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Le Galassie:fotometria

Lezione 2

A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)

Proprietà di una galassia

E’ possibile ottenere spettri ed immagini di una galassia a tutte le lunghezze d’onda (dal radio ai raggi X).Si possono quindi avere due tipi di osservazioni complementari per misure quantitative:

Fotometria (da immagini)morfologia (→ braccia a spirale, barre, bulge → classificazione di Hubble; presenza di reddening, interazione con altre galassie ecc.)fotometria (→ profili di brillanza -> luminosità della galassia e delle sue componenti, raggi scala → SED spectral energy distributions)

Spettroscopia (da spettri)cinematica del gas e delle stelle (→curve di rotazione, dispersione di velocità, ecc.)popolazioni stellari (→ storia di formazione stellare → evoluzione)condizioni fisiche del gas (→ meccanismo di ionizzazione → sorgente ionizzante)

2


α

δ

I(α, δ) =� �

P (α− α�, δ − δ

�) O(α�, δ

�) dα�dδ

�

I(u, v) = P (u, v)× O(u, v) = T (u, v)× O(u, v)

La formazione delle immagini

3

La sorgente sul piano del cielo ha brillanza superficiale (intensità) O(α,δ).Sul piano focale del telescopio l’intensità osservata sarà:

P(α,δ) è la Point Spread Function (PSF) del sistema. α,δ sono coordinate angolari sul cielo (radianti).

T è la Transfer Function (FT della PSF).

Facendo la Trasformata di Fourier di entrambi i membri:

I(α, δ) =� �

P (α− α�, δ − δ

�) O(α�, δ

�) dα�dδ

�

I(u, v) = P (u, v)× O(u, v) = T (u, v)× O(u, v)


La formazione delle immagini

4

T (u, v) =� �

A�(x, y) A(x + u, y + v) dx dy

Se l’apertura è circolarmente simmetrica T = T(f) con f2 = u2+v2

T(f) va a zero per fmax = λ/D, D diametro del telescopio.

A(x,y) è la funzione apertura (=1 dove l’apertura trasmette).

In questo caso la PSF è la funzione di Airy dove:

FWHM ~ λ/D

il primo picco si trova a 1.22 λ/D (→ criterio di Rayleigh).

Per osservazioni con l’atmosfera la PSF è approssimabile con una gaussiana con FWHM pari al seeing.

T (u, v) =� �

A�(x, y) A(x + u, y + v) dx dy


Con un moderno rivelatore panoramico è possibile registrare l’immagine di una galassia sul piano focale del telescopio come matrice di “pixel” (picture’s elements).

Dimensioni tipiche 4000 × 4000 nell’ottico (CCD) e 1000 × 1000 nell’IR.

I conteggi rivelati in ciascun pixel possono essere convertiti a unità fisiche di flusso specifico (Fλ).

Un pixel x,y (di dimensioni angolari a, b) “vede” un l’angolo solido Δω = Δx × Δy sul piano del cielo per cui si può determinare la brillanza superficiale apparente della sorgente come

Iλ(x,y) = Fλ(x,y)/Δωper rivelatori di strumenti ai grandi telescopi si può avere Δω ~ 0.1′′×0.1′′unità tipiche di Iλ erg cm-2 s-1 Å-1 arcsec-2 oppure mag arcsec-2

Fotometria delle Galassie

5

Matrice di pixel

pixel x,y (→Δω)

x

y ΔxΔy


Iλ(x, y) =Fλ(x, y)

∆ω=

Lλ/4πd2

∆ω=

Lλ

4πD2


6

Matrice di pixel

x

y ΔxΔy

Se la galassia si trova alla distanza d, il pixel campiona una regione quadrata (per Δx=Δy) di lato D dato da D2 = Δω d2 ovvero D = Δx d

pixel x,y (→Δω)Iλ è quindi una grandezza intrinseca alla galassia (oltre che ottenibile dalle osservazioni) e si può misurare anche in L⊙ pc-2

Esempio: FV (x,y) = 10-14 erg cm-2 s-1 Å-1

Δx = 0.2”; d=20 Mpc. Qual’è la surface brightness della galassia in L⊙,V pc-2?

Ricordiamo che:FV,0 = 3630×10-12 erg cm-2 s-1 Å-1 M⊙,V = 4.83


mV = −2.5 log

�10−14 erg s−1 cm−2

3630× 10−12 erg s−1 cm−2

�= 13.9mag

MV = mV −DM = mV − 5 log�

d

10 pc

�= −17.6 mag

log LV = −MV −M⊙,V

2.5= −−17.6− 4.83

2.5→ LV = 9.4× 108 L⊙,V

IV =LV

D2= 2.5× 106 L⊙,V pc−2

Fotometria delle GalassieEsempio: FV (x,y) = 10-14 erg cm-2 s-1 Å-1; Δx = 0.2”; d=20 Mpc.Qual’è la surface brightness della galassia in L⊙,V pc-2?

