297

LE MOUVEMENT BROWNIEN FONCTION D'UN POINT

DE LA SPHI~RE DE RIEMANN

par Paul L6vy (Paris)

1 . - Nous d6signerons par les lettres ~ et ~ (avec ou sans ind ices)des

variables al~atoires laplaciennes r6duites, par E un espace continu, ~ ds 2 rie-

mannien, ~ un hombre fini de dimensions, et par r (A, B) la distance des deux

points A et B de cet espace. On sait que la fonction X ( A ) du mouvement

brownien est d~finie, /l une constante additive pr6s, par la condition

(I) X(B) -- X(A) = ~/~--~, B) [~ = ~(A, B)].

Dans l'espace euclidien, la condition qui d6finit la constante additive d~truit

n~cessairement l'homog~n6it6: X(A) est h accroissements stationnaires, mais n'est

pas stationnaire. Au contraire, sur la sphere de Riemann, que nous d~signerons

par f], on obtient une fonction stationnaire Xo(A ) en annulant sa moyenne sur •.

La forme g6n6rale des X(A) qui sont des fonctions laplaciennes semi-r6duites,

stationnaires, et v6rifiant la condition (I), est alors Xo(A )--[- c~' [~' ind~pendant

des ~ introduits dans (1)].

De toute fat;on, la formule (1)constitue une d,~finition pr6dicative, qu'il faut

completer par un th6or~me d'existence. La d~monstration la plus naturelle ( ')

s'obtient en d6montrant que l 'expression

(2) F(A, B) = l [ r ( 0 , A) -4- r(O, B) - - r(A, B)],

(~) Cf. P. L~vy [1], n o 59 ou [2], n o 31.

298 PaUL ~vY

qui, d'apr6s (1), doit ~tre la covariance de F ( A ) - 1'(0), est acceptable. Pour

cela, il taut et il suffit que, quels que soient l'entier n et les n points A1, . . . , A,,

la forme quadratique

(3) Q(ul, u2, . . , , u , ) = ~ ~ I'(Ah, Ak)UhU k h = l k = l

soit non n6gative. S'il en est ainsi, on d~montre ais6ment l'existence d'une

fonction X(A), presque sQrement continue, d6finie ~ une constante pr6s, et v6-

rifiant la condition (1).

Dans l'espace euclidien, la forme Q est, non seulement non n6gative, mais

d6finie positive, d'apr~s un th6or~me de I. J. Schoenberg (~). Le cas des espaces

riemanniens les plus g6n6raux ne semble pas avoir 6t6 6tudi& I1 ne semble

m~me pas qu'on air jusqu'ici signal6 une d6finition constructive bien simple

pour ie cas de la sph6re de Riemann -Q. Elle est si simple que la meiileure

m6thode pour le cas de l'espace euclidien est peut-~tre de le consid6rer comme

limite d'une sphere de Riemann.

Pr6cisons bien que, si la sphere ~ ~ N - - 1 dimensions peut ~tre immerg6e

dans un espace euclidien ~ N dimensions, la m~trique riemannienne sur ~2 reste

diff6rente de la m6trique euclidienne, de sorte que la fonction X(A) que nous

allons 6tudier sur f~ n'est pas du tout celle obtenue en consid6rant les valeurs

sur cette sphere de la fonction analogue relative ~ l'espace euclidien.

Apr6s l'6tude g6n6rale de cette fonction, nous 6tudierons le cas de la cir-

conf6rence et formerons dans ce cas le d~veloppement en s6rie de Fourier de

la fonction 6tudi6e. Nous montrerons ensuite la relation qui existe entre notre

m6thode pour la sphere et celle appliqu6e au cas de l'espace euclidien par

N. N. Tchentsov [5], qui a donn6 r6cemment la premiere d~finition constructive

de X(A) darts cet espace. Nous terminerons par de br~ves remarques sur des

probl~mes plus g6n6raux non encore r6solus.

I1 est bien entendu que tous nos r6sultats s'appliquent aux fonctions la-

placiennes complexes, et aussi aux syst~mes d 'un hombre quelconque de

fonctions laplaciennes.

2. - Ddfi'nition constructive de X(A) dans •. Soit f~ la surface d'une sphere

de rayon R dans l'espace euclidien ~ N dimensions. Nous d6signerons par r(A, B)

(i) CI. P. L6vy, [I], n ~ 58 ou I. J. Schoenberg [4].

