Le onde sonore

Un utile modello meccanico delle onde sonore è rappresentato da una molla. Se facciamo oscillare un estremo di una molla avanti e indietro, originiamo un’onda longitudinale che viaggia orizzontalmente.

L’onda consiste di regioni nelle quali le spire sono molto compresse, alternate a regioni nelle quali le spire sono più distanti fra loro.

In stretta analogia con il modello della molla, un altoparlante produce onde sonore facendo oscillare una membrana avanti e indietro orizzontalmente. Proprio come nel caso della

molla, l’onda si allontana dalla sorgente orizzontalmente ed è costituita da regioni compresse, che si alternano a regioni rarefatte.

A prima vista, l’onda sonora sembra molto diversa dall’onda che si propaga lungo una corda, in particolare non sembra avre il tipico aspetto sinusoidale. Tuttavia, se rappresentiamo graficamente le grandezze appropriate, ritroviamo il classico aspetto delle onde.

Nella figura b) è riportata la variazione della densità dell’aria in funzione di x. E’ evidente che la densità dell’aria oscilla in modo simile a un’onda sinusoidale.

Avremo ancora un grafico sinusoidale se rappresentiamo la pressione dell’aria in funzione di x. Nelle regioni nelle quali la densità è elevata, anche la pressione è elevata e in quelle nelle quali la densità è bassa, anche la pressione lo è.

Proprio come la velocità di propagazione di un’onda lungo una corda, la velocità di propagazione del suono è determinata dalle proprietà del mezzo attraverso il quale si propaga. Nell’aria, in condizioni di pressione atmosferica e temperatura normali (20°C), la velocità di propagazione del suono è approssimativamente:

v=343 m/s

(Salvo diverse indicazioni, assumeremo questa come velocità del suono.

Ricordando la teoria cinetica dei gas, si può comprendere come la velocità di propagazione del suono nell’aria è direttamente collegata alla velocità delle molecole dell’aria.

Se l’aria viene riscaldata, le molecole si muovono più rapidamente e quindi la velocità di propagazione del suono aumenta con la temperatura.

In un solido la velocità di propagazione del suono è determinata in parte dalla rigidità del materiale. Più rigido è il materiale, più veloce è l’onda sonora, proprio come una maggiore tensione in una corda determina un’onda più veloce.

Per esempio, nella plastica v = 2680 m/s e nell’acciaio v = 5960 m/s.

ESERCIZIO: lasci cadere un sasso in un pozzo

profondo 7,35 m. Dopo quanto

tempo senti il tonfo?

SOLUZIONE: il tempo cercato è la somma del tempo t1 di caduta del sasso e del tempo t2 occorrente al suono per tornare al punto da cui è partito il sasso.

Per il sasso si tratta di un moto in caduta libera:

L’onda sonora si propaga a velocità costante, cioè

Allora: e

E quindi

21

2

1gtd

2vtd

sg

dt 22,1

21 s

v

dt 0214,02

sttt 24,121

La frequenza di un’onda sonora Suoni con frequenza diversa vengono percepiti dal nostro orecchio come suoni diversi; infatti la frequenza determina il tono di un suono.

Ad esempio, i tasti di un pianoforte producono suoni con frequenze che vanno da 55 Hz per il primo tasto a sinistra a 4187 Hz per l’ultimo tasto a destra.

Analogamente, quando canticchiamo una canzone modifichiamo leggermente l’aspetto e le dimensioni delle nostre corde vocali per cambiare la frequenza del suono che esse producono.

L’intervallo di frequenze udibili dall’orecchio umano, tuttavia, si estende ben oltre quello di un pianoforte.

Gli esseri umani possono udire suoni con frequenze comprese all’incirca tra 20 Hz e 20000 Hz.

Suoni con frequenze superiori sono detti ultrasuoni, mentre quelle con frequenze inferiori sono detti infrasuoni.

Sebbene non possiamo udire gli ultrasuoni e gli infrasuoni, suoni con queste frequenze si presentano spesso in natura e vengono utilizzati in molte applicazioni tecnologiche.

La più familiare applicazione medica degli ultrasuoni è l’ecografia, utilizzata per esempio per visualizzare i feti nel grembo materno. Bombardando il corpo con ultrasuoni e misurando il tempo che occorre per rilevare l’eco è possibile costruire una mappa della posizione delle strutture che sono nascoste sotto la pelle.

Gli ultrasuoni possono anche essere utilizzati per piccole operazioni, evitando di ricorrere agli interventi chirurgici ( per esempio colpendo con 1000 – 3000 impulsi sonori si frantuma un calcolo renale).

