Dynamics of Bloch Electrons( h f )(Ch 16 of CMP)

• Classical Electron Dynamics• Classical Electron Dynamics– Drude model– Hall effect

• Semiclassical Electron Dynamics – Wave packet of Bloch electrons– Velocity and Effective mass– Bloch oscillationNoninteracting electrons in an Electric field– Noninteracting electrons in an Electric field

• Quantizing Semiclassical Dynamics – Wannier‐Stark LaddersWannier‐Stark Ladders– de Hass‐van Alphen effect

1

Classical Electron DynamicsDrude model

Based on the free electron model, assume that an electron i lli i ith b bilit it ti f 1/

Drude model

experiences a collision with a probability per unit time of 1/. The probability of collision in any infinitesimal time interval dt is dt/ where is called the relaxation timeElectrons under external electric and magnetic fields obey interval dt is  dt/, where  is called the relaxation time.

dt

.vmv eEc

vB me

( ) (1 ) ( ) ( )dtp t dt p t F t dt

( ) ( )dp p t F tdt

The relaxation time describes the damping; without external fields, the velocity of electrons is

dt

/0

tv t v e 14 15~ 10 to 10 sec

2

In the presence of an electric field,v /tmB A Be

.vmv eE m

/tmB A Bee eE m

eA E Assume a solution of the form

/ ,tv t A Be

00v t v

A Em

Assume a solution of the form

/0

te ev t E v E em m

0

0ev E B

m

m m

If the density of mobile electrons is n, in response to      , h d

E

2the current density is  j nev 2

.ne Em

2

.ne Thus the electrical conductivity is  j E

3

m

Consider that an electron moves along the x axis in a uniform

Classical Hall Effect

Consider that an electron moves along the x axis in a uniform magnetic field       along the z axis and electric field       along the x axis. 

B

E

.v vmv eE e B m

c

In a plate‐shaped specimen, a transverse electric field is developed in the steady state because current can not flow out. 

4

.v vmv eE e B mc

ˆB Bz

v v If B=0In the steady state,

0 xmv 0.y xx

v veE e B mc

0 .j E

2

0ne

m 0 0.yx

y y

vvmv eE e B mc

eB After multiplying by  nem

m

2

x x c yne E nev nev

m

c mcm

0 x x c yE j j m

0 y c x yE j j 2ne E nev nev

0 x x c yj j

5

y yy c x yE nev nev

m

j E

j E

Conductivity and resistivity become 2nd rank tensors, i.e.

,j E .j E

1 BMagnetoresistance is

0 0

1

1

c

xx xy

.xy yxB

nec

B

10 0

1yx yy c

ceBmc

The Hall coefficient is defined as1 ,HR

nec

d di t f t i l t th d it fdepending on no parameters of materials except the density of carriers.

A measurement of the Hall coefficient determines the sign of charge carriers.

6

Semiclassical Electron Dynamics

Velocity of Bloch electronsVelocity of Bloch electrons

For free electrons,2 2

,2

kE mv k

2m

v k 1 E

1

Emv k

2v k

m k E

k

2

2 2

1 1m k

E

Are these equations valid for Bloch electrons?

The wave functions of Bloch electrons are ,ik rnk nkr e u r

2 2 .2 nk nkr r

m

E

which obeys 

7

2 ik rnke u r

ik r ik r

nk nkike u r e u r

ik r ik rnk nkik ike u r e u r

2 22ik r ik k

2ik r ik rnk nkike u r e u r

2iknke ik k u r

2

2 22ik k u r u r E 2

2 nk nkik k u r u rm

E

Under the action of weak static fields,       of Bloch electrons k

,slightly increases to .k k

The Hamiltonian is

2 22ˆ k k k k H

2 22k k i k k k k

m

H

2 2i k k k

8

2 2i k k k

2

ˆ ˆ 2 22k k k i k k k

m

H H

kTo the first 

order of  2m korder of

We now apply the perturbation method by using the perturbation Hamiltonian

21ˆ k k i H

using  the perturbation Hamiltonian 1 .k k k im H

The first‐order correction to the energy is 

2

1k nk nku r k k i u r

m E

ik rk ku r e r

m nk nk

2

ik r ik rnk nke r k i e r

mk

m ik r ik r ik r

nk nk nki e r e r rk e

ˆnk nk nkr k P r

m E

9

m

1 ˆ1k n

nkn kr

kP r

m

E

v

k mThis is the group velocity of the wave packet of Bloch electrons.

kdv v 1 E21 k E

Effective mass

kdvdt k t

v

1 nkvk

E

1 nk

tkk

k

E

2

2

1 nk kvk k

E

1v k M

k k

2

-12

1 nk

k k

M

E

M is called the effective mass tensor. k k

Electrons have negative effective mass are interpreted as “holes” with positive charge.

