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Leccion 3: Funciones de varias variables
Introduccion al Calculo Infinitesimal
I.T.I. Gestion
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Esquema:
- Concepto de funcion de dos variables
- Dominio y conjunto imagen
- Representacion grafica
- Funciones de tres o mas variables
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Esquema:
- Concepto de funcion de dos variables
- Dominio y conjunto imagen
- Representacion grafica
- Funciones de tres o mas variables
Recordar:
- Concepto de funcion real de variable real
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Concepto de funcion de dos variables
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} ≡ Parejas de numeros reales
(0, 0), (1, 7), (0, π) ∈ R2
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Concepto de funcion de dos variables
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} ≡ Parejas de numeros reales
(0, 0), (1, 7), (0, π) ∈ R2
Funcion de dos variables:
f : R2 −→ R
(x, y) 7−→ f (x, y)
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Concepto de funcion de dos variables
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} ≡ Parejas de numeros reales
(0, 0), (1, 7), (0, π) ∈ R2
Funcion de dos variables:
f : R2 −→ R
(x, y) 7−→ f (x, y)
Ejemplos:
f (x, y) = x + y2
f (x, y) = x ex2+y − Ln(x− y)
f (x, y) =x2 − y
sin(x y)− e−x y
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Funcion de dos variables
f : R2 → R funcion de dos variables
Dominio de f : Subconjunto de R2 al que se le puede aplicar f
(elementos de R2 que tienen imagen por f)
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Funcion de dos variables
f : R2 → R funcion de dos variables
Dominio de f : Subconjunto de R2 al que se le puede aplicar f
(elementos de R2 que tienen imagen por f)
Conjunto imagen de f : Subconjunto de R formado por todas
las imagenes que asigna f
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Funcion de dos variables
f : R2 → R funcion de dos variables
Dominio de f : Subconjunto de R2 al que se le puede aplicar f
(elementos de R2 que tienen imagen por f)
¿Como determinar el dominio de una funcion?
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Funcion de dos variables
f : R2 → R funcion de dos variables
Dominio de f : Subconjunto de R2 al que se le puede aplicar f
(elementos de R2 que tienen imagen por f)
¿Como determinar el dominio de una funcion?
- Funciones definidas mediante polinomios, exponencial, sin, cos
→ no presentan problema: definidas en todo R2
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Funcion de dos variables
f : R2 → R funcion de dos variables
Dominio de f : Subconjunto de R2 al que se le puede aplicar f
(elementos de R2 que tienen imagen por f)
¿Como determinar el dominio de una funcion?
- Funciones definidas mediante polinomios, exponencial, sin, cos
→ no presentan problema: definidas en todo R2- Cocientes Denominador distinto de cero
- Logaritmo Argumento mayor que cero
- Raız cuadrada Radicando mayor o igual que cero
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Dominio de funciones de dos variables
Ejemplos:
f (x, y) = 5 x2 + 2 x y − ex y2Dom(f ) = R2
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Dominio de funciones de dos variables
Ejemplos:
f (x, y) = 5 x2 + 2 x y − ex y2Dom(f ) = R2
f (x, y) =ex−cos(y)
x2 + y2Dom(f ) = R2 − {(0, 0)}
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Dominio de funciones de dos variables
Ejemplos:
f (x, y) = 5 x2 + 2 x y − ex y2Dom(f ) = R2
f (x, y) =ex−cos(y)
x2 + y2Dom(f ) = R2 − {(0, 0)}
