תשע״ג ־ (77602) מוצק מצב של פיסיקה

2013 ביוני 27

ל״ב מחזור ־ צינובוי אנטולי

בירנהולץ אופק מר של ותרגוליו אורגד דרור פרופסור של הרצאותיו על מבוסס

1

עניינים תוכן

4 מנהלות + מבוא I

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מנהלות 1

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הבחינה מבנה 2

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מבוא 3

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אופייניות סקלות 3.1

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לספינים הייזנברג מודל ־ סימטריה של ספונטנית שבירה 3.2

6 הגבישי הסריג II

6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bravais סריגי 1

7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קוביים Bravais סריגי 1.1

8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בסיס עם סריג 1.2

9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פרימיטיבי יחידה תא 1.3

9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . יחידה תא 1.3.1

10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wigner-Seitz של פרימיטיבי יחידה תא 1.4

10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Reciprocal Lattice) ההופכי הסריג 2

11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (First Brillouin Zone) הראשון Brillouin אזור 2.1

11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סריג מישור 2.2

12 פונונים III

12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ההרמוני בקירוב גבישי סריג 1

13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מחזורי שפה תנאי עם חד־מימדי גביש 2

13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הגביש של האנרגיה ספקטרום 2.1

17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . נתונה בטמפרטורה החום וקיבול האנרגיה 2.2

21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Goldstone משפט 2.3

21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אטומים סוגי שני עם חד־מימדי גביש 3

22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . האופטי והמוד האקוסטי המוד 3.1

23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אלסטית שדות תורת 4

24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . החופש דרגות 4.1

24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הלגרנג׳יאן 4.2

24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . התנעים 4.3

25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ההמילטוניאן 4.4

25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . התנועה משוואות 4.5

25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . התנועה למשוואות פתרונות 4.6

26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פונונים של תרמודינמיים גדלים ־ Debye מודל 5

27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Debye מודל תחת החום וקיבול התרמית האנרגיה 5.1

28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Debye מודל תחת משקל משיווי הסטייה 5.2

29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מוצק של להתכה Lindemann קריטריון 5.2.1

30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mermin-Wagner משפט 5.2.2

31 קריסטלוגרפיה IV

31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bragg מודל ־ X קרני קריסטלוגרפיית 1

32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . von Laue מודל ־ X קרני קריסטלוגרפיית 2

33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ewald של הספרה 3

34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מסריג נויטרונים פיזור 4

2

35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Fermi's Golden Rule) פרמי של הזהב כלל 4.1

38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אלסטי פיזור 4.2

39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בסיס עם מסריג פיזור 4.3

40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מסריג אי־אלסטי פיזור 4.4

41 אלקטרונים V

41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Drude) דרודה מודל 1

41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . המודל הנחות 1.1

42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DC מוליכות 1.2

43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AC מוליכות 1.3

44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אלקטרומגנטיים גלים של ההתקדמות קצב 1.4

45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hall מוליכות 1.5

48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wiedemann-Franz חוק ־ חום הולכת 1.6

49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מגנטי שדה של השפעות 2

49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לנדאו רמות 2.1

52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מגנטי בשדה אלקטרונים גז עבור הכימי הפוטנציאל 2.2

53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De Haas-Van Alphen אוסילציות 2.3

55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סופית במערכת לנדאו רמות 2.4

57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סופית במערכת זרם הולכת 2.5

60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לנדאו רמות פי על הול למוליכות אלטרנטיבי פיתוח 2.6

64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הקוונטי הול אפקט 2.7

66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . השברי הול אפקט 2.8

70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מחזורי פוטנציאל תחת אלקטרונים 3

70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בלוך משפט 3.1

71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1st Brillouin zoneב־ להתבונן מספיק מדוע 3.2

72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (nearly free electrons) חופשיים כמעט אלקטרונים 3.3

77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Tight binding model) ההדוק הקשר מודל 3.4

77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פשוט חד־מימדי סריג 3.4.1

78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בסיס עם חד־מימדי סריג 3.4.2

79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הסמי־קלאסיות התנועה משוואות 4

80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חשמלית? מוליך אינו מלא אנרגטי פס מדוע 4.1

80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בלוך אוסילציות 4.2

81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . החור מושג 4.3

83 תרגולים VI

84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גבישיים סריגים ־ 1 תרגול 1

84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בסיסיות הגדרות 1.1

84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Reciprocal lattice) ההופכי הסריג 1.2

85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קריסטלוגרפיים מישורים ־ 2 תרגול 2

89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . תלת־מימדי לסריג הרמוני קירוב ־ 3 תרגול 3

89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מלבני סריג של הפוטנציאלית האנרגיה ־ דוגמה 3.1

90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מונואטומי תלת־מימדי בסריג פונונים ־ 4 תרגול 4

90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הדינמית המטריצה 4.1

93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בשרשרת קטן מרכזי אטום ־ דוגמה 4.2

94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פונונים ידי על חום הולכת ־ 5 תרגול 5

94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לפונונים Drude מודל 5.1

95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בטמפרטורה κ של התלות 5.2

3

96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . דבאי ומודל מקרוסקופיים פרמטרים ־ 6 תרגול 6

98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . זהב עבור דבאי טמפרטורת ־ דוגמה 6.1

100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X קרני דיפרקציית ־ 7 תרגול 7

100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . יהלום של structure factorה־ 7.1

101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C60 מולקולות עבור atomic form factorה־ 7.2

102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . זומרפלד מודל ־ 8 תרגול 8

102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (קוונטי) חופשי אלקטרונים גז 8.1

103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פרמי־דיראק סטטיסטיקת 8.2

104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (kBT εF ) קטנה סופית, בטמפרטורה µ של חילוץ 8.3

106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אהרונוב־בוהם אפקט ־ 9 תרגול 9

108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מגנטיים ומונופולים לנדאו לרמות הול אפקט בין הקשר ־ 10 תרגול 10

108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לנדאו לרמות הול אפקט בין הקשר 10.1

108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מגנטיים מונופולים 10.2

110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קרוניג־פני ומודל בלוך משפט ־ 11 תרגול 11

110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בלוך משפט הוכחת 11.1

111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קרוניג־פני מודל של העצמיות הפונקציות מציאת 11.2

113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גרפין של הפסים מבנה ־ 12 תרגול 12

113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . השאלה 12.1

114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . א׳ סעיף 12.1.1

114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ב׳ סעיף 12.1.2

114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הפתרון 12.2

114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . א׳ סעיף 12.2.1

115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ב׳ סעיף 12.2.2

119 . . . . . . . . . . . . . . De Haas - van Alphen ואפקט הסמי־קלאסי במודל גבוע מגנטי בשדה אלקטרון תנועת ־ 13 תרגול 13

119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הסמי־קלאסי במודל קבוע מגנטי בשדה אלקטרון תנועת 13.1

121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De Haas - van Alphen אפקט 13.2

I חלק

מנהלות + מבוא2013 בפברואר 26

מנהלות 1

קשר: ליצור דרכים

מרצה:

אורגד דרור פרופסור

214 חדר ב׳, דנציגר בניין

6586980־02 ־ טלפון מספר

orgad@phys.huji.ac.il ־ אלקטרוני דואר

http://www.phys.huji.ac.il/~orgad/ ־ אינטרנט אתר

מתרגל:

בירנהולץ אופק מר

212 חדר קפלון, בניין

6584890־02 ־ טלפון מספר

ofek.birnholtz@mail.huji.ac.il ־ אלקטרוני דואר

4

התרגילים. לפתרון מכרעת חשיבות יש המרצה לדברי תרגילים). בודק אין כי (בעיקר לציון ייחשב שלא שבועי, תרגיל יהיה

הוא: לקורס הרלוונטי הספר

• Ashcroft, N.W. and Mermin, N.D., Solid state physics, (Saunders College, 1976)

יושב בה Dropboxה־ בתיקיית למצוא ניתן אותם בצבע, נפלאים שרטוטים עבור והן הבנה עבור הן נורית בסיכומי רבות נעזרתי זה בסיכוםזה. סיכום ומתעדכן

הבחינה מבנה 2

ישתנה. שזה סביר ולא וזה), הקורס (רשימות פתוח בחומר היו הבחינות המרצה של אחרים ובקורסים קודמות בשנים

עליהן. ולענות שאלות שלוש לבחור צריך שבהן שעות שלוש של בחינה

מבוא 3

אופייניות סקלות 3.1

יותר. או פחות בידיים להחזיק יכולים שאנחנו ובמתכות בחומרים תופעות על יום־יומיות, יחסית במערכות נדון אנחנו הזה בקורס

סטטיסטית. ופיסיקה 2 הקוונטים תורת בקורסים טובה הבנה הוא בקורס שהוא דיון לכל קדם דרישת

סדרי אף או בודדים, eV של אנרגיה בסקלות נדון אנחנו ומעלה, GeV של אנרגיה בסקלות דנים אנחנו חלקיקים ובפיזיקת גרעינית שבפיזיקה בעודומטה. החדר טמפרטורת של היא שנלמד למה הרלוונטית הטמפרטורות סקלת לכך. מתחת שלמים גודל

ומעלה. בודדים אנגסטרומים של היא האופיינית האורכים סקלת

סימטריה. של ספונטנית שבירה היא הקורס במהלך בה שנדון מאוד חשובה תופעה

תחת אינווריאנטיים סימטריים, הם בעולם, שונות תופעות לתאר בבואנו מניחים או יודעים, שאנחנו היסודיים הטבע חוקי מקרים, בהרבהמסוימות. טרנספורמציות

של באינווריאנטיות לעומק התעסקנו הקוונטים במכניקת בזמן. או במרחב להזזות אינווריאנטיים הם מכירים שאנחנו הטבע חוקי כל לדוגמה,ועוד. מסוים, זוויתי תנע אופרטור ידי על מוגדרים שהם כפי לסיבובים מערכות

לספינים הייזנברג מודל ־ סימטריה של ספונטנית שבירה 3.2

כל לקבל שיכול וקטור שהוא ,~si וקטור יושב נקודה בכל בו וסופי) תלת־מימדי או דו־מימדי העניין, (לצורך סריג לנו יש לספינים הייזנברג במודללספינים). אייזן מודל שנקרא מה בקוונטים, מספינים (להבדיל היחידה מעגל גבי על ערך

הוא: הזו המערכת את המתאר ההמילטוניאן

H = −J∑〈i,j〉

~si · ~sj (3.1)

בלבד). שכנים ספינים של זוגות על מסוימים, בהקשרים (או הזרים הזוגות כל על היא הסכימה כאשר

וההמילטוניאן הואיל וזאת ביחד, הספינים כל של המשותף הסיבוב לפעולת אינווריאנטי הוא הזו המערכת את המתאר ההמילטוניאן כי לב נשיםספינים. שני כל בין היחסית הזווית את רק רואה

המערכת. של סימטריה גילינו הזו, הרציפה לטרנספורמציה האנרגיה של האינווריאנטיות מתוך כלומר,

בלבד. האנרגיה של סימטריה זוהי אבל

לו תהיה אמנם המערכת! של לחלוטין אחר מצב נקבל אנחנו הזווית, באותה הספינים כל את ונסובב המערכת את ניקח שאם כשמש לנו ברור

תלויות יהיו ,⟨∑

i

~si

⟩ל־ שפרופורציונית הכוללת, המגנטיזציה כמו מעניינות, מאוד מאוד הן שגם המערכת, של אחרות תכונות אבל האנרגיה, אותה

עצמו. בפני ספין כל של בזווית ∑⟩גםi

~si

⟩= 0 כי לנו ברור ולכן מיקרו־מצב, לכל שווה הסתברות שיש יודעים אנחנו (גבוהה), סופית טמפרטורה לאיזו המערכת את ניקח אם

ומטה ממנה שהחל ,Tc קריטית טמפרטורה לאיזו בסוף נגיע המערכת, את שנקרר שככל מקבלים אנחנו בתלת־מימד גבוהה. הטמפרטורה כאשרמוגדר. כיוון בעלת ותהיה מאפס, שונה תהיה המגנטיזציה

גבולות״. ״סדר של אחד הוא המתמטי ההסבר

את נכבה ראשית אם מוגדר. כיוון בעל מגנטי שדה להכניס היא ספינים) של מודל עבור למדל יודעים שאנחנו בערך (והיחידה פשוטה הכי ההפרעהמיקרומצב. לאף העדפה אין ולמערכת מועדף, כיוון שאין לנו ברור ,(N →∞) התרמודינמי לגבול נלך ואז המגנטי, השדה

5

לכך גבוהה מאוד אנרגטית עלות ישנה המגנטי, השדה את לכבות נבוא אז ורק התרמודינמי, לגבול נלך ראשית כלומר, הפוך, התהליך את נעשה אםאינסופית תהיה אף הזו האנרגטית העלות התרמודינמי בגבול אליו. אותם הכניס החזק המגנטי שהשדה המצב את וישברו חזרה יסתובבו שהספינים

מתאפסת. היא בו בגבול מסתכלים שאנחנו אפילו ההפרעה, ידי על הסימטריה של שבירה שיש כאן מקבלים ואנחנו מסוים, במובן

2013 בפברואר 27

זאת בכל אבל מסוימות, סימטריה לפעולות אינווריאנטי להיות יכול מערכת של ההמילטוניאן שלעתים היא הקודם השיעור של התחתונה השורההסימטריה. פעולת תחת אינווריאנטית שאינה קונפיגורציה על להתקבע עשויה המערכת

היא האם או מסודרת המערכת כמה לעד מדד היוותה היא המערכת. של סדר פרמטר הייתה , ~M המגנטיזציה, בהן שדנו המגנטיות במערכותלא. או סימטריה לפעולות אינווריאנטית

לעומת סימטריה, פעולת כל לבערך מלאה אינווריאנטיות ויש סדר, כל אין שבה גז\נוזל\פלואיד של הקיצונויות שתי שבין שעבר בשיעור ראינו עודחלקיות. סימטריות להם שיש צבירה מצבי יש סימטריה, פעולות של בלבד מצומצם לסט אינווריאנטיות לנו יש שבו מוצק

שנוצרת לכך הפיזיקלית התשובה שפה. מאפקטי או מרעש אותה לנקות נצליח לא פעם אף חלקיקים מרובות במערכות עוסקים כשאנחנו בפועל,את שוברות אבל ראשון, במבט זניחות שנראות קטנות פרטובציות או רנדומיות פלקטואציות יש שתמיד היא סימטריה של ספונטנית שבירה

קטנות. מאוד בסקלות לסימטריות המערכת של האינווריאנטיות

בסריגים. בעיקר בעיקר בעיקר נתעסק בקורס מכאן

אינווריאנטית. היא הפאזה אליהן שביחס הסימטריה בפעולות היא חומר, של לפאזה טובה שהגדרה היא ההקדמה של הפואנטה

(−µB∑i

~si · ~B של איבר להוסיף אפשר הייזנברג שבמודל כמו בהמילטוניאן, מופיעה (ממש אינטרינסית להיות עשויה במערכת סימטריה שבירת

חיצוני. לשדה צימוד ללא דנו בו הייזנברג במודל כמו ספונטנית, בצורה או

II חלק

הגבישי הסריגמוצלחת. בצורה לשחזר שקשה שרטוטים מעט לא גם יש שם הקורס, בספר 20 פרק של קריאה עם להשלים כדאי זה בפרק החומר כל את

אנרגיה. למינימום להגיע בשביל לסריגים מסתדרים שחומרים היא הכללית התשובה סריגים. נוצרים בכלל מדוע היא להבהיר שנרצה קצרה שאלההאלקטרוסטטית. האנרגיה לנו יוצרת האנרגיה מינימום את כי פשוטה, היא התשובה NaCl כמו יוניים בחומרים

חופשיים. אלקטרונים של ים ישנו שמסביבם חיובית טעונים יונים של סריג בגדול הן מתכות מתכות? לגבי מה אבל

האנרגיה הזה ובאופן המיקום), (בהצגת הגביש כל גבי על מרוחה שלהם הגל ופונקציית בסריג, ספציפי יון לאף שייכים לא האלקטרונים כלומר,השאר, בין לכלול, כלומר, בתנע, מאוד מרוח להיות צריך במיקום, חזק מאוד ממורכזת שלו הגל שפונקציית (אלקטרון נמוכה מאוד היא הקינטית

לאנרגיה). גבוה מאוד תצפית ערך בעל להיות כן ועל גבוהים, מאוד תנע רכיבי

הסריג). (ריווח a ברוחב פוטנציאל בבור שהוא אומר זה ראשוני בקירוב שלו, ליון מוגבל היה אלקטרון כל אם

שלו) ליון סמוך היסוד ברמת יושב אלקטרון כל (אם הסריג של האנרגיה כן, ועל ,kn =πn

aכאשר E =

~2k2

2mהיא אנרגיה רמת כל של האנרגיה

היא:

Enon-crystal = N · ~2

2m

(πa

)2

היו ביניהם) האינטרקציות (בהזנחת אלקטרון לכל הזמינות האנרגיה רמות אזי הסריג, כלל גבי על מרוח היה אלקטרון כל אם זאת, לעומת

הם והאלקטרונים הואיל .(Na ברוחב ריבועי פוטנציאל בבור כיושב אלקטרון כל על להסתכל אפשר וכעת (הואיל kn =πn

Naכאשר E =

~2k2

2mפי על ביניהם להבדיל היה אפשר המופרדים, האלקטרונים של (במודל הגביש של החד־חלקיקיות הרמות אותן את למלא יכולים לא הם פרמיונים,המערכת של הכוללת והאנרגיה ביותר, הנמוכות האנרגיה רמות N את ימלאו הם ולכן רלוונטי) היה לא הזה הטיעון כן ועל במרחב שלהם המיקום

תהיה:

Ecrystal =~2

2m

N∑n=1

( πnNa

)2

=~2

2m

(πa

)2 N∑n=1

( nN

)2

<~2

2m

(πa

)2

N = Enon-crystal

Bravais סריגי 1

הבא: הנקודות אוסף זהו כלומר, השלמים, מעל תלויים בלתי וקטורים שלושה ידי על הנפרס וקטורים) (או נקודות אוסף הוא Bravais סריג

~R = n1~a1 + n2~a2 + n3~a3 n1, n2, n3 ∈ Z

6

הסריג. של הפרימיטיביים הוקטורים נקראים ~a1,~a2,~a3 הוקטורים

פרימיטיביים. וקטורים של אחד מסט יותר להיות יכול נקודות של ספציפי לסריג

לפרוס: נצליח לא נבחר, זוג איזה משנה לא להלן. הדבש חלת כמו ,Bravais סריגי שאינם מחזורים מבנים ישנם כן, וכמו

קוביים Bravais סריגי 1.1

קוביים. סריגים של אפשריים סוגים שלושה יש

ax, ay, az פרימיטיביים וקטורים לו פשוט, קובי הוא aהאחד2

(y + z − x) ,a

2(z + x− y) ,

a

2(x+ y − z)

פרימיטיביים וקטורים לו ,Body Centered Cubic - BCC הוא aהשני

2(y + z) ,

a

2(z + x) ,

a

2(x+ y)

פרימיטיביים וקטורים לו ,Face Centered Cubic - FCC הוא השלישי

7

כל על נוספת סריג נקודת יש FCCב־ יחידה, תא כל בתוך נוספת סריג נקודת יש BCCב־ האפשריים, הקוביים היחידה תאי שלושת :1.1 איורלקצוות. בנוסף היחידה תא של פאה

בסיס עם סריג 1.2

מורכב מבנה סריג נקודת לכל מצמידים שאנחנו אלא נקודה, סריג נקודת בכל שמים לא שאנחנו הוא Bravais לסריג בסיס עם סריג בין ההבדליותר.

נבנה פיו שעל הפרימיטיביים הוקטורים אוסף את גם לתת עלינו ואז נקודות, של אוסף סריג נקודת בכל מוצב בו Bravais סריג הוא בסיס עם סריגאותו. שמגדיר הבסיס את וגם שלנו, הסריג מבוסס פיו על Bravais סריג

היא אחת אפשרית בחירה ,aב־ המשושה צלע את נסמן אם פשוט. משולשי סריג של שלד פני על לבנות אפשר שלנו הדבש חלת לדוגמה, כךהבאים: הפרימיטיביים הוקטורים בשני להשתמש

~a1 =√

3ax

~a2 =

√3

2ax+

√3

2ay

הבא: ובבסיס

שתי של סבוך, יותר מבנה מייצגת עכשיו סריג נקודת כל אופי, חסרת סריג בנקודת להשתמש במקום כלומר, ,ayב־ נוספת ונקודה ב־0~ אחת נקודה״פיזיקליות״ נקודות

דו־מימדי בגביש להתבונן יכולים אנחנו המידה באותה אבל שקולות. היו הנקודות כל כי פשוטים, יחסית היו שלנו החיים הדבש חלת של בדוגמהאטומים: של סוגים שני יש בו

8

ורודה. נקודה עם סגולה נקודה לחפוף אפשר ואי הואיל ,Bravais סריג לא כבר זה הזה, במקרה

הפרימיטיביים הוקטורים עם עבורן, Bravais סריג לבנות יכולים אנחנו כעת שלנו, הסריג נקודות בתור הורודות בנקודות רק נתבונן אם אבל,

נקודה עם ב־0~ סגולה נקודה הבא: הבסיס באמצעות לתאר יכולים אנחנו האטומים סוגי שני עם המקורי הסריג את וכעת, ,~a1 = a (x+ y)~a2 = a (y − x)

(0, ay)ב־ אדומה

פרימיטיבי יחידה תא 1.3

רווחים. או חפיפות ללא המרחב את ממלא הסריג וקטורי כל לאורך שבהעתקתו במרחב נפח

פרימיטיבי יחידה בתא הנקודות מספר בסיס, עם סריג עבור פשוט. Bravais סריג של פרימיטיבי יחידה תא בכל אחת סריג נקודת תהיה תמידנוכיח) (לא בבסיס. הנקודות מספר יהיה

הבאים: הפרימיטיביים היחידה תאי שני את למצוא אפשר לדוגמה, דו־מימדי ריבועי בסריג

המקיים: הנפח כל היא פרימיטיבי יחידה תא לבנות נאיבית דרך

~r = x1~a1 + x2~a2 + x3~a3 x1, x2, x3 ∈ [0, 1] (1.1)

הדרישה את מקיימת תמיד לא לעיל והבנייה הסריג, של הבסיסיות הסימטריות את יקיים בוחרים, שאנחנו הפרימיטיבי היחידה שתא מעדיפים היינוהזו.

יחידה תא 1.3.1

פרימיטיביים. שאינם יחידה תאי גם לבנות אפשר פרימטיבי יחידה מתא להבדיל

הסריג של בדוגמה כך רווחים. או חפיפות ללא המרחב את ממלא הסריג, וקטורי של חלקית קבוצה לאורך שבהעתקתו במרחב פח היא הגדרתםכפולים במרחקים רק נזיז עוד כל חפיפות ללא המרחב את ימלאו והם זה, לצד זה פרימיטיביים תאים שני לקחת יכולים אנחנו הדו־מימדי, הריבועי

הפרימיטיבי. היחידה תא מגודל

9

Wigner-Seitz של פרימיטיבי יחידה תא 1.4

סריג נקודת לכל מאשר יותר אליה שקרובות במרחב) נקודות סתם סריג, נקודות (לא במרחב הנקודות אוסף את למצוא נרצה סריג, נקודת לכלאחרת.

לה הקרובות לנקודות המרכזית הנקודה בין ישר שמחברים בכך היא Wigner-Seitz של הפרימיטיבי היחידה תא את למצוא הדרך בדו־מימד,.Wigner-Seitz של הפרימיטיבי היחידה תא הוא הישרים כלל ידי על שכלוא השטח האלה. הישרים מרכז דרך אנכים והעברת ביותר,

עובדה. זו אבל זו, טענה נוכיח לא הסריג. של הסימטריה תכונות כל בעל והוא פרימיטיבי, יחידה תא הוא כאן שנבנה כפי היחידה תא

(Reciprocal Lattice) ההופכי הסריג 2

מחזורית פונקציה לפרוס טבעי אך זה פוריה. טורי המוכר, המתמטי המכשור באמצעות אותו לתאר טבעי ולכן מחזורי, מבנה הוא מטבעו הסריגמישוריים. גלים באמצעות

בפריסה. המותרים ,~k הגל, מספרי מהם למצוא עלינו מישוריים, גלים גבי על לפרוס מנת על

יתקיים: ,~R הסריג, של טרנסלציה כל עבור יתקיים ,~r במרחב, נקודה שלכל רוצים היינו

ei~k·~r = ei

~k(~r+~R) ⇒ ei~k·~R = 1 (2.1)

זו. דרישה המקיימים ~k הגל וקטורי כל הוא ההופכי הסריג

שקולה (דרישה השלמים מעל הלינאריים הצירופים לכל סגור והוא הואיל ,Bravais סריג בעצמו הוא ההופכי הסריג כי להוכיח יכולים אנחנו ומכאןהראשון): בתרגיל שנוכיח כפי אותה, שנתנו כפי להגדרה

ei(~k1±~k2)·~R = ei

~k1·~Rei~k2·~R = 1

2013 במרץ 6

ההופכי. לסריג פרימיטיביים וקטורים של בסיס מפורש באופן לבנות נרצה כעת

פרימיטיביים: וקטורים של אפשרי בסיס הוא הבא הבסיס כי היא הטענה

~b1 = 2π~a2 × ~a3

~a1 · (~a2 × ~a3)~b2 = 2π

~a3 × ~a1

~a1 · (~a2 × ~a3)~b3 = 2π

~a1 × ~a2

~a1 · (~a2 × ~a3)(2.2)

~ai ·~bj = 2πδij הקשר את מקיימת זו שלשה כי לראות קל

מתקיים: הישר בסריג ~R לכל כי נקבל אז k1, k2, k3 ∈ Z עבור ~k = k1~b1 + k2

~b2 + k3~b3 וקטור איזה נבנה כעת אם

~k · ~R = 2π (k1n1 + k2n2 + k3n3) = 2πM M ∈ Z

לכל יתקיים הזה השיוויון שבה היחידה הדרך כי הזו, ההוכחה של ההפוך הכיוון את גם להוכיח אפשר ~k · ~R = 2πM M ∈ Zש־ הדרישה ומתוך~b1,~b2,~b3 הוקטורים של לינארי צירוף הוא ~k אם הוא ~R

למעוניינים). (תרגיל (הישר) המקורי הסריג הוא ההופכי, לסריג ההופכי הסריג כי להראות פשוט יחסית

ההפוך הסריג של הפרימיטיבי היחידה תא נפח כי לראות אפשר ,v = ~a1 · (~a2 × ~a3) הישר, הסריג של הפרימיטיבי היחידה תא נפח את נסמן אם(2π)

3

vהוא (2.2) ההגדרה תחת

10

(First Brillouin Zone) הראשון Brillouin אזור 2.1

ההפוכי. הסריג של Wigner-Sietz מסוג הפרימיטיבי היחידה תא הינו הראשון Brillouin אזור

מרווחות נקודות פשוט הוא ההופכי הסריג ,a במרווחים אחיד באופן מרווחות נקודות פשוט הוא הישיר הסריג בו הפשוט, החד־מימדי המקרה עבור

.2π

aמרווחים עם אחיד באופן

סריג. נקודת כל סביב ±πa

היא שהיקפו פרימיטיבי יחידה תא לנו נותנת Wigner-Sietz מסוג הפרימיטיבי היחידה תא של הבנייה

בהמשך בהם ניגע ועוד ,Bragg מישורי נקראים Wigner-Sietz מסוג הפרימיטבי היחידה תא של הקונסטרוקטיבית בבנייה נעזרנו שבהם המישוריםבהרחבה.

הופכי סריג ישר סריג2π

aצלע עם SC סריג a צלע עם SC סריג

4π

aצלע עם BCC סריג a צלע עם FCC סריג

2π

aצלע עם FCC סריג a צלע עם BCC סריג

סריג מישור 2.2

אחד. קו על שאינן סריג נקודות 3 לפחות המכיל מישור זהו

נקודות. אינסוף גם מכיל שכזה מישור כל כי ברור זה Bravais סריג של הגדרה מתוך

נוכחים אנחנו כרגיל, הסריג. נקודות כל את המכילים מזה זה שווים במרחקים מקבילים סריג מישורי של קבוצה היא סריג מישורי של משפחההסריג. נקודות כל את המכילים סריג מישורי משפחת של יחידה בחירה אין כי לדעת

באורך הינו ביניהם כשהקצר הללו למישורים הניצבים ההופכי בסריג וקטורים יש מזה זה d מרחק המרוחקים סריג מישורי של משפחה לכל טענה:

נכונה. ההפוכה הטענה גם .2π

d

זו. טענה נוכיח

שהוא ההופכי, בסריג וקטור הוא ~k0 =2π

dn הוקטור כי נטען למישורים. הניצב n היחידה וקטור את נגדיר סריג. מישורי של משפחה לנו ויש נניח

זו. תכונה המקיים ההופכי בסריג ביותר הקצר הוקטור ושהוא הללו, הסריג מישורי למשפחת ניצב

גבי על אחרת סריג נקודת כל הסריג. מישורי במשפחת מהמישורים אחד על נמצאת זו נקודה בראשית. להיות בסריג הנקודות אחת את נבחר.~k ההופכי, בסריג וקטור לכל ei~k·~R = 1 מקיימת זה סריג מישור

בכך בסריג נקודה כל של הקוארדינטות את מציינים אנחנו (כלומר, שלם מספר הוא m כאשר ~R+mdn באמצעות לתאר אפשר במרחב נקודה כלהסריג במישור לנחות מנת על הסריג, למישורי הניצב בכיוון md מרחק הולכים ואז הראשית, את החותך הסריג גבי על ~R הולכים ראשית שאנחנו

המתאים).

הבא: הקשר ,~k ההופכי, בסריג וקטור כל עבור להתקיים חייב ולכן,

ei~k·(~R+mnd) = 1

הבאה: הזהות נובעת ,ei~k·~R = 1 המקורית, הטענה ומתוך

eimd~k·n = 1

11

m,M ∈ Z עבור md~k · n = 2πM להתקיים חייב כי עלינו גוזר זה כי לב נשים

,~k של האורך את יגדיל nל־ הניצבים בכיוונים היטל כל ,~k0 =2π

dn הוא הזה הקשר את לקיים שיכול ביותר הקצר הוקטור כי להווכח קל ומכאן

התכונה. לקיום האפשרי ~k · n של המינימלי הגודל הוא2π

dו־ ,md~k · n = 2πM התכונה של קיומה את ישנה לא אך

לה. המתאים ~k0 הוקטור באמצעות לאפיין אפשר סריג מישורי משפחת שכל היא הזו בטענה הפואנטה

הבא: באופן הפרימטיביים הוקטורים גבי על לפרוס כמובן אפשר ההופכי, בסריג וקטור שהוא זה, ~k0 וקטור

~k0 =2π

dn = h~b1 + k~b2 + ~b3 (2.3)

כי לציין חשוב לציין. רצינו אותה הסריג מישורי משפחת של (Miller indices) מילר אינדקסי נקראים ,(hk`) האלה, השלמים הפריסה מקדמיההופכי. הסריג את לתאר בחרנו אנחנו שבאמצעותם הפרימטיביים לוקטורים ביחס אלא יחיד, באופן נקבעים לא האלה האינדקסים

של הדינמיקה את שמתאר שההמילטוניאן סיבובים), (הזזות, רציפות סימטריות של משפחות שוברים למדנו שעליהם הסריגים כי לנו ברור כרגעמחר. לדבר נתחיל הזו הסימטריה שבירת של התוצאה על מקיים. בסריג האטומים כלל

III חלק

פונונים2013 במרץ 6

ההרמוני בקירוב גבישי סריג 1

האטומים. של המיקום של מריחה יש למעשה אבל בדיוק. נקודות הן האטומים מאכלסים אותן הנקודות בו אידאלי סריג איזה על דיברנו כה עדאת יש עדיין T = 0 בטמפרטורה ואף טמפרטורה, ובכל משמעותי, תפקיד משחקות התרמיות התנודות T > 0 בטמפרטורות מקורות. שני יש לכך

אי־הוודאות. בעיקרון שמקורה המריחה

הסריג. נקודת סביב הפלקטואציות את ~uiוב־ בסריג, הנקודה את ~Riב־ סימנו כאן כאשר ~ri = ~Ri + ~ui הוא אטום כל של המיקום כן על

הסריג: של ההמילטוניאן את לרשום ננסה

H =∑i

~p2i

2m+

1

2

∑i,j

V(~Ri − ~Rj + ~ui − ~uj

)(1.1)

האנרגטית. להעדפתו גרם שהפוטנציאל הסריג לנו נתון שכבר מניחים אנחנו הסריג. של המבנה את בתוכו קובר הפוטנציאל של האופי

בכלל שתהיה מנת על וזאת בסריג, החלקיקים בין האופייני המרחק הוא a כאשר |~u| a שמתקיים מפורשת הנחה בתור נניח אנחנו כן, כמומוצדקת. היא הזו שההנחה בהמשך להראות נצטרך הסריג. נקודות סביב קטנות פלקטואציות על ללדבר משמעות

:~ui − ~uj הקטן המשתנה תחת ~Ri − ~Rj הנקודה סביב הפוטנציאל את לפתח טבעי רק זה כן, על

V(~Ri − ~Rj + ~ui − ~uj

)≈ V

(~Ri − ~Rj

)(1.2)

+ (~ui − ~uj) · ~∇V(~Ri − ~Rj

)+

1

2

((~ui − ~uj) · ~∇

)2

V(~Ri − ~Rj

)

.~r ≡ ~Ri − ~Rj של הרכיבים לפי הן הנגזרות כאן כאשר הפוטנציאל, עבור ההרמוני הקירוב קוראים זה לקירוב

מקבלים אנחנו ~Ri הנקודות את .~uiה־ הן הזה ההמילטוניאן של החופש דרגות כי ראשית לב נשים אומר. הזה הקירוב מה ולהבין להתחיל ננסה

מספר. פשוט הוא1

2

∑i,j

V(~Ri − ~Rj

)הסכום כן ועל כנתונות,

מניפולציות קצת (עם להתאפס בדיוק חייב משקל משיווי בהסטה הלינארי שהאיבר הרי המשקל, שיווי נקודות סביב הפיתוח את ועשינו הואילהמפוקפק). התענוג על נדלג אבל זה, את לעשות אפשר אלגבריות

12

הבאה: לצורה הביטוי את להביא אפשר התחתונה, בשורה

H =∑i

p2i

2m+

1

4

∑i,j

∑µ,ν=x,y,z

(uµi − u

µj

) ∂2V (~r)

∂rµ∂rν

∣∣∣∣~r=~Ri−~Rj

(uνi − uνj

)(1.3)

מחזורי שפה תנאי עם חד־מימדי גביש 2

הגביש של האנרגיה ספקטרום 2.1

.a הוא הקרובים השכנים בין המרחק בה אטומים, N של חד־מימדית בשרשרת נתבונן כעת

אותנו מעניינים שלא כך התרמודינמי) (הגבול גדול מספיק Nש־ אומר זה פיזיקלית מחזוריים. שפה תנאי שמתקיימים מתמטית פשטות לצורך נניחהשפה. תנאי

uj = uj+N המחזורי, השפה תנאי פי ועל Rj = ja זה במקרה

בלבד. סמוכים זוגות על לסכימה הופכת1

2

∑i,j

הסכימה כלומר, בלבד. קרובים שכנים בין לאינטרקציה האינטרקציה את לקרב אפשר כי נניח

.(1.2) הריבועית הצורה מתוך B ≡ ∂2V (x)

∂x2

∣∣∣∣x=a

ההגדרה תחת נקבל ולכן

H =1

2m

∑i

p2i +

B

2

∑i

(ui − ui+1)2

(2.1)

מה אותו. ללכסן ובכך תלויות בלתי בקוארדינטות קוודרטיים המילטוניאנים של לסכום הזה ההמילטוניאן את לפרק היא מכאן שלנו המטרהשלו. הפונונים את הגביש, של התנודה מודי את למצוא הוא למעשה עושים שאנחנו

הנגזרות המילטון משוואות את נרשום כך, לשם רגע). בעוד (יתבהר בגביש הדיספרסיה יחס את ראשית נמצא כאן, קורה מה להבין בשביל:(2.1) מההמילטוניאן

uj =∂H

∂pj=pjm

pj = − ∂H∂uj

= −B (2uj − uj−i − uj+1)

הן: לפתור שעלינו התנועה שמשוואות ומכאן

uj = −Bm

(2uj − uj−1 − uj+1)

בזמן. תלויים שאינם מקדמים עם לינאריות דיפרנציאליות משוואות סט כאן לנו יש

uj (t) = uei(kja−ωt) מהצורה פיתרון נניח הדיספרסיה יחס את לחלץ מנת על

הבא: הקשר את נקבל אותו שנציב מרגע

−ω2 = −Bm

(2− eika − e−ika

)= −2B

m(1− cos (ka))

ω =

√4B

m

∣∣∣∣sin(ka2)∣∣∣∣ (2.2)

יתר אחרת. הוא שהמצב נבין עוד אבל חופשי, פרמטר כמו נראה הוא לכאורה כאן. לבחור לנו שמותר k ערכי הם מה עדיין אמרנו לא כי לב נשיםשלילית, אנרגיה עם תנודה אופן לנו תתן שלילי ω של בחירה כי נראה אנחנו בהמשך שלילי? בערך ולא ω עבור חיובי בערך בחרנו מדוע כן, על

אינסוף. עד הזה המוד את לעורר תשאף המערכת אנרגיה, למינימום להגיע מנת על ואז

13

להתקיים שצריך לנו ברור ,uj = uj+N המחזורי, השפה תנאי את יקיים זה שפתרון מנת על ,uj (t) = uei(kja−ωt) הפתרון להנחת נחזור אם

שלם. n עבור k =2π

Na· n

.k עבור uj (t) לפונקציה זהה היא k +2π

Naעבור uj (t) הפונקציה כי לב נשים

שונים. קצת היו הפרטים אם גם המותרים, הגל מספרי מספר את לנו משמר היה בוחרים שהיינו שפה תנאי כל כי לציין כאן חשוב

k ∈[−πa,π

a

]התחום על להתבונן לנו די כן ועל

בעבר. ראינו שכבר החד־מימדי הגביש של rst Brillouin zoneה־ בדיוק זהו בעבר, שראינו ממשהו מסריח קצת כבר וזה

הסריג. של rst Brillouin zoneב־ חיים שהם היא ראשונים, תנודה אופני מתארים שבאמת אלו תלויים, הבלתי ~kה־ יותר, גבוה למימד ההכללה

קנונית טרנספורמציה איזו לבצע היא כאן בלכסון הכוונה אותו. וללכסן ההמילטוניאן את לקחת רוצים היינו ביד הזו האינטואיציה כל עםלנו שתתן הקוונטית) במכניקה החילוף\אנטי־חילוף יחסי ואת הקלאסית במכניקה פואסון סוגרי את המערכת, של האלגברה את שמשמרת (כזו

פשוטים). הרמוניים (אוסילטורים לחלוטין בנפרד לפתור שניתן פשוטים המילטוניאנים של לסכום שמתפרק המילטוניאן

הבא: באופן pj והתנעים uj הקוארדינטות של פוריה פיתוח את נבצע כן, על

uj (t) =1√N

∑k

uk (t) eikja (2.3)

pj (t) =1√N

∑k

pk (t) e−ikja

(Na באורך קטע על המחזוריים השפה תנאי בשל מתמטית, קיים, פיתוח (כזה

אותם בדיוק הם סוכמים אנחנו עליהם k ערכי כאשר כך נראה uj של פוריה שפיתוח לכך יובילו הדיספרסיה, ליחס אותנו שהובילו הטיעונים (אותם

(k ∈[−πa,π

a

]עבור k =

2π

Nan ערכים

מרוכבים. ערכים כללי, באופן מקבלים, pkו־ uk וכעת הואיל למערכת חופש איזה עוד הוספנו כביכול (2.3) בטרנספורמציה כי לב נשים

נוסף, מידע שום הוספנו לא כלומר, ,u?k = u−k מיד נגרר לדוגמה, uj = u?j ממשי, שדה של פיתוח עבור כי כאן, לעזרתנו באים פוריה יחסי אבלנוספות. חופש דרגות שום

uk, pk החדשים והתנעים הקוארדינטות את לחלץ יכולים אנחנו (2.3) הטרנספורמציה מתוך

שימושית: מתמטית בזהות צורך לנו יש שנמשיך, לפני

N∑j=1

eikja = eika1− eikaN

1− eika=

0 else

N k ∈ reciprocal lattice

היא: ההפוכה הטרנספורמציה כי נטען

uk =1√N

∑j

uje−ikja

pk =1√N

∑j

pjeikja

:uk עבור זאת נוכיח

uk =1

N

∑k′

∑j

uk′ei(k′−k)ja

=1

N

∑k′

uk′∑j

ei(k′−k)ja

︸ ︷︷ ︸Nδk,k′

∑k′ei(k

′−k)ja = Nδk,k′ לטעון מנת על שהוכחנו בזהות כאן נעזרנו כאשר

14

הואיל אך ,k′ − k = 0,±2π

a,±2

2π

a. . . כלומר, ההופכי, בסריג להיות צריך k′ − kש־ לנו אומרת שהוכחנו הטענה כי זה ?δk,k′ קיבלנו מדוע

מתוך ±2π

aלקבל אפשר אי למה k′− k = 0 אם היא האלה מהערכים אחד את לקבל היחידה הדרך ,rst Brillouin zoneב־ חיים שניהם k, k′ו־

.rst Brillouin zoneב־ נמצאים כן אלו ערכים כביכול הרי ?k′ = −k = ±πa

של קביעה

עדין. הוא הפתרון

.2π

aשל שלמה בכפולה הנבדלים k ערכי פעמיים נספור ושלא k =

2π

Nan הייתה שלנו k ערכי על המפורשת הדרישה

שאי כך ,− 2π

Na

N

2. . .

2π

Na

(N

2− 1

)על רצים אנחנו זוגי, N ועבור ,− 2π

Na

(N − 1

2

). . .

