LECCIONES DEL

CURSO DE MODELACIÓN

MATEMÁTICA Y COMPUTACIONALPOSGRADOS DE

CIENCIAS DE LA TIERRA

Y DE

CIENCIA E INGENIERÍA DE LA

COMPUTACIÓN

UNAM

AUTOR:

ISMAEL HERRERA REVILLA1

Basado en el Libro

‘‘Mathematical Modeling in

Science and Engineering:

An Axiomatic Approach’’Por

Ismael Herrera y George F. Pinder

2

3

John Wiley

2012

CAPÍTULO 8

4

RECUPERACIÓN MEJORADA

DEL

PETRÓLEO

BIBLIOGRAFÍA

5

1. Herrera I. & G.F. Pinder, "Mathematical Modeling in Science

and Engineering: An Axiomatic Approach", John Wiley and

Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, pp.243, 2012.

2. Herrera, I. & Herrera G. “Unified Formulation on Enhanced

Oil-Recovery Methods”, Geofísica Internacional 50 (1) pp., 85-

98 2011.

3. Chen, Z., G.Huan & Y. Ma, "Computational Methods for

Multiphase Flows in Porous Media", SIAM, Society for Industrial

and Applied Mathematics, Philadelphia, pp.521, 2006.

4. Green, D.W. & G.P. Willhite, "Enhanced Oil Recovery", SPE

TEXTBOOK SERIES, Vol. 6, Richardson, TX USA, pp.545,

1998.

5. Lake, L.W., "Enhanced Oil Recovery", Prentice-Hall, Inc.,

Englewood Cliff, New Jersey, pp.550, 1989.

6

A.

PERSPECTIVA GENERAL

REPASO

7

LOS PROCESOS DE LA

PRODUCCIÓN DEL

PETRÓLEO

8

¿CÓMO ES UN YACIMIENTO DE PETRÓLEO?

Está constituido de un material sólido y poroso

(la matriz), cuyos huecos están llenos de fluidos

que generalmente se separan en tres fases: agua,

aceite y gas. Inicialmente en la fase agua sólo

hay H2O, pero tanto en la fase de aceite como en

la fase de gas hay muchos hidrocarburos de

distinta composición. En algunas técnicas EOR

ocurren más de tres fases; por ejemplo, espuma.

También, algunas componentes pueden ser

solubles en la fase agua.

9

¿CÓMO SE REALIZA LA EXPLOTACIÓN?

• PRODUCCIÓN PRIMARIA: Se extrae a través de pozos utilizando su presión original

• PRODUCCIÓN SECUNDARIA: Es la segunda etapa de la explotación, y usualmente se implementaba cuando la producción primaria declinaba

• RECUPERACIÓN MEJORADA: Anteriormente se le llamó ‘recuperación terciaria’, pero en actualidad los términos Recuperación Mejorada son más aceptados

10

¿QUÉ PROCESOS HAY QUE MODELAR?

• PRODUCCIÓN PRIMARIA: El movimiento de una o dos fases

• PRODUCCIÓN SECUNDARIA: En actualidad estos términos son usados casi exclusivamente para la inyección de agua. Al caer la presión, parte del petróleo pasa a ser gas y se tienen cuando menos dos fases (aceite y gas) y frecuentemente tres fases (agua, aceite y gas)

• RECUPERACIÓN MEJORADA: Control de la movilidad (agua con polímero), químicos (para reducir la tensión superficial), miscibles, térmicos (agua caliente, vapor y combustión in-situ) y otros (ej., microbianos)

11

¿QUÉ NOS DA LA MODELACIÓN

DE ESTOS PROCESOS?

• Cómo se debe desarrollar y producir el

yacimiento para aumentar su rendimiento

• Cual es la estrategia de producción mejorada

más adecuada y cómo debe implementarse

• Cuando el comportamiento observado se

desvía del esperado, cómo corregirlo

• Cuál será su vida útil y su rendimiento total

• Valioso auxiliar en la administración o manejo

de los pozos

12

B.

