le coniche (circonferenza, ellisse, parabola, iperbole) · non hanno modificato i programmi pni di...
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UNI VERSI TÀ DEGLI STUDI DI FERRARA
SCUOLA DI SPECI ALI ZZAZI ONE PER L I NSEGNAMENTO SECONDARI O
_____________
VIII Ciclo - Classe di Specializzazione A049
PERCORSO DIDATTICO
LE CONI CHE (Cir conf er enza, ellisse, par abola,
iper bole)
Caterina Tarantini
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CENNI STORICI:
Lo studio delle coniche ha origini antichissime. Sembra che il primo matematico ad
occuparsi delle sezioni coniche sia stato Menecmo (375-325 a.C), un matematico
greco discepolo di Platone e di Eudosso e maestro di Alessandro Magno. Esse furono
scoperte nel tentativo di risolvere con riga e compasso i tre famosi problemi di
trisezione dell'angolo, duplicazione del cubo e quadratura del cerchio. Le coniche sono
curve piane ottenute intersecando un cono circolare retto con un piano (deriva
appunto da qui il nome coniche). Inizialmente una sezione conica era definita come
l int er sezione di un cono circolare retto con un piano perpendicolare alla generatrice
del cono: si ot t iene inf at t i una par abola se l angolo al ver t ice è r et t o, un ellisse se è
acut o, un iper bole se è ot t uso.
3
Successivamente Apollonio di Perga (c. 262-190 a.C.), conosciuto come il Grande
Geometra, consolidò ed approfondì i precedenti risultati nell oper a Le Coniche, la cui
importanza, paragonabile agli Elementi di Euclide per la geometria sintetica, non favorì
ulteriori sviluppi nei secoli a seguire, almeno dal punto di vista puramente geometrico.
Degli ot t o libr i che componevano l oper a, solo t r e sono giunt i f ino a noi nella ver sione
or iginale, degli alt r i quat t r o ci sono per venut e le t r aduzioni dall ar abo e uno è andat o
perduto. Apollonio fu anche il primo ad attribuire i nomi di ellisse, parabola, ed
iperbole alle coniche. Tali nomi traggono origine dal confronto di due grandezze
car at t er ist iche di ciascuna cur va. Ellisse vuol dir e mancanza , iper bole signif ica
"andare oltre", e parabola, "mettere accanto". A differenza di quanto si riteneva in
precedenza, Apollonio dimostrò che non era necessario prendere sezioni
perpendicolari a un elemento del cono, e che da un unico cono era possibile ottenere
tutte e tre le varietà di sezioni coniche semplicement e var iando l inclinazione del piano
di intersezione. Ciò rappresentava un notevole passo in avanti verso la visione unitaria
dei tre tipi di curve. Una seconda importante generalizzazione si ebbe quando
Apollonio dimostrò che non era necessario che il cono f osse r et t o (ossia, avent e l asse
perpendicolare alla base), ma che poteva benissimo essere anche un cono obliquo.
Infine, Apollonio dimostrò che, sostituendo il cono a una falda con il cono a doppia
falda, parte di spazio racchiusa dalla superficie conica generata dalla rotazione
completa di una retta r intorno ad un'altra retta s (asse di rotazione) incidente ad
r(generatrice del cono) si potevano ottenere tutti i tipi di sezioni coniche da un solo
cono al var iar e dell inclinazione del piano int er secante il cono. L'angolo formato da
r con s (minore di un angolo retto) è detto semiapertura del cono. Considerando un
piano gener ico che int er seca l asse di r ot azione non passant e per il ver t ice del cono,
indicando con l'angolo acuto che il piano forma con l'asse del cono a seconda di
come var ia l angolo si ottengono curve diverse.
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I nolt r e diede un gr ande cont r ibut o all ast r onomia gr eca, applicando modelli geomet r ici
al moto dei pianeti.
DESTINATARI:
Quest o per cor so didat t ico è r ivolt o ad una classe t er za di un liceo scient if ico
sper iment ale PNI dove le or e set t imanali di mat emat ica pr evist e sono 5 e
comprendono anche il laboratorio di informatica.
LE CONICHE NEI PROGRAMMI MINISTERIALI:
L insegnament o della mat emat ica nei licei di ordinamento si basa sui pr ogr ammi
minist er iali r edat t i nel 1952, che r ipr endono sost anzialment e i pr ogr ammi della
90 :
ellisse
: parabola : iperbole
5
Rif or ma Gent ile, r isalent e al 1923. Nell at t esa di una r if or ma della scuola secondar ia
super ior e, molt i licei hanno adot t at o pr oget t i di sper iment azione, t r a cui vi è il Piano
Nazionale per l I nf ormat ica (PNI ). I suoi pr ogr ammi sono st at i elabor at i nel 1985,
con lo scopo di int r odur r e l inf or mat ica nelle scuole secondar ie super ior i. Nei
pr ogr ammi minist er iali PNI di mat emat ica e f isica per il liceo scient if ico, l ar goment o
delle coniche è inserito al terzo anno nel t ema int it olat o Geomet r ia al punt o 1.a:
Cir conf er enza, ellisse, par abola, iper bole nel piano car t esiano .
Si pr opone di int r odur r e le coniche pr ima come luoghi geomet rici e successivament e
di scrivere le equazioni con rif erimento a sistemi di assi cartesiani, svolt i in modo
opportuno.
Le abilit à r ichiest e, in quest o ambit o, r iguar dano la r isoluzione analit ica di pr oblemi
sulle coniche, la loro rappresentazione analitica e le proprietà geometrica del luogo.
Infine si richiede di acquisire la capacità di realizzare costruzioni di luoghi geometrici
mediante strumenti diversi.
I successivi pr ogr ammi elabor at i dalla Commissione Brocca negli anni 1991 e 1992,che
non hanno modif icat o i pr ogr ammi PNI di mat emat ica e f isica, sono st at i adot t at i dai
var i ist it ut i di ist r uzione secondar ia come pr oget t i di sper iment azione su pr opost a
dello stesso Ministero della Pubblica Istruzione.
Tr a il 2000 e il 2004 si collocano invece le pr opost e di r if or ma dei cur r icoli di
Mat emat ica da par t e dell UMI , Unione Matemat ica I t aliana; il cui obiet t ivo er a
quello di r innovar e i pr ogr ammi alla luce dei cambiament i int er venut i nella societ à e
nelle t ecnologie. Si voleva pr opor r e, inf at t i, una mat emat ica per il cit t adino , cioè un
cor pus di conoscenze e abilit à f ondament ali da acquisir e indipendent ement e dalla
var iet à degli indir izzi della scuola secondar ia, per ché r it enut e necessar ie a t ut t i
color o che ent r ano nell at t uale societ à.
Le conoscenze specif iche per l ar goment o in quest ione (pr opost e da Matematica 2003)
sono:
Circonferenza, parabola, ellisse, iperbole come luoghi di punti e come sezioni coniche.
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Invece, per quanto riguarda le abilità:
Realizzare semplici costruzioni di luoghi geometrici (Laboratorio di matematica).
Risolver e semplici pr oblemi r iguar dant i r et t e, cir conf er enze, par abole, ellisse,
iperbole.
Occor r e sot t olinear e che quest e pr opost e er ano st at e pensat e inizialment e sulla base
della Legge quadr o di r ior dino dei cicli scolast ici, Legge n. 30/ 2000, del Minist r o L.
Ber linguer ; quest ult ima per ò è st at a poi abr ogat a nella successiva legislat ur a dal
Minist r o L. Mor at t i. I nolt r e analizzando gli OSA (Obiet t ivi Specif ici di
Apprendimento) del Liceo Scient if ico, per quant o r iguar da l ar goment o delle coniche,
esso è collocat o al secondo biennio e sono inser it i all int er no del t ema Geomet r ia
(quest i obiet t ivi sono simili a quelli dell UMI ). Si r ichiede che gli st udent i sappiano:
Risolver e analit icament e pr oblemi r iguar dant i r et t a,cir conf er enza ed alt r e
coniche;
Rappr esent ar e analit icament e luoghi di punt i: r iconoscer e dagli aspet t i f or mali
delle equazioni le proprietà geometriche del luogo e viceversa ;
Conoscere i luoghi di punti e sezioni coniche.
TEMPI DI SVOLGIMENTO:
1. La circonferenza 10 ore (3 di spiegazione, 2 di laboratorio,2 di esercizi in
classe e 3 di verifiche orali e scritte)
2. l ellisse 11 or e (4 di spiegazione, 2 di labor at or io, 2 di eser cizi in classe e
3 di verifica)
3. la par abola 12 or e (4 di spiegazione, 3 di labor at or io, 2 di eser cizi in
classe e 3 di verifica)
4. l iper bole 12 or e (4 di spiegazione, 3 di labor at orio, 2 di esercizi in classe
e 3 di verifica)
PREREQUISITI:
Lo studente deve possedere le seguenti nozioni:
Geometria sintetica;
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Elementi fondamentali del piano cartesiano, retta e fasci di rette
Simmetria assiale, simmetria centrale, traslazione, rotazione e rototraslazione;
Concetto di funzione e di grafico di funzione;
Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado; equazioni parametriche;
Risoluzione di sistemi di primo e di secondo grado;
Conoscenze minime dei sof t war e didat t ici Cabr ì-géomètre e Der ive suf f icient e
per le applicazioni in laboratorio di informatica.
ACCERTAMENTO DEI PREREQUI SI TI : Sar à oppor t uno per mezzo di lezioni
dialogiche r ichiamar e i concet t i e i met odi r isolut ivi acquisit i nel biennio pr ecedent e
nel momento in cui questi serviranno per introdurre e spiegare i nuovi argomenti.
Si pr ovveder à a svolger e in classe eser cizi di r ipasso, per t ant o gli st udent i ver r anno
chiamat i alla lavagna per dimost r ar e le conoscenze su t ali pr er equisit i. I nolt r e
verranno assegnati esercizi per casa.
OBIETTIVI GENERALI:
Acquisir e le conoscenze, le compet enze e le capacit à pr evist e dal per cor so
didattico.
Acquisir e consapevolezza dell ut ilit à logica delle pr opr iet à degli ar goment i
trattati.
Condur r e all uso del lessico e del f or malismo gr af ico appropriato.
Imparare ad operare con la simbologia opportuna.
Sviluppar e la capacit à di ut ilizzar e met odi, st r ument i e modelli mat emat ici in
situazioni diverse.
Cont r ibuir e a r ender e gli st udent i in gr ado di af f r ont ar e sit uazioni
pr oblemat iche di var ia nat ur a avvalendosi dei modelli mat emat ici più adat t i alla
loro rappresentazione.
Sviluppar e l int er esse per gli aspet t i st or ico-epistemologici della matematica.
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L uso di sof t war e, ser vir à ad abit uar e l allievo ad oper ar e consapevolment e
all int er no di diver si sistemi, dotati di loro regole formali e limiti operativi.
OBIETTIVI TRASVERSALI :
Sviluppar e at t it udine alla comunicazione ed ai r appor t i int er per sonali,
favorendo lo scambio di opinione tra il docente e allievo e tra gli allievi stessi.
Pr oseguir e ed ampliar e il pr ocesso di pr epar azione scient if ica e cult ur ale degli
studenti.
Cont r ibuir e a sviluppar e lo spir it o cr it ico e l at t it udine a r iesaminar e
criticamente ed a sistemare logicamente le conoscenze acquisite.
Contribuire a sviluppare capacità logiche e argomentative.
Imparare a rispettare i tempi di consegna dei lavori da svolgere.
OBIETTIVI SPECIFICI :
Conoscenze: circonferenza, ellisse, parabola ed iperbole come luogo di punti r appr esent azione analit ica delle coniche in un ben pr eciso sist ema di r iferimento cartesiano (equazione canonica, significato dei coefficienti) element i car at t er izzant i e pr opr iet à (eccent r icit à, assi di simmet r ia, intersezioni con gli assi cartesiani, asintoti) Posizione di una retta rispetto ad una conica Rette tangenti ad una conica Coniche traslate
Competenze:
Saper ut ilizzar e st r ument i inf or mat ici per la cost r uzione delle coniche come luoghi geometrici Saper r appr esent ar e analit icament e le coniche: r iconoscer e dagli aspet t i f or mali dell equazione le pr opr iet à geomet r iche del luogo e viceversa Saper risolvere analiticamente problemi riguardanti le coniche
Capacità:
saper utilizzare le conoscenze e le competenze acquisite per risolvere problemi saper r isolver e pr oblemi di geomet r ia dando un int er pr et azione analit ica
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saper utilizzare le conoscenze e le competenze acquisite in contesti diversi.
METODOLOGIE DIDATTICHE
Per l appr endiment o dei cont enut i e per per seguir e gli obiet t ivi espost i si f ar à uso di
lezioni sia f r ont ali che dialogat e, con il sussidio del libr o di t est o e di f ot ocopie
contenenti esercizi svolti e approfondimenti.
Ver r anno assegnat i compit i per casa, cer cando di dedicar e sempr e una par t e della
lezione alla correzione di questi alla lavagna sia da parte del docente, che da parte dei
r agazzi. (I compit i ver r anno comunque cont r ollat i dal docent e, per assicur ar si che i
ragazzi li svolgano).
Verranno discussi e confrontati in classe gli esercizi e i problemi che hanno creato più
dif f icolt à negli allievi e pr oblemi. I nf ine si svolger anno at t ivit à di labor at orio
informatico utilizzando software didattici come Cabri-géomètre e Derive.
