Iniciación a la Resistencia de los Materiales

•TENSIONES Y DEFORMACIONES EN MATERIALES ELÁSTICOS

•de J.A.G. Taboada

Texto de referencia:

PARTE 1 : Resistencia

Objeto:

COMPENDIO DE LOS CONOCIMIENTOS BASICOS

DE ELASTICIDAD Y DE RESISTENCIA DE

MATERIALES.

CAPITULO IX:

POTENCIAL INTERNO

TEOREMAS ENERGÉTICOS

Lección 17:

Lección 17 : Indice

• 17.1 .- Introducción al Potencial Interno.

• 17.3 .- Teorema de Clapeyron. Expresiones del potencial

interno.

• 17.4 .- Teorema de reciprocidad de Maxwell - Betti.

Lección 18 : Indice

• 18.1 .- Teorema de Castigliano.

Integrales de Mohr.

• 18.2 .- Teorema inverso de Castigliano.

• 18.3 .- Sistemas hiperestáticos exteriormente.

Teorema de Menabrea o de la energía mínima.

• 18.4 .- Sistemas hiperestáticos interiormente.

• 18.5 .- Entramados de barras articuladas.

Energía de deformación almacenada en una barra prismática sometida a tracción o compresión.

F

F

dF

F

d

dW = (F + dF)·d F·(dF·L/SE) + dF2·L/SE

W = L

S· E

F · dF

0

F F 2· L

2 · S ·E

=

W =1

2F ·

Teorema de Clapeyron

L

Energía de deformación almacenada en una barra prismática sometida a tracción o compresión.

W =1

2F .

Teorema de Clapeyron

FL

=F 2

2SESu =

V

W=

2.E

2 L2=

2

2 E=

2.E

2

Energía de deformación por unidad de Volumen

W =

L

F 2· dx

2 · S ·E

Deformaciones en cortadura

GG

= G

G=

E

2 (1 + )

Módulo de elasticidad transversal,

Módulo de esfuerzo cortante,

Módulo de rigidez a cortadura

Energía de deformación en cortadura por unidad de Volumen

W = 2

F ·

u =

2G =

G 2

Energía de deformación en tracción por unidad de Volumen

u =

2E =

E

2

Energía de deformación en cortadura por unidad de Volumen

Energía de deformación provocada por las “” en Flexión

B

dx

dy = · dx

dW’ = ½ ·(·B·dy)·( ·dx) = (·B·dy·dx)/2G

dV = (·B·dy) = / G

V· Me

B·Iz =

dW = s dW’·dS = dx/2G s (·B·dy) = dx/2G s B·dy ·(V·

Me/B·Iz)2

dW = V2 ·dx/(2G ·Iz2) s (Me2/B) ·dy = V2 ·dx/(2G ·Sr)

Iz2 .

s (Me2/B) ·dy

Sr =W = V2 ·dx

2G ·SrL

V2 ·dx2G ·S

L f c= f c= S . Sr

Energía de deformación en Flexión

W = 2

F · u =

2E =

E

2

Energía de deformación en Flexión

= M·yIz

V= dS·dx

dW= u·V = M2·dx/2EIz

W=

L

M2·dx2EIz

FORMULACIÓN :

Cálculo de tensiones y deformaciones r=

T · r

Ip=

T

GIp

I p=·R4

2=

225000·W

n·

Energía de deformación en Torsión

W =

2F · u =

2G =

G

2

Energía de deformación en Torsión

= T·r

Ip

dW = ½ · T·d

d = []·dx = T·dx/G·Ip

dW = ½ · T2·dx/G·Ip

V = (2··r·dr)· dx

T2 ·dx2G ·Ip

L f TW =

Energía de deformación

T2 ·dx2·G ·Ip

L f T ·W =

W = V2 ·dx2G ·Sr

LV2 ·dx2G ·S

L f c ·=W =

F 2· dx

2 · S ·E

L

W= M2·dx2EIzL

Expresiones de potencial interno

• Módulo de Resiliencia: – Máxima energía de deformación, por unidad de volumen

que se puede almacenar en un cuerpo sin que se produzcan deformaciones permanentes.

dW = ½ · [T]·[]

UTotal = UN + UV + UMF + UMT

V2 ·dx2·G ·S

L f c ·U = F2· dx

2 · S ·E

L + M2·dx2·E·Iz

L+ T2 ·dx

2·G ·IpL f T ·+

Teorema de Maxwell - Betti

W1+2 = ½·F1·1+ F1·2 + ½·F2·2

W2+1 = ½·F2·2+ F2·1 + ½·F1·1

Si: W1+2 = W2+1 => F1·2 = F2·1

Los coeficientes de influencia recíprocos son iguales

V2 ·dx2·G ·S

L f c·U = F2· dx

2 · S ·E

L + M2·dx2·E·Iz

L+ T2 ·dx

2·G ·IpL f T·+

Teorema de Castigliano

La derivada parcial del potencial interno de un sistema elástico, sometido a un conjunto de acciones, respecto a una de ellas es igual a la proyección, sobre la dirección y sentido de la acción, del correspondiente desplazamiento de su punto de aplicación originado por el conjunto de todas ellas.

