Daremos ahora una demostración formal del teorema en dos casos particulares.

Caso1(Primera regla de L’Hôpital).

Supongamos que D a y L son números reales y lKımx!a

f .x/D lKımx!a

g.x/D 0. Definamos

f .a/D g.a/D 0. Dadox2I , x ¤ a, aplicamos el teorema del valor medio generalizado a lasfuncionesf y g en el intervaloŒa;x�, para obtenercx 2�a;xŒ tal que

.f .x/ � f .a//g 0.cx/D .g.x/ � g.a//f 0.cx/

es decir,f .x/g 0.cx/D g.x/f 0.cx/. Las hipótesis hechas implican queg es estrictamente mo-nótona enI y, comog.a/ D 0, deducimos queg.x/ ¤ 0 para todox 2 I . Obtenemos asíque:

f .x/

g.x/D f 0.cx/

g 0.cx/: (6.7)

Por hipótesis, dado" > 0, existeı > 0 tal que paraa < t < a C ı es

ˇˇf

0.t/

g 0.t/�L

ˇˇ < ".

Deducimos de la igualdad (6.7) que sia < x < aC ı se tiene que:ˇˇf .x/g.x/

�L

ˇˇ < ":

Hemos probado así que lKımx!a

f .x/=g.x/DL. Los casos en queLD˙∞ se tratan de la misma

forma.

Caso 2(Segunda Regla de L’Hôpital).

Supongamos queD a y L son números reales y lKımx!ajg.x/j D C∞. Esta última condición

implica queg.x/ ¤ 0 para todox 2 I suficientemente próximo al puntoa, y por el carácterlocal del límite no es restrictivo suponer queg.x/ ¤ 0 para todox 2 I . Nótese también quelas hipótesis hechas implican queg es inyectiva enI . La hipótesis lKım

x!af 0.x/=g 0.x/DL, nos

Derivadas sucesivas. Polinomios de Taylor 232

dice que dado" > 0, hay un número (fijo en lo que sigue)c 2 I , tal que paraa < t 6 c severifica que: ˇ

ˇf0.t/

g 0.t/�L

ˇˇ < "

4(6.8)

Como lKımx!ajg.x/j D C1, hay un númeroı > 0 tal queaC ı 6 c y paraa < x < a C ı se

verifica que:jg.c/jjg.x/j < 1;

jf .c/ �Lg.c/jjg.x/j <

"

2(6.9)

Dadoa < x < aC ı aplicamos el teorema del valor medio generalizado para obtener un puntocx 2�x; cŒ tal que

f .x/� f .c/g.x/ � g.c/

D f 0.cx/

g 0.cx/:

Teniendo en cuenta la identidad:

f .x/

g.x/�LD

�f .x/� f .c/g.x/ � g.c/

�L

��1� g.c/

g.x/

�C f .c/�Lg.c/

g.x/

D�f 0.cx/

g 0.cx/�L

��1� g.c/

g.x/

�C f .c/ �Lg.c/

g.x/

deducimos, en virtud de (6.8) y (6.9), que para todox 2�a; aC ıŒ se verifica que:ˇˇf .x/g.x/

�L

ˇˇ6

"

42C "

2D ":

Hemos probado así que lKımx!a

f .x/=g.x/DL. Los casos en queLD˙∞ se tratan de la misma

forma.

Los demás casos tienen un tratamiento similar y también pueden reducirse a los ya estudia-dos sin más que invertir la variable. 2

Nótese que, tal y como las hemos enunciado, las reglas de L’Hôpital permiten calcularlímites por la derecha y por la izquierda en un punto y, por tanto, podemos usarlas para calcularel límite en un punto de un intervalo que no sea extremo del mismo.

6.4. Derivadas sucesivas. Polinomios de Taylor

Seaf una función derivable en un intervaloI . Si la función derivadaf 0 también es deriva-ble enI decimos quef esdos veces derivableenI y la funciónf 00 WD.f 0/ 0 se llamaderivadasegundadef enI . En general, sin 2N, decimos quef esn C 1 veces derivableenI si fesn veces derivable enI y la función derivada de ordenn def enI , que representaremos porf .n/, es derivable enI ; en cuyo caso la funciónf .nC1/ D .f .n// 0 se llamaderivada de ordenn C 1 def en I . Si n es un número natural,n > 2, decimos quef esn veces derivable enun puntoa 2 I , si f esn � 1 veces derivable enI y la funciónf .n�1/ es derivable ena. Sedice quef es una función de claseC n enI si f esn veces derivableI y la funciónf .n/ escontinua enI . Se dice quef es una función de claseC 1 enI si f tiene derivadas de todosórdenes enI . Por convenio se definef .0/ D f .

Derivadas sucesivas. Polinomios de Taylor 233

Observemos que una funciónf derivable en un puntoa puede ser aproximada localmentepor una función polinómicaP .x/ de grado61, de forma que

lKımx!a

f .x/� P .x/

x � aD 0:

Basta para ello definirP .x/D f .a/C f 0.a/.x � a/, con lo que la igualdad anterior no es otracosa que la definición de derivada def ena.

Es natural preguntarse si, en el caso de quef sea derivablen veces ena, existirá unafunción polinómicaP de grado6n, de forma que

lKımx!a

f .x/� P .x/

.x � a/nD 0:

Nótese que, en el casonD1, el polinomioP .x/Df .a/Cf 0.a/.x�a/ es el único polinomio degrado61 que cumple queP .a/Df .a/ y P 0.a/Df 0.a/. En el caso general, parece razonablehallar un polinomioP de grado6n cuyo valor y el valor de sus derivadas, hasta la del ordenn, en el puntoa coincida con el valor def y de las respectivas derivadas def ena. SeaP .x/

un polinomio genérico de grado menor o igual quen y pongamosQ.x/DP .xC a/. Notemos

que Q.k/.x/D P .k/.x C a/ parak D 0; 1; : : : ;n. SeaQ.x/DnX

kD0

akxk. Calcularemos los

coeficientes deQ por la condición de queQ.k/.0/D f .k/.a/. Con ello se obtiene fácilmentequeak D f .k/.a/=k!. Resulta así que el polinomioP dado por:

P .x/DQ.x � a/DnX

kD0

f .k/.a/

k!.x � a/k

verifica queP .k/.a/DQ.k/.0/Df .k/.a/ parakD0; 1; : : : ;n y es el único polinomio de grado6n que cumple dichas condiciones.

6.30 Definición. Seaf una funciónn veces derivable en un puntoa. La función polinómicaTn.f; a/ definida para todox2R por

Tn.f; a/.x/D f .a/CnX

kD1

f .k/.a/

k!.x � a/k

se llama elpolinomio de Taylor de ordenn def en a.

Los dos resultados siguientes son, junto con las reglas de L’Hôpital, los más útiles paracalcular límites.

6.31 Teorema(Teorema de Taylor-Young). Seaf una funciónn veces derivable en un puntoa, y seaTn.f; a/ el polinomio de Taylor de ordenn def ena. Entonces se verifica que:

lKımx!a

f .x/� Tn.f; a/.x/

.x � a/nD 0:



Notación de Landau 234

Demostración.Haremos la demostración por inducción. ParanD1 la afirmación del enunciadoes cierta sin más que recordar la definición de derivada de unafunción en un punto. Suponga-mos que la afirmación del enunciado es cierta para toda función n veces derivable ena. Seafuna funciónnC 1 veces derivable ena. Entonces la funcióng D f 0 esn veces derivable enay por tanto:

lKımx!a

g.x/ � Tn.g; a/.x/

.x � a/nD 0:

Se comprueba fácilmente queTnC10.f; a/.x/D Tn.g; a/.x/, con lo cual resulta que

g.x/� Tn.g; a/.x/Dd

dx

�f .x/� TnC1.f; a/.x/

�:

Por el teorema de L’Hôpital obtenemos que:

lKımx!a

f .x/� TnC1.f; a/.x/

.x � a/nC1D lKım

x!a

g.x/ � Tn.g; a/.x/

.nC 1/.x � a/nD 0:

Lo que concluye la demostración. 2

6.32 Corolario. Seaf una función definida en un intervaloI que esn C 1 veces derivableen un puntoa 2 I , y seaTn.f; a/ el polinomio de Taylor de orden n def en a. Entonces severifica que:

lKımx!a

f .x/� Tn.f; a/.x/

.x � a/nC1D 1

.nC 1/!f .nC1/.a/:

6.4.1. Notación de Landau

Te recuerdo también una notación extraordinariamente útil, me refiero a la notación de

Landau. Sif .x/ y g.x/ son funciones tales que lKımx!a

f .x/

g.x/D 0, se escribef .x/ D o.g.x//

cuandox ! a, y se leef .x/ es un infinitésimo de orden superior queg.x/ en el puntoa. Laidea es quef .x/ tiende a cero más rápidamente queg.x/ cuandox ! a. Si no hay lugar aconfusión, omitimos la precisión“cuando x ! a” .

Usando la notación de Landau, el teorema de Taylor–Young puede expresarse en la formaf .x/ � Tn.f; a/.x/D o.x � a/n cuandox ! a. Lo que suele escribirse

f .x/D Tn.f; a/.x/C o.x � a/n (6.10)

Esta última igualdad suele llamarse en algunos textosTeorema de Taylor con resto infinitesimalo forma infinitesimal del resto de Taylor. No es otra cosa que el teorema de Taylor–Youngescrito con la notación de Landau.

Lo interesante de esta notación es que si, por ejemplo,'.x/Do.x�a/p y .x/Do.x�a/q,

entonces'.x/ .x/Do.x�a/pCq y, sip > q,'.x/

.x/Do.x�a/p�q y .'.x/C .x//Do.x�a/q.

Además, siH.x/ esuna función acotadaen un intervalo abierto que contenga al puntoa ysabemos que'.x/D o.x � a/p entonces tambiénH.x/'.x/D o.x � a/p.



Polinomios de Taylor de las funciones elementales 235

6.4.2. Polinomios de Taylor de las funciones elementales

Los polinomios de Taylor de la función exponencial centrados ena D 0 son inmediatospues las derivadas de ex enx D 0 valen todas 1. Luego

Tn.exp; 0/.x/D 1CnX

kD1

1

k!xk

Como sen0.x/D cos.x/D sen.�2C x/, se sigue que sen.n/.x/D sen.n�

2C x/. En particular,

sen.n/.0/D sen.n�2/. Por tanto

Tn.sen; 0/.x/DnX

kD1

sen.k�2/

k!xk

Como parak par es sen.k�2/D0 y parak imparkD2q�1 es sen. .2q�1/�

2/D.�1/qC1, resulta

que

T2n�1.sen; 0/.x/D T2n.sen; 0/.x/DnX

kD1

.�1/kC1

.2k � 1/!x2k�1

Análogamente para la función coseno

T2n.cos; 0/.x/D T2nC1.cos; 0/.x/DnX

kD0

.�1/k

.2k/!x2k

Pongamosf .x/D.1Cx/˛. Tenemos quef .n/.x/D˛.˛�1/.˛�2/ � � � .˛�nC1/.1Cx/˛�n.Por lo que

Tn.f; 0/.x/D 1CnX

kD1

˛.˛ � 1/.˛ � 2/ � � � .˛ � k C 1/

k!xk

Cualquiera sea elnúmero real y el número naturalk se define�˛

k

�D ˛.˛ � 1/.˛ � 2/ � � � .˛ � k C 1/

k!

Por convenio�˛0

�D 1. Con ello podemos escribir

Tn.f; 0/.x/DnX

kD0

�˛

k

�xk

Para obtener los polinomios de Taylor de log.1Cx/, arc tgx y arc senx es conveniente usar lasiguiente relación, de comprobación inmediata, entre los polinomios de Taylor de una función' y de su derivada' 0 que se expresa por:

d

dxTnC1.'; a/.x/D Tn.'

0; a/.x/ (6.11)

Es decir, la derivada del polinomio de Taylor de ordenn C 1 de' es el polinomio de Taylorde ordenn de' 0. La igualdad (6.11) es interesanteen los dos sentidospues permite calcular



Polinomios de Taylor de las funciones elementales 236

TnC1.'; a/.x/ sin más que calcularla primitiva o antiderivadadeTn.'0; a/.x/ que en el punto

a coincida con'.a/. Los siguientes ejemplos son representativos de esta formade proceder.

En lo que sigue vamos a usar queTn.'; a/ es el único polinomio de grado menor o igualquen tal que'.x/D Tn.'; a/.x/C o.x � a/n (ver ejercicio140).

Pongamosf .x/D log.1C x/. Tenemos que

f 0.x/D 1

1C xD 1 � x C x2 � x3 C � � � C .�1/nxn C .�1/nC1 xnC1

1C x

De donde se deduce, por lo antes dicho, que

Tn.f0; 0/.x/D 1 � x C x2 � x3 C � � � C .�1/nxn

y, por tanto, paranD 0; 1; 2; : : :

TnC1.f; 0/.x/D x � x2

2C x3

3� x4

4C � � � C .�1/n

xnC1

nC 1

Para el caso de la función arc tgx se procede igual teniendo en cuenta que

arc tg0.x/D 1

1C x2D 1 � x2 C x4 � x6 C � � � C .�1/nx2n C .�1/nC1 x2nC2

1C x2

de donde se sigue que

T2n.arc tg; 0/.x/D T2nC1.arc tg; 0/.x/D x � x3

3C x5

5� x7

7C � � � C .�1/n

x2nC1

2nC 1

Finalmente, como arc sen0.x/ D .1 � x2/�1=2 es de la forma.1 C z/˛ dondez D �x2,˛ D�1=2, y como el polinomio de Taylor de ordenn ena D 0 de .1 C z/˛ sabemos que es

nX

kD0

�˛

k

�zk , deducimos que

T2n.arc sen0; 0/.x/DnX

kD0

��1=2

k

�.�x2/k D

nX

kD0

��1=2

k

�.�1/kx2k

y, por tanto,

T2n.arc sen; 0/.x/D T2nC1.arc sen; 0/.x/DnX

kD0

��1=2

k

�.�1/k

x2kC1

2k C 1

Como��1=2

k

�D

�12.�1

2� 1/.�1

2� 2/ � � � .�1

2� k C 1/

k!D .�1/k

1 � 3 � 5 � � � .2k � 1/

2 � 4 � 6 � � � .2k/

tenemos que

T2nC1.arc sen; 0/.x/DnX

kD0

1 � 3 � 5 � � � .2k � 1/

2 � 4 � 6 � � � .2k/

1

2k C 1x2kC1



Técnicas para calcular límites de funciones 237

En resumen, debes recordar los siguientes desarrollos:

ex D 1CnX

kD1

1

k!xk C o.xn/ (6.12)

senx DnX

kD1

.�1/kC1

.2k � 1/!x2k�1C o.x2n/ (6.13)

cosx DnX

kD0

.�1/k

.2k/!x2k C o.x2nC1/ (6.14)

.1C x/˛ DnX

kD0

�˛

k

�xk C o.xn/ (6.15)

log.1C x/DnX

kD1

.�1/kC1

kxk C o.xn/ (6.16)

arc tgx DnX

kD1

.�1/kC1

2k � 1x2k�1C o.x2n/ (6.17)

arc senx DnX

kD0

1 � 3 � 5 � � � .2k � 1/

2 � 4 � 6 � � � .2k/

1

2k C 1x2kC1 C o.x2nC2/ (6.18)

6.5. Técnicas para calcular límites de funciones

Cuando en un ejercicio te piden calcular un límite, es casi seguro que se trata de una“in-determinación”. Te recuerdo que aquellos límites de sumas, productos, cocientes o potenciasde funciones en los que el resultado no está predeterminado por el comportamiento particularde cada una de las funciones se llaman“límites indeterminados”. La palabra“indetermina-do” quiere decir simplemente que se trata de límites cuyo cálculo no puedes hacerlo aplicandolas reglas básicas del“álgebra de límites” y tienes que usar alguna técnica apropiada paracalcularlos. Los límitesinteresantesson casi siempre de este tipo.

Las reglas de L’Hôpital son muy útiles para resolver las indeterminaciones, pero yo piensoque se abusa de ellas. Las aplicamos sin pensar dos veces lo que hacemos, nos dejamos llevarpor la comodidad que proporcionan (aunque no siempre) y acabamos calculando límites deforma mecánica sin saber muy bien qué es lo que hacemos. No tengo nada en contra de ellas,tan sólo me parece que su uso casi exclusivo y de forma mecánica es empobrecedor. Por elcontrario, pienso que cada límite debe intentarse de la forma más adecuada a su caso. Para esotienes que fijarte en cómo es la función, relacionarla con otras parecidas y tratar de relacionarel límite que te piden con otros bien conocidos.

Voy a contarte las estrategias que suelo usar para calcular límites. Esencialmente, puedoresumirlas en dos:

� Trato de reducir el límite a otros bien conocidos.

� Siempre que puedo sustituyo funciones por otras más sencillas.

Vayamos con la primera. Si te preguntas qué entiendo por límitesbien conocidos, la res-



Límites que debes saberte de memoria 238

puesta es bien fácil: los que siguen a continuación.

6.5.1. Límites que debes saberte de memoria

lKımx!0

senx

xD 1; lKım

x!0

arc senx

xD 1; lKım

x!0

arc tgx

xD 1; lKım

x!0

1 � cosx

x2D 1

2;

lKımx!0

ex �1

xD 1; lKım

x!0

.1C x/˛ � 1

xD ˛; lKım

x!0

log.1C x/

xD 1; lKım

x!0

x � senx

x3D 1

6;

lKımx!1

logx

x � 1D 1; lKım

x!0

tgx � x

x3D 1

3; lKım

x!0

tgx

xD 1; lKım

x!0

x � log.1C x/

x2D 1

2:

Observa que todos ellos, con la excepción de cuatro, sonderivadasen el puntox D 0 delas respectivas funciones. Por ello no son difíciles de recordar. Ahora bien, estos límites suelenaparecer algo disfrazados. Realmente, más que como límitesconcretos, debes considerarloscomomodelos.

6.33 Ejemplo. El límite

lKımx!0

log.cosx/

cosx � 1

no está en la lista anterior, pero responde al modelo

lKımx!1

logx

x � 1

en el que la variablex se ha sustituido por la función cosx y el punto1 por el punto0. �

6.34 Ejemplo. Partimos del límite

lKımx!0

tgx � x

x3D 1

3

Elijamos ahora cualquier funcióncontinua g que se anule en algún puntoc, por ejemplog.x/ D ex �1 (c D 0) o g.x/ D logx (c D 1), o g.x/ D 3

px � 1 (c D 1), : : : En todos los

casos se verifica que

lKımx!c

tg.g.x//� g.x/

g.x/3D 1

3

Tenemos así que

lKımx!0

tg.ex �1/ � exC1

.ex �1/3D lKım

x!1

tg.logx/ � logx

.logx/3D 1

3

�

¿Entiendes lo que pasa? Esto puede hacerse con cualquier límite. La justificación de estosresultados es el teorema (4.43) que establece que la continuidad permuta con el paso al límite(realmente es una consecuencia de que la composición de funciones continuas es continua).




Como consecuencia, los límites de la lista anterior sonmuchos másde los que aparecen en ella.Si te acostumbras a reconocerlos cuando vengan disfrazadospodrás ahorrarte mucho trabajoinnecesario. Para ayudarte, vamos a escribirlos de nuevo deforma más general.

Seaf cualquier función tal quef .x/¤ 0 y lKımx!a

f .x/D 0. Entonces se verifica que:

lKımx!a

senf .x/

f .x/D 1; lKım

x!a

arc senf .x/

f .x/D 1; lKım

x!a

1 � cosf .x/

f .x/2D 1

2;

lKımx!a

ef .x/ �1

f .x/D 1; lKım

x!a

f .x/ � senf .x/

f .x/3D 1

6; lKım

x!a

.1C f .x//˛ � 1

f .x/D ˛;

lKımx!a

log.1C f .x//f .x/

D 1; lKımx!a

tgf .x/

f .x/D 1; lKım

x!a

arc tgf .x/

f .x/D 1;

lKımx!a

tgf .x/ � f .x/f .x/3

D 1

3; lKım

x!a

f .x/ � log.1C f .x//f .x/2

D 1

2:

Vamos a la segunda estrategia.Sustituir funciones por otras más sencillas. Esto se basa enla proposición (4.45) que permite sustituir en un producto o en un cociente de funciones, unade ellas por otra asintóticamente equivalente. ¡Ojo! En unasuma no puedes, en general, hacereso.

La lista de los límitesbien conocidoses, de hecho, una lista de equivalencias asintóticas yeso la hace más útil todavía.

6.35 Ejemplo. El límite

lKımx!0

ex � cosp

2x � x

tg3x

es una indeterminación del tipo0

0y puede hacerse por L’Hôpital. El problema está en que

vamos a tener que derivar por lo menos dos veces y las derivadas de la tangente se van compli-cando. Para evitarlo podemos sustituir tgx porx pues tgx Ï x.x ! 0/. Escribiendo

ex � cosp

2x � x

tg3xD x3

tg3x

ex � cosp

2x � x

x3

y teniendo en cuenta que

lKımx!0

x3

tg3xD lKım

x!0

�x

tgx

�3

D 1;

basta calcular

lKımx!0

ex � cosp

2x � x

x3:

Lo que puedes hacer por L’Hôpital muy fácilmente. �

Las estrategias anteriores son las más básicas, pero hay otras un poco más elaboradas.Esencialmente consisten en aplicar el teorema de Taylor-Young para tratar de reducir ciertoslímites al límite de un cociente de dos polinomios. Bueno, sorpresa, todos los límites de la listade límites bien conocidosson, sin excepción, casos particulares del teorema de Taylor-Young.




Ahora después te pondré algunos ejemplos de esta forma de proceder. Pero, para que puedasusar con comodidad este método, tienes que saberte de memoria, o ser capaz de deducirlos enpoco tiempo, los polinomios de Taylor de las funciones elementales. Además, esta forma deproceder se adapta más a unos casos que a otros y tan sólo con lapráctica se aprende cuándoconviene usarla.

6.36 Ejemplo. Si tratas de calcular por L’Hôpital el límite

lKımx!0

.tgx/.arc tgx/� x2

x6;

tendrás que ser paciente porque necesitarás derivar por lo menos cinco veces, y en el numeradorhay un producto cuyas derivadas se van haciendo cada vez más complicadas. Ahora, si calculaslos polinomios de Taylor de orden 5 de tgx y arc tgx enaD 0, obtendrás que

tgx D x C 1

3x3 C 2

15x5 C o.x6/; arc tgx D x � 1

3x3 C 1

5x5 C o.x6/:

Observa que como se trata de funciones impares sus derivadasde orden par enxD0 son nulas,por eso los polinomios anteriores son, de hecho, los polinomios de Taylor de orden 6 y esoexplica que aparezca el términoo.x6/. Deducimos que

tgx arc tgx D x2 C 2

9x6 C o.x7/

y

lKımx!0

.tgx/.arc tgx/� x2

x6D lKım

x!0

2=9x6 C o.x7/

x6D 2

9

Observa que aunque tgx Ï x y arc tgx Ï x parax ! 0, se tiene que tgx arc tgx�x2 Ï2

9x6

parax ! 0. Fíjate que al calcular el producto

tgx arc tgx D�

x C 1

3x3 C 2

15x5 C o.x6/

��x � 1

3x3 C 1

5x5 C o.x6/

�

tan sólo nos interesan las potencias dex hasta la de orden6 inclusive, las demás potencias ylos términos de la formaxo.x6/, x2o.x6/, o.x6/o.x6/, etc. son todos ellos funciones de laforma o.x6/ (pues al dividirlos porx6 su límite es cero), y su suma también es una funciónde la formao.x6/, por lo queno es preciso calcularlos para hacer el límite. Observa que, alproceder de esta manera, tienes que calcular las 5 primeras derivadas enxD 0 de las funcionestg.x/ y arc tg.x/, pero te ahorras el trabajo de derivar su producto. Si aún tienes dudas, calculael límite por L’Hôpital y compara. �

6.37 Ejemplo. Se trata de calcular

lKımx!0

.cosx � 1/.log.1C x/ � x/� 1

4x4

x5:

Tenemos que

cosx D 1� 1

2x2 C o.x3/; log.1C x/D x � 1

2x2 C 1

3x3 C o.x3/



Sobre el mal uso de las reglas de L’Hôpital 241

luego

.cosx � 1/.log.1C x/ � x/D 1

4x4 � 1

6x5 C o.x5/;

de donde se sigue que

lKımx!0

.cosx � 1/.log.1C x/� x/� 1

4x4

x5D�1

6

�

6.5.2. Sobre el mal uso de las reglas de L’Hôpital

No conviene aplicar las reglas de L’Hôpital para calcular derivadas, es decir, límites de laforma

lKımx!a

f .x/ � f .a/x � a

La razón es muy sencilla. Si para calcular el límite anteriorusas las reglas de L’Hôpital, lo quehaces es calcular el límite lKım

x!af 0.x/. Si éste límite es igual aL deducimos que el anterior

también es igual aL. Pero ¡has probado más de lo que se pedía! Acabas de probar queladerivada def es continua ena, porque has probado que lKımx!a f

0.x/ D L D f 0.a/; y loque se pedía era solamente calcular la derivada def en a. Esto puede que no tenga mayorimportancia o que sí la tenga. Depende de la función. Veamos un ejemplo típico.

6.38 Ejemplo. Queremos calcular el límite siguiente:

lKımx!0

.1C x/1x � e

x(6.19)

Pongamosf .x/ D .1 C x/1x y definamosf .0/ D e (esto se hace así porque sabemos que

lKımx!0

f .x/D e). El límite (6.19) no es otra cosa que la derivada def en0. Para calcular dicha

derivada, lo mejor es tomar logaritmos y calcular la derivada en0 de la función

g.x/D logf .x/D log.1C x/

x; g.0/D logf .0/D 1

Tenemos queg.x/ � g.0/

xD log.1C x/� x

x2

Este límite puede hacerse muy fácilmente por L’Hôpital, pero resulta que es un límite básico,de los que debes saberte de memoria. Por tanto:

lKımx!0

g.x/ � g.0/

xD�1

2:

Concluimos, por la regla de la cadena, quef .x/D exp.g.x// es derivable en0, y su derivada

viene dada porf 0.0/D exp 0.g.0//g 0.0/D�e

2.

Veamos lo que pasa si aplicamos L’Hôpital para calcular el límite (6.19). Primero, debemos

comprobar que podemos aplicar L’Hôpital y para eso debemos observar que lKımx!0

.1C x/1x De.



Sobre el uso de la notaciónlKımx!a

242

Seguidamente, derivamos numerador y denominador en (6.19), y resulta que debemos calcularel límite siguiente:

lKımx!0

.1C x/1x

�1

x.1C x/� log.1C x/

x2

�

Que también puede hacerse por L’Hôpital pero es un poco más complicado que el anterior.�

Otro caso en el que puede no ser conveniente aplicar L’Hôpital es para calcular un límitede la forma:

lKımx!a

f .x/ � f .a/g.x/ � g.a/

Primero es conveniente escribir

f .x/� f .a/g.x/ � g.a/

Df .x/� f .a

x � ag.x/ � g.a/

x � a

Si la funcionesf y g son derivables ena y g 0.a/¤ 0, se sigue que

lKımx!a

f .x/� f .a/g.x/ � g.a/

D f 0.a/

g 0.a/

Si aplicamos L’Hôpital probaremos, sin necesidad, que las derivadas def y g son continuasena, cosa que no se pide y que puede ser más complicada que lo anterior.

Los errores más frecuentes al aplicar L’Hôpital se deben a que no se comprueban las hipó-tesis cada vez que aplicamos las reglas. Es frecuente empezar con una indeterminación del tipo00

o 11 y, después de aplicar L’Hôpital una vez, no volver a comprobar que seguimos teniendo

una indeterminación. Así que no lo olvides: cada vez que apliques L’Hôpital comprueba que setrata de una indeterminación del tipo0

0o 1

1 y que la derivada del denominador no se anula.

6.5.3. Sobre el uso de la notaciónlKımx!a

La notación que usamos para límites es tan buena que a veces tehace ver lo que no hay.En cierto sentido la notación “tira de ti”: basta con que escribas “ lKım

x!a” delante de una función

para que mentalmente hagas la sustituciónx D a. Para comprobar esto te propongo un juego:dime en menos de medio segundo el valor del siguiente límite:

lKımx!0

x

x

¿Has dudado? ¿Has creído que es una indeterminación tipo00? Si respondes que sí a estas

preguntas es porque has hecho mentalmente la sustituciónxD 0 en el cocientexx

y has visto loque no hay. Porque, evidentemente, se tiene quex

xD1, es decir, el límite anterior es el límite de

la función constante igual a 1. No hay ninguna indeterminación. Es un límite trivial. Lo mismopasa con el siguiente límite lKım

x!C11x . Si te dejas llevar por la notación y haces mentalmente

la sustituciónx DC1, puedes creer que se trata de una indeterminación11, cuando no lo esporque, evidentemente,1x D 1 es la función constante igual a 1. Se pueden poner muchos másejemplos.



Extremos relativos. Teorema de Taylor 243

¿Cómo evitar que la notación “ lKımx!a

” “tire de ti” y te lleve a ver lo que no hay? Pues

no usándola hasta que no hayas visto claramente lo que realmente hay. Este es un consejoimportante:antes de empezar a calcular un límite funcional, simplifica todo lo que puedas lafunción y no escribas el símbolo “lKım” hasta que no tengas una idea clara de cómo vas a hacerlos cálculos.

6.6. Extremos relativos. Teorema de Taylor

El siguiente resultado es de gran utilidad para el estudio delos extremos relativos de unafunción.

6.39 Teorema(Condiciones suficientes de extremo relativo). SeanI un intervalo,a un puntodeI que no es extremo deI y f W I ! R una funciónn>2 veces derivable ena. Supongamosque todas las derivadas def hasta la de ordenn � 1 inclusive se anulan ena, es decir,f .k/.a/D 0 para k D 1; 2; : : : ;n � 1, y quef .n/.a/¤ 0: Entonces:

i) Si n es par yf .n/.a/ > 0, f tiene un mínimo relativo ena.

ii) Si n es par yf .n/.a/ < 0, f tiene un máximo relativo ena.

iii) Si n es impar entoncesf no tiene extremo relativo ena.

Demostración. Basta observar que, en virtud de las hipótesis hechas y (6.32), se verifica que:

lKımx!a

f .x/� f .a/.x � a/n

D 1

n!f .n/.a/¤ 0

Por la definición de límite (o por el teorema de conservación local del signo), existe un númeror > 0 tal que�a � r; aC r Œ� I y parax 2�a � r; aC r Œ, x ¤ a se verifica que:

f .x/� f .a/.x � a/n

f .n/.a/ > 0:

Si n es par será.x�a/n>0, por lo que sif .n/.a/>0 tiene que serf .x/� f .a/ > 0 para todox 2�a � r; a C r Œnfag, es decir,f tiene un mínimo relativo (estricto) en el puntoa; si por elcontrario esf .n/.a/ < 0 entonces tiene quef .x/�f .a/ < 0 para todox 2�a � r; aC r Œnfag,es decir,f tiene un máximo relativo (estricto) en el puntoa.

En el caso en quen sea impar se tiene que.x�a/n < 0 paraa� r < x < a y .x�a/n > 0

paraa < x < aC r . Deducimos que paraa � r < x < a, f .x/� f .a/ tiene signo opuesto alque tiene paraa < x < aC r . En consecuenciaf no tiene un extremo relativo ena. 2

Hay que insistir en que este resultado es útil para estudiar extremos relativos pero queno proporciona condiciones suficientes de extremo absoluto. Puede enunciarse un criterio deextremo absoluto para la derivada segunda como sigue.

6.40 Proposición(Criterio de extremo absoluto). Supongamos quef es continua enŒa; b�,dos veces derivable en�a; bŒ y tiene un punto crítico enc 2�a; bŒ. Entonces:

a) Sif 00.x/ 6 0 para todox 2�a; bŒ se verifica quef alcanza enc un máximo absoluto enŒa; b�.

b) Sif 00.x/ > 0 para todox 2�a; bŒ se verifica quef alcanza enc un mínimo absoluto enŒa; b�.

Demostración. a) Las hipótesis hechas implican quef 0 es decreciente en�a; bŒ y, comof 0.c/ D 0, se sigue que paraa < x 6 c esf 0.x/ > 0, y parac 6 x < b esf 0.x/ 6 0.Podemos aplicar ahora la proposición (6.23) para concluir quef alcanza enc un máximoabsoluto enŒa; b�.

La demostración del apartadob) se hace de forma análoga. 2

El teorema de Taylor–Young nos dice que cuandox está muy próximo al puntoa, el valor,f .x/, def enx es muy próximo al valor,Tn.f; a/.x/, del polinomio de Taylor de ordenn def enx, pero no nos permite calcular el error que se comete en la aproximación. El siguienteresultado es importante porque permite acotar dicho error.

6.41 Teorema(Teorema de Taylor). Seaf una funciónnC1 veces derivable en un intervaloI . Dados dos puntos cualesquierax; a enI conx ¤ a, se verifica que existe algún puntoc enel intervalo abierto de extremosa y x tal que:

f .x/� Tn.f; a/.x/Df .nC1/.c/

.nC 1/!.x � a/nC1: (6.20)

Demostración. En lo que sigue el puntox y el puntoa están fijos. Definamos la funcióng W I ! R dada para todot 2I por:

g.t/D f .x/�nX

kD0

f .k/.t/

k!.x � t/k

Se comprueba fácilmente que

g 0.t/D�f.nC1/.t/

n!.x � t/n:

Aplicamos ahora el teorema del valor medio generalizado a las funcionesg y h.t/D.x� t/nC1

en el intervalo de extremosx y a, para obtener que hay un puntoc comprendido entrex y a talque

.h.x/ � h.a//g 0.c/D .g.x/ � g.a//h 0.c/:

Comog.x/D h.x/D 0, obtenemos que:

.x � a/nC1f.nC1/.c/

n!.x � c/n D g.a/.nC 1/.x � c/n:

Simplificando, y teniendo en cuenta queg.a/Df .x/�Tn.f; a/.x/, se obtiene la igualdad delenunciado. 2

El númerof .nC1/.c/

.nC 1/!.x � a/nC1 (6.21)

Se llamaresto de Lagrange. Si somos capaces de probar una desigualdad de la forma

jf .nC1/.c/j.nC 1/!

jx � ajnC1 6 " (6.22)

Entonces podemos asegurar que el error cometido al aproximar f .x/ porTn.f; a/.x/ es menorque". Observa que el resto de Lagrange es tanto más pequeño cuantomás próximo estéx dea.En los ejercicios del teorema de Taylor, usualmente el puntoa debemos elegirlo nosotros y hayque hacerloprocurando que esté lo más próximo posible al puntox, donde nos piden calcularel valor de la función, y queel valor def y de sus derivadas ena pueda calcularse de formaexacta.

La dificultad para acotar el resto de Lagrange es que no se conoce exactamente el puntocsino solamente que está comprendido entre los puntosa y x. Por eso,para acotar el resto deLagrange hay que acotar la derivadaf .nC1/ en el intervalo de extremosa y x. Además, comose divide por.nC1/!, se puede sospechar que cuanto mayor sean menor será el error cometido.Esto es cierto en muchos casos pero no siempre, es algo que depende de lo rápidamente quecrezcan las derivadas def . En este tipo de cálculos no se sabe de entrada cómo hay que tomarn, lo que se trata es precisamente de elegirn de forma que se obtenga la acotación deseada.Pero para ello hay que empezar acotando en función den. Veamos la forma de proceder con unejemplo.

6.42 Ejemplo. Queremos calcular el númerop

2 con un error menor que10�9 por medio deun conveniente polinomio de Taylor.

Aquí la función esf .x/ D px D x12 , definida parax > 0. Debemos elegir un puntoa

próximo a2 en el que podamos calcular de forma exactaf .a/. Lo que se hace es calcularcuadrados próximos a dos. Como sabemos que

p2 es aproximadamente1; 4, podemos probar

con a D .1;4/2 D 1; 96. Efectivamente,a D 1;96 está muy próximo a2 y f .1;96/ D 1; 4 deforma exacta. Calculemos las derivadas def .

f .n/.x/D 1

2

�1

2� 1

��1

2� 2

��

1

2� nC 1

�x1=2�nD .�1/n�1 1 � 3 � 5 � � � .2.n� 1/ � 1/

2nx1=2�n

Observa que las derivadas también puede calcularse de formaexacta en1;96. El error deaproximación viene dado por el resto de Lagrange:ˇf .nC1/.c/

ˇ

.nC 1/!jx � ajnC1D Œx D 1;96; aD 2�D

ˇf .nC1/.c/

ˇ

.nC 1/!

�4

102

�nC1

D

D1 � 3 � 5 � � � .2n � 1/

.nC 1/! 2nC1

1

c1=2Cn

4

102nC2

D 1 � 3 � 5 � � � .2n� 1/

2 � 4 � � � .2n/.2nC 2/

1

c1=2Cn

4

102nC2<

1

2nC 2

1

c1=2Cn

4

102nC2

donde1;96 < c < 2. Deducimos queˇf .nC1/.c/

ˇ

.nC 1/!jx � ajnC1 <

1

2nC 2

1

.1;4/.1;96/n4

102nC2

Como el error permitido es"D 10�9, es suficiente elegirn por la condición de que

1

2nC 2

1

.1;4/.1;96/n4

102nC2< 10�9

Funciones convexas y funciones cóncavas 246

Para lo cual, claramente, basta tomarnD3. Por tanto, el valor pedido dep

2 esT3.f; 1;96/.2/.�

6.7. Funciones convexas y funciones cóncavas

6.43 Definición. Dados dos puntosD .a; b/ y ˇ D .c;d/ en el plano, el segmento que une˛

conˇ es el conjunto de puntos del plano:

Œ˛;ˇ �D ft˛C .1� t/ˇ W 0 6 t 6 1g D˚�

taC .1� t/c; tb C .1 � t/d�W 0 6 t 6 1

(6.23)

Observa que six < y son números reales, el segmento que unex con y es el intervalocerradoŒx;y�.

6.44 Definición. Sea f W I ! R una función definida en un intervaloI . Se dice quef esconvexaenI si para todo par de puntosx;y2I y para todot con0 6 t 6 1, se verifica que:

f .tx C .1� t/y/ 6 tf .x/C .1 � t/f .y/ (6.24)

Cuando la desigualdad anterior es estricta para0 < t < 1 se dice quef es estrictamenteconvexa. Se dice quef escóncavaenI cuando�f es convexa enI y estrictamente cóncavacuando�f es estrictamente convexa.

La interpretación geométrica de esta desigualdad es la siguiente. El segmento que une elpunto del plano.x; f .x// con el punto.y; f .y// es el conjunto

˚�tx C .1 � t/y; tf .x/C .1� t/f .y/

�W 0 6 t 6 1

La desigualdad (6.24) dice que la ordenada,tf .x/ C .1 � t/f .y/, de cada punto de dichosegmento es mayor o igual que el valor def en la abscisaf .txC .1� t/y/. Es decir, el punto�txC.1�t/y; tf .x/C.1�t/f .y/

�queda por encima del punto

�txC.1�t/y; f .txC.1�t/y/

�.

Dicho de otra forma: el segmento (la cuerda) que une dos puntos de la gráfica def quedasiempre por encima de la gráfica def .

x ytx C .1 � t/y

f .tx C .1 � t/y/

tf .x/ C .1 � t/f .y/

Figura 6.9. Función cóncava

x ytx C .1 � t/y

f .tx C .1 � t/y/

tf .x/ C .1 � t/f .y/

Figura 6.10. Función convexa

Naturalmente, para una función cóncava se verifica la desigualdad opuesta a (6.24) y, portanto, sif es cóncava el segmento (la cuerda) que une dos puntos de la gráfica def quedasiempre por debajo de la gráfica def .

Funciones convexas y funciones cóncavas 247

Las gráficas (6.10) y (6.9) muestran claramente estos comportamientos.

Ejemplos típicos de funciones convexas son las parábolas “hacia arriba” y la exponencial.Ejemplos típicos de funciones cóncavas son las parábolas “hacia abajo” y el logaritmo.

Para funciones derivables se tiene una útil caracterización de la convexidad.

6.45 Teorema(Condiciones suficientes de convexidad). Supongamos quef es continua enŒa; b� y derivable en�a; bŒ. Si la derivada def es creciente (resp. estrictamente creciente) en�a; bŒ entoncesf es convexa (resp. estrictamente convexa) enŒa; b�. En particular sif es dosveces derivable en�a; bŒ y se verifica quef 00.x/ > 0 (resp.f 00.x/ > 0) para todox 2�a; bŒ,entoncesf es convexa (resp. estrictamente convexa) enŒa; b�.

Demostración. Seanx;y 2 Œa; b� con x < y. Seat 2�0; 1Œ y pongamosz D tx C .1 � t/y.Hay que probar quef .z/6 tf .x/C .1� t/f .y/. Puesto quef .z/D tf .z/C .1� t/f .z/, estadesigualdad puede escribirse

tf .z/C .1� t/f .z/6 tf .x/C .1� t/f .y/ ” .1� t/�f .z/� f .x/

�6 t�f .y/� f .z/

�

Aplicando el TVM en los intervalosŒx; z� y Œz;y�, obtenemos puntosc 2�x; zŒ, d 2�z;yŒ talesque

f .z/ � f .x/D f 0.c/.z � x/; f .y/ � f .z/D f 0.d/.y � z/

Teniendo en cuenta quef 0 se supone creciente, por lo quef 0.c/ 6 f 0.d/, y la igualdad decomprobación inmediata.1� t/.z � x/D t.y � z/, se tiene que:

.1� t/�f .z/ � f .x/

�D .1� t/f 0.c/.z � x/6 tf 0.d/.y � z/D t

�f .y/ � f .z/

�

Que es la desigualdad que queríamos probar. 2

Interpretando la derivada primera como la velocidad y la derivada segunda como la acele-ración, las curvas convexas aceleran y las cóncavas frenan.

Observa que sif es una función convexa y derivable en un intervaloI , entonces la gráficade f queda siempre por encima de la recta tangente en cualquier punto, es decir, para todopar de puntosx; a2I se verifica quef .x/> f .a/C f 0.a/.x � a/. De hecho, para funcionesderivables, esta propiedad es equivalente a la convexidad (ver ejercicio138).

6.46 Definición. Se dice quea es unpunto de inflexión de una funciónf , si hay un númeror > 0 tal quef es cóncava en el intervalo�a� r; aŒ y f es convexa en el intervalo�a; aC r Œ (oal revés). Es decir, los puntos en los que una función pasa de cóncava a convexa o de convexaa cóncava se llaman puntos de inflexión.

El siguiente resultado se prueba fácilmente y queda como ejercicio.

6.47 Proposición.Sif tiene un punto de inflexión ena y es dos veces derivable ena, entoncesf 00.a/D 0.

Si f es tres veces derivable en un puntoa y se tiene quef 00.a/ D 0 pero f 000.a/ ¤ 0,entoncesf tiene un punto de inflexión ena.



Una de las aplicaciones más útiles de las derivadas es a los problemas de optimización.En dichos problemas se trata, por lo general, de calcular el máximo o el mínimo ab-solutos de una magnitud. Hay una gran variedad de problemas que responden a esteesquema y con frecuencia tienen contenido geométrico o económico o físico. Por ellocada uno de estos ejercicios requiere un estudio particular.

Los siguientes consejos pueden ser útiles:� Entiende bien el problema. Haz, si es posible, un dibujo o un esquema.� Elige las variables y la magnitud,Q, que tienes que optimizar.� Estudia las relaciones entre las variables para expresar lamagnitudQ como funciónde una sola de ellas,QD f .x/.� Las condiciones del problema deben permitir establecer el dominio def .� Estudia la variación del signo de la derivada def en su dominio para calcular máxi-mos y mínimos absolutos por aplicación de la proposición6.23.

202. Dado un puntoPD.a; b/ situado en el primer cuadrante del plano, determina el segmentocon extremos en los ejes coordenados y que pasa porP que tiene longitud mínima.

Observación.La solución de este ejercicio también resuelve el problema de calcular lalongitud de la escalera más larga que, llevada en posición horizontal, puede pasar por laesquina que forman dos corredores de anchuras respectivasa y b.

203. Demuestra que entre todos los rectángulos con un perímetro dado, el que tiene mayorárea es un cuadrado.

204. Determina el rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados, inscrito en la elipse

de ecuaciónx2

a2C y2

b2D 1, y que tenga área máxima.

Observación.Los dos ejercicios anteriores se han resuelto en el capítulo1 usando ladesigualdad de las medias. ¿Qué método te parece mejor?

205. Calcula el área máxima de un rectángulo que tiene dos vértices sobre una circunferenciay su base está sobre una cuerda dada de dicha circunferencia.

206. Encuentra un puntoP de la circunferenciax2 C y2 D 1 con coordenadas positivasy tal que el triángulo cuyos vértices son.0; 0/ y las intersecciones de la tangente a lacircunferencia enP con los ejes coordenados tenga área mínima.

207. Calcula un punto.u; v/ (u > 0; v > 0) de la elipse de ecuaciónx2

9C y2

4D 1 tal que

la tangente a la elipse en dicho punto determine con los ejes un segmento de longitudmínima.

208. Calcula el área de la elipse de mínima área circunscrita a un rectángulo dado. Recuerdaque el área de una elipse de semiejess, t es igual a�st .




209. La figura representa un espejo rectangular en el quese ha partido una esquina. Las dimensiones del es-pejo sonABD3, ACD5 y las de la esquina rota sonlas que se indican en la figura donde se supone quea es un valor conocido. Se pide calcular un puntoP sobre la línea de corte de forma que el espejo devérticesA;X;P;Y tenga área máxima. ¿Para quévalor dea se verifica que el espejo de mayor área esun cuadrado? A X B

2

a

PY

C

210. Se quiere construir una caja sin tapa con una lámina metálicarectangular cortando cua-drados iguales en cada esquina y doblando hacia arriba los bordes. Halla las dimensionesde la caja de mayor volumen que puede construirse de tal modo si los lados de la láminarectangular miden: a) 10 cm. y 10 cm. b) 12 cm. y 18 cm.

211. Calcula las dimensiones (radio y altura) de una lata cilíndrica de un litro de capacidadcuya superficie total sea mínima.

212. Calcula las dimensiones (radio y altura) de una lata cilíndrica de un litro de capacidadcuyo costo de producción sea mínimo. Se supone que no se desperdicia aluminio al cortarlos lados de la lata, pero las tapas de radior se cortan de cuadrados de lado2r por lo quese produce una pérdida de metal.

213. Se necesita construir un depósito de acero de 500 m3, de forma rectangular con basecuadrada y sin tapa. Tu trabajo, como ingeniero de producción, es hallar las dimensionesdel depósito para que su costo de producción sea mínimo.

214. Halla el volumen del cilindro circular recto más grande que puede inscribirse en unaesfera de radio (a > 0).

215. Halla el volumen del cilindro circular recto más grande que puede inscribirse en un conocircular recto de alturah y radior conocidos.

216. Halla el volumen del cono circular recto más grande que puedeinscribirse en una esferade radio (a > 0).

217. La resistencia de una viga de madera de sección rectangular es proporcional a su anchuray al cuadrado de su altura. Calcula las dimensiones de la vigamás resistente que puedecortarse de un tronco de madera de radior .

218. Calcula la distancia mínima del punto.6; 3/ a la parábola de ecuacióny D x2.

219. Una empresa tiene 100 casas para alquilar. Cuando la renta esde 80 libras al mes, todaslas casas están ocupadas. Por cada 4 libras de incremento de la renta una casa queda des-habitada. Cada casa alquilada supone a la empresa un coste de8 libras para reparacionesdiversas. ¿Cuál es la renta mensual que permite obtener mayor beneficio?

220. Una empresa produce semanalmente 300 bicicletas de montañaque vende íntegramenteal precio de 600 euros cada una. Tras un análisis de mercados observa que si varía elprecio, también varían sus ventas (de forma continua) segúnla siguiente proporción: porcada 7 euros que aumente o disminuya el precio de sus bicicletas, disminuye o aumentala venta en 3 unidades.




a) ¿Puede aumentar el precio y obtener mayores ingresos?

b) ¿A qué precio los ingresos serán máximos?

221. En la orilla de un río de 100 metros de ancho está situada una planta eléctrica y en laorilla opuesta, y a 500 metros río arriba, se está construyendo una fábrica. Sabiendo queel río es rectilíneo entre la planta y la fábrica, que el tendido de cables a lo largo de laorilla cuesta a 9 euros cada metro y que el tendido de cables sobre el agua cuesta a 15euros cada metro, ¿cuál es la longitud del tendido más económico posible entre la plantaeléctrica y la fábrica?.

222. Se proyecta un jardín en forma de sector circular de radioR y ángulo central� (medidoen radianes). El área del jardín ha de serA fija. ¿Qué valores deR y � hacen mínimo elperímetro del jardín?.

223. Se corta un alambre de longitudL formando un círculo con uno de los trozos y uncuadrado con el otro. Calcula por dónde se debe cortar para que la suma de las áreas delas dos figuras sea máxima o sea mínima.

224. Dados dos puntosA y B situados en el primer cuadrante del plano, calcula cuál es elcamino más corto para ir deA aB pasando por un punto del eje de abscisas.

225. Se desea construir una ventana con forma de rectángulo coronado de un semicírculo dediámetro igual a la base del rectángulo. Pondremos cristal blanco en la parte rectangulary cristal de color en el semicírculo. Sabiendo que el cristalcoloreado deja pasar la mitadde luz (por unidad de superficie) que el blanco, calcula las dimensiones de la ventana paraconseguir la máxima luminosidad si se ha de mantener un perímetro constante dado.

226. Se desea confeccionar una tienda de campaña cónica de un volumen determinado. Cal-cula sus dimensiones para que la cantidad de lona necesaria sea mínima.

227. En una lámina circular de radioR se recorta un sector circular de ángulo# y con él seconstruye un cono. Calcula el valor de# para que el volumen del cono así construido seamáximo.

228. Se desea construir un silo, con un volumenV determinado, que tenga la forma de un ci-lindro rematado por una semiesfera. El costo de construcción (por unidad de superficie)es doble para la semiesfera que para el cilindro (la base es gratis). Calcula las dimensio-nes óptimas para minimizar el costo de construcción.

229. Demuestra que de todos los triángulos isósceles que se pueden circunscribir a una cir-cunferencia de radior , el de área mínima es el equilátero de altura3r .

230. Se considera la elipsex2

a2C y2

b2D 1. Calcula el triángulo isósceles de área máxima

inscrito en dicha elipse, que tiene un vértice en el punto.0; b/ y base paralela al eje deabscisas.

231. Con una cuerda de longitudL, con un nudo corredizo en uno de sus extremos, rodeamosuna columna circular de radioR haciendo pasar el otro extremo por el nudo. Calcula lamáxima distancia posible del extremo libre al centro de la columna.



232. Estás en el desierto con tu vehículo situado en un punto cuyascoordenadas sonA D.0; 40/ y tienes que ir a otro puntoC D .28; 0/ (la unidad de medida es la milla terrestre).Del puntoA al origenO D .0; 0/ y de éste al puntoC hay una carretera asfaltada.Pero también, para ir deA a C , puedes hacer parte o todo el camino sobre la arena. Encarretera tu velocidad es de 75 millas por hora; y sobre la arena de 45 millas por hora.¿Qué camino debes seguir para llegar lo antes posible aC ?

233. Calcula las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un trián-gulo equilátero cuyo lado mide 2 centímetros. Se supone que el rectángulo se apoyasobre un lado del triángulo.

234. El principio de Fermat afirma que la luz viaja de un puntoA a otro puntoB siguiendola trayectoria en la que se invierte el menor tiempo posible.Supongamos que el ejede abscisas,y D 0, separa dos medios en los que la luz viaja a distinta velocidad (porejemplo, aire y agua). Seac la velocidad de la luz en el semiplano superiory > 0 y sea34c la velocidad correspondiente al semiplano inferiory < 0. Calcular el punto de dicho

eje por el que pasará el rayo que viaje desde el puntoAD .�4; 3/ al B D .3;�4/.

235.Calcula la posición del puntoP D .x; 0/ enla figura de la derecha, dondeA D .0; 1/ yB D .2C

p3; 2/, para que el ángulo� sea má-

ximo. ¿Cuál es dicho valor máximo de�? Jus-tifica con detalle lo que haces.

A

B

P

�

Uno de los resultados más útiles del cálculo diferencial sonlas Reglas de L’Hôpital quepermiten resolver las indeterminaciones en el cálculo de límites.

236. Calcula el límite en el puntoa que en cada caso se indica de las funciones siguientes:

f .x/D .senx C cosx/1=x; aD 0I f .x/D .1C tgx/1=x2

; aD 0

f .x/D .cotx/senx; aD 0I f .x/D

cos2 x C x2

2

!1=x2

; aD 0

f .x/D .1C senx/cotgx; aD 0I f .x/D log.senx/

.� � 2x/2; aD �=2

f .x/D x � arc tgx

sen3 x; aD 0I f .x/D .tgx/.arc tgx/ � x2

x6; aD 0

f .x/D ex � cosp

2 x � x

tg2 x; aD 0I f .x/D

�senx

x

�1=.1�cosx/

; aD 0

237. Justifica que para todor 2R y para todos > 0 se verifica que:

lKımx!C1

.logx/r

xsD 0; lKım

x!C1xr

esxD 0; lKım

x!0x > 0

xsj logxjr D 0:

238. Calcula el límite en el puntoa que en cada caso se indica de las funcionesf WRC ! R.

f .x/D x2 sen1=x

logx; aDC∞I f .x/D sen

p1C x � sen

px; aDC∞


f .x/D senx sen1

x; aD 0; aDC∞I f .x/D

�cos

�

x C 2

�x2

; aDC∞

239. Sea g W R ! R derivable enR y dos veces derivable en 0 siendo, además,g.0/ D 0.

Definamosf WR! R por f .x/D g.x/

xsi x¤0, f .0/Dg 0.0/. Estudia la derivabilidad

de f . ¿Esf 0 continua en 0?.

240. Seanf;gW� � 1;1Œ! R las funciones definidas por

f .x/D log.1C x/

x; f .0/D 1I g.x/D ef .x/

Calcula las derivadas primera y segunda def y g en0 y deduce el valor del límite

lKımx!0

.1C x/1=x � eCe

2x

x2

241. Seaf W�� 1=2;C1Œ! R dada porf .x/D .x C ex/1x parax¤ 0, y f .0/D e2. Estudia

la continuidad y derivabilidad def en cero.

242. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones.

1. f WRC ! R, dada porf .x/D x1=.x2�1/, y f .1/Dpe.

2. f W� � 1=2;C1Œ! R, dada porf .x/D .x C ex/1=x y f .0/D e2.

3. f W Œ0;C1Œ! R dada porf .x/D .1C x logx/1=x, y f .0/D 0.

4. f W� � �=2; �=2Œ! R dada porf .x/D�senx

x

�1=x2

y f .0/D e�1=6 :

5. f WR! R, dada porf .x/D�1C x2

�sen.1=x/; f .0/D 1:

6. f W� � �=2; �=2Œ! R dada porf .x/D�

2� 2 cosx

x2

�1=x

parax¤ 0 y f .0/D 1:

243. Calcula los límites

lKımx!0

�1

sen2 x� 1

x2

�lKım

x!1

�1

logx� 1

x � 1

�

lKımx!0

x e2xCx ex �2 e2xC2 ex

.ex �1/3lKım

x!C1

��2� arc tgx

� 1logx

lKımx!0

log�senx

x

�

.log.1C x//2lKım

x!0

�tgx

x

�1=x2

lKımx!0

x log.1C sen2x/arc tg.sen3 x/

.ex �1/.1 � cos2.tg2 x//lKım

x!0

arc tgx � senx

x.1 � cosx/

lKımx!0

arc tg.arc senx2/

.e2x �1/ log.1C 2x/lKım

x!0

�3 senx � 3 x cosx

x3

�1=x

Sugerencia.Pueden usarse las reglas de L’Hôpital pero es conveniente realizar previa-mente alguna transformación.




244. Explica si es correcto usar las reglas de L’Hôpital para calcular los límites:

lKımx!C1

x � senx

x C senxI lKım

x! 0

x2 sen.1=x/

senx:

El teorema de los ceros de Bolzano, junto con el teorema de Rolle, permiten determinaren muchas ocasiones el número de ceros reales de una función.

Se dice queuna función polinómicaP .x/ tiene un cero de ordenk > 1 en un puntoa,si el valor deP y el de sus derivadas hasta la de ordenk�1 ena es cero, y la derivada deordenk deP no se anula ena. Los ceros de orden1 se llamanceros simples. El TeoremaFundamental del Álgebra dice que una función polinómica de gradon (en general, concoeficientes complejos) tienen raíces reales o complejascontando cada raíz tantas vecescomo indica su orden. Recuerda también que las raíces complejas de un polinomio concoeficientes reales vienen por pares de raíces complejas conjugadas.

245. Prueba que una función polinómica de gradon coincide con su polinomio de Taylor deordenn centrado en un punto cualquieraa.

246. Prueba que una función polinómicaP tiene un cero de ordenk ena si, y sólo si, puedeescribirse de la formaP .x/ D .x � a/kQ.x/, dondeQ.x/ es una función polinómicaque no se anula ena.

247. Calcula el número de ceros y la imagen de la funciónf WR! R , f .x/Dx6�3x2C2.

248. Calcula el número de soluciones de la ecuación3 logx � x D 0.

249. Estudia el número de soluciones reales de la ecuación3x5 C 5x3 � 30x D ˛ según losvalores de .

250. Determina el número de soluciones reales de la ecuación2x3 � 3x2 � 12x Dm segúnel valor dem.

251. Justifica que la ecuaciónx2D x senxC cosx tiene exactamente dos soluciones reales.

252. Seaf una función polinómica que tiene un máximo relativo en.�3; 5/, un mínimorelativo en.1; 1/ y un máximo relativo en.4; 7/ y no tiene más puntos críticos. ¿Cuántosceros reales tienef ?

253. Prueba por medio del teorema de Rolle que la ecuación5x4 � 4x C 1D 0 tiene algunasolución enŒ0; 1�.

254. Estudia el número de ceros reales de la funciónf .x/D 2x � 1 � x2.

255. Prueba que entre cada dos soluciones reales de la ecuación ex senx D 1 hay al menosuna solución real de la ecuación ex cosx D�1.

256. Seana0; a1; : : : ; an números reales. Prueba que para algúnx 2 Œ0; 1� se verifica quenX

kD0

akxk DnX

kD0

ak

k C 1.



257. Seaf una función polinómica y seaa < b. Justifica que,contando cada cero tantasveces como su orden, si f .a/f .b/ < 0 el número de ceros def en �a; bŒ es impar; ysi f .a/f .b/ > 0 dicho número (caso de que haya algún cero) es par. Deduce que sif tiene gradon, es condición necesaria y suficiente para quef tengan raíces realesdistintas que su derivada tengan � 1 raíces reales distintasc1 < c2 < � � � < cn�1 yque para < c1 suficientemente pequeño y paraˇ > cn�1 suficientemente grande, lossignos de los númerosf .˛/; f .c1/; f .c2/; : : : ; f .cn�1/; f .ˇ/ vayan alternando.

258. Determina para qué valores de˛ la función polinómica3x4 � 8x3 � 6x2 C 24x C ˛tiene cuatro raíces reales distintas.

259. Dadon2N, seaf .x/D .x2� 1/n .x2R/. Prueba que la derivadak-ésima (1 6 k 6 n)def tiene exactamentek raíces reales distintas en el intervalo� � 1; 1Œ.

260. Dadon2N, seafn.x/D 1� x C x2

2� x3

3C � � � C .�1/n

xn

n. Prueba que sin es impar

la ecuaciónfn.x/D 0 tiene una única solución y ninguna sin es par.

El teorema del valor medio permite acotar el incremento de una función por el incre-mento de la variable y una cota de la derivada. Esto da lugar a muchas desigualdadesinteresantes. Por otra parte, algunas de las desigualdadesmás útiles son consecuenciade la convexidad. Los siguientes ejercicios tratan de ello.

261. Sean0 < x < y. Prueba que:

a)y � x

1C y2< arc tgy � arc tgx <

y � x

1C x2.

b)y � x

y< logy � logx <

y � x

x.

262. Seann 2 N, n > 2 y 0 < a < b. Prueba que

nan�1.b � a/ < bn � an < nbn�1.b � a/

Aplicación. HaciendoaD1C 1

nC 1; b D1C 1

n, primero en la desigualdad de la dere-

cha y después en la desigualdad de la izquierda, deduce que:�

1C 1

n

�n

<

�1C 1

nC 1

�nC1

;

�1C 1

nC 1

�nC2

<

�1C 1

n

�nC1

263. Prueba que para todox > �1 se verifica que

x

x C 16 log.1C x/

¿Cuándo se da la igualdad en la desigualdad anterior?

264. Supuesto quea > 0, demuestra que�a e logx 6 x�a para todox > 0.

265. Dado˛ 2�0; 1Œ, prueba quex˛ < ˛x C 1� ˛ para todox2RC n f1g.Deduce que, dadosp > 0 y q > 0 tales que1=p C 1=q D 1, entonces para todosa > 0

y b > 0 se verifica queab 6ap

pC bq

q. ¿Cuándo se da la igualdad?

266. Sean0 < a < b. Prueba que sib 6e entoncesab< ba, y si e6a entoncesba< ab. ¿Quépuede decirse sia < e< b?.

Sugerencia. Considera la funciónx 7! logx

x.

267. ¿Hay algún númeroa > 0 que verifique queax=a >x para todox2RC? ¿Cuál es dichonúmero?

268. Prueba que para todox 2�0; �=2Œ se verifica que

i/ 1� x2

2< cosx I i i/

2x

�< senx < x < tgx

269. Dadosa; b2RC cona¤ b, prueba que para todox2R se verifica la desigualdad:�

aC x

b C x

�bCx

>a

b:

270. Desigualdad de Jensen. Seaf W I ! R una función convexa en el intervaloI , y sean2N, n > 2. Dados númerosk > 0, xk 2I tales que

PnkD1 ˛k D 1, prueba que:

f

nX

kD1

˛kxk

!6

nX

kD1

˛kf .xk/:

Además, sif es estrictamente convexa, la desigualdad anterior es estricta siempre queal menos dos de los puntosxk sean distintos.

Sugerencia. Es suficiente considerar el casonD 2 y proceder por inducción.

271. Seanxk , ˛k , donde1 6 k 6 n, números positivos verificando quePn

kD1 ˛kD 1. Usandola convexidad de la funciónx 7! � logx demuestra la desigualdad:

x˛1

1x

˛2

2� � � x˛n

n 6nX

kD1

˛kxk

¿Cuándo se da la igualdad?

272. Seanp; q números reales positivos tales que1=p C 1=q D 1.

a) Prueba queab 6ap

pC bq

qy la igualdad ocurre si, y sólo si,ap D bq .

b) Dadoz D .z1; z2; : : : ; zn/ 2 Rn y s > 0, definamoskzks D

nX

iD1

jzi js!1=s

. Prueba

que para todox D .x1;x2; : : : ;xn/ y todo y D .y1;y2; : : : ;yn/ en Rn se verifica ladesigualdad de Hölder:

nX

iD1

jxiyi j6 kxkp kykq :


Sugerencias.El punto a) puede hacerse como consecuencia del ejercicio anterior. Para

b) hágaseaD jxijkxkp

; b D jyi jkykq

en la desigualdad del punto a).


273. Seaf es una función derivable en un intervaloI . Prueba quef es convexa enI si, ysólo si, la gráfica def queda siempre por encima de la recta tangente en cualquier punto,es decir, para todo par de puntosx; a2I se verifica quef .x/> f .a/C f 0.a/.x � a/.

Los teoremas de Taylor–Young y de Taylor se usan para obteneraproximaciones polino-miales de una función dada y para calcular valores aproximados con precisión prefijada.

274. Calcula una función polinómica' tal que lKımx! 0

3p

1C x � '.x/x5

D 0.

275. Calcula una función polinómica' tal que lKımx! 0

log arc tg.x C 1/ � '.x/x2

D 0:

276. Prueba que las únicas funcionesn veces derivables con derivada de ordenn constanteson las funciones polinómicas de grado menor o igual quen.

277. Prueba que el polinomio de Taylor de ordenn de una funciónf es el único polinomioP .x/ de grado menor o igual quen que verifica quef .x/D P .x/C o.x � a/n.

278. Seaf W� � �=2; �=2Œ! R la función dada parax 2� � �=2; �=2Œ, x ¤ 0, por:

f .x/D log.1C senx/� senx

sen2 x;

y f .0/D�1=2. Calcula el polinomio de Taylor de orden 3 def en0.

279. Seaf W� � 1;C1Œ! R la función dada parax ¤ 0 por:

f .x/D arc tg.log.1C x//

log.1C x/;

y f .0/D 1. Calcula el polinomio de Taylor de orden 3 def en0.

280. Calcula, usando un desarrollo de Taylor conveniente, un valor aproximado del númeroreal˛ con un error menor de10�3 en cada uno de los casos siguientes:

a/ ˛ D 3p

7 b/ ˛ Dp

e c/ ˛ D sen1

2d/ ˛ D sen.61ı/

Una de las aplicaciones más comunes de las derivadas es el trazado de gráficas. Paratrazar la gráfica de una funciónf se debe tener en cuenta:1. Propiedades de simetría o de periodicidad def .2. Los puntos en que se anula la primera o la segunda derivada def y los puntos en losquef no es derivable.3. Los intervalos en quef 0 tiene signo constante. Lo que nos informa del crecimientoy decrecimiento def y también de la naturaleza de los puntos singulares (máximosymínimos locales).4. Los intervalos en que la derivada segunda tiene signo constante. Lo que nos informade la convexidad y concavidad, así como de los puntos de inflexión.5. Hallar las asíntotas.Asíntota vertical. La recta x D c es una asíntota vertical de la gráfica def si alguno




de los límites laterales def en c es infinito.Asíntota horizontal. La recta y D L es una asíntota horizontal de la gráfica def si ftiene límite enC1 o en�1 igual a L.Asíntota oblicua. Sif es una función racional con el grado del numerador una unidadmayor que el grado del denominador, entonces puede escribirse de la forma

f .x/Dmx C b C g.x/

donde lKımx!C1

g.x/D 0. En tal caso la rectay Dmx C b es una asíntota oblicua de la

gráfica def .6. Dibujar máximos, mínimos, puntos de inflexión, cortes con los ejes y cortes con lasasíntotas.

281. Dibuja las gráficas de las funciones siguientes:

a)f .x/D 3x5 � 5x3 C 2 b) f .x/D x2 C 1

x2 � 1

c) f .x/D x2 � 2x C 2

x � 1d) f .x/D jxj2x

e)f .x/D 3p

x2.x � 2/2 f) f .x/D x4 � 4x3 C 10

g) f .x/D x2=3

.x � 6/2=3h) f .x/D 2x2 log jxj � 5x2; f .0/D 0

i) f .x/D x2 � x � 2

x � 3j) f .x/D 2x2 � 3x C 5

.x C 1/.x � 2/k) f .x/D log.2C senx/

282.La figura de la derecha muestra la gráfica de unafunción f dos veces derivable. Estudia el signo dela primera y la segunda derivada def en cada unode los puntos indicados.Si suponemos que un móvil se mueve a lo largo deuna línea recta y que la gráfica muestra su distan-cia al origen en el tiempot . Indica, a la vista de lagráfica y de forma aproximada:

A

B

C

DE

F G

a) Cuándo se está alejando o acercando al origen.b) Cuándo está acelerando y cuándo está frenando.

283.

La figura de la derecha muestrala gráfica de una función y de suderivada. Debes identificar cadauna de ellas y explicar las rela-ciones entre ambas gráficas.




284.

La figura de la derecha muestrala gráfica de una función y desus dos primeras derivadas. De-bes identificar cada una de ellasy explicar las relaciones entre di-chas gráficas.

285. Traza la gráfica de una funciónf dos veces derivable enR, sabiendo que:

a) La gráfica def pasa por los puntos.�2; 2/; .�1; 1/; .0; 0/; .1; 1/; .2; 2/.

b) f 0 es positiva en los intervalos��1;�2Œ y �0; 2Œ, y es negativa en�� 2; 0Œ y �2;C1Œ.c) f 00 es negativa en los intervalos� � 1;�1Œ y �1;C1Œ, y es positiva en el intervalo� � 1; 1Œ.

286. a) ¿Es cierto que los puntos donde se anula la derivada segunda son puntos de inflexión?

b) ¿Qué puedes decir de los puntos de inflexión de una función polinómica de grado 2 o3?

Justifica tus respuestas.

287. ¿Es cierto que la gráfica de toda función polinómica de grado par tiene tangente horizon-tal en algún punto? ¿Y si el grado es impar? Justifica tus respuestas.

Consideraremos ahora el problema de hallar el máximo o mínimo absolutos de unafunción continuaf en un intervalo cerradoŒa; b�. Para ello puede seguirse el siguienteprocedimiento:

Paso 1. Hallar todos los puntosx de Œa; b� que o bien son puntos singulares def o sonpuntos en los quef no es derivable.Paso 2. Calcular el valor def en cada uno de los puntos obtenidos en el Paso 1 ytambién ena y enb.Paso 3. Comparar los valores obtenidos en el Paso 2. El mayor de todos ello será elmáximo absoluto def en Œa; b� y el menor será el mínimo absoluto def en Œa; b�.

288. Calcula los valores máximo y mínimo de las siguientes funciones en los intervalos quese indican:

1. f .x/D x3 � x2 � 8x C 1 en el intervaloŒ�2; 2�.

2. f .x/D x C 1

x2 C 1en el intervaloŒ�1; 2�.

3. f .x/D 1

2.sen2 x C cosx/C 2 senx � x en el intervaloŒ0; �=2�.

4. f .x/D 3p

x2.5� 2x/ en el intervaloŒ�1; 2�.




5. f .x/D�x3 C 12x C 5 en el intervaloŒ�3; 3�.

289. Para cada número realt seaf .x/D�13x3C t2x. Calcula, para cada valor det 2 Œ�1; 1�,

el mínimo valor def .x/ en el intervaloŒ0; 1�.

Cuando una función no está definida en un intervalo cerrado hay que estudiar el signode la derivada si queremos calcular máximos o mínimos absolutos cuya existencia habráque justificar.

290. Definamosf .x/ D 5x2 C ˛x�5, donde˛ > 0 es una constante. Calcula el valor máspequeño de tal quef .x/> 21 para todox > 0.

291. Calcula el mínimo valor denX

kD1

.x�ak/2 dondea1; a2; � � � an son números reales dados.

292. Calcula la imagen def WRC ! R dada porf .x/D x1x .

293. Seaf WR! R la función definida porf .x/D e�1=x2

parax¤ 0, y f .0/D 0. Estudiala continuidad y derivabilidad def y calcula su imagen.

294. Dadoa¤ 0, definamos, parax ¤ 1=a, la función:

f .x/D arctanaC arctanx � arctanaC x

1 � ax:

Calcula la imagen def .

Acabamos esta larga relación con algunos ejercicios que me ha parecido que no enca-jaban propiamente en ninguno de los apartados anteriores.

295. Supongamos quef es una función derivable ena conf .a/¤ 0. Calcula el límite:

lKımx!0

�f .aC x/

f .a/

�1x

:

296. Seaf dos veces derivable ena. Calcula el límite:

lKımh!0

f .aC h/C f .a � h/ � 2f .a/

h2:

297. Seaf W Œa; b�! R derivable yf 0 creciente. Prueba que la funcióngW�a; b� ! R dadapara todox 2�a; b� por

g.x/D f .x/ � f .a/x � a

es creciente.

298. Seaf W Œ0; 1�! R una función derivable verificando quef .0/D0 y quejf 0.x/j6jf .x/jpara todox 2 Œ0; 1�. Prueba quef .x/D 0 para todox 2 Œ0; 1�.



299. Seaf W Œa; b�! R continua enŒa; b� y derivable dos veces en�a; bŒ. Supongamos queel segmento de extremos.a; f .a//; .b; f .b// corta a la gráfica def en un punto.c; f .c// con a < c < b:Demuestra que existe algún puntod 2�a; bŒ tal quef 00.d/D 0:

Sugerencia. Interpreta gráficamente el enunciado.

300. Justifica que existe una funcióng WR! R derivable y que verifica queg.x/C eg.x/Dx

para todox2R. Calculag 0.1/ y g 0.1C e/.

301. Seaf WR! R dada porf .x/D x3 � 3x2 C 3x C 17. Prueba quef es una biyeccióny estudia la derivabilidad def �1.

302. Justifica que hay una función derivable' WR! R tal que para todox 2R verifica que.'.x//5 C '.x/C x D 0.

303. Seaf una función derivable que no se anula en ningún punto. Justifica que la funciónh.x/D log jf .x/j es derivable y calcula su derivada.

304. Seaf W R ! R verificando quef .x C y/ D f .x/f .y/ para todosx;y 2R; f .0/¤ 0

y f es derivable en 0. Justifica quef es derivable en todo punto y hay un número real˛

tal quef .x/D e˛x para todox2R.

305. Seaf W R! R una función dos veces derivable y tal que para todox2R se verifica laigualdadf 00.x/C f .x/D 0. Prueba que existen números˛; ˇ 2R, únicos, de maneraquef .x/D ˛ senx C ˇ cosx para todox2R.

Sugerencia. Defineh.x/D ˛ senx C ˇ cosx y considera la función

g.x/D .f .x/ � h.x//2 C .f 0.x/� h 0.x//2:

Calculag 0.x/.

306. Prueba la llamada “fórmula de Machin”:

�

4D 4 arctan

1

5� arctan

1

239:

Sugerencia. SeaAD arctan1=5; B D 4A � �=4. Calcula tanB.

Utiliza la fórmula de Machin para calcular� con cinco cifras decimales exactas.

307. Seaf una función polinómica de gradon tal quef .k/.a/>0 para16k 6n y f .a/ > 0.Justifica que sif .c/D 0, entoncesc < a:

308. Seaf derivable enŒa; b� conf 0.a/D f 0.b/D 0. Prueba que hay algúnz2�a; bŒ tal que

f 0.z/D f .z/ � f .a/z � a

:

Sugerencia. Seag.x/D f .x/� f .a/x � a

paraa < x 6 b. Define convenientementeg.a/ y

comparag 0.b/ cong.b/ � g.a/

b � a.

Ejercicio resuelto 95 Dado un puntoP D .a; b/ situado en el primer cuadrante del plano,determinar el segmento con extremos en los ejes coordenadosy que pasa porP que tienelongitud mínima.

Solución.

En un ejercicio como estelo primero que hayque hacer es elegir la variableen función de lacual vamos a calcular la longitud del segmen-to AB. Tomando como variable', es decir, lamedida en radianes del ángulo indicado en lafigura, la longitud del segmentoAB viene dadapor

f .'/D b

sen'C a

cos'.0 < ' < �=2/

Debemos calcular el mínimo absoluto def . Te-nemos que:

P D .a; b/

a

b

A D .a C x; 0/

B D .0; b C y/

'

'

f 0.'/D �b cos'

sen2 'C a sen'

cos2 '

Se obtiene enseguida quef 0.'/ se anula en unúnicopunto'0 2�0; �=2Œ que viene dadopor la condición tg.'0/ D 3

pb=a. Se justifica fácilmente quef tiene en'0 un mínimo

absoluto.

En efecto, comof 0 es continua y no se anula en los intervalos�0; '0Œ y �'0; �=2Œ, debetener signo constante en ellos. Como lKım

x!0f 0.'/D�1, y lKım

x!�=2f 0.'/DC1 se sigue

que:' 2�0; '0Œ÷f 0.'/ < 0; ' 2�'0; �=2Œ÷f 0.'/ > 0

por tanto,f es estrictamente decreciente en�0; '0� y estrictamente creciente enŒ'0; �=2Œ,lo que implica quef .'0/6 f .'/ para todo'2�0; �=2Œ.Para calcular la longitud mínimaf .'0/, basta tener en cuenta que:

1C tg2.'0/D1

cos2.'0/D 1C 3

s�b

a

�2

÷a

cos.'0/D a2=3

�a2=3 C b2=3

�1=2

Fácilmente se obtiene ahora queb

sen.'0/D b2=3

�a2=3C b2=3

�1=2con lo que la longitud

mínima buscada viene dada por:

f .'0/D�a2=3 C b2=3

�3=2

Otra forma de calcular la longitud del segmentoAB consiste en considerar la ecuacióngeneral de las rectas que pasan por el puntoP D .a; b/. Dicha ecuación general es de la

formayD�.x� a/C b, donde� es un parámetro. Las intersecciones de dicha recta conlos ejes son los puntosAD .a � b=�; 0/ y B D .0;�a�C b/. Por tanto, la longitud delsegmentoAB viene dada por:

g.�/D

s�a � b

�

�2

C .b � a�/2 .� < 0/

Otra forma de calcular la longitud del segmentoAB consiste en introducir las variablesx e y tales queAD .aC x; 0/, B D .0; b C y/, como se indica en la figura. La longi-tud del segmentoAB viene dada porH.x;y/D

p.aC x/2 C .b C y/2. Esta función,

aparentemente, depende de dos variables, pero dichas variablesno son independientes,pues los puntosA, P y B están alineados. Por semejanza de triángulos se obtiene quex=bDa=y, por lo queyD.ab/=x. En consecuencia, la longitud del segmentoAB vienedada por:h.x/D

p.aC x/2 C .b C .ab/=x/2 .x > 0/.

Tanto si se usa la funcióng como lah, debemos obtener un mínimo absoluto y, comoson raíces cuadradas, es suficiente que calculemos el mínimoabsoluto de la funciónradicando (las raíces respetan el orden enRC

o ). Es decir, las funcionesg y h alcanzan sumínimo absoluto en el mismo punto en que lo alcanzan las funciones:

G.�/D�

a � b

�

�2

C.b�a�/2 .� < 0/I H.x/D.aCx/2C�

b C ab

x

�2

.x > 0/

Comprueba que, de cualquier forma que lo hagas, vuelves a obtener la solución anterior.

Comentario. Una forma equivalente de enunciar este ejercicio es la siguiente: Calculala longitud de la escalera más larga que llevada en posición horizontal puede pasar por laesquina que forman dos corredores de anchuras respectivasa y b.

Es evidente que la longitud de la escalera tiene que sermenor o igualque la longitud decualquiersegmentoAB como el de la figura. Por tanto, la longitud de la escaleramáslarga que puede pasar es igual a lalongitud mínimadel segmentoAB. ©

Ejercicio resuelto 96 Determina el rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados,

inscrito en la elipse de ecuaciónx2

a2C y2

b2D 1, y que tenga área máxima.

Solución.

Por razones de simetría, es suficiente determi-nar el vértice del rectángulo situado en el pri-mer cuadrante. Si las coordenadas de dicho vér-tice son.x;y/, entonces el área del rectánguloserá igual a4xy. Como el vértice debe estar enla elipse, sus coordenadasx e y deberán satis-

facer la igualdadx2

a2C y2

b2D 1.

.x; y/

a

b

Deducimos queyD b

s

1 � x2

a2. Por tanto, se trata de calcular el máximo absoluto de la

función f .x/D x b

s

1 � x2

a2, donde0 6 x 6 a.

Como se trata de una función positiva, para calcular el valoren que alcanza su máximopodemos elevarla al cuadrado. En definitiva, nuestro problema es calcular el máximo

absoluto de la funciónh.x/D x2

1 � x2

a2

!en el intervaloŒ0; a�. Tenemos que

h 0.x/D 2x

1 � x2

a2

!C x2�2x

a2D 2x � 4x3

a2:

Los puntos críticos deh sonx D 0 que corresponde a un mínimo yx D ap2

que corres-

ponde a un máximo absoluto (justificación: la funciónh.x/ se anula en los extremos delintervalo Œ0; a� y es positiva en�0; aŒ por lo que su máximo absoluto enŒ0; a� tiene quealcanzarse en un punto del intervalo abierto�0; aŒ en el cual debe anularse su derivada.Pero el único punto que cumple estas condiciones esa=

p2).

El rectángulo pedido es el que tiene de vértices

�˙ ap

2;˙ bp

2

�, y su área vale2ab. ©

Ejercicio resuelto 97 Calcula el área máxima de un rectángulo que tiene dos vértices sobreuna circunferencia y su base está sobre una cuerda dada de dicha circunferencia.

Solución.

Sea � el radio de la circunferencia yBA

la cuerda. PongamosA D .� cos˛; � sen /

que es un dato conocido. Observa que��=2 < ˛ 6 0. Hay que calcular un puntoP D .� cosˇ; � sen / por la condición deque el rectángulo de la figura tenga máximaárea. La altura,h, del rectángulo viene dadapor hD �.sen � sen /, y la base,b, porb D 2� cosˇ. Observa que la longitud dela base del rectángulo no puede ser mayorque la longitud de la cuerdaBA, lo queimplica que cos 6 cos˛ D cos.�˛/. Comoel coseno es decreciente en el intervaloŒ0; �=2�,

˛

ˇ

P

O

AB

�

deberá ser > �˛. Debemos calcular el máximo absoluto de2�2 cosˇ.sen � sen /

donde�˛ 6 ˇ 6 �=2.Pongamos, por comodidad,ˇD x y prescindamos del factor2�2.Sea

f .x/D cosx.senx � sen / � ˛ 6 x 6 �=2 .donde� �=2 < ˛ 6 0/

Tenemos quef 0.x/D� senx.senx � sen /C cos2 xD�2 sen2 xC sen senxC 1.Haciendot D senx tenemos quef 0.x/D 0 equivale a que�2t2C t sen C 1D 0. Estaecuación tiene dos raíces reales que vienen dadas por

t0 Dsen �

psen2 ˛ C 8

4; t1 D

sen Cp

sen2 ˛ C 8

4

Además, como ˇˇˇsen ˙

psen2 ˛ C 8

4

ˇˇˇ <

1Cp

9

4D 1

Tenemos que�1 < t0 < 0 < t1 < 1. Por tanto, la derivadaf 0 se anula en dos únicospuntos que vienen dados por:

ˇ0 D arc sen

sen �

psen2 ˛ C 8

4

!; ˇ1 D arc sen

sen C

psen2 ˛ C 8

4

!

Tenemos que��=2 < ˇ0 < 0 < ˇ1 < �=2. Como�2t2 C t sen C 1 es una parábolahacia abajo, toma valores positivos entre sus dos raíces, esdecir�2t2C t sen C 1 > 0

parat0 < t < t1. Lo que implica quef 0.x/ > 0 paraˇ0 < x < ˇ1.

Comof 0.�=2/D sen � 1 < 0 yf 0 no se anula en�ˇ1; �=2�, concluimos quef 0 debeser negativa en dicho intervalo y, por tantof es estrictamente decreciente enŒˇ1; �=2�.

A la vista de los resultados anteriores, debemos distinguirdos casos:

a)�˛ 6 ˇ1. En este caso,f es creciente enŒ�˛; ˇ1� y decreciente enŒˇ1; �=2�, por loque el máximo absoluto def en Œ�˛; �=2� se alcanza en1.

b) ˇ1 < �˛. En este caso,f es estrictamente decreciente enŒ�˛; �=2� por lo que elmáximo absoluto def en Œ�˛; �=2� se alcanza en�˛.

Finalmente, se comprueba con facilidad que la desigualdad0 6 �˛ 6 ˇ1, equivale a0 6 � sen 6 1=

p3, esto es,� arc sen.1=

p3/6 ˛ 6 0.

Observa que si D 0, entonces D arc sen.p

2=2/ D �=4, es decir, en este caso elrectángulo es la mitad del cuadrado inscrito en la circunferencia. ©

Ejercicio resuelto 98 Encuentra un puntoP de la circunferenciax2 C y2 D 1 con coorde-nadas positivas y tal que el triángulo cuyos vértices son.0; 0/ y las intersecciones de latangente a la circunferencia enP con los ejes coordenados tenga área mínima.

Solución.

Sean.s; t/ las coordenadas deP . La ecuación de la rec-ta tangente a la circunferenciax2 C y2 D 1 en P esxs C yt D 1, cuyos cortes con los ejes son los puntosAD .0; 1=t/, BD .1=s; 0/. Por tanto el área del triángu-lo AOB es igual a

1

2

1

s tD 1

2

1

sp

1 � s2

P D .s; t/

s

t

O

Para calcular su valor mínimo, como se trata de una función positiva, podemos elevarlaal cuadrado para simplificar los cálculos. En definitiva, nuestro problema se reduce a

calcular el mínimo de la funciónf .s/D 1

s2.1� s2/en el intervalo�0; 1Œ.

Derivando tenemosf 0.s/ D 22s2 � 1

s3.1 � s2/2. Por tanto el único cero de la derivada en el

intervalo �0; 1Œ es s D 1=p

2. Como para0 < s < 1=p

2 se tiene quef 0.s/ < 0, y

para1=p

2 < s < 1 esf 0.s/ > 0, deducimos que en el punto1=p

2 hay un mínimoabsoluto def . El puntoPD.1=

p2; 1=p

2/ es, por tanto, el que proporciona el triángulode mínima área. ©

Ejercicio resuelto 99 Se quiere construir una caja sin tapa con una lámina metálicarectan-gular cortando cuadrados iguales en cada esquina y doblandohacia arriba los bordes.Halla las dimensiones de la caja de mayor volumen que puede construirse de tal modo silos lados de la lámina rectangular miden: a) 10 cm. y 10 cm. b) 12 cm. y 18 cm.

Solución.

Seana y b las longitudes de los lados de la láminay x la longitud del lado del cuadrado que se cortaráen cada esquina. Supongamos quea6b. El volumende la caja resultante esf .x/D .a� 2x/.b � 2x/x.Se trata de calcular el máximo absoluto de la fun-ción f en el intervaloŒ0; a=2�. Derivando resultaf 0.x/D 12x2 � 4.aC b/x C ab. Los ceros de laderivada son

a � 2x

b � 2x

x

˛ D 1

6

�aC b �

pa2 C b2 � ab

�; ˇ D 1

6

�aC b C

pa2 C b2 � ab

�

Fíjate que:

a2 C b2 � ab > a2 C b2 � 2ab D .b � a/2 > 0 ÷p

a2 C b2 � ab > b � a:

Deducimos que las raíces def 0 sonreales. Veamos si dichas raíces están en el intervaloŒ0; a=2�. Tenemos que:

˛ D 1

6

�aC b �

pa2 C b2 � ab

�<

1

6.aC b � .b � a//D a

3

También:

a2Cb2�ab < a2Cb2C2abD.aCb/2 ÷p

a2 C b2 � ab < aCb ÷ ˛ > 0:

Por tanto0 < ˛ < a=3 y ˛ 2�0; a=2Œ. Comprobemos que > a=2.

1

6

�aC b C

pa2 C b2 � ab

�>

a

2”

pa2 C b2 � ab > 2a � b

Si 2a�b60, está desigualdad es trivialmente cierta. Supongamos que2a�b > 0. En talcaso, elevando al cuadrado ambos lados, la desigualdad anterior equivale a la siguiente:

a2 C b2 � ab > 4a2 � 4ab C b2 ” 3a.b � a/> 0

Lo cual es cierto porque se ha supuesto quea 6 b, luegoˇ 62�0; a=2Œ.Por el teorema de Weierstrass, sabemos quef alcanza un máximo absoluto en algúnpuntox0 2 Œ0; a=2�. Comof .0/D f .a=2/D 0 y f .x/ > 0 para0 < x < a=2, debe serx0 2�0; �=2Œ. En consecuencia,x0 también es un extremo relativo def en Œ0; �=2� porlo que la derivada def debe anularse enx0. Pero el único punto del intervaloŒ0; a=2� enel que se anula la derivada def es˛. Concluimos así quex0 D ˛.

Con unos sencillos cálculos se obtiene

f .˛/D 1

54.�2a3 C 3a2b C 3ab2 � 2b3 C 2.a2 � ab C b2/3=2/

Comentario. Otra forma de razonar este ejercicio, algo más indirecta pero con la que teahorras trabajo, es como sigue.

Comof .0/ D f .a=2/ D 0, podemos aplicar el teorema de Rolle, para obtener que laderivada def tiene que anularse en algún punto de�0; a=2Œ. Además,f tiene que alcan-zar en un puntox0 deŒ0; a=2� un máximo absoluto y como, evidentemente,x0 2�0; a=2Œ,deducimos quef 0 debe anularse enx0. Luego o bien esx0D˛ o esx0Dˇ. El criterio dela derivada segunda nos permite salir de dudas. Tenemos quef 00.x/D�4.aC b � 6x/.Con ello,

f 00.˛/D�4.aC b� 6˛/D�4p

a2 C b2 � ab; f 00.ˇ/D�4.aC b� 6ˇ/D 4p

a2 C b2 � ab

Por tanto,f 00.˛/ < 0 y f 00.ˇ/ > 0. Deducimos así que el puntoestá en el intervalo�0; a=2Œ y en él la funciónf alcanza su máximo absoluto enŒ0; a=2�.

Alternativamente, puedes estudiar el signo de la primera derivada. Escribiendof 0.x/D12.x�˛/.x�ˇ/, se sigue quef 0.x/ < 0 si x 2�˛; ˇŒ y f 0.x/ > 0 si x < ˛ o six > ˇ.Deducimos quef es creciente en el intervalo��1; ˛�, decreciente en el intervaloŒ˛; ˇ�y creciente enŒˇ;C1Œ. Luego en hay un máximo relativo. Ahora hay que justificarque˛ está enŒ0; a=2� y que es el punto dondef alcanza su máximo absoluto en dichointervalo. ©

Ejercicio resuelto 100 Calcular las dimensiones (radio y altura) de una lata cilíndrica de unlitro de capacidad cuya superficie total sea mínima.

Solución. Sear el radio y h la altura medidos en decímetros. Como el volumen es

1 dcm3, tenemos que�r2h D 1, de dondeh D 1

�r2. La superficie total de la lata es

f .r/D2�r2C2�rhD2�r2C 2

r. Se trata, por tanto, de calcular el máximo absoluto de

f .r/ cuandor > 0. Derivando,f 0.r/D 4�r � 2

r2D 2

2�r3 � 1

r2. Deducimos que la de-

rivada tiene un único cero real˛ D 13p

2�. Como para0 < r < ˛ esf 0.r/ < 0, se sigue

quef es decreciente en el intervalo�0; ˛�; y como para < r esf 0.r/ > 0, se sigue quef es creciente en el intervaloŒ˛;C1Œ. En consecuenciaf .˛/ 6 f .r/ para todor > 0.

Así, las dimensiones de la lata con mínima superficie lateralsonrD 13p

2�Ñ 0; 542dcm,

y h Ñ 1; 1dcm. ©

Ejercicio resuelto 101 Hallar el volumen del cilindro circular recto más grande quepuedeinscribirse en una esfera de radio (a > 0).

Solución.


La relación entre el radio de la esferaa, el radiode la base del cilindro,r , y la altura del cilindro,h, viene dada, como se deduce de la figura, por

a2 D r2 C h2

4. El volumen del cilindro viene dado

por�r2h D � 4a2 � h2

4h. El problema se reduce a

calcular el máximo absoluto def .h/D4a2h�h3 enel intervaloŒ0; 2a�. Tenemos quef 0.h/D4a2�3h2.Como la funciónf es positiva en�0; 2aŒ y se anulaen los extremos del intervalo, deducimos, por unrazonamiento ya varias veces repetido, que el únicocero que tiene la derivada en el intervalo�0; 2aŒ,

O

a

r

h2

es decir, el punto, D 2a=p

3, corresponde a un máximo absoluto def en Œ0; 2a�. ©

Ejercicio resuelto 102 Hallar el volumen del cono circular recto más grande que puede ins-cribirse en una esfera de radio (a > 0).

Solución.

Seanr y h el radio y la altura del cono. Tenemos que

.h� a/2 C r2 D a2

es decir,r2Da2� .h�a/2. El volumen del cilindro

viene dado por1

3�r2hD 1

3�.a2 � .h � a/2/h. El

problema se reduce a calcular el máximo absolutode

f .h/D 1

3�.a2 � .h� a/2/hD �

3h2.2a � h/

O

a

r

h � a

en el intervaloŒ0; 2a�. Tenemos quef 0.h/ D �

3.4a � 3h/h. De donde se deduce ense-

guida que el cilindro de mayor volumen que puede inscribirseen la esfera dada es el de

alturahD 4a=3 y radior D 8a2

9; y su volumen es igual a

32a3�

81. ©

Ejercicio resuelto 103 Hallar el volumen del cilindro circular recto más grande quepuedeinscribirse en un cono circular recto de alturaH y radioR conocidos.

Solución.




Seanr y h el radio y la altura del cilindro. Por serlos triángulosOAB y DCB semejantes, tenemos quer

RD H � h

H, de donde,h D H.1 � r=R/. El volumen

del cilindro viene dado por�r2h D �Hr2�1 � r

R

�.

El problema se reduce a calcular el máximo absoluto de

f .r/ D �Hr2�1 � r

R

�en el intervaloŒ0;R�. Tenemos

quef 0.r/D H�r.2R � 3r/

R. De donde se deduce ense-

guida que el cilindro de mayor volumen que puede ins-cribirse en el cono dado es el de radior D 2R=3 y altura

hDH=3; y su volumen es igual a4�R2H

27. ©

O

h

H �h

RA

B

r CD

Ejercicio resuelto 104 La resistencia de una viga de madera de sección rectangular es pro-porcional a su anchura y al cuadrado de su altura. Calcular las dimensiones de la vigamás resistente que puede cortarse de un tronco de madera de radio R.

Solución.

Seanx e y las coordenadas del vértice superior derechode la viga. Seráx2 C y2 D R2. Nos dicen que la resis-tencia de la viga viene dada por una función de la formakxy2 dondek es una constante. El problema consiste encalcular el máximo absoluto def .x/D kx.R2�x2/ enel intervaloŒ0;R�. Tenemos quef 0.x/D k.R2 � 3x2/.De donde se deduce enseguida que la viga más resistente

se obtiene parax DR=p

3, e y Dr

2

3R. ©

.x; y/

R

Ejercicio resuelto 105 Calcula la distancia mínima del punto.6; 3/ a la parábola de ecuacióny D x2.

Solución.

La distancia del punto.6; 3/ a un punto de la parábola.x;x2/ viene dada por

q.x � 6/2 C .x2 � 3/2:

Como se trata de una función positiva, calcularemos el puntodonde el cuadrado de ladistancia alcanza su mínimo absoluto. Sea

f .x/D .x � 6/2 C .x2 � 3/2 D 45 � 12x � 5x2 C x4:

Se trata de calcular el mínimo absoluto def cuandox 2 R. Observa que, en general,una función continua enR no tiene por qué alcanzar un mínimo absoluto, perof es unafunción polinómica de grado par con coeficiente líder positivo, por lo que la existenciade un valor mínimo absoluto def enR está garantizada de antemano, aunque no vamosa usar este resultado.



Tenemos quef 0.x/D�12�10xC4x3D2.x�2/.3C4xC2x2/, que tiene una únicaraíz realx D 2. Como parax < 2 se tiene quef 0.x/ < 0 y parax > 2 esf 0.x/ > 0,deducimos que en el puntox D 2 la funciónf alcanza un mínimo absoluto enR. Portanto, el punto de la parábolayDx2 cuya distancia al punto.6; 3/ es mínima es el punto.2; 4/. ©

Ejercicio resuelto 106 Una empresa tiene 100 casas para alquilar. Cuando la renta esde80e al mes, todas las casas están ocupadas. Por cada 4e de incremento de la renta unacasa queda deshabitada. Cada casa alquilada supone a la empresa un coste de 8e parareparaciones diversas. ¿Cuál es la renta mensual que permite obtener mayor beneficio?

Solución.

Todo lo que hay que hacer es calcular la función de beneficio. Sea80C x el precio delalquiler expresado en euros. Como es evidente que no interesa bajar la renta de 80e, seconsidera quex > 0. El beneficio mensual viene dado por

f .x/D�100 � x

4

�.80C x � 8/D 7200C 82x � x2

4

Tenemos quef 0.x/D 82 � x

2. Deducimos fácilmente que parax D 164 obtenemos al

máximo beneficio. Es decir, cobrando un alquiler de244e, lo que supone alquilar un

total de100 � 164

4D 59 casas y dejar sin alquilar 41, la empresa obtiene el máximo

beneficiof .164/D 13.924e (así es la economía capitalista: : :). ©

Ejercicio resuelto 107 Se proyecta un jardín en forma de sector circular de radior y ángulocentral# . El área del jardín ha de serA fija. ¿Qué valores der y # hacen mínimo elperímetro del jardín?

Solución.

El área de un sector circular de amplitud# medida en radianes

y radio r es igual a#

2r2, y su longitud viene dada por# r .

El perímetro del jardín es igual a# r C 2r . Como debe ser#

2r2DA, es decir,#D 2A

r2, la función cuyo mínimo absoluto

debemos obtener esf .r/ D 2A

rC 2r , donder > 0. Como

f 0.r/D �2A

r2C 2D 2

r2 �A

r2, se deduce fácilmente que en

r Dp

A f alcanza un mínimo absoluto. El valor mínimo delperímetro es igual a4

pA. ©

#

r

Ejercicio resuelto 108 Se corta un alambre de longitudL formando un círculo con uno delos trozos y un cuadrado con el otro. Calcular por dónde se debe cortar para que la sumade las áreas de las dos figuras sea máxima o sea mínima.

Solución.

Supongamos que partimos el alambre en dos trozos de longitudx y L � x. Con el trozode longitudx formamos un cuadrado cuya área seráx2=16, con el otro trozo formamos

un círculo cuyo radio,r , vendrá dado por2�r DL� x, y su area será�r2D .L � x/2

4�.

El problema consiste en calcular los puntos donde la funciónf .x/ D x2

16C .L � x/2

4�alcanza su máximo y su mínimo absolutos en el intervaloŒ0;L�. Tenemos que

f 0.x/D �4LC .4C �/x8�

:

Deducimos, estudiando el signo de la derivada, que en el punto xD 4L

4C � hay un mínimo

absoluto.

Como la derivada tiene un único cero en�0;LŒ, deducimos que el máximo absoluto defenŒ0;L� tiene que alcanzarse en uno de los extremos y, comof .L/D 0, concluimos que

el valor máximo def se alcanza parax D 0 y valef .0/D L2

4�. ©

Ejercicio resuelto 109 Dados dos puntosA y B situados en el primer cuadrante del plano,calcula cuál es el camino más corto para ir deA a B pasando por un punto del eje deabscisas.

Solución.

Podemos situar los puntosA y B de forma queA D .0; r/ y B D .s; t/ con r; s; t positivos.La longitud del caminoAPB viene dada porf .x/ D

px2 C r2 C

p.s � x/2 C t2. Debe-

mos calcular el mínimo absoluto def .x/ en elintervaloŒ0; s�. Tenemos que

f 0.x/D x � spt2 C .s � x/2

C xpr2 C x2

Resolviendof 0.x/D 0 obtenemos la solución

˛ D rs

r C t. (Si haces los cálculos encontrarás

quers

r � tes también unaposiblesolución, pe-

ro f 0� rs

r � t

�¤ 0).

A D .0; r/

B D .s; t/

P D .x; 0/

C D .0; �r/

D

Es inmediato que está en el intervaloŒ0; s�. Por tanto, los valores candidatos para sermínimo absoluto def en Œ0; s� sonf .0/, f .s/ y f .˛/. Comof 0.0/ < 0 y f 0 es conti-nua, se sigue quef 0.x/ < 0 en un intervalo abierto que contiene a0. En dicho intervaloabierto la funciónf es decreciente, por lo quef .0/ no puede ser el valor mínimo defen Œ0; s�. Análogamente, comof 0.s/ > 0 y f 0 es continua, se sigue quef 0.x/ > 0 enun intervalo abierto que contiene as, por lo quef .s/ tampoco puede ser el valor mínimodef enŒ0; s�. Por exclusión, concluimos quef .˛/D

ps2 C .r C t/2 es el valor mínimo

def en Œ0; s�.

Comentario. No es del todo inmediato comparar directamente los valoresf .0/, f .s/y f .˛/ para ver cuál de ellos es el menor. Para salvar esta dificultadlo más cómodo esrazonar como lo hemos hecho.

Alternativamente, puedes calcular la derivada segunda

f 00.x/D t2

�t2 C .s � x/2

�3=2C r2

�r2 C x2

�3=2

Como f 00.x/ > 0, se sigue quef 0 es estrictamente creciente. Luego six < ˛ esf 0.x/ < 0, y si ˛ < x esf 0.x/ > 0; de donde se deduce quef tiene un mínimoabsoluto en .

En la figura sugiero una elegante y sencilla solución geométrica del problema. El puntoD es el que proporciona el camino más cortoADCDB. Cualquier otro caminoAPCPB

es más largo porque un lado de un triánguloCB D CD CDB DAD CDB es siempremás pequeño que la suma de los otros dosCP C PB DAP C PB. ©

Ejercicio resuelto 110 Se desea construir una ventana con forma de rectángulo coronado deun semicírculo de diámetro igual a la base del rectángulo. Pondremos cristal blanco enla parte rectangular y cristal de color en el semicírculo. Sabiendo que el cristal colo-reado deja pasar la mitad de luz (por unidad de superficie) queel blanco, calcular lasdimensiones de la ventana para conseguir la máxima luminosidad si se ha de mantenerun perímetro constante dado.

Solución.

Seax la longitud de la base de la ventana yh su altura. El perímetro es igual a una

cantidad dada,A; es decir,2x C hC � x

2D A. La luminosidad viene dada por

f .x/D 2xhC � x2

8D x.A � x � � x

2/C � x2

8DA x � 1

8.8C 3�/x2

La derivadaf 0.x/DA�1

4.8C3�/x se anula en

4A

8C 3�y, comof 00.x/D�1

4.8C3�/ <

0, concluimos quef alcanza un máximo absoluto en el punto4A

8C 3�. Las dimensiones

de la ventana con mayor luminosidad son por tantox D 4A

8C 3�, hD A.4C 4�/

16C 6�. ©

Ejercicio resuelto 111 Se desea confeccionar una tienda de campaña cónica de un volumendeterminado. Calcular sus dimensiones para que la cantidadde lona necesaria sea míni-ma.

Solución.

Para hacer la tienda nece-sitamos cortar un sectorcircular de lona como seindica en la figura. Sea# la medida en radianesdel ángulo central delsector y x la medida delradio. La cantidad de

#

x

O

h

x

r

lona que necesitamos es igual al área del sector y viene dada por#

2x2 (si el volumen se

expresa en m3, las demás medidas se expresarán en metros). Sear el radio de la basede la tienda yh su altura. Nos dicen que el volumen de la tienda debe ser iguala una

cantidad prefijada,V , es decir,V D 1

3�r2h.

Nuestro problema es calcular el mínimo absoluto de#

2x2 sabiendo que la cantidad

V D 1

3�r2h es conocida. Veamos que esta condición nos permite expresarx en fun-

ción de# .

Observa que la longitud de la base de la tienda,2�r , debe ser igual a la longitud,# x, del

arco circular que abarca el sector:# x D 2�r , de donde,r D # x

2�. Además, es evidente

que x2 D h2 C r2, y deducimos que

h2 D x2 � r2 D x2 � #2x2

4�2D x2

1� #2

4�2

!÷hD x

p4�2 � #2

2�

Por tanto

V D 1

3�r2hD 1

3�#2x2

4�2

xp

4�2 � #2

2�D x3#2

p4�2 � #2

24�2

Despejandox, obtenemos quex D 2.3�2V /1=3

#2=3.4�2 � #2/1=6. La función de la que tenemos

que calcular su mínimo absoluto es

f .#/D #

2x2 D .9�4V 2/1=3

�4�2# � #3

�1=3.0 < # < 2�/

Tenemos quef 0.#/D .9�4V 2/1=3 3#2 � 4�2

3�4�2# � #3

�4=3, que tiene un único cero positivo

#D 2�p3

que corresponde, como se justifica fácilmente estudiando elsigno de la derivada,

a un mínimo absoluto def . El correspondiente valor del radio del sector esxD 6

s35V 2

2�2

y el área,36

s3�2V 4

4.

Para un volumenV D 5 m3, la cantidad de lona necesaria esÑ 12;25 m2; el radio delsectorx Ñ 2; 6m, la altura de la tiendah Ñ 2; 12m y el radio de la tiendar Ñ 1; 5m.©

Ejercicio resuelto 112 Se desea construir un silo, con un volumenV determinado, que ten-ga la forma de un cilindro rematado por una semiesfera. El costo de construcción (porunidad de superficie) es doble para la semiesfera que para el cilindro (la base es gratis).Calcúlense las dimensiones óptimas para minimizar el costode construcción.

Solución.

Sear el radio de la base yh la altura del cilindro. Nos dicen que el volumen del silo,

�r2hC 2

3�r3, es un valor conocido,V , que podemos suponer expresado en m3. Si el

coste de construcción de 1 m2 de superficie del cilindro es euros, la función de coste

viene dada por .2�rh/C 2˛.2�r2/. De la condiciónV D�r2hC 2

3�r3, se sigue que

hD�2r

3C V

�r2. Sustituyendo este valor en la función de coste, resulta quela función

que debemos minimizar es

f .r/D 8

3�r2˛ C 2V ˛

r.r > 0/

Tenemosf 0.r/ D 2˛.8�r3 � 3V /

3r2que se anula parar D 1

2

3

r3V

�en donde, como

se comprueba fácilmente estudiando el signo def 0.r/, la funciónf alcanza un mínimo

absoluto. La altura correspondiente eshD 3

r3V

�. Para un volumenV D100 m3, tenemos

r Ñ 2; 3 m y h Ñ 4; 6 m. ©

Ejercicio resuelto 113 Demuestra que de todos los triángulos isósceles que se pueden cir-cunscribir a una circunferencia de radior , el de área mínima es el equilátero de altura3r .

Solución.

Sea˛ la medida en radianes de los ángulos†CABD†ABC . El triángulo4ONC es rec-tángulo y†CON D †ABC por ser ánguloscon lados perpendiculares. Obtenemos así que

cos.˛/ D r

OC, esto es,OC D r

cos˛. Consi-

derando el triángulo rectángulo4OMB, ob-

tenemos tg.˛=2/ D OM

MBD r

MB, de donde

MB D r cotg.˛=2/. El área del triángulo vie-ne dada porMB.OC C r/ y, sustituyendo losvalores anteriores, resulta la función

f .˛/Dr2 cotg.˛=2/1C cos˛

cos˛.0 < ˛ < �=2/

O

BA

C

M

Nr

˛

Como

f 0.˛/D r2 .1 � 2 cos˛/ cos2.˛=2/

cos2.˛/ sen2.˛=2/

deducimos que la derivada tiene un único cero que se obtiene cuando1 � 2 cos˛ D 0, loque implica que D �=3. Se comprueba fácilmente, estudiando el signo de la derivada,que dicho valor corresponde a un mínimo absoluto del área. Por tanto, de todos los trián-gulos isósceles que se pueden circunscribir a una circunferencia de radior , el de área

mínima es el equilátero; su altura es igual aOC C r D r

cos˛C r D 2r C r D 3r y su

área vale3r2p

3. ©

Ejercicio resuelto 114 Con una cuerda de longitudL, con un nudo corredizo en uno de susextremos, rodeamos una columna circular de radioR haciendo pasar el otro extremo porel nudo. Calcula la máxima distancia posible del extremo libre al centro de la columna.

Solución.

Para hacer este ejercicio debes tener en cuentaque en los puntos donde la cuerda se separade la columna lo hace en la dirección de latangente a la circunferencia. En la figura se hanrepresentado los radiosOC y OB que unen elcentro de la circunferencia con los puntos detangencia. Lo que nos piden es calcular la lon-gitud máxima del segmentoOP conociendo la

O

C

B

AP

R#

longitud de la cuerda y el radio de la columna. Tenemos queOP DOACAP , como el

triángulo4OCA es rectángulo, se verifica queOA D R

sen#, donde# es la medida en

radianes del ángulo†OAC .

La longitud del arco de circunferencia desdeC hastaB en sentido contrario a las agujas

del reloj, es igual aR.� C 2#/; además se verifica que tg# D OC

ACD R

AC. Deducimos

así que

AP DL � 2AC � CB_DL � 2R

cos#

sen#�R.� C 2#/

Por tanto

f .#/D R

sen#CL � 2R

cos#

sen#�R.� C 2#/ 0 < # 6 �=2

es la función que nos da la longitud del segmentoOP . Calculando su derivada y simpli-ficando resulta

f 0.#/DRcos#.2 cos# � 1/

sen2 #:

La derivada se anula solamente cuando2 cos#�1D0, es decir,#D�=3. Se compruebafácilmente, por ejemplo estudiando el signo def 0.#/, que dicho valor corresponde aun máximo absoluto def en �0; �=2�. La longitud máxima del segmentoOP es igual a

f .�=3/DL � 5�R

3.

Comentario. Es claro que la longitud de la cuerda debe ser suficiente para rodear lacolumna, es decir,L > 2�R. Pero observa que siLD 2�R no podemos separarnos dela columna. Para que el ejerciciotenga sentidoes necesario que podamos alejarnos máso menos de la columna, dependiendo de la posición del nudo corredizo, y para eso espreciso queL > 2�R.

Fíjate también en que lKım#!0# > 0

f .#/D�1, por lo quef .#/ toma valores negativos cuando

# es suficientemente pequeño. Esto nos dice que la funciónf .#/ no siempre representa

la longitud del segmentoOP . De hecho, como sen# D R

OAy OA 6 L C R, se sigue

que sen# >R

LCR, lo que implica que# > #0 donde#0 D arc sen

�R

LCR

�. Estas

consideraciones no afectan a la solución obtenida porque hemos calculado el máximoabsoluto def entodoel intervalo�0; �=2�, salvo por un detalle: debemos asegurarnos deque es posible separar el nudo de la columna hasta que# 6 �=3. Para esoes suficienteque la longitud de la cuerda sea mayor o igualqueR.�C 2�=3/C 2R=

p3 (la longitud

del arcoCB_

más dos veces la longitud del segmentoAC correspondientes a# D �=3).

Observa queR.� C 2�=3/C 2R=p

3D 2p

3RC 5�R

3> 2�R. ©

Ejercicio resuelto 115 El principio de Fermat afirma que la luz viaja de un puntoA a otropuntoB siguiendo la trayectoria en la que se invierte el menor tiempo posible. Supon-gamos que el eje de abscisas,y D 0, separa dos medios en los que la luz viaja a distintavelocidad (por ejemplo, aire y agua). Seac la velocidad de la luz en el semiplano superiory > 0 y sea3

4c la velocidad en el semiplano inferiory < 0. Calcula el punto del eje de

abscisas por el que pasará el rayo que viaje desde el puntoAD .�4; 3/ al B D .3;�4/.

Solución.

Se trata de calcularP D .x; 0/ por la condiciónde que el tiempo total invertido por el rayo deluz para recorrer el caminoAPB sea mínimo.Seat1 el tiempo que tarda la luz en recorrer elsegmentoAP y t2 el tiempo que tarda la luz enrecorrer el segmentoPB. Tenemos que:

longitud.AP /Dq.x C 4/2 C 9D c t1

longitud.PB/Dq.x � 3/2 C 16D 3

4c t2

A D .�4; 3/

B D .3; �4/

O

P D .x; 0/

La función cuyo mínimo debemos calcular es

f .x/D t1 C t2 Dp.x C 4/2 C 9

cC 4

p.x � 3/2 C 16

3c

Cuya derivada es

f 0.x/D 1

3c

3.x C 4/p.x C 4/2 C 9

C 1

3c

4.x � 3/p.x � 3/2 C 16

Es claro quexD0 es un cero de la derivada. Veamos si corresponde a un mínimo absolutodef .x/. Calculando la derivada segunda y simplificando obtenemos que

f 00.x/D 1

3c

27p..x C 4/2 C 9/3

C 1

3c

64p..x � 3/2 C 16/3

Resulta así quef 00.x/ > 0 para todox por lo que la derivadaf 0 es estrictamentecreciente y, al serf 0.0/ D 0, se sigue quef 0.x/ < 0 parax < 0 y f 0.x/ > 0 parax > 0, luegof es decreciente en��1; 0� y creciente enŒ0;C1Œ y, en consecuencia,ftiene un mínimo absoluto enx D 0. ©

Ejercicio resuelto 116 Calcula la posición del puntoP D .x; 0/ en la figura de la derecha,dondeAD .0; 1/ y B D .2C

p3; 2/, para que el ángulo� sea máximo. ¿Cuál es dicho

valor máximo de�? Justifica con detalle lo que haces.

Solución.

Tenemos que� D � � �1 � �2, es decir�D.�

2��1/C.�

2��2/Dˇ1Cˇ2 y deducimos

fácilmente que

�.x/D arc tgx C arc tg

2Cp

3 � x

2

!

Derivando, tenemos

� 0.x/D 1

1C x2C �1=2

1C

2Cp

3� x

2

!2

A D .1; 0/

B D .2 Cp

3; 2/

P D .x; 0/

�ˇ1

ˇ2

�1 �2

Simplificando resulta

� 0.x/D 9C 4p

3 � .4C 2p

3/x � x2

.1C x2/.4C .2Cp

3 � x/2/

Los ceros de la derivada son las raíces dex2C .4C 2p

3/x � 4p

3� 9D 0, que vienendadas por

˛D�4 � 2

p3 C

q.4 C 2

p3/2 C 4.4

p3 C 9/

2; ˇD

�4 � 2p

3 �q

.4 C 2p

3/2 C 4.4p

3 C 9/

2

Como .4 C 2p

3/2 C 4.4p

3 C 9/ D 32.2 �p

3/ D 16.4 C 2p

3/ D 16.p

3 C 1/2.Naturalmente, como0 6 x 6 2C

p3, y ˇ < 0 se sigue que

˛ D�4 � 2

p3C

q16.p

3C 1/2

2Dp

3

es el único cero de la derivada en el intervaloŒ0; 2Cp

3�.

Estudiemos ahora el signo de la derivada. Como el denominador de� 0.x/ es positivo, elsigno de� 0.x/ es igual al de9C 4

p3� .4C 2

p3/x � x2. Pero

9C 4p

3� .4C 2p

3/x � x2 D�.x � ˛/.x � ˇ/

que es positivo cuando < x < ˛ y negativo six < ˇ o ˛ < x. Deducimos que� 0.x/ > 0 si 0 6 x <

p3 y � 0.x/ < 0 si

p3 < x 6 2C

p3. Por tanto, la función� es

creciente enŒ0;p

3� y decreciente enŒp

3; 2Cp

3�. Concluimos que enp

3 la función�alcanza un máximo absoluto enŒ0; 2C

p3�. El valor máximo es�.

p3/D arc tg.

p3/C

arc tg.1/D �=3C �=4D 7�=12. ©

Ejercicio resuelto 116 Calcula el límite en el puntoa que en cada caso se indica de lassiguientes funciones:

f .x/D .senx C cosx/1=x; aD 0I f .x/D .1C tgx/1=x2

; aD 0

f .x/D .cotx/senx; aD 0; �=2I f .x/D

cos2x C x2

2

!1=x2

; aD 0

f .x/D .1C senx/cotgx; aD 0; �=2I f .x/D log.senx/

.� � 2x/2; aD �=2

f .x/D x � arc tgx

sen3x; aD 0I f .x/D .tgx/.arc tgx/ � x2

x6; aD 0

f .x/D ex � cosp

2 x � x

tg2x; aD 0I f .x/D

�senx

x

�1=.1�cosx/

; aD 0

Solución.

� El límite lKımx!0

.senx C cosx/1=x es de la forma lKımx!a

f .x/g.x/ cuando lKımx!a

f .x/D1

y lKımx!ajg.x/jDC1. Se trata, por tanto, de una indeterminación del tipo11. Estos límites

suelen poderse calcular haciendo uso del criterio de equivalencia logarítmica (teorema6.11) que, en las condiciones anteriores paraf y g, nos dice que:

lKımx!a

f .x/g.x/ D eL ” lKımx!a

g.x/.f .x/� 1/DL

lKımx!a

f .x/g.x/ D 0 ” lKımx!a

g.x/.f .x/� 1/D�1lKım

x!af .x/g.x/ DC1 ” lKım

x!ag.x/.f .x/� 1/DC1

En nuestro caso:

lKımx!0

1

x.senx C cosx � 1/D lKım

x!0

senx C cosx � 1

xD lKım

x!0

senx

xC lKım

x!0

cosx � 1

xD1:

Donde hemos usado que

lKımx!0

senx

xD lKım

x!0

senx � sen0

x � 0D cos0D 1

lKımx!0

cosx � 1

xD lKım

x!0

cosx � cos0

x � 0D sen0D 0

sin más que recordar la definición de derivada de una función en un punto. Concluimosasí que

lKımx!0

.senx C cosx/1=x D e


.1C tgx/1=x2

es del mismo tipo anterior. Ahora, el límite

lKımx!0

tgx

x2D lKım

x!0

senx

x

1

x cosx

no existe, pues

lKımx!0x > 0

1

x cosxDC1; lKım

x!0x < 0

1

x cosxD�1:

Luego lKımx!0x > 0

.1C tgx/1=x2 DC1 y lKımx!0x < 0

.1C tgx/1=x2 D 0.


cos2 x C x2

2

!1=x2

es del mismo tipo que los anteriores. Tenemos

ahora que:

lKımx!0

cos2 x C x2=2 � 1

x2D lKım

x!0

� sen2 x C x2=2

x2D� lKım

x!0

�senx

x

�2C 1

2D�1

2

Luego, lKımx!0

cos2 x C x2

2

!1=x2

D 1pe

.


�senx

x

�1=.1�cosx/

es del mismo tipo que los anteriores. Tenemos

ahora que

lKımx!0

�senx

x� 1

� 1

1 � cosxD lKım

x!0

senx � x

x.1� cosx/

Este último límite no tiene dificultad y puede hacerse por L’Hôpital. Pero es más fácilusar los límites “bien conocidos”:

senx � x

x.1 � cosx/D senx � x

x3

x2

1� cosx:

Deducimos que lKımx!0

senx � x

x.1 � cosx/D�1

3. Luego lKım

x!0

�senx

x

�1=.1�cosx/

D 13p

e.


ex � cosp

2 x � x

tg2xes una indeterminación del tipo

0

0y puede ha-

cerse por L’Hôpital, pero antes es conveniente sustituir tgx por x pues son funcionesasintóticamente equivalentes parax ! 0. Escribiendo:

ex � cosp

2 x � x

tg2xD x2

tg2x

ex � cosp

2 x � x

x2

y teniendo en cuenta que lKımx!0

�x

tgx

�2

D 1, basta calcular lKımx!0

ex � cosp

2 x � x

x2lo

que puedes hacer por L’Hôpital muy fácilmente.

� El límite lKımx!�=2

log.senx/

.� � 2x/2es también una indeterminación del tipo

0

0y, en prin-

cipio, puede hacerse por L’Hôpital. Hazlo tú aplicando L’Hôpital. Yo voy a reducirlo alímites “bien conocidos”.

Lo primero que voy a hacer es convertir el límite parax ! �=2 en un límite parax ! 0.Para ello basta sustituirx po�=2 � x como sigue:

lKımx!�=2

log.senx/

.� � 2x/2D lKım

x!0

log.sen.�=2 � x//

.� � 2.�=2 � x//2D lKım

x!0

log.cosx/

4x2


Ahora, la presencia dex2 y de cosx me sugiere escribirlog.cosx/

4x2D log.cosx/

cosx � 1

cosx � 1

x2.

El límite lKımx!0

cosx � 1

x2D�1=2 porque es uno de los límites “bien conocidos”. El límite

lKımx!0

log.cosx/

cosx � 1D 1 porque también es uno de los límites “bien conocidos”, pues es de

la forma lKımt!1

log t

t � 1donde se ha sustituidot por cosx.

Por tanto lKımx!�=2

log.senx/

.� � 2x/2D�1

2.

Los restantes límites de este ejercicio te los dejo para que los hagas tú. ©

Ejercicio resuelto 117 Justifica que para todor 2R y para todos > 0 se verifica que:

lKımx!C1

.logx/r

xsD 0; lKım

x!C1xr

esxD 0; lKım

x!0x > 0

xsj logxjr D 0:

Solución.

Es suficiente probar que para todon 2 N se verifica lKımx!C1

.logx/n

xsD 0. Podemos

hacerlo por inducción. Paran D 1, tenemos, aplicando L’Hôpital por tratarse de unaindeterminación1

1 , que:

lKımx!C1

logx

xsD 1

slKım

x!C11

xsD 0:

Supuesto demostrado que lKımx!C1

.logx/n

xsD 0, tenemos:

lKımx!C1

.logx/nC1

xsD nC 1

slKım

x!C1.logx/n

xsD 0:

Lo que concluye la demostración por inducción.

Haciendo la sustitución dex por ex en el límite anterior, obtenemos:

0D lKımx!C1

.logx/r

xsD Œx $ ex �D lKım

x!C1xr

esx

Haciendo la sustitución dex por 1=x en el límite primero, obtenemos:

0D lKımx!C1

.logx/r

xsD Œx $ 1=x�D lKım

x!0x > 0

xsj logxjr

©

Ejercicio resuelto 117 Calcula el límite en el puntoa que en cada caso se indica de lasfuncionesf WRC ! R.

f .x/D x2 sen1=x

logx; aDC∞I f .x/D sen

p1C x � sen

px; aDC∞




f .x/D senx sen1

x; aD 0; aDC∞I f .x/D

�cos

�

x C 2

�x2

; aDC∞

Solución.

El límite lKımx!C1

x2 sen1=x

logxes, de hecho, una indeterminación del tipo1

1 y puedes in-

tentar hacerlo por L’Hôpital. Prueba a ver qué pasa. En este caso el marqués de L’Hôpital

no resuelve el límite. Pero es fácil ver que lKımx!C1

x sen.1=x/x

logxD C1, porque

lKımx!C1

x sen.1=x/D lKımx!0x > 0

senx

xD 1 y lKım

x!C1x

logxDC1.


�senp

1C x � senp

x�

no entra dentro de ninguna de las indetermi-

naciones usuales. De hecho, el límite lKımx!C1

senp

x no existe (¿sabes probarlo?). Está

claro que el límite que nos piden calcular requiere un tratamiento particular. Después depensarlo un poco, a la vista de cómo es la función, se me ocurreusar el teorema del valormedio. Dicho teorema, aplicado a la función sen

px en el intervaloŒx;x C 1�, me dice

que hay algún puntoz 2�x;x C 1Œ tal que senp

x C 1 � senp

x D cosz

2p

z, y tomando

valores absolutos deducimosˇˇsenp

x C 1� senp

xˇˇD

ˇˇcosz

2p

z

ˇˇ6

1

2p

x

de donde se deduce que lKımx!C1

�senp

1C x � senp

x�D 0.


�cos

�

x C 2

�x2

es una indeterminación11 y aplicaremos el criterio de

equivalencia logarítmica. Para ello, calculamos

lKımx!C1

x2

�cos

��

x C 2

�� 1

�D lKım

x!0x > 0

cos

��x

1C 2x

�� 1

x2D

D lKımx!0x > 0

cos

�� x

1C 2x

�� 1

��x

1C 2x

�2

�� x

1C 2x

�2

x2D ��

2

2

Luego lKımx!C1

�cos

�

x C 2

�x2

De��2=2. El límite que queda por hacer es inmediato.©

Ejercicio resuelto 118 Sea g WR! R derivable enR y dos veces derivable en 0 siendo,

además,g.0/D 0. Definamosf WR! R porf .x/D g.x/

xsi x ¤ 0 y f .0/D g 0.0/.

Estudia la derivabilidad def . ¿Esf 0 continua en 0?

Solución.Por la regla de la cadena,f es derivable en todo puntox ¤ 0 y, por la regla

de derivación de un cociente, tenemos quef 0.x/ D x g 0.x/� g.x/

x2parax ¤ 0. Para




estudiar sif es derivable enxD0 no hay otra forma de hacerlo (pero lee más abajo) querecurriendo a la definición. Tenemos que

lKımx!0

f .x/ � f .0/x � 0

D lKımx!0

g.x/ � g 0.0/x

x2D g 00.0/

2

en virtud del teorema de Taylor-Young (si lo prefieres, puedes aplicar -¡una vez solo!-

L’Hôpital). Por tanto,f es derivable enx D 0 y f 0.0/D g 00.0/

2.

Estudiemos sif 0 es continua enxD0. Tenemos que lKımx!0

f 0.x/D lKımx!0

x g 0.x/� g.x/

x2

y para calcular este límiteno se puede aplicar L’Hôpital porque no sabemos sig 0 esderivable (nos dicen queg esunavez derivable enR). Intentaremos relacionar el cocientecon las hipótesis que nos dan sobreg. Después de pensarlo un poco, parece convenienteescribir:

x g 0.x/� g.x/

x2Dx g 0.x/� x g 0.0/C x g 0.0/ � g.x/

x2Dg 0.x/� g 0.0/

x�g.x/� g 0.0/x

x2

y deducimos que lKımx!0

f 0.x/D g 00.0/

2, luegof 0 es continua enx D 0.

También puedes usar para hacer este ejercicio un resultado de teoría que dice que siuna funciónf es continua en un intervaloI , a es un punto deI , y sabemos quef esderivable enI n fag y que lKım

x!af 0.x/ D L, entoncesf también es derivable ena con

f 0.a/DL y, por tanto,f 0 es continua ena.

Es evidente (¿o no lo es?) que la funciónf del ejercicio es continua en el intervaloIDR

y es derivable enR n f0g. Como lKımx!0

f 0.x/ D g 00.0/

2, esto prueba de golpe quef es

derivable enx D 0, quef 0.0/D g 00.0/

2y quef 0 es continua enx D 0. ©

Ejercicio resuelto 119 Seanf;gW� � 1;C1Œ! R las funciones definidas por

f .x/D log.1C x/

x; f .0/D 1I g.x/D ef .x/

Calcula las derivadas primera y segunda def y g en0 y deduce el valor del límite

lKımx!0

.1C x/1=x � eCe

2x

x2

Solución.Observa que six > �1 y x ¤ 0 esg.x/ D .1C x/1=x y g.0/ D e. Es clarotambién quef .x/D logg.x/. El ejercicio consiste en calcular las dos primeras derivadasdeg enx D 0. Por la regla de la cadena es suficiente para ello calcular lasdos primerasderivadas def enxD0. Pues entoncesg 0.x/Def .x/ f 0.x/, y g 00.x/Def .x/

�.f 0.x//2C

f 00.x/�. Fíjate en que la funciónf es más sencilla que lag. De hecho, no es inmediato

calcular directamenteg 0.0/ porque el límite lKımx!0

.1C x/1=x � e

xse complica un poco si




tratas de hacerlo por L‘Hôpital. Las funciones como lag, esto es, las del tipou.x/v.x/,tienen derivadas complicadas.

Derivarf es fácil. El límite lKımx!0

f .x/ � f .0/x � 0

D lKımx!0

log.1C x/ � x

x2D �1

2es bien

conocido. Deducimos quef 0.0/ D �1

2. Ahora, parax ¤ 0, se calcula fácilmente, por

la regla de derivación de un cociente, quef 0.x/ D x � log.1C x/� x log.1C x/

x2.1C x/.

Tenemos

f 0.x/� f 0.0/

x � 0D

x � log.1C x/� x log.1C x/C 1

2x2.1C x/

x3.1C x/

Se trata de calcular el límite parax ! 0 de este cociente. Lo primero es quitar el factor.1Cx/ del denominador (evidentemente,.1Cx/ Ï 1 parax ! 0). Hecho esto, nos da-

mos cuenta de que se trata de compararx � log.1C x/ � x log.1C x/C 1

2x2 C 1

2x3

conx3. Utilizando el teorema de Taylor-Young (o, simplemente, recordando los polino-mios de Taylor de log.1C x/ enx D 0), tenemos que:

log.1C x/D x � 1

2x2 C 1

3x3 C o.x3/:

Deducimos que:

x � log.1C x/� x log.1C x/C 1

2x2 C 1

2x3 D 2

3x3 C o.x3/

por lo que lKımx!0

f 0.x/� f 0.0/

x � 0D 2

3, es decir,f 00.0/D 2

3.