CONTROLLO DELL APPRENDI MENTO: La valutazione formativa si esegue tramite semplici verifiche orali, esercitazioni in classe, correzione degli esercizi assegnati per casa e valutazione delle relazioni di laboratorio. Le verifiche orali e gli esercizi alla lavagna permettono inoltre di valutare l acquisizione di pr opr iet à di linguaggio degli alunni, e il lor o cr it er io di scelt a di una strategia risolutiva. La verifica sommativa, nella quale vengono proposti esercizi simili a quelli esaminati in classe, ma non solo, permette di verificare il livello di assimilazione degli ar goment i t r at t at i e l aut onomia nella r isoluzione degli eser cizi. GRIGLIA PER LA VALUTAZIONE: La valutazione della verifica sommativa è determinata in base al punteggio attribuito ad ogni esercizio che ne fa parte. Le differenze di punteggio attribuite agli esercizi rispecchiano le relative differenze a livello di conoscenze, competenze e capacità r ichiest e. Nell at t ribuzione del punteggio si tiene conto dei seguenti indicatori, sugger it i dal Minist er o Pubblica dell I st r uzione( anzit ut t o in r if er iment o alla pr ova scr it t a dell esame di st at o): i. Conoscenze specifiche. ii. Compet enze nell applicar e le pr ocedur e ed i concetti acquisiti. iii. Capacità logico e argomentative. iv. Completezza della risoluzione. v. Cor r et t ezza della r isoluzione e dell esposizione.
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Nel caso di errore nello svolgimento degli esercizi si attribuisce solo parte del punteggio completo previsto per essi.
GRIGLIA DI VALUTAZIONE (AD USO DEL DOCENTE)
Punteggio grezzo (totale 40)
Voto in decimi (ottenuto con la
proporzione)
Voto in decimi (una proposta)
0 1 2 3 4
0 - 1
5 6 7 8
1 - 2
9 10 11 12
2 - 3
3
13 14 15 16
3 - 4
17
4
18 19 20
4 - 5
21 22
5
23 24
5 - 6
25 26 27
6
28
6 - 7
29 30 31
7
32
7 - 8
33 8 - 9 8
11
34 35 36 37 38 39
9
40
9 - 10
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STRUMENTI UTILIZZATI:
Libro di testo
Lavagna e gessi
Calcolatrice scientifica
Fotocopie
Software didattici come Cabri-géomètre e Derive
UNI TA DI DATTI CA 1 : LA CI RCONFERENZA
Contenuti
1. LA CIRCONFERENZA COME LUOGO GEOMETRICO 2. EQUAZIONE CANONICA DELLA CIRCONFERENZA 3. CONDIZIONI PERCHÉ UN EQUAZIONE RAPPRESENTI UNA
CIRCONFERENZA 4. DALL EQUAZI ONE AL GRAFI CO 5. ALCUNI CASI PARTICOLARI 6. POSIZIONI RECIPROCHE RETTA CIRCONFERENZA 7. FASCI DI CIRCONFERENZE. 8. APPLICAZIONI ALLA FISICA.
1.1 LA CIRCONFERENZA COME LUOGO GEOMETRICO
DEFI NI ZI ONE: Assegnat o nel piano un punt o C, det to cent ro, si chiama circonferenza la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti da C.
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Consider at a una cir conf er enza di cent r o C e r aggio r sappiamo che per ogni suo
punt o P vale la r elazione rPC , dove 0Rr . I n not azione insiemist ica:
0 ,PC piano, del punti rrP
1.2 EQUAZIONE CANONICA DELLA CIRCONFERENZA.
Determiniamo l equazione di una generica circonf erenza con il cent ro coincidente con l origine degli assi.
O1
1
C O(0,0): la r elazione rPC , t enendo cont o della f or mula della dist anza t r a due punti, diventa:
ryx 22 00
ed elevando al quadrato 222 ryx
Determiniamo l equazione di una generica circonf erenza con il cent ro C ,
con 0, e raggio r.
O1
1
Un gener ico punt o P(x,y) appar t iene alla cir conf er enza se solo se rPC
La relazione precedente in questo caso diventa:
ryx 22
da cui elevando al quadrato
13
222 ryx
Svolgendo i calcoli si ottiene:
022 22222 ryxyx
ponendo
222
2
2
rc
b
a
l equazione divent a
022 cbyaxyx (1) Che prende il nome di equazione in forma normale o canonica (equazione di secondo grado in x e y in cui manca il termine con il prodotto xy e i coefficiente di x e di y al quadrato sono uguali fra loro).
Osservazioni:
l'equazione di una curva dipende dal sistema di riferimento scelto nel caso in cui l asse delle ascisse passi per il cent r o della cir conf er enza e l' or igine O sia post a nel cent r o st esso, si ha solt ant o il r aggio della circonferenza come parametro. Non è essenziale che 2x e 2y abbiano coef f icient e uguale a 1, per ché se essi
valesser o per esempio n, (con n diver so da uno e non nullo) bast er ebbe divider e t ut t i i t er mini dell equazione per n. Per t ant o l equazione l equazione che si deduce dalla (1) molt iplicando per un numero 0k cioè l equazione 022 kckbykaxkykx si chiama equazione
generale della circonferenza.
1.3 CONDIZIONE PERCHÉ UN EQUAZI ONE DEL TIPO 022 cbyaxyx
RAPPRESENTI UNA CIRCONFERENZA.
Esempio: 0422 yx pur essendo un equazione del t ipo che abbiamo descr it t o, non
è l equazione di una cir conf er enza per ché non ha soluzioni r eali
422 yx
questo significa che nessun punto del piano ha coordinate (x,y) che soddisfino l equazione.
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L equazione ot t enut a, t enendo cont o della f or ma 222 ryx e delle r elazioni
2222
2
rc
b
a
, rappresenta una circonferenza di centro 22
baC ; e raggio
cba
r22
22
L equazione 022 cbyaxyx rappresenta una circonferenza del piano
soltanto quando 022
22
cba
. Se c< 0 allora la condizione è automaticamente
soddisfatta.
In tal caso le coordinate del centro sono 22
baC ;
e il raggio vale
cba
r22
22
Possiamo inoltre dire che:
se 022
22
cba
la cir conf er enza ha r aggio nullo e l equazione divent a 022
22b
ya
x ; cioè
l equazione è soddisf at t a solo dal cent r o e la cir conf er enza degenera nel suo cent r o.
se 022
22
cba
allora la (1) non rappresenta alcuna circonferenza.
Esempio:
una equazione del t ipo 02812744 22 yxyx rappresenta una
circonferenza? Dividendo ent r ambi i membr i dell equazione per 4 e ver if icando che
022
22
cba
si ot t iene l equazione di una cir conf er enza in f or ma canonica.
In gener ale: l equazione nella f or ma 022 kckbykaxkykx è detta equazione
cartesiana generale della circonferenza.
La forma canonica si ottiene dunque dividendo per k. Riassumendo: L equazione in f or ma canonica di una cir conf er enza
022 cbyaxyx :
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è di secondo grado in x e y contiene sempre i termini x2 e y2 con coefficienti uguali a 1 manca il termine misto i coefficienti a e b dei termini di primo grado individuano la posizione del centro e possono essere nulli.
Esercizio Indicare quale fra le seguenti equazioni è quella di una circonferenza:
1. 0522 yxyx
2. 065322 22 yxyx
1.Poiché a=-1, b=1, c=5, otteniamo
04
185
4
1
4
15
2
1
2
122
il valor e ot t enut o è negat ivo,quindi l equazione non è quella di una cir conf er enza.
2.Dividiamo ambo i membri per 2:
032
5
2
322 yxyx
sostituiamo 2
3a ,
2
5b , 3c , in c
ba22
22 e otteniamo:
034
5
4
322
cer t ament e quest espr essione è posit iva, quindi l equazione dat a è l equazione di una circonferenza.
1. 4 DALL EQUAZI ONE AL GRAFICO
Per via geomet r ica ( r et t e par allele all asse y e secant i la cir conf er enza) o per via algebr ica ( assegnar e un valor e alla x e t r ovar e due valor i alla y) ci most r er à che la circonferenza non è una funzione.
Esempio: si pot r à veder e, invece, che l equazione 21 xy rappresenta una funzione.
I nf at t i l equazione ha senso solo se 1101 2 xx ; quindi il dominio è D=[-1;1].
Inoltre Dx
vale 0y . Risolvendo il sist ema 0
1 22
y
xysi ot t iene
0
122
y
yx. La
122 yx r appr esent a una cir conf er enza di cent r o in (0,0) e r aggio 1, ma t enendo
cont o che 0y si può concluder e che il gr af ico della f unzione è la semicir conf er enza
indicata in figura e il codominio è C =[0;1]
16
1.5 ALCUNI CASI PARTICOLARI Vediamo cosa accade var iando i par amet r i a,b,c dell equazione della cir conf er enza.
Tenendo conto che 022 cbyaxyx e che 22
baC ; si ottiene:
1. Se a = 0, l ascissa del cent r o vale zer o e dunque il centro della circonferenza appart iene all asse y
1
1
2. Se b = 0, l or dinat a del cent r o vale zer o e dunque il centro della circonferenza appart iene all asse delle x.
1
1
17
3. Se c = 0, l or igine degli assi soddisf a l equazione, quindi la circonferenza passa per questo punto
1
1
4. Se a = 0 c = 0 la circonf erenza ha il cent ro sull asse y e passa per l origine degli assi
1
1
5. Se b = 0
c = 0 la circonf erenza ha il cent ro sull asse x e passa per l origine
degli assi
1
1
6. Se a = 0
b = 0 si r it r ova la cir conf er enza che ha il cent ro nell origine degli assi Se anche c = 0 si ritrova la circonferenza degenere nel suo centro.
1
1
18
O
PP'
P''
Esercizi:
1.Rappresentare graficamente le seguenti circonferenze:
522 yx
022 xyx
OSSERVAZIONI GEOMETRICHE SULLA CIRCONFERENZA: Consideriamo una qualsiasi retta s passante per il centro di una circonferenza di centro C e raggio r e un suo generico punto P. Consider iamo il simmet r ico P di P r ispet t o la r et t a s e il simmet r ico P di P r ispet t o il cent r o O.
Osserviamo che:
Ogni ret ta passante per il cent ro della circonf erenza è un suo asse di simmet ria e il centro è centro di simmetria.
1.6 POSIZIONI RECIPROCHE RETTA CIRCONFERENZA.
Una retta può essere secante, tangente, esterna a seconda che la sua distanza dal centro sia minore, uguale o maggiore dal raggio. Possiamo anche dire che una retta ed una circonferenza sono:
secanti se retta e circonferenza hanno due punti d'intersezione. In questo caso la distanza dal centro è minore del raggio: Dc<r
tangenti se retta e circonferenza hanno un sol punto d'intersezione. In questo caso la distanza dal centro è uguale al raggio: Dc =r
esterne se retta e circonferenza non hanno alcun punto d'intersezione. In questo caso la distanza dal centro è maggiore del raggio: Dc >r
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Sf r ut t ando alt r e consider azioni di geomet r ia sint et ica si può r isolver e il pr oblema con un primo metodo valido solo per la circonferenza:
I metodo:
consider ando la cir conf er enza di equazione 022 cybaxyx e la r et t a di
equazione 011 cybxa conf r ont ar e la dist anza d del cent r o dalla r et t a r ispet t o al
r aggio r della cir conf er enza ( rd
o )rd
e sf r ut t ar e la f or mula della dist anza di
un punto da una retta.
21
21
10101
00
111
),(
0:
ba
cybxad
yxPpunto
cybxasretta
Si possono presentare tre casi:
1. rd , allora la retta è secante e ci sono due punti
d int er sezione A, B
2. rd , allora la retta è tangente alla circonferenza.
3. rd , allora la retta è esterna e non ci sono punti
di intersezione.
II metodo:
20
Analiticamente le coordinate dei punti d'intersezione sono la soluzione del sistema formato dalle equazioni delle due curve e cioè
Tale sistema, di secondo grado, si può risolvere con il metodo di sostituzione ed ha come equazione risolvente la seguente equazione di secondo grado
possiamo allora dire che.
1. la r et t a e la cir conf er enza sono secanti se il sist ema ammet t e due soluzioni reali e distinte, cioè se il discriminante dell'equazione risolvente è positivo
2. la r et t a e la cir conf er enza sono tangenti se il sist ema ammet t e due soluzioni reali e coincidenti, cioè se il discriminante dell'equazione risolvente è nullo
3. la r et t a e la cir conf er enza sono esterne se il sist ema non ammet t e soluzioni reali, cioè se il discriminante dell'equazione risolvente è negativo
Osservazione: Consider ando l equazione nella f or ma esplicit a: y= mx+q abbiamo escluso il caso in cui la retta sia parallela all asse y. Vedr emo t r a br eve quali conseguenze può aver e l esclusione delle r et t e par allele all asse y. Esercizio: Data la circonferenza di equazione
determina la posizione della seguente rette rispetto ad essa.
21
02943 yx
primo modo Calcoliamo la distanza della retta dal centro della circonferenza: se la distanza dal centro è minore od uguale al raggio, occorre comunque risolvere il sistema tra le due equazioni per determinarne le coordinate dei punti d'intersezioni
Calcoliamo centro e raggio della circonferenza utilizzando le solite formule
La distanza della retta dal centro della circonferenza è maggiore del raggio. La retta è esterna alla circonferenza.
secondo modo
22
C
P
C
P
CP
Impostiamo il sistema tra equazione della circonferenza ed equazione della retta.
Il discriminante dell'equazione risolvente il sistema è negativo.
La retta è esterna alla circonferenza.
