legendre polinomlari legendre polynomials

117
T.C. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ LEGENDRE POLİNOMLARI YÜKSEK LİSANS TEZİ Pınar TEMUR Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK Tez Danışmanı : Yrd. Doç. Dr. Şevket GÜR Mayıs 2006

Upload: bnm7

Post on 02-Aug-2015

816 views

Category:

Documents


14 download

TRANSCRIPT

Page 1: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

T.C. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

LEGENDRE POLİNOMLARI

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Pınar TEMUR

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK

Tez Danışmanı : Yrd. Doç. Dr. Şevket GÜR

Mayıs 2006

Page 2: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

T.C. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

LEGENDRE POLİNOMLARI

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Pınar TEMUR

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK

Bu tez 06 / 06 /2006 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Oybirliği ile kabul edilmiştir.

Prof. Dr. Metin BAŞARIR Doç. Dr. Elman ALİYEV Yrd. Doç. Dr. Şevket GÜR

Jüri Başkanı Üye Üye

Page 3: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

ii

TEŞEKKÜR

Bana bu çalışmayı vererek beni yönlendiren ve çalışmalarım sırasında benden yakın

ilgi ve alakalarını esirgemeyen değerli hocam sayın Yrd. Doç. Dr. Şevket GÜR’e en

derin teşekkür ve şükranlarımı sunarım.

Page 4: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

iii

İÇİNDEKİLER TEŞEKKÜR.............................................................................................................. ii

İÇİNDEKİLER......................................................................................................... iii

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ........................................................... v

ŞEKİLLER LİSTESİ................................................................................................ vi

TABLOLAR LİSTESİ.............................................................................................. vii

ÖZET........................................................................................................................ viii

SUMMARY............................................................................................................. ix

BÖLÜM 1.

GİRİŞ........................................................................................................................ 1

BÖLÜM 2.

TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR...................................................................... 3

BÖLÜM 3.

LEGENDRE DİFERENSİYEL DENKLEMİ VE ÇÖZÜMÜ.................................. 14

3.1. Legendre Diferensiyel Denklemi........................................................ 14

3.2. Legendre Diferensiyel Denkleminin Çözümü........................................... 18

3.3. Legendre Polinomları.......................................................................... 25

3.4. Rodrigues Formülü.............................................................................. 29

BÖLÜM 4.

LEGENDRE POLİNOMLARININ ÖZELLİKLERİ 36

4.1. Doğurucu Fonksiyonlar.................................................................... 36

4.2. Diferensiyel İndirgeme Bağıntısı....................................................... 48

Page 5: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

iv

4.3. İndirgeme Bağıntıları Yardımıyla Legendre Diferensiyel

Denkleminin Elde Edilmesi ……………………………………… 51

4.4. )(xPn in Hipergeometrik Formu.........................................................

4.5. Legendre Polinomlarının Dikliği.......................................................

53

57

4.6. )(xPn in Yeni Özellikleri.................................................................... 59

4.7. Legendre Polinomlarının İntegral Gösterimi...................................... 62

4.8. Laplace ın ilk integral formu.............................................................. 66

4.9. Fonksiyonların Legendre Polinom Serileri Yardımıyla Gösterimi..... 70

4.10. Legendre Polinomlarının Sıfırları..................................................... 72

4.11. nx Genişlemesi................................................................................ 79

4.12 İkinci Tip Legendre Fonksiyonu....................................................... 82

4.13. Birleştirilmiş Legendre Polinomları................................................ 84

4.14. Birleştirilmiş Legendre Fonksiyonunun Belirsiz İntegrali İçin

Rekürans Bağıntısı..........................................................................

89

BÖLÜM 5.

LEGENDRE POLİNOMLARININ UYGULAMALARI 97

5.1. Legendre Polinomlarının Fiziksel Problerdeki Uygulaması............... 97

BÖLÜM 6.

SONUÇLAR VE ÖNERİLER.................................................................................. 103

KAYNAKLAR......................................................................................................... 104

ÖZGEÇMİŞ.............................................................................................................. 105

Page 6: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

v

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ

)(xLn : Basit Laguerre polinomları

),( nmB : Beta fonksiyonu

)(xJ n : Birinci Tür Bessel fonksiyonu

na)( : Faktöriyel fonksiyonu

)(xΓ : Gama Fonksiyonu

),,,( xF γβα : Hipergeometrik fonksiyon

2∇ : Laplace Operatörü

)(xPn : Legendre polinomu

nxD : x e göre n yinci basamaktan türev operatörü

r : yarıçap

Page 7: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

vi

ŞEKİLLER LİSTESİ

Şekil 3.1. İlk altı Legendre Polinomu……………………………………... 33

Şekil 4.1. İlk dört İkinci Tip Legendre Fonksiyonu……………………….. 84

Page 8: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

vii

TABLOLAR LİSTESİ

Tablo 4.1. Gaussian Quadrature Yardımıyla Elde Edilen Çeşitli

Tamsayılar için Belirli İntegralin Yaklaşık Değerleri…………

72

Page 9: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

viii

ÖZET Anahtar Kelimeler: Legendre Diferensiyel Denklemi, Legendre Polinomları, Laplace denklemi, Küresel koordinatlar, Doğurucu fonksiyon. Bu tez 6 bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde Legendre polinomlarının kullanım alanlarından bahsedilmiş teze giriş yapılmıştır. Ayrıca Legendre polinomları ile ilgili ilk çalışmadan bahsedilmiştir. İkinci bölümde tezde kullanılan temel tanım ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde Laplace denkleminin küresel koordinatlardaki ifadesinden yararlanılarak Legendre denklemi elde edilmiştir. Daha sonra Legendre denkleminin çözümleri olan Legendre polinomları üzerinde durulmuştur. Dördüncü bölümde Legendre polinomlarının özellikleri verilmiştir. Beşinci bölümde Legendre polinomlarının fiziksel uygulaması üzerinde durulmuştur. Altıncı bölümde ise tez çalışmasından elde edilen sonuçlar belirtilmiştir.

Page 10: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

ix

LEGENDRE POLYNOMIALS SUMMARY Key Words: Legendre Differential Equation, Legendre polynomials, Laplace equation, spherical coordinates, Generating Functions. This thesis is consists of six chapters. In the first chapter , it is mentioned about the using areas of the polinomials and there is an introduction to the thesis. Furthermore, it is discussed about the first study of the Legendre polynomial. In the second chapter, main definitions and concepts used in the thesis are given. In the third chapter, the Legendre equation is obtained by benefiting from the statement of spherical coordinates in the Laplace equation . The Legendre polinomials are emphasized which are the solutions of the Legendre equation. In the fourth part , the features of the Legendre equation are emphasized. In the fifth chapter , it is focused on the physical practice of the Legendre polinomials. Finally in the sixth chapter , the results are stated gained through the study of thesis.

Page 11: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

BÖLÜM 1. GİRİŞ

Matematiksel fizik problemleri çoğu zaman katsayıları değişkenlerine bağlı olan Adi

Diferensiyel Denklemler veya Kısmi Türevli Diferensiyel Denklemler yardımıyla

ifade edilmektedir. Bu tipteki denklemlerin özelliği araştırma yapılan bölgede veya

bölgenin sınır çizgisinin üzerinde katsayıların tekil (singüler) olmasıdır. Yani

bölgenin bazı noktalarında katsayıların sıfır olması veya belirsizlik halinde

bulunmasıdır. Böyle tipteki denklemlere dönüşen fiziksel problemlerin analitik

çözümlerini bulmak çok zor olduğu gibi bazı durumlarda çözüme ulaşmakta

mümkün değildir. Problemin zorluğu, denklemin çözümünün sonsuz seri şeklinde

aranmasından kaynaklanmaktadır. Böyle durumlarda ise karşımıza yeni bir problem

çıkmaktadır. Bu da denklemin tüm özel durumları için sonsuz serinin yakınsaklığının

ispatlanması ve özdeğer fonksiyonlarının ortogonalliğinin gösterilmesidir. Ayrıca

matematiksel fizik probleminin çözümünün kararlılığını ispatlamak ve korumakta

gerekir.

Bu cins fiziksel problemlere uyan denklemler Bessel, Legendre, Chebyshev-Hermite,

Chebyshev- Laguerre tipindeki denklemlerdir. Bu tipteki denklemlere fiziksel

problemlerin çözümlerinde sıkça rastlanmaktadır. Örneğin bu uygulama klasik

mekanik problemlerinde başlamış, elektromanyetik teori, kuantum mekaniği,

kuantum fiziği ve termodinamik problemlerinde de kullanılmıştır.

Bu zorlukları aşmak için bilimde birçok önemli özel fonksiyonlar sınıfı

oluşturulmuştur. Bunlardan en çok kullanılanı silindirik fonksiyonlar (Bessel,

Hankel, Weber, Neuman fonksiyonları) , küresel fonksiyonlar (Legendre

polinomları) ve özel polinomlar (Chebyshev-Hermite, Chebyshev- Laguerre

polinomları) nın oluşturduğu sınıflardır. Bu tür denklemlerin yardımıyla ve özel

fonksiyonların kullanılması ile çeşitli fiziksel olaylarda ve tekniğin önemli

Page 12: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

2

problemlerinde yaklaşık çözümler bulunmakta ve problemlere açıklık

getirilebilmektedir.

Bu nedenlerle konunun önemi dikkate alınarak bu tezde, Legendre diferensiyel

denklemi, onun çözümü olan Legendre polinomları ve Legendre polinomlarının

özelikleri incelenerek tek bir kaynakta toplanmıştır.

{ })(xPn Legendre polinomları 1785 yılında Legendre tarafından

( ) n

nn txPtxt )(21

0

21

2 ∑∞

=

−=+−

bağıntısı yardımıyla tanımlanmıştır. 1874 yılında Gegenbauer, Legendre

polinomlarını genelleştirmiş ve

( ) n

n

vn

v tCtxt ∑∞

=

−=+−

0

221

bağıntısını sağlayan cümle için { })(xC vn notasyonunu kullanmıştır. Burada v, sıfır ve

negatif tamsayı olmayan herhangi bir reel sayıdır.

Page 13: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

BÖLÜM 2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR

Tanım 2.1. Diferensiyel denklemlerde bilinmeyen fonksiyon ve onun türevleri

üzerinde bağımsız değişkenin aynı değerleri için verilen şartlar altında çözümlerin

bulunması problemine Başlangıç Değer Problemi denir. Verilen şartlara da

Başlangıç Şartları denir. [ ]2

Tanım 2.2. Diferensiyel denklemlerde bilinmeyen fonksiyon ve onun türevleri

üzerinde bağımsız değişkenin farklı değerleri için verilen şartlar altında çözümlerin

bulunması problemine Sınır Değer Problemi denir. Verilen şartlara da Sınır

Şartları denir. [ ]2

Tanım 2.3. Birinci mertebeden bir diferensiyel denklem aranan fonksiyon ile onun

türevine göre lineerse, bu durumda denkleme birinci mertebeden lineer diferensiyel

denklem denir. [ ]2

Tanım 2.4. Reel değişkenli f(x) fonksiyonu, h nin komşuluğunda (x-h) nin

kuvvetlerine göre Taylor serisine açılabiliyorsa bu fonksiyon h de analitiktir. Bir

(a,b) aralığının her noktasında analitik olan bir fonksiyon o aralıkta analitiktir.

Karmaşık değişkenli ve tek değerli bir f fonksiyonu, D nin ancak bazı noktaları hariç

diğer noktalarında türevlenebiliyorsa, bu fonksiyon D de analitiktir. Eğer bu

fonksiyon D nin bütün noktalarında türevlenebiliyorsa buna düzgün analitik

fonksiyon denir. Örneğin,

zzzf

−+

=11)(

fonksiyonu, z=1 noktası hariç her yerde analitiktir. [ ]4

Page 14: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

4

Tanım 2.5. 0)()( =+′+′′ yxQyxPy denkleminde P(x) ve Q(x) fonksiyonları 0x

noktasında analitik iseler, 0x noktasına adi nokta denir. [ ]2

Tanım 2.6. Tanım 1.5 deki P(x) ve Q(x) fonksiyonları 0x da analitik değil iseler bu

taktirde 0x noktasına , 0)()( =+′+′′ yxQyxPy denkleminin tekil noktasıdır denir.

[ ]2

Tanım 2.7. λ gerçel (veya karmaşık) parametre olmak üzere

,0)()()( =+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ yxyxq

dxdyxp

dxd λρ bxa ≤≤ (2.1)

diferensiyel denklemini ele alalım. L diferensiyel operatörü

yxqdxdyxp

dxdLy )()( +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= (2.2a)

olarak tanımlanırsa (2.1) denklemi bu operatör yardımıyla

0)( =− yxLy λρ (2.2b)

biçiminde yazılabilir. Burada L ye ikinci mertebeden lineer diferensiyel operatör,

λ sayısına spektral parametre, )(xq fonksiyonuna ise potansiyel fonksiyonu

denir.

(2.2a,b) denkleminin

0)()( 111 =′+= ayBayAyU

0)()( 222 =′+= ayBayAyU (2.3)

Page 15: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

5

sınır koşullarını sağlayan çözümünün bulunması problemine Sturm-Liouville sınır

değer problemi adı verilir. [ ]5

Tanım 2.8. (2.1) ifadesi, λ spektral parametresine bağlı bir denklemler

ailesidir.y(x)=0 fonksiyonu λ nın her bir değerinde denklemi ve verilmiş sınır

koşullarını sağladığına göre aşikar bir çözümdür. Eğer bu homojen denklemin,λ nın

herhangi bir değerinde (2.3) homojen sınır koşullarını sağlayan sıfırdan farklı

çözümü varsa, λ nın bu değerine sınır değer probleminin özdeğeri , bu özdeğere

karşılık gelen çözüme ise özfonksiyon denir. [ ]5

Tanım 2.9. xyz uzayında bir P(x,y,z) noktası verilmiş olsun. P noktasının orjine olan

uzaklığı ρ , OP doğru parçasının oz-ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının ölçüsü θ

olsun. OP doğru parçasının xoy düzlemindeki dik izdüşümü [ ]PO ′ , ve [ ]PO ′ doğru

parçasının ox-ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının ölçüsü ϕ olsun.

[ ]PO ′ = ρ sinθ

olduğundan,

ϕθρ cossin=x

y= θρ sin ϕsin

θρ cos=z

olur.Böylece xyz-koordinat sisteminden ρθϕ koordinat sistemine bir bölge

dönüşümü elde edilmiş olur. Bu durumda P noktasının ρθϕ sistemindeki

koordinatları ( ρθϕ ) olur. Bu sayılara P noktasının küresel koordinatları adı

verilir. [ ]3

Tanım 2.10. naaa ,,, 21 K sabit gerçel sayılar olmak üzere

Page 16: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

6

)(11

11

1 xfyadxdyxa

dxydxa

dxydx nnn

nn

n

nn =+⋅⋅++⋅+⋅ −−

−− K

şeklindeki diferensiyel denkleme Euler-Cauchy diferensiyel denklemi denir. [ ]2

Tanım 2.11. RA ⊂ ve V bir vektör uzayı olsun. A nın her bir elemanına V nin bir

ve yalnız bir elemanını karşılık getiren fonksiyona bir vektör değerli fonksiyon adı

verilir. [ ]2

Tanım 2.12. F ve G vektör değerli fonksiyonlar olsun.