LE MOUVEMENT BROWNIEN F O N C r l O N D'UN POINT DE LA SP]IF~RE DE HIEMANN 299

la distance, compt6e sur la surface, de deux points A et B de cette surface;

on a doric r(A, B) = R0, 0 6rant l'angle des deux rayons 0A et 0B aboutissant

en ces points (0 ~ 0 ~ 7:.). Nous d6signerons par tON RN-I la mesure de la sur-

face fl, par S une portion quelconque de cette surface, par d S = RN-ldoj la

mesure d'une aire 616mentaire, qu'il nous arrivera aussi de d6signer elle-m~me

par dS, et enfin par ~,~ (ou parfois simplement par ~) une variable laplacienne

r6duite attach6e/l l'616ment dS et ind6pendante des variables analogues attach6es

aux 616ments d'aire disjoints de dS. Nous poserons

(4) u ( s ) = i L, = fd .

Cette fonction de I'aire S, bien d~finie comme limite presque sfire de sommes

riemanniennes convenablement fortunes, peut aussi ~tre d~finie comme fonction

al~atoire laplacienne, semi-r~duite, et dont la covariance E{U(S)U(S')} est le

produit par R 2-N de la mesure de S n S'. Chacune de ses d~terminations est une fonction additive de S, et, si S n S' est vide ou de mesure nulle (darts le

cas d'aires ferrules ayant une fronti~re commune), U ( S ) e t U ( S ' ) s o n t ind,-

pendants.

Posons maintenant

(5) X(A) = c U[S(A)],

S(A) d6signant ia demi-sph~re d~finie par r(A, M) ~< ~ R . Nous allons montrer

que, pour une ddtermination convenable de la constante positive c = CN, X(A)

v6rifie i'~quation (1).

A cet effet, on n'a qu'/l remarquer que, pour former la diff6rence X(B) - -X (A) ,

on peut retrancher des aires S ( A ) e t S(B) leur intersection S ( A ) N S(B). II

reste deux aires s(A, B) et s(B, A) qui sont des fuseaux, sym~triques par

rapport au centre de la sphere, et limit,s par deux plans qui font entre eux 0

l'angle 0; leur surface totale est ~-%v RN-1. On a donc

(6) X(B) -- X(A) = cR T - ~Mt/dS -- ~MI'-d-s , ., (A, B) ~ (B, A)

et par suite

RN -I c 2 E{[X(B) - - X(A)] '} = c2R 2-N- %v - - ~Nr (A, B),

300 PAUL LEVY

et enfin

X(B) ~ X(A) = ~]/~-toNr(A, B)

ce qui est bien la formule (1), pourvu que

(7) c = - to N N

3. Si AA" et BB' sont deux diam~tres de Q, il r6sulte des formules de

d6finition (4) et (5) que

(8) X(A) + X(A') = X(B) -t- X(B' ) = c U(-q).

r La moyenne de X(A) sur la sphere est donc p.-------~ U(fl), et ia fonction Xo(A )

consid6r6e au n o 1 est

X (A) -- X(A') (9) Xo(A) = X(A) -- 1~ = 2

On sait que, si les variables laplaciennes r6duites ~ et ~ sont inddpendantes,

+ ~ et ~ - - ~ sont aussi ind6pendants, et de m~me 6cart type I/2 -. ll en r6sulte

que I~ et Xo(A) sont ind6pendants, et leur 6cart type commun, d6duit de la

formule (1) appliqu6e ~ X ( A ) - X(A'), ou bien de la d6finition de U(Q), est

l] /~R.2 Celui de X(A) e t 1 / / 2 R

On remarque que Xo(A)+Xo(A' )=O; Xo(A ) est la partie impaire de

X(A). On peut d'ailleurs la ddfinir en ne faisant intervenir que les diff6rences

~m - - ~,~' = t/2-~M (Met/14' 6tant diam6tralement opposds); comme "qM" = - - ~M,

on peut ne consid6rer que les valeurs de ~M sur une demi-sph6re S(P). On a

ainsi 2--N /~

X.(A) = - r - . s(P (M) M (IO)

~a(M) ~tant 6gal ~ 1 clans S(A) et /~ - - 1 dans 8(A'). 4. La formule (8) montre le caract~re d6g6n6r~ de la loi jointe de X(A),