1. 7 LE RETTE TANGENTI AD UNA CI RCONFERENZA E DETERMI NARE LE LORO EQUAZIONI
Consider iamo adesso il pr oblema di t r ovar e le t angent i condot t e da un punt o ad una
circonferenza . Sia g una circonferenza di equazione 022 cbyaxyx e sia
P(x0, y0 ) un punt o del piano. Consider iamo gli event uali punt i di int er sezione t r a le
rette del fascio di centro P e la circonferenza data. Si possono presentare tre casi:
1. P è interno a g :ogni retta condotta per P è secante g
2. P appartiene a g: esiste una e una sola retta per P e tangente a g;
3. P è esterno a g: è possibile condurre per P due rette tangenti a g;
23
Dato un punto P si considera il fascio proprio di rette per quel punto: tra queste rette si cer cano quelle t angent i. I n pr imo luogo dunque si dovr à r icor dar e l equazione del f ascio pr opr io di r et t e passant i per il punt o ),( 00 yxP :
)(0)()( 000000 implicitaformamxyymxxxmyyxxmyy
e la
f or mula della dist anza di un punt o P(x0;y0) da una r et t a di equazione ax+b y+c =0:
22'
00
'
'''
ba
cybxad
I met odo: si impone che la dist anza t r a il cent r o della cir conf er enza e la gener ica retta del fascio sia proprio uguale al raggio. I I met odo: si met t e ad int er sezione la gener ica r et t a del f ascio con l equazione della cir conf er enza ot t enendo una equazione r isolvent e di I I gr ado il cui
si pone, per la condizione di tangenza, uguale a 0 ricavando i valori di m da sostituire nel fascio:
0
)(22
00
cbyaxyx
xxmyy
ESERCIZIO
Data la circonferenza 1622 yx determinare le rette tangenti passanti per il
A(- 4,5) punto utilizzando il secondo metodo.
0940165421
54
016840101625
54
16
)4(5
222
2222222
mmmmxxm
mmxy
xmmmxmxmx
mmxy
yx
xmy
40
9
094009401615404
2222
m
mmmmmm
OSSERVAZIONE: il punt o è est er no alla cir conf er enza, quindi ci aspet t iamo di t r ovar e due t angent i ma dall equazione r isolvent e che è di pr imo grado si è ricavato un solo valor e di m. Quest o accade per ché l alt r a t angent e è par allela all asse y e quindi il valore del coefficiente angolare non è finito.
1.8 FASCI DI CIRCONFERENZE.
24
Siano C1: 011122 cybxayx e C2: 0222
22 cybxayx due circonferenze
dist int e. Consider iamo l equazione ot t enut a come combinazione linear e delle equazioni
di C1, C2 con , par amet r i r eali
022222
1122 cybxayxcybxayx (1)
Che possiamo scrivere
021212122 ccybbxaayx
al variare di , non entrambi nulli e 0 si ottengono le equazioni di infinite
cir conf er enze. L insieme di t ali cir conf er enze si dice fascio di circonferenze di
generatrici C1 e C2. In particolare se 00e la (1) rappresenta la C1, se
00e la (1) rappresenta la C2. Supposto ke0 la (1) diventa:
022222
1122 cybxayxkcybxayx
ossia 011 21212122 kccykbbxkaaykxk (2)
con 1k . L equazione (2) r appr esenta al variare di k tutte le circonferenze del
fascio generato da C1 e C2, tranne la circonferenza C2, che si otteneva per 0 ,
mentre la circonferenza C1 si ottiene per k=0.
Si possono verificare quattro diversi casi:
1° caso Siano C1 e C2 due circonferenze secanti e siano A e B i punti che esse hanno
in comune . Poiché le coor dinat e di A e B ver if icano ent r ambe l equazione di C1 e C2,
esse soddisf ano anche l equazione del f ascio. Quindi t ut t e le cir conf er enze passano
per A e B , che prendono il nome di punti base del fascio.
25
Poiché le coordinate di A e B soddisfano simultaneamente le equazioni di, esse
soddisf ano anche l equazione del fascio. Quindi tutte le circonferenze del fascio
passano per A e B, che prendono il nome di punti base del fascio.
Se 0 , cioè se k = -1, si ottiene la retta passante per A e B; tale retta si chiama
asse radicale e ha equazione:
0212121 ccybbxaa
Osser viamo che l equazione:
021212122 ccybbxaahcbyaxyx
ot t enut a come combinazione linear e dell asse r adicale e dell equazione di una delle
circonferenze, rappresenta una circonferenza passante per A e per B e quindi, al
variare di h, rappresenta tutte le circonferenze passanti per A e per B. Pertanto
l equazione del f ascio di cir conf er enze di punt i base A e B si può ottenere come
combinazione linear e t r a l equazione di una qualunque cir conf er enza passant e per A e
B e l equazione della retta AB.
2° caso Siano C1 e C2 due circonferenze tangenti in A. Ciò significa che hanno in A la
stessa retta tangente t.
26
Ragionando come nel caso precedente, il fascio generato da C1 e C2 è costituito da
tutte le circonferenze passanti per A e tangenti in A alla retta t. Il punto A è detto
punto base del f ascio. L equazione del f ascio si può ot t ener e o come combinazione
lineare delle equazioni di C1 e C2 oppure come combinazione lineare di una delle due
equazioni di C1 e C2 e dell equazione della r et t a t tangente in A,ovver o dell asse
radicale, che è la seguente:
0212121 ccybbxaa
3° caso Siano C1 e C2 due circonferenze concentriche di equazioni:
C1: 0122 cybxayx e C2: 02
22 cybxayx
L equazione del f ascio gener at o da C1 e C2 è:
0222
122 cybxayxkcybxayx
cioè: 01111 2122 kccbykaxkykxk
Per 1k si può scrivere:
01
2122
k
kccybxayx
27
equazione che rappresenta ancora una circonferenza concentrica a C1 e C2: quindi tutte
le circonferenze del fascio hanno lo stesso centro 2
,2
baC di C1 e C2.
4°caso Siano C1 e C2 due circonferenze non aventi punti in comune e non
concentriche. Il fascio di circonferenze generato da C1 e C2 si ottiene come
combinazione lineare delle equazioni di C1 e C2 , ed è costituito da circonferenze non
aventi punti in comune e non concentriche.
Scheda di laboratorio con derive.
rappresentare il fascio di circonferenze di equazione 01122 yhhxyx ,
facendo variare h da 3 a 3.
Il comando da utilizzare è : VECTOR (x^2+y^2+hx-(h+1)y-1=0,h.-3,3,1)
Si ottiene il seguente grafico:
28
Da esso notiamo che tutte le circonferenze reali del fascio passano per due punti, che
si chiamano punti base del fascio.. Un alt r a cosa che f ar emo not ar e agli allievi, è che i
centri delle circonferenze sono allineati.
1.8 APPLICAZIONI ALLA FISICA
1 - MOTO CIRCOLARE UNIFORME.
Il moto di un corpo che avviene su una traiettoria circolare (una circonferenza) con
velocità (in modulo, intensità) costante si dice moto circolare uniforme.
Si noti che ad essere costante, in questo moto, è l'intensità della velocità, cioè il
29
numero che ne rappresenta il valore. Questa precisazione è doverosa, perché in
questo moto la direzione della velocità cambia continuamente.
La velocità, come ben sappiamo, è un vettore per cui è caratterizzata da intensità,
direzione e verso.
Per il fatto che la velocità cambia di direzione, anche se non cambia in intensità, il
moto circolare uniforme è un moto accelerato.
Per definizione, un moto accelerato è un moto in cui la velocità cambia e, perché la
velocità cambi, basta che di essa cambi anche una sola delle sue "componenti"
(intensità, direzione o verso).
Possiamo allora chiamare l'intensità della velocità col nome di velocità scalare, per
distinguerla dalla velocità nel suo complesso, intesa come vettore.
Possiamo perciò ridefinire il moto circolare uniforme come quel moto su di una
circonferenza che avviene con velocità scalare costante.Definiamo alcune grandezze
relative al moto circolare uniforme :
- 1 - periodo
30
Il periodo è il tempo impiegato a fare un giro completo. Esso si misura nel S.I. in
secondi. Esso viene di solito indicato dalla lettera maiuscola T .
- 2 - frequenza
La frequenza indica il numero di giri completi effettuati nell'unità di tempo. Nel S.I.
la frequenza si misura in hertz (Hz) ed indica il numero di giri al secondo. Essa viene
di solito indicata con la lettera minuscola f o la lettera greca
.La frequenza
caratterizza in generale un fenomeno periodico qualunque.
Fra il periodo e la frequenza sussiste una relazione matematica importantissima
f = 1 / T che esprime il fatto che la frequenza è l'inverso del periodo.
- 3- velocità angolare, def init a come il r appor t o t r a l angolo descr it t o dal mobile in un cer t o int er vallo di t empo e l int er vallo st esso. Essa si indica con il simbolo , si misura in radianti/ secondo
t
Dalla formula della velocità otteniamo: rv
- 4- Accelerazione centripeta.
Il moto circolare uniforme è un moto dotato di accelerazione perché la direzione della sua velocità cambia punto per punto. Vediamo ora come si calcola questa accelerazione e le sue caratteristiche.
Consideriamo i vettori velocità nei punti A e B e chiamiamoli rispettivamente
e :
31
Per accelerazione si intende la variazione della velocità nell'intervallo di tempo t
Chiamiamo con
( delt a v ) la var iazione di velocit à f r a i punt i A e B.
Per comodità, riportiamo il vettore
nel punto A tramite uno spostamento parallelo. Otteniamo così :
Si ricordi che le intensità di
e
sono le stesse e che per fare la somma fra due vettori si deve usare la regola del parallelogramma .
Abbiamo così ottenuto il vettore variazione di velocità che appare sor pr endent ement e diretto verso il centro della circonferenza lungo la quale
avviene il moto. Se poi dividiamo questo vettore per l'intervallo di tempo t in cui il punto va da A a B , ot t eniamo inf ine l acceler azione cer cat a che è essa st essa un vettore che ha la stessa direzione e verso (poiché il tempo per cui dividiamo è un numero positivo)
del vettore variazione di velocità .
L acceler azione r isult a allor a :
t
vac
32
Si not i che abbiamo indicat o l acceler azione con il pedice
c . Questo a
signif icar e che l acceler azione punt a ver so il cent r o, e per quest o è det t a accelerazione centripeta.
Questa accelerazione, in un dato punto della circonferenza, è esattamente puntata verso il centro anche se, guardando il grafico, ciò sembrerebbe vero solo approssimativamente. Nel grafico abbiamo preso due punti ( A e B ) abbast anza lont ani per mot ivi di semplicit à. Se li pr endessimo molt o vicini (inf init ament e vicini), si vedrebbe che
è diretto esattamente verso il centro e si otterrebbe allora la variazione istantanea della velocità.
L int ensit à della acceler azione centripeta è :
dove v è la velocità scalare del moto ed R il raggio della circonferenza.
Si noti anche che qui, velocità ed accelerazione sono intese come scalari (modulo).
-5-Forza centripeta.
Se un corpo si muove di moto acceler at o, ciò accade per ché esso subisce l azione di
una forza (risultante).
Per il secondo principio della dinamica, la relazione fra forza ed accelerazione è data
33
dalla formula :
F = m · a .
In questa formula F ed a sono le intensità dei rispettivi vettori. Se consideriamo a
e v , come essi in realtà sono, dei vettori, la formula diventa :
essendo la massa m uno scalare (grandezza dotata solo del un numero che la
rappresenta).
Nel moto circolare uniforme allora agisce una forza, la cosiddetta forza centripeta,
che è la causa del fatto che il corpo percorre una traiettoria circolare. Se sul corpo
non agisse nessuna forza (risultante), il corpo si muoverebbe di moto rettilineo
uniforme (primo principio della dinamica).
La forza centripeta sarà allora :
e sar à or ient at a come l acceler azione cent r ipet a, essendo la massa m un numero
positivo (moltiplicando un vettore per un numero positivo, direzione e verso del
vettore che si ottiene non cambiano).
34
L intensità della forza centripeta sarà :
.
2- MODELLI ATOMICI
I l modello at omico di Rut her f or d(1911), la cui st r ut t ur a è par agonat a ad un sist ema di pianet i (modello planet ar io), pr evedeva che gli elettroni orbitassero intorno al nucleo come i pianeti intorno al sole.
Successivament e,nel 1913, Bohr basandosi sull incompat ibilit à del modello di Rut her f or d con l elet t r omagnet ismo (gli elet t r oni sar ebber o dovut i cader e sul nucleo in un t empo molt o br eve, cont r o l evidenza sper iment ale) pr opose un modello at omico secondo il quale gli elet t r oni possono or bit ar e solt ant o su or bit e cir colar i ben def init e
at t or no al nucleo. Quando un elet t r one si t r ova su quest e or bit e possiede una cer t a ener gia che non può per der e per
ir r aggiament o di onde elet t r omagnet iche come invece pr evist o classicament e per una carica elettrica in moto accelerato.
Sommer f eld (1916)complet ò il modello di Bohr aggiungendovi le or bit e ellit t iche (uno dei due fuochi era occupato dal nucleo).
35
UNI TA DI DATTI CA 2 : L ELLI SSE
CONTENUTI:
- ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO.
- EQUAZI ONE CANONI CA DELL ELLI SSE CON I FUOCHI APPARTENENTI
ALL ASSE X.
- PROPRI ETÀ DELL ELLISSE:
1. SIMMETRIA RISPETTO AGLI ASSI CARTESIANI.
2. I NTERSEZI ONE DELL ELLISSE CON GLI ASSI CARTESIANI.
3. COORDINATE DEI FUOCHI DI UN ELLISSE DI EQUAZIONE NOTA
4. ECCENTRICITÀ.
- EQUAZI ONE CANONI CA DELL ELLI SSE CON I FUOCHI APPARTENENTI
ALL ASSE Y.
- INTERSEZIONI DI UNA RETTA CON UN ELLI SSE.
- RETTE TANGENTI AD UN ELLI SSE.
- CONDIZIONI PER DETERMI NARE L EQUAZI ONE DI UN ELLI SSE.
- APPLICAZIONI INTERDISCIPLINARI
SVILUPPO DEI CONTENUTI:
2.1 ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO
DEFINIZIONE: Assegnati due punti del piano 21 e FF , detti fuochi , si chiama ellisse
il luogo geomet r ico dei punt i P t ali che sia cost ant e la somma delle dist anze di P da
21 e FF ; ossia
Ellisse = 0 ,2 piano, del punti 21 aaaPFPFP .
