Lezione 11: Le onde elettromagnetiche e la luce

Le onde elettromagnetiche

più importante conseguenza delle equazioni di Maxwell:

esistenza di onde elettromagnetiche

0ερ

=⋅∇ Er

tEJB

∂∂

+=×∇r

rr000 µεµ

tBE

∂∂

−=×∇r

r

0=⋅∇ Br

equazioni di Maxwell

∂∂

×∇

+×∇=×∇×∇

tE

jBr

rr

00

0)(

µε

µ

L

rr

∂∂

×−∇=×∇×∇tBE)(

⇓

0==

=

=

ρσ

µ

ε

EJ

HB

ED

rr

rr

rr

0

0

2

22

2

22

=∂

∂−

∂∂

−∇

=∂∂

−∂∂

−∇

tH

tHH

tE

tEE

rrr

rrr

σµεµ

σµεµ

equazione generale delle onde

per un mezzo isolante: 0=σ

0

0

2

22

2

22

=∂

∂−∇

=∂∂

−∇

tHH

tEEr

r

rr

εµ

εµ

εµ1

=v

E e B propagano come onde di velocità

anche nel vuoto (assenza di cariche o correnti)

campo B variabile genera un campo Ecampo E variabile ricrea il campo B variabile

il processo continua sotto forma di onda elettromagnetica che propaga nello spazio

Proprietà delle onde elettromagnetiche

onda pianaE e B costanti sui piani ortogonali

all’asse x

soluzione particolareequazioni di Maxwell

nel vuoto

E e B propagano constessa velocità

= versore asse x(direzione di propagazione)

vettore di Poynting(direzione e verso di propagazione)

EiBrrr

×=00

1µε

εµ/1=v

ir

onde trasversaliE e B non sono indipendenti

HESrrr

×=

Bonda sinusoidale E

)2cos(),( 0 φωλπ

+−= txEtxE x

Storicamente:Maxwell calcola velocità onda elettromagnetica

≡=εµ1v

velocità della luce misurata

sperimentalmente

la luce è un fenomeno elettromagnetico;è costituita da campi elettrici e magnetici

rapidamente variabili ed orientati trasversalmente alla direzione di propagazione.

unificazione di elettricità e magnetismoimplica la teoria della luce!!!

Conferma sperimentale:

1888 Hertz: scoperta delle onde radio

Marconi: applicazioni commerciali delle onde radio

Produzione di onde elettromagnetiche

carica elettrica a riposo: campo Ecarica elettrica in moto: campo E, campo B

in condizioni stazionarie:

carica in moto uniforme ≡ corrente costantedensità di energia e-m costante nello spaziola carica non trasporta segnale:(solo evidenza della sua presenza)

non trasporta energianon trasporta quantità di motonon c’è radiazione elettromagnetica

in condizioni dinamiche:

carica in moto accelerato ≡ corrente variabile

la radiazione è prodotta da correnti che

variano nel tempo

in laboratorio:vario nel tempo correnteche scorre in un filo

genero onda elettromagnetica

circuito oscillante

RLC

generatoreesterno

C

R

linea di trasmissione

(cavo coassiale)L

antenna adipolo elettrico

onda che si propaga

geometria antenna determina proprietà geometriche campi E e B irraggiati

antenna a dipolo elettrico (radio e TV)al termine di un cavo

coassiale~

due conduttori rettilineicariche fluiscono con frequenza ωdipolo elettrico oscillante con frequenza ωradiazione di dipolo elettrico

(sospinte da circuito RLC)

taqp ωsin0=

emissione onda dipolare taqp ωsin0=

p = p0t

p = 0t +T/4

p = -p0t +T/2

p = 0t +3/4T

p = p0t +T

Scoperta delle onde radio(Hertz 1888)

trasmettitore:corrente oscillanteprodotta da scintille

emesse da un terminale ad alta tensione(frequenza di

risonanza ≈ 108 Hz)

ricevitore:circuito isolato

le onde inducono una correnteanaloga

(frequenza di risonanza ≈ 108 Hz)

onde e-mpropagano per metri

Radiazione di una carica in moto accelerato

Carica in moto emette radiazione em:potenza irradiata

⇓flusso vettore di Poyntingattraverso sup. sfericacontenente la carica al centro

danHEPS

rrr⋅×= ∫ )(

Calcolo E ed H su S a partire dai potenziali A, φ:

HE

tAgradE

0

0

εµ

φ

=

∂∂

−−=r

r

onda piana

''

)'

,'(

4),(

''

)'

,'(

41),(

0

0

dvrrcrr

trJtrA

dvrrcrr

trtr

V

V

∫

∫

−

−−

=

−

−−

=

rr

rrrr

rr

rr

rrr

r

πµ

ρ

πεφ potenziali

ritardati

=∫ ')','( dvtrV

rρ quantità di carica nello spazio,tenente conto del moto di cariche

Esempio di calcolo integrale:

r-r’ u

P

θdrdS, dv’

Superficie sferica che si contrae con velocità c

se u=0 dSdrdq ρ=

dSdtrrrrudtudS

')'(cos rr

rrr

−−⋅

=ρθρ

se u≠0 → diminuzione di carica

')')'(1( dv

rrcrrudq ρrs

rsr

−−⋅

−= ',/ dvdSdrdtcdr ==

)')'(1(

'

rrcrru

dqdvrs

rsr

−−⋅

−=ρ

crrurr

ecrrurr

dqtrV

)'('41

)'('41),(

0

0

rrrrr

rrrrr

r

−⋅−−

=

−⋅−−

= ∫

πε

πεφ

per distribuzioni dqlimitate a piccoli volumi

(integrando costante)

crrurr

uetrA )'('4),( 0 rrr

rr

rrr

−⋅−−

=π

µ Potenziali diLienard-Wickert

per elettrone

per velocità non relativistiche ( u<<c):

Re

rretr

Rue

rruetrA

00

00

41

'41),(

4'4),(

πεπεφ

πµ

πµ

=−

≈

=−

≈

rrr

r

rr

rrr

Potenza totale istantanea irradiata dall’elettrone:

φθθππ

ddsenRHEP n2

0

2

0

)(∫∫ ×=rr

HE

tA

tAgradE

0

0

εµ

φ

=

∂∂

−≈∂∂

−−=rr

r

2222

202

0

0

0

0

sin)4(

)(

sin4

)sin4

(

uuRe

cEHEHE

dtdu

Re

uRe

ttAE

n &&rr

θπ

µµε

θπ

µ

θπ

µ

θφθ

θθ

===×

=

−∂∂

−=∂

∂−=

∼massima in θ=π/2

Potenza irradiata:

eu θ

RAθ

⇒ trascuro componenti di E e H ∼ 1/R2, 1/R3…

sapendo che:

222

22/1

0

0

0

322

22/1

0

0

4)(

32

sin)(81

uuce

duceP

&&

&

πεµ

θθεµ π

=

= ∫

∼

irraggiamento solo se la carica è accelerata

irraggiamento in direzione ⊥ moto

Onde elettromagnetiche in un conduttore

equazione generale delle onde

0

0

2

22

2

22

=∂

∂−

∂∂

−∇

=∂∂

−∂∂

−∇

tH

tHH

tE

tEE

rrr

rrr

σµεµ

σµεµ 0≠σ

soluzione per onda piana monocromatica:)(

0),( txieEtxE ωα −= e -β x

onda smorzata nella direzione x

basse frequenze

alte frequenzenon c’è assorbimento (il metallo è trasparente)

)();( ωββωαα ==)sec104( 113 −⋅<<ω

βωσµβ

/12/

=

=

dcoefficiente di assorbimento

cammino di assorbimento(conduttore perfetto: σ=∞, d=0onda riflessa totalmente)

)sec104( 113 −⋅>>ω

Ionosfera: parte di atmosfera 100-400 Km dalla terraaria ionizzata da radiazione solare ultraviolettaelettroni si muovono di moto armonico

mHz

srad

p

p

p

7.18

106.1

/107

8

≅

⋅≅

≅

λ

ν

ω

frequenza di taglioν < νp onda riflessaν > νp onda trasmessa

Applicazioni:

onde radio(modulazione di ampiezza)vengono trasmesse anche molto lontano per riflessionedalla ionosfera

onde radio e TV(modulazione di frequenza)passano la ionosfera ⇒utilizzo satelliti oltre la ionosfera

Hz610≅ν

Hz810≅ν

ionosfera

Onde elettromagnetiche in un dielettrico

× 2

2

002

0

2

002

2 1)(11tPPE

tE

∂∂

−⋅∇∇=∇−∂∂

rrr

r

εµεµε

In un dielettrico:considero cariche di polarizzazione;trascuro effetti di magnetizzazione(suscettività magnetica piccola)

equazioni di Maxwell0=⋅∇ D

r

tDB

∂∂

=×∇r

r0µ

tBE

∂∂

−=×∇r

r0=⋅∇ B

r

PED

Jrrr

r

+=

=

=

0

0

0

ε

ρ

onde nel vuotomezzi

omogenei

per campi funzioni armoniche)cos,(sin tt ωω

EP e

rr)(0 ωχε=

P dipende dalla frequenza ωdiminuisce all’aumentare di ωla fase di P non è la stessa di E(l’effetto di polarizzazione è in ritardo)

)(0

)(0

),(

),(δω

ω

+⋅−

⋅−

=

=rkti

rkti

ePtrP

eEtrErr

rr

rrr

rrr

2

2

0

2

002

2 11tPE

tE

∂∂

−=∇−∂∂

rr

r

εµεequazione onde

× × × ),()(),(),(),( 2

0

2222 trEtrPtrEkctrE e

rrrrrrrrωχω

εωω ==+−

onda pianamonocromatica

)()(

)(

)()(1)(

)(12

22

ωεω

ω

ωεωχωω

ωχω

rf

ref

e

vcn

cck

v

kc

==

=+

==

+=

mezzo dispersivo

I potenziali del campo elettromagnetico

elettrostatica magnetostatica

00

=

=

Erot

Edivr

r

ερ

JBrot

Bdivrr

r

0

0

µ=

=

0

2

ερφ

φ

−=∇

−= gradEr

JA

ArotBrr

rr

02 µ−=∇

=

0=Adivr

in condizioni dinamiche:

0)(

)(

=∂∂

+

∂∂

−=

tAErot

tArotErot

rr

rr

ArotBtBErotrr

r

=∂∂

−=r

irrotazionale

ArotBtAgradE

rrr

r=

∂∂

−−= φ

L

rrr

rrr

)()( 000

000

tAgrad

tJArotrot

tEJBrot

∂∂

−−∂∂

+=

∂∂

+=

φµεµ

µεµ

dalle equazioni di Maxwell:

L

r

r

0

0

)(ερφ

ερ

=∂∂

−−

=

tAgraddiv

Ediv

ερφεµφ −=

∂∂

−∇ 2

22

t

JtAA

rr

rµεµ −=

∂∂

−∇ 2

22

equazioni delle onde

per i potenziali !!

0=∂∂

+t

Adiv φεµr condizione di Lorentz

(elimina arbitrarietà di A e φ)

i potenziali φ ed A generati da una distribuzione di cariche e correnti si fanno sentire nello spazio con ritardo, legato alla velocità di propagazione.

Invarianza dell’elettromagnetismo sotto trasformazioni di Lorentz

sistema S sistema S’

x’z’

O’

vr

xz

Oy y’

moto rettilineo uniformerispetto ad S

O ≡ O’ per t = t’ = 0

trasformazioni di Lorentz

;1

'

;';'

;1

'

22

2

22

cv

xcvt

t

zzyy

cvvtxx

−

−=

==

−

−=

la norma del quadrivettoreè invariata

mantengono velocità della luceuguale nei due sistemi

2222222222 ''' tczyxtczyx −++−++

),,,( ictzyx

=

equazioni delle ondeper i potenziali

2

2

2

2

2

22

,,

zyx

kyx

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

∂∂

∂∂

∂∂

=∇ερφεµφ −=

∂∂

−∇ 2

22

t

JtAA

rr

rµεµ −=

∂∂

−∇ 2

22

2

2

22

2

2

22

2

2

2

2

2 11

)(,,,

tctczyx

ictkyx

∂∂

−∇=∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

=∇ quadrivettore

operatore (quadrato del quadrivettore ∇)è invariante per trasformazioni di Lorentz

),(),(cUipciJ

r

rρ

JA

icci

rr0

0 )()(

µ

ρµφ

−=

−=

quadrivettore densità carica-correntequadrivettore momento-energia

)4,3,2,1(

)4,3,2,1(),(

0 =−=

=≡

µµ

µφ

µµ

µ

jAciAA

r

il potenziale e-m è invariante