7

D = ∆x d =0.2��

206265 ��/rad20 Mpc = 19.4 pc

MV = mV −DM = mV − 5 log�

d

10 pc

�= −17.6 mag

log LV = −MV −M⊙,V

2.5= −−17.6− 4.83

2.5→ LV = 9.4× 108 L⊙,V

D = ∆x d =0.2��

206265 ��/rad20 Mpc = 19.4 pc

IV =LV

D2= 2.5× 106 L⊙,V pc−2


Tipicamente le galassie hanno brillanze superficiali con andamento regolare, picco al centro che decresce verso l’esterno.E’ utile considerare le isofote di una galassia, ovvero le curve di livello a brillanza costante.Iλ non dipende dalla distanze per cui le isofote ad un dato livello possono essere usate per definire le dimensioni di una galassia.Per esempio:R25, raggio a cui mB = 25 mag arcsec-2

RH, raggio di Holmberg mB = 26.5 mag arcsec-2


8

2 R


In genere queste isofote sono ben descrivibili come ellissi per cui si esegue un fit con ellissi per determinare per ogni isofota:

r raggio ovvero il semiasse maggiore ellisse;Iλ(r) brillanza superficiale media sull’ellisse;orientazione, centro ecc.

Ci aspettiamo isofote ellittiche nel caso di:

distribuzioni sferoidali di stelle;distribuzioni a disco sottile.


9

r

Σ(r)



Il profilo di brillanza superficiale Σ(r) caratterizza la struttura di una galassia ed i vari tipi di galassie hanno profili di tipo ben definito.

Ellittiche: profilo di de Vaucouleurs Σ(r) = Σ0 exp[-(r/r0)1/4]

Spirali: Σ(r) = B(r)+D(r) B(r) bulge → de VaucouleursD(r) disco D(r) = D0 exp(-r/r0)

10

E1

Relazione lineare mag (log Σ) vs r1/4

Sab

Relazione lineare mag (log Σ) vs r

disco

bulge

totaleIntegrando Σ(r) si ottiene Ftot da cui Ltot luminosità totale della galassia.

r0 è lunghezza scala ma spesso si preferisce il raggio efficace Re definito in modo cheL(Re) = 1/2 Ltot


L’emissione del cielo

Uno dei problemi nella misura della brillanza superficiale di una galassia è l’emissione di fondo del cielo (in generale, il background).

11

Band λ Luna piena

Luna nuova

Dallo spazio

B

V

R

I

J

H

K

K′

(Å) (mag arcsec-2)(mag arcsec-2)(mag arcsec-2)

4400 19.4 22.7 23.4

5500 19.7 21.8 22.7

6400 19.9 20.9 22.2

8000 19.2 19.9 22.2

1.2 15.0 15.0 20.7

1.6 13.7 13.7 20.9

2.2 12.5 12.5 21.3

2.2 13.7 13.7 21.3

Emissione dell’OH

Emissione termica (ambiente+cielo)


S

N� S√

B=

Iλ√Bλ

�N η

λ∆λ

hcAtel ∆t ∆ω

�1/2

S = ηIλ∆λ

hc/λAtel (N ∆t) ∆ω

S

N� S�

N σ2RON

=Iλ

σRON

N 1/2

�η

λ∆λ

hcAtel ∆t ∆ω

�

Rapporto Segnale/Rumore

12

S

N=

S�σ2

RON+ B + S

Il rapporto signale rumore (S/N):

B1/2 e S1/2 sono il rumore “Poissoniano” in elettroni.In effetti S e B sono misurati nel pixel in ADU (conteggi) ma il fattore di conversione e-/ADU è una caratteristica nota dell’elettronica del rivelatore.

