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Le principe d'ArchimdeAuteur : JF MaquinDernire rvision : 29 Septembre 2005Faire un commentaire : 0 message(s)

Avant-propos Qui est Archimde ? L'histoire du principe d'Archimde Le principe d'Archimde La formule du principe d'Archimde Pourquoi un objet flotte ou coule dans l'eau Applications du principe d'Archimde Comment rsoudre le problme de la couronne du roi Hiron II Complments Exercice : le cas des icebergs

Avant-propos

Ce texte a pour origine une journe rcrative avec des enfants qui on a enseign le principe d'Archimde. Ainsi certains aspects mathmatiques et physiques ont t gomms pour viter d'alourdir les explications. Evidemment pour les lecteurs d'Onversity, entrer dans les dtails, c'est un minimum ;). Vous trouverez donc un chapitre complment qui complte le texte original. J'aurais pu l'insrer directement dans le texte, mais j'ai dcid de garder finalement cette approche d'un chapitre complmentaire.

Bonne lecture :)

Qui est Archimde ?

Archimde est un savant grec qui vcut Syracuse (Sicile) de 287 avant JC 212 avant JC. Il est particulirement connu pour ses travaux en mathmatique (mthode de calcul de la circonfrence d'un cercle et donc du nombre PI) et en physique (vis sans fin, poulie, levier, ...), dont le fameux principe d'Archimde. En fait Archimde est le pre de la science physique nomme hydrostatique grce ce principe.

L'histoire du principe d'Archimde

L'histoire raconte que le roi Hiron II de Sycaruse aurait demand Archimde de vrifier si une couronne d'or, qu'il s'tait fait faire, tait totalement en or ou si l'artisan n'y aurait pas mis de l'argent. Il fallait videmment le dterminer sans abmer la couronne.

Archimde aurait trouv le moyen de vrifier si la couronne tait vraiment en or, alors qu'il tait au bain public, en observant comment des objets y flottaient. Il serait alors sorti dans la rue en criant 'Eureka', ce qui signifie 'j'ai trouv'.

Quelle relation y a-t-il entre la couronne du roi Hiron II et le bain d'Archimde ? C'est le principe d'Archimde qu'il nous faut prsent noncer.

Le principe d'Archimde

Commenons d'abord par noncer ce principe"Tout corp plong dans un fluide subit de la part du fluide une force verticale dirige de bas en haut. Cette force est gale au poids du volume du fluide dplac"

La force dont il est question ici se nomme aussi la pousse d'Archimde. Il faut remarquer qu'on parle de fluide et non seulement de liquide. Effectivement le principe d'Archimde est valable non seulement pour les liquides comme l'eau, mais aussi pour les gaz comme l'air.

La formule du principe d'Archimde

La formule donnant la valeur de la pousse d'Archimde est :B = p*g*V* p = masse volumique du fluide* g = acclration de la pesanteur* V = Volume du fluide que l'objet dplace

Prouvons que B est bien une force :

Selon la deuxime loi de Newton une force est F = ma, o 'm' est une masse et 'a' l'acclration. Pour vrifier que B est bien une force il faut analyser les dimensions.

m*a la dimension d'une masse (kg) et d'une acclration (m/s). La force F a donc la dimension kg*m/s.

Dterminons prsent les dimensions de B. p a les dimensions d'une masse par un volume kg/V. V a les dimensions d'un volume soit V. g, l'acclration de la pesanteur a les dimensions d'une acclration soit m/s. B a donc la dimension :kg/V*m/s*V

On simplifie par V soit aprs simplificationkg*m/s

B a les mmes dimensions qu'une force, on en dduit qu'il s'agit bien d'une force.

Pourquoi un objet flotte ou coule dans l'eau

Si je prends dans la main un tube vide de vitamine C et que je le lche, il tombe par terre. Par contre si je prends ce mme tube et que je le lche au-dessus d'un rcipient d'eau il flotte. Mme si je tente de l'enfoncer jusqu'au fond du rcipient il remonte et se met flotter. Pourquoi ?