E’ importante sottolineare che

la velocità di propagazione del suono è la stessa per qualsiasi frequenza.

Perciò nella relazione , la velocità

rimane sempre la stessa.

fv v

Il fatto che suoni di frequenze diverse viaggino alla stessa velocità risulta evidente quando ascoltiamo un’orchestra in un ambiente grande: strumenti diversi producono suoni di frequenze diverse, ma noi li sentiamo tutti contemporaneamente.

Molti animali emettono e captano ultrasuoni e infrasuoni:

I pipistrelli e i delfini producono in continuazione ultrasuoni; ascoltando l’eco del loro verso essi riescono a muoversi nel loro ambiente e a individuare le prede.

Come meccanismo di difesa, alcuni degli insetti cacciati dai pipistrelli sono in grado si sentire gli ultrasuoni del pipistrello.

Di recente è stato scoperto che gli elefanti possono comunicare fra loro utilizzando suoni di frequenza intorno ai 15 Hz; tali infrasuoni, che gli esseri umani avvertono come vibrazioni piuttosto che come veri e propri suoni, possono viaggiare per un’area di circa 30 nella secca savana africana.

2Km

L’intensità del suono Come possiamo esprimere il fatto che il rumore prodotto da un martello pneumatico è molto più forte del cinguettio di un passerotto?

Il rumore di un suono è determinato dalla sua intensità, cioè dalla quantità di energia trasportata dall’onda che passa attraverso una data area in un definito intervallo di tempo.

Se l’energia E passa attraverso l’area A nel tempo t, l’intensità I di un’onda che trasporta tale energia è:

Ricordando che la potenza è il rapporto tra l’energia e il tempo in cui essa viene sviluppata,

, possiamo esprimere l’intensità nel seguente modo:

t

EP

Nel sistema internazionale si misura in .

Questo concetto di intensità si può estendere a tutti i tipi di onde.

Ad esempio, l’intensità della luce proveniente dal Sole, quando raggiunge l’alta atmosfera della Terra, è circa 1380 .

Se questa intensità potesse essere udita come suono, sarebbe un rumore spaventoso, pari a quello di quattro jet che decollano contemporaneamente.

A

PI

2/ mW

2/ mW

Quando ascoltiamo un suono emesso da una sorgente sonora, come una persona che parla o una radio che trasmette una canzone, notiamo che il suo volume diminuisce man mano che ci allontaniamo dalla sorgente.

Questo significa che anche l’intensità del suono sta diminuendo, perché man mano che ci si allontana l’energia emessa dalla sorgente si distribuisce su un’area maggiore.

Consideriamo una sorgente puntiforme che emette un suono con una potenza P.

Poiché l’intensità del suono è

e

per una sfera di raggio r, l’intensità del suono a una distanza r dalla sorgente è

(intensità in funzione della distanza da una sorgente puntiforme).

A

PI

2 rA

2 4 r

PI

In altre parole, l’intensità del suono diminuisce con il quadrato della distanza dalla sorgente.

ESEMPIO: Due persone affacciate al parapetto di un ponte ascoltano il canto di un usignolo. Una delle due, distante 1 m dall’usignolo, percepisce un suono con un’intensità di .

a) Quale intensità è percepita dalla seconda persona, che si trova a 4,25 m dall’usignolo? (supponi che nessun suono riflesso venga udito dalle due persone)

b) Qual è la potenza del canto emesso dall’usignolo?

26 /1080,2 mW

SOLUZIONE: siano I1 l’intensità a r1 = 1m e I2

quella a r2 = 4,25 m

a) E poichè la potenza è la stessa nei due casi, possiamo ottenere:

sostituendo i valori:

22

221

1 4

e 4 r

PI

r

PI

1

2

2

122

2

21

1

2

cui da

I

r

rI

r

r

I

I

27

2

1

2

2

12 /1055,1

25,4

00,1

mW

m

mI

r

rI

b) Calcoliamo P utilizzando con i dati dell’osservatore 1:

Possiamo verificare ripetendo il calcolo di P per l’osservatore 2.

A

PI

WmmWAIP 522611 1052,300,14/1080,2

Il livello di intensità

L’udito, come la maggior parte dei nostri sensi, è incredibilmente versatile.

Possiamo percepire suoni che sono circa un milione di volte più fievoli di una normale conversazione o ascoltare suoni che sono un milione di volte più forti senza provare dolore.

Inoltre, siamo in grado di udire suoni in un intervallo di frequenze molto ampio, da 20 Hz a 20000 Hz.

Il nostro udito è più sensibile di quanto possiamo immaginare; ad esempio, un suono debole, con un’intensità di circa , causa uno spostamento delle molecole dell’aria di circa

e tale spostamento è circa uguale al diametro di un atomo.