S, e- prodotti dalla sorgente e rivelati nel pixel x,y del rivelatore. B, e- prodotti dal fondo e rivelati nel pixel x,y del rivelatore. σRON, rumore di lettura (e-).

efficienza complessiva fotoni/s/cm2/arcsec2

Background limited

numero di integrazioni (letture) per tempo Δt

Read-out limited

S

N=

S�σ2

RON+ B + S

S = ηIλ∆λ

hc/λAtel (N ∆t) ∆ω

S

N� S√

B=

Iλ√Bλ

�N η

λ∆λ

hcAtel ∆t ∆ω

�1/2

S

N� S�

N σ2RON

=Iλ

σRON

N 1/2

�η

λ∆λ

hcAtel ∆t ∆ω

�


S

N� S√

B=

Iλ

Bλ

�N η

Bλ∆λ

hc/λAtel ∆t ∆ω

�1/2

= 56�

Iλ/Bλ

1/10000

�

Rapporto Segnale/Rumore

13

Nella banda R (λ = 6410 Å, Δλ = 1000 Å) con:

Bλ = 20.9 mag arcsec-2 (dark sky) = 9.6×10-18 erg s-1 cm-2 Å-1 arcsec-2

N = 1

η = 0.5

A = π (400 cm)2

Δt = 100 s

Δω = (0.2′′)2Con il VLT (8m) si arriva facilmente a livelli bassissimi rispetto all’emissione del cielo!

S

N� S√

B=

Iλ

Bλ

�N η

Bλ∆λ

hc/λAtel ∆t ∆ω

�1/2

= 56�

Iλ/Bλ

1/10000

�


L’effetto del seeing / diffraction limit

14

I(α, δ) =� �

P (α− α�, δ − δ

�) O(α�, δ

�) dα�dδ

�

La distribuzione osservata è la convoluzione con la PSF del sistema (seeing o limite di diffrazione).

FWHM seeing

osservatointrinseco

log r

log I

I(α, δ) =� �

P (α− α�, δ − δ

�) O(α�, δ

�) dα�dδ

�


Fotometria delle spirali

15

NGC 7331 (Sb)Componente di bulge: Ib(R) = Ib(0) exp[-(R/hR,b)1/n]

Componente di disco: Id(R) = Id(0) exp(-R/hR,d)

Per le spirali luminose le brillanze centrali di disco sono ~costanti:IB(0) ~ 22 mag arcsec-2

IK(0) ~ 18 mag arcsec-2

Raggi scala tipici:1 kpc ≤ hR ≤ 10 kpcesiste un taglio a Rmax

Rmax ~ 3--5 hR ~ 10--30 kpc

Perpendicolarmente al piano del disco (da galassie viste edge-on):I(R,z) = I(R) exp(-|z|/hz)tipicamente hz ≈ 0.1 hR

Esistono galassie super-thin (Sc, Sd) o più spesse come la >Milky Way (→ thick disk).



Esistono galassie con I(0) molto bassi, 1.5--2 mag più deboli.

Queste sono dette “low surface brightness galaxies” (LSB).

Esempio: Gruppo dell’Orsa Maggiore:

S0-Sb più luminose, più rosse (evolute)

gigante K: B-K~4 Sole (G5V): B-K~2

Sd-Sm hanno stelle più blu (giovani).

LSB sono più deboli (in stelle) ma contengono più gas → formazione stellare inefficiente.

16

LSB



17

NGC 7331 (Sb)Componente di bulge: Ib(R) = Ib(0) exp[-(R/hR,b)1/n]

Componente di disco: Id(R) = Id(0) exp(-R/hR,d)

In generale il bulge è meglio descritto dalla legge di Sersic I(R) ~ R1/n

Il bulge è importante nelle S0/Sa-Sb (bulge/totale~0.5-0.3) ma è molto debole nelle spirali di tipo “late” (bulge/totale~0.1-0.02).

Dato Re (half-light radius) del bulge e hR del disco: Re/hR~0.1


I(R) = I(Re) exp{−bn[(R/Re)1/n − 1]}

� Re

0I(R)2πR dR =

12

� ∞

0I(R)2πR dR

Fotometria delle ellittiche

18

Le galassie ellittiche presentano isofote ben approssimabili con ellissi.In generale la formula di Sersic fornisce un fit migliore al profilo di brillanza a tutte le luminosità (L ~ 3×109 -- 1013 L⊙).

Formula è stata scritta usando Re (half-light radius) come raggio scala.

Per n>1, bn≈1.999n-0.327per n=1, disco esponenzialeper n=0.5, gaussiana

I(R) = I(Re) exp{−bn[(R/Re)1/n − 1]}� Re

0I(R)2πR dR =

12

� ∞

0I(R)2πR dR



19

L’indice di Sersic n cresce con luminosità.Le ellittiche luminose hanno n~4 (ma può essere anche maggiore) mentre nelle ellittiche dE si può arrivare anche a n~1 (come disco esponenziale di una spirale).

Il profilo con n=4 ha più luce a grandi raggi ma ha anche un picco più pronunciato rispetto all’esponenziale.



