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Lecture 18 Slide 1

EE 5303

Electromagnetic Analysis Using Finite‐Difference Time‐Domain

Lecture #18

Metals and Alternative Grid Schemes These notes may contain copyrighted material obtained under fair use rules.  Distribution of these materials is strictly prohibited  

Lecture Outline

Lecture 18 Slide 2

• Review of Selected Topics

– PML Placement

– Two‐dimensional TF/SF

– Computing reflectance and transmittance

• Incorporating metals into FDTD

• Alternative grids

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Lecture 18 Slide 3

Review of PML Placement

Lecture 18 Slide 4

PML Placement

PML

PML

PML

PML

It is best practice to place the PML outside any evanescent field.  This is best assessed by visualizing the fields during a simulation.

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Lecture 18 Slide 5

Review of Two‐Dimensional Total‐Field/Scattered‐Field

Lecture 18 Slide 6

The Total‐Field/Scattered‐Field Framework

Problem Points!

total‐field

scattered‐field

2D FDTD Grid

srcjsrc 1j

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4

We must subtract the source from         to make it look like a scattered‐field quantity.

Lecture 18 Slide 7

Correction to Finite‐Difference Equations at the Problem Cells (1 of 2)

On the scattered‐field side of the TF/SF interface, the finite‐difference equation contains a term from the total‐field side.  Due to the staggered nature of the Yee grid, this only occurs in the update equation for a magnetic field.  In fact, this only occurs in the computation of the curl of E used in the H field update equations.

src

src

src , 1

, 1

,i j i j

i j zE tx t

z tE

CE

y

This is an equation in the scattered‐field, butis a total‐field quantity.

srcjzE

srcjzE

src

src

srcsrc , 1

, 1

s c, ,r i j

z

i j

zi j tEx

t

t

i j

z tEE E

Cy

src src

s crc sr,sr

1

c

, ,

, 1 1i j i j

i j z zE t ti j

z tx t

E EC

y yE

standard curl equation This is a correction term that can be implemented after calculating the curl to inject a source.

Lecture 18 Slide 8

Correction to Finite‐Difference Equations at the Problem Cells (2 of 2)

On the total‐field side of the TF/SF interface, the finite‐difference equation contains a term from the scattered‐field side.  Due to the staggered nature of the Yee grid, this only occurs in the update equation for an D field. In fact, this only occurs in the computation of the curl of H used in the D field update equations.

src srcsrc

s

src

2rc 2 2 2

2

, 1, ,

,

, 1t t t t

t

i j i j i jy yi j xt t tH

i j

z

x t

t

H H HC

x

H

y

This is an equation in the scattered‐field, butis a total‐field quantity.

src 1jxH

We must add the source to            to make it look like a total‐field quantity.

src 1jxH

src src src

src 22 2

src

2 2

2

src, 1, 1, s,

,

, rc1tt

t

tt t

i j i j i j

xy y t

i ji

i j t tHz t

x t x t

jHH H

x

HC

y

H

src src

src

2

src src

src 2 2 2 2

2

, 1, , ,

, 1src

1

, 1t

t t t t

t

i j

i j i j i j i jy yi j x xt t t t

x t

Hz t

H H H HC

x y yH

standard update equation This is a correction term that can be implemented after calculating the curl to inject a source.

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Lecture 18 Slide 9

Calculation of the Source Functions (EzMode)

We calculate the electric field as

src,src i j

z tE g t

We calculate the magnetic field as

src

2

, 1src

02 2t

ri j

rx t

n ttH

yg

c

Half time step difference

Delay through one half of a grid cell

Amplitude due to Maxwell’s equations

The index i indicates the TF/SF correction is incorporated across the entire row of the grid.

Visualize Fields

Update Ez

Inject TF/SF Source into curl of E

Lecture 18 Slide 10

TF/SF Block Diagram for EzMode

Compute Curl of E

Update H Integrations

Update H Field

Update Dz

Main loop…

Compute Curl of H

Update D Integrations

Inject TF/SF Source into curl of H

Finished!yes

Done?

no

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Lecture 18 Slide 11

Review of Computing Reflectance and Transmittance

Lecture 18 Slide 12

Complex Wave Vectors

Purely Real k Purely Imaginary k Complex k

•Uniform amplitude•Oscillations move energy• Considered to be a propagating wave

•Decaying amplitude•Oscillations move energy• Considered to be a propagating wave (not evanescent)

•Decaying amplitude•No oscillations, no flow of energy• Considered to be evanescent

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Lecture 18 Slide 13

Evanescent Fields in 2D Simulations

1 2

No critical angle

n n 1 2

1 C

n n

1 2

1 C

n n

Lecture 18 Slide 14

Fields in Periodic Structures

Waves in periodic structures take on the same periodicity as their host.

k

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Lecture 18 Slide 15

The Plane Wave Spectrum (1 of 2)

We rearranged terms and saw that a periodic field can also be thought of as an infinite sum of plane waves at different angles.  This is the “plane wave spectrum” of a field.

