Программные комплексы

анализа и проектирования

Лекция 6

Критерии (теории) прочности.

2

Основные сведения о расчете

конструкций.

� Основной задачей расчета конструкции являетсяобеспечение ее прочности в условиях эксплуатации.

� Прочность конструкции, выполненной из хрупкихматериалов, считается обеспеченной, если во всехпоперечных сечениях фактические напряженияменьше предела прочности материала.

� Величины нагрузки, напряжения в конструкции имеханические характеристики материала не могут бытьустановлены совершенно точно из-за:

� случайного характера нагружения,

� приближенности расчета,

� погрешности испытаний,

� разброса механических свойств реальных материалов

� и т.д.

3

Метод допускаемых напряжений

� Поэтому необходимо, чтобы наибольшиенапряжения, полученные в результатерасчета (расчетные напряжения) непревышали некоторой величины, меньшей предела прочности.

� Эта величина называетсядопускаемым напряжением иустанавливается делением пределапрочности на коэффициент, большийединицы, называемый коэффициентомзапаса.

4

Метод допускаемых напряжений

� При одноосном напряженном состояниизначения предельных напряжений легкоустановить экспериментально, в соответствии сэтим условие прочности:

где – предельные напряжениясоответственно при растяжении и сжатии.

� Под предельным напряжениемдля пластичных материаловпонимается предел текучести, а для хрупких –временное сопротивление.

[ ] [ ]1 3; ;σ σ σ σ+ −≤ ≤[ ] [ ]; ;σ σ+ −

5

Критерии прочности

� В случае сложного напряженного состояния, предельноесостояние для одного и того же материала может иметьместо при различных предельных значенияхглавных напряжений.

� Экспериментальная проверка из-за бесчисленногомножества комбинаций практически исключается.

� Для решения поставленной задачи необходим выборкритерия прочности. Проверка критерия прочностивозможна только сопоставлением сложногонапряженного состояния с простым.

6

Эквивалентные напряжения

� Этого можно достичь только путем выбораэквивалентного напряжения такого, которое обеспечивает:

� одинаковый коэффициент запаса прочности прирастяжении и сжатии;

� пропорциональность инвариантным характеристикамнапряженного состояния – 1 2 3, ,σ σ σ

7

Теории прочности

� Для реализации этого пути были разработаныгипотезы о преимущественном влиянии напрочность материала того или иного фактора, которые называют механическими теориямипрочности.

� Обычно условие перехода материала впредельное состояние при таком выборекритерия прочности можно выразить в виденекоторого уравнения:

которое может быть представлено предельнойповерхностью в трехмерном пространстве, гдепо осям декартовой системы координатоткладываются главные напряжения.

( )1 2 3, , 0,F σ σ σ =

8

Определение главных напряжений

� При эксплуатации конструкций в общем случае по площадкамэлементарного объема возникают нормальные и касательныенапряжения, пропорциональные увеличению нагрузки. Значение каждого из напряжений зависят от ориентациирассматриваемых площадок.

� Вариацией углов поворота площадок можно определитьплощадки, свободные от касательных напряжений, на которыхвозникают максимальные нормальные напряжения. Такиеплощадки и напряжения называются главными.

� Именно главные напряжения и могут служить объективнойхарактеристикой напряженного состояния в точке, посколькуони являются инвариантами – величинами, независящимиот ориентации площадок.

� В итоге при оценке прочности материала вместо рассмотрения9 компонент напряженного состояния, зависящих оториентации элементарных площадок, можно рассматриватьвсего 3 (σ1> σ2> σ3).

9

Переход от сложного напряженного

состояния к одноосному

� Таким образом, необходимо иметь возможность сопоставитьпрочность материала при плоском и пространственномнапряженном состоянии с результатами испытаний приодноосном растяжении-сжатии.

� Эта задача решается с помощью выдвижения гипотезы окаком-то одном критерии, определяющим условиеперехода материала в опасное состояние, составляющимоснову соответствующей теории прочности.

� С использованием того или иного критерия главныенапряжения, возникающие в конструкции, удается связать спредельными механическими характеристиками, получаемымипри одноосном испытании.

x

y

zσz

ττττzy

ττττzxσx

σy

ττττxy

ττττxz

ττττyz

ττττyx σ1

σ3

σ1

σ3

σ2

σ2σz σz

10

Предполагается, что предельное состояние тела, находящегося в

условиях сложного напряженного состояния, определяется уровнем

наибольшего нормального напряжения.Условие перехода материала в предельное состояние в виде

уравнения предельной поверхности имеет вид:

На рис.а представлен вид предельной поверхности, а на рис.б вид

предельной кривой для плоского напряженного состояния.

