lecture notes - eeng 32151 communication systems
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R e f e r e n c e s
T h e s e n o t e s a r e n o t m e a n t t o b e c o m p r e h e n s i v e . F o u r i e r A n a l y s i s i s a t o p i c w h e r e
a g o o d b o o k w i t h d e c e n t d i a g r a m s a n d e x a m p l e s c a n m a k e a d i e r e n c e . S o | d o
r e a d p r o m i s c u o u s l y .
T h i s l i s t w i l l b e u p d a t e d o n t h e w e b s i t e w i t h c o m m e n t s .
K r e y s z i g , A d v a n c e d E n g i n e e r i n g M a t h e m a t i c s 6 t h e d
, W i l e y
R i l e y , H o b s o n a n d B e n c e , M a t h e m a t i c a l M e t h o d s f o r t h e P h y s i c s a n d E n g i -
n e e r i n g , C U P .
B a h e r A n a l o g a n d D i g i t a l S i g n a l P r o c e s s i n g
W i l e y , 1 9 9 1 .
D e n b i g h , S y s t e m A n a l y s i s a n d S i g n a l P r o c e s s i n g : w i t h e m p h a s i s o n t h e u s e
o f M A T L A B , A d d i s o n - W e s l e y , 1 9 9 8 .
J a m e s , A d v a n c e d M o d e r n E n g i n e e r i n g M a t h e m a t i c s
A d d i s o n - W e s l e y , 1 9 9 3 .
O p p e n h e i m , W i l l s k y a n d Y o u n g , S i g n a l s a n d S y s t e m s
, P r e n t i c e - H a l l , 1 9 8 4 .
N e w l a n d I n t r o d u c t i o n t o R a n d o m V i b r a t i o n s , S p e c t r a l a n d W a v e l e t A n a l y s i s
,
L o n g m a n , 1 9 9 3 .
P a p o u l i s P r o b a b i l i t y , R a n d o m V a r i a b l e s a n d S t o c h a s t i c P r o c e s s e s
M c G r a w -
H i l l , 1 9 9 1 .
C o u r s e W W W P a g e s
P d f c o p i e s o f t h e s e n o t e s ( i n c l u d i n g l a r g e r p r i n t v e r s i o n s ) , p d f c o p i e s o f t h e l e c t u r e
s l i d e s , t h e t u t o r i a l s h e e t s , F A Q s e t c w i l l b e a c c e s s i b l e f r o m
w w w . r o b o t s . o x . a c . u k / $ d w m / C o u r s e s / 2 T F
J u s t t h e n o t e s a n d t h e t u t e s h e e t s g e t p u t o n w e b l e a r n .
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T o p i c 1
F r o m S i g n a l s t o C o m p l e x F o u r i e r S e r i e s
1 . 1 L i n e a r s y s t e m s a n d f r e q u e n c y
B y t h i s s t a g e , y o u w i l l h a v e r e a l i z e d h o w i m p o r t a n t l i n e a r s y s t e m s
a n d t h e i r a n a l y s i s
a r e t o e n g i n e e r s . I n a l i n e a r s y s t e m | o n e d e s c r i b e d b y a l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n
o f s o m e o r d e r | t h e r e s p o n s e y ( t ) o c c u r s a t t h e s a m e f r e q u e n c y a s t h e i n p u t x ( t ) ,
a n d i f t h e i n p u t ' s a m p l i t u d e i s c h a n g e d b y s o m e f a c t o r , t h e o u t p u t ' s a m p l i t u d e
w i l l c h a n g e b y t h a t s a m e f a c t o r . W h e n f a c e d w i t h a n o n - l i n e a r s y s t e m , e n g i n e e r s
o f t e n l i n e a r i z e t h e s y s t e m
b y c o n s i d e r i n g i n c r e m e n t a l i n p u t s a n d o u t p u t s t h a t o c c u r
a r o u n d a x e d o p e r a t i n g p o i n t . T h e u s e o f s m a l l s i g n a l e q u i v a l e n t s i n t r a n s i s t o r
c i r c u i t s i s a n o b v i o u s e x a m p l e .
1 . 1 . 1 Y o u k n o w a b o u t F r e q u e n c y R e s p o n s e
Y o u w i l l h a v e a n u n d e r s t a n d i n g t o o o f t h e i m p o r t a n c e o f t h e f r e q u e n c y r e s p o n s e o f
a s y s t e m , b e i t m e c h a n i c a l , e l e c t r i c a l , o r w h a t e v e r . T h a t r e s p o n s e i s d e s c r i b e d b y
t h et r a n s f e r f u n c t i o n
H ( ! ) , w h i c h m a y b e c o m p l e x , r e p r e s e n t i n g b o t h t h e c h a n g e
i n p h a s e a n d a m p l i t u d e b e t w e e n i n p u t a n d o u t p u t . S t r i c t l y s p e a k i n g , t h e t r a n s f e r
f u n c t i o n r e l a t e s i n p u t s a n d o u t p u t s i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n
Y ( ! ) = H ( ! ) X ( ! ) ;
b u t s o f a r y o u h a v e t h o u g h t o f X ( ! ) a n d Y ( ! ) a s p h a s o r r e p r e s e n t a t i o n s o f h a r -
m o n i c i n p u t a n d o u t p u t a t a s i n g l e f r e q u e n c y . A t a s i n g l e f r e q u e n c y , t h e t e m p o r a l
i n p u t a n d o u t p u t a r e r e l a t e d t o t h e f r e q u e n c y r e p r e s e n t a t i o n s b y
x ( t ) = R e
X ( ! ) e
i ! t
; y ( t ) = R e
Y ( ! ) e
i ! t
= R e
H ( ! ) X ( ! ) e
i ! t
A s a c o n c r e t e e x a m p l e , c o n s i d e r a s i n p u t t h e v o l t a g e x ( t ) = V
0
c o s ! t a p p l i e d t o
a n i n d u c t o r L i n s e r i e s w i t h a r e s i s t o r R , a n d a s o u t p u t t h e v o l t a g e y ( t ) a c r o s s R .