2π

Na

(N − 1

2

)על רצים אנחנו אי־זוגי, N עבור

שרצינו. מה את ולקבל k′ = −k = ±πa

את לקחת ∑אפשרk′ei(k

′+k)ja = Nδk′,−k נקבל כזו בסכימה יותר, עוד עדינים מטעמים ,k′ + k של ההפוך המקרה עבור גם

uk, pk ∝ δk,k′ שמתקיים נשמרים, uj,pj′ ∝ δj,j′ פואסון שסוגרי כלומר, קנונית, טרנספורמציה אכן זוהי כי להוכיח להוכיח בקלות ניתן

פתירה: לצורה אותו להביא מנת על (2.1) ההמילטוניאן את לתרגם נתחיל כעת

∑j

p2j =

1

N

∑j

∑k

∑k′

pkpk′e−ikjae−ik

′ja

=1

N

∑k

∑k′

pkpk′∑j

e−i(k+k′)ja

︸ ︷︷ ︸Nδk′,−k

=∑k

pkp−k

∑j e−i(k+k′)ja = Nδk′,−k לכן, קודם רבות עליה שדיברנו בזהות השתמשנו האחרון לפני במעבר כאשר

∑j

(uj − uj+1)2

=1

N

∑j

∑k

∑k′

uk

(eikja − eik(j+1)a

)uk′(eik′ja − eik

′(j+1)a)

=1

N

∑k

∑k′

ukuk′[1− eik

′a − eika + ei(k+k′)a]∑

j

ei(k+k′)ja

︸ ︷︷ ︸Nδk′,−k

=∑k

4 sin2

(ka

2

)uku−k

שלנו: השונים והתנעים הקוארדינטות בין לחלוטין להפריד הצלחנו כי נקבל כאת, מחדש ההמילטוניאן את נכתוב אם ולכן

H =∑k

(1

2mpkp−k + 2B sin2

(ka

2

)uku−k

)(2.4)

המילטון: משוואות אותן הן התנועה שמשוואות הרי uk, pk′ ∝ δk,k′ הדינמיקה את לשמר והצלחנו הואיל ומכאן,

˙uk =∂H

∂pk=p−km

˙pk = − ∂H∂uk

= −4B sin2

(ka

2

)u−k

−k עבור באיבר כמקדם אחת ופעם k עבור אחת (פעם פעמיים מופיע pk האיבר שבסכימה טריוויאלית הלא בזהות נעזרנו בגזירה כאן (כאשר(uk עבור וכנ״ל בסכימה)

לרשום: שאפשר ומכאן

¨uk = −4B

msin2

(ka

2

)uk

15

הבא: הדיספרסיה ליחס המצייתת ωk בתדירות בזמן תנודות מבצעת uk קוארדינטה כל כי שקיבלנו ומכאן

ωk ≡√

4B

m

∣∣∣∣sin(ka2)∣∣∣∣ (2.5)

סט את להגדיר ואז אלגבריות, מניפולציות עם רק הגענו אליו ,(2.4) ההמילטוניאן את לקחת יכולים היינו קוונטי, באופן לעבוד רוצים היינו אםהבא: האופרטורים

uk =

√~

2mωk

(ak + a†−k

)pk = i

√~mωk

2

(a†k − a−k

)הבאים: החילוף יחסי את מקיימים האלה והיצירה החיסול אופרטורי

[ak, ak′ ] = 0[a†k, a

†k′

]= 0[

ak, a†k′

]= δk,k′

הבאה: בצורה הקוונטי ההמילטוניאן את נקבל אז בהמילטוניאן, הזו הטרנספורמציה את נציב ואם

H =∑k

~ωk(a†kak + 1/2

)(2.6)

תנודה). תדירות בכל אנרגיה של (קוונטות פונונים של כרצוננו גדול מספר לעורר יכולים אנחנו מותר, k בכל כאן כי לציין חשוב

(k הגל למספר המתאימה התנודה בתדירות יש פונונים (כמה nk האכלוס במספרי יושבת המערכת מצב על האינפורמציה

שלו. האכלוס מספר פי על הגל, ממספרי אחד לכל הסולם אופרטורי של הפעלה באמצעות לתאר אפשר המערכת של הקוונטי המצב את

|ψ〉 =∏k

(a†k

)nk|0〉 (2.7)

.k גל מספר עם הפונונים מספר את מודד והוא ,Nk ≡ a†kak המספר, אופרטור את להגדיר יכולים אנחנו k גל מספר לכל בנוסף,

2013 במרץ 13

וזהו. k הגל במספר פונונים nk יש בו מנורמל) (הלא המצב בתור |nk〉 הרישום את נציב

|nk〉 ≡(a†k

)nk|0〉

.k גל מספר עם הפונונים מספר את מודד הוא זה, מצב על פועל k הגל מספר של המספר אופרטור כאשר

הבא: הרישום הוא הלאה, וכן k2 עם פונונים nk2 ,k1 עם פונונים nk1 יש בו כללי, למצב אלטרנטיבי רישום

|nk1, nk2

, . . . , nkN 〉 =(a†k1

)nk1(a†k2

)nk2

. . . to(a†kN

)nkN |0〉|ψ〉 =

∏k

(a†k

)nk|0〉 הקודם, מהשיעור הרישום בעצם וזה

הבאה: הצורה את מקבל הוא הראשית שבקרבת הרי ,2.5 הדיספרסיה, יחס עבור שמצאנו לביטוי נחזור אם

ωk→0 =

√Ba2

m|k| (2.8)

ועבור מעניין), להיות אמור וזה Van Hove סינגולריות (זוהי מתאפסת (∂ω

∂k) החבורה מהירות k → π

aשעבור היא בהמשך בה שניגע נוספת נקודה

במערכת. המעוררים שונים פונונים בין דיספרסיה לנו אין כלומר, ,ω

kהפאזה למהירות שווה

∂ω

∂kהחבורה מהירות כי מקבלים אנחנו k → 0

16

נתונה בטמפרטורה החום וקיבול האנרגיה 2.2

פונונים. של עירור באמצעות היא הגביש את אנרגטית לעורר כה עד בה התחשבנו שאנחנו היחידה הדרך

החום. לקיבול הפונונים של התרומה את נחשב כך, לשם הגביש. של החום) (קיבול הסגולי החום את לחשב ננסה

היא: (β ≡ 1

kBT) T בטמפרטורה המערכת, של האנרגיה

E =

∑iEi exp (−βEi)∑i exp (−βEi)

= − ∂

∂βlnZ

סטטיסטית. ממכניקה זוכרים שאנחנו ובה Z ≡∑i

exp (−βEi) בהגדרה נעזרנו האחרון במעבר כאשר

המערכת. של החלוקה פונקציית את לחשב עלינו החישוב, שלשם ומכאן,

אנרגטית. גם יחיד, באופן המצב את לנו מאפיין מהמצבים אחד כל של שהאכלוס אמרנו כבר האפשריים? האנרגטיים המצבים כל מהם

Enk =∑k

~ωk (nk + 1/2)

לרשום: נוכל ומכאן

Z =

∞∑nk1

=0

∞∑nk2

=0

· · ·∞∑

nkN=0

exp

(−β∑k

~ωk (nk + 1/2)

)

=

∞∑nk1

=0

exp (−β~ωk1(nk1

+ 1/2))

∞∑nk2

=0

exp (−β~ωk2(nk2

+ 1/2)) · · ·∞∑

nkN=0

exp (−β~ωkN (nkN + 1/2))

לרשום: יכולים אנחנו ולכן הנדסי, טור של סכום הוא מהסכומים אחד כל כי רואים אנחנו ומכאן

Z =∏k

exp

(−β~ωk

2

)1− exp (−β~ωk)

=∏k

1

2 sinh

(β~ωk

2

)

טבעי: באופן נובע לאנרגיה הביטוי ומכאן

E = − ∂

∂βlnZ

=∂

∂β

∑k

ln

(2 sinh

(β~ωk

2

))E =

∑k

~ωk2

coth

(β~ωk

2

)(2.9)

הבאה: באופן גם לרשום אפשר 2.9 האנרגיה, עבור הזה הביטוי את כי לב נשים

E =∑k

~ωk2

+∑k

~ωkexp (β~ωk)− 1

(2.10)

רמת אנרגיית זוהי השמאלי), (האיבר בה תלויה שאינה ואחת בטמפרטורה התלויה תרומה כאן שיש רואים שאנחנו הוא זו בהצגה המעניין הדבר.(zero point energy) אפס לטמפרטורה בירידה גם ממנה להפטר איך לנו שאין היסוד

C =∂E

∂Tהפונוני, החום קיבול את גם לחשב בקלות יכולים אנחנו ומכאן

17

C = kB∑k

(

~ωk2kBT

)sinh

(~ωk

2kBT

)

2

(2.11)

ε = ~ωk ברמה הממוצע האכלוס הוא עליו לדבר נוסף מעניין גודל

היא: k הגל מספר בעל הפונון של הממוצעת האנרגיה

〈εk〉 = ~ωk 〈nk〉

〈nk〉 =1

exp (β~ωk)− 1(2.12)

.µ = 0 כימי פוטנציאל עבור בוז־איינשטיין התפלגות בדיוק הוא 〈nk〉 עבור הביטוי כי לב נשים

∆k =2π

Naשל בקפיצות

[−πa,π

a

]rst Brillouin zoneמה־ ערכים מקבל k

ולקבל: לאינטגרל הסכום את לקחת יכולים אנחנו התרמודינמי, בגבול

E =1

∆k

∑k

∆k~ωk

2+

1

∆k

∑k

∆k~ωk

exp (β~ωk)− 1

היסוד: אנרגיית מעל האנרגיה את רק נחשב החום, קיבול עבור בביטוי רק בסוף מעוניינים ואנו הואיל

E =1

∆k

∑k

∆k~ωk

exp (β~ωk)− 1

≈ Na

2π

πaˆ

−πa

dk~ωk

exp (β~ωk)− 1

הבאה: המניפולציה עם גדול כלום נעשה עכשיו

E = Na

∞

0

dω

πaˆ

−πa

dk

2π

~ωkexp (β~ωk)− 1

δ (ω − ωk)

f (x) δ (x− x0) = f (x0) δ (x− x0) :δ פונקציית של בזהות נזכר

לרשום: יכולים אנחנו ומכאן

E = Na

∞

0

dω

πaˆ

−πa

dk

2π

~ωexp (β~ω)− 1

δ (ω − ωk)

= Na

∞

0

dω~ω

exp (β~ω)− 1

πaˆ

−πa

dk

2πδ (ω − ωk)

של האכלוס זה n (ω) כאשר E =

∞

0

dω ε (ω)n (ω) g (ω) מהצורה אינטגרל בתור אותו לזהות יכולים אנחנו כך, הביטוי את שכתבנו עכשיו

.ω בתדר האוסילטור של האנרגיה זו ε (ω)ו־ האוסילטורים צפיפות זו g (ω) ,ω תדר עם האוסילטור

ε (ω) = ~ω

n (ω) =1

exp (β~ω)− 1

g (ω) =

πaˆ

−πa

dk

2πδ (ω − ωk)

18

יותר: מפורש באופן המצבים צפיפות את לחשב נרצה כעת

g (ω) =

πaˆ

−πa

dk

2πδ (ω − ωk)

= 2

πaˆ

0

dk

2πδ (ω − ωk)

.δ פונקציות עבור הבאה בזהות נזכר

δ (g (x)) =∑i

δ (x− xi)|g′ (xi)|

xi ∈ roots of g

לרשום: יכולים שאנחנו ומכאן

g (ω) = 2

πaˆ

0

dk

2π

δ (k − kω)∣∣∣∣∣ ∂ω∂k∣∣∣∣k=kω

∣∣∣∣∣:k > 0 עבור הדיספרסיה יחס מתוך

∂ω

∂kאת נחשב

ω (k) =

√4B

msin

(ka

2

)⇓

∂ω

∂k=

√Ba2

mcos

(ka

2

)

נחלץ: ,∂ω

∂k

∣∣∣∣k=kω

ב־ מעוניינים ואנחנו הואיל

kω =2

aarcsin

(√mω2

4B

)

(cos (arcsin (x))2

=√

1− x2 הזהות (מתוך נקבל ולכן

∂ω

∂k

∣∣∣∣k=kω

=

√Ba2

m

√1− mω2

4B

=a

2

√4B

m− ω2

מפורש: באופן g (ω) את לרשום יכולים אנחנו ומכאן

g (ω) = 2

πaˆ

0

dk

2π

δ (k − kω)

a

2

√4B

m− ω2

=2

πa

1√4B

m− ω2

πaˆ

0

dk δ (k − kω)

19

g (ω) =2

πa

1√4B

m− ω2

×

1 0 < ω < ωmax =

√4B

m0 else

(2.13)

הבא: לביטוי שהצטמצמנו הרי היסוד, רמת מעל האנרגיה עבור שלנו לביטוי נחזור מכאן ואם

E =

√4Bmˆ

0

dω2N/π√

4B

m− ω2︸ ︷︷ ︸

g(ω)

~ω︸︷︷︸ε(ω)

1

exp (β~ω)− 1︸ ︷︷ ︸n(ω)

x ≡ β~ω

dω =dx

β~ההצבה באמצעות יחידות חסר לאינטגרל נעבור

E =2

πNkBT

β~√

4Bmˆ

0

dx1√

4B

m(β~)

2 − x2

x

ex − 1(2.14)

גבולות. בשני C ואת E את נחשב

x עבור אלא לקבוע ביחס זניח x2ה־ השורש, בתוך ב־∞. העליון הגבול את להחליף יכולים אנחנו ,1 β~√

4B

mנמוכות, טמפרטורות של בגבול

לקרב: אפשר ולכן כך, גם אקספוננציאלית דועך האינטגרנד גדול, מאוד מאוד x עבור אבל גדול, מאוד מאוד

Ecold ≈2

πN (kBT )

2 1

~√

4B

m

∞

0

dxx

ex − 1

.π2

6וערכו מוכר, כבר הוא בסוף והאינטגרל

Ecold =π

6~

√m

BN (kBT )

2

Ccold = kBπ

3~

√m

BNkBT

שנוריד ככל לינארי. דיספרסיה ויחס נמוכות אנרגיות להם שיש אלו הם נמוכות בטמפרטורות הזו המערכת של בתרמודינמיקה השולטים הפונוניםלעירור. לנו שזמינים פונונים ופחות פחות יש הטמפרטורה, את

גבוהות. בטמפרטורות הוא לפתור יכולים שאנחנו השני המעניין הגבול

לקרב נוכל כן ועל קטנים, הם באינטגרנד x של ערכיו כן ועל קטן, הוא האינטגרל של העליון הגבול .1 β~√

4B

mגבוהות בטמפרטורות

פשוט: הוא האינטגרל ומכאןx

ex − 1≈ x

1 + x− 1= 1

E =2

πNkBT

β~√

4Bmˆ

0

dx1√

4B

m(β~)

2 − x2

20

נקבל: ולכןπ

2הוא המסוים האינטגרל של וערכו ,arctan הוא זה אינטגרל

Ehot = NkBT

Chot = NkB

לדרגת חום קיבולkB2

חלקיק, כל של המיקום של הריבועית החופש לדרגתkB2

חום (קיבול השווה החלוקה עיקרון את חזרה מקבלים אנחנו ומכאן

במערכת. הפונונים כל את לעורר שווה הסתברות לנו יש גבוהות בטמפרטורות כי הגיוני וזה חלקיק). כל של הקינטית האנרגיה של הריבועית החופש

וקיבול מאפס, שונה הייתה נמוכות בטמפרטורות הממוצעת האנרגיה אזי ,ω (k = 0) 6= 0 כלומר, הראשונהת ברמה אקסיטציה פער לנו היה אילו

.exp

(− ∆E

kBT

)ל־ פרופורציוני היה החום

2013 במרץ 20

Goldstone משפט 2.3

:Goldstone למשפט פרטית דוגמה הוא פונונים של במקרה כאן שראינו מה

gapless) אנרגטי פער חסר בוזוני עירורים ענף יופיע טווח) ארוכי כוחות (בהעדר ספונטני באופן רציפה גלובלית סימטריה ששוברת במערכת(excitations

היא הסימטריה שבירת שם בפרומגנט, (ספינונים) ספין גלי היא שראינו נוספת ודוגמה להזזות, הרציפה הסימטריה נשברה החד־מימדי בגבישבנפרד. ספין כל של לסיבובים הסימטריה

אטומים סוגי שני עם חד־מימדי גביש 3

ונגיד להרמוני, שכנים אטומים שני כל בין הכח את נקרב כמקודם, .a הוא הסריג קבוע כאשרm→ ~0

M → a

2x

בסיס: עם חד־מימדי סריג לנו ויש נניח

ב־2: M מסה בעלי אלו ואת ב־1 m מסה בעלי האטומים את נסמן שמשמעותי. היחיד הוא קרובים שכנים בין שהכח

H =

N∑j=1

[p2j1

2m+p2j2

2M

]+B

2(uj1 − uj2)

2+B

2(uj2 − uj+1,1)

2

הן: בעבר) זה פיתוח עשינו (וכבר זה מהמילטוניאן הנגזרות התנועה ומשוואות

md2uj1dt2

= −B [uj1 − uj2 − (uj−1,2 − uj1)] (3.1)

Md2uj2dt2

= −B [uj2 − uj1 + (uj2 − uj+1,1)]

פורייה: טרנספורם באמצעות הפשוט, החד־מימדי הסריג של במקרה כמו נפתור

ujα =1√N

∑k

ukαeikja

:(3.1) במשוואות זו הגדרה נציב

1√Nmd2

dt2

∑k′

uk′1eik′aj = −B

[2√N

∑k′

uk′1eik′ja − 1√

N

∑k′

uk′2eik′ja − 1√

N

∑k′

uk′,1eik′(j−1)a

]

.M עם המשוואות סט עבור לקבל אפשר אנלוגית משוואה

סט את מקיימים ukα כי נקבל ואז k של ספציפי ערך לברור מנת על זו משוואה על (j פי על (סכימה דיסקרטי פורייה טרנספורם נפעיל כעתהבא: המשוואות

m d2

dt2

Md2

dt2

(uk1

uk2

)=

(−2B B

(1 + e−ika

)B(1 + eika

)−2B

)(uk1

uk2

)

21

האופטי והמוד האקוסטי המוד 3.1

ללכסן. (2× 2) מטריצה נקבל ukα = ukαeiωkt מהצורה פתרון נניח אם עצמיים! ערכים בעיית בתור לנסח שאפשר בעיה זו

לתנודות: פתרון ענפי שני יש כי נקבל1

µ≡ 1

m+

1

Mההגדרה תחת

ω2± =

B

µ

(1±

√1− 4µ2

mMsin2

(ka

2

))(3.2)

∆k =2π

Na

הראשון Brillouin איזור של שההגדרה (בגלל הראשון Brillouin איזור של המקורית לתמונה מתלכדים האלה הענפים שני איך נראה אנחנו בתרגילm = M מהגבול המתקבלת לתמונה לנו המוכרת התמונה של התקפלות איזו מקבלים אנחנו ,

a

2ל־ היחידה תא גודל את לשנות וצריך הואיל שונה

הדו־אטומית) השרשרת של

עוד (כל נמוכות שבטמפרטורות הוא האופטי) הענף נקרא ω+ והענף האקוסטי הענף נקרא ω− (הענף האלה הענפים שני בין התרמודינמי ההבדלהאקוסטי. הענף את רק לעורר אפשר האופטי) הענף את לעורר אנרגיה מספיק אין

המסה בעלי האטומים של נגדי עירור יש האופטי במוד העצמיים). הוקטורים של חישוב מתוך רואים זה (ואת שונות הן התנודות סוגי שני איכותית,המסות. סוגי שני בעלי לאטומים משותף הוא העירור האקוסטי שבמוד בעוד האחרת, המסה ושל האחת

שם יוני) מלח (כמו הפוך מטען בעלי אטומים יש בו גביש על אלקטרומגנטית קרינה של הקרנה באמצעות לדוגמה, לעורר, אפשר האופטי המוד אתמנוגדים. בכיוונים להתנודד אותם יקרע החשמלי השדה

22

שונות מסות בעלי ושליליים חיוביים יונים יש בו בסריג גל מספר לאותו המתאימים האופטי והמוד האקוסטי המוד :3.1 איור

energy שישנו הרי ,gapless excitations מתאר האקוסטי המוד בעוד מאוד. שונה הוא האופטי והמוד האקוסטי המוד של החום קיבול כי לב נשיםנקבל: ,M m בו בגבול נסתכל אם האופטי. במוד משמעותי מאוד gap

ω2± =

B

µ

(1± 1∓ 2m

Msin2

(ka

2

))

⇒

ω+ ≈

√2B

m

ω− ≈√

2B

Msin

∣∣∣∣ka2∣∣∣∣

Cv ∼ T היא החום לקיבול זה ענף של התרומה ולכן (d = 1 הוא והמימד ω ∼ k (כי g (ω) = const. נקבל האקוסטי הענף עבור

נקבל: האופטי הענף עבור

g (ω) =

πaˆ

−πa

dk

2πδ (ω − ω+ (k))

=

πaˆ

−πa

dk

2πδ

(ω −

√2B

m

)=

1

aδ

(ω −

√2B

m

)

כן: ועל ,~ω+ האנרגיה אותה בעלי אוסילטורים של אוסף מתאר זה ענף כלומר,

〈E〉 = N~ω+

exp (β~ω+) + 1⇒ Cv = NkB

(~ω+

kBT

)2

exp (−β~ω+)

2013 באפריל 9

אלסטית שדות תורת 4

הרצף. קירוב תחת והן המדויק, הבדיד, המיקרוסקופי בתיאור הן החד־מימדי, הסריג של במקרה תחילה נדון

23

החופש דרגות 4.1

האורך .Rj = ja סביב uj (t) ההסטות הן בסריג, המשקל שיווי מנקודות האטומים של העתקות N חופש. דרגות N ישנן הבדידה, המערכת עבור.L = Na הוא המערכת של הכולל

L = const.ש־ כזה באופן N ו־∞→ ,a→ 0 בו גבול לקחת עלינו הרצף, לגבול לעבור מנת על

לכל משקל משיווי ההסטה את ונותן j הפרמטר את מחליף x ∈ [0, L] האינדקס כאן כאשר ,u (x, t) רציף, שדה לנו יש הרציפה, המערכת עבורבסריג. נקודה

הלגרנג׳יאן 4.2

נקבל: המדויק הבדיד במקרה הרצף. לגבול אותו ולקחת המערכת של הלגרנג׳יאן את לרשום הכלים את לנו יש כעת

L =∑j

(m

2

(dujdt

)2

− B

2(uj − uj−1)

2

)

= a∑j

(1

2

(ma

)(dujdt

)2

− 1

2(Ba)

(uj − uj−1

a

)2)

B ≡ Ba bulk modulusה־ ואת ρ ≡ m

aהמסה צפיפות את נגדיר

גם אותנו, מפתיע לא וזה קבועים. ρ, Bש־ האילוץ תחת ולעבוד קבועות, שהמסות מכך לשכוח עלינו הרצף, לגבול ללכת מנת על כי לב נשיםהתהליך. אותו את עושים שאנחנו ראינו באלקטרודינמיקה

הבא: באופן הלגרנג׳יאן את לרשום אפשר ולכןuj − uj−1

a=

(∂u

∂x

)x=ja

מתקיים a→ 0 בו בגבול כי לב נשים

L =

L

0

dx

[1

2ρ

(∂u

∂t

)2

− 1

2B

(∂u

∂x

)2]

התנעים 4.3

התקיים: הבדידה, המערכת עבור

pj =∂L

∂uj= m

dujdt

הבאים: החילוף יחסי התקיימו הקוונטים שבתורת בעוד

[ui, pj ] = i~δij

הרציפה: המערכת עבור

pja

=m

a

dujdt

= ρ∂u

∂t

הבאים: החילוף יחסי את המקיים Π ≡ ρ∂u∂t

התנע, צפיפות אופרטור את נקבל הקוונטים ובתורת

[u (x, t) ,Π (x′, t)] = i~δ (x− x′)

24

ההמילטוניאן 4.4

התקיים: הבדידה, המערכת עבור

H =∑j

pj uj − L

= a∑j

1

2(ma

) (pja

)2

+1

2Ba

(uj − uj−1

2

)2

הרציפה: המערכת עבור

H =

L

0

dx

[1

2ρΠ2 (x, t) +

1

2B

(∂u

∂x

)2]

התנועה משוואות 4.5

התקיים: הבדידה, המערכת עבור

m

a

d2ujdt2

=Ba

a2(uj+1 + uj−1 − 2uj)

הרציפה: המערכת עבור

ρ∂2u

∂t2= B

∂2u

∂x2

התנועה למשוואות פתרונות 4.6

שייכים k הגל מספרי כאשר uj (t) = exp (ikja− iωkt) מהצורה פתרונות ידי על נפרשו התנועה למשוואות הפתרונות הבדידה, המערכת עבורהדיספרסיה: יחס ידי על נתונות ωkו־ הראשון Brillouin לאיזור

ωk = 2

√B

msin

∣∣∣∣ka2∣∣∣∣

הוא: הכללי שפתרונה פשוטה, גלים משוואת קיבלנו הרציפה המערכת עבור

u (x, t) =

ˆdk u (k) exp (ikx− iω (k) t)

הבא: הדיספרסיה יחס פי על נקבעת ω (k)ו־ הממשי), הישר כל הוא זה (שבגבול הראשון Brllouin איזור גבי על היא האינטגרציה כאשר

ω (k) =

√B

ρ|k|

אנחנו עוד כל כלומר, קשות, מפספס הוא k ∼ π

aולקראת ,k π

aעוד כל רק המדויק המיקרוסקופי הפתרון עם מתלכד הרצף קירוב כי לב נשים

בסדר. אנחנו המקורית, המיקרוסקופית האורך לסקלת משמעות יש שבהם הגלים ,a של גודל מסדר היא שלהם שהסקלה בגלים דנים לא

מלאה. למעשה היא ההתלכדות ולכןπ

a→∞ ולכן ל־0 a את לקחנו הכי בלאו הרצף, בגבול כי לב נשים

.~u וקטורי לשדה הופך u השדה וגם ,x במקום ~r הקוארדינטה עם נעבוד מימדי, תלת סריג לתאר מנת על

25

להמילטוניאן ״ניחוש״ איזה נבנה לכן החומר. של המיקרוסקופיים הפרטים את מכירה שלא כזו מקרוסקופית, רצף תורת לבנות היא שלנו המטרהמקיימת. היא אותן הסימטריות על המתבסס המערכת של

(ההמילטוניאן ~u בהזזה בלבד שני לסדר עד איברים בו ונשמור כלליים, וסיבובים להזזות האינווריאנטיות את שישמר כך ההמילטוניאן את נכתובהמערכת). של האמיתי להמילטוניאן ההרמוני הקירוב למעשה הוא בונים שאנחנו

הוא: כן על לרשום יכולים שאנחנו ביותר הכללי ההמילטוניאן

H =

ˆd3~r

(1

2ρΠ2 +

1

2(µ+ λ)

(~∇~u)2

− 1

2µ~u · ∇2~u

)

התנע של טנזור איזה הוא Πו־ ~u רכיבי של החלקיות מהנגזרות המורכב 3 × 3 טנזור כלומר, ,~uו־ ~∇ של הדיאדית המכפלה זו ~∇~u כאן כאשר.Lame מקדמי הנקראים החומר של קבועים מקדמים הם λ, µו־ האלסטי, החומר של נפח ליחידת

הבאה: התנועה משוואת את ממנו לגזור שאפשר לדעת לנו די זה. בקורס לענייננו חשוב כך כל לא ההמילטוניאן של המדויק האופי

ρ∂2~u

∂t2= (µ+ λ) ~∇

(~∇ · ~u

)+ µ∇2~u (4.1)

לינארית. תנועה משוואת קיבלנו ריבועי, הרמוני, קירוב ההמילטוניאן את וקירבנו הואיל כי לב נשים

וקטור שלו, הכיוון את גם יש פורייה רכיב לכל כאשר פורייה), התמרת באמצעות (פתרון אוסילטורי פתרון נניח לינארית, משוואה לפתור מנת על.~ε מנורמל

נקבל: התנועה משוואת את נתמיר אם

−ω2ρ~ε = − (µ+ λ)~k(~k · ~ε

)− µk2~ε (4.2)

הבא: הדיספרסיה יחס את נקבל ואנחנו אורכי, פונון שזהו הרי ,~ε = k כלומר, רוחביות, בתנודות דנים אנחנו אם

ω =

√2µ+ λ

ρk (4.3)

גם יש (כלומר ניצב להיות אופנים שני יש מימדים, בשלושה רוחביים. פונונים הם שאלו הרי ,~ε · ~k = 0 כלומר, רוחביות בתנודות דנים אנחנו אםהבא: הדיספרסיה יחס את רוחביים פונונים עבור נקבל אנרגיה). אותה בעלי רוחביים בפונונים 2 ניוון

ω =

õ

ρk (4.4)

המבנה שמעליה פונונים של מסויימת אנרגיה ישנה (שהרי נמוכות באנרגיות פונונים עבור נכונים והם מקורבים הם קיבלנו שאנחנו הדיספרסיה יחסילהמילטוניאן). שביצענו ההרמוני מהקירוב חורגים אנחנו בה ובכלל, בסכנה, כבר הגבישי

היא החשובה המסקנה אך ־ מנוונים הם מהם שניים כאשר ענפים, שלושה קיימים וכי לינאריים, הם הדיספרסיה יחסי נמוכות באנרגיות כי קיבלנוהרוחביות. והתנודות האורכיות התנודות בין ניכר הבדל ישנו כי

2013 באפריל 10

פונונים של תרמודינמיים גדלים ־ Debye מודל 5

קבוע. נפח תחת שלהם החום וקיבול נתונה, בטמפרטורה בהם האגורה האנרגיה כלומר, לפונונים, המשויכים התרמודינמיים הגדלים את כעת נחשב

לנו. המוכר דבאי במודל ניעזר כך, לשם

דבאי: מודל של העיקריות ההנחות

ועבור אורכיות תנודות עבור שונה ערך מקבל c כי אם האלסטי, מהמודל לנו שידוע מה אכן וזה ,ω = ck לינארי, הוא הדיספרסיה שיחס .1פשוט כן ועל (קצת) מתמטית מסתבך קצת זה אבל השונים, התנודה אופני עבור שונים c ערכי עם מפורשות לחשב אפשר רוחביות. תנודות

.6 תרגול של בפיתוח למצוא אפשר זו להנחה תיקון הדיספרסיה. עקום ענפי לשלושת c של אחיד ערך נניח

נשמר. (3N ) בגביש האטומים של החופש דרגות שמספר כך נבחר kD כאשר kD ברדיוס בכדור 1st Brillouin zoneה־ את להחליף אפשר .2

26

Debye מודל תחת החום וקיבול התרמית האנרגיה 5.1

ובתרמודינמיקה. בקוונטים ניעזר אותה, לקבל מנת על הפונונים. של (density of states) המצבים צפיפות לנו דרושה דבאי, מודל את לפתח מנת על

הוא: הפונונים של ההמילטוניאן להזכירנו,

H =∑s

∑~k∈1st BZ

~ωs,~k(a†~k,s

a~k,s + 1/2)

הבא: הקשר ידי על מוגדרים הסולם אופרטורי כאשר

~u (~r) =∑~k,s

√~

2ρV ω~k,s~εs

(a~k,s + a†

−~k,s

)ei~k·~r

היא: β ≡ 1

kBTבטמפרטורה הממוצעת האנרגיה

〈E〉 = V

∞

0

dω g (ω)~ω

exp (β~ω)− 1

g (ω) =∑s

ˆ

~k∈1st BZ

d3~k

(2π)3 δ(ω − ωs

(~k))

=1

2π2

∑s

kDˆ

0

dk k2δ(ω − ωs

(~k))

.1st Brillouin zoneה־ גבי על האינטגרציה את להחליף מנת על הגדרנו) לא (שעוד kD ברדיוס בכדור השתמשנו אנחנו כאן כאשר

לקבל: אפשר δ (f (x)) =∑

xi∈roots of f

δ (x− xi)|f ′ (xi)|

הזהות מתוך אזי ,ω = ck פשוט הוא הדיספרסיה יחס כאשר

δ(ω − ωs

(~k))

= δ (ω − ck)

=1

cδ(k − c

ω

)

ומכאן:

g (ω) =1

2π2

∑s

ω2

c3×

1 0 < ω < ωD = ckD

0 else

שיתקיים: כך c ממוצעת מהירות איזו נגדיר אזי לא, ואם∑s

ω2

c3=

3ω2

c3אזי c` = ct מניחים אנחנו אם כי לב נשים

∑s

ω2

c3=

3ω2

c33

c3≡ 1

c3`+

2

c3t

.(c בתור אותה לפרש יכול שחפץ (שמי c עם נרוץ מכאן אופן, בכל

3N את לנו לתאר אמורים שהם העצמיים, המודים כלל את לנו לתת אמור∞

0

dω g (ω) האינטגרל כי יודעים אנחנו .kD זה מה לקבוע נרצה כעת

הגביש. נפח חלקי התנועה, מודי

3N

V=

∞

0

dω g (ω) =

ωDˆ

0

dω3

2π2

ω2

c3

=1

2π2c3ω3D

27

ωD =

(6π2c3

N

V

)1/3

(5.1)

1st Brillouinה־ את לקרב של שעשינו הקירוב כדי (עד במערכת. פונוניים עירורים קיימים בה ביותר הגבוהה התדירות גם היא הזו דבאי תדירותלכדור). zone

דבאי: טמפרטורת את להגדיר נהוג בנוסף

ΘD ≡~ωDkB

בהתאמה. 1280 Kו־ 88 K נקבל לדוגמה, ויהלום עופרת עבור הפונוניים. לעירורים אופיינית טמפרטורות סקלת שהיא

יחידות: חסרי אינטגרלים לכדי החום וקיבול האנרגיה חישובי של בהעברה היא ΘD של החשיבות

〈E〉 =V · 3 (kBT )

4

2π2c3~3

ΘD/Tˆ

0

dxx3

ex − 1

נקבל: נמוכות בטמפרטורות ולכן T ב־ תלוי אינו האינטגרל כי ולקבל לאינסוף העליון הגבול את להמשיך אפשר T ΘD עבור

〈E〉 ∼ T 4 Cv ∼ T 3

השווה): החלוקה (עיקרון הקלאסי הגבול את לשחזר ומכאןΘD/T´

0

dx x2 ולקבל לטור האינטגרנד את לפתוח אפשר T ΘD עבור

〈E〉 = 3NkBT Cv = 3NkB

הבאה: ההתנהגות את יראה החום קיבול הטמפרטורות טווח כל גבי על ולכן,

התקרבות יש T ΘD שעבור בעוד Cv ∼ T 3 יתקיים T ΘD עבור הטמפרטורות. תחום כל גבי על הפונוני החום קיבול :5.1 איור3NkBל־ אסימפטוטית

2013 באפריל 17

Debye מודל תחת משקל משיווי הסטייה 5.2

הסריג. של ההמילטוניאן של רציפה סימטריה שבירת מהוות (הפונונים) בסריג האטומים של התנודות

הסריג. אטומי של משקל משיווי הממוצעת הסטייה את לחשב כעת נרצה

28

⟨u2⟩

=

⟨nk | u2 (~r) | nk

⟩exp (−βE (nk))∑

nk exp (−βE (nk))

אופרטורי של כפונקציה ~u (~r) האופרטור של הצורה את פשוט נציב כך לשם .⟨nk | u2 (~r) | nk

⟩את לחשב עלינו החישוב, את להשלים מנת על

הסולם:

⟨nk | u2 (~r) | nk

⟩=

∑s,s′

∑~k,~k′

~2ρV

exp(i(~k + ~k′

)~r)

√ω~k,sω~k′,s

⟨nk |

(a~k,s + a†

−~k,s

)(a~k,s + a†

−~k,s

)| nk

⟩

=∑s,s′

∑~k,~k′

~2ρV

exp(i(~k + ~k′

)~r)

√ω~k,sω~k′,s

(1 + 2n~k,s

)δ~k,−~k′δs,s′

=∑s

∑~k

~2ρV ω~k,s

(1 + 2n~k,s

)

נקבל: ומכאן

⟨u2⟩

=∑s

∑~k∈1st BZ

~2ρV ωk,s

(1 + 2

⟨n~ks⟩)

נקבל: דבאי, מודל את שוב נניח ואם

⟨u2⟩

=3~

2π2ρc

kDˆ

0

dk k2 1

k

(1

2+

1

exp (β~ck)− 1

)(5.2)

מוצק של להתכה Lindemann קריטריון 5.2.1

נשבר. המוצק אז ,a הסריג, ריווח של גודל מסדר הן התנודות שכאשר מצפים אנחנו ניתך. מוצק למתי גס קריטריון לקבל נרצה

.kBT של גודל מסדר תרמית אנרגיה עם ירטוט בסריג אטום ושכל השווה, החלוקה עיקרון שיתקיים מצפים אנחנו גבוהות בטמפרטורות

השיוויון: יתקיים ולכן ,ω ∼ ωD כאשר m 〈u〉2 ω2 שלו, הפונוניות בתנודות תושקע זו אנרגיה

kBT ∼ m 〈u〉2 ω2D

להתכה: נצפה 〈u〉2 ∼ a2 כאשר

kBTm ∼ ma2ω2D

Tm ∼ ma2

~2kBΘ2

D (5.3)

הבא: במובן גם להבין אפשר הזו התוצאה את

.a ברוחב לקופסה משול שהוא שלו, הפוטנציאל בבור האטום של האנרגיה זו~2

ma2כי לב נשים

kBTm ∼ma2

~2(kBΘD)

2

על תתגבר הפונוניות התנודות שאנרגיית בשביל מספיק התרמית האנרגיה כאשר מתרחשת שהתכה הוא הזה בקריטריון שרשום מה שכל הרי מכאןהפוטנציאל. בבור הכליאה

29

Mermin-Wagner משפט 5.2.2

את לקרב ניתן ולכן ,k 1 עבור המתקבלות אלו הן באינטגרציה החשובות התרומות כי מבינים אנחנו האינטגרנד, של הסינגולרי האופי בגלל

כדי (עד הכללי´dk kd−1ב־

´dk k2 הוא ,d = 3 מימד, לתלת המתאים היעקוביאן את החלפנו (כאשר הבא באופן

1

2+

1

exp (β~ck)− 1:(ω = ck הדיספרסיה יחס את והצבנו הזה), בחישוב אותנו מעניין שלא prefactor

⟨u2⟩∼

kDˆ

0

dk kd−1 1

k+

1

β~c

1~βcˆ

0

dk kd−1 1

k

1

k

.d ≤ 1 עבור מתבדרת ,zero point uctuationsה־ היא ,T = 0 עבור גם הקיימת הימנית, התרומה כי לב נשים

.(thermal uctuations) התרמיות התנודות הן ואלו ,d ≤ 2 עבור מתבדרת T > 0 בכל השמאלית שהתרומה בעוד1

Lשל גודל מסדר שהוא לאינטגרציה תחתון גבול לנו יש סופית, במערכת אבל ,k = מ־0 אינטגרציה שעשינו מכך נבעה ההתבדרות כי לב נשים

לראות מנת על ,1

L∼ 1

Naב־ לוגריתמי באופן המתבדרת zero point uctuationsה־ של התרומה כלומר, המערכת). של הסקלה הוא L (כאשר

מתבדרת היא גם thermal uctuationsה־ של התרומה אקספוננציאלית. בצורה גדולה מערכת על להסתכל עלינו משפיעה, שלה ההתבדרות את

.1

Lכמו

:Mermin-Wagner משפט הוא כללי, יותר משפט של הדגמה זוהי

.T > ב־0 d ≤ וב־2 T ≥ 0 לכל d ≤ ב־1 רציפה גלובלית סימטריה של ספונטנית שבירה אין

סדרים: של סדר אלף

הבא: הדבר היא סימטריה של ספונטנית שבירה

שהיא אומר זה בזמן, להזזות אינווריאנטיות שהן במערכות בזמן. מתפתחת היא שבו האופן את לכתוב צריך אני מערכת, לתאר או לדבר כדיכללי את הקובע הוא ההמילטוניאן, ידי על נקבעת שלה) האנרגיה עם (יחד המערכת של בזמן ההתפתחות אז המילטוניאן. איזשהו ידי על מתוארת

המשחק.

תחת סימטריים הם שלנו הטבע חוקי כל כרגע, ידיעתנו למיטב למערכת. שנעשה שונות פעולות תחת אינווריאנטי להיות יכול הזה ההמילטוניאןאינווריאנטי. הוא שתחתן הפעולות ישנן המילטוניאן ולכל במרחב, שרירותי באופן המערכת של הזזה

שלא במצב להיות תבחר מסוימת, פעולה תחת אינווריאנטי שהוא המילטוניאן ידי על המתוארת שהמערכת ייתכן האם הבסיסית, השאלה לכן עולההאלה. הסימטריה תכונות את מקיים

המערכת. של ההמילטוניאן לבין המערכת של המצב בין הבדל יש מובן? באיזה

גדלים. מני כל לחשב יכולים אנחנו הקלאסי) במקרה הפאזה במרחב התיאור הקוונטי, במקרה הילברט במרחב (הוקטור המערכת של מצב לכלשההמילטוניאן הסימטריה אותה תחת אינווריאנטי לא הוא המצב בו, להיות בחרה שהיא המסוים שבמצב למצוא יכולים אנחנו עקרוני, באופן

אליה. אינווריאנטי

החד־מימדי. הפרומגנטי המקרה את ניקח

H = −J∑i

~si · ~si+1

,90oב־ אותם ונסובב ↑↑↑↑ . . . נניח סופית), בטמפרטורה שלה התרמי בממוצע או T = ל־0 המתאים היסוד (במצב שלנו הספינים שורת את ניקח.←←←← . . .