FORMULACIÓN AXIOMÁTICA

DE LOS

MODELOS MATEMÁTICOS DE LA

RECUPERACIÓN MEJORADA

13

MODELOS

• De una fase

• De dos fases

• De petróleo negro

• Composicional

• Térmicos

• Con interacción química

• En medios fracturados

14

DESARROLLO SISTEMÁTICO

DE LOS MODELOS

• Modelo conceptual

• Modelo matemático

• Modelo numérico

• Modelo computacional

• Validación

15

B.1

FLUJO MONOFÁSICO

(FLUJO DE UNA FASE)

Chen et al. pp.10-22

16

17

FLUJO DE UNA FASE

EN UN

MEDIO POROSO

(Ya se estudió)

18

El modelo matemático básico de los sistemas

multifásicos

,

1,..., Número de propiedades extensivasNúmero de fases

: 1,..., 1,...,

Fase asociada a la propiedad α

gt

N M

N M

v

REPASO

Sólo hay una fase y una propiedad

extensiva, lo que corresponde a N=M=1

en el modelo general. Supondremos que

la única propiedad extensiva es la masa

de aceite.

19

20

El modelo matemático básico de los sistemas

de una fase y una componente

gt

v

LA PROPIEDAD INTENSIVA

21

lim

FAMILIA DE UNA PROPIEDAD EXTENSIVA

SU EXPRESIÓN ES:

, , ,

B t B t

B t

E

E t x t d x = x t x t d x

d x

V B

E

V=0

22

El modelo matemático básico del flujo de

una fase en un medio poroso

Velocidad de Darcy

gt

u

u gt

v

v

Comparación con Chen

23

0

CONCLUSIÓN

Nuestra ecuación es más general que la de Chen.

La Ec.2.2, p12 de Chen desprecia los flujos difusivos,

l

La ecuación

u gt

cuando y q g se puede escribir

u qt

o cual haremos en lo que sigue.

Incorporación de la Ley de Darcy

24

Ley de Darcy

1

Consecuentemente, la ecuación de flujo monofásico es :

Aquí, el tensor de . En

algunos casos se puede diagonalizar

u k p z

k qp zt

k permeabilidad absoluta

k

y, cuando el

medio es isotrópico, .

k k

Incorporación de la Compresibilidad

25

En procesos isotérmicos, tanto como son funciones

de la presión exclusivamente, por lo que

Consecuentemente :

Ésta es una ecuac

t t t

pk qp z

p p t

ión para la presión, porque los téminos

de compresibilidad están determinados por la naturaleza de

la matriz porosa y el fluido. Hay diversas formas de

aproximar los téminos de compresibilidad. Un caso en que

la compresibilidad es muy importante es cuando el fluido

es gas (ver [3]).

Condiciones de Frontera

26

Los es decir capaces de predecir

el comportamiento, incluyen

; en el caso que se considera, para la presión.

Las condiciones iniciales son la distri

modelos completos

condiciones de frontera

e iniciales

,

bución inicial de

la presión. En la frontera se puede prescrbir :

LA PRESIÓN

en

EL FLUJO DE MASA

en

UNA CONDICIÓN MIXTA

p p

u n g

en

.

p u n f

27

B.2

MODELO COMPOSICIONAL

Chen et al.

pp.35-37 y CAP.9 pp.347-380

28

CARACTERÍSTICAS

GENERALES• Tiene tres fases: agua, aceite y gas;