∀ t∈ A için F(t).G(t)=0 ise F ile G , A üzerinde ortogonaldir(diktir) denir.

Tanım 2.13.

0)()()( =+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ yxyxq

dxdyxp

dxd λρ

denklemi uygulamalarda karşılaşılan ve özfonksiyonlarına özel fonksiyon denilen

bir dizi denklemin genel biçimidir. Regüler Sturm-Liouville probleminden farklı

olarak, p(x) fonksiyonunun [ ]ba, aralığının uç noktalarında sıfır olması veya bu

aralığın sonsuz olması halinde bu denklemler için tanımlanan sınır değer problemi

tekil Sturm-Liouville problemi olarak adlandırılır. O halde özel fonksiyonlar, tekil

Sturm-Liouville sınır değer probleminin çözümleri olan fonksiyonlardır. [ ]8

Tanım 2.14. a herhangi bir reel sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere na)(

faktöriyel fonksiyonu,

( )1()2)(1() −+++= naaaaa n K 1≥n

Page 17: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

7

şeklinde tanımlanır. Böylece na)( sembolü, a çarpanından başlayarak her bir

çarpanın bir öncekinden bir fazla olduğu n tane çarpanın çarpımını göstermektedir.

Özel olarak,

1)( 0 =a 0≠a için

olarak tanımlanır. Faktöriyel fonksiyonu

!3.2.1)1( nnn == K için bilinen faktöriyelin genişletilmişidir. [ ]9

Tanım 2.15. x >0 olmak üzere Gamma fonksiyonu

dtetx tx −∞

−∫=Γ0

1)(

ile tanımlanır.

)()1( xxx Γ=+Γ 0>x

bağıntısı vardır ve bu bağıntının tekrar tekrar kullanılmasıyla bir n tamsayısı için

na

aanana

nanana

nanana

)(

)()()2)(1(

)2()2)(1(

)1()1()(

=

Γ−+−+=

−+Γ−+−+=

−+Γ−+=+Γ

L

M

ifadesi elde edilir. Faktöriyel fonksiyonu ile Gamma fonksiyonu arasında

)(

)()(a

naa n Γ+Γ

= , n tamsayı 0>n ve 0>a

Page 18: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

8

bağıntısı vardır. 1≥n tamsayısı için nx = alırsak,

)1(!)1()1()()1( Γ==−Γ−=Γ=+Γ nnnnnnn K

ve

1)1(0

==Γ ∫∞

− dte t

olduğundan

!)1( nn =+Γ

bulunur. [ ]9

Tanım 2.16. p bir sabit olmak üzere,

0)( 222

22 =−++ ypx

dxdyx

dxydx (2.4)

diferensiyel denklemine p inci mertebeden Bessel denklemi denir. (2.4)

denklemin çözümü

n

n

n xn

axy2

0201 2)!(

)1()( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

= ∑∞

=

şeklindedir. Eğer 10 =a olarak alınırsa, denklemin özel çözümü, 0J ile gösterilen ve

sıfırıncı mertebeden birinci tip Bessel fonksiyonu olarak adlandırılan

n

n

n xn

xJ2

020 2)!(

)1()( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

= ∑∞

=

Page 19: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

9

fonksiyonudur. [ ]9

Tanım 2.17. a, b, c sabit parametreler olmak üzere,

[ ] 0)1()1( =−′++−+′′− abyyxbacyxx (2.5)

denklemine Hipergeometrik denklem adı verilir. (2.5) denkleminin bir özel çözümü

∑∞

=

+=1

1 !)()()(

1n n

nnn

ncxba

y

şeklindedir. Bu özel çözüm hipergeometrik fonksiyon olarak adlandırılır ve

);;,( xcbaF sembolü ile gösterilir. Yani,

);;,( xcbaF = ∑∞

=

+1 !)(

)()(1

n n

nnn

ncxba

(2.5) denkleminin bir çözümüdür. [ ]9

Tanım 2.18. ),( nmB ile gösterilen Beta fonksiyonu Gamma fonksiyonu yardımıyla

dxxxnmnmnmB nm .)1.()()().(),( 1

1

0

1 −− −=+ΓΓΓ

= ∫

şeklinde tanımlanır. [ ]9

Tanım 2.19.

0)1( =+′−+′′ nyyxyx (2.6)

Page 20: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

10

diferensiyel denklemi Laguerre denklemi olarak adlandırılır ve bu denklemin bir

özel çözümü Laguerre polinomu olarak adlandırılan

∑=

−=

n

k

kk

kxn

y0

21 )!()(

,

fonksiyonudur Burada

)!(!)1()(

knnn

k

k −−

=−

dir. Laguerre polinomu )(xLn ile gösterilir ve

∑∑== −

−=

−=

n

k

kkn

k

kk

n knkxn

kxn

xL0

20

2 )!()!(!)1(

)!()(

)(

şeklinde tanımlanır. n=0, 1, 2,K için Laguerre polinomları

)(!

)( xnn

nx

n exdxd

nexL −=

şeklinde de yazılabilir. [ ]9

Tanım 2.20. n bir parametre olmak üzere

022 =+′−′′ nyyxy

diferensiyel denklemine Hermite denklemi adı verilir. Bu denklemin çözümü tüm

sonlu x ve 1,0 aa keyfi değerleri için

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−+−−+= ∑

=1

2

0 1)2()22()2)((21

k

kk

kxknnnay L

Page 21: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

11

+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−+−+−−+∑

=

+

1

12

1 )!12()221()21)(1(2

k

kk

kxknnnxa L (2.7)

şeklindedir.Eğer n sıfır veya pozitif tamsayı ise Hermite denklemi daima n inci

dereceden (2.7) şeklinde polinomsal bir çözüme sahiptir. Bu polinomsal çözüm;

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ n21 , n

21 den büyük ya da eşit olan en büyük tamsayı olmak üzere, )(xH n ile

gösterilir ve

∑⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

−−

=n

k

knk

n knkxnxH

21

0

2

)!2(!)2(!)1()(

fonksiyonu ile tanımlanır ve Hermite polinomu olarak bilinir. [ ]9

Tanım 2.21. { })(xfn şeklinde gösterilen fonksiyonlar kümesi için doğurucu

fonksiyon

∑∞

=

=0

)(),(n

nnn txfctxG

şeklindedir. Burada nc , { })(xfn kümesinin parametrelerini içeren n nin bir

fonksiyonu x ve t ise bağımsız değişkenlerdir. Örnek olarak { }KK ,,,,,1 2 nxxx

fonksiyon kümesinin bir doğurucu fonksiyonu { }xtexp dir. Çünkü

{ } nn

n n

n

txnn

xtxt ∑ ∑∞

=

=

==0 0 !

1!)(exp

yazılabilmektedir. Burada G(x,t) yerine exp{ }xt , nc yerine !

1n

ve )(xfn yerine nx

gelmiştir. [ ]7

Page 22: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

12

Teorem 2.1. )(xnϕ , a<x<b üzerinde 0)( >xω olacak şeklinde reel ortogonal

polinomların bir kümesi olsun. nh

1)( −+= nn

nn xhx πϕ

olacak şekilde bir katsayı olsun ve

( ) dxxxgb

akkkk )()(, 2∫== ϕωϕϕ

olsun. Bu durumda

xyyxxy

hgh

yxg nnnn

nn

nkk

n

kk −

−⋅= ++

+=

−∑ )()()()()()( 11

10

1 ϕϕϕϕϕϕ

dır. [ ]6

Teorem 2.2. )(xnψ polinomları )(xω >0 olacak şekilde (a,b) aralığında ortonormal

bir küme ise ve

dxxfx )()( 2∫ω

mevcut ise

∫ =∞→

0)()()(lim dxxxfx nnψω (2.8)

dir. Eğer (2.8) ortogonal polinomlara göre belirlenmek istenirse

∫=b

ann dxxxg )()( 2ϕω

Page 23: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

13

ve (2.8) de

0)()()(lim 21

=∫−

∞→dxxxfxg

b

annn

ϕω

olarak alınmalıdır. [ ]6

Page 24: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

BÖLÜM 3. LEGENDRE DİFERENSİYEL DENKLEMİ VE

ÇÖZÜMÜ

3.1. Legendre Diferensiyel Denklemi

2

22

x∂∂

≡∂ψψ 02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+xyψψ (3.1.1)

Laplace denkleminin küresel koordinatlardaki ifadesinden yararlanılarak Legendre

denklemi elde edilebilir.

(3.1.1) ile verilen üç boyutlu Laplace denklemi için (x,y,z) düzleminde

ϕϑϕϑϕ

cossinsinsincos

rzryrx

===

dönüşümleri ile ),,( ϑϕr küresel koordinatlarına geçilirse,

0sin1sin

sin11

2

2

2222

22 =

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∇ϕψ

ϑϑψϑ

ϑϑψψ

rrrr

rr (3.1.2)

denklemi elde edilir.Bu denklemin,

)().().(),,( ϕϑϕϑψ ΦΘ= rRr

şeklinde değişkenlerine ayrılabilir çözümünü bulmak için

Page 25: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

15

ΘΦ

=∂∂

ΦΘ

=∂∂

ΘΦ=∂∂

Rdd

Rdd

drdR

r

ϕϑψ

ϑϑψ

ψ

türevleri (3.1.2) de yerine yazılırsa,

0)(sin

)()()()(sinsin

)()()()(2

2

22 =

ΦΘ+Φ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ

+ΦΘ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ϕϕ

ϑϑϕ

ϑϑϑ

ϑϑϕϑ

ddrR

dd

ddrR

drrdRr

drd

elde edilir. 0sin)()( 2 ≠Θ ϑϑrR olduğundan bulunan son denklemin ϑ2sinΘR ile

bölünmesiyle ,

0)(sin)(1

)(sinsin)(

1)()(

1

2

2

2

2

Φ+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ

Θ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ϕϕ

ϑϕ

ϑϑϑ

ϑϑϑ

dd

dd

dd

drrdRr

drd

rR (3.1.3)

elde edilir. Bu denklemde ilk terim yalnızca r ye bağlı olduğundan ve son iki terim

de r den bağımsız olduğundan ilk terim bir sabite eşit olur. Bu sabit n(n+1) olarak

alınırsa,

)1()()(

1 2 +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ nn

drrdRr

drd

rR (3.1.4)

veya

0)()1()(2 =+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ rRnn

drrdRr

dRd

Page 26: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

16

elde edilir. Buradan

0)()1()()(2 2

22 =+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ rRnn

drrRdr

drrdRr

Euler diferensiyel denklemi elde edilmiş olur. Euler diferensiyel denkleminin

çözümü ise

cn

nnraR +

=∑=

0

yardımıyla

R(r)=A )1( +−+ nn Brr

şeklinde bulunabilir.

(3.1.4) ün (3.1.3) de yerine yazılmasıyla,

0)()(

1

)(sin)(

sinsin)1(

2

2

2

Φ+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ

Θ++

ϕϕ

ϕ

ϑϑϑ

ϑϑϑϑ

dd

dd

ddnn

(3.1.5)

denklemi elde edilir.

(3.1.5) in sol tarafındaki son ifade yalnızca ϕ nin bir fonksiyonu olduğundan bir

sabite eşittir. Bu sabiti -m 2 olarak seçilirse,

22

2 )()(

1 md

d−=

ΦΦ ϕ

ϕϕ

Page 27: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

17

veya

0)()( 22

2

=Φ+Φ ϕϕϕ m

dd

elde edilir.

(3.1.5) in her iki tarafı )(ϑΘ ile çarpılırsa,

n(n+1) 0)()(

1)(sinsin)(sin 2

22 =Θ

ΦΦ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ

+Θ ϑϕϕϑ

ϑϑϑ

ϑϑϑdd

dd

dd

elde edilir.

Bu son ifadede

22

2 )()(

1 md

d−=

ΦΦ ϕ

ϕϕ

değeri yerine yazılırsa,

( ) 0)(sinsin)(sin)1( 22 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ

+Θ−+ϑϑϑ

ϑϑϑϑ

dd

ddmnn (3.1.6)

elde edilir.

(3.1.5) de ϑcos=u dönüşümü yapılırsa,

ϑϑ

sin−=ddu ve

dud

ddu

dud

dd ϑ

ϑϑsin−==

olur ve ϑ22 sin1 =− u yardımıyla

Page 28: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

18

( ) 0)()1()1()(1)(1( 2222 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ

−−+Θ−−+du

udududuumunn

elde edilir. Son denklemin düzenlenmesiyle de

0)()1()(2)()1( 2

22 =Θ++

Θ−

Θ− unn

duudu

duudu

Legendre diferensiyel denklemi elde edilir.

3.2.Legendre Diferensiyel Denkleminin Çözümü

0)1(2)1( 2 =++′+′′− ynnyxyx (3.2.1)

denklemine n. dereceden Legendre denklemi denir. Burada n herhangi bir pozitif

reel sayıdır.

(3.2.1) denklemi

01

)1(1

222 =

−+

+′−

−′′ yx

nnyxxy

şeklinde yazılırsa 1±=x noktaları düzgün tekil noktalar olacaktır. Ayrıca s= x1

dönüşümü yapıldığında , (3.2.1) denklemi

0)1(

)1()1(

222222

2

=−+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+ yssnn

dsdy

sssdsyd

şeklinde yazılabilir. Böylece, diferensiyel denklem sonsuzda da bir düzgün

singüleriteye sahiptir. Öyle ise bu noktalar dışında,

21 12)(

xxxP

−−= ve 22 1

)1()(x

nnxP−+

=

Page 29: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

19

fonksiyonları analitik fonksiyonlardır. Bu nedenle , 0=x noktası komşuluğunda

1⟨x aralığında (3.2.1) denkleminin,

k

kk xcy ∑

=

=0

şeklinde bir çözümü bulunabilir. y nin kendisi ve

1

1

−∞

=∑=′ k

kk xkcy

∑∞

=

−−=′′2

2)1(k

kk xckky

türevleri (3.2.1) de yerine yazılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa

0)1(2)1()1(012

2

2

=++−−−− ∑∑∑∑∞

=

=

=

−∞

= k

kk

k

kk

k

kk

k

kk xcnnxkcxckkxckk

elde edilir.

Bu denklemde x in aynı kuvvetlerinin katsayıları sıfıra eşitlenirse

0)1()1(2: 020 =++ cnncx

veya

02 )1(21 cnnc +−= .