מזה זה שונים ושכולם האנרגיה, אותה שלכולם מצבים של שלמה יריעה כאן קיבלנו

ההמילטוניאן. של הסימטריה את מקיימת היריעה גבי על המצבים כל של הסופרפוזיציה

תחת אינווריאנטי אינו ↑↑↑↑ . . . המצב כי לנו ברור היריעה, גבי על המצבים כל של בסופרפוזיציה נמצאת אינה המערכת בו במצב נתבונן אם אבלספונטני. באופן הסימטריה את שברה שהמערכת נאמר אז ,↑↑↑↑ . . . במצב פלא באורח נחתנו אנחנו אם אז הסימטריה. פעולת

שהסימטריה ברור מוגדר, מיקום יש בגביש לחלקיקים בו מצב כל אבל המערכת. של צפידות להזזות אינווריאנטי הוא ההמילטוניאן גבישי, בסריגלשינוי). לב שם לא שההמילטוניאן אפילו אחרת, תמונה קיבלת ימינה־שמאלה, המצב את קצת (תזיז נשברה צפידות להזזות

פרומגנטים: על מילה

H = −J∑i

~si · ~si+1 ההמילטוניאן שובר אותה הספינים, כל של סיבוב של רציפה גלובלית סימטריה לנו יש בפרומגנטים

הכיוון. באותו מיושרים הספינים כל כאשר הוא היסוד מצב כי לב נשים

ול מוגדר, כולל ספין מצב בעלי ההמילטוניאן של עצמיים מצבים של סט למצוא אפשר כלומר, ,[H,Sz] = 0 כי לב נשים כללי באופן

ב־

(Graphene) גרפן אותנו: מכזיב Mermin-Wagner משפט שבה דוגמה

30

קיים! להיות יכול לא Mermin-Wagner משפט פי שעל דו־מימדי, סריג הוא פניו, על פחמן. מאטומי דבש חלת של דו־מימדי סריג הוא גרפן

בכך או משטח גבי על או מחזיקים אנחנו בעולם, שיוצרים גרפן של יריעה שכל הוא לקיומו, הראשון התירוץ קיים? הוא זאת בכל איך אזלפוטנציאלים הגרפן את מכניסים אנחנו (שהרי בהמילטוניאן עוד מפורש, באופן הסימטריה את שוברים אנחנו ובכך בקצוות, אותו מחזיקים שאנחנו

כאן״). ״תהיה לו שאומרים

הניצב בציר גם לנוע חופשיים הפחמן אטומי כלומר, תלת־מימדי, בעולם משוכן הוא אבל דו־מימדי, סריג אמנם הוא שהגרפן הוא השני התירוץנוספת יציבות לעצמו להקנות ובכך הגרפן למישור בניצב ולהתקמט להתקפל הזה, הציר לאורך סימטריה לשבור נוטה הגרפן ואכן הגרפן, למישור

התלת־מימדי. במבנה

IV חלק

קריסטלוגרפיהבה. מעוניינים שאנחנו הרזולוציה של גודל מסדר הוא שלה הגל שאורך קרינה מהם מפזרים אנחנו קטנים? דברים מודדים אנחנו איך

!X קרני כלומר, ,∼ 10−10 m סריג? בתוך מרחקים של במדידה הרלוונטית האורכים סקלת מהי

Bragg מודל ־ X קרני קריסטלוגרפיית 1

כאן) שקורה במה להתעמק סיבה שום אין האמיתיות, התוצאות עם שמתלכדת הנפצות של (ערימה

המפוזרת X קרינת כי הבחינו .William Henry Braggו־ William Lawrence Bragg הנובל, פרס זוכי ובן, אב הצמד ה־20, המאה בתחילתאיזוטרופי. לא מאוד באופן מפוזרת מגבישים,

הבא: זה הוא נתנו שהם המונפץ ההסבר

מקורם גדולות, קרינה עוצמות התקבלו שבהם הספציפיים והכיוונים כמראות המתפקדים הגביש ממישורי מלאה החזרה עוברת בגביש הפוגעת קרינהזו. קרינה של בונה בהתאבכות

2d sin θ הוא המשורטטות הקרניים שתי בין האופטיות הדרכים הפרש

גל: אורכי של שלם מספר הוא זה אופטיות דרכים שהפרש הוא בונה להתאבכות התנאי

2d sin θ = nλ

.order of refractionה־ קוראים אנחנו nל־ כאשר

.ad hoc הנפצות מתוך ולא כה עד שלמדנו מה כל מתוך Bragg של הזו לתוצאה מגיעים אנחנו איך נראה הבא בשיעור

2013 באפריל 23

31

von Laue מודל ־ X קרני קריסטלוגרפיית 2

.~k′ גל מספר בעל מישורי גל בתור ממנה ומתפזר סריג בנקודת הפוגע ~k גל מספר בעל קרינה של מישורי גל לנו ויש נניח

מישורי. גל בתור אליה להתייחס שאפשר כך לגביש ביחס רחבה מספיק שהיא אלומה איזו שזו מספיק אמיתי, מישורי גל להיות צריך לא זה

.(∣∣∣~k∣∣∣ =

∣∣∣~k′∣∣∣ אנרגיה: איבוד אין (כלומר, אלסטי הוא הפיזור כי נניח

בשרטוט: כמתואר ביניהם, ~R המרוחקים אטומים שני פוגע המישורי הגל כאשר שקורה במה נתבונן

.~k′ בכיוון המפוזרת הקרינה את שיקבל שלנו הגלאי את ושמנו ~k בכיוון מאירים אנחנו

יהיה המסלולים שני לאורך האופטיות הדרכים שהפרש היא שלנו הדרישה הפיזורים. משני כתוצאה בונה התאבכות נקבל מתי לדעת רוצים אנחנו

λ =2π∣∣∣~k∣∣∣ הקרינה, של הגל אורך של שלמה כפולה

הוא: האופטיות הדרכים הפרש כי לחלץ אפשר הבעיה של מהגיאוטמריה

∣∣∣~R∣∣∣ cos θ +∣∣∣~R∣∣∣ cos θ′ = ~R ·

− ~k∣∣∣~k∣∣∣ +~k′∣∣∣~k′∣∣∣

שונים) לכיוונים הפיזורים של היחסית הפאזה מבחינת איזוטרופי הוא הקרינה פיזור כי מפורשות הנחנו אנחנו כאן (כאשר

יתקיים: ~R שלכל היא בונה להתאבכות הדרישה ולכן

λ

2π~R ·(~k − ~k′

)= nλ

⇓~R ·(~k − ~k′

)= 2πn

כי: לדרישה שקול זה כי לב נשים

exp(i ~R ·

(~k − ~k′

))= 1

ההופכי! לסריג שייך יהיה ~k − ~k′ ≡ ~Kש־ לך שקולה היא זו דרישה כי ראינו ואנחנו

.momentum transferה־ משלו, שם לו שנתנו מספיק חשוב הוא ~K הגודל

לו. הניצבים סריג מישורי של משפחה יש אזי ההופכי, בסריג וקטור הוא ~K אם

32

לזווית שווה ~k′ של ההחזרה שזווית להתקיים שחייב ומכאן∣∣∣ ~K∣∣∣ =

2π

dn ומקיים להם, מאונך ~Kש־ היא הזו, הסריג מישורי למשפחת ~K בין והקשר

גיאומטרית: מתקיים כי רואים אנחנו ומכאן .~k של ∣∣∣הפגיעה ~K∣∣∣ =∣∣∣~k − ~k′∣∣∣ = 2k sin θ

2π

dn = 2

2π

λsin θ

2d sin θ = nλ

באמת. נכון הוא למה והבנו Bragg של ההחזרה תנאי את ששחזרנו ומכאן

Ewald של הספרה 3

בונה. התאבכות לראות מצפים אנחנו שבהם ~k′ הכיוונים מהם לדעת ,~k הקרינה, של הגל אורך עם יחד הגביש של הסריגי המבנה מתוך רוצים, היינו

ההופכי. הסריג נקודות את עליו נלביש ההופכי. במרחב נתבונן כך, לשם

מגדירים ~k′ של האפשריים הכיוונים כל כי לב נשים .−~k′ הוקטור את לזנב, ראש אליו, נחבר הנכנסת. הקרינה של ~k הוקטור את זה במרחב נשרטט

חותכת הזו הספרה אם ההתבוננות. בכיוון בתלות לקבל, שאפשר ~K של הערכים כל את לנו מגדירה הזו הספרה .~k סביב2π

λברדיוס ספרה לנו

לסריג שייך ~Kש־ מתקיים זה כיוון עבור (כי בונה התאבכות נקבל אנחנו הסריג, נקודת עם החיתוך התקבל שעבורו ~k′ שבכיוון הרי סריג, נקודתההופכי).

Ewald של הספרה :3.1 איור(∣∣∣~k∣∣∣ =

∣∣∣~k′∣∣∣ו־ (הואיל שם להיות אמורה שהיא למרות הספרה, שפת על נמצאת לא ~0 ההופכי הסריג שנקודת והיא בשרטוט, קטנה טעות יש

33

למעשה). פיזור עוברת שלא (קרן ~k = ~k′ בכיוון בונה התאבכות יש תמיד כלומר, ,~0 הסריג נקודת את חותכת תמיד Ewald של הספרה2π

λk הנקודה סביב

2π

λברדיוס ספרה עם לקלוע קשה זה נדיר! מאורע היא סריג נקודות עם Ewald של הספרה של כזה חיתוך כי לציין חשוב

בדידות. נקודות של בסט

הן: סריג נקודות אחר בחיפוש סופי נפח איזשהו לסרוק Ewald של הזו לספרה ולאפשר הזה, הקושי על להתגבר דרכים שתי

כל את נסרוק אנחנו אז ~k1 =2π

λ1k לבין ~k0 =

2π

λ0k בין גל ממספרי המורכבת קרינה עם נקרין אם מונוכרומטית. שאינה קרן עם להקרין .1

הבא: בשרטוט המושחר השטח

הראשית סביב ~k את לסובב בפועל אומר וזה משתנה, הגביש של ההופכי לסריג ביחס ~k של שהכיוון כך הגביש, את לסובב היא השנייה הדרך .2ההופכי. הסריג של

בקריסטלוגרפיה. הגדולים מהאתגרים חלק להבין יכולים אנחנו ,Ewald של הספרה את מכירים שאנחנו כעת

שמורכב החומר, של טהור מאוד גביש של ביצירה צורך יש איזוטרופי, באופן מפזרות שלא סריג מנקודות הפיזור של שבהבנה האתגר מלבדסריג נקודות הרבה המכניס דבר לקרן, ביחס אחרת באוריינטציה נמצא מהם אחד שכל קטנים גבישים כמה יהיו שלא כך אחד, גבישי domainמ־

מאבקות. פיזורים להבין מאוד שקשה הסיבה וזו שונות, Ewald לספרות

מסריג נויטרונים פיזור 4

הפוטנציאל תחת הנע נויטרון של זה הוא הבעיה את המתאר ההמילטוניאן גבישי. מסריג נויטרון של פיזור של הבעיה את לפתור מעוניינים אנחנובגביש: הסריג נקודות כל שיוצרות

V =∑~R

U(~r −

(~R− u

(~R)))

הסריג. מנקודות הגביש אטומי של של ההסטה את u(~R)וב־ הסריג נקודות את ~Rב־ הנויטרון, של המיקום קוארדינטת את ~rב־ סימנו כאן כאשר

תנע בעל חופשי נויטרון של התחלתי מצב בהנתן הנויטרון של (kf מסוים לכיוון הפיזור (הסתברות הפיזור אמפליטודת את לחשב רוצים אנחנו.ni בו, התנודות את שמרכיבים הפונונים כל של האכלוס מספרי ידי על שמאופיין וסריג, ~pi = ~~ki

|ψinitial〉 =∣∣∣~ki, ni⟩

34

הוא: הפיזור של הדינמיקה את שקובע ההמילטוניאן

H =p2

2m+Hlattice + V (~r)

H0 =p2

2m+Hlattice

Hlattice =∑~k,s

~ω~k,s

(1

2+ a†~k,s

a~k,s

)

באמצעות ללכסון ניתן Hlattice כי ראינו וכבר הואיל אותו, מלכסן∣∣∣~k, n⟩ הבסיס ללכסן, יודעים אנחנו H0 ההמילטוניאן את כי לב נשים

.(n שלו האכלוס מספר מהם אחד שלכל הרמוניים אוסילטורים של (סכום הפונונים

להמילטוניאן. קטנה הפרעה בתור V (~r)ל־ נתייחס כאשר הפרעות, תורת באמצעות מהסריג הנויטרון של הפיזור את לנתח נרצה

בסריג. האטומים של לזה הנויטרון של המגנטי המומנט בין צימוד היא האינטרקציה מאחורי הפיזיקה

ההפרעות בתורת להשתמש רוצים אנחנו כלומר, .H0 של אחרים עצמיים למצבים ההתחלתי מהמצב המעבר הסתברות את למצוא היא שלנו המטרהבזמן. התלויה

|ψnal〉 =∣∣∣~kf , nf⟩

(Fermi's Golden Rule) פרמי של הזהב כלל 4.1

רוצים אנחנו הזה, ההמילטוניאן גבי על בזמן מפורשות תלויה שאינה V קטנה והפרעה שלו, הספקטרום את יודעים שאנחנו H0 המילטוניאן בהנתןעם H0 של עצמי מצב שהוא ,|f〉 למצב Ei אנרגיה עם H0 של עצמי מצב שהוא ,|i〉 נתון, התחלתי ממצב זמן ליחידת המעבר הסתברות את לדעת

מצבים. של רצף לאיזה שייך |f〉ש־ הסייג תחת ,Ef אנרגיה

להתקיים צריך מאפס, שונה תהיה המעבר שהסתברות מנת על ראשית, דברים. שני לנו אומר מצבים של לרצף מעבר עבור פרמי של הזהב כלל.Ei = Ef

היא: Ef אנרגיה עם מצבים של סט לאיזה |i〉 מהמצב זמן ליחידת המעבר הסתברות ושנית,

Wi→f =2π

~|〈i | V | f〉|2 ρ (Ef )|Ef=Ei

שאנחנו היא ההנחה (כאשר f המצבים קבוצת של אופייני מטריצה אלמנט איזה הוא 〈i | V | f〉ו־ הסופיים, המצבים צפיפות זו ρ (Ef ) כאשראופייני). מטריצה אלמנט עבורם לקחת שאפשר דיה קטנה סופיים מצבים קבוצת על מסתכלים

המצב מה לומר בכלל פשוט לא זה אבל והאנרגיה, הכיוון מבחינת היטב מוגדר ~ki עם נויטרונים אלומת ליצור מורכב) מדע (וזה יכולים אנחנו אמנםבגביש). המדויקת הפונונים התפלגות על שליטה לנו ואין סופית טמפרטורה באיזו נמצא והוא (הואיל הסריג של ההתחלתי

משוקלל סכום מתוך לבנות צריכים אנחנו אותנו המעניינת זמן ליחידת המעבר הסתברות את אזי שלנו, ההתחלתי במצב אי־וודאות לנו ויש הואיל

Pni =exp (−βE (ni))

Zבולצמן, פקטור לפי הוא השקלול שלנו. האפשריים ההתחלה תנאי על

הסביר. המצב של השקלול תחת האפשריים ההתחלתיים המצבים כל את לכלול בשביל∑ni

Pni על נסכום כן על

סביב ∆Ω מרחבית לזווית אלא אינפנטיסמלית, תהיה זו והסתברות הואיל הנויטרון, של ~kf למצב המעבר בהסתברות מעוניינים לא אנחנו כן, כמוזה. גל מספר

.~kf סביב ∆Ω מרחבית לזווית המפוזרים המצבים כל את לכלול בשביל∑

~kf∈∆Ω

על נסכום כן על

ולא אלסטיים האפשריים, הפיזור תהליכי בכל להתחשב רוצים אנחנו הפונונים. של הסופי המצב הוא התהליך בסוף אותנו מעניין שלא נוסף דבר.~kf תנע עם יוצא הנויטרון שבו למצב הכוללת המעבר הסתברות מהי לדעת ורק אלסטיים,

~kf תנע לנויטרון בו סופי למצב הכוללת המעבר הסתברות את לקבל בשביל∑nf

על נסכום כן על

Wi→f =∑nf

2π

~∑ni

Pni∑

~kf∈∆Ω

∣∣∣⟨~kf , nf | V | ~ki, ni⟩∣∣∣2

× δ

(E (ni) +

~2k2i

2m− E (nf)−

~2k2f

2m

)

35

2013 באפריל 24

,kn =2π

Ln הם המותרים הגל מספרי ,L באורך בתיבה חד־מימדית מערכת עבור כי נזכור אינטגרציה. בתור לתאר קל יותר

∑~kf∈∆Ω

הסכימה את

מקבלים: היינו ∑ואזk

=1

∆k

∑k

∆k

=L

2π

ˆdk

מימד: בתלת נקבל באנלוגיה ∑ולכן~kf∈∆Ω

=V

(2π)3

ˆ

~k∈∆Ω

d3~kf

=V

(2π)3 ∆Ω

∞

0

dkf k2f

אפשר גביה על הזוויתית האינטגרציה את ולכן ,(dW

dΩהנגזרת את ניקח רגע (בעוד קטנה זווית היא ∆Ωש־ בכך נעזרנו האחרון במעבר כאשר

כפלי. כפקטור להוציא

dW

dΩ=

V

4π2~∑ninf

Pni

∞

0

dkf k2f

∣∣∣⟨~kf , nf | V | ~ki, ni⟩∣∣∣2

× δ

(E (ni) +

~2k2i

2m− E (nf)−

~2k2f

2m

)

ρivi הפוגע, הנויטרונים בשטף מרחבית זווית ליחידת הפיזור הסתברות את לחלק עלינוdσ

dΩהידפרנציאלי, הפיזור חתך את לקבל מנת על

vi =~kim

־ במסה לחלק שלו התנע היא שלו והמהירות1

Vהיא ,V בגודל בקופסה חופשי חלקיק והוא הואיל הפוגע, הנויטרון של הצפיפות

נכנס): שטף ליחידת מרחבית זווית ליחידת זמן ליחידת הפיזור סיכוי (מהו הדיפרנציאלי הפיזור חתך עבור שנקבל ומכאן

dσ

dΩ=

mV 2

4π2~2ki

∑ninf

Pni

∞

0

dkf k2f

∣∣∣⟨~kf , nf | V | ~ki, ni⟩∣∣∣2 (4.1)

× δ

(E (ni) +

~2k2i

2m− E (nf)−

~2k2f

2m

)⟨~kf , nf | V | ~ki, ni

⟩המטריצה אלמנט את לחשב הוא הזה הביטוי עם שלנו הגדול האתגר

.~u(~R)והאופרטורים ~r האופרטור של פונקציה הוא V האופרטור

המספר על להשפיע יכולים אינם ~u(~R)האופרטורים הצורה ובאותה ,n הקוונטיים המספרים על להשפיע יכול אינו ~r האופרטור כי לב נשים

הבא: באופן היחידה אופרטור החדרת באמצעות להפריד אפשר הפנימית המכפלה את ולכן, ,~k ⟩הקוונטי~kf , nf |

∑~R

U(~r −

(~R+ ~u

(~R)))

| ~ki, ni

⟩=

ˆd3~r

ˆd3~r′

⟨~kf , nf | ~r

⟩⟨~r |∑~R

U(~r −

(~R+ ~u

(~R)))

| ~r′⟩⟨

~r′ | ~ki, ni⟩

36

הבאה: לזהות לב נשיםˆd3~r′

⟨~r |∑~R

U(~r −

(~R+ ~u

(~R)))

| ~r′⟩

=∑~R

ˆd3~r′ U

(~r′ −

(~R+ ~u

(~R)))⟨

~r′ | ~ki, ni⟩〈~r | ~r′〉

=∑~R

ˆd3~r′ U

(~r′ −

(~R+ ~u

(~R)))⟨

~r′ | ~ki, ni⟩δ (~r − ~r′)

=∑~R

U(~r −

(~R+ ~u

(~R)))⟨

~r | ~ki, ni⟩

~kה־ לרכיבים הגל פונקציות (בהפרדת נקבל לבסוף ולכן ,d3~r פי על האינטגרל עבור אינטגרציה משתנה אלא אופרטור אינו ~r כעת כי לב נשיםשלהן): nו־⟨

~kf , nf |∑~R

U(~r −

(~R+ ~u

(~R)))

| ~ki, ni

⟩=

ˆd3~r

ˆd3~r′

⟨~kf , nf | ~r

⟩⟨~r |∑~R

U(~r −

(~R+ ~u

(~R)))

| ~r′⟩⟨

~r′ | ~ki, ni⟩

=

ˆd3~r

⟨~kf | ~r

⟩⟨~r | ~ki

⟩⟨nf |

∑~R

U(~r −

(~R+ ~u

(~R)))

| ni

⟩

=1

V

ˆd3~r exp

(−i(~kf − ~ki

)· ~r)⟨nf |

∑~R

U(~r −

(~R+ ~u

(~R)))

| ni

⟩

מדויק. באופן exp(−i~q · ~u

(~R))

האקספוננט את לחשב יודעים אנחנו ~u(~R)ב־ קוודרטי המילטוניאן עבור

:U הפונקציה של הפורייה בטרנספורם נתבונן

U (~r) =1

(2π)3/2

ˆd3~q exp (−i~q · ~r) U (~q)

U (~q) =1

(2π)3/2

ˆd3~q exp (i~q · ~r)U (~r)

momentum transferה־ את ונגדיר (U (~q′) בתור U(~r −

(~R+ ~u

(~R)))

את (ננסח שלנו הקודם בביטוי הזה הפורייה טרנספורם את נציב

:~q ≡ ~kf − ~ki

⟨~kf , nf |

∑~R

U(~r −

(~R+ ~u

(~R)))

| ~ki, ni

⟩=

1

V

ˆd3~r exp (−i~q · ~r)

⟨nf |

1

(2π)3/2

ˆd3~q′

∑~R

exp(i~q′ ·

(~r −

(~R+ ~u

(~R))))

U (~q′) | ni

⟩

הבאה: לזהות לב ˆנשיםd3~r exp (−i~q · ~r) exp

(i~q′ ·

(~r −

(~R+ ~u

(~R))))

=

ˆd3~r exp (−i (~q − ~q′) · ~r) exp

(−i~q′ ·

(~R+ ~u

(~R)))

= (2π)3δ (~q − ~q′) exp

(−i~q′ ·

(~R+ ~u

(~R)))

הבא: באופן המטריצה אלמנט את מחדש לנסח יכולים שאנחנו ⟩ומכאן~kf , nf |

∑~R

U(~r −

(~R+ ~u

(~R)))

| ~ki, ni

⟩=

(2π)3/2

VU (~q)

∑~R

exp(−i~q · ~R

)⟨nf | exp

(−i~q · ~u

(~R))| ni

⟩

סימפטי. יותר כמשהו⟨nf | exp

(−i~q · ~u

(~R))| ni

⟩המטריצה אלמנט את לנסח הוא שלנו האתגר עכשיו

הבאה: הכללית לזהות לב נשים כאן

באופרטורי לינארית פונקציה f כלומר, ,f =∑i

(αiai + βia

†i

)ו־ ,ai, a

†i והיצירה החיסול אופרטורי פי על קוודרטי המילטוניאן לנו ויש נניח

מתקיים: אזי ההמילטוניאן, של עצמיים מצבים |ψ1〉 , |ψ2〉ו־ והיצירה, החיסול

〈ψ1 | exp (f) | ψ2〉 = exp

(⟨ψ1 |

f2

2| ψ2

⟩)

37

הסריג: של והיצירה החיסול אופרטורי של לינארי מצירוף המורכב אופרטור הוא −i~q · ~u(~R)האופרטור כי לב נשים

~u(~R)

=∑~k,s

√~

2ρνω~k,s~εs

(a~k,s + a†

−~k,s

)exp

(i~k · ~R

)שמתקיים: ומכאן תקפה, הכללית הזהות כן ועל

⟨nf | exp

(−i~q · ~u

(~R))| ni

⟩= exp

⟨nf | −(~q · ~u

(~R))2

2| ni

⟩לחלוטין קונסיסטנטי זה ,~u2 מאשר גבוהים יותר סדרים הזנחנו כלומר, ,~u

(~R)באופרטורים קוודרטי המילטוניאן הנחנו ומראש הואיל כי לב נשים

המדויק. בביטוי שבלהשתמש מהסיבוך ולהמנע הזנב, את ולהזניח זה לסדר עד האקספוננט את לפתוח

הביטוי: עם נעבוד אנחנו ⟩כלומר,nf | exp

(−i~q · ~u

(~R))| ni

⟩≈⟨nf | 1− i~q · ~u

(~R)− 1

2

(~q · ~u

(~R))2

| ni⟩

היא: פרמי של הזהב מכלל שלנו התחתונה השורה כלומר,

dσ

dΩ=

2πm

~2ki

∑ninf

Pni

∞

0

dkf k2f

∣∣∣∣∣∣U (~q)∑~R

exp(−i~q · ~R

)⟨nf | 1− i~q · ~u

(~R)− 1

2

(~q · ~u

(~R))2

| ni⟩∣∣∣∣∣∣

2

(4.2)

× δ

(E (ni) +

~2k2i

2m− E (nf)−

~2k2f

2m

)

אלסטי פיזור 4.2

ולכן והעלאה), הורדה מאופרטורי (בנוי האלכסון על מטריצה איברי לו ואין הואיל יתרום לא הלינארי האיבר ,ni = nf בו אלסטי, פיזור עבורהוא: הרלוונטי המטריצה ⟩אלמנט

ni | 1−1

2q2~u2

(~R)| ni

⟩

δ

(E (ni) +

~2k2i

2m− E (nf)−

~2k2f

2m

)שהדלתא אומר וזה ,E (ni) = E (nf) גם עלינו גוזרת ni = nf הדרישה כי לב נשים

למעשה: היא

δ

(~2k2

i

2m−

~2k2f

2m

)=

m

~2kiδ (ki − kf )

תחת לעולם תורמת שאינה δ (ki + kf ) הדלתא את לפח וזרקנו δ (f (x)) =∑

r∈roots of f

δ (x− r)|f ′ (r)|

המוכרת בזהות השתמשנו כאן כאשר

האינטגרציה.

נקבל: ,(4.2) פרמי, של הזהב מכלל ולכן,

dσ

dΩ elastic=

2πm2

~4

∣∣∣U (~q)∣∣∣2 ∑ni

Pni

∣∣∣∣∣∣∑~R

exp(−i~q · ~R

)⟨ni | 1−

1

2

(~q · ~u

(~R))2

| ni⟩∣∣∣∣∣∣

2

38

∣∣∣~k′i∣∣∣ =∣∣∣~ki∣∣∣ ומתקיים ~q = ~ki − ~k′i כאן כאשר

נקבל: ומכאן הגביש, של עצמי במצב ואנחנו הואיל ~R לכל זהה להיות אמור 1− 1

2

(~q · ~u

(~R))2

של התצפית ערך

∣∣∣∣∣∣∑~R

exp(−i~q · ~R

)⟨ni | 1−

1

2

(~q · ~u

(~R))2

| ni⟩∣∣∣∣∣∣

2

=

∣∣∣∣⟨ni | 1− 1

2

(~q · ~u (0)

)2

| ni⟩∣∣∣∣2

∣∣∣∣∣∣∑~R

exp(−i~q · ~R

)∣∣∣∣∣∣2

הקורס: בתחילת שהוכחנו בזהות נזכר ∑מכאן~R

exp(−i~q · ~R

)= N

∑~k∈reciprocal lattice

δ~q,~k

מתקיים: ~uב־ שני לסדר עד כי ni⟩∣∣∣∣מתברר | 1− 1

2

(~q · ~u (0)

)2

| ni⟩∣∣∣∣ = e−2W

.Debye-Waller factorה־ את הגדרנו כאן כאשר

W =q2

2

∑ni

Pni

⟨ni | ~u2 (0) | ni

⟩

W =q2

2(a+ bT ) היא T בטמפרטורה בתלת־מימד שלו הטיפוסית וההתנהגות

אלסטי: פיזור של במקרה הדיפרנציאלי הפיזור חתך עבור נקבל ומכאן

dσ

dΩ elastic=

2πm2N2

~4

∑~k∈reciprocal lattice

δ~q,~k

∣∣∣U (~q)∣∣∣2 ∑ni

Pnie−2W (4.3)

בראג! תנאי את לנו נותן בדיוק∑

~k∈reciprocal latticeδ~q,~k הפקטור כי לב נשים

e−2W פי על שלהם העוצמה מנחיתה רק אלא הפיקים, של המיקום את משנה לא הגביש של התרמיות שהפלקטואציות היא שלנו המסקנה כי לב נשים

כזה? בניסוי בסוף מקבלים אנחנו אינפורמציה איזו

בעוצמת נעוצה והיא אינפורמציה, עוד כאן יש אבל הפיזור. את מבצעים אנחנו ממנו הסריג של ההופכי הסריג על אינפורמציה מקבלים אנחנודברים. בשני תלויה העוצמה הפיקים.

המפזר. הפוטנציאל על גם אינפורמציה מקבלים אנחנו ,~q = ~kf −~kiב־ המפזר הפוטנציאל של הפורייה ברכיב כלומר, ,∣∣∣U (~q)

ב־2∣∣∣ תלויה היא .1

האטומים של התנודות על גם מסקנות להסיק Debye Waller factorה־ ובאמצעות הטמפרטורה של כפונקציה מידע לקבל יכולים אנחנו .2שלהם. המשקל שיווי מצב סביב

2013 באפריל 30

בסיס עם מסריג פיזור 4.3

בסיס. עם מסריג מתבצע הפיזור כאשר קורה מה השאלה עולה איזוטרופיים. מפזרים של בסריג דנו כה עד

שונה: צורה בעל יהיה הפוטניאל בסיס עם מסריג פיזור של במקרה

V =∑~R

∑~b

U~b

[~r −

(~R+~b+ ~u

(~R+~b

))]

39

הבא: המטריצה אלמנט את לחשב עלינו היה הדיפרנציאלי הפעולה חתך של kf~⟩∣∣∣בפיתוח , nf | V | ~ki, ni⟩∣∣∣2מהדוגמה להבין קל זאת, עם מפורשת. בצורה זאת פיתחנו לא בסיס, עם סריג עבור n הפונוניים העצמיים המודים מהם השאלה עולה כעתיהיה ספציפי, עצמי מוד לציין מנת על ושאז לפתרון, (branches) ענפים כמה נקבל שאנחנו אטומים, סוגי משני המורכב הבסיס עם החד־מימדית

זה. מוד יושב שעליו הדיספרסיה ביחס הענף את וגם הפונון של ~k הגל מספר את גם לציין עלינו

נקבל: בסיס, ללא בסריג שעשינו למה לחלוטין אנלוגי באופן

∣∣∣⟨~kf , nf | V | ~ki, ni⟩∣∣∣2 =

∣∣∣∣∣∣ (2π)3/2

V

∑~R

exp(−i~q · ~R

)∑~b

exp(−i~q ·~b

)U~b (~q)

⟨nf | exp

(−i~q · ~u

(~R+~b

))| ni

⟩∣∣∣∣∣∣2

=N2

V 2(2π)

3 |S (~q)|2 e−2W∑

~k∈reciprocal lattice

δ~q,~k

:S (~q) (structure factor) המבנה בפקטור הוא בסיס ללא בסריג שקיבלנו למה הזה הביטוי בין ההבדל כי רואים אנחנו

S (~q) ≡∑~b

exp(−i~q ·~b

)U~b (~q)

U~b (~q) =1

(2π)3/2

ˆd3~r exp (−i~q · ~r)U~b (~r)

סביר יותר (וזה S (~q) של התאפסות בגלל הורסת התאבכות לקבל עלולים עדיין אנחנו מתקיים, בראג תנאי כאשר שגם הוא מקבלים שאנחנו מהיש S (~q)ול־ המפזר, הפוטנציאל על רק אינפורמציה יש U (~q)ול־ הואיל הפשוט, הסריג של במקרה התפקיד אותו את ששיחק U (~q) עם מאשר

הבסיס). בגלל מועדפים כיוונים יותר הרבה

הטיעון את נתנו כבר .e−2W בתור לסכימה מחוץ∣∣∣⟨nf | exp

(−i~q · ~u

(~R+~b

))| ni

⟩∣∣∣2 את שהוצאנו העובדה היא אחרונה עדינה נקודה

להיות יכול .~bב־ תלוי אינו הזה והאיבר כאילו התוצאה את רשמנו אנחנו הסריג. נקודות כל של השקילות בגלל ~Rב־ תלוי לא הזה שהגודל לכךחלשה. היא התלות גרוע, הכי שבמקרה טוען דרור אבל נכון, לא שזה

פקטור איזה הוא e−2W וש־ e−2W(~b) פקטורי על סכימה לכלול חייב structure factorשה־ לומר נוכל למהדרין, כשרים להיות נרצה אם אומשוקלל. Debye-Waller

2013 במאי 1

מסריג אי־אלסטי פיזור 4.4

הזו. המקלה ההנחה את מסירים אנחנו האי־אלסטי במקרה נשמר, הפונונים של ההתחלתי המצב בו האלסטי מהמקרה להבדיל

הבא: המטריצה אלמנט את לחשב עלינו ∑כלומר,~R

exp (−i~q · ~r)⟨nf | exp

(−i~q · ~u

(~R))| ni

⟩

לרשום: לנו מותר עובדים, אנחנו בו הקירוב תחת

exp(−i~q · ~u

(~R))

= 1− i~q · ~u(~R)− 1

2

(~q · ~u

(~R))2

וההריסה: היצירה אופרטורי פי על ~u(~R)של בפירוק נזכר

~u(~R)

=∑~k,s

√~

2ρV ω~k,s~εs

(a~k,s + a†

−~k,s

)exp

(i~k · ~R

)

פונונים. של מצבים בין מעביר תמיד הזה האופרטור כי יתאפס −i~q · ~u(~R)של המטריצה שאלמנט לומר לעצמנו הרשנו האלסטי במקרה

שכנים. למצבים אותנו מעביר שהוא בכך לתרום יכול הזה הלינארי האיבר אי־אלסטי, פיזור עבור אבל

40

ריבועי מסדר והאיבר אפס מסדר האיבר כזה, במקרה הסופי. למצב ההתחלתי המצב בין אחד פונון של הבדל לנו יש בו פשוט, הכי המצב על נדבריתרום. הלינארי הסדר ורק יתאפסו,

הבא: לגודל הפרופורציונית מטריצה איבר נקבל כן ועל exp(i~k · ~R

)ל־ פרופורציונית תרומה כן על יקבל המטריצה אלמנט

∑~R

exp(−i~q · ~R

)exp

(−i~k · ~R

)= N

∑~K∈reciprocal lattice

δ~q+~k, ~K

~kf − ~ki + ~k = ~K כלומר, ההופכי, בסריג וקטור כדי עד תנע שימור לנו שיש לנו אומר הזה המטריצה אלמנט

~2k2f

2m+ ~ω~k,s =

~2k2i

2mנוספת משוואה לנו יש אנרגיה, שימור להתקיים וצריך הואיל

הסריג. של ω~k,s הדיספרסיה יחס את למפות נוכל אנחנו ,~k את לזהות נצליח אם ולכן ,kf ואת ki את למדוד נדע אנחנו פיזור בניסוי

N∑

~K∈reciprocal latticeδ~q+~k, ~Kב־ שמקורם הפיקים הסריגי, התנע שימור לנו שייתן הפיקים מתוך לזהות נוכל ~k את

V חלק

אלקטרונים

(Drude) דרודה מודל 1

המודל הנחות 1.1

הוא וכי היסטוריות, מסיבות רבה במידה אותו מזכירים אנחנו פיזורים. תחת אלקטרונים גז של לתנועה עליו לחשוב שאפשר פשוט הכי המודל זהולהן. עדים שאנחנו התופעות לתיאור הניתן ככל פשוט במודל מעוניינים אנו שבהם רבים בתחומים ישים

חומרים. של מבוטל לא מספר של חום הולכת תכונות לגבי למסקנות להגיע יכול מאוד מפשטות הנחות כמה סמך שעל קינטי מודל זהו

המודל. של ההנחות את נרשום ראשית

כאשר ,dt

τהיא פיזור יעבור שאלקטרון ההסתברות dt זמן בפרק אחרים). מאלקטרונים מפונונים, בסריג, (מפגמים מתפזרים האלקטרונים .1

האלקטרונים. במהירות או במקום תלוי אינו τש־ מניחים ואנחנו mean free timeה־ קוראים τל־

ההתנגשות. לפני התנועה לכיוון קשר ללא ואקראי אחיד באופן מפולג האלקטרון תנועת כיוון ההתנגשות, ולאחר רגעי, הוא הפיזור .2

חריפה הנחה זוהי המיידית. סביבתו של הממוצעת התרמית האנרגיה עם ממנו ויוצא סביבתו, עם משקל לשיווי מגיע האלקטרון הפיזור בזמן .3בכלל. במיוחד נכון לא שזה מתברר האלה. הפיזור תהליכי דרך הסריג של לטמפרטורה משתווה האלקטרונית שהטמפרטורה שאומרת מאוד

הגורמים לשאר האלקטרון בין הטווח ארוכות האינטרקציות את מזניחים (אנחנו בלבד חיצוניים שדות בהשפעת נע האלקטרון התנגשויות בין .4במוצק).

טמפרטורות). גרדיאנט לחצים, מפל חשמלי, (שדה לה מכניסים שאנחנו לפרטורבציות מגיבה המערכת איך הן עכשיו לשאול רוצים שאנחנו השאלות

בחומר הזרם בין הקושר הפרופורציה קבוע את לדעת ורוצים החומר על חשמלי שדה מפעילים אנחנו בו המקרה הוא אליו רגילים שאנחנו המקרההזה. החשמלי לשדה

לבין למערכת מכניסים שאנחנו הפרטורבציה בין שקושר transport coecientה־ או transport functionה־ את למצוא שואפים אנחנו בגדול,המערכת. של התגובה

שלה. responseה־ לבין למערכת מכניסים שאנחנו excitationה־ בין הלינארי הקשר את נרצה אנחנו רבים במקרים

האלקטרון. של התנועה משוואת את נמצא האלה, החישובים לכל הקרקע את להכין כדי

בדידים הם באופיים עליהם מדברים שאנחנו שהתהליכים היא ממוצע, בתנע הכוונה ,~p (t) הממוצע התנע עבור נרשום התנועה משוואת אתאלקטרונים של ensemble גבי על ממוצע הוא עליו ללדבר משמעות שיש היחיד הגודל אז הזמן), גבי על במריחה ולא בפיקים, שקורות (התנגשויות

זמן. ביחידת פיזור עבר הוא כמה״ ״עד על לדבר שאפשר גדול מספיק שהוא

?t+ dt בזמן הממוצע התנע מהו ,~p (t) הממוצע התנע את יודעים ואנחנו נניח

שלו. התנע כל את ואיבד dt הזמן בפרק פיזור עבר שהאלקטרוןdt

τשל סיכוי ישנו

אלקטרון לכל הפיזור. כיווני כל גבי על מיצוע שעובר הממוצע, התנע על כאן מדברים ואנחנו הואיל שלנו, והשלישית השנייה ההנחה עם מסתדר זההתאפס ההתנגשות אחרי התנע כולם גבי על בממוצע אבל שלו, התרמית האנרגיה את לו נותן שגם שלו, המוגדר הכיוון עם שלו התנע את יש בודד

אפס)! הוא סופית בטמפרטורה גז של שתנע (כמו

41

הפיזור היה dt הזמן פרק בתוך ממתי מתעלמים אנחנו (וכאן החיצוניים מהכוחות ~F (t) dt של מתקף מקבל הוא הפיזור אחרי הזה הזמן לאורךשלו). לפרטים להכנס מעניין לא ולכן הכי, בלאו dtב־ שני מסדר הוא כולו הזה והאיבר הואיל

החיצוני: מהכח מתקף קיבל וגם שלו, התנע על הרי שמר הוא פיזור, עבר לא והוא במידה פיזור. יעבור לא שהאלקטרון 1− dt

τשל סיכוי ישנו

~p (t+ dt) =

(1− dt

τ

)(~p (t) + ~F (t) dt

)+dt

τ~F (t) dt

:(O (dt) (בהזנחת ונקבל~p (t+ dt)− ~p (t)

dtאת נחלץ מכאן

d~p

dt= −~p (t)

τ+ ~F (t) (1.1)

τ אופייני זמן ואחרי מהאפס, הרחק הממוצע התנע את להסיט יכולים חיצוניים כוחות .τ אופייני זמן עם התנע של רלקסציה מתארת זו משוואה.~F שקובע הערך סביב שלו החדשה המרכז נקודת עבר אל ידעך הוא

חשובה. היא גם המריחה ושמידת הממוצע, התנע של הערך סביב התפלגות באיזה מרוח יהיה במערכת האלקטרונים של התנע כי לציין חשוב

DC מוליכות 1.2

V = IR המוכר הלינארי הקשר הוא ביניהם והקשר ,I זרם דרכה ויעבור V קבוע מתח עליה נפעיל .A חתך ושטח L צלע עם בתיבה נתבונן

.V

Lיהיה החשמלי והשדה J =

I

Aתהיה הזרם צפיפות

. ~J הזרם וצפיפות ~E החשמלי השדה הם לתיאורטיקנים מתאימים שיותר שהגדלים בעוד לניסיונאים מתאימים יותר V, I הגדלים

~J =←→σ ~E

ההפוך: והקשר ,←→ρ הסגולית ההתנגדות עם לעבוד נעדיף לפעמים המוליכות. טנזור זהו ←→σ כאשר

~E =←→ρ ~J

ρ = RA

Lהיא: הסגולית המוליכות שלנו התיבה עבור

.(1.1) שפיתחנו, הקינטית במשוואה להשתמש נרצה כעת

הוא: מוליכות של במקרה החיצוני הכח

~F = −e ~E

42

הוא: הזרם לצפיפות התנע בין והקשר

~J = −en ~pm

ונקבל: הקינטית המשוואה פי על עמיד מצב נבחן כעת

~p = τ ~F

⇓

~J =ne2τ

m~E

⇓

σ =ne2τ

m

τ ∼ 10−14 sec קיבל והוא τ את להעריך אצליח Drude מוליכות של מדידות מתוך

הסיבה: והרי ,Drude את מאוד שימחה הזו התוצאה

החדר: בטמפרטורת לאלקטרונים אופיינית מהירות לתת וידע השווה, החלוקה משפט את הכיר הוא

1

2mv2

0 =3

2kBT ⇒ v0 ∼ 107 cm/sec

:` ,mean free pathה־ עבור מקבלים ,τ עבור התוצאה עם הזו התוצאה את משלבים ואם

` = v0τ ∼ 10−7 cm

אנגסטרומים. של גודל מסדר הם בין־אטומיים שמרחקים העובדה בהנתן סביר מאוד נשמע שזה אנגסטרום, 10 כלומר,

השווה. החלוקה עיקרון מתוך v0 של בהערכה היה הטעות של והמקור ,` ∼ 10−6 cm גודל, בסדר בערך טעה Drude אבל

ממש טמפרטורה זו 300 K ולכן ,TF ∼ 104 K פרמי, טמפרטורת היא האלקטרונים של לניתוח הרלוונטית הטמפרטורה ,8 בתרגול שראינו כמוכן ועל גבוהות יותר הרבה אנרגיה לרמות האלקטרונים את דוחף פאולי של האיסור כלל ־ מאוד מנוון הוא במתכת האלקטרונים וגז אפסית,

.v0 ∼ 108 cm/sec גודל, בסדר גדולה היא האופיינית המהירות

מתפזרים אלקטרונים למעשה, אבל בסריג. מהיונים יתפזרו שהאלקטרונים הייתה להגיונית, שלו התוצאה את והפכה Drude את שהנחתה ההנחהאנגסטרום 100 של גודל מסדר הוא mean free pathשה־ הסיבה וזו המחזורי הסריגי מהמבנה וסטיות מפגמים אלא המחזורי, הסריגי מהמבנה לא

בסריג. היונים בין המרווח של גודל מסדר ולא

שהאלקטרונים לכך מתאימה המהירות וכי בסריג מפגמים הם שהפיזורים להניח ופשוט ,Drude של במודל להשתמש אפשר עדיין כי אבוד, הכל לאפרמיונים. הם

2013 במאי 7

סופי, גודל בעל שדה כל עבור אינפנטיסמלית. קטן חיצוני שדה עבור רק מדויק באופן תקף DC מוליכות עבור שעשינו הפיתוח כי לציין חשוב.linear response שנקרא קירוב במסגרת פיתוח למעשה עשינו אנחנו שקיבלנו. הביטוי את קצת יהרסו לינאריים לא אפקטים