10

are interpreted as  holes  with positive charge.

The perturbation Hamiltonian is 1ˆ ˆ.k k Pm H

(2)ˆnk nk nk nkr k P r

m E E

2(2)

(0) (0)

ˆ ˆnk n k n k nk

nk

k P k P

EE E

(0) (0)nkn n nk n km

E E

2

-1 1 nkM

E 12

nk

k k

M

ˆ ˆ1 1 P P c c2 (0) (0)

1 1 nk n k n k nk

n n nk n k

P Pm m

E E

c.c.

The deviation of effective mass from m arises from the virtual transitions between energy bands.

11

gy

Semiclassical Electron Dynamics

Under electric and magnetic fields,                     the wave vector of & ,E B

g ,electrons obey .ek eE r B

c

& ,E B

c

l h l i k l i fi ld

In the following, we will prove this equation separately.

Bloch electrons in a weak electric field

Puzzle: Since the electrostatic potential is in a V r E r Puzzle: Since the electrostatic potential is                            in a 

constant E field,            grows linearly in space. One must abandon periodic boundary conditions.  

V r E r V r

One way to solve this puzzle is introducing a time‐dependent vector potential instead of V since the electric field isvector potential, instead of V, since the electric field is

1 AE V

12

E Vc t

To illustrate this trick, we use the following 1D geometry in which the vector potential is  .A cEt p .A cEt

2

The Hamiltonian is21ˆ ˆ ˆ ˆ( )

2eP A U R

m c

H

The eigenfunction and eigenenergy li itl ti d d t iare explicitly time‐dependent, i.e.,

21 ˆ ˆ ˆe

1 ˆ ˆ ˆ( ) , ,2 t

eP A U R x t x tm c

E

Assuming that the circumference is  L, the periodic conduction is

, , .x L t x t

13

21 ˆ ˆ ˆ( ) , ,

2 teP U R x t xA tt

E

We can simplify the Schrodinger by the following transformation  

2m c

, , ,i xx t e x t called the Houston function.

i xei A e rc

i xAc

e re i x i xe r i e r

0e Ac

eAhc

demanding

2P̂

The simplified equation is 

, .ik t xnkx t e u x ˆ ˆ( ) , , ,

2 tP U R x t x tm

E

14

Where did the effect of          field go?E

The periodic conduction                                                 gives  , ,x L t x t

/ ik ti A /i A L ik t L / .ik t xieAx cnke e u x

/ieAx cx t e x t AL

/ieA x L c ik t x Lnke e u x L

, , .x t e x t 2eAL k t L l

c

2eEt lk tL

A cEt

k eE The index         obeys classical equations of motion for an electron in an electric field.

k

15

Alternatively (HW 16.7), we can prove this equation of motion by considering the evolution of the Bloch wave functions through

1 ˆt i

H

2ˆˆ ˆ ˆ ˆ( )2P U R eE R

H

t i ( )

2m

?dt

dtThen we apply the translation operator to                .

?dt

† ik RRT e

† ik dt RRT dt e dt

?k dt

k eE (to the 1st order in dt)

16

Bloch oscillationsIn the semiclassical picture                      , many QM effects are k eE

because the energy of Bloch electrons           is a 

periodic function of        and electrons obey Fermi statistics.nkE

kretained 

If there were no damping, electrons would oscillate in timerather than travel, and metals would become insulators. 

2 cos .k t ka EFor example, the 1D tight‐binding model of a lattice constant agives

17

1rk

E

2 sinta ka 2 cos .k t ka E

In a uniform electric field E, k

k eE

/k eEt 2 sinta aeEtr

2 cost aeEtreE

Bloch oscillations for Cs atoms trapped in potentials created by standing waves f l li hof laser light. 

ben Dahan et al. PRL (1996) 

18

Wave packetThe concept of “particles” refers to wave packets. The dynamics of semiclassical electrons is involved with the evolution of wave packets. 