, x yj k m x k m y

m

E x y S m e

Lecture 18 Slide 16

The Plane Wave Spectrum (2 of 2)

, jk m r

m

E x y S m e

,inc

2 20 2

ˆ ˆ

2

x y

x xx

y x

k m k m x k m y

mk m k

k m k n k m

The plane wave spectrum can be calculated as follows

ky is imaginary.

Each wave must be separately phase matched into the medium with refractive index n2.

inck

2n

1n

ky is real.   ky is imaginary.  

0xk 1xk 2xk 3xk 4xk 5xk 1xk 2xk 3xk 4xk 5xk

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Lecture 18 Slide 17

Power Flow From Gratings

1. Power flow is in the direction of the Poynting vector.

2. It is only the z‐component that flows power into and out of the grating.

3. Diffraction efficiency is defined as the fraction of power diffracted into a particular mode.

4. The diffraction efficiencies of the spatial harmonics are

5. Conservation of power requires

2*1 1Re Re

2 2E H k k E

2

1Re

2z

z

Ek

k

,inc

DE z

z

mm

2 2

ref trn,ref ,trn ,refref trn2 2

,inc ,inc ,trninc inc

DE Re DE Rez z r

z z r

S m S mk m k mm m

k kS S

ref trn

1 materials have loss

DE DE 1 materials have no loss

1 materials have gain m m

m m

Lecture 18 Slide 18

Calculating Transmittance and Reflectance

frequency 1frequency 2frequency 3frequency 4

frequency NFREQ

frequency 1frequency 2frequency 3frequency 4

frequency NFREQ

FDTD Simulation

Steady‐State Fields

Spatial Harmonics

Diffraction Efficiencies

Reflectance and 

Transmittance

Fourier Transform

t f

FFT

, ,x yi j k m k m

2

ref ,refref 2

,incinc

2

trn ,trn ,reftrn 2

,inc ,trninc

DE Re

DE Re

z

z

z r

z r

S m k mm

kS

S m k mm

kS

ref

trn

DE ,

DE ,x

x

N

N

R f m f

T f m f

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Lecture 18 Slide 19

Procedure for FDTD1. Simulate the device using FDTD and calculate the steady‐state field at the reflection and 

transmission record planes.

ref trn src, , , and E x f E x f E f

2. Calculate the incident wave vector:  ,inc 0 incyk k n

3. Calculate periodic expansion of the transverse wave vector

2 floor 2 , , 1,0,1, floor 2x x x xk m m L m N N 4. Calculate longitudinal wave vector components in the reflected and transmitted regions.

2 22 2,ref 0 ref ,trn 0 trn y x y xk m k n k m k m k n k m

5. Normalize the steady‐state fields to the source

ref ref src trn trn srcˆ ˆ, , , ,E x f E x f E f E x f E x f E f

6. Calculate the complex amplitudes of the spatial harmonics

ref ref trn trnˆ ˆ, FFT , , FFT ,S m f E x f S m f E x f

7. Calculate the diffraction efficiencies of the spatial harmonics

8. Calculate reflectance, transmittance, and conservation of energy.

ref trnDE , DE , m m

R f m f T f m f C f R f T f

frequency

2 2,ref ,trn refref ref trn trn

,inc ,inc trn

DE , , Re DE , , Rey y

y y

k m k mm f S m f m f S m f

k k

Lecture 18 Slide 20

Incorporating Metals into FDTD

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Lecture 18 Slide 21

What are Metals?

Metals are materials with very high conductivity and usually very negative dielectric constant.  The electric field approaches zero inside a metal.

Material Conductivity  (S/m)

Glass 10‐12

Carbon 3×104

Mercury 106

Lead 3×106

Tin 9×106

Iron 1.03×107

Nickel 1.45×107

Aluminum 3.96×107

Gold 4.1×107

Copper 5.76×107

Silver 6.1×107

Increa

sing Conductivity

Methods for Incorporating Metals

• Extreme Dielectric Constant– Easiest because no modification to the code is necessary, but it does not account for loss.

• Perfect Electric Conductor– Requires minimal modification to the code, but does not account for loss.

• – Requires greater modification to the formulation of the update equations.  It can account for loss, but cannot account for frequency dependence.

• Lorentz‐Drude Model– Requires a much more complicated formulation and implementation, but it can account for loss and frequency dependence.

Lecture 18 Slide 22

Easier Im

plementation 

More Accu

rate Sim

ulatio

n

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Lecture 18 Slide 23

Method #1:  Extreme Dielectric Constant

Recall the update equations for the electric field:

, , , , , ,

, , ,

1 1 1

i j i j i j i j i j i j

x x y y z zi j i j i jt t t t t t t t t t t txx zzyy

E D E D E D

In metals, the electric field approaches zero.  We can force this to happen by choosing dielectric constants that are very large (i.e. 103 or higher).

,,

,,

,,

As , 0

As , 0

As , 0

i ji j

xx x t t

i ji j

yy y t t

i ji j

zz z t t

E

E

E

Lecture 18 Slide 24

Method #2:  Perfect Electric Conductor

Recall the update equations for the electric fields:

, , , , , ,,, ,

1 1 1 i j i j i j i j i j i ji ji j i j

x Ex x y Ey y z Ez zt t t t t t t t t t t tE m D E m D E m D

We can force the fields to zero by setting the update coefficients to 0 everywhere there is a metal and 1 everywhere that there is not.