AC מוליכות 1.3

המערכת של התגובה את שנחפש או דרכים, בשתי זה על להסתכל אפשר בזמן. התלוי חשמלי שדה ידי על המושרה הזרם את לחשב נרצה

פורייה. במרחב התגובה על להסתכל רוצים פשוט שאנחנו שנגיד או ~E (t) = Re[~E (ω) e−iωt

]ל־

ונקבל: בזמן שלה פורייה טרנספורם את וניקח (1.1) הקינטית למשוואה נחזור

−iω~p (ω) = − ~p (ω)

τ+ ~F (ω)

⇓

~p (ω) =τ ~F (ω)

1− iωτ

43

של שהתרגום הרי בלבד), אלקטרונים הם המטען נשאי כי מניחים אנחנו כאן (כאשר ~J = −ne~P

mהזרם, צפיפות עבור למשוואה נחזור ואם

~J (ω) = −ne ~p (ω)

mייתן פורייה למרחב המשוואה

~J (ω) =σ0

1− iωτ~E (ω) (1.2)

.σ0 =ne2τ

mב־ השתמשנו וכאן ~F = −e ~E הכח, של הצורה את הצבנו האחרון במעבר כאשר

בזמן שמתקדם מגנטי שדה של רכיב גם להם יש כלומר, ־ אלקטרומגנטיים גלים הם AC גלים כללי, באופן קצת. שיקרנו ~F = −e ~E ההצבה תחת

−e(~E +

~p

mc× ~B

)המלא, לורנץ כח הוא אלקטרון כל שחווה והכח איתם, יחד

לגיטימי. הוא והקירוב החשמלי לכח ביחס המגנטי הכח של התרומה את להזניח לנו מותר

∣∣∣∣ ~pmc∣∣∣∣ 1 עוד כל

לה יש מוליך איזה דרך המתקדמת אלקטרומגנטית קרינה הרי כללי באופן במרחב. קבוע חשמלי שדה של ההנחה תחת כאן חישבנו כי לב נשיםשלה. הגל אורך לפי במרחב, השתנות גם

אז המקרה, זה אם כי הקרינה, של הגל מאורך משמעותית קצר האלקטרונים של mean free pathה־ עוד כל תקף? שלנו הפיתוח מתי כן, אםשדה ירגיש האלקטרון הבאה, להתנגשות עד המרחק את שיעבור ועד קודם, בו שהיה השדה את שוכח התנגשות, עובר שהוא אחרי אלקטרון, כל

.mean free pathמה־ בהרבה ארוכה הגל, אורך בשדה, לשינויים המרחבית והסקלה הואיל קבוע, יחסית

קרינה עבור אפילו תופס הפיתוח ולכן אנגסטרום, מאות של גודל מסדר שהוא אמרנו (שכבר mean free pathל־ ביחס גל ארוכת קרינה עבורתופס. המקומית למוליכות שלנו והביטוי תקף, הוא שלנו הפיתוח אופטית),

אלקטרומגנטיים גלים של ההתקדמות קצב 1.4

השדה) לכיוון ניצב הוא הגל התקדמות כיוון כלומר, ,−i~k · ~E = 0 אומרת הזו המשוואה מרחבי, פורייה טרנספורם (תחת ~∇· ~E = 0 כי נניח ראשית

הן: המעניינות מקסוול משוואות שתי כלומר,

~∇× ~E = −1

c

∂ ~B

∂t

~∇× ~B =1

c

∂ ~E

∂t+

4π

c~J

:(1.2) קיבלנו אותו אוהם חוק את ונציב בזמן שלהן פורייה טרנספורם את ניקח אם

~∇× ~E =iω

c~B

~∇× ~B = − iωc~E +

4π

c~J

= ~E

(− iωc

+4π

cσ (ω)

)

החשמלי. השדה עבור גלים משוואת ונקבל הראשונה המשוואה של הקרל את ניקח

נקבל: אחד מצד

~∇×(~∇× ~E

)= ~∇

~∇ · ~E︸ ︷︷ ︸=0

−∇2 ~E

נקבל: שני ומצד

~∇×(~∇× ~E

)=

iω

c

(~∇× ~B

)=

iω

c~E

(− iωc

+4π

cσ (ω)

)

44

נקבל: ומכאן

−∇2 ~E =ω2

c2

(1 +

4π

ωiσ (ω)

)~E (1.3)

הדיאלקטרי: המקדם של במונחים הללו הגלים של הדיספרסיה יחס את מכאן לקבל יכולים אנחנו מרחבי פוריה טרנספורם שבאמצעות ומכאן

ε (ω) ≡ 1 +4π

ωiσ (ω)

k2 =ω2

c2ε (ω)

שהחלק בעוד האלקטרומגנטי, הגל של של המרחבית התדירות את ייקבע שלו הממשי החלק מרוכב. מספר הוא ε (ω) כללי באופן כי לב נשיםהמרחק. עם יידעך האלקטרומגנטי הגל קצב באיזה ייקבע שלו המדומה

ההתנגשויות. בין האופייני מהזמן בהרבה קצר הוא הגל של המחזור כשזמן כלומר, ,ωτ 1 בו הגבול הוא עליו לדבר שמעניין גבול

לגמרי: כמעט ממשי דיאלקטרי מקדם נקבל ולכן σ (ω) = iσ0

ωτמתקיים הזה בגבול

ε (ω) = 1−(ωpω

)2

.ω2p ≡

4πne2

mהפלסמה תדירות את הגדרנו כאן כאשר

בחומר. האלקטרונים של לרלקסציה האופייני הזמן היא הפלסמה תדירות

החיובי המטענים עודף ידי על יימשכו הם ,δx בשיעור ימינה בו האלקטרונים כל את ונסיט נייטרלי, שהוא חומר, של גוש איזה ניקח אם כלומר,.ωp בתדירות ימינה־שמאלה תנודות ויבצעו שנוצר,

הוא k ε < 0 שעבור בעוד כרגיל. במרחב מתקדמים הגלים ולכן ממשי, גודל הוא k כי מקבלים אנחנו ε > 0 עבור ממשי, הוא ε (ω) בו זה, בגבולבמרחב. התקדומתם עם דועכים הגלים כן, ועל טהור, דימיוני גודל

~∇ · ~E 6= 0 כלומר, אורכיות, בתנודות לדון נרצה כעת

אוהם: חוק את בו ונציב החשמלי גאוס חוק את נרשום

~∇ · ~E = 4πρ

⇓1

σ (ω)~∇ · ~J = 4πρ

ונקבל:

~∇ · ~J = −∂ρ∂t

⇓~∇ · ~J = iωρ

הרציפות, במשוואת נזכר מכאן

iω

σ (ω)ρ = 4πρ⇒ σ (ω) =

iω

4π

ε (ω) = 1 +4πiσ (ω)

ω= 0 מתקיים כי לב נשים

2013 במאי 21

Hall מוליכות 1.5

.z ציר לאורך מופעל מגנטי ושדה x ציר לאורך מופעל חשמלי שדה בו במצב נתבונן

.x בכיוון לזרום Jx זרם לצפיפות ונאפשר מעגל נסגור

45

.−x בכיוון Ex בהשפעת ינועו הם אלקטרונים, הם החופשיים המטען נושאי אם

וישאירו הדוגמה, של אחת שפה על יתקבצו הם מכך, כתוצאה ,−y בכיוון אותם שידחוף −ec~v× ~B לורנץ כח גם האלקטרונים על יפעל תנועת בעת

.−y בכיוון חשמלי שדה מתפתח ולכן ־ (depleted) חיובית טעונה השנייה השפה את

.(y בכיוון הדפנות על נוספים מטענים להצטבר מפסיקים שבו השלב (וזה לורנץ כח את מאזן דבר של שבסופו כח מפעיל זה שדה

:(longitudal resistivity) האורכית הסגולית ההתנגדות את נגדיר

ρxx ≡ExJx

:(Hall resisitivity) Hall התנגדות ואת

ρxy ≡EyJx

:(Hall coecient) Hall מקדם את גם להגדיר נהוג

RH ≡ρxyB

=EyBJx

.RH < 0 כי נצפה ולכן Jx > ש־0 בעוד Ey < 0 אזי אלקטרונים, כמו שלילית, טעונים הם החופשיים המטען נושאי כי לב נשים

.RH > 0 כי נצפה ,(p מסוג למחצה במוליך חורים (כמו חיובית טעונים הם החופשיים המטען נושאי כאשר המשלים, במקרה כי לב נשים

בדוגמה. החופשיים המטען נושאי של הסימן את לגלות לנו מאפשר Hall מקדם של מדידה כלומר,

:(1.1) הקינטית, המשוואה את נפתור התנועה, את לנתח מנת על

d~p

dt= −e

(~E +

~p

mc× ~B

)− ~p

τ

דרך הזרם צפיפות ידי על שנוצר המגנטי השדה את מזניחים אנחנו (כאשר ~B =

00B

ו־ ~E =

ExEy0

העמיד במצב כי יודעים כבר אנחנו

הבאות: המשוואות שתי את נותנת העמיד במצב הקינטית המשוואה ולכן 0הדוגמה), = −e (Ex − ωcpy)− pxτ

0 = −e (Ey + ωcpx)− pyτ

ωc ≡eB

mcאת כרגיל הגדרנו כאן כאשר

נקבל: σ0 ≡ne2τ

mדרודה מוליכות של ההגדרה ותחת −neτ

mב־ המשוואות את נכפול

σ0Ex = ωcτJy + Jx

σ0Ey = −ωcτJx + Jy

46

ונקבל: Jy = 0 העמיד במצב כי נזכורσ0Ex = Jx

σ0Ey = −ωcτJx

מיד: לחלץ אפשר ומהן הזרם, צפיפות כל את מתארות אלו משוואות שתי אזי בלבד, אלקטרונים שהם מטען נושאי לנו יש אם

ρxx =1

σ0ρxy = −ωcτ

σ0

RH = − 1

nec

בסוף: מקבלים והיינו ωc → −ωc היה במשוואות היחיד ההבדל אזי ,p ריכוז עם חיוביים, היו המטען נושאי לו

RH =1

pec

שעלינו הרי ,p וריכוז +e מטען ,m?h אפקטיבית מסה עם וחורים ,n וריכוז −e מטען ,m?

e אפקטיבית מסה עם אלקטרונים לנו יש בו למחצה במוליךהבאות: המשוואות ארבע את לפתור

0 = −e(Ex +

B

m?ecpey

)− pexτe

0 = −e(Ey −

B

m?ecpex

)−peyτe

0 = e

(Ex +

B

m?hcphy

)− phxτh

0 = e

(Ey −

B

m?hcphx

)−phyτh

ונקבל:

pex = −m?e

neJex

pey = −m?e

neJey

phx =m?h

peJhx

phy =m?h

peJhy

כי נזכור

0 = −eEx +B

ncJey +

m?e

nτeeJex

0 = −eEy −B

ncJex +

m?e

nτeeJey

0 = eEx +B

pcJhy −

m?h

pτheJhx

0 = eEy −B

pcJhx −

m?h

pτheJhy

.Jhy + Jey = 0 כלומר, ,Jy = 0 העמיד במצב כי נזכור

כנתון. אליו שנתייחס Eyו־ Ex, Jex, Jhx , J

ey , J

hy ־ נעלמים בחמישה משוואות חמש לנו יש מכאן

.ρxy, ρxx, RH אותנו, המעניינים הגדלים את לחלץ יכולים אנחנו ומכאן

נקבל:µe ≡

τee

m?e

µh ≡τhe

m?h

ההגדרות תחת

ρxy =B3 (p− n)µ2

eµ2h +Bc2

(pµ2

h − nµ2e

)ec(B2 (p− n)

2µ2eµ

2h + c2 (nµe + pµh)

2)

=B

ec

pµ2h − nµ2

e

(nµe + pµh)2 +O

(B3)

47

ρxx =B2µeµh (pµe + nµh) + c2 (nµe + pµh)

e(B2 (p− n)

2µ2eµ

2h + c2 (nµe + pµh)

2)

=1

e (nµe + pµh)+B2

c2e

npµeµh (µe + µh)2

(nµe + pµh)3 +O

(B3)

RH =1

ec

pµ2h − nµ2

e

(nµe + pµh)2 +O

(B2)

דרודה: של במודל כי רואים אנחנו מכאן

ראשון. לסדר לא לפחות המגנטי, בשדה תלויה אינה האורכית המוליכות .1

τב־ ולא המטען נושאי בצפיפות רק תלוי Hall coecientה־ כי רואים אנחנו אז בחומר, חופשיים מטען נושאי של אחד סוג רק לנו יש אם .2המגנטי. השדה בעוצמת או בטמפרטורה משמעותית תלות תהיה שלא מצפים אנחנו ולכן

בפרט, .Drude מודל מתוצאות הסטיות את לבחון כדי קוונטי לטיפול לעבור ויש מהמקרים גדול בחלק נכונות אינן האלה התוצאות שתי למעשההנתון לערך שואף כלל בדרך הוא מאוד נמוכות בטמפרטורות זאת, עם יחד המגנטי. והשדה הטמפרטורה של כפונקציה סימנו את לשנות יכול RH

בדוגמה. המטען נושאי ריכוז למדידת טוב אמצעי מהווה ולכן Drude ממודל

2013 במאי 22

Wiedemann-Franz חוק ־ חום הולכת 1.6

מהצורה: קשר באמצעות הטמפרטורה, לגרדיאנט ~J th החום, זרם את לקשור מעוניינים אנחנו

~J th = −κ~∇T

לאזור גבוהה טמפרטורה של מאזור יזרום החום כי צופים ואנחנו הואיל במקום המינוס סימן התרמית. המוליכות קוראים אנחנו κ למקדם כאשרנמוכה. טמפרטורה של

בכדור שהיה שלהם האחרון מהפיזור מגיעים הם הזו. לנקודה שמגיעים אלקטרונים על נתבונן בה. קורה מה ונשאל z0 נקודה איזו על נתבונן.z0 סביב ,mean free pathה־ ,` ברדיוס

פיזור, כל שאחרי דרודה, מודל של ההנחה הוא בלבד, שלהם האחרון מהפיזור z0 לנקודה שמגיעים באלקטרונים מתבוננים שאנחנו הסיבההוא האלקטרון מגיע שאיתה האופיינית האנרגיה את שקובע היחיד הדבר כלומר, שלהם, הסביבה עם תרמי משקל לשיווי מגיעים האלקטרונים

שלו. האחרון הפיזור

שלו. האחרון הפיזור את עבר שבה מהסביבה רכש שהוא האנרגיה צפיפות את z0ל־ איתו נושא האלקטרון כי מניחים אנחנו מפורש, באופן

.z0ב־ שראשיתה כדורית צירים מערכת ונאמץ ,z ‖(−~∇T (z0)

)ש־ כך הצירים את נכייל

.z בקוארדינטה רק תלוי ~∇T ש־ הנחנו כי לב נשים

יגיע הזה מהפלח החום משטף1

4πרק בממוצע ולכן כיוון, לאף העדפה אין כאן הפיזור לתהליך .z0 סביב ` ברדיוס הכדור של dΩ בפלח נתבונן

הנקודה). מאותה לפיזור המרחבית הזווית כלל על אחידה (התפלגות z0 לנקודה

.~vu dΩ בדיוק זהו ?z0 לנקודה dΩ מאלמנט הפיזור איתו שנושא החום שטף מהו

נקבל: ,z0ל־ להגיע שלהם ההסתברות עם הפיזור, אירועי כל על נסכום אם ולכן ,J thy = J thx = ו־0 u = u (z) סימטריה משיקולי

J thz =1

4π

2πˆ

0

dϕ

π

0

dθ sin θ v cos θ︸ ︷︷ ︸vx

u (z0 − ` cos θ)

µ ≡ cos θ משתנה, החלפת נבצע

J thz =v

2

1ˆ

−1

dµ µu (z0 − `µ)

48

נרשה ולכן קטנה, תהיה zב־ u של התלות גם ושבתגובה קטן, יהיה∣∣∣~∇T ש־∣∣∣ מניחים אנחנו ולכן ,linear response של בתחום אנחנו כי נזכור

לקרב: לעצמנו

u (z0 − `µ) = u (z0)− `µ ∂u

∂z

∣∣∣∣z0

האינטגרל: בביצוע נקבל ומכאן

J thz = −1

3v`∂u

∂z

=1

3v`∂u

∂T

(−∂T∂z

)

:κ את לחלץ אפשר ומכאן

κ =1

3v`∂u

∂T

=1

3v`Cv =

1

3v2τCv

:Wiedemann-Franz חוק את לנסח יכולים אנחנו ביד, κ את לנו שיש עכשיו

κ

σ=

1

3Cvv

2τ

ne2τ

m

=Cvmv

2

3ne2

בטמפרטורות אנחנו אופיינית בצורה כלומר, .TF ∼ 104 K ־ פרמי טמפרטורת היא הרלוונטית הטמפרטורה באלקטרונים, עוסקים אנחנו כי נזכורתלויה ואינה פרמי מהירות היא vF כאשר v ∼ vF ו־ CV ∼ T מתקיים פרמיונים, גז של החום קיבול את נזכור אם זה, ובגבול ,TF ל־ ביחס נמוכות

בטמפרטורה.

נקבל: המדויקים, הביטויים את נציב ואם

κ

σ=π2

3

(kBe

)2

T (1.4)

הכיר. הוא אותה הפיזיקה עם החישוב, אותו את עשה בזמנו דרודה בטמפרטורה, החום וקיבול המהירות של בתלות שצודק הקוונטי הטיפול לעומת

וקיבל:CV =

3

2nkB

mv2

2=

3

2kBT

הציב הוא

κ

σ=

3

2

(kBe

)2

T

שלו הבסיסי שהמודל לו הראתה ∼ 2 פקטור של טעות הרלוונטית. בפיזיקה לחלוטין טעה אך בטמפרטורה, התלות את לשחזר הצליח הוא כלומר,בכלל! רע לא הוא

מגנטי שדה של השפעות 2

לנדאו רמות 2.1

את ביצע von Klitzig בשם גרמני פרופסור ב־1980, המגנטי. בשדה לינארית שהיא ומצאנו Hall conductivityה־ את חישבנו הקודם בשיעורקיבלנו זאת ובמקום נשבר, המגנטי לשדה Hall מוליכות של הלינארי הקשר כי גילה הוא גבוהים. מגנטיים ובשדות נמוכות בטמפרטורות הול, ניסוי

.e2

hשל ביחידות Hall מוליכות של ומובהק חזק מאוד קוונטוט

49

לנדאו. רמות והיא ,(2 בקוונטים בקורס (ראינו בסיסית יותר קצת תשתית נבנה הסוף, עד הזו התופעה את שנסביר לפני

. ~B = Bz קבוע מגנטי שדה תחת אלקטרון של התנועה את קוונטית לחקור נרצה כלומר,

הזו. הדינמיקה את לפתור יודעים אנחנו קלאסית

.mv2

rשלו, הצנטרפיטלית התאוצה את לאלקטרון מספק

(−e)c

~v × ~B האלקטרון, על שפועל לורנץ כח

האלקטרון. של הציקלוטרון תדירות היא ω ≡ eB

mcכאשר v = ωR מהירות עם R ברדיוס מעגל לאורך נע האלקטרון

.R =

√2E

mω2הקשר מתוך R הרדיוס את למצוא יודעים אנחנו ,E האלקטרון, של האנרגיה בהנתן

.Bב־ לינארית שהיא בתדירות מעגלית תנועה יבצע האלקטרון כללי, באופן כלומר,

האלקטרון: תנועת את המתאר ההמילטוניאן את נרשום קוונטי, באופן הבעיה את לפתור מנת על

H =1

2m

(~p+

e

c~A)2

.~∇× ~A = ~B לקיים צריך ~A כאשר

.~∇ · ~A של בערכו כיול חופש לנו שיש הרי , ~A על היחידה הדרישה וזוהי הואיל

המהירות: אופרטור באמצעות היא הזה ההמילטוניאן את לרשום נוספת דרך

~v ≡ d~r

dt

לקבל: נוכל אופרטורים עבור הייזנברג ממשוואת

d~r

dt=

[~r,H

]i~

הסופית: התוצאה את לנו ייתן הקנוניים החילוף ביחסי ושימוש בהמילטוניאן הריבוע של פתיחה

~v =~p

m+

e

mc~A

כלומר:

H =m

2

(v2x + v2

y

)חלקיק לבין הזה המקרה בין ההבדל מה אז כך. ההמילטוניאן את לרשום יכולים היינו עדיין זהותית, אפס היה המגנטי השדה אם גם רגע, אבל

חופשי?

נקבל: ~∇× ~A = Bz כאשר שלנו, ובמקרה זה. עם זה חילופיים להיות מפסיקים ~v המהירות אופרטור רכיבי ,~∇× ~A 6= ש־0 ברגע

[vx, vy] = −i~ e

mcB = −i (`Bω)

2

`B ≡√

~mω

(magnetic length) המגנטי האורך את הגדרנו כאן כאשר

שלנו: במקרה הקלאסי Lorentz gaugeה־ עם מתלכד והוא ,Landau gaugeה־ הוא הוקטורי, הפוטנציאל עבור מסוים כיול נבחר

~∇ · ~A+1

c

∂ϕ

∂t= 0

: ~A של אחד וריאנט לקבל יכולים אנחנו זה כיול תחת

~A =

(0Bx

)

50

נקבל: זה כיול תחת

H =p2x

2m+

1

2m

(py +

eB

cx

)2

כלומר: במשותף, אותם ללכסן ניתן ולכן ,[H, py] = 0 כי לב נשים

ψ =1√Ly

exp(ipy~y)ϕ (x)

היא: ϕ (x) עבור שהמשוואה ומכאן

Eϕ =

(p2x

2m+mω2

2(x− x0)

2

)ϕ

x0 ≡ −pymω

את הגדרנו כאן כאשר

.pyל־ מסוים באופן המצומד מרכוז עם הרמוני, אוסילטור של שרדינגר משוואת את מקיימת ϕ כי קיבלנו כלומר,

En = ~ω (n+ 1/2) הן האלה האנרגיה רמות של האנרגיות

ביניהם). מקשרים זאת בכל איך נראה אולי (ובבית הקלאסי מהפתרון לחלוטין מנותקים נראים שקיבלנו ההמילטוניאן של העצמיים המצבים

מקבלים היינו ~A =

−By2Bx2

הכיול עבור העצמיות. הפונקציות עבור אחרת צורה מקבלים היינו , ~A של אפשרי כיול כל שעבור הוא שמתברר מה

מעגלים. ממש גם שהן עצמיות פונקציות

כעת. זאת ונראה מקרוסקופי עצום, ניוון ישנו En אנרגיה רמת לכל כי לב לשים חשוב

מחזורי. שפה תנאי המקיים Ly ואורך סופי, Lx עובי עם עצמה על שנסגרת מגילה מעין ספציפית, מערכת עם נעבוד

:ky הגל מספר של קוונטוט שיש לנו ברור מכאן

∆ky =2π

Ly⇒ ∆py =

2π~Ly

:x0 של האפשריים ערכיו על גם קוונטוט לנו שיש מכאן

∆x0 =∆pymω

⇒ ∆x0 =2π~mωLy

הספין): עבור 2 פקטור (בתוספת הוא x0 ערכי של המותר שהמספר ומכאן ,Lxל־ 0 בין נעים המותרים x0 ערכי כי לב נשים

N = 2Lx

∆x0=mω

π~LxLy

שמגדירים ,py עבור האפשריים השונים מהערכים בא nה־ האנרגיה ברמת והניוון הואיל ,nה־ האנרגיה רמת של הניוון בדיוק גם הוא זה מספרחריפה. מגבלה יש כבר אלו ועל ,x0 עבור שונים ערכים

הבא: באופן Φ0 ≡hc

e,ux quantumה־ באמצעות גם לרשום אפשר N הניוון את כי לב נשים

N = 2Φ

Φ0

האנרגיה: של כפונקציה המצבים צפיפות של זו היא הבא, לשבוע להמשך, אותנו ללוות שצריכה התמונה

g (E) =∑n

2Φ

Φ0δ (E − ~ω (n+ 1/2))

המערכת. לשטח הפרופורציוני מקרוסקופי ניוון עצום, ניוון יש כזו אנרגיה רמת ולכל ~ω (n+ 1/2) האנרגיה רמות ספקטרום את לנו יש כלומר,

51

סביב משנה לא (זה במישור שרירותיות להזזות הקלאסי הפתרון של באינווריאנטיות הוא הזה הניוון של מקורו .Landau level נקראת כזו רמה כל.((E (אנרגיה R ברדיוס מעגלית תנועה האלקטרון מקיים מרכז איזה

.Bל־ פרופורציוניים הם 2Φ

Φ0הרמות, של הניוון וגם ,~ω הרמות, בין המרחק גם כי לב נשים

רציף. ספקטרום מקבלים ואנחנו קטנות) פרטורבציות (בשל מוסר הזה העצום הניוון כי נקבל קטנים B ערכי עבור

ורמות הפיקים בין חפיפה אין אבל קטנה, מריחה עובר g (E) של כזה פיק כל משמעותיות, פרטורבציות ובהעדר גדולים B ערכי עבור זאת, לעומתשלהן. הגבוה הניוון וניכר מזו זו נבדלות הנפרדות האנרגיה

2013 במאי 28

מגנטי בשדה אלקטרונים גז עבור הכימי הפוטנציאל 2.2

.EF פשוט הוא הכימי הפוטנציאל אז .T = ב־0 נעבוד פשטות לשם

2Φ

Φ0> N האלקטרונים, ממספר גדול הוא לנדאו רמת כל של שהניוון כך גבוה מספיק מגנטי שדה עם נתחיל אלקטרונים. N לנו ויש נניח

הרי ,ω =eB

mcו־ הואיל האלקטרונים. מאכלסים אותה המקסימלית האנרגיה רמת כלומר, ,

1

2~ωל־ שווה יהיה הכימי הפוטנציאל הזה במקרה

:Bל־ µ בין לינארי קשר שמתקיים

µ =e~

2mcB

האלקטרונים: למספר שווה בדיוק לנדאו רמת כל של הניוון בו הקריטי השדה של ערכו את B0ב־ נסמן

2Φ

Φ0= N ⇒ B0 =

Φ0

2AN

וגם רמה, כל של האנרגיה את מורידים גם אנחנו ,B את שנקטין ככל ולכן וקטן, הולך לנדאו רמת כל של הניוון ,B את מקטינים שאנחנו ככלויותר. יותר גבוהות אנרגיה לרמות אלקטרונים דוחפים

נקבל: B0מ־ בקצת קטן B עבור

µ =3e~2mc

B

הבא: באופן µ0 הקבוע את נגדיר ואם

µ0 ≡ ~emc

B0

=π

A

~2

mN

=π~2

mn

האלקטרונים. צפיפות את n ≡ N

Aוב־ המערכת שטח את Aב־ סימנו כאן כאשר

:B0 הקריטי לערך סמוך נקבל אז

µ =

1

2µ0 B = B0 + ε

3

2µ0 B = B0 − ε

כלומר: החלקיקים, N ידי על מתמלאות התחתונות לנדאו רמות שתי בו B1 קריטי, לערך נגיע בסוף השדה, את ונקטין נמשיך אם

2× 2Φ

Φ0= N ⇒ B1 =

B0

2

52

:B1 =B0

2ל־ סמוך הכימי הפוטנציאל עבור נקבל ושוב

µ =

3

4µ0 B =

B0

2+ ε

5

4µ0 B =

B0

2− ε

הכימי הפוטנציאל של הערך אכן הוא כי שמתברר ,µ0ל־ עד ודועכת שהולכת הזו השן־מסור את מקבלים אנחנו והלאה. הלאה להמשיך אפשר וכך.B = 0 עבור

.B של כפונקציה אלקטרונים N של גז של µ הכימי הפוטנציאל :2.1 איור.µ = ~ω (n+ 1/2) הישרים הם המרוסקים הקווים

ככל כלומר, חווה, שהמערכת הפרטורבציות לעוצמת הפרופורציונית Landau levelsה־ של התרחבות נקבל אנחנו אמיתית מערכת עבור כי לב נשיםהרמות. של הזה הדיסקרטי האופי את לראות קשה יותר לנו יהיה עולה שהטמפרטורה

מאוד. נמוכות ובטמפרטורות מאוד, גבוהים שדות עם לעבוד עלינו ניסיוני, באופן הזה האפקט את לראות מנת על ולכן,

.1/B0 מחזור עם אוסילציות ממש מקבלים היינו 1/B של כפונקציה µ את משרטטים היינו אם כי לב נשים

מגנטיזציה. של ובמדידות מוליכות של במדידות גם אותה רואים ואנחנו רווחת, מאוד תופעה הן כאלה אוסילציות

בהתאמה. ,De Haas-Van Alphen ואפקט Shubnikovde Haas אפקט נקראים האלה האפקטים שני

De Haas-Van Alphen אוסילציות 2.3

המגנטיזציה: של בהגדרה נזכר ראשית

M = − ∂Ω

∂B

הוא: אלקטרונים גז שעבור הגראנד־קנוני, הפוטנציאל הוא Ω כאשר

Ω = −kBT∑i

ln(

1 + e−β(εi−µ))

53

מהצורה תרומה לנו נותנות εi > µ שעבורן אנרגיה רמות כי יודעים אנחנו ולכן נמוכות, בטמפרטורות לעבוד מתכוונים שאנחנו מראש יודעים אנחנואנחנו מראש ולכן ,εi < µ שעבורן לרמות ביחס אינסופית בצורה מונחתות הן האלה הרמות כלומר, ,β → ו־∞+ חיובי x כאשר ln

(1 + e−βx

).εi < µ שמקיימות רמות אותן על רק לסכום יכולים

נותן וזה ,ln(1 + eβx

)∼ βx אומר וזה ,β → ו־∞+ חיובי x כאשר ln

(1 + eβx

)מהצורה לסכום תרומה לנו נותנות εi < µ שמקיימות רמות

הגראנד־קנוני: הפוטנציאל עבור T → 0 בו בגבול הבאה המקורבת הצורה את

Ω = −kBT∑i

Θ (µ− εi)β (µ− εi)

=∑i

(εi − µ) Θ (µ− εi)

הרלוונטיות: לנדאו רמות על בסכימה להמיר יכולים אנחנו החד־חלקיקיות האנרגיה רמות על הזו הסכימה את מכאן

Ω = 2Φ

Φ0

n∑n=0

(~ω (n+ 1/2)− µ)

נתון שדה עבור המאוכלסת גבוהה הכי לנדאו רמת של n הקוונטי המספר זהו כלומר, ,µ

~ω− 1

2של השלם החלק בתור n את הגדרנו כאן כאשר

.B

הגראנד־קנוני הפוטנציאל את לנסח יכולים אנחנו אז ,f (x) =∞∑

n=−∞δ (x− (n+ 1/2)) דיראק של המסרק ואת ,x ≡ µ

~ωהגודל את נגדיר כעת אם

מניפולציה): נטו זו (בינתיים הבא באופן

Ω = 2Φ

Φ0

xˆ

0

dx f (x) (~ωx− µ)

דיראק: של המסרק עבור המוכרת בזהות ניעזר מכאן

f (x) =

∞∑n=−∞

δ (x− (n+ 1/2))

= 1 + 2

∞∑p=1

cos (2πp (x− 1/2))

שמיידי אינטגרל וזה ,f (x) של ה־1 עם יחד קוסינוסים של סכום על אינטגרל עם נותרים אנחנו שעכשיו הרי האינטגרל, בתוך זו זהות נציב אםולקבל: xו־ 0 הגבולות בין אותו לבצע

Ω = 2Φ

Φ0

(− µ2

2~ω− ~ω

2π2

∞∑p=1

(−1)p

p2

(1− cos

(2πp

µ

~ω

)))

גבוהות יותר p לערכי המתאימות ההרמוניות (כל cos

(2πµ

~ω

)היא שבהן הדומיננטית כאשר מחזוריות, פונקציות של סכום כאן לנו יש כי לב נשים

הזה: cosה־ של המחזור אותו עם מחזורית שהיא פונקציה נקבל בסוף M = − ∂Ω

∂Bהנגזרת את נבצע ואם .(p2 בפקטור מונחות

cos

(2πmc

~eµ1

B

)הוא: הזה cosה־ של המחזור

∆ =mc

~eµ=

2

n0Φ0

כזה: הוא ההגדרה מאחורי ההיגיון .n0 ≡mµ

π~2את הגדרנו האחרון במעבר כאשר

גם הזה הפוטנציאל ,B = 0 כאשר .µ כימי פוטנציאל עם חלקיקים לאמבט מצומדת שלנו המערכת כלומר, הגראנד־קנוני, בצבר עובדים אנחנו.B = 0 עבור שלנו במערכת מקבלים שהיינו החלקיקים צפיפות את נותן n0ש־ ומכאן ,µ0 בתור מתפקד

מונחתות והן הואיל וזאת בטמפרטורה, שמקורן לפרטובציות יותר רגישות גם הן יותר הגבוהות שההרמוניות מגלים סופית בטמפרטורה הזו בבעיההבסיסית. להרמוניה ביחס אקספוננציאלית

2013 במאי 29

54

סופית במערכת לנדאו רמות 2.4

המרכזים כי קיבלנו אחיד. מגנטי שדה עם אינסופי מרחב איזה לנו יש כי הנחנו שפה. מאפקטי התעלמנו לנדאו רמות עבור כה עד שעשינו בפיתוח.py בתנע תלויים x0 הגל, פונקציות של

להכנס שיכולים x0 ערכי של סופי מספר שגרר סופי) Ly מערך (שנובע py על קוונטוט תנאי בתור השפה תנאי את בדיעבד הוספנו אנחנו משםסופי. Lx עם במערכת

אנחנו אבל בסדר. באמת לא וזה המותר, מהתחום חורגת ככלל הגל פונקציית אז ,[0, Lx] בתחום נמצא x0 אם גם שהרי עקום, קצת זה אבלמהמערכת. לחלוטין זניח שבר על השפיעו השפה אפקטי שם התרמודינמי, בגבול עבדנו

אחרת. קצת מערכת נבנה אנחנו עכשיו אז

.x ∈ [0, w] ,x בציר סופי ואורך מחזורי, שפה תנאי עם y בציר Ly אורך עם סופית מערכת עם נעבוד

V (x) =

0 0 < x <∞∞ else

פוטנציאל נוסיף המערכת של הסופי ההיקף את להגדיר בשביל פורמלית

. ~B = Bz המוכר השדה את לנו הגוזר , ~A =

0Bx0

הוקטורי הפוטנציאל עם נעבוד

:Hו־ pyל־ עצמיים מצבים של משותף בסיס למצוא אפשר אז ,py עם חילופי הוא הזו המערכת של וההמילטוניאן הואיל

ψ (x, y) =1√Ly

exp(ipyy

~

)ϕ (x)

היא: ϕ (x) את הקובעית המשוואה כאשר

Hϕ = Eϕ

⇓ p2x

2m+

1

2m

py +eB

c︸︷︷︸=mω

x

ϕ = Eϕ

[p2x

2m+mω2

2(x− x0)

2

]ϕ = Eϕ

.2π~Ly

של שלמות בקפיצות ערכים לקבל יכול py כאן כאשר

x0 = − pymω

ω =eB

mc

.x0 סביב הממורכזים הרמוניים אוסילטורים הם שהפתרונות יודעים אנחנו הזו בבעיה

ממש להתאפס ועליהן הואיל הרמוני, אוסילטור של המדויקות העצמיות הפונקציות לא הם ϕ עבור שהפתרונות הרי השפה, בתנאי עכשיו ניזכר אםמהר. מספיק באינסוף לאפס לשאוף רק ולא x = wו־ x = 0 בשפות

העצמיות לפונקציות ההרמוני האוסילטור של המדויקות הפונקציות בין מהותי הבדל יהיה לא כי צופים אנחנו מהקצוות, מאוד רחוק x0 כאשרהשפה. תנאי את גם המקיימות

magneticה־ ,`B ≡√

~mω

הגל, פונקציית של לרוחב קומפרבילי שהוא מהקירות במרחק נמצאת האוסילטור של הגל פונקציית כאשר זאת, עם

בצרה. אנחנו ,length

הוא: ϕ עבור לפתור שעלינו האמיתי הפוטנציאל

V =mω2

2(x− x0)

2+

0 0 < x < w

∞ else

והחלקיק הואיל מדויק הרמוני אוסילטור של הספקטרום הוא האנרגיות, ספקטרום את בדיוק יודעים אנחנו ,[0, w] הקטע באמצע נמצא x0 אםהרמוני. פוטנציאל בור בדיוק רואה

55

של הענפים מאחד חלק רק ייראה הוא מכך, גרוע או בדיוק, הרמוני פוטנציאל בור חצי רואה החלקיק אז ,x0 < 0 אם או x0 = 0 אם זאת, עם

.mω2

2(x− x0)

2 הפרבולה

אנחנו כבר. פתרנו הזו הבעיה את הרמוני. פוטנציאל בור חצי רואה הוא החלקיק, שרואה הפוטנציאל מה בדיוק יודעים אנחנו אז ,x0 = 0 אםכלומר: אינסופי, חצי הרמוני פוטנציאל בור של הספקטרום כי יודעים

V (x0 = 0) =

mω2

2x2 x > 0

∞ x < 0

אי־זוגיים. n לערכי המתאימות והאנרגיות הפונקציות כל כלומר, ההרמוני, האוסילטור של האי־זוגיות העצמיות הפונקציות הוא שלו הספקטרום

.x = wב־ גם קורה הדבר אותו סימטריה, ומשיקולי

x0 = 0 וכאשר הבור, במרכז x0 כאשר הספקטרום את יודעים ואנחנו הואיל ומכאן ,x0 של הערך של רציפה פונקציה יהיה האנרגיות ספקטרום.x0 של כפונקציה האנרגיות ספקטרום של התמונה את להשלים יודעים אנחנו ,x0 = w או

.E = ~ω (n+ 1/2) היא כמובן הכוונה כאשר ,n של ביחידות נתון E ציר .x בציר סופית מערכת עבור האנרגיות ספקטרום :2.2 איור

ערכי תחום כך האנרגיה, ברמות שנעלה ככל אזי ,⟨x2⟩∼ n כמו עולה ,

⟨x2⟩העצמיות, הפונקציות של והרוחב הואיל כי יודעים אנחנו כאן כאשר

.nב־ לינארי בקצב רחב, ויותר ליותר הופך הקצוות, עם שלו המפגש מבחינת בעייתי שהוא x0

.(x0, y0) סיבוב מרכז עם ציקלוטרון רדיוס גבי על ינוע קלאסי אלקטרון .skipping orbitsה־ של הקלאסית לתופעה אנלוגי הוא המצב

56

ממנה. מוחזר הוא בשפה, פוגע שהאלקטרון פעם כל כי נקבל ואז ,[0, w] לתחום מחוץ גם להיות יכול הזה הסיבוב מרכז

סופית במערכת זרם הולכת 2.5

במערכת. זרם להוליך לאפשרות אותה נקשר ובהמשך ־ הבאה המתמטית השאלה על נענה כעת

.(x0 את למעשה (שקובע py של פונקציה הוא H כאשר Hϕ = Eϕ העצמיים, והמצבים העצמיים הערכים בעיית היא כאן המעניינת הבעיה

H (py) =p2x

2m+mω2

2

( pymω

+ x)2

+ V (x)

V (x) =

0 0 < x < w

∞ elseל־ מתכוונים אנחנו כאן כאשר

.pyל־ המתאימות ϕnו־ En האנרגיות את לנו יש כלומר, ,py של מסוים ערך עבור הבעיה את ופתרנו נניח

העצמיות. ובפונקציות באנרגיות השינוי מהו ונשאלδpypy 1 כאשר py → py + δpy כלומר, ,pyל־ קטנה פרטורבציה להכניס כעת נרצה

בזמן. תלויה בלתי הפרעות בתורת הוא לכך הפתרון

בכלל. להמילטוניאן מכניסים שאנחנו ההפרעה מהי להבין ראשית עלינו בזמן, תלויה הבלתי ההפרעות תורת את שנפתור לפני אבל

קטנה, הפרעה בתור δpyל־ נתייחס .py הפרמטר של השינוי תחת להמילטוניאן שנכנסת ההפרעה זוהי ,H (py + δpy)−H (py) את נחשב כך, שם:δpyב־ ראשון לסדר עד בשמירה נקבל, ולכן

H (py + ∆py)−H (py) =∂H

∂pyδpy

=mω2

22( pymω

+ x)δpy

=(pym

+ ωx)δpy

!vy המהירות לאופרטור בדיוק פרופורציונית היא הזו ההפרעה כי לב נשים

מקיים: H1 ההפרעה המילטוניאן

H1 =(pym

+ ωx)δpy = vyδpy

:En העצמיות באנרגיות ראשון לסדר השינוי את למצוא נרצה עכשיו

δEn = 〈ϕn | H1 | ϕn〉= δpy 〈ϕn | vy | ϕn〉

57

הוא: vy המהירות של התצפית שערך היא כאן שקיבלנו המסקנה

〈vy〉 =δEnδpy

〈vy〉 =∂En∂py

= − 1

mω

∂En∂x0

(2.1)

לנו תתן זה בציר התנע לפי האנרגיה של הנגזרת אזי מסוים, בציר להזזה אינווריאנטיות לנו יש אם כללית: טענה לאיזו דוגמה רואים אנחנו כאןהמהירות. אופרטור של התצפית ערך את

מקבלים: אנחנו ושם הצירים, בכל להזזה אינווריאנטיות מקיים חופשי חלקיק ־ בעבר אחת פעם כבר זה את ראינו

∂E

∂pi= 〈vi〉

מחזורי. פוטנציאל תחת הנעים אלקטרונים עבור הדבר אותו את הקורס בהמשך נראה אנחנו דומה באופן

מהירות בדיוק וזוהי∂E

∂p=∂ω

∂k= vg ואז התנע, את kו־ האנרגיה את מייצגת ω פורייה, יחסי תחת כי לב לשים היא זה את לראות אחרת דרך

החלקיק. של המהירות לבין בינה הקשר את לראות וקל החלקיק, את המייצגת הגל פונקציית של החבורה

הזה? הגודל זה מה .〈vy〉 את חישבנו אנחנו

הייזנברג: בתמונת y באופרטור לרגע נדון בואו

dy

dt=

[y,H]

i~

.⟨dy

dt

⟩את חישבנו למעשה אנחנו

החלקיק. של הממוצע המיקום של בזמן השינוי קצב כלומר, ,d

dt〈y〉 בתור מהירות של שלנו האינטואיטיבית מההבנה להבדיל וזאת

נשכחות. טיפה להעלות נצטרך אנחנו עכשיו

במרחב. מסוימת בנקודה החלקיק את למצוא ההסתברות צפיפות של משמעות יש |ψ|2 = ψ?ψ לגודל כי נזכור

ההסתברות: זרם צפיפות בשם גודל להגדיר יכולים אנחנו

~J =~

2mi

(ψ?~∇ψ − ψ~∇ψ?