[ ]0)2)(1()2(302)1()2(30)1(2)2(3:

13

13

1131

=+−+=−++=++−

cnnccnnccnnccx

Page 30: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

20

veya

.)2)(1(3.2

113 cnnc +−−=

[ ]0)3)(2()3(4

06)1()3(40)1()2(2)1(2)3(4:

24

24

22242

=+−+=−++=++−−

cnnccnnccnncccx

veya

.)3)(2(4.3

124 cnnc +−−=

[ ]0)4)(3()4(5012)1()4(50)1()3(2)2(3)4(5:

35

35

33353

=+−+=−++=++−−

cnnccnnccnncccx

veya

35 )4)(3(5.4

1 cnnc +−−=

[ ][ ] 0)1()1)(2(

0)1(2)1()1)(2(2

2

2:

=+−++++

=++−−−+++

+

+

kk

kkk

ckknnckk

cnnkkkckkx

0)1)(()1)(2( 2 =++−+++ + kk cknknckk

veya

0,)2)(1(

)1)((2 ≥

++++−

−=+ kckk

knknc kk (3.2.2)

yazılabilir.

Page 31: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

21

,

!9)8)(6)(4)(2)(1)(3)(5)(7()1(

9.8)8)(7(

,!8

)7)(5)(3)(1()2)(4)(6()1(8.7

)7)(6(

,!7

)6)(4)(2)(1)(3)(5()1(7.6

)6)(5(

,!6

)5)(3)(1()2)(4()1(6.5

)5)(4(

,!5

)4)(2)(1)(3()1(5.4

)4)(3(

,!4

)3)(1()2()1(4.3

)3)(2(

1

4

79

0

4

68

1

3

57

0

3

46

1

2

35

0

2

24

cnnnnnnnn

cnnc

cnnnnnnnn

cnnc

cnnnnnn

cnnc

cnnnnnn

cnnc

cnnnn

cnnc

cnnnn

cnnc

++++−−−−−=

+−−=

++++−−−−=

+−−=

+++−−−−=

+−−=

+++−−−=

+−−=

++−−−=

+−−=

++−−=

+−−=

olur.

Bu şekilde devam edilirse 11 <<− x aralığında iki lineer bağımsız çözümü ;

Page 32: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

22

şeklinde bulunur.

Eğer n çift ise 1y için sonsuz seri sınırlandırılır ve n. dereceden bir polinom elde

edilir. Eğer n tek ise bu kez 2y sınırlandırılır ve yine n. dereceden bir polinom elde

edilir. 0c ve 1c keyfi sabitler olduğundan her bir n için onların değerlerini seçebiliriz.

Böylece çözüm x=1 de 1 değerine sahiptir. Bu şekilde elde edilen çözüm Legendre

polinomu olarak adlandırılır. Aşağıda ilk dört Legendre polinomu verilmiştir.

,1:0 0 == cn ve 1y çözümü

1)(0 =xP (3.2.3)

,1:1 1 == cn ve 2y çözümü

xxP =)(1 (3.2.4)

,21:2 0 −== cn ve 1y çözümü

).13(21)( 2

2 −= xxP (3.2.5)

)!9

)8)(6)(4)(2)(1)(3)(5)(7(!7

)6)(4)(2)(1)(3)(5(!5

)4)(2)(1)(3(!3

)2)(1(()(

)!8

)7)(5)(3)(1()2)(4)(6(!6

)5)(3)(1()2)(4(!4

)3)(1()2(!2

)1(1()(

9

7

5

312

8

6

4

201

L

L

−++++−−−−

+

+++−−−−

++−−+

+−−=

−++++−−−

+

+++−−−

++−+

+−=

xnnnnnnnn

xnnnnnn

xnnnn

xnnxcxy

xnnnnnnnn

xnnnnnn

xnnnn

xnncxy

Page 33: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

23

,23:3 1 −== cn ve 2y çözümü

).35(21)( 3

3 xxxP −= (3.2.6)

olarak bulunur.

Genel olarak, =n 2, 4, 6, ,K için

0c = ,...4.2

)1...(3.1)1( 2⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−n

nn (3.2.7)

ve =n 1, 3, 5, ,K için

.)1(4.2

3.1)1( 2)1(1 ⎥

⎤⎢⎣

⎡−

−= −

nnc n

K

K (3.2.8)

(3.2.7) ve (3.2.8) deki 0c ve 1c değerleri )(1 xy ve )(2 xy formüllerinde yerine

yazılırsa çeşitli Legendre polinomları elde edilir.

Örneğin n=4 için,

83

4.23.1)1( 2

0 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=c ,

bulunur ve 1y çözümü

( ).33035

81

335101

83)(

24

424

+−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

xx

xxxP

olarak bulunur.

Page 34: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

24

Her Legendre polinomu Legendre diferensiyel denkleminin özel bir çözümüdür.

Örneğin

2P ( )x ,

(1- ,062)2 =+′−′′ yyxyx

denkleminin özel çözümü,

)(3 xP ,

(1- ,0122)2 =+′−′′ yyxyx

denkleminin özel çözümü,

Genel olarak )(xPn ise

(1- 0)1(2)2 =++′−′′ ynnyxyx

denkleminin özel çözümüdür.

n. dereceden Legendre polinomunun toplam formülü

knN

k

k

nn xknknk

knxP 2

0 )!()!2(!)!22()1(

21)( −

=∑ ⎥

⎤⎢⎣

⎡−−

−−= (3.2.9)

dir. Burada eğer n çift ise 2nN = eğer n tek ise 2)1( −= nN dir.

Örnek: )(3 xP i (3.2.9) u kullanarak bulalım.

Çözüm: Burada 12)13( =−=N dir.

Page 35: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

25

( )

( ).3521

122081

!2!1!1!4

!3!3!0!6

81

)!3()!23(!)!26()1(

81)(

3

3

3

231

03

xx

xx

xx

xkkk

kxP k

k

k

−=

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−= −

=∑

3.3. Legendre Polinomları

Legendre polinomunun doğurucu fonksiyonu

(1- n

nn txPtxt )()2

0

21

2 ∑∞

=

−=+

bağıntısı ile tanımlanır. Legendre polinomunun serisel ifadesi bu bağıntıdan

yararlanılarak elde edilir.

na 2)( ifadesi.

[ ] [ ])12()3)(1()22()2()( 2 −+++−++= naaanaaaa n KK

nn

n aa⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21

222 (3.3.1)

şeklinde ifade edilebilir.

Bu özdeşlikte 1=a alınmasıyla

!212)!2( 2 nn

n

n ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (3.3.2)

Page 36: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

26

elde edilir.

kna −)( değeri ise

[ ][ ])1()(

)1()_()1()1()(−+−+

−++−−++=− nakna

naknaknaaaa knK

KK

=k

kn

naa

)1()1()(

−−− (3.3.3)

şeklinde hesaplanabilir. (3.3.3) de 1=a alınmasıyla

kk nnkn

)()1(!)!(−−

=− (3.3.4)

elde edilir. at −− )1( ifadesi binom açılımı yardımıyla

(1-t) a− nn

nt

nnaaa )1(

!)1()1)((

0−

++−−−−= ∑

=

K

=∑∞

=

−+++

0 !)1()2)(1)((

n nnaaaa K nt

= n

n

n tna∑

=0 !)(

(3.3.5)

şeklinde yazılabilir.

Ayrıca serilerin özelliklerinden bilinmektedir ki, çift indisli ve A( ),nk genel terimli

bir seri

∑∑∑∑∞

= =

=

=

−=0 00 0

),(),(n

n

kn kknkAnkA (3.3.6)

Page 37: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

27

∑∑∑∑∞

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

=

=

−=0

2

00 0)2,(),(

n

n

kn kknkAnkA (3.3.7)

bağıntılarını sağlar. Burada 2

,2

nn⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ye eşit olan ya da

2n den küçük olan en büyük

tamsayıyı göstermektedir.

(3.3.6) ve (3.3.7) nin bir sonucu olarak ve A( ),(), nkCknk =− konularak

(3.3.8)

yazılabilir. Bu notasyonlar

(1- n

nn txPtxt )()2

0

21

2 ∑∞

=

−=+

bağıntısıyla verilen )(xPn Legendre polinomunun serisel ifadesinin elde edilmesinde

kullanılabilir. İfadenin sol tarafı,

( [ ]!

)2(21)2(1)21

2

0

21

221

2

ntxttxttxt

n

nn

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−−=+− ∑

=

−−

şeklinde yazılabilir. Binom açılımı kullanılarak,

(1-n

n

n

n

xtxt

ntxt ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=+ ∑∞

=

21)2(

!21

)20

21

2

=kn

k

kn

n

n

xt

kn

xtn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∑∑=

= 2!)(

)2(!

21

00

∑∑∑∑∞

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

= =

−=0

2

00 0),(),(

n

n

kn

n

kknkCnkC

Page 38: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

28

eşitliği elde edilir. (3.3.8) eşitliğinin ve )!(

)1(!)(

knnn k

k

−−

=−

ifadesinin kullanılmasıyla

( ) ∑∑∞

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

−−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=+−0

2

0

2

21

2

!)!2(

)1()2(21

21n

n

k

n

kkn

kn tkkn

xtxt

yazılabilir.

)!(2)!22(

21

22 knkn

knkn −

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

olduğundan

(1-2 n

n

n

kkn

kkn

tknkkn

xkntxt ∑∑∞

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=−

−−

−−−−

=+0

2

022

221

2

)!(2!)!2()1()2()!22() (3.3.9)

yazılır.

(1-2 n

nn txPtxt )()

0

21

2 ∑∞

=

−=+

ifadesi ile (3.3.9) karşılaştırılır nt in katsayıları eşitlenise

kn

n

kn

k

n xknknk

knxP 22

0 )!2()!(!2)!22()1()( −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=∑ −−

−−=

elde edilir.

Page 39: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

29

3.4. Rodrigues Formülü

Legendre polinomları Rodrigues formülü adı verilen bir formül yardımıyla bulunur.

(3.4.1)

ifadesi elde edilmişti.

Eğer dxdD = olarak alınır ve

D⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤−==

ms

msxsm

mx

dxdx

smm

s

sms

,0

,)!(

!

olduğu göz önünde bulundurulursa ,

)!(!

smxmxD

smms

−=

ifadesi yardımıyla (3.4.2)

(3.4.1) denklemindeki )!2(

)!22( 2

knxkn kn

−− −

ifadesi

)!2()!22( 2

22

knxknxD

knknn

−−

=−

şeklinde yazılabilir.

Bu nedenle (3.4.1) serisel ifadesi,

∑⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

−−−−

=2

0

2

)!2()!(!2)!22()1()(

n

k

knn

k

n xknknk

knxP

Page 40: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

30

∑=

−−

=]

2[

0

22

)!(!2)1()(

n

kn

knnk

n knkxDxP (3.4.3)

şeklinde yazılabilir.

)!(!!

, knknC kn −

= olduğundan

(3.4.3) denklemi

∑⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

−−=

2

0

22,

!.2)1(

)(

n

kn

knkn

nk

n nxCD

xP (3.4.4)

olarak yazılır. Buradan

∑⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

−−=2

0

22,)1(

!2)(

n

k

knkn

kn

n

n xCn

DxP

şeklinde yazılabilir.

nknnkn<−≤≤<⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ 220,2

olacak şekilde

k nın bütün değerleri için 022 =− knn xD dır. Böylece (3.4.4) ün sağ taraftaki toplam

k=0 dan k=n ye kadar genişletilebilir ve

∑=

−−=n

k

knkn

kn

n

n xCn

DxP0

22,)1(

!2)( (3.4.5)

veya binom açılımından yararlanarak,

Page 41: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

31

knn

k

kn xknk

nx 22

0

2

)!(!!)1()1( −

= −−=− ∑

ifadesi (3.4.5) denkleminde yerine yazılırsa,

nnnn xDn

xP )1(!2

1)( 2 −= (n=0,1,2,3,...) (3.4.6)

şeklinde Rodrigues formülü elde edilir. (3.4.6)

n

nn

nn dxxd

nxP )1(

!21)(

2 −= (3.4.7)

şeklinde de yazılabilir.

Bu formül Legendre polinomları hesaplamak için kolay bir yöntem vermektedir. Bu

formülle hesaplanan ilk altı Legendre polinomu

)5105315231(161)( 246

6 −+−= xxxxP

)157063(81)(

)33035(81)(

)5(21)(

)13(21)(

)(

1)(

355

244

33

22

1

xxxxP

xxxP

xxxP

xxP

xxP

xPo

+−=

+−=

−=

−=

=

=

Page 42: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

32

şeklindedir. x in kuvvetleri

)(1 xPx =

[ ])(2)(31

202 xPxPx +=

[ ])(2)(351

313 xPxPx +=

[ ])(8)(20)(7351

4204 xPxPxPx ++=

[ ])(8)(28)(27631

5315 xPxPxPx ++=

[ ])(16)(72)(110)(332311

64206 xPxPxPxPx +++=

şeklinde bulunur. Genel olarak

)(!!)1(!)(

212

!)12(,4,2, 2)(

xPnlln

nlx lnnnl ln

n ∑−−= − ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

K

şeklinde yazılır.

Page 43: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

33

Şekil 3.1

)(xPn için diğer formülleri elde etmek için (3.4.6) denklemi kullanılabilir.

dxdD = olmak üzere

Leibnitz formülünden

)()2()1()( ......!2

)1().().( nnnnnn uvvunnvnuvuvuvuD ++′′−

+′+== −−

veya

∑=

−=n

k

knkkn

n vDuDCuvD0

)(, ))(()( (3.4.8)

olduğundan Rodrigues formülü

[ ]nnnnn nxDn

xP )1()1(!2

1)( +−=

Page 44: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

34

olarak alındığında

nxu )1( −= , nxv )1( += olmak üzere,

!21)(n

xP nn = ( )nknn

k

nkkn xDxDC )1())1((

0, +− −

=∑

!)1(!

)!()1(!

!21)(

0, k

xnkn

xnCn

xPkknn

kknnn

+−−

=−

=∑

olur. Veya,

)!(!!

, knknC kn −

= olduğundan

∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=n

k

kkn

knnxxCxP

0

2, 2

12

1)(

bulunur.

Örnek: Denklem (3.4.8) i kullanarak )(3 xP i bulunuz.

Çözüm: Denklem (3.4.8) de 0=n yazılırsa,

Page 45: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

35

( )

( )xx

xx

xxdxd

xxxdxd

xxxdxd

xdxdxP

3521

)72120(481

63630481

)6126(481

)133(481

)1(!32

1)(

3

3

24

352

2

2463

3

323

3

33

−=

−=

+−=

+−=

−+−=

−=

olarak bulunur.

Page 46: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

36

Page 47: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

BÖLÜM 4. LEGENDRE POLİNOMLARININ ÖZELLİKLERİ

4.1. Doğurucu Fonksiyonlar

Küresel fonksiyonlar matematiksel fizik problemlerinin çözümünde çok önemli rol

oynarlar. Legendre polinomları ise R1 Laplace denkleminin temel çözümü ile

ilgilidir. Burada ,R M ve 0M noktaları arasındaki mesafedir. Ayrıca r ve 0r , M

ve 0M noktalarının yarıçap vektörleri, ϕ ise onların arasındaki açı olsun.

