lehrplan mathematik jgst. 8
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Lehrplan Mathematik Jgst. 8
http://isb.contentserv.net/g8/
http://www.isb.bayern.de
Kürzungen
Bruchungleichungen
Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen
Vierecke, „Beweistechniken“
Vektorbegriff
Tangentenkonstruktionen; Sehnenviereck; Tangentenviereck; Umfangswinkel
Flächenmessung bei Dreiecken und Vierecken
Einführung in die Raumgeometrie, Schrägbild
…
Inhalte
8.1 Funktionale Zusammenhänge (ca. 41 Std.) Proportionalität (ca. 9 Std.) Funktion und Term (ca. 9 Std.) Lineare Funktion (ca. 13 Std.) Lineare Gleichungssysteme (ca. 10 Std.)
8.2 Stochastik: Laplace-Experimente (ca. 12 Std.)
8.3 Funktionale Zusammenhänge: elementare gebrochen-rationale Funktionen (ca. 16 Std.)
8.4 Strahlensatz und Ähnlichkeit (ca. 15 Std.)
M 8.1.1 Proportionalität (ca. 9 Std.)
charakteristische Eigenschaften direkt und indirekt proportionaler Größen in Fachsprache beschreiben
Anwendung der neuen Kenntnisse bei Schlussrechnung sowie bei naturwissenschaftlichen Fragestellungen
experimentell Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Durchmesser ermitteln
direkte Proportionalität, dabei Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Radius
indirekte Proportionalität
M 8.1.2 Funktion und Term (ca. 9 Std.)
unterschiedlichste funktionale Abhängigkeiten (z. B. Fieberkurven, Klimadiagramme, Handy-Tarife)
Unterschiedlichste Darstellungsformen, z. B. Tabellen, Diagramme, Terme
Beispiele verschiedenartiger Funktionen
spezielles Bsp. für nichtlinearen Zusammenhang: Kreisinhalt (anschauliche Herleitung)
Zusammenhang zwischen Term und Graph (Funktionsplotter)
Vertiefen von Rechenfertigkeiten (Werte von Bruchtermen, Wertetabellen)
M 8.1.3 Lineare Funktion (ca. 13 Std.)
Anknüpfungen an direkte Proportionalität und Alltag
Vertrautwerden mit diesem grundlegenden Funktionstyp
Bestimmung von Nullstellen führt auf das Lösen von Gleichungen
Definition der linearen Funktion, Interpretation der Parameter
Arbeiten mit linearen Funktionen und ihren Graphen Lösen linearer Ungleichungen (rechnerische Lösung und
graphische Veranschaulichung)
M 8.1.4 Lineare Gleichungssysteme (ca. 10 Std.)
Schüler erkennen: Kenntnisse über lineare Funktionen bei der Lösung hilfreich
Bearbeitung inner- und außermathematischer Fragestellungen
graphische und rechnerische Lösung linearer Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten
Anwendung in Sachzusammenhängen- mind. 1 rechnerisches Lösungsverfahren
- kein Schwerpunkt auf „technischer Rechenfertigkeit“
M 8.1.4 Lineare Gleichungssysteme (ca. 10 Std.)
Schüler erkennen: Kenntnisse über lineare Funktionen bei der Lösung hilfreich
Bearbeitung inner- und außermathematischer Fragestellungen
graphische und rechnerische Lösung linearer Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten
Anwendung in Sachzusammenhängen1. Gleichungen mit zwei Variablen
2. Ungleichungen mit zwei Variablen*
3. Gleichungssysteme mit 2 Variablen
4. Einsetzungsverfahren
5. Gleichsetzungsverfahren
6. Additionsverfahren
7. Sachaufgaben
8. Gleichungssysteme mit 3 Variablen*
M 8.2 Stochastik: Laplace-Experimente (ca. 12 Std.)
Anknüpfen an Unterstufe: Zufallsexperimente, absolute und relative Häufigkeit
intuitiver, statistischer „Wahrscheinlichkeitsbegriff“ Fachsprache Baumdiagramme und geschicktes Abzählen Einsicht, dass eine umfassendere Formulierung des
Wahrscheinlichkeitsbegriffs nötig ist
Ergebnis, Ergebnisraum, Ereignis Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, Zählprinzip Abgrenzung des Begriffs Laplace-Experiment durch Beispiele
M 8.3 Funktionale Zusammenhänge: elementare gebrochen-rationale Funktionen (ca. 16 Std.)
Anknüpfen an indirekte Proportionalität
Schnittpunktbestimmungen führen auf Bruchgleichungen (flexibel lösen)
Rechnen mit Bruchtermen
Rechnen mit Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Beispiele gebrochen-rationaler Funktionen einfache Bruchgleichungen und Bruchterme, Auflösen von
Formeln Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
M 8.4 Strahlensatz und Ähnlichkeit (ca. 15 Std.)
Verbindung von Geometrie und Algebra
Lösen von Bruchgleichungen
Ähnlichkeitsbegriff im Zusammenhang mit dem maßstäblichen Vergrößern und Verkleinern von Figuren; funktionale Zusammenhänge
Strahlensätze Ähnlichkeit von Dreiecken
M 8.1.1 Proportionalität - Palma
Aufgabe: Für eine Klassenfahrt wird ein Reisebus zu einem Festpreis gebucht. Wenn alle 30 Schüler mitfahren, muss jeder 20 EUR bezahlen. Wie viel muss jeder bezahlen, wenn nur 25 Schüler mitfahren?(mathematik lehren, Heft 118)
M 8.1.1 Proportionalität - NICHT
200 Arbeiter arbeiten an 225 Tagen jeweils 8 h, nach 90 Tagen wird 1/5 der Arbeiter abgezo-gen, der Rest arbeitet dafür eine Stunde mehr. a)Wann wird der Tunnel fertig?b)Wie viele Arbeiter hätte man nach 90 Tagen abziehen können, damit der Tunnel nach 290 Tagen fertig wird, wenn die verbleibenden Arbeiter täglich 6 h arbeiten?