(Ricor diamo che si chiama luogo geomet r ico l insieme di t ut t i e soli punt i che godono
di una certa proprietà geometrica).
SCHEDA DI LABORATORIO utilizzando il software Cabri Gèometrè.
36
F1 F2
A
P
COSTRUZIONE GEOMETRICA A PARTIRE DA UNA CIRCONFERENZA
Si disegna una cir conf er enza di cent r o un punt o 1F e r aggio a piacer e ed un punt o 2F
interno alla circonferenza. Preso un punto A sulla circonferenza si traccia la retta 1AF
e l asse del segment o 2AF . I l lor o punt o di int er sezione P appar t iene ad un ellisse di
fuochi 1F e 2F .
Not a didat t ica. E ben f ar not ar e alla classe che al var iar e del punt o A sulla
cir conf er enza la somma delle dist anze del punt o P da F1 ed F2 è uguale al r aggio della
circonferenza.
Si può dimostrare inoltre che: l asse del segment o 2AF è t angent e all ellisse.
2. 2 EQUAZI ONE CANONI CA DELL ELLI SSE CON I FUOCHI APPARTENENTI
ALL ASSE X
Consider iamo un ellisse di f uochi F1 e F2. I l punt o medio del segment o F1 F2 si chiama
cent ro dell ellisse.
Indichiamo con:
2c con c 0, c la distanza tra F1 e F2, detta distanza focale;
scegliamo un oppor t uno sist ema di assi car t esiani Oxy in modo che i due f uochi
dell ellisse st iano sull asse delle x e siano equidist ant i dall or igine.
Vediamo or a come det er minar e l equazione dell ellisse r ispet t o a t ale r if er iment o.
Indichiamo con:
37
2a con a 0, a la somma cost ant e delle dist anze dei punt i dell ellisse dai
fuochi.
Poiché abbiamo indicato la distanza focale con 2c, le coordinate dei fuochi saranno:
0,con )0,( e )0,( 21 cccFcF
I ndicat o con ),( yxP un gener ico punt o del piano, calcoliamo le dist anze del punt o dai
fuochi:
221 )( ycxPF e 22
2 )( ycxPF
Poiché ),( yxP appar t iene all ellisse se solo se :
aPFPF 221 con a 0, a ,
sost it uendo in quest ult ima uguaglianza le espr essioni di 1PF e 2PF , otteniamo:
aycxycx 2)()( 2222
che è già l equazione dell ellisse. Cer chiamo or a di scr iver la in una f or ma più semplice,
in modo che non contenga radicali.
Isoliamo un radicale ed eleviamo entrambi i membri al quadrato:
,)(2)( 2222 ycxaycx
,])(2[)( 22222 ycxaycx
Svolgendo i calcoli e semplificando si ha:
222 )(444 ycxaaxc
Isoliamo il radicale e dividiamo per 4:
cxaycxa 222)(
Eleviamo al quadrato entrambi i membri:
).()( 22222222 caayaxca
A quest o punt o è impor t ant e f ar not ar e agli st udent i che pur elevando al quadr at o i
membr i dell equazione ir r azionale non si int r oducono soluzioni est r anee.
38
OF2 (- c ; 0) F1 (c ; 0)
P (x ; y)
y
x
Poiché in un t r iangolo ogni lat o è minor e della somma degli alt r i due, consider at o il
triangolo 21FPF deve essere:
,2121 FFPFPF
e quindi:
,22 ca
ossia la relazione tra a e c è:
,ca
è anche
22 ca
e quindi
022 ca
Poniamo:
222 bca
L equazione divent a:
222222 bayaxb
Dividiamo tutti i termini per 22ba :
12
2
2
2
b
y
a
x
che si dice equazione canonica o normale dell ellisse.
2. 3 PROPRI ETÀ DELL ELLISSE:
1. SIMMETRIA RISPETTO AGLI ASSI CARTESIANI
39
x
y
O
P1 (x1 ; y1) P2 (-x1 ; y1)
P3 (x1 ; -y1)P4 (-x1 ; -y1)
Nell equazione dell ellisse le var iabili x e y compaiono solo elevat e al quadr at o. Se
consider iamo un punt o dell ellisse ),( 111 yxP appartiene all ellisse anche il punt o
),( 112 yxP
che ha la stessa ordinata e ascissa opposta.
Per verificarlo, basta osservare che,
essendo 21
21 xx ,
se 12
21
2
21
b
y
a
x, con ),( 111 yxP appartenente all ellisse
anche 1)(
2
21
2
21
b
y
a
x e quindi ),( 112 yxP appar t iene all ellisse.
Dal punt o di vist a geomet r ico, ciò signif ica che l ellisse ha come asse di simmet ria
l asse y.
Analogament e, se ),( 111 yxP è un punt o dell ellisse, lo è anche il punt o ),( 113 yxP
che
ha la st essa ascissa e or dinat a oppost a. Da un punt o di vist a geomet r ico, ciò signif ica
che l ellisse ha come asse di simmet ria anche l asse x.
Allo st esso modo, se ),( 111 yxP è un punt o dell ellisse lo è anche il punt o ),( 114 yxP
che ha ascissa e or dinat a oppost e. Quindi P1 e P4 sono simmet r ici r ispet t o all or igine.
L ellisse ha come cent ro di simmet ria l origine degli assi.
40
F1F2
A1 (a ; 0)A2 (-a ; 0)
B1 (0 ; b)
B2 (0 ; -b)
x
y
O
L ellisse è una curva simmet rica rispet to a ciascuno degli assi coordinat i e rispet to
all origine.
L or igine 0 si dice il centro dell ellisse e i due assi coor dinat i x e y si dicono assi
dell ellisse.
2. I NTERSEZI ONE DELL ELLI SSE CON GLI ASSI CARTESI ANI
Per det er minar e le int er sezioni di un ellisse con l asse x e con l asse y, met t iamo a
sist ema l equazione dell ellisse con l equazione dell asse x e con l asse y, cioè risolviamo i
seguenti sistemi:
0
12
2
2
2
yb
y
a
x
0
12
2
ya
x
0
22
y
ax
0y
ax
0
12
2
2
2
xb
y
a
x
0
12
2
xb
y
0
22
x
by
0x
by
I punt i 0,1 aA e 0,2 aA
sono le int er sezioni dell ellisse con l asse x,ment r e i punt i
bB ,01 e bB ,02 sono le int er sezioni dell ellisse con l asse y
41
F1F2
A1 (a ; 0)A2 (-a ; 0)
B1 (0 ; b)
B2 (0 ; -b)
x
y
O
x = a
y = b
y = -b
x = - a
Questi quattro punti si dicono i vertici dell ellisse.
I l segment o aAA 221
cont enent e i f uochi pr ende il nome di asse maggiore poiché
a > b, ment r e il segment o bBB 221
è det t o asse minore; a e b r appr esent ano allor a la
metà delle misure dei due assi e si dicono brevemente i semiassi dell ellisse.
3. LI MI TAZI ONI DELL ELLI SSE
Disegniamo il rettangolo con i lati paralleli agli assi cartesiani, ognuno passante per uno
dei quat t r o ver t ici A1, A2, B1 e B2: t ut t i i punt i dell ellisse sono all int er no di quest o
rettangolo.
Per ver if icar e quest a af f er mazione, nell equazione canonica dell ellisse isoliamo y2 e
otteniamo: 12
2
2
2
b
y
a
x
2
2
2
2
1a
x
b
y 22
2
22 xa
a
by ;
e con ragionamento analogo isoliamo x2 :
12
2
2
2
b
y
a
x
2
2
2
2
1b
y
a
x 22
2
22 yb
b
ax ;
Siccome i membr i dell uguaglianza possono esser e posit ivi o nulli. I n par t icolar e si
verifica che
022 xa e 022 yb
Infatti:
42
x
y1
-1
2-2
A1 A2
B2
B1
O
Nel caso 022 ax abbiamo 022 ax . Poiché 022 ax per ax
e la
disequazione è verificata per valori interni, si ha:
axa
Con ragionamenti analoghi isolando x2 nel caso 022 yb si ottiene
byb
L ellisse è quindi inscr it t a nel r et t angolo che ha i lat i di equazioni
ax , e by .
Esempio
1. Nell ellisse di equazione 14
22
yx
2a e 1b
I ver t ici sono ),0,2(1A )0,2(2A , )1,0(1B , )1,0(2B . Tut t i i punt i dell ellisse sono
all int er no del r et t angolo i cui lat i passano per ver t ici e misur ano 2 e 4.
4. ECCENTRICITÀ
I l r appor t o f r a la dist anza f ocale e la lunghezza dell asse maggior e di un ellisse è
detto eccentricità ed è solitamente indicato con la lettera e:
maggiore assedell' lunghezza
focale
distanzae
L eccent r icit à e indica la forma più o meno schiacciat a dell ellisse sull' asse maggior e.
43
Nell ellisse con i f uochi sull asse x, la distanza focale è 2c ment r e la lunghezza dell asse
maggiore è 2a, quindi l eccent r icit à è dat a dal r appor t o a
c
2
2, ossia:
e = a
c.
Essendo 222 cab , cioè 222 bac da cui 2_2 bac
si avrà
2
222
1a
b
a
bae
e le coor dinat e dei f uochi di un ellisse di equazione not a sono:
0,221 baF e 0,22
2 baF .
Poiché ac
si ha:
.10 e
Osservazione didattica.
Consider iamo il caso in cui sia 0c e quindi i f uochi siano due punt i coincident i
(coincidono con il centro) allora si ha e = 0.
I nolt r e dalla r elazione 222 bac , essendo 0c , si ha 22 ba
e l equazione canonica
dell ellisse divent a
222 ayx .
Quest a equazione r appr esent a una cir conf er enza di cent r o l or igine e r aggio a; quindi
la cir conf er enza si può consider ar e come un caso par t icolar e di un ellisse i cui f uochi
coincidono col centro.
Nel caso limite di e = 1 , si ha c = a (fuochi nei due vertici) e b = 0. L ellisse, r iducendosi
all asse maggior e, divent a degenere.
Osser vazione didat t ica. Essendo 2
2
1a
be , si r icava che, quant o più il r appor t o
a
b si
avvicina a zer o, cioè quant o più a è gr ande r ispet t o a b, t ant o più l eccent r icit à si
avvicina a 1.
44
e = 0
A1 A2 x
y
F1 = F2
a
x
y
e = 0,8
b
A1 A2
F1 F2OO a A1 A2
F1 F2
O
e = 0,99
x
y
x
y
OA1 A2
F1 F2
e = 1
aa
c d
Concludendo, se nella def inizione di ellisse si compr ende anche il caso c = 0 per
l eccent r icit à vale la r elazione:
.10 e
2. 4 EQUAZI ONE CANONI CA DELL ELLI SSE CON I FUOCHI APPARTENENTI
ALL ASSE Y
Det er miniamo l equazione canonica dell ellisse con i f uochi sull asse y. I l pr ocediment o
è analogo a quello usat o per l ellisse con i f uochi sull asse x.
Consider iamo un ellisse e indichiamo con:
2c con c 0, c la distanza tra F1 e F2, detta distanza focale;
scegliamo un oppor t uno sist ema di assi car t esiani xOy in modo che i due f uochi
dell ellisse st iano sull asse delle y e siano equidist ant i dall or igine.
Vediamo or a come det er minar e l equazione dell ellisse r ispet t o a t ale r if er iment o.
I n quest o caso, diver sament e dal pr ecedent e pr ocediment o vist o per l ellisse con i
f uochi sull asse x, indichiamo con:
2b con b 0, b la somma cost ant e delle dist anze dei punt i dell ellisse dai
fuochi.
Poiché abbiamo indicato la distanza focale con 2c, le coordinate dei fuochi saranno:
),0(1 cF e ),0(2 cF 0,con cc .
45
x
y
O
A2 (-a ; 0) A1 ( a ; 0)
B1 (0 ; b)
B2 (0 ; -b)
F1 (0 ; c)
F2 (0 ; -c)
P
Indichiamo con ),( yxP il punt o gener ico dell ellisse, ver if icant e cioè la condizione:
bPFPF 221 con b 0, b .
e si pone
222 acb 222 cab 22 ab ab
Con calcoli analoghi a quelli ef f et t uat i per l ellisse con i f uochi sull asse x si ot t iene
l equazione canonica dell ellisse:
12
2
2
2
b
y
a
x
L equazione ot t enut a è uguale a quella che ha i f uochi sull asse x.
Osser vazione didat t ica.
Poiché ab risulta 2121 AABB
e quindi 21BB è det t o asse
maggiore e 21 AA è detto asse minore.
PROPRIETÀ
Anche l ellisse con i f uochi sull asse y:
46
è simmet r ica r ispet t o agli assi car t esiani e il cent r o di simmet r ia e l or igine
degli assi;
ha vertici nei punti 0,1 aA , 0,2 aA , bB ,01 , bB ,02 ;
è inscritta nel rettangolo che ha i lati di equazioni ,ax by .
Poiché 222 acb , si ha 222 abc , da cui 22 abc , quindi le coordinat e dei
f uochi di unellisse di equazione not a sono:
221 ,0 abF , 22
2 ,0 abF
L eccent r icit à per l ellisse con i f uochi sull asse y, essendo 2b la lunghezza dell asse
maggiore, è:
2
222
1b
ab
abbc
e .
2.5 INTERSEZIONI DI UNA RETTA CON UN ELLI SSE
Dat a un ellisse di equazione E 1:2
2
2
2
b
y
a
x e una r et t a r di equazione qmxy , vi sono
tre possibili posizioni di r rispetto a E:
r è secante E, cioè la interseca in due punti distinti
r è tangente E, cioè la interseca in un punto (con molteplicità due)
r è esterna a E, cioè non la interseca in alcun punto.