Bu durumda

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

>+−

<+−=

+−=

içinrrttxr

içinrrttxr

rrrrRo 02

020

20

2

21112111

cos2

11

ϕ

yazılabilir. Burada ϕcos=x ( )11 ≤≤− x ve 10

<=rrt veya 10 <=

rr

t dir.

)10,10(,211),(

2≤≤<<

+−=Ψ xt

ttxxt

fonksiyonuna Legendre polinomlarının doğurucu fonksiyonu denir.

),( xtΨ fonksiyonunun t ye göre açılımı

Page 48: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

37

n

nn txP

ttxxt )(

211),(

02 ∑

=

=+−

=Ψ (4.1.1)

şeklindedir. Bu açılım keyfi x ler ve 12 −±< xxz ler için geçerlidir. (4.1.1)

açılımının )(xPn katsayıları n-yinci dereceden polinomlardır ve bunlara Legendre

polinomları denir. Buradan R1 ifadesi

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=∑

∑∞

=

=

00

0

00

00

;)(cos1

;)(cos1

1

nn

n

nn

n

rrPrr

r

rrPrr

r

R ϕ

ϕ

biçiminde yazılabilir.

[ ] ϕϕπ

π

dxxxPn

n ∫ −+=0

2 cos11)(

integral gösteriminden yararlanarak (4.1.1) açılımı

( )[ ]n

nn

nn txxtxP ∫∑∑

=

=

−+=π

ϕπ 0 0

2

0cos11)(

= ( )∫−+−

π

ϕ

ϕπ 0

2 cos111

txxd

= ∫−

−−

π

ϕ

ϕ

π 02

2cos

111

1

xtxt

dxt

(4.1.2)

Page 49: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

38

biçiminde yazılır.

1cos 2

0 −=

−∫ zzd π

ϕϕπ

formülünü göz önüne alalım. Bu bağıntıda z, [ ]1,1 +− aralığında olmadığı kabul

edilir ve 12 −z belirlenmiş sabit değerini alması gerekir ki ( )112 <−− zz

eşitsizliği sağlansın. Bu koşullar çerçevesinde (4.1.2) nin sağ tarafı

221

1ttx +−

ye eşit olur.

(4.1.1) serisi 1<x ve 1<z koşullarında düzgün yakınsaktır. Çünkü 11 ≤≤− x

aralığında 1)( ≤xPn dir. Buna göre

nnn ttxP ≤)(

olur. Eğer 1>t ise bu durumda t

t 11 = dönüşümü yardımıyla 11 <t olduğundan

∑∑∞

=+

=+ ==

+−=

+− 01

0112

11

1

2

)()(

21211

nn

n

nn

n

txP

txP

ttxt

t

txt

elde edilir. Böylece sonuç olarak

Page 50: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

39

)11(

1,)(

1,)(

211

01

0

2≤≤−

⎪⎪

⎪⎪

>

<

=+−

=+

=

x

tt

xP

ttxP

txt

nn

n

n

nn

yazılabilir.

21

2 )21(−

+− txt doğurucu fonksiyonu Legendre polinomunu t nin kuvvetleri

cinsinden ifade etmek için kullanılabilir.

Örneğin,

21

2 )21(−

+− txt [ ] 21

222 )1()1( −−−−= xtxt

eşitliğinin sağ tarafı 2)1( xt− parantezine alınırsa,

21

2 )21(−

+− txt21

2

222

)1()1()1(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+=

xtxtxt

elde edilir. Buradan,

21

2 )21(−

+− txt21

2

221

)1()1(1)1(

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−−=

xtxtxt

bulunur. Son ifade de hipergeometrik fonksiyonlar yardımıyla ,

21

2 )21(−

+− txt ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−−= −

2

22

011

)1()1(;;

21)1(

xtxtFxt

Page 51: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

40

şeklinde yeniden yazılabilir.

21

2 )21(−

+− txt n

nn txP∑

=

=0

)( (4.1.3)

olduğundan,

∑∞

=

− =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−−

02

22

011 )(

)1()1(;;

21)1(

n

nn txP

xtxtFxt

dir. Bu ifade ise

∑∞

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

0

2

22

2

22

01 !)1(

)1(21

)1()1(;;

21

k

k

k

kxt

xt

xtxtF

yardımıyla

=+

=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=⎥

⎤⎢⎣

⎡−

−−−

012

22

0

2

22

2

22

011

)1(!

)1(21

!)1(

)1(21

)1(1

)1()1(;;

21)1(

kk

kk

k

k

k

k

xtk

xt

kxt

xt

xtxtxtFxt

(4.1.4)

şeklinde yazılabilir.

∑∞

=

+−+

+=−=

− 0

)12(12 !

)()12()1(

)1(1

n

nnk

k nxtk

xtxt

ifadesi (4.1.4) denkleminde yerine yazılırsa

Page 52: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

41

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−− −

2

22

011

)1()1(;;

21)1(

xtxtFxt ∑ ∑

=

=

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=0 0

22

!)()12(

!

)1(21

k n

nn

kk

k

nxtk

k

xt

=∑∑∞

=

=

+−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0 0

22

!!

)1()12(21

k n

nnkkn

k

nk

xtxk

elde edilir. Bu eşitliğin sağ tarafı

=+ nk )12()!2(

)!2(k

kn +

yardımıyla

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−− −

2

22

011

)1()1(;;

21)1(

xtxtFxt =∑∑

=

=

+−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0 0

22

)!2(!!

)1()!2(21

n k

knnk

k

knk

txxkn

şeklinde yazılabilir. Ayrıca

∑∑ ∑∑∞

=

=

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

−=0 0 0

2

0)2,(),(

n k n

n

kknkAnkA olduğundan ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−− −

2

22

011

)1()1(;;

21)1(

xtxtFxt =∑∑

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0

2

0

22

)!2()!2(!

)1(!21

n

n

k

nknk

k

knkk

txxn

olup

( )!2!2

21

2 kkk

k

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ile

Page 53: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

42

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−− −

2

22

011

)1()1(;;

21)1(

xtxtFxt =∑∑

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

−−

0

2

022

22

)!2()!(2)1(!

n

n

kk

nknk

knktxxn (4.1.5)

elde edilir.

(4.1.3) ve (4.1.5) denklemlerinde nt nin katsayıları eşitlenerek )(xPn için yeni bir

∑⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

−−

=2

022

22

)!2()!(2)1(!)(

n

kk

knk

n knkxxnxP

formülü elde edilir

)(xPn için yeni bir doğurucu fonksiyon elde etmek için

)(xPn ∑⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

−−

=2

022

22

)!2()!(2)1(!

n

kk

knk

knkxxn (4.1.6)

ifadesi ele alınarak keyfi bir c sabiti için

∑ ∑∑∞

=

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

−−

=0 0

2

022

22

)!2()!(2)1()(

!)()(

n n

n

k

nk

knkn

nnn t

knkxxc

ntxPc

yazılabilir.

∑∑ ∑∑∞

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

=

=

+=0

2

0 0 0)2,(),(

n

n

k n kknkAnkB

olduğundan ,

Page 54: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

43

∑∞

=0 !)()(

n

nnn

ntxPc

=∑∑∞

=

=

++ −

0 0

222

2

!)!(2)1()(

n k

knk

nkkn t

nkxxc

knkn ckcc 22 )()2()( +=+ yardımıyla,

∑∞

=0 !)()(

n

nnn

ntxPc

=∑∑∞

=

=

−+

0 02

222

!2)1()(

!)()2(

n kk

kkk

nn

ntxc

nxtkc

bulunur.

kk

kk

ccc ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21

22)( 2

2 ve

∑∞

=

−+=+

001 );;2(

!)()2(

n

nn xtkcF

nxtkc

olduğundan ,

∑∞

=0 !)()(

n

nnn

ntxPc

=∑∑∞

=

=

−+

0 02

222

!2)1()(

!)()2(

n kk

kkk

nn

ntxc

nxtkc

=∑∞

=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+0

2

22

1 )!(

)1(21

21

21

);;2(k

kk

kko k

txccxtkcF

dir.

)2(

01 )1();;2( kcxtxtkcF +−−=−+ olduğundan

∑∞

=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+0

2

22

1 )!(

)1(21

21

21

);;2(k

kk

kko k

txccxtkcF

Page 55: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

44

=∑∞

=

+−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−0

2

22

)2(

)!(

)1(21

21

21

)1(k

kk

kkkc

k

txccxt

∑∞

=+−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=0

22

22

)1()!(

)1(21

21

21

kkc

kk

kk

xtk

txcc

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−

+

− −

;1)1(

)1(

;21

21,

21

)1( 2

22

12 xtxt

cc

Fxt c (4.1.7)

=∑∞

=0 !)()(

n

nnn

ntxPc

yazılır. Burada c herhangi bir kompleks sayı olabilir.

21

2 )21( txtp +−=

olarak alırsa (4.1.7) için denklik formu şöyle kurulur:

∑∞

=

− =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

012 !

)()(

;1

1121

;1,

n

nnna

ntxPc

pxt

cc

Fp .

Şimdi (4.1.6) denklemine geri dönüp

∑ ∑∑∞

=

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

−−

=0 0

2

022

22

)!2()!(2)1(

!)(

n n

n

nk

nknknn

knktxx

ntxP

Page 56: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

45

= ∑∞

=

+−

0,22

22

!)!(2)1(

knk

knnk

nktxx

= ))1(21;1;( 22

10 −− xtFext

toplamı ele alınırsa

))1(21;1;( 22

10 −− xtFext =∑∞

=0 !)(

n

n

nxP

bağıntısı elde edilir. Bu bağıntı,

)41;1;()( 2

100 zFzJ −−=

ile

∑∞

=

=−0

20 !

)()1(

n

nnxt

ntxP

xtJe (4.1.8)

Bessel fonksiyonu olarak da yazılabilir.

(4.1.8) de x yerine ρ

)( tx − , t yerineρty

− alınıp, her bir terim 1−ρ ile çarpılırsa,

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−

;14

)1(;

)(exp 4

222

1021

ρρρ xtyFtxty =∑

=

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

0

1

!

)1(

n

nnn

nn

n

yttxPρ

ρ (4.1.9)

elde edilir.

Page 57: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

46

Burada

∑∞

=

+−− +=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

0

1

!!)()!(

k

kkn

nn

nktxPkntxP

ρρ

olduğundan (4.1.9) un sağ tarafı

∑∑∞

=

=

+++−

0 02)!(!

)()!()1(n k

nknkn

n

nkytxPkn

olarak da yazılabilir.

∑∑∑∑∞

= =

=

=

−=0 00 0

),(),(n

n

kn k

knkAnkA

ifadesi kullanılarak

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−

;14

)1(;

)(exp 4

222

1021

ρρρ xtyFtxty

=[ ]∑∑

= =

−−

0 02)!(!

)(!)1(n

n

k

nn

knkn

knktxPyn

=∑∑∞

= = −−

0 02 )!()!(

)(!)1(n

n

k

nn

kk

knktxPyn

(4.1.10)

elde edilir.

Page 58: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

47

Hipergeometrik fonksiyonların

∑∞

=

=0

11 !)()(

);;(n n

nn

nbza

zbaF

şeklindeki gösteriminden yararlanılarak,

∑∞

=

−=−

011 !)1(

)();1;(

k k

kk

kyn

ynF

yazılabilir. Ayrıca

(-)!()1(

!)kn

nn kk −−= ve (1) !kk = olduklarından

∑∞

= −−

=−0

211 )!()!(!)1();1;(

k

kk

knkynynF

yazılır. Bu ifade (4.1.10) de yerine yazılırsa,

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−

;14

)1(;

)(exp 4

222

1021

ρρρ xtyFtxty

=[ ]∑∑

= =

−−

0 02)!(!

)(!)1(n

n

k

nn

knkn

knktxPyn

=∑∑∞

= = −−

0 02 )!()!(

)(!)1(n

n

k

nn

kk

knktxPyn

= n

nn txPynF )();1;(

011∑

=

− (4.1.11)

Page 59: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

48

ifadesi elde edilir.

Basit Laguerre polinomları

);1;()( 11 xnFxLn −=

şeklinde gösterilir. Bu notasyon (4.1.11) de yerine yazılırsa,

∑∞

=

−=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

+−−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−−−

+−0

22

222

10221

2 )()(

;1)21(4)1(

;

21)(exp)21(

n

nnn txPyL

txtxtyF

txttxtytxt

ifadesi elde edilir. Böylece

[ ] nn

nn txPyLxtyJxtty )()()1()(exp

0

220

21 ∑∞

=

−−− =−− ρρρ

ifadesi elde edilmiş olur. Burada,

21

2 )21( txt +−=ρ

dir.

4.2. Diferensiyel İndirgeme Bağıntısı

F(x,t)=(1-2xt+t 2 ) 21

=∑∞

=0nnP (x)t n (4.2.1)

İfadesinde her iki tarafının t ye göre türevinin alınmasıyla,

Page 60: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

49

-21 (1-2xt+t 2 ) − 2

3

(-2x+2t)= 1

0)( −

=∑ n

nn txnP

elde edilir. Her iki taraf (1-2xt+t 2 ) ile çarpılırsa,

1

1

2

2)()21(

21−

=∑+−=

+−

− n

nn txnPtxt

txttx

elde edilir. Bu son eşitlik de (4.2.1) yardımıyla

(x-t) 1

1

2

0

)()21()( −∞

=

=∑∑ +−= n

nn

n

nn txnPtxttxP (4.2.2)

şeklinde yazılabilir. (4.2.2) ifadesi,

∑∑∑ ∑ ∑∞

=

+∞

=

=

=

=

−+ +−=−0

1

00 0 1

11 )()(2)()()(n

nn

n

nn

n n n

nn

nn

nn txnPtxnPxtxnPtxPtxPx

veya bu ifadenin düzenlenmesiyle,

( )[ ] 0)()()12()(12

11 =−+++−∑∞

=−+

k

kkkk txkPxxPkxPk

şeklinde yazılabilir. t nin aynı kuvvetlerinin katsayılarının karşılaştırılmasıyla,

(n+1)P 1+n )(x -(2n+1) 0)()()( 1 =++ − xnPxnPxxP nnn ....3,2,1=n (4.2.3)

elde edilir.

Benzer indirgeme bağıntıları Legendre polinomlarının türevleri arasında da

bulunmaktadır. Bu bağıntıları bulmak için önce (4.2.1) in x e göre türevi alınırsa,

Page 61: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

50

n

nn txPxtxt )(2.)21(

21

0

23

2′

=+−− ∑∞

=

bulunur. Eşitliğin her iki tarafı (1-2xt+t 2 ) ile çarpılırsa,

n

nn txPtxt

txtt )()21(

21 1

2

2

′+−=

+−∑∞

=

(4.2.4)

veya

t n

nn txP )(

0∑∞

=

1

0

2 )()21( −∞

=∑ ′+−= n

nn txPtxt (4.2.5)

elde edilir. t nin aynı derecelerdeki katsayılarının karşılaştırılmasıyla bu kez

)(2)()()( 11 xPxxPxPxP nnnn ′−′+′= −+ (4.2.6)

bağıntısına ulaşılır.