):ψ?ψ עם יחד רציפות משוואת מקיים והוא

∂

∂t(ψ?ψ) + ~∇ · ~J = 0

איך להבין לנו עוזר ~J כלומר, נקודה. בכל החלקיק של ρ~v המסה זרם של משמעות יש הקלאסי, בגבול ההסתברות, זרם צפיפות , ~J הזה לגודלהרציפות). במשוואת מהתבוננות ברור שהוא (קשר למקום ממקום זורמת במרחב נקודה בכל החלקיק את למצוא ההסתברות צפיפות

סטטי. הוא המצב כאשר גם 〈vy〉 על התבוננות של המשמעות ומכאן המהירות, אופרטור של התצפית ערך לבין ~J בין קשר ישנו

נוספת: לקריאה

http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_current

כפול1

Lyשלו, הצפיפות הוא מסוים x0 עם בודד אלקטרון איתו שנושא הזרם כי להבין יכולים אנחנו האלה, החששות את הרגענו שקצת עכשיו

שלו: ההסתברות זרם כפול −e שלו, המטען

Ix0,n =e

Lymω

∂En

∂x0

בהם: המאוכלסות והרמות המותרים x0 ערכי כל על סכום הוא y בכיוון הכולל שהזרם ומכאן

Iy =∑x0,n

Ix0,n

=e

Lymω∆x0

∑x0,n

∆x0∂En∂x0

58

בדידה: סכימה במקום אינטגרל ולבצע דרבו כסכום הזה הסכום את לפרש יכולים אנחנו מאוד, קטן גודל וזהו ,∆x0 =h

mωLyו־ הואיל

Iy =e

h

x0Rˆ

x0L

dx0

∑n

∂En∂x0

ביותר. והשמאלי ביותר הימני x0 ערכי x0Rו־ x0Lב־ סימנו כאן כאשר

משתנה: החלפת נבצע

Iy =∑n

e

h

µRˆ

µL

dEn

=∑n

e

h(µR − µL)

.x0Lוב־ x0Rב־ האנרגיה ערכי את µR, µLב־ סימנו כאן כאשר

זרם. הולכת אין ולכן שקולים), הם השמאלי והקצה הימני הקצה (שהרי µL = µR חיצוני, שדה שום ללא כי לב נשים

? ~E = Ex בשדה שמקורו חשמלי מתח כלומר, ,Vx = −Ew

חשמלי מתח x = wו־ x = ב־0 הגביש פאות על נפעיל אם יקרה מה

יתקיים: כי צופים אנחנו

µR − µL = − (−e)Ew = eVx

המטען. כפול הפוטנציאלים הפרש בדיוק יהיה שמאל לצד ימין צד בין האנרגיות הפרש כלומר,

דרכים. בשתי הזו הטענה את להצדיק יכולים אנחנו

הפוטנציאל של הפוטנציאלית האנרגיה שוקלים, שאנחנו x0 נקודה כל שסביב כך חלש מספיק הוא השדה כי שנניח בכך היא הראשונה הדרךמעין ,x0 סביב הממורכז ההרמוני האוסילטור של הפתרונות עבור כקבועה אליה להתייחס ואפשר משמעותי באופן משתנה אינה eEx החשמלי,

.WKB קירוב

הזו. לבעיה הפתרון את מכירים כבר שאנחנו לומר גם אפשר שני, מצד

ספקטרום כי מקבלים ,(+eEx שלנו (במקרה −qEx הפרעה איבר לו מוסיפים כלומר, ,E קבוע חשמלי שדה הרמוני אוסילטור על מפעילים כאשר

~ω (n+ 1/2)− e2E2

2mω2ל־ ~ω (n+ מ־(1/2 הופך שלו האנרגיות

למעשה x0Lב־ האוסילטור כי להבין יכולים אנחנו כך .ξ0 ≡qE

mω2= − eE

mω2בשיעור ימינה מוסטת האוסילטור של המשקל שיווי נקודת בנוסף,

שהאוסילטור בעוד אנרגיה, פחות בעלת כן ועל למרכז, קרובה יותר שהיא בנקודה כלומר, ,x0L − ξ0 = x0L + |ξ0| סביב שלו התנודות את מבצעאנרגיה, יותר בעלת כן ועל מהמרכז, רחוקה יותר נקודה סביב כלומר, ,x0R − ξ0 = x0R + |ξ0| סביב שלו התנודות את מבצע למעשה x0Rב־

.µR − µL ההפרש של הערך ומכאן

מספר ,n קבוע, כפקטור החוצה n פי על הסכימה את להוציא אפשר ולכן הפרש, אותו הוא הזה האנרגיות הפרש ,n לנדאו רמת לכל כי לב נשיםהמאוכלסות: לנדאו רמות

Iy = ne2

hVx

היא:IyVx

= σyx הזו, במערכת הסגולית שהמוליכות ומכאן

σyx = ne2

h

59

לנדאו רמות פי על הול למוליכות אלטרנטיבי פיתוח 2.6

מחזורי. שפה תנאי תחת y בכיוון Ly אורך עם x ∈ [0, w] בה מערכת ראינו אנחנו בשיעור

:Hall מוליכות שישנה גילינו שם

σyx = ne2

h

.Ahronov-Bohm אפקט באמצעות אחרת, בדרך הזו התוצאה את לפרש נרצה כעת

סגורה. טבעת איזו בתור אותה ונדמיין שלנו המערכת את ניקח

Ahronov-Bohm אפקט של שבטבעת כמו ממש הטבעת, מרכז דרך שעובר (ux line) נוסף מגנטי שטף גם להכניס יכולים אנחנו זו סגורה לטבעתהשטוחה. הטבעת מרכז דרך כזה ux line לנו היה

הוא xש־ בעוד הטבעת, לאורך הקוארדינטה הוא עכשיו, טורוס של קוארדינטה הוא y מוזרה. קצת צירים מערכת לנו יש טופולוגית כי לב נשיםסטנדרטית. יותר קצת קוארדינטה

אחרים: פוטנציאלים שני של סכום שהוא וקטורי פוטנציאל לנו דרוש הגדרנו, שאנחנו הזה המגנטי השדה את לתאר מנת על

~A1 =

0Bx0

~A2 =

0

Φ

Ly0

~∇× ~A1 = Bz

סטוקס: במשפט ניעזר ומדוע? איך המרכז. דרך ux tubeה־ את לנו ייתןΦ

Lyy השני, והרכיב

ˆ

surface of ring

d~S · ~B2 =

˛

circumference of ring

~A2 · d~

=

˛dy

Φ

Ly= Φ

.ux tubeה־ ואת Bz הרכיב את משחזר אכן אתו שהגדרנו כפי הוקטורי הפוטנציאל כלומר,

שהם להיות יכול לא סימטריה, משיקולי ושוב ,z = 0 הציר גבי על להתכנס צריכים ~B = Bz של השדה קווי כל סימטריה, משיקולי כי לב נשים.~∇ · ~B = ל־0 בסתירה z = מ־0 שדה קווי של נטו שטף לנו יש כלומר, שמאלה. או ימינה משם פונים

האמיתי, בעולם אותו לבנות אפשר לחלוטין! מלאכותי הוא התלת־מימדי בעולם מחזורי שפה תנאי המקיימת הדו־מימדית המערכת של שלנו השיכוןהשטף את תכיל מסוים x ערך בעלת בטבעת פרוסה שכל שיגרור מה ,x עם שמשתנה x בכיוון רכיב גם לו שיש מגנטי שדה להניח עלינו אז אבל

הטבעת. של השטח פני על ~B = Bz לייצור הנדרש השדה ב״שאר״ שמקורה ,x תלוית לשטף, תרומה איזו גם אבל ux tubeה־ של Φ המגנטי

60

שלו: ההמילטוניאן של לרישום להתפנות יכולים אנחנו פיזיקלי, מאשר יותר מתמטי הוא שלנו שהמודל משהבנו

H =p2x

2m+

1

2m

(py +

e

c

(Bx+

Φ

Ly

))2

+ V (x)

כלומר: ,[0, w]ל־ אותנו החוסם פוטנציאל הוא V (x) כאן כאשר

V (x) =

0 0 < x < w

∞ else

מוסח: תנע איזה משחק py של התפקיד את שכעת אלא לנדאו, רמות של המקרה בדיוק זהו כי לב נשים

p′y → py −e

c

Φ

Ly

שניהם): של עצמיות פונקציות ולקבל במשותף אותם ללכסן ניתן[H, p′y

]= ו־0 (הואיל הוא הפתרון ולכן

ψ (x, y) = exp

(i

~

(py −

e

c

Φ

Ly

)y

)ϕ (x)

כעת: הם py עבור המותרים שהערכים הרי המחזורי, השפה תנאי את לדרוש ממשיכים ואנחנו הואיל

py =h

Ly

(j +

Φ

Φ0

)

שלם. מספר j כאשרלנו: המוכרת המשוואה היא ϕ (x) עבור העצמיים הערכים משוואת כאשר

Hϕ = Eϕ[p2x

2m+mω2

2(x− x0)

2+ V (x)

]ϕ = Eϕ

:x0ב־ בתלות ראינו כבר שלה הספקטרום ואת

61

שונה: מעט היא x0 של ההגדרה שכעת אלא

x0 = −p′ymω

= − pymω

+e

mωcLyΦ

בצורה נעלה וכעת המחזורי, השפה תנאי תחת המתקבלות לנדאו רמות של לנו המוכרת המערכת כלומר, ,Φ = 0 עם המערכת את נבנה כעת אם.∆t זמן פני על זאת ונעשה ,∆Φב־ ערכו את נשנה כלומר, מסוים. סופי לערך עד מ־0 Φ את איטית

מוויקיפדיה): (ציטוט הקובע ,(Adiabatic theorem) האדיאבטי במשפט נשתמש שקורה, מה את לתאר מנת על

"A physical system remains in its instantaneous eigenstate if a given perturbation is acting on it slowly enough and if there isa gap between the eigenvalue and the rest of the Hamiltonian's spectrum.

Gradually changing conditions allow the system to adapt its conguration, hence the probability density is modied by theprocess. If the system starts in an eigenstate of the initial Hamiltonian, it will end in the corresponding eigenstate of the nalHamiltonian.

נוספת: לקריאה

http://en.wikipedia.org/wiki/Adiabatic_theorem

(ביחס איטיים שינויים עבור אז ,H (t0) ההמילטוניאן של |ψn〉 עצמי במצב התחילה המערכת אם יותר, קצת) (ממש קצת זה את לפרמל ואם.H (t) ההמילטוניאן של המתאים עצמי במצב תשאר היא t זמן בכל שלה, בפרמטרים (~ω שלנו במקרה הרמות, בין האנרגיה לקפיצת

המאופיין המצב הסופי, לערכו עד מאפס Φ של ההגדלה שעם נצפה ,nו־ py קוונטיים, מספרים שני ידי על מתוארת והמערכת הואיל שלנו, במקרההקוונטיים. המספרים שני אותם ידי על מאופיין להיות ימשיך מסויימים, nו־ py ידי על

הוא: t = 0 בזמן ערכו אזי מקוונטט, pyו־ הואיל

py =h

Lyj

נקבל: ∆t זמן ולאחר

py =h

Ly

(j +

∆Φ

Φ0

)

.Φ0 של ביחידות ∆Φ בשינוי נתעניין אנחנו .x0ב־ שינוי גורר pyב־ כזה שינוי כי לב נשים

בשיעור: x0ב־ שינוי לנו ייתן ∆Φ = Φ0 שינוי

∆x0 = − 1

mω

h

Ly

האפשריים. x0 מצבי בין הריווח בדיוק זהו כי לב נשים

.x0 −∆x0, n האפשרי הסמוך למצב x0, n המצב את המאכלסים האלקטרונים כל את מזיזים אנחנו Φ של Φ0 בשיעור שינוי כל על כי לב נשים

המעגל סביב x = 0 משפה זרם יהוו למעשה שמאלה לנוע שינסו x = 0 בשפה שהאלקטרונים הרי ,x = w לשפה x = 0 השפה בין מעגל נסגור אם.x = w לשפה

זמן? ביחידת יש כאלה אלקטרונים כמה

dNelectrons

dt= (number of lled Landau levels)× (number of ∆x0 units passed in unit time)

= n× 1

|∆x0|dx0

dt

כלומר: ,Φ את משנים אנחנו עובר שהזמן ככל כי נזכור

d

dt=

d

dΦ

dΦ

dt

≈ ∆Φ

∆t

d

dΦ

62

נקבל: ומכאן

dx0

dΦ=

d

dΦ

(− pymω

+e

mωcLyΦ

)=

e

mωcLy

הוא: זמן ליחידת השפה את החוצים האלקטרונים מספר ולכן

dNelectrons

dt=ne

hc

∆Φ

∆t

אותו את לאכלס לשניהם שמאפשר הספין בגלל אלקטרונים שני למעשה יש x0, nל־ המתאים מצב בכל כי שכחנו מדויק. כמעט הוא הזה הפיתוחב־2 התוצאה את לכפול יש ולכן ביניהם, הפוכים ספינים עם אבל המסילתי, הקוונטי המצב

הוא: x בכיוון הזרם אזי ,(x בכיוון שלילי זרם (עדיין x = wב־ ונכנס (x בכיוון שלילי (זרם x = מ־0 היוצא האלקטרונים וזרם הואיל

Ix = (−1) (−e) dNelectrons

dt

=2ne

∆t

∆Φ

Φ0

.y בכיוון שלנו, במקרה חשמלי, שדה גם יש אזי ,(ux tubeה־ של בזמן המשתנה (הערך בזמן משתנה מגנטי שדה יש ובמערכת הואיל

האינטגרלית: בצורתו פאראדיי חוק את נכתוב ערכו, את לחשב מנת על

˛Ey dy = −1

c

∆Φ

∆t

⇓

Ey = − 1

Lyc

∆Φ

∆t

:σxy =IxEy

המערכת, של המוליכות את לחשב יכולים אנחנו מכאן

σxy = −2ne2

hLy

המערכת: של הסגולית המוליכות בתור אותו להגדיר שנכון יותר סגולי גודל איזה כאן יש כי לב נשים

σxy =σxyLy

= −2ne2

h

הקשר: באמצעות ne ≡N

A=

N

wLyהאלקטרונים לצפיפות לקשר יכולים אנחנו ,n המלאות, לנדאו רמות מספר את כי נזכר

n =N

2Φ/Φ0

=NΦ0

2BA

= nehc

2Be

(2Φ

Φ0ניוון אחת שלכל לנדאו רמות n מאכלסים האלקטרונים N )

לקבל: ומכאן

σxy = −neecB

דרודה! מודל עם בדיוק שמתלכדת תוצאה קיבלנו כלומר,

63

הקוונטי הול אפקט 2.7

הקלאסי הביטוי אם ברור ולא קורה, מה ברור לא לבין בין מלאות. בדיוק הן לנדאו רמות כאשר σxy של הערכים את מצאנו אנחנו כי לב נשיםתקף. עדיין

יותר! עוד מפתיע הוא האמיתיים בחיים שקורה מה

(Integer Quantum Hall Eect) הקוונטי הול אפקט :2.3 איור

החיצוני. המגנטי השדה של כפונקציה Rxx וההתנגדותh

e2של ביחידות הסגולית הול התנגדות משורטטת כאן

שלם. n כאשר ρxy =1

n

h

e2הערכים סביב למישורים מתיישרת הול התנגדות כי רואים אנחנו

.Integer Quantum Hall Eectה־ הוא המשורטט האפקט ומתאפסת. כמעט ρxx האלה במישורים כי רואים אנחנו דומה, באופן

שנקרא (1/3, 1/5, 2/3, 2/5, 3/5, 4/5, . . . ) אי־זוגי הוא המונה שעבורם שברים אלא שלמים, מספרים שאינן ברמות מישורים יצירת של אפקט גם ישנו.Fractional Quantum Hall Eectה־

.Laughlin הוא ב־1998 נובל בפרס כך על וזכה הסבר, האלה המישורים לתופעת שנתן מי

2013 בפברואר 27

אלא דלתא, פונקציות תהיה לא לנדאו רמות של המצבים צפיפות כלומר, לנדאו, רמות של מריחה איזו נקבל בדגימה, מוחלט סדר לנו אין אםהמדויקות. לנדאו רמות סביב מריחות

64

~A =

0Bx0

הפוטנציאל עם בבניה במרחב. ממוקמים אינם בסגול, כאן המסומנים בדיוק, לנדאו לרמות המתאימים המצבים כי יודעים אנחנו

לחלוטין. מרוחים הם y בכיוון אבל במרחב, כלשהו מיקום להם שנותנת x0 הקוארדינטה את להם יש אמנם כי ראינו

באנרגיות ממוקמות, גל פונקציות של ו״גאיות״ ״הרים״ יוצרים הם במרחב. ממוקמים כן הם לנדאו רמות על בדיוק נופלים שאינם המצבים כי מתבררבעוד ,extended states ממוקמים, שאינם מצבים הם לנדאו, רמות של במרכז המצבים בין משמעותי הבדל יש כלומר, לסביבה. יחסית גבוהות

במרחב. ממוקמים הם לנדאו רמות סביב המריחות של הזנב על שהמצבים

המערכת. כל גבי על יתפרס הסגול שהמצב בעוד במרחב, ממוקמים הם בורוד המסומנים המצבים כל כלומר,

ציקלוטרון תנועת יבצע האלקטרון במישור? חשמלי שדה ואיזה ניצב, מגנטי שדה עם דו־מימדי, במישור שחי אלקטרון לנו יש אם קורה מה קלאסית,לאורך ציקלוטרון תנועת הוא האלקטרון של התנועה מסלול כלומר, החשמלי. השדה לכיוון בניצב שלו guiding centerה־ של סחיפה עם יחד

החשמלי. השדה של הפוטנציאל שווי הקווים

הפוטנציאל. שווי הקווים אחרי שעוקבת ציקלוטרון תנועת יבצעו שלנו הקלאסיים האלקטרונים אז למערכת, הפרעתי פוטנציאל נוסיף כעת אם

ומציאותי. לגיטימי ויותר ליותר הופך הזה והתיאור לאפס, קטנה `B ∼1√B

הציקלוטרון, תנועת של האורך סקלת אזי ,B →∞ בו בגבול

לצידה המערכת של אחד מצד הפוטנציאל של וההרים הבקעות כל בין שעובר פוטנציאל שווה קו למצוא גם אפשר ״אינסופית״ במערכת כן, כמוהמערכת. בכל שנמצא extended state השני,

ה־ ורק ,ρxyל־ תורמים לא הם הרגיל, הסיבוב במישור במקום הפוטנציאל שווי הקווים סביב סובבים למעשה שהאלקטרונים שבגלל מתברררמת לכל אחד extended state רק ויש הואיל .ρxy להתנגדות ותורמים זרם להוליך מסוגלים המערכת דפנות בין המחברים extended states

.ρxy (B) של בגרף והמישורים הקפיצות את לנו ולתת ההתנגדות על להשפיע אמור המלאות לנדאו רמות מספר שרק הרי מלאה, לנדאו

רמות למלא אלקטרונים דוחפים ואיננו האלקטרונים, כלל את להכיל בשביל מספיק לנדאו ברמות הניוון עוד כל המגנטי, השדה את שנקטין ככלוזה ־ משמעותית בצורה ρxy את ישנה לא כרגע המלאה ביותר הגבוהה לנדאו רמת של מהמריחה אחר או זה שבר של המילוי יותר, גבוהות לנדאו

בגרף. המישורים את לנו שנותן מה

חדה ירידה אחת בבת נקבל כן ועל n את משנים שאנחנו הרי הבאה, לנדאו לרמת אלקטרונים דוחפים שאנחנו כזו במידה השדה את נקטין כאשר

.1

n

h

e2הבא לערך שתתאים כך ρxyב־

את וגם השברי האפקט את גם מקבלים אנחנו מסובכים יותר אפקטים בשל אבל בלבד, השלמים בערכים מדרגות גרף להיות אמור הגרף בתיאוריההמדרגות. בין במעבר הסופי השיפוע

65

השברי הול אפקט 2.8

fractional quantumה־ לתיאור מספקת אינה integer quantum hall eectה־ את הסברנו שבה non-interacting electronsה־ של הפיזיקה

ρxxב־ חדות וירידותh

e2כפול שבר איזה זה ρxy כאשר ρxyב־ (מישורים fractional quantum hall eectה־ את לקבל מנת על .hall eect

אלה). ערכים מקבל ρxy כאשר

ניסיוניות תוצאות השברי, הקוונטי הול אפקט :2.4 איור

הזה. השברי הול לאפקט האחראית היא האלקטרונים בין שהאינטרקציה מתברר

מדי. יותר ממנו להבין צריך שלא מעניין הרבה אבל ברור לא קצת בפיתוח לפתוח הולכים אנחנו מכאן

שלנו: האלקטרונים גז של הרב־חלקיקית הגל פונקציית של בתכונה ונזכר לסטטיסטית, מעט נחזור

ψ (~r1, . . . , ~rN )

אלקטרונים: שני כל של להחלפה אנטי־סימטרית היא הגל פונקציית אזי פרמיונים, הם והאלקטרונים הואיל

ψ (~r1, . . . , ~ri, . . . , ~rj , . . . , ~rN ) = −ψ (~r1, . . . , ~rj , . . . , ~ri, . . . , ~rN )

פלוס) בסימן המינוס סימן את מחליפים היינו בוזונים, היו והחלקיקים (במידה

הגל: לפונקציית ביחס הבאה הטרנספורמציה את להגדיר נרצה

φ (~r1, . . . , ~rn) ≡ U−1 (~r1, . . . , ~rN )ψ (~r1, . . . , ~rN )

66

הבא: באופן מוגדרת U הטרנספורמציה כאשר

U (~r1, . . . , ~rN ) = exp

−i∑i<j

θ

παij

.x לציר ביחס ~rj − ~ri בין הזווית הוא αijו־ כלשהו, ממשי פרמטר היא θ כאן כאשר

טריוויאלית): אך מייגעת (אלגברה בקלות להראות אפשר

U−1 (~r1, . . . , ~r`, . . . , ~rn, . . . , ~rN ) = U−1 (~r1, . . . , ~rn, . . . , ~r`, . . . , ~rN )×exp

(iθ

π

( ∑m=n+1

(α`m − αm` + αmn − αnm) + α`n − αn`

))

של הארגומנט ולכן ,2π של שלמה כפולה איזו הוא αij = αji ± π התכונה בשל ,∑`m=n+1 (α`m − αm` + αmn − αnm) הסכום כי לב נשים

±π עוד פלוס 2π של שלמה כפולה פשוט הוא∑`m=n+1 (α`m − αm` + αmn − αnm) + α`n − αn` האקספוננט,

אנטי־סימטרית נותרת φ החדשה הגל פונקציית ולכן ,1 פשוט יהיה הזה הפאזה פקטור אזי ,π של זוגית שלמה כפולה איזו להיות θ את נבחר כעת אםחלקיקים. שני החלפת תחת

להיות הופכת φ החדשה הגל פונקציית ולכן ,−1 פשוט יהיה הזה הפאזה פקטור אזי ,π של אי־זוגית שלמה כפולה איזו להיות θ את נבחר אםחלקיקים. שני החלפת תחת סימטרית

שני של להחלפה ביחס אחרת סימטריה גם להיות יכולה הרב־חלקיקית הגל לפונקציית ,3 ≤ מימדים ממספר להבדיל מימדים, שבשני מתבררשל קיומם את המתירה נוספת חופש דרגת ישנה מימדים בשני ופרמיונים). (בוזונים מלאה אנטי־סימטריה או מלאה סימטריה רק ולא חלקיקים,

:(Anyon) אניונים

http://en.wikipedia.org/wiki/Anyon

בכלל? הזו הטרנספורמציה את ביצענו למה

המערכת: של המלא ההמילטוניאן את נרשום אם

H =

N∑i=1

1

2m

(~pi +

e

c~A (~ri)

)2

+ V (~ri) +∑i<j

u (~ri − ~rj)

זריז): אלגברי דילוג (תוך φ עבור לרשום אפשר ולכן ,Hψ = Eψ מקיימת חלקיקים הרב הגל )פונקצייתU−1HU

)φ = Eφ

.~pi מלבד עמה חילופיים בהמילטוניאן האופרטורים כל אזי ,~r1, . . . , ~rN של פונקציה היא Uו־ הואיל

U−1~piU = ~pi − ~∑j 6=i

θ

π~∇iαij

~a (~ri) נוסף, וקטורי פוטנציאל איזה של תפקיד משחק ~∑j 6=i

θ

π~∇iαij הזה האיבר כלומר,

.statistical vector potentialה־ נקרא כאן שמופיע הזה הפוטנציאל וקטורΦ0

2π

θ

π

1

reϕ ,ux line של הוקטורי הפוטנציאל בדיוק הוא החשבונות, את עושים אם הזה, שהאיבר מתברר

.ux linesθ

πמהחלקיקים אחד לכל להצמיד למעשה הוא בטרנספורמציה שעשינו מה

2013 ביוני 5

השברי: הול אפקט את להסביר מנת על אתמול שעשינו מה את נסכם

ψ (~r1, . . . , ~rN ) הרב־חלקיקית, הגל בפונקציית התבוננו

הוא: המערכת של ההמילטוניאן

H =

N∑i=1

[1

2m

(~pi +

e

c~A (~ri)

)2

+ V (~ri)

]+∑i<j

u (~ri − ~rj)

67

.Hψ = Eψ מתקיים וכמובן

הבאה: האוניטרית הטרנספורמציה את הגדרנו בשיעור

U (~r1, . . . , ~rN ) ≡ exp

−i θπ

∑i<j

αij

.~rj − ~ri הוקטור של x ציר עם הזווית היא αij כאשר

הטרנספורמציה: לאחר הגל פונקציית את הגדרנו משם

φ (~r1, . . . , ~rN ) ≡ U−1 (~r1, . . . , ~rN )ψ (~r1, . . . , ~rN )

מקיימת: טרנספורמציה לאחר הגל פונקציית חלקיקים, שני של החלפה תחת כי ראינו

φ (~r1, . . . , ~ri, . . . , ~rj , . . . , ~rN ) = −eiθφ (~r1, . . . , ~ri, . . . , ~rj , . . . , ~rN )

(ψ (~r1, . . . , ~ri, . . . , ~rj , . . . , ~rN ) = −ψ (~r1, . . . , ~ri, . . . , ~rj , . . . , ~rN ) פרמיונית, היא המקורית הגל פונקציית כי הנחנו כאן (כאשר

פרמיונית. גל פונקציית היא φ אזי ,π של זוגית שלמה כפולה היא θ אם

בוזונית. גל פונקציית היא φ אזי ,π של אי־זוגית שלמה כפולה היא θ אם

סטטיסטיקת איזו אלא פרמיונית, או בוזונית לסטטיסטיקה מצייתים שלא חלקיקים ,anyons מתארת היא אזי אחר, ערך איזה מקבלת θו־ במידהכאן: עוד עליהם לקרוא ואפשר בדו־מימד רק קיימים כאלו אניונים ביניים.

http://en.wikipedia.org/wiki/Anyons (U−1HU

)φ = Eφ היא φ עבור המתאימה שרדינגר משוואת

ל: הופך U האוניטרית הטרנספורמציה תחת שההמילטוניאן מתברר

U−1HU =

N∑i=1

1

2m

~pi − ~∑j 6=i

θ

π~∇iαij +

e

c~A (~ri)

2

+ V (~ri)

+∑i<j

u (~ri − ~rj)

:(statistical vector potential) מרגיש שהוא וקטורי פוטנציאל איזה חלקיק לכל מצמידים אנחנו הטרנספורמציה, תחת כלומר,

~a (~ri) ≡ −Φ0

2π

θ

π

∑jj 6=i

~∇iαij

Φ0 ≡hc

eכמובן כאן כאשר

U−1HU =

N∑i=1

[1

2m

(~pi +

e

c~A (~ri) +

e

c~a (~ri)

)2

+ V (~ri)

]+∑i<j

u (~ri − ~rj)

היא: ממנו ~r במרחק מהאלקטרונים אחד כל שמשרה הוקטורי הפוטנציאל משמעותם. מה ולהבין במעט לפשט אפשר הזה ~a (~ri) של הצורה את

~a (~r) = −Φ0

2π

θ

π

1

reϕ

הראשית: דרך נטו מגנטי שטף מכיל הוא קצת. סינגולרי הוא הזה הוקטורי הפוטנציאל˛~a · d~ =

ˆd~S ·

(~∇× ~A

)=

ˆd~S · ~B

= −Φ0

2π

θ

π· 2π

= − θπ

Φ0

68

אלקטרון. לכל ux linesθ

πלהצמיד היה עשתה הזו שהטרנספורמציה מה כלומר,

.ux lines אליהם שמצומדים אלקטרונים ־ composite fermions ־ חדשים חלקיקים הם אלו

פרמיונים, שני בין שהחלפנו בגלל הגל לפונקציית −1 של פקטור מקבלים אנחנו אלקטרונים? שני בין מחליפים אנחנו כאשר עכשיו קורה מה אזשל 2π של כזה וסיבוב הכל, סך 2π של סיבוב כלומר, השני, סביב πב־ אחד, כל האלה, האלקטרונים שני את לסובב היה שעשינו מה ובנוסף,גורם הפרמיונית), הסטטיסטיקה את שמשמרת θ) π של זוגית שלמה כפולה שהיא θ עבור 1 של פאזה גורם לנו תורם ux lines סביב אלקטרוניםמשני שונה שהיא θ עבור לחלוטין אחר פאזה וגורם בוזונית), סטטיסטיקה לנו שנותנת θ) π של אי־זוגית שלמה כפולה שהיא θ עבור −1 של פאזה

אלו. מקרים

אחרת. לסטטיסטיקה המצייתים בחלקיקים שלנו החלקיקים את המרנו כלומר, ,statistical transmutation נקראת כאן שעשינו הטרנספורמציההבאה. בשנה אולי נלמד כך ועל בדו־מימד, רק אפשרי שזה מתברר

באיזה ביחד, ux linesה־ כל של השדה את מרגיש composite fermion שכל לטעון כלומר, ,mean eld approximation איזה לבצע נרצה כעתכזה: משונה ממוצע

Be = B − θ

πΦ0N

A︸ ︷︷ ︸mean eld due to ux lines

הוא אחת כל של שהניוון כך הספין, על זימן לאפקט הודות לשניים התפצלה לנדאו רמת שכל חזק מספיק בשדה עובדים שאנחנו מניחים אנחנו

הוא: כזה לנדאו רמת כל של lling factorה־ ולכן ,Φ

Φ0

ν =N

Φ/Φ0

.integer quantum hall eectה־ את הם גם חווים רואים שאנחנו composite fermionsה־

שלנו? האלה composite fermionsה־ של האפקטיבי lling factorה־ מהו

νe =N

BeA/Φ0

=N

Φ

Φ0− θ

πN

לחלץ: אפשר ומכאן

N =νe

Φ

Φ0

νθ

π+ 1

האמיתיים: האלקטרונים שמרגישים νה־ הוא עליו, להסתכל אותנו שמעניין הגודל ולבסוף,

ν =νe

θ

πνe + 1

(2.2)

69

נקבל: אז ,θ = 2π נניח אם

ν = 1/3 νe = 1ν = 2/5 νe = 2ν = 3/7 νe = 3

. . .

ν =1

2νe =∞

עבור fractional quantum hall eectה־ את מקבלים אנחנו ,composite fermionsה־ של integer quantum hall eectה־ בגלל כלומר,האלקטרונים.

האלקטרונים. של fractional quantum hall eectה־ עבור שלנו התחזית את לשחזר מצליחים באמת אנחנו וכאן

שם? קורה מה אז ,(ν = 1/2 (עבור ρxyב־ plateau ואין ρxxב־ dip אין שדווקא מקבלים אנחנו 20 Tב־

.composite fermionsה־ שחווים החיצוני השדה את מקזז בדיוק ux linesה־ של שהשדה הוא אומרים שאנחנו מה למעשה

אחרות. סדרות ולקבל 2π של אחרות שלמות כפולות שהם θ ערכי לקחת יכולים היינו כי לב נשים

composite anyonsה־ או θ = (2k + 1)πמ־ שמתקבלים composite bosonsה־ על מסתכלים היינו אם קורה היה מה ־ השאלה עולה עכשיו?π של שלמה כפולה שאינה θמ־ שמתקבלים

לומר. קשה קצת

composite עבור אבל להם. לצפות שעלינו האפקטים ומה המערכת של לנדאו רמות את ימלאו הם איך ידענו אנחנו composite fermionsה־ עבורשל האמיתית הפיזיקלית בתמונה לצפות השפעות ולאיזה לה, מצייתים שהם הסטטיסטיקה מה ברור לא ממש זה composite anyons או bosons

האלקטרונים.

מחזורי פוטנציאל תחת אלקטרונים 3

בלוך משפט 3.1

הוא: מחזורי פוטנציאל תחת אלקטרון המתאר ההמילטוניאן

H = − ~2

2m∇2 + V (~r)

V(~r + ~R

)= V (~r) מתקיים בסריג ~R לכל כאשר

שיקיימו: להמילטוניאן עצמיות פונקציות של בסיס לבחור שאפשר הוא לנו אומר בלוך שמשפט מה

ψn,~k (~r) = exp(i~k · ~r

)un,~k (~r)

יתקיים: בסריג ~R לכל בסריג, מחזורית פונקציה היא u (~r) כאשר

u(~r + ~R

)= u (~r)

יתקיים: בסריג ~R שלכל כך עצמיות פונקציות של בסיס למצוא שאפשר הוא הזה למשפט שקול ניסוח

ψ (~r +R) = exp(i~k · ~R

)ψ (~r)

המשפט. את נוכיח כעת

הבאה: האופרטורים משפחת את נגדיר

הבא: באופן T~R את נגדיר בסריג ~R וקטור לכל

T~Rf (~r) = f(~r + ~R

)[T~R, T~R′

]= 0 כי לראות וטריוויאלי

[H,T~R

]= 0 שמתקיים (11 בתרגול מופיעה בחד־מימד קצרה (הוכחה להוכיח אפשר

.T~R האופרטורים כל ואת H את במשותף ללכסן יכולים שאנחנו מכאן,

70

T~RT~R′ = T~R+~R′ היחס את ומקיימים אוניטריים הם T~R האופרטורים כי לב נשים

.ei~k·~R מהצורה להיות חייבים שלהם העצמיים הערכים ולכן

הטענה) נובעת ומכאן

T~Rψ (~r) = c(~R)ψ (~r)

T~R′ψ (~r) = c(~R′)ψ (~r)

T~RT~R′ψ (~r) = c(~R+ ~R′

)ψ (~r)

אזי בסריג, ~R, ~R′ לכל T~R′ו־ T~R של עצמי מצב ψ (~r) (אם

:u (~r) את ψ (~r) ההזזה ואופרטורי H של משותף עצמי מצב לכל נגדיר כעת

u (~r) ≡ e−i~k·~rψ (~r)

הסריג. בוקטורי u (~r) של המחזוריות את מיידית לקבל יכולים אנחנו ei~k·~Rψ (~r) = T~Rψ (~r) = ψ

(~r + ~R

),T~R של התכונה מתוך

בלוך. משפט את הוכחנו בזאת

?n נוסף קוונטי מספר ידי ועל ~k ידי על מאופיינים הם ולמה u (~r) את מוצאים אנחנו איך השאלה, על לענות לנו נותר

(ψ (~r) עבור שרדינגר למשוואת ψ (~r) = ei~k·~ru (~r) של (הצבה u (~r) עבור שרדינגר משוואת את נרשום

[~2

2m

(−i~∇+ ~k

)2

+ V (~r)

]u~k (~r) = Eu~k (~r)

שפה תנאי תחת היחידה תא בתוך הזו שרדינגר משוואת את לפתור שמספיק הרי ,u(~r + ~R

)= u (~r) מחזורית, פונקציה זו u~k (~r)ו־ הואיל

מחזורי!

.n נסמנו נוסף, קוונטי במספר שתלוי פתרון כללי באופן לנו ייתן היחידה תא בתוך הפוטנציאל תחת שרדינגר משוואת של ופתרון

1st Brillouin zoneב־ להתבונן מספיק מדוע 3.2

מתקיים: ההופכי, בסריג וקטור שהוא ~K עבור כי להראות כעת נרצה

ψn,~k+ ~K (~r) = ψn,~k (~r)

En,~k+ ~K = En,~k

בלוך: משפט את ראשית נפעיל כך, לשם

ψn,~k+ ~K (~r) = exp(i(~k + ~K

)· ~r)un,~k+ ~K (~r)

ונקבל: ψ (~r) עבור שרדינגר למשוואת הזו הפונקציה את ]נציב~2

2m

(−i~∇+ ~k + ~K

)2

+ V (~r)

]un,~k+ ~K (~r) = Eun,~k+ ~K (~r)

כמובן. להגדיר, לנו מותר זה את ,un,~k+ ~K (~r) = e−i~K·~run,~k (~r) נגדיר: כעת

בדיוק: נקבל ,un,~k+ ~K עבור שרדינגר במשוואת הזו ההגדרה את נציב אם

[~2

2m

(−i~∇+ ~k

)2

+ V (~r)

]un,~k (~r) = Eun,~k (~r)

אותן הן והאנרגיות ,un,~k = un,~k כלומר, השפה. תנאי אותם עם ,un,~k שמקיים המשוואה אותה את בדיוק מקיים un,~k כי רואים אנחנו כלומר,.un,~k של האנרגיות

היא: שלנו המסקנה כלומר,

un,~k+ ~K = e−i~K·~run,~k

⇓ψn,~k+ ~K = ψn,~k

71

En,~k+ ~K = En,~k ובנוסף

1stה־ מתוך העצמיות הפונקציות אחת של ממש זהותית העתקה מהווה 1st Brillouin zoneל־ מחוץ שהתבוננות היא שלנו המסקנה כלומר,.Brillouin zone

(nearly free electrons) חופשיים כמעט אלקטרונים 3.3

האלקטרונים גז על קטנה כהפרעה אליו להתייחס שאפשר דיו חלש הוא שהפוטנציאל ההנחה תחת בסריג, אלקטרונים של ניתוח לבצע כעת נרצהבגביש. החופשיים

מחזורי פוטנציאל איזה זה V (~r) כאשר H1 = V (~r) שלנו ההפרעה המילטוניאן ואת H0 =p2

2mשלנו, המקורי ההמילטוניאן את לנו יש כלומר,

הסריג. גבי על

V(~r + ~R

)= V (~r)

ההופכי: הסריג וקטורי גבי על פורייה פירוק לו לבצע אפשר הסריג, גבי על מחזורי הוא והפוטנציאל הואיל

V (~r) =∑

~K∈inverse lattice

V(~K)ei~K·~r

V(~K = 0

)= 0 שיתקיים כך V את לכייל יכולים אנחנו באנרגיה, כיול חופש לנו ויש הואיל

האלקטרונים. של האנרגיות מהן בזמן, תלויה שאינה ההפרעות תורת במסגרת לשאול, נרצה כעת

ידוע: הוא הספקטרום H0 עבור

ε0

(~k)

=~2k2

2m

⟨~r | ~k

⟩=

1√L3ei~k·~r

המופרעות: האנרגיות עבור הבא הביטוי את נקבל ההפרעות בתורת שני לסדר עד ובפיתוח

ε(~k)

= ε0

(~k)

+⟨~k | V (~r) | ~k

⟩+∑~k′

∣∣∣⟨~k | V (~r) | ~k′⟩∣∣∣2

ε0

(~k)− ε0

(~k′) + . . .

:~k מצבי שני בין V (~r) של המטריצה איבר את ⟩נחשב~k | V (~r) | ~k′

⟩=

1

L3

ˆd3~r

∑~K∈inverse lattice

~K 6=0

V(~K)

exp(i(~K + ~k′ − ~k

)~r)

=∑

~K∈inverse lattice~K 6=0

V(~K)δ ~K+~k′,~k

.~k′ = ~k − ~K לקיים לנו יאפשר הוא שרק ~K = 0 האיבר על הסכימה על ודילגנו הואיל וזאת ,0 נקבל ~k = ~k′ עבור

מתאפס! ,⟨~k | V (~r) | ~k

⟩ראשון, לסדר התיקון כלומר,

נקבל: ~k 6= ~k′ ⟩עבור~k | V (~r) | ~k′

⟩=

∑~K∈inverse lattice

~K 6=0

V(~K)δ ~K+~k′,~k

=∑

~K∈inverse lattice~K 6=0

V(~K)δ ~K,~k−~k′

72

הוא: באנרגיות שני לסדר התיקון כי רואים אנחנו מכאן כלומר,

∑~k′

∑~K∈inverse lattice

~K 6=0

∣∣∣V ( ~K)∣∣∣2ε0

(~k)− ε0

(~k′)δ ~K,~k−~k′ =

∑~K∈inverse lattice

~K 6=0

∣∣∣V ( ~K)∣∣∣2ε0

(~k)− ε0

(~k − ~K

)הוא: החדש הדיספרסיה שעקום ומכאן

ε(~k)

= ε0

(~k)

+∑

~K∈inverse lattice~K 6=0

∣∣∣V ( ~K)∣∣∣2ε0

(~k)− ε0

(~k − ~K

)

קטן. הוא ההפרעה איבר עוד כל רק תקפה תהיה הזה לביטוי הגענו שבאמעותה ההפרעות תורת אבל

ε0

(~k)− ε0

(~k − ~K

)להתקיים צריך כלומר, ההתאפסות, מנקודות רחוק להיות שלו המכנה שעל הוא קטן, יהיה שהוא לכך מקדים תנאי

בצרות? אנחנו בו התחום מהו

ε0

(~k)

= ε0

(~k − ~K

)⇓

k2 = k2 − 2~k · ~K +K2

~K ·(

2~k − ~K)

= 0

~P ⊥ ~K כאשר ~k =~K

2+ ~P מהצורה להיות ~k על כלומר,

.Brillouin אזורי של בקצוות מתבדרים ההפרעות תורת של הביטויים כלומר, בראג! מישורי של תיאור היא הזו התוצאה

מדויק. באופן ההמילטוניאן את ללכסן עלינו הזה באזור

שרחוק כך חלש מספיק הוא הפוטנציאל כי מניחים אנחנו זה, במודל החומר של ε(~k)הדיספרסיה עקומת של אינטיליגנטית תמונה לקבל מנת על

מתכנסת. ההפרעות תורת וששם חלשה אכן היא שההפרעה כלומר, ,

∣∣∣V ( ~K)∣∣∣2ε0

(~k)− ε0

(~k − ~K

) ε0

(~k)מתקיים Brillouin אזורי של מהקצוות

~k′ ערכי על לסכום שצריך הוא היחיד ההבדל אבל ניוון, קיים (בפועל שונים ~k ערכי בין ניוון אין כי מניחים אנחנו כה עד כי לציין חשוב כן כמורחוקות). לעתים רק לאנרגיות התיקון את שמשנה מה המנוון, המרחב לתת מחוץ שהם

הקריטית. הנקודה זו לא אופן, בכל

מנוונת. הפרעות בתורת להשתמש ועלינו לו, שווה בדיוק שהיא אנרגיה נותן ~k − ~K אזי ,1st Brillouin zoneה־ של לקצה סמוך שהוא ~kב־ נתבונןמתאפס. אינו ההפרעה בפוטנציאל ראשון לסדר התיקון כי נראה עכשיו

של המטריצה את נלכסן אם המנוון. המרחב תת בתוך ההמילטוניאן של המטריצה את ללכסן עלינו ההפרעה פוטנציאל את לחשב מנת עלהכוללת. האנרגיה את ישר נקבל זה, תת־מרחב בתוך הכולל ההמילטוניאן

.~k − ~Kו־ ~k הערכים את שמקבלים ~k,~k′ עבור⟨~k | p

2

2m+ V (~r) | ~k′

⟩של המטריצה פשוט ללכסן? שעלינו המטריצה מהי

האלכסון: על האיברים את יודעים ⟩אנחנו~k | p

2

2m+ V (~r) | ~k

⟩=

⟨~k | p

2

2m| ~k⟩

+⟨~k | V (~r) | ~k

⟩︸ ︷︷ ︸

=0

= ε0

(~k)

⟨~k − ~K | p

2

2m+ V (~r) | ~k − ~K

⟩=

⟨~k − ~K | p

2

2m| ~k − ~K

⟩+⟨~k − ~K | V (~r) | ~k − ~K

⟩︸ ︷︷ ︸

=0

= ε0

(~k − ~K

)73

נקבל: לאלכסון מחוץ האיברים ⟩עבור~k | p

2

2m+ V (~r) | ~k − ~K

⟩=

⟨~k | p

2

2m| ~k − ~K

⟩︸ ︷︷ ︸

=0

+⟨~k | V (~r) | ~k − ~K

⟩

=∑

~K∈inverse lattice~K 6=0

V(~K)δ ~K,~k−(~k− ~K)

=∑

~K∈inverse lattice~K 6=0

V(~K)≡ Vk

תת־המרחב בתוך ההמילטוניאן של (~r לפי במקום ~k (לפי התנע הצגת ולכן ,V(− ~K

)= V ?