E’ altrettanto interessante il modo con il quale percepiamo il volume di un suono.

La nostra percezione del suono è tale che un aumento uniforme del volume corrisponde a intensità che crescono in base ad un fattore moltiplicativo.

211 /10 mW

m1010

Per esempio, supponiamo di sentire un suono di intensità , poi di sentirne un altro di intensità

che sembra due volte più forte del primo; se misuriamo le intensità dei due suoni notiamo che il secondo è circa dieci volte il primo.

Per questa ragione, una scala conveniente per misurare il volume di un suono è una scala che dipende dal logaritmo dell’intensità.

Viene quindi definito il livello di intensità di un’onda sonora, che misura il volume del suono:

1I 2I

Livello di intensità sonora

(Nel SI si misura in decibel (dB), che è una grandezza adimensionale)

Sperimentalmente si è osservato che il minimo valore di intensità di un suono rilevabile è:

0

log10I

IdB

2120 /10 mWI

Il livello di intensità è una grandezza adimensionale; ma, come per i radianti è conveniente indicare i valori del livello di intensità con un nome.

Il nome utilizzato è il bel, in onore dell’inventore scozzese Alexander Graham Bell (1847 – 1922).

Il bel è un’unità piuttosto grande, usualmente si usa il decibel (dB) che corrisponde a 1/10 di bel.

Calcoliamo alcuni livelli di intensità:

Se un suono ha intensità

01log10log10 allora ,0

00

dB

I

IdBII

dBdBI

IdBII 1010log10

10log10 allora ,10

0

00

dBdB

I

IdBII

20100log10

100log10 allora ,100

0

00

Il più piccolo aumento del livello di intensità percepibile dall’orecchio umano è di circa 1 dB.

L’intensità di un insieme di sorgenti sonore indipendenti è semplicemente la somma delle singole intensità.

ESEMPIO: un bimbo che piange emette un suono di intensità . Calcola:

a) Il livello di intensità del pianto del bimbo (in dB)

b) Il livello di intensità del pianto del bimbo e del suo gemello, che piange con la stessa intensità.

26 /100,8 mW

SOLUZIONE:

a) Calcoliamo β per

b) Ripetiamo il calcolo sostituendo I con 2I

26 /100,8 mWI

dBmW

mWdB 69

/10

/100,8log10

212

26

dBdBmW

mWdB 72692log

/10

/100,82log10

212

26

L’effetto doppler

Il cambiamento di tono del fischio di un treno o del clacson di un’automobile quando ci sorpassano è un fenomeno fisico riguardante il suono che sperimentiamo abitualmente.

Questo cambiamento di tono, dovuto al moto relativo della sorgente del suono, è chiamato effetto Doppler, dl nome del fisico austriaco Christian Doppler (1803 – 1853).

Se ascoltiamo attentamente il fischio del treno o il clacson dell’auto, notiamo che il tono del suono (cioè la sua frequenza) aumenta quando la sorgente e l’osservatore si avvicinano, mentre diminuisce quando si allontanano.

L’effetto Doppler vale per tutti i tipi di fenomeni ondulatori, non solo per il suono: anche la frequenza della luce si modifica per effetto Doppler, quando c’è un moto relativo tra la sorgente e il ricevitore. Per la luce, questo cambiamento di frequenza appare come cambiamento di colore

Osservatore in movimento

In figura è mostrata una sorgente sonora in quiete nell’aria ferma

Il suono emesso è rappresentato da linee circolari che indicano la compressione che si allontana dalla sorgente con velocità v.

La distanza tra le compressioni è la lunghezza d’onda λ e la frequenza del suono è f.

Sappiamo che: v = λ f

Per un osservatore che si muove verso la sorgente con velocità u, il suono sembra avere una velocità maggiore, v + u (sebbene la velocità del suono rispetto all’aria sia sempre la stessa).

Di conseguenza, in un dato tempo l’osservatore è investito da più compressioni di quante non ne incontrerebbe se stesse fermo.

Per l’osservatore, quindi, il suono ha una frequenza f’ > f.

Per determinare la frequenza f’ osserviamo che la lunghezza d’onda del suono non cambia, è ancora λ, mentre la velocità è diventata v’=v + u.

Perciò possiamo ricavare la nuova frequenza dalla relazione v’ = λ f’:

Infine, ricordando che

uvvf

''

f

v

Possiamo scrivere:

Osserviamo che f’ > f. Dunque, per l’osservatore che si avvicina alla sorgente il suono ha una frequenza più alta.

fv

uf

v

uv

f

v

uvf

1'

Se invece l’osservatore i allontana dalla sorgente con una velocità u, gli sembra che il suono si propaghi con una velocità minore .