(4.2.3) ifadesinin bir kez türevi alınırsa,

0)()()12()()1( 11 =′+′+−′+ −+ xPnxPnxPn nnn

elde edilir. Son denklemden )(1 xPn+′ in değeri (4.2.6) da yerine yazılırsa

)()()( '1 xPxxPxnP nnn −−′= (4.2.7)

elde edilir.

(4.2.6) ve (4.2.7) den )(' xxPn in yok edilmesiyle

Page 62: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

51

)()()()12( '1

'1 xPxPxPn nnn −+ −=+ (4.2.8)

bulunur. Şimdi

0)('1 =− xP

alınır ve (4.2.8) formülünde n=0,1,2,3,...,n yazılarak elde edilen bağlantılar

toplanırsa,

∑=

+ +=+n

knnk xPxPxPk

0

''1 )()()()12( (4.2.9)

şeklindeki indirgeme bağıntısı elde edilir.

(4.2.6) ve (4.2.8) denklemleri bağımsız indirgeme bağıntılarıdır. Böylece bu iki

denklemden çeşitli bağıntılar elde edilebilir. (4.2.6) ve (4.2.8) in birleştirilmesiyle

)()1()()( 1 xPnxPxPx nnn +−′=′ +

bulunur.

4.3. İndirgeme Bağıntıları Yardımıyla Legendre Diferensiyel Denkleminin Elde

Edilmesi

Legendre diferensiyel denklemi indirgeme bağıntıları kullanılarak elde edilebilir.

)()()( '1 xPxnPxxP nnn −+=′ (4.3.1)

)()1()()( '1

' xPnxPxxP nnn +−= + (4.3.2)

bağıntıları elde edilmişti.

Page 63: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

52

Şimdi sadece )(xPn ve onun türevlerini içeren bir bağıntı bulmak için (4.3.2)

denkleminde n yerine (n-1) yazılırsa

)()()( 1''

1 xnPxPxxP nnn −− −= (4.3.3)

elde edilir.

(4.3.3) de türev alınırsa,

)()1()()( 11 xPnxPxPx nnn −− ′+−′′=′′ (4.3.4)

bulunur.

(4.3.1) denkleminden ,

)()()(1 xnPxPxxP nnn −′=′−

yazılır ve türev alınırsa

)()()()(1 xnPxPxxPxP nnnn −′′+′=′′−

bulunur.

Bu ifadeler (4.3.4) denkleminde yerine yazılırsa,

[ ] [ ])()()1()()()()(( xnPxPxnxPxnPxPxxPx nnnnnn −′+−′′=−′′+′

elde edilir.

Terimlerin yeniden düzenlenmesiyle )(xPn için

Page 64: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

53

0)()1()(2)()1( 2 =++′−′′− xPnnxPxxPx nnn

Legendre diferensiyel denklemi elde edilir.

4.4. )(xPn in Hipergeometrik Formu

Öncelikle

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

;

;,

cz

baF =

!)()()(

0 nz

cba n

n n

nn∑∞

=

şeklinde tanımlanan hipergeometrik fonksiyonu ve onun genelleştirmesi olan

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

;,,,

;,,

21

2,1

q

p

qp

bbbz

aaa

FK

K

=∑∞

=0 21

21

!)()()()()()(

n

n

nqnn

npnn

nz

bbbaaa

K

K

eşitliğini verelim. Burada hiçbir payda parametresi sıfır ya da negatif tamsayı

değildir. Buna rağmen p veya q nun sıfırdan farklı olmasına gerek yoktur.

Şimdi qp F notasyonunu )(xPn Legendre polinomlarının gösterilmesinde kullanalım.

Legendre polinomlarının,

∑⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=2

0

2

)!2(!

)2(21)1(

)(

n

k

kn

kn

k

n knk

xxP

ifadesinde

Page 65: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

54

k

k

n

kn n⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21)1(

21

21

knnkn

2)(!)!2(

−=−

kk

kk

nnn ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−

21

22)( 2

2

değerlerinin yazılmasıyla,

∑⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=2

0 2 )(21!!

21

2)2(

21

)(

n

k k

k

kk

n

nn

xnnk

nnxxP

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

+−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

;21

1

;2

1,2

!

)2(21

212

n

x

nn

Fn

x n

n

elde edilir.

)(xPn Legendre polinomunun

∑∞

=

−=+−

0

21

2 )()21(n

nn txPtxt (4.4.1)

eşitliğini verelim.Burada,

Page 66: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

55

[ ] 21

221

2 )1(2)1()21( −−−−−=+− xtttxt -

şeklinde yazılabilir.Eşitliğin sağ tarafı ( )21 t− parantezine alınırsa

21

21

21

222

12

)1()1(21)1(

)1()1(21)1()21(

−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−=+−t

xttt

xtttxt (4.4.2)

sonucuna varılır.

Hipergeometrik fonksiyonların özelliklerinden

∑∞

=

=−0

1 !)(

);;(n

nn

o nza

zaF ve

ao zzaF −−=− )1();;(1

oldukları bilinmektedir.

Buna göre

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−

21

21

2 )1()1(2;;

21

)1()1(21

txtF

txt

o ve

∑∞

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−0

2

21 !)1(

)1(221

)1()1(2;;

21

n

n

no n

txt

txtF (4.4.3)

dir.

(4.4.3) (4.4.2) de yerine yazılırsa,

Page 67: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

56

∑ ∑ ∑∞

=

=

=+−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

0 0 0122 )1(!

)1(221

)1(!

)1(221

)1(1)(

n k kk

kkk

kk

kkk

knn tk

xt

tk

xt

ttxP

elde edilir. Buradan

∑ ∑∑∞

=

=

=

+−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=0 0 0 !)!2(!

)1()!2(221

)(n n k

knkk

knn nkk

tnkntxP

bulunur.

!2)!2(

21

2 nnn

k

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ değerinin yerine yazılmasıyla

∑ ∑∑∞

=

=

=

+−+=

0 0 0 !!2!)1()!2()(

n n kk

knkn

n nkktnkntxP

elde edilir.

n yerine (n-k) yazılırsa

∑ ∑∑∞

=

=

= −−+

=0 0 0 )!(!2!

)1()!()(n n k

k

nkn

n knkktnkntxP

olur.

kk nnkn

)()1(!)!(−−

=− değeri yazılırsa

∑ ∑∑∞

=

=

=

−+−−=

0 0 02)!(2

)1()!()()1()(

n n kk

nkk

kn

n ktxknn

txP

Page 68: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

57

elde edilir .Buradan

∑ ∑∑∞

=

=

=

−+−−=

0 0 02)!(2

)1()()()1()(

n n kk

nkkk

kn

n ktxknn

txP

bulunur. Bu nedenle

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡−

+−

=

;12

1;1,

)( 12x

nn

FxPn dir.

)()1()( xPxP nn

n −=− olduğundan;

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡+

+−

−=

;12

1;1,

)1()( 12x

nn

FxP nn

bulunur.

4.5. Legendre Polinomlarının Dikliği

)(xPn ve )(xPm polinomları Legendre denkleminin birer çözümleri olduklarından

)( nm ≠

0)()1()(2)()1( '2 =++−′′− xPnnxxPxPx nnn (4.5.1)

0)()1()(2)()1( '2 =++−′′− xPmmxxPxPx mmm (4.5.2)

bağıntılarını sağlamaktadırlar. Bu bağıntılar

Page 69: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

58

[ ] 0)()1()()1( 2 =++′′− xPnnxPx nn (4.5.3)

[ ] 0)()1()()1( 2 =++′′− xPmmxPx mm (4.5.4)

şeklinde yazılabilir. (4.5.3) )(xPm ile ve (4.5.4) de )(xPn ile çarpılır taraf tarafa

çıkarılırsa,

)(xPm [ ] 0)()()1()()1( 2 =++′′− xPxPnnxPx mnn

)(xPn [ ] 0)()()1()()1( 2 =++′′− xPxPmmxPx nmm

)(xPm [ ] −′′− )()1( 2 xPx n )(xPn [ ] +′′− )()1( 2 xPx m [ ])1()1( +−+ mmnn )(xPn )(xPm =0

elde edilir.

)()()1( 2 xPxPx nm ′′− + )(xPn [ ]′′− )()1( 2 xPx m - )()()1( 2 xPxPx nm ′′− -

)(xPm [ ]′′− )()1( 2 xPx n (4.5.5)

olduğundan (4.5.5) denklemi

)1)(( −+− mnmn )(xPn )(xPm = { }[ ]′′−′− )()()()()1( 2 xPxPxPxPx nmnm (4.5.6)

olarak yazılabilir.

(4.5.6) denkleminde integralin herhangi sonlu aralığı için,

)1)(( −+− mnmn ∫ =b

amn dxxPxP )()( { }[ ]banmnm xPxPxPxPx )()()()()1( 2 ′−′− (4.5.7)

Page 70: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

59

elde edilir.

x=1 ve x=-1 için )1( 2x− =0 olduğundan,

)1)(( −+− mnmn ∫−

=1

1

)()( dxxPxP mn 0

yazılabilir.

m ve n negatif olmayan tamsayılar olsun.Bu durumda 01 ≠++ mn dır.

Ayrıca 0, ≠−≠ mnmn ise

∫−

=1

1

)()( dxxPxP mn 0 , nm ≠ (4.5.8)

elde edilir.

Eğer nm = ise

[ ]12

2)(21

1 +=∫

− ndxxPn (4.5.9)

olarak bulunur.

(4.5.8) ifadesi -1<x<1 aralığı üzerinde )(xPn polinomlar kümesinin dik olduğunu

ifade eder. Böylece Legendre polinomları ortogonal polinomların sağladığı

özelliklere sahiptir denilebilir.

4.6. )(xPn in Yeni Özellikleri

∑∞

=

=−0

20 !

)()1(

n

nnxt

ntxP

xtJe (4.6.1)

Page 71: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

60

ifadesi elde edilmişti.

(4.6.1) de ilk önce αα sin,cos vtx == ikinci olarakta ,cosβ=x αsinvt =

dönüşümleri yapılarak

αcosexp(v ββ sin()sin 0 vJ =)sinα ∑∞

=0 !sin)(cos

n

nnn

nvP βα

(4.6.2)

exp( =)sinsin()sincos 0 βααβ vJv ∑∞

=0 !sin)(cos

n

nnn

nvP αβ

(4.6.3)

bağıntıları elde edilebilir.

sin αβαβαβ sincoscossin)( −=−

olduğundan,

exp [ ] [ ]αβαββα sincosexp)sin(exp)sincos( vvv −= (4.6.4)

dir. (4.6.2), (4.6.3) ve (4.6.4) yardımıyla

[ ]∑∑∞

=

=

−=00 !

sin)(cos)sin(exp

!sin)(cos

n

nnn

n

nnn

nvP

vnvP αβ

αββα

=∑∑∞

= =

−−

0 0 )!(!)(cossin)(sin

n

n

k

nk

kkn

knkvP βααβ

elde edilir. Buradan

)(cossin)(sin)(cossin0

, βααβαβ kkkn

n

kknn

n PCP −= −

=∑

Page 72: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

61

dir. Burada knC , binom katsayısıdır. Bu son denklem

)(cossin

)sin(sinsin)(cos

0, β

ααβ

βαα k

knn

kkn

n

n PCP−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑ (4.6.5)

şeklinde yazılabilir.

)(xPn in orijinal tanımı ele alınır ve uygunluk için 21

2 )21( txt +−=ρ olarak alınırsa

1

0)( −

=

=∑ ρn

nn txP (4.6.6)

olarak yazılabilir.

(4.6.6) denkleminde ,ρvt =

ρ)( txx −

= olarak alınırsa

21

2

2

20

)(21−

−∞

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∑ ρρρ

ρvvtxvtxP nn

nn

= [ ] 21

22 )(2 −+−− vvtxρρ

elde edilir.

Burada nv lerin katsayıları eşitlenirse

∑∞

=

+−− +=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

0

1

!!)()!(

k

kkn

nn

nktxPkntxP

ρρ (4.6.7)

elde edilir.

Page 73: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

62

4.7. Legendre Polinomlarının İntegral Gösterimi

Legendre polinomlarının integral gösterilimi

φφπ

πdxxxP n

n )cos1(1)(0

2∫ −+= (4.7.1)

biçimindedir. Bu formülü gerçeklemek için önce integral altındaki ifadeyi binom

serisi şeklinde yazalım. Buradan

φφπ

π

dxx n

o

)cos11 2∫ −+ = φφπ

π

dxxkn kkkn

o

n

kcos)1(1 22

0−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=∫ ∑

= ∫∑ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=

π

φφπ 0

22

0cos1)1( dxx

kn kkkn

n

k

elde edilir.

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

+=

==∫

120

2)!(2

)!2(cos1 22

0 mk

mkmm

d mk φφπ

π

olduğundan

φφπ

π

dxx n

o

)cos11 2∫ −+[ ]∑=

−−

=2

022

22

)!()!2(2)1(!

n

kk

kkn

kknxxn (4.7.2)

elde edilir. Sağ taraftaki ifadenin Legendre polinomu olduğunu kanıtlamak için

21

2

2)21(

21

1),(−

+−=+−

= txttxt

txF

doğurucu fonksiyonunu düzenleyelim.

Page 74: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

63

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

=+−=−

2

2221

2

)1()1(1

11)21(),(

xtxt

xttxttxF (4.7.3)

şeklinde yazalım. (4.7.3) ün sağ tarafındaki ilk ifade

∑∞

=

=− 0

)(1

1s

sxtxt

(4.7.4)

şeklinde yazılabilir. (4.7.3) ün sağ tarafındaki ikinci çarpan ise

k

kk

k

k

xtxt

kxtxt

2

22

0

21

2

22

)1()1(21

)1()1(

)1(1−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎥

⎤⎢⎣

⎡−

−− ∑

=

(4.7.5)

şeklinde seriye açılabilir.

n

n

nk xt

nk

xt)(

2)1(

)1(1

02 ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

− ∑∞

=

(4.7.6)

olduğundan (4.7.6) serisi (4.7.5) yardımıyla

nkn

k n

kn txxnk

kxtxt +

=

=

+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎥

⎤⎢⎣

⎡−

−− ∑∑ 22

0 0

21

2

22

)1(221

)1()1(

)1(1 (4.7.7)

şeklinde yazılır. Son ifade knn 2−→ alınarak t nin kuvvetlerine göre düzenlenirse

[ ]nkkn

n

n

k

kn txxkn

kkxt

xt )1(2

221)1(

)1()1(1 22

0

2

0

21

2

22

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎥

⎤⎢⎣

⎡−

−− −

= =

∑∑ (4.7.8)

veya

Page 75: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

64

∑∞

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

0

21

2

22

)1()1(1

n

nntA

xtxt (4.7.9)

elde edilir. Burada

[ ]

kknn

k

knn xx

knk

kA )1(

2221

)1( 222

0−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= −

=

−∑ (4.7.10)

dir.