1
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T h e i n p u t p h a s o r , t r a n s f e r f u n c t i o n a n d o u t p u t p h a s o r a r e , r e s p e c t i v e l y
X ( ! ) = V
0
; H ( ! ) =
R
R + j ! L
; Y ( ! ) =
V
0
R
R + j ! L
;
N o t i c e t h a t a l t h o u g h w e c a n w r i t e Y ( ! ) = H ( ! ) X ( ! ) t h e r e s e e m s t o b e n o
e q u i v a l e n t l y c r i s p o p e r a t i o n i n v o l v i n g y ( t ) a n d x ( t ) .
1 . 1 . 2 Y o u k n o w a b o u t S u p e r p o s i t i o n
L i n e a r s y s t e m s o b e y t h e p r i n c i p l e o f l i n e a r s u p e r p o s i t i o n
. I t s a y s t h a t i f t h e i n p u t
i s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f s i g n a l s , t h e o u t p u t i s t h e s a m e l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e
i n d i v i d u a l o u t p u t s
x ( t ) =
1
x
1
( t ) +
2
x
2
( t ) + : : : A y ( t ) =
1
y
1
( t ) +
2
y
2
( t ) + : : : :
I f t h e x
1
( t ) e t c a r e h a r m o n i c s i g n a l s a t f r e q u e n c i e s !
1
e t c , t h e o u t p u t m u s t b e
y ( t ) =
1
R e
H ( !
1
) X ( !
1
) e
i !
1
t
+
2
R e
H ( !
2
) X ( !
2
) e
i !
2
t
+ : : : :
A r a t h e r m o r e e l e g a n t w a y o f t h i n k i n g a b o u t t h i s i s t o w r i t e t h e d i s c r e t e f r e q u e n c y
s p e c t r u m o f x ( t ) a s
X ( ! ) =
1
X ( !
1
) +
2
X ( !
2
) +
t h e n
Y ( ! ) =
1
Y ( !
1
) +
2
Y ( !
2
) + =
1
H ( !
1
) X ( !
1
) +
2
H ( !
2
) X ( !
2
) + :
1 . 1 . 3 Y o u k n o w a b o u t F o u r i e r S e r i e s
T h i s i s r e m a r k a b l e , b u t w o u l d b e u t t e r l y a r c a n e w e r e i t n o t f o r a n a m a z i n g p r o p e r t y
o f ( m o s t ) p e r i o d i c s i g n a l s , v i z :
A p e r i o d i c s i g n a l o f a n g u l a r f r e q u e n c y !
0
c a n
1
b e r e p r e s e n t e d a s t h e s u m
o f a s e t o f h a r m o n i c s i g n a l s a t f r e q u e n c i e s !
0
, 2 !
0
, 3 !
0
, a n d s o o n .
T h e s e s u m s o f h a r m o n i c w a v e s a r e F o u r i e r S e r i e s
. F o r e x a m p l e , t h e F o u r i e r s e r i e s
o f a u n i t s q u a r e w a v e w i t h a z e r o a t t = 0 a n d p e r i o d T = 2 = !
0
i s
f ( t ) =
4
s i n !
0
t +
1
3
s i n 3 !
0
t +
1
5
s i n 5 !
0
t +
=
4
n o d d
1
n
s i n n !
0
t :
N o w , a r m e d w i t h a s y s t e m ' s t r a n s f e r f u n c t i o n H ( ! ) , t h e p r i n c i p l e o f l i n e a r s u -
p e r p o s i t i o n , a n d t h i s a n d s i m i l a r F o u r i e r S e r i e s , y o u c a n w o r k o u t t h e o u t p u t o f
t h e s y s t e m c o r r e s p o n d i n g t o t h e s q u a r e w a v e , o r a n y o t h e r p e r i o d i c i n p u t . T h i s i s
i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 1 . 1 .
1
P r o v i d e d t h e \ D i r i c h l e t c o n d i t i o n s " a r e s a t i s e d . S e e l a t e r .
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H ( )
2(H )
(H 3 )
Fourier
Series
( )
2( )
( 3 )
X
X
X
( )
2( )
( 3 )
Y
Y
Y
F i g u r e 1 . 1 : T h e F o u r i e r S e r i e s , t h e p r i n c i p l e o f l i n e a r s u p e r p o s i t i o n , a n d t h e t r a n s f e r f u n c t i o n , a l l o w
o n e t o c o m p u t e t h e o u t p u t f o r a n y p e r i o d i c i n p u t .
1 . 2 T h e g a p i n o u r k n o w l e d g e
U n f o r t u n a t e l y , n o t a l l i n p u t s a r e p e r i o d i c . C a n F o u r i e r a n a l y s i s h e l p u s ? W e l l , i f
t h e s i g n a l x ( t ) i s o f n i t e d u r a t i o n w e m i g h t m a k e i t p e r i o d i c b y \ p r e t e n d i n g " i t
r e p e a t s . H o w e v e r , t h i s d o e s n o t h e l p w i t h g e n e r a l s i g n a l s o f i n n i t e d u r a t i o n .
A n o t h e r w a y o f p e r c e i v i n g t h e g a p i n o u t k n o w l e d g e i s t o r e a l i z e t h a t w e l l - b e h a v e d
p e r i o d i c f u n c t i o n s g i v e r i s e o n l y t o d i s c r e t e f r e q u e n c y s p e c t r a . F o r e x a m p l e ,
t h e u n i t s q u a r e w a v e ( F i g u r e 1 . 2 ( a ) ) h a s t h e f r e q u e n c y s p e c t r u m s h o w n i n F i g -
u r e 1 . 2 ( b ) , w h e r e t h e c o m p o n e n t s a r e i n t h e r a t i o 1 : ( 1 = 3 ) : ( 1 = 5 ) : ( 1 = 7 ) : : : : .