X(A'), X(B) et X(B ' ) : la forme quadratique (:3)relative ~ cette loi est une

somme de trois carr6s seulement. Nous ailons montrer qu'il ne saurait exister entre les valeurs de X(A) en n points As (h ~ 1, 2, . . . , n) aucune autre relation

LE MOUVEMENT BROWNIEN FONCTION D 'UN POINT DE LA SPHI~RE DE RIEMANN 301

sfire ou presque sQre de la forme

(11) ~ a,,X(AA = O, 1

~t coefficients non tous nuls, que celles qui sont des cons6quences de la formule

(8). La formule (11) peut en effet s'6crire 1

" I'I as % (M) ~M I dS ~ ~ as r (M) dS r O,

%(M) 6tant la fonction caract~ristique de l'ensemble S(A~,), et le signe ~o in-

diquant l'~quivalence en Ioi. Cela implique que la somme

Z a s % (M) 1

soit identiquement nulle. Donc, si as -~ 0, quand le point M sort de l'aire S(As), il faut qu'il entre dans une ou plusieurs autres aires S(A~) (avec ah + Zak = 0 ) .

Or le point A~ oppos~ ~ As est ie seul pour lequel S(A'h) ait la m~me fronti~re

que S(As); la r~union des fronti~res des autres S(As) ne peut pas couvrir enti~-

rement celle de S(Ah). I1 faut doric que X(As) et X(A'h) soient associ~s avec des

coefficients opposes. Le premier membre de ia formule (11) se r~duit donc

une somme de termes de la forme

as [X(Ak) + X(A~)] = 2 tLas,

et n'est presque sQrement nui que si la somme des as ainsi conserv,~s est nulle.

La fo1"mule (11) n'est donc presque sQrement exacte que si elle est une conse-

quence de ia formule (8), c.q.f.d.

D'apr~s les propri~t~s connues des syst~mes laplaciens de variables al~a-

toires, il en r~sulte qu'il n'y a entre les X(As) aucune autre relation, lin~aire

ou non, et qui ait une probabilitd positive d'etre v~rifi~e, que celles qui r~sul-

tent de la formule (8).

En particulier, si n points A s sont dans une z6ne strictement int~rieure ~,

une demi-sph~re S(P), c'est-~-dire si toutes les distances r(P, As) sont < ~-/?,

ii n'y a aucune relation entre ies X(As).

5 . - Le plan consid~rd comme limite de la sphere. Consid~rons n points

H, , H~ . . . . , H, d'un plan II, comme les limites de points A,, A2, . . . , A, situ~s

sur une sphere ~2, tangente ~t II en un point P e t de rayon R ind~finiment

3 0 2 PAUL LEVY

croissant. La distance euclidienne ~(H~, Hq) est alors ia limite de la distance

riemannienne r(A. , A,), et la forme quadratique Q [formule (3)] relative aux

points du plan est la limite de celle relative aux points de la sphere. Or puisque

la fonction X ( A ) existe sur la sphere, la fonction Q relative h la sphere est

non n6gative. Donc celle relative au plan est non n6gative, ce qui 6tablit l 'exis-

tence du mouvement brownien h N - - 1 param~tres.

On remarque que cette d6monstration n'utilise que les premiers rdsultats

d u n o 2, sans qu'il soit n6cessaire de pr6ciser les valeurs des coefficients cons-

tants. I1 n'y a qu'h poser

X*(A) = S(A)

et observer que

est de la forme (1), h un facteur constant pr~s. On a sans doute ainsi la d~-

monstration la plus simple de l'existence de X(A) .

Mais il faut un peu plus d'attention pour d6montrer que la forme quadra-

tique Q relative au plan est strictement positive, alors qu'elle ne l'est pas

toujours pour la sphere. I1 ne suffit pas de remarquer que, dans le cas qui nous

occupe, ofa les points Ap sont dans une r6gion finie quand R augmente ind6-

finiment, elle est strictement positive. Une forme strictement positive peut en

effet avoir pour limite une forme qui ne l'est pas.

I1 s'agit de montrer i'impossibilit6 d'une relation presque sore entre les

X(Hp), qu'on pourrait 6videmment mettre sous la forme

(12) X(H. ) ---~ aiX(H1) + . . . + a._lX(H._l).