20

Brillanza sup. centrale è strettamente legata a L (al contrario delle spirali dove quella di disco è ~costante).I(0) ed il raggio del core Rc [dove I(Rc) = 1/2 I(0)] in funzione di MB (L).cD hanno I(0) bassa quasi come le spirali.Ellittiche e dSph/dE hanno struttura distinta.M32 ha L tipica di una dE ma è come le ellittiche più grandi.

ellittiche e bulge delle spirali

cD

cD

dEdE


“Cores” e “Cusps”

21

Alle piccole scale accessibili con HST (risoluzione spaziale~0.1”) si è osservata una dicotomia nei profili di brillanza nella regione nucleare.Galassie luminose hanno “flat cores” mentre galassie di piccola luminosità hanno “power law cores”.I(R) ~ R-γ; γ≤0.2 flat core.

Significa che le galassie di luminosità più piccola hanno una densità di stelle che cresce maggiormente verso il centro rispetto a quelle più luminose.

Flat core

Power law core


I(R) =1

4πΥ

� +∞

−∞ρ(s) ds =

12πΥ

� +∞

R

ρ(r)r√r2 −R2

dr

ρ(r) = −4Υ� +∞

r

dI(R)dR

dR√R2 − r2

De-proiezione della brillanza

22

Dalle osservazioni si ricava I(R), brillanza sul piano del cielo (corretta per seeing), ma fisicamente siamo interessati a ρ(R) densità di massa in stelle (per ottenere il potenziale gravitazionale).

Come passiamo da I(R) a ρ(R)?

Vogliamo ottenere un’informazione tri-dimensionale da dati bi-dimensionali, ma NON sappiamo cosa accade lungo la linea di vista.

è una equazione di Abel con soluzione:

Assunzione di simmetria sferica (Υ rapporto M/L):

srR

I(R) =1

4πΥ

� +∞

−∞ρ(s) ds =

12πΥ

� +∞

R

ρ(r)r√r2 −R2

dr

ρ(r) = −4Υ� +∞

r

dI(R)dR

dR√R2 − r2


I(m�) = − 14πΥ

q

q�

� +∞

m�2

ρ(m2)dm2

�m2 −m�2

De-proiezione della brillanza

23

Esistono espressioni analoghe nel caso di ellissoidi oblati o prolati.

ab=a

c

z

y

x

Oblato: a = b > c

x2+y2+(z/q)2=m2

x′

y′

x′2+(y′/q′)2=m′2q′ = b′/a′

Piano del cielo b′

a′

isofota

I(m�) = − 14πΥ

q

q�

� +∞

m�2

ρ(m2)dm2

�m2 −m�2


∇2φ(�x) = 4πGρ(�x)

W = − 18πG

�

V|�∇φ|2d�x3 =

12

�

Vρ(�x)φ(�x)d�x3

Il potenziale gravitazionale

Dalla brillanza superficiale (con alcune assunzioni) si può determinare la densità di massa (a meno del fattore Υ, ovvero il rapporto M/L).

In generale, dalla densità di massa ρ(x) si può ottenere il potenziale gravitazionale risolvendo l’equazione di Poisson:

24

In generale, noto ϕ si può ricavare l’energia potenziale gravitazionale del sistema

Nel caso di simmetria sferica ρ=ρ(r) l’equazione si semplifica a

1r2

d

dr

�r2 dφ(r)

dr

�= 4πGρ(r)

∇2φ(�x) = 4πGρ(�x)

1r2

d

dr

�r2 dφ(r)

dr

�= 4πGρ(r)

W = − 18πG

�

V|�∇φ|2d�x3 =

12

�

Vρ(�x)φ(�x)d�x3


M(r) =� r

0ρ(r�)4πr�2dr�

Caso particolare: simmetria sferica

25

1o teorema di Gauss: una particella test all’interno di una “shell” sferica di materia non risente di alcuna forza gravitazionale.2o teorema di Gauss: la forza gravitazionale esercitata su un corpo fuori da una shell sferica è la stessa che si avrebbe se tutta la massa della shell fosse concentrata nel centro della sfera.