Der Kreisumfang in Jahrgangsstufe 8
const. d
U
aus http://modellversuch-mathematik.he.schule.de/
Funktionale Zusammenhänge in Jahrgangsstufe 8
SchuhgrößeLehrer
Funktionale Zusammenhänge in Jahrgangsstufe 8
.1x
2 x:g und 10,5x x:f
Funktionen die sind Gegeben
a) Gib den Funktionsterm von f und Gleichung von g an.
b) Liegt A(-9 / -5,5) auf Gf?
c) Zeichne Gf und Gg in ein KOS.
d) Für welche x-Werte sind die Funktionswerte von f kleiner als Null? Was bedeutet dies für den Graphen Gf?
Vertiefen der Rechenfertigkeit in M 8.1.2
Zieltext „M 8.1.2 Funktion und Term
„... vertiefen sie ihre Rechenfertigkeit auch anhand einfacher Bruchterme …“
An nicht zu komplexe Beispiele folgender Art ist bei der Berechnung von Termwerten gedacht:
xxx
1xx1
2xx4
2
22
;;
Der Kreisinhalt in Jahrgangsstufe 8
2rrArA )(:
Der Kreisinhalt in Jahrgangsstufe 8
Zusammenfassung: Kreis in Jgst. 8 (ca. 4 Std.)
experimentell Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Durchmesser ermitteln:
Flächeninhalt als Beispiel für eine nicht-lineare Funktion
keine exakte Herleitung von π
keine Formeln für Bogenmaß und Kreisteile, nur intuitiv erkennbare Bruchteile: z. B. ¼, 1/6, 1/8
Wiederaufgreifen in Jgst. 9 und 10 explizit im LP verankert
const. d
U
2rrArA )(:
Lineare Funktion in Jahrgangsstufe 8
t
02x2
1
02x2
1
2x2
1y
Ergebnisse BMT 2002
25,9 %, 28,9 %
Stochastik in Jahrgangsstufe 8
Stochastik in Jahrgangsstufe 8
Stochastik in Jahrgangsstufe 8
Das Glücksrad wird einmal gedreht. Klaus, Peter und Irmi geben folgende Ergebnisräume an:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},{rot, grün, blau},{gerade Ziffer, ungerade Ziffer}.
Beurteile, ob man mit diesen Ergebnisräumen Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Formel von Laplace berechnen kann.
1
8
6 5
3
7
2
4
1
a1
3)a(T
a) Berechne T(4), T(-5) und T( 1/2).
b) Welchen Wert der Variablen a darfst du nicht in diesen Term einsetzen?
c) Wo liegen die Zahlen auf dem Zahlenstrahl, die beim Einsetzen möglichst große Termwerte ergeben?
Beispielaufgabe: Bruchterm in Jgst. 7
Vereinfache die beiden Terme, falls dies möglich ist.
a) b)
Begründe, dass die Termwerte von b) nicht größer als 1 werden können, egal welche Zahl man für x einsetzt.
x6x3
x92 2x5
5
Beispielaufgabe: Bruchterme in Jgst. 8
Ergebnisse BMT 2001
56,0 %, 13,6 %, 24,6 %
Beispiele gebrochen-rationaler Funktionen
einfache Funktionen als gebr.-rat. erkennen und zeichnen können (Wertetabelle)
Termbeispiele:
maximal eine Polstelle, keine schiefen Asymptoten
keine Systematik mit Zähler- und Nennergrad
Funktionsplotter zur Visualisierung verwenden, Kurvenverlauf/Eigenschaften des Graphen in einfachen Fällen aus Term begründen
kein Thematisieren des Grenzwertbegriffs, nur aus dem Term und Graph Annäherungen erkennen
22
2
2 x
12,
1x
x2,
x
5,1
2x
4,
2x
4,
3x
x,
x2
1
Gebrochen-rationale Funktionen und Bruchgleichungen
Funktion aus verschiedenen Graphen erkennen
Näherungslösung der Gleichung graphisch bestimmen
x2
1x
x2
11x
Bruchgleichungen
1. Bruchgleichungen, z. B. Schnittpunkt der Graphen von Funktionen mit Term
und
2. Auflösen von Formeln, z. B. Flächenformel Trapez, Linsengleichung
12x
3)x(f
1x
1x)x(g
Bruchgleichungen in Jahrgangsstufe 8 - NICHT
Ergebnisse BMT 2003 - 31,3 %
31,3 %
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten in Jahrgangsstufe 8
2
355
43n3263241
xyx
yx,xx,x9)x3(,a:a,)2(,5,0
Finde alle zueinander äquivalenten Terme:
x10 , x-6 , (x-2)4 , x5 + x5 , (-x)6 , x-8 , x15:x5 , x-22x16 , -x6
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
Christian Scheungrab
Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung, Abt. Gym.
Schellingstr. 155
80797 München
089 – 2170 – 2138