On peut supposer la distance ~. = p(P, H.) sup~rieure h toutes les autres dis-

tances p.. I1 suffit en effet de choisir P de mani~re que routes ces distances

soient diff6rentes, et de num6roter les points choisis dans le plan II de mani~re

que leurs distances ~ P aillent en croissant. Comme on peut avoir pr6alablement

61imin6 les points n'intervenant pas dans la relation dont on suppose l'existence,

ce n'est pas une restriction de la supposer r~soluble par rapport h X(H.) , tous

les ~,, d'indices p < n ~tant < ~. - - ~ (8 > 0).

On a entre les X(A~) une relation de la forme

(13) X(A. ) = aIX(A1) + �9 �9 �9 + a._iX(A._,) + ~ ,

L E M O U V E M E N T B R O W N I E N F O N C T I O N D ' U N P O I N T D E L A S P H E R E D E R I E M A N N 303

dtant inddpendant des autres termes du second membre, et il s'agit de montrer

que ~ ne tend pas vers zdro quand R ~ c c et que les points A. tendent vers

les points H. du plan II. Or, pour /? assez grand, X(An) comprend le terme

2 - - N "

(14) U = c R 2 - / ~ M I ~ ~ c'~ [c "2 : c2R2-gm(s')], �9 s t

oh s" est la partie de S(A.) qui est extdrieure ~ tous les autres S(A.) et ok m(s')

est sa mesure. Ce terme dtant inddpendant aussi bien de X ( A n ) - - U que de

tous les X(A:,)(p < n), c "2 est une borne infdrieure de a2, et on est ramend

montrer que l'aire de s' a pour R assez grand une borne infdrieure de la forme

k R N-2 .

Pour R assez grand, tousles r(P, A.)(p < n) sont < r,, - - ;~ [r , ----- r(P, A.)

tendant vers 9.], de sorte que, dans les S(A.), on a toujours

r(P, M) < -~-R -F- r. - - 8,

et s" comprend l'intersection s de S(A.) avec la zSne ddfinie par la double ind-

galitd

7 ; 7~

(15) 2 R + r,, - - ~ < r(p, M) < ~ R + r~,

Ii suffit doric maintenant de montrer que, pour R assez grand, l'aire de s est

> k R N-2 .

Or, pour R infini, la z6ne (15) dtant /l une distance finie de ,, l 'dquateur,,,

c'est-&-dire de la fronti~re de la demi-sph~re S(P), diff~re infiniment peu de sa

projection sur le cylindre circonscrit h -q le long de cette fronti~re qui est la

surface d'une sphere d'un espace /t n -- 1 dimensions e t a pour mesure toN_ ~ R N-2.

La mesure de cette z6ne est donc un infiniment grand dquivalent ~ ~toN_i RN-2.

D'autre part quel que soft s > 0, on peut recouvrir la portion de cette z6ne

qui est & une distance > ~ de sa fronti~re Ia plus dloignde de P par un nombre

fini d'aires S(B~), les points B~ vdrifiant la condition r(P, B ~ ) = r~ [il suffit pour

cela que n'importe quel point M de la fronti~re considdrde de s soft ~ une distance

< ,~ du point de contact B~ de cette fronti~re avec une des aires S(B~), ~ dtant T~

tel que r(M, B.~) < ,~ entra~ne r(M, B~) < ~ -R-~ s]. La z6ne s dtant ainsi pres-

que enti6rement recouverte par un hombre fini d'aires qui en recouvrent la

meme fraction, chacune d'elles, et en particulier S(A~), en recouvre une fraction

3 0 4 PAUL L~vY

finie. L'aire s est donc bien > k R N-2, c.q.f.d. (k d6pend de N, et tend vers

z6ro pour N infini; mais ici N e s t fixe).

6. - Le cas de la circonfdrence. Ddveloppement en sdrie de Fourier. 11 sera

ici plus simple de substituer h la variable laplacienne r~elle ~ la variable corn-

--- ~ -1- iv2. On a alors E{I~I 2 = 2, et la variable r6duite est ~ . Mais, plexe

comme nous poserons aussi Z(A) = X(A) q- i Y(A), les relations entre Z(A)

et les variables ~ seront les m~mes qu'entre X(A) et les ~. Le facteur 2 n'ap-

paraitra que dans les expressions de la variance et de la covariance.

Nous supposerons ici N = - 2 , et /? = 1, de sorte que Q se r~duit au cercle

trigonom6trique. Nous prendrons comme param~tre l'abscisse curviligne 0, qui

sera d6finie mod. 27~. Si on consid~re /~ la lois deux points 0 et 0', on peut

toujours supposer 0 '~ [ 0 - ~, 0--[-~], de sorte que leur distance sera 10 ' - -0 [ .