Resulta así queg 0.0/D ef .0/ f 0.0/D�e

2y

g 00.0/D ef .0/�.f 0.0//2 C f 00.0/

�D e

�1

4C 2

3

�D 11

12e:

Finalmente, como consecuencia del teorema de Taylor-Young, tenemos que:

lKımx!0

.1C x/1=x � eCe

2x

x2D 11

24e:

Porque dicho límite es de la forma lKımx!0

g.x/� g.0/ � g 0.0/x

x2D 1

2g 00.0/. ©

Ejercicio resuelto 119 Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones.

1. f WRC ! R, dada porf .x/D x1=.x2�1/, y f .1/Dpe.

2. f W� � 1=2;C1Œ! R, dada porf .x/D .x C ex/1=x y f .0/D e2.

3. f W Œ0;C1Œ! R dada porf .x/D .1C x logx/1=x, y f .0/D 0.




4. f WR! R, dada porf .x/D�1C x2

�sen.1=x/y f .0/D 1.

5. f W� � �=2; �=2Œ! R dada porf .x/D�senx

x

�1=x2

y f .0/D e�1=6 :

6. f W� � �=2; �=2Œ! R dada porf .x/D�

2 � 2 cosx

x2

�1=x

parax¤ 0 y f .0/D 1.

Solución. En todos los casos nos piden estudiar la derivabilidad de unafunción de laformaF.x/D u.x/v.x/ en un punto“conflictivo” en el que no puedes aplicar las reglasde derivación. En este tipo de ejercicios la mejor forma de proceder consiste en estudiarla derivabilidad de la función'.x/D logF.x/D v.x/ logu.x/ en el punto conflictivo.Para ello debes recurrir a la definición de derivada. Observaque comoF.x/ D e'.x/,la derivabilidad de' equivale a la derivabilidad deF . Como en el ejercicio anterior yahemos usado esta estrategia, un par de ejemplos más deben sersuficiente para que lacomprendas bien. Consideraremos las dos últimas funcionespropuestas.

5)

f .x/D�senx

x

�1=x2

; f .0/D e�1=6

Tenemos que'.x/D logf .x/Dlog

�senx

x

�

x2, '.0/D logf .0/D �1

6. Tenemos:

lKımx!0

'.x/� '.0/x � 0

D lKımx!0

log�senx

x

�C 1

6x2

x3D

Podemos aplicar L’Hôpital para quitar el logaritmo.

lKımx!0

'.x/� '.0/x � 0

D lKımx!0

x

senx

�x cosx � senx

x2

�C 1

3x

3x2D

D lKımx!0

x cosx � senx C 1

3x2 senx

3x3 senx

Sustituimos en el denominador senx por x. Usando que

senx D x � 1

6x3 C o.x4/; cosx D 1� 1

2x2 C o.x3/

deducimos quex cosx � senx C 1

3x2 senx D o.x4/, por lo que

lKımx!0

x cosx � senx C 1

3x2 senx

3x4D 0

Concluimos que' es derivable enx D 0 y ' 0.0/D 0 por lo que tambiénf es derivableenx D 0 y f 0.0/D f .0/' 0.0/D 0.




6)

f .x/D�

2 � 2 cosx

x2

�1=x

; f .0/D 1

Es más fácil estudiar la derivabilidad de'.x/ D logf .x/. Nótese que al serf .x/ Dexp.'.x//, en todo puntoa en que sea derivable' también, en virtud de la regla de lacadena, será derivablef siendof 0.a/D ' 0.a/exp.'.a//D ' 0.a/f .a/. Tenemos que

'.x/Dlog

�2 � 2 cosx

x2

�

x

parax ¤ 0, y '.0/ D 0. Para estudiar la derivabilidad de' en x D 0 consideremos elcociente:

H.x/D '.x/� '.0/x � 0

Dlog

�2 � 2 cosx

x2

�

x2

Se trata de calcular lKımx!0

H.x/. Puesto que

lKımx!0

2� 2 cosx

x2D 1 (6.25)

el límite buscado es una indeterminación de la forma00

y se dan las condiciones quepermiten aplicar la regla de L’Hôpital. Tenemos entonces, supuesto que los límites encuestión existen:

lKımx!0

H.x/D lKımx!0

x2

2 � 2 cosx

2x2 senx � 2x.2 � 2 cosx/

x4

2xD lKım

x!0

x senx C 2 cosx � 2

x4

donde hemos tenido en cuenta (6.25). Podemos volver a usar la regla de L’Hôpital paracalcular el último límite, obteniendo:

lKımx!0

x senx C 2 cosx � 2

x4D lKım

x!0

x cosx � senx

4x3D lKım

x!0

�x senx

12x2D �1

12

Hemos probado así quef es derivable en0 y f 0.0/D�1=12.

Comentario. No debe calcularse la derivada def en0 aplicando la regla de L’Hôpital

para calcular el límite lKımx!0

f .x/� f .0/x � 0

, pues entonces lo que haremos será calcular

lKımx!0 f0.x/. La existencia de este límite, junto con la continuidad def en0, implican

quef tiene derivada continua en0 y eso es más de lo que se pide y, por eso mismo,suele ser más complicado. ©




Ejercicio resuelto 120 Calcula los límites

1/ lKımx!0

�1

sen2 x� 1

x2

�2/ lKım

x!1

�1

logx� 1

x � 1

�

3/ lKımx!0

x e2xCx ex �2 e2xC2 ex

.ex �1/34/ lKım

x!C1

��2� arc tgx

� 1logx

5/ lKımx!0

log�senx

x

�

.log.1C x//26/ lKım

x!0

�tgx

x

�1=x2

7/ lKımx!0

x log.1C sen2x/arc tg.sen3 x/

.ex �1/.1 � cos2.tg2 x//8/ lKım

x!0

arc tgx � senx

x.1� cosx/

9/ lKımx!0

arc tg.arc senx2/

.e2x �1/ log.1C 2x/10/ lKım

x!0

�3 senx � 3 x cosx

x3

�1=x

Sugerencia.Pueden usarse las reglas de L’Hôpital pero es conveniente realizar previa-mente alguna transformación.

Solución.

1) Recuerda: antes de calcular un límite debemos simplificartodo lo que podamos lafunción. Tenemos que:

1

sen2 x� 1

x2D x2 � sen2 x

x2 sen2 x

Como senx � x parax ! 0, podemos sustituir senx por x en el denominador (¡no enel numerador!). Con ello:

1

sen2 x� 1

x2� x2 � sen2 x

x4

Ahora recordamos quex � senx � x3=6 parax ! 0, con lo cual:

x2 � sen2 x

x4D x � senx

x3

x C senx

x(6.26)

Finalmente, deducimos que:

lKımx!0

�1

sen2 x� 1

x2

�D 1

3

Observa que una descomposición como la hecha en (6.26) solamente se te ocurre sirecuerdas quex � senx � x3=6 parax ! 0 (que es uno de los límites que debes saberde memoria). En general, descomponer una función en producto (o en suma) de otras dossolamente debe hacerse si sabes el comportamiento de cada una de las nuevas funciones.Hay que tener cuidado en esto porque es fácil equivocarse. Por ejemplo, podríamos haberpuesto:

x2 � sen2 x

x4D x � senx

x2

x C senx

x2

Con lo que introducimos una funciónx C senx

x2que no tiene límite en0.




2) Es muy fácil y parecido al anterior.

3) Este límite se hace muy fácilmente por L’Hôpital pero, antes de derivar, debes sustituirex �1 por x.

4) lKımx!C1

��2� arc tgx

� 1logx

es una indeterminación tipo00. Seaf .x/D��

2� arc tgx

� 1logx

.

Tomando logaritmos tenemos que logf .x/ Dlog

��2� arc tgx

�

logx. Teniendo en cuenta

que parax > 0 es�

2� arc tgx D arc tg

1

x, se sigue que

lKımx!C1

logf .x/D lKımx!C1

log

�arc tg

1

x

�

� log1

x

D� lKımt!0t > 0

log.arc tgt/

log t

Este último límite puede calcularse por L’Hôpital

lKımx!C1

logf .x/D� lKımt!0t > 0

t

.1C t2/arc tgtD�1

Deducimos que lKımx!C1

f .x/D 1

e.

5) También puede hacerse por L’Hôpital pero, antes de derivar, debes sustituir log.1Cx/

porx. Te recuerdo que puedes sustituir funciones asintóticamente equivalentes en un pro-ducto o en un cociente, nunca en una suma. Tampoco se pueden hacer estas sustitucionesen una función, es decir, sig.x/ � h.x/ parax ! a, y F es una función, no es ciertoen general queF.g.x// sea asintóticamente equivalente aF.h.x// parax ! a. En estelímite, la funciónsenx

x� 1 parax ! 0, pero no es cierto que log

� senxx

�� log.1/D 0.

6) Es una indeterminación11. Ya debes saberlo hacer.

7) Este es el típico límite en el que si aplicas directamente L’Hôpital, sin antes simplificarsustituyendo funciones por otras asintóticamente equivalentes, lo más probable es queacabes por equivocarte al derivar. Apliquemos la primera regla: simplificar todo lo quese pueda la función.

Tenemos que:

1� cos2.tg2 x//D sen2.tg2 x/D

sen.tg2 x/

tg2 x

!2

tg4 x � tg4 x � x4

También es ex �1 � x, log.1Csen2x/ � sen2x � 2x y arc tg.sen3 x/ � sen3 x � x3.Todas estas equivalencias asintóticas son parax ! 0 y todas ellas se deducen de la tablade los límites que debes saberte de memoria. En consecuenciael límite que nos piden sereduce a calcular el siguiente límite:

lKımx!0

2x5

x5D lKım

x!02D 2

Los demás límites de este ejercicio te los dejo para que los hagas tú. ©




Ejercicio resuelto 121 Explica si es correcto usar las reglas de L’Hôpital para calcular loslímites:

lKımx!C1

x � senx

x C senxI lKım

x!0

x2 sen.1=x/

senx

Solución. Las reglas de L’Hôpital dicen que, bajo ciertas hipótesis, la existencia de

lKımx!a

f 0.x/

g 0.x/implica la existencia de lKım

x!a

f .x/

g.x/en cuyo caso ambos límites coinciden.

Una hipótesis de las reglas de L’Hôpital es que la derivada del denominador no se anu-

le en un intervalo que tenga al puntoa por extremo y que el límite lKımx!a

f .x/

g.x/sea una

indeterminación.

Esto no ocurre en el caso del cocientex � senx

x C senxparax ! C1 pues, aunque puede

verse como una indeterminación del tipo11 , la derivada del denominador es1C cosx

que se anula en todos los puntos de la forma� C 2k� , k D 1; 2; : : : por lo queno tiene

sentidoconsiderar el límite del cociente de las derivadas, lKımx!C1

1 � cosx

1C cosx, pues dicho

cociente no está definido en ningún intervalo de la forma�c;C1Œ. Es claro, sin embargo,que:

lKımx!C1

x � senx

x C senxD lKım

x!C1

1 � senx

x

1C senx

x

D 1

En el caso del límite lKımx!0

x2 sen.1=x/

senx, que puede verse como una indeterminación del

tipo0

0, si formamos el cociente de las derivadas obtenemos la función

2x sen.1=x/ � cos.1=x/

cosx

la cual no tiene límite en 0 (el denominador tiene límite 1, pero el numerador no tienelímite), luego no es posible aplicar L’Hôpital para calcular este límite el cual, por otraparte, es evidentemente igual a0, pues:

lKımx!0

x2 sen.1=x/

senxD lKım

x!0

x

senxx sen.1=x/D 0

©

Ejercicio resuelto 122 Prueba que una función polinómica de gradon coincide con su poli-nomio de Taylor de ordenn centrado en un punto cualquieraa.

Solución.Las funciones polinómicas son indefinidamente derivables,por lo que, dadosx; a2R, podemos aplicar el teorema de Taylor con resto de Lagrange para obtener quehay algún puntoc comprendido entrea y x tal que:

P .x/DP .a/CP 0.a/.x�a/CP 00.a/

2.x�a/2C� � �CP .n/.a/

n!.x�a/nCP .nC1/.c/

.nC 1/!.x�a/nC1



ComoP es una función polinómica de gradon su derivada de ordenn C 1 es nula entodo punto. LuegoP .nC1/.c/D 0, por lo que resulta:

P .x/D P .a/C P 0.a/.x � a/C P 00.a/

2.x � a/2 C � � � C P .n/.a/

n!.x � a/n

Por tantoP .x/ coincide con su polinomio de Taylor de ordenn centrado ena. ©

Ejercicio resuelto 123 Prueba que una función polinómicaP tiene un cero de ordenk ena si, y sólo si, puede escribirse de la formaP .x/D .x � a/kQ.x/, dondeQ.x/ es unafunción polinómica que no se anula ena.

Solución.Supongamos queP .x/ tiene un cero de ordenk ena, es decir el valor deP yel de todas sus derivadas hasta la de ordenk � 1 son nulos ena y la derivada de ordenkdeP no se anula ena. Entonces, como consecuencia del ejercicio anterior, tenemos que:

P .x/DnX

jD0

P .j/.a/

j !.x�a/jD

nX

jDk

P .j/.a/

j !.x�a/jD.x�a/k

nX

jDk

P .j/.a/

j !.x�a/j�k

PoniendoQ.x/DPn

jDkP .j/.a/

j!.x � a/j�k , tenemos queQ es un polinomio,Q.a/D

P .k/.a/k!¤ 0 y P .x/D .x � a/kQ.x/. El recíproco es inmediato. ©

Ejercicio resuelto 124 Calcular el número de ceros y la imagen de la funciónf WR! R

dada porf .x/D x6 � 3x2 C 2.

Solución.Se trata de un polinomio de grado par con coeficiente líder positivo, por tanto,alcanza un mínimo absoluto enR, si éste es igual am, se tiene quef .R/ D Œm;C1Œ.El punto (o los puntos) en dondef alcanza su mínimo absoluto debe ser un cero de laderivada. Como

f 0.x/D 6x5 � 6x D 6x.x4 � 1/D 6x.x2 � 1/.x2 C 1/D 6x.x � 1/.x C 1/.x2 C 1/

se anula en�1, 0 y 1, se sigue que el mínimo absoluto def debe alcanzarse en algunode estos puntos y, comof .1/D f .�1/D 0 < f .0/, deducimos quef .�1/D f .1/D 0

es el mínimo absoluto def en R. Luegof .R/ D Œ0;C1Œ. Hemos determinado así laimagen def y también hemos encontrado que�1 y 1 son ceros def (cosa fácil sin másque ver cómo esf ). Observa que�1 y 1 son ceros de orden 2 def (porque son cerossimples def 0). Es claro quef no puede tener más ceros, porque sif .x0/D 0 entoncesenx0 la funciónf alcanza un mínimo absoluto y, por tanto,f 0 debe anularse enx0. Enconclusión,f tiene 4 ceros reales (2 ceros reales dobles). ©

Ejercicio resuelto 125 Calcula el número de soluciones de la ecuación3 logx � x D 0.

Solución. Seaf .x/ D 3 logx � x. Observa que lKımx!0x > 0

f .x/ D lKımx!C1

f .x/ D �1 y

f .e/D 3 � e> 0. Deducimos, por el teorema de Bolzano, quef tiene por lo menos

un cero en cada intervalo�0;eŒ y �e;C1Œ. Como la derivadaf 0.x/ D 3

x� 1 tiene un

único cero enx D 3, concluimos, por el teorema de Rolle, quef no puede tener másde dos ceros distintos. En conclusión, la ecuación3 logx � x D 0 tiene una solución enel intervalo�0;eŒ y otra en�e;C1Œ. Si quieres, puedes precisar más. Comof .1/ < 0 yf .e2/D 6 � e2 < 0, se sigue que los dos ceros def están en el intervalo�1;e2Œ. ©

Ejercicio resuelto 126 Estudia, según los valores de˛, el número de ceros, contando mul-tiplicidades cuando proceda, de la función polinómicaf .x/ D 3x5 C 5x3 � 30x � ˛.Explica con detalle lo que haces.

Solución.Como consecuencia del teorema de Rolle, si la derivada de unafunción tienek ceros (reales)distintosentonces la funciónno puede tener más dek C 1 ceros (reales)distintos(¡pero puede que no tenga ninguno!). Sabemos también, como consecuencia delteorema de los ceros de Bolzano, que todo polinomio de grado impar tiene por lo menosun cero real. Como las raíces complejas, cuando las hay, de polinomios con coeficien-tes reales, vienen por parejas de raíces complejas conjugadas, deducimos quecontandocada cero tantas veces como indica su multiplicidad, todo polinomio de grado impar ycoeficientes reales tiene un número impar de ceros reales. Por las mismas razones,con-tando cada cero tantas veces como indica su multiplicidad, todo polinomio de grado pary coeficientes reales tiene un número par de ceros reales y también puede que no tenganinguno.

En nuestro caso:

f 0.x/D 15x4 C 15x2 � 30D 15.x2 C 2/.x2 � 1/D 15.x2 C 2/.x C 1/.x � 1/

resulta quef 0 tiene dos ceros reales ,1 y �1, por lo quef no puede tener más de tresceros reales distintos(pero todavía no sabemos si los tiene). Lo que es seguro es quef , por ser un polinomio de grado impar, tiene por lo menos un cero real, y en el casode que tenga más de un cero real debe tener tres (que pueden sersimples o uno simpley otro doble). Veamos cuándo ocurre una cosa u otra. Tenemos que f es inyectiva enlos intervalos� � 1;�1�, Œ�1; 1� y Œ1;C1Œ (porque su derivada no se anula en ningúnpunto de dichos intervalos excepto en los extremos). AdemáslKımx!�1 f .x/D�1 ylKımx!C1 f .x/DC1.

Deducimos que para quef tenga tres ceros reales simples, uno en cada intervalo� �1;�1Œ, � � 1; 1Œ y �1;C1Œ, es necesario y suficientequef .�1/ D 22 � ˛ > 0 yf .1/D�22 � ˛ < 0. Condiciones que equivalen a�22 < ˛ < 22.

Cuando˛ D 22 entoncesf .�1/ D 0 y f .1/ < 0, por lo quef tiene también tresceros reales: uno simple en el intervalo�1;C1Œ y otro doble (porque también anula a laderivada) en�1.

Cuando D�22 entoncesf .�1/ > 0 y f .1/D 0, por lo quef tiene también tres cerosreales: uno simple en el intervalo� � 1;�1Œ y otro doble (porque también anula a laderivada) en1.

Cuando > 22 o ˛ < �22, f sólo tiene un cero real (porque no puede tener tres cerosreales simples ni tampoco un cero real doble).

La discusión anterior puede hacerse también representandográficamente la función poli-nómicah.x/D 3x5C 5x3� 30x y viendo cuántos cortes tiene dicha gráfica con la rectahorizontaly D ˛. Para ello observemos queh y f tienen la misma derivada, por lo que:

x < �1÷h 0.x/ > 0; �1 < x < 1÷h 0.x/ < 0; x > 1÷h 0.x/ > 0:

Por tantoh es estrictamente creciente en��1;�1�, estrictamente decreciente enŒ�1; 1�

y estrictamente creciente enŒ1;C1Œ. Deducimos queh tiene en�1 un máximo relativoy en1 un mínimo relativo. Además, la derivada segundah 00.x/D 30x.x2 C 1/ se anula

solamente enxD0, siendoh 00.x/ < 0 parax < 0 y h 00.x/ > 0 parax > 0, es decir,h escóncava en��1; 0Œ y convexa en�0;C1Œ. Con esta información ya podemos representarsu gráfica.

�22

22

1�1

y D ˛˛

De esta gráfica se deducen fácilmente los mismos resultados antes obtenidos. Nótese quecomof .x/D h.x/ C ˛, la gráfica def se obtiene trasladando la deh hacia arriba (si˛ > 0) o hacia abajo (si < 0). Se ve así claramente, que cuando˛ D�22 o ˛ D 22, lagráfica def es tangente al eje de abscisasen el punto�1 o en el1 donde hay un cerodoble. ©

Ejercicio resuelto 127 Justifica que la ecuaciónx2 D x senx C cosx tiene exactamentedos soluciones reales.

Solución.Seaf .x/Dx2�x senx� cosx. Se trata de probar quef se anula en exacta-mente dos puntos. La funciónf es continua yf .0/D�1, f .�/D f .��/D�2C 1. Elteorema de Bolzano nos dice quef se anula en algún punto del intervalo��; 0Œ y en al-gún punto del intervalo�0; �Œ. Luegof se anula al menos en dos puntos. Veamos que nopuede anularse en más de dos puntos. En efecto, la derivada def esf 0.x/Dx.2�cosx/.Como2 � cosx > 0 para todox2R, se sigue que la derivadaf 0 solamente se anula enx D 0. Si la funciónf se anulara en tres o más puntos, en virtud del teorema de Rolle,su derivada debería anularse al menos en dos puntos, lo cual,según acabamos de ver, noocurre. Concluimos quef se anula exactamente en dos puntos.

Alternativamente, podemos razonar como sigue. Al serf 0.x/ < 0 para todox < 0, lafunciónf es estrictamente decreciente enR�, luego solamente puede anularse una vezenR�. Análogamente, comof 0.x/ > 0 para todox > 0, la funciónf es estrictamentecreciente enRC, luego solamente puede anularse una vez enRC. ©

Ejercicio resuelto 128 Seana0; a1; : : : ; an números reales. Prueba que para algúnx 2 Œ0; 1�se verifica que

nX

kD0

akxk DnX

kD0

ak

k C 1:

Solución.Se trata del típico ejercicio que una vez que sabes cómo se hace te parece muy

fácil. Pero se te tiene que ocurrir cómo hacerlo. La pista la dan los númerosak

k C 1y el

“para algúnx 2 Œ0; 1�”. El ejercicio recuerda al teorema del valor medio. Despuésdepensarlo un poco, se nos ocurre considerar la función

f .x/DnX

kD0

ak

k C 1xkC1:

El teorema del valor medio aplicado a esta función en el intervalo Œ0; 1�, nos dice que hayun puntox 2�0; 1Œ tal que

f .1/ � f .0/1 � 0

D f .1/D f 0.x/DnX

kD0

akxk :

Eso es justamente lo que había que probar. ©

Ejercicio resuelto 129 Seaf una función polinómica y seaa < b. Justifica que,contandocada cero tantas veces como su orden, sif .a/f .b/ < 0 el número de ceros def en�a; bŒes impar; y sif .a/f .b/ > 0 dicho número (caso de que haya algún cero) es par. Deduceque sif tiene gradon, es condición necesaria y suficiente para quef tengan raícesreales distintas que su derivada tengan � 1 raíces reales distintasc1 < c2 < � � � < cn�1

y que para < c1 suficientemente pequeño y paraˇ > cn�1 suficientemente grande, lossignos de los númerosf .˛/; f .c1/; f .c2/; : : : ; f .cn�1/; f .ˇ/ vayan alternando.

Solución.Si f es un polinomio de gradon y c es un cero de ordenk def , entoncestenemos quef .x/ D .x � c/kh.x/ dondeh.x/ es un polinomio de gradon � k conh.c/¤ 0. Podemos suponer, por comodidad, queh.c/ > 0. Por la continuidad deh, hayun intervalo abiertoI que contiene ac tal que para todox2I se verifica queh.x/ > 0.

� Si k es par, tenemos que.x � c/k > 0 para todox ¤ c y deducimos quef .x/ > 0

para todox2I n fcg. Por tanto, la gráfica def no atraviesaal eje de abscisas enx D c.

� Si k es impar, tenemos que.x � c/k > 0 parax > c y .x � c/k < 0 parax < c.Deducimos quef .x/ > 0 parax > c y f .x/ < 0 parax < c. Por tanto, la gráfica defatraviesaal eje de abscisas enx D c.

En otros términos, en un cero de orden par la funciónf no cambia de signo y en un cerode orden impar sí cambia.

Es claro que sif .a/f .b/ < 0 el número de cambios de signo def entrea y b tiene queser impar. Deducimos, por lo antes visto, quef tiene en�a; bŒ un número impar de cerosde orden impar, por lo que el número total de ceros def en �a; bŒ, contando cada cerotantas veces como su orden, es impar.

Análogamente, sif .a/f .b/ > 0 el número de cambios de signo def entrea y b tieneque ser par (o ninguno) y deducimos que el número total de ceros def en �a; bŒ es par.

Sif tienen ceros (reales) distintos,1 < ˛2 < � � � < ˛n�1 < ˛n, estos ceros determinann � 1 intervalos� j ; jC1Œ y, por el teorema de Rolle, en cada uno de esos intervalos laderivada tiene que tener algún cerocj 2� j ; jC1Œ. Deducimos así que la derivada tienen�1 raíces (reales) distintasc1 < c2 < � � � < cn�1. Como en cada intervalo� j ; jC1Œ lagráfica def atraviesa una vez el eje de abscisas, deducimos quef .cj/f .cjC1/ < 0, esdecir, los númerosf .c1/; f .c2/; : : : ; f .cn�1/ van alternando su signo. Ahora, si˛ < ˛1,en el intervalo�˛; c1Œ la funciónf tiene un cero simple1 y, por tanto, su gráfica atraviesauna vez al eje de abscisas, luegof .˛/f .c1/ < 0. Análogamente, si n < ˇ debe serf .cn�1/f .ˇ/ < 0. Hemos probado así que la condición del enunciado es necesaria.

Recíprocamente, la condición del enunciado implica quef tienenC1 cambios de signo,luego tienen raíces distintas. ©

Ejercicio resuelto 130 Determina para qué valores de˛ la función polinómica

3x4 � 8x3 � 6x2 C 24x C ˛

tiene cuatro raíces reales distintas.

Solución.Seaf .x/D 3x4 � 8x3 � 6x2 C 24x C ˛. Como

f 0.x/D 12x3 � 24x2 � 12x C 24D 12.x C 1/.x � 1/.x � 2/

y lKımx!�1

f .x/ D lKımx!C1

f .x/ D C1, se sigue, en virtud del ejercicio anterior, quef

tiene4 raíces reales distintas si, y sólo si,f .�1/D�19C ˛ < 0, f .1/D 13C ˛ > 0 yf .2/D 8C ˛ < 0. Estas condiciones equivalen a�13 < ˛ < �8. ©

Ejercicio resuelto 131 Dadon2N, seaf .x/D .x2 � 1/n. Prueba que la derivadak-ésima(1 6 k 6 n) def tiene exactamentek raíces reales distintas en el intervalo� � 1; 1Œ.

Solución.Observa quef es un polinomio de grado2n que tiene un cero de ordenn enxD�1 y otro cero de ordenn enxD 1. La derivada de ordenk def será un polinomiode grado2n � k que tendrá un cero de ordenn � k en x D �1 y otro cero de ordenn� k enx D 1, luego debe ser de la formaf .k/.x/D .x2 � 1/n�kPk.x/ dondePk.x/

es un polinomio de gradok. Lo que nos piden es probar que para16 k 6 n el polinomioPk.x/ tienek raíces reales distintas en el intervalo� � 1; 1Œ. Lo haremos por inducción(finita). ParakD1, f 0.x/D .x2�1/n�12n x que tiene un cero en��1; 1Œ. Supongamosque1 < k < n � 1 y quePk.x/ tienek raíces reales distintas,a1 < a2 < � � � < ak enel intervalo� � 1; 1Œ. Tenemos que

f .kC1/.x/ D.x2 � 1/n�k�12.n� k/xPk.x/C .x2 � 1/n�kPk0.x/

D.x2 � 1/n�k�1�2.n � k/xPk.x/C .x2 � 1/Pk

0.x/�:

Por tantoPkC1.x/D 2.n� k/xPk.x/C .x2 � 1/Pk

0.x/:

El polinomioPk0.x/ tiene un cero en cada uno de los intervalos�aj ; ajC1Œ y, como hay

en totalk � 1 de ellos, deducimos quePk0.x/ tienek � 1 ceros simplescj 2�aj ; ajC1Œ.

En cada uno de dichos cerosPk0.x/ cambia de signo, es decir,Pk

0.aj /Pk0.ajC1/ < 0.

Supongamos, por comodidad, quePk0.a1/ < 0. Entonces.�1/j Pk

0.aj / > 0 para1 6 j 6 k. Como

PkC1.aj /D 2.n� k/aj Pk.aj /C .a2j � 1/Pk

0.aj /D .a2j � 1/Pk

0.aj /

y a2j � 1 < 0, deducimos que

.�1/j PkC1.aj /D .a2j � 1/.�1/j Pk

0.aj / < 0; 1 6 j 6 k:

Por tantoPkC1.x/ tiene una raíz en cada uno de losk � 1 intervalos�aj ; ajC1Œ.

Probaremos ahora quePkC1.x/ tiene una raíz en� � 1; a1Œ y otra en �ak ; 1Œ. Como.�1/j PkC1.aj / < 0, se sigue quePkC1.a1/ > 0. Tenemos también quePkC1.�1/D�2.n � k/Pk.�1/ por lo que, al sern � k > 0, será suficiente probar quePk.�1/ > 0.Para ello basta observar que comoPk

0.x/ ¤ 0 parax < c1 y comoPk0.a1/ < 0, se

sigue quePk0.x/ < 0 para todox < c1. LuegoPk.x/ es estrictamente decreciente en

el intervalo � � 1; c1� y como se anula ena1 < c1, concluimos quePk.x/ > 0 parax < a1 y, por tanto,Pk.�1/ > 0. Análogamente se prueba quePk.x/ tiene una raíz en�ak ; 1Œ. ©

Ejercicio resuelto 132 Prueba que�a e logx 6 x�a para todox > 0 y todoa2R.

Solución.La desigualdad propuesta, aparentemente, depende de dos variablesa 2R yx > 0. Debemos escribirla en función de una sola variable. Para ello basta escribir dichadesigualdad en la forma:

log�x�a

�

x�a6

1

e:

Teniendo en cuenta quex�aDexp.�a logx/ puede ser cualquier número positivo, vemos

que realmente se trata de probar la desigualdadlog t

t6

1

epara todot > 0.

Sea, pues,f .t/ D log t

tdondet > 0. Tenemos quef 0.t/ D 1� log t

t2y, por tanto,

f 0.t/ > 0 si 0 < t < e por lo quef es estrictamente creciente en�0;e� y f 0.t/ < 0 sit > e por lo quef es estrictamente decreciente enŒe;C1Œ. Deducimos quef alcanzaent D e un máximo absoluto enRC. Luegof .t/6 f .e/D 1=e.

Hemos probado quelog t

t6

1

e.t > 0/ (6.27)

Además, esta desigualdad es estricta parat ¤ e.

Haciendo en (6.27) t D x�a, dondex > 0 y a 2 R, deducimos que la desigualdad�a e logx 6 x�a es válida para todox > 0 y para todoa2R. ©

Ejercicio resuelto 133 Dado˛ 2�0; 1Œ demuestra quex˛ < ˛x C 1 � ˛ para todox 2RC,x ¤ 1.

Solución.Seaf .x/D ˛xC 1� ˛ � x˛. Es claro quef .1/D 0, por tanto, todo consisteen probar que la funciónf alcanza enx D 1 un mínimo absoluto estricto. Tenemos quef 0.x/D ˛ � ˛x˛�1 D ˛.1� x˛�1/. Para0 < x < 1 es.˛ � 1/ logx > 0 y, por tanto,x˛�1Dexp

�.˛�1/ logx

�> 1, lo que implica, por ser > 0, quef 0.x/ < 0. Análoga-

mente se justifica quef 0.x/ > 0 si x > 1. Por tantof es estrictamente decreciente en�0; 1� y estrictamente creciente enŒ1;C1Œ. Concluimos así quef .x/ > f .1/ D 0 paratodox > 0, x ¤ 1.

Tenemos que:

ab 6ap

pC bq

q” ab1�q 6

apb�q

pC 1

qD apb�q

pC 1 � 1

p

Poniendo D 1p

y x D ab1�q , con lo quex˛ D apb�q , esta desigualdad es un casoparticular de la antes probada. La igualdad ocurre si, y sólosi, xD1, es decir,apDbq .©

Ejercicio resuelto 134 Prueba que para todox 2�0; �=2Œ se verifica que:

i) 1 � x2

2< cosx I ii)

2x

�< senx < x < tgx

Solución.

i) Seaf .x/D cosx� 1C x2

2. Tenemos quef 0.x/D� senxCx y f 00.x/D 1� cosx.

Comof 00.x/ > 0 para todox 2�0; �=2Œ, se sigue quef 0 es estrictamente creciente enŒ0; �=2� y, comof 0.0/D 0, obtenemos quef 0.x/ > 0 para todox 2�0; �=2Œ. Por tantof es estrictamente creciente enŒ0; �=2�. Puesto quef .0/ D 0, concluimos finalmentequef .x/ > 0 para todox 2�0; �=2�.

ii) Seaf .x/D senx � 2x

�. Tenemos quef 0.x/D cosx � 2

�y f 00.x/D� senx. Como

f 00.x/ < 0 para todox 2�0; �=2Œ, se sigue quef 0 es estrictamente decreciente enŒ0; �=2�. Comof 0.0/ > 0, y f 0.�=2/ < 0, deducimos que hay un único puntox0 2�0; �=2Œ tal quef 0.x0/D 0, y en dicho punto la funciónf alcanza un máximo absolutoen Œ0; �=2�. Sabemos, por el teorema de valores máximos y mínimos de Weierstrass,quef tiene que alcanzar un valor mínimo absoluto enŒ0; �=2�. Dicho mínimo absolutonecesariamente tiene que alcanzarse en los extremos del intervalo ya que si se alcanzaraen un punto interior, en dicho punto habría de anularse la derivada y hemos visto queésta sólo se anula en un punto que es de máximo absoluto. Comof .0/ D f .�=2/ D 0

concluimos quef .x/ > 0 para todox 2�0; �=2Œ.Observa que en ambos casos interesa trabajar en el intervalocerradoŒ0; �=2�. ©

Ejercicio resuelto 135 Desigualdad de Jensen. Seaf W I ! R una función convexa en elintervaloI , y sean2N, n > 2. Dados númerosk > 0, xk 2I tales que

PnkD1 ˛k D 1,

prueba que:

f

nX

kD1

˛kxk

!6

nX

kD1

˛kf .xk/: (6.28)

Además, sif es estrictamente convexa, la desigualdad anterior es estricta siempre queal menos dos de los puntosxk sean distintos.

Solución.ParanD 2 la desigualdad del enunciado es

f .˛1x1 C ˛2x2/6 ˛1f .x1/C ˛2f .x2/

donde˛1 y ˛2 son números positivos con1 C ˛2 D 1. Pero esta es justamente la defi-nición de función convexa (si no lo ves claro, pont D ˛1, 1� t D 1� ˛1 D ˛2, x1 D x,x2 D y con lo que dicha desigualdad es exactamente igual que la desigualdad (6.24).)

Supongamos que la desigualdad (6.28) sea cierta para un número naturaln > 2 y probe-mos que, en tal caso, también es cierta paranC 1. Sean k > 0 tales que

PnC1kD1 ˛k D 1

y seanxk 2I parak D 1; 2; : : : ;nC 1. Tenemos que:

nC1X

kD1

˛kxk D .1 � ˛nC1/

nX

kD1

˛k

1 � ˛nC1

xk C ˛nC1xnC1 (6.29)

Pongamos�k D˛k

1 � ˛nC1

> 0. Tenemos que:

nX

kD1

�k D1

1 � ˛nC1

nX

kD1

˛k D1 � ˛nC1

1 � ˛nC1

D 1


Por tanto, el númerox DnX

kD1

�kxk está enI porque está comprendido entre el mínimo

y el máximo de losxk , 1 6 k 6 n. Escribiendo la igualdad (6.29) en la forma:

nC1X

kD1

˛kxk D .1� ˛nC1/x C ˛nC1xnC1

Y usando quef es convexa, tenemos que

f

nC1X

kD1

˛kxk

!6 .1 � ˛nC1/f .x/C ˛nC1f .xnC1/

Por la hipótesis de inducción aplicada ax DnX

kD1

�kxk con �k > 0 yPn

kD1 �k D 1,

tenemos que

f .x/6nX

kD1

�kf .xk/DnX

kD1

˛k

1� ˛nC1

f .xk/

De las dos últimas desigualdades se deduce que:

f

nC1X

kD1

˛kxk

!6

nC1X

kD1

˛kf .xk/:

Lo que completa la demostración por inducción.

Finalmente, si la funciónf es estrictamente convexa, entonces las desigualdades sonestrictas salvo en el caso trivial de que todos los puntosxk coincidan. ©

Ejercicio resuelto 136 Seanxk , ˛k , donde1 6 k 6 n, números positivos verificando quePnkD1 ˛k D 1. Usando de la convexidad de la funciónx 7! � logx demuestra la de-

sigualdad:

x˛1

1x

˛2

2� � � x˛n

n 6nX

kD1

˛kxk (6.30)


Solución.La funciónf .x/D� logx es estrictamente convexa enRC porque su derivadasegunda es positiva enRC. Usando la desigualdad de Jensen, tenemos que

� log

nX

kD1

˛kxk

!6 �

nX

kD1

log.˛kxk/D�nX

kD1

log�x

˛k

k

�D� log

�x

˛1

1x

˛2

2� � � x˛n

n

�

Teniendo en cuenta que la función logaritmo es estrictamente creciente, la desigualdadanterior es equivalente a la que se pide probar.

La igualdad solamente ocurre cuando todos losxk coinciden. ©




Ejercicio resuelto 137 Seanp; q números reales positivos tales que1=p C 1=q D 1.

a) Prueba queab 6ap

pC bq

qy la igualdad ocurre si, y sólo si,ap D bq .

b) Dadoz D .z1; z2; : : : ; zn/ 2 Rn y s > 0, definamoskzks D

nX

iD1

jzi js!1=s

. Prueba

que para todox D .x1;x2; : : : ;xn/ y todo y D .y1;y2; : : : ;yn/ en Rn se verifica ladesigualdad de Hölder:

nX

iD1

jxiyi j6 kxkp kykq :


Sugerencias.El punto a) puede hacerse como consecuencia del ejercicio anterior. Para

b) hágaseaD jxijkxkp

; b D jyi jkykq

en la desigualdad del punto a).

Solución.

a) Haciendo en la desigualdad (6.30) x1Dap, x2Dbq , ˛1D1=p y ˛2D1=q, obtenemosla desigualdad:

ab 61

pap C 1

qbq :

La igualdad ocurre si, y sólo si,ap D bq .

b) Tenemos que:jxijkxkp

jyijkykq

61

p

jxijpkxkpp

C 1

q

jyi jqkykqq

Sumando estas desigualdades:

nX

iD1

jxijkxkp

jyijkykq

61

p

nX

1D1

jxijpkxkpp

C 1

q

nX

iD1

jyijqkykqq

D 1

pC 1

qD 1

Lo que prueba la desigualdad de Hölder. La igualdad ocurre si, y solamente si,jxijp D

� jyi jq para todoi D 1; 2; : : : ;n, donde�Dkxkppkykqq

Paras D 2, el númerokxk2 D

pnX

jD1

x2j se llamanorma euclídeadel vectorx. La

desigualdad de Hölder parap D q D 2 se llamadesigualdad de Cauchy-Schwarz:

nX

jD1

ˇxj yj

ˇ6 kxk2 kyk2 (6.31)

La igualdad ocurre si, y sólo si,ˇxj

ˇD �

ˇyj

ˇparaj D 1; 2; : : : ;n donde�2RC.

La desigualdad (6.31) suele escribirse de la forma:ˇˇˇ

nX

jD1

xj yj

ˇˇˇ6 kxk2 kyk2 (6.32)



Teniendo en cuenta que: ˇˇˇ

nX

jD1

xj yj

ˇˇˇ6

nX

jD1

ˇxj yj

ˇ; (6.33)

es claro que la desigualdad (6.32) es consecuencia de la (6.31). Pero basta sustituir en(6.32) xj e yj por jxj j y jyj j, lo que no afecta para nada a las respectivas normas euclí-deas, para convertir (6.32) en (6.31).

Veamos cuándo se da la igualdad en (6.32). Es claro que para ello tiene que darse laigualdad en (6.33) y en (6.31). La igualdad en (6.33) equivale a que los númerosxjyj

(16j 6n) sean todos mayores o iguales que cero o todos menores o iguales que cero. Laigualdad en (6.31) sabemos que equivale a que

ˇxj

ˇD �

ˇyj

ˇparaj D 1; 2; : : : ;n donde

�2RC. Estas dos condiciones juntas equivalen a quexj D �yj para1 6 j 6 n, donde�2R, es decir, los vectoresx, y son linealmente dependientes. ©

Ejercicio resuelto 138 Seaf es una función derivable en un intervaloI . Prueba quef esconvexa enI si, y sólo si, la gráfica def queda siempre por encima de la recta tan-gente en cualquier punto, es decir, para todo par de puntosx; a 2 I se verifica quef .x/> f .a/C f 0.a/.x � a/.

Solución.Supongamos quef es convexas y seax < a. De la desigualdad:

f .tx C .1� t/a/6 tf .x/C .1� t/f .a/D t.f .x/� f .a//C f .a/ 0 < t < 1

se deduce quef .x/� f .a/

x � a6f .aC t.x � a// � f .a/

t.x � a/:

Como esta desigualdad es cierta para todot 2�0; 1Œ, tomando límites en la derecha parat ! 0 se deduce que

f .x/� f .a/x � a

6 f 0.a/ ÷ f .x/� f .a/> f 0.a/.x � a/

Para el caso en quex > a se obtiene la misma desigualdad.

Supongamos ahora quef es derivable enI y para todo par de puntosx; a2I se verificaque:

f .x/> f .a/C f 0.a/.x � a/ (6.34)

Supongamos quea < b. Sustituyendo en la desigualdad anteriorx porb resulta:

f 0.a/6f .b/ � f .a/

b � a

Sustituyendo ahora en (6.34) a porb y x por a, obtenemos:

f .a/> f .b/C f 0.b/.a � b/ ÷f .b/ � f .a/

b � a6 f 0.b/

De esta desigualdad y de la anterior, deducimos quef 0.a/ 6 f 0.b/, lo que prueba quela derivada def es creciente enI . ©


Ejercicio resuelto 139 Prueba que las únicas funcionesn veces derivables con derivada deordenn constante son las funciones polinómicas de grado menor o igual quen.

Solución. Seaf una funciónn veces derivables con derivada de ordenn constante.Naturalmente, dicha función tiene derivada de ordenn C 1 idénticamente nula. Dado,x 2R, aplicamos el teorema de Taylor con resto de Lagrange af en el puntoa D 0, ydeducimos que existe un puntoc comprendido entre0 y x tal que:

f .x/D f .0/C f 0.0/x C f 00.0/

2x2 C � � � C f .n/.0/

n!xn C f .nC1/.c/

.nC 1/!xnC1

y comof .nC1/.t/D 0 para todot 2R, concluimos quef coincide con su polinomio deTaylor de ordenn enaD 0 y, por tanto, es una función polinómica de grado6n.

Fíjate que no cabe esperar que este resultado pueda probarsesin usar algún resultadoteórico profundo. Recuerda que se necesita el teorema del valor medio para probar queuna función con primera derivada nula es constante. ©

Ejercicio resuelto 140 Prueba que el polinomio de Taylor de ordenn de una funciónf es elúnico polinomioP .x/ de grado menor o igual quen tal quef .x/D P .x/C o.x � a/n.

Solución.Supongamos queP .x/ y Q.x/ son funciones polinómicas de grado menor oigual quen tales que:

lKımx!a

f .x/� P .x/

.x � a/nD lKım

x!a

f .x/�Q.x/

.x � a/nD 0

Entonces, se tiene que

lKımx!a

P .x/�Q.x/

.x � a/nD 0

PongamosH.x/ D P .x/ � Q.x/ que es una función polinómica de grado6n. SeaTn.H; a/.x/ el polinomio de Taylor de ordenn de H en a. Por el teorema de Taylor–Young sabemos que:

lKımx!a

H.x/� Tn.H; a/.x/

.x � a/nD 0:

Como:Tn.H; a/.x/

.x � a/nD H.x/

.x � a/n� H.x/� Tn.H; a/.x/

.x � a/nC

Deducimos que:

lKımx!a

Tn.H; a/.x/

.x � a/nD 0

Evidentemente, la única posibilidad de que esto ocurra es que el polinomioTn.H; a/.x/

sea idénticamente nulo. Pero, comoH es una función polinómica de grado6n, sabemosqueTn.H; a/.x/ D H.x/, por tanto,H es idénticamente nulo, es decir,P .x/DQ.x/

para todox2R. ©

Ejercicio resuelto 141 Seaf W�� =2; �=2Œ! R la función dada por:

f .x/D log.1C senx/� senx

sen2 x




parax 2� � �=2; �=2Œ, x ¤ 0, y f .0/D�1=2. Calcula el polinomio de Taylor de orden3 def en0.

Solución.La forma de la funciónf sugiere considerar la siguiente función:

g.x/D log.1C x/� x

x2; g.0/D�1

2:

Pues se tiene quef .x/ D g.senx/, por lo que si sabemos derivarg también sabemosderivarf . En principio, debemos calcular las derivadasf 0.0/, f 00.0/ y f 000.0/. Perotambién podemos intentar calcular directamente un polinomio P .x/ de grado63 tal quef .x/D P .x/C o.x3/ pues, por el ejercicio anterior,P .x/ será el polinomio de Taylorde orden3 def en0. La ventaja de proceder así es que nos ahorramos bastante trabajo y,además, podemos aprovecharnos de que los polinomios de Taylor deg en0 se deducenfácilmente de los polinomios de Taylor de log.1Cx/ en0 y éstos son conocidos. Sabemosque

log.1C x/D x � x2

2C x3

3� x4

4C x5

5C � � � C .�1/nC1

nxn C o.xn/

Deducimos que

g.x/D�1

2C x

3� x2

4C x3

5C � � � C .�1/nC1

nxn�2 C o.xn�2/

Acabamos de calcular el polinomio de Taylor de ordenn� 2 deg en0. En particular

T3.g; 0/.x/D�1

2C x

3� x2

4C x3

5

Tenemos que

lKımx!0

g.x/ � T3.g; 0/.x/

x3D 0÷ lKım

x!0

x3

sen3 x

g.senx/� T3.g; 0/.senx/

x3D 0

÷ lKımx!0

g.senx/� T3.g; 0/.senx/

x3D 0

La idea ahora es obtener un polinomio,P .x/, de grado63 tal que:

lKımx!0

T3.g; 0/.senx/� P .x/

x3D 0;

pues entonces como:

f .x/� P .x/

x3D g.senx/� T3.g; 0/.senx/

x3C T3.g; 0/.senx/ � P .x/

x3

tendremos que

lKımx!0

f .x/� P .x/

x3D 0

y, por tanto,P .x/ será el polinomio de Taylor de orden3 def en0.


senx D x � x3

6C o.x4/



es muy fácil calcularP .x/. De hecho, tenemos que:

T3.g; 0/.senx/D T3.g; 0/

x � x3

6C o.x4/

!D�1

2C 1

3x � 1

4x2 C 13

90x3 C o.x3/

Donde deben hacerse los cálculos sabiendo lo que se busca para no hacer trabajo in-necesario. Alternativamente, puedes calcular directamente P .x/ porque es el polinomiode Taylor de orden3 de T3.g; 0/.senx/ en 0. De una forma u otra, concluimos que elpolinomio pedido es:

P .x/D�1

2C 1

3x � 1

4x2 C 13

90x3

Observa que no hemos necesitado calcular las tres primeras derivadas def en 0, peroahora las conocemos:

f 0.0/D 1

3; f 00.0/D�1

2; f 000.0/D 13

15

©

Ejercicio resuelto 142 Calcula, usando un desarrollo de Taylor conveniente, un valor apro-ximado del número real con un error menor que" en cada uno de los casos siguientes:

a/ ˛D 3p

7; "D10�3 b/ ˛Dp

e; "D10�3 c/ ˛Dsen1

2; "D10�4 d/ ˛Dsen.61ı/; "D10�8

Solución.a) Elegimos un puntoa próximo axD 7 en el que podamos calcular de formaexacta el valor def .x/D 3

px y de sus derivadas. El puntoaD 8 es un buen candidato,

pues está próximo ax D 7 y 3p

8 D 2. El error que se comete al aproximar3p

7 por elcorrespondiente valor del polinomio de TaylorTn.f; a/.x/ viene dado por

ˇf .nC1/.c/

ˇ

.nC 1/!jx � ajnC1 D ŒaD 8; x D 7�D

ˇf .nC1/.c/

ˇ

.nC 1/!

donde7 < c < 8. Como

f .n/.x/D 1

3

�1

3� 1

��1

3� 2

��

1

3� nC 1

�x1=3�nD 1 � 2 � 5 � 8 � � � .3.n � 1/ � 1/

3n

3p

x

xn

deducimos queˇf .nC1/.c/

ˇ

.nC 1/!<

1 � 2 � 5 � 8 � � � .3n � 1/

.nC 1/!3nC1

3p

8

7nC1<

2

7nC1

y basta tomarnD4 para que el error cometido al aproximar3p

7 por el valor del polinomiode TaylorT3.f; 8/.7/ sea menor que10�3.

Si hubiéramos tomadoaD 1;93 D 6;859 la aproximación obtenida hubiera sido muchomejor porque7 � 6;859 D 0;141. Y aún mejor tomandoa D 1;913 D 6;96787, pues7 � 6;96787 < 0;05. En ambos casos el valor def .x/D 3

px y de sus derivadas puede

calcularse de forma exacta ena.

d) Lo primero que hay que hacer es expresar el seno en radianes. Tenemos que

sen.61ı/D sen

�61�

180

�D sen

��3C �

180

�

Claramente, debemos elegiraD�=3. El error que se comete al aproximar sen�

61�180

�por

el correspondiente valor del polinomio de TaylorTn.sen; a/.x/ viene dado porˇsen.nC1/.c/

ˇ

.nC 1/!jx � ajnC1 D

�aD �

3; x D 61�

180

�6

1

.nC 1/!

�2

100

�nC1

donde hemos tenido en cuenta que las derivadas del seno estánacotadas por1 y que�

180< 3;5

180< 2

100. Deducimos que basta tomarn D 3 para que el error cometido al

aproximar sen�

61�180

�por el valor del polinomio de TaylorT3

�sen; �

3

� �61�180

�sea menor

que10�8. ©

Ejercicio resuelto 143 Calcula los valores máximo y mínimo de las siguientes funciones enlos intervalos que se indican:

1. f .x/D x3 � x2 � 8x C 1 en el intervaloŒ�2; 2�.

2.x C 1

x2 C 1en el intervaloŒ�1; 2�.

3. f .x/D 1

2.sen2 x C cosx/C 2 senx � x en el intervaloŒ0; �=2�.

4. f .x/D 3p

x2.5� 2x/ en el intervaloŒ�1; 2�.

5. f .x/D�x3 C 12x C 5 en el intervaloŒ�3; 3�.

Solución.

3) La funciónf .x/D 1

2.sen2 x C cosx/C 2 senx � x, tiene como derivada

f 0.x/D cosx senx � 1

2senx C 2 cosx � 1D 1

2.�1C 2 cosx/.2C senx/

Por tanto, el único cero de la derivada en el intervaloŒ0; �=2� esx D �=3. Como para0 6 x < �=3 esf 0.x/ > 0 y para�=3 < x 6 �=2 esf 0.x/ < 0, se sigue que elvalor máximo absoluto de la funciónf en Œ0; �=2� se alcanza un enx D �=3 y vale

f .�=3/ D 5

8Cp

3 � �3

. El valor mínimo absoluto debe alcanzarse en alguno de los

extremos del intervalo. Comof .0/ D 1

2y f .�=2/ D 5

2� �

2, se sigue que el valor

mínimo absoluto def en Œ0; �=2� se alcanza enx D 0.

4) La funciónf .x/D 3p

x2.5 � 2x/, tiene como derivada

f 0.x/D 2

3x2=3�1.5� 2x/� 2 x2=3D x 2=3

�10 � 4x

3x� 2

�D 3p

x210.1 � x/

3xx¤ 0

Claramente,f no es derivable enxD0. El único cero de la derivada esxD1, puesto quef 0.x/ < 0, para�1 6 x < 0, f 0.x/ > 0 para0 < x < 1 y f 0.x/ < 0 para1 < x 6 3,

se sigue quef es estrictamente decreciente enŒ�1; 0�, estrictamente creciente enŒ0; 1� yestrictamente decreciente enŒ1; 3�. Por tantox D 0 es un mínimo relativo yx D 1 es unmáximo relativo. Comof .�1/D7, f .0/D0, f .1/D3 y f .3/D� 3

p9, se sigue que, en

el intervaloŒ�1; 3�, el mínimo absoluto def se alcanza en el puntox D 3 y el máximoabsoluto se alcanza enx D�1. ©

Ejercicio resuelto 144 Para cada número realt seaf .x/D�13x3C t2x. Calcula, para cada

valor det 2 Œ�1; 1�, el mínimo valor def .x/ en el intervaloŒ0; 1�.

Solución.Tenemos que:

f 0.x/D�x2 C t2 D .t C x/.t � x/D 0÷x D t o x D�t

Solamente nos interesa el cero def 0 en Œ0; 1�. Distinguiremos dos casos.

a)�16 t 60. En este caso el único punto deŒ0; 1� donde la derivada se anula esx0D�t .Además, se tiene que para0 6 x 6 x0 esf 0.x/ > 0 y parax0 6 x 6 1 esf 0.x/ 6 0.Por tanto enx0 hay un máximo absoluto. El mínimo absoluto def debe alcanzarse enalguno de los extremos del intervalo. Tenemos quef .0/D 0 y f .1/D t2 � 1

3. Por tanto,

si�1 6 t < � 1p3

se tiene quef .0/ < f .1/ y el mínimo absoluto se alcanza enx D 0.

Si� 1p3

6 t 6 0 se tiene quef .1/6 f .0/ y el mínimo absoluto se alcanza enx D 1.

b) 0 6 t 6 1. Se hace de la misma forma. ©

Ejercicio resuelto 145 Definamosf .x/ D 5x2 C ˛x�5, donde˛ > 0 es una constante.Calcula el valor más pequeño de˛ tal quef .x/> 21 para todox > 0.

Solución.Calcularemos el mínimo def .x/ enRC, que dependerá de, e impondremosque dicho mínimo sea>21. Tenemos que:

f 0.x/D 10x � 5˛x�6 D 5x�6.2x7 � ˛/

El único cero def 0 en RC esx0 D 7

q˛2

. Para0 < x < x0 se tiene quef 0.x/ < 0 y

parax > x0 esf 0.x/ > 0. Deducimos quef alcanza enx0 su valor mínimo absolutoenRC. Imponemos la condición de que dicho valor mínimo sea>21:

f .x0/D 5x20 C ˛x�5

0 D 5˛

27

227

C ˛ 257

˛57

D ˛ 27

7

227

> 21” ˛ > 2

�21

7

�72

D 54p

3

El valor mínimo pedido de es54p

3. ©

Ejercicio resuelto 146 Calcula el mínimo valor dePn

kD1.x � ak/2 dondea1; a2; : : : ; an

son números reales dados.

Solución.Se trata de calcular el mínimo absoluto de la funciónf .x/ DnX

kD1

.x � ak/2

cuandox 2 R. Cuando una función no está definida en un intervalo cerrado hay queestudiar el signo de la derivada si queremos calcular máximos o mínimos absolutoscuyaexistencia habrá que justificar. Tenemos

f 0.x/D 2

nX

kD1

.x � ak/D 2n x � 2

nX

kD1

ak

que se anula solamente en

x D 1

n

nX

kD1

ak :

Comof 00.x/D2n > 0, se sigue quef 0.x/ es creciente y, por tanto,f 0.x/ < 0 si x < x

y f 0.x/ > 0 si x > x. Luegof .x/ 6 f .x/ para todox 2R. Es decir, el valor mínimobuscado se obtiene cuandox se sustituye por la media aritmética,x, dea1; a2; : : : ; an.©

Ejercicio resuelto 147 Calcula la imagen def WRC ! R dada porf .x/D x1=x.

Solución.Como se trata de una función continua, definida en un intervalo, su imagen

tiene que ser un intervalo. Escribamosf .x/ D exp

�logx

x

�. Tenemos quef 0.x/ D

1� logx

x2f .x/. Es evidente quef .x/ > 0 para todox > 0. La derivada se anula sola-

mente parax D e, y f 0.x/ > 0 para0 < x < e, f 0.x/ < 0 parax > e. Deducimosque enx D e la función alcanza un máximo absoluto. Es claro quef no alcanza nin-gún mínimo absoluto aunque toma valores arbitrariamente próximos a0, pues como

lKımx!0x > 0

logx

xD �1, se sigue que lKım

x!0x > 0

f .x/ D 0. Concluimos que la imagen def es el

intervalo�0;e1= e�. ©

Ejercicio resuelto 148 Seaf WR! R la función definida porf .x/D e�1=x2

parax ¤ 0,y f .0/D 0. Estudia la continuidad y derivabilidad def y calcula su imagen.

Solución.Consideremos la funcióng WRCo ! R definida para todox > 0 por g.x/D

e�1=xD 1

e1=x, y g.0/D 0. Recuerda que para todo númeror 2R se verifica que

lKımx!C1

xr

exD lKım

x!0x > 0

1

xr e1=xD 0

Como lKımx!0x > 0

g.x/D 0, la funcióng es continua enRCo . Parax > 0 es

g 0.x/D 1

x2e�1=xD 1

x2 e1=x;

por lo que lKımx!0x > 0

g 0.x/ D 0 y, por un resultado de teoría usado ya en varias ocasiones,

concluimos queg es derivable en0 cong 0.0/ D 0 siendo, además,g 0 continua en0 y,por tanto, enRC

o . Como parax > 0 es g 00.x/D�� 2x�3 C x�4

�e�1=x, se sigue que

lKımx!0x > 0

g 00.x/D 0, luegog es dos veces derivable en 0 siendog 00.0/ D 0. De esta forma

puedes demostrar por inducción queg tiene derivadas de todos órdenes enx D 0 siendog.n/.0/D 0 para todon2N.

Comof .x/D g.x2/ para todox 2R, se sigue que tambiénf tiene derivadas de todosórdenes enx D 0 siendof .n/.0/ D 0 para todon 2N. Por tanto,f tiene derivadas detodos órdenes enR, es decir, es una función de claseC 1 enR.

Sabemos que la imagen def es un intervalo. El mínimo absoluto def se alcanza en

xD 0. Comof 0.x/D 2

x3e�1=x2

.x¤ 0/, se tiene quef 0.x/ < 0 si x < 0 y f 0.x/ > 0

si x > 0. Luegof es estrictamente decreciente en� � 1; 0� y estrictamente crecien-te en Œ0;C1Œ. Además comof .�x/ D f .x/, tenemos quef .R/ D f .Œ0;C1Œ/ DŒf .0/; lKım

x!C1f .x/ŒDŒ0; 1Œ. ©

Ejercicio resuelto 149 Seaf W Œa; b�! R continua enŒa; b� y derivable dos veces en�a; bŒ.Supongamos que el segmento de extremos.a; f .a// y .b; f .b// corta a la gráfica defen un punto.c; f .c// con a < c < b: Demuestra que existe algún puntod 2�a; bŒ talquef 00.d/D 0:

Sugerencia.Interpreta gráficamente el enunciado.

Solución.

Basta aplicar el teorema del valor medio af enlos intervalosŒa; c� y Œc; b� para obtener que haypuntosu 2�a; cŒ, v2�c; bŒ tales que

f 0.u/D f .c/ � f .a/c � a

; f 0.v/D f .b/ � f .c/b � c

Como los puntos .a; f .a//, .c; f .c// y.b; f .b// están alineados es:

f .c/ � f .a/c � a

D f .b/ � f .c/b � c

:

Por tantof 0.u/D f 0.v/.Aplicamos ahora el teorema de Rolle af 0 enŒu; v�, para concluir que hay algúnz 2�u; vŒ talquef 00.z/D 0. ©

.a; f .a//

.b; f .b//

ca bu v

Ejercicio resuelto 150 Seaf W Œa; b�! R derivable yf 0 creciente. Prueba que la función

gW�a; b�! R dada para todox 2�a; b� por g.x/D f .x/� f .a/x � a

es creciente.

Solución.

Podemos derivarg.x/ como se deriva un cociente. Tenemos

g 0.x/D f 0.x/.x � a/ � .f .x/� f .a//.x � a/2

; .a < x 6 b/

Aplicando el teorema del valor medio af en el intervaloŒa;x�, tenemosf .x/� f .a/Df 0.c/.x � a/ para algúnc 2�a;xŒ. Por tanto

f 0.x/.x � a/ � .f .x/� f .a//D .f 0.x/� f 0.c//.x � a/> 0

por serf 0 creciente. Concluimos queg 0.x/> 0 para todox2�a; b�, lo que implica queges creciente en dicho intervalo. ©

Orígenes y desarrollo del concepto de derivada 305

Ejercicio resuelto 151 Justifica que existe una funcióng W R ! R derivable y que verifica

queg.x/C eg.x/Dx para todox2R. Calculag 0.1/ y g 0.1C e/.

Solución.

Se trata de probar que la funciónf WR! R definida porf .x/D exCx es una biyec-ción deR sobreR, pues entonces llamandog a la función inversa def , se tendrá quef .g.x//D x, es decir,g.x/C eg.x/Dx para todox2R.

Naturalmente, sería una ingenuidad intentar calcular de forma explícita la función inversade f , pues la igualdadx C exDy no permite expresar de forma elementalx comofunción dey. Hemos de contentarnos con demostrar que la funcióng existe.

Desde luego, comof 0.x/D 1C ex > 0, se sigue quef es inyectiva, de hecho, estricta-mente creciente enR. Además como lKım

x!�1f .x/D�1 y lKım

x!C1f .x/DC1, se sigue

que la imagen def es todoR (porque debe ser un intervalo no minorado ni mayorado).Luegof es una biyección y su función inversa,gD f �1 verifica queg.x/C eg.x/Dx,para todox2R.

En virtud del teorema de la función inversa, sabemos queg es derivable y la relación

entre las respectivas derivadas viene dada porg 0.x/D 1

f 0.g.x//. Comog.1/D0 (porque

f .0/D 1) y g.1C e/D 1 (porquef .1/D 1C e), deducimos que

g 0.1/D 1

f 0.0/D 1

2; g 0.1C e/D 1

f 0.1/D 1

1C e:

©

6.8. Orígenes y desarrollo del concepto de derivada

El concepto de derivada presupone los de función y de límite funcional, los cuales, como yahemos visto en capítulos anteriores, tuvieron una larga evolución hasta alcanzar su significadoactual, por eso la definición de derivada6.1es relativamente reciente. No obstante, técnicas enlas que podemos reconocer el uso, más o menos explícito, de derivadas, se han venido usandodesde el siglo XVII, incluso antes de que Newton y Leibniz, enel último tercio de dicho siglo,las formularan en términos defluxionesy decocientes diferencialesrespectivamente. Durantelos siglos XVIII y XIX las derivadas fueron ampliamente desarrolladas y aplicadas a camposmuy diversos y no fueron definidas en los términos actuales hasta el último tercio del sigloXIX. Todo este proceso lo resume la historiadora de las matemáticas Judith V. Grabiner en unafrase feliz [8]: “Primero, la derivada fue usada, después descubierta, explorada y desarrolladay, finalmente, definida”.

En lo que sigue vamos a repasar muy someramente este proceso.Además de la referenciaantes citada, he seguido de cerca los trabajos de Kirsti Andersen [1], Israel Kleiner [10] yGonzález Urbaneja [7].



Las matemáticas en Europa en el siglo XVII 306

6.8.1. Las matemáticas en Europa en el siglo XVII

Es conocido que la carencia de una teoría aritmética satisfactoria de las cantidades incon-mensurables, hizo que los matemáticos griegos consideraran la Geometría como una cienciamás general que la Aritmética, lo que condujo al desarrollo de un álgebra geométrica que fueusada por Euclides, Arquímedes y Apolonio para realizar suscálculos. La consecuencia de estaactitud fue que durante casi 2000 años, en Europa, casi todo razonamiento matemático rigurosose expresó en lenguaje geométrico.

Ya hemos comentado en capítulos anteriores cómo la herenciamatemática griega pasó a losárabes de donde regresó a Europa ya en el siglo XII. En estos siglos se desarrolló sobre todo laaritmética y los comienzos del álgebra. Pero hay que esperarhasta el siglo XVII para que enEuropa empiecen a notarse cambios significativos en la formade hacer matemáticas y a lograravances que abren nuevas perspectivas. Las características principales de las matemáticas en elsiglo XVII en Europa son las siguientes.

� Asimilación y síntesis de la tradición clásica griega y del legado árabe.� Se sigue admirando el rigor demostrativo euclidiano pero sebuscan procedimientos heu-

rísticos. Se impone la idea de “primero descubrir y luego demostrar”.� Progresos decisivos en el simbolismo algebraico (Viéte, Stevin). Concepto de cantidad

abstracta.� Invención de la geometría analítica por Fermat y Descartes.� Multitud de nuevas curvas, muchas de ellas curvas mecánicas, como la cicloide, que

llevan consigo problemas de tangentes, cuadraturas, centros de gravedad, máximos ymínimos, rectificaciones.� Invención de métodos infinitesimales para tratar problemasde cuadraturas, tangentes,

máximos y mínimos. Libre uso del infinito.� Inicios del estudio matemático del movimiento. Concepto decantidad variable.� La Revolución Científica protagonizada por Copérnico, Galileo y Kepler. Mecanicismo.� Invención de los logaritmos por Neper. Progresos de la astronomía y de la trigonometría.

Desarrollo de la óptica.� Creación de instituciones científicas como la Royal Society(1660) en Londres y la Aca-

démie des Sciences (1666) en París y comienzo de las publicaciones científicas periódi-cas.

En el periodo de 1630 a 1660 empiezan a usarse técnicas en las que podemos apreciar eluso de derivadas. Suelen ser técnicas específicas para resolver problemas concretos de formaempírica, con frecuencia dichas técnicas no se justifican sino que, simplemente, se compruebaque proporcionan soluciones correctas. Los matemáticos dela época se interesaban por pro-blemas de óptica, por ejemplo, determinar la forma de una lente que hace que todos los rayosluminosos paralelos entre sí o los que parten de un único foco, después de atravesar la lente,converjan en un único punto. Problemas físicos, como la determinación de la trayectoria deun cuerpo que se mueve alrededor de un centro y que cae al mismotiempo hacia ese centrocon aceleración constante. Otros problemas consistían en el cálculo de tangentes y de valoresmáximos o mínimos. Estaban, además, los problemas relacionados con la integral (cuadraturas,áreas de superficies, centros de gravedad, rectificaciones de curvas,: : : ) que consideraremos enel capítulo correspondiente.



Cálculo de tangentes y de valores extremos 307

6.8.2. Cálculo de tangentes y de valores extremos

Los matemáticos de la antigüedad sabían cómo trazar tangentes a diversos tipos de curvas.El concepto de tangencia de los griegos es estático y, naturalmente, geométrico. Inicialmente, latangente se considera como una recta que toca a la curva sin cortarla. Esta definición resultabaapropiada para la circunferencia pero no lo era para otras curvas. En el siglo III a.C., Apoloniodefinió la tangente a una sección cónica y procedió a determinarla en cada caso. Las técnicaspara el cálculo de tangentes eran, por supuesto, geométricas. Para curvas como la espiral deArquímedes o la concoide de Nicomedes estas técnicas no erande gran utilidad.

Con la invención de la geometría analítica, había una enormevariedad de nuevas curvaspara cuyo estudio no servían los métodos tradicionales. Losmatemáticos del siglo XVII sevieron en la necesidad de inventar nuevas técnicas para calcular tangentes. Vamos a consideraralgunas de las aportaciones más significativas.

6.8.2.1. El método de máximos y mínimos de Fermat

En 1637 Fermat escribió una memoria tituladaMethodus ad disquirendam maximan etminimam(“Método para la investigación de máximos y mínimos”). En ella se establecía elprimer procedimiento general conocido para calcular máximos y mínimos. Fermat se expresacomo sigue.

Toda la teoría de la investigación de máximos y mínimos supone la consideración de dosincógnitas y la única regla siguiente:

1. Seaa una incógnita cualquiera del problema (que tenga una, dos o tres dimensiones,según convenga al enunciado).2. Se expresará la cantidad máxima o mínima por medio dea en términos que pueden serde cualquier grado.3. Se sustituirá a continuación la incógnita originala poraC e, y se expresará la cantidadmáxima o mínima por medio dea y e, en términos que pueden ser de cualquier grado.4.Se “adigualará” para hablar como Diofanto, las dos expresiones de la cantidad máximao mínima.5. Se eliminarán los términos comunes de ambos lados, tras lo cual resultará que a amboslados habrá términos afectados dee o de una de sus potencias.6. Se dividirán todos los términos pore, o por alguna potencia superior dee, de modo quedesaparecerá lae, de al menos uno de los términos de uno cualquiera de los dos miembros.7. Se suprimirán, a continuación, todos los términos donde todavía aparece lae o una desus potencias, y se iguala lo que queda, o bien si en uno de los miembros no queda nada,se igualará, lo que viene a ser lo mismo, los términos afectados con signo positivo a losafectados con signo negativo.8. La resolución de esta última ecuación dará el valor dea, que conducirá al máximo omínimo, utilizando la expresión original.

Fermat ilustraba su método hallando el puntoE de un segmentoAC que hace máxima el áreadel rectánguloAE:EC .

PongamosAC D b.

1. Seaa uno de los segmentos, el otro seráb � a.2. El producto del que se debe encontrar el máximo esba � a2.




3. Sea ahoraa C e el primer segmento deb, el segundo segmento seráb � a � e, y elproducto de segmentos:ba � a2 C be � 2ae � e2.4. Se debe “adigualar” al precedente:ba � a2 C be � 2ae � e2 � ba � a2.5. Suprimiendo términos comunes:be � 2ae C e2.6. Dividiendo todos los términos pore: b � 2aC e.7. Se suprime lae: b D 2a.8. Para resolver el problema se debe tomar por tanto la mitad de b.

El recurso de hacere D 0 es equivalente a lo indicado en la instrucción 7 de Fermat. Estoera precisamente lo que se hacía al aplicar el método, a pesarde que antes era necesario dividirpor e, lo que resultaba algo contradictorio.

Debemos observar que el método de Fermat da una condición necesaria para los máximosy mínimos, pero esa condición no es suficiente y tampoco distingue máximos de mínimos. Esun método puramente algebraico y algorítmico, no geométrico.

Es tentador reproducir este razonamiento en términos actuales. HagamosaD x, eD Mx, ypongamosf .x/D x.b � x/.

1 – 5 f .xC Mx/� f .x/ � 0.

6f .xC Mx/� f .x/

Mx� 0.

7, 8�f .xC Mx/� f .x/

Mx

�

MxD0

D 0

Para funciones derivables podemos interpretar todo esto como que el valor dex que hacemáximo o mínimo af .x/ es la solución de resolver la ecuación

f 0.x/D lKımMx!0

f .xC Mx/� f .x/Mx

D 0

Sin embargo, esto significa extrapolar demasiado el contenido estricto del método. Lo queestamos haciendo es interpretar con nuestra mirado de hoy loque hizo Fermat. En primerlugar, Fermat no pensaba en una cantidad como una función, y por eso habla de “cantidadmáxima o mínima”, no de una función que alcance un máximo o un mínimo. Fermat no tieneclara la noción de variable independiente. Él está pensandoen una ecuación algebraica condos incógnitas que interpreta como segmentos, es decir, magnitudes lineales dadas. Fermat nodecía nada acerca de quee fuese un infinitesimal, ni siquiera una magnitud muy pequeña, y elmétodo no implica ningún concepto de límite, sino que es puramente algebraico. Además, lacondición 6 no tiene sentido en esta interpretación. Los problemas a los que Fermat aplicó sumétodo son problemas de construcciones geométricas más quede optimización de cantidades.

6.8.2.2. El método de las tangentes de Fermat

En la misma memoria antes referida, Fermat, determina la subtangente a una parábolahaciendo uso de su método para máximos y mínimos. Su razonamiento es como sigue.

En la figura (6.12), el segmentoTQ es la subtangente a la parábola en un punto dadoP .El vértice de la parábola esV . Teniendo en cuenta que los triángulosTQP y TQ1P1 son



Q Q1

e

R

T V

P

T1

P1

Figura 6.11. Cálculo de la subtangente

semejantes, resultaT1Q1

PQD TQ1

TQ(6.35)

Teniendo en cuenta ahora la propiedad de la parábola

VQ1

VQD

P1Q21

PQ2

y queP1Q1 < T1Q1, deducimos que:

VQ1

VQ<

TQ21

TQ2(6.36)

Pongamos ahoraVQ D a, que es la abscisa de la parábola enP , conocida porque se conoceP . Hagamos tambiénTQ D x que es la subtangente que queremos calcular, yQQ1 D e. Laigualdad (6.36) se expresa por:

aC e

a<.x C e/2

x2” ax2 C ex2 < ax2 C 2aex C ae2

Fermat aplica su método de máximos y mínimos y sustituye estadesigualdad por laadigualdad

ax2 C ex2 � ax2 C 2aex C ae2

Cancelando términos y dividiendo pore obtenemos

x2 � 2ax C ae

Eliminando ahora el término que queda ene, igualando y simplificando porx, se obtienes quex D 2a, resultado ya conocido de la Antigüedad y que expresa que la subtangente es el doblede la abscisa.

Realmente no se entiende bien la razón de por qué Fermat usa sumétodo de máximos ymínimos para calcular tangentes y Descartes hizo una dura crítica de esta forma de proceder.


Para responder a estas críticas, Fermat desarrolló, en una memoria de 1638, un procedimientobastante general para calcular tangentes que, con notaciónactual, podemos resumir como sigue.SeaPD.x;y/ un punto de una curvaf .x;y/D0 y seaP1D.xCe;y1/ otro punto de la curvapróximo aP como en la figura (6.11). Llamemosb D TQ, la subtangente enP . Teniendo encuenta quePQD y, la igualdad (6.35) se escribe como

T1Q1 Dy.b C e/

b

ComoT1Q1 es casi igual ay1 D P1Q1, Fermat escribe

f

�x C e;

y.b C e/

b

�� 0

y a estaadigualdadle aplica su método para máximos y mínimos. Es fácil ver que ello condu-cirá a una expresión parab dada por

b D�y@f

@y.x;y/

@f

@x.x;y/

Que, usando que la tangente viene dada pory=b, podemos escribir, viendoy como función(implícita) dex, en la forma familiar

y 0 D�@f

@x.x;y/

@f

@y.x;y/

La idea de “adigualdad” en Fermat puede interpretarse algo así como “cantidades infinitamentepróximas”. De alguna forma Fermat está considerando cantidades infinitesimales.

Es tentador expresar en términos actuales las ideas de Fermat para calcular tangentes. Esen-cialmente, dado un puntoPD.a; f .a// en una curvayDf .x/, se trata de calcular la pendientede la curva enP . SeaQQ1 un incremento deTQ en una cantidadE. Ya que los triángulosTQP y PRT1 son semejantes, se tiene

PQ

TQD T1R

E

Pero, dice Fermat,T1R es casi igual aP1R; por tanto tenemos laadigualdad

PQ

TQ� P1Q1 �QP

E

PoniendoPQD f .a/, la igualdad anterior puede escribirse como:

f .a/

TQ� f .aCE/ � f .a/

E

Ahora, dice Fermat, se cancelan términos iguales enf .a C E/ � f .a/, se divide porE yfinalmente, se ignoran los términos que aún contenganE (lo que equivale a hacerE D 0), y




Q Q1

E

ER

T V

P

T1

P1

Figura 6.12. Cálculo de la tangente

el resultado es la pendiente de la tangente enP . Está claro que el procedimiento que indicaFermat es equivalente a calcular

lKımE!0

f .aCE/ � f .a/E

Naturalmente, a esta interpretación se le pueden hacer las mismas observaciones que hicimosa la interpretación análoga del método para máximos y mínimos.

6.48 Ejemplo. Seaf .x/D x2 � 2x C 3 y aD 2. Entoncesf .2/ D 3. Pongamosc D TQ lalongitud de la subtangente. Tenemos laadigualdad:

3

cD f .2CE/ � f .2/

ED 2E CE2

ED 2CE

HaciendoE D 0 se obtiene3=c D 2, por la que la subtangente esc D 3=2 y el valor de lapendiente de la tangente es3=c D 2 que, efectivamente es igual a la derivada def enxD 2. �

6.8.2.3. El método de Roberval y de Torricelli para las tangentes

En 1630 Roberval y Torricelli descubrieron independientemente un método para calculartangentes por medio de consideraciones cinemáticas. Este método se apoya en dos ideas bá-sicas: la primera es la de considerar una curva como la trayectoria de un punto móvil queobedece a dos movimientos simultáneamente, y la segunda es la de considerar la tangente enun punto de la curva como la dirección del movimiento en ese mismo punto. Si la razón entrelas velocidades de los dos movimientos es conocida, la dirección del movimiento resultante sepuede hallar mediante la ley del paralelogramo. Ya en la antigüedad, Arquímedes había usadoun método análogo para trazar la tangente a su espiral.

Consideremos una cicloide, esto es la curva que describe un punto de una circunferenciaque rueda sin deslizar. El punto que genera la cicloide tieneuna velocidad angular igual a lavelocidad de avance horizontal, por tanto, su tangente en unpuntoP se obtiene sumando el




P

Figura 6.13. Tangente a la cicloide

vector tangente a la circunferencia generadora enP y un vector horizontal enP , y ambosvectores tienen igual módulo.

Naturalmente, esta idea de la tangente solamente podía aplicarse a curvas mecánicas, sibien tenía la virtud de relacionar geometría y dinámica siguiendo las ideas de Galileo.

6.8.2.4. El triángulo diferencial de Barrow

Isaac Barrow (1630 - 1677) también dio un método para calcular tangentes. Barrow era unadmirador de los geómetras antiguos y editó las obras de Euclides, Apolonio y de Arquímedes,a la vez que publicaba sus propias obrasLectiones Opticae(1669) yLectiones Geometricae(1670) en la edición de las cuales colaboró Newton. El tratado Lectiones Geometricaese con-sidera una de las principales aportaciones al Cálculo. En élBarrow quiso hacer una puesta aldía de todos los últimos descubrimientos, principalmente de problemas de tangentes y cuadra-turas. Barrow hace un tratamiento detallado de todos estos problemas incluyendo conceptoscomo tiempo y movimiento y usando métodos infinitesimales y métodos de indivisibles.

Una de las herramientas a las que saca gran partido es al triángulo característico o triángulodiferencial.

Partiendo del triánguloPRQ, que resulta de un incrementoPR, como este triángulo essemejante alPNM , resulta que la pendiente de la tangentePM=MN es igual aQR=PR.Barrow afirma que cuando el arcoPP1 es muy pequeño podemos identificarlo con el segmentoPQ de la tangente enP . El triánguloPRP1 de la figura de la derecha, en el cualPP1 esconsiderado a la vez como un arco de la curva y como parte de la tangente, es eltriángulocaracterístico o diferencial. Ya había sido usado mucho antes por Pascal y otros en problemasde cuadraturas.

En la Lección X deLectiones, Barrow calcula la tangente a una curva, dada por una ecua-ción polinómicaf .x;y/ D 0, en un punto de la mismaP D .x;y/ de la forma siguiente.PongamosP1 D .x C e;y C a/ un punto de la curva próximo aP y sustituyamos estas coor-




M

R

N

P

Q

P1

M

R

N

P

e

a

P1

Figura 6.14. Triángulo diferencial

denadas en la ecuaciónf .x;y/D 0. En palabras de Barrow:

Rechacemos todos los términos en los que no haya o e (porque se anulan unos a otrospor la naturaleza de la curva); rechacemos todos los términos en los quea o e están porencima de la primera potencia, o están multiplicados ambos (porque, siendo infinitamentepequeños, no tienen valor en comparación con el resto).

Después de estas operaciones se puede calcular el cocientea=e que es la pendiente de la curvaen el puntoP .

6.49 Ejemplo. Consideremos la curvax3 C y3 D r3 y sigamos el método de Barrow paracalcular su pendiente en un puntoP D .x;y/ de la misma. Como el puntoP1D .xC e;yC a/

está en la curva se tiene:.x C e/3 C .y C a/3 D r3

Esto esx3 C 3x2e C 3xe2 C e3 C y3 C y3 C 3y2aC 3ya2 C a3 D r3

Simplificamos usando quex3 C y3 D r3 y eliminando las potencias dea y e de grado mayorque uno, y obtenemos

3x2e C 3y2aD 0

de donde resulta la pendiente:a

eD�x2

y2

�

Observa que este procedimiento equivale a quedarse con la aproximación lineal de la fun-ción en el puntoP y eso es como reemplazar el triánguloPRP1 en la figura de la izquierdapor el triángulo diferencial.

El método de Barrow es parecido al de Fermat, la diferencia esque Barrow consideraincrementos independientes de las dos variables con el propósito de calcular el cocientea=e.Parece que Barrow no conocía directamente la obra de Fermat.



Los inventores del Cálculo 314

6.8.3. Los inventores del Cálculo

El método de Fermat para el cálculo de valores máximos o mínimos y la técnica para elcálculo de tangentes que, esencialmente, consistía en calcular el cociente:

f .x C h/ � f .x/h

;

realizando las operaciones algebraicas necesarias para desarrollar y simplificar el numeradory después dividir porh para, finalmente, hacerh D 0, fueron aplicados en una gran variedadde situaciones. La relación entre ambos tipos de problemas acabó siendo bien entendida: losvalores extremos se obtenían en los puntos donde la pendiente de la tangente se anulaba. Asímismo, de la multitud de casos particulares estudiados, emergieron ciertas regularidades quellevaron a reformular las citadas técnicas de forma más general. De esta forma, aunque en el1660 no se disponía de un concepto general de derivada ni se conocía la relación crucial entreproblemas de tangentes y de áreas, se habían desarrollado bastantes métodos eficaces, aunqueno rigurosos, para resolver muchos tipos de problemas de cálculo. Solamente faltaba realizar lagran síntesis de todo el trabajo realizado desde 1630. Eso eslo que hicieron Newton y Leibniz.

La invención del Cálculo es uno de los grandes logros de la humanidad. El Cálculo se haconvertido en lalingua francade todas las ciencias. Ha sido, y sigue siendo, una herramientafundamental para la comprensión científica de la Naturaleza.

En el último tercio del siglo XVII, Newton (en 1664 - 1666) y Leibniz (en 1675), de formaindependiente cada uno, inventaron el Cálculo. Esto quieredecir que:

� Unificaron y resumieron en dos conceptos generales, el de integral y derivada, la granvariedad de técnicas diversas y de problemas que se abordaban con métodos particulares.

� Desarrollaron un simbolismo y unas reglas formales de “cálculo” que podían aplicarsea funciones algebraicas y trascendentes, independientes de cualquier significado geomé-trico, que hacía fácil, casi automático, el uso de dichos conceptos generales.

� Reconocieron la relación inversa fundamental entre la derivación y la integración.

Newton llamó a nuestra derivada unafluxión – una razón de cambio o flujo; Leibniz vio laderivada como una razón de diferencias infinitesimales y la llamó elcociente diferencial. New-ton hizo sus primeros descubrimientos diez años antes que Leibniz quien, sin embargo, fue elprimero en publicar sus resultados.

6.8.4. Newton y el cálculo de fluxiones

Figura 6.15. Newton

Los principales descubrimientos matemáticos de Newton en elcampo del cálculo infinitesimal datan de los llamadosAnni Mirabi-les1665 y 1666. La Universidad de Cambridge, en la que Newtonse había graduado comobachelor of artsen 1664, estuvo cerradapor la peste esos dos años. Newton pasó ese tiempo en su casa deWoolsthorpe y, como él mismo reconoció cincuenta años después,ése fue el período más creativo de su vida.



Newton y el cálculo de fluxiones 315

A principios de 1665 descubre el teorema del binomio y el cálculo con las series infinitas.A finales de ese mismo año, el método de fluxiones, es decir, el cálculo de derivadas. En 1666el método inverso de fluxiones y la relación entre cuadraturas y fluxiones. En esos dos añostambién inició las teorías de los colores y de la gravitaciónuniversal. Newton tenía 24 años,había nacido el día de Navidad de 1642.

Newton desarrolló tres versiones de su cálculo. En la obraDe Analysi per aequationesnumero terminorum infinitas, que Newton entregó a su maestro Barrow en 1669, y que pue-de considerarse el escrito fundacional del Cálculo, Newtonusa conceptos infinitesimales demanera similar a como hacía el propio Barrow.

Una segunda presentación del Cálculo es la que realiza Newton en el libroMethodus flu-xionum et serierum infinitorum, escrito hacia 1671 y que se publicó mucho después en 1736.Newton considera cantidades variables que van fluyendo con el tiempo, a las que llamafluen-tes. Después se introducen las razones de cambio instantáneas de las fluentes, a las que llamafluxiones, que son las derivadas respecto al tiempo de las fluentes. Newton representaba a lasprimeras por letrasx;y; z; : : : y a las segundas por letras punteadasTx; Ty; Tz; : : : . Los incremen-tos de las fluentesx;y; z; : : : , los representa por medio de las correspondientes fluxionesen laforma Txo; Tyo; Tzo; : : : , y los llamamomentos, dondeo es entendido como un incremento infini-tesimal de tiempo. Newton desarrolló una serie de algoritmos y redujo muchos problemas comodeterminación de tangentes, máximos y mínimos, áreas y superficies, curvaturas, longitudes dearcos, centros de gravedad etc., a dos problemas fundamentales que pueden formularse tantoen términos mecánicos como en términos matemáticos:

Problema 1 Determinación de la velocidad de movimiento en un momento detiempo dadosegún un camino dado. De otro modo: dada la relación entre lascantidades fluentes,determinar la relación de las fluxiones.

Problema 2 Dada la velocidad de movimiento determinar el camino recorrido en un tiempodado. Matemáticamente: determinar la relación entre las fluentes dada la relación entrelas fluxiones.

Hay que notar que Newton no piensa en términos de funciones con el significado actual deese término, sino que imagina curvas o superficies descritaspor las variables, o sea, conside-ra relaciones entre las fluentes del tipof .x;y; z; : : : / D 0, dondef para él es una expresiónanalítica finita o infinita. Por tanto, el primer problema planteado puede verse como un proble-ma de derivación implícita: supuesta conocida la expresiónanalítica que satisfacen las fluentesf .x;y; z; : : : /D 0, obtener la expresión analíticaF.x;y; z; Tx; Ty; Tz; : : : /D 0 que satisfacen lasfluxiones. Para este problema, Newton introdujo un algoritmo que sistematizaba los cálculosnecesarios. Por ejemplo, sea la curva de ecuación

x3 � ax2 C axy � y3 D 0

Sustituyendox ey por x C Txo ey C Tyo respectivamente, tenemos:

.x3 C 3 Txox2 C 3 Tx2o2x C Tx3o3/ � a.x2 C 2 Txox C Tx2o2/CC a.xy C Txoy C Tyox C Tx Uyo2/ � .y3 C 3 Tyox2 C 3 Ty2o2y C Ty3o3/D 0




Teniendo en cuenta ahora quex3 � ax2C axy � y3 D 0, dividiendo poro y despreciando losdemás términos que contengan ao, resulta

3 Txx2 � 2a Txx C a Txy C ax Ty � 3 Tyy2 D 0

Esta es la relación que satisfacen las fluxiones. A partir de ella puede obtenerse la tangente a lacurvax3 � ax2 C axy � y3 D 0 en cualquier punto.x;y/ de la misma, que viene dada por:

TyTx D

3x2 � 2ax C ay

3y2 � ax

Como ya hemos indicado, Newton aplica los resultados sobre fluentes y fluxiones a la reso-lución de multitud de problemas. Por ejemplo, con respecto alos problemas de máximos ymínimos, escribe:

Cuando una cantidad es la más grande o la más pequeña, en ese momento su fluir ni creceni decrece: si creciera, eso probaría que era menor y que lo que sigue sería más grande quelo que ahora es, y recíprocamente pasaría si decreciera. Así, calcúlese su fluxión como seha explicado en el problema 1 e iguálese a cero.

De nuevo, Newton usa el teorema fundamental del cálculo pararealizar cuadraturas. Escribe:

Problema 9: Determinar el área de cualquier curva propuesta.

La resolución del problema está basada en el establecimiento de la relación entre la canti-dad fluente y su fluxión (problema 2).

Newton reduce la integración al proceso inverso del cálculode fluxiones, esto es, al cálculo deprimitivas.

El problema 2, es mucho más difícil que el problema 1, pues se trata de resolver una ecua-ción diferencial que puede ser muy general. Newton consideró varias posibilidades resolviendoalgunos casos particulares. Para ello utilizó técnicas de cálculo de primitivas y de desarrollosen serie.

En De Quadratura Curvarum, escrita en 1676 y publicada en 1704, Newton propone fun-damentar su cálculo de fluxiones en lo que llamarazones primera y última de incrementosevanescentes. De esa forma se refiere Newton a los cocientes de los incrementos infinitesima-les de las cantidades variables, y su objetivo es determinarlos en el momento en que dichascantidades nacen desde cero (“razón primera”) o se anulan (“razón última”). Un ejemplo ayu-dará a entender el significado de estas ideas. En la introducción de la citada obra, Newtoncalcula la fluxión dexn. Para ello, considera un incrementoo de forma quex pasa ax C o.Entoncesxn se convierte en

.x C o/n D xn C noxn�1 C n.n � 1/

2o2xn�2 C � � �

Los incrementos dex y xn, a saber,

o y noxn�1 C n.n� 1/

2o2xn�2 C � � �




están entre sí en la misma razón que

1 a nxn�1 C n.n � 1/

2oxn�2 C � � �

Dice Newton “dejemos ahora que los incrementos se anulen y suúltima proporción será1 anxn�1: por tanto, la fluxión de la cantidadx es a la fluxión de la cantidadxn como1 W nxn�1”.

Hay distintas interpretaciones de las razones que llevarona Newton a exponer su cálculode una u otra forma. La más extendida es que su intención era conseguir una fundamentaciónrigurosa del mismo. La primera exposición, basada en el concepto de cantidad infinitesimal,entendida como una cantidad menor que cualquier cantidad positiva pero no nula, presentabaproblemas de coherencia lógica de los que Newton era muy consciente. En sus propias palabras,su cálculo estaba“concisamente explicado más que exactamente demostrado”.

EnMethodus Fluxionum et Serierum Infinitarum(1671), el concepto básico es el de canti-dad en movimiento o que fluye continuamente en el tiempo. Las magnitudes están generadaspor el movimiento continuo y no por agregación de cantidadesinfinitesimales; la idea bási-ca es la de continuidad tal como se observa en los procesos de la Naturaleza. Quizás Newtonpretendía de esta forma evitar el uso de “infinitesimales estáticos o geométricos”, pero lo querealmente hizo fue sustituirlos por los infinitesimales de tiempo usados para definir los momen-tos de las fluentes. Conviene advertir que lo que Newton considera es la abstracción matemáticaanáloga al tiempo, es decir, una magnitud independiente imaginaria abstracta que fluye unifor-memente y con la que se relacionan todas las fluentes. Puede verse aquí un intento de Newtonpor evitar los problemas matemáticos del continuo (infinitesimales, indivisibles) y trasladarlosal mundo físico, a la continuidad de los procesos naturales yal movimiento. Por otra parte,Newton aceptaba como algo dado la idea intuitiva de velocidad instantánea de las fluentes, nole pareció preciso definirla.

EnQuadrature of Curves(1676), Newton expresa su propósito de abandonar por completoel uso de cantidades infinitesimales. Manifiesta en este sentido que“errores quam minimi inrebus mathematicis non sunt contemnendi”, esto es, que en matemáticas ni siquiera los erroresmás pequeños pueden ser admitidos. Y eso es justamente lo quese hacía cuando se desprecia-ban en los cálculos cantidades infinitesimales. Seguidamente, enuncia su teoría de las“razonesprimera y última de cantidades evanescentes”. Estas ideas señalan claramente al concepto ma-temático de límite. Lo que expresa, a su manera, Newton es, entérminos actuales, el límite deun cociente de funciones que se anulan. Pero estamos en el siglo XVII y se necesitarán casi200 años para precisar matemáticamente el concepto de límite. Debemos notar que Newton usadicho concepto a partir de la intuición mecánica del movimiento.

Por velocidad última se entiende aquella con la que el cuerpose mueve, no antes de alcan-zar el punto final y cesa, por consiguiente, el movimiento, nitampoco después de haberloalcanzado, sino aquella con la que se mueve cuando lo alcanza, esto es, aquella velocidadcon la que el cuerpo alcanza el punto final y aquella con la que cesa el movimiento. Deigual manera, ha de entenderse por razón última de cantidades evanescentes, la razón decantidades, no antes de que desaparezcan, ni después de desaparecidas, sino aquella conla que desaparecen.

Newton tenía su particular idea de “límite”.

Las razones últimas con las que tales cantidades desaparecen en realidad no son razonesde cantidades últimas, sino límites a los que tiende a acercarse siempre las razones de




cantidades continuamente decrecientes, límites a los que pueden acercarse más que unadiferencia dada, pero nunca traspasarlo, ni tampoco alcanzarlo antes de que las cantidadesdisminuyan in infinitum.

La teoría de las razones últimas puede verse como una teoría cinemática de límites. Con estateoría, Newton pretendía recuperar el rigor de la geometríade la Antigüedad.

[. . . ] investigar las razones primera y última de cantidadesfinitas, nacientes o evanescen-tes, está en armonía con la geometría de los antiguos; y me he esforzado en probar que, enel método de fluxiones, no es necesario introducir en la geometría cantidades infinitamentepequeñas.

Otros autores opinan que estos tres métodos empleados por Newton responden, más que afundamentar con rigor su cálculo, a distintos propósitos. Así, la teoría de fluxiones proporcionamétodos heurísticos de descubrimiento y algoritmos útilespara el calculo; la teoría de “razonesprimera y última” serviría al propósito de proporcionar demostraciones convincentes y el usode los infinitésimos serviría para proporcionar atajos a laspruebas más rigurosas. Newton usósimultáneamente estas tres aproximaciones en la resolución de una gran variedad de problemas.

Newton realizó también contribuciones importantes en la teoría de ecuaciones, donde po-demos destacar las “identidades de Newton” para la suma de las potencias de las raíces de unaecuación polinómica, y a la teoría de curvas, siendo notablesu clasificación de las curvas detercer grado.

Considerando la matemática desde el comienzo del mundo hasta la época de New-ton, lo que él ha hecho es, con mucho, la mitad mejor. Leibniz

Las tres obras consideradas, escritas entre 1666 y 1676, se publicaron ya en el siglo XVIII,por eso la primera noticia impresa de la teoría de fluxiones apareció, de forma bastante cir-cunstancial, en la obra magna de NewtonPhilosophiae Naturalis Principia Mathematica, cuyaprimera edición se hizo en 1687. LosPrincipia consta de tres libros escritos en el estilo tra-dicional a la manera de losElementosde Euclides, y su lenguaje es principalmente el de lageometría sintética.

LosPrincipia están considerados como la obra científica más importante detodos los tiem-pos y una hazaña intelectual incomparable por sus logros y sus consecuencias. En dicha obraNewton estable los fundamentos de la mecánica y enuncia las tres célebres leyes del movi-miento, así como la ley de la gravitación universal. En los dos primeros libros, se estudia elmovimiento de los cuerpos en el vacío y en un medio resistente. Newton deduce matemática-mente las tres leyes que Kepler había obtenido empíricamente. En el libro III, tituladoSobreel Sistema del Mundo, Newton desarrolla la mecánica celeste. Hace un detallado estudio delos movimientos de la Luna, explicando las causas de las mareas. Calcula la masa del Sol conrespecto a la de la Tierra, estudia la precesión de los equinoccios, predice el achatamiento de laTierra por los polos . . . .

En losPrincipia el mundo aparece como un sistema ordenado y armonioso en el que todo,los cielos, la tierra y el mar, obedecen unas pocas leyes matemáticas fundamentales. A partirde Newton quedará claro que no hay diferencias entre un mundosublunar y otro supralunar,ni entre la Tierra y el Cielo; las leyes de la Naturaleza no hacen estas distinciones y en todaspartes del Universo los procesos obedecen a las mismas leyesnaturales inexorables.



Leibniz y el cálculo de diferencias 319

El Universo newtoniano es un Cosmos diáfano y sereno ofrecido a la exploración racio-nal del hombre. La gran obra de Newton proporcionará a la Ilustración, en el siglo XVIII, labase científica necesaria para acabar con una concepción conservadora y absolutista del poderpolítico apoyada en dogmáticas concepciones religiosas.

El prestigio y admiración que gozó Newton en vida queda reflejado en las palabras deAlexander Pope:

Nature, and Nature’s Laws lay hid in Night:God said,Let Newton be– and All was light.

Y ¿qué pensaba el propio Newton de sí mismo? Escuchemos sus palabras, ya casi al final de suvida.

No sé cómo puedo ser visto por el mundo, pero a mí me parece haber sido solamente comoun niño que juega al borde del mar, y que se divierte al encontrar de vez en cuando unapiedra más pulida o una concha más bonita de lo normal, mientras que el gran océano dela verdad yace ante mí completamente desconocido.

Newton murió en la noche del 20 de marzo de 1727, y fue enterrado con grandes honores en laabadía de Westminster entre los grandes hombres de Inglaterra.

6.8.5. Leibniz y el cálculo de diferencias

Figura 6.16. Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) nació en Leipzig (Ale-mania) en el seno de una piadosa familia luterana. A los quinceaños entró en la Universidad de su ciudad natal donde estudióunagran variedad de materias incluyendo derecho, teología, filosofíay matemáticas. Se doctoró a la edad de 21 años en la Universi-dad de Altdorf, en Nuremberg, donde le fue ofrecido un puestodeprofesor que él rechazó.A lo largo de su vida, Leibniz realizó múltiples actividades. Comoabogado y diplomático trabajó para el Príncipe elector arzobispode Maguncia y, desde 1676 hasta su muerte, para los Duques deBrunswick-Luneburgo (conocidos como príncipes electoresdeHanover desde 1692), lo que le llevó a viajar por gran parte deEu-ropa. Inventó una máquina de calcular, la primera máquina deeste

tipo capaz de realizar las operaciones de multiplicación, división y extracción de raíces cuadra-das. Como ingeniero trabajó en prensas hidráulicas, molinos de viento y desarrolló proyectospara drenar el agua de las minas de plata de las montañas de Harz en la Baja Sajonia. Co-mo historiador escribió la historia de la casa de Brunswick,realizando muchas investigacionesgenealógicas. Trabajó también como bibliotecario en la ciudad de Hanover.

Leibniz fue un pensador profundo. Como filósofo se propuso lacreación de un álgebradel pensamiento humano, algo así como un lenguaje simbólicouniversal para escribir los ra-zonamientos con símbolos y fórmulas, cuyas reglas de combinación permitieran reducir tododiscurso racional a cálculos rutinarios. Esto explica el gran interés de Leibniz en desarrollaruna notación matemática apropiada para su cálculo; de hecho, su notación, muy superior a lade Newton, es la que usamos actualmente. Leibniz fundó la Academia de Ciencias de Berlín




en 1700 y fue su primer presidente; también fue uno de los fundadores de la primera revistacientífica alemana, elActa Eruditorum.

Aunque Leibniz publicó poco, mantuvo correspondencia con más de 600 eruditos y sehan conservado sus manuscritos que están en el archivo que lleva su nombre en la ciudad deHannover. Las contribuciones de Leibniz al álgebra (determinantes, resolución de ecuaciones),la historia natural, la geología y la lingüística son también importantes.

En 1672, estando en París en misión diplomática, Leibniz se dedicó intensamente al estudiode la matemática superior teniendo como guía al matemático yfísico Christian Huygens (1629- 1695). En los años 1673 y 1676 realizó, también en misión diplomática, dos viajes a Londresdonde tuvo acceso al manuscrito de NewtonDe Analysi, circunstancia que se usó para acusar,hoy sabemos que sin motivo alguno, a Leibniz de plagio cuandose produjo la agria controversiasobre la prioridad en el descubrimiento del Cálculo. Los progresos matemáticos realizados porLeibniz en estos cuatro años fueron extraordinarios.

En las matemáticas de Leibniz son importantes los estudios sobre sucesiones numéricas ysus sucesiones de diferencias consecutivas asociadas. Dada una sucesión de números:

a1; a2; a3; a4; : : : ; an�1; an; : : :

Podemos formar la sucesión de sus diferencias primeras:

b1 D a1; b2 D a2 � a1; b3 D a3 � a2; b4 D a4 � a3; : : : ; bn D an � an�1; : : :

Leibniz se había dado cuenta de la relación:

b1 C b2 C b3 C � � � C bn D an

lo que indica que las sucesiones de diferencias pueden sumarse fácilmente, y que el proceso deformar la sucesión de diferencias y después sumarla recupera la sucesión inicial, es decir, quese trata de operaciones inversas una de la otra. Esta sencilla idea, cuando se lleva al campo dela geometría, conduce al concepto central del cálculo de Leibniz que es el de “diferencial”, elcual tuvo para él diferentes significados en distintas épocas.

Leibniz consideraba una curva como un polígono de infinitos lados de longitud infinitesi-mal. Con una tal curva se asocia una sucesión de abscisasx1;x2;x3;x4; : : : y una sucesión deordenadasy1;y2;y3;y4; : : : donde los puntos.xi ;yi/ están todos ellos en la curva y son algoasí como los “vértices” de la poligonal de infinitos lados queforma la curva. La diferencia entredos valores sucesivos dex es llamada ladiferencialdex y se representa por dx , significadoanálogo tiene dy . El diferencial dx es una cantidad fija, no nula, infinitamente pequeña encomparación conx, de hecho es una cantidad infinitesimal. Los lados del polígono que consti-tuye la curva son representados por ds . Resulta así eltriángulo característicode Leibniz quees el mismo que ya había sido considerado por Barrow.

Curiosamente, los términos “abscisa”, “ordenada” y “coordenadas”, tan propios de la geo-metría analítica, no fueron usados nunca por Descartes sinoque son debidos a Leibniz; y mien-tras que nosotros hablamos de “diferenciales”, Leibniz siempre hablaba de “diferencias”.

El triángulo característico tiene lados infinitesimales dx , dy , ds y se verifica la relación.ds /2D.dx /2C.dy /2. El lado ds sobre la curva o polígono se hace coincidir con la tangentea la curva en el punto.x;y/. La pendiente de dicha tangente viene dada pordy

dx, que es un




x

y

ds

dx

dy

Figura 6.17. Triángulo característico

cociente de diferenciales al que Leibniz llamócociente diferencial. Leibniz nunca consideró laderivada como un límite.

Leibniz investigó durante algún tiempo hasta encontrar lasreglas correctas para diferenciarproductos y cocientes. Dichas reglas se expresan fácilmente con su notación diferencial:

d.xy/ D y dx C x dy ; d

�x

y

�D y dx � x dy

y2

La manera en que Leibniz llegó a estas fórmulas pudo ser como sigue. Consideremos

zn D

0@

nX

jD1

xj

1A0@

nX

jD1

yj

1A

Entonces

znC1 � zn D xnC1

nC1X

jD1

yj C ynC1

nX

jD1

xj (6.37)

Si interpretamos, al estilo de Leibniz, quexj e yj son diferencias de valores consecutivosde las cantidadesx e y respectivamente, entonces los valores de dichas cantidades vendrándados por las sumas respectivasx D

PnjD1 xj e y D

PnC1jD1 yj , mientras que dx D xnC1 y

dy D ynC1 por ser diferencias de valores consecutivos. De la misma forma,znC1 � zn seríala diferencial dez D xy. Por tanto, la igualdad6.37es interpretada por Leibniz en la formad.xy/ D x dy C y dx , lo que lleva a la regla para la diferencial de un producto.

A partir de la regla para la diferencial de un producto, Leibniz obtuvo la regla correspon-diente para la diferencial de un cocientezD x

y. PoniendoxDzy se tiene que dx Dy dz Cz dy ,

de donde despejando dz , resulta:

dz D dx � z dy

yD

dx � xy

dy

yD y dx � x dy

y2

Además, dicha notación tiene una gran potencialidad heurística, como ya hemos visto al estu-diar la derivada de una función compuesta.

Consideremos ahora una curva como la de la figura6.18 con una sucesión de ordenadastrazadas a intervalos de longitud unidad. La suma de las ordenadas es una aproximación de la



Desarrollo del cálculo diferencial 322

y1

y2

y3y4

y5y6

y7y8

y9y10

y11y12

y13

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Figura 6.18. Aproximación de una cuadratura

cuadratura de la curva (del área bajo la curva), y la diferencia entre dos ordenadas sucesivases aproximadamente igual a la pendiente de la correspondiente tangente. Cuanto más pequeñase elija la unidad 1, tanto mejor serán estas aproximaciones. Leibniz razonaba que si la unidadpudiera ser tomadainfinitamente pequeña, estas aproximaciones se harían exactas, esto es, lacuadratura sería igual a la suma de las ordenadas, y la pendiente de la tangente sería igual a ladiferencia de dos ordenadas sucesivas. Como las operaciones de tomar diferencias y sumar sonrecíprocas entre sí, dedujo Leibniz que el cálculo de cuadraturas y de tangentes también eranoperaciones inversas una de otra.

Las investigaciones de Leibniz sobre la integración y el origen de sus notaciones para laintegral y los diferenciales, pueden seguirse con todo detalle en una serie de manuscritos del25 de octubre al 11 de noviembre de 1675. Nos ocuparemos de ello en el capítulo dedicado a laintegración. En 1676 Leibniz ya había obtenido prácticamente todos los resultados descubiertospor Newton un poco antes.

La primera publicación sobre cálculo diferencial fue el artículo de LeibnizNova methoduspro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractals nec irrationales quantitatesmoratur, et singulare pro illis calculi genus, que fue publicado enActa Eruditorumhace yamás de tres siglos, en 1684. En este trabajo, Leibniz definía el diferencial dy de forma queevitaba el uso de las sospechosas cantidades infinitesimales. Poco después, en 1686, Leibnizpublicó un trabajo con sus estudios sobre la integración.

Reconocido hoy día como un genio universal, Leibniz vivió sus últimos años en Hannoveren un aislamiento cada vez mayor y murió el 14 de noviembre de 1716. A su entierro solamenteasistió su secretario.

6.8.6. Desarrollo del cálculo diferencial

Aunque las publicaciones de Leibniz eran breves y difícilesde leer, su cálculo, más sen-cillo de entender que el de Newton y provisto de una excelentenotación, triunfó pronto en elcontinente europeo logrando grandes éxitos, mientras que en Inglaterra la fidelidad a la teoríade fluxiones y a la notación newtoniana condujo a un cierto aislamiento, agravado por senti-mientos nacionales y la disputa sobre la prioridad, y no consiguió éxitos comparables a los delcontinente.

Los hermanos Jakob y Johann Bernouilli, matemáticos y profesores de la universidad de




Basilea, estudiaron los trabajos de Leibniz con quien iniciaron una productiva correspondencia.A partir de 1690 publicaron una serie de trabajos en elActa Eruditorumy en otras revistas,poniendo de manifiesto que el cálculo de Leibniz era una herramienta poderosa con la que habíaque contar. Para divulgar dicha herramienta era preciso un buen libro de texto que explicara condetalle los pormenores del nuevo cálculo. Dicho libro apareció bien pronto, en 1696, y su autorfue el matemático y noble francés Guillaume François, marqués de L’Hôpital. El título dellibro, del que ya hemos dado noticia en anteriores capítulos, eraAnalyse des infiniment petitspour l’intelligence des lignes courbes. Hoy sabemos que los resultados originales que aparecenen dicho libro son debidos no a L’Hôpital sino a su profesor Johann Bernouilli.

En su libro, L’Hôpital desarrollaba el cálculo diferencialtal como había sido concebido porLeibniz, es decir, usando cantidades infinitesimales para las que se establecían ciertas reglas decálculo. La definición de diferencial es como sigue:“La parte infinitamente pequeña en queuna cantidad variable es aumentada o disminuida de manera continua, se llama la diferencialde esta cantidad”. Para trabajar con infinitésimos se establece la siguiente regla:“Dos canti-dades cuya diferencia es otra cantidad infinitamente pequeña pueden intercambiarse una porla otra” .

Los escritos de los Bernouilli, Leibniz y L’Hôpital popularizaron el cálculo leibniziano yya en la primera década del siglo XVIII otros matemáticos se interesaron por él. La potencia-lidad del concepto de derivada se puso de manifiesto en las aplicaciones del cálculo a la físicanewtoniana.

Para no hacer excesivamente larga esta exposición, voy a resumir muy esquemáticamentelos puntos clave en el desarrollo del cálculo diferencial.

� El descubrimiento en 1715 por Brook Taylor de las llamadas series de Taylor, que seconvirtieron en una herramienta básica para el desarrollo del cálculo y la resolución deecuaciones diferenciales.

� El extraordinario trabajo, tanto por su asombrosa amplitudcomo por sus notables descu-brimientos, de Leonhard Euler (1707 - 1783) que, sin duda, esla figura principal de lasmatemáticas en el siglo XVIII. En sus tres grandes tratados,escritos en latín,Introductioin analysin infinitorum(1748),Institutiones calculi differentiales(1755) eInstitutionescalculi integralis(1768), Euler dio al cálculo la forma que conservó hasta el primer ter-cio del siglo XIX. El cálculo, que inicialmente era un cálculo de variables o, más exacta-mente, de cantidades geométricas variables, y de ecuaciones, se fue transformando, porinfluencia de Euler, en un cálculo de funciones.

� La propuesta de Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) de fundamentar el cálculo sobreun álgebra formal de series de potencias. Si bien la idea de Lagrange de evitar el uso delímites no era acertada, su propuesta, concretada en su obraThéorie des fonctions analy-tiques(1797), tuvo el efecto de liberar el concepto de derivada de sus significacionesmás tradicionales. De hecho, la terminología “función derivada”, así como la notaciónf 0.x/ para representar la derivada de una funciónf , fueron introducidas por Lagrangeen dicho texto. A partir de este momento la derivada deja de ser algo de naturaleza im-precisa (fluxión o cociente diferencial) y empieza a ser considerada simplemente comouna función.

� Los problemas planteados por las series de Fourier. Dichas series hacen sus primerasapariciones a mitad del siglo XVIII en relación con el problema de la cuerda vibrante,




y nacen oficialmente en el trabajo de Joseph Fourier (1768 - 1830) Théorie analytiquede la chaleur(1822). Tales series plantean problemas relacionados con las ideas centra-les del análisis: el concepto de función, el significado de laintegral y los procesos deconvergencia.

� El proceso de “algebraización del análisis” que tiene lugaren los dos últimos tercios delsiglo XIX y que culmina con la fundamentación del análisis sobre el concepto de límite(Bolzano, Cauchy, Weierstrass) y la teoría de los números reales (Dedekind, Cantor). Loesencial de este proceso ya ha sido considerado en el capítulo anterior.

Si el tema te interesa, puedes encontrar mucha más información en las referencias citadasal principio.



Capıtulo7

Sucesiones

7.1. Introducción

Las sucesiones aparecen de manera natural en muchos cálculos que responden a un es-

quema iterativo. Por ejemplo, al dividir2 entre3 obtenemos2

3D 6

10C 2

3

1

10, igualdad que

podemos usar ahora para obtener

2

3D 6

10C�

6

10C 2

3

1

10

�1

10D 6

10C 6

102C 2

3

1

102;

y de nuevo

2

3D 6

10C 6

102C�

6

10C 2

3

1

10

�1

102D 6

10C 6

102C 6

103C 2

3

1

103:

Y así podemos continuar tantas veces como queramos, obteniendo para cadan2N la igualdad:

2

3D

nX

kD1

6

10kC 2

3

1

10n:

Escribiendoxn DnX

kD1

6

10ktenemos que0 <

2

3� xn D

2

3

1

10n. Observa que, aunque los nú-

merosxn son todos ellos distintosde 2=3, dada una cota de error arbitrariamente pequeña,

" > 0, y tomandon0 2 N de manera que2

3

1

10n0< " , deducimos quepara todonúmero

naturaln>n0 se verifica quejxn � 2=3j < " , lo que se expresa escribiendo2=3D lKımn!1

fxng.

325

Introducción 326

El ejemplo anterior está relacionado con la expresión decimal de 2=3 que, como todossabemos, es un decimal periódico con período igual a6, lo que suele escribirse2=3 D 0;b6igualdad en la que, según se dice a veces, el símbolo0;b6 debe interpretarse como que el6

se repite infinitas veces. ¿Qué quiere decir esto? Lo que está claro es que, por mucho tiempoy paciencia que tengamos, nunca podremos escribirinfinitos 6 uno detrás de otro... bueno,podríamos escribir algo como

2

3D 0;b6D 0; 6666666:::. infinitos6/

lo que tampoco sirve de mucho pues seguimos sin saber cómo se interpreta esta igualdad. Puesbien, para dar un significado matemático a lo que se quiere expresar con esa igualdad hay querecurrir al concepto de límite de una sucesión tal como hemoshecho antes.

Veamos otro ejemplo en esta misma línea. Vamos a intentar calcular aproximaciones racio-

nales dep

10. Si partimos inicialmente de un númerox >p

10, tendremos que10

x<p

10 < x.

Pongamosy D 1

2

�x C 10

x

�. Entonces, en virtud de la desigualdad de las medias,

p10 < y,

y como tambiény < x , deducimos quey está más cerca dep

10 quex. Podemos ahorarepetir este proceso sustituyendox por y obteniendo una nueva aproximación mejor de

p10.

Nótese que six es racional también lo seráy. Esto sugiere que, partiendo de un valor inicial,

por ejemplox1D 4, calculemosx2 D1

2

�x1 C

10

x1

�, y despuésx3 D

1

2

�x2 C

10

x2

�, y así

podemos continuar tantas veces como queramos, obteniendo para cadan 2 N un númeroxn

tal que

xnC1D1

2

�xn C

10

xn

�

con x1 D 4. Con una calculadora manual obtenemos enseguida los valores x2D3; 25;x3D3; 1634615 I x4D3; 1622779 con seis cifras decimales exactas:

0 < x4 �p

10Dx2

4� 10

x4 Cp

10<

x24� 10

6<

0; 000005

6<

1

106

es decir,x4 coincide conp

10 hasta la sexta cifra decimal. De hecho, comoxn>p

10 tenemosque:

0 < xnC1 �p

10D 1

2

�xn C

10

xn

��p

10 <1

2xn C

1

2

p10 �

p10D 1

2.xn �

p10/

de donde se sigue que0 < xnC1 �p

10 <1

2n.x1 �

p10/ <

1

2n, por tanto, dado cualquier

" > 0, y tomandon0 2 N tal que2�n0 < ", deducimos quepara todonúmero naturaln>n0 severifica quejxn�

p10 j < ", lo que simbólicamente se expresa escribiendo

p10D lKım

n!1fxng.

En los ejemplos anteriores hemos dado por supuesto que ya tienes cierta familiaridad conlos conceptos de “sucesión” y de “límite de una sucesión” de los cuales vamos a ocuparnos acontinuación con detalle.

Sucesiones de números reales 327

7.2. Sucesiones de números reales

7.1 Definición. SeaA un conjunto no vacío. Unasucesiónde elementos deA es unaaplicacióndel conjuntoN de los números naturales enA. En particular, una sucesión de números realeses unaaplicacióndel conjuntoN de los números naturales en el conjuntoR de los númerosreales.

Por ahora, solamente consideraremos sucesiones de númerosreales por lo que nos referi-remos a ellas simplemente como “sucesiones”.

Notación. Dada una sucesión,' WN ! R , suele emplearse una notación especial para repre-sentarla. Paran 2N suele representarse el número real'.n/ en la formaxnD '.n/ (natural-mente la letra “x” nada tiene de especial y puede sustituirse por cualquier otra). La sucesiónmisma se representa por' D fxngn2N, es decir, el símbolofxngn2N debe interpretarse comola aplicaciónque a cadan2N hace corresponder el número realxn. Cuando no hay posibilidadde confusión, escribimos simplementefxng en vez defxngn2N .

Conviene insistir en quefxng es, por definición, laaplicacióndeN enR dada porn 7! xn.No hay que confundir la sucesiónfxng, que es una aplicación, con suconjunto imagen, que es~el subconjunto deR formado por todos los númerosxn, el cual se representa porfxn W n 2 Ng.Por ejemplo,f.�1/ng y f.�1/nC1g son sucesiones distintas con el mismo conjunto imagen.

El númeroxn se llamatérmino n-ésimode la sucesión; paranD1; 2; 3 se habla respectiva-mente de primero, segundo, tercer término de la sucesión. Una forma apropiada de consideraruna sucesión es como un vector con infinitas componentes (lostérminos de la sucesión), deesta forma no te quedará duda de que las sucesionesf.�1/ng y f.�1/nC1g son distintas pues secorresponden con los vectores.�1; 1;�1; 1; : : : / y .1;�1; 1;�1; : : : /.

7.2.1. Sucesiones convergentes

7.2 Definición. Una sucesiónfxng se dice queconvergea un número realx si, dado cualquiernúmero real" > 0, existe un número naturalm" tal que sin es cualquier número natural mayoro igual quem" se cumple quejxn� xj < ". Simbólicamente:

8" > 0 9m"2N W n > m" ) jxn� xj < " (7.1)

Se dice también que el númerox eslímite de la sucesiónfxng, y se escribe lKımn!1

fxng D x o,

simplemente, lKımfxng D x e incluso, si no hay posibilidad de confusión,fxng ! x.

Teniendo en cuenta que la desigualdadjxn� xj < " equivale a la doble desigualdadx � " < xn < x C " o, lo que es igual,xn2�x � ";x C "Œ, la definición anterior lo que dice esquefxng converge ax cuando, dado cualquier intervalo abierto�x � ";x C "Œ, se verifica quetodos los términos de la sucesión a partir de uno en adelanteestán en dicho intervalo.

El número naturalm", cuya existencia se afirma en la definición anterior, cabe esperar quedependa del número" > 0, lo que explica la notación empleada. Lo usual es quem" tenga queser tanto más grande cuanto más pequeño sea el número" > 0. Conviene observar que sip esun número natural tal quep > m", entonces parap, al igual que param", se verifica que sin es cualquier número natural mayor o igual quep se cumple quejxn� xj < ". Es decir, si

Sucesiones convergentes 328

fxng converge ax, entonces para cada" > 0 dado hay, de hecho,infinitos números naturalesm" para los que se satisface la condición7.1.

La definición7.2es típica del Análisis pues en ella se está definiendouna igualdad, a saber,lKımfxngDx , en términos dedesigualdades: jxn�xj < " siempre quen>m". Observa tambiénque, de la definición dada, se deduce enseguida quefxng ! x es lo mismo quefxn � xg ! 0.

Veamos con unos sencillos, pero importantes ejemplos, cómose usa la definición7.2paraprobar que una sucesión converge.

7.3 Ejemplo. La sucesiónf1=ng es convergente a cero.

Para probarlo, dado" > 0, tenemos que encontrar unm 2N tal que para todon > m severifique quej1=n� 0j D 1=n < ". Como1=n 6 1=m siempre quen > m, bastará tomar comonúmerom cualquier natural que verifique que1=m < ", es decir,m > 1=". Que, efectivamente,hay números naturales,m, que verifican la condiciónm > 1=" cualquiera sea el número" > 0

dado, es justamente lo que dice la propiedad arquimediana (5.9) del orden deR. Pues bién,cualquierm2N tal quem > 1=" nos sirve como apropiadom", pero parece razonable tomarel más pequeño de todos ellos que será la parte entera de1=" más una unidad, es decir,m" DE.1="/C 1 . Hemos demostrado así que lKımf1=ng D 0. �

7.4 Ejemplo. Dado un número realx 2�� 1; 1Œ, se verifica que la sucesión de las potencias dex, fxng, converge a cero.

En efecto, comojxj < 1 podemos escribirjxj en la formajxjD1=.1C�/ para conveniente� > 0 (de hecho�D 1�jxj

jxj pero eso no interesa ahora). Dado" > 0, puesto que

jx n � 0j D jxjn D 1

.1C �/n 61

1C n�<

1

n�

bastarátomar unm" tal que 1�m"

< ", por ejemplo,m" D E�

1�"

�C 1, para garantizar que

jx n � 0j < " siempre quen > m". �

7.5 Ejemplo. Dadox 2�� 1; 1Œ, se verifica que la sucesiónf1C xC x2C � � � C xng, llamada

serie geométrica de razónx, converge a1

1 � x.

En efecto, comoˇˇ1C x C x2 C � � � C x n � 1

1 � x

ˇˇD jxj

nC1

1� x

poniendo, igual que antes,jxj D 1=.1C �/ para conveniente� > 0, y teniendo en cuenta que0 < 1 � jxj6 1� x, y el ejemplo anterior deducimos que:

ˇˇ1C x C x2 C � � � C x n � 1

1 � x

ˇˇ6

jxj1� jxj jxj

nD 1

�jxjn < 1

n�2

por lo que, dado" > 0 para todon > m" DE�

1"�2

�C 1 se verifica que

ˇˇ1C x C x2 C � � � C x n � 1

1 � x

ˇˇ < ":

�

Sucesiones convergentes 329

Si demostrar, aplicando la definición7.2, que una sucesión dada es convergente puedeser complicado, suele serlo todavía más probar, usando dicha definición, que una sucesión noconverge.

7.6 Ejemplo. La sucesiónf.�1/ng no es convergente.

En efecto, seax 2 R y definamos"x D mKaxfj1� xj=2; j1C xj=2g. Claramente"x > 0.Puesto quej.�1/2m� xjD j1� xj, j.�1/2mC1� xjD j1C xj y alguno de estos números esmayor que"x deducimos que, dadox 2R, se verifica queexisteun número"x > 0, tal quecualquiera seam2N se verifica quehay algúnnaturaln, por ejemplonD 2m o nD 2mC 1,mayor quem y para el que no se verifica quej.�1/n� xj < "x. Es decir, hemos probado quef.�1/ng no converge ax. Puesto que en nuestro razonamientox puede ser cualquier númeroreal concluimos, finalmente, quef.�1/ng no es convergente. �

Conviene precisar algunas expresiones de uso frecuente al tratar con sucesiones.

� Cuando se dice que una cierta propiedad se satisface portodos los términos de una su-cesiónfxng a partir de uno en adelante, lo que se quiere decir es que existem2N; talque para todon > m el númeroxn satisface dicha propiedad.

� Cuando se dice que una cierta propiedad se satisface porinfinitos términos de una suce-sión fxng, lo que se quiere decir es que el conjunto de todos losnúmeros naturales n,tales quexn satisface dicha propiedad, es infinito.

� Cuando se dice que una cierta propiedad se satisface porun número finito de términosde una sucesiónfxng, lo que se quiere decir es que el conjunto de todos losnúmerosnaturales n, tales quexn satisface dicha propiedad, es finito.

El siguiente resultado, muy sencillo, es también muy útil.

7.7 Proposición. Seafxng una sucesión yx un número real. Equivalen las siguientes afirma-ciones:

i) fxng converge ax.

ii) Para todo intervalo abiertoI que contiene ax se verifica que todos los términos de lasucesiónfxng a partir de uno en adelante están enI .

Demostración. Que ii) implica i) es consecuencia inmediata del comentario que sigue a ladefinición7.2. Probaremos quei) implica ii) . Dado un intervalo abiertoI tal quex2I , existiráun número" > 0 (que dependerá del intervaloI ) tal que �x � ";x C "Œ� I . Para dicho" > 0 existe, por hipótesis, un número naturalm tal que para todon > m se verifica quexn 2�x � ";x C "Œ y, por tanto,xn2I . 2

Observa que en la definición7.2no se exige que el límite sea único, por ello sifxng conver-ge ax es lícito preguntar si puede haber otro número realy distintodex tal quefxng tambiénconverja ay. La respuesta es que no. En efecto, sifxng ! x, dadoy ¤ x, hay intervalosabiertosI , J tales quex 2 I , y 2 J e I \ J D Ø (por ejemplo las semirrectas� ; xCy

2Œ y

�xCy2;! Œ). Sabemos, por la proposición anterior, que todos los términos defxng a partir de

Sucesiones convergentes y estructura de orden deR 330

uno en adelante están enI , por tanto sólo puede haber un número finito de términos enJ .Concluimos, en virtud de la misma proposición, quefxng no converge ay. Hemos probadoque sifxng es convergente, el número real lKımfxng está determinado de manera única.

7.8 Proposición. Una sucesión convergente tiene un único límite.

Para estudiar la convergencia de una sucesión dada no suele ser lo más aconsejable usar, deentrada, la definición7.2. Es preferible intentar primero otros caminos. Generalmente lo quesuele hacerse en la práctica consiste en relacionar dicha sucesión con otras más sencillas o queya han sido previamente estudiadas y deducir de dicha relación si nuestra sucesión es o no esconvergente y, cuando lo sea, el valor de su límite. Por ello son de gran utilidad los resultadosque siguen en los que se estudia cómo se comportan las sucesiones convergentes respecto delas estructuras algebraica y de orden deR.

7.2.2. Sucesiones convergentes y estructura de orden deR

La siguiente estrategia, útil para probar desigualdades, se usa con frecuencia.

7.9 Estrategia. Seanx ey números reales. Equivalen las siguientes afirmaciones:

a)x 6 y.

b) Para todo númeroz > y se verifica quex < z.

c) Para todo número" > 0, se verifica quex < y C ".

Demostración. Es evidente que a)÷ b)÷ c). Probemos que c)÷ a). Supuesto que paratodo número" > 0, se verifica quex < y C " debe ocurrir quex 6 y pues, en otro caso, sifueray < x, tomando"D x � y debería verificarse quex < y C "D y C .x � y/D x, estoes,x < x lo que es contradictorio. 2

7.10 Proposición.Supongamos quelKımfxng D x , lKımfyng D y y que existem 2N tal quepara todon > m se tiene quexn 6 yn. Entonces se verifica quex 6 y.

Demostración. Sea" > 0, probaremos quex < yC". Por hipótesis existen números naturalesm1 y m2 tales que para todop > m1 se tiene quex � "=2 < xp < x C "=2 y todo q > m2

se tiene quey � "=2 < yq < y C "=2. Tomando un número naturaln > mKaxfm;m1;m2g, severifican las dos desigualdades anteriores y también la del enunciado, luego:

x � "=2 < xn 6 yn < y C "=2 ÷ x < y C ":

Como queríamos probar. 2

Respecto al resultado anterior, conviene advertir queaunque las desigualdades sean es-trictas no puede asegurarse quelKımfxng D x sea estrictamente menor quelKımfyng D y. Por~ejemplo, sixnD 0 eynD1=n, es claro quexn < yn para todon2N perox D 0D y.

Sucesiones monótonas 331

7.11 Proposición(Principio de las sucesiones encajadas). Supongamos quefxng, fyng, fzngson sucesiones tales quelKımfxng D lKımfzng D ’ y existe un número naturalm0 tal que paratodon>m0 se verifica quexn6yn6zn, entonces la sucesiónfyng es convergente ylKımfyngD’.

Demostración. Sea" > 0. Por hipótesis existenm1;m2 tales que para todop > m1 y todoq > m2

’� " < xp < ’C " y ’ � " < zq < ’C " (7.2)

Seam3DmKaxfm0;m1;m2g. Para todon>m3 las desigualdades (7.2) se cumplen parapDqDn.Además comon > m0 se tiene quexn6 yn6 zn. Deducimos que, para todon > m3 se verificaque:

’ � " < xn6 yn6 zn < ’C ";y, por tanto,’ � " < yn < ’C ". Hemos probado así que lKımfyng D ’. 2

Una consecuencia inmediata de este resultado es que si cambiamos arbitrariamente un nú-mero finito de términos de una sucesión, la nueva sucesión asíobtenida es convergente si lo erala de partida y con su mismo límite. Esto es lo que dice el siguiente resultado.