f (x, y) =Ln(x2 + y2)
x2 + y2 + 1Dom(f ) = R2 − {(0, 0)}
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Dominio de funciones de dos variables
Ejemplos:
f (x, y) = 5 x2 + 2 x y − ex y2Dom(f ) = R2
f (x, y) =ex−cos(y)
x2 + y2Dom(f ) = R2 − {(0, 0)}
f (x, y) =Ln(x2 + y2)
x2 + y2 + 1Dom(f ) = R2 − {(0, 0)}
f (x, y) =3 ex+y2−1
yDom(f ) = {(x, y) ∈ R2 : y 6= 0}
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Dominio de funciones de dos variables
Ejemplos:
f (x, y) = 5 x2 + 2 x y − ex y2Dom(f ) = R2
f (x, y) =ex−cos(y)
x2 + y2Dom(f ) = R2 − {(0, 0)}
f (x, y) =Ln(x2 + y2)
x2 + y2 + 1Dom(f ) = R2 − {(0, 0)}
f (x, y) =3 ex+y2−1
yDom(f ) = {(x, y) ∈ R2 : y 6= 0}
f (x, y) =
√cos2(x y)
y − 1Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2 : y > 1}
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Dominio de funciones de dos variables
Ejemplos:
f (x, y) = 5 x2 + 2 x y − ex y2Dom(f ) = R2
f (x, y) =ex−cos(y)
x2 + y2Dom(f ) = R2 − {(0, 0)}
f (x, y) =Ln(x2 + y2)
x2 + y2 + 1Dom(f ) = R2 − {(0, 0)}
f (x, y) =3 ex+y2−1
yDom(f ) = {(x, y) ∈ R2 : y 6= 0}
f (x, y) =
√cos2(x y)
y − 1Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2 : y > 1}
f (x, y) =√
Ln(x2 + y2) Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2 : x2+y2 ≥ 1}
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Representacion grafica de las funciones de dos variables
Dan lugar a superficies en R3
(Ejecutar archivo representacionesgraficas.mws)
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Funciones de dos variables definidas a trozos
f (x, y) =
x3
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
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Funciones de dos variables definidas a trozos
f (x, y) =
x3
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
Para hallar las imagenes trozo correspondiente
f (1, 0) = 1, f (0, 1) = 0, f (0, 0) = 0
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Funciones de dos variables definidas a trozos
f (x, y) =
x3
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
Para hallar las imagenes trozo correspondiente
f (1, 0) = 1, f (0, 1) = 0, f (0, 0) = 0
f (x, y) =
ex3 − 2 x y
y, y 6= 0
10, y = 0
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Funciones de dos variables definidas a trozos
f (x, y) =
x3
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
Para hallar las imagenes trozo correspondiente
f (1, 0) = 1, f (0, 1) = 0, f (0, 0) = 0
f (x, y) =
ex3 − 2 x y
y, y 6= 0
10, y = 0
f (12, 0) = 10, f (2, 2) =e8 − 8
2, f (0, 0) = 10
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Funciones de tres o mas variables
Rn = {(x1, . . . , xn) : x1, . . . , xn ∈ R}(1, 0, 3) ∈ R3, (0,−2, 3, 1, 8) ∈ R5
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Funciones de tres o mas variables
Rn = {(x1, . . . , xn) : x1, . . . , xn ∈ R}(1, 0, 3) ∈ R3, (0,−2, 3, 1, 8) ∈ R5
Funcion de varias variables:
f :Rn −→ R
(x1, . . ., xn) 7−→ f (x1, . . . , xn) ∈ R
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Funciones de tres o mas variables
Rn = {(x1, . . . , xn) : x1, . . . , xn ∈ R}(1, 0, 3) ∈ R3, (0,−2, 3, 1, 8) ∈ R5
Funcion de varias variables:
f :Rn −→ R
(x1, . . ., xn) 7−→ f (x1, . . . , xn) ∈ R
Ejemplos:
f (x, y, z) = x y + ex−3 − z2
f (x, y, z) =x2 y (z − x)
x2 + y2 + z2 + 1
f (x1, . . . , x5) = 2 x1 x43 + Ln(x5)
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Ejercicios:
Hallar el dominio de las siguientes funciones:
1. f (x, y) =Ln(x (y − 2))√
x2 + y2
2. f (x, y) =ex2y
x y
3. f (x, y) = Ln(x2 + y2 − 4)
4. f (x, y) =3 x y
x− y2
5. f (x, y, z) =exyz − xyz
x2 + y2 + z2