La formule (1) prend ainsi la forme

(16) Z ( O ' ) - - Z ( O ) = ~ V t o ' - - O I (10' - - OI ~< ~),

et , c o m m e

donnent

(17)

pour N = 2, la formule (7) devient c 2 = 1 les formules (4) et (5) 2 '

Z ( O ) = 1 /.o-~

)/2Jo_~ ~)"J~. 2

La moyenne de Z(O) est

z(o) + z(o + ~) 1 f ~ r (18) ~ = 2 - 2 ~ J o ~ V d ~ = y ~ . o ,

et la difference

Z(O) Z(O + V~ Zo(O) = = z ( 0 ) - ~-~o

2

est ind~pendante de to. Comme Zo(O) -a t- Zo(O + ~) ~-- O, elle a un d~veloppe-

ment en s6rie de Fourier, dont nous savons a priori (d'apr~s le th6or~me de

Fej~r) qu'ii est presque sfirement convergent au sens de Ces~ro, de la forme

(19) z o ( 0 ) = ~V' a . e '2"+'''" ~,,. ~" - - o o

Cette fonction ~tant stationnaire, ies ~. sont ind~pendants les uns des autres (t).

(~) Cf. P. L~vy, [3], n o 2, 4.

LE MOUVEMENT BROWNIEN FONCTION D'UN POINT DE LA SPHERE DE RIEMANN 305

La Ioi de a . ~ . ne d6pendant que de [a,,, nous pouvons supposer les a. > O. Le

fait que le sens de parcours sur la circonf6rence n'intervienne pas dans la d6-

finition de Z0(O) permet d'6crire le d6veloppement pr6c6dent sous la forme oo

(20) Zo(0) = ~ a . ~ o,2~ 0

Compte tenu de l ' ind~pendance des diff~rents ~,, et ~ , on en d~duit oo

E{!Z(0 ' ) - - Z(0)i 2} = 2 ~--~ a2. [i e'2"+'"~ - - e'2"+'"~ + [e -'2"§176 - - e -~'+'' '~ 2] 0

= 8 ~ 0~.[1 - cos (2~ + 1)(0' - o)]. 0

D'apr~s la formule (15), cette expression doit ~tre identifi~e h 2 [ 0 ' - - 0 [ pour

]0' - - 0] ~ n. On a donc

83~. = ---- 4 f=x cos (2n -+- 1 ) x d x - - 8 l n Jo n (2n + 1) 2, a. = t/~(2n +-i-) '

de sorte que finalement, en revenant aux notations de la [ormule (18),

1 +oo ~.e(2n+l)i 0

(21) Z~ = ]~- _~- 2-n- +-1-"

Cette s6rie 6rant presque s0rement convergente, et absolument convergente en

moyenne quadratique, t o u s l e s calculs fairs sont bien 16gitimes. On v6rifie ais6-

ment qu'on a bien

e l l z ~ ( o ) ~ } = e { ~ 2} = e { i z 2 ( o ) l ) = ~-.

Le d6veloppement de Xo(O ) s 'obtient en 6galant les parties r6elles des deux

membres, ce qui donne

(22) X o ( O ) = ] / ~ ~ ~ . c o s ( 2 n + l ) O + r / . s i n ( 2 n + l ) O 2 n + l

Ceux de Z(O) et X(O) s 'obtiennent par l 'addition des termes constants, qui sont

respectivement 2 ~ 0 et ;~ .o .

I1 est int6ressant de comparer la s6rie qui repr6sente Z0(O ) h la s6rie de Paley et Wiener

~, DniO \

1 Z ''~"~ / ( 2 3 ) Z l ( 0 ) = l / ~ ; 0 0 ~ - /'~ / : ,

20 = R e n d . C i rc . M a t e m . P a l e r m o - Serie II - Tomo V l l | - Anno 1959

306 PAUL LEVY

(la sommation s'6tendant h t o u s l e s entiers r6els non nuls), qui repr6sente la

fonction de Wiener complexe clans (0, 2r0. Les termes e n e '2~+'''~ sont exacte-

merit les m6mes clans 2"o(0) et 1/2-Z~(0). II en r6sulte que notre fonction Zo(0 )

pourrait dtre d6duite de celle de Paley et Wiener par la formule

z,(o + 7:) z, (27:) - z, (0) (0 0 (24) [

le signe ~ indiquant qu'il ne s'agit pas seulement de l'6quivalence en loi pour

chaque valeur de 0, mais que la distribution de la probabilit6 dans l'espace

des fonctions possibles est la m~me pour les deux membres.