Recall that a “wave packet” in 1D can be described as 

ikxf dk k

ikxf x dk g k e

2k k 20 / 4ik x xf 0 ,k kg k e 0 / 4ik x xf x e e

If

~ 1k x O

f( ) can be strongl locali ed or broad depending pon thef(x) can be strongly localized or broad, depending upon the width of g(k). 

19

For Bloch electrons, we can define a wave packet                     centered in space at       and dominated by wave vector .ck

cr

c cr kW r

1

cc

In the presence of a vector potential      the wave vector is,A

/1 cc

c c c

ieA r ik rr

rkk k

ck

k

W r w e rN

20

1W r W r The wave packet must be normalized; hence

1c c c cr k r kW r W r

.rIn addition, the wave packet is expected to be centered at .cr, p p

,c kci k k

kk kkw w e

R

3 * ,k k ki d r u r u r

RIf ,c ckk kk ,

c c ck k kc

i d r u r u rk R

h then .c c c c cr k r kW r r W r r

*3 * . .

2c

c c c c

kck k k k

uL d r u k u c c

irik

R2 c irik

k eeE r B

21

ck ceE r Bc

12

c ck kc c

Ler B k kk k

E

k

k k

ui u

k

R

2cc

ccmck k

R

is called Berry curvature; Berry phase d

“Berry potential” 

Anomalous velocity  and  change sign as  ,k k

d h i h i l i h i i

k k R

ckL

is called Berry curvature;  Berry phase          d

and hence vanish in any crystal with inversion symmetry. The 2nd two terms can be neglected for weak       and  .E B

Limitations of semiclassical dynamics: 

The spatial ranges of and must be larger thanE B

The spatial ranges of      and       must be larger than atomic interspacing.Tunneling between bands should be avoided;       and       

E B

E B

fields can not be too large.For AC fields of frequency ,         can not be larger than the 

22

energy gap. 

Hamiltonian Dynamics Similar to classical dynamics, one 

P

LQ P H Lcan obtain the Hamiltonian from .ll

PQ

,l ll

Q PH L

The Hamiltonian .2k k

e B L eVmc

H E

is a constant of the motion.

If and V vanish, travels along contours on thek

L

If       and V vanish,      travels along contours on the energy surface        .

knkE

L

23

The 1st Brillouin zone of an fcc latticeFermi surface of Cu

1 1 12 2 2( , , )L 2 2 2( , , )L

24

Closed orbits areClosed orbits are contours on the Fermi surface for which isk

surface for which       is periodic in the repeated zone scheme.

k

Open orbits are those for which      continually k

increases.

Fermi surface of Cu

25

Quantization of  Semiclassical Dynamics

The wave packets          do not exactly obey the Schrodinger equation;  they, however, approximately follow

H

W

/i H,i W Wt

H / ...... .i tW e H

After some time t=T the dynamics of the wave packets leads toAfter some time t=T, the dynamics of the wave packets leads to

0 ,k k K

T 2 .j HT j

The formal quantization condition is

H 2 .ll l

dt P jP

H 2l l

ldQ P j

l ll

Q P H L l

ll l

l l

QP d

P P dt

H is a constant; 

often =1/2.

26

The quantization condition: 2l ll

dQ P j

ck

cr

The generalized coordinates Ql are        and        .    l

L R

The canonical momenta Pl are   

ep k AL and .kk

R p k Acr

and

A

integrating by parts2k

eAdc

kdk r j R

drdk kdk

dr k

2k

eAdk r dr j R

r k dk r

k c

27

Wannier‐Stark Ladders

For a system with a uniform electric field and no magnetic field, 

2dk r j R

O Berry phase 2kdk r j R O k k d R

Kdk r K r

O dk R

0

dk r K r

is defined to be time average of r .r 2 j

Ok dk R

2 jrK

28

de Hass‐van Alphen Effect

In 1930, de Hass and van Alphen discovered that magnetization , p gof Bi in a magnetic field oscillates as a function of magnetic field, as a consequence of the quantization of electrons’ closed orbits.