H o w e v e r , i n s t i n c t t e l l s u s t h a t t h e r e m u s t b e s i g n a l s t h a t h a v e a c o n t i n u o u s f r e -
q u e n c y s p e c t r u m a s s k e t c h e d i n F i g u r e 1 . 2 ( c ) . N o t h i n g w e k n o w y e t
a b o u t F o u r i e r
a n a l y s i s w o u l d a l l o w t h e a n a l y s i s o f a c o n t i n u o u s s p e c t r u m .
T= 2 /0
f(t) F( )+1
+1/5
0 03 5 0
+1/3
F( )
( a ) ( b ) ( c )
F i g u r e 1 . 2 : A p e r i o d i c f u n c t i o n ( a ) g i v e s a d i s c r e t e f r e q u e n c y s p e c t r u m ( b ) . ( c ) A c o n t i n u o u s
f r e q u e n c y s p e c t r u m c a n n o t b e d e r i v e d f r o m a p e r i o d i c f u n c t i o n .
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1 . 3 F o u r i e r T r a n s f o r m s
W e s h a l l s e e t h a t F o u r i e r t r a n s f o r m s
p r o v i d e a m e t h o d o f t r a n s f o r m i n g i n n i t e
d u r a t i o n s i g n a l s , b o t h n o n - p e r i o d i c a n d p e r i o d i c , f r o m t h e t i m e d o m a i n i n t o t h e
c o n t i n u o u s f r e q u e n c y d o m a i n .
I n f a c t , t h e y p r o v i d e a n e n t i r e l a n g u a g e w i t h w h i c h t o w o r k a n d t h i n k i n t h e
f r e q u e n c y d o m a i n . T h e l a n g u a g e i n v o l v e s a d e a l o f n e w v o c a b u l a r y a n d s e v e r a l
n e w m a t h e m a t i c a l t e c h n i q u e s , l i k e c o n v o l u t i o n
,c o r r e l a t i o n
,m o d u l a t i o n
,s a m p l i n g
,
s p e c t r a l d e n s i t y , -
f u n c t i o n s a n d s o o n .
M o s t o f t h e s e t e c h n i q u e s d e p e n d a t t h e l o w e s t l e v e l o n i n t e g r a t i o n . T h e i n t e g r a l s
c a n l o o k d a u n t i n g , b u t i t i s i m p o r t a n t t o r i s e u p o n t o t h e n e x t l e v e l | s o t h a t
y o u c a n s a y \ a s i g n a l ' s p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y i s t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f i t s a u t o -
c o r r e l a t i o n " . S u c c e s s w i l l c o m e i f y o u p r a c t i c e t h e m a t h e m a t i c s , b u t a l s o p r a c t i c e
x i n g t h e c o n c e p t s i n y o u r h e a d b y u s i n g s i m p l e p h y s i c a l e x a m p l e s .
1 . 4 J o s e p h F o u r i e r
I f a t a n y p o i n t y o u b e c o m e r e a l l y c r o s s , j u s t r e m e m b e r t h a t F o u r i e r s e e m s a r e -
a l l y j o l l y c h a p . H e h a d a n i n t e r e s t i n g l i f e n o t o n l y i n m a t h e m a t i c s b u t i n p o l i -
t i c s i n F r a n c e d u r i n g N a p o l e o n ' s t i m e . R e a d h i s b i o g r a p h y ( a n d t h o s e o f m a n y
o t h e r m a t h e m a t i c i a n s ) a t t h e w e b s i t e m a i n t a i n e d b y t h e D e p a r t m e n t o f M a t h s
a n d C o m p u t e r S c i e n c e a t S t A n d r e w ' s U n i v e r s i t y . F o l l o w t h e l i n k s f r o m w w w -
h i s t o r y . m c s . s t - a n d . a c . u k / $ h i s t o r y /
1 . 5 S i g n a l s
Y o u w i l l h a v e n o t i c e d t h a t t h e e m p h a s i s o f o u r i n t r o d u c t o r y d i s c u s s i o n d r i f t e d f r o m
s y s t e m s , a n d t o w a r d s
s i g n a l s . I n d e e d , t h i s c o u r s e c o u l d b e t i t l e d \ A n i n t r o d u c t i o n
t o a n a l o g u e s i g n a l p r o c e s s i n g " . L e t u s s t a r t b y d e n i n g v a r i o u s s i g n a l t y p e s .
A s i g n a l m i g h t b e a f u n c t i o n o f o n e o r o f s e v e r a l v a r i a b l e s . S p a c e a n d t i m e a r e v e r y
c o m m o n v a r i a b l e s , b u t h e r e w e w i l l t e n d t o s t i c k t o o n e v a r i a b l e , a n d c h o o s e t i m e
t m o r e o f t e n t h a n n o t . A g a i n m o r e o f t e n t h a n n o t , w e w i l l t h i n k a b o u t e l e c t r i c a l
s i g n a l s | b u t d o r e m e m b e r t h a t t h e v a r i a t i o n i n t e m p e r a t u r e d u r i n g t h e d a y i s
j u s t a s m u c h a s i g n a l a s t h e v o l t a g e o u t p u t o f a t h e r m o c o u p l e s e n s i n g i t .
A n A n a l o g u e s i g n a l i s o n e w h o s e a m p l i t u d e c o v e r s a c o n t i n u o u s r a n g e . I t m a y b e
b o u n d e d ( e . g . 0 5 V ) b u t i t c a n j u s t a s e a s i l y t a k e t h e v a l u e 2 : 0 5 7 2 9 4 1 6 7 5 9 7 5 V
a s 2 : 0 5 7 2 9 4 1 6 7 5 9 7 4 V , a n d i n d e e d a n y t h i n g b e t w e e n !