Dal punt o di vist a analit ico, le event uali int er sezioni t r a l ellisse E e la r et t a r si
trovano risolvendo il sistema formato dalle due equazioni:
.
12
2
2
2
qmxyb
y
a
x
Tale sist ema si r isolve sost it uendo alla y, nella pr ima equazione, l espr essione qmx .
Si ot t iene così l equazione risolvente del sistema:
0)(2 22222222 bqamqxaxmab
Quest a, (oppor t unament e sviluppat a e or dinat a) è un equazione di secondo gr ado.
47
x
y
r
O
P0
I ndicando con
il discr iminant e
dell equazione r isolvent e, si possono
verificare i seguenti tre casi:
0 in t al caso il sist ema ammet t e
due soluzioni r eali; quest o signif ica
che la r et t a r e l ellisse E hanno due punt i
in comune, le cui coor dinat e sono le
soluzioni del sist ema, ossia che la r et t a r
è secante E.
Quindi abbiamo:
0
21 , PPrE con P1
P2
0
in tal caso il sistema ammette
due soluzioni reali e coincidenti, ossia
la retta r è t angent e all ellisse E, avendo
un solo punto in comune con essa.
0
PrE
0
in t al caso il sist ema non ha soluzioni r eali, cioè non esist ono punt i in
comune tra la retta r e l ellisse E; la retta è perciò esterna a E.
0
rE
A quest o punt o si f a osser var e agli allievi che consider ando l equazione della r et t a r in
f or ma esplicit a: qmxy , abbiamo escluso in caso in cui la r et t a r sia par allela
x
y
r
O
P1
P2
x
y
r
O
48
all asse y. Vedr emo t r a br eve quali conseguenze può aver e l esclusione delle r et t e
par allele all asse y.
Esempio
1. St udiamo che posizione ha la r et t a di equazione 062yx r ispet t o
all ellisse 1918
22 yx.
Svolgimento. Risolviamo il sistema:
062
1918
22
yx
yx
Ricaviamo la x dalla seconda equazione, sost it uiamo in quella di secondo gr ado e
svolgiamo i calcoli. Ot t eniamo l equazione r isolvent e:
018246 2 yy 0342 yy .
I l discr iminant e dell equazione è 04 .
L equazione ha per ciò le due soluzioni dist int e 11y e 32y e dunque la r et t a
int er seca l ellisse nei due punt i A(4, 1) e B(0, 3).
2.6 RETTE TANGENTI AD UN ELLI SSE
Siano E un ellisse di equazione 12
2
2
2
b
y
a
x e ),( 00 yxP un punt o del piano. Vogliamo
determinare le equazioni delle eventuali rette tangenti a E condotte da P.
Geometricamente possono verificarsi tre casi:
1. P è int er no a E; ogni r et t a P è allor a secant e E, quindi non è possibile condur r e
alcuna tangente per P;
x
y
O
P
49
2. P appartiene a E; esiste quindi una e una sola retta per P tangente a E;
3. P è esterno a E; è perciò possibile condurre due rette per P tangenti a E; t1 e t2.
Per det er minar e le r et t e t angent i nei casi 2 e 3, è suf f icient e impor r e la condizione
che la r et t a gener ica per P di equazione )( 00 xxmyy
abbia una sola int er sezione
con E. Perché ciò avvenga, l equazione r isolvent e il sist ema:
x
y
O
P
x
y
O
P
50
)(
1
00
2
2
2
2
xxmyyb
y
a
x
deve aver e r adici r eali e coincident i. Per t ant o la condizione da impor r e è: 0
(dove
è il discr iminant e dell equazione r isolvent e).
Proponiamo agli studenti i seguenti esempi.
Esempio
1. Vogliamo scr iver e le equazioni delle t angent i all ellisse 44 22 yx
condotte dal punto P (3,0).
Svolgimento. Scr it t a l equazione della r et t a gener ica passant e per P:
)3(xmy
imponiamo che il sistema:
)3(
44 22
xmy
yx
ammet t a soluzioni coincident i. Eliminando la var iabile y, si ot t iene l equazione
risolvente:
.043624)41( 2222 mxmxm
La condizione di tangenza, 0 , è allora la seguente:
0)436)(41(1444
224 mmm
cioè:
041636 22 mm
da cui si ottiene:
55
1m .
Pertanto le equazioni delle rette tangenti sono:
5
53
5
5:1 xyt .
5
53
5
5:2 xyt
51
Esempio
2. Det er miniamo le equazioni delle event uali r et t e t angent i condot t e dal
punto P(-3 2 , 1) all ellisse di equazione E: .1218
22 yx
Not a didat t ica. I n gener ale se si consider a il f ascio di r et t e r appr esent at o in f or ma
esplicit a cioè con un equazione del t ipo )( 00 xxmxy
sar ebbe oppor t uno
immediat ament e ver if icar e se la r et t a di equazione 0xx
è soluzione del pr oblema, e
in seguito trovare le eventuali altre rette che soddisfano le condizioni del problema.
Svolgimento. Per det er minar e le equazioni delle rette t1 e t2 condot t e da P e t angent i
a E, scr iviamo l equazione della r et t a gener ica per P:
)23(1 xmy
e imponiamo che il sistema:
ammet t a soluzioni coincident i. Eliminando la var iabile y, si ot t iene l equazione
risolvente:
.0)12618(9)123(18)91( 222 mmxmmxm
La condizione di tangenza: 0 è quindi:
0)12618)(91(9)123(814
2222 mmmmm
cioè
12
2m
Osser viamo che in quest o caso l equazione in m è di pr imo gr ado e quindi f or nisce un
solo valor e di m: 12
2m , che è la pendenza di una delle r et t e t angent i cer cat e, e
precisamente della tangente t2 : 2
3
12
2xy .
)23(1
1218
22
xmy
yx
52
O x
y
P ( -3 21/2 ; 1 )
x2/18 + y2/2 = 1
x + 3 21/2 = 0
12y - 21/2x -18 = 0
Quest o non signif ica che esist e una sola t angent e a E condot t a per P (P è est er no
all ellisse e per un punt o est er no ad un ellisse è possibile condur r e due r et t e dist int e
t angent i ad essa), ma signif ica che la t angent e t1 è par allela all asse y (t1 : 3x 2 ).
I nf at t i, consider ando l equazione di una gener ica r et t a per P nella f or ma
)23(1 xmy , abbiamo escluso la r et t a per P par allela all asse y, che è pr opr io la
seconda retta tangente cercata.
2.7 CONDIZIONI PER DETERMI NARE L EQUAZI ONE DI UN ELLI SSE
Det er minar e l equazione di un ellisse signif ica det er minar e i due coef f icient i a, b che
compaiono nell equazione
12
2
2
2
b
y
a
x
Pertanto occorrerà fornire due condizioni tra loro indipendenti, ad esempio:
1. Passaggio dell ellisse per due punt i (non simmet r ici r ispet t o agli assi o
r ispet t o all or igine;
2. conoscenza della coordinata di un fuoco e di un vertice (o semiasse);
3. conoscenza dell eccent r icit à e passaggio per un punt o;
4. conoscenza della misur a di un semiasse e dell eccent r icit à;
53
1
1
F1
v
F2
F'1 F'2
P
P'
5. conoscenza delle lunghezze dei due semiassi;
6. passaggio dell ellisse per un punt o e si conoscono le coor dinat e di un
fuoco (o di un vertice).
Nota didattica. La lunghezza di un semiasse è uguale, a meno del segno, alla coordinata
non nulla dei ver t ici che si t r ovano su t ale asse; quindi le coor dinat e di un ver t ice e la
lunghezza di un semiasse f or niscono la st essa condizione. Le coor dinat e di un f uoco o
un vertice corrispondono a una sola condizione.
2.8 ELLISSE TRASLATA
L ellisse t ale che aPFPF 221 di equazione canonica 12
2
2
2
b
y
a
x può essere
trasformata con una traslazione di vettore v : la curva che si ottiene è ancora una ellisse.
Infatti, poiché la traslazione conserva le distanze fra punti risulta
aPFPFFPFP 2'''' 2121
ma l ellisse ot t enut a non ha più il cent r o coincident e con l or igine degli assi car t esiani.
Det er miniamo la sua equazione: dalle equazioni della t r aslazione di vet t or e ),( qpv ,
qyy
pxx
'
' ricaviamo la x e la y
qyy
pxx
'
'
Sost it uendo nell equazione 12
2
2
2
b
y
a
x otteniamo
1''
2
2
2
2
b
qy
a
px
54
Quindi l equazione gener ale cer cat a è
che ha cent r o O nel punt o di coor dinat e (p; q).
se a > b i f uochi F1 e F2 appar t engono alla r et t a par allela all asse x di equazione y = q e poiché il cent r o O è il punt o medio del segment o F1F2 = 2c si avrà
F1(p - c; q) e F2(p + c; q) con c2 = a2 b2
se a < b i f uochi F1 e F2 appar t engono alla r et t a par allela all asse y di equazione x = p e si avrà
F1(p; q - c) e F2(p; q + c) con c2 = b2 a2
2.9 APPLICAZIONI INTERDISCIPLINARI
L ellisse ha due punti particolari, che si chiamano fuochi, situati sul diametro maggiore, che godono della seguente proprietà:
La somma delle distanze dai fuochi di un qualunque punto della curva è costante
Una seconda proprietà dei fuochi di un'ellisse consiste nel fatto che la per pendicolar e all ellisse in un suo punt o qualsiasi divide per met à l angolo f or mat o dai segmenti che uniscono questo punto con i due fuochi. Di conseguenza un raggio di luce che par t e da uno dei f uochi e si r if let t e sull ellisse, passa per l alt r o f uoco. Lo stesso vale per le onde sonore se si parla, o addirittura si bisbiglia, in un fuoco di una camera a volta ellittica, le onde sonore si rifletteranno sulla volta e
12
2
2
2
b
qy
a
px
55
andr anno a concent r ar si di nuovo nell alt r o f uoco, dove possono esser e udit e da una persona che occupa quella postazione.
LE LEGGI DI KEPLERO
Dopo molti tentativi di pervenire a una teoria dei moti planetari che fosse in grado di render adeguatamente conto dei dati sul movimento dei pianeti raccolti dall'astronomo danese Tycho Brahe, nel 1600 Keplero decise di abbandonare l'ipotesi delle orbite circolari per adottare la forma ellittica. Ne risultarono le famose tre leggi che portano il suo nome:
I Legge Ogni pianeta si muove lungo un'orbita ellittica di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.
II Legge La retta (raggio vettore) che congiunge ciascun pianeta al Sole descrive aree uguali in tempi uguali. Questo significa che ogni pianeta percorre più rapidamente i tratti di orbita che si trovano più vicini al Sole (perielio) rispetto a quelli più distanti (afelio). Quindi la velocità orbitale di un pianeta è massima quando si trova al perielio, poi decresce man mano che si allontana e diventa minima quando si trova all'afelio.
III Legge Il quadrato del periodo di rivoluzione di ciascun pianeta è proporzionale al cubo della distanza del pianeta dal Sole. In altre parole: il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta (T) e il cubo della distanza media (d) di un pianeta dal Sole è costante. Questa legge prevede che, via via che ci si allontana dal Sole, indipendentemente dalla massa del pianeta, il tempo per compiere una rivoluzione completa diviene sempre più grande. Pertanto Mercurio è il pianeta più veloce, mentre Plutone è il più lento.
Queste leggi furono inizialmente ricavate in maniera empirica a partire dai dati
56
sperimentali, e solo con la teoria della gravitazione universale di Newton trovarono una sufficiente spiegazione teorica.
Newton dimostrò che i corpi che cadono sulla Terra e il moto dei corpi celesti obbediscono agli stessi principi fisici. Tutti i corpi materiali, secondo tale teoria, si attraggono con una forza che è direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza che separa i loro centri, secondo la formula:
G = m1 x m2 / d2
I corpi celesti,dunque, sono soggetti alla forza di gravità e le loro orbite possono essere ellissi, parabole o iperboli. I pianeti percorrono orbite ellittiche, le comete di lungo periodo hanno traiettorie che vicino al Sole sono assimilabili a traiettorie paraboliche.
UNITÀ DIDATTICA 3: LA PARABOLA
CONTENUTI:
LA PARABOLA COME LUOGO GEOMETRICO
EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE DI SIMMETRIA PARALLELO
ALL ASSE y
57
EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE DI SIMMETRIA PARALLELO
ALL ASSE x
INTERSEZIONE DI UNA PARABOLA CON UNA RETTA
RETTE TANGENTI A UNA PARABOLA
CONDI ZI ONI PER DETERMI NARE L EQUAZI ONE DI UNA PARABOLA
PROPRIETÀ FOCALE DELLA PARABOLA
PARABOLE SOVRAPPONIBILI
APPLICAZIONI INTERDISCIPLINARI
SCHEDE DI LABORATORIO
SVILUPPO DEI CONTENUTI:
3.1 LA PARABOLA COME LUOGO GEOMETRICO
Fissiamo nel piano una retta d e un punto F non appartenente alla retta.
La parabola si definisce come il luogo dei punti equidistanti dalla retta d e dal punto F,
ossia:
parabola = PHP PFpiano, del punti
dove PH è la distanza di P dalla retta d.
La r et t a d viene chiamat a direttrice della par abola e il punt o F viene chiamat o f uoco
della parabola.
SCHEDA DI LABORATORIO CON CABRI GEOMETRE
Ora costruiamo la parabola, attraverso il comando LUOGO.