7.12 Corolario. Seanfxng e fyng sucesiones cuyos términos son iguales a partir de uno enadelante, es decir, hay un número naturalm0 tal que para todon > m0 es xnD yn. Entoncesfxng converge si, y sólo si,fyng converge en cuyo caso las dos sucesiones tienen igual límite.

El principio de las sucesiones encajadas es de gran utilidady se usa con mucha frecuencia.Naturalmente, cuando apliquemos dicho principio a un caso concreto, la sucesiónfyng delenunciado será la que queremos estudiar y tendremos que ser capaces de “inventarnos” lassucesionesfxng y fzng de manera que se cumplan las condiciones del enunciado. Veamos unejemplo.

7.13 Ejemplo. La sucesiónf np

ng es convergente a 1.

Pongamosyn D np

n. La elección defxng es inmediata:xn D 1. Un poco más difícil es laelección defzng. Para ello apliquemos la desigualdad de las medias a los númerosx1D x2D� � � D xn�2D 1; xn�1D xnD

pn para obtener que para todon > 2 es:

np

n 6n � 2C 2

pn

n< 1C 2p

n: (7.3)

Por tanto tomandoznD 1C 2pn

, es inmediato que lKımfzngD 1 y concluimos, por el principio

de las sucesiones encajadas, que lKımf np

ng D 1. �

7.2.3. Sucesiones monótonas

7.14 Definición. Una sucesiónfxng se dice que es:

Mayorada o acotada superiormentesi su conjunto imagen está mayorado, es decir, si hay unnúmero�2R tal quexn6 � para todon 2 N.

Minorada o acotada inferiormente si su conjunto imagen está minorado, es decir, si hay unnúmero� 2 R tal que�6 xn para todon 2 N.

Acotadasi su conjunto imagen está mayorado y minorado, equivalentemente, si hay un númeroM 2 RC tal que jxnj 6 M para todon 2 N.

Crecientesi xn6 xnC1 para todon 2 N.

Estrictamente crecientesi xn < xnC1 para todon 2 N.

Decrecientesi xn> xnC1 para todon 2 N.

Estrictamente decrecientesi xn > xnC1 para todon 2 N.

Monótona si es creciente o decreciente.

Estrictamente monótonasi es estrictamente creciente o decreciente.

Observa que si una sucesiónfxng es creciente (resp. decreciente) entonces se verifica quexm6 xn (resp.xm> xn) siempre quem 6 n.

Conviene advertir que cuando se dice que una sucesión es monótonano se excluyela po-sibilidad de que, de hecho, sea estrictamente monótona. Es por ello que, en general, suelehablarse de sucesiones monótonas y tan sólo cuando tiene algún interés particular se precisa sison estrictamente monótonas.

7.15 Proposición.Toda sucesión convergente está acotada.

Demostración. Supongamos que lKımfxng D x. Todos los términos defxng a partir de uno enadelante estarán en el intervalo�x � 1;x C 1Œ, es decir, hay un númerom 2 N tal que paratodon > m se verifica quejxn� xj < 1, lo que implica que

jxnj6 jxn� xj C jxj < 1C jxj para todon > m.

TomandoM DmKaxf1Cjxj; jx1j; � � � ; jxmjg, tenemos quejxnj6 M para todon2N. 2

La proposición anterior es útil a veces para probar que una sucesiónno es convergente:para ello basta probar que no está acotada.

7.16 Ejemplo. La sucesiónfHng definida para todon2N por:

Hn DnX

kD1

1

kD 1C 1

2C 1

3C � � � C 1

n

no es convergente.

Para todon2N tenemos que:

2nX

kD1

1

kD 1C 1

2C�

1

3C 1

4

�C�

1

5C 1

6C 1

7C 1

8

�C � � � C

�1

2n � 1C � � � C 1

2n

�>

> 1C 1

2C�

1

4C 1

4

�C�

1

8C 1

8C 1

8C 1

8

�C � � � C

�1

2nC � � � C 1

2n

�D1C n

2(7.4)

de donde se deduce que la sucesión˚Pn

kD11=k

no está mayorada. Esta sucesión recibe elnombre deserie armónica. �

La proposición recíproca de la anterior no es cierta: la sucesiónf.�1/ng es acotada yno esconvergente. No obstante, hay un caso especial muy importante en que sí es cierta la recíproca.

7.17 Teorema.Toda sucesión monótona y acotada es convergente. Más concretamente, si unasucesiónfxng es:

i) Creciente y mayorada, entonceslKımfxng D ˇ, donde D supfxn W n2Ng.ii) Decreciente y minorada, entonceslKımfxng D ˛, donde D Kınffxn W n2Ng.

Demostración. Probaremosi/ quedando la demostración dei i/ como ejercicio. La hipótesis dequefxng es mayorada garantiza, en virtud del principio del supremo,la existencia del númeroreal ˇ D supfxn W n 2 Ng. Dado" > 0, tiene que existir un términoxm de la sucesión tal queˇ � " < xm. Puesto que la sucesión es creciente para todon > m se verificará quexm6 xn, ypor tantoˇ� " < xn. En consecuencia � " < xn < ˇC " para todon > m. Hemos probadoasí que lKımfxng D ˇ. 2

7.18 Ejemplo. La sucesiónfxng definida porxnD2nX

kDnC1

1

k, es convergente.

En efecto, como

xnC1� xnD1

2nC 2C 1

2nC 1� 1

nC 1>

1

2nC 2C 1

2nC 2� 1

nC 1D 0

se sigue quexnC1> xn para todon 2 N, es decir, es una sucesión creciente. Además

xn61

nC 1C .n� � � C 1

nC 1D n

nC 1< 1

por lo que también está mayorada. Concluimos, por el teoremaanterior, que dicha sucesión esconvergente. �

7.2.3.1. El númeroe

En el ejercicio30 hemos probado que la sucesiónxn D�

1C 1

n

�n

es creciente y que la

sucesiónyn D�

1C 1

n

�nC1

es decreciente. Como0 < yn, se sigue quefyng es convergente.

Puesto que

xn D yn

�1C 1

n

��1

D ynn

nC 1

se sigue quefxng también es convergente y lKımfxng D lKımfyng. El valor común de este límitees un número real que se representa con el símbolo e. Como consecuencia del teorema7.17, severifica que:

eD sup

��1C 1

n

�n

W n2N

�D Kınf

(�1C 1

m

�mC1

Wm2N

)

Sucesiones convergentes y estructura algebraica deR 334

En particular, para todosn;m2N se verifica que:

�1C 1

n

�n

< e<

�1C 1

m

�mC1

(7.5)

7.2.4. Sucesiones convergentes y estructura algebraica deR

En los resultados anteriores han intervenido de manera esencial las propiedades de la es-tructura de orden deR. Vamos a estudiar ahora el comportamiento de las sucesionesconver-gentes respecto de la adición y el producto de números reales. Los resultados que vamos aobtener, conocidos tradicionalmente con el nombre deálgebra de límites, son básicos para elestudio de la convergencia de sucesiones.

Dadas dos sucesionesfxng e fyng, se define susuma como la sucesiónfxnC yng y suproducto como la sucesiónfxnyng.

7.19 Proposición.El producto de una sucesión convergente a cero por una sucesión acotadaes una sucesión convergente a cero.

Demostración. Sea lKımfxng D 0, e fyng acotada. Seac > 0 tal quejynj6c para todon 2N.Dado" > 0, existe un número naturalm tal que para todon>m se verifica quejxnj < "=c.

Deducimos que, para todon>m, se verifica quejxnynj D jxnjjynj <"

cc D ", lo que prueba

que lKımfxnyng D 0. 2

7.20 Proposición(Álgebra de límites). Supongamos quelKımfxngDx y lKımfyngDy. Entoncesse verifica que:

lKımfxnC yng D x C y; lKımfxnyng D xy :

Si además suponemos quey ¤ 0, entonceslKımfxn=yng D x=y.

Demostración. Dado" > 0, por hipótesis existenm1;m2 tales que

x � "=2 < xp < x C "=2 y y � "=2 < yq < y C "=2 (7.6)

para todop > m1 y todoq > m2. Seam0 DmKaxfm1;m2g. Para todon > m0 las desigualda-des (7.6) se cumplen parapDqD n, por lo que, sumándolas término a término, deducimos quexCy�" < xnCyn < xCyC" cualquiera sean>m0, lo que prueba que lKımfxnCyngDxCy.

Teniendo en cuenta que, por las proposiciones7.15y 7.19, se verifica que lKımf.xn�x/yngDlKımfx.yn� y/g D 0, y la igualdad

xnyn � xy D .xn� x/yn C x.yn� y/

deducimos que lKımfxnyn � xyg D 0, es decir, lKımfxnyng D xy.

Finalmente, para probar que lKımfxn=yng D x=y, probaremos que la sucesión�

xn

yn� x

y

�D�

xny � ynx

yny

�

Sucesiones parciales. Teorema de Bolzano–Weierstrass 335

converge a cero, para lo cual, teniendo en cuenta que lKımfxny � ynxg D xy � yx D 0, bas-tará probar que la sucesiónf1=yng está acotada. Puesto que lKımfyng D y, se deduce de ladesigualdad

jjynj � jyjj 6 jyn � yjque lKımfjynjg D jyj. Existirá, por tanto, un númerom0 2 N tal que para todon > m0 esjynj > jyj=2. Pongamos

K DmKax

�1

jy1j;

1

jy2j; : : : ;

1

jym0j ;

2

jyj

�:

Se tiene entonces que1

jynj6 K para todon2N. Hemos probado así que la sucesiónf1=yng

está acotada, lo que concluye la demostración del teorema. 2

7.21 Observación.Hay que leer con atención las hipótesis del teorema anteriorpara no hacerun uso incorrecto del mismo. En particular, no hay que olvidar que la suma de dos sucesio-nes no convergentes puede ser una sucesión convergente. Por ejemplo, las sucesionesxnDn,~ynD�n, no son convergentes pues no están acotadas, pero su sumaxnCynD0 es, evidentemen-te, convergente. Por tanto,antes de escribirlKımfxnCyngDlKımfxngClKımfyng, hay que asegurarsede que estos últimos límites existen, es decir, que las sucesionesfxng, fyng convergen, puespudiera ocurrir que la sucesiónfxnCyng fuera convergente y no lo fueran las sucesionesfxng,fyng. Análogamente, basta considerar las sucesionesxnDynD.�1/n, para convencerse de queel producto de dos sucesiones no convergentes puede ser una sucesión convergentey, en con-secuencia, antes de descomponer una sucesión como productode otras dos, debes asegurartede que estas sucesiones convergen.

7.2.5. Sucesiones parciales. Teorema de Bolzano–Weierstrass

7.22 Definición. Seafxng una sucesión de números reales; dada una aplicación� WN!N

estrictamente creciente, la sucesión que a cada número naturaln hace corresponder el númeroreal x�.n/ se representa porfx�.n/g y se dice que es unasucesión parcialo unasubsucesióndefxng. Observa quefx�.n/g no es otra cosa que la composición de las aplicacionesfxng y � ,esto es,fx�.n/g D fxng ı � .

Se dice que un número realx es unvalor de adherenciade la sucesiónfxng si hay algunasucesión parcial defxng que converge ax.

7.23 Ejemplo. Sea, como de costumbre,E.x/ el mayor entero menor o igual quex. La suce-siónfxng dada porxnD n=5�E.n=5/ para todon2N, tiene a0; 1=5; 2=5; 3=5 y 4=5, comovalores de adherencia.

En efecto, basta considerar que para cadaj 2 f0; 1; 2; 3; 4g, la sucesión parcialfx5n�jgn2N

viene dada porx5n D 0, parajD 0, y x5n�j D 1 � j=5 paraj D 1; 2; 3; 4. �

Es fácil probar por inducción que si� es una aplicación estrictamente creciente deN enN

entonces se verifica que�.n/> n para todon2N.

Sea lKımfxng D x, y fx�.n/g una sucesión parcial defxng. Dado" > 0, existem0 2N talque para todon>m0 se verifica quejxn� xj < ". Puesto que�.n/>n, deducimos que para

todon>m0 se tiene�.n/>m0, y por tanto,jx�.n/� xj < ". Hemos probado así el siguienteresultado.

7.24 Proposición.Si lKımfxng D x, toda sucesión parcial defxng también converge ax. Enparticular, una sucesión convergente tiene como único valor de adherencia su límite.

7.25 Estrategia. Como consecuencia de la proposición anterior, para probar que una sucesiónno converge, es suficiente probar que tiene alguna sucesión parcial no convergente o que tienedos sucesiones parciales que convergen a límites diferentes.

Por ejemplo, para la sucesiónxn D .�1/n se tiene quex2n D 1 y x2n�1 D �1. Por tantodicha sucesión no es convergente.

Observa que hay sucesiones, la de los números naturales por ejemplo, que no tienenningúnvalor de adherencia. También puede ocurrir que una sucesióntenga un único valor de adhe-rencia y no sea convergente. Por ejemplo, la sucesión dada porxnD .1C .�1/n/nC 1=n paratodo n 2 N, no es convergente y tiene a0 como único valor de adherencia. Vamos a ver acontinuación que estos comportamientos no pueden darse consucesiones acotadas.

7.26 Lema. Toda sucesión tiene una sucesión parcial monótona.

Demostración. Seafxng una sucesión y definamos

AD fn2N W xn > xp para todop > ng

Podemos visualizar el conjuntoA como sigue. Consideremos en el plano los segmentos deextremos.n;xn/ y .nC 1;xnC1/, nD 1; 2; 3; : : :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Figura 7.1. Puntos de sol y de sombra

Resulta así una línea poligonal infinita y podemos imaginar que dicha línea es el perfil deuna cordillera cuyas cumbres y valles son los puntos.n;xn/. Imaginemos ahora que los rayosde luz del Sol, paralelos al eje de abscisas, iluminan dicha cordillera por el lado derecho (el Sol

estaría, pues, situado en el infinito del eje de abscisas positivo). Pues bien, un número naturaln pertenece al conjuntoA si el punto.n;xn/ está iluminado y no pertenece aA si dicho puntoestá en sombra.

Supongamos queA es infinito. Entonces podemos definir una aplicación� W N ! N

estrictamente creciente y tal que�.N/D A de la siguiente forma:

�.1/DmKın.A/�.nC 1/DmKınfp2A W �.n/ < pg para todon 2 N

es decir la aplicación� va eligiendo los elementos deA de menor a mayor empezando por elprimero. Resulta ahora evidente que la sucesión parcialfx�.n/g es decreciente, porque todoslos puntos.�.n/;x�.n// están iluminados y, por tanto, ninguno de ellos puede hacerle sombraa uno anterior.

Si A es finito podemos suponer queADØ. En tal caso, para todon2N hay algúnp > n talquexn < xp (pues todo punto.n;xn/ está en sombra). Podemos definir ahora una aplicación� WN ! N estrictamente creciente de la siguiente forma:

�.1/D 1

�.nC 1/DmKınfp2N W �.n/ < p y x�.n/ < xpg para todon 2 N

Es evidente que la sucesión parcialfx�.n/g es creciente, pues cada punto.�.n/;x�.n// deja enla sombra al anterior. 2

El siguiente resultado es uno de los más importantes en la teoría de sucesiones de númerosreales.

7.27 Teorema(Teorema de Bolzano - Weierstrass). Toda sucesión acotada de números realestiene alguna sucesión parcial convergente.

Demostración. Seafxng una sucesión acotada. En virtud el lema anterior, hay una sucesiónparcial defxng que es monótona, dicha sucesión parcial está acotada por estarlo fxng y, portanto, es convergente. 2

Si volvemos a leer la definición de sucesión convergente, parece que para estudiar la conver-gencia de una sucesiónfxng debemos ser capaces de “adivinar”, de alguna manera, su posiblelímite. De hecho, una idea bastante extendida consiste en pensar que es lo mismo probar laconvergencia de una sucesión que calcular su límite. Esto noes del todo correcto; son relativa-mente pocas las sucesiones convergentes cuyo límite puede efectivamente calcularse. Cuandose estudia la convergencia de una sucesiónfxng, la mayoría de las veces, lo que conocemos es,justamente, la sucesión y, naturalmente, se desconoce su posible límite el cual pudiera, incluso,no existir. Por ello interesa tenercriterios de convergencia intrínsecos a la sucesión, es decir,que no hagan intervenir a un objeto en principioextrañoa ella como es su posible límite. Co-nocemos ya un criterio de convergencia intrínseco para sucesionesmonótonas. Usando dichocriterio hemos probado en el ejemplo7.18 la convergencia de una sucesiónsin necesidad deconocer su límite.

Condición de Cauchy. Teorema de completitud deR 338

7.2.6. Condición de Cauchy. Teorema de completitud deR

A continuación vamos a establecer un criterio intrínseco deconvergencia para sucesionesque es más general pues puede aplicarse a cualquier sucesión. Este criterio fué formuladopor Bolzano en 1817 y también, independientemente, por Cauchy en 1821, y establece unacondición necesaria y suficiente para la convergencia de unasucesión. Dicha condición seconoce con el nombre decondición de Cauchy.

7.28 Definición.Se dice que una sucesiónfxng satisface lacondición de Cauchy, si para cadanúmero positivo," > 0, existe un número naturalm", tal que para todosp; q2N conp>m" yq>m" se verifica quejxp� xqj < ".

7.29 Teorema(Teorema de completitud deR). Una sucesión de números reales es conver-gente si, y sólo si, verifica la condición de Cauchy.

Demostración. Supongamos quefxng verifica la condición de Cauchy. Probemos primero quefxng está acotada. La condición de Cauchy implica que haym02N tal quejxp� xm0

j < 1

para todop > m0, y comojxpj6 jxp� xm0j C jxm0

j, deducimos quejxpj < 1 C jxm0j para

p > m0. En consecuencia si definimosM D mKaxfjx1j; jx2j; : : : ; jxm0j; 1Cjxm0

jg, obtenemosquejxnj6 M para todon2N.

El teorema de Bolzano-Weierstrass garantiza que hay un número real x y una sucesiónparcial fx�.n/g que converge ax. Probaremos quefxng también converge ax. Dado" > 0,existeno 2N tal quejxp � xqj < "=2 siempre quep; q > no. También existen1 2N tal quejx�.n/ � xj < "=2 siempre quen > n1. Seam D mKaxfno;n1g. Para todon > m se tiene que�.n/> n > m por lo que

jxn � xj6 jxn � x�.n/j C jx�.n/ � xj < "

2C "

2D "

lo que prueba que lKımn!1

fxng D x.

Recíprocamente, sifxng es convergente y lKımfxngDx, dado" > 0, hay un númerom"2 N

tal que para todo número naturaln > m" se tiene quejxn� xj < "=2. Deducimos que sip; qson números naturales mayores o iguales quem" entonces

jxp� xqj6 jxp� xj C jx � xqj < "=2C "=2D ":

Por tanto la sucesiónfxng verifica la condición de Cauchy. 2

7.30 Observación.La condición de Cauchy para sucesiones dada en la definición7.28, puedetambién expresarse de una manera equivalente, aunque formalmente distinta, como sigue.

Una sucesiónfxng satisface la condición de Cauchy, si para cada número positivo, " > 0,existe un número naturalm", tal que para todop>m" y para todo número naturalh, se verificaque jxpCh� xpj < ".

Equivalentemente, una sucesiónfxng verifica la condición de Cauchy si, y sólo si, la suce-siónf�ng dada para todon2N por:

�n D supfjxnCh� xnj W h2Ng

Límites superior e inferior de una sucesión 339

converge a cero.

Puesto que, evidentemente, para cadah 2 N se tiene quejxnCh� xnj6 �n para todon2N, si fxng satisface la condición de Cauchy entonces se verifica que lKım

n!1fxnCh� xngD0

para cadah 2 N. Es importante observar que una sucesiónfxng puede verificar esta última~condición y no ser convergente, es decir, no satisfacer la condición de Cauchy. Un ejemplode ello lo proporciona la serie armónica, esto es, la sucesión fHng dada porHnD

PnkD11=k.

Hemos visto en el ejemplo7.16que dicha sucesión no es convergente y, por tanto, no verificala condición de Cauchy. Sin embargo,fijado un número naturalh2N, tenemos que

0 < HnCh�Hn D1

nC hC 1

nC h� 1C � � � C 1

nC 1<

h

n

y, como lKımn!1

nhn

oD 0, deducimos que lKım

n!1fHnCh�Hng D 0.

Observa que si hacemosh D 22.mCn/ � n entonces, como consecuencia de la desigual-dad7.4, H2p > 1C p=2, tenemos:

HnCh�Hn DH22.mCn/�Hn > H22.mCn/� n > 1CmC n� nDmC 1

lo que prueba que el conjuntofHnCh � Hn W h 2 Ng ni siquiera está mayorado para ningúnn2N.

7.2.7. Límites superior e inferior de una sucesión

Acabaremos esta parte del capítulo, esencialmente teórica, introduciendo dos conceptos,que también tienen un interés principalmente teórico, que usaremos más adelante para formularalgunos criterios de convergencia para series.

Seafxng una sucesiónacotaday definamos para cadan2N:

AnDfxp Wp>ng D fxn;xnC1;xnC2; : : :g

El conjuntoAn está formado por todos los términos de la sucesión a partir del que ocupa ellugar n-ésimo. ComoAn � A1 y, por hipótesis,A1 es un conjunto acotado,An también estáacotado. Pongamos

˛nD Kınf.An/; ˇnD sup.An/:

ComoAnC1� An se tiene que n6 ˛nC1, ˇnC16 ˇn. Por tanto la sucesiónf˛ng es crecientey fˇng es decreciente. Además1 6 ˛n 6 ˇn 6 ˇ1, para todon 2 N y, por el teorema7.17,concluimos que ambas sucesiones son convergentes. El número ˛D lKımf˛ng se llamalímiteinferior de la sucesiónfxng y se representa por lKım inffxng y también lKımfxng. El númeroˇD lKımfˇng se llamalímite superior de la sucesiónfxng y se representa por lKım supfxng ytambién porlKımfxng. Nótese que 6ˇ y además y ˇ vienen dados por D supf˛n Wn 2 Ng,ˇ D Kınffˇn Wn2Ng.

7.31 Teorema.Una sucesión acotada es convergente si, y sólo si, su límite superior y su límiteinferior son iguales, en cuyo caso ambos coinciden con el límite de la sucesión.

Demostración. Seafxng acotada, D lKım inffxng; ˇ D lKım supfxng. Supongamos quefxnges convergente con lKımfxng D x. Dado" > 0, existem0 2 N tal que para todop > m0 esx � "=2 < xp < x C "=2. Por tantox � "=2 es un minorante deAm0

Dfxp Wp>m0g y, enconsecuencia,x � "=2 6 ˛m0

. También, por análogas razones,ˇm06 x C "=2. Como además

˛m06 ˛ 6 ˇ 6 ˇm0

, resulta que:

x � "=26˛m06 ˛ 6 ˇ 6 ˇm0

6 x C "=2: (7.7)

De donde se sigue que�˛6". Hemos probado que para todo" > 0 esˇ6˛C" lo que, comoya sabemos, implica que6˛ y, en consecuenciaDˇ. Deducimos ahora de las desigualdades(7.7) que, para todo" > 0, x � "=2 6 ˛ D ˇ 6 x C "=2 y, por tanto,x 6 ˛ D ˇ 6 x, o sea,x D ˛ D ˇ.

Recíprocamente, supongamos que˛ D ˇ. Dado" > 0, todos los términos de cada una delas sucesionesf˛ng y fˇng estarán en el intervalo�˛ � "; ˛ C "ŒD�ˇ � "; ˇ C "Œ a partir de unode adelante. Luego � " < ˛m0

6 ˇm0< ˛ C " para algúnm02 N. Puesto que paran>m0

se verifica que m06 xn6 ˇm0

, concluimos que � " < xn< ˛C " para todon>m0. Hemosprobado así quefxng es convergente y lKımfxng D ˛ D ˇ. 2


312. Dado" > 0, calculam" 2N tal que para todon>m" se verifiquejxn� xj < " dondexn, x vienen dados en cada caso por:

a/ xnD2nC 3

3n � 50; x D 2

3I b/ xnD 3

pnC 1� 3

pn ; x D 0

c/ xnD np

a .a > 0/; x D 1I d/ xnD�

1p2

�n

; x D 0

e/ xnD n�

np

nC 1 � np

n�; x D 0I f / xnD n2an .jaj < 1/;x D 0

Sugerencia. Como consecuencia del binomio de Newton, parax � 1 > 0 se verifica quexnD.1C.x�1//n>1Cn.x � 1/. Esta desigualdad, convenientemente usada, permiteresolver con facilidad los casos b), c), d) y e).

313. SeaA un conjunto no vacío y mayorado de números reales. Prueba queun número real,ˇ, es el supremo deA si, y sólo si,ˇ es un mayorante deA y hay alguna sucesión depuntos deA que converge a .

314. Supuesto que lKımfxngDx, prueba que el conjuntoADfxn Wn2Ng[fxg tiene máximo ymínimo.

315. a) Seafxng una sucesión y supongamos que hay números�2�0; 1Œ; p 2N, tales quepara todon > p es jxnC1j 6 �jxnj . Prueba que lKımfxng D 0.

b) Seafxng una sucesión de números no nulos verificando que lKım jxnC1jjxnj

D�, donde

0 6 � < 1. Prueba que lKımfxng D 0.

Aplicación. Dadosa 2� � 1; 1Œ; k2N, prueba que lKımn!1

fnkang D 0.

316. Estudia la convergencia de las sucesiones siguientes.

a/ xn D2nC .�1/n.nC 2/

7nC 3b/ xn D n

�1C .�1/n

3

�n

c/ xn D n2

�1C n

3n

�n

d/ xnD np

anC bn .a > 0; b > 0/

e/ xnDnX

kD1

1pk C n2

f / xn Dxn

n!.x2R/

g/ xnDp

n2 C 3nC 2 � n h/ xnD�p

n2 Cpn � n��p

nC 1Cp

2n�

Sugerencia. En algunos casos puede usarse el principio de las sucesiones encajadas o elejercicio anterior.

317. Seaxn D1 � 3 � 5 � � � .2n � 1/

2 � 4 � 6 � � � 2n. Prueba quexn <

1p2nC 1

. Deduce que lKımfxng D 0.

Sugerencia. RelacionakkC1

con kC1kC2

.

318. Supongamos quefang ! 0. Justifica, usando derivadas, que lKımp

1C an � 1

anD 1

2.

319. Seana0; a1; : : : ; ap números reales cuya suma es igual a cero. Justifica que

lKımn!1

na0

pnC a1

pnC 1C a2

pnC 2C � � � C ap

pnC p

oD 0

Sugerencia. Saca factor comúnp

n, restaa0 C a1 C � � � C ap y usa el ejercicio anterior.

320. Estudia la convergencia de la sucesión:

xn D 2p

n�nX

kD1

1pk

321. Prueba que la sucesión dada porx1 D 0 y paran > 2:

xn D log.logn/ �nX

kD2

1

k logk

es convergente y su límite es menor o igual que log.log2/.

322. Dados0 < a1 < b1, definamos para todon2N:

bnC1DanC bn

2; anC1D

panbn:

Justifica que las sucesiones así definidas son monótonas y convergen al mismo número(que se llamamedia aritmético-geométricadea1 y b1).

323. Dados0 < a1 < b1, definamos para todon2N:

bnC1DanC bn

2; anC1D

2anbn

an C bn:

Justifica que las sucesiones así definidas son monótonas y convergen al mismo número(que se llamamedia aritmético-armónicadea1 y b1).

324. Dadosa; b2R con0 < a < b, definamos:

a1 D a; a2 D b; anC2 D2anC1an

anC1 C an:

a) Prueba que las sucesionesfa2ng y fa2n�1g son monótonas.

b) Prueba queja2n � a2n�1j6b � a

2n�1.

c) Justifica quefang converge y calcula su límite.

325. Estudia la convergencia de las siguientes sucesiones.

a) x1 D 1, xnC1 Dp

3xn.

b) x1 D 3, xnC1 D3C 3xn

3C xn.

c) x1D 1, xnC1 D4C 3xn

3C 2xn.

d) Dadoa 2� � 2;�1Œ, definimosx1 D a, xnC1 Dxn � 2

xn C 4.

e) Dadoa > 0, definimosx1Dp

a, xnC1 Dp

aC xn.

f) x1 D 0, xnC1D1

3� x2n

.

g) Dadoa > 0 y a¤ 1, definimosx1 D a, xnC1 D1

3

�2xn C

a

x2n

�.

h) Dadoa2R, definimosx1 D a, xnC1 D1

4C .xn/

2.

i) Dadoa 2� � 2; 1Œ, definimosx1 D a, 3xnC1 D 2C .xn/3.

Sugerencia. Estudia en cada caso monotonía y acotación. La convergencia puede depen-der del valor inicial dea.

326. Para cadan2N sea

xnD1C 1

2C � � � C 1

n� log.n/; ynD xn�

1

n:

Prueba quefxng es estrictamente decreciente efyng es estrictamente creciente. Deduceque ambas sucesiones convergen a un mismo número. Dicho número se llama lacons-tante de Euler, se representa por la letra griega”.

a) Deduce que lKımn!1

1C 1=2C � � � C 1=n

log.n/D 1.

b) Justifica que lKımn!1

�1

nC 1C 1

nC 2C � � � C 1

2n

�D log2:

c) Justifica que lKımn!1

(1� 1

2C 1

3� 1

4C � � � C .�1/nC1

n

)D log2:

327. Seafxng una sucesión y supongamos que hay dos sucesiones parcialesfx�.n/g y fxs.n/gque convergen a un mismo númerox y tales que�.N/ [ s.N/ D N. Prueba quefxngconverge ax.

328. Seafxng una sucesión tal que las sucesiones parcialesfx2ng, fx2n�1g y fx3ng, son con-vergentes. Prueba quefxng es convergente.

329. ¿Puede existir alguna sucesión acotada,fxng, verificando quejxn � xmj>10�75 siemprequen¤m? Razona tu respuesta.

330. Seafxng una sucesión de números reales y supongamos que hay números� 2�0; 1Œ,M > 0 y p 2 N tales quejxnC1� xnj 6 M�n para todon > p. Prueba quefxng esconvergente.

Sugerencia. Teniendo en cuenta que para todosn;h2N se verifica que:

�nCh�1 C �nCh�2 C � � � C �n <�n

1� �

deduce quefxng verifica la condición de Cauchy.

331. Seafxng una sucesión de números reales y supongamos que existen�2�0; 1Œ; p2N,tales quejxnC1� xnj6 �jxn� xn�1j para todon > p. Prueba quefxng es convergente.

Sugerencia. Justifica quejxnC1 � xnj6 M�n dondeM es una constante independienteden.

332. SeaI un intervalo cerrado (puede serI D R); f W I ! R una función, y supongamosque hay un número 2�0; 1Œ tal que:

jf .x/ � f .y/j6 ˛jx � yj; para todosx;y enI : (7.8)

Se dice entonces quef es unafunción contractiva en I . Supongamos además quef .x/ 2I para todox 2I . Dado un puntoa 2I , definamosfxng por x1D a; y xnC1Df .xn/ para todon2N.

a) Prueba quefxng converge a un puntox 2I que es el único punto fijo def , es decir,f .x/D x.

b) Justifica que si la funciónf es derivable enI y se verifica que hay un número2�0; 1Œtal quejf 0.x/j6 ˛ para todox2I , entoncesf es contractiva enI .

333. Estudia la convergencia de las sucesiones definidas para todo n2N por:

a/ x1D 1; xnC1D1

1C xnI b/ x1D

p2; xnC1D

p2 � xn:

334. Supongamos que la ecuaciónx2D bxC a tiene dos raíces reales distintas˛ y ˇ. Dadosdos números reales� y �, definamosfxng por:

x1D �C �; x2D �˛ C �ˇ; xnC2D bxnC1C axn

Prueba quexnD �˛n�1C �ˇn�1 para todon2N.

Aplicaciones. i) La sucesiónfxng definida para todon2N por:

x1D x2D 1; xnC2D xnC1C xn

se llamasucesión de Fibonacci. Calcula explícitamentexn.

ii) Estudia la convergencia de la sucesión definida para todon2N por:

x1D a; x2D b; xnC2D1

2.xnC1C xn/:

iii) Dadosa; b2RC, estudia la convergencia de la sucesión definida por:

a1 D a; a2 D b; xnC2 Dp

xnC1xn:

335. Prueba que para todon2N se verifica la desigualdad

.nC 1/n

n!< en<

.nC 1/nC1

n!:

Sugerencia. Recuerda la definición del número e.

336. a) Prueba que la sucesiónfung definida para todon2N por:

un D�

1C 1

n2

��1C 2

n2

��1C 3

n2

�� 1C n

n2

�

es convergente.

b) Justifica que para todox > 0 se verifica que:

x � x2

26 log.1C x/6 x:

c) Utiliza dicha desigualdad para calcular lKımn!1

fung.

337. a) Justifica, parax > �1, la desigualdadx

2C x<p

1C x � 1 <x

2.

b) Usa dicha desigualdad para calcular el límite de la sucesiónxnDnX

kD1

r1C k

n2� 1

!.

338. Dado0 < � < 1, estudia la convergencia de la sucesiónun DnY

kD1

.1C �k/.

Sugerencia. La desigualdad de las medias puede ser útil.

339. Seaxn D 1 C .�1/n C .�1/n1

ny A D fxn W n2Ng. Calcula lKım supfxng, lKım inffxng,

sup.A/ e Kınf.A/.

Ejercicio resuelto 152 Dado" > 0, calculam" 2 N tal que para todon>m" se verifiquejxn� xj < " dondexn, x vienen dados en cada caso por:

a/ xnD2nC 3

3n � 50; x D 2

3I b/ xnD 3

pnC 1� 3

pn ; x D 0

c/ xnD np

a .a > 0/; x D 1I d/ xnD�

1p2

�n

; x D 0

e/ xnD n�

np

nC 1 � np

n�; x D 0I f / xnD n2an .jaj < 1/;x D 0

Sugerencia. Como consecuencia del binomio de Newton, parax � 1 > 0 se verifica quexnD.1C.x�1//n>1Cn.x � 1/. Esta desigualdad, convenientemente usada, permiteresolver con facilidad los casos b), c), d) y e).

Solución.Como regla general, en este tipo de ejercicios hay que “trabajar hacia atrás”,esto es, se calcula y simplificajxn � xj y se convierte la desigualdadjxn � xj < " enotra equivalente a ella de la forman > '."/ donde'."/ es un número que depende de".Basta entonces tomarm" como la parte entera de'."/más 1,m"DE

�'."/

�C 1, con lo

cual para todon > m" se tiene quen < '."/ y, por tanto,jxn � xj < ".Este procedimiento admite muchos atajos. Hay que tener en cuenta que no se pide cal-cular elm" “óptimo”, es decir, el menor valor posible dem" para el cual se verifica quen > m"÷jxn � xj < ", sino que se pide calcular cualquier valor dem" para el cual seacierta dicha implicación. Para ello es suficiente con obtener, a partir de la desigualdadjxn � xj < ", otra desigualdad del tipon > '."/ de forma que se verifique la implicaciónn > '."/÷jxn � xj < ".En este procedimiento hay que quitar valores absolutos. Esto siempre puede hacerseporque la desigualdadjxn � xj < " equivale a las dos desigualdades�" < x�n�x < ".Con frecuencia, el númeroxn�x es siempre positivo o siempre negativo para todon>n0,lo que permite quitar directamente el valor absoluto y sustituirlo por la correspondientedesigualdad.

Por supuesto, en estos ejercicios hay que trabajar con un valor genérico de" > 0, esdecir, no está permitido considerar valores particulares de" porque se trata de probar queuna cierta desigualdad es válida para todo" > 0.

La verdad es que se tarda más en escribir lo anterior que en hacer el ejercicio porque lassucesiones que se dan son muy sencillas y la sugerencia muy útil.

a) Tenemos que

jxn � xj Dˇˇ 2nC 3

3n � 50� 2

3

ˇˇD

ˇˇ 109

9n� 150

ˇˇ :

El denominador es positivo para todon > 17. Pongamosn D 17 C k dondek 2 N.Entonces

jxn � xj D 109

9n � 150D 109

3C 9k<

109

9k<

13

k:

Deducimos que para que se tengajxn � xj < " es suficiente que tomarnD17Ck dondek se elige de forma que13

k< ", es decir,k > 13

". Por tanto, poniendom"D 18CE.13

"/

podemos asegurar que para todon > m" se verifica quejxn � xj < ".Observa que las acotaciones109

3C9k< 109

9k< 13

kno son imprescindibles; de hecho,

podemos despejark de la desigualdad1093C9k

< ", pero las acotaciones hechas facilitaneste paso (aunque se obtiene un valor dek mayor).

b) Tenemos que:

0 < xn � 0D 3p

nC 1 � 3p

nD 3p

n

3

r1C 1

n� 1

!:

Pongamoszn D 3

r1C 1

n� 1. Tenemos quezn > 0 y, usando la sugerencia dada:

.1C zn/3 D 1C 1

n> 1C 3zn÷ zn 6

1

3n

Deducimos que:

xn D 3p

n zn 61

3

13p

n26

1

3

13p

n:

Por tanto:1

3

13p

n< "÷xn < "÷ jxn � 0j D xn < "

La desigualdad13

13p

n< " se verifica para todon > 1

27"3 . Por tanto, es suficiente tomar

m" D 1CE�

127"3

�.

Observa que la acotación13

13p

n26 1

31

3p

nno es imprescindible; de hecho, podemos des-

pejarn en la desigualdad13

13p

n2< ", pero la acotación anterior facilita este paso (aunque

se obtiene un valor mayor paran).

c) Seaa > 1. Entonces1 < np

a. PongamosznD jxn � 1j D np

a� 1 > 0. Tenemos que:

.1C zn/n D a > 1C nzn÷ zn <

a � 1

n

Deducimos que:a � 1

n< "÷ zn D jxn � 1j < "

La desigualdada�1n

< " se verifica para todon > a�1"

. Por tanto, es suficiente tomarm" D 1CE

�a�1

"

�.

Si 0 < a < 1, poniendob D 1a

y usando lo ya visto, tenemos que:

0 < 1 � np

aDnp

b � 1np

b<

np

b � 1 <b � 1

nD 1 � a

a

1

n

De donde se sigue que podemos tomarm" D 1CE�

1�aa"

�.

e)Seaxn D n�

np

nC 1 � np

n�. Tenemos que:

0 < xn D jxn � 0j D n�

np

nC 1� np

n�D n np

n

n

r1C 1

n� 1

!:

Pongamoszn D n

r1C 1

n� 1. Tenemos quezn > 0 y:

.1C zn/n D 1C 1

n> 1C nzn÷ zn <

1

n2:

Por tanto, usando la desigualdad7.3, tenemos que:

jxn � 0j D n np

nzn <1

nnp

n <1

n

�1C 2p

n

�0

1

nC 2

n np

n6

3

n

Deducimos que tomandom" D 1 C E�

3"

�, entonces para todon > m" se verifica que

jxn � 0j < ". ©

Ejercicio resuelto 153 SeaA un conjunto no vacío y mayorado de números reales. Pruebaque un número real, , es el supremo deA si, y sólo si, es un mayorante deA y hayalguna sucesión de puntos deA que converge a .

Solución.Supongamos queD sup.A/. Entonces es, claro está, un mayorante deA.Veamos que hay una sucesión de puntos deA que converge a . Comoˇ es el mínimomayorante deA, ningún número menor que puede ser mayorante deA. Por tanto,dado" > 0, comoˇ � " < ˇ, tiene que haber algúna" 2 A tal queˇ � " < a". Enparticular, para"D 1

ntiene que haber algúnan2A tal queˇ � 1

n< an y, por supuesto,

an 6 ˇ. Deducimos así la existencia de una sucesión,fang, de puntos deA que verificaˇ � 1

n< an 6 ˇ. Es claro quefang ! ˇ.

La afirmación recíproca te la dejo apara que la hagas tú. ©

Ejercicio resuelto 154 Supuesto que lKımfxng D x, prueba queADfxn Wn2Ng[fxg tienemáximo y mínimo.

Solución.Los elementos deA son los términos de la sucesión junto con el límite de lamisma. Observa que el conjuntoA puede ser finito o infinito. El caso en queA es finitoes trivial porque sabemos que todo conjunto finito tiene máximo y mínimo. Convieneconsiderar, por tanto, queA es infinito. La idea para hacer este ejercicio es la siguiente:aún siendoA infinito, todos sus elementos están en un intervalo de la forma �x�";xC"Œ,con la posible excepción de un número finito de elementos deA que pueden quedar fuerade dicho intervalo. Para probar queA tiene máximo debemos fijarnos en los elementosmás grandes deA. Dichos elementos deberían estar a la derecha del númerox C " para" > 0 suficientemente pequeño. Pero no tiene por qué haber ningún elemento deA enestas condiciones, y eso pasa justamente cuandox es el mayor elemento deA, en cuyocasox sería el máximo deA.

Esto lleva a razonar de la siguiente forma. Six es el máximo deA, hemos acabado. Enotro caso, tiene que haber algún elemento enA, digamosa 2 A que sea mayor quex,a > x. Tomemos un" > 0 tal quexC" < a (por ejemplo"D.a�x/=2). Entonces, todos

los elementos deA están en�x � ";x C "Œ excepto un número finito de ellos que quedanfuera de dicho intervalo; además, comoa > xC ", el conjuntoBD fu2A W u > x C "gno es vacío (a2B), es finito y, evidentemente, se tiene que mKax.B/DmKax.A/. ©

Ejercicio resuelto 155 a) Seafxng una sucesión y supongamos que hay números� 2�0; 1Œ; p2N, tales que para todon>p es jxnC1j6�jxnj . Prueba que lKımfxngD0.

b) Seafxng una sucesión de números no nulos verificando que lKım jxnC1jjxnj

D�, donde

0 6 � < 1. Prueba que lKımfxng D 0.

Aplicación. Dadosa 2� � 1; 1Œ; k2N, prueba que lKımn!1

fnkang D 0.

Solución.a) Podemos hacer este apartado de dos maneras. La primera consiste en darsecuenta de que la hipótesisjxnC1j 6 �jxnj para todon > p, junto con que0 < � < 1,implica que la sucesión

˚jxnCpj

n2N

es decreciente y, como es de números positivos,tiene que converger a un número˛>0. Por tanto lKımfjxnjgD˛. La desigualdadjxnC1j6�jxnj implica que˛ 6 �˛ y, como0 < � < 1, la única posibilidad para que dichadesigualdad se cumpla es que˛ D 0.

Otra forma consiste en escribir paran > p:

jxnC1j DjxnC1jjxnj

jxnjjxn�1j

jxn�1jjxn�2j

� � � jxpC1jjxpj

jxpj6 �n�pC1jxpj D �nC1 jxpj�pDM�nC1

donde hemos puestoMD jxp j�p que es una constante que no depende den. La desigualdad

anterior, teniendo en cuenta que, por ser0 < � < 1, se verifica que�n ! 0, implica quejxnj ! 0.

b) Tomando" > 0 de forma que� D � C " < 1 (basta tomar" D .1 � �/=2), se sigueque hay un númerop2N tal que para todon > p se verifica que:

jxnC1jjxnj

6 �÷ jxnC1j6 �jxnj:

Y, por lo visto en el apartado anterior, concluimos quefxng ! 0.

La aplicación que se propone en este ejercicio es un resultado importante que debesmemorizar.

Pongamosxn D nkan, donde se entiende quek es un número natural fijo ya es unnúmero real conjaj < 1. Tenemos que:

jxnC1jjxnj

D�

nC 1

n

�k

jaj÷ lKımn!1

jxnC1jjxnj

D jaj < 1:

Y podemos aplicar el resultado del punto anterior para concluir que lKımn!1

fnkang D 0.


Ejercicio resuelto 156 Estudia la convergencia de las sucesiones siguientes.

a/ xn D2nC .�1/n.nC 2/

7nC 3b/ xn D n

�1C .�1/n

3

�n

c/ xn D n2

�1C n

3n

�n

d/ xnD np

anC bn .a > 0; b > 0/

e/ xnDnX

kD1

1pk C n2

f / xn Dxn

n!.x2R/

g/ xnDp

n2 C 3nC 2 � n h/ xnD�p

n2 Cpn � n��p

nC 1Cp

2n�

Sugerencia. En algunos casos puede usarse el principio de las sucesiones encajadas o elejercicio anterior.

Solución. a) Tenemos quefx2ng ! 3=7, fx2n�1g ! 1=7. Luegofxng no convergeporque tiene dos sucesiones parciales que convergen a límites distintos.

b) Tenemos que0 6 xn 6 n�

23

�ny, comon

�23

�n ! 0 por lo visto en el ejercicio anterior,se sigue quefxng ! 0.

d)Sea DmKaxa; b. Entonces 6xn6 np

2˛. Como np

2! 1, concluimos quefxng ! ˛.

e)Tenemos que:np

nC n26

nX

kD1

1pk C n2

6np

1C n2:

Puesto que lKımn!1

npnC n2

D lKımn!1

np1C n2

D1, el principio de las sucesiones encajadas

implica que lKımn!1

nX

kD1

1pk C n2

D 1.

h)�q

n2 Cp

n � n

��pnC 1C

p2n�D n2 Cpn � n2

pn2 CpnC n

�pnC 1C

p2n�D

Dp

n2 C nCp

2 npn2 C

pnC n

D

q1C 1

nCp

2q

1C 1n

pnC 1!p

2

©

Ejercicio resuelto 157 Estudia la convergencia de la sucesión:

xn D 2p

n�nX

kD1

1pk

Solución.Estudiaremos la monotonía y acotación. Tenemos que:

xnC1 � xn D 2p

nC 1 � 2p

n � 1pnC 1

D 2nC 1� 2p

n2 C npnC 1

>

>2nC 1 � 2

qn2 C nC 1

4pnC 1

D 0:



Por tantoxnC1 > xn y la sucesión es estrictamente creciente. Además:

xkC1�xkD2p

k C 1�2p

k� 1pk C 1

D 2pk C 1C

pk� 1p

k C 1<

1pk� 1p

k C 1

Sumando estas desigualdades para1 6 k 6 n� 1 obtenemos quexn�x1 < 1� 1pn< 1,

de donde se sigue quexn < 2 para todon2N. Luegofxng es creciente y mayorada, portanto es convergente.

Alternativamente, aplicando el teorema del valor medio a lafunciónf .x/D 2p

x en elintervaloŒk;k C 1� tenemos que hay algún númeroc2�k;k C 1Œ tal que:

2p

k C 1 � 2p

k D 1pc

Comok < c < k C 1 se verifica que:

1pk C 1

<1pc<

1pk:

Deducimos que:

0 < 2p

k C 1 � 2p

k � 1pk C 1

<1pk� 1p

k C 1:

Y volvemos a obtener las acotaciones anteriores de forma máscómoda. ©

Ejercicio resuelto 158 Prueba que la sucesión dada porx1 D 0 y paran > 2:

xn D log.logn/ �nX

kD2

1

k logk

es convergente y su límite es menor o igual que log.log2/.


xkC1 � xk D log.log.k C 1// � log.logk/ � 1

.k C 1/ log.k C 1/:

Aplicando el teorema del valor medio a la funciónf .x/ D log.logx// en el intervaloŒk;k C 1� parak > 2, tenemos que hay algún númeroc2�k;k C 1Œ tal que:

log.log.k C 1// � log.logk/D 1

c logc:

Comok < c < k C 1 se verifica que:

1

.k C 1/ log.k C 1/<

1

c logc<

1

k logk:

Deducimos que:

0 < xkC1 � xk <1

k logk� 1

.k C 1/ log.k C 1/:

Esta desigualdad prueba que la sucesiónfxng es creciente. Además, sumando las de-sigualdades anteriores desdek D 2 hastak D n resulta que:

xnC1�x2 <1

2 log2� 1

.nC 1/ log.nC 1/<

1

2 log2÷xnC1 < x2C

1

2 log2Dlog.log2/:

Por tanto, la sucesión está mayorada y, como es creciente, esconvergente y su límite esmenor o igual que log.log2/. ©

Ejercicio resuelto 159 Dados0 < a1 < b1, definamos para todon2N:

bnC1DanC bn

2; anC1D

panbn:

Justifica que las sucesiones así definidas son monótonas y convergen al mismo número(que se llamamedia aritmético-geométricadea1 y b1).

Solución.Teniendo en cuenta que la media geométrica de dos números es menor que sumedia aritmética, y que ambas están comprendidas entre dichos números, se sigue quea1 < a2 < b2 < b1. Volvemos a razonar ahora igual cona2 < b2 para obtener quea2 < a3 < b3 < b2. Este proceso puede continuarse indefinidamente. Deducimos quefang es creciente yfbng es decreciente. Además, ambas están acotadas porque para todon 2 N esa1 < an < bn < b1. Por tanto, ambas convergen. Pongamosfang ! a y

fbng ! b. De la igualdadanC1Dan C bn

2se sigue queaD aC b

2, de donde se obtiene

queaD b. ©

Ejercicio resuelto 160 Estudia la convergencia de las siguientes sucesiones.

a) x1 D 1, xnC1 Dp

3xn.

b) x1 D 3, xnC1 D3C 3xn

3C xn.

c) x1D 1, xnC1 D4C 3xn

3C 2xn.

d) Dadoa 2� � 2;�1Œ, definimosx1 D a, xnC1 Dxn � 2

xn C 4.

e) Dadoa > 0, definimosx1Dp

a, xnC1 Dp

aC xn.

f) x1 D 0, xnC1D1

3� x2n

.

g) Dadoa > 0, a¤ 1, definimosx1 D a, xnC1 D1

3

�2xn C

a

x2n

�.

h) Dadoa2R, definimosx1 D a, xnC1 D1

4C .xn/

2.

i) Dadoa 2� � 2; 1Œ, definimosx1 D a, 3xnC1 D 2C .xn/3.

Sugerencia. Estudia en cada caso monotonía y acotación. La convergencia puede depen-der del valor inicial dea.

Solución.En este tipo de ejercicios puede ser útil calcular de entrada, cuando sea posibley bajo el supuesto de que la sucesión sea convergente, el límite de la sucesión. Despuésdeberemos probar que efectivamente la sucesión converge.

a) Supuesto quefxng ! ˛, de la igualdadxnC1 Dp

3xn, se sigue que Dp

3˛, porlo que˛ D 3. Observa que no hemos probado quefxng sea convergente. Lo que hemosprobado es que, suponiendo quefxng sea convergente, entonces su límite es3. Este datonos ayudará en lo que sigue. Por ejemplo, comox1D 1 < x2D

p3, podemos sospechar

que fxng es creciente. En tal caso debería verificarse quexn < 3 para todon 2 N.Empezaremos probando esta desigualdad.

Tenemos quex1D1 < 3; supuesto quexn < 3 deducimos quexnC1Dp

3xn <p

9D3.Luego, por inducción, concluimos quexn < 3 para todon 2 N. Probemos ahora quefxng es creciente. Tenemos que:

3xn D x2nC1 D xnC1xnC1 < 3xnC1 ÷ xn < xnC1

por tanto, la sucesión es estrictamente creciente y, como está mayorada por3, es conver-gente y, por lo visto al principio, su límite es3. ©

b) Supuesto quefxng ! ˛, de la igualdadxnC1 D3C 3xn

3C xn, se sigue que D 3C 3˛

3C ˛ ,

de donde resulta que2 D 3, por lo que deberá serDp

3 ya que el límite debe ser unnúmero no negativo pues, evidentemente, todos los términosde la sucesión son positivos.Observa que no hemos probado quefxng sea convergente. Lo que hemos probado es que,suponiendo quefxng sea convergente, entonces su límite es

p3. Este dato nos ayudará

en lo que sigue. Por ejemplo, comox1 D 3 > x2 D 2, podemos sospechar quefxng esdecreciente. En tal caso debería verificarse quexn >

p3 para todon2N. Empezaremos

probando esta desigualdad.

Claramentex1 D 3 >p

3. Por otra parte:

xnC1 >p

3 ” 3C 3xn

3C xn>p

3 ” 3C 3xn > 3p

3Cp

3xn”

” xn

p3.p

3 � 1/ > 3.p

3 � 1/” xn >p

3

Por tanto, sixn >p

3 también esxnC1 >p

3. Luego, por inducción, concluimos quexn >

p3 para todon2N. Probemos ahora quefxng es decreciente. Tenemos que:

xnC1 � xn D3C 3xn

3C xn� xn D

3� x2n

3C xn< 0 ÷ xnC1 < xn

por tanto, la sucesión es estrictamente decreciente y, comoestá minorada porp

3, esconvergente y, por lo visto al principio, su límite es

p3. ©

7.32 Estrategia. Para estudiar las sucesiones recurrentes pueden usarse técnicas de de-rivadas; para ello hay que expresar la sucesión recurrente en la formaxnC1 D f .xn/,donde la funciónf generalmente es fácil de obtener a partir de la definición de la suce-

sión. En nuestro caso, tenemos quexnC1D3C 3xn

3C xn, por lo que deberemos considerar la

funciónf .x/D 3C 3x

3C x. Con ello, tenemos quexnC1D f .xn/. Esta relación, junto con

x1D3 determina la sucesión. Seguidamente, hay que elegir un intervalo donde la funciónf va a estar definida. Tenemos que elegir dicho intervalo de forma que la función tomevalores en él. En nuestro caso, la elección es fácil pues, six >0 también esf .x/>0, por

ello vamos a considerar quef está definida enRCo . Podemos volver a enunciar nuestro

ejercicio como sigue.

Seaf WRCo ! R la función dada para todox > 0 porf .x/D 3C 3x

3C x. Definamosfxng

por x1 D 3 y xnC1 D f .xn/. Estudiar la convergencia defxng.Lo primero que debemos observar es que la sucesión está bien definida puesx1D 3 > 0

y, supuesto quexn > 0, también esxnC1Df .xn/ > 0 por lo que tiene sentidof .xnC1/.Si la sucesión converge, su límite debe ser un número˛ > 0 y, por serf continua,fpermuta con el límite, por lo que debe verificarse que

˛ D lKımfxnC1g D lKımff .xn/g D f .lKımfxng/D f .˛/:

De donde se obtiene queDp

3.

Para estudiar la monotonía calculamos la derivada def . Tenemos quef 0.x/D 6

.3C x/2.

Comof 0.x/ > 0, se sigue quef es estrictamente creciente. Comox1 D 3 > x2 Df .x1/D 2 y, al ser creciente,f conserva las desigualdades, se sigue quex2 D f .x1/ >

f .x2/D x3. Este proceso puede seguirse indefinidamente, esto es, la misma relación deorden que hay entre dos términos consecutivos se conserva siempre:

xn > xnC1 ÷ xnC1 D f .xn/ > f .xnC1/D xnC2:

Obtenemos así quefxng es decreciente. Además, como es de términos positivos, estáminorada, luego es convergente. Su límite ya sabemos que es

p3.

Observa que, al proceder de esta forma, podemos probar muy fácilmente el decrecimien-to de la sucesión, sin necesidad de probar previamente quexn >

p3.

Las sucesiones recurrentes del tipoxnC1 D f .xn/ dondef es una función continua,cuando son convergentes,fxng ! ˛, su límite viene dado porD f .˛/, es decir, es unpunto fijode la funciónf .

e)Definamosf WRCo ! R porf .x/D

paC x. La sucesión está dada porx1D

pa y

xnC1D f .xn/. Comof es continua, si la sucesión es convergente, su límite debe ser unpunto fijo def , es decir, debe ser solución de la ecuación˛ D f .˛/, lo que implica que˛2 D aC ˛ y deducimos que

˛ D 1Cp

1C 4a

2;

donde hemos elegido la solución positiva de la ecuación. Puesto quex1 Dp

a < x2 Dp2a y, evidentemente,f es estrictamente creciente, se siguex2Df .x1/ < f .x2/Dx3

y, en general,xn < xnC1. Por tantofxng es estrictamente creciente. Veamos que estámayorada. Probaremos quexn < ˛. Claramentex1D

pa < ˛. Supongamos quexn < ˛.

Entonces:x2

nC1 D aC xn < aC ˛ D ˛2 ÷ xnC1 < ˛

Concluimos, por inducción, quexn < ˛ para todon 2 N. Luegofxng es creciente ymayorada, por tanto converge y su límite es˛.

ParaaD 1, tenemos que:

1Cp

5

2D lKım

s

1Cr

1Cq

1Cp

1C � � �

©

f) Tenemos quex1 D 0 y xnC1D1

3� x2n

. Consideremos la funciónf .x/D 1

3 � x2. La

sucesión que nos dan está definida porx1 D 0, xnC1 D f .xn/. La derivada def viene

dada porf 0.x/D 2x

.3� x2/2. Debemos considerar definida la funciónf en un intervaloI

que contenga el0 (porquex2Df .0/D1=3) y de forma quef .I / � I . Comof .0/D1=3

debe estar enI , deberá serI � Œ0;p

3Œ. Comof es creciente enŒ0;p

3Œ y f .1/D 1=2,se sigue quef .Œ0; 1�/ � Œ0; 1=2� � Œ0; 1�.Consideraremos en lo que sigue que la funciónf está definida en el intervaloŒ0; 1�.Comof .Œ0; 1�/ � Œ0; 1� y los valores de la sucesiónfxng son valores def obtenidos poraplicación reiterada def a partir del valor inicialx1 D 0 2 Œ0; 1�, dichos valores estánsiempre enŒ0; 1�. Por tanto06xn61 para todon2N. Comof es estrictamente crecienteen Œ0; 1� y x1 D 0 < x2 D f .0/ D 1=3, se sigue quex2 D f .x1/ < f .x2/ D x3 y, engeneral, supuesto quexn�1 < xn, se sigue quexn D f .xn�1/ < f .xn/D xnC1. Luegofxng es estrictamente creciente. Como está acotada, concluimosquefxng es convergente.Seafxng ! ˛. Como0 6 xn 6 1, se sigue que0 6 ˛ 6 1. Además, comof es continuaen Œ0; 1�, ˛ debe ser un punto fijo def , esto es,f .˛/D ˛. Deducimos que verifica laecuación 3 � 3˛ C 1D 0.

Las raíces de la ecuaciónx3 � 3x C 1D 0 no son inmediatas de calcular pero podemosdecir algunas cosas sobre ellas. Pongamosh.x/D x3 � 3x C 1. Tenemos queh.�2/D�1 < 0, h.0/D1 > 0, h.1/D�1 < 0 y h.2/D3 > 0. Deducimos que en cada uno de losintervalos�� 2; 0Œ, �0; 1Œ y �1; 2Œ hay una única raíz de la ecuación. Por tanto, la sucesióndada converge a la única raíz de la ecuaciónx3 � 3x C 1D 0 que está en�0; 1Œ. ©

g) Dadoa > 0 y a ¤ 1, definimosx1 D a, xnC1 D1

3

�2xn C

a

x2n

�. Tenemos, eviden-

temente, quexn > 0 para todon2N. Consideremos la funciónf .x/D 1

3

�2x C a

x2

�

donde, en principio,x > 0. Tenemos que:

f 0.x/D 2

3

x3 � a

x3

Deducimos quef 0.x/ < 0 para0 < x < 3p

a y f 0.x/ > 0 parax > 3p

a. Portantof es estrictamente decreciente en�0; 3

pa� y estrictamente creciente enŒ 3

pa;C1Œ.

Concluimos que en3p

a la funciónf tiene un mínimo absoluto enRC. Como todos lostérminos de la sucesiónfxng son (con la posible excepción del primerox1 D a) valoresque tomaf en puntos deRC, se sigue quexn > f . 3

pa/ para todon > 2. Un calculo

inmediato daf . 3p

a/D 3p

a, es decir, resulta que3p

a es un punto fijo def enRC. Comof es continua enRC, si fxng es convergente dicho punto debe ser el límite defxng. Peroantes debemos probar quefxng es convergente.

Para estudiar la monotonía debemos tener en cuenta que comoxn >3p

a para todon>2,todos los términos de la sucesión están en el intervaloI D Œ 3

pa;C1Œ. No es por eso

restrictivo suponer quea > 1 (porque si fuera0 < a < 1, podemos eliminar el primertérmino de la sucesión lo que no afecta para nada a su estudio). Comparemosx1 conx2.Tenemos que:

x2 � x1 D1

3

�a � a

a2

�� aD 2a2 C 1

3a� aD 1 � a2

3a< 0

Por tanto se tiene quex2 < x1 y, comof es estrictamente creciente enI , las de-sigualdades se conservan porf , luego, supuesto quexn < xn�1, se tiene también quexnC1 D f .xn/ < f .xn�1/ D xn. Resulta así quefxng es decreciente. Además es detérminos positivos (de hecho mayores que3

pa), luegofxng es convergente y su límite es

3p

a. ©

h) Consideremos la funciónf .x/D 14Cx2. Tenemos quef .x/> 1

4. Como los términos

de la sucesión dada, con la posible excepción del primero, son todos ellos valores def ,se cumple quexn > 1

4para todon > 2. No es restrictivo por eso suponer quea > 1

4.

PongamosI D Œ1=4;C1Œ. Tenemos quef .I / � I . Comof 0.x/ D 2x, se sigue quef es estrictamente creciente enI . Por tanto la sucesiónfxng será monótona creciente six1 6 x2 y será monótona decreciente six2 < x1. Tenemos que:

x1 6 x2 ” a 6 a2 C 1

4” 0 6 a2 C 1

4� aD

�a � 1

2

�2

Deducimos que se verificax1 6 x2 y, por tanto, la sucesión es creciente. Cuando dichasucesión esté mayorada será convergente y su límite debe serun punto fijo def en I .

Tenemos quef .x/Dx es lo mismo quex2�xC 14D0, esto es,

�x� 1

2

�2D0, cuya únicasolución esx D 1=2. En consecuencia, la sucesiónfxng será convergente a1

2solamente

cuandoxn 6 12

para todon 2N, esto es,a2 C 14

6 12, que equivale a quea2 6 1

4, esto

es, jaj 6 12

y, comoa > 14, resulta que debe ser1

46 a 6 1

2. Deducimos también que

paraa > 12, la sucesión no puede ser convergente y, al ser creciente, noestá mayorada.

Observa que cuandoaD 12

resulta la sucesión constantexn D 12

para todon2N. ©

Ejercicio resuelto 161 Para cadan2N sea

xnD1C 1

2C � � � C 1

n� log.n/; ynD xn�

1

n:

Prueba quefxng es estrictamente decreciente efyng es estrictamente creciente. Deduceque ambas sucesiones convergen a un mismo número. Dicho número se llama lacons-tante de Euler, se representa por la letra griega”.

a) Deduce que lKımn!1

1C 1=2C � � � C 1=n

log.n/D 1.

b) Justifica que lKımn!1

�1

nC 1C 1

nC 2C � � � C 1

2n

�D log2:

c) Justifica que lKımn!1

(1� 1

2C 1

3� 1

4C � � � C .�1/nC1

n

)D log2:

xn � xnC1 D log.nC 1/ � logn� 1

nC 1D log

�1C 1

n

�� 1

nC 1> 0:

Desigualdad que es consecuencia de que log.1 C x/ < x para todox > 0. Tambiénpodemos tomar logaritmos en las desigualdades7.5para obtener que:

1

nC 1< log

�1C 1

n

�<

1

n

Deducimos quefxng es estrictamente decreciente. Tenemos también:

yn � ynC1 D log.nC 1/ � logn � 1

nD log

�1C 1

n

�� 1

n< 0:

Deducimos quefyng es estrictamente creciente. Además, para todon2N tenemos quex1 < xn < yn < y1, por lo que ambas sucesiones están acotadas. Concluimos quedichassucesiones convergen. Comoxn � yn D 1

n! 0, deducimos que lKımfxng D lKımfyng.

a)1C 1=2C � � � C 1=n

log.n/D lognC xn

lognD 1C xn

logn:

Comofxng es convergente y1

logn! 0, se sigue que

xn

logn! 0.

b) PongamosHn D 1C 1

2C � � � C 1

n. Tenemos que:

1

nC 1C 1

nC 2C� � �C 1

2nDH2n�HnDx2nC log.2n/�xnC lognDx2n�xnC log2

Comofx2ng es una sucesión parcial defxng se tiene quefx2n � xng ! ” � ” D 0.

c) PongamosAn D 1 � 1

2C 1

3� 1

4C � � � C .�1/nC1

n. Tenemos que:

A2n D 1 � 1

2C 1

3� 1

4C 1

5� 1

6C � � � C 1

2n � 1� 1

2nD

D�

1C 1

3C 1

5C � � � C 1

2n � 1

��

1

2C 1

4C 1

6C � � � C 1

2n

�D

D�

1C 1

3C 1

5C � � � C 1

2n � 1

�� 1

2Hn DH2n �

1

2Hn �

1

2Hn DH2n �Hn

Por el apartado anterior, tenemos que lKımfA2ng D log2. ComoA2n�1 D A2n C 12n

,deducimos que también lKımfA2n�1g D log2. Concluimos que (ver ejercicio resuelto162) lKımfAng D log2.

La sucesiónfAng se llamaserie armónica alternada.

7.33 Estrategia. Para calcular límites donde interviene la serie armónica

Hn D 1C 1

2C � � � C 1

n

puede ser conveniente escribir dicha sucesión comoHn D lognC ”n dondef”ng ! ”.

Ejercicio resuelto 162 Seafxng una sucesión y supongamos que hay dos sucesiones parcia-lesfx�.n/g y fxs.n/g que convergen a un mismo númerox y tales que�.N/[ s.N/DN.Prueba quefxng converge ax.

Solución.Dado" > 0, existen números naturalesm" y n" tales quejx�.n/ � xj < " paratodo n > m" y jxs.n/ � xj < " para todon > n". Seap D mKaxfm";n"g y pongamosADf�.n/ W n > pg[fs.n/ W n > pg. Como, por hipótesis es�.N/[ s.N/DN, se sigueque el conjuntoBDN nA es finito puesB � f�.n/ W 1 6 n < pg [ fs.n/ W 1 6 n < pg.DefinamosmDmKax.B/C1. Paraq>m se tiene queq 62 B, o sea,q2A, es decir,q es dela formaq D �.n/ o qD s.n/ conn > p, en cualquier caso se verifica quejxq � xj < ".Este resultado suele aplicarse cuando�.n/ D 2n y s.n/ D 2n � 1, es decir, a las suce-siones parciales de los términos pares e impares. Cuando sabemos quefx2ng y fx2n�1gconvergen a un mismo número, podemos concluir quefxng converge a dicho número.

Este resultado puede generalizarse de manera fácil. Por ejemplo si fx3ng, fx3n�1g yfx3n�2g convergen todas a un mismo número, tambiénfxng converge a dicho número.©

Ejercicio resuelto 163 Seafxng una sucesión de números reales y supongamos que hay nú-meros�2�0; 1Œ, M > 0 y p 2N tales quejxnC1� xnj 6 M�n para todon > p. Pruebaquefxng es convergente.

Sugerencia. Teniendo ahora en cuenta que para todosn;h2N se verifica que:

�nCh�1 C �nCh�2 C � � � C �n <�n

1� �

deduce quefxng verifica la condición de Cauchy.

Solución.Seann;h2N, tenemos:

jxnCh � xnj D

ˇˇˇh�1X

kD1

.xnCkC1 � xnCk/

ˇˇˇ6

h�1X

kD0

jxnCkC1 � xnCkj 6 M

h�1X

kD0

�nCkD

DM�nh�1X

kD0

�k DM�n 1 � �h

1 � � < �n M

1� � DK�n

Donde hemos puestoK D M

1 � � , que es una constante independiente den y deh. De-

ducimos que:

K�n < " ÷ jxnCh � xnj < " para todoh2N

Dado" > 0, determinamosm" por la condición de que�m" < "=K. Entonces para todon> m" y para todoh2N se verifica quejxnCh � xnj < ", lo que prueba que la sucesiónfxng verifica la condición de Cauchy y, por tanto, es convergente. ©

Ejercicio resuelto 164 Seafxng una sucesión de números reales y supongamos que existen�2�0; 1Œ; p2N, tales quejxnC1�xnj6 �jxn�xn�1j para todon > p. Prueba quefxnges convergente.

Sugerencia. Justifica quejxnC1 � xnj6 M�n dondeM es una constante independienteden.

Solución.Es muy fácil, basta iterar la desigualdad del enunciado. Sean > p:

jxnC1 � xnj6 �jxn � xn�1j6 �2jxn�1 � xn�2j 6 � � � 6 �n�pjxpC1 � xpj DM�n:

DondeM D jxpC1 � xpj�p

es una constante independiente den. El ejercicio anterior nos

dice que la sucesiónfxng es convergente. ©

Ejercicio resuelto 165 SeaI un intervalo cerrado (puede serI D R); f W I ! R una fun-ción, y supongamos que hay un número˛ 2�0; 1Œ tal que:

jf .x/ � f .y/j6 ˛jx � yj; para todosx;y enI : (7.9)

Se dice entonces quef es unafunción contractiva en I . Supongamos además quef .x/ 2I para todox 2I . Dado un puntoa 2I , definamosfxng por x1D a; y xnC1Df .xn/ para todon2N.

a) Prueba quefxng converge a un puntox 2I que es el único punto fijo def , es decir,f .x/D x.

b) Justifica que si la funciónf es derivable enI y se verifica que hay un número2�0; 1Œtal quejf 0.x/j6 ˛ para todox2I , entoncesf es contractiva enI .

Solución.a) Es consecuencia inmediata del ejercicio anterior.

b) Es consecuencia inmediata del teorema del valor medio. ©

Ejercicio resuelto 166 Estudia la convergencia de las sucesiones definidas para todo n2N

por:

a/ x1D 1; xnC1D1

1C xnI b/ x1D

p2; xnC1D

p2 � xn:

Solución. a) Consideremos la función dada porf .x/ D 1

1C x. La sucesión que nos

piden estudiar es la sucesión de iteradas de dicha función a partir del valor inicialx1D1.

Comof 0.x/D� 1

.1C x/2< 0, la funciónf es estrictamente decreciente. Por tanto, la

sucesiónxnC1Df .xn/ no es monótona. Pues si, por ejemplo esxn�1 < xn, comof , alser decreciente, invierte las desigualdades, se tendrá quexnDf .xn�1/ > f .xn/DxnC1.

Es evidente quexn > 0 para todon 2 N. Por tanto1 C xn > 1÷xnC1 < 1, luegoxn 6 1 para todon 2N, de donde1 C xn 6 2÷xnC1 > 1

2. Deducimos que todos los

términos de la sucesión están en el intervaloI D Œ1=2;C1Œ. Parax > 1=2 se tiene quejf 0.x/j 6 4

9. Podemos aplicar, por tanto, el ejercicio anterior y deducimos quefxng es

convergente. Además, su límite es el único punto fijo def en I , que viene dado por

x D 1

1C x÷x2 C x � 1D 0, de donde,x D �1C

p5

2. ©

Ejercicio resuelto 167 Supongamos que la ecuaciónx2D bx C a tiene dos raíces realesdistintas˛ y ˇ. Dados dos números reales� y �, definamosfxng por:

x1D �C �; x2D �˛ C �ˇ; xnC2D bxnC1 C axn

Prueba quexnD �˛n�1C �ˇn�1 para todon2N.


Aplicaciones. i) La sucesiónfxng definida para todon2N por:

x1D x2D 1; xnC2D xnC1C xn

se llamasucesión de Fibonacci. Calcula explícitamentexn.

ii) Estudia la convergencia de la sucesión definida para todon2N por:

x1D a; x2D b; xnC2D1

2.xnC1C xn/:

Solución. La igualdadxn D �˛n�1 C �ˇn�1 es cierta paran D 1 y paran D 2. Sean2N, conn > 2, y supongamos que la igualdad se verifica para todok 2N conk 6 n.Entonces, teniendo en cuenta que˛2 D b˛ C a y ˇ2 D bˇ C a, tenemos que:

xnC1 D bxn C axn�1 D b�˛n�1 C b�ˇn�1 C a�˛n�2 C a�ˇn�2DD �.b˛ C a/˛n�2 C �.b�C a/ˇn�2 D �˛n C �ˇn

Lo que prueba la igualdad paran C 1. Concluimos, por inducción, que la igualdad escierta para todon2N.

i) ComoxnC2 D xnC1 C xn, deducimos queaD b D 1. Por tanto, y ˇ son las raícesdex2 D x C 1, las cuales vienen dadas por:

˛ D 1 �p

5

2; ˇ D 1C

p5

2

Calculemos� y � por las condicionesx1D 1D�C�D, x2D 1D�˛C�ˇ. Fácilmentese obtiene que:

�D 5 �p

5

2; �D 5C

p5

2Deducimos, por lo antes visto, que:

xn D5�p

5

2

1 �p

5

2

!n�1

C 5Cp

5

2

1Cp

5

2

!n�1

iii) Pongamosx1 D a1b0, x2 D a0b1, xn D apnbqn . Entonces:

xnC2 D apnC2bqnC2 D a12

.pnC1Cpn/b12

.qnC1Cqn/:

Tenemos las ecuaciones:

p1 D 1; p2 D 0; 2pnC2 D pnC1 C pn; q1 D 0; q2 D 1; 2qnC2 D qnC1 C qn

Ambas ecuaciones son de la forma2xnC2 D xnC1 C xn por lo queaD b D 1 y ˛ y ˇson las raíces de2x2 D x C 1. Por tanto D 1, ˇ D�1

2. En consecuencia:

pn D �1 C �1

��1

2

�n�1

; qn D �2 C �2

��1

2

�n�1

;

Debemos ahora calcular�1; �1 y �2; �2 para que se verifiquen las respectivas condicio-nes inicialesp1D1;p2D0 y q1D0; q2D1. Fácilmente se obtiene que�1D 1

3,�1D 2

3,

�2 D 23, �2 D�2

3. Deducimos que:

xn D a13

C 23

�� 1

2

�n�1

b23

� 23

�� 1

2

�n�1

�! a13 b

23 D 3

pab2:

©



Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el cálculo de límites 360

7.3. Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el cálculo de lí-mites

Las sucesiones que no son convergentes pueden tener comportamientos muy variados. Porejemplo, una sucesión acotada que tenga dos valores de adherencia diferentes no es convergen-te, los términos de dicha sucesión se aproximan a un valor de adherencia o al otro, antigua-mente se decía que la sucesión “oscilaba” entre estos valores. Pero una sucesión acotada noconvergente puede tener muchos valores de adherencia. No debes hacerte una idea demasiadoesquemática de las sucesiones. En el capítulo 5 hemos visto que el conjunto de los númerosracionales es numerable, esto significa que es posible escribir todos los números racionales co-mo los términos de una sucesión y también podemos hacerlo conlos racionales que están enel intervaloŒ0; 1�. PongamosQ \ Œ0; 1� DDfrn W n2Ng. La sucesiónfrng es acotada y, comoconsecuencia de la densidad deQ enR (proposición5.11), dicha sucesión tiene como valoresde adherenciatodoslos puntos del intervaloŒ0; 1�.

Vamos a estudiar ahora un tipo muy particular de sucesionesno convergentespero quepresentan una gran regularidad.

7.34 Definición. Una sucesiónfxng se dice que espositivamente divergente, y escribimosfxng ! C∞, si para todo número realK>0 existe un número naturalmK 2N, tal que paratodon2N con n>mK se verifica quexn>K.

Una sucesiónfxng se dice que esnegativamente divergente, y escribimosfxng ! �∞,si para todo número realK<0 existe un número naturalmK 2N, tal que para todon2N conn>mK se verifica quexn6K.

Diremos que una sucesión esdivergentepara indicar que es positivamente o negativamentedivergente.

7.35 Observación.Es importante que te des cuenta de que “divergente” no es sinónimo de “noconvergente”. Las sucesiones acotadas no convergentes no son tampoco divergentes. Sin em-~bargo, muchos textos usan la expresión “sucesión divergente” con el significado de “sucesiónno convergente”. También es lamentablemente frecuente llamar “sucesiones oscilantes” a lassucesiones acotadas no convergentes. No te dejes confundir: una sucesión o es convergente ono es convergente. Untipo especial de sucesiones no convergentesson las sucesiones positiva-mente divergentes y negativamente divergentes. Eso es todo, lo demás son ganas de confundiral lector.

En la siguiente proposición se exponen algunas propiedadeselementales, pero importan-tes, de las sucesiones divergentes. Puesto quefxng ! C∞ si, y sólo sif�xng ! �∞, essuficiente enunciar dichas propiedades para sucesiones positivamente divergentes.

7.36 Proposición. i) fjxnjg ! C∞ si, y sólo si,f1=xng ! 0.

ii) La suma de una sucesión positivamente divergente con unasucesión acotada es una suce-sión positivamente divergente.

iii) La suma de una sucesión positivamente divergente con una sucesión minorada es otrasucesión positivamente divergente. En particular, la sumade dos sucesiones positivamentedivergentes es otra sucesión positivamente divergente.

iv) El producto de dos sucesiones positivamente divergentes es otra sucesión positivamentedivergente.

v) El producto de una sucesión positivamente divergente poruna sucesión que converge a unnúmero positivo es otra sucesión positivamente divergente.

Frecuentemente hay que estudiar la convergencia o divergencia de una suma o productode dos sucesiones precisamente cuando las reglas que hemos visto en secciones anterioresno pueden aplicarse. Se trata de aquellos casos en que el comportamiento de las sucesionesfxn C yng, fxnyng no está determinado por el defxng e fyng. Por ejemplo, si sabemos quefxng ! C∞ y que fyng ! �∞, ¿qué podemos decir del comportamiento de la sucesiónfxnCyng? Respuesta: absolutamente nada. Baste para convencerse deello la consideración delos siguientes casos:

xnD 2n; ynD�nI fxn C yng D fng !C∞

xnD n; ynD�2nI fxn C yng D f�ng !�∞

xnD nC 1; ynD�nI fxn C yng D f1g !1

xnD.�1/nCn; ynD.�1/n�nI fxn C yng D f2.�1/ng

En consecuencia, las sucesiones del tipofxnCyng dondefxng !C∞, fyng !�∞, requierenun estudio particular en cada caso. Tales sucesiones suele decirse que sonuna indetermina-ción del tipo “∞�∞”.

Análogamente, si sabemos quefxng ! 0 y que fyng es divergente, ello no proporcionaninguna información sobre el comportamiento de la sucesiónfxnyng; la cual se dice que esuna indeterminación del tipo “ 0 ∞”. Las indeterminaciones que aparecen al estudiar el co-ciente de dos sucesiones divergentes o de dos sucesiones queconvergen a cero, las llamadasindeterminaciones de los tipos“∞=∞”, “ 0=0”, pueden reducirse a una indeterminación deltipo “ 0 ∞”.

El siguiente resultado permite resolver en muchas ocasiones indeterminaciones de la forma“∞=∞”.

7.37 Teorema(Criterio de Stolz). Seafyng una sucesión positivamente divergente y estricta-mente creciente y seafxng cualquier sucesión. Supongamos que

�xnC1 � xn

ynC1 � yn

�! L

dondeL2R, o LDC∞, o LD�∞. Entonces se verifica también que

�xn

yn

�! L :

Demostración. Supongamos, en primer lugar, queL2R. Dado" > 0, existe, por hipótesis, unnúmero naturalk, tal que para todon>k se verifica que

L � "2<

xnC1 � xn

ynC1 � yn< LC "

2:

Así todas las fracciones

xkC1 � xk

ykC1 � yk

;xkC2 � xkC1

ykC2 � ykC1

; � � � ; xn � xn�1

yn � yn�1

;xnC1 � xn

ynC1 � yn

se encuentran comprendidas entreL � "=2 y LC "=2, por lo que, usando el ejercicio8, obte-nemos que:

L � "2<

xnC1 � xk

ynC1 � yk

< LC "

2(7.10)

cualquiera sean>k. Teniendo en cuenta ahora la igualdad

xnC1

ynC1

�LD xk �Lyk

ynC1

C�

1 � yk

ynC1

��xnC1 � xk

ynC1 � yk

�L

�

deducimos que: ˇˇxnC1

ynC1

�L

ˇˇ6

ˇˇxk �Lyk

ynC1

ˇˇC

ˇˇxnC1 � xk

ynC1 � yk

�L

ˇˇ : (7.11)

Como lKımn!1

˚.xk �Lyk/=ynC1

D 0, existe un número naturalq tal que, para todon>q, se

verifica ˇˇxk �Lyk

ynC1

ˇˇ < "

2

Teniendo en cuenta (7.10) y (7.11), deducimos que para todon> mKaxfk; qg se verifica queˇˇxnC1

ynC1

�L

ˇˇ < ":

Hemos probado, pues, que lKımn!1

˚xn=yn

DL.

Supongamos ahora queL D C1. En tal caso, para todon 2 N suficientemente grande,se tendrá quexnC1 � xn > ynC1 � yn > 0, por lo que la sucesiónfxng es, a partir de untérmino en adelante, estrictamente creciente. Supondremos, pues no es restrictivo hacerlo, quedicha sucesión es toda ella estrictamente creciente y quexqC1 � xq > yqC1 � yq para todoq2N. Sumando estas desigualdades desdeqD 1 hastaqD n, resultaxnC1�x1 > ynC1�y1.Y, como fyng ! C1, deducimos quefxng ! C1. Podemos usar ahora lo ya probado,intercambiando las sucesionesfxng e fyng, para obtener que

lKım�

yn

xn

�D lKım

�ynC1 � yn

xnC1 � xn

�D 0:

De donde se sigue quefxn=yng ! C1.

El casoLD�1 se reduce al previo cambiando la sucesiónfxng por f�xng. 2

Es importante observar que, aún en las hipótesis del Criterio de Stolz, puede ocurrir que�xn

yn

�sea convergente pero no lo sea

�xnC1 � xn

ynC1 � yn

�; es decir, el Criterio de Stolz da una

condición suficiente pero no necesaria para la convergenciao divergencia defxn=yng (verejercicio175).

Observa que el criterio de Stolz recuerda a la regla de L’Hôpital donde las derivadas hansido sustituidas por las diferencias consecutivas. Del Criterio de Stolz se deducen dos útilescriterios para estudiar la convergencia de sucesiones de medias aritméticas o geométricas.

Sucesiones y límite funcional 363

7.38 Proposición(Criterio de la media aritmética). Supongamos quefang ! L dondeL esun número real, oLDC∞, o LD�∞. Entonces se verifica que

�a1C a2C � � � C an

n

�! L:

Demostración. Basta aplicar el Criterio de Stolz a las sucesionesxnD a1C a2C � � � C an,ynD n. 2

7.39 Proposición(Criterio de la media geométrica). Supongamos quefang ! L dondefang es una sucesión de números positivos yL es un número real o bienLDC∞. Entoncesse verifica que n

np

a1a2 : : : an

o! L:

Demostración. Lo afirmado se deduce del criterio de la media aritmética teniendo en cuentaque

log�

np

a1a2 : : :an

�D log.a1/C log.a2/C � � � C log.an/

n

y la proposición7.46. 2

7.40 Corolario. Supongamos que

�xnC1

xn

�! L dondefxng es una sucesión de números

positivos yL es un número real o bienLDC∞. Entonces se verifica quef np

xn g ! L:

Demostración. Basta aplicar el criterio de la media geométrica a la sucesión fang definida por

a1D1, anC1DxnC1

xnpara todon2N. 2

7.3.1. Sucesiones y límite funcional

El siguiente resultado establece una relación entre límitefuncional y límite de sucesionesque es de gran utilidad práctica, pues proporciona una estrategia general para calcular límites desucesiones y permite utilizar para ello las técnicas conocidas para calcular límites funcionales.

7.41 Proposición.Seaf WA! R una función y seana;L2R [ fC∞;�∞g. Equivalen lasafirmaciones:

i) lKımx!a

f .x/DL.

ii) Para toda sucesiónfxng de puntos deA tal que fxng ! a con xn ¤ a, se verifica queff .xn/g ! L.

Demostración. i/÷i i/. Supongamos que lKımx!a

f .x/ D L y seafxng ! a con xn 2 A y

xn¤a. Debemos probar quesucf .xn/! L. Consideremos el caso en quea y L son númerosreales. Dado" > 0, por hipótesis, existeı > 0 tal que para todox2A conx¤ a y jx � aj < ı

Sucesiones y límite funcional 364

se verifica quejf .x/�Lj < ". Comofxng ! a, existe un númeron0 2N tal que para todon > n0 se verifica quejxn � aj < ı. Por tanto, para todon > n0 tenemos quexn 2A, xn ¤ a

y jxn � aj < ı; en consecuencia, se verificará quejf .xn/ �Lj < ". Hemos probado así queff .xn/g ! L.

Para probar quei i/÷i/, probaremos quenoi/÷noi i/. Quef no tiene límite ena iguala L, quiere decir queexisteun "0 > 0, tal quepara todoı > 0 hayalgún puntoxı 2A, conxı¤ a y jxı � aj < "0 perojf .xı/ �Lj> "0. Tomando para cadan2N ıD 1

n, obtenemos un

xn2A conxn ¤ a y jxn � aj < 1n

perojf .xn/ �Lj> "0. Claramente se tiene quefxng ! a,conxn2A y xn ¤ a peroff .xn/g no converge aL.

Los demás casos en que o biena o L son infinitos se hacen de manera parecida. 2

Una consecuencia inmediata de este resultado es que todo límite funcional que conozcas teva a permitir resolvermuchoslímites de sucesiones. En particular, de la lista de límitesbásicosque debes conocer se deducen los siguientes resultados.

7.42 Proposición.Para toda sucesiónfxng ! 0 se verifica que

lKımn!1

senxn

xnD 1 lKım

n!1arc senxn

xnD 1 lKım

n!11 � cosxn

x2n

D 1

2

lKımn!1

tgxn

xnD 1 lKım

n!1arc tgxn

xnD 1 lKım

n!1exn �1

xnD 1

lKımn!1

xn � senxn

.xn/3D 1

6lKım

n!1.1C xn/

˛ � 1

xnD ˛ lKım

n!1log.1C xn/

xnD 1

lKımn!1

tgxn � xn

.xn/3D 1

3lKım

n!1log.1C xn/ � xn

x2n

D �1

2

7.43 Estrategia. Una estrategia para calcular límites de sucesiones consiste en convertir ellímite de la sucesión que tienes que calcular en un caso particular de un límite funcional. Elpor qué de esta estrategia es que para calcular límites de funciones disponemos de muchas másherramientas que las que tenemos para trabajar directamente con sucesiones.

Según esta estrategia, para calcular el límite de una sucesión fyng lo que hay que haceres relacionar dicho límite con un límite funcional. Debemosinventarnos una función,f , yuna sucesión convergente,fxng ! a, de forma que se tengayn D f .xn/. Entonces, podemosasegurar que si lKım

x!af .x/D ˛, también es lKımfyng D ˛.

7.44 Ejemplo. Se trata de calcular el límite de la sucesiónyn Dlog.n/

n. np

n � 1/.

Para ello nos fijamos en que en el denominador aparecenp

n � 1. Poniendoxn D np

n,sabemos quexn ! 1. La sucesión cuyo límite queremos calcular recuerda el límite funcional

lKımx!1logx

x � 1D 1. Pongamosf .x/D logx

x � 1. Como caso particular de este límite funcional,

tenemos quef .xn/! 1, y es claro queynDf .xn/. Hemos probado así queyn ! 1 y todo loque hemos tenido que hacer es relacionar dicho límite con un límite funcional que ha resultadoser (cosa muy frecuente) una derivada: la derivada de la función logx en el puntox D 1. �

Sucesiones asintóticamente equivalentes 365

Teniendo en cuanta la caracterización de la continuidad, elsiguiente resultado es un casoparticular de la proposición7.41.

7.45 Proposición.Seaf WA! R una función y seaa2A. Equivalen las afirmaciones:

i) f es continua ena.

ii) Para toda sucesiónfxng de puntos deA tal quefxng ! a, se verifica queff .xn/g ! f .a/.

Podemos expresar este resultado como sigue:la continuidad permuta con el límite secuen-cial, esto es, sif es continua entonces:

lKımn!1

f .xn/D f�

lKımn!1

xn

�

Recogemos seguidamente algunas importantes propiedades de las sucesiones divergentesde logaritmos y exponenciales. Todas ellas se deducen, teniendo en cuenta la proposición7.41,de las correspondientes propiedades de las funciones exponencial y logaritmo natural (propo-sición4.50).

7.46 Proposición.� fxng ! x”fexng ! ex.

� fxng ! C1”fexng !C1.

� fxng !�1”fexng !0.

Para toda sucesión de números positivosfxng se verifica que:

� fxng ! x > 0”flog.xn/g ! logx.

� fxng ! C1”flog.xn/g !C1.

� fxng !0”flog.xn/g !�1.

7.3.2. Sucesiones asintóticamente equivalentes

7.47 Definición. Diremos quefxng esasintóticamente equivalentea fyng, y escribiremossimbólicamentefxng � fyng, si fxn=yng ! 1.

Por ejemplo, las sucesionesflogn g y fn. np

n� 1/g son asintóticamente equivalentes.

El siguiente resultado nos dice que para estudiar la convergencia de un producto de variassucesiones podemos sustituir las que queramos por otras quesean asintóticamente equivalentes,sin que ello afecte a la convergencia o divergencia del producto ni a su eventual límite.

7.48 Proposición.Seanfxng e fyng sucesiones asintóticamente equivalentes yfzng una suce-sión cualquiera. Se verifica que:

i) fxnzng es convergente si, y sólo si,fynzng es convergente, en cuyo caso ambas sucesionestienen el mismo límite.

ii) fxnzng es divergente si, y sólo si,fynzng es divergente, en cuyo caso ambas sucesiones sondivergentes del mismo tipo.

En particular,fxng es convergente (resp. divergente) si, y sólo si,fyng es convergente (resp.divergente), en cuyo caso ambas tienen igual límite (resp. son divergentes del mismo tipo).



Sucesiones de potencias 366

Demostración. Las afirmaciones hechas eni/ y i i/ son consecuencia de que

lKım�

xn

yn

�D lKım

�yn

xn

�D 1:

Si, por ejemplo,fynzng es convergente, entonces como:

fxnzng D�

xn

yn

�fynzng;

se sigue quefxnzng también es convergente y tiene el mismo límite quefynzng.El mismo razonamiento prueba que sifxng es divergente entonces tambiénfyng es diver-

gente del mismo tipo.

La afirmación hecha al final del enunciado es consecuencia de lo anterior tomandoznD1. 2

7.49 Observación.Es importante observar que en una suma de sucesiones no se puede, engeneral, sustituir una sucesión por otra asintóticamente equivalente. Por ejemplo, sixnD nC1,~ynDnC1=n y znD�n, es claro quefxng � fyng perofxnCzngDf1gn2N no es asintóticamenteequivalente afynC zng D f1=ng.

7.3.3. Sucesiones de potencias

Hay otras indeterminaciones que surgen al considerarsucesiones de potencias, es decir,sucesiones de la formafxyn

n g dondefxng es una sucesión de números positivos efyng es unasucesión cualquiera de números reales. Puesto que

xynn D exp.yn log.xn//;

teniendo en cuenta la proposición7.46, la convergencia o divergencia de la sucesiónfxynn g

vendrá determinada por la defyn log.xn/g; la cual, a su vez, está determinada en todos loscasos por el comportamiento de las sucesionesfxng e fyng, excepto cuando dicha sucesiónfyn log.xn/g es una indeterminación del tipo “0 ∞”, lo que ocurre en los siguientes casos.

a) fxng ! 1, fjynjg ! C∞ (indeterminación “11”)

b) fxng ! C1, fyng ! 0 (indeterminación “∞0”)

c) fxng ! 0, fyng ! 0 (indeterminación “00”)

El siguiente resultado, que es la versión para sucesiones del criterio de equivalencia loga-rítmica para límites funcionales, permite resolver en muchos casos las indeterminaciones “11”y “ 01”.

7.50 Teorema(Criterio de equivalencia logarítmica). Seanfxng una sucesión de númerospositivos distintos de1 que converge a1, fyng una sucesión cualquiera yL un número real.Entonces se tiene que:

� lKımfx ynn g D eL” lKımfyn.xn � 1/g DL.



� fxynn g !C1”fyn.xn � 1/g !C1.

� fxynn g ! 0”fyn.xn � 1/g !�1.

Demostración. Puesto quexynn D exp.yn log.xn//, las afirmaciones hechas en el enunciado

se deducen de la proposición7.46, sin más que tener en cuenta que, comofxng ! 1, lassucesionesflog.xn/g y fxn � 1g son asintóticamente equivalentes, por lo que, en virtud de laproposición7.48, si una de las sucesionesfyn log.xn/g e fyn.xn � 1/g es convergente (resp.divergente aC1 o a�1), la otra también es convergente con igual límite (resp. divergente aC1 o a�1). 2

Los ejercicios que siguen son de cálculo de límites de sucesiones. Deberás usar los criteriosde Stolz y de las medias aritmética y geométrica y el criteriode equivalencia logarítmica. Engeneral, debes seguir la estrategia básica de relacionar unlímite de una sucesión con un límitefuncional apropiado.


340. Supongamos quefxng ! 0, siendo�1 < xn ¤ 0, y sea˛ 2 R�. Justifica, usandoderivadas, quef.1C xn/

˛ � 1g es asintóticamente equivalente af˛xng.

341. Prueba que la sucesiónflogn! g es asintóticamente equivalente afn logn g.

342. Justifica que la sucesión˚

np

1C 1=n˛ � 1

es asintóticamente equivalente a˚1=n˛C1

,

donde˛ > 0.

343. Calcula los límites de las sucesionesfxng definidas por:

a) xn D1˛ C 2˛ C 3˛ C � � � C n˛

n˛C1, donde > �1.

b) xn D kp.nC a1/.nC a2/ � � � .nC ak/ � n , dondek2N, aj 2R; 16j 6k.

c) xn D ˛ np

aC ˇ np

b

˛ C ˇ

!n

dondea > 0, b > 0 y ˛; ˇ2R, ˛ C ˇ ¤ 0.

d) xn D

1C 2p=n C 3p=n C � � � C p p=n

p

!n, dondep2N.

e) xn D n

1C 2k C 3k C � � � C nk

nkC1� 1

k C 1

!, dondek2N.

f) xn D

3

4

1C 32 C 52 C � � � C .2n � 1/2

n3

!n2

g) xn D n

��1C 1

n3 log.1C 1=n/

�n

� 1

�

h) xn D1

n

�nC n � 1

2C n� 2

3C � � � C 2

n� 1C 1

n� log.n!/

�


344. Calcula los límites de las sucesionesfxng definidas por:

a/ xn Dlog�1C 1

2C � � � C 1

n

�

log.logn/b/ xn D

ep

e 3p

e� � � np

e

n

c/ xn D1

n

�1C logn

n

�n

d/ xn D�

log.nC 2/

log.nC 1/

�n logn

e/ xn D1

n

nX

kD1

1

klog

kY

jD1

�1C 1

j

�j

f / xn D.2 np

n � 1/n

n2

g/ xn D logn

��log.nC 1/

logn

�n

� 1

�h/ xn D n

s.pn/!

.qn/p n.p; q2N/

i/ xn D

5Pn

kD1 k4

n5

!n

j / xn D log

�1C 1

n

�np

n!

k/ xn D nnp

e� esen.1=n/

1 � n sen.1=n/l/ xn D

21C 32

2C 43

32 C � � � C .nC1/n

nn�1

n2

345. Sabiendo quefang ! a, calcula el límite de las sucesiones:

a) xn D n. np

an � 1/

b) xn Dexp.a1/C exp.a2=2/C � � � C exp.an=n/ � n

logn

c) xn Da1 C a2=2C � � � C an=n

logn

346. Calcula los límites de las sucesiones:

a/n log.1C 1=n/ � 1

.1C 1=n/n � e; b/ n

�np

2 � 1=n � 1�; c/ n2 n1=n2 � 1

log.n/; d/Hn

�n1=H 2

n � 1�

DondeHnD1C 12C� � �C 1

n.

Sugerencia. Usa equivalencias asintóticas apropiadas.

347. Seafxng una sucesión de números positivos tal que

�xnC1

xn

�! L 2 RC. Calcula el

límite de la sucesiónn

rxn

np

x1x2 � � � xn

.

348. Seafxng una sucesión de números positivos,˛ un número real, y supongamos quefn˛xng ! L2RC

o . Calcula el límite de la sucesiónn˛ np

x1x2 � � � xn.

349. Seana, b números positivos; definamosxkDaC.k�1/b para cadak2N y seaGn lamedia geométrica dex1; x2; : : : ; xn y An su media aritmética. Calcula el límite de la

sucesiónGn

An.



350. Seafxng!x, fyng!y, x¤y. Definamosz2n�1Dxn, y z2nDyn. Justifica que la sucesión

�z1 C z2 C � � � C zn

n

�

es convergente.

351. Definamosfxng por:

x3m D1

23m�13m; x3m�1 D

1

23m�33m�2; x3m�2 D

1

23m�43m:

Calcula el límite de la sucesiónnp

xn y justifica que la sucesiónn

xnC1

xn

ono converge.

352. Sean fxng, fyng sucesiones de números positivos verificando quef.xn/ng!x>0

f.yn/ng ! y>0. Dados ; ˇ2RC, con˛CˇD1, calcula lKım.˛xnCˇyn/

n.

353. Seafang una sucesión de números positivos tal quefa1 C a2 C � � � C ang es divergente,y seafbng ! L, dondeL puede ser un número real o∞. Justifica que

�a1b1 C a2b2 C � � � C anbn

a1 C a2 C � � � C an

�! L:

Aplicación. Supuesto quefxng ! x, calcula lKım 1

2n

nX

kD1

�n

k

�xk .

354. Dadas dos funciones polinómicasP;Q, tales que el grado deQ es mayor o igual que el

grado deP y Q.n/¤0 para todon2N, justifica que la sucesión

�P .n/

Q.n/

�es convergente

y calcula su límite.

355. a) Seaf W Œa; b�!�a; b� creciente y continua. Prueba que la sucesiónfxng definida paratodon2N porx1D a y xnC1D f .xn/, converge a un puntou 2�a; b� tal quef .u/D u.

b) Dado0 < ˛ 6 14, estudia la convergencia de la sucesiónfzng definida por:

z1 D ˛; znC1 D ˛ C z2n 8n2N:

356. a) Justifica las desigualdades

0 < logex �1

x< x .x > 0/I x < log

ex �1

x< 0 .x < 0/:

b) Dadox¤0 definamosx1D x, y para todon2N:

xnC1 D logexn �1

xn:

Estudia la convergencia defxng.

357. Se considera la funciónf WRC ! R definida para todox > 0 porf .x/D logx�xC2.

1. Prueba quef tiene exactamente dos ceros,˛ y ˇ, con˛ < 1 < ˇ.


2. Dadox1 2�˛; ˇŒ, se define la siguiente sucesión por recurrencia:

xnC1 D logxn C 2 ; 8n2N:

Prueba quefxng es una sucesión monótona creciente y acotada que converge aˇ.

358. Dado un número 2�0; �Œ, se define la sucesiónfxng dada porx1 D sen , xnC1 Dsenxn.

(a) Justifica que la sucesiónfxng es convergente y calcula su límite.

(b) Calcula el límite de la sucesiónzn D1

x2nC1

� 1

x2n



Ejercicio resuelto 168 Prueba queflogn! g es asintóticamente equivalente afn logn g.Solución. Pongamosxn D n logn, yn D logn!. Aplicaremos el criterio de Stolz paracalcular el límite de la sucesiónfxn

yng. Tenemos que:

xnC1 � xn

ynC1 � ynD .nC 1/ log.nC 1/ � n logn

log.nC 1/D

n log�

nC1n

�

log.nC 1/C 1

Teniendo en cuenta quen log�

nC1n

�D log

�1C 1

n

�n ! 1 y que logn!C1, obtenemos

quen

xnC1�xn

ynC1�yn

o! 1 y, por el criterio de Stolz, concluimos quefxn

yng ! 1. ©

Ejercicio resuelto 169 Justifica que la sucesión˚

np

1C 1=n˛ � 1

es asintóticamente equi-valente a

˚1=n˛C1

, donde > 0.

Solución.PongamosxnD np

1C 1=n˛ . Como16xn 6 np

2, deducimos, por el principio

de las sucesiones encajadas, quefxng ! 1. Sabemos que lKımx!1

logx

x � 1D 1, porque dicho

límite es la derivada en1 de la función logaritmo. Por tanto, en virtud de la proposición

7.41, para toda sucesiónfzng ! 1 se verifica que lKım log.zn/

zn � 1D 1, esto es,zn � 1 �

log.zn/. Análogamente, se tiene que log.1 C un/ � un para toda sucesiónfung ! 0.Deducimos que:

xn � 1 � log.xn/D1

nlog

�1C 1

n˛

�� 1

n

1

n˛D 1

n˛C1




Ejercicio resuelto 170 Calcula los límites de las sucesionesfxng definidas por:

a) xn D1˛ C 2˛ C 3˛ C � � � C n˛

n˛C1, donde > �1.

b) xn D kp.nC a1/.nC a2/ � � � .nC ak/ � n , dondek2N, aj 2R; 16j 6k.

c) xn D ˛ np

aC ˇ np

b

˛ C ˇ

!n

dondea > 0, b > 0 y ˛; ˇ2R, ˛ C ˇ ¤ 0.

d) xn D

1C 2p=n C 3p=n C � � � C p p=n

p

!n, dondep2N.

e) xn D n

1C 2k C 3k C � � � C nk

nkC1� 1

k C 1

!, dondek2N.

f) xn D

3

4

1C 32 C 52 C � � � C .2n � 1/2

n3

!n2

g) xn D n

��1C 1

n3 log.1C 1=n/

�n

� 1

�

h) xn D1

n

�nC n � 1

2C n� 2

3C � � � C 2

n� 1C 1

n� log.n!/

�

Solución.a) Pongamosxn D un

vn. Aplicamos el criterio de Stolz, lo cual puede hacerse

porque, al ser > �1 se tiene quen˛C1 es una sucesión estrictamente creciente.

unC1 � un

vnC1 � vnD .nC 1/˛

.nC 1/˛C1 � n˛C1D�

nC 1

n

�˛ 1

n

��1C 1

n

�˛C1� 1

�

Usando las equivalencias asintóticasxn � 1 � log.xn/, válida cuandofxng ! 1, ylog.1C un/ � un, válida cuandofung ! 0, tenemos que:

n

"�1C 1

n

�˛C1

� 1

#� n log

�1C 1

n

�˛C1

D.˛C1/n log

�1C 1

n

�� .˛C1/n

1

nD˛C1:

Deducimos que lKım unC1�un

vnC1�vnD 1

˛C1y, por el criterio de Stolz, lKımxn D 1

˛C1.

b)Tenemos que:

kp.nC a1/.nC a2/ � � � .nC ak/ � nD n

�k

r�1C a1

n

��1C a2

n

�� 1C ak

n

�� 1

��

� n1

klog

h�1C a1

n

��1C a2

n

�� 1C ak

n

�iD

D 1

k

kX

jD1

n log�1C aj

n

�! a1 C a2 C � � � C ak

k:

Donde hemos tenido en cuenta que lKımn!1

n log�1C a

n

�D a.




c) Es una sucesión de potencias de la formaxn D uvnn , donde

un D˛ np

aC ˇ np

b

˛ C ˇ ; vn D n

Claramenteun ! 1, por lo que tenemos una indeterminación del tipo11. Usaremos elcriterio de equivalencia logarítmica.

vn.un � 1/D n

˛ np

aC ˇ np

b

˛ C ˇ � 1

!D n

˛. np

a � 1/C ˇ. np

b � 1/

˛ C ˇ

!D

D ˛

˛ C ˇn. np

a � 1/C ˇ

˛ C ˇn.np

b � 1/!

! ˛

˛ C ˇ logaC ˇ

˛ C ˇ logb D log�a

˛˛Cˇ b

ˇ˛Cˇ

�

Deducimos que lKımn!1

fxng D a˛

˛Cˇ bˇ

˛Cˇ .

d) Es una sucesión de potencias de la formaxn D uvnn , donde

un D1C 2

pn C 3

pn C � � � C p

pn

p; vn D n

Claramenteun ! 1, por lo que tenemos una indeterminación del tipo11. Usaremos elcriterio de equivalencia logarítmica.

vn.un � 1/D n

1C 2

pn C 3

pn C � � � C p

pn

p� 1

!D

D 1

p

�n�2

pn � 1

�C n

�3

pn � 1

�C � � � C n

�p

pn � 1

��

Teniendo en cuenta que lKımn. np

a � 1/D loga, deducimos que:

lKımn!1

vn.un � 1/D log2C log3C � � � C lognD logn!÷ lKımfxng D n!:

f) Es una sucesión de potenciasxn D uvnn , donde:

un D3

4

1C 32 C 52 C � � � C .2n� 1/2

n3; vn D n2:

La basefung converge a1, pues aplicando Stolz conanD 1C 32C 52C � � � C .2n� 1/2

y bn D n3, tenemos:

anC1 � an

bnC1 � bnD .2nC 1/2

.nC 1/3 � n3D 4n2 C 4nC 1

3n2 C 3nC 1! 4

3:

Se trata de una indeterminación del tipo11. Aplicaremos el criterio de equivalencialogarítmica.

vn.un � 1/D n2

3

4

1C 32 C 52 C � � � C .2n� 1/2

n3� 1

!D

D 3

4

3�1C 32 C 52 C � � � C .2n � 1/2

�� 4n3

n




Apliquemos ahora el criterio de Stolz conzn D 3�1 C 32 C 52 C � � � C .2n � 1/2

��

4n3,wn D n. Tenemos:

znC1 � zn

wnC1 � wnD 3.2nC 1/2 � 4.nC 1/3 C 4n3 D�1:

Deducimos quevn.un � 1/! �34

y, por tanto, lKımfxng D e� 34 D 1

4p

e3.

g) xnD nh�

1C 1n3 log.1C1=n/

�n� 1

i. PongamosznD

�1C 1

n3 log.1C1=n/

�n. La sucesión

fzng es una indeterminación del tipo11. Tenemos que:

n1

n3 log.1C 1=n/D 1

n

1

n log.1C 1=n/! 0 ÷ zn ! 1:

En consecuencia:

xn � n log.zn/D n2 log

1C 1

n3 log�1C 1

n

�!� n2 1

n3 log�1C 1

n

� D 1

n log�1C 1

n

� :

Luego lKımfxng D lKım 1

n log�1C 1

n

� D 1. ©

Ejercicio resuelto 171 Calcula los límites de las sucesionesfxng definidas por:

a/ xn Dlog�1C 1

2C � � � C 1

n

�

log.logn/b/ xn D

ep

e 3p

e� � � np

e

n

c/ xn D1

n

�1C logn

n

�n

d/ xn D�

log.nC 2/

log.nC 1/

�n logn

e/ xn D1

n

nX

kD1

1

klog

kY

jD1

�1C 1

j

�j

f / xn D.2 np

n � 1/n

n2

g/ xn D logn

��log.nC 1/

logn

�n

� 1

�h/ xn D n

s.pn/!

.qn/p n.p; q2N/

i/ xn D

5Pn

kD1 k4

n5

!n

j / xn D log

�1C 1

n

�np

n!

k/ xn D nnp

e� esen.1=n/

1 � n sen.1=n/l/ xn D

21C 32

2C 43

32 C � � � C .nC1/n

nn�1

n2

Solución.a) Usaremos la estrategia7.33. PongamosHn D lognC xn dondefxng ! ”.Tenemos que:

log�1C 1

2C � � � C 1

n

�

log.logn/D log.lognC xn/

log.logn/D

log�logn

�1C xn

logn

��

log.logn/D

Dlog.logn/C log

�1C xn

logn

�

log.logn/D 1C

log�1C xn

logn

�

log.logn/! 1:




7.51 Observación.Hemos visto en el ejercicio resuelto161 que Hn � logn, perode aquí no puede deducirse directamente que log.Hn/ � log.logn/ que es lo que he-mos probado. La razón es que no es cierto en general que sifxng � fyng también sea

log.xn/ � log.yn/. Por ejemplo, las sucesionesfe1n g y fe

1

n2 g son asintóticamente equi-valentes porque ambas convergen a1, pero sus logaritmos son las sucesionesf1

ng y f 1

n2 gque no son asintóticamente equivalentes.

En general, no hay garantías de que una equivalencia asintótica entre sucesiones se con-serve por una determinada función.

c) Tomando logaritmos tenemos que:

logxn D n log

�1C logn

n

�� lognD n

�log

�1C logn

n

�� logn

n

�

Esta expresión es de la forma log.1C un/ � un dondeun ! 0. Recordemos que:

lKımx!0

log.1C x/� x

x2D�1

2

Tenemos que:

logxn Dlog

�1C logn

n

�� logn

n

�logn

n

�2

.logn/2

n

Poniendoun D lognn

, comoun ! 0, deducimos que la primera de las dos fracciones

anteriores converge a�12

y la segunda.logn/2

n! 0. Concluimos que logxn ! 0 y, por

tanto,fxng ! 1.

e)xn D1

n

nX

kD1

1

klog

kY

jD1

�1C 1

j

�j

. Pongamos:

zk D1

klog

kY

jD1

�1C 1

j

�j

D

kX

jD1

j log

�1C 1

j

�

k:

De esta forma, se tiene que:

xn D

nX

kD1

zk

n:

Comofzng es la sucesión de las medias aritméticas de la sucesiónyn D n log�1C 1

n

�,

y lKımfyng D 1, se sigue, por el criterio de la media aritmética, quefzng ! 1. Comofxng es la sucesión de las medias aritméticas defzng, volviendo ahora a aplicar el mismocriterio, deducimos quefxng ! 1.




f) xn D.2 np

n� 1/n

n2. Pongamos:

xn D�

2 np

n � 1np

n2

�n

D

2n

r1

n� n

r1

n2

!n

Se trata de una sucesión de potencias de la formaxn D uvnn dondeun D 2 n

q1n� n

q1

n2

y vn D n. Claramenteun ! 1, por lo que se trata de una indeterminación del tipo11.Aplicaremos el criterio de equivalencia logarítmica.

vn.un � 1/D n

2

n

r1

n� n

r1

n2� 1

!D�n

n

r1

n� 1

!2

�

� �n

log

n

r1

n

!2

D logn

n! 0:

Deducimos quexn ! 1.

g) La sucesiónxn D logn

��log.nC 1/

logn

�n

� 1

�es de la formabn.an � 1/ donde

an D�

log.nC1/logn

�n, bn D logn. Veamos quefang ! 1. Para ello, como se trata de una

indeterminación del tipo11, aplicamos el criterio de equivalencia logarítmica:

n

�log.nC 1/

logn� 1

�D

n log�1C 1

n

�

lognD

log�1C 1

n

�n

logn! 0

Por tanto,fang ! 1. Podemos aplicar ahora el criterio de equivalencia logarítmica a lasucesiónbn.an � 1/. Tenemos que:

abnn D

�log.nC 1/

logn

�n logn

Esta sucesión es una indeterminación del tipo11 y podemos volver a aplicarle el criteriode equivalencia logarítmica.

n logn

�log.nC 1/

logn� 1

�D n log

�1C 1

n

�! 1:

Concluimos quefxng ! 1.

h) xnD n

s.pn/!

.qn/pndondep; q2N. Es una sucesión del tipoxnD n

pzn dondeznD .pn/!

.qn/pn .

Tenemos que:

znC1

znD .pnC p/!

.qnC q/pnCp

.qn/pn

.pn/!D .pnC 1/.pnC 2/ � � � .pnC p/

.qnC q/p

�n

nC 1

�pn

La fracción .pnC1/.pnC2/��.pnCp/.qnCq/p es un cociente de dos polinomios en la variablen

del mismo gradop y coeficientes líder iguales app y qp respectivamente, por tanto su




límite es igual a�p

q

�p. La sucesión

�n

nC1

�pnD�1� 1

nC1

�npconverge a e�p. Por tanto,

en virtud del corolario7.40, la sucesión dada converge a�

pq e

�p.

k) xnD nnp

e� esen.1=n/

1 � n sen.1=n/D e

1n � esen. 1

n/

1n� sen.1

n/

. Consideremos la funciónf .x/D ex � esenx

x � senx.

Pongamosyn D 1n. Tenemos quexn D f .yn/. Comoyn ! 0, el límite defxng es igual

al límite def .x/ enx D 0. Tenemos que:

f .x/D ex � esenx

x � senxD esenx ex�senx �1

x � senx� esenx � 1 .x ! 0/

Donde hemos usado que la funciónex�senx �1x�senx

es de la formaeh.x/�1h.x/

donde lKımx!0

h.x/D0,

por lo que dicha función tiene límite igual a 1 enx D 0. ©

Ejercicio resuelto 172 Sabiendo quefang ! a, calcula el límite de las sucesiones:

a)xn D n. np

an � 1/

b) xn Dexp.a1/C exp.a2=2/C � � � C exp.an=n/ � n

logn

c) xn Da1 C a2=2C � � � C an=n

logn

Solución.b) Es una sucesión del tipoxn D un

vn. Aplicaremos el criterio de Stolz.

unC1 � un

vnC1 � vnD

exp�anC1

nC1

�� 1

log�1C 1

n

� � nanC1

nC 1! a:

Donde hemos usado la equivalencia asintótica ezn �1 � zn válida siempre quezn ! 0

y log.1C yn/ � yn, válida siempre queyn ! 0. Concluimos quefxng ! a. ©

Ejercicio resuelto 173 Seafxng una sucesión de números positivos tal quen

xnC1

xn

o!L>0.

Calcula el límite de la sucesiónnr

xn

np

x1x2 � � � xn

.

Solución.Es una sucesión del tipown D np

yn dondeyn Dxn

np

x1x2 � � � xn

. Aplicaremos

el corolario7.40. Tenemos que:

ynC1

ynD xnC1

xn

�x1x2 � � � xn

� 1n

�x1x2 � � � xnxnC1

� 1nC1

� L1

nC1p

xnC1

�x1x2 � � � xn

� 1n.nC1/

En virtud, del citado corolario, se tiene quenC1p

xnC1 ! L. SeaznD�x1x2 � � � xn

� 1n.nC1/ .

Consideremos la sucesión:

logzn Dlog.x1/C log.x2/C � � � C log.xn/

n.nC 1/




PongamosanD log.x1/C log.x2/C� � �C log.xn/, bnDn.nC1/. Aplicaremos el criteriode Stolz.

anC1 � an

bnC1 � bnD log.xnC1/

2nC 2D 1

2log nC1

pxnC1!

1

2logLD log

pL:

Deducimos que logzn ! logp

L, por lo quezn !p

L y tambiénynC1

yn!p

L. El

citado corolario7.40implica quewn !p

L.

Ejercicio resuelto 174 Seana, b números positivos; definamosxkDaC.k�1/b para cadak2N y seaGn la media geométrica dex1; x2; : : : ; xn y An su media aritmética. Calcula

el límite de la sucesiónGn

An.

Solución.Tenemos queAn DnaC n.n�1/

2b

nD aC n � 1

nb. Por tanto:

Gn

AnD

np

x1x2 � � � xn

aC n�1n

bD 1

anC n�1

2nb

n

rx1x2 � � � xn

nn

Calcularemos el límite de la sucesiónUn D n

rx1x2 � � � xn

nn, que es del tipoUn D n

pzn,

usando el corolario7.40, tenemos:

znC1

znD xnC1

.nC 1/nC1nn D xnC1

nC 1

�1 � 1

nC 1

�n

! b

e:

Deducimos quefGn

Ang ! 2

e. ©

Ejercicio resuelto 175 Seafxng! x, fyng! y, x¤y. Definamosz2n�1Dxn, y z2nDyn.Justifica que la sucesión �

z1 C z2 C � � � C zn

n

�

es convergente.

Solución.Pongamosun Dz1 C z2 C � � � C zn

n. Tenemos que:

u2n Dz1 C z3 C � � � C z2n�1

2nC z2 C z4 C � � � C z2n

2nD

D 1

2

x1 C x2 C � � � C xn

nC 1

2

y1 C y2 C � � � C yn

n! x

2C y

2D x C y

2:

Donde hemos aplicado el criterio de la media aritmética. Análogamente se compruebaquefu2n�1g ! xCy

2. Concluimos quefung ! xCy

2.

Observa que no se puede calcular el límite defung aplicando el criterio de Stolz. Lla-mandoZn D z1 C z2 C � � � C zn, Vn D n, tenemosun D Zn

Vny:

ZnC1 �Zn

VnC1 � VnDZnC1 �Zn D

�xmC1; si nD 2m es par;ym; si nD 2m � 1 es impar.

Por tanto, la sucesiónZnC1�Zn

VnC1�Vnno es convergente. ©



Ejercicio resuelto 176 a) Justifica las desigualdades:

0 < logex �1

x< x .x > 0/I x < log

ex �1

x< 0 .x < 0/:

b) Dadox¤0 definamosx1D x, y para todon2N:

xnC1 D logexn �1

xn:

Estudia la convergencia defxng.Solución.a) En virtud del teorema del valor medio tenemos que:

ex � e0

x � 0D ex �1

xD ec

dondec es un punto comprendido entrex y 0, esto es,c 2�0;xŒ si x > 0, y c 2�x; 0Œ six < 0. En el primer caso es1 < ec < ex y en el segundo es ex < ec < 1. Á partir deaquí se deducen enseguida las desigualdades del enunciado.

b) Definamosf .x/Dlogex �1

xy f .0/D0. La funciónf es continua enR. Supongamos

quex < 0. Entonces, como consecuencia de la segunda de las desigualdades del apartadoanterior, se tiene que la sucesiónfxng es creciente yxn < 0 para todon2N. Por tanto,dicha sucesión converge y su límite es un número˛ 6 0, que debe verificar la igualdad˛ D f .˛/ lo que exige que D 0. ©

Ejercicio resuelto 177 Se considera la funciónf W RC ! R definida para todox > 0 porf .x/D logx � x C 2.

a) Prueba quef tiene exactamente dos ceros,˛ y ˇ, con˛ < 1 < ˇ.

b) Dadox1 2�˛; ˇŒ, se define la siguiente sucesión por recurrencia:

xnC1 D logxn C 2 ; 8n2N:

Prueba quefxng es una sucesión monótona creciente y acotada que converge aˇ.

Solución.a) Como lKımx!0

f .x/D lKımx!C1

f .x/D�1 y f .1/D 1 > 0 y, evidentemente,

la funciónf es continua enRC, podemos aplicar el teorema de Bolzano a los intervalos�0; 1� y Œ1;C1Œ, para deducir quef tiene algún cero en cada uno de ellos.

Comof 0.x/D 1x� 1D 1�x

x, se sigue quef es estrictamente decreciente enŒ1;C1Œ y

estrictamente creciente en�0; 1�. Por tanto solamente puede anularse una vez en dichosintervalos.

b) Como la funciónh.x/ D logx C 2 es estrictamente creciente parax > 0 y h.˛/ D˛, h.ˇ/ D ˇ, se deduce que para todox 2�˛; ˇŒ es˛ < h.x/ < ˇ. Además, comoh.x/� x es continua y no se anula en�˛; ˇŒ debe tener signo constante. Comoh.1/ > 0,deducimos quex < h.x/ para todox 2�˛; ˇŒ. Por tanto, dadox1 2�˛; ˇŒ, se tiene quex1 < h.x1/Dx2 y, supuesto quexn�1 < xn se tiene quexnDh.xn�1/ < h.xn/DxnC1.Por tantofxng es una sucesión estrictamente creciente y, además, todos sus términosestán en�˛; ˇŒ, luego dicha sucesión converge y su límite,�, debe verificar la igualdad�D h.�/; puesto que < �6 ˇ, se sigue que�D ˇ. ©

Sucesiones de números complejos 379

Ejercicio resuelto 177 Dado un número 2�0; �Œ, se define la sucesiónfxng dada porx1Dsen , xnC1 D senxn.

(a) Justifica que la sucesiónfxng es convergente y calcula su límite.

(b) Calcula el límite de la sucesiónzn D1

x2nC1

� 1

x2n

Solución.a) La conocida desigualdad0 < senx < x, válida para todox 2�0; �Œ, implicaque la sucesión es estrictamente decreciente y de números positivos. De aquí se deduceenseguida que es convergente y su límite es0.

b)

zn D1

x2nC1

� 1

x2n

D 1

sen2.xn/� 1

x2n

D x2n � sen2.xn/

x2n sen2.xn/

�

� x2n � sen2.xn/

x4n

D sen.xn/C xn

xn

xn � sen.xn/

x3n

! 1

3:

©

7.4. Sucesiones de números complejos

7.52 Definición. Una sucesión de números complejosfzng se dice queconvergea un númerocomplejo z si, dado cualquier número real" > 0, existe un número naturalm" tal que sin escualquier número natural mayor o igual quem" se cumple quejzn� zj < ". Simbólicamente:

8" > 0 9m"2N W n > m" ) jzn� zj < "

Se dice que el númeroz es límite de la sucesiónfzng y se escribe lKımn!1

fzng D z o, simple-

mente, lKımfzng D z e incluso, si no hay posibilidad de confusión,fzng ! z.

Observa que, en virtud de la definición dada, se verifica que

fzng ! z ” jzn � z j ! 0

Recordemos que mKaxfjRezj; jIm zjg6jz j6jRezjCjIm zj. Gracias a esta desigualdad tenemosque:

jRezn � RezjjIm zn � Im zj

)6 jzn � zj6 jRezn � Rezj C jIm zn � Im zj

Deducimos quejzn � zj ! 0 si, y sólo si,jRezn � Rezj ! 0 y jIm zn � Im zj ! 0. Hemosprobado así el siguiente resultado.

7.53 Proposición.Una sucesión de números complejosfzng es convergente si, y sólo si, lassucesiones de números realesfRezng y fIm zng son convergentes. Además, en dicho caso

lKımfzng D z” Rez D lKımfRezng y Im z D lKımfIm zng

Definición de la exponencial compleja 380

Gracias a este resultado el estudio de sucesiones de númeroscomplejos se reduce a estudiarla convergencia de dos sucesiones de números reales.

Los resultados obtenidos para sucesiones de números realesen los que no interviene laestructura de ordenson también válidos para sucesiones de números complejos. Son válidos,en particular, los resultados relativos a álgebra de límites, el teorema de Bolzano–Weierstrassy el teorema de completitud.

7.4.1. Definición de la exponencial compleja

Una de las formas de definir la exponencial de un número realx es mediante el límite

exD lKımn!1

�1C x

n

�n

Por tanto, una forma coherente de definir la exponencial de unnúmero complejo sería calcularel anterior límite paraz 2C. Pongamosz D x C iy donde suponemos quey ¤ 0 (puesto quesi y D 0 tendríamos quez D x sería un número real). Sea

zn D�

1C x C iy

n

�n

:

Pongamos:

wn D 1C x C iy

nD 1C x

nC i

y

n; 'n D arc tg

y=n

1C x=n:

Sean0 tal que paran > n0 se verifique que Re.wn/ > 0. Entonces, paran > n0 resulta que'n D arg.wn/. Por otra parte, el módulo dewn viene dado por:

jwnj2 Dˇˇ1C z

n

ˇˇ2

D�1C x

n

�2

C y2

n2:

Comozn D .wn/n, tenemos, gracias a la fórmula de De Moivre, que:

zn D .wn/n D jwnjn.cos.n'n/C i sen.n'n//D

�1C x C iy

n

�n

D

D"�

1C x

n

�2

C y2

n2

#n=2�cos.n'n/C i sen.n'n/

�:

Pero, por el criterio de equivalencia logarítmica, es:

lKımjwnjn D lKım"�

1C x

n

�2C y2

n2

#n=2

D exp

lKım n

2

2x

nC x2

n2C y2

n2

!!D ex :

Además, la sucesiónf'ng es asintóticamente equivalente a la sucesión

�y=n

1C x=n

�. Por tanto

lKımfn'ng D lKım�

ny=n

1C x=n

�D y:



En consecuencia, tenemos que:

lKımn!1

�1C z

n

�n

D lKımn!1

.wn/n D lKım

n!1jwnjn

�cos.n'n/C i sen.n'n/

�D ex.cosy C i seny/:

Se define, por tanto, la exponencial de un número complejoz D x C iy como

exCiy Dex.cosy C i seny/:


360. Estudia la convergencia de las sucesiones:

i) zn D np

n C i n an .a2R; jaj < 1/ ii) zn D2n

nC i n

2n

iii) zn D np

aC i sen1

n.a > 0/ iv) zn D n sen

1

nC 5 i cos

1

n

v) zn D�

1C i

2

�n

vi) zn D�

1p2C i

1p2

�n

361. Seafzng una sucesión de números complejos no nulos y sea'n2Arg.zn/. Supongamosquef'ng ! ' y fjznjg ! �. Justifica que la sucesiónfzng ! �.cos' C i sen'/.

362. Calcula el límite de la sucesiónzn D

1Cp

2C i �3

n

!n

.

Sugerencia. Expresazn D jznj.cos'n C i sen'n/ y usa el ejercicio anterior.

363. Calcula el límite de la sucesiónzn D n�

np

2�

cos�

2nC i sen

�

2n

�� 1

�.

Sugerencia: Recuerda que el límite de la sucesiónn�

np

2 � 1�

es bien conocido.

364. Seaz 2 C, con jzj D 1, z ¤ 1. Prueba que la sucesiónfzng no converge (¿qué pasa sisupones que converge?). Deduce que si' es un número real que no es un múltiplo enterode� , las sucesionesfcos.n'/g y fsen.n'/g no convergen.



Ejercicio resuelto 178 Calcula el límite de la sucesiónzn D n�

np

2�cos

�

2nC i sen

�

2n

�� 1

�.

Sugerencia. Recuerda que el límite de la sucesiónn�

np

2� 1�

es bien conocido.

Demostraciones alternativas de los teoremas de Bolzano y deWeierstrass 382

Solución.

zn D n�

np

2�cos

�

2n� 1

�C i

np

2 sen�

2nC np

2 � 1�D

D n�

np

2� 1�C np

2�

2

cos�

�2n

�� 1

�2n

C inp

2�

2

sen�

�2n

��2n

! log2C i�

2

Ejercicio resuelto 179 Seaz 2 C, conjzjD1, z¤1. Prueba que la sucesiónfzng no converge(¿qué pasa si supones que converge?). Deduce que si' es un número real que no es unmúltiplo entero de� , las sucesionesfcos.n'/g y fsen.n'/g no convergen.

Solución.Siguiendo la sugerencia, supongamos quefzng converge a un númerow2C.ComojznjDjzjnD1, debe serjwjD1. Por una parte, es claro quefznC1g ! w y tambiénfznC1g D zfzng ! zw, por tanto debe serz D wz, lo que implica que.z � 1/w D 0 locual es imposible porquez ¤ 1 y w ¤ 0. Concluimos quefzng no converge.

Sea' un número real que no es un múltiplo entero de� . PongamoszD cos' C i sen'.Tenemos quez¤1 y jzjD1. Por lo antes visto, la sucesiónfzngDfcos.n'/C i sen.n'/gno converge. Veamos que esto implica que ninguna de las sucesionesfcos.n'/g, fsen.n'/gconverge.

En efecto, de la igualdad:

sen.nC 1/D senn cos1C cosn sen1 ÷ cosnD 1

sen1

�sen.nC 1/ � senn cos1

�

se deduce que sifsen.n'/g converge, también convergefcos.n'/g y, por tanto, la suce-siónfcos.n'/C i sen.n'/g converge, lo que es contradictorio.

Análogamente, de la igualdad:

cos.nC 1/D cosn cos1� senn sen1 ÷ sennD 1

sen1

�cos.nC 1/ � cosn cos1

�

se deduce que sifcos.n'/g converge, también convergefsen.n'/g y, por tanto, la suce-siónfcos.n'/C i sen.n'/g converge, lo que es contradictorio. ©

7.5. Demostraciones alternativas de los teoremas de Bolzano y deWeierstrass

Las demostraciones que vimos en el capítulo 4 de los teoremasde Bolzano y de Weierstrassse apoyaban directamente en “primeros principios”, esto es, en la definición de continuidad yen el axioma del supremo. Por eso dichas demostraciones son un poco complicadas y no deltodo fáciles de seguir en una primera lectura. Con la ayuda dela teoría desarrollada en estecapítulo podemos dar demostraciones más cortas y amigablesde dichos teoremas.