A c o n t i n u o u s - t i m e a n a l o g u e s i g n a l i s o n e t h a t h a s a v a l u e f o r a c o n t i n u o u s s w e e p
o f v a l u e s o f i t s p a r a m e t e r , t . S o m e e x a m p l e s a r e s h o w n i n F i g u r e 1 . 4 . N o t i c e t h e
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F i g u r e 1 . 3 : J e a n - B a p t i s t e J o s e p h F o u r i e r 1 7 6 8 - 1 8 3 0 .
v a l u e c a n b e z e r o , b u t i t i s d e n e d a s z e r o ; a n d n o t i c e t o o t h a t a c o n t i n u o u s - t i m e
s i g n a l d o e s n o t h a v e t o b e a c o n t i n o u s f u n c t i o n .
f(t) f(t) f(t)
F i g u r e 1 . 4 : E x a m p l e s o f c o n t i n u o u s - t i m e a n a l o g u e s i g n a l s .
A d i s c r e t e - t i m e a n a l o g u e s i g n a l i s o n e t h a t h a s a n a n a l o g u e v a l u e a t c e r t a i n
t i m e s o n l y . T y p i c a l l y t h e s e w i l l b e a t r e g u l a r i n t e r v a l s , a r i s i n g f r o m r e g u l a r s a m p l i n g .
E x a m p l e s a r e s h o w n i n F i g u r e 1 . 5 . N o t e t h a t r a t h e r t h a n f ( t ) , t h i s t y p e o f s i g n a l
i s l a b e l l e d f ( n T ) , w h e r e n i s a n i n t e g e r , a n d T i s t h e s a m p l i n g i n t e r v a l .
A d i g i t a l s i g n a l i s o n e t h a t i s b y d e n i t i o n s a m p l e d , b u t w h o s e a m p l i t u d e c a n
o n l y t a k e o n e o f a d i s c r e t e s e t o f v a l u e s r e p r e s e n t e d b y s o m e b i n a r y c o d i n g
s c h e m e . S u p p o s e w e u s e d 4 b i t s . T h i s c o u l d r e p r e s e n t f 0 ; 1 ; : : : ; 1 5 g V , o r
f 0 : 2 ; 0 : 1 ; 0 : 0 ; : : : ; 1 : 3 g V , o r f 0 ; 1 ; 4 ; 9 ; : : : ; 2 2 5 g V ; b u t , u s i n g t h e r s t e x a m -
p l e , w e c a n n o t p r o p e r l y r e p r e s e n t a n y v a l u e b e t w e e n 0 a n d 1 V . I n t h i s c o u r s e w e
a r e n o t c o n c e r n e d w i t h d i g i t a l s i g n a l s , a n d c o n s i d e r o n l y a n a l o g u e , c o n t i n u o u s - t i m e
a n d d i s c r e t e - t i m e .
-
7/27/2019 Lecture Notes - EENG 32151 Communication Systems
8/23
1 / 6
T
Sampling Periodf(t)
T
Sampling Periodf(nT)
F i g u r e 1 . 5 : A c o n t i n u o u s t i m e s i g n a l f ( t ) s a m p l e d a t i n t e r v a l s o f T t o g e n e r a l a d i s c r e t e - t i m e
s i g n a l f ( n T ) .
A c a u s a l s i g n a l i s o n e t h a t i s n i t e o n l y f o r t > 0 | i e , f ( t ) = 0 f o r a l l t
-
7/27/2019 Lecture Notes - EENG 32151 Communication Systems
9/23
1 / 7
t h a t
A
1
=
f v
1
v
1
v
1
:
( T h e d e n o m i n a t o r i s i m p o r t a n t | v
1
a n d s o o n w e r e n o t u n i t v e c t o r s . )
I n t h e e a r l y 1 9 t h c e n t u r y i t w a s r e a l i z e d t h a t i t w a s p o s s i b l e t o t r e a t f u n c t i o n s f
i n t h e s a m e w a y a n d t o m a k e t h e m u p f r o m a s e t o f o r t h o g o n a l b a s i s f u n c t i o n s
.
P r e t e n d t h e r e i s a s e t o f o r t h o g o n a l \ v - f u n c t i o n s " , s o t h a t , s i m i l a r t o t h e v e c t o r
c a s e ,
f ( t ) = A
1
v
1
( t ) + A
2
v
2
( t ) + A
3
v
3
( t ) + :
H o w d o w e n d A
1
a n d s o o n ? F i r s t w e n e e d t o d e n e t h e e q u i v a l e n t o f t h e s c a l a r
o r i n n e r p r o d u c t b e t w e e n f u n c t i o n s | b u t f o r n o w j u s t a s s u m e w e c a n , a n d w e
d e n o t e i t h f ; g i . T h e n , b y a n a l o g y
h f ; v
1
i = A
1
h v
1
; v
1
i + A
2
h v
2
; v
1
i + :
B u t h v
2
; v
1
i = 0 a n d s o o n , s o t h a t
A
1
=
h f ; v
1
i
h v
1
; v
1
i
a n d A
n
=
h f ; v
n
i
h v
n
; v
n
i
:
T h e r e a r e a c o n s i d e r a b l e n u m b e r o f f a m o u s s e t s o f o r t h o g o n a l b a s i s f u n c t i o n s ,
m a n y d e r i v e d b y F r e n c h m a t h e m a t i c i a n s , b u t i t w a s F o u r i e r w h o n o t i c e d t h a t t h e
c o s i n e s a n d s i n e s m a d e u p s u c h a s e t w h i c h w e r e t h e n c a p a b l e o f r e p r e s e n t i n g
p e r i o d i c f u n c t i o n s .