(~K)מתקיים ממשית, פונקציה זו V (~r)ו־ הואיל

היא: הזה המנוון

H =

ε0

(~k)

Vk

V ?k ε0

(~k − ~K

)נותן: הזה ההמילטוניאן של לכסון

ε±

(~k)

=1

2

(ε0

(~k)

+ ε0

(~k − ~K

))±

√√√√(ε0

(~k)− ε0

(~k − ~K

))2

4+ |Vk|2

.BZה־ של לקצוות סמוך טוב בקירוב נכונה הזו המשוואה

בקצה: בדיוק נקבל ולכן ,ε0

(~k)

= ε0

(~k − ~K

)ש־ הרי ,BZה־ של הקצה על מדברים ואנחנו הואיל

ε±

(~k)

= ε0

(~k)± |Vk|

החד־מימדי): (במקרה הבאה זו היא מקבלים שאנחנו הפסים תמונת ולכן ,~k − ~K של לאנרגיה ~k של האנרגיה בין 2 |Vk| פער, איזה ישנו כלומר,

האפשריים. האנרגיה מקטעי בין שמפרידים פערים ניתוק. לנו יוצרת ההפרעה

reduced zone (הצגת הראשון Brillouin אזור לתוך המתקבל הדיספרסיה יחס את נקפל אם .(band structure) פסים״ ״מבנה קוראים לתוצאהנקבל: (scheme

74

אנרגטית. מותרים פסים מתקבלים האלה הפערים בין אנרגטית. אסורים אזורים ־ הפערים הם באדום המסומנים האזורים

2013 ביוני 11

שהוא אחד אלקטרון תורם אחד שכל אטומים, N יש בו חד־מימדי במודל נתמקד האלקטרונים, מאכלסים אנרגטיים מצבים אילו להבין מנת עלואינם ממוקמות אנרגיה רמות מאכלסים הפנימיות בקליפות האלקטרונים החומר, של הערכיות אלקטרוני הם (אלו (monovalent) חופשי כמעט

ככלל). הגביש של מצבים לאכלס מסוגלים ואינם ההולכה בתהליכי משתתפים

.L = na הגביש אורך פני על מחזוריים שפה תנאי ונכפה aב־ היונים בין המרחק את נסמן

יכול אנרגיה פס שכל אומר זה הספין, עם ויחד ,(∆k =2π

L) N הוא (1st Brillouin zoneב־ k ערכי (מספר השונים המותרים הגל מספרי מספר

אלקטרונים: 2N לאכלס

2×

2π

a2π

L

= 2N

ולכן אלקטרונים, 2 לאכלס יכול k של ערך וכל הואיל וזאת התחתון, הפס באמצע תהיה פרמי אנרגיית כה עד שתיארנו המערכת עבור כי לב נשים

אלקטרונים: N לאכלס מנת על k ערכיN

2ב־ רק צורך יש

75

גבוהות, יותר אנרגיה לרמות אלקטרונים להעביר מנת על רציפה בצורה אנרגיה להשקיע אפשר הזו. במערכת עירורים לבצע בעיה לנו תהיה לא.εf ל־ מעל שהן לאנרגיות εf ל־ מתחת מאנרגיות

מלאה הייתה התחתונה הרמה אזי אחד, כל ערכיות אלקטרוני שני תורמים כלומר, ,(bi-valent) דו־ערכיים היו שלנו האטומים זאת, לעומת אם,השקעה ידרוש לבצע שנוכל המינימלי העירור בעייתי. כעת הוא המערכת של עירור האסור. בתחום היא εf וכעת אלקטרונים. 2N ידי על לחלוטין

CV ∼ exp

(− ∆

kBT

)האנרגטי, הפס רוחב לפי אקספוננציאלית התנהגות יפגין המערכת של הסגולי החום האנרגטי. הפער לפחות של אנרגטית

וכעת ,un,~k (~r) המחזורית לפונקציה נוסף n אינדקס גם 1st Brillouin zoneמה־ ~k לאינדקס בנוסף הוספנו בלוך פונקציות של בפיתוח כי נזכורמאכלס. שהאלקטרון הפס מספר זהו ברורה. שלו המשמעות

הסוף עד אנרגיה פסי ימלאו לא אלקטרונים של אי־זוגי מספר תורמים האטומים בו גביש ־ לחומרים כלל איזה מקבלים אנחנו כעת כי לב נשיםאנרגיה פסי ימלאו אלקטרונים של זוגי מספר תורמים האטומים בו שגביש בעוד מוליכים, יהיו אלו חומרים כלומר, בקלות, שלהם עירור ויאפשרו

מבודדים. יהיו אלו חומרים ־ קשה יהיה שלהם ועירור הסוף עד

הזו והמסקנה נשבר קצת המודל כל הזה, לסיפור חד־מימדיים לא שהם גבישים של גיאומטריה שמכניסים ברגע אפס. לסדר כלל רק שזהו כמובןרלוונטית. לא היא מאוד קרובות לעתים

2013 ביוני 12

76

(Tight binding model) ההדוק הקשר מודל 3.4

פשוט חד־מימדי סריג 3.4.1

עכשיו הולכים אנחנו המחזורי, הפוטנציאל את הפרעה של בצורה שמרגישים חופשיים כמעט אלקטרונים על דיברנו בה כה, עד שעשינו ממה להבדילהאלקטרוניים המצבים עם אינטרקציה ומבצעים האטום, סביב מאוד חזק הממוקמים ערכיות אלקטרוני מספר יש אטום לכל בו מודל על לדבר

השכנים. באטומים

.~R = ja הן הסריג נקודות בו חד־מימדי, מודל כרגיל הוא שנאמץ המודל

מצב∣∣∣~R⟩ המצב באמצעות זאת נסמן ~Rה־ במיקום האטום את מאכלס האלקטרון כאשר .ε אנרגיה לאכלס שיכול אחד אלקטרון ישנו אטום לכל

הסמוכים. האטומים של המצבים את שחופף זנב לו יש עדיין אבל האטום, סביב חדה בצורה ממוקם זה

.hopping amplitudeה־ ־ עוצמה איזו עם בהמילטוניאן, הפרעה איבר בתור הגל פונקציות בין הזו החפיפה את נוסיף

השונים. האטומים בין שונים מצבים בין לקפוץ שיכול בודד אלקטרון על מדברים אנחנו הבהרה, לשם

H =∑R

(ε |R〉 〈R| − t (|R〉 〈R+ a|+ |R+ a〉 〈R|))

אנחנו ככה הרי בנקודה, האלקטרון של המצאות מתאר ולא במרחב, רוחב לו שיש מצב איזה האמיתי בעולם מתאר ,|R〉 כזה, מצב כל כי נזכורלהמילטוניאן. אותו ומכניסים t את מחשבים

בסריג. האלקטרון של מושלמת לוקליזציה כמתאר |R〉 כזה, מצב לכל נתייחס ההמילטוניאן, את לנו שיש מרגע אבל,

המיקום: בהצגת זאת לכתוב נתעקש אם

〈x | R〉 = δ (x− ja)

בלוך. במשפט להשתמש יכולים אנחנו מכאן

הבאה: המיקום הצגת עם הסריג) במחזוריות מחזורי הוא (ההמילטוניאן להמילטוניאן עצמיים מצבים של בסיס שקיים לנו מבטיח בלוך משפט

ψk (x) = exp (ikx)u (x)

הסריג. על מחזורית פונקציה u (x) כאשר

היא: ספציפי יחידה תא בתוך u (x) של המיקום הצגת ולכן ,c |R〉 רק להיות יכולה הפונקציה יחידה תא בכל כי יודעים אנחנו

u (x) = cδ (x− ja)

האלה: הדלתאות מכל מסרק לבנות פשוט צריך הסריג, במחזוריות למחזורית הזו הפונקציה את להפוך מנת ועל

u (x) = c∑R

〈x | R〉

החוצה): c של נרמול כדי (עד היא הגל פונקציות של המיקום שהצגת הרי f (x) δ (x− x0) = f (x0) δ (x− x0)ו־ הואיל

ψk (x) =∑R

eikR 〈x | R〉

עצמה: הגל פונקציית את המיקום הצגת מתוך לחלץ קל ומכאן

|ψk〉 =∑R

eikR |R〉

כזו? פונקציה על פועל ההמילטוניאן איך

H |ψk〉 =∑R′

(ε |R′〉 〈R′| − t |R′〉 〈R′ + a|+ |R′ + a〉 〈R′|)∑R

eikR |R〉

=∑R′,R

eikR (ε 〈R′ | R〉 |R′〉 − t 〈R′ + a | R〉 |R′〉 − t 〈R′ | R〉 |R′ + a〉)

=∑R

eikR (ε |R〉 − t |R− a〉 − t |R+ a〉)

77

מחדש: הביטוי את לנסח יכולים אנחנו לסכימה הודות מכאן

H |ψk〉 =∑R

eikR(ε− teika − te−ika

)|R〉

ההמילטוניאן! את לכסנו בזאת כי לב נשים

H |ψk〉 = E |ψk〉⇓

E (k) = ε− teika − te−ika

= ε− 2t cos (ka)

משמעות. יש 1st Brillouin zoneב־ k לערכי רק בלוך, משפט של התנאים תחת כי נזכור

.4t הוא הפס רוחב כי רואים אנחנו מהביטוי

לספין). הודות אלקטרונים 2Nל־ מקום יש 1st Brillouin zoneוב־ (הואיל מלא חצי יהיה הפס אזי מונו־ולנטיים הם האטומים אם

נקבל: פשוט קובי סריג עבור מימד בתלת כך גבוהים. יותר למימדים להרחבה בקלות ניתן הזה tight binding modelה־

E(~k)

= ε− 2t (cos (kxa) + cos (kya) + cos (kza))

.12t הוא band gapה־ וכאן

בסיס עם חד־מימדי סריג 3.4.2

.a/2 הוא האטומים שני בין והמרחק ,a הוא היחידה תא אורך בסיס. עם חד־מימדי סריג דומה באופן לתאר כעת נרצה

.ε1 אנרגיה יאכלס בו ואלקטרון ב־1, נסמן תא בכל השמאלי האטום את

.ε2 אנרגיה יאכלס בו ואלקטרון ב־2, נסמן תא בכל הימני האטום את

מדברים. אנחנו הבסיס אטומי משני מי על לנו אומר 1, ו־2 אנחנו, יחידה תא באיזה לנו אומר R ־|R, 1〉|R, ב־〈2 נסמן האכלוס מצבי את

מעברים ארבעה לכלול צריך שלנו hopping termה־ .ε1ל־ ε2ומ־ ε2ל־ ε1מ־ למעבר ביחס סימטרי הוא hopping termה־ בו במודל נעבודשכנים). בין האפשריים המעברים (ארבעת אפשריים

H =∑R

(ε1 |R, 1〉 〈R, 1|+ ε2 |R, 2〉 〈R, 2|

+ |R− a, 2〉 〈R, 1|+ |R, 1〉 〈R− a, 2|+ |R, 1〉 〈R, 2|+ |R, 2〉 〈R, 1|)

מנת על וזאת גדול, יותר יהיה שלנו היחידה תא שאורך לדרוש צריכים היינו למעברים, סימטרי אינו hopping termשה־ לומר רוצים היינו אםמגדירים. שאנחנו היחידה בתא מחזורי יהיה שבאמת באופן H את לבנות שנוכל

את או |R, 1〉 את לאכלס יכולים אנחנו יחידה תא שבכל בכך הוא כאן הקריטי ההבדל כאשר בלוך, משפט פי על הגל פונקציות את נבנה כמקודםשלהם. סופרפוזיציה כללי, ובאופן ,|R, 2〉

|ψk〉 =∑R

eikR (c1 |R, 1〉+ c2 |R, 2〉)

הקודם: מהסעיף לזו אנלוגית שהיא האלגברה, על נדלג וכאן

H |ψk〉 =∑R

eikR((c1ε1 − c2te−ika − c2t

)|R, 1〉+

(c2ε2 − c1teika − c1t

)|R, 2〉

)לדרוש: לנו מותר כלומר, ההמילטוניאן, עם במשותף מלכסון נולדו |ψk〉 כי בלוך ממשפט יודעים אנחנו

H |ψk〉 = E |ψk〉=

∑R

eikR (Ec1 |R, 1〉+ Ec2 |R, 2〉)

78

הבא: באופן לנסח ניתן אותם ,|R, 1〉|R, 2〉 כל של המקדמים בין שיוויון הדורש וקטורי, שיוויון זה H |ψk〉 = E |ψk〉 הוקטורים שני בין השיוויון דרישת

(ε1 −t

(1 + e−ika

)−t(1 + eika

)ε2

)(c1c2

)= E

(c1c2

)

פשוטה: עצמיים ערכים בעיית כבר ∣∣∣∣וזו ε1 − E −t(1 + e−ika

)−t(1 + eika

)ε2 − E

∣∣∣∣ = 0

⇓

E1,2 (k) =1

2

(ε1 + ε2 ±

√(ε1 − ε2)

2+ 16t2 cos2

(ka

2

))

הפוכה. עקמומיות עם פסים הם ואלו לפתרון, ענפים שני כאן קיבלנו כלומר,

אלקטרונים 4Nו־ מונוולנטיים אטומים עבור אלקטרונים 2N לנו יש כזו במערכת אפשריים. אכלוס מצבים 4N יחידה, תאי N עם במערכת לנו ישאלקטרוני של זוגי מספר עם וחומר מתכת הוא ערכיות אלקטרוני של אי־זוגי מספר עם שחומר הכלל מתקיים שוב כלומר, ביוולנטיים. אטומים עבור

מבודד. הוא ערכיות

2013 ביוני 18

המצבים וצפיפות הואיל משתטחת. הדיספרסיה עקומת ,1st Brillouin zoneה־ בקצוות שקיבלנו. הפסים מבנה לגבי כללית הערה לתת נכון כאןאת נראה לא רציפה, פונקציה נותר האנרגיה של כפונקציה המצבים ומספר הואיל מתבדרת! היא האלה בנקודות אזי ,1/∂E∂k ל־ פרופורציונית היאאת נראה נגזרת תלויות מסוימות בתכונות רק אותה. למדוד וניתן תפקידים משחקת היא בהם מקומות יש כן אבל מובהק, באופן הזו הסינגולריות

.Van Hove singularity הוא הזו הסינגולריות של והשם הזו, החלשה הסינגולריות

הסמי־קלאסיות התנועה משוואות 4

.(lattice spacingה־) הקוונטית מהסקלה גדולות יותר הרבה שהן בסקלות אלקטרון עבור סמי־קלאסיות תנועה משוואות לבנות כעת נרצה

.εn(~k)ממוצעת אנרגיה ואיזו ~k ממוצע גל מספר עם בלוך גלי של גלים חבילת איזו על לדבר נרצה הזה הסמי־קלאסי במודל

הגבישי. בסריג שנע במרחב ממוקם אלקטרון לנו תתאר הזו הגלים חבילת

exp

i~k · ~r − iεn(~k)

~t

כמו בזמן מתפתח הגלים חבילת את המרכיב בלוך גל כל שלה. החבורה מהירות היא הזו הגלים חבילת של המהירות

היא: הזו הגלים חבילת של החבורה מהירות ולכן

d~r

dt= ~vg =

1

~

∂εn

(~k)

∂~k(4.1)

(∂εn

(~k)

∂~k≡ ~∇~kεn

(~k)הסימון את הצגנו כאן (כאשר

האלקטרון. של המהירות ,~v =d~r

dtבתור מפרשים אנחנו הזו המהירות ואת

חבילת עבור הקלאסי התנע של התפקיד את משחק ~~k כי רואים אנחנו כלומר, ,d~r

dt=

~~km

מתקיים ממש, חופשיים אלקטרונים עבור כי לב נשים

הזו. הגלים

של האנרגיה של בזמן השינוי קצב בין נשווה עבודה. הקלאסי) (במובן עליו לבצע נוכל הזה, האלקטרון על חשמלי שדה נפעיל שאם יודעים אנחנוהאלקטרון:

dεn

(~k)

dt=∂ε

∂~k· d~k

dt= ~

d~r

dt· d~k

dt

עליו: מבצעים שאנחנו לעבודה

W = −ed~rdt· ~E

79

~d~r

dt· d~k

dt= −ed~r

dt~E

⇓d~k

dt= − e

~~E

.d~p

dt= −e ~E ניוטון, של השני החוק את לנו ומשחזר כן, גם התנע של התפקיד את לשחק ממשיך ~~k כי מבינים אנחנו

כלומר: אליו, ביחס גם התנע תפקיד את לשחק ממשיך אכן ~~kו־ האופן, באותו ייכנס המגנטי השדה שגם והיא אינטואיטיבית, קפיצה איזו כאן ניתן

d~k

dt= − e

~

(~E +

1

c

d~r

dt× ~B

)(4.2)

הסמי־קלאסיות למשוואות נכנסת הפנימיים) המחזוריים הפוטנציאלים של ההשפעות כל גם (ובתוכה המערכת של הקוונטית האינפורמציה כלומר,האלקטרונים. של הדיספרסיה יחס דרך

חשמלית? מוליך אינו מלא אנרגטי פס מדוע 4.1

מלא. פס לנו ויש נניח

הוא: האלקטרונים שנושאים הכולל הזרם

~J = (−e)ˆ

1st BZ

d3~k

4π3~v(~k)

= − e

4π3~

ˆ

1st BZ

d3~k∂εn

∂~k

נגזרתה אזי זוגית, פונקציה εn (k)ו־ הואיל מאוכלס. שיקופו גם מאוכלס מקום לכל מלא, הוא כאשר ,BZה־ פני על מחזורית היא והאנרגיה הואיל

מתאפס. סימטרי תחום על פניה על והאינטגרל אי־זוגית, היא∂εn∂k

האלקטרונים כל ולכן העליון, לפס אותם להקפיץ בשביל מספקת אנרגיה לאלקטרונים להעניק מסוגל לא הוא חשמלי, שדה מפעילים אנחנו כאשרהאכלוס את משנה לא וזה התחתון, הפס לאורך הסעה ליצור זה עושה החשמלי שהשדה מה כל ולכן המלא, בפס להשאר כבולים המלא בפס

חשמלית. הולכה אין ולכן מלאה) והיא (הואיל שלה הסימטרי

בלוך אוסילציות 4.2

משוואת פי על ישתנו שלו, האנרגיה עם יחד אלקטרון, כל של הגל מספר פיזורים, בהעדר האלה, האלקטרונים על חשמלי שדה נפעיל אם פניו, עלוכן 1st Brillouin zoneל־ חזרה יתקפל הוא ,±π

aל־ יגיע הוא כאשר התחתון, הפס לאורך ירוץ אלקטרון כל של k הגל מספר .(4.2) התנועה

השדה. לכיוון הפוך ינועו האלקטרונים שכל נצפה מלאה, שאינו פס לנו יש אם כלומר, הלאה.

80

אנחנו קבוע שדה בהפעלת אוסילציות, עושה וזו שלילי, k עם והמצבים חיובי k עם המצבים בין האיזון חוסר הוא לזרם שתורם היחיד והדבר הואילחילופין! זרם לקבל מצפים

חשמלי שדה בהפעלת ולכן, דרודה), (מודל שלו רלקסציה לנו יש דינמי, גודל כל עם כמו בגביש, פיזורים לנו שיש ברגע קורה? לא זה בעצם למה אז

משקל לשיווי נגיע בסוף הפיזורים, בשל אבל הפס. לאורך ימינה לנוע יישאפו האלקטרונים כלומר, ,dk

dt=e

~E כי נקבל לדוגמה, מימד בחד −E

קבוע. זה וזרם נטו, זרם שנותן מה באכלוס, איזון חוסר ויש מוזח, פשוט הוא האכלוס שבו אחר, קצת

האלה? בלוך אוסילציות של המחזור זמן יהיה מה

בודד: אלקטרון עבור התנועה משוואת את נכתוב

dk

dt= − e

~E

k (t) = k (0)− eE

~t

v (k) =1

~∂ε

∂k

נקבל: אז ,(tight binding modelה־ של התוצאה זו מהאמת, רחוק (לא ε (k) = A cos (ka) הפשוטה הצורה את יש ולפס נניח

v (k) = −Aa~

sin (ka)

↓

x (t) =

ˆdt v (k (t))

= − A

eEcos

(aeE

~t

)

.ωB =aeE

~תדירות עם האלקטרונים של במיקום אוסילציות מקבלים אנחנו כלומר,

נקבל: מספרית

TBloch oscillations ∼ 10−14 sec

הרבה הרבה הוא הצגנו, שכבר כפי steady-state למצב המאוכלסים k ערכי של לרלקסציה שגורמים פיזורים, בין האופייני הזמן הצער, למרבהבניסוי. Bloch oscillationsב־ לצפות מנת על מספיק נקייה דגימה ליצור הצלחנו לא עוד קצר! יותר

2013 ביוני 19

החור מושג 4.3

מהירות כי קיבלנו שם חיצוניים. שדות ובהשפעת מחזורי פוטנציאל תחת הנמצא אלקטרון עבור הסמי־קלאסיות התנועה משוואות את הצגנו אתמולהיא: הקוונטיות), מהסקלות בהרבה גדולות (בסקלות המאקרוסקופית האלקטרון

d~r

dt=

1

~

∂εn

(~k)

∂~k

81

היא: האלקטרון על הכוחות ומשוואות

d~k

dt= − e

~

(~E +

1

c

d~r

dt× ~B

)

.~~k הסריגי, התנע משחק ~p = md~r

dtהקלאסי, התנע של תפקידו את שעכשיו אלא ניוטון, של שני חוק בדיוק זהו כלומר,

משמעותיות: תופעות שתי אתמול ראינו כן כמו

חשמלית. מבחינה אינרטיים הם מלאים אנרגטיים פסים .1

תופעה ־ ωB =ae

~|E| תדירות עם מחזורית היא קבוע חשמלי שדה השפעת תחת האלקטרון של התנועה ־ Bloch oscillations של התופעה .2

שזו חופשי, אלקטרון עבור מצפים שהיינו ממה להבדיל זאת נמוכות. מאוד ובטמפרטורות פנטסטי באופן נקיות בדוגמאות רק רואים אותהקבועה. בתאוצה תנועה פשוט

.(holes) חור של המושג את מסודרת בצורה להציג נרצה היום .3

הקורס. את לחתום ובכך על־מוליכות של לכיוון טיפה לזלוג גם נרצה היום .4

היא: k גל מספר איזה סביב dk בסביבה מאלקטרונים כתוצאה הזרם לצפיפות התרומה

d ~J = (−e) d3~k

4π3~v(~k)

~J = (−e)ˆ

populated states

d3~k

4π3~v(~k)

הבא: באופן גם מחדש לרשום אפשר הזה האינטגרל את כי לב נשים

~J = (−e)ˆ

all states in band

d3~k

4π3~v(~k)− (−e)

ˆ

empty states

d3~k

4π3~v(~k)

כלל). זרם נושא אינו מלא (פס (−e)´

all states in band

d3~k

4π3~v (k) = 0 אתמול ראינו שכבר והרי

טעון חלקיק של תרומה נותן הריקים מהמצבים אחד כל כאשר הריקים, המצבים על אינטגרל בתור להציג יכולים אנחנו בפס שנישא הזרם את ולכןחיובית:

~J = (+e)

ˆ

empty states

d3~k

4π3~v(~k)

הריקים, המצבים פיקטיביים, מחלקיקים מגיעים כעל או ,−e מטען שלהם מהאלקטרונים מגיע כעל או לחשוב יכולים אנחנו הזרם על פניו, על אז.+e מטען עם

לנו שמוכרת דינמיקה איזו מקיימים שהחלקיקים מוצאים אנחנו אם ערך יש הזו לתמונה ערך? בעלת היא השנייה האינטרפרטציה מתי היא השאלהניוטון). של שני (חוק

יוסט k spaceב־ האלקטרונים של שהאכלוס הוא שיקרה מה דרודה), (מודל הפיזורים בשל חשמלי, שדה נפעיל כאשר חצי־מלאה. רמה לנו ויש נניחהשדה. כיוון עם מעט יוסט החורים של האכלוס שקול, באופן השדה. לכיוון הפוך מעט

82

כמעט הוא הפס כאשר טוב רעיון זה אלקטרונים באמצעות ולא חורים באמצעות המערכת של הדינמיקה את שלתאר בכך להשתכנע כעת נרצהומלא.

בתור החורים עבור הדיספרסיה יחס את לקרב אפשר ומלא, כמעט הפס בו במקרה דנים ואנחנו הואיל

ε(~k)

= ε (k0)−A (k − k0)2

נקבל: מכאן .A > 0 כאשר

1

~∂ε

∂~k= −2A

~(k − k0)

היא: מצב כל שיחווה התאוצה

d2~r

dt2=

d

dt

(1

~∂ε

∂~k

)= −2A

~d~k

dt

= (+e)2A

~2

(~E +

1

c

d~r

dt× ~B

)

מתקיים מלא) כמעט (פס המתואר ובמצב והואיל ,m? =~2

2Aהיא החור של האפקטיבית המסה אז ניוטון, של שני חוק בתור זה את לפרש נרצה אם

בתיאור! היגיון שיש הרי ,A > 0

m? אפקטיבית ומסה +e מטען עם חלקיקים כשל היא התחתון האנרגיה פס של מאוכלסים הלא בקצוות שההתנהגות מקבלים אנחנו כלומר,שלנו. החורים אלו בקצוות. הדיספרסיה עקום עקמומיות ידי על שנקבעת חיובית

שמוזזים (היחידים הפס לראש הקרובים אלקטרונים אותם עבור תנועה משוואת מקבלים היינו האלקטרוני, התיאור על לשמור מתעקשים היינו אםחיצוניים): שדות ידי על

d2r

dt2=

(−e)(−m?)

(~E +

1

c

d~r

dt× ~B

)

פחות קצת וזה שלילית, אפקטיבית מסה עם אלקטרונים על לחשוב עלינו ,−e מטען עם אלקטרונים של במונחים התנועה את לפרש מנת על כלומר,טוב.

אנחנו הולכה), (פס העליון לפס מהאלקטרונים חלק שמעביר קטן, תרמי עירור מוסיפים ואנחנו לחלוטין, מלא ערכיות) (פס תחתון פס לנו יש אםקטן ואכלוס חיובית) אפקטיבית ומסה −e מטען עם (חלקיקים זה פס של המינימום נקודת סביב העליון, בפס אלקטרונים של קטן אכלוס מקבלים

חיובית). אפקטיבית ומסה +e מטען עם (חלקיקים זה פס של המקסימום נקודת סביב התחתון, בפס חורים של

83

VI חלק

תרגולים2013 בפברואר 27

גבישיים סריגים ־ 1 תרגול 1

בסיסיות הגדרות 1.1

הגבישי. בסריג מולקולות או אטומים משובצים בו סדור מבנה הוא גביש

כל של המיקום שאת כך ~a1,~a2,~a3 סריג, וקטורי שייקראו ניצבים) דווקא (לאו וקטורים שלושה באמצעות לפרוס אפשר בסריג הנקודות מרחב אתמהצורה: האלה הוקטורים שלושת של לינארי צירוף באמצעות לייצג אפשר המחזורי בסריג סריג נקודת

~R = n1~a1 + n2~a2 + n3~a3 n1, n2, n3 ∈ Z

לאותה למעשה חוזרים אנחנו סריג) (העתקות ai לאורך ±ai מרחק של בתנועה הסריג. של היחידה תא את מגדירים ~a1,~a2,~a3 הוקטורים שלושתהחומר. של הסריגי המבנה את לשמר אמורות הסריג וקטורי פי על טרנסלציות התמונה.

היחידה תא בתוך נקודה היא סריג נקודת יחידה. סריג נקודת מגדירים אנחנו יחידה תא בכל המחזורי״. בסריג ״אלמנט אומר זה מה להבהיר ישאחת סריג נקודת מעבירות ~R ההעתקות ידועים. היחידה תא בתוך וכו׳) אטומי שלישי או אטומים, חצאי (או אטומים של מיקומם אליה שביחס

הסריג). נקודת סביב היחידה תא של (המבנה הסריג של הבסיס את לנו יש וסביבה שקולה, אחרת סריג לנקודת

אפילו במרכז. או היחידה, תא של בפינות בהכרח יהיו שהאטום\מולקולה הכרח אין פשוט. להיות חייב לא היחידה תא בתוך המבנה כי לציין חשובעם בחומר אטוים של שונים סוגים מספר שיש בגלל ,(cubic) קובי הוא הגבישי המבנה שבהם ,NaCl שולחני, מלח כמו פשוטים מאוד בחומרים

טריוויאלית. לא היא החוזרת היחידה ביניהם, סדר

כלומר, הניתן, ככל קטן יהיה שהוא הוא היחידה תא בבחירת שלנו המטרה יחידה. לא וכלל כלל היא בסיס וקטורי שלושה של הבחירה כי לב נשים

ביותר. הקטנה החוזרת היחידה את לבחור מנת על וזאת ,V = |~a1 · (~a2 × ~a3)|Sij = |~ai × ~aj |

הגדלים את למזער

(Reciprocal lattice) ההופכי הסריג 1.2

אמורה המערכת, של אינטרינסי פיזיקלי גודל שמתארת פונקציה כל אזי הסריג, צירי לאורך ~R לטרנסלציות אינווריאנטי הוא שלנו והסריג הואילהאלה. לטרנסלציות ביחס מחזורית להיות

המקיימת בפונקציה להתבונן אפשר אזי מזו. זו a במרחק סריג נקודות לנו ויש נניח ביותר. הפשוט הוא הדבר שם החד־מימדי מהמקרה נתחילf (x) = f (x+ a) בסריג, x לכל

ולקבל: דיסקרטי) פורייה (טרנספורם פורייה בטור לפתוח אפשר כזו פונקציה

f (x) =∑n

fkneiknx

נקבל: f (x) = f (x+ a) הדרישה ∑מתוךn

fkneiknx =

∑n

fkneikn(x+a)

המרוכבים: האקספוננטים של הניצבות מתוך שגורר מה

eikna = 1⇒ kn =2π

an

תאי מספר הוא N כאשר L = aN לדוגמה, בחד־מימד סופי, אורך איזה יש לגביש בו המקרה עבור בעיקר שימושית, מתמטית זהות נוכיח כעתהגביש. באורך הנכנסים היחידה

N−1∑n=0

exp

(2πi

kn

N

)= Nδk,0

84

במישורN

kמסדר היחידה שורשי על סכום שזהו הבחנה מתוך או

k = 0k 6= 0

המקרים בין והפרדה הנדסי טור של סכימה מתוך או פשוטה, היא ההוכחה

.k 6= 0 עוד כל לאפס שנסכם סכום שזהו המרוכב,

הזה: פוריה במרחב פנימיות מכפלות של חישוב עבור שימושית שתהיה הבאה הזהות את גם בקלות להוכיח אפשר מכאן

N−1∑n=0

fk exp

(2πi

kn

N

)f?k′ exp

(−2πi

k′n

N

)= Nfkf

?k′δk,k′

הסריג: נקודות על מחזורית פונקציה איזו לנו ויש נניח כלומר, מימד, לתלת הדיון את להרחיב נרצה כעת

f (~r) = f(~r + ~R

)ונקבל: פורייה לטור נפתח שוב

f (~r) =∑~k

f~kei~k·~r = f

(~r + ~R

)=∑~k

f~keik(~r+~R)

להתקיים: צריך כלומר,

ei~k·~R = 1⇒ ~k · ~R = 2πM

וקטורים שלושה נחפש כלומר, ההופכי. הסריג וקטורי שייקראו ~k המותרים הוקטורים את שיפרסו ~b1,~b2,~b3 וקטורים שלושה של בסיס נחפש כעתלרשום: ~k לכל שנוכל כל ~b1,~b2,~b3

~k = ε1~b1 + ε2

~b2 + ε3~b3

הבא: התנאי את עלינו גוזר ~k · ~R = 2πM התנאי כי לב נשים

~k · ~R = (ε1n1 + ε2n2 + ε3n3) 2π = 2πM

יתקיים. ~k · ~R = 2πM התנאי ,~bi הוקטורים עבור הבא הנרמול את נבחר אם

~bi · ~aj = 2πδij

נשמע. שלא משכנעת תשובה עליה יש אבל טריוויאלית, לא היא המותרים ~k הוקטורים כל את בכך פורסים אנחנו מדוע של השאלה

2013 במרץ 6

קריסטלוגרפיים מישורים ־ 2 תרגול 2

אחד. ישר על שאינן נקודות 3 לפחות שעליו הישר בסריג מישור ־ סריג מישור

הישר. הסריג כל את המכסים ביניהם קבוע בריווח מקבילים סריג מישורי ־ סריג מישורי של משפחה זו קריסטלוגרפי מישור

.d הוא בה סמוכים מישורים שני כל בין הניצב שהמרחק סריג מישורי של משפחה על נדבר

ניצבים שכולם ההופכי בסריג וקטורים של משפחה קיימת אזי סריג, מישורי של משפחה לנו יש שאם היא הזה התרגול במהלך שנוכיח k0~∣∣∣הטענה

∣∣∣ =2π

dהוא מביניהם הקטן של כשאורכו הסריג, מישורי למשפחת

(n הוא שלה הנורמל וקטור (כיוון לו הניצבת סריג מישורי של משפחה קיימת אזי ,~k =2π

dn וקטור שלכל והיא ההפוכה, הטענה את נראה כן כמו

.d הוא ביניהם כשהמרחק

85

ei~k·~R = 1 התכונה את n1~a1 + n2~a2 + n3~a3 = ~R וקטור לכל המקיימים ~k וקטורים אותם כל של הסריג היא ההופכי הסריג של ההגדרה

הבא: באופן ההופכי לסריג פרימיטיביים וקטורים של ספציפי סט לבנות יכולים שאנחנו ראינו בהרצאה

~b1 = 2π~a2 × ~a3

~a1 · (~a2 × ~a3)~b2 = 2π

~a3 × ~a1

~a1 · (~a2 × ~a3)~b3 = 2π

~a1 × ~a2

~a1 · (~a2 × ~a3)

~ai ·~bj = 2πδij התכונה את מקיימים אלו פרימיטיביים וקטורים

~k0 =2π

dn הוקטור כי להראות נרצה סמוכים. סריג מישורי בין d ומרחק n נורמל וקטור ידי על המאופיינת סריג מישורי של משפחה לנו ויש נניח

ההופכי. בסריג וקטור הוא וכי (~k0 ‖ n כי (טריוויאלי הסריג מישורי משפחת לכל ניצב

מישורי משפחת של (הגדרה כלשהו סריג מישור על נמצאת בסריג נקודה וכל הואיל סריג. נקודת בה שתשב כך הצירים ראשית את נסיט ראשיתסריג. מישור על יושבת בראשית הסריג נקודת גם אזי סריג),

גבי על ~R0 ננוע ואז מהראשית, mdn שננוע בכך שלה, הסריג למישור נגיע שראשית בכך להגיע יכולים אנחנו ,~R במרחב, נקודה לכל כי לב נשים~R0 · n = 0 כלומר, הסריג, מישור

נקבל: כן ועל

ei~k0·~R = ei

~k0·~R0ei~k0·mdn

= ei2πd md = ei2πm = 1

.~k0 =2π

dn הצבנו השני ובמעבר ~R = ~R0 +mdn הצבנו הראשון במעבר כאשר

ההופכי. בסריג וקטור הוא ~k0 כן ועל ei~k0·~R = 1 מתקיים הישר בסריג ~R וקטור לכל כי רואים אנחנו וכאן

הבא: באופן לראות אפשר∣∣∣~k0

∣∣∣ של המינימליות את

m,M ∈ Z עבור md~k · n = 2πM להתקיים חייב כי עלינו גוזר ei~k·mdn = 1 הקשר כי לב נשים

,~k של האורך את יגדיל nל־ הניצבים בכיוונים היטל כל ,~k0 =2π

dn הוא הזה הקשר את לקיים שיכול ביותר הקצר הוקטור כי להווכח קל ומכאן

משהו תיתן שלו והקטנה הואיל התכונה לקיום האפשרי ~k · n של המינימלי הגודל הוא2π

dו־ ,md~k · n = 2πM התכונה של קיומה את ישנה לא אך

במעריך. שלם שאינו

את לתת לנו מספיק אלא בו, וקטורים שני לתת צריכים לא אנחנו בסריג, מישורים משפחת לציין מנת על שכעת היא הזה הפיתוח בכל הפואנטה.~k0

נכתוב: ,~b1,~b2,~b3 ההופכי, הסריג של הפרימטיביים הוקטורים בהנתן

~k0 = h~b1 + k~b2 + ~b3

בשביל שלילי, הוא מהאינדקסים ואחד ובמידה ,(hk`) לכתוב נהוג בכתיבה המישור. של (Miller Indices) מילר אינדקסי נקראים (h, k, `) )כאשרhk ¯)לדוגמה, שלילי ` עבור נכתוב, אנחנו מינוס, לכתוב לא

הם: ההופכי הסריג של הפרימיטיביים הוקטורים בו. הנקודות בין a ריווח עם פשוט קובי בסריג דוגמה ניתן

~b1 =2π

ax ~b2 =

2π

ay ~b3 =

2π

az

(111) הסריג מישור נראה איך להבין נרצה

~k0 =2π

a(x+ y + z)

a√3הוא והריווח n =

1√3

(x+ y + z) כלומר,

(120) הסריג מישור נראה איך להבין נרצה

86

~k0 =2π

a(x+ 2y)

a√5הוא והריווח n =

1√5

(x+ 2y) כלומר,

הדבר. אותו הכל סך אבל מסובכים, יותר קצת הדברים פשוט, קובי לא שהוא בסריג מישורים. אלה בקיצור,

87

הפשוט הקובי בסריג שונים סריג למישורי דוגמאות :2.1 איור88

structure factorה־ נושא והוא בהמשך, בשיעורים עליו שנעבור שסביר התרגילים עבור לדעת שחשוב נושא ישנו

http://en.wikipedia.org/wiki/Structure_factor

.structure factorה־ ידי על נקבעת זו אמפליטודה אמפליטודה. איזו של מוחלט ערך ידי על נתון מהגביש המוחזרת העוצמה של פורייה פירוק

זה. של מסודר סיכום כאן לי אין אז הזמן, לפני לצאת צריך והייתי מבולגן, קצת באופן התרגול, של האחרונות הדקות בחמש הועבר זה

2013 במרץ 13

תלת־מימדי לסריג הרמוני קירוב ־ 3 תרגול 3

בסיס. ללא תלת־מימדי סריג על לדבר נרצה היום

.~Rב־ סריג וקטור כל נסמן

.~u(~R)ב־ ~R במקום האטום של הסריג מנקודת הסטייה את נסמן

הוא: בסריג אטום כל של המיקום לכן,

~r = ~R+ ~u(~R)

φ (~r − ~r′) הוא אטומים שני כל בין הפועל שהפוטנציאל נניח

היא: הסריג של הכוללת הפוטנציאלית האנרגיה כן, על

U =1

2

∑~R,~R′~R 6=~R′

φ(~R+ ~u

(~R)− ~R′ − ~u

(~R′))

ההרמוני). (הקירוב שני לסדר עד טיילור בטור לפתוח נוכל קטנות, הן ~u הסטיות כי נניח אם

נקבל: אז ,~δ ≡ ~u(~R)− ~u

(~R′)נגדיר אם

U ≈ 1

2

∑~R,~R′~R 6=~R′

φ(~R− ~R′

)+

1

2

∑~R,~R′~R 6=~R′

(~δ · ~∇

)φ (~r)

∣∣∣~r=~R−~R′

+1

4

∑~R,~R′~R 6=~R′

(~δ · ~∇

)2

φ (~r)

∣∣∣∣~r=~R−~R′

U0 ≡1

2

∑~R,~R′~R 6=~R′

φ(~R− ~R′

)משקל, בשיווי הפוטנציאל את נסמן

נקבל: איינשטיין סכימת ותחת

U ≈ U0 +1

2

∑~R,~R′~R 6=~R′

[uµ

(~R)− uµ

(~R′)] ∂φ

∂xµ+

1

4

∑~R,~R′~R 6=~R′

[uµ

(~R)− uµ

(~R′)] ∂2φ

∂xµxν

[uν

(~R)− uν

(~R′)]

אפס. זה המשקל שיווי ובקונפיגורציית ,~R בנקודה שפועל ~∇φ(~R− ~R′

)הכוחות שקול פשוט והוא הואיל מתאפס הלינארי הסדר כי לב נשים

הפוטנציאלית: האנרגיה עבור הבאה הצורה את מקבלים שאנחנו מכאן

U = U0 + Uharmonic

מלבני סריג של הפוטנציאלית האנרגיה ־ דוגמה 3.1

הם: שלו הבסיס שוקטורי מלבני בסריג דנים ואנחנו נניח

~a1 = a1x~a2 = a2y~a3 = a2z

89

.φ (~r) = φ (r) בו למקרה עצמנו את נגביל כן, כמו

הבאות: לזהויות לב נשים

∂φ

∂xµ=

∂φ

∂r

∂r

∂xµ

=xµrφ′

∂2φ

∂xµxν=

(δµνr− xµxν

r3

)φ′ +

xµxνr2

φ′′

משמעותית. תרומה איזו נותנים קרובים שכנים שרק כך מהר מספיק דועך הבין־אטומי הפוטנציאל כי והיא נוספת, מפשטת הנחה נוסיף כעת