(4.7.4) ve (4.7.9) (4.7.3) de yerine yazılırsa

∑∑∑∑∞

=

=

+∞

=

=

==0 000

)(),(n s

snsn

n

nn

s

s txAtAxttxF

elde edilir. snn −→ alarak son ifade t nin kuvvetlerine göre düzenlenirse

n

n

sn

s

ssn txAtxF ∑ ∑

=

=− ⎟

⎞⎜⎝

⎛=

0 0),( (4.7.11)

veya

∑∞

=

=0

)(),(n

nn txPtxF (3.7.12)

elde edilmiş olur. Burada

n

nn txPtxttxF )()21(),(

0

21

2 ∑∞

=

−=+−=

açılımı uyarınca )(xPn ler Legendre polinomlarıdır. Devam edecek olunursa

Page 76: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

65

ssn

ssnn xAxP ∑

=−=

0

)(

veya (4.7.10) göz önünde bulundurulursa

[ ]

ssn

s

sn

k

kksnksnn xxx

ksnk

kxP ∑ ∑

=

=

−−−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

0

2)(

0

22 )1(2

221)1()(

=[ ]

∑ ∑=

=

−−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

2

0

2

0

22 )1(2

2)1(

21)1(

n

k

kn

s

kknsnk xxksn

kk

(4.7.13)

olduğu görülür. Son bağıntıyı sadeleştirmek için

(-1) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−

121

22

ksn

ksnksn

ve

)!2()!2(

!212

12

0 knkn

kn

ksnkn

s −=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

∑−

=

ifadesinden yararlanılırsa (4.7.13)

[ ]

∑=

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

2

0

22 )1()!2()!2(

!21)1()(

n

k

kknkn xx

knkn

kxP

=[ ]

kknn

kk xx

knkn

kk )1(

)!2()!2(!

)!(2)!2( 22

2

022 −

−−

=∑

=[ ]

kknn

kk xx

knkn )1(

)!2()!(2! 22

2

022 −

−−

=∑

Page 77: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

66

şeklinde yeniden yazılabilir. Bu ifade (4.7.2) ile karşılaştırılarak (4.7.1) ifadesi elde

edilir.

4.8. Laplace ın ilk integral formu

∑⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

−−

=2

022

22

)!2()!(2)1(!)(

n

kk

kkn

n knkxxnxP (4.8.1)

ifadesi elde edilmişti. Bu ifade

!2)!2(

21

2 kkk

k

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

olduğundan,

( )∑

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=2

0

22

)!2()!2(!

121!

)(

n

k

kkn

kn knkk

xxnxP (4.8.2)

şeklinde de yazılabilir.

Gamma ve Beta fonksiyonlarının tanım ve özellikleri yardımıyla (4.8.2) deki !

21

kk⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ifadesi

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

=+Γ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

kBk

k

k

k

kk

21,

211

121

21

121

21

!21

ππ

= ∫∫ =π

π

ϕϕπ

ϕϕπ 0

221

0

2 cos1cos2 dd kk

Page 78: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

67

yazılabilir. Buradan (4.8.2)

ϕϕπ

π

dknk

xxnxPo

k

n

k

kkn

n ∫∑⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

−−

= 22

02

22

cos)!2()!()1(!1)( (4.8.3)

şeklinde yeniden yazılabilir.

m tek sayı olduğunda 0cos =∫ ϕϕπ

do

m olduğundan (4.8.3) denkleminin sağ

tarafındaki toplamda k ile 2 k yer değiştirebilir. Böylece (4.8.3) den

ϕϕπ

dknk

xxnxP kn

k

kkn

n ∫∑=

−−

= cos)!(!

)1(!1)(0

21

2

(4.8.4)

elde edilir. Burada k tek sayısını içeren her bir terim sıfırdır. Böylece (4.8.4) ifadesi

ϕϕπ

π

dxxxPn

n ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=

0

21

2 cos)1(1)( (4.8.5)

şeklinde Laplace ın ilk integralini verir.

(4.8.5) den )(xPn in bazı basit özellikleri elde edilebilir.

-1< x <1 aralığında

ϕϕ 22221

2 cos)1(cos)1( −+=−+ xxxx

= ϕϕ 222 cossin +x dir. (4.8.6)

Page 79: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

68

dır. Bu yüzden -1< x < 1 için

ϕϕ 2221

2 sin)1(1cos)1( xxx −−=−+

olur. (4.8.6) denkleminden 0=ϕ ve πϕ = noktaları dışında

1cos)1( 21

2 <−+ ϕxx

olduğundan

∫∫ <−+≤ππ

ϕπ

ϕϕπ 00

21

2 .11cos)1(1)( ddxxxPn

n

bulunur.

Teorem 4.8.1. 11 <<− x için 1)( <xPn dir.

ϕϕπ

π

dxxxP nn ∫ ⎥

⎤⎢⎣

⎡−+=

0

21

2 cos)1(1)( (4.8.7)

denklemini elde etmek için bu denklem (4.8.6) ile birleştirilirse

[ ] ϕϕπ

π

dxxPn

n

21

0

22 sin)1(11)( ∫ −−≤

veya

Page 80: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

69

[ ] ϕϕπ

π

dxxP

n

n

21

21

0

22 sin)1(12)( ∫ −−≤

elde edilir. Burada πϕ210 << ve πϕϕ 2sin > dir. 0>y için )exp(1 yy −<−

kullanılırsa

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−<

−−<−− 2

22

2

2222 )1(4exp)1(41sin)1(1

πϕ

πϕϕ xxx

elde edilir. Buradan

ϕπ

ϕπ

dxnxPn ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−< 2

22 )1(2exp2)(

< ϕπ

ϕπ

dxn∫∞

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

02

22 )1(2exp2

yazılabilir.

[ ] ∫

−=−

−⋅<

02

2

21

2 )1(2)exp(

)1(2

2xn

dxn

Pnπββπ

π

ifadesinin elde edilmesi için [ ]21

2 )1(2)( xn −= πϕβ yazılarak integralin yeni bir

türü elde edilir.

Teorem 4.8.2. Eğer -1<x<1 ve n herhangi bir pozitif tamsayı ise

Page 81: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

70

21

2 )1(2)( ⎥

⎤⎢⎣

⎡−

<xn

xPnπ

dir.

4.9. Fonksiyonların Legendre Polinom Serileri Yardımıyla Gösterimi

Analitik fonksiyonların kuvvet serileri şeklindeki çözümleri

∑∞

=

=0

)(n

nn xcxf

olarak gösterilir. Burada !/)0()( nfc nn = dir.

f fonksiyonu ;

)()(0

xPbxf nn

n∑∞

=

= (4.9.1)

şeklinde yazılabilir. Burada -1 < x <1 ve )(xPn n. dereceden Legendre polinomudur.

(4.9.1) ifadesine Legendre polinom serilerinin f cinsinden gösterilmesi denir.

(4.9.1) deki nb katsayısının hesaplanması için (4.9.1) ün her iki tarafı )(xPk ile

çarpılır ve integre edilirse;

∑ ∫∫∞

= −−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0

1

1

1

1

)()()()(n

knnk dxxPxPbdxxPxf

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

122

kbk

elde edilir. Böylece

Page 82: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

71

∫−

+=

1

1

)()(2

12 dxxPxfkb kk (4.9.2)

olarak elde edilir. Bu formül denklem (4.9.1) de kullanılan kb nın katsayısını verir.

ÖRNEK:

⎩⎨⎧

<<<<−

=10,101,0

)(xx

xf

fonksiyonunun Legendre polinomları yardımıyla serisel çözümünü bulunuz.

ÇÖZÜM: (4.9.2) kullanılarak Legendre katsayıları hesaplanabilir.

,21)1)(1(

21 1

00 ∫ == dxb

,43))(1(

23 1

01 ∫ == dxxb

,0)13(21)1(

25 2

1

02 =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫ dxxb

,167)35(

21)1(

27 3

1

03 −=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫ dxxxb

,0)33035(81)1(

29 24

1

04 =+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫ dxxxb

,3211)157063(

81)1(

1211 35

1

05 =+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫ dxxxxb

Page 83: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

72

ve bu şekilde devam edilebilir. Bu yüzden

L−+−+= )(3211)(

167)(

43)(

21)( 531 xPxPxPxPxf o

bulunur.

4.10. Legendre Polinomlarının Sıfırları

Legendre polinomlarının sıfırları Gaussian quadrature olarak bilinen belirli integral

yaklaşımları için kullanılan nümerik metotlarda kısmi olarak faydalıdır.

∫b

a

dxxf )( integrali yaklaşık olarak uygun

)(1

i

n

ii xfa∑

=

(4.10.1)

toplamı yardımıyla hesaplanır.

Legendre polinomunun sıfırları ix ve ia lerin hesaplanması için kullanılır.

(4.10.1) formülü )(xf polinomu 2n-1 ya da daha küçük dereceden polinom

olduğunda tam sonuç verir. Metodun uygulanabilmesi için )(xPn in sıfırlarının reel

olduğunun bilinmesine ihtiyaç vardır.

Page 84: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

73

Tablo 4.1. Gaussian Quadrature Kullanılarak Çeşitli Tamsayılar için Belirli İntegralin Yaklaşık Değerleri

n Kök Katsayı

2 0.5773502692 1.0000000000 -0.5773502692 1.0000000000 3 0.7745966692 0.5555555556 0.0000000000 0.8888888889 -0.7745966692 0.5555555556 4 0.8611363116 0.3478548451 0.3399810436 0.6521451549 - 0.3399810436 0.6521451549 - 0.8611363116 0.3478548451 5 0.9061798459 0.2369268850 0.5384693101 0.4786286705 0.0000000000 0.5688888889 -0.5384693101 0.4786286705 -0.9061798459 0.2369268850

Teorem 4.10.1 : )(xPn legendre polinomları -1<x<1 aralığı üzerinde n tane farklı

köke sahiptir.

Tablo (4.1) de, (4.10.1) deki denklemin ia katsayıları ile birlikte n nin çeşitli

değerleri için legendre polinomlarının kökleri listelenmiştir.

)()(1

1 1i

n

ii xfadxxf∫ ∑

− =

≈ (4.10.2)

belirli integrali )( ixf her bir kökü için hesaplandığında yaklaşık olarak bulunabilir.

ÖRNEK: n nin 2 farklı değeri için quadratürler yardımıyla belirli integrali

hesaplayalım.

Page 85: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

74

n=2: ( ) ( )[ ]25773502692.025773502692.01

1

222

2

21

2−

+≈∫ eedxe x

ππ

= )69296345.1(21π

=0.6753946993.

n=5 ππ 2

12

1

1

22

≈∫−

dxe x [ 2)9061798459.0( 2

)2369268850.0( e

+(0.4786286705) 2)5384693101.0( 2

e

+(0.5688888889)(1)

+(0.4786286705) 2)5384693101.0( 2−e

+(0.2369268850) ]2)9061798459.0( 2−e

= 711249393.1(21π

)

=0.6826897354

bulunur.

Teorem 4.10.2 : 11 ≤≤− x aralığı üzerinde )(xf sonlu süreksizlik noktaları

dışında sürekli ise 11 ≤≤− x aralığı üzerinde )(xf ′ mevcut ise burada )(xf

sürekli ve süreksizlik noktalarında sağ ve sol türevleri mevcuttur ve eğer

dyyPyfna nn )()(21 1

1∫−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += (4.10.3)

ise bu durumda )(xf in sürekli olduğu noktalarda

Page 86: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

75

)()(0

xfxPa nn

n =∑∞

=

, 11 <<− x (4.10.4)

dir. (4.10.4) in sol tarafındaki seri, f in süreksizlik noktalarında

[ ])0()0(21

−++ xfxf

orta değerine yakınsaktır.

İspat: (4.10.4) in sol tarafı (4.10.3) yardımıyla

dyyPyPyfnxPa nnnn

nn )()()(21)(

1

100∫∑∑−

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

= dyxPyPyfkn

kkkn

)()()(21lim

0

1

1∑ ∫= −

∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= dyyPxPkyfn

kkkn

)()(21)(lim

1

1 0∫ ∑− =

∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

yazılabilir.

(4.10.4) in sol tarafındaki seri )(xf toplamına yakınsar ancak ve ancak

)(),()(lim1

1

xfdyyxKyf nn=∫

−∞→

(4.10.5)

dir. Burada

)()(21),(

0

yPxPkyxK kk

n

kn ∑

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += (4.10.6)

dir.

Page 87: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

76

(4.10.4) ün sağ tarafındaki serinin toplamı için Teorem 2.1.1. den yaralanılarak

(4.10.5)

10

1 )()(+=

− =∑nn

nk

n

kkk hg

hyxg ϕϕ .

xyyxxy nnnn

−− ++ )()()()( 11 ϕϕϕϕ

(4.10.7)

21

112

2)(1

1

2

+=

+== ∫

− kkdxxPg kk

şeklinde yazılır.

Burada

!212

nh n

n

n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

dir. Böylece

)1(21

)1(+=

+n

hgh

nn

n

olur ve (4.10.7) den

yxyPxPyPxPnyxK nnnn

n −−+

= ++ )()()()(2

1),( 11 (4.10.8)

elde edilir.

(4.10.4) koşulu

Page 88: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

77

0),()()(lim1

1

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− ∫

−∞→

dyyxKyfxf nn (4.10.9)

şeklinde yeniden yazılabilir.

0)(1

1

=∫−

dyyPk k>0

olduğundan

dyyPxPkdyyxK k

n

kkn )()(

21),(

1

1 0

1

1∫∑∫− =−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

= ∫ ∑− =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

1

1 1

)()()21(

21 n

kkk dyyPxPk

= ∫−

=1

1

121 dy

şeklinde yazılabilir.

(4.10.9)

[ ] 0),()()(lim1

1

=−∫−

∞→dyyxKyfxf nn

ifadesinde yerine yazılırsa

[ ] 0)()()()()()(2

1lim 11

1

1

=−−−+

++−

∞→ ∫ dyyPxPyPxPyx

yfxfnnnnnn

(4.10.10)

elde edilir.

Page 89: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

78

Teorem 2.1.2 yardımıyla

dyyg )(1

1

2∫−

olacak şekilde herhangi bir )(yg için

0)()(21lim

1

1

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + ∫

−∞→

dyyPygn nn (4.10.11)

elde edilir. Böylece

yxyfxfyg

−−

=)()()( ile birlikte dyyg )(

1

1

2∫−

mevcuttur.