1 . 7 F o u r i e r S e r i e s
F o u r i e r f o u n d t h a t a p e r i o d i c f u n c t i o n f ( t ) , w i t h p e r i o d T , c a n b e w r i t t e n a s a
s u m o f c o s i n e a n d s i n e f u n c t i o n s o f t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y ! = 2 = T a n d i t s
h a r m o n i c s 2 ! , 3 ! , e t c
f ( t ) =
1
2
A
0
+
In = 1
A
n
c o s ( n ! t ) +
In = 1
B
n
s i n ( n ! t ) :
T h e e x p r e s s i o n s f o r A
n
a n d B
n
a r e f o u n d f r o m t h e o r t h o g o n a l i t y c o n d i t i o n s a s
-
7/27/2019 Lecture Notes - EENG 32151 Communication Systems
10/23
1 / 8
A
n
=
2
T
+ T = 2
T = 2
f ( t ) c o s ( n ! t ) d t n = 0 ; 1 ; : : : A A
0
=
2
T
+ T = 2
T = 2
f ( t ) d t
B
n
=
2
T
+ T = 2
T = 2
f ( t ) s i n ( n ! t ) d t n = 1 ; 2 ; : : :
1 . 7 . 1 F i n d i n g t h e c o e c i e n t s
T o d e r i v e t h e s t a t e d e x p r e s s i o n s f o r t h e c o e c i e n t s , w e m u s t r s t d e n e t h e i n n e r
p r o d u c t f o r t h e s e f u n c t i o n s . I t i s d e n e d b y t h e i n t e g r a l o v e r a p e r i o d , d i v i d e d b y
t h e p e r i o d .
T h e n , w e s h o u l d d e m o n s t r a t e t h a t t h e b a s i s f u n c t i o n s , c
n
= c o s n ! t a n d s
n
=
s i n n ! t , a r e o r t h o g o n a l . I n o t h e r w o r d s , w e m u s t s h o w t h a t t h e i n n e r p r o d u c t s
h c
n
; c
m
i a n d h s
n
; s
m
i a r e z e r o f o r m T= n , t h a t h c
n
; s
m
i = 0 , a n d t h a t o n l y h c
n
; c
n
i
a n d h s
n
; s
n
i a r e n i t e .
O n e n d s
1
T
T = 2
T = 2
c o s m ! t c o s n ! t d t =
0 m T= n
1 = 2 m = n > 0
1 m = n = 0
1
T
T = 2 T = 2
s i n m ! t s i n n ! t d t = 0 m T= n
1 = 2 m = n > 0
0 m = n = 0
1
T
T = 2
T = 2
c o s m ! t s i n n ! t d t = 0
T h e o n l y c o m p l i c a t i o n i s t h a t w e h a v e b o t h c
n
a n d s
n
a s i n t h e b a s i s s e t , s o w e
n e e d t w o c o e c i e n t s w i t h t h e s u b s c r i p t n . C a l l i n g t h e s e A
n
a n d B
n
w e n d
A
n
=
h f ; c
n
i
h c
n
; c
n
i
=
1
T
T = 2 T = 2
f ( t ) c o s n ! t d t
1
T
T = 2
T = 2
c o s n ! t c o s n ! t d t
=
2
T
T = 2 T = 2
f ( t ) c o s n ! t d t
a n d
B
n
=
h f ; s
n
i
h s
n
; s
n
i
=
1
T
T = 2
T = 2
f ( t ) s i n n ! t d t
1
T
T = 2
T = 2
s i n n ! t s i n n ! t d t
=
2
T
T = 2
T = 2
f ( t ) s i n n ! t d t
-
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11/23
1 / 9
1 . 7 . 2 A m o r e e x p l i c i t a p p r o a c h
I f y o u f e l t t h e r e w a s s l e i g h t o f h a n d i n t h e a b o v e , y o u m a y p r e f e r t o w r i t e d o w n t h e
s e r i e s , a n d t h e n , t o n d t h e B
m
f o r e x a m p l e , m u l t i p l y i t b y s i n ( m ! t ) a n d a v e r a g e
o v e r a p e r i o d :
1
T
T = 2 T = 2
f ( t ) s i n ( m ! t ) d t =
1
T
T = 2 T = 2
1
2
A
0
+
In = 1
A
n
c o s ( n ! t ) +
In = 1
B
n
s i n ( n ! t )
s i n ( m ! t ) d t
T h e t h r e e t e r m s o n t h e r i g h t a r e
1
T
T = 2
T = 2
1
2
A
0
s i n ( m ! t ) d t = 0
1
T T = 2
T = 2
I
n = 1 A n c o s ( n ! t ) s i n ( m ! t ) d t =I
n = 1 A n1
T T = 2
T = 2
c o s ( n ! t ) s i n ( m ! t ) d t = 0
1
T
T = 2
T = 2
In = 1
B
n
s i n ( n ! t ) s i n ( m ! t ) d t =
In = 1
B
n
1
T
T = 2
T = 2
s i n ( n ! t ) s i n ( m ! t ) d t = B
m
1
2
H e n c e , i n a g r e e m e n t w i t h t h e e a r l i e r s t a t e m e n t ,
1
T
T = 2
T = 2
f ( t ) s i n ( m ! t ) d t = B
m
1
2
S i m i l a r l y , t o o b t a i n A
m
w e w o u l d m u l t i p l y b y c o s ( m ! t ) a n d a v e r a g e o v e r o n e
p e r i o d .
-
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-
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13/23
1 / 1 1
t+T/2T/2
Period T
1
1f(t)
1 0.5 0 0.5 11.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
t
y(t)
1 0.5 0 0.5 11.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
t
y(t)
1 0.5 0 0.5 11.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
t
y(t)
F i g u r e 1 . 6 : T h e F S o f a s q u a r e w a v e b u i l t u p o v e r 1 , 3 , 5 t e r m s ; t h e n 1 1 a n d 1 0 1 t e r m s ; t h e n 1 0 0 1
t e r m s . T h e s l i g h t \ c h i p " a t t h e d i s c o n t i n u i t y i s a r e s u l t o f t h e G i b b s ' p h e n o m e n o n , d i s c u s s e d l a t e r .
| E g 3 : T r a i n o f t o p h a t s T h e p e r i o d i s T , s o ! = 2 = T . T h e f u n c t i o n i s e v e n , s o
o n l y A
n
c o e c i e n t s e x i s t .