La raison s'explique par le principe d'Archimde, la diffrence qu'il y a entre l'air et l'eau, et par la gravitation.

Pour comprendre pourquoi le tube de vitamine C tombe dans l'air et flotte dans l'eau il faut comprendre que deux forces s'opposent et c'est celle qui est la plus forte qui l'emporte. La premire force est celle de la gravitation, c'est--dire que tout objet est naturellement attir par la Terre. Le sens de cette force est donc de haut en bas. La deuxime force est la pousse d'Archimde.

Pour bien comprendre cette opposition entre ces deux forces opposes, il suffit de penser au jeu de la corde. On a deux quipes qui tiennent chacune un bout de corde et c'est l'quipe qui a la plus grande force, donc qui tire le plus fort, qui l'emporte.

Commenons par la premire exprience, le tube tombe par terre. Il faut d'abord calculer la force de gravitation qui s'exerce sur le tube, qu'on appellera F1. Ensuite calculer la pousse d'Archimde de l'air sur le tube, qu'on appellera F2. Enfin soustraire la premire la deuxime pour savoir qui gagne.- La force d'attraction vaut F1 = m * g

- La pousse d'Archimde dans l'air vaut F2 = p * g * V

Voici les diffrentes valeurs pour calculer F1 et F2 :* m = masse du tube vide de vitamine C = 10 grammes* g = acclration de la pesanteur = 9,81 m/s* p = masse volumique de l'air vaut 1290 grammes / mtre cube* p = masse volumique de l'eau vaut 1000000 grammes / mtre cube* V = volume du tube de vitamine C = 0,0002 mtre cube

Calculons prsent F1 et F2F1 = 10 * 9,81 = 98,1

F2 = 1290 * 9,81 * 0,0002 = 2,53

F1 est plus important que F2, donc la force de gravitation l'emporte sur la pousse d'Archimde. Ceci explique pourquoi l'objet tombe.

Maintenant pourquoi le mme objet ne tombe-t-il pas au fond du rcipient d'eau ? La force de gravitation est la mme donc pas la peine de la recalculer, par contre la masse volumique de l'eau n'est pas la mme que celle de l'air. Il nous faut recalculer F2 :F1 = 98,1

F2 = 1000000 * 9,81 * 0,0002 = 1962

On voit ici que la pousse d'Archimde est plus importante que la force de la pesanteur ce qui explique pourquoi l'objet flotte.

Applications du principe d'Archimde

On peut citer deux applications importantes du principe d'Archimde. La premire est celle des sous-marins. Grce l'utilisation de ballasts, un sous-marin augmente ou diminue son volume. Si son volume diminue, il descend dans l'eau s'il augmente, il remonte la surface.

La deuxime application est celle des dirigeables. Les dirigeables sont des moyen de dplacement plus lgers que l'air grce l'utilisation de gaz plus lger que l'air (hlium, hydrogne). Le premier ballon a t fait avec de l'air chaud qui est plus lger que l'air qui nous entoure qui est une temprature ambiante.

Comment rsoudre le problme de la couronne du roi Hiron II

Ce que constate Archimde au bain public est que, pour un mme volume donn les corps n'ont pas le mme poids, c'est--dire une masse par volume diffrente. On parle de nos jours de masse volumique. L'argent tant plus lger que l'or, il a donc une masse volumique plus faible. De l Archimde en dduit que si l'artisan a cach de l'argent dans la couronne du roi pour que a lui cote moins cher tout en la vendant au prix de l'or pur, alors elle a une masse volumique plus faible.

Il suffit donc de peser la couronne qu'a fabriqu l'artisan une couronne identique mais dont serait qu'elle est en or. Mais voil on ne va pas refaire une couronne. Par contre on peut comparer un volume d'or gal (des pices par exemple). Le problme est comment dterminer le volume d'or correspondant au volume de la couronne de l'artisan ?

La mthode est la suivante (du moins peut-on supposer qu'Archimde a utilis une mthode quivalente). On plonge la couronne du Roi Hiron II dans un rcipient plein d'eau. On note le volume d'eau dplac. On retire la couronne. On place des pices d'or dans le mme rcipient d'eau, jusqu' avoir un volume d'eau dplac quivalent celui de la couronne. Une fois ceci trouv, on obtient le volume d'or prcis de la couronne. Il suffit ensuite de peser sur une balance le volume d'or trouv et la couronne.

Pour l'anecdote, la couronne contenait de l'argent et l'artisan a t chti.

Complments

La dimension d'une force :La force dfinie par F = ma a les dimensions en kg * m / s. Cela correspond en fait des newtons (symbole N).

Diffrencier masse et poidsLa masse est une valeur intrinsque tout objet. Par contre le poids varie en fonction de la force de gravit. Cela signifie que si vous prenez votre balance et que vous alliez vous peser sur Mars, vous auriez un poids moindre car la force de gravitation est moindre. En consquence le poids mesure en fait la force qui vous attire au sol. C'est une force. Ce n'est que par abus de langage qu'on affecte le mot poids ce qui est la masse en fait.

Le signe de la pouss d'ArchimdePour dterminer quelle est la force la plus importante entre la force de gravitation et la pousse d'Archimde, on a soustrait la premire la deuxime. Ce signe moins a une raison d'tre que nous allons expliquer prsent.

Pour connatre la force rsultant d'un ensemble de forces qui s'appliquent un mme objet, on fait la somme des forces. Ce qui dtermine le signe c'est le sens des forces c'est--dire leur reprsentation vectorielle. De plus par convention, la force de gravitation a un valeur toujours positive. La pouss d'Archimde s'opposant la force de gravitation, on a donc une valeur ngative. On a donc les vecteurs F + B, mais quand on calcule les valeurs on a F + (-B) soit F - B.

Concernant les ballasts des sous-marinsL'ide gnrale c'est que quand on remplit les ballasts d'eau, la masse volumique totale du sous-marin devient plus importante que l'eau et donc il descend dans l'eau. Pour remonter il suffit de chasser l'eau pour y mettre de l'air. En fait on ne le chasse pas. Si on le faisait au bout de plusieurs montes et descentes sans revenir la surface, il n'y aurait plus assez d'air dans le sous-marin. L'air est tout simplement comprime dans les ballasts.

Exercice : le cas des icebergs

Lorsqu'un objet ne coule pas dans un liquide, il y a quand mme une partie de cet objet qui est plong dans le liquide (On peut tendre a tout fluide videment). La question qui se pose alors est quelle part ou proportion de l'objet est immerg et pourquoi ?

Lorsqu'un objet n'est pas totalement immerg cela signifie que sa masse volumique est infrieure celle du liquide. Cela signifie aussi que la force de gravitation qui s'exerce sur l'objet est infrieure la pousse d'Archimde. Mais qu'en est-il de la partie immerg ?

La partie immerg se voit appliquer une pousse d'Archimde gale au poids de l'objet tout entier. Plus la masse volumique de l'objet est importante, plus l'objet sera immerg. On a donc l'quation d'quilibre suivante :p0 * g * Vs = p * g * V

* g est l'acclration de la pesanteur* p0 est la masse volumique de l'eau* p est la masse volumique de l'objet* Vs est le volume de l'objet immerg* V est le volume total de l'objet.

De cette quation d'quilibre on tire une autre quation. Si on simplifie par g et qu'on regroupe les termes de mme nature de part et d'autre de l'galit, on obtient :Vs / V = p / p0

Cette quation nous montre que le rapport des masses volumiques est gale la fraction du volume immerg.

Prenons prsent le cas des icebergs. On dit gnralement que seulement 10% de leur volume est visible. Vrifions si cette affirmation est vraie. La masse volumique de la glace est 920 kg/m3 et celle de l'eau de mer 1025 kg/m3. Calculez le pourcentage d'immersion d'un iceberg.

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