(4.10.11) den

0)()()(21lim

1

1

21

=−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + ∫

−∞→

dyyPyx

yfxfn nn (4.10.12)

ve

0)()()(23lim 1

1

1

21

=−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + +

−∞→ ∫ dyyP

yxyfxfn nn

(4.10.13)

elde edilir.

Böylece eğer ∞→n için

)(21

21

1

21

xPnnn+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ , )(23

21 2

1

xPnnn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+

ifadeleri sınırlı ise 11 <<− x aralığında )(xf in sürekli olduğu noktalarda

(4.10.10) sağlanır.

Page 90: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

79

Teorem 4.8.2 kullanılarak 11 <<− x aralığı üzerinde

21

2

2

1

21

)1)(1(2.

214

)1()(21

21

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++

xnn

nxPnnn

π

21

2

21

2 )1(4)1)(12(4)1(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

<⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

+<

xxnn ππ

ve

21

2

221

)1(2.

234

)1()(23

21

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ −

xnn

nxPnnn

π

21

2

21

22

2

)1(4)1)(32(4)12(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

<⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+++

<xxnn

nn ππ

ifadeleri sağlanır.

Böylece )(xf in sürekli olduğu noktalarda Teorem 4.10.2 deki (5) in (4.10.3)

denklemini sağladığı görülür.

4.11. nx Genişlemesi

Herhangi bir polinom legendre polinomları cinsinden seriye açılabilir.Katsayıların

belirlenmesinde )(xPn in ortogonalliği rol oynar.

21

221

221

2

0 121)1()21()(

−−−∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−+=+−=∑ t

xtttxttxP n

nn

Page 91: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

80

∑∞

= ++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=0 2

12 )1(!

)2(21

n n

nn

n

tn

tx

ifadesini ele alalım. Buradan

n

nn

nn

nn

n txPttn

tx)()1(

)1(!

)2(21

0

21

2

02 ∑∑

=

=

+=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= (4.11.1)

elde edilir.

2411

2t

vt−+

=

olarak alınırsa

,411

212

2

tt

−+=+ v

tt

=+ 21

olur ve böylece (4.11.1)

21

00 4112)(

!

)2(21

+∞

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∑∑n

n

n

nn

n

nn

n

vvxP

n

tx (4.11.2)

şeklinde yeniden yazılır.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−+

+

;23

4

;23

21,

21

21

4112 2

12

21

2

n

v

nn

Fv

n

Page 92: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

81

=∑∞

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

0

2

2

23!

21

k

k

k

k

nk

vn

=∑∞

=

+

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0

2

2

23!

21

23

21

k

knn

k

nkn

k

v

olduğundan

( )∑∞

=

+

+

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−+ 0

2

221

2

23!

2112

4112

k

kn

k

kn

n

k

vn

v (4.11.3)

yazılabilir.

(4.11.1) ve (4.11.3) yardımıyla

( )∑∑∞

=

+

+

+∞

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0,

2

2

0

23!

)(2112

!

)2(21

kn

kn

knn

kn

n

nn

n

k

vxPn

n

vx

=( )[ ]

∑∑∞

= =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−

0

2

0

2

23!

)(21142

n

n

k

kn

nkn

n

k

vxPkn

elde edilir.

Page 93: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

82

Bir önceki teoremdeki ny in katsayılarının karşılaştırılmasıyla aşağıdaki sonuç elde

edilir.

Teorem 4.11.1 : Negatif olmayan bir n tamsayısı için

( )[ ]

∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−

=2

0

2

23!

)(1422

! n

k

kn

knn

n

k

xPknnx

dir. [ ]6

Teorem 4.11.2 : Eğer x yeterince küçük ve

∑∞

=

=0 !

)(n

nn

nxa

xf (4.11.4)

ise

)()(0

xPbxf nn

n∑∞

=

= (4.11.5)

dir. Burada

∑∞

=

+

+

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

0 2

2

23!2

)12(k

kn

kn

knn

k

anb (4.11.6)

dir. (4.11.5) nin yakınsaklık bölgesi 0=x merkezli elipsin iç kısmıdır. [ ]6

4.12 İkinci Tip Legendre Fonksiyonu

( ) 0)1(1 2 =++⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − ynn

dxdyx

dxd

Page 94: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

83

denkleminin genel çözümünün bulunması için )(xPn Legendre polinomu ile bağımlı

olmayan başka bir tane de özel çözüm bulunması gerekir. Bu fonksiyon

)()1)(12(

34211ln)(

21)( 12

1

xPknk

knxxxPxQ kn

N

knn +−

=∑ +−−

+−−

−+

=

dir. Burada N değeri n çift ise nN21

= , n tek sayı ise )1(21

+= nN dir.

n=0, 1, 2, 3 için;

11ln

21)(0 −

+=

xxxQ

111ln

2)(1 −

−+

=xxxxQ

xxxxxQ

23

11ln)13(

41)( 2

2 −−+

−=

32

25

11ln)35(

41)( 23

3 +−−+

−= xxxxxxQ

olur.

)(xPn ve )(xQn lineer bağımsız fonksiyon olduğundan denklemin genel çözümü

)()()( 21 xQCxPxCy nn +=

biçiminde yazılır. Burada 1C ve 2C keyfi sabitlerdir.

Page 95: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

84

Şekil 4.1.

4.13. Birleştirilmiş Legendre Polinomları

)(xP xl ve m

lP − eş Legendre polinomları birleştirilmiş legendre denkleminin

çözümleridir. Burada l pozitif tamsayı ve lm K,1,0= dir. [ ]xmlP ,, olarak

gösterilirler. m pozitif tamsayısı için

)2.13.4()1()1(!2

)1(

)1.13.4()()1()1()(

222

22

lml

mlm

l

m

lm

mmmm

l

xdxdx

l

xPdxdxxP

−−−

=

−−=

+

+

ile verilirler. Burada )(xPl birleştirilmiş olmayan Legendre polinomudur.

Birleştirilmiş Legendre polinomu negatif m sayısı için

)()!()!()1()( xP

mlmlxP m

lmm

l +−

−=− (4.13.3)

Page 96: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

85

ile tanımlanır.

Birleştirilmiş polinomlar Ferrers fonksiyonu olarak adlandırılır. m=0 ise

birleştirilmiş olmayan polinom olarak yazılırlar. Birleştirilmiş Legendre

fonksiyonları küresel koordinatlarda Laplace denkleminin çözümü olan küresel

harmoniklerin bir parçasıdır. Bunlar [ ]1,1− aralığında 1=ω ve 211x−

=ω ağırlık

fonksiyonlar için diktirler. Bu nedenle

llm

lm

l mlml

ldxxPxP ′′

− −+

+=∫ δ

)!()!(

122)()(

1

1

(4.13.4)

mmm

lm

l mlmml

xdxxPxP ′

− −+

=−∫ δ

)!()!(

1)()( 2

1

1

(4.13.5)

yazılabilir.

Birleştirilmiş Legendre polinomları

)()1()()12()()( 21 xPmlxPlxxPml ml

ml

ml −− −+−−=−

indirgeme bağıntısını sağlarlar.

θcos=x alınmasıyla (genellikle μ ile gösterilir.)

2

1

1

)()()(

μ

μμμθ −

+−= −

ml

ml

ml PmlPl

ddP

(4.13.6)

ve

)()1()()()()12( 11 μμμμ ml

ml

ml PmlPmlPl +− +−++=+ (4.13.7)

Page 97: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

86

elde edilir. Ayrıca

22 )1(!)!12()1()(lll

l xlxP −−−= (4.13.8)

)()12()(1 xPlxxP ll

ll +=+ (4.13.9)

dir.

m)1(− yi içeren ilk beş birleştirilmiş Legendre polinomu

1)(00 =xP

xxP =)(01

2121

1 )1()( xxP −−=

)13(21)( 20

2 −= xxP

2121

2 )1(3)( xxxP −−=

)1(3)( 222 xxP −=

)35(21)( 20

3 −= xxxP

21221

3 )1)(51(23)( xxxP −−=

)1(15)( 223 xxxP −=

Page 98: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

87

2323

3 )1(15)( xxP −−=

)33035(81)( 240

4 +−= xxxP

21221

4 )1)(73(25)( xxxxP −−=

)1)(17(2

15)( 2224 xxxP −−=

2323

4 )1(105)( xxxP −−=

224

4 )1(105)( xxP −=

( )15706381)( 240

5 +−= xxxxP

olarak bulunur.

θcos=x olarak alındığında ise

1)(cos00 =θP

θθ cos)(cos01 =P

θθ sin)(cos11 −=P

( )1cos321)(cos 20

2 −= θθP

θθθ cossin3)(cos12 −=P

Page 99: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

88

θθ 222 sin3)(cos =P

)3cos5(cos21)(cos 20

3 −= θθθP

θθθ sin)1cos5(23)(cos 21

3 −−=P

θθθ 223 sincos15)(cos =P

θθ 333 sin15)(cos −=P

olarak elde edilir.

Orjindeki türev

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++Γ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=

21

21

21

121

21)(

21sin2

)(

21

1

0 μπ

μμπμμ

v

vv

dxxdP

x

v

dir. Logaritmik türev ise

!)1(21!)1(

21

!)(21!)(

21

)(21tan2

)(ln

0 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=⎥

⎤⎢⎣

= μλμλ

μλμλμλπ

μλ

zdz

zPd

olur.

Page 100: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

89

4.14. Birleştirilmiş Legendre Fonksiyonunun Belirsiz İntegrali İçin Rekürans

Bağıntısı

Reel değişkenli, tam sayı mertebe ve dereceli birleştirilmiş Legendre fonksiyonunun

integralinin hesabı için iki rekürans formülü elde edilecektir.

Burada amaç, )(xPmn n-yinci dereceden ve m-yinci mertebeden x değişkenli klasik

birleştirilmiş Legendre fonksiyonunu göstermek üzere, 0≥≥ mn indisleri üzerinden

11,1)()( <≤−≤≡ ∫ axdttPxSx

a

mn

mn (1)

integrali için rekürans denklemleri geliştirmektir. )()(0 xPxP nn = n-yinci dereceden

Legendre polinomu, yani

nn

n

nn xdxd

nxP )1(

!21)( 2 −≡ (4.14.2)

olmak üzere

[ ])()1()( 22 xPdxdxxP nm

mmm

n −≡ (4.14.3)

tanımı kullanılmaktadır. n ve m indisleri bundan böyle negatif olmayan tam sayılar

olarak kabul edilecek ve a genelde 0 veya negatif olan bir sabit olarak alınacaktır.

Önce kolay gönderme yapılabilmesi için bazı iyi bilinen formüller listelenmiştir.

)0(0,11

12111 ≡≥

+−

++

= −−+ PnPn

nxPnnP nnn (4)

0,11

1211 ≥≥

+−+

−+−

+= −+ mnP

mnmnxP

mnnP m

nm

nm

n (4.14.5)

Page 101: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

90

nn

nn

nn

nn PxnPx

nnP )12(,)1(

!2)!2(

122 +=−= + (4.14.6)

mn

mn

mn PmnPxnP

dxdx 1

2 )1()1()1( ++−−+=− (4.14.7)

11

11

11

11

)2)(1(

)1)((

−+

−−

+−

++

+−+−−

−+++=

mn

mn

mn

mn

Pmnmn

PmnmnPP (4.14.8)

[ ]11

11

2 )2)(1()1)((12

11 −+

−− +−+−−−++

+=− m

nm

nm

n PmnmnPmnmnn

Px (4.14.9)

[ ] 12)1(222 )1)()(1()1( −−−++−−=− mn

mmn

m PxmnmnPxdxd (4.14.10)

n üzerinden elde edilmek istenen rekürans formülünü elde etmek için önce (4.14.7)

nin integrali alınır daha sonra sol tarafa kısmi integrasyon uygulanırsa

mn

x

a

x

a

mn

mn

x

am

n

Smn

dtttPndtttPtPx

1

2

)1(

)()1()(2)()1(

++−−

+=+− ∫ ∫ (4.14.11)

elde edilir. Sonra (4.14.5) integrali alınır (4.14.11) de kullanılırsa istenilen sonuç

yani

nmtPtmnn

n

SmnnmnnS

x

am

n

mn

mn

≤≤−+−+

+−

+−++−

= −+

0,)()1()1)(2(

12)1)(2(

))(1(

2

11

(4.14.12)

elde edilir.

Page 102: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

91

(4.14.1) için m üzerinden rekürans formüllerini veren adımlar (4.14.8) in integraliyle

başlar. Sonuç

11

11

11

11

)2)(1(

)1)((

−+

−−

+−

++

+−+−−

−+++=

mn

mn

mn

mn

Smnmn

SmnmnSS (4.14.13)

olur. Şimdi (4.14.12) de m yerine (m-1) yazılırsa ve bazı uygun işlemler yapılırsa

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

+++−

−++

=

+−+

−−+

−−

x

am

nmn

mn

tPtSn

nmnn

mnn

Smnmn

)()1(12

)2)(2(1

))(12(

))(1(

1211

11

(4.14.14)

elde edilir. (4.14.14), (4.14.13) de yerine yazılırsa

x

am

n

mn

mn

mn

tPtn

mnn

Sn

mnmnSS

)()1(1

))(12(

1)2)(1)(12(

12

11

11

11

−+

+−

++

−−

+++

−+−++

+=

(4.14.15)

elde edilir. (4.14.12) de m yerine (m+1) yazılırsa

x

am

nmn

mn tPtS

nnmnS

nmnn )()1(

12)2)((

12)1)(1( 121

11

1++

++− −+

++−

=+

++−

denklemi elde edilir. Bu sonuç (4.14.15) de kullanılırsa

{

[ ] }x

am

nm

n

mn

mn

tPmnmntPt

Smnmnmm

S

)()1)(()()1(

)1)(2)(1(1

1

112

11

11

−+

−+

++

++++−+

+++−+−

=

(4.14.16)

Page 103: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

92

elde edilir. (4.14.16) da n+1 yerine n yazılırsa istenen sonuç

{

[ ] nmtPmnmntPt

Smnmnmm

S

x

am

nm

n

mn

mn

≤≤+−++−+

++−+−

=

−−

+−

−+

2,)())(1()()1(

))(1)(1(1

1

11

11

2

11

(4.14.17)

olur.