7.54 Teorema(Otra demostración del teorema de los ceros de Bolzano). Toda función con-tinua en un intervalo que toma valores positivos y negativosse anula en algún punto de dichointervalo.



Demostraciones alternativas de los teoremas de Bolzano y deWeierstrass 383

Demostración. Seaf W Œa; b�! R continua y supongamos quef .a/ > 0 y f .b/ < 0. Sidividimos el intervaloŒa; b� por un puntoc 2�a; bŒ en dos subintervalosŒa; c� y Œc; b�, puedeocurrir quef .c/D 0 en cuyo caso hemos acabado; en otro caso seráf .c/¤ 0, por lo que unasola de las desigualdadesf .a/f .c/ < 0, f .c/f .b/ < 0 tiene que ser cierta, es decir, la funciónf toma valores de signos opuestos en los extremos de uno de los subintervalosŒa; c� y Œc; b� enque hemos dividido el intervaloŒa; b�. Podemos ahora repetir este proceso partiendo de dichosubintervalo. Esto es lo que hacemos seguidamente.

Pongamosa1D a; b1D b. Dividimos el intervaloŒa1; b1� por la mitad en dos subintervalosy elegimos aquél en el que la funciónf toma valores de distinto signo en sus extremos y aeste subintervalo le llamamosŒa2; b2�. Repetimos ahora el proceso dividiendo por la mitad elintervaloŒa2; b2� y obtenemos un intervaloŒa3; b3� tal quef .a3/f .b3/ < 0. Este proceso o biense acaba porque en alguna etapa hemos dividido el intervalo por un punto en el que la funciónf se anula, en cuyo caso ya hemos encontrado un punto deŒa; b� donde la función se anula, obien podemos proseguirlo indefinidamente obteniendo una sucesión de intervalosŒan; bn� con lapropiedad de quef .an/f .bn/ < 0 para todon2N. Comof .a1/ > 0 y f .b1/ < 0, fácilmentese sigue que debe serf .an/ > 0 y f .bn/ < 0 para todon 2N. Las sucesionesfang y fbngson monótonas y acotadas por lo que convergen. Además, comobn � an D .b � a/=2n�1, sesigue que ambas sucesiones convergen a un mismo número. Pongamos lKımfangD lKımfbngD˛.Como para todon2N esa 6 an 6 b, se sigue quea 6 ˛ 6 b. Comof es continua enŒa; b�, enparticular es continua enpor lo que se verifica que:

f .˛/D f .lKımfang/D f .lKımfbng/D lKımff .an/g D lKımff .bn/g :

Como para todon 2 N esf .an/ > 0, se sigue quef .˛/ > 0. Como para todon 2 N esf .bn/ < 0, se sigue quef .˛/6 0. Concluimos quef .˛/D 0. 2

La demostración anterior da lugar al método de bisección para calcular (de forma aproxi-mada) raíces de ecuaciones. Dicho método tiene la ventaja deque se programa muy fácilmentey permite controlar el error máximo que se comete así como el número de iteraciones necesariaspara lograr una determinada precisión.

7.55 Teorema(Otra demostración del teorema de Weierstrass). Toda función continua enun intervalo cerrado y acotado alcanza en dicho intervalo unmáximo y un mínimo absolutos.

Demostración. Seaf W Œa; b�! R continua. Probaremos primero quef está acotada enŒa; b�,es decir, que el conjunto imagenf .Œa; b�/ está acotado. Razonaremos por contradicción. Sif

no está acotada enŒa; b� para todon2N tiene que haber algúnxn 2 Œa; b� tal quef .xn/ > n.De esta forma obtenemos una sucesiónfxng de puntos deŒa; b� verificando quef .xn/ > n

para todon2N. Como la sucesiónfxng está acotada, el teorema de Bolzano–Weierstrass nosdice quefxng tiene alguna sucesión parcial,fx�.n/g convergente. PongamosynDfx�.n/g y sea�D lKımfyng. Comoa 6 yn 6 b tenemos quea 6 �6 b. Además, por la continuidad def debeverificarse quef .�/D lKımff .yn/g. Pero esto es imposible porque al serf .yn/D f .x�.n// >�.n/>n, se sigue que la sucesiónff .yn/g no está acotada, por lo que no puede ser convergente.Concluimos que necesariamentef está acotada enŒa; b�.

Una vez que hemos probado que el conjuntof .Œa; b�/ está acotado, como evidentementeno es vacío, el axioma del supremo nos dice que hay un número real M que es el mínimo

Continuidad uniforme 384

mayorante del mismo, es decir,M D supf .Œa; b�/. Usando el resultado probado en el ejercicioresuelto153, se sigue que hay una sucesiónfzng de puntos deŒa; b� tal que lKımff .zn/gDM . Lasucesiónfzng está acotada por lo que, en virtud del teorema de Bolzano–Weierstrass, tiene unaparcial,fz�.n/g convergente. PongamoswnDz�.n/ y sea lKımfwngDc. Comoa6wn6b se tienequea6c 6b. Por la continuidad def se tiene quef .c/D lKımff .wn/gD lKım

˚f .z�.n//

DM .

Luego la funciónf alcanza enc2 Œa; b� un máximo absoluto. 2

7.6. Continuidad uniforme

Piensa un par de minutos antes de responder a la siguiente pregunta. Supongamos quefes una función continua en un intervaloI . ¿Es cierto que si tomamos valoresx;y 2 I muypróximos entre sí los correspondientes valores de la función f .x/; f .y/ también están muypróximos entre sí?

Si tu respuesta ha sido afirmativa, como suele ser, te equivocas. Considera la función conti-nua f W�0; 1�! R dada porf .x/D 1=x. Los puntos10�10 y 10�20 están muy próximos entresí: 10�10 � 10�20 < 10�10, perof .10�10/ D 1010 y f .10�20/ D 1020 están muy distantesentre sí. No hay nada extraño en este comportamiento. A cualquier función continua cuya grá-fica tenga una asíntota vertical le pasa lo mismo: hay puntos muy próximos entre sí en los quela función toma valores muy distantes entre sí.

Pero también hay funciones continuas y acotadas que se comportan de forma parecida.Considera la función continuagW�0; 1�! R dada porg.x/Dsen.1=x/. Es una función acotada:el mayor valor que toma es1 y el menor valor que toma es�1, de hecho se tiene queg.�0; 1�/DŒ�1; 1�. Sean un número natural. Los puntosxn D 1

2n�C�=2e yn D 1

2n��=2están, paran

suficientemente grande, muy próximos entre sí; de hechofxn � yng ! 0. Los valores quetoma en ellos la funcióng.xn/D 1 y g.yn/D�1 distan entre sí2 unidades (que es la máximadistancia que puede haber entre valores tomados por esta función).

Si lo piensas un poco, te darás cuenta de que en ambos ejemploseste comportamientose debe a que las funcionesf y g “oscilan mucho” en intervalos arbitrariamente pequeños.Conviene precisar la idea de “oscilación en un intervalo”.

7.56 Definición. Se define laoscilaciónde una funciónf en un intervaloJ contenido en eldominio de definición def como:

!.f;J /D�

supf .J / � Kınf f .J /; si f .J / está acotadoIC1; si f .J / no está acotado:

En otros términos: la oscilación def enJ es la longitud del intervalo más pequeño que con-tiene af .J /.

Para la funciónf .x/D1=x se tiene que!�f; Œ1=2n; 1=n�

�Dn y !

�f; �0; 1=n�

�DC1. Para

la funcióng.x/D sen.1=x/ tenemos que!�g; Œ1=.2n� C �=2/; 1=.2n� � �=2/�

�D 2. Estas

funciones tienen una oscilación “grande” en intervalos arbitrariamente pequeños. En algunascircunstancias interesa poder controlar el tamaño de la oscilación de una función de maneraque dicha oscilación sea menor que una cierta cantidad fijada, " > 0, encualquier intervalode longitud menor que un cierto númeroı > 0. Las funciones para las que esto puede hacersecualquiera sea" > 0, se llamanuniformemente continuas.

Continuidad uniforme 385

7.57 Definición. Se dice que una funciónf es uniformemente continua en un intervaloI sipara todo" > 0 es posible encontrar unı > 0 de manera que siempre queJ sea un intervalocontenido enI de longitud menor queı, se verifica que la oscilación def en J es menor oigual que".

Teniendo en cuenta que!.f;J /6"”jf .x/� f .y/j6" para todosx;y2J , la definicióndada puede expresarse de forma equivalente como sigue.

Una funciónf es uniformemente continua en un intervaloI si para todo" > 0 es posibleencontrar unı > 0 de manera que siempre quex, y sean puntos deI con jx � yj 6 ı, severifica quejf .x/ � f .yj6 ". Simbólicamente:

8"2RC 9 ı2RC W jx � yj6 ı

x;y2I

�÷jf .x/� f .y/j6 " (7.12)

7.58 Observaciones.

� El concepto de “continuidad uniforme” es un concepto global: depende del comportamien-to de la función en todo un intervalo. No tiene sentido decir que una función es uniformementecontinua en un punto: la continuidad uniforme no es un concepto local.

� Es muy interesante comparar las definiciones de continuidadpuntual (4.1) y de continui-dad uniforme (7.12). Resulta evidente que la continuidad uniforme en un intervalo I implicala continuidad en todo punto deI : toda función uniformemente continua en un intervalo escontinua en dicho intervalo.

En general, no es cierto que una función continua en un intervaloI sea uniformemente con-tinua enI como lo prueban los ejemplos dados al principio. Pero hay unasituación particularen la que dicha afirmación sí es cierta. Este es el contenido del siguiente teorema. Se trata deun resultado importante en el que pueden destacarse aportaciones de varios matemáticos. Di-richlet ya lo incluyó en sus lecciones de 1862 y en 1872 Heine dio una primera demostracióndel mismo. Posteriormente Weierstrass, Borel y Lebesgue generalizaron el resultado inicial.

7.59 Teorema(Teorema de Heine). Toda función continua en un intervalo cerrado y acotadoes uniformemente continua en dicho intervalo.

Demostración. Razonaremos por contradicción. Seaf W Œa; b�! R una función continua ysupongamos que no es uniformemente continua enŒa; b�. En tal caso debe existir"0 > 0 tal quepara cualquierı > 0 hay puntosxı;yı 2 Œa; b� con jxı � yıj 6 ı y jf .xı/ � f .yı/j > "0. Enparticular, si para cadan2N ponemosınD 1

n, existirán puntosxn;yn2 Œa; b� conjxn � ynj6 1

n

y jf .xn/ � f .yn/j > "0. La sucesiónfxng está acotada por lo que debe tener una sucesiónparcial,fx�.n/g, convergente. Sea lKımfx�.n/gD c. Comoa 6 x�.n/ 6 b, se tiene quea 6 c 6 b.Comofxn � yng ! 0, se sigue quefy�.n/g ! c. Comoc 2 Œa; b� y f es continua enŒa; b�,f es continua enc, luego tiene que existirr > 0 tal que para todoz 2�c � r; c C r Œ\Œa; b�se verificajf .c/ � f .z/j < "0=2. Por tanto, parax;y 2�c � r; c C r Œ\Œa; b� tenemos quejf .x/ � f .y/j 6 jf .x/� f .c/j C jf .c/� f .y/j < "0=2 C "0=2 D "0. Comofx�.n/g ! c

y fy�.n/g ! c, tiene que existir un númeron0 2N tal que para todon > n0 se verifica quex�.n/;y�.n/ 2�c � r; c C r Œ\Œa; b� por lo que debe serjf .x�.n// � f .y�.n//j < "0, lo que escontradictorio porquejf .xn/ � f .yn/j > "0 para todon2N. 2

Capıtulo8

Integral de Riemann

8.1. Introducción

El cálculo integral tiene sus orígenes en los llamadosproblemas de cuadraturas. Inicial-mente, en la antigua Grecia, dichos problemas eran geométricos y consistían en construir, si-guiendo reglas precisas, un cuadrado con área igual a la de una figura plana dada. En el sigloXVII, con el descubrimiento de nuevas curvas, los aspectos geométricos de estos problemaspasaron a un segundo plano y las técnicas de cálculo ocuparonsu lugar, los problemas de cua-draturas pasaron a ser simplemente problemas de cálculo de áreas y de volúmenes. Se atribuyea Eudoxo la invención del método deexhausción, una técnica para calcular el área de una re-gión aproximándola por una sucesión de polígonos. Arquímedes perfeccionó este método y,entre otros resultados, calculó el área de un segmento de parábola y el volumen de un segmentode paraboloide, así como el área y el volumen de una esfera.

Sorprende que, siendo tan antiguos sus orígenes, la primeradefinición matemática de in-tegral no fuera dada hasta el siglo XIX por Augustin Louis Cauchy. Una posible explicaciónes que, durante los siglos XVII y XVIII, la integración fue considerada como la operacióninversa de la derivación; el cálculo integral consistía esencialmente en el cálculo de primiti-vas. Naturalmente, se conocía la utilidad de las integralespara calcular áreas y volúmenes,pero los matemáticos de la época consideraban estas nociones como dadas de forma intuitivay no vieron la necesidad de precisar su significación matemática. Los trabajos de Joseph Fou-rier (1768-1830) sobre representación de funciones por series trigonométricas, hicieron que elconcepto de función evolucionara, desde la idea restrictiva de función como fórmula, hasta ladefinición moderna de función dada por Dirichlet en 1837. Para entender el significado de la in-tegral de estas nuevas funciones más generales se vio la necesidad de precisar matemáticamentelos conceptos de área y de volumen.

386

Introducción 387

La definición de la integral de Cauchy seguía la tradicional aproximación del área porrectángulos, en este sentido no era nada original; la novedad estaba en el hecho de considerar ala integral como un objeto matemático merecedor de estudio por sí mismo, y en el propósito deatribuirle un significado independiente de las técnicas quepudieran utilizarse en los cálculos.Este significado propio de la integral remite de forma inevitable a la idea de área. Ningúnmatemático anterior al siglo XIX había considerado necesario elaborar una teoría matemáticadel concepto de área; es en dicho siglo cuando el concepto de área adquiere un significadomatemático preciso o, mejor dicho, varios significados matemáticos, porque dicho conceptoevolucionó hasta que, en la primera década del siglo XX, adquirió esencialmente su formaactual.

Puede que a ti el concepto de área te parezca tan evidente que te resulte extraño que sededicaran tantos esfuerzos a elaborar una teoría matemática del mismo. Es natural que piensesasí. Las regiones planas y los sólidos que usualmente nos interesan para calcular su área osu volumen no son tan complicados que puedan hacernos dudar de si realmente tienen área ovolumen: polígonos o poliedros, regiones limitadas por curvas o por superficies que puedendefinirse por sus respectivas ecuaciones, todos ellos tieneclaramente su área o su volumen yel problema real es calcularlos y no se entiende por qué hay que empeñarse en definirlos. Asípensaban también los matemáticos hasta el siglo XIX. Pero cuando empezaron a considerarsefunciones cada vez más generales, las cosas cambiaron mucho. Hay funciones para las que noes evidente que su gráfica determine una región con área. El siguiente ejemplo te ayudará aentender lo que quiero decir.

8.1 Ejemplo. Considera la funciónf W Œ0; 1�! R que vale2 en los números racionales y1

en los irracionales.

¿Te imaginas cómo es la gráfica de esa función? Pare-cería como la de la figura: dos segmentos de línea recta,uno de ellosy D 1 sobre el que tendríamos que marcarsolamente los puntos irracionales del mismo, y otroy D 2 sobre el que tendríamos que marcar los puntosracionales. La región del plano comprendida entre el in-tervalo Œ0; 1� y la gráfica def sería el conjunto formadopor todos los segmentos verticales de altura1 levantadossobre los puntos irracionales deŒ0; 1�, y por todos los

0

1

2

0 1

segmentos verticales de altura2 levantados sobre un punto racional deŒ0; 1�. ¿Tiene área esteconjunto? Si decidimos que tiene área, su valor ¿es 1? ¿es 2? ¿qué significado tiene la integralr 1

0 f .x/dx ? �

Este ejemplo pone claramente de manifiesto que el concepto deárea requiere ser precisadomatemáticamente. Debes tener claro que se trata de una necesidad teórica que solamente sepresenta en el estudio de la integración de funciones muy generales. Para las aplicaciones másusuales del cálculo integral puede valernos perfectamentela idea intuitiva de área o de volumen.La teoría de la integral que actualmente se considera matemáticamente satisfactoria, la llamadaintegral de Lebesgue, es difícil y, en mi opinión, innecesaria para los estudios de ingeniería;es una teoría imprescindible para los matemáticos y físicosteóricos, pero no lo es para la granmayoría de los ingenieros.

En este capítulo vamos a considerar la integral desde un punto de vista esencialmente prác-



Aproximaciones al área 388

tico. Nos interesa la integral como herramienta de cálculo y, aunque para ese propósito la inte-gral de Cauchy sería suficiente para nosotros, estudiaremosla integral de Riemann, que es másgeneral sin ser más complicada, y que aporta la ventaja de su gran poder heurístico como ten-dremos ocasión de comprobar. He reducido la teoría al mínimoindispensable para una correctacomprensión del Teorema Fundamental del Cálculo cuya demostración se da con detalle, noasí las de otros resultados y propiedades de la integral, de fácil comprensión conceptual, cuyasdemostraciones, bastante previsibles, no me ha parecido conveniente incluir.

La integración es una de las herramientas más versátiles delCálculo, sus aplicaciones nose limitan a calcular áreas de regiones planas o volúmenes desólidos, también se utiliza paracalcular longitudes de curvas, centros de masas, momentos de inercia, áreas de superficies, pararepresentar magnitudes físicas como el trabajo, la fuerza ejercida por una presión, o la energíapotencial en un campo de fuerzas.

8.2. Aproximaciones al área

Sea f W Œa; b�! R una función acotada. Representaremos porG.f; a; b/ la región delplano comprendida entre la gráficay D f .x/, el eje de abscisas y las rectasx D a y x D b.Llamaremos a dicha región elconjunto ordenado def entrea y b.

a b

y D f .x/

Figura 8.1. Conjunto ordenadoG.f; a; b/ de una función

Nos proponemos calcular el área de regiones de este tipo. Puesto que, en general,G.f; a; b/

no puede descomponerse en triángulos o rectángulos, no hay una fórmula que nos permitacalcular directamente su área.

En situaciones como esta, una estrategia básica consiste enobtenersoluciones aproxima-das que permitan definir el valor exacto del área como límite de las mismas. Fíjate que, alproceder así,estamos definiendo dicho valor exacto, es decir,estamos dando una definiciónmatemática del concepto intuitivo de área1. Naturalmente, queremos que dicha definición sealo más general posible,lo que depende del tipo de soluciones aproximadas que elijamos. Lasaproximaciones consideradas en la teoría de la integral de Lebesgue conducen a un conceptode área muy general. En lo que sigue vamos a considerar las aproximaciones que conducen ala integral de Riemann.

1Ello trae como consecuencia inevitable que haya regiones extrañas en el plano que, según la definición dada,no tengan área.



Como los conceptos que vamos a introducir se interpretan conmás facilidad cuando lafunciónf es positiva, es conveniente tener bien presente en lo que sigue el siguiente artificioque permite representar cualquier función como diferenciade dos funciones positivas.

Cualquier funciónf puede escribirse como diferencia de dos funciones positivas:

f C.x/D jf .x/j C f .x/2

DmKaxff .x/; 0g f �.x/D jf .x/j � f .x/2

DmKaxf�f .x/; 0g

Es claro quef .x/D f C.x/� f �.x/ y quef C.x/> 0, f �.x/> 0. La funciónf C se llamaparte positiva def , y la funciónf � se llamaparte negativadef . Si f .x/> 0 se tiene quef .x/Df C.x/ y f �.x/D0; mientras que sif .x/60 se tiene quef .x/D�f �.x/ y f C.x/D0.Fíjate que, a pesar de su nombre y de la forma en que se simboliza, la funciónf � es una funciónpositiva. También es consecuencia de las definiciones dadasque jf .x/j D f C.x/C f �.x/.

a b

y D f .x/

a b

yDf C.x/

a b

yDf �.x/

Figura 8.2. Partes positiva y negativa de una función

En la integral de Riemann el área del conjuntoG.f; a; b/ se aproxima por rectángulos.Para ello, primero se divide el intervaloŒa; b� en un número finito de subintervalosŒxk�1;xk �,1 6 k 6 n, cuyas longitudes pueden ser distintas y con la única condición de que no se solapen:

aD x0 < x1 < x2 < � � � < xn�1 < xn D b

Se dice que estos puntos constituyen unapartición de Œa; b�. A continuación se elige en cadasubintervalo un puntotk 2 Œxk�1;xk �, y se forma el rectángulo cuya base es el intervalo

Œxk�1;xk � y altura igual af .tk/. Finalmente se forma la sumanX

kD1

f .tk/.xk � xk�1/.

8.2 Definición. SeaP D faD x0;x1;x2; : : : ;xn�1;xn D bg una partición del intervaloŒa; b�,y elijamos un puntotk 2 Œxk�1;xk � en cada uno de los intervalos de la misma. El número:

�.f;P /DnX

kD1

f .tk/.xk � xk�1/

se llama unasuma de Riemanndef para la particiónP .

8.3 Observaciones.

� Fíjate que, como hay libertad para elegir los puntostk 2 Œxk�1;xk �, para cada particiónfijadaP puede haber infinitas sumas de Riemann.

� Cuando la funciónf es positivay suficientemente “buena”, y las longitudes de todoslos subintervalos de la partición son suficientemente pequeñas, el número�.f;P / es una buenaaproximación del área de la regiónG.f; a; b/.

� Observa que el rectángulo de altura igual af .tk/ está en el semiplano superior sif .tk/ > 0 y en el semiplano inferior sif .tk/ < 0. Cuando la funciónf toma valores positivosy negativos podemos escribir:

�.f;P / DnX

kD1

f .tk/.xk � xk�1/DnX

kD1

.f C.tk/ � f �.tk//.xk � xk�1/D

DnX

kD1

f C.tk/.xk � xk�1/ �nX

kD1

f �.tk/.xk � xk�1/D �.f C;P / � �.f �;P /

En este caso�.f;P / es una aproximación del área deG.f C; a; b/menos el área deG.f �; a; b/.En la siguiente figura puede apreciarse esta aproximación.

a b

y D f .x/

a b

y D f .x/

Figura 8.3. Aproximación por sumas de Riemann

8.4 Definición. Dada una particiónP DfaDx0;x1;x2; : : : ;xn�1;xnDbg del intervaloŒa; b�,definamosMk D supf Œxk�1;xk �, mk D Kınf f Œxk�1;xk �. Los números

S.f;P /DnX

kD1

Mk.xk � xk�1/; I.f;P /DnX

kD1

mk.xk � xk�1/

se llaman, respectivamente,suma superiory suma inferior def para la particiónP 2.

8.5 Observaciones.

� Puesto que para todotk 2 Œxk�1;xk � esmk 6 f .tk/ 6 Mk , deducimos que para todasuma de Riemann,�.f;P /, def para la particiónP esI.f;P /6 �.f;P /6 S.f;P /.

� Para cada partición hay una única suma superior y otra inferior.

� Cuandof es positivay suficientemente “buena”, y las longitudes de todos los subinter-valos de la partición son suficientemente pequeñas, el número S.f;P / es unvalor aproximado

2Es para definir estas sumas para lo que se precisa quef esté acotada enŒa; b�.

Definición y propiedades básicas de la integral 391

por excesodel área de la regiónG.f; a; b/, y el númeroI.f;P / es unvalor aproximado pordefectodel área de la regiónG.f; a; b/.

� Cuando la funciónf toma valores positivos y negativos, el númeroS.f;P / es unvalor aproximado por excesodel área deG.f C; a; b/ menos el área deG.f �; a; b/, y el nú-meroI.f;P / es unvalor aproximado por defectodel área deG.f C; a; b/ menos el área deG.f �; a; b/.

En la siguiente figura pueden apreciarse estas aproximaciones.

a b

y D f .x/

a b

y D f .x/

Figura 8.4. Aproximación del área por sumas inferiores y superiores

8.2.1. Definición y propiedades básicas de la integral

Supongamos que la funciónf es positiva enŒa; b�. Es claro que, en tal caso, el valor exactodel área de la regiónG.f; a; b/ debe ser un número mayor o igual que toda suma inferior,I.f;P /, y menor o igual que toda suma superiorS.f;P /. Tenemos, en consecuencia,dosnúmeros que son posibles candidatos para el área deG.f; a; b/, a saber:

Kınf fS.f;P / W P 2P Œa; b�g y supfI.f;P / W P 2P Œa; b�g :

Donde hemos representado porP Œa; b� el conjunto detodaslas particiones del intervaloŒa; b�.Llegados aquí, podemos ya dar la definición principal de la teoría de la integral de Riemann.

8.6 Definición. Seaf una función acotada y positiva enŒa; b�. Se dice que el conjuntoG.f; a; b/tiene áreacuando

Kınf fS.f;P / W P 2P Œa; b�g D supfI.f;P / W P 2P Œa; b�g

Dicho valor común es, por definición, el valor del área y lo representaremos por�.G.f; a; b//.Cuando esto ocurre, se dice también que la funciónf es integrable Riemannen Œa; b� y, pordefinición, la integral def en Œa; b� es igual a�.G.f; a; b//. Simbólicamente escribimos:

bw

a

f .x/dx D �.G.f; a; b//



En el caso general en que la funciónf toma valores positivos y negativos, se dice quef esintegrable Riemann enŒa; b� cuando lo son las funcionesf C y f �, en cuyo caso se define laintegral def en Œa; b� como el número:

bw

a

f .x/dx D �.G.f C; a; b// � �.G.f �; a; b//

8.7 Observaciones.

� No te confundas con la notación. El símbolor b

a f .x/dx representa un número. Lavariablex que figura en él se suele decir que es unavariable muda. Naturalmente, la letrax notiene ningún significado especial y puede sustituirse por laque tú quieras o no poner ninguna;por ejemplo:

bw

a

f .t/dt ;

bw

a

f .s/ds ;

bw

a

f

son tres formas de escribir lo mismo. Volveremos sobre esta notación más adelante cuandoestudiemos técnicas de integración.

� La definición anterior debes entenderla como una primera aproximación matemática alconcepto intuitivo de área. Aunque te pueda parecer extraño, el concepto de área (y de integral)que acabamos de definir es bastante restrictivo.

� En el caso en que la funciónf toma valores positivos y negativos, observa que lagráfica def � se obtiene por simetría respecto al eje de abscisas de las partes de la gráfica def en las quef .x/ < 0. Como regiones simétricas respecto de una recta tienen la misma área,se sigue que:

�.G.f; a; b//D �.G.f C; a; b//C �.G.f �; a; b//D �.G.f C C f �; a; b//D

D �.G.jf j; a; b//Dbw

a

jf .x/j dx

Seamos prácticos. ¿Cómo podemos, a partir de la definición dada, calcularr ba f .x/dx ?

Una primera idea en este sentido consiste en observar que cuanto mayor sea el número deintervalos de la partición y más pequeña la longitud de cada uno de ellos cabe esperar que laaproximación obtenida sea mejor. Para precisar esta idea, definimosel paso de una particiónP , y lo representamos por�.P /, como la mayor de las longitudes de los subintervalos dedicha partición.

8.8 Teorema(Convergencia de las sumas integrales). Seaf W Œa; b�! R una función inte-grable,fPng una sucesión de particiones deŒa; b� tal quef�.Pn/g ! 0 y �.f;Pn/ una sumade Riemann def para la particiónPn. Se verifica entonces que:

lKımn!1

S.f;Pn/D lKımn!1

�.f;Pn/D lKımn!1

I.f;Pn/Dbw

a

f .x/dx (8.1)

Este resultado permite en algunos casos particulares y con bastante esfuerzo e ingeniocalcular ciertas integrales. Como más adelante aprenderemos a calcular integrales con facilidad,

es más interesante usar dicho resultadosensu contrariopara calcular los límites de ciertassucesiones. Para ello se usa con frecuencia el siguiente corolario.

8.9 Corolario. Para toda funciónf integrable enŒ0; 1� se verifica que:

lKımn!1

1

n

nX

kD1

f

�k

n

�D

1w

0

f .x/dx (8.2)

Teniendo en cuenta que cualesquiera sean las funcionesf;g y los números ; ˇ, se verificaque�. f C ˇg;P /D ˛�.f;P /C ˇ�.g;P /, para toda particiónP , se deduce, haciendo usodel teorema8.8, que la integral es lineal. Esta propiedad, junto con otras propiedades básicasde las integrales se recogen en el siguiente resultado.

8.10 Proposición(Propiedades básicas de la integral).

i) Linealidad. Sif;g son integrables enŒa; b� y ˛; ˇ son números reales, se verifica que lafunción f C ˇg también es integrable enŒa; b� y

bw

a

. f .x/C ˇg.x//dx D ˛bw

a

f .x/dx C ˇbw

a

g.x/dx :

ii) Conservación del orden. Si f;g son integrables enŒa; b� y f .x/ 6 g.x/ para todox2 Œa; b�, entonces se verifica que:

bw

a

f .x/dx 6

bw

a

g.x/dx

En particular, sif es integrable enŒa; b� y m 6 f .x/ 6 M para todox 2 Œa; b�, entonces severifica la siguiente desigualdad:

m.b � a/6

bw

a

f .x/dx 6 M.b � a/ (8.3)

iii) Si f es integrable enŒa; b� tambiénjf j (función valor absoluto def ) es integrable enŒa; b� y se verifica la desigualdad:

ˇˇˇ

bw

a

f .x/dx

ˇˇˇ6

bw

a

jf .x/jdx (8.4)

iv) El producto de funciones integrables Riemann también esuna función integrable Rie-mann.

v) Aditividad respecto del intervalo. Seaa < c < b. Una funciónf es integrable enŒa; b�si, y sólo si, es integrable enŒa; c� y enŒc; b�, en cuyo caso se verifica la igualdad:

bw

a

f .x/dx Dcw

a

f .x/dx Cbw

c

f .x/dx

Ha llegado el momento de preguntarse por condiciones que garanticen que una función esintegrable Riemann. Nos vamos a contentar con una respuestaparcial a esta pregunta, que essuficiente para nuestros propósitos.

8.11 Teorema(Condiciones suficientes de integrabilidad Riemann). Sea f W Œa; b�! R .Cada una de las siguientes condiciones garantizan quef es integrable Riemann enŒa; b�.

i) f está acotada enŒa; b� y tiene un número finito de discontinuidades enŒa; b�. En parti-cular, toda función continua en un intervalo cerrado y acotado es integrable en dicho intervalo.

ii) f es monótona enŒa; b�.

Demostración. Según la definición dada, una funciónf positiva y acotada en un intervaloŒa; b�es integrable enŒa; b� cuando las aproximaciones superiores están arbitrariamente próximasde las aproximaciones inferiores al área del conjunto ordenado def . En otros términos, unafunciónf positiva y acotada en un intervaloŒa; b� es integrable enŒa; b� si, y sólo si, para todo" > 0, hay una particiónP" de Œa; b� tal queS.f;P"/ � I.f;P"/ 6 "3. Probaremos que lasfunciones continuas y las funciones monótonas enŒa; b� satisfacen esta condición.

Sesf W Œa; b�! R continua enŒa; b�, entonces sabemos quef está acotada enŒa; b�. Enparticular, hay un númeroM tal quef .x/ 6 M para todox 2 Œa; b�. Por tanto la funciónM � f es continua y positiva enŒa; b� y, como las funciones constantes son integrables, laintegrabilidad de la funciónM � f equivale a la integrabilidad def . Podemos, por tanto,suponer quef es positiva enŒa; b�. En virtud del teorema7.59la funciónf es uniformementecontinua enŒa; b�. Por tanto, dado" > 0, hay un númeroı > 0, tal que para todosx;y 2 Œa; b�conjx � yj < ı se verifica quejf .x/ � f .y/j < "=.b � a/. SeaP" una partición del intervaloŒa; b� cuyos subintervalosIk D Œxk�1;xk � tienen longitud menor queı. En virtud del teorema4.29 hay puntosuk ; vk enIk en los que la funciónf alcanza su valor mínimo y máximoabsolutos respectivamente en el intervaloIk . Tenemos que:

S.f;P"/ � I.f;P"/DnX

kD0

�f .vn/ � f .un/

�.xk�1 � xk/ <

"

b � a

nX

kD0

.xk�1 � xk/D ":

Lo que prueba quef es integrable enŒa; b�.

Supongamos ahora quef es continua en�a; bŒ y acotada enŒa; b� pudiendo tener dis-continuidades en los extremos del intervalo. Comof está acotada enŒa; b�, podemos seguirsuponiendo, por las mismas razones anteriores, quef es positiva enŒa; b�. SeaM > 0 talque f .x/ 6 M para todox 2 Œa; b�. Dado " > 0, consideremos un intervaloŒc;d � dondea < c < d < b y c � a < "=3M , b � d < "=3M . Por la ya demostrado, comof es inte-grable enŒc;d �, hay una particiónQ de Œc;d � tal queS.f;Q/ � I.f;Q/ < "=3. Ampliamosdicha partición a una partición del intervaloŒa; b� añadiéndole los puntosa y b. Llamemos a lapartición deŒa; b� así obtenidaP". Tenemos que:

S.f;P"/ � I.f;P"/6 .c � a/M C S.f;Q/ � I.f;Q/C .b � d/M < ":

Lo que prueba quef es integrable enŒa; b�. Si ahora se suponemos quef está acotada enŒa; b�y tiene un número finito de discontinuidades enŒa; b�, llamandod1 < d2 < � � � < dp a las

3Esta caracterización de la integrabilidad es válida para cualquier función acotada enŒa; b� sin necesidad desuponer que sea positiva.

discontinuidades def en Œa; b�, por la ya demostrado la funciónf es integrable en cada unode los intervalosŒa;d1�, Œdk ;dkC1� (k D 1; 2; : : : ;p � 1), Œdp; b�. Por tantof es integrable enla unión de todos ellos, es decir, enŒa; b�.

Supongamos ahora quef es monótona enŒa; b�. Podemos suponer quef es creciente, encuyo casof .b/�f .x/>0 para todox2 Œa; b�, por lo que, al igual que hicimos antes, podemossuponer quef es creciente y positiva enŒa; b�. Dado" > 0, tomemos una particiónP" deŒa; b�cuyos subintervalosIk D Œxk�1;xk � tengan longitud menor que"=.f .b/ � f .a//. Tenemosque:

S.f;P"/�I.f;P"/DnX

kD0

�f .xk/�f .xk�1/

�.xk�1�xk/<

"

f .b/�f .a/

nX

kD0

�f .xk/�f .xk�1/

�D

D "

f .b/ � f .a/.f .b/ � f .a//D ":

Lo que prueba quef es integrable enŒa; b�. 2

En relación con el punto ii) de este teorema, conviene observar que hay funciones monóto-nas con infinitas discontinuidades.

8.12 Ejemplo. La función f W Œ0; 1�! R dada porf .0/ D 1 y f .x/ DE.1=x/X

nD1

1

2npara to-

do x 2�0; 1�, dondeE.1=x/ indica la parte de entera de1=x, es decreciente enŒ0; 1� y tienediscontinuidades en todos los puntos de la forma1

nC1paranD 1; 2; : : : .

Observa que la función viene dada por:

f .x/D

8ˆˆ<ˆˆ:

12; 1

2< x 6 1;

12C 1

4; 1

3< x 6 1

2;

12C 1

4C 1

8; 1

4< x 6 1

3;

12C 1

4C � � � C 1

2n ;1

nC1< x 6 1

n;

1; x D 0;

En la figura8.5puedes ver su gráfica en la que se han indicado con trazos verticales punteadoslas discontinuidades de salto de la función. �

Un tipo frecuente de funciones integrables son las que se definen a continuación.

8.13 Definición. Se dice que funciónf escontinua a trozosen un intervaloŒa; b� si hay unaparticiónaD x0 < x1 < x2 < : : : < xn�1 < xn D b del intervaloŒa; b� de forma que:

� f es continua en cada intervalo�xi�1;xi Œ, parai D 1; 2; : : : ;n.

� f tiene límites laterales finitos en los puntosxi , i D 0; 1; : : : ;n.

Una función continua a trozos enŒa; b� tiene un número finito de discontinuidades y estáacotada enŒa; b�, por tanto es integrable enŒa; b�.


b

b

b

b

bb

b

bbbbbb

b

b

b

b

b

112

13

14

15

16

12

12

C 14

12

C 14

C 18

12

C 14

C 18

C 116

Figura 8.5. Función monótona con infinitas discontinuidades

8.14 Corolario. Seamf y g funciones que coinciden en todos los puntos de un intervaloŒa; b�

excepto en un número finito de ellos. Entonces se verifica quef es integrable enŒa; b� si, ysólo si,g es integrable enŒa; b�, en cuyo caso se verifica que las integrales enŒa; b� de ambasfunciones coinciden.

Demostración. Definamosh D f � g. La función h es nula en todos los puntos deŒa; b�excepto en un conjunto finito de ellos, por tanto,h es una función continua a trozos enŒa; b� y,

en consecuencia,h es integrable enŒa; b�. Además, es evidente quer b

a h.x/dx D 0 (piensa queel conjunto ordenado deh entrea y b es un conjunto finito de segmentos verticales). Si, porejemplo,f es integrable enŒa; b�, la igualdadg D f � h implica que tambiéng es integrableen Œa; b� y

r ba g.x/dx D

r ba f .x/dx �

r ba h.x/dx D

r ba f .x/dx . 2

8.15 Observación.El resultado anterior nos dice que, para estudiar la integrabilidad de unafunción, podemos modificar los valores de la misma en un conjunto finito de puntos porque esono afecta para nada a su integrabilidad ni al valor de su integral. Igualmente, si una función noestá definida en un conjunto finito de puntos de un intervalo, para estudiar su integrabilidad ladefinimos como queramos en dichos puntos, con la seguridad deque la función resultante seráo no integrable con independencia de nuestra definición. En particular, una función continuay acotada enŒa; b� n fa1; a2; : : : ; amg, donde losaj son puntos deŒa; b� en los quef no estádefinida, es integrable enŒa; b�.

Por ejemplo, la funciónf .x/ D sen.1=x/ no está definida en0. Si queremos estudiar su



El Teorema Fundamental del Cálculo 397

integrabilidad enŒ0; 1�, podemos definirf .0/D1 (o el valor que tú quieras); con ello,f es unafunción continua en�0; 1� y acotada enŒ0; 1�, por lo que es integrable enŒ0; 1�.

8.2.2. El Teorema Fundamental del Cálculo

Dada una función integrablef W Œa; b�! R , podemos definir una nueva funciónF W Œa; b�! R

por:

F.x/Dxw

a

f .t/dt para todox 2 Œa; b�

Observa que aquí la variable esx – el límite superior de la integral. Por eso, es obligado no~usar la misma letrax como variable de la funciónf en el integrando.F.x/ es la integral de lafunciónf en el intervaloŒa;x�.

Por definiciónF.x/ D �.G.f C; a;x// � �.G.f �; a;x//. Por supuesto, sif es positivaentoncesF.x/D �.G.f; a;x// es el área del conjunto ordenado def entrea y x. No debesolvidar en lo que sigue queF.x/D

r xa f .t/dt se ha definido en términos de áreas. A la función

F la llamaremosla función área def en Œa; b�.

A veces hay que considerar funciones de la formaH.x/Dr x

c f .t/dt en dondea < c < b

y x 2 Œa; b�; por lo que es necesario precisar lo que se entiende porr x

c f .t/dt cuandox < c.El convenio que se hace es que:

vw

u

f .t/dt D�uw

v

f .t/dt

cualesquiera sean los númerosu y v. La justificación de este convenio es que, con él, la igual-dad:

yw

x

f .t/dt Czw

y

f .t/dt Cxw

z

f .t/dt D 0 (8.5)

se cumple cualesquiera sean los puntosx;y; z del intervaloŒa; b�. Compruébalo.

Nuestro próximo objetivo va a consistir en invertir el proceso que nos ha llevado defa F.x/ D

r xa f .t/dt . Nuestro problema es: ¿Cómo podemos recuperar la funciónf a partir

del conocimiento de la función área def ? El resultado que sigue, uno de los más útiles delCálculo, establece una relación entre dos conceptos aparentemente lejanos entre sí: el conceptode área y el de tangente a una curva, pues dicho resultado afirma que la pendiente de “la curvaárea def ”, y D F.x/, en un puntox es igual af .x/.

8.16 Teorema(Teorema Fundamental del Cálculo). Seaf W Œa; b�! R una función inte-grable y definamosF W Œa; b�! R por:

F.x/Dxw

a

f .t/dt (8.6)

para todox 2 Œa; b�. Entonces:

i) F es continua enŒa; b�.

Primitivas. Regla de Barrow 398

ii) En todo puntoc deŒa; b� en el quef sea continua se verifica queF es derivable en dichopunto siendoF 0.c/D f .c/. En particular, sif es continua enŒa; b�, entoncesF es derivableen Œa; b� y F 0.x/D f .x/ para todox2 Œa; b�.

Demostración.

i) Como f es integrable debe estar acotada. SeaM > 0 tal quejf .x/j 6 M para todox2 Œa; b�. Entonces, six < y son puntos deŒa; b� tenemos que

jF.y/ � F.x/j Dˇˇˇ

yw

x

f .t/dt

ˇˇˇ6

yw

x

jf .t/jdt 6 M.y � x/

Por la misma razón, si suponemos quey < x, tendremos quejF.y/ � F.x/j 6 M.y � x/.Estas dos desigualdades nos dicen quejF.y/ � F.x/j 6 M jy � xj para todo par de puntosx;y2 Œa; b�. De esta desigualdad se sigue inmediatamente la continuidad deF en Œa; b�.

ii) Pongamos

F.x/� F.c/

x � c� f .c/D F.x/� F.c/ � .x � c/f .c/

x � cD

xw

c

f .t/dt �xw

c

f .c/dt

x � cD

D

xw

c

.f .t/ � f .c//dt

x � c

Dado," > 0, la continuidad def enc nos dice que hay unı > 0 tal que para todot 2 Œa; b�con jt � cj < ı se tiene quejf .t/ � f .c/j < ". Tomemos ahora un punto cualquierax 2 Œa; b�tal quejx � cj < ı. Entonces es claro que para todot comprendido entrex y c se tendrá quejt � cj < ı y, por tanto,jf .t/ � f .c/j < " por lo que:

ˇˇˇ

xw

c

.f .t/ � f .c//dt

ˇˇˇ6 "jx � cj

Deducimos que para todox2 Œa; b� tal quejx � cj < ı, y x ¤ c, se verifica que

ˇˇF.x/� F.c/

x � c� f .c/

ˇˇD

ˇˇˇ

xw

c

.f .t/ � f .c//dt

ˇˇˇ

jx � cj 6"jx � cjjx � cj D "

Hemos probado que lKımx!c

F.x/� F.c/

x � cDf .c/, esto es,F es derivable enc y F 0.c/Df .c/. 2

8.2.3. Primitivas. Regla de Barrow

8.17 Definición. Dada un funciónh W Œa; b�! R , cualquier funciónH W Œa; b�! R que seacontinua enŒa; b�, derivable en�a; bŒ y verifique queH 0.x/Dh.x/ para todox 2�a; bŒ, se llamaunaprimitiva def en el intervaloŒa; b�.

Primitivas. Regla de Barrow 399

Es importante advertir que no todas las funciones tienen primitivas. Por ejemplo, unacondi-ción necesariaque debe cumplir una función para tener primitivas es que dicha función tengala propiedad del valor intermedio pues, como recordarás, las funciones derivadas tienen esapropiedad. También, como consecuencia del teorema del valor medio, es inmediato quedosprimitivas de una función en un mismo intervalo se diferencian en una constante. Por ello, siconocemos una primitiva de una función en un intervalo las conocemos todas.

El siguiente resultado es una consecuencia muy importante del Teorema Fundamental delCálculo.

8.18 Corolario. Toda función continua en un intervalo tiene primitivas en dicho intervalo.

Demostración. Seaf una función continua en un intervaloI . Elijamos un punto 2I . Cual-quiera seax 2 I el intervalo de extremos y x está contenido enI y f es continua en él ypor tanto es integrable en él. Podemos por ello definir la función H W I ! R dada para todox 2 I por H.x/ D

r x˛ f .t/dt . Esta función es derivable en todo intervalo cerrado y acotado

contenido enI . Pues siŒa; b� � I , para todox 2 Œa; b� se tiene que:

H.x/Dxw

˛

f .t/dt Daw

˛

f .t/dt Cxw

a

f .t/dt :

Por tanto, salvo una constante aditiva, la funciónH coincide en el intervaloŒa; b� con la funciónárea def enŒa; b�, es decir, con la funciónF.x/ definida por8.6. Comof es continua enŒa; b�(por ser continua enI ) el teorema fundamental del cálculo nos dice queF es derivable en todopuntox 2 Œa; b� y F 0.x/D f .x/. Deducimos queH es derivable en todo puntox 2 Œa; b� yH 0.x/D f .x/.

Finalmente, el hecho de queH sea derivable en todo intervalo cerrado y acotado contenidoenI , implica, por la propiedad local de la derivabilidad, queH es derivable enI y su derivadaen todo puntox2I viene dada porH 0.x/D f .x/. 2

Es importante que aprecies que estees un resultado de existencia; es la definición quehemos dado de área – y por consiguiente de integral – lo que nosha permitidoconstruir lafunción primitiva def . La integración es por tanto una herramienta que permite construiruna función cuya derivada es conocida; por eso la integración es una potente herramienta paraconstruir nuevas funciones.

8.19 Estrategia.

� Para derivar funciones de la formaH.x/ Dr g.x/a f .t/dt dondef es una función

continua yg es una función derivable, se aplica el teorema fundamental del cálcu-lo y la regla de la cadena para derivar la función compuestaH.x/ D F.g.x//, dondeF.x/D

r xa f .t/dt .

� Para derivar funciones de la formaH.x/Dr v.x/

u.x/f .t/dt dondef es una función con-

tinua yu, v son funciones derivables, se escribeH.x/Dr v.x/

a f .t/dt �r u.x/

a f .t/dt yse aplica lo dicho en el punto anterior.

El Teorema Fundamental del Cálculo proporciona también unatécnica para calcular laintegral de unafunción continuaen un intervaloŒa; b�. Para ello lo que hacemos es calcular una



Las funciones logaritmo y exponencial 400

primitiva def en Œa; b�. Si h es una tal primitiva, entonces las funcionesF.x/Dr x

a f .t/dt , yh.x/ � h.a/ son dos primitivas def enŒa; b� que coinciden en un punto, pues ambas se anulan

ena. Deducimos queF.x/Dh.x/�h.a/ para todox2 Œa; b� y, por tanto,F.b/Dr ba f .t/dt D

h.b/ � h.a/. Podemos generalizar este resultado como sigue.

8.20 Teorema(Regla de Barrow). Seaf W Œa; b�! R integrable y supongamos queh es unaprimitiva def en Œa; b�. Entonces:

bw

a

f .t/dt D h.b/ � h.a/

Demostración. SeaP DfaD x0;x1;x2; : : : ;xn�1;xn D bg una partición deŒa; b�. Aplicandoel teorema de valor medio, tenemos que:

h.b/ � h.a/DnX

kD1

.h.xk/ � h.xk�1//DnX

kD1

f .tk/.xk � xk�1/D �.f;P /

La igualdad anterior nos dice que para toda particiónP de Œa; b� hay alguna suma de Rie-mann def asociada a dicha partición,�.f;P /, que es igual ah.b/ � h.a/. Si ahora toma-mos una sucesiónfPng de particiones del intervaloŒa; b� tales que�.Pn/ ! 0, tenemos queh.b/ � h.a/D �.f;Pn/ para alguna suma de Riemann,�.f;Pn/, def asociada a la partición

Pn. Pero sabemos que�.f;Pn/!r b

a f , por lo que obtenemos queh.b/ � h.a/Dr b

a f . 2

Fíjate que en la regla de Barrow no se supone quef sea continua sino tan sólo que esintegrable y que, además, tiene una primitiva.

8.2.4. Las funciones logaritmo y exponencial

Quiero convencerte de que muchas veces el cálculo integral proporciona la interpretaciónmás intuitiva de una función. Considera, por ejemplo, la función logaritmo natural. Quizássepas expresar log2 como límite de una sucesión o algo parecido; pero, ¿puedes representar dealguna forma intuitiva el número log2? ¿Sabrías representar gráficamente el número log2? Enla siguiente gráfica puedesver el número log2.

0

1

2

0 1 2 3 4

w 2

1

1

tdt

y D 1x

Figura 8.6. Logaritmo de 2



Las funciones logaritmo y exponencial 401

Espero que estés de acuerdo conmigo: la forma más fácil e intuitiva de imaginar el númerolog t es como el área de la región plana limitada por la curvay D 1=x, las rectasx D 1, xD t ,y el eje de abscisas. Dicha área se considera positiva sit > 1 y negativa sit < 1. Dicho de otraforma:

log t Dtw

1

1

xdx

Es frecuente interpretar esta igualdad de la siguiente forma: la función logx es derivable ylog 0x D 1=x; por tanto

r t1

1x

dx D log t � log1D log t . ¡Parece que hemos probado algo! Yno es así porque en este razonamiento estamos usando que la función logaritmo es derivable yeso es algo que no hemos probado. Todavía peor: ni siquiera hemos dado una definición de lafunción logaritmo que permita probar las propiedades de dicha función. Usualmente se definelogx como el númeroy que verifica que ey Dx. La existenciade ese númeroy está lejos deser evidente. El propio número e tiene que ser definido de alguna forma apropiada.

Hago estas reflexiones para que te des cuenta de que lo que conoces de las funciones lo-garitmo, exponencial, trigonométricas: : : , es un conocimiento descriptivo. De estas funcionesconoces, porque te lo han dicho, su comportamiento; pero no creo que hayas demostrado suspropiedades. Bueno, no quiero que pienses que tus profesores de bachillerato te ocultan infor-mación, lo que ocurre es que una definición de estas funcionesque permita probar su existenciay demostrar sus propiedades requiere herramientas matemáticas que no tienen cabida en lasenseñanzas medias. Precisamente, el Teorema Fundamental del Cálculo permite definir estasfunciones de forma fácil, elegante y correcta.

Olvida ahora todo lo que sepas de la función logaritmo natural. ¿Lo has olvidado ya?Sigamos.

8.21 Definición. La funciónlogaritmo naturales la función logWRC ! R definida para todot > 0 por:

log t Dtw

1

1

xdx

El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que la funciónlogaritmo naturalesderivable(y por tanto continua) y que log0t D 1=t . Como la derivada es positiva, deducimos que dichafunción esestrictamente creciente.

Dado a > 0, seah.x/ D log.ax/. Entoncesh 0.x/ D a=.ax/ D 1=x. Luego la funciónh.x/ � log.x/ tiene derivada nula enRC, por lo que es constante y, como parax D 1 es iguala loga, se sigue queh.x/ � log.x/D loga. Hemos probado así que log.ax/D logaC logx

para todoa > 0 y para todox > 0.

Observa que en poco más de tres líneas hemos obtenido ya las propiedades principales dellogaritmo. Sigamos nuestro estudio.

De lo ya visto se sigue que log.2n/D n log2 para todo número enteron. De aquí se deduceque la funciónlogaritmo naturalno está mayorada ni minorada y, como es estrictamente cre-ciente, concluimos que lKım

x!0logx D �∞ y lKım

x!C1logx D C∞. Por tanto, podemos afirmar

que dicha función es unabiyección estrictamente creciente deRC sobreR.

Representemos provisionalmente por' WR! R la función inversa del logaritmo. Dichafunción se llama funciónexponencial. El teorema de derivación de la función inversa nos dice

Integrales impropias de Riemann 402

que' es derivable y para todox2R es:

' 0.x/D 1

log 0.'.x//D '.x/

Ahora, dados,x;y2R, seana; b;2RC tales quex D loga, y D logb. Entonces:

'.x C y/D '.logaC logb/D '.log.ab//D ab D '.x/'.y/

Hemos probado así que'.xC y/D '.x/'.y/ para todosx;y2R. De esta igualdad se deducefácilmente que apara todo número racionalr se verifica que'.r/D '.1/r . El número'.1/ serepresenta con la letra e, es decir, es el número definido por la igualdad log eD

r e1

1x

dx D 1.Con ello para todo número racionalr se tiene que'.r/ D er , por lo que se usa la notación'.x/D ex para representar a la función exponencial.

Fíjate con qué facilidad y elegancia hemos obtenido las propiedades principales de lasfunciones logaritmo natural y exponencial. Quedan así justificados todos los resultados vistosen capítulos anteriores que dependen de dichas propiedades.

Así mismo, podemosdefinir la funciónarcotangentede la forma:

arc tgx Dxw

0

1

1C t2dt :

Lo que constituye un punto de partida para definir las demás funciones trigonométricas. Esteproceso está desarrollado con detalle en [16]. Veremos más adelante otro procedimiento másdirecto para definir las funciones trigonométricas.

8.3. Integrales impropias de Riemann

Una de las limitaciones de la teoría de la integral de Riemannque hemos desarrolladoes que en ella se consideran funciones acotadas en intervalos acotados. Queremos evitar es-tas limitaciones y considerar funciones no acotadas o intervalos no acotados. Los siguientesejemplos indican el camino a seguir.

8.22 Ejemplo. La funciónf .x/D 1px

no está acotada en el intervalo�0; 1�. Comoh.x/D2p

x

es una primitiva def en Œ0; 1�, para todot 2�0; 1� se tiene que:

1w

t

1px

dx D h.1/ � h.t/D 2 � 2p

t ÷ lKımt!0

1w

t

1px

dx D 2:

Por tanto es natural definir:1w

0

1px

dx D 2:

�



Integrales impropias de Riemann 403

8.23 Ejemplo. Para todo > 0 se tiene que:

tw

0

e�˛x dx D 1

˛.1� e�˛t / ÷ lKım

t!C1

tw

0

e�˛x dx D 1

˛:

Por ello es natural definir:C1w

0

e�˛x dx D 1

˛:

�

En el primer ejemplo hemos considerado una función no acotada, y en el segundo un inter-valo no acotado.

8.24 Definición. Seaf W Œc; bŒ! R una función continua en el intervaloŒc; bŒ, donde supo-nemos quec 2R y queb un número real mayor quec o bienb D C∞. Se define la integralimpropia de Riemann def en Œc; bŒ como el límite:

bw

c

f .x/dx D lKımt!b

tw

c

f .x/dx (8.7)

Supuesto, claro está, que dicho límite exista y sea un númeroreal, en cuyo caso se dice tambiénque la integral def es convergente enŒc; bŒ.

Seaf W�a; c�! R una función continua en el intervalo�a; c�, donde suponemos quec 2R

y quea un número real menor quec o bienaD�∞. Se define la integral impropia de Riemanndef en �a; c� como el límite:

cw

a

f .x/dx D lKımt!a

cw

t

f .x/dx (8.8)

Supuesto, claro está, que dicho límite exista y sea un númeroreal, en cuyo caso se dice tambiénque la integral def es convergente en�a; c�.

Cuando el límite (8.7) o (8.8) existe y es igual aC∞ (resp.�∞) se dice que la respectivaintegral es positivamente o negativamente divergente.

Seaf W�a; bŒ! R una función continua en el intervalo�a; bŒ, donde�∞ 6 a < b 6C∞.Seac 2 R con a < c < b. Se dice que la integral def es convergente en�a; bŒ cuando lasintegrales def en �a; c� y en Œc; bŒ son convergentes, en cuyo caso se define:

bw

a

f .x/dx Dcw

a

f .x/dx Cbw

c

f .x/dx (8.9)

8.25 Observación.Como para todou 2�c; bŒ se verifica que:

xw

c

f .t/dt Duw

c

f .t/dt Cxw

u

f .t/dt ;

se sigue que la convergencia de la integral def enŒc; bŒ equivale a la convergencia de la integraldef en Œu; bŒ.

Criterios de convergencia para integrales 404

8.26 Ejemplo. Seaa¤ 1. Se tiene que:

tw

1

1

xadx D t1�a

1 � a� 1

1� a

Deducimos que:

C1w

1

1

xadx D lKım

t!C1

tw

1

1

xadx D

8<:

1

a � 1si a > 1

C∞ si a < 1(8.10)

Análogamente:1w

0

1

xadx D lKım

t!0

1w

t

1

xadx D

8<:

1

1 � asi a < 1

C∞ si a > 1(8.11)

�

8.27 Ejemplo. Seaa¤ 1. Usando la técnica de integración por partes, que estudiaremos más

adelante, es fácil calcular una primitiva de la funciónf .x/D logx

xa. Comprueba que:

F.x/D x1�a.�1C .1� a/ logx/

.1 � a/2

es una primitiva def enRC. Por tantor t

1f .x/dx D F.t/� F.1/. En consecuencia:

C1w

1

logx

xadx D

8<:

1

.1� a/2si a > 1

C∞ si a < 1

(8.12)

Análogamente:1w

0

logx

xadx D

8<:� 1

.1� a/2si a < 1

�∞ si a > 1

(8.13)

�

8.3.1. Criterios de convergencia para integrales

Naturalmente, no siempre vamos a disponer de una primitiva expresable por medio de fun-ciones elementales, bien porque no exista o porque su cálculo efectivo sea muy complicado. Porello, interesa conocer condiciones que aseguren la convergencia de una integral sin necesidadde conocer una primitiva elemental. Lógicamente, estas condiciones no nos permitirán calcularel valor numérico de la integral; tan sólo nos dirán si es o no convergente. Consideraremosintegrales definidas en intervalos del tipoŒc; bŒ dondec < b 6C1. Criterios de convergenciaanálogos se verifican para integrales definidas en intervalos del tipo�a; c� donde�1 6 a < c.El caso en que la función integrando es positiva es particularmente sencillo de estudiar.

Criterios de convergencia para integrales 405

8.28 Proposición(Criterio básico de convergencia). Seaf continua y positiva enŒc; bŒ.Entonces, la integral def en Œc; bŒ es convergente si, y sólo si, la funciónF.x/D

r xc f .t/dt

está mayorada enŒc; bŒ, en cuyo caso:

bw

c

f .t/dt D sup

(xw

c

f .t/dt W x 2 Œc; bŒ)

En otro caso la integral def en Œc; bŒ es positivamente divergente.

Las afirmaciones hechas son consecuencia de que, por serf positiva enŒc; bŒ, la funciónF.x/D

r xc f .t/dt es creciente enŒc; bŒ.

El siguiente criterio es consecuencia inmediata del anterior.

8.29 Proposición(Criterio de comparación). Seanf y g continuas y positivas enŒc; bŒ.Supongamos que la integral deg enŒc; bŒ es convergente y quef .x/6g.x/ para todox2 Œc; bŒ.Entonces la integral def en Œc; bŒ también es convergente.

De este criterio se deduce fácilmente el siguiente.

8.30 Proposición(Criterio límite de comparación). Seanf y g continuas y positivas enŒc; bŒ. Supongamos que:

lKımx!b

f .x/

g.x/D �2RC:

Entonces las integrales def y g en Œc; bŒ ambas convergen o ambas divergen positivamente.

Demostración. De la hipótesis hecha se deduce que existe un númerou 2�c; bŒ tal que paratodox 2 Œu; bŒ se verifica que:

1

2� 6

f .x/

g.x/6

3

2� ” g.x/6 2f .x/6 3g.x/:

De estas dos desigualdades se deduce, por el criterio de comparación anterior, que las integralesdef y deg enŒu; bŒ son ambas convergentes o ambas divergen positivamente. Basta tener ahoraen cuenta la observación8.25. 2

8.31 Definición. Se dice que la integral def es absolutamente convergenteen un ciertointervalo cuando la integral de la funciónjf j es convergente en dicho intervalo.

Naturalmente, los criterios de convergencia antes vistos para integrales de funciones posi-tivas, pueden usarse para estudiar la convergencia absoluta de la integral de cualquier función.Por ello, el siguiente resultado es de gran utilidad. Para demostrarlo usaremos la siguiente ca-racterización de la existencia de límite.

8.32 Proposición(Condición de Cauchy para la existencia de límite). Seab un númeroreal o bienb D C1, seac 0 existe un númerou" 2�c; bŒ tal que para todosx;y 2�u"; bŒ se verificaquejf .x/ � f .y/j < ".

Teoremas del valor medio para integrales 406

Demostración.

a÷ b/. Por hipótesis, para todo" > 0 existe un númerou" 2�c; bŒ tal que para todox 2�u"; bŒ se verifica quejf .x/�Lj < "=2. Paray 2�u"; bŒ también serájf .y/ �Lj < "=2.Deducimos que:

jf .x/� f .y/j D jf .x/ �L � .f .y/ �L/j6 jf .x/�Lj C jf .y/ �Lj < "

2C "

2D ":

b÷ a/. Probaremos que hay un númeroL2R tal que para toda sucesiónfxng ! b se verificaqueff .xn/g ! L. Según sabemos, por la proposición7.41, esto equivale a quef tenga límiteen b igual a L. Seafxng ! b, para probar queff .xn/g es convergente probaremos quedicha sucesión verifica la condición de Cauchy. Dado" > 0, por la hipótesis hecha, hay unnúmerou" 2�c; bŒ tal que para todosx;y 2�u"; bŒ se verifica quejf .x/� f .y/j < "=2. Comofxng ! c, existe un número naturalm" tal que para todop > m" se tiene quexp 2�u"; cŒ.Deducimos que sip > m" y q > m", entoncesjf .xp/ � f .xq/j < ", lo que prueba que lasucesiónff .xn/g es de Cauchy y, por el teorema de completitud deR, es convergente. SeaL 2 R el límite deff .xn/g. Si ahora consideramos cualquier otra sucesiónfyng ! b, elmismo razonamiento anterior prueba queff .yn/g converge. Debemos probar que su límitetambién esL. Para ello, basta con observar que, como consecuencia de la hipótesis hecha, lasucesiónff .xn/ � f .yn/g converge a0, pues para todon suficientemente grande se tiene quexn;yn 2�u"; bŒ, por lo quejf .xn/ � f .yn/j < ". 2

La proposición anterior tiene una versión análoga para el caso de considerar un intervalodel tipo �a; c� cona un número real oaD�1.

La condición del punto b) de la proposición anterior se llamacondición de Cauchyparafenb.

8.33 Teorema.Si la integral def es absolutamente convergente, entonces la integral def

también es convergente.

Demostración. Supongamos que la integral def es absolutamente convergente enŒc; bŒ. Pon-gamosG.x/D

r xb jf .t/jdt , F.x/D

r xc f .t/dt . Por la hipótesis hecha, existe el límite deG en

b y es finito. En tal caso, se verifica la condición de Cauchy paraG enb. Dado" > 0, hay unnúmerou" 2�c; bŒ tal que para todosx;y 2�u"; bŒ esjG.x/�G.y/j < ". Teniendo en cuentala desigualdad:

jF.x/� F.y/j Dˇˇˇ

xw

c

f .t/dt �yw

c

f .t/dt

ˇˇˇD

ˇˇˇ

yw

x

f .t/dt

ˇˇˇ6

ˇˇˇ

yw

x

jf .t/jdt

ˇˇˇD jG.x/�G.y/j ;

se deduce que la funciónF verifica la condición de Cauchy enb, por lo que dicha función tienelímite finito enb, es decir, la integral def en Œc; bŒ es convergente. 2

8.4. Teoremas del valor medio para integrales

El teorema fundamental del cálculo permite traducir a integrales el teorema del valor medio.Basta observar para ello que, sif es una función continua en un intervaloI y ˛ es un punto


cualquiera de dicho intervalo, podemos aplicar el teorema del valor medio a la función derivableF.x/D

r x˛ f .t/dt en el intervaloI . Según dicho teorema, para cualquier par de puntosa; b2I

se verifica que hay algún puntoc comprendido entrea y b tal que:

F.b/ � F.a/

b � aD F 0.c/:

Pero esta igualdad es lo mismo que:

1

b � a

bw

a

f .x/dx D f .c/ ”bw

a

f .x/dx D f .c/.b � a/:

El número 1b�a

r ba f .x/dx se llamapromedio integral o media integralde f en Œa; b�. Con

poco esfuerzo podemos obtener un resultado más general.

8.34 Teorema(Primer teorema de la media para integrales). Seanf una función continuaen Œa; b� y g una función positiva e integrable enŒa; b�. Entonces se verifica que hay algúnpuntoc 2 Œa; b� tal que:

bw

a

f .x/g.x/dx D f .c/bw

a

g.x/dx : (8.14)

Demostración. Por el teorema de Weierstrass4.29,la funciónf alcanza un valor mínimo,m,y un valor máximo,M , enŒa; b�. Comog.x/> 0 para todox 2 Œa; b�, tenemos que:

mg.x/6 f .x/g.x/6 Mg.x/ .para todox 2 Œa; b�/:

La funciónfg es integrable enŒa; b� por ser producto de funciones integrables. Como la integralconserva el orden entre funciones, se sigue que:

m

bw

a

g.x/dx 6

bw

a

f .x/g.x/dx 6 M

bw

a

g.x/dx :

De esta desigualdad se sigue que sir b

a g.x/dx D 0, entonces también esr b

a f .x/g.x/dx D 0

y la igualdad del enunciado se satisface trivialmente para todoc 2 Œa; b�. En otro caso debe serr b

a g.x/dx > 0 y deducimos que:

m 6

r ba f .x/g.x/dxr b

a g.x/dx6 M:

Puesto que la imagen porf del intervaloŒa; b� es el intervaloŒm;M �, de la desigualdad anteriorse sigue que hay algúnc 2 Œa; b� tal que:

f .c/Dr b

a f .x/g.x/dxr b

a g.x/dx:

Como queríamos probar. 2




8.35 Teorema(Segundo teorema de la media para integrales). Sea' una función monótonay con derivada continua enŒa; b�, y seaf una función continua enŒa; b�. Entonces hay algúnpuntoc 2 Œa; b� tal que:

bw

a

f .x/'.x/dx D '.a/cw

a

f .x/dx C '.b/bw

c

f .x/dx (8.15)

Demostración. Supongamos que' es decreciente enŒa; b� y '.b/D0. Definamos las funcionesF.x/D

r xa f .t/dt y H.x/D F.x/'.x/. Tenemos queH 0.x/D F 0.x/'.x/C F.x/' 0.x/D

f .x/'.x/C F.x/' 0.x/. Por la regla de Barrow, obtenemos que:

bw

a

�f .x/'.x/CF.x/' 0.x/

�dx DH.b/�H.a/D0÷

bw

a

f .x/'.x/dxDbw

a

F.x/.�' 0.x//dx :

Como�' 0.x/> 0 para todox 2 Œa; b�, podemos aplicar a la última integral el primer teoremade la media que asegura que hay algúnc 2 Œa; b� tal que:

bw

a

F.x/.�' 0.x//dx D F.c/

bw

a

.�' 0.x//dx D F.c/'.a/D '.a/cw

a

f .x/dx :

Hemos probado así que hay unc 2 Œa; b� tal que:

bw

a


a

f .x/dx : (8.16)

Esta igualdad es un caso particular de la igualdad del enunciado (recuerda que hemos supuestoque'.b/D0). Consideremos ahora que' es decreciente enŒa; b� (no suponemos que'.b/D0).Podemos aplicar la igualdad8.16a la función' � '.b/ y obtenemos que hay algúnc 2 Œa; b�tal que:

bw

a

f .x/.'.x/� '.b//dx D .'.a/� '.b//cw

a

f .x/dx ÷

bw

a


a

f .x/dx C '.b/bw

a

f .x/dx � '.b/cw

a

f .x/dxD

D '.a/cw

a

f .x/dx C '.b/bw

c

f .x/dx :

Esto demuestra el teorema para' decreciente. El caso en que' sea creciente se reduce alanterior considerando la función�'. 2

El segundo teorema de la media para integrales es muy útil para estudiar la convergenciano absoluta de integrales impropias pues, en muchos casos, permite probar que se satisface lacondición de Cauchy para la existencia de límite. El teoremasuele enunciarse con hipótesismucho más generales, pero las hipótesis con las que lo hemos probado son suficientes paranosotros.



Derivadas e integrales de funciones complejas de variable real 409

8.5. Derivadas e integrales de funciones complejas de variable real

Una función compleja de variable real es una función de la formah.t/Df .t/Cig.t/ dondef , g son funciones reales definidas en un intervaloI . Se dice quef es la parte real deh y g

es la parte imaginaria, y escribimosf D Re.h/, g D Im.h/. Cuando las funcionesf y g sonderivables, se dice queh es derivable y se define su derivada por la igualdad:

h 0.t/D f 0.t/C ig 0.t/:

Cuando las funcionesf y g son integrables en un intervaloŒa; b� se dice queh es integrable enŒa; b� y se define la integral deh en Œa; b� por la igualdad:

bw

a

h.t/dt Dbw

a

f .t/dt C i

bw

a

g.t/dt :

Naturalmente, siF y G son, respectivamente, primitivas def y g en un intervaloŒa; b�, enton-cesH.t/D F.t/C iG.t/ es una primitiva deh en Œa; b� y se verifica la regla de Barrow:

bw

a

h.t/dt Dbw

a

f .t/dt C i

bw

a

g.t/dt D .F.b/ � F.a//C i.G.b/ �G.a//DH.b/ �H.a/:

Análogamente, sif y g son continuas en un intervaloI y elegimos un puntoa2I , la función:

H.x/Dxw

a

h.t/dt Dxw

a

f .t/dt C i

xw

a

g.t/dt

es una primitiva deh enI .

8.36 Ejemplo. Sea C iˇ un número complejo, la función:

h.t/D e.˛Ciˇ/t De˛t eiˇt De˛t cos.ˇt/C i e˛t sen.ˇt/

es derivable y su derivada viene dada por:

h 0.t/D ˛ e˛t cos.ˇt/ � ˇ e˛t sen.ˇt/C i�˛ e˛t sen.ˇt/C ˇ e˛t cos.ˇt/

�D

D e˛t .˛ C iˇ/�

cos.ˇt/C i sen.ˇt/�D .˛ C iˇ/e˛t eiˇt D.˛ C iˇ/h.t/:

Como era de esperar, hemos obtenido que:

d

dte.˛Ciˇ/t D.˛ C iˇ/e.˛Ciˇ/t :

En consecuencia: we.˛Ciˇ/t dt D 1

˛ C iˇe.˛Ciˇ/t (8.17)

�

En algunos de los siguientes ejercicios deberás calcular algunas primitivas muy sencillas,es un buen momento para que repases las derivadas de las funciones elementales.



365. Seaf .x/D ex senx

x. Justifica quef es integrable enŒ0; 1� y se verifica la desigualdad

0 6r 1

0 f .x/dx 6 e�1.

366. Seaf una función continua y positiva enŒa; b� tal quer b

a f .x/dx D 0. Prueba quef .x/D 0 para todox 2 Œa; b�.

367. Justifica las desigualdades:

a/1

6<

2w

0

dx

10C x<

1

5I b/

1

10p

2<

1w

0

x9 dx

10C x<

1

10I c/

1

nC 1< log

nC 1

n<

1

n:

Deduce de la última desigualdad que eD lKım�1C 1

n

�n.

368. Calcula la integralr �

��f .x/dx dondef .x/ D senx C cosx, y calcula el área de laregión limitada por la gráfica def y el eje de abscisas cuandox 2 Œ��;��.

369. Calcula los límites de las siguientes sucesiones expresándolas como sumas de Riemann.

a/ xn D1˛ C 2˛ C � � � C n˛

n˛C1; .˛ > 0/

b/ xn D1p

n.nC 1/C 1p

n.nC 2/C � � � C 1p

n.nC n/

c/ xn D1

nC 1C 1

nC 2C � � � C 1

nC n

d/ xn Dn

n2 C 1C n

n2 C 4C � � � C n

n2 C n2

e/ xn DnC 1

n2 C 1C nC 2

n2 C 4C � � � C nC n

n2 C n2

f / xn DnX

kD1

.n � k/k

n3g/ xn D

1

n2

nX

kD1

k sen

�k

n

�

2

�

h/ xn D�.2n/!

n!nn

�1=n

i/ xn DnqX

kDnpC1

1

k.p; q2N; p < q/

370. Considera la funciónf W Œ0; 1�! R definida porf .x/D1=x�E.1=x/ para0 < x 61,y f .0/D 0. Prueba que:

1w

0

f .x/dx D lKımt!0

1w

t

�1

x�E

�1

x

��dx D 1 � ;

donde es la constante de Euler.


371. Seaf derivable enŒa; b� y seaM > 0 tal que jf 0.x/j 6 M para todox 2 Œa; b�.Dadon2N seaP la partición deŒa; b� definida por los puntosxk D aC k b�a

n, donde

k D 0; 1; 2; : : : ;n. Pongamos DnX

kD1

f .xk/b � a

n. Prueba que:

S.f;P /� ˛ 6 M.b � a/2

n;

y deduce que: ˇˇˇ

bw

a

f .x/dx � ˛

ˇˇˇ6 M

.b � a/2

n:

372. Calcula las siguientes integrales.

a/

1w

0

.x2 � 1/62x dx b/

2�3w

� 2�3

jcosxjdx c/

ew

1

logx

xdx

d/

e2w

e

1

x logxdx e/

�2w

0

senp

xpx

dx f /

�4w

0

1C senx

cos2xdx

g/

�4w

0

pcosx senx dx h/

�w

0

senx

cosx C 4dx i/

2w

1

2 � x

x3dx

Sugerencia. Todas ellas son inmediatas y se calculan usandola regla de Barrow.

373. Seaf una función continua tal quer x

0 tf .t/dt D senx � x cosx. Calculaf .�=2/ yf 0.�=2/.

374. Sea Seaf una función continua y definamosF.x/Dxw

1

t

tw

1

f .s/ds

!dt . CalculaF 0.1/

y F 00.x/.

375. Calcula la derivada de las siguientes funciones.

a/ G.x/Dx3w

0

cos.t2/dt b/ G.x/D1w

x2

esent dt

c/ G.x/Dx2Cxw

px

1

2C 3p

t2dt d/ G.x/D

exw

1

sen.log t/dt

e/ G.x/Dxw

0

0@

y2w

1

1

1C sen2 tdt

1A dy f / G.x/D

r x

1senu

uduw

0

1

t2 C sen4 tdt

g/ G.x/Dsen2xw

� ex

cos.log2.t2//dt h/ G.x/D1w

0

3x2t3

1C t4dt

Sugerencia. Aplica la estrategia8.19.




376. Calcula todas las funciones de claseC 1 enR tales que:

f .x/2 Dxw

0

�f .t/2 C f 0.t/2

�dt C 2008:

377. Prueba que para todox 2 Œ0; �=2� se verifica la igualdad:

cos2xw

0

arc cosp

t dt Csen2xw

0

arc senp

t D �

4

378. Seag una función derivable enR y dos veces derivable en0, siendo ademásg.0/ D 0.Estudia la derivabilidad de la funciónf WR! R definida por:

f .0/D g 0.0/; f .x/D 1

x

xw

0

g.t/

tdt .x ¤ 0/:

¿Esf de claseC 1?

379. SeaF W Œ0;C1Œ! R definida porF.x/Dr 2x

x e�t2

dt . Estudia los extremos relativosy absolutos deF , intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexióny calculael límite deF enC1.

380. Seaf la función dada por:

f .x/D�

2� x; si x 6 1;2C x; si x > 1.

Estudia la derivabilidad deF.x/Dr x

0 f .t/dt .

381. Calcula los siguientes límites.

a/ lKımx!0x>0

x2w

0

sen.p

t/dt

x3b/ lKım

x!0

x

xw

0

et2

dt

xw

0

et2

sent dt

c/ lKımx!0x>0

x2w

0

�e�t2 � e�1

�dt

xp

x

d/ lKımx!0

x2C1w

1

e�t

tdt

x2e/ lKım

x!C1

xw

0

et2

dt

!2

xw

0

e2t2

dt

f / lKımx!0

xw

0

.sent C cost � 1/dt

x2

382. Estudia la convergencia de las siguientes integrales impropias y calcúlalas cuando seanconvergentes.

a/

C1w

1

dx

xp

4x2 C x C 1b/

C1w

0

x e�x2

dx c/

C1w

0

1px.1C x/

dx

d/

C1w

0

1C x4

.x2 C 1/3dx e/

1w

0

logx

xdx f /

C1w

�1

1

1C x2dx



Sugerencias. Ena) hacerx D 1=t y end) x D tg t .

383. Estudia la convergencia de las siguientes integrales impropias.

a/

1w

0

1 � cosx

x2p

xdx b/

1w

0

x

x � senxdx c/

C1w

0

x C 5

x3 C xdx

d/

C1w

1

x

ex �1dx e/

1w

0

logx log.1� x/dx f /

1w

0

1px

sen.1=x/dx

Sugerencia. Los criterios de comparación pueden ser útiles.

384. Estudia la convergencia de la integral

I DC1w

0

x˛ x C senx

x � senxdx

Según los valores de2R.

385. Prueba que la integralr C11

senxxp dx es absolutamente convergente parap > 1, es con-

vergente pero no absolutamente convergente para0 < p 6 1 y no es convergente parap 6 0.

Sugerencia. Para0 < p 6 1 usa el segundo teorema de la media.

386. Estudia para qué valores de˛ y ˇ son convergentes las integrales siguientes.

a/

C1w

1

x˛ eˇx dx b/

C1w

0

1

x˛.1C xˇ/dx c/

1w

0

x˛.1 � x/ˇ dx

Sugerencia. Utiliza el criterio límite de comparación.

387. Justifica que hay una funciónf WR! R derivable cuya derivada esf 0.x/D sen.1=x/para todox ¤ 0, y f 0.0/D 0.

388. Seaf WRCo ! R la función definida porf .0/D 0, f .1/D log2 y

f .x/Dx2w

x

1

log tdt .0¤ x ¤ 1/:

a) Prueba que lKımx!1

f .x/D log2 y justifica quef es de claseC 1.

Aplicación. Calcula la integral1w

0

t � 1

log tdt .

Sugerencia: Seag.t/D t � 1

log t. Utiliza el primer teorema de la media para integrales para

obtener que si0 < x ¤ 1 hay algún puntoc D c.x/ comprendido entrex y x2 tal que:

f .x/D g.c/

x2w

x

1

t � 1dt :

389. Justifica, usando integrales, que para todox > 0 se verifica que:

1

1C x< log.1C x/� logx <

1

x:

Dedduce que, dadop2N, p > 2, se verifica que:

lKımn!1

pnX

kDnC1

1

kD logp:



Ejercicio resuelto 180 Seaf .x/D ex senx

x. Justifica quef es integrable enŒ0; 1� y se ve-

rifica la desigualdad0 6r 1

0 f .x/dx 6 e�1.

Solución.Como0 6 senx 6 x para todox 2 Œ0; 1�, se sigue que0 6 f .x/6 ex 6 e paratodox 2�0; 1�. En consecuencia la funciónf está acotada y es continua enŒ0; 1� n f0g.Podemos ahora apoyarnos en la observación8.15para concluir quef es integrable enŒ0; 1�. Alternativamente, podemos definirf .0/ D 1 con lo que cual resulta continua entodo el intervaloŒ0; 1�. Finalmente, como la integral conserva el orden, tenemos que:

0 6 f .x/6 ex 8x 2 Œ0; 1� ÷ 0 6

1w

0

f .x/dx 6

1w

0

ex dx D e�1

©

Ejercicio resuelto 181 Seaf una función continua y positiva enŒa; b� conr b

a f .x/dx D 0.Prueba quef .x/D 0 para todox 2 Œa; b�.Solución. Seax 2 Œa; b�. Pongamos

r ba f D

r xa f C

r bx f . Comof .t/ > 0 para todo

t 2 Œa; b�, se verifica quer b

x f > 0, por lo que0 Dr b

a f >r x

a f > 0. Deducimos quer xa f D 0. Comof es continua enŒa; b�, la funciónF.x/D

r xa f es derivable enŒa; b� y

F 0.x/Df .x/ para todox 2 Œa; b�. Evidentemente,F 0 es la función nula, luegof .x/D0

para todox 2 Œa; b�.Alternativamente, la funciónF.x/ D

r xa f .t/dt es derivable conF 0.x/ D f .x/ > 0,

lo que implica queF es creciente enŒa; b�. ComoF.a/ D F.b/ D 0, deducimos queF.x/D 0 para todox2 Œa; b�, lo que implica quef es la función nula enŒa; b�. ©

Ejercicio resuelto 182 Justifica las desigualdades:

a/1

6<

2w

0

dx

10C x<

1

5I b/

1

10p

2<

1w

0

x9 dx

10C x<

1

10I c/

1

nC 1< log

nC 1

n<

1

n:

Deduce de la última desigualdad que eD lKım�1C 1

n

�n.

Solución.El resultado obtenido en el ejercicio anterior nos dice que si f es una funcióncontinua, positiva y no idénticamente nula en un intervaloŒa; b�, entonces se verifica quer b

a f .x/dx > 0. Las desigualdades propuestas son todas consecuencia de este resultado.

a) Para06x62 las funcionesf .x/D 1

10� 1

10C xy g.x/D 1

10C x� 1

12son continuas,

positivas y no idénticamente nulas enŒ0; 2�, luegor 2

0 f .x/dx > 0 yr 2

0 g.x/dx > 0.Esto prueba las desigualdades pedidas.

c) Dadon2N, para todox 2 Œn;nC 1� se tiene que1

nC 1<

1

x<

1

n. Razonando com

antes, se sigue que:

1

nC 1D

nC1w

n

1

nC 1dx <

nC1w

n

1

xdx D log

nC 1

n<

nC1w

n

1

ndx D 1

n:

Lo que prueba la desigualdad del enunciado. Multiplicando por n dicha desigualdad seobtiene:

n

nC 1< n log

nC 1

nD log

�nC 1

n

�n

< 1:

Por el principio de las sucesiones encajadas, deducimos quelog�

nC1n

�n! 1, lo que

implica, tomando exponenciales, que eD lKım�1C 1

n

�n

. ©

Ejercicio resuelto 183 Calcula los límites de las siguientes sucesiones expresándolas comosumas de Riemann.

a/ xn D1˛ C 2˛ C � � � C n˛

n˛C1; .˛ > 0/

e/ xn DnC 1

n2 C 1C nC 2

n2 C 4C � � � C nC n

n2 C n2

i/ xn D�.2n/!

n!nn

�1=n

Solución.Aplicaremos en cada caso el corolario8.9.

a) Tenemos quexnD1

n

PnkD1

�k

n

�˛

que es una suma de Riemann de la funciónf .x/D

x˛ para la partición del intervaloŒ0; 1� dada por los puntosxk D kn

(0 6 k 6 n). Pues,

claramente, se tiene quexn DnX

kD1

f .xk/.xk � xk�1/. Como˛ > 0, la funciónf es

integrable enŒ0; 1�, y deducimos que:

lKımn!1

fxng D1w

0

x˛ dx D 1

˛ C 1:

e) Podemos escribir:

xn DnX

kD1

nC k

n2 C k2D 1

n

nX

kD1

1C kn

1C�

kn

�2

que es una suma de Riemann de la funciónf .x/D 1Cx1Cx2 para la partición del intervalo

Œ0; 1� dada por los puntosxk D kn

(0 6 k 6 n). Como la funciónf es integrable enŒ0; 1�y �.Pn/D 1

n! 0, deducimos que:

lKımn!1

fxng D1w

0

1C x

1C x2dx D

1w

0

1

1C x2dx C

1w

0

x

1C x2dxD

D arc tg1C 1

2log2D �

4C log

p2:

i) Tomando logaritmos tenemos que:

log.xn/D1

n

�log..2n/!/ � log

�n!nn

��D 1

n

�log

�n!.nC 1/ � � � .2n/

�� n logn � logn!

�D

D 1

n.log.nC 1/C log.nC 2/C � � � C log.2n/ � n logn/D 1

n

nX

kD1

lognC k

nD

D 1

n

nX

kD0

log

�1C k

n

�:

Por tanto, la sucesiónynDlog.xn/ es una suma de Riemann de la función log.1Cx/ parala partición del intervaloŒ0; 1� dada por los puntosxk D k

n, kD 0; 1; : : : ;n. Aplicando el

corolario citado al principio, deducimos que:

lKımfyngD1w

0

log.1Cx/dxD�uD log.1C x/

dv D dx

�Dx log.1Cx/

ˇ10�

1w

0

x

1C xdxD2 log2�1:

Luegofxng ! 4e. ©

Ejercicio resuelto 184 Considera la funciónf W Œ0; 1�! R definida porf .x/ D 1=x �E.1=x/ para0 < x 6 1, y f .0/D 0. Prueba que:

1w

0

f .x/dx D lKımt!0

1w

t

�1

x�E

�1

x

��dx D 1 � ;

donde es la constante de Euler.

Solución.La funciónf es continua en todos los puntos deŒ0; 1� excepto en0 y en lospuntos de la forma 1

nC1donden 2 N. Claramente0 6 f .x/ 6 1. Por tanto, en cada

intervalo Œt; 0� con t > 0 la funciónf es integrable por estar acotada y tener en dichointervalo un número finito de discontinuidades. Fijado0 < t < 1, seanD n.t/2N talque 1

nC1< t 6 1

n. Tenemos que:

1w

t

f .x/dx D1nw

t

f .x/dx Cn�1X

kD1

1kw

1kC1

f .x/dx :

Para 1kC1

< x 6 1k

se tiene queE.1=x/ D k. Luego, poniendo .t/ Dr 1

n

t f .x/dx ,tenemos:

1w

t

f .x/dx D ˛.t/Cn�1X

kD1

1kw

1kC1

�1

x� k

�dxD

D ˛.t/Cn�1X

kD1

�log.k C 1/ � logk � k

�1

k� 1

k C 1

��D

D ˛.t/C logn�n�1X

kD1

1

k C 1D ˛.t/C 1�

nX

kD1

1

k� logn

!

Puesto que parat ! 0 ) n.t/!C1, y 0 6 f .x/6 1, se sigue que:

0 6 ˛.t/6

�1

n.t/� t

�÷ lKım

t!0˛.t/D 0:

Concluimos que:

lKımt!0

1w

t

f .x/dx D 1 � lKımn!1

nX

kD1

1

k� logn

!D 1 � :

©

Ejercicio resuelto 185 Calcula la derivada de las siguientes funciones.

a/ G.x/Dx3w

0

cos.t2/dt b/ G.x/D1w

x2

esent dt

c/ G.x/Dx2Cxw

px

1

2C 3p

t2dt d/ G.x/D

exw

1

sen.log t/dt

e/ G.x/Dxw

0

0@

y2w

1

1

1C sen2 tdt

1A dy f / G.x/D

r x

1senu

uduw

0

1

t2 C sen4 tdt

Solución.a) La funciónG.x/Dx3w

0

cos.t2/dt puede expresarse como la composición de

la funciónF.x/Dxw

0

cos.t2/dt con la funciónh.x/D x2. Por el teorema fundamental

del cálculo, sabemos queF 0.x/D cos.x2/. Por la regla de la cadena, tenemos que:

G 0.x/D .F ı h/ 0.x/D F 0.h.x//h 0.x/D F 0.x2/2x D 2x cos.x4/:

c) Observa que en este ejercicio debes considerar quex > 0. Pongamos:

G.x/Dx2Cxw

px

1

2C 3p

t2dt D

x2Cxw

0

1

2C 3p

t2dt �

pxw

0

1

2C 3p

t2dt :


DefinamosF.x/Dxw

0

1

2C 3p

t2dt , g.x/Dpx, h.x/D x2 C x. Tenemos que

G.x/D F.h.x//� F.g.x//D .F ı h/.x/ � .F ı g/.x/:

ComoF 0.x/D 1

2C 3p

x2, g 0.x/D 1

2p

x, h 0.x/D2xC1, deducimos, al igual que antes,

que:

G 0.x/D F 0.h.x//h 0.x/� F 0.g.x//g 0.x/D 2x C 1

2C 3p

x4 C 2x3 C x2� 1

2C 3p

x

1

2p

x:

e) DefinamosH.y/Dy2w

1

1

1C sen2 tdt . EntoncesG.x/D

xw

0

H.y/dy . Como la función

H.y/ es continua, de hecho es derivable, se sigue queG 0.x/DH.x/.

f) SeaF.x/Dxw

0

1

t2 C sen4 tdt , h.x/D

xw

1

senu

udu . Tenemos queG.x/D .F ı h/.x/.

Como las derivadas deF y de h son conocidas podemos calcular la derivada deG.Tenemos que:

G 0.x/D F 0.h.x//h 0.x/D 1

h.x/2 C sen4 h.x/

senx

x:

©

Ejercicio resuelto 186 Prueba que para todox 2 Œ0; �=2� se verifica la igualdad:

cos2xw

0

arc cosp

t dt Csen2xw

0

arc senp

t D �

4

Solución.DefinamosF.x/Dcos2xw

0

arc cosp

t dt Csen2xw

0

arc senp

t . Tenemos que:

F 0.x/D�2 senx cosx arc cos.cosx/C 2 senx cosx arc sen.senx/D 0:

Donde hemos tenido en cuenta que parax 2 Œ0; �=2� se tiene que senx > 0 y cosx > 0

por lo quep

sen2 xDsenx yp

cos2 xDcosx. Además, sabemos que arc sen.senx/Dx

parax 2 Œ��=2; �=2� y arc cos.cosx/D x parax 2 Œ0; ��. Por tanto ambas igualdadesson válidas parax 2 Œ0; �=2�. Hemos probado así que la derivada deF es nula en elintervaloŒ0; �=2�, lo que implica queF es constante en dicho intervalo.

Para terminar, bastará comprobar que algún valor deF es igual a�=4. Para ello, re-cordemos que arc senx C arc cosx D �=2 para todox 2 Œ�1; 1�. Como cos2.�=4/ Dsen2.�=4/D 1=2, obtenemos fácilmente queF.�=4/D �=4. ©

Ejercicio resuelto 187 Seag una función derivable enR y dos veces derivable en0, siendoademásg.0/D 0. Estudia la derivabilidad de la funciónf WR! R definida por:

f .0/D g 0.0/; f .x/D 1

x

xw

0

g.t/

tdt .x ¤ 0/:




¿Esf de claseC 1?

Solución.Pongamosh.x/D g.x/

xparax ¤ 0. Como

lKımx!0

h.x/D lKımx!0

g.x/� g.0/

x � 0D g 0.0/;

definiremosh.0/D g 0.0/. Con ello, la funciónh es continua enR. Deducimos quef esderivable enR n f0g y:

f 0.x/Dx g.x/

x�

r x0

g.t/t

dt

x2D

g.x/ �r x

0g.t/

tdt

x2:

La derivada def es claramente continua enR n f0g. Comprobaremos quef es continuaen0 y que su derivada tiene límite en0, en cuyo caso la proposición6.19nos dice quefes de claseC 1. Para calcular el límite def en0 podemos aplicar la regla de L’Hôpital.

lKımx!0

f .x/D lKımx!0

g.x/

xD g 0.0/ ÷ lKım

x!0f .x/D f .0/:

Lo que prueba quef es continua en0 y, por tanto,f es continua enR. Para calcular ellímite def 0.x/ en0, comog es derivable, podemos aplicar la regla de L’Hôpital.

lKımx!0

f 0.x/D lKımx!0

g 0.x/� g.x/x

2xD� lKım

x!0

g.x/� xg 0.x/

2x2:

Este último límite no puede calcularse por la regla de L’Hôpital porque no sabemos sig 0

es derivable. Pensando un poquito, nos damos cuenta de que podemos calcularlo comosigue. La idea es conseguir utilizar la hipótesis de queg es dos veces derivable en0.

g.x/� xg 0.x/

2x2Dg.x/� xg 0.0/C xg 0.0/ � xg 0.x/

2x2Dg.x/ � xg 0.0/

2x2�g 0.x/� g 0.0/

2x:

Para calcular el límite de la primera fracción en0 podemos aplicar L’Hôpital (o el teore-ma de Taylor – Young) y tenemos:

lKımx!0

g.x/ � xg 0.0/

2x2D lKım

x!0

g 0.x/� g 0.0/

4xD 1

4g 00.0/:

Y lKımx!0

g 0.x/� g 0.0/

2xD 1

2g 00.0/. Concluimos que lKım

x!0f 0.x/D 1

4g 00.0/. Por la propo-

sición6.19, concluimos quef es derivable en0 conf 0.0/D 1

4g 00.0/ y, por tanto,f 0 es

continua en0, luegof es una función de claseC 1 enR. ©

Ejercicio resuelto 188 SeaF W Œ0;C1Œ! R definida porF.x/Dr 2x

x e�t2

dt . Estudia losextremos relativos y absolutos deF , intervalos de concavidad y convexidad, puntos deinflexión y calcula el límite deF enC1.

Solución.Observa que todo lo que se pide en este ejercicio depende del conocimientode la función derivada deF que podemos calcular fácilmente.




PoniendoF.x/Dr 2x

0 e�t2

dt �r x

0 e�t2

dt , deducimos que:

F 0.x/D 2 e�4x2 � e�x2 De�x2 �2 e�3x2 �1

�.x > 0/

El signo deF 0 es el mismo de2 e�3x2 �1. Tenemos que:

2 e�3x2 �1 > 0” e�3x2

>1

2” 3x2 6 log2 ”jxj6

rlog2

3

Como consideramos quex >0, obtenemos queF 0.x/> parax 2 Œ0;q

log23� y F 0.x/60

parax >q

log23

. Por tantoF es creciente enŒ0;q

log23� y es decreciente enŒ

qlog2

3;C1Œ.

Deducimos que enx0 Dq

log23

la función F alcanza un valor máximo absoluto enŒ0;C1Œ. No hay otros extremos relativos, además dex0, porque la derivada solamen-te se anula enx0.

Por su definición, se tiene queF.x/ > 0 para todox > 0, puesF es la integral de lafunción continua positiva e�t2

en el intervaloŒx; 2x�. ComoF.0/ D 0, resulta queFalcanza en0 un valor mínimo absoluto.

Calculemos la segunda derivada.

F 00.x/D�16x e�4x2 C2x e�x2 D2x e�x2 �1 � 8 e�3x2 �

.x > 0/

Se obtiene fácilmente queF 00.x/60 parax 2 Œ0;p

log2� y F 00.x/>0 parax >p

log2.Por tanto,F es cóncava enŒ0;

plog2� y convexa enŒ

plog2;C1Œ. Deducimos queF

tiene un único punto de inflexión enx1 Dp

log2.

Finalmente, como:

0 6 F.x/D2xw

x

e�t2

dt 6

2xw

x

e�x2

dt D x e�x2

;

y lKımx!C1

x e�x2 D0, obtenemos que lKımx!C1

F.x/D 0. ©

Ejercicio resuelto 189 Calcula los siguientes límites.

a/ lKımx!0x>0

x2w

0

sen.p

t/dt

x3b/ lKım

x!0

x

xw

0

et2

dt

xw

0

et2

sent dt

c/ lKımx!0x>0

x2w

0

�e�t2 � e�1

�dt

xp

x

d/ lKımx!0

x2C1w

1

e�t

tdt

x2e/ lKım

x!C1

xw

0

et2

dt

!2

xw

0

e2t2

dt

f / lKımx!0

xw

0

.sent C cost � 1/dt

x2



Solución.Todos ellos se calculan aplicando las reglas de L’Hôpital.

a) lKımx!0x>0

x2w

0

sen.p

t/dt

x3D lKım

x!0x>0

2x sen.p

x2/

3x2D lKım

x!0x>0

2

3

sen.jxj/x

D lKımx!0x>0

2

3

senx

xD 2

3:

Observa que lKımx!0x<0

x2w

0

sen.p

t/dt

x3D �2

3, por tanto, no existe el límite en0 de dicha fun-

ción.

e) Se trata de una indeterminación del tipo11 .

lKımx!C1

�r x0 et2

dt�2

r x0 e2t2 dt

D lKımx!C1

2 ex2 r x0 et2

dt

e2x2D lKım

x!C1

2r x

0 et2

dt

ex2D

D lKımx!C1

2 ex2

2x ex2D lKım

x!C11

xD 0

©

Ejercicio resuelto 190 Estudia la convergencia de las siguientes integrales impropias y cal-cúlalas cuando sean convergentes.

a/

C1w

1

dx

xp

4x2 C x C 1b/

C1w

0

x e�x2

dx c/

C1w

0

1px.1C x/

dx

d/

C1w

0

1C x4

.x2 C 1/3dx e/

1w

0

logx

xdx f /

C1w

�1

1

1C x2dx

Sugerencias. Ena) hacerx D 1=t y end) x D tg t .

Solución.En todos los casos, salvoa/ y d/, podemos calcular una primitiva inmediataque se puede usar para calcular la integral y, de paso, comprobar su convergencia. Antesde hacera/ y d/ estudia las técnicas de cálculo de primitivas.

c)C1w

0

1px.1C x/

dx D lKımu!C1

uw

0

1px.1C x/

dx D 2 lKımu!C1

arc tgp

uD � .

d) La función que se integra se hace infinita en los extremos del intervalo�1 y 1.

1w

�1

1p1 � x2

dx D lKımt!�1

0w

t

1p1 � x2

dx C lKımt!1

tw

0

1p1 � x2

dxD

D� lKımt!�1

arc sent C lKımt!1

arc sent D �:

e)1w

0

logx

xdx D lKım

t!0

1w

t

logx

xdx D� lKım

t!0

1

2.log t/2 D�1. ©

Ejercicio resuelto 191 Estudia la convergencia de las siguientes integrales impropias.

a/

1w

0

1� cosx

x2p

xdx ; b/

1w

0

x

x � senxdx c/

C1w

0

x C 5

x3 C xdx

Sugerencia. Usa los criterios de comparación.

Solución.Para hacer este ejercicio y los siguientes debes tener presentes los resultados8.10y 8.11.

a) Pongamosf .x/D 1� cosx

x2p

x. Se trata de estudiar la convergencia de la integral def

en �0; 1�. La funciónf .x/ es positiva y asintóticamente equivalente a1

2p

xparax ! 0.

Comor 1

01px

dx es convergente, por ser de la formar 1

01

x˛ dx con˛ D 12< 1, deduci-

mos, por el criterio límite de comparación, que la integralr 1

0 f .x/dx es convergente.

c) Pongamosf .x/D x C 5

x3 C x. Es una función positiva parax > 0. Se trata de estudiar la

convergencia de la integral def en �0;C1Œ. Para ello estudiaremos la convergencia delas integrales def en �0; 1� y en Œ1;C1Œ. Tenemos las equivalencias asintóticas:

f .x/D x C 5

1C x2

1

x� 5

x.x ! 0/; f .x/D x C 5

x C 1x

1

x2� 1

x2.x !C1/

Como la integralr C1

11

x2 dx es convergente, se sigue que la integral def enŒ1;C1Œ esconvergente.

Como la integralr 1

01x

dx es positivamente divergente, se sigue que la integral def en�0; 1� es positivamente divergente. Por tanto la integral def en�0;C1Œ es positivamentedivergente. ©

Ejercicio resuelto 192 Estudia la convergencia de la integral

I DC1w

0

x˛ x C senx

x � senxdx

Según los valores de2R.

Solución.Pongamosf .x/Dx˛ x C senx

x � senx. Comojsenxj < x para todox > 0, se sigue

quef .x/ > 0 para todox > 0. Se trata de estudiar la convergencia de la integral def

en �0;C1Œ. Para ello estudiaremos la convergencia de las integrales de f en �0; 1� y enŒ1;C1Œ. Tenemos las equivalencias asintóticas:

x C senx � 2x y x � senx � 1

3x3 .x ! 0/÷ f .x/ � 6x˛�2 .x ! 0/

Como la integralr 1

0 x˛�2 dx es convergente si, y sólo si,˛� 2 > �1, deducimos que laintegral def en �0; 1� es convergente si, y sólo si,˛ > 1.

Tenemos también la equivalencia asintóticaf .x/ � x˛ parax !C1. Como la integralr C11 x˛ dx es convergente si, y sólo si,˛ < �1, deducimos que la integral def enŒ1;C1Œ es convergente si, y sólo si,˛ < �1. Por tanto, la integral def en �0;C1Œ noconverge para ningún valor de. ©

Ejercicio resuelto 193 Prueba que la integralr C1

1senxxp dx es absolutamente convergente

parap > 1, es convergente pero no absolutamente convergente para0 1 la integralr C1

11

xp dx

es convergente, se sigue, por el criterio de comparación, que la integralr C1

1senxxp dx es

absolutamente convergente parap > 1.

Supongamos que0 u > 1, dicho teorema afirmaque hay algúnc 2 Œu; v� tal que:

vw

u

senx

xpdx D 1

up

cw

u

senx dx C 1

vp

vw

c

senx dx :

Teniendo en cuenta queˇˇr b

a senx dxˇˇDjcosa � cosbj6 jcosajCjcosbj62, deducimos

que: ˇˇˇ

vw

u

senx

xpdx

ˇˇˇ6

2

upC 2

vp:

De esta desigualdad se deduce que la funciónF.x/Dr x

1senttp dt satisface la condición

de Cauchy enC1. Pues, dado" > 0, basta tomaru" > 1 tal que2

up"

<"

2(lo que puede

hacerse por serp > 0) para obtener que para todosv > u > u" es:

jF.u/ � F.v/j Dˇˇˇ

vw

u

senx

xpdx

ˇˇˇ6

2

upC 2

vp< ":

Concluimos, por la proposición8.32, que la funciónF.x/ tiene límite finito enC1, estoes, la integral

r C11

senxxp dx es convergente.

Para probar que la integral no es absolutamente convergentepara0 1=

p2 parax 2 Œ�=4; 3�=4� y, por la periodi-

cidad del seno, también será senx > 1=p

2 parax 2 Œ2k� C �=4; 2k� C 3�=4�, dondek D 0; 1; 2; : : : . Tenemos que para todox 2 Œ2k� C �=4; 2k� C 3�=4� es:

jsenxjxp

>1p2

1

.2k� C 3�=4/p>

1p2

1

.2k C 1/p�p>

1

2�pp

2

1

.k C 1/p:

Deducimos que:2k�C3�=4w

2k�C�=4

jsenxjxp

dx >�

4�pp

2

1

.k C 1/p:

Tenemos que para todon2N:

2n�C3�=4w

1

jsenxjxp

dx >nX

kD1

2k�C3�=4w

2k�C�=4

jsenxjxp

dx >�

4�pp

2

nX

kD1

1

.k C 1/p:

Como0 

nX

kD1

1

k C 1DHnC1 � 1

dondefHngD f1C 1=2C � � � C 1=ng es la serie armónica. Sabemos quefHng ! C1,por lo que de las dos desigualdades anteriores se sigue que:

lKımn!1

2n�C3�=4w

1

jsenxjxp

dx DC1 ÷ lKımt!C1

tw

1

jsenxjxp

dx DC1:

Luego la integral no converge absolutamente para0 < p 6 1.

Finalmente, sip 6 0 se comprueba que la funciónF.x/ no verifica la condición deCauchy enC1, por lo que no existe el límite deF.x/ enC1, es decir, la integralr C1

1senxxp dx no es convergente. ©

Ejercicio resuelto 194 Estudia para qué valores dey ˇ son convergentes las integralessiguientes.

a/

C1w

1

x˛ eˇx dx b/

C1w

0

1

x˛.1C xˇ/dx c/

1w

0

x˛.1 � x/ˇ dx

Sugerencia. Utiliza el criterio límite de comparación.

Solución.Son integrales de funciones positivas y podemos usar los criterios de compa-ración.

a) Sabemos que para todos < 0 es lKımx!C1

x˛ esxD0 cualquiera sea 2R. Pongamos

f .x/D x˛ eˇx. Siˇ < 0, seas D ˇ=2. Tenemos que:

lKımx!C1

f .x/

esxD lKım

x!C1x˛ esx D0:

Por tanto, hay algúnu0 > 1 tal que para todox > u0 se verifica quef .x/

esx6 1, esto es,

f .x/ 6 esx . Comos < 0 la integralr C11 esx dx es convergente y, por el criterio de

comparación, deducimos que la integralr C1

1 x˛ eˇx dx también es convergente.

Si ˇ > 0 un razonamiento parecido al anterior, prueba que la integral es positivamentedivergente para todo2R. Finalmente, si D 0 sabemos que la integral converge si, ysólo si,˛ < �1. ©

Ejercicio resuelto 195 Justifica que hay una funciónf WR! R derivable cuya derivada esf 0.x/D sen.1=x/ para todox ¤ 0, y f 0.0/D 0.

Solución.Como la funciónh.x/ D sen.1=x/, h.0/ D 0 es continua y acotada enR� ytiene una única discontinuidad en0, el Teorema Fundamental del Cálculo implica que lafunción f WR! R definida para todox2R por:

f .x/Dxw

0

sen.1=t/dt


es continua enR y derivable en todo puntox¤0 con derivadaf 0.x/Dsen.1=x/. Quedaprobar quef es derivable en0 conf 0.0/D 0. La derivada def en0 viene dada por ellímite:

lKımx!0

r x0 sen.1=t/dt

x:

Dicho límite es una indeterminación del tipo00

(siempre es así cuando calculamos laderivada de una función continua). No puede aplicarse L’Hôpital para calcular dicholímite porque el cociente de las derivadas es justamente sen.1=x/ que no tiene límite en0. Como queremos probar que dicho límite es0 el camino obligado es tratar de acotar laintegral. Para ello, vamos a hacer primero un cambio de variable. Suponemos en lo quesigue quex > 0.

xw

0

sen.1=t/dt D�

t D 1=s; dt D� dss2

t D x; s D 1=x; t D 0; s DC1

�D

C1w

1x

sens

s2dsD lKım

u!C1

uw

1x

sens

s2ds

Seau > 1=x. Podemos aplicar el segundo teorema de la media para obtenerque hayalgún puntoc 2 Œ1=x;u� tal que:

uw

1x

sens

s2ds D x2

cw

1x

sens ds C 1

u2

uw

c

sens ds :

Teniendo ahora en cuenta queˇˇr b

a sens dsˇˇ D jcosb � cosaj 6 2, deducimos que para

todou > 1=x se verifica que:ˇˇˇˇ

uw

1x

sens

s2ds

ˇˇˇˇ6 2x2 C 2

u2÷

ˇˇˇˇ

C1w

1x

sens

s2ds

ˇˇˇˇD lKım

u!C1

ˇˇˇˇ

uw

1x

sens

s2ds

ˇˇˇˇ6 2x2 ÷

ˇˇˇ

r x0 sen.1=t/dt

x

ˇˇˇ6 2x ÷ lKım

x!0x > 0

r x0 sen.1=t/dt

xD 0:

Hemos probado así quef es derivable por la derecha en0 con derivada por la derechaen0 igual a0. El mismo razonamiento prueba quef es derivable por la izquierda en0con derivada por la izquierda en0 igual a0 (alternativamente, puedes usar quef es unafunción par). Por tanto,f es derivable en0 y f 0.0/D 0. ©

Ejercicio resuelto 196 Seaf WRCo ! R la función definida porf .0/D 0, f .1/D log2 y

f .x/Dx2w

x

1

log tdt .0¤ x ¤ 1/:

a) Prueba que lKımx!1

f .x/D log2 y justifica quef es de claseC 1.

Aplicación. Calcula la integral1w

0

t � 1

log tdt .



Sugerencia: Seag.t/D t � 1

log t. Utiliza el primer teorema de la media para integrales para

obtener que si0 < x ¤ 1 hay algún puntoc D c.x/ comprendido entrex y x2 tal que:

f .x/D g.c/

x2w

x

1

t � 1dt :

Solución.Definamosg.1/D 1. Con ello, la funcióng es continua enRCo . Puesto que:

f .x/Dx2w

x

g.t/dt

t � 1;

el primer teorema de la media implica que hay algún puntoc D c.x/ comprendido entrex y x2 tal que:

f .x/Dg.c/

x2w

x

dt

t � 1Dg.c/.logjx2� 1j�logjx � 1j/Dg.c/ log

ˇˇˇx2� 1

x � 1

ˇˇˇDg.c/ log.xC1/:

Puesto que, claramente se verifica quex ! 1 ) cD c.x/! 1 ) g.c/! g.1/D 1,de la igualdad anterior deducimos que lKım

x!1f .x/ D log2. Por otra parte es claro que

lKımx!0

f .x/D 0D f .0/ (observa que podemos definir la funciónt 7! 1log t

igual a0 para

t D 0, con lo que es continua en0). Resulta así quef es continua enRCo . Tenemos

también que para0¤ x ¤ 1 es:

f .x/D�xw

0

1

log tdt C

x2w

0

1

log tdt÷f 0.x/D� 1

logxC 2x

log.x2/D x � 1

logxD g.x/:

Como lKımx!0 f0.x/D0 y lKımx!1 f

0.x/Dg.1/D1, deducimos por la proposición6.19quef es derivable en todoRC

o , conf 0.0/ D 0, f 0.1/ D 1 y f 0 es continua enRCo , es

decir,f es de claseC 1.

Finalmente, comof ha resultado ser una primitiva deg enRCo , tenemos que:

1w

0

t � 1

log tdt D

1w

0

g.t/dt D f .1/ � f .0/D log2:

©

Técnicas de cálculo de Primitivas 427

8.6. Técnicas de cálculo de Primitivas

8.6.1. Calcular una primitiva...¿Para qué?

Para calcularr ba f .x/dx dondef es una función continua, hay que calcular una primitiva

def , evaluarla ena y enb y hacer la diferencia. Pero, ¿para qué calcular una primitiva? ¿nosabemos ya que una primitiva def es la funciónF.x/D

r xa f .t/dt ? Y, naturalmente, cualquier

otra será de la formaF.x/CC dondeC es una constante. ¿Qué interés tiene entonces el cálculode primitivas de funciones continuas? Respuesta: desde un punto de vista teórico ninguno.Ahora, si lo que queremos es aplicar la regla de Barrow para calcular el número

r ba f .x/dx ,

entonces la primitivaF.x/ Dr x

a f .t/dt no nos sirve para nada porque si la evaluamos ena y enb y hacemos la diferencia obtenemos una identidad perfectamente inútil para nuestrospropósitos. Lo que necesitamos es conocer una primitiva def que sea realmente evaluable, esdecir que al evaluarla ena y enb proporcione valores numéricos.

En otros términos,el problema del cálculo de primitivas consiste en tratar de expresar la“primitiva trivial” F.x/D

r xa f .t/dt por medio de funciones elementales4 que permitan una

evaluación efectiva de la integral. Para eso sirven las técnicas de cálculo de primitivas.

Pero no hay que olvidar que, si bien la derivada de una funciónelemental también es unafunción elemental, es frecuente que una función elemental no tenga primitivas que puedan ex-presarse por medio de funciones elementales. Esto ocurre, por ejemplo, con las funciones e�x2

,senx

x, sen.x2/,

px3 C 1, y muchas más. En tales casos la forma más sencilla de representar

una primitiva def es justamente mediante la funciónF.x/Dr xa f .t/dt y, para obtener valores

concretos de dicha función hay que recurrir a métodos numéricos de cálculo de integrales.

En lo que sigue vamos a considerar algunos tipos de funcioneselementales cuyas primi-tivas también pueden expresarse por medio de funciones elementales y pueden calcularse conprocedimientos más o menos sistemáticos.

Para leer lo que sigue necesitas tener papel y un bolígrafo a mano para ir haciendo losejercicios que se proponen. A calcular primitivas se aprende practicando; la imprescindibleagilidad en los cálculos la lograrás haciendo decenas de ejercicios. Fíjate que, en la mayoría delos casos, se trata de ejercicios en los que tan sólo tienes que aplicar una técnica general a uncaso particular. Esto es tan“fácil” que lo saben hacer los programas de cálculo simbólico, comoMathematica, Derive, Mappley otros. Cuando se logre fabricar una calculadora de bolsillo quepueda ejecutar estos programas quizás ya no sea imprescindible aprender a calcular primitivas,pero hasta que llegue ese momento sigue siendo necesario queaprendas a calcular primitivascon agilidad. Sería lamentable que, por no saber calcular una primitiva, no puedas resolver unasencilla ecuación diferencial, ni calcular una probabilidad, ni el área de una superficie,: : : Lasaplicaciones del cálculo integral son tan variadas, que el tiempo que dediques a la práctica delcálculo de primitivas será más rentable de lo que ahora puedas imaginar.

Con cada técnica de cálculo de primitivas, se incluyen ejemplos y se proponen ejerciciossencillos para que compruebes si sabes aplicarla. Encontrarás al final una sección de ejerciciosresueltos de cálculo de primitivas en la que se dan soluciones detalladas de algunos de los

4Las funciones que se obtienen por medio de sumas, productos,cocientes y composiciones a partir de las fun-ciones racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus inversas, se llaman funciones elementales.



Observaciones sobre la notación y terminología usuales 428

ejercicios propuestos y de otros nuevos.

8.6.2. Observaciones sobre la notación y terminología usuales

Para representar una primitiva de una funciónf , suele usarse la notaciónrf .x/dx . Así,

por ejemplo, se escriber

1x�a

dx D log jx � aj. Esta notación es algo imprecisa porque noespecifica el intervalo en que se considera definidaf . En el ejemplo anterior hay que interpretarque la función 1

x�aestá definida en uno de los intervalos��1; aŒ o �a;C1Œ y elegir la primitiva

correspondiente. Estos pequeños inconvenientes están compensados por la comodidad en loscálculos que proporciona esta notación. Es frecuente también, aunque no lo haremos en lo quesigue (pero mira el ejercicio (392)), añadir una constante arbitraria,C , y escribir

r1

x�adx D

log jx � aj C C .

La integral de una función en un intervalo,r b

a f .x/dx , se llama a veces“integral de-finida” de f (y es un número), y al símbolo

rf .x/dx se le llama“integral indefinida” o,

simplemente,“integral” def (y representa una primitiva cualquiera def ). Aunque esto pue-de ser confuso, no olvides que,cuando hablamos de calcular la integral

rf .x/dx lo que

realmente queremos decir es que queremos calcular una primitiva def .

Como ya sabes, en los símbolosrf .x/dx o

r ba f .x/dx la letra “x” puede sustituirse por

cualquier otra y el símbolo “ dx ” (que se lee“diferencial x” ) sirve para indicar la variablede integración. Esto es muy útil si la funciónf contiene parámetros. Por ejemplo, son muydiferentes las integrales

rxy dx y

rxydy.

Te recuerdo también que, siy D y.x/ es una función dex, suele usarse la notacióndy D y0 dx que es útil para mecanizar algunos cálculos pero que no tieneningún significadoespecial: es una forma de indicar quey0 es la derivada dey respecto ax.

Finalmente, si' es una función, usamos la notación'.x/ˇxDd

xDco simplemente,'.x/

ˇdc

para

indicar el número'.d/ � '.c/, y la notación'.x/ˇx!b

x!apara indicar lKım

x!b'.x/ � lKım

x!a'.x/.

Esta notación es cómoda para las integrales impropias.

8.6.3. Primitivas inmediatas

Para calcular primitivas debes ser capaz de reconocer inmediatamente las siguientes pri-mitivas inmediatas. Como ya se ha indicado antes, se omite, por brevedad, la constante deintegración. Te recuerdo que:

tgx D senx

cosx; cotgx D cosx

senx; secx D 1

cosx; cosecx D 1

senx

senhx D exCe�x

2; coshx D exCe�x

2; tghx D senhx

coshx

argsenhxDlog�x C

px2 C 1

�; argcoshxDlog

�x C

px2 � 1

�; argtghxD1

2log

�1C x

1 � x

�

En la siguiente lista de primitivas inmediatas se supone quea > 0 y que las raíces cuadradastoman valores reales, es decir, las funciones radicando sonpositivas.



Primitivas inmediatas 429

Tabla de primitivas inmediatas

wf .x/˛f 0.x/dx D f .x/˛C1

˛ C 1.˛ 2 R; ˛ ¤�1/

w f 0.x/

f .x/dx D

�log.f .x//; si f .x/ > 0;log.�f .x//; si f .x/ < 0.

�D log.jf .x/j/

wef .x/ f 0.x/dx D ef .x/

wsen.f .x//f 0.x/dx D� cos.f .x//

wcos.f .x//f 0.x/dx D sen.f .x//

wsec.f .x//f 0.x/dx D log

ˇsec.f .x//C tg.f .x//

ˇw

cosec.f .x//f 0.x/dx D logˇcosec.f .x//� cotg.f .x//

ˇw

sec2.f .x//f 0.x/dx D tg.f .x//w

cosec2.f .x//f 0.x/dx D� cotg.f .x//w

tg2.f .x//f 0.x/dx D tg.f .x//� f .x/w

cotg2.f .x//f 0.x/dx D� cotg.f .x// � f .x/w f 0.x/

f .x/2 C a2dx D 1

aarc tg

f .x/

aw f 0.x/p

a2 � f .x/2dx D arc sen

f .x/

a

w f 0.x/pf .x/2 C a2

dx D log�f .x/C

qf .x/2 C a2

�

w f 0.x/pf .x/2 � a2

dx D log�f .x/C

qf .x/2 � a2

�

w f 0.x/

f .x/pf .x/2 � a2

dx D 1

aarc tg

�1

a

qf .x/2 � a2

�

w f 0.x/

f .x/p

a2 � f .x/2dx D�1

alog

aC

pa2 � f .x/2f .x/

!

w f 0.x/

f .x/pf .x/2 C a2

dx D�1

alog

aC

pa2 C f .x/2f .x/

!

w pa2 � x2 dx D 1

2xp

a2 � x2 C a2

2arc sen

x

aw p

x2 C a2 dx D 1

2xp

x2 C a2 C a2

2log

�x C

px2 C a2

�D 1

2xp

x2Ca2C a2

2argsenh

x

aw p

x2 � a2 dx D 1

2xp

x2 � a2 � a2

2log

�x C

px2 � a2

�

Integración por partes 430

8.6.4. Integración por partes

Si u y v son funciones con derivada primera continua en un intervalo, por la regla dederivación para un producto sabemos que:.u.x/v.x//0D u0.x/v.x/C u.x/v0.x/. Deducimosque la función productouv es una primitiva de la funciónu 0v C v 0u, es decir:w.u0.x/v.x/Cu.x/v0.x//dx Du.x/v.x/÷

wu.x/v0.x/dx Du.x/v.x/�

wv.x/u0.x/dx :

Lo que suele escribirse en la forma:w

u dv D uv �wv du : (8.18)

Por supuesto, esta igualdad podemos usarla para calcular integrales definidas:

bw

a

u.x/v 0.x/dx D u.x/v.x/ˇxDb

xDa�

bw

a

v.x/u 0.x/dx : (8.19)

Finalmente, siu y v están definidas en un intervalo abierto de extremos�1 6 a < b 6C1y existen los límiteslKım

x!au.x/v.x/ y lKım

x!bu.x/v.x/, entonces la igualdad (8.19) nos dice que

las integralesr b

a v.x/u0.x/dx y

r ba u.x/v 0.x/dx ambas convergen o ninguna converge y,

cuando son convergentes se verifica que:

bw

a

u.x/v 0.x/dx D u.x/v.x/ˇx!b

x!a�

bw

a

v.x/u 0.x/dx (8.20)

Naturalmente, si queremos usar este método para calcular una integralrf .x/dx lo primero

que hay que hacer es expresarf .x/D u.x/w.x/ de forma que el cálculo dev.x/ por la condi-ción,v 0.x/Dw.x/, es decir la integralv.x/D

rw.x/dx , sea inmediata. Tenemos entonces

wf .x/dx D

wu.x/w.x/dx D

wu.x/v 0.x/dx D u.x/v.x/�

wv.x/u 0.x/dx (8.21)

Veamos algunas situaciones en las que este método puede aplicarse con éxito.

� Cuando la integralrv.x/u 0.x/dx es inmediata. Por ejemplo, para calcular una integralr

f .x/dx en la que la derivada def .x/ es más sencilla que la propia función, como es elcaso de logx, arc senx, arc tgx. Entonces conviene tomaru.x/D f .x/ y v 0.x/D w.x/D 1

en (8.21), con ello resulta que:wf .x/dx D xf .x/�

wxf 0.x/dx :

8.37 Ejemplo.

warc tgx dx D

24 uD arc tgx ! du D 1

1C x2dx

dv D dx ! v D x

35D x arc tgx �

w x

1C x2dxD

x arc tgx C 1

2log.1C x2/

�


� Cuando la integralrv.x/u 0.x/dx es del mismo tipo que la integral de partida, pero

más sencilla, de manera que reiterando el proceso se llega a una integral inmediata. Este es elcaso cuandof .x/ es de la formaP .x/eax, P .x/ sen.ax/, P .x/ cos.ax/, dondeP .x/ es unafunción polinómica. En todos los casos se eligeu.x/DP .x/, y v 0.x/Deax, v 0.x/D sen.ax/,v 0.x/D cos.ax/.

8.38 Ejemplo.

wP .x/eax dx D

24

uD P .x/! du D P 0.x/dx

dv D eax dx ! v D eax

a

35D P .x/

eax

a� 1

a

wP 0.x/eax dx

La última integral esdel mismo tipo que la primera pero con el grado del polinomio rebajadoen una unidad. El proceso se repite tantas veces como sea necesario. �

� Cuando la integralrv.x/u 0.x/dx es parecida a la de partida, de forma que al volver a

aplicar el proceso la integral de partida se repite y es posible despejarla de la igualdad obtenida.

8.39 Ejemplo.

wcos.logx/dx D

24 uD cos.logx/! du D� 1

xsen.logx/dx

dv D dx ! v D x

35D

D x cos.logx/Cw

sen.logx/dx D

24 uD sen.logx/! du D 1

xcos.logx/dx

dv D dx ! v D x

35D

D x cos.logx/C x sen.logx/ �w

cos.logx/dx

deducimos quew

cos.logx/dx D x

2

�cos.logx/C sen.logx/

�. �

8.6.4.1. Integración por recurrencia

La técnica de integración por partes permite en algunas ocasiones relacionar una integralde la formaIn D

rf .x;n/dx en la que interviene un parámetron (con frecuencia un número

natural) con otra del mismo tipo en la que el parámetro ha disminuido en una o en dos unidades.Las expresiones así obtenidas se llaman fórmulas de reducción o de recurrencia y permiten elcálculo efectivo de la integral cuando se particularizan valores del parámetro. Los siguientesejemplos son ilustrativos de esta forma de proceder.

8.40 Ejemplo.

w.logx/n dx D

24 uD .logx/n ! du D n

.logx/n�1

xdx

dv D dx ! v D x

35Dx.logx/n�n

w.logx/n�1 dx

�



8.41 Ejemplo.

In Dw

xn eax dx D

24

uD xn ! du D nxn�1

dv D eax dx ! v D eax

adx

35D 1

a.xn eax �nIn�1/

�

8.42 Ejemplo(Fórmulas de Wallis y de Stirling).

Jn Dw

senn x dx D"

uD senn�1 x ! du D .n� 1/ senn�2 x cosx dx

dv D senx dx ! v D� cosx

#D

D� cosx senn�1 x C .n � 1/w

senn�2 x cos2x dxD

D� cosx senn�1 x C .n � 1/w

senn�2 x dx � .n � 1/Jn

Y deducimos fácilmente quew

senn x dx D �1

ncosx senn�1 x C n � 1

n

wsenn�2 x dx . En

particular:

In D�=2w

0

senn x dx D n � 1

n

�=2w

0

senn�2 x dx D n � 1

nIn�2:

ComoI0 D �=2 eI1 D 1, se deducen fácilmente las igualdades:

I2nC1 D2 � 4 � 6 � � � .2n/

3 � 5 � 7 � � � .2nC 1/; I2n D

�

2

1 � 3 � 5 � � � .2n � 1/

2 � 4 � 6 � � � .2n/nD 1; 2; : : : (8.22)

Como la sucesiónfIng es decreciente, tenemos queI2nC1< I2n< I2n�1, de donde:

1 <I2n

I2nC1

<I2n�1

I2nC1

D 2nC 1

2n

Por el principio del as sucesiones encajadas, deducimos quelKımn!1

I2n

I2nC1

D 1. Puesto que:

1 � I2n

I2nC1

D �

2

1 � 3 � 5 � � � .2n� 1/

2 � 4 � 6 � � � .2n/

3 � 5 � 7 � � � .2n� 1/.2nC 1/

2 � 4 � 6 � � � .2n/D

D � 2nC 1

2

�3 � 5 � 7 � � � .2n� 1/

2 � 4 � 6 � � � .2n/

�2

� �n

�3 � 5 � 7 � � � .2n� 1/

2 � 4 � 6 � � � .2n/

�2

Deducimos la llamada fórmula de Wallis:

� D lKımn!1

1

n

�2 � 4 � 6 � � � .2n/

3 � 5 � 7 � � � .2n� 1/

�2

: (8.23)

Teniendo en cuenta que:

.n!/222n

pn.2n/!

D�2 � 4 � 6 � � � .2n/

�2p

n�2 � 4 � � � .2n/

��3 � 5 � � � .2n � 1/

� D 1pn

2 � 4 � 6 � � � .2n/

3 � 5 � � � .2n � 1/;


deducimos que:p� D lKım

n!1.n!/222n

pn.2n/!

: (8.24)

Definamos:

an Dn! en

nnp

n:

Es de comprobación inmediata que:

.n!/222n

pn.2n/!

D a2np

2a2n

Supongamos que la sucesiónfang converge a un númeroL > 0 (lo que probaremos después).Entonces también seráfa2ng ! L y de la igualdad anterior y la (8.24) se deduce que:

p� D lKım

n!1D a2

np2a2n

D L2

p2LD Lp

2:

Por tantoLDp

2� . Obtenemos así la fórmula de Stirling:

lKımn!1

n! en

nnp

nDp

2�:

Que suele escribirse en la forma:

lKımn!1

n!p2�n nn e�n

D 1: (8.25)

Se trata de un límite muy útil porque proporciona la equivalencia asintótica para el factorial:

n! �p

2�n nn e�nDp

2�n�n

e

�n(8.26)

Nos que probar que la sucesiónfang converge a un número positivo. Probaremos que es decre-ciente.

an

anC1

D n! en

nnp

n

.nC 1/nC1p

nC 1

.nC 1/! enC1D 1

e

�1C 1

n

�nC 12

Tomando logaritmos:

logan

anC1

D�

nC 1

2

�log

�1C 1

n

�� 1:

Usaremos ahora el teorema de Taylor Young. El polinomio de Taylor de orden3 de la funciónlog.1C x/ en0 esx � x2=2C x3=3. Por tanto.

log.1C x/D x � x2

2C x3

3C o.x3/: (8.27)

Te recuerdo que usamos la notación de Landauo.x3/ simplemente para indicar que:

lKım o.x3/

x3D lKım

x!0

log.1C x/� x C x2

2� x3

3

x3D 0:



En particular, sifxng ! 0 se verificará que:

lKımn!1

o.xn/

x3n

D 0: (8.28)

Usando la igualdad (8.27), deducimos que:

logan

anC1

D�

nC 1

2

��1

n� 1

2n2C 1

3n3C o.n�3/

�� 1D

D 1

12n2C 1

6n3C no.n�3/C 1

2o.n�3/D 1

12n2C o.n�2/:

Teniendo en cuenta (8.28), deducimos que:

lKımn!1

n2 logan

anC1

D 1

12C lKım

n!1o.n�2/

n�2D 1

12:

Por tanto, existe unn02N tal que para todok > n0 se verifica que:

0 < k2 logak

akC1

<2

12D 1

6÷ 0 < log

ak

akC1

<1

6k2:

Sumando estas desigualdades desdek D n0 hastak D n � 1 > n0 obtenemos que:

log.an0/ � log.an/D

n�1X

kDn0

logak

akC1

<1

6

n�1X

kDn0

1

k26

1

6

n�1X

kD1

1

k2:

La sucesiónnX

kD1

1

k2está mayorada porque:

1 � 1

nD

nw

1

1

x2dx D

n�1X

kD1

kC1w

k

1

x2dx >

n�1X

kD1

1

.k C 1/2:

De donde se sigue quenX

kD1

1

k26 2. En consecuencia:

log.an/ > log.an0/ � 1

3÷ an >

an0

3p

e:

El númeroan03p

ees una constante positiva independiente den, y esta desigualdad es válida para

todon > n0. Por otra parte, teniendo en cuenta que parak > n0 se tiene que:

0 < logak

akC1

D log.ak/ � log.akC1/

lo que nos dice que la sucesiónflog.anCn0/g es decreciente y, por tanto, también es decreciente

la sucesiónfanCn0g, concluimos que esta sucesión, y por tanto tambiénfang, converge a un

número positivo. �



390. Calcula las integrales:

2w

1

logx dx ;w

s2 e2s ds ;w

arc senx dx ;

4w

1

pt log t dt ;

ew

1

.logx/2 dx

wx3ex2

dx ;w

log.x2 C 1/dx ;

�=4w

0

#

cos2 #d#;

wx2 senx dx ;

ew

1

cos2.logx/dx

En los ejercicios de cálculo de primitivas es una buena práctica comprobar los resultados.Además es muy sencillo: basta derivar la primitiva que has obtenido.