01 =− Tσσ

Эта теория подтверждается

на практике только для

весьма хрупких и достаточно

однородных материалов

(стекло, гипс, некоторые виды

керамики).

Критерий наибольших нормальных

напряжений (1-я теория прочности)

11

� Условие прочности имеет вид:

� первое условие используетсяпри σ1> σ2> σ3 > 0,

� второе – при σ3 < 0, если |σ3| > |σ1|

� Заметим, что хрупкие материалы частообладают различными механическимихарактеристиками при растяжении и сжатии,

Критерий наибольших нормальных

напряжений (1-я теория прочности)

R≤= 1экв σσ 31 σσ >

R≤= 3экв σσ 31 σσ <

12

За критерий предельного состояния принимают наибольшую по

абсолютной величине линейную деформацию, т. е. условие

разрушения:

Как видно из (15), с допускаемым напряжением нужно сравнивать не

то или иное главное напряжение, а их комбинацию. Эквивалентное

напряжение в этом случае

Эта теория имела довольно широкое распространение, однако ввиду

малой достоверности в настоящее время в расчетной практике не

рекомендуется.

условие прочности (14) через главные напряжения можно представитьв виде

Учитывая, что

Критерий наибольших относительных

линейных деформации (2-я теория прочности)

13

Критерий наибольших касательных

напряжений (3-я теория прочности)

� Критерий пластического состояния – Прииспытаниях материалов было обнаружено, чтов пластическом состоянии максимальноекасательное напряжение имеет одно и то жезначение для данного материала.

� В результате в качестве следующей гипотезыперехода материала в предельное состояниеможно выбрать достижение наибольшихкасательных напряжений предельного(опасного) значения (критерийпластичности). Эта гипотеза легла в основу IIIтеории прочности.

14

Предполагается, что опасное состояние нагруженного тела

определяется уровнем максимального касательного напряжения. Условие разрушения имеет вид:

Эта теория дает хорошие результаты для материалов, одинаковосопротивляющихся растяжению и сжатию.

Недостатком третьей теории является то, что она не учитываетсреднего по величине главного напряжения , которое оказывает

определенное, хотя в большинстве случаев и незначительное, влияние на прочность материала.

а эквивалентное напряжение по третьей теории прочности

определится формулой

условие прочности через главные напряжения запишется так:

Так как[ ]

2;

2

0031

maxστσστ =−=

Критерий наибольших касательных

напряжений (3-я теория прочности)

15

Считая предельным состоянием для пластичных материалов предел

текучести, условие (18) можно представить в виде

Для плоского напряженного состояния получается неправильный

шестигранник (рис.б).

Это условие удовлетворительно описывает начало пластической

деформации разупрочняющихся материалов и ему соответствует

предельная поверхность в виде правильной шестигранной призмы, вписанной в цилиндр (рис.а).

Критерий наибольших касательных

напряжений (3-я теория прочности)

16

Критерий фон Мизеса

(4-я теория прочности)

� IV теория прочности (энергетическая) –Первоначальной попыткой связать все три главныхнапряжения было выдвижение гипотезы перехода впредельное состояние удельной потенциальной энергиидеформации некоторого предельного значения.

� Эксперименты показали, что при всестороннем сжатиипластические деформации не возникают, хотя при этомнакапливается большая удельная потенциальнаяэнергия.

� В связи с этим была выдвинута гипотеза о том, чтопредельное состояние обуславливается достижениемпредельного значения лишь той части удельнойпотенциальной энергии деформации, которая связана сизменением формы:

где

� - полная удельная потенциальная энергия.

,обф uuu −=)(

2

1332211 εσεσεσ ++=u

17

Предполагается, что предельное состояние нагруженного тела

определяется предельной величиной накопленной удельной энергии

формоизменения.

Величина, характеризующая энергию формоизменения –интенсивность напряжений σi.

Условие разрушения в этом случае:

Условие прочности

Эквивалентное напряжение по четвертой теории прочности

определится формулой

Полагая, что материал следует закону Гука вплоть до наступления

момента начала текучести, получаем

Критерий фон Мизеса

(4-я теория прочности)

Т

213

232

221экв ))()()((

2

1 σσσσσσσσ ≤−+−+−=

Т13322123

22

21экв σσσσσσσσσσσ ≤−−−++=

18

Критерий фон Мизеса

(4-я теория прочности)

Четвертая теория прочности применима для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Для плоского напряженного состояния получаем эллиптическую

предельную кривую (рис.б).

