ЛАПЛАСЫН ХУВИРГАЛТ

Pierre Simon Laplace (1749-1827)

Лекцийн хураангуй Удирдлагын системийн сонгомол онолын суурь

болсон Лапласын хувиргалтыг энэ бүлэгт судална. Удирдлагын шугаман системийн динамик үйл явцыг давтамжийн мужид тодорхойлдогоороо энэ арга нь маш чухал хэрэгсэл юм. Лапласын хувиргалт хэрэглэн дифференциал тэгшитгэл бодох тул Лапласын шууд болон урвуу хувиргалт хийхэд байнга хэрэглэгдэх үндсэн теорем, шинж чанаруудыг авч үзнэ.

2I.LI350

Дэд бүлгүүд

Лапласын хувиргалтын тодорхойлолт

Лапласын шууд болон урвуу хувиргалтын харгалзуулалт

Лапласын хувиргалт хэрэглэн шугаман дифференциал тэгшитгэл бодох

Нэгж импульс, нэгж үсрэлтийн функцийн Лапласын хувиргалт

3I.LI350

Лапласын хувиргалт

Тогтмол коэффициенттой шугаман дифференциал тэгшитгэл бодох чухал хэрэгсэлийн нэг нь Лапласын хувиргалт юм. Шугаман дифференциал тэгшитгэлийг алгебр тэгшитгэл болгон хувиргадагт Лапласын хувиргалтын давуу тал оршино.

4I.LI350

Лапласын хувиргалтынтодорхойлолт

Хугацааны мужид тодорхойлогдох функцийг комплекс тоон мужид тодорхойлогдох функц болгох интеграл хувиргалтыг Лапласын хувиргалт гэнэ.

энд функцийн аргумент нь комплекс тоон хувьсагч байна.

5I.LI350

Лапласын хувиргалтын баталгааБаталгаа: Эх функц гэж өгөгдсөн гэе. Энэ эх

функцээс үүсэх дүрс функцийг Лапласын хувиргалтаар хэрхэн олохыг харуулъя. Лапласын хувиргалтын тодорхойлолт ёсоор

гэж бичнэ. Орлуулах аргыг хэрэглэн энэ интегралыг бодно.

6I.LI350

үед үүсэх эх функцийг нэгж үсрэлтийн функц гэнэ. Түүний дүрс функц нь

7I.LI350

№ Эх функц Дүрс функц № Эх функц Дүрс функц

1 10

2 11

3 12

4 13

5 14

6 15

7 16

8 17

9 18

8I.LI350

Лапласын хувиргалтын үндсэн теоремууд№ Нийлбэрийн теорем

1 Төсөөтэй чанарын теорем

2 Бодит тооны шилжилтийн

теорем

3 Комплекс тооны шилжилтийн

теорем

4 Уламжлалын теорем

үед

5 Комплекс функцийн

уламжлалын теорем

6 Интегралын теорем

7 Хугацааны муж дахь конволюц

үржвэрийн теорем

8 Анхны утгын теорем

9 Эцсийн утгын теорем

9I.LI350

Уламжлалын тухай теорем баталгаа:

Хэрэв эх функц болон түүний дүрс функц өгөгдсөн гэж үзье. Энэ эх функцийн уламжлалын дүрс функц

болохыг баталцгаая. Лапласын хувиргалтын тодоройлолт ёсоор

Дараах орлуулалтыг хийнэ:

10I.LI350

функцийн хоёрдугаар эрэмбийн уламжлал ийн дүрс функцийг олбол:

Дараах орлуулалтыг хийнэ:

11I.LI350

Үүнтэй адилханаар гуравдугаар эрэмбийн уламжлал -ийн дүрс функцийг олбол:

Дээрх үйлдлийг удаа хэрэглэвэл эрэмбийн уламжлал –ийн дүрс функцийг олно:

12I.LI350