391. Calcula las primitivasw

eax cos.bx/dx ; yw

eax sen.bx/dx . Supuesto quea > 0,

calcula el valor de las integralesC1w

0

e�ax cos.bx/dx yC1w

0

e�ax sen.bx/dx .

392. Explica la aparente contradicción

w 1

senx cosxdx D

w cotgx

cos2xdx D

wcotgx tg 0x dx D cotgx tgx �

wtgx cotg 0x dx

D 1Cw tgx

sen2xdx D 1C

w 1

senx cosxdx :

393. Calcula, haciendo uso de los resultados anteriores, las integrales

w.logx/3 dx ;

wx4 ex dx ;

�=2w

0

sen4 x dx ;w

sen5 x dx

393. Prueba las siguientes relaciones de recurrencia

a)In Dw

cosn x dx D 1

n

�cosn�1 x senx C .n � 1/In�2

�:

b) In Dw

tgn x dx D 1

n� 1tgn�1 x � In�2:

394. Prueba la igualdad:

In Dw 1

.1C x2/ndx D x

.2n� 2/.1C x2/n�1C 2n � 3

2n � 2In�1 (8.29)

Sugerencias:In Dw .1C x2/ � x2

.1C x2/ndx D In�1 �

w x2

.1C x2/ndx . Ahora:

w x2

.1C x2/ndx D

24

uD x ! du D dx

dv D x

.1C x2/ndx ! v D 1

2.n� 1/

1

.1C x2/n�1

35D � � �



Integración por sustitución o cambio de variable 436

395. Estudia la convergencia de la integral

In DC1w

0

x2n�1

.1C x2/.nC3/dx .n > 1/

Prueba que paran > 2 esIn Dn� 1

nC 2In�1. CalculaI1, I2 eI3.

8.6.6. Integración por sustitución o cambio de variable

Seang W J ! R una función con derivada primera continua en un intervaloJ y que tomavalores en un intervaloI , y f una función continua enI . SeaF una primitiva def en I ,y pongamosH D F ı g. Tenemos, por la regla de la cadena, queH 0.t/ D F 0.g.t//g 0.t/ Df .g.t//g 0.t/, es decir, la funciónH es una primitiva enJ de la funciónh.t/D f .g.t//g 0.t/.Si c, d son puntos deJ , deducimos que:

dw

c

f .g.t//g 0.t/dt DH.d/ �H.c/D F.g.d// � F.g.c//Dg.d/w

g.c/

f .x/dx

Esta igualdad se conoce con el nombre de“fórmula de integración por sustitución o cambio

de variable”. En ella se supone que queremos calcular, por ejemplo, la integralr ba f .x/dx y

lo que hacemos es la sustituciónx D g.t/, con lo que dx D g 0.t/dt y se eligenc y d porla condición de queg.c/ D a, g.d/ D b. Naturalmente, esto tiene interés cuando la funciónf .g.t//g 0.t/ es más fácil de integrar que la funciónf . Simbólicamente este proceso suelerepresentarse en la forma:

bw

a

f .x/dx D"

x D g.t/; dx D g 0.t/dt

aD g.c/; b D g.d/

#D

dw

c

f .g.t//g 0.t/dt (8.30)

Para el caso de integrales indefinidas este proceso de sustitución de representa de forma menosprecisa y se escribe simplemente

wf .x/dx D

"x D g.t/

dx D g 0.t/dt

#D

wf .g.t//g 0.t/dt

En este contexto, es frecuente calcularrf .g.t//g 0.t/dt DH.t/, y escribir

rf .x/dx DH.t/,

igualdad que no tiene mucho sentido si no se especifica también la relación entre las variablest y x, escribiendo “

rf .x/dx DH.t/ dondexDg.t/”. Desde luego, el conocimiento deH.t/

y de la relaciónx D g.t/ es suficiente para calcular integrales definidas def , pero tambiénpodemos“deshacer el cambio”para obtener una primitiva def . Para eso la funcióng debeser una biyección deJ sobreI con derivada no nula. En tal caso, la funciónF.x/DH.g�1.x//

es una primitiva def enI . En efecto:

F 0.x/DH 0.g�1.x//.g�1/ 0.x/D f .g.g�1.x///g 0.g�1.x//.g�1/ 0.x/D

D f .x/g 0.g�1.x//1

g 0.g�1.x//D f .x/:



No olvides que la fórmula del cambio de variables puede usarse en un sentido (de izquierda aderecha) o en otro (de derecha a izquierda) según convenga.

Puede ocurrir que al hacer un cambio de variable en una integral corriente obtengamosuna integral impropia. No hay que preocuparse porquepara estudiar la convergencia de unaintegral pueden hacerse cambios de variablebiyectivos: ello no altera la eventual convergenciade la integral ni su valor.

8.43 Ejemplo. Con frecuencia se hacen cambios de variable para quitar radicales.

2w

2=p

3

1

x2p

x2 C 4dx D

24 x D 2 tg t; dx D 2

cos2 t

2=p

3D 2 tg.�=6/; 2D 2 tg.�=4/

35D 1

4

�=4w

�=6

cost

sen2 tdt D

D 1

4

� �1

sent

��=4

�=6

D 2�p

2

4

�

8.44 Ejemplo. Un cambio de variable en una integral impropia. Consideremos la integral:

bw

a

1p.x � a/.b � x/

dx

Suponemos quea < b. El cambio que hacemos consiste en llevar el intervalo� � 1; 1Œ al �a; bŒpor una biyección del tipog.t/D ˛t C ˇ. Las condicionesg.�1/D a, g.1/ D b nos dan que˛ D .b � a/=2, ˇ D .b C a/=2. Con ello:

bw

a

1p.x � a/.b � x/

dx D

24x D g.t/; dx D b � a

2

aD g.�1/; b D g.1/

35D

1w

�1

dtp1 � t2

D �

�


396. Calcula las siguientes integrales utilizando el cambio de variable indicado.

�=4w

0

sen3 x

cos4 xdx x D arc cost I

�=4w

��=4

sen2x

cos4 xdx x D arc tgt I

C1w

1

dx

exC1x D log t

397. Calcula las integrales:p

3w

�p

3

p4 � x2 dx ;

w dx

xp

x2 � 1;

e4w

e

dx

xp

logx;

4w

1

1

x2

r1C 1

xdx ;

w exC3 e2x

2C exdx

398. Seaa > 0. Prueba que sif es impar, es decir,f .�x/D�f .x/, entoncesr a

�a f .t/dt D0.Y si f es una función par, es decir,f .�x/Df .x/, entonces

r a�a f .t/dt D2

r a0 f .t/dt .

Integración de funciones racionales 438

8.6.8. Integración de funciones racionales

Dadas dos funciones polinómicasP .x/ y Q.x/, queremos calcularw P .x/

Q.x/dx . Si el grado

deP es mayor o igual que el deQ, podemos dividir los dos polinomios obteniendo

P .x/

Q.x/DH.x/C G.x/

Q.x/;

dondeH.x/ y G.x/ son polinomios y el grado deG es menor que el grado deQ. Por tanto,supondremos siempre que el grado deP es menor que el grado deQ. Supondremos tambiénque el coeficiente líder del polinomioQ es1. La técnica para calcular la integral consiste en

descomponer la fracciónP .x/

Q.x/en otras más sencillas llamadas“fracciones simples”. Estudia-

remos dos formas de hacerlo: el método de los coeficientes indeterminados y una variante delmismo conocida como Método de Hermite.

Paso 1. Descomposición del denominador en factores irreducibles

Descomponemos el denominador,Q.x/, como producto de factores de grado uno y defactores de grado dos irreducibles:

Q.x/D .x � a1/˛1 � � � .x � an/

˛n.x2 C b1x C c1/ˇ1 � � � .x2 C bmx C cm/

ˇm (8.31)

8.45 Observaciones.

� Esto se dice muy pronto, pero puede ser muy difícil de hacer sino imposible. Afortunada-mente, en los casos prácticos esta descomposición o se conoce o es muy fácil de realizar.

� En la descomposición (8.31) cadaaj es una raíz real de ordenj del polinomioQ, y losfactores cuadráticos del tipo.x2 C bj x C cj / j corresponden a raíces complejas conjugadasde orden j . Tales factores cuadráticos son irreducibles, es decir, sudiscriminante es negativoo, lo que es igual,x2 C bj x C cj > 0 para todox2R.

Paso 2. Descomposición en fracciones

8.6.8.1. Método de los coeficientes indeterminados

Escribimos el cocienteP .x/

Q.x/como suma de fracciones de la siguiente forma:

� Por cada raíz realaj de orden j escribimos j fracciones cuyos numeradores son cons-tantesAkj

que hay que determinar, y los denominadores son de la forma.x � aj/kj dondekj

toma valores de 1 hastaj .� Por cada factor cuadrático irreducible.x2 C bj x C cj / j escribimos j fracciones cuyosnumeradores son de la formaBkj

xCCkjsiendoBkj

y Ckjconstantes que hay que determinar,

y los denominadores son de la forma.x2 C bj x C cj /kj dondekj toma valores de 1 hastaj .

� La descomposición es de la forma:

P .x/

Q.x/D

nX

jD1

24

jX

kj D1

Akj

.x � aj /kj

35C

mX

jD1

24

jX

kj D1

Bkjx C Ckj

.x2 C bj x C cj /kj

35 (8.32)




8.6.8.2. Método de Hermite

Escribimos el cocienteP .x/

Q.x/de la siguiente forma:

P .x/

Q.x/D A1

x � a1

C � � � C An

x � an

C B1x C C1

x2 C b1x C c1

C � � � C Bmx C Cm

x2 C bmx C cm

C

C d

dx

�F.x/

.x � a1/˛1�1 � � � .x � an/˛n�1.x2 C b1x C c1/ˇ1�1 � � � .x2 C bmx C cm/ˇm�1

� (8.33)

dondeA1; : : : ;An;B1; : : : ;Bm;C1; : : : ;Cm son coeficientes que tenemos que determinar y,en la fracción que aparece con una derivada,F.x/ es un polinomio genérico de grado uno

menos que el denominador. En resumen, se trata de escribirP .x/

Q.x/como suma de fracciones

simples, una por cada factor deQ.x/, más la derivada de un cociente que tiene por denominadorQ.x/ con sus factores disminuidos en una unidad y como numerador un polinomio genéricocon coeficientes indeterminados de grado uno menos que el denominador. Observa queenambos métodos hay que calcular tantos coeficientes como el grado deQ.

Paso 3. Determinación de los coeficientes

Tanto en un caso como en otro, se reducen todas las fraccionesa común denominador(que seráQ.x/), y se iguala aP .x/ el numerador resultante. Esto nos producirá un sistemade ecuaciones lineales cuyas incógnitas son los coeficientes Aj ;Bj ;Cj (y en el método deHermite también los coeficientes deF.x/), cuya resolución nos dará el valor de todos ellos.Naturalmente, en el método de Hermite hay que efectuar la derivada antes de reducir a comúndenominador.

8.46 Observaciones.

� En ambos métodos tenemos que calcular el mismo número de coeficientes pero en el mé-todo de Hermite la obtención del sistema de ecuaciones es mástrabajosa debido a la presenciade la derivada.

� A pesar de lo dicho en el punto anterior, cuando hay raíces imaginarias múltiples, lo que dalugar a factores cuadráticos de orden elevado, puede ser interesante aplicar el método de Her-mite porque las fracciones simples que aparecen en dicho método son muy fáciles de integrar.

Paso 4. Integración de las fracciones simples

En el método de Hermite, una vez escrita la función racionalP .x/

Q.x/de la forma8.33, es

fácil calcular su integral:

w P .x/

Q.x/dx D

w A1

x � a1

dx C � � � Cw B1x C C1

x2 C b1x C c1

dx C � � � C

C F.x/

.x � a1/˛1�1 � � � .x � an/˛n�1.x2 C b1x C c1/ˇ1�1 � � � .x2 C bmx C cm/ˇm�1

Sólo nos queda calcular las integrales de las fracciones simples.




�w A

x � adx DA log jx � aj.

� I Dw Bx C C

x2 C bx C cdx .

Donde se supone que el trinomiox2 C bx C c no tiene raíces reales. En general, estaintegral es igual a un logaritmo más un arcotangente aunque,dependiendo de los valores de losparámetros, puede reducirse a uno de ellos. SiB ¤ 0, lo primero que debemos hacer es lograrque en el numerador figure la derivada del denominador. Para ello, basta ponerBx C C DB2.2x C b/C C � B

2b. Con lo que, llamandoK D C � B

2b, tenemos:

I D B

2log.x2 C bx C c/CK

w 1

x2 C bx C cdx :

La integral que nos queda es un arcotangente. Para calcularla escribimos el trinomiox2CbxCc

en la formax2 C bx C c D .x � ˛/2 C ˇ2. Esto es muy fácil de hacer, pues la elección de˛ es obligada ya que debe ser˛ D �b=2, de donde se sigue queD

p4c � b2=2. En otros

términos, ˙ iˇ son las raíces complejas del trinomiox2 C bx C c. Tenemos que:

w 1

x2 C bx C cdx D

w 1

.x � ˛/2 C ˇ2dx D 1

ˇ

w 1ˇ�

x�˛ˇ

�2

C 1

dxD

D 1

ˇarc tg

�x � ˛ˇ

�:

Por tanto:

I D B

2log.x2 C bx C c/C 2C � Bbp

4c � b2arc tg

�2x C bp4c � b2

�:

En el método de los coeficientes indeterminados aparecen también, cuando hay raíces múlti-ples, otros dos tipos de fracciones elementales:

� Fracciones del tipoA

.x � a/kdondek 2 N y k > 2, correspondientes a raíces reales

múltiples, las cuales no ofrecen dificultad pues:w A

.x � a/kdx D� A

k � 1

1

.x � a/k�1:

� Fracciones del tipoBx C C

.x2 C bx C c/kdondek 2 N y k > 2, correspondientes a raíces

imaginarias múltiples. La integración de de estas fracciones puede hacerse usando la fórmu-la de reducción8.29. Previamente debe hacerse un pequeño ajuste. Escribamos eltrinomiox2 C bx C c en la formax2 C bx C c D .x � ˛/2 C ˇ2.

w Bx C C

.x2 C bx C c/kdx D

w Bx C C�.x � ˛/2 C ˇ2

�k dx D"

x � ˛ D ˇt

dx D ˇ dt

#D

D 1

ˇ2k

w Bˇt CB˛ C C

.1C t2/kˇ dt D B˛ C C

ˇ2k�1

w 1

.1C t2/kdt C

C B

2ˇ2k�2

1

1� k

1

.1C t2/k�1:




Ahora ya podemos usar la fórmula de reducción8.29para calcular la integralr

1.1Ct2/k dt .

8.47 Ejemplo. Se trata de calcularw x2 � 2

x3.x2 C 1/2dx . Como hay raíces imaginarias múltiples

aplicaremos el método de Hermite.

x2 � 2

x3.x2 C 1/2D A

xC Bx C C

x2 C 1C d

dx

ax3 C bx2 C cx C d

x2.x2 C 1/

!

Realizando la derivada y reduciendo a común denominador, obtenemos un sistema de ecuacio-nes cuya solución es

aD 0; b D 5=2; c D 0; d D 1; AD 5; B D�5; C D 0I

por lo tanto

w x2 � 2

x3.x2 C 1/2dx D .5=2/x2 C 1

x2.x2 C 1/C 5 logx � 5

2log.x2 C 1/:

�

8.48 Ejemplo. Queremos calcular la integral impropiaC1w

2

x C 1

x.x � 1/.x2 C 1/dx .

Pongamosf .x/D x C 1

x.x � 1/.x2 C 1/, Observa quef .x/ > 0 para todox > 2. Además,

se verifica la equivalencia asintótica:

f .x/ � 1

x3.x !C1/:

Como la integralr C1

21

x3 dx es convergente, se sigue, por el criterio límite de comparación,

que la integralr C1

2 f .x/dx también es convergente.

Para calcular la integral hallaremos una primitiva def .x/ aplicando el método de los coe-ficientes indeterminados.

x C 1

x.x � 1/.x2 C 1/D A

xC B

x � 1C Cx CD

x2 C 1:

Reduciendo a común denominador obtenemos:

x C 1

x.x � 1/.x2 C 1/D �AC .ACB �D/x C .�A� C CD/x2 C .ACB C C /x3

x.x � 1/.x2 C 1/:

Identificando coeficientes resulta el sistema de ecuacioneslineales:

ACB C C D0

�A � C CD D0

ACB �D D1

�A D1

9>>=>>;)�

AD�1 B D 1

C D 0 D D�1




Deducimos que:

tw

2

x C 1

x.x � 1/.x2 C 1/dx D

tw

2

dx

x � 1�

tw

2

dx

x�

tw

2

dx

x2 C 1D log

�2

t � 1

t

��arc tgtCarc tg2:

Por tanto:C1w

2

x C 1

x.x � 1/.x2 C 1/dx D log2 � �

2C arc tg2:

�

8.49 Observación.Cuando se calculan integrales impropias convergentes de funciones racio-nales, hay que escribir la primitiva obtenida de forma conveniente para que el límite puedacalcularse fácilmente. Observa cómo hemos escrito la primitiva en el ejemplo anterior: he-mos agrupado los logaritmos de forma apropiada para calcular el límite. No da igual escribir

log

�2

t � 1

t

�, que escribir log.t�1/C log2� log t . En el primer caso, el límite parat !C1

resulta inmediato, mientras que, en el segundo caso, puedesequivocarte y creer que dicho límiteno existe. Este tipo de ajustes hay que hacerlos con frecuencia.


399. Calcular las siguientes integrales

a/w 2 � x2

x3 � 3x2dx ; b/

w x4 C 6x3 � 7x2 � 4x � 3

x3 � 2x2 C x � 2dx ; c/

1=2w

�1=2

dx

x4 � 1dx

d/

C1w

1

x � 1

x3 � 3x2 C x C 5dx ; e/

C1w

�1

dx

.x2 � 2x C 2/2dx ; f /

1w

0

dx

1C x4dx

g/w x2

.x4 � 1/2dx ; h/

w dx

x.1C x4/; i/

w 3x2 C 30

x4 C 2x2 � 8dx

8.6.10. Integración por racionalización

Acabamos de ver que la primitiva de una función racional siempre puede expresarse me-diante funciones elementales. Nos vamos a ocupar ahora de algunos tipos de funciones noracionales cuyas integrales se pueden transformar, por medio de un cambio de variable, en in-tegrales de funciones racionales. Se dice entonces que la integral de partida se haracionalizadoy esta técnica se conoce como“integración por racionalización”. Conviene advertir que loscambios de variable que siguen son los que la práctica ha confirmado como más útiles en ge-neral, pero que en muchas ocasiones la forma concreta de la función que queremos integrarsugiere un cambio de variable específico que puede ser más eficaz.

En lo que sigue, representaremos porR D R.x;y/ una función racional de dos variables, es



Integración por racionalización 443

decir, un cociente de funciones polinómicas de dos variables. Te recuerdo que una función

polinómica de dos variables es una función de la formaP .x;y/DnX

iD0

mX

jD0

cij xiyj .

8.6.10.1. Integración de funciones del tipoR.senx; cosx/

Las integrales del tipow

R.senx; cosx/dx dondeR D R.x;y/ una función racional dedos variables, se racionalizan con el cambio de variablet D tg.x=2/. Con lo que:

senx D 2t

1C t2; cosx D 1� t2

1C t2; dx D 2 dt

1C t2(8.34)

Con ello resulta:

wR.senx; cosx/dx D

�t D tg.x=2/

�D

wR

2t

1C t2;

1 � t2

1C t2

!2 dt

1C t2

8.50 Ejemplo.

w dx

senx � tgxD

w cosx dx

senx cosx � senxD�tgx=2D t

�D � � � D

w t2 � 1

2t3dt

D 1

4t2C log t

2D 1

4 tg2.x=2/C 1

2log j tg.x=2/j:

�

Casos particulares

� CuandoR.� senx;� cosx/D R.senx; cosx/ se dice que“ R es par en seno y coseno”.En este caso es preferible el cambio tgx D t . Con lo que

senx D tp1C t2

; cosx D 1p1C t2

; dx D dt

1C t2

En el caso particular de tratarse de una integral del tipo:w

senn x cosm x dx ;

conn y m números enterospares, es preferible simplificar la integral usando las identidades

cos2x D 1C cos2x

2sen2x D 1 � cos2x

2:

� CuandoR.� senx; cosx/ D �R.senx; cosx/ se dice que“ R es impar en seno”y elcambio cosx D t suele ser eficaz.

� CuandoR.senx;� cosx/ D �R.senx; cosx/ se dice que“ R es impar en coseno”y elcambio senx D t suele ser eficaz.



8.51 Ejemplo. Calcular I Dw

sen2x cos2x dx . Tenemos:

I Dw.1 � cos2x/ cos2x dx D

wcos2x dx �

wcos4 x dxD

Dw 1C cos2x

2dx �

w �1C cos2x

2

�2

dxD

D x

2C sen2x

4� 1

4

w.1C 2 cos2x C cos2 2x/dxD

D x C sen2x

4� x

4� 1

2

wcos2x dx � 1

4

1C cos4x

2dxD

D x C sen2x

4� sen2x

4� x

8� sen4x

32D 1

8

�x � sen4x

4

�

�

8.52 Ejemplo.

w cos3 x

sen2xdx D

w .1 � sen2x/ cosx dx

sen2xD�

t D senx

dt D cosx dx

�D

w 1� t2

t2dt

D �1

t� t D �1

sent� sent:

�

8.53 Ejemplo. Sea I Dw sen2x cosx

senx C cosxdx . Se trata de una función par en seno y en coseno.

Haciendo t D tgx, obtenemos:

I Dw t2

.t C 1/.t2 C 1/2dt

Aplicando el método de Hermite escribimos:

t2

.t C 1/.t2 C 1/2D A

t C 1C Bt C C

t2 C 1C d

dx

�˛t C ˇt2 C 1

�

Haciendo la derivada y reduciendo a común denominador obtenemos:

t2

.t C 1/.t2 C 1/2D

D AC C C ˇ C .B C C � 2˛ C ˇ/t C .2AC B C C � 2˛ � ˇ/t2 C .B C C � ˇ/t3 C .AC B/t4

.t C 1/.t2 C 1/2

Identificando coeficientes resulta el sistema de ecuacioneslineales:

AC C C ˇ D0

B C C � 2˛ C ˇ D0

2AC B C C � 2˛ � ˇ D1

B C C � ˇ D0

ACB D0

9>>>>=>>>>;÷

8<:

AD 1=4 B D�1=4

C D 0 D D�1

˛ D�1=4 ˇ D�1=4


Deducimos que:

I D 1

4log jt C 1j � 1

8log.t2C 1/� 1

4

1C t

1C t2D 1

4log j senxC cosxj � 1

4cosx.senxC cosx/

�

� Cuando la funciónR.senx; cosx/ sea de la forma:

sen.ax C b/ sen.cx C d/; sen.ax C b/ cos.cx C d/; cos.ax C b/ cos.cx C d/

puede resolverse la integral usando las fórmulas:

sen cosˇ D sen.˛ C ˇ/C sen.˛ � ˇ/2

; sen sen D cos.˛ � ˇ/� cos.˛ C ˇ/2

cos˛ cosˇ D cos.˛ � ˇ/C sen.˛ C ˇ/2

8.54 Ejemplo.w

sen.3x/ cos.2x/dx D 1

2

wsen.5x/dx C 1

2

wsenx dx D� 1

10cos.5x/� 1

2cosx

�

� Integrales de la formaw

tgn x dx or

cotgn x dx . Se reducen a una con grado inferior

separando tg2x o cotg2x y sustituyéndola por sec2x � 1 o cosec2x � 1.

8.55 Ejemplo.w

tg5x dx Dw

tg3x tg2x dx Dw

tg3x.sec2x � 1/dx Dw

tg3x sec2x dx �w

tg3x dx

D tg4x

4�

wtg3x dx D tg4x

4�

wtgx tg2x dx D tg4x

4�

wtgx.sec2x � 1/dx

D tg4x

4�

wtgx sec2x dx C

wtgx dx D tg4x

4� 1

2tg2x C log j cosxj

�


R�x; ŒL.x/�r ; ŒL.x/�s; : : :

�dx

DondeL.x/D ˛x C ˇ x C ı ; ˛; ˇ; ; ı2R con˛ı � ˇ ¤ 0 y r; s; : : : son números racionales.

Se racionalizan con el cambiotq D L.x/ dondeq es el mínimo común denominador delas fraccionesr; s; : : :. Pues entonces tenemos que:

x D ıtq � ˇ˛ � tq

D r.t/ (8.35)

y la integral se transforma enw

R.r.t/; trq ; t sq ; : : :/r 0.t/dt

en la que el integrando es una función racional det .




8.56 Ejemplo. SeaIDw �x C 1

x � 1

�1=31

1C xdx . El cambio de variable

x C 1

x � 1D t3 racionaliza

la integral pues se tiene quex D t3 C 1

t3 � 1, con lo que:

ID�3w 1

t3 � 1dt D

w �t C 2

t2 C t C 1� 1

t � 1

�dt D 1

2log

t2 C t C 1

.t � 1/2

!Cp

3 arc tg2t C 1p

3

dondet D 3

rx C 1

x � 1. �

8.6.10.3. Integrales binomias

Se llaman así las de la formaw

x˛.aC bxˇ/ dx

donde˛, ˇ, son números racionales ya, b números reales todos ellos distintos de cero.Haciendo la sustitución

xˇ D t; x D t1ˇ ; dx D 1

ˇt

1ˇ

�1

la integral se transforma en1

ˇ

wt

˛C1ˇ

�1.aC bt/ dt

que es de la formaw

tr .a C bt/ dt donder D ˛ C 1

ˇ� 1. Esta integral es del tipo de las

consideradas en el apartado anterior cuando el número:

� es entero, pues es de la formaw

R.t; tr /dt

� r es entero, pues es de la formaw

R�t; .aC bt/

�dt

� C r es entero, pues es de la formaw �aC bt

t

�

t Cr dt

El matemático P.L. Chebyshev probó que si no se da ninguna de estas circunstancias la integralno puede expresarse por medio de funciones elementales.

8.57 Ejemplo. SeaIDw

xp

x2=3 C 2 dx . En este caso esD1, ˇD2=3, D1=2 y˛ C 1

ˇD3.

Deducimos que la primitiva buscada puede expresarse por funciones elementales. Haciendo

x2=3 D t obtenemosI D 3

2

wt2p

t C 2 dt , la cual se racionaliza haciendot C 2D s2 (s > 0),

con lo queI D 3w.s2 � 2/2s ds que es inmediata. �


R.ex/dx

Se racionalizan con el cambiox D log t . Un caso particular de este es el de las integralesde la forma

wR.coshx; senhx/dx que también admiten un tratamiento parecido al de las

trigonométricas.




8.58 Ejemplo. SeaI Dw 2

senhx C tghxdx . Desarrolla los cálculos para comprobar que

I D Œx D log t �Dw 2.1C t2/

.t � 1/.1C t/3dt D log

�tgh

�x

2

�� 1

1C coshx

Por otra parte, como la función2

senhx C tghxes impar en senhx, también podemos proceder

como sigue

IDŒtDcoshx�Dw 2t

.�1C t/.1C t/2dt D� 1

1C coshxC1

2log.�1Ccoshx/�1

2log.1Ccoshx/

Por supuesto, puedes comprobar que las dos primitivas encontradas son de hecho iguales.�

8.6.10.5. Integración de funciones del tipoR.x;p

ax2 C bx C c/

Una integral de la formaw

R.x;p

ax2 C bx C c /dx puede racionalizarse por medio de lassustituciones siguientes.

� Si el trinomioax2 C bx C c tiene dos raíces realesy ˇ distintas, entonces se hace:

pax2 C bx C c D Œa.x � ˛/.x � ˇ/�1=2 D .x � ˛/

�a.x � ˇ/

x � ˛

�1=2

Donde, por comodidad, hemos supuesto quex � ˛ > 0. Deducimos que la sustitución:

a.x � ˇ/x � ˛ D t2 .t > 0/; x D ˛t2 � aˇ

t2 � aD r.t/; (8.36)

transforma la integral enw

R�r.t/; .r.t/ � ˛/t

�r 0.t/dt donde el integrando es una función

racional det .

� Si el trinomioax2C bxC c no tiene raíces reales, entonces debe serax2C bxC c > 0 paratodox2R, en particularc > 0. La sustitución:

pax2 C bx C c D tx C

pc; x D b � 2t

pc

t2 � aD g.t/; (8.37)

transforma la integral enw

R�g.t/; tg.t/ C

pc�g 0.t/dt donde el integrando es una función

racional det .

Las sustituciones anteriores se conocen comosustituciones de Euler.

8.59 Ejemplo. Calculaw x

.7x � 10 � x2/3=2dx . Observa que, siR.x;y/ D x

y3, la integral

que nos piden esr

R.x;p

7x � 10 � x2/dx del tipo que acabamos de considerar.

Como7x � 10 � x2 D .x � 2/.5� x/, tenemos que

w x

.7x � 10 � x2/3=2dx D

"x D 5C 2t2

1C t2

#D� 6

27

w 5C 2t2

t2dt D�2

9

��5

tC 2t

�

dondet D .7x � 10 � x2/1=2

x � 2. �



8.60 Ejemplo.w 1

.1C x/p

1C x C x2dx .

Haciendo la sustituciónp

1C x C x2 D x C t , es decirx D t2 � 1

1� 2ttenemos:

w 1

.1C x/p

1C x C x2dx D

"x D t2 � 1

1� 2t

#D

w 2

t2 � 2tdt D

w ��1

tC 1

t � 2

�dt D

D� log t C log jt � 2j:

Dondet Dp

1C x C x2 � x. �

También es posible transformar una integral del tipow

R.x;p

ax2 C bx C c /dx en otra

de la formaw

F.senx; cosx/dx dondeF es una función racional de dos variables las cualesya hemos estudiado. Para ello se sigue el siguiente procedimiento.

� Con un primer cambio de variable, de la formax D ˛t C ˇ que después explicaremos, se

transforma la integralw

R.x;p

ax2 C bx C c /dx en otra de alguna de las formas:

a)w

G.t;p

t2 � 1/dt ; b)w

G.t;p

1 � t2/dt ; c)w

G.t;p

1C t2/dt

dondeG es una función racional de dos variables. Los cambios de variable respectivos

a) x D secu; b) x D senu; c) x D tgu

convierten las integrales anteriores en otras de la formaw

F.senx; cosx/dx dondeF es unafunción racional de dos variables.

Alternativamente, en el casoa)puede hacerse tambiénxDcoshu, y en el casoc) xDsenhu,

lo que transforma dichas integrales en otras del tipow

T .ex/dx dondeT es una funciónracional de una variable, que ya han sido estudiadas.

Nos queda por explicar cómo se hace el primer cambio de variable.

� Si el trinomio h.x/ D ax2 C bx C c tiene dos raíces reales < ˇ, lo que se hace estransformar dicho trinomio en otro que tenga como raíces�1 y 1. Para ello llevamos�1 a˛ y1 aˇ mediante una función de la forma'.t/D �t C�. Las condiciones'.�1/D ˛, '.1/Dˇ,

determinan que�D ˇ � ˛2

, �D ˇ C ˛2

. Con el cambio

x D '.t/D ˇ � ˛2

t C ˇ C ˛2

tenemos queh.'.t//D a.ˇ � ˛/2

4.t2 � 1/. Ahora, sia > 0, deducimos que:

wR.x;

pax2 C bx C c /dx D Œx D '.t/�D

wR

�'.t/;

pa.ˇ � ˛/

2

pt2 � 1

�ˇ � ˛

2dt

que es del tipoa) anterior. Sia < 0, entonces:

wR.x;

pax2 C bx C c /dx D Œx D '.t/�D

wR

�'.t/;

p�a.ˇ � ˛/

2

p1 � t2

�ˇ � ˛

2dt


que es del tipob) anterior.

� Si el trinomioax2 C bx C c no tiene raíces reales, entonces debe serd D 4ac � b2 > 0 y

tambiéna > 0. Poniendo Dp

d

2p

a, podemos escribir:

ax2 C bx C c D�p

ax C b

2p

a

�2

C c � b2

4aD�p

ax C b

2p

a

�2

C 2D

D 2

"�pa

x C b

2p

a

�2

C 1

#D 2

"�2ap

dx C bp

d

�2

C 1

#:

El cambio2ap

dx C bp

dD t; esto es ,x D

pdt � b

2aD �.t/

transforma la integral en

wR.x;

pax2 C bx C c /dx D Œx D �.t/�D

wR��.t/;

pt2 C 1

�pd

2adt

que es del tipoc) anterior.

Casos particulares

� Las integrales de la formaw P .x/p

ax2 C bx C cdx dondeP .x/ es una función polinómica

pueden resolverse con facilidad por elmétodo de reducción. Se procede de la siguiente forma.

Escribimos:

P .x/pax2 C bx C c

D d

dx

�Q.x/

pax2 C bx C c

�C Cp

ax2 C bx C c;

dondeQ.x/ es un polinomio, cuyos coeficientes hay que calcular, de grado una unidad menosque el polinomioP .x/ y C es una constante que también hay que calcular. Observa que laigualdad anterior puede escribirse:

P .x/DQ 0.x/.ax2 C bx C c/C 1

2Q.x/.2ax C b/C C

y a la derecha queda un polinomio de igual grado queP .x/ lo que permite identificar coefi-cientes. Una vez calculados el polinomioQ y la constanteC tenemos que:

w P .x/pax2 C bx C c

dx DQ.x/p

ax2 C bx C c C Cw 1p

ax2 C bx C cdx

con lo que todo se reduce a calcular una integral de la formaw 1p

ax2 C bx C cdx . Haciendo

uso de los cambios antes visto, esta integral, salvo constantes, puede escribirse de alguna de lasformas:w 1p

1 � t2dt D arc sen.t/;

w 1p1C t2

dt D argsenh.t/;w 1p

t2 � 1dt D argcosh.t/




� Finalmente, las integrales de la formaw 1

.x � ˛/kp

ax2 C bx C cdx

se reducen a las del tipo anterior con el cambiox � ˛ D 1

t.


400. Calcula las integrales:

w 1

aC b cosxdx ;

�w

0

1

cosx C 2 senx C 3dx ;

w 1 � 2 cosx

5 � 4 cosxdx

w dx

cosx;

w 1

senx cosxdx

w dx

sen2x cos2x�4w

0

cos.3x C 4/p1C tg2.x C 2/

dx ;w 1

.1C senx/ cosxdx ;

wsen2x cos3x dx

401. Calcula, suponiendo quep y q son números enteros, las integrales:

�w

��

senpx cosqx dx ;

�w

��

senpx senqx dx ;

�w

��

cospx cosqx dx :

402. Parax2R, y n2N, definamosF.x/D ao

2C

nX

kD�nk¤0

.ak coskxC bk senkx/. Prueba que

para�n 6p6 n se verifica que:

ap D1

�

�w

��

F.x/ cospx dx y bp D1

�

�w

��

F.x/ senpx dx

403. Calcula la primitivas:

w x C 3px2 C 2x C 2

dx ;w x2

p2x � x2

dx ;w 1

x2p

x2 � x C 1dx

w p2ax � x2 dx ;

w 1

.1 � x2/p

1C x2dx ;

w 1

x2 3p.4C x3/5

dx

wx7=2.1 � x3/�2 dx ;

wp

x2 C 9x

x2dx ;

w 1

2 senhx � coshxdx

w3p

x.1Cp

x/�2 dx ;wp

5� 8x � 4x2

x C 5=2dx ;

w dx

x4p

1C x2






Ejercicio resuelto 197 Calcula las integrales:

a/

1w

0

x2

p1 � x6

dx ; b/

C1w

0

x

3C x4dx c/

aw

�a

pa2 � x2 dx

d/

C1w

0

dx

1C x2 C y2e/

C1w

0

dx

.1C y/.1C yx2/f /

C1w

0

dy

.1C y/.1C yx2/

g/w

x˛.logx/n dx h/

C1w

1

x � 1

x3 � 3x2 C x C 5dx i/

12w

0

dxp20C 8x � x2

j /w

cos2.logx/dx k/

1=2w

0

dxp20C 8x C x2

l/

C1w

e

dx

x.logx/�

m/w dx

xp

2x C 1n/

2�w

0

dx

2C cosxp/

C1w

1

dx

x.x2 C x C 1/

En c) se supone quea > 0, ene) quey > 0, enf) quex > 1, eng) que˛2R y n2N,en l) que� > 1.

Solución.a) Esta primitiva es inmediata como puedes comprobar haciendola sustituciónx3 D t . Pero debes reconocerla sin necesidad de efectuar dicha sustitución.

1w

0

x2

p1� x6

dx D 1

3arc sen.x3/

ˇxD1

xD0D �

6:

©

b) Esta primitiva es inmediata como puedes comprobar haciendola sustituciónx2 D t .Pero debes reconocerla sin necesidad de efectuar dicha sustitución.

C1w

0

x

3C x4dx D 1

2p

3

C1w

0

2xp3

1C�

x2p3

�2dx D 1

2p

3arc tg

x2

p3

ˇˇˇ

x!C1

xD0

D �

4p

3:

©

c) Se hace con el cambio de variablex D a sent . Tenemos que:

aw

�a

pa2 � x2 dx D

24

x D a sent; dx D a cost dt

�aD a sen��2; aD a sen

�

2

35D

�2w

� �2

pa2� a2 sen2 t a cost dt D

D a2

�2w

� �2

pcos2 t cost dt D a2

�2w

� �2

jcost j cost dt D�� =2 6 x 6 �=2) cost > 0

�D

D a2

�2w

� �2

cos2 t dt D a2

�2w

� �2

1C cos.2t/

2dt D a2�

2:




8.61 Observación.Al realizar un cambio de variable es importante elegir de forma apro-piada el nuevo intervalo de integración. Con frecuencia, hay varias posibilidades. Porejemplo, en la integral anterior podríamos haber procedidocomo sigue:

aw

�a

pa2 � x2 dx D

24

x D a sent; dx D a cost dt

�aD a sen3�

2; aD a sen

�

2

35D

�2w

3�2

pa2� a2 sen2 t a cost dt D

D a2

�2w

3�2

pcos2 t cost dt D a2

�2w

3�2

jcost j cost dt D��=2 6 x 6 3�=2) cost 6 0

�D

D�a2

�2w

3�2

cos2 t dt D a2

3�2w

�2

1C cos.2t/

2dt D a2�

2:

Si en los cálculos anteriores te olvidas de quep˛2 D j˛j, y pones

pcos2 t D cost el

resultado que hubiéramos obtenido es el siguiente:

aw

�a

pa2 � x2 dx Da2

�2w

3�2

cos2 t dt D�a2

3�2w

�2

1C cos.2t/

2dt D�a2�

2:

Evidente disparate, porque la integral de una función positivar a

�a

pa2 � x2 dx no puede

ser un número negativo.

©

d) Pongamos Dp

1C y2. Tenemos que:

C1w

0

dx

1C x2 C y2D

C1w

0

dx

x2 C ˛2D 1

˛

C1w

0

1˛

1C�

x˛

�2 dx D 1

˛arc tg

x

˛

ˇˇx!C1

xD0D �

2p

1C y2:

e) En esta integral la variable de integración esx, por lo que tratamos ay como unparámetro (una constante que puede tomar distintos valores). Tenemos:

C1w

0

dx

.1C y/.1C yx2/D 1

.1C y/p

y

C1w

0

py

1C .pyx/2dx D �

2.1C y/p

y:

©

f) En esta integral la variable de integración esy, por lo que tratamos ax como unparámetro. Es la integral de una función racional eny. La descomposición en fraccionessimples corresponde a dos raíces reales simples:

1

.1C y/.1C yx2/D A

1C y

B

1C yx2D A.1C yx2/CB.1C y/

.1C y/.1C yx2/:

Por tanto debe verificarse la identidad:

1DA.1C yx2/CB.1C y/:




� Haciendoy D�1, obtenemos1DA.1� x2/÷AD 1

1 � x2.

� Igualando términos independientes, obtenemosAC B D 1÷B D� x2

1 � x2.

Tenemos parat > 0:

tw

0

dy

.1C y/.1C yx2/D 1

1 � x2

tw

0

dy

1C y� x2

1 � x2

tw

0

dy

1C yx2D

D 1

1� x2log.1C t/ � 1

1� x2log.1C tx2/D 1

1� x2log

1C t

1C tx2:

Por tanto:

C1w

0

dy

.1C y/.1C yx2/D lKım

t!C1

tw

0

dy

.1C y/.1C yx2/D 2 logx

x2 � 1:

©

g) PongamosI.˛;n/Dr

x˛.logx/n dx . Si˛ D�1 entonces:

I.�1;n/Dw 1

x.logx/n dx D 1

nC 1.logx/nC1:

Supondremos que¤�1. Para calcular esta primitiva lo que haremos será obtener unafórmula de recurrencia que permita calcular dicha primitiva para valores concretos de˛y den. Tenemos que:

I.˛; n/D

2664

uD .logx/n! duD n.logx/n�1

xdx

dv D x˛ dx ! v D x˛C1

˛ C 1

3775D

x˛C1

˛ C 1.logx/n� n

˛ C 1

wx˛.logx/n�1dx

D x˛C1

˛ C 1.logx/n � n

˛ C 1I.˛; n� 1/:

Esta relación de recurrencia permite calcularI.˛;n/ enn pasos, puesI.˛; 0/ es conoci-do. ©

h) Para calcular la integralC1w

1

x � 1

x3 � 3x2 C x C 5dx usaremos la regla de Barrow. Para

ello, debemos obtener una primitiva de la funciónx � 1

x3 � 3x2 C x C 5. Se trata de una

función racional. Una raíz del denominador esx D�1. Dividiendo el denominador porxC1 tenemos quex3�3x2CxC5D.xC1/.x2�4xC5/. Como el trinomiox2�4xC5

no tiene raíces reales, la descomposición en fracciones simples es de la forma:

x � 1

x3 � 3x2 C x C 5D A

x C 1C Bx C C

x2 � 4x C 5÷x�1DA.x2�4xC5/C.BxCC /.xC1/

� Haciendox D�1 obtenemos que�2D 10A, luegoAD�15.

� Igualando coeficientes enx2 obtenemos queACB D 0, luegoB D 15.



� Igualando términos independientes obtenemos�1D 5ACC D�1CC , luegoC D 0.

tw

0

x � 1

x3 � 3x2 C x C 5dx D�1

5

tw

0

1

x C 1dx C 1

5

tw

0

x

x2 � 4x C 5dxD

D�1

5log.1C t/C 1

5

tw

0

12.2x � 4/C 2

x2 � 4x C 5dxD

D�1

5log.1C t/C 1

10

tw

0

2x � 4

x2 � 4x C 5dx C 2

5

tw

0

1

x2 � 4x C 5dxD

D�1

5log.1C t/C 1

10log.t2 � 4t C 5/ � 1

10log5C 2

5

tw

0

1

.x � 2/2 C 1dxD

D 1

5log

pt2 � 4t C 5

1C t� 1

10log5C 2

5arc tg.t � 2/ � 2

5arc tg.�1/D

D 1

5log

pt2 � 4t C 5

1C t� 1

10log5C 2

5arc tg.t � 2/C �

10:

Deducimos que:

C1w

0

x � 1

x3 � 3x2 C x C 5dx D lKım

t!C1

tw

0

x � 1

x3 � 3x2 C x C 5dx D� 1

10log5C �

5C �

10D

D 1

10.3� � log5/:

Observa la forma de escribir la primitiva, introduciendo una raíz cuadrada en el loga-ritmo con la finalidad de poder calcular el límite fácilmente. Sabemos, de entrada, quedicho límite tiene que existir y ser finito porque se trata de una integral impropia con-

vergente. En efecto, poniendof .x/D x � 1

x3 � 3x2 C x C 5, se tiene quef es continua en

Œ0;C1Œ. Para todox > 1 se tiene quef .x/ > 0 y se verifica la equivalencia asintóticaf .x/ � 1

x2 parax ! C1. Como la integralr C1

11

x2 dx es convergente, también lo esr C1

1 f .x/dx , es decir, la integralr C1

0 f .x/dx es convergente. ©

i) PongamosI D12w

0

dxp20C 8x � x2

. El trinomio 20C 8x � x2 tiene raíces reales que

son las soluciones dex2 � 8x � 20D 0, las cuales son�2 y 10, por tanto:

x2 � 8x � 20D .x � 10/.x C 2/÷20C 8x � x2 D .10 � x/.x C 2/:

Deducimos que20C 8x � x2 > 0”�2 < x < 10. Podemos optar por racionalizarla integral con la sustitución de Euler8.36en la queaD�1, ˛ D�2, ˇ D 10. Con ello,dicha sustitución viene dada por:

x D r.t/D �2t2 C 10

t2 C 1.t > 0/:


Tenemos que:

r 0.t/D� 24t

.1C t2/2; r.t/D 0) t D

p5; r.t/D 1

2) t D

r19

5

Haciendo los cálculos, se obtiene:

I D"

x D r.t/; dx D r 0.t/dt

r.p

5/D 0; r.p

19=5/D 1=2

#D�2

q195w

p5

t2

.1C t2/3dt D 2

p5w

q195

1

1C t2dtD

D 2 arc tg.p

5/ � 2 arc tg

r19

5

Otra forma de calcular esta integral, quizás más sencilla, se basa en una idea vista en elejemplo8.44. Hagamos un cambio de variable de la formax D �t C � por la condiciónde que dicho cambio lleve el intervaloŒ�2; 10� al Œ�1; 1�. Deberá ser�2 D �� C �,10D �C �. Deducimos que el cambio buscado esx D 6t C 4. Tenemos que:

12w

0

dxp.10 � x/.x C 2/

D

24

x D 6t C 4; dx D 6 dt ; .10 � x/.x C 2/D 36.1 � t2/

x D 0) t D�2

3; x D 1

2) t D� 7

12

35D

D� 7

12w

� 23

1p1� t2

dt D arc sen2

3� arc sen

7

12:

No te quepa duda de que se trata en ambos casos del mismo resultado expresado dediferente forma.

8.62 Observación.Un error frecuente en este tipo de ejercicios consiste en cambiar eltrinomio por su opuesto. Las ecuaciones20C 8x � x2 D 0 y �20 � 8x C x2 D 0, sonla misma ecuación, pero las funciones

p20C 8x � x2 y

p�20 � 8x C x2 no son la

misma función. ©

j) Esta primitiva es de las que se calculan integrando por partes, procurando que la inte-gral se repita. Tenemos que:

wcos2.logx/dx D

�uDcos2.logx/

dv D dx ! vDx

�D x cos2.logx/C

w2 cos.logx/ sen.logx/dxD

D x cos2.logx/Cw

sen.2 logx/dx D�

uD sen.2 logx/

dv D dx ! v D x

�D

D x cos2.logx/C x sen.2 logx/� 2w

cos.2 logx/dxD

D x cos2.logx/C x sen.2 logx/� 4w

cos2.logx/dx C 2x:

Donde hemos usado la igualdad cos.2t/D 2 cos2 t � 1. Deducimos que:

wcos2.logx/dx D 1

5

�x cos2.logx/Cx sen.2 logx/C 2x

�©




k) PongamosI D1=2w

0

dxp20C 8x C x2

. El trinomio20C 8xC x2 no tiene raíces reales.

Tenemos que:

20C 8x C x2 D .x C 4/2 C 4D 4

��x C 4

2

�2

C 1

�:

Por tanto:

I D1=2w

0

dxp20C 8x C x2

D1=2w

0

12r�

xC42

�2C 1

D argsenhx C 4

2

ˇˇxD 1

2

xD0

D argsenh9

4:

©

l) PongamosI.�/ DC1w

e

dx

x.logx/�. Como� ¤ �1, la funciónf .x/ D 1

x.logx/�D

1

x.logx/��, tiene como primitivaF.x/D 1

1� �.logx/1��. La funciónf .x/ es positiva

y continua enŒe;C1Œ. Tenemos que

I.�/DC1w

e

dx

x.logx/�D F.x/

ˇx!C1xDe D lKım

x!C1F.x/� F.e/D 1

� � 1:

©m)PongamosID

w dx

xp

2x C 1. Esta integral se racionaliza con el cambio8.35, esto es,

haciendo2x C 1D t2, (t > 0). Tenemos:

I Dw dx

xp

2x C 1D�2x C 1D t2

dx D t dt

�D

w 2t dt

.t2 � 1/tD 2

w dt

t2 � 1D

Dw dt

t � 1�

w dt

t C 1D log

t � 1

t C 1D log

p2x C 1� 1p2x C 1C 1

:

©

n) PongamosI D2�w

0

dx

2C cosx. Esta integral se racionaliza con el cambiot D tg.x=2/

(8.34). Para aplicar la regla de Barrow, calcularemos primero unaprimitiva def .x/D1

2C cosx.

w dx

2C cosxD

264

t D tg.x=2/dx D 2 dt

1Ct2

cosx D 1�t2

1Ct2

375D 2

w dt

3C t2D 2p

3arc tg

tp3D 2p

3arc tg

�tg x

2p3

�:

LlamemosF.x/D 2p3

arc tg

�tg x

2p3

�a la primitiva calculada. Tenemos que:

I D2�w

0

dx

2C cosxD F.x/

ˇxD2�

xD0D F.2�/ � F.0/D 0:



Resultado claramente erróneo porque la integral de una función continua y positiva debeser un número positivo. ¿Dónde está el error? Pues en que la primitiva que hemos cal-culado no está definida en todo el intervaloŒ0; 2�� pues el valor deF.x/ parax D � noestá, en principio, definido. De hecho, se tiene que:

lKımx!�

0<x<�

F.x/D 2p3

�

2D �p

3; lKım

x!��<x<2�

F.x/D� 2p3

�

2D� �p

3:

Por tanto, la funciónF tiene una discontinuidad de salto en� , lo que implica que no esderivable en� . Es decir, la funciónF.x/ no es una primitiva def .x/ en Œ0; 2��. PeroF.x/ sí es una primitiva def .x/ en Œ0; �� y en Œ�; 2�� (definiendo en cada casoF en�como el correspondiente límite lateral para queF resulte continua en cada uno de dichosintervalos). Luego:

I D�w

0

dx

2C cosxC

2�w

�

dx

2C cosxD F.x/

ˇx!��

xD0C F.x/

ˇxD2�

x!�CD

D lKımx!�

0<x<�

F.x/� lKımx!�

�<x<2�

F.x/D 2�p3:

8.63 Observaciones.Al hacer un cambio de variable para calcular una integral defini-da hay que tener presente la correspondencia entre intervalos. La función que realiza elcambio de variable debe ser continua en su intervalo. En el ejemplo anterior, el cambiorealizado est D tg.x=2/, pero la funciónx 7! tg.x=2/ no está definida en todo el inter-valo Œ0; 2��. Cuandox recorreŒ0; 2��, x=2 recorreŒ0; �� y la tangente no está definidaen �

22 Œ0; ��.

También se evitan errores siguiendo el procedimiento usualpara realizar cambios devariable en integrales definidas. En el ejemplo anterior debemos calcular los valores det

que corresponden ax D 0 y ax D 2� lo que nos daría los nuevos límites de integraciónc y d . Así obtendríamos que paraxD 0 escD tg0D 0, y paraxD 2� esd D tg.�/D 0.Ya vemos que aquí hay algo que no va bien.

Estos errores están propiciados porque la notación que usamos para las integrales indefi-nidas (las primitivas) no tiene en cuenta el intervalo en quetrabajamos, y ese es un datomuy importante que no se debe olvidar cuando calculamos integrales definidas.

Para calcular integrales de funciones trigonométricas puede ser útil tener en cuenta quedichas funciones son periódicas. Supongamos queh WR! R es una función continua yperiódica con período, es decir,h.xC ˛/Dh.x/ para todox2R. Entonces se verificaque la integral deh en cualquier intervalo de longitudes la misma. Es decir, para todox 2 R es

r xC˛x h.t/dt D

r ˛0 h.t/dt . La comprobación de esta igualdad es inmediata

porque la funciónH.x/Dr xC˛

x h.t/dt es derivable con derivadaH 0.x/D h.xC ˛/�h.x/D 0, luegoH es una función constante.

Aplicando esto en el ejemplo anterior, y teniendo en cuenta que el coseno tiene período2� y es una función par, tenemos que:

2�w

0

dx

2C cosxD

�w

��

dx

2C cosxD

0w

��

dx

2C cosxC

�w

0

dx

2C cosxD 2

�w

0

dx

2C cosx


Esta última integral sí puede calcularse directamente con el cambiotD tg.x=2/. Aunquedicho cambio convierte la integral en otra integral impropia porque el intervaloŒ0; ��se transforma biyectivamente, por la funciónx 7! tg.x=2/, en el intervaloŒ0;C1Œ.Tenemos que:

�w

0

dx

2C cosxD Œt D tg.x=2/�D 2

C1w

0

dt

3C t2D 2p

3arc tg

tp3

ˇˇt!C1

tD0

D �p3:

©

p) Para calcular la integraltw

1

1

x.x2 C x C 1/dx usaremos la regla de Barrow. Para ello,

debemos obtener una primitiva de la función1

x.x2 C x C 1/. Se trata de una función

racional. Como el polinomiox2 C x C 1 no tiene raíces reales, la descomposición enfracciones simples es de la forma:

1

x.x2 C x C 1/D A

xC Bx C C

x2 C x C 1

Multiplicando e identificando numeradores:

1DA.x2 C x C 1/C .Bx C C /x

HaciendoxD 0 obtenemosAD 1. Igualando coeficientes dex2 se tieneACBD 0, porlo queB D�1. Igualando coeficientes dex se tieneAC C D 0, luegoC D�1.

tw

1

1

x.x2 C x C 1/dx D

tw

1

1

xdx �

tw

1

x C 1

x2 C x C 1dxD

D log t � 1

2

tw

1

2x C 1

x2 C x C 1dx � 1

2

tw

1

1

x2 C x C 1dxD

D log t � 1

2log.t2 C t C 1/C 1

2log3 � 1

2

tw

1

1

.x C 1=2/2 C 3=4dxD

D log

tp

t2 C t C 1

!C log3

2� 1p

3

tw

1

2=p

3�

2xp3C 1p

3

�2C 1

dxD

D log

tp

t2 C t C 1

!C log3

2� 1p

3arc tg

�2tp

3C 1p

3

�C 1p

3arc tg

p3D

D log3

2C 1p

3

�

3C log

tp

t2 C t C 1

!� 1p

3arc tg

�2tp

3C 1p

3

�

Como:

lKımt!C1

log

tp

t2 C t C 1

!D 0 lKım

t!C1arc tg

�2tp

3C 1p

3

�D �

2:



Concluimos que:

C1w

1

1

x.x2 C x C 1/dx D log3

2C �

3p

3� �

2p

3D log3

2�p

3

18�:

©

Ejercicio resuelto 198 Calcula las primitivasw

eax cos.bx/dx ; yw

eax sen.bx/dx . Su-

puesto quea < 0, calcula las integralesC1w

0

eax cos.bx/dx yC1w

0

eax sen.bx/dx .

Solución.PongamosF.x/Dw

eax cos.bx/dx y G.x/Dw

eax sen.bx/dx . Integrandopor partes se obtiene:

F.x/D�

uD cos.bx/

dv D eax dx

�D 1

aeax cos.bx/C b

aG.x/

G.x/D�

uD sen.bx/

dv D eax dx

�D 1

aeax sen.bx/� b

aF.x/

9>>>=>>>;÷

F.x/D 1

aeax cos.bx/C b

a2eax sen.bx/ � b2

a2F.x/ ÷

F.x/D eax

a2 C b2

�a cos.bx/C b sen.bx/

�

G.x/D eax

a2 C b2

�� b cos.bx/C a sen.bx/

�

Como jeax cos.bx/j 6 eax, jeax sen.bx/j 6 eax y, paraa < 0, la integral impropiar C10 eax dx es convergente, se sigue, por el criterio de comparación quelas integrales

r C10 eax cos.bx/dx y

r C10 eax sen.bx/dx son absolutamente convergentes. Sus valo-

res viene dados por:

C1w

0

eax cos.bx/dx D F.x/ˇx!C1xD0

D lKımx!C1

F.x/� F.0/D�F.0/D� a

a2 C b2

C1w

0

eax sen.bx/dx DG.x/ˇx!C1xD0

D lKımx!C1

G.x/�G.0/D�G.0/D b

a2 C b2

Otra forma de calcular las primitivasF y G es usando la exponencial compleja comosigue:

F.x/C iG.x/Dw

eax�

cos.bx/C i sen.bx/�

dx Dw

e.aCib/x dxD

D 1

aC ibe.aCib/x D a � ib

a2 C b2eax

�cos.bx/C i sen.bx/

�D

D eax

a2 C b2

�a cos.bx/C b sen.bx/C i

�� b cos.bx/C a sen.bx/

��:

E igualando partes real e imaginaria volvemos a obtener el mismo resultado anterior.©


Ejercicio resuelto 199 Estudia la convergencia de la integral

In DC1w

0

x2n�1

.1C x2/.nC3/dx .n2N/

Prueba que paran > 2 esIn Dn� 1

nC 2In�1. CalculaI1, I2 eI3.

Solución. Pongamosf .x/ D x2n�1

.1C x2/.nC3/. La funciónf es continua y positiva en

Œ0;C1Œ. Además, comof es un cociente de dos polinomios de grados2n� 1 y 2nC 6

con coeficiente líder iguales a1, se verifica la equivalencia asintóticaf .x/ � 1x5 para

x ! C1. Como la integral impropiar C1

11

x5 dx es convergente, deducimos por elcriterio límite de comparación, queIn es convergente para todon2N.

Para obtener la fórmula de recurrencia del enunciado debemos hacer una integración porpartes. La elección de las funcionesu y v es obligada:

In DC1w

0

x2n�1

.1C x2/.nC3/dx D

"uD x2n�2! du D .2n � 2/x2n�3

dv D x.1Cx2/nC3 ! v D� 1

nC212.1C x2/�n�2

#D

D� 1

2nC 4

x2n�2

.1C x2/nC2

ˇˇx!C1

xD0

C n � 1

nC 2In�1 D

n� 1

nC 2In�1:

Tenemos que:

I1 DC1w

0

x

.1C x2/4dx D�1

6.1C x2/�3

ˇx!C1xD0

D 1

6:

Con ello:

I2 D1

4I1 D

1

24; I3 D

2

5I2 D

1

60:

©

Ejercicio resuelto 200 Seaf continua en un intervaloI y seaa 2 I . Prueba que para todox2I se verifica la igualdad:

xw

a

.x � t/f .t/dt Dxw

a

tw

a

f .s/ds

!dt

Solución.Pongamos:

F.x/Dxw

a

.x � t/f .t/dt D x

xw

a

f .t/dt �xw

a

tf .t/dt

G.x/Dxw

a

tw

a

f .s/ds

!dt :



Comof es continua, las funcionesF y G son derivables enI y sus derivadas estándadas por:

F 0.x/Dxw

a

f .t/dt C xf .x/� xf .x/Dxw

a

f .s/ds DG 0.x/:

Como, ademásF.a/ D G.a/ D 0, concluimos queF y G coinciden en todo punto deI . ©

Ejercicio resuelto 201 Seaf WRCo ! R una función de claseC 1, estrictamente creciente

y tal quef .0/D 0. Seag D f �1 la función inversa def y seaa > 0.

a) Prueba que:

f .a/w

0

g.y/dy Daw

0

xf 0.x/dx D af .a/ �aw

0

f .x/dx :

b) SeaJ D f .RCo / el intervalo imagen def . Prueba que la funciónh W J ! R dada

para todot 2J por:

h.t/D at �tw

0

g.y/dy ;

alcanza un máximo absoluto enJ y deduce que para todob 2 J se verifica:

ab 6

aw

0

f .x/dx Cbw

0

g.y/dy


Solución.a) Haciendo primero un cambio de variable y después integrando por partes:

f .a/w

0

g.y/dy D�y D f .x/; dy D f 0.x/dx

0D f .0/; f .a/D f .a/

�D

aw

0

g.f .x//f 0.x/dx Daw

0

xf 0.x/dxD

D�

uD x; du D dx

dv D f 0.x/dx ; v D f .x/

�D xf .x/

ˇxDa

xD0�

aw

0

f .x/dx D af .a/ �aw

0

f .x/dx

b) Tenemos queh 0.t/Da�g.t/. La funcióng es estrictamente creciente enJDf .RCo /.

SeacDf .a/ > 0. Entoncesc2J y g.c/Da. Deducimos queh 0.x/ > 0 para0 6 x < c

y h 0.x/ < 0 parac < x. Por tantoh es estrictamente creciente enŒ0; c� y estrictamentedecreciente enŒc;C1Œ, luegoh.t/ < h.c/ para todot 2J n fcg, y h alcanza encDf .a/un máximo absoluto enJ . Deducimos que para todob2J esh.b/ 6 h.f .a//, es decir:

ab�bw

0

g.y/dy 6af .a/�f .a/w

0

g.y/dy Daw

0

f .x/dx÷ab 6

aw

0

f .x/dx Cbw

0

g.y/dy :

La igualdad se da si, y sólo si,b D f .a/. ©


Ejercicio resuelto 202 Estudia para qué valores de˛2R es convergente la integral

I.˛/D1w

0

x˛ arc tgx dx :

Calcula su valor para D�3=2.

Solución.Pongamosf .x/D x˛ arc tgx. La funciónf es continua y positiva en�0; 1�.Como arc tgx � x parax ! 0, se sigue quef .x/ � x˛C1 parax ! 0. Como laintegral

r 10 xs dx converge si, y sólo si,s > �1, deducimos, por el criterio límite de

comparación, que la integralr 10 f .x/dx converge si, y sólo si,C1>�1, o sea, >�2.

Para calcularI.�3=2/ integramos por partes para eliminar la función arc tgx y despuéshacemos un cambio de variable.

I.�3=2/D1w

0

x� 32 arc tgx dx D

24

uD arc tgx ! du dx1Cx2

dv D x� 32 ! v D� 2p

x

35D

D�2arc tgxp

x

ˇˇxD1

x!0

C1w

0

2 dxpx.1C x2/

D

D��2C

1w

0

2 dxpx.1C x2/

D�x D t2; t > 0

�D��

2C 4

1w

0

1

1C t4dt :

Para calcular la integralIDr 1

01

1Ct4 dt lo primero es calcular las raíces del denominadorque, evidentemente, son todas complejas e iguales a las raíces complejas cuartas de launidad. Como�1D ei� , dichas raíces son los números:

xk D ei �4 ei 2k�

4 Dei �4 ei k�

2 k D 0; 1; 2; 3:

Sabemos que dichas raíces vienen en pares de complejos conjugados. Luego deben serx0;x0 y x1;x1, donde:

x0 D ei �4 D 1p

2C i

1p2; x1 D x0 ei �

2 Dix0 D�1p2C i

1p2:

Luego:

x4 C 1D .x � x0/.x � x0/.x � x1/.x � x1/D jx � x0j2 jx � x1j2DD�.x � 1=

p2/2 C 1=2

��.x C 1=

p2/2 C 1=2

�D.x2 �

p2x C 1/.x2 C

p2x C 1/:

Si no sabes calcular las raíces complejas cuartas de�1 (lo que sería bastante lamentable),puedes obtener la anterior descomposición utilizando el hecho de que corresponde a dosfactores cuadráticos irreducibles y, por tanto, debe ser dela forma (los coeficientes dex2

deben ser, claramente, iguales a1):

x4 C 1D .x2 C ax C b/.x2 C cx C d/

Desarrollando esta igualdad e identificando coeficientes sevuelve a obtener la descom-posición anterior.



Aplicaciones de la integral 463

La descomposición en fracciones simples es de la forma:

1

1C x4D Ax CB

x2 �p

2x C 1C Cx CD

x2 Cp

2x C 1”

1D .Ax CB/.x2 Cp

2x C 1/C .Cx CD/.x2 �p

2x C 1/ ”1DB CD C .AC

p2B C C �

p2D/x C .

p2ACB �

p2C CD/x2C .AC C /x3

Identificando coeficientes resulta el sistema de ecuaciones:

B CD D 1; ACp

2B C C �p

2D D 0;p

2ACB �p

2C CD D 0; AC C D 0

que se resuelve con mucha facilidad resultandoAD�C D 1

2p

2, BDC D 1

2. Ahora sola-

mente queda calcular las correspondientes primitivas. Esto lo dejo para que lo completestú. Es algo que ya debes saber hacer y que se hizo en general al estudiar la integraciónde funciones racionales. El resultado final es:

1w

0

x� 32 arc tgx dx D��

2C � C log.3C 2

p2/p

2

8.7. Aplicaciones de la integral

Con una integral puedes calcular magnitudes tan diversas como áreas, volúmenes, longitu-des de curvas, el trabajo realizado por una fuerza, la masa deun sólido, momentos de inercia,el campo eléctrico, el flujo de un fluido a través de una superficie y muchas más. Es nota-ble, sin embargo, que la forma de proceder sea casi siempre lamisma, y consiste en expresarel valor exacto de la magnitud que se quiere calcular como un límite de sumas de Riemann,para deducir, a partir de ellas, la integral cuyo cálculo proporciona la solución del problema.Podrás comprobar en lo que sigue que esta técnica es bastantesencilla e intuitiva. Con un po-co de práctica tú mismo podrás aplicarla con éxito en situaciones distintas de las que aquí seconsideran.

8.7.1. Cálculo de áreas planas

Te recuerdo que sif W Œa; b�! R es una función continua, representamos porG.f; a; b/

la región del plano comprendida entre la curvay D f .x/, el eje de abscisas y las rectasx D a,x D b. Como sabes, el área de dicha región viene dada por

�.G.f; a; b//Dbw

a

jf .x/jdx

Es interesante interpretar la integral que proporciona el área de la siguiente forma. Observaquejf .x/j es lalongitud del segmento intersección deG.f; a; b/ con la recta vertical que pa-sa por.x; 0/, es decir,jf .x/j es la longitud de lasección verticalde G.f; a; b/ por el punto.x; 0/, y el área de la regiónG.f; a; b/ es igual a la integral de las longitudes de sus secciones.



Cálculo de áreas planas 464

Intuitivamente: integrando longitudes obtenemos áreas. Como el área es invariante por rotacio-nes, este resultado es también válido si consideramos secciones por rectas paralelas a una rectacualquiera dada. Deducimos así el siguiente resultado.

8.64 Teorema(Principio de Cavalieri). El área de una región plana es igual a la integral delas longitudes de sus secciones por rectas paralelas a una recta dada.

Veamos cómo se aplica este principio en algunos casos concretos.

8.7.1.1. Regiones de tipo I

Supongamos quef , g son funciones continuas y llamemos� a la región del plano com-prendida entre las curvasyDf .x/ eyDg.x/ paraa6x6b. Se dice que� es una región de tipoI. Es evidente que las longitudes de las secciones verticales de� son iguales ajf .x/ � g.x/jpor lo que su área viene dada por

�.�/Dbw

a

jf .x/� g.x/j dx (8.38)

Observa que esta integral expresa el área de� como límite de las sumas de Riemann

nX

kD1

jf .tk/ � g.tk/j .xk � xk�1/

lo que tiene una sencilla interpretación que puedes ver en lasiguiente figura.

Figura 8.7. Aproximación al área de una región de tipo I

Cuando la funciónf � g no tiene signo constante en el intervaloŒa; b�, para calcular laintegral (8.38) se descompone dicho intervalo en intervalos en los que la función f � g essiempre positiva o siempre negativa, lo que permite quitar el valor absoluto en el integrando.

A veces interesa expresar una región de tipo I como unión de dos o más regiones de tipoI disjuntas y más sencillas, entonces su área es la suma de lasáreas de cada una de dichasregiones.




8.65 Ejemplo. Vamos a calcular el área de la región� comprendida entre la parábolay2 D x

y la rectay D x � 2.

Calculamos los puntos de corte de la recta y la parábola resolviendo la ecuaciónxD.x�2/2,cuyas soluciones sona D 1, b D 4. Puedes ver representada la región� en amarillo en lasiguiente figura.

b b

1 40

y Dp

x

y D�p

x

y D x � 2

Figura 8.8. Ejemplo de región de tipo I

Podemos considerar� como una región de tipo I. La función cuya gráfica limita a� porarriba esg.x/Dpx. La función cuya gráfica limita a� por abajo viene dada por

f .x/D(�px 0 6 x 6 1

x � 2 1 6 x 6 4

En consecuencia

�.�/D4w

0

jg.x/ � f .x/jdx D1w

0

.p

x � .p

x//dx C4w

1

.p

x � .x � 2//dx D 9

2

Observa que podemos ver� como unión de dos regiones de tipo I como se indica en la siguientefigura.

b b

1 40

y Dp

x

y D�p

x

y D x � 2

Y lo que hemos hecho antes ha sido calcular el área de cada una de estas dos regiones.�

8.7.1.2. Regiones de tipo II

Supongamos quef , g son funciones continuas y llamemos� a la región del plano com-prendida entre las curvasx D f .y/ y x D g.y/ paraa 6 y 6 b. Se dice que� es una región




de tipo II. Es evidente que las longitudes de las secciones horizontales de� son iguales ajf .y/ � g.y/j por lo que su área viene dada por

bw

a

jf .y/ � g.y/jdy (8.39)

lo que tiene una sencilla interpretación que puedes ver en lafigura8.9.

Figura 8.9. Aproximación al área de una región de tipo II

Es importante advertir que la distinción entre regiones de tipo I y de tipo II es tan sólouna cuestión de conveniencia. No son conjuntos de distinta naturaleza sino formas distintasde describir un conjunto. En la práctica te vas a encontrar con regiones que puedes considerartanto de tipo I como de tipo II y deberás elegir la descripciónque más facilite el cálculo de lacorrespondiente integral.

De todas formas, no debes olvidar que basta cambiar la variable x por la variabley paraconvertir una región de tipo II en otra de tipo I. Geométricamente, lo que hacemos es unasimetría respecto a la rectay D x, lo que deja invariante el área. Por tanto, si en un ejercicioresulta conveniente considerar la región cuya área quierescalcular como una región de tipoII y te encuentras más cómodo trabajando con regiones de tipoI, basta con que cambies losnombres de las variables.

Salvo por factores de escala, las figuras (8.7) y (8.9) son simétricas respecto de la rectay D x.

8.66 Ejemplo. La región del ejemplo (8.8) puedes considerarla como una región de tipo II.

La curva que limita esta región por la derecha es la gráfica de la rectaxD y C 2 y la curvaque limita esta región por la izquierda es la gráfica de la parábola x D y2. La variabley estácomprendida entre�1 y 2.

�Dn.x;y/ W y2 6 x 6 y C 2; �1 6 y 6 2

o

También puedes transformar directamente� en una región de tipo I más sencilla que laanteriormente considerada en la figura8.8mediante una simetría respecto de la rectayDx, tal




b

b

�1

2

0

x D y2

x D y C 2�

Figura 8.10. Ejemplo de región de tipo II

Tenemos que:

�.�/D2w

�1

.y C 2 � y2/dy D 9

2

como se muestra en la figura8.11. Aunque la región así obtenida,�s , no es la misma� tiene,sin embargo, igual área que�.

b b

�1 20

y D x2

y D x C 2

�s

Figura 8.11. Simétrica de la figura8.8

�.�s/D�.�/D2w

1

.xC2�x2/dxD9

2:

�


404. Calcula el área de las dos partes en que la parábolay2D4x divide al círculox2Cy2D8.

405. Calcula para qué valor de� la curvay D � cosx divide en dos partes de igual área laregión limitada por la curvay D senx y el eje de abscisas cuando0 6 x 6 �=2.

406. Calcula el área encerrada por el bucle de la curvay2 D x.x � 1/2.

407. a) Calculaf .t/DC1w

0

sen.xt/e�x dx .

b) Calcula el área limitada por la gráfica def y el ejeOX .



408. Calcula el área de las regiones del plano limitadas por las siguientes curvas.

1. y D x.x � 1/.x � 2/ y el ejeOX .

2. x D 12y2 � 12y3; x D 2y2 � 2y.

3. y D�x2 � 2x; y D x2 � 4; �3 6 x 6 1.

4. y D x2; x C y D 2; x > 0; y > 0.

5. x C y2 D 3; 4x C y2 D 4.

6. y D sec2 x; y D tg2 x; ��=4 6 x 6 �=4.

7.x2

a2C y2

b2D 1, a > 0, b > 0.

8. .y � x/2 D x � 3; x D 7.

9. y D .logx/2; 0 < x 6 e.

10. y2 D 1� x

1C x; x D�1.

11. y D x e�x; y D x2 e�x; x > 0.

409. Calculaa > 0 por la condición de que el sec-tor parabólicoOAB de la figura de la derechatenga área mínima. El puntoB es la intersec-ción de la parábolayDx2 con su normal en elpuntoAD .a; a2/.

A D .a; a2/

B

O

y D x2

410. Con un disco de radioR queremos hacer,recortando un disco concéntrico de radior , una arandela como la de la figura de laderecha. Se pide calcular el radior por lacondición de que el área de la parte de laarandela que queda a la izquierda de la rec-ta xD r (sombreada en gris) sea máxima.Sugerencia. Tomar como variable.

O

R

r

˛

B

A

411. Una corona circular de radio interiorp

2 y radio exteriorp

6 se corta con la parábola deecuaciónx D y2. Calcula el área de cada una de las dos regiones resultantes.

412. Se considera la hipérbola de ecuaciónx2� y2D 1

y un punto.x0;y0/ de la misma.x0 > 1/. Se pidecalcular el área,!0, de la región sombreada en grisen la figura, y deducir que:

x0 D cosh.!0/; y0 D senh.!0/:O

x0

x2 � y2 D 1

.x0; y0/




Ejercicio resuelto 203 Calcula el área de las dos partes en que la parábolay2 D 4x divideal círculo x2 C y2 D 8.

Solución.

Hay que calcular los puntos de intersecciónde la parábola y de la circunferencia. Paraello calculamos la raíz positiva de la ecuaciónx2 C 4x � 8 D 0 que es D �2 C 2

p3. Los

puntos de intersección son, por tanto,.˛; 2p˛/

y .˛;�2p˛/. Teniendo en cuenta la simetría,

para calcular el área de la parte azul del círculoes suficiente calcular el área de la región com-prendida entre la circunferencia y la parábolacuandox 2 Œ0; ˛�, es decir, el área de la regióncoloreada en rojo. Se trata de una región de tipoI cuya área viene dada por:

˛O

w

0

�p8 � x2 � 2

px�

dx Dw

0

p8 � x2 dx �

w

0

2x1=2 dx Dw

0

p8� x2 dx � 4

3˛3=2:

Calculemos la integral que falta.

w

0

p8 � x2 dx D

�x Dp

8 sent�Dp

8

arc sen. p8

/w

0

cos2 t dt D 2p

2

arc sen. p8

/w

0

1C cos.2t/

2dt D

Dp

2 arc sen�˛=p

8�C 1p

2sen

�2 arc sen.˛=

p8/�:

Por tanto, el área,S , de la región en rojo es igual a:

S Dp

2 arc sen�˛=p

8�C 1p

2sen

�2 arc sen.˛=

p8/�� 4

3˛3=2

La solución obtenida puede simplificarse más usando que sen.2x/D 2 senx cosx pero,tal como está, puede considerarse correcta.

El área de la parte del círculo interior a la parábola (coloreada en azul) es igual4� � 2S ,y el área de la parte del círculo exterior a la parábola (zonasamarilla y roja) es igual a4� C 2S .

Otras formas de hacer este ejercicio son las siguientes.



Teniendo en cuenta la simetría, el área de la par-te azul del círculo es igual a:

2w

0

2p

x C 2

p8w

˛

p8 � x2 dx

que se calcula como antes.

˛Ob b

b

b

.˛; 2p

˛/

.˛; �2p

˛/

p8

También puedes hacer este ejercicio cambiando los ejes (convirtiendo una región de tipoII en otra de tipo I) como en la siguiente figura obtenida simetrizando la anterior respectode la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

El área de la parte azul del disco es igual a:

2p

˛w

�2p

˛

�p8 � x2 � x2=4

�dx

que se calcula igual que antes. ©

bb b

b b

˛

O 2p

˛�2p

˛

Ejercicio resuelto 204

Calculaa > 0 por la condición de que el sec-tor parabólicoOAB de la figura de la derechatenga área mínima. El puntoB es la intersec-ción de la parábolayDx2 con su normal en elpuntoAD .a; a2/.

A D .a; a2/

B

O

y D x2

Solución.

Sabemos que la normal a una curva de ecuaciónyDf .x/ en un punto.a; f .a// es la rec-

ta de ecuaciónyDf .a/� 1

f 0.a/.x�a/. En nuestro caso la curva es la parábolayDx2

cuya normal en el punto.a; a2/ es la rectayDa2� 1

2a.x�a/. La intersección de dicha

recta con la parábola se obtiene resolviendo la ecuación

x2 D a2 � 1

2a.x � a/, esto es,2ax2 C x � a � 2a3 D 0, cuyas soluciones son:

�1˙p

1C 4.aC 2a3/22a

4aD �1˙

p1C 8a2 C 16a4

4aD �1˙

p.1C 4a2/2

4aD

D �1˙ .1C 4a2/

4aD

8<:

a

�1C 2a2

2a

Pongamosx0D�1C 2a2

2a. Tenemos queBD .x0;x

20/. El área del sector parabólico de

la figura viene dada por

G.a/Daw

x0

�a2 � 1

2a.x � a/ � x2

�dx D

�a2x � 1

4a.x � a/2 � 1

3x3

�xDa

xDx0

D

4

3a3 C aC 1

4aC 1

48a3

Para calcular el mínimo de esta función se procede de la formausual. Calculemos losceros de la derivada.

G 0.a/D 4a2 C 1� 1

4a2� 1

16a4D 0” 4a2 C 1D 1

4a2

�1C 1

4a2

�D

D 1

16a4.4a2 C 1/” 16a4 D 1” a4 D 1

16

Comoa > 0, la única solución esaD 1=2. Teniendo en cuenta que para todoa > 0:

G 00.a/D 8aC 1

2a3C 1

4a5> 0;

y que lKıma!0

G 0.a/ D �1, lKıma!C1

G 0.a/ D C1, deducimos que para0 < a <1

2es

G 0.a/ < 0, y para1

2< a esG 0.a/ > 0. De aquí se sigue queG decrece en�0; 1=2� y

crece enŒ1=2;C1Œ, por lo que alcanza un mínimo absoluto enaD 1=2. ©


Con un disco de radioR queremos hacer, re-cortando un disco concéntrico de radior , unaarandela como la de la figura de la derecha. Sepide calcular el radior por la condición de queel área de la parte de la arandela que queda a laizquierda de la rectaxD r (sombreada en gris)sea máxima.Sugerencia. Tomar como variable.

O

R

r

˛

B

A

Solución.

Todo lo que hay que hacer es calcular el área de la parte sombreada de la arandela.Podemos hacer esto de forma completamente elemental introduciendo como variable lamedida en radianes,� , del ángulo indicado en la figura.

Con ello tenemos quer D R cos� . El área buscada es igual al área del disco grande(�R2) menos el área del disco pequeño (�.R cos�/2), menos el área del sector circularOBA (�R2) más el área del triánguloOAB (R cos�R sen� ). Por tanto, la función amaximizar es:

f .�/D �R2��.R cos�/2��R2CR cos�R sen� DR2�� cos2 �Ccos� sen�

�D

DR2�� sen2 � � � C cos� sen�

�;

definida para0 6 � 6 �=2. Calculamos la derivada:

f 0.�/D 2R2 sen�.� cos� � sen�/:

Se sigue que el único cero de la derivada en el intervalo dondeestá definidaf es es�0Darc tg� 2�0; �=2Œ. Como sen� > 0, el signo de la derivada es igual al signo de� cos� �sen� . Deducimos quef 0.�/ > 0 para0 < � < �0 y f 0.�/ < 0 para�0 6 � < �=2.En consecuencia,f es creciente enŒ0; �0� y decreciente enŒ�0; �=2�. Por tanto el valormáximo absoluto def en Œ0; �=2� se alcanza en�0. El valor der correspondiente es:

r DR cos�0 DRp

1C �2:

Alternativamente, podemos calcular directamente, en función der , el área del segmentocircular determinado por la cuerdaAB, que viene dado por:

2

Rw

r

pR2 � x2 dx

En consecuencia, el área de la parte sombreada de la arandelaviene dada por:

g.r/D �R2 � �r2 � 2

Rw

r

pR2 � x2 dx

donde0 6 r 6 R. Por el Teorema Fundamental del Cálculo, la derivada deg viene dadapor

g 0.r/D�2�r C 2p

R2 � r2

Cuyo único cero esr0DRp

1C �2. Se justifica fácilmente que dicho valor corresponde

al máximo absoluto deg en Œ0;R�. ©


Calcula para qué valor de� la curvayD� cosx

divide en dos partes de igual área la región limi-tada por la curvay D senx y el eje de abscisascuando0 6 x 6 �=2.Solución.El área limitada por la función seno entrex D 0

y x D �=2, es igualr �

2

0senx dx D 1. Por tan-

to, debemos calcular� por la condición de queel área de la región�, en amarillo en la figurade la derecha, sea igual a1=2. Llamandoa alúnico punto de corte de las gráficasy D senx,yD � cosx en el intervaloŒ0; �=2�, el cual vie-ne dado por la igualdad� cosa D sena, dichaárea es igual a:

y D senx

y D � cosx

aO �2

�

aw

0

senx dx C�2w

a

� cosx dx D 1C �� cosa � � sena:

Deberá verificarse que1C �� cosa � � senaD 1=2. Teniendo en cuenta que:

� cosaD sena ) tgaD � ) 1

cos2aD 1C �2 ) cosaD 1p

1C �2;

donde hemos tenido en cuenta que como0 < a < �=2, cosa > 0. Sustituyendo ahoraen la igualdad anterior y teniendo en cuenta que debe ser� > 0, obtenemos:

1C � � cosa � � senaD 1

2, 1C 2�D 2 cosaC 2� senaD 2.1C �2/ cosa ,

1C 2�D 2.1C �2/1p

1C �2D 2

p1C �2 , .1C 2�/2 D 4.1C �2/ , �D 3

4:

©

Ejercicio resuelto 207 Calcula el área encerrada por el bucle de la curvay2 D x.x � 1/2.

Solución.En problemas de cálculo de areas debemos hacer, siempre que no sea compli-cado, una representación gráfica para visualizar la región del plano cuya área queremoscalcular, de esta forma se evitan posibles errores. La curvade ecuacióny2 D x.x � 1/2

es simétrica respecto al eje de abscisas, pues para cada valor de x tenemos dos valo-res opuestos dey, que vienen dados pory D pxjx � 1j, y D �pxjx � 1j. Observaque esta curva está definida parax > 0. Los puntos de corte de la curva con el ejeOX

son x D 0 y x D 1. El bucle del enunciado debe estar comprendido entre ellos dos.Para0 6 x 6 1 la parte de arriba de la curva

esy Dpx.1� x/. Tenemos quey 0D 1 � 3x

2p

x.

Deducimos que es creciente para0 6 x 6 1=3

y decreciente para1=3 6 x 6 1. Además, la de-rivada segunda es negativa, por lo que se tratade una curva cóncava (la parte de arriba del bu-cle). Con estos datos ya podemos representar lacurva.

O 1

Teniendo en cuenta la simetría, el área pedida viene dada por:

2

1w

0

px.1 � x/dx D 8

15

©

Ejercicio resuelto 208 Calcula el área de una elipse de semiejesa y b.

Solución.Por medio de un giro y de una traslación (que son movimientos del plano queconservan el área), la ecuación de la elipse puede escribirse de la forma:

x2

a2C y2

b2D 1 ” y D˙b

a

pa2 � x2

Curvas en el plano 474

El área pedida viene dada por la integral:

b

a

aw

�a

2p

a2 � x2 dx D �ab:

Donde, para evaluar la integral hemos usado la tabla de primitivas inmediatas. Para elcaso en queaD bD r , es decir, la elipse es un círculo de radior , obtenemos la conocidafórmula�r2 para el área de un círculo. ©

8.7.4. Curvas en el plano

Seguramente te imaginas una curva en el plano como una línea continua que puede dibujar-se de un trazo, sin levantar el lápiz del papel. Esa idea es esencialmente correcta. Las circunfe-rencias, las elipses, las cardioides son todas ellas curvas. Faltaría más. Ninguna de ellas puedesrepresentarla por una igualdad de la formay D f .x/. Las curvas que pueden representarse poruna ecuación cartesiana del tipoyDf .x/ son curvas muy particulares pues son gráficas de fun-ciones. No olvides que cuando dices “sea la curva dada por la ecuaciónyDf .x/” te estás refi-riendo a la curva cuya imagen es el conjunto de puntos del plano f.x;y/ W x2 Œa; b�;y D f .x/ges decir, a la gráfica def .

Si lo piensas un momento, verás que muy pocas curvas son gráficas. Para que una curvasea una gráfica es necesario que cualquier recta vertical la corte a lo más en un solo punto;ninguna curva cerrada cumple esta condición. Precisamenteentre las curvas cerradas se en-cuentran algunas de las curvas más interesantes, a ellas pertenecen los distintos tipos de óvalosy lemniscatas, las astroides, las cardioides y muchas más.

Vamos a ver ahora una forma de representar curvas planas mucho más general que lasecuaciones cartesianas del tipoy D f .x/ que sólo sirven para representar curvas que tambiénson gráficas. Para empezar, consideremos una curva que vienedada por una ecuación cartesianade la formay D f .x/ dondex 2 Œa; b�. Nuestra curva es, por tanto, la imagen de la aplicación W Œa; b� ! R2 definida por .x/D .x; f .x// para todox 2 Œa; b�. Intuitivamente, cuandoxrecorre el intervaloŒa; b�, el punto.x; f .x// recorre la curva. Es fácil generalizar esta situaciónsin perder la idea intuitiva de curva. Lo esencial es que podamos describir las coordenadas delos puntos de la curva como funciones continuas de un parámetro. En la situación que estamosconsiderando se tiene queyD f .x/, es decir, la segunda coordenada es función continua de laprimera. La generalización consiste en que ambas coordenadas sean funciones continuas de unparámetro. Llegamos así a la definición siguiente.

8.67 Definición. Una curva en el plano es una aplicación continua W Œa; b�! R2.

Si .t/D .x.t/;y.t//, decimos quex D x.t/, y D y.t/ son lasecuaciones paramétricasde la curva. El punto .a/ es el origen y .b/ el extremo de la curva. Si .a/D .b/ se diceque la curva escerrada. Se dice que una curva essimple si no se corta a sí misma, es decir,si paras; t 2 Œa; b� cons ¤ t se verifica que .s/¤ .t/. Una curva cerrada se llama simple sila función es inyectiva en�a; bŒ.

8.68 Ejemplos.

� La curva de ecuaciones paramétricasx.t/DaCr cost , y.t/DbCR sent donde06 t 62�

es una elipse cuyo centro es el punto.a; b/ y semiejes de longitudesr y R. Cuandor D R setrata de una circunferencia.




� La curva de ecuaciones paramétricasx.t/Dr.t�sent/, y.t/Dr.1�cost/ para06 t 62�

es lacicloide. Es la curva que describe un punto de una circunferencia de radio r que avanzagirando sin deslizar.

� La curva de ecuaciones paramétricasx.t/ D a.1C cost/ cost , y.t/ D a.1 C cost/ sent

para0 6 t 6 2� se llamacardioide. Es la curva que describe un punto fijo del borde de uncírculo de radioa=2 que rueda sin deslizar sobre el exterior de otro círculo del mismo radio.

2r

O 2�r

bPt

Figura 8.12. Cicloide

b P

Figura 8.13. Cardioide

b P

Figura 8.14. AstroideFigura 8.15. Espiral de Arquímedes

� La curva de ecuaciones paramétricasx.t/ D a cos3 t , y.t/ D a sen3 t dondea > 0 y0 6 t 6 2� , se llamahipocicloide de cuatro picoso astroide. Es la curva que describe unpunto fijo de una circunferencia de radiorDa=4 que rueda sin deslizar sobre el interior de otracircunferencia de radioa.

� La curva de ecuaciones paramétricasx.t/ D t cost , y.t/ D t sent donde0 6 t 6 2� , sellamaespiral de Arquímedes. Es la curva que describe un punto que se mueve alejándose delorigen con velocidad uniforme sobre una semirrecta que giraalrededor del origen con velocidadangular constante.

� Otro ejemplo final, para que aprecies las curvas tan complicadas que pueden representar-se fácilmente por ecuaciones paramétricas. Se trata de una curva de las llamadascurvas deLissajoux. Sus ecuaciones sonx.t/D sen.3t/, y.t/D cos.5t/, t 2 Œ0; 2��.




Figura 8.16. Una curva de Lissajoux

8.7.4.1. Área encerrada por una curva

Sea� la región rodeada por una curva cerrada simple .t/ D .x.t/;y.t//, a 6 t 6 b, ysupongamos que las funcionesx.t/;y.t/ tienen primera derivada continua. Se supone tambiénque si, a medida que el parámetrot avanza desdea hastab, andamos sobre la curva siguiendoal punto .t/D .x.t/;y.t// entonces la región� queda a nuestra izquierda (ver figura8.17).En estas condiciones se verifica que el área de� viene dada por:

�.�/Dbw

a

x.t/y 0.t/dt D�bw

a

y 0.t/x.t/dt D 1

2

bw

a

�x.t/y 0.t/ � y 0.t/x.t/

�dt (8.40)

�

Figura 8.17. Una curva cerrada

8.7.4.2. Áreas planas en coordenadas polares

Un tipo particular de ecuaciones paramétricas son las de la forma:(

x.#/D f .#/ cos#

y.#/D f .#/ sen#.˛ 6 # 6 ˇ/ (8.41)

dondef W Œ˛; ˇ�! R es una función continua. Dichas ecuaciones se representan simbólica-mente en la forma� D f .#/. La curva definida por estas ecuaciones se dice que está dada enforma polar y que�D f .#/ es la ecuación polar de la curva. La razón de esta terminología seexplica seguidamente.



Dado un punto.x;y/ ¤ .0; 0/, hay un único par de números.�; #/, tales que� > 0 y�� < # 6 � , que verifican las igualdadesxD� cos# , yD� sen# . Dichos números se llamancoordenadas polaresdel punto.x;y/. Si consideras el número complejox C iy, entonces�es su módulo y# es su argumento principal.

Por tanto, dada una curva por una ecuación polar�D f .#/, el punto del plano que corres-ponde a cada valor del ángulo polar# es:�f .#/.cos#; sen#/; si f .#/> 0: Coordenadas polares.f .#/; #/jf .#/j

�cos.# C �/; sen.# C �/

�; si f .#/ < 0: Coordenadas polares.jf .#/j; # C �/

Debes tener claro que esta forma de representar una curva no es más que un tipo particular derepresentación paramétrica.

Consideremos una curva dada por la ecuación polar� D f .#/ donde f W Œ˛; ˇ�! R .Queremos calcular el área de la región del plano (ver figura8.18):

�D f.� cos#; � cos#/ W 0 < � 6 f .#/; ˛ 6 # 6 ˇg :

O

ˇ ˛#k�1

#k

�

�D f .#/

Figura 8.18. Aproximación por sectores circulares

Para ello lo que hacemos es aproximar� por medio de sectores circulares. Recuerda que

el área de un sector circular de radio� y amplitud' (medida en radianes) es igual a1

2�2'.

Consideramos para ello una particiónf˛ D #0; #1; #2; : : : ; #n�1; #n D ˇg de Œ˛; ˇ� y forma-

mos la sumanX

kD1

1

2f .#k/

2.#k � #k�1/. Como el número1

2f .#k/

2.#k � #k�1/ es el área del

sector circular, representado en amarillo en la figura8.18, de radiof .#k/ y amplitud igual a#k � #k�1, es claro que la suma anterior representa una aproximación del área de�. Como

nX

kD1

1

2f .#k/

2.#k � #k�1/ es una suma de Riemann de la función# 7! 1

2f .#/2, se sigue que

el área de� viene dada por la integral:

�.�/D 1

2

w

˛

f .#/2 d# (8.42)


Con frecuencia, las ecuaciones en coordena-das polares se usan para representar distintos ti-pos de curvas simétricas llamadas “rosas”. Porejemplo, en la figura8.19 se ha representadouna rosa de 8 hojas o lazos, cuya ecuación encoordenadas polares es�Dcos.4#/, 06#62� .

Figura 8.19. Rosa de 8 pétalos


413. Calcula el área encerrada por la elipsex.t/ D a C r cost , y.t/ D b C R sent donde0 6 t 6 2� .

413. Calcula el área encerrada por la cardioidex.t/D cost.1C cost/, y.t/D sent.1C cost/

para0 6 t 6 2� .

414.

Calcula el área de la región del plano rodeadapor un lazo de la lemniscata de ecuación polar�2 D cos.2#/, .��=4 6 # 6 �=4/.

415. Calcula el área limitada por el arco de la espiral de Arquímedes� D a# , a > 0, com-prendido entre# D 0 y # D � .

416. Calcula el área encerrada por el lazo interior de la curva�D 1

2C cos# .

417. Hallar el área encerrada por una de las hojas de la rosa�D 2 cos.2#/.

418. Calcular el área del lóbulo del folium de Descartes de ecuación x3 C y3 � 3axy D 0,a > 0. Sugerencia. Expresa la ecuación en forma polar.

419. Calcula el área de la región común a las dos elipses

x2

a2C y2

b2D 1;

x2

b2C y2

a2D 1:

Sugerencia. Representa gráficamente las elipses. Usa la simetría polar para simplificarlos cálculos y pasar a coordenadas polares.

8.7.6. Longitud de un arco de curva

Se trata de calcular la longitud de la curva plana dada por las ecuaciones paramétri-cas .t/ D .x.t/;y.t//, a 6 t 6 b, donde suponemos quex.t/, y.t/ tienen derivada prime-ra continua. Para ello aproximamos la curva por poligonalesinscritas en ella. Cada partición




faD t0; t1; t2; : : : ; tn�1; tn D bg induce una poligonal cuyos vértices son los puntos .tk/ D.x.tk/;y.tk //, .0 6 k 6 n/.

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

.tk/

.tk�1/

Figura 8.20. Aproximación por poligonales

La longitud de dicha poligonal viene dada por la suma:

nX

kD1

q.x.tk/ � x.tk�1//

2 C .y.tk/ � y.tk�1//2 Ð

nX

kD1

qx 0.sk/

2 C y 0.sk/2 .tk � tk�1/

Donde hemos usado el teorema del valor medio y la continuidadde las derivadas. Pero esta su-ma es una suma de Riemann de la funciónt 7!

px 0.t/2 C y 0.t/2. Deducimos que la longitud

de la curva viene dada por

`. /Dbw

a

qx 0.t/2 C y 0.t/2 dt (8.43)

Para el caso particular de que la curva sea la gráfica de una función y D f .x/, esto es .x/D.x; f .x//, entonces su longitud viene dada por

`. /Dbw

a

q1C f 0.x/2 dx

Para el caso particular de que la curva venga dada por una parametrización polar de la forma(8.41), su longitud viene dada por

`. /Dw

˛

qf .#/2 C f 0.#/2 d#

Si interpretamos que la curva .t/ D .x.t/;y.t// es la función de trayectoriaseguida porun móvil, entonces lavelocidadde dicho móvil en cada instantet viene dada por el vectorderivada 0.t/ D .x 0.t/;y 0.t//, y la rapidezes la norma euclídea de dicho vector, es decirp

x 0.t/2 C y 0.t/2. La igualdad (8.43) tiene ahora una interpretación clara: la distancia recorri-da por un móvil se obtiene integrando la rapidez. Volveremossobre esto más adelante.


420. Calcula la longitud del arco de catenariay D coshx entrex D 0 y x D 1.



Volúmenes de sólidos 480

421. Calcula la longitud de un arco de la cicloidex.t/Dt�sent , y.t/D1�cost , .06t 62�/.

422. Calcular la longitud del arco de curvay D x2 C 4, entrex D 0 y x D 3.

423. Calcula la longitud de la astroide�x

a

�2=3

C�y

a

�2=3

D 1, a > 0.

Sugerencia. Obtener las ecuaciones paramétricas de la astroide y tener en cuenta la si-metría.

424. Calcula la longitud de la cardioide�D 3.1C cos#/, .0 6 # 6 2�/.

425. Calcula la longitud de la curvay D x4 C 48

24xdonde2 6 x 6 4.

426. Calcula la longitud de la curvay D log.1� x2/, donde1=3 6 x 6 2=3.

8.7.8. Volúmenes de sólidos

Al igual que podemos calcular áreas de regiones planas integrando las longitudes de sussecciones por rectas paralelas a una dada, podemos también calcular volúmenes de regiones enR3 integrando las áreas de sus secciones por planos paralelos auno dado. Este resultado es uncaso particular del teorema de Fubini que veremos al estudiar integrales múltiples.

8.69 Teorema(Cálculo de volúmenes por secciones planas). El volumen de una región enR3 es igual a la integral del área de sus secciones por planos paralelos a uno dado.

Para justificar esta afirmación, sea� una región enR3 como la de la figura8.21.

�.x/

�

xa b

OX

Z

Y

Figura 8.21. Cálculo del volumen por secciones

Representemos por�.x/ la sección de� por el plano perpendicular al ejeOX en el punto.x; 0; 0/. SeaV .x/ el volumen de la parte de� que queda a la izquierda de dicho plano ysea�.�.x// el área de la sección�.x/. Observa que la situación es totalmente análoga ala considerada en el Teorema Fundamental del Cálculo: allí teníamos la función área cuya




derivada era la longitud de la sección. No debe sorprendertepor ello que ahora resulte quela derivada de la función volumen,V .x/, sea el área de la sección. En efecto, seah > 0.Suponiendo, naturalmente, que la funciónx 7! �.�.x// es continua, tenemos que:

mKınf�.�.t// W x 6 t 6 x C hg h 6 V .x C h/ � V .x/6 mKaxf�.�.t// W x 6 t 6 x C hg h

de donde se deduce que

lKımh!0

V .x C h/ � V .x/

hD �.�.x//:

Hemos obtenido así queV 0.x/D �.�.x//. Deducimos que el volumen de�, que esV .b/ �V .a/, viene dado por la integral:

Vol.�/Dbw

a

�.�.x//dx (8.44)

El razonamiento anterior se ha hecho para secciones por planos verticales al ejeOX , es decirplanos paralelos al planoYZ; pero el resultado obtenido también es válido para secciones porplanos paralelos a un plano dado.

Podemos llegar también a este resultado considerando sumasde Riemann. Para ello apro-ximamos la región� por cilindros de la siguiente forma. Consideremos una partición

faD x0;x1;x2; : : : ;xn�1;xn D bg

deŒa; b�. La parte de� comprendida entre los planos perpendiculares al ejeOX por los puntos.xk�1; 0; 0/ y .xk ; 0; 0/ puede aproximarse por un cilindro de alturaxk � xk�1 y base�.xk/

cuyo volumen es igual�.�.xk//.xk � xk�1/. La suma de los volúmenes de todos estos cilin-

dros,nX

kD1

�.�.xk//.xk � xk�1/, es por tanto una aproximación del volumen de�. Pero dicha

suma es una suma de Riemann de la funciónx 7! �.�.x//, por lo que el volumen de� viene

dado porbw

a

�.�.x//dx .

Vamos a estudiar algunos casos en los que es fácil calcular elárea de las secciones de�.

8.7.8.1. Volumen de un cuerpo de revolución

Los cuerpos de revolución o sólidos de revolución son regiones deR3 que se obtienengirando una región plana alrededor de una recta llamada eje de giro.

Método de los discos

Es fácil calcular el volumen de un cuerpo de revolución obtenido girando una región detipo I alrededor del ejeOX , o una región de tipo II alrededor del ejeOY .

Seaf W Œa; b�! R una función continua. Girando la región del plano comprendida entrela curvayDf .x/, el eje de abscisas y las rectasxDa y xDb, alrededor del ejeOX obtenemosun sólido de revolución� (ver figura8.22). Es evidente que la sección,�.x/, de� por el planoperpendicular al ejeOX en el punto.x; 0; 0/, es un disco contenido en dicho plano de centro




b

a bx

y D f .x/

�.x/

Figura 8.22. Método de los discos

.x; 0; 0/ y radio jf .x/j. Por tanto el área de�.x/ es�.�.x//D �f .x/2; en consecuencia elvolumen de� es igual a

Vol.�/D �bw

a

f .x/2 dx

El volumen del sólido de revolución,�, obtenido girando alrededor del ejeOX una región detipo I definida por dos funciones continuasf;g W Œa; b�! R tales que0 6 f .x/ 6 g.x/ paratodox 2 Œa; b�, se obtiene integrando las áreas de las coronas circulares oarandelas,�.x/, deradio interiorf .x/ y radio exteriorg.x/, obtenidas al cortar� por un plano perpendicular alejeOX en el punto.x; 0; 0/.

Vol.�/D �bw

a

.g.x/2 � f .x/2/dx

Consideremos ahora un sólido de revolución obtenido girando alrededor del ejeOY una regiónR de tipo II, definida por dos funciones continuas'; W Œc;d �! R tales que06'.y/6 .y/para todoy 2 Œc;d �, es decir,R es la regiónR D f.x;y/ W y2 Œc;d �; '.y/ 6 x 6 .y/g. Elvolumen del sólido de revolución resultante,�, viene dado por:

Vol.�/D �dw

c

. .y/2 � '.y/2/dy

Este procedimiento se conoce comométodo de los discos o de las arandelas. Dicho métodopuede aplicarse con facilidad para calcular el volumen de cuerpos de revolución obtenidosgirando regiones de tipo I alrededor de rectas horizontales, o regiones de tipo II alrededor derectas verticales.



427. Calcula el volumen de la esfera obtenida girando la circunferenciax2 C y2 D R2 alre-dedor del ejeOX .

428. Calcula el volumen del cono circular recto de alturah y radio de la baseR obtenidogirando la rectay DRx=h entrex D 0 y x D h.

429. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar alrededordel ejeOX la parte de lacurvay D sen2x comprendida entre0 y � .

430. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar alrededordel ejeOX la gráfica de la

función f W Œ0;C∞Œ! R dada porf .x/D 18x

x2 C 9.

431. Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al girar alrededor del ejeOX laregión del plano comprendida bajo la curva

y D 2px .x2 � 2x C 2/

.1 6 x < C1/

432. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por la parábolay2 D 4x y la rectax D 4 alrededor de dicha recta.

433. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por las parábolasy2 D x,x2D y alrededor del ejeOX .

434. Calcula el volumen del elipsoidex2

a2C y2

b2C z2

c2D 1.

435. Calcula el volumen limitado por el paraboloidex2

9C y2

16D z y el planoz D 7.

Método de las láminas o de los tubos

Consideremos una función positivaf W Œa; b�! R y la regiónG.f; a; b/ limitada por lagráfica de dicha función y las rectas verticalesxDa, xDb. Observa queG.f; a; b/ es una regiónde tipo I pero, en general, no es una región de tipo II. Girandodicha región alrededor del ejeOY obtenemos un sólido de revolución,�, cuyo volumen podemos aproximar considerandopequeños rectángulos verticales inscritos en la gráfica def y girándolos alrededor del ejeOY

(ver figura8.23).Cada uno de esos rectángulos engendra, al girarlo, un tubo cilíndrico de paredes delgadas.

La suma de los volúmenes de dichos tubos es una aproximación del volumen de�. Natural-mente, la aproximación va mejorando a medida que hacemos quelos tubos tengan paredes cadavez más delgadas.

Consideremos una particiónfaD x0;x1;x2; : : : ;xn�1;xn D bg de Œa; b�. Al girar alrede-dor del ejeOY un rectángulo vertical cuya base es el intervaloŒxk�1;xk � y altura f .xk/,

X

Y

Z

yDf .x/

xa b

Figura 8.23. Método de las láminas o tubos

obtenemos una lámina de un cilindro circular recto, esto es,un tubo cuya base tiene área�.x2

k� x2

k�1/ y alturaf .xk/, cuyo volumen es, por tanto, igual a:

�.x2k � x2

k�1/f .xk/D �.xk � xk�1/.xk C xk�1/f .xk/DD xkf .xk/.xk � xk�1/C xk�1f .xk/.xk � xk�1/:

La suma de todos ellos es igual a:

nX

kD1

�xkf .xk/.xk � xk�1/CnX

kD1

�xk�1f .xk/.xk � xk�1/:

Pero estas dos sumas son sumas de Riemann de la funciónx 7! �xf .x/. Deducimos que elvolumen de� viene dado por:

Vol.�/D 2�

bw

a

xf .x/dx :

Esto es lo que se conoce comométodo de las láminas o de las capas o de los tubos. Puedesadaptar fácilmente esta expresión para el caso de que el eje de giro sea la recta verticalx D c.En general, si notamos porR.x/ el “radio de giro” de la lámina, entonces:

Vol.�/D 2�

bw

a

R.x/f .x/dx


436. Calcula el volumen del toro engendrado al girar el círculo decentro.a; 0/ y radioR < a

alrededor del ejeOY .

Área de una superficie de revolución 485

437.

La región plana limitada por el segmento de pa-rábolayD 4�x2, donde1 6 x 6 2, y las rectasxD0 eyD3, gira alrededor del ejeOY engen-drando un sólido en forma de flan (un tronco deparaboloide de revolución). Calcula su volumeny el volumen de la porción obtenida al cortarloverticalmente desde un punto del borde supe-rior.

X21

Y

Z

bb

x2 C z2 D 4

438. Calcular el volumen del sólido� engendrado al girar la región limitada por las parábolasy D x2, x D y2 alrededor del ejeOY .

439. Calcular el volumen del toro engendrado al girar el círculo de centro 0 y radio 3 alrededorde la rectax D 6.

440. Calcular el volumen del sólido� engendrado al girar la región limitada por las parábolasy D x2, x D y2 alrededor la rectax D 4.

8.7.11. Área de una superficie de revolución

Una superficie de revolución se obtiene girando una curva dada alrededor de una recta.Sea f W Œa; b�! R una función con derivada primera continua. Girando la gráfica de dichafunción alrededor del ejeOX obtenemos una superficie de revolución,�. Fíjate en la siguienterepresentación gráfica.

a bx xCh

y D f .x/

L.x/

L.x C h/

b bb b

Figura 8.24. Superficie de revolución

SeaS.x/ el área de la parte de la superficie comprendida entre los planosX D a, y X Dx.Representemos porL.x/ la longitud de la gráfica def entrea y x. Recuerda que

L.x/Dxw

a

q1C f 0.t/2 dt :




Seah > 0. Teniendo en cuenta que el área lateral de un cilindro circular recto es igual a lalongitud de la base por la altura, se deduce que:

2� mKınff .t/ W t 2 Œx;x C h�g.L.x C h/ �L.x//6 S.x C h/ � S.x/6

6 2� mKaxff .t/ W t 2 Œx;x C h�g .L.x C h/ �L.x//:

Por tanto:

2� mKınff .t/ W t 2 Œx;x C h�gL.x C h/ �L.x/

h6

S.x C h/ � S.x/

h6

6 2� mKaxff .t/ W Wt 2 Œx;x C h�g L.x C h/ �L.x/

h:

Y tomando límite parah! 0 se sigue que:

S 0.x/D 2�f .x/L 0.x/D 2�f .x/

q1C f 0.x/2:

Luego el área de la superficie� viene dada por:

�.�/D 2�

bw

a

f .x/

q1C f 0.x/2 dx (8.45)


441. Calcula el área de una superficie esférica de radioR.

442. Calcula el área de la superficie de revolución obtenida al girar la curvayDx3, 06x 61,alrededor del ejeOX .

443. Calcula el área de la superficie de revolución obtenida al girar la curvax23Cy

23Da

23 ,

a > 0, alrededor del ejeOX .

444. Calcular el área de la superficie de revolución engendrada algirar la elipsex2

a2C y2

b2D 1

alrededor del ejeOY .

445. Calcular el área de la superficie de revolución engendrada algirar la catenariayDcoshx,0 6 x 6 1, alrededor del ejeOX .

446. Al girar alrededor del ejeOX el segmento de parábolay Dpx, 0 6 x 6 a, engendra untronco de paraboloide de revolución cuya superficie tiene área igual a la de una esfera deradio

p13=12. Se pide calcular el valor dea.



447.

Se perfora, siguiendo un diámetro, una esferade radior con un agujero cilíndrico (ver figura)de modo que el anillo esférico resultante tienealturah (la altura del cilindro). Calcula el volu-men del anillo y el área de la superficie total delanillo.

448. Comprueba que el área de la superficie de revolución (llamadahorno de Gabriel) engen-drada al girar la curvay D 1=x, 1 6 x 6 C∞, alrededor del ejeOX es infinita (portanto sería necesaria una cantidad infinita de pintura si quisiéramos pintarla) pero el vo-lumen del sólido de revolución engendrado es finito(por tanto podemos llenarlo con unacantidad finita de pintura). Comenta a tu gusto esta aparenteparadoja.

449. Calcula el área de un espejo parabólico de 3 metros de diámetro y 1 metro de fondo.

450. Calcula el volumen de una esfera de radio3 en la que, siguiendo un diámetro, se haperforado un agujero cilíndrico de radior < 3. Calcula el área de la superficie totaldel solido obtenido. Calcula los valores der para los que dicha área alcanza sus valoresextremos.



Ejercicio resuelto 209 Calcular el área del lóbulo del folium de Descartes de ecuación car-tesianax3 C y3 � 3axy D 0, a > 0.

Sugerencia. Expresa la ecuación en forma polar.

Solución.Sustituyendox D � cos# , y D � sen# en la ecuación dada, después de sim-plificar por�2, se obtiene:

�.cos3# C sen3#/� 3a cos# sen# D 0:

Observamos que esta ecuación implica que en los puntos de dicha curva debe verificarseque cos3# C sen3# ¤ 0. Pues si fuera cos3# C sen3# D 0, la ecuación anterior implicaque también cos# sen# D 0, de donde se sigue fácilmente que cos# D sen# D 0, loque es imposible. En consecuencia, la ecuación polar de la curva puede escribirse en laforma:

�D �.#/D 3a cos# sen#

cos3# C sen3#:

Se verifica que�.#/ D ��.# C �/. Además,lKım

#!��=4# > ��=4

�.#/D lKım#!3�=4# < 3�=4

�.#/D�1. Por tan-

to, la rectay D�x es una asíntota de la curva.Para# 2� � �=4; 0Œ tenemos que�.#/ < 0

y, por tanto, las coordenadas polares del pun-to correspondiente son.j�.#/j ; # C �/; como# C � 2�3�=4; �Œ estos puntos están en el se-gundo cuadrante. Para# 2�0; �=2Œ tenemos que�.#/ > 0 y los puntos correspondientes a estosvalores de# están en el primer cuadrante. Para

# 2��=2; 3�=4Œ tenemos que�.#/ < 0 y los puntos correspondientes a estos valores de# tienen ángulo polar# � � 2� � �=2;��=4Œ, por lo que están en el cuarto cuadrante.El lóbulo de la curva debe corresponder a los valores de# comprendidos entre dos cerosconsecutivos de� que solamente pueden ser# D 0 y # D �=2.

El área pedida está dada por la integral:

I D 1

2

�2w

0

�.#/2 d# D 1

2

�2w

0

9a2 cos2# sen2#

.cos3# C sen3#/2d# :

Parece una integral bastante impresionante, pero es todo apariencia. Se trata de una fun-ción racional par en seno y en coseno. Como ya debes saber, estas integrales se raciona-lizan con el cambio de variable tg# D t .

ID

26664

tg# D t; d# D dt1Ct2

cos# D 1p1Ct2

sen# D tp1Ct2

# D 0; t D 0I # D �2; t DC1

37775D

3

4a2

C1w

0

6t2 dt

.1C t3/2D 3

4a2 �1

1C t3

ˇˇt!C1

tD0

D 3

4a2:

©

Ejercicio resuelto 210 Calcula el área de la región común a las dos elipses

.E1/x2

a2C y2

b2D 1; .E2/

x2

b2C y2

a2D 1:

Sugerencia. Representa gráficamente las elipses. Usa la simetría polar para simplificarlos cálculos y pasar a coordenadas polares.

Solución.Este ejercicio puede hacerse en coordenadas cartesianas y también pasando acoordenadas polares. Vamos a hacerlo de las dos formas.

Puedes ver las elipses en la figura8.25. Por simetría, para calcular el área pedida es sufi-ciente calcular el área de la parte común de las elipses que queda en el primer cuadrante.En coordenadas cartesianas dicha región, que se ha representado ampliada a la derechade las elipses, es unión de dos regiones de tipo I,�1 y�2, cuyas áreas ya sabes calcular.La gráficas de las partes superiores de las elipsesE1 y E2 vienen dadas respectivamentepor:

y1.x/Db

a

pa2 � x2; y2.x/D

a

b

pb2 � x2:


Los puntos de intersección de las elipses se obtienen resolviendo la ecuación

b

a

pa2 � x2 D a

b

pb2 � x2

cuyas soluciones sonx D˙ abpa2 C b2

. Pongamos D abpa2 C b2

. Puedes comprobar

quey1.˛/D y2.˛/D ˛. Por tanto, los cuatro puntos de intersección son.˙˛;˙˛/. Elárea pedida es igual a:

4�.�1/C 4�.�2/D 4w

0

b

a

pa2 � x2 dx C 4

bw

˛

a

b

pb2 � x2 dx :

a

b

a

b

.˛; ˛/

bb

b

bb

�1

˛

y1.x/ D ba

pa2 � x2

y2.x/ D ab

pb2 � x2

b

b

b

b

b

�2

.˛; ˛/

Figura 8.25. Área de una región limitada por dos elipses

Una primitiva de estas integrales se calcula fácilmente. Suponiendo quejxj6 c, tenemosque:

w pc2 � x2 dx D

�x D c sent

�D c2

wcos2t dt D c2

w 1C cos.2t/

2dt D

D c2 t

2C c2 sen.2t/

4D c2 t

2C c2 sent cost

2D c2

2arc sen

x

cC c2

2

x

c

s

1� x2

c2D

D c2

2arc sen

x

cC x

2

pc2 � x2:

Por tanto:

wy1.x/dx D ab

2arc sen

x

aC 1

2xy1.x/;

wy2.x/dx D ab

2arc sen

x

bC 1

2xy2.x/:




Teniendo en cuenta quey1.˛/D y2.˛/ y quey2.b/D 0, obtenemos que:

4�.�1/C 4�.�2/D 2ab�arc sen

˛

aC �

2� arc sen

˛

b

�D

D 2ab

�

2C arc sen

bpa2 C b2

� arc senap

a2 C b2

!D

D 4ab arc senbp

a2 C b2:

Donde en la última igualdad hemos usado que para todox 2 Œ�1; 1� se verifica quearc senx C arc sen

p1 � x2 D �

2, como fácilmente puedes comprobar.

Otra forma de proceder es como sigue. Recor-dando (ver ejercicio resuelto208) que el área deuna elipse de semiejesa y b es igual a�ab, paracalcular el área pedida es suficiente calcular elárea de la región� interior a la elipseE2 y quequeda por encima de la elipseE1. El área pedi-da será igual a2.�ab=2��.�//D�ab�2�.�/.Tenemos que:

�

˛�˛bb

yDy2.x/

yDy1.x/

�.�/Dw

�˛

.y2.x/ � y1.x//dx D ab

arc sen

apa2 C b2

� arc senbp

a2 C b2

!:

El área pedida es igual a:

�ab � 2�.�/D 2ab

�

2C arc sen

bpa2 C b2

� arc senap

a2 C b2

!:

Valor que coincide con el antes obtenido.

Podemos hacer este ejercicio usando las ecua-ciones polares de las elipses. Para ello, pone-mosx D � cos# , y D � sen# y sustituimos enlas respectivas ecuaciones obteniendo:

�1

�2�D�2.#/

�D�1.#/

.E1/ �1D�1.#/Dabp

b2 cos2# C a2 sen2#.E2/ �2D�2.#/D

abpa2 cos2# C b2 sen2#

Por los cálculos hechos antes, sabemos que las elipses se cortan para valores de# iguala˙�=4 y ˙3�=4. Si no lo supiéramos deberíamos calcular dichos valores resolviendola ecuación�1.#/D �2.#/. Podemos calcular fácilmente en coordenadas polares el áreade la región común a las dos elipses que queda en el primer cuadrante. Su valor vienedado por:

�.�1/C �.�2/D1

2

�2w

�4

�1.#/2 d# C 1

2

�4w

0

�2.#/2 d# :




Para evaluar estas integrales, calcularemos una primitivaapropiada.

w dt

u2 cos2t C v2 sen2tD Œtg t D x�D

w dx

v2 C u2x2D 1

uvarc tg

�vu

tg t�:

Por tanto:

�.�1/C �.�2/Dab

2

arc tg

�a

btg t�ˇˇt! �

2

tD �4

C arc tg

�b

atg t

�ˇˇtD �

4

tD0

!D

D ab

2

��

2� arc tg

a

bC arc tg

b

a

�D ab arc tg

b

a

Donde en la última igualdad hemos usado que arc tgxCarc tg.1=x/D �2

para todox > 0,como fácilmente puedes comprobar. Concluimos que el área dela región común de lasdos elipses es:

4�.�1/C 4�.�2/D 4ab arc tgb

a:

Comparando con un resultado anterior, deducimos que debe ser:

arc tgb

aD arc sen

bpa2 C b2

:

Equivalentemente, poniendoxD ba

que es un número positivo cualquiera, debe verificarseque:

arc tgx D arc senxp

1C x2:

Igualdad que puedes comprobar muy fácilmente calculando laderivada de la funciónh.x/D arc tgx � arc sen xp

1Cx2parax2R. ©

Ejercicio resuelto 211 Calcula la longitud de la astroide�x

a

�2=3

C�y

a

�2=3

D 1, a > 0.

Sugerencia. Obtener las ecuaciones paramétricas de la astroide y usar la simetría.

Solución.

Como debes saber bien, dos númerosu, v talesqueu2C v2D 1, pueden escribirse en la formau D cost , v D sent para algún valor det 2R;y dicho valor es único si se eligen valores parat en un determinado intervalo semiabierto delongitud 2� . La ecuación cartesiana de la as-

troide es de la formau2Cv2D1 dondeuD 3

qxa

y v D 3

qya

. Por tanto, podemos representar

los puntos.x;y/ de la astroide en la formax.t/Da cos3t , y.t/Da sen3t dondet 2 Œ��;��.Estas son las ecuaciones paramétricas de di-cha curva. Observa que las coordenadas




de los puntos de la astroide de parámetroa se obtienen elevando al cubo las coordenadasde los puntos de una circunferencia centrada en el origen de radio 3

pa. Esto pone de

manifiesto las simetrías de la astroide con respecto a los ejes coordenados y con respectoal origen. Los puntos de la astroide que están en el primer cuadrante corresponden avalores det 2 Œ0; �=2�. Teniendo en cuenta la simetría de la curva, la longitud de lamisma viene dada por:

4

�2w

0

qx 0.t/2 C y 0.t/2 dt D 12a

�2w

0

pcos4t sen2t C sen4t cos2t dt D

D 12a

�2w

0

qcos2t sen2t.cos2t C sen2t/dt D12a

�2w

0

cost sent dt D 6a

�2w

0

sen.2t/dt D 6a:

©

Ejercicio resuelto 212 Calcula la longitud de la curvay D x4 C 48

24xdonde2 6 x 6 4.

Solución.Lo único que hay que hacer es calcular la integral:

4w

2

q1C y 0.x/2 dx D

4w

2

p

1C

x4 � 16

8x2

!2

dx D4w

2

x4 C 16

8x2dx D 17

6:

Ejercicio resuelto 213 Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitadapor la parábolay2 D 4x y la rectax D 4 alrededor de dicha recta.

Solución.Podemos emplear el método de los discos y también el de las láminas o tubos.

Por el método de los discos debemos integrarlas áreas de secciones perpendiculares al eje degiro. Observa que debemos tomar como varia-ble de integración la variabley. Los puntos decorte de la parábola con la recta son.4; 4/ y.4;�4/. Por tanto, en la región indicada, tene-mos quey 2 Œ�4; 4�. La sección por una rectahorizontal es un disco cuyo radio en cada puntode la curvax D y2=4 es la distancia de dichopunto a la rectaxD 4, que es igual a4� y2=4.El volumen pedido viene dado por la integral:

�

4w

�4

.4� y2=4/2 dy D � 1024

15

xDy2=4

yD�2p

x

4

�4

4x

b

b

b

b

b

b b

b




Para calcular el volumen por el método de las láminas o tubos debemos tomar comovariablex. Hay que tener en cuenta que cada segmento vertical de abscisa x que giratiene de longitud4

px y su radio de giro respecto al eje es4 � x. Por tanto el volumen

pedido viene dado por la integral:

2�

4w

0

.4� x/4p

x dx D � 1024

15

Observa que haciendo un giro y una traslación,este ejercicio equivale a calcular el volumen delcuerpo de revolución obtenido al girar la pará-bolay D 4� x2=4 alrededor del ejeOX . ©

yD4�x2=4

4x�4

4

bb

b

Ejercicio resuelto 214 Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitadapor las parábolasy2 D x, x2 D y alrededor del ejeOX .

Solución. Observa que para que para que las dos igualdadesy2 D x, x2 D y tengansentido debe serx > 0 e y > 0. Por tanto, la igualdad,y2 D x equivale, por sery > 0,a y D px. Es inmediato que los puntos de corte de las parábolas son.0; 0/ y .1; 1/.Podemos emplear el método de los discos y también el de las láminas o tubos.

Por el método de los discos (arandelas en estecaso) debemos integrar las áreas de seccionesperpendiculares al eje de giro. Observa que de-bemos tomar como variable de integración lavariablex y que en la región indicada, tenemosquex 2 Œ0; 1�. La sección por una recta verticalde abscisax es una corona circular o arandelacuyo radio interior esr1.x/D x2 y radio exte-rior r2.x/D

px. Por tanto el volumen pedido

viene dado por la integral:

�

1w

0

.r2.x/2�r1.x/

2/dxD�1w

0

.x�x4/dxD3�

10:

x 1

yDx2

yDp

x

Para calcular el volumen por el método de los tubos, debemos considerar los segmentoshorizontales que giran alrededor del ejeOX . Deberemos tomar como variable ay. Lalongitud del segmento horizontal de alturay es

py � y2 y su radio de giro respecto del

ejeOX esy. Por tanto el volumen pedido viene dado por la integral:

2�

1w

0

y.p

y � y2/dy D 3�

10:

©

Ejercicio resuelto 215 Calcula el volumen del elipsoidex2

a2C y2

b2C z2

c2D 1.



Solución.La intersección del elipsoide con un plano dealtura fija z paralelo al planoX Y se proyecta sobre el planoX Y en una elipse,E.z/, de ecuación:

x2

a2C y2

b2D 1 � z2

c2” x2

�a

q1� z2

c2

�2C y2

�b

q1 � z2

c2

�2D 1

Es una elipse de semiejesa

q1� z2

c2 y b

q1 � z2

c2 . Sabemos que el área de dicha elipse

es igual a�ab�1� z2

c2

�. Por tanto, el volumen del elipsoide podemos obtenerlo integrando

el área de las seccionesE.z/ paraz2 Œ�c; c�.

Dicho volumen es igual a:

�ab

cw

�c

1 � z2

c2

!dz D 4

3�abc:

Observa que para el caso en queaDbDcDr , esdecir, el elipsoide es una esfera de radior , ob-tenemos la conocida fórmula para el volumende una esfera. ©

X

Z

Y

Ejercicio resuelto 216 Calcula el volumen limitado por el paraboloidex2

9C y2

16D z y el

planoz D 7.

La intersección del paraboloide con un planodealtura fija z paralelo al planoX Y se proyec-ta sobre el planoX Y en una elipse,E.z/, deecuación:

x2

9C y2

16D z ” x2

�3p

z�2 C

y2

�4p

z�2 D 1

Es una elipse de semiejes3p

z y 4p

z. Sabe-mos que el área de dicha elipse es igual a12�z.Por tanto, el volumen del paraboloide podemosobtenerlo integrando el área de dichas seccio-nes E.z/ para z 2 Œ0; 7�. Dicho volumen esigual a:

12�

7w

0

z dz D 49

6�:

X

Z

Y

Ejercicio resuelto 217 Calcula el volumen del sólido de revolución obtenido al girar alrede-dor del ejeOX la región del plano comprendida bajo la curva

y D 2px .x2 � 2x C 2/

.1 6 x < C1/:


Solución. Se trata de calcular la integral�C1w

1

4

x .x2 � 2x C 2/2dx . Es claro que el

trinomio x2� 2xC 2D 1C .x � 1/2 no tiene raíces reales. El denominador tiene raícesimaginarias múltiples y podemos usar el método de Hermite. Para ello escribimos:

4

x .x2 � 2x C 2/2D A

xC Bx C C

x2 � 2x C 2C d

dx

�M x CN

x2 � 2x C 2

�D

D A

xC Bx C C

x2 � 2x C 2C 2M C 2N � 2N x �M x2

.x2 � 2x C 2/2D

D 4AC.�8AC2CC2MC2N /xC.8AC2B�2C�2N /x2C.�4A�2BCC�M /x3C.ACB/x4

x.x2 � 2x C 2/2

Fácilmente se obtiene queAD 1, B D�1, C CM CN D 4, C CN D 3, C �M D 2,de donde,M D 1, C D 3, N D 0. Por tanto

tw

1

4

x .x2 � 2x C 2/2dx D log t C

tw

1

�x C 3

x2 � 2x C 2dx C x

x2 � 2x C 2

ˇˇt

1

D

D log t C 2 arc tg.x � 1/ˇt1� 1

2log.x2 � 2x C 2/

ˇt1C t

t2 � 2t C 2� 1D

D log

tp

t2 � 2t C 2

!C 2 arc tg.t � 1/C t

t2 � 2t C 2� 1

Deducimos que

�

C1w

1

4

x .x2 � 2x C 2/2dx D � lKım

t!C1

tw

1

4

x .x2 � 2x C 2/2dx D �.� � 1/

©


La región plana limitada por el segmento de pa-rábolayD 4�x2, donde1 6 x 6 2, y las rectasxD0 eyD3, gira alrededor del ejeOY engen-drando un sólido en forma de flan (un tronco deparaboloide de revolución). Calcula su volumeny el volumen de la porción obtenida al cortarloverticalmente desde un punto del borde supe-rior.

X21

Y

Z

bb

x2 C z2 D 4

Solución.




