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LE WAGONNET, COTE PHYSIQUE ET COTE MATHEMATIQUE

Eric HAYMA (professeur de sciences physiques), Guy DUGOUR (professeur de mathématiques)

Irem de Clermont-Ferrand

REPERES - IREM. N° 64 - juin 2006

nir de manière fictive, puis représenter un nuagede points du plan avec en abscisses le tempsécoulé (par période de huit jours) et en ordon-nées l’activité (en becquerels) correspondan-te du corps radioactif. Disposant d’un modè-le discret (une suite géométrique), nous devionspasser au modèle continu. Pour cela, nousavons essayé d’ajuster le nuage de points parla courbe représentative d’une fonction enprocédant par étapes successives :

• tracé « à main levée » d’une courbe passantpar les points du nuage ;

• démonstration qu’une fonction polynômede degré 2 ne peut pas convenir ;

• utilisation d’Excel pour visualiser quelorsque le degré de la fonction polynômeaugmente, la précision s’améliore mais cen’est pas la bonne solution ;

I. Introduction.

Les nouveaux programmes de terminaleS, nécessitent l’introduction précoce de lafonction exponentielle. Dès la rentrée de Tous-saint, nous avons effectué un premier tra-vail interdisciplinaire physique-mathéma-tiques.

Deux séquences de 1 h 30 (avec présencedes deux professeurs), prises en part égalesur les horaires des deux matières, ont été consa-crées à l’introduction de la fonction expo-nentielle à partir de la décroissance radioac-tive de l’iode 131. Le choix de corps radioactifs’étant imposé à nous à la suite d’un TPEsur la scintigraphie thyroïdienne, réalisé partrois élèves de notre établissement, danslequel les trois disciplines scientifiques étaientprésentes.

Sachant que le temps de demi-vie del’iode 131 est de huit jours, nous avons pu obte-


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LE WAGONNET, COTE PHYSIQUEE T COTE MATHEMATIQUE

• le tracé « à main levée » des tangentes àla courbe aux points du nuage permet deconstater que le coefficient directeur de latangente est proportionnel à l’ordonnée dupoint ;

• en admettant que la propriété précéden-te est vraie en tout point de la courbe, ilapparaît une équation différentielle dutype y’ = ay , ce qui prouve que la courbeobtenue représente (sous condition d’exis-tence) une fonction totalement inconnue desélèves à ce jour ;

• la méthode d’Euler intervient alors pourfournir une fonction affine par morceauxapprochant la fonction cherchée.

Compte tenu de la densité des programmesdes deux disciplines, que ce soit en premièreou en terminale, il va de soi, que l’objectifsous-jacent aux nombreux problèmes scien-tifiques posés par la démarche « expérimen-tale » décrite ci-dessus est d’optimiser letemps consacré à ces notions. La fonctionexponentielle étant introduite, une interrogationnous est apparue :

Comment réinvestir en cours d’année etdans un nouveau travail commun les notionsentrevues avec un « maximum » d’efficaci-té dans un minimum de temps ?

La lecture des programmes et desdocuments d’accompagnements des deuxdisciplines nous apporte un début deréponse.

En physique, la méthode d’Euler estemployée pour résoudre les équations dif-férentielles du type y’ = ay + b avec a ≠ 0 .Bien entendu, la résolution de ces équa-tions figure au programme de mathéma-

tiques, avec comme recommandation, d’éta-ler le chapitre concernant les équations dif-férentielles sur une majeure partie de l’année.De manière opportune, l’exercice sur lewagonnet de l’épreuve de mathématiques dubaccalauréat série S, session de juin 2004,va compléter la réponse à notre question. Eneffet, cet exercice dont le principal objectifest la résolution d’une équation différen-tielle donnée dans l’énoncé fait abstractionde toute la partie modélisation (peut-êtreun choix légitime un jour de bac ( ? ), sur-tout en période de transition quant au typed’épreuve). Pourtant, l’équation du mouve-ment s’obtient par une « simple » applica-tion des lois de Newton alors pendant l’annéescolaire, pourquoi s’interdire la partie modé-lisation, surtout que le programme officielde mathématiques ainsi que les commentairessont sans ambiguïté :

• … la présence des équations différen-tielles, bien que modeste dans le libellé duprogramme, est fondamentale pour ame-ner à la compréhension de la puissance desmathématiques pour la modélisation ; untravail conjoint avec les autres disciplinesfavorisera cet objectif. …

• … On fera le lien avec l’étude de ces équa-tions en physique ; on définira le temps carac-téristique τ = – 1/a pour a < 0. …

A ce propos, on pourra relire avec inté-rêt le document d’accompagnement du pro-gramme pages 31 à 34 et particulièrementle résumé de la problématique générale del’utilisation des équations différentielles enphysique :

• … Il nous suffira ici de considérer la caté-gorie importante des phénomènes qui sedéroulent sur une certaine durée. Le phy-


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sicien relève l’évolution temporelle d’un cer-tain type de phénomènes. Il obtient ainsipar des mesures les valeurs prises en fonc-tion du temps par les variables qui décri-vent le phénomène. Et ensuite il chercheà déduire ces fonctions d’une loi « instan-tanée » comme par exemple : à chaqueinstant, « l’accélération est proportion-nelle à la force » , ou encore « les forces defrottements sont proportionnelles à lavitesse » . De telles lois instantanées per-mettent d’écrire l’équation différentielle duphénomène. Les solutions de cette équa-tion, correspondant aux diverses condi-tions initiales possibles, redonnent, si toutva bien, les évolutions temporelles obser-vées. Les physiciens valident l’équation dif-férentielle qui sert de modèle en véri-fiant que, dans la limite des erreurs demesure, les évolutions temporelles ainsidéduites sont conformes à la réalité expé-rimentale. …

La lecture du programme de sciencesphysiques permet de s’assurer que les deuxdisciplines sont bien en phase :

• … Etudier les variations temporelles d’unsystème nécessite d’introduire la variabletemps dans le formalisme. S’interroger surles paramètres qui influent sur la déri-vée d’une grandeur physique, c’est cher-cher à établir une équation différentiel-le. La résoudre permet d’anticiperl’évolution du système. La mise en placed’une méthode numérique itérative per-met de mieux ancrer l’idée du déterminismeet de la causalité : l’état d’un système àun instant donné dépend de son état auxinstants antérieurs et des actions quis’exercent sur lui.

Ainsi, au cours de leur dernière année de

lycée, les élèves ont pour la première foisla possibilité de toucher du doigt le doublemouvement de l’activité scientifique dansle domaine de la physique : confronter lesprédictions d’un modèle théorique à desmodèles expérimentaux, utiliser des résul-tats expérimentaux pour affiner un modè-le théorique.

La variété des systèmes abordés au coursde l’année ne doit donc pas faire perdre lefil directeur du programme : l’évolution dessystèmes physiques. …

Dès lors, il n’est pas étonnant que lesphysiciens aient cherché pour chaque systè-me étudié, une constante de temps qui lui soitpropre : le temps caractéristique. Pour s’en per-suader, il suffit de consulter les tableaux(document de travail) extraits des commen-taires du programme de sciences physiquesque nous joignons en annexe.

L’exercice sur le wagonnet constitue parconséquent le point de départ du travailcommun que nous décrivons ci-dessous.Au mois de février, nous décidons de consa-crer une heure de physique (voir para-graphe II) et une heure de mathématiques(environ dix jours après, voir paragrapheIII) à cette activité. Auparavant, le pro-fesseur de physique a traité la partie méca-nique de son programme. Le professeur demathématiques a introduit la notion de fonc-tion primitive sur des exemples « simples »et établi la formule de résolution de l’équa-tion différentielle y’ = ay + b avec a ≠ 0 etfait un certain nombre d’exercices. L’acti-vité, qui comporte une partie modélisa-tion, permet de faire le lien entre les deuxdisciplines, de comparer les « langages »utilisés et les résultats obtenus par lesdeux méthodes de résolution.


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II. La séance de TDde sciences physiques.

Présentation du problème du wagonnet et résolution graphique par la méthode d’Euler

Un wagonnet de masse M se déplace surune voie ferrée rectiligne et horizontale. Il estsoumis à une force d’entraînement constan-

te . On a pu constater de manière expéri-mentale que, dans une telle situation, lesforces de frottement sont proportionnelles àla vitesse du wagonnet, la constante de pro-portionnalité est le réel strictement positifk. Le wagonnet démarre avec une vitesse ini-tiale nulle.

1°) Etablissement de l’équation différentielle du mouvement.

a) Etablir le bilan des forces extérieuresappliquées au système { wagonnet }.

b) En appliquant la seconde loi de Newton,établir l’égalité vectorielle entre les diffé-rentes forces intervenant.

c) Par projection sur l’axe Ox, de l’égalitéprécédente, établir l’équation différen-tielle du wagonnet et montrer qu’elle est

du type = Avx + B .

d) Exprimer A et B en fonction des données.Les calculer en précisant l’unité.

On donne : F = 1000 N ;M= 500 kg ; k = 30 N.s.m– 1 .

dvx––dt

→

F

2°) Résolution graphique de l’équation diffé-rentielle. Tracé de la courbe représentant l’évo-lution de la vitesse en fonction du temps.

a) A partir de l’équation différentielle, éta-blir l’expression de la vitesse limite vlimatteinte par le wagonnet et calculer savaleur.

b) Exprimer et déduire la valeur du tempscaractéristique τ .

c) Donner les deux équations permettant derésoudre graphiquement l’équation diffé-rentielle par la méthode d’Euler.

d) Compléter les deux premières lignes dutableau en choisissant pour pas de réso-lution ∆t = 1 s .

t(s) vx(ms– 1) ax(ms– 2)

0 0 …

1 … …

2 … …

e) A l’aide d’un tableur, compléter le tableaujusqu’à t = 100 s et tracer la courbe d’équa-tion v = ƒ(t) .

f) En déduire la vitesse à t = 5 s et t = 30 s.


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Déroulement de la séance (une heure)

L’exercice arrive en conclusion des deuxpremiers chapitres de mécanique, les lois deNewton et la chute verticale d’un solide. Il per-met, dans un contexte différent (ici, le mou-vement est horizontal), de réinvestir lesconnaissances acquises antérieurement :

• établir un bilan des forces ;

• utiliser la seconde loi de Newton en la pro-jetant sur les axes d’un repère pour établir l’équa-tion différentielle « de la vitesse » ;

• en déduire la vitesse limite, ainsi que letemps caractéristique ;

• résoudre graphiquement l’équation dif-férentielle par la méthode d’Euler ;

• retrouver la vitesse limite, ainsi que le tempscaractéristique et montrer l’importance duchoix du pas du calcul.

L’énoncé est donné en bloc.

— Dans un premier temps, la consigne estde traiter individuellement le 1°) (pendant 20minutes). Les élèves travaillent en semi-auto-nomie, l’enseignant circulant dans les rangspour proposer une aide éventuelle. Correctionde cette partie sur transparent (cinq minutes).

— La deuxième partie (exploitation et réso-lution de l’équation différentielle) est traitéepar questionnement des élèves (20 minutes).

— L’enseignant établit, par questionnementdes élèves, l’algorithme permettant le calculde la vitesse et de l’accélération à l’aide d’untableur (ici Généris 5+) pour une durée de100 s avec un pas de 0,1 s (cinq minutes).

— On visualise alors le tableau de valeurs,ainsi que le graphe de la vitesse en fonction

du temps v = ƒ(t) à l’aide d’un vidéo projec-teur. L’inconvénient du choix d’un pas trop grandest montré.

Cet exercice, qui constitue en quelquesorte une évaluation formative, n’a pas poséde problème particulier pour l’ensemble de laclasse, et ce, pour principalement deux raisons :

• il intervient en fin d’apprentissage (courset exerces d’applications traités) ;

• il est le réinvestissement d’une séance detravaux pratiques (mouvement de chute d’unebille dans un fluide) durant laquelle les notionsprécédentes ont été abordées.

Quelques remarques concernant la partie physique

— En physique, les deux équations dontparle la question 2°)c) sont établies unefois pour toutes et réutilisées ensuitedans les exercices.

Voici comment on les obtient dans le casde notre exercice.

• Par projection sur l’axe Ox, l’accéléra-

tion est ax = – vx + . Avec les données

numériques, on trouve ax = – vx + 2 .

La vitesse est donnée par l’équation diffé-

rentielle : ax = v’x= – vx + 2 .

• On note respectivement ai , vi l’accéléra-tion et la vitesse à l’instant ti et ∆t l’écart detemps entre les instants ti et ti+1 . Sachant quel’équation de la tangente au point d’abscisse

3—50

3–50

F–M

k—M


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ti à la courbe d’équation v = ƒ(t) est y = v’(ti)(t – ti) + v(ti) , on déduit qu’à l’instantti+1 la vitesse est vi+1 = ai∆t + vi où

ai = – vi + 2 .

• Les deux équations vi+1 = ai∆t + vi et

ai = – vi + 2 sont celles utilisées pour appli-

quer la méthode d’Euler.

— Le temps caractéristique,côté physique.

Le temps caractéristique τ correspond àl’abscisse du point d’intersection de l’asymp-tote d’équation y = vlim , soit dans notre casla droite d’équation y = 100/3 avec la tan-gente (T) d’équation y = 2t, au point d’abscisset = 0 à la courbe d’équation v = ƒ(t) . On trou-ve τ = 50/3 soit environ 17 s, la vitesse est

3–50

3–50

alors de 21,4 ms – 1 ce qui représente environ63 % de la vitesse limite.

• Le mouvement pour t ≤ τ est appelé lerégime initial (ou transitoire). Pendant cettepériode, la courbe de la vitesse est quasi-linéaire, ce qui peut s’expliquer par le faitque les forces de frottements sont négligeablespar rapport à la force d’entraînement.

• Pour τ < t < 3τ , la vitesse croît toujours,mais de plus en plus lentement en se rap-prochant de la vitesse limite, les forces defrottement augmentent et deviennent voi-sines de la force d’entraînement.

• Pour t = 3τ , la vitesse est de 31,7 m.s – 1

ce qui représente environ 95 % de la vitesselimite. Pour t ≥ 3τ , les physiciens conviennentque le régime asymptotique (ou permanent) estatteint. La vitesse est pratiquement égale àla vitesse limite soit 33,3 m.s – 1. La résultan-te des forces de frottement est opposée à la forced’entraînement.

vlim ≈ 33,3 ms – 1

(T) d’équation y = 2t

Courbe d’équation v = ƒ(t)

Temps caractéristique τ = s soit τ ≈ 17 s .50—3


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La durée du régime initial est voisine dela valeur de τ qui apparaît, par conséquent,comme caractéristique du temps pendantlequel la vitesse du wagonnet évolue.

III. Le traitement mathématique.

L’heure de cours (c’est un peu juste) demathématiques est entièrement consacrée àla résolution du problème dont l’énoncé est donnéci-dessous.

En fin de séance, quelques minutes sontréservées à la comparaison de la solutionobtenue par la résolution de l’équation diffé-rentielle de la vitesse et des résultats fournispar la méthode d’Euler pour différentes valeursde ∆t , choisies par rapport au temps carac-téristique τ.

A. L’énoncé de l’exercice.

Une autre version d’un exercice de bac S (session Juin 2004)

Un wagonnet de masse M se déplace surune voie ferrée rectiligne et horizontale. Il estsoumis à une force d’entraînement constante

. On a pu constater de manière expéri-mentale que, dans une telle situation, lesforces de frottement sont proportionnelles à lavitesse du wagonnet, la constante de propor-tionnalité est le réel strictement positif k.

→

F

La position du wagonnet est repérée parla distance x, en mètres, du point H à l’origi-ne O du repère en fonction du temps t, expri-mé en secondes. On prendra t dans l’intervalle[0; + ∞ [ . Le mouvement suivi par le wagon-net est par conséquent caractérisé par uneloi horaire du type x = ƒ(t) avec [0; + ∞ [ , oùƒ est une fonction à déterminer.

1. Mise en équations du problème.

a) Etablir le bilan des forces extérieuresappliquées au système étudié.

b) En énonçant les lois de Newton (voir lanote (1) à la fin de ce paragraphe III A) uti-lisées et en justifiant clairement vosréponses, établir l’égalité vectorielle carac-térisant la somme vectorielle des forces exté-rieures appliquées au système étudié.

c) En projetant l’égalité vectorielle précé-dente sur l’axe Ox, établir l’équation dif-férentielle (E) qui caractérise le mouvementdu wagonnet.

On notera :• x’ la dérivée de x par rapport au temps t.• x” la dérivée seconde de x par rapport au temps t.

2. Traitement mathématique du problème dans le cas général.

a) Prouver que x est solution de l’équation dif-férentielle (E) si, et seulement si x’ estsolution de l’équation différentielle (E1)

F = kv + Mv’ avec t ∈ [0; + ∞ [ .

b) Déterminer l’ensemble des solutions (ondit aussi solution générale) de l’équationdifférentielle (E1).

c) En déduire l’ensemble des solutions del’équation différentielle (E).


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3. Résolution dans un casparticulier correspondant à des conditions initiales fixées.

Dans cette question, on suppose que :

• L’intensité F de la force d’entraînement estF = 1000 N .

• La masse M du wagonnet est M = 500 kg .

• Le coefficient k est k = 30 N.s.m – 1 .

a) Démontrer que la solution générale del’équation (E) trouvée au 2.c) peut alorss’écrire :

avec t ∈ [0; + ∞ [ et où C1 et C2 sont deuxconstantes réelles.

b) Sachant qu’à l’instant t = 0 , le wagonnetdémarre avec une vitesse initiale nulle, déter-miner la solution de l’équation (E) cor-respondant à ces conditions.

4. Questions concernant la vitesse instantanée du wagonnet.

Dans cette question , la loi horaire dumouvement suivi par le wagonnet est la solu-tion trouvée à la question 3.b).

a) Déterminer la vitesse v du wagonnet enfonction du temps t ∈ [0; + ∞ [ .

b) Calculer V = v(t).

c) A l’aide du principe d’inertie (voir la note(2) à la fin de ce paragraphe III A), peut-on retrouver la vitesse limite sans résoudrel’équation différentielle ?

limt → ∞

x t t C e Ct

( ) = + +−100

3 1

350

2

5. Fin de l’activité.

L’activité se termine par la comparaisondes graphiques obtenus d’une part avec lacourbe de la fonction v obtenue au 4.a) etd’autre part avec les courbes obtenues par laméthode d’Euler en physique pour différentesvaleurs de ∆t (voir la feuille comportant lesgraphiques à la fin de l’article).

Notes :

(1) Les lois de Newton

• La première loi de Newton (ou principed’inertie) : Par rapport à certains référen-tiels, appelés référentiels galiléens (*) , lecentre d’inertie G d’un solide pseudo-isolé(solide dont la somme des forces extérieures quilui sont appliquées est nulle) :

— reste au repos ( = ), s’il était aurepos ;— a un mouvement rectiligne uniforme

( = ), s’il était en mouvement.

(*) Le référentiel terrestre sera considéré commegaliléen et tout référentiel en translation recti-ligne uniforme par rapport à un référentiel gali-léen est lui-même galiléen.

• Deuxième loi de Newton : Dans un référen-tiel galiléen, la somme des forces extérieuresappliquées à un solide est égale au produit dela masse du solide par le vecteur accélération

de son centre d’inertie : ∑ = m .

• Troisième loi de Newton (ou principe desactions réciproques) : Lorsqu’un système (A)

exerce une force sur un système (B) ,→

FA|B

→

aG

→

Fext

→

aG

→cte

→

VG

→

0→

VG


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simultanément (B) exerce sur (A) une force

de telle sorte que = – .

(2) Question 4. c)

La réponse attendue est fournie par la pre-mière loi de Newton : lorsque la somme desforces extérieures appliquées au wagonnetdevient nulle, celui-ci (qui est en mouvement)« adopte » un mouvement rectiligne uniforme.La vitesse limite est alors obtenue en écrivantque la force de freinage et la résultante desforces d’entraînement ont la même intensité.

B. Déroulement de la séance (une heure).

L’exercice intervient après que les élèvesaient pris un premier contact avec la notionde fonctions primitives sur un intervalle d’unefonction donnée (cas des fonctions de référen-ce et utilisation de la linéarité uniquement, unretour sur cette partie du programme seraeffectué au cours de l’étude de l’intégration) etaprès la résolution mathématique de l’équa-tion différentielle du type y’ = ay + b avec a ≠ 0 . Les objectifs essentiels sont :

• de montrer que les disciplines scienti-fiques ne sont pas cloisonnées ; tout en fai-sant apparaître, de manière objective, lesdifférences et les similitudes dans l’approched’un même problème ;

• de montrer le rôle indispensable tenu parles mathématiques dans la modélisation ;

• de faire le point sur les différences denotation entre les deux disciplines ;

• de comparer les résultats obtenus par uneméthode numérique et par la méthodethéorique.

L’énoncé est donné en bloc. Dans un pre-mier temps, les élèves prennent connaissan-

→

FB|A→

FA|B→

FB|A

ce de l’énoncé. Les questions sont traitéesune par une, mais afin que les élèves aient untemps de recherche un peu plus long, il seraitsouhaitable de disposer d’un peu plus d’heurepour traiter entièrement l’exercice (1 h 15me paraît être un bon compromis).

— Question 1 :

• Recherche individuelle par les élèves etcorrection au tableau par un élève : 15minutes.

• Les élèves ne rencontrent pas de difficul-tés particulières pour résoudre cette ques-tion.

— Question 2.

• Recherche individuelle par les élèves et cor-rection au tableau par un élève : 20 minutes.

• L’absence de données numériques et laprésence de nombreuses données litté-rales ralentissent le travail d’un certainnombre d’élèves.

• Un temps de recherche plus importantaurait été nécessaire.

• La détermination d’une primitive est condui-te lentement (auparavant, seuls des exemples« simples » ont été traités en classe)

— Question 3.

• Recherche individuelle par les élèves etcorrection au tableau par un élève : àpeine 15 minutes.

• Les élèves sont entraînés à chercher la déri-vée d’une fonction et ne rencontrent pasde difficultés particulières, si ce n’est unecertaine lenteur dans les calculs numériquespour un certain nombre d’entre eux.

Le reste du temps (à peine quinze minutes)est consacré aux deux dernières questions.


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— Question 4.

• Les points a) et b) sont des questions habi-tuelles pour les élèves, aussi l’enseignantles corrige directement (afin de ne pasdéborder sur l’horaire) ;

• Le point c) est aussi « traité en direct » .La question étant posée aux élèves, aprèsun délai de réflexion assez bref, ils four-nissent eux-mêmes la réponse.

— Question 5.

• La feuille comportant les graphiques (encouleurs) est distribuée aux élèves.

• L’enseignant commente les différents gra-phiques.

• La conclusion de l’enseignant porte sur lesavantages et les inconvénients de chacu-ne des deux méthodes de résolution.

C. Quelques remarques concernant la partie mathématique.

— La mise en équations du problème(question 1).

La séance de TP de physique ayant eu lieuune dizaine de jours auparavant, pour des rai-sons que nous ne détaillons pas ici, cettepartie s’est déroulée assez rapidement, maisen employant le « langage physicien » et enénonçant clairement les lois physiques utili-sées. Toutefois, les différences de notations sontsignalées (ex : dérivée).

— Traitement mathématique du pro-blème (question 2).

Un des intérêts mathématiques de lapartie modélisation et de cette question rési-de dans le fait que les élèves sont amenés à

manipuler, à partir d’un « support concret »,de nombreuses lettres représentant des gran-deurs dont certaines sont variables et d’autresconstantes. Ce qui, à ce niveau n’est pas for-cément évident.

— La vitesse instantanée du wagonnet(question 4).

La détermination de la limite par deuxméthodes, calcul mathématique et utilisa-tion du principe d’inertie permet, là encore,de relier les deux disciplines.

— Le temps caractéristique, côté mathé-matique.

La comparaison des résultats (voir lafeuille comportant les graphiques à la fin del’article) permet, puisque l’on dispose de la solu-tion exacte, de vérifier l’importance du choix« du pas » ∆t pour utiliser à bon escient laméthode d’Euler et retrouver ainsi des résul-tats admis en physique :

• si ∆t est « petit » devant τ , de l’ordrede τ/10, alors la méthode d’Euler donneune courbe « très proche de celle obte-nue par résolution de l’équation diffé-rentielle ;

• si ∆t augmente tout en restant inférieurà τ , la valeur limite est maintenue maisil y a un écart de plus en plus importantavec le régime initial ;

• si ∆t devient supérieur à τ , la méthoded’Euler ne traduit pas du tout le mou-vement et peut même donner des aber-rations puisque la vitesse limite estdépassée.

D’un point de vue mathématique, il est légi-time de justifier les résultats expérimentauxprécédents.


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Reprenons les deux équations

vi+1 = ai∆t + vi et ai = – vi + 2 utilisées

pour appliquer la méthode d’Euler, sachantqu’à l’instant t = 0 la vitesse est v0 = 0 .

Il est clair que la vitesse du wagonnet estune fonction croissante du temps qui prendses valeurs entre 0 et la vitesse limite soit ici

dans l’intervalle [0; [ .

Par conséquent pour tout entier naturel

i on doit avoir : 0 ≤ vi < . A l’aide d’un rai-

sonnement par récurrence, tentons de démon-trer cet encadrement :

Par hypothèses on sait que v0 = 0 doncau rang de « départ » la propriété est vérifiée.Supposons que pour un entier naturel fixé i,

mais quelconque, on ait 0 ≤ vi < . La

propriété est-elle héréditaire ? De l’hypothè-se de récurrence, on déduit successivement que :

– 2 < – vi ≤ 0 donc 0 < – vi + 2 ≤ 2 ,

c’est-à-dire 0 < ai ≤ 2 .

Comme ∆t , vi et ai sont positifs alors vi+1 = ai∆t + vi est positif. On peut alorsconclure que pour tout entier naturel i, on a :vi ≥ 0 .

Reste à savoir si vi+1 < sachant que

0 ≤ vi < .100––3

100––3

3–50

3–50

100––3

100––3

100––3

3–50

Or vi+1 < équivaut successivement à :

ai∆t + vi <

(– vi + 2)∆t + vi <

(puisque ai = – vi + 2)

– (vi – )∆t + vi – < 0

(vi – )(– ∆t + 1) < 0

– (vi – )(∆t – ) < 0

(vi – )(∆t – ) > 0

D’après l’hypothèse de récurrence vi <

donc vi – < 0 et (vi – )(∆t – ) < 0

équivaut à ∆t – < 0 . Or, cette inéquation

a pour ensemble de solutions l’intervalle

[0; [ .

Examinons le cas ∆t ∈ [0; [ . Pour

0 ≤ ∆t < , on a vi+1 < et ainsi, on peut

conclure pour tout entier naturel i : 0 ≤ vi < .100––3

100––3

50––3

50—3

50—3

50––3

50––3

100––3

100––3

100––3

50––3

100––3

50––3

100––3

3–50

3–50

100––3

100––3

100––3

3–50

3–50

100––3

3–50

100––3

100––3


16


De plus pour tout entier naturel i, vi+1 – vi = ai∆t , sachant que ai et ∆t sont posi-tifs on en déduit que vi+1 – vi ≥ 0 . La suite (vi)i ∈N est croissante et majorée donc conver-gente.

Pour tout entier naturel i, on a vu que :

vi+1 = (– vi + 2)∆t + vi

soit

vi+1 = (1 – ∆t)vi + 2∆t .

Considérons la restriction à l’intervalle

[0; ] de la fonction affine ƒ définie par :

ƒ(x) = (1 – ∆t)x + 2∆t . Puisque 0 ≤ ∆t <

équivaut à 0 < (1 – ∆t) ≤ 1 alors ƒ est stric-

tement croissante sur [0; ] (coefficient

directeur strictement positif) à valeurs dans

[ƒ(0); ƒ( )[ = [2∆t; ] .

Comme 0 ≤ ∆t < alors 2∆t ∈[0; ] et ainsi :

[0; ] ⊃ [2∆t; [ .

— La fonction ƒ est continue sur[0; ] ,qui est un intervalle stable par ƒ ;

— il est clair que pour tout entier naturel i,vi+1 = ƒ(vi) ;

100––3

100––3

100––3

100––3

50—3

100––3

100––3

100––3

3–50

50—3

3–50

100––3

3–50

3–50

— sachant que pour tout entier naturel i,

vi ∈[0; [ et que la suite (vi)i ∈N est conver-

gente ; alors la limite de cette suite ne peutêtre qu’un point fixe de ƒ appartenant à l’inter-

valle [0; ] .

En résolvant l’équation ƒ(x) = x dans

l’intervalle [0; ] , on trouve une solution

unique x = .

Résumons-nous dans ce cas :

Pour ∆t ∈ [0; [ , la suite croissante

(vi)i ∈N converge vers la vitesse limite

. La méthode d’Euler peut être appli-

quée et donnera des résultats cohérents.L’étude des variations de ƒ montre qu’enprenant v0 = 0 , tous les termes de la suitecroissante (vi)i ∈N , à partir de v1 sont

dans l’intervalle [2∆t; [ .

Ceci suffit à justifier que plus ∆t est

proche de (mais strictement inférieur à cette

valeur) plus la convergence de la suite versla vitesse limite est rapide ce qui explique l’écartde plus en plus important entre les courbesobtenues par le méthode d’Euler et la courbe« exacte » en ce qui concerne le régime tran-sitoire. On en déduit par contraposition quel’approximation fournie par la méthode d’Euler

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Pour ∆t = 1 la convergence est « lente », la méthode d’Euler fournit une « bonne » approximation de la courbe de la vitesse.

Pour ∆t = 10 la convergence est « rapide », la méthode d’Euler fournitune approximation du régime transitoire assez éloignée

de la valeur fournie par la courbe de la vitesse.


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Pour ∆t = la vitesse limite est atteinte dès le terme u1 de la suite.

Le régime permanent est conservé mais l’approximationdu régime transitoire par la méthode d’Euler est mauvaise.

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Pour ∆t = 30 la méthode d’Euler fournit des résultats aberrantsd’un point de vue physique, bien que la suite converge toujours vers la vitesse limite.


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est d’autant meilleure que ∆t est « petit »

devant le nombre .

Bien sûr, chacun aura reconnu en lavaleur du temps caractéristique τ .

Que se passe-t-il dans le cas ∆t = c’est-à-dire ∆t = τ ?

Sachant que v0 = 0 , on calcule successivement :

a0 = 0 , v1 = . Une « récurrence immédia-

te » prouve que pour tout entier naturel non

nul i on a : vi = . D’ailleurs, il est à noter

que, quelle que soit la valeur de la vitesse ini-tiale v0 , pour tout entier naturel non nul i

on a : vi = (vérification aisée).

Ainsi pour ∆t = τ , la convergence de (vi)i ∈N est extrêmement rapide, puis-qu’à partir de v1 tous les termes de la suite

sont égaux à . C’est pour cette valeur

τ de ∆t que l’écart entre les courbe obte-nue par le méthode d’Euler et la courbe« exacte » est maximal en ce qui concer-ne le régime transitoire.

Et dans le cas ∆t > c’est-à-dire ∆t > τ ?

Ici on a ∆t – > 0 , donc (vi – )(∆t – ) > 0

équivaut à (vi – ) > 0 , ce qui contredit

l’hypothèse de récurrence 0 ≤ vi < . 100––3

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La propriété n’est pas héréditaire donc ellen’est pas vraie pour tout entier naturel i. Enoutre, on peut justifier facilement que :

— si vi < alors vi+1 > ;

— si vi > alors vi+1 < .

Ainsi pour ∆t > τ , il y a des termes dela suite (vi)i ∈N qui sont strictement supé-rieurs à la vitesse limite, ce qui bien sûrn’est pas réaliste. Dans ce cas, la métho-de d’Euler ne peut pas être appliquéepuisqu’elle conduit, du point de vue phy-sique, à une aberration.

L’étude précédente, bien qu’un peu longue,confirme les résultats expérimentaux qui sontrésumés par les graphiques de la page situéeà la fin de l’article.

IV. Conclusion.

Dans l’exemple du wagonnet, l’avantagede la méthode mathématique est indiscu-table, alors :

Pourquoi utilise-t-on quand même la métho-de d’Euler en physique en terminale S ?

La réponse est apportée par la physique.Pour des vitesses « assez petites » , la modé-lisation des forces de frottement par une rela-tion du type ƒ = kv (forces de frottement pro-portionnelles à la vitesse) est adoptée. Mais,pour des vitesses plus élevées, ces mêmesforces sont modélisées (par exemple) par unerelation du type ƒ = kv 2 (forces de frottementproportionnelles au carré de la vitesse) etl’équation différentielle de la vitesse n’estplus de la forme y’ = ay + b avec a ≠ 0 .

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Intérêts de tels travaux interdisciplinairesphysique-mathématiques.

La présence des enseignants des deuxmatières pendant certaines séquences decours, le choix d’activités faisant intervenir etprolongeant les connaissances acquises enphysique et mathématiques contribuent àprouver aux élèves, de manière irréfutable, queles deux disciplines sont loin d’être cloisonnéesmais au contraire interagissent entre elles.

Côté physique, un travail de concert entreles deux enseignants permet d’appréhenderles notions de physique en maîtrisant l’outilmathématique indispensable aux applica-tions (exponentielle pour la radioactivité, fonc-tions ln et log, dérivée, primitives, résolutiongraphique et analytique d’équations diffé-rentielles pour la mécanique et l’électricité,etc.). Il en résulte, par ailleurs, pour l’ensei-gnant de physique un gain de temps consi-dérable.

Côté mathématique, le gain de temps estaussi appréciable et la concertation entre lesdeux enseignants présente un côté rassurantpour les élèves.

En outre , en terminale S de nombreusesnotions sont abordées et, si toutes confirmentque les mathématiques sont une discipline àpart entière (que ce soit en enseignement obli-gatoire ou en enseignement de spécialité) seulsles travaux interdisciplinaires prouvent leurrôle indispensable dans la modélisation etqu’ainsi elles ne sont pas « coupées » de la réa-lité.

Le point de vue des élèves sur l’exercice demathématiques.

D’une enquête rapide et anonyme auprèsdes élèves de la classe, avec pour unique ques-tion : « Que pensez-vous de cet exercice ? » ,il ressort les avis présentés dans le tableauci-dessous.

POUR

• exercice jugé intéressant (par la classeentière) ;

• permet d’améliorer la compréhension dansles deux matières (une grande majorité)

• exercice à renouveler sur d’autres par-ties du programme voire d’autres matières,sciences et vie de la Terre en particulier(la majorité des élèves) ;

• établir l’équation différentielle permet defaire un travail non réduit à l’applicationd’une simple formule (la majorité desélèves) ;

• permet de voir l’interaction entre les deuxdisciplines (la majorité des élèves) ;

• l’exercice montre l’utilité des mathématiques(quelques élèves).

CONTRE

(dans cette colonne, excepté le premier point, ce sont essen-tiellement des réponses isolées mais caractéristiques de ceque l’on peut entendre sur ce type d’exercice)

• il manque un peu de temps (environ 40%de l’effectif) ;

• plus difficile que la physique ou les mathé-matiques séparément ;

• l’abondance de lettres perturbe et compliqueles calculs ;

• jugé trop long pour un exercice le jour dubac ;

• demande une bonne maîtrise des notionsde physique et de mathématiques ;

• le jour de l’examen, il serait dommagede faire des erreurs de physique lors del’épreuve de mathématiques.


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Projet pour l’année prochaine.

Le même type de problème, mais adap-té à la chute d’une bille dans un fluide quia deux avantages par rapport au précé-dent. D’abord, il est plus respectueux du

programme de physique actuellement envigueur (chute verticale d’un objet dans lesfluides) ensuite, nous pourrons obtenir direc-tement des données expérimentales et lesmesures de la vitesse peuvent être effectuéesà l’aide d’un logiciel.


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ANNEXE Evolution temporelle des systèmes


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le wagonnet, cote physique et cote mathematique...le wagonnet, cote physique et cote mathematique...

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