(4.14.12) ve (4.14.17) rekürans formüllerini açmak için

211

202

01

10 1,)13(

21,,1 xPxPxPP −=−=== (4.14.18)

(4.14.4) den

0,0,11

12111 ≡≥

+−

++

= −−+ PnPn

nxPnnP nnn (4.14.19)

[ ] x

atttSaxS 121

100 sin1

21, −+−=−= (4.14.20)

2

2201

axS −= (4.14.21)

ve genel olarak

[ ] x

annn tPtPn

S )()(12

111

0−+ −

+= (4.14.22)

(4.14.12) yardımıyla

Page 104: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

93

2)()1()1)(1(

12)1)(1(

)2( 11

212

1 ≥−+−

−−

+−−

= −− ntPtnn

nSnn

nnS x

annn (4.14.23)

bulunur. (4.14.2), (4.14.4) ve (4.14.9) dan

[ ] x

annnn tPnttPnSS )()1()()3(2 102

++−++−= (4.14.24)

olur. (4.14.8) ve (4.14.9) dan

nn

nn

mn

mn

mn

PxnP

mnnPmn

mnxPmn

nP

211

11

1)12(

,0,11

12

−+=

≥≥+−

+−

+−+

=

++

−+

(4.14.25)

elde edilir. (4.14.6) dan

[ ]x

an

nnn

nn ttPSnnn

nS )()12)(32(

11 2

2 +−−+

= −− (4.14.26)

x

an

nnn tPt

nS )(1

21 1

12

1+++ −

+−= (4.14.27)

bulunur.

)(xPmn ve )(xS m

n in normalleştirilmişleri rekürans formüllerinin sonuçları çok büyük

olmasın diye kullanılabilir.

[ ])!()!(

122)(

21

1 mnmn

ndttPm

n −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=∫

(4.14.28)

olduğu için )(xP mn normalleştirilmiş Legendre fonksiyonları

Page 105: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

94

)()!()!(

212

21

xPmnmnnP m

nm

n ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+

≡ (4.14.29)

ile tanımlanır. Buradan, sırasıyla (4.14.5), (4.14.12) ve (4.14.17) için

normalleştirilmiş formları aynı denklem numarasının üzerine çizgi koyarak elde

edilmiştir.

)()!()!(

212)(

21

xSmnmnnxS m

nmn ⎥

⎤⎢⎣

⎡+−+

olmak üzere

)()1)(1(

)12)(32( 21

1 xPxmnmn

nnP mn

mn ⎥

⎤⎢⎣

⎡+−++

++=+ )5.14.4(

10,)()1)(1)(12(

))()(32(1

21

+≤≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−++−

−++− − nmxP

mnmnnmnmnn m

n

11,)()1)(1(

)12)(32(2

1 21

2

+<≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−++

+++−

− nmtPmnmn

nnn

t x

am

n ( )21.14.4

nmtPmnmnn

mnmnnt

tPmnnmnnt

Smnmn

mnmnmm

xS

x

am

n

x

am

n

mn

mn

<≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++−−+++

−+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−−−+

−+

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+++−+

+−

=

+−

−+

2)())(1)(12()1)()(12()1(

)()1)(12()1)(12()1(

))(1()1)(()1(

11)(

12

1

2

11

21

2

12

1

1

)71.14.4(

Page 106: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

95

olur. (4.14.18)-(4.14.27) denklemlerinin açılmışları normalleştirilmiş formda

( ) )13(21

25)(,)23()(,

21 22

1

22

1

10 −=== xxPxxPP

(4.14. )81

[ ] 2)1(3)( 2121

1 xxP −=

(4.14 )91

[ ] x

atttSaxS 121

10

0 sin143,)(

21 −+−=−= )02.14.4(

( ))(

22

322

21

01 axS −= )12.14.4(

} x

annn xPnn

tPnn

S )()12)(12(

1)()32)(12(

11

21

1

21

0−+ ⎥

⎤⎢⎣

⎡−+

−⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

= )22.14.4(

x

an

nn

tPnnnn

nt

Snnn

nnnnnS

)()1)(1(

)12)(12(1

)1(

)1)(1)(32()2()12(

12

11

21

2

12

211

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−+

+−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−

−++−

=

(4.14. )32

[ ]

0,)(1232

1

)(1

)12)(32()(

1

21

21

1

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

+−

+++

=

+

nxPnn

nn

xPxn

nnxP

n

nn

Page 107: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

96

[ ]

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

+−++−

−++=

+x

annn

n

tPnnntPnSx

nnnnS

)(3212)1()()3(2

)1()1)(2(

1

1

21

0

21

2

)42.14.4(

)()1(2232)( 2

122

11

1 xPxnnxP n

nn

n −⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++

=++ )52.14.4(

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+−+

= −−

x

an

nnn

nn PtS

nnnn

nS 2

2

21

)1(4)12)(12(

11 )62.14.4(

[ ] a

xn

nnn tPtn

nS )()1()1(2

21 1

12

1221

1+++ −+

+−= ( )72.14.4

olarak yazılır.

Page 108: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

BÖLÜM 5. LEGENDRE POLİNOMLARININ UYGULAMALARI

5.1. FİZİKSEL PROBLEMLER

Legendre polinomlarının fiziksel problemlerdeki uygulamasını l uzunluğunda olan

homojen telin bir nokta etrafında dönüşümü probleminde göstereceğiz. Eğer havanın

etkisi ve telin ağırlığı dikkate alınmazsa , bu halde telin denge durumu düzlemin

üzerinde doğrunun sabit ω açısal hızı ile dönmesi şeklinde olacaktır. Bu telin denge

etrafında titreşim olayı yalnız o zaman meydana gelecektir. Eğer tel denge

durumundan çıkmış olsa yani telin noktaları düzlemin üzerinde hareket etmeseler,

telin titreşimini incelemek için tel doğrusallığını kaybetmeli ve onun noktaları ),( txu

fonksiyonu kadar düzlemin üzerinden çıkmış olmalıdır. Üstelik ),( txu kayma

fonksiyonu dönme düzlemine diktir.

Bu halde dönüşen telin tüm noktalarında noktasal ivme meydana gelmektedir ve iki

vektörden oluşmaktadır. Birisi x sabit uzunluğunda diğeri ise değişen u

uzunluğundadır. Üstelik u uzunluğu bir eksen etrafında dönüşen düzleme diktir.

Vektörlerin ikiside ω açısal hızı ile dönmektedirler.

),( txu fonksiyonu dönüşen düzleme dik olduğundan bu ),( txu fonksiyonları tüm

noktalarında )( 2 xω− kadar x ekseni yönünde ivme kuvveti oluşmakta ve bu da

2

2

tu

∂∂ kadar u yönüne doğru olmaktadır. Dayanak noktasından x uzaklığında olan

telin dx elemanını etkileyen kuvvet,

xdx 2ωρ ⋅ (5.1.1)

dir. Burada ρ telin yoğunluğudur.

Page 109: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

98

Telin x noktasında oluşan gerilmesi telin ),( lx aralığındaki bütün noktalarının

etrafında oluşan elemanlarındaki gerilmelerin toplamına eşittir, yani ;

)(2

)( 222

2 xdxxxTx

−== ∫ ll ωρωρ (5.1.2)

dir. Bunları göz önüne alarak düzlemin üzerinde dönüşen telin serbest titreşiminin

denklemi,

dxxx

uxtudx

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−=∂∂ )(

222

2

2

2

lωρρ -

xxux ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

− )(2

222

lωρ =

= dxxux

x ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

−∂∂ )(

222

2

lωρ

biçiminde olmaktadır. Veya,

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

−∂∂

=∂∂

xux

xa

tu )( 2222

2

l ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

22 ωa (5.1.3)

dir. (5.1.3) denkleminin ‘Sınır ve Değer’ koşulları ise

00=

=xu (5.1.4)

,)(0

xfut

==

)(0

xFtu

t=

∂∂

= (5.1.5)

dir. (5.1.3) ve (5.1.4) probleminin çözümünü

)()( xXtTu = (5.1.6)

Page 110: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

99

şeklinde arayalım.

(5.1.6) (5.1.3) de yerine yazılırsa

( )[ ]

)(

)(

)()(

22

2 xX

xXxdxd

tTatT ′−

=′′ l

(5.1.7)

elde edilir. (5.1.7) denkleminin sağ ve sol tarafları )( λ− ya eşitlenirse,

0)()( 2 =+′′ tTatT λ (5.1.8)

[ ] 0)()()( 22 =+′− xXxXxdxd λl (5.1.9)

denklemleri elde edilir.

ξl=x dönüşümü yapılırsa (5.1.9)

0)1( 2 =+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− X

ddX

dd λ

ξξ

ξ (5.1.10)

şekline dönüşür. Bu ise Legendre denklemidir.

Fiziksel anlama göre telin ),( txu yer değiştirme fonksiyonunun [ ]l,0 aralığında

sonlu değer alması gerekir. Buna göre (5.1.9) denkleminin çözümlerinin bu aralığın

uçlarıda dahil sonlu olması gerekir. Önceden gösterilmiş ( )1+= nnλ ler için

(5.1.10) Legendre denkleminin [ ]1,1 +− aralığında olan çözümleri 1±=ξ olarak

almaktadır. Bu çözümler )(ξnP Legendre polinomlarıdır. Burada –x değişkenine

dönülürse

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=l

xPxX n)( (5.1.11)

Page 111: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

100

elde edilir. Polinomlar l±=x aralığında )1( += nnλ için (5.1.9) denkleminin sonlu

çözümüdür. (5.1.4) sınır koşulundan

0)0( =nP

dır. Bu ise 12 −= kn olduğunda geçerlidir. Burada k pozitif bir sayıdır.

Böylece (5.1.9) denkleminin

0)0( =X , =)(lX sınırlı (5.1.12)

koşullarından aşikar olmayan çözümleri,

)12(2 −= kkkλ (k=1,2,3,K ) (5.1.13)

parametrelerinin aldığı değerlerde mümkündür. Bu parametreler özdeğer olarak

adlandırılır.

Bu özdeğerlere uygun

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −l

xPxX k 12)( (5.1.14)

şeklinde fonksiyonun özdeğerleri vardır. (5.1.14) özdeğer fonksiyonlar sistemi [ ]l,0

aralığında ortogonal fonksiyonlar sistemini oluşturmaktadır.

nλλ = için (5.1.8) denkleminin genel çözümü

atkkbatkkatT kkk )12(2sin)12(2cos)( −+−= (5.1.15)

olur. (5.1.6) göz önüne alınırsa ),( txuk fonksiyonu

Page 112: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

101

[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+−= −l

xPatkkbatkkatxu kkkk 12)12(2sin)12(2cos),( (5.1.16)

biçimini alır. (5.1.16) fonksiyonu (5.1.3) denklemini ve (5.1.4) sınır koşulunda

istenen ka ve kb lar için sağlanmaktadır. ),( txu çözümünün elde edilmesi için

(5.1.5) başlangıç koşullarını sağlayan

[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+−= −

=∑

l

xPatkkbatkkatxu kkkk

121

)12(2sin)12(2cos),( (5.1.17)

serisi ele alınmalıdır. O halde bu seri

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

=−

l

xPaxuk

kk1

12)0,( (5.1.18)

)()12(2)0,(12

1

xFxPabkktxu

kkk

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∂∂

=∑

l (5.1.19)

koşullarını sağlar. (5.1.18) serisi düzgün yakınsak olarak kabul edildiğinde serinin

ka katsayılarının elde edilmesi için (5.1.18) eşitliğinin sağ ve sol tarafları ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−l

xP k 12

ile çarpılır, x e göre 0 dan l ye kadar integral alınır ve özdeğer fonksiyonlarının

ortogonalliği göz önüne alınırsa

dxxPdxxPxf kk ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∫∫ −−

ll

ll

0

212

012)(

= kkk a

kdP

a14

)(2

212 −

=∫ −ll

ξξ

elde edilir. Buradan ka katsayıları

Page 113: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

102

dxxPxfka kk ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

= ∫ −ll

l

012)(14 (5.1.20)

şeklinde bulunur. Aynı şekilde kb katsayıları

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

= ∫ −ll

xPxFkka

kb kk

1

012)(

)12(214 (5.1.21)

biçiminde bulunmaktadır.

Böylece problemin çözümü (5.1.17) serisi ile verilmektedir ve katsayıları ise (5.1.20)

ve (5.1.21) formülleri ile belirlenmektedir.

(5.1.17) serisi

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−= −

=∑

l

xPatkkAtxu kkk

k 121

))12(2sin(),( ϕ (5.1.22)

biçiminde yazılırsa buradan şu anlaşılır. Telin dönüşüm zamanı oluşan küçük

titreşimler harmonik titreşimlerden oluşmaktadır. kω titreşimin frekansı

ωω )12(2)12(2 −=−= kkakkk

formülü ile hesaplanmaktadır.

Buradan sonuç olarak şunu vurgulamak gerekir. kω titreşimlerinin frekansları ω

açısal hızı ile bağımlıdır. Telin uzunluğu ve telin yoğunluğuna bağlı değildir.

Page 114: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

BÖLÜM 6. SONUÇLAR VE ÖNERİLER

Bu tezde Legendre diferensiyel denklemi, Laplace denkleminin küresel

koordinatlarındaki ifadesinden yararlanılarak elde edilmiştir. Legendre diferensiyel

denkleminin çözümleri olan Legendre polinomları elde edilmiş ve onların

özelliklerinden bahsedilmiştir. Ayrıca Legendre polinomlarının fiziksel uygulaması

hakkında bilgi verilmiştir.

Page 115: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

KAYNAKLAR

[1] ALİYEV, G.G., TURHAN, H.N., Özel Fonksiyonlar, Niğde Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi, Ankara 2000.

[2] AYDIN, M., KURYEL, B. ,GÜNDÜZ, G., Diferensiyel Denklemler ve

Uygulamaları, E.Ü. Mühendislik Fakültesi, İzmir 2001 [3] BALCI, M., Analiz, Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Eylül 1997 [4] DEMİRTAŞ, A., Ansiklopedik Matematik Sözlüğü, Bilim Teknik Kültür

Yayınları, Ankara 1986. [5] DİDONATO, A.R., Recurrence Relations for the Indefinite Integrals of the

Associated Legendre Functions, Mathematics of Computation Volume 38, Number 158, April 1982, Pages 547-551.

[6] GİORDANO, F. R., WEIR, M.D., Differential Equations A Modeling Approach, U.S Military Academy, 1989

.

[7] GÜR, Ş., Doğurucu Fonksiyonlar, Yüksek Lisans Tezi, Ankara Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi, 1996.

[8] HASANOV, E. , UZGÖREN, G. , BÜYÜKAKSOY, A. , Diferensiyel Denklemler Teorisi, Mart 2002.

[9] ÖZER, N. , ESER, D. ,Diferensiyel Denklemler, Osmangazi Üniversitesi

Fen Edebiyat Fakültesi, Eskişehir 2000. [10] RAINVILLE, E. D. ,Special Functions. Mac Millan, New york 1960.

[11] WAYLAND, H., Differential Equations Applied in Science and

Engineering, California Institute of Technology, 1980

[12] YAŞAR, İ. B. , Diferensiyel Denklemler ve Uygulamaları , Ankara 1999.

[ ]13 http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html

Page 116: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials
Page 117: Legendre Polinomlari Legendre Polynomials

105

ÖZGEÇMİŞ 1982 yılında Ankara’da doğdu. 1999 yılında girdiği Balıkesir Üniversitesi Necatibey

Eğitim Fakültesinden 2003 yılında mezun oldu. 2003 yılından beri Kocaeli ilinde

matematik öğretmeni olarak görev yapmaktadır.