Podemos calcular el volumen por el método delos discos. Para ello debemos integrar las áreasde secciones perpendiculares al eje de giro. Ob-serva que debemos tomar como variable de in-tegración la variabley y que en la región indi-cada, tenemos quey 2 Œ0; 3�. La sección poruna recta horizontal de ordenaday es un dis-co cuyo radio esr.y/ D

p4� y. Por tanto el

volumen pedido viene dado por la integral:

�

3w

0

r.y/2 dy D �3w

0

.4� y/dy D 15�

2:

3

1 2

yD4�x2

b

b b

b

X

Y

También podemos calcular el volumen por el método de los tubos, en cuyo caso vienedado por:

2�

1w

0

3x dx C 2�

2w

1

x.4� x2/dx D 15�

2:

Calcularemos ahora el volumen de la porciónobtenida al cortar verticalmente el troncode paraboloide desde un punto del bordesuperior. Observa que para cadavalor fijadodex 2 Œ0; 1� la sección por el plano de abscisax paralelo aZY es un segmento parabólico,�.x/, cuyo vértice es4 � x2 y cuyo piees el segmento de extremos�

p4 � x2 yp

4 � x2 (la cuerda que se obtiene al cortarla circunferencia de centro el origen y radio2

por una recta de abscisax). La proyección de

p4�x2�

p4�x2

4�x2

y D 4�x2 � z2

Z

Y

�.x/

dicha parábola sobre el planoZY debe tener una ecuación de la formayD4�x2��z2

donde� se calcula por la condición de queyD0 parazD˙p

4 � x2, con lo que resulta�D1. En consecuencia, la ecuación de dicha parábola en el planoZY esyD4�x2�z2.El área del segmento parabólico�.x/ viene dada por la integral:

�.�.x//D

p4�x2w

�p

4�x2

.4 � x2 � z2/dz D 16

3

p4 � x2 � 4

3x2p

4 � x2

Integrando las áreas de dichas secciones se obtiene el volumen pedido, que viene dadopor:

2w

1

�.�.x//dx D�3p

3C 8�

3:

Cálculo que ya debes saber hacer. ©

Ejercicio resuelto 219 Calcular el volumen del sólido� engendrado al girar la región limi-tada por las parábolasy D x2, x D y2 alrededor la rectax D 4.




Solución.Observa que para que para que las dos igual-dadesy2 D x, x2 D y tengan sentido debe serx > 0 e y > 0. Por tanto, la igualdad,y2 D x

equivale, por sery > 0, ayDpx. Es inmedia-to que los puntos de corte de las parábolas son.0; 0/ y .1; 1/. Podemos emplear el método delos discos y también el de las láminas o tubos.

xDpyxDy2

4

Por el método de los discos (arandelas en este caso) debemos integrar las áreas de sec-ciones perpendiculares al eje de giro. Observa que debemos tomar como variable de inte-gración la variabley y que en la región indicada, tenemos quey 2 Œ0; 1�. La sección poruna recta horizontal de ordenaday es una corona circular o arandela cuyo radio interiores la distancia del eje de giro a la parábolaxDpy, dicha distancias esr1.y/D 4�py

y cuyo radio exterior es la distancia del eje de giro a la parábola x D y2, dicha distanciaesr2.y/D 4� y2. Por tanto el volumen pedido viene dado por la integral:

�

1w

0

.r2.y/2 � r1.y/

2/dy D �1w

0

�.4 � y2/2 � .4 �py/2

�dy D 71�

30:

Para calcular el volumen por el método de las láminas o tubos debemos tomar comovariablex. Hay que tener en cuenta que cada segmento vertical que gira de abscisax 2 Œ0; 1� tiene de longitud

px �x2 y el radio de giro es4� x. Por tanto el volumen es:

2�

1w

0

.4 � x/.p

x � x2/dx D 71�

30:

©

Ejercicio resuelto 220 Calcular el volumen del toro engendrado al girar el círculo de centro.0; 0/ y radio3 alrededor de la rectax D 6.

Solución.

Aplicaremos el método de las láminaso de los tubos. Para ello debemos con-siderar los segmentos paralelos al ejede giro; en nuestro caso serán los seg-mentos verticales comprendidos en elcírculo de centro.0; 0/ y radio 3. Lalongitud del segmento vertical de abs-cisax 2 Œ�3; 3� es igual a2

p9 � x2

y su radio de giro es6�x. El volumendel toro engendrado es:

p9�x2

�p

9�x2

63Ox

b

b

b b b bb

2�

1w

�1

.6 � x/2p

9� x2 dx D 108�2:

También se puede calcular el volumen por el método de las arandelas. Ya debes saberhacerlo, te lo dejo para que lo hagas tú. ©




Ejercicio resuelto 221 Calcula el área de una superficie esférica de radioR.

Solución.Una superficie esférica de radioR se obtiene girando la gráfica de la funciónf .x/D

pR2 � x2 alrededor del ejeOX . El área viene dada por:

2�

Rw

�R

f .x/

q1C f 0.x/2 dx D 2�

Rw

�R

R dx D 4�R2:

©

Ejercicio resuelto 222 Calcular el área de la superficie de revolución engendrada algirar la

elipsex2

a2C y2

b2D 1 alrededor del ejeOY .

Solución. Expresandox como función dey, tenemos quex D ab

pb2 � y2, donde

solamente consideramos la mitad de la elipse que está en el semiplano de la derechax > 0. Queremos calcular el área de la superficie de revolución obtenida al girar la curvah.y/D a

b

pb2 � y2 alrededor del ejeOY . Dicha área viene dada por la integral:

I D 2�

bw

�b

h.y/

q1C h 0.y/2 dy D 2�

a

b2

bw

�b

qb4 C .a2 � b2/y2 dy :

Para calcularla debemos considerar dos posibilidades según quea > b o queb > a

(el casoaD b es trivial y se vuelve a obtener el mismo resultado del ejercicio anterior).PongamoscD

pja2 � b2j. Entonces, sia > b esc2Da2�b2, y sib > a esc2Db2�a2.

Por lo que:

ID2�a

b2

bw

�b

qb4 ˙ c2y2 dy D2�

ac

b2

bw

�b

s�b2

c

�2

˙ y2 dy D2�a

˛

bw

�b

q˛2 ˙ y2 dy :

Donde hemos puesto D b2

c. Podemos evaluar directamente estas integrales porque

tienen primitivas inmediatas que deberías saber de memoria(repasa la tabla de primitivasinmediatas). Pero también podemos calcularlas muy fácilmente.

bw

�b

q˛2 C y2 dy D

�y D ˛ senhtˇ D argsenhb

˛

�D ˛2

w

�ˇ

cosh2t dt D ˛2w

�ˇ

�et Ce�t

2

�2

dt D

D˛2

2

w

�ˇ

e2t Ce�2t

2C 1

!dt D˛2ˇC˛

2

2

w

�ˇ

cosh.2t/dt D ˛2ˇ C ˛2

4senh.2t/

ˇˇ�ˇD

D ˛2ˇ C ˛2

2senh.2ˇ/D ˛2ˇ C ˛2 senh.ˇ/ cosh.ˇ/D ˛2ˇ C ˛b

s

1C b2

˛2D

D ˛2 argsenhb

˛C ˛b

s

1C b2

˛2:

Simplificando, obtenemos que para el caso en quea > b, el área pedida es igual a:

2�a

b2

pa2 � b2

argsenh

pa2 � b2

b

!C a

!:



Evolución de la idea de integral 499

Es un buen ejercicio de cálculo que compruebes estos resultados paso a paso. Te garan-tizo que el resultado final obtenido es correcto. Un resultado parecido se obtiene para elcaso en queb > a. Lo dejo para que lo hagas tú. ©

8.8. Evolución de la idea de integral

8.8.1. Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas

5 Los problemas de cuadraturas son problemas geométricos queconsisten en lo siguiente:dada una figura, construir un cuadrado con área igual a la de lafigura dada. Esta construccióndebía hacerse con regla no graduada y compás, siguiendo unasnormas precisas. Según lo esta-blecido en losElementosde Euclides (c. 300 a.C.) la construcción debe constar de un númerofinito de pasos, cada uno de ellos consistente en:

� Trazar una recta que una dos puntos.

� Trazar una circunferencia de centro y radio arbitrarios.

� Intersecar dos de las figuras anteriores.

Son famosos los problemas de la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la dupli-cación del cubo y la inscripción de polígonos regulares en una circunferencia. En la antiguaGrecia se sabía cuadrar cualquier polígono.

A

D C

BO

F G

E H

Figura 8.26. Cuadratura de un rectángulo

Para cuadrar el rectánguloABCD de la figura8.26se procede de la forma siguiente:

1) Se prolonga el ladoAB y se determina sobre él un puntoE tal queBE DBC .

5Para escribir estas notas históricas he seguido de cerca lostrabajos de Kirsti Andersen [1], Israel Kleiner [10],González Urbaneja [7] y H. J. M. Bos [2].



Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas 500

2) Se traza con centro en el punto medioO deAE una semicircunferencia de radioOE.

3) Se traza porB una perpendicular aAE y se determina su punto de corteF con la semicir-cunferencia.

4) El segmentoFB es el lado de un cuadrado cuya área es igual a la del rectánguloABCD. Estoes consecuencia de que la alturaFB de un triángulo rectánguloAFE es media proporcionalentre las dos partes en que divide a la hipotenusa, es decir,FB=AB D BE=FB, por lo queFB2 DAB:BE DAB:BC .

A partir de aquí es fácil obtener la cuadratura de un triángulo, lo que permite obtener lacuadratura de cualquier polígono descomponiéndolo en triángulos. Los matemáticos griegosinventaron un procedimiento, que se conoce con el nombre de “exhausción”, por el cual podíanlograr la cuadratura de algunas regiones delimitadas por curvas. Se atribuye a Eudoxo de Cnido(c.400 - 347 a.C.) la invención de este método, que fue perfeccionado posteriormente porArquímedes (c. 287 - 212 a.C.). El siguiente es un notable ejemplo de su aplicación.

8.8.1.1. Cuadratura de un segmento de parábola por Arquímedes

8.70 Teorema. El área del segmento parabólicoPVQ es igual a cuatro tercios el área deltriángulo inscrito4PVQ.

Demostración.Esta demostración aparece en una carta que escribe Arquímedes a su amigoDositheus, obra que se conoce con el nombre deSobre la Cuadratura de la Parábola. Lademostración consiste en hacer una descomposición exhaustiva del segmento parabólico pormedio de triángulos de una forma muy ingeniosa. Empezaremosexplicando la construccióngeométrica de la figura8.27.

UnacuerdaPQ de una parábola es un segmento que une dos de sus puntos. La región planaacotada, cuya frontera está formada por la cuerdaPQ y el arco de la parábola comprendidoentre los puntosP y Q se llama unsegmento parabólico. El vérticede un segmento parabólicoes el punto de la parábola en el cual la tangente es paralela a la cuerda que define el segmento.

Se verifica que el vértice de un segmento parabólicoPVQ es el punto intersección con la

parábola de la recta paralela al eje de la parábola que pasa por el punto medioO D 1

2.P CQ/

del segmentoPQ.

El triángulo4PVQ cuya base es el segmentoPQ y cuyo otro vértice es el vérticeV delsegmento parabólico le llamaremos el triángulo inscrito.

En la figura8.27se han representado también los triángulos4PM V y 4VNQ inscritos,respectivamente, en los segmentos parabólicos determinados por las cuerdasPV y VQ.

La primera parte de la demostración consiste en calcular el área de los dos triángulos4PM V y4VNQ. Arquímedes demuestra que

�.4VNQ/D 1

4�.4VOQ/; �.4VMP /D 1

4�.4VOP /

Por tanto

�.4VNQ/C �.4VMP /D 1

4�.4PVQ/ (8.46)




V

P

P 0 Q

Q0

M

N

O

Figura 8.27. Cuadratura de un segmento de parábola

LlamandoS al área del triángulo4PVQ, el área de los dos nuevos triángulos es1

4S . Natural-

mente, este proceso se puede repetir ahora con cada uno de loscuatro segmentos parabólicosdeterminados por las cuerdasPM , M V , VN y NQ inscribiendo en ellos los respectivos trián-

gulos, la suma de cuyas áreas será igual a1

16S . Y puede repetirse indefinidamente.

Nosotros ahora acabaríamos calculando el área del segmentoparabólico por

1X

nD0

1

4nS D 4

3S

Pero Arquímedes, que no sabe de convergencia de series ni falta que le hace, razona de formamuy elegante por medio de la doble reducción al absurdo usualen la matemática griega.

Para ello hace uso de la llamadapropiedad arquimedianao axioma de Arquímedes. Esteaxioma aparece en el libro de ArquímedesLa Esfera y el Cilindroasí como enSobre la Cua-dratura de la Parábolay enEspirales. Al parecer, dicho axioma fue ya formulado por Eudoxo.Como sabemos, la propiedad arquimediana establece que:

Dadas magnitudes cualesquieraa > 0 y b > 0, siempre es posible, por pequeñaque seaa y grande que seab, conseguir que un múltiplo conveniente dea excedaa b, es decirna > b para algún número naturaln.

Partiendo de la propiedad arquimediana se deduce fácilmente el siguiente resultado, llamadoprincipio de convergencia de Eudoxo, en el que se basa el llamadométodo de exhauscióngriego:



Si de cualquier magnitud sustraemos una parte no menor que sumitad, y si delresto sustraemos de nuevo una cantidad no menor que su mitad,y si continuamosrepitiendo este procesos de sustracción, terminaremos porobtener como resto unamagnitud menor que cualquier magnitud del mismo tipo dada deantemano.

Arquímedes razona como sigue. SeaK el área del segmento parabólicoPVQ.

(I) Supongamos queK >4

3S ; es decir, queK � 4

3S > 0.

Como el área del triángulo inscrito en un segmento parabólico PVQ es la mitad del áreadel paralelogramo circunscritoPP 0QQ0, la cual, a su vez, es mayor que el área del segmento,se sigue que el área del triángulo inscrito en un segmento parabólico es mayor que la mitad delárea de dicho segmento, lo que permite aplicar el principio de convergencia de Eudoxo.

Por tanto, en la sucesión de áreas

K;K � S;K � .S C 1

4S/;K � .S C 1

4S C 1

16S/; : : :

cada una es menor que la mitad de la que le precede y, por tanto,en virtud del citado principio,podemos concluir que en alguna etapa se tendrá que

K � 4

3S > K �

�S C 1

4S C 1

16S C � � � C 1

4nS

�

Esto implica que

S C 1

4S C 1

16S C � � � C 1

4nS >

4

3S

lo que es contradictorio con la igualdad, conocida por Arquímedes, que dice que:

S C 1

4S C 1

16S C � � � C 1

4nS D 4

3S � 1

3

1

4nS (8.47)

la cual implica queS C 1

4S C 1

16S C � � � C 1

4nS <

4

3S . Por tanto, no puede serK >

4

3S .

(II) Supongamos queK <4

3S ; es decir, que

4

3S �K > 0.

Como cada una de las áreasS; 14S; 1

16S; : : : ; 1

4n S es menor que la mitad de la que leprecede y, por tanto, en virtud del principio de convergencia de Eudoxo, podemos concluir queen alguna etapa se tendrá que1

4n S < 43S �K. Entonces

4

3S �K >

1

4nS >

1

3

1

4nS D 4

3S �

�S C 1

4S C 1

16S C � � � C 1

4nS

�

Lo que implicaría que

K < S C 1

4S C 1

16S C � � � C 1

4nS

Que es absurdo pues la suma de la derecha es el área de un polígono inscrito en el segmento

parabólico. Por tanto, no puede serK <4

3S .

La única posibilidad esK D 4

3S . 2


8.8.1.2. El Métodode Arquímedes

En su tratadoEl Método, que se creía perdido y fue descubierto en 1906, Arquímedesobtiene la cuadratura de la parabola por medios mecánicos usando el principio de la palanca.Aunque el propio Arquímedesreconoce que esa forma de proceder no es una demostración,merece la pena decir algo sobre ella.

Z

K

M

N

E

B

Q

O

A CD

G

T

V

H

Figura 8.28. ElMétodode Arquímedes

La rectaCZ es la tangente a la parábola enC , B es el vértice del segmento parabólico. ElsegmentoAZ es perpendicular a la cuerdaAC , C T es la recta que pasa por el puntoC y elvérticeB de forma queK es el punto medio del segmentoC T . Se consideraC T como unbrazo de palanca con fulcro enK.

Por serABC una parábola, se sabe que la subtangenteED en un puntoC es igual al doblede la abscisaBD (conviene imaginarse la parábola girada 90 grados), es decir, EDD 2BD, dedonde,EB DBD. Deducimos, por la semejanza de triángulos en la figura, queMN DNQ yZK=KA.

Arquímedes demuestra enSobre la Cuadratura de la Parábolaque

CA

AQD MQ

QO




Y, como también esCA

AQD CK

KN, y por construcción esTK D CK, obtenemos que

TK

KND MQ

QO” TK:QO DKN:MQ

Si ahora trasladamos al puntoT un segmento de longitud igual aQO y lo ponemos como en lafigura el segmentoVH de modo que su centro de gravedad sea el puntoT , la igualdad anteriornos dice que el segmentoVH DQO queda equilibrado por el segmentoMQ, pues el productode dichos segmentos por la longitud correspondiente del brazo de palanca con fulcro enK esla misma. Obsérvese queN es el centro de gravedad del segmentoMQ. Deducimos queK esel centro de gravedad de los segmentosVH y MQ.

Análogamente puede razonarse con cualquier paralela al ejede la parábolaED, todas ellasestarán en equilibrio con los segmentos determinados sobreellas por el segmento parabólicotrasladados al puntoT , de manera que el centro de gravedad de cada par de segmentos será elpuntoK.

Ahora bien, los segmentos paralelos aDE “componen” el triángulo4AZC y los corres-pondientes segmentos dentro del segmento parabólico“componen” dicho segmento parabóli-co. Por tanto el triánguloAZC “permaneciendo en su lugar”, estará en equilibrio respectodel puntoK con el segmento parabólico trasladado hasta tener su centrode gravedad enT , demanera que el centro de gravedad del conjunto de ambos será elpuntoK.

Dividimos ahoraCK por el puntoG de forma queCK sea el triple deKG, el puntoG seráel centro de gravedad del triánguloAZC ,y puesto que el triánguloAZC , “permaneciendo ensu lugar” está en equilibrio, respecto del puntoK, con el segmento parabólicoABC , trasladadocon centro de gravedad enT , y queG es el centro de gravedad del triánguloAZC , se verifica,por consiguiente, que la razón del triánguloAZC al segmento parabólicoABC colocadoalrededor del centroT es igual a la razón deTK aKG. Ahora bien, siendoTK triple deKG,el triánguloAZC será triple del segmento parabólicoABC . Además, el triánguloAZC escuádruple del triángulo inscritoABC , ya queZK es igual queKA y KA es doble deBD alserAD igual queDC . Concluimos que el segmento parabólicoABC equivale a cuatro terciosdel triángulo inscritoABC . 2

8.8.1.3. Área de una espiral

El siguiente ejemplo de cuadratura sigue un procedimiento que, traducido a las notacionesactuales, es prácticamente el mismo de la integral de Riemann.

La espiral de Arquímedes es la curva que describe un punto material que se mueve convelocidad uniforme a lo largo de una semirrecta que gira con velocidad angular uniforme alre-dedor de su extremo. Es un ejemplo de las llamadascurvas mecánicas. La ecuación polar deuna espiral de Arquímedes es de la forma�D a# , dondea > 0 es una constante.

8.71 Teorema.El área del primer ciclo de una espiral es igual a una tercera parte del áreadel círculo circunscrito.

Demostración.Consideremos una espiral de Arquímedes de ecuación polar� D a# y calcu-lemos el área cuando el ángulo polar varía desde0 a 2� , es decir, de la primera vuelta de la



espiral. El radio del círculo circunscrito es2�a. Para ello dividimos este círculo en sectores deamplitud# D 2�=n, desde# D 2�k=n a# D 2�.k C 1/=n parak D 0; 1; : : : ;n� 1. En cadasector examinamos el arco de espiral que queda dentro del mismo y acotamos el área corres-pondiente a dicho arco de espiral entre las áreas de dos sectores circulares. Teniendo en cuentaque el área de un sector circular de radior y amplitud' radianes es1

2r2', resulta que el área de

sector circular más grande inscrito en cada arco de espiral es 12.a2�k=n/2.2�=n/, y el área de

sector circular más pequeño circunscrito a cada arco de espiral es12.a2�.k C 1/=n/2.2�=n/.

Deducimos que el área,S , de la espiral verifica que:

n�1X

kD0

1

2

�a2�k

n

�22�

nD 4�3a2

n3

n�1X

kD0

k2 < S <

nX

kD1

1

2

�a2�k

n

�22�

nD 4�3a2

n3

nX

kD1

k2

Figura 8.29. Cuadratura de una espiral

Arquímedes conocía quenX

kD1

k2 D 1

6n.n C 1/.2n C 1/. Usando este resultado podemos

escribir la desigualdad anterior en la forma:

4�3a2 1

6

�1 � 1

n

��2 � 1

n

�< S < 4�3a2 1

6

�1C 1

n

��2C 1

n

�

PongamosK D 13�.2�a/2 que es una tercera parte del área del círculo circunscrito. Restando

K en la desigualdad anterior y haciendo operaciones sencillas, obtenemos que:

K

�� 3

2nC 1

2n2

�< S �K < K

�3

2nC 1

2n2

�I

y como1=n2 6 1=n, obtenemos que�2K=n < S �K < 2K=n. Usando ahora el axioma deArquímedes se concluye queS DK. 2

La integración antes del Cálculo 506

8.8.2. La integración antes del Cálculo

8.8.2.1. Los indivisibles de Cavalieri

El método de integración geométrica que se consideraba ideal durante la primera mitad delsiglo XVII era el método de exhausción que había sido inventado por Eudoxo y perfeccionadopor Arquímedes. El nombre es desafortunado porque la idea central del método es la de evitarel infinito y por lo tanto este método no lleva a un “agotamiento” de la figura a determinar.

Entre los matemáticos del siglo XVII era general el deseo de encontrar un método paraobtener resultados y que, a diferencia del método de exhausción, fuera directo. Y mejor quemejor si el nuevo método, aparte de dar resultados, pudiera ser utilizado para demostrarlos.

El camino que siguieron fue el que se deriva de una concepciónintuitiva inmediata de lasmagnitudes geométricas. Se imaginaron un área como formada, por ejemplo, por un númeroinfinito de líneas paralelas. Kepler ya había hecho uso de métodos infinitesimales en sus obras;el interés que se tomó en el cálculo de volúmenes de toneles devino dio como resultado unlibro Nova stereometria doliurum vinariorum(1615). En él consideraba sólidos de revolucióncomo si estuvieran compuestos de diversas maneras por una cantidad infinita de partes sólidas.Por ejemplo, consideraba una esfera como formada por un número infinito de conos con vérticecomún en el centro y base en la superficie de la esfera. Esto le conducía al resultado de que laesfera es igual en volumen al cono que tiene como altura el radio de la esfera y como base uncírculo igual al área de la esfera, es decir un círculo con el diámetro de la esfera como radio.

Galileo tenía la intención de escribir un libro sobre indivisibles, pero este libro nunca sepublicó.

Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647), discípulo de Galileo yprofesor en la Universidadde Bolonia, publicó en 1635 un tratadoGeometria Indivisibilibus Continuorum Nova quadamRatione Promotaen el que, siguiendo ideas de Kepler y Galileo, desarrolló una técnica geo-métrica para calcular cuadraturas, llamadamétodo de los indivisibles. En este método, un áreade una región plana se considera formada por un número infinito de segmentos paralelos, cadauno de ellos se interpreta como un rectángulo infinitamente estrecho; un volumen se consideracompuesto por un número infinito de áreas planas paralelas. Aestos elementos los llama losindivisiblesde área y volumen respectivamente. En líneas generales los “indivisibilistas” man-tenían, como expresa Cavalieri en susExercitationes Geometricae Sex(1647), queuna líneaestá hecha de puntos como una sarta de cuentas; el plano está hecho de líneas, como un tejidode hebras y un sólido de áreas planas como un libro de hojas.

D

A B

C

G H

F E

La forma en que se aplicaba el método o principio de Cavalieripuede ilustrarse como sigue.




Para demostrar que el paralelogramoABCD tiene área doble que cualquiera de los triángulosABD o BCD, hace notar que cuandoGD D BE, se tiene queGH D FE. Por tanto lostriángulosABD y BCD están constituidos por igual número de líneas iguales, tales comoGH

y EF , y por tanto sus áreas deben ser iguales.

8.8.2.2. Cuadratura de la cicloide por Roberval

En 1630, Mersenne, propuso a sus amigos matemáticos hacer lacuadratura de la cicloide.Esta fue llevada a cabo por Gilles Personne de Roberval en 1634, utilizando esencialmente elmétodo de los indivisibles de Cavalieri. Recuerda que la cicloide es la curva que describe unpunto de una circunferencia que rueda sin deslizar.

O

r

2r

�r

R

S

Q

P N

M

A BC D

X Y

UV

Figura 8.30. Cuadratura de la cicloide

En la figura8.30, seaQMNS la mitad de un arco de la cicloide generada por el círculo de radior centrado enO. El área del rectánguloQMNP es el doble del área del círculo. Construimossegmentos de línea infinitesimales horizontales,AB, con longitud determinada por la distanciahorizontal entre el diámetroPQ y la circunferencia. Cada puntoC de la cicloide lo sometemosa una traslación horizontal hasta el puntoD, según el correspondiente segmentoAB D CD, yasí obtenemos la curvaQRN , llamada compañera de la cicloide. Por la construcción realizada,las secciones horizontales del semicírculo y de la región comprendida entre la cicloide y sucurva compañera son segmentos de igual longitud, por lo que dicha región tiene área igual a lamitad del circulo. Por otra parte, la curva compañera de la cicloide divide en dos partes igualesal rectánguloQMNP , pues, como Roberval demostró, las secciones horizontalesde alturaa

y 2r � a dan en cada una de las partes en que dicha curva divide al rectángulo, segmentosigualesX Y y U V . Deducimos así que el área encerrada por la mitad de un arco decicloide es�r2 C 1

2�r2 D 3

2�r2. Por tanto, concluimos que el área encerrada por un arco de lacicloide

es tres veces el área del círculo que la genera.

Los matemáticos no se mostraban de acuerdo acerca del valor que había que dar a unademostración por el método de los indivisibles. La mayoría de los que se preocupaban de lacuestión consideraban el método de los indivisibles sólo como un método heurístico y creíanque era aún necesaria una demostración por exhausción.



8.8.2.3. Parábolas e hipérbolas de Fermat

La cuadratura de las curvas definidas pory D xn donden es un número natural o bien unentero negativon¤�1, había sido realizada paranD1; 2 : : : ; 9 por Cavalieri, aunque podemosremontarnos hasta Arquímedes que había resuelto geométricamente los casos correspondientesanD1; 2; 3. Fermat, con una ingeniosa idea, logró obtener la cuadratura de áreas limitadas porarcos de hipérbolas generalizadasxnym D 1 (m;n 2 N).

Fermat seguía un método clásico de exhausción, pero con una idea feliz que consistió enconsiderar rectángulos infinitesimales inscritos en la figura a cuadrar cuyas bases estaban enprogresión geométrica. Fermat considera al principio las hipérbolasyxn D k y manifiesta:

Digo que todas estas infinitas hipérbolas, excepto la de Apolonio, que es la prime-ra, pueden ser cuadradas por el método de la progresión geométrica, de acuerdoa un procedimiento uniforme general.

Vamos a hacernos una idea de cómo calculaba Fermat la cuadratura de la hipérbola generalizaday D x�2 parax > a. Usaremos notación y terminología actuales.

a ar ar2 ar3 ar4 ar5 ar6O

AB

Figura 8.31. Cuadratura de la hipérbola de Fermaty D x�2

Elegimos un númeror > 1 y consideremos los puntos de abscisasa; ar; ar2; ar3; : : : . Losrectángulos inscritos (ver figura8.31) tienen área

.ar � a/1

.ar/2C .ar2 � ar/

1

.ar2/2C .ar3 � ar2/

1

.ar3/2C � � � D r � 1

ar2

1X

kD0

1

rkD 1

ar

El área de los rectángulos circunscritos viene dada por

.ar � a/1

a2C .ar2 � ar/

1

.ar/2C .ar3 � ar2/

1

.ar2/2C � � � D r � 1

a

1X

kD0

1

rkD r

a

Por tanto, llamandoS al área bajo la curva, tenemos que

1

ar< S <

r

a


Como esta desigualdad es válida para todor > 1, concluimos queS D 1

a. Observa que dicho

valor es precisamente el área del rectánguloOABa.

El razonamiento de Fermat tiene detalles muy interesantes que se pierden usando la termi-nología y símbolos actuales. Vamos a reproducir parte de su razonamiento. Fermat se apoyaen una propiedad de las progresiones geométricas de razón menor que la unidad, que enunciacomo sigue:

Dada una progresión geométrica cuyos términos decrecen indefinidamente, la di-ferencia entre dos términos consecutivos es al más pequeño de ellos, como el ma-yor es a la suma de los términos restantes.

LlamemosR1;R2;R3; : : : a las áreas de los sucesivos rectángulos yS a la suma de todasellas. Como se trata de una progresión geométrica decreciente, se tiene que:

R1 �R2

R2

D R1

S �R1

Simplificando, resulta

S �R1 DOA:AB D 1

a

Dice Fermat:

[. . . ] si ahora añadimos[a ambos miembros de esta igualdad]el rectánguloR1

que a causa de las infinitas subdivisiones, se desvanece y queda reducido a na-da, alcanzamos la conclusión, que podría ser fácilmente confirmada por una másprolija prueba llevada a cabo a la manera de Arquímedes. . . Noes difícil extenderesta idea a todas las hipérbolas definidas anteriormente excepto la que ha sidoindicada[la hipérbola de Apolonio].

Vemos cómo en las cuadraturas de Fermat de hipérbolas y parábolas generalizadas, subya-cen los aspectos esenciales de la integral definida:

� La división del área bajo la curva en elementos de área infinitamente pequeños.

� Aproximación de la suma de esos elementos de área por medio derectángulos infinitesi-males de altura dada por la ecuación analítica de la curva.

� Un intento de expresar algo parecido a un límite de dicha sumacuando el número deelementos crece indefinidamente mientras se hacen infinitamente pequeños.

8.8.2.4. La integración aritmética de Wallis

Jhon Wallis (1616 - 1703) publicó en 1655 un tratadoArithmetica infinitorum(“La Arit-mética de los infinitos”) en el que aritmetizaba el método de los indivisibles de Cavalieri. Parailustrar el método de Wallis consideremos el problema de calcular el área bajo la curvayD xk

(k D 1; 2; : : : ) y sobre el segmentoŒ0; a� (ver figura (8.32)). Siguiendo a Cavalieri, Wallis con-sidera la regiónPQR formada por un número infinito de líneas verticales paralelas, cada una




de ellas con longitud igual axk. Por tanto, si dividimos el segmentoPQDABDa enn partesde longitudhD a=n, donden es infinito, entonces la suma de estas infinitas líneas es del tipo

0k C hk C .2h/k C .3h/k C � � � C .nh/k (8.48)

Análogamente, el área del rectánguloABCD es

ak C ak C ak C � � � C ak D .nh/k C .nh/k C .nh/k C � � � C .nh/k (8.49)

La razón entre el área de la regiónPQR y el rectánguloABCD es

ÁreaPQR

ÁreaABCDD 0k C 1k C 2k C 3k C � � � C nk

nk C nk C nk C nk C � � � C nk(8.50)

R

QP A B

CD

ak

y D xk

Figura 8.32. Comparando indivisibles

Esto lleva a Wallis a estudiar el valor de la expresión (8.50) paran D 16. Después deestudiar varios casos para valores dek D 1; 2; 3 haciendo, en cada caso, sumas para distintosvalores den D 1; 2; 3; 4, Wallis observa ciertas regularidades en las mismas y, con tan débilbase, acaba afirmando que paranD1 y para todok D 1; 2; : : : , se verifica que:

0k C 1k C 2k C 3k C � � � C nk

nk C nk C nk C nk C � � � C nkD 1

k C 1(8.51)

Naturalmente, de aquí deduce el valor del área de la regiónPQR:

ÁreaPQR

ÁreaABCDD ÁreaPQR

akC1D 1

k C 1) ÁreaPQRD akC1

k C 1k D 1; 2; 3 : : : (8.52)

Este resultado ya era conocido anteriormente, pero Wallis no se paraba aquí y extendía la vali-dez de la igualdad (8.51) a todos los exponentes racionales positivos. Su peculiar razonamientotiene interés pues en él se basó Newton para obtener la serie binomial. Lo esencial del mismopuede resumirse, en términos actuales, como sigue.

6Fue precisamente Wallis quien introdujo en 1655 en la obraDe Sectionibus Conicis, el símbolo del “lazo delamor”,1, con el significado de “infinito”.




Definamos el índice,�.f /, de una funciónf mediante la igualdad

lKımn!1

f .0/C f .1/C f .2/C � � � C f .n/f .n/C f .n/C f .n/C � � � C f .n/ D

1

�.f /C 1(8.53)

suponiendo que dicho límite tenga sentido. Por ejemplo, (8.51) nos dice que el índice de lafunciónfk.x/D xk es�.fk/D k parak D 1; 2; : : : .

Wallis observó que, dada una progresión geométrica de potencias dex como, por ejemplo1;x3;x5;x7; : : : , la correspondiente sucesión de índices0; 3; 5; 7; : : : forman una progresiónaritmética. Como�.fk/D k, esta observación es trivial, pero le permite dar un atrevido saltoadelante, de manera que mediante una audaz interpolación establece (sin demostración) queuna conclusión análoga puede deducirse para la progresión geométrica

1; qp

x; . qp

x/2; : : : ; . qp

x/q�1;x

de manera que la sucesión de sus índices debe formar una progresión aritmética, de donde sesigue que debe ser�

�. qp

x/p�D p=q parap D 1; 2; : : : ; q. De esta forma obtiene que

lKımn!1

.p

0/p C .p

1/p C .p

2/p C .p

3/p C � � � C .pn/p

.p

n/p C .pn/p C .pn/p C .pn/p C � � � C .pn/pD 1

p=q C 1

Wallis estaba convencido de la validez de su método, conocido posteriormente comointerpo-lación de Wallis, que tuvo importancia en el siglo XVIII. Puede considerarsecomo un intentode resolver el siguiente problema:

Dada una sucesiónPk , definida para valores enteros dek, encontrar el significadodeP˛ cuando˛ no es un número entero.

Además, Wallis deduce quenecesariamente debe ser. qp

x/p D xp=q. Será Newton, poco mástarde, quien siguiendo los pasos de Wallis, introducirá el uso de potencias fraccionarias y ne-gativas.

Wallis, incluso llega a afirmar que la igualdad

aw

0

xr dx D arC1

r C 1(8.54)

no es válida solamente para exponentesr racionales, sino también para otros comor Dp

3

pero, naturalmente, no puede dar ninguna justificación.

Obtenida, a su manera, la cuadratura fundamental (8.54), Wallis intenta calcular la integral

1w

0

px � x2 dx

Dicha integral representa el área bajo la semicircunferencia de centro.1=2; 0/ y radio 1=2,su valor es, por tanto,�=8. Wallis quería obtener dicho resultado evaluando directamente laintegral. No tuvo éxito en este empeño que Newton habría de resolver posteriormente, pero susresultados le llevaron a obtener la llamadafórmula de Wallis

2

�D 1 � 3 � 3 � 5 � 5 � 7 � 7 � � �

2 � 2 � 4 � 4 � 6 � 6 � 8 � � �



8.8.2.5. El resultado fundamental de Barrow

Barrow estuvo muy cerca de descubrir la relación inversa entre problemas de tangentes yde cuadraturas, pero su conservadora adhesión a los métodosgeométricos le impidió hacer usoefectivo de esta relación. Veamos cómo aparece esa relacióntal como se expone en la LecciónX, Proposición 11 de lasLectiones Geometricae.

En la figura (8.33) se han representado dos curvay D f .x/ e y D g.x/. El segmentoAD

representa el eje de abscisas donde toma valoresx. La cantidadg.x/ representa el valor delárea bajo la gráfica def comprendida entre el puntoA y x. Dado un punto de abscisaD, setrata de probar que la pendiente de la tangente ay D g.x/ en el puntoF , es decir en el punto.D;g.D//, es igual af .D/DDE. La demostración de Barrow es geométrica.

ZG

K

P D

E

T

y D f .x/

A

IL

F

y D g.x/

Figura 8.33. Teorema Fundamental

Tracemos una línea rectaF T por F que corta enT a la rectaAD y tal que

DF=TD D f .D/DDE

Queremos probar queF T es la tangente ay D g.x/ en el puntoF . Para ello vamos a ver quela distancia horizontal,KL, de cualquier puntoL de la rectaEF a la rectaF T es menor quela distancia,IL, de dicho puntoL a la curvay D g.x/. Esto probará que la rectaF T quedasiempre por debajo dey D g.x/.

Tenemos que:FL=KLDDF=TD DDE

Por otra parte:

áreaADEZ D FD

áreaAPGZ D PI D LD

áreaPDEG D FD �LD D FL

Ya queáreaPDEG < rectánguloPD:DE (8.55)

La relación fundamental entre cuadraturas y tangentes 513

Se sigue queFL < PD:DE÷DE > FL=PD

y por tantoFL=KL > FL=PD÷KL < PD D IL

Deducimos que el puntoK queda debajo de la curvay D g.x/ y por tanto la rectaF T quedaa un lado de la curva. Para completar la demostración es necesario repetir el razonamientotomando puntos a la derecha deEF . Esto prueba queTF es tangente ay D g.x/ enD y supendiente esDE D f .D/. En términos actuales, lo que Barrow ha probado es que:

d

dx

xw

a

f .t/dt D f .x/

8.8.3. La relación fundamental entre cuadraturas y tangentes

8.8.3.1. El Teorema Fundamental del Cálculo según Newton

Newton desarrolló tres versiones de su cálculo. En la obraDe Analysi per aequationesnumero terminorum infinitas, que Newton entregó a su maestro Barrow en 1669, y que puedeconsiderarse el escrito fundacional del Cálculo, Newton usa conceptos infinitesimales de mane-ra similar a como hacía el propio Barrow. Este trabajo, además de contener el teorema binomialy los descubrimientos de Newton relativos a series infinitas, contiene también un claro recono-cimiento de la relación inversa entre problemas de cuadraturas y de tangentes. La exposiciónque hace Newton de esta relación fundamental es como sigue. Supone una curva y llamaz alárea bajo la curva hasta el punto de abscisax (ver figura8.34). Se supone conocida la relaciónentrex y z. Aunque Newton explica su método con un ejemplo, queda perfectamente claro sucarácter general. El ejemplo que Newton considera es

o

O Bx

b

HK

P

d

z.x/y

y D y.x/

Figura 8.34.z D z.x/D áreaOPB

z D n

mC nax

mCnn (8.56)

Pongamos, por comodidadr D mCnn

. Newton se imagina que el puntoP D .x;y/ se muevea lo largo de la curva y razona como sigue. Incrementemos la abscisax a x C o dondeo es


una cantidad infinitesimal omomento. TomemosBK D v de forma queov D áreaBbHK DáreaBbPd . El incremento del área viene dado por:

ov D z.x C o/ � z.x/D a

r.x C o/r � a

rxr (8.57)

Desarrollando en potencias

a

r.x C o/r D a

rxr.1C o=x/r D a

rxr

1C r

o

xC r.r � 1/

2

o2

x2C r.r � 1/.r � 2/

1 � 2 � 3o3

x3C � � �

!

(8.58)De (8.57) y (8.58) deducimos, después de dividir poro, que:

v D axr�1 C a.r � 1/

2oxr�2 C a.r � 1/.r � 2/

1 � 2 � 3 o2xr�3 C � � �

Si en esta igualdad suponemos queo va disminuyendo hasta llegar a ser nada, en cuyo casov coincidirá cony, después de eliminar los términos que contieneno que desaparecen, resultaque:

y D axr�1 D axmn (8.59)

Este es, por tanto, el valor de la ordenada de la curva enPD .x;y/. El proceso puede invertirsey, de hecho, ya se sabía que la cuadratura de (8.59) viene dada por (8.56).

Observemos que Newton no ha usado el significado tradicionalde la integral al estilo desus predecesores, es decir, no ha interpretado la integral como un límite de sumas de áreasinfinitesimales, sino que ha probado que la expresión que proporciona la cuadratura es correctaestudiando la variación momentánea de dicha expresión. De hecho, lo que Newton ha probadoes que la razón de cambio del área bajo la curva, esto es, el cociente

z.x C o/ � z.x/

o

se hace igual a la ordenada de la curva cuandoo “se hace nada”. En términos actuales, laderivada dez.x/ es la funcióny D y.x/. La relación simétrica entre cuadraturas y derivadasqueda así puesta claramente de manifiesto. Para calcular cuadraturas, basta con calcular unaantiderivada, lo que llamamos una primitiva de la funcióny D y.x/.

8.8.3.2. La invención delcalculus summatoriuspor Leibniz

Ya hemos comentado en el capítulo 6 (ver pg.321) las principales ideas que guiaron aLeibniz en la invención del Cálculo:

� La creación de un simbolismo matemático que automatizara los cálculos y permitieraformular fácilmente procesos algorítmicos.

� La apreciación de que las sucesiones de diferencias pueden sumarse fácilmente, y queel proceso de formar la sucesión de diferencias y después sumarla recupera la sucesióninicial, es decir, que se trata de operaciones inversas una de la otra.

� La consideración de las curvas como polígonos de infinitos lados de longitudes infinite-simales y de las variables como sucesiones que toman valoresconsecutivos infinitamentepróximos.




Se conservan en el archivo Leibniz en Hannover los manuscritos que contienen las investiga-ciones de Leibniz sobre los problemas de cuadraturas. En dichos documentos, fechados del 25de octubre al 11 de noviembre de 1675, Leibniz investiga la posibilidad de formular simbóli-camente los problemas de cuadraturas e introduce los símbolos que actualmente usamos parala integral y la diferencial. Los progresos de Leibniz se exponen de forma concisa y clara en eltrabajo de H.J.M. Bos [2] que sigo muy de cerca. Algunos de los resultados de Leibniz en estosmanuscritos son casos particulares de la regla de integración por partes, como, por ejemplo, lasiguiente igualdad (se suponef .0/D 0):

aw

0

xf 0.x/dx D af .a/ �aw

0

f .x/dx D a

aw

0

f 0.x/dx �aw

0

xw

0

f 0.t/dt

!dx (8.60)

Por supuesto, Leibniz no la escribe así. Recuerda que la notación que usamos para la derivadase debe a J.L. Lagrange y es bastante tardía, de finales del siglo XVIII. Además, la notación queusamos para indicar los límites de integración fue introducida por J. Fourier en el primer terciodel siglo XIX. Incluso el término “integral” no se debe a Newton ni a Leibniz. Leibniz llamócalculus differentialis, esto es “cálculo de diferencias”, a la parte de su cálculo que se ocupadel estudio de tangentes, ycalculus summatorius, o sea “cálculo de sumas”, a la que se ocupade problemas de cuadraturas. Para Leibniz una integral es una suma de infinitos rectángulosinfinitesimales, el símbolo que ideó para representarlas, “

r” tiene forma de una “s” alargada

como las que en aquel tiempo se usaban en la imprenta; además,es la primera letra de lapalabra latinasumma, o sea, “suma”. Fue Johann Bernoulli quien, en 1690, sugirióllamarcalculus integralisal cálculo de cuadraturas, de donde deriva el término “integral” que usamosactualmente.

De hecho, Leibniz obtuvo la fórmula (8.60) antes de inventar su notación para las inte-grales y las diferenciales. Es interesante mostrar cómo lo hizo. Para ello vamos a seguir elcamino opuesto al seguido por Leibniz, modificando la notación de dicha fórmula hasta llegara escribirla como lo hizo él.

Podemos interpretar gráficamente la igualdad (8.60) sin más que observar la figura8.35.

O A D a

B

x

P D .a; f .a//

w

w

w

w

w

ww

wb

b b

b

Figura 8.35. Áreas complementarias




El númeroaf .a/ es el área del rectánguloOAPB, la integralr a

0 f .x/dx es el área de laparte de dicho rectánguloOAP que queda bajo la curvay D f .x/. Deducimos de (8.60) quela integral

r a0 xf .x/dx es el área de la parteOBP de dicho rectángulo que queda por enci-

na de la curvay D f .x/. Esta área es la suma de las áreas de rectángulos horizontales comolos representados en la figura8.35. Estos rectángulos horizontales tienen como base el valorde la abscisa correspondiente,x, y como altura la diferencia infinitamente pequeña entre dosordenadas sucesivas, que Leibniz representa porw. Esta diferencia es lo que posteriormente sellamará diferencial dey. Podemos, pues, interpretar quewD dy D f 0.x/dx . Por su parte, elárea de la regiónOAP es considerada por Leibniz como la suma de las ordenadasy. Finalmen-te, podemos eliminary porque para Leibniz el valor de una variable puede obtenersesumandosus diferencias consecutivas, por eso,y puede verse como la suma de lasw. Esto equivale,en nuestra notación, a sustituirf .x/ por

r x0 f

0.t/dt (o, al estilo de Leibniz,y porr

dy ), loque también hemos hecho en la igualdad (8.60). La forma exacta en que Leibniz escribió laigualdad8.60, según se lee en [2], es:

omn.xw u ult. x; omn.w;� omn. omn.w (8.61)

Aquí u es el símbolo para la igualdad, “ult.x” significa el ultimusx, el último de losx, esdecir,OADa. El símbolo “omn.” es la abreviatura deomnes lineae, “todas las líneas”, símboloque había sido usado por Cavalieri y que Leibniz usa con el significado de “una suma”. Se usantambién líneas por encima de los términos y comas donde ahorapondríamos paréntesis.

En un manuscrito posterior en algunos días, Leibniz vuelve aescribir la igualdad8.61enla forma:

omn.x` u x omn.`� omn. omn. ; (8.62)

y observa que omn. antepuesto a una magnitud lineal como` da un área; omn. antepuesto a unárea comox` da un volumen y así sucesivamente.

[2]: : : Estas consideraciones de homogeneidad dimensional parecen haber sido las quesugirieron a Leibniz el usar una única letra en vez del símbolo “omn.”, porque escribe acontinuación: “Sería conveniente escribir “

r” en lugar de “omn.”, de tal manera que

r`

represente omn.`, es decir, la suma de todas las`”. Así fue como se introdujo el signo“r

” [. . . ] E inmediatamente a continuación escribe Leibniz la fórmula (8.62) utilizando elnuevo formalismo: w

x`D xw` �

w w` (8.63)

haciendo notar que:w

x D x2

2y

wx2 D x3

3

y subrayando que estas reglas se aplican a “las series en las que la razón de las diferenciasde los términos a los términos mismos es menor que cualquier cantidad dada”, es decir, alas series cuyas diferencias son infinitamente pequeñas.

Una líneas más adelante nos encontramos también con la introducción del símbolo “d”para la diferenciación. Aparece en el contexto de un brillante razonamiento que puederesumirse de la forma siguiente: el problema de las cuadraturas es un problema de suma desucesiones, para lo cual hemos introducido el símbolo “

r” y para el que queremos elaborar

uncálculo, es decir, un conjunto de algoritmos eficaces. Ahora bien, sumar sucesiones, esdecir hallar una expresión general para

ry dada lay, no es posible normalmente, pero

siempre lo es encontrar una expresión para las diferencias de una sucesión dada. Así pues,el cálculo de diferencias es la operación recíproca del cálculo de sumas, y por lo tanto




podemos esperar dominar el cálculo de sumas desarrollando su recíproco, el cálculo dediferencias. Para citar las mismas palabras de Leibniz:

Dada` y su relación conx, hallarr`. Esto se puede obtener mediante el

cálculo inverso, es decir, supongamos quer`D ya y sea`D ya=d ; entonces

de la misma manera que lar

aumenta las dimensiones,d las disminuirá. Perola

rrepresenta una suma yd una diferencia, y de lay dada podemos encontrar

siemprey=d o `, es decir, la diferencia de lasy.

Así se introduce el símbolo “d” (o más bien el símbolo “1=d”). [ : : : ] De hecho, prontose da cuenta de que ésta es una desventaja notacional que no viene compensada por laventaja de la interpretación dimensional de la

ry ded , y pasa a escribir “d.ya/” en vez de

“ya=d”, y de ahí en adelante son interpretadas lad y lar

como símbolos adimensionales[: : : ].

En el resto del manuscrito Leibniz se dedica a explorar este nuevo simbolismo, al quetraduce viejos resultados, y a investigar las reglas operacionales que rigen la

ry la d .

Esta larga cita, extraída del trabajo de H.J.M. BosNewton, Leibniz y la tradición leibniziana([2]), nos da una idea de cómo llegó Leibniz a la invención del cálculo. No fueron los caminosdel razonamiento lógico deductivo los seguidos por Leibnizsino los de la intuición, la conjetu-ra, el estudio de casos particulares y su generalización: : : Los mismos caminos que hoy siguenlos matemáticos activos en sus trabajos de investigación. Pese a que los conceptos que manejaLeibniz son oscuros e imprecisos fue capaz de desarrollar algoritmos de cálculo eficaces y degran poder heurístico. Como ya hemos indicado en el capítulo6, el cálculo de Leibniz triunfóen el continente europeo gracias a los trabajos de los hermanos Bernouilli y al libro de textodel Marqués de L’Hôpital que divulgó las técnicas del cálculo leibniziano por toda Europa.



Capıtulo9

Series numericas

Aquiles alcanzó a la tortuga y se sentó confortablemente so-bre su espalda. ¿De modo que has llegado al final de nuestracarrera?– dijo la tortuga –. ¿A pesar de que realmente consis-te en unaserie infinitade distancias? Yo creía que algún neciohabía demostrado que esto no podía hacerse.

Lewis Carroll

9.1. Conceptos básicos

En este capítulo continuamos con el estudio de las sucesiones empezado en el Capítulo 7.La novedad es que ahora vamos a considerar un tipoparticular de sucesiones que, sin exagerar,puede afirmarse que son las más útiles del Análisis. Estas sucesiones se llamanseries.

En lo que sigue vamos a considerar sucesiones de números reales por lo que evitaremosesa innecesaria precisión.

9.1 Definición. Dada una sucesiónfang, podemos formar a partir de ella otra sucesión,fAng,cuyos términos se obtienensumando consecutivamentelos términos defang, es decir:

A1 D a1; A2 D a1 C a2; A3 D a1 C a2 C a3; : : : ; An D a1 C a2 C � � � C an; : : :

o, si te gusta más,A1Da1 y, para todon2N, AnC1DAnCanC1. La sucesiónfAng así definidase llamaserie de término generalan o serie definida por la sucesiónfang, y la representaremos

porX

n>1

an o, más sencillamente,P

an. El númeroAnDnX

kD1

ak se llamasuma parcial de orden

n de la serieP

an.

518

Conceptos básicos 519

Debe quedar claro desde ahora queuna serie es una sucesión cuyos términos se obtie-nen sumando consecutivamente los términos de otra sucesión. Ni que decir tiene que, siendolas series sucesiones,los conceptos y resultados vistos para sucesiones conservan su mismasignificación cuando se aplican a series. En particular, es innecesario volver a definir qué seentiende cuando se dice que una serie es “acotada”, “convergente” o “positivamente divergen-te”.

Si una serieP

an es convergente se usa el símbolo1X

nD1

an para representar ellímite de la

serieque suele llamarsesuma de la serie. Naturalmente,1X

nD1

an es el número definido por:

1X

nD1

an D lKımfAng D lKımn!1

nX

kD1

ak :

Por tanto, la igualdadP1

nD1 an D S quiere decir que para todo" > 0, hay unm" 2N tal quepara todon > m" se verifica que

ˇPnkD1 ak � S

ˇ< ".

9.2 Ejemplo (Serie geométrica). Dado un númerox, la sucesiónf1C xC x2C � � � C xng sellama serie geométrica de razónx. Observa que dicha serie se obtiene sumando consecutiva-mente los términos de la sucesión

˚1;x;x2;x3; : : : ;xn; : : :

. Es costumbre representar la serie

geométrica de razónx con el símboloX

n>0

xn. Dicha serie converge si, y sólo si,jxj < 1, en

cuyo caso se verifica que:1X

nD0

xn D 1

1� x: (9.1)

Todas las afirmaciones hechas se deducen de que six ¤ 1, se tiene:nX

kD0

xk D 1C x C x2 C � � � C xn D 1

1� x� xnC1

1� x: (9.2)

Si jxj < 1 entonces lKımn!1

xnC1

1� xD 0 y obtenemos que:

1X

nD0

xn D lKımn!1

nX

kD0

xk D 1

1 � x.jxj < 1/:

Si jxj > 1 o xD�1 entonces la sucesiónfxng no converge; y sixD1 entoncesPn

kD0 1kDnC1

tampoco converge.

Te recuerdo que ya habíamos estudiado la serie geométrica enel ejemplo7.5. �

9.3 Ejemplo (Serie armónica). La serie de término general1=n, es decir, la sucesiónfHng

dondeHn DnX

kD1

1

k, que simbólicamente representamos por

X

n>1

1

n, se llamaserie armónica.

Se verifica que la serie armónica diverge positivamente:1X

nD1

1

nD lKım

n!1f1C 1=2C � � � C 1=ng D C∞:

En efecto, para todon2N tenemos que

lognDnw

1

1

xdx D

n�1X

jD1

jC1w

j

1

xdx 6

n�1X

jD1

jC1w

j

1

jdx D

n�1X

jD1

1

j< 1C 1

2C � � � C 1

n� 1C 1

n

y por tanto

lKımn!1

f1C 1=2C � � � C 1=ng > lKımn!1

lognDC∞÷1X

nD1

1

nDC∞:

Este resultado es también consecuencia directa de que, según vimos en el ejercicio resuelto161, la serie armónica es asintóticamente equivalente a la sucesiónflogng:

lKımn!1

1C 1=2C 1=3C � � � C 1=n

lognD 1:

�

9.4 Ejemplo (Serie armónica alternada). Se llama así la serie de término general.�1/n�1

n;

es decir, la serieX

n>1

.�1/n�1

n. Se verifica que la serie armónica alternada es convergente ysu

suma es igual a log2.1X

nD1

.�1/n�1

nD log2:

Esto ya ha sido probado en el ejercicio resuelto161. Pero podemos dar otra prueba más directa.Sustituyendox por�x en la igualdad (9.2), obtenemos la siguiente igualdad válida para todon2N y todox ¤�1:

1

1C xD 1 � x C x 2 � x3 C � � � C .�1/nxn C .�1/nC1 xnC1

1C x: (9.3)

Integrando esta igualdad entre0 y 1 tenemos que:

log2D 1� 1

2C 1

3� 1

4C � � � C .�1/n

1

nC 1C .�1/nC1

1w

0

xnC1

1C xdxD

DnC1X

kD1

.�1/k�1

kC .�1/nC1

1w

0

xnC1

1C xdx

De donde ˇˇˇlog2�

nC1X

kD1

.�1/k�1

k

ˇˇˇD

1w

0

xnC1

1C xdx 6

1w

0

xnC1 D 1

nC 2:

Y deducimos que

lKımn!1

ˇˇˇlog2 �

nC1X

kD1

.�1/k�1

k

ˇˇˇD 0÷ log2D

1X

nD1

.�1/n�1

n:

�


El siguiente ejemplo te ayudará a entender el concepto de serie convergente. Vamos a verque modificando el orden de los términos en una serie convergente podemos obtener otra serieconvergente con distinta suma.

9.5 Ejemplo(Reordenando términos en la serie armónica alternada podemos obtener otraserie con distinta suma). Como hemos visto, la serie armónica alternada es la sucesiónque seobtiene sumandoconsecutivamentelos términos de la sucesión

(.�1/n�1

n

)D�

1;�1

2;1

3;�1

4;1

5;�1

6;

1

7;�1

8;

1

9;� 1

10;

1

11;� 1

12; : : : : : :

�(9.4)

Vamos a cambiar el orden de los términos en esta sucesión poniendo uno positivo seguido dedos negativos manteniendo sus posiciones relativas. Obtenemos así la sucesión

�1;�1

2;�1

4;

1

3;�1

6;�1

8;1

5;� 1

10;� 1

12;

1

7;� 1

14;� 1

16; : : : : : :

�; (9.5)

cuya serie asociada, obtenida sumandoconsecutivamentesus términos, es la sucesiónfSngdada por:

S1 D 1

S2 D 1 � 1

2

S3 D 1 � 1

2� 1

4

S4 D 1 � 1

2� 1

4C 1

3

S5 D 1 � 1

2� 1

4C 1

3� 1

6

S6 D 1 � 1

2� 1

4C 1

3� 1

6� 1

8: : : : : : D : : : : : :

S9 D 1 � 1

2� 1

4C 1

3� 1

6� 1

8C 1

5� 1

10� 1

12: : : : : : D : : : : : :

S3n DnX

jD1

�1

2j � 1� 1

4j � 2� 1

4j

�

Tenemos que:

S3nD 1 � 1

2� 1

4C 1

3� 1

6� 1

8C 1

5� 1

10� 1

12C � � � C 1

2n� 1� 1

4n � 2� 1

4n

D�

1 � 1

2

�� 1

4C�

1

3� 1

6

�� 1

8C�

1

5� 1

10

�� 1

12C � � � C

�1

2n � 1� 1

4n� 2

�� 1

4n

D 1

2� 1

4C 1

6� 1

8C 1

10� 1

12C � � � C 1

2.2n � 1/� 1

4n

D 1

2

�1 � 1

2C 1

3� 1

4C 1

5� 1

6C � � � C 1

2n � 1� 1

2n

�

D 1

2

nX

jD1

.�1/j�1

j:



La particularidad del estudio de las series 522

Deducimos que:

lKımn!1

S3n D1

2lKım

n!1

nX

jD1

.�1/j�1

jD 1

2log2:

Es claro que lKımfS3n � S3n�1g D lKımfS3n � S3n�2g D 0 de donde se sigue que:

lKımfSng D1

2log2:

Es decir, hemos probado que la serie obtenida reordenando los términos de la serie armónicaalternada por el criterio de sumar uno positivo seguido de dos negativos, es convergente y su

suma es1

2log2. �

9.6 Observación(La sumade una serie convergente no es una suma). El ejemplo ante-rior pone claramente de manifiesto que lasumade una serie convergente no es una suma enel sentido usual de la palabra, es decir, no es una suma algebraica de números. Observa quelos conjuntosde números (9.4) y (9.5) son los mismos pero las series correspondientes tienen

distintasuma; la primera tienesumalog2 y la segunda1

2log2. Si la suma de una serie consis-

tiera en sumar los infinitos términos de una sucesión, entonces el orden en que los sumáramossería indiferente porque la suma de números tiene la propiedad conmutativa. Debes tener claro,por tanto, que cuando calculas la suma de una serie no estás haciendo una suma infinita sinoque estás calculando unlímite de una sucesióncuyos términos se obtienen sumando conse-cutivamente los términos de otra sucesión dada. Insisto: calcular la suma de una serie no esuna operación algebraica, no consiste en sumar infinitos términos, es un proceso analítico quesupone un límite.

9.1.1. La particularidad del estudio de las series

Ahora viene la pregunta del millón: si las series no son nada más que sucesiones, ¿porqué dedicarles una atención especial? La respuesta a esta pregunta es que en el estudio de lasseries hay unahipótesis implícitaque los libros silencian. A saber: se supone que las series sonsucesiones demasiado difíciles de estudiardirectamente.

La característica que distingue el estudio de las series es la siguiente: se trata de deducirpropiedades de la seriefAng D fa1 C a2 C � � � C ang, a partir del comportamiento defang. Esdecir, los resultados de la teoría de series dan informaciónsobre la sucesiónfAng haciendohipótesis sobre la sucesiónfang. ¿Por qué esto es así?, ¿no sería más lógico, puesto que lo quequeremos es estudiar la seriefAng, hacer hipótesis directamente sobre ella? La razón de estaforma de proceder es que, por lo general, no se conoce una expresión deAnDa1Ca2C� � �Can

que permita hacer su estudio de forma directa; es decir, la suma a1 C a2 C � � � C an no esposible “realizarla” en la práctica. Por ello, en el estudiode las series se supone implícitamentequela sucesiónfang es el dato que podemos utilizar. Naturalmente, esto hace que el estudio delas series se preste a muchas confusiones porque, aunque su objetivo es obtener propiedades dela seriefAng, las hipótesis y la notación

Pan hacen siempre referencia a la sucesiónfang, por

lo que puede caerse en el error de creer que lo que se está estudiando es dicha sucesiónfangcuando lo que realmente se estudia es la sucesiónfa1 C a2 C � � � C ang. Un error muy comúny que debes evitar es confundir las sucesionesfang y

Pan: ¡son sucesiones muy diferentes!




Si lo piensas un poco, esta forma de proceder no es del todo nueva. Ya estás acostumbrado ausar la derivada de una función para estudiar propiedades dela función; pues bien, la situaciónaquí es parecida: para estudiar la serie

PanDfa1 C a2 C � � � C ang (la función) estudiamos la

sucesiónfang (la derivada). Un buen ejemplo de esto que digo son los criterios de convergenciaque veremos dentro de poco.

Otra dificultad adicional en el estudio de las series es la notación tan desafortunada que se

emplea. En la mayoría de los textos se representa con el mismosímbolo,1X

nD1

an, la serie (que

es una sucesión) y su suma (que es un límite que no siempre existe). Esto es un disparate: seestá confundiendo una sucesión con un número. ¿Es lo mismo lasucesiónf1=ng que el número0 que es su límite? En ninguna parte verás escrita la igualdaddisparatadaf1=ng D 0 ¿Por qué

entonces, al tratar con series, se confunde el número1X

nD1

1

2nD 1 con

X

k>1

1

2kque es la sucesión

(nX

kD1

1

2k

)D�

1� 1

2n

�?

Quizás esto se debe a que, parece increíble pero es cierto, nohay acuerdo unánime pararepresentar de forma apropiada la serie de término generalan. La notación que estamos usandoaquí,

X

n>1

an, tiene la ventaja de que es clara y evita las confusiones que estoy comentando, pues

permite distinguir entre la serie y su eventual suma. Tiene el inconveniente de que la mayoría delos autores no la usan (quizás porque la desconocen). Estoy convencido de que las ventajas deesta notación compensan ampliamente este posible inconveniente. Es más, confío en que dichanotación acabe imponiéndose y siendo aceptada universalmente. Pero esto no va a sucederpasado mañana, por eso te advierto de que en los libros encontrarás las usuales notacionesconfusas que no distinguen entre la serie (una sucesión) y suposible límite (su suma).

Todavía queda una última sorpresa. Estamos de acuerdo en quelas series son sucesiones.¿Muy especiales? En absoluto. Toda sucesión podemos verla,si así nos interesa, como unaserie. Puestoda sucesiónfang es la serie definida por la sucesión de sus diferencias, esto es,por la sucesiónfdng dada por:

d1 D a1; d2 D a2 � a1; d3 D a3 � a2; : : : ;dnC1 D anC1 � an; : : :

Es claro quean DnX

jD1

dj . Por tanto, toda sucesión podemos considerarla como una serie. En

resumen, series y sucesiones son lo mismo: toda serie es una sucesión y toda sucesión puedeser vista como una serie.Lo que distingue a la teoría de series es el punto de vista específicode su estudio, pero sus resultados pueden aplicarse a cualquier sucesión.

Creo que con lo dicho ya puedes hacerte una idea correcta de loque son las series. Insis-to en esto porque en los libros encontrarás disparates para todos los gustos. Voy a comentarseguidamente algunos de ellos. Mis comentarios están pensados para hacer reflexionar a losprofesores que los lean.

9.7 Observación(Sobre algunas definiciones usuales de serie). En algunos libros se da asiguiente definición.




Definición de serie “a la Bourbaki”. Una serie es un par de sucesiones�fxng; fSng

�donde

para todon2N Sn DPn

kD1 ak . La sucesiónfSng se llama sucesión de sumas parciales de laserie.

El problema con esta definición está en las primeras 7 palabras: una serie es unpar desucesiones. Quien lea esta definición pensará que una serie es algo diferente a una sucesión. Si,además, como ocurre con más frecuencia de la deseada, el libro que da esta definición vuelve aenunciar para series – ¡e incluso a demostrar! – algunos de los resultados anteriormente vistospara sucesiones, el desastre ya es total: el lector de ese libro acabará pensando que las seriesson algo diferente de las sucesiones.

Esta definición de serie adolece de la pedantería lamentablede las definiciones “al estiloBourbaki”. Son definiciones excesivamente formalistas cuya precisión formal las hace confusase ininteligibles para quien no sabe de qué va la cosa. Con un ejemplo se entiende mejor lo quequiero decir. Tú sabes lo que es la derivada de una función. Sabes que para derivar una funciónprimero tienen que darte la función cuya derivada vas a usar.Por tanto, el concepto de derivadainvolucra adosfunciones: la funciónf y la funciónf 0. Una definición “al estilo Bourbaki” dederivada sería como sigue:

Una derivada es un par de funciones.f; f 0/, dondef es una función defini-da en un intervaloI , y para cada puntoa 2 I f 0.a/ es el número definido por

f 0.a/D lKımx!a

f .x/� f .a/x � a

.

Estarás de acuerdo en que la supuesta mayor precisión formalde esta definición está muy lejosde compensar su mayor dificultad de comprensión. Esto es exactamente lo que se hace en ladefinición de serie que estamos comentando. Para formar la serie fAngDfa1 C a2 C � � � C angprimero tienen que darnos la sucesiónfang. Eso y no otra cosa es lo que significa la expresión“una serie es un par de sucesiones”. Todos sabemos que el Tajopasa por Toledo pero eso nonos hace decir que Toledo es un par (Tajo,Toledo): : : ¿Me explico?

En el extremo opuesto del “estilo Bourbaki” está el “estilo todo vale”.

Definición de serie al “estilo todo vale”.Una serie es una suma infinita

a1 C a2 C a3 C � � � C an C � � �

Ya está, eso es todo. Definiciones parecidas a esta se encuentran con frecuencia en libros deautores ingleses o norteamericanos. Se trata de una definición que no define nada e introducesímbolos confusos.

Entre el excesivo formalismo y la informalidad absoluta, con notaciones inapropiadas yconfusas, la verdad es que la mayoría de los libros que conozco no ayudan a comprender elconcepto de serie ni las particularidades de su estudio.

Convenios de notación. Usaremos la notaciónP

an para representar la serie de términogeneralan. Por tanto, una última vez lo repito,

Pan es una sucesión, más concretamente,P

an es la aplicación deN en R que a cada número naturaln 2 N hace corresponder elnúmero

PnkD1 ak .

A pesar de lo dicho, también usaré de vez en cuando la notaciónfa1 C a2 C � � � C ang parala serie de término generalan. Creo que un uso adecuado de ambas notaciones es la mejor



Propiedades básicas de las series convergentes 525

forma de ayudarte para que tengas siempre presente que la sucesión que estamos estudiando esPan D fa1 C a2 C � � � C ang y no fang.A veces conviene considerar, por comodidad, series que empiezan en un índice entero

q2Z, usaremos en tal caso la notaciónX

n>q

an. Por ejemplo, es más cómodo escribirX

n>3

1

logn

queX

n>1

1

log.nC 2/aunque ambas son la misma serie.

9.1.2. Propiedades básicas de las series convergentes

Es importante que te des cuenta de que cambiar un solo términoen la sucesiónfang setraduce en cambiar infinitos términos en la serie

Pan. El siguiente resultado nos dice que

si cambiamos un número finito de términos en una sucesiónfang ello no afecta a la posibleconvergencia de la seriefa1 C a2 C � � � C ang pero sí afecta a la suma de dicha serie.

9.8 Proposición. Seanfang y fbng dos sucesiones y supongamos que hay un númeroq2N talque para todon>q C 1 esan D bn. Entonces se verifica que las seriesfa1 C a2 C � � � C angy fb1 C b2 C � � � C bng o bien convergen ambas o no converge ninguna, y en el primer caso severifica que:

1X

nD1

an �qX

jD1

aj D1X

nD1

bn �qX

jD1

bj :

Demostración. PongamosAn D a1 C a2 C � � � C an, Bn D b1 C b2 C � � � C bn, ˛ DqX

jD1

aj ,

ˇDqX

jD1

bj . Las afirmaciones hechas se deducen todas de que para todon > qC 1 se verifica la

igualdad:nX

kDqC1

ak DAn � ˛ DnX

kDqC1

bk DBn � ˇ

Observa que los númerosy ˇ son constantes fijas. De la igualdadAn C ˛ DBn C ˇ, válidapara todon > q C 1, deducimos que las series

PanD fAng y

Pbn D fBng ambas convergen

o ninguna converge. Cuando hay convergencia tenemos que:

lKımn!1

fAn � ˛g D lKımn!1

fAng � ˛ D lKımn!1

fBn � ˇg D lKımn!1

fBng � ˇ:

Lo que prueba la igualdad del enunciado. 2

Consideremos una serieX

n>1

an . Dadoq2N definamosbnD 0 para1 6 n 6 q, bnDan para

todo n > q C 1. La serieX

n>1

bn se llamaserie resto de ordenq de la serieX

n>1

an . Es usual



Propiedades asociativas y conmutativas 526

representar dicha serie resto con la notaciónX

n>qC1

an. De la proposición anterior deducimos

que las seriesX

n>1

an yX

n>qC1

an ninguna converge o ambas convergen y, cuando esto ocurre es:

1X

nD1

an �qX

kD1

ak D1X

nDqC1

an:

No lo olvides: para calcular la suma de una serie debes tener siempre presente el índice desdeel que se empieza a sumar.

El siguiente resultado es importante porque establece una condición necesaria general parala convergencia de una serie.

9.9 Proposición(Condición necesaria para la convergencia de una serie). Para que la seriePan sea convergente es necesario quelKımfang D 0.

Demostración. Si la serieP

an es convergente, entonces lKımfAng D lKımfAn�1g D S es unnúmero real. Como para todon2N conn > 2 tenemos quean D An � An�1, deducimos quelKımfang D lKımfAng � lKımfAn�1g D S � S D 0. 2

Esta condición necesaria no es suficiente:f1ng ! 0 pero la serie armónica

P1n

no esconvergente. Se trata de una condición necesaria para la convergencia de una serie, por tantocuando dicha condición no se cumple la serie no es convergente.

9.10 Ejemplo. Las seriesX

n>1

�1� 1

n

�n

,X

n>1

n sen1

n,X

n>1

n�

e1n �1

�no son ninguna de ellas

convergente porque sus términos generales no convergen a0:

�1 � 1

n

�n

! 1

e; n sen

1

n! 1; n

�e

1n �1

�! 1:

�

9.1.3. Propiedades asociativas y conmutativas

Ya hemos dicho que el límite,L, de una serie convergente,LD lKımfa1 C a2 C � � � C ang,no es, como a veces se dice, una “suma de los infinitos términos” de la sucesiónfang. ¿Quésentido tiene eso de “sumar infinitos términos”? Ninguno, desde luego. Lo que dicho número

verifica es queˇˇL �

PnjD1 aj

ˇˇ se conserva menor que cualquier número" > 0, a partir de un

cierto n 2N en adelante. Si bien, puede ser sugerente la interpretaciónde L como “la sumade los términos de la sucesiónfang”, no hay que olvidar que esto no es más que una formade hablar, y que el límite de una serie convergente es, justamente, el límite de una sucesiónde sumas y no debe confundirse con una operación algebraica.Por ello cabe preguntarse si laspropiedades asociativa y conmutativa de la adición se conservan para series convergentes. Dehecho, ya hemos visto que la propiedad conmutativa no se verifica en general, pues reordenando



los términos de una serie convergente podemos obtener otra serie con suma distinta. Las cosasvan mejor en lo que se refiere a la asociatividad. Precisemos estas ideas.

Seafa1 C a2 C � � � C ang la serie definida por la sucesiónfang. Dada una aplicación estric-tamente creciente� WN ! N, definamos una sucesiónfbng por:

b1 D a1 C a2 C � � � C a�.1/; bnC1 D a�.n/C1 C � � � C a�.nC1/ .n2N/ (9.6)

En estas condiciones se dice que la serieP

bn se ha obtenidoasociando términosen la seriePan. PoniendoAn D a1 C a2 C � � � C an, y BnDb1Cb2C� � �Cbn, se tiene queBnDA�.n/,

es decir la sucesiónfBng es una sucesión parcial defAng. Deducimos el siguiente resultado.

9.11 Proposición.Toda serie obtenida asociando términos en una serie convergente tambiénes convergente y ambas series tienen la misma suma.

Es importante advertir que asociando términos en una serie no convergente puede obtenerseuna serie convergente. Por ejemplo, la serie definida por la sucesiónfang D f.�1/nC1g no esconvergente, y la serie que se obtiene de ella asociando términos dos a dos, es decir, la seriedefinida por la sucesiónbnD a2n�1C a2nD 0, es evidentemente convergente. A este respectotiene interés el siguiente resultado que establece una condición suficiente para que de la con-vergencia de una serie obtenida asociando términos en otra pueda deducirse la convergencia deesta última.

9.12 Proposición.Sea� WN ! N una aplicación estrictamente creciente,fang una sucesióny fbng la sucesión definida como en(9.6). Supongamos que la serie

Pbn es convergente y que

la sucesión˛n D ja�.n/C1j C ja�.n/C2j C � � � C ja�.nC1/j

converge a cero. Entonces la serieP

an es convergente y tiene la misma suma que la seriePbn.

Demostración. Para cadan2N, n > �.1/, definamos:

�.n/DmKaxfk2N W �.k/6 ng:

Evidentemente,�.n/ 6 �.n C 1/. Además�.�.n// 6 n < �.�.n/ C 1/, y para todop 2 N

�.�.p//D p. PongamosAn D a1 C a2 C � � � C an, Bn D b1 C b2 C � � � C bn. Se compruebafácilmente, usando que� es creciente y no mayorada, que lKım

˚B�.n/

D lKımfBng (observa que˚

B�.n/

es “parecida” a una sucesión parcial defBng). Paran > �.1/ tenemos:

An D.a1 C � � � C a�.1//C � � � C .a�.�.n�1//C1 C � � � C a�.�.n///C a�.�.n//C1 C � � � C an

DB�.n/ C a�.�.n//C1 C � � � C an:

Por tantoˇAn � B�.n/

ˇ6 ja�.�.n//C1j C � � � C janj6 ja�.�.n//C1j C � � � C ja�.�.n/C1/j D ˛�.n/ ! 0:

De donde se sigue que lKımfAng D lKım˚B�.n/

D lKımfBng. 2

Estudiaremos seguidamente las series convergentes para las que se verifica la propiedadconmutativa. Precisaremos estos conceptos. Seafa1 C a2 C � � � C ang la serie definida por la

sucesiónfang. Dada una biyección� WN ! N, definamos una sucesiónfbng por bn D a�.n/.En estas condiciones se dice que la seriefb1 C b2 C � � � C bng se ha obtenidoreordenandotérminosen la seriefa1 C a2 C � � � C ang.9.13 Definición. Se dice que una seriefa1 C a2 C � � � C ang esconmutativamente conver-gente si paratoda biyección� W N ! N, se verifica que la serie definida por la sucesiónfa�.n/g, es decir la seriefa�.1/ C a�.2/ C � � � C a�.n/g, es convergente.

Observa que, tomando como biyección deN sobreN la identidad, si la serieP

an es con-mutativamente convergente entonceses convergente. En otras palabras, una serie es conmuta-tivamente convergente, cuando es convergente y también sonconvergentes todas las series quese obtienen de ella por reordenación de sus términos (en cuyocaso se verifica que todas ellastienen la misma suma). La serie armónica alternada es un ejemplo de serie convergente que noes conmutativamente convergente.

El siguiente teorema da una sencilla caracterización de lasseries conmutativamente conver-gentes. Debes entender lo que afirma el teorema pero no es preciso que leas su demostración. Siacaso, puede ser interesante que leas el comienzo de la demostración de la implicaciónb/÷a/

porque es muy parecida a la demostración del teorema8.33. Esto no es casual: hay bastantesanalogías entre la convergencia de integrales impropias y de series.

9.14 Teorema.Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) La seriefa1 C a2 C � � � C ang es conmutativamente convergente.

b) La seriefja1j C ja2j C � � � C janjg es convergente.

Además, en caso de que se verifiquen a) y b), se tiene que:

1X

nD1

an D1X

nD1

a�.n/

cualquiera sea la biyección� WN ! N.

Demostración. b/÷a/ PongamosAn D a1 C a2 C � � � C an, BnD ja1j C ja2j C � � � C janj.Supongamos quefja1j C ja2j C � � � C janjg es convergente. Probaremos en primer lugar que laseriefa1 C a2 C � � � C ang también es convergente. Dado" > 0, la condición de Cauchy parafBng nos dice que existen02N tal que

ˇBq � Bp

ˇD

qX

kDpC1

jak j <"

2; para todosp; q2N tales que q > p>n0: (9.7)

Deducimos que para todosp; q2N tales queq > p>n0 se verifica que

ˇAq �Ap

ˇDˇapC1 C apC2 C � � � C aqj6

qX

kDpC1

jak j <"

2< ":

Lo que prueba que la seriefAng cumple la condición de Cauchy y, por tanto, es convergente.

PongamosAD lKımfAng, y sea� WN ! N una biyección. Dado" > 0, sean02N tal quese verifica (9.7) y además

ˇAn0�A

ˇ< "=2. Definamos

m0 DmKaxfj 2N W �.j /6 n0g; Fm D f�.k/ W 1 6 k 6 mg:

Param>m0, se verifica queFm ¥ f1; 2; : : : ;n0g. Por tanto, el conjuntoHDFmnf1; 2; : : : ;n0gno es vacío. SeapDmKın.H /, qDmKax.H /. Tenemos entonces queq>p>n0C 1, y por tanto:

ˇˇ

mX

jD1

a�.j/ �A

ˇˇ D

ˇˇ X

k 2Fm

ak �A

ˇˇD

ˇˇ

n0X

kD1

ak CX

k 2H

ak �A

ˇˇ6

6

ˇˇ

n0X

kD1

ak �A

ˇˇC

X

k 2H

jak j <"

2C

qX

kDp

jak j <"

2C "

2D ":

Hemos probado así que1X

nD1

a�.n/ DA y por tanto queb/ implica a/.

a/÷b/ Probaremos que si la seriefBng no es convergente entonces la seriefAng noes conmutativamente convergente. Supondremos, pues, en loque sigue quefBng no es con-vergente. Tenemos para la seriefAng dos posibilidades: o bien converge o bien no converge.Evidentemente, sifAng no converge entonces, con mayor razón, no es conmutativamente con-vergente. Consideraremos, por tanto, el caso en quefAng es convergente. Para nuestro pro-pósito es suficiente probar que, en tal caso, hay una biyección � W N ! N tal que la seriefa�.1/C a�.2/C � � � C a�.n/g es positivamente divergente. Veamos cómo puede justificarse laexistencia de dicha biyección.

De las hipótesis hechas se deduce que los conjuntosU D fn 2N W an > 0g, y V D N nU son infinitos. Sean� y biyecciones crecientes deN sobre U y V , respectivamente.Evidentemente, para todon2N, se verifica que:

fk2N W �.k/6 ng [ fk2N W .k/6 ng D fk2N W 1 6 k 6 ng

por lo que, poniendoPn D

X

�.k/6n

a�.k/; Qn DX

.k/6n

a .k/

tenemos queAn D Pn C Qn y Bn D Pn � Qn, de donde se sigue queningunade las su-cesionesfPng y fQng es convergente y, como son monótonas, deducimos quefPng divergepositivamente yfQng diverge negativamente.

Lo que sigue es fácil de entender: vamos a ir formando grupos de términos positivos con-secutivos de la sucesiónfang y, entre cada dos de tales grupos, vamos a ir poniendo consecu-tivamente los términos negativos de dicha sucesión. El criterio para ir formando los grupos detérminos positivos es que la suma de cada grupo con el términonegativo que le sigue sea mayorque1. Formalmente sería como sigue. Definimos� WN ! N por:

�.1/DmKınfq2N W P�.q/ C a .1/ > 1g�.k C 1/DmKınfq2N W P�.q/ � P�.k/C a .kC1/ > 1g para todok2N:

Pongamos, por comodidad de notación�.0/D0. Nótese que el grupok-ésimo de términos po-sitivos está formado pora�.�.k�1/C1/; a�.�.k�1/C1/C1; : : : ; a�.�.k//, y dicho grupo va seguidopor el término negativoa .k/. Pues bien, la biyección� WN ! N , dada por:

�.j /D �.j � k/ para �.k/C k C 1 6 j 6 �.k C 1/C k; k D 0; 1; 2; : : :

�.�.k/C k/D a .k/; k D 1; 2; : : :


es tal que la seriefa�.1/ C a�.2/ C � � � C a�.n/g es positivamente divergente, pues paran >�.k/C k tenemos que:

nX

jD1

a�.j/ >

�.k/CkX

jD1

a�.j/ DkX

jD1

a�.�.j/Cj/ Ck�1X

qD0

�.qC1/CqX

jD�.q/CqC1

a�.j/D

DkX

jD1

a .j/ Ck�1X

qD0

�.qC1/CqX

jD�.q/CqC1

a�.j�q/ DkX

jD1

a .j/ C�.k/X

jD1

a�.j/D

DkX

jD1

a .j/ C P�.k/Dk�1X

jD1

�P�.jC1/ � P�.j/ C a .jC1/

�C P�.1/ C a .1/

>.1C .k�1� � � C1/C 1D k: 2

La utilidad del teorema que acabamos de probar está clara: para estudiar la convergenciaconmutativa de una seriefa1 C a2 C � � � C ang lo que se hace es estudiar la convergencia de laseriefja1j C ja2j C � � � C janjg. Es usual utilizar la siguiente terminología.

9.15 Definición. Se dice que la seriefa1 C a2 C � � � C ang esabsolutamente convergente, sila seriefja1j C ja2j C � � � C janjg es convergente.

Debes entender bien esta definición. Que la serieX

n>1

an converge absolutamente quiere

decir que es convergente la sucesión

X

n>1

janj D fja1j C ja2j C � � � C janjg :

Y el teorema anterior afirma, entre otras cosas, que esto implica la convergencia de la sucesión

X

n>1

an D fa1 C a2 C � � � C ang :

¡Son sucesiones muy diferentes!

Naturalmente, si una seriefa1 C a2 C � � � C ang converge, también converge la sucesiónque se obtiene tomando valores absolutosfja1 C a2 C � � � C anjg; pero esta sucesiónno es~igual afja1jC ja2jC � � �C janjg. Por esopuede ocurrir que una serie sea convergente pero nosea absolutamente convergente. La serie armónica alternada es un ejemplo de serie convergenteque no es absolutamente convergente.

Con esta terminología, el teorema9.14afirma quela convergencia absoluta es lo mismoque la convergencia conmutativa1.

1En muchos libros a las series que son absolutamente convergentes las llaman tambiénincondicionalmenteconvergentesy a las series que son convergentes pero no son absolutamenteconvergentes las llaman tambiéncon-dicionalmente convergentes. En mi opinión esta terminología solamente sirve para confundir un poquito más.





451. Estudia la convergencia de las series: a)X

n>1

1

n.nC1/y b)

X

n>1

log�1C 1

n

�.

452. Justifica las igualdades:

a)1X

kD1

�1

4k � 3� 1

4k � 2C 1

4k � 1� 1

4k

�D log2.

b)1

2

1X

kD1

�1

2k � 1� 1

2k

�D log2

2.

c)1X

kD1

�1

4k � 3C 1

4k � 1� 1

2k

�D 3

2log2.

453. Demuestra que si los términos de la serie armónica alternadase permutan de tal modoque a cada grupo dep términos positivos consecutivos le siga un grupo deq términosnegativos consecutivos, entonces la nueva serie así obtenida es convergente con sumaigual a log2C 1

2log.p=q/.

454. Seafang una sucesión decreciente de números positivos y supongamosque la serieP

an

es convergente. Prueba quefnang converge a0.

Sugerencia. ConsideraA2n �An.



Ejercicio resuelto 223 Estudia la convergencia de las series: a)X

n>1

1

n.nC1/y b)

X

n>1

log�1C 1

n

�.

Solución. a)1

k.k C 1/D .k C 1/ � k

k.k C 1/D 1

k� 1

k C 1÷

nX

kD1

1

k.k C 1/D 1� 1

nC 1:

LuegoX

n>1

1

n.nC 1/D�

1 � 1

nC 1

�! 1, es decir la serie

X

n>1

1

n.nC 1/es convergente

y su suma es igual a1.

b) log

�1C 1

k

�D log

k C 1

kD log.k C 1/� logk÷

nX

kD1

log

�1C 1

k

�D log.nC 1/:

LuegoX

n>1

log

�1C 1

n

�D flog.nC 1/g!C1, es decir la serie

X

n>1

1

n.nC 1/es posi-

tivamente divergente. ©




Ejercicio resuelto 224 Justifica las igualdades:

a)1X

kD1

�1

4k � 3� 1

4k � 2C 1

4k � 1� 1

4k

�D log2.

b)1

2

1X

kD1

�1

2k � 1� 1

2k

�D log2

2.

c)1X

kD1

�1

4k � 3C 1

4k � 1� 1

2k

�D 3

2log2.

Solución. a) y b) Sabemos que la serie armónica alternada es convergente y su suma es

igual a log2.1X

nD1

.�1/nC1

nD log2. También sabemos que una serie obtenida asociando

términos en una serie convergente también es convergente y con la misma suma. Lasseries en a) y en b) se obtienen de la serie armónica alternadaasociando términos de4 en4 o de2 en2 respectivamente, lo que justifica las igualdades en a) y en b). Finalmente,observa que la serie en c) se obtiene sumando las series en a) yen b). ©

Ejercicio resuelto 225 Demuestra que si los términos de la serie armónica alternadase per-mutan de tal modo que a cada grupo dep términos positivos consecutivos le siga ungrupo deq términos negativos consecutivos, entonces la nueva serie así obtenida es con-vergente con suma igual a log2C 1

2log.p=q/.

Solución.PongamosSn DnX

kD1

.�1/kC1

k. Consideremos la sucesión

˚Sn.pCq/

n2N

que

es precisamente la serie que se obtiene asociando términos de p C q en p C q en laserie del enunciado. Si dicha sucesión es convergente, aplicando la proposición9.12(con�.n/D n.pC q/), se sigue que la serie del enunciado también es convergentey su suma

es igual a lKımn!1

Sn.pCq/. Llamando, como de costumbreHn DnX

kD1

1

k, y recordando la

estrategia7.33, tenemos que:

Sn.pCq/ DpnX

kD1

1

2k � 1�

nqX

kD1

1

2kD

pnX

kD1

1

2k � 1� 1

2HnqD

DH2pn�1 �1

2Hnp C

1

2np� 1

2HnqD

D 1

2npC ”2pn�1 C log.2pn � 1/ � 1

2”np �

1

2log.np/ � 1

2”nq �

1

2log.nq/D

D 1

2npC ”2pn�1 �

1

2”np �

1

2”nq C

1

2log

2np � 1

npC 1

2log

2np � 1

nq!

! 1

2log2C 1

2log

2p

qD log2C 1

2log

p

q:

©



Criterios de convergencia para series de términos positivos 533

9.2. Criterios de convergencia para series de términos positivos

Una serieP

an tal quean > 0 para todon 2 N, se dice que es unaserie de términospositivos. Observa que una serie de términos positivos es una sucesióncreciente por lo que obien es convergente (cuando está mayorada) o es positivamente divergente.

9.16 Proposición(Criterio básico de convergencia). Una serie de términos positivosX

n>1

an

es convergente si, y sólo si, está mayorada, es decir, existeun númeroM > 0 tal que para todo

n2N se verifica quenX

kD1

ak 6 M , en cuyo caso su suma viene dada por:

1X

nD1

an D sup

(nX

kD1

ak W n2N

):

Una serie de términos positivos que no está mayorada es (positivamente) divergente.

9.17 Ejemplo. La serieX

n>1

1

n2es convergente porque para todon > 2 se verifica:

nX

kD1

1

k26

2n�1X

kD1

1

k2D 1C

n�1X

jD1

0@

2jC1�1X

kD2j

1

k2

1A6 1C

n�1X

jD1

0@

2jC1�1X

kD2j

1

.2j /2

1AD

D 1Cn�1X

jD1

2j

22jD 1C

n�1X

jD1

1

2jD 2 � 1

2n�1< 2:

�

SiX

n>1

an es una serie de términos positivos, suele escribirse1X

nD1

an<C1 para indicar que

dicha serie converge.

Teniendo en cuenta la proposición9.8, los criterios que siguen pueden aplicarse para es-tudiar la convergencia de series cuyos términos son todos positivos a partir de uno de ellos enadelante.

9.18 Proposición(Criterio básico de comparación). SeanX

n>1

an yX

n>1

bn dos series de tér-

minos positivos. Supongamos que hay un númerok 2 N tal quean 6 bn para todon > k.Entonces se verifica que si la serie

X

n>1

bn es convergente, tambiénX

n>1

an es convergente o,

equivalentemente, si la serieX

n>1

an es divergente tambiénX

n>1

bn es divergente.

Demostración. PongamosAnD a1 C a2 C � � � C an, BnD b1 C b2 C � � � C bn. Las hipótesishechas implican que para todon > k es An6BnCAk . Deducimos que sifBng está mayoradatambién lo estáfAng. 2

9.19 Ejemplos.La serieX

n>2

1

lognes divergente porque es de términos positivos,

1

logn>

1

ny

la serie armónica es divergente.

La serieX

n>1

log.nC 1/2

n.nC 2/es convergente porque es de términos positivos y:

log.nC 1/2

n.nC 2/D log

n2 C 2nC 1

n2 C 2nD log

�1C 1

n2 C 2n

�<

1

n2 C 2n<

1

n2;

y la serieX 1

n2es convergente.

La serieX

n>1

�1

n� log

�1C 1

n

��es convergente. Para ello usamos la desigualdad (ver

(7.5)):1

nC 1< log

�1C 1

n

�<

1

n:

De la que se deduce:

0 <1

n� log

�1C 1

n

�<

1

n� 1

nC 1D 1

n.nC 1/<

1

n2:

9.20 Proposición(Criterio límite de comparación). SeanX

n>1

an yX

n>1

bn dos series de tér-

minos positivos, y supongamos que

lKım an

bnDL2RC

o [ fC∞g :

a) SiLDC∞ yX

n>1

bn es divergente tambiénX

n>1

an es divergente.

b) SiLD 0 yX

n>1

bn es convergente tambiénX

n>1

an es convergente.

c) SiL2RC las seriesX

n>1

an yX

n>1

bn son ambas convergentes o ambas divergentes.

En particular, si dos sucesiones de números positivos,fang y fbng son asintóticamente equiva-lentes, las respectivas series,

Pan y

Pbn ambas convergen o ambas divergen.

Demostración. Supongamos queL 2 RC. Sea0 < ˛ < L < ˇ. Todos los términos de lasucesiónfan=bng, a partir de uno en adelante, están en el intervalo� ˛; ˇ Œ, es decir, existek2N

tal que para todon > k es ˛ < an=bn < ˇ , y, por tanto,˛ bn < an < ˇ bn. Concluimos, porel criterio de comparación, que la convergencia de una de lasseries implica la convergencia dela otra. Queda, así, probado el puntoc) del enunciado. Los puntosa) y b) se prueban de maneraparecida. 2


9.21 Ejemplos. La serieX

n>1

�e

1n �1

�es divergente porque es de términos positivos y se veri-

fica que e1n �1 � 1

n.

Por la misma razón las seriesX

n>1

sen1

n,X

n>1

tg1

n,X

n>1

log

�1C 1

n

�son todas ellas series

de términos positivos divergentes, porque sus términos generales son asintóticamente equiva-

lentes al término general de la serie armónica1

n.

La serieX

n>1

5

r1C 1

n2� 1

!es convergente porque es de términos positivos, se verifica

que 5

r1C 1

n2� 1 � 1

5n2y la serie

P 1

5n2es convergente.

Observa el parecido de estos criterios con los correspondientes criterios de convergenciapara integrales impropias de funciones positivas. El siguiente resultado establece, en un casoparticular, una relación aún más estrecha entre ambos tiposde convergencia.

9.22 Proposición(Criterio integral ). Seaf W Œ1;C∞Œ! R una función positiva y decrecien-te. Entonces se verifica que

nC1X

kD2

f .k/6

nC1w

1

f .x/dx 6nX

kD1

f .k/

En consecuencia, la serieX

n>1

f .n/ y la integralC1w

1

f .x/dx ambas convergen o ambas diver-

gen.

Demostración. Por serf decreciente, para todox 2 Œk;k C 1� esf .k C 1/6f .x/6f .k/.Integrando, deducimos que:

f .k C 1/ 6

kC1w

k

f .x/dx 6 f .k/:

Sumando estas desigualdades desdekD1 hastakDn, obtenemos la desigualdad del enunciado.2

Para poder usar los criterios de comparación, necesitamos conocer ejemplos de series con-vergentes con las que poder comparar una serie dada. Unas series de términos positivos muyútiles para comparar con otras series son las siguientes.

9.23 Proposición(Series de Riemann). Dado un número real , la serieX

n>1

1

n˛se llama

serie de Riemann de exponente˛. Dicha serie es convergente si, y sólo si,˛ > 1.

Demostración. Para que se cumpla la condición necesaria de convergencia es preciso que sea˛ > 0. Supuesto que esto es así, podemos aplicar el criterio integral a la funciónf .x/D 1=x˛

y tener en cuenta que la integralr C1

11

x˛ dx es convergente si, y sólo si,˛ > 1. 2



9.24 Ejemplos. Las seriesX

arc tg1

n˛,X

log

�1C 1

n˛

�convergen si, y sólo si, > 1

porque son de términos positivos y su término general es asintóticamente equivalente a1

n˛.

La serieX

nˇ�

e1

n˛ �1�, donde˛ y ˇ son números reales, no converge para ningún valor

deˇ si˛ < 0, porque en tal caso su término general no converge a0. Si˛>0 converge si y sólosi,˛�ˇ > 1 porque es una serie de términos positivos y su término general es asintóticamente

equivalente a1

n˛�ˇ

Si en el criterio límite de comparación hacemosbnD 1=n˛ , obtenemos el siguiente criteriode convergencia.

9.25 Proposición(Criterio de Prinsheim). SeaX

n>1

an una serie de términos positivos,˛ un

número real y supongamos quefn˛ang ! L2RCo [ fC∞g. Entonces:

i) Si LDC∞ y ˛ 6 1,X

n>1

an es divergente.

ii) Si LD 0 y ˛ > 1,X

n>1

an es convergente.

iii) Si L2RC,X

n>1

an converge si > 1 y diverge si 6 1.

Observando que sian > 0, la desigualdadan 61

n˛equivale a

� log.an/

logn> ˛, se deduce

el siguiente criterio de convergencia que es eficaz para estudiar la convergencia de series quepueden compararse con series de Riemann.

9.26 Proposición(Primer criterio logarítmico ). Supongamos quean > 0 para todon2N, y

pongamosLn D� log.an/

logn.

i) Si fLng ! L , dondeL > 1 o LDC1, la serieX

n>1

an es convergente.

ii) Si fLng ! L , dondeL < 1 o LD �1, o bien si existe algúnk 2N tal que Ln 6 1

para todon > k, entonces la serieX

n>1

an es divergente.

9.27 Ejemplo. La serieX

n>1

an dondean D�

1 � ˛ logn

n

�n

y ˛2R, es una serie de términos

positivos (a partir de uno de ellos en adelante) y se tiene que:

� logan

lognD�n log

�1 � ˛ logn

n

�

lognD ˛

log

�1 � ˛ logn

n

�

�˛ logn

n

! ˛:

El primer criterio logarítmico nos dice que si˛ > 1 la serie converge y si < 1 la serie diverge.

Si ˛ D 1 tenemos quean D�

1 � logn

n

�n

. Recordando que�1C x

n

�n

! ex, podemos

esperar que paran suficientemente grandean D�

1 � logn

n

�n

Ð e� lognD1

n. Esto lleva a

conjeturar quenan ! 1. Tenemos que:

log.nan/D n log

�1 � logn

n

�C lognD n

�log

�1 � logn

n

�C logn

n

�D

D .logn/2

n

log

�1 � logn

n

�C logn

n�

logn

n

�2

Si ahora recuerdas que lKımx!0

log.1C x/� x

x2D �1

2, se sigue que log.nan/ ! 0, es decir,

nan ! 1. El criterio de Prinsheim implica que la serieP

an es divergente. �

Vamos a estudiar a continuación unas series más generales que las series de Riemann.

Dados dos números reales˛ y ˇ, la serieX

n>2

1

n˛.logn/ˇse llamaserie de Bertrandde expo-

nentes y ˇ

9.28 Proposición(Series de Bertrand). La serieX

n>2

1

n˛.logn/ˇconverge si > 1 cualquiera

seaˇ, y también si D 1 y ˇ > 1. En cualquier otro caso es divergente.

Demostración. Sabemos que cualesquiera sean� > 0 y �2R se verifica que:

lKımn!1

.logn/�

n�D 0:

Supongamos que> 1 y sea� un número verificando que1 < � < ˛. Podemos escribir:

n� 1

n˛.logn/ˇD .logn/�

n�

donde�D ˛ � � y �D�ˇ. Deducimos así que

lKımn!1

n� 1

n˛.logn/ˇD 0:

El criterio de Prinsheim implica que la serieX

n>2

1

n˛.logn/ˇes convergente.

Si ˛ < 1 un razonamiento parecido muestra que la serie diverge cualquiera sea .

Sea ahora D 1. Entonces, si 6 0, tenemos que1

n.logn/ˇ>

1

npara todon > 3, y

el criterio de comparación implica que la serie es divergente. Sea, pues, > 0 y pongamos

f .x/D 1

x.logx/ˇparax > 2. La funciónf es positiva y decreciente enŒ2;C1Œ. Tenemos:

tw

2

dx

x.logx/ˇD

8<

:

1

1 � ˇ.logx/1�ˇˇt2D 1

1� ˇ�.log t/1�ˇ � .log2/1�ˇ

�; si ˇ ¤ 1:

log.logx/ˇt2D log.log t/ � log.log2/; si ˇ D 1:

Deducimos que la integral impropiar C12 f .x/dx es convergente si, y solo si, > 1. El

criterio integral nos dice que la serieX

n>2

f .n/DX

n>2

1

n.logn/ˇconverge si, y sólo si, > 1. 2

9.29 Ejemplo. Se trata de estudiar la convergencia de la serieX

n>1

logn!

nrdonder 2 R. En

el ejercicio resuelto168 hemos visto que logn! es asintóticamente equivalente an logn. Por

tanto, a efectos de convergencia, la serie dada se comporta igual que la serieX

n>1

logn

nr�1la cual

es una serie de Bertrand conˇD�1 y ˛D r � 1. Dicha serie converge si, y sólo si,r � 1 > 1,o sea,r > 2. �

Si an > 0, la desigualdadan 61

n.logn/ˇequivale a

� log.nan/

log.logn/> ˇ. Se deduce de aquí

el siguiente criterio de convergencia que es eficaz para estudiar la convergencia de series quepueden comparase con una serie de Bertrand de exponente˛ D 1.

9.30 Proposición(Segundo criterio logarítmico). Supongamos quean > 0 para todon2N,

y pongamosLn D� log.nan/

log.logn/.

i) Si fLng ! L , dondeL > 1 o LDC1, la serieX

n>1

an es convergente.

ii) Si fLng ! L , dondeL < 1 o LD �1, o bien si existe algúnk 2N tal que Ln 6 1

para todon > k, entonces la serieX

n>1

an es divergente.

Vamos a estudiar a continuación dos criterios de convergencia que se aplican a series quepueden compararse con una serie geométrica. El primero de estos criterios parte de que la serie

geométrica de término generalan D xn, dondex > 0, converge sianC1

anD x < 1, esto lleva,

en el caso general de una serie términos positivos,X

n>1

an , a considerar el comportamiento de

la sucesiónfanC1=ang.

9.31 Proposición(Criterio del cociente o de D’Alembert (1768)). Supongamos quean > 0

para todon2N y que

lKım anC1

anDL2RC

o [ fC∞g :

a) Si L < 1 la serieX

n>1

an es convergente.

b) Si L > 1 o si LDC∞ o si hay un númerok 2N tal que para todon>k es anC1

an>1,

entoncesX

n>1

an es divergente y ademásfang no converge a0.

Demostración. a) Sea� un número tal queL < � < 1. La definición de límite implica queexisten02N tal que para todon > n0 se verifica que:

an Dan

an�1

an�1

an�2

� � � an0C1

an0

an06 �n�n0an0

D an0

�n0�n:

Como0 < � < 1, la serieX

n>1

�n es convergente. Deducimos, en virtud del criterio de compa-

ración, queX

n>1

an es convergente.

b) Si L > 1 entonces, tomando� tal que1 < � < L y razonando como antes, obtenemos

que para todon > n0 es an >an0

�n0�n. Como� > 1 se sigue que la sucesiónfang diverge

positivamente y, con mayor razón, la serieX

n>1

an diverge positivamente. 2

9.32 Ejemplo. Sea la serieX

n>1

.n!/2

.2n/!x2n , dondex es un número real. Es una serie de términos

positivos por lo que podemos aplicar el criterio del cociente para estudiar su convergencia.

Pongamosan D.n!/2

.2n/!x2n. Tenemos que:

anC1

anD .nC 1/2.n!/2

.2nC 2/.2nC 1/.2n/!x2nC2 .2n/!

.n!/2x�2n D .nC 1/2

.2nC 2/.2nC 1/x2 ! x2

4

El criterio del cociente nos dice que six2

4< 1, es decir,jxj < 2, la serie es convergente; si

x2

4> 1, es decir,jxj > 2, la serie no es convergente porquefang no converge a0. El caso en

quex2 D 4, o seax D˙2, se tiene que:

anC1

anD 4.nC 1/2

.2nC 2/.2nC 1/D 2nC 2

2nC 1> 1:

Y concluimos que la serie no converge parax D˙2. �

El segundo criterio parte de que la serie geométrica de término generalan D xn, dondex > 0, converge si n

pan D x < 1, esto lleva, en el caso general de una serie de términos

positivos,X

n>1

an , a considerar el comportamiento de la sucesiónf np

ang.

9.33 Proposición(Criterio de la raíz o de Cauchy (1821)). SeaX

n>1

an una serie de términos

positivos y supongamos que

lKım np

an DL2RCo [ fC∞g:

a) Si L < 1 la serieX

n>1

an es convergente.

b) Si L > 1 o si LDC∞ o o si hay un númerok 2N tal que para todon>k es np

an>1

entoncesX

n>1

an es divergente y ademásfang no converge a0.

Demostración. a) Sea� un número tal queL < � < 1. La definición de límite implica queexisten0 2N tal que para todon > n0 es n

pan 6 �, es decir,an6 �n. Puesto que0 < � < 1,

la serieX

n>1

�n es convergente y, en virtud del criterio de comparación, se sigue queX

n>1

an es

convergente.

b) Si L > 1 entonces, tomando� tal que1 < � < L y razonando como antes, obtene-mos que para todon > n0 esan > �n y, como� > 1, se sigue que la sucesiónfang divergepositivamente y, con mayor razón, la serie

X

n>1

an diverge positivamente. 2

9.34 Ejemplo. Sea la serieX

n>1

n2 � 1

n2

!2n3�2n

. Como es una serie de términos positivos po-

demos estudiar su convergencia usando el criterio de la raíz. PongamosanD

n2 � 1

n2

!2n3�2n

.

Tenemos que:

np

an D

n2 � 1

n2

!2n2�2

D

n2 � 1

n2

!2n2 n2

n2 � 1

!2

! e�2 < 1:

Concluimos que la serie es convergente. �

CuandoanC1

an6 1 y lKım anC1

anD 1, también es lKım n

panD 1. En esta situación los criterios

del cociente y de la raíz no proporcionan información suficiente sobre el comportamiento de

la serieX

n>1

an . Por ejemplo, para las series de Riemann,an D 1=n˛ , se tiene que lKım anC1

anD

1 cualquiera sea . Observa queestos criterios solamente pueden proporcionar informaciónsobre la convergencia de series que pueden compararse con una serie geométrica. El siguientecriterio suele aplicarse cuando fallan los anteriores.

9.35 Proposición(Criterio de Raabe (1832)). Supongamos quean > 0 para todon 2N, y

pongamosRn D n

�1� anC1

an

�.

i) Si fRng ! L, dondeL > 1 o LDC∞, la serieX

n>1

an es convergente.

ii) Si fRng ! L, dondeL < 1 o LD�∞, o bien si existe algúnk2N tal queRn6 1 paratodon > k, entonces la serie

X

n>1

an es divergente.

Demostración. i) Las hipótesis hechas implican que existen˛ > 1 y n0 2 N tales que paratodo k > n0 es Rk > ˛. Seaı D ˛ � 1 > 0. Tenemos que:

Rk � 1D .k � 1/ � kakC1

ak

> ı .k > n0/;

por lo que

ak 61

ı

�.k � 1/ak � kakC1

�.k > n0/:

Sumando estas desigualdades desdek D n0 hastak D n > n0, obtenemos que:

nX

kDn0

ak 61

ı

�.n0 � 1/an0

� nanC1

�<

1

ı.n0 � 1/an0

:

Por el criterio básico de convergencia para series de términos positivos, deducimos queX

n>1

an

es convergente.

ii) Si Rn61 para todon>k, entonces.n�1/an�nanC160 y resulta que la sucesiónfnanC1ges creciente paran > k, luegonanC1> kakC1, es decir, para todon > k esanC1> kakC1

1

ny, por el criterio de comparación, deducimos que

X

n>1

an es divergente. 2

El criterio de Raabe suele aplicarse cuando el criterio del cociente no proporciona informa-

ción, es decir, cuandoanC1

an! 1. En tal caso la sucesión:

Rn D n

�1 � anC1

an

�D�n

�anC1

an� 1

�

es de la formavn.un�1/ dondevnD�n y unD anC1

an! 1. Aplicando el criterio de equivalencia

logarítmica tenemos que:

lKımRn DL ” lKım�

anC1

an

��n

D�

an

anC1

�n

! eL

con los convenios usuales para los casos en queLD˙1.

9.36 Proposición(Forma alternativa del criterio de Raabe). Seaan > 0 para todon2N y

supongamos quelKım anC1

anD 1. PongamosSn D

�an

anC1

�n

.

i) Si Sn ! eL conL > 1 o siSn !C∞, la serieX

n>1

an es convergente.

ii) Si Sn ! eL conL < 1 o siSn ! 0, la serieX

n>1

an es divergente.

Los criterios de convergencia que acabamos de estudiar hacen siempre hipótesis sobre lasucesiónfang para obtener información sobre el comportamiento de la serie

X

n>1

an . Ya dijimos

antes que esto es típico del estudio de las series. Pero no lo olvides: no estamos estudiando lasucesiónfang sino la sucesión

X

n>1

an D fa1 C a2 C � � � C ang.


455. Estudia la convergencia de las siguientes series dondea > 0 y ˛2R.

a/X

n>1

.n!/2

2n2b/X

n>1

.nC 1/n

nnC2c/X

n>1

n�1�1=n

d/X

n>1

.nC 1/n

3nn!e/X

n>1

1

n!

� n

a

�nf /

X

n>1

�1

log.nC 1/

�logn

g/X

n>1

alogn h/X

n>2

nlogn

.logn/ni/X

n>1

�e��1C 1=n2

�n2�

j /X

n>1

. np

n� 1/˛ k/X

n>1

�1� 1p

n

�n

l/X

n>1

n2 C 1

n2 C nC 1

!n˛

m/X

n>1

aPn

jD1 1=j n/X

n>1

n˛�

np

nC 1=n � np

n�

o/X

n>1

�n sen

1

n

�n3

p/X

n>1

�.2n/!

�3

26n.n!/6q/X

n>1

��log.nC 1/

logn

�n

� 1

�r/X

n>1

n! en

nnC˛

s/X

n>1

log

�n sen

1

n

�t/X

n>1

�cos

1

n

�3

u/X

n>2

n2pn � 1

logn


456. Estudia la convergencia de las siguientes series dondea > 0 y ˛; ˇ2R.

a/X

n>1

.n1=n2 � 1/I b/X

n>1

.3p

nC 1� 3p

n/ log

�nC 1

n

�

c/X

n>1

�4p

nC 1 � 4p

n�

alognI d/X

n>1

�2 � 4 � 6 � � � .2n/

5 � 7 � � � .2nC 3/

�

e/X

n>1

1

n

�e�.1C 1=n/n

�I f /

X

n>1

�nn˛ � 1

�

g/X

n>1

n˛

�1C 1

2C � � � C 1

n

�I h/

X

n>1

n˛ exp

�ˇ

nX

kD1

1

k

!

457. Estudia la convergencia de las series.

a)X

n>1

3nn!3p

n 5 � 8 � 11 � � � .5C 3n/

b)X

n>1

�2 � 3 � 4 � � � .nC 2/

5 � 6 � 7 � � � .nC 5/

�1=2

c)X

n>1

.a �p

a/.a � 3p

a/ � � � .a � np

a/ .a > 0/

d)X

n>1

n!

a.aC 1/.aC 2/ � � � .aC n/n˛.a > 0; ˛2R/

e)X

n>1

alogn log.1C 1=n/ .a > 0/

f)X

n>1

.p

nC 1�p

n/˛ .log.1C 1=n//ˇ ; .˛; ˇ2R/

g)X

n>1

�.1C ˛/.3C ˛/.5C ˛/ � � � .2n� 1C ˛/.2C ˇ/.4C ˇ/.6C ˇ/ � � � .2nC ˇ/

��

; .˛; ˇ; �2RC/

458. Seafang una sucesión creciente de números positivos. Dar condiciones que garanticen

que la serieX

n>1

1

a1a2a3 � � � anes convergente.

459. Dar ejemplos de sucesionesfang ! 1 y decrecientes tales que la serieX

n>1

1

a1a2a3 � � � an

sea en un caso convergente y en otro caso divergente.

460. Seaan > 0 para todon2N. Prueba que las seriesX

n>1

an yX

n>1

an

1C anambas convergen

o ambas divergen.

461. SeaP

an una serie de términos positivos convergente. ¿Qué puede decirse de las seriesP

a2n y

PpananC1?



462. SeaP

an una serie de términos positivos convergente. Prueba que la sucesiónfzng dadapara todon2N por:

zn DnY

kD1

.1C ak/D .1C a1/.1C a2/ � � � .1C an/

es convergente.

463. SeaP

an una serie de términos positivos convergente. Prueba que para 0 < ˛ < 1 la

serieX a˛

n

nes convergente.

Sugerencia. Utilizar la desigualdad de Hölder (ver ejercicio resuelto137).

464. SeaP

an una serie convergente de términos positivos. Prueba que la serieX p

an

n˛es

convergente si > 1=2. Da un ejemplo de una serieP

an convergente tal que la serieX p

anpn

sea divergente.

465. Estudia la convergencia de las sucesiones:

a/ xn DnX

kD1

1pk� 2p

n; b/ yn DnX

kD1

logk

k� .logn/2

2:

Sugerencia. Estudia la convergencia de las respectivas series de diferencias consecutivas.


Ejercicio resuelto 226 Estudia la convergencia de las siguientes series dondea > 0 y ˛2R.

a/X

n>1

.n!/2

2n2b/X

n>1

.nC 1/n

nnC2c/X

n>1

n�1�1=n

d/X

n>1

.nC 1/n

3nn!e/X

n>1

1

n!

� n

a

�nf /

X

n>1

�1

log.nC 1/

�logn

g/X

n>1

alogn h/X

n>2

nlogn

.logn/ni/X

n>1

�e��1C 1=n2

�n2�

j /X

n>1

. np

n � 1/˛ k/X

n>1

�1� 1p

n

�n

l/X

n>1

n2 C 1

n2 C nC 1

!n˛

m/X

n>1

aPn

jD1 1=j n/X

n>1

n˛�

np

nC 1=n � np

n�

o/X

n>1

�n sen

1

n

�n3

p/X

n>1

�.2n/!

�3

26n.n!/6q/X

n>1

��log.nC 1/

logn

�n

� 1

�r/X

n>1

n! en

nnC˛

s/X

n>1

log�n sen1

n

�t/X

n>1

�cos1

n

�3u/X

n>2

n2pn � 1

logn

Solución.Salvo una excepción, son todas series de términos positivos. Para estudiar suconvergencia aplicaremos los criterios que acabamos de estudiar.

a/ Pongamosan D.n!/2

2n2. Aplicaremos el criterio del cociente:

anC1

anD ..nC 1/!/2

2.nC1/2

2n2

.n!/2D .nC 1/2

22nC1D 1

2

n2 C 2nC 1

4n! 0:

La serie es convergente. ©

b/ Pongamosan D.nC 1/n

nnC2. Apliquemos el criterio del cociente:

anC1

anD .nC 2/nC1

.nC 1/nC3

nnC2

.nC 1/nD�

nC 2

nC 1

�nC3 �n

nC 1

�nn2

.nC 2/2D

D�

1C 1

nC 1

�nC3 �1 � 1

nC 1

�nn2

n2 C 4nC 4! e

1

eD 1:

AdemásanC1

an6 1, por tanto el criterio del cociente no proporciona información sobre la

convergencia de esta serie. Cuando esto ocurre igual sucedecon el criterio de la raíz. Estonos indica que la serie no es comparable con una serie geométrica. El criterio de Raabeno parece fácil de aplicar. Podemos intentar el primer criterio logarítmico. Tenemos que:

� log.an/

lognD �n log.nC 1/C .nC 2/ logn

lognD

n log nnC1

lognC 2! 2 > 1:



Por tanto la serie es convergente. Este criterio nos dice quela serieP

an es comparablecon una serie de Riemann de exponente˛ D 2. Que efectivamente esto es así es fácil de

comprobar. Si nos fijamos enan y recordamos que la sucesión

�nC 1

n

�n

es creciente y

converge a e, enseguida nos damos cuenta de lo que sigue:

an D.nC 1/n

nnC2D�

nC 1

n

�n1

n26

e

n2

lo que permite concluir, por el criterio de comparación, quela serie es convergente.©

9.37 Observación.Antes de empezar a aplicar criterios de convergencia, fíjate bien en laforma que tiene el término general de la serie e intenta relacionarlo con alguna sucesiónconocida.

e/ Pongamosan D1

n!

� n

a

�n. Apliquemos el criterio del cociente:

anC1

anD 1

.nC 1/!

�nC 1

a

�nC1

n!� a

n

�n

D a

�nC 1

n

�n

! a

e:

Deducimos que si0 < a < e la serie es convergente, sia > e la serie es divergente. ParaaD e el criterio no proporciona información. Ni el criterio de Raabe ni el primer criteriologarítmico parecen fáciles de aplicar. Cuando no queda otro recurso hay que intentaraplicar el criterio de comparación. Supuesto queaD e, tenemos que:

an Dnn

n!

1

en>

nn

n!

n!

.nC 1/nC1D 1�

1C 1n

�n1

nC 1>

1

e

1

nC 1>

1

5n:

Donde hemos usado que para todok 2N es e<�1C 1

k

�kC1D�

kC1k

�kC1, de donde se

sigue que para todon2N:

1

en>

nY

kD1

�k

k C 1

�kC1

D n!

.nC 1/n:

Concluimos, por comparación con la serie armónica, que la serie es divergente paraaD e. ©

f / Pongamosan D�

1

log.nC 1/

�logn

. Aquí no es apropiado aplicar el criterio del co-

ciente porque no hay factores que se simplifiquen al calcularel cociente de un términoal anterior. El criterio de la raíz puede aplicarse, pero no proporciona información sobreel carácter de la serie porque, como debes comprobar,n

pan ! 1 y n

pan 6 1. Podemos

aplicar el primer criterio logarítmico.

� log.an/

lognD log.log.nC 1//! C1:

La serie es convergente. Deducimos que se trata de una serie que converge más rápida-mente que cualquier serie de Riemann y menos rápidamente quecualquier serie geomé-trica. ©

h/ Pongamosan Dnlogn

.logn/n. Es apropiado aplicar el criterio de la raíz.

np

an Dn

logn

n

lognD e

.logn/2

n

logn! 0:

La serie es convergente. ©

i/ Pongamosan D e��1C 1=n2

�n2

. Observa que como�1C 1

k

�k< e para todok 2N,

se tiene quean > 0. Los criterios del cociente, de la raíz, de Raabe y los logarítmicos noparecen apropiados para estudiar esta serie. Cuando esto sucede hay que intentar aplicarun criterio de comparación. Si recuerdas el límite, que hemos visto varias veces:

lKımx!0

e�.1C x/1x

xD e

2;

se deduce que sifxng ! 0 se verifica la equivalencia asintótica e�.1Cxn/1=xn � e

2xn.

Por tanto:

an D e��1C 1=n2

�n2

� e

2

1

n2;

y deducimos que la serie converge por el criterio límite de comparación. También pode-mos usar el criterio básico de comparación usando que para todo k 2N se verifica que

e<�1C 1

k

�kC1. Con ello se tiene:

an D e��

1C 1

n2

�n2

<

�1C 1

n2

�n2C1

��

1C 1

n2

�n2

D�

1C 1

n2

�n2

1

n2<

e

n2:

©

j / Pongamosan D . np

n � 1/˛. Trata de aplicar algunos criterios de convergencia. Lasseries que cuesta más trabajo estudiar son aquellas en las que los criterios del cociente, dela raíz, de Raabe y los logarítmicos no sirven para estudiar su convergencia, ya sea porquelos límites que hay que calcular son difíciles o porque dichos criterios no proporcionaninformación. Cuando esto ocurre hay que aplicar un criteriode comparación. En nuestrocaso tenemos que:

np

n � 1D elogn

n �1 � logn

n÷an �

�logn

n

�˛

:

Deducimos que la serie converge si, y sólo si,˛ > 1. ©

l/ Pongamosan D

n2 C 1

n2 C nC 1

!n˛

D�

1� n

n2 C nC 1

�n˛

. Después de pensarlo un

poco, parece apropiado usar el primer criterio logarítmico. Tenemos que:

� log.an/

lognD� n˛

lognlog

�1� n

n2 C nC 1

�� n˛

logn

n

n2 C nC 1� n˛�1

logn:

Por tanto:

lKımn!1

� log.an/

lognD�C1; si ˛ > 1I0; si ˛ < 1:

La serie converge si > 1 y no converge si < 1. Para D 1 se tiene quefang !1

ey

por tanto la serie no converge porque su término general no converge a0. ©

m/ Pongamosan D aPn

jD1 1=j . Es evidente que sia > 1 se tiene quean > 1 y, por tanto,la serie no es convergente porquefang no converge a0. Podemos aplicar el criterio delcociente.

anC1

anD a

1nC1 ! 1:

Este criterio no proporciona información sobre la convergencia de la serie. Intentemos elcriterio de Raabe.

Rn D n

�1� anC1

an

�D n

�1 � a

1nC1

�D�n

�e

loga

nC1 �1�� n

loga

nC 1! � loga:

Deducimos que si� loga > 1, es decir,a < 1e la serie converge, y si� loga < 1, es

decir,a > 1e la serie no converge. En el caso en queaD 1

e se tiene que:

Rn D n�1 � e

�1nC1

�6 1” e

�1nC1 >1� 1

n” e6

�1C 1

n � 1

�nC1

:

Esta última desigualdad es cierta porque para todok2N es e<�1C 1

k

�kC1<�1C 1

k

�kC2.

También podemos hacer este ejercicio recordando la estrategia 7.33con lo que:

an D aPn

jD1 1=j D a”nClogn D a”nalogn � a”alogn:

También puede aplicarse el primer criterio logarítmico. ©

n/ Pongamosan D n˛�

np

nC 1=n � np

n�. Tenemos que:

anDn˛ np

n

n

r1C 1

n2� 1

!� n˛

exp

log

�1C 1

n2

�

n

!� 1

!� n˛

log�1C 1

n2

�

n� n˛�3:

Por el criterio límite de comparación la serie converge si, ysólo si,˛ � 3 < �1, esto es,˛ < 2. ©

o/ Pongamosan D�

n sen1

n

�n3

. Aplicaremos el criterio de la raíz.

np

an D�

n sen1

n

�n2

:

Se trata de una indeterminación del tipo11. Aplicamos el criterio de equivalencia loga-rítmica:

n2

�n sen

1

n� 1

�D

sen1n� 1

n1

n3

! �1

6

porque, como debe saber, lKımx!0

senx � x

x3D �1

6. Luego n

pan ! e

�16 < 1 y la serie es

convergente. ©

p/ Pongamosan D�.2n/!

�3

26n.n!/6. Aplicaremos el criterio del cociente porque hay muchos

factores que se van a simplificar.

anC1

anD

�.2nC 2/!

�3

26nC6..nC 1/!/626n.n!/6

�.2n/!

�3 D.2nC 1/3.2nC 2/3

26.nC 1/6D .2nC 1/3

8.nC 1/3! 1:

Como este criterio no proporciona información sobre la convergencia de la serie, aplica-remos el criterio de Raabe.

Rn D n

1 � .2nC 1/3

8.nC 1/3

!D 12n3 C 18n2 C 7n

8n3 C 24n2 C 24nC 8! 3

2> 1:

La serie converge. ©

r/ Pongamosan Dn! en

nnC˛. Apliquemos el criterio del cociente.

anC1

anD e

�n

nC 1

�n �n

nC 1

�˛

! 1:

Este criterio no proporciona información sobre la convergencia de la serie. Apliquemosel criterio de Raabe en su forma alternativa.

�an

anC1

�n

D 1

en

�nC 1

n

�n2C n

D �

1C 1n

�n

e

!n �nC 1

n

�˛n

Tenemos que

�nC 1

n

�˛n

! e˛. La sucesiónznD �

1C 1n

�n

e

!n

es una indeterminación

11, por tantofzng ! eL dondeL es el límite de:

n

�1C 1

n

�n

e� 1

!D 1

e

�1C 1

n

�n � e1n

! �1

2:

Por tanto: �an

anC1

�n

! e˛� 12 :

La serie converge si � 12> 1, esto es > 3

2y no converge para < 3

2. Para D 3=2

la serie no converge; de hecho se verifica que:

Rn D n

1 � e

�n

nC 1

�nC 32

!6 1

pero esta desigualdad no parece que sea fácil de probar. ©

s/ Pongamosan D log�n sen1

n

�. Después de pensarlo un poco te darás cuenta de que

hay que aplicar un criterio de comparación. Tenemos que:

an D log

sen1

n1n

!:

Observa quean < 0 porque parax > 0 es senx < x. Esto lleva a considerar la función:

f .x/D logsenx

x:

Parax ! 0 tenemos las siguientes equivalencias asintóticas:

f .x/ � senx

x� 1D senx � x

x� �1

6x2:

Deducimos que:

�an D�f�

1

n

�� 1

6

1

n2:

Por el criterio límite de comparación se sigue que la serieP.�an/D�

Pan es conver-

gente y, por tanto,P

an es convergente. ©

Ejercicio resuelto 227 Estudia la convergencia de las siguientes series donde˛; ˇ2R.

a/X

n>1

.n1=n2 � 1/I b/X

n>1

.3p

nC 1� 3p

n/ log

�nC 1

n

�

c/X

n>1

�2 � 4 � 6 � � � .2n/

5 � 7 � � � .2nC 3/

�d/X

n>1

n˛ exp

�ˇ

nX

kD1

1

k

!

Solución.a/ Pongamosan D n1=n2 � 1. Tenemos que:

an D elogn

n2 �1 � logn

n2:

Por el criterio límite de comparación, la serie es convergente.

b/ Pongamosan D . 3p

nC 1 � 3p

n/ log�

nC1n

�. Tenemos que:

an D 3p

n

r1C 1

n� 1

!log

�1C 1

n

�� n

13

1

3

1

n2D 1

3

1

n53

:

Por el criterio límite de comparación, la serie es convergente.

c/ Pongamosan D�

2�4�6��.2n/5�7��.2nC3/

�. Aplicaremos el criterio del cociente.

anC1

anD�

2 � 4 � 6 � � � .2n/.2nC 2/

5 � 7 � � � .2nC 3/.2nC 5/

� �5 � 7 � � � .2nC 3/

2 � 4 � 6 � � � .2n/

�D�

2nC 2

2nC 5

�

Este criterio no proporciona información sobre la convergencia de la serie. Apliquemosel criterio de Raabe en su forma alternativa.

�an

anC1

�n

D�

2nC 5

2nC 2

� n

! e32

˛ :

Por tanto, si32˛ > 1, o sea, > 2

3la serie converge, y si3

2˛ < 1, o sea, < 2

3la serie no

converge. Para D 23

la serie no converge, pero este caso requiere un estudio específicoque no vamos a hacer.

Vamos a hacer este ejercicio con otro tipo de técnica que resulta muy conveniente paraseries cuyo término general es parecido al de la serie que nosocupa.

9.38 Estrategia. Consideremos una serie del tipoX

n>1

.cn/˛ dondecn D

p1p2 � � �pn

q1q2 � � � qny

pj ; qj son números enteros positivos. Ademásqn es de la formaqnDpnCk dondek esun entero positivo fijo. En el ejemplo que nos ocupa espnD 2n y qnD 2nC 3DpnC 3.Observa que para quefcng ! 0 es necesario que > 0. Una estrategia bastante buenapara estudiar estas series consiste en acotar directamentecn usando la desigualdad (válidapor serpn < qn):

pn

qn<

pn C k

qn C kD qn

qn C k:

Para que esta estrategia pueda aplicarse se necesita también que podamos relacionar confacilidadqn C k conpn. Lo usual es que se tenga una relación del tipoqn C k D pnCk .En nuestro ejemplo esqn C 3D 2nC 6D 2.nC 3/D pnC3. Supuesto que esto es así,tenemos que:

pn

qn<

qn

pnCk

:

En nuestro ejemplo es:2n

2nC 3<

2nC 3

2nC 6: (9.8)

Una vez dada la idea general, por comodidad, vamos a seguir con nuestro ejemplo.

Usando la desigualdad (9.8) paranD 1; 2; : : : , tenemos que:

cn D2 � 4 � � � .2n/

5 � 7 � � � .2nC 3/D 2

5

4

7� � � 2n

2nC 3<

5

8

7

10� � � 2nC 3

2nC 6D

D 5 � 7 � � � .2nC 3/

8 � 10 � � � .2n/.2nC 2/.2nC 4/.2nC 6/D 2 � 4 � 6.2nC 2/.2nC 4/.2nC 6/

1

cn:

Observa que, aplicando la desigualdad (9.8) a los factores que formancn, obtenemos una

desigualdad que relacionacn con1

cn; ésta es la idea en la que se basa esta estrategia. De

la desigualdad anterior deducimos que:

c2n <

48

.2nC 2/.2nC 4/.2nC 6/

Supuesto que > 0 (condición necesaria para la convergencia) se sigue que:

c˛n <

�48

.2nC 2/.2nC 4/.2nC 6/

�˛2

Teniendo en cuenta que:

�48

.2nC 2/.2nC 4/.2nC 6/

�˛2

� 6˛2

1

n32

˛;

deducimos, por el criterio básico de comparación con la serie de Riemann de exponente32˛ que si3

2˛ > 1, o sea, > 2

3la serie es convergente.

Esto ya lo sabíamos por el estudio hecho previamente. La novedad viene ahora. Se puederepetir el mismo proceso anterior para acotarcn por abajo, o sea, para minorarcn. La ideaes la misma. Si has entendido lo anterior lo que sigue debe estar claro.