• Tanto en la fase aceite como en la de gas hay NC componentes

• El sistema está en equilibrio termodinámico estable; y

• Entre las fases de aceite y gas hay intercambio de masa

• Se desprecia la difusión y la dispersión

29

FAMILIA DE PROPIEDADES

EXTENSIVAS

• La masa del agua

• Las masas de NC componentes en la

fase aceite

• Las masas de NC componentes en la

fase gas

30

,

,

,

ww ww w

ioo ioio io

igg igig ig

gt

gt

gt

v

v

v

MODELO MATEMÁTICO BÁSICO

31

IDENTIFICAMOS LAS PROPIEDADES

EXTENSIVAS E INTENSIVAS

,w

o

g

w

w wB t

io

o io CB t

ig

g igB t

M t S dx

M t S dx i = 1,...,N

M t S dx

32

FAMILIA DE PROPIEDADES INTENSIVAS

,

w

w w

io

o io C

ig

g ig

S

S i = 1,...,N

S

33

,

,

,

w w ww ww w

o io ioo ioo io

g igg ig ig

g ig

SS g

t

SS g

t

SS g

t

v

v

v

MODELO MATEMÁTICO BÁSICO

34

Falta identificar fuentes y

flujos difusivos

35

FUENTES Y FLUJOS DIFUSIVOS

, 0,

, , 0

, , 0

0

ww w

e

ioio io io

e ig

igig ig ig

e io

io ig

ig io

x tg x t g

g x t g g x t

g x t g g x t

g g

36

EL MODELO COMPOSICIONAL ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE

,

1 0

w ww ww w

o io ioo ioo io e ig

gg ig ig ig

g ig e io C

ig io

w o g io ig

SS g

tS

S g gt

SS g g i = 1,...,N

t S S S g g

v

v

v

37

EL MODELO COMPOSICIONAL EN OTRA FORMA

,

1

w ww ww w

o io g ig o g

o io g ig

io ig

e e C

w o g

SS g

t

S SS S

tg g i = 1,...,N

S S S

v

v v

Incorporación de la Velocidad de Darcy

38

,

, =

1

ww www

o io g ig

o gio ig

io ig

e e C

w o g

Su g

t

S Su u

tg g i = 1,...,N

u S w, o, g

S S S

v

39

DENSIDAD MOLAR, DENSIDAD MOLAR DE

UNA FASE Y FRACCIÓN MOLAR

1

,

C

w w w

io io i C

ig ig i

N

ii i

i

WW i = 1,...,NW

and

- densidad molar de la componente en la fase - peso molecular de la componente - densidad molar de la fase - fracción molar de la componente en la fase

i

i

i

iW i

i

40

EL MODELO COMPOSICIONAL ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE

,

0

1

ww w e

ww ww

io ioio o iooio e ig i o

C

ig g ig ig

gig e io i g

ig io

io ig

w o g

S gu q

WtS

u g g W q i = 1,...,Nt

Su g g W q

t g g

S S S

41

EL MODELO COMPOSICIONAL ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE MOLAR

1

w www w

io o o ig g g

C

o gio o ig g io o ig g

w o g

Su q

tS S

, i = 1,...,Nt

u u q q

S S S

Aquí q q

Ley de Darcy e Identidades

42

1

Ley de Darcy para flujo multifásico

; = , ,

. , ,...,La viscosidad se puede calcular

como función de la presión, temperatura y composición [3].

Además,

c

r

ku k p z w o g

p T

1 1

= 1 y 1

1

= y =

c cN N

io ig

i i

w o g

cow o w cgo g o

S S S

p p p p p p

43

UNA ECUACIÓN CONSTITUTIVA

BÁSICA DETERMINA INTERCAMBIO ENTRE LAS FASES

La condición de equilibrio termodinámico estable

1 1, ,..., , ,..., ,c cio o o N o ig g g N g

c

f p f p

i = 1,...,N

- fracción molar de la componente en la fase i i

44

RESUMEN MODELO COMPOSICIONAL

1 1

1

, ,..., , ,...,

,

1

C C

C

w www w

io o o ig g g

o gio o ig g io o ig g C

io o o N o ig g g N g

r

N

io

i

Su q

tS S

tu u q q , i = 1,...,N

f p f p

ku p z = w,o,g

k

1

1

1

CN

ig

i

cow o w cgo g o

w o g

y

p p p y p p p

S S S