Tr acciamo una r et t a d (dalla casella degli st r ument i r et t e) e un punt o F (casella
punti)
58
Pr endiamo un punt o H appar t enent e alla r et t a d con il comando Punt o su un
ogget t o che si t r ova nella casella degli st r ument i Punt i ;
Tr acciamo il segment o FH con il comando Segment o appar t enent e alla casella
degli st r ument i Ret t e (bast a cliccar e sui due punt i F e H);
Tr acciamo l asse al segment o FH ossia la r et t a per pendicolar e passant e per il
punto medio M;
Per t r ovar e il punt o medio ut ilizzar e il comando Punt o Medio dalla casella degli
st r ument i Ret t e ; ut ilizziamo il comando Ret t a per pendicolar e dalla casella
degli st r ument i Cost r uzioni
cliccando sul segment o FH e poi sul punt o medio
M;
Tr acciamo la r et t a s passant e per il punt o H e per pendicolar e alla r et t a d; per
t r acciar e la per pendicolar e bisogna seguir e lo st esso pr ocediment o appena
fatto;
Chiamiamo P il punt o di int er sezione t r a l asse del segmento FH e la retta s;
Or a, per t r acciar e la par abola, ut ilizzar e il comando Luogo della casella degli
st r ument i Cost r uzioni ; clicchiamo sul punt o P, poi su H poiché la par abola è il
luogo dei punti P al variare di H sulla retta d.
d
F
H
M
P
59
Lo st esso r isult at o lo si può ot t ener e con il comando Tr accia dalla casella degli
st r ument i Visualizza : cliccando su P e poi spostando il punto H.
La cost r uzione della par abola ot t enut a mediant e il comando Luogo oppur e con il
comando Tr accia
3.2 EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE DI SI MMETRI A
PARALLELO ALL ASSE y
Det er miniamo l equazione di una par abola avent e f uoco in un punt o qualsiasi del piano e
asse par allelo all asse y. I ndichiamo con d: y = k l equazione della dir et t r ice, e con (p;q)
le coordinate del fuoco F. Poiché il fuoco non può appartenere alla direttrice q k.
Sia P (x;y) un punto qualsiasi appartenente alla parabola, allora per definizione sarà
;)()( cioé , 22 kyqypxPHPF
elevando a quadrato si ottiene
222222 222 kkyyqqyypxpx .
Semplif icando e r isolvendo quest ult ima r ispet t o a y otteniamo:
2222 2)(2 kqppxxykq
ed essendo q k , si ha
.)(2)(2
1 2222
kq
kqpx
kq
px
kqy
F(p;q)
d:
H
P(x;y)
O
y=k
x
y
60
Ponendo )(2
, ,)(2
1 222
kq
kqpc
kq
pb
kqa
ot t eniamo l equazione della
parabola cbxaxy 2 con 0a
che r appr esent a una par abola con dir et t r ice par allela all asse delle x e asse di
simmet r ia par allelo all asse delle y.
Esempio:
Det er minar e l equazione della par abola con f uoco F(1,2) e direttrice y = 3.
Dalla definizione di parabola, ne segue che .3)2()1( 22 yyx
Sviluppando ed elevando a quadr at o quest ult ima ot t eniamo
964412 222 yyyyxx
da cui semplificando abbiamo
.22
1 2 xxy
Con quest o esempio, abbiamo vist o come sia possibile det er minar e l equazione di una
parabola dato il fuoco e la direttrice.
Or a ci pr oponiamo di r isolver e il pr oblema inver so, ossia dat a l equazione della
par abola, det er minar e il f uoco, la dir et t r ice, il ver t ice e l asse di simmet r ia.
Dati a, b e c i coefficienti della parabola, con 0a , ricaviamo p, e k dal sistema:
.)(2
)(2
1
222
kq
kqpc
kq
pb
kqa
Svolgendo i calcoli abbiamo subito:
61
2
222222
222
4
2
2
1
2
2
1
,)(2
2
2
1
a
b
a
ckq
a
bp
akq
kqpa
ca
bp
akq
kqpkqc
a
bp
akq
ed essendo
22
2
2
2
2
2
44
4
4
4
4 aa
acb
a
bac
a
b
a
c
otteniamo
.2
)(
2
2
1
,42
1)(
2
2
1
,4
))((
2
2
1
22 akq
a
bp
akq
aakq
a
bp
akq
akqkq
a
bp
akq
Ora, sommando e sottraendo la prima e la terza equazione si ha
1 1, , k .
2 4 4
bp q
a a a
Per t ant o il f uoco ha coor dinat e: ,4
1,
2,
aa
bqpF
la dir et t r ice ha equazione
aky
4
1, e l asse di simmet r ia ha equazione .
2a
bax
Poiché il ver t ice V è il punt o della par abola appar t enent e all asse di simmet r ia, la sua
ascissa è abx 2/ , ment r e la sua or dinat a si ot t iene sost it uendo il valor e dell ascissa
nell equazione della par abola e ot t eniamo .44
4
22
22
aa
acbc
a
bb
a
bay
Quindi il vertice V è il punto
.4
,2 aa
bV
62
OSSERVAZIONE: l or dinat a del ver t ice può esser e t r ovat a in modo più semplice,
andando a sost it uir e il valor e dell ascissa nell equazione della par abola.
I nolt r e, il ver t ice è il punt o più impor t ant e della par abola in quant o appar t iene all asse
di simmetria e la curva è quindi simmetrica rispetto a questo punto.
Riassumiamo tutto quello che abbiamo fin qui detto nella seguente tabella:
Equazione della
parabola
Asse di
simmetria
Vertice Fuoco Direttrice
cbxaxy 2
a
bx
2
aa
b
4,
2
aa
b
4
1,
2
ay
4
1
3. 3 LA CONCAVI TA E L APERTURA DELLA PARABOLA CON ASSE DI
SI MMETRI A PARALLELO ALL ASSE Y.
Essendo 1
2( )a
q k si possono verificare i due casi seguenti:
o 0a q k
I n quest o caso t ut t i i punt i della par abola si t r ovano al di sopr a
della direttrice;
dir emo allor a che la par abola ha la concavit à ver so l alt o, ossia volge nella dir ezione
posit iva dell asse y .
63
o 0a q k
I n quest o caso t ut t i i punt i della par abola si t r ovano al di sot t o
della direttrice;
diremo allor a che la par abola ha la concavit à ver so il basso, ossia nella dir ezione
negat iva dell asse y .
64
I nolt r e l aper t ur a della par abola dipende dal valor e assolut o di a, all aument ar e del
quale diminuisce l aper t ur a della par abola, ossia la par abola si st r inge int or no al
proprio asse.
OSSERVAZIONE:
Se il coef f icient e b è nullo l equazione divent a: caxy 2
La par abola ha ver t ice in V(0,c) e il suo asse di simmet r ia è l asse y.
Se il t er mine not o c è nullo l equazione divent a bxaxy 2 ,la parabola ha
vertice in Va
b
a
b
4,
2
2
Se i coef f icient i b e c sono ent r ambi nulli l equazione
diventa2axy par abola con ver t ice nell or igine e asse di simmet r ia
coincident e con l asse y.
3.4 EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE DI SIMMETRIA PARALLELO
ALL ASSE x
Supponiamo or a che la dir et t r ice d sia par allela all asse y anziché all asse x. Sia x = k
la sua equazione e sia F(p,q) il fuoco con .kp
Con lo st esso pr ocediment o eseguit o nel caso pr ecedent e, oppur e, consider ando la
cur va simmet r ica alla par abola cbxaxy 2 , r ispet t o alla biset t r ice del pr imo e
terzo quadrante, cioè scambiando x con y, si ver if ica f acilment e che l equazione di una
par abola con asse par allelo all asse x è la seguente:
cbyayx 2 .
Con calcoli come i precedenti possiamo ottenere quanto segue:
Equazione della
parabola
Asse di
simmetria
Vertice Fuoco Direttrice
cbyayx 2
a
by
2
a
b
a 2,
4
a
b
a 2,
4
1
ax
4
1
65
OSSERVAZIONE:
Come nel caso della par abola con asse di simmet r ia par allelo all asse delle y, per
t r ovar e l ascissa del ver t ice, si può andar e a sost it uir e il valor e dell or dinat a
nell equazione.
3. 5 CONCAVI TA DELLA PARABOLA CON ASSE DI SI MMETRI A PARALLELO
ALL ASSE X.
Anche qui si possono verificare due casi
o 0a La par abola ha la concavit à nella dir ezione posit iva dell asse x.
o 0a La parabola ha la concavità nella direzione negativa dell asse x.
66
OSSERVAZIONE:
l equazione di una par abola con asse di simmet r ia par allelo all asse
delle y r appr esent a una f unzione polinomiale di secondo gr ado, ed è il gr af ico di una
f unzione, ment r e l equazione di una par abola con asse di simmet r ia par allelo all asse
delle x non può r appr esent ar e una f unzione, ed il suo gr af ico, non è il gr af ico di una
f unzione in quant o ad ogni x cor r ispondono due valor i di y, pr opr io come accade per la
circonferenza.
SCHEDA DI LABORATORIO: Utilizzo del software Derive
Comprendere il significato dei tre parametri a, b ,c
Consideriamo l'equazione normale di una parabola con asse parallelo all'asse y:
#1: y = ax2 + bx+ c
Prima di tutto definiamo
PARABOLA(a, b, c):
ax2 + bx + c
67
1) Facciamo variare il paramet ro a, dopo aver f issato gli alt ri due b, c,
utilizzando il comando vector:
VECTOR(PARABOLA(a, -1, 1), a, -10, 10, 1)
ove a b e a c sono st at i dat i r ispet t ivament e i valor i di -1 e 1 ment r e a lo f acciamo
variare di passo uno da -10 a 10.
Sviluppiamo l'espressione (attraverso il comando =) :
- 10·x2 - x + 1, - 9· x2 - x + 1, - 8· x2 - x + 1, - 7· x2 - x + 1, - 6· x2 - x + 1, - 5· x2 - x
+ 1, - 4· x2 - x + 1, - 3· x2 - x + 1, - 2· x2 - x + 1, - x2 - x + 1, 1 - x, x2 - x + 1, 2· x2 - x +
1, 3· x2 - x + 1, 4· x2 - x + 1, 5· x2 - x + 1, 6· x2 - x + 1, 7· x2 - x + 1, 8· x2 - x + 1, 9· x2 - x
+ 1, 10· x2 - x + 1
e plottiamo: dal grafico è facile trarre le opportune considerazioni .
Dal grafico sotto si deduce che se:
a<0 parabola volta verso il basso
a>0 parabola volta verso l'alto
Oltre alla conf er ma del signif icat o del segno di a, not iamo che all' aument ar e in valor e
assolut o di a la par abola ' si st r inge' , che al cont r ar io la cur vat ur a diminuisce al
diminuir e del valor e assolut o di a (f ino a gener ar e la r et t a y = 1-x per a=0), e inf ine
che le par abole t agliano t ut t e l' asse delle y con or dinat a uguale al t er mine not o c (nel
nostro caso 1)
68
2) Facciamo variare il paramet ro b. Ripet iamo il medesimo procedimento
attraverso il comando vector:
VECTOR(PARABOLA(1, b, 1), b, -10, 10, 1)
in cui ad a abbiamo assegnato il valore 1 ad a e c.
Di nuovo sviluppiamo :
x2 - 10·x + 1, x2 - 9·x + 1, x2 - 8·x + 1, x2 - 7·x + 1, x2- 6·x + 1, x2- 5·x + 1, x2- 4·x + 1,
x2 - 3·x + 1, x2- 2·x + 1, x2 - x + 1, x + 1, x2 + x + 1, x2 + 2·x + 1, x2 + 3·x + 1, x2 + 4·x +
1, x2 + 5·x + 1, x2 + 6·x + 1, x2 + 7·x + 1, x2 + 8·x + 1, x2 + 9·x + 1, x2 + 10·x + 1
Ora plottiamo e cerchiamo di leggere il grafico .
Cambiando b (ricorda che l'asse di simmetria ha equazione 2
bx
a), si causa uno
spostamento nella direzione dell'asse x, ma anche nella direzione dell'asse y, visto che
anche la ordinata (del vertice) dipende da b. Resta ancora fissa l'apertura della
parabola che dipende solo da a e l'ordinata del punto d'intersezione della parabola con
l'asse y che dipende solo dal valore di c.
69
3) Facciamo variare il parametro c.
Ripetiamo lo stesso procedimento attraverso il comando vector:
VECTOR(PARABOLA(1, -1, c), c, -10, 10, 1)
Semplifichiamo la scrittura precedente sempre con il comando =, ottenendo
x2 - x - 10, x2 - x - 9, x2 - x - 8, x2 - x - 7, x2 - x 6, x2 - x - 5, x2 - x - 4, x2 - x -
3, x2 - x - 2, x - x - 1, x2 - x, x2 - x + 1, x2 - x + 2, x2 - x + 3, x2 - x + 4, x2 - x + 5,
x2 - x + 6, x2 - x + 7, x2 - x + 8, x2- x + 9, x2 - x + 10
Ancora una volta plottiamo e cerchiamo di leggere il grafico.
70
Il variare del parametro c non modifica l'apertura della parabola che dipende
solamente da parametro a, non modifica la posizione dell'asse della parabola, ma causa
solamente una 'traslazione' nella direzione dell'asse y.
3.6. INTERSEZIONE DI UNA PARABOLA CON UNA RETTA.
Sia cbxaxy 2 l equazione della par abola , e sia r una r et t a di equazione
qmxy .
Le coor dinat e dei punt i di int er sezione t r a la par abola e la r et t a si det er minano
risolvendo il seguente sistema:
,
2
qmxy
cbxaxy
71
Da cui, con le opportune sostituzioni, si ricava:
,0)(2 qcxmbax
Dalla quale si ot t engono le ascisse dei punt i di int er sezione. Si consider i a quest o
punt o il discr iminant e dell equazione: )(4)( 2 qcamb
possono ver if icar si t r e
diverse situazioni:
1) 0
In questo caso ci sono due radici reali e distinte; questo vuol dire
che la retta è secante la parabola cioè:
2,1 PPr .
P1
P2 r
2) 0
I n quest o caso c è una sola soluzione doppia; quest o vuol dir e che la
retta è tangente la parabola cioè:
Pr .