Usaremos ahora la desigualdad:

2n

2nC 3>

2n � 3

2n(9.9)

Usando esta desigualdad paranD 2; 3; : : : , tenemos que:

cn D2 � 4 � 6 � 8 � � � .2n� 2/.2n/

5 � 7 � 9 � 11 � � � .2nC 1/.2nC 3/D 2

5

4

7

6

9

8

11� � � 2n� 2

2nC 1

2n

2nC 3>

>2

5

1

4

3

6

5

8� � � 2n� 5

2n� 2

2n � 3

2nD

D 6

5

2

.2n � 1/.2nC 1/.2nC 3/

5 � 7 � � � .2n� 3/.2n � 1/.2nC 1/.2nC 3/

2 � 4 � 6 � � � .2n/D

D 12

5

1

.2n� 1/.2nC 1/.2nC 3/

1

cn:

De donde, al igual que antes, se sigue que:

c˛n >

�12

5

1

.2n � 1/.2nC 1/.2nC 3/

�˛2

��

12

5

�˛2 1

n32

˛:

Deducimos, por el criterio básico de comparación con la serie de Riemann de exponente32˛ que si3

2˛ > 1, o sea, > 2

3(en particular para D 2

3) la serie no es convergente.©

d/ Pongamosan D n˛ exp

�ˇ

nX

kD1

1k

!. Tenemos que:

anC1

anD�

nC 1

n

�˛

e� ˇnC1 ! 1:

Aplicaremos el criterio de Raabe en su forma alternativa.�

an

anC1

�n

D�

n

nC 1

�n˛

eˇ nnC1 ! e�˛ eˇDeˇ�˛ :

Por tanto, si � ˛ > 1 la serie converge y si � ˛ < 1 la serie no converge. El caso enqueˇ � ˛ D 1 no queda resuelto con este criterio.

Otra forma de proceder es aplicando la estrategia7.33. Tenemos que:

anDn˛ exp

�ˇ

nX

kD1

1

k

!Dn˛ e�ˇ logn�ˇ”nDn˛ e�ˇ logn e�ˇ”n � eˇ” n˛n�ˇDeˇ” 1

nˇ�˛:

Por el criterio límite de comparación, la serie converge si,y sólo si,ˇ � ˛ > 1. ©

Ejercicio resuelto 228 Estudia la convergencia de las series.

a)X

n>1

3nn!3p

n 5 � 8 � 11 � � � .5C 3n/

b)X

n>1

.a �p

a/.a � 3p

a/ � � � .a � np

a/ .a > 0/

Solución.a) Pongamosan DX

n>1

3nn!3p

n 5 � 8 � 11 � � � .5C 3n/. Tenemos que:

anC1

anD 3nC1.nC 1/!

3p

nC 1 5 � 8 � 11 � � � .5C 3n/.5C 3.nC 1//

3p

n 5 � 8 � 11 � � � .5C 3n/

3nn!D

D�

n

nC 1

�13 3nC 3

3nC 8! 1:

El criterio del cociente no proporciona información sobre la convergencia de la serie.Aplicaremos el criterio de Raabe en su forma alternativa.

�an

anC1

�n

D�

nC 1

n

�n3�

3nC 8

3nC 3

�n

D�

1C 1

n

�n3�

1C 5

3nC 3

�n

! e13 e

53 De2 :

La serie converge.

b) Pongamosan D .a �p

a/.a � 3p

a/ � � � .a � np

a/. Tenemos que:

anC1

anD a � nC1

pa! a � 1:

Por tanto, sia � 1 < 1, o sea,0 < a < 2, la serie converge; y sia � 1 < 1 o seaa > 2

la serie no converge. Para el caso en quea D 2 el criterio del cociente no proporcionainformación sobre la convergencia de la serie. Aplicaremosel criterio de Raabe.

n

�1 � anC1

an

�D n

� nC1p

2 � 1�! log2 < 1:

La serie no converge. ©

Ejercicio resuelto 229 Seafang una sucesión creciente de números positivos. Dar condicio-

nes que garanticen que la serieX

n>1

1

a1a2a3 � � � anes convergente.

Solución.Pongamosxn D1

a1a2a3 � � � an. Si fang no está mayorada, como es creciente

se tiene quefang ! C1. Por tanto, hay un númerok 2N tal que para todon > k severifica quean > 2. Deducimos que paran > k se verifica que:

1

a1a2 � � � ak�1akakC1 � � � anD 2k

a1a2 � � � ak�1

1

2k

1

akakC1 � � � an6 M

1

2k

1

2n�kDM

1

2n:

Donde hemos puestoM D 2k

a1a2a3 � � � ak�1

que es una constante independiente den.

Concluimos que la serie es convergente por comparación con la serie geométrica derazón1=2.

Si fang está mayorada, como es creciente se tiene quefang ! L dondeL > 0. SiL > 1, podemos tomar un número� tal que1 < � < L, con lo que podemos asegurarque hay algúnk 2N tal quean > � paran > k. Podemos ahora repetir el razonamientoanterior con2 sustituido por� y concluimos que la serie converge por comparación con

la serie geométrica de razón1=�. Si 0 < L 6 1, entonces como0 < an 6 L, se tiene que0 < an 6 1 para todon2N, lo que implica quexn > 1 por tantofxng no converge a0,lo que implica que la serie no converge.

También puede aplicarse el criterio del cociente.

xnC1

xnD 1

anC1

! 1

L

dondefang ! L2RC [ fC1g. Por lo que siL > 1 o siLDC1, se tiene que1L< 1

y la serie converge. SiL < 1 la serie no converge, y siLD 1 tampoco converge porqueentoncesxnC1

xn> 1. ©

Ejercicio resuelto 230 Dar ejemplos de sucesionesfang ! 1 y decrecientes tales que la

serieX

n>1

1

a1a2a3 � � � ansea en un caso convergente y en otro caso divergente.

Solución.La sucesiónan D 1C 1nD nC1

ndecrece y converge a1. Tenemos que:

a1a2 : : : an D2 � 3 � 4 � � � .nC 1/

1 � 2 � 3 � � � n D nC 1:

La correspondiente serie es divergente.

La sucesiónan D 31=n es decreciente y converge a1. Tenemos que:

xn D1

a1a2a3 � � � anD�

1

3

�PnjD1

1j

:

Esta serie es convergente porque aplicando el criterio de Raabe obtenemos:

n

�1� xnC1

xn

�D n

1 � nC1

r1

3

!! � log

1

3D log3 > 1:

Ejercicio resuelto 231 Seaan>0 para todon2N. Prueba que las seriesX

n>1

an yX

n>1

an

1C an

ambas convergen o ambas divergen.

Solución.PongamosbnDan

1C an. Como1Can > 1, la desigualdadbn 6 an prueba que

si la serieP

an es convergente también es convergente la serieP

bn. Recíprocamente,si la serie

Pbn es convergente entonces debe serfbng ! 0, por lo que hay algúnk 2N

tal que para todon > k esbn <12, esto es,2an < 1 C an por lo quean < 1. Lo que

implica quea2n < an, y obtenemos quea2

n C an < 2an de dondean <2an

1C anD 2bn.

De esta desigualdad se sigue, por el criterio de comparación, que la serieP

an tambiénes convergente. ©

Ejercicio resuelto 232 SeaP

an una serie de términos positivos convergente. ¿Qué puede

decirse de las seriesP

a2n y

PpananC1?

Solución.Comofang ! 0, hay un númerok2N tal que para todon> k es0 < an < 1,lo que implica que0 < a2

n < an y deducimos, por el criterio de comparación, que laserie

Pa2

n es convergente. Como

pananC1 6

1

2.a2

n C a2nC1/;

se sigue, también por el criterio de comparación, que la seriePp

ananC1 es convergen-te. ©

Ejercicio resuelto 233 SeaP

an una serie convergente de términos positivos. Prueba que la

serieX p

an

n˛es convergente si> 1=2. Da un ejemplo de una serie

Pan convergente

tal que la serieX p

anpn

sea divergente.

Solución.Recuerda la desigualdadab 6 12.a2 C b2/. Sustituyea por

pan y b por

1

n˛y

resulta que: pan

n˛6

1

2an C

1

2

1

n2˛:

Como2˛ > 1 la serieP 1

n2˛ es convergente. ComoP

an es convergente por hipóte-

sis, de la desigualdad anterior se sigue, por el criterio de comparación, queP p

an

n˛ esconvergente.

La serieP 1

n.logn/2 es convergente peroP 1

n.logn/es divergente. ©

Ejercicio resuelto 234 Estudia la convergencia de las sucesiones:

a/ xn DnX

kD1

1pk� 2p

n; b/ yn DnX

kD1

logk

k� .logn/2

2:

Sugerencia. Estudia la convergencia de las respectivas series de diferencias consecutivas.

Solución.a) Tenemos que:

xnC1 � xn D1p

nC 1� 2p

nC 1C 2p

nD 1pnC 1

� 2p

nCp

nC 1D

Dp

n �p

nC 1pnC 1.

pnCp

nC 1/D �1p

nC 1.p

nCp

nC 1/2:

Puesto que 1pnC1.

pnC

pnC1/2

� 1n3=2 la serie

P1p

nC1.p

nCp

nC1/2es convergente. Por

tanto, la sucesión:

x1 CnX

kD1

.xkC1 � xk/D xnC1

es convergente.

Criterios de convergencia no absoluta 556

b) Usando que log.nC 1/D log�n.1C 1

n/�D lognC log.1C 1

n/, tenemos que:

yn � ynC1 D�log.nC 1/

nC 1C .log.nC 1//2

2� .logn/2

2D

D� log.nC 1/

nC 1C

�lognC log

�1C 1

n

��2

2� .logn/2

2D

D� log.nC 1/

nC 1C logn log

�1C 1

n

�C 1

2

�log

�1C 1

n

��2

D

D� logn

nC 1�

log�1C 1

n

�

nC 1C 1

2

�log

�1C 1

n

��2

D

D logn

�log

�1C 1

n

�� 1

nC 1

��

log�1C 1

n

�

nC 1C 1

2

�log

�1C 1

n

��2

:

Comolog�1C 1

n

�nC1

� 1n.nC1/

� 1n2 , la serie

X

n>1

log�1C 1

n

�

nC 1es convergente. También

es convergente la serieX

n>1

�log

�1C 1

n

��2

porque�log

�1C 1

n

��2� 1

n2 . Usando la

desigualdad que ya debes saber de memoria:

1

nC 1< log

�1C 1

n

�<

1

n;

se sigue que:

0 < log�1C 1

n

�� 1

nC 1<

1

n.nC 1/;

de donde se deduce que la serieX

n>1

logn

�log

�1C 1

n

�� 1

nC 1

�es convergente. Con-

cluimos que la serieP.yn � ynC1/ es convergente por ser suma de tres series conver-

gentes. Por tanto, la sucesión:

y1 �nX

kD1

.yk � ykC1/D ynC1

es convergente. ©

9.3. Criterios de convergencia no absoluta

Los criterios de convergencia para series de términos positivos se aplican, obvio es decirlo,para estudiar la convergencia absoluta de cualquier serie.Pero, ¿qué hacer cuando una serie noes absolutamente convergente? Naturalmente, podemos intentar comprobar si la serie verificala condición de Cauchy, pero este procedimiento con frecuencia es difícil. Pues bien, los crite-rios que vamos a estudiar a continuación proporcionan información sobre la convergencia noabsoluta. Probaremos, en primer lugar, una igualdad de la que se deducen con facilidad dichoscriterios.


9.39 Proposición(Suma por partes (Abel, 1826)). Dadas dos sucesionesfang y fbng, pon-

gamosAp DpX

jD1

aj . Se verifica entonces, para todon2N, que:

nX

kD1

akbk DnX

kD1

Ak.bk � bkC1/CAnbnC1 (9.10)

Demostración. Pongamos, por comodidad de notación,A0D 0, con lo que para todok2N severifica queak DAk �Ak�1. Tenemos que:

nX

kD1

akbk DnX

kD1

.Ak �Ak�1/bk DnX

kD1

Akbk �nX

kD2

Ak�1bkD

DnX

kD1

Akbk �nX

kD1

AkbkC1 CAnbnC1D

DnX

kD1

Ak.bk � bkC1/CAnbnC1 : 2

9.40 Teorema(Criterio general de Dirichlet ). Seanfang , fbng dos sucesiones, y pongamos

An DnX

kD1

ak . Supongamos que:

i) Existe un númeroM > 0 tal que para todon2N esˇAn

ˇ6 M .

ii) La serieX

n>1

jbn � bnC1j es convergente.

iii) fbng ! 0.

Se verifica entonces que la serieX

n>1

anbn es convergente.

Demostración. Puesto queˇAn

ˇˇbn � bnC1

ˇ6 M

ˇbn � bnC1j , deducimos, por el criterio de

comparación que la serieX

n>1

An.bn � bnC1/ converge absolutamente y, por tanto, es conver-

gente, es decir, la sucesiónnX

kD1

Ak.bk � bkC1/ es convergente. Como, además, la sucesión

˚AnbnC1

converge a cero por ser producto de una sucesión acotada por otra convergente a

cero, deducimos, en virtud de la igualdad (9.10), que la serieX

n>1

anbn es convergente. 2

9.41 Teorema(Criterio general de Abel). Seanfang y fbng dos sucesiones y supongamosque:

i) La serieX

n>1

an es convergente.



ii) La serieX

n>1

jbn � bnC1j es convergente.


n>1


Demostración. La hipótesis i) nos dice que la sucesiónAn DnX

kD1

an es convergente; en parti-

cular está acotada, por lo que, al igual que antes, se deduce que la sucesiónnX

kD1

Ak.bk �bkC1/

es convergente. Además, ii) implica que la serieX

n>1

.bn � bnC1/ es convergente,y como dicha

serie es la sucesión˚ nX

jD1

.bj � bjC1/D fb1 � bnC1g , obtenemos quefbng es convergente.

Resulta así que la sucesión˚AnbnC1

converge por ser producto de sucesiones convergentes

y, en virtud de la igualdad (9.10), deducimos que la serieX

n>1

anbn es convergente. 2

9.42 Proposición. Si la sucesiónfbng es monótona y acotada, entonces se verifica que esconvergente la serie

X

n>1

jbn � bnC1j.

Demostración. En efecto, basta tener en cuenta que

nX

jD1

jbj � bjC1j D

8ˆˆ<ˆˆ:

nX

jD1

.bj � bjC1/D b1 � bnC1; si fbng es decreciente;

nX

jD1

.bjC1 � bj /D bnC1 � b1; si fbng es creciente.

2

La proposición anterior permite particularizar los criterios de Dirichlet y de Abel de laforma que sigue.

9.43 Corolario (Criterio particular de Dirichlet ). Seanfang, fbng dos sucesiones, y ponga-

mosAn DnX

kD1

an. Supongamos que:

i) Existe un númeroM > 0 tal que para todon2N esˇAn

ˇ6 M .

ii) fbng es monótona yfbng ! 0.


n>1


9.44 Corolario (Criterio particular de Abel ). Seanfang, fbng dos sucesiones y supongamosque:

i) La serieP

an es convergente.

ii) fbng es monótona y acotada.


n>1


Hay un caso todavía más particular del criterio de Dirichletque se aplica aseries alterna-das, es decir, a series del tipo

X

n>1

.�1/nC1xn dondexn > 0 para todon 2N. Este criterio es

debido a Leibniz, y aunque puede deducirse fácilmente del corolario 9.43, merece la pena daruna prueba directa del mismo porque así obtenemos una fácil acotación del error que se cometeal aproximar la suma de una serie alternada por una suma parcial de la serie.

9.45 Proposición(Criterio de Leibniz para series alternadas). Supongamos que la sucesiónfang es decreciente y convergente a cero. Entonces la serie alternada

Pn>1.�1/nC1an es

convergente. Además, siAnDPn

kD1.�1/kC1ak y SDP1

nD1.�1/nC1an, entonces para todon2N se verifica quejS �Anj 6 anC1.

Demostración. Es inmediato comprobar que la sucesiónfA2n�1g es decreciente yfA2ng escreciente. ComoA2 6 A2n 6 A2n�1 6 A1, deducimos que ambas sucesiones convergen. Ade-más, comoA2n�1 �A2n D a2n ! 0, concluimos queAn converge.

SeaS DP1

nD1.�1/nC1an D lKımfAng. Puesto que

S D lKımfA2n�1g D KınffA2n�1 W n2Ng D lKımfA2ng D supfA2n W n2Ng;se verifica queA2n6 S 6 A2nC1, de donde:

0 6 S �A2n6 a2nC1; y � a2n6 S �A2n�16 0: (9.11)

En consecuenciajS �Anj6 anC1 para todon2N. 2

Teniendo en cuenta la proposición9.8, el criterio de Leibniz prueba que las series de laforma

P.�1/nC1an dondefang ! 0 y la sucesiónfang es monótona a partir de un cierto

término en adelante, son convergentes (aunque la acotación del error antes obtenida ya notiene por qué ser válida).

Observa que los criterios de Dirichlet y de Abel pueden, en principio, ser aplicados a unaserie cualquiera,

Pxn, pues sólo tenemos que expresarxn de la formaxnD anbn, lo que, evi-

dentemente, puede hacerse de muchas maneras; pero es imprescindible elegir apropiadamentean y bn para que pueda aplicarse con éxito alguno de dichos criterios.

9.46 Estrategia(Estrategia para estudiar la convergencia de una serie). Para estudiar laconvergencia de una serie

Pzn numérica lo primero que debes hacer es estudiar la convergen-

cia absoluta, es decir la convergencia de la serie de términos positivosPjznj, para lo que se

aplican los criterios de convergencia para series de términos positivos. Si la seriePjznj conver-

ge entonces, en virtud del teorema9.14, sabemos que la serieP

zn también converge (y todassus reordenaciones). Cuando la serie

Pjznj no converge se aplican los criterios de Dirichlet o

de Abel para estudiar directamente la convergencia de la serieP

zn.



466. Estudia la convergencia absoluta y la convergencia no absoluta de las siguientes series.

a/X

n>1

.�1/nC1 log.nC 2/

nC 2b/X

n>1

.�1/n1

n˛ C .�1/n; .˛2R/

c/X

n>1

.�1/nC1 2C .�1/n

nd/X

n>1

.�1/nC1

pn

nC 100

e/X

n>1

log

�1C .�1/n

n

�f /

X

n>1

.�1/nC1

�1 � 3 � 5 � � � .2n � 1/

2 � 4 � 6 � � � 2n

�; .˛2R/

g/X

n>1

.�1/nC1

�1� n log

nC1

n

�h/X

n>1

.�1/nC1 .logn/r

ns; .r; s2RC/

467. Estudia, según los valores de˛2R, la convergencia absoluta y la convergencia no abso-luta de la serie X

n>2

.�1/nC1n˛

��1

n� log

�n� 1

n

��:

468. Estudia, según los valores de˛2R, la convergencia absoluta y la convergencia no abso-luta de la serie X

n>1

.�1/nC1n˛.e1n �1/:

Sugerencia. Prueba que la funciónf WRC ! R dada para todox > 0 por:

f .x/D ex �1

x˛

es creciente siempre que< 1.



Ejercicio resuelto 235 Estudia la convergencia absoluta y la convergencia no absoluta de lassiguientes series.

a/X

n>1

.�1/n1

n˛ C .�1/n; .˛2R/ b/

X

n>1

log

�1C .�1/n

n

�

c/X

n>1

.�1/nC1

�1 � 3 � 5 � � � .2n� 1/

2 � 4 � 6 � � � 2n

�; .˛2R/ d/

X

n>1

.�1/nC1

�1 � n log

nC1

n

�

Solución.a) Pongamosan D1

n˛ C .�1/n. Si ˛ 6 0 entoncesfang no converge a0 y la

serie no converge. Supondremos en lo que sigue que˛ > 0. Tenemos que:

an D1

n˛ C .�1/n� 1

n˛

Deducimos que si > 1 la serie converge absolutamente. Consideremos que0 < ˛ 6 1.Pongamos:

.�1/n1

n˛ C .�1/nD .�1/n

n˛C bn÷bn D

1

n˛.n˛ C .�1/n/

Por el criterio de Leibniz, la serieP .�1/n

n˛ es convergente (> 0). Como0 < bn � 1n2˛ ,

por el criterio límite de comparación, la serieP

bn es convergente si, y sólo si,˛ > 1=2.

Concluimos que la serieX

n>1

.�1/n 1n˛C.�1/n converge si > 1=2. En resumen, la serie

converge absolutamente si˛ > 1 y converge no absolutamente si1=2 < ˛ 6 1. La serieno converge para 6 1=2. ©

b) Pongamosan D log

�1C .�1/n

n

�. Observa quean D .�1/nxn dondexn D janj.

Probemos quex2nC16x2n6x2n�1, de donde se sigue quefxng decrece a0. Usaremosla desigualdad (que tú debes comprobar), válida para0 < x < 1, log.1 � x/ 6 �x.Tenemos:

x2n�1Dˇˇlog

�1� 1

2n � 1

�ˇˇD� log

�1� 1

2n � 1

�>

1

2n � 1>

1

2n> log

�1C 1

2n

�Dx2n

Luegox2n < x2n�1 paran > 2. Por otra parte:

x2nC1D� log

�1C �1

2nC 1

�D� log

�2n

2nC 1

�D log

�2nC 1

2n

�D log

�1C 1

2n

�Dx2n

Concluimos, por el criterio de Leibniz, que la serieP

an es convergente. Puesto que:

janj Dˇˇlog

�1C .�1/n

n

�ˇˇ � 1

n

la serie no es absolutamente convergente. ©

c) Estudiaremos primero la convergencia absoluta. SeaanD�

1 � 3 � 5 � � � .2n � 1/

2 � 4 � 6 � � � 2n

�. Si

˛60 entoncesfang no converge a0 y la serie no es convergente. Supondremos en lo quesigue que > 0. Tenemos que:

anC1

anD�

2nC 1

2nC 2

�˛

! 1:

El criterio del cociente no proporciona información sobre la convergencia absoluta de laserie. Aplicaremos el criterio de Raabe en su forma alternativa.

�an

anC1

�n

D�

2nC 2

2nC 1

�˛n

D�

1C 1

2nC 1

�˛n

! e˛2 :

Por tanto, si˛2> 1, o sea > 2 la serie converge absolutamente; si˛

2< 1, o sea < 2

la serie no converge absolutamente. El caso en que˛ D 2 requiere un estudio particular(ver más adelante). Nos queda por estudiar lo que ocurre si0 < ˛ 6 2. Observa que para˛ > 0 es evidente que la sucesiónfang es decreciente. Lo que no es evidente es queconverja a0. Para aplicar el criterio de Leibniz a la serie

P.�1/nC1an hay que probar

quefang ! 0. Esto puedes hacerlo comprobando que la sucesión log.an/! �1. Estoes fácil y te lo dejo para que lo hagas tú. Yo voy a seguir otro camino. Aplicando la

estrategia9.38a la sucesiónxn D1 � 3 � 5 � � � .2n� 1/

2 � 4 � 6 � � � 2nse obtiene fácilmente que:

1

2p

n< xn <

1p2nC 1

÷1

2n˛=2< an <

1

.2nC 1/˛=2

Desigualdad que implica quefang ! 0 para todo > 0. Además esta desigualdad nosdice que para D 2 esan >

12n

lo que implica que la serie no converge absolutamentepara˛ D 2. En resumen: hay convergencia absoluta para˛ > 2 y hay convergencia noabsoluta para0 < ˛ 6 2.

Ejercicio resuelto 236 Estudia, según los valores de2 R, la convergencia absoluta y laconvergencia no absoluta de la serie

X

n>2

.�1/nC1n˛

��1

n� log

�n� 1

n

��:

Solución.PongamosznD.�1/nC1n˛�

�1n� log

�n�1

n

��. Estudiaremos primero la con-

vergencia absoluta. Tenemos que:

lKımx!0

�x � log.1� x/

x2D 1

2÷f .x/ � 1

2x2

y por tantojznj D n˛f�

1n

�� 1

2n2�˛ . Por tanto, la serieP

zn converge absolutamente si,y sólo si,2 � ˛ > 1, o sea, < 1. Si 2 � ˛ 6 0, o sea > 2, entoncesfzng no convergea 0 y por tanto la serie

Pzn no es convergente. Queda por ver lo que ocurre cuando

1 6 ˛ < 2. Para dichos valores dese tiene quefzng ! 0. Probaremos quefzng esdecreciente. Pongamosf .x/D x�˛.�x � log.1 � x// donde0 < x < 1. Observa quezn D .�1/nC1f .1=n/. Tenemos que:

f 0.x/D x˛C1

1� xC ˛x˛�1.�x � log.1� x//;

recordando que�x � log.1 � x/ > 0 para0 < x < 1, se sigue quef 0.x/ > 0

para0 < x < 1. Por tantof es estrictamente creciente en�0; 1� y, en particular, esf�

1nC1

�< f

�1n

�. El criterio de Leibniz nos dice que la serie

Pzn es convergente para

1 6 ˛ < 2. ©

Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta 563

9.4. Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta

Debes tener ya claro que una cosa es estudiar la convergenciade una serie y otra es calcularsu suma. Son relativamente pocas las series convergentes cuya suma se puede calcular de formaexacta. Aquí vamos a ver algunas de ellas. No debes esforzarte por memorizar fórmulas parasumar series, sino en comprender y en aplicar los métodos quepermiten calcularlas.

Series geométricas.Las series de la formaX

n>0

˛xn donde˛ 2R y jxj < 1, cuya suma viene

dada por1X

nD0

˛xnD ˛

1 � x.

Series aritmético - geométricas.Son series de la formaX

n>0

p.n/xn dondep es una función

polinómica de grad0m > 1. Aplicando el criterio del cociente se obtiene fácilmente que estasseries convergen absolutamente sijxj < 1. Es claro que no convergen sijxj> 1 pues entoncesfp.n/xng es una sucesión no acotada y, por tanto, no converge a0. Supongamos quejxj < 1 ypongamos:

S D1X

kD0

p.k/xk D lKımn!1

nX

kD0

p.k/xk

Definamos lasdiferencias de primer ordende p, que notaremos,��1p

�, como el polinomio

dado para todok 2N por��1p

�.k/D p.k C 1/ � p.k/. Observa que�1p es un polinomio

de gradom � 1. Tenemos:

S � xS D .1� x/S D lKımn!1

nX

kD0

p.k/xk �nX

kD0

p.k/xkC1

!D

D lKımn!1

n�1X

kD0

�p.k C 1/ � p.k/

�xkC1 C p.0/ � p.n/xnC1

!D p.0/C x

1X

kD0

��1p

�.k/xk :

PongamosS1DP1

kD0

��1p

�.k/xk. La igualdad anterior nos dice que.1�x/SDp.0/CxS1.

Este procedimiento puede volver a aplicarse a la serieX

k>0

��1p/.k/xk. De la misma forma

obtenemos ahora.1�x/S1D��1p/.0/CxS2, dondeS2D

P1kD0

��2p

�.k/xk y

��2p

�son

lasdiferencias de segundo ordendep definidas para todok 2N por:��2p

�.k/D

��1p

�.k C 1/ �

��1p

�.k/:

Observa que��2p

�es un polinomio de gradom � 2.

Repitiendo este procesom veces llegaremos a obtener finalmente

Sm D1X

kD0

��mp

�.k/xk D ˛

1� x

porque las diferencias de ordenm, .�mp�, de un polinomio de gradom son constantes,

.�mp�.k/ D ˛ para todok 2 N. ConocidoSm calculamosSm�1 a partir de la igualdad

.1 � x/Sm�1 D��m�1p

�.0/ C xSm. A partir deSm�1 podemos calcularSm�2, etcétera,

hasta llegar a obtener finalmente el valor deS .

Series hipergeométricas.Consideremos una serieP

an de términos positivos tal que paratodon2N es:

anC1

anD ˛nC ˇ˛nC ; .˛ > 0; ˇ; 2R/:

Escribiendo esta igualdad paranD k en la forma:

˛kakC1 C akC1 D ˛kak C ˇak

y sumando desdek D 1 hastak D n se obtiene:

˛nanC1 C .anC1 C Sn � a1/D ˛Sn C ˇSn: (9.12)

DondeSn DnX

kD1

ak . Supuesto que la serie sea convergente y que su suma esS D lKımfSng, se

deduce de la igualdad anterior que la sucesiónfnanC1g también converge y necesariamente sulímite debe ser cero (si fuerananC1 ! � > 0 se tendría quean � �

nlo que implicaría que la

serie diverge).

Aplicando el criterio de Raabe se obtiene fácilmente que la serie converge si > ˛ C ˇy diverge si < ˛ C ˇ. También diverge si D ˛ C ˇ porque en tal caso se deduce de laigualdad9.12que:

˛nanC1 C anC1 � a1 D 0 ÷ anC1 D a1

˛nC y, por comparación con la serie armónica, se sigue que la serie diverge.

Supuesto que, > ˛ C ˇ, y tomando límites en la igualdad9.12deducimos que:

S � a1 D ˛S C ˇS ÷ S D a1

� ˛ � ˇ :

Series cuyo término general es una función racional.Se trata de series de la formaX P .n/

Q.n/dondeP y Q son funciones polinómicas. A partir de un cierto término en adelante, dichas seriestienen todos sus términos positivos o todos negativos (según que lKımx!C1 P .x/Q.x/DC1o que lKımx!C1 P .x/Q.x/ D �1). Estas series convergen absolutamente cuando el gradodel denominador es al menos dos unidades mayor que el grado del numerador. Cuando estacondición se cumple y, además, las raíces del polinomioQ son todas reales y simples es posible

calcular la suma de la serie descomponiendo la función racionalP .x/

Q.x/en fracciones simples,

Se tendrá una descomposición de la forma:

P .x/

Q.x/D A1

x � ˛1

C A2

x � ˛2

C � � � C Am

x � ˛m

donde 1; ˛2; : : : ; ˛m son las raíces deQ. Sustituyendo en la igualdad anteriorxDk y sumandodesdek D 1 hastak D n resulta:

nX

kD1

P .k/

Q.k/D

nX

kD1

�A1

k � ˛1

C A2

k � ˛2

C � � � C Am

k � ˛m

�

Ahora hay que hacer todas las simplificaciones posibles hasta que finalmente nos quede una

sucesión que sea convergente. Observa que las series de la formaX A

n� ˛ son divergentes

(por comparación con la serie armónica) pero la suma de todaslas que hay en el paréntesisanterior tiene que ser, en las hipótesis hechas, una serie convergente. Lo usual es que los coefi-cientesAk sean unos positivos y otros negativos y que las raíces˛k sean números enteros, demanera que se produzcan cancelaciones que finalmente permitan calcular la suma de la serie.Es frecuente que en los cálculos aparezca la serie armónica alternada. La estrategia7.33es muyútil para los cálculos en este tipo de ejercicio.

Series de diferencias o telescópicas.Se llaman así las seriesP

an cuyo término general puedeescribirse en la formaan D bnC1 � bn. Puesto que, en tal caso, se verifica la igualdad

nX

kD1

ak D bnC1 � b1;

la serie converge si, y sólo si, la sucesiónfbng converge, en cuyo caso1X

nD1

an D lKımfbng � b1.

Series relacionadas con la exponencial.Seax2R un número real distinto de0, fijo en lo quesigue y sean 2N. Aplicando el teorema de Taylor6.41a la función exponencial cona D 0,tenemos que hay algún puntoc comprendido entre0 y x tal que:

exD1CnX

kD1

1

k!xk C ec

.nC 1/!xnC1:

La serieX

n>0

xn

n!es absolutamente convergente porque, poniendoan D jxjn

n!, tenemos:

anC1

anD jxj

nC 1! 0:

En particular, se verifica que lKımn!1

� jxjnn!

�D 0. Como0 < jcj < jxj, tenemos que:

ˇˇˇe

x �nX

kD0

1

k!xk

ˇˇˇD

ˇˇ ec

.nC 1/!xnC1

ˇˇ6 ejxj jxjnC1

.nC 1/!;

de donde deducimos que:

lKımn!1

ˇˇˇe

x �nX

kD0

1

k!xk

ˇˇˇD 0 ” exD

1X

nD0

xn

n!:

Comox ¤ 0 es un número real cualquiera y la igualdad anterior es trivialmente cierta parax D 0, hemos probado que para todo número realx se verifica la igualdad:

exD1X

nD0

xn

n!D lKım

n!1

(1C x

1!C x2

2!C x3

3!C � � � C xn

n!

)(9.13)

En particular, parax D 1, resulta que:

eD1X

nD0

1

n!D lKım

n!1

�1C 1

1!C 1

2!C 1

3!C � � � C 1

n!

�: (9.14)

Con ayuda de esta serie podemos calcular la suma de series de la formaX

n>0

p.n/

n!dondep

es una función polinómica de gradom > 1. Dichas series son (absolutamente) convergentescomo se comprueba fácilmente con el criterio del cociente. Para calcular su suma expresamosel polinomiop.x/ en la forma:

p.x/Da0Ca1xCa2x.x�1/Ca3x.x�1/.x�2/C� � �Camx.x�1/.x�2/ � � � .x�mC1/:

Los númerosak pueden calcularse fácilmente:

a0 D p.0/; a1 D p.1/ � a0; 2a2 D p.2/ � a0 � 2a1; : : :

Con ello tenemos que:

1X

nD0

p.n/

n!D

1X

nD0

0@a0

n!C

mX

jD1

aj n.n � 1/ � � � .n � j C 1/

n!

1AD

D a0 eCmX

jD1

1X

nD0

aj n.n � 1/ � � � .n� j C 1/

n!

!D

D a0 eCmX

jD1

0@

1X

nDj

aj n.n � 1/ � � � .n� j C 1/

n!

1AD

D a0 eCmX

jD1

0@

1X

nDj

aj

.n � j /!

1AD a0 eC

mX

jD1

1X

nD0

aj

n!

!D

D .a0 C a1 C a2 C � � � C am/e:

Naturalmente, si la serie no empieza a sumar desdenD 0 hay que hacer los ajustes necesarios.

El mismo procedimiento puede aplicarse para series del tipoX

n>0

p.n/

n!xn.

De la igualdad (9.14) se deduce fácilmente que el número e es irracional. En efecto, paratodon2N tenemos que:

0 < e�nX

kD1

1

k!D

1X

kDnC1

1

k!D 1

n!

1X

kD1

1

.nC 1/.nC 2/ � � � .nC k/<

1

n!

1X

kD1

�1

nC 1

�k

D 1

n!

1

n

Si e fuera racional, eDp

qconp; q2N, multiplicando porq! la desigualdad:

0 < e�qX

kD1

1

k!<

1

q!

1

q

se tiene que:

0 < .q � 1/!p � q!

qX

kD1

1

k!<

1

q6 1:

Pero el número.q � 1/!p � q!

qX

kD1

1

k!es un número entero y por tanto es imposible que sea

mayor que0 y menor que1. Esta contradicción muestra que e es irracional.


469. Calcula la suma de las siguientes series.

a/X

n>1

1

4n3 � nb/X

n>1

1

.nC 1/p

nC np

nC 1c/X

n>1

1

2n

nC 2

n.nC 1/

d/X

n>1

1� 2n

3ne/X

n>1

2n�1

.1C 2n/.1C 2n�1/f /

X

n>1

sen1

2ncos

3

2n

g/X

n>1

n2

3nh/X

n>1

n2 C 5nC 7

.nC 2/!i/X

n>1

2n�1 tg2 x

2ntg

x

2n�1

j /X

n>1

1

n2 C 3nC 2k/X

n>0

.�1/nn3 � nC 1

3nn!l/X

n>1

.�1/nC1 2nC 1

n.nC 1/

m/X

n>2

.�1/nn2 � n

3nn/X

n>1

1

n.nC 1/.nC 2/o/X

n>1

3nC 2

n.nC 1/.nC 2/

Sugerencias. f) cosx seny D 12

�sen.x C y/ � sen.x � y/

�. i) tgx

�1 � tg2.x=2/

�D

2 tg.x=2/.



Ejercicio resuelto 237 Calcula la suma de las siguientes series.

a/X

n>1

1

4n3 � nb/X

n>1

1

.nC 1/p

nC np

nC 1c/X

n>1

1

2n

nC 2

n.nC 1/

d/X

n>1

2n�1

.1C 2n/.1C 2n�1/e/X

n>0

.�1/nn3 � nC 1

3nn!f /

X

n>2

.�1/nn2 � n

3n

Solución.a) Haremos la descomposición en fracciones simples de la función racional1

4x3 � x. Tenemos que4x3 � x D x.4x2 � 1/D x.2x C 1/.2x � 1/. El denominador


tiene tres raíces reales simples. Escribamos:

1

4x3 � xD A

xC B

2x C 1C C

2x � 1:

Fácilmente se obtieneAD�1, B D C D 1. Por tanto:

1

4k3 � kD� 1

kC 1

2k C 1C 1

2k � 1:

Observa que cuando sumemos nos van a quedar expresiones que podremos relacionarcon la serie armónica alternada por lo que conviene sumar desde k D 1 hastak D 2n.Como ya es usual ponemosHn D

PnkD1

1k

y usaremos la estrategia7.33que ya debesconocer.

2nX

kD1

1

4k3 � kD�

nX

kD1

1

2kC

nX

kD1

1

2k C 1C

2nX

kDnC1

1

2k C 1C

2nX

kDnC1

1

2k � 1D

D�1C2nC1X

kD1

.�1/kC1

kC 2

�H4nC1 �

1

2H2n �H2nC1 C

1

2Hn

�C 1

2nC 1D

D�1C2nC1X

kD1

.�1/kC1

kC 2

�log.4nC 1/C ”4nC1 �

1

2.log.2n/C ”2n/�

� log.2nC 1/ � ”2nC1 C1

2.log.n/C ”n/

�C 1

2nC 1!

! �1C log2C log2D 2 log2� 1:

Luego1X

nD1

1

4n3 � nD 2 log2� 1. ©

b) Basta observar que:

�.nC 1/

pnC n

pnC 1

��.nC 1/

pn� n

pnC 1

�D n.nC 1/:

De donde se obtiene fácilmente que:

1

.nC 1/p

nC np

nC 1Dp

n

n�p

nC 1

nC 1:

Deducimos que:

nX

kD1

1

.k C 1/p

k C kp

k C 1D 1 �

pnC 1

nC 1÷

1X

nD1

1

.nC 1/p

nC np

nC 1D 1:

c) Pongamosan D1

2n

nC 2

n.nC 1/. Tenemos que:

ak D1

2k

k C 2

k.k C 1/D 1

2k

�2

k� 1

k C 1

�D 1

2k�1k� 1

2k.k C 1/:




Deducimos que:

nX

kD1

ak D 1 � 1

2n.nC 1/÷

1X

nD1

1

2n

nC 2

n.nC 1/D 1:

d) Tenemos que:

2k�1

.1C 2k/.1C 2k�1/D 1C 2k � 1 � 2k�1

.1C 2k/.1C 2k�1/D 1

1C 2k�1� 1

1C 2k:

Deducimos que:

nX

kD1

2k�1

.1C 2k/.1C 2k�1/D 1

2� 1

1C 2n÷

1X

nD1

2n�1

.1C 2n/.1C 2n�1/D 1

2:

e) Es una serie de la formaX

n>0

p.n/

n!xn dondep.n/D n3 � nC 1 y xD�1

3. Pongamos:

n3 � nC 1D a0 C a1nC a2n.n� 1/C a3n.n � 1/.n � 2/:

HaciendonD 0 se obtienea0D 1; haciendonD 1 se obtienea1D 0; haciendonD 2 seobtienea2 D 3 y haciendonD 2 se obtienea3 D 1. Por tanto:

1X

nD0

.�1/nn3 � nC 1

3nn!D

1X

nD0

1C 3n.n � 1/C n.n � 1/.n � 2/

n!

��1

3

�n

D

D1X

nD0

1

n!

��1

3

�n

C 1

3

1X

nD2

1

.n � 2/!

��1

3

�n�2

� 1

27

1X

nD3

1

.n� 3/!

��1

3

�n�3

D

D e� 13

�1C 1

3� 1

27

�D 35

27e� 1

3 :

f) Es una serie de la formaP

p.n/xn dondep.n/D n2 � n y xD �13

. Se trata, pues, de

una serie aritmético-geométrica. PongamosS D1X

nD2

.n2 � n/

��1

3

�n

. Tenemos que:

S � �1

3S D

1X

nD2

.n2 � n/

��1

3

�n

�1X

nD2

.n2 � n/

��1

3

�nC1

D

D1X

nD1

�.nC 1/2 � .nC 1/

� ��1

3

�nC1

�1X

nD2

.n2 � n/

��1

3

�nC1

D

D 2

9C

1X

nD2

�.nC 1/2 � .nC 1/ � .n2 � n/

� ��1

3

�nC1

D

D 2

9C �1

3

1X

nD2

2n

��1

3

�n

:



Expresión de un número real en baseb 570

PongamosS1 D1X

nD2

2n

��1

3

�n

. Hemos probado que:

S � �1

3S D 2

9C �1

3S1÷S D 1

6� 1

4S1:

Calcularemos ahoraS1. Tenemos que:

S1 ��1

3S1 D

1X

nD2

2n

��1

3

�n

�1X

nD2

2n

��1

3

�nC1

D

D1X

nD1

2.nC 1/

��1

3

�nC1

�1X

nD2

2n

��1

3

�nC1

D

D 4

9� 1

3

1X

nD2

�2.nC 1/ � 2n

� ��1

3

�n

D 4

9� 2

3

1X

nD2

��1

3

�n

D

D 4

9� 2

3

1

12D 7

18:

Deducimos queS1 D 724

y, por tanto,S D 16� 1

4S1 D 3

32. ©

9.5. Expresión de un número real en baseb

El primer ejemplo de sucesión que vimos en el capítulo 7 fue laexpresión decimal de2=3que ahora podemos expresar con la notación que usamos para series:

2

3D lKım

n!1

nX

kD1

6

10kD

1X

nD1

6

10n:

Seguramente sabes que los números racionales pueden expresarse en forma decimal y quedicha expresión decimal o bien es finita o hay un grupo de cifras, el período, que se repiteindefinidamente. También sabes que los números irracionales tienen una expresión decimalinfinita no periódica. En lo que sigue vamos a precisar el significado de estas afirmaciones y ajustificarlas.

Para ayudarte a entender lo que sigue, vamos a empezar recordando el algoritmo de la divi-sión de números enteros. Para ello vamos a usar la función “parte entera”. Recuerda que six esun número real, representamos porE.x/ el único número entero tal queE.x/6x<E.x/C1.El númeroE.x/ se llama parte entera dex. Una consecuencia directa de la definición deE.x/,que usaremos en lo que sigue, es la siguiente:

x D ˇ C r donde ˇ2Z y 0 6 r < 1÷ˇ DE.x/: (9.15)

Además, es claro que sip es un número entero se tiene queE.x C p/DE.x/C p.

Con ayuda de la función “parte entera” podemos expresar el algoritmo de la división deenteros como sigue. Seanp, q números enteros conq > 0. Pongamosc D E.p=q/. Entoncestenemos que:

c 6p

q< c C 1 ” 0 6 p � cq < q:

Poniendo ahorar D p � cq, tenemos quep D cq C r dondec y r son números enteros y0 6 r 6 q � 1. Este es el algoritmo de la división de enteros conocido como“algoritmo deEuclides”.

Seanp; q números enteros positivos conp < q y consideremos el número racionalx D p

q2 Œ0; 1Œ. Veamos el proceso que se sigue para obtener la expresión decimal dex D p

q.

Dividimos 10p entre q y obtenemos un cocientec1 D E.10pq/ y un restor1. Como

0 6 10pq< 10, se verifica que0 6 c1 6 9 y, claro está,0 6 r1 6 q � 1. En resumen:

10p D c1q C r1; c1 DE

�10p

q

�; 0 6 c1 6 9; 0 6 r1 6 q � 1:

Que podemos escribir equivalentemente:

p

qD c1

10C r1

10q; 0 6 c1 6 9; 0 6 r1 6 q � 1: (9.16)

Ahora dividimos10r1 entreq y obtenemos un cocientec2 D E.10r1

q/ y un restor2. Como

0 6 10r1

q< 10, se verifica que0 6 c2 6 9 y, claro está,0 6 r2 6 q � 1. En resumen:

10r1 D c2q C r2; 0 6 c2 6 9; 0 6 r2 6 q � 1:

Igualdad que podemos escribir equivalentemente:

r1

10qD c2

102C r2

102q:

Sustituyendo esta igualdad en (9.16), tenemos:

p

qD c1

10C c2

102C r2

102q: (9.17)

Conviene expresarc2 de una forma diferente. De la igualdad anterior se sigue que100p

qD 10c1 C c2 C r2

q. Poniendox D p

qy teniendo en cuenta9.15, deducimos que:

c2 DE.100x/ � 10c1 D 102

E.102x/

102� E.10x/

10

!: (9.18)

El tercer paso sería como sigue. Dividimos10r2 entreq y obtenemos un cocientec3DE.10r2

q/

y un restor3. Como0 6 10r2

q< 10, se verifica que0 6 c3 6 9 y, claro está,0 6 r3 6 q � 1. En

resumen:10r2 D c3q C r3; 0 6 c3 6 9; 0 6 r3 6 q � 1:

Igualdad que podemos escribir equivalentemente:

r2

102qD c3

103C r3

103q:

Sustituyendo esta igualdad en (9.17), tenemos:

p

qD c1

10C c2

102C c3

103C r3

103q:

Conviene expresarc3 de una forma diferente. De la igualdad anterior se sigue que103 p

qD 102c1 C 10c2 C c3 C r3

q. Poniendox D p

q, teniendo en cuenta en cuenta9.15 y

que10c1 C c2 DE.100x/, deducimos que:

c3DE.103x/�102c1�10c2D103

E.103x/

103� 10c1 C c2

102

!D103

E.103x/

103� E.102x/

102

!:

Este proceso puede proseguirse obteniendo los sucesivos dígitosc1; c2; : : : ; cn; : : : de la expre-sión decimal dex D p

qlos cuales viene dados por:

c1 DE.10x/; cnC1 D 10nC1

E.10nC1x/

10nC1� E.10nx/

10n

!; nD 1; 2; : : :

Y se verifica que:

x D c1

10C c2

102C � � � C cn

10nC rn

10nq; 0 6 ck 6 9; 0 6 rn 6 q � 1

dondern es el resto de lan-ésima división porq. De la igualdad anterior, se deduce que:ˇˇˇx �

nX

kD1

ck

10k

ˇˇˇD

rn

10nq<

1

10n÷x D

1X

nD1

cn

10n:

Observemos que en este proceso los restos que se van obteniendo en las sucesivas divisionesson números enteros que están comprendidos entre0 y q�1 por lo que caben dos posibilidades:

� Si uno de estos restos es igual a0, digamosrm D 0 (1 < m 6 q � 1), el proceso terminaaquí porque todos los cocientesck que le siguen son0 y se obtiene unaexpresión decimal finitaque se escribe en la forma:

x DmX

kD1

ck

10kD 0; c1c2 : : : cm

Observa que para que esto ocurra es condición necesaria y suficiente que haya algúnm2N talque10mx sea un entero, lo que sucede si, y sólo si,x puede escribirse de la formax D p

10m .

Una expresión decimal finita puede escribirse también como una expresión decimal coninfinitos 9, pues:

x DmX

kD1

ck

10kD

m�1X

kD1

ck

10kC cm � 1

10mC

1X

nDmC1

9

10n:

� Si ninguno de ellos es cero, entonces como máximo en un total deq divisiones deben repe-tirse. Si el primer resto que se repite esrj , digamosrjDrjCk (16j < j Ck 6q�1), entoncescj D cjCk y el grupo de cocientescj ; cjC1; cjC2; : : : ; cjCk�1 se repite indefinidamente dandolugar a una expresión decimal periódica que se escribe en la forma:

x D 0; c1c2 : : : cj�1bcj cjC1cjC2cjCk�1:

Finalmente, sixD mn

es cualquier número racional, podemos escribirxDE.x/C .x �E.x//

dondez D x � E.x/ es un número racional que está enŒ0; 1Œ. La expresión decimal dex seobtiene escribiendo el enteroE.x/ seguido de una coma y de la expresión decimal dez.

El proceso anterior puede hacerse de la misma forma para números reales y sustituyendoel número10 por cualquier entero positivob > 1.

9.47 Teorema.Seab > 1 un número entero y seax 2 Œ0; 1Œ un número real. Para cadan2N

definamos:

˛n DE.bnx/

bn; c1 DE.bx/; cnC1 D bnC1

�˛nC1 � ˛n

�:

Se verifica que:

a) fcng es una sucesión de números enteros tales que0 6 cn 6 b � 1.

b) El conjuntofn2N W cn ¤ b � 1g es infinito.

c) x D1X

nD1

cn

bn.

Además, sifang es otra sucesión de números enteros tales que06an 6b�1 y xD1X

nD1

an

bn,

entonces existe unm2N tal que:

i) cj D aj para 1 6 j < m.

ii) cm � 1D am.

iii) cn D 0 y an D b � 1 para todon > mC 1.

Demostración. Tenemos que:

bn˛n DE.bnx/6 bnx < E.bnx/C 1D bn˛n C 1÷ ˛n 6 x < ˛n C1

bn;

de donde se sigue quef˛ng ! x. Por otra partebE.bnx/ 6 bnC1x, por lo quebE.bnx/ 6E.bnC1x/. Y deducimos quen6˛nC1 y, en consecuencia,06cnC1 para todon2N. Es claro,por su definición, quecn es un número entero y que, al ser06x < 1 es06c1DE.bx/6p�1.Además:

cnC1 DE.bnC1x/� bE.bnx/ < bnC1x � b.bnx � 1/D b:

Por tanto0 6 cnC1 6 b � 1. Sumando las igualdadesckC1

bkC1D ˛kC1 � ˛k desdek D 1 hasta

k D n� 1 y teniendo en cuenta que1 Dc1

b, obtenemos:

˛n DnX

kD1

ck

bk÷x D lKımfrng D

1X

nD1

cn

bn:

Hemos probadoa) y c). Para probar lo afirmado en el puntob), observemos que para todok 2N se verifica que:

˛k C1

bkD

kX

jD1

cj

bjC

1X

jDkC1

b � 1

bj:

Puesto quex < ˛kC1

bk, deducimos que no puede ocurrir quecj D b� 1 para todoj > kC 1,

lo que implica que el conjuntofn2N W cn ¤ b � 1g es infinito.

Seafang una sucesión en las condiciones del enunciado. DefinamosmDmKın˚j 2N W aj ¤ cj

.

Por la definición dem es claro que se verificai). Para probarii) pongamos:

am

bm6

1X

jDm

aj

bjD

1X

jDm

cj

bjD cm

bmC

1X

jDmC1

cj

bj<

cm

bmC

1X

jDmC1

b � 1

bjD cm

bmC 1

bm:

Luegoam < cm C 1 y, al ser números enteros, deberá seram 6 cm; pero como son distintostenemos queam < cm y, por ser enteros,am C 1 6 cm. Por otra parte:

cm

bm6

1X

jDm

cj

bjD

1X

jDm

aj

bj6

am

bmC

1X

jDmC1

b � 1

bjD am

bmC 1

bm: (9.19)

Luegocm 6 am C 1. Resulta así queam D cm � 1. Finalmente, el puntoiii) se deduce comoconsecuencia de que en (9.19) todo son igualdades. 2

9.48 Definición. Seab un número entero mayor que1, b > 1, y seax2R con0 6 x < 1. Sea

fcng una sucesión de números enteros tales que06cn 6b�1 para todon2N y xD1X

nD1

cn

bn. En

estas condiciones convenimos en escribir la igualdadx D1X

nD1

cn

bnsimbólicamente en la forma

x D 0; c1c2c3 : : : cn : : :.b

Dicha igualdad se llama desarrollo dex en baseb o expresiónb-ádica del númerox. Cuandob D 2 tenemos la expresión binaria dex, si b D 3 dicha expresión se llama ternaria, y se llamaexpresión decimal cuandob D 10.

9.49 Observaciones.Del teorema9.47se deducen las siguientes afirmaciones.

� Todo númerox 2R con0 6 x < 1 tiene al menos una expresiónb-ádica y, como mucho,dos expresionesb-ádicas distintas.

� Un númerox 2 Œ0; 1Œ tiene dos expresionesb-ádicas distintas si, y sólo si,x es un número

racional de la formax D q

bn.

Cuando un númerox 2 Œ0; 1Œ tiene dos expresionesb-ádicas distintas entonces en una deellas todos los términos, a partir de uno en adelante, son iguales a0, es decir, es de la forma:

x D 0; c1c2 : : : ck00 : : : 0 : : :.b :

Que suele escribirse omitiendo los ceros consecutivos en laforma:

x D 0; c1c2 : : : ck .b;

y se dice quex tiene una expresiónb-ádica finita. La otra expresiónb-ádica dex es:

x D 0; c1c2 : : : ck�1.ck � 1/.b � 1/.b � 1/ : : : .b � 1/ : : :.b :

Series de números complejos 575

� La expresiónb-ádica de un númerox 2 Œ0; 1Œ queda determinada de forma única si seexige alguna de las condiciones:

a) Hay infinitas cifras en la expresiónb-ádica que son distintas deb � 1.

b) Hay infinitas cifras en la expresiónb-ádica que son distintas de0.

� Finalmente, six es cualquier número real, podemos escribirx D E.x/ C .x � E.x//

dondez D x � E.x/ es un número real que está enŒ0; 1Œ. La expresión dex en baseb seobtiene escribiendo el enteroE.x/ en baseb seguido de una coma y de la expresión dez enbaseb.

9.6. Series de números complejos

Una serie de números complejos es una sucesiónP

zn D fz1 C z2 C � � � C zng obtenidasumando consecutivamente los términos de una sucesión de números complejosfzng. Paraseries de números complejos se emplean las mismas terminología y notaciones que para seriesde números reales. El límite de una serie de números complejos se llama “suma” de la serie yes un número complejo que se representa por:

1X

nD1

zn D lKımn!1

(nX

kD1

zk

)

Naturalmente, todo lo visto para sucesiones de números complejos permanece válido con elmismo significado para series de números complejos. En particular, poniendozn D xn C iyn

dondexn D Re.zn/, yn D Im.zn/, tenemos que:

nX

kD1

zk DnX

kD1

xk C i

nX

kD1

yk ;

y la serieP

zn converge si, y sólo si, convergen las series de números realesP

xn yP

yn, encuyo caso se verifica que:

1X

kD1

zk D1X

kD1

xk C i

1X

kD1

yk :

Por tanto, estudiar una serie de números complejos equivalea estudiar dos series de númerosreales. Aunque esta estrategia no siempre es factible porque a veces no es fácil calcular Re.zn/

e Im.zn/.

Se dice que una serie de números complejosP

zn esabsolutamente convergentecuandola serie de los módulos

Pjznj es convergente. Teniendo en cuenta las desigualdades:

mKaxfjxnj; jynjg6 jznj6 jxnj C jynj;

se deduce enseguida que la serieP

zn es absolutamente convergente si, y sólo si, las seriesPxn y

Pyn son absolutamente convergentes.

Naturalmente, para estudiar la convergencia absoluta de una serie de números complejoslo que hacemos es aplicar a la serie de los módulos

Pjznj los criterios de convergencia para

series de términos positivos.



Los criterios generales de Dirichlet y de Abel (teoremas9.40y 9.41) permanecen válidossin cambio alguno para series de números complejos. Los criterios particulares de Dirichlety de Abel (teorema9.43 y 9.44) pueden aplicarse igualmente a series de la forma

Xanbn,

dondefang es una sucesión de números complejos yfbng es una sucesión de números realesque satisfacen las hipótesis de dichos criterios.

Los resultados obtenidos para la serie geométrica permanecen igualmente válidos para se-ries geométricas de números complejos.


470. Estudia la convergencia de las series:

i)X

n>0

1

.1C i/nii)

X

n>1

cosnC i senn

n

iii)X

n>1

cosnC i senn

n2iv)

X

n>1

cos�nC i sen�

n

n

v)X

n>1

.2C i/n

.1C 2i/n1

nvi)

X

n>1

1pn

1C i

p3

2

!n

vii)X

n>1

�cos

�

n2C i sen

�

n2

�viii)

X

n>0

.3C 4i/n

2i.4C 3i/n C 7

471. Sea�2R con j�j < 1 y # 2R. Calcula los límites:1X

nD0

�n cos.n#/ y1X

nD0

�n sen.n#/.

Sugerencia. LlamaA a la primera suma yB a la segunda. CalculaAC iB.

472. Prueba que si la serieX

n>1

zn converge y hay un número0 < ˛ <�

2tal que para todo

n2N se verifica quejarg.zn/j < ˛, entonces dicha serie converge absolutamente.

473. Supón que las seriesX

n>1

zn yX

n>1

z2n son convergentes y que Re.zn/> 0 para todon2N.

Prueba queX

n>1

jznj2 es convergente.


Ejercicio resuelto 238 Estudia la convergencia de las series:

i)X

n>0

1

.1C i/nii)X

n>1

cosnC i senn

niii)

X

n>1

cosnC i senn

n2

iv)X

n>1

cos�nC i sen�

n

nv)X

n>1

.2C i/n

.1C 2i/n1

nvi)X

n>0

.3C 4i/n

2i.4C 3i/n C 7

Solución. i)

ˇˇ 1

.1C i/n

ˇˇD

ˇˇ 1

1C i

ˇˇn

D�

1p2

�n

. La serie es absolutamente convergente.

Observa que se trata de una serie geométrica de razónz D 1

1C i. ©

ii)

ˇˇcosnC i senn

n

ˇˇ D 1

n. La serie no es absolutamente convergente. Para estudiar la

convergencia no absoluta aplicaremos el criterio particular de Dirichlet (corolario9.43).PongamosbnD 1

ny anDcosnCi sennDein. Tenemos quefbng es monótona y converge

a0. Además:ˇˇˇ

nX

kD1

ak

ˇˇˇD

ˇˇˇ

nX

kD1

eik

ˇˇˇD

ˇˇˇ

nX

kD1

�ei�kˇˇˇD

ˇˇˇei.nC1/� ei

ei �1

ˇˇˇD

D

ˇˇei.nC1/� ei

ˇˇ

ˇei �1

ˇ 6

ˇˇei.nC1/

ˇˇC

ˇeiˇ

ˇei �1

ˇ D 2ˇei �1

ˇ :

Puesto que2ˇ

ei �1ˇ es una constante independiente den, el criterio particular de Dirichlet

nos dice que la serie es convergente. ©

iii)

ˇˇcosnC i senn

n2

ˇˇD 1

n2. La serie es absolutamente convergente. ©

iv) La serie de las partes reales,X

n>1

cos�n

nes una serie de términos positivos divergente

porquecos�

n

n� 1

n. Luego la serie no converge. ©

v)

ˇˇ .2C i/n

.1C 2i/n1

n

ˇˇD j2C i jn

j1C 2i jn1

nD 1

n. La serie no converge absolutamente.Para estudiar la

convergencia no absoluta podemos aplicar el criterio particular de Dirichlet. Pongamos

bn D 1n

y an D�

2Ci1C2i

�n. Tenemos quefbng es monótona y converge a0. Además,

poniendow D 2Ci1C2i

, tenemos que:ˇˇˇ

nX

kD1

ak

ˇˇˇD

ˇˇˇ

nX

kD1

wk

ˇˇˇD

ˇˇˇwnC1 � ww � 1

ˇˇˇD

ˇwnC1 � w

ˇ

jw � 1j 6jwjnC1 C jwjjw � 1j D 2

jw � 1j :

Como2

jw � 1j es una constante independiente den, el criterio particular de Dirichlet nos

dice que la serie es convergente.



Cálculo elemental der C1

0senx

xdx y de

P1nD1

1n2 578

Observa que el criterio particular de Dirichlet implica quelas serie de números com-plejos de la forma

X

n>1

znbn dondefbng es una sucesión de números reales monótona y

convergente a0 y z es un número complejo de módulo1 y distinto de1, (z¤ 1; jzjD 1),son convergentes. Naturalmente sijzj < 1 tales series convergen absolutamente. ©

vi) Es fácil comprobar que el término general de la serie no converge a cero y, por tanto,la serie no es convergente. ©

Ejercicio resuelto 239 Sea�2R con j�j < 1 y # 2R. Calcula los límites:1X

nD0

�n cos.n#/ y

1X

nD0

�n sen.n#/.

Sugerencia. LlamaA a la primera suma yB a la segunda. CalculaAC iB.

Solución.Observa que por serj�j < 1 las dos series son absolutamente convergentes.Tenemos que:

AC iB D1X

nD0

�n�

cos.n#/C i sen.n#/�D

1X

nD0

�� ei#

�n D 1

1 � � ei#D

D 1 � � e�i#

1C �2 � 2� cos#D 1 � � cos#

1C �2 � 2� cos#C i

� sen#

1C �2 � 2� cos#:

Deducimos que:

AD1X

nD0

�n cos.n#/D 1� � cos#

1C �2 � 2� cos#; BD

1X

nD0

�n sen.n#/D � sen#

1C �2 � 2� cos#:

9.7. Cálculo elemental der C1

0senx

xdx y de

P1nD1

1n2

Necesitaremos el siguiente resultado que es un caso muy particular del llamadolema deRiemann – Lebesgue. Probaremos que sif es una función con derivada continua enŒa; b�entonces se verifica que:

lKımt!C1

bw

a

f .x/ sen.tx/dx D lKımt!C1

bw

a

f .x/ cos.tx/dx D 0 (9.20)

En las hipótesis hechas, la prueba es inmediata porque bastaintegrar por partes:

bw

a

f .x/ sen.tx/dxDŒu.x/Df .x/; v 0.x/Dsen.tx/�D�1

tf .x/ cos.tx/

ˇˇxDb

xDa

C1

t

bw

a

f 0.x/ cos.tx/dx

Comojcos.u/j6 1 cualquiera seau2R se sigue que:ˇˇˇ

bw

a

f .x/ sen.tx/dx

ˇˇˇ6

1

t

�jf .a/j C jf .b/j

�C 1

t

bw

a

jf 0.x/jdx D K

t


0senx

xdx y de

P1nD1

1n2 579

dondeKDjf .a/jC jf .b/jCr b

a jf 0.x/jdx es una constante. De esta desigualdad se sigue que

lKımt!C1

bw

a

f .x/ sen.tx/dx D 0. Análogamente se prueba que lKımt!C1

bw

a

f .x/ cos.tx/dx D 0.

Haciendo ahora en la igualdad2 senx cosyDsen.xCy/�sen.y�x/ yD2kx se obtiene:

2 senx cos.2kx/D sen�.2k C 1/x

�� sen

�.2k � 1/x

�:

Sumando estas igualdades desdek D 1 hastak D n resulta:

2 senx

nX

kD1

cos.2kx/D sen�.2nC 1/x

�� senx

de donde, dividiendo por senx ¤ 0, se sigue que:

sen�.2nC 1/x

�

senxD 2

nX

kD1

cos.2kx/C 1: (9.21)

Deducimos que:�2w

0

sen�.2nC 1/x

�

senxdx D �

2

Como la funciónf W Œ0; �=2�! R dada porf .x/D 1

x� 1

senxparax ¤ 0 y f .0/D 0 tiene

derivada continua enŒ0; �=2�, podemos usar el resultado probado al principio para deducir que:

lKımn!1

�2w

0

�1

x� 1

senx

�sen

�.2nC 1/x

�dx D 0:

Y, teniendo en cuenta la igualdad antes obtenida, concluimos que

lKımn!1

�2w

0

sen�.2nC 1/x

�

xdx D �

2:

Y, haciendo un sencillo cambio de variable obtenemos que:

�2w

0

sen�.2nC 1/x

�

xdx D Œ.2nC 1/x D u�D

.2nC1/�2w

0

senu

udu D �

2:

Por otra parte la integral impropiar C10

senxx

dx es convergente como hemos visto en el ejerci-

cio resuelto193, es decir, existe el límite lKımt!C1

tw

0

senx

xdx . Por tanto, por la conocida carac-

terización de los límites funcionales, para toda sucesiónfang ! C1 se tiene que:

C1w

0

senx

xdx D lKım

n!1

anw

0

senx

xdx :




0senx

xdx y de

P1nD1

1n2 580

Haciendoan D .2nC 1/�2

concluimos que:

C1w

0

senx

xdx D lKım

n!1

.2nC1/�2w

0

senu

udu D �

2:

Calcularemos ahora la suma de la serieX

n>1

1

n2. Sustituyamos en la igualdad9.21 x por

x=2 para obtener:sen

�.2nC 1/x

2

�

sen.x=2/D 2

nX

kD1

cos.kx/C 1:

Multiplicando esta igualdad porx.x � 2�/ y teniendo en cuenta que:

�w

0

x.x � 2�/ cos.kx/dx D 2�

k2

como se comprueba fácilmente integrando por partes dos veces, obtenemos:

�w

0

x.x � 2�/

sen.x=2/sen

�.2nC 1/

x

2

�dx D 4�

nX

kD1

1

k2C

�w

0

x.x � 2�/dx D 4�

nX

kD1

1

k2� 2�3

3:

Como la funciónf W Œ0; ��! R dada porf .x/ D x.x�2�/sen.x=2/

parax ¤ 0, f .0/ D �4� tienederivada continua enŒ0; ��, podemos aplicar el resultado visto al principio de esta sección paradeducir que:

lKımn!1

�w

0

x.x � 2�/

sen.x=2/sen

�.2nC 1/

x

2

�dx D 0:

Lo que, teniendo en cuenta la igualdad anterior, implica que:

1X

nD1

1

n2D �2

6:



Capıtulo10

Sucesiones y series de funciones

10.1. Introducción

La representación de funciones complicadas por medio de funciones sencillas es una delas ideas centrales del Análisis Matemático. En este capítulo vamos a precisar algunos de losposibles significados del término “representación”. Intuitivamente, se trata de “aproximar” fun-ciones que se suponen muy generales por otras de un tipo especialmente sencillo. Por ejemplo,podemos aproximar localmente, en las proximidades de un punto, una función derivable porsus polinomios de Taylor calculados en dicho punto. Ya hemosvisto que esta aproximación esde gran utilidad para calcular límites. Ahora queremos dar un paso más y nos interesamos porrepresentaciones que sean válidas no sólo localmente, en las proximidades de un cierto punto,sino en todo un intervalo.

Hay muchas maneras de representar funciones complejas por medio de otras más simples,una de las más útiles es la representación por medio de series. Podemos describir este procesoen términos muy generales como sigue.

� Se considera una claseS de “funciones simples”. Por ejemplo,S puede ser la clase delas funciones polinómicas, o la clase de todos los polinomios trigonométricos que son las

funciones de la formanX

kD0

�ak cos.kx/C bk sen.kx/

�dondeak ; bk son números reales.

� Para representar una funciónf por medio de funciones de la claseS hay que asociar adicha función una sucesión de funcionesffng dondefn 2 S. Las funcionesfn sueleninterpretarse como las “componentes elementales” de la funciónf . La forma de obtenerlas funciones componentesfn def viene dada en cada caso por un algoritmo matemá-

581

Introducción 582

tico que, conocida la funciónf , permite calcular, al menos en teoría, lasfn. Esta partedel proceso de representación se suele llamar “análisis” porque consiste en analizarfdescomponiéndola en sus componentes más simples. Esto es algo que se hace constan-temente en todos los procesos de tratamiento de señales auditivas o gráficas.

Si, por ejemplo, queremos representar la función exponencial f .x/D ex por medio defunciones polinómicas, entonces las funciones elementales son los polinomios de Taylor

que, para la función exponencial viene dados porfn.x/DnX

kD0

xk

k!.

� El último paso consiste en “recomponer” la funciónf mediante sus componentes ele-mentalesfn. Para que este proceso sea útil las funciones componentesfn deben estardeterminadas de manera única porf y debe ser posible, mediante algún algoritmo ma-temático – que suele ser una serie o una integral –, recobrar la funciónf mediantesus componentesfn. Por ejemplo, para el caso de la función exponencial sabemos(ver(9.13)) que para todox2R es:

exD lKımn!1

fn.x/D lKımn!1

nX

kD0

xk

k!D

1X

nD0

xn

n!

Con ello hemos representado una función trascendente, comoes la exponencial, por me-dio de una serie de funciones polinómicas.

Volviendo a la situación general, lo que suele hacerse es tratar de recuperar la funciónf por “superposición” de sus componentes elementalesfn. El término “superponer”procede de la Física y en Matemáticas se traduce por “sumar”.Por tanto, lo que queremoses expresarf como la suma de la serie definida por la sucesión de funcionesffng:

f D1X

nD0

fn:

Lo primero que debemos hacer es dar un sentido a esta igualdad. El sentido que va atener para nosotros en este capítulo es que para cada valor dex en un cierto intervaloIse verifica que:

f .x/D1X

nD0

fn.x/: (10.1)

Esta igualdad sí sabes lo que significa: quiere decir que la serie de números realesPfn.x/ converge y tiene como suma el númerof .x/.

Puede que te estés preguntando ¿para qué sirve todo esto? Respuesta: para traducir problemasrelativos af en otros más sencillos relativos a sus funciones componentes fn. Por ejemplo, siqueremos obtener la solución de una ecuación diferencial enla que interviene una funciónf ,podemos sustituir dicha función porfn y resolver la ecuación diferencial correspondiente, y apartir de las soluciones obtenidas construir por superposición una función que esperamos quesea la solución buscada.

Una representación como la dada por (10.1) lleva a preguntarse por aquellas propiedadesde las funcionesfn que se conservan y se transmiten de forma automática a la función repre-sentadaf . Por ejemplo, si las funcionesfn son continuas o derivables ¿es tambiénf continuao derivable?.




Para terminar esta introducción vamos a ver un ejemplo de aproximación de funciones que,en cierto sentido, es paradójico. Seaf1 la función identidad en el intervaloŒ0; 1� cuya gráficaes la diagonal del cuadrado unidad (ver figura10.1). Seaf2 la función definida enŒ0; 1� cuyagráfica es el triángulo de vértices.0; 0/; .1

2; 1

2/; .1; 0/. La longitud de las gráficas def1 y f2 es

evidentemente la misma e igual ap

2.

0

1

0 1Figura 10.1. ¿Es

p2D 1?

Seaf3 la función definida enŒ0; 1� cuya gráfica son los triángulos de vértices.0; 0/; .14; 1

4/;

.12; 0/ y .1

2; 0/; .3

4; 1

4/; .1; 0/. La longitud de las gráficas def2 y f3 es evidentemente la misma

e igual ap

2. Este proceso de ir dividiendo por la mitad los lados de los triángulos puedeproseguirse indefinidamente y obtenemos una sucesión de funcionesfn tales que para todox 2 Œ0; 1� es0 6 fn.x/ 6 1

2n�1 , y la longitud de la gráfica defn es igual ap

2. Es evidenteque las funcionesfn convergen a la funciónf .x/D 0 cuya gráfica es el segmento de extremos.0; 0/; .1; 0/ de longitud1; ¿luego

p2D 1?.

En esta introducción del capítulo ya han salido algunas ideas que seguidamente vamos apresentar de manera formal.

10.2. Conceptos básicos

10.1 Definición. Unasucesión de funcioneses una aplicaciónque a cada número naturaln

hace corresponder una funciónfn. Usaremos el símboloffng para representar la sucesión defunciones dada porn 7! fn, para todon2N.

Supondremos en lo que sigue que las funcionesfn son funciones reales definidas en unintervaloI .

10.2 Ejemplos. Consideremos las sucesiones de funcionesffng, donde fn WR! R es lafunción definida en cada caso por:

a/ fn.x/Dx2n

1C x2n; b/ fn.x/D

rx2 C 1

n; c/ fn.x/D nx.1 � x/n; d/ fn.x/D

nX

kD0

xk

k!:



Convergencia puntual 584

10.2.1. Convergencia puntual

10.3 Definición.Dadox2I se dice que la sucesión de funcionesffng converge puntualmenteenx, si la sucesión de números realesffn.x/g es convergente.

El conjuntoC de todos los puntosx2I en los que la sucesión de funcionesffng convergepuntualmente, se llamacampo de convergencia puntual. Simbólicamente:

C D fx2I W ffn.x/g convergeg:

Supuesto queC ¤Ø, la funciónf W C ! R definida para todox2C por:

f .x/D lKımn!1

ffn.x/g

se llamafunción límite puntual de la sucesiónffng.

10.4 Observación.Para entender la definición de convergencia puntual y en general en todoeste capítulo, esmuy importanteno confundir lasucesión de funcionesffng con lasucesiónde números realesffn.x/g obtenidaevaluando las funcionesde dicha sucesión en un número~x2I . Tampoco debes olvidar que en una sucesión la variable es siempren2N y nuncax2I .Así, la sucesiónffn.x/g es la aplicación que a cada número naturaln2N (la variable) le asignael número realfn.x/ dondex está fijo.

10.5 Ejemplo. Sea la sucesión de funcionesffng donde, para cadan2N, fn W Œ0; 1�! R esla función definida para todox2 Œ0; 1� por:

fn.x/D nx.1 � x/n:

0 1

fn.x/ D nx.1 � x/n

b b

1e

Figura 10.2. Convergencia puntual

Observa que six D 0 o x D 1, la sucesiónffn.0/g D ffn.1/g D f0g es, evidentemente,convergente a 0. Si0 < x < 1 entonces0 < 1 � x < 1 y se verifica queffn.x/g ! 0 porquees una sucesión de la formafnp�ng dondej�j < 1. Deducimos que el campo de convergenciapuntual de esta sucesión es el conjuntoC D Œ0; 1� y la función límite puntual es la funciónidénticamente nula,f .x/D 0 para todox 2 Œ0; 1�. Observa en la figura10.2las gráficas de lasprimeras seis funciones de esta sucesión.

Convergencia puntual 585

Fíjate cómo por el extremo derecho del intervalo las gráficasse van pegando al eje deabscisas pero su comportamiento es muy diferente en el extremo izquierdo. Ello es así porquecuando1 � x es pequeño (es decir,x está cerca de1) la sucesiónffn.x/g converge muyrápidamente a cero, pero cuando1�x está próximo a1 (es decir,x está cerca de0) la sucesiónffn.x/g converge lentamente a cero.

Observa las gráficas de las funcionesf10 y f20

en la figura de la derecha. ¿Te parece que estasfunciones estánmuy próximasa la función lí-mite puntualf � 0? Observa que, aunque paracadax 2 Œ0; 1� esf .x/ D lKım

n!1ffn.x/g D 0,

la funciónfn no se acerca mucho a la funciónlímite puntualf � 0.

0 1

f10f20

b b

1e

�

Para evitar ambigüedades necesitamos precisar qué entendemos porproximidadentre dosfunciones. Para ello, considera dos funcionesf;g W I ! R . Dichas funciones son igualescuandof .x/Dg.x/ para todox2I o, lo que es igual, cuando mKaxfjf .x/� g.x/j Wx2IgD0.En general, el número mKaxfjf .x/� g.x/jWx2Ig proporciona una buena idea de la proximidadentre las funcionesf y g pues dicho número es tanto más pequeño cuanto más cercanas esténlas gráficas de las dos funciones.

Volviendo al ejemplo anterior, confn.x/D nx.1 � x/n y f � 0, podemos calcular fácil-mente el número mKaxfjfn.x/� f .x/j W x 2 Œ0; 1�g DmKaxffn.x/ W x 2 Œ0; 1�g. Basta derivarfn

para comprobar que la funciónfn alcanza su máximo absoluto en el intervaloŒ0; 1� en el puntoxn D 1

nC1. Luego

mKaxffn.x/ W x 2 Œ0; 1�g D fn.xn/D�

n

nC 1

�nC1

! 1

e:

Fíjate en que lKımn!1

ffn.x/gD0 pero lKımn!1

mKaxffn.x/Wx2 Œ0; 1�gD1=e> 0, es decir, las funcio-

nesfn no se aproximan a la función nula. De hecho, como la sucesión˚�

nnC1

�nC1es creciente,

cuanto mayor sean mayor es la distancia entre la funciónfn y la función nula. Observa cómoson las gráficas de las funcionesfn cerca de cero paranD 100; 120; 140; 160; 180; 200.

0 0�10�05

f100

f200

b bb

1e



Convergencia Uniforme 586

10.6 Ejemplo. Sea la sucesión de funcionesffng donde, para cadan2N, fn WR! R es lafunción dada para todox2R por:

fn.x/Dx2n

1C x2n

Es claro que sijxj < 1 se tiene queffn.x/g ! 0, y si jxj > 1 se tiene queffn.x/g ! 1.ParaxD˙1 esffn.˙1/gD f1=2g que, evidentemente, converge a1=2. Por tanto, el campo deconvergencia puntual deffng esC D R, y la función límite puntual está definida por:

f .x/D lKımn!1

ffn.x/g D

8<

:

1 si jxj > 1I1=2 si jxj D 1

0 si jxj < 1:

Aquí ocurre que la función límite puntual es discontinua (tiene discontinuidades de salto en�1

y en1) a pesar de que las funciones de la sucesión son continuas. Observa las gráficas de lasprimero cinco funciones de la sucesión.

1

1 2 3-1-2-3

fn.x/D x2n

1Cx2n

12

bb

Tenemos que:

mKaxfjf .x/�fn.x/jWx2Rg>f�1C 1

2n

��fn

�1C 1

2n

�D1�

.1C 12n/2n

1C .1C 12n/2n! 1� e

1CeD 1

1Ce:

Por tanto, la distancia entre la funciónfn y la función límite puntual,f , no converge a cero.�

Este ejemplo y el anterior ponen de manifiesto que la convergencia puntual deffng a fno proporciona una buena idea de la aproximación entre las funcionesfn y f . Además laspropiedades de continuidad de las funcionesfn pueden no conservarse para la función límitepuntual. Esto lleva a definir un tipo de convergencia mejor que la convergencia puntual.

10.2.2. Convergencia Uniforme

SeaJ un intervalo no vacío contenido en el campo de convergencia puntual de la sucesiónffng. Y seaf la función límite puntual deffng. Se dice queffng converge uniformemente afenJ si para todo" > 0 existen0 2 N (que dependerá de") tal que para todon > n0 se verificaque supfjfn.x/� f .x/j W x 2 J g6 ".

Para comprender bien esta definición, analicemos la última desigualdad. Tenemos que:

supfjfn.x/� f .x/j W x 2 J g6 "”jfn.x/ � f .x/j6 " 8x2J

”�"6 fn.x/ � f .x/6 " 8x2J

” f .x/� " 6 fn.x/6 f .x/C " 8x2J:

Cuya interpretación gráfica es la siguiente (donde hemos consideradoJ D Œa; b�).

f C "

ffn

f � "

b b

a bFigura 10.3. Interpretación gráfica de la convergencia uniforme

Esto nos dice que la gráfica de la funciónfn se queda dentro de untubo centrado en lagráfica def de anchura2" (ver figura10.3). Ahora debe estar claro que en el ejemplo 1 no hayconvergencia uniforme en ningún intervalo del tipoŒ0; a� con0 < a < 1 y en el ejemplo 2 nohay convergencia uniforme en ningún intervalo que contengaa�1 o a1.

10.7 Observaciones.Observa que la diferencia entre la convergencia puntual y laconvergenciauniforme enJ es la siguiente.

Decir queffng converge af puntualmente enJ significa que:

� Fijas unx2J ;

� La correspondiente sucesión de números realesffn.x/g converge af .x/, es decir: paratodo " > 0, existe un número naturaln0 tal que para todon 2N con n > n0 se verifica quejfn.x/� f .x/j6 ".

Naturalmente, el númeron0 dependerá del" y, en general,también dex porque si cambiasx por otro puntoz 2J la sucesiónffn.z/g es distinta deffn.x/g y el n0 que vale para una notiene por qué valer también para la otra.

Decir queffng converge af uniformemente enJ significa que:

� Fijas un" > 0;

� Existe un número naturaln0 (que dependerá de") tal que para todon2N conn > n0 severifica quejfn.x/� f .x/j6 " para todo x2J .

Es decir, en la convergencia uniforme, hay un mismo númeron0 que es válido simultánea-mente para todos losx2J .

En la práctica, el estudio de la convergencia puntual se reduce a calcularpara cadax fijo ellímite lKım

n!1ffn.x/g, lo que suele ser muy sencillo. Mientras que para estudiar laconvergencia

uniforme en un intervaloJ , lo que se hace es calcular, con las técnicas usuales de derivación, elmáximo absolutode jfn.x/� f .x/j enJ . La presencia del valor absoluto enjfn.x/� f .x/jes incómoda para derivar por lo que conviene quitarlo, lo quecasi siempre puede hacerse confacilidad. Supongamos que elmáximo absolutodejfn.x/� f .x/j enJ se alcanza en un puntocn2J . Entonces, si lKım

n!1ffn.cn/ � f .cn/gD0 hay convergencia uniforme enJ , y en otro caso

no hay convergencia uniforme enJ . En particular, si hay una sucesiónfzng de puntos deJ talquefjfn.zn/ � f .zn/jg no converge a0, entoncesffng no converge uniformemente af enJ .

10.8 Ejemplo. Estudiemos la convergencia uniforme enRCo y en intervalos de la formaŒa;C1Œ,

(a > 0), de la sucesión de funcionesffng definidas para todox2RCo porfn.x/D n2x e�nx.

Observa quefn.0/ D 0 y, si x > 0, lKımn!1

fn.x/ D x lKımn!1

n2.e�x/n D 0 (porque es una

sucesión de la formanp�n donde0 < j�j < 1). Por tanto, el campo de convergencia puntual esC DRC

o , y la función límite puntal está dada porf .x/D lKımn!1

ffn.x/g D 0 para todox2RCo .

Estudiemos si hay convergencia uniforme enRCo . Observa quefn.x/ > 0, por lo que

jfn.x/�f .x/jDfn.x/. Ahora, como,f 0n.x/Dn2 e�nx.1�nx/, se deduce quef 0

n.x/ > 0 para0 6 x < 1=n, y f 0

n.x/ < 0 parax > 1=n. Luegofn.x/6fn.1=n/ para todox > 0. Deducimosquefn.1=n/ DmKaxffn.x/ W x 2RC

o g, y comofn.1=n/ D n=e, sucesión que, evidentemente,no converge a 0, concluimos que no hay convergencia uniformeenRC

o .

Estudiemos si hay convergencia uniforme en un intervalo de la formaŒa;C1Œ, cona > 0.Por lo antes visto, sabemos que la funciónfn es decreciente en el intervaloŒ1=n;C1Œ. Sean0 un número natural tal que1

n0< a. Entonces, para todon > n0, tenemos queŒa;C1Œ�

Œ1=n;C1Œ, por lo que, mKaxffn.x/ W x2 Œa;C1Œg D fn.a/. Como lKımffn.a/gD 0, concluimosque hay convergencia uniforme enŒa;C1Œ.

Observa las gráficas de las primero cinco funciones de la sucesión.

1

1 2

fn.x/D n2x e�nx

Puedes comprobar fácilmente, integrando por partes, quer 1

0 n2x e�nx dxD1�.1Cn/e�n

para todon2N. Por tanto:

lKımn!1

1w

0

fn.x/dx D 1¤ 0D1w

0

. lKımn!1

fn.x//dx :

Es decir, en general, no se puede permutar la integración conel límite puntual. �


10.9 Observaciones.El concepto de convergencia uniforme requiere algunas precisiones im-portantes.

� La convergencia uniforme se refiere siempre a un conjunto. No tiene sentido decir que“la sucesiónffng converge uniformemente”si no se indica inmediatamente a continuaciónel conjunto en el que afirmamos que hay convergencia uniforme. Además, siempre hay con-vergencia uniforme en subconjuntos finitos del campo de convergencia puntual (si no sabesprobarlo es que no has entendido la definición de convergencia uniforme). Por ello, sólo tieneinterés estudiar la convergencia uniforme en conjuntos infinitos, por lo general en intervalos.

� No existe“el campo de convergencia uniforme”. Es decir, el concepto decampo deconvergencia puntualno tiene un análogo para la convergencia uniforme. La razón es que notiene por qué existir unmás grandeconjunto en el que haya convergencia uniforme. Así, en elejemplo anterior, hay convergencia uniforme en intervalosde la formaŒa;C1Œ cona > 0. Launión de todos ellos esRC y enRC no hay convergencia uniforme.

10.10 Teorema(Condición de Cauchy para la convergencia uniforme). Una sucesión defuncionesffng converge uniformemente enJ si, y sólo si, para todo" > 0, existe un númeronatural n0 tal que para todosn;m > n0 se verifica que:

supfjfn.x/� fm.x/j W x2J g6 ":

Demostración. Supongamos queffng converge uniformemente a una funciónf enJ . Enton-ces, dado" > 0, existirá unn02N tal que para todon > n0 se tiene que:

supfjfn.x/ � f .x/j W x2J g6"

2:

Seam > n0. Para todox2J tenemos que:

jfn.x/� fm.x/j6 jfn.x/� f .x/j C jfm.x/� f .x/j6"

2C "

2D ":

Por tanto para todosn;m > n0 se verifica que supfjfn.x/ � fm.x/j W x2J g6 ".

Recíprocamente, supuesto que la condición del enunciado secumple, entonces para cadax2J se verifica que la sucesiónffn.x/g verifica la condición de Cauchy pues:

jfn.x/ � fm.x/j6 supfjfn.x/� fm.x/j W x2J g6 ":

Por el teorema de completitud deR dicha sucesión es convergente. Por tanto podemos definirla función límite puntualf W J ! R por f .x/D lKım

n!1f .x/ para todox 2J . Comprobemos

queffng converge uniformemente af enJ . Dado" > 0, por la hipótesis hecha, hay unn02N

tal que para todosn;m > n0 es:

jfn.x/� fm.x/j 6 " 8x2J

Fijandox2J y n > n0 en esta desigualdad y tomando límite param!1 obtenemos que:

jfn.x/� f .x/j6 ";

desigualdad que es válida para todox 2 J . Deducimos que supfjfn.x/� f .x/j W x2J g 6 "

siempre quen > n0. Hemos probado así queffng converge uniformemente af enJ . 2

La utilidad de la condición de Cauchy para la convergencia uniforme es que es intrínseca ala sucesión, es decir, no involucra a la función límite.



Series de funciones 590

10.2.3. Series de funciones

Dada una sucesión de funcionesffng, podemos formar otra,fFng, cuyos términos se obtie-nen sumandoconsecutivamentelos deffng. Es decir,F1Df1, F2Df1Cf2, F3Df1Cf2Cf3,...

En general,FnDnX

kD1

fk . La sucesiónfFng así definida se llamaserie de término generalfn y

la representaremos por el símboloX

n>1

fn .

Debe quedar claro queuna serie de funciones es una sucesión de funciones que se ob-tienen sumando consecutivamente las funciones de una sucesión dada. Todo lo dicho parasucesiones de funciones se aplica exactamente igual para series de funciones. En particular, losconceptos de convergencia puntual y uniforme para sucesiones de funciones tienen igual signi-ficado para series. Así el campo de convergencia puntual de laserie

X

n>1

fn cuyas funcionesfn

suponemos definidas en un intervaloI , es el conjunto:

C D fx2I WX

n>1

fn.x/ es convergenteg:

La función límite puntual, llamadafunción sumade la serie, es la funciónF W C ! R dadapara todox 2 C por:

F.x/D1X

nD1

fn.x/:

La única novedad es que ahora también podemos considerar elcampo de convergencia absolutade la serie, que es el conjunto

AD fx2I WX

n>1

jfn.x/j es convergenteg:

El siguiente resultado es el más útil para estudiar la convergencia uniforme y absoluta de unaserie.

10.11 Teorema(Criterio de Weierstrass). SeaX

n>1

fn una serie de funciones yA un conjunto

tal que para todox 2 A y todo n 2 N se tiene quejfn.x/j 6 ˛n, donde la serieX

n>1

˛n es

convergente. EntoncesX

n>1

fn converge uniformemente y absolutamente enA.

Demostración. De las hipótesis se deduce, en virtud del criterio de comparación para series detérminos positivos, que la serie

X

n>1

jfn.x/j converge para todox2A. Esto implica que la serie

X

n>1

fn (x) converge para todox2A. Veamos que la convergencia es uniforme. Utilizaremos el

criterio de Cauchy.



ComoX

n>1

˛n es convergente cumplirá la condición de Cauchy, esto es, dado " > 0, existe

n02N tal que sin > m > n0 entonces

ˇˇ

nX

kD1

˛k �mX

kD1

˛k

ˇˇD

nX

kDmC1

˛k < ":

Deducimos que para todox2A se verifica que:

jFn.x/ � Fm.x/jDˇˇ

nX

kD1

fk.x/�mX

kD1

fk.x/

ˇˇDˇˇ

nX

kDmC1

fk.x/

ˇˇ6

nX

kDmC1

jfk.x/j6nX

kDmC1

˛k < ":

Como esta desigualdad es válida para todox2A se sigue que:

supfjFn.x/� Fm.x/j W x2Ag6 ": (10.2)

Es decir, la serieX

n>1

fn cumple la condición de Cauchy para la convergencia uniformeenA. 2

Por otra parte, si en la condición de Cauchy (10.2) para una serie de funcionesPfn,

hacemosmDnC1 deducimos la siguiente condición necesaria para la convergencia uniforme.

10.12 Corolario. Una condición necesaria para que una serie de funcionesPfn sea unifor-

memente convergente en un conjuntoA es que la sucesión de funcionesffng converja unifor-memente a cero enA.

Observa que los conceptos de convergencia absoluta y de convergencia uniforme son inde-pendientes: una serie puede ser uniformemente convergenteen un conjuntoA y no ser absolu-tamente convergente enA. En tales casos se aplican los siguientes criterios de convergencia noabsoluta para series de funciones.

10.13 Proposición(Criterios de convergencia uniforme no absoluta). Seafang una sucesiónnumérica y

X

n>1

fn una serie de funciones definidas en un conjuntoA.

Criterio de Dirichlet.Supongamos que:

a) fang es una sucesión de números reales monótona y convergente a cero.

b) La serieX

n>1

fn tiene sumas parciales uniformemente acotadas enA, es decir, hay un nú-

meroM > 0 tal que para todox2A y para todon2N se verifica que

ˇˇˇ

nX

kD1

fk.x/

ˇˇˇ6 M .

Entonces la serie de funcionesX

n>1

anfn converge uniformemente enA.

Criterio de Abel.Supongamos que:

a) La serieX

n>1

an es convergente.


b) Para cadax 2 A ffn.x/g es una sucesión de números reales monótona y la sucesión defuncionesffng está uniformemente acotada enA, es decir, hay un númeroM > 0 tal quepara todox2A y para todon2N se verifica quejfn.x/j 6 M .

Entonces la serie de funcionesX

n>1

anfn converge uniformemente enA.

Demostración. Probaremos primero el criterio de Dirichlet. PongamosFn DnX

kD1

fk . De la

fórmula (9.10) de suma por partes de Abel se deduce fácilmente que:

pX

kD1

anCkfnCk.x/DpX

kD1

FnCk.x/.anCk�anCkC1/CFnCp.x/anCpC1�Fn.x/anC1: (10.3)

Igualdad que es válida para todosp > n > 1 y todox2A. Tomando valores absolutos en estaigualdad, teniendo en cuenta que para todon 2N esjFn.x/j 6 M y suponiendo quefang esdecreciente en cuyo caso seráan > 0, obtenemos:

ˇˇˇ

pX

kD1

anCkfnCk.x/

ˇˇˇ6 M

pX

kD1

.anCk � anCkC1/CManCpC1 CManC1D

DM.anC1 � anCpC1/CManCpC1 CManC1 D 2ManC1:

Dado" > 0, como suponemos quefang ! 0, hay unn0 tal que para todon > n0 se verificaquean 6 "

2M. Deducimos que para todosp > n > n0 y para todox2A se verifica que:

ˇˇˇ

pX

kD1

akfk.x/�nX

kD1

akfk.x/

ˇˇˇD

ˇˇˇ

pX

kD1

anCkfnCk.x/

ˇˇˇ6 2ManC1 6 ":

Hemos probado así que la serie de funcionesX

n>1

anfn verifica la condición de Cauchy para la

convergencia uniforme enA.

Probaremos ahora el criterio de Abel. SeaSn DnX

kD1

ak . Intercambiando los papeles deak

y fk en la igualdad (10.3) tenemos:

pX

kD1

anCkfnCk.x/DpX

kD1

SnCk.fnCk.x/� fnCkC1.x//C SnCpfnCpC1.x/� SnfnC1.x/:

SeaS D1X

nD1

an.Teniendo en cuenta que:

pX

kD1

.fnCk.x/ � fnCkC1.x//C fnCpC1.x/� fnC1.x/D 0;




deducimos de la igualdad anterior:

pX

kD1

anCkfnCk.x/DpX

kD1

.SnCk � S/.fnCk.x/� fnCkC1.x//C .SnCp � S/fnCpC1.x/�

� .Sn � S/fnC1.x/:

Igualdad que es válida para todosp > n > 1 y todox 2A. Dado" > 0, tomemosn0 2N talquejSq � S j 6 "=4M siempre quen > n0. Entoncesp > n > n0, tomando valores absolutosen la igualdad anterior y teniendo en cuenta quejfn.x/j 6 M para todon2N, obtenemos:

ˇˇˇ

pX

kD1

anCkfnCk.x/

ˇˇˇ6

"

4M

pX

kD1

jfnCk.x/� fnCkC1.x/j C"

2:

Como para cadax2A la sucesiónffn.x/g es monótona, las diferenciasfnCk.x/�fnCkC1.x/

son todas positivas o todas negativas y, por tanto:

pX

kD1

jfnCk.x/� fnCkC1.x/jDˇˇˇ

pX

kD1

.fnCk.x/� fnCkC1.x//

ˇˇˇDˇfnC1.x/� fnCpC1.x/

ˇ62M:

Concluimos que para todosp > n > n0 y para todox2A se verifica que:ˇˇˇ

pX

kD1

anCkfnCk.x/

ˇˇˇ6

"

4M2M C "

2D ":

Hemos probado así que la serie de funcionesX

n>1

anfn verifica la condición de Cauchy para la

convergencia uniforme enA. 2

10.14 Corolario (Criterio de Leibniz para la convergencia uniforme). Seafgng una suce-sión de funciones definidas en un conjuntoA � R tal que para todox2A la sucesiónfgn.x/ges monótona y converge uniformemente a cero enA. Entonces la serie

Pn>1.�1/nC1gn con-

verge uniformemente enA.

Demostración. Pongamosfn � fn.x/D.�1/nC1. Entoncesffng es una sucesión de funciones

constantes. SeaFnDnX

kD1

fk . Se verifica quejFnjDˇˇˇ

nX

kD1

fk.x/

ˇˇˇ61 para todox2A. Pongamos

tambiénak D gk.x/. Usando la igualdad (10.3), tenemos que:

pX

kD1

.�1/nCkC1gnCk.x/DpX

kD1

FnCk.gnCk.x/�gnCkC1.x//CFnCpgnCpC1.x/�FngnC1.x/:

Tomando valores absolutos obtenemos:ˇˇˇ

pX

kD1

.�1/nCkC1gnCk.x/

ˇˇˇ6

pX

kD1

jgnCk.x/� gnCkC1.x/j CˇgnCpC1.x/

ˇC jgnC1.x/j :



Como, para cadax2A, los númerosgnCk.x/� gnCkC1.x/ son todos positivos o todos nega-tivos, se tiene que:

pX

kD1

jgnCk.x/� gnCkC1.x/j Dˇˇˇ

pX

kD1

.gnCk.x/� gnCkC1.x//

ˇˇˇD

ˇgnC1.x/ � gnCpC1.x/

ˇ6

6ˇgnCpC1.x/

ˇC jgnC1.x/j :

Resulta así que para todox2A:ˇˇˇ

pX

kD1

.�1/nCkC1gnCk.x/

ˇˇˇ6 2

ˇgnCpC1.x/

ˇC 2 jgnC1.x/j :

Comofgng converge uniformemente a0, dado" > 0, hay unn0 tal que para todon>n0 y paratodox2A se verifica quejgn.x/j 6 "=4. De la desigualdad anterior, se sigue que paran > n0

y para todox2A se verifica que:ˇˇˇ

pX

kD1

.�1/nCkC1gnCk.x/

ˇˇˇ6 ":

Hemos probado así que la serieP

n>1.�1/nC1gn verifica la condición de Cauchy para laconvergencia uniforme enA. 2

Los resultados siguientes, relativos a la convergencia uniforme, se aplican, claro está, tantoa sucesiones como a series de funciones.

10.15 Teorema(Conservación de la continuidad). Supongamos queffng converge unifor-memente af en un intervaloJ . Seaa2J y supongamos que las funcionesfn son todas ellascontinuas ena. Se verifica entonces que la funciónf es continua ena. En particular, si lasfuncionesfn son todas ellas continuas enJ . Se verifica entonces que la funciónf es continuaenJ .

Demostración. Dado" > 0, la hipótesis de convergencia uniforme implica que existen0 2N

tal que paran > n0 se verifica quejfn.u/ � f .u/j 6 "=3 para todou2J . Tenemos:

jf .x/� f .a/j6 jf .x/� fn0.x/j C jfn0

.x/ � fn0.a/j C jfn0

.a/ � f .a/j

Pero por la forma en que hemos tomadon0 se sigue que:

jf .x/� f .a/j6 2"

3C jfn0

.x/� fn0.a/j (10.4)

Además, como por hipótesisfn0es continua ena , se verifica que existeı > 0 tal que para

todox2J conjx � aj < ı esjfn0.x/� fn0

.a/j6 "=3, lo que, en virtud de (10.4) implica que:

jf .x/� f .a/j6 3"

3D ":

Resumiendo, hemos probado que dado" > 0, existeı > 0, tal que si tomamosjx � aj < ı yx2J entoncesjf .x/ � f .a/j 6 ", que es, precisamente, la continuidad def ena. 2


Como la continuidad def ena2J se expresa porf .a/D lKımx!a

f .x/D lKımx!a

. lKımn!1

fn.x//

y, por otra parte, por serfn continua ena, f .a/D lKımn!1

fn.a/D lKımn!1

. lKımx!a

fn.x//; el resultado

anterior nos dice que:lKım

x!a. lKımn!1

fn.x//D lKımn!1

. lKımx!a

fn.x//:

Es decir, la convergencia uniforme permite permutar los límites. El ejemplo10.6conaD 1 oaD�1 muestra que esta igualdad puede ser falsa si no hay convergencia uniforme.

10.16 Teorema(Permutación de la integración con el límite uniforme). Supongamos queffng converge uniformemente en un intervaloŒa; b� y que las funcionesfn son todas ellascontinuas enŒa; b�. Se verifica entonces que:

lKımn!1

bw

a

fn.x/dx Dbw

a

. lKımn!1

fn.x//dx : (10.5)

En particular, si una serieX

n>1

fn converge uniformemente enŒa; b� se verifica que:

1X

nD1

bw

a

fn.x/dx Dbw

a

1X

nD1

fn.x/

!dx : (10.6)

Demostración. Seaf .x/D lKımn!1ffn.x/g. La hipótesis de convergencia uniforme nos dice que

dado" > 0 existe unn0 tal que para todon > n0 se cumple:

jf .x/� fn.x/j 6 " para todox en Œa; b�

Así pues, sin > n0 tenemos:ˇˇˇ

bw

a

f .x/dx �bw

a

fn.x/dx

ˇˇˇD

ˇˇˇ

bw

a

Œf .x/� fn.x/�dx

ˇˇˇ6

bw

a

jf .x/� fn.x/jdx 6

bw

a

"dxD".b�a/:

Al cumplirse esto para todo" > 0 se sigue que

bw

a

f .x/dx D lKımn!1

bw

a

fn.x/dx

2

Este resultado es válido también si solamente se supone que las funcionesfn son integra-bles enŒa; b�, aunque en ese caso su demostración es un poco más larga porque hay que probaren primer lugar que la función límite uniformef también es integrable enŒa; b�. Suponiendoque las funcionesfn son continuas la función límite uniformef también es continua y, portanto, es integrable enŒa; b�.

Cuando no hay convergencia uniforme la igualdad (10.5) no tiene por qué ser cierta comose pone de manifiesto en el ejemplo10.8.




10.17 Ejemplo. Para cadan2N seafn W Œ0; 1�! R la función dada porfn.x/Dxn.logx/2,y fn.0/D 0. Veamos que la serie

Pfn converge uniformemente enŒ0; 1�.

Observa quefn es continua y positiva enŒ0; 1� y se anula en los extremos del intervalo.Comof 0

n .x/D .n logx C 2/xn�1 logx, se sigue que en el puntocn D exp.�2=n/ la funciónfn alcanza un máximo absoluto enŒ0; 1�. Luego

jfn.x/j D fn.x/6 fn.cn/D4 e�2

n2;

y, puesto que la serieP 4 e�2

n2es convergente, deducimos, por el criterio de Weierstrass,que

Pfn converge uniformemente enŒ0; 1�. En consecuencia, se verificará que:

1w

0

1X

nD1

fn.x/

!dx D

1X

nD1

1w

0

fn.x/dx :

Puesto que1X

nD1

fn.x/Dx.logx/2

1 � xy

1w

0

fn.x/ dx D 21

.nC 1/3

como fácilmente puedes comprobar integrando por partes, sededuce que:

1w

0

x.logx/2

1� xdx D 2

1X

nD2

1

n3:

�

La convergencia uniforme no conserva la derivabilidad. Esto es fácil de entender si consi-deras que puedes sacar pequeños dientes de sierra a la gráficade una función derivable con loque resulta una nueva función no derivable y arbitrariamente próxima a la primera. Por ello, elsiguiente resultado tiene hipótesis más exigentes que los anteriores.

10.18 Teorema(Derivabilidad y convergencia uniforme). Seaffng una sucesión de funcio-nes definidas en un intervaloI , y supongamos que:

i) fn es derivable enI para todon2N.

ii) ffng converge uniformemente af enI .

iii) ff 0ng converge uniformemente ag enI

Entoncesf es derivable enI y g.x/D f 0.x/ para todox2I .

Demostración. Demostraremos este resultado en el caso particular de que las funcionesfn

tengan derivada primera continua enI . En tal caso, fijemos un puntoa2I . Ahora, parax2I ,en virtud del teorema fundamental del Cálculo, tenemos que:

fn.x/D fn.a/Cxw

a

f 0n.t/dt :




Tomando límites y haciendo uso del teorema anterior, deducimos que:

f .x/D f .a/Cxw

a

g.t/dt :

Una nueva aplicación del teorema fundamental del Cálculo nos dice ahora quef es derivableenI y quef 0.x/D g.x/ para todox2I . 2

Observa que este teorema nos dice que, en las hipótesis hechas, podemos permutar la deri-vabilidad con la convergencia uniforme:

f D lKımfn÷f 0 D lKımff 0ng:

Esta igualdad es una permutación de límites pues afirma que para a2I se verifica que:

f 0.a/D lKımx!a

f .x/ � f .a/x � a

D lKımx!a

�lKım

n!1fn.x/� fn.a/

x � a

�D

D lKımn!1

�lKım

x!a

fn.x/ � fn.a/

x � a

�D lKım

n!1ff 0

n.a/g

El teorema anterior suele enunciarse de una forma más general en apariencia. Tú mismo puedesdeducirla a partir del siguiente resultado que se prueba haciendo uso del teorema del valormedio.

10.19 Proposición.Seaffng una sucesión de funciones derivables en un intervaloI . Supon-gamos que la sucesiónff 0

ng converge uniformemente enI y que hay un puntoa 2 I tal queffn.a/g es convergente. Entonces la sucesiónffng converge uniformemente en todo intervaloacotado contenido enI .

Demostración. SeaJ un intervalo acotado contenido enI y seaL la longitud deJ . Podemossuponer quea 2 J (si es necesario ampliamosJ para que así sea). Comoff 0

ng converge uni-formemente enI también converge uniformemente enJ � I . Por tanto, dado" > 0, existe unn02N tal que para todosn;m > n0 se verifica que:

ˇf 0

n.x/� f 0m.x/

ˇ6

"

2L; 8x2J (10.7)

Como ffn.a/g es convergente, podemos tomar tambiénn0 de forma que paran;m > n0 severifica que:

jfn.a/ � fm.a/j 6"

2(10.8)

Aplicando el teorema del valor medio a la funciónh.t/D fn.t/� fm.t/� .fn.a/� fm.a// enun intervalo de extremosx y a dondex2J , se tiene que hay algúnc comprendido entrex y a,por lo quec2J , tal queh.x/� h.a/D h 0.c/.x � a/, es decir:

fn.x/� fm.x/� .fn.a/ � fm.a//D�f 0

n.c/� f 0m.c/

�.x � a/:

Tomando valores absolutos en esta igualdad y teniendo en cuenta (10.7), resulta que paran;m>n0 es:

jfn.x/� fm.x/� .fn.a/ � fm.a//j Dˇ�f 0

n.c/ � f 0m.c/

�ˇjx � aj6 "

2LLD "

2; 8x2J:



Series de potencias 598

Deducimos que:

jfn.x/� fm.x/j6 jfn.x/ � fm.x/� .fn.a/ � fm.a//j C jfn.a/ � fm.a/j6"

2C "

2D ";

desigualdad que es válida siempre quen;m > n0 y para todox2J . Hemos probado así que lasucesiónffng verifica enJ la condición de Cauchy para la convergencia uniforme. 2

10.3. Series de potencias

Dados un número real,a2R, y una sucesión de números reales,fcngn>0, seafn WR! R

la función dada para todox 2 R por fn.x/ D cn.x � a/n y, por convenio,f0.x/ D c0. Laserie de funciones

X

n>0

fn se llamaserie de potencias centrada ena. La sucesiónfcngn>0 se

llamasucesión de coeficientes de la serie. El coeficientec0 se llamatérmino independientedela serie. Suele usarse, y nosotros también seguiremos la costumbre, la notación

X

n>0

cn.x � a/n

para representar la serie de potencias centrada ena con coeficientescn, nD 0; 1; 2; : : :.

Un tipo particular de series de potencias son lasseries de Taylor. Dada una funciónf quetiene derivadas de todo orden en un puntoa, la serie de potencias

X

n>0

f .n.a/

n!.x � a/n

se llama serie de Taylor def ena. Recuerda que, por convenio, la derivada de orden0 de unafunción,f .0/, es la propia funciónf .0/ D f y que0!D 1.

Observa que la serie de Taylor def ena esla sucesión de los polinomios de Taylor defena. Recuerda que el polinomio de Taylor de ordenn def ena es la función polinómica dadapor:

Tn.f; a/.x/DnX

kD0

f .k/.a/

k!.x � a/k :

El resultado básico para estudiar la convergencia de una serie de potencias es el siguiente.

10.20 Lema(Lema de Abel). Sea� > 0 y supongamos que la sucesiónfjcnj�ng está mayo-rada. Entonces se verifica que la serie de potencias

X

n>0

cn.x � a/n converge absolutamente

en el intervalo�a � �; a C �Œ y converge uniformemente en todo intervalo cerrado y acotadocontenido en�a � �; aC �Œ.

Demostración. Por hipótesis, existeM > 0 tal quejcnj�n6M para todon2N. Sea0 < r < �.Será suficiente probar que la serie converge absolutamente yuniformemente en el intervaloŒa � r; a C r �. Aplicaremos para ello el criterio de Weierstrass. Para todo x 2 Œa � r; a C r �,tenemos que:

jcn.x � a/nj D jcnj�n jx � ajn�n

6 M 6 Mrn

�nDM

�r

�

�n

:

Radio de convergencia de una serie de potencias 599

Basta ahora tener en cuenta que la serieX

n>0

� r

�

�nes convergente por ser una serie geométrica

de razón0 <r

�< 1. 2

El resultado anterior nos lleva, de forma natural, a considerar el más grande� > 0 tal quela sucesiónfjcnj�ng esté mayorada.

10.3.1. Radio de convergencia de una serie de potencias

Consideremos el conjunto

AD f� > 0 W la sucesión fjcnj�ng está acotadag:

Observa queA ¤ Ø ya que el0 2 A. Además,A es un intervalo porque si� 2 A entoncesŒ0; �� A. Si A está mayorado definimosR D sup.A/, si no lo está definimosRD C1. Sedice queR es elradio de convergenciade la serie de potencias

X

n>0

cn.x � a/n . El intervalo

ID�a �R; aCRŒ, con el convenio de que cuandoRDC1 esI D R, se llamaintervalo deconvergenciade la serie. La razón de esta terminología queda clara en el siguiente resultado,fácil consecuencia del lema de Abel.

10.21 Teorema.SeaX

n>0

cn.x � a/n una serie de potencias con radio de convergencia no nulo

y seaI el intervalo de convergencia de la serie. Se verifica que la serie converge absoluta-mente en todo punto deI y converge uniformemente en cualquier intervalo cerrado y acotadocontenido enI . Además la serie no converge para valores dex2R tales quejx � aj > R.

10.22 Definición. SeaX

n>0

cn.x � a/n una serie de potencias con radio de convergencia no

nulo y seaI el intervalo de convergencia de la serie. La funciónf W I ! R definida para todox2I por:

f .x/D1X

nD0

cn.x � a/n

se llamafunción suma de la serie.

Como consecuencia del teorema anterior, del carácter localde la continuidad y del teorema10.15, se sigue que la función suma de una serie de potencias es continua. Enseguida veremosque es mucho más que continua.

El teorema10.21 nos dice que el estudio de la convergencia de una serie de potenciasse reduce a calcular el radio de convergencia. La única duda corresponde a los extremos delintervalo de convergencia, los puntosa � R y a C R, en los cuales puede darse cualquiercomportamiento como veremos enseguida con ejemplos.

Fíjate en que el radio de convergencia sólo depende de la sucesión de coeficientes de laserie y que el puntoa en que la serie está centrada no interviene para nada en la definición delradio de convergencia.

Todo esto está muy bien, dirás, pero ¿cómo se calcula el radiode convergencia? Desdeluego, la definición que hemos dado de radio de convergencia tiene utilidad teórica pero nosirve para calcularlo. Hay una fórmula general para calcular el radio de convergencia que novamos considerar aquí porque, a efectos de cálculo, los siguientes casos particulares son losmás interesantes.

10.3.1.1. Cálculo del radio de convergencia

Podemos aplicar los criterios del cociente y de la raíz para estudiar la convergencia absolutade una serie de potencias. Ello permite deducir con facilidad los siguientes dos resultados.

10.23 Proposición.SeaX

n>0

cn.x � a/n una serie de potencias y supongamos quejcnC1jjcnj

! L

donde0 6 L 6C1. Entonces siL D 0 el radio de convergencia de la serie esR DC1, siL D C1 el radio de convergencia de la serie esR D 0 y si 0 < L < C1 el radio deconvergencia de la serie esRD 1=L.

Demostración. Apliquemos el criterio del cociente para estudiar la convergencia absoluta dela serie

X

n>0

cn.x � a/n . Pongamosan D jcn.x � a/nj. Tenemos que:

anC1

anD jcnC1jjcnj

jx � aj ! Ljx � aj:

Si 0 < L < 1, el criterio del cociente nos dice que la serie converge absolutamente siLjx � aj < 1, es decir, sijx � aj < 1=L, y que siLjx � aj > 1 entonces la serie no con-verge porque su término generalfcn.x � a/ng no converge a0. Deducimos que el radio deconvergencia esRD 1=L.

Si LD 0 la condiciónLjx � aj < 1 se cumple para todox2R y el radio de convergenciaesRDC1. Si LDC1 entonces para todox ¤ a se tiene que:

anC1

anD jcnC1jjcnj

jx � aj ! C1:

lo que, por el criterio del cociente, nos dice que la serie no converge porque su término generalno converge a0. Luego en este caso esRD 0. 2

De forma totalmente análoga, haciendo uso del criterio de laraíz, se prueba el siguienteresultado.

10.24 Proposición.SeaX

n>0

cn.x � a/n una serie de potencias y supongamos quenpjcnj ! L

donde0 6 L 6 C1. Entonces siL D 0 el radio de convergencia de la serie esR D C1,si L D C1 el radio de convergencia de la serie esR D 0 y si 0 < L < C1 el radio deconvergencia de la serie esRD 1=L.

Observa que los criterios anteriores son bastante restrictivos pues, por ejemplo, a la serieX

n>0

x2n no puedes aplicarle ninguno de ellos. En particular, el criterio del cociente no puede

aplicarse cuando hay infinitos coeficientes nulos. En casos parecidos a este el siguiente artificioes de bastante utilidad práctica.

10.25 Observaciones.

� Consideremos una serie de potencias de la formaX

n>0

cn.x � a/qn dondeq es un número

natural fijo. Para calcular su radio de convergencia hacemoszD .x�a/q y calculamos el radiode convergencia de la serie

X

n>0

cnzn . Si éste esR2RC, entonces laX

n>0

cn.x � a/qn converge

parajx � ajq < R, es decir, parajx � aj < qp

R, luego su radio de convergencia esqp

R.

� Si k 2 N, las seriesX

n>0

cn.x � a/n ,X

n>0

cn.x � a/nCk yX

n>k

cn.x � a/n�k tienen igual

radio de convergencia puesto que todas ellas convergen paralos mismos valores dex.

� Si las sucesionesfjcnjg y fjbnjg son asintóticamente equivalentes, entonces las series depotencias

Pcn.x�a/n y

Pbn.x�a/n tienen igual radio de convergencia. Ello es consecuen-

cia de que si� > 0 las sucesionesfjcnj �ng y fjbnj �ng son, evidentemente, asintóticamenteequivalentes, por lo que ambas están mayoradas o ninguna lo está.

El siguiente importante teorema nos dice, entre otras cosas, que si una serie de potenciastiene radio de convergencia no nulo entonces dicha serie es la serie de Taylor de su funciónsuma. Usaremos el siguiente resultado.

10.26 Lema.Las seriesX

n>0

cn.x � a/n yX

n>1

ncn.x � a/n�1 tienen igual radio de convergen-

cia.

Demostración. Pongamos:

AD˚� > 0 W fjcnj �ng está acotada

; B D

˚� > 0 W fn jcnj �ng está acotada

:

Los respectivos radios de convergencia viene dados porR D sup.A/ y R 0 D sup.B/ con losconvenios usuales. Es evidente queB � A. Lo que implica queR 0 6R. En particular, siRD0

entoncesR D R 0 D 0. Consideremos que0 < R < C1 y sea0 < �0 < R. Por definiciónde supremo, tiene que haber algún�2A tal que�0 < �. La sucesiónfjcnj �ng está acotada, esdecir, hay unM > 0 tal quejcnj �n 6 M para todon2N. Deducimos que:

n jcnj �n0 D n jcnj �n

��0

�

�n

6 M n

��0

�

�n

:

Como, por ser0 < �0 < �, la sucesiónn�

�0

�

�nconverge a cero, se sigue que dicha sucesión

está acotada y, teniendo en cuenta la desigualdad anterior,se sigue que también está acotadala sucesiónfn jcnj �n

0g. Hemos probado así que�0 2 B y, por tanto,�0 6 R 0. Como esta

desigualdad es válida para todo número�0 < R se sigue que necesariamente debe serR 6 R 0

y concluimos queRDR 0. En el caso en queRDC1 puede repetirse el razonamiento anteriorcon cualquier número�0 > 0 y concluimos que también esR 0 DC1. 2


10.27 Teorema(Derivación de una serie de potencias). SeaX

n>0

cn.x � a/n una serie de

potencias con radio de convergencia no nuloR. SeaI el intervalo de convergencia de la seriey f W I ! R la función suma de la serie definida para todox2I por:

f .x/D1X

nD0

cn.x � a/n:

Entonces se verifica que:

i) f es indefinidamente derivable enI .

ii) La derivada de ordenk def está dada para todox2I por:

f .k//.x/D1X

nDk

n.n � 1/ � � � .n� k C 1/cn.x � a/n�k : (10.9)

En particular, se verifica quef .k//.a/D ck � k!, es decir,ck Df .k//.a/

k!y, por tanto, la serie

de potenciasX

n>0

cn.x � a/n coincide con la serie de Taylor ena de su función suma.

Demostración. Las series de potencias son series de funciones polinómicas las cuales sonindefinidamente derivables. Pongamosfn.x/Dcn.x�a/n. Teniendo en cuenta el lema anterior,las series de potencias

X

n>0

fn �X

n>0

cn.x � a/n yX

n>0

f 0n �

X

n>0

ncn.x � a/n�1 tienen igual

radio de convergencia. Podemos aplicar ahora los teoremas10.21y 10.18para obtener que lafunción sumaf es derivable y su derivada viene dada para todox2I por:

f 0.x/D1X

nD1

ncn.x � a/n�1:

Es decir, la derivada de la función suma es la función suma de la serie de las derivadas.

Podemos volver a aplicar este resultado a la serie de las derivadasX

n>0

ncn.x � a/n�1 , pues

dicha serie sigue siendo una serie de potencias con el mismo radio de convergencia, y deduci-mos que la función suma de dicha serie, que esf 0 según acabamos de probar, es derivable y suderivada viene dada para todox2I por:

f 00.x/D1X

nD2

n.n � 1/cn.x � a/n�2:

Este razonamiento puede repetirse tantas veces como queramos. Una simple y evidente induc-ción prueba que para todok2N se verifica la igualdad (10.9). 2

Dijimos que las series de Taylor eran un tipo especial de series de potencias. El teoremaanterior nos dice que no son tan especiales: toda serie de potencias con radio de convergenciano nulo es una serie de Taylor; es la serie de Taylor de su función suma.



El teorema anterior nos dice que las funciones suma de seriesde potencias son funcionescon derivadas de todos órdenes (funciones de claseC 1) y que podemos calcular sus derivadassucesivas derivando término a término la serie que las define.

El siguiente resultado es una consecuencia inmediata del teorema de derivación y nos diceque siempre podemos calcular una primitiva de una serie de potencias expresándola por mediode otra serie de potencias.

10.28 Corolario(Primitiva de una serie de potencias). Las series de potenciasX

n>0

cn.x � a/n

yX

n>0

cn

nC 1.x � a/nC1 tiene igual radio de convergencia. Supuesto que dicho radiode con-

vergencia es positivo y llamandoI al intervalo de convergencia, se verifica que la función

F.x/D1X

nD0

cn

nC 1.x � a/nC1 .x2I /

es una primitiva enI de la función

f .x/D1X

nD0

cn.x � a/n .x2I /:

En otros términos, este resultado afirma que para todox2I se verifica la igualdad:

xw

a

1X

nD0

cn.t � a/n

!dt D

1X

nD0

xw

0

cn.t � a/n dt D1X

nD0

cn

nC 1.x � a/nC1 (10.10)

10.29 Ejemplo.xw

0

et2

dt Dxw

0

1X

nD0

t2n

n!dt D

1X

nD0

x2nC1

n!.2nC 1/

�

10.30 Estrategia.Acabamos de ver que si expresamos una funciónf como suma de una seriede potencias, derivando la serie término a término se obtiene la serie de potencias de la derivadadef , e integrando la serie término a término se obtiene una seriede potencias cuya suma es unaprimitiva def . Estos procesos se determinan mutuamente. Por eso, para expresar una funciónf como suma de una serie de potencias, puede ser una estrategiaválida, cuando la derivada def sea más sencilla quef , expresar la derivadaf 0 como suma de una serie de potencias, puesintegrando dicha serie término a término se obtiene una serie de potencias que se diferencia def en una contante que usualmente puede calcularse fácilmente.

10.31 Ejemplo. Sabemos que:

1

1 � xD

1X

nD0

xn .1� < x < 1/

Integrando término a término se obtiene que la función:

h.x/D1X

nD0

xnC1

nC 1.1� < x < 1/

Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales 604

es derivable en� � 1; 1Œ con derivadah 0.x/ D 1

1 � x. Por tanto, las funcionesh y f .x/ D

� log.1 � x/ tienen la misma derivada en� � 1; 1Œ y comoh.0/ D f .0/ D 0, concluimos queh.x/D� log.1 � x/. Luego:

log.1 � x/D�1X

nD0

xnC1

nC 1.1� < x < 1/:

�

10.4. Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales

Dada una funciónf con derivadas de todos órdenes en un intervaloI y un puntoa2I , ¿severifica que la serie de Taylor def centrada ena tiene radio de convergencia no nulo? En casode que así sea, ¿se verifica que la función suma de la serie de Taylor def coincide conf ?

Contrariamente a lo que en principio puede parecer, la respuesta a ambas preguntas es, engeneral, negativa. Un estudio en profundidad de este problema requiere el uso de técnicas devariable compleja que no son propias de este curso. A continuación consideraremos algunas delas funciones más usuales del Cálculo y probaremos que, en determinados intervalos, coincidencon la suma de sus respectivas series de Taylor. La herramienta básica para estudiar la conver-gencia de una serie de Taylor es, precisamente, el teorema deTaylor. Conviene recordarlo.

Teorema de Taylor

Seaf un funciónnC 1 veces derivable en un intervaloI y seana;x 2 I entonces existeun puntoc2I con ja � cj < ja � xj tal que:

f .x/D Tn.f; a/.x/C1

.nC 1/!f .nC1.c/.x � a/nC1

Series de Taylor de la función exponencial

Ya sabemos que la función exponencial coincide con la suma desu serie de Taylor en0:

exD1X

nD0

xn

n!para todox2R.

Recuerda que usamos el Teorema de Taylor para probar esta igualdad. Vamos a volver a obtenereste resultado de forma diferente.

Los polinomios de Taylor de la función exp son particularmente fáciles de calcular. Puestoque exp.k/.0/D exp.0/D 1 para todok, el polinomio de Taylor de ordenn en0 es:

Tn.exp; 0/.x/D 1C x C x2

2!C x3

3!C � � � C xn

n!

Consideremos la serie de potencias centrada en0X

n>0

xn

n!. Llamandocn D

1

n!tenemos que

cnC1

cnD 1

nC 1! 0, por tanto la serie tiene radio de convergenciaRDC1. Llamemosh a la


función suma de la serie:

h.x/D1X

nD0

xn

n!para todox2R.

Vamos a probar queh es la función exponencial. Por el teorema de derivación tenemos que

h 0.x/D1X

nD1

nxn�1

n!D

1X

nD1

xn�1

.n� 1/!D

1X

nD0

xn

n!D h.x/:

Acabamos de probar queh es una función que coincide con su derivada, esto es,h.x/D h 0.x/para todox2R. Consideremos ahora la funcióng.x/D h.x/e�x,

g 0.x/D h 0.x/e�x �h.x/e�xDh.x/e�x �h.x/e�xD0 para todox2R.

Comog 0.x/ D 0 para todox 2 R tenemos que la funcióng es constante. Comog.0/ D 1,deducimos queg.x/D g.0/D 1. Concluimos, por tanto, queh.x/D ex.

La serie de Taylor centrada en un puntoa se deduce de la anterior sin más que tener encuenta que:

exDea ex�aD1X

nD0

ea

n!.x � a/n para todox2R.

Series de Taylor del seno y del coseno

Sabemos que:

sen0.x/D cos.x/D sen�x C �

2

�I

sen.k/ .x/D sen�x C k

�

2

�

Por tanto

Tn.sen; a/.x/DnX

kD0

sen�aC k �

2

�

k!.x � a/k

Como para todoz2R esjsenzj6 1, el teorema de Taylor implica que:ˇˇˇsenx �

nX

kD0

sen�aC k �

2

�

k!.x � a/k

ˇˇˇ6

1

.nC 1/!jx � ajnC1

Pero sabemos que

lKımn!1

jx � ajnC1

.nC 1/!D 0

De donde deducimos

senx D1X

kD0

sen�aC k �

2

�

k!.x � a/k para todox2R

Es decir, la serie de Taylor del seno converge a senx cualquiera seax2R.



Por el teorema de derivación para series de potencias obtenemos la serie del coseno, quetambién será convergente cualquiera seax2R.

cosxD1X

kD1

sen�aC .k C 1/�

2

�

.k � 1/!.x�a/k�1D

1X

kD0

cos�aC k �

2

�

k!.x�a/k para todox 2 R

Si hacemosaD 0 tenemos que para todox2R:

senx D1X

nD0

.�1/n

.2nC 1/!x2nC1; cosx D

1X

nD0

.�1/n

.2n/!x2n

Series de Taylor de la función logaritmo

Seguiremos la idea expuesta en la estrategia10.30y en el ejemplo10.31.

Para calcular la serie de Taylor de log, pongamosf .x/D log.1Cx/ definida parax > �1.Tenemos que

f 0.x/D 1

1C xD

1X

nD0

.�1/nxn .jxj < 1/

Integrando término a término esta serie, definamos parajxj < 1:

h.x/D1X

nD0

.�1/n

nC 1xnC1

Tenemos, en virtud del teorema de derivación, queh 0.x/D f 0.x/ para todox 2� � 1; 1Œ, estoimplica queh.x/� f .x/ es constante y, comoh.0/� f .0/D 0, concluimos quef .x/D h.x/.Hemos probado así que:

log .1C x/D1X

nD0

.�1/n

nC 1xnC1 .jxj < 1/

Observa que, efectivamente,� � 1; 1Œ es el intervalo de convergencia de la serie.

La serie de Taylor del logaritmo centrada ena > 0 se deduce de lo anterior:

log.x/Dlog.aC.x�a//DlogaClog�x � a

a

�DlogaC

1X

nD0

.�1/n

.nC 1/anC1.x�a/nC1 .jx�aj<a/:

Observa que la serieX

n>0

.�1/n

nC 1xnC1 cuya suma parajxj < 1 es igual a log.1C x/ es también

convergente parax D 1 puesto que se trata de la serie armónica alternada. En esta situación

¿cabe esperar que la igualdad log.1C x/D1X

nD0

.�1/n

nC 1xnC1 válida, en principio, parajxj < 1

sea también válida paraxD1? En este caso particular, la respuesta es afirmativa porque sabemos

que log2D1X

nD0

.�1/n

nC 1. El siguiente resultado establece que esto es cierto en general.

10.32 Teorema(Teorema de Abel). SeaX

n>0

cn.x � a/n una serie de potencias con radio de

convergenciaR, siendo0 < R < C1. Sea

f .x/D1X

nD0

cn.x � a/n x 2�a �R; aCRŒ

la función suma de la serie. Supongamos además que la serieP

n>0 cnRn converge. Entonces

se verifica que la serieX

n>0

cn.x � a/n converge uniformemente en el intervaloŒa; aC R�. En

consecuencia:

lKımx!aCRx<aCR

f .x/D1X

nD0

cnRn yaCRw

a

f .x/dx D1X

nD0

aCRw

a

cn.x�a/n dx D1X

nD0

cn

nC 1RnC1:

Demostración. Escribamos:X

n>0

cn.x � a/n DX

n>0

cnRn�x � a

R

�n

:

Podemos aplicar a esta serie el criterio de Abel10.13con an D cnRn y fn.x/ D�

x�aR

�n.

Por hipótesis la serieX

n>0

an es convergente y parax 2 Œa; a C R� se verifica queffn.x/g es

una sucesión de números reales monótona (decreciente); además, para todon2N y para todox 2 Œa; aCR� se tiene quejfn.x/j6 1. En estas condiciones el citado criterio de Abel nos diceque la serie

X

n>0

anfn.x/DX

n>0

cn.x � a/n converge uniformemente enŒa; aCR�.

Las dos afirmaciones finales del teorema son consecuencia de que al ser la convergenciauniforme enŒa; aCR� se verifica que:

lKımx!aCRx<aCR

f .x/D lKımx!aCRx<aCR

1X

nD0

cn.x � a/n

!D

1X

nD0

lKımx!aCRx<aCR

cn.x � a/n D1X

nD0

cnRn:

donde en la segunda igualdad podemos permutar el límite con la suma de la serie por ser laconvergencia uniforme enŒa; aCR�.