הקרובים. השכנים תרומות הן אלו ורק הואיל ,i = x, y, z כאשר ~R− ~R′ = ±~aiב־ רק∂2φ

∂xµxνאת להעריך עלינו כלומר,

טריוויאלית). היא (−~aiל־ (וההרחבה ~ai וקטורים 3 כפול שניות נגזרות של סוגים 6) לחשב שניות נגזרות 18 משאיר זה כי לב נשים

φµν =∂2φ

∂xµxν,Hessianה־ מטריצת את נגדיר כן על

φµν (~a1) =

φ′′ (a1) 0 0

0φ′ (a1)

a10

0 0φ′ (a1)

a1

φµν (~a2) =

φ′ (a2)

a20 0

0 φ′′ (a2) 0

0 0φ′ (a2)

a2

φµν (~a3) =

φ′ (a3)

a30 0

0φ′ (a3)

a30

0 0 φ′′ (a3)

היא: הזה במקרה ההרמונית הפוטנציאלית האנרגיה כי נקבל כן ועל

Uharmonic =1

4

∑~R,~R′~R 6=~R′

∑i=1,2,3

[uµ

(~R)− uµ

(~R+ ~ai

)]φµν (ai)

[uν

(~R)− uν

(~R+ ~ai

)]

+1

4

∑~R,~R′~R 6=~R′

∑i=1,2,3

[uµ

(~R)− uµ

(~R− ~ai

)]φµν (ai)

[uν

(~R)− uν

(~R− ~ai

)]

בעלי קפיצים לשישה מחובר מהם אחד כשכל האטומים, N של הרמוניות תנודות בתור לפרש כעת אפשר המערכת של התנועה את כי לב נשיםציר. בכל 2 שונים, קפיץ קבועי

2013 במרץ 20

מונואטומי תלת־מימדי בסריג פונונים ־ 4 תרגול 4

הדינמית המטריצה 4.1

U = U0 + Uh הרמוני, בקירוב התלת־מימדי הסריג של הפוטנציאלית האנרגיה את לקרב נרצה

על הנתונה בסריג, אתרים שני כל בין האינטרקציה באמצעות מתואר להיות יכול ההרמוני הפוטנציאל כי צופים אנחנו מחזורי, הוא והסריג הואיל

:Φµν(~R− ~R′

)הפונקציה ידי

90

Φµν =∂2

∂xµ∂xνφ (~r)|~r=~R−~R′

של האבסולוטי במיקום ולא הסריג אתרי בין במרחק רק שתלויה בסריג, אתרים שני בין האינטרקציה אנרגיית את הנותנת פונקציה זוהי כלומר,הסריג. מאתרי אחד כל

איינשטיין. סכימת תחת נעבוד מכאן

סריג. נקודת בכל ~u(~R)משקל, משיווי הסטייה עבור תנועה משוואת לגזור היא מכאן שלנו המטרה

בשיעור: שראינו כפי ההרמוני, הפוטנציאל את מלכתוב נתחיל

Uh =1

4

∑~R,~R′

[uµ

(~R)− uµ

(~R′)]

Φµν

[uν

(~R)− uν

(~R′)]

=1

4

∑~R,~R′

[uµ

(~R)

Φµνuν

(~R)− uµ

(~R)

Φµνuν

(~R′)− uµ

(~R′)

Φµνuν

(~R)− uµ

(~R′)

Φµνuν

(~R′)]

=1

2

∑~R,~R′

uµ

(~R)Dµν

(~R, ~R′

)uν

(~R′)

הבא: באופן Dµν

(~R, ~R′

)המטריצה את הגדרנו האחרון במעבר כאשר

Dµν ≡ δ~R,~R′∑~R′′

(Φµν

(~R− ~R′′

)− Φµν

(~R′ − ~R′′

))(4.1)

רק אלא בנפרד, ~R′ו־ ~Rב־ לא היא Dµν של שהתלות לנו ברור אז הסריג, נקודות כל על סכימה ידי על מוגדר Dµνו־ מחזורי, הוא והסריג (הואיל(~R− ~R′ב־

בסריג: נקודה לכל משקל שיווי סביב הכוחות משוואת את לגזור יכולים אנחנו ההרמוני הפוטנציאל את לנו שיש וכעת

Fµ

(~R)

= muµ

(~R)

= − ∂Uh

∂uµ

(~R) = −

∑~R′

Dµνuν (R′)

הבאה: מהצורה מישוריים גלים של פתרון ננחש

~u~k

(~R)

= ~ε exp(i~k · ~R− iωt

)בגביש: הדיספרסיה יחס את למצוא מנת על הכוחות במשוואת אותו נציב וכעת

−mω2εµ exp(i~k · ~R− iωt

)= −

∑~R′

Dµν

(~R− ~R′

)εν exp

(i~k · ~R′ − iωt

)

מעט: נסדר ואם

εµmω2 = εν

∑~R′

Dµν

(~R− ~R′

)exp

(−i~k ·

(~R− ~R′

))(4.2)

דיסקרטי: פורייה טרנספורם בתור לנסח ניתן ימין באגף שרשום מה כי לב נשים

Dµν

(~k)≡∑~R

Dµν

(~R)

exp(−i~k · ~R

)(4.3)

היא (4.2) בביטוי ימין אגף כי ולקבל משתנה החלפת לעשות אפשר אזי הסריג, אתרי כל על סכימה מרמזת (4.2) בביטוי ~R′ על והסכימה הואיל

.Dµν

(~k)בדיוק

הדינמית״. ״המטריצה בשם לזכות בשביל חשובה מספיק אפילו היא ,Dµν

(~k)הזו המטריצה ידי על נשלט הדיספרסיה יחס כלומר,

מהגדרתה: הנובעות Dµν

(~R)של אלגבריות תכונות בכמה ניעזר כך, לשם .Dµν

(~k)של התכונות על ללמוד נרצה כעת

91

.1

Dµν

(~R− ~R′

)= Dµν

(~R′ − ~R

)⇓

Dµν

(~R)

= Dµν

(−~R)

.2∑~R

Dµν

(~R)

= 0

נקבל: ~d הסריג של הזזה לכל .3∑~R,~R′

dµDµν

(~R− ~R′

)dν = 0

:Dµν

(~k)על מניפולציות לעשות מוכנים אנחנו ומכאן

Dµν

(~k)

=∑~R

Dµν

(~R)

exp(−i~k · ~R

)

=∑~R

Dµν

(~R)

+Dµν

(−~R)

2exp

(−i~k · ~R

)

=1

2

∑~R

Dµν

(~R)

exp(−i~k · ~R

)+∑~R

Dµν

(−~R)

exp(−i~k · ~R

)=

1

2

∑~R

Dµν

(~R)

exp(−i~k · ~R

)+∑~R′

Dµν

(~R′)

exp(i~k · ~R′

)=

∑~R

Dµν

(~R)exp

(i~k · ~R

)+ exp

(−i~k · ~R

)2

=

∑~R

Dµν

(~R)

cos(~k · ~R

)

= 2∑~R

Dµν

(~R)

sin2

(~k · ~R

2

)

מטריצת ושל וקטורים של מכפלות היא Dµν (כי ממשית שהיא ברור גם שמהן הדינמית, המטריצה עבור שימושיות הצגות שתי לנו שיש ומכאןהוא: המתקבל הדיספרסיה שיחס ומכאן ממשית). שהיא Hessianה־

εµmω2 = ενDµν

(~k)

εµmω2 = 2εν

∑~R

Dµν

(~R)

sin2

(~k · ~R

2

)(4.4)

מטריצה היא גם Dµν

(~k)כי נובע (Dµν

(~R)של וההגדרה Hessianה־ מטריצת של מהסימטריה בתורה (הנובעת Dµν

(~R)של הסימטריה מתוך

סימטרית.

ממשיים. עצמיים ערכים עם לכסינה היא הספקטרלי המשפט פי שעל ומכאן וממשית, סימטרית היא Dµν

(~k)המטריצה כלומר,

לפי בכתיבה Av = λv אותה, מכירים שאנחנו כפי (הבעיה עצמיים ווקטורים עצמיים ערכים כבעיית מנוסח (4.4) הדיספרסיה יחס כי לב נשים(Aµνvν = λvµ כך: תראה איינשטיין סכימת עם רכיבים

92

אשר Dµν

(~k)של עצמיים וקטורים שהם קיטוב ווקטורי λs ממשיים עצמיים ערכים של סט נקבל אז Dµν

(~k)המטריצה את נלכסן אם ולכן,

~εsב־ נסמן

העצמיות: התדירויות עבור שמתקיים ומכאן

mω2s~εs = λs~εs ⇒ ωs =

√λsm

(4.5)

הגביש: של הפונונים נקרא היטב מוגדר קיטוב כיוון בעלי המותרים המישוריים הגלים של הללו לפתרונות

~u~k,s

(~R)

= ~εs

(~k)

exp(i~k · ~R− iωs

(~k)t)

(4.6)

בשרשרת קטן מרכזי אטום ־ דוגמה 4.2

נניח .k קפיץ קבוע עם קפיצים מחברים ביניהם .a הוא משקל בשיווי בינם שהמרווח ,M במסה אטומים של חד־מימדית שרשרת לנו ויש נניחM > m מסה לו ויש השאר מכל שונה הוא x = 0 במיקום והאטום

היא: התנועה משוואת סריג נקודת לכל כי ראינו שוות, היו המסות כל אם

Muj = k (uj−1 − 2uj + uj+1)

mu0 = k (u−1 − 2u0 + u1) תהיה j = 0 עבור שהמשוואה הוא היחיד ההבדל שלנו, במקרה

הזה? הדבר את פותרים אנחנו איך

עצמו.) j על ולא |j| על מסתכלים אנחנו סימטריה משיקולי (כאשר uj ∝ exp (iKa |j| − iωt) מקיים מסה שבכל פתרון ננחש

הוא: ωו־ K עבור הפתרון ואז

ω2 =k

m

4(2− m

M

)K =

i

aln

(1− 2M

m

)

m המסה סביב אקספוננציאלית דעיכה היא המרחבית הצורה כלומר, מרוכב, מספר K אבל בזמן, תנודות יש ולכן וחיובי, ממשי ω2 כי לב נשים

(exp (iKa |j|) = exp

(− |j| ln

(1− 2M

m

))ב־ התלות (בשל

שלילי. מספר של לוגריתם זה ln

(1− 2M

m

)־ קטנה עדינה נקודה

מתקיים: x > 0 עבור

ln (−x) = ln(eiπ |x|

)= iπ + ln |x|

.2πi של שלמה כפולה כל זו לתוצאה להוסיף אפשר כאשר

הוא: הפתרון של המרחבי שהחלק גורר זה כי לב נשים

exp

(− |j| ln

(1− 2M

m

))= exp

(− |j|

(iπ + ln

(2M

m− 1

)))= exp

(− |j| ln

(2M

m− 1

))exp (− |j| iπ)︸ ︷︷ ︸

±1

כי משנה, כן iπה־ זאת, עם כלום. משנה לא זה ולכן 1 = exp (2πiN |j|)ב־ הכפלה גוררת הייתה 2πi של שלמה כפולה של התוספת כי לב נשיםלאטום! מאטום שקופצים פעם כל סימן משנה שהגל אומר הוא

2013 באפריל 10

93

פונונים ידי על חום הולכת ־ 5 תרגול 5

שבהם כאלו מבודדים, בחומרים הכוללת החום הולכת את מתאר למעשה הזה המודל פונונים. ידי על חום להולכת מודל לפתח נרצה כעתהחום. להולכת תורמים אינם האלקטרונים

הטמפרטורות לגרדיאנט פרופורציוני ראשוני, בקירוב חתך), שטח ליחידת זמן ליחידת (אנרגיה החום שטף החום. מוליכות של מההגדרה נתחילפורייה): (חוק

~Jthermal = −κ~∇T

:n בכיוון והוא נניח מפונונים, החום לשטף זה את נשווה מכאן,

~Jthermal =1

S

dE

dtn

=1

S

dE

dn

dn

dt

=dE

dV~u

=∑s,~k

ns,~k

~ωs(~k)

V︸ ︷︷ ︸energy per unit volume of single phonon

∂ωs

(~k)

∂~k︸ ︷︷ ︸velocity of single phonon

שלו. החבורה מהירות היא מסוים) ~k סביב גלים (חבילת יחיד פונון של שהמהירות בכך השתמשנו האחרון במעבר כאשר

מתקיים: משקל בשיווי

ns,~k =1

exp(β~ωs

(~k)− 1)

שיתקיים: לנו ברור תרמי משקל בשיווי

~Jthermal = 0

עיקריות: סיבות שלוש בשל המצב לא זה אבל בגביש, פונונים מספיק לאכלס נצליח רק אם אינסופית, למוליכות להגיע שאפשר נראה פניו על

פונונים) בין (אינטרקציות אנהרמוניים אפקטים כוללת האמיתית והתמונה קירוב, רק הוא ההרמוני הקירוב .1

שפה) באפקטי מתחשב שאינו V נפח מלאכותי באופן לו שהכנסנו אינסופי, גביש על דיברנו שלנו (במודל הגביש מדפנות החזרות ישנן .2

בגביש מפגמים פיזורים, כלומר, אינטרקציות, ישנן .3

אנרגיה: שימור לתקיים צריך עדיין כזה תהליך בכל האנהרמוניים. בפיזורים ∑נתמקדs,~k

~ωs(~k)n~k,s =

∑s′,~k′

~ωs′(~k′)n~k′,s′

:( ~K ההופכי, בסריג תנע וקטור כדי (עד תנע ∑ושימורs,~k

~kn~k,s =∑s′,~k′

~k′n~k′,s′ + ~K

לפונונים Drude מודל 5.1

.Drude מודל פי על וזאת פונונים, של חום למוליכות פשוט מודל לבנות נרצה

הן: עצמנו על שנקבל העיקריות ההנחות

(Debye למודל (בדומה ωs(~k)

= ck הדיספרסיה יחס מתקיים .1

94

פיזורים) בין האופייני הזמן הוא τ (כאשרdt

τהיא dt בזמן הפונון של לפיזור ההסתברות .2

הלוקאלית המשקל שיווי אנרגיית ועם אקראי, כיוון עם מההתנגשות יוצא התנגשות העבור פונון .3

u (x) = uequilibrium (T (x)) כלומר, ,x נקודה בכל לוקאלי תרמודינמי משקל שיווי שיש להניח שאפשר כזה T (x) טמפרטורה מפל קיים .4

במרחב.∂T

∂xטמפרטורות גרדיאנט במרחב קיים כאשר הפונונים, מתנועת כתוצאה דרכה החום זרם מהו ונשאל x0 נקודה באיזו נתבונן

.x0 סביב ` = cτ ברדיוס מכדור הפונונים כל x0 לנקודה יגיעו τ זמן תוך

.x0 סביב ` ברדיוס הכדור של dΩ בפלח נתבונן

.x0 לנקודה מכוון יהיה ,dΩ הזה, מהפלח החום משטף1

4πרק בממוצע ולכן כיוון, לאף העדפה אין זו מנקודה הפיזור לתהליך

היא u האנרגיה וצפיפות , c cos θ הוא x בכיוון והיטלה ,c היא הפונונים מהירות (כאשר ~vudΩ הוא dΩ מהפלח הפיזור איתו שנושא החום שטף.(u (x0 − ` cos θ)

נקבל: ,x0ל־ להגיע שלהם ההסתברות עם הפיזור, אירועי כל על נסכום אם ולכן Jy = Jz = 0 סימטריה, משיקולי

J thermalx =

1

4π

2πˆ

0

dϕ

π

0

dθ sin θc cos θu (x0 − ` cos θ)

נקבל: µ ≡ cos θ משתנים החלפת תחת

J thermalx =

c

2

1ˆ

−1

dµ µu (x0 − µ`)

קטנה, היא xב־ u של התלות גם כן ושעל קטן, הוא∣∣∣~∇T ש־∣∣∣ מניחים אנחנו כלומר, ,linear response של כלל איזה כאן לפתח מעוניינים אנחנו

לקרב: לעצמנו נרשה ולכן

u (x0 − µ`) = u (x0)− `µ ∂u

∂x

∣∣∣∣x0

האינטגרל: בביצוע נקבל ומכאן

J thermalx = −c`

2

1ˆ

−1

dµ µ2 ∂u

∂x

∣∣∣∣x0

= −c`3

∂u

∂x

=c`

3

∂u

∂T

(−∂T∂x

)

נקבל: אז∂u

∂T= CV כי נזכור ואם

κ =c2τCV

3(5.1)

בטמפרטורה κ של התלות 5.2

קלאסיים. בשיקולים להשתמש יכולים אנחנו T ΘD כאשר

CV = 3N

VkB = const. הקלאסי, לערכו שואף החום קיבול

.kBT היא ω תדירות עם בפונונים האגורה האנרגיה ולכן n~k,s =kBT

~ωs(~k) גבוהות טמפרטורות של בגבול

95

בין האופייני שהזמן ומכאן ,T כמו תעלה לפיזורים שלהם התרומה ולכן ,kBT היא גם λ =2πc

ωגל אורך עם בפונונים האגורה שהאנרגיה מכאן

.1

Tכמו יתנהג λ =

2πc

ωגל אורך עם פונונים ידי על הפיזורים

כאשר τ ∝ 1

Tαש־ הוא גבוהות בטמפרטורות למעשה שקורה מה ולכן טריוויאלי, לא חישוב וזה רבים, פונונים על כאן לסכום עלינו כי לב נשים

.1 < α < 2

κ ∼ 1

Tαשל להתנהגות נצפה גבוהות בטמפרטורות ולכן

הם הפונונים בין הפיזורים נמוכות ובטמפרטורות הואיל .CV ∼ T 3 מתקיים כי Debye ממודל יודעים אנחנו T ΘD נמוכות, בטמפרטורותבקירוב. קבוע τ גורר וזה הגבישי, בסריג מפגמים הוא השולט הפיזור מנגנון נדירים,

κ ∼ T 3 של להתנהגות נצפה נמוכות בטמפרטורות כלומר,

הביניים? בטמפרטורות קורה מה

ברילואן תא בתוך יהיו ושניהם נמוכים, יהיו ~k וגם ω גם כלומר, אנרגטיים, לא יחסית פונונים רק מעוררים עדיין אנחנו עדיין הביניים בטמפרטורותהופכי). סריג וקטור כדי עד (ולא מדויק תנע שימור נותנות ברילואן, תא באותו פונונים שני בין הזה, מהסוג ההתנגשויות הראשון.

לשיווי התקרבנו ולא תילו על הפונונים מאזן את והשארנו הואיל החום של פיזור אין ,(Normal (נקראות הזה מהסוג התנגשויות רק לנו יש עוד כלמשקל.

העברה תוך לאחור, פיזור עובר מהם ואחד מתנגשים, פונונים שני בו עצמו), על קיפול (בגרמנית, Umklapp תהליכי פיזור, תהליכי של נוסף סט ישנוסריגי. תנע איזה של

גורר זה ביניים, בטמפרטורות דנים ואנחנו והואיל ,~ω ∼ kBΘD של גודל מסדר היא שלהם שהאנרגיה פונונים עבור רק קורים אלו תהליכיםexp (−βΘD)ל־ פרופורציונית היא ייקרו שהם לכך שההסתברות

נקבל: ואז

τ ∼ exp

(ΘD

T

)

:κ (T ) עבור הבאה התמונה את נקבל ולכן

2013 באפריל 17

דבאי ומודל מקרוסקופיים פרמטרים ־ 6 תרגול 6

פיתחנו לא אותו Gruneisen פי על החשמלית להתנגדות מודל ,Debye פי על החום קיבול גרפים, מספר להציג נרצה התרגול של הזה הראשון לחלקהקודם. בתרגול ראינו אותה התרמית והמוליכות קטן, משהו עליו שנאמר אך

96

Debye פי על החום קיבול :6.1 איור

97

עושים שאליה לפתח שאפשר נוסחה וישנה אמפירית, נכון שזה מראה הגרף אבל פיתחנו, לא ־ Gruneisen פי על החשמלית ההתנגדות :6.2 איורההתאמה. את

κ =Cv3c`

=Cv3v · Λ

.mean free pathה־ הוא Λו־ האופיינית המהירות היא v כאשר

החשמלית שההולכה מצפים אנחנו לכן אלקטרונים, ידי על היא בחומר החום הולכת רוב אם ולכן חשמלי, מטען גם איתם נושאים האלקטרוניםדומה. יהיה ושהפיתוח החום להולכת דומה בצורה תתנהג שלנו

חשמלית להולכה הרלוונטיים התהליכים כי לנו רומז וזה .TD לפי scaling הדבר אותו נראים הגרפים כל כי רואים אנחנו Gruneisen גרף מתוךשתהליכי היא הפיזיקלית המסקנה !TD את הקובעת הפונונים של הדינמיקה אותה ידי על נשלטים טמפרטורות, של רחב בטווח האלה, במוצקיםשל פיזורים לא הם (Gruneisen לגרף המתאימים אחרים רבים ובחומרים במתכות המטען נשאי הם (שהרי אלקטרונים עבור הדומיננטיים הפיזור

מפונונים! אלקטרונים של פיזורים דווקא אלא מאלקטרונים, אלקטרונים

זהב עבור דבאי טמפרטורת ־ דוגמה 6.1

V = a3 הוא היחידה תא ונפח יחידה, תא בכל אטומים 8 · 1/8 + 6 · 1/2 = 4 לנו יש יחידה תא בכל כלומר, ,fcc גביש הוא זהב

a = 0.408 nm הוא זהב של סריג קבוע

v`s = 3240 m/sec

vts = 1220 m/sec

זהב. עבור דבאי טמפרטורת את האלה הנתונים מתוך למצוא נרצה

98

הקיטוב. מודי שלושת כל עבור זהה הוא הדיספרסיה יחס בו מפושט מודל עבור דבאי טמפרטורת את מפורשות חישבנו עכשיו עד

הבא: באופן דבאי תדירות את הגדרנו כי נזכר ,vts = v`s כי הנחנו בו המפושט דבאי מודל של בפיתוח אחורה מעט נחזור אם

ωD =

(6π2v3

sN

V

)1/3

בסריג. החלקיקים של החופש דרגות 3N את יתארו ,ωD ועד 0 מתדירות הפונונים שכל הפיזיקלי התנאי מתוך באה זו הגדרה כאשר

שצריך הרי ״שונים״, קיטוב מודי לשלושה היריעה את להרחיב נרצה אם ולכן ,N ∼ const. × v−3s מהצורה אינטגרל ביצענו כך לשם כי לב נשים

להתקיים:

N ∼ const.((vts)−3

+(vts)−3

+(v`s)−3)

קול מהירות באמצעות v`s 6= vts בעל בגביש המעניינים הגדלים כל את לרשום אפשר אלגברה, נטו הם כי הפיתוח, של לפרטים נכנס ולא ולכן,אפקטיבית:

ves ≡

(2 (vts)

−3+(v`s)−3

3

)−1/3

נקבל: ואז

ωD =

(6π2 (ves)

3N

V

)1/3

kD =

(6π2N

V

)1/3

kBΘD = ~ves(

6π2N

V

)1/3

הנתונים. הגדלים מתוך הזהב של דבאי טמפרטורת את מצאנו ובזאת

הלינארי: התרמית ההתפשטות מקדם הוא ביניהם הראשון נוספים. מעניינים גדלים ולחלץ להמשיך נרצה מכאן

α ≡ 1

3V

(∂V

∂T

)P

=1

3B

(∂P

∂T

)V

:Bulk copmression modulusה־ של בהגדרה נעזרנו השני בשיוויון כאן כאשר

B ≡ −V(∂P

∂V

)T

האנרגיה): סתם ולא החופשית האנרגיה זוהי למה בכלל ברור (לא הסריג של החופשית האנרגיה את בלרשום נתחיל

Fphonons = Ulattice +∑~k,s

~ω~k,s (〈nω〉+ 1/2)

〈nω〉 =1

exp (β~ω)− 1

בנגזרות: לשחק יכולים אנחנו מכאן

P = −(∂F

∂V

)T

= −∑~k,s

∂ (~ω)

∂V〈nω〉

α =1

3B

∑~k,s

(− ∂ lnω

∂ lnV

)~ωV

∂ 〈nω〉∂T

99

קטנה: בזהות נעזרנו כאשר

∂y

∂x=y

x

∂ ln y

∂ lnx

Cv =∑~k,s

~ωV

∂ 〈nω〉∂T

α = γCv3B

:Gruneisen של γ הגודל את הגדרנו כאן כאשר

γ ≡ −∂ lnωD∂ lnV

= −∂ ln ΘD

∂ lnV

.1 של גודל מסדר הוא זה שגודל ומתברר

הם הדברים, שאר את לקבל אפשר מהם בלבד פרמטרים לשני מצטמצם חשמלית, ומוליכות חום קיבול תרמית, מוליכות בין הזה המשחק בסוףפרמי. וטמפרטורת דבאי טמפרטורת

2013 באפריל 17

X קרני דיפרקציית ־ 7 תרגול 7

יהלום של structure factorה־ 7.1

נתון וקטור עבור קיומו) (ועובדת הפיזור עוצמת בסיס, עם מסריג פיזור מבצעים אנחנו כאשר כללי, באופן .structure factorה־ מהו נזכיר ראשיתהיחידה. תא בתוך המפזרים כלל בין ההתאבכות ידי על נקבעת (real spaceב־ קריסטלוגרפיים מישורים של כיוון המגדיר ההופכי בסריג (וקטור ~q

אנחנו כאשר ולכן, המטען. להתפלגות פרופורציוני יהיה הוא כי מצפים אנחנו אבל מוחלט, באופן ידוע לא הוא המדויק המפזר הפוטנציאל אמנםהבא: באופן הפורייה רכיבי כלל על לסכום פשוט עלינו ,S (~q) ,structure factorה־ את לחשב מתבקשים

S (~q) =∑~b

exp(−i~q ·~b

)

~b1,~b2,~b3 כאן כאשר ~q = 3~b1 +~b2−~b3 הוקטור את מציין למעשה (3, 1,−1) מהצורה וקטור כך .hk` שלו, מילר אינדקסי פי על נתייחס ~q לוקטורשלא או לקבל יכולים אנחנו ממנו המישור של הנורמל כיוון את לנו מגדירה hk` המספרים שלשת ההופכי. הסריג של הפרימיטיביים הוקטורים הם

ההחזרה. את לקבל

משלו. structure factor תורם הוא שגם הרי ,fcc או bcc סריג כמו מורכב, סריג לנו ויש במידה

יהלום. של S (~q) את נמצא לדוגמה,

בסיס. עם fcc כגביש ליהלום נתייחס

הבאים: הבסיס וקטורי ארבעת על המבוסס structure factor לנו תורמת fcc גביש שהוא העובדה a)כלומר,2

(x+ y) ,a

2(y + z) ,

a

2(x+ z) ,~0

)

שלו: הבסיס וקטורי שני על המבוסס structure factor לנו תורמת בסיס עם גביש שהוא a)והעובדה4

(x+ y + z) ,~0)

.2π

ax,

2π

ay,

2π

az פשוט הם ההופכי הסריג שוקטורי הרי ,a :lattice spacing עם קובי סריג וזהו הואיל

הוא: S (~q) כי נקבל ~q = (h, k, `) עבור ולכן

Sfcc (~q) = 1 + e−iπ(h+k) + e−iπ(h+`) + e−iπ(k+`)

100

ומתי המישור אותו בכיוון להחזרה נצפה אנחנו מתי כלומר, ־ ״כבוי״ או ״דלוק״ יהיה מישור מתי לנו מגדיר הזה structure factorה־ כי לב נשיםלא.

נקבל: אזי אי־זוגיים, כולם או זוגיים כולם h, k, ` אם

Sfcc (~q) = 4

.~q של בכיוון החזרה אין כלומר, !0 נקבל אז המצב, לא זה אם

הבסיס. שיוצר structure factorב־ גם להתחשב עלינו בסיס, עם fcc גביש הוא והיהלום הואיל

SDiamond (~q) = Sfcc (~q)∑

~b∈basis

exp(−i~q ·~b

)= Sfcc (~q)

(1 + e−i

π2 (h+k+`)

)

דלוקים: או כבויים המישורים למתי הברירה כללי את למצוא יכולים אנחנו מכאן

I (~q) ∝ 4 S (~q) ∝ 2 דלוק המישור h+ k + ` = 4n זוגיים כולם (h, k, `)I (~q) ∝ 0 S (~q) ∝ 0 כבוי המישור h+ k + ` = 4n+ 2I (~q) ∝ 2 S (~q) ∝ 1 + i דלוק המישור h+ k + ` = 4n+ 1 אי־זוגיים כולם (h, k, `)I (~q) ∝ 2 S (~q) ∝ 1− i דלוק המישור h+ k + ` = 4n+ 3

C60 מולקולות עבור atomic form factorה־ 7.2

דומה. שאלה כעת נפתור

a = 14.11 · 10−8 cm צלע עם fcc במבנה מתגבשות C60ה־ מולקולות כי נתון

~q = (1, 1, 1) בכיוון הפיזור מעוצמת משמעותית קטנה ~q = (2, 0, 0) בכיוון X קרני של הפיזור עוצמת כי מראים ניסויים

מדוע. הסבירו

שלה. atomic form factorה־ את וחשבו R = 3.5 · 10−8 cm ברדיוס משטחית מטען כהתפלגות C60 מולקולת לכל התייחסו בהסברכם

קיים אז בסיס, עם סריג הוא שחומר בכך שמקורו structure factorוה־ החומר, של הסריגי במבנה שמקורו structure factor שקיים האופן באותו.atomic form factorה־ נקרא זה גורם ־ בבסיס מהנקודות אחת כל של המולקולרי במבנה שמקורו structure factor גם

atomicה־ את נגדיר כן ועל המטען, להתפלגות פרופורציוני יהיה שהוא לשער יודעים אנחנו אבל המדויק, המפזר הפוטנציאל מהו לנו ברור לא שוב,:ρ (~r) האלקטרונית המטען להתפלגות ביחס הבא באופן form factor

f (~q) =1

(−e)

ˆd3~r ρ (~r) exp (−i~q · ~r)

כדורית. משטחית מטען התפלגות בתור C60ל־ להתייחס הייתה ההנחייה

σ = − 360e

4πR2עם משטחית מטען התפלגות זוהי ולכן אלקטרונים) 6 תורם פחמן אטום (כל (−6e)× 60 הוא הכולל המטען

ρ (~r) = σδ (r −R)

האינטגרל: עבור הבאה הצורה את ונקבל z ‖ ~q כיוון את נקבע

f (~q) =2πσ

(−e)

∞

0

dr

π

0

dθ sin θ r2δ (r −R) exp (−iqr cos θ)

=2πσR2

(−e)

π

0

dθ sin θ exp (−iqR cos θ)

101

:dθ = − dx

sin θונקבל x ≡ cos θ משתנה החלפת נבצע

f (~q) =2πσR2

(−e)

1ˆ

−1

dx exp (−iqRx)

=4πσR2

(−e)sin (qR)

qR

f (~q) = 360sin (qR)

qR

.atomic form factorב־ הוא ההבדל מקור ולכן ,fccה־ מבנה של structure factorב־ להבדל הפיזור בעוצמות ההבדל את לשייך אפשר אי

נקבל: ~q = (2, 0, 0) עבור

q =2π

a

√22 + 02 + 02 =

4π

a

נקבל: ~q = (1, 1, 1) עבור

q =2π

a

√12 + 12 + 12 =

2√

3π

a

I (2, 0, 0)

I (1, 1, 1)=

(f (2, 0, 0)

f (1, 1, 1)

)2

=2√

3

4

sin2

(4πR

a

)sin2

(2√

3πR

a

)≈ 0.00095

ההחזרה. בעוצמות הניכר הפער ברור ומכאן

2013 במאי 1

זומרפלד מודל ־ 8 תרגול 8

נשאף והיום ביניהם, האינטרקציה את כהפרעה עבורם הוספנו מכן ולאחר חופשיים פונונים הנחנו ראשית בו פונונים, עבור שעשינו לפיתוח בדומהבמוצק. האלקטרונים עבור דומה דבר לעשות

(קוונטי) חופשי אלקטרונים גז 8.1

:~p = ~~k תנע עם חופשי אלקטרון של הגל ⟩פונקציית~r | ~k

⟩=

1√V

exp(i~k · ~r

)ε(~k)

=~2k2

2m

הם והאלקטרונים הואיל אבל ,0 היא האנרגיה היסוד שבמצב מקבלים היינו קלאסיים, חלקיקים היו האלקטרונים לו .T = ב־0 הוא היסוד מצב.kF מקסימלי גל למספר המתאימה εF אנרגיה לרמת עד אנרגיה רמות ומאכלסים פרמי־דיראק, לסטטיסטיקת מצייתים הם פרמיונים,

102

N = 2︸︷︷︸spin

·

4π

3k3f

(2π)3

V

רמה. כל שמאכלסת הנפח זה(2π)

3

Vש־ בעוד kF גל למספר עד המצבים מספר הוא

4π

3k3F כאן כאשר

.n המספרית, הצפיפות של כפונקציה kF את לחלץ אפשר מכאן

k3F = 3π2n

εF =~2k2

F

2mפרמי, אנרגיית את וכמובן NF =

~km

פרמי, מהירות את להגדיר אפשר בנוסף

TF =εFkB

פרמי, טמפרטורת על גם לדבר אפשר פרמי אנרגיית מתוך

〈ε〉 =3

5εF היא חלקיק פר הממוצעת האנרגיה T = ב־0 כי להראות אפשר כן, כמו

נקבל: עבורן אז ,n ∼ 1022 cm−3 אופיינית בצורה מתקיים במתכות

kF ∼ 10−8 cm

Nf ∼ 108 cm/sec

εF ∼ 5 eV

TF ∼ 104 K

פרמי־דיראק סטטיסטיקת 8.2

פרמי־דיראק: התפלגות ידי על נתון ε אנרגיה רמת כל של האכלוס

fFD (ε) =1

exp (β (ε− µ))− 1

.N הוא החלקיקים שמספר קביעה ידי על לחלצו ואפשר במערכת, הכימי הפוטנציאל הוא µ כאן כאשר

N = 2︸︷︷︸spin

∑~k

f(ε(~k))

V

(2π)3

´d3~kב־

∑~k

ולהחליף הרצף, לגבול לעבור נעדיף ונורא, קשה זה בדידה סכימה עם ולעבוד הואיל

כך: ייראה הכולל החלקיקים למספר התנאי אז

n =2

(2π)3

ˆd3~k f

(ε(~k))

=

ˆdε g (ε) f (ε)

.g (ε) האנרגיה לפי המצבים צפיפות את הגדרנו כאן כאשר.ε+ dεל־ ε בין אנרגיה עם החד־חלקיקיים המצבים מספר הוא dε g (ε)

g (ε) =2

(2π)3

ˆd3~k δ

(~2k2

2m− ε)

=8π

(2π)3

ˆdk

k2

~2k

m

δ

(k −

√2mε

~2

)

=m

~3π2

√2mε×

1 ε > 0

0 ε < 0

103

g (ε) ∼√εש־ היא כאן החשובה התכונה

(kBT εF ) קטנה סופית, בטמפרטורה µ של חילוץ 8.3

µ (T = 0) = εF סביב מדרגה פונקציית היא T = 0 עבור f (ε) האכלוס פונקציית כי יודעים אנחנו

שבטמפרטורות היא הזו ההתפלגות של החשובה התכונה .µ סביב δε ∼ kBT אופייני רוחב עם רציף יהיה המעבר יותר, גבוהות בטמפרטורות

.µמ־ רחוק מהר מאוד מתאפסת∂f

∂εשהנגזרת נקבל נמוכות

:µ את לחלץ ומתוכו סופית בטמפרטורה n החלקיקים צפיפות עבור ביטוי למצוא נרצה

n =

∞

−∞

dε g (ε) f (ε)

= G (ε) f (ε)|∞−∞ +

∞

−∞

dε G (ε)

(−∂f∂ε

)

G (ε) =ε

−∞dε′ g (ε′) את הגדרנו כאן כאשר

נופל. הראשון האיבר כן ועל f (∞) = ו־0 G (−∞) = 0 כי לב נשים

n =

∞

−∞

dε G (ε)

(−∂f∂ε

)

היא: האכלוס פונקציית של הנגזרת של המפורשת הצורה

−∂f∂ε

=β(

2 sinh

(β (ε− µ)

2

))

טיילור: לטור µ סביב G (ε) את נפתח האינטגרל, את לחשב מנת על

G (ε) = G (µ) +

∞∑m=1

(ε− µ)m 1

m!

∂mG

∂εm

∣∣∣∣ε=µ

נקבל: n עבור שלנו לביטוי חזרה זה פיתוח נציב ואם

n = G (µ)

∞

−∞

dε

(−∂f∂ε

)+

∞∑m=1

1

m!

∂mG

∂εm

∣∣∣∣ε=µ

∞

−∞

dε (ε− µ)m

(−∂f∂ε

)

:∂f

∂εשל חשובות תכונות שתי

∞

−∞

dε∂f

∂ε= 1

∂f

∂ε(µ+ δ) =

∂f

∂ε(µ− δ)

לגמרי). כמעט מהנוסחה G את להוציא מנת על∂G

∂ε= g (ε) כי גם (ונזכור מתאפסים הטיילור טור של האי־זוגיים הסדרים כל ולכן

n = G (µ) +

∞∑m=1

1

(2m)!