Bien entendu, ni Z(0) ni ZoO) n'ont le caract6re markovien de ZI(0). l~ap-

pelons, en revenant h ia circonf6rence que deux points A et B divisent en deux

arcs compl6mentaires, que ce caract~re consiste en ce que la connaissance de

ZI(0) en ces deux points rend les valeurs de cette fonction sur un arc abso-

lument ind6pendantes de ses valeurs sur l 'autre; sur chacun de ces arcs, les

furmules d'interpolation sont les m~mes que s'il s'agissait de la fonction de

Wiener. D'apr~s la formule (8), il n'en est pas de m~me pour Z(0) : si on con-

nait cette fonction sur le plus petit des deux arcs AB, elle est connue sur l'arc

sym6trique par rapport au centre, ~t un constante pros let, dans les conditions

analogues, Zo(0) est connu exactement].

Pour N > 2, il n'est pas question de caract~re markovien. On sait que,

pour N ' = N - - 1 > 1, la fonction X(A) du mouvement brownien ~t N' para-

m/~tres n'est pas markovienne. On ne peut pas s'attendre /t ce qu'elle le soit

pour la sphere. Mais il y a une diff6rence importante entre nos fonctions actuelles

Xo(A) et X(A), et celle obtenue en consid6rant les valeurs sur une sphere de

la fonction d6finie dans l 'espace euclidien. Si on suppose connues les valeurs

de celle-ci sur la fronti~re commune de deux surfaces compl6mentaires S e t S',

il n'y a qu'une d6pendance stochastique entre ses valeurs sur S et sur S'. Au

contraire, pour Xo(A) et X(A), la formule (8) montre qu'il y a une d6pendance

analytique: si une de ces fonctions est connue sur une aire S int6rieure /t une

demi-sph6re, elle est connue (exactement pour Xo, h une constante pros pour X),

sur l'aire sym6trique de S par rapport au centre. On peut exprimer ce r6sultat

en disant que deux points M et M' sym6triques par rapport au centre sont

les images l'un de l'autre. I1 n'y a rien de tel pour une sphere immerg6e dans

l 'espace euclidien.

LE MOUVEMENT BROWNIEN FONCTION D'UN POINT DE LA SPHERE DE RIEMANN 307

7. - La m6thode de Tchentsov pour le plan. Nous allons maintenant montrer

comment on peut, autrement que par un passage h la limite, 6tendre au plan

notre m~thode relative h la sphere, et retrouver celle de Tchentsov. Nous sui-

vons ainsi l'ordre inverse de celui des d6couvertes, car c'est apr~s la lecture

du travail du savant russe qu'en voulant appliquer sa m6thode h la sphere nous

avons remarqu6 qu'elle se simplifiait beaucoup. Pour un expos6 didactique, il

semble pr4f6rable de commencer par le cas simple.

II n'est naturellement pas question d'6tendre au cas du plan les formules

(4) et (5). C'est ia formule (6) qui nous servira de point de d6part. Les points

M e t M', diam4tralement oppos6s, qui d4crivent les aires s e t s ' sont les p61es

des grands cercles dont les plans s6parent A et B, et la mesure commune de

ces aires peut ~tre consid6rfe comme une mesure de l 'ensemble de ces plans.

Sous cette forme, l'extension de notre m6thode h l 'espace euclidien A N dimen-

sions est facile.

D6signons par Q une sphere de centre O e t de rayon unit~, par S(P) une

demi-sph~re choisie une lois pour toutes, et par M et M' deux points diam4tra-

lement oppos6s, M d6crivant S(P). Le sens O M sera le sens positif. Un plan 17

sera d6fini par le diam~tre MM', et par l 'abscisse p ~ O H du point H off

ii coupe la droite M'M. La mesure proposfe par Tchentsov est d p d S , dS 6tant

l'616ment d'aire d6crit par M sur la surface -% II est facile de voir qu'eile donne,

pour l 'ensemble des plans qui s6parent A e t B, une mesure m qui ne d6pend

que de la distance r = r(A, B), et lui est par suite proportionnelle.