A
0
=
2
T
T = 2
T = 2
f ( t ) d t =
2 a
T
A
n
=
4
T
a = 2
0
c o s n ! t d t =
4
T
1
n !
s i n n ! t j
a = 2
0
=
2
n
s i n ( n ! a = 2 )
S o f ( t ) =
a
T
+
In = 1
2
n
s i n ( n ! a = 2 ) c o s n ! t
O f i n t e r e s t l a t e r a r e t h e v a l u e s o f t h e A
n
. S u p p o s e w e s e t t h e ( o n / o ) r a t i o t o
b e = a = T ,
A
n
= 2
s i n ( n )
( n )
I f t h e o n / o r a t i o = 1 = t h e n t h e A
n
a r e t a k e n f r o m t h e s i n ( x ) = ( x ) c u r v e
a s s h o w n i n F i g u r e 1 . 8 ( b ) . I f w e r e d u c e , h e r e b y 1 / 2 , t h e n t h e A
n
v a l u e s a r e
s a m p l e d f r o m t h e c u r v e m o r e c l o s e l y , a s i n F i g u r e 1 . 8 ( c ) .
-
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14/23
-
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15/23
1 / 1 3
t
Period
f(t)
T
a/2a/2
1
sin(x)/(x)
x
1.0
0 5 10
sin(x)/(x)
x
1.0
0 5 10
F i g u r e 1 . 8 :
1 . 1 0 F o u r i e r S e r i e s a t D i s c o n t i n u i t i e s
P r o v i d e d t h e D i r i c h l e t c o n d i t i o n s a r e s a t i s e d , a t a p o i n t o f d i s c o n t i n u i t y i n t h e
o r g i n a l f u n c t i o n , a F o u r i e r s e r i e s c o n v e r g e s t o
F S ( t ) 3
1
2
( f ( t
) + f ( t
+
) )
w h e r e f ( t
) i s t h e v a l u e o f t h e s i g n a l f ( t ) j u s t b e l o w t h e d i s c o n t i n u i t y , a n d f ( t
+
)
t h a t j u s t a b o v e .
W e h a v e a l r e a d y s e e n t h i s i n t h e s q u a r e w a v e e x a m p l e . W e h a v e a l s o s e e n i s t h a t
w e r e q u i r e a l a r g e n u m b e r o f t e r m s i n t h e s e r i e s t o f a i t h f u l l y r e p r o d u c e t h e f u n c t i o n
a t a d i s c o n t i n u i t y .
1 . 1 1 S y m m e t r y p r o p e r t i e s
T h e t a s k o f d e r i v i n g s e r i e s c o e c i e n t s i s m a d e a l i t t l e e a s i e r b y e x p l o i t i n g s y m m e -
t r i e s i n t h e s i g n a l f ( t ) a n d t h e b a s i s f u n c t i o n s s i n ( n ! t ) a n d c o s ( n ! t ) .
T h e s i n e b a s i s f u n c t i o n s a l l h a v e h a v e o d d 1 = 2 - w a v e s y m m e t r y ; i e , s i n ( n ! t ) =
s i n ( n ! t ) ( F i g u r e 1 . 1 0 ) . I f t h e s i g n a l f ( t ) i s e v e n , t h e n a l l i n t e g r a l s T = 2
T = 2
f ( t ) s i n ( n ! t ) d t
-
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16/23
1 / 1 4
1 +1
+11
( a ) ( b )
F i g u r e 1 . 9 : T h e f u n c t i o n 1 = t i n ( b ) h a s a n i n n i t e d i s c o n t i n u i t y a t t = 0 .
m u s t b e z e r o . T h e r e f o r e
a n e v e n s i g n a l i s c o n t a i n s o n l y c o s i n e t e r m s ; a n d , s i m i l a r l y ,
a n o d d s i g n a l c o n t a i n s o n l y s i n e t e r m s .
O n e a l s o n o t e s t h a t f o r a n e v e n , t h e n o d d , s i g n a l s f ( t )T = 2
T = 2
f ( t ) c o s ( n ! t ) d t = 2
T = 2
0
f ( t ) c o s ( n ! t ) d t
T = 2
T = 2
f ( t ) s i n ( n ! t ) d t = 2 T = 2
0
f ( t ) s i n ( n ! t ) d t
sin t sin 2 t
1/4 wave 1/2 wave 1/4 wave 1/4 wave 1/2 wave 1/4 wave
reflection reflection reflection reflection reflection reflection
F i g u r e 1 . 1 0 : B a s i s f u n c t i o n s i n ( ! t ) h a s o d d 1 / 2 - w a v e , e v e n 1 / 4 - w a v e s y m m e t r y . s i n ( 2 ! t ) h a s
o d d 1 / 2 - w a v e , o d d 1 / 4 - w a v e s y m m e t r y .
F u r t h e r u s e c a n b e m a d e o f s y m m e t r i e s a b o u t t h e 1 / 4 - w a v e p o i n t s . A n y s i n ( n ! t )
w i t h n - e v e n h a s o d d s y m m e t r y a b o u t t h e s e p o i n t s . T h u s i f a s i g n a l f ( t ) h a s e v e n
s y m m e t r y a b o u t t h e 1 / 4 - w a v e p o i n t s , a n y n - e v e n s i n e t e r m s w i l l v a n i s h . H o w e v e r
-
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-
7/27/2019 Lecture Notes - EENG 32151 Communication Systems
18/23
1 / 1 6
Double periodsine completion
Completed as sine as cosine as mixed sin, cos
Defined
F i g u r e 1 . 1 2 :
1 0.5 0 0.5 11.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
t
y(t)
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
0.98 0.985 0.99 0.995 1 1.005 1.01 1.015
i"gibbs.10001"
( a ) ( b )
F i g u r e 1 . 1 3 : T h e G i b b s p h e n o m e n o n . ( b ) s h o w s t h e d i s c o n t i n u i t y o f ( a ) a t a n e r t i m e s c a l e , b u t
w i t h m o r e t e r m s a d d e d .