Consideriamo una distribuzione di massa a simmetria sferica con ρ = ρ(r).La massa racchiusa nella sfera di raggio r è:

Consideriamo una particella test al raggio r:per il 1o teorema di Gauss la massa “esterna” M(r’>r) non esercita alcuna attrazione gravitazionale;per il 2o teorema di Gauss l’attrazione della massa “interna” M(r’<r) è la stessa di quella che si avrebbe se la massa fosse concentrata a r=0 per cui

�F (r) = −GM(r)mr2

�ur = −m�∇φ(r) = −mdφ(r)

dr�ur

M(r) =� r

0ρ(r�)4πr�2dr�

�F (r) = −GM(r)mr2

�ur = −m�∇φ(r) = −mdφ(r)

dr�ur


integrando membro a membro tra r e ∞, con ϕ(∞)=0 si ricava che

φ(r →∞) ∼ GMtot

r→ 0

Caso particolare: simmetria sferica

26

dφ(r)dr

=GM(r)

r2�F (r) = −GM(r)m

r2�ur = −m�∇φ(r) = −m

dφ(r)dr

�ur

φ(r) = −GM(r)r

− 4πG

� ∞

rρ(r�)r�dr�

Quindi, nota ρ nel caso di simmetria sferica si può facilmente ricavare ϕ.

1r2

d

dr

�r2 dφ(r)

dr

�= 4πGρ(r)

Se viceversa è noto ϕ e si vuole ricavare ρ si usa l’equazione di Poisson che in simmetria sferica è

�F (r) = −GM(r)mr2

�ur = −m�∇φ(r) = −mdφ(r)

dr�ur

dφ(r)dr

=GM(r)

r2

φ(r) = −GM(r)r

− 4πG

� ∞

rρ(r�)r�dr�


r→ 0

1r2

d

dr

�r2 dφ(r)

dr

�= 4πGρ(r)


Velocità circolare e di fuga

Noto il potenziale ϕ(r) ci sono due quantità importanti che si possono ricavare: la velocità circolare e la velocità di fuga

27

a(r) =Vc

2

r= −dφ

dr= −GM(r)

r2

Vc =

�

r

��dφ

dr

��

Vc =

�GM(r)

r

E =12mV 2 + mφ(r)

La particella è “legata” se E<0, per cui la velocità di fuga si ha per E=0

Vf =�

2|φ(r)| Vf =

�2GM(r)

r

a(r) =Vc

2

r= −dφ

dr= −GM(r)

r2

Vc =

�

r

��dφ

dr

��

Vc =

�GM(r)

r

E =12mV 2 + mφ(r)

Vf =�

2|φ(r)| Vf =

�2GM(r)

r


Alcuni semplici potenziali

28

φ(r) = −GM

r

Vc =�

GM

rVelocità “Kepleriana” V~r -1/2

periodo orbitale indipendente dal raggio (rotazione di corpo “rigido”, V~r)

T =2πr

Vc=

�3π

Gρ

Vc =�

4π

3Gρ r

1) Massa puntiforme M

2) Sfera omogenea densità costante ρ

φ(r) = −GM

r

Vc =�

GM

r

Vc =�

4π

3Gρ r

T =2πr

Vc=

�3π

Gρ



3) Sfera isoterma (Singular isothermal sphere)

29

φ(r) = V 2H

ln(r/r0)

ρ(r) =ρ(r0)

(r/r0)2 V 2H

= 4πGr20ρ(r0)

Vc = VH = costante!

4) Potenziale dell’alone oscuro

ρ(r) =1

4πG

V 2H

r2 + a2H

ρ(r >> aH) ∼ 14πG

V 2H

r2

V 2(r) = V 2H

[1− (aH/r) arctan(r/aH)] V 2(r >> aH) ∼ V 2H

Vc = VH = costante!

ρ(r) =ρ(r0)

(r/r0)2

φ(r) = V 2H

ln(r/r0)

V 2H

= 4πGr20ρ(r0)

ρ(r) =1

4πG

V 2H

r2 + a2H

ρ(r >> aH) ∼ 14πG

V 2H

r2

V 2(r) = V 2H

[1− (aH/r) arctan(r/aH)] V 2(r >> aH) ∼ V 2H


ρ(r) =1

4πG

1r2

d

dr

�r2 dφ

dr

�=

3a2

4π

M

(a2 + r2)5/2

I(R) =1

4πΥ

� +∞

−∞ρ(s)ds =

M

4π2Υa2

(a2 + R2)2

Vc =

�GM(r)

r=

�GM

r (1 + a2/r2)3/2


5) Potenziale di Plummer

30

φ(r) = − GM√a2 + r2

Massa totale? Ricordare che:


r→ 0

E’ possibile ottenere una formula analitica per la brillanza superficiale

log I(R)

log R

~ cost. (core)

~ R-4

a

φ(r) = − GM√a2 + r2


r→ 0

ρ(r) =1

4πG

1r2

d

dr

�r2 dφ

dr

�=

3a2

4π

M

(a2 + r2)5/2

Vc =

�GM(r)

r=

�GM

r (1 + a2/r2)3/2

I(R) =1

4πΥ

� +∞

−∞ρ(s)ds =

M

4π2Υa2

(a2 + R2)2

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