D6signons en effet par 0 l'angle de O M et de AB. La projection sur la droite OM d'un 616ment aa" de AB, de longueur ds, est IcosOIds, de sorte

que d p d S = IcosO]dsdS. L'int6grale m est donc

/s L -~-jABdS ICOS O l d S = r 1cos OldS. m (p) 2.

Cette expression ~tant ind~pendante de la direction AB, nous pouvons supposer

que c'est celle de OP, et il vient

j i ~- ~O~N--2 m = FQN-~ sin N-2 COS OdO N - - 1 r

c'est-~-dire

(25) m : Kr(A, B)

308 PAUL L~.W

Introduisons alors l 'expression

/

(26) U(A, B) = l ~t /dpdS J s(Q)

off ~ = • l, son signe 6rant celui de cos 0. Comme il change si on intervertit

A et B, on a

(27) U(A, B) --[- U(B, A) = O.

De m~me, si A, B, C sont trois points quelconques, tout plan qui coupe un des

c6t~s du triangle A B C en coupant un autre, et en parcourant le chemin A B CA on le coupe une lois dans chaque sens, de sorte que

(28) U(A, B) -{-- U(B, C) + U(C, A) = O.

Cette remarque s'~tend ~videmment au cas d'un polygone quelconque, et m~me

d'un contour fermi quelconque. Mats cette extension n'est m~me pas ndcessaire

pour conclure que U(A, B) est de la forme

(29) U(A, B) = ~K[X(B) - - X(A)].

La fonction X(A), d6finie fi une constante pr6s par cette formule, est bien celle

du mouvement brownien fi N param~tres.

Nous avons modifi~ la m~thode de Tchentsov en introduisant le signe ~.

Sans ce signe, les formules (24) et (25) sont fausses. Mats Tchentsov d~finit

X(A) par la formule

X(A) = U(O, A)

et vdrifie que X ( B ) - X(A) a bien la forme ~ K~K-r. Son expos~ est donc par-

faitement correct. Mats il nous a paru pr6f~rable de d~finir X(A) ind6pendam-

merit de l'origine choisie; il faut pour cela introduire un sens positif choisi sur

chaque direction de l'espace, ou, ce qui revient au m~me si l'espace est lui-m~me

orient~, choisir, darts chaque famille de plans parall~les, une orientation qu'on

consid~rera comme positive.

8. Remarques finales. Quelques probl~mes non rdsolus. - I! serait int6ressant

d'~tudier le cas des espaces ~ ds 2 riemanniens les plus g~n6raux et de savoir

dans quels cas la fonction X(A) existe. Notre ~tude relative ~ la sph6re sugg~re

assez naturellement l 'hypoth~se suivante: darts toute r~gion assez limit~e pour

que deux g~od6siques ne puissent p a s s e couper en deux points, la forme qua-

dratique Q dont d~pend l'existence de X(A) est d6finie positive. Ainsi elle le

LE MOUVEMENT BROWNIEN FONCTION D 'UN POINT DE LA SPHERE DE RIEMANN 3 0 9

serait toujours dans la g6om6trie de Lobatchesky. Naturellement un exemple ne

suffit pas pour 6noncer une r~gle g~n~rale, et nous ne la pr6sentons comme

une hypoth~se qu'avec I'id6e que cela peut donner un objet pr6cis ~ des re-

cherches ult6rieures.

Un cas int6ressant, dans I'espace ~ trois dimensions, est celui des surfaces

de r6volution, et en particulier celui du tore. Consid~rons d'abord le tore d6fini

intrins6quement par deux variables 0 et % d6finies mod. 2~; l'~16ment lin~aire

est ds 2 = dO~-} - dr 2 et l'~l~ment d'aire est dOd% Par une extension naturelle

de ce que nous avons fair pour la circonf6rence, on pourrait poser

(30) X(0, ~ ) = ] 0 _ ~ j _ ~ / ~.l/-d~d[~.

Mais cette formule conduirait ~ la relation diff6rentielle

(31) ~X(O, r ~I/2,r

ofJ le second membre n'est pas de la forme ~IFKds. Ainsi cette fonction, int6-

ressante en ce sens qu'eIIe conduit 8 la formule

(32) X(0, r -Jr- X(0 + ~, r -{- X(0, r --}- ~) -Jr- X(0 -~- ~, r -Jr- r,) = const.,

qui g~ndralise la formule (8), ne v6rifie pas notre condition (1). C'est, si l'on veut,

un mouvement brownien g~n~ralis6, non isotrope (').