F = ∂U/∂F = ∫(∂MF2 /∂F) ·dx/(2·E·Iz) = ∫ MF ·(∂MF/∂F) ·dx/(E·Iz)

M =∂U/∂M = ∫(∂MF2 /∂M) ·dx/(2·E·Iz) = ∫MF ·(∂MF/∂M)

·dx/(E·Iz)

Resolución de Pórtico

D

A

C

B

L

L

I

I I

P

VB=0

HB=0

B=0

Resolución de Pórtico

MF = 0

FV = 0

FH = 0

-

--

-

-

+D

A

C

B

L

L

I

I I

P

B=0

=(3·L·MB -HB·(L2/2+ L2+L2/2)-P·(L2/8+ L2/2)+RB·(L2/2+L2)/E·Iz

VB=0

=(MB·(3L2/2) -HB·L3 -P·(29·L3/48) + RB·(4·L3/3))/E·Iz

=(MB·(2·L2) -HB·(5/3·L3 )-P·(3·L3/8) + RB·L3)/E·Iz

HB=0

= (3·L·MB -HB·2·L2-P·5·L2/8+RB·3·L2/2)/E·Iz

P·5·L/8 = 3·MB - HB·2·L + RB·3·L/2

P·29·L/48 = 3·MB/2 - HB·L + RB·4·L/3

P·3·L/8 = 2· MB – 5·HB·L /3 + RB·L

RB = P /2 HB = P /8 MB = P·L /24

VB=0

HB=0

B=0

-

-

-

-

+

D

A

C

L

L

P+

++

Resolución de Pórtico

B

VB=0

B= =(3·L·MB -HB·2·L2-P·5·L2/8+RB·3·L2/2)/E·Iz

VB1 = (MB·(L2/2+ L2))/E·Iz

VB2 = (-HB·(L2·L/2+L2/2 ·L))/E·Iz

VB3 = (-P·(L2/8·(L/2+2/3·L/2)+ L2/2·L))/E·Iz

VB4 = (RB·(L2/2·2/3·L+L2 ·L))/E·Iz

VB= =(MB·(3L2/2) -HB·L3 -P·(29·L3/48) + RB·(4·L3/3))/E·Iz

Resolución de PórticoHB=0

B= = (3·L·MB -HB·2·L2-P·5·L2/8+RB·3·L2/2)/E·Iz

VH1 =(MB·(2·L2/2+ L2))/E·Iz

VH2 =(-HB · (2·L2/2 ·2/3·L + L3))/E·Iz

VH3 =(-P·(L2/8·L+L2/2·L/2))/E·Iz

VH4 = (RB·(L2/2·L+L2 ·L/2)/E·Iz VB=0

HB=0

B=0

-

-

-

-

+

D

A

C

L

L

P+

++

B

-

+

VB= =(MB·(3L2/2) -HB·L3 -P·(29·L3/48) + RB·(4·L3/3))/E·Iz

HB= =(MB·(2·L2) -HB·(5/3·L3 )-P·(3·L3/8) + RB·L3)/E·Iz

VB=0

HB=0

B=0

Resolución de Pórtico

MF = 0

FV = 0

FH = 0

D

A

C

B

L

L

I

I I

P

M1 = MB - HB·x 0 < x < L

M2 = MB - HB·L + RB·x 0 < x < 1/2L

M3 = MB - HB·L + RB·(1/2·L+x) - P·x

0 < x < 1/2L

M4 = MB - HB·x + RB·L - P·1/2·L 0 < x < L

x

x

x

x

B= 0 =∂U/∂MB = L M1·(∂M1/∂M)·dx/(E·Iz) +

+ L/2 M2·(∂M2/∂M)·dx/(E·Iz) +

+ L/2 M3·(∂M3/∂M)·dx/(E·Iz) + L

M4·(∂M4/∂M)·dx/(E·Iz)

Resolución de PórticoM1 = MB - HB·x 0 < x < L M2 = MB - HB·L + RB·x 0 < x < 1/2L

M3 = MB - HB·L + RB·(1/2·L+x) - P·x 0 < x < 1/2L M4 = MB - HB·x + RB·L - P·1/2·L 0 < x < L

B=0 =∂U/∂MB = L M1·(∂M1/∂M)/(E·Iz) + L/2 M2·(∂M2/∂M)/(E·Iz) + L/2 M3·(∂M3/∂M)/(E·Iz) + L

M4·(∂M4/∂M)/(E·Iz) =

= L (MB - HB·x) ·(∂M1/∂M)/(E·Iz) + L/2 (MB - HB·L + RB·x)·(∂M2/∂M)/(E·Iz) +

+L/2 (MB - HB·L + RB·(1/2·L+x) - P·x)·(∂M3/∂M)/(E·Iz) + L (MB - HB·x + RB·L - P·1/2·L)·(∂M4/∂M)/(E·Iz) =

(∂M1/∂MB)= (∂M2/∂MB)= (∂M3/∂MB)= (∂M4/∂MB)= 1

= [(MB x- ½·HB·x2)/(E·Iz)]L + [(MB x - HB·L x + ½·RB· x2)/(E·Iz) ]L/2 + [(MB x - HB·L·x + RB·(1/2·L·x +