P
r
3) 0
I n quest o caso non vi sono soluzioni r eali; quest o vuol dir e che la
r et t a e la par abola non hanno punt i di int er sezione. La r et t a è quindi
esterna la parabola cioè
72
r .
r
P
CASO PARTI COLARE: nel caso in cui la r et t a sia par allela all asse di simmet r ia della
par abola e il
sia uguale a 0, la r et t a non è t angent e alla par abola, ma secante in un
solo punto!
Diamo un Esempio per far comprendere questo caso particolare:
Esempio
Dat a la par abola di equazione 342 xxy e la r et t a di equazione 5x ,
determinare la posizione reciproca tra parabola e retta.
Per trovare la posizione reciproca, dobbiamo studiare il seguente sistema:
5
342
x
xxy
Come soluzione ot t eniamo il punt o (-5,2). Ma la r et t a, come si vede dalla
rappresentazione grafica, non è tangente, ma secante la parabola:
73
1
1
3.7 RETTE TANGENTI A UNA PARABOLA
Per af f r ont ar e quest o pr oblema dist inguiamo due casi, e pr ecisament e, il caso in cui il
punt o sia est er no alla par abola, e quello in cui il punt o appar t enga alla par abola
(nat ur alment e se il punt o è int er no alla par abola non esist ono t angent i uscent i da
esso).I n ent r ambi i casi è necessar io por r e uguale a zer o il discr iminant e
dell equazione r isolvent e il sist ema t r a una gener ica r et t a passant e per il punt o P(x0
;y0) e la parabola
3.8 PARABOLA TRASLATA
Vediamo come si modif ica l equazione y = ax2 di una par abola
quando il ver t ice V(0,0) e il f uoco a
F4
1,0 cambiano la lor o
posizione. Supponiamo che la dir et t r ice sia par allela all asse delle ascisse e l asse di simmet r ia sia par allelo all asse y. La par abola associat a è quella che si ot t iene da quella di par t enza per
mezzo di una t r aslazione di vet t or e ),( 0 oyxv . Le equazioni
della traslazione sono
0
0
'
'
yyy
xxx cioè
0
0
'
'
yyy
xxx. Sost it uendo nell equazione di par t enza si ottiene
che la par abola t r aslat a ha equazione 20 )( xxayy o
di ver t ice V(x0,y0) e asse di
simmet r ia par allelo all asse y di equazione x=x0. Svolgendo i calcoli otteniamo
0200
2 2 yaxxaxaxy ,
74
poiché a, x0 e y0 sono delle costanti per semplificare la scrittura possiamo porre bax02 e cyax 0
20
quindi una qualsiasi parabola con asse si simmet ria parallelo all asse delle ordinate ha una equazione del tipo
cbxaxy 2
APPLICAZIONI INTERDISCIPLINARI.
1. MOTO PARABOLICO
Fu Galileo per pr imo a st udiar e in modo scient if ico il mot o di un pr oiet t ile dimost r ar e
che la sua traiettoria è un arco di parabola.
I l mot o par abolico assume un impor t anza r ilevant e nella balistica: un proiettile lanciato
da terra dal punto O con una velocità iniziale 0v percorre una traiettoria parabolica.La
sua t r aiet t or ia è il r isult at o della composizione di due mot i che avvengono
indipendent ement e l uno dall alt r o.
Fissat o un r if er iment o car t esiano or t ogonale avent e l or igine coincident e con la posizione iniziale del pr oiet t ile, asse delle ascisse or izzont ale e asse delle or dinat e ver t icale or ient at o dal basso all alt o. St udiamo il mot o del pr oiet t ile nel caso più gener ale: quello in cui esso è lanciat o con una velocit à iniziale 0v inclinat a di un angolo
r ispet t o alla dir ezione or izzont ale. I l mot o r isult ant e è la composizione di un mot o unif or mement e acceler at o lungo l asse
75
y di velocit à iniziale senvvy 0
e acceler azione - g e di un mot o r et t ilineo unif or me
lungo l asse x di velocit à cos0vvx . Le due leggi orarie sono rispettivamente:
tvx cos0
20 2
1gttsenvy
Ricavando t dalla pr ima e sost it uendo nella seconda ot t eniamo una f or ma più gener ale
dell equazione della t r aiet t or ia: 222
1x
v
gx
v
vy
ox
y . Ponendo b=x
y
v
v e a=- 22
1
ov
g. Facciamo
osser var e che con quest a sost it uzione si ot t iene l equazione di un r amo di par abola
(poiché 0x ), la cui concavità è rivolta verso il basso (poiché a<0)
Osser viamo che a è negat ivo, per t ant o la par abola ha la concavit à r ivolt a ver so il
basso.
3. PROPRIETÀ FOCALE DELLA PARABOLA
In ogni punto P della parabola, gli angoli che la tangente forma con la retta congiungente P e il fuoco F e che la tangente forma con la retta perpendicolare per P alla direttrice hanno uguale ampiezza
76
P appar t iene all asse del segment o FH (che coincide con la retta tangente alla parabola in P). Sia K il punt o di int er sezione della r et t a t angent e con FH: i t r iangoli PKF e PKH
risultano congruenti, quindi in particolare .
Da quest a impor t ant e pr opr iet à si t r ae un impor t ant e conseguenza: se nel f uoco è
post a una sor gent e luminosa e la par et e int er na della par abola è r ivest it a da
mat er iale r if let t ent e ogni r aggio luminoso che par t e dal f uoco si r if let t e in un r aggio
perpendicolare alla direttrice.
Da cui segue la proprietà focale:
Ogni r aggio passant e per F si r if let t e in un r aggio par allelo all asse della par abola e,
vicever sa, ogni r aggio par allelo all asse della par abola si r if let t e nel punt o F.
E pr opr io per quest o che t ale punt o viene chiamat o fuoco. La r et t a d viene chiamat a
direttrice per ché st abilisce la dir ezione dei r aggi r if lessi (t ut t i per pendicolar i ad
essa).
Gli specchi e le ant enne par aboliche sono in r ealt à f igur e t r idimensionali, chiamat e
paraboloidi. Un par aboloide si ot t iene f acendo r uot ar e una par abola at t or no al pr opr io
asse di simmetria.
77
Gli specchi parabolici vengono oggi usati per i fari delle automobili e per i riflettori.
ANTENNE PARABOLI CHE: anche per la r icezione di onde sonor e si ut ilizzano ant enne a
f or ma par abolica; nella par abola t ut t e le onde sonor e
par allele al suo asse vengono r if lesse nel f uoco.
Ponendo un piccolo micr of ono in quest o punt o si
r icever à t ut t a l ener gia che colpisce la par abola. E da
sot t olinear e che da solo quest o micr of ono r icever ebbe
solo una piccola par t e dell ener gia emanat a dalla
sor gent e sonor a e r icever ebbe anche t ut t i gli alt r i
suoni indesider at i pr ovenient i da alt r e dir ezioni r endendo quasi impossibile isolar e ed
udire il suono o la conversazione desiderati.
Sullo st esso pr incipio ovviament e si basano le par abole sat ellit ar i post e sui t et t i delle
nost r e case: non si t r at t a più di onde sonor e, ma magnet iche; non c è più il micr of ono
ma un apposito convertitore.
UNI TA DI DATTI CA 4: L I PERBOLE
CONTENUTI:
1.IPERBOLE COME LUOGO GEOMETRICO.
1. EQUAZI ONE CANONI CA DELL I PERBOLE CON I FUOCHI APPARTENENTI
ALL ASSE X.
2. PROPRI ETÀ DELL I PERBOLE:
3. SIMMETRIA RISPETTO AGLI ASSI CARTESIANI.
4. I NTERSEZI ONE DELL I PERBOLE CON GLI ASSI CARTESIANI.
78
5. L I PERBOLE È UNA CURVA ILLIMITATA.
6. ASINTOTI.
7. ECCENTRICITÀ.
8. IPERBOLE EQUILATERA.
9. IPERBOLE EQUILATERA TRASLATA.
10. APPLICAZIONI ALLA FISICA
SVILUPPO DEI CONTENUTI:
4.1SCHEDA DI LABORATORIO:
Costruzione con Cabri Géomètre II Plus dell iperbole
Pr endiamo una cir conf er enza di cent r o un punt o F1 e r aggio a piacer e ed un punto
est er no ad essa, F2. Pr eso un punt o A sulla cir conf er enza si t r accia la r et t a AF1 e
l asse del segment o AF2. I l lor o punt o di int er sezione appar t iene all iper bole.
Il procedimento eseguito è il seguente:
Circonferenza di centro F1 e raggio a piacere;
punto F2 esterno alla circonferenza;
punto A appartenente alla circonferenza;
retta AF1 e segmento AF2 ;
asse del segmento AF2 ;
punto P int er sezione t r a l asse e r et t a AF1 ;
luogo dei punti P al variare di A .
79
A
P
F1 F2
4.2 IPERBOLE COME LUOGO GEOMETRICO.
DEFINIZIONE: Assegnat i due punt i 21 e FF del piano, det t i f uochi, si chiama
iperbole il luogo geomet r ico dei punt i del piano per i quali è cost ant e il valor e assolut o
della differenza delle distanze da 21 e FF ; ossia
Iperbole = .0, ,2 piano, del punti 21 aaaPFPFP
(Ricor diamo che si chiama luogo geomet r ico l insieme di t ut t i e soli punt i che godono
di una cera proprietà geometrica).
4. 3 EQUAZI ONE CANONI CA DELL I PERBOLE CON I FUOCHI APPARTENENTI
ALL ASSE x
Consider iamo un iper bole e indichiamo con:
2c con c 0, c la distanza tra F1 e F2, detta distanza focale
e scegliamo un oppor t uno sist ema di assi car t esiani xOy in modo t ale che l asse delle
ascisse coincida con la r et t a passant e per i punt i 1F ed 2F , quello delle or dinat e con
l asse del segment o 1F 2F e l or igine O nel punto medio del segmento 1F 2F .
Vediamo or a come det er minar e l equazione dell iper bole r ispet t o a t ale r if er iment o.
Indichiamo con:
2a con a 0, a la dif f er enza cost ant e f r a le dist anze di ciascun punt o
dell iper bole da ognuno dei due f uochi.
Poiché abbiamo indicato la distanza focale con 2c, le coordinate dei fuochi saranno:
0,con )0,( e )0,( 21 cccFcF
80
OF2 (- c ; 0) F1 (c ; 0)
P (x ; y)
y
x
I ndicat o con ),( yxP un gener ico punt o del piano, calcoliamo le dist anze del punt o dai
fuochi:
221 )( ycxPF e 22
2 )( ycxPF
La condizione affinché un punto ),( yxP appar t enga all iper bole è che sia:
21 PFPF a2 con a 0, a ,
sost it uendo in quest ult ima uguaglianza le espr essioni di 1PF e 2PF , otteniamo:
2222 )()( ycxycx = 2a.
Se eliminiamo il valore assoluto, otteniamo:
aycxycx 2)()( 2222 .
ossia
,)(2)( 2222 ycxaycx
da cui, elevando al quadrato, si ottiene: 222222222 )(4242 ycxayccxxayccxx .
Riduciamo in termini simili e dividiamo per 4:
;)( 222 cxaycxa
Eleviamo al quadrato entrambi i membri nuovamente:
81
,2)2( 22242222 xccxaayccxxa
e infine
).()( 22222222 acayaxac
I n un t r iangolo un lat o è maggior e della dif f er enza degli alt r i due. Consider at o il
triangolo 21FPF , la differenza di due lati è:
21 PFPF a2
e il terzo lato è il segmento 21FF di lunghezza 2c, che congiunge i due fuochi, quindi:
21 PFPF < 21FF
Si ha
,22 ca cioè ca
ossia
ac
è anche
22 ac
e quindi:
022 ac
Poniamo:
222 bac
e ot t eniamo l equazione del luogo geomet r ico:
222222 bayaxb ;
Dividiamo tutti i termini per 22ba :
12
2
2
2
b
y
a
x
che si dice equazione canonica dell iperbole avente i f uochi sull asse x.
Osser vazione didat t ica. E ben f ar not ar e alla classe che con l elevament o al quadr at o
non si sono introdotte soluzioni estranee
82
Esempio: Consider iamo l equazione 36425 22 yx
Dividendo ambo i membri per 36, otteniamo
1936
25 22 yx
che si può anche scrivere
19
25
36
22 yx
l equazione è quindi quella di un iper bole, con 25
362a e 92b , ossia 5
6a e 3b .
4. 4 PROPRI ETÀ DELL I PERBOLE
SIMMETRIA RISPETTO AGLI ASSI CARTESIANI
Poiché nell equazione canonica dell iper bole le var iabili x e y compaiono solo elevat e al
quadr at o, se ),( 111 yxP è un punt o dell iper bole lo sono anche i punt i ),( 112 yxP ;
),( 113 yxP ; ),( 114 yxP .
L iper bole è quindi una curva simmet rica rispet to all asse x, all asse y e all origine.
Osser vazione didat t ica. Si dice anche che l equazione canonica dell iper bole
r appr esent a un iper bole r if er it a al centro e ai suoi assi di simmetria perché gli assi
coor dinat i sono assi di simmet r ia e l or igine è il cent r o dell iper bole.
I NTERSEZI ONE DELL I PERBOLE CON GLI ASSI CARTESI ANI
Per det er minar e le int er sezioni di un iper bole con l asse x e con l asse y, met t iamo a
sist ema l equazione dell iper bole con l equazione dell asse x e con l asse y, cioè
risolviamo i seguenti sistemi:
0
12
2
2
2
yb
y
a
x
0
12
2
ya
x
0
22
y
ax
0y
ax
83
OA2 A1 F1 (c ; 0)F2 (-c ; O) x
y
B1 (0 ; b)
B2 (0 ; -b)
y = (-b/a)x y = (b/a)x
y = mx
0
12
2
2
2
xb
y
a
x
0
12
2
xb
y
0
22
x
by impossibile
Quindi 0;1 aA
e 0;2 aA
sono le int er sezioni con l asse x e si dicono vert ici reali
dell iperbole. I l segment o 21 AA si chiama asse t rasverso (o principale o f ocale). Ha
lo st esso nome anche la r et t a che passa per 1A ed 2A cont enent e i f uochi ossia l asse
delle x.