Define the placement of metals using three arrays:

, ,, , , ,PEC PEC PEC

i j ki j k i j k

x y z

We modify the update coefficients as follows:

, , , , , ,

1 1

, , , , , ,

1 1

, , , , , ,

1 1

PEC

PEC

PEC

i j k i j k i j k

Ex x Ex

i j k i j k i j k

Ey y Ey

i j k i j k i j k

Ez z Ez

m m

m m

m m

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Lecture 18 Slide 25

Method #3:  Conductivity Recall from Lecture 10 that we can incorporate material conductivity into Maxwell’s equations as follows:

H E

E H Et t

We incorporate metals by retaining this conductivity term, deriving new update equations, and revising the FDTD algorithm.

Note, you will end up creating three new materials arrays:

, , xx yy zz

Lecture 18 Slide 26

Method #4:  Lorentz‐Drude Model

Recall from Lecture 10 that we can write the constitutive relation as

0D E P

22 2

1 0,

Mm

pm m m

fP E

j

We can implement this in the time‐domain as follows

2 20,m m m m m m p

m m

J t J t P t f E tt

J t P tt

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Lecture 18 Slide 27

Placing Metals on a 2D Grid

Ez Mode

xy

zH yExE

Hz Mode

Bad placement of metals Good placement of metals

For the Ezmode, the electric field is always tangential to metal interfaces and few problems arise when modeling metallic structures.

Hz ModeFor the Hzmode, the electric field can be polarized perpendicular to metal interfaces.  This is problematic and it is best to place metals with the outermost fields being tangential to the interfaces.

Lecture 18 Slide 28

Alternative Grids

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Lecture 18 Slide 29

Drawbacks of Uniform Grids

Uniform grids are the easiest to implement, but do not conform well to arbitrary structures and exhibit high anisotropic dispersion. 

Anisotropic Dispersion (see Lecture 10) Staircase Approximation (see Lecture 18)

Lecture 18 Slide 30

Hexagonal Grids

Hexagonal grids are good for minimizing anisotropic dispersion suffered on Cartesian grids.  This is very useful when extracting phase information.

See Text, pp. 101‐103.

Yee‐FDTD

Hex‐FDTD

10x

Phase Velocity as a Function of Propagation Angle

57°0° 115° 172° 229° 286° 344°

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Lecture 18 Slide 31

Nonuniform Orthogonal Grids (1 of 2)

Nonuniform orthogonal grids are still relatively simple to implement and provide some ability to refine the grid at localized regions.

See Text, pp. 464‐471.

Lecture 18 Slide 32

Nonuniform Orthogonal Grids (2 of 2)

Uniform Grid Simulation• 80×110×16 cells• 140,800 cells

Nonuniform Grid Simulation• 64×76×16 cells• 77,824 cells

Conclusion: Roughly 50% memory and time savings.

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Lecture 18 Slide 33

Curvilinear Coordinates

Maxwell’s equations can be transformed from curvilinear coordinates to Cartesian coordinates to conform to curved boundaries of a device.

M. Fusco, “FDTD Algorithm in Curvilinear Coordinates,” IEEE Trans. Ant. and Prop.,  vol. 38, no. 1, pp. 76‐89, 1990.See Text, pp. 484‐492.

Lecture 18 Slide 34

Structured Nonorthogonal Grids

This is a particularly powerful approach for simulating periodic structures with oblique symmetries.

M. Fusco, “FDTD Algorithm in Curvilinear Coordinates,” IEEE Trans. Ant. and Prop.,  vol. 38, no. 1, pp. 76‐89, 1990.

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Lecture 18 Slide 35

Irregular Nonorthogonal Unstructured Grids

Unstructured grids are more tedious to implement, but can conform to highly complex shapes while maintaining good cell aspect ratios and global uniformity.

ln x

P. Harms, J. Lee, R. Mittra, “A Study of the Nonorthogonal FDTD Method Versus the Conventional FDTD Technique for Computing Resonant Frequencies of Cylindrical Cavities,” IEEE Trans. Microwave Theory and Techniq., vol. 40, no. 4, pp. 741‐746 , 1992.

Comparison of convergence rates

Lecture 18 Slide 36

Bodies of Revolution (Cylindrical Symmetry)

Three‐dimensional devices with cylindrical symmetry can be very efficiently modeled using cylindrical coordinates.

even odd

0

even odd

0

, , , cos , sin

, , , cos , sin

m

m

E e m e m

H h m h m

Devices with cylindrical symmetry have fields that are periodic around their axis.  Therefore, the fields can be expanded into a Fourier series in .

Due to a singularity at r=0, update equations for fields on the z axis are derived differently.

See Text, Chapter 12

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Lecture 18 Slide 37

Some Devices with Cylindrical Symmetry

Bent Waveguides Dipole AntennasCylindrical Waveguides

Conical Horn Antenna

Focusing Antennas

Diffractive Lenses