Предельная поверхность представляет собой круговой цилиндр с

осью, равно наклоненной к координатным осям (рис.а), и радиусом

2 3 Tr σ=

Так, предельная поверхность, соответствующая условию появления

массовых пластических деформаций, по теории фон Мизеса имеет вид

( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 2 3 3 1 2 0Tσ σ σ σ σ σ σ− + − + − − =

19

Критерий Кулона — Мора� Использует предположение, что напряжение σ2 мало

влияет на прочность материала (в пределах 15%).� Таким образом расчет прочности в общем случае

трехосного напряженного состояния сводится к расчетупрочности при двухосном напряженном состоянии.

� Это не означает, что в условии для II теории простоследует приравнять σ2 нулю.

� Здесь расчетное напряжение определяется с учетом двухиспытаний:� на растяжение - σр,

� на сжатие - σс.

� Теория прочности Кулона — Мора позволяет установитьсопротивление разрушению материалов, обладающихразным сопротивлением растяжению и сжатию (хрупкихматериалов), и имеет существенное преимущество передпервой и второй теориями.

20

Критерий Кулона — Мора� Суть теории Мора в следующем:

� Пусть известны данные об опасных состояниях материала принескольких различных соотношениях между напряжениями σ3 и σ1.

� Изображая каждое из состояний кругами Мора получим некотороесемейство таких кругов:� для двухосного напряженного состояния – круги черного цвета;� для одноосных растяжения и сжатия – круги красного цвета;� для чистого сдвига – круг коричневого цвета.

+σ

+τ

-τ

-σ

Одноосное

сжатие

Одноосное

растяжение

Чистый

сдвигДвухосное

напряженное

состояние

(сжатие)

Двухосное

напряженное

состояние

(растяжение)

A

� Для материалов, сопротивление которых присжатии больше, чем прирастяжении, огибающаяпредельных напряжений(пунктирная кривая) приближается кположительной оси абсцисс ипересекает ее в точке A, соответствующейдвухосевому равномерномурастяжению.

21

Критерий Кулона — Мора� Эксперименты показывают, что при всестороннем сжатии

материал не разрушается при любых, сколь угодно большихнапряжениях. Поэтому огибающая не пересекает ось абсцисспри сжимающих напряжениях.

� Уменьшая круги предельных напряжений в n раз (n –коэффициент запаса) получим область, соответствующуюдопускаемым (безопасным) напряженным состояниям:

� Поскольку получить достаточно большое количество опытныхданных затруднительно, обычно ограничиваются лишь двумяиспытаниями ( на растяжение и на сжатие) и огибающиекривые заменяют прямыми, касательными к кругам Мора, построенным по этим испытаниям:

+τ

-σA

+σ

σрσс

σ1

σ3

Для такой упрощенной диаграммы

предельных напряженных состоянийвозможно получитьаналитическое условие прочностииз подобия прямоугольныхтреугольников:

.рс

р

31экв σσσ

σσσ ≤−=

22

Предельная поверхность принимается в виде полинома второй

степени, симметричного ко всем трем главным напряжениям:

При этом определяются из опыта для данного

материала при испытании соответственно на одноосное растяжение, сжатие и чистый сдвиг.

Теория прочности Ягна — Бужинского позволяет учесть не только

различие в сопротивлении материала растяжению и сжатию, но такжеи сопротивление сдвигу.

[ ] [ ] [ ], ,σ σ τ+ −

[ ] [ ][ ][ ][ ]

[ ] [ ] [ ]( )[ ][ ] [ ]22

266 2; ; 6a b c

τ σ στ σ στ

σ σ σ σ− ++ −

+ − + −

−−= = =где

Критерий прочности

Ягна — Бужинского

23

Данная теория хорошо согласуется с данными эксперимента для

широкого класса достаточно однородных конструкционных

материалов.

Критерий прочности предлагается искать в виде инвариантных к

напряженному состоянию функций касательных напряжений, например октаэдрических касательных напряжений и максимального

нормального напряжения. При этом критерий прочности может быть

записан в виде

Выражение (30)• для пластичных материалов ( ) преобразуется в критерий

фон Мизеса;• для хрупких материалов, когда , преобразуется в первую теорию

прочности; • при , предельная поверхность будет представлять собой

равнонаклоненную к главным осям фигуру, в которую вписана

шестигранная пирамида, соответствующая теории Кулона — Мора.

0 0 ; 1σ σ χ+ −= =

0χ =

0 1χ< ≤

Выражая константы m1 и m2 через предельные напряжения при одноосном

растяжении и сжатии (в частности, через ), приводим к

виду

Критерий прочности

Писаренко — Лебедева