1 . 1 4 M e a n s q u a r e v a l u e s o f F o u r i e r S e r i e s
P a r s e v a l ' s T h e o r e m
T h e i n s t a n t a n e o u s p o w e r i n a s i g n a l i s p r o p o r t i o n a l t o t h e i t s m o d u l u s s q u a r e d .
F o r a p e r i o d i c s i g n a l w e c a n d e r i v e t h e a v e r a g e s i g n a l p o w e r b y i n t e g r a t i n g o v e r
a p e r i o d .
A v e s i g n a l p w r =
1
T
+ T = 2
T = 2
j f ( t ) j
2
d t
=
1
T
+ T = 2
T = 2
1
2
A
0
+
In = 1
A
n
c o s ( n ! t ) +
In = 1
B
n
s i n ( n ! t )
2
d t
-
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19/23
1 / 1 7
A t r s t t h i s l o o k s n i g h t m a r i s h , b e c a u s e t h e s q u a r i n g i n t r o d u c e s a n i n n i t e n u m b e r
o f c r o s s t e r m s , o n t h e b o t t o m l i n e o f t h e n e x t e x p r e s s i o n .
1
T
+ T = 2 T = 2
12
A
0
2+ A
2
1
c o s
2
! t + A
2
2
c o s
2
2 ! t + : : : + B
2
1
s i n
2
! t + B
2
2
s i n
2
2 ! t + : : : +
A
0
A
1
c o s ! t + : : : + A
0
B
1
s i n ! t + : : : + 2 A
1
B
1
c o s ! t s i n ! t + 2 A
1
B
2
c o s ! t s i n 2 ! t + : : : g d t
H o w e v e r , w h e n y o u i n t e g r a t e o v e r c r o s s t e r m s , o r t h o g o n a l i t y w i l l g e t r i d o f a l l t h e
t e r m s o n t h e b o t t o m l i n e ! S o , w e a r e l e f t w i t h t h e s i m p l e r e s u l t t h a t t h e m e a n
s q u a r e i s
A v e p w r =
1
T
+ T = 2 T = 2
j f ( t ) j
2
d t =
1
2
A
0
2+
1
2
In = 1
( A
n
)
2
+
1
2
In = 1
( B
n
)
2
A g o o d w a y t o r e m e m b e r t h i s i s a s
M e a n S q u a r e = ( d : c : a m p l i t u d e )
2
+
1
2
( a : c : a m p l i t u d e )
2
w h i c h i s t r u e w h e t h e r t h e s i g n a l i s p u r e d . c . o r s i n g l e f r e q u e n c y a . c .
T h e R o o t m e a n s q u a r e v a l u e o f a p e r i o d i c s i g n a l i s t h e r e f o r e
R o o t M e a n S q u a r e =
12
A
0
2
+
1
2
In = 1
( A
n
)
2
+
1
2
In = 1
( B
n
)
2
1 . 1 5 |
F o u r i e r a n d P a r s e v a l i n a n e l e c t r i c a l c i r c u i t
[ Q ] S u p p o s e t h e f u l l w a v e r e c t i e d v o l t a g e i n F i g u r e 1 . 1 4 ( a ) i s a p p l i e d t o t h e
c i r c u i t i n ( b ) . W h a t i s t h e a v e r a g e p o w e r d i s s i p a t e d ?
t (ms)0 10 20
12V
v(t) F5k 1
F i g u r e 1 . 1 4 :
-
7/27/2019 Lecture Notes - EENG 32151 Communication Systems
20/23
1 / 1 8
[ A ] F r o m t h e d i a g r a m T = 1 0
2
s a n d !
0
= 2 = T = 2 0 0 . B y g r i n d i n g , o r f r o m
H L T , w e n d t h e s i g n a l v ( t ) , w i t h t i n s e c o n d s , i s
v ( t ) =
2 4
1 +
2
3
c o s !
0
t
2
1 5
c o s 2 !
0
t + : : :
W e k n o w t h a t p o w e r i s d i s s i p a t e d i n t h e r e s i s t o r a l o n e , s o
P
a v e
=
1
R
v
2
=
1
5 1 0
3
2 4
2
1
2
+
1
2
2
3
2
+
2
1 5
2
+ : : :
[ Q ] W h a t i s c u r r e n t d r a w n f r o m t h e s o u r c e ?
T h e c u r r e n t d r a w n f r o m t h e s o u r c e a t a s i n g l e f r e q u e n c y ! i s I ( ! ) = Y ( ! ) V ( ! ) ,
w h e r e Y i s t h e a d m i t t a n c e . B u t w e h a v e v o l t a g e c o m p o n e n t s a t ! = 0 , ! = !
0
,
! = 2 !
0
a n d s o o n . W e m u s t w o r k o u t t h e a d m i t t a n c e s a t a l l t h e s e f r e q u e n c i e s .
Y ( ! ) =
1
R
+ j ! C = ( 2 1 0
4
) + j ! ( 1 1 0
6
)
= 1 0
4
2 + j
!
1 0 0
=
1 0
4
( 2 + j 0 ) ; d c
1 0
4
( 2 + j 2 ) ; ! = !
0
= 2 0 0
1 0
4
( 2 + j 4 ) ; ! = 2 !
0
= 4 0 0
1 0
4
( 2 + j 2 n ) ; ! = n !
0
T o a v o i d m i x i n g f u n c t i o n s o f t i m e w i t h p h a s o r s , i t m a k e s s e n s e t o r e w r i t e v ( t ) a s
t h e r e a l p a r t o f
v ( t ) = R e
2 4
1 +
2
3
e
j !
0
t
2
1 5
e
j 2 !