MAu

M

1/B

29

1 .2

A B r

To understand the de Hass‐van Alphen effect, we recall the quantization condition, and adopt 

2

2 .k

eAddk k r dr jc

R

O

c

2eAdt k r r j

12r A r B r

1 B

ek r Br r

2dt k r r jc

12 r r B

edt B k r B

cr r

2dt r r B

c

W i t bt iek We  again use                                to obtain      .ek r B

c

r

0 0ek t k r t r Bc

30

0 0B Bek t k r t r Bc

2 0 0e eB r t r rc c

B r t B

c c A B C A C B A B C

e r Bc

r

2 B kc kB e

0B B rr B

c B e

2edt r r B j 2

2dt r r B j

c

c B

T c B

0 2c Bdt k k

eB B

T

2c Bdk k

eB B

31

Because                                   the change in k is normal to the direction of  

,eck r B

.B

Thus            must be confined to  k t

.

the orbit defined by the intersection of the Fermi surface ith l l t

B

ˆ 2dk n k A

with a plane normal to .B

ˆ Bn

With we then have 2dk n k AA is the area in k‐space enclosed by the orbit .k t

Bn With              , we then have                                         .

22

c Bdk k jB B

2c jB

A2

jeB B

j

eBThe area of the orbital in k‐space is quantized.

32

Electron orbits are in the xy plane,zand occupy the intersection of the pyFermi surface with a set concentric “cylinders” which are quantized.

Consider the cross section of the Fermi sphere in the xz plane.

B

p pIf the Fermi sphere is of zero thickness, for a given j, two “circles” jin the xy plane satisfy the condition of two different values of B.F F i h i f fi iFor a Fermi sphere is of finite thickness, two “belts” satisfy the quantization conditionquantization condition.The width of the “belt” increases as electron orbits approach to lie along 

33

pp gan extremal point of the surface.

For a closed orbit on the Fermi surface, as B increases, the area enclosed by the electron orbit in k space also increases.

At finite temperatures, whenever electron orbits lie along anAt finite temperatures, whenever electron orbits lie along an extremal point of the surface, i.e.,                the density of state is maximal.

0zk

A

In other words, the electrons resonantly oscillate on the Fermi surface

34

Fermi surface.

The oscillations in magnetization result from changes in the density of states at the Fermi surface. 

One can accurately probe of the Fermi psurface by applying the magnetic field along diff di i

Other quantities such as specific heat and thermal conductivity

different directions.

Other quantities such as specific heat and thermal conductivity also exhibit oscillations with the same period in 1/B. 

A i t f th i t b d t b th F iA variety of other experiments can be used to probe the Fermi surfaces. In particularly, angle‐resolved photoemission spectroscopy is an very important method.

35

spectroscopy is an very important method. 

In the de Haas‐van Alphen oscillation of magnetization, large‐scale oscillations are due to extremal orbits around the thin neck, while the small‐scale ones are due to extremal orbits about the thick belly.

MAu

1/B 2c jeB

A

The magnetic field points 8.5° away from (111).

36

To further illustrate the quantization condition, we discuss 

Landau quantization

q ,electrons in a uniform magnetic field        along the z‐direction Choose the gauge

B

(0, ,0),A Bx

then  ˆ.B Bz

The Schrodinger equation becomes ( , , ) (0, ,0)x y zB Bx

22 2 2

2 2 .2

ieBx r rm x y c z

E

21

2e A r r

m i c

E

2m x y c z

Because the Hamiltonian is not involved with y and z explicitly,the wave function can be written as 

, , .y zi k y k zx y z e x

37

The equation for             is

222 1d x B

x

2

2

1 .2 2 y

d x eBm x k x xm dx mc m

E

This is no more than the Schrodinger equation for the 1D simple harmonic oscillator of cyclotron frequency  

centered on the point

y q y

,ceBmc

0

1 y

c

kx

m

.y

c keB

The energy thus is

c

12 ,cj E

2 212 .

2z

ckjm

Eand

The energy of the electron state is the sum of a translational energy along the magnetic field, together with the quantized energy of the cyclotron motion in the plane perpendicular to the field. The discrete energies are called Landau levels.

38

The magnetic field just simply drives the electron around with change of energy. The oscillation period is   2 2 mcT

.cc

TeB

Since is confined to the orbit perpendicular to k t

,B

Since           is confined to the orbit perpendicular to 

,ek v B dk e Bv

1 dvdk E

k t ,B

,c Bv

dt c dk

2c dk2c dk c dkdk c dkd dkeB dt

Ec dk c dkdkdt

eB v eB d

E

dkdk

2

2 m AE

2c dd

eB T

AE

2 m

2

1 eBj A 12c j A

ceB T

39

2 2j

mc m A 22 j

eB A