Dal secondo sist ema si evince che l iper bole non ha int er sezioni con l asse y.
Osser vazione: l asse t r asver so int er seca quindi l iper bole in due punt i di ascisse
a e
a; quest i due punt i si dicono i vertici dell iper bole; a si dice lunghezza del semiasse
trasverso.
84
Poiché l iper bole non ha int er sezioni con l asse y è det t o asse non t raverso
(o secondario) ed è la r et t a per pendicolar e all asse t r asver so nel punt o medio del
segmento di estremi i due fuochi.
L I PERBOLE E UNA CURVA I LLI MI TATA
Ricaviamo 2y dall equazione canonica dell iper bole:
12
2
2
2
b
y
a
x.
Si ha
2
2
2
2
1a
x
b
y,
da cui:
)1(2
222
a
xby ).( 22
2
22 ax
a
by
Poiché il pr imo membr o è sempr e posit ivo o nullo, t ale deve r isult ar e anche il secondo,
quindi per avere punti della curva si devono attribuire ad x valori tali per cui risulti
22 ax
ossia
.axax
Dunque l iper bole non ha punt i int er ni alla st r iscia limit at a dalle r et t e par allele all asse
y passanti per i vertici della curva ed è costituita da due rami distinti.
4.5 ASINTOTI
Dat a un iper bole di equazione 12
2
2
2
b
y
a
x e una retta r di equazione mxy , cerchiamo
le int er sezioni t r a la r et t a e l iper bole.
Risolvendo quindi il sistema
mxyb
y
a
x1
2
2
2
2
otteniamo le soluzioni
85
. ;222222 mab
maby
mab
abx
Si possono presentare i tre casi seguenti:
1. CASO 0222 mab
cioè
a
bm
a
b.
I n quest o caso i valor i ot t enut i sono r eali, ossia la r et t a mxy
int er seca l iper bole
in due punti reali e distinti.
2. CASO 0222 mab
cioè
a
bm
Le rette aventi tali coefficienti angolari:
xa
byx
a
by ,
si dicono asintoti dell iper bole. Tali r et t e non int er secano mai l iper bole, ma ad essa si
avvicinano indefinitamente a mano a mano che ci si allont ana dall or igine.
Not a didat t ica. Gli asint ot i sono le diagonali del r et t angolo di ver t ici A1 (a,0), A2 (-a,0),
B1(0,b) e B4 (0,-b).
b si dice lunghezza del semiasse non trasverso.
Osser vazione didat t ica. assegnando a m valor i molt o vicini a a
b
, si ha che il
radicando 222 mab
divent a un numer o molt o piccolo, vicino allo zer o, e poiché i
numeratori sono costanti i valori assoluti di x e y crescono indefinitamente.
Osser vazione didat t ica. La r elazione a
bm
a
b
dice che l iper bole è cont enut a nella
coppia di angoli oppost i al ver t ice det er minat i dagli asint ot i e non cont enent i l asse y.
E per quest o mot ivo che si dice che la cur va è cost it uit a da due r ami.
86
3. CASO 0222 mab
cioè
a
bm
a
bm .
In questo caso, il sist ema non ha soluzioni r eali, cioè la r et t a non int er seca l iper bole.
4.6 ECCENTRICITA'
I l r appor t o f r a la dist anza f ocale e la lunghezza dell asse t r asver so di un iper bole è
detto eccentricità ed è solitamente indicato con la lettera e:
trasverso assedell' lunghezza
focale
distanzae
Nell iper bole con i f uochi sull asse x, la dist anza f ocale è 2c ment r e la lunghezza
dell asse t r asver so è 2a, quindi l eccent r icit à è data dal rapporto a
c
2
2, ossia:
e = a
c.
Essendo 222 bac , cioè 222 bac da cui 22 bac
Quindi le coor dinat e dei f uochi di un iper bole di equazione not a sono
)0,( 221 baF , )0,( 22
2 baF
si avrà
2
222
1a
b
a
bae
Poiché 0ac si ha:
.1e
Osser vazione: A eccent r icit à maggior e cor r isponde maggior e aper t ur a dei r ami
dell iper bole e lo si f a not ar e esaminando i gr af ici di t r e iper boli con lo st esso valor e
di a (a = 4) e diversi valori di b.
87
x
y
O
e = 1,03
a. Grafico di x2/16 - y2 = 1
Essendo a = 4, b = 1,
ha c = (16 + 1 )1/2 = ( 17 )1/2 ed
e = ( 17 )1/2/4 = 1,03
x
y
O
e = 1,25
b. Grafico di x2/16 - y2/9= 1
Essendo a = 4, b = 3 quindi :
c = (16 + 9 )1/2 = 5
e = 5/4 = 1,25
a) Grafico di .116
22
yx
Essendo a = 4, b = 1, quindi c 17116 ed 03,14
17e .
b) Grafico di .1916
22 yx
Essendo a = 4, b = 3, quindi c 525916 ed 25,14
5e .
88
x
y
O
e = 1,6
c. Grafico di x2/16 - y2/25= 1
Essendo a = 4, b = 5 quindi :
c = (16 + 25 )1/2 = ( 41 )1/2
/4 = 1,6
c) Grafico di .12516
22 yx
Essendo a = 4, b = 5, quindi c 412516 ed .6,14
41e
4. 7 EQUAZI ONE CANONI CA DELL I PERBOLE CON I FUOCHI APPARTENENTI
ALL ASSE Y
Consider iamo l iper bole con i f uochi sull asse delle y.
I n quest o caso, diver sament e dal pr ecedent e pr ocediment o vist o per l iper bole con i
f uochi sull asse x, indichiamo con:
2b con b 0, b la lunghezza dell asse t r aver so di ver t ici r eali B1(0,b) e
B2 (0,-b).
Poiché abbiamo indicato la distanza focale con 2c, le coordinate dei fuochi saranno:
),0(1 cF e ),0(2 cF 0,con cc .
89
OA1 A2
F1 (c ; 0)
F2 (-c ; O)
x
y
y = (-b/a)x y = (b/a)xy = mx
B1
B2
P
Se indichiamo con ),( yxP il punt o gener ico dell iper bole, ver if icant e cioè la condizione:
21 PFPF b2 con b 0, b ,
e
222 abc
Con calcoli analoghi a quelli ef f et t uat i per l iper bole con i f uochi sull asse x si ot t iene
l equazione canonica dell iperbole avent i i f uochi sull asse y.
12
2
2
2
b
y
a
x
4. 8 L I PERBOLE EQUI LATERA
1. IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AGLI ASSI DI SIMMETRIA.
Se nell equazione canonica r if er it a al centro e agli assi di simmetria, si ha a = b, l iper bole si dice equilatera.
90
1
1
-a a
a
-a
(-a; a) (a; a)
Per esempio consider iamo il caso in cui i f uochi siano sull asse x l equazione dell
iperbole è 12
2
2
2
b
y
a
x
Che si può scrivere nella forma:
222 ayx .
nel caso in cui i f uochi siano sull asse y l equazione 12
2
2
2
b
y
a
x diventa
222 ayx
Essendo 2a = 2b, il r et t angolo che ha per lat i l asse t r aver so e quello non t r aver so divent a un quadr at o. L equazioni degli asint ot i sono :
y = x e y =- x gli asintoti coincidono con le bisettrici dei quadranti e la semidistanza focale
diventa 222 aaac
e l eccent ricit à diventa 22
a
ae
ESEMPIO L iper bole di equazione 922 yx
Ha per vertici 0;31A , 0;32A , 3;01B , 3;02B . I fuochi sono 0;231F , 0;232F .
2. IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AGLI ASINTOTI.
Consideriamo gli asintoti come gli assi di un nuovo sist ema di r if er iment o per l iper bole (possiamo immaginar e di f ar r uot ar e l iper bole e gli assi vecchi di 45° af f inché coincidano con gli asintoti). L equazione dell iper bole in quest o nuovo sist ema di r if er iment o è xy = k. Gli assi di simmet r ia sono le biset t r ici dei quadr ant i e quindi i f uochi e i ver t ici
appartengono a tali rette. Le coordinate dei vertici si ottengono dal sistema
xy
kxy per k>0;
xy
kxy per k<0
91
Inoltre poiché 2
2ak dove a è la lunghezza del semiasse trasverso, si ha
ka 2 e kac 22
Se k>0 i vertici e i fuochi saranno rispettivamente
kkA ;1 ; kkA ;2 ; kkF 2;21 ; kkF 2;22
Se k<0 i vertici e i fuochi saranno rispettivamente
kkA ;1 ; kkA ;2 ; kkF 2;21 ; kkF 2;22
OSSERVAZIONE DIDATTICA:
Per det er minar e l equazione di un iper bole r if er it a ai suoi assi di simmet r ia, cioè del
tipo:
12
2
2
2
b
y
a
x
sono necessarie due condizioni, comparendo in essa due coefficienti a e b. Indichiamo
alcuni dei casi che si possono presentare:
1. Passaggio per due punti (non simmetrici rispetto agli assi o rispetto
all or igine);
2. conoscenza delle coor dinat e di un f uoco e dell equazione di un asint ot o;
3. conoscenza delle coordinate di un vertice e di un fuoco.
Per det er minar e l equazione di un iper bole equilat er a, sia essa del t ipo: xy = k,
222 ayx
è sufficiente una sola condizione, che non sia la conoscenza degli asintoti
o l eccent r icit à, cost ant i per ogni iper bole equilat er a, ma che può esser e per esempio
data dal passaggio per un dato punto o dalla tangenza ad una data retta.
4.9 IPERBOLE EQUILATERA TRASLATA
92
Sia data la curva di equazione:
dcx
baxy (1)
dove i coefficienti a, b, c, d sono costanti assegnati, con c e d non
contemporaneamente nulli. Questa è una funzione y = f(x) chiamata funzione
omografica. Si dimostra che a seconda dei valori assunti dai coefficienti, essa
r appr esent a o una r et t a o un iper bole equilat er a con asint ot i par alleli agli assi
cartesiani.
1. 0c e 0d la (1) diventa: d
bx
d
ay
equazione che rappresenta una retta di coefficiente angolare m = d
a
3. 0c e 0bcad da cui si ricava:
ad = bc
Si ottiene in generale la retta d
by , privata del suo punto di ascissa
c
b
4. 0c e 0bcad iperbole equilatera traslata
Esempi: disegnar e la cur va di equazionex
xy
1
12. Si t r at t a di un iper bole
equilat er a t r aslat a, avent e per il cent r o di simmet r ia il punt o O1 (1;-2) e per
asintoti le rette: x = 1 e y = - 2.
93
4.10 COLLEGAMENTI CON LA FISICA
OTTICA: anche l iper bole gode di una pr opr iet à ot t ica. Se ponessimo una sor gent e luminosa in uno dei suoi due f uochi e consider assimo il r amo dell iper bole come una par et e r if let t ent e int er nament e, la luce si r if let t er ebbe andando all inf init o, ma sulla st essa r et t a su cui si t r ova l alt r o f uoco.
Legge di Boyle - Mariotte:
94
A t emper at ur a cost ant e, una cer t a massa di gas occupa un volume inver sament e pr opor zionale alla sua pr essione, quindi se r addoppiamo la pr essione il volume del gas diventerà la met à. L espr essione mat emat ica di quest a legge è dat a dalla f or mula mat emat ica pV = cost ant e. Disegnando un gr af ico car t esiano, ponendo sull asse delle ascisse i valori dei volumi e su quello delle ordinate quello delle pressioni otterremo un iperbole che rappresenta una trasformazione isotermica .
VERIFICA SOMMATIVA (2 ore) 1.(7 punti) Determinare i punti di intersezione della retta 042yx con la
circonferenza di centro C(2,1) e raggio 5 . 2.(7punt i) Det er minar e le equazioni delle r et t e t angent i all ellisse di equazione
92 22 yx condotte dal punto P(-9,0).
5. (7 punt i)Dat a l equazione 1134
22
k
yx, determinare per quali valori di k
L equazione r appr esent a un ellisse o, come caso par t icolar e una circonferenza I f uochi sono sull asse y Un fuoco ha coordinate (-1,0).
6. (6 punt i)Dat a l equazione dell iper bole 144169 22 yx , determinare la misura del
semiasse t r asver so , le coor dinat e dei ver t ici, dei f uochi, l eccent r icit à e l equazione degli asint ot i poi r appr esent ar e la cur va gr af icament e.
7. (6 punti)Data la parabola di equazione 442 xxy determinarne le
caratteristiche. 8. (7 punti)Stabilire se la retta di equazione 76xy è secante tangente o
esterna alla parabola di equazione 322 xxy .
95
BIBLIOGRAFIA:
Corso base blu di matematica, M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi, Zanichelli,
Bologna, 2005.
Nuovi elementi di matematica, N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi, Ghisetti e
Corvi, Milano, 2000.
Corso di matematica, L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Etas, Milano, 2003.
Appunt i corso di epistemologia e storia della matemat ica (prof . Fiocca-
Nagliati)
Dispense corso di laboratorio di software didattici (prof. Tomasi)
SITOGRAFIA: http://www.edscuola.it/archivio/norme/programmi/index.html
http://umi.dm.unibo.it/italiano/Didattica/didattica.html
http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ipermonica/coniche/index.htm
http://www.electroportal.net/vis_resource.php?section=artcorso&id=71
http://www.electroportal.net/vis_resource.php?section=ArtCorso&id=72
http://www.matematica.it/tomasi/
http://www.matematica.it/tomasi/lab-did/index.html
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