Des difficultds analogues se pr6sentent pour le tore immerg~ darts l'espace

euclidien, ou pour les surfaces de r6volution. Si la m6ridienne d'une telle sur-

face est une courbe ferm6e, une formule du type (30), oh l'616ment d'int~grale

sera ~t/d-S, ou, plus g6n6ralement, ~,r conduira/ i la formule (32). Mais

la variation ne sera pas de la forme ~t/Kcls.

{l) Des remarques analogues peuvent 6tre faites au sujet de la fonction d'une variable 0 (dgfinie rood. 2n)

La diff6rence X ( 0 2 ) - X(O~) n'est de la forme (1) que si ' 02- -Oi l (toujours suppos6 _< n)

est ---< 2-. Quand cette distance varie de 2~ /~ ~, X(O~) et X(02) sont ind6pendants, et la dif-

f6rence eonsid6r6e est de la forme ~ F~-~. On a done en tout eas

xc0.,) -- x(01) = ~ Min (1'~, F'r~-~o-~-!-) (I0.: -- 0~ I _< ~).

310 PAw. L~w

Terminons par une remarque sur l'application du principe de continuit6

qui nous a permis au n o 5 de passer de la sph6re au plan, dans le cas off une

surface sans point singulier a pour iimite une surface ayant un point conique.

Consid6rons pour fixer les id6es la surface de revolution S d'axe O y ayant pour

m6ridienne la courbe

(33) (x 2 _.[_ y2)2 --l- 2 a ~ (y2 - - x ~) : k a'.

Pour k ~ O, la courbe est une lemniscate et la surface de r~volution, que nous d~signerons alors par So, a un point conique /t l'origine. Mais la situation n'est

pas du tout la m~me si k tend vers z6ro par valeurs positives ou par valeurs

n6gatives.

Dans le premier cas, l'axe des y coupe la courbe en deux points A et A'

dont la distance euclidienne tend vers z6ro. Mais la distance r(A, A ' ) compt6e

sur la surface, ou, ce qui revient au m~me, sur la courbe (33), ne tend pas vers

z6ro. Il en r6sulte que, pour un groupe de n points Ah, certaines des distances

r(Ah, As) peuvent se trouver brusquement diminu6es d'une quantit6 finie quand

A et A' se confondent. La forme Q [formule (3)] relative /l ces points et /t la

surface S n'a pas pour limite une forme analogue relative /l la surface So. La mSthode de passage /l la limite ne s'applique pas.

Si au contraire a tend vers z6ro par valeurs n6gatives, la surface S a au

voisinage de l'origine l'aspect d'un hyperboloYde de r6volution /l une nappe, et

si deux points A et A' tendent vers O, leur distance r(A, A') comptge sur S

tend aussi vers z6ro. Alors l'apparition du point singulier ne cr6e aucune dis-

continuit6 pour la distance de deux points quelconques Ah et Ak. La m6thode

de passage ~ la limite s'applique donc. S'il arrive qu'on d6montre l'existence

de X ( A ) pour toutes les surfaces ferm6es sans points singuliers ayant la con-

nexion du tore, elle sera par 1/l m~me Oablie pour notre surface So.

Paris, D6cembre 1959

BIBLIOGRAPHIE

[1] P. L6vy. Processus slochastiqucs et mouvement brownien. Paris, Gauthier Villars, 1948. [2] P. L~vy. Le mouvement brownien. (M~morial des Sciences math6matiques, fasc. CXXVI)

Paris, Gauthier Villars, 1954. [3] P. L6vy. Wiener random function, and other Laplacian random functions, Second Berkeley

Symposium on Mathematical Statistics and Probability. 1950, Proceedings, University of California Press, 1951.

[4] I. J. Schoenberg. Metric spaces and positive definite functions, Transactions of the Ame- rican Mathematical Society, 44 (1938) p. 522-536.

[5] N. N. Tchentsov. Le mouvement brownien ~ plusieurs param~tres de M. L~vy et le bruit blanc g~n~ralis6. Th~orie des probabilit~s et de ses applications (Moscou, recueil de l'Acad6mie des Sciences de I'U. R. S. S.), 2 (1957), p. 281-282.