∂2m−1g

∂ε2m−1

∣∣∣∣ε=µ

∞

−∞

dε (ε− µ)2m

(−∂f∂ε

)

104

הבאה: הצורה את יקבל האינטגרל ,ξ ≡ β (ε− µ) ונגדיר האינטגרל לתוך חזרה זאת נציב ואם ,−∂f∂ε

=β(

2 sinh

(β (ε− µ)

2

))2 כי נזכור

∞

−∞

dε (ε− µ)2m

(−∂f∂ε

)=

1

β2m

ˆdξ ξ2m 1(

2 sinh

(ξ

2

))2 ≡ B2m

.mב־ התלוי כלשהו מספר פשוט הוא האינטגרל m לכל עכשיו כי לב נשים

:kBT ב־ שנייה חזקה עד כלומר, המוביל, לסדר עד לפתח נרצה כעת

n = G (µ)︸ ︷︷ ︸=

µ

−∞dε g(ε)

+π2

6(kBT )

2 ∂g

∂ε

∣∣∣∣ε=µ

+O(

(kBT )4)

B2 =π2

3את הצבנו כאן כאשר

הבאה: המשוואה את ולקבל אינטגרלים של חיבור עם קצת לשחק נוכל ולכן ,n =εF

−∞dε g (ε) מתקיים T = ב־0

µ

εF

dε g (ε) = −π2

6(kBT )

2 ∂g

∂ε

∣∣∣∣ε=µ

נקבל: ולכן g (ε) = c√ε כי יודעים אנחנו

2

3

(µ

3/2 − ε3/2F

)√µ = −π

2

12(kBT )

2

.µ עבור נומרית לפתור שאפשר סתומה משוואה וזו

:T = 0 סביב טיילור לטור µ את נפתח

µ (T ) = εF

(1 + a

(kBT

εF

)+ b

(kBT

εF

)2

+O((

kBT

εF

))3)

a = 0

b = −π2

12

נקבל לאפס שלו המקדמים מהשוואת לאפס. זהותית ששווה T ב־ פולינום נותנת הסתומה במשוואה זה פתרון של הצבה

µ (T ) = εF

(1− π2

12

(kBT

εF

)2)

היא: האנרגיה כי נמצא דומה באופן

U =3

5NεF +

π2

6(kBT )

2g (εF )

C ∝ T מקיים C =∂U

∂Tהחום וקיבול

2013 במאי 22

105

אהרונוב־בוהם אפקט ־ 9 תרגול 9

את לדעת רוצים אנחנו מדידה. מכשיר שבקצה לולאה, ויוצר לשניים מתפצל הפס אחד. בכיוון רק לנוע לאלקטרונים מותר עליו פס לנו נתון.(downו־ up (כיווני מלמטה או מלמעלה או המדידה למכשיר להגיע האלקטרון של ההסתברות

הכולל השטף הוא שמעניין היחיד הדבר כי נראה בהמשך אותו. מרגישים לא שהאלקטרונים כך , ~B הלולאה, פנים בתוך מגנטי שדה נפעיל בנוסף,הלולאה: פנים בתוך שהוא הזו התכונה את שמקיים פשוט שיותר כמה שדה עם לעבוד נבחר אז השדה, של

~B = zΦδ (~ρ)

הלולאה. דרך שעובר מגנטי שדה של צינור ,ux tube איזה מתארים אנחנו כלומר, ,(xy

)הדו־מימדי הוקטור הוא ~ρ כאן כאשר

.Φ הוא הלולאה של המשטח דרך הזה השדה של הכולל השטף כי לראות קל

אינו המגנטי והשדה המסלולים, בין הבדל ואין הואיל התחתון. המסלול את או העליון המסלול את או ייקח אלקטרון כל כי מצפים אנחנו קלאסית.down ואלקטרונים up אלקטרונים של שווה מספר יהיה כי נצפה שלב), בשום האלקטרונים על כח מפעיל (אינו רלוונטי

הבאה: שרדינגר משוואת ידי על נקבעת היא האלה? האלקטרונים של הדינמיקה נראית איך קוונטית,

Eψ =1

2m

(−i~~∇+

e

c~A)2

ψ

נבחר ,~∇ · ~Aב־ כיול חופש וישנו הואיל כללי, באופן .~∇× ~A = ~Bש־ כך המוגדר ~A הוקטורי הפוטנציאל הוא קוונטית המעניין הגודל כי לב נשים.~∇ · ~A = 0 בו קולון, בכיול לעבוד

הוא: בחרנו אותו ~Bל־ המתאים ~A הוקטורי הפוטנצאיל

~A =Φ

2πrθ

הלולאה: מרכז סביב R ברדיוס מעגל דרך המגנטי השטף עבור נקבל ואז

Φ =

ˆ~B · d~S =

ˆ (~∇× ~A

)· d~S

=

ˆ~A · d~

=

ˆΦ

2πRR dθ = Φ

סטוקס. במשפט השתמשנו לשנייה הראשונה מהשורה במעבר כאשר

(כאשר ρ = R המעגל על מלמטה השטף את המקיף המסלול ועבור מלמעלה, השטף את המקיף המסלול עבור שרדינגר משוואת את לפתור נרצההלולאה). רדיוס הוא R כאן

הבאה: מהצורה פתרון ננחש ולכן הלולאה, גבי על הממורכזים הפתרונות את מחפשים אנחנו

ψu,d = exp (iαu,dθ) δ (ρ−R)

106

.down או up מסלול מציינים u, d האינדקסים כאן כאשר

שרדינגר: למשוואת הבאה הצורה את תתן ψ ∝ δ (ρ−R) מהצורה ניחוש של הצבה

Eψ = − ~2

2m

(1

R2

∂2

∂θ2+

e2

2mc2A2 − i~e

mc

Φ

2π

1

R2

∂

∂θ

)ψ

:αu,d עבור הבאה למשוואה אותנו תביא שלנו המפורש הניחוש של והצבה

E′ = α2u,d +

(Φ

Φ0

)2

+ 2

(Φ

Φ0

)αu,d

Φ0 ≡2π~ce

ואת E′ ≡ 2mR2E

~2את הגדרנו כאן כאשר

αu,dייתן: עבור הזו הריבועית המשווא של פתרון

αu,d = − Φ

Φ0±√E′

.(downל־ המתאים ומי upל־ המתאים מי ברור לא עוד (כאשר

.δθ = π כלומר, ,θ = 2πל־ θ = πמ־ מתקדם down כיוון .δθ = −π כלומר ,θ = ל־0 θ = πמ־ מתקדם up כיוון מגנטי, שדה ללא כי נזכר

שמקבלים), הביטוי זה עבר שהוא המרחק (לפי exp(iπ√E′)של פאזה לצבור צריך שהיה חופשי כחלקיק מתנהג החלקיק המסלולים ובשני הואיל

היא: המגנטי השדה עם ההתנהגות כי לנו ברור ולכן

ψup ∼ exp

(−i Φ

Φ0θ − i

√E′θ

)ψdown ∼ exp

(−i Φ

Φ0θ + i

√E′θ

)

בגלאי? ψu,d של הערך יהיה מה

מקיימים: בגלאי השדה ערכי כי נקבל ולכן ,θ = 2πל־ θ = πמ־ התקדמנו ψdown ועבור ,θ = ל־0 θ = πמ־ התקדמנו ψup עבור

ψup ∼ exp

(iπ√E′ + i

Φ

Φ0π

)ψdown ∼ exp

(iπ√E′ − i Φ

Φ0π

)

בגלאי: |ψ|2 את לחשב יכולים אנחנו בפרט, במרחב. מסוים למיקום הגיע שהאלקטרון למצוא ההסתברות צפיפות את לנו נותנת |ψ|2

|ψdetector|2 ∼ |ψup (−π) + ψdown (π)|2

= |ψup|2 + |ψdown|2 + 2 |ψupψ?down|︸ ︷︷ ︸ψupψ?down+ψ?upψdown

cos

(2π

Φ

Φ0

)

זאת וכל הגלאי, גבי על עצמו עם הורסת בצורה יתאבך ולא לגלאי יגיע בכלל שהאלקטרון Φב־ התלויה הסתברות לנו יש כי רואים אנחנו כלומר,האלקטרון! על קלאסי, באופן כח, מפעיל לא המגנטי שהשדה למרות

הייתה הקוונטית התורה אז ,Φ0 של שלמה כפולה היה תמיד Φ אם כלומר, ,Φ0 של ביחידות מקווננט היה ,Φ המגנטי, השטף אם כי לב נשיםדנו! שבו האפקט מתקיים אכן וכי כך מקוונטט אינו Φ כי והתברר הניסוי את ביצעו ב־1984 אך ־ הקלאסית התחזית עם מתלכדת

בין לאבך שאפשר הרי גרוויטציה, שדות מרגישים ופוטונים הואיל כללית, יחסות של ובמסגרת גרוויטציה, עם דומה ניסוי לעשות שאפשר מתברראלקטרונים. איבכנו שכאן האופן באותו כזה, בניסוי פוטונים

2013 במאי 29

107

מגנטיים ומונופולים לנדאו לרמות הול אפקט בין הקשר ־ 10 תרגול 10

לנדאו לרמות הול אפקט בין הקשר 10.1

.60 בעמוד במאי, ה־29 של בשיעור מחדש נלמד זה חלק

מגנטיים מונופולים 10.2

הן: אותן מכירים שאנחנו כפי בוואקום, מקסוול משוואות

~∇× ~B =1

c~E +

4π

c~Je ~∇ · ~B = 0

~∇× ~E = −1

c

∂ ~B

∂t~∇ · ~E = 4πρe

שינוי. בלא נותרות מקסוול משוואות ,E → BB → −E הטרנספורמציה את נבצע אם מקורות, בהעדר כי לב נשים

מקורות. אין ~Bשל־ בעוד מקורות יש ~Eול־ הואיל נשברת הסימטריה אז מקורות, לנו יש אם

רציפות): משוואת מקיימים הם (שגם מגנטיים וזרמים מטענים גם מקסוול למשוואות שנוסיף בכך לתקן אפשר הזו הסימטריה שבירת את

~∇× ~B =1

c~E +

4π

c~Je ~∇ · ~B = 4πρm

~∇× ~E = −1

c

∂ ~B

∂t+

4π

c~Jm ~∇ · ~E = 4πρe

מובן באיזשהו שהוא משוואות סט כאן שקיבלנו הרי ,~Jm → ~Je~Je → − ~Jm

ו־ρe → ρmρm → −ρe

הטרנספורמציה את גםE → BB → −E לטרנספורמציה נוסיף אם וכעת

שלם. ויותר טבעי יותר

מגנטיים. וזרמים מקורות בהעדר פרטי, מקרה בתור לנו המוכרות מקסוול משוואות את מכילות האלה ״מקסוול־דיראק״ משוואות

מצוינות. ממש הן האלה המשוואות קלאסית, פניו, על

עם עובדים ואנחנו הואיל שרדינגר, למשוואת שנכנס הגודל הוא ~A הוקטורי הפוטנציאל הקוונטים בתורת בבעיה. נתקלים אנחנו קוונטית אבלהיטב. מוגדר להיות מפסיק ~A דיראק, של השינוי תחת גם יפה להתנהג שממשיך גודל הוא ~B ובעוד ההמילטוניאני. הניסוח

שמתאר מתמטי טריק הוא שההמילטוניאן לומר יכולים תמיד היינו קלאסית אבל המילטוניאני, ניסוח תחת הבעיה באותה נתקלים היינו (קלאסית( ~B היטב, המוגדר השדה ועם איתן, ולעבוד ניוטון, משוואות את

.~∇ · ~B = 0 להתקיים חייב ~B = ~∇× ~A שיקיים וקטורי פוטנציאל להגדיר בכלל אפשר שיהיה מנת ועל~B = ~∇× ~A לקיים שימשיך ~A לבנות אפשר אז נקודתיים, מקורות יש ~Bל־ אם כלומר, סינגולריות, נקודות ~∇ · ~Bל־ יש אם כי לב נשים זאת, עם

נקודות. של מצומצם בסט מלבד

מוגדר יהיה המרוכב המישור בכל המסילתי שהאינטגרל רצינו כאשר ,1

zהפונקציה שעבור כמו מרוכבות. מפונקציות אינטואיציה במעט ניעזר כעת

סגור במסלול אינטגרלים לעשות יכולים היינו לא ואז שלנו, ההגדרה לתחום מחוץ הוא לאינסוף מהראשית מסוים שקו להחליט יכולנו יחידה, בצורה

סביבה. סיבוב לעשות יכולים לא שאנחנו אחת נקודה מלבד שלנו המרחב בכל אנליטית1

zכי מקבלים היינו ואכן

כדלקמן: וקטורי פוטנציאל נגדיר

~A =

ArAθAϕ

=

00

g

r

1− cos θ

sin θ

השלילי). z ציר מלבד במרחב נקודה לכל מוגדר הפוטנציאל (כלומר, θ 6= π עוד כל היטב מוגדר הזה הוקטורי הפוטנציאל כי לב נשים

זה? סינגולרי וקטורי פוטנציאל שמגדיר המגנטי השדה מהו

~∇× ~B =

Br00

Br =

g

r20 ≤ θ < π

∞ θ = π

108

.1

r2כמו רדיאלית שנופל שדה מקבלים אנחנו θ 6= π עבור כי לב נשים

לבנות מנת על משלמים שאנחנו המחיר והוא ,Dirac string ־ דיראק חוט שנקרא שדה קווי של סינגולרי צינור איזה מקבלים אנחנו θ = πב־מהאינסוף. הגיעו למעשה מהראשית שיוצאים הרדיאליים השדה קווי כל כלומר, .~∇ · ~B = 0 ולשמר מגנטי מונופול

נקבל: ,θ = πב־ שחוררנו r ברדיוס כדור דרך הזה השדה של השטף את נחשב אם‹?

d~S · ~B = 4πg

. 4πg להיות חייב הראשית לכיוון אינסוף ממינוס Dirac stringה־ דרך שהשטף מכאן

לראשית) האינסוף בין מחבר הוא עוד כל ולסובב לפתל יכולים אנחנו הזה דיראק חוט את כי לציין חשוב (וכאן

הוקטורי: הפוטנציאל של המסילתי לאינטגרל משטח, דרך מגנטי שדה של השטף בין המקשרת בזהות ניעזר ואם¨

d~S · ~B =

˛~A · d~

.¸~A · d~= 4πg לקיים צריך דיראק חוט את שסובב מסלול שכל רואים אנחנו אז

ופשוטה: שטוחה היא והלולאה θ → π בו בגבול אותה לחשב קל הכי כאשר מתקיימת, זו תכונה כי ברור שכתבנו, הפוטנציאל עבור˛

~A · d~ = 2πr sin θ Aϕ|θ=π= 2πg (1− cos θ)|θ=π = 4πg

הפוטנציאל פניו שעל חוט איזה כדי עד בראשית, מגנטי מונופול של מגנטי שדה קיבלנו דיראק חוט את כשהגדרנו ־ בעיה לנו הייתה לא קלאסיתסופי. מסילתי שטף\אינטגרל בעלי אבל מוגדרים, אינם והשדה

המגיע אינסופי באופן דק סולנואיד איזה בתור הסטנדרטיות מקסוול משוואות במסגרת לפרש יכולים אנחנו שבנינו הזה המגנטי המונופול אתשווה. במידה הכיוונים לכל בורח שהוא איפה r = ל־0 מגנטי שטף 4πg ומתעל מאינסוף

שתיארנו, המקרים בשני חדשה. פיזיקה בשום להעזר בלי מגנטי מונופול לבנות יכולים אנחנו כלומר, ,~∇· ~B = 0 מתקיים במרחב מקום בכל כלומר,מסוגלים להיות אמורים לא אנחנו קלאסית, כלומר, מבודד. מגנטי מונופול פשוט נראה אנחנו הדק, דיראק\הסולנואיד חוט של הגדולה הדקות בשל

המגנטי. המונופול את רק לראות אלא Dirac stringה־ את לזהות

אמיתי. מגנטי מונופול לבין Dirac string בין להבדיל מסוגלים להיות אמורים לא אנחנו קלאסית, כלומר,

.g בעוצמה מגנטי מונופול עין, למראית נותן, וזה רדיאלי, הוא מהראשית המגנטי השטף אינסופי, באופן דק הוא והסולנואיד הואיל

הסובבים אלקטרונים של להתאבכות הודות Dirac stringה־ של בקיומו להבחין מסוגלים אנחנו Ahronov-Bohm אפקט בשל קוונטית, זאת, עם.4πg של שטף דרכו ועובר הואיל אותו,

מונופול בין להבדיל Ahronov-Bohm אפקט באמצעות נוכל לא אז ,(n שלם מספר עבורΦ

Φ0= n (כלומר, הבאה הקוונטיזציה תנאי יתקיים אם

:Dirac string לבין אמיתי

g =~c

2 |e|n

=|e|2αn

α ≡ e2

~c≈ 1/137 סימנו כאן כאשר

הזה? הפיתוח בכל הפואנטה מה

שלמות כפולות להיות חייבים היקום בכל החשמליים שהמטענים הרי ,g? מגנטי מטען עם אמיתיים מגנטיים מונופולים קיימים ביקום איפושהו אם

.~c2g?

היחידה מטען של

את להבין דרכים הרבה אין האלקטרון). מטען (שליש d מסוג קוורק של המטען של שלמות כפולות הם החשמליים המטענים כל שבטבע מתבררמגנטיים. מונופולים אחר בחיפוש הגדול העניין נובע ומכאן רב משקל ישנו דיראק של שלהשערה ומכאן ־ הזו הקוונטיזציה

2013 ביוני 5

109

קרוניג־פני ומודל בלוך משפט ־ 11 תרגול 11

.a במחזוריות V (x) מחזורי, פוטנציאל תחת היושב אלקטרון של חד־מימדית במערכת לדון נרצה

H =p2

2m+ V (x)

V (x+ a) = V (x)

בלוך משפט הוכחת 11.1

שלם: n עבור הבא, באופן Tn האופרטורים משפחת את ⟩נגדירx | Tn | ψ

⟩= ψ (x+ na)

:[Tn, H

]= 0 כי להוכיח קל

⟨x |[Tn, V

]| ψ⟩

=⟨x | TnV | ψ

⟩−⟨x | V Tn | ψ

⟩=

⟨x+ n` | V | ψ

⟩−ˆdx′

⟨x | V | x′

⟩⟨x′ | Tn | ψ

⟩= V (x+ n`)ψ (x+ n`)−

ˆdx′ V (x′) δ (x− x′)ψ (x′ + n`)

= V (x+ n`)ψ (x+ n`)− V (x)ψ (x+ n`) = 0

.V של במחזוריות השתמשנו האחרון במעבר כאשר

:[Tn, p

]= 0 כי לראות קל דומה ⟩באופן

x |[Tn, p

]| ψ⟩

=⟨x | Tnp | ψ

⟩−⟨x | pTn | ψ

⟩= 〈x+ n` | p | ψ〉 −

ˆdx′ 〈x | p | x′〉

⟨x′ | Tn | ψ

⟩= −i~ dψ

dx

∣∣∣∣x+n`

−ˆdx′

(i~d

dxδ (x′ − x)

)ψ (x′ + n`)

= −i~

(dψ

dx

∣∣∣∣x+n`

− dψ

dx

∣∣∣∣x+n`

)= 0

´dx f (x) δ′ (x− x′) = −f ′ (x′) שהיא

d

dxδ (x− x′) ≡ δ′ (x− x′) של בתכונה השתמשנו האחרון במעבר כאשר

.[H, Tn

]= 0 כי ברור ומכאן

.Hול־ Tnה־ לכל משותפים עצמיים מצבים של בסיס למצוא אפשר ולכן עצמם, לבין בינם גם חילופיים הם Tnוה־ הואיל

הזה: המשותף לבסיס השייך |ψ〉 עבור אזי אוניטריים, אופרטורים הם Tnה־ וכל הואיל

⟨x | Tn | ψ

⟩= eiθnψ (x)

נקבל: ולכן ,⟨x | Tn | ψ

⟩= ψ (x+ na) שני, מצד אבל

ψ (x+ na) = eiθnψ (x)

110

ימינה. אחד יחידה בתא ההזזה אופרטור כלומר, ,T1ל־ המתאים הע״ע הוא θ1 כאשר nθ1 הוא Tnל־ המתאים הע״ע ,θn כי להווכח קל

יחידה. תאי N עבור מחזורי שפה בתנאי להתבונן פשוט הכי ,θ1 של המותרים הערכים את לחלץ מנת על

:TN = 1 להתקיים חייב כי נקבל הזה במקרה

eiθN = eiNθ1 = 1

Nθ1 = 2πm

θ1 =2πm

N

העצמיות: הפונקציות עבור הבא השיוויון את קיבלנו אזי k ≡ θ1

aאת נגדיר אם

ψ (x+ na) = eikaψ (x)

שלם. m עבור k =2πm

Naכאשר

פונקציה u (x) כאשר 〈x | ψ〉 = eikxu (x) בתור לניסוח הניתנים עצמיים מצבים של בסיס למצוא אפשר ־ בלוך משפט את להוכיח נרצה כעת.a במחזוריות מחזורית

הבא: באופן לכן קודם שהגדרנו ψ (x) העציות לפונקציות ביחס u (x) הפונקציה את נגדיר להוכיח, מנת על

u (x) ≡ e−ikxψ (x)

מחזורית: פונקציה u (x) כי נוכיח

u (x+ na) = e−ikxe−iknaψ (x+ na)

u (x+ na) = e−ikxψ (x) = u (x) כי לראות קל ולכן ,ψ (x+ na) = eiknaψ (x) מתקיים כי Tn המשפחה של מהתכונות ראינו כבר כי נזכור

קרוניג־פני מודל של העצמיות הפונקציות מציאת 11.2

של היחידה תא אורך היא ,a מחזוריות בעל סריג של הבסיסית התכונה על רק ושומר שלו מהפרטים המתעלם הפוטנציאל של מפושט מודל נאמץהגביש.

הסריג) מאטומי קולומביים פוטנציאלים של אוסף איזה הוא האלקטרון שמרגיש האמיתי הפוטנציאל (הרי

הבא: הביטוי ידי על נתון [0, a] בתחום הפוטנציאל אופרטור

V =

0 0 < x < b

V0 b < x < a

המחזוריות. תנאי את המקיימות ההמילטוניאן של העצמיות הפונקציות את כעת נחפש

הבא: באופן האלקטרון של K2ו־ k1 הגל מספרי את להגדיר נרצה הרישום על להקל מנת על ראשית

E ≡ ~2k21

2m

V0 − E ≡ ~2K22

2m

הבאה: הצורה את מקבלת שרדינגר משוואת של המיקום הצגת

d2ψ

dx2= −k2

1ψ 0 < x < b

d2ψ

dx2= K2

2ψ b < x < a

111

מיידי: הוא אלו למשוואות הפתרון

ψ (x) =

A exp (ik1x) +B exp (−ik1x) 0 < x < b

C exp (−K2x) +D exp (K2x) b < x < a

:a < x < 2a הסמוך, בתא הפתרון צורת את לקבל מנת על u (x) בלוך, פונקציות באמצעות בהצגה להעזר יכולים אנחנו

ψ (x+ a) = eikxeikau (x+ a)

= eikaeikxu (x)

= eikaψ (x)

ψ (x) =

A exp (ik1x) +B exp (−ik1x) 0 < x < b

C exp (−K2x) +D exp (K2x) b < x < a

A exp (ik1x+ ika) +B exp (ika− ik1x) a < x < a+ b

בין יחסים שלושה לקבל יכולים אנחנו מתוכן משוואות ארבע ולקבלx = bx = a

בנקודותdψ

dxושל ψ של הרציפות את לדרוש יכולים אנחנו מכאן

.E עבור המותרים הערכים את הקובעת נפיצה ומשוואת A,B,C,D

ההסתברות שצפיפות מכך נובעת עצמה ψ של הרציפות על הדרישה שרדינגר. משוואת של מאינטגרציה מיידית נובעתdψ

dxעל הרציפות דרישת

.ψ?ו־ ψל־ הפרופורציוני ,J ההסתברות זרם בצפיפות קפיצה להיות יכולה לא כי גוזר וזה להשמר, צריכה |ψ|2

של הדרמיננטה כאשר רק טריוויאלי לא פתרון נותנות הן כן ועל A,B,C,D במשתנים הומוגניות הן אך ומכוערות, ארוכות הן המשוואות ארבעהנפיצה: יחס את יולדת זו דרישה מתאפסת. מטריציונית בצורה המשוואות מערכת

cos (k1b) cosh (K2 (a− b))− k21 −K2

2

2k1K2sin (k1b) sinh (K2 (a− b)) = cos (ka) = cos

(2πm

N

)

בגביש. האלקטרון עבור המותרים האנרגיה ערכי הם ,E של ספציפיים ערכים עבור רק להתקיים שיכולה משוואה קיבלנו כאן כלומר,

.E < V0 עבור רק פניו, על ממשיים, גדלים שני בין השוואה מכילה שקיבלנו המשוואה

בלבד. ממשיים ערכים עם דומה משוואה נקבל ואז~2K2

2

2m≡ E − V0 נגדיר E > V0 עבור

cos (k1b) cosh (K2 (a− b))− k21 −K2

2

2k1K2sin (k1b) sinh (K2 (a− b)) = cos

(2πm

N

)E < V0

~2K22

2m= V0 − E

cos (k1b) cos (K2 (a− b))− k21 +K2

2

2k1K2sin (k1b) sin (K2 (a− b)) = cos

(2πm

N

)E > V0

~2K22

2m= E − V0

(11.1)

.[−1, 1] לחתום מחוץ גם נעים שערכיה פונקציה הוא שמאל שאגף בעוד ,cos

(2πm

N

)הוא המשוואה של ימין אגף כי לב נשים

אלקטרון להיות יכול לא כלומר, ־ יכולה אינה המשוואה ולכן מיחידה, גדול שמאל אגף של הערך עבורם E ערכי של תחומים כמה קיימים כלומר,האלה. האנרגיות את שיקבל

.(forbidden energy bands) אסורים אנרגיה פסי מכונים E האנרגיה של אלו תחומים

112

באזור השונים k ערכי עבור לקבל שאפשר אנרגיות של תחום מגדיר סמוך כחולים פסים זוג כל קרוניג־פני. במודל הפסים תמונת :11.1 איורזו. אנרגיה מתקבלת שעבורם k של ערך אף שאין אסורות, אנרגיות שמהווים התחומים ניכרים הראשון. ברילווין

והשקדנים: למעמיקים

http://demonstrations.wolfram.com/TheKronigPenneyModel/

2013 בפברואר 27

גרפין של הפסים מבנה ־ 12 תרגול 12

השאלה 12.1

אורגד. דרור של מבחינה שאלה נפתור היום

גרפיט. המינרל מבנה של אחד אטום בעובי שכבה הוא גרפין דבש. כוורת של דו־מימדי מבנה יש לגרפין

כאן: מתואר המתאים הסריג מבנה

113

הבאים: הסריג וקטורי שני ידי על מתואר הסריג

~r1 = ax

~r2 =a

2x+

√3

2ay

~b =a

2x+

a

2√

3yו־ ~0 נקודות. שתי בבסיס ־ בסיס עם סריג זהו כן, וכמו

.t חפיפה אינטגרל באמצעות לזו זו קשורות ביותר קרובים סמוכים אטומים על רמות וכי ε אנרגיה עם אחת רמה אטום לכל כי הניחו

א׳ סעיף 12.1.1

המערכת) לכל ולא בודד לאלקטרון היא הכוונה המחבר: (הערת tight binding בקירוב המערכת את המתאר ההמילטוניאן את רשמו

ב׳ סעיף 12.1.2

המערכת) לכל ולא בודד לאלקטרון היא הכוונה המחבר: (הערת המינימלי האנרגיה פער ואת של העצמיות האנרגיות את מצאו

הפתרון 12.2

א׳ סעיף 12.2.1

בין מהחפיפה שנובעת הפרעה איזו פלוס האטומים אנרגיות על סכום בתור המערכת של האנרגיה את לתאר שנכון היא tight bindingב־ הכוונהקטנה. יחסית היא השכנים עם שהחפיפה כלומר, שונים. אטומים של האנרגיה רמות

מאתרי אחד כל ε באנרגיה לאכלס האלקטרון של האפשרות את מתאר פשוט הבסיסי ההמילטוניאן הפרעות. בתורת בונים אנחנו ההמילטוניאן את∑הסריג.

~R

(ε∣∣∣~R⟩⟨~R∣∣∣+ ε

∣∣∣~R+~b⟩⟨

~R+~b∣∣∣)

עליהן) גם סוכמים היינו ,εn רמות כמה אלא ε אחת מרמה יותר לנו הייתה ואם הסריג, וקטורי על היא הסכימה (כאשר

סמוכים. אפשריים אכלוסים בין האינטרקציה הוא ההפרעה המילטוניאן

אינטגרל ידי על נתון שכאמור, ביותר, הקרובים שכניו עם ספציפי אטום מאכלס אלקטרון שבו מצב כל של האינטרקציות על סכימה זוהי כלומר,כלומר: ,t החפיפה

−t∑~R

(∣∣∣~R+~b⟩⟨

~R∣∣∣+∣∣∣~R+~b− ~r1

⟩⟨~R∣∣∣+∣∣∣~R+~b− ~r2

⟩⟨~R∣∣∣+∣∣∣~R⟩⟨~R+~b

∣∣∣+∣∣∣~R+ ~r1

⟩⟨~R+~b

∣∣∣+∣∣∣~R+ ~r2

⟩⟨~R+~b

∣∣∣)114

שבה רמות, מרובת מערכת עם לעבוד רוצים היינו אם בהתאם. t את ומגדירים אינטרקציה, כל על פעמיים למעשה סוכמים אנחנו כאן (כאשר(n1, n2 הערכים כל על וסוכמים tn1,n2

ב־ כופלים היינו אז ,tn1,n2ב־ תלויה n1, n2 שונות רמות המאכלסים אטומים בין האינטרקציה

בודד: אלקטרון עבור ההמילטוניאן הנה בקיצור,

H =∑~R

(ε∣∣∣~R⟩⟨~R∣∣∣+ ε

∣∣∣~R+~b⟩⟨

~R+~b∣∣∣)

− t∑~R

(∣∣∣~R+~b⟩⟨

~R∣∣∣+∣∣∣~R+~b− ~r1

⟩⟨~R∣∣∣+∣∣∣~R+~b− ~r2

⟩⟨~R∣∣∣

+∣∣∣~R⟩⟨~R+~b

∣∣∣+∣∣∣~R+ ~r1

⟩⟨~R+~b

∣∣∣+∣∣∣~R+ ~r2

⟩⟨~R+~b

∣∣∣)

ב׳ סעיף 12.2.2

הפרעות. פיתוח כאן עושים אנחנו

H0 =∑~R

(ε∣∣∣~R⟩⟨~R∣∣∣+ ε

∣∣∣~R+~b⟩⟨

~R+~b∣∣∣) הוא 0 לסדר ההמילטוניאן

בלוך. משפט מתוך למצוא אפשר אפס לסדר העצמיים המצבים את

אומר בלוך משפט ובנוסף, ,~R+~bב־ והשנייה ~Rב־ האחת דלתאות. שתי של משוקלל סכום היא הגל פונקציית כי יודעים אנחנו יחידה תא כל בתוך

מבחוץ. exp(i~k · ~r

)פאזה לנו שיש

כלומר:

〈~r | ψ〉 = exp(i~k · ~r

)u (~r)

היא: ~R הסריג לוקטור המתאים בתא u (~r) כאשר

u (~r) = c1δ(~r − ~R

)+ c2δ

(~r −

(~R+~b

)).~R הסריג נקודות כל על לסכום עלינו בסריג, היחידה תאי כל גבי על למחזורית הזו הפונקציה את להפוך מנת על

u (~r) =∑~R

(c1δ(~r − ~R

)+ c2δ

(~r −

(~R+~b

)))

אזי: ,f (x) δ (x− x0) = f (x0) δ (x− x0)ו־ הואיל

〈~r | ψ〉 =∑~R

(exp

(i~k · ~R

)c1δ(~r − ~R

)+ exp

(i~k · ~R

)exp

(i~k ·~b

)c2δ(~r − ~R

))

הזו: המיקום הצגת נגזרה ממנה הגל פונקציית מהי להסיק אפשר ומכאן

|ψ〉 =∑~R

exp(i~k · ~R

)(c1

∣∣∣~R⟩+ c2

∣∣∣~R+~b⟩)

~k ערכי בין משותפים אינם c1, c2 הכי בלאו כי ~k של ערך כל עבור לעשות לנו מותר זה ואת ,c2 ↔ exp(i~k ·~b

)c2 מחדש, הגדרנו כאן כאשר

השונים.

הזה: המצב על ההמילטוניאן את נפעיל

H |ψ〉 =∑~R

∑~R′

(ε∣∣∣~R′⟩⟨~R′∣∣∣+ ε

∣∣∣~R′ +~b⟩⟨

~R′ +~b∣∣∣) exp

(i~k · ~R

)(c1

∣∣∣~R⟩+ c2

∣∣∣~R+~b⟩)

− t∑~R

∑~R′

((∣∣∣~R′ +~b⟩⟨

~R′∣∣∣+∣∣∣~R′ +~b− ~r1

⟩⟨~R′∣∣∣+∣∣∣~R′ +~b− ~r2

⟩⟨~R′∣∣∣) exp

(i~k · ~R

)(c1

∣∣∣~R⟩+ c2

∣∣∣~R+~b⟩)

+(∣∣∣~R′⟩⟨~R′ +~b

∣∣∣+∣∣∣~R′ + ~r1

⟩⟨~R′ +~b

∣∣∣+∣∣∣~R′ + ~r2

⟩⟨~R′ +~b

∣∣∣) exp(i~k · ~R

)(c1

∣∣∣~R⟩+ c2

∣∣∣~R+~b⟩))

115

H |ψ〉 =∑~R

exp(i~k · ~R

)(c1ε∣∣∣~R⟩+ c2ε

∣∣∣~R+~b⟩)

− t∑~R

exp(i~k · ~R

)∑~R′

(c1

∣∣∣~R+~b⟩

+ c1

∣∣∣~R+~b− ~r1

⟩+ c1

∣∣∣~R+~b− ~r2

⟩+ c2

∣∣∣~R⟩+ c2

∣∣∣~R+ ~r1

⟩+ c2

∣∣∣~R+ ~r2

⟩)⟨~R′, ~R±~b

⟩= ו־0

⟨~R′ | ~R

⟩= δ~R′, ~R מהצורה פנימיות מכפלות מני בכל נעזרנו כאן כאשר

~R±~r1,2ל־ ~Rמ־ ביטוי בכל הסכימה משתנה את להסיט יכולים אנחנו סריג, וקטורי הם ~r1, ~r2ו־ הואיל ,∑~R

פי על הסכימה עם נותרים אנחנו מכאו

קומפקטי: יותר ביטוי הזה באופן ולקבל

H |ψ〉 =∑~R

exp(i~k · ~R

)(εc1 − tc2

(1 + exp

(−i~k · ~r1

)+ exp

(−i~k · ~r2

))) ∣∣∣~R⟩+

∑~R

exp(i~k · ~R

)(εc2 − tc1

(1 + exp

(i~k · ~r1

)+ exp

(i~k · ~r2

))) ∣∣∣~R+~b⟩

הגל. לפונקציית סימפטית מאוד הצגה קיבלנו כאן

לרשום: כלומר, ההמילטוניאן, את ללכסן ננסה מכאן

H |ψ〉 = E |ψ〉

=∑~R

exp(i~k · ~R

)(Ec1

∣∣∣~R⟩+ Ec2

∣∣∣~R+~b⟩)

להתקיים: צריך אזי וקטורית, להתקיים צריך והשיוויון εc1הואיל − tc2 (1 + exp(−i~k · ~r1

)+ exp

(−i~k · ~r2

))εc2 − tc1

(1 + exp

(i~k · ~r1

)+ exp

(i~k · ~r2

)) = E

(c1c2

)

הבאה: הדרישה מתוך ניתן שפתרונה עצמיים, ערכים בעיית בתור לרשום אפשר הזו המשוואת מערכת ∣∣∣∣∣∣את ε− E −t(

1 + exp(−i~k · ~r1

)+ exp

(−i~k · ~r2

))−t(

1 + exp(i~k · ~r1

)+ exp

(i~k · ~r2

))ε− E

∣∣∣∣∣∣ = 0

הבא: הדיספרסיה יחס נולד ומכאן

E(~k)

= ε±√

3 + 2 cos(~k · ~r1

)+ 2 cos

(~k · ~r2

)+ 2 cos

(~k · (~r1 − ~r2)

)

נגיעה שיש כלומר, ממש, E1 = E2 בהם מקומות ישנם כי לראות קל כאן .band gapה־ את הרמות, בין המינימלי המרווח את למצוא רוצים אנחנוהפסים. בין

יתאפס. בביטוי השורש כאשר יתקבלו הנגיעה נקודות

אקספוננטים עם הכל ולרשום גברים להיות או טריגונומטרית, זהויות של בים להשתמש אפשר אותה לקבל מנת על השורש, של התאפסות נדרוש:kyל־ kx בין הקשר את ולחפש מרוכבים

−3 = exp (ikxa) + exp (−ikxa) + exp

(ikxa

2

)exp

(i

√3

2kya

)+ exp

(−ikxa

2

)exp

(−i√

3

2kya

)

+ exp (ikxa) exp

(−ikxa

2

)exp

(−i√

3

2kya

)+ exp

(ikxa

2

)exp

(i

√3

2kya

)exp (−ikxa)

116

סימפטית: יותר להרבה הופכת והמשוואה ,

exp

(ikxa

2

)≡ A

exp

(i

√3

2kya

)≡ B

נסמן

−3 = A2 +A−2 +AB +A−1B−1 +AB−1 +A−1B

:B +B−1 של במונחים למשוואה הזו המשוואה את נתרגם

−3 = A2 +A−2 +A−1(B +B−1

)+A

(B +B−1

)לחלץ: אפשר ומכאן

−(3 +A2 +A−2

)(A+A−1)

=(B +B−1

)⇓

−1 + cos2

(kxa

2

)2 cos

(kxa

2

) = 2 cos

(√3

2kya

)

⇓

cos

(kxa

2

)+

1

cos

(kxa

2

) = −4 cos

(√3

2kya

)

אחרת: גישה ננסה מדי.. יותר לנו עוזרת לא המשוואה של הזו הצורה

0 = 3 +A2 +A−2 +A−1(B +B−1

)+A

(B +B−1

)⇓

0 = 1 +(A+A−1

)2+(A+A−1

) (B +B−1

)A1,2 = −B +B−1

2±

√(B +B−1

)24

− 1

cos

(kxa

2

)= −1

2cos

(√3

2kya

)±

√√√√cos2

(√3

2kya

)− 1

אם זה להתקיים יכול זה שבה היחידה הדרך אי־שלילי. להיות השורש של הארגומנט על לפתרון, אופציה איזו בכלל שתהיה מנת על כי לב נשיםכלומר: אפס, זהותית הוא

cos2

(√3

2kya

)= 1

⇓

ky =2π√3an

שלם. n עבור

המתאימים: kx ערכי את ולחלץ שקיבלנו, בביטוי ky עבור הזה הערך את להציב נוכל כעת

117

cos

(kxa

2

)= −1

2cos (πn)

⇓

kx =4π

a`+

4π

3an is even

−4π

3an is even

2π

3an is odd

−2π

3an is odd

שלם. ` עבור

מתחברים. האנרגיה פסי בהן נקודות של שלם סט כאן קיבלנו

.1st Brillouin zoneב־ שנמצאות הנקודות לסט רק להצטמצם נרצה כעת

.1st Brillouin zoneה־ של גבולותיו את להגדיר ראשית עלינו כך, לשם

לזה: נוסחה לנו יש ההופכי, הסריג וקטורי את למצוא קל

~k1 = 2π~r2 × ~r3

~r1 · (~r2 × ~r3)~k2 = 2π

~r3 × ~r1

~r1 · (~r2 × ~r3)~k3 = 2π

~r1 × ~r2

~r1 · (~r2 × ~r3)

החוצה. שיצטמצם לנו שברור הגביש, למישור הניצב בכיוון מרחק איזה סתם ,~r3 = cz כאן כאשר

~k1 = 2π

(a

2x+

√3

2ay

)× cz

ax ·

((a

2x+

√3

2ay

)× cz

) ~k2 = 2πcz × ax

ax ·

((a

2x+

√3

2ay

)× cz

) ~k3 = 2π

ax×

(a

2x+

√3

2ay

)

ax ·

((a

2x+

√3

2ay

)× cz

)

~k1 =2π

ax− 2π√

3ay ~k2 =

4π√3ay ~k3 =

2π

cz

.1st Brillouin zoneב־ kxו־ ky ערכי אותם את לברור יודעים אנחנו ועכשיו

n ky kx

0 04π

3a

0 0 −4π

3a

12π√3a

2π

3a

12π√3a

−2π

3a

−1 − 2π√3a

2π

3a

−1 − 2π√3a

−2π

3a2 1st Brillouin zoneל־ מחוץ ×...

......

.1st Brillouin zoneמה־ אותנו מוציא היה ` של אחר ערך וכל הואיל ` = 0 לקחנו המקרים בכל

118

ההופכי! הסריג של הפרימיטיבי התא את התוחמות הנקודות את בדיוק קיבלנו כי לב נשים

2013 ביוני 19

De Haas - van ואפקט הסמי־קלאסי במודל גבוע מגנטי בשדה אלקטרון תנועת ־ 13 תרגול 13Alphen

החומר של פרמי משטח פרטי את לחקור מגנטיזציה) (מוליכות, חיצוניות מקרוסקופיות מדידות באמצעות לנו לאפשר היא זה במודל המטרה.(~k במרחב אנרגיה שווי (משטחים

הסמי־קלאסי במודל קבוע מגנטי בשדה אלקטרון תנועת 13.1

הבין־אטומיים המרחקים של הקוונטית מהסקלה בהרבה גדולות מרחקים סקלות עבור (תקפה הסמי־קלאסית התנועה משוואת את מצאנו בהרצאותשלו. הנפיצה ליחס חור או אלקטרון של מהירותו בין הקושרת בסריג),

בסריג. בלוך פונקציות של גלים חבילת של החבורה מהירות זוהי למעשה,

.~~k הסריגי, התנע משחק ~p = m~v הקלאסי, התנע של מקומו את

~v =d~r

dt=

1

~~∇~kε

(~k)

~d~k

dt= ∓e

(~E +

1

c~v × ~B

)

כלומר: חשמלי, שדה בהעדר קבוע מגנטי שדה תחת אלקטרון של בתנועה להתמקד נרצה מכאן

~v =1

~~∇~kε

(~k)

d~k

dt= − e

~c~v × ~B

כלומר: נשמר, ~k של ~Bל־ המקביל שהרכיב היא המסקנה ולכן ~B = Bz כי נניח

kz = const.

119

.ε באנרגיה שכזה אלקטרון עבור אנרגיה שימור מתקיים בנוסף כי לב נשים

dε

dt=

(~∇~kε

)· d~k

dt

= ~~v ·(− e

~c~v × ~B

)= 0

.ε(~k)ו־ kz הם שנשמרים הגדלים שני כלומרף

האלקטרונים של המסלולים ולכן קבוע, kz עם המשטח, גבי על יישאר ε(~k)ב־ המתחיל חלקיק ,ε

(~k)לאנרגיה המתאים פרמי במשטח נתבונן אם

המשטח. גבי על kz לציר מקבילות תנועות יהיו ~k במרחב

.~∇~kε(~k)≡ ∂ε

∂~kלוקטור ניצבים בהגדרה הם פרמי משטחי כי לב נשים

מתקיים כלל בדרך . ~B × ~v ∼ ~B × ∂ε

∂~kהוקטורית, המכפלה של הכיוון פי על קבענו (

d~k

dtאת המסמנים הסגולים החצים (כיוון הסיבוב כיוון את

∂ε

∂~kשל כיוונו ואז גבוהה, היותר האנרגיה בעלי הם קטן יותר

∣∣∣~k∣∣∣ בעלי המצבים דווקא לדוגמה, חורים עבור אבל מהמשטח, חוץ כלפי יפנה∂ε

∂~kש־

.(+e מטען להם שיש כאילו מתנהגים חורים בו מובן עוד (והנה פרמי משטח של פנים כלפי דווקא הוא:xy למישור כלומר, , ~Bל־ הניצב המישור על התנועה משוואת את נטיל

z ×

(d~k

dt

)= z ×

(− e

~c~v × ~B

)= − e

~c

(~v(z · ~B

)− ~B (z · ~v)

)= −eB

~c(~v − vz z)

= −eB~c~v⊥

120

. ~B של לכיוונו הניצבת התנועה מהירות את ~v⊥ב־ סימנו כאן כאשר

הבא: הקשר את ולקבל הזו המשוואה על אינטגרציה לבצע יכולים אנחנו כי לב נשים

z ×(~k (t)− ~k (t0)

)= −eB

~c(~r⊥ (t)− ~r⊥ (t0))

(90oב־ אותו מסובבת z× ידי על xy במישור וקטור של (הכפלה 90oב־ מסובב רק ,k spaceב־ המסלול כמו הוא real spaceב־ המסלול כלומר,

.−eB~c

בפקטור ומתוח\דחוס

~r במרחב xy מישור על והיטלו ~k במרחב המסלול :13.1 איור

De Haas - van Alphen אפקט 13.2

של (התלות שם מעניינים גדלים מני כל ונמדוד משתנה, מגנטי לשדה פרמי, לטמפרטורת ביחס נמוכה בטמפרטורה שלנו, החומר את נכניס אםאוסילציה מולבשת גביה שעל כללית, מגמה איזו נקבל אנחנו , ~B של בגודל אחרים) גדלים שלל או החום מוליכות או ההתנגדות או המגנטיזציה

.B של כפונקציה מהירות מאוד

הוא: ,∆ שלהן, הגל״ ״אורך ,1

Bשל כפונקציה מחזוריות הן האלה שהפונקציות מתברר

∆ =2πe

~c1

Aext (εf )

קבוע. מגנטי שדה תחת תנועה שמבצע אלקטרון של אורביטלה של ~k במרחב השטח היא כאן A של המשמעות

אקסטרימליים שטחים מספר יש כללי פרמי במשטח הבא, באיור שמתואר כפי זה. שטח של האקסטרימליים הערכים היא Aext של המשמעות

.1

Bב־ גל״ ״אורכי מספר יש כן ועל ביותר), רחבות או ביותר צרות (מותניים כאלה

121

האלה. האוסילציות של לקיומן כמותי וחצי חצי־אינטואיטיבי הסבר לתת נרצה כעת

כלומר: ,z בכיוון חופשית ותנועה xy במישור לנדאו רמות של הן האלקטרונים של האנרגיה רמות

εkz,ν = ~ωc (ν + 1/2) +~2k2

z

2m

לרמת יקפצו אלקטרונים ,B את נקטין כעת אם ואפסית. כמעט היא המצבים צפיפות מלאה, כמעט לנדאו רמת כאשר ,kz של נתון ערך עבורשל האלה הקפיצות החומר. של בתכונות משמעותי מאוד שינוי נראה ואנחנו גבוהה, מאוד מצבים בצפיפות לפתע יתקלו שהם איפה הבאה, לנדאו

.1

Bב־ מחזוריות יהיו ויותר יותר גבוהות לנדאו לרמות אלקטרונים

אותו. המאכלסת ביותר העליונה לנדאו רמת של כאכלוס מצבים מספר מכילה נתון kzב־ פרמי משטח של השפה כי לב נשים

זהה, הוא המתאימות לנדאו רמות של האכלוס סמוכים, kz ערכי שני עבור בהן הנקודות אותן בדיוק הן אקסטרימלי, הוא A (εf ) בהן הנקודותהאוסילציה. תדירויות את שקובע התחום זהו ולכן שם, מלאות\ריקות בדיוק לנדאו רמות אם רק ייתכן וזה

122