Igualmente, la convergencia uniforme de la serie enŒa; aCR� permite permutar la integralcon la suma de la serie. 2

Serie de Taylor del arcotangente en cero

Puesto que

arc tg0.x/D 1

1C x2D

1X

nD0

.�1/nx2n .x 2� � 1; 1Œ/

se deduce fácilmente que

arc tgx D1X

nD0

.�1/n

2nC 1x2nC1 .x 2� � 1; 1Œ/

Además, como esta serie converge también parax D 1, el teorema de Abel nos dice que:

�

4D arc tg1D lKım

x!1x<1

arc tgx D1X

nD0

.�1/n

2nC 1

Serie binomial de Newton

Consideremos la funciónf .x/D.1Cx/˛, donde 2 RnZ, ya que para 2Z el desarrolloes conocido. Calculemos la serie de Taylor def en0. Tenemos que

f 0.x/D ˛.1C x/˛�1

f .n.x/D ˛.˛ � 1/ � � � .˛ � nC 1/.1C x/˛�n

Los coeficientes de la serie serán:

f .n.0/

n!D ˛.˛ � 1/ � � � .˛ � nC 1/

n!D�˛

n

�:

Por tanto la serie de Taylor def es:X

n>0

�˛

n

�xn:

Calculemos su radio de convergencia.

cn D�˛

n

�)ˇˇcnC1

cn

ˇˇD j˛ � njjnC 1j ! 1

Por tanto, el radio de convergencia esRD 1. Definamos parajxj < 1

g.x/D1X

nD0

�˛

n

�xn; .jxj < 1/

Queremos probar ahora que la función suma de la serie,g, coincide con la funciónf en elintervalo � � 1; 1Œ. Para esto consideremos la funciónh.x/ D .1 C x/�˛g.x/, definida parajxj < 1. Calculemosh 0.

h 0.x/D�˛.1C x/�˛�1g.x/C .1C x/�˛g 0.x/D .1C x/�˛�1��˛g.x/C .1C x/g 0.x/

�

Analicemos ahora la expresión entre corchetes,

.1C x/g 0.x/� ˛g.x/D .1C x/

1X

nD1

n

�˛

n

�xn�1 � ˛

1X

nD0

�˛

n

�xn

D1X

nD1

n

�˛

n

�xn�1 C

1X

nD1

n

�˛

n

�xn � ˛

1X

nD0

�˛

n

�xnD

D1X

nD0

�.nC 1/

�˛

nC 1

�� ˛

�˛

n

�C n

�˛

n

��xnD

D1X

nD0

�.nC 1/

�˛

nC 1

�C .n � ˛/

�˛

n

��xn D 0

Hemos probado queh 0.x/D0 para todox 2��1; 1Œ, de donde deducimos queh.x/ es constante,y comoh.0/D 1, concluimos queg.x/D .1C x/˛ parajxj < 1. Hemos probado así que:

.1C x/˛ D1X

nD0

�˛

n

�xn; .jxj < 1/

Para centrar esta serie en un puntoa > �1 podemos proceder como sigue:

.1C x/˛ D .1C aC .x � a//˛ D .1C a/˛�1C x � a

1C a

�˛

D .1C a/˛1X

nD0

�˛

n

��x � a

1C a

�˛

D

D1X

nD0

�˛

n

�1

.1C a/n�˛.x � a/n siempre que jx � aj < 1C a:

Donde hemos tenido en cuenta que1C a > 0.

Serie de Taylor del arcoseno en cero

Seaf .x/D arc senx, su derivada viene dada como:

f 0.x/D 1p1 � x2

D .1� x2/�1=2

Haciendo las sustitucionesx ! �x2 y ˛ ! �1=2 en la serie binomial de Newton obtenemos:

f 0.x/D .1� x2/�1=2 D1X

nD0

��1=2

n

�.�x2/n D

1X

nD0

��1=2

n

�.�1/nx2n .jxj < 1/:

Integrando término a término la expresión anterior obtenemos la serie del arcoseno:

arc senx D1X

nD0

��1=2

n

�.�1/n

2nC 1x2nC1 .jxj < 1/

Como��1=2

n

�D �1=2.�1=2 � 1/ � � � .�1=2 � nC 1/

n!D .�1/n

1

2n

3 � 5 � � � .2n� 1/

n!D

D .�1/n3 � 5 � 7 � � � .2n � 1/

2 � 4 � 6 � .2n/

Resulta finalmente:

arc senx D x C1X

nD1

3 � 5 � 7 � � � .2n � 1/

2 � 4 � 6 � .2n/

1

2nC 1x2nC1 .jxj < 1/

Además, como la serie también converge parax D 1, por el teorema de Abel tenemos que:

arc sen1D �

2D 1C

1X

nD1

3 � 5 � 7 � � � .2n � 1/

2 � 4 � 6 � .2n/

1

2nC 1

Ya dijimos que las series de Taylor de una función no siempre convergen a dicha función.Veamos un ejemplo de esto.

10.33 Ejemplo. Consideremos la funciónf WR! R definida de la siguiente forma

f .x/D(

e�1=x2

si x > 0

0 si x 6 0

La función es de clase infinito, y puede probarse sin dificultad quef .n/.0/ D 0 para todon D 0; 1; 2; : : :, por lo que su serie de Taylor ena D 0 es la serie idénticamente nula que,evidentemente, no converge af en ningún intervaloabiertoque contenga a0. �

Por esta razón se define una clase de funciones que son precisamente aquellas que puedenrepresentarse localmente por sus series de Taylor.

10.34 Definición. Se dice quef es unafunción analítica en un intervalo abiertoI si paracada puntoa2I hay una serie de potencias centrada ena que converge en un intervalo abiertono vacíoJa, y su suma es igual af en el intervaloJa \ I .

Dicho de forma más concisa: las funciones analíticas son lasfunciones que se representanlocalmente por medio de series de potencias. Teniendo en cuenta el teorema de derivación y elcarácter local de la derivabilidad, es inmediato que una función f es analítica en un intervaloabiertoI si, y sólo si, se cumplen las dos condiciones siguientes:

1. f 2 C 1.I /.

2. Para todo puntoa 2 I la serie de Taylor def ena converge en un intervalo abierto novacíoJa, y su suma es igual af en el intervaloJa \ I .

10.35 Ejemplos.Hemos visto antes que para todoa > 0 se verifica que:

logx D logaC1X

nD0

.�1/n

.nC 1/anC1.x � a/nC1 .jx�aj<a/: (10.11)

Esto nos dice que la función logaritmo es analítica en el intervalo ID�0;C1Œ. Observa que encada puntoa > 0 la serie de Taylor del logaritmo converge en el intervaloJaD�0; 2aŒ y es enese intervalo en donde representa a la función. El intervaloes tanto más pequeño cuanto máspróximo estéa de0.

También hemos visto que para todoa > �1 se verifica que:

.1C x/˛ D1X

nD0

�˛

n

�1

.1C a/n�˛.x � a/n jx � aj < 1C a:

Esto nos dice que la funciónf .x/ D .1 C x/˛ es analítica en el intervaloID� � 1;C1Œ.Observa que en cada puntoa > �1 la serie de Taylorf converge en el intervalo abierto novacíoJaD� � 1; 2aC 1Œ y es en ese intervalo en donde representa a la función. El intervalo estanto más pequeño cuanto más próximo estéa de�1.

De la misma forma, los resultados vistos para las funciones exponencial, seno y coseno,muestran que dichas funciones son analíticas enR y sus series de Taylor en cualquier puntoconvergen en todoR.

La función del ejemplo10.33no es analítica en ningún intervalo abierto que contenga a0,pero sí es analítica en intervalos abiertos que no contengana0.

Las funciones trascendentes elementales definidas por series 611

10.4.1. Las funciones trascendentes elementales definidaspor series

Las series de potencias son objetos matemáticos muy simples, en ellas solamente intervie-nen las operaciones algebraicas de adición y de multiplicación y la operación analítica de pasoal límite. De hecho, las series de potencias son sucesiones de funciones polinómicas. Por esodichas series suelen usarse para definir nuevas funciones. Recuerda que usamos el TeoremaFundamental del Cálculo para definir el logaritmo natural y,a partir de él, la función exponen-cial. Ahora vamos a hacer lo mismo con series de potencias y ¡por fin! podremos definir deforma analítica las funciones trigonométricas.

10.4.1.1. La función exponencial

Olvidemos de momento lo que sabemos de la función exponencial. Sabemos que la serie

de potenciasX

n>0

xn

n!tiene radio de convergenciaRD C1 y, por tanto, su función suma está

definida en todoR.

10.36 Definición.La función expWR! R dada para todox2R por:

exp.x/D1X

nD0

xn

n!

Se llamafunción exponencial.

Como consecuencia del teorema de derivación para series de potencias, la función expo-nencial es derivable en todo puntox2R y su derivada viene dada por:

exp 0.x/D1X

nD1

nxn�1

n!D

1X

nD1

xn�1

.n� 1/!D

1X

nD0

xn

n!D exp.x/:

Por tanto, la exponencial es una función que coincide con su derivada. Consideremos un nú-mero fijoa2R y definamos para todox2R f .x/D exp.x C a/exp.�x/. Tenemos que:

f 0.x/D exp.x C a/exp.�x/� exp.x C a/exp.�x/D 0W

Por tantof es constante enR. Como exp.0/D1, deducimos quef .x/Df .0/Dexp.a/. Hemosprobado que exp.xC a/exp.�x/Dexp.a/. En particular, paraaD 0 será exp.x/exp.�x/D 1

lo que implica que la función exponencial no se anula nunca y que exp.�x/D 1=exp.x/. Portanto, podemos escribir la igualdad antes obtenida en la forma exp.a C x/ D exp.a/exp.x/.Igualdad que es válida para todosa;x 2 R. Hemos probado así la propiedad aditiva de laexponencial.

Tenemos también que exp.x/ D .exp.x=2//2 > 0, por lo que la función exponencial essiempre positiva. Como coindide con su derivada, deducimosque es una función estrictamentecreciente. Como exp.1/ > exp.0/D 1 se tiene que exp.n/D .exp.1//n ! C1 y exp.�n/D1=exp.n/! 0. Deducimos que lKım

x!�1exp.x/D0 y lKım

x!C1exp.x/DC1 y que la exponencial

es una biyección deR sobreRC.




Se define el número eDexp.1/. Es fácil probar, usando la propiedad aditiva de la exponen-cial, que exp.r/D .exp.1//r para todo número racionalr , es decir exp.r/D er , por lo que seusa la notación exp.x/D ex.

Observa de qué forma tan elegante y cómoda hemos obtenido laspropiedades principalesde la función exponencial. Se define ahora la función logaritmo natural como la inversa de lafunción exponencial.

10.4.1.2. Las funciones trigonométricas

Olvidemos de momento lo que sabemos de las funciones trigonométricas. La serie de po-

tenciasX

n>0

.�1/nx2nC1

.2nC 1/!tiene radio de convergenciaRDC1 y, por tanto, su función suma

está definida en todoR.

10.37 Definición.La función senWR! R dada para todox2R por:

sen.x/D1X

nD0

.�1/nx2nC1

.2nC 1/!

Se llamafunción seno.

Como consecuencia del teorema de derivación para series de potencias, la función seno esderivable en todo puntox2R y su derivada viene dada por:

sen0.x/D1X

nD0

.�1/n.2nC 1/x2n

.2nC 1/!D

1X

nD0

.�1/nx2n

.2n/!:

La función derivada de la función seno se llamafunción cosenoy es la función definida paratodox2R por:

cosx D1X

nD0

.�1/nx2n

.2n/!:

El teorema de derivación permite probar enseguida que cos0.x/D� sen.x/. Además sen.0/D0

y cos.0/D 1.

Derivando ahora la funciónf .x/D sen2.x/C cos2.x/ se obtiene que:

f 0.x/D 2 senx cosx � 2 senx cosx D 0:

Luegof es constante. Comof .0/D1, concluimos que sen2.x/Ccos2.x/D1 para todox2R.

Seaa2R fijo y definamos la función:

h.x/D�

cos.xCa/�.cosx cosa�senx sena/�2C

�sen.xCa/�.senx cosaCcosx sena/

�2:

Puedes comprobar en dos líneas queh 0.x/D 0 para todox2R. Comoh.0/D 0, se sigue queh.x/D 0 lo que implica que:

cos.x C a/D cosx cosa � senx sena; sen.x C a/D senx cosaC cosx sena:



Igualdades que son válidas para todosx; a2R. Acabamos de probar los teoremas de adiciónpara el seno y el coseno.

Este estudio puede proseguirse y no está exento de algunas dificultades. Por ejemplo, hayque definir el número� y probar que las funciones seno y coseno son periódicas con período2� . Esto puede hacerse como sigue. Tenemos que:

1� cos2D1X

nD1

.�1/nC1 22n

.2n/!:

Esta serie es una serie alternada cuyo término general es decreciente y, por tanto, por la aco-tación (9.11), se verifica que la suma de la serie es mayor que las sumas parciales pares, enparticular:

1 � cos2 >4

2!� 16

4!÷ cos2 < �1

3:

Como cos.0/ D 1 por el teorema de Bolzano hay un mínimo número0 < s0 < 2 tal quecos.s0/D 0. Por tanto0 < cosx para0 6 x < s0. Definimos:

� D 2s0:

Como cos.�=2/ D 0 deducimos que sen.s0/D˙1, pero como sen0.x/D cosx, se sigue quela función seno es creciente enŒ0; s0� y, como sen.0/ D 0, resulta que debe ser sen.s0/ Dsen.�=2/D 1. Usando ahora los teoremas de adición se obtiene fácilmenteque:

sen.�/D 2 sen.�=2/ cos.�=2/D 0; cos.�/D cos2.�=2/ � sen2.�=2/D�1

sen.2�/D 2 cos.�/ sen.�/D 0; cos.2�/D cos2.�/ � sen2.�/D 1:

Deducimos que:

sen.x C 2�/D senx cos.2�/C cosx sen.2�/D senx;

lo que prueba que la función seno es periódica con período2� . Lo que implica que su derivada,la función coseno, también es periódica con igual período.

A partir de las funciones seno y coseno ya podemos definir todas las demás funcionestrigonométricas como lo hicimos en el capítulo 2. Tú mismo puedes completar este estudio.

La definición de las funciones exponencial y trigonométricas por medio de series de poten-cias tiene, desde un punto de vista matemático, todas las ventajas posibles pues las definicionesdadas prueban la existencia de dichas funciones y permiten obtener con comodidad sus propie-dades principales. Además, y esto es fundamental, dichas definiciones se extienden exactamen-te igual al campo complejo porque las series de potencias reales y complejas tienen las mismaspropiedades de convergencia. Esto no quiere decir, ni muchomenos, que debas olvidar el signi-ficado de las funciones seno y coseno de la trigonometría elemental. Simplemente, debes saberque las funciones seno y coseno analíticas tal como las acabamos de definir, y las funcionesseno y coseno de la trigonometría elemental tal como se definen para ángulos de un triángulorectángulo, son funciones que se relacionan a través del concepto de “medida de un ángulo”, yen cada situación concreta debes adoptar el punto de vista más adecuado a la misma.

Teorema de aproximación de Weierstrass 614

10.5. Teorema de aproximación de Weierstrass

Muchas funciones continuas no son derivables, es claro que dichas funciones no puedenrepresentarse por medio de series de potencias. Por otra parte, dado un conjunto finito de puntosen el plano,f.xk ;yk/ W 1 6 k 6 ng, es fácil construir una función polinómicaP que interpoledichos puntos, es decir, cuya gráfica pase por todos ellos,P .xk/Dyk para16k 6n. Dada unafunción continua en un intervaloŒa; b�, parece intuitivo que si tomamos una partición deŒa; b�

con un número suficientemente grande de puntos,faDx0<x1<x2< � � �<xn�1<xnDbg, yesP una función polinómica que interpola los correspondientespuntos en la gráfica def , estoes los puntos del conjuntof.xk ; f .xk// W 1 6 k 6 ng, entonces dicha función polinómicaPcoincide conf en todos los puntosxk y debería ser una buena aproximación de la funciónf

en todo el intervaloŒa; b�.

Aunque las cosas no son exactamente así, un notable resultado debido a Weierstrass afirmaque, efectivamente, es posible aproximar uniformemente enun intervalo cerrado y acotadouna función continua por una función polinómica. Pero no debes hacerte una idea falsa de lasituación. Las cosas no son tan simples como pudieran parecer a primera vista. Ello se debea que una función continua puede oscilar demasiado, de hechopuede oscilar tanto que no seaderivable en ningún punto. El primer ejemplo de una función continua que no es derivable enningún punto (¿puedes imaginar la gráfica de una función así?) fue dado por Weierstrass en1872. Su función era:

f .x/D1X

nD0

bn cos.an�x/ .x2R/

dondea es un número impar,0 1C 3�=2. Observa quef está definida comola suma de una serie de funciones continuas (¡de claseC 1!) que converge absolutamente yuniformemente enR (porque para todox2R esjbn cos.an�x/j6 bn y la serie

Pbn converge

por ser0 < b < 1). Por tanto,f es una función continua enR. Weierstrass demostró quefno es derivable en ningún punto. Te digo esto para que aprecies que el problema de aproximaruna función continua por una función polinómica en todos lospuntos de un intervalo no es unfácil problema de interpolación.

De las variadas demostraciones que hay del citado resultadode Weierstrass, vamos a expo-ner la basada en los polinomios de Bernstein porque, además de ser la más elemental, propor-ciona unos polinomios concretos para realizar la deseada aproximación.

10.38 Definición.Dada una funciónf W Œ0; 1�! R el polinomio de Bernstein de ordenn def es la función polinómica:

Bn.f /.x/DnX

kD0

f

�k

n

��n

k

�xk.1� x/n�k :

Necesitaremos usar algunas identidades que se deducen fácilmente de la igualdad siguiente.

.x C y/n DnX

kD0

�n

k

�xkyn�k :

Derivando esta igualdad una vez respecto ax y multiplicando después porx obtenemos:

xn.x C y/n�1 DnX

kD0

�n

k

�kxkyn�k :

Derivando la primera igualdad dos veces respecto ax y multiplicando después porx2 obtene-mos:

x2n.n � 1/.x C y/n�2 DnX

kD0

�n

k

�k.k � 1/xkyn�k :

Haciendo en las anteriores igualdadesy D 1 � x y definiendo, por comodidad de notación,

bnk.x/D

�n

k

�xk.1� x/n�k, obtenemos las siguientes igualdades:

1 DnX

kD0

bnk.x/ (10.12)

nx DnX

kD0

kbnk.x/ (10.13)

n.n � 1/x2 DnX

kD0

k.k � 1/bnk .x/ (10.14)

Usando estas igualdades deducimos que:

nX

kD0

.k � nx/2bkn .x/D

nX

kD0

k2bkn .x/� 2nx

nX

kD0

kbkn .x/C n2x2

nX

kD0

bkn .x/D

DnX

kD0

.k.k � 1/C k/bkn .x/� 2n2x2 C n2x2D

D n.n � 1/x2 C nx � n2x2 D nx.1� x/:

Por tanto:nX

kD0

.k � nx/2bkn .x/D nx.1 � x/: (10.15)

10.39 Teorema(Weierstrass (1868)). Seaf W Œa; b�! R una función continua. Dado" > 0,hay una función polinómicaP" que verifica que

jf .x/� P".x/j 6 "

para todox 2 Œa; b�.

Demostración. Haremos primero la demostración en el caso de que el intervalo Œa; b� es elintervaloŒ0; 1�. Comof es continua yŒ0; 1� es un intervalo cerrado y acotado, sabemos quef

está acotada enŒ0; 1� y es uniformemente continua enŒ0; 1�. SeaM > 0 tal quejf .x/j 6 M

para todox 2 Œ0; 1�. Dado" > 0, por la continuidad uniforme def , existe unı > 0, tal que:

jf .x/� f .y/j6 "

2para todosx;y 2 Œ0; 1� tales quejx � yj < ı: (10.16)

Acotaremos ahora el error que se comete al aproximarf por su polinomio de Bernstein deordenn. Tenemos que:

jf .x/ � Bn.f /.x/j Dˇˇˇf .x/ �

nX

kD0

f

�k

n

�bk

n .x/

ˇˇˇ

(10.12)Dˇˇˇ

nX

kD0

�f .x/ � f

�k

n

��bk

n .x/

ˇˇˇ6

6nX

kD0

ˇˇf .x/� f

�k

n

�ˇˇ bk

n .x/: (10.17)

Donde hemos usado quebkn .x/> 0. Acotaremos ahora la diferenciaf .x/� f

�k

n

�según que

ˇˇx � k

n

ˇˇ < ı o

ˇˇx � k

n

ˇˇ> ı. Tenemos que:

ˇˇx � k

n

ˇˇ < ı(10.16)

÷ˇˇf .x/� f

�k

n

�ˇˇ < "

2:

ˇˇx � k

n

ˇˇ> ı÷

jnx � kjnı

>1÷ˇˇf .x/� f

�k

n

�ˇˇ6

6 jf .x/j Cˇˇf�

k

n

�ˇˇ6 2M 6

2M

n2ı2.nx � k/2

Podemos resumir las dos acotaciones obtenidas en una sola dela forma:ˇˇf .x/ � f

�k

n

�ˇˇ6

"

2C 2M

n2ı2.nx � k/2: (10.18)

Esta desigualdad es válida para todox 2 Œ0; 1� y para todok D 0; 1; 2; : : : ;n. Usando ahora(10.17),deducimos que:

jf .x/�Bn.f /.x/j6nX

kD0

�"

2C 2M

n2ı2.nx�k/2

�bk

n .x/(10.12)D "

2C 2M

n2ı2

nX

kD0

.nx�k/2bkn .x/D

(10.15)D "

2C 2M

n2ı2nx.1 � x/6

"

2C 2M

nı2:

Donde hemos tenido en cuenta que parax 2 Œ0; 1� esx.1 � x/ 6 1. Hemos probado así quepara todox 2 Œ0; 1� se verifica que:

jf .x/� Bn.f /.x/j 6"

2C 2M

nı2:

Tomando ahoran0 2N tal que paran > n0 se verifique que2M

nı26"

2, concluimos que para

todon > n0 y para todox 2 Œ0; 1� se verifica que:

jf .x/ � Bn.f /.x/j6"

2C "

2D ":

Podemos tomar como polinomioP" del enunciado cualquier polinomioBn.f / conn > n0.

Observa que hemos probado que la sucesión de polinomios de Bernstein def converge unifor-memente af en Œ0; 1�.

En el caso general de un intervalo cerrado y acotadoŒa; b� y una funciónf W Œa; b�! R

continua enŒa; b�, podemos proceder como sigue. Consideremos la funcióng W Œ0; 1�! R

dada porg.t/ D f .a C t.b � a// para todot 2 Œ0; 1�. La funcióng es continua enŒ0; 1� porserf continua enŒa; b�. Dado" > 0, por la ya probado, hay un polinomio de Bernstein deg,Bn.g/, tal que para todot 2 Œ0; 1� es:

jg.t/ � Bn.g/.t/j6 ":

Teniendo ahora en cuenta que parax 2 Œa; b� se tiene quex�ab�a2 Œ0; 1�, deducimos que para

todox 2 Œa; b� se verifica que:ˇˇg�x � a

b � a

�� Bn.g/

�x � a

b � a

�ˇˇ6 ":

Puesto quef .x/Dg�x � a

b � a

�, y P".x/DBn.g/

�x � a

b � a

�es un polinomio por ser composición

de dos polinomios, obtenemos que para todox2 Œa; b� esjf .x/� P".x/j6 ". 2

El polinomio

Bn.g/�x � a

b � a

�D

nX

kD0

f

�aC k

b � a

n

��n

k

��x � a

b � a

�k�

b � x

b � a

�n�k

es, por definición, el polinomio de Bernstein de ordenn def en Œa; b�. Hemos probado que lasucesión de dichos polinomios converge uniformemente af en Œa; b�.

10.40 Corolario. Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado es límite uniformeen dicho intervalo de una sucesión de funciones polinómicas.


474. Estudia la convergencia uniforme en intervalos de la formaŒ0; a� y Œa;C1Œ dondea > 0,de la sucesión de funcionesffng definidas para todox > 0 por:

fn.x/D2nx2

1C n2x4:

475. Estudia la convergencia uniforme enŒ0; 1�, de la sucesión de funcionesffng definidasparax 2�0; 1� porfn.x/D xn log.1=x/, y fn.0/D 0.

476. Dado˛ 2R, consideremos la sucesión de funcionesffng, dondefn W Œ0; 1�! R es lafunción definida para todox 2 Œ0; 1� por:

fn.x/D n˛x.1 � x2/n:

¿Para qué valores dehay convergencia uniforme enŒ0; 1�? ¿Para qué valores de˛ hayconvergencia uniforme enŒ�; 1�, donde0 < � < 1?

477. Para cadan2N seafn W Œ0; �=2�! R la función dada por:

fn.x/D n.cosx/nsenx:

Estudia la convergencia puntual de la sucesión de funcionesffng y la convergencia uni-forme en los intervalosŒ0; a� y Œa; �=2� donde0 < a < �=2.

478. Para cadan2N seafnW�0; �Œ! R la función dada por:

fn.x/Dsen2.nx/

n senx0 < x < �:

Estudia la convergencia puntual de la sucesión de funcionesffng así como la convergen-cia uniforme en intervalos del tipo�0; a�, Œa; �Œ y Œa; b� donde0 < a < b < � .

479. Estudia la convergencia puntual y uniforme de la sucesión defuncionesffng dondefn WR! R está definida por:

fn.x/Dnp

1C x2n x2R:

480. Estudia la convergencia uniforme en intervalos de la forma� �1;�a�, Œ�a; a� y Œa;C1Œdondea > 0, de la sucesión de funcionesffng definidas porfn.x/D n sen.x=n/ paratodox2R.

481. Estudia la convergencia uniforme enRCo , de la sucesión de funcionesffng definidas para

todox2RCo por:

fn.x/D arc tg

�nC x

1C nx

�:

482. Para cadan2N seafn.x/D

x

na.1C nx2/.x > 0/:

Prueba que la seriePfn:

a) Converge puntualmente enRCo si a > 0, y la convergencia es uniforme en semirrectas

cerradas que no contienen al cero.

b) Converge uniformemente enRCo si a > 1=2.

483. Estudia la convergencia puntual y uniforme de la seriePfn donde,fn WR! R es la

función dada por:

fn.x/Dx

1C n2x2nD 0; 1; 2; : : :

SeaF.x/D1X

nD0

fn.x/, la función suma de la serie. Calcula lKımx!0x < 0

F.x/ y lKımx!0x > 0

F.x/.

Sugerencia. Parax > 0 se tiene que

kC1w

k

x

1C t2x2dt 6 fk.x/D

kC1w

k

x

1C k2x2dt 6

kw

k�1

x

1C t2x2dt :

484. Estudia la convergencia puntual y uniforme de la seriePfn donde

fn.x/DnnC1

n!xn e�nx .x > 0/:

485. En cada uno de los siguientes ejercicios se especifica un conjunto� � R y, para cadan2N, se define una funciónfn W�! R . Se pide estudiar la convergencia puntual en� de la sucesión de funciones,ffng, así como la convergencia uniforme en los conjuntosA � � que se indican en cada caso.

a) �D�0; �2Œ; fn.x/D n2.tgx/n.1C cos4x/; AD Œ0; a�; AD Œa; �

4�; 0 < a < �

4:

b) �DRC; fn.x/D n�

np

x � 1�; AD Œa; b�; AD�0; a�; AD Œb;C1Œ; 0 < a < b:

c) �DR; fn.x/D�1C x

n

�n

; AD Œa; b�; a < b:

d) �D� � 1;C1Œ; fn.x/D n log

�1C x

n

�; AD� � 1; a�; AD Œa;C1Œ; a > �1:

e) �DRCo ; fn.x/Dn˛x e�nx (donde >0 es un número fijo),ADŒa;C1Œ; a>0.

¿Para qué valores dehay convergencia uniforme enRCo ?

486. Seaffng una sucesión de funciones que converge uniformemente a una función f en unconjuntoA � R. Supongamos quefn.A/ � Œa; b� para todon2N; y sea' una funcióncontinua enŒa; b�. Prueba que la sucesiónf' ı fng converge uniformemente a' ı f enA.

487. Sean > 0 y ffng la sucesión de funciones definida por:

fn WRCo ! R ; fn.x/D

�1C nx

nC x2

�:

Estudia la convergencia puntual y uniforme enRCo y en intervalos del tipoŒ0; a� donde

a > 0.

Sugerencia. Puede usarse el ejercicio anterior con'.x/D x˛.

488. Para cadan2N seafn WR! R la función definida para todox2R por:

fn.x/D�cos

xpn

�n

:

Estudia la convergencia puntual de la sucesiónffng y la convergencia uniforme en inter-valos cerrados y acotados.

489. Seaf WRCo ! R una función continua, no idénticamente nula con lKım

x!C1f .x/ D 0,

f .0/D 0. Seanffng y fgng las sucesiones de funciones definidas porfn.x/D f .nx/,gn.x/D f .x=n/, para todox2RC

o y todon2N. Prueba que:

a)ffng y fgng convergen puntualmente a cero enRCo pero la convergencia no es uniforme

enRCo .

b) La sucesiónffngng converge uniformemente a cero enRCo .

490. Seaf WR! R una función de claseC 1 eI D Œa; b� un intervalo cerrado y acotado.

a) Prueba que para todo" > 0 existeı > 0 tal que cualesquiera seanx;y 2 I con

0 < jx � yj < ı se verifica que

ˇˇf .x/ � f .y/

x � y� f 0.y/

ˇˇ6 ".

b) Para cadan2N definamos:

fn.x/Dn

2

xC 1nw

x� 1n

f .t/dt .x2R/:

Justifica queff 0ng converge uniformemente af 0 enI .

491. SeagW� � 1; 1Œ! R una función no constante y continua enxD 0. Seaffng la sucesiónde funciones definida porfn.x/ D g.xn/ para todon 2 N y para todox 2� � 1; 1Œ.Prueba que dicha sucesión converge uniformemente en intervalos cerrados y acotadoscontenidos en� � 1; 1Œ, y no converge uniformemente en� � 1; 1Œ.

492. Supongamos que una sucesión de funciones polinómicas converge uniformemente enR.¿Qué puede decirse de dicha sucesión?

Sugerencia: La condición de Cauchy puede ser útil.

493. Prueba que la función límite de una sucesión uniformemente convergente de funcionesuniformemente continuas también es una función uniformemente continua.

494. Prueba que lKımn!1

3w

0

nC senx

3nC cos2 xdx D 1:

495. Supongamos quef es una función continua enŒa; b� y que para todon 2 N [ f0g severifica que:

bw

a

xnf .x/dx D 0:

Prueba quef .x/D 0 para todox 2 Œa; b�.Sugerencia: Usa el teorema de aproximación de Weierstrass.

495. Para cadan2N, seafn W Œ0; 1! R la función definida para todox2 Œ0; 1� por:

1. fn.x/D1

ne�x cosx log.x C n/.

2. fn.x/Dnx

1C n2x2e�x2

.

3. fn.x/Dnp

x

1C n2x2cosx2.

4. fn.x/D�

n sen.nx/ si 0 6 x 6 �n

0 si �n

6 x 6 1

Estudia, en cada caso, la convergencia puntual y uniforme dela sucesiónffng y compara1w

0

lKımn!1

ffng con lKımn!1

1w

0

fn.

496. Da un ejemplo de una sucesión de funciones que converge uniformemente enR tal quela sucesión de las derivadas no converge puntualmente en ningún punto deR.

497. Da un ejemplo de una sucesión de funciones que no converge en ningún punto deR ycuya sucesión de derivadas converge uniformemente enR.

498. Seafn WR! R la función dada porfn.x/D arc tg.x=n/. Prueba que:

a) ffng converge puntualmente a cero enR pero la convergencia no es uniforme.

b) ff 0ng converge uniformemente a cero enR.

499. Sea fn WRC ! R la función dada porfn.x/ D1

1C n2x. Prueba que la serie

Pfn

converge puntualmente enRC. Estudia la continuidad y derivabilidad de la función suma

de la serie:f .x/D1X

n

fn.x/.

500. Seaffng una sucesión de funciones que converge uniformemente a una funciónf enun intervaloŒa;C1Œ. Supongamos que, para cadan 2 N, existe lKım

x!C1fn.x/Dan 2

R. Prueba que la sucesiónfang es convergente y quef tiene límite enC1, siendolKım

x!C1f .x/D lKım

n!1fang.

Sugerencia. La condición de Cauchy permite probar la convergencia defang.

501. Seaffng una sucesión de funciones continuas que converge puntualmente a una fun-ción f en un intervaloŒa; bŒ, .a < b 6C1/, siendo la convergencia uniforme en todosubintervalo cerrado y acotado contenido enŒa; bŒ. Supongamos, además, que hay unafunción positivag cuya integral es convergente enŒa; bŒ y tal quejfn.x/j 6 g.x/ paratodox2 Œa; bŒ. Prueba que las integrales defn y f son convergentes enŒa; bŒ y que:

lKımn!1

bw

a

fn.x/dx Dbw

a

f .x/dx :

502. Para cadan2N, seafn WRCo ! R la función dada por:

fn.x/D� �

1 � x2=n�n

si 0 6 x 6p

n

0 si x >p

n

a) Demuestra, haciendo uso del ejercicio anterior, que

lKımn!1

C1w

0

fn.x/dx DC1w

0

e�x2

dx :

b) Pruébese queC1w

0

fn.x/dx Dp

n

�2w

0

.sent/2nC1dt , y deduce que:

C1w

0

e�x2

dx Dp�

2:


503. Seaffng una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente a una funciónf en un conjuntoA � R. Seafxng una sucesión de puntos deA que converge a un puntox2A. Prueba que lKım

n!1fn.xn/D f .x/.

504. En cada uno de los siguientes ejercicios se especifica un conjunto� � R y, para cadan2N, se define una funciónfn W�! R . Se pide estudiar, en cada caso, la convergen-cia puntual en� de la serie de funciones,

Pfn, y la continuidad de la función suma

F D1X

nD1

fn.

a)�DR, fn.x/D e�nx.

b)�DR, fn.x/D1

n� 1

x2 C n.

c)�DR, fn.x/D .�1/nsen.n2x/

n.log.nC 1//2.

d)�DR nZ�, fn.x/D1

n2 � x2.

e)�DR n f�1; 1g, fn.x/Dx2n

1 � x2nC1.

f) �DRCo , fn.x/D

x

.1C nx/.1C nx C x/.

505. Estudia la derivabilidad de la función de Riemann& W �1;C1Œ! R , definida para todox > 1 por:

&.x/D1X

nD1

1

nx:

Justifica también que lKımx!1

&.x/DC1.

506. Seaf WRCo ! R la función definida por:

f .x/D1X

nD0

e�nx

1C n2; .x2RC

o /:

Estudia la derivabilidad def y justifica que para todox > 0 es:

f 00.x/C f .x/D 1

1� e�x:

Prueba quef es continua enRCo que lKım

x!C1f .x/D 1, y lKım

x!0f 0.x/D �1. Deduce

quef no es derivable en0.

507. SeaPfn una serie de funciones que converge uniformemente en un conjunto A. Sea

Fn DnX

kD1

fk . Prueba que para toda sucesiónfxng de puntos deA se verifica que la

sucesiónfF2n.xn/ � Fn.xn/g converge a cero.




508. En cada uno de los siguientes ejercicios se especifica un conjunto� � R y, para cadan2N, se define una funciónfn W�! R . Se pide estudiar, haciendo uso de los criteriosde Dirichlet o de Abel, la convergencia puntual y uniforme en� de la serie de funcionesPfn.

a)�DR; fn.x/D.�1/n

x2 C n.

b)�D Œ2;C1Œ; fn.x/D.�1/n

nx C .�1/n.

c)�D Œ0; ��; fn.x/Dsen.nx/p

n.

d)�DR; fn.x/D�1C 1

2C � � � C 1

n

�sen.nx/

n.

e)�D Œ�2�; 2��; fn.x/Dx sen.nx/

2p

nC cosx.

f) �D Œ0; 1�; fn.x/D.1� x/xn

log.nC 1/. Seaan D supfn.Œ0; 1�/. Pruébese que la serie

Pan

no converge.

g)�DR n f�1g; fn.x/D anxn

1C xn, donde la serie

Pan converge.

509. Prueba que la serieX

n>1

1

nsen

x

nconverge uniformemente en subconjuntos acotados de

R pero no converge uniformemente enR.

Sugerencia. La condición uniforme de Cauchy no se satisfaceenR. Téngase en cuentaque senx >

p2=2 para�=4 6 x 6 3�=4. También puede hacerse uso del ejercicio507

conxn D n�=2.

510. Seafang una sucesión creciente y no mayorada de números reales positivos. Prueba quela función f WRC ! R definida para todox > 0 por:

f .x/D1X

nD0

.�1/n e�anx

es continua y:C1w

0

f .x/dx D1X

nD0

.�1/n1

an:

Aplica lo anterior a los casos particularesan D n C 1, y an D 2n C 1 para obtener lasigualdades:

1X

nD0

.�1/n

nC 1D log2;

1X

nD0

.�1/n

2nC 1D �

4:

511. Para cadan2N seafn.x/Dx

na.1C nx2/.x2R/. Prueba que la serie

Pfn:



a) Converge puntualmente enR si a > 0, y la convergencia es uniforme en semirrectascerradas que no contienen al cero.

b) Converge uniformemente enR si a > 1=2.

c) No converge uniformemente enR si 0 < a 6 1=2.

Sugerencia. Estudia el comportamiento defn. Para el apartado c) puede usarse el ejerci-cio 507.

512. Prueba que sifang es una sucesión decreciente de números positivos yP

an sen.nx/

converge uniformemente enŒ0; 2��, entonces la sucesiónfnang converge a cero.

Sugerencia. Usar el ejercicio507, tomandoxn D�

4n.

513. Prueba que la serieX

n>0

.�1/nx

.1C x2/nconverge uniformemente enR y calcula su

suma. Calcula también1X

nD0

.�1/n1w

0

x

.1C x2/ndx .

514. Calcula el radio de convergencia de cada una de las series de potenciasP

anxn, y estu-dia el comportamiento de la serie en los extremos del intervalo de convergencia, en lossiguientes casos:

cn Dn �pn

n2 C nC 1; cn D .nC 1/log.nC1/; cn D e�

�1C 1

n

�n

cn D1 � 3 � 5 � � � .2nC 1/

2 � 4 � 6 � � � .2nC 2/; cn D a

pn .a>0/; cn D

n!

.nC 1/n

cn D 1C 1

2C � � � C 1

n; cn D

1

2n.nC 1/; cn D

1

log.nC 2/

cn D3 � 5 � � � .3nC 1/

5 � 10 � � � .5n/; cn D n˛ ; .˛2R/; cn D

1

1C 1=2C � � � C 1=n

515. Calcula la función suma de la serie de potenciasX

n>1

x2n

n.2n � 1/.

516. Calcula la función suma de las series de potenciasX

n>0

.nC 1/x3n

2nyX

n>1

n.x C 3/n

2n.

517. Dado un número naturalq2N, prueba la igualdad

1w

0

1

1C xqdx D

1X

nD0

.�1/n

qnC 1:

Calcula el valor de la suma de las series correspondientes a los valores deq D 1; 2; 3.

518. Expresa la función suma de las series de potenciasX

n>1

nxn�1, yX

n>1

n

nC 1xn por medio

de funciones elementales y calcula el valor de1X

nD1

n

2n.nC 1/.


519. Calcula el radio de convergencia y la suma de las series:

X

n>0

n3 C nC 3

nC 1xnI

X

n>0

n3

n!xnI

X

n>1

1

1C 2C � � � C nxn:

520. Calcula la función suma de la serie de potenciasX

n>1

xn

n.2nC 1/y deduce el valor de las

sumas de las series: X

n>1

1

n.2nC 1/y

X

n>1

.�1/n

n.2nC 1/:

521. Prueba que las funciones definidas por:

g.x/D senx

x; g.0/D 1; f .x/D ex �1

x; f .0/D 1

h.x/D cosx � 1

x2; h.0/D�1=2; '.x/D log.1C x/

x; '.0/D 1

son de claseC 1 en su intervalo natural de definición.

522. Prueba que la funciónf W� � �;�Œ! R dada por:

f .x/D x

senx � xlog

�senx

x

�f .0/D 1;

es de claseC 1. Calcula lKımx!0

f .x/� 1 � 112

x2

x4.

523. Calcula el desarrollo en serie de potencias centrada en un punto a de la función:

f .x/D 2x3 � x2 C 2x � 7

x4 � x3 � 3x2 C x C 2:

524. Calcula el desarrollo en serie de potencias centrada en cerode las funciones:

1

x2 C 5x C 6;

1C x

.1C x2/.1 � x/2:

525. Representa la funciónf W� � 1; 1Œ! R, dada porf .x/D log1C x

1 � x, como suma de una

serie de potencias centrada en0. Utiliza dicha serie para calcular log2 con ocho cifrasdecimales exactas.

526. Prueba que:

1 � 1

2� 1

3C 1

4C 1

5C � � � C .�1/nC1

2n� 1C .�1/n

2nC � � � D �

4� 1

2log2

Sugerencia. Considera la serie de potencias:

x � 1

2x2 � 1

3x3 C 1

4x4 C 1

5x5 C � � � C .�1/nC1

2n � 1x2n�1 C .�1/n

2nx2nC � � �




527. Justifica que la serie de potenciasP

n>0 anxn, donde para todon2N [ f0g es:

a3nC1 D1

3nC 1; a3nC2 D 0; a3nC3 D

�1

3nC 3;

converge en� � 1; 1Œ. Seaf la función suma de dicha serie. Calcula la derivada def , ydeduce que para todox 2� � 1; 1Œ es:

f .x/D 1

2log.1C x C x2/C 1

2arctan

�2x C 1p

3

�:

Como aplicación calcula el valor de1X

nD0

2

.3nC 1/.3nC 3/:

528. Expresa como suma de una serie de potencias centrada en cero la función:

f .x/D 1

3log

1C xp1� x C x2

C 1p3

arctan2x � 1p

3C �

6p

3:

Calcula la suma de la serieX

n>0

.�1/n1

3nC 1.

Sugerencia. Deriva la función dada.

529. Calcula explícitamente el valor dean, n = 0,1,2,... sabiendo que se verifica la siguienterelación de recurrencia:

anC2 D�2anC1 � an; a0 D 1; a1 D�3:

10.41 Estrategia. Las relaciones de recurrencia como la anterior, también llamadas“ecuaciones en diferencias finitas”, se pueden resolver a veces por el método de lafun-

ción generatriz. Se llama así a la funciónf .x/D1X

nD0

anxn. El proceso a seguir es el

siguiente:

1. Haciendo uso de la relación de recurrencia dada se puede calcular la función gene-ratriz sin conocer el valor dean.

2. Una vez conocida la función generatriz se obtiene su desarrollo en serie de poten-cias centrado en cero.

530. Resolver por el método de la función generatriz las siguientes ecuaciones en diferenciasfinitas:

1. anC2 D 5anC1 � 6an; nD 0; 1; 2; : : : a0 D 2; a1 D 5:

2. bnC2 D bnC1 C bn; nD 1; 2; : : : b1 D 1; b2 D 1:

531. ¿Para qué números reales˛ se verifica que1

2.exCe�x/6 e˛x2

para todox2R?

Sugerencia. Expresa dicha desigualdad usando series de potencias.



532. Justifica que para�1 6 x < 1 se verifica que:

xw

0

log1

1 � tdt D

1X

nD1

xnC1

n.nC 1/:

Prueba también, ya sea por cálculo directo o por razones de continuidad, que dicha igual-dad es válida parax D 1.

533. Justifica que para�1 < x < 1 se verifica la igualdad:

xw

0

1

tlog

1

1� tdt D

1X

nD1

xn

n2:

¿Es dicha igualdad válida parax D 1?

534. Definamosf WRCo ! R por:

f .x/D1w

0

e�x2.1Ct2/

1C t2dt :

Prueba que:

a)f .0/D �=4, y lKımx!C1

f .x/D 0.

b) Usando un desarrollo en serie paraf , prueba quef es derivable enRC y:

f 0.x/D�2x

1w

0

e�x2.1Ct2/ dt :

c) Justifica que para todox > 0 se verifica que:

f .x/C

xw

0

e�t2

dt

!2

D �

4:

d) Deduce de lo anterior queC1w

0

e�x2

dx Dp�

2.



Ejercicio resuelto 240 Estudia la convergencia uniforme en intervalos de la formaŒ0; a� yŒa;C1Œ dondea > 0, de la sucesión de funcionesffng definidas para todox > 0 por:

fn.x/D2nx2

1C n2x4:

Solución.Es evidente que lKımn!1

ffn.x/gD0. Como f 0n.x/D4nx

1 � n2x4

.1C n2x4/2, tenemos

quef 0n.1=p

n/D 0, f 0n.x/ > 0 para0 < x < 1=

pn y f 0

n.x/ < 0 parax > 1=p

n.Deducimos que la funciónfn es estrictamente creciente enŒ0; 1=

pn� y estrictamente

decreciente enŒ1=p

n;C1Œ, por lo quefn alcanza un máximo valor enRCo en el punto

xn D 1=p

n.

1

1 2

fn.x/D2nx2

1C n2x4

Dado un númeroa > 0 sean0 tal quexn0< a. Para todon > n0 tenemos quexn < a, y

por tanto:

mKaxffn.x/ W 0 6 x 6 ag D fn.xn/D 1; mKaxffn.x/ W x > ag D fn.a/

Como lKımffn.a/g D 0 se sigue queffng converge uniformemente enŒa;C1Œ pero,evidentemente, no converge uniformemente enŒ0; a�. ©

Ejercicio resuelto 241 Estudia la convergencia uniforme enŒ0; 1�, de la sucesión de funcio-nesffng definidas parax 2�0; 1� porfn.x/D xn log.1=x/, y fn.0/D 0.

Solución.Es evidente que lKımn!1

ffn.x/gD0. Comof 0n.x/D�

�n logxC1

�xn�1 tenemos

quef 0n.x/D 0 si, y sólo si, logx D�1=n, es decir,x D e�1=n. Ademásf 0

n.x/ > 0 para0 < x < e�1=n y f 0

n.x/ < 0 para e�1=n < x 6 1. Deducimos que la funciónfn esestrictamente creciente en�0;e�1=n� y estrictamente decreciente enŒe�1=n; 1�, por lo quefn alcanza un máximo valor enŒ0; 1� en el puntoxn D e�1=n. Por tanto:

mKaxffn.x/ W x 2�0; 1�g D fn.e�1=n/D 1

e

1

n

y, deducimos que la sucesiónffng converge uniformemente enŒ0; 1�. ©

Ejercicio resuelto 242 Dado ˛ 2 R, consideremos la sucesión de funcionesffng, dondefn W Œ0; 1�! R es la función definida para todox 2 Œ0; 1� por:

fn.x/D n˛x.1 � x2/n:

¿Para qué valores dehay convergencia uniforme enŒ0; 1�? ¿Para qué valores de˛ hayconvergencia uniforme enŒ�; 1�, donde0 < � < 1?

Solución.Observa quefn.0/ D fn.1/ D 0 y, si 0 < x < 1, la sucesiónfn˛.1 � x2/nges de la formafn˛�ng con 0 < � < 1 por lo que lKım

n!1ffn.x/g D 0. Por tanto, en el

intervaloŒ0; 1� la sucesiónffng converge puntualmente a cero.

Tenemos quef 0

n.x/D n˛.1 � x2/n�1.1� .1C 2n/x2/

Pongamosxn D1p

1C 2n. Entoncesf 0

n.xn/ D 0, f 0n.x/ > 0 para0 < x < xn y

f 0n.x/ < 0 paraxn < x < 1. Deducimos que la funciónfn es estrictamente creciente enŒ0;xn� y estrictamente decreciente enŒxn; 1�, por lo quefn alcanza un máximo valor enŒ0; 1� en el puntoxn.

0.25

0.50

1

fn.x/Dn14 x.1�x2/n

La sucesiónffng para˛ D 1=4

0.25

0.50

1

fn.x/Dn12 x.1�x2/n

La sucesiónffng para˛ D 1=2

Como

fn.xn/Dn˛

p1C 2n

�1 � 1

1C 2n

�n

se deduce que lKımffn.xn/gD0 si, y sólo si, < 1=2. Pot tanto, la sucesiónffng convergeuniformemente enŒ0; 1� si, y sólo si, < 1=2.

Dado0 < � < 1, sean0 tal quexn0< �. Para todon > n0 tenemos quexn < � y por

tanto mKaxffn.x/ W �6 x 6 1g D fn.�/! 0 por lo queffng converge uniformemente enŒ�; 1� para todo 2R.

Ejercicio resuelto 243 Para cadan2N seafn W Œ0; �=2�! R la función dada por:

fn.x/D n.cosx/nsenx:

Estudia la convergencia puntual de la sucesión de funcionesffng y la convergencia uni-forme en los intervalosŒ0; a� y Œa; �=2� donde0 < a < �=2.

Solución.Es claro quefn.0/Dfn.�=2/D0 y para0 < x < �=2 la sucesiónfn.cosx/nges de la formafn�ng con0 < � < 1 por lo que lKım

n!1ffn.x/gD0. Por tanto, en el intervalo

Œ0; �=2� la sucesiónffng converge puntualmente a cero. Observa también quefn.x/> 0

para todox2 Œ0; �=2�.Intentemos calcular el máximo absoluto defn.x/ en Œ0; �=2�. Tenemos que:

f 0n.x/D n.cosx/n�1.cos2.x/� n sen2.x//:

Seaxn 2�0; �=2Œ tal que cos2.xn/ � n sen2.xn/D 0. Comofn es positiva y se anula enlos extremos del intervalo, es evidente quefn alcanza su mayor valor enŒ0; �=2� en elpuntoxn. Observa quexn D

parc tg.1=n/! 0.

Tenemos que:fn.xn/D n.cos.xn//

n sen.xn/:

Estudiar la convergencia de esta sucesión no es del todo inmediato. Pongamosfn.xn/Dynzn dondeyn D n sen.xn/, zn D .cos.xn//

n. Entonces:

yn D nxnsen.xn/

xnDp

np

n arc tg.1=n/sen.xn/

xn;

y comosen.xn/

xn! 1 y n arc tg.1=n/ ! 1, se sigue queyn ! C1 (de hecho, se tiene

queyn es asintóticamente equivalente ap

n, esto es,yn �p

n).

Por otra parte, tenemos que:

log.zn/D n log.cosxn/ � n.cos.xn/ � 1/ � n�1

2x2

n D�1

2n arc tg.1=n/! �1

2:

Por tantozn ! e�1=2. Deducimos así quefn.xn/D ynzn !C1.

Dado un número0 < a < �=2, sean0 tal quexn0< a. Para todon > n0 tenemos que

xn < a. Por tanto, para todon > n0 es:

mKaxffn.x/ W 0 6 x 6 ag D fn.xn/ mKaxffn.x/ W a 6 x 6 �=2g D fn.a/:

Comoffn.xn/g no converge a0 se sigue queffng no converge uniformemente enŒ0; a�.Comoffn.a/g ! 0 se sigue queffng converge uniformemente enŒa; �=2�.

1

1La sucesiónfn.x/D n.cosx/nsenx

Hagamos este mismo ejercicio sin calcular el valor máximo defn, acotando de formaconveniente.

Lo primero que nos damos cuenta es de que es muy fácil probar que hay convergenciauniforme enŒa; �=2�, pues como la función coseno es decreciente enŒ0; �=2� y senx 61,se tiene que:

0 6 fn.x/D n.cosx/nsenx 6 n.cosa/n

para todox2 Œa; �=2�. Puesto que la sucesiónfn.cosa/ng ! 0 (es de la forman�n con0 < � < 1) concluimos que hay convergencia uniforme enŒa; �=2�.

La situación es distinta en el intervaloŒ0; a�. Podemos sospechar que no hay convergenciauniforme en dicho intervalo. Para ello, tomemosun D 1=n. Tenemos que:

fn.1=n/D n sen.1=n/.cos.1=n//n;

y comofn sen.1=n/g ! 1 y

lKım˚.cos.1=n//n

D exp

�lKımfn.cos.1=n/ � 1/g

�D exp.0/D 1;

obtenemos queffn.1=n/g ! 1. Como, para todon > 1=a se verifica que0 < 1=n < a,resulta que:

mKaxffn.x/ W 0 6 x 6 ag> fn.1=n/

y concluimos que no hay convergencia uniforme enŒ0; a�. ©

Ejercicio resuelto 244 Para cadan2N seafnW �0; �Œ! R la función dada por:

fn.x/Dsen2.nx/

n senx0 < x < �:

Estudia la convergencia puntual de la sucesión de funcionesffng así como la convergen-cia uniforme en intervalos del tipo�0; a�, Œa; �Œ y Œa; b� donde0 < a 0 para todox 2�0; �Œ. Para estudiar la convergencia uniforme en un intervalo de la forma�0; a� to-memosxn D 1=n. Como

fn.1=n/D sen2.1/

n sen.1=n/! sen2.1/

deducimos que no hay convergencia uniforme en�0; a�.

Análogamente, como

fn.� � 1=n/D sen2.n� � 1/

n sen.� � 1=n/! sen2.1/;

deducimos que no hay convergencia uniforme enŒa; �Œ.

Finalmente, sea0 < a 0 para todox 2 Œa; b� y por el teoremade Weierstrass sabemos que tiene que haber un puntox0 2 Œa; b� tal que senx0 6 senx

para todox 2 Œa; b�, deducimos que:

0 6 fn.x/Dsen2.nx/

n senx6

1

n sen.x0/;

y por tanto:

mKaxffn.x/ W a 6 x 6 bg 61

n sen.x0/:

Ya que, evidentemente,f1=n sen.x0/g ! 0, concluimos que hay convergencia uniformeen Œa; b�.

1

1 2 3

La sucesiónfn.x/Dsen2.nx/

n senx

Ejercicio resuelto 245 Estudia la convergencia puntual y uniforme de la sucesión defuncio-nesffng dondefn WR! R está definida por:

fn.x/Dnp

1C x2n x2R:

Solución.Para calcular la función límite puntual hay que distinguir dos casos:

� Si jxj < 1, entonces1 6np

1C x2n 6 1C x2n y por tanto lKımffn.xn/g D 1.

� Si jxj> 1, entoncesx2 6np

1C x2n 6 21=nx2 y por tanto lKımffn.xn/g D x2.

La función límite puntual viene dada por:

f .x/D lKımffn.x/g D�

1; si jxj < 1

x2; si jxj> 1

Tenemos que:

� Si jxj < 1 es:

0 6 fn.x/� f .x/Dnp

1C x2n � 1 6 21=n � 1:

� Si jxj> 1 es:

0 6 fn.x/� f .x/Dnp

1C x2n � x2 D x2

n

r1C 1

x2n� 1

!: (10.19)

Aplicando el teorema del valor medio a la funciónh.t/ D np

1C t en el intervaloŒ0; s�

obtenemos queh.s/ � h.0/

sD h 0.c/ dondec es algún punto del intervalo�0; sŒ. Como:

h 0.c/D 1

n.1C c/1=n�1 6

1

n;

se sigue queh.s/ � h.0/D sh 0.c/6s

n. Tomandos D 1

x2nresulta que

n

r1C 1

x2n� 1D h.1=x2n/ � h.0/ 6

1

nx2n6

1

nx2

Deducimos ahora de (10.19) que0 6 fn.x/� f .x/61

n.

Finalmente:

mKaxfjfn.x/� f .x/j W x2Rg6 mKax

�21=n � 1;

1

n

�! 0

y concluimos queffng converge uniformemente enR.

Observa que, aunque la convergencia es uniforme y todas las funcionesfn son derivablesenR, la función límite,f , no es derivable enx D 1. ©

Ejercicio resuelto 246 Estudia la convergencia uniforme en intervalos de la forma� �1;�a�,Œ�a; a� y Œa;C1Œ donde a > 0, de la sucesión de funcionesffng definidas porfn.x/D n sen.x=n/ para todox2R.

Solución.Definamos la función

' WR! R ; '.t/D sent

t.t ¤ 0/; '.0/D 1

Con ello, tenemos quefn.x/Dx'.x=n/ y, como lKımt!0

'.t/D1, deducimos que la función

límite puntual de la sucesión viene dada por:

f .x/D lKımn!1

fn.x/D x .x2R/:

Dadoa > 0, es fácil comprobar que no hay convergencia uniforme enŒa;C1Œ, puespara todon > a se tiene que:

mKaxfjf .x/� fn.x/j W x > ag> f .n/ � fn.n/D n.1 � sen.1//!C1:

Análogamente se prueba que no hay convergencia uniforme en� �1;�a�.

Estudiemos si hay convergencia uniforme enŒ�a; a�. Para todox2 Œ�a; a� tenemos que:

jf .x/� fn.x/j D jx � x'.x=n/j D jxjj1� '.x=n/j 6 aj1 � '.x=n/j:

Dado" > 0, seaı > 0 tal que j1� '.t/j < "=a siempre quejt j < ı. Tomemos unnúmero naturaln0 tal que1=n0 < ı=a. Entonces, para todon>n0 y para todox2 Œ�a; a�

se tiene quejx=nj6 a=n 6 a=n0 < ı, por lo que:

jf .x/� fn.x/j6 aj1� '.x=n/j < ";

y por tanto, para todon > n0 es mKaxfjf .x/� fn.x/j W x2 Œ�a; a�g < ". Hemos probadoasí queffng converge uniformemente enŒ�a; a�. ©

Ejercicio resuelto 247 Estudia la convergencia uniforme enRCo , de la sucesión de funciones

ffng definidas para todox2RCo por:

fn.x/D arc tg

�nC x

1C nx

�:

Solución.Comofn.0/ D arc tgn, y lKımt!C1

arc tgt D �=2, la función límite viene dadapor:

f .x/D lKımffn.x/g D�

arc tg.1=x/; si x > 0

�=2; si x D 0

Observa que se trata de una función continua enRCo . Estudiemos si hay convergencia

uniforme enRCo . Para ello es conveniente conocer el signo de la funciónfn.x/� f .x/.

Teniendo en cuenta que la función arcotangente es inyectiva, se deduce quefn.x/ � f .x/ D 0 si, y sólo si, .n C x/=.1 C nx/ D 1=x lo que equivale ax D 1

(la otra posibilidadxD�1 se descarta porque suponemos quex > 0). En consecuencia,la funciónfn.x/�f .x/ debe tener signo constante en cada intervaloŒ0; 1Œ y en�1;C1Œ.Como:

fn.0/ � f .0/D arc tgn � �=2 < 0; y lKımx!C1

.fn.x/� f .x//D arc tg.1=n/ > 0;

se sigue quefn.x/� f .x/ < 0 parax2 Œ0; 1Œ, y fn.x/� f .x/ > 0 parax > 1.

Estudiemos ahora la derivada defn.x/� f .x/. Un cálculo sencillo nos da:

f 0n.x/� f 0.x/D 2

1C 2nx C x2

.1C x2/..1C n2/x2 C 4nx C 1C n2/:

Por tantof 0n.x/ � f 0.x/ > 0 para todox > 0. En consecuenciafn � f es una función

creciente enRCo . Como

jfn.x/� f .x/j D�f .x/� fn.x/; si x2 Œ0; 1�fn.x/ � f .x/; si x2 Œ1;C1Œ

Resulta que la funciónjfn � f j es decreciente enŒ0; 1� y creciente enŒ1;C1Œ. Conclui-mos que

jfn.x/�f .x/jD(f .x/�fn.x/6f .0/�fn.0/D �=2 � arc tgn; si x2 Œ0; 1�fn.x/�f .x/6 lKım

x!C1.fn.x/�f .x//D arc tg.1=n/; si x2 Œ1;C1Œ

Por tanto,para todox > 0, es:

jfn.x/� f .x/j6 ˇn DmKaxf�=2 � arc tgn;arc tg.1=n/g ;

y comofˇng ! 0, la sucesiónffng converge uniformemente enRCo . ©

Ejercicio resuelto 248 Para cadan2N sea

fn.x/Dx

na.1C nx2/.x > 0/:

Prueba que la seriePfn:

a) Converge puntualmente enRCo si a > 0, y la convergencia es uniforme en semirrectas

cerradas que no contienen al cero.

b) Converge uniformemente enRCo si a > 1=2.

Solución.a) Como se pide estudiar la convergencia enRCo , consideraremos en lo que

sigue quex > 0. La serieX

n>1

x

na.1C nx2/es de términos positivos y, parax > 0,

tenemos que:

lKımn!1

n1Ca x

na.1C nx2/D 1

x:

Por el criterio límite de comparación (o por el criterio de Prinsheim, como se prefiera),se sigue que la serie converge si, y sólo, si1C a > 1, es decira > 0.

Estudiemos la convergencia uniforme en una semirrecta del tipo Œ�;C1Œ, (� > 0). Co-mo:

f 0n.x/D

1

na

1 � x2n

.1C nx2/2;

se deduce fácilmente quefn es creciente enŒ0; 1=p

n� y decreciente enŒ1=p

n;C1Œ.Sean02N tal que1=

pn0 < �. Para todon > n0 se tiene que1=

pn < � por lo quefn

es decreciente enŒ�;C1Œ y, por tanto,fn.x/6 fn.�/ para todox > �. Puesto que, paraa > 0, la serie

Pfn.�/ converge, se sigue, por el criterio de Weierstrass, que la serieP

fn converge uniformemente enŒ�;C1Œ.

b) Si a > 1=2 entonces la serieX

n>1

fn.1=p

n/D 1

2

X

n>1

1

naC1=2es convergente (es una

serie de Riemann con exponenteaC1=2 > 1). Como para todox>0 se tiene quefn.x/6fn.1=

pn/, el criterio de Weierstrass implica que la serie

Pfn converge uniformemente

enRCo . ©

Ejercicio resuelto 249 Estudia la convergencia puntual y uniforme de la serie de funcionesPfn donde,fn WR! R es la función dada por:

fn.x/Dx

1C n2x2nD 0; 1; 2; : : :

SeaF.x/D1X

nD0

fn.x/, la función suma de la serie. Calcula lKımx!0x < 0

F.x/ y lKımx!0x > 0

F.x/.

Sugerencia. Parax > 0 se tiene que

kC1w

k

x

1C t2x2dt 6 fk.x/D

kC1w

k

x

1C k2x2dt 6

kw

k�1

x

1C t2x2dt

Solución.Puesto que, parax ¤ 0:

lKımn!1

n2 jxj1C n2x2

D 1

jxj ;

se sigue, por el criterio límite de comparación (o por el criterio de Prinsheim, como se

prefiera) que la serieX

n>1

jxj1C n2x2

es convergente. También converge, evidentemente,

parax D 0.

Para estudiar la convergencia uniforme veamos qué información nos da el criterio deWeierstrass. Tenemos que:

f 0n.x/D

1 � n2x2

.1C n2x2/2:

Deducimos quefn es creciente enŒ0; 1=n� y decreciente enŒ1=n;C1Œ. Comofn.�x/D�fn.x/, deducimos quejfn.x/j 6 fn.1=n/ D 1=2n para todox 2 R. Como la se-rie

P1=2n no es convergente el criterio de Weierstrassno nos dice nadaacerca de

la convergencia uniforme de la serieen todoR (observa que el criterio de Weierstrass dacondicionessuficientespero nonecesariaspara la convergencia uniforme). Sin embargo,dicho criterio sí nos proporciona información cuando consideramos un conjunto de laforma:A� D fx2R W jxj> �g, donde� > 0. Pues, tomandon0 tal que1=n0 < �, paratodon > n0 se tiene que1=n < �, por lo quefn es decreciente enŒ�;C1Œ y, en conse-cuencia jfn.x/j6 fn.�/ para todox2A�. Puesto que la serie

Pfn.�/ es convergente,

el criterio de Weierstrass nos dice quePfn converge uniformemente enA�.

La única duda que queda por resolver es si la serie converge uniformemente en algúnintervalo de la formaŒ��; �� con� > 0 (en cuyo caso sería uniformemente convergenteen todoR). Pronto saldremos de dudas.

Calculemos los límites laterales enx D 0 de la función suma de la serie. Usando lasugerencia del enunciado tenemos, supuestox > 0, que

nC1w

0

x

1C t2x2dt D

nX

kD0

kC1w

k

x

1C t2x2dt 6

nX

kD0

kC1w

k

x

1C k2x2dt D

DnX

kD0

fk.x/D x CnX

kD1

x

1C k2x26

6x Cn�1X

kD0

kC1w

k

x

1C t2x2dt D x C

nw

0

x

1C t2x2dt

deducimos que:

arc tg..nC 1/x/6nX

kD0

fk.x/6 x C arc tg.nx/:

Tomando límites paran!1 en esta desigualdad obtenemos�=2 6 F.x/6 �=2C x.Como esta desigualdad es válida para todox > 0, se sigue que lKım

x!0x > 0

F.x/D �=2. Como

F.�x/D �F.x/, se deduce que lKımx!0x < 0

F.x/D ��=2. Por tanto, la funciónF tiene una

discontinuidad de salto enx D 0.

Como las funcionesfn son continuas enR deducimos que la seriePfn no puede ser

uniformemente convergente en ningún intervalo de la formaŒ��; �� con� > 0 pues, siasí ocurriera, la función suma habría de ser continua en dicho intervalo y, por tanto seríacontinua enx D 0 lo que acabamos de probar que no es cierto.

Fíjate en que la funciónF sí es continua enRnf0g. Pues cualquier númeroa¤0 podemosmeterlo dentro de un conveniente conjuntoA�, sin más que tomar� < jaj, y como laserie

Pfn converge uniformemente enA�, la función suma,F , es continua enA� y, por

la propiedad local de la continuidad, se sigue queF es continua ena. ©

Ejercicio resuelto 250 Estudia la convergencia puntual y uniforme de la seriePfn donde

fn.x/DnnC1

n!xn e�nx .x > 0/:

Solución.Estudiemos la convergencia puntual. Parax > 0 la seriePfn.x/ es de térmi-

nos positivos y podemos aplicar el criterio del cociente. Tenemos que:

fnC1.x/

fn.x/D .nC 1/nC2

.nC 1/!

n!

nnC1x e�xD

�nC 1

n

�nC1

x e�x ! x e1�x :

Consideremos la función'.x/D x e1�x. Se tiene que' 0.x/D e1�x.1� x/ y, fácilmen-te, se deduce que' es estrictamente creciente enŒ0; 1� y estrictamente decreciente enŒ1;C1Œ. Luego parax > 0, x ¤ 1 se tiene que'.x/ < '.1/ D 1. Por tanto, el criteriodel cociente implica que la serie converge para todo númerox > 0, x ¤ 1.

En este caso el criterio del cociente también proporciona información parax D 1, puesaunque

lKım fnC1.1/

fn.1/D lKım

�nC 1

n

�nC1

e�1D1;

como la sucesión.1C1=n/nC1 es decreciente, se tiene que dicho límite se acerca a1 por

valores mayores que1, es decirfnC1.1/

fn.1/> 1, lo que claramente implica queffn.1/g no

converge a cero y, por tanto, la seriePfn.1/ no converge por no cumplir la condición

necesaria básica de convergencia para series.

Estudiemos la convergencia uniforme. Tenemos que:

f 0n.x/D

nnC1

n!nxn�1 e�nx.1� x/:

Y, al igual que antes, se sigue quefn es estrictamente creciente enŒ0; 1� y estrictamen-te decreciente enŒ1;C1Œ. Dado� > 1, para todox > � esfn.x/ 6 fn.�/ y como laserie

Pfn.�/ es convergente, deducimos, por el criterio de Weierstrass,que

Pfn con-

verge uniformemente enŒ�;C1Œ. Análogamente se comprueba que hay convergenciauniforme en intervalos de la formaŒ0; �� donde0 < � < 1. ©

Ejercicio resuelto 251 En cada uno de los siguientes ejercicios se especifica un conjunto� � R y, para cadan 2 N, se define una funciónfn W�! R . Se pide estudiar laconvergencia puntual en� de la sucesión de funciones,ffng, así como la convergenciauniforme en los conjuntosA � � que se indican en cada caso.

a) �D�0; �2Œ; fn.x/D n2.tgx/n.1C cos4x/; AD Œ0; a�; AD Œa; �

4�; 0 < a < �

4:

b) �DR; fn.x/D�1C x

n

�n

; AD Œa; b�; a < b:

c) �D� � 1;C1Œ; fn.x/D n log

�1C x

n

�; AD� � 1; a�; AD Œa;C1Œ; a > �1:

Solución.a) Se tiene quefn.0/ D 0 y fn.�=4/ D 0 para todon 2N. Si 0 < x < �=4

entoncesffn.x/g ! 0 porque es una sucesión de la forman2�n donde0 < �D tgx < 1.Para�=4 < x < �=2 la sucesiónffn.x/g ! C1. El campo de convergencia puntualesC D Œ0; �=4� y la función límite puntual es la función nula. Sea0 < a < �=4. Comola tangente es creciente enŒ0; �

2Œ, tenemos que:

supfjfn.x/j W x 2 Œ0; a�g 6 2n2.tga/n

y, comof2n2.tga/ng ! 0, concluimos que hay convergencia uniforme enŒ0; a�. Hayque sospechar que no hay convergencia uniforme enŒa; �=4�. Para ello seaxn D �

4� 1

n

y pongamosun D tg.xn/, vn D n. Tenemos quefung ! 1 y vn !C1. Tenemos que:

vn.un � 1/D n�

tg.xn/ � 1�D� tg.xn/ � 1

�1n

D� tg.xn/ � 1

xn � �4

! �2

Donde hemos usado que lKımx! �

4

tgx � 1

x � �4

D 2 porque es la derivada de la tangente en

x D �=4. Deducimos que�

tg.xn/�n ! e�2 lo que implica quefn.xn/ ! C1. Como

fxng ! �=4 y 0 < x � n < �=4, dadoa con 0 < a < �=4 hay unn0 2 N tal quea < xn < �=4 para todon > n0. Por tanto, paran > n0 se tiene que:

supfjfn.x/j W x 2 Œa; �=4�g > fn.xn/

y concluimos que no hay convergencia uniforme enŒa; �4�.

b) La función límite puntual viene dada por:

f .x/D lKımn!1

fn.x/D ex :

El campo de convergencia puntual esR y la función límite es la función exponencial.Probaremos que hay convergencia uniforme en todo intervalode la formaŒ�˛; ˛� donde˛ > 0. Dado˛ > 0, sean02N tal quen0 > ˛. Para todox 2 Œ�˛; ˛� y para todon > n0

se tiene quexn2 Œ�˛

n; ˛

n� �� 1; 1Œ, luego1C x

n> 0. En lo que sigue supondremos que

x 2 Œ�˛; ˛� y n > n0.ˇˇex �

�1C x

n

�nˇˇD ex

ˇ1 � exp

�x.'.x=n/� 1/

�ˇ6 e˛

ˇ1 � exp

�x.'.x=n/ � 1/

�ˇ:

Donde:

'.t/D log.1C t/

t; t > �1; '.0/D 1:

Se verifica que lKımt!1

'.t/ D 1 por lo que' es una función continua. Dado" > 0, por

la continuidad de la exponencial en0 hay unı1 > 0 tal que parajuj < ı1 se verificaquej1 � euj < "e�˛. Por la continuidad de' en0 hay un númeroı2 > 0 tal que parajt j < ı2 se verifica quej'.t/� 1j < ı1=˛. Tomemosn1 > n0 tal que ˛

n1< ı2. Entonces

para todox 2 Œ�˛; ˛� y para todon > n1 se tiene que:

jxjn< ı2÷ j1� '.x=n/j < ı1

˛÷

ˇx�'.x=n/ � 1

�ˇ< ı1÷

÷ˇ1 � exp

�x.'.x=n/� 1/

�ˇ< "e�˛ ÷

ˇˇex �

�1C x

n

�nˇˇ < ":

Lo que prueba que para todo> 0 hay convergencia uniforme enŒ�˛; ˛� y, por tantohay convergencia uniforme en todo intervalo acotado.

c) Tenemos que para todox2R:

lKımn!1

n log

�1C x

n

�D x:

En el ejercicio se supone quex > �1 para que todas las funcionesfn estén definidas enel intervalo� � 1;C1Œ. Por tanto, el campo de convergencia puntual es� � 1;C1Œ y lafunción límite puntual es la función identidadf .x/Dx. Definamoshn.x/D x� fn.x/.Tenemos que:

h 0.x/D 1� n

1n

1C xn

D 1 � n

nC xD x

nC x

Deducimos queh0n.x/ < 0 para�1 < x < 0 y h0

n.x/ > 0 parax > 0. Por tantohn tieneen el intervalo� � 1;C1Œ un mínimo absoluto enx D 0, por lo quehn.x/ > hn.0/ D0. Observa que, paran > 2, hn.�1/ está definido y las funcioneshn son continuas enŒ�1;C1Œ. Comohn decrece enŒ�1; 0� y crece enŒ0;C1Œ , para todon > 2 y todoa > �1 se tiene que:

mKaxfjhn.x/j W �1 6 x 6 ag DmKaxfhn.�1/;hn.a/g ! 0:

Por tanto hay convergencia uniforme en� � 1; a�. Por otra parte se tiene que:

hn.n/D n � n log2D n.1 � log2/!C1:

Lo que implica que no hay convergencia uniforme en ningún intervalo de la formaŒa;C1Œ. ©

Ejercicio resuelto 252 Seaf WRCo ! R una función continua, no idénticamente nula con

lKımx!C1

f .x/D 0, f .0/D 0. Seanffng y fgng las sucesiones de funciones definidas por

fn.x/D f .nx/, gn.x/D f .x=n/, para todox2RCo y todon2N. Prueba que:

a)ffng y fgng convergen puntualmente a cero enRCo pero la convergencia no es uniforme

enRCo .

b) La sucesiónffngng converge uniformemente a cero enRCo .

Solución.El apartado a) es inmediato. Haremos el apartado b). Observaque en las hipó-tesis hechas paraf la funciónjf j está acotada, de hecho alcanza un máximo absoluto enRC

o . SeaM > 1 tal quejf .x/j6 M . Dado" > 0, por hipótesis hay números0 < a b se verifica quejf .x/j 6 "=M . Sean0 2 N talqueb=n0 < a. Para todon > n0 y para todox 2 Œa; b� se tiene quex=n < a y portantojgn.x/j < "=M , lo que implica quejfn.x/gn.x/j D jfn.x/jjgn.x/j 6 M "

MD ".

Si 0 6 x 6 a entonces también0 6 x=n 6 a y si b 6 x también esb 6 nx, en cualquiercaso, se sigue quejfn.x/gn.x/j < ". Por tanto, para todon > n0 y para todox 2R esjfn.x/gn.x/j < ", lo que prueba que la convergencia es uniforme enR. ©

10.42 Observación.El producto de dos sucesiones de funciones uniformemente conver-gentes puede no ser uniformemente convergente. Considera el ejmplo trivial en que lassucesiones sonfn.x/ D 1=n (una sucesión de funciones constantes que converge uni-formemente a cero enR) y gn.x/ D x (una sucesión constante, formada por una solafunción, que evidentemente converge uniformemente a dichafunción enR). El productoes la sucesión de funcionesfn.x/gn.x/D x=n que converge puntualmente a cero perola convergencia no es uniforme enR.

El ejercicio anterior proporciona un ejemplo de dos sucesiones de funciones que no con-vergen uniformemente y cuyo producto converge uniformemente.

Puedes probar como fácil ejercicio que siffng converge uniformemente af en un con-junto A, y g es una funciónacotadaenA entonces la sucesiónfgfng converge unifor-memente agf enA.

Ejercicio resuelto 253 Seaf WR! R una función de claseC 1 e I D Œa; b� un intervalocerrado y acotado.

a) Prueba que para todo" > 0 existeı > 0 tal que cualesquiera seanx;y 2 I con

0 < jx � yj < ı se verifica que

ˇˇf .x/ � f .y/

x � y� f 0.y/

ˇˇ6 ".

b) Para cadan2N definamos:

fn.x/Dn

2

xC 1nw

x� 1n

f .t/dt .x2R/:

Justifica queff 0ng converge uniformemente af 0 enI .

Solución.El apartado a) es consecuencia fácil de la continuidad uniforme def 0 enŒa; b�y del teorema del valor medio. Haremos el apartado b). Tenemos que:

f 0n.x/D 2n

�f�x C 1

n

�� f

�x C 1

n

��Df�x C 1

n

�� f

�x � 1

n

�

x � 1n��x � 1

n

� :

Ahora basta escribir:

ˇf 0

n.x/� f 0.x/ˇ6

ˇˇˇf�x C 1

n

�� f

�x � 1

n

�

x C 1n��x � 1

n

� � f 0�

x � 1

n

�ˇˇˇC

ˇˇf 0

�x � 1

n

�� f 0.x/

ˇˇ

y usando el apartado a) y la continuidad uniforme def 0 en Œa; b� se sigue queff 0ng

converge uniformemente af 0 en Œa; b�.

Ejercicio resuelto 254 Supongamos quef es una función continua enŒa; b� y que para todon2N [ f0g se verifica que:

bw

a

xnf .x/dx D 0:

Prueba quef .x/D 0 para todox 2 Œa; b�.Sugerencia. Usa el teorema de aproximación de Weierstrass.

Solución.La hipótesis hecha implica que para toda función polinómicap.x/ se verifica

quebw

a

p.x/f .x/dx D 0. Por el teorema de aproximación de Weierstrass hay una suce-

siónfpng de funciones polinómicas que converge uniformemente ef en Œa; b�. Comofes continua, está acotada enŒa; b� por lo que la sucesiónfpnf g converge uniformementeaf 2 en Œa; b�. Por tanto:

bw

a

f 2.x/dx Dbw

a

lKımn!1

pn.x/f .x/dx D lKımn!1

bw

a

pn.x/f .x/dx D 0:

Comof 2 es continua y positiva, deducimos que para todox 2 Œa; b� debe serf 2.x/D0,esto es,f .x/D 0. ©

Ejercicio resuelto 255 Seaffng una sucesión de funciones que converge uniformementea una funciónf en un intervaloŒa;C1Œ. Supongamos que, para cadan 2 N, existe

lKımx!C1

fn.x/Dan 2R. Prueba que la sucesiónfang es convergente y quef tiene límite

enC1, siendo lKımx!C1

f .x/D lKımn!1

fang.

Sugerencia. La condición de Cauchy permite probar la convergencia defang.Solución.Dado" > 0, por la condición de Cauchy para la convergencia uniforme, existen02N tal que para todosn;m > n0 y para todox > a se tiene quejfn.x/� fm.x/j6 ".Tomando límites en esta desigualdad parax ! C1 se deduce quejan � amj 6 ". Portanto la sucesiónfang cumple la condición de Cauchy y, por tanto, es convergente. SeaaD lKımfang.Dado" > 0, hay unn02N tal que para todon>n0 y para todox>a esjf .x/� fn.x/j <"=3 y tambiénjan � aj < "=3. Pongamos:

jf.x/� aj6ˇf .x/� fn0

.x/ˇCˇfn0

.x/� an0

ˇCˇan0� a

ˇ<

2"

3Cˇfn0

.x/� an0

ˇ:

Como lKımx!C1

fn0.x/ D an0

, existeK > a tal que para todox > K se verifica queˇfn0

.x/ � an0

ˇ< "=3. Concluimos, a la vista de la anterior desigualdad, que paratodo

x > K se verifica quejf .x/ � aj < ". Hemos probado así que lKımx!C1

f .x/D a. ©

Ejercicio resuelto 256 En cada uno de los siguientes ejercicios se especifica un conjunto� � R y, para cadan2N, se define una funciónfn W�! R . Se pide estudiar, en cadacaso, la convergencia puntual en� de la serie de funciones,

Pfn, y la continuidad de la

función sumaF D1X

nD1

fn.

a)�DR, fn.x/D e�nx.

b)�DR, fn.x/D1

n� 1

x2 C n.

c)�DR n f�1; 1g, fn.x/Dx2n

1 � x2nC1.

Solución.a) Se trata de una serie geométrica de razón e�x, por tanto, dicha serie conver-ge si, y sólo si, e�x < 1, esto es,x > 0. El campo de convergencia puntual esRC. Eneste caso podemos calcular la función suma de la serie:

F.x/D1X

nD1

e�nxD e�x

1 � e�xx > 0:

Es una función continua enRC. Este resultado también puede obtenerse sin necesidadde calcular la función suma. Para ello, observamos que la serie converge uniformementeen semirrectas de la formaŒa;C1Œ dondea > 0, pues para todox > a se verificaque e�nx 6e�na y, como la serie

Pe�na es convergente, el criterio de convergencia

uniforme de Weierstrass nos dice que la serie converge uniformemente en toda semirrectadel tipoŒa;C1Œ cona > 0 y, en consecuencia, como es una serie de funciones continuas,

la función suma es continua en toda semirrecta del tipo indicado. Por el carácter local dela continuidad, concluimos que la función suma es continua en RC.

b) Seaa > 0. Para todox 2 Œ�a; a� se tiene que:

fn.x/D1

n� 1

x2 C nD x2

n.x2 C n/6

x2

n26

a2

n2:

Como la serieP

1n2 es convergente, deducimos por el criterio de convergencia uniforme

de Weierstrass, que la serie converge uniformemente en todointervalo del tipoŒ�a; a� y,por tanto, en todo intervalo acotado. Deducimos también queel campo de convergenciapuntual es todoR y que la función suma es continua enR.

Observa que lKımx!C1

fn.x/ D1

n. Esto nos dice que no hay convergencia uniforme en

semirrectas de la formaŒa;C1Œ, porque el resultado visto en el ejercicio resuelto255implica que, si hubiera convergencia uniforme, la serie

P1n

debería ser convergente,cosa que no es cierto.

c) Sea0 < a < 1. Para�a 6 x < a se tiene que0 6 x2nC1

6 a2nC1

lo que implica que:

0 6x2n

1 � x2nC16

a2n

1 � a2nC1:

Como la sucesiónfa2nC1g es decreciente, se tiene que1�a2nC1

>1�a4 > 0 y deducimosque:

0 6x2n

1 � x2nC16

a2n

1 � a4:

Comoa2n

6 a2n y la serieP

a2n es convergente por ser una serie geométrica de razón0 < a2 < 1, se sigue, por el criterio de comparación, que la serie

Pa2n

es convergente.El criterio de convergencia uniforme de Weierstrass implica que la serie dada convergeuniformemente enŒ�a; a�. Deducimos que la serie converge puntualmente en� � 1; 1Œ yque la función suma es continua en dicho intervalo.

Análogamente, usando quefn.1=x/D �fn.x/, se prueba que la serie converge unifor-memente en conjuntos de la formafx2R W jxj> ag dondea > 1. Por tanto el campo deconvergencia puntual es todo� y la función suma es continua en�. ©

Ejercicio resuelto 257 SeaPfn una serie de funciones que converge uniformemente en un

conjuntoA. SeaFn DnX

kD1

fk . Prueba que para toda sucesiónfxng de puntos deA se

verifica que la sucesiónfF2n.xn/ � Fn.xn/g converge a cero.

Solución. Dado " > 0, por la condición da Cauchy para la convergencia uniforme,hay unn0 2 N tal que para todosq > n > n0 y para todox 2 A se verifica queˇFq.x/� Fn.x/

ˇ6". Haciendo en esta desigualdadqD2n resulta que para todox2A es

jF2n.x/� Fn.x/j6". En particular paraxDxn2A se tiene quejF2n.xn/ � Fn.xn/j6",desigualdad que es válida para todon > n0. ©

Ejercicio resuelto 258 En cada uno de los siguientes ejercicios se especifica un conjunto� � R y, para cadan2N, se define una funciónfn W�! R . Se pide estudiar, haciendo

uso de los criterios de Dirichlet o de Abel, la convergencia puntual y uniforme en� dela serie de funciones

Pfn.

a)�DR; fn.x/D.�1/n

x2 C n.

b)�D Œ2;C1Œ; fn.x/D.�1/n

nx C .�1/n.

c)�D Œ0; ��; fn.x/Dsen.nx/p

n.

Solución.a) Pongamosgn.x/D1

x2 C n. Para cadax2R la sucesiónffn.x/g es monó-

tona decreciente. Además como para todox2R es0 < gn.x/6 1n, se verifica quefgng

converge uniformemente a cero enR. El criterio de convergencia uniforme de Leibniznos dice que la serie

Pfn converge uniformemente enR. Observa que no hay conver-

gencia absoluta en ningún punto. ©

b) Pongamos:

fn.x/D.�1/n

nx C .�1/nD.�1/n

�nx � .�1/n

�

n2x2 � 1D .�1/n

nx

n2x2 � 1� 1

n2x2 � 1:

Como para todon 2 N y todo x > 2 se verifica que0 <1

n2x2 � 16

1

4n2 � 1y

la serieP

14n2�1

es convergente, se sigue, por el criterio de Weierstrass quela serieX

n>1

1

n2x2 � 1nconverge uniformemente enR.

Pongamosgn.x/Dnx

n2x2 � 1. Se comprueba enseguida quegnC1.x/6 gn.x/. Además:

g0n.x/D�

nC x2n3

.n2x2 � 1/2

Por lo quegn es decreciente. En consecuencia, para todox > 2 se verifica que0 <

gn.x/ 6 gn.2/. Puesto quefgn.2/g ! 0, deducimos que la sucesiónfgng convergeuniformemente a cero enŒ2;C1Œ. El criterio de convergencia uniforme de Leibniz nosdice que la serie

P.�1/ngn converge uniformemente enŒ2;C1Œ.

Hemos probado así quePfn es la suma de dos series uniformemente convergentes

en Œ2;C1Œ y, por tanto, ella misma es uniformemente convergente en dicho intervalo.Observa que no hay convergencia absoluta en ningún punto delintervalo. ©

c) Como la sucesiónf1=png es decreciente y converge a0, parece apropiado aplicar elcriterio de Dirichlet. Hemos visto en el ejercicio resuelto42 que:

Gn.x/DnX

kD1

sen.kx/D sen�n

2x� sen

�nC 1

2x

�

sen�x

2

�

Por lo que, para cada0 < x 6� y para todon2N se verifica quejGn.x/j61

sen.x=2/. El

criterio de Dirichlet9.43nos dice que la seriePfn.x/ es convergente. Puesto que para

x D 0 la serie es trivialmente convergente, concluimos que el campo de convergenciapuntual enŒ0; ��. Supongamos que0<a<� . Entonces como la función seno es positivay creciente enŒ0; �=2� se verificará que0 < sen.a=2/ 6 sen.x=2/ para todox 2 Œa; ��.Resulta así que:

jGn.x/j61

sen.a=2/:

Desigualdad que es válida para todon2N y para todox 2 Œa; ��. Por tanto, la sucesiónfGng está uniformemente acotada enŒa; ��. El criterio de Dirichlet10.13nos dice que laserie

Pfn converge uniformemente enŒa; ��.

Queda por estudiar si hay convergencia uniforme enŒ0; a� donde0 < a < � . Observamosque:

Gn.2=n/D sen.1/sen

�nC1

n

�

sen�

1n

� � n sen.1/ sen

�nC 1

n

�!C1:

Esto nos indica que no va a haber convergencia uniforme enŒ0; a�. De hecho, podemosusar el resultado del ejercicio resuelto257conxn D 2=n. Observa quexn 2 Œ0; a� paratodon suficientemente grande. Tenemos que:

G2n.xn/ �Gn.xn/ � n

�sen.2/ sen

�2nC 1

n

�� sen.1/ sen

�nC 1

n

��!C1:

Lo que implica, por el citado ejercicio, que no hay convergencia uniforme enŒ0; a�. ©

Ejercicio resuelto 259 Calcula el radio de convergencia de cada una de las series de poten-cias

Pcnxn, y estudia el comportamiento de la serie en los extremos del intervalo de

convergencia, en los siguientes casos:

a/ cn Dn �pn

n2 C nC 1; b/ cn D .nC 1/log.nC1/; c/ cn D e�

�1C 1

n

�n

d/ cn D1 � 3 � 5 � � � .2nC 1/

2 � 4 � 6 � � � .2nC 2/; e/ cn D a

pn .a>0/; f / cn D

n!

.nC 1/n

Solución. a) Aplicando el criterio del cociente o de la raíz es muy fácilprobar quecnC1

cn! 1 o que n

pcn ! 1. Por tanto el radio de convergencia es1. Comocn > 0

y cn � 1n

la serieP

cnxn no converge parax D 1. Se comprueba fácilmente que paran>5 escnC1 < cn y como, además,fcng ! 0. el criterio de Leibniz implica que la serieP

cnxn converge parax D�1. ©

b) El criterio de la raíz nos da:

n

q.nC 1/logn D n

qexp.logn/2 D exp

.logn/2

n

!! exp.0/D 1:

Por tanto, el radio de convergencia es1. No hay convergencia en1 ni tampoco en�1

porquefcng no converge a0.

c) No es inmediato en este caso aplicar el criterio del cociente ni el de la raíz. Perosabemos que:

lKımx!0

e�.1C x/1x

xD e

2:

Por tanto e�.1C xn/1

xn � e

2xn siempre quefxng ! 0. En particular, tenemos que:

cn D e��1C 1

n

�n

� e

2

1

n:

Por tanto, recordando las observaciones10.25, se sigue que la serie dada tiene el mismoradio de convergencia que la serie

P e2

1nxn. Pero esta serie tiene, evidentemente, radio

de convergenciaR D 1. Parax D 1 la serie dada no converge porque0 < cn � e2

1n

yse aplica el criterio límite de comparación con la serie armónica. Parax D �1 la serieP.�1/ncn es una serie alternada yfcng es decreciente y convergente a0, luego dicha

serie converge en virtud del criterio de Leibniz. ©

d) Se aplica el criterio del cociente.

cnC1

cnD cn D

2nC 3

2nC 4! 1:

El radio de convergencia esRD 1. Para estudiar la convergencia parax D 1 se aplica elcriterio de Raabe y parax D�1 el criterio de Leibniz. ©

f) Aplicamos el criterio del cociente.

cnC1

cnD .nC 1/!

.nC 2/nC1

.nC 1/n

n!D�

nC 1

nC 2

�nC1

D�

1 � 1

nC 2

�nC1

! 1

e:

El radio de convergencia esRDe. La serie no converge paraxD˙e porque la sucesiónfcn en

ng no converge a cero. De hecho, usando la fórmula de Stirling (8.26) se tiene que:

cn enD n!

.nC 1/nen �

p2�n nn e�n

.nC 1/nenDp

2�n

�n

nC 1

�n

!C1:

©

Ejercicio resuelto 260 Calcula la función suma de la serie de potenciasX

n>1

x2n

n.2n � 1/.

Solución. Empezamos viendo para qué valores dex la serie dada converge absoluta-

mente. Para ello, aplicamos el criterio del cociente a la serieX

n>1

jxj2n

n.2n � 1/. Pongamos

an Djxj2n

n.2n � 1/. Puesto que:

anC1

anD jxj2.nC1/

.nC 1/.2nC 1/

n.2n � 1/

jxj2nD jxj2 n.2n � 1/

.nC 1/.2nC 1/! jxj2;

deducimos que la serie dada converge absolutamente sijxj2 < 1, es decir, sijxj < 1. De-ducimos así que�� 1; 1Œ es el intervalo de convergencia de la serie. Seaf W� � 1; 1Œ! R

la función suma de la serie:

f .x/D1X

nD1

x2n

n.2n � 1/� 1 < x < 1:

Recuerda que las series de potencias pueden derivarse e integrarse término a término ensu intervalo de convergencia. Por tanto, para�1 < x < 1 tenemos que:

f 0.x/D1X

nD1

2x2n�1

2n � 1

f 00.x/D1X

nD1

2x2n�2 D1X

nD0

2.x2/n D 2

1� x2:

Puesto quef .0/D f 0.0/D 0, deducimos que:

f 0.x/Dxw

0

2

1 � t2dt D log.1C x/ � log.1� x/:

Por tanto:

f .x/Dxw

0

.log.1Ct/�log.1�t//dt D.1Cx/ log.1Cx/C.1�x/ log.1�x/ .x 2��1; 1Œ/:

©

Ejercicio resuelto 261 Calcula la función suma de las series de potenciasX

n>0

.nC 1/x3n

2ny

X

n>1

n.x C 3/n

2n.

Solución.Sea

f .t/D 1

1 � tD

1X

nD0

tn .�1 < t < 1/:

Tenemos que:

tf 0.t/D t

.1 � t/2D

1X

nD1

ntn .�1 < t < 1/:

Haciendo en estas igualdadest D x3=2, supuesto que�1 < x3=2 < 1, deducimos que:

1X

nD0

.nC1/x3n

2nD

1X

nD0

x3

2

!n

C1X

nD1

n

x3

2

!n

D 1

1 � x3=2C x3=2

.1 � x3=2/2D 4

.x3 � 2/2

Análogamente, haciendot D .xC 3/=2, supuesto que�1 < .xC 3/=2 < 1, obtenemos:

1X

nD1

n.x C 3/n

2nD

1X

nD1

n

�x C 3

2

�n

D x C 3

2.1C .x C 3/=2/2D 2

3C x

.5C x/2:

©Ejercicio resuelto 262 Dado un número naturalq2N, prueba la igualdad:

1w

0

1

1C xqdx D

1X

nD0

.�1/n

qnC 1:

Calcula el valor de la suma de las series correspondientes a los valores deq D 1; 2; 3.

Solución. Podemos hacer este ejercicio directamente, con un sencillocálculo. Comosigue a continuación.

En la igualdad:nX

kD0

.�1/kuk D 1 � .�1/nC1unC1

1C u;

hagamosuD xq para obtener:

nX

kD0

.�1/kxqk D 1� .�1/nC1xqnCq

1C xq:

Integrando esta igualdad en el intervaloŒ0; 1�, obtenemos

1w

0

1

1C xqdx D

nX

kD0

.�1/k

qk C 1C

1w

0

.�1/nC1xqnCq

1C xqdx :

Tomando ahora límites paran!1, y teniendo en cuenta que:ˇˇˇ

1w

0

.�1/nC1xqnCq

1C xqdx

ˇˇˇ6

1w

0

ˇˇˇ.�1/nC1xqnCq

1C xq

ˇˇˇ dx 6

1w

0

xqnCq dx D 1

qnC q C 1;

obtenemos la igualdad:1w

0

1

1C xqdx D

1X

nD0

.�1/n

qnC 1:

Finalmente1w

0

1

1C xdx D log2D

1X

nD0

.�1/n

nC 1

1w

0

1

1C x2dx D �

4D

1X

nD0

.�1/n

2nC 1

1w

0

1

1C x3dx D �

3p

3C log2

3D

1X

nD0

.�1/n

3nC 1

También podemos hacer este ejercicio teniendo en cuenta que:

1

1C xqD

1X

nD0

.�1/n.xq/n .jxj < 1/:

Como las series de potencias pueden integrarse término a término en su intervalo deconvergencia, se sigue que para todo0 < t < 1 es

tw

0

1

1C xqdx D

1X

nD0

.�1/ntw

0

xqn dx D1X

nD0

.�1/ntqnC1

qnC 1

Ahora, la serieX

n>0

.�1/ntqnC1

qnC 1, es una serie de potencias cuyo intervalo de convergen-

cia es� � 1; 1Œ y que, en virtud del criterio de Leibniz para series alternadas, convergeparat D 1. En consecuencia, por el teorema de Abel, se verifica que dicha serie convergeuniformemente enŒ0; 1� y por tanto

lKımt!1t < 1

1X

nD0

.�1/ntqnC1

qnC 1D

1X

nD0

.�1/n1

qnC 1:

Como, evidentemente, se verifica que

lKımt!1

tw

0

1

1C xqdx D

1w

0

1

1C xqdx

Deducimos que1w

0

1

1C xqdx D

1X

nD0

.�1/n1

qnC 1:

©

Ejercicio resuelto 263 Expresa la función suma de las series de potenciasX

n>1

nxn�1, y

X

n>1

n

nC 1xn por medio de funciones elementales y calcula el valor de

1X

nD1

n

2n.nC 1/.

Solución.Seaf .x/D 1

1 � xD

1X

nD0

xn, donde�1 < x < 1. Entonces

f 0.x/D 1

.1 � x/2D

1X

nD1

nxn�1 .�1 < x < 1/:

Tambiénx

.1 � x/2D

1X

nD1

nxn .�1 < x < 1/:

Integrando esta igualdad obtenemos:

xw

0

t

.1� t/2dx D x

1 � xC log.1� x/D

1X

nD1

n

nC 1xnC1 .�1 < x < 1/:

Deducimos que:

1X

nD1

n

nC 1xn D 1

1 � xC log.1 � x/

x.�1 < x < 1/:

En particular, haciendox D 12

resulta que1X

nD1

n

2n.nC 1/D 2 � 2 log2: ©

Ejercicio resuelto 264 Calcula el radio de convergencia y la suma de las series:

X

n>0

n3 C nC 3

nC 1xnI

X

n>0

n3

n!xnI

X

n>1

1

1C 2C � � � C nxn:

Solución.Cualquier serie de potencias del tipoP

R.n/xn dondeR.n/ es una función

racional den, es decir,R.n/ D P .n/

Q.n/dondeP y Q son funciones polinómicas, tiene

radio de convergencia 1. Pues:

R.nC 1/

R.n/D P .nC 1/Q.n/

P .n/Q.nC 1/

es cociente de dos funciones polinómicas enn que tienen el mismo grado y el mismocoeficiente líder, luego su límite paran!1 es igual a 1.

Cualquier serie de potencias del tipoP P .n/

n!xn dondeP .n/ es una función polinómica,

tiene radio de convergencia infinito. Pues:

P .nC 1/

.nC 1/!

n!

P .n/D P .nC 1/

P .n/

1

nC 1;

y basta notar que, evidentemente, lKımn!1

P .nC 1/=P .n/D 1.

Teniendo en cuenta que1 C 2 C � � � C n D n.n C 1/=2 se sigue que las series primeray tercera tienen radio de convergencia 1 y la segunda serie tiene radio de convergenciaC1.

Para calcular la suma de la serieX

n>0

n3 C nC 3

nC 1xn lo más fácil es expresarn3 C nC 3

en potencias den C 1. Para ello basta expresar el polinomioP .x/ D x3 C x C 3 pormedio de su desarrollo de Taylor centrado enxD�1. ComoP .�x/D�P .x/ la derivadasegunda deP enx D 0 es cero. Tenemos así que:

x3CxC3DP .�1/CP 0.�1/.xC1/C P 000.�1/

3!.xC1/3D1C4.xC1/C .xC1/3:

Luego

1X

nD0

n3 C nC 3

nC 1xnD

1X

nD0

�1

nC 1C 4C .nC 1/2

�xnD

1X

nD0

xn

nC 1C

1X

nD0

.n2C2nC5/xn:

La serieP

xn=.nC 1/ se obtiene integrando la serie geométricaP

xn y dividiendo porx, de donde se sigue que

1X

nD0

xn

nC 1D� log.1 � x/

x.�1 < x < 1/:

La suma de la serieP.n2 C 2nC 5/xn puede calcularse también derivando dos veces

la serie geométrica. Seguiremos el procedimiento general para sumar series aritmético –geométricas, es decir, series del tipo

PQ.n/xn dondeQ.n/ es un polinomio enn.

En nuestro casoQ.n/Dn2C2nC5. Observa queQ.nC1/�Q.n/D3C2n, por tanto:

nX

kD0

Q.k/xk.1 � x/ DnX

kD0

�Q.k/xk �Q.k/xkC1

�

Dn�1X

kD0

�Q.k C 1/ �Q.x/

�xkC1 CQ.0/ �Q.n/xnC1D

Dn�1X

kD0

.3C 2k/xkC1 C 5�Q.n/xnC1

Tomando límites paran!1 en esta igualdad, teniendo en cuenta que para�1 < x < 1

es lKımn!1

Q.n/xnC1 D 0, se tiene:

1X

nD0

Q.n/xn D 5

1 � xC 1

1 � x

1X

nD0

.3C 2n/xnC1D

D 5

1 � xC 3x

.1 � x/2C 2x2

1 � x

1X

nD1

nxn�1D

D 5

1 � xC 3x

.1 � x/2C 2x2

.1 � x/3D 4x2 � 7x C 5

.1 � x/3

Finalmente

1X

nD0

n3 C nC 3

nC 1xn D� log.1 � x/

xC 4x2 � 7x C 5

.1 � x/3.�1 < x < 1/:

La suma de la tercera serieX

n>1

1

1C 2C � � � C nxn D

X

n>1

2

n.nC 1/xn puede obtenerse

muy fácilmente integrando dos veces la serie geométrica. Seguiremos otro procedimien-to que suele ser efectivo para sumar series de la forma

PR.n/xn dondeR.n/ es una

función racional den y que consiste en descomponerR.n/ en elementos simples. Ennuestro caso tenemos

R.n/D 2

n.nC 1/D 2

n� 2

nC 1:

Como1X

nD1

xn

nD� log.1� x/, se obtiene fácilmente que:

1X

nD1

2

n.nC 1/xn D�2 log.1 � x/C 2

log.1� x/C x

x:

Para sumar la serieX

n>0

n3

n!xn, usaremos que exD

1X

nD0

1

n!xn. La idea consiste en escribir

el polinomio comon3Dn.n�1/.n�2/CAn.n�1/CBnCC . Identificando coeficientes

resultaAD 3;B D 1;C D 0. Por tanto

1X

nD0

n3

n!xn D

1X

nD0

n.n � 1/.n � 2/C 3n.n � 1/C n

n!xnD

D1X

nD3

1

.n � 3/!xn C

1X

nD2

3

.n� 2/!xn C

1X

nD1

x

.n � 1/!xnD.x3C3x2Cx/ex

Este método puede usarse para sumar series del tipoX P .n/

n!xn dondeP .n/ es un

polinomio. ©

Ejercicio resuelto 265 Calcula la función suma de la serie de potenciasX

n>1

xn

n.2nC 1/y

deduce el valor de las sumas de las series:

X

n>1

1

n.2nC 1/y

X

n>1

.�1/n

n.2nC 1/:

Solución.Observa que el intervalo de convergencia de la serieX

n>1

1

n.2nC 1/xn es el

intervalo � � 1; 1Œ y que la serie converge también en los extremos del intervalode con-vergencia. Seaf W Œ�1; 1�! R la función suma:

f .x/D1X

nD1

1

n.2nC 1/xn .�1 6 x 6 1/:

Como consecuencia del teorema de Abel, la funciónf es continua enŒ�1; 1�.

Nota Observa que puede aplicarse el criterio de Weierstrass en elintervalo Œ�1; 1�; loque justifica, sin necesidad de recurrir al teorema de Abel, que la serie converge unifor-memente enŒ�1; 1� y, por tanto, la funciónf es continua enŒ�1; 1�.

Por el teorema de derivación para funciones definidas por series de potencias, sabemosque la funciónf es indefinidamente derivable en el intervalo� � 1; 1Œ y

f 0.x/D1X

nD1

xn�1

2nC 1.�1 < x < 1/:

Por tanto:

xf 0.x/D1X

nD1

xn

2nC 1.�1 < x < 1/:

La forma que tienef 0 nos sugiere considerar la función

g.x/D1X

nD0

x2nC1

2nC 1.�1 < x < 1/

que se calcula fácilmente, pues

g 0.x/D1X

nD0

x2nD 1

1� x2:

Comog.0/D 0, deducimos que

g.x/Dxw

0

1

1 � t2dt D 1

2log.1C x/ � 1

2log.1 � x/:

Ahora relacionaremosf 0 cong. Para0 < x < 1 tenemos que:

g.p

x/D1X

nD0

.p

x/2nC1

2nC 1Dp

x C1X

nD1

.p

x/2nC1

2nC 1Dp

x Cp

x

1X

nD1

xn

2nC 1D

Dp

x C xp

xf 0.x/:

De donde:

f 0.x/D g.p

x/

xp

x� 1

xD log.1Cpx/ � log.1�px/

2xp

x� 1

x.0 < x < 1/:

Integrando por partes se obtiene que una primitiva def en �0; 1Œ viene dada por:

h.x/D .1�px/ log.1�px/ � .1Cpx/ log.1Cpx/px

.0 < x < 1/:

Deducimos que:

f .x/D h.x/ � lKımx!0

h.x/D 2C h.x/ .0 6 x < 1/:

Comof es continua enŒ�1; 1�, obtenemos que:

f .1/D1X

nD1

1

n.2nC 1/D lKım

x!1f .x/D 2 � lKım

x!1h.x/D 2 � 2 log2:

Consideremos ahora que�1 < x < 0. Tenemos:

xf 0.x/D�jxjf 0.�jxj/D�1X

nD1

.�1/n

2nC 1jxjn .�1 < x < 0/:

Consideraremos ahora la función

'.x/D�1X

nD0

.�1/n

2nC 1x2nC1 .�1 < x < 1/:

Como

' 0.x/D�1X

nD0

.�1/nx2n D� 1

1C x2;

y '.0/D 0, deducimos que:

'.x/D�xw

0

1

1C t2dt D� arc tgx:

Al igual que antes deducimos que:

f 0.x/Dp�x � arc tg.

p�x/

xp�x

.�1 < x < 0/;

o lo que es igual:

�f 0.�x/Dp

x � arc tg.p

x/

xp

x.0 < x < 1/:

Como�f 0.�x/ es la derivada de la funciónx 7! f .�x/, integrando por partes seobtiene que una primitiva de la funciónx 7! f .�x/ en �0; 1Œ es:

H.x/D 2arc tg.

px/p

xC log.1C x/ .0 < x < 1/:

Deducimos que

f .�x/DH.x/� lKımx!0

H.x/DH.x/� 2 .0 6 x < 1/:

Comof es continua enŒ�1; 1�, obtenemos

f .�1/D1X

nD1

.�1/n

n.2nC 1/D lKım

x!1f .�x/D lKım

x!1H.x/ � 2D �

2C log2 � 2:

©

Ejercicio resuelto 266 Prueba que las funciones definidas por:

g.x/D senx

x; g.0/D 1; f .x/D ex �1

x; f .0/D 1

h.x/D cosx � 1

x2; h.0/D�1=2; '.x/D log.1C x/

x; '.0/D 1

son de claseC 1 en su intervalo natural de definición.

Solución.

10.43 Estrategia. Para probar que una función es de claseC 1 en un intervaloI essuficienteprobar que dicha función es la suma de una serie de potencias convergente enel intervaloI .

Las funciones del enunciado responden todas ellas al siguiente modelo. Supongamos quetenemos una serie de potencias

Pcn.x � a/n, con radio de convergencia no nulo. Sea

I el intervalo de convergencia de la serie y seaF W I ! R , F.x/ D1X

nD0

cn.x � a/n

la función suma. En virtud del teorema de derivación para series de potencias, sabemosque la funciónF es de claseC 1 en I . Sea ahoraq 2 N y consideremos la funciónG W I ! R dada por

G.x/DF.x/�

qX

kD0

ck.x � a/k

.x � a/qC1; G.a/D cqC1:

Es evidente que

G.x/D1X

nD0

cqC1Cn.x � a/n x2I:

Por tanto, la funciónG es la suma de una serie de potenciasen el intervaloI y, por tanto,G es de claseC 1 enI .


g.x/D1X

nD0

.�1/n

.2nC 1/!x2n .x2R/

f .x/D1X

nD1

1

n!xn�1 .x2R/

h.x/D1X

nD1

.�1/n

.2n/!x2n�2 .x2R/

'.x/D1X

nD0

.�1/n

nC 1xn .�1 < x < 1/

Se sigue que las funcionesg; f;h son de claseC 1 enR y la función' es de claseC 1

en � � 1; 1Œ. Pero es evidente que' es de claseC 1 en �1=2;C1Œ, luego' es de claseC 1 en � � 1;C1Œ. ©

Ejercicio resuelto 267 Prueba que la funciónf W�� ;�Œ! R dada por:

f .x/D x

senx � xlog

�senx

x

�; f .0/D 1;

es de claseC 1. Calcula lKımx!0

f .x/� 1 � 112

x2

x4.

Solución.Las funciones:

g.x/D1X

nD0

.�1/n

.2nC 1/!x2n .x2R/;

h.x/D1X

nD0

.�1/n

nC 1.x � 1/n .jx � 1j < 1/

son de claseC 1 enR y en �0; 2Œ respectivamente. Además:

g.x/D senx

x; g.0/D 1I h.x/D logx

x � 1; h.1/D 1:

Como para todox 2� � �;�Œ, x ¤ 0 es0 < g.x/D senxx

< 1, tenemos que:

f .x/Dlog

� senxx

�senx

x� 1D h.g.x//; f .0/D h.g.0//D 1:

Concluimos quef es de claseC 1 en��;�Œ por ser composición de funciones de claseC 1.

Pongamos:

g.x/ � 1D1X

nD1

.�1/n

.2nC 1/!x2n D� 1

3!x2 C 1

5!x4 C '.x/:

Deducimos que:

f .x/D h.g.x//D1X

nD0

.�1/n

nC 1.g.x/� 1/nD 1� 1

2.g.x/� 1/C 1

3.g.x/� 1/2C .x/;

donde:

.x/D .g.x/ � 1/31X

nD3

.�1/n

nC 1.g.x/ � 1/n�3:

Observa que es continua. Además, como parax ! 0 esg.x/� 1 � �13!

x2, se verifica

que.g.x/� 1/3 � �1.3!/3 x6 y, por tanto, .x/D o.x4/ parax ! 0.

Haciendo las operaciones indicadas en la igualdad anterior, calculando solamente lostérminos hasta la potenciax4, obtenemos:

f .x/D 1C 1

12x2 � 1

2

1

5!x4 C 1

3

1

.3!/2x4 C o.x4/D 1C 1

12x2 C 11

2160x4 C o.x4/:

Deducimos que:

lKımx!0

f .x/� 1� 112

x2

x4D 11

2160:

Puedes comprobar este resultado calculando el límite por L’Hôpital. ©

Ejercicio resuelto 268 Calcula el desarrollo en serie de potencias centrada ena D 4 de lafunción:

f .x/D 2x3 � x2 C 2x � 7

x4 � x3 � 3x2 C x C 2:

La función que nos dan parece bastante impresionante, pero no es tan fiera como parece.Es una función racional y lo que se hace para obtener su desarrollo en serie de potenciases descomponerla en fracciones simples, algo que ya sabes hacer. Si el denominadorsolamente tiene raíces reales es muy sencillo calcular la serie de potencias que nos piden,porque en tal caso las fracciones simples van a ser, salvo constantes, de los dos tipossiguientes:

a/1

x � ˛ ; b/1

.x � ˛/n :

Las fracciones del tipoa/ pueden desarrollarse en serie de potencias centradas en elpunto que queramosa¤ ˛, basta escribir:

1

x � ˛ D�1

˛ � a � .x � a/D �1

˛ � a

1

1 � x�a˛�a

:

Pero la última fracción es la suma de una serie geométrica de razón x�a˛�a

, por tanto,supuesto que

ˇx�a˛�a

ˇ< 1, se verifica que:

1

x � ˛ D�1

˛ � a

1X

nD0

�x � a

˛ � a

�n

D�1X

nD0

1

.˛ � a/nC1.x � a/n jx � aj < j˛ � aj:

Derivando respecto ax esta igualdad obtenemos:

1

.x � ˛/2 D1X

nD1

n

.˛ � a/nC1.x � a/n�1 jx � aj < j˛ � aj:

Las sucesivas derivadas nos dan el desarrollo en serie de potencias centrado ena de lasfracciones del tipob/.

En nuestro caso, se calcula fácilmente la descomposición enfracciones simples:

f .x/D 1

x � 1� 2

.x C 1/2C 1

x C 1

Según acabamos de ver, las fracciones obtenidas puedes desarrollarlas en series de po-tencias centradas en cualquier punto que no sea una raíz del denominador. Te dejo queacabes tú el ejercicio.

Esto puede complicarse mucho cuando el denominador tiene raíces complejas, en cuyocaso solamente pueden obtenerse con facilidad algunos desarrollos centrados en puntosparticulares (las partes reales de las raíces imaginarias). ©

Ejercicio resuelto 269 Calcula explícitamente el valor dean, n = 0,1,2,... sabiendo que severifica la siguiente relación de recurrencia:

anC2 D�2anC1 � an; a0 D 1; a1 D�3:

Solución.Usaremos el método de la función generatriz que se basa en la consideración

de la funciónf .x/ D1X

nD0

anxn. Se supone que dicha función está definida en algún

intervalo centrado en el origen. Tenemos que:

f .x/D a0 C a1x C1X

nD2

anxn D a0 C a1x C1X

nD0

anC2xnC2D

D a0 C a1x C1X

nD0

�� 2anC1 � an

�xnC2D

D a0 C a1x � 2x

1X

nD0

anC1xnC1 � x21X

nD0

anxnD

D a0 C a1x � 2x

1X

nD1

anxn � x2f .x/D a0 C a1x � 2x.f .x/� a0/ � x2f .x/:


De esta igualdad se obtiene que:

f .x/D a0 C a1x C 2xa0

1C 2x C x2D 1� x

.1C x/2D 1

.1C x/2� x

1

.1C x/2D

D� d

dx

�1

1C x

�C x

d

dx

�1

1C x

�D� d

dx

1X

nD0

.�x/n

!C x

d

dx

1X

nD0

.�x/n

!D

D�1X

nD1

.�1/nnxn�1 C1X

nD1

.�1/nnxn D 1C1X

nD1

.�1/n.2nC 1/xn:

Obtenemos así que para todon > 1 esanD .�1/n.2nC 1/. Puedes comprobar ahora queefectivamente se verifica la igualdadanC2 D�2anC1 � an. ©

Ejercicio resuelto 270 Definamosf WRCo ! R por:

f .x/D1w

0

e�x2.1Ct2/

1C t2dt :

Prueba que:

a)f .0/D �=4, y lKımx!C1

f .x/D 0.

b) Usando un desarrollo en serie paraf , prueba quef es derivable enRC y:

f 0.x/D�2x

1w

0

e�x2.1Ct2/ dt :

c) Justifica que para todox > 0 se verifica que:

f .x/C

xw

0

e�t2

dt

!2

D �

4:

d) Deduce de lo anterior queC1w

0

e�x2

dx Dp�

2.

Solución.a) Tenemos que.

f .0/D1w

0

1

1C t2dt D arc tg1 � arc tg0D �

4:

Además: ˇˇˇe�x2.1Ct2/

1C t2

ˇˇˇ6

ˇˇe�x2.1Ct2/

ˇˇ6 e�x2

:

Desigualdades válidas para todot 2R, en particular parat 2 Œ0; 1�, lo que implica que:

0 6 f .x/6

1w

0

e�x2

dt D e�x2

÷ lKımx!C1

f .x/D 0:




b) Tenemos que e�x2.1Ct2/D1X

nD0

.�1/n.1C t2/n

n!x2n. Por tanto:

f .x/D1w

0

1X

nD0

.�1/n.1C t2/n�1

n!x2n dt :

Se trata de permutar la suma de la serie con la integral. Como la variable de la integralest 2 Œ0; 1�, en lo que sigue consideramos quex2R es un número fijo. Consideremos laserie de funciones

X

n>0

gn donde paranD 0; 1; 2; : : : gn W Œ0; 1�! R es la función dada

para todot 2 Œ0; 1� por:

gn.t/D .�1/n.1C t2/n�1

n!x2n:

En esta expresión debes considerar quex está fijo y la variable est 2 Œ0; 1�. Probaremosque la serie

X

n>0

gn converge uniformemente enŒ0; 1� lo que permitirá permutar la suma

de la serie con la integral. Tenemos que paran > 1 es:

jgn.t/j D.1C t2/n�1

n!x2n 6

2n�1

n!x2n 6

22nx2n

n!D .4x2/n

n!

Como tambiénjg0.t/j 6 1, y la serieX

n>0

.4x2/n

n!es convergente, podemos aplicar a la

serieP

gn el criterio de convergencia uniforme de Weierstrass y concluimos que dichaserie converge uniformemente enŒ0; 1�. Por tanto:

f .x/D1X

nD0

1w

0

.�1/n.1C t2/n�1

n!x2n dt D

1X

nD0

0@

1w

0

.�1/n.1C t2/n�1

n!dt

1Ax2n:

Como esta igualdad es válida para cualquier número realx hemos expresado la funciónfcomo suma de una serie de potencias convergente en todoR. Por el teorema de derivaciónpara series de potencias, tenemos quef es derivable y su derivada viene dada por:

f 0.x/D1X

nD1

0@

1w

0

.�1/n2n.1C t2/n�1

n!dt

1Ax2n�1D

D 2x

1X

nD1

0@

1w

0

.�1/n.1C t2/n�1

.n� 1/!dt

1Ax2n�2D�2x

1X

nD0

1w

0

.�1/n.1C t2/n

n!x2ndt D

D�2x

1w

0

1X

nD0

.�1/n

.x2/n.1C t2/n

n!

!dt D�2x

1w

0

e�x2.1Ct2/ dt :

c) Pongamos para todox > 0:

h.x/D f .x/C

xw

0

e�t2

dt

!2

:



Los primeros desarrollos en serie 659

Tenemos queh.0/ D f .0/ D �=4 y h es una función derivable en el intervaloŒ0;C1Œ.Tenemos:

h 0.x/D f 0.x/C 2 e�x2xw

0

e�t2

dt D Œt D xu�D f 0.x/C 2 e�x21w

0

e�x2u2

x duD

D f 0.x/C 2x

1w

0

e�x2.1Cu2/ du D 0:

Luego,h es constante y, por tanto,h.x/D h.0/D �=4 para todox > 0.

d) Tomando límites parax !C1 en la igualdad:

xw

0

e�t2

dt Dr�

4� f .x/

obtenemos queC1w

0

e�x2

dx Dp�

2. ©

10.6. Los primeros desarrollos en serie

Puede afirmarse que la primera aparición de lo que entendemosen la actualidad como unaserie ocurre en el trabajo de Viéte (1540 - 1603)Variorum de rebus mathematicis responsorum.Liber VIII (1593), en el que Viète estudia la serie geométrica obteniendo la fórmula para lasuma de la misma y también aparece la expresión para� que se conoce como “fórmula deViète”.

2

�Dr

1

2

s1

2C 1

2

r1

2

p1

2C

s1

2C 1

2

r1

2� � �

Gregory de St. Vincent (1584 - 1667), en suOpus Geometricum(1647) fue el primero en afir-mar explícitamente que una serie infinita puede representaruna magnitud. También le debemosel poco afortunado término de “exhausción”, la introducción de las coordenadas polares y elprimer análisis de las paradojas de Zenón usando series. También descubrió que la cuadraturade la hipérbolaxy D k es la misma enŒa; b� que enŒc;d � cuandoa=b D c=d , resultado fun-damental para la comprensión de los logaritmos y que llevó aldescubrimiento del logaritmonatural por Mercator.

En 1668, Nicholas Mercator (1620 - 1687) publicó un libro tituladoLogarithmotechniaenel que proporcionaba un método para calcular logaritmos basado en el desarrollo en serie dellogaritmo natural

log.1C x/D x � x2

2C x3

3� x4

4C � � � (10.20)

el cual obtuvo usando los resultados de Gregory de St. Vincent.



Newton y las series infinitas 660

A su vez, este resultado de Mercator fue mejorado por James Gregory (1638 - 1675) queobtuvo la expansión:

log1C x

1 � xD 2x C 2x3

3C 2x5

5C � � �

que converge más rápidamente que la anterior. A James Gregory se debe también la serie delarcotangente:

arctanx D x � x3

3C x5

5� x7

7C � � � (10.21)

Sustituyendox D 1 resulta�

4D 1 � 1

3C 1

5� 1

7C � � �

Mejores representaciones de� se deducen de esta serie haciendo como A. Sahrp (1651 - 1742)en 1705x D 1=

p3, con lo que

�

6D 1p

3

�1� 1

3 � 3 C1

32 � 5 �1

33 � 7 C � � ��

Con cuya serie calculó� con 72 cifras decimales. Una mejor aproximación de� que evita eluso de radicales y converge rápidamente, fue obtenida en 1706 por John Machin (1680 - 1752).La idea es expresar�=4 D arctan1 en función de dos ángulos de tangentes racionales y cadauna de ellas menor que la unidad. La serie de Machin es:

�

4D 4 arctan

1

5� arctan

1

239D 4

�1

5� 1

3 � 53C 1

5 � 55� � � �

��

1

239� 1

3 � 2393C 1

5 � 2395� � � �

�

Con ella calculó� con 100 cifras decimales.

10.6.1. Newton y las series infinitas

Los principales descubrimientos matemáticos de Newton en el campo del cálculo infinite-simal datan de los llamadosAnni Mirabiles1665 y 1666. La Universidad de Cambridge, enla que Newton se había graduado comobachelor of artsen 1664, estuvo cerrada por la pesteesos dos años. Newton pasó ese tiempo en su casa de Woolsthorpe y, como él mismo reconociócincuenta años después, ése fue el período más creativo de suvida.

A principios de 1665 descubre el teorema del binomio y el cálculo con las series infinitas.A finales de ese mismo año, el método de fluxiones, es decir, el cálculo de derivadas. En 1666el método inverso de fluxiones y la relación entre cuadraturas y fluxiones. En esos dos añostambién inició las teorías de los colores y de la gravitaciónuniversal. Newton tenía 24 años,había nacido el día de Navidad de 1642.

Newton había leído la obra de WallisArithmetica Infinitorum, y siguiendo las ideas deinterpolación allí expuestas, descubrió la serie del binomio que hoy lleva su nombre. Dichaserie es una generalización del desarrollo del binomio, queera bien conocido para exponentesnaturales, y había sido muy usado por Pascal para resolver una gran variedad de problemas.

Newton, en su intento de calcular la cuadratura del círculo,es decir, de calcular la integralr 1

0 .1�x2/1=2 dx , consideró dicha cuadratura como un problema de interpolación, relacionán-

dola con las cuadraturas análogasr 1

0 .1� x2/n dx conocidas para exponentes naturalesn2N.




Newton tuvo la ocurrencia de sustituir el límite superior deintegración por un valor genéricox. De esta forma obtuvo las siguientes cuadraturas (Newton nodisponía de símbolo para laintegral; usamos, claro está, la notación actual).

xw

0

.1� t2/dt D x � 1

3x3

xw

0

.1 � t2/2 dt D x � 2

3x3 C 1

5x5

xw

0

.1 � t2/3 dt D x � 3

3x3 C 3

5x5 � 1

7x7

xw

0

.1 � t2/4 dt D x � 4

3x3 C 6

5x5 � 4

7x7 C 1

9x9

Newton observó que el primer término de cada expresión esx, quex aumenta en potencias im-pares, que los signos algebraicos se van alternando, y que los segundos términos1

3x3; 2

3x3; 3

3x3,

43x3 estaban en progresión aritmética. Razonando por analogía,supuso que los dos primeros

términos der x

0 .1 � t2/1=2 dt deberían ser

x �12

3x3

De la misma manera, procediendo por analogía, pudo encontrar algunos términos más:

xw

0

.1 � t2/1=2 dt D x �12

3x3 �

18

5x5 �

116

7x7 �

1128

9x9 � � � �

Representando paranD 0; 1; 2; : : : por Qn.x/ el polinomior x0 .1 � t2/n dt , se tiene que

Qn.x/Dxw

0

.1 � t2/n dt DnX

kD0

�n

k

�.�1/k

2k C 1x2kC1

Donde �n

k

�D n.n � 1/.n� 2/ � � � .n � k C 1/

1 � 2 � 3 � � � k ;

�n

0

�D 1

Haciendo ahora enQn.x/, nD 1=2, se obtiene

Q1=2.x/D x �12

3x3 �

18

5x5 �

116

7x7 �

1128

9x9 � � � �

Lo que llevó a Newton a concluir que

xw

0

.1 � t2/1=2 dt DQ1=2.x/




DondeQ1=2.x/D1X

nD0

�12

n

�.�1/n

2nC 1x2nC1 es una suma con infinitos términos. A partir de aquí,

Newton dedujo el desarrollo de.1 � x2/1=2 por derivación.

.1 � x2/1=2 D 1� 1

2x2 � 1

8x4 � 1

16x6 � 1

128x8 � � � �

Newton nunca publicó su teorema binomial, ni dio una demostración general del mismo. Laprimera vez que apareció en un texto impreso fue en 1685 en un libro de Wallis (que reconocela autoría de Newton), tituladoTreatise of Algebra. Newton mismo, en una carta a Henry Ol-denburg, el secretario de la Royal Society, conocida como laEpistola Prior (junio de 1676),expone el teorema binomial, a requerimiento de Leibniz, conestas oscuras palabras:

Las extracciones de raíces resultan muy abreviadas por el teorema

.P C PQ/m=n D Pm=n C m

nAQC m � n

2nBQC m� 2n

3nCQC m� 3n

4nDQC etc

dondeP C PQ representa una cantidad cuya raíz o potencia, o cuya raíz de una potenciase necesita calcular, siendoP el primer término de esa cantidad,Q los términos restantesdivididos por el primero, ym

nel índice numérico de las potencias dePCPQ. . . Por último

AD Pm=n, B D mn

AQ, C D m�n2n

BQ y así sucesivamente.

Newton era consciente de que su forma de razonar por analogíano era rigurosa por lo quecomprobó su resultado de varias formas. Aplicó su algoritmoa diversos resultados conoci-dos, comprobando que las soluciones obtenidas eran siemprecorrectas, redescubrió la serie deMercator para el logaritmo y obtuvo las series del arcoseno ydel seno.

Newton encontró que el método de desarrollos en serie proporcionaba un algoritmo casiuniversal para calcular cuadraturas y resolver multitud deproblemas. En su obraDe analysiper aequationes numero terminorum infinitas, escrita en 1669 y publicada en 1711, aunquecirculaba en forma manuscrita entre los colegas y conocidosde Newton, propuso un métodopara cuadrar una curva consistente en tres reglas:

1. El área bajo la curva de ecuacióny D axm=n esna

mC nax

mCnn .

2. Si la ecuacióny D y.x/ de la curva está dada por un número finito de términosy1 Cy2Cy3C� � � , el área bajo la curvay es igual a la suma de las áreas de todos los términosy1, y2, y3,. . .

3. Si la curva tiene una forma más complicada, entonces debe desarrollarse la ecuación dela curva en una serie del tipo

Pakxrk , donderk es un número racional, y aplicar las

reglas 1 y 2.

Debe notarse que Newton supuso que cualquier cantidad analíticamente expresada podía desa-rrollarse en una serie de la forma

Pakxrk , donderk es un número racional, serie que puede

ser cuadrada término a término usando la regla 1.

Veamos un ejemplo de esta forma de proceder. Se trata de calcularr 1=4

0

px � x2 dx . New-

ton procede como sigue

.x � x2/1=2 D x1=2.1 � x/1=2 D x1=2 � 1

2x3=2 � 1

8x5=2 � 1

16x7=2 � 1

128x9=2 � � � �




Por tanto

1=4w

0

.x � x2/1=2 dx D�

2

3x3=2 � 1

5x5=2 � 1

28x7=2 � 1

72x9=2 � 5

704x11=2 � � � �

�1=4

0

D 2

3 � 23� 1

5 � 25� 1

28 � 27� 1

72 � 29� 5

704 � 211� � � � (10.22)

A B O

Cy D

px � x2

Figura 10.4. Cuadraturar 1=4

0

px � x2 dx

En la figura10.4se ha representado el semicírculo de centro.1=2; 0/ y radio1=2. El sectorcircular COA tiene amplitud�=3 por lo que su área es la tercera parte de la del semicírculo,es decir,�=24. ComoBC D

p3=4, el área del triánguloBOC es

p3=32. Por otra parte, la

integral calculada en (10.22) es el área de la regiónACB. Por tanto:

1=4w

0

.x � x2/1=2 dx Cp

3

32D �

24

Deducimos que

� D 3p

3

4C 24

�2

3 � 23� 1

5 � 25� 1

28 � 27� 1

72 � 29� 5

704 � 211� � � �

�

Y de esta forma, Newton expresa la cuadratura del círculo pormedio de una serie infinita que,además, converge rápidamente.

La confianza de Newton en los procesos infinitos queda reflejada en las siguientes palabrasde la citada obraDe analysi:

Todo lo que el análisis común [es decir, el álgebra] realiza por medio de ecuaciones conun número finito de términos, este nuevo método puede siempreconseguir lo mismo pormedio de ecuaciones infinitas, de tal forma que no he tenido ninguna duda en darle asi-mismo el nombre de análisis. Porque el razonamiento es éste no es menos cierto que enel otro; ni las ecuaciones menos exactas; aunque nosotros los mortales, cuyo poder de ra-zonamiento está confinado dentro de estrechos límites, no podemos expresar ni tampococoncebir todos los términos de esas ecuaciones como para conocer exactamente a partirde ellas las cantidades que deseamos. . . Para terminar, podemos considerar todo esto comoperteneciente alArte Analítica, con cuya ayuda pueden ser determinadas de una maneraexacta y geométricamente las áreas, longitudes, etc., de curvas.

Es decir, Newton no sólo descubrió el teorema binomial sino que las series infinitas proporcio-naban un método de análisis con la misma consistencia interna que el álgebra de ecuacionesfinitas.



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