0
t
+ : : :
H e n c e
i ( t ) = R e 2 4 1 0 4
2 + ( 2 + j 2 ) 23 e j 2 0 0 t ( 2 + j 4 ) 21 5 e j 4 0 0 t + : : : =
4 8 1 0
4
1 + ( 1 +
2
)
1 = 2
2
3
c o s ( 2 0 0 t +
1
)
( 1 + 4
2
)
1 = 2
2
1 5
c o s ( 4 0 0 t +
2
) + : : :
w i t h
1
= t a n
1
a n d
2
= t a n
1
2 .
-
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21/23
1 / 1 9
1 . 1 6 T h e C o m p l e x F o u r i e r S e r i e s
Y o u w i l l h a v e n o t i c e d w h i l e w o r k i n g o u t i ( t ) t h a t t h e r e w a s a r a t h e r u n s a t i s f a c t o r y
m o m e n t w h e n w e h a d t o r e w r i t e t h e F o u r i e r s e r i e s u s i n g a n e x p o n e n t i a l r e p r e s e n -
t a t i o n . I t r a i s e s t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n .
W o u l d i t b e p o s s i b l e u s e a n e x p o n e n t i a l , o r c o m p l e x , f o r m o f t h e
F o u r i e r S e r i e s f r o m t h e o u t s e t ?
I t t u r n s o u t | p e r h a p s n o t s u r p r i s i n g l y | t h a t t h e s e t e
i n ! t
p r o v i d e s a s e t o f
o r t h o g o n a l b a s i s f u n c t i o n s , a n d t h a t a p e r i o d i c f u n c t i o n t h a t s a t i s e s t h e D i r i c h l e t
c o n d i t i o n s a n d h a s p e r i o d T = 2 = ! c a n b e w r i t t e n a s
T h e c o m p l e x F o u r i e r s e r i e s ( N B : n r a n g e s f r o m I t o + I . )
f ( t ) =
In = I
C
n
e
i n ! t
T h e i n n e r p r o d u c t i s d e n e d a s i n t e g r a t i o n o v e r a p e r i o d w i t h t h e c o m p l e x c o n -
j u g a t e , d i v i d e d b y t h e p e r i o d , a n d t h e o r t h o g o n a l i t y c o n d i t i o n s a r e s i m p l e r t h a n
b e f o r e ,
1
T
T = 2
T = 2
e
i n ! t
e
i m ! t
d t =
0 m T= n
1 m = n
W e d e t e r m i n e t h e f o r m o f C
n
u s i n g t h e o r t h o g o n a l i t y r e l a t i o n s h i p i n e i t h e r t h e
s h o r t h a n d o r l o n g h a n d w a y s .
T h e s h o r t h a n d w a y s a y s
C
m
=
f ( t ) e
i m ! t
h e
i m ! t
e
i m ! t
i
=
1
T
T = 2
T = 2
f ( t ) e
i m ! t
d t
1
T
T = 2
T = 2
e
i m ! t
e
i m ! t
d t
=
1
T
T = 2
T = 2
f ( t ) e
i m ! t
d t
-
7/27/2019 Lecture Notes - EENG 32151 Communication Systems
22/23
1 / 2 0
T h e l o n g h a n d v e r s i o n i s n o t m u c h l o n g e r .
I f f ( t ) =
In = I
C
n
e
i n ! t
1
T
T = 2 T = 2
f ( t ) e
i m ! t
d t =
1
T
T = 2 T = 2
In = I
C
n
e
i n ! t
e
i m ! t
d t
=
In = I
C
n
1
T
T = 2
T = 2
e
i n ! t
e
i m ! t
d t
= C
m
T h e c o e c i e n t s i n t h e c o m p l e x F o u r i e r s e r i e s a r e
C
m
=
1
T
T = 2
T = 2
f ( t ) e
i m ! t
d t
T h e r e i s a t h i r d w a y o f d e r i v i n g t h e c o m p l e x F o u r i e r s e r i e s . I t i s a b i t f e e b l e b e c a u s e
i t s i m p l y u s e s t h e r e l a t i o n s h i p
e
i m ! t
= c o s m ! t i s i n m ! t :
T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e C c o e c i e n t s a n d t h o s e f o r t h e n o n - c o m p l e x F o u r i e r
s e r i e s i s
C
m
=
( A
m
i B
m
) = 2 f o r m > 0
A
0
= 2 f o r m = 0
( A
j m j
+ i B
j m j
) = 2 f o r m
-
7/27/2019 Lecture Notes - EENG 32151 Communication Systems
23/23
1 / 2 1
1 . 1 8 S u m m a r y
W e h a v e d e n e d c e r t a i n t e r m s u s e d t o d e s c r i b e s i g n a l s .
W e h a v e r e v i e w e d h o w p e r i o d i c s i g n a l s c a n b e r e p r e s e n t e d a s F o u r i e r S e r i e s |
l i n e a r s u m s o f p u r e h a r m o n i c s i g n a l s | a n d r e v i s e d t h e i r p r o p e r t i e s .
W e h a v e i n t r o d u c e d t h e c o m p l e x F o u r i e r S e r i e s , w h i c h i s o f t e n a m o r e c o n v e n i e n t
r e p r e s e n t a t i o n t o u s e w h e n h a v i n g t o d e a l w i t h p h a s e s h i f t s .
I n t e r e s t i n g a n d u s e f u l a s t h e C o m p l e x F o u r i e r S e r i e s i s , t h e r e i s n o t h i n g i n i t t h a t
a d d r e s s e s t h e g a p i n o u r k n o w l e d g e , w h i c h i s
h o w t o c o p e w i t h n o n - p e r i o d i c s i g n a l s o f i n n i t e d u r a t i o n ; t h a t i s , t h o s e
w h i c h h a v e c o n t i n u o u s s p e c t r a i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n .
T h i s i s w h e r e w e m o v e n e x t .