Ripetendo il discorso fatto nel caso precedente, otteniamo:

In questo caso, l’effetto Doppler fa si che la frequenza f’ sia minore di f, cioè per l’osservatore che si allontana alla sorgente il suono ha una frequenza più bassa.

fv

uuvvf

1

''

Combinando i due risultati ottenuti:

(con la convenzione di utilizzare il segno + quando l’osservatore si avvicina alla sorgente, il segno − quando se ne allontana).

https://www.youtube.com/watch?v=pnrQ4Kht4E8&ebc=ANyPxKpdOr9VdB5iQE2XmXqs0__dwoGzQfZ7V8wTSOwnyEoUb1tVnblMTJN272DNlWKw3MxgDe-5XT18rJmK03eR40JO

fv

uf

1'

ESERCIZIO : Un suonatore di strada suona la prima corda del suo violino, producendo un suono di frequenza 440 Hz. Calcola la frequenza che un ciclista sente:

a) Quando si avvicina al suonatore con una velocità di 11,0 m/s;

b) Quando si allontana alla stessa velocità.

a) Per la legge dell’effetto Doppler con il segno + e u = 11,0 m/s:

b) La stessa relazione con il segno −:

Mentre il ciclista sorpassa il suonatore, la frequenza percepita diminuisce.

HzHzsm

smf

v

uf 454440

/343

/0,1111'

HzHzsm

smf

v

uf 426440

/343

/0,1111'

Sorgente in movimento Se l’osservatore è in quiete e la sorgente in movimento, l’effetto Doppler non è dovuto al fatto che l’onda sonora sembra avere una velocità maggiore o minore come nel caso dell’osservatore in movimento. La velocità dell’onda, infatti, è determinata esclusivamente dalle proprietà del mezzo attraverso cui si propaga: dopo che è stata emessa dalla sorgente, l’onda sonora viaggia nel mezzo con una velocità v caratteristica di quel mezzo, indipendentemente da ciò che fa la sorgente.

Consideriamo una sorgente che si muove verso un osservatore con una velocità u

Se la frequenza della sorgente è f, essa emette una compressione ogni T secondi, dove T = 1/f.

Pertanto, durante un ciclo dell’onda , una compressione percorre una distanza v∙T, mentre

la sorgente si sposta di un tratto u∙T.

Di conseguenza, la successiva compressione viene emessa a una distanza v∙T− u∙T dietro alla precedente.

Ciò significa che la lunghezza d’onda nella direzione del moto della sorgente è:

La velocità dell’onda è sempre v, quindi:

Risolvendo rispetto ad f’ e sostituendo l’espressione di λ’, possiamo scrivere:

e anche:

TuvuTvT '

'' fv

Tuv

vvf

''

f

vuf

uv

v

fuv

vf

/1

1

/1'

Osserviamo che f’ è maggiore di f.

Se la sorgente si muove nella direzione opposta, la lunghezza d’onda viene aumentata di una quantità uT. Perciò

e quindi:

E si vede che f’ è minore di f.

TuvuTvT '

f

vuTuv

vf

/1

1'

Combinando i due risultati:

(il segno meno è utilizzato quando la sorgente si avvicina all’osservatore, il segno più quando se ne allontana).

fvu

f

/1

1'

ESERCIZIO: Un treno che viaggia a una velocità di 21,2 m/s emette il suo fischio mentre si avvicina a una galleria sotto una collina. Il fischio produce un suono di frequenza650,0 Hz.

a) Calcola la frequenza udita da un osservatore fermo vicino all’ingresso della galleria

b) Il suono del fischio è riflesso dalla collina verso il macchinista del treno. Quale frequenza è percepita dal macchinista?

In questo problema ci sono due effetti Doppler: quello dovuto al moto del treno verso la collina; quello dovuto al movimento del macchinista che sente il suono riflesso.

a) Legge dell’effetto Doppler per una sorgente in moto:

HzHz

sm

smf

vuf 6930,650

/343

/2,211

1

/1

1'

b) Legge dell’effetto Doppler per un osservatore in moto:

Il suono riflesso ha la stessa frequenza f’ udita dall’osservatore fermo, poiché la collina non fa altro che invertire la direzione del moto del suono. Tuttavia la collina si comporta come una sorgente ferma di suono di frequenza f’; il moto del macchinista verso questa sorgente produce lo spostamento Doppler da f’ a f’’.

HzHzsm

smf

v

uf 736693

/343

/2,2111'