½·x2) - P· ½·x2)/(E·Iz) )]L/2 + [(MB ·x - HB· ½·x2 + RB·L·x - P·1/2·L·x)/(E·Iz)]L =

= (3M-2H·L+3/2·R·L-5/8·P·L)·L/(E·Iz)

Resolución de PórticoM1 = MB - HB·x 0 < x < L M2 = MB - HB·L + RB·x 0 < x < 1/2L

M3 = MB - HB·L + RB·(1/2·L+x) - P·x 0 < x < 1/2L M4 = MB - HB·x + RB·L - P·1/2·L 0 < x < L

BH=0 =∂U/∂HB =

= L M1·(∂M1/∂ HB)/(E·Iz) + L/2 M2·(∂M2/∂ HB)/(E·Iz) + L/2 M3·(∂M3/∂ HB)/(E·Iz) + L M4·(∂M4/∂ HB)/(E·Iz) =

= L (MB - HB·x) ·(-x)/(E·Iz) + L/2 (MB - HB·L + RB·x)·(-L)/(E·Iz) + L/2 (MB - HB·L + RB·(1/2·L+x) - P·x)·(-L)

+

+L (MB - HB·x + RB·L - P·1/2·L)·(-x)/(E·Iz) =

(∂M1/∂HB)= -x ; (∂M2/∂HB)= -L ; (∂M3/∂HB)= -L ;(∂M4/∂MB)= -x

= [(-MB ·½·x2 + 1/3·HB·x3)/(E·Iz)]L + [(- MB ·L·x + HB· L2 ·x· - ½·RB·L· x2)/(E·Iz) ]L/2 + [(- MB ·L·x +

HB· L2 ·x - RB·(1/2· L2 ·x + ½·L·x2) + P· L·½·x2)/(E·Iz) )]L/2 + [(- MB ·½·x2 + HB· 1/3·x3 - RB·L ·½·x2 +

P·1/2·L ·½·x2 )/(E·Iz)]L =(-2M+5/3·H·L-R·L -3/8·P·L)·L2/(E·Iz)

Resolución de PórticoM1 = MB - HB·x 0 < x < L M2 = MB - HB·L + RB·x 0 < x < 1/2L

M3 = MB - HB·L + RB·(1/2·L+x) - P·x 0 < x < 1/2L M4 = MB - HB·x + RB·L - P·1/2·L 0 < x < L

BR=0 =∂U/∂RB =

= L M1·(∂M1/∂ RB)/(E·Iz) + L/2 M2·(∂M2/∂ RB)/(E·Iz) + L/2 M3·(∂M3/∂ RB)/(E·Iz) + L M4·(∂M4/∂ RB)/(E·Iz) =

= L (MB - HB·x) ·(0)/(E·Iz) + L/2 (MB - HB·L + RB·x)·(x)/(E·Iz) + L/2 (MB - HB·L + RB·(1/2·L+x) -

P·x)·(1/2·L+x)

+L (MB - HB·x + RB·L - P·1/2·L)·(L)/(E·Iz) =

(∂M1/∂RB)= 0 ; (∂M2/∂HB)= x ; (∂M3/∂HB)= ½·L+x ;(∂M4/∂MB)= L

= [(MB ·½·x2 - ½·HB·L·x2 + RB· 1/3·x3) /(E·Iz)]L/2 + [( MB ·1/2·L·x - ½·HB·L2 ·x· + ¼·RB·L2·x +

¼·RB·L·x2 – ¼·P· L·x2)/(E·Iz) ]L/2 + [(MB ·½·x2 - ½·HB·L·x2 + RB·¼·L·x2 + RB 1/3·x3) - P·

L·1/3·x3)/(E·Iz) )]L/2 +

[( MB ·L·x – ½·HB· L·x2 + RB· L2 ·x - P·1/2· L2 ·x )/(E·Iz)]L =(3/2·M-H·L+4/3·R·L-29/48·P·L)L2/(E·Iz)

Resolución de Pórtico

P·5·L/8 = 3·MB - HB·2·L + RB·3·L/2

P·29·L/48 = 3·MB/2 - HB·L + RB·4·L/3

P·3·L/8 = 2· MB – 5·HB·L /3 + RB·LRB = P /2

HB = P /8

MB = P·L /24

3·M – 2·H·L + 3/2·R·L - 5/8·P·L = 0

-2·M + 5/3·H·L - R·L - 3/8·P·L = 0

3/2·M - H·L + 4